Компьютерный анализ устойчивости линейной системы дифференциальных уравнений на основе идентификации знака собственных значений

Резюме:

1. Последние 30 лет человечество входит в свой четвертый информационный цикл. Символом первого цикла было появление у человека речи; второго - письменности; третьего - книгопечатания. Четвертый, видимо, правильно именовать интернет-циклом.

2. Термин "обучение с использованием технологий e-learning" обозначает различные образовательные модели, для которых общим является то, что обучаемым предоставляется обширный электронный ресурс.

3. Существует много образовательных сайтов, на которых выложены разнообразные электронные ресурсы по информатике, ИКТ и т.п. Известными являются: федеральный портал "Российское образование" и федеральное хранилище "Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов".

4. Проблема и научная, и организационно-методическая, и психолого-педагогическая заключается в том, что на настоящий момент по интересуемой теме практически нет подходящего цифрового электронного ресурса, а имеющиеся - либо фрагментарны, либо вообще не подходят.

5. Одним из авторов был создан эскиз электронного ресурса, который соответствует приведенным выше определениям: системность, мультимедийность, интерактивность.

6. Анализ предлагаемого электронного цифрового ресурса приводит к заключению, что организацию доступа пользователя к разнообразным данным лучше всего осуществить с помощью программы-интегратора, которая обеспечит навигацию и интерактивный доступ.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Горбатюк В.Ф. Учебный курс «Основы создания видео- и мультимедиа обучающих средств» // Интеграция медиаобразования в условиях современной школы: сб. науч. тр. первая городская науч. конф. Таганрог, 2010. Режим доступа:

http://www.mediagram.ru/netcat files/99/123/h fadal 846d71b2475708ae3d3c3e030ee (on-line).

2. Толковый словарь терминов понятийного аппарата информатизации образования / сост. И.В. Роберт, Т.А. Лавина. М.: ИИО РАО, 2009. 96 с.

Я.Е. Ромм, А.А. Веселая

КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЗНАКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

1. Постановка вопроса. Задача нахождения собственных чисел матрицы тесно связана с проблемой устойчивости линейной системы однородных дифференциальных уравнений (ОДУ) с постоянной матрицей коэффициентов [3]: нулевое решение линейной системы вида

с1х

— = Ах,

А

где А - матрица коэффициентов системы, является устойчивым по Ляпунову, если: 1) все характеристические числа матрицы А имеют отрицательные или нулевые вещественные части; 2) все характеристические числа с нулевыми вещественными частями, т.е. чисто мнимые характеристические числа (если таковые имеются), являются простыми корнями минимального полинома матрицы А , и не устойчивым, если хотя бы одно из условий 1), 2) не выполняется.

Нулевое решение линейной системы (1) является асимптотически устойчивым в том и только в том случае, когда все характеристические числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части.

Наиболее естественным методом определения устойчивости системы является решение ее характеристического уравнения и определение знаков действительных частей полученных корней.

Однако такой метод не может считаться приемлемым для большинства практических задач, так как возникают вычислительные трудности при решении алгебраических уравнений высоких степеней. На практике применяются методы, позволяющие, не прибегая к определению корней характеристического уравнения, получить все необходимые данные по устойчивости [4]. Следует отметить, что все критерии устойчивости в той или иной форме используют тот факт, что у устойчивой системы действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны, однако знак действительных частей корней устанавливается не непосредственно, а косвенным путем.

Известные критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические (критерий Гурвица) и частотные (критерии Михайлова и Найквиста). Алгебраические критерии являются аналитическими, частотные - графоаналитическими. Те и другие не вполне пригодны для компьютеризации и информацию об устойчивости подают в косвенном виде, характерном для качественной теории дифференциальных уравнений. Отсюда возникает задача разработки компьютерного анализа устойчивости, который в общем случае давал бы однозначное определение характера устойчивости, неустойчивости либо асимптотической устойчивости решения систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами.

2. Алгоритм анализа устойчивости линейной системы ОДУ с матрицей постоянных коэффициентов на основе локализации характеристических нулей. Имеет место теорема [5].

Теорема 1. Система (1) с постоянной матрицей А устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические нули матрицы А обладают неположительными вещественными частями, причем характеристические нули, имеющие нулевые вещественные части, допускают лишь простые элементарные делители.

Именно на основе данной теоремы строится компьютерный анализ устойчивости системы (1). Построение осуществляет следующий алгоритм.

Алгоритм 1.

Шаг 1. Вычисляются все нули характеристического полинома без учета кратности.

Шаг 2. Если среди них хоть один имеет положительную вещественную часть, то система неустойчива и анализ закончен. Иначе выполняется шаг 3.

Шаг 3. Если число нулей с неположительной вещественной частью равно П, то они все различны и система устойчива. Анализ закончен. В противном случае выполняется шаг 4.

Шаг 4. Выполняется проверка кратности нулей с неположительной вещественной частью. Если в результате общее число нулей равно П , то нули с нулевой вещественной частью все различны, система устойчива и анализ закончен. Если общее число нулей меньше П , то среди нулей с нулевой вещественной частью имеются кратные, система неустойчива. Анализ полностью завершен.

Вопрос об асимптотической устойчивости решается в один этап [5]: если все нули имеют отрицательную вещественную часть, то система асимптотически устойчива и анализ закончен. Иначе система не является асимптотически устойчивой. Ее можно исследовать на устойчивость по изложенной методике, но уже речь не пойдет об асимптотической устойчивости.

На данной основе строится подход к компьютеризации анализа, как устойчивости, так и асимптотической устойчивости системы (1). При этом описанная в алгоритме 1 методика дает полную автоматизацию анализа.

Программно реализовать алгоритм 1 возможно на основе сортировки слиянием, при этом процесс локализации нулей осуществляется с наперед заданным радиусом eps 0 [2]. Такая локализация оказывается эквивалентной вычислению нулей с точностью до eps 0 . В частности, достоверно идентифицируется знак каждого нуля.

Теорема 2. Если для произвольно задаваемого радиуса окрестности локализации нулей характеристического полинома матрицы коэффициентов системы (1) выполнено неравенство

eps О < 0.1, то после осуществления локализации обеспечивается достоверность знака локализованного нуля и гарантируется верность хотя бы одной значащей десятичной цифры его дробной части.

Таким образом, для определения знака действительной части не обязательно выполнять максимально точное вычисление нулей полинома, которое является заведомо длительным. Достаточно локализовать искомые нули, при этом сохраняется гарантия верного знака их действительной части. Тем самым возможна компьютерная реализация предложенной схемы.

Для полной компьютерной реализации предварительно нужно вычислить коэффициенты характеристического полинома матрицы коэффициентов из (1). В [2] представлена программа, полностью реализующая данный метод.

Необходимо отметить, что как метод локализации нулей, так и метод вычисления коэффициентов характеристического полинома матрицы эффективно распараллеливается.

Имеет место [2]

Следствие 1. В условиях теоремы 2 локализация и вычисление нулей характеристического полинома матрицы постоянных коэффициентов системы линейных ОДУ без учета кратности распараллеливается с оценками временной сложности схемы Ксанки [7], что влечет

T

для всей схемы нахождения собственных значений матрицы. Согласно построению метода оценка (2) означает временную сложность параллельного алгоритма анализа устойчивости в рассматриваемом случае.

В качестве непосредственной иллюстрации применения теоремы 2 и следствия 1 в [2] приводятся программные и численные эксперименты. Ниже аналогичные эксперименты даны применительно к реальным физическим и техническим системам.

Необходимо отметить, что предложенный метод сохраняет силу и при наличии трансцендентности [2], что будет проиллюстрировано ниже.

3. Применение компьютерного анализа устойчивости систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами к реальным системам управления. Изложенный подход к оценке устойчивости по нулям характеристического полинома соотносится с возможностью практического применения. Наиболее часто реальные системы управления являются нелинейными, линейные модели с постоянными и переменными параметрами, которые используются при анализе устойчивости, представляют собой результат линеаризации [8]. При работе с такими системами, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, определяющие эти системы, могут быть решены с помощью преобразования Лапласа [8], но, что еще более важно, такие системы можно охарактеризовать передаточной функцией.

Как известно [8], если знаменатель передаточной функции приравнять к нулю, то получится характеристическое уравнение, соответствующее линейной системе ОДУ с постоянными коэффициентами, описывающей поведение системы управления. Если этот знаменатель имеет вид полинома, то он называется характеристическим полиномом, по нулям которого и будет проводиться анализ устойчивости систем управления с обратной связью.

Пример 1. Требуется оценить устойчивость системы, которая характеризуется передаточной функцией

G{s) = —.-^—-•

S + ls +1 ls +\ls + 6

Характеристическое уравнение системы имеет вид: .V4 + ls3 + 1 ls2 + 17.V + 6 = 0.

Применение изложенного метода нахождения нулей полученного полинома влечет следующие результаты [2] (табл. 1):

Таблица 1

Действительные части нулей Мнимые части нулей Значения функции

-1.00000000000000000Е+0000 -2.00000000000000000Е+0000 -3.00000000000000000Е+0000 5.02971676054710232Е-0010 -7.84807741187427932Е-0056 -7.92326551117570936Е-0056 2.61012178719941Е-0052 6.15923190627713Е-0111 1.00445018176938Е-0109

Количество нулей оказалось меньше степени полинома, поэтому требуется определить их кратность. Проверка кратности выполняется делением характеристического полинома на каждый линейный двучлен вида X — X ^ , где X/. - текущий нуль полинома. В данном примере деление на

линейный двучлен Л* + 1 влечет конечный результат (табл. 2):

Таблица 2

Действительные части нулей Мнимые части нулей Кратность собственного значения

-1.00000000000000000Е+0000 -2.00000000000000000Е+0000 -3.00000000000000000Е+0000 5.02971676054710232Е-0010 -7.84807741187427932Е-0056 -7.92326551117570936Е-0056 2 1 1

Таким образом, в результате работы программы найдены все четыре нуля с отрицательной вещественной частью. Следовательно, система асимптотически устойчива.

Детальное описание формирования передаточной функции с помощью преобразования Лапласа представлено в [2]. Если при этом в правой части системы линейных ОДУ, описывающей модель системы управления с обратной связью, содержатся варьируемые параметры, то эти же их значения без изменения переходят в параметры передаточной функции данной системы.

Пример 2. Рассмотрим систему управления курсом корабля (рис. 1).

Усилитель Рулевой Динамика

мощности механизм корабля

ис(5) Ка 0,5 и & 0,1 с

1 +1 +1)

Рис. 1. Система управления курсом корабля

Согласно модели передаточная функция равна

= --2—,

где Та = 0,05 с, г„ = 0,5 с, гл = 10 с - постоянные времени, а Ка - коэффициент усиления усилителя мощности.

Требуется определить, при каких Ка система устойчива. Характеристическое уравнение системы:

1 + КО^Н^) = + 22,1/ + 42,2/ + 4 5 + 0,2 Ка = 0.

Нули композиции полинома и линейной функции последнего уравнения / (я) = Л'4 + 22,1 Л'1 + 42,2^2 + 4^ + 0,2Ка можно найти по изложенной схеме, учитывая меру

приближения к нулю минимума модуля функции при вариации параметра Ка в промежутке — 5 < Ка < 50 с дискретным шагом ИКи = 0,001.

Получим следующие результаты [2] (табл. 3):

Таблица 3

Значения параметра Ка Нули функции Значения функции

-4.93600000000000000E+0000 1.05197158813216780E-0001 7.35571388323142E-0002

-4.91500000000000000E+0000 1.04899837053761541E-0001 7.34014174913477E-0002

-3. 17700000000000000E+0000 7.76999800716325008E-0002 5.9423078275617Ш-0002

-2.94100000000000000E+0000 7.35098496456318507E-0002 5.73166729799521E-0002

-2.99600000000000000E+0000 7.44997434251884495E-0002 5.78131700388498E-0002

-2.29600000000000000E+0000 -1.78499876513100821E-0001 4.67092476838320E-0002

-2.51300000000000000E+0000 6.54997884082504098E-0002 5.33247688776135E-0002

-2.06700000000000000E+0000 -1.73100540534807934E-0001 4.49407425166426E-0002

-2.15400000000000000E+0000 -1.75177101006836097E-0001 4.56232503737434E-0002

-1.64400000000000000E+0000 4.71164110081378117E-0002 4.43356969657763E-0002

-1.59200000000000000E+0000 4.59001991801689804E-0002 4.37494561184148E-0002

-1.12700000000000000E+0000 -1.48100357022278855E-0001 3.64930204042707E-0002

-1.25900000000000000E+0000 3.77014480945621818E-0002 3.98248288437771E-0002

-8.14000000000000000E-0001 -1.38300699802010139E-0001 3.30650847562336E-0002

-6.96000000000000000E-0001 2.17000370327714524E-0002 3.23021784317049E-0002

-1.02000000000000000E+0000 3.12978839002978335E-0002 3.67926332947575E-0002

-5.17000000000000000E-0001 1.58006708454202159E-0002 2.95743712839060E-0002

-5.67000000000000000E-0001 1.75000180638660619E-0002 3.03576147204662E-0002

1.62630325872825665E-0019 -5.30010550009996272E-0003 2.00182663966983E-0002

3. 35000000000000000E+0001 -2.69302454880144768E-0002 1.05470388101097E-0002

3.73000000000000000E+0001 1.59460727245325576E-0016 5.45757163592667E-0003

3. 97000000000000000E+0001 -3.33004020540995865E-0002 7.82018550890649E-0003

При — 4,93 < Ка < 0 нули характеристического полинома имеют как положительные, так

и отрицательные вещественные части, а при 0 < Ка < 39,7 все нули различны и имеют только неположительные вещественные части. Следовательно, система является устойчивой при 0 <Ка< 39,7.

В диапазоне 0 < Ка < 33,5 система является асимптотически устойчивой, а при 33,5 <Ка < 39,7 система находится на границе устойчивости.

Устойчивость систем, характеристическое уравнение которых имеет вид алгебраического полинома от переменной 5 преобразования Лапласа, можно определить и по критерию Рауса-Гурвица [8], однако, существует еще один тип линейных стационарных систем, к которым неприменим данный критерий - это системы с идеальным запаздыванием при вариации параметра и наличии трансцендентности.

Как отмечалось, предложенный метод сохраняет силу и при наличии трансцендентности [2]. Пример 3. Рассмотрим систему управления с идеальным запаздыванием (рис. 2).

Объект

Идеальное запаздывание

л , 1

У ' к ф + 1)2 - -г

+

Рис. 2. Система управления с идеальным запаздыванием по времени

Характеристическое уравнение системы имеет вид

=1 +

, при СО) - -е ^ ИЛИ э3+2$2 + я+ е = 0.

ф + 1)2

Требуется определить при каких система устойчива.

Достаточно определить знак действительной части комплексных нулей характеристического уравнения при вариации параметра . Действительная и мнимая часть значения полинома в левой части уравнения складываются, соответственно, с действительной и мнимой частью значе-иия трансцендентной функции е '"Л =СО$(1(} * х)- \* 5т(/0 * у), в = х +1 * у. Сумма квадратов

полученных значений образует функцию, которая подается на вход программы локализации ее комплексных нулей, заимствованной из [6], полный текст представлен в [2]. Результаты работы программы:

*0=0

Действительные части нулей

-0.1225611668766536Е+000 -0.1225611668766536Е+000 -1.754877666246693Е+000

Мнимые части нулей -0.7448617666197442Е+000 0.7448617666197442Е+0000 -7.26930856140886Е-025

Значения функции

0 0

4.930380657631324Е-032

¿о=0,5

Действительные части нулей

-2.441060425769888Е-003 -2.441060425769928Е-003 -1.643631238249555Е+000

Мнимые части нулей 0.7075437141566238Е+000 -0.7075437141566236Е+000 -5.763887175046068Е-025

Значения функции

1.198580545593659Е-032 1.292112280099887Е-032 1.414600481228698Е-032

t0 = 0,52

Действительные части нулей

1.968544044461239Е-003 1.968544044461239Е-003 -1.635195054987958Е+000

Мнимые части нулей 0.7067622791769481Е+000 -0.7067622791769481Е+000 -1.687839654727799Е-024

Значения функции

2.050622270892236Е-032 2.050622270892236Е-032 1.140242480122837Е-031

¿о = 0,54 Действительные части нулей

-1.626516820047087Е+000 6.339850707861848Е-003 6.339850707861848Е-003

Мнимые части нулей -2.188143851626041Е-025 0.7060219591098155Е+000 -0.7060219591098155Е+000

Значения функции

1.765078236156591Е-033 2.178911022363577Е-033 2.178911022363577Е-033

- ?л5

0

е

¿0 = °>55 Действительные части нулей 8.510915419381468E-003 8.510915419381468Б-003 -1.62208928288239Б+000

t0 = 0,56

Действительные части нулей

1.06721357480339Б-002 1.06721357480339Б-002 -1.617604040148247Б+000

t0 = 0,6 Действительные части нулей -1.599104337414604Б+000 1.921684118243719Б-002 1.921684118243719Б-002

Мнимые части нулей

0.705666713251407Б+000 -0.705666713251407Б+000 -1.783955765510556Б-024

Мнимые части нулей 0.7053211418023755Б+000 -0.7053211418023755Б+000 -2.57232794487918Б-024

Мнимые части нулей -1.975854586063482Б-024 0.7040315883321171Б+000 -0.7040315883321171Б+000

Значения функции

1.091217283340084Б-033 1.091217283340084Б-033 1.055830083853494Б-031

Значения функции

5.419557929748615Б-034 5.419557929748615Б-034 2.254600545253208Б-031

Значения функции

1.219935354735704Б-031 5.43655116995769Б-034 5.43655116995769Б-034

При < 0,52 все действительные части нулей отрицательны, что свидетельствует об асимптотической устойчивости системы управления. Система является устойчивой при 0,52 < < 0,55, во всех остальных случаях с ростом параметра t0 система может быть неустойчива, но при отдельных значениях параметров может приобретать устойчивость.

В данном примере определялась устойчивость системы управления при вариации одного параметра. Для случая двух и трех варьируемых параметров оценку максимального и минимального отклонения системы от устойчивого состояния можно определить при помощи схемы, где в виде функции на вход метода подается норма решения системы линейных ОДУ. Оценка отклонения от точки покоя выполняется при этом с применением критериев, заимствованных из [1]. Программная реализация данного подхода иллюстрируется в [2].

Компьютеризированный метод позволяет оценить устойчивость синхронного генератора, работающего на сеть большой мощности. Предполагаются следующие ограничения: механическая мощность постоянна; демпфирующая или асинхронная мощность незначительны; напряжение за реактивным сопротивлением модели постоянно; механический угол ротора машины совпадает с углом напряжения за переходным реактивным сопротивлением; нагрузки представлены пассивным сопротивлением, при учете которых данная модель пригодна для анализа устойчивости.

Пример 4. Требуется оценить устойчивость линеаризованной математической модели однородной системы ОДУ, описывающей работу генератора, матрица коэффициентов которой имеет следующий вид [1]:

Г-0.561 0

0

I 0

0 0

10000 10000

матрицы с точностью, включающей знак их действительной части. Фрагмент программы локализации комплексных нулей полинома представлен ниже:

0.6793 0.6099 0 0.4948 0.5463 0 0.952 -0.7494

-13.7658 1.4409 0 3.6163 1.1781 0 8.5472 3.3161

-15.5076 150.1554 0 12.6793 38.9205 0 42.4023 -21.4333

-6.5352 1.1714 2.0723 0.9552 2.2156 0 5.4592 2.3385

5.6334 0.4076 0 16.5675 1.1141 0 -4.2309 10.117

-3.8073 52.627 0 13.1829 156.9117 0 38.8349 68.5987

2.9781 3.9766 0 10.6238 4.7247 -4.4063 5.201 10.7116

0 0 -10000 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 10000 0 0

ойчивости достаточно локализовать комплексные характеристические нули

Блок инструкций метода Леверье на основе формул Ньютона [2]

FOR i:=0 TO n1 DO bd[i]:=pp[n1-i]; FOR i:=0 TO n1 DO bm[i]:=0;

aak:=1e474; bbk:=1e474; x0:=x00; x1:=x11; y0:=y00; y1:=y11; nn0:=n00-3; hh:=nn0*h;

FOR i:=0 TO n1 DO bdv[i]:=bd[i]; FOR i:=0 TO n1 DO bmv[i]:=bm[i];

WHILE x0 <= x11+hh DO BEGIN WHILE y0 <= y11+hh DO BEGIN

FOR r:=1 TO nn0 DO BEGIN x:=x0+r*h; ykk0:=y0; y:=y0; tty:=n00;hy:=h; miny (x,y,min,ee1);

a1[r]:=min END; sort( nn0, a1, e3); k:=1; WHILE k<= nn0 DO BEGIN

FOR r := 1 TO k-1 DO IF abs(e3[k]-e3[k-r]) <= eps0/h THEN GOTO 23;

xk:= x0+E3[K]*h;

FOR r:=1 TO nn0 DO BEGIN y:=y0+r*h; a1[r]:=func(xk,y,bdv,bmv) END; sort( nn0, a1, e33); k1:=1; WHILE k1<= nn0 DO BEGIN FOR r := 1 TO k1-1 DO IF abs(e33[k1]-e33[k1-r]) <=eps0/h THEN GOTO 22; yk:= y0+E33[K1]*h;

eps1:=eps0; eps11:=eps0; xk0:=xk-eps1; xk1:=xk+eps1; hx:=abs(2*eps1)/mm; y:=yk; spuskx(eps1,xk0,xk1,hx,y); yk0:=yk-eps11; yk1:=yk+eps11; hy:=abs(2*eps11)/mm; x:=xk0+ee*hx+eps 1;

spusky( eps11,yk0,yk1,hy,x); eps12:=eps0/2; xk0:=x-eps12; xk1:=x+eps12; hx:=abs(2*eps12)/mm; y:=yk0+ee1*hy+eps11; spuskx( eps12, xk0,xk1,hx,y); eps13:=eps0/2; yk0:=yk0+ee1*hy-eps13; yk1:=yk0+2*eps13; hy:=abs(2*eps13)/mm; x:=xk0+ee*hx+eps12; spusky( eps13,yk0,yk1,hy,x); IF func(xk,yk,bdv,bmv)= 0 THEN begin x:=xk; yk0:=yk; GOTO 21 end; IF abs(func(x,yk0,bdv,bmv)/func(xk,yk,bdv,bmv)) > 0.01 THEN GOTO 22; 21: IF (abs(aak-x) < eps) AND (abs(bbk-yk0) < eps) THEN GOTO 22; IF abs( func(x,yk0,bdv,bmv))>1e-2 THEN GOTO 22;

Результаты работы программы:

Действительные части нулей

-4.58445604293577511E+0000 -2.80568528774483195E+0000 -1.03656895433724402E+0002 -1.66591190983139839E+0002 4.70946395391531174E-0009 -5.27266666666666667E+0000 -5.27266666666666667E+0000 -2.45930000000000000E+0001 -2.45930000000000000E+0001

Мнимые части нулей

-3.65508747547457647E-0026 -2.70958460951182288E-0029 -2.88552909746462807E-0028 -1.75654297877690656E-0023 -1.08753776697701395E-0034 2.29837333333333333E+0002 -2.29837333333333333E+0002 3.46355333333333333E+0002 -3.46355333333333333E+0002

Значения функции

4.86070674693958763E+0038 3.87688758647364437E+0036 5.78024178051377293E+0038 3.64364867607685689E+0035 4.48680606796407673E+0036 5.25425580557896453E+0035 4.57676705867643764E+0033 5.04576930357129645E+0036 3.84764390362970963E+0038

Все собственные числа имеют отрицательные действительные части, следовательно, система асимптотически устойчива относительно состояния равновесия.

Данная программа не отличается быстродействием, но значения нулей получены с точностью порядка 1СГ67. Если упростить программу, убрав спуск по каждой из переменных, то программа будет работать достаточно быстро, при этом полученный результат даст грубое приближение. Данный эксперимент для матрицы

о о о о

о о

1оооо 1оооо

0.6793 0.6099 0 0.4948 0.5463 0 0.952 0.7494

-13.7658 1.4409 0 3.6163 1.1781 0 8.5472 -3.3161

-15.5076 150.1554 0 12.6793 38.9205 0 42.4023 -21.4333

-6.5352 1.1714 0 0.9552 2.2156 0 5.4592 2.3385

5.6334 0.4076 0 16.5675 1.1141 0 4.2309 10.117

-3.8073 52.627 0 13.1829 156.9117 0 -38.8349 68.5987

2.9781 3.9766 0 10.6238 4.7247 0 5.201 10.7116

0 0 10000 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 10000 0 0

влечет следующие значения нулей (код программы полностью дан в [2]):

Действительные части нулей

-4.58445604293577511E+0000 -2.80568528774483195E+0000 -1.03656895433724402E+0002 -1.66591190983139839E+0002 4.70946395391531174E-0009 -5.27266666666666667E+0000 -5.27266666666666667E+0000 -2.45930000000000000E+0001 -2.45930000000000000E+0001

Мнимые части нулей

-3.65508747547457647E-0026 -2.70958460951182288E-0029 -2.88552909746462807E-0028 -1.75654297877690656E-0023 -1.08753776697701395E-0034 2.29837333333333333E+0002 -2.29837333333333333E+0002 3.46355333333333333E+0002 -3.46355333333333333E+0002

Значения функции

4.86070674693958763E+0038 3.87688758647364437E+0036 5.78024178051377293E+0038 3.64364867607685689E+0035 4.48680606796407673E+0036 5.25425580557896453E+0035 4.57676705867643764E+0033 5.04576930357129645E+0036 3.84764390362970963E+0038

Среди нулей есть значение с нулевой действительной частью. Чтобы удостовериться, что нулевая действительная часть не является результатом погрешности данный нуль можно найти с помощью программы поиска действительных нулей [2], поскольку мнимая часть с высокой точностью приближения является нулевой. Получим: 4.70946395391531182E-0009.

Тем самым наличие нулевой действительной части подтверждено с достаточной степенью достоверности. Следовательно, система устойчива относительно состояния равновесия, при этом она не обладает асимптотической устойчивостью.

Следует отметить, что исследования проводились в среде Delphi 7 на персональном компьютере класса Pentium 4, при этом время программного анализа устойчивости для второго случая составило 9 секунд.

Необходимо подчеркнуть, что приведенный анализ выполнен способом, принципиально отличающимся от способа компьютерного анализа устойчивости, который применялся в [1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Буланов С.Г. Разработка и исследование методов программного моделирования устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений на основе матричных мультипликативных преобразований разностных схем: автореф. дис. ... канд. техн. наук. Таганрог: ТРТУ. 20 с.

2. Веселая А.А. Вычисление нулей и экстремумов функций при вариации параметров на основе сортировки с приложением к моделированию устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений: автореф. дис. ... канд. техн. наук. Таганрог: ТРТУ, 2010. 17 с.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 5-е изд. М.: Физматлит, 2004. 560 с.

4. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. 408 с.

5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

6. Ромм Я.Е. Метод вычисления нулей и экстремумов функций на основе сортировки с приложением к поиску и распознаванию. II // Кибернетика и системный анализ. 2001. № 5. С. 81-101.

7. Солодовников В.И. Верхние оценки сложности решения систем линейных уравнений // Теория сложности вычислений. I: Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. Л., 1982. Т. 118. С. 159-187.

8. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. 615 с.

Я.Е. Ромм, В.В. Забеглов

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Введение. В настоящее время интенсивно развиваются исследования в области ортогональных преобразований (ОП) для цифровой обработки сигналов (ЦОС). ОП используются для обработки сигналов, представляющих сейсмические, акустические, биомедицинские данные, а также данные обработки изображений, речевых сигналов, анализа и проектирования систем связи и др. К наиболее часто применяемым относятся преобразования Фурье, Хаара, Уолша, а также