Корреляционные характеристики и применение некоторых бинарных R3-кодов

Ч КОДИРОВАНИЕ И ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ

УДК 621.396:621.391.26

КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПРИМЕНЕНИЕ НЕКОТОРЫХ БИНАРНЫХ Р3-КОДОВ

Ю. В. Чепрукова, канд. техн. наук

М. А. Соколов6, доктор техн. наук, профессор

аРоссийский государственный университет туризма и сервиса, филиал, Сочи, РФ бСанкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Санкт-Петербург, РФ

Постановка проблемы: проведен обзор литературы и показано, что повышение эффективности различных систем возможно, если использовать более совершенные бинарные коды и ансамбли на их основе. Среди известных N элементных бинарных кодов, используемых в системах связи, радиолокации и управления, отсутствуют такие, которые позволяют получать достаточно низкий уровень боковых пиков автокорреляционной и взаимной корреляционной функций ансамблей кодов при изменении N в широких пределах. Целью работы является синтез N элементных бинарных кодов с заданными уровнями R и W боковых пиков автокорреляционной и взаимной корреляционной функций. Метод: метод решения задачи включает два этапа, изложена процедура построения различных по корреляционным характеристикам W-ансамблей. Результаты: приведены некоторые результаты синтеза кодов с R = 3 для N < 32, который позволил получить разнообразные коэффициенты сжатия. Синтезированы различные по корреляционным характеристикам W-ансамбли, содержащие от нескольких до сотен кодов, а также алфавиты передачи данных на их основе. Среди найденных кодов существует множество пар, для которых при сложении их корреляционных функций происходит компенсация боковых пиков. Найдены симметричные и асимметричные коды со специфическими свойствами. Практическая значимость: предложены варианты использования в системах управления, связи и радиолокации. Выдвинута идея разработки компьютеров на шумоподобных сигналах («тихих» компьютеров) на основе стандартной системы кодирования ASCII с использованием ансамблей синтезированных кодов. Высказано предложение по осуществлению шифрования с помощью этих кодов. Системы связи и передачи данных на шумоподобных сигналах позволят повысить информационную безопасность пользователей.

Ключевые слова — ансамбли, фазоманипулированные сигналы, бинарные коды, автокорреляционная функция, уровень боковых пиков, корреляционная функция.

Введение

В современных системах управления, связи и радиолокации широко используются шумопо-добные сигналы (ШПС). Применение нашли как одиночные сигналы, так и ансамбли сигналов. Разновидностью ШПС являются фазоманипулированные сигналы (ФМС) [1], которые характеризуются бинарными кодовыми последовательностями или просто кодами.

В работе [1] упоминаются системы связи с кодовым разделением абонентов путем представления каждому из них индивидуального кода. Все сигналы передаются в одной полосе частот, может обеспечиваться скрытная связь на уровне шумов. Для реализации системы необходимы ансамбли сигналов. Примером такой системы может считаться система мобильной связи стандарта CDMA (Code Division Multiple Access — системы с кодовым разделением каналов). Для повышения помехоустойчивости мобильных станций в их кодеках применяются ансамбли функций Уолша [2]. При приеме все сигналы разделяются блоком корреляторов. Выбор этих сигналов связан с их ортогональностью, а корреляционные свойства в данном случае не учитывались. Кроме того, в указанных системах применяются короткие и длинные псевдослучайные последовательности (ПСП), составляющие ансамбли огромного ко-

личества элементов. Короткие ПСП используются для расширения полосы и разделения сигналов от различных базовых станций, а длинные ПСП — для шифрования сообщений. В качестве указанных сигналов применяются ансамбли Голда и Касами [3]. Они относятся к производным ансамблям и получаются из производных кодов путем расширения спектра посредством ПСП [1]. В указанных системах с этой целью используются М-последовательности.

Из данных по М-последовательностям [1] следует, что минимальное значение уровня боковых пиков (УБП) автокорреляционной функции (АКФ) равно B1 »(0,7 ...1,25) /-Jn. Аналогичная величина взаимной корреляционной функции (ВКФ) составляет B2 » где N —

длина кодовой последовательности.

В таблицу бинарных ансамблей (название, длина, объем и предельное значение УБП АКФ кодов), перспективных для использования в CDMA [4], включены ансамбли Голда, Касами, Камалетдинова и объединение Касами с бент-последовательностями. Важно, что параметр длины кода для всех указанных ансамблей принимает дискретные значения и велика разность между соседними допустимыми значениями длин (например, для кодов Голда это числа 7, 31, 63, ...). Отмечается, что объем ансамблей пропорционален либо линейной функции, либо корню

квадратному из длины кода N. Значение УБП АКФ кодов, представленных в таблице, приближенно соответствует 1 / VN.

Вопросы разработки системы навигации малого мобильного робота по трем маякам изложены в работе [5]. За каждым маяком закреплен номер (сигнатура из пяти символов). Чтобы повысить помехоустойчивость сигнала, передаваемого от маяков к инфракрасному приемнику робота, используется система кодирования канала. Выбрано кодирование сигнала М-последовательностью из 31 символа. Символ 1 сигнатуры маяка кодируется прямым кодом, символ 0 — инверсным. Учитывая, что координаты маяков известны роботу заранее, полученная от маяков информация позволяет вычислить угол между направлением ориентации робота и системой координат. По трем углам вычисляются искомые координаты робота.

В информатике и компьютерной технике используется система кодирования ASCII (American Standard Code for Information Interchange — стандартный код информационного обмена) [6]. В ней выделяется базовая (значения кодов изменяются от 0 до 127) и расширенная (от 128 до 255) системы. Каждый из 256 символов ASCII характеризуется комбинацией из восьми импульсов, составляющих байт.

Итак, объем ансамблей, которые могут использоваться в разнообразных системах, может изменяться от двух (для передачи только логических значений «1», «0») до 256 (в случае использования всей системы ASCII) сигналов. Промежуточные значения объемов могут соответствовать, например, количеству символов русского или латинского алфавитов либо числу 128 (для расширенной системы ASCII).

Результаты исследования бент-последователь-ностей для широкополосных систем с кодовым разделением каналов представлены в работе [7]. Предложенные алгоритм и программа на его основе позволяют сформировать образцы бент-последовательностей различной длины и исследовать их основные корреляционные характеристики. Метод основан на широко используемых различных копиях М-последовательностей. В представленных примерах кодов с N = 4095 УБП АКФ имеет большее значение, чем B^ но соответствует интервалу для

В работе [8] в класс ШПС включены еще сигналы Хаффмена, Цирлера, Лежандра, Пэли — Плоткина, Фрэнка и максимальные линейные рекуррентные последовательности. При синтезе использовался математический аппарат полей Галуа. УБП АКФ всех сигналов приближенно характеризуется зависимостью 1 / ыЫ.

В работе [9] дана таблица и построен график .Rmin max = f(N) минимаксных значений УБП

АКФ кодов в зависимости от N, но сами коды и их количество для разных N не приведены. Примененный метод анализа основан на связи периодической и импульсной АКФ и обобщен в работе [10]. Там же представлен обзор важнейших работ по данной тематике.

В обширной монографии [11] обобщен огромный научный опыт разработки систем на ШПС («тихих» радиолокационных систем). В работе, в частности, дана классификация ансамблей бинарных последовательностей и методов синтеза, указаны проблемы применения известных методов. Например, при синтезе ансамблей кодов на основе полей Галуа разработчики сейчас опираются на материалы таблиц полиномов первой половины прошлого века.

В работе авторов [12] сформулирована задача синтеза кодов с УБП АКФ, равным R (R-коды), предложен метод решения. Представлены результаты синтеза, иллюстрирующие методику. Приведены некоторые коды с R = 2, 3; N < 25. Показаны существенные преимущества синтезированных кодов по сравнению с М-последо-вательностями.

В данной работе получены коды с R = 3, N < 32, проведен анализ их корреляционных характеристик, сформулированы предложения по применению полученных результатов. Эти коды удобно называть R3-кодами, они позволяют оптимизировать выбор ФМС для систем управления, связи и радиолокации. Далее показано, что R3-коды составляют множество со специфическими свойствами. Очевидно, что коды с R = 1 (коды Баркера) и коды с R = 2 ^2-коды) составляют подмножества R3-кодов.

Итак, анализ показал актуальность вопроса получения бинарных кодов для создания более совершенных одиночных ФМС и их ансамблей, что позволит повысить эффективность разнообразных систем, в которых они применяются.

Задача и методика синтеза, особенности решения

Назовем ФМС, АКФ которых в области боковых пиков может изменяться в пределах ±R (0 < R < N - 1, R — целое), сигналами R-го рода (ФМС-R), а соответствующие им коды Gr n — R-кодами [12]. Обозначим Б3 = R/N — относительную величину УБП АКФ этих кодов. Рассмотрим последовательность N импульсов одинаковой длительности T, начальная фаза которых равна 0 или л, которые составляют ФМС. Обозначим {GR n} множество бинарных последовательностей (R-кодов) условных значений начальных фаз Pj = +1 импульсов ФМС. Здесь Pj — коэффициенты последовательностей, причем j — номер элементов в любой из i различных последова-

КОДИРОВАНИЕ И ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ

тельностеи, количество которых gR N зависит от допустимого уровня Д УБП АКФ и численности N последовательностей [12]. Поэтому имеем

Из этого множества Д-кодов можно составить ансамбли, у которых абсолютные значения ВКФ изменяются в пределах ±W (1 < Ж < N - 1, Ж — целое). Назовем их Ж-ансамблями. Цель работы — получить ДЗ-коды (найти 03 N и gз N для N < 32, построить Ж-ансамбли, провести анализ характеристик, высказать предложения по применению.

Введем для Д-кодов функции Б*(г) и Б(г), которые определяют, соответственно, АКФ и модуль АКФ. В моменты ^ = кТ, отсчитываемые от начала АКФ (к = 0), эти функции принимают экстремальные или нулевые значения, причем = N. Аналогично введем V* у(г) и Ух y(í) для ВКФ и модуля ВКФ пар ДЗ-кодов с индексами х и у (пояснения даны ниже). Эти функции также будем рассматривать в моменты 1к = кТ, отсчитываемые от начала ВКФ. Тогда задачу синтеза можно представить в виде системы неравенств относительно коэффициентов кодов [12]

зд=

Е

¡=1

г>1 г>1

Р ' ¡—к

< Я;

к = 1, N-1, Ь = 1,

В результате решения получим ДЗ-коды, которые можно пронумеровать (1..^з N) и объединить в множество N. Эти коды могут быть включены в Ж-ансамбль, если для совокупности пар

ДЗ-кодов с номерами (индексами) х, у (х Ф у) выполняются условия

Ух,у Ш =

к

ЕрХ РУ

Р +¡-к

¡=1

< Ф;

к = 1,2N-1.

Таким образом, задача синтеза (2), (3) решается в два этапа.

Этап 1: рассматривается система неравенств (2) и в соответствии с работой [12] определяются ДЗ-коды в количестве gз ^ составляющие множество в3 N. Перейдем к результатам, полученным на первом этапе.

Результаты синтеза Д3-кодов

Некоторые результаты синтеза ДЗ-кодов для 5 < N < З2 (при N < 5 все бинарные последовательности являются ДЗ-кодами) представлены в табл. 1. Указаны лишь коды с первым коэффициентом (+1) (прямые коды). Имеются в том же количестве коды с противоположными знаками всех коэффициентов (инверсные коды). Корреляционные характеристики одинаковы. Прочерки во второй колонке означают, что для N = 25...28 общее количество ДЗ-кодов gз N не определялось, даны лишь примеры. В третьей колонке указаны кодовые последовательности и половины их АКФ (в круглых скобках), так как они симметричны относительно максимума. Ниже представлены результаты вычислений, выполненных на общедоступном персональном компьютере, программы составлены на языке QBasic.

Анализ результатов синтеза ДЗ-кодов, приведенных в табл. 1, представлен ниже.

Таблица 1

N gз,N {Р^ };

5 14 1,1,1,1,-1;

6 28 1,1,1,-1,1,1;

7 42 1,1,1,-1,1,1,1;

8 74 1,1,1,1,-1,1,1,1;

9 120 1,1,1,-1,1,-1,1,1,1;

10 202 1,1,1,-1,1,1,-1,1,1,1;

11 2З2 1,1,1,1,-1,-1,1,-1,1,1,1;

12 412 1,1,1,1,1,-1,-1,1,-1,1,1,1;

1З 5З2 1,1,1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,1,1;

Продолжение табл. 1

N {Р^ }; ), к = 1..М)

14 644 1,-1,1,1,1,-1,-1,1,-1,1,1,1,1,1;

15 932 1,1,-1,1,1,1,-1,-1,1,-1,1,1,1,1,1;

16 1484 1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,1,1;

17 1234 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,-1,1,1,1,1,1,-1,1;

18 1364 1,1,1,-1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,1;

19 1672 1,-1,-1,-1,-1,1,1,-1,1,1,-1,1,1,1,1,-1,1,-1,1;

20 2512 1,1,1,1,1,1,-1,-1,1,-1,-1,1,1,1,-1,1,-1,1,1,1;

21 2016 1,1,1,1,1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,1,1;

22 1512 1,1,1,1,1,-1,1,1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,1,1;

23 2042 1,1,1,1,1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,1,1,1;

24 3432 1,1,1,1,1,1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,1,-1,1,1,1;

25 1,1,1,1,1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,1,1,-1,1,-1,-1,-1,1,1,1,-1,1;

26 1,1,1,1,1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,-1,1,1,1,1,-1,-1,1,1,-1,1,1,1;

27 1,1,1,1,1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,1,1,-1,1,1,1;

28 1,1,1,1,1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,1,1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,1,1;

29 1122 1,1,1,1,1,1,-1,-1,1,1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,1,-1,1,1,-1,-1,1,-1,1,1,1;

Окончание табл. 1

N {Р^ }; ), к = 1..М)

30 344 1,1,-1,1,1,1,1,1,-1,1,1,-1,-1,1,-1,-1,-1,1,1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,1;

31 1004 1,1,1,1,-1,-1,1,-1,1,1,1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,1,-1,1,1,1;

32 1688 1,-1,-1,-1,1,1,1,-1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,-1;

Синтез ^-ансамблей Д-кодов

Перейдем к следующему этапу синтеза.

Этап 2: среди синтезированных на первом этапе кодов множества Од N (см. табл. 1) ищутся совокупности пар кодов, удовлетворяющие неравенствам (3) и составляющие Ж- ансамбли. Иначе говоря, коды Ж-ансамблей должны соответствовать требованиям, предъявляемым к ВКФ всех пар кодов. Кратко методика сводится к тому, что среди всех возможных пар кодов из Од N находятся такие, для которых УБП ВКФ имеет наибольшее значение. Этих пар может быть несколько. Из элементов Од N составляется два подмножества (условно М1 и М2), в которых отсутствуют номера одного или другого кода той пары, для которой УБП ВКФ имеет наибольшее значение. Теперь УБП ВКФ кодов указанных подмножеств уменьшается, так как пары «разбиты» (коды разведены в подмножества М1 или М2). Если пар кодов с наибольшим значением УБП ВКФ несколько, то каждое подмножество М1, М2 разделяется повторно до получения необходимых Ж- ансамблей.

Применим этот способ для Я-кодов при фиксированных Я, N. Для упрощения индексации заменим Од N на в0. Выполняются следующие пошаговые операции.

Шаг 1. Из gд N кодов составляются всевозможные пары (в, и) (в Ф и) (в, и — индексы Я-кодов из 60), количество которых Ро = gд N - 1)/2. Вычисляются УБП ВКФ каждой пары и находится наибольшее значение, которое обозначим Ут. Удобно здесь же определить множество пар р1 индексов кодов ((в1, и1), ..., (вр1, ир1)), для которых УБП ВКФ равно Ут, хотя эти значения используются далее. Множество 60 соответствует единственному (А0 = 1) Ж = Ут -ансамблю.

Шаг 2. Множество 60 разделяется на два подмножества из - 1) элементов. Первое полу-

чается после удаления кода с индексом в1 (обозначим 61 (в1)), а второе — в результате удаления и1 (запишем 01(и 1)) (номера удаленных кодов отмечаются знаком (Л)). Цифра в обозначении множества 61 соответствует первой операции удаления символов из исходного множества 60. Теперь для обоих множеств значение УБП ВКФ меньше Ут и если р1 = 1 (лишь одна пара), то надо перейти к следующему шагу. Если р1 > 1, то из каждого множества вновь поочередно удаляются коды второй пары и получаются множества 61(51, §2), 61(51, и2) и 01(и1, §2), 01(и1, и2). Процедура аналогично проводится и для других пар. В результате получаются множества, которые обозначим в1*(0, I = (1...АД Для дальнейшего использования (на шаге 3) для всех б1*(0 составляются пары входящих в них кодов и вычисляются УБП ВКФ этих пар. Среди них определяется наибольшее значение, одновременно удобно найти соответствующее множество пар р2 кодов с этим наибольшим значением. Пусть следующее по порядку убывания значение УБП ВКФ есть Ут-1 (это не арифметическое вычитание, а следующее по убыванию значение, которое может быть меньше более чем на единицу). Таким образом, после первых удалений множества б1*(0 являются Ж = Ут-1" ансамблями, количество которых А^. Отметим особенности. Некоторые из ансамблей могут состоять из кодов, для которых все пары имеют УБП ВКФ меньше Ут-1, поэтому для них на этом шаге удаления не производятся, они не делятся. Возможны пары, которые различаются одним индексом (например, (§1, и1), (§1, и2)), тогда после удаления получится не четыре, а два ансамбля (один без кода номер §1, а другой — без кодов (и1, и2)). То есть в общем случае размер Ж-ансамблей А1 < 2р1.

Шаг 3. Для всех множеств в1*(0, полученных на шаге 2, вновь выполняются те же операции: производятся вторые удаления и формируются

подмножества в2*(£), I = (1...Л2), < 2р2; составляются пары, находятся УБП ВКФ и определяется мера Ут-2; вычисляется количество рЗ пар кодов и их номера (для следующего шага, если требуется). В результате получаются Ж = Ут-2-ансамбли в объеме Л2.

Шаг 4. Процедура повторяется до получения Ж-ансамблей с требуемым объемом кодов или значением УБП ВКФ. Если в ансамбле остается лишь два кода либо значения УБП ВКФ для всех пар кодов равны, то операции с ним далее не производятся. Заметим, что количество кодов в множествах ансамблей (в1*(0, в2*(0, ...) может быть различным (пример 1), но всегда можно выбрать нужные ансамбли. Справедливо еще, что каждому значению Ж допустимо соответствие множества ансамблей.

Результаты синтеза ^-ансамблей Я3-кодов

Пример 1. Дано: N = 5; gз N = 14 (из табл. 1); коды по порядку номеров:

1) 1,1,1,1,-1; 2) 1,1,-1,1,-1; З) 1,1,1,-1,-1; 4) 1,1, -1,-1,-1; 5) 1,-1,1,1,-1; 6) 1,-1,-1,1,-1; 7) 1,-1,1,-1, -1; 8) 1,-1,1,-1,-1; 9) 1,1,-1,1,1; 10) 1,1,1,-1,1; 11) 1,1,-1,-1,1; 12) 1,-1,1,1,1; 1З) 1,-1,-1,1,1; 14) 1,-1, -1,-1,1. Найти: все Ж-ансамбли из ДЗ-кодов.

Решение:

1) находим Ро = 91; Ут = 4, р1 = 25 и Л0 = 1, поэтому Ж = 4-ансамбль состоит из gз N кодов;

2) проводим удаления, составляем подмножества, для которых Ут-1 = З. Получим в1*(0, I = (1...Л1), Л1 = 99 - Ж = З-ансамбли, содержащие (2...6) кодов;

3) находим Л2 = 18 пар кодов с Ут-2 = 2 и формируем Ж = 2-ансамбли. Вот примеры ансамблей (в скобках даны номера, присвоенные кодам ранее по условию задачи): Ж = З-ансамбли — (1;2;4;5;11;12); (З;6;7;8;10;1З) и Ж = 2-ансамбли — (1; 6), (7,11).

Далее исследуем изменение количества кодов в ансамблях в зависимости от величины Ж. Из примера 1 следует, что после разрыва пар количество кодов быстро растет, поэтому рассмотрим указанную зависимость для случая, когда после разделения пар сохраняются не два, а один набор кодов, в котором удаляется исключитель-

но, например, первый индекс пары. Так, при нарушении одной пары (в, и) сохраняется единственно в1(§), а для двух пар, приведенных на шаге 2, оставляется только в1(в1, в2). В результате можно быстрее получить хотя бы не полный, а частичный результат для предварительного анализа, но ценой потери общности решения. Это важно при больших N. Теперь возможно наблюдать за изменениями лишь одного множества кодов после каждого обрыва пар и получать для разных Ж хотя бы по одному ансамблю из всех существующих. Такой подход использован в примере 2 и позволяет установить зависимость количества кодов в ансамбле от значения Ж, правда, с учетом сделанных допущений, которые впоследствии можно изменить.

Пример 2. Дано: N = З0; gз N = З44. Найти: по одному Ж- ансамблю из ДЗ-кодов для разных значений Ж.

Решение: в результате синтеза найдены решения задачи для Ж = 10...29. Некоторые полученные ДЗ-коды для Ж = 21: 1) 1,1,-1,1,1,1,1,1, -1,1,1,-1,-1,1,-1,-1,-1,1,1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,1, -1,1,1; 2) 1,1,-1,1,1,1,1,-1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,-1, -1,1,-1,1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,1,1; ...; 288) 1,1,1,-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,-1,1,-1,-1,1,1,1, -1,-1,-1,1,1,-1; 289) 1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,1,-1,1,-1, 1,1,1,-1,-1,1,1,1,-1,1,1,-1,1,1,-1,1,1,-1. Результаты решения задачи примера 2 представлены в табл. 2. В колонках этой таблицы даны уровни Ж и количество кодов в ансамблях gз З0 ж. Например, ансамбль ДЗ-кодов с N = З0 и Ж = 29 имеет З44 кода, а если Ж = 10, то ансамбль включает два кода. Приведены значения gз З0 ж только для одного из всевозможных Ж-ансамблей.

Значение Ж = 27 не приведено из-за отсутствия пар кодов с этим значением УБП.

Анализ результатов синтеза Я3-кодов и ^-ансамблей

Приведем выводы по результатам, представленным в табл. 1 и 2.

1. Изменение функции gз N от N не является монотонным, т. е. имеется чередование локальных максимумов и минимумов. Имеется большой выбор кодов с различными коэффициентами сжатия Кс = 5...З2. Для всех N число gз N четно.

Таблица 2

Ж g3,30,W Ж g3,30,W Ж g3,30,W Ж g3,30,W

29 З44 2З З07 18 1З8 1З 9

28 З28 22 З01 17 88 12 6

26 З20 21 289 16 56 11 З

25 З16 20 247 15 29 10 2

24 З11 19 195 14 21

2. Ранее указывалось, что символам ASCII ставится в соответствие одна из 256 возможных восьми импульсных комбинаций, теперь каждому символу можно поставить в соответствие один из Я3-кодов. Необходимо использовать W = 21-ансамбль, включающий 289 кодов. Из него можно взять любые 256 кодов. Количество вариантов, отличающихся хотя бы одним кодом, определяется числом сочетаний с2|д. Для каждого варианта имеется 256! расстановок кодов по символам ASCII, т. е. общее количество разнообразных алфавитов равно A 256 = С 259' 256!. При практическом применении необходимо выбрать несколько критериев различия и отбирать меньшее число алфавитов A^. Если для алфавита достаточно 128 кодов, то можно использовать коды W = 18-ансамбля. В случае, когда W недостаточно мало, нужно аналогичным образом рассмотреть задачу синтеза для N > 30.

3. Существуют симметричные и асимметричные Я-коды.

Симметричность. Код {—j-1'} является симметричным, если — = Р$11—-, j = 1,N, (1,-1,1) — симметричный код.

Асимметричность. Код {—j-2'} является асимметричным, если —i2) = —1— -, j = 1, N, (1,1,-1, -1) — асимметричный код.

Я3-коды с одним или обоими указанными свойствами симметричности и асимметричности существуют для разных N в количестве от одного до четырех. Так, для N = 10 имеется по одному коду с указанными свойствами, для N = 11 — по два симметричных и четыре асимметричных, а если N = 13, то имеется четыре асимметричных кода. Вот примеры симметричных кодов: (1,1,1,-1,1,1, -1,1,1,1) — N = 10; (1,1,1,-1,-1,1,-1,-1,1,1,1) — N = 11 (вертикальная линия симметрии проводится между пятым и шестым и по шестому элементу кодов соответственно). Асимметричные коды: (1,-1,1,1,1,-1,-1,-1,1,-1) — N =10; (1,1,1,-1,1,1, -1,1,-1,-1,-1) и (1,1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,-1,-1) — N = 11; (1,1,1,-1,1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,-1) и (1,1,1, -1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,-1) — N = 13. Приведенные для N = 11, 13 асимметричные коды различаются лишь знаками центральных коэффициентов. АКФ кодов равны; например, для N = 13 половинка АКФ приведенной пары кодов имеет вид (-1,-2, -3,0,-1,2,-1,2,-3,0,3,-2,13). Получено, что Я3-кодов с указанными свойствами симметричности и асимметричности для 14 < N < 24 и 29 < N < 32 не существует, а прочие значения (N = 25...28, N > 32) не рассматривались. Среди Я3-кодов табл. 1 симметричные существуют для N = (5...11), а асимметричные — при N = (5...11); 13.

4. Установлено, что при N = (5...8) существует множество Я3-кодов, УБП ВКФ которых так же, как и АКФ, равно трем, а при N = 5 имеются R3-коды с более низким значением, равным двум.

Особо отметим существование при N = 6 пары симметричного (1,-1,1,1,-1,1) и асимметричного (1,1,1,-1,-1,-1) Я3-кодов со сверхнизким, равным единице, УБП ВКФ. Сама ВКФ У* имеет вид (-1,0,-1,0,-1,0,1,0,1,0,1). Интересно, что эта функция асимметрична относительно центрального (шестого) значения. Важно отметить равенство нулю этого значения, что означает ортогональность пары Я3-кодов.

5. Перед анализом следующих результатов рассмотрим неравенство, в котором 80 — полусумма АКФ и двух Я-кодов. Назовем пары Я-кодов, суммарные (объединенные) АКФ которых в области боковых пиков изменяются в пределах ±и (0 < и < N - 1, и — целое), и-кодами. То есть в области боковых пиков 80 = (Б*(г) + ¿уШ2 < и, где х, у (х ф у) — номера (индексы) Я-кодов из Оя N (полусумма берется для нормировки к единице). Например, при и = 0 АКФ таких пар Я-кодов в области боковых пиков полностью взаимно компенсируются, а значения сигналов главных пиков складываются. При и = 1 происходит частичная компенсация и суммарные боковые пики равны (0; ±1). Будем называть такие Д-коды и0- и и1-кодами соответственно и обозначать Яи0 и Яи1. Яи0-коды составляют дополнительные последовательности [1], используемые для построения производных систем сигналов. В данной работе найдены коды с указанными свойствами из множества Я3-кодов, т. е. рассмотрены Я3и0- и Я3и1-коды соответственно. Результаты приведены в табл. 3.

Видно, что возможности выбора кодов велики, однако для N = 30,31 кодов с и = 0;1 не существует, имеются коды с и = 2, которые не рассматриваются. Среди Я3и1-кодов при N <32 наибольшее значение равно N = 32. Ниже даны примеры Я3и0-кодов и симметричные половины их АКФ.

Таблица 3

N U k3,N,U N U k3,N,U

5 1 62 17 1 3596

6 1 160 18 1 10 888

7 1 290 19 1 2548

8 1 24 724 20 1 40 7720

9 1 1012 21 1 2460

10 1 2360 22 1 4256

11 1 1973 23 1 1512

12 1 4512 24 1 2024

13 1 5273 29 1 25

14 1 10 688 30 0; 1 0

15 1 8192 31 0; 1 0

16 0 1 148 17 412 32 1 24

При N = 8 (1,1,1,-1,1,-1,1,1; 1,1,1,-1,-1,1,-1,-1) — Д3-коды; (1,2,1,0,-1,2,-1,8) и (-1,-2,-1,0,1,-2,1,8) — индивидуальные АКФ; (0,0,...,0,0,8) — объединенная АКФ. Отметим, что при N = 8 среди 24 пар и0-кодов имеется 8 пар Д2-кодов, составляющих, как отмечалось, подмножество Д3-кодов. При N = 20 (1,1,-1,1,1,1,1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,1,-1,-1, 1,1; 1,1,-1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,1,-1,-1) — Д3-коды; (1,2,-1,-2,3,2,-1,2,-3,0,-1,2,1,2,1,2,1, -2,-1,20) и (-1,-2,1,2,-3,-2,1,-2,3,0,1,-2,-1,-2, -1,-2,-1,2,1,20) — их АКФ; (0,0,0,...,0,0,0,20) — результирующая АКФ.

Пример Д3Ш-кодов при N = 29: (1,1,-1,1,1, 1,1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,-1,1,-1, -1,-1,1; 1,-1,1,1,-1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,1,1,1, -1,-1,-1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1) — Д3-коды; (1,0,-3,0, 1,0,-3,0,1,0,-3,0,1,0,-3,0,-3,0,-3,0,-3,0,1,0,1,0, 1,0,29) и (1,0,1,2, 1,2,1,2,1,0,1,0,-1,0,1,0,1,2,3,2,1, 0,1,2,1,0,-1,-2,29) — частные АКФ; (1,0,-1,1,1,1,-1, 1,1,0,-1,0,0,0,-1,0,-1,1,0,1,-1,0,1,1,1,0,0,-1,29) — полусумма частных АКФ, так что УБП равен 1/29 (можно получить 1/32 для N = 32). Кроме того, при N = 8 имеется восемь пар кодов лишь с одним ненулевым значением в середине области боковых пиков, они очень близки к Д3и0-кодам. То есть существует множество Д3-кодов с полной или частичной компенсацией боковых пиков суммарной АКФ этих кодов.

Применение

1. Пользователи средств вычислительной техники получают возможность выбора алфавита представления своих рабочих данных. Например, можно выбрать один из алфавитов и передать его номер доверенным получателям, которые достоверно примут переданные данные. Прочие пользователи, даже зная все коды ансамбля, смогут принять сигналы, но они в совокупности не будут соответствовать переданным данным. Реализации способа шифрования путем выбора варианта алфавита из множества A^ наряду с применением известных достоинств ШПС [1] затруднит несанкционированный доступ к передаваемым данным. Назовем этот способ шифрованием короткими R-кодами, в отличие от использования длинных ПСП [2, 3]. Однако могут возникнуть проблемы технической реализации быстродействующих систем при большом количестве алфавитов.

2. Возможности построения алфавитов передачи, соответствующих стандарту ASCII, позволяют высказать идею создания систем передачи данных и вычислительных систем, в том числе компьютеров на ШПС («тихих» компьютеров). Они станут обладать всеми известными достоинствами этих сигналов. В них возможно снижение опасности «заражения» вирусными программа-

ми благодаря скрытной работе. Это предполагает введение наряду с существующим каналом передачи параллельного канала для представления данных посредством Д3-кодов. Оба канала объединяются на выходе системы, и сигналы передаются на линию передачи. Оценим производительность. Каждый код алфавита соответствует по длине байту, поэтому если TN = 8Тб, где Тб — длительность бита, то T = T6/(N/8), т. е. для обеспечения той же побайтной скорости необходимо использовать более короткие импульсы в Д3-кодах, что означает расширение полосы частот канала для их передачи в N/8 раз. Общая производительность системы из двух каналов удвоится. Если Т = Тб, то полоса частот канала не расширяется, но длительность Д3-кодов будет в N/8 раз больше и побайтовая скорость уменьшится в N/8, так что производительность всей системы возрастет до (1 + 8/N). Для N = 32 увеличение потенциально составит 25 %.

3. Передача от отправителя к получателям в компьютерных сетях осуществляется пакетами и обеспечивается согласно протоколу IP. В работе [6] указана структура IP-пакета, состоящего из заголовка и поля данных. Заголовок имеет поля, не все из которых кратны байту, а часто состоят из нескольких бит, а алфавиты, построенные на W-ансамблях, соответствуют байтам. Следовательно, потребуются согласования форматов и корректировки представления служебной информации IP-пакетов. Эти же принципы могут распространиться на локальные и глобальные компьютерные сети с возможностью создания «тихого» Интернета, что актуально в условиях несанкционированного доступа к электронной персональной информации. Вероятно, что, как и в системах CDMA, здесь потребуется регулирование мощности сигналов отправителей.

4. Посредством кодов W-ансамблей можно реализовать скрытное управление группой летательных аппаратов (например, беспилотных) или роботов («тихое» управление).

5. В медицинских внутриполостных системах управления и контроля использование ансамблей ШПС потенциально позволяет применить большое количество независимых датчиков с низкими уровнями сигналов, без возможной негативной интерференции с сигналами нервной системы.

6. Совершенствование бинарных кодов для построения ФМС-R перспективно для радиолокационных систем [13]. При обзоре пространства узким лучом антенны в каждом угловом направлении излучается конечное число импульсов, составляющих пачку. Обработка пачки позволяет увеличить выходное отношение сигнал/шум, реализовать доплеровские методы обнаружения

движущихся целей на фоне пассивных помех. Актуально использование излучения пачек из ШПС, например ДЗи0- и ДЗи1-кодов, что позволит улучшить функционирование систем, повысить качество выделения сигналов на фоне помех.

Для формирования и согласованной фильтрации часто удобно воспользоваться устройствами на поверхностных акустических волнах, применяемыми в системах мобильной связи [2, З]. Возможно использование также конструкции на микроэлектронных элементах [14]. Существенное снижение УБП АКФ достижимо путем применения весовой обработки [15].

Заключение

Повышение эффективности современных систем возможно при использовании более совершенных бинарных кодов и основанных на них

Литература

1. Варакин Л. Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. — М.: Радио и связь, 1985. — 384 с.

2. Карташевский В. Г., Семенов С. Н., Фирстова Т. В. Сети подвижной связи. — М.: ЭКО-ТРЕНДЗ, 2001. — 302 с.

3. Ипатов В. П., Орлов В. К., Самойлов И. М., Смирнов В. Н. Системы мобильной связи: учеб. пособие для вузов / под ред. В. П. Ипатова. — М.: Горячая линия-Телеком, 2003. — 272 с.

4. Ipatov V. P. Spread Spectrum and CDMA. Principles and Applications. — N. Y., John Wiley and Sons Ltd., 2004. — 373 p.

5. Карпов В. Э., Платонова М. В. Система навигации мобильного робота // Информационные средства и технологии: тр. 18-й Междунар. науч.-техн. конф. Москва, 19-21 октября 2010 г. Т. 2. С. 56-63.

6. Олифер В. Г., Олифер Н. А. Компьютерные сети. Принципы, технологии, протоколы. — СПб.: Питер, 2002. — 672 с.

7. Юдачев С. С. Последовательности на основе бент-функций для широкополосных систем с кодовым разделением каналов // Инженерный вестник. МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2013. № 1. С. 1-11.

8. Амиантов И. А. Избранные вопросы статистической теории связи. — М.: Сов. радио, 1971. — 416 с.

сигналов. Сформулирована задача синтеза бинарных ДЗ-кодов и Ж-ансамблей из этих кодов. Приведены результаты синтеза, демонстрирующие широкие возможности выбора кодов с различными N. Получены симметричные и асимметричные коды, представлены их характеристики. Изложена методика синтеза Ж-ансамблей, приведены примеры. Показано, что имеется множество пар кодов, при сложении АКФ которых осуществляется полная или частичная компенсация их боковых пиков. Введены Ди-коды, представлены результаты расчетов. Обоснована перспективность развития методов синтеза бинарных ДЗ-кодов для их применения в компьютерной технике и системах управления (для построения множества алфавитов для передачи данных), в связи (применение более совершенных кодов и ансамблей), в радиолокации (для улучшения характеристик обнаружения целей на фоне пассивных помех).

9. Пелехатый М. И., Голубев Е. А. Автокорреляционные свойства некоторых типов двоичных последовательностей // Проблемы передачи информации. 1972. Т. VIII. Вып. 1. С. 92-99.

10. Свердлик М. Б. Оптимальные дискретные сигналы. — М.: Сов. радио, 1975. — 200 с.

11. Гантмахер В. Е., Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. — СПб.: Наука и Техника, 2005. — 400 с.

12. Чепруков Ю. В., Соколов М. А. Синтез фазомани-пулированных сигналов с требуемым уровнем боковых пиков АКФ // Радиотехника. 1991. № 5. С. 68-70.

13. Чапурский В. В. Избранные задачи теории сверхширокополосных радиолокационных систем. — М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012. — 279 с.

14. А. с. 1709498 СССР, МКИЗ НОЗ Н 15/02, 17/00. Согласованный фильтр / Ю. В. Чепруков, М. А. Соколов (СССР). — № 1709498; заявл. 06.12.1989; опубл. З0.01.92, Бюл. № 4. — 4 с.

15. Чепруков Ю. В., Соколов М. А. Метод оптимизации весовых фильтров сжатия фазоманипулированных сигналов // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1991. № 4. С. З1-З7.

UDC 621.396:621.391.26

Correlation Characteristics and Application of Some Binary Codes

Cheprukov Yu. V.a, PhD, Tech., chuv52@mail.ru Socolov M. A.b, Dr. Sc., Tech., Professor, guap22@mail.ru

aRussian State University of Tourism and Service, 24/a, Kirpichnaia St., 354340, Sochi, Russian Federation bSaint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, 67, B. Morskaia, 190000, Saint-Petersburg, Russian Federation

Purpose: There has been reviewed technical literature and it has been shown that it is possible to increase efficiency of different systems using updated binary codes and ensembles based on them. Among the known N elementary binary codes applied in communication, radar and control systems there are no such codes which allow achieving a relatively low level of side peaks of autocorrelation and cross-correlation functions of code ensembles at changing N in wide limits. The purpose of the paper is to synthesize N elementary binary codes with the given levels R and W of side peaks of autocorrelation and cross-correlation functions. Method: A method of the problem solution consists of two steps. There has been stated a method of creation of W-ensembles with different correlation characteristics. Results: There have been envisaged some results of synthesis of codes with R = 3 for N < 32 allowing to obtain various compression coefficients. There have been synthesized W-ensembles with different correlation characteristics containing from several units to hundreds of codes as well as alphabets for data transfer based on them. The obtained codes include many couples for which compensation of side peaks occurs when adding their correlation functions. There have been found symmetric and asymmetric codes with specific properties. Practical relevance: The improved binary codes can be applied in control, radar and communication systems. There has been put forward an idea of developing computers operating with noise-like signals ("quiet" computers) based on the standard coding systems ASCII using ensembles of synthesized codes. There has been proposed to carry out encryption using these codes. Social implications: Communication systems and data transmission based on noise-like signals will increase information security of users.

Keywords - Ensembles, Phase-Shift Signals, Binary Codes, Autocorrelation Function, Side Peak Level, Correlation Function.

References

1. Varakin L. E. Sistemy sviazi s shumopodobnymi signalami [Communication Systems with Noise Signals]. Moscow, Radio i sviaz' Publ., 1985. 384 p. (In Russian).

2. Kartashevskii V. G., Semenov S. N., Firstova T. V. Seti pod-vizhnoi sviazi [Networks of Mobile Communication]. Moscow, JeKO-TRENDZ Publ., 2001. 302 p. (In Russian).

3. Ipatov V. P., Orlov V. K., Samoilov I. M., Smirnov V. N. Sistemy mobil'noi sviazi. V. P. Ipatov ed. [Mobile Communication Systems]. Moscow, Goriachaia liniia-Telekom Publ., 2003. 272 p. (In Russian).

4. Ipatov V. P. Spread Spectrum and CDMA. Principles and Applications. New York, John Wiley and Sons Ltd., 2004. 373 p.

5. Karpov V. Je., Platonova M. V. System of Mobile Robot Navigation. Trudy XVIII Mezhdunarodnoi nauchno-tehniches-koi konferencii "Informacionnye sredstva i tehnologii" [Proc. XVIII Int. Conf. "Informational Facilities and Technologies"]. Moscow, Izdatel'skii dom MJeI Publ., 2010, vol. 2, pp. 56-63 (In Russian).

6. Olifer V. G., Olifer N. A. Komp'iuternye seti. Principy, tehnologii, protokoly [Computer Networks. Principles, Technologies, Reports]. Saint-Petersburg, Piter Publ., 2002. 672 p. (In Russian).

7. Judachev S. S. Sequences on the Basis of Bent-Functions for Broadband Systems with Code Division of Channels. Inzhe-nernyi vestnik. Moscow, MGTU im. N. Er. Baumana Publ., 2013, no. 1, pp. 1-11 (In Russian).

8. Amiantov I. A. Izbrannye voprosy statisticheskoi teorii sviazi [Chosen Questions of the Statistical Theory of Communication]. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1971. 416 p. (In Russian).

9. Pelehatyi M. I., Golubev E. A. Autocorrelation Characteristics of Some Types of Double Sequences. Problemy pereda-chi informacii, 1972, vol. VIII, no. 1, pp. 92-99 (In Russian).

10. Sverdlik M. B. Optimal'nye diskretnye signaly [Optimum Discrete Signals]. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1975. 200 p. (In Russian).

11. Gantmaher V. E., Bystrov N. E., Chebotarev D. V. Shu-mopodobnye signaly. Analiz, sintez, obrabotka [Pseudonoise Signals. Analysis, Synthesis, and Processing]. Saint-Petersburg, Nauka i Tehnika Publ., 2005. 400 p. (In Russian).

12. Cheprukov Ju. V., Socolov M. A. Synthesis of Phasemanipu-lated Signals with Required Level of Side Peaks ACF. Radiotehnika, 1991, no. 5, pp. 68-70 (In Russian).

13. Chapurskii V. V. Izbrannye zadachi teorii sverhshirokopolos-nyh radiolokacionnyh sistem [Selected Problems of Theory of Super Wide-Band Radiolocation Systems]. Moscow, MGTU im. N. Er. Baumana Publ., 2012. 279 p. (In Russian).

14. Cheprukov Ju. V., Socolov M. A. Soglasovannyi fil'tr [Matched Filter]. Author's certificate USSA, no. 1709498, 1992.

15. Cheprukov Ju. V., Socolov M. A. Method of Optimization of Weight Compression Filters of Phasemanipulated Signals. Izvestiia vuzov. Radioelektronika, 1991, no. 4, pp. 31-37 (In Russian).