О приложении различных вариантов теории оболочек N-го порядка к некоторым задачам о прогрессивных волнах

АВИАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 539.3

О ПРИЛОЖЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТОВ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК N-ГО ПОРЯДКА К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ О ПРОГРЕССИВНЫХ ВОЛНАХ

О.В. Егорова, С.И. Жаворонок, А.С. Курбатов

Рассматривается вариант теории оболочек И. Н. Векуа - А. А. Амосова, основанный на формализме аналитической механики сплошных сред. Модель оболочки представляет собой поверхность, оснащенную множеством переменных поля и поверхностной плотностью лагранжиана. Уравнения движения имеют вид обобщенных уравнений Лагранжа второго рода. Рассмотрено решение задачи о распространении нормальных волн в плоском упругом слое на базе теории пластин N-го порядка. Получены формы второй распространяющейся продольной моды при различных значениях волнового числа, приводятся оценки аппроксимации формы волны на базе теорий различного порядка.

Ключевые слова: оболочки толстостенные, теории оболочек типа И. Н. Векуа, аналитическая механика континуальных систем, формализм Лагранжа, слои упругие, волны нормальные, скорости групповые, волны «обратные», теория пластин N-го порядка.

Проектирование перспективных авиационно-космических систем требует моделирования динамических процессов в тонкостенных конструкциях с достаточной точностью. В ряде случаев традиционные модели таких элементов. К данному классу возможно отнести проблемы борьбы с высокочастотными вибрациями, расчет на ударное воздействие, нестационарные контактные задачи и т.д. По мере повышения диапазона частот становятся неэффективными сначала теории Кирхгоффа-Лява [1], а затем и теории класса Тимошенко-Райсснера-Миндлина [2-4].

Обзоры работ, опубликованных до 70-х г. г. и посвященных приложению «неклассических» моделей оболочек к задачам о колебаниях, содержатся в монографии [5]. В последующие 40 лет исчерпывающего опи-

255

сания высокочастотных колебаний и распространения волн в тонкостенных системах достигнуто не было [6, 7]. Приложениям модели Миндлина к задачам динамики посвящен обзор [8]. В статье [9] обосновывается необходимость теорий со степенной аппроксимации до четвертого порядка в случае высокочастотных колебаний пластины вне зависимости от ее толщины. В работе [10] на базе теорий высших порядков показано существование решений типа пограничного слоя у лицевых поверхностей пластины при высоких частотах. Эффективность моделей, основанных на разложении по специальным функциям, показана в статье [11], моделей на базе степенных рядов - в [12].

Ниже рассматривается приложение метода И. Н. Векуа [13-16] пространственной редукции трехмерной задачи в варианте А. А. Амосова [1723]. В работах [24-27] предложено развитие метода на базе аналитической механики континуальных систем [28]; разработан вариационный формализм построения теории оболочек К-го порядка. Модель формулируется как двумерная континуальная система, заданная конфигурационным пространством с N векторными переменными поля и поверхностной плотностью функции Лагранжа. Уравнения движения записываются как уравнения Лагранжа второго рода относительно обобщенных усилий [24-27] или переменных поля первого рода [28]. Определяющие уравнения получены в [25]. Вариационный подход обеспечивает корректную постановку двумерной начально-краевой задачи.

Свойства теории К-го порядка [24, 25] исследованы в работах [21, 24, 29-32]. В работах [21] и [24] проведена оценка сходимости приближенных решений статических задач к точным решениям. Динамическим задачам посвящены работы [26, 27, 29-33]. В работах [26, 30, 31] построены дисперсионные уравнения задачи о распространении нормальных (прогрессивных) волн в плоском упругом слое, соответствующие теории пластин К-го порядка. Исследована сходимость частот запирания распространяющихся нормальных мод. В статье [32] также на основе теории К-го порядка построены приближенные формы распространяющихся мод на частотах запирания и вычислены их погрешности относительно точных решений [34]. Вычислены также значения фазовых частот и скоростей в точках пересечения дисперсионных кривых с линией, соответствующей скорости дилатационной волны С1 [33], и погрешности соответствующих приближенных форм нормальных мод относительно точного решения (мод Гудьера-Бишопа). Исследованы также погрешности мод Ламе [33].

Особый интерес представляет способность теорий пластин низших порядков описывать вторую нормальную продольную моду с положительной фазовой и отрицательной групповой скоростью в диапазоне волновых *

чисел [0,к ] [34-36]. В работах [26, 29] на базе теорий 1-5 порядков, использующих полиномы Лежандра аналогично [13-23], построен участок

дисперсионной ветви, соответствующий «обратной» волне, и показано, что адекватная групповая скорости вычисляется на базе теорий не ниже 4 порядка.

Ниже приводится анализ формы второй распространяющейся моды, построенной на основе решения спектральной задачи в рамках теории 2-5 порядков. Исследована сходимость решения по мере повышения порядка теории. Полученные результаты являются основой моделирования волновых процессов в тонких телах на базе приближенных моделей, являющихся частными случаями трехмерной теории оболочек К-го порядка.

Решение спектральной задачи динамики плоского упругого слоя на базе теории пластин п-го порядка.

Нетонкая оболочка или пластина представляет собой трехмерное

тело V е Я , ЪУ = Б± © , Б± - лицевые поверхности, - боковые поверхности. В соответствии с подходом [24-27], модель оболочки И-го порядка формулируется как двумерная континуальная система на базовой

3

поверхности Б0 е Я , заданная конфигурационным пространством

^ = {и(к)}, к = 0...И, и(к)= и(к)(М0,1), М0 е Б0;

t е [?0, Я+и{0] - время, и(к ) - переменные поля первого рода [28], являющиеся коэффициентами разложения вектора перемещения и = иага + М3П по биортогональной базисной системе р(к)(0, Р(т)(0 функций безразмерной нормальной координаты ^е [-1,1] [25, 26]:

и( к)(М 0, t ) = ( и (М 0, t) ,р(к) (¡^;

(Р( к) ,р( т ^ = 1-1Р( к )(0 Р( т ^ а с=0.

Рассмотрим задачу о распространении второй моды продольной волны, распространяющейся плоском слое плотностью р, с параметрами Ламе 1, т, толщиной 2И и со срединной плоскостью %2 = 0. Волна распространяется в направлении оси 0%1 декартовой системы координат ОХ1Х2 Х3. На поверхностях Х2 = ±И поставлены однородные условия оа2 (Х1, ±И) = 0. Аналогично [29-33] введем безразмерные переменные:

Х = Х^-1; т = й^ )=

С2 =тр-1 - скорость волны сдвига; для плоского напряженного состояния вводится 1 = 1[1 -1 / (1 + 2т)]. Уравнения динамики слоя в безразмерных переменных (1), соответствующие теории N -го порядка, следуют из [24-33] или из формулировки задачи в переменных поля первого рода [27, 29]:

э2«,( к ) = 411

(1 -р2 )э|«<к)+ь(эд1 )-

2) г,(кОи(т)-

2 (1

Э^) = Э|и2к)+ 4 (1 -Р2) "(

2

и

и

= Зй "(Г; Р2 = (С2/ С1 )2 = (1 - 2П )/( 2 - 2п),

I <

2

(т) (п) (т)'

V - коэффициент Пуассона; С1 =(1 + 2ц) р-1 - скорость волны дилатации. Компоненты операторов "(к! в базисе, в соответствии с концепцией [1315; 17-23] образованном полиномами Лежандра р( к) (С), имеют вид:

"$=( 2т + 1)8(Г)+2'+1). I <

5Ц = ( 2т + 3)б| Г)-2'-1),

Матрицы операторов "(Г )), (N +1) х (N +1).

Вектор перемещения, соответствующий нормальной волне в плоском слое, может быть представлен в следующей форме записи [29-33]:

и

и( к) - амплитуда волны, ю=ШИ/с2 - безразмерная фазовая частота волны, к = кИ - безразмерное волновое число.

С учетом (3) уравнения движения теории ^го порядка (2) приводятся к линейному матричному уравнению [30]:

А2к2 + ¿А1к + А0 -ю21 ) и = 0,

"

имеют размерность

и =

г

иг... ^ и20)... и

(N )'

А =

4 (1

Л 11) 1 к)

0

0

11) 1 к)

Мк )

А =

0

0 %

4

А1

0

2(1 - 2Р2 "Г)- оЦ

2(1 - 2Р 0

I—

2 и (к

т

I - единичная, 0 - нулевая матрицы размерности (2 N + 2)х (2 N + 2).

Из уравнений движения (4) следует спектральная задача [29-33]:

( А0 + /КА1 + К2А2 ) - ю21

= 0.

Собственные значения юп = юп (к) , юп е R + задают дисперсионные кривые на плоскости (к,ю); ке Rсоответствуют распространяющимся модам [34].

Формы распространяющихся мод определяются собственными векторами ип(к), пе [1,2N + 2]пZ оператора (5):

<

Система уравнений (4) распадается на независимые подсистемы для продольных и изгибных волн. При этом продольным волнам соответствуют индексы

к,т = {2п,N + 2п + 2}, пе [0,[2^ +1)]]иZ.

Анализ описания формы второй продольной моды нормальных волн теориями различного порядка.

Рассмотрим вторую распространяющуюся моду продольных нормальных волн, т. е. соответствующую Ю2(к), и (к) при ке [0,1,5].

На рис. 1 приведены зависимости групповой скорости Cg2(к),

ке[0,1,4] , соответствующие второй распространяющейся продольной моде, построенные на основе [26, 29] и точного решения задачи [34, 35]. Хорошего приближения групповой скорости с^ удается достичь при N > 4 .

При N < 3 модели практически не улавливают явления «обратной волны».

и

1.5

0.5

-0.5

N=3 ; N=2

\ ! \

—-N=4.5..ЬашЪ

0.25

0.5

0.75 2к/л

1.25

1.5

Рис. 1. Групповая скорость с^ второй распространяющейся моды

продольной волны в упругом слое [26, 29]. Теории 1... 5 порядков и точное решение

Рассмотрим эволюцию формы второй распространяющейся моды продольных волн на интервале ке [0,1,5]. Согласно (6), соотношения

uä (Z к) = max

«ä

a = 1,2;

a'

N, Na £ N

И-1,1]

(к,z)=иa)2(k)p(k)(z), k=0,2

описывают зависимость распределения безразмерных перемещений от нормальной координаты Z и волнового числа к. Индексы (k) в (7) соответствует условию симметрии, p(k )(Z) - полиномы Лежандра:

(Z)=«Г (-Z); «Г (Z)=-«2n (-Z).

На рисунках 2 и 3 показаны зависимости uä(Z, к) от нормальной координаты Z при волновых числах к, соответствующих Cg (к) = min и Cg(к) = 0. Рассматриваются теории 2, 3 ... 6 порядков. Как видно из рисунка 2(а), в точке к :cg^n, распределения по толщине слоя продольного 2

перемещения u (Z,к), описываемые теориями порядка N > 4, идентичны.

0.5

к* 0

-0.5

N=4.5

.-N=3

-N=2

0.5

0

-0.5

N=4.5....

—N=2

N=3

-0.5

0

0.5

1

-0.5

0.5

(а) Cg = min (б) Cg = 0

Рис. 2. Распределение по толщине слоя безразмерного продольного

перемещения. Теории 2...5 порядков

2

Зависимости ui (Z, к) при N = 2,3 представляют собой параболическую аппроксимацию и качественно отличаются от приближений высших

2

порядков. Аналогичный вывод следует из анализа зависимости ui (Z, к) при к: Cg = 0. Кривые на рисунках 2(а, б) при N > 4 соответствуют точному решению [34]. Как при cg^n, так и при Cg = 0 в сечении слоя сущест-

вуют подобласти с противоположными знаками амплитуд продольного перемещения:

' (»[-0,5,0.5]); с^ = 0: С|и?<0 е (»[-0,48,0,48]).

с = Ст1П

Lg Lg

: и2<0е

^ <0 2

В точке Cg границы области и < 0, вычисленные при N = 2.5,

практически совпадают, несмотря на качественное различие кривых. В

2

точке к : Cg = 0 границы области и < 0 при N = 2,3 и N > 4, различаются.

2

Распределение поперечного перемещения и2(С, к) по толщине слоя

при N = 2 (рисунок 3) соответствует линейной аппроксимации и качест-

2

венно отличается от ^(С), полученной при N = 3,. .

В точке к : ^^ все кривые при N > 3 совпадают, в точке к : Cg = 0

различие между кривыми, соответствующими 3, 4, 5 порядкам, становится

заметным; по мере повышения порядка кривизна кривых в областях

2

| С |е [0,5,1] увеличивается. При N > 5 кривые и2(С,к) совпадают.

0.5

^ 0

0.5

N=3.4.5

N=2

-0.5

0

0.5

1

0.5

и 0

-0.5

-1 -1

К N=3 ¡=2

N=4

К=5

-0.5

0

0.5

(а) Cg = т1п (б) Cg = 0

Рис. 3. Распределение по толщине слоя безразмерного поперечного перемещения. Теории 2.5 порядков

На рисунке 4 приведены распределения и1 (С, к) по толщине слоя при 2к / р = 1.1,5. При данных величинах к sgn cph = sgn Cg = 1, наблюдается «прямая волна» (рисунок 1). Из рисунка 4 видно, что на ближайшем к области эффекта «обратной волны» отрезке к £ 1 для достаточной точно-

2

сти аппроксимации продольного перемещения и (£, к) приемлема теория 5 порядка. При 2к / р» 1,5 погрешность теории 5 порядка становится заметной.

1

0.5

0

-0.5

1 1 N=5 ^=4 1 . i 1 1 jii- 1 ^ W? /^-N=2 И i I I 1

\ V1

\ 1 \ 1 ^^ N=6.7.!.

0.5

кг о

-0.5

N=4

>-N=2.3

N=6,7.. N=5

0.25

0.5

0.75

0.25

0.5

0.75

(а) 2к / p = 1 (б) 2k / p = 1,5

Рис. 4. Распределение по толщине слоя безразмерного продольного перемещения при 2к/ p > 1. Теории 2...7порядков.

Заключение.

Получено описание второй распространяющейся моды прогрессивных волн в упругом слое теориями пластин типа И. Н. Векуа - А. А. Амосова [13, 17] в варианте [24-27], при использовании в качестве базисных функций полиномов Лежандра, соответствующих традиционной формулировке «трехмерных» теорий [13-23]. Анализ аппроксимации формы волны теориями пластин N-го порядка позволяет сделать следующие выводы.

1. Теория 3 порядка обеспечивает кубическую аппроксимацию поперечного перемещения u2, достаточно точную при малых значениях волнового числа к в области «толщинного» резонанса [34]. Продольное перемещение при N = 3 аппроксимируются квадратной параболой и качественно отличается от формы волны, описываемой высшими приближениями.

2. Теории 4 и 5 порядка обеспечивают близкую к точной форму второй дисперсионной ветви [29] и хорошую аппроксимацию продольного

перемещения u12 , практически неотличимую от аппроксимаций высших

*

порядков при Cg = min и Cg = 0 . Теория 5 порядка при к £ к не предоставляет заметных преимуществ по сравнению с теорией 4 порядка.

3. При повышении порядка теории наблюдается практическая сходимость решения по форме второй распространяющейся продольной моды

u a.

4. При описании «прямой» волны в диапазоне, непосредственно прилежащем к области эффекта «обратной» волны (до 2к / p» 1), точность теории 5 порядка достаточна для решения практических задач.

5. При дальнейшем увеличении волнового числа

для достижения хорошей аппроксимации продольного перемещения и2 требуется применение теорий 6-7 порядков.

На основе изложенных выше выводов представляется возможным заключить, что для описания явления «обратной волны» в упругом слое теориями пластин типа И. Н. Векуа - А. А. Амосова, основанных на ортогональных разложениях неизвестных по полиномам Лежандра, минимально необходимыми порядками теории являются четвертый и пятый. При этом обеспечивается достаточная точность приближения как дисперсионной ветви, так и распределения перемещений по толщине слоя, соответствующих второй продольной моде прогрессивных волн.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01 -00446_а, № 14-01-00488_а, № 14-01-00890_а).

Список литературы

1. Kirchhoff G. Über das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischer Scheibe // Zeitschr. reine und angewandte Math. 1850, 40(1). P. 51-88.

2. Timoshenko S. P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bar // Phil. Mag. 1921. Ser.6, 41(245). P. 741-746.

3. Reissner E. On axi-symmetrical vibrations of circular plates of uniform thickness, including the effect of transverse shear deformation and rotary inertia // J. Acoust. Soc. Amer. 1954, 26(2). P. 252-253.

4. Mindlin R. D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates // J. Appl. Mech. 1951, 18(1). P. 31-38.

5. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. Т.5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М: ВИНИТИ, 1973. 273 с.

6. Kienzler R., Altenbach H., Otts I. Theories of Plates and Shells: Critical Review and New Applications. Berlin, Springer-Verlag, 2004.

7. Eremeyev V., Pietraszkiewicz W. Refined theories of plates and shells // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 2014, 94(1-2), P. 5-6.

8. Liew K. M., Xiang Y., Kitiprochiai S. Research on thick plate vibration: a literature survey // J. Sound. Vibr. 1995, 180(1). P. 163-176.

9. Brichetto S, Carrera S. Importance of Higher Order Modes and Re-

263

fined Theories in in Free Vibration Analysis of Composite Plates // J. Appl. Math. 2010, 77(1), 011013 (14 pages).

10. Batra RC, Aimmanee S. Vibrations of thick isotropic plates with higher order shear and normal deformable plate theories // Comput. and Struct. 2005, 83. P. 934-955.

11. Zhou D., Au F. T. K., Cheung Y. K., Lo S. H. Three-dimensional vibration analysis of circular and annular plates via the Chebyshev-Ritz method // Int. J. Solids and Struct. 2003, 40. P. 3089-3105.

12. Kang Jae-Hoon, Leissa A. W. Three-Dimensional Vibration Analysis of Thick, Complete Conical Shells // Trans. of ASME. 2004, 71(6). P. 502-507.

13. Векуа И. Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М: Наука, 1982. 282 с.

14. Гуляев В.И., Баженов В.А., Лизунов П.П. Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач. Львов, Вища Школа, 1978. 192 с.

15. Хома И.Ю. Обобщенная теория анизотропных оболочек. Киев: Наукова думка, 1986. 170 с.

16. Никабадзе М.У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. М.: Изд-во Попечит. совета мех.-мат. ф-та МГУ. 2014. 515 с.

17. Амосов А. А. Приближенная трехмерная теория толстостенных пластин и оболочек // Строит. механика и расчет сооруж. 1987. № 5. С.37-42.

18. Амосов А. А., Жаворонок С. И. К проблеме редукции плоской задачи теории упругости к последовательности одномерных краевых задач // Механика композ. матер. и констр. 1997, т. 3, №1. С. 69-80.

19. Амосов А. А., Князев А. А., Жаворонок С. И. О решении некоторых краевых задач о плоском напряженном состоянии криволинейной трапеции // Механика композ. матер. и констр. 1999, т.5., №1. С. 60-72.

20. Amosov A.A. and Zhavoronok S.I. An approximate high-order theory of thick anisotropic shells // Int. J. Comput. Civil Struct. Eng. 2003, 1. P. 28-38.

21. Амосов А.А., Жаворонок С.И., Леонтьев К.А. О решении некоторых задач о напряжен-но-деформированном состоянии анизотропных толстостенных оболочек вращения в трехмерной постановке // Механика композ. матер. и констр. 2004, т. 10, № 3. С. 301-310.

22. Жаворонок С. И. Модели высшего порядка анизотропных оболочек // Механика композ. матер. и констр. 2008, т. 14, № 4. С. 561-571.

23. Жаворонок С. И., Леонтьев А. Н., Леонтьев К. А. Анализ сходимости решения при расчете толстостенных оболочек вращения произвольной формы // Int. J. Comput. Civil Struct. Eng. 2010, 6(1-2). P. 105-111.

24. Жаворонок С. И. Вариационные уравнения трехмерной теории анизотропных оболочек // Вестн. Нижегород. ун-та им. Н.И.Лобачевского.

2011, 4(5). С.2153-2155.

25. Жаворонок С. И. Обобщенные уравнения Лагранжа второго рода трехмерной теории анизотропных оболочек // Механика композ. матер. и констр. 2011, т.17,№ 1. С. 11б-132.

26. Zhavoronok S. I. A Vekua-type linear theory of thick elastic shells // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 2014, 94 (1-2). P. 1б4-184.

27. Zhavoronok S. I. Variational formulations of Vekua-type shell theories and some their applications. - In: Shell Structures: Theory and Applications. Vol. 3. CRC Press / Balkema, Taylor & Francis Gr., 2014. P. 341-344.

28. Кильчевский Н. А., Кильчинская Г. А., Ткаченко Н. Е. Аналитическая механика континуальных систем. Киев: Наукова Думка, 1979. 189 с.

29. Жаворонок С.И. Формулировка начально-краевой задачи приближенной трехмерной теории оболочек №о порядка в обобщенных перемещениях и ее приложение к задачам стационарной динамики // Механика композ. матер. и констр. 2012, т.18, №3. С. 333-344.

30. Жаворонок С. И. Исследование гармонических волн в упругом слое на основе трехмерной теории оболочек N-го порядка // Механика композ. матер. и констр. 2010, т.1б, № 4/2. С. б93-701.

31. Жаворонок С. И. Трехмерные модели динамического деформирования толстостенных оболочек // Мор. интелл. технол. 2011, №3 (спец.). С. б-10.

32. Жаворонок С.И. Исследование распространяющихся мод гармонических волн в упругом слое на базе трехмерной теории оболочек N-го порядка // Мех. композ. матер. и констр. 2011, т.17, № 2. С. 278-287.

33. Жаворонок С. И. Исследование кинематики нормальных волн в упругом слое на основе трехмерной теории оболочек N-го порядка для различных значений волновых чисел // Механика композ. матер. и констр.

2012, т.18, № 1. С. 45-5б.

34. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. 284 с.

35. Lamb H. On group velocity // Proc. Lond. Math. Soc. Ser. 2. 1904, I, No. 849. P. 473-479.

36. Tolstoy I., Usdin E. Wave propagation in elastic plates: low and high mode dispersion // J. Acoust. Soc. Amer. 1957, 29(1). P. 37-42.

Егорова Ольга Владимировна, канд. физико-математических наук, доц., f9_dec@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) - МАИ»,

Жаворонок Сергей Игоревич, канд. физико-математических наук, доц., старший научный сотрудник, zhavor71@mail.ru, Россия, Москва, Институт прикладной механики Российской академии наук (ИПРИМ РАН),

Курбатов Алексей Сергеевич, канд. техн. наук, старший научный сотрудник Государственного научного центра, defunt@,inbox.ru, Россия, Москва, Федеральное государственное унитарное предприятие Исследовательский центр им. М. В. Келдыша

AN APPLICATION OF VARIOUS N-TH ORDER SHELL THEORIES TO NORMAL WAVES PROPAGATION PROBLEMS

O. V. Egorova, A.S. Kurbatov, S.I. Zhavoronok

We consider the version of the theory of shells IN Vekua - AA Amosov, the basis-Vanny on the formalism of analytical mechanics of continuous media. Is a model of a shell surface with a plurality of variable fields and surface Lagrangian density. The equations of motion have the form of generalized Lagrange equations of the second kind. The solution of the problem of the propagation of normal waves in a flat elastic layer based on the theory of plates N-th order. Obtained form the second longitudinal mode propagating at different values of the wave number, provides estimates of the approximation of the waveform on the basis of theories of different order.

Key words: thick shells, shell theories of Vekua type, analytical mechanics of continua, Lagrange formalism, elastic layer, normal waves, group velocities, inverse wave effect, plate theory of N'th order.

Egorova Olga Vladimirovna, candidate of sciences (physics and mathematics), associate professor, associate professor, f9 decaimail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University) - MAI",

Zhavoronok Sergey Igorevich, candidate of sciences (physics and mathematics), associate professor, senior researcher, zhavor 71 a mail. ru, Russia, Moscow, Russian Academy of Sciences",

Kurbatov Alexey Sergeevich, candidate of technical sciences, senior researcher, de-funt@inbox.ru, Russia, Moscow, Federal State Unitary Enterprise Research Centre named after M. V. Keldysh