Вероятность ожидания начала обслуживания в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в системе

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, Д. Б. Флакс, К. Н. Галямова ВЕРОЯТНОСТЬ ОЖИДАНИЯ НАЧАЛА ОБСЛУЖИВАНИЯ В СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ

В СИСТЕМЕ

Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в системе и вычислена вероятность ожидания начала обслуживания заявкой, находящейся в очереди в ожидании обслуживания.

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

Presented mathematical model of an open multi-channel queuing systems with limited average residence time applications in the system and calculated the probability of waiting for the service application in the queue waiting for service.

Настоящая работа является продолжением цикла публикаций авторов, начатого в работах [1,2] и по-свящённого разработке математических основ функционирования системы массового обслуживания (СМО) с ограниченным средним временем пребывания заявки в этой системе. Напомним, что в этих работах рассмотрена система массового обслуживания, в которой на каждую заявку, находящуюся в системе (как в очереди, так и под обслуживанием), действует своего рода «поток уходов» с интенсивностью у = 1 ?. Интенсивность обслуживания заявки

в системе при этом обозначается как ц, а интенсивность поступающего в систему потока заявок как X.

Граф системы массового обслуживания такого рода изображён рис. 1. В этом случае приведённая интенсивность потока поступающих в систему заявок равна р = Х/ц. Физический смысл этой величины заключается, очевидно, в том, что она показывает, какое число заявок в среднем поступило в систему за среднее время обслуживания в системе одной заявки.

В работе [2] были впервые получены формулы для вероятностных характеристик системы массового обслуживания такого рода, в частности, для вероятности полного простоя системы Ро

po =

m-1

-2

(m - 1j!

и вероятностей стационарных состоянии системы

~ k

рk при k<m] "к = ~k\ p0

, k - m

при k > m.,

pk

m! (m/~ +l)y

-po

где

k - m

~ X X р ;

P = ~ =-=

>

+

>

+

>

+

>

+

>

+

>

+

с и Р

e

m

Р

Ц Ц + У 1+ Р а ет (р) - неполная экспонента [1, 2]. При этом

Р = у/ц - приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из системы - величина, которая показывает, сколько в среднем заявок покидает систему необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки. В этих соотношениях (а)к = а(а + 1)(а + 2) ... (а + к -1); (а)0 = 1 - символ Похгаммера [3], при этом = к !. Величина

а = р /р = ^/у , очевидно, показывает, какое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой» заявки. В формуле (1) 1 * (а; Ь; 2)- так называемая,

вырожденная гипергеометрическая функцию Э. Куммера, определяемая соотношением [3]

, * (Ь; 2) = £ £

=0 (Ь)к к!

к

Для упрощения записи в дальнейших расчётах мы будем пока опускать знак тильды в указанных выше обозначениях.

Найдём теперь вероятность ожидания обслуживания вновь поступившей в систему заявкой, то есть вероятность того, что поступающее требование найдет все каналы занятыми (вне зависимости от того, будет оно дожидаться обслуживания или нет). Имеем

ад пт „ ад к-т пт „ ад к

= у =р Ро у а = р Ро у а Рожид = £ Рк = т! £ (т/р+1)к-т " т! £ (т/Р+1)к

к=т

,р Ро

откуда с учётом полученного в работе [2] рекуррентного соотношения для функции Э. Куммера

!* (1;*)=%!(1;2)-1]

следует

Рожид =Р-Р° атр[1*1 (1; т/Р; а)-1 ]= т! а Р

=7""—) [1*1

(т-1)!

Отсюда сразу же следует, что формулу для ро можно представить ещё и как

-1

/ \ А' П^иГТ!Г)

Ро =

ет-1 (р) +

Ро

откуда

Рожид = 1 - ет-1 (Р) Ро,

то есть в данном случае, как и следовало ожидать,

Р . = 1 - Р , , точно так же, как и в обычной

г ожид г обсл

модели М/М/т [4, 5].

Для дальнейших расчетов нам ещё потребуется выяснить поведение Рожид как функции параметра

Р при малых значениях р , близких к нулю, то есть найти первые несколько членов разложения функции Рожид = Рожид (Р) по малому параметру Р в её ряд К. Маклорена. Очевидно при этом, что при Р = о должно быть выполнено равенство

„т „

Рж., (о)=, Р"!( .,

известное из модели М/М/т. Рассмотрим, как ведет себя функция р0ЖИД=р0>КИД(р) при значениях параметра

Р, близких к нулю. Обратимся к формуле (2). Имеем

Рожид (Р) =

„т-1 „

Р Ро

(т -1)!

а

£о (т/Р)к

-1

тр 1 Ро

(т -1)!

1 £ _^_

+ £ т/Р

_т-1 „ ад к

.Р_Ро £ _Р__

" (т -1)! £ т(т + р)(т + 2р)--[т + (к - 1)р]

(Р/т)к

-1

„т-1 „

Р Ро

£

(т -1)! к= (1 + Р/т)(1 + 2^т)--[1 + (( - 1)р/т ]

Малым параметром в последнем выражении является уже р = р/т, и при этом стандартное разложение функции 1 в её ряд Маклорена вблизи

1 + х

точки х = о имеет вид 1 , ,2 откуда

-~ 1 — х + х ,

1 + х

следует

Рожид (Р) ~

1Р)£(/т) (1-Р + Р2)2Р + 4р2-1)р + (к-1)2Р2] = (т -1)! к=1

=/-Р![р/т+(р/т)2 (1-р+р2 )+(р/т)3 (1-р+р2)(-2р+4~2)+ (т -1)!

+ (р/ т)4 (1-р + ~2)(1 -2Р + 4~2)(1 -3р + 9~2) +

+(р/т)5 (1-р+р2 )(1 -2р+4р2 )(1 -3р+9р2 )(1 -413+1632)+ • • ]«

[1 + 7т(1-р + р2)+(//т)2 (1 -3р + 7р2)+

т!

+ (р/т)3 (1 -6р + 25р2)+(р/т)4 (1 -1ор + 65р2) +

+ (р/т)5 (1 -15р + 14ор2 )+ • ] =

к

т!

т ад г -I

!(Р/тГ [1-«^~+«2(к)~2 ]•

к=1

В последнем выражении мы оставили лишь слагаемые не выше второго порядка малости по параметру р/т • Для того чтобы получить отсюда компактную формулу для зависимости рожид (р) от р,

в качестве следующего этапа нужно найти зависимость от порядкового номера к числовых коэффициентов «1 и «2 при степенях параметра р/т в

квадратных скобках бесконечной суммы (3). Составим таблицу этих коэффициентов (табл. 1).

Таблица 1

к «1

0 0 0

1 1 1

2 3 7

3 6 25

4 10 65

5 15 140

Общая формула для коэффициента ^(т) при этом очевидна, поскольку числовой ряд 0, 1, 3, 6, 10, 15, ..., как легко видеть, представляет собой не что иное, как соответствующие коэффициенты бинома Ньютона, то есть число сочетаний из к + 1 элементов по два, и, значит,

(к) Гк+1 ]=4±1))=к(к±1)• ^ 2 ) 2!(к-1)! 2

Для того же, чтобы вычислить общую формулу для коэффициента ), будем действовать следующим образом. Рассмотрим закон образования коэффициентов п2Ь) в формуле (3). При этом очевидно, что для случая к = 2

(1 + р 2 )(1 - 2~ + 4р 2)« « 1 - 3р + (1 - 2 +1 + 4 )~2 = 1 - 3р + 7~2; для к = 3

(1 - р+~2)(1 - 2~ + 4~2)(1 - 3~ + 9~2)«

«(1 - 3р + 7~2 )(1 - 3~ + 9~2)« И 1 - 6 ~ + (3 - 3 + 7 + 9 )~2 =1-6 р + 25 ~2; для к = 4

(1-р+р2)(1-2|3+4рР )(1-3р+9р2)(1-4~+16Р2)«

«(1 - 6~ + 25р2 )(1 - 4 ~ +16 ~2)« и 1 -10 ~ + (6 - 4 + 25 +16 )р2 = 1 -10~ + 65 ~2; для к = 5

(1-~+р2 )(1-2р+4)32 )(1-3(3 + 9р2 )(1-4~ +16~2 )(1-5(3 + 25(32)« «(1 -10 ~ + 65 (~2)(1 - 5 ~ + 25 р2)«

«1-15 ~+(10-5+65+ 25 )~2 = 1-15 ~+140р2

и так далее. Как видим, коэффициенты « (к) образуются по следующему закону:

п2 (к)=к - «1 (к -1)+п2 (к -1)+к 2,

то есть

,(к )=

к2

2

г(к -1).

Последнее выражение представляет собой числовое уравнение для неизвестной нам пока величины п2(к). Легко проверить, что решение этого уравнения следует искать в виде полинома четвертой степени по к

«2 (к) = ак 4 + Ьк3 + ск 2 + ¿к

с неизвестными пока коэффициентами а,Ь,с и ¿. Подставив эту зависимость в соотношение (4) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях к справа и слева, получим

1 Ь 5 3,1,

а = —; Ь = —; с = —; а = — 8 12 8 12

так что в итоге имеем

«2(к) = Iк4 к3 + 3к2 +1 к= к3к(к2 + 3+ 2(5к2 +1). 8 12 8 12

24

Общая формула для разложения (2) теперь запишется в виде

р т р ад

Рожид (Р)«--о Е (р/п

т! к=0

^ т „ Гад

1_ к(к+1) р+к 3к (к 2 + з)+ 2 (5к 2 +1) ~

24

\ Е (р/т)к - 2 ~ Е к (к + 1)(р/т)к +

+ _1 р2 Е к [3к (к2 + 3)+ 2 (5к2 +1)](р/т)к

24 к=0

Первое слагаемое в фигурных скобках есть, очевидно, просто сумма геометрической прогрессии со знаменателем р/ т, то есть

1 т

1 -р/т т-р

Вторая и третья суммы в фигурных скобках легко получаются отсюда с помощью простой операции дифференцирования, при этом имеем

ад ^ 2

Е к

к=0

Е к [3 к (к2 + 3)+ фк2 +1)](р/т)к = Е (3к4 + 10к3 + 9к2 + 2к)(р/т)к =

= 24 т р ^

Подставляя эти соотношения в формулу (5), окончательно найдем, что при малых значениях в

п

2

2

к=0

к=0

рт,-.. РтРо Pm+1 Ро p|Pm+1 Ро (+2р) р2

ожид (т-1)!(т-р) (т-1)|(т-р)3 (т-1)|(т-р)5 или

Рожид(Р) ,Рожмд(0) -P(РV + (т + 2р)р2

: рожид

1- р .р + р(т +2р)Р2

(т - р)2 (т - р)4

рожид (0) рожид

Р Рожид

р^_т+2р_ р2

(т -р)2

Как видим, при р ф 0 Рожид строго меньше

Рожид (0). При Р^ 0 Рожид стремится к Рожид (0), ЧТ0 очевидно-

Литература

1. М.И. Бусарев, А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, Однока-нальная система массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в системе в целом // Вестник Казанского технологического университета. 2011. Т. 14. № 22. С. 155-161.

2. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, Вероятностные характеристики открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания в системе// Вестник Казанского технологического университета. 2014. Т. 17. № 24. С. 242-245.

3. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М., Наука, 1985. 800 с.

4. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. университета, 2008. 112 с.

5. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.

© А. П. Кирпичников - д-р ф.-м. наук, проф., зав. кафедрой интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru; Д. Б. Флакс - ст. препод. каф. автоматизированных систем сбора и обработки информации КНИТУ, e-mail: flaxdm@gmail.com; К. Н. Галямова - магистр каф. автоматизированных систем сбора и обработки информации КНИТУ, e-mail: galyamovakn@gmail.com.

© А. P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Prof, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, email: kirpichnikov@kstu.ru; D. B. Flax - Senior Lecturer of the Department of Automated Data Acquisition & Processing Systems, KNRTU, e-mail: flaxdm@gmail.com; K. N. Galyamova - Master of the Department of Automated Data Acquisition & Processing Systems, KNRTU, e-mail: galyamovakn@gmail.com.