Управление мыслительной деятельностью учащихся при обучении математике (management of students' mental activity by teaching Mathematics)

УПРАВЛЕНИЕ МЫСЛИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

М. А. Г аджимурадов, Н. И. Карголоева

MANAGEMENT OF STUDENTS'

MENTAL ACTIVITY BY TEACHING MATHEMATICS

Gadzhimyradov M. A.,

Kargoloeva N. I.

The problem of developing logical reasoning, the skills of analyzing, arguing, expressing thoughts perfectly and logically, conducting demonstrative inference during the salvation of problems is one of the most essential aims at teaching mathematics.

Key Words: argument, logical reasoning, mental work, thinking, logic culture.

В статье рассматривается проблема формирования логических рассуждений, умения анализировать, аргументировать, логически грамотно излагать свои мысли, приводить доказательства утверждений при решении задач, являющаяся одной из основных целей при обучении математике.

Ключевые слова: доказательство, логические рассуждения, умственная деятельность, мышление, логическая культура.

УДК 378.2

В обучении школьников доказательству в математике важное место принадлежит управлению процессом мыслительной деятельности. К сожалению, многие авторы учебников мало внимания уделяют этой проблеме. Такое положение лишает процесс формирования логического мышления целенаправленного характера.

Научить учащихся правильно строить логические рассуждения - одна из самых сложных задач, стоящих перед учителем математики. Как показывает практика, многие ученики не могут самостоятельно сформулировать утверждения, вытекающие из приведенных ранее рассуждений. Часто в ходе решения учащиеся только намечают схему доказательства, обосновывая некоторые, неосновные, утверждения.

Объясняется это прежде всего тем, что учитель, как правило, ориентируется на привитие ученику конкретных знаний и умений, потому что их легко выявить и проверить.

Развитию способностей, которые проявятся через несколько лет, не всегда уделяется достаточное внимание.

Многие методисты считают владение приемами умственной деятельности условием развития логического мышления. Под приемами умственной деятельности понимается система умственных операций, специально выполняемых при решении конкретного типа задач. Использование того или иного приема умственной деятельности учащимися - это и есть организованная мыслительная деятельность.

Вестник Ставропольского государственного университета

ш

Важной задачей школы является обеспечение не только усвоения определенного содержания, но и возможности постоянного пополнения и обновления имеющихся знаний, возможности их использования в теоретической и практической деятельности. Мышление включает в себя и знания, и умения мыслить - действовать с помощью знаний. Необходимо учить учащихся применять, использовать свои знания, строить свою умственную деятельность. Усвоение учениками приемов умственной деятельности как раз и предполагает умение оперировать знаниями, умение организовать свою умственную деятельность.

В условиях развивающего обучения формирование приемов умственной деятельности является не побочной, а одной из центральных задач обучения. Обучая указанным приемам, учим системе действий. Процесс развития мышления становится более организованным, самоуправляемым. Имея в своем распоряжении определенную систему мыслительных приемов, ученик будет не только знать, но и уметь думать. Мыслительную деятельность также следует упражнять и развивать, как и другие виды деятельности.

В учебниках, как правило, не говорится, как должно быть организовано усвоение того или иного содержания. В поисках приемов умственной деятельности учащиеся предоставлены сами себе. Чтобы организовать обучение приемам, учитель должен глубоко понимать диалектические, психологические, методические и математические идеи, заложенные в учебном материале. Не каждому учителю это под силу. Очень важно выявление приемов работы учащихся, которые играют определяющую роль в каждом учебном предмете, разработке методики обучения этим приемам.

Рассматривая теоретические аспекты обучения учащихся доказательству, выделим приемы конструирования доказательных рассуждений, основанные на приемах мыслительной деятельности.

При составлении умозаключения по аналогии используется сходство объектов в каких-то свойствах и делается вывод о на-

личии еще одного признака исследуемого объекта, отличного от известных. Обычно аналогию в обучении математике используют при изучении алгебраических и обыкновенных дробей, свойств арифметической и геометрической прогрессий, при изучении свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве. Аналогию можно использовать и как инструмент поиска доказательства, и как прием мыслительной деятельности. Так, доказательство одной теоремы может быть использовано в доказательстве другой теоремы, аналогичной первой. Для этого каждое логическое рассуждение доказательства первой теоремы по аналогии переносится на вторую, подобную первой.

Теорема 1. Докажите, что у равных треугольников АВС и А1В1С1 медианы, проведенные из вершин А и А1, равны.

Теорема 2. Докажите, что у равных треугольников АВС и А1В1С1 биссектрисы, проведенные из вершин А и А1, равны.

Теорема 3. Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.

После доказательства одной из этих теорем, другие две теоремы могут быть доказаны самими учащимися путем использования приема аналогии.

Удачно можно использовать аналогии при доказательстве признаков подобия треугольников. Их доказательство основано на идее гомотетичного преобразования одного из данных треугольников, так чтобы образовавшийся треугольник был равен второму данному треугольнику, и использовании транзитивности отношения подобия. Поскольку доказательства всех признаков аналогичны, то после первого признака доказательства остальных учащиеся могут осуществить самостоятельно.

Метод аналогии должен формироваться не только в процессе изучения геометрии, но и при изучении алгебры и курса математики в У—У1 классах. Для применения метода аналогии необходимы действия:

1) составлять аналогии различных заданных объектов и отношений;

2) находить соответственные элементы в заданных аналогичных предложениях;

3) составлять предложения, аналогичные данным;

4) проводить аналогичные рассуждения при решении сходной задачи.

Совокупность этих действий и составляет метод аналогии - один из приемов ум -ственной деятельности.

Другими эффективными приемами поиска доказательства являются обобщение, анализ и др.

При использовании обобщения выделяются общие существенные свойства, характерные данному классу объектов. Использование обобщения при решении задач основано на расширении области изменения параметра, либо на переходе от данного множества к более широкому множеству.

Например, рассматривая равенства

5 + 7 = 12, 13 + 25 = 32, 17+39 = 56, учащиеся замечают, что в левой части каждого равенства записана сумма двух нечетных чисел, а в правой четное число. Затем осуществляется переход от множества конкретных нечетных чисел к множеству четных чисел, делается обобщение. Отвлекаясь от других свойств, используя абстрагирование, формируем свойство: сумма двух нечетных чисел есть число четное.

В работах П. М. Эрдниева можно найти приемы формирования мыслительных операций анализа, сравнения и т. д. Прием подведения под определение является более общим, чем прием решения задач на движение, так как первый охватывает значительно большее количество задач и может применяться в различных разделах математики, а второй - к сравнительно узкому кругу задач. Приемы мыслительной деятельности могут быть алгоритмическими и эвристическими.

Прием подведения под определение является приемом алгоритмического типа. Составление алгоритма предполагает выявление, исследование всех логических условий, влияющих на дальнейший ход процесса и приводящих к возможным различным результатам. В математике владение приемами алгоритмического типа очень важно, но не

менее важно владение эвристическими приемами поиска решения задач.

Учащиеся часто решают задачи на подведение некоторого объекта под какие-то определения (см. рис. 1).

Рисунок 1.

Например, являются ли углы 1 и 2 вертикальными? Чтобы ответить правильно, ученик должен выполнять действия по следующей схеме:

1) сформулировать определение вертикальных углов;

2) указать в определении все его требования;

3) проверить выполнение каждого требования;

4) в зависимости от выполнения всех требований определения, дать положительный или отрицательный ответ.

В отношении данного плана действий следует сказать, что он однозначно диктует действия учащегося.

Формирование приема умственной деятельности или построение модели предполагает выделение определенного круга задач, для которых ученики должны находить решение. Наблюдая за ходом решения задач у многих школьников, можно построить модель наблюдаемого явления. Полезно провести и логический анализ самого решения задачи. Если реализация модели дает возможность правильно решать задачи данного типа, то модель верная. В противном случае ее надо переделать.

Рассмотрим задачи на построение:

1. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

2. Построить треугольник по стороне и проведенной к ней медиане и высоте.

Анализируя решение этих задач, можно составить следующее предписание для решения предложенных задач.

1.Что можно считать в задаче известным и построенным? Так как одну сторону можно отложить на произвольной прямой,

Вестник Ставропольского государственного университета

ш

то две вершины треугольника можно считать построенными.

2. Чего недостает для построения искомой фигуры? Для построения треугольника недостает третьей вершины.

3. Каким условиям удовлетворяет третья вершина треугольника? Третья вершина треугольника удовлетворяет двум условиям: а1 и а2.

4. Как построить третью вершину треугольника? Построить множество точек, т. е. фигуру Ф1, удовлетворяющую условию а1 . Построить фигуру Ф 2, т. е. множество точек, удовлетворяющих условию а2. Тогда точка пересечения фигур Ф1 и Ф 2 является третьей вершиной искомого треугольника.

Правильность данного предписания можно проверить, решая аналогичные задачи.

Рассмотрим несколько таких задач.

1. Построить треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них.

2. Построить равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.

3. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.

4. Построить треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Предложенное выше предписание помогает решать задачи 1,2,3. Для решения четвертой задачи этого предписания недостаточно. Чтобы решить эту задачу надо дополнить предписание новыми пунктами. Хотя все предложенные задачи на построение решаются методом пересечений, в последней задаче надо выполнить дополнительные построения и обобщить предписание.

Следовательно, одной из характеристик приема является его обобщенность. Большая обобщенность приводит к большему сдвигу в развитии логического мышления.

Формирование приемов умственной деятельности не является сверхпрограммной задачей, это есть способ обучения проведению доказательных, логических рассуждений на программном материале.

Рассмотрим некоторые методы формирования приемов умственной деятельности. Существует способ формирования приема нахождения решения задачи методом анализа.

Многие задачи могут быть решены аналитическим методом, т. е. методом рассуждений от заключения задачи к ее условию. Применение аналитического метода позволяет провести самостоятельный поиск путей решения задачи. При решении задач методом анализа учащимся самим приходится искать вспомогательные построения, находить факты и утверждения, чтобы связать заключение задачи с условием.

Покажем на примере методику обучения этому приему.

Дано ААВС и АА1В1С1, АБ и А1Б1 -биссектрисы углов А и А1. АБ = А1Б1, АС = А1С1, А А = А А]. Доказать: А АВС = А.А\В\С\ (см. рис. 2).

Л*

\

Рисунок 2.

После решения задачи учитель ставит перед учениками вопросы: как вы догадались, как решить задачу? Как догадались, что надо расставить углы DAC и D1A1C1, что надо сравнивать углы С и Ci? Далее решение повторяется в форме ответов учащихся на вопросы учителя. Что достаточно доказать, чтобы доказать равенство треугольников АВС и А1В1С1? Чего не хватает для утверждения о равенстве этих треугольников? Ответ: не хватает одного из равенств АВ = А1В1, или А С = А С1. Вопрос: что достаточно доказать для утверждения о равенстве углов С и С1? Ответ: достаточно доказать равенство треугольников ADC и А^1С1. Вопрос: чего недостает для доказательства требуемого равенства? Ответ: недостает равенства углов DAC и D1A1C1. Вопрос: можно ли доказать это равенство, исходя из условия? Затем можно предложить учащимся последовательно записать все вопросы, с помощью которых нашли решение задачи.

Поиск этих вопросов и правильное их расположение и составляет сущность метода анализа.

Можно еще раз обратить внимание учащихся, что доказательство начинается с поиска тех условий, из которых следует заключение. В качестве закрепления этого метода можно предложить решение аналогичных задач.

1. Доказать равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.

2. Доказать равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Аналогичный прием можно отрабатывать при решении задач из других разделов. При этом учитель учит искать метод решения задачи, а не просто решает ее с учениками.

Часто приходится наблюдать на уроках, когда учитель подавляет инициативу учащихся. В 7 классе на уроке рассматривалось упражнение: «Каков знак числа х, если 2х > 5х?» Один из учеников ответил, что х -число отрицательное и обосновал свой ответ подстановкой вместо х отрицательных и положительных чисел. Конечно, учитель должен был объяснить, что подстановка одного числа не является доказательством. Можно было обратиться к классу: «У кого есть другие способы решения примера? Какие свойства неравенств используются при решении?» К сожалению, не объяснив, чем плох предложенный вариант доказательства и как его исправить, учитель предложил свое готовое решение: 2х - 5х > 0, -3х < 0, х < 0.

На таком уроке нет места творчеству и инициативе учащихся. Учитель так и не обратился к учащимся с вопросом о других возможных способах решения.

Педагогический процесс на каждом уроке должен быть организован так, чтобы все время контролировать и регулировать мыслительную деятельность учащихся, чтобы ученики всегда находились в поиске способов и средств решения, а учитель создавал такие ситуации для поиска решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виноградов Л. В. Развитие мышления при обучении математике. — Петрозаводск: Карелия, 1989.

2. Гальперин П. Я., Талызина Н. Ф. Современное состояние теории поэтапного формирования умственных действий // Вестник МГУ. Серия «Психология». — 1979. — № 4. — 78-90.

3. Талызина Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний. Психологические основы. -М.: Изд-во МГУ, 1985. - С. 344.

4. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. - М.: Просвещение. — 1983.

5. Эрдниев П. М. Системность знаний и укрупнение дидактических единиц // Советская педагогика. — 1975. — № 7. — С. 52.

Об авторах

Гаджимурадов Мадрид Абдуллаевич, Дагестанский государственный педагогический университет, кандидат физико-математических наук, профессор, зав кафедрой теории и методики обучения математике и информатике. Сфера научных интересов - внешнегеометрические свойства нерегулярных Седловых поверхностей; проблемы преподавания математики в школе и вузе Ишиг. 60 @.шаП. ги

Карголаева Наида Исамудиновна, Хасавюртовский филиал Дагестанского государственного педагогического университета, ассистент кафедры математики и информатики. Сфера научных интересов - вопросы преподавания математики в школе и вузе.

Ишиг. 60 @.шаП. ги