О структуре конечных циклических полуколец с идемпотентным коммутативным сложением

НА СТАВНИК- УЧЕНИК

Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 2 (23). 2017

УДК 512.55

О СТРУКТУРЕ КОНЕЧНЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОЛУКОЛЕЦ С ИДЕМПОТЕНТНЫМ КОММУТАТИВНЫМ СЛОЖЕНИЕМ

Д. В. Чупраков, А. В. Ведерникова

Статья посвящена исследованию конечных идемпотентных циклических полуколец с коммутативным сложением. Авторами установлен критерий существования конечного идемпотентного циклического полукольца с коммутативным сложением, заданного идеалом целых неотрицательных чисел, получены оценки числа элементов КИЦП. Сформулированы алгоритмы вычисления числа элементов по образующим ассоциированного идеала целых неотрицательных чисел.

Ключевые слова: полукольцо, циклическое полукольцо, идемпо-тент, идеал, натуральное число.

1. Введение

Статья посвящена исследованию конечных идемпотентных циклических полуколец (КИЦП) с коммутативным сложением. Впервые задача изучения циклических полуколец — полуколец с мультипликативным образующим элементом — поставлена Е. М. Вечтомовым [4] в 2000 году. Дальнейшие исследования ведутся в двух направлениях (см. обзор Е. М. Вечтомова [7]).

Во-первых, Е. М. Вечтомовым и И. В. Орловой [5, 6, 8, 9] исследуются циклические полукольца с некоммутативным сложением. В статье [5] получено описание конечных идемпотентных циклических полуколец с некоммутативным сложением через циклические полуполя и коммутативные конечные идемпотентные циклические полукольца.

© Чупраков Д. В., Ведерникова А. В., 2017.

Во-вторых, Е. М. Вечтомовым и А. С. Бестужевым, а в дальнейшем Д. В. Чупраковым и А. В. Ведерниковой [3] изучаются конечные циклические полукольца с коммутативным сложением. В работе [1] А. С. Бестужевым начато изучение конечных идемпотентных циклических полуколец с коммутативным сложением: установлено, что свойства операции сложения в конечном идемпотентном циклическом полукольце определяются элементами, непосредственно большими 1; в терминах полурешеток описаны идемпотентные конечные циклические полукольца, представимые полурешетками ширины т ^ 3. В работе [3] А. В. Ведерниковой и Д. В. Чупраковым предпринята попытка преодоления необходимости полного перебора, предпринятого А. С. Бестужевым. Рассмотрены подходы к алгебраическому описанию КИЦП с коммутативным сложением. Задача описания конечных идемпотентных циклических полуколец сведена к исследованию порядковых свойств идеалов целых неотрицательных чисел. В результате выявлена проблема оценки количества элементов КИЦП.

Решению этого вопроса посвящена настоящая статья. Выделим следующие результаты: критерий существования КИЦП Б, заданного идеалом целых неотрицательных чисел (теорема 1); алгоритм вычисления числа элементов КИЦП Б (следствие 1), опирающийся на порядковые свойства элементов КИЦП Б; алгоритм вычисления числа элементов конечного идемпотентного циклического полукольца Б, заданного двухпо-рожденным идеалом целых неотрицательных чисел (теорема 2), опирающийся на алгебраические и теоретико-числовые свойства показателей элементов Б.

2. Основные понятия и факты

Под полукольцом Б мы понимаем алгебраическую структуру (Б, +, •) с коммутативно-ассоциативными операциями сложения «+» и умножения «•», связанными аксиомой дистрибутивности х(у + г) = ху + хг для всех х,у, г Е Б.

Полукольцо Б называется (аддитивно) идемпотентным, если для любого элемента в из полукольца Б выполняется равенство в + в = в.

Полукольцо с 1 называется циклическим, если все его (ненулевые) элементы являются целыми неотрицательными степенями некоторого элемента а Е Б, называемого образующим Б, при этом 1 = а0.

Далее в статье рассматриваются конечные циклические полукольца с коммутативным сложением без нуля.

Пусть Б — конечное циклическое коммутативное полукольцо с образующим а и идемпотентным сложением без 0. Его элементы имеют вид:

1 = а0, а1, а2,... , an. Известно [2], что an = an+1 для любого конечного циклического коммутативного полукольца. Значит, циклическое полукольцо S однозначно определяется своим аддитивным редуктом. Рассмотрим полукольцо

Nn = < {0,1,...,n}, +,  )

с операциями, заданными для любых x,y Е {0,1,...,n} правилами

x + y = min {x + y,n}, x  y = min {xy,n}.

x,y,n£ No x,y,n&io

Через N0 мы будем обозначать полукольцо целых неотрицательных чисел.

На полукольце S введем порядок ^ следующим образом:

ak ^ а1 ^^ ак + а1 = а1

для любых k, t Е {0,1,... , n}. На полукольце Nn, в свою очередь, зададим порядок 4 правилом

k 4 l ^ ак ^ а1

для всевозможных k,l Е Nn.

Порядок 4 будем называть порядком, индуцированным КИЦП S, а упорядоченное полукольцо (Nn, 4) — полукольцом, ассоциативным c КИЦП S. Естественный линейный порядок на множестве Nn обозначим через

Ясно, что отображение log: аг ^ i устанавливает порядковый изоморфизм

Вводя на верхней полурешетке (Nn, 4) аддитивную операцию Vn правилом b Vn c = sup{b, c}, b,c Е Nn, получаем полукольцо

Nn = (Nn, Vn, +n),

изоморфное полукольцу S.

Для целых неотрицательных чисел b и c обозначим 5(b, c) = |b — c|. Бинарная операция 5 замкнута на множестве {0,1,... , n} и, следовательно, может быть рассмотрена как операция на Nn. На полукольце Nn имеет место аналог сократимости:

Лемма 1. [3, лемма 1] Пусть к,Ь Е Мп.

1) Если к + 5 = к + 5 < п для некоторого 5 Е N, то к = Ь.

2) Если 5(к, п) = 5(Ь, п), то к = Ь.

Отсюда в силу дистрибутивности умножения в КИЦП Б операция сложения однозначно задается суммами единицы со всеми его элементами аРк = 1 + ак, к Е {0,1,..., п}.

Значит, каждое КИЦП Б однозначно задается (п + 1)-элементным кортежем:

Операции Уп и + на полукольце N связаны следующим соотношением:

Ь Уп с = шт{Ь, с} + р6

Лемма 2. [3, предложение 2] Пусть КИЦП Б представлено кортежем (4). Тогда для любого г Е N справедливо неравенство рг ^ г.

Лемма 3. Для произвольных элементов к и I полукольца N с порядком индуцированным (п + 1)-элементным КИЦП Б, справедливы следующие импликации:

1) если к I, то к ^ I;

2) если к ^ I, то либо к I, либо к и I несравнимы.

Доказательство. Пусть на полукольце N с образующим элементом а задан порядок индуцированный (п + 1)-элементным КИЦП Б.

Справедливость импликации 1) следует из леммы 2.

Установим истинность импликации 2). Рассмотрим произвольные элементы к, I Е N с условием к ^ I. Если к = I, то утверждение леммы очевидно.

Пусть к < I ^ п, тогда существует 5 Е Мп, 0 < 5 < п, что к + 5 = I. Предположим, что I к, тогда а1 + ак = ак. Имеем ак+ё + ак = ак или, по лемме 1, аё + 1 = 1, следовательно, аё = 1. Значит, 5 = 0, что противоречит выбору 5. Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

3. Свойства верхнего конуса единицы КИЦП с коммутативным сложением

Рассмотрим произвольное КИЦП Б с коммутативным сложением. Обозначим через I множество всех компонент кортежа (4) КИЦП Б:

I = {рг : г Е {0,1,...,п}},

Множество I С N является множеством показателей элементов верхнего конуса {а°}Л единицы а0 КИЦП 5.

Лемма 4. Множество I, заданное правилом (5) для некоторого КИЦП Б, является множеством показателей элементов Б, выдерживающих прибавление единицы.

I = {к е {0,1,... ,п} : к = рк}.

Действительно, ар = 1 + аг = 1 + (1 + аг) = 1 + ар для любого г е Мп. Обратная импликация следует из определения (4) элемента рк.

Лемма 5. Для любых элементов а и Ь и идеала I полукольца Мп; ассоциированного с КИЦП Б, справедливо свойство:

а 4 Ь ^^ Ь = а + для некотого ] е I.

Доказательство. Для любых двух элементов а и Ь полукольца Мп, ассоциированного с КИЦП Б, отношение а 4 Ь по определению (1) равносильно отношению аа ^ аь, что, в свою очередь, по (2) и лемме 3, равносильно аь = аа + аь = аа(1 + ас) = аа+Рс, где Ь = а + с. При этом = рс е I. Иными словами Ь = а + .

Обратно, пусть Ь = а + и ^ е I, тогда = р? по лемме 4 и аь = аа(1 + а?) = аа + = аа + аь, что равносильно а 4 Ь.

Через Ik обозначим множество показателей элементов верхнего конуса {ак}△ МИКП Б. Ясно, что

Ik = I + к.

Предложение 1. Для любого КИЦП Б множество показателей I элементов кортежа (4) является идеалом полукольца N.

Доказательство. Пусть конечное идемпотентное циклическое полукольцо Б представлено кортежем (4). Покажем, что множество I, заданное правилом (5), выдерживает умножение на произвольный элемент из Мп. Иными словами, установим свойство р^ = ¿рг для любых

Рг е I, г е нга.

При грг ^ п имеем 1 + ап = ап и р4р = рп = п = ¿рг.

Проверим случай ¿рг < п. В силу идемпотентности полукольца Б для г = 0 имеем р° = 0. Предположим, что а(4-1)р = 1 + а(4-1)р. Имеем

а^ = ар а

tpi

1 + ар + а(4-1)к (1 + ар) = 1 + ар + а"-= 1 + ар (1 + а(4-1)р ) = 1 + .

Итак, утверждение верно для всевозможных рг Е I и для каждого целого неотрицательного числа Ь, что Ьрг < п.

Покажем теперь замкнутость множества I относительно сложения. Возьмем рг,р^ Е Мп. При рг + р^ ^ п свойство рр4+р^ — рг + рр^ выполняется. Пусть рг + р — ] < п. По свойству (4) имеют место равенства 1 + оР1 = аР и 1 + аР = . Перемножив их, получим

ап+р = (1 + аР )(1 + арз) = 1 + аР + аР (1 + аР) = = 1 + аР + ак+п = 1 + аР (1 + аР) = 1 + аР .

Иными словами, ррр+р.= рг + р^.

Таким образом, множество I = {рг : г Е {0,1,... , п}} является идеалом полукольца Мп = ({0,1,... ,п}, +п, ^п).

Идеал I конечен и, значит, порожден конечным числом элементов.

Базисом идеала I полукольца Мп будем называть множество О = {д1,...,дг}, такое, что каждый элемент Ь Е I линейно выражается через элементы д1,... , д^:

У](кг • дг), Е N

а

г=1

и никакой элемент множества О нельзя представить в виде комбинации остальных элементов О с коэфициентами из Мп.

Построение базиса идеала I сводится к последовательному выбору наименьшего элемента г^ Е I, не представимого в виде комбинации г1,..., г^-1. Ясно, что базис идеала I определен однозначно.

Заметим, что имеет место следующее предложение:

Предложение 2. [3, теорема 3] Кортеж (4) (п + 1)-элементного КИЦП Б однозначно восстанавливается по множеству О базисных элементов идеала его компонентов.

Будем говорить, что (п + 1)-элементное КИЦП Б задано базисом О, если О — базис множества элементов кортежа (4) полукольца Б.

Аналогично идеалам полукольца натуральных чисел, каждый идеал 3 полукольца Мп является конечно порожденным [11] и имеет однозначно определенный базис, количество элементов которого не превосходит наименьшего элемента 3.

4. Число элементов КИЦП с коммутативным сложением

Этот параграф посвящен специфическим свойствам идеалов полукольца Мп, порожденных базисом О, позволяющих выяснить существование и оценить число элементов конечного идемпотентного циклического полукольца, заданного базисом О.

Лемма 6. Если элемент р, = п идеала I С N элементов кортежа (4) КИЦП 5 с базисом С = {#1,..., #г} представлен в виде

I I

р = X Сг£г = к + ^ ф , С£, ^ е Нга,

¿=1 ¿=1

то шт{с^, = 0 для каждого г е {1, 2,..., /}.

Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент р, е I, такой, что р, = п. Так как = 1 + а в полукольце 5, то р, = вир{0, ]} в верхней полурешетке {Мга, 4). Следовательно р, — наименьший элемент множества I П I.,-.

Пусть

Р, = X]= ^ + X ^ •

¿=1 ¿=1

Предположим, что ^ = шт{с^о} = 0 для некоторого индекса го. Тогда

¿(р,, = X + ^о, ^¿о = .7 + X + ¿(с*>, .

¿=¿0 г=»о

Иными словами, ¿(р,, е I П I,.

Так как ^ = 0, то ¿(р, < р,. Значит, по лемме 3, ¿(р, 4 Р, или ¿(р,, и р, несравнимы, что невозможно, так как р, — наименьший в I П I,.

Таким образом, для каждого г е {1, 2,...,/} выполняется свойство Шт{с, = 0.

Предложение 3. Каждое упорядоченное множество , 4) относительно порядка 4, индуцированного КИЦП 5 по правилу (2), является решеткой с наименьшим элементом к и наибольшим — п. Атомами решетки 4) являются в точности элементы вида к + # для всевозможных базисных элементов # идеала I.

Доказательство. Так как КИЦП 5 является верхней полурешеткой относительно порядка заданного правилом (1), то верхний конус }△ любого её элемента является решеткой с наименьшим элементом и наибольшим .

В силу изоморфизма (3) достаточно показать, что атомами верхнего конуса }△ КИЦП 5 являются элементы для всех базисных элементов е I.

Пусть # — образующий идеала I, тогда 1 + = . Предположим, что нашелся элемент такой, что > > 1, тогда + = . Следовательно, 1 + = и # — е I. Так как а5 > 1, то

1 + а9 = а9 и д' Е I. Значит, элемент д = д' + (д — д') представим в виде комбинации элементов из I и, следовательно, не является образующим. Полученное противоречие доказывает, что а9 непосредственно больше 1 = а0, т. е. является атомом решетки {а°}Л.

Ясно, что решетка Ik изоморфна I посредством отображения f: I ^ Ik, f (x) = x + k. Следовательно, ее наименьшим элементом является k, а атомами — всевозможные элементы д + k, д Е G.

Следствием предложения 3 является следующее предложение, характеризующее вид базисных элементов идеала показателей элементов верхнего конуса {а°}Л КИЦП S.

Предложение 4. Пусть I — множество показателей элементов кортежа (4) КИЦП S и G = {д1,... ,дk} — базис I. Тогда все попарные разности элементов множества G различны.

Доказательство. Пусть нашлись базисные элементы д%\, д%2, дз, дг4 Е G и целое неотрицательное число А, такие, что

дь + А = дг2, + А = ди.

1) Рассмотрим случай, когда дг2 ^ дг3. Тогда существует неотрицательное целое число l, что дг3 = дi2 + l.

В КИЦП S a9ii = a9ii + а°, следовательно a9i3 = a9ii+1+A = = a9ii +1+A + a1+A. Иными словами a9i3 > a1+A. В то же время a9i3 > а°. Значит, a9i3 ^ аР(1+А). Аналогично a9i4 ^ аР(1+А). Так как a9i3 и a9i4 несравнимы, то a9i3 > аР(1+А) и a9i4 > аР(1+А), что противоречит атомарности элементов a9i3 и a9i4.

2) Если дг2 ^ дг3, то существует неотрицательное целое число l, что д12 = дг3 + l. При этом д^2 = + А.

Если дг-1 < дг3, то д*3 = дгг + А' и = дг2 + А', где А' + l = А. Дальнейшие рассуждения аналогичны случаю 1.

Лемма 7. Для любых подмножеств A,B множества целых неотрицательных чисел и произвольного целого неотрицательного числа k справедливо равенство (k + A) П (k + B) = k + (A П B).

Действительно, (k + A) П (k + B) D k + (A П B). С другой стороны, (k + A) П (k + B) = {c = k + a = k + b : а Е A,b Е B}. В силу аддитивной сократимости полукольца целых неотрицательных чисел а = b и, следовательно, (k + A) П (k + B) С k + (A П B).

Теорема 1. Пусть I — идеал полукольца порожденный базисом G = {д1,д2,    ,дг}, и на множестве определен порядок свойством (6):

b c ^^ c = b + j, для некотого j Е I. Тогда следующие условия равносильны:

1) существует единственное (n + 1)-элементное КИЦП S, заданное

кортежем (4):

(po,Pi,... 1 + о? = aPi, pi е I;

2) Nn является верхней полурешеткой относительно 4/

3) идеал I является решеткой относительно порядка 4/

4) для каждого элемента к полукольца Nn найдется элемент к', такой, что I П Ik = Ik' ;

5) для каждого элемента к < min G полукольца Nn найдется элемент к', такой, что I П Ik = Ik'.

Доказательство. Равносильность 1) ^^ 2) следует из порядкового изоморфизма (3).

2) 3). Идеал I полукольца Nn с порядком 4 является конечной верхней полурешеткой с наименьшим элементом 0, следовательно, I — решетка.

Для проверки импликации 3) 4) достаточно взять к' = sup{0, к}. Импликация 4) 5) очевидна.

5) 2). Пусть I — идеал полукольца Nn с порядком 4. Обозначим наименьший образующий элемент идеала I через m = min G.

Заметим, что к' = min I^ и, следовательно, для всех к < m к' = min(I П Ik). Ясно, что I П In = In.

Для произвольного элемента t е N введем следующие обозначения: At = I П It и st = min At — наименьший элемент множества At относительно обычного порядка ^ целых неотрицательных чисел.

Покажем, что At = It' для некоторого t' е Nn. Если At = {n}, то утверждение очевидно. Поэтому, пусть At содержит элемент, меньший n. Ясно, что в этом случае t < n.

Для доказательства существования t', удовлетворяющего равенству At = It' обозначим to = t и рассмотрим следующий итерационный алгоритм по параметру i:

Элемент t представим в виде ^ = q^m + k, где к < m. Тогда ti ^ ki и Iti С Ifc. как верхние конусы элементов ti и ki соответственно. Имеем It. П Ik = Ik и

«•-г кг кг

IП Iti = IП Ifci П Iti = 4г П Iti

Если ti = ki, то Ati = Ifc' и алгоритм окончен, иначе рассмотрим

ai = max{ki, ti}, bi = min{ki, ti}

относительно обычного порядка ^ целых неотрицательных чисел и обозначим ti+1 = a — bi > 0.

В силу леммы 7

= I п 4 = 1а, п 4 = Ь + (/ п 4+1) = ьг + .

При этом ви > вг,+1.

Если Ьг+1 < т, то Л^+1 = и, значит,

Л; = Ьг + 4+1 = 4+*:

+1

В противном случае 1г+1 ^ т и мы можем повторить рассуждения для ¿г+1. В результате получим:

Аи = Ь0 + Ь1 + Л;+2 , > ^ > 8и+2 .

Продолжая итерации описанного алгоритма мы будем получать убывающую последовательность Бг элементов конечного множества Мга. Следовательно, на некотором шаге ] мы получим ^ = к' и

= Ьо + Ь1 + ... + Ьз-1 + к3

либо < т, и

¿' = Ьо + Ь1 + ... + Ь^-1 + Ьз + Ц+1.

Итак, равенство I П I = I# установлено для произвольного Ь £ N и подобранного ¿'.

Теперь возьмем произвольные элементы а и Ь полукольца N и рассмотрим верхний конус {а,Ь}А относительно порядка заданного (6). Допустим Ь = а + к, тогда с учетом леммы 7

{а, Ь}А = (а + I) П (Ь + I) = (а + I) П (а + к + I) = = а + (I П 4) = а + 4 = 4+^ = {а + к'}А

Итак, 8ир{а, Ь} = шт{а, Ь}А = а + к', иными словами N — верхняя полурешетка. Теорема доказана.

Непосредственно из теоремы вытекает следствие: Следствие 1. Пусть I — идеал полукольца порожденный базисом С = {д1,д2,...,дг}, и на множестве N (п + 1)-элементное КИЦП Б существует тогда и только тогда, когда выполняется двойное неравенство

т—1

М <п ^ М, где N = шт П 4) \ ,1Р]).

3 = 1

Доказанная теорема позволяет сформулировать алгоритм построения КИЦП по множеству базисных элементов С = {д1, д2,... ,дк} :

Таблица

Число коммутативных идемпотентных циклических полуколец

|О| Количество элементов в полукольце Б

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2 - - - 1 1 4 5 10 11 17 21 30 32 43

3 2 2 6 6 17 17 32

4 2

Число по- 1 2 3 5 6 10 12 20 22 33 38 59 62 91

луколец

1. По следствию 1 определить п, для которых существует (п + 1)-элементное КИЦП Б, заданное множеством О.

2. Вычислить элементы рг, г = 0, п кортежа (4), пользуясь теоремой 1 и леммой 4:

рг = шт^ П .1г), рр, = рг.

3. По кортежу (4) восстановить операцию сложения.

С помощью предложенного алгоритма в системе компьютерной алгебры SageMath найдены все КИЦП с малым числом элементов. Их количество в зависимости от числа базисных элементов идеала I приведено в таблице.

5. Конечные идемпотентные циклические полукольца с коммутативным сложением, заданные дву-порожденными идеалами

Лемма 8. Для произвольных различных взаимно простых натуральных чисел д1 и д2, и каждого натурального числа к ^ шт{д1;д2} существует единственная пара целых чисел г1 и г2, таких, что

к = глд1 + У2д2, М ^ ^, Н ^ ^,

причем хотя бы одно из неравенств строгое.

Доказательство. Пусть НОД(д1;д2) = 1. Для них найдется единственная пара (см. [10, предложение 61]) целых чисел и1 и и2, что

Пусть и1 > 0 и и2 < 0. Если это не так, то изменим нумерацию чисел д1 и д2 и соответствующих коэффициентов и1 , и2.

Возьмем произвольное натуральное число к < ш1п{д1,д2}, рассмотрим к = ки1д1 + ки2д2 и представим ки1 = д1д2 + г1 и -ки2 = д2д1 + г2. Ясно, что г1 = 0 и г2 = 0. Имеем

к = ^1 — )д1д2 + пд1 - Г2д2.

Так как к < шт{дьд2}, то к + т2д2 — < (г2 + 1)д2 - П д1 < д^. Следовательно, q1 — q2 = 0. Иными словами, нашлись коэффициенты Г1 < д2,Г2 < д1, что

к = Г1 д1 — г2д2.

Покажем, что либо г1 ^ у и г2 ^ у, либо г1 ^ у и г2 ^ у.

Действительно, если г1 > у, г2 < у, то 2г1 = д2 + ¿1, 2г2 = д1 — ¿2 для некоторых натуральных ¿1 и Ь2. Значит,

2к = 2г1д1 — 2г2д2 = д1д2 + дЛ — д1д2 + g2t2 = дЛ + д2^2 > д1 + д2.

Однако 2к = 2ш1п{д1,д2} < д1 + д2.

Аналогично, если г1 < у, г2 > у, то для некоторых натуральных чисел ¿1,Ь2 имеем 2г1 = д2 — ¿1, 2г2 = д1 + ¿2,

2к = д1д2 — дА — д1д2 — д2^2 = — (дА + д2^) < 0,

что невозможно.

Итак, если г1 ^ у, г2 ^ у, то у1 = г1 и у2 = —г2. Если же г1 ^ у, г2 ^ , то у1 = д1 — г2 и у2 = г1 — д2. При этом хотя бы одно из неравенств (7) строгое, так как к = 0.

Теперь установим единственность коэффициентов у1 и у2. Ясно, что если к = ^д! + у'2д2 для у1 = у1, у2 = у2, то (у[ — У1)д1 + (у'2 — У2)д2 = 0 и у1 = у1 + q1g2, у2 = у2 + q2g1 для некоторых целых ненулевых q1,q2. Следовательно, |у 11 ^ у и |у2| ^ у, причем хотя бы одно из неравенств строгое.

Лемма доказана.

Предложение 5. Пусть I идеал показателей элементов верхнего конуса {а0}А КИЦП Б, заданный условием (5), и С = {д1,д2} — его базис, причем НОД(д1,д2) = 1. Тогда для каждого элемента к < ш1п{д1,д2} полукольца Мга элемент рк = ид1, где и — положительный коэффициент Безу со свойством 0 ^ и ^ у.

Действительно, по лемме 6 элемент рк имеет вид рк = и1д1 = 1 + и2д2 для некоторого упорядочения множества С = {д1 ,д2}. Иными словами, числа и1 и —и2 — коэффициенты Безу.

Лемма 9. Пусть КИЦП Б задано кортежем (4). Если 7 — идеал натуральных чисел с базисом С = {дьд2}, НОД(д^д2) = 1, то для каждого натурального к ^ шт{дьд2} наименьшим элементом

множества (7 П Зк) \ 7 (+) является (дак(1) + V, )) дСТк(2), где —

положительный, а у[, ) — отрицательный коэффициенты в представлении к формулой (7), ак — соответствующая перестановка на множестве С.

Доказательство. Пусть д1, д2 взаимно простые базисные элементы двупорожденного идеала 7. По лемме 8, для каждого к ^ ш1п{д1;д2} найдется единственная пара целых чисел и удовлетворяющих условию (7). Причем хотя бы одно из неравенств |V11 ^ у или |^2| ^ д1 строгое.

Будем считать, что > 0, < 0, и обозначим

«1 = (д2 - > 0, «2 = (д1 + ^2) > 0.

Имеем к = и2д2 — и1д1. Ясно, что д2 ^ и1 < д2, д1 ^ «2 < д1. Обозначим г0 = ^1д1.

Рассмотрим элемент г € 7 П , удовлетворяющий свойству

£ = «2 д2 = к + «1д1.

Заметим, что г0 ^ Щд2 ^ г, причем хотя бы одно из двух неравенств строгое.

Докажем, что г € 7г0. Предположим противное. Тогда для некоторых целых неотрицательных чисел с1, с2

г = С1д1 + С2 д2 + ¿о-

Подставляя в данное равенство вместо ¿0 и г их линейные представления в базисе С, получаем

«2д2 = (С1 + ^1)д1 + С2д2-

Значит, и2 > с2 и (и2 — с2)д2 = (с1 + и1)д1, а так как д1 и д2 взаимно просты, то (и2 — с2) делится на д1. Имеем 0 < и2 — с2 < и2 < д1, что невозможно. Следовательно, г € (7 П ) \ 3Х0.

Покажем, что г — наименьший элемент множества (7 П ) \ 3Х0. Рассмотрим произвольный элемент г * € (7 П 7к) \ 7г0. Тогда для некоторых € N выполняется равенство г * = ^1д1 + ^2д2. Используя равенства (9), получаем

г0 < г* < г, д1 < д1 + ^2д2 < «2д2-

Заметим, что й2 < и2 и < Так как если ¿2 ^ и2, то г* = ¿!д! + (¿2 — и2)д2 + г Е Зго, что невозможно в силу выбора г*. Аналогичное противоречие получаем в предположении ^ иг: г* = (¿г — у1)д1 + ¿2д2 + г° Е .

Так как г* Е 7к, то найдутся целые неотрицательные числа ег и е2, такие, что г* = егдг + е2д2 + к.

Пусть 1г = шт{4,ег}, 12 = шт{4,е2}. Рассмотрим элемент

г' = (¿г — 1г)дг + (¿2 — ^)д = (ег — 1г)дг + (е2 — к)д2 + 1 Е 7 П 7г.

Ясно, что г* = г' + /!д! + 12д2. Иными словами, г' ^ г*. Возможны два случая: — /г) = 0 или (ег — /г) = 0. Рассмотрим случай (¿г — 1г) = 0, тогда уг = ег — 1г = 0 и У2 = ¿2 — 12 = 0. Значит, (е2 — Ь)д2 = 0 и г' = у2д2 = Угдг + к.

Имеем у2д2 — угдг = к, у2 < дг и уг < д2. Таким образом, у2 и —уг — коэффициенты Безу в линейном представлении НОД чисел дг и д2. Поэтому в силу (9) г' = г0 или г' = г. Если г' = г0, то г* = г0 + 1!д! + 12д2 Е , что невозможно. Если же г' = г, то г* ^ г ив силу произвольности выбора г * Е (7 П ) \ число г — наименьший элемент множества (7 П 7к) \ .

Случай (ег — /г) = 0 аналогичен рассмотренному. Лемма доказана. Теорема 2. Пусть дг и д2 — произвольные взаимно простые натуральные числа, большие либо равные 3. Для каждого п, удовлетворяющего неравенству

М <п ^ шт {

где М = шах{дг,д2}, т = шт{дьд2}, V- — отрицательный коэффициент в представлении к формулой (7), а к — соответствующая перестановка на множестве С, существует единственное (п + 1)-элементное КИЦП 5 с множеством показателей элементов верхнего конуса {а°}А, порожденным базисом С = {дг,д2}.

Доказательство. Пусть дг, д2 взаимно простые натуральные числа, большие либо равные 3. Для каждого к < шт{дг,д2}, по лемме 8, существует единственная пара целых чисел и у(к ), таких, что

к = 4+)дг — 4-)д2, где V« ^ , ^ 31.

Рассмотрим число п, удовлетворяющее условию (10). По лемме 9

для каждого натурального к ^ шт{дг,д2} множество

""к 31

пусто. Так как к' = V(+)д! Е 7П ,]к, справедливо равенство 7П 3 к = Зк<, и, следовательно, по теореме 1 существует единственное (п+1)-элементное КИЦП 5 с множеством показателей элементов верхнего конуса {а°}л.

Укажем направления дальнейших исследований конечных идемпо-тентных циклических полуколец.

1. Определение свойств базиса G идеала I полукольца Nn, необходимых и достаточных для существования (п+1)-элементного КИЦП, заданного базисом G.

2. Улучшение алгоритма поиска конечных идемпотентных циклических полуколец с заданным количеством элементов.

3. Алгебраическое описание строения конечных идемпотентных циклических полуколец, заданных k-порожденными идеалами для k ^ 3.

Список литературы

1. Бестужев А. С. Конечные идемпотентные циклические полукольца // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2011. Вып. 13. С. 71-78.

2. Бестужев А. С. Вечтомов Е. М. Циклические полукольца с коммутативным сложением // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2015. Вып. 20. С. 8-39.

3. Ведерникова А. В., Чупраков Д. В. О представлении конечных идемпотентных циклических полуколец кортежами целых чисел // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2017. Вып. 19. С. 70-76.

4. Вечтомов Е. М. Введение в полукольца. Киров: ВГПУ, 2000. 44 с.

5. Вечтомов E. М., Лубягина (Орлова) И. В. Циклические полукольца с идемпотентным некоммутативным сложением / / Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17. Вып. 1. C. 33-52.

6. Вечтомов E. М., Орлова И. В. Циклические полукольца с неидемпотентным некоммутативным сложением // Фундаментальная и прикладная математика. 2015. Т. 20. № 6. C. 17-41.

7. Вечтомов Е. М. Мультипликативно циклические полукольца // Технологии продуктивного обучения математике: традиции и новации. Арзамас: Арзамасский филиал ННГУ, 2016. С. 130-140.

8. Вечтомов E. М., Орлова И. В. Идеалы и конгруэнции циклических полуколец // Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 1(22). C. 29-40.

9. Лубягина И. В. О циклических полукольцах с некоммутативным сложением // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Издательство Казанского математического общества, 2010. T. 40. C. 212-215.

10. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика с упражнениями и решениями. М.: Мир, 1999. 720 с.

11. Чермных В. В., Николаева О. В. Об идеалах полукольца натуральных чисел // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2009. Вып. 11. С. 118-121.

12. Bestugev A. S., Vechtomov E. M. Multiplicatively cyclic semirings // XIII Международная научная конференция им. Академика М. Кравчука. Киев: Национальный технический университет Украины, 2010. С. 39.

Summary

Chuprakov D. V., Vedernikova A. V. About structure of finite cyclic semirings with idempotent commutative addition

The paper deals with finite idempotent cyclic semirings with commutative addition. Authors presents a criteria for existence of finite idempotent cyclic semirings with commutative addition, associated with ideal of nonnegative integers. They derived estimates of the cardinality of FIC-semiring. The article offers algoritms for calculation cardinality of FIC-semiring by basis of associated ideal of nonnegative integers.

Keywords: semiring, cyclic semiring, monogenous semiring, idempotent, ideal, positive integer.

108

HynpaKOB fl. B., BegepHUKOBa A. B.

References

1. Bestujev A. S. Konechnye idempotentnye ciklicheskie polukol'ca (Finite Idempotent Cyclic Semirings), Matekaticheskiy Vestnik Pedvu-zov I Universitetov Volgo-Vyatskogo Regiona, 2011, n. 13, pp. 71-78.

2. Bestuzev A. S., Vechtomov E. M. Ciklicheskie polukol'ca s kom-mutativnym slozheniem (Cyclic Semirings With Commutative Addition), Bulletin of Syktyvkar State University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, vol. 1 (20), 2015, pp. 8-39.

3. Vedernikova A.V., Chuprakov D. V. O predstavlenii konechnyh idempotentnyh ciklicheskih polukolec kortezhami celyh chisel (About Representation of Finite Idempotent Cyclic Semirings by Tuples of Integers), Mathematical Bulletin of Universities and Pedagogical Unyversities of Volgo-Vyatskiy Region, 2017, n. 19, pp. 70-76.

4. Vechtomov E. M. Vvedenie v polukol'ca (Introduction to Semirings), Kirov: VGPU, 2000, 44 p.

5. Vechtomov E. M., Lubyagina (Orlova) I. V. Ciklicheskie polukol'ca s idempotentnym nekommutativnym slozheniem (Cyclic Semirings With Idempotent Noncommutative Addition), Fundamentalnaya I Prikladnaya Matematika, 2011/2012, vol. 17, n. 1, pp. 33-52.

6. Vechtomov E. M., Orlova I. V. Ciklicheskie polukol'ca s neidempo-tentnym nekommutativnym slozheniem (Cyclic Semirings With Non-idempotent Noncommutative Addition), Fundamentalnaya I Prikladnaya Matematika, 2015, vol. 20, n. 6, pp. 17-41.

7. Vechtomov E. M. Mul'tiplikativno ciklicheskie polukol'ca (Multiplicative Cyclic Semirings), Technologies of Productive Learning of Mathematics: Traditions And Innovations, Arzamas, 2016, pp. 130-140.

8. Vechtomov E. M., Orlova I. V. Idealy i kongruehncii ciklicheskih polukolec (Ideals and Congruences of Cyclic Semirings), Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, n. 1 (22), pp. 29-40.

9. Lubyagina I. V. O ciklicheskih polukol'cah s nekommutativnym slozheniem (About Cyclic Semirings With Noncommutative Addition), Trudy Matematicheskogo Chentra Im. N. I. lobachevskogo, Kazan, 2010, vol. 40, pp. 212-215.

10. Naudin P., Quitte C. Algebraicheskaya algoritmika s uprazh-neniyami i resheniyami (Algorithmique Algebrique Avec Exercices Corriges), M.: Mir, 1999, 720 p.

11. Chermnyh V. V., Nikolaeva O. V. Ob idealah polukol'ca na-tural'nyh chisel (Amout Ideals of Semiring of Posivive Integers), Mathematical Bulletin of Universities and Pedagogical Unyversities of Volgo-Vyatskiy Region, 2009, n. 11, pp. 118-121.

12. Bestugev A. S., Vechtomov E. M. Multiplicatively Cyclic Semirings, International Scientific Conference Named After Academician M. Kravchuk, Kiev: National Technical University of Ukraine, 2010, p. 39.

Для цитирования: Чупраков Д. В., Ведерникова А. В. О структуре конечных циклических полуколец с идемпотентным коммутативным сложением // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 2 (23). C. 92-109.

For citation: Chuprakov D. V., Vedernikova A. V. About structure of finite cyclic semirings with idempotent commutative addition, Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, 2 (23), pp. 92-109.

ВятГУ

Поступила 08.06.2017