Использование пакета динамической геометрии dg для построения сечений многогранников

Раздел I. Алгебра и геометрия Н.С. Вагина

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА ДИНАМИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ DG ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Эффективность использования компьютерных технологий в обучении математике убедительно доказана многочисленными научными исследованиями и подтверждена школьной практикой. На сегодняшний день фактически все действующие в Украине государственные программы по математике (Математика. 5-11 классы [5]; Математика. 5-12 классы [6]) содержат рекомендации относительно применения в учебном процессе различных педагогических программных средств. Особой популярностью в учительском, ученическом и студенческом сообществах Украины (наряду с программой MathCAD) пользуются хорошо известные за рубежом программные продукты, созданные украинскими учеными. Это программный комплекс GRAN (М.И. Жалдак, Ю.В. Горошко, Е.Ф. Винниченко [3; 4]) и пакет динамической геометрии DG (С.А. Раков, В.П. Горох, К.А. Осенков [2]). Компьютеризация значительно расширяет познавательные горизонты школьного математического образования, в значительной мере способствует развитию интереса учащихся к исследовательской математической деятельности. Однако, несмотря на наличие огромного количества методических разработок и изданных учебных пособий, ещё не все аспекты применения отдельных компьютерных программ, рассчитанных на поддержку обучения математике, освещены достаточно полно и исчерпывающе. Возьмём, к примеру, такую актуальную для старшей школы проблему как решение конструктивных задач на построение сечений многогранников в компьютерных средах. На дидактической и развивающей роли этих задач (на построение сечений), их прикладном значении многократно акцентировали внимание авторитетные учёные-методисты (в частности - З.И. Слепкань [4]). Учитывая это, нельзя также упускать из виду тот момент, что программой 12-летней школы (переход к которой сейчас осуществляется в украинской системе школьного образования) на изучение геометрических тел и поверхностей предусматривается не так много времени - 20 часов, а стандартные требования к уровню подготовки учащихся предъявляются достаточно серьезные. В [8, 46] отмечается, что при изучении этой темы важное место необходимо отвести обучению изображениям пространственных фигур на плоскости и применению этих изображений при решении задач, а также обеспечить: распознавание учащимися основных геометрических тел и их элементов; формирование (у учащихся) умений изображать основные геометрические тела, их элементы и сечения;

формирование (у учащихся) умений вычислять основные элементы простейших геометрических тел, устанавливать свойства геометрических фигур, применять геометрические тела для моделирования.

Трудности реализации перечисленных требований в условиях ограниченного бюджета времени представимы даже для учителей с небольшим стажем работы. К тому же проблему, связанную с решением задач на построение сечений, усложняет ещё то, что подборки рабочего материала в учебниках весьма малочисленны. Например, в учебнике [1] таких задач всего 6. И здесь реальным средством активизации познавательной деятельности учащихся, дифференциации содержания обучения и интенсификации учебного процесса выступает применение компьютерных технологий. Прекрасные результаты даёт, например, использование программы GRAN-3D. Наглядность, эстетичность полученных чертежей, доступность управления этой программой, которое может осуществляться с использованием разных языков (украинского, русского, английского) дают возможность овладеть её инструментами большинству старшеклассников. Но следует заметить, что при всех отмеченных преимуществах указанной программы сам процесс построения сечения остаётся для школьника как бы скрытым. Его задача - правильно задать объект (исходный

многогранник) и фигуры, задающие сечение, а потом проанализировать полученный результат. То есть в этом случае исполнитель выступает только в роли грамотного пользователя персонального компьютера, а не непосредственного автора создаваемой конструкции. Отсюда, для смены позиции ученика в процессе решения задачи необходимо создать или найти такую компьютерную среду, в которой его действия максимально соответствовали бы деятельности «в ручном» режиме, то есть при построении сечений традиционными способами. Поиск возможных путей выхода из сложившейся ситуации и решений отмеченной проблемы привели к мысли: а нельзя ли с целью обучения построениям сечений попробовать использовать планиметрические программы? Эта (только на первый взгляд парадоксальная идея) с точки зрения теории и методики обучения математике абсолютно не противоречива. Если проанализировать необходимые в этих случаях действия и операции, то очевидно, что для решения подобных задач ученик должен не только правильно изобразить исходные данные, но и отобразить на плоскости весь комплекс дополнительных построений и выделить конечные результаты (результат).

При поиске конкретного программного средства выбор был сделан в пользу пакета динамической геометрии DG, в первую очередь - с учётом её широких функциональных возможностей и характеристик. Остановимся на некоторых из них.

Программное средство «Пакет динамической геометрии DG» специально создано для поддержки школьного курса планиметрии и, по своей сути, является компьютерной деятельностной средой для геометрических экспериментов [2]. Его прямое предназначение - использование учителями математики и учащимися на уроках. По мнению разработчиков и методистов-исследователей, основная цель использования DG - создание для учащихся возможности самостоятельного открытия геометрии путём экспериментирования на компьютере - определяет место и роль данного средства в учебном процессе. DG также можно эффективно использовать с методическим целями: для иллюстраций (при решении задач и доказательстве теорем), построения графиков функций, создания и использования интерактивных учебных материалов. Дидактические возможности DG достаточно широкие [2]:

- организация компьютерных экспериментов и исследований, выдвижение и визуальная проверка гипотез, поддержка конструктивного направления в обучении;

- моделирование геометрических построений с помощью компьютерных аналогов циркуля и линейки, исследование полученных результатов, произведение измерений и проведение вычислений (посредством создания динамического выражения);

- создание динамических иллюстраций, интерактивных учебных пособий, электронных справочников, использование комментариев, подсказок, гиперссылок и др.

К важнейшим достоинствам DG можно отнести его динамические качества - мгновенное изменение всех зависимых построений при смене отдельных исходных параметров, а также возможность пошагового воспроизведения построения (как в прямом, так и в обратном порядке).

Примечательно, что авторы предусмотрели информационную помощь по сопровождению и технической поддержке использования этого программного средства в учебном процессе, которую пользователи могут получить, обратившись по электронному адресу dghelp@ukr.net, что особенно ценно для сельских школ.

Поскольку функциональные возможности DG детально описаны в специальной литературе, в частности - в уже упоминавшемся источнике [2], перейдём непосредственно к рассмотрению конкретных примеров, для чего сначала обратимся к рассмотрению панели управления программой и некоторым вспомогательным моментам.

Главные объекты геометрической среды, обеспечивающие функциональность DG, это точки и фигуры. Именно с их помощью практически обеспечиваются построения любой сложности достаточно ограниченным количеством основных инструментов. Внешний вид панели инструментов программы DG приведён на рисунке 1:

Файл Правка Вид Фигуры Макрось Настройки Справка

& н « Г- аЬс аЬ| ^ М ?

Ь 0 / ////уу: О о э ° ° \ ° -т/ —г. 0° X © X X э о ф Ф

Рис. 1. Панель инструментов БО

Построение изображений многогранников основных видов (прямых и наклонных призм, параллелепипедов, пирамид), як правило, не вызывает у учащихся особых затруднений. Хотя в этой связи следует обратить внимание на обучение построениям изображений отдельных многоугольников (как оснований многогранников) в пространстве. Например, целесообразно показать старшеклассникам такие способы изображения правильных шестиугольников (рис. 2а-2в), как способ «бабочки» (рис. 2 а) и способ параллелограмма (рис. 2 б), которые хотя и отличаются своими названиями, рассчитанными на лучшее запоминание, а по сути, базируются на одних и тех же свойствах фигур.

а) б) в)

Рис. 2. Способы пространственного изображения правильного шестиугольника

На рис. 3а-3б можно увидеть уже готовые изображения прямой и наклонной призм, в основаниях которых лежат правильные шестиугольники.

а) б)

Рис. 3. Чертежи призм, построенные с использованием БО

В своей последующей работе над решением задач в компьютерной среде Бв учитель (и ученики) для воспроизведения изображений многогранников нужного вида могут воспользоваться загрузкой заранее созданных макросов.

Для обоснования изложения следующего материала остановимся на таких методах построения сечений многогранников как метод следов, параллельного проектирования и метод, основанный на специфических свойствах отдельных пространственных тел.

Задача 1. Построить диагональные сечения прямоугольного параллелепипеда и найти их общую часть.

Анализ. Для того чтоб найти искомый результат - отрезок, нужно сначала построить два диагональных сечения, после чего - прямую, по которой они пересекаются, и её часть, т.е. тот самый отрезок, который принадлежит одновременно обоим сечениям.

Последовательность построений представлена на рисунках.

1 шаг

Загружаем изображение прямоугольного параллелепипеда

2 шаг

Проводим параллельные прямые, содержащие диагонали и задающие диагональное сечение

5 шаг

Воспользовавшись инструментом "точ-ка пересечения" найдём точки пересечения искомой фигуры с поверхностью паралел-лепипеда и выделим искомый отрезок МО

Достаточно простое доказательство к этой задаче, имеющей единственное решение, можно выполнить устно.

Задача 2. Построить сечение куба плоскостью по трём точкам на его рёбрах. Не прибегая к детальному описанию построения (как это было, к примеру, в задаче 1), воспользуемся методом следов и покажем конечный результат: выполненные построения для произ-

вольно заданного положения исходных точек (рис. 4а), а также графические исследования возможных видов получаемых сечений в зависимости от смены положений трёх базовых точек (рис. 4б-4г).

Рис. 4 а

Рис. 4 г

Рис. 4 в

Не менее эффективно в среде БО строятся сечения других многогранников (рис. 5), решаются задачи на применение метода параллельного проектирования (рис. 6), а также задачи с несколькими или неявно заданными сечениями (рис. 7-9).

Рис. 5. Сечение призмы

Рис. 6. Сечение пирамиды

/

/ Bil у/

\ / /

! // /

/

Рис. 7. Задача с двумя сечениями Рис. 8. Построение тетраэдра Рис. 9. Октаэдр

Хотя формат статьи не позволяет более широко раскрыть многие преимущества функциональных и исследовательских возможностей DG при решении стереометрических задач некоторых определённых видов, отметим, что убедительное подтверждение этому было получено в ходе эксперимента, проведённого на базе ряда школ Запорожской области и Бердянского государственного университета. Основные выводы, сделанные по результатам проведённой научно-экспериментальной работы, такие:

параллельное применение различных компьютерных программ при обучении школьников решению задач на построение сечений многогранников (и конструктивных стереометрических задач в целом) позволяет добиться значительного улучшения в усвоении программного материала и развитии пространственного воображения учащихся; - для обеспечения более полной и системной работы по формированию у школьников устойчивых навыков и умений решать планиметрические и стереометрические задачи на построение целесообразно предложить включение в список дисциплин вариативной части учебных планов специальный курс «Конструктивные геометрические задачи в компьютерных средах».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бевз Г.П. Геометрш 10-11. Шдручник для 10-11 клаав загальноосвггшх навчальних закладш. К.: Вежа, 2001. 222 с.

2. Вщкриття геометри через комп'ютерш експерименти в пакета БО / Раков С.А., Горох В.П., Осен-ков К.О. та ш.: за ред. С.А. Ракова, В.Ю. Бикова. Х.: Вид-во ХДПУ, 2002. 134 с.

3. Жалдак М.1., Горошко Ю.В., Вшниченко £.Ф. Математика з комп'ютером. К.: РННЦ "Дшгт",

2004. 168 с.

4. Зображення багатогранниюв [ побудова 1хшх плоских перер1з1в / Слепкань З.1. Методика навчання математики: тдручник. К.: Вища школа, 2006. С. 463-468.

5. Програма для загальноосвгттх навчальних закладш. Математика 5-12 класи. К.: Перун, 2007. 64 с.

6. Програми для загальноосвгттх навчальних заклад1в. Математика. 5-11 класи. К.: Шкшьний свгт,

2005. 62 с.

О.Б. Кожевников ОБ ОДНОЙ ОПЕРАЦИИ НА КЛАССАХ ПОЛУГРУППОИДОВ

Частичный группоид 8, удовлетворяющий условию

1)

для любых х, у, /е 8 таких, что определено хотя бы одно из произведений (ху) /. х (у/), называется полугруппоидом. Иначе, полугруппоид - это нулевое ограничение (нулевое сужение [5]) полугруппы. Понятие полугруппоида введено и исследовалось [1] В.В. Вагнером. Все неопределяемые термины взяты из монографий [3], [4], [5].

Полугруппы - это в точности те полугруппоиды, операция в которых всюду определена, т.е. полные полугруппоиды. Поэтому любое утверждение о полугруппоидах влечет очевидное следствие для полугрупп.

На полугруппоиды естественным образом переносятся многие полугруппповые понятия. Например, 8 - инверсный (коммутативный, примитивный) полугруппоид, если его нулевое

расширение 8°=8и{0} - инверсная (коммутативная, примитивная) полугруппа; I - идеальная эквивалентность Грина на полугруппоиде, если Ю{0,0} - соответствующая эквивалентность Грина на полугруппе 8° и т.д. Элементы полугруппоида I - эквивалентны, если они порождают