Логико-дидактический анализ темы «Формулы сокращенного умножения»

При осуществлении контроля знаний учеников по теме «Формулы сокращенного умножения» проводится фронтальный опрос учащихся, письменный опрос, ежедневная проверка тетрадей учеников, математический тест, математический диктант, самостоятельная работа, контрольная работа по теме.

1) Фронтальный опрос. При проведении фронтального опроса выясняются знания основных определений формул. Перечень вопросов для фронтальной беседы:

Какие формулы сокращенного умножения вы знаете?

2) Ежедневная проверка тетрадей учеников. Проверка тетрадей осуществляется для установления обратной связи с целью выяснения усвоения знаний.

3) Математический тест.

Цель работы: проверить степень усвоения материала.

В соответствии с поставленной целью в эту работу включаются задания на усвоение формул сокращенного умножения. Включены такие задания при выполнении которых у учащихся вызывает наибольшее затруднения, например перед тем как использовать формулы сокращенного умножения произведение числового и буквенного выражения записать под одной степенью.

·

Разложите на множители: 9с2 - a2b2

(3c - ab)2

(9c-ab)2

·

Разложите на множители: 25х2+10х+1

(5х+1)2

(5х-1)2

не разлагается на множители

·

Разложите на множители: 16 - 24у+9у2

(4 -3у)2

(8-3у)2

не разлагается на множители

·

Разложите на множители: х3-8

·

Разложите на множители: 8а3+1

·

Вычислите: (752 - 252):(62,52 - 37,52)

1

-1

2

-2

Первое задание теста направлена на проверку знания учащихся формулы разности квадратов. Второе, третье – на применение формулы квадрата суммы двух чисел. Но в третьем задании формула написана не в привычной форме, то есть в начале стоит число 16 затем удвоенное произведение 24у и только потом 9у2. Четвертое задание направлена на проверку знания формулы квадрата разности. Пятое – на знание формулы суммы кубов. И шестое – на вычисление значения выражения применяя формулы сокращенного умножения.

4) самостоятельная работа. В середине темы проводится самостоятельная работа.

Цель работы: проверить умение разлагать многочлены на множители при помощи вынесения общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения, способом группировки.

В соответствии с поставленной целью первое задание направлено на проверку знаний формулы разности квадратов, второе – на сумму и разность квадратов, третье – преобразование выражений различными способами, четвертое – решение уравнений при помощи формул сокращенного умножения, пятое – на знание формулы разности кубов.

Вариант 1.

№1. Разложить на множители:

а)

;

б)

.

№2. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

а)

;

б)

.

№3. Упростите выражения:

а)

;

б)

;

в)

.

№4. Решите уравнение:

а)

;

б)

.

№5. Представьте в виде произведения:

.

Вариант 2.

№1. Разложить на множители:

а)

;

б)

.

№2. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

а)

;

б)

.

№3. Упростите выражения:

а)

;

б)

;

в)

.

№4. Решите уравнение:

а)

;

б)

.

№5. Представьте в виде произведения:

.

5)Контрольная работа. В конце темы проводится контрольная работа.

Контрольная работа №8 по теме «Формулы сокращенного умножения»

Вариант 1

1. Преобразуйте в многочлен:

а) (у - 4)2; б) (7х + а)2; в) (5с - 1) (5с + 1); г) (3а + 2b) (3а - 2b).

2. Упростите выражение (а - 9)2 - (81 + 2а).

3. Разложите на множители: а) х2 - 49; б) 25х2 - 10ху + у2.

4. Решите уравнение (2 - х)2 - х (х + 1,5) = 4.

5. Выполните действия: а) (у2 - 2а) (2а + у2); б) (3х2 + х)2; в) (2 + т)2 (2 - т)2.

6. Разложите на множители: а) 4х2y2 - 9а4; б) 25а2 - (а + 3)2; в) 27т3 + п3.

Вариант 2

1. Преобразуйте в многочлен:

а) (3а + 4)2; б) (2х - b)2; в) (b + 3) (b - 3); г) (5у - 2х) (5у + 2х).

2. Упростите выражение (с + b) (с - b) - (5с2 - b2).

3. Разложите на множители: а) 25у2 - а2; б) с2 + 4bс + 4b2.

4. Решите уравнение 12 - (4 - х)2 = х (3 - х).

5. Выполните действия: а) (3х + у2) (3х - у2); б) (а3 - 6а)2; в) (а - х)2 (х + а)2.

6. Разложите на множители: а) 100а4 -

b2 ; б) 9х2 - (х - 1)2; в) х3 + у6.

Оценивание учебных достижений учащихся по математике осуществляется в соответствии с Методическими рекомендациями по использованию 5-балльной системы оценивания учебных достижений учащихся в системе общего среднего образования Луганской Народной Республики и критериями оценивания учебных достижений учащихся по математике.

Критерии и нормы оценки знаний, умений и навыков обучающихся по математике.

1. Оценка письменных, контрольных работ обучающихся по математике.

Отметка «5», если:

· работа выполнена полностью;

· в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

· в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится в следующих случаях:

· работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

· допущены одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

· допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

· допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Отметка «1» ставится, если:

· работа показала полное отсутствие у обучающегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

Учитель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.

2. Оценка устных ответов обучающихся по математике

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

· полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;

· изложил материал грамотным языком, точно используя математическую терминологию и символику, в определенной логической последовательности;

· правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

· показал умение иллюстрировать теорию конкретными примерами, применять ее в новой ситуации при выполнении практического задания;

· продемонстрировал знание теории ранее изученных сопутствующих тем, сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков;

· отвечал самостоятельно, без наводящих вопросов учителя;

· возможны одна – две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил после замечания учителя.

Ответ оценивается отметкой «4», если удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:

· в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившее математическое содержание ответа;

· допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные после замечания учителя;

· допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные после замечания учителя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

· неполно раскрыто содержание материала (содержание изложено фрагментарно, не всегда последовательно), но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для усвоения программного материала (определены «Требованиями к математической подготовке обучающихся» в настоящей программе по математике);

· имелись затруднения или допущены ошибки в определении математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

· ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

· при достаточном знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Отметка «2» ставится в следующих случаях:

· не раскрыто основное содержание учебного материала;

· обнаружено незнание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;

· допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Отметка «1» ставится, если:

· ученик обнаружил полное незнание и непонимание изучаемого учебного материала или не смог ответить ни на один из поставленных вопросов по изученному материалу.

Общая классификация ошибок.

При оценке знаний, умений и навыков обучающихся следует учитывать все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.

Грубыми считаются ошибки:

- незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;

- незнание наименований единиц измерения;

- неумение выделить в ответе главное;

- неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;

- неумение делать выводы и обобщения;

- неумение читать и строить графики;

- неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;

- потеря корня или сохранение постороннего корня;

- отбрасывание без объяснений одного из них;

- равнозначные им ошибки;

- вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

- логические ошибки.

К негрубым ошибкам следует отнести:

- неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного - двух из этих признаков второстепенными;

- неточность графика;

- нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);

- нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;

- неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.

Недочетами являются:

- нерациональные приемы вычислений и преобразований;

- небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков.

Тема урока: «Формулы сокращенного умножения. Разложение разности квадратов на множители»

Цели урока:

1) Образовательные: закрепить знания формул сокращенного умножения. Выработать умения в применении формул.

2) Развивающие: содействовать развитию памяти, внимания, воображения, правильной математической речи.

3) Воспитательные: воспитывать уверенность, целеустремленность, трудолюбие.

Тип урока: урок обобщающего и систематизации.

Методы:

По источнику знаний:

- словесный.

По степени взаимодействия учителя и ученика:

- беседа.

В зависимости от конкретных дидактических задач:

- подготовка к воспроизведению.

- объяснение.

- решение учебной задачи.

По степени самостоятельности учащихся.

- репродуктивный.

Логические:

- индуктивный.

Материалы и оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация, конверты с билетами и заданием

План урока:

1. Организационный момент

2. Проверка д/з

3. Обобщение и систематизация знаний

· мотивация

· обобщение и систематизация теоретической части

· обобщение и систематизация практической части

4.Физкультминутка

5.Задание на дом

6.Рефлексия

7.Итог урока

Ход урока:

1. Организационный момент.

Здравствуйте ребята, присаживайтесь! Дежурные, доложите о составе класса и о наличии учебных принадлежностей у обучающихся.

2. Проверка д/з

3. Обобщение и систематизация знаний

Поэт Сеф в шутливой форме писал:

“Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает,
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает”.

А мы сегодня не будем скучать сами и не дадим гостям. Согласны?

Урок обобщения по теме «Формулы сокращенного умножения». И назовем мы его «В царстве формул сокращенного умножения». (слайд ). Все, что вы знаете и умеете, на уроке и покажете. А так как сегодня урок не совсем обычный, поэтому тетради мы соберем не в начале урока, как обычно, а в конце. А сейчас запишите в тетрадях дату и тему урока. И выберем ту физиономию, которая соответствует вашему настроению к началу урока, и закрасим ее цветным карандашом.

мотивация

Притча о целеустремлённой лягушке.

Собрались несколько лягушек и разговорились.

- Как жаль, что мы живём в таком маленьком болоте. Вот бы добраться до соседнего болота, там значительно лучше! – проквакала одна лягушка.

- А я слышала, что в горах есть отличное место! Там чистый большой пруд, свежий воздух, и нет этих хулиганов-мальчишек, – мечтательно проквакала вторая лягушка.

- А вам-то что с этого? – огрызнулась большая жаба. – Всё равно вам туда никогда не добраться!

- Почему не добраться? Мы лягушки можем всё! Правда, друзья? – сказала лягушка-мечтатель и добавила, - давайте докажем этой вредной жабе, что мы сможем переехать в горы!

- Давайте! Давайте! Переедем в большой чистый пруд! – заквакали все лягушки на разные голоса.

Так они все стали собираться к переезду. А старая жаба рассказала всем жителям болота о «глупой затеи лягушек».

И вот когда лягушки двинулись в путь, все, кто остался в болоте, в один голос закричали:

- Куда вы, лягушки, это же НЕВОЗМОЖНО! Вы не дойдёте до пруда. Уж лучше сидеть в своём болоте!

Но лягушки не послушали, и двинулись в путь. Несколько дней они шли, многие выбивались из последних сил и отказывались от своей цели. Они поворачивали обратно в родное болото.

Все, кого встречали лягушки на своём нелёгком пути, отговаривали их от этой безумной затеи. И так их компания становилась всё меньше. И только одна лягушка не свернула с пути. Она не вернулась обратно в болото, а дошла до чистого красивого пруда и поселилась в нём.

Почему именно она сумела достичь цели? Может, она была сильнее других?

Оказалось, что эта лягушка просто была ГЛУХАЯ! Она не слышала, что это НЕВОЗМОЖНО! Не слышала, как её отговаривали, именно поэтому именно она легко добралась до своей цели!

"Чтобы дойти до цели, надо, прежде всего, идти." Оноре Бальзак

Для того чтобы нам было легче обобщить все полученные знания по теме, мы с вами отправимся в небольшое путешествие по стране формул сокращенного умножения. (слайд ) Конечно, за один урок мы не сможем объехать всю страну, а увидим только ее часть, так как эта страна огромная. На протяжении многих уроков мы с вами изучали эти формулы и пришли к выводу, что с помощью формул сокращенного умножения можно совершать ряд алгебраических преобразований и делать их нужно очень осмотрительно. На сегодняшнем занятии мы еще раз увидим, какая удивительная сила заключается в формулах сокращенного умножения и как они работают при преобразовании выражений.

Обобщение и систематизация теоретической части

Как любому путешественнику, нам необходимо собрать рюкзак в дорогу. Но рюкзак не с кружкой, ложкой, картошкой, тушенкой и чайной заваркой, а с математическими правилами и законами, которые нам понадобятся в сегодняшнем путешествии. Давайте мы вместе с вами восхитимся глубокими знаниями, вытащим из тайников памяти все то ценное, что учили на предыдущих уроках.

Для начала вспомним:

1. Какие формулы сокращенного умножения существуют?

( квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, разность кубов, сумма кубов).

2. Как возвести сумму двух чисел в квадрат?

3. Как возвести разность двух чисел в квадрат?

4. Как возвести сумму двух чисел в куб?

5. Как возвести разность двух чисел в куб?

6. Что такое уравнение?

7. Что значит решить уравнение?

8. Что значит найти корень уравнения?

(фронтальный опрос).

Итак, рюкзак к путешествию мы собрали. Можно отправляться в путь. А в путешествие мы отравимся на чудесном паровозике, который сделает остановки на 4 станциях. Но, чтобы сесть в поезд, нам нужен билет. А билеты, как вы знаете, бывают трех видов: купейный, плацкартный и общий. Цены на билет соответствуют качеству вагона: чем лучше вагон, тем дороже билет. Посмотрите на цены билетов

Купе - “5”.

Плацкарт - “4”

Общий - “3” и “2”.

Наверное, вы уже догадались, что это за цифры?

Сейчас мы напишем математический диктант, и вы сами определите, в каком вагоне вы поедете. Итак, откройте тетради, ответы пишите там.

Математический диктант.

Запишите:

1. квадрат а;

2. удвоенное число b;

3. сумму х и у:

4. сумму квадрата х и куба у;

5. удвоенное произведение а и b;

6. утроенное произведение с и d;

7. квадрат суммы а и b;

8. квадрат разности х и у;

9. произведение b и квадрата а;

10. произведение куба а и удвоенного b;

А теперь, ребята, обменяйтесь тетрадями и оцените друг друга.

А сейчас достаньте из конверта свой билет и в графе “Билет” поставьте ту цифру, которая соответствует половине количества верных ответов. И тут же подпишите свой билет.

Прошу ознакомиться с содержанием билета. В нем вы видите таблицу, на которой указаны названия станций, на которых мы будем останавливаться и, выполнив задание, отправляться дальше, при этом заработав определенное количество баллов. После последней остановки мы посчитаем количество набранных баллов и переведем их в оценки. Таким образом, каждый из вас получит оценку за урок.

Билет

“Оздоровительная”

“Неизвестная”

“Вычислительная”

“Познавательная”

Итого

ФИО

Обобщение и систематизация практической части

Ну что ж, билеты куплены, поезд отправляется.

Едем далеко, сторонка неизвестная, поэтому всем интересно, что происходит вокруг, и мы поворачиваем голову то вправо, то влево. И вот впереди видна первая станция – «Оздоровительная». (слайд). На этой станции поезд долго не стоит, поэтому сконцентрируйте все свое внимание и расшифруйте слово, которое зашифровано в конверте. Здесь же вы найдете бланк для вписывания ответов. Время на задание -5 минут. И первое, о чем мы сейчас должны узнать, что же зашифровано в этом примере. Для этого преобразуйте данные выражения в многочлен. (слайд ).

Задания

Ответы

Буквы

(x+y)(x2-xy+y2)

(5x+y)(25x2-5xy+y3)

(1+a)(1-a+a2)

(2x2-y2)(4x4+2x2y2+y4)

x2-16

25n2 - 9m2

16b2 – a4

x3+y3

125x3+y3

1+a3

8x6-y6

О

К

Р

М

О

Ь

В

Выберите буквы, соответствующие найденным ответам, и запишите в таблицу.

| | | | | | | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| x3+y3 | 125x3+y3 | 16b2 – a4 | 25n2 - 9m2 | x2-16 | 8x6-y6 | 1+a3 |
| | | | | | | |

Теперь прочитайте полученное слово. Если у вас получилось “Морковь”, то впишите в билет 5 баллов, а если слово не такое, то укажите число, равное разности количества правильных букв и числа 2.

Справочная информация: Полезные свойства моркови используются в питании человека. Полезно погрызть сырую морковь, так как это укрепляет десны. Так как витамин А способствует росту, то морковь особенно полезна детям. Этот витамин необходим для нормального зрения, он поддерживает в хорошем состоянии кожу и слизистые оболочки. Морковь, блюда из моркови и особенно морковный сок используются в лечебном питании. Ешьте морковь – и никакой грипп вам не страшен!

Едем дальше. На пути станция “Неизвестная”.( слайд ) Здесь мы будем решать уравнения. Достаньте из конверта карточку под номером два, на ней записаны два уравнения, решите его.