Динамика ребристой пластины под действием подвижной нагрузки

УДК 539.9

ДИНАМИКА РЕБРИСТОЙ ПЛАСТИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ

ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

Б. А. Антуфьев, О.В. Егорова, Е.Л. Кузнецова

В квазистатической постановке решена задача о динамическом поведении тонкой упругой дискретно подкрепленной системой ребер жесткости пластины, по поверхности которой движется бесконечная погонная распределенная нагрузка. Определены критические скорости ее движения. Рассмотрены примеры.

Ключевые слова: тонкая пластина, дискретное расположение ребер, бесконечная подвижная нагрузка, квазистатическое решение, критические скорости.

Ребристые пластины - один из основных конструктивных элементов тонкостенных систем авиационной, ракетной и иных образцов техники, находящейся под действием подвижной нагрузки. Вследствие этого задачи о действии движущихся нагрузок на ребристые пластины имеют вполне определенные технические приложения. Обзор работ по этой тематике приведен в [1, 4], но там рассмотрены соответствующие задачи в основном для гладких пластин. Пластины ребристые, а тем более с учетом дискретности расположения ребер в них не рассматривались. В предлагаемой работе в квазистатической и динамической постановках решена задача о динамическом поведении пластин при учете именно дискретного расположения ребер жесткости (стрингеров).

Рассмотрим тонкую упругую пластину прямоугольной формы в плане, отнесенную к декартовой системе координат 0ху1. По ее поверхности в направлении оси х с постоянной скоростью V движется бесконечная равномерно распределенная по площади пластины инерционная нагрузка интенсивности р, условно показанная в виде распределенных сил по линии, перпендикулярной оси х (рис. 1).

р

Рис. 1. Условная схема инерционной нагрузки интенсивности

344

На этом же рисунке пунктирными линиями, параллельными оси х, также условно показаны подкрепляющие ее стрингеры. В дальнейшем движение пластины определяется в основном динамическим действием сил инерции нагрузки, а масса конструкции существенной роли не играет [2]. Для гладкой пластины решаем задачу в квазистатической и в динамической постановках с целью выбора оптимального варианта исследования динамического поведения уже ребристой пластины.

Считаем, что пластина под действием подвижной нагрузки находится в квазистатическом режиме, которому соответствует неизменная во времени t ее изогнутая поверхность ^(х,у). Одновременно она является и поверхностью движения элементов нагрузки, которые за время t проходят расстояние х = Vt. Вследствие кривизны изогнутой поверхности пластины действующая на нее сила определяется суммой веса погонной нагрузки р и

силы ее инерции (р / g) -Э2w / Эt2. Без учета собственного веса пластины интенсивность полной погонной нагрузки с учетом соотношения х = Vt составит

р Э2 р 2 Э2 w

2!

р= р(1) g Эt g Эх

где g - гравитационное ускорение. Тогда уравнение изгиба пластины в квазистатическом режиме принимает вид

DV2У2w = р - ^2 ^.

g Эх

Здесь Б = ЕН3 /(1 - V2) - цилиндрическая жесткость пластины, а к, Е и V -толщина, модуль упругости и коэффициент Пуассона ее материала соответственно; V2- оператор Лапласа.

Для решения дифференциального уравнения в частных производных (2) используем метод Бубнова, в соответствии с которым представим прогиб пластины w в виде разложения

К Ь

w = ЕЕ ^>тпФтп

т п

Здесь wmn - неизвестные коэффициенты; фтп (х, у) - ортогональные формы собственных колебаний пластины.

После применения процедуры метода Бубнова дифференциальное уравнение (2) переходит в систему К х Ь линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов wmn. Однако в силу ортогональности собственных форм колебаний фтп (х, у) эта система распадается на отдельные, не связанные друг с другом уравнения для каждой пары значений т и п. Решение каждого из них имеет вид

345

РI Фтпп^

S —,

wmn 2

^|V2У2фmn фmndS + ^2 I^^фmndS Б g S Эх2

где Я - площадь пластины.

При стремлении знаменателя формулы (4) к нулю прогиб пластины неограниченно возрастает. Из этого условия можно определить квадрат критической скорости движения нагрузки по форме т х п

^|V^2фтп Фтп^

V2Kpmn = - ^^----

РI ФmndS

Я Эх

При проведении конкретных вычислений интеграл в знаменателе формулы (5) будет отрицательным и поэтому V станет положительным.

При решении задачи в динамической постановке считаем, что изогнутая поверхность пластины под действием подвижной нагрузки интенсивности р изменяется не только по пространственным координатам х и у, но и во времени В этом случае проекция скорости элемента равномерно движущейся нагрузки р на вертикальную ось пластины будет равна уже полной производной, и вертикальное ускорение этого элемента с учетом соотношения х = VI составит

d2w d ,Эм т,Эж Э2м , Э2w Тг2 Э2м

—1Т- = — (— + V—) = —^ + 2У-+ V —-

dt2 dt Э? Эх Эt Э?Эх Эх

Второе слагаемое в выражении (6), содержащее смешанную производную, соответствует ускорению Кориолиса, и им при решении практических задач обычно пренебрегают [2]. Тогда уравнение движения пластины под действием гравитационной и инерционной составляющих нагрузки будет

2 2

DV2V2w = р -Р

g Э?2 Эх2

Для его приближенного решения также применим метод Бубнова, в соответствии с которым представим прогиб пластины в виде разложения

К Ь

м = ЕЕ мтп )Фтп

т п

где мтп (?) - неизвестные функции времени; фтп (х, у) - формы собственных колебаний пластины.

Подставляя разложение (8) в уравнение (7) и применяя к последнему процедуру метода Бубнова, сведем его к системе К х Ь дифференциальных уравнений второго порядка, но уже в обычных производных. Однако

вследствие ортогональности собственных форм колебаний пластины jmn (x, у) она распадается на отдельные для каждой пары m и n не связанные между собой дифференциальные уравнения вида

wmn + wlnnwmn = fmn

где точками над функцией w обозначены ее производные по времени, а

wmn - квадрат частоты собственных колебаний пластины по форме m х n. Коэффициенты, входящие в уравнение (9), имеют вид

D j V 2V 2j mn jmndS + V 2 ^ j 3-jmnn jmndS

win = ^-p 2 gS dx-,

_ j jmndS g S mn

g j jmndS

f = s

mn

I Фmп^ S

Типовое уравнение (9) при заданных начальных условиях имеет решение в замкнутой форме. Для определения критической скорости движения нагрузки используем динамический критерий устойчивости, в соответствии с которым в критическом состоянии собственные частоты колебаний системы обращаются в нуль ( ытп = 0). Из этого условия и определим квадрат критической скорости движения нагрузки по форме m х п . Он полностью совпадает с формулой (5), полученной в предположении квазистатического деформирования пластины. Поэтому в дальнейшем при решении задач о движении нагрузки по дискретно подкрепленным пластинам будем использовать более простой квазистатический подход.

Пусть пластина дискретно подкреплена системой упругих стрингеров. При решении задачи считаем, что нейтральная линия этих ребер лежит в срединной поверхности пластины. Поэтому их можно рассматривать как одномерные упругие включения. Для решения задачи мысленно отделяем стрингеры от пластины и заменяем их воздействие распределенной вдоль линий контакта тел у = уг- в срединной поверхности пластины реакциями взаимодействия qi (x), направленными вдоль оси г. Так как жесткость пластины в тангенциальных направлениях х и у значительно больше, чем в направлении нормали к ее поверхности, то касательными реакциями контакта в дальнейшем пренебрегаем. Тогда в предположении квазистатического характера деформирования пластины уравнение ее изгиба принимает вид

Э2^ с

DV2V2w = p - PV2 -Zqrd

347

g dx2 i

где С - количество ребер жесткости, а дельта-функции Дирака д

определяют координаты расположения стрингеров по оси у.

Каждый из стрингеров отнесен к прямоугольной системе координат 0x1 (см. рис. 1). Уравнения их равновесия в проекции на ось г имеют вид

ЕЗг

d 4

г _

dx

= дг. (г = 1,2, ...,С).

Здесь EJi и 21 - их изгибная жесткость и прогибы соответственно. Массой самого стрингера, как и инерцией его движения, по аналогии с пластиной пренебрегаем.

На каждой из линий контакта выполняется условие равенства прогибов обоих тел w( х, уг) = 2{, но при этом считаем, что деформированные состояния, вызванные соседними контактными реакциями, не интерферируют между собой. Тогда подставляя реакцию контакта д1 из (12) в уравнение (11), получим разрешающее уравнение задачи в виде

-\2 С

2у 2w + V2 — + X 5

ё Ох г Ох

Оно является уравнением в частных производных с разрывными коэффициентами в направлении оси у, что связано с наличием в последнем слагаемом его левой части дельта-функций Дирака. Для его решения используем метод Бубнова, в соответствии с которым представим прогиб пластины w также в виде разложения (3). Применяя к уравнению (13) процедуру метода Бубнова, сведем его к связанной системе К х Ь линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов wmn в разложении (3). В матричной форме записи она имеет вид

[К ]-V 2 [м ]{ж } = {Р },

где

К =

к

Ы

тп

М =

т

к

тп

г = ^Ы}, Р = {/к1}.

Размерность матриц жесткости К, инерции М и векторов Ж, Р определяется числом членов ряда, сохраненных в разложении (3). Элементы матриц К, М и вектора Р имеют вид

О 4

0 Фтп

т = ЯIV2 V2фтп  Фк№ + X EJi | 5(у - уг)-

22

С

8

г=1

тМ = Р

1Птп

0 2ф 0 фтп

Ох

2

фМЖ

8

1к1

Ох4

Ф к^,

РI Фк1^. 8

Матрица К имеет блочно-диагональный характер, что связано с наличием разрыва в ее коэффициентах только по оси у. В каждом из блоков ее первое слагаемое диагонально. При решении системы уравнений

при изменении скоростей нагрузки V прогибы пластины будут также изменяться. Если они при некоторых значениях V начинают резко возрастать, то это означает, что приближаемся к критическому режиму.

Примеры. В качестве первого примера рассмотрим шарнирно опертую по всем краям гладкую пластину. Тогда функцию jmn (x, y) в разложениях (3) и (8) принимаем в виде

jmn

l 2a

Подставляя (17) в формулу (5) и проводя необходимые вычисления, для наиболее простой формы потери устойчивости c волновыми числами m=n=1 получим минимальное значение критической скорости

Vh = D-2.

Pl2

С учетом этого после ряда преобразований квазидинамические прогибы центра пластины (х = у = 0) на основании формулы (4) можно также представить в виде

1

w = Wct

1 - V 2/ V2

KP

^СТ = г 2 К2-,

К

где Укр - квадрат критической скорости подвижной нагрузки, определяемый по формулам (4) или (18); wСТ - статический прогиб центра пластины.

Для пластины с относительной толщиной а / к = 20 безразмерный статический прогиб w*т = wcт (Р / Ек) составит

* _5 * _5

wcт = 1,168-10 , а в монографии [3] эта же величина wcт = 1,136-10 .

Таким образом, можно считать, что применение одночленной аппроксимации неизвестных при решении этой задачи оправдано. На рис. 2

показана зависимость безразмерного прогиба центра пластины w* 105 от

2 2

квадрата относительной скорости движения нагрузки У / Укр. При У  Укр прогибы неограниченно возрастают.

349

Рис. 2. Зависимость безразмерного прогиба центра пластины

Для пластины с одним стрингером в одночленном приближении, дополнительно пренебрегая гравитационной составляющей нагрузки,

квадрат критической скорости ее движения будет У^ = кц /мц, где коэффициенты жесткости и инерции вычисляются по формулам (16):

Э 4

| V2У2ффС» + EJ|5(у - 0)^ффС»

У2КР =- ^-^-^-.

р ГЭ2Ф лс

I—2 фс»

Первое слагаемое в этой формуле совпадает со значением квадрата критической скорости для гладкой пластины (5). Для наиболее простой формы потери устойчивости (т=п=1) после соответствующих вычислений формула (20) преобразуется к виду

2

У2р = +

р!2 I

Следовательно, наличие даже одного стрингера ведет к резкому увеличению критической скорости нагрузки.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ N 16-08-00261.

Список литературы

1. Коноплев Ю.Г., Якушев Р. С. Лекции по динамике сооружений с подвижными нагрузками. Казань: Отечество, 2003. 208 с.

2. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1977. 383 с.

3. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки. М.: ОГИЗ, 1948. 460 с.

350

4. Якушев Н.З. Динамика деформируемых систем под действием движущихся нагрузок // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1990. С. 233 - 307.

Антуфьев Борис Андреевич, д-р техн. наук, проф., antufjiev.bor@yandex.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),

Егорова Ольга Владимировна, канд. физ.-мат. наук, доц., janus olgaamail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),

Кузнецова Елена Львовна, канд. физ.-мат. наук, доц., vida kuamail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт

DYNAMICS OF A STIFFENED PLATE UNDER MOVING LOADS B.A. Antufiev, O. V. Egorova, E.L. Kuznetsova

The dynamic behavior of discretely stiffened thin elastic plates under moving loads is investigated. The moving load is assumed to be distributed over all base surface of the plate. The numerical examples are discussed and the critical load velocities are found using quasi-static problem's statement.

Key words: Thin plate, Discrete stiffening, moving load, infinite load support, quasi-static solutions, critical velocities.

Antufiev Boris Andreevich, doctor of technical sciences, professor, antufjiev. borayandex.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Egorova Olga Vladimirovna, candidate of physical and mathematical sciences, do-cent, janus olgaamail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Kuznetsova Elena Lvovna, candidate of physical and mathematical sciences, docent, vida ku amail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute