Влияние выбора условия пластичности на напряженное состояние анизотропной преграды при ее ударном нагружении

УДК 539.3

Влияние выбора условия пластичности на напряженное состояние анизотропной преграды при ее ударном нагружении

М.Н. Кривошеина

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

В работе на примере алюминиевых сплавов, обладающих начальной анизотропией упругих и пластических свойств, проведено численное моделирование ударного нагружения анизотропной преграды с использованием различных условий пластичности. Упругопластическое деформирование анизотропной преграды моделируется в трехмерной постановке методом конечных элементов на основе теории течения. Показано, что с увеличением скорости нагружения с 300 до 600 м/с влияние выбора условия пластичности на результаты расчетов напряженно-деформированного состояния анизотропной преграды возрастает.

Ключевые слова: анизотропия, пластичность, динамическое нагружение, численное моделирование

Effect of the choice of a plasticity condition on the stress state of an anisotropic target under impact loading

M.N. Krivosheina

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

In this paper impact loading of an anisotropic target is numerically simulated using aluminum alloys with initially anisotropic elastic and plastic properties under various plasticity conditions. Elastoplastic deformation of the anisotropic target is simulated by a 3D finite element method based on the flow theory. The effect of the choice of a plasticity condition on calculation results for the stress-strain state of the anisotropic target is shown to grow as the loading rate increases from 300 to 600 m/s.

Keywords: anisotropy, plasticity, dynamic loading, numerical simulation

1. Введение

Ударное нагружение большинства конструкционных материалов сопровождается пластической деформацией. Вопросы прочности различных машин и сооружений, испытывающих ударные нагрузки (или подверженных действию взрывов), могут быть исследованы лишь при понимании закономерностей распространения упругопластической деформации, предшествующей разрушению. При математическом моделировании динамического нагружения конструкций, выполненных из анизотропных металлов и сплавов, необходимо исследовать вклад анизотропии упругих и пластических свойств в итоговую картину деформирования таких материалов. Анизотропия упругих, пластических и иных механи-

ческих свойств металлов и сплавов в той или иной степени всегда возникает в процессе формования металлических заготовок. Она является следствием поворота зерен, вытягивания включений, пор, дополнительных фаз, границ зерен в преимущественных направлениях. Для металлических полуфабрикатов (листов, лент, профилей и т.д.) в основном характерна ортогональная анизотропия свойств. В соответствии с тремя основными стадиями процесса деформации различают анизотропию упругих свойств, анизотропию пластических свойств, анизотропию сопротивления разрушению.

Определяемое в экспериментах значение предела текучести частично зависит от точности аппаратуры, используемой в экспериментах, поскольку переход от

© Кривошеина М.Н., 2008

упругого к идеально пластическому поведению металла (текучести) не является мгновенным вследствие последовательной текучести кристаллических зерен. Условие постоянства наибольшего касательного напряжения (условие пластичности Треска) выполняется с достаточной точностью для момента наступления пластического течения, тогда как при возрастающих пластических деформациях для описания пластической деформации лучше выполняется условие пластичности Мизеса. Возможно, это связано с тем, что пластическая деформация начинается с появления отдельных редких ее очагов и только с начинающимся упрочнением становится возможной развитая пластическая деформация. С нашей точки зрения именно такой смысл заложен в представлениях авторов [1] о том, какое из указанных выше условий пластичности лучше описывает процесс на разных стадиях пластической деформации. Традиционно при численном моделировании упругопластического течения применяется ассоциированный с условием пластичности закон пластического течения, поэтому каждое условие пластичности описывает определенный характер пластического течения.

Известно, что наступление текучести многих начально изотропных материалов описывается поверхностью текучести, которая занимает промежуточное положение между поверхностями, соответствующими условиям Мизеса и Треска. Подобная закономерность характерна и для анизотропных металлов и сплавов [2, 3] — начальные поверхности пластичности анизотропных металлических материалов располагаются между поверхностью Мизеса-Хилла и поверхностью шестигранной призмы, интерпретирующей условие пластичности Треска, обобщенное на анизотропные материалы. Очевидно, что при численном моделировании упругопластического деформирования анизотропных металлов и сплавов с использованием условий пластичности Мизеса-Хилла и Треска (модифицированного для анизотропных материалов) получим две предельные картины напряженно-деформированного состояния. Таким образом можно оценить, какое влияние оказывает выбор условия пластичности при использовании ассоциированного закона течения на напряженное и деформированное состояние материала по мере развития пластической деформации.

В данной работе оценивается влияние условий пластичности на напряженное и деформированное состояние материала по мере развития пластической деформации при численном моделировании ударного нагружения алюминиевой преграды. Такая оценка проводится на примере алюминиевых сплавов, обладающих начальной анизотропией упругих и пластических свойств.

2. Модель упругопластического деформирования ортотропных материалов

Также как и для изотропной среды, система уравнений, описывающая нестационарные адиабатные движе-

ния сжимаемой анизотропной среды, включает в себя [4, 5]:

- уравнение неразрывности

Эр

— + dlvрv = 0, дt

- уравнения движения сплошной среды dvk дак

dt дх,

- + Fk

- уравнение энергии

dE 1 а1

— = —а1в11.

dt р 1

Здесь р — плотность среды; V—вектор скорости; F — компоненты вектора массовых сил; ау — контрава-риантные компоненты симметричного тензора напряжений; Е — удельная внутренняя энергия;

ву= 1/2

ву — компоненты симметричного тензора скоростей деформаций; V,, VI - компоненты вектора скорости;

1, 2, 3. Дополнительно еще необходимо записать уравнения, которые характеризуют физические свойства изучаемой среды. Введем предположения: полная деформация представима в виде суммы упругой и пластической деформаций; упругая деформация определяется с помощью обобщенного закона Гука; пластическое течение материала не зависит от гидростатического давления (такое предположение возможно для материалов, имеющих невысокую степень анизотропии); характеристики упругих свойств не зависят от пластических деформаций.

Упругое поведение материала описывается обобщенным законом Гука:

dt

= Сик1в,

11к1вк1,

СуЫ — компоненты тензора упругих постоянных.

Примем ассоциированный закон течения в виде:

ё£?.=, да11

параметр ^ = 0 при упругой деформации, а при пластической всегда положителен, определяется с помощью условия пластичности; dep — приращение пластической деформации; f— функция пластичности.

Давление как функция удельной внутренней энергии Е и плотности р для анизотропного материала определяется в зависимости от конкретных условий нагружения из уравнения состояния:

Р = Р(р, Е).

В работе [2] предложено условие текучести орто-тропных материалов, определяющее в пространстве главных напряжений цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной гидростатической оси, и девиаторным сечением в виде выпуклого неправиль-

ного криволинейного шестиугольника. Предложенное условие пластичности при варьировании константы (0 <п< 1) модифицируется в условие пластичности Мизеса-Хилла (при п = 1) либо (при п = 0) в условие Треска, обобщенное на анизотропные материалы. Для условия пластичности Треска из предположения о том, что в анизотропном материале, как и в изотропном, сопротивление сдвигу пренебрежимо мало зависит от действия нормального напряжения, параллельного площадке сдвига, следует, что грани шестиугольной призмы должны быть параллельны проекциям соответствующих главных напряжений на девиаторную плоскость. Девиаторное сечение шестиугольной призмы (при п = = 0) содержит угловые точки. В работе [2] экспериментально получено, что для алюминиевых сплавов п = = 0.31-0.38. Условие пластичности Ковальчука-Косар-чука [2] при п = 0.31 также содержит угловые точки, но экспериментальные исследования, проведенные на алюминиевых сплавах [3], позволяют предположить, что эта поверхность текучести содержит в точках пересечения сторон криволинейного шестиугольника не углы, а области большой кривизны. В работе [3] определяли изменение вектора приращения пластической деформации при периодическом повороте вектора приращения напряжения в условиях сложного нагружения.

Поскольку при принятых предположениях шести компонентам тензора напряжений могут быть поставлены в соответствие среднее гидростатическое напряжение и шесть компонент девиатора напряжений, из которых независимых только пять, то для ортотропных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, примем начальное условие пластичности [2], записанное через девиаторы в пятимерном пространстве напряжений:

Г с 2 с 2 ^ 12

/ (С ) =

_ V ч г12 г2 ;

п2 ^2 п2

Сз С4 С5

+ ^ + -г- + -^ = 1,

г3 г4 г5

где С, — компоненты девиаторов напряжений в пятимерном евклидовом вещественном пространстве; г, и С, — функции, связанные с пределами текучести материала в направлении осей анизотропии и пределами текучести при сдвиге в плоскостях осей анизотропии:

1Т,

Г =

л/2а

1Т (а2Т + а3Т

)

^16

(а2Т + а3Т

)2

= л/21

= 72

12Т,

= л/2т

г4 — '/2 23Т,

31Т, С, = С, (а1Т, а2Т ).

Здесь а, Т — пределы текучести в направлении осей симметрии материала; Ту Т — пределы текучести мате-

риала при сдвиге в плоскостях анизотропии. Безразмерный параметр п (0 <п< 1) является характеристикой материала и определяется из опытов, в которых величины пределов текучести, предсказываемые теориями Мизеса-Хилла и Треска, наиболее расходятся, например при двухосном растяжении. Для конструкционных алюминиевых сплавов этот параметр варьируется от 0.31 до 0.38 [3]. Следовательно, параметры, используемые в условии пластического течения ортотропного материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, определяются при нахождении в эксперименте следующих характеристик материала: а1Т, а2Т, а3Т,

Т12Т, Т23Т, Т31Т, п.

Условие текучести (6) отражает долевой вклад интенсивности напряжений и максимальных касательных напряжений. Напряжения, определенные в жестко повернутом в пространстве элементе, пересчитываются с помощью производной Яуманна и приводятся к системе координат:

Dа1 dа1 л л

-----=------- а ю л - а1 ю,к,

Dt dt 1 1к

где юу = У2(¥ 1V-¥VI).

3. Постановка задачи

Численно моделируется в трехмерной постановке совместное деформирование изотропного стального ударника цилиндрической формы и транстропной алюминиевой преграды. На контактной поверхности ударника и преграды реализовано условие скольжения без трения. Начальные и граничные условия совпадают с приведенными в [4, 5].

Материал преграды — транстропный сплав Д16Т со следующими характеристиками (направление 1 соответствует направлению ударного нагружения и особой оси материала преграды ОХ): р = 2700 кг/м3, Е1 = 92.1 ГПа,

Е2 = Е3 = 86.7 ГПа,

v12 = 0.34, у31 = 0.32, у23 = 0.33,

G12 = О13 = 31 ГПа, G23 = 33 ГПа.

Для описания пластического течения сплава Д16Т использовались константы:

а1Т = 350 МПа, а2Т = а3Т = 290 МПа, т12Т = т13Т = 300 МПа, т23Т = 240 МПа, п = 1, п = 0.31, п = 0.

Здесь Е1 — модули Юнга; Оу — модули сдвига; VI — коэффициенты Пуассона.

Толщина преграды составляет 30 мм. Во всех расчетах ударники имели цилиндрическую форму, одинаковую массу, но диаметры ударников составляли 30, 15 и 8.66 мм. Материал ударника изотропный, сталь 3, упругопластическое течение материала ударника описывается моделью Прандтля-Рейсса с использованием ус-

ловия пластичности Мизеса. Предел текучести стали —

1 ГПа.

4. Результаты расчетов

На рис. 1 показаны распределения полей напряжений ахх в сечении XOY алюминиевых транстропных преград (ось ОХ — ось симметрии) для случаев использования в качестве условия пластичности уравнения Мизеса-Хилла (п = 1) и условия Треска (п = 0) в момент времени 20 мкс. На рис. 1, а, где показаны поля напряжений для момента времени 20 мкс при скорости удара 600 м/с, видно, что максимальные сжимающие напряжения сосредоточены непосредственно под ударником и в круговой зоне на расстоянии 10 мм под ударником. На рис. 1, б сжимающие напряжения в 1 ГПа сосредоточены на расстоянии 10 мм под ударником на оси симметрии. Эти различия объясняются различным положением ударника относительно преграды. При начальной скорости ударника 600 м/с (п = 0) через 7.5 мкс после удара ударник изменил направление скорости на обратное (рис. 2, а). При использовании условия пластичности Мизеса-Хилла внедрение ударника продолжается до 18 мкс (рис. 2, а). Из рис. 2 видно, первые

2 мкс процесса кривые торможения ударников совпадают независимо от используемого условия пластичности, по мере накопления пластической деформации кривые расходятся — это объясняется применением различных законов релаксации напряжений. При рассмотрении полей скоростей также заметна существенная разница для обоих случаев в этот момент времени (рис. 3). При скорости удара 300 м/с различия в распределении полей напряжений через 20 мкс также заметны на рис. 4. В этом случае разделение ударника и преграды при использовании условия пластичности Мизеса-Хил-

ахх, 108 МПа 0

-2

-4

-6

ахх, 108 МПа 8

-8

-12

300

250

200

150

100

50

-50

1 1

м м м о о —^ со

\

\

\

%

Ч"".

''ХГ' ".

Л \ V

X ' —

10

мкс

15

20

Рис. 2. Изменение скорости ударника при взаимодействии с преградой в зависимости от выбранного условия пластичности, скорость удара 600 (а), 300 м/с (б). Дискообразный ударник размером 3.75x30 мм

ла происходит через 11 мкс, а при использовании условия Треска — через 6 мкс. Поскольку отделение ударников от преграды происходит в разные моменты времени

Ух, м/с

45 40 30 25 20 10 0 -10 -20 -25 -30 -40 -45

Vx, м/с 90 = 80 — 70

Р 60

50

| 40 30 20 10 0 -10 |-20 1-30 1-40 -50

Охх, 108 МПа — 7 6 5

, 108 МПа

-2

-3

-5

охх, 108 МПа = 6

4

2

0

-2

Рис. 4. Распределение напряжений в преграде при скорости нагружения 300 м/с; п = 1

и волновая картина деформирования усложняет детальность сравнения полей напряжений и деформаций, удобно привести сравнение интегральной характеристики процесса нагружения преграды — скорости торможения ударника. На рис. 2 показаны кривые изменения скорости ударника для случаев применения условия пластичности Мизеса-Хилла (п = 1), условия Треска (П = 0) и условия Ковальчука-Косарчука (п = 0.31). Для ударника дискообразной формы (размером 3.75x30 мм) разница в скоростях торможения максимальна и кривая, соответствующая расчету при п = 0.31, во все время процесса находится между кривыми, соответствующими расчетам при использовании условий пластичности

Vx, м/с

— 2 0

-2

- -4

-8 -12

-16

1 -20

охх 108 МПа

6

2

— 0

— -2

- -8

- -12

-16

-20

*

Рис. 6. Распределение напряжений в преградах при скорости нагружения 300 м/с; п = 1

Мизеса-Хилла и Треска. На рис. 3 и 5 показаны распределения компонент скоростей V* вдоль направления удара для скоростей нагружения 600 и 300 м/с в момент времени 20 мкс. Различие в волновых картинах при использовании различных условий пластичности в основном объясняется положением ударника относительно преграды. На рис. 3, б и 5, б видно, что в 20 мкс произошло отделение ударника от преграды, а на рис. 3, а еще наблюдается совместное деформирование ударника и преграды.

При нагружении преграды цилиндрическим компактным ударником влияние выбора условия пластичности на результаты расчета уменьшается. При ударном нагружении со скоростью 300 м/с распределения напряжений (рис. 6) и распределения компонент скоростей (рис. 7) вдоль оси ОХ в момент времени 20 мкс более близки, чем для случаев нагружения преграды ударником дискообразной формы. На рис. 8 кривые торможения ударника как для скорости удара 600 м/с, так и для скорости 300 м/с сближаются, и кривая, показывающая изменение скорости центра масс ударника с использованием условия пластичности Ковальчука-Косарчука (п = 0.31) для материала преграды, пересекает кривые, соответствующие условиям пластичности Ми-зеса-Хилла (п = 1) и Треска (п = 0). Для компактных ударников времена отделения ударника от преграды для случаев использования различных условий пластичности также близки (рис. 8).

Такая же закономерность сохраняется и для удлиненных ударников. На рис. 9 показаны распределения полных напряжений ахх для случаев п = 1 и п = 0, а на рис. 10 — распределения компонент скоростей в на-

о

0

Рис. 7. Распределение скоростей в преградах при скорости нагружения 300 м/с; п = 1

правлении оси ОХ для этих случаев. Несмотря на одинаковые значения скоростей ударника заметны различия в картинах напряженного и деформированных состоя-

600

500

400

< 300

200

100

300

250

200

150

100

50

\

ч _л

1 : 0.31 : 0

X \Х. л гл —

X Ч

\ ' ' ч

>\

X х ч

X X- ' ч

ч

10

I, мкс

15

20

Ч

X, п - Л

N. \\ Ч 0.31 0

'Ч ч Л

\ч Л

V

X'

\ ч ^

ч-

10

I, МКС

15

20

Рис. 8. Изменение скорости ударника при взаимодействии с преградой в зависимости от выбранного условия пластичности при скорости удара 600 (а) и 300 м/с (б). Цилиндрический ударник размером 15x15 мм

ахх, 108 МПа 4

-6 -10 -14 -18 -22

ахх, 108 МПа

20 10 0

-10 -20 -40

Рис. 9. Распределение напряжений в преграде при скорости нагружения 600 м/с; п = 1

ний преград (рис. 9 и 10). Они выражаются в различной локализации волн растяжения и сжатия в преграде через 25 мкс после удара, причем эта разница увеличивается по мере накопления пластической деформации. На рис. 11 показаны изменения скоростей ударников для случаев нагружения преграды удлиненным цилиндрическим ударником со скоростью 600 м/с. Через 25 мкс после столкновения при использовании всех трех усло-

Vx, м/с

2

— 0

— -2

-4

-6

-8

-12

-14

Vx, м/с

4

— 0

-4

I -8

р -12

-16

-20

0

550

500

о

>* 450

400

350

0 5 10 15 20 25

1, мкс

Рис. 11. Изменение скорости ударника при взаимодействии с преградой в зависимости от выбранного условия пластичности. Скорость удара — 600 м/с. Цилиндрический ударник размером 8.66x45 мм

вий пластичности скорость центра масс ударника одинакова и равна 340 м/с. Однако при использовании условия пластичности Треска для материала преграды ее упругопластическое деформирование приводит к большему растеканию ударника.

Так как пластическая деформация определяется используемым в расчетах условием пластичности, это приводит к существенной зависимости результатов расчетов от выбранного условия пластичности. Для анизотропных материалов количество условий пластичности значительно больше, чем для изотропных, т.к. они содержат в себе в 5-7 раз больше констант материала.

5. Заключение

При численном моделировании динамического нагружения элементов конструкций, выполненных из материалов, имеющих невысокую степень анизотропии, влияние выбора условия пластичности на напряженно-деформированное состояние возрастает при увеличении площади контактной поверхности ударника и преграды и с увеличением скорости нагружения от 300 до 600 м/с.

Работа выполнена по проекту 3.6.1.2 программы фундаментальных исследований СО РАН и при частичной поддержке гранта РФФИ № 06-01-00081.

Литература

1. Хоэнемзер К., Прагер В. К механике пластического поведения стали

// Теория пластичности. - М.: ГИИЛ, 1948. - 447 с.

2. Косарчук В.В., Ковальчук Б.И., Мельников С.А. Экспериментальная

проверка определяющих соотношений теории пластического течения анизотропных сред // Пробл. прочности. - 1991. - № 11. -С. 19-25.

3. Лебедев А.А., Косарчук В.В., Ковальчук Б.И. Исследование скаляр-

ных и векторных свойств анизотропных материалов в условиях сложного напряженного состояния. Сообщ. 1. Об условии текучести анизотропных материалов // Пробл. прочности. - 1982. -№ 3. - С. 25-31.

4. Кривошеина М.Н., Конышева И.Ю., Козлова М.А. Разрушение и упругопластическое деформирование анизотропных материалов при динамическом нагружении // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2006. - Т. 12. - № 4. - С. 502-512.

5. Радченко А.В. Моделирование поведения анизотропных материалов при ударе // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1998. - Т. 4. - № 4. - С. 51-61.

Поступила в редакцию 18.02.2008 г.

Сведения об авторе

Кривошеина Марина Николаевна, к.ф.-м.н., старший научный сотрудник ИФПМ СО РАН, marina@ispms.tsc.ru