Математическое моделирование поверхностных волн в слое жидкости с поверхностным зарядом на пористом основании

УДК 539.19

Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В СЛОЕ ЖИДКОСТИ С ПОВЕРХНОСТНЫМ ЗАРЯДОМ НА ПОРИСТОМ ОСНОВАНИИ1

Аннотация. Построена и исследована математическая модель распространения волн на поверхности слоя электропроводной жидкости с поверхностным электрическим зарядом, находящейся на слое пористой среды.

Ключевые слова: поверхностные волны, слой, пористый, электропроводный, электрический заряд.

Abstract. The authors have developed and analyzed a mathematical model of waves propagation on the surface of electroconductive fluid layer with electrical surface charge situated on a porous medium.

Key words: surface waves, layer, porous, electroconductive, electrical charge.

Рассматривается распространение волн по заряженной поверхности жидкого проводника. Проводящая жидкость находится на недеформируемой пористой среде, ограниченной снизу сплошным твердым электропроводным основанием (дном). Распространение поверхностных волн на заряженной поверхности жидкого проводника бесконечной глубины рассмотрено в [1]. Поверхностные волны в жидкости на пористой среде при отсутствии электрического поля исследованы в работе [2].

Декартова система координат Oxyz выбирается так, что ось Oz направлена вертикально вверх против вектора g ускорения свободного падения, а оси Ox и Oy лежат на плоской поверхности раздела жидкости и пористой среды. Величины, относящиеся к пористой среде, жидкости и атмосфере, обозначаются в необходимых случаях номерами 1, 2 и 3 соответственно.

Как известно [3], в электростатическом случае заряды проводников сосредоточиваются только на их поверхности, а внутри проводника напряженность электрического поля E = 0 . Таким образом, напряженность электрического поля будет отличаться от нуля лишь в атмосфере, находящейся над слоем жидкости. На поверхности проводника выполняется соотношение En = 4па, где En = E  n , n - единичная внешняя (т.е. направленная из жидкости в атмосферу) нормаль к поверхности жидкости; а - плотность поверхностного заряда, приходящаяся на единицу площади.

Уравнения движения жидкости в пористой среде при условии E = 0 имеют вид [4]

Р du , _ ц _ п .1Ч

—— = -grad pi + pg - — щ, div щ = 0 .

i at K

1 Работа проводилась за счет средств ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. по теме «Построение математической модели поверхностных волн в жидкостях» (Государственный контракт № П695 от 20.05.2010).

Здесь p - плотность жидкости; Г - пористость среды; Р1 - давление; щ - макроскопическая скорость фильтрации; ц - вязкость; K - коэффициент проницаемости пористой среды, вычисляемый по формуле Козени [4].

Предполагая, что амплитуда волны значительно меньше ее длины, уравнения движения свободной жидкости при E = 0 запишем в линейном приближении [5]:

Эй2 , _ „ ,.s

Р-72 = -grad Р2 + pg , div U2 = 0,

at

где U2 - скорость жидкости.

Уравнения для электрического поля в атмосфере:

rot E = 0 , div D = 0

где e - диэлектрическая проницаемость.

Из уравнений (2), (3) следует: U2 = grad ф , E = -grad у, где ф и у потенциал скорости и электрического поля, удовлетворяющие уравнениям

Лапласа:

Дф

Система граничных условий:

- на границах раздела:

1) U1z = 0 при z = —1 (на дне);

2) U1z = U2z при z = 0 (на границе пористой среды);

3) Р1 = Р2 при z = 0;

- на свободной поверхности жидкости с уравнением z = Й2 + ^(x, y, t):

4) Щ2п = Vn;

5) ET = E - nEn = 0 или у = Cq = const;

( 11 ^ . eEjEj eE2

4л 8л j

\ R1 R2 J

6) Pijninj + P2 = -a — + — , Pij = -Ратм8ij + —-'8i

Здесь Vn =Э^ / dt - нормальная скорость свободной жидкости; Щ, R2 -радиусы кривизны поверхности; Ратм - постоянное давление в атмосфере, Pij - максвелловский тензор механических напряжений в области 3; а - коэффициент поверхностного натяжения. Величина а находится из условия

а = eEn /4л . В линейном приближении n =--------e-----e? + £3 ; e1, £2, £3 -

dx dy

базисные векторы системы координат Oxyz.

Переменные величины записываем в виде

p1 = p10 + p1w , p2 = p20 + p2w, Ф = Фо +Ф^, у = у0 + у w,

Здесь индексом 0 отмечены невозмущенные величины, а индексом w -возмущения соответствующих величин, связанные с волновым движением.

В равенствах

Ео = Е0гё3, у0 = -Е02г + С, а0 = еЕ02 /4л, а^ = гЕ^ / 4л .

Выбирая С = Со + Ео г^2, условие 5 в системе (5) можно записать в виде: - Ео 2 ? + у м = 0 . Из условия 6 системы (5) следует при г = ^ + ?

еЕог Эу,

4л Эг

' + Р2™ --аЛ2^ •

Э 2? Э 2?

Здесь А2? = —т- Н------------т-. При выводе (8) учитывается, что

Эх2 Эу2

р02 ратм

еЕ0г

6) ^-р-еЕог Э^^ + Р2* - -«Л2^ ( г - Ь + ^ ); 4- Эг

Еп = (Ео + Ем) • п = Ео г —У™— в линейном приближении.

Эг

В результате упрощения система (5) вместе с условием на бесконечности принимает следующий вид:

1) щ2 = 0 (г = —1);

2) и1г = и2г (г = 0);

3) и™ = Р2м> (г =0);

Э*

5) -Ео г ? + У™ = 0 (г = Н2 + ?);

6) - ЪЕ°г + Р2

7) У м = 0 (г ^Ноо).

Здесь Р2„ = —р&? — р— в условии 6. Все малые величины второго и Э*

более высоких порядков отбрасываются.

Из уравнений (1) следует

рЭ^ = ——Аи1г.

г э* к 1г у ;

В связи с тем, что при отсутствии волн: 0 = —Урю + р£,

0 = —УР20 + р&, уравнения для возмущений принимают вид

, ч р Эи1 „ л —

1 )----1 = —УР1№ — и,

Г Э* к 1

2) Р^ = -УР2^ .

Э*

Из уравнения 2 системы (11) с учетом й? = 0 следует

рЭ ^2г =А2Р 2м, ,

Э*Эг 2У2м

а из уравнения 1 системы (11) с учетом щ = 0 находим

рЗ^ +_пЭщ, =д 2

Г дґдг К дг ’

С учетом (12) и (13) граничное условие 3 в системе (9) принимает вид:

2 2 , д и2 р д и1г — ди1г

3 ) р---^- = -----і£_ + ^--(при г = 0).

дґдг Г дґдг К дг

С учетом (4) и (10) система трех уравнений для нахождения ф, у,,

и^ окончательно принимает вид:

1) Аф = 0;

2) Ау , = 0 ;

3) £ЭАЩк. = —— Ащ^1г .

Г Эг к 1г у ’

А граничные условия (9) с учетом и2г =дф / дг окончательно запишутся в виде:

1) и1г = 0 (г = —і);

2) и2г =дф (г = 0);

дг

2 2 д и2. рд щ- — ди1г ,

3) р----^ ^ ^ (г = 0);

дґдг Г дґдг К дг

,ч дф д£,

4) £ (г^

5) — Е0- дф. + дуї. = 0 (г = й2),

1 ^ д 2у , дф д 2ф дф

6) — 1ШГ—р*= —^Т. (г=Л2);

7) у, = 0

Решение уравнений (14) с граничными условиями (15) ищем в виде бегущих затухающих волн:

ф(х,у, г, ґ) = Ф(г)ехр[—уґ + /(^х + £2У)];

У,(х,У,г,ґ) = V(г)ехр[—уґ + /(^х + £2У)];

и1г

Здесь у = Р + /ю ; Р - коэффициент затухания; ю - частота; £1, £2 -

волновые числа.

Подставляя функции (16) в уравнения (14), получим систему дифференциальных уравнений для амплитуд Ф( г), ¥( г), и (г):

1) Ф" (г) — £ 2Ф = 0;

2) У( г);

3) Г у — —ЇГи" — £ 2и ] = 0.

I рК)1 J

Здесь к2 = к2 + к2 .

Граничные условия для амплитуд получаются из (15):

1) и = 0 (2 = -/21);

2) и = Ф' (г = 0);

3) ^)и' = РуФ"

,ч „ гЭф(х, у,г,*) , . ,

4) £ = I-г=/ т (уравнение для нахождения функции

* дг 2

£( х, у, *));

5) £огФ' + У^ = 0 (г = /2);

6) р[ g Ф' + у 2Ф ] —- еЕ0 г у^' + ак 2Ф' = 0 (г = /2);

4л

7) V w = 0 (г ^+оо).

Общее решение системы (18) имеет вид

и = С1 ехр(-кг) + С2 ехр(кг);

Ф = С3 ехр(-кг) + С4 ехр(кг);

¥ = С5 ехр

где С; (г = 1,...,6) - произвольные постоянные.

Подставляя формулы (19) в условия (18), получим однородную систему линейных относительно постоянных Сг алгебраических уравнений, которая имеет ненулевое решение только при условии обращения в нуль определителя системы. Из этого условия получаем дисперсионное уравнение для поверхностных волн:

у3р2 (<31*1 + —Г21 -у2-^р-^ -УРГ«2*1 + «р21 О + Ка^О = 0,

где

ai = 1 - exp(2kh2), a2 = 1 + exp(2kh2), bi = 1 - exp(2khi);

E 2 k 2

b2 = 1 + exp^), G = kpg + k3a-^-0— ( Eq = \E0z\).

4л

Рассмотрены следующие частные случаи:

1) h /Х<<1, h2 /Х<<1;

2) h /А>>1, h2 /А<<1;

3) h - произвольное, h2 / А<< 1.

Конкретные числовые расчеты велись для жидкого натрия при температуре 100 °С с параметрами: р = 0,93 г/см , а = 206,4 дин/см,

г

^ = 0,69 -----. Значения Eq брались в промежутке от 0 до 50 ед. СГС (1 ед.

см • с

СГС = 300 В/см). Принимаем, что е = 1 в атмосфере.

Остановимся подробнее на первом случае. Расчеты показывают, что в этом случае частота ю уменьшается с увеличением длины волны X и слабо зависит от толщины пористой среды hi, но с ростом толщины слоя свободной жидкости h2 значения ю увеличиваются (при X = const); коэффициент Р> 0 также уменьшается с ростом X, при этом с ростом h величина Р увеличивается (при X = const), а с ростом h2 - уменьшается (при X = const).

С ростом Ео значения ю уменьшаются при заданных X, hj, h2. При этом изменение h практически не влияет на ю, при увеличении h2 значения ю увеличиваются (при заданных X , h ).

С увеличением Ео значения Р уменьшаются при заданных X, h, h2. При увеличении hj значения Р увеличиваются. При увеличении h2 значения Р уменьшаются.

При увеличении Г значения ю монотонно увеличиваются до максимального значения ютах = 1,24 с 1 (при Г^ 1), при этом с ростом h , а также h2, величина ю возрастает; значения Р вначале возрастают практически

от нуля до максимального значения Ртах = 0,2 с 1 (при Г = 0,91), а затем монотонно убывают, стремясь к нулю (при заданных h1 = h2 = 25 см,

к = 0,006 см-1), при этом с ростом h значения Р увеличиваются, а при росте h2 - уменьшаются.

На рис. 1 номерами 1-5 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для следующих значений толщины пористой среды h : 25; 50; 75; 100; 125 (см). Толщина слоя свободной жидкости зафиксирована: h2 = 25 см.

—2 —1

Интервал изменения волнового числа: 0 < к < 2 • 10 см .

Рис. 1. Зависимость коэффициента затухания волны от волнового числа для различных значений толщины пористой среды

Из рис. 1 видно, что с ростом волнового числа, а также толщины пористого слоя увеличиваются значения коэффициента затухания волны.

На рис. 2 номерами 1-5 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для следующих значений толщины свободной жидкости h2: 25; 50; 75; 100; 125 (см). Толщина пористой среды hi зафиксирована и равна 25 см. Здесь значения коэффициента затухания уменьшаются с ростом h2 .

Рис. 2. Зависимость коэффициента затухания волны от волнового числа для различных значений толщины слоя свободной жидкости

На рис. 3 номерами 1-5 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для следующих значений толщины свободной жидкости h2: 25; 50; 75; 100; 125 (см).

Рис. 3. Зависимость частоты волны от волнового числа для различных значений толщины слоя свободной жидкости

Толщина пористой среды / зафиксирована и равна 25 см. Значения частоты увеличиваются с ростом /2 .

Из полученных в настоящей работе результатов как частный случай следуют результаты работ [1, 2].

В заключение отметим, что полученные результаты могут найти применение для расчета различных технологических процессов.

Список литературы

1. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. : Физматлит, 2000. - 736 с.

2. Столяров, И. В. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании / И. В. Столяров, Н. Г. Тактаров // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1987. - № 5. - С. 183-186.

3. Тамм, И. Е. Основы теории электричества / И. Е. Тамм. - М. : Наука, 1976. -616 с.

4. Гершуни, Г. З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий. - М. : Наука, 1972. - 392 с.

5. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Физмат-лит, 1986. - 735 с.

Тактаров Николай Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

Taktarov Nikolay Grigoryevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of mathematics, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev

E-mail: colonnt@mail.ru

Миронова Светлана Михайловна аспирант, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

E-mail: MironovaSvtln@rambler.ru

Mironova Svetlana Mikhaylova

Postgraduate, Mordovia State

Pedagogical Institute

named after M. E. Evsevyev

УДК 539.19 Тактаров, Н. Г.

Математическое моделирование поверхностных волн в слое жидкости с поверхностным зарядом на пористом основании / Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 2 (18). - С. 41-48.