Применение цепей Маркова при моделировании учебного процесса

МАТЕМАТИЧНЕ ТА КОМП'ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

MATHEMATICAL AND COMPUTER MODELLING

УДК 519.2+519.86

А. И. Вершина, Т. Н. Семерюк, Б. Т. Солдатов

ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕПЕЙ МАРКОВА ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ

УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА

Рассмотрены условия, при которых обучение можно описать как марковский процесс. Постоянство вероятностей переходов между состояниями обучения определяется законом распределения времени на обучение и дисциплиной планирования. Элементы фундаментальной матрицы тесно связаны с затратами времени на обучение.

ВВЕДЕНИЕ

Математическая модель процесса обучения [1-3] объединяет в себе представление его структуры в виде взаимосвязи этапов обучения и параметров, характеризующих свойства этих этапов и процесса обучения в целом. В качестве параметров этапов предлагается использовать вероятность качественного усвоения и качественной проверки знаний, а также затраты на выполнение этих работ. Вводимые вероятности с одной стороны отражают качество обучения, а с другой -представляют вероятности переходов от одного этапа обучения к другому. При использовании вероятностных характеристик важным моментом является их постоянство, что позволяет описывать обучение цепями © Вершина А. И., Семерюк Т. Н., Солдатов Б. Т., 2007

Маркова. Постоянство вероятностей переходов связано с проблемой нормирования времени, выделяемого на обучение.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Описание процесса обучения цепями Маркова предполагает наличие состояний процесса и вероятностей переходов от состояния к состоянию. Итерационный характер процесса обучения, предполагающий повторение некоторых состояний, требует исследования дополнительных условий, обеспечивающих постоянство вероятностей переходов. Наличие состояний, которыми завершается процесс обучения, предполагает использование поглощающих цепей Маркова.

Структура матрицы переходов для поглощающей цепи Маркова имеет вид [4]:

P =

Q R O E

где О - подматрица, описывающая поведение процесса до попадания в поглощающее состояние; К - под-

матрица переходов в поглощающие состояния; О, Е -нулевая и единичная подматрицы.

Использование фундаментальной матрицы N = -1

= (Е - Q) позволяет получить ряд важнейших характеристик исследуемого процесса. Элемент п, у матрицы N дает ожидаемое количество моментов времени, которое проводит процесс в состоянии у до попадания в поглощающее состояние при условии, что он начался в состоянии г.

Вероятность завершения процесса в том или ином поглощающем состоянии в зависимости от того, какое состояние является исходным, определяется элементами матрицы В = NR.

Таким образом, постоянство вероятностных характеристик этапов процесса обучения является основой создания модели обучения. Это привело к необходимости исследования условий, при которых выполняется это постоянство.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ

В простейшем случае можно считать, что вероятность Ак (£) усвоения знаний в бесконечно малом промежутке времени А£ пропорциональна величине этого промежутка, то есть,

Ак

где к (£) - вероятность того, что за время £ знания усвоены; X - коэффициент пропорциональности, который отражает интенсивность усвоения знаний.

Это приводит к экспоненциальному закону распределения времени на усвоение знаний:

Рк( £) = У = Хе-Х£.

При выделении времени на обучение Т вероятность усвоения знаний определяется выражением

В этом случае имеем 1

Н

X

К(Т0) = | р(£)сИ = X | е ий£. 0 о

После внесения X под знак интеграла, замены переменной г = X* £ и изменения пределов интегрирования получим

Н

К (То) = | е^йг = К(ц).

0

Из этого следует, что вероятность усвоения знаний в случае выделения времени на обучение пропорционально ожидаемому времени Т не зависит от значения X.

Для оценки затрат на обучение необходимо знать закономерности их изменения в итерационном процессе. Экспоненциальному распределению соответствует процесс без последействия, и распределение оставшегося времени на обучение не должно зависеть от того, сколько времени было ранее потрачено. Следовательно, ожидаемое дополнительное время также равно Т.

Обозначим через с вероятность необходимости дополнительного времени на обучение, тогда общее количество моментов времени

пЕ = 1 •( 1 - ё) + 2 • 1 - ё) + 3 • ё2{ 1 - ё) + ... =

=

Выражение во вторых скобках представляет производную суммы ряда геометрической прогрессии:

5 = С + С2 + С3 + ... = —, :5' = -1—-,

1 - С ч

отсюда

1

1 - С

Суммарные затраты времени равны

К (Т) = | р (£) С£ = XI е и'й£ = 1 - еи.

ггч Ц Т ггч

= 1тСС = НпТ

Ожидаемое время Т на усвоение знаний равно

4

Т = I £р (£) С£ = XI £е~МС£ = X.

0

0

Обычно время на обучение Т0 ограничено и выделяется пропорционально ожидаемому времени на усвоение знаний Т:

- 1

То = НТ = ^,

где н - коэффициент пропорциональности.

где п = % - значение соответствующего элемента фундаментальной матрицы.

Описанный подход дает хорошие результаты для небольших изучаемых объемов и пригоден для моделирования нижних уровней процесса обучения. При переходе на вышестоящие уровни объем дополнительно выделяемого времени должен уменьшаться. Для описания вышестоящих уровней обучения будем считать, что вероятность в бесконечно малом промежутке времени пропорциональна величине промежутка усвоения элементов знаний, то есть экспоненциальным законом будет описываться время на усвоение только части материала от общего объема изучаемого предмета.

Н X

Т

Т

Изучение предмета объединяет в себе совокупность усвоения а элементов знаний, входящих в этот предмет. В этом случае плотность распределения времени на изучение предмета представляет собой композицию экспоненциальных законов распределения, что приводит к гамма-распределению:

. а

л .а - 1 -ХЬ

Р (Ь) = л— Ь 6 ,

деляемое на усвоение определенного объема знаний, будем по-прежнему брать пропорционально ожидаемому времени.

Если считать, что элементы знаний независимы, то вероятность усвоения определенного объема знаний равна произведению вероятностей усвоения каждого элемента знаний. Если элементы знаний считать равнозначными, то К(То) можно представить как степень а вероятности к усвоения элемента знаний

где Г(а) = | Ьа е ёЬ - гамма-функция Эйлера. 0

Для произвольного времени Т, затраченного на усвоение знаний, вероятность К(Т) усвоения знаний определяется выражением

Т Ха Т

К(Т) = |р(Ь)ёЬ = Г-М Ьа- е~ХЬёЬ. о (а) о

Ожидаемое время на усвоение знаний равно

ш .а

Т = |Ьр(Ь)ёЬ = Г";.—Ьае ХЬёЬ = а

0

0

.

Если время на обучение Т0 ограничено и пропорционально ожидаемому времени на усвоение знаний Т, то можно записать выражение:

Т0 = ЦТ = Ц..

В этом случае имеем

а

а

а

К(То) = | р(Ь)ёЬ = ьа - \-иёЬ. о ( ) о

После внесения Ха под знак интеграла, замены переменной г = Х *Ь и изменения пределов интегрирования получим

ца

К(То) = ГГ(— I г<Х е ё = К(ц'а).

Из этого следует, что вероятность усвоения знаний, в случае выделения времени на обучение пропорционально ожидаемому времени Т, не зависит от значения Х.

Дополнительное время для значительных объемов изучаемого материала, естественно, должно уменьшаться. Для того чтобы вероятность перехода оставалась неизменной, будем считать, что процесс усвоения знаний в одинаковой мере затрагивает каждый элемент знания. В результате общее количество элементов а останется прежним, и должно изменяться значение Х. Тогда, в соответствии с полученным выражением (8), вероятность не изменится. Дополнительное время, вы-

отсюда

К (То) = ка, к = л/КТ).

Вероятность кр того, что будет усвоено р элементов из общего количества а, равна

кр = с—^ 1 - к)а- в,

то есть величина р подчиняется биноминальному распределению [5].

Для этого распределения ожидаемое количество усвоенных элементов знаний будет равно

п = а- к = а • а/К( Т о).

Для гамма-распределения будем иметь выделяемое дополнительное время Тдоп, равное

Тдоп =ц Х = цт =ц Х. .

Для того, чтобы вероятность К (То) осталась постоянной необходимо оставить постоянным значение а, а изменять значение Х. Выражение (6) для общих затрат на обучение приобретает вид

ТЕ = ц-х^ЩТ) пТ

те = ц-п •Х —к(ц Х) .

Если все элементы получения знаний различаются по сложности и имеют различные значения Х, то выражение для композиции экспоненциальных законов распределения имеет довольно сложный вид. В этом случае воспользуемся условием Линдеберга, которое должно выполняться для любого т > о:

Нш

а ^ ш

г = 1

а а 2

1Х£ £ I (* - тг )'*( X) ёх = о,

г = 1

\х- т >т £ о,

ш

о

где т, О, /¿(х) и а - математическое ожидание, дисперсия и плотность распределения г-й случайной величины х.

При выполнении этого условия закон распределения суммы независимых случайных величин неограниченно приближается к нормальному закону распределения:

(х-т)3

г/ \ 1 2а2

f(х) = —¡=е

аЛ/ 2п

Для произвольного времени Т, затраченного на усвоение знаний, вероятность К (Т) усвоения знаний определяется выражением

Т

1 Г 2а2 л 1 , Т - т

К(Т) = —— I е ах = - + Ф1

"  ^ 2

а

1 _ 2 а2

-С

х -£ 2 1 - 2

а

12

где Ф(х) = —= I е С£ - функция Лапласа. л/2п

о

Если выделять время на обучение, исходя из выражения

Т0 = т + ца,

К (Т0) = 1 + Ф(ц),

то есть зависит только от коэффициента ц. Его постоянство обеспечит постоянство переходов между состояниями процесса обучения.

Если выделять время на обучение пропорционально ожидаемому времени, то есть

Т0 = цт, то значение К (Т0) будет иметь вид

к( т0 ) = 1 +

В этом случае К (Т0) зависит от трех величин ц, т и а.

Будем считать, что случайные значения времени для различных элементов обучения некоррелированы. В соответствии с теоремой сложения математических ожиданий и дисперсии суммы случайных некоррелированных величин, имеем

а 2 а

т = I т, и О = а = I О^

г = 1 г = 1

Для равнозначных элементов обучения имеем

т = I 1 = а и О = а2 = 1X2 = XV

г = 1 г = 1X X

После подстановки (12) в (11) получим

к (Т)) = 1+Ф«ц - 1)Та).

Этот результат согласуется с выводами, которые следовали из выражения (8), то есть К (Т0) зависит от величин ц и а. Дальнейшие рассуждения о суммарных затратах аналогичны (3-6).

Для неравнозначных элементов обучения имеем

а

IX-

г=1

г> 2 " 1

и О = а = 1Г2

г = 1К

и выражение (11) приобретает вид

к (Т0) = 2+ф

а

(ц-1 )!Е

г=1

а

г = 1 Xi

Таким образом, условие выделения времени на обучение может обеспечить условия постоянства вероятностных характеристик. Наиболее удобным является алгоритм, определяемый выражением (10), который делает эти характеристики зависимыми только от параметра ц. Причем, если ц в выражении (10) принять равным нулю, то это будет соответствовать выделению времени на обучение, равному ожидаемому Т. Значение вероятности К (Т0) будет равным 0,5.

ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ВЫДЕЛЕНИЮ

ВРЕМЕНИ НА ОБУЧЕНИЕ

Выделение времени на изучение элементов обучения.

Время на обучение выделяется пропорционально ожидаемому времени на усвоение элементов знаний. Эта величина остается постоянной для выделения дополнительного времени в соответствии с отсутствием последействия.

Выделение времени на изучение совокупности равнозначных элементов обучения.

Время на обучение выделяется пропорционально количеству элементов объема изучаемого материала и обратно пропорционально интенсивности изучения элементов обучения. Эта величина изменяется пропорционально ожидаемому объему изучаемого материала.

Выделение времени на изучение совокупности неравнозначных элементов обучения.

Время на обучение выделяется пропорционально ожидаемому объему времени на изучение материала с учетом отклонений. Эта величина также изменяется пропорционально ожидаемому объему изучаемого материала и вычисляется как и в предыдущем случае.

т=

то

ВЫВОДЫ

Получены выражения для законов распределения времени на усвоение элементов знаний и некоторого объема знаний как совокупности этих элементов, которые описываются соответственно экспоненциальным распределением (2), гамма-распределением (7), как предельный случай, нормальным распределением (9).

Для каждого распределения приведена процедура выделения времени на обучение, которая обеспечивает постоянство вероятностных характеристик.

Процедура планирования выделения времени на обучение позволяет создать условия постоянства вероятностных характеристик, что позволяет описывать обучение как марковский процесс (1).

Вероятность получения элемента знаний в малом промежутке времени пропорциональна величине этого промежутка, приводит к экспоненциальному закону вероятностей распределения времени на усвоение элемента знаний.

Композиция экспоненциальных законов при постоянстве интенсивности обучения приводит к гамма-распределению времени на усвоение некоторого объема знаний как совокупности элементов знаний.

Условие Линдеберга позволяет рассматривать в качестве предельного распределения нормальный закон. Выделение времени на обучение определяет постоянство вероятностных характеристик, что позволяет при моделировании процесса обучения использовать цепи Маркова.

Оценка общих затрат на обучение должна учитывать их изменение в условиях итерационного характера процесса обучения. При этом для нижних уровней обучения, когда объектом обучения являются элементы знаний, в соответствии со свойством экспоненциального закона, заключающегося в отсутствии последей-

ствия, объемы дополнительного времени на обучение совпадают с исходным объемом выделяемого времени.

Для вышестоящих уровней необходимо учитывать сокращение времени. Использование биноминального закона распределения позволяет оценить это сокращение. В то же время уменьшение числа изучаемых элементов может привести к изменению вероятностей переходов, поэтому предложена процедура изменения интенсивности обучения, эквивалентная сокращению количества элементов.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Вершина А. И., Солдатов Б. Т. Моделирование процесса обучения// Радюелектрошка, ¡нформатика, управ-лшня. - Запор1жжя: ЗДТУ. - 2003. - № 1. - C.65-72.

2. Вершина А. И., Солдатов Б. Т., Ермоленко А. А. Учебный процесс как иерархическая система // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 2004. - № 1. -С. 54-62.

3. Вершина А. И., Киричек Г. Г., Пиза Д. М. Модель информационного обеспечения учебного процесса университета // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 2004. - № 2. - С. 64-68.

4. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. - М.: Наука, 1970. - 272 с.

5. Вентцель Е. С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. - 7-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2001. - 575 с.

Надшшла 26.05.06 Шсля доробки 2.11.06

Розглянуто умови, при яких навчання можна описати як мартвсъкий процес. Незмштстъ 1мов1рност1 переход1в м1ж станами навчання визначаетъся законом розпод1лу часу на навчання та дисциплтою планування. Елементи фундаменталъноЧ матриц т1сно пов'язат з витратами часу на навчання.

The conditions are considered, at which training is possible to describe as process of Markov. The law of distribution of time on training and discipline of planning determine constancy of probabilities of transitions between states of training. The elements of a fundamental matrix are closely connected to expenses time for training.

УДК 519.2:368.01

С. Н. Герасин, Е. В. Слипченко

МЕТОДЫ ОЦЕНКИ РЕНТАБЕЛЬНОСТИ ФИНАНСОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ БИЗНЕС-СТРУКТУР

Изучена иерархическая структура бизнес-процессов. Выделен класс типовых и элементарных бизнес-процессов. Для них сформулированы типичные задачи оптимального управления оборотными средствами и предложены конкретные алгоритмы их решения.

© Герасин С. Н., Слипченко Е. В., 2оо7

ВВЕДЕНИЕ

Одной из главных проблем подавляющего большинства предприятий является улучшение их финансово-экономического состояния в условиях дефицита обо-