Численное моделирование термонапряжений и тепломассопереноса в оболочечных композитных конструкциях при локальном лазерном нагреве

Ольга Юрьевна Чигирева родилась в 1979 г., окончила в 2002 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Аспирантка кафедры "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана.

O.Yu. Chigiryova (b. 1979) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2002. Post-graduate of "Mathematical Simulation" department of the Bauman Moscow State Technical University.

УДК 539.3+678.5

Ю. И. Димитриенко, В. В. Минин, А. С. Корепанов

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОНАПРЯЖЕНИЙ И

ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ПРИ ЛОКАЛЬНОМ ЛАЗЕРНОМ НАГРЕВЕ

Предложена модель термомеханических процессов в композитных тонкостенных оболочках при высоких температурах с учетом эффектов термодеструкции, учитывающая межслойные и поперечные напряжения в оболочке, а также изменение свойств композита при нагреве. Разработан численный метод расчета композитных термодеструктирующих оболочек, основанный на методе конечных элементов и методе малого параметра в сочетании с пошаговым конечно-разностным методом для системы уравнений внутреннего тепломассопереноса. Представлен пример расчета термонапряжений в цилиндрической композитной оболочке при локальном лазерном нагреве.

Исследование эффектов взаимодействия лазерного излучения с композитными полимерными материалами в настоящее время остается достаточно актуальной проблемой. В работах [1, 2] была разработана модель четырехфазного аблирующего композита, описывающая процессы при его нагреве до высоких температур. Целью настоящей работы является применение этой модели для композитных тонкостенных оболочечных конструкций при локальном лазерном нагреве, разработка эффективного численного метода расчета термонапряжений и внутренного тепломассопереноса в оболочках, а также численное исследование возможности термомеханического разрушения оболочек при относительно малых уровнях мощности локального нагрева.

Уравнения теории термодеструктирующих композитных оболочек. Согласно классификации [1] процессы абляции материалов подразделяются на поверхностные (линейный унос) и объемные (термодеструкция материала). Рассмотрим случай объемной абляции, которая реализуется в композитах при температурах 300-1500 °С.

Система уравнений теории термодеструктирующих композитных оболочек включает в себя следующие уравнения [1]:

д д -{Ар Таа) + —(АаТар)-

гч V-"-р аа) 1 гч

Oqa Öqß

dAß + дАа A A k Q A dPä

--д-Tßß + -T,-Taß - AaAßКаЧа - Aß TJ- _ 0,

д0а d4ß д0а

дд -(Aß Маа ) + —(AаMаß )-

дда дQß

dAß дА^^^ д Pg

- —^Mßß + Мав - AаAßЧа - Aß_ 0,

д0а дЧв д0а

- A1A2 (кг TU + k2 T22) + ^ + ^ - Pe AiA2-

ддг д Q2

- (кг + k2)AiA2^äPg _ 0, a, ß _ 1, 2, а _ ß,

уравнения равновесия;

1 диа , 1 дAатт , . w

еаа _ -T--^.--+ -7—7--Uß + I^W,

Aа дда A1A2 ддв ß

1 д W

2ба3 _ --b ^а - каUа,

Aа д да

1 д иг 1 д U2 1 (д Аг д A2 \

2e12 _ А+ AT- aTÄT\sQT"Ut + НОГU2),

1 д^а 1 д Аа

Каа _ Аа дОа + ATAlß, 2Ка3 _ -ка

2 1 дъ +1 д12 1 / дАг + дА2 \

2кг2 _ AT дот + AT дот - ААЛ~дОГ1г + , а _1, 2

— кинематические соотношения;

Ео

(Савeßß + NавKßß) - Рда - Tа,

в=г 2

Маа _ JT Nßeßß + ВаßKßß) - Мда - Mа,

ß=1

Ttt _ 2(C66егт + N^T), Мгт _ 2(^66егт + D^t),

Ча _ Са+3, a+3ea3, a _ ~1, <2,

— определяющие соотношения;

col _ _i__^ л A _i__^ Л Ai

pcdt _ ÄAöiA 1Ai oqi) + AiA2о^к 2A2+

+A (Хз—^ + c r (KidLdM + Kд±др£+

ддД 3 дq3) Cg 4 Äi дqi дqi Ä2 дq2 дq2

dL дРд L\ л 0

+Кз Чг^ - А«0 J,

дq3 дq2

д£л _ A

дt AiA2 дqi\ 1 Ai дql ) + AiA2 дqA 2 A2 дq2 )

/1 / Л 42 д(\ A '

+r,j ¿-и, +rJ, д q, V д q3

Pb^ _ - J, J _ J0Vb exP ^-Rfy , pa _ RaPgL,

pc _ Pb'-Pb cb + Pf iPf cf + Pp'Pp cp + Pg ^^ g cg ,

— уравнения внутреннего тепломассопереноса в оболочке.

Здесь Taa, Taß и Maa, Maß — усилия и моменты в оболочке; Qa — перерезывающие усилия; Pg и Mg — усилие и момент порового давления в оболочке; Pga и Mga — усилие и момент межфазного взаимодействия; eaa, ea3, ei2 — деформации срединной поверхности оболочки; каа, ка3, к12 — искривления срединной поверхности; Ua, Ya и W — перемещения, углы искривления и прогиб срединной поверхности; Aa и ka — параметры первой квадратичной формы и главные кривизны срединной поверхности оболочки [3]; L — температура; Ae0 — теплота терморазложения; pg — давление газообразных продуктов в композите; pe — перепад давлений на оболочке; Pb, Pf, Pp и Pg — плотности полимера, волокна, коксового остатка и газа; pb, Pf, pp и pg — их объемные концентрации соответственно; cb, cf, cp и cg — их теплоемкости соответственно; Rg — газовая постоянная; Ea — энергия активации процесса термодеструкции матрицы; Г — коэффициент газификации; J — массовая скорость термодеструкции; Аь Л2, А3 — коэффи-циенты теплопроводности композита; Ki, K2, K3 — коэффициенты газопроницаемости композита; qi, q2, q3 — ортонормированные координаты оболочки (ось q3 направлена по нормали); Caß, Naß и Daß — мембранные, смешанные и изгибные жесткости оболочки.

На поверхность оболочки q3 _ ±h/2, где h — толщина оболочки, действует локальное лазерное излучение; соответствующее условие теплового баланса на поверхности оболочки для системы (4) имеет вид qx _ q0, где q\ _ ±А3дв/дq3 — тепловой поток, расходуемый

на нагрев оболочки; q0 = (qe + qr — qrs — qu) — суммарный тепловой поток к поверхности; qe = (ат/cp)(cp6g — cs6s) — конвективный тепловой поток; ат — коэффициент теплообмена; 6g и 6s — температуры внешнего газового потока и поверхности композита; qr (qi, q2) — лучистый тепловой поток, подводимый к оболочке за счет локального лазерного нагрева; qrs = £so"SB6f — тепловой поток, отдаваемый газу от нагретой поверхности твердого топлива, ctsb — постоянная Стефана-Больцмана; £s — интегральный коэффициент излучения; qbl = —^ыPgK3(dpg/дq3)(cp6g — cs6s) — конвективный тепловой поток, отводимый от поверхности вследствие вдува продуктов через поры, Yы — коэффициент вдува.

Мембранные, смешанные и изгибные жесткости оболочки Caß, Naß, Daß вследствие размягчения полимерной матрицы и ее термодеструкции изменяются при нагреве. Это изменение для ортотропных композитных оболочек согласно модели из работы [1] описывается с помощью функций ag 1, ag2:

Caß = Caßagi j Naß = Caßagi j Maß = Caßagi j

° (0) Ca+3,a+3 = Ca+3,a+3ag 2 j a = 1j 2j

h/2

agi = J agkq3dq3, k = 1, 2, j = 0, 1, 2; -h/2

здесь Caß, Daß — жесткости при нормальной температуре 6 = 60 = = 293 K. Функции agk = agk (6, <ы) зависят от температуры 6 и концентрации <ы полимера в материале; выражения для них приведены в работе [1].

°°

Усилия и моменты тепловых напряжений Ta, Ma зависят от тепловой деформации £a композита:

3 3 h/2

° ° ° 0) ° ° ° i) ° j) ° j Ta = Caß £ß, Ma = C aß ¿ß, £ß = ag i £ß q3 dq3,

e=i e=i -h/2

'

h/2

° (j) I ° j

£3 = ag2£3q3dq3, j = 0, 1, a = 1, 2, -h/2

где

£y = (af <f В^ + аы<ы^7 )(6 — 60) +

+ ар

здесь af, аь и ар — коэффициенты теплового расширения волокна, полимера и коксового остатка термодеструкции полимера; вр — коэффи-циент усадки; В7, 07 — коэффициенты, зависящие от расположения волокон в композите [1];

Рр = ыо) - м*))- (1 - г).

рр

Усилие Рда и момент Мда межфазного взаимодействия, а также усилие Рд и момент Мд порового давления в оболочке вычисляются следующим образом:

Н/2 Н/2

Рда = / рдМда = / рд ^

-Н/2 -Н/2

Н/2 Н/2

Рд = J Рд Рд ^3, Мд = J Рд Рд ^3^3,

-Н/2 -Н/2

где рд = 1 — рь — рр — Рf; 1а — коэффициент межфазного взаимодействия [1].

Коэффициенты теплопроводности Аа = Аа(в, рр, pf, рд) являются функциями температуры и содержания фаз композита и вычисляются по формулам [1].

Коэффициенты газопроницаемости Ка вычисляются по формуле

Ка = Ка ехр^р«/3), где Ка и 5 — константы.

Вариационная постановка задачи. Вариационная постановка задачи механики (1)-(3) осуществляется с применением принципа типа Хеллингера-Рейсснера и имеет вид (и, е) = 0, где (и, е) — функционал вида

t

здесь

Js

S S

AS = -J {S}{u}dl -J ({T} +{F}){u}dZ

dS S

— суммарная работа внешних сил;

{u} = (Ui, U2, W, Yi, Y2)x,

{e} = (eii, e22, ei2, кп, K22, Ki2, ei3, е23)т,

{T} = (Tu, T22, Ti2, Mii, M22, Mi2, Qi, Q2)X, ° ° ° ° ° °) T

{S } =

— координатные столбцы перемещений, деформаций, усилий и заданных усилий на контуре дБ срединной поверхности;

дP дP dM dM \

m iu 1 g д 1 g а 1 7 TD д 1 g д 1 g \

{F} = ' %, ^,(ki + k2)pg, , iqg),

{T} = (Tii, T22,0, Mii, M22,0,0,0

[V] — обобщенная матрица упругости размерностью 8 х 8, связываю-

о

щая столбцы усилий и деформаций следующим образом: {Т} = [V] {е}. Эта матрица имеет вид

[C ] [N ] 0

где

[C ] =

[V ] = 1 [N] [D] 0 ),

0 0 [K ])

Cii Ci2 0 \ ( Nii Ni2

Ci2 C22 0 ), [N] = ( Ni2 N22

0 0 Cee V 0 0

0 0

Nee,

Dii Di2 0

Di2 D

0 0

[D]=| Di2 D22 0 I, K]= (C« CJ-

Матрица частных производных [L] размерностью 8 x 5 имеет вид

[L] =

Iii li2 ki 0 0

122 k2 0 0

22 — 12i)/2 (1ii — 1i2 )/2 0 0 0

0 0 0 Iii ¿i2

0 0 0 Iii

0 0 0 (I22 — l2i)/2 (Iii — 1i2 )/2

—ki/2 0 hi/2 1/2 0

0— k2/2 ^22/2 0 1/2

т

где и = (1/Аа)(д/дда), а = 1, 2, /12 = (1/А 1А2)(0А1/дд2), /21 = = (1/А 1А2)(дА2/дд1) — дифференциальные операторы. Полагая вариации д{и} и д{е} независимыми, получаем из уравнения (9) две группы вариационных уравнений:

J {е}т[£][ВДи}<£ + 5А1 = 0,

I 5{е}т[Б]

Метод конечного элемента для расчета термонапряжений в композитных оболочках. Решение вариационных уравнений (10) найдем методом конечного элемента на основе треугольного оболочечного шестиузлового конечного элемента (рис. 1) с независимой аппроксимацией перемещений и деформаций в нем:

{и} = [Ф] {V} , {е} = [и] {Ь} ,

где {«} — столбец перемещений в узлах размерностью 30 х 1; {Ь} — столбец деформаций в узлах размерностью 24 х 1, [Ф], — матрицы функций формы размерностями 5 х 30 и 8 х 24. Подставляя решение (16) в систему (14), (15), получаем уравнения для нахождения {«} и {Ь}:

[ОД-1 [С] {V} + {/} = 0, {Ь} = [Н]-1 [С]т {V};

здесь

[G] = у мт [V] [B] dZ, [H] = j [V] [с] dZ,

S S

{f} = - i ({T} + {F})dZ - ! {S}dl, [B] = [Ь][Ф].

S SS

Матрица функций формы [Ф] размерностью 5 х 30 в блочном виде представляется следующим образом:

[Ф] = [Ф

где Ф(г) = ^г[Е]; Е — единичная матрица размерностью 5 х 5; Сг, г = 1, 2,..., 6, — квадратичные функции формы, для представления которых воспользуемся естественными безразмерными (барицентрич-ными) координатами:

Сх = Ь(2Ьг - 1), С2 = Ь2(2Ь2 - 1), Сз = Ы2Ь3 - 1), и = 4ЬгЬ2, Сб = 4Ь2 Ьз, Се = 4ЬзЬг.

Нумерация функций формы соответствует нумерации узлов элемента. Естественные координаты Ьг определяются через координаты 9г, д2 оболочки следующим образом:

Li = 2S(a(i) + b(i)9i + c(i)?2), г = 1, 2, 3;

здесь

а(г) = 9г(2)92(з) - 9г(з)92(2^ ь(г) = 92(2) - 92(3), с(г) = 9г(з) - 9г(2), = ь(г)с(2) - ь(2)с(г); 9Х(г), 92(г), г = 1, 2, 3, — координаты узлов треугольного конечного элемента, выражения для остальных коэффициентов а,(/), Ь(/), С(/) получаются при круговой перестановке индексов, заключенных в круглые скобки.

Матрица функций формы [ш] имеет блочную диагональную структуру:

Ьг 0 0 Ь2 0 0 Ьз 0 0 [ш] = 0 Ьг 0 0 Ь2 0 0 Ьз 0 . (23) 0 0 Ьг 0 0 Ь2 0 0 Ьз

Матрица [В] имеет размерность 8 х 30, и с учетом блочной структуры матрицы функций форм [Ф] ее можно представить в виде [В] =

= [B

6, раз-

., В(6)], где матричные блоки В(г), г = 1, 2, мерностью 8 х 5 определяются соотношением В(г) = [Ь]Ф(г). Подставляя выражение (13) в это соотношение, получаем

B(i) =

Z Zxi 0 0 0 0

0 Z Zyi 0 0 0

Zyi Z Zxi 0 0 0

0 0 0 Z Zxi 0

0 0 0 0 Z Zyi

0 0 0 Z Zyi Z Zxi

0 0 Z Zxi Zi 0

0 0 Zyi 0 Zi

здесь

= 2S(4L - 1), 2

Zx4 = S (b(1)L2 + Ь(2)L1), 2

Zx5 = S (b(2)L3 + Ь(3)L2), 2

Zx6 = S (b(3)L1 + b(1)L3),

= 2s (4Li - 1), 2

Zy4 = S(c(1)L2 + c(2)L1) , 2

Zy5 = S(c(2)L3 + c(3)L2) , 2

Zy6 = S (c(3)L1 + C(1)L3),

г = 1, 2, 3.

Матрица Н размерностью 24 х 24 для выбранного конечного элемента имеет следующий вид:

H=

L1L1 [D] L1L2D] L1L3 [D] L1L2 [D] L2L2 [D] L2L3 [D] L1L3 [D] L2L3 [D] L3L3 [D]

dZ.

Для решения линейных уравнений (17) применялись метод Холец-кого и метод сопряженного градиента.

Метод решения уравнений тепломассопереноса в оболочке. Для

решения системы уравнений тепломассопереноса (4) применим следующий метод. Введем малый параметр в = к/10 ^ 1, где к — толщина оболочки, 10 — характерная длина оболочки, а также введем "быструю" координату £ = д3/в и "медленные" координаты д/ = А°//0, 9з = д3/10, I = 1, 2, где АО — характерные значения коэффициентов первой квадратичной формы координатной поверхности Ах. Рассмотрим далее только такой случай нагрева оболочки, при котором все внешние источники теплоты являются функциями только "медленных" координат да. Таким образом, полагаем, что лучистый тепловой поток дг, обусловленный лазерным нагревом, имеет вид

qr = qr exp

где 6 — эффективный безразмерный радиус пятна нагрева (величина порядка единицы).

Тогда все функции в системе (4) можно рассматривать как функции вида

f

Введем в рассмотрение характерные значения плотности р0, теплоемкости с0, температуры в0, теплопроводности А0, газопроницаемости

К0, скорости тепломассопереноса Т0, а также соответствующие безразмерные величины

—_ ^ - _ рг - _ сг _ _ ^а — _ Ка

_ Т", рг , _г , ^а Т , Ка тт- ,

г0 р0 с0 ^0 К0

т и

- = _ = 90 Ь _ = Ре

Т0 ' ^0#0 ' Р0##0

Тогда систему уравнений тепломассопереноса (4) в безразмерном виде можно представить следующим образом:

т1 Gf (тKi+ TF (тK2+

1A? \ dqi V Ai дqi J Öq? VA dq? / /

( C»qi ( Ai Al öqi) + Öq? ( Ai ^ %>)) +

+Fo + в 2F| Ü f +1 +

d (q dq\ r2 (k1 oe_ßpgß k? dq dp,q

' F Ч A? dqi Ж +

q, K + ff, J,

V / g V A? дqi дqi A? дq2 дq2

_ q dq d^qgq

" дё^ё

0 q

Ръ—^Г = —Fg J,

где A0t0 koRqoio ^ Ae' Fo = -Л7, = -гт-, F g = -, Ft =

o

Р0г Л,2 9 р0 ' С0#0

— безразмерные параметры (критерии).

Граничные и начальные условия, налагаемые на систему (29), в безразмерном виде имеют вид

Ь _ д_ _ _

9з = : тгт = -0, Р9 # = Ре, уз 2 зд£ 0 9

г = 0: рг = рг0, _ = _0, фг = ^¿0.

Рассматриваемый случай, когда решением системы (29) являются функции р9, _ и р, зависящие от —, £ и г, реализуется при следующих условиях, налагаемых на безразмерные параметры:

= 0

где запись 0(1) означает, что величина имеет порядок единицы.

Тогда решение задачи (29), (30) можно найти в виде разложения по малому параметру:

/ = Е /

7=0

Подставляя это разложение в систему (29), (30) и собирая члены при одинаковых степенях х, получим при х = 0 следующую систему:

р(0)с-(0) д—0) = Ро± />) д—0) ) + Р 7-(0)+

Р - д- = дД д£ ) + ^*9 и +

+ р--к (0) д—(0) дР(0)-(0) + ^ -9 К ££ д£ ,

дР—! =

д - г д£ ^ 3 д£ ] 9 ,

д t

1 dt

С = ± 1 t30) = te, pg0) t(0) = Pe.

Рь—^г — —Fa J j

Эта система зависит от координат — только параметрически, поскольку от них зависят функции -е и ре. Для рассматриваемой здесь задачи достаточно ограничиться нулевым приближением, хотя задачи при степенях х2, X4,... имеют подобный вид и решаются так же, как и задачи нулевого приближения.

Для численного решения задачи (33) был применен пошаговый метод с неявной конечно-разностной схемой. Для решения системы линейных алгебраических уравнений был применен метод матричной прогонки. После определения полей температуры -(0)(да, £, концен-траций <рр(да, £, ¿), <р9(да, £, ¿) и плотности р(0)(да, £, ¿) рассчитывалось поровое давление р9 = Др90)!(0) и тепловые деформации композита по формулам (6), (7), усилия и моменты по формуле (8) и изменение жесткостей оболочки при нагреве по формулам (5). Затем определялись перемещения {«} и деформации {е} в конечном элементе.

Расчет усилий, моментов и напряжений в оболочке. Усилия и

о

моменты в оболочке определялись по формуле {Т} = [V]{е} — {Т}. Напряжения аав после этого вычислялись обычным образом: аар = Тар/Н. Для расчета межслойных аа3 и поперечных а33 напряжений в оболочке применялась следующая аппроксимация:

^3 = Фа

£(д3) =1 — д3 п(д3) = 1—(I)2. а=1,2,

гдер+,р- — давления на внешних поверхностях оболочки (р+ — р-=ре). Функции фа, фз определялись из интегральных соотношений оболочки при сдвиге и поперечном растяжении:

фа = 12Са+з, а+3 ва3, ф3 = б

Результаты расчетов. Численные расчеты были проведены для цилиндрической оболочки, для которой индекс а =1 соответствует направлению вдоль оси симметрии, а индекс а = 2 — окружному направлению. Был рассмотрен случай локального лазерного нагрева оболочки, при котором максимальная плотность мощности нагрева составляла Чгшах = 35 кВт/м2. Характеристики композита были выбраны следующими [1]: С11 = С22 = 20ГПа, С 1з = С2з = 2,2ГПа, С44 = 4,2ГПа; а1 = 2  10-6К-1, аъ = 20  10-6К-1, ар = 2  10-6К-1; вр = 0,1; ^ff = 0,5; длина оболочки /0 = 1 м; радиус оболочки Я = 0,2 м; радиус пятна нагрева 0,02 м.

Максимальная температура нагрева составляла 567°С. На рис.2 представлены некоторые результаты расчетов термонапряжений в композитной цилиндрической оболочке в момент времени I = 1 с нагрева. Результаты расчетов показывают, что при сравнительно невысоком уровне лазерного нагрева напряжениями, при которых наиболее возможно разрушение (расслоение) материала, являются межслойные напряжения ст1з, их максимальные значения в зоне пятна нагрева составляют 0,48 МПа. Учитывая, что прочность композита при межслой-ном сдвиге для рассматриваемой температуры составляет примерно 0,5 МПа [1], приходим к выводу, что указанные напряжения будут приводить к расслоению композитной оболочки. Этот вывод согласуется с результатами расчетов из работы [2], проведенных для плоской пластины.

Таким образом, сравнительно невысокие плотности мощности нагрева, при которых не успевают реализоваться процессы уноса, испарения, поверхностной абляции композита, могут приводить к термомеханическому разрушению композитных конструкций из-за их достаточно низкой межслойной прочности при высоких температурах. Значения максимальных сдвиговых напряжений зависят от характеристик композита и геометрии оболочки, их величина может быть оценена с помощью разработанной выше методики.

Выводы. Разработана модель термомеханических процессов в композитных тонкостенных оболочках при высоких температурах с учетом эффектов термодеструкции. Модель учитывает межслойные и поперечные напряжения в оболочке, а также изменение свойств композита при нагреве.

Рис. 2. Распределение напряжений (в МПа) и23 (а), а^ (б), <?1з (в) в композитной оболочке при локальном лазерном нагреве в момент времени t =1 с

Разработан численный метод решения задачи расчета термонапряжений внутреннего тепломассопереноса в композитных термодеструк-тирующих оболочках, основанный на методе конечных элементов для задачи теории оболочек и методе малого параметра в сочетании с пошаговым конечно-разностным методом для системы уравнений внутреннего тепломассопереноса.

Проведены расчеты термонапряжений в цилиндрической композитной оболочке при локальном лазерном нагреве, которые показали, что

из-за достаточно низкой межслойной прочности композитов при высоких температурах даже при сравнительно невысокой плотности мощности нагрева может происходить термомеханическое разрушение композитных конструкций. Значения максимальных сдвиговых напряжений могут быть оценены с помощью разработанной выше методики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Димитриенко Ю. И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. - М.: Машиностроение, 1997.

2. Dimitrienko Yu. I. Thermomechanical behaviour of composites under local intense heating by irradiation // Composites. Part A. - 2000. - V. 31. - P. 591-598.

3. Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. - М.: Высшая школа, 2001.

Статья поступила в редакцию 27.09.2004

Юрий Иванович Димитриенко родился в 1962 г., окончил в 1984г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой "Вычислительная математика и математическая физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана, академик РАИН. Автор более 100 научных работ в области вычислительной механики, нелинейного тензорного анализа, термомеханики, композитов, математического моделирования в материаловедении.

Yu. I. Dimitrienko (b. 1962) graduated from the Lomonosov Moscow State University in 1984. D. Sc. (Phys.-Math.), professor, head of "Computing Mathematics and Mathematical Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University, full member of the Russian Academy of Engineering Sciences. Author of more than 100 publications in the field of computing mechanics, nonlinear tensor analysis, thermal mechanics of composites, mathematical simulation in science of materials.

Валерий Владимирович Минин родился в 1978 г., окончил в 2001 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Ассистент кафедры "Вычислительная математика и математическая физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор ряда научных работ по численным методам теории композитных оболочек.

V.V. Minin (b. 1978) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2001. Assistant of "Computing Mathematics and Mathematical Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of a number of publications in the field of numerical methods in theory of composite shells.

Андрей Сергеевич Корепанов родился в 1979 г., окончил в 2002 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Аспирант кафедры "Вычислительная математика и математическая физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор ряда научных работ по применению метода конечных элементов для решения задач механики.

A.S. Korepanov (b. 1979) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2002. Post-graduate of "Computing Mathematics and Mathematical Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of a number of publications in the field of application of the finite element method for solving problems in mechanics.

ÉÏM