МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ЛОКАЛЬНЫМИ ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ

Моделирование геофизических полей локальными параболическими сплайнами

Х.Н.Зайнидинов, М.А. Кучкаров

Ташкентский университет информационных технологий

Аннотация. Работа посвящена моделированию сложных геофизических полей на основе локальной интерполяционной параболической сплайн-функции. Использование локальных интерполяционных сплайн-функций для построения математических моделей цифровой обработки и восстановления различных геофизических сигналов в настоящее время актуально при решении практических задач. Многомерный сплайн - это пример функции нескольких переменных, когда задана комбинация функций, каждая из которых зависит от одной независимой переменной. В качестве примера были взяты предварительные экспериментальные данные - двумерные геофизические сигналы (геофизическое поле). Построена математическая модель на основе локального интерполяционного кубического сплайна. Разработаны также алгоритм и программа моделирования двумерного поля в среде ЫаЬаЪ Результаты моделирования приведены в виде графиков.

Ключевые слова. Интерполяция, сплайн-функция, кубический сплайна, локальный сплайн, параболический сплайн, интерполяционный сплайн, дефект сплайна, многомерный сплайн, математическая модель, прогнозирование, предвестник, аномальные изменения, электромагнитные измерения, магнитное поле, акустические колебания, гравитационное поле, погрешность интерполяции

Введение

Во многих геофизических исследованиях усилия учёных направлены на поиски надёжных предвестников месторождений полезных ископаемых и сейсмической опасности. Предвестниками называются скачкообразные изменения, выбросы или аномалии в том или другом параметре, с помощью которых можно осуществить принцип прогнозирования - предсказание месторождения и количество полезных ископаемых, а также места, силы и времени будущего сейсмического события. Предвестниками могут служить аномальные изменения электромагнитного, гравитационного полей, аномальные возмущения в ионосфере, сейсмические шумы, различные акустические колебания и другие.

В последние годы предложены десятки новых методов прогнозирования полезных ископаемых и сейсмических событий. Результаты, полученные этими методами, совершенно необходимы и для понимания физических процессов, приводящих к сейсмическому событию и сопровождающих его, для построения физических и математических моделей взаимосвязи протекающих процессов, нужных для практического воплощения принципов

прогнозирования.

Широкая популярность сплайн-методов в задачах анализа и обработки сейсмических и геофизических сигналов объясняется тем, что они служат универсальным инструментом приближения и по сравнению с другими математическими методами при равных с ними информационных и аппаратных затратах обеспечивают большую точность.

Постановка задачи

Использование локальных интерполяционных сплайн-функций для построения математических моделей в задачах цифровой обработки и восстановления различных геофизических сигналов остается актуальным.

Функция 5П(/; х) называется п степенной функцией локальной интерполяции при условии соблюдения следующих условий:

1. ¿П (Т х) е Нп[х, х+1],

2. ¿П (х) еСт[а, Ь],

3. ¿П (х) = Т(хХ) 1=0, п.

Дефектом интерполяционной сплайн-функции степени п называется число V = п - т. Двумерные локальные интерполяционные сплайн-функции могут быть построены на основе одномерных локальных кубических интерполяционных сплайн-функций и оценка погрешности тоже осуществляется на основе погрешностей локальных кубических интерполяционных сплайн-функций. Построение локального параболического сплайна заключается в следующем.

Чтобы построить область Б = [а, Ъ] х [с, Я], разделим эти интервалы на N равную оси ОХ, и М, равную оси ОУ, Д=ДхХДу.

&х: а = х0 < х1 <... < = Ь,

Ау: с = Уо<У1<...<Ум = А.

где Н и I выбраны следующим образом

h = xi+1 - xit i=0,1,...,N-1;Z = yj+1 - у)

; = 01,...,м -1.

Рассмотрим сетку:

Л* = Л*хх Лу

Ах Х— 1 < X о < X 1 <. . . < Х^ < Х^ + 1,

У—1 <Уо<У1<...<Ум < Ум+1.

Тогда мы имеем

В* = [а - к, Ъ + К] х [с - 1,а + I]

в узле Л*- известны значения функции, то есть:

Г(х1,у])=Гц, 1 =-1,0,1.....N,N + 1;

] = -1,0,1,... ,М,М + 1.

Метод решения

На основе выше приведенных значений будет построен параболический локальный

интерполяционный сплайн, интерполирующий функции [(х, у) в области О. Поскольку параболический сплайн, интерполирующий f(x,y), является локальной, она строится на основе значений функции [¿; в диапазоне [х1,Х1+1] х [у;,У;+1\.

(х1 — 1,у]—1), (х1 — 1,у]), (х1 — 1,у]+1), (Х1 — 1,у]+2),

(Х(,у/—1), (Х(,У;), (хиу] + 1), (Х1,у]+2), (х1 + 1,У]—1), (Х1 + 1,У]), (х1 + 1,у]+1), (х1 + 1,У)+2), (.Х1+2,У]—1), (Х1+2.У)), (Х1+2,У]+1), (Х1+2,У]+2).

Следует отметить, что сплайн, построенный для фиксированного значения одной из переменных, является одномерным кубическим локальным интерполяционным сплайном. Здесь переменная х фиксируется, то есть локальная интерполяционная кубическая функция х = XI, имеет следующий вид $з(х1,у)'-

3u2)fiJ+1 -~U2(1- u)fij+2,

] = 0, М - 1, 0 < и < 1.

На основании вышеизложенного х = х1—1; х1+1; х1+2. В случае

фиксированного мы получим следующие одномерные сплайн-функции:

^з

у),

У) =

На основе полученных выше одномерных кубического сплайнов после некоторых преобразований можно построить двумерные интерполяционные сплайны следующего вида: 11 $з,з(х,У) = -~Ь(1- 1)253(х1—1,у)+-(1

t)S3

1

-12(1-1)53(Х1+2,у), / = 0 , М - 1,0 <и<1,Ь = = к = Х;+1 -

1 ' ' И I ' 1+1

Х1,1 = У}+1 - У].

Подставляя значения одномерных кубических сплайнов, построенных выше Бз(хм, у), Бз(х1, у), Бз(х1+1, у) и Бз(х1+2, у) получим:

53,3(х,у) = -^(1-^)[(1-

+1(1-

г)(2 + 2г- зг2)[(1 - и)2(хиу) +

S3

где

uZj+i(Xi,у)] + -t(1 + 4t- 3t2)[(1 u)Zj(Xi+i,y) + uZj+i(Xi+i,y)] -~t2(1 t)[(1 - u)Zj(Xi+2,y) + uZj+i(Xi+2,y)].

Z;

Zj+i (xi,y) = ~ (1- u)(2 - u)fij + u(2 - u)fiJ+i

Где i = 0 , N - 1J = 0, M - 1,0 < t < 1, 0 <u< 1,

x-Xi _ y-yj , _

-, и

"¡4 h = Xi+i - Xi ,l = У;+1 - У;

-U(1 - U)fiJ+2

Параболы Л, ^¡+1(х1, у) следующие

(Х1,у]—1), (хьу;), (Х1,у]+1);

(xi,yj), (xi,yj+í), (xi,yj+2),

У-У] , и = ——, 1 = У;+1-У).

параболы, которые проходят через узел. Подставляя (2) и (3) в (1), после некоторого упрощения получим следующее:

$з(х1,У) = -1и(1- и)2^ +1(1-и)(2 +

1

2и - 3и2)[ц + + — и(1 + 4и

после определенных упрощений получим следующую локальную интерполяционную сплайн-

+

функцию:

$з,з(х,У) = Vi(t)[(pi(u)fi-ij-i

V2(U)fi-iJ + P3(u)fi -i, j+i +

P4(u)fi-l,j+2] + P2(t)[Pi(u)fiJ-i + P2(u)fi,j + P3(u)fiJ+i + P4(u)fi,j+2] + P3(t)[pi(u)fi + iJ-i + P2(u)fi + l,j + P3(u)fi + iJ+i + P4(u)fi+i,j+2] +

+ p4( t)[Pi(u) fi+2j-i + P2(u)fi+2,j +

P3

1

h

где

1

= --1(1-1)2,

1

1

срз(1)=-1(1 + 41-Ъ12), 1

= -^2

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Разработана программа моделирования двумерного поля в среде ЫаЛаЪ реализующая (9), блок-схема программы приведена на Рис. 1.

В качестве конкретного примера рассмотрим (геофизическое поле) таблицу двумерных измерений приращений индукции электромагнитного поля по горизонтальным и вертикальным направлениям по отношению к условному нулевому уровню. Отсчёты взяты в процессе аэромагнитных измерений на площади 80х80 км через расстояния равные 1 км по каждой из горизонтальных координат х и у. Результаты интерполяции поля двумерными базисными сплайнами приведены (шаг 1х1) на Рис. 2., а (шаг 0,01х0,01) на Рис.3.

Рис. 1. Блок-схема программы моделирования двумерного геофизического поля локальными интерполяционными сплайн-функциями

Результаты моделирования двумерных геофизичсеких полей показывают, что с помощью предложенных сплайн-функций могут быть смоделированы не только геофизические поля, но такие сложные многомерные сигналы как сеймические, акустические и тепловые и другие. Также сплайны позволяют легко определить

скачкообразные изменения, выбросы или аномалии в том или другом параметре, с помощью которых можно осуществить принцип прогнозирования -предсказание месторождения и количество полезных ископаемых.

Рис. 3. Результаты моделирования геофизического поля.

Л

Рис. 2. Результаты моделирования геофизического поля.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, сплайны как класс кусочных функций вследствие ряда преимуществ перед другими методами интерполяции находят все более широкие применение при разработке алгоритмических и программных средств анализа и восстановления сигналов, расширяя рамки традиционных подходов к моделированию сложных полей.

Неоспоримы преимущества сплайнов в задачах вычисления функций многих переменных. С их помощью можно определить аномальные изменения электромагнитного, гравитационного полей,

аномальные возмущения в ионосфере, сейсмические шумы, различные акустические колебания и другие.

Литература

[1] Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко И.Л. Методы сплайн - функций. - М.: Наука, 1980. 352 с.

[2] Исраилов М.И., Бахромов С.А. Об одном локальном интерполяционном кубическом сплайне и некоторые его приложения. Тезисы докладов III семинара -совещания Кубатурные формулы и их приложения. Уфа - Красноярск, 1995. С.17.

[3] Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. Изд. 2-е. Спб: Питер, 2006. 751 с.

[4] Свиньин С.Ф., Зайнидинов Х.Н. Комплекс программ для исследования геофизических полей. Тезисы докл. Международной конференции «Региональная

[5]

информатика». С.244.

Свиньин С.Ф. сигналов.-Спб.: Свиньин С.Ф.

Санкт-Петербург, 22-24 июня, 2004.

in Asia 2011, September, Tashkent, Uzbekistan.

26-27, 2011, p. 314-318,

Базисные сплайны в теории отсчётов Наука, 2003. -118с.

[6] Свиньин С.Ф. Дискретизация на основе локальных сплайнов при измерениях сигналов конечной длительности. Метрология. -1998. №4. С.28-33.

[7] Зайнидинов Х.Н., Бахрамов С.А., Кучкаров М.А. Методы моделирования тепловых полей бикубическими сплайнами. Автоматика и программная инженерия. 2018, №1(23) с. 96-103.

[8] Зайнидинов Х.Н., Махмуджанов С.У., Тожибоев Г.О. Сплайн-вейвлеты и их применение в задачах восстановления сигналов. Автоматика и программная инженерия. 2019, №2 (28), С. 71-78.

[9] Богданов В.В., Волков Ю.С. Условия формосохранения при интерполяции кубическими сплайнами. 2019. https://www.researchgate.net/publication/3 33602092.

[10] Dianaryay Singh, Madhusudan Singh, Hakinyon Zaynidinov. Signal Processing Applications Using Multidimensional Polynomial Splines. Springer Briefs in Applied Sciences and Technology Series, Springer, Singapore. ISBN-978-981-13-2238-9. 2019.

[11] Hakimion Zaynidinov, Madhusudan Singh, Dhananiay Singh Polynomial Splines for Digital Signal and Systems (Монография на англиском языке). LAMBERT Academic publishing, Germany, 2016. 208 p.

[12] Zaynidinov H.N., Jovliev S. Modeling Specialized Processor Signal Processing Based on Haar Wavelet. Proceedings of International Conference on IT Promotion

ftЙ

Хакимжон Насиридинович Зайнидинов - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Информационных технологий Ташкентского университета информационных технологий имени Мухам-мада ал-Хорезми. E-mail: tet2001 @rambler.ru

Муслимжон Адхамжон угли Кучкаров докторант Информационных технологий Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада ал-Хорезми. E-mail:

muslimion1010 @gmail .com

Статья поступила 07.02.2020

Modeling of Geophysical Fields with Local Parabolic Splines

Kh.N. Zainidinov, M.A. Kuchkarov Tashkent University of Information Technology

Abstract. The work is devoted to modeling complex geophysical fields based on a local interpolation parabolic spline function. The use of local interpolation spline functions to build mathematical models of digital processing and restoration of various geophysical signals is currently relevant for solving practical problems. A multidimensional spline is an example of a function of several variables when a combination of functions is given, each of which depends on one independent variable. As an example, preliminary experimental data were taken - two-dimensional geophysical signals (geophysical field). A mathematical model is constructed on the basis of a local interpolation cubic spline. An algorithm and a program for modeling a two-dimensional field in the MatLab environment are also developed. The simulation results are presented in graphs.

Key words. Interpolation, spline function, cubic spline, local spline, parabolic spline, interpolation spline, spline defect, multidimensional spline, mathematical model, forecasting, precursor, abnormal changes, electromagnetic measurements, magnetic field, acoustic vibrations, gravitational field, interpolation error

References

[1] Zav'yalov YU.S., Kvasov B.I., Miroshnichenko I.L. Metody splayn - funktsiy. - M.: Nauka, 1980. 352 s.

[2] Israilov M.I., Bakhromov S.A. Ob odnom lokal'nom interpolyatsionnom kubicheskom splayne i nekotoryye yego prilozheniya. Tezisy dokladov III seminara -soveshchaniya Kubaturnyye formuly i ikh prilozheniya. Ufa - Krasnoyarsk, 1995. S.17.

[3] Sergiyenko A. B. Tsifrovaya obrabotka signalov. Izd. 2-ye. Spb: Piter, 2006. 751 s.

[4] Svin'in S.F., Zaynidinov KH.N. Kompleks programm dlya issledovaniya geofizicheskikh poley. Tezisy dokl. Mezhdunarodnoy konferentsii «Regional'naya informatika». Sankt-Peterburg, 22-24 iyunya, 2004. S.244.

[5] Svin'in S.F. Bazisnyye splayny v teorii otschotov signalov.-Spb.: Nauka, 2003. -118s.

[6] Svin'in S.F. Diskretizatsiya na osnove lokal'nykh splaynov pri izmereniyakh signalov konechnoy dlitel'nosti. Metrologiya. -1998. №4. S.28-33.

[7] Zaynidinov KH.N., Bakhramov S.A., Kuchkarov M.A. Metody modelirovaniya teplovykh poley bikubicheskimi splaynami. Avtomatika i programmnaya inzheneriya. 2018, №1(23) s. 96-103.

[8] Zaynidinov KH.N., Makhmudzhanov S.U., Tozhiboyev G.O. Splayn-veyvlety i ikh primeneniye v zadachakh vosstanovleniya signalov. Avtomatika i programmnaya inzheneriya. 2019, №2 (28), S. 71-78.

[9] Bogdanov V.V., Volkov YU.S. Usloviya formosokhraneniya pri interpolyatsii kubicheskimi splaynami. 2019. https://www.researchgate.net/publication/333602092.

[10] Djananjay Singh, Madhusudan Singh, Hakimjon Zaynidinov. Signal Processing Applications Using Multidimensional Polynomial Splines. Springer Briefs in

Applied Sciences and Technology Series, Springer, Singapore. ISBN-978-981-13-2238-9. 2019.

[11] Hakimjon Zaynidinov, Madhusudan Singh, Dhananjay Singh Polynomial Splines for Digital Signal and Systems (Monografiya na angliskom yazyke). LAMBERT Academic publishing, Germany, 2016. 208 p.

[12] Zaynidinov H.N., Jovliev S. Modeling Specialized Processor Signal Processing Based on Haar Wavelet. Proceedings of International Conference on IT Promotion in Asia 2011, September, 26-27, 2011, p. 314-318, Tashkent, Uzbekistan.

Xakimjon Nasriddinovich Zaynidinov - Doctor of Technical Sciences,

Professor, Head of the Department of Information Technology of the Tashkent University of Information Technologies named after

IM

Muhammad al-Khorezmi. E-mail: tet2001 @rambler.ru

Muslimjon Adhamjon ugli

Kuchkarov - doctoral student of Information Technologies of the Tashkent University of Information Technology named after Muhammad al-Khorezmi. E-mail:

muslimjon1010 @gmail .com

The paper has been received on 07/02/2020