Автоморфные протоколы квантовых корректирующих кодов

С.Б. Колесников

АВТОМОРФНЫЕ ПРОТОКОЛЫ КВАНТОВЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ КОДОВ

THE AUTOMORPHIC PROTOCOLS OF QUANTUM CORRECTED CODES

Рассматривается теория построения помехоустойчивых кодов, не требующего привлечения дополнительных ресурсов памяти для определения и исправления ошибки. В качестве примера приведены квантовые аналоги простого повторного кода и кода Хэмминга [7,4].

The theory of construction of noiseproof codes which not requiring of additional memory resources for definition and mistake correction is considered. The quantum analogues of simple repeatedly codes and Hamming code [7,4] are examined.

1. Введение

При передаче информации по каналам связи она может искажаться. Стандартным методом коррекции ошибок является построение таблицы синдромов, по которой определяется её место. Другим методом является алгоритм функционального определения места ошибки с помощью вычисления комбинаций проверочных битов принятого сообщения [2]. В любом случае, протоколы или алгоритмы коррекции требуют введения дополнительных вычислительных регистров. Так, для исправления ошибок кода Хэмминга H[7,4] в работе [1] предлагается использовать еще 7 бит для хранения синдрома ошибки. В работе [3] для этого предлагается еще 1 дополнительный бит. В настоящей работе рассматривается автоморфный вариант алгоритма, не требующий привлечения дополнительных ресурсов памяти и позволяющий использованием имеющихся разрядов перевести произвольную последовательность (имеющую не более одной ошибки) в неискажённое состояние.

2. Корректирующий автоморфизм повторного кода

Наиболее простым способом застраховаться от ошибок является повторение передаваемого символа. Например, при передаче символа 1 по каналу информации с помехами он искажается и на выходе может дать 0. Поэтому вместо 1 передаётся последовательность {11} или {111} или {1111}...

Для повторного кода P3 : (e)  (eee) существует достаточно простая схема обнаружения и исправления одиночной ошибки. Для каждого передаваемого информационного символа (e) строится расширенная последовательность

S = (e,0,0),

т.е. добавляется три дополнительных нулевых разряда. После этого значение информационного символа заносится оператором U в проверочные разряды согласно алгоритму:

S1 = US = (e, e © 0, e © 0) = (e, e, e) и сообщение (eee) отправляется по каналу информации. На выходе из канала информации последовательность имеет вид

O = (^ ^ z 3).

Действуя на неё тем же оператором U, получим

О = Ш = (z^Z1 © Z2,Z1 ©Z3) = (У^У2,У3).

Информационный символ выделяется с помощью оператора V:

V: z 1  (у1 & У3) ©У1 = ((Z1 © z2)& (z 1 © Z3)) © z 1.

Утверждение 1. Для последовательности (z1, z2, z3) , имеющей не более одного инвертированного бита (обозначим через (e) — символ, инвертированный по отношению к (e)), выполняется равенство

((z1 © z 2) & (z1 © z 3)) © z1 = e .

Доказательство. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при отсутствии ошибок (z1 , z 2 , z3 ) = (e, e, e) :

((e © e) & (e © e)) © e = (0 & 0) © e = 0 © e = e; при ошибке в 1-м бите (z1, z2, z3) = (e, e,e) :

((e © e) &(e © e)) © e = (1&1) © e = 1 © e = e; при ошибке во 2-м бите (z1, z2, z3) = (e, e,e) :

((e © e) & (e © e)) © e = (1& 0) © e = 0 © e = e; при ошибке в 3-м бите (z1, z2, z3) = (e, e, e) :

((e © e) & (e © e )) © e = (0&1) © e = 0 © e = e.

3. Квантовые коды

Основные понятия, которыми оперирует квантовая механика, — состояние, динамика и измерение. Всякая физическая система описывается с помощью своего состояния, которое содержит всю информацию о системе. Состояние квантовой системы изменяется только двумя путями: взаимодействием с другой системой и измерением. Узнать что-либо о квантовом состоянии можно только её измерением. Одним из примеров квантовой системы является поляризованный свет (фотон). Для его описания вводятся два базисных квантовых состояния: горизонтальная 10 и вертикальная 11 поляризация фотона. Поляризованный свет легко реализуется на практике и является одним из основных претендентов на роль носителя квантовой информации — кубита | y0) (qubit — quantum b it):

Ю = a|0) + b1,

где a2 + ft2 = 1 (условие нормировки). По существу, мы описываем квантовое состояние системы с помощью комплексного вектора гильбертова пространства H с базисными векторами Ю и |1 и скалярным произведением: (j\y). Квантовый оператор,

позволяющий запутать два кубита |х) и |у), называется оператором CNOT (Controlled NOT) и даётся выражением [4]:

P12I х,у =| х,х © у),

где х © у — логическая операция сложение по модулю два. Квантовый вентиль Тоф-фоли T определяется выражением:

T12J х,у,г) = |х,у, (х & у) © z) .

4. Квантовый корректирующий повторный код QP1

Рассмотрим квантовый аналог QP3 классического корректирующего повторного кода Р3. Алгоритм квантовой коррекции ошибок аналогичен классическому и требует введения дополнительных кубитов для обнаружения и коррекции ошибки:

Г'"’) =К)|00> =|у„00>.

С помощью этого расширения мы можем корректировать единичную ошибку Е отдельного кубита [5]. Для этого перед отправлением на исходный кубит |у0) действует корректирующий код Р12Р13, поэтому на входе квантового канала информации мы имеем

|У") = и|у’ге’) = и| Уо)\ 00) = Рі2РізіУ<,)И .

Действие оператора ошибки на передаваемый кубит есть

\уои^ = е|у.

Оператор выделения ошибки

и = Р12Р13, и*,У,г)  Iх,х© У,х © г).

даёт

уйе‘) = и|уои) = Р12Р13\уои‘) = |уегг)|у'уп).

С помощью оператора Тоффоли окончательно получим

С

г") = Тз;,| у'")| у',п) = ю| у',п).

Р1 2 Р1 3

Р12 Р1 3

Тз

У

Рис. 1. Простейший квантовый протокол исправления ошибки

5. Корректирующий автоморфизм кода Хэмминга

Классическая теория построения кода Хэмминга предполагает добавление к информационной последовательности (е1е2е 3е4) трёх проверочных бит:

£ = (е1е 2е3 е4000).

После этого значения информационных бит заносятся оператором и в проверочные биты согласно алгоритму:

£1 = и£ = (е1, е2, е3, е4, е1 © е2 © е4, е1 © е3 © е4, е2 © е3 © е4) и сообщение 81 отправляется в канал информации. На выходе из канала информации последовательность имеет вид

О =(*1 г 2 ¿з ¿4 г 5 г6 г7).

Действуя на неё тем же оператором и, получим

01 = иО = (21 ,22 ,2з,24,21  22  24 © г5,21 © 2з © 24 © 26 ,22 © 2з © 24 © 27 ) =

= (У1 ’У 2 ’Уз ’У 4 ’У5 >У6 ’ У7 ).

Утверждение 2. Для последовательности (21 222з24252627), имеющей не более одного инвертированного бита, выполняются равенства

(У5 &Уб&У7)© (У5&Уб)©У1 = е^

(У5 & Уб & У7 ) © СУ5 & У7 ) © У2 = е 2,

(У 5 & Уб& У 7 ) © СУб & У7) © Уз = ^

(У5 & Уб& У7 ) © У4 = е4-Доказательство. Справедливость данных выражений устанавливается непосредственной проверкой. Например, при отсутствии ошибок

и

У 5 = 21 © 22 © г4 © 25 = е1 © е 2 © е4 © е1 © е2 © е4 = 0,

У 6 = 21 © 23 © 2 4 © 26 = е1 © ез © е4 © е1 © ез © е4 = 0,

У 7 = 22 © 23 © 2 4 © 26 = е 2 © ез © е4 © е2 © ез © е4 = 0,

тогда

(у5 & У6& У7) © (у5 & У6) © У1 = 0 © 0 © е1 = е1,

(У 5 & У6&У 7 ) © (У 5 & У 7 ) © У 2 = 0 © 0 © е 2 = е2 ,

(у5 & У6& У7) © (у6 & У7) © Уз = 0 © 0 © ез = ез,

(У5 & У6& У7) © У4 = 0 © е4 = е4.

При ошибке в 1-м бите

и

У5 = 21 © 22 © 24 © 25 = е © е2 © е4 © е1 © е2 © е4 = 1,

У 6 = 21 © 2з © 24 © 2 6 = е © ез © е4 © е1 © ез © е4 = 1,

У 7 = 22 © 2з © 24 © 2 6 = е2 © е з © е4 © е2 © е з © е4 = 0,

тогда

(У 5 & У6&У 7) © (У 5 & У6) © У1 = 0 ©1 © е1 = el,

(У 5 & У6&У 7 ) © (У 5 & У 7 ) © У 2 = 0 © 0 © е 2 = е2 ,

(у5 & У6& У7) © (у6 & У7) © Уз = 0 © 0 © ез = ез,

(У 5 & У 6& У 7 ) © У 4 = 0 © е 4 = е 4

и т. д.

6. Квантовый корректирующий код QHз

Для кода Хэмминга QH3 = [7,4] перед отправлением к исходному квантовому состоянию

|^С>) = ^г|е1е2 езе 01

добавляются дополнительные корректирующие кубиты

\у)  |Ус>| 000) = а | е^2 езе4 00° г, где 1 = 1,2,...,16; е1 е GF(2); ^ а2 = 1.

На вход квантового канала информации нам необходимо подать кубит

уІп} = и| у0 000)

= Р16Р15 Р27Р25 Р67Р36 Р46Р45 | Ус 00^

Оператор выделения ошибки совпадает с оператором кодирования и. Протокол исправления одной ошибки в коде QHз строится следующим образом. После действия оператора ошибки выходной сигнал квантового канала имеет вид

У

) = е| угАі.

Действуя на него оператором выделения синдрома и, получим

и|уоШ) =|уег^ У'уп) .

Р

16

-р

10 —6 |0) -

е

Р27 Р25

Рз6

-е-

Р67

у ФФ

Р46 Р45 -•—•—

У

-ф-

ф—&

5

Рис. 2. Блок кодирования и квантового кода Хэмминга [7,4]

\у )

I т еггI

У'уп)

> —о р— а € ь— п

У а и л л

<3

1 і 1 і 1 > < » 1 > 1 >—

7651 Т 7652 Т 7653 Т 7654 Т 761 Т652

М

Рис. 3. Блок автоматической коррекции единичной ошибки С квантового аналога кода

Хэмминга QH 3 = [7,4]

Для автоматического восстановления нам необходимо построить блок вентилей Тоф-фоли

{—1 _ гр ГГ1 ГШ1 ГШ1 ГШ1 ГШ1 ГШ1

С = Т761Т653Т752 Т5674Т5673Т5672 Т5671 ,

который позволит восстановить исходный кубит:

С| уег^ у'уп) = |у0) |у'уп).

Пример. В качестве примера рассмотрим сообщение

| у0) = Л\ 0000) + в|1001 + С Ш1,

которое необходимо передать по квантовому каналу информации с оператором ошибки

Е = I  X  I  I  I  I  I.

Здесь Л2 + В2 + С2 = 1 — условие нормировки.

Перед отправлением к исходному квантовому состоянию |у0) добавляются чистые корректирующие кубиты:

’ге’

| у 0 )| 000) = Л 0000000) + В| 1001000 + С1111000) •

После этого на исходный кубит действует оператор расширения и и на вход квантового канала подаётся состояние

уш) = и

У

’ге’

= Л 0000000) + В| 1001001 + С 1111111 •

После прохождения квантового канала кубит получит состояние

уоиг) = Е уІп) = Л 0100000 + В| 1101001 + С1011111 •

Для обнаружения ошибки мы действуем на принятый кубит оператором и:

и

у

.оиі

=

у

у

'уп

В автоматическом режиме оператор коррекции

c\ y ”)| y ‘>n=Г761Г653Г752Г5674Г5673Г5672Г567| (A 0100)+в 1104+C1011 ) 101

= (A 0000) + B1001 + C1111 ) 101 = I y о) ysyn

восстанавливает исходное сообщение |y0).

7. Выводы

В настоящей работе были рассмотрены квантовые аналоги автоморфной коррекции повторного кода и кода Хэмминга. Естественна попытка построения квантовых аналогов других помехоустойчивых кодов. Так, в работе [5] построены квантовые повторные коды QP3. В работе [6] рассматриваются коды QP5 и их обобщения. Однако

ограничения, накладываемые квантовой механикой на операторы преобразования наблюдаемых физических величин, не позволяют получить обобщения нелинейных в базисе Жегалкина протоколов кодирования. В следующей работе будут предложены некоторые, допускаемые квантовой теорией, варианты кодов БЧХ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение.— М.:Техносфера, 2005. — 350 с.

2. Мак-Вильямс Ф.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки.— М.: Связь, 1979. — 750 с.

3. Думачев В.Н. О квантовании помехоустойчивых кодов / В.Н. Думачев, С.Б. Колесников // Системы управления и информационные технологии.— 2007.— №3.3(29). — С.350—353.

4. Валиев К. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность / К.А. Валиев, А.А. Кокин. —М.: РХД, 2001. —352 с.

5. Steane A. Simple Quantum Error Correcting Codes // Phys.Rev. A.— 1996.— V. 54.— 4741.

6. Думачев В.Н. О квантовых корректирующих кодах / В.Н. Думачев, С.Б. Колесников // Вестник ВИ МВД России.— 2007.— №2. — С.152—160.