Нелинейное воздействие периодически меняющегося тока на бесконечную цепочку вихрей Абрикосова-Джозефсона

#

УДК 538.945

НЕЛИНЕЙНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИ МЕНЯЮЩЕГОСЯ ТОКА НА БЕСКОНЕЧНУЮ ЦЕПОЧКУ ВИХРЕЙ АБРИКОСОВА-ДЖОЗЕФСОНА

А. В. Зверев, В. П. Силин

В рамках резистивной модели для джозефсоновских переходов с большой критической плотностью тока рассмотрена точно решаемая модель воздействия периодического тока на переход, содержащий цепочку вихрей Абрикосова-Джозефсона. Точное описание такого воздействия позволило установить релаксацию состояния вихрей к периодически изменяющемуся во времени состоянию с периодом осциллирующего тока. Установлен нелинейный резонанс таких параметров цепочки вихрей, как амплитуда колебаний положения вихрей в цепочке и амплитуда колебаний ширины отдельных вихрей, составляющих цепочку, с частотой периодического тока. Наконец, установлена резонансная перестройка магнитного поля цепочки вихрей от ярко выраженной структуры последовательности отдельных вихрей к плавной гармонической зависимости магнитного поля вдоль длины джозефсоновского перехода.

Обычная электродинамика джозефсоновских переходов предполагает, что характерный масштаб рассматриваемых структур велик по сравнению с глубиной проникновения магнитного поля в сверхпроводник. В случае если это не так, электромагнитные свойства перехода описывает нелокальная джозефсоновская электродинамика. Она описывает джозефсоновские переходы с относительно большой критической плотностью тока

Не2

Здесь jc - критическая плотность тока, |е| - заряд электрона, Л - лондоновская длина, с - скорость света и Ь, - постоянная Планка. В пределе (1.1) динамика изменения состояния джозефсоновского перехода описывается уравнением для разности фаз </?(z,f) куперовских пар по разные стороны перехода [1 - 3]

dip 1 д\ I Т dz' dip(z', t) ,

f Ь W/. 1У ь /I «/ А/ As \S As

Здесь

l _ ПС, _ he h = he2 m = M

j] 2|e| jc 16тг|е| djc' ° 2\e\jcRs' A 16^' 7U jc '

ш* '¿\е\1с Ю7г1е|й?с ¿\ецсл3 л 10тг7сЛ' ]с

2с1 - ширина перехода, С8, Л3 - емкость и сопротивление единицы площади контакта, е - диэлектрическая проницаемость, А- джозефсоновская длина. Из (1.3) видно, что характерный пространственный масштаб изменения разности фаз - / в пределе (1.1) существенно меньше А. В случае, когда

^ Фо

С° « о-^Г'

где Ф0 - квант магнитного потока, реализуется так называемая резистивная модель, когда в (1.2) можно пренебречь второй производной по времени и когда имеем

д(р 1 ¿г' д^р(г'Л) .„ ,,

—оо

Это уравнение положено в основу дальнейшего рассмотрения.

В работах [1, 3] было получено решение уравнения (1.4), описывающее стационар ный покоящийся уединенный вихрь Абрикосова-Джозефсона. Это 27г-кинк, имеющие размер I. В [4], на основании уравнения (1.4), рассматривалась релаксация размера подобного вихря, в [5] изучалась одновременная релаксация однородной составляющей фазы, размера и положения вихря Абрикосова-Джозефсона. В работах [6, 7] обсуждалось воздействие на уединенный вихрь периодического тока ступенчатого вида. В [7], в частности, описаны резонансы частоты тока и внутренней частоты джозефсоновского перехода.

В [8] было получено периодическое решение уравнения (1.4), описывающее движущуюся с постоянной скоростью периодическую мультивихревую структуру со средним магнитным полем Н и пространственным периодом

1 = ЩхТ4Я"

Такая структура получила название цепочки вихрей Абрикосова-Джозефсона. В [9] рассматривался нестационарный релаксационно-колебательный режим установления бегущей цепочки вихрей, находящейся под действием постоянного тока 7(2) = 70. Это рассмотрение проводилось в условиях, когда параметры цепочки близки к стационарным значениям. Такой режим характеризуется декрементом затухания А и частотой О.

А =

-1

\

(

1-7о2 +

+ 47о2 (т

П =

-х

\

-1+7о2- Т +

V

\

1 ~ 7о + I Т

+ 47о2

В данной работе решается задача описания воздействия на цепочку вихрей периодического тока ступенчатого вида

7

В силу того, что П и А не зависят от знака плотности тока 70, можно утверждать, что эти величины являются внутренней частотой и внутренним декрементом затухания для цепочки вихрей, подвергающейся воздействию тока (1.8). При этом, так как воздействующий ток обладает периодом Т, то возможно возникновение резонансов, когда Т равен или кратен 27г/Л. Возможность проявления таких резонансов, как показано ниже, зависит от соотношения между П и А. Графики зависимостей А и 1) от 70 изображены на рис. 2.

Видно, что при плотностях тока больших критической плотности тока (70 > 1) частота О оказывается большей декремента затухания, что открывает возможность для проявления указанных выше резонансов. В задачу данной работы входит исследование этих резонансов.

Решение уравнений, описывающих цепочку вихрей. Для решения поставленной в начале статьи задачи необходимо решить уравнение (1.4), описывающее состояния джо-зефсоновского перехода. Для бесконечной цепочки вихрей решение определяется соотношением (ср. [9]):

¥>(*,<) = в(г) + тг + 2аг^

Рис. 1. График зависимости тока 7 от t/T.

Рис. 2. Графики зависимости величин Í2 и Л от амплитуды плотности тока 70 для различных значений параметра 1/L. Величина Л изображается кривыми 1 и 1', которые отвечают //L = 0.2 и 1/L — 0.4 соответственно. Величина Ü изображена кривыми 2 и 2', отвечающим 1/L = 0.2 и I/L = 0.4.

Отсюда видно, что динамика цепочки вихрей представляет собой динамику изменения трех ее характеристик, а именно 0{t) - однородной составляющей разности фаз, a(t) размера вихря, представляющего собой элемент цепочки, и Zo(t) - пространственною положения цепочки. Зависимость этих величин от времени определяется следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

— = 7 — sin 0cha, (2-2) ат

— = — — eos 0sha, (2-3) ат L

|^ = sin0sha.

L ат

Здесь т - безразмерное время, равное t/t0. Видно, что уравнения (2.2) и (2.3) описывают взаимное влияние величин в и a, a (2.4) — влияние в и а: на положение zq.

%

Система взаимосвязанных уравнений

2^ +

где 6(т) - комплексная величина, равная

S

Величина -y(t) принимается ниже периодической функцией, которая имеет вид чередующихся прямоугольных импульсов (1.8) (см. рис. 1):

7

7

где п - любое целое неотрицательное число.

На первом полупериоде (0 < г < T/2t0) 7(7) постоянна и равна 7о. Соответственно 0{t) находится элементарным интегрированием уравнения (2.5):

_ flrow) +1) + (m - ,9(П

Pl J (Mo) +1) - /*,(/?(о) -

В этой формуле Г - комплексная величина:

Г = -Л + ¿ilsgn7,

где Л и О - действительные величины, выражающиеся формулами (1.6) и (1.7). Вели чина fa определяется формулой

fa = iS0-T0.

При этом

S0 = l0 + i

Г0 = —А + til.

Формулы (2.9) - (2.13) при 7 = 70 = const соответствуют результатам, полученным в [9]. Стационарный режим, описывающий бегущую с постоянной скоростью цепочку вихрей, отвечает /3(0) = fa. Процесс нестационарной релаксации к такому состоянию, описанный в [9], соответствует /5(0) близким к fa. Действительно, при этом (2.9) переходит в соотношение

/3 - fa ~ ехр

В предположении малости |/? — /?7|, выражения для а и в, которые получаются из (2.14), совпадают с соответствующими выражениями работы [9]:

Ав ~ Да ~ exp

Здесь Ав и Да - отличие соответствующих величин от их стационарных значений.

Пусть в начале первого полупериода система находится в начальном состоянии 0(0), тогда, используя (2.9), можно найти /?(Т/2), то есть в каком состоянии будет находиться система в конце первого полупериода. В течение второго полупериода (Т/2 < t < Т) ~/(t) постоянна и равна —70. Решение в этой области имеет вид (2.9), где вместо /9(0) стоит /3(Т/2), а вместо 70 стоит —70- Используя это, находим состояние системы в конце второго полупериода.

о(ТЛ + Ц /О

m = u*m+vi>

где t>i, V2 - действительные величины:

t* =

г;2 =

а и - комплексная величина, равная

« =

Все вышеописанное может быть отнесено не только к первому периоду (0 < t < Т), но и к последующим (гаТ < t < (га + 1)Г, п = 1,2,3...). Поэтому любое решение будет определяться последовательностью /Зп - значений /3 в начале га-того периода. При этом сама последовательность находится из рекуррентного соотношения, связывающего (Зп и

/W

А-* =

u*/3n + v2

Это соотношение определяет общее решение уравнения (2.5). На отрезке [пТ, (га +1/2)7 ] это решение имеет вид

МЛ - + 1) + (Д. -

m ~ (ДА + 1) - /?,(/?„ - /?7)еГо«-пт)" }

На отрезке [(га + 1/2)Г, (га + 1)Т] оно имеет вид

вт _ №Кг + 1) + № - ^)er,'

) ~ + 1) " Wi - Ые^-пТ-тт' W )

г

где /3„1 = Р((п + 1/2)Г) находится из (2.20').

Среди всех решений, определяемых (2.20), (2.20'), (2.20"), имеются периодические решения с периодом Г; они получаются, если подчинить /Зп условию

Рп+1 = Рп.

Отсюда находим для периодического решения

Рп = РреП,2 =

где

'"15Г <"»>

При этом само решение имеет вид

ят £т(ДЛег1.2 + 1) + [Руегг,2 ~

^ ' (Р^Ррег 1,2 + 1) " Р-у(Ррет1,2 ~ 1'

при (пГ < г < пТ + Г/2);

_ + 1) + (/^1,2 -т ~ + 1) - РЖ„га - р;)е^т-т,2) №

при (пГ + Г/2 < £ < геТ + Г). Для обсуждаемых периодических решений имеют место соотношения

"

0

Таким образом а(<) - периодическая функция с периодом Г/2. Это означает, что размер вихря колеблется с удвоенной частотой по сравнению с однородной разностью фаз в(г).

В дальнейшем понадобятся значения величин а и в в начале каждого полупериода. Подставляя (2.17)—(2.19) в (2.22), (2.23), а также учитывая, что Р = ехр(г0—а), получаем

а

0

Здесь введены следующие обозначения:

7о I

, AT ПТЛ s - —— I ch—--cos ——

Aio V 2 2 ,

AT i) . ПТ

C = Л Sm ~2~

F =

y2 - ¿gft2 . ПТ n

ll + tlS2 sm 2 ~A\

2 , 2 Г = S + С .

7g + tgA»_hAr

7o ~~ 2

Колебания положения вихря для описываемого периодического режима находятся из уравнения (2.4). Используя (2.5), легко получить

zQ[t) = 2о(0) + LArg

Ш)

z0(t) = 2О(0) + Az0 + LArg

8 - 0

(0 <t< Г/2) (Г/2 < t < Г),

— 0(0) /

где 0 = в + m, a Az0 - амплитуда колебаний положения вихря,

_ . [S0-Q(T/2)\

Используя (2.28) и (2.29), получаем Аг0

= Arctg

+ Fe

— Arctg

м

г + Fe

L V7or — sVr + F2 J \7o r + sy/r + F2 J

Рассмотрим непериодические решения. Для всякого решения имеет место равенство

ß(NT) = ßN,

где последовательность ßx определяется при помощи (2.20), исходя из заданного ß0-Можно найти явный вид последовательности ß^. Будем последовательно находить ßs-

Далее

ßi =

ß» =

aißo + h _ vxß0 + u

C\ßo + di u*ß0 + v2

Q2/3q + b2 _ v\ß\ + u c2ß0 + d2 u*ßi + ui

л

Формулы (2.38), (2.39) служат определениями величин а^ 61,2 с\>2 ¿1,2• По аналогии определяются а^, Ьм, с/у, о?дг, для N > 2. Для величин 021^2,02,^2, можно написать

Й2 = + Ь2 = г^Ьа + м^! с2 = и*а! + ь2сг ¿2 = и*Ь\ + У2 ¿1

Очевидно, что для произвольного N имеют место аналогичные соотношения

а^ = иаодг-х + Ьн = +

с^/ = и*адг_1 + и2слг_1 ¿ту = г-1 +

Через эти четыре последовательности определяется последовательность /Здг,

_ а/у/Зр + ¿/у Сдг/Зо + ¿ДГ

Соотношения (2.41) можно переписать в матричном виде

ан

сдг

VI и и* У2

ак-1

СДГ-1

¿/V

14

и* У2

1

Для того, чтобы найти (ату,слг) и (б/у, ^л/), необходимо диагонализовать матрицу из (2.43), т.е. найти преобразование X такое, что

г?1 и

и г>2

При этом соотношения (2.43) перейдут в

ам

Х1 0 0 Л2

= А.

СЛГ / \ СЛГ-1

В силу диагональности А получаем

= А1 I ^ 1;

«лг

= ЛЬ

&ЛГ-1

ак 1 1 = Л*"1! ( Я! |

слг у ' \ V J ' \

АГ

ЛГ-1

0 А?"1

О! С1

1ЛГ-1

Отсюда

= | : ] = [ А,0 14 7 ]

Искомая матрица равка

£ = 1 А = —-Ц—.

V — 1 /Зрет-2 ) Ррет 1 ~ Ррег2

При этом

1>1 + и2 ± л/

Используя вышеописанное, получаем

= (/Зреп(^ ~ /?Рег2"') + Р^РреЛ М* ~ «^"^А) + /Зрег1(" - Д^а) + /?рег2(Арег!^ ~ Ц)^"' (("1 - /?Рег2и*) + (РреП«* - »л)^"1) + (« - ^рег2«2) + (^рег1«2 ~

Здесь £ = А2/А1. Формула (2.51) описывает любые непериодические решения. Нетрудно убедиться, что |Ах| > | А21, следовательно, при N оо величина стремится к нулю. Отсюда следует, что Ду —* Рреп- Таким образом получено, что все непериодические решения со временем стремятся к периодическому с /Злг = Ррет\- При этом приблизительное время релаксации равно —Т1п(А2/Аг).

Итак, решение уравнений (2.2)-(2.4) дает следующие результаты: в зависимости от начального состояния системы имеется два типа решений, это периодические решения (2.24), (2.25), и оставшиеся непериодические решения, которые стремятся к одному из периодических, а именно, решению, характеризующемуся /?реГ1- В силу этого, дальнейшее рассмотрение свойств решений разумно производить именно для этого установившегося решения.

Резонансные свойства периодического режима. Перейдем к рассмотрению свойств установившегося периодического режима, описанного в предыдущем разделе.

Как упоминалось выше, при вынужденных колебаниях параметров перехода под воздействием внешнего периодического тока возможны резонансы. Такие резонансы наиболее ярко могут проявляться в условиях, когда частота внутренних колебаний превосходит декремент затухания (Г2 >> Л). Исходя из (1.6), (1.7), можно заключить, что это

возможно при

7о » 1, 1/Ь « 1.

Действительно, при таких условиях соотношения (1.6) и (1.7) можно разложить по параметру 1/7о с точностью до поправок порядка (1/70)2:

л =

Из этих соотношений видно, что безразмерная частота (Шо) порядка 70 и существенно превосходит безразмерный декремент затухания (Л£0), который порядка (1/Ь). Однако, в условиях (3.1), в силу (2.9), влияние затухания может все-таки сильно проявляться при больших значениях периода Т. Для того, чтобы избежать этого, вместе с (3.1) в этом разделе примем условие

£ « 1.

Рассмотрим зависимость амплитуды колебаний положения цепочки вихрей от периода внешнего тока. Эта зависимость определяется формулой (2.37). В условиях (3.1), (3.4) она принимает вид

Дго = ЬАгад/, / = £ , 4 ^-' 4, 'Л

Н 1 от 4 СОБ

7о I (зш2 ^ - | М

Чтобы проанализировать зависимость Аг0 от Т, отметим, что второе слагаемое в знаменателе существенно меньше первого везде, кроме узких областей вокруг точек, в которых зт(ОТ/4) равно нулю. Вторым слагаемым в знаменателе можно пренебречь при значениях Т, принадлежащих области

Те [2пГ7 + £,2

где Т7 = 27г/0, а £ = /Ь)(1 /7о)(п^^-у) << ^-г ^ каждой из областей (3.6) величина, стоящая под знаком Лгс^, порядка (1/Ь)7ц 2 << 1, следовательно, Аг0 приблизительно равна тгЬк, где к - целое число, зависящее от номера отрезка п. Зависимость к от п определяется тем, как меняется Аг0 на узких переходных отрезках (2пТ7 — 2п1\ + £). Проанализируем зависимость Аг0 от Т в этих областях. При изменении величины 6Т = Т — 2пТ7 от —£ до —4^/7о, / - функция под знаком Агс£</, изменяется от 0 до +оо,

следовательно, Аг0/Ь изменяется от жк до жк-\-ж ¡2. Далее, при изменении 6Т от — 4£/70 до 4^/70, / изменяется от — оо до +оо, следовательно Аг0/Ь изменяется от жк + ж/2 до жк + Зж/2 и, наконец, при изменении 8Т от 4£/70 до Аг0/Ь изменяется от жк + Зж/2 до ж к + 2ж. Таким образом в промежуточной области (2 пТ7 — 2 пТ7 + £), т.е. при переходе от п к п + 1, Аго увеличивается на 2жЬ и целое число к увеличивается на 2. Теперь для того, чтобы определить, как к зависит от п, необходимо знать к(п = 0). Из (3.5) следует, что при Т — 0 величина Аго стремится к нулю, следовательно, к(п = 0) = 0. Таким образом, можно заключить, что к = 2п.

зЬ

АгуЛ 6

Рис. 3. График зависимости амплитуды колебаний цепочки вихрей от периода воздействия в резонансном случае 7 = 3.5, 1/Ь — 0.05.

Рис. 4. График зависимости параметра в/г(а0) ОТп Т/Ту в резонансном случае 7 = 3.5, 1/Ь = 0.05.

Суммируя вышесказанное, можно утверждать, что Аго(Т) имеет вид "лестницы", состоящей из областей, где Аго практически постоянно, и узких скачков на 2жЬ в точках 2пГ7, п = 1,2,3... С ростом п ширина скачков, равная увеличива-

ется. Такая зависимость Аг0(Т) имеет резонансный характер, так как узкие скачки величины Аг0 находятся в точках, когда период воздействия Т кратен внутреннему периоду 2ж/П. Это отличается от нерезонансного случая (70 << 1,Л >> когда, как следует из (2.37), зависимость Аг0(Т) - линейная:

ПТ

Аг0{Т) = 2жЬ—.

¿л

На рис. 3 изображен график зависимости Аг0(Т) для резонансного случая (70 = 5). Отметим также, что с ростом периода резонасные скачки расплываются. Их ширина пропорциональна п, и приблизительно равна (ттп)(1/Ь)^2.

Для размера вихрей а(1) тоже имеет место резонансное поведение при изменении периода воздействия 7', в условиях (3.1), (3.4). Рассматриваемый периодический режим характеризуется периодической зависимостью с*(£). Чтобы продемонстрировать резонанс размера вихря, рассмотрим, для простоты, зависимость размера вихря ао = а^Т) в начале периода от Т. Используя (2.28) для этой величины можно записать соотношение:

зЬао

у/г

В условиях (3.1), (3.4) это выражение переходит в

8Ьа0

^¥ +

В знаменателе правой части формулы (3.9) под знаком радикала имеется два слагаемых, и аналогично выражению для Дг0, вторым слагаемым можно пренебречь везде, кроме узких областей вокруг нулей sin(iiT/4), когда Т = 2пТ7 (п = 0,1,2,...). Там, где это слагаемое можно выкинуть, sh(c*) порядка I/L и существенно меньше единицы. Вблизи 2пТ7 эта величина имеет резкий всплеск и достигает значения порядка 7q(//T)-1 (тгп)~ 1, что существенно больше единицы. Таким образом, в зависимости sh(a) от Т имеет место последовательность резонансных пиков (см. рис. 4), амплитуда которых уменьшается с ростом периода. Ширина резонансных пиков увеличивается с ростом п подобно ширине резонансных скачков для

Такое резонансное поведение отличается от поведения с*о(Т) в нерезонансном случае малых токов (70 << 1), когда величина sh(a) постоянна и равна 1/L.

Резонансное поведение а0(Т) определяет резонансное поведение структуры магнитного поля в контакте. Как и при рассмотрении размера вихрей, рассмотрим для простоты величину Hq(z) = H(z,t = 0). Магнитное поле для цепочки вихрей имеет вид [8]:

Я0

При периодах Т, не близких к 2пТ7, имеет место равенство:

*<•>--'-

График <5Н(г) = Н0(г) — ( —#) изображен на рис. 5. Видно, что имеется последовательность узких пиков (вихрей), амплитуда которых 8Нтах равна - (Ф0/47гА2)1п(//Х). Отношение 8Нтах к Н равно —(£/А)1п(1/Ь) и, может быть порядка единицы.

Рис. 5. График зависимости величины 6Н(г)/(Ф0/47гА2) от г при 70 = 0.5, 1/Ь = 0.1, при Т, далеких от резонансных значений 2пГ7.

Рис. 6. График зависимости величины ¿#(г)/(Ф0/47гА2) от г при 7о = 0.5, 1/Ь = 0.1, при резонансном значении Т = 2пТ-,.

При периодах Г, близких к 2пТ1: картина магнитного поля резко меняется. В этом случае

и ( \ и Фо (1\ 1 + (ОЛ0\

Зависимость 8Н(г) (рис. 6) в этом случае представляет собой гармонические колебания с амплитудой (Ф0/47гА2)(//Х)/7о, которая существенно меньше Н. То есть магнитное поле имеет структуру, при которой вихрей нет. Таким образом, при приближении Т к резонансному значению структура магнитного поля переходит от вихревой (рис. 5), к структуре, представляющей собой малые гармонические колебания при изменении 2 (рис. 6).

Диссипативные потери цепочки вихрей. Для рассмотрения диссипативных потерь воспользуемся формулой для напряжения на джозефсоновском контакте:

Производная от разности фаз имеет вид:

_ ¿т 4 2

« е / . \ \ ( у—^ '

dt dt ch(a(t)) - eos

Для описываемых решений эта величина периодически зависит от времени, причем период равен Т. Зависимость от 2 также периодическая. Ее период равен 2ттЬ. Усредненное по пространственному периоду напряжение определяется формулой:

В последней формуле /?(<) определяется формулами (2.18) и (2.19).

Диссипативные потери перехода обычно [5 - 7] описываются при помощи передава емой контакту мощности тока

Q = J j(t)V(z,t)dz

Будем рассматривать усредненную по времени мощность, передаваемую одному периоду цепочки длиной 2тгЬ.

Т 2 nL

"щг!*™!"**1-

1 1 о о

Подставляя (4.2) в (4.4), получаем:.

Q = ("г* (i) + ЛгСд ( t^rlp) ~ ArdS LKj ) '

В этой формуле:

Qohm = AKLRJ*.

Рассмотрим мощность Q как функцию периода T/t0. При

Г«1/Л, Т«1/П.

Имеет место соотношение:

Q = Qohm-

Таким образом, в пределе (4.7) мощность, выделяемая на контакте, представляет собой омические потери.

В обратном пределе:

Т» 1/Л, Т»1/П.

Величина ф становится константой:

_ „ , _ Шп

0 = 2-кЬ]— = С1онтп—. 4.13

1е1 7о

Видно, что отличие диссипативных потерь в этом пределе от омических потерь определяется безразмерным множителем (Ш0)/7о. Из формулы (1.7) следует, что этот множитель всегда меньше единицы (рис. 2). При 70 << 1 он приблизительно равен 1/Ь, а при 70 >> 1 практически равен единице. То есть при 70 << 1

Я = <?0Лт{ = 2тг Ц2Яа. Что отвечает омическим потерям в области занимаемой одним вихрем. А при 70 >> 1

ф = ЯоКтП!

что соответствует омическим потерям на периоде цепочки.

Результат (4.13) можно объяснить, если заметить, что он совпадает с мощностью, которая выделяется в случае равномерно бегущей цепочки вихрей, находящейся под действием постоянного тока [9]. Действительно в этом случае имеет место формула:

а из этой формулы и (4.4) следует (4.13). Поскольку в обсуждаемом пределе Т » 1/Л, а 1/Л - это время релаксации решения (2.8), то есть время релаксации к равномерно бегущей цепочке, можно утверждать, что основное время система находится именно в стационарном состоянии, когда выполнено (4.14).

Для того, чтобы указать на преемственность нашего рассмотрения, отметим, что в случае 1/Ь « 1 выражение (4.5) представляет собой мощность, выделяемую уединенным вихрем (элементом цепочки), находящимся под действием ступенчатого тока (2.7). Такое воздействие рассматривалось в [6, 7]. Первое слагаемое (4.5) соответствует - величине, которая в [6, 7] определяется как однородная мощность, а сумма второго и третьего слагаемых соответствуют из [6, 7].

0.01

0.005

^оЬт

0.015

<№ьт

Рис. 7. График зависимости величины вклада в мощность диссипативных потерь сверхпроводящего тока от Т/Т7 в резонансном случае 7 = 3.5, 1/Ь = 0.05.

Рис. 8. Графики зависимости (}(Т/10) для различных значений параметров 70 и 1/Ь. На рисунке изображены кривые, отвечающие параметру 1/Ь = 0.1 и параметру 70 = 0.2 (кривая 1), 70 = 0.4 (кривая 2), 70 = 0.7 (кривая 3).

Рассмотрим зависимость ф от Т в резонансных условиях (3.1), (3.4). Разлагая выражение (4.5) по малому параметру 1/70, оставляя слагаемые порядка (1/7о)5 получаем:

Я — Qoh.ni

2*о

То Т

ОТ 1 . от

—— + эт ——

О I !!Т , / / • 2 ит , ( 1\2 (ПТ\2 ( 1\ (ПТ\ \ ПТ 2Т3\П — + — +{т) [—) - [т) {т) )С05 —

76

V

+

/

При этом учитывались соотношения (3.2), (3.3). При ОТ/4 >> (//Ь)~1 формула (4.15) переходит в простое соотношение:

СоЛтп

1 8Ш2 ^ _ 1 + Т ,__ч ?_ I = УоЛт +

\

272 ^Оту

Вклад сверхпроводящего тока в (4.16) дается относительно малым вторым слагаемым,

которое при увеличении ClT осциллирует с периодом 87т и убывает обратно пропорционально квадрату ПТ/4. График зависимости Qsc от Т для 70 = 3.5 изображен на рис. 7.

0.085 0.08 0.075 0.07 0.065 0.06 0.055 0.05 0.045 0.04 0.035

0 10 20 30 40 50

T/t0

Рис. 9. Графики зависимости Q(T/t0) для различных значений параметров 70 и I/L. Па рисунке изображены кривые, отвечающие параметру 1/L — 0.1 и параметру 70 = 1.5 (кривая 1), 7о = 1.6 (кривая 2), 7о = 1.7 (кривая 3).

Графики зависимости Q от T/t0 приведены на рис. 8 и рис. 9. На рис. 8 изображены три кривые, отвечающие параметру I/L, равному 0.1 и трем различным параметрам 7о, меньшим единицы.

Видно, что все кривые имеют схожий вид, а именно, вначале Q возрастает, достигая своего максимального значения, после чего Q плавно спадает и выходит на константу. Такая плавная зависимость объясняется тем, что при указанных выше значениях параметров fi оказывается меньшим чем Л (рис. 2). Поэтому в (4.5) проявляют себя только "плавные" компоненты (sh{ch}(AT/2)). На рис. 9 изображены графики зависимости Q(T/t0) при 1/L = 0.1 и трех значений 70, больших единицы.

В этом случае, в противоположность рис. 6, П > Л, и поэтому, наряду с плавной зависимостью, оказывают также влияние "колеблющиеся" компоненты (sin{cos}(iiT/2)). Влияние таких компонент рассмотрено выше для случал больших токов ((4.14), (4.15)). На рис. 9 имеют место малые затухающие колебания, подобные рис. 7 на фоне плавной зависимости, подобной рис. 8.

Q/Qohm

Подводя итог всему вышесказанному следует подчеркнуть, что в настоящей работе была предложена и исследована точно решаемая нелинейная модель поведения бесконечной цепочки вихрей Абрикосова-Джозефсона под действием периодически изменяющегося во времени тока, пропускаемого через контакт. Результаты исследования предложенной нелинейной модели отвечают получению ряда важных закономерностей Во-первых, показано, что при воздействии на цепочку вихрей периодического тока начальное состояние вихрей релаксирует к установившемуся периодическому режиму, при котором параметры цепочки вихрей Абрикосова-Джозефсона осциллируют с периодом колебаний тока. Во-вторых, установлено явление резонанса частоты внешнего тока с собственной частотой (1.7) цепочки вихрей. Этот резонанс проявляется: а) в резонансной зависимости амплитуды колебаний во времени пространственных положении вихрей в цепочке, б) в резонансной зависимости ширины отдельных вихрей, составля ющих цепочку. В-третьих, показано, что в результате резонансного воздействия тока магнитное поле цепочки вихрей Абрикосова-Джозефсона перестраивается от картины последовательности сравнительно ярко выраженных уединенных вихрей в нерезонансном случае к случаю гармонической пространственной зависимости магнитного поля в резонансном случае, когда сколько-нибудь выраженных нелинейных вихрей нет.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект N 00-02-16076), Научного совета по сверхпроводимости (задание "Вихри Абрикосова-Джозефсона") и при Государственной поддержке ведущих научных школ.

ЛИТЕРАТУРА

[1] JI а п и р Г. М., Лихарев К. К., Маслова Л. А., Семенов В. К. ФНТ, 1(10), 1253 (1975).

[2] Алиев Ю. М., Силин В. П., У р ю п и н С. А. Свехпроводимость: физика, химия, техника. 5(2), 228 (1992).

[3] G и г е v i с h A. Phys. Rev. В, 46, 3187 (1992).

[4] С и л и н В. П. Письма в ЖЭТФ, 57(3), 187 (1993).

[5] G u г е v i с h A. Physica С, 243, 192 (1995).

[6] К у з о р а И. В., Силин В. П. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 4, 44 (1998).

[7] 3 в е р е в А. В. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 11, 17 (1999).

[8] С и л и н В. П. Письма в ЖЭТФ, 60(6), 442 (1996).

[9] С и л и н В. П. ЖЭТФ, 112, N 4(10), 1396 (1997).

Поступила в редакцию 29 марта 2001 г.