К определению критических траекторий и точек при анализе осесимметрических модулированных форм цилиндрических оболочек по линейной теории

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 73-85

Механика =

УДК 539.3

К определению критических траекторий и точек при анализе осесимметрических модулированных форм цилиндрических

__ и и

оболочек по линейной теории

Е. З. Король

Аннотация. Даётся обобщенная формулировка условий критического состояния оболочек при действии внешних параметрических изменяющихся нагрузок. Критические состояния связываются с достижением траекторией нагружения характеристических линий. Траектория и характеристические линии задаются в пространстве коэффициентов дифференциального уравнения. К числу характеристических относятся линии раздела видов модуляций и линий уровней собственных длин волн, числа осцилляций и сдвига фазы, кратной п/2-чётных и нечётных. Для построения характеристических линий получены формулы, следующие из установленных соотношений связности коэффициентов уравнения и структурных параметров (характеристических показателей). Критические нагрузки, соответствующие задаче Лоренца—Тимошенко, составляют 0.2, 0.29 и 0.68 ранее определённой.

Ключевые слова: собственные формы, траектории нагружения, изопараметрические линии, виды модуляций, изогональные функции.

Введение. Определение критических состояний оболочек в современной постановке задач на устойчивость и колебания сводится [1-7] к анализу эволюции собственных начальных форм к критическим формам в процессе нагружения. Используются различные уравнения равновесия или динамики, в частности, линейные дифференциальные уравнения с постоянными [6], независящими от координат, параметрическими изменяемыми коэффициентами с применением методов продолжения по параметру [9, 10]. В качестве параметра чаще всего принимается одна из компонент внешней нагрузки, а критерием критического состояния является [7] так называемая «кривая жёсткости» — «внешняя нагрузка-прогиб характерной точки»; критические состояния оболочки связывается с характерными точками (ветвления, перескока и пр.) на «кривой жёсткости». Точность такого «локального» критерия

существенно зависит от выбора характерной точки и деформационной характеристики (прогиба). Ниже даётся обобщенная постановка [9-11] задачи анализа собственных форм, основанная на введении понятий траектории нагружения механической системы, изопараметрических траекторий — линий уровня длин волн и выделения из них изопараметрических траекторий по величине сдвига фаз, кратной числу полуволн. Даётся анализ решения задачи Лоренца-Тимошенко [12, 13]. Из анализа следует, что критические состояния (переход от одной чётной формы к другой чётной и появление новой полволны) происходят при меньших значениях усилий, соответствующих к0 = 0.19998, кп = 06879 и кп = 0.2974, что вписываются в известный [3,6-7] разброс кг = 0.16 — 0.9 экспериментальных данных по устойчивости осесимметрических форм цилиндрической оболочки при осевом сжатии (здесь: к = а/аь и аь = Е(Н/Я)/^3(1 — ^2)).

Изопараметрические линии и траектории нагружения в краевой задаче. Для описания эволюции осесимметрических собственных форм тонких линейно упругих цилиндрических оболочек средней длины при комбинированном нагружении равномерным осевым усилием сжатия и радиальным давлением используем параметрическое уравнение нелинейного краевого эффекта [6, 7]

Е^{-ш,\} = ^ + а2

Это уравнение с постоянными, не зависящими от координат, коэффициентами а2(Л), ао(Л) жёсткости, зависящими от Л = {Л = а\/Е\, Л2 = 02/Е2} — комплексного параметра нагружения, в качестве которого выступают мембранные осевые и кольцевые напряжения. Значения коэффициентов жёсткости на плоскости (а2 ~ ао) задают траекторию нагружения. В зависимости от значений коэффициентов а2(Л), ао(Л) реализуется один из видов модуляции с определенными характеристическими параметрами осцилляций. Для уравнения (1) различают два основных вида модуляций: 1) мультипликативные модуляции с неоднородными по координате амплитудой и сдвигом фазы (гиперболически-гармоническая Ки полиномиально-гармоническая

к0в = %^о) и 2) аддитивные модуляции с однородными по координате

амплитудами и сдвигом фазы (бигармоническая модуляция Z, гармони-

чески-гиперболическая и гармонически-полиномиальная Z^^ = Т^0^).

Гиперболически-гармоническая (или экспоненциально-гармоническая) модуляция Креализуется [9] при значениях коэффициентов а2(Л), а0(Л) в пределах

Пк : ЫЛ) ^ 0, ао

что соответствует внутренней части параболы, проходящей через начало координат (рис. 1). Для оболочек, начальная форма которых уже при малых продольных нагрузках имеет гиперболически-гармонический вид, уравнение (1), записанное в форме операторной алгебраической суммы, представляется в форме операторного произведения

Е

где а(Л), в (Л) — составляющие комплексных ^1_4(Л) = ±а(Л) ± г  в(Л) характеристических показателей, соответствующих гиперболическим и гармоническим составляющим.

Коэффициент а0

Линия радела видов модуляции

Гиперболически-гармоническая модуляция К$

Бипшерболическая \ модуляция траектория у Бигармоническая модуляция

Линия разделов видов модуляции а0 = 0 0 Коэффициент аг

Г армонически-гиперболическая модуляция

Рис. 1. Области различных видов дифференциальных операторов

(4) ав '

четвертого порядка: гиперболически-гармонического К бигармонического Zввв и гармонически-гиперболического Т^ осцилляторов и бигиперболического звена Е^ ; полиномиальногармонического Z(4|) = К04 и гармонически-полиномиального Z(40') = Т04,

полиномиально-гиперболического Е

К0(4) и гиперболически-

Траектория нагружения. Коэффициенты жёсткости а2(Л), ао(Л) положительно полуопределённые или полностью определённые функции на плоскости коэффициентов жёсткости (а2 ~ ао) образуют траекторию нагружения, заданную соотношениями

а2

Соотношения связности для коэффициентов жёсткости а2(Л), ао(А) и структурных характеристических параметров а(А), в(А) гиперболически-гармонической модуляции имеет вид [9, 10]

2

Общее решение в этой области представляется в форме амплитуднофазовой модуляции

М£,А) = Л

где амплитуда и сдвиг фазы есть неоднородные функции координаты , Е [0,1], структурных параметров а(А), в (А) и постоянных интегрирования {C1,C2, C3, C4}:

_ _ Ci ch a(X)£[1 + th а(А)]

Л

|cosш(,,а(А), в(А)|

- - C2

ш

в(А)6'1(1 + ^ tgа(А)()’ ' ’

которые следует из представления [4, 8, 10] общего решения

w(£, А) = Ciwi(,,a, в) + C2W2(£,a,в) + C^w^,^,/) + C4W4(£,a,в) + W(£),

выраженного через фундаментальные решения — обобщённые функции Крылова

wi(£, а, в) = ch а (А), cos в (А),, W2(,,а,в) = ch а(А), 8Ш в,

- - в

ws(,, а, в) = ---:=^ cos в(А),, W4, а, в) = -------р=т^ .

а

Критическая линия первого рода. Линия (правая ветвь параболы) Гк : {oq = ^/4, 02 ^ 0}, ограничивающая часть плоскости Qk есть критическая линия первого рода (раздела смежных видов модуляции): гиперболи-чески-гармонической Kи бигармонической Z:

Гк : {aQ = а\/4, 02 ^ 0}.

При нагружении по траектории, совпадающей с линией раздела реализуется полиномиально-гармонический вид модуляции K(4 = Z. При подходе к граничной линии раздела видов модуляции из области Qk осуществляется предельный переход по структурному параметру а ^ 0, а из области бигармонической Qz в область гармонически-гиперболическую Qy — по параметру в2 ^ вь Точка пересечения траекторией нагружения линии раздела относится к критическим точкам первого рода.

Линии уровня длин волн (ЛДУ). Из соотношений связности (5) следуют выражения изопараметрических линий (или траекторий), например, линий уровня длин волн вс = const или частот

2

Ф/3

Линии ЛДУ представляют собой часть левых ветвей парабол, подобных граничной Гк, со смещёнными вершинами по оси абсцисс на величину, равную учетверенному квадрату соответствующей длины волны 4 вС. Точки пересечения этих линий с параболой Гк имеют координаты

(ав = 2вС,ав = вС). Линии уровня Фв(а2,ав) = 0 относятся к критическим линиям второго рода, а точки пересечения траектории нагружения с линиями второго рода — относятся к критическим точкам второго рода. Вид и положение линий ЛДУ не зависят от краевых условий и определяются исключительно видом модуляции и значением длины волны.

Линии уровня с постоянным сдвигом фазы. Среди линий ЛДУ различают три таких, на которых сдвиг фазы постоянный. Для их установления используется представление общего решения в форме (8) амплитуднофазовой модуляции по условию постоянства сдвига фаз и представляются они системой уравнений

и

2 dt,

Чётные и нечетные формы модуляции. Система (13) определяет те траектории (или критические линии), на которых модуляции (6) имеют сдвиг фазы иа/з = п • k, k Е N, равный целому числу п, при конечной амплитуде Лш — чётные

w

или при сдвиге фазы иа/з = п • (2к + 1)/2, к Е N, равной дробному числу, при конечной амплитуде Ап — нечетные модуляции

w

Из условия (13) применительно к (8) имеем детерминантно-краевые фазово-амплитудные соотношения для постоянных интегрирования

C1(а, в)C4(а, в) — C2(а, в)C3(а, в) = 0.

Постоянные интегрирования определены соответствующими краевыми условиями.

Краевые условия — линейные дифференциального типа с однородной правой частью представляются в общем виде выражением

Лз)г 1 , dw d2w , d3w.

Li {w} = (biow+b-1 a+bi2 w+ba w >

= 0, i = 1,2,

5=0,1

где коэффициенты bim = const постоянные числа.

Детерминантно-краевое частотное (или волновое ) определяющее уравнение. Соответствующая система уравнений относительно постоянных интегрирования

£ Ck i‘3){wt

k=1

5-0,1

имеет неограниченное решение при условии, что детерминант системы (17) равен нулю:

' " 0.

L(3){wk (а, в,,)}

5=о,1

Смена форм осцилляции происходит через каждые интервалы, равные 2п, и эти смены сопровождаются появлением новой полуволны или полной волны вп к вп+1'-

n + 1 = [вп — во] .

п

Текущее значение числа длин полуволн равно текущему числу точек экстремума, определяемых соотношениями

=0, Sign{ <М

Линии уровня длин волн с изменением числа осцилляций. Линии уровня длины волны, при которой происходит это появление, определяются из диапазона гиперболически-гармонического вида модуляции

во

и относится к критическим линиям смены числа осцилляций.

Постановка задачи анализа эволюции изгибных гиперболо-гар-монических К^ф форм помимо уравнения (1) и краевых условий (16) включает: задание траектории нагружения Ft(а2(А), ао(А)) = 0 в области переменных (а2(А), ао(А)) Е Пк — коэффициентов жесткости уравнения как внешних параметров {А}; соотношения связности (6) структурных параметров а(А), в (А) и коэффициентов жесткости; задания критической линии (5) смены видов модуляции; линий уровня длин волн (8), линий уровня длин волн с постоянством сдвига фаз по условиям (13) и линий уровня длин волн, при которых происходят смены числа осцилляций по (16). Собственные формы прогиба при гиперболически-гармоническом виде модуляции даются выражениями (8).

1. Анализ эволюции гиперболически-гармонических осесимметрических форм цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Решение задачи об эволюции форм изгиба тонкой круговой цилиндрической

линейно упругой оболочки при действии комбинированной осевой осесимметричной равномерно распределенной нагрузки (осевого усилия T на торцах и равномерного радиального давления р) используем в известной по [7] форме (11). Искомой функцией является величина w((, А) = w((, А)/h относительного прогиба, направленного по радиусу от центра и отнесенного к толщине оболочки h. Здесь обозначено: ( = x/l, x Е {0, L} — безразмерная координата вдоль образующей цилиндра. Для случая осевого сжатия оболочки: коэффициент влияния изменения кривизны образующей оболочки а2(А1) = 12(1 — j12j21)(L/R)2(R/h)2 А1; коэффициент ао = 12с(1 —

— j12j21)(L/R)4(R/h)2 = const влияния радиальных смещений (прогиба); функция f(А1) = — 12j12(1 — |J.12|J.21)(L/R)4(R/h)3A1 влияния мембранных усилий на поперечные реактивные усилия. Здесь: J12, J21 — коэффициенты Пуассона в направлениях главных осей ортотропии; E1, E2 — модули Юнга в направлениях главных осей ортотропии.

Приняты следующие значения: геометрических L/R = 1, R/h = 100 и механических характеристик J12 = J21 = J = 0.3; диапазон длин волн 12.727 ^ в ^ 17.998; диапазон изменения показателя гиперболической функции 12.727 ^ а ^ 0; значения коэффициентов жесткости аL = 1.092 • 105, диапазон 0 ^ а% ^ 661 и начальные значения а° =0, а% = 661; зависимость от параметра ak(k) = aL • к; зависимости длин волн вс = вол/1 + к и показателя гиперболических функций от параметра ас = аол/1 — к; величина П = J • (R/h)2 — коэффициент пропорциональности изгибающего момента и перерезывающего усилия.

На всех графиках приводятся значения относительного прогиба w = = w/wl, отнесенного к величине прогиба от равномерной (реактивной) распределенной нагрузки wl = f (А)/ао:

_ w w — R R цк

w = --- = J (А) = — ^1“ А1 = —^~Г17тк = —'

WL ао ^ л/3(1 - ^2) ‘

Среди представленных расчетных результатов рассмотрены три типа краевых условий:

— жесткое защемление торцов оболочки

dw

£=о ^

шарнирное закрепление торцов оболочки

dw

w(0, А1) = w(1, А1) = —

= 0;

5=1

w(0, А1) = w(1, А1) = (w11 + n2w) |5=о = ((w11 + n2w)) |5=1 = 0; торцы оболочки свободны от изгибной нагрузки

((wI1 + n2w)) |5=о = ((wI1 + n2w)) |5=1 =

= ((wI11 + n2wI ))|5=о = ((wI11 + n2wI ))|5=1 = 0.

Траектория нагружения, однозначно определённая в пространстве (а2,ао) коэффициентов жесткости (траектория Лоренца-Тимошенко [12, 13]) Ф(а2(А1) = а • к, ао = const.

Начальная форма. Значениям (ао = 0, a°J = ао) соответствует форма изгиба — прямая.

Выражения прогиба. С учетом симметрии краевых условий используются выражения

w((, к) = 1 + C^^w^t — 1/2, к) + C^^w^t — 1/2, к),

где функции Крылова (10) записаны с учетом симметрии относительно середины.

Результаты расчётов и их анализ.

Пространство коэффициентов жесткости,, область реализации гипер-болически-гармонических форм и траектория нагружения. В соответствии с постановкой задачи о собственных гиперболо-гармонических осесимметрических формах цилиндрической оболочки при одноосном сжатии на рис. 1 представлена схема разделения пространства коэффициентов жесткости а2 ~ ао на зоны, где реализуются различные виды модуляции: гиперболи-чески-гармоническая К^, бигармоническая Zи гармонически-гипербо-

лическая T^V и не осциллирующая бигиперболическая eV\12 . Указаны граничные линии, разделяющие эти зоны: правая ветвь параболы ао = а2/4, а2 ^ 0 — модуляция полиномиально-гармоническая К(в = Z^, правая часть

оси абсцисс а2 ^ 0, ао = 0 — гармонически-полиномиальная Z^ = T^, левая часть оси абсцисс а2 ^ 0, ао =0 — гиперболически-полиномиальная T^ = eV4 и левая часть параболы ао = а2/4, а2 ^ 0 — полиномиально-гиперболическая eVV = K^j. Траектория нагружения (Лоренца-Тимошенко) изображена в виде прямой ао = const = 1.092 • 105, а2 ^ 0.

Критические линии уровня длины волны и линии чётных и нечётных сдвигов фаз. На рис. 2 представлены: критическая линия ао = а2/4, а2 ^ 0

первого рода — линия раздела Коз = Zдд, гиперболически-гармонической и бигармонической модуляций и семейство линий уровня длин волн, состоящих из левых ветвей парабол ав = (2в2 — а2/2)2 ^ а2/4, —2^ао ^ а2 ^ 2в2 в зоне К^д, вершины которых смещены по оси абсцисс на величину 4в2, и в зонах

Z(i/?2 и T^V — прямых a^i = 2в2(а2 — 2в2), касательных к линии раздела (параболе) ао = а2/4, а2 ^ 0 в точках аА = 2в2, аА = в4 и пересекающих ось абсцисс в точке а2 = в2, ао = 0.

Отметим важное для дальнейшего свойство линий уровня — прохождение через ось абсцисс в точке с координатами а2 = в2, ао = 0, связанными с квадратом выбранной длины волны в2: если известна длина волны, то все

Рис. 2. Граничные линии первого рода ао = 4 а\ и ао =0 раздела областей видов и линии второго рода — линий уровня в2 = C = const частот: парабол ао = (2C — 1 а2)2 и прямых линий ао = C(а2 — C) при значениях относительной нагрузки к\ =0.2, k2 =0.8, касательных граничной линии раздела

участки (параболический и прямой) линии уровня во всех зонах однозначно определены.

Изгибные осесимметрические гиперболически-гармонические формы цилиндрической оболочки с защемленными торцами при одноосном сжатии. Для траектории нагружения Лоренца-Тимошенко определены выражения относительного прогиба w(£,k) = 'ш(£,^ао//(k) для различных значений параметра нагрузки k = о/оь, отнесённого к нагрузке Лоренца-Тимошенко. Жирной линией на рис. 3 изображена начальная форма, а далее в порядке возрастания нагрузки. Из представленных графиков видно, что с увеличением нагрузки число осцилляций изменяется: при нагрузках до k = 0.2 включительно число осцилляций равно трем, а уже при значениях k ^ 0.4 вплоть до k = 0.99 сохраняется постоянным и равно пяти.

Данные по распределению сдвига фазы по длине образующей при различных значениях нагрузки и зависимости сдвига фазы в середине пролета £ = 0 свидетельствуют о том, что с изменением нагрузки характер распределения почти не меняется — наблюдается монотонное изменение величины сдвига

фазы по координате, а величина сдвига фазы зависит от значения нагрузки. При этом имеются два значения нагрузки, при которых сдвиг фазы постоянный и равен соответственно ш(0.199) ~ 0 и ш(0.68) ~ п/2. Это значит, что в формулах (17) один из коэффициентов равен нулю, и выражение для прогиба принимает чётную или нечетную форму. Это подтверждается значениями первой и второй производных прогиба: с увеличением нагрузки от нуля (жирная кривая) до к ~ 0.2974 число нулей первой производной (число точек экстремума) было три, а затем становится пять, то есть увеличилось число осцилляций.

Рис. 3. Гиперболо-гармонические осесимметрические изгибные формы цилиндрической оболочки с жестко заделанными торцами при осевом растяжении

При изменении нагрузки собственная форма изгиба представляется в виде амплитудно-фазовой модуляции с переменной длиной волны и сдвигом фазы, изменяющимися так, что их представления могут принимать чётную или нечетную формы, а переход от чётной к нечётной происходит с образованием новых осцилляций. Такой характер эволюции гиперболически-гар-монических форм характерен для всех видов закрепления торцов цилиндрической оболочки (рис. 4), где представлены собственные формы при сжатии оболочки с шарнирно закрепленными торцами (рис. 4, а) и со свободными торцами (рис. 4, б).

Для указанных типов краевых условий значения первой критической нагрузки (чётных форм изгиба с нулевым сдвигом фазы) лежат в диапазоне кс(и = 0) = 0.2 — 0.3, второй (чётных со сдвигом фазы равным п) — в диапазоне кс(и = п) = 0.5 — 0.7 и третьей (смены числа осцилляций) — в диапазоне кь(п) = 0.3 — 0.5.

Рис. 4. Гиперболически-гармонические осесимметрические изгибные формы цилиндрической оболочки с шарнирно опертыми и свободными торцами при осевом сжатии

Значения постоянных интегрирования функции прогиба цилиндрической оболочки при осевом сжатии для различных краевых условий приведены в табл.1.

Таблица 1

Значения постоянных интегрирования функции прогиба цилиндрической оболочки при осевом сжатии при различных краевых условиях

к Сі

0 0.003712 0.003158 0.003435 -0.00028 0.0000029 —0.000001

0.1 0.006063 0.002173 0.004233 -0.00227 0.0000015 —0.000001

0.2 0.008709 -0.000028 0.004338 -0.00535 -0.0000016 -0.000000

0.3 0.011 -0.004025 0.002956 -0.00978 -0.0000067 -0.000001

0.3 0.014 -0.011 -0.001374 -0.016 -0.0000141 -0.000007

0.5 0.014 -0.021 -0.011 -0.023 -0.0000237 -0.000001

0.6 0.011 -0.039 -0.033 -0.03 -0.0000345 0.0000135

0.7 -0.00298 -0.66 -0.081 -0.03 -0.0000421 0.0000450

0.8 -0.043 -0.115 -0.194 0.00845 -0.000032 0.0001092

0.9 -0.173 -0.215 -0.54 0.284 -0.0000566 0.0002488

1.0 -0.903 -6*106 -3.334 7.37*107 -0.0007481 5949

Жесткое защемление Шарнирное опирание Свободное опирание

Выводы. С использованием свойства изопараметрических линий уровня длин волн, в частности, чётных и нечётных, и смены числа осцилляций описанная процедура применена при решении задач устойчивости цилин-

дрических оболочек при комбинированном нагружении. Установленные критические нагрузки вписываются в диапазон разброса известных экспериментальных данных по устойчивости осесимметрической гиперболически-гармонической формы цилиндрической оболочки при осевом сжатии (задача Лоренца-Тимошенко). Значения первой критической нагрузки (чётных форм изгиба с нулевым сдвигом фазы) лежат в диапазоне kc(u = 0) = 0.2 —

— 0.3, второй (чётных со сдвигом фазы равным п) — kc(u = п) = 0.5 — 0.7 и третьей (смены числа осцилляций) — в диапазоне kh(n) = 0.3 — 0.5.

Список литературы

1. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

2. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966. 508 с.

3. Пановко Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1967. 420 с.

4. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. 503 с.

5. Кильчевский Н.А., Никулинская С.Н. Об осесимметричной форме потери устойчивости круговой цилиндрической оболочки // Прикл. механика. 1965. Т. 1, № 11. С. 1-6.

6. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 352 с.

7. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. О методе непрерывного продолжения по параметру // Докл. РАН. 1994. Т. 335, № 5. С. 95-99.

8. Матвеев Е.А., Фролов А.Б. Конечные прогибы цилиндрических оболочек перед потерей устойчивости под действием равномерного внешнего давления // Изв. МГТУ «МАМИ». 2008. № 2 (6). С. 152-157.

9. Король Е.З. К определению собственных чисел и собственных функций для краевых задач со многими параметрами // Избранные проблемы прочности современного машиностроения: сб. научн. статей, посв. восьмидесятилетию члена-корреспондента РАН Эдуарда Ивановича Григолюка (1923-2005). М.: Физмат-лит, 2008. С. 124-149.

10. Король Е.З. Операторные методы интегрирования эйлеровых и бесселевых уравнений (M+2N)-ro порядка // Вестн. МГУ. Сер.1. Матем., механ. 2001. № 4. С. 31-40.

11. Король Е.З. Новые методы интегрирования эйлеровых и бесселевых уравнений (М+2^-ого порядка // Проблемы машиностроения и надёжности машин. Машиноведение РАН. 2003. № 6. С. 8-21.

12. Lorenz R. // Zeitschrift des Vereines deutscher Ingeniere. V. 52. Leipzig., 1908. 1706 p.

13. Тимошенко С.П. К вопросу о деформациях и устойчивости цилиндрической оболочки // Вестн. о-ва технол. 1914. Т. 21. С. 785-792.

Король Евгений Захарович (ez_korol@mail.ru), к. ф.-м.н., ведущий научный сотрудник, НИИ Механики МГУ им. М.В.Ломоносова.

To the generalized definition of critical trajectories and full stops within the analysis of axisymmetric modulated form of cylindrical skins in compliance with linear theory

E. Z. Korol’

Abstract. It is given the generalized definition of the critical state condition of skins exposed to external parametrical variable forces. Critical state is linked to trajectory attaining discriminating line loading/ The trajectory and discriminating lines are set within the ratio area of the differential equation. The lines referred to as discriminating are the modulation type division lines and the lines of eigen wave length levels, number of oscillations and phase displacement, which are multiple to n/2 , both odd and even. The discriminating lines are plotted using formulas, derived from the determined connection ratios for the equation coefficients and structural parameters (discrimination indexes). The corresponding critical burden rates from the Lorenz-Timoshenko problem thus amount following shares of previously determined burden: 0.2, 0.29 and 0.68.

Keywords: eigenforms, loading trajectories, isoparametric lines, forms of modulations, isogonal functions.

Korol’ Eugeny (ez_korol@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, leading scientific worker, Research Institute of Mechanics of Moscow State University.

Поступила 17.03.2010