Приведение матриц квадратичных форм к взаимно упрощенным

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

УДК 512.647.2 M.A. Новиков,

к.ф.-м.н., с.н.с., Институт динамики систем и теории управления СО РАН, (г. Иркутск),

тел. 8(3952) 45-30-96

ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ _К ВЗАИМНО УПРОЩЕННЫМ_

M.A. Novickov

REDUCTION OF MATRICES OF QUADRATIC FORMS TO RECIPROCALLY SIMPLIFIED ONES

Аннотация. В статье изложено приведение линейным вещественным конгруэнтным преобразованием двух симметрических матриц к наиболее простым - взаимно упрощенным матрицам. Это имеет отношение к одновременно не диагонали-зируемым матрицам A и B. Составлены типовые простейшие виды таких матриц в случае комплексных решений характеристического уравнения пучка матриц и в случае кратных вещественных корней характеристического уравнения с непростыми элементарными делителями. Составлена схема получения главной матрицы линейного конгруэнтного вещественного преобразования. Установлено, что она состоит из собственных и присоединённых векторов матрицы

(А^ В) с дополнительной специфической параметрической матрицей. Составленный алгоритм сопровождается поясняющим примером.

Ключевые слова: матрица, собственные значения, собственный вектор, присоединённый вектор, линейное вещественное конгруэнтное преобразование, квадратичная форма.

Abstract. The paper discusses the problem of reduction of two symmetric matrices to reciprocally simplified ones with the aid of a linear real congruent transformation. This relates to simultaneously non-diagonalizable matrices A and B. Typical simplest kinds of such matrices for the case of complex solutions of the characteristic equation for the bundle of matrices as well as for the case of multiple real roots of the characteristic equation with nontrivial elementary divisors have been constructed. The scheme of obtaining the main matrix of the linear congruent real transformation has been constructed. It has been discovered that it consists of eigenvectors and adjunct

vectors of matrix (A^ ^ 5) with an additional specific parametric matrix. The algorithm constructed is complemented with an explaining example.

Keywords: matrix, eigenvalues, eigenvector, adjunct vector, linear real congruent transformation, quadratic form.

Введение

В задачах качественной теории дифференциальных уравнений, колебаний и теории устойчивости движения [1-5]] исследования значительно упрощаются после предварительного приведения двух или более матриц квадратичных форм к наиболее простому удобному для анализа виду. Такой предварительный подход позволяет в достаточной мере как проинтегрировать систему уравнений движения, так и провести её качественный анализ. Такими простыми матрицами в большинстве случаев могут быть диагональные. Часто возникают ситуации невозможности одновременной диагонализации одним вещественным преобразованием двух вещественных матриц квадратичных форм, но приведение их к более простым видам также даёт возможность продвинуться в анализе.

Конечно, важное место в упрощении занимает нормальная форма Жордана матриц A^B или BA{-1), но и она зачастую не может решить вопрос о простейших видах двух взаимно упрощенных матриц квадратичных форм. Основным препятствием к этому является то обстоятельство, что как до преобразования, так и после главными объектами остаются симметрические матрицы. Нормальная форма Жордана отслеживает только взаимную структуру двух матриц, оставляя преобразованные матрицы A и B необязательно в простом виде.

Потребность в классификации простейших видов двух и более матриц и их приведении к простейшим возникает при анализе механических, электрических и других систем, когда решение основной задачи об устойчивости затруднено общими методами.

Ввиду установившейся терминологии: «про-

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

стых», «простеиших», имеющих определённую направленность к структуре матриц, будем в дальнейшем называть такие одновременно не приводимые к диагональным матрицы «взаимно упрощенными». Далее вопрос приведения двух матриц A и B будет связан с матрицами двух квадратичных форм x'Ax и x'Bx, и соответствующее преобразование переменных x = Ty рассматривается при вещественной матрице T .

В статье изучены виды простейших взаимно упрощенных матриц квадратичных форм, не диа-гонализируемых одновременно, и исследованы вопросы, связанные с приведением к ним в общем случае линейным вещественным конгруэнтным преобразованием двух исходных матриц.

1. Простейшие виды матриц двух

квадратичных форм, не приводимых одновременно к диагональным

Исследование пучка двух квадратичных форм x Ax и x Bx опирается на характеристическое уравнение

f

Известно [6-7], что необходимыми и достаточными условиями одновременной диагонализа-ции конгруэнтным преобразованием двух вещественных симметрических матриц являются следующие:

1) характеристическое уравнение det(B— Л A) =0 допускает только вещественные решения,

2) элементарные делители (B — Л A) все являются простыми.

Для одновременной неприводимости к диагональным будем рассматривать невыполнение хотя бы одного из этих условий. Не оговаривая предварительных ограничений, приведем каким-либо вещественным конгруэнтным преобразованием матрицы A и B к квазидиагональным

T'AT = AA2,—,A,}, T'BT = BB2,...,B,}, где диагональные блоки разделяются по отношению к кратным и комплексным корням уравнения (1.1). При этом вид взаимно упрощенных матриц будет определяться одноимёнными блоками Ai, Bi (i = 1,2,..., l). Далее рассмотрим все случаи нарушения условий одновременной диагонализа-ции двух матриц.

1.1. Комплексные решения характеристического уравнения

Проведем исследование в простейшем случае одной пары комплексно-сопряженных корней уравнения (1.1):

Л = c + id, Л2 = c — id,

где с, / - вещественные; I - мнимая единица (/ 2= -1).

Линейное преобразование будем осуществлять с помощью главной матрицы [8], состоящей

из собственных векторов р(1 ), удовлетворяющих однородной системе линейных алгебраических уравнений

(б л)р(1 ) = 0,

где 1 = 1, 2, ..., п , Л1 - корни уравнения (1.1).

В рассматриваемом случае первые два собственных вектора пучка матриц находятся из уравнений:

(б-лл)р(1) = 0, (б- лЛ)р(2) = 0

и являются комплексно-сопряженными

(р(2) = Р(1)).

Из них составим два вещественных вектора:

,(0 = р (1)+ р (2), , (2) = -р1)-р(2)).

Тогда блоки Л и Б преобразуются в

A = 2

/

B = 2

V

c d d — c,

'1 0 4

V0 -1,

Если уравнение (1.1) допускает и другие комплексные корни

Л = т + ¡к, Л = т - ¡к, то, составляя так же линейное преобразование, получим другие блоки вида (1.2).

Ситуация не изменится и при кратных комплексных решениях уравнения (1.1) со всеми простыми элементарными делителями. Например, для матриц

A =

f1 0 0 0 1 f c d 0 1 1

0 —1 0 0 d —c —1 0

, B =

0 0 1 0 0 —1 c d

V 0 0 0 —ъ v 1 0 d — c,

существуют кратные комплексные корни уравнения (1.1): л= л = с + ¡л] с/2 +1, л = л4 =

= с - ¡л]/ 2 +1 с простыми элементарными делителями. Также существуют конструкции простейших матриц с непростыми элементарными делителями:

A =

f J 0 0 0 1

0 J\ 0 0

0 0 —J 0

V 0 0 0 —J,

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

В =

где обозначено

—а А 0

0 —А —а —А

—А 0 —А —ау

а =

•Л =

г 0 1 -1 0

V

В =

А =

п / 1

\

12

где 1[ = 11, 12 = 12. Симметрические матрицы 1, 12 можно задавать неоднозначно исходя из условия I]2 = 12 . В частности, такими простейшими матрицами можно полагать ( 0 0 0

11 =

000

0 1

0

0 0

а матрицу 12 одним из видов 12 = 11, или 12 = —11,

или 12 = Еп. Рассматривая различные варианты матрицы 12, придём к заключению, что типичной является ситуация 12 = 11 , а остальные сводятся к ней невырожденным преобразованием. Следовательно, простейшим видом взаимно упрощенных матриц можно полагать

с й й — с

V У

Возможны и большей кратности комплексные простые и непростые корни с соответствующей структурой.

Следовательно, структура взаимно упрощенных матриц в случае комплексных решений характеристического уравнения будет выражаться

видом (1.2) и более сложными видами (1.2) или (1-2").

1.2. Вещественные корни с непростыми элементарными делителями характеристического уравнения

В простейшем случае здесь рассмотрятся матрицы А и В, для которых уравнение (1.1) содержит единственный, к тому же вещественный, непростой корень Л = а кратности К.

Способом Лагранжа или по теореме Якоби [8] определим в квадратичной форме х'Ах, х е ЯК положительных щ и отрицательных т2 полных квадратов (т1 + т2 = К).

Простейший случай представится при т1 = т2= п (здесь К = 2п). Тогда наиболее простые матрицы А и В квадратичных форм х'Ах и х'Вх можно представить в виде (Еп 0 >| 0 — Е„

А* —

0 — Е„

В» —

11 | (— аЕп +11V

Рассмотрим дальше структуру элементарных делителей матрицы (а—1 В» ). Для этого матрицу (В* — ЛА*) элементарными преобразованиями приведем к эквивалентной

г(а — л)2 Еп 0

0

—Е,

п У

Легко проверить с помощью инвариантных многочленов [8], что последняя Л-матрица соответствует цепочке п квазидиагональных блоков (В — ЛА) = а(лж (Л),

где

^({а — л) 1 >| 1 I 0 (а — Л))' а матрицы Q1, Q2 не вырождены. Следовательно, имеет место

Замечание 1. Если матрицы А и В совместно приводятся к виду (1.4), то каждому собственному вектору соответствует только один присоединенный вектор.

В общем случае могут содержаться и одновременно диагонализируемые блоки А1+1, В1+1, соответствующие тому же корню Л = а характеристического уравнения

йе((Вм —ЛАМ ) =0 . Тогда в совокупности с неприводимыми блоками число собственных векторов увеличится и будет превышать количество присоединённых. В этом случае для приведения лучшим способом является

разделение на блоки {А1, А1+! }, В, В+1}.

2. Приведение матриц к взаимно упрощенным

Составим алгоритм приведения неособым вещественным конгруэнтным преобразованием квадратные матрицы А и В к матрицам вида (1.4). Прямой поиск матрицы преобразования Т приводит к недоопределенной системе уравнений

л 2

второго порядка относительно 4 п элементов

ч

У

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

матрицы Т, где не очевидны методы решения. Поэтому будем опираться на развитую теорию собственных значений матриц и собственных векторов.

Нормальная форма Жордана для (л^б) с учетом структуры ранга и элементарных делителей матрицы (Б* - ЛЛ ) имеет вид

Л =

( аЕ,

Ек Л

V 0 аЕк,

Обозначим р(1), р(2), ..., р(п) а - собственные векторы матрицы (л-1 Б). Они находятся из матричного уравнения

Очевидно, решением (2.2) является п -параметрическое множество, в частности, их можно полагать фундаментальной системой решений. Присоединённые векторы определяются из неоднородной системы

(Б-аЛ)д(,) = Лр(,) (1 = 1,2,..., п). (2.3) Они так же представляют п -параметрическое множество. Конечно полагаемые решения (2.2) и (2.3) в общем случае не совпадают с столбцами матрицы преобразования

>)

Т = (г^, г,

,(2п)1

Поэтому введём в рассмотрение промежуточную матрицу преобразования

Т = {р

р -', ..., р(п), д(1), д-', ..., д составленную из произвольных линейно независимых собственных и присоединённых векторов. Представление такой матрицы соответствует замечанию 1. При этом для каждого собственного вектора достаточно ввести только один произвольный присоединённый вектор из набора п возможных. В результате этого преобразования исходные квадратичные формы примут вид

( Л 1 Л 0 Л — _ ____ (Б„ Б,Л

7

л = т;лт =

Л' V Л12

б = т;бт =

22

V Б12

Б

22 У

где блоки Л¡, 1, Б1 1 - квадратные матрицы поряд-

ка п (¡, 1 = 1,2), так что Л11 = лп, Л22= Л22,

Б11 = Б11, Б22 = Б22 .

Из выражения (2.2) можно записать соотно-

шения для собственных векторов: р(^ Б = ар-1 ^Л, а из (2.3) так же выразим

Бд{ 1) = аЛд[ 1'+ Лр1) (1,1 = 1,2, ., п). Тогда из последовательности равенств

р (У Бд{ 1) = р(1)' аЛд^-1) = ар( ' Лд('] + р(1' Лр( 1} получается

р(1'Лр1) =0 (1,1 = 1,2,..., п) . Последнее эквивалентно матричной записи Лп=0.

Так как р' Бр = ар Лр = 0, то р' Бр = 0 . Таким образом, получено Замечание 2. Если матрицы Л и Б неособым вещественным конгруэнтным преобразованием можно привести к взаимно упрощенным вида (1.4), то преобразование произвольной матрицей Т вида (2.4) получает блоки Л11, Бп равными нулю.

Это составляет существенное отличие от простых элементарных делителей, когда только диагональные элементы отличны от нуля.

Проведем аналогично вычисления матрицы Б22. Используя дважды равенство (2.3), составим:

д{'' аЛС1) + р('' Лд(' ] = с(1' аЛдЬ'] + д{'' Лр( 1}. Из последнего получим

рО)'лд(1) = с( Улр( 1) (1,1 = 1,2, к). Это матричное равенство так же можно записать следующим образом:

р Лд = д Лр,

или

Л12 = Л12.

Из равенства р' Бд = ар 'Лд следует Б12 = Б12. Следовательно, справедливо

Замечание 3.Если матрицы Л и Б неособым вещественным конгруэнтным преобразованием можно привести к взаимно упрощенным вида (1.4), то преобразование произвольной матрицей Т вида (2.4) получает симметрические внедиаго-нальные блоки Л , Б .

Так как матрица т1 допускает бесчисленное множество представлений, то составим его вместе с «параметрической матрицей» п [9] в виде

Т2= Т п ,

где п - «параметрическая матрица» [9] -применительно к данной задаче имеет вид

,(1).

,

Искомое преобразование х = Ту (у е Я2" ) квадратичных форм хЛх, х ' Бх к формам с соответствующими матрицами вида (1.4) для матрицы

(л- б) будет преобразованием подобия Т 1 (л^б)т = л .

П =

0

ёа ^ * 0

а матрицу т1 тогда будем называть «корневой».

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

Это обосновано: здесь столбцы г^ (/ = 1,2,..., п) являются линейной комбинацией собственных (поэтому блок П21 = 0), а

состоят из соответст-

векторов

О = п +п + 2,  ., 2п) вующих им присоединённых векторов и некоторой линейной комбинации собственных. При таком выражении параметрической и корневой матриц вид Л не изменится, а матрицы квадратичных форм уАу и у'Ву примут вид

А =' П А П =

( 0 А ' А12

V А12 А22 у

( 0 В12

V В12 В22 у

а =

v" Еп

Первое уравнение определяет элементы матрицы Б и представляет уравнения второй степени относительно Б^у ^ (/, ] = 1,2, п). Второе уравнение (2.5), линейное относительно элементов Б2, полностью доопределяет параметрическую матрицу П. При этом как первое, так и второе матричные уравнения (2.5) допускают бесчисленное множество решений.

Продемонстрируем сказанное на следующем примере.

П р и м е р 1. Пусть заданы матрицы:

В = П 'В П =

где

А12 = S!A!2S!, А22 = S!A!2S2 + Б2А12Б1 + S!A22S!,

В12 = Б1В12Б1, В22 = Б1В12Б2 + S2B!2S! + Б1В22Б1 • Чтобы получить искомое преобразование Т, необходимо ещё дополнительно найти преобразование подобия Q , выполняющее перевод матрицы

Л в * ). Для этого вначале найдем обратное

к нему преобразование Q1 = , приводящее

(А,"1 В

) к Л . Последнее находится значительно проще, и, в частности (ввиду неединственности решения), может быть таким:

( Епк (Еп + II " Е„

А =

(-3 3 4 7 '

3 0 - 2 -1

4 - 2 - 3 - 6 7 -1 - 6 - 4

В =

(-6 18 17 35'

18 16 - 6 24

17 - 6 -18 -17

V35 24 -17 34 у

Обратное к нему преобразование легко вычисляется:

Q = о!-!) = [-/1 -{Е]+11 )1.

v у

Таким образом, преобразование

К = па = ({г + ^ -Б + ^

v у

приводит матрицы А , В к А , В •

Для нахождения элементов параметрической матрицы достаточно составить дополнительное

условие, сводящееся к ЯА1Я = А,. Это матричное

равенство, составленное по четырём блокам, ввиду симметрии внедиагональных блоков согласно замечанию 3 и одинаковых (но разных по знаку) диагональных блоков по построению элементарными преобразованиями сводится к уравнениям:

i Бх'А12Б1 = 11, |^Б1А12Б2 + Б2 А12Б1 = Ек + 211 - S!A22S!.

Характеристическое уравнение здесь / (л) = с1ег(В -ЯА) = (Л - 2)4 = 0 имеет корень Л = 2 кратности 4. Легко посчитать гапк(А^В - 2Е) =2. Найдем из системы уравнений (2.2) два произвольных линейно независимых собственных вектора: р(1) = (1,1,1, -1) ,

= (-10,13-8,-4) . При нахождении присоединенных векторов вычислим матрицу

А^» В =

хотя для этой цели можно использовать формулы (2.2) и (2.3). Каждому собственному вектору поставим в соответствие присоединённые произвольные векторы: д= (2, 7, 2, - 5) , = (1, - 6, 2,3) . Корневая матрица здесь будет следующей:

23 38 4 63 '

- 48 - 98 -19 -167

15 26 4 43

21 46 10 79 У

( 1 -10 2 1 '

1 13 7 - 6

1 - 8 2 2

V- 1 - 4 - 5 3 У

Т1 =

В результате преобразования согласно замечаниям 2 и 3 получится

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

Г 0 0 -2 7 1

0 0 7 - 24

- 2 7 -14 27

, 7 - 24 27 -I7,

А = Т[АТХ =

Параметрическую матрицу представим такой

П =

а а

а

а4 Ь3

Ь Ь21 ь

0 0 а а

ч 0 0 а3 а4 у

(

^2 =

Л

V х3

и у

приводит к системе:

2(х - 4х4) = 26

- х + ^ + 3х3 - 4х4 = -24сш 2(- х2 + 3х4 ) = -18.

Последняя линейная система недоопределе-на, поэтому существует множество решений, и одним из них можно выбрать

5 2 =

г 9 6 1 -1 -1

V " у

Тогда окончательное преобразование запишется как

т2 = т1*

Г-4 -3 9

-1 -1 -1

0 0 -4

V 0 0 -1

а * а4 - а * а =1 •

Первое уравнение (2.5) задает систему: -2а1 + 14а1а3 - 24а| = 0 -2аа + 7а1а4 + 7а2а2 - 24а3а4 =14 -2а| + 14а2а4 - 24а| = 0. При обозначении с1 = а1/а3, с1 = а1/а3, с2 = а2/а4 последняя система сводится к с2 - 7с +12 = 0 с2 - 7с2 +12 = 0

2с с2 -7(с + с2)+ 24= -1/а3 а4.

Из первых двух квадратных уравнений получим в качестве решений: с =4; С = 3; с2 =4 ; с2 =3 . Тогда можно полагать: а1 = -4, а2 = -3, а3 = -1, а4 = -1 (набор значений с =4, с2 =3 , с3 =1, с4 = 1 не дает какого-либо другого, отличного от полученного, решения), а третье уравнение выполняется и система совместна.

Второе уравнение (2.5) при обозначении

Г 2 1 -4 -31

-6 - -9 11 7

1 3 -3 -2

V 3 4 -5 -3 у

В результате получим

Г1 0 0 01

А= Т АТ2 = 0 0 1 0 0 -1 0 0

V 0 0 0 -1,

'2 1 0 1 1

В= Т ВТ2 = 1 0 2 1 1 -2 0 1

1 0 1 - 2 у

Следовательно, матрицей Т = Т2 можно осуществить преобразование исходных матриц А и В к взаимно упрощенным.

Количество собственных векторов преобразования определяется дефектом матрицы (В - АЛ). В ситуации, когда гапк1у = гапк12 < п, количество собственных векторов п1 (п1 > п ) системы (2.2) преобладает над числом п2 (п2 = 2п - п1 < п) присоединённых векторов. В этом случае матрицы А и В содержат блоки Л12, В12 размерности п1 х п2. Здесь так же имеются нулевые блоки А11, Вп, состоящие из квадратных матриц порядка п1 . Такую же структуру имеет параметрическая матрица. Для отделения части диагонализируемых блоков от недиагонализируемых пучка матриц (В - аА) следует предварительно выполнить преобразование переменных х = Т0у с помощью матрицы

,(п1) е(п1 +1) . е(2п)1

Т = Ь(1), р(2),..., Рп), е(п

где р ' - собственные векторы матрицы (В - аА) (г = 1,2, ..., п1) ; е(]^ - произвольная система линейно независимых с р(^ векторов (] = пх +1, ..., 2п). В соответствии с замечанием 2 блоки А11,

Системный анализ. Моделирование. Транспорт. Энергетика. Строительство

В11 порядка п1 будут равны нулю, и часть строк матриц А12, В12 размерности (п1 х п2) (где п2=2п - п1) в количестве 2(п1 - п) также равна нулю. Выделяя соответствующие нулевые строки, отделим одновременно диагонализируемые в пучке матриц (В -ла) блоки. Остальные упрощаются по ранее описанной схеме.

упрощенных матриц не установившимся, и вопрос

мат-

непростых элементарных делителях рицы А и В одновременно не могут быть приведены к диагональным. И преобразование к нормальной форме Жордана в преобразованных матрицах А и В получает на главной диагонали нулевые блоки порядка, равного рангу (В-ЛА).

3. Заключение

В статье составлена классификация не при- 1 водимых одновременно к диагональным одним вещественным преобразованием двух симметрических матриц. Предложены типовые виды взаимно упрощенных матриц в зависимости от вещественности корней характеристического уравнения и структуры элементарных делителей. Конечно, тип 3

2.

4.

об их простейшем виде остаётся открытым.

Показана схема построения вещественного конгруэнтного преобразования, приводящего мат- 5 рицы к виду (1.4). В общем случае главная матрица линейного преобразования двух матриц строит- 6 ся из собственных и присоединенных вещественных векторов. Выявлен неочевидный факт, что при построении главной матрицы преобразования каждому собственному вектору ставится в соот- 7 ветствие только один присоединённый вектор (хотя их общее количество задается дефектом матрицы (В - аА)). Окончательное линейное преобразо-

8.

вание доопределяется специальной параметрической матрицей. Нахождение последней опирается на решения уравнений второй степени от меньшего 2п числа переменных.

Установлено, что в случае кратных вещественных корней характеристического уравнения и

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений. Т. 2. // М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. - C. 7-263. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. -535 с.

Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. -М.: Наука, 1973. 206 с. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. - М. : Наука, 1971. 312 с. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М. : Наука, 1966. - 530 с. Новиков М.А. О диагонализации матриц трёх квадратичных форм. // Иркутск: Оптимизация, управление, интеллект, 2000, № 5, часть 1. - С. 150-156.

Новиков М.А. О диагонализации матриц трёх квадратичных форм. // Иркутск: Вестник Иркутского Государственного Технического Университета, 2005, № 4 (24). - С. 160-166. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. - 576 с.

Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. - 718 с.