Задача теплопроводности и термоупругости круглой пористой пластины в нестационарном режиме нагрева

УДК 5З9.З

С.М. Шляхов, А.В. Ефремов

ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ КРУГЛОЙ ПОРИСТОЙ ПЛАСТИНЫ В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

НАГРЕВА

На основе вариационных принципов - метода конечных элементов (МКЭ), построено решение нестационарной задачи теплопроводности и соответствующей ей задачи термоупругости для круглой пластинки, изготовленной из пористого материала. Проведен анализ полей температур и напряжений для различных моментов времени и законов пористости.

THE PROBLEM OF POROUS ROUND PLATE HEAT CONDUCTIVITY AND THERMO ELASTICITY IN UNSTEADY HEATING MODE

The present paper studies the approach based on variation principles - a finite element method (FEM), the solution of a unsteady problem of a thermal conduction and thermo elasticity matching it for a round plate manufactured of a porous material. The article demonstrates the analysis of temperatures and stresses for different instants and laws of porosity.

Рассмотрим тонкую пластину радиуса R, выполненную из пористого материала с пористостью, изменяющейся по толщине h. Пластинка может быть как свободной, так и закрепленной по внешнему контуру. Полагаем, что пластинка находится в одномерном поле температур, вызванным внутренним тепловым источником.

На верхнем и нижнем торцах пластинки поддерживаются постоянные и различные температуры. Боковые цилиндрические поверхности теплоизолированы. Теплофизические и механические характеристики материала зависят от местной температуры и пористости (рис. 1). Тепловой режим в пластине - нестационарный.

Решение задачи теплопроводности сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения [3, 7]

Здесь МГР) - коэффициент теплопроводности материала как функция температуры и пористости; Р(2) - объемная пористость; W(TP) - удельная объемная мощность источников тепла; р - плотность материала; Ср - теплоемкость.

В соответствии с [2, 5, 6] аппроксимируем Х(Т,Р), ЩТ,Р) функциями

S.M. Shlyahov, A.V. Efremov

при удовлетворении начальным и граничным условиям

їде t = 0 T(Z) = 0, W = W0,

їде t > О T = T1 їде Z = ОО, T = T2 їде Z = h.

где Рь Рг, ...,уі,у2... - экспериментальные коэффициенты.

Т}

Решение нелинейного уравнения с переменными коэффициентами (1) ищется методом последовательных приближений [8, 9] на основе метода конечных элементов (МКЭ).

В результате получаем алгебраическую систему уравнений относительно узловых температур

ТҐ = « (О,< ’« + ЩЧ + ОДЧ + ТіІГЧ + ОЙЧ + 1 (Ш + ИЖ )), і = 2......п.

( юД+юД Х1к2 + Х 2 КЛ

Здесь

^ ^)Ю1И1+Ю1И1 + ХК + Х 2к1

V

а1 =2

3АГ

+

«2 2"

а4 =

Ь1к2

(X 2 ю2К2 =

К 3Аґ

И1г = г,-+1 - г,., ^2і = ^ - г,-1.

2 +^212 V К2 3Аґ

V

а5 =

3Аґ КК2 )

(Х1 юЛ1 „ = (х1 + юл

Х2 _ Ю2К2 V К2 3Аґ

«6 =

К 3Аґ

Решение системы (3) дает искомое поле температур по высоте сечения к в т-м приближении. Последовательные приближения повторяются до получения заданной точности решения.

В частном случае, при равномерной сетке разбиения к\г=к2=к0, формула (3) обретает

вид

Т ( г) ________

1

2Ь (Ю1 + Ю2 ) + Х1 +Х 2

( ( Ог

2К

(ю 1 + Ю 2 ) - Х1 + Х 2 ^ + Т Х 2 - Ю2К(

'1 1 ^2 3Аґ

К

2 и'2"0

+

К0

3Аг

+Ог 1 (Х2+ЮА^+т

V К0 3 Аґ )

V К0 3Аґ

+ О,.

V К 3Аґ) 2^ 2,

где Лt - шаг по времени; Ф(и) - значение узловой температуры Т- на предыдущем шаге по

времени; Ф(0) - начальные распределения температуры Т- при ^0.

^<>-1) ± >-1) ^>-1) ± /

А!>-1) = —----——, А,(>-1) = —^—-—-— - средние по элементам коэффициенты

р С

. У-^п- ^Н-±^р-±1 Н-ч^р--1 -^р-

теплопроводности; ю1 =-------------—, ю2 =

^ = —-------’ ” І+1—, = ——---'—і-- средние по элементам мощности источников тепла.

Решение задачи термоупругости ищем в квазистатической постановке в фиксированный момент времени, полагая изменение температуры во времени монотонной функцией.

Для поиска температурных напряжений в пластине исходим из посылки, что толщина пластинки мала, и в ней реализуется плоское напряженное состояние. Для общности решения остановимся вначале на случае свободной (не закрепленной) пластинки. Для решения применим приближенный прием, основанный на принципе освобождаемости от связей, и используем конечно-элементный подход.

Рис. 2. Схема нагружения круглой пластины

Представим условно, что плита закреплена по наружному краю радиуса Я. В этом случае в плите возникнут окружные ое и радиальные ау напряжения

О =<=-7^ а

1 -Д

Здесь а(Т) - средний в рабочем диапазоне температур коэффициент линейного расширения материала как функция координаты г

1 т

а

Т Т0 То

где Т0 - начальная температура бруса, принимаемая чаще за ноль; Е(г) - переменный по толщине пластины модуль Юнга, зависящий от пористости и температуры.

На основании [2] представим модуль Юнга и коэффициент Пуассона следующими функциональными зависимостями:

Е ( г) = Е(Т) • Е (Р),

где

К2) = І1 + сіР + с2Р 2 + сзр3 )

Напряжения (5), действующие в заделке, дают результирующее радиальное усилие с интенсивностью

с

и результирующий момент с интенсивностью

тда, = \&г

- 20

где 20 - расстояние от нейтрального слоя до торца плиты (рис. 1). Схема нагружения пластинки представлена на рис. 2.

Если плита свободна по краю, то, пренебрегая краевым эффектом, напряжения в ней получим, добавив к напряжениям (5) напряжения от нагрузок (8), (9), взятых с обратным знаком, т.е. я= -дрез, т= -трез.

Для нахождения этих напряжений по схеме конечных элементов разобьем плиту по ее толщине на п слоев (дисков).

В пределах толщины кг каждого г-го диска полагаем пористость и физикомеханические характеристики материала постоянными, средними по слою.

я

і

Рис. 3. Распределение силового фактора по слоям

Очевидно, что силовой фактор я распределится по слоям в соответствии с жесткостными параметрами слоев при соблюдении равновесия и условий совместности деформаций (рис. 3):

п

Я = ЕЯ и1 = и2 = .. = и = ио.

г=1

Здесь яг - интенсивность радиального усилия, приходящегося на г-й диск; иг -радиальное перемещение г-го диска на контуре г = Р.

По закону Гука радиальное перемещение на внешнем контуре диска определится по формуле

р

иг = Е[а9

На основании (10) и (11) получим

Яг = п

I

(1 -.Ж Ек

к=1 (1 -. к )Иг Е г

Соответственно получим значения радиальных и окружных напряжений в г-м диске от нагрузки яг по формуле

—Яг /1о\

° г

При оценке напряжений, обусловленных краевым моментом т, воспользуемся гипотезой единой нормали для всех слоев (конечных элементов) плиты (рис. 3).

Следуя [4], расстояние "0 от нейтральной поверхности плиты до ее основания определится по формуле

I ЕгКг [21 Кк - Кг

V к-1

21ЕгК

"0 -^------------Vе------------------------------------------------------- •

1 1 к-1

Для изгибной жесткости всего пакета слоев в целом принимается значение [4]

й = И 1 Е

Здесь .0 - приведенный коэффициент Пуассона для всего пакета «слоев» [4]

I . ЕгКг

.0 = “1—------, г = 1,2,•••, n,

IЕК

-1

— Е

где Ei г—— эффективный модуль Юнга^

1 -.

Согласно принятой гипотезе, напряжения, возникающие в нормальных сечениях плиты в слоях, расположенных на расстоянии " от нейтральной поверхности, определяются по формулам

* = * - Ж

1 - « V ёп г )

где угол наклона нормали & определяется из решения задачи изгиба круглой плиты, нагруженной по контуру моментами т [1]

тг

а- т ',

В

На основании (18) формулы для напряжений (17) примут вид

* т"Е (1 + « «\

* ~ (!+«Г )•

Окончательно для свободной плиты будем иметь ап. - а0г - а' + а" + а'", т^

а ТЕ(") яг тЕ "

а-а0 , -----к^. + .21_ +--------------------------------------г-•

п г 1 -.

п

При наличии подвижной заделки, разрешающей радиальное перемещение, но запрещающей поворот, в формуле (20) убирается последнее слагаемое. В случае жесткой заделки в формуле (20) остается лишь первое слагаемое.

Примеры расчетов круглой пластины

Проведем практическое исследование полей температур и напряжений круглой пластины, выполненной из пористого железа. Толщина пластины к=0,02 м, И<<Я.

Температурное поле вызвано внутренним тепловым источником с удельной

объемной мощностью Жо=275000 кВт .

м  К

На верхней границе сечения пластины поддерживается постоянная температура Т=120°С, на нижней границе Т=20°С. Боковые поверхности теплоизолированы. Приведены три закона изменения пористости, распределение пористости по высоте сечения непостоянное:

1

0,9

0,8

0,7

£ 0,6 I-

о 0,4 с

0,3 0,2

0,1 0

Рис. 4. Закон изменения пористости по высоте сечения

1. Л= 0%.

2. Р2= -0,00033 г2 + 0,01716 г 0,01683.

3. Рз= 0,00003 г3 - 0,00234 г2 + 0,06084 г - 0,05853 (рис. 4).

Количество разбиений (дисков) по толщине к принято п=50. Поля температур и напряжений приведены на рис. 5-6 для случая закрепления пластины по схеме скользящей заделки. На всех графиках по оси абсцисс показан номер конечного элемента (т.е. координата по радиусу).

Выводы:

Получено решение нестационарной задачи теплопроводности и термоупругости для круглой пластины для различных способов закрепления пластины. Оценено влияние закона изменения пористости, закона изменения температуры и способа закрепления пластины на НДС плит. Установлено, что влияние пористости при нестационарном режиме нагрева на НДС существенно и требует обязательного учета при расчетах и проектировании различных конструкций.

а

Q,Q1 с — — Q,4 с —  -1,3 с 3 с

б

в

Рис. б. Поле температур: а - Р1= Q%; б - Po= -Q,QQQ33 z2 + Q,Q1716 z - Q,Q1683; в - P3= Q,QQQQ3 z3 - Q,QQ234 z*2 + Q,Q6Q84 z - Q,Q5853

Q,Q1 с — — Q,4 с —  -1,3 с —— 3 с

го

1=

400

300

200

100

О

-100

-200

-300

-400

/

1 1 3

0,01 сек.

0,4 сек.

1,3 сок.

3 сек.

500

400

300

гз

{и

* О

сс

о.

% -100 х

-200

-300

-400

1 1 \ з X 1 '*-,4

0,01 сек.

0,4 сек.

1,3 сек.

3 сек.

800

600

400

200

О

-200

-400

-600

—

1 1 1 2 1 4 X 7 1 ч/у

7\:

\

Рис. 6. Поле напряжений: а - Р1= 0%; б - Р2= -0,00033 г + 0,01716 г - 0,01683; в - Рз= 0,00003 г3 - 0,00234 г2 + 0,06084 г - 0,05853

а

б

в

ЛИТЕРАТУРА

1. Бояршинов С.В. Основы строительной механики машин / С.В. Бояршинов. М. Машиностроение, 1973. 456 с.

2. Кашталян Ю.А. Характеристики упругости материалов при высоких

температурах / Ю.А. Кашталян. Киев: Наукова думка, 197G. 112 с.

3. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности /

Л.А. Коздоба. М.: Наука, 1975. 228 с.

4. Королев В.И. Упругопластические деформации оболочек / В.И. Королев. М.: Машиностроение, 1971. 3G4 с.

5. Литовский Е.Я. Теплофизические свойства огнеупоров / Е.Я. Литовский,

Н.А. Пучкелевич. М.: Металлургия, 1982. 152 с.

6. Чиркин В.С. Теплофизические свойства материалов / В.С. Чиркин. М.: Мир, 197G. 356 с.

7. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности / П. Шнейдер. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 196G. 479 с.

8. Шляхов С.М. Задача термоупругости для балки-пластины из пористого материала в одномерном поле температур / С. М. Шляхов, Э. Ф. Кривулина // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2GG3. С. 58-63.

9. Шляхов С.М. Термоупругое состояние балки-пластины из пористого материала в нестационарном поле температур / С.М. Шляхов, А.В. Ефремов // Авиакосмические технологии «АКТ-2006»: труды седьмой Междунар. науч.-техн. конф. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2GG6. С. 355-36G.

Шляхов Станислав Михайлович -

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры «Механика деформируемого твердого тела и прикладная информатика»

Саратовского государственного технического университета

Ефремов Андрей Владиславович -

аспирант кафедры «Механика деформируемого твердого тела и прикладная информатика» Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 17.04.07, принята к опубликованию 03.07.07