Основные обобщения непрерывной логики

УДК 517.131

ОСНОВНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ЛОГИКИ © В.И. Левин

Levin V.I. The main generalisations of continuous logic. The article looks at the main generalisations of continuous logic.

Рассмотрена порядковая логика - обобщение непрерывной логики на случай, когда вместо основных операций выделения максимума (дизъюнкция) и минимума (конъюнкция) берется операция выделения произвольного /-го по порядку величины аргумента. Показано, что новая операция выражается суперпозицией дизъюнкций и конъюнкций непрерывной логики. Рассмотрены различные классы логических определителей - числовых характеристик матриц, которые можно выразить через операции непрерывной логики. Конкретно, изучены порядковые определители, представляющие собой обобщение порядковой логической операции на случай множества аргументов в виде матрицы, определители с различными типами ограничений на подмножества элементов матрицы, от которых зависит определяемая характеристика матрицы. Для всех логических определителей указаны их свойства, частично напоминающие свойства алгебраических определителей, а также формулы для вычисления, в которых использованы операции непрерывной логики. Изложена предикатная алгебра выбора, обобщающая непрерывную логику применительно к моделированию разрывных функций; гибридная алгебра логики, обобщающая то же на случай гибридных (непрерывных и дискретных) переменных; ло-гико-арифметическая алгебра, включающая, кроме не-прерывно-логических, также четыре арифметических операции; комплексная алгебра логики, в которой несущее множество С - поле комплексных чисел. Для всех этих алгебр логики указаны основные законы, показано их сходство и отличие от законов непрерывной логики. Рассмотрены обобщения непрерывно-логических операций в виде операций над матрицами, случайными и интервальными переменными. Указаны некоторые возможные применения описанных логик. Обзор содержит обширную библиографию важнейших работ русских авторов.

1. ВВЕДЕНИЕ

Непрерывная логика (НЛ) обладает значительными математическими достою иггвами: выразителыюстью, конструктивностью, обозримостью, 1по открывает дорогу разнообразным ее применениям в математике, технике, экономике, биологии, социологии, политологии, истории. Однако возможности НЛ в математическом и прикладном плане все же ограничены. Это побуждает искать различные обобщения НЛ, позволяющие, сохранив все достоинства математического аппарата. придать ему новые полезные свойства и тем самым расширить области его применения.

Имеются различные классы обобщений НЛ. Одни из них направлены на то, чтобы создать возможность применения НЛ к изучению систем высокой размерности. Это разнообразные логические определители. Другие имеют своей целью расширил, область определения логических функций путем пополнения непрерывного множества дискретными (гибридная логика), перехода от множества вещественных чисел к множеству комплексных чисел (комплексная логика) и т. д. Возможны обобщения НЛ, связанные с усложнением характера переменных, которые могут быть матричными, случайными, интервальными и т. д. Наконец, возможны обобщения HJI путем включения, наряду с логическими, других операций, например, арифметических. Все эти обобщения позволяют применить математический аппарат НЛ к изучению более сложных классов различных прикладных систем. Например, гибридная логика позволяет изучать аналого-цифровые устройства, интервальная логика - некоторые системы, параметры которых известны неточно, логико-арифме-тическая алгебра - системы с разрывными характеристиками и т. д. Все эти классы обобщений рассмотрены в настоящем обзоре.

2. ПОРЯДКОВАЯ ЛОГ ИКА И ПОРЯДКОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Введем на множестве А = {ах ,....ап}, я, 6 С = [А, В | операцию выделения r-го порядкового элемента а' множества

f

г -операция /г обобщает операции дизъюнкции v = шах и конъюнкции а = min HJI, переходя в них

при г = п и п = 1. Алгебра {A,fr,r = 1,«} называется алгеброй порядковой логики. Всевозможные операции (функции) в этой логике - это порядковые операции

(функции) /',/• = L/7 и их различные суперпозиции.

Задать функцию порядковой логики можно, как и функцию HJI, задав для каждого варианта упорядочения аргументов д,,.... я„ аргумент а,, значение которого принимает функция. От такого табличного задания функции возможен переход к аналитическому ее представлению в виде суперпозиции операций v и л НЛ. Так что по своему аналитическому представлению

функции порядковой логики не отличаются от функций НЛ. Кроме законов НЛ, применимых к НЛ-представлениям функций порядковой логики, в последней действуют специфические законы тавтологии (2), переместительный (3), распределительный (4):

/г

=

/г

Явное выражение произвольной функции порядковой логики через операции НЛ в дизъюнктивной форме

Г (а........... V (от. л... лаг, ),

>\* *>п-г+1 .

К+с11=КГ„+с'К 41 =

= la., V С, <7,. АС = 1(7.. Л с,

М>

сЦ,[, о 0

I I /I—Г-4-1

cKL ’с<0-

Явное выражение (раскрытие) произвольного порядкового Л О при помощи операций НЛ имеет такой вид:

\т\

V К1 л-л*:;).

£?'л=и+г-1

5=1

Если множество А из §2 частично упорядоченное в виде квазиматрицы

А =

аи . а]т\

ап\ • • аптп

= к Ип <...<aim.,i=ln ,

Запись а["к означает, что элемент ак: ^ не входиг

в те конъюнкции, для которых из условия на получается ¡к > т Кроме ДНФ-выражения порядковых

г -функций (5) и ЛО (10) существуют двойственные им КНФ. Порядковый ЛС) можно разложить на меньшие ЛО, например, так:

то получаем обобщение порядковой г -операции

Oi 1 ... о

I ... о.

= а ,

г = \,т,М = £ т, (=1

В частном случае отсутствия упорядоченности в множестве Ап квазиматрица (6) превращается в стол-

бец А =

, а ЛО (7) от нее - в обычную порядковую

г -операцию (1). Алгебра {Ап\Агп,г = Ь>п} есть алгебра порядковых ЛО. Возможные операции (функции) в ней - это все порядковые ЛО А',г = 1,т , и их различные суперпозиции. Задать порядковый ЛО и перейти затем к аналитическому представлению можно так же, как и для функции НЛ и порядковый логики (см. п. 2). По своему аналитическому представлению порядковые ЛО не отличаются от функций НЛ и порядковой логики и подчиняются всем законам обеих логик. Кроме того, они обладают рядом свойств, напоминающих свойства алгебраических определителей квадратных

матриц. Например, 1) величина ЛО Агп есть неубывающая функция ранга г; 2) перестановка любых двух строк ЛО А'п не меняет его величины.

я, =va \а

I -Ми ij ij I J\n\ai}

В (11) 1йг., | - ЛО, полученный из JIO я ис-

I 11 n\a,j I J 1и

ключением элемента at] (логическое дополнение элемента a,j ). Существуют и другие разложения Л О, в

частости, минимальные по сложности и блочные. Их последовательное использование позволяет, наряду с явной формулой (10), раскрывать ЛО.

Сложность раскрытия порядкового ЛО при использовании формулы (10) растет так: N ~ п' /(г-1)! (г фиксировано, п растет). При использовании последовательности разложения ЛО на блоки эта сложность 0(гМ). Еще проще вычисляются порядковые ЛО Агп путем последовательного упорядочения их элементов. Соответствующий алгоритм обладает сложностью N =(г- 1)г , но требует запоминания промежуточных результатов. Существует и приближенная оценка величины порядкового ЛО, сложность получения которой значительно меньше:

л а.Л . < а,-Л < v а...

;=1 '141 I у 1« ,=1 '(//Г

i/, = (/7 + Г - l)//i, /А/, /, = /77/, /А/.

Здесь ] а ( и [ а ] - результат округления а до ближайшего целого числа вниз и вверх.

Порядковая логика и порядковые ЛО используются для аналитического выражения процессов в высокоразмерных системах в случаях, когда эти процессы в

таких же системах низкой размерности выражаются аналитически с помощью НЛ. Так, в примере 2 части I данной статьи мы видели, что процесс на выходе двухвходового автомата с простейшими процессами на входах - однократными изменениями сигнала - выражается аналигически с помощью операций НЛ. Это значит, что процесс на выходе многовходового автомата с многократными изменениями сигнала по входам выражаегся аналитически с помощью порядковых ЛО. Доказано, что для этого достаточно использовать два ЛО: ЛО, любая /-я строка которого состоит из моментов изменения сигнала вида 0 —> 1 на /-м входе, расположенных в порядке возрастания, и ЛО, любая /-я строка которого состоиг из мометов изменения сигнала 1 —»0 на /-М входе, расположенных в порядке возрастания.

Порядковую логику и порядковые ЛО разработал В.И. Левин. Он же предложил применять этот математический аппарат для моделирования различных прикладных систем. Обзор полученных здесь результатов дан в [1-3, 6, 7]. Большое число конкретных результатов можно также найги в трудах конференций [9-15].

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА СУММЫ ЭЛЕМЕНТОВ

Рассмотрим прямоугольную матрицу с вещественными элементами

«11 • а\т

ап\ «пт

= о,-.

Будем оперировать различными суммами ее элементов Ч = 1,2, " > включающими ровно по

одному элементу из каждого столбца (из одной строки в сумму может включаться любое число элементов). Функции вида

А"* =

Аи =

«11 а\т

— а пт

а\ 1 «1т

ап\ • ••

ПУ

ч

являются простейшим ЛО с ограничениями 1-го рода для матрицы А . В частном случае единственного ненулевого столбца в матрице А ЛО А]У/ переходит в

дизъюнкцию НЛ элементов этого столбца, а ЛО А]л -в их конъюнкцию. По аналитическому представлению ЛО с ограничениями 1-го рода в общем случае отличаются от функций НЛ и порядковой логики и порядковых ЛО тем, что наряду с операциями НЛ V и л здесь используется алгебраическая операция +. Выражения ЛО с ограничениями 1-го рода подчиняются всем законам НЛ, и, сверх того, имеют ряд свойств, подобных свойствам алгебраических определителей.

Так, перестановка любых двух строк (столбцов) ЛО А1, А,А не меняет его величины; далее

с > 0;

[V I IV 1 Л | 1А

\саА = Ту 1 ’1 саи\ = с\ац\ »

1 1А . IV 1 |Л

ы = СЫ ’ IV 1 \сач IV 1 =СЫ •

КН = к, 1 ихт 1 + с///,|а,у +

1мХш

= \а1:

+ ст, с — а.

ЛО А1 можно разложип» на меньшие ЛО по

= ст — а,

столбцу и совокупности столбцов

..М+Л'л...)г

I IV л IV Л IV

IV

1=1

1л

и аналогично для Л О А

В (16) А]^ у - ЛО, полученный из А^ исключением у,-го,..., уг-го столбца (логическое дополнение у, -го,..., уг -го столбца), А^ ^ - ЛО, образованный столбцами А^ у (минор из этих столбцов).

Последовательное разложение ЛО, согласно (1), дает следующее явное его выражение

= £ V ац,А]л = £ л а^,

Аг =1 ’—1

;=г

-.*=1

имеющее сложность вычисления М =(// — !)(/// — 1).

Будем оперировать различными суммами элементов матрицы (13) вида

включающими ровно по одному элементу из каждого столбца и но р, элементов из произвольной / -й строки. где р} ограничено так: Ь, < р1 < с, ,

--- П

/ = I п, £ Р, = м . Функции вида 1=1

А2^

«п

А2л =

«п

«„I —

IV V-1//

К1

назовем ЛО с ограничениями 2-го рода ;щя мафицы А . Такой ЛО существует, в отличие от Л О (14), не

всегда, а лишь при £с, > т . В частом случае един-1=1

ствеиного ненулевого столбца в матрице А ЛО А'"1

переходит в дизъюнкцию, а ЛО А ~А - в конъюнкцию НЛ элементов этого столбца. В общем случае аналитическое представление ЛО (18) отличается от функции НЛ и порядковой логики и порядковых ЛО тем, что кроме операции НЛ V и л содержит операцию +. Выражения ЛО с ограничениями 2-го рода подчиняются всем чаконам НЛ и обладают рядом специфических свойств, напоминающих свойства алгебраических определителей. Например: 1) перестановка двух строк вместе с их ограничениями не меняет величины ЛО; 2) строка, облас'п. ограничений которой пуста, может быть вычеркнута без изменения величины ЛО. ЛО

А~ч , А2л можно разложил, на меньшие ЛО по любому столбцу

л2* = V

В (19) - ЛО, полученный из ЛО А2' некто-

чением у -го столбца и сдвигом интервала |Ь,,с, ] значений параметра pi на 1 влево (но не далее 0); он называется логическим дополнением элемента а у в ЛО

А~л . Аналогично определяется логическое дополнение элемента аи в ЛО Л2л . Подобные (19) разложения возможны и но совокупности столбцов

2л

В 1-й формуле (20) А{* ]г),Ик ~ °бра'юван~

ный столбцами у<,..., ]г ЛО А2'" , при ограничениях на число элементов в различных строках областью (Ук (минор из этих столбцов), а А~^ ]гук - ЛО, полученный из ЛО А 2'У исключением столбцов у,.....)г и при

ограничениях на числа элементов в различных строках областью Ук (логическое дополнение указанного минора в ЛО /1 ). При этом сумма Vк и Vк при любом

к даег ограничение на числа элементов в строках всего ЛО А~У . Аналогичны определения составляющих

2-й формулы (20). Последовательно разлагая ЛО /ГУ ,

А2л , по формулам (19), (20), приходят к простым ЛО, раскрываемым (вычисляемым) непосредственно. Сложность вычисления этим путем (пхт ) - ЛО с

ограничениями 2-го рода N < 3/1 ",ч

Рассмотрим всевозможные суммы элементов

Хсу ач’Ч = 1,2»— матрицы А (13) размером пхп ,

включающими ровно один элемент из каждой строки и каждого столбца. Функции вида

АЗУ ^

А3л =

«11 «1л

«11 «1 л

««1 •••• «ли

I V V1 ///

= Ы о,у.

I А х^П/

= К = ЛХ</°У’

называются ЛО с граничениями 3-го рода дня матрицы А . Такие ЛО - частные случаи соответствующих ЛО с ограничениями 2-го рода (18), однако, в отличие от последних, они всегда существуют. Аналитическое представление ЛО (21) в общем случае содержит, кроме операций НЛ V и л , также операцию +, чем отличается от функций НЛ, порядковой логики и порядковых ЛО. В частных случаях единственного ненулевого столбца или единственной ненулевой строки в матрице

А ЛО Апереходит в дизъюнкцию, а ЛО А3^ - в конъюнкцию НЛ элементов этого столбца (этой строки). ЛО 3-го рода А3'', А 14 - частные случаи ЛО 2-го рода А2^ , А2л (18) при т =п и вырожденных ограничениях: Ь1 = р1 = с, = 1. / = \,п . Поэтому ЛО 3-го рода (21) обладают свойствами ЛО 2-го рода. Кроме того, они обладают свойствами ЛО с ограничениями

1-го рода (15)—(17), а также рядом специфических свойств, например, таким

А3* =(АЗТ )'/,А3л=(Л37’ )л

где «7’ » - знак транспонирования матрицы. ЛО (21) можно разложить на меньшие Л О по любому столбцу или строке

А3* = ч(аи +А3у ),у=1л,

1=1

Л 3у = \/(я,у +А?У),/ = 1/7

и, аналогично, для А^. В (23) А^ - ЛО, полученный из ЛО А3* вычеркиванием /-й строки и У-го столбца, на пересечении которых стоит элемент

(логическое дополнение элемента а,} в ЛО А 3 у ).

Справедливы и аналогичные (23) разложения по совокупности строк и совокупности столбцов

>|!' = ^Цвд +4ЮА с а..,

иг

А* = +АКмг )-°г

Вг

и, аналогично, для АЛЛ . В (24) - ЛО, полу-

ченный выделением в ЛО А 'элементов на пересечении множества сірок Ог=(/1}...,/г ) и множества

столбцов 5г=(у'|,...,уг) (минор /*-го порядка),

А 'пг вг - ЛО, полученный из ЛО Авычеркиванием

множеств строк 1)г и столбцов Вг. Последовательное разложение ЛО (21) позволяет раскрыть (вычислить) их. При -этом наименьшая сложность получается при использовании разложений (24).

Рассмотрим, наряду с основной матрицей А (13),

матрицу ограничений В = ||б,у|| тех же размеров. Будем оперировать суммами элементов обеих матриц вида , , Я = 1,2,... (как в ЛО 1-го рода от

матриц А, В ). Функции вида

4

«і і...........«1т

«ЯІ............« пт

4

«11............а\т

«>»1...........«йот

А =

44л =

=Ыл=ах;«,,

11 Ъ'чЬуйЬ

называются ЛО с 01раничениями 4-го рода дня матрицы А . Такие ЛО существуют лишь нри условии Ви < Ь . В частном случае единственного ненулевого столбца в матрице А ЛО А4'/ переходит в дизъюнкцию, а ЛО А4л - в конъюнкцию НЛ части элементов этого столбца (удовлетворяющих ограничениям). В общем случае аналитическое выражение ЛО (25) содержит, кроме операций НЛ V и а , также операцию +. Выражения ЛО 4-го рода подчиняются всем законам НЛ. Эти ЛО обладают свойствами (15) ЛО 1-го рода, а также следующими специфическими свойствами: 1) перестановка двух строк (столбцов) основной матрицы А одновременно с перестановкой соответствующих строк (столбцов) матрицы ограничений В не меняет величины ЛО; 2) общее для всех элементов столбца слагаемое можно вынести за знак ЛО; 3) ЛО со столбцом из равных элементов равен сумме этого элемента и дизъюнкции (конъюнкции) НЛ логических дополнений всех элеменгов столбца. Здесь логическое

V V

дополнение >44л элемента а) в ЛО А4л это ЛО, по-

V

лученный из А у А вычеркиванием у -го столбца (при этом вычеркивается и у -й столбец матрицы ограничений В ) и уменьшением границы Ь на Ь,} ЛО А4* ,

А4л можно разложить на меньшие ЛО по любому столбцу согласно 1-й формуле (23), а также но любой совокупности столбцов. Использование разложений позволяет раскрыть (вычислить) ЛО.

ЛО с ограничениями на суммы элеменгов используются для аналитического представления алгоригмов решения различных задач статической оптимизации, типа задачи оптимального распределения ограниченных ресурсов. Такие алгоригмы всегда можно выразил» с помощью дизъюнкции и конъюнкции НЛ, поскольку эти операции есть взятое максимума и минимума двух переменных, т. е. элементарные акты оптимизации. Роль ЛО состоит в том, что с их Помоною удается компактно записать указанные алгоритмы в случаях, когда задачи имеют высокую размерность. При этом различные типы ограничений на суммы элементов ЛО соответствуют различным классам задач статической оптимизации. Например, ЛО с ограничениями 3-го рода (21) есть аналитическое представление алгоритма решения задачи о назначении п претендетггов на п должностей, при условии, что матрица эффективностей

претендентов / на должностях у есть ||Яу||, каждый

претендент получает одну должность, а каждая должность занимается одним претендентом. Разработанный математический аппарат ЛО направлен на решение соответствующих оптимальных задач. Так, разложения ЛО (23) позволяют понизить размерность задачи о назначениях с пхп до (/; — 1)х// или //х(н —1) и тем самым решил, задачу итерацией.

ЛО с ограничениями на суммы элементов и их применение к решению задач статической оптимизации предложил В.И. Левин. Обзор соответствующих результатов содержится в [2, 3, 6, 7].

4. ЛОГ ИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ С ОЕРАНИ ЧЕНИЯ МИ НА ОБЛАСТЬ

В прямоугольной (п х т )-матрице А (13) рассмотрим всевозможные нисходящие ступенчатые пути из

клетки (1, 1), в клетку (п х т ). Обозначим ^ а1} сумму

элементов матрицы А вдоль q-то пути, а ^«у-сумму элеметов вне д -го пути. Функции вида

назовем дизъюнктивными и конъюнктивными ЛО для матрицы А . Оба они - простейшие ЛО с офаниче-ниями на область формирования сумм элементов. Функцию

А* =|«,у| =ХХ«у >=1>=1

назовем суммирующим ЛО матриц!,I А . Любая матрица А всегда имеет ЛО А'/, А А и А +. В частном случае единственного ненулевого элемента в любом -м

пути матрицы А ЛО А у , переходит в дизъюнкцию НЛ, а ЛО А А - конъюнкцию элеменгов этой матрицы. Аналитическое представление ЛО А^,АЛ, содержит операции дизъюнкции и конъюнкции НЛ и алгебраического сложения, а ЛО А + - только сложение. Выраже-

ния ЛО А У и А л удовлетворяют законам НЛ. Кроме того А 'У, А А и А + имеют ряд специфических свойств, подобных свойствам алгебраических определителей

I пхт

+ с(т + п - \);

\ач + с = Гу

* пущ V

Гу +с

+

их»»

I пхт +

У I «у »>, I VI пхт

1Л

+ //ш - т - п +1 + с/и/?;

I Г I Г I 1А I 1л

ги =Фу| «м ,с>0;

<7И',=с(КГ_д]' Мл =с( КГ +д).с<о.

где А = V У я - л У я„;

</ У 7 су у

я,, +с

Я,, +С

‘1т

апт + с1

• я...............+

= р(у + с + 6?;

= я

у ’

|яу-с|+ =с|а1>|+,^'/ -МА =А+.

Свойства (28) показывают, иго общий для всех элементов ЛО положительный сомножитель можно вынести за знак ЛО, однако вынесение отрицательного

сомножителя для ЛО Ач/ и А А выполняется по более сложному правилу. Далее, общее для всех элементов ЛО слагаемое можно вынести за знак ЛО, снабдив его соответствующим коэффициентом, зависящим от типа ЛО и его размеров. Слагаемые угловых элементов я,,

и апт в ЛО Ач/ выносятся с коэффициентом 1, а в ЛО

А А аннулируются. Видим также, что сумма ЛО А'' и

Ал одной и той же матрицы А дает ЛО А+ этой матрицы.

Перестановка каждой пары симметричных строк и каждой пары симметричных столбцов не меняет вели-

чины ЛО А 'У и А л .

ЛО Ач/ и А л можно разложит], по угловым элементам я, | и апт в виде

А* =аи +(Л1^<1МУ =

= апт +(Ат-

и аналогично для А А . В (29) А?_ - ееп. ЛО, полученный из А4 вычеркиванием /-й строки (логическое дополнение / -й строки), а А1 • - ЛО, полученный из

А У вычеркиванием / -го столбца (логическое дополнение / -го столбца). Возможны разложения ЛО А'' и

А А по совокупности элементов строки и столбца. Последовательно разлагая ЛО А ^ , АА по формулам

где А^к - ЛО типа А у из г первых строк и к первых столбцов матрицы А . Искомый ЛО А У есть А*т .

Поэтому для раскрытия (вычисления) А ^ достаточно в присоединенной к А матрице А* = |-1 ||

вычислить угловой элемент А*т . Для этог о используется основанный на рекуррентном соотношении (30) волновой алгоритм последовательного нахождения . *

элементов матрицы А , начиная с левого верхнего, кончая правым нижним углом. Сложность такого вычисления ЛО Ач/ равна О ( пт). ЛО А + вычисляется по его определению (27), сложность здесь О (пт).

ЛО Ал находится из соо тношения (28) через Ач" и А + .

ЛО с ограничениями на область используются для аналитического решения задач динамической оптимизации, типа задач теории расписаний. ЛО позволяют в этих задачах компактно записать условие оптимальности в случаях, когда задачи имеют высокую размерность. Разработанный математический аппарат Л О позволяет практически решать соответствующие задачи. Например, разложения (29), (30) позволяют понизить размерность задачи оптимизации расписания работ на единицу, что открывает путь к ее решению итерациями.

Теория ЛО с ограничениями на область и их применение к решению задач динамической оптимизации разработана В.И. Левши,1М. Обзор имеющихся здесь результатов приведен в [2, 3,6, 7].

5. СМЕШАННЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛОГИКИ

Под смешанными НЛ будем понимать логики, в которых наряду' с операциями НЛ присутствуют другие, нелогические операции.

Рассмотрим две двуместные операции

^р(х1,х2) = х] р + х2-р, лр(х],х2) = = х] р + х2 />, *,,дг2 6 С. ре {0,1},

где р = р(\>1, у,) - т -местный двузначный предикат

с вещественными значениями предикатных переменных у\,...,ут  В (31) кроме логической операции отрицания р присутствуют арифметические операции «•» и «+». Предикат р в (31) - это управляющий параметр, выбор значения которого определяет выбор кон-

кретной функции /(Х\,х2). Так, при /? = 1(х,— х2) функции V р и лр (31) переходят в дизъюнкцию и конъюнкцию НЛ. Возможности выбора функций / возрастают при суперпозиции функций (31) по предмет! шм х1 и предикатным yi переменным. Алгебра

{Су р,называется предикатной алгеброй выбора. В згой алгебре выполняется ряд законов, аналогичных законам НЛ:

\/(х,х) = л(х,х)= х , (тавтология);

\/

Лл(хих2)] =Л 1/(^1 ХДх2 )1. (распределительный).

Но ряд законов специфичен только для этой алгебры.

Если переменные xi могут принимать как непрерывные значения из множества С = \А,В\У так и дискретные значения, над которыми совершаются операции НЛ, то получается гибридная (непрерывнодискретная) логика. В ней базовыми можно взять пороговые операции, преобразующие непрерывные переменные в дискретные, и депороговые операции, выполняющие обратное преобразование. Так, для 2 непрерывных и 1 дискретной переменных эти операции

п(хьх2) =

А 00 = ¿>2 00 =

Lx, >х2 0.x, < х2

Х\,У = 1 х2, у = 0

*2>-У = 1 *1>.У =0

х,.х2 є С у Є {0,1}.

Алгебра {С и{0;1};/7,7-),,£2} называется алгеброй

гибридной логики. Любая функция, образованная суперпозицией операций (33), называется функцией гибридной логики. Базовые операции гибридной логики и НЛ связаны соотношениями

D]n(x],x2) = x] v x2,D2n(x],x2) = х, ах2 .

Гибридная логика может строигься и на базе обычных операций НЛ V, а, — В этом случае она подчиняется всем законам НЛ.

Добавив к операциям V, а НЛ арифметические операции «+», «-», «•», «:», получим логико-

арифметическую алгебру. Любая функция С ” —» С в виде суперпозиции 6 указанных операций называется логико-арифметической функцией. В логико-арифме-тической алгебре действуют законы арифметики, ШІ и смешанные логико-арифметические законы, например:

a+(b V c)=(a+b) v (а+с), а+(Ь а с)=(а+Ь) а (а+с), a-(bv с)=(а -Ь)л(о-с), a-(b a с)=(а -b)v (а-с).

Сложнее законы, содержащие операции «•», «:».

Введя символы V и а , оставляющие операции V и к к

а неизменными при А’ >0 и изменяющие их, соответственно, на а и V при к < 0 , получим такие законы

к (av b) = к  а Vк  6, к

к  (а а Ь) = к алк b

к

Предикатная алгебра выбора решает проблему' моделирования разрывных функций и облегчает анализ и синтез аналоговых и цифровых устройств на базе элементов, реализующих такие функции. Эту алгебру и ее применение разработал Л.И. Волгин [4]. Гибридная логика предназначена для изучения устройств, сигналы в которых являются частично непрерывными, а частично - дискретными (например, аналогово-цифровые преобразователи). Эту логику и ее применения разработал П.Н. Шимбирев [5]. Логико-арифметическая алгебра ориентирована на описание тех систем, в которых совершаются как непрерывно-логические, так и арифметические операции (например, электрические системы, экономические системы и т. д.). Эта алгебра и ее применения разрабатывались Е.И. Берковичем и В.И. Левиным. Обзор их работ содержится в [2, 3, 7].

6. СЛОЖНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛОГИКИ

Под сложными НЛ будем понимать логики, в которых непрерывно-логические операции совершаются над переменными более сложной природы, чем вещественные числа (например, комплексные числа, интервальные числа, матриц!,I и т. д.).

НЛ можно обобщил, на случай комплексных чисел, полагая, что несущее множество С в квазибулевой алгебре НЛ {С,у,а,~} - поле комплексных чисел. В этом

случае центр М множества С - точка А/ = 0 , и операция отрицания комплексного числа а определяется

а = 2М —а = —а, ае С .

Операции дизъюнкции v и конъюнкции а НЛ определяются здесь не как обычно: v =max, a =min, т. к. max и min для комплексных чисел не определены, а с помощью законов НЛ

a v/> = 0,5[я + /!>+ I а-b |], а лЬ = 0,5[я + b- а - b \],

ибо все операции в правых частях (38) обобщаются на комплексный случай. Получаемая комплексная квази-булева алгебра подчиняется законам тавтологии, переместительному, двойного отрицания, спуска отрицания на слагаемые и законам (35), (38), но не подчиняется законам сочетательному, де Моргана, поглощения. Клини, действия с константами, исключенного третьего, противоречия.

Возможно обобщение НЛ на матричні,їй случай, когда

переменные - прямоугольные матрицы А = ||я,; ||.

В = Wjj , одинаковой размерности с элементами

йГу , Лу . из отрезка С . В этом случае все логические операции определяются поэлементно, например:

Поэтому все законы скалярной НЛ переносятся и на матричную НЛ.

Если операции НЛ совершаются над случайными переменными из множества А, то получаем вероятностную НЛ. В такой НЛ сохраняются все законы исходной детерминистской НЛ Однако, все функции НЛ, как суперпозиции логических операций над случайными переменными, становятся случайными. При этом основными задачами становятся нахождение вероятностных распределений и моментов заданных функций НЛ, аргументы которых распределены но заданным

законам. Если А\./' = 1п случайная переменная, рас-

П

пределенная но закону /\(А'), то дизъюнкция V X, и

1=1

П

конъюнкция л А', НЛ распределены по законам 1=1

= ^А

1=1 1=1

Распределение произвольной функции НЛ ф находится так: 1) выражение ф приводится к ДНФ; 2) неравенство ф < х методом расчленения приводится к виду объединения непересекаюгцихея систем неравенств аргументов А']......Хп ; 3) вычисляется закон

распредел е! 1ия Аф (X) = Р (ф < А') суммированием

вероятностей указанных систем неравенств, равных интегралам от произведений плотностей вероятностей _/)(*) величин X,.

Если операции НЛ выполняются над интервальными переменными а = [<7].I из множества С, то получаем интервальную НЛ.

Указанные операции вводятся так:

а V Ь = [а V Ь I а е а,Ь е Ь },

~ 1

а лЬ = {я л Ь | а е а.Ь е Ь}

и аналогично для других операций. В интервальной НЛ сохраняются все законы обычной НЛ. Но все функции НЛ, как суперпозиции логических операций над интервалами, становятся интервальными. При этом основной задачей оказывается нахождение интервала значений функций по интервалам значений аргументов, что осуществляется на основе соотношений:

|я,,я2 ]ч/ [Ь\,Ь2 1= [Я| V Ь^а2 V Ь2 |.

[а,,я2]а ]= [°1 аЬ\,а2 лЬ21

\а\->а2 ]= \а2'а\ Ь

Функции С" —»С , представленные в различных областях различными формами данной алгебры НЛ, называются кусочными функциями НЛ. Получаемое при этом обобщение НЛ удобно изучать с помощью порядковых ЛО.

Комплексная НЛ предназначена для изучения непериодических процессов в электрических цепях. Она разработана Е.И. Берковичем (см. обзор [7]). Матричная НЛ предназначена для изучения некоторых высокоразмерных электрических цепей и разработана Е.И. Берковичем [7]. Вероятностная и интервальная НЛ ориентированы на исследование различных систем, параметры которых точно не известны и заданы случайными распределениями или с точностью до интервала (например, экономические системы). Эти логики и применения разработал В.И. Левин (1,2, 6-8].

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Можно ожидать дальнейшего расширения исследований по обобщениям НЛ в самых различных направлениях. Это исследования в области логических определителей, гшгебр выбора, гибридных логик, а также матричных, вероятностных, интервальных логик и, возможно, других.

Более подробные сведения по затронутым вопросам, а также обширную библиографию можно найти в обобщающих работах [1-8].

Кратко изложим содержание русских работ [7, 8]. В работе [7] дан наиболее полный обзор НЛ, ее обобщений и применений в математике, технике, экономике и т. д., предназначенный для первоначального ознакомления. В работе [8] дано полное изложение теории интервальной НЛ, описаны некоторые ее применения. Содержание остальных русских работ изложено в -заключении к часта I данной статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Левин В.И. Динамика логических устройств и систем. М.: Энергия, 1980.

2. Лесин П.П. Бесконечнозначная логика в задачах кибернетики. М.: Радио и связь, 1982.

3 Левин В.И. Структурно-логические методы исследования сложных систем с применением ЭВМ М.: Наука, 1987 4. Иопьгин Л.И. Синтез устройств для обработки и преобразования информации в элементном базисе реляторов. Таллинн: Валгус, 1989.

5 Шимбирев П.Н. Гибридные непрерывно-логические устройства.

М.: Энергоатомиздат, 1990.

6. Волгин Л.П., Левин В.И. Непрерывная логика Теория и применения. Таллинн: АН Эстонии, 1989

7 Левин В.И. Непрерывная логика. Ее обобщения и применения. I, II // Автоматика и телемеханика. 1990 №8,9

8 Левин В.И. Недетерминистская бесконечнозначная логика // Кибернетика и системный анализ 1992. № 3

9. Непрерывная логика и ее применение в технике, экономике и социологии: Тезисы докл I Всероссийской научной конф./Под ред В И Левина Пенза Изд-во Пенз Дома научно-технической пропаганды. 1994.

10. Непрерывно логические методы и модели в науке, технике и экономике Материалы междунар научно-техн конф / Под ред В.И Левина Пенза: Изд-во Приволжского Дома Знаний. 1995

11. Непрерывная и смежные логики в технике, экономике и социологии: Материалы международной конф. / Под ред. В И. Левина Пенза: Изд-во Приволжского Дома Знаний, 1996

12. Непрерывно-логические системы, модели и алгоритмы Труды междунар научно-техн конф Т. 2 Ульяновск Изд-во Ульян, гос техн. ун-та, 1995

13. Непрерывная и смежные логики в информатике, экономике и социологии: Материалы Всероссийская научно-техн. конф. / Под ред В.И. Левина Пенза: Изд-во Приволжского Дома Знаний, 1997.

14. Реляторные и непрерывно-логические сети и модели: Труды меж-дунар. НТК «Нейронные, реляторные и непрерывнологическне сети и модели» Т. 2 // Под ред. Л.И. Волгина. Ульяновск: Изд-во Ульян гое техн. ун-та. 1998

15. Логико-математические методы в технике, экономике и социологии. Материалы междунар. научно-техн. конф. / Под. ред. В И. Левина. Пенза: Изд-во Приволжского Дома Знаний. 1998.

Поступила в редакцию 6 января 1999 г.