Об одной форме упругого потенциала для высокоэластичного материала

Механика

УДК 539.3

ОБ ОДНОЙ форме упругого потенциала ДЛЯ ВЫСОКОЭЛАСТИЧНОГО МАТЕРИАЛА

Г. З. Шарафутдинов1, П. В. Чистяков2

Предложена форма упругого потенциала. Рассматривается система экспериментов и процедура определения материальных констант и функций. С использованием известных экспериментальных данных в качестве примера получено конкретное выражение упругого потенциала для вулканизированного каучука.

Ключевые слова: деформации, напряжения, инварианты тензора деформаций, определяющие соотношения, тарировочные эксперименты, материальные константы и функции.

A form of the elastic potential is proposed. A number of experiments and a procedure of determining the material constants and functions are considered. With the use of known experimental data, an expression of the elastic potential for the vulcanized rubber is obtained as an example.

Key words: strains, stresses, invariants of strain tensor, constitutive relations, calibration experiments, material constants and functions.

Введение. Практически все решения задач теории упругости при конечных деформациях получены для несжимаемых высокоэластичных материалов, в связи с чем особое значение приобретает упругий потенциал [1—3]. Краткий обзор его различных форм дается в работе [3], в которой устанавливается ограниченность применения некоторых форм упругого потенциала при больших степенях растяжения. Весьма интересны приводимые в [3] результаты использования различных форм упругого потенциала при решении задач об одноосном растяжении квадратной пластинки с центральным круглым отверстием. Установлено, что во всех рассмотренных случаях, за исключением потенциала Клоснера-Сегала, размеры отверстия в поперечном направлении увеличиваются. Вместе с тем результаты экспериментальных исследований свидетельствуют об уменьшении размеров отверстия в направлении, перпендикулярном линии действия растягивающей силы [4]. В свете этих обстоятельств задача разработки новых форм упругого потенциала не теряет своей актуальности.

При исследовании конечных деформаций будем применять смешанный эйлерово-лагранжев подход [3, 5]. В соответствии с этим подходом процесс деформирования разбивается на ряд последовательных этапов, на каждом из которых реализуется достаточно малое приращение нагрузки и решается линеаризованная задача МДТТ. При этом на каждом этапе используются: исходная система координат, соотношения Коши для приращений — малых деформаций, тензор истинных напряжений Эйлера и линейные уравнения равновесия [6]. Вместе с тем в процессе решения задачи устанавливается закон движения каждой конкретной частицы деформируемого тела, в силу чего появляется возможность фиксировать изменение формы тела при деформировании и при необходимости корректировать краевые условия. Примеры реализации такого подхода можно найти, например, в [3-5, 7, 8], в частности под названием метода последовательных нагружений в работе [3] и метода геометрической линеаризации в [4, 7, 8]. По нашему мнению, название "метод геометрической линеаризации" (МГЛ) точнее отражает суть подхода.

Упругий потенциал. Определяющие соотношения. Как известно [9, 10], компоненты тензора напряжений а^ можно определить при помощи общего термодинамического соотношения, следующего из первого закона термодинамики и не связанного каким-либо образом с механическими свойствами материала, путем дифференцирования отнесенной к единице объема свободной энергии Ш при изотермическом деформировании и внутренней энергии при адиабатическом деформировании по компонентам тензора деформаций. Предположим для определенности, что процесс деформирования является изотермическим. Тогда

1 Шарафутдинов Геннадий Зиатдинович — доктор техн. наук, проф., вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: sharaf@imec.msu.ru.

2 Чистяков Петр Владимирович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: chist206@yandex.ru.

Очевидное преимущество соотношений типа (1) состоит в том, что напряжения и деформации образуют при этом энергетически сопряженную пару.

Возможность применения соотношения (1) к построению теории определяющих соотношений связи между напряжениями и деформациями обусловлена наличием выражений для упругого потенциала (в данном случае свободной энергии) [1-3] и непрерывной зависимостью компонент тензора деформаций от заданных на границе усилий и перемещений в краевой задаче МДТТ [11].

Задавая упругий потенциал в виде

W = Wo+ ^ \{екк)2 + ßeij£ij,

при помощи (1) приходим к закону Гука, где величины Л и ß представляют собой постоянные Ламе. Видно, что в соотношение (2) входят первые два из трех независимых базисных инвариантов тензора деформаций [9]:

Ii — eij $ijy I2 — eij eij y I3 — eij ejkekl-

В работе будут использованы результаты экспериментального исследования процессов нелинейного деформирования высокоэластичного материала — натурального каучука, содержащего 8% серы, вулканизированного в течение трех часов при температуре T — 147° C [1]. Этот несжимаемый материал, проявляющий, как это видно непосредственно из экспериментальных кривых растяжения, зависимость механического поведения от степени растяжения l, свободен от влияния кристаллизации и гистерезиса вплоть до l — 5. Однако при больших степенях растяжения в силу наличия гистерезиса нарушается обратимость кривых растяжения [1]. По этой причине далее ограничимся экспериментальными данными, полученными при l ^ 5. В таком случае при изотермическом деформировании в выражении для компонент тензора напряжений (1) фигурирует свободная энергия.

Традиционно считается [9, 10], что свободная энергия не зависит от третьего инварианта тензора деформации в силу его относительной малости по сравнению с другими инвариантами этого тензора. Однако в случае конечных деформаций значение третьего инварианта является величиной того же порядка, что и другие инварианты тензора деформаций. Принимая во внимание это соображение и нечетный порядок вхождения компонент тензора деформаций в первый и третий базисные инварианты, а также влияние уровня деформаций на механические характеристики деформируемого материала [1], выражение для плотности свободной энергии примем в форме [11]:

W = WQ + \ Alf + ßoHh) + \ A/f.

Дифференцируя упругий потенциал W — W(Ii, I2, I3) по eij, определяющие соотношения связи между напряжениями и деформациями представим в виде

Uij — ЛЬб^ + 2ßo^

Последнее слагаемое в правой части соотношения (3) в случае бесконечно малых деформаций есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с другими слагаемыми. Функцию зададим в виде

р

При бесконечно малых деформациях соотношение (3) для линейно упругого материала может быть приведено к закону Гука, а для пластических деформаций — к известному соотношению, связывающему интенсивности напряжений и деформаций [12].

Применение соотношений (3) в МГЛ на к-м этапе связано с определением текущих значений базисных инвариантов, для чего находятся суммарные значения деформаций [13], достигнутые к началу этого этапа.

Для несжимаемых материалов определяющие соотношения примут вид

Oij — pöj + 2ßo^(l2)eij + 3nheik ekj,

где p — среднее гидростатическое напряжение. Величина постоянного значения модуля сдвига ßo легко определяется на начальном этапе деформирования при бесконечно малых деформациях. Основная задача идентификации модели несжимаемого деформируемого твердого тела в случае конечных деформаций сводится в таком случае к определению дополнительных материальных характеристик — функции ^>(12) и третьей постоянной к, имеющей тот же смысл, что и две постоянные Ламе [11].

Тарировочные эксперименты и идентификация механических свойств высокоэластичного материала. Очевидно, что при определении материальных характеристик деформируемого материала нельзя ограничиваться каким-либо одним видом тарировочных испытаний. Наиболее удобными для таких целей являются следующие виды тарировочных экспериментов.

1. Одноосное растяжение тонкой широкой пластины (полосы), защемленной вдоль краев, к которым приложена растягивающая сила так, что ширина пластины при растяжении остается постоянной. Направим первую координатную ось вдоль линии действия силы, вторую перпендикулярно ей, располагая ее в плоскости пластинки. Третью координатную ось направим перпендикулярно к плоскости пластинки. Очевидно, что все указанные направления являются главными направлениями тензора деформации, а его главные значения при известном соответствующем главном удлинении ¡\ легко определяются: е\ = £ = 1п¡\, £2 =0, £3 = —£. При этом главные направления тензоров напряжений и деформаций совпадают. Главное значение а\ равно отношению растягивающей силы к площади поперечного сечения пластины, главное значение 02 остается неизвестным, главное значение а-3 равно нулю. Значения базисных инвариантов 1\, /2, /3 соответственно равны 0, 2£2, 0.

2. Простое растяжение тонкого стержня. В этом случае, очевидно, имеем

1 ^ 3 1

£1=£ = \п1, £2=£3 = --£, (71 = (Т2 = 0"3 = 0, Д = 0, 12 = - £2, 13 = ~£3,

где 5 — текущее значение площади поперечного сечения стержня.

3. Двухосное растяжение тонкой пластинки [1, 14]. Будем считать, что первые два главных направления тензора деформации расположены в плоскости пластинки, а третье нормально к ее плоскости. Такие же главные направления будет иметь и тензор напряжений. В этом случае

£1 = ЫЬ £2=Ы12, £г = -{Е1+Е2), = тг, 02 = 7Г, СГЗ = 0,

51 52

/1 =0, /2 = 2(£2 + £2 + £1£2>, /3 = -£1£2(£1 + £2)-

Важным обстоятельством, характеризующим упомянутые здесь тарировочные эксперименты, является неизменность главных направлений тензоров деформаций и напряжений в процессе деформирования, их совпадение, однородность напряженно-деформированного состояния в рабочей зоне.

Установим теперь процедуру идентификации модели нелинейного деформирования, опираясь на рассмотренные выше тарировочные эксперименты первого и второго вида. С учетом приведенных выше значений главных напряжений, деформаций и базисных инвариантов в первом тарировочном эксперименте определяющие соотношения примут вид

01 = р + 2/Х0^(/2)£, 02 = Р, 03 = 0 = р - 2^0^(/2)£-Вычитая третье соотношение из первого, получим

01 = 4^0^

При низких уровнях деформаций ^>(/2) = 1, так что величина цо легко вычисляется из соотношения (5). Входящие в функцию ^>(/2) коэффициенты (см. соотношение (4)) определяются при конечных деформациях.

В случае одноосного растяжения тонкого стержня получаем зависимости между главными напряжениями и деформациями, следующие из определяющих соотношений

3

0"! =р + 2/х0р(12)е + - к1з£2,

3

а2 = 0 = р- 1Ло<*р{12)£ - - к13£2,

3

сгз = 0 = р - 1М)<р(12)е ~ ^ к1з£2.

Вычитая второе или третье соотношение из первого, имеем

9 2

Отсюда легко определяется значение третьей постоянной к.

И, наконец, используя экспериментальные данные, получаемые в тарировочных испытаниях третьего вида, приходим к следующим соотношениям (в предположении е\ = £2 = в):

01 = р + 2/Х0^(/2)£ - 6к1з£2,

02 = р + 2¡10^(12)£ - 6к1з£2,

03 = о = р - 4^0^(12)£ + 3к1з£2. В этом случае, вычитая третье соотношение из первого, получаем

О1 = 610^(^2)£ - 9к1з£2.

Данное выражение может быть использовано в любых целях, в том числе для верификации полученных при помощи других экспериментальных данных материальных характеристик.

Применим полученные результаты к идентификации модели нелинейного деформирования натурального каучука. Используем экспериментальные данные, касающиеся одноосного растяжения широкой полосы, защемленной вдоль краев, и простого растяжения тонкого длинного стержня [1].

Полученное выше соотношение (5) справедливо лишь в случае £2 = 0. На самом деле ширина полосы при ее одноосном растяжении несколько уменьшается, о чем свидетельствует схема эксперимента, приводимая в [1].

Допустим, что главные компоненты тензора деформаций, реализуемые в таком эксперименте, следующие:

£1 = £, £2 = к1£, £3 = к2£.

В силу несжимаемости £1 + £2 + £3 = 0. Следовательно, 1 + к1 + к2 = 0. В этом случае

12 = (1 + к2 + к2 )£2, 1з = к1к2£3.

Тогда

о 1 = р + 2^0 ^(^2)£ + 3кк1к2/з£2, о 2 = р + 2^0 ^(^2)к1£ + 3кк21з£2, 03 = р + 2^0 ^(^2)к2£ + 3кк11з£2.

Вычисляя разность 01 — 03, как и выше, получаем

01 = 2

Очевидно, что при к1 =0 соотношение (7) совпадает с (5). Именно соотношение (5) используется на первом этапе для определения материальных характеристик деформируемого материала. Вначале определим ¡0, для чего рассмотрим процесс деформирования при достаточно малых значениях деформации £. Затем, исходя из экспериментальных данных, каким-либо способом определяем вид функции ^>(/2). Для отыскания постоянной к воспользуемся результатами тарировочных экспериментов по одноосному растяжению тонкого стержня, откуда при помощи соотношения (6) находим значение постоянной к. После этого при необходимости можно вернуться к соотношению (7), задав нужное значение поправочного коэффициента к1, учитывающего, как уже отмечалось, реальное сужение широкой полосы при ее растяжении. Заметим, что возможны и другие способы определения материальных характеристик, но мы их обсуждать не будем.

Проиллюстрируем сказанное, используя конкретные экспериментальные данные [1]. Экспериментальные и расчетные данные, касающиеся эксперимента по растяжению широкой пластины, приведены на рис. 1. Экспериментально определенные истинные напряжения в зависимости от деформаций отмечены здесь точками. Зависимость о ~ £, полученная из (5) при ^>(/2) = 1 и ¡0 = 4,4 кГ/см2, представлена на рис. 1 кривой 1. Функция ^>(/2), определяемая при помощи экспериментальных данных, в соответствии с формулой (4), в которой ограничимся первыми четырьмя членами, принимает вид

1 1 1 3 /1 N т

= 1 + + + = I?-

т=0 ^ '

Зависимость о ~ £, полученная из (5) с учетом функции (8), показана на рис. 1 кривой 2.

Обратимся теперь к экспериментам по растяжению тонкого стержня. Экспериментально определенные истинные напряжения в зависимости от деформаций отмечены точками на рис. 2. Зависимость а ~ е, полученная из (6) при ^>(/2) = 1 и к = 0, представлена на рис. 2 кривой 1. Кривой 2 на этом рисунке показана зависимость а ~ е в случае, когда функция ) задана формулой (8) при к = 0, а кривой 3 — в случае, когда функция ^>(12) задана формулой (8) при к = 5,6 кГ/см2. Кривая 4 соответствует зависимости а ~ е при значении функции ^>(/2) = 1 и к = 5,6 кГ/см2.

а,кГ/см 2

а, кГ/см2 •

1

О 0,4 0,8 1,2 е 0 0,4 0,8 1,2 е

Рис. 1 Рис. 2

Вернемся теперь к рис. 1 и учтем сужение пластины при ее растяжении, которое оценим корректировочным коэффициентом к\ = —0,05 в (7). Тогда к2 = —0,95, и в этом случае зависимость а ~ е, полученная для функции ^>(/2), заданной формулой (8), и к = 5,6 кГ/см2, представлена на этом рисунке кривой 3. Для сравнения на этом же рисунке приведены зависимости а ~ е, полученные для ф(/2) = 1 и к = 5,6 кГ/см2 (ромбики) и для ^>(/2), заданной формулой (7), и к = 0 (светлые кружки).

Таким образом, конкретное выражение упругого потенциала для исследуемого материала — вулканизированного каучука [1] — имеет форму

1 4 1 /1 \т-1 1

т=1 4 7

Эта форма упругого потенциал была использована, в частности, при решении задачи о действии внутреннего давления на толстостенную трубу, выполненную из высокоэластичного материала, при учете индуцируемой неоднородным напряженно-деформированным состоянием неоднородности его механических свойств [15].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: ИЛ, 1953.

2. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965.

3. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.

4. Шарафутдинов Г.З. Одноосное растяжение пластинки с круглым отверстием при конечных деформациях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 1. 48-53.

5. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986.

6. Морозов Н.Ф. Лекции по избранным вопросам механики сплошных сред. Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1975.

7. Шарафутдинов Г.З., Демин В.А. Метод геометрической линеаризации в технологических задачах нелинейного деформирования // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2001. 452-453.

8. Демин В.А., Шарафутдинов Г.З. Метод геометрической линеаризации в задачах нелинейного деформирования // Mechanika. Bialystok: Dzial wydawnictw i poligrafii, 2001. Zeszyt 24. 123-127.

9. Гольденблат И.И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. М.: ГИТТЛ, 1955.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7: Теория упругости. М.: Наука, 1987.

11. Шарафутдинов Г.З. О постоянных Ламе и определяющих соотношениях механики деформируемых тел //Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 1. 55-58.

12. Ильюшин А.А. Пластичность. М.; Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948.

13. Шарафутдинов Г.З. Теория деформаций // Изв. МГИУ. 2008. № 1. 92-111.

14. Варданян Г.С., Мусатов Л.Г., Павлов В.В. Приспособление для двухосного нагружения плоских образцов // Заводская лаборатория. 1969. № 2. 225-226.

15. Шарафутдинов Г.З. Осесимметричная деформация толстостенной трубы из высокоэластичного материала // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 2. 108-120.

Поступила в редакцию 07.09.2011

УДК 539.4

МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И ОЦЕНКА НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ЛОПАТОК ПРИ ИСПЫТАНИЯХ КОРПУСОВ НА НЕПРОБИВАЕМОСТЬ

П. А. Ваганов1, А. Р. Лепешкин2

Разработана расчетная методика по определению напряженно-деформированного состояния и несущей способности лопатки с целью ее обрыва. Метод обрыва лопатки заключается в перераспределении напряжений в заданном сечении лопатки за счет дополнительного термического нагружения и в обеспечении разрушения по указанному сечению на заданной частоте вращения. Приведены результаты расчетного моделирования напряженно-деформированного состояния лопатки с ослабленным сечением. Предложенная методика была использована при проведении испытаний корпуса на непробиваемость на разгонном стенде.

Ключевые слова: лопатка, метод расчета, прочность, напряжения, обрыв, ослабленное сечение, нагрев, дополнительное нагружение.

A numerical method to determine the stress-strain state and bearing capacity of a blade for breaking the blade is proposed. The method of blade breakage consists in a redistribution of stresses in the rear cross section of the blade because of an additional thermal loading and in the enforcement of destruction over this cross section at a given frequency of rotation. Some results of numerical study of the stress-strain state are discussed for the case when the cross section is weakened. The proposed method was used to test the impenetrability of the frame using an acceleration stand.

Key words: blade, numerical method, strength, stresses, break, weakened cross section, heating, additional loading.

Нормы летной годности требуют проведения испытаний корпусов газотурбинных двигателей (ГТД) в случае обрыва лопаток на максимальной частоте вращения ротора. По данным испытаниям судят о достаточной прочности корпуса. При этом в нормативных документах не указано, каким методом должен быть произведен обрыв и каким минимальным запасом статической прочности должна обладать лопатка с ослабленным сечением. Задача экспериментаторов заключается в имитации усталостного разрушения в заданном сечении. Наиболее распространенный метод взрыва [1] состоит в том, что заданное сечение ослабляется подрезкой, в центральной части замка устанавливается заряд и при выходе на рабочие обороты производится взрыв. Данный метод имеет следующие недостатки: работа со взрывчаткой, сложности с

1 Ваганов Петр Алексеевич — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: petrvaganov@yandex.ru.

2 Лепешкин Александр Роальдович — доктор техн. наук, начальник сектора Центрального института авиационного моторостроения им. Баранова, e-mail: lepeshkin.ar@gmail.com.