Особенности преподавания высшей математики студентам-биологам

Литература

1. Адольф В. А., Вылегжанина И. С. Перспектива использования технологии управления знаниями при подготовке кадров для транспортной отрасли // Педагогический журнал. 2017. Т. 7, № 3А. С. 157-171.

2. Адольф В. А., Дашкова Е. К. Адаптация студентов вуза к будущей профессиональной деятельности // Сибирский педагогический журнал. 2017. № 1. С. 61-67.

3. Адольф В. А., Казакова Л. В. Формирование готовности педагога к реализации практико-ориентированного обучения // Профессиональное образование. Столица. 2017. № 7. С. 22-24.

4. Адольф В. А. Количественная оценка компетентности выпускников интегрированной системы обучения // Профессиональное образование: отечественный опыт и международные практики : сб. ст. VII Междунар. науч. чтений. М., 2015. С. 331-337.

5. Адольф В. А. Подготовка будущих педагогов к профессиональной деятельности в условиях внедрения профессионального стандарта // Вестник Красноярского государственного педагогического университета им. В. П. Астафьева. 2015. Вып. 1 (31). С. 6-11.

6. Адольф В. А., Юрчук Г. В. Профессиональная социализация личности в процессе субъектно ориентированного образования // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Акмеология образования. Психология развития. 2017. Т. 6, вып. 1 (21). С. 5-8.

7. Давыдов В. В., Слободчиков В. И., Цукерман Г. А. Младший школьник как субъект учебной деятельности // Вопросы психологии. 1992. № 3-4. С. 14-18.

8. Казакова Л. В. О готовности выпускников к профессиональной деятельности // Академический журнал Западной Сибири. 2016. № 2. С. 48-49.

References

1. Adolf V. A., Vylegzhanina I. S. Vista using knowledge management technology training for the transportation industry. Pedagogical journal [Pedagogicheskij zhurnal]. 2017. Vol. 7, № 3A. P. 157-171. (In Russian).

2. Adolf V. A., Dashkova E. K. Adaptation of students to the future professional activity. Siberian pedagogical journal [Sibirskij pedagogicheskij zhurnal]. 2017. № 1. P. 61-67. (In Russian).

3. Adolf V. A., Kazakova L. V. Formation of readiness of teachers for the praktiko-focused training realization. Professional education. Capital [Professional'noe obrazovanie. Stolica]. 2017. № 7. P. 22-24. (In Russian).

4. Adolf V. A. Guantitative evaluation of competence of graduates of an integrated learning system. Professional education: experience and international practice [Professional'noe obrazovanie: otechestvennyj opyt i mezhdunarodnye praktiki]:collection of articles of VII international scientific readings. Moscow, 2015 P. 331-337.

5. Adolf V. A. Training future teachers to professional activity in conditions of implementing professional standards. Bulletin of Krasnoyarsk State Pedagogical University named after VP. Astafeva [Vestnik Krasnojarskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. V. P. Astaf'eva]. 2015. Iss. 1 (31). P. 6-11. (In Russian).

6. Adolf V. A., Urchuk G. V. Professional socialization of personality in the process of subject oriented education. Izvestiya of Saratov university. New series. Series: Educational Acmeology. Developmental Psychology [Izvestija Saratovskogo universiteta. Novaja serija. Serija. Akmeologija obrazovanija. Psihologija razvitija]. 2017. Vol. 6, № 1 (21). P. 5-8. (In Russian).

7. Davydov V. V., Slobodchikov V. I., Zuckerman G. A. Junior schoolboy as an educational activity. Questions of psychology [Voprosy Psihologii]. 1992. № 3-4. P. 14-18. (In Russian).

8. Kazakova L. V. About the preparedness of graduates to the profession. Academic journal of Western Siberia [Akademicheskij zhurnal Zapadnoj Sibiri]. 2016. № 2. P. 48-49. (In Russian).

УДК/uDC 378.14:51 Ю. С. Кострова

Y. Kostrova

ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ СТУДЕНТАМ-БИОЛОГАМ

peculiarities of teaching higher mathematics

TO STuDENTS-BIOLOGISTS

Введение. В статье рассматриваются особенности математической подготовки студентов биологических специальностей. Цель статьи — продемонстрировать особенности содержательного наполнения математических дисциплин в соответствии с потребностями будущей профессиональной деятельности студентов-биологов.

Методология. Методологической основой исследования являются компетентностный, дея-тельностный, профессионально ориентированный подходы к обучению. Анализируются научная литература, результаты исследований в области математической биологии, опыт отечественных и зарубежных педагогов.

Результаты. Приводятся авторские задачи биологического содержания, решаемые посредством математического инструментария.

Заключение. Решение задач биологического содержания позволяет продемонстрировать студентам практическую значимость изучаемых формул и теорем, наглядно показать взаимодействие математической и биологической наук, повысить мотивацию и уровень математической культуры студентов-биологов.

Introduction. The article is considered the problem of mathematical training of students of biology departments. The aim of article is to demonstrate the peculiarities of the content of mathematical disciplines according to students' professional needs.

Materials and Methods. The methodological basis of research is competence, activity and professionally-oriented approach in education. The analysis of scientific literature, researches in mathematical biology, practices of Russian and foreign teachers.

Results. The author gives tasks of the biological content, which can be solved by mathematical tools.

Conclusion. The solution of tasks of the biological contents allows to overcome the stereotype of the "uselessness" of mathematics, to show the interaction between mathematical and biological sciences, increases the level of motivation and mathematical culture of the students-biologists.

Ключевые слова: высшее образование, студенты-биологи, математика, линейная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление.

Keywords: mathematics, students-biologists, high education, tasks, linear algebra, differential and integral calculus.

Введение

Идея взаимовыгодного сотрудничества математической и биологической наук зародилась в начале XIX в., когда ученые впервые обратились к количественному анализу объектов живой природы. Дальнейшему укреплению биоматематического сотрудничества способствовали научные труды Ю. И. Гильдермана, Н. Рашевского, С. Н. Берштейна, А. А. Ляпунова, Л. Р. Гинзбурга, Г Ю. Ризниченко и других исследователей в области математической биологии. На современном этапе развития «наук о жизни» осуществляется поиск решений таких биологических проблем, как разработка вакцин [13], моделирование иммунологических реакций, распространения ВИЧ-инфекций и возможности его контролирования [1; 9], исследование геномных последовательностей [6], эволюция жизненного цикла человека [2]. Решение данных проблем требует от специалиста-биолога глубоких математических знаний.

Несмотря на высокий уровень развития биоматематической науки, преподавание высшей математики студентам-биологам в настоящее время недостаточно методически обеспечено. Построение образовательного процесса по математике не способно удовлетворить требования, предъявляемые к выпускникам биологических направлений. Среди существующих проблем можно выделить две основные.

1. Значительное снижение часов, отводимых на изучение математических дисциплин. Решение данной проблемы требует от преподавателя высокого профессионализма, позволяющего организовать аудиторную и самостоятельную работу студентов таким образом, чтобы обеспечить полноценное усвоение учебного материала за ограниченное время.

2. Оперирование математическими символами дезориентировано относительно профессионально значимого материала. Даже успешно сдав экзамены и научившись решать стандартные задачи абстрактного характера, студенты не имеют ни малейшего представления о том, каким образом теоремы, формулы и законы математики связаны с реальными биологическими объектами и процессами. Математика остается для них сложной, непонятной, глубоко формализованной дисциплиной, не имеющей отношения к будущей профессии. Преодоление данной проблемы возможно путем устранения математической обособленности, создания междисциплинарных связей, содержательного наполнения дисциплины с учетом специализации студентов.

Методология

Традиционно курс высшей математики включает следующие разделы: линейную алгебру, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, теория вероят-

ностей и математическая статистика. Каждый из разделов является фундаментальной основой для решения разнообразных проблем биологической отрасли. Правильно подобранные педагогом примеры и задачи в рамках каждого раздела позволяют осуществить математическую интерпретацию биологических процессов, повышают степень заинтересованности и мотивации студентов, расширяют пространство решаемых профессиональных задач, повышают уровень математической культуры будущих специалистов-биологов. Целесообразно при разработке методики изучения высшей математики для студентов-биологов опираться на опыт отечественных и зарубежных педагогов, внесших значительный вклад в становление методики изучения математики и биологии (В. В. Репьев, Л. М. Фридман, А. А. Столяр, Ю. М. Колягин, Т. С. Полякова, А. Н. Колмогоров, В. Ф. Зуев, А. Я. Герд, В. В. Половцов, А. Н. Бекетов и др.).

Анализ учебной и научной литературы позволил сделать вывод о том, что книг, содержащих обзор не одного, а нескольких основных разделов высшей математики и их приложений по биологическим проблемам, — единицы. Существующая литература в основном посвящена дифференциальным уравнениям, теории вероятностей и математической статистике, то есть тем разделам, которые имеют наиболее очевидное применение в биологии. В этой связи выгодно выделяются работы, авторы которых не ограничиваются стандартным содержанием, а освещают такие важные с методической точки зрения разделы, как матричное и векторное исчисление, линейное программирование, дифференциальное и интегральное исчисление [3-5, 10; 11; 14]. У литературы, дающей обзор нескольких разделов, как и у посвященной одной узкой теме, есть свои плюсы и минусы. С одной стороны, стараясь охватить весь арсенал математических законов, формул, теорем и методов, авторы часто пренебрегают строгостью и полнотой изложения материала, ограничиваются поверхностным обзором основных разделов математики с подкрепляющими теорию задачами биологического содержания. С другой стороны, такое изложение позволяет читателю увидеть широкую панораму математико-биологического взаимодействия. Таким образом, труды, охватывающие несколько разделов, имеют большее педагогическое воздействие, так как решают целевую задачу занятий по математике: формирование у студентов мотивированного стремления к самообразованию в области математической биологии. В ограниченном по времени учебном процессе педагогу важно не рассмотреть как можно больше задач, а научить самостоятельно мыслить и принимать решения, видеть математическую составляющую поставленной биологической задачи и пути ее решения, тем самым совершить необходимую учебно-познавательную деятельность.

Результаты

Последние исследования в области биологии все чаще опираются на матричный анализ, дифференциальные и интегральные исчисления. Рассмотрим подробнее возможности содержательного наполнения данных разделов биологическими данными.

Линейная алгебра

При построении матриц и отработке навыков осуществления операций над ними целесообразно оперировать не абстрактными цифрами, а использовать сведения из биологии, например систематизированные данные по кормам для различных видов животных, уровень гемоглобина, холестерина, сахара в крови человека, содержание витаминов в продуктах питания и т. д. Матричное исчисление в биологическом контексте позволит студентам лучше понять внутреннюю сущность изучаемых биологических процессов (популяционная динамика, сбалансированное питание животных, оценка состояния сердечно-сосудистой, пищеварительной и других систем организма и т. д.).

Пониманию того, что системы линейных алгебраических уравнений — удобный способ представления и обработки биологических данных, способствуют задачи профессионально ориентированного характера. Например.

Задача 1. Популяция белого кита описана матричной диаграммой (рис. 1), где п — новорожденные детеныши, V — взрослые, не репродуктивные особи, р — взрослые репродуктивные особи. Построить модель популяции белого кита. Оценить риски вымирания популяции при первоначальном размере: = 10, v(t) = 15, = 20. Изобразить графически.

Рис. 1. Матричная диаграмма популяции белого кита

Решение.

Динамика популяции белого кита характеризуется матрицей перехода:

/О 0 0,3\ 0,2 0,5 0,4 . V 0 0,3 0 /

Тогда матричная модель популяции белого кита имеет вид:

'n(t + l)\ / 0 0 0,34 /n(t)\ v(t + l) = 0,2 0,5 0,4 ). v(t) . \p(t + l)J \ 0 0,3 О/ \р(0/

/n(t)\

Первоначальный размер популяции: I v(t) I

\р(0/

нескольких лет и оценим риски вымирания.

Проследим ее динамику в течение

Через 1 год:

Через 2 года:

Через 3 года:

Через 4 года:

fn

fn

'n

fn

'n(t + 5) Через 5 лет: ( v(t + 5) ] =

\P

Изобразим динамику популяции белого кита на графике (рис. 2).

Рис. 2. Динамика популяции белого кита

Проведенные расчеты демонстрируют высокие риски локального вымирания популяции белого кита. Данный анализ позволяет биологам вовремя проводить предупреждающие меры по охране ареола обитания популяции, находящейся в группе риска.

Задача 2. Для данных, представленных в предыдущей задаче, рассчитать размер популяции белого кита за год до регистрации данных.

Решение данной задачи подразумевает построение системы линейных алгебраических уравнений. В матричной форме система будет иметь вид:

О 0 0,3\ /п(С —1)\ ло\ 0,2 0,5 0,4 • К* -1) = 15 . О 0,3 0 / \р(£ - 1)/ \20/

Решить эту задачу можно одним из трех способов: по формулам Крамера, матричным методом или методом Гаусса.

Задача 3. Рацион питания коров на животноводческой ферме состоит из трех видов кормов — сена, зеленого и концентрированного корма. Содержание питательных веществ каждого корма представлено в виде матрицы А, где столбцы — продукты питания, строки — содержание белков (г),

/60 70 160\

кальция (г) и витаминов (мг) в килограмме соответствующего продукта: А = I 8 6 4 1 .

V 2 3 1 /

Для нормальной жизнедеятельности корова должна получать в сутки 2160 г белка, 204 г кальция и 81 мг витаминов. Сколько килограммов каждого продукта в сутки необходимо потреблять корове, чтобы полностью удовлетворить потребность в питательных веществах? Решение.

(ХЛ

Пусть X = I I — столбец неизвестных, то есть количество сена, зеленого и концентрирован/ /21604

ванного корма, необходимого корове в сутки. Столбец свободных членов имеет вид: В = I 204 I . Определим оптимальный рацион питания по правилу Крамера. V 81 /

Вычислим определитель системы методом треугольников:

detA =

60 70 160 8 6 4 2 3 1

= 360 + 3840 + 560 - 1920 - 720 - 560 = 1560 .

Вычислим вспомогательные определители:

detA1 =

detA2 =

detA* =

2160 70 160 204 6 4 81 3 1

60 2160 160 8 204 4 2 81 1

60 70 2160 8 6 204 2 3 81

= 15600 ;

= 31200 ;

= 1560.

По формулам Крамера получаем суточный расход корма на одну корову:

сена: xt =

15600 1560

= 10 (кг) ;

зеленого корма: х2 =

31200 1560

= 20 (кг) ;

1560

концентрированного корма: х3 = ^^^^ = 1(кг) .

Аналогичные результаты студенты могут получить самостоятельно путем решения системы матричным методом и методом Гаусса.

Приведенные выше задачи имеют неоспоримое преимущество перед традиционными формулировками вида: «найдите решение системы линейных алгебраических уравнений», оторванными от профессионально значимого контекста и сводящимися к формальным вычислениям. Студенты не только оттачивают умение использовать математический инструментарий, у них формируется понимание значимости изучаемого материала для будущей профессии, повышается уровень мотивации и личностной заинтересованности, математические объекты перестают казаться абстрактными и неприменимыми к реальным процессам.

Дифференциальное и интегральное исчисление.

При изучении производной, как в школе, так и в вузе, традиционно рассматривают ее геометрический и физический смыслы. Вместе с тем для студентов-биологов больший интерес представляет биологическая интерпретация производной как скорости размножения популяции.

Пусть уравнение зависимости между числом N особей популяции и временем ее размножения t имеет вид: N = f (t). Приращение аргумента At = t1 — t0 — промежуток между моментами времени t и t0, приращение функции AN = f (t) — f (t) = f (t0 + At) — f (tj — изменение количе-

AN

= lim -—

At-»0 At

ства особей за промежуток времени At. Тогда производная N' = Jiin

/(t0 + At) ~/(t0) At

с биологической точки зрения представляет собой производительность жизнедеятельности популяции в момент времени Ь.

Таким образом, понятия производной и интеграла приобретают для студента биологический смысл.

Рассмотрим несколько задач, которые на привычном и понятном для студентов биологическом материале позволяют отработать навыки вычисления производных и рассмотреть их приложение к исследованию функций в виде биологических зависимостей (возрастание, убывание, экстремум).

Задача 1. С целью предупреждения развития диспепсии телятам делают инъекции препарата «Веракол». Формула концентрации препарата в крови теленка имеет вид: С(Ь) = 0,03Ье~0Ш, где t — время в минутах, С(Ь) — концентрация мг «Веракола» в 1 мл крови. Найти максимальную концентрацию «Веракола» в крови теленка после введения препарата.

Решение.

Решение задачи сводится к поиску максимального значения функции: С(Ь) = 0,03Ье~0 05Ь.

Найдем критические точки, то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует:

С'СО = (0,03Се-°'о5г)' = О.ОЗе"0'051 + 0,03^-0,05)е-°'05г =

0,03е-°-05г(1 - 0,050.

Приравняв полученное выражение к нулю, находим значение Ь:

0,03е-°'о5Ч1 - 0,050 = 0; t = 20 .

Отметив критическую точку на числовой прямой, исследуем знак производной функции (рис. 3).

-1-

20

Рис. 3. Исследование знака производной функции

В соответствии с достаточным условием экстремума Ь = 20—точка максимума. Следовательно, концентрация препарата «Веракол» достигнет максимальной концентрации в крови теленка через 20 минут после введения.

Рассчитаем концентрацию: С(20) = 0,03 • 20 • е-0,05'20 « 0,22 мг/мл.

Задача 2. Французский биолог Жан Моно, проводя экспериментальную работу с кишечными палочками, установил зависимость роста количества бактерий от питательной среды:

= ^ ^ , где N — концентрация питательных веществ, 5—уровень насыщения, с—постоянная.

Определить, как меняется скорость роста бактерий при увеличении концентрации питательных веществ [15, с. 198].

Задача 3. Смещение в ответ на одиночное мышечное сокращение описывается уравнением

у = (с — 1) • е 2 . Определить скорость и ускорение в зависимости от времени [5, с. 35].

Первое знакомство учащихся с интегралами происходит в старших классах, а затем более углубленное — в вузе. Традиционно интегрирование связывают с вычислением площадей фигур и нахождением объемов тел, не уделяя должного внимания его биологическому применению. В этой связи у студентов формируется неправильное, одностороннее понимание сущности и роли интегрального исчисления.

Во-первых, для студентов-биологов важна биологическая интерпретация интеграла как размера популяции. Если V = у(Ь) — скорость роста численности популяции, тогда размер популяции

N в момент времени Ь — неопределенный интеграл N = j v(t)dt. Прирост численности популяции от момента времени до — определенный интеграл Ы= J

Во-вторых, отработать навыки интегрирования и расширить рамки применения интеграла помогают задачи профессионально значимого содержания.

Задача4. Базальный уровень метаболизма (ккал/час) Ивана Ивановича определяется форму-

Tit

лой R(t) = 85 — 0,18cos(—), где t — время в часах. Определить суточный обмен веществ. Решение.

Общий обмен веществ за 24 часа определяется путем интегрирования: J024ß(t)dt = ;о24(85 - 0,18cos(g))dt = =

сделаем замену z = тогда dz = ^ dt, определим пределы интегрирования после замены переменной: t = 0 -> z = 0, t = 24 z = 2ж

2п

f27Г(85 - ОД8cosz) — dz= (85z - 0,18sinz) - = (85 • 2л - 0) — == 2040.

и TT It I 71

0

Таким образом, суточный обмен веществ Ивана Ивановича составляет 2O4O ккал. Задача 5. Популяция бактерий растет со скоростью V(t) = 450•e1,13t бактерий/час. Какое количество бактерий будет через 3 часа, если в начальный момент времени их было 4OO? Какое количество бактерий появится в течение пятого часа?

Задача 6. В найденных биологических останках обнаружено содержание радиоактивного изотопа С14 в количестве N = 0,74Ng, где Ng — количество радиоактивного изотопа в живых организ-

, _ 5370

мах. Скорость изменения содержания С14 определяется формулой: 2{N) =-щ-. Определить

возраст останков. "¡7 '

Помимо предложенных задач, методически интересные примеры представлены в работах Дж. Стюарта и Т. Дэя [15], Р. Лаос-Бельтра [7], Дж. Mюррея [B], Г Леддера [12], посвященные приложению математических методов к биологическим проблемам (рост количества бактерий, уровень загрязнения атмосферы, рыболовный промысел, биоразнообразие, мутации и т. д.).

Заключение

Ориентация на специализацию студентов, использование биологического материала в задачах и примерах позволяют продемонстрировать взаимосвязь изучаемых формул и теорем с законами и явлениями природы. Студенты не только оттачивают математические умения, но и приобретают навыки решения задач профессионального характера, осуществляя их перевод на символьный язык математики с последующей биологической интерпретацией результатов.

Литература

1. Бочаров Г. А., Mарчук Г. И. Прикладные проблемы математического моделирования в иммунологии // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2OOO. № 12. С. 19O5-192O.

2. Будилова Е. В. Эволюция жизненного цикла человека: анализ глобальных данных и моделирование : автореф. дис. ... д-ра биол. наук. M., 2O15. 59 с.

3. Гильдерман Ю. И. Лекции по высшей математике для биологов. Новосибирск : Наука, 1974. 41O с.

4. Джермен M. Количественная биология в задачах и примерах. M. : Mир, 1972. 151 с.

5. Кепчик Н. В. Высшая математика: практикум для студентов биологических факультетов. Mинск : БГУ, 2O1O. 99 с. G. Козлов Н. Н. Mатематический анализ генетического кода. M. : БИHОM. Лаборатория знаний, 2O12. 215 с.

7. Лаос-Бельтра Р. Mатематика жизни. Численные методы в биологии и экологии. Mир математики. M. : Де Агостини, 2O14. Т. 2B. 1GO с.

B. Mюррей Дж. Mатематическая биология. Введение. M. : ИКИ-РХД, 2OO9. 774 с.

9. Носова Е. А. Mодели контроля и распространения ВИЧ-инфекции // Mатематическая биология и биоинформатика. 2O12. № 2. С. 632-675.

10. Chasnov J. Mathematical Biology. The Hong Kong University of Science and Technology. 2O15. 119 p.

11. Larson R. Applied Calculus for the Life and Social Sciences. Hougton Mifflin, 2OO9. BGB p.

12. Ledder G. Mathematics for the Life Sciences: Calculus, Modeling, Probability, and Dynamical Systems. Springer, 2O13. 443 p.

13. A combinatorial approach to the design of vaccines / L. Martinez, M. Milanic, L. Legarreta, P. Medvedev, I. Malaina, I. Fuente // Journal of Mathematical Biology. 2O15. P. 1327-135B.

14. Neuhauser C. Calculus for Biology and Medicine. Pearson, 2O11. B41 p.

15. Stewart J., Day T. Biocalculus: Calculus for Life Sciences. Brooks Cole, 2O14. B97 p.

References

1. Bocharov G. A., Marchuk G. I. Applied problems of mathematical modeling in immunology. Computational Mathematics and Mathematical Physics [Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki]. 2000. № 12. P. 1905-1920. (In Russian).

2. Budilova E. V. The evolution of the human life cycle: a global data analysis and modeling [Jevoljucija zhiznennogo cikla cheloveka: analiz global'nyh dannyh i modelirovanie] : abstract of the dissertation ... doctor of biological sciences. Moscow, 2015. 59 p. (In Russian).

3. Gilderman Yu. I. Lectures on higher mathematics for biologists [Lekcii po vysshej matematike dlya biologov]. Novosibirsk: Science, 1974. 410 p. (In Russian).

4. Jarman M. Quantitative biology in problems and examples [Kolichestvenaya biologia v zadachah i primerah]. Moscow, 1972. 151 p. (In Russian).

5. Kepchik N. V. Higher mathematics: a workshop for students of the biological faculties [Vysshaya matematika: praktikum dlya studentov biologicheskih fakul'tetov.]. Minsk: BSU, 2010. 99 p. (In Russian).

6. Kozlov N. N. Mathematical analysis of the genetic code [Matematicheskij analiz geneticheskogo koda]. Moscow: BINOM. Laboratory of knowledge, 2012. 215 p. (In Russian).

7. Lahos-Beltra R. The Mathematics of Life. Numerical models in biology and ecology. The World of Mathematics [Matematika zhizni. Chislennye metody v biologii i jekologii. Mir matematiki]. Moscow, 2014. 160 p. (In Russian).

8. Murray J. Mathematical Biology. An Introduction [Matematicheskaja biologija. Vvedenie]. Moscow: IKI-RHD , 2009. 774 p. (In Russian).

9. Nosova E. A. Models of control and spread of HIV-infection. Mathematical biology and bioinformatics [Matematicheskaya biologiya i bioinformatika]. 2012. № 2. P. 632-675. (In Russian).

10. Chasnov J. Mathematical Biology. The Hong Kong University of Science and Technology. 2015. 119 p. (Translated from English).

11. Larson R. Applied Calculus for the Life and Social Sciences. Hougton Mifflin, 2009. 866 p. (Translated from English).

12. Ledder G. Mathematics for the Life Sciences: Calculus, Modeling, Probability, and Dynamical Systems. Springer, 2013. 443 p. (Translated from English).

13. Martinez L., Milanic M., Legarreta L., Medvedev P., Malaina I., Fuente I. A combinatorial approach to the design of vaccines. Journal of Mathematical Biology. 2015. P. 1327-1358. (Translated from English).

14. Neuhauser C. Calculus for Biology and Medicine. Pearson, 2011. 841 p.

15. Stewart J., Day T. Biocalculus: Calculus for Life Sciences. Brooks Cole, 2014. 897 p. (Translated from English).

УДК/uDC 323.11+316.334.52[571.17) Е. А. Морозова, О. П. Кочнева,

А. Р. Латфулина, А. В. Сухачева

E. Morozova, O. Kochneva, A. Latfulina, A. Sukhacheva

межнациональные ОТНОШЕНИЯ В РЕГИОНЕ: мнения кузбассовцев

INTERNATIONAL RELATIONS IN THE REGION: KuZBASS RESIDENTS' OPINIONS

Введение. Статья посвящена одной из актуальных тем российской действительности — межнациональным отношениям, которые накладывают отпечаток на все сферы жизни общества, включая образование и воспитание. Систематическое изучение мнений людей о происходящих процессах в сфере межнационального взаимодействия способствует своевременной диагностике проблем, корректировке национальной политики на федеральном, региональном или муниципальном уровнях. Цель статьи — анализ результатов социологического исследования, определившего общую оценку населением Кемеровской области межнациональных отношений и состояние межнациональной толерантности.

Методология. Социологическое исследование проведено по репрезентативной выборке с отслеживанием половозрастной и поселенческой структуры взрослого населения региона методом уличного экспресс-интервью. Разработанный методологический подход и инструментарий позволил не только описать ситуацию по отдельным индикаторам общей оценки межнациональных отношений и межнациональной толерантности, но и рассчитать соответствующие интегральные показатели.

Результаты. Кузбассовцы оценивают межэтнические отношения преимущественно положительно, особенно на уровне региона и муниципального образования. Однако динамика перемен