Решение некоторых видов тригонометрических уравнений в школьном курсе математики

детей коренных жителей Республики Тыва на базе литературного языка, без учёта диалектных особенностей. Назрела необходимость создания наиболее приемлемой для данной среды модели начального образования, определение содержания образования по родному языку и литературе с учётом диалектных особенностей [1].

Литература:

1. Бавуу-Сюрюн М.В. Проблема обучения родному (тувинскому) языку в условиях

полилингвизма Северо-западной Монголии // Регины России для устойчивого развития: образование и культура народов Российской Федерации. Материалы международной научно-практической конференции. - Новосибирск, 2010. -С. 307-311.

2. Бавуу-Сюрюн М.В., Цецегдарь У., Гансух Х., Баярсайхан Б. К вопросу о классификации диалектов тувинского языка // Сибирский филологический журнал. - № 3. - Новосибирск, 2010. С. 158-166.

3. Хийс Г. Особенности тувинской речи жителей Цэнгэла. АКД. - Новосибирск, 2009.

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

DECISION SOME TYPE TRIGONOMETRIC EQUATIONS IN SCHOOL COURSE

MATHEMATICIANS

Н.М.Кара-Сал N. Kara-sal

В статье рассматриваются виды тригонометрических уравнений в школьном курсе математики, способы решения которых основаны на некоторых свойствах функций. Приведены также примеры уравнений, в которых применяются искусственные приемы.

Ключевые слова: классификация, свойства тригонометрических функций, методика решения, приемы решения тригонометрических уравнений.

The articles deals with the decision of the types of trigonometric equations in school course of mathematics.

Some types of the trigonometric equations are considered in articles in school course of mathematics, which ways of the decision are founded on some characteristic function. They are also examples of the equations, in which are used artificial acceptance.

Key words: categorization, characteristic trigonometric function, methods of the decision, receiving the decision of the trigonometric equations.

Раздел «Тригонометрические уравнения» занимает один из основных разделов в школьном курсе математики.

Одной из особенностей содержания материала данного раздела является то, что решение тригонометрических уравнений создает предпосылки для систематизации и обобщения знаний учащихся как по тригонометрии, так и по изученному алгебраическому материалу за курс основной школы. Поэтому перед учителем стоит задача выделения тех идей изучаемого материала, которые лежат в основе способов и приемов решения рассматриваемых задач.

В учебно-методической литературе имеются различные точки зрения по классификации тригонометрических уравнений.

Это связано, в первую очередь, с тем, что тригонометрические уравнения являются исключительно разнообразными.

Если при классификации в качестве основы придерживаться выделения приема или способа решения тригонометрического уравнения, то можно выделить следующие виды:

1) уравнения, в процессе решения которых используются свойства тригонометрических функций;

2) простейшие и сводящиеся к ним тригонометрические уравнения после выполнения тождественных преобразований;

3) тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим относи-

тельно какой-либо тригонометрической функции;

4) уравнения вида asinx+bcosx=с, где a,b,c е R, a^0, Ь^0 и сводящиеся к ним;

5) однородные относительно синуса и косинуса одного и того же аргумента тригонометрические уравнения;

6) тригонометрические уравнения, способ решения которых сводится к применению искусственных приемов;

7) смешанные тригонометрические уравнения.

Анализ учебной и методической литературы показывает, что виды (2-5) тригонометрических уравнений

достаточно хорошо описаны, в частности в школьных учебниках и пособиях, а первому и последним двум видам уравнений не уделяется должного внимания, более того - в некоторых учебниках и пособиях они отсутствуют.

В статье остановимся на методике решения указанных трех видов тригонометрических уравнений.

В основе решения тригонометрии-ческих уравнений первого вида лежат выводы о таких свойствах тригонометрических функций, как область определения или множество значений. Решение сводится к установлению областей определения или множества значений выражений, задающих левую и правую части уравнения. В некоторых случаях, когда решение тригонометрического уравнения сводится только к нахождению множества значений левой и правой частей уравнения, этот способ называют способом или приемом оценки.

Поскольку в школьных учебниках и пособиях они практически отсутствуют, то учителю целесообразно самому конструировать такие примеры, начиная с самых простых.

Например, предложить решить уравнения устно, обосновывая ответ.

Пример 1. Решить уравнение

[3

б) cos3x= 3|—

а) sin2x=V2 в) cosxtgx=1

В уравнении (в) ответ получаем из вывода об области определения функции sin х

тангенс:cosx--=1, отсюда

cos х

{sinx=1 cosx ^0

Система не имеет решений, следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Уравнения (а), (б), (г) являются простейшими и не имеют решений, так как левые части представляют собой числа, превосходящие по модулю 1.

Пример 2. Решить уравнение sin7x- sinx =3

Попытка применить формулу преобразования разности синусов в произведение приведет к громоздким преобразованиям, что нерационально.

Перенесем sinx в правую часть и получим sin7x= sinx +3 .

Оценив правую и левую части уравнения, получим: - 1< sin7x < 1, 2< sinx + 3 < 4, откуда делаем вывод -уравнение не имеет решений.

Можно видоизменить уравнение так, чтобы множества значений левой и правой частей уравнения имели пересечение.

Пример 3. Решить уравнение

sin7x- sinx =2

Рассуждая аналогично, получим -1<sin 7x < 1, 1< sin x + 2 < 3.

Тогда равенство возможно, когда обе части уравнения равны 1 и решение уравнения сводится к решению системы уравнений:

{sin7x =1 sinx +2=1

2

г) cos2 х = 2

При решении некоторых уравнений данного вида часто приходится выполнять тождественные преобразования, после чего необходимо оценить правую и левую части уравнения.

Пример 4. Решить уравнение sin3х+sin2х-2sinх-3=0

Преобразуем уравнение к виду sin2 х (sinx +1)- 2 sinx -2=1, откуда

sin2 х (sinx +1)- 2 (sinx +1)=1. Тогда (sinx +1)( sin2x-2)=1.

Оценим левую часть уравнения . Так как sinx > -1, то sinx +1 > 0,

а так как sin2 x < 1, то sin2 x - 2< 0. Следовательно, произведение

(sinx +1)( sin2x-2) <0. С другой стороны, в правой части 1>0. Значит, уравнение не имеет решений. Пример 5. Решить уравнение 2sinx=5x2+2x+3

Оценив левую и правую части уравнения, получим: - 2 < 2sinx < 2,

так как 5х2+2х+3= 5(х+ ^ )2 , то %

уравнение не имеет решений.

Пример 6. Решить cos10x=1+x2

Применяя прием оценки как в предыдущих примерах, убеждаемся, что уравнение имеет единственный корень х=0.

Пример 7. Решить уравнение I 5 - 6х| -

)2

Поэтому

уравнение

4sin лх . 2лх 4sin--4sin-+ -

Ж

3

= 0

Перепишем уравнение в виде:

лх

3 .

5 - 6x1 =4sin лх „ . 2лх

I 1 — + 4sin--

33

лх

1 + * 2у

Преобразуем правую часть уравнения, 3

учитывая, что x^ — +3k, где k е Z. лх

Обозначим — = t, тогда 3

4 sint + 4sin2t -

8tgt „ . „ . „ 0 .

-— = 4sin t + 4sin2t - 8sin t  cos t =

1 + tg 2t

= 4sin t + 4sin2t - 4sln2t = 4sin t Тогда исходное уравнение сводится к

I I . лх более простому виду: |5 — 6 х| = 4 sin —

Решим уравнение графически, построив графики функций,

представляющих левую и правую части уравнения (рис.1).

1 + tg

лх

/

\ /

Й \ J 7

3 \ f / \

3 / \ , i \

i Г V \

i 1 © г йз

\ /

\ J

\ к. /

Рис.1

Из рис.1 видно, что графики пересекаются в двух точках с абсциссами

1

x= — и x= -2

удовлетворяет следовательно,

3 2

но значение x= -

3 2

не

области определения, уравнение имеет 1

единственным корень x= — .

Пример 8. Имеет ли решение

/1 1 2 \8 • 2 о

уравнение (1— cos х) =sin х ? 8

Анализ условий показывает, что в уравнении участвуют выражения cos2 х и sin2x, которые связаны основным тригонометрическим тождеством, поэтому выражаются друг через друга.

3

3

2

3

Следовательно, целесообразно обозначить выражение, представляющее основание степени в левой части уравнения через новую переменную: t=1-

— cos2 х. Тогда получим уравнение t8 8

=8t - 7. Используя теорему Безу, получим t=1, так как

t8 -8t + 7= (t-1) (t7 +t6 + t5 t4 +t3 + t2+t -1).

Можно показать, что выражение

t7 +t6 + t5 t4 +t3 + t2+t ^ 1 ни при каком t.

Таким образом, уравнение t8 =8t - 7 имеет единственный корень t=1 и переходя к переменной х, получим

уравнение 1— cos2 х =1, корнями 8

ж

которого являются числа х= — + ж к, ke Z.

При решении некоторых

тригонометрических уравнений бывает удобным использование известных неравенств.

Обратимся к примерам.

Пример 9. Решить уравнение

ж

tg х+с^ х=1+со8

4

Заметим, что левая часть имеет смысл

ж

при условии х Ф — + ж п, х Ф ж к, где 2

пе X, ке X.

Выражения tg 2 х и х являются взаимно-обратными, поэтому tg 2 х+сtg2 х

з ж

> 2. С другой стороны, 0 < 1+с083

4

<2, поэтому равенство возможно, когда обе части уравнения равны 2. Значит, решение сводится к нахождению решений системы уравнений:

2 х+^2 х =2

t^ ж 1+cos3 (х—)=2

4

Первое уравнение равносильно уравнению ^ х-1) =0, откуда tg х=1, решениями которого будут числа

, ж

х= ± — + ж n, ne Z. 4

Так

как

удовлетворяет лишь х:

второму ж 4

уравнению то система

ж

совместна при х=—.

4

Заметим, что решение уравнения с помощью формул тригонометрии привело бы к громоздким преобразованиям. Пример 10. Решить уравнение

tgx „ 3

• - cos 2x =

1 + tg2 x

2

Перепишем уравнение в виде

и обозначим

tgx 3

- = — + cos2x

1 + tg2 x 2

tgx 3

f(x)= g 2 , g(x)= - + cos 2x 1 + tg2 x 2

Используя

2tgx

1 + tg2 x

< 1 имеем

tgx

1 + tg x

неравенство 1

<

2

С другой стороны, для выражения

3 1 5

g(x)=— + cos 2x имеем — < g(x) < —.

Тогда получим систему неравенств:

-1 < f (x) <1 2 2

<

1

tgx

1

1 + tg2 x 2 ^ / ч 5

2 < g (x) < -2.

откуда f(x)=g(x)=

. 3 1

или cos2x+ — = — 2 2

Первое уравнение системы сводится к

2 — уравнению (1-tgx) =0, откуда x=--Уж n,

4

n е Z, а второе - к уравнению cos2x=-1,

тогда x= —У —, k е Z. 2

Следовательно, система несовместна. Пример 11. Решим уравнение

ж .5— 1

sin —x + sin—x = x У— 2 2 x

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу преобразования

суммы тригонометрических функций в произведение, тогда имеем

2sin—x  cos x = x + —. Оценив левую и 2 x

правую части уравнения, имеем

< 2, с другой стороны

, • -ж

2sin — x • cos x 2

1 „

x + - > 2 x

Поэтому решение исходного уравнения сводится к решению системы

' 2sin — x  cos x = 2 2

1

x +— =2, которая имеет x

единственное решение х=1.

Остановимся на некоторых искусственных приемах решения тригонометрических уравнений.

Одним из таких приемов является прием решения тригонометрических уравнений, основанный на использовании связи между выражениями sinx ± cosx и sinxcosx.

Если sinx+cosx=t. то sinxcosx=-

t2 -1

2

Аналогично. если sinx-cosx=t, то t2 +1

sinxcosx=

2

. Поэтому при решении

тригонометрических уравнений, в которых левая и правая части содержат выражения 8тх ± ео8х и 8тхсо8х, то целесообразно применить подстановку 8тх ± со8х =;.

Пример 12. Решить уравнение 8т3х-со83 х=1.

Разлагая левую часть уравнения на множители, получим

(8Шх-со8х)(8Ш 2 х+8шхсо8х+со8 2х)= 1 или (81пх-со8х) (1 +1 8ш2х)=1.

Применяя подстановку 8тх-со8х=;, получим t(1+1 (1 - г2 ))=1 или ^^+2=0

Полученное кубическое уравнение решим, разложив на множители с помощью группировки: t3 -2t-t+2=0 или (^4)-^-2)=0. Тогда t(t2-1)-2(t-1)=0

или (М)(^-2)=0, откуда t=-2 и t=1.

Возвращаясь к переменной ^ приходим к совокупности уравнений 8тх-со8х=1, 8шх-со8х=-2. Так как

<42,

sinx-cosx

то второе из

уравнении не имеет решении. а решениями первого уравнения будут:

ж

x= ж + 2ж k, k е Z и x= —+ 2ж n, n е Z.

2

Пример 13. Решить уравнение 2(1-sinx-cosx)+tgx+ctgx=0

Уравнение решим при условии. что

x Ф ж к, k е Z 2

Заметим. что левая часть уравнения содержит выражение sinx+cosx.

Преобразуем выражение tgx+ctgx к виду

-. Тогда получим

sin x • cos x

2(1-(sinx+cosx))+

1

= 0

sin x • cos x Введя подстановку sinx+cosx=t . имеем

2

уравнение 2(1 -t)+——- = 0 . Оно

сводится к уравнению t3-t2-t=0. решение которого не вызывает затруднении.

Пример 14. Решить уравнение tg4x+ctg4x+tg2x+ctg2x=4

При решении уравнения учтем. что левая часть уравнения имеет смысл при

условии x Ф ^ к, k е Z .

Заметим. что уравнение содержит сумму квадратов tg4x+ctg4x и tg2x+ctg2x, поэтому дополним их до полного квадрата. используя то. что tgx-ctgx=1. Тогда (tg2x-ctg2x)2+ (tgx-ctgx)2=0.

Полученное уравнение можно решить. используя различные приемы. самыи рациональный из которых заключается в следующем. Так как сумма двух неотрицательных выражении равна нулю лишь тогда. когда каждое из них равно нулю. то приходим к системе тригонометрических уравнении:

2 2 tg x=ctg x

tgx=tgx. отсюда tgx=ctgx. Решая

^ж rj

последнее. получим x= ± —+ж n, n е Z

4

Пример 15. Решить уравнение tgx+ctgx+tg2x+ctg2x+tg3x+ctg3x=6

Также как и в предыдущем примере,

ж 1 ,

уравнение задано при условии x Ф — к, k е Ъ.

Попытаемся использовать тот же прием. С этой целью проанализируем

33

выражение tg х+С§ х.

Разлагая на множители и выделяя полный квадрат, получим

tg3x+ctg3x=(tgx+ctgx)(tg2x-tgx•ctgx+ctg2x)=(tgx+ctgx)((tgx+ctgx)2-3)=0

Тогда исходное уравнение принимает вид:

tgx+ctgx+(tgx+ctgx)2 - 2+(tgx+ctgx) ((tgx+ctgx)2 -3)=6

Применяя подстановку tgx+ctgx=t, имеем t+t2-2+t(t2 -3)=6 или t3+t2-2t-8=0. Сгруппировав и разложив на множители, получим (t3-8)+(t2-2t)=0, откуда ^-2) (t2+3t+4)=0.

Уравнение имеет единственный корень t=2. Возвращаясь к переменной х, приходим к уравнению tg+ С£х=2, решение которого рассматривалось раньше.

При решении некоторых тригонометрических уравнений удобно воспользоваться соотношениями, связывающими функции тангенс и котангенс, так как они намного облегчают решение уравнения. Обратимся к примерам. Пример 16. Решить уравнение tgx+2ctgx2x-ctg3x=0

Уравнение имеет смысл при условии

л т

x Ф —+ лп, n е Z, 2

^ л 7

x Ф — m, m е Z 3

Используя соотношение

tga + 2ctg 2а = ctg а, получим уравнение

о ж „

ctgx = ctg3x, откуда x = — n, n e Z, что

не удовлетворяет условию.

Пример 17. Решить уравнение ctg 2x - ctgx = 2ctg 4x

Заметим, что уравнение определено

при x Ф — + т, n e Z 6

Используя соотношение

tga + 2ctg 2а = ctg а, получим уравнение

tg2x = ctgx решение которого не вызывает затруднений.

Пример 18. Решить уравнение tgx + 2tg 2x + 3ctg 3x + 4ctg 4x = 0

Уравнение определено при

Я Г7 ЯП,.,

x Ф—Уяп, п е Z, x ф —+ — к, k е Z,

2 4 2

Я 7

x Ф — m, m е Z

3

Воспользуемся соотношением

tga + 2ctg 2а = ctga и преобразуем левую часть

tgx + 3ctg 3x + 2(tg 2x + 2ctg 4x) = 0 или tgx + 3ctg 3x + 2ctg 2x = 0. Тогда

(tgx + 2ctg 2x) + 3ctg 3x = 0, откуда ctgx + 3ctg 3x = 0. Тогда имеем cos x 3 cos 3x

.  + - . sin x sln3x

= 0

или

1 . 3

— (sin 2x + sin 4x) + — (sin 4x - sin 2x) = 0

1

откуда cos 2x = —.

4

Решениями последнего уравнения

будут х = ±^arccos1 + лп ,п е Z. 2 4

Пример 19. Решить уравнение ctgx + ctg 2х = tgx + tg 2х.

Уравнение определено при

х Фл + лп, п е Z, х Ф = л m, me Z. 2

Используя соотношение

ctga - tga = 2ctga, имеем

ctg 2х + ctg 4х = 0, откуда

sin 6х = 0. Тогда х = л n, n е Z

6

Пример 20. Решить уравнение 2ctg2x-2ctgx=tg2x

Уравнение определено при

л л л, ,

х Ф— n, п е Z, х Ф —I— к, k е Z. 2 4 2

Используя соотношение ctg2x-1

ctgx=--, получим уравнение

sin 2 х

2 sin2x о i , /о

, откуда cos2x = 1 + V 2 ,

sin 2 х cos 2 х cos2x = 1 - 42. Так как 1+V2 > 1, то

первое уравнение не имеет решений, а решениями второго будут числа

x

= ± 1 arccos(1 - V2) + 7т, n e Z .

В основе решения некоторых тригонометрических уравнении лежит так называемый прием «свертывания» (многократное применение формулы синуса двойного аргумента).

Рассмотрим примеры

Пример 21. Решить уравнение

cos x cos 2x cos 4x cos8x = 1cos15x

8

Левая часть уравнения представляет собой произведение косинусов. аргументы которых подчиняются следующей зависимости: каждый следующий аргумент вдвое больше предыдущего. Его можно упростить. используя прием «свертывания».

В данном примере он заключается в умножении и делении произведения на 24 sin х и воспользуемся несколько раз формулой синуса двойного аргумента. Тогда произведение в левой части «свернется».

16sin x cos x cos2x cos4x cos8x 1

-= - cos15x,

16sin x 8

sin16x 1

откуда -= - cos15x.

16sin x 8

Тогда sin16x = 2cos15x sin x. Преобразуя правую часть. получим

sin16x = sin16x - sin14x,

откуда sin14x =0, а значит x = — n n е Z

14 '

Заметим, что при умножении и делении левой части уравнения на 24 sin х необходимо было учесть условие

sin х Ф 0. Поэтому в ответе из найденных значений надо исключить числа вида х= ж, к е Z

Пример 22. Решить уравнение

ж 2ж 4ж>с 8ж „„,„.

cos—cos-cos-cos-= 0,0625

15 15 15 15

Применяя указанный выше прием. получим

, , . ж ж 2жс 4жс 8ж . ж

16sin — cos — cos-cos-cos-= sin-

15 15 15 15 15 15

„ . 16жх . жж ^

Тогда Б1П = 8т~ . Последнее

уравнение сводится к совокупности простейших уравнений

же 17 же в1п — = 0 сое-= 0, которые решаются

2 30

без труда.

Таким образом, при обучении учащихся решению тригонометрических уравнений учителю необходимо формировать у них различные приемы.

Литература

1. Жафяров А. Ж. Математика: профильный уровень: кн. для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А.Ж.Жафяров.-М.:Просвещение, 2007.

2. Кара-Сал Н.М. Использование свойств функций при решении математических задач. Учебно-методическое пособие по практикуму решения математических задач.- Кызыл, ТГИПК и ПКК Правительства РТ, 2007.

3. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / С.М.Саакян, А.М.Гольдман, Д.В.Денисов.-М.: Просвещение, 2003.

4. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под ред. М.И. Сканави. Учебное пособие. 6-е, переработанное изд., М.: Высшая школа, 1992 г.