Оптимальное проектирование тяжелых козловых кранов с использованием метода граничных элементов

МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 621.873

Л.В. Барановская, А.П. Кобзев ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТЯЖЕЛЫХ КОЗЛОВЫХ КРАНОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Рассмотрена методика инженерного расчета на оптимальность металлоконструкции тяжелого козлового крана, приведена математическая модель оптимизационной задачи в виде функции цели и ограничений-неравенств, указан метод ее решения. Компоненты напряженно-деформированного состояния, используемые в задаче, найдены непрямым методом граничных элементов (МГЭ). Указаны преимущества МГЭ перед широко применяемым методом конечных элементов.

Козловые краны, оптимальное проектирование, условная оптимизация, метод конечных элементов, метод граничных элементов.

L.V. Baranovskaya, A.P. Kobzev HEAVY ANGLE CRANES OPTIMAL DESIGN

WITH THE HELP OF BORDERLINE ELEMENTS METHOD

The method of engineering account of heavy angle crane metal frame capacity is described in the article. The author shows a mathematical model of an optimal task that is represented as purpose and limit of inequality function, the solution of which is given. The components of pre-stressed deformation, used in the task, are found with the help of irregular method of borderline elements. The theoretical base and algorithm of the mentioned method are described in the article. The advantages of the above method in comparison with the method of final elements are pointed out.

Angle cranes, optimal designing, conditional optimization, the method of borderline elements, the function of Green.

В настоящее время оптимальное проектирование находит все более широкое распространение в подъемно-транспортном машиностроении. Выбор оптимальных схем для тяжелых козловых кранов особенно важен, т.к. они изготавливаются в единичном или в мелкосерийном производстве, нет возможности изготовления опытных образцов для проведения испытаний и исследований. Как отмечено в работе [4], схемы металлоконструкций тяжелых козловых кранов можно разделить на семь основных типов. Оптимизационные методы позволяют выбрать наилучшую схему металлоконструкции

крана. Сравнение нескольких вариантов металлоконструкций и выбор среди них наилучшего производится по критерию оптимальности, в качестве которого для тяжелых козловых кранов с достаточной точностью можно брать металлоемкость

металлоконструкции [4].

Методика инженерного расчета на оптимальность требуемой металлоконструкции крана состоит из следующих шагов:

I. Анализ технического задания.

В техническом задании указываются основные параметры крана:

грузоподъемность, высота подъема груза, длина пролета, количество тележек и т.д. Металлоконструкции тяжелых козловых кранов в основном выполняются из листового прокатного материала и имеют прямоугольные поперечные сечения, которые обладают меньшей трудоемкостью изготовления вследствие более простой сборки и применения автоматической сварки. Кроме того, коробчатая металлоконструкция позволяет использовать внутренние полости для расположения электроаппаратуры.

II. Выбор схемы металлоконструкции крана.

На этом этапе основные схемы металлоконструкций кранов приводятся к единым исходным техническим параметрам согласно техническому заданию, т. е. к единой грузоподъемности, высоте подъема груза, длине пролета и т. д.

Для каждого крана решается оптимизационная задача:

Выбирают в качестве неизвестных задачи - Ьг, Ъг, 8Пг, 8Сг (ширину и высоту сечения, толщину пояса, толщину стенки сечения г-го элемента, г = 1, 2,...,п, где п - число элементов металлоконструкции). Для простоты вычислений выбирают одинаковую толщину левой и правой стенок, а также толщину верхнего и нижнего поясов.

Требуется найти значения неизвестных, при которых целевая функция (металлоемкость конструкции без учета ребер жесткости) достигает наименьшего значения:

т = Е У' рг '1 =Е У' 2•

г=1 г=1

где у - плотность материала, из которого изготовлена металлоконструкция; 1г - длина г-го элемента металлоконструкции; / = Ь 8]г + Ъ 8^ - 2 51г 8Сг - площадь поперечного сечения.

При этом решение должно удовлетворять ограничениям в виде неравенств:

2 + 3Ет2 <[a],

уёа1У1

Ь

где Еаг - сумма нормальных напряжений от изгибающих моментов, продольной силы,

стесненного изгиба и кручения; Ет - сумма касательных напряжений от поперечных

сил, крутящего момента, стесненного кручения; иг - прогиб в г-м стержне (г = 1, 2, ..., п). Неравенства (2), (3) являются ограничениями по прочности и статической жесткости.

Для определения внутренних усилий и деформаций, используемых в условиях оптимизационной задачи, широко применяется метод конечных элементов (МКЭ), базирующийся на представлении конструкции в виде совокупности отдельных элементов, соединенных в конечном числе узловых точек. В настоящее время МКЭ достиг такого уровня развития и популярности, что трудно представить метод, способный составить конкуренцию.

В данной методике предлагается новый метод расчета напряженно-деформированного состояния конструкции крана - непрямой метод граничных элементов (МГЭ). Теоретические основы и алгоритм МГЭ рассмотрены в работе [2]. Основное преимущество нового метода расчета состоит в том, что он позволяет найти компоненты НДС в виде непрерывных функций или функций с точками разрыва 1-го рода (скачками).

Для задач оптимального проектирования такие решения наиболее удобны, т.к. позволяют точно найти экстремальные точки по следующей схеме:

• Найти производные функций.

• Найти точки, где производные равны нулю или не существуют.

• Найти значения функций в точках, где производные равны нулю, и в точках, расположенных на расстоянии ±8 (в —— 0) от точек, где производные не существуют.

• Сравнить полученные значения и найти наибольшее.

В математическом пакете МаШсаё с помощью встроенных функций можно найти точки максимума и минимума, что значительно упрощает решение. Найденные наибольшие значения сравниваются с допустимыми значениями в неравенствах (2), (3).

Рис. 1. Схема козлового крана К2х190

Например, при расчете козлового крана К2х190 (рис. 1) прогибы иу, щ в верхней балке (рис. 2) определяются по методу граничных элементов следующими функциями: иу(х) = Оу(х 0) ф(0) + Ку(х 0) |Д(0) + Оу(х,12) ф(12) + Ку(х 92) |Д(92) +

+ Оу (х, 92) ф(0) + Ку (х, 92) |Д(92) + Оу (х, 104) ф(104) + Ку (х, 104) |д(104) +

+ Оу (х, 27) Р1 + Оу (х,47) Р1 + ОуЧ (х) ц,

Щ (х) = Ог (X, 0) ф(0) + Кг (^ 0) К0) + Ог (х,12) ф(12) + Кг (х,12) К12) +

+ О2 (х, 92) ф(0) + Кг (х, 92) |д(92), где Р1 = -2156000 Н/м, ц = -21,4 Н/м2, I = 104 м - длина балки; Е - модуль упругости; Зу, Зг - моменты инерции изгибе стержня; Од (х, £) , Ог (х, £), Кй (х, £), Кг (х, £), Оуц (х) -

функции Грина, представляют собой перемещения в точке х в направлении осей координат от единичной сосредоточенной силы, момента, приложенных в точке £, и от равномерно распределенной нагрузки цу, интенсивность которой равна единице. Определяются по формулам:

(X, $) =

13

12 ЕЗ,

2+

х Ч

I

-3

х-^

I

, О,(х,£) =

I

3

(

Ку (х, $) =

12

12 ЕЗ.

хЧ

хЧ

12 ЕЗ

2

2+

- 3

у

х ч

х Ч

I

-3

х Ч

2 Л

+ 2

3

3

I

I

-/2

к-(х’Е) = Т2ЕГ88п(х’Е)'

х-Е

/

х -Е

/

- 3

х -Е

/

+ 2

G (х, /) = 1 (2х4 -4/х3-6/2х2 +8/3х+5/4),

48Е З,

функция sgn(х, Е) =

1,

-1, Г О

іа

апее

апёе

X О .. О .. О Г \

поаааёша

х >Е,

х < Е,, но

х = Е,

х-Е /

sgn(х, Е) = 0, при х = Е .

ф(Е), д(Е) - фиктивные нагрузки, приложенные к балке, определяются в результате расчета методом граничных элементов и имеют значения:

фу (0) =-36757, фг (0) =-2247547, фу (12) = 2266, ф г (12) = 6515314,

фу(92) = 9602, фг(92) = 4761378, фу(104) =-31880, фг(104) =-2210068 ,

ду(0) = 15993728, дг(0) = 3221314, ду(12) =-2828358, д г (12) = -170128,

ду(92) = 2864031, дг(92) =-90534, ду(104) =-8901036, дг(104) =-2447504 .

Полный прогиб в балке определяется по формуле:

и(х) = 4щ2у(х) + и2(х) •

Максимальный прогиб балки найден с помощью встроенной функции МаШсаё, имеет место в сечении с координатой х = 47,3 м и равен и(х) = 0,236 м.

Графики функций иу(х), и2(х), и(х), описывающих прогибы верхней балки крановой конструкции, показаны на рис. 3.

2

и13у

0.05

0

-0.05

-0.1

-0.15

-0.2

-0.25

26

52

х

78

104

0.05

0

и13г (х) 0.°1 -0.15 -0.2 -0.25

26

52

х

78

104

Рис. 3. Прогибы балки по направлениям осей координат, полный прогиб

0

0

Оптимизационная задача (1)-(3) является задачей условной оптимизации с ограничениями в виде неравенств. Решение ее методом прямого поиска Хука - Дживса показано в работе [4] и доказаны преимущества указанного метода перед другими.

В результате проведенных расчетов выбирается кран (или несколько кранов) с наименьшим значением металлоемкости.

III. Синтез выбранной схемы крана.

На данном этапе анализируется оптимальность выбранной схемы крана, что особенно актуально для сложных схем металлоконструкций, имеющих дополнительные элементы - консоли, подкосы. Эти элементы не влияют на значения основных параметров технического задания и вводятся для обеспечения условий прочности металлоконструкции, устойчивости стенок и сжатого пояса. Оптимальность схемы зависит от решения вопроса необходимости самих элементов и оптимальности их геометрических размеров.

На данном этапе также решается оптимизационная задача подобная (1)-(3), но берется целевая функция, включающая в себя металлоемкость металлоконструкции крана с учетом ребер жесткости:

т = І [У • 2 •

і=1

где т1і, т2і, т3і - металлоемкость поперечных, продольных, коротких ребер жесткости,

которые устанавливаются согласно существующим нормам.

В качестве неизвестных берутся длины консолей и подкосов 1г, входящих в схему крана. Значения ширины Ьг и высоты Иг сечения, толщины 5Пг пояса, толщины 5Єі стенки сечения г-го элемента схемы берутся из решения задачи (1)-(3) предыдущего этапа

исследования.

Требуется найти значения неизвестных 1г, при которых достигается минимальное значение функции цели (4).

При решении задачи берется большее количество ограничений, чем в предыдущей:

уёа1Уг

<[о]

пг — < I

П0г =

<[ат ],

1 ^ п,

V °ёд у

V хёд у

г <[г ].

Неравенство (7) является ограничением прочности сжатой стенки сечения, имеет место для кранов, мост которых работает на кручение и рельс грузовой тележки устанавливается над стенкой; осм - напряжение смятия под ходовым колесом, [асм] -допускаемое напряжение смятия для материала стенки. Данное ограничение позволяет уточнить толщину сжатой стенки.

Неравенство (8) является ограничением по местной устойчивости балок кранов. При невыполнении этого условия устанавливаются ребра жесткости и увеличиваются толщины стенок и поясов.

Неравенство (9) является ограничением динамической жесткости; г - время затухания собственных колебаний крана, [г] - допустимое время колебаний.

Задача (4)-(9) может быть решена методом Хука - Дживса. Элементы НДС определяются методом граничных элементов, как было указано в предыдущей задаче. В результате решения получаются оптимальные длины подкосов и консолей крана.

IV. Выбор оптимальных сечений элементов металлоконструкции крана.

Как было отмечено, металлоконструкции тяжелых козловых кранов в основном выполняются из листового прокатного материала и имеют прямоугольное поперечное сечение.

Выбор оптимального сечения элементов металлоконструкций является оптимизационной задачей с переменными:

Ьг-, Ь - ширина и высота сечения,

8яЯг, §ЯВг - толщины нижнего и верхнего поясов,

§сли §ст - толщины левой и правой стенок сечения /-го элемента схемы.

Функция цели будет иметь вид:

т

-Z [У h

i-1

В качестве ограничений задачи берутся неравенства (5)-(9).

V. Выбор оптимальной схемы металлоконструкции крана.

В результате решения трех оптимизационных задач могут быть признаны оптимальными несколько металлоконструкций кранов. Окончательный выбор происходит после сравнения суммарных затрат на изготовление, монтаж, обслуживание кранов по формулам, приведенным в [4]. Выбирается кран, для которого эти затраты будут наименьшими.

Таким образом, приведенная методика расчета на оптимальность металлоконструкций показывает, что преимущество МГЭ - возможность нахождения необходимых компонентов перемещений и сил в любом сечении конструкции - позволяет точно и достаточно легко найти точки с наибольшими значениями этих компонентов. При этом размерность матриц задачи определения НДС невелика. При аналогичном размере матриц метод конечных элементов даст решения только в граничных точках стержней схемы металлоконструкции. Для достижения более точного результата МКЭ необходимо ввести дополнительные точки разбиения схемы, что ведет к увеличению матриц решения. При этом попадание в максимальную точку носит случайный характер, следовательно, требуемая точка может быть пропущена.

Решение оптимизационных задач с применением МГЭ упрощается, т.к. ограничения - неравенства могут быть легко проверены. Поэтому его можно рекомендовать для решения задач оптимального проектирования пространственных металлоконструкций, применяемых в краностроении.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А.В. Сопротивление материалов / А.В. Александров, В. Д. Потапов, Б.П. Державин. М.: Высшая школа, 2000. 560 с.

2. Барановская Л.В. Теоретические основы применения метода граничных элементов к расчету пространственных крановых металлоконструкций / Л.В. Барановская // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. № 1. С. 48-54.

3. Бенерджи П. Методы граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд. М.: Мир, 1984. 494 с.

4. Кобзев А.П. Оптимальное проектирование тяжелых козловых кранов / А.П. Кобзев. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. 160 с.

Барановская Лариса Вакифовна -

ассистент кафедры «Высшая математика и механика» Балаковского института техники, технологии и управления (филиала) Саратовского государственного технического университета Кобзев Анатолий Петрович -доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой

Baranovskaya Larisa Vakifovna -

Assistant of the Department

of «Higher Mathematics and Mechanics»

of Balakovo Institute of Engineering,

Technology and Management (affiliated branch) of Saratov State Technical University

Kobzev Anatatoly Petrovich -

Doctor of Technical Sciences, Professor,

Head of the Department

«Яодъемно-транспортные, строительные и дорожные машины»

Балаковского института техники, технологии и управления (филиала) Саратовского государственного технического университета

of «Pick-andplace Construction

and Road Machinery»

of Balakovo Institute of Engineering,

Technology and Management (affiliated branch) of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 08.12.08, принята к опубликованию 25.02.09