Оценка помехоустойчивости кодового представления двухпризнаковых структурных чисел

УДК 621.327

В.В. БАРАННИК, А.К. ЮДИН

ОЦЕНКА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ КОДОВОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДВУХПРИЗНАКОВЫХ СТРУКТУРНЫХ ЧИСЕЛ

Излагается методика оценки помехоустойчивости кодовых комбинаций сжатого представления двухпризнаковых структурных чисел. Проводится сравнительная оценка достоверности информации на приемной стороне в случае передачи исходных данных в несжатом виде и передачи кодов структурных чисел в двоичном полиадическом пространстве.

1. Введение

В работах [1, 2] излагаются методы сжатия и восстановления структурных чисел, без внесения погрешности. В то же время при передаче кодовых слов по каналу связи могут возникнуть ошибки. Это приведет к нарушению взаимооднозначности процесса восстановления и как следствие - к возникновению искажений в восстановленных данных [3 - 6]. При этом для различных методов сжатия действие ошибок в канале связи на степень искажения восстановленных данных проявляется по-разному [3 - 6]. Кодовые комбинации, формируемые методами сжатия на основе исключения статистической избыточности и выявления серий одинаковых элементов, характеризуются относительно низкой помехоустойчивостью к ошибкам в канале связи. Это проявляется в том, что ошибка в одном коде приводит к распространению искажений в процессе декодирования остальных кодовых комбинаций. Поэтому для обеспечения конкурентоспособности структурное представление данных должно обладать не только свойством взаимно-однозначного восстановления, но и помехоустойчивыми свойствами к ошибкам в канале связи. Цель исследования заключается в оценке помехоустойчивости двухпризнаковых структурных кодовых конструкций к ошибкам в канале связи. Однако методика оценки помехоустойчивости кодового представления структурных чисел является слабо исследованным направлением. Поэтому задача состоит в разработке методики оценки помехоустойчивости кодовых конструкций структурных чисел, содержащих информацию об абсолютном значении физической характеристики.

2. Методика оценки помехоустойчивости кодового представления

структурных чисел к ошибкам в канале связи

Метод структурного восстановления позволяет без искажений получить исходный фрагмент изображения. Однако в случае передачи кодовых комбинаций сжатых данных по каналу связи с ошибками могут возникнуть искажения, влияющие на достоверность восстанавливаемой информации. Значит, для достоверного получения информации структурное компактное представление данных должно обладать не только свойством взаимнооднозначного восстановления, но и быть помехоустойчивым к ошибкам в канале связи. Рассмотрим помехоустойчивую способность двухпризнаковых структурных кодов

N (т, Л, ©(х)) j в случае их передачи по каналу связи с ошибками. В процессе двухпризна-кового структурного кодирования двоичных данных в полиадическом пространстве для двоичной последовательности

А.^ ©

элементы которой удовлетворяют системе ограничений [2]:

0 < а^ < ^,1=1т; 9 = £-х);= -^,7 = Гг,

2 = 1

формируется код-номер N (т, Л, ©(х))^ При этом в канал связи в случае отсутствия помехоустойчивого кодирования передается двоичное кодовое представление

N (т, Л, ©(х))2° кода-номера N (т, Л, ©(х))^

N

Поскольку на передачу кода-номера N (т, Л, ©(х)) ] отводится заранее выделенное количество разрядов L , то в общем случае выполняется неравенство N (т,Л, ©(х))(-') < L , т.е. старшие разряды кодового слова AL могут быть не значимыми (равными нулю, рис. 1).

L

0 ^- 0 -* N (т, Л, ©(х)^

Рис. 1. Схема кодового слова AL , содержащего значение кода-номера N (т, Л, ©(х)) ] В соответствии со схемой распределения разрядов кодового слова AL (см.рис. 1) в нем может передаваться значение N L :

2+N(т Л ©(х))(')-1 N(т Л ©(х))!-')-1

NL = £

L 2 +N (т, Л, ©^^ N (т, Л,©(х))(-1) 1Д '

где £^ - значение -го разряда кодового слова AL, ^ = 1, 7; 2 - количество старших

\(Х >2

незначимых разрядов 2 = L - N(т,Л,©(х))(-').

При этом N L может принимать следующие значения:

п. ^

В случае передачи кода-номера N(т,Л,©(х))] выполняются условия: £0 для

0 < N7 < 2L - 1.

^ = N(т,Л,©(х))(-') +1, 2, а N7 = N(т,Л,©(х))] . При передаче данных по каналу связи

могут возникнуть ошибки. Тогда будет принято кодовое слово А7, отличающееся от исходного кодового слова А7 значениями одного или более разрядов:

V= П

где V (А7) - количество искаженных разрядов, равных количеству разрядов п (£^ Ф £* ), которыми отличаются исходное А7 и принятое А7 кодовые слова.

В общем случае величина V (А7) изменяется в следующих пределах: 0 < V (А7) < 7.

Если V (А7) > 1, то полученное на приемной стороне значение кода-номера N (т, Л, ©(х))*

не будет равно исходному значению кода-номера N (т, Л, ©(х)) j:

N(т,Л,©(х))' Ф N(т,Л,©(х)^. Тогда величина искажения значения кода-номера двухпризнакового структурного числа

определяется значением ошибки е(т, Л, ©(х)) j, равной абсолютному значению разности между величинами N (т, Л, ©(х))* и N (т, Л, ©(х)^:

е

Значение кода-номера N (т, Л, ©(х) ) j формируется для двоичного числа А(т, ©(х)):, следовательно, если е(т, Л, ©(х)) j > 1, то после проведения двухпризнакового структурного декодирования восстанавливается число А(т, ©(х))*, которое может отличаться от исходной последовательности значениями двоичных элементов. Количество V двоичных 34

элементов, восстановленных с ошибкой, равно количеству двоичных элементов, для которых выполняется неравенство а^ Ф а1 = 1,т, где alj,a- 1-е элементы соответственно для исходной и восстановленной двоичных последовательностей. Поскольку длина двухпризнакового структурного числа равна т , то количество элементов V , которыми

отличаются исходная А(т, ©(х)^ и восстановленная А(т, ©(х))* двоичные последовательности, изменяется в пределах 0 < V < т .

Проведем оценку помехоустойчивых способностей двухпризнаковых структурных кодовых конструкций в двоичном полиадическом пространстве к ошибкам в канале связи.

Для этого требуется оценить влияние количества V (AL) и расположения ошибок, возникших в кодовом слове AL при его передаче по каналу связи (записи/считывания с ВЗУ), на обнаруживающие, самокорректирующие и перераспределяющие возможности двухпризна-ковых структурных кодов без использования корректирующих разрядов.

В общем случае ошибки в кодовом слове AL могут произойти как в незначимых, так и в значимых разрядах. Незначимыми являются g старших разрядов кода AL . Рассмотрим вариант, когда ошибки возникли в незначимых разрядах кодового слова AL . Тогда на приемной стороне будет принят код А^^^, содержащий значение ^, причем в соответствии с выражением (4) для произвольного количества ошибок в незначимых разрядах выполняется неравенство

N

В тоже время значение кода-номера ограничено сверху величиной V (т, Л, ©(х)) [2]:

^т,Л,©

^ 7=1

где V (т, Л, ©(х)) - количество двоичных последовательностей, удовлетворяющих системе ограничений (2); -Ъх) - значение числа серий единиц для ъ -й допустимой зоны двоичной последовательности; ©(х) - вектор, элементами которого являются значения ограничений на число серий единиц в допустимых зонах ©(х) ={9(х),...,9Ъх),..., } ; Ъ -количество допустимых зон в двоичной последовательности; т2 - количество двоичных элементов в ъ -й допустимой зоне.

Из сравнения неравенств (8) и (9) вытекает, что если выполняется условие

V

то в старших, незначимых разрядах кода AL произошли ошибки.

При этом в соответствии с формулой (3) существует возможность обнаружить любое количество таких ошибок в старших разрядах, для которых выполняется условие

£ 1=1, для N

Поэтому любое количество ошибок в старших разрядах, для которых выполняется условие (11), может быть исправлено путем их обнуления.

Учитывая, что L < т, для случая искажения незначимых разрядов двухпризнаковое структурное представление обладает большей помехоустойчивостью по сравнению с передачей по каналу связит двоичных разрядов в несжатом виде.

Рассмотрим вариант, когда ошибки произошли в значимых разрядах кодового слова

AL . В этом случае на приемной стороне будет принят код-номер N(т,Л,©(х))*, для которого выполняются условия:

N

Поскольку двухпризнаковое структурное представление является взаимно-однозначным, то будет восстановлена двоичная последовательность А(т,©(х))*, для которой

V > 1, т.е. найдется хотя бы один двоичный элемент, которым будут отличаться исходная и принятая двоичные последовательности. Рассмотрим случай, когда интерес представляет абсолютное значение, которое представляется в двоичном виде последовательностью

А(т, ©(х) ^ . Важность рассмотрения абсолютного значения возникает, например, в случае обработки на двоичном уровне элементов исходных изображений, аудиоданных, компонент ортогональных преобразований, промежуточных результатов архиваторов. В этом случае конечным этапом восстановления данных являются не отдельные элементы двоичной последовательности, а число N т, которое оно представляет как

^ = ат 2т-1 + ... + а, 21 -1 + ... + а120,

где а; - значение 1-го разряда числа Nт, 1 = 1, т .

Из анализа выражения (13) следует, что значение числа Nт может изменяться в пределах

0 < Nт < 2т-1,

т.е. максимальная абсолютная разность в между исходным N т и восстановленным N^^7 числами будет равна

в =

N - N

х " т х ~ и

< 2т-1

Например, если т = 8 (обработка элементов изображений), то 0 < Nт < 255 . Значит, для данного варианта проявления ошибки канала связи обоснование помехоустойчивости двухпризнаковых структурных кодов сводится к определению возможности локализовать

А(т, ©(х)^ в двоичном полиадическом пространстве (рис. 2).

г

т7

т 7

а

1,тЫ

0 . . . 0

а

0 . . . 0

а

1,т 7О

Рис. 2. Структура числа А(т, ©(х)):

На рис. 2 запрещенные зоны числа А(т, ©(х)^, т.е. позиции, запрещающие появление единичных элементов, показаны в виде затемненных зон. Поскольку по определению на возможные значения элементов числа А(т, ©(х)^ накладываются ограничения, заданные системой (2), то не все значения числа Nm на интервале (14) являются допустимыми. Количество О (Nm) возможных значений числа Nm определяется по соотношению

О(= У(т,Л, ©(х)) = 2т - £ У(т,—) - ( У(т,Эj) - У(т,Л, -))-

5=0 5Ф j

£ П V(эzkj), ©(к)) = 2т - £

[т+1]

(т +1)!

(т +1)!

к=1 !=1 к Ф х

К 7

+ £ П

5=0 (2—)! (т +1-2—)! (2Эj)! (т + 1-2Э

5Ф j

+

(mzj +1)!

К 7

- £ П

(mzj +1)!

к=1 !=1 (2-?)! (mzj +1-2-!к))! к=1 !=1 (2-?)! (mzj +1- 2^)!

к Ф х -1 -1

где X V(m, 9^) - суммарное количество двоичных комбинаций, содержащих число

5=0 j

серий 9^ , такое что ^ 9j, 0 < 9^ < [m+~ ]. Данное количество комбинаций исключается за счет наложения ограничения на число серий единиц

9 = 9j;

- суммарное количество двоичных комбинаций, у которых на запрещенных позициях стоят единичные элементы. Такое количество комбинаций исключается за счет наложения

K Z

полиадических ограничений в двоичном пространстве; X П V(9Zk), ©(k)) - количество

k=l z=1 k * x

последовательностей, у которых комбинация ©(k) числа серий единиц не совпадает с заданной комбинацией

©00;

9Z - значение числа серий для z -й допустимой зоны двоичной последовательности A ; ©(k) - вектор, элементами которого является k-я комбинация количеств серий единиц9Zk) в допустимых зонах ©(k) = {9(k),...,9Zk),...,9Zk)}, k = 1, K ; Z - количество допустимых зон в двоичной последовательности; K - количество векторов ©(k) (количество комбинаций длиной Z, составленных из элементов 9Zk); mz -

количество двоичных элементов в z -й допустимой зоне; V(9Zk), ©(k)) - количество допустимых двоичных последовательностей, полученных для z -й допустимой зоны по

количеству серий единиц, равному 9Zk) для вектора ©(k).

За счет уменьшения количества допустимых комбинаций интервал возможных значений величины Nm сузится:

N*  < N* < N* ,

^min — — A,max ' v '

где Nmin , Nmax - соответственно минимальное и максимальное значения, которые принимает величина Nm.

Для определения величин Nmin и Nmax, получаемых в результате восстановления двухпризнаковых структурных чисел в двоичном полиадическом пространстве, сформулируем и докажем следующую теорему.

Теорема о границах отклонения кода-номера. Для любого количества ошибок, возникших в двухпризнаковой структурной кодовой конструкции при ее передаче по

каналу связи, величина Nm отклонения кода-номера находится в следующих границах:

X N

%=0 %=0

где N (m, 9^ )min, N (m, 9^ )max - значение кода-номера с учетом ограничения на число

серий, равного 9^, соответственно для начальной и конечной двоичной последовательности множества двухпризнаковых структурных чисел в двоичном полиадическом пространстве.

Доказательство. По определению возможные значения величины Nm принадлежат множеству ^ (©(x)) двухпризнаковых структурных чисел в полиадическом пространстве.

Поэтому значение N формируется как количество двоичных комбинаций, не удовлетворяющих ограничениям (2) и предшествующих начальной двоичной последовательности множества ^ (©(х)) . Значит, предшествующие комбинации должны иметь меньший лексикографический номер по сравнению с начальной последовательностью множества ^ (©(х)) и удовлетворять одному из ограничений: число серий единиц равно 9^, где

^ 9j, 0 < 9^ < [—^— ]; для числа серий единиц, равного 9j, должны допускать появления единиц на запретных зонах для 9j и Л , но у которых комбинация ©(к) числа серий единиц не совпадает с заданной комбинацией ©(х) . При этом все множество предшествующих комбинаций разделяется на три взаимно непересекающихся подмножества. Тогда величина Nбудет равна [—+1 ]

2 — К

N—ш = £ N(—,9^)—ш + N(—,Л, 9j)—m + £ N(9« ©(к))—ш |=0 к=1 j кФх

где £ N (—, 9^ )—in - суммарное количество двоичных последовательностей с числом

%=0 5Ф j

серий 9^ , где 9^ Ф 9j, 0 < 9^ < [—2~~ ], которые предшествуют начальной последовательности множества ^ (©(х)); N (т, Л, 9j)—in - количество двоичных последовательностей с числом серий 9j, допускающих появление единиц на запретных зонах и предшеству-

К

ющих начальной последовательности множества ^(©(х)); £ N(9^^, ©(к))—щ - коли-

к=1

к Ф х

чество двоичных последовательностей с числом серий 9j, удовлетворяющих вектору ограничений Л , но у которых комбинация

©(к) числа серий единиц не совпадает с

заданной комбинацией ©(х).

К

Поскольку сумма величин N(т,Л, 9j)min и £ N(9^к), ©(k))min равна N(т,9:)тЬ,

к=1

к Ф х

то последнее выражение примет вид N—¡п = £ N (т, 9j )тЬ .

^=0

Значит, доказана левая часть неравенства (18). Значение Nmax формируется как количество двоичных комбинаций, не удовлетворяющих ограничениям (2) и имеющих больший лексикографический номер по сравнению с конечной двоичной последовательностью множества ^ (©(х)) . Значит, величина N—ах будет равна разности между суммарным количеством двоичных последовательностей длиной — элементов, на которые не наложены никакие ограничения, и количеством комбинаций, предшествующих конечной последова-

+1,

тельности множества ^ (©(х)) : ^ах = 2— - £ N(—,9^)—ах .

%=0

Следовательно, доказана правая часть неравенства (18). Теорема доказана. На основе доказанной теоремы вытекает следствие.

Следствие о границах локализации влияния ошибки канала связи. Для любого количества ошибок, возникших в двухпризнаковой структурной кодовой конструкции при ее

передаче по каналу связи, для абсолютной величины в отклонения от исходного значения N т выполняется неравенство

С] [т+1] [тт+1]

в< ^ (т, -^)тах - ZN (т, - )т1П = Е ((т, ^^х - N (т, ) =

5=0 5=0 5=0

[—]

2 т

= Е Е

5=0 1=1

Доказательство. По определению величина в равна в = N^7 - N т . При этом поскольку числа Nт и ^ принадлежат множеству ^ (©(х)), то для них выполняется неравенство (18). Следовательно, верхней границей величины в будет правая часть неравенства (19). Например, для двоичных последовательностей т = 8, Э = 4,X2 =1 и X4 =1 получаем ^1п =165, ^ах =173, следовательно, в< 173-165 = 8.

Из анализа соотношения (19) вытекает, что величина в зависит от разности между лексикографическими номерами начальной и конечной последовательностей множества ^ (©(х)) . В случае передачи двоичных данных в несжатом виде величина отклонения в0 будет ограничена сверху значением 2т -1: в0 < 2т -1. Отсюда следует неравенство

в < в0 .

При этом согласно выражению (19) разница между величинами в0 ив будет тем больше, чем:

- меньше количество допустимых последовательностей, т.е.

в0 -в — 2т-1 при

- больше число серий единиц -j в обрабатываемой последовательности А(т, ©(х)^.Это объясняется тем, что, с одной стороны, N1^ >> 0, так как для составления начальной последовательности множества ^(©(х)) потребуется как минимум ([т +1 /2]) единичных элементов. Это приводит к увеличению лексикографического номера начальной последовательности множества ^ (©(х)) . С другой стороны, N1^ << 2т -1, так как для составления конечной последовательности потребуется как минимум ([т +1 /2] -1) нулевых элементов. Это приводит к уменьшению лексикографического номера конечной последовательности множества ^ (©(х)):

в0 - в —^ 2т-1 при -—

Таким образом, свойство локализации влияния ошибки канала связи при декодировании двухпризнаковых структурных кодовых комбинаций проявляется в ограничении снизу и сверху возможных значений отклонения в восстановленного числа Nm от исходного Nт, что задается неравенствами (19) и (20).

Оценим выигрыш по минимальному значению отношения сигнал/шум (ОСШ) для случая передачи по каналу связи кодов-номеров двухпризнаковых структурных чисел по сравнению с передачей по каналу связи исходных двоичных последовательностей. В

первом случае значение ОСШ hm1n равно

[П21]

hmin = 20^2т/ ЕЕ

5=0

а ОСШ во втором случае равно

= 20 2т/ в 0 ).

Учитывая выражения (23) и (24), получаем

[П21]

hmin - him?n = 20 fg

^=0

Согласно соотношению (20) будет выполняться неравенство hmin - h^ > 0 .

Значит, благодаря свойству локализации ошибки двухпризнаковые структурные коды обладают большими помехоустойчивыми возможностями по сравнению с передачей несжатых данных в случае, когда результатом восстановления являются числовые значения.

Степень локализации величины в отклонения восстановленного числа Nm от исходного Nm числа прямо пропорциональна объему множества ^ (0(x)) (соотношение (21)). Поэтому необходимо оценить помехоустойчивые характеристики двухпризнаковых структурных кодов в предельных случаях, когда V(m, Л, ©(x)) = 1. Для начала определим условия, при которых объем множества ^ (0(x)) равен единице. Исходя из ограничений, заданных системой (2), объем множества двухпризнаковых структурных чисел будет равен 1 в таких случаях:

1) для произвольных значений компонент вектора полиадических ограничений Л числа серий равны 9j = 0 или — j = [(m + 1)/ 2 ] для нечетного значения длины двоичной последовательности m . Это объясняется тем, что для данных значений числа серий существует только одна допустимая двоичная последовательность;

2) когда компоненты вектора Л полиадических ограничений разбивают исходную двоичную последовательность по запретным зонам так, что компоненты вектора © ограничений на число серий в допустимых зонах принимают значения —zj = 0 или —zj = [(mz +1)/2] для нечетного m .

Обобщив указанные условия, получим

Л = { A-ij =1}i=1m , — j = 0 ; — j = [(m+1)/2] для нечетного m ;

Л = { Aij }i=1~m так, что —z j = 0 ; —zj = [

Для случаев, заданных системой (26), V(m,Л, ©(x)) = 1 и Nm = Nm , следовательно,

в = 0. Значит, происходит самокоррекция ошибок, возникших в канале связи. За счет самокоррекции достигается восстановление исходного числа без погрешностей.

3. Выводы

1. Впервые разработана методика оценки помехоустойчивости кодовых конструкций структурных чисел, содержащих информации об абсолютном значении физической характеристики (видеоданные, аудиоданные, текстовая информация, речь).

Научная новизна результатов исследований состоит в том, что созданная методика учитывает особенности формирования кодовых слов и процесса декодирования двухпризнаковых структурных кодовых комбинаций. Данная методика позволяет оценить возможности структурных кодовых конструкций по локализации влияния ошибок, произошедших в кодовых словах при их передаче по каналу связи, и включает в себя:

- систему аналитических выражений для определения границ возможного отклонения значения кода-номера структурных чисел. Доказано, что величина отклонения кода-номера будет меньшей по сравнению с возможным отклонением номера несжатых данных. Данная особенность лежит в основе локализирующих свойств двухпризна-ковых кодовых комбинаций. Свойство локализации влияния ошибки канала связи при декодировании двухпризнаковых структурных кодовых комбинаций проявляется в ограничении снизу и сверху возможных значений величины отклонения восстановленного числа от исходного;

- доказательство того, что обеспечивается выигрыш по минимальному значению отношения сигнал/шум для случая передачи по каналу связи кодов-номеров двухприз-наковых структурных чисел по сравнению с передачей по каналу связи исходных двоичных последовательностей. Следовательно, за счет свойства локализации ошибки

двухпризнаковые структурные коды обладают большими помехоустойчивыми возможностями по сравнению с передачей несжатых данных в случае, когда результатом восстановления являются числовые значения. При этом степень локализации величины отклонения восстановленного числа от исходного прямо пропорциональна объему допустимого множества двухпризнаковых кодовых конструкций. Отсюда следует, что степень локализации величины отклонения зависит от ограничений на число серий единиц в допустимых зонах и от полиадических ограничений;

- систему аналитических выражений, определяющих условия, когда независимо от количества и расположения ошибок в кодовых словах всегда будет выполняться равенство между исходным и восстановленным значениями кода-номера. Значит, происходит самокоррекция ошибок, возникших в канале связи. За счет самокоррекции достигается восстановление исходного числа без погрешностей;

- доказательство свойства структурных чисел по обнаружению и исправлению ошибок, возникших в незначимых разрядах кодовых слов при их передаче по каналу связи.

2. Практическая значимость результатов исследований заключается в том, что проведенная оценка помехоустойчивости выявила, что для вероятности ошибки одного разряда, не превышающей 10 4, кодовые конструкции двухпризнаковых структурных чисел допускается передавать по каналу связи без внесения дополнительных корректирующих разрядов (без снижения степени сжатия). За счет свойства самокоррекции ошибок большой степени кратности допускается использование меньшего количества корректирующих разрядов.

Список литература: 1. Баранник В.В., Юдин А.К. Двухпризнаковое структурное кодирование массивов двоичных данных // АСУ и приборы автоматики. 2005. №2 133. С. 33 - 43. 2. Баранник В.В., Юдин А.К. Метод восстановления двухпризнаковых двоичных чисел в полиадическом пространстве // Радюелектронш та комп'ютерш системи. 2006. №»4. С. 22 - 25. 3. Свириденко В.А. Анализ систем со сжатием данных. М.: Связь, 1977. 184 с. 4. Орищенко В.И., Сонников В.Г., Свириденко В.А. Сжатие данных в системах сбора и передачи информации. М.: Радио и связь, 1985. 184 с. 5. Королев А.В., Баранник В.В. Помехоустойчивость полиадических кодов трансформант ДКП к ошибкам в канале связи // Системи обробки шформацд. Харшв: ХФВ "Транспорт Украши". 2000. Вип. 4(10). С. 99- 103. 6. Бернард С. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд. 2-е, испр.: Пер.с англ. М.: Издательский дом "Вильямс", 2003. 1104 с.

Поступила в редколлегию 05.12.2006 Баранник Владимир Викторович, канд. техн. наук, старший научный сотрудник ХУПС. Научные интересы: обработка и передача информации. Адрес: Украина, 61023, Харьков, ул. Сумская, 77/79, тел. 341-22-87.

Юдин Александр Константинович, канд. техн. наук, доцент Национального авиационного университета. Научные интересы: обработка и передача информации. Адрес: Украина, Киев. тел. 8-044-276-58-01.

УДК 519.174.1/.2

А.В. ВЕЧУР, Е.Б. СУЯРГУЛОВА

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПОЛОЖЕНИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ ЦИКЛОВ В ГРАФЕ

Формулируется и доказывается теорема об одной из закономерностей расположения гамильтонова цикла в графе. Вводятся и определяются понятия фрагментного подграфа, фрагментного и собирающего множеств подцепей, а также участков фрагментной и собирательной избыточности гамильтонова цикла. Доказывается, что если граф содержит гамильтонов цикл, то для него разность между мощностью произвольного разделяющего множества и количеством соответствующих этому множеству фрагментных подграфов равна суммарному количеству участков собирательной и фрагментной избыточности цикла. Приводится пример использования выявленной закономерности. Описывается возможное направление дальнейшего использования этой закономерности для улучшения алгоритмов поиска гамильтоновых циклов.