Условия однозначной разрешимости некоторых линейных сингулярных функционально-дифференциальных уравнений

УДК 517.929.

И.М. Плаксина

УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В работе рассматриваются линейные функционально-дифференциальные уравнения, определенные на конечном отрезке и являющиеся сингулярными по независимой переменной. Сингулярность сосредоточена в левом и правом концах отрезка. Для таких уравнений получены условия нетеровости и фредгольмовости. Также получены эффективные условия разрешимости и однозначной разрешимости.

Ключевые слова: Функционально-дифференциальные уравнения, сингулярные уравнения, фредгольмовость, нетеровость, разрешимость.

I.M. Plaksina

THE CONDITIONS OF UNIQUE SOLVABILITY SOME SINGULAR FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS

This article discusses some problems for functional-differential equations with singularity of special type. Equation defined on the segment and singularity concentrated at the left and right end of the segment. There are conditions of Fredholm property and effective conditions of solvability and unique solvability.

Key words: Functional differential equation, singular equation, Fredholm property, solvability.

В статье рассматривается вопрос об условиях нетеровости и фредгольмовости линейного функционально-дифференциального уравнения, определенного на конечном отрезке и имеющегося сингулярность в левом и правом концах отрезка.

Описание объекта исследования. Рассмотрим требуемые в работе функциональные пространства. Пусть L , 1 < p <œ - пространство суммируемых с p -й степенью функций z : [0;b]^ R с нормой

✓ N 1/

(b p Yp

l|z|lLp = I jl z(0|p dt ; Dp - пространство абсолютно непрерывных функций x : [0; b]^ R , производная

V о j

которых является элементом пространства Lp , с нормой ||x||dp =||x||lp + |x(0)| ; D0p - подпространство функций x g Dp таких, что x(0) = 0 , с нормой IIJ =11 xll jp .

Il llD0 II llL

Основным объектом исследования является сингулярное по независимой переменной функционально-дифференциальное уравнение первого порядка

k

Здесь коэффициент h(t) имеет вид h(t) = —+ a(t), суммируемая на отрезке [0;b] функция

t

a : [0; b] ^ R ограничена в существенном на каждом отрезке [е; b], е> 0 и удовлетворяет предельному

условию lim ta(t) = 0. Функция h(t) не суммируема на отрезке [0;b] и терпит разрыв второго рода в

t ^0+

точке t = 0 .

Оператор T : Dp ^ Lp вполне непрерывен. В качестве оператора T могут, например, рассматриваться операторы, определяющие сосредоточенное отклонение (T?x) (t) = q(t)xg (t) или

b

распределенное отклонение аргумента (Trx ) (t) = j x(s)dsr (t; s). Здесь q g Lp , функция g (t) измерима на

0

Гп il /4 f x ( g (t) ), g (t) G [0; b ] Га /1 Га /1

отрезке [0;b], xg (t) = < ri; функция r (t; s) измерима в квадрате [0; b]x[0; b] и

g I 0, g (t) ë[0; b]

b

r( •; s) е Lp, var r( •; s) e Lp , r(t;b) = 0. Эти условия гарантируют [1, с. 56] полную непрерывность

s=0

операторов Tq и Г соответственно.

Правую часть уравнения (1) будем рассматривать как элемент пространства Lp . Решение будем искать в пространстве D0p , то есть фактически будем рассматривать полуоднородную задачу Коши

(Lx) (t) = f (t) x(0) = 0

Уравнения вида (1) возникают, например, при изучении процессов, протекающих в химическом реакторе [2], при изучении некоторых задач теории упругости [3]. Большое количество практических задач, при моделировании которых возникают сингулярные уравнения, приведено в монографиях [4,5].

Уравнения для обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, обладающие аналогичной сингулярностью, привлекали внимание математиков еще в середине прошлого века [6]. Среди более поздних публикаций отметим работы И.Т. Кигурадзе [7], представителей чешской математической школы [8]. Отметим также монографию Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной [1].

Основной результат. Доказано, что такие фундаментальные свойства уравнения (1), как нетеровость и фредгольмовость, определяются единственной характеристикой - величиной числа к . Этот результат переносится на уравнения с сингулярностью, сосредоточенной в правом конце отрезка [0;b], и на уравнения с сингулярностью, сосредоточенной в точках t = 0 и t = b.

' Р

Пусть p =-------. Рассмотрим вспомогательное уравнение

Р -1

Лемма. Справедливы следующие утверждения:

1) оператор 8 имеет правый обратный оператор 8- : Lp ^ D0p тогда и только тогда, когда к Ф —^—.

Р

Оператор 8 имеет обратный оператор 8~l : Lp ^ D0p тогда и только тогда, когда к > —1;

0p

2) уравнение (2) имеет решение при любой правой части f е Lp тогда и только тогда, когда к Ф -^.

p

Это решение единственно тогда и только тогда, когда к > —1;

p

3) уравнение (2) в пространстве D0p нетерово тогда и только тогда, когда к Ф-^-, причем при

0p к < —1 его индекс равен 1. Уравнение (1) фредгольмово тогда и только тогда, когда к > —1.

p p

Доказательство этих утверждений приведено в статье [9].

1

Теорема 1. Уравнение (1) в пространстве Ор нетерово тогда и только тогда, когда к Ф------, причем

Р

при к < —1 его индекс равен 1. Уравнение (1) фредгольмово тогда и только тогда, когда к > —1.

Р Р

Доказательство. Оператор Т : О0Р ^ ЬР вполне непрерывен по условию теоремы. Осталось сослаться на лемму и теорему С.Г. Крейна (цитируется по [1, с. 13]) о том, что свойство нетеровости оператора 8 устойчиво по отношению к вполне непрерывному возмущению Т и при таком возмущении индекс оператора не меняется.

Следствие 1. Пусть к > и выполнено хотя бы одно из условий:

Р

а) однородное уравнение Сх = 0 имеет только тривиальное решение;

б) оператор Т вольтерров;

в) оператор Т определяет сосредоточенное отклонение аргумента (г?х) (г) = q(t)ха (г) и справедливо

1

г II / ч / ч11 (кр +1 ^р' 1 у н к +1

хотя бы одно из неравенств \щ(г)о (г) < I-I — или \щ(г)о (г) <-;

11 « \\ьр ^ ь ) М 11 * |1Г мь

ь

г) оператор Т определяет распределенное отклонение аргумента (Тгх) (г) = | х(.ъ)ёхг (г; s) и

справедливо хотя бы одно из неравенств

var r

LP

kp' +1 ^ p 1 < | --------I — или

b J M

var r

0

k +1

<---------

L” Mb

Тогда уравнение (1) имеет единственное решение при любой правой части f є L .

Доказател ьство.

а) Так как при к > —1 в силу теоремы 1 оператор L фредгольмов и однородное уравнение имеет

Р

только тривиальное решение, то неоднородное уравнение однозначно разрешимо при любой правой части.

б) Определим оператор К: L ^ L равенством К = TЛ , где Л: L ^ D0p - оператор Коши уравнения (2). Ядро оператора Л имеет вид:

t j exp j-ja(r)irj 6(t - s), s Ф 0 0, s = 0

Здесь 0(t - s ) =

A(t; s) = < 1, t > s

[0, t < s

Уравнение (I + K1)z = f является эквивалентным уравнению (1). Так как операторы T и Л вольтерровы, то оператор K1 также вольтерров, его спектральный радиус равен нулю, оператор I + K1 обратим и уравнение (1) однозначно разрешимо.

в) Первое из неравенств (в) гарантирует справедливость неравенства ¡KjLP < 1 и, следовательно, однозначную разрешимость уравнения (1).

Если выполняется второе из неравенств (в), то оператор K1 действует в пространстве L°° ограниченных в существенном на отрезке [0;b] функций z : [0;b] ^ R с нормой ||z|L = vraisuplz(t)| и

te[0;b]

норма оператора K1 в пространстве L меньше 1. Значит, и ||kJlP < 1.

г) Доказательство аналогично случаю в).

Поскольку правые части неравенств в) и г) совпадают, то в дальнейшем будем указывать только неравенства для оператора T , определяющего распределенное отклонение аргумента.

Следствие 2. Пусть к < —1, оператор T определяет распределенное отклонение аргумента

Р

b

(Trx ) (t ) = j x(s)dsr (t; s) и справедливо хотя бы одно из неравенств

var r

1

1 ^ P 1

< I — I — или

LP l b J M

var r

<----. Тогда уравнение (1) имеет решение в пространстве О0р при любой правой части

мь

І є ЬР .

Доказательство аналогично доказательству следствия 1. При доказательстве используется вид правого обратного оператора 8— = О: ЬР ^ О0Р - оператора Грина задачи (8х)(ґ) = ), х(Ь) = 0.

Оператор О является линейным интегральным оператором, ядро которого определяется равенством

G(t; s) = - 1-І exp j - j a(T)dT>û(s -1 ).

b

b

b

0

b

L

Обобщение основного результата. Пусть теперь О0р - подпространство функций х е 0р, для

_^

которых x(b) = 0. Коэффициент h(t) имеет вид h(t) =--------+ a(t), суммируемая на отрезке [0;b]

b _ t

функция a : [0;b]^ R ограничена в существенном на каждом отрезке [0;b _е], £> 0 и удовлетворяет предельному условию lim (b _ t) a(t) = 0. Функция h(t) не суммируема на отрезке [0;b] и терпит

t ——Ь—0

разрыв второго рода в точке t = Ь.

1

Теорема 2. Уравнение (1) в пространстве 00 нетерово тогда и только тогда, когда т Ф--------- , причем

при т < —1 его индекс равен 1. Уравнение (1) фредгольмово тогда и только тогда, когда т > —1.

р р Доказательство. Рассмотрим вспомогательное уравнение (6). Изменим направление параметризации отрезка [0;Ь]. Положим т = Ь - г. Определим соответственно функции а1(г), /1(г) следующим образом: а1(т) = -а(Ь -т) = -а(г); /г(т) = - / (Ь -т) = - / (г). Пусть х(Ь -т) = х1(т). Тогда

— х(Ь - т) = - х (Ь - т) = -х (т). Уравнение (6) примет вид —т

Дальнейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 1 и следует из леммы.

Следствие 1. Пусть т > —1 и выполнено хотя бы одно из условий:

р

а) однородное уравнение Сх = 0 имеет только тривиальное решение;

ь

б) оператор Т определяет распределенное отклонение аргумента (Тгх) (г) = | х(я)йхг (г; я) и

справедливо хотя бы одно из неравенств

var r

LP

mp' +1 і p' 1 < I----I — или

Ь I M

var r

m +1 Mb

Тогда уравнение (1) имеет единственное решение при любой правой части І є П .

Доказательство аналогично доказательству следствия 1 из теоремы 1. Отметим, что ядро обратного оператора 8~1 = О в этом случае имеет вид

Ь — ї

G

Ь - я

Следствие 2. Пусть т < —1, оператор Т определяет распределенное отклонение аргумента

р

Ь ; ч (11 р' 1

уаг г (г; я) < 1 — 1 — или

я=0 ьр ^ Ь) М

(TrX ) (t ) = j x(s)dsr (t; s) и справедливо хотя бы одно из неравенств

var r

s=0

<^^. Тогда уравнение (1) имеет решение в пространстве О0р при любой правой части

^ Mb f g Lp .

Доказательство аналогично доказательству следствия 2 из теоремы 1. Отметим, что ядро правого обратного оператора S—1 = Л в этом случае имеет вид

A(t; s) = ^ b—~ j ехР |—[а(т)^т|#^ - s).

Пусть Dp - подпространство таких функций x g Dp , для которых x(0) = 0 и x(b) = 0 . Коэффициент k m

h(t) имеет вид h(t) =-+ a(t), суммируемая на отрезке [0;b] функция a : [0;b 1^ R ограничена в

t b -1

0

Ь

Ь

<

L

Ь

существенном на каждом отрезке [е1;b_£2], £1 > 0, £г >0 и удовлетворяет предельным условиям

lim ta(t) = lim (b _ t)a(t) = 0. Функция h(t) не суммируема на отрезке [0;b] и терпит разрыв второго

t ——0 + t ——b_0

рода в точках t = 0 и t = b .

Теорема 3. Уравнение (1) в пространстве D0p нетерово тогда и только тогда, когда к Ф_^- и

т Ф—^. Индекс уравнения (1) равен 1 при к <—^, т <—^. Уравнение (1) фредгольмово при Р Р Р

к < —1, т > —1 и при к > —1 т < —1. Индекс уравнения (1) равен —1 при к > —1, т > —1.

Р Р Р Р Р Р

( ь Л

Доказательство. Для доказательства воспользуемся пространством О0Р S1 — 1 абсолютно

непрерывных на отрезках

Гс; Ь1 и Г Ь J —; Ь

_ 2 _ _ 2 _

функций y : [0;b] — R таких, что y(0) = y(Ь) = 0 и их

производная принадлежит пространству Ьр . Такие функции могут иметь не более чем конечный разрыв в точке г = Ь. Норма в пространстве 00р5 (Ь\ определяется равенством ||;у||0р5 =||у||ьр .

Каждое решение уравнения (2) совпадает с решением краевой задачи

г Ь - г л

(ö У ) (t ) = y (t ) +1- — m

в пространстве ОI — I. Решение уравнения 5у = 0 может быть записано в виде суммы х1(г) + х2(г).

Здесь функция x1(t) является решением уравнения (ö1 X) (t) = X(t) +1 — + a1(t) I x(t) = 0 при t

-

равна 0 при t є

. Функция x2(t) равна 0 при t є

0;~ I и является решением уравнения

(ö2x)(t) = X(t) + j--+ a2(t) Ix(t) = 0 при tє

. Здесь a1 (t) = —m + a(t), a2 (t) = — + a(t). Нетрудно Ь — t t

видеть, что оператор 8 нормально разрешим тогда и только тогда, когда нормально разрешимыми

1

1

являются операторы ö1 и ö2, то есть при — Ф--------- и m Ф----- . Далее, indö = indö1 + indö2, то есть

іий8 = 2 при к <—^—, т <—^; іи^8 = 1 при к <—^, т >—^ и при к >—^ т <—^; іи^8 = 0 при Р Р Р Р Р Р

11

к >----, т >--;.

Р Р

Из теоремы 2.3 [1, с. 23] следует, что задача (3) нормально разрешима тогда и только тогда, когда нормально разрешим оператор 8 и индекс задачи (3) равен іий8 — 1. Этот же факт имеет место для оператора 8 .

Утверждение теоремы справедливо в силу полной непрерывности оператора Т .

Следствие 1. Пусть к > — ^, т < —1 и выполнено хотя бы одно из условий:

Р Р

а) однородное уравнение Сх = 0 имеет только тривиальное решение;

б) оператор Т вольтерров;

є

b

в) оператор T определяет распределенное отклонение аргумента (Trx) (t) = j x(s)dsr (t; s) и

справедливо хотя бы одно из неравенств

var r

Lp

kp' +1 ^ p' 1

< I---------I — или

b I M

var r

0

к +1

<--------

L” M^b

Тогда уравнение (1) имеет единственное решение при любой правой части.

Доказательство аналогично доказательству следствия 1 из теоремы 1. Отметим, что в этом случае обратный оператор 5-1 вольтерров и его ядро ограничено сверху функцией

Л^; s) = | —I exp J - j a(T)dT\0(t - s).

г

я я

Следствие 2. Пусть к < —1, т > —1 и выполнено хотя бы одно из условий:

р р

а) однородное уравнение Сх = 0 имеет только тривиальное решение;

Ь

б) оператор Т определяет распределенное отклонение аргумента (Тгх) (г) = | х(я)йхг (г; я) и

справедливо хотя бы одно из неравенств

var r

Lp

mp' +1 ^ р' 1

< I-------I — или

b I M

var r

m +1

<--------

L” ^Mb

Тогда уравнение (1) имеет единственное решение при любой правой части / е Ьр .

Доказательство аналогично доказательству следствия 1 теоремы 1. Отметим, что ядро обратного

оператора 5~l = G в этом случае ограничено сверху функцией G(t; s) =

b -1 b-s

exp

-ja(T)dT>e( s -1).

Следствие 3. Пусть к <—^—, m <-^, оператор T определяет распределенное отклонение

p p

b

аргумента (Trx) (t) = j x(s)dsr (t; s) и справедливо хотя бы одно из неравенств

var r

1

1 ^ 7 1

< I — I — или lp I b I M

var r

s=0

1

<-----. Тогда уравнение (1) имеет решение при любой правой части.

п° МЬ

Доказательство аналогично доказательству следствия 2 теоремы 1. Ядро правого обратного оператора 8—1 = О в этом случае имеет вид

G(t; s) = -1 — s

b -1 b - s

+'t Ik I В

expj-ja(T)dT0(s-1)0| — -11 +

1 J t J ( b

expj - ja(T)dT>e(t - s)#l t - —

Заключение. В работе получены условия нетеровости и фредгольмовости для сингулярных по независимой переменной функционально-дифференциальных уравнений. Также получены эффективные признаки разрешимости и однозначной разрешимости.

Литература

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функциональнодифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Изд-во ин-та компьютерных исследований, 2002. 384 с.

2. Васильев А.В., Ермаков А.Е., Колосова С.В. Об одной задаче теории химических реакций // Мат. физика и нелинейная механика. - 1987. - №8. - С. 35-39.

3. Огарков В.Б., Шабанов М.Л., Петков А.Ф. Центрально-симметричное деформирование упруго-пластического шара из сжимаемого материала // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-ХХІІ». - Воронеж, 2011. - С. 135-138.

b

b

0

b

b

-m

s

b

0

b

к

m

4. Кигурадзе И.Т., Шехтер Б.Д. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики: Новые достижения. - 1987. - Т. 30. - С. ЮЗ-201.

5. Agarval R.P., O'Regan D. Singular Differential and Integral Equations with Applications. Dordreeht; Boston; London, 2003

6. Харди Г.Г., Литтлвуд Дж., Пойа Г. Неравенства. - М.: Изд-во иностр. литературы, 1949. 456 с.

7. Кигурадзе И.Т. Об условиях корректности линейных сингулярных краевых задач // Дифференц. уравнения. 2010. № 2. т. 46. С. 183-190.

8. Rachuncova I., Stanek S., Tvrdy M. Singularities . and Laplacians in boundary value problems for nonlinear differential equations // Handbook of Differ. Equat. Ordinary Differ. Equat. Elsvier. 2006. V.3. P 607-723

9. Плаксина И.М. Об одной модельной сингулярной задаче // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. Пермь, 2010. Вып. 1(1). С. 19-23.

10. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

11. Плаксина И.М. О модельных уравнениях в теории линейных сингулярных дифференциальных уравнений // Молодежная наука Прикамья. Пермь, 2010. Вып. 11. С. 254-257.

12. Бравый Е.И. О регуляризации сингулярных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1994. № 1. Т. 30, С. 26-34.

13. Muntean I. The spectrum of the Cesaro operator. Mathematica. Revue d'analyse numerique et de theorie de l'approximation. 1980. V. 22(45). №1. P. 79-105.

Плаксина Ирина Михайловна, аспирант Национального исследовательского Пермского государственного

технического университета. 614068, г.Пермь, ул.Ленина, д.102, кв.71. Тел. 89128810565, 83422128955? e-mail:

impl@list.ru

Plaksina Irina Mikhailovna, pst graduate student of National Research Perm Technical State University. 614068, Perm,

Lenin str., 102-71.