Использование в преподавании математики специально сконструированных некорректных определений и решений

преподавательского состава (профессора (I), доценты (II), старшие преподаватели (III), ассистенты (IV)) определяется максимальный (Рмакс) - абсолютный рейтинг, по которому нормируются абсолютные рейтинги преподавателей данной категории.

В результате определяется относительный рейтинг преподавателя:

Ротн. = Р/Р макс

Ротн. - относительный рейтинг преподавателя,

Р - абсолютный общий личный рейтинг преподавателя, Рмакс - максимальный абсолютный общий личный рейтинг преподавателя.

Относительный рейтинг отражает удельный вес вклада сотрудника в результат деятельности как кафедры, так и факультета - с одной стороны, с другой - отражает его уровень в квалификационной категории.

Исходные данные для определения рейтинга преподавателя представлены в табличной форме, имеют строго однозначную интерпретацию, поэтому при заполнении графы «Значение» преподаватель должен придерживаться принятого толкования показателей, раскрываемого в пояснениях. Контроль достоверности значений показателей, на основе которых проводится рейтинговая оценка, возлагается на руководителей подразделений. Выборочный контроль показателей осуществляет также научно-методический центр на основе соответствующих данных отделов и служб университета.

По представленным преподавателями исходным данным осуществляется заполнение или обновление электронной базы данных сотрудниками ответственными, назначенными руководителем структурного подразделения. Контроль осуществляется руководителем структурного подразделения.

Плановая апробация рейтинговой системы оценки НИД и НМД прошла на базе 3-х кафедр Челябинского государственного педагогического университета (таблицы 3, 4, 5).

Библиографический список

Таблица З

Кафедра «Истории, социологии и права»

Доцент Ст. нренодаватель ассистент профессор

10 4 2 1

Таблица 4

Кафедра «Педагогики»

Доцент Ст. нренодаватель ассистент профессор

9 З - 6

Таблица 5

Кафедра «Валеологии, безопасности жизнедеятельности и медицинской коррекции»____________________________________

Доцент Ст. нренодаватель Ассистент Профессор

4 З - 1

Кроме этого, качество программного продукта экспериментально выявлялось в рамках курсов повышения квалификации.

Очевидно, что научно-исследовательская и научно-методическая деятельность - это взаимосвязанная совокупность неравноценных и нерядоположенных элементов, которые в единстве раскрывают ее целостность.

Деятельность преподавателя в каждой из этих сфер может быть различного качества. Рейтинговая оценка позволяет соотнести это качество с установленными нормативами и стандартами осуществления каждого вида деятельности, получить сведения о реальном состоянии деятельности, обладающей своеобразием и отличающейся определенными признаками и показателями, оценить меру удовлетворения потребностей тех, кто прямо или косвенно заинтересован в этой деятельности.

Рейтинговая система оценки допускает возможность автономности каждой подсистемы (сферы, аспекта) и их иерархии по разным основаниям для самого преподавателя и для руководства кафедрой, факультета и вуза.

1. Лицензирование, аттестация, государственная аккредитация учреждений профессионального образования Российской Федерации. В 3 т. Государственная аккредитация, аттестация: сборник нормативно-правовых актов и организационно-методических материалов. - М.: Центр государственной аккредитации, Высшая школа, 2003. - Т.3.

2. Васильева, Е.Ю. Оценка деятельности преподавателей в российских и зарубежных вузах: Монография. - Архангельск, 2005.

3. Новаков, Н. Рейтинг преподавателей и управление вузом. - Волгоград, 2002.

4. Гуманитарные технологии в вузовской образовательной практике: практика проектирования, анализа и применения: учебное пособие / под общ. ред. Н.В. Бордовской. - СПб. : Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2008.

Статья поступила в редакцию 11. 12.09

УДК З7З.З

А.С. Зеленский, канд. физ.-мат. наук, с. н. с. МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва, E-mail: asz@edunews.ru

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ СПЕЦИАЛЬНО СКОНСТРУИРОВАННЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И РЕШЕНИЙ

Описаны некоторые методические приемы в преподавании математики в профильной школе. Акцент делается на методиках, в которых учащимся предлагаются специально сконструированные некорректные определения и теоремы или ошибочные способы решения задач. Их использование позволяет учащимся лучше освоить материал, глубже понять различные нюансы. Важно, что в школьниках воспитывается абсолютно необходимый самоконтроль и критическое отношение к излагаемому материалу.

Ключевые слова: математика, методика обучения, ошибка, некорректное определение, ошибочное решение, самоконтроль, поиск ошибки.

В преподавании математики старшеклассникам обычно применяется методика «прямого» обучения, которую грубо можно описать фразой: «Эту задачу нужно решать так». В этом направлении сориентировано и подавляющее большинство учебников и пособий по математике, главная цель которых - показать, как нужно решать задачи того или иного типа. Но в этих книгах зачастую не акцентируется внимание на объяснении того, почему задачу нужно решать именно так, почему не проходит какой-то иной, на первый взгляд, более простой способ, зачем в решении столько, казалось бы, лишних условий. На эти вопросы чаще всего не отвечает и учитель: порой из-за того, что не считает нужным этого делать (ведь способ решения показан!), порой из-за элементарной

нехватки времени, а порой и из-за недостаточной квалификации.

На наш взгляд, именно в этом кроется одна из причин того, что школьники владеют приемами решения задач очень поверхностно и формально. Пока «проходится» данная тема, задачи еще как-то решаются, но уже через месяц школьник не может самостоятельно решить даже стандартной задачи (не говоря уже о задачах со слегка нестандартной постановкой).

В процессе двадцатилетней работы в лицейских математических (и экономических) классах при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова возникла идея время от времени предлагать учащимся некорректные формулировки определений и теорем, ошибочные способы решения

задач (или решения с какими-то недочетами). При этом преподаватель никогда заранее не говорит о предстоящей ошибке. Это позволяет держать класс «в тонусе»: ученики привыкают к тому, что нельзя принимать «на веру» ни одну из фраз учителя. Тем самым воспитывается абсолютно необходимый самоконтроль и критическое отношение к излагаемому материалу.

Отметим, что вопросами, связанными с математическими ошибками, их типологизацией и причинами возникновения занимались В. Брадис, Я. Груденов, В. Далингер, Я. Дубнов, М. Зайкин, Ю. Колягин, В. Рыжик, Г. Саранцев, З. Слепкань, А. Хинчин, А. Ярский и другие. Но в данной работе математические ошибки изучаются не как явление, которое нужно предупреждать и с которым нужно бороться (это сомнению не подлежит). Делается попытка извлечь из этого явления пользу - ошибка несет здесь «обучающую функцию» [1]. Определения, теоремы, решения задач с ошибками используются преподавателем для улучшения математической подготовки школьников.

Например, при изложении теоретического материала преподаватель умышленно дает неверную формулировку определения или теоремы (чаще всего опускается какое-то важное ограничение). Классический пример: неверное определение периодической функции (которое, кстати, встречается в ряде «плохих» книг): функция имеет период Т, если

f (x + T) = f (x) для всех х, входящих в область определения.

Дефект этого определения обнаруживается, если мы рас-

sin x • Vx

смотрим, например, функцию y =------------------. Она равна

yjx

Sin x при x > 0 и не определена при x < 0 . Для любого х из области определения (т. е. положительного) имеем:

sin (x + 2п) = sin x . Значит, по нашему «определению»

функция периодическая. А на самом деле это, конечно, не так - если «двигаться» по оси х влево, функция перестает «повторяться» при отрицательных х - она там просто не определена!

После того, как учитель давал такое неверное «определение», бывало, что урок длился еще 20 - 30 минут, пока кто-то из учеников не обнаруживал необходимость добавления в это определение условия f (x — T) = f (x) (а более точно -

требования того, чтобы x — T тоже принадлежало области определения). Все это время преподаватель аккуратно подводил школьников к противоречию.

В результате такой «ошибки» (и ее подробного обсуждения после обнаружения) все учащиеся концентрируются на этом пункте определения, их знание становится осознанным. Очевидно, что если бы сразу было дано верное определение, добрая половина школьников упустила бы этот важный момент.

А при доказательстве теоремы о сумме углов треугольника очень полезно вначале дать следующее «доказательство».

«Докажем, что сумма внутренних углов треугольника

АВС равна 180° . Опустим из точки В перпендикуляр BD на АС. Обозначив сумму углов треугольника через х, получим

для треугольника ABD: АЛ + AABD + 900 = x , и для

треугольника BDC: АС + ADBC + 900 = x . Сложив

почленно эти два равенства, получим:

АЛ + АС + AABD + ADBC + 900 + 900 = 2x или

(АЛ + АС + AB) +1800 = 2x . При этом выражение в

скобках - это сумма углов треугольника АВС, которая равна х.

Поэтому x +1800 = 2x, x = 1800 , что и требовалось доказать».

Это доказательство, конечно, гораздо проще и понятнее,

чем те, которые приводятся в школьных учебниках. Но - увы -оно не выдерживает критики... На самом деле здесь доказана следующая теорема: «Если во всех треугольниках сумма углов равна одному и тому же числу, то это число равно 1800 ». Беда в том, что доказать то, что сумма углов треугольника -величина постоянная, совсем не просто (во всяком случае, в нашем «доказательстве» этого не сделано). И именно ради этого и «городится огород» в школьных учебниках. Это нужно объяснить школьникам.

Приведем еще ряд примеров подобного рода, очень полезных для понимания.

1. «Если a > b и c > d, то ac > bd ».

Комментарии. Здесь достаточно контрпримера: a = 5 ,

b = 1, С = —1, d = —З . Убеждаемся, что a > b, c > d, но ac < bd . Поэтому правильная формулировка: Если a > b > 0 и c > d > 0, то ac > bd.

2. «Непрерывная функция имеет производную во всех точках».

Комментарии. И здесь помогают контрпримеры (умение их строить - необходимая составляющая математической

культуры). Простейший - функция y = IX , которая всюду

непрерывна, но ее производная в точке х = 0 не существует.

Г sin X, если X > 0,

Другой пример: y = s Производная

[ 0, если x < 0.

этой функции равна cos X, если X > 0 , и 0, если X < 0 . В точке х = 0 производная не определена.

Поэтому правильная формулировка: Непрерывная функция не обязательно имеет производную во всех точках.

3. «Окружностью называется геометрическое место точек, находящихся на равном расстоянии от некоторой данной точки».

Комментарии. Казалось бы, все нормально. В школьном учебнике можно встретить точно такое же определение. Между тем там ошибки нет, а здесь есть!

Когда мы даем определение окружности в курсе планиметрии (а другой геометрии в восьмом классе еще нет!), говорить о плоскости не нужно. Но когда говорим об этом же после 11-го класса, обязательно нужно сказать о плоскости.

Правильная формулировка: Окружность - геометрическое место точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от некоторой данной точки плоскости.

Для сравнения дадим определение сферы: сфера - геометрическое место точек, находящихся на равном расстоянии от некоторой данной точки.

Пожалуй, еще больший педагогический эффект заложен в анализе ошибочных решений задач. Разбор неправильного решения и поиск ошибок (речь, разумеется, идет об «идейных» ошибках, а не просто об арифметических просчетах) могут принести огромную пользу. На примере этих «решений» можно глубже понять тот или иной метод решения, выявить какие-то тонкие места и, наконец, понять, почему задачу так решать нельзя и как ее нужно решать.

Таким образом, учащемуся предоставляется возможность как бы учиться на ошибках других. Ведь гораздо лучше проанализировать и понять, что другие сделали плохо, а самому избежать этих ошибок, чем самому в сотый раз наступать на те грабли, на которые до тебя уже многие наступили. Хотя, как показывает опыт, если сам наступаешь на грабли, это учит гораздо быстрее...

В процедуре поиска ошибок в предложенном решении задачи есть еще один важный момент: у школьника воспитываются необходимые навыки для того, чтобы потом находить ошибки и недочеты в собственных рассуждениях; он постепенно вырабатывает какие-то свои алгоритмы этого поиска. Без тренировки этого не происходит.

Решая творчески и самостоятельно разные задачи (не только в математике), ученики часто ошибаются. Это нор-

мально. Но если анализировать эти ошибки, делать из них правильные выводы, то к школьным выпускным и вузовским вступительным экзаменам учащиеся привыкают действовать четко и безошибочно.

Важную роль играет тренировка процедуры поиска ошибок и в подготовке будущих учителей. Во-первых, это просто повышает их математическую культуру. А, во-вторых, они вырабатывают навыки и алгоритмы проверки решений, что является одной из важных компонент их будущей профессиональной деятельности.

При этом специально сконструированные «решения» этих задач могут содержать как грубые «ляпы», видимые почти сразу, так и неточности или тонкие логические ошибки, поиск которых может занять немало времени даже у специалиста.

Применяются две формы представления этих «решений» учащимся.

Учитель может просто привести это «решение» на доске. При этом ни в коем случае нельзя заранее предупреждать школьников об ошибках. Наоборот, учитель должен, проявляя определенный артистизм, быть в «скользких» местах как можно более убедительным. Часто бывает, что ученики замечают подвох (на самом деле, это очень хорошо), но бывает, что решение завершено, все «поняли» решение, никаких вопросов нет. И в таких случаях очень важно дойти до «ответа», а потом «взорвать» процесс, намекнуть на то, что в изложенном «решении» не всё в порядке (а в некоторых случаях стоит не просто сделать намек на ошибку, а даже возмутиться некритически настроенной аудиторией). И дальнейший анализ задачи и всех нюансов решения в этом случае обычно бывает гораздо полезнее для слушателей, чем «гладкое» решение.

Вторая форма подачи ошибочных решений состоит в том, что учитель раздает школьникам листочки с подборкой «решений» задач по данной теме. Задача учащихся - найти ошибки и исправить их. Эта форма работы очень полезна и для студентов - будущих педагогов. И, разумеется, важнейшим элементом и здесь является дальнейший разбор всех нюансов решений.

Приведем несколько примеров разной степени сложности, которые демонстрируются учащимся в процессе обучения (другие подобные примеры приведены в [2]).

( 2 У ( 1У

1. Найти значение выражения: I 3— I —11— I .

I 5J I 5)

( 2 У ( 1У 4 1 3

«Решение». I 3— I —I 1— I = 9------------1----= 8-----.

^ 5) ^ 5) 25 25 25

Ответ: 8----.

25

Комментарии. Здесь допущены грубые ошибки. Неверно,

( 2 V 4 ( 1V 1

что I 3 — I = 9------ и I 1— I = 1-----, а «виновата» в этом

^ 5) 25 ^ 5) 25

формула «квадрат суммы двух чисел...». Действительно:

, 2 / ,\2

1

1

1 +

1

= 1 + 2-1 •1 + — 5 25

2 1 ,11

= 1 +----і------= 1—

5 25 25

Аналогично:

—11

2 4 14 ( 2

9 + 2 • 3---\---= 11-----. Поэтому I 3 —

5 25 25 ^ 5

11——111 = ш.1

25 25 25

Заметим, что гораздо проще считать квадрат дроби ина-

:Y = f -

J - 1 5.

З6 , 11

1—.

25 = 25

289

25

= 1114,

25

И, наконец, важно, что здесь считать квадраты дробей вовсе не обязательно, так как по формуле «разности квадра-

11 23 253 3 3

--------= ------- = 10-----. Ответ: 10--------.

5 5 25 25 25

Анализируя приведенные в этом примере ошибки, мы не просто их исправляем, но еще и даем рецепты оптимизации вычислений. Вряд ли ученик получил бы аналогичный эффект, если бы ему просто было показано «идеальное» решение.

2. Решить уравнение: (х — 1)(х + 3) = 0.

«Решение». Перемножив скобки, получим квадратное

уравнение:

X + 2 X — З = 0 . Найдем

его корни:

Х1 2 = — 1 ± V1 + 3 = — 1 ± 2; Х1 = 1 и Х2 = —3. Ответ: х1 = 1, х2 = —3 .

Комментарии. Формально решение абсолютно верное, и преподаватель обязан ставить за него оценку «+». Но признать решение приемлемым нельзя, ведь исходное уравнение решается устно! Здесь в левой части стоит произведение двух скобок. Оно равно нулю, когда или X — 1 = 0 , или X + 3 = 0 . Отсюда сразу находятся Х1 = 1, Х2 = —3 .

Мы же, перемножив скобки, усложнили себе задачу. В данном случае такая «двойная работа», хотя и огорчительна, но не так страшна. Иное дело, например, уравнение

( -Л—И 0

X-------X +-----------= 0 . Его корни легко находятся:

А если переходить к квадратному уравне-

2 зТз—2V2—з 7З—1 п

X Н-----------X-----;^ = 0.

Л 1 -л/3

---- и ---------

3 2

нию, то получим: х , х

6 372

Быстро получить корни этого уравнения вряд ли возможно...

3. Решить неравенство: |4 - х\ < 2.

«Решение». Выражение под модулем равно нулю при X = 4 . Применяя метод интервалов, рассматриваем неравенство на двух промежутках:

Г х > 4, Г х > 4, а) 1 ^ О 1 ^ О X е [4; + да) ; б)

[4 — X < 2 X < 4,

^ X > 2

X < 4,

1 о 1 о х е (-да; 4). Объеди-

[-4 + х < 2 [ х < 6 v '

няем получившиеся решения. Ответ: х е (-да; + да) .

Комментарии. Выражение под модулем в самом деле равно нулю при х = 4 . Но почему-то считается, что справа от точки х = 4 это выражение положительно, а слева - отрицательно. Это довольно распространенное заблуждение. Часто

а

ить

решающий задачу даже не задумывается над этим: справа -«плюс»; слева - «минус». На самом деле в данном случае в выражении 4 — X перед х стоит отрицательный коэффициент, поэтому справа от 4 выражение будет отрицательно, а слева - положительно. Значит:

Г X > 4, Г X > 4,

а) 1 О 1 О X ЄІ4; 6); б)

[—4 + X < 2 [ X < 6 1 '

Г X < 4, Г X < 4, ,

1 О 1 О X є (2;

[4 — X < 2 [ X > 2 4

Но, конечно, решать такую задачу методом интервалов явно не стоит. Гораздо проще: I4 — X < 2 О

—2 < 4 — X < 2 О X є (2; 6).

Или же можно воспользоваться «переводом» формулировки задачи на язык геометрии: «найти те значения х, при которых расстояние от точки х до точки 4 будет меньше 2». Очевидно, что это значения х, лежащие между 2 и 6.

4. При каких значениях параметра а уравнение

0.x 2 + 4 X — 2 = 0 имеет два различных корня?

«Решение». Условие положительности дискриминанта дает: О = 16 + 8а > 0 . Поэтому а > —2 . Ответ:

а є (—2; + го).

Комментарии. Упущен один важный нюанс: мы сразу, без раздумий, рассматриваем это уравнением как квадратное. А ведь при а = 0 оно перестает быть квадратным! И тогда говорить о каком-либо дискриминанте просто бессмысленно. И, разумеется, при а = 0 наше уравнение имеет только одно

1

решение (X = —). Поэтому ответ в этой задаче: 2

а є (—2;0)и (0; + да).

5. В уравнении х2 + (3к — 3) х + к2 — 5к + 22 = 0

определить число к так, чтобы один из корней был вдвое больше другого.

«Решение». Если данное уравнение имеет корни Х1 и Х2, то имеют место соотношения (первое получено из условия, а два других - из теоремы Виета): Х1 = 2Х2;

Х1 + Х2 = 3 — 3к ; Х1 • Х2 = к2 — 5к + 22 . Отсюда сле-

Библиографический список

дует 3х2 = 3 - 3к ; 2х22 = к2 - 5к + 22, а поэтому

2 (1 - к ) = к2 - 5к + 22. Решая это уравнение относительно к, получим: к2 + к - 20 = 0 ; к1 = 4 , к2 = -5 .

Ответ: к1 = 4 , к2 =-5 .

Комментарии. Найти ошибку в этом решении весьма непросто. Во-первых, отметим одну неточность. Использование теоремы Виета возможно, только если данное уравнение имеет корни, т. е. обычно в таких случаях необходимой является проверка условия & > 0 . Это условие приводит к неравенству: 5к2 + 2к - 79 > 0. Легко убедиться, что и при к = 4 , и при к = -5 это неравенство выполняется.

Заметим, что можно было бы обойтись и без этой проверки, если бы мы, подставив полученные значения к, получили корни (при к = 4 это х = —6 ; х2 = -3 , а при

к = -5 : х = 12 ; х2 = 6 ). Мы получили корни в явном

виде, а значит, они существуют!

Так или иначе, в изложении решения существование корней должно быть как-то обосновано. Просто обойти молчанием этот вопрос нельзя.

Но самое интересное - в другом. Прочитаем внимательно формулировку задачи: «один из корней вдвое больше другого». Тогда при к = 4 получается, что (-6) = 2 • (-3) , т.е. число (-6) как бы вдвое больше числа (-3) . Но ведь это не так! Число (-6) даже меньше числа (-3) . Обычно этот парадокс ставит решающего задачу в тупик. Ошибки-то в решении как будто бы нет, а результат странный. А разгадка проста: формулировка «число а в п раз больше числа Ь» не эквивалентна формуле а = п • Ь . Мы можем сравнивать таким образом числа только если оба они положительны! Т.е. формулировка «число а в п раз больше числа Ь» означает: а = п • Ь , а > 0, Ь > 0. А поэтому наше решение следовало бы дополнить неравенствами х2 > 0 и х1 > 0 (легко

убедиться, что достаточно любого одного из них).

Таким образом, ответ в этой задаче только один: к = -5 - ведь только тогда оба корня положительны. Заметим, что подобная ошибка в ответах встречается у составителей многих сборников задач.

1. Субботин, И.Я. Обучающая функция ошибки / И.Я. Субботин, М.С. Якир // Математика в школе. - 1992. - № 2-3.

2. Зеленский, А.С. Улучшение математической подготовки учащихся с помощью специально сконструированных ошибочных решений, определений и теорем // Образовательные технологии. - 2006. - № 3.

Статья поступила в редакцию 11.12.09

УДК 37:01

О.Ю. Левченко, канд. пед. наук, доц. Забайкальского института предпринимательства, г. Чита,

E-mail: levchenkozip@mail.ru

РОЛЬ ИНОСТРАННЫХ ЯЗЫКОВ В САМООБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ДЕКАБРИСТОВ В ПЕРИОД ИХ ПРЕБЫВАНИЯ В БАЙКАЛЬЕ

Представленная статья посвящена исследованию роли иностранных языков в жизни декабристов в период их пребывания в Забайкалье. Автор показывает, что декабристы активно занимались изучением и преподаванием древних и современных иностранных языков и переводческой деятельностью.

Ключевые слова: декабристы, самообразовательная деятельность, изучение и преподавание иностранных языков.