Почти симплектические однородные пространства

УДК 514.144

Н. П. Можей, доцент ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

This work is devoted to classifying homogeneous space with an invariant non-degenerate almost symplectic structure such that the isotropic representation is faithful. It is known that the problem of classification of homogeneous spaces (G, M) is equivalent to the classification (up to equivalence) of pairs of Lie groups (G, G). By linearization, the problem can be reduced to the problem of classification of pairs of Lie algebras (g, g) viewed up to equivalence of pairs. It is sufficiend to consider only the effective action of the group G on the manifold M. This problem is solved in the following way: classify all subalge-bras g of the Lie algebra sp(n, C); for each subalgebra g describe all complex isotropically-faithful pairs such that their isotropic representation are conjugate to g; for each complex pair find all its real forms; for each real form comstruct all corresponding pairs of Lie groups and the homogeneous spaces.

Введение. Проблема описания подмногообразий была поставлена еще в начале прошлого века, в дальнейшем были классифицированы различные специальные классы подмногообразий. Наиболее интересным случаем как с математической, так и с физической точки зрения является однородный случай. Большинство физических моделей являются однородными, и это условие часто бывает априорным, большинство пространств, появляющихся в различных разделах математики, тесно связанных с приложениями, также считаются однородными. Условие однородности является принципиальным и с математической точки зрения, оно позволяет свести задачу к чисто алгебраической, применить технику теории групп и алгебр Ли. Настоящая работа посвящена классификации изотропно-точных однородных пространств с инвариантной невырожденной почти симплектической структурой.

Основная часть. Пусть (О, М) - однородное пространство и О = Ох - стабилизатор произвольной точки хе М. Паре (О, О) поставим в соответствие_пару (g, g), где g - алгебра Ли группы Ли О и g - подалгебра в g, соответствующая подгруппе Ли О. _

Две пары групп Ли (О1, О1) и (О2, О2) эквивалентны, если существует изоморфизм групп Ли

п: О1 ^ О2, такой что п(О1) = О2.

Проблема классификации однородных пространств (О, М равносильна классификации (срочностью до эквивалентности) пар групп Ли (О, О). Используя линеализацию, эту проблему можно свести к классификации пар алгебр Ли (g, g) с точностью до эквивалентности пар.

Пары g1) и g2) называются эквивалентными, если существует изоморфизм алгебр Ли

п: gl ^ g2, такой что п^) = g2.

Назовем пару (g, g) эффективной, если подалгебра g не содержит ненулевых идеалов алгебры Ли g. _

Строение пар групп Ли (О, О), соответствующих данной эффективной паре алгебр Ли (g, g), было описано в [1]. Поэтому проблема

классификации однородных пространств сводится к классификации пар.

Отображение

р: g ^ gl( g / g), х ^ аа| g/g х

называется изотропным представлением подалгебры g. Пара (g, g) называется изотропно-точной, если точно изотропное представление подалгебры g. В дальнейшем рассматриваются только такие пары.

Пусть V = g / g - g-модуль, соответствующий изотропному представлению. Пространство В(У) билинейных форм на V естественным образом становится g-модулем, если положить

Х.Ь(У1, У2) = -Ь(х. V!, У2) - Ь(У1, Х.У2),

где х е ^ Vl, V2 е V, Ь е В(^).

Почти симплектической структурой на g-модуле V называется невырожденная, косо-симметрическая билинейная форма Ь е В(У) такая, что х.Ь = 0 для всех х е g. Другими словами, Ь е В^У). Пусть В - матрица симплек-тической структуры в некотором базисе пространства V, а Ах - матрица элемента х е р^) в том же базисе.

Пара (g, g) допускает почти симплектиче-скую структуру, если выполняется следующее свойство: Ах'В + В Ах = 0, V х е р^).

Для изотропно-точной пары (g, g) отождествим алгебры g и р^).

Существует единственная (с точностью до сопряженности) невырожденная кососиммет-рическая билинейная форма Ь [2]. Множество всех эндоморфизмов пространства V, сохраняющих невырожденную кососимметрическую билинейную форму Ь, является алгеброй Ли.

Зафиксируем базис (м1, ..., и4} пространства V, в котором матрица В имеет вид

' 0 10 0л

-10 0 0

0 0 0 1.

ч 0 0 -10,

Полученная алгебра Ли обозначается sp(4, Я). Она представима в виде

(x y u w 1

z t w v

s p -x -z

p r -y -t

X, y, z, t,

и, V, 5, w,р, г е Я}.

Таким образом, не ограничивая общности, можно считать, что алгебра Ли g является подалгеброй в линейной алгебре Ли 5р(4, Я).

Рассмотрим сначала комплексификации пар (g, g). Решение задачи разбивается на следующие этапы:

1. Классификация с точностью до сопряженности всех подалгебр gC, допускающих почти симплектическую структуру, что равносильно классификации (с точностью до сопряженности) подалгебр алгебры Ли 5р(4, С).

2. Для каждой подалгебры gC из пункта 1 производим классификацию (с точностью до эквивалентности) изотропно-точных пар (g С, gC), у которых изотропное представление сопряжено подалгебре gC.

3. Для каждой пары (£ ^ gC) находим (с точностью до эквивалентности пар) все вещественные формы (^,

1 этап. Для обозначения

g :

где а е С - параметр (т. е. это, вообще говоря, целый класс алгебр), будем использовать запись вида

az x y о 1

0 z 0 0

x, y, z е С

0 0 -az 0

0 0 - X - z У

az X y

z

-az

-x -z

Однако две алгебры g1 и g2 этого класса, определенные параметрами а1 и а2 соответственно, могут быть сопряжены при некоторых значениях параметров. Очевидно, что отношение сопряженности подалгебр задает отношение эквивалентности на множестве параметров: два набора параметров эквивалентны тогда и только тогда, когда сопряжены соответствующие подалгебры. Чтобы отметить возможную эквивалентность наборов параметров, используем два способа: указываем фундаментальную область данного отоноше-ния эквивалентности или выписываем образующие некоторой конечной группы преобразований множества параметров, орбиты которой в точности совпадают с классами эквивалентности. Например, |а| < 1 или а ^ 1 / а.

Теорема. Пусть g - подалгебра в алгебре Ли sp(4, C). Тогда g сопряжена одной и только одной из следующих подалгебр:

dim g = 1.

2.

1.

3.

x

x

-x

1.

3.

5.

7.

9.

1.

3.

5.

x

x

x

Xx

x

-Xx

-x

4.

x

x

-x

X ^ 1 / X, X ^ -X

dim g = 2.

3y x 2. y

y x y x

-3y

-x -y -y

y x 4. ay x

y

-y ay

-y

a ^ -a;

y x 6. ay x

x y y x

-y -ay

-y

a ^ 1 / а;

x

y

x

y

-x

-y

10.

x

x y

y x

y

-y

x y

y z

x z

y z

-x

-y

x y z

z

-x

dim g = 3. 2.

x z

y

-x

-y

4.

6.

z x y

y z

-z

z x

z x y

-z

3,У X г

У X

-3у

-X -У

аг X У

г

-аг

-X -г

10.

X У г

-X

-У

аг У

г X

-аг

-г

X У

г -X

3x У

3г X -2У

-3x -3г

-2г -У -X

12.

X У г

г t

-X

аг X У

г У t

-аг

-г

g = 4. 2.

4.

а ^ 1 / а;

3t г X У

t У г

-г -

X У г t

t

-X

-У

6.

X t г

У г

-X

-У

X и

У

г -X

-У

аи X У г

и г t

-аи

-X -и

X г t

У t и

-X

-У

g = 5. 2.

5.

а ^ 1 / а;

X У

X У

г -X

г -X

X г

У t

-X

-У

X г

t У

-X —

-г -У

t X У г

г t

-

-X

аt X У t

t г

-аt

-X -

а ^ -а;

X и

w

г -X

X У г t

t и

-X

-У

X У и t

г t

-X

-У -г

X и

У w

г -X

-У

1.

3.

X У t и

г и V

-X

-У -г

X и V

t V w

5 -X -

dim

X и V

t У V w

5 -X -

-У

dim g = 6. 2.

4.

X У

t и

г -X

V -

X У и V

г -X V w

-X -г

-У X

X г и V

t У V w

-X -

-г -У

dim g = 10.

X У и w

г t w V

5 Р -X -г

Р г -У -

= 5^(4, С).

Доказательство. Поскольку любая разрешимая подалгебра в 5р(4, С) сопряжена (относительно группы ОЬ(4, С)) подалгебре максимальной разрешимой алгебры г, классифицируем сначала подалгебры в г с точностью до сопряженности относительно группы Я матриц, сохраняющих г. Среди найденных алгебр будут сопряженные в группе ОЬ(4, С), поэтому разо-бъем полученные подалгебры на классы сопряженных (относительно группы ОЬ(4, С)) и выберем из каждого класса по одному представителю. Получим искомую классификацию разрешимых подалгебр в 5р(4, С).

Из теории полупростых алгебр Ли следует, что все полупростые подалгебры в 5р(4, С) (с точностью до сопряженности) имеют вид

X 0 У 0

0 0 0 0

г 0 -X 0

0 0 0 0

X 0 У 0

0 X 0 У

г 0 -X 0

0 г 0 -X

3x У 0 0

3г X 0 -2У

0 0 -3x -3г

0 -2г -X

X 0 У 0

0 t 0 и

г 0 -X 0

0 V 0 -

и сама 5р(4, С). Для каждой полупростой подалгебры а е 5р(4, С) найдем (с точностью до сопряженности) все алгебры g, такие что а является ее подалгеброй Леви.

Подалгебра 5р(4, С) является а-модулем (относительно присоединенного представления) и

разлагается в прямую сумму изотипных компонент

5р(4, о = а е « е...е 8п.

Если g - неразрешимая подалгебра, то она является прямой суммой своих пересечений с изотипными компонентами, поэтому находим в « все подмодули а-модуля составляем их суммы и проверяем, получается ли подалгебра.

2 этап. Рассмотрим теперь задачу классификации для заданной подалгебры g с точностью до эквивалентности изотропно-точных пар (^, g), у которых изотропное представление сопряжено подалгебре g.

Обобщенным модулем называется пара Ц), где g - алгебра Ли, а Ц - £-модуль.

Назовем обобщенные модули Ц1) и (g2, Ц2) изоморфными, если существует такая пара отображений ( Р), что /: g1 ^ g2 - изоморфизм алгебр Ли, Р: Ц1 ^ Ц2 - изоморфизм векторных пространств, и для всех х, g1, Ц1 выполняется следующее условие:

Р(х.и) = /(х).Р(и).

Пусть V - векторное пространство, а g -подпространство в нем. Пара (V, g), снабженная билинейным отображением

Б:0 х V^ V, (х, V) = XV,

называется виртуальной парой, если выполняются следующие условия:

1) g.g е g;

2) ограничение Б на g х g задает на g структуру алгебры Ли ([х, у] = х.у);

3) V- £-модуль относительно Б.

Любой виртуальной паре (V, g) естественным образом соответствует обобщенный модуль V / g), который называется ассоциированным с виртуальной парой.

Пусть (VI, и (у2, g2) - две виртуальные пары и Н: VI ^ V-], - изоморфизм векторных пространств. Назовем Н изоморфизмом виртуальных пар, если

- Н^) = g2;

- Н(х^) = H(x).H(v) для всех х е V е V].

Пусть Н: VI ^ ^ - изоморфизм виртуальных пар (V:, и (V-, g2). Пусть / gl ^ gl -ограничение Н на gl и пусть Р: VI / gl ^ V2 / g2 -отображение, определяемое Р^ + g1) = Н^) + g2 для всех V е V1. Тогда (/, Р) - изоморфизм обобщенных модулей Vl / gl) и (g2, V- / g2), ассоциированный с Н.

Классификация (с точностью до изоморфизма) изотропно-точных g-модулей Ц эквивалентна классификации подалгебр в 5р(4, C) с точностью до сопряженности. Для каждого найденного £-модуля Ц классифицируем (с

точностью до эквивалентности) все пары (g, g), такие что g-модули Uи g /g изоморфны.

3 этап. Имея классификацию пар над полем C, получим классификацию над полем R.

Пространство V называется комплексифика-цией вещественного векторного пространства V. Если на V задана структура вещественной алгебры Ли g, то она продолжается до структуры комплексной алгебры gC.

Пусть теперь g - алгебра Ли над C, a - вещественная подалгебра в g (алгебру над C можно рассматривать как алгебру над R вдвое большей размерности).

Подалгебра a называется вещественной формой алгебры Ли g, если

a © i a = g, a n i a = 0.

Пусть a - вещественная форма алгебры g. Сопряжением относительно a называется отображение £ g ^ g, q(x + i y) = x - iy, V x, y e a. Отображение называется антиинволюцией, если

q2 = id g, [q(x), ФО] = q([x, y]),

q

V x, y e g, X, ц e C. Вещественные формы алгебры Ли - неподвижные точки антиинволюций. Две вещественные формы переводятся друг в друга автоморфизмом тогда и только тогда, когда соответствующие антиинволюции сопряжены. Чтобы классифицировать вещественные формы абстрактной алгебры Ли, нужно классифицировать с точностью до группы автоморфизмов все антиинволюции.

Рассмотрим теперь пару (g, g). Множество всех вещественных форм пары (g, g) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством таких антиинволюций q алгебры g, что q(g) = g. Для каждой пары (gc, gC) определяем (с точностью до эквивалентности пар) все вещественные формы (g, g).

Заключение. Классифицированы подалгебры алгебры Ли sp(4, P), P = R и C. Проведено полное описание изотропно-точных однородных пространств с инвариантной невырожденной почти симплектической структурой (над полями R и C). Предложенная методика может быть использована для произвольной размерности.

Литература

1. Mostow, G. D. The extensibility of local Lie groups of transformations and groups on surfaces / G. D. Mostow. - Ann. Of Math. 32. -1950. - № 3.

2. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гант-махер. - М.: Наука, 1988. - 552 с.