Фундаментальные системы компактов в интегральных пространствах

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 24 (63) № 3 (2011), с. 75-88.

УДК 517.98

И. А. РОМАНЕНКО

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КОМПАКТОВ В ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Дается описание подходящих фундаментальных систем компактов в общих интегральных пространствах Ьр и пространствах Соболева Шп'р функций одной переменной. Исследованы свойства шкал подпространств, порожденных фундаментальными системами компактов.

Ключевые слова: фундаментальные системы компактов, критерий компактности, компактные вложения, интегральные пространства, пространства Соболева, интегральный модуль непрерывности, индуктивная шкала пространств, индуктивный предел.

Введение

Начиная с классического критерия компактности Арцела - Асколи в пространстве непрерывных функций [1], в анализе уделялось много внимания получению критериев компактности в различных функциональных пространствах. Одним из наиболее известных является критерий М. Рисса в пространствах Ьр (см. [2]), который обобщался затем в различных направлениях (см., например, [3]).

Однако, в ряде экстремальных задач удобнее не применять индивидуальный критерий компактности (или предкомпактности) множества, а описать подходящую, по возможности минимальную, фундаментальную систему компактных множеств, которые поглощают все остальные компакты в данном пространстве.

Так, в работах Орлова И.В. [4, 5] было показано, что удобную фундаментальную систему компактов в пространствах 1Р образуют компактные эллипсоиды. Эти результаты были, в частности, применены к решению экстремальных вариационных задач в пространстве Соболева Н 1[а; Ь] (см. [6]), а также к исследованию проблемы Радона - Никодима для интеграла Бохнера (см. [7]).

Нашей задачей является описание подходящих фундаментальных систем компактов в общих интегральных пространствах Ьр и пространствах Соболева

функций одной переменной на отрезке, которые по своим свойствам сходны с системами компактных эллипсоидов в 1р.

С этой целью в работе введены так называемые ш-компакты, определяемые с помощью интегрального модуля непрерывности в Ьр[а; Ь] (соответственно, в Wп'р[а; Ь]).

В первом разделе работы введено понятие ш-эллипсоида в Ър и рассмотрены основные свойства ш-эллипсоидов. Во втором разделе показано, что компактные ш-эл-липсоиды (ш-компакты) образуют фундаментальную систему компактов, то есть поглощают все остальные компакты в Ьр. В разделах 3 и 4 показано, что подпространства, порожденные ш-компактами, образуют ст-индуктивную шкалу банаховых пространств с компактными вложениями, индуктивный предел которой совпадает с исходным пространством, а также показана плотность вложений таких подпространств в исходное пространство и эквивалентность непрерывного и векторного вложений. Наконец, предыдущие результаты перенесены на случай пространств Соболева Wп'р.

1. ш-эллипсоиды в Ьр[а; Ь] и их ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ свойства.

Пусть Ьр[а; Ь], (1 < р < ж) — пространство абсолютно интегрируемых по Лебегу в р -ой степени функций на [а; Ь] с нормой

1 р

\Х\\ЬР =

Зададим произвольную положительную функцию е = е(5), 0 <5 < Ь — а, убывающую при 5 \ +0, и число К > 0.

I II Т-,

\x\Lp < R ; sup ТТ\~ < 1 p ¿>0 £

Определение 1.1. Назовем ш-эллипсоидом в Lp[a; b] множество вида OR = jx £ Lp[a; b]

где шХ(S) = sup \\x(t + h) — x(t)\\Lp — интегральный модуль непрерывности в Lp[a; b] |h|<5

(см. [8]).

Рассмотрим ряд свойств ш-эллипсоидов. Предложение 1.1. Любой ш-эллипсоид — абсолютно выпуклое множество.

Доказательство. 1). Пусть xi, x2 £ . Тогда

\\xi\Lp < R; sup < 1

Отсюда при любом 0 < Л < 1 имеем:

b) sup cfX\

¿>0

sup ||Axi(t + h) + (1 - A)x2(t + h) - (Axi(t) + (1 - A)x2(t))||Lp N<<5

= suP -7T7- <

¿>0 £

< sup-—- <

¿>0 e

< A sup ^^ + (1 - A) sup < A + (1 - A) = 1.

¿>0 e

Таким образом, Ax1 + (1 - A)x2 G QR, то есть множество QR выпукло. 2). Пусть x G OR. Тогда

.................b) Ш-sffl

Значит, (-x) G Qr.

Таким образом, множество QR выпукло и симметрично, то есть абсолютно выпукло.

Предложение 1.2. Любой ш-эллипсоид — замкнутое множество.

Доказательство. Пусть {xn}^=1 — последовательность точек из ш-эллипсоида QR, сходящаяся по норме Lp к некоторому x0 G Lp[a; b]. Тогда

Отсюда:

b) sup = sup-—-=

¿>0 e

sup 11x0(t + h) - x„(t + h) + x„(t + h) - x„(t) + x„(t) - x0(t)||Lp

= sup-m-<

¿>0 £

sup \\x„(i + h) — xo(t + h)\\Lp sup \\x„(i + h) — x„(¿)\lp

< sup-—- + sup-—-+

¿>0 £

\\xn

¿>0 £

Зафиксируем n > 0, 5 > 0 и подберем номер N = N(n, 5) такой, чтобы

Из (1) и (2) следует при n > N:

sup < 2 sup ^#+1 < 2n + 1.

¿>0 £

Отсюда, переходя к пределу справа в (3) при n ^ 0, получаем

шХ0 (5) .

sup —< 1 и, следовательно, x0 £ Q .

¿>0 £

Таким образом, ш-эллипсоид Qr замкнут.

Предложение 1.3. Для любого ш-эллипсоида Qr и любого Л > 0 верно:

л  QR = QAR .

Доказательство. 1). Пусть x £ Qr, Л > 0. Тогда

a) \\ Л x \\Lp = Л \x \ ¿р < ЛR;

b) шрХ(5) = sup \^x(t + h) — Лx(t)\\lp = Л sup \\x(t + h) — x(i)\Lp = ЛшХ(5),

откуда

шРх

Ax\

sup Ax ¿>0 Л£

ЛшХ

sup

¿>0 Л£

шХ

Значит, Лx £ QAR и, следовательно, Л  Qr С QAR. 2). Обратно, пусть x £ QAiR. Тогда 1

a)

1

LP

= Л\\x\Lp < ЛЛR = R;

b) шр Х(5) = sup

1 x(t + h) — 1 x(t) ЛЛ

= Л шХ (5).

Отсюда

шХ Х

Л x sup—— ¿>0 £

шХ

Следовательно, 1 x £ QR, откуда 1  QAR С QR , т. е. QAR С Л  QR.

L

p

Таким образом, Л  Qr = Q

Ае •

Предложение 1.4. Для любых двух ш-эллипсоидов QR и QR верно:

fe £§ <О - (qR с qR )  (4>

Если £1 (+0) = 0, то верно и обратное:

(QR с QR) - (sup £i(5) V¿>0 '

£2(5) "

Доказательство. Пусть условие (4) выполнено, x £ QR. Тогда

шХ

Отсюда x £ QR и, следовательно, QR С QR.

Обратно, пусть QR С QR, £i(+0) = 0. Допустим, что условие (4) не выполнено, т. е.

sup ^ > 1.

¿>0 £2

Покажем, что найдется такая функция x £ QR, для которой шХ(5) = £i(5).

Для простоты предположим, что p = 1, [a; b] = [0;1], £i £ Ci[0;1]. Положим x(t) = £i(1 — t), 0 < t < 1. Тогда при h > 0 :

При h < 0 выкладка аналогична. Отсюда, переходя в (6) к супремуму по |h| < 5, получаем

шХ

Из (5) и (7) следует:

ш/

откуда x £ QR, что ведет к противоречию. К общему случаю (£i £ Cх) легко перейти, аппроксимируя £i (5) функциями класса Cх.

2. Компактные ^-эллипсоиды, как фундаментальная система

компактов в £р[а; Ь].

Получим вначале критерий компактности ш-эллипсоида используя известный критерий М. Рисса [2] компактности в ЬР[а; Ь], сформулированный в виде леммы.

Лемма 2.1. Ограниченное замкнутое множество С С ЬР[а, Ь] компактно тогда и только тогда, когда

шР (5) ^ 0 при 5 ^ +0 по х е С.

Теорема 2.1. Ш-эллипсоид П? в Lp[a; b], 1 < p < то компактен тогда и только тогда, когда е(5) \ 0 при 5 \ +0.

Доказательство. Пусть П? компактен. Тогда, по лемме 2.1 (5) ^ 0 при 5 ^ +0

равномерно по x е П?. Следовательно, по sup-критерию равномерной сходимости,

е(5) = sup (5) \ 0 при 5 \ +0. При этом из неравенства < е(5) переходом ^enR

к супремуму по x е П? получаем е(5) < е(5), откуда П? С П?. С другой стороны,

R

для любого 5 > 0 и любого x е Пг получаем < 1, откуда sup < 1.

е

Отсюда x е П~, а значит, П? С П~. Таким образом, П~ = П?, а т. к. е(5) \ 0, то и

е(5) \ 0 при \ +0.

Обратно, пусть е(5) \ 0 при 5 \ +0. Эллипсоид П? замкнут по предложению

1.2. При этом

Vx е П? w£(5) < е(5) \ 0 при 5 \ +0, откуда sup < е(5).

^enR

Следовательно, по критерию М. Рисса (лемма 2.1), П? компактен.

Определение 2.1. Назовем ш-компактом любой компактный ш-эллипсоид О, в ¿р[а; Ь].

Как и в [5], под термином "фундаментальная система компактов" мы будем понимать систему абсолютно выпуклых компактных множеств, поглощающих все остальные компакты в данном пространстве. Покажем, что ш-компакты образуют фундаментальную систему компактов в ЬР[а; Ь].

Теорема 2.2. Замкнутое ограниченное множество С С ЬР[а; Ь] компактно тогда и только тогда, когда С содержится в некотором ш-компакте О?.

Доказательство. Пусть C содержится в некотором ш-компакте Тогда C — компакт, как замкнутое подмножество компакта.

Обратно, пусть C — компакт в Lp[a; b]. Тогда, по критерию М. Рисса, шХ(5) ^ 0

при 5 ^ +0 равномерно по x € C. Пусть е(5) = supшХ(5). Следовательно, е(5) ^ 0

жес

при 5 ^ +0. Кроме того, т. к. C ограничено, то sup ||x|| =: R < те.

жес

Рассмотрим эллипсоид . Тогда он компактен, т. к. е(5) ^ 0 при 5 ^ +0. При этом C С т. к.

3. Разложение банаховых пространств в К-шкалу с компактными

вложениями.

В работе [7] было показано, что любое пространство Фреше является индуктивным пределом шкалы банаховых подпространств, порожденных всеми абсолютно выпуклыми компактами (К-шкалы). При этом индуктивную шкалу таких подпространств можно рассматривать как шкалу с компактными (и даже с ст-компактны-ми) вложениями. В данном разделе предложена более простая схема доказательства этих фактов в случае, когда E — банахово пространство.

Пусть E — банахово пространство, C(E) — система всех абсолютно выпуклых компактов в E.

Для каждого C е C(E) обозначим EC = (spanC, У  ||с) — банахово пространство с нормой ||  ||с, порожденной множеством C.

Индуктивную шкалу банаховых пространств {Ec}сес(Е) обозначим ~Eс, а ее индуктивный предел — Eс, т.е.

tс = {Ec}CeC(ß); Eс = lim Ec = lim~Eс.

с ec

Как показано в [5], для любого банахова пространства E верно: Eс = E.

Определение 3.1. Будем говорить, что банахово пространство E обладает свойством компактной аппроксимации (E е Kap), если V C е C(E) 3 C' е C(E) такой, что имеет место компактное вложение Ec tt Ec '.

Теорема 3.1. Любое банахово пространство E обладает свойством компактной

аппроксимации (E е Kap). Более того, положим

x

^(x) = —j=, x = 0; <р(0)=0.

Тогда:

Доказательство. Функция ^>(ж) = рывность при ж = 0 :

ж

л/И

непрерывна при ж = 0. Проверим непре-

л/Й

ж

л/Й

= УМ — 0 = <р(0) при ж — 0.

Следовательно, <^(С) — компакт по теореме Вейерштрасса. Легко видеть при этом, что <^(С), а значит, и со^(С) — абсолютно выпуклое множество, вместе с С. Поскольку С< = со^(С) также компакт (см. [9]), то С< € С(Е). Докажем, что вложение Ес в Ес^ компактно.

Пусть ж € дсоС (дсоС — выпуклая граница С). Тогда, при некотором А > ^ , верно А ж € д соС<. Отсюда

Если же ж € С, ж = ^ж (при некотором ^ > 1), то подставляя ж = ^ж в (9), получаем:

Отсюда

1 ,- 1 ,- ,-

ИС < ^уДрЩ = < лДх\1

V......

т.е. (8) верно. Заметим также, что из (10) следует при ^ > 1:

УМ> уЧМ > ^^И

Пусть (жкС С. Тогда, существует подпоследовательность (жкп}, сходящаяся

Ее

к некоторому жо € С, т. е. жкп — жо — 0. При этом

жкп — жо € С — С = 2С, т.е. жкп — жо € С (Vп € М).

Применяя (8) к ж = жкп-0, получаем:

<

0

Ес„

при п — то, ввиду непрерывности Таким образом, жкп — ж0 —> 0, т. е. С пред-компактно в Ес^ и, следовательно, вложение Ес в Ес^, компактно.

жкп — жо

Следствие 3.1. Для любого ш-компакта С Е = Ьр[а; Ь] существует ш-ком-пакт 0^' С Е такой, что вложение Епд ^^ Епд/ компактно, т.е. индуктивная

е е'

шкала пространств |Епд | д ^ ^ — шкала с компактными вложениями.

Доказательство. По теореме 3.1 вложение Епд ^^ Е(Пд) =: Ес^, компактно. Так как ш-компакты образуют фундаментальную систему компактов, то С^ содер-житься в некотором ш-компакте 0^', а значит, вложение Ес^ ^ Епд' непрерывно.

е'

Следовательно, вложение Епд Епд' компактно.

е е'

Доказанный результат можно усилить.

Определение 3.2. Будем говорить, что банахово пространство Е обладает свойством а-компактной аппроксимации (Е е К^), если V (Сга}^=1 С С(Е) 3 С € С(Е) такой, что все вложения Есп ^^ Ес компактны (п € М).

Далее нам потребуется следующее утверждение, доказанное в [7].

Лемма 3.1. Пусть E — пространство Фреше с определяющей системой полунорм

dmm,m

J~=1. Если {С„}~=1 С C(E) U V m G N an = О (¿^(C^)) , то

C = cö

В частности, если lim diamm(Cn) =0 Vm e N (т.е. an = 1 в (11)), то C e C(E).

n—>oo

Теорема 3.2. Любое банахово пространство E обладает свойством а-компактной аппроксимации (E € .

Доказательство. Пусть Cn € C(E). Обозначим

rn = sup ||x — y|| = diam(Cn) (rn < те, n € N). ж, уес—

Пусть an =-. Тогда

nr„

an 1 n ( 1 ^

-¡- =--> 0, то есть an = о — при n ^ те.

IT- n W/

' —

Положим

C = -(Un^).

те 1 \n=1

Тогда С € С(Е) по лемме 3.1. Применяя следствие 3.1, найдем такое С< € С(Е), что

Есп = Е«„с„ — Ес —— .

вложение Ес — — Ес^ компактно. Тем более, Vп € N

Таким образом, шкала пространств —е — ст-индуктивная шкала с компактными вложениями [7].

Следствие 3.2. Для любой последовательности ш-компактов (О^ }«= С Е = = £р[а; Ь] существует ш-компакт О?' С Е такой, что вложения Епдп —— Еод

компактныйп € N.

Доказательство. По теореме 3.2, существует С € С(Е) такой, что вложения Еодп —— Ес компактны V п € N. Так как ш-компакты О? образуют фундаментальную систему компактов, то С содержится в некотором ш-компакте О? . Тогда, вложение Ес — Еод' непрерывно. Следовательно, все вложения Еодп —— Еод'

компактны.

Таким образом, шкала пространств (Еод }одее(Е) — ст-индуктивная шкала с компактными вложениями.

4. Дополнительные свойства вложений в К-шкале интегральных пространств и пространств Соболева.

Вначале отметим, что предложение 1.3 позволяет включать в фундаментальную систему только ш-компакты О? с фиксированным К = До > 0 (например, До = 1). Далее, поскольку множество многочленов плотно в любом Е = Ьр[а; Ь], то мы докажем, что вложение Ео1 — Е плотно, доказав следующее утверждение.

Теорема 4.1. Существует такой ш-компакт О^, что множество всех многочленов на [а; Ь] плотно в Ео1 .

п

Доказательство. Пусть Рп(£) = ^ акtк. Оценим модуль непрерывности многочле-

к=о

на Рп в [а; Ь]:

шрРп(5) = вир ||Рп(* + Ь) — РП(£)||г = йиР

п

£ ак

к=о

к=1

^ак (£ + ^)к — ^ ак £ к=о

пк

£ ак £ Скт * к-тй

к=1 т=1

Ь

Ь

Ь

р

р

n к

= sup

N<5

n к

m + к—mum к

к=1 m=l

]Т]Так cm tк—mhm

< sup££ Ск>кhmINtк—mIIr... <

LP

к |ак h int IILp <

< с^5 к < М  5 при некотором М > 0,

где с^ (к = 1,п) — некоторые положительные константы. Пусть £0(5) = М  5. Тогда

<

sup < 1

Следовательно, Pn G Eq 1 .

Следствие 4.1. Для любого ш-компакта QR при sup—-— < те в E = Lp[a; b]

5>0 £о

вложение Eqл ^ E плотно. Тем более, если QR2 поглощает QR1, то вложение

Eq л1 ^ Eqл2 плотно. i i

Таким образом, К-шкалу {Eqл } можно рассматривать как шкалу с плотными вложениями.

Следующая теорема доказывает эквивалентность векторного и непрерывного

вложений E л1 в Eл2 .

i£¿1 i£¿2

Теорема 4.2. Для любых ш-компактов QR1 и Q^,2 в E = Lp[a; b] имеем:

E„л-, С л2 |

VEQ Л С EQ Л

^

при некотором А > 0. Следовательно, векторное вложение и непрерывное вложение для пространств Е п1 и Е д2 эквивалентны.

" ' £ 1 " ' £2

Доказательство. В силу сделанного выше замечания, доказательство достаточно провести для случая = = 1. Кроме всего, отметим, что условие С А  равносильно непрерывному вложению Еп1 ^ Еп1 , из которого, очевидно, следует векторное вложение Е^^ 1 ^ . Допустим теперь, что векторное вложение Е 1 в Е 1 разрывно, т. е.

С А012 (V А > 0).

Следовательно,

V А > 0 3 жА е 011 : жА ^/А012 ^ ^ / 012.

А

Выберем последовательность Ап ^ те (п ^ те) и, соответственно,

хп := хл„ е 011 : ^ е 012.

Так как {xnсодержится в —-компакте , то существует подпоследователь-

Д xo е при k  то. При этом

-Pnt (5) Anfc

Т е "е2 ^ suP > 1 w suP ЛТТ

¿>0 ^2

' —Р

е ^ sup > 1 ^ sup > \Пк

Отсюда:

—L, (5) = sup ||x„k(t + h) - Жп

= sup ||жпк(t + h) - xo(t + h) + xo(t + h) - xo(t) + xo(t) - х„к(t)||Lp < |h|<5

Итак,

-рпк (5) - -po(5) < 2||х«к - xo ^Lp. Меняя местами жПк и xo в предыдущей выкладке, получим:

-po (5) - -pn, (5) < 2||х«к - xo ^Lp,

|-p„, (5) - -po (5)| < 2||х«к - xo Hip .

откуда

,Р - '''xo (")I < 2ух„к Следовательно,

||ж„к (t + h) - xo(t)||Lp Д 0 ^ |-Х"к (5) - -Xo(5)| ^ 0

при k Д то (равномерно по 5).

Переходя теперь в последнем неравенстве в (12) к пределу при k Д то, получаем:

-Xo (5) , „

sup —= то ^ xo е Eni , ¿>o ^2(5) £2

что противоречит условию.

Очевидно, все предыдущие результаты работы остаются в силе для пространств Lp ([a; b], Rs), s е N, векторнозначных функций. Теперь несложно перенести полученные результаты на случай пространств Соболева векторнозначных функций Wn>p ([a; b], Rm), 1 < p < то, m е N.

Теорема 4.3. Для любого пространства Соболева Wn'p ([a; b], Rm) в соответствующем пространстве Lp ([a; b], Rm(n+1)) можно задать такую норму, эквивалентную стандартной, в которой справедливо изометричное вложение

Wn'p

ность х„к

Доказательство. Рассмотрим пространство Соболева Шга'р ([а; Ь], Мт), (п е М0, р > 1, т е М) со стандартной нормой:

1

ь \ р

Поставим в соответствие каждому элементу х е Шга'р векторнозначную функцию у : [а; Ь] ^ Мт(п+1) вида у = (х, х', х",..., х(п)). При этом у е ([а; Ь], Мт(га+1)).

Зададим в Ьр ([а; Ь], Мт(га+1^ следующую норму, эквивалентную стандартной: 'ЬР = (|(Укт+1,...,У(к+1)т)|)Р ^

В этой норме, при соответствии х о у = (х, х', х'',..., х(п)) имеем:

Iх!» "-р = УуУьр,

откуда следует изометричное вложение

Шга'р ([а; Ь], Мт) ([а; Ь], Мт(га+1Л .

Поскольку все доказанные ранее результаты автоматически переносятся на замкнутые подпространства пространств £р, то из теоремы немедленно вытекает

Следствие 4.2. Все предыдущие результаты §§ 2-4 справедливы, с соответствующими изменениями, для ш-эллипсоидов, ш-компактов и разложений в К-шкалы пространств Соболева Шга'р ([а; Ь], Мт).

Автор выражает благодарность И.В. Орлову за постановку задачи и полезные обсуждения.

Список литературы

[1] Зорич В.А. Математический анализ. Учебник Ч.П. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. - 640 С.

[2] Богачев В.И. Основы теории меры Т.1. - Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2003. - 544 С.

[3] Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. - Москва: Мир, 1969. -1072 С.

[4] Орлов И.В. Гильбертовы компакты, компактные эллипсоиды и компактные экстремумы. // Современная математика. Фундаментальные направления. - Т.29(2008). -С.165-175.

[5] Орлов И.В. Универсальные компакты в lp. // Кибернетика и системный анализ. -2010. - №5. - С. 112-121.

[6] Орлов И.В., Божонок Е.В. Дополнительные главы современного естествознания. Вариационное исчисление в пространстве Соболева H1. Учебное пособие / - Симферополь: ДИАЙПИ, 2010. - 156 С.

[7] Орлов И.В., Стонякин Ф.С. Предельная форма свойства Радона-Никодима справедлива в любом пространстве Фреше. // Современная математика. Фундаментальные направления. - Т.37(2010). - С. 55-69.

[8] Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. -344 С.

[9] Шефер Х. Топологические векторные пространства. - Москва: Мир, 1971. - 359 С.

Фундаментальш системи компакт1в в штегральних просторах.

Даеться опис вгдповгдних фундаментальних систем компактгв в загаль-них гнтегральних просторах Lp г просторах Соболева Wn'p функцгй однгег змгнног. Дослгджено властивостг шкал пгдпросторгв, породжених фунда-ментальними системами компактгв.

Ключов1 слова: фундаментальш системи компактав, критерш компактное^, ком-пактш вкладення, штегральш простори, простори Соболева, штегральний модуль неперервноста, шдуктивна шкала простор1в, шдуктивна границя.

Fundamental systems of compacta in integral spaces.

Description of appropriate fundamental systems of compacta in general integral spaces Lp and Sobolev spaces Wn'p of functions of one variable Is given. The properties of scales of subspaces generated by the fundamental systems of compacta were researched.

Keywords: fundamental systems of compacta, compactness criterion, compact embeddings, integral spaces, Sobolev spaces, integral modulus of continuity, inductive scale of spaces, inductive limit.