Применение матрицы влияния при расчете балки на упругом основании

Применение матрицы влияния при расчете балки на упругом основании Казей И. С.

Казей Игорь Сергеевич /Kazei Igor Sergeevich - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, факультет фундаментальных наук,

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москва

Аннотация: в статье рассмотрена модель балки на упругом полупространстве, в которой сплошной контакт основания с балкой заменен дискретным контактом. Элементарные перемещения точек поверхности упругого основания находятся при помощи найденной матрицы влияния.

Ключевые слова: балка, упругое полупространство, сплошной контакт, дискретный контакт, уравнения смешанного метода, матрица влияния, элементарные перемещения.

Для балок, имеющих сравнительно малую ширину подошвы Ь0 = 2Ь по сравнению с их длиной,

рассмотрим важную для практических приложений модель основания в виде упругого полупространства.

По методу Б. Н. Жемочкина, описанному в его работе [3, с. 18], приближенный расчет балки проводят, заменяя в расчетной схеме непрерывную связь между балкой и основанием на «сосредоточенные» абсолютно жесткие стержни. Прогиб балки и осадка основания в местах установки стержней будут одинаковыми.

Предварительно длина балки L делится на m «отсеков» длины С = 2a = L / m . Жесткие связи ставим в центре «отсека». Нарушая эти связи и заменяя их реакциями, переходим к эквивалентной системе. Реакции в стержнях принимают равновеликими равнодействующей нагрузки, равномерно распределенной по площади «отсека» подошвы, соответствующей каждому стержню.

Перейти от эквивалентной системы к основной при помощи отбрасывания нагрузки с включенными в

нее неизвестными реакциями X1, X2 , ..., Xm не удается, поскольку получаемая система геометрически

изменяема. Воспользуемся смешанным методом строительной механики, описанным, например, в [2, с. 302], и введем в рассмотрение дополнительные связи.

В качестве таких связей удобно использовать линейный вертикальный стержень и заделку, установленные на левом торце балки. Таким образом, в качестве неизвестных принимаются усилия Хх,

X2 ,..., Xm в устраненных связях, вертикальное смещение Zm+l и поворот Zm+2 наложенных связей.

Канонические уравнения, содержащие два типа неизвестных, будут двух видов. Часть уравнений, как в методе сил, выражает мысль об отсутствии перемещений по направлению отброшенных связей. Другая часть, как в методе перемещений, говорит о равенстве нулю реакций во введенных в основную систему связях.

Введем традиционные для строительной механики обозначения: 8. - элементарные перемещения, Д. -

у

грузовые перемещения, Г - коэффициенты реакции, R - грузовые реакции. В нашем случае система

канонических уравнений смешанного метода имеет вид:

8,,X, + 8,,Х, + • •• + 8 X +8!

Ill 122 1mm 1.

,m+1Zm+1 + S1,m+2Zm+2 + Д ip

s„x* +SX, + •••+8 x + 8 ,z ,+s; jz 9 + д9

21 1 22 2 2m m 2,m+1 m+1 2,m+2 m+2 2 p

= o, = o,

8 X +8 X + •••+8 X +8' Z ,+S7 7Z ,

m1 1 m2 2 mm m m,m+1 m+1 m,m+2 m+2

+Д

г . .X, + г . nXn + ••• + г . X + г . .Z . + г . 9Z 9 + R ,

m+1,1 1 m+1,2 2 m+1,m m m+1,m+1 m+1 m+1,m+2 m+2 m+1,p

г r., X\ + г г. г. X n + ••• + Гг. X + г r. ,Z , + г r. r.Z 9 + R 9

m+2,1 1 m+2,2 2 m+2,m m m+2,m+1 m+1 m+2,m+2 m+2 m+2,p

= o, = o, = 0 •

Физический смысл величин, входящих в систему (1), общеизвестен и обсуждаться в данной статье не будет. Важно, что коэффициенты 8Г при неизвестных усилиях X , X2 , ..., Xm представляют собой

<

перемещения вдоль удаленных связей с номерами к = 1,•••,m элементарные перемещения состоят из двух частей и имеют вид:

8 = vkl + Уш.

от единичных сил X = 1. Эти

Прогиб Vfa. в основной системе - есть прогиб левозащемленной балки в к -ой ее точке от силы X = 1. Он вычисляется по известным формулам строительной механики, приведенным в работе [1, с. 352]:

v,.

6EJ

w.., s

kl ’ i

2l -1 2

3

C

2k -1 2

W = st(3si

sk)+

0, k < i;

(sk -si)3, k >l-

Осадку основания определяют по формуле:

1 ~^° F

лЕпе

где Е и - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала основания; FM - осадка

поверхности основания в точке с номером k, от единичной силы

X = 1,

действующей в точке с номером

l вдоль X.

Значения элементов матрицы влияния

F =

V ki /п

вычисляются на основе решения соответствующей

задачи теории упругости. В практических руководствах делаются отсылки к таблицам, составленным для некоторых различных С = b / a.

В соответствии с классической работой А. И. Лурье [4, с. 102], формулу для определения элементов матрицы влияния F при любых С > 0 удается записать в форме:

Fk = t1ln

a +1

+ ^ln

a2 + 1 *2

+ln ({ax + tl){a2 + *2)),

где

^ _ 1 - 2|i - k| ^ _ 1 + 2|i -

*1 = , *2 =

С С

Вывод формулы (3) здесь не приводится. С помощью известной матрицы влияния F возможно нахождение перемещений X по соотношению (2).

kl

a1 = 4 *1+1 > a2 -4 *2+1.

Литература

1. Байков В. Н., Сигалов Э. Е. Железобетонные конструкции: Общий курс. М.: Стройиздат, 1991. 767 с.

2. Дарков А. В., ШапошниковН. Н. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1986. 607 с.

3. Жемочкин Б. Н., Синицын А. П. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании. М.: Госстройиздат, 1962. 240 с.

Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1955. 492 с