О дедуктивной непригодности базисного множества акцидентальных суждений Н. А. Васильева и их отрицаний в силлогистике

ФИЛОСОФСКИЕ НАУКИ

О дедуктивной непригодности базисного множества акцидентальных суждений Н. А. Васильева и их отрицаний в

силлогистике Сидоренко О. И.

Сидоренко Олег Иванович /Sidorenko Oleg Ivanovich - кандидат физико-математических наук,

главный конструктор, Научно-производственное предприятие «Анфас», г. Саратов

Аннотация: представлено доказательство дедуктивной непригодности базисного множества из акцидентальных суждений Н. А. Васильева и их отрицаний в силлогистике, основанное на семантическом методе вычисления результирующих отношений.

Abstract: presented a deductive proof of the unsuitability of the basic set N.A. Vasiliev's accidentai judgments and their negations in syllogistic using semantic calculation method of the resulting relations.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, семантика, результирующие отношения, решение силлогизма, акцидентальное суждение.

Keywords: syllogism, syllogistic, semantics, resulting relations, solution of syllogism, accidental judgment.

Введение

Известно, что выдающийся российский логик Н. А. Васильев негативно относился к частным суждениям типа SiP и SoP аристотелевской и традиционной силлогистик, в которых кванторное слово «некоторые» трактуется как «некоторые, а может быть и все». Такие суждения называются неопределенно-частными. «Н. А. Васильев считал, что они не выражают законченного знания о своём субъекте, продиктованы неполнотой информации и открыто содержат в себе задачу выяснить, все ли упомянутые предметы обладают неким свойством или не все» [3]. Такие суждения, по мнению Васильева, не могут считаться подлинно научными - суждениями о понятиях. «Неопределённые суждения, - пишет он, - могут фигурировать только в качестве научной проблемы, а не научного решения» [4, с. 21] (цит. по [3]). По Васильеву: «Нет частных суждений. Все суждения относительно понятий суть суждения общие» [5, с. 20] (цит. по [2]). К ним относятся хорошо известные из аристотелевской логики общеутвердительное суждение с логической формой «Всякие S суть P», общеотрицательное суждение с формой « Ни один S не есть P» и предложенный Васильевым третий тип суждений о понятии с логической формой «Только некоторые S суть P», которое Васильев предложил называть «суждением акцидентальным, или так называемым частным, ибо в действительности оно общее» [4, с. 26] (цит. по [3]). Суть такого суждения поясняет следующая данная им словесная формулировка: «Одни S суть P, а все остальные не суть P» [4, с. 70] (цит. по [3]).

Общие суждения Аристотеля A, E и их отрицания O, I соответственно могут порождать правильные модусы. Например, в первой фигуре силлогизма правильными сильными модусами аристотелевской силлогистики являются следующие 4 модуса: AAA, EAE, AII, EIO [6]. Возникает естественный вопрос: а будут ли аналогично суждениям Аристотеля порождать правильные модусы всевозможные акцидентальные суждения Васильева и их отрицания, если их собрать в одно базисное множество, коль скоро по Васильеву они претендуют на роль общих суждений?

Целью настоящей статьи является аргументированный ответ на этот вопрос.

Базисное множество из акцидентальных суждений Васильева и их отрицаний

Базисное множество всевозможных акцидентальных суждений Васильева и их отрицаний представлено в таблице 1 и является подмножеством суждений квазиуниверсальной силлогистики [8].

Таблица 1. Базисное множество акцидентальных суждений Васильева и их отрицаний

Обозначение логической формы суждения Условия истинности логической формы Логическая форма суждения

10 7, 11, 15 Только некоторые Б суть Р

10* 13, 14, 15 Только некоторые не-Б суть Р

01 7, 13, 15 Только некоторые Р суть Б

01* 11, 14, 15 Только некоторые не-Р суть Б

(10)' 6, 9, 13, 14 Неверно, что только некоторые Б суть Р

(10*)' 6, 7, 9, 11 Неверно, что только некоторые не-Б суть Р

(01)' 6, 9, 11, 14 Неверно, что только некоторые Р суть Б

(01*)' 6, 7, 9, 13 Неверно, что только некоторые не-Р суть Б

Примечание. Знак «'» означает логическую операцию отрицания суждения

Таблица 2. Семантика отношений Кейнса и условия истинности базисных акцидентальных суждений Васильева и их отрицаний

Условия истинности суждений

5Р Противоречивость Дополнительность Равно-объёмность Включение 5 з Р Включение Р з 5 Соподчинение Пересечение

6 7 9 11 13 14 15

00 0 0 1 1 1 1 1

01 1 1 0 0 1 1 1

10 1 1 0 1 0 1 1

11 0 1 1 1 1 0 1

10 0 1 0 1 0 0 1

10* 0 0 0 0 1 1 1

01 0 1 0 0 1 0 1

01* 0 0 0 1 0 1 1

(10)' 1 0 1 0 1 1 0

(10*)' 1 1 1 1 0 0 0

(01)' 1 0 1 1 0 1 0

(01*)' 1 1 1 0 1 0 0

Примечание. Б - субъект суждения, Р - предикат суждения, з - знак включения множеств; 0 - отсутствие свойства для терминов и запрещенная комбинация свойств для отношений, 1 - наличие свойства для терминов и разрешенная комбинация свойств для отношений.

Условия истинности базисных суждений в таблице 1 представлены в виде перечисления десятичных номеров семи теоретико-множественных отношений Кейнса между терминами суждения со стороны их объемов, на которых суждение данной логической формы считается истинным исходя из своего смысла. Семантика отношений Кейнса и условия истинности базисных акцидентальных суждений

Васильева в двоичном коде представлены в таблице 2 для универсума с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности.

Непосредственные выводы

Непосредственные выводы в силлогистике основаны на логических отношениях между суждениями [1]. Из таблицы 2 прямо следует, что между суждениями различных логических форм в рассматриваемой силлогистике существуют следующие отношения:

1) контрарность - два суждения не могут быть вместе истинными, остальные комбинации значений истинности возможны - отсутствует;

2) контрадикторность - два суждения не могут быть вместе ни истинными, ни ложными: IO, (IO)'; IO*, (IO*)'; OI, (OI)'; OI*, (OI*)' - всего 4 пары суждений, являющихся отрицаниями друг друга;

3) логическое следование - если истинно первое из двух суждений, то второе не может быть ложным, и если ложно второе, то первое не может быть истинным -отсутствует;

4) субконтрарность - два суждения не могут быть вместе ложными, остальные комбинации значений возможны - отсутствует;

5) независимость - в двух суждениях возможны любые комбинации истинностных значений: IO, IO*; IO, OI; IO, OI*; IO, (IO*)'; IO, (OI)'; IO, (OI*)'; IO*, OI; IO*, OI*; OI*, (IO*)'; IO*, (OI)'; OI*, (OI*)'; OI, OI*; OI, (IO)'; OI, (IO*)'; OI*, (IO)'; OI*, (IO*)'; OI*, (OI)'; (IO)', (IO*)'; (IO)', (OI)'; (IO)', (OI*)'; (IO*)', (OI)'; (IO*), (OI*)'; (OI)', (OI*)' - всего 24 пары суждений.

Таким образом, среди базисных акцидентальных суждений Васильева и их отрицаний логические следования невозможны.

Опосредованные выводы

Для выявления всех правильных модусов из базисного множества акцидентальных суждений и их отрицаний применим семантический метод вычисления результирующих отношений, предложенный в работе автора [9] и развитый в работах [10], [11]. Он основан на тезисе Альфреда Тарского о том, что понимать суждение означает знать его условия истинности, в качестве которых фигурируют теоретико-множественные отношения между терминами суждения со стороны их объемов. Метод сводит доказательство правильности силлогизма к его решению. В силлогистике решение силлогизмов обеспечивается благодаря её разрешимости, доказанной Л. Лёвенгеймом как теории одноместных предикатов [7]. В процессе решения мы получаем или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок не существует.

Метод вычисления результирующих отношений применительно к задаче выявления всех правильных модусов некоторой силлогистики заключается в следующем:

1. Для каждой упорядоченной пары базисных суждений рассматриваемой силлогистики записывают обозначения логических форм посылок и их условия истинности (в скобках) в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом считаются термины S и M, а во второй - M и P, что соответствует первой фигуре силлогизма, где M - средний термин силлогизма, S и P - крайние термины.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений из ключевой таблицы 3 [11] выписывают результирующие отношения (одно или несколько), порождаемые посылками в конфигурации SM - MP, соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений в традиционной силлогистике, представленных в таблице 3, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также аналитическим методом [12], [13]. Указанной таблицей нужно пользоваться подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

Таблица 3. Результирующие отношения в силлогистике с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности

№ Посылки SM, MP Заключение SP № Посылки SM, MP Заключение SP

1 6, 6 9 26 11, 13 7,9,11,13,15

2 6, 7 13 27 11, 14 6,7,11,14,15

3 6, 9 6 28 11, 15 7,11,15

4 6, 11 14 29 13, 6 14

5 6, 13 7 30 13, 7 6,7,13,14,15

6 6, 14 11 31 13, 9 13

7 6, 15 15 32 13, 11 9,11,13,14,15

8 7, 6 11 33 13, 13 13

9 7, 7 7,9,11,13,15 34 13, 14 14

10 7, 9 7 35 13, 15 13,14,15

11 7, 11 6,7,11,14,15 36 14, 6 13

12 7, 13 7 37 14, 7 13

13 7, 14 11 38 14, 9 14

14 7, 15 7,11,15 39 14, 11 14

15 9, 6 6 40 14, 13 6,7,13,14,15

16 9, 7 7 41 14, 14 9,11,13,14,15

17 9, 9 9 42 14, 15 13,14,15

18 9, 11 11 43 15, 6 15

19 9, 13 13 44 15, 7 7,13,15

20 9, 14 14 45 15, 9 15

21 9, 15 15 46 15, 11 11,14,15

22 11, 6 7 47 15, 13 7,13,15

23 11, 7 7 48 15, 14 11,14,15

24 11, 9 11 49 15, 15 6,7,9,11,13,14,15

25 11, 11 11

3. Составляют перечень полученных по п. 2 результирующих отношений (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Выписывают из базисного множества те суждения, условия истинности которых, покрывают результирующие отношения (т.е. включают их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают самое «сильное», расположенное в верхней части диаграммы логического следования суждений (при его наличии) и обладающее наименьшей степенью неопределенности (т.е. меньшим числом условий истинности).

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP - SM, переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычисления в других фигурах силлогизма производят взаимные замены отношений 11 ^ 13 в условиях истинности посылок, в соответствии с фигурой, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества суждений силлогистики (при его наличии) и производят взаимную замену определенных суждений, в соответствующих фигуре посылках, в результатах вычислений по первой фигуре.

Свойство силлогистической полноты базисного множества суждений силлогистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности, о котором впервые было заявлено в работе [9], состоит в том, что если это множество содержит суждение, логическая форма которого истинна на отношении 11, то оно

должно содержать также суждение, истинное и на отношении 13, и, наоборот, при полном совпадении других отношений. Справедливость утверждения следует из того, что среди всех возможных семи отношений между терминами в традиционной силлогистике только два отношения 11 и 13 имеют разные значения истинности на наборах с неодинаковыми значениями истинности терминов (см. таблицу 2). Ниже приведены вычисления для акцидентальных суждений. IO (7,11,15), IO (7,11,15) ^ - ;

7,7 ^ 7,9,11,13,15; 11,7 ^ 7; 15,7 ^ 7,13,15;

7,11 ^ 6,7,11,14,15; 11,11 ^ 11; 15,11 ^ 11,14,15; 7,15 ^ 7,11,15; 11,15 ^ 7,11,15; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

В дальнейшем для упрощения записей из членов декартова произведения отношений при выполнении п. 2 будем оставлять только те из них, которые в соответствии с п. 4 сразу определяют отсутствие решения. В этом случае вместо Р.О. будем иметь неполное Р.О.

IO (7,11,15), IO* (13,14,15) ^ - ;

11,13 ^ 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

IO (7,11,15), OI (7,13,15) ^ - ;

7,7 ^ 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

IO (7,11,15), OI* (11,14,15) ^ - ;

7,11 ^ 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

IO (7,11,15), (IO)' (6,9,13,14) ^ - ;

11,13 ^ 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

IO (7,11,15), (IO*)' (6,7,9,11) ^ - ;

7,7 ^ 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

IO (7,11,15), (OI)' (6,9,11,14) ^ - ;

7,11 ^ 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

IO (7,11,15), (OI*)' (6,7,9,13) ^ - ;

7,7 ^ 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

IO* (13,14,15), IO (7,11,15) ^ - ;

13,7 ^ 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

IO* (13,14,15), IO* (13,14,15) ^ - ;

14,13 ^ 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

IO* (13,14,15), OI (7,13,15) ^ - ;

13,7 ^ 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

IO* (13,14,15), OI* (11,14,15) ^ - ;

13,11 ^ 9,11,13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

IO* (13,14,15), (IO)' (6,9,13,14) ^ - ;

14,13 ^ 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

IO* (13,14,15), (IO*)' (6,7,9,11) ^ - ; 13,7 ^ 6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

IO* (13,14,15), (OI)' (6,9,11,14) — - ;

13,11 — 9,11,13,14,15;

P.O.: 9,11,13,14,15.

IO* (13,14,15), (OI*)' (6,7,9,13) — - ;

13,7 —^6,7,13,14,15;

P.O.: 6,7,13,14,15.

OI (7,13,15), IO (7,11,15) — - ;

7,7 — 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

OI (7,13,15), IO* (13,14,15) — - ;

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15.

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

OI (7,13,15), OI (7,13,15) — - ;

7,7— 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

OI (7,13,15), OI* (11,14,15) — - ;

7,11 — 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

OI (7,13,15), (IO)' (6,9,13,14) — - ;

15,13 — 7,13,15; 15,14 — 11,14,15;

P.O.: 7,11,13,14,15.

OI (7,13,15), (IO*)' (6,7,9,11) — - ;

7,7 — 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

OI (7,13,15), (OI)' (6,9,11,14) — - ;

7,11 — 6,7,11,14,15;

P.O.: 6,7,11,14,15.

OI (7,13,15), (OI*)' (6,7,9,13) — - ;

7,7 — 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

OI* (11,14,15), IO (7,11,15) — - ;

15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;

P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.

OI* (11,14,15), IO* (13,14,15) — - ;

11,13 — 7,9,11,13,15;

P.O.: 7,9,11,13,15.

OI* (11,14,15), OI (7,13,15) — - ;

11.13 — 7,9,11,13,15; P.O.: 7,9,11,13,15.

OI* (11,14,15), OI* (11,14,15) — - ;

11.14 — 6,7,11,14,15; P.O.: 6,7,11,14,15.

OI* (11,14,15), (IO)' (6,9,13,14) — - ;

11.13 — 7,9,11,13,15; P.O.: 7,9,11,13,15.

OI* (11,14,15), (IO*)' — - ;

15,7 — 7,13,15; 15,11 — 11,14,15;

P.O.: 7,11,13,14,15.

OI* (11,14,15), (OI)' (6,9,11,14) — - ;

11.14 — 6,7,11,14,15; P.O.: 6,7,11,14,15.

OI* (11,14,15), (OI*)' (6,7,9,13) — - ;

11,13 ^ 7,9,11,13,15; P.O.: 7,9,11,13,15.

Аналогичные вычисления для отрицаний акцидентальных суждений Васильева также не дают никакого положительного результата, в чем читатель может убедиться самостоятельно. Выводы

1. Проведенные исследования показывают, что в силлогистике из одних акцидентальных суждений Васильева и их отрицаний не существует правильных модусов, а между суждениями такой силлогистики отсутствует логическое следование. Это свидетельствует о дедуктивной непригодности базисного множества из одних только акцидентальных суждений и их отрицаний и с этой точки зрения не подтверждается целесообразность называть акцидентальные суждения общими. По степени неопределенности они находятся между общими и частными суждениями Аристотеля. В то же время пренебрегать такими суждениями нельзя, поскольку в комбинации с другими суждениями квазиуниверсальной силлогистики акцидентальные суждения и их отрицания порождают 112 правильных модусов, что всего лишь на 20 модусов меньше, чем столько же суждений А. Де Моргана [8].

2. Результаты, полученные в настоящей статье, а также в работах автора [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33] наглядно демонстрируют, что появился эффективный и доступный широкому кругу читателей - не математиков инструмент для проведения широкомасштабных исследований в силлогистике.

Литература

1. Антаков С. М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2012. 174 с.

2. Бажанов В. А. Н. А. Васильев и его воображаемая логика. Воскрешение одной забытой идеи. М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация», 2009. 240 с.

3. Бочаров В. А., Маркин В. И. Силлогистические теории. М.: Прогресс-Традиция, 2010. 336 с.

4. Васильев Н. А. Воображаемая логика. Избранные труды. М.: Наука, 1989.

5. Васильев Н. А. О частных суждениях, о треугольнике противоположностей, о законе исключенного четвертого // Учен. Зап. имп. Казан. ун-та, 1910. С. 1-47.

6. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики / Пер. с англ. М. : Изд-во иностр. лит., 1959. 316 с.

7. Новиков П. С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.

8. Сидоренко О. И. О базисном множестве суждений квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. № 6 (8), 2016. С. 52-60.

9. Сидоренко О. И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

10. Сидоренко О. И. В лабиринтах логики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. 108 с.

11. Сидоренко О. И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2007. 192 с.

12. Сидоренко О. И. Аналитическая силлогистика - миф или реальность // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-28. № 4 (74), 2015. С. 57-59.

13. Сидоренко О. И. Введение в аналитическую силлогистику. Саратов: Изд. Центр «Наука», 2016. 230 с.

14. Сидоренко О. И. Что даёт переход от суждений Аристотеля к суждениям А. Де Моргана в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-28. № 4 (74), 2015. С. 60-62.

15. Сидоренко О. И. О сравнении силлогистик с ограничениями на термины // Национальная ассоциация учёных. № 11 (16). Часть 2. Екатеринбург, 2015. С. 85-91.

16. Сидоренко О. И. Моделирование естественных рассуждений в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-27. № 3 (62), 2014. С. 110-113.

17. Сидоренко О. И. Об аналитической силлогистике // Национальная ассоциация ученых. Т. 5. № 10. Часть 5. Екатеринбург, 2015. С. 71-75.

18. Сидоренко О. И. Силлогистика и аналитический метод // Российско-китайский научный журнал «Содружество». № 1. Часть 1. Новосибирск, 2016. С. 126-132.

19. Сидоренко О. И. О традиционной квазиуниверсальной силлогистике // Российско-китайский научный журнал «Содружество». № 2. Часть 3. Новосибирск, 2016. С. 7-15.

20. Сидоренко О. И. Об исследовании дедуктивных возможностей суждений с фиксированной степенью неопределенности в квазиуниверсальной силлогистике // Научно-образовательное содружество «Evolutю». № 1. М., 2016. С. 61-68.

21. Сидоренко О. И. О построении традиционной квазиуниверсальной силлогистики // Единый Всероссийский научный вестник. № 4 (2). М., 2016. С. 93-104.

22. Сидоренко О. И. О применении метода вычисления результирующих отношений для построения силлогистик без ограничений на термины // Ежемесячный научный журнал «Educatio». № 11 (18). Часть 3. Новосибирск, 2015. С. 104-108.

23. Сидоренко О. И. О процессе познания в традиционной квазиуниверсальной силлогистике // Российско-китайский научный журнал «Содружество». № 3 (3).Часть 1. Новосибирск, 2016. С. 107-112.

24. Сидоренко О. И. Построение обобщенной ортогональной силлогистики Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений // Современные инновации. №8 (10), 2016. С. 56-65.

25. Сидоренко О. И. О построении традиционной негативной силлогистики из суждений де Моргана аналитическим методом // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-26. Т. 2. Саратов: СГТУ, 2013. С. 73-75.

26. Сидоренко О. И. О логической полноте систем категорических суждений в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-26. Т. 2. Саратов: СГТУ, 2013. С. 75-76.

27. Сидоренко О. И. Об аналитическом методе решения силлогизмов // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-26. Т. 2. Саратов: СГТУ, 2013. С. 76-77.

28. Сидоренко О. И. Об аналитическом методе вычисления результирующих отношений в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-29. Т. 1. Саратов, 2016. С. 108-112.

29. Сидоренко О. И. О представлении традиционной негативной силлогистики некоторой обобщенной позитивной силлогистикой // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-29. Т. 1. Саратов, 2016. С. 103-107.

30. Сидоренко О. И. Построение силлогистик Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений // Современные инновации. №7 (9), 2016. С. 49-58.

31. Сидоренко О. И. О многозначности в силлогистике // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В. И. Вернадского. № 4 (54), 2014. С. 53-62.

32. Сидоренко О. И. О многозначности в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-27. № 3 (62), 2014. С. 102-106.

33. Сидоренко О. И. Силлогистический процессор / Патент РФ № 39722. Приоритет 15.03.2004. Опубл. 10.04.2004. Бюл. № 22. С. 20.