Процессы тепло- и массообмена в аппаратах простых геометрических форм

УДК 68.049+66.011:66.023

ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА В АППАРАТАХ ПРОСТЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ

НАТАРЕЕВ С.В., СОЗИНОВ В.П., доктора техн. наук, НАТАРЕЕВ А.С., асп., ИВАНОВ В.Е., студ.

Предложено обобщенное математическое описание процессов тепло- и массообмена в дисперсных системах газ - твердое тело, жидкость - твердое тело, на основе которого разработаны математические модели вышеуказанных процессов в аппаратах простых геометрических форм.

Ключевые слова: тепло- и массообмен, математическая модель, адсорбер, уравнение теплового баланса.

HEAT-AND-MASS TRANSFER PROCESSES IN SIMPLE GEOMETRIC SHAPE APPARATUS

S.V. NATAREEV, Ph.D., V.P. SOZINOV, Ph.D., A.S. NATAREEV, postgraduate, V.E. IVANOV, student

The work represents the generalized mathematical description of heat-and-mass transfer processes in gas - solid body, liquid - solid body dispersions. Using this description, the authors have developed mathematical models of the processes mentioned above in simple geometric shape apparatus.

Key words: heat-and-mass transfer, mathematical model, adsorber, heat-balance equation.

Процессы тепло- и массобмена, протекающие в дисперсных системах газ-твердое тело, жидкость-твердое тело, составляют важнейший класс основных процессов химической технологии. К эти процессам относятся сушка, адсорбция, растворение, экстрагирование и др. Многообразие химических процессов между сплошной и дисперсной фазами обусловливает разнообразие конструкций аппаратов, в которых осуществляются эти процессы. Наибольшее распространение среди аппаратов химической технологии получили аппараты простых геометрических форм, например, в виде цилиндра или конуса. Такие аппараты, как правило, несложны при эксплуатации и просты в изготовлении. В аппаратах осуществляют непрерывные или периодические процессы. В аппаратах непрерывного действия взаимное направление движения фаз может быть прямоточным, противоточным или смешанного вида. Структура слоя дисперсной фазы может быть плотной или разреженной. Очевидно, что все вышеперечисленные случаи являются частными и целесообразно сформулировать некоторое обобщенное описание, позволяющее в обозримой форме проанализировать ситуацию, определить основные нерешенные проблемы и унифицировать существующие методы расчета процессов и аппаратов химической технологии.

Придерживаясь общности рассуждений и выводов, ограничимся рассмотрением двухмерных квазигомогенных потоков сплошной и дисперсной фаз. Считаем, что в аппарате имеет место противоточное движение фаз. Направление координатной оси 0х совпадает с направлением движения сплошной фазы. Дисперсная фаза состоит из однородных частиц правильной геометрической формы. Полагаем, что по-розность движущегося слоя (в), теплоемкости (с, с ), плотности (р, р ) сплошной и дисперсной фаз являются функциями внутренней координаты слоя, а коэффициенты диффузионного перемешивания сплошной (йх, й) и дисперсной (Ох,йг) фаз в продольном и радиальном направлениях имеют численно разные значения, но постоянны по всему объему слоя.

Обобщенное математическое описание нестационарных режимов тепло- и массообменных процес-

сов в аппарате простой геометрической формы может быть представлено следующей системой уравнений:

- уравнения теплового баланса для сплошной и дисперсной фаз:

д

+ V ^ : - йх —2

дт

-а

дх

d2

дх 2

dR 2

R dR

= 0;

d[(1-6)Cpt ] d[(1-E)cpt ] _ d2[(1-s)Cpt ]

-, H + w Q- ^ - Jv - Dx- ^ -

дт dx v x

dx2

_ [d2[(1-6)Cpt ] 1 d[(1-6)Cpt ]] D •!-^——-^ H 1 = 0,

dR2

dR

- уравнения материального баланса для сплошной и дисперсной фаз:

д

V ^—---¡ш - йх

дт

-Dr

дх

d2

х 2

дх2

dR 2

R dR

= 0;

д[(1 - s)Ccp ] Qd[(1 -8)Ccp ] д2 [(1 -8)Ccp ]

—-+ w Q—^-— ' n —--—

-Dr

дт ,2

дх

L-iv - ах

дх2

д2 [(1 -s)Ccp ] 1 d[(1 -s)Ccp ]

dR2

R

dR

= 0;

- уравнения, характеризующие источник (сток) теплоты, для сплошной и дисперсной фаз запишем в общем виде:

= ф

^ =фТ,С, с, I, р, Ц^...);

- уравнения, характеризующие источник (сток) вещества, для сплошной и дисперсной фаз запишем в общем виде:

¡V = у

щ = ф

- уравнение изотермы: С = ^

где С и С - концентрация вещества для сплошной и дисперсной фаз соответственно; си с - теплоемкость сплошной и дисперсной фаз; й и D - коэффициент диффузии для сплошной и дисперсной фаз; йх и йх - коэффициент продольного перемешивания для сплошной и дисперсной фаз соответственно; й и йг - коэффициент радиального перемешивания для сплошной и дисперсной фаз соответственно; V и !щ -мощность источника (стока) вещества для сплошной и дисперсной фаз соответственно; Jv и ^ - мощность источника (стока) теплоты для сплошной и дисперсной фаз соответственно; К и К - константа скорости химической реакции для сплошной и дисперсной фаз соответственно; ¿1 и ¿2 - геометрические параметры; И - радиальная координата аппарата; t и t - температура сплошной и дисперсной фаз; V и щ - скорость потока сплошной фазы на входе в слой зернистого материала и дисперсной фазы на выходе из слоя соответственно; х - текущая координата по высоте слоя; а - коэффициент теплоотдачи; X и X - коэффициент теплопроводности сплошной и дисперсной фаз; ц -динамический коэффициент вязкости сплошной фазы; р и р - плотность сплошной и дисперсной фаз; О -коэффициент формы аппарата; т - время; индекс «ср» - средний.

Система уравнений (1)-(9) должна быть дополнена начальными и граничными условиями.

Используя ряд физически обоснованных допущений, упростим систему уравнений (1)-(9) применительно к конкретным аппаратам простых геометрических форм.

Частный случай 1. Адсорбер периодического действия колонного типа цилиндрической формы. Коэффициент О = 1.

Полагаем, что скорость движения твердой фазы равна нулю. При расчете массовых потоков пренебрегаем переносом вещества под действием градиента температур вследствие незначительных тепловых эффектов процесса адсорбции. Изменение концентрации компонентов в твердой и газовой фазах не приводит к изменению их плотностей. Слой адсорбента является монодисперсным. Он состоит из зерен сферической формы, имеющих изотропную структуру. Движение газовой фазы является одномерным и зависит от координаты 0х. Изменение концентрации сорбируемого компонента в газовой фазе происходит за счет движения газа с некоторой средней по сечению аппарата скоростью, продольного перемешивания газовой фазы и за счет процесса адсорбции. Скорость процесса адсорбции лимитируется как внешней, так и внутренней диффузией. Равновесие процесса описывается уравнением линейной изотермы Генри.

С учетом принятых допущений составим математическое описание процесса. Математическая модель включает следующие уравнения:

- уравнение материального баланса

дС .. . дСср дС _ д2С е— + (1 - е)-- + V 8— = йх 8—;

дт дт дх х дх2

- уравнение кинетики диффузии для сферической частицы

50

дт

- д2 С 2 дС

= О —— +--

[дг2 г дг,

- уравнение изотермы адсорбции

С = ГС ;

- уравнение связи между локальной концентрацией С

г0

С ср (т, х) = — [ г 2С(т, г, х )Сг ; г0 0

- начальные и граничные условия: С( т, х )| ^=0 = С0;

дС

vСвх + ейх

дС

дх

х=0

х=0 '

дх

=0;

х=Н

С( т, г, х )| = Сер (т, х )|

1т=0 I

т=0

= С 0;

дС

дг

дС

г=г0

Свх - С(т, х, г

г=г0

дг

= 0,

г=0

где Г0 - радиус частицы; р - коэффициент массоотдачи в газовой фазе; Г - константа Генри; индексы: «вх» -входной, «0» - начальный,«ср» - средний.

Математическая модель (10)-(19) достаточно хорошо изучена [1-4].

Для практических расчетов процессов адсорбции также достаточно часто применяется математическая модель без учета продольного перемешивания сплошной фазы [1-4].

Частный случай 2. Адсорбер непрерывного действия колонного типа цилиндрической формы. Коэффициент О = 1.

Полагаем, что газовая фаза и дисперсная твердая фаза движутся в противоположных направлениях. Эффекты продольного и радиального перемешивания движущихся фаз малы, и ими можно пренебречь. Остальные упрощающие допущения примем аналогичными допущениям для частного случая 1.

Математическое описание процесса включает следующие уравнения [2, 3]:

- уравнение материального баланса по газовой

фазе

дС дСср

8V — - (1 -е)—ер = 0;

дх дт

фазе

- уравнение материального баланса по твердой

дСер дС,

щ-

ер

ер

0 ;

дх дт

- граничные условия:

= С ; х=0 вх '

= Св

ср1 х=Н

- уравнения (11)-(14) и (17)-(19). Частный случай 3. Адсорбер е кольцевым неподвижным слоем адсорбента. Коэффициент О = И1/(И1-х).

В указанном аппарате исходный газ поступает в пространство между корпусом и внешней цилиндрической решеткой, проходит в горизонтальном направлении через кольцевой слой адсорбента, находящийся между внутренней и внешней цилиндрическими решетками, и выводится из аппарата через внутренний цилиндр (рис. 1).

О .С

I I

-Чг

ш

и»

р*

-Адсорбент

Рис. 1. Схема движения газовой фазы в кольцевом адсорбере: Свх - концентрация целевого компонента в газовой фазе на входе в аппарат; Свых - концентрация целевого компонента в газовой фазе на выходе из аппарата; И - радиус внешней цилиндрической решетки; И2 - радиус внутренней цилиндрической решетки; V - скорость движения газовой фазы на входе в слой адсорбента; Н - высота кольцевого слоя адсорбента

При построении математической модели в кольцевом адсорбере были использованы следующие допущения: начальное содержание целевого компонента в слое адсорбента является равномерным; равновесие адсорбции описывается уравнением линейной изотермы Генри; скорость процесса лимитируется смешанной диффузией; структура потока раствора сквозь слой адсорбента описывается моделью идеального вытеснения; направление движения очищаемого газа в слое совпадает с направлением координаты 0х.

Математическое описание процесса включает уравнение материального баланса

дС

= 0; 0 < х < И2.

дС + ) дСер е--+ (1 - е)--

дт дт

И/

И1 - х дх

В математическое описание также входят уравнения (11)—(14), (17)-(19) и граничное условие

С

Аналитическое решение вышеуказанной задачи получено в следующем виде: Свх - С(т, х) =

Свх - С0

при 0 < Го <8

где

8 =

I Л,

1=1

[

Ц2пГо

-I Лпе

-цП

при Го^ 8

п=1

2 - г021 й

2^

= 6Г(в|пЦп -цп соз цп)2 Лп ~ 3/  \

Ц,

йт

Го =—2 - критерий Фурье; цп - корни характеристи-

ческого уравнения

, -Б/

tgц„ =-,

УНп Б1 -1

где Б1

йГ

критерий Био.

Уравнение (26) позволяет рассчитать распределение концентрации целевого компонента по ширине слоя адсорбента в любой момент времени.

Частный случай 4. Горизонтальный адсорбер е неподвижным слоем адсорбента. Коэффициент О = Я/(Я2 - х2)1/2.

В горизонтальном адсорбере (рис. 2), наполовину заполненном адсорбентом в виде зерен сферической формы, осуществляется очистка газа.

1

«.С» '-/-"

/

0 -Свых ///////////, ///Адсорбент ///, ¿/¿¿¿¿¿///А

Рис. 2. Схема движения газовой фазы в горизонтальном адсорбере: 1 - распределительное устройство; 2 - дренажное устройство; ¿ - длина аппарата; Н - высота слоя адсорбента; И - радиус аппарата

При построении математического описания процесса используем допущения, указанные для частного случая 3.

Математическое описание процесса включает уравнение материального баланса

дС .. чдСер И/ дС п п ,, е— + (1 - е)—ер + . — = 0; 0 < х < Н.

дт дт ^ 2 - х 2 дх

В математическое описание также входят уравнения (11)—(14), (17)-(19) и (25).

Вышеуказанную систему уравнений решали с применением однородных консервативных разностных схем.

Частный случай 5. Аппарат со сферическим днищем с неподвижным слоем адсорбента. Коэффициент формы сферической части аппарата О =

Ио2/(Ио2-х2).

Рассмотрим аппарат со сферическим днищем, в котором помещен слой зернистого адсорбента. Считаем, что изменение концентрации в жидкой фазе происходит за счет движения раствора с изменяющейся по сечению днища скоростью и за счет процесса адсорбции (рис. 3).

'Дренажное устройство

Рис. 3. Схема движения жидкой фазы в аппарате: Н - высота слоя адсорбента; Р - радиус сферического днища

Запишем уравнение материального баланса для сферического слоя адсорбента:

дС + ) дСер е--+ (1 - е)-—

дт дт

И 2/ дС

И2 - х2 дх

= 0; 0 < х < Н.

В математическое описание процесса также входят уравнение кинетики (,,), уравнение изотермы (,2), уравнение связи между локальной концентрацией вещества в частице и средним её значением (13), а также соответствующие условия однозначности.

Частный случай 6. Односекционная сушилка непрерывного действия конической формы с кипящим слоем (рис. 4). Коэффициент О = И12/(И + х tgy/2)2.

Влажный материал

Высушенный материал

I

5„ 5,.

Рис. 4. Схема движения фаз в сушилке

Рассмотрим процесс сушки в условиях малого размера слоя и примерно одинаковой его протяженности в различных направлениях. Полагаем, что перенос теплоты в частицах дисперсного материала сферической формы осуществляется теплопроводностью, а влаги - влагопроводностью. Структура потоков сушильного агента описывается моделью идеального вытеснения, а дисперсного материала - моделью идеального перемешивания [5]. Направление движения сушильного агента совпадает с направлением координаты 0х. Искомыми функциями являются профиль температуры сушильного агента ?(х,И) и средняя температура дисперсного материала на выходе из сушилки , а также профиль влагосодержа-ния сушильного агента и(х,И) и среднее влагосо-держание дисперсного материала на выходе из сушилки исрвых .

Математическое описание процесса сушки включает следующие уравнения:

- уравнение теплового баланса для сушильного

агента

всру-

И22

дt

и2+х^ 2

дх

- (1 -е)с рм

И2

д ?

ср

И2 + xtg 2

дх

-8 С рйг

дИ 2

2 _д! И дИ

\

= 0

и потока твердого сыпучего материала

Лр);

_ д?ср--

дт

- уравнение теплопроводности в сферических координатах

д.

дт

= а

дг 2

2 д?_

г дг

\

- уравнение для определения средней температуры в частице

?ср(т,х,И) = ^|г21(т,г,х,И)Сг ;

'0 0

- начальные и граничные условия для переноса теплоты

' " ' "

?ср

дИ

= 0;

И1=0 х=0

ЦИ=И1 ор.ср

4- I х =0

х=0

^ст + ^из

1ст 1из аобщ

дt

д г

д?

= 0

г=0

дг

= а21 ?вх - ? (т,г, х,И)|

г=г0

г=г0

- уравнение материального баланса для сушильного агента

8У-

И,2

ди

-8йг

И2 + х?д 2

( д2и 1 диЛ

дх

- (1 -

И,2

ди

ср

И2 + х?д 2

дх

дИ2 И дИ

= 0

и потока твердого сыпучего материала

У-

ди

ср

дт

= о(ивх- иср);

ди

— = к

дт

уравнение диффузии в сферических координатах

^д2 и 2 ди Л

дг2

г дг

- уравнение для определения среднего влаго-содержания в частице

__30 _

и ср (т, х, И) = -31 г 2и(т, г, х, И )Сг

00

начальные и граничные условия для переноса

влаги

'1х=0 ивх;

иСр(т, х, И)|т 0 = и (т, г, х, И)|т=0 = и0 ;

и( х,И )| х

иср (x, И )|,

и

1х=0

= ив

«1=1 х=0

дК

ди

= 0;

дг к

= 0;

г=0

ди

дг

г=г0

= р

где а - коэффициент температуропроводности; И - радиус газораспределительной решетки; И -радиус сечения кипящего слоя в верхней его части; Иэ - радиус сечения аппарата в верхней его части; О - производительность аппарата по исходному зернистому материалу; к - коэффициент массопроводно-сти; и и и - влагопроводность сплошной и дисперсной фаз; аобщ - коэффициент теплоотдачи лучеиспусканием и конвекцией; индексы: «ст» - стенки; «из» -изоляции.

Для определения среднего влагосодержания в частицах на выходе из сушилки может быть использовано следующее уравнение [6]:

и вых = {ЖФсрт,

где &(т) - функция распределения времени пребывания частиц в аппарате; иср(т) - решение уравнения

влагопроводности (43).

Решение уравнения (52) с использованием модели идеального перемешивания и диффузионного механизма удаления влаги при граничных условиях первого рода можно найти в работе [6].

Для определения температуры материала на выходе из сушилки может быть использовано уравнение

t

]цт%р (x)d т,

где ?ср(т) - решение уравнения теплопроводности (32).

Решение уравнения теплового баланса (30) совместно с уравнениями (32) и (33) и условиями однозначности (34)-(40) имеет вид

tm -1

tвх - tокр.ср

3r02vtg I

= е

l^аR 1

3r02vtg \

- Де 2

R_ R0

+П=4

(°nDrr0 R1+х?д2

3r^vR^tg 2

6

где A. =-1-1-

1 i^ecp

L=

^ст + ^из

Хст Хиз a

общ

ческого уравнения Jq(ct)=0.

; an - корни характеристи-

Решение уравнения материального баланса (41) при соответствующих граничных условиях может быть найдено по аналогии с решением уравнения теплового баланса (30).

Рассмотрим в односекционной сушилке с кипящим слоем (рис. 4) зону разделения высушенного сыпучего материала и сушильного агента. Полагаем, что параметры потоков сушильного агента и сыпучего материала, поступающих в данную зону, равны параметрам соответствующих выходных потоков из зоны сушки. Процессы массо- и теплообмена между фазами в зоне разделения фаз практически полностью завершены. Потери теплоты в окружающую среду происходят только через изолированную стенку аппарата. В этом случае уравнение теплового баланса для сушильного агента может быть записано как

( I

EV-

R21

dt

R22

хtg 2

дх

- sDr

dR 2

1 Bt_ R dR

= 0.

В качестве граничных условий примем условие (35) и условия

dtcp

dR

R2 = 0

х=0

= 0;

X1

вх

- t|R = R2

х = 0

f = R. х=0

2 -t

окр.ср

ст + из

1

"ст '"из общ Решение уравнения (56) при данных условиях имеет вид

tex -1

tвx - tокр.ср

==

iDrH,

n^r' 'сеп

R2

хg 2)

2R24vtg 2

П=1 )

где Стп - корни характеристического уравнения (55).

Список литературы

1. Кельцев Н.В. Основы адсорбционной техники. - М.: Химия, 1984.

2. Романков П.Г., Фролов В.Ф. Массообменные процессы химической технологии (системы с дисперсной твердой фазой). - Л.: Химия, 1990.

3. Протодьяконов И.О., Люблинская Н.Е., Рыжков А.Е. Гидродинамика и массообмен в дисперсных системах жидкость - твердое тело. - Л.: Химия, 1987.

4. Протодьяконов И.О., Муратов О.В., Евлампиев И.И. Динамика процессов химической технологии: Учеб. пособие для вузов. - Л.: Химия, 1984.

5. Сажин Б.С., Сажин В.Б. Научные основы техники сушки. - М.: Наука, 1997.

6. Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1991.

Созинов Владимир Петрович,

ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой промышленной теплоэнергетики, телефон (4932) 26-97-24, e-mail: soz@pte.ispu.ru

J

1

Натареев Александр Сергеевич,

ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», аспирант кафедры промышленной теплоэнергетики, телефон (4932) 26-97-24, e-mail: nelli@pte.ispu.ru

Натареев Сергей Валентинович,

Ивановский государственный химико-технологический университет,

доктор технических наук кафедры машин и аппаратов химических производств,

e-mail: nelli@pte.ispu.ru

Иванов Виталий Евгеньевич,

Ивановский государственный химико-технологический университет, студент,

e-mail: nelli@pte.ispu.ru