Адаптивные модели прогнозирования налоговых показателей

УДК 519.87: 336.22

Адаптивные модели прогнозирования налоговых показателей

Рассматриваются алгоритмы адаптивной идентификации дискретных систем с распределенным лагом. доказана ограниченность траекторий адаптивной системы идентификации. Полученные результаты применяются для построения адаптивных моделей прогнозирования изменения ввП, а также объемов экспорта и импорта. Приведены результаты моделирования.

Ключевые слова: налоговый показатель; адаптивный алгоритм; идентификация; математическая модель; прогнозирование.

The paper considers algorithms for adaptive identification of discrete systems with distributed lag. It shows the boundedness of trajectories in adaptive identification system. The results may be applied to build adaptive models for predicting changes in GDP, as well as in the volume of exports and imports. The results of simulation are presented.

Keywords: tax rate; adaptive algorithm; identification; mathematical model; prediction.

Карабутов Николай Николаевич

д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры «Математи-ка-2» Финансового университета, лауреат Государственной премии Российской Федерации в области науки и технологий E-mail: kn22@yandex.ru

Методы идентификации и прогнозирования налоговых показателей

Одной из основных задач, стоящих перед государством, является обеспечение стабильного поступления налогов в федеральный и региональные бюджеты, что немыслимо без прогнозирования собираемости налогов посредством применения математических моделей, адекватно отражающих состояние налоговой системы и позволяющих разрабатывать сценарии принятия решений.

Налоговые показатели описываются с помощью различных статистических методов. Так, для моделирования налоговых показателей с целью получения кратковременных прогнозов используется экстраполяция, а долговременных прогнозов — метод

экспертных оценок. Социально-экономические прогнозы обычно обосновываются посредством применения экономико-статистических (эконо-метрических) методов; математических процедур обработки экспертной информации; методов прогнозирования на основе дескриптивных моделей (статических и динамических). Так как используемая официальная методика прогнозирования НДС в Российской Федерации носит детерминистский характер [1], особое значение приобретают экзогенные параметры расчетов, величина которых определяется на основе экспертных оценок.

Используемые методы прогнозирования во многом зависят от имеющейся информации. Применяемые в Российской Федерации методики основаны на анализе различных макроэкономических показателей. В [2] отмечается, что прогнозирование налоговых поступлений (в Российской Федерации) проводится на основе макроэкономических показателей, и ведущую роль при определении величины налоговых доходов государства играют экономические факторы, воздействующие на изменения базы налогообложения и на величину эффективной ставки: месячный реальный ВВП (оценка влияния экономической активности), индекс потребительских цен (используется в качестве дефлятора), динамика инфляции, совокупная дебиторская задолженность за вычетом

просроченной задолженности покупателей (характеризует динамику расчетов между предприятиями). Применение рассмотренных методов прогнозирования на основе указанной информации сопровождается возникновением таких рисков [1], как чрезвычайно сильное влияние субъективных экспертных оценок, несовершенство прогнозирования по методу эффективной ставки, недостаточный эконометрический учет специфики взаимного влияния фискальных и макроэкономических показателей.

Анализ методов идентификации эконометри-ческих моделей в условиях неопределенности показывает их невысокую эффективность, связанную с неучетом факторов, которые могли бы существенно повысить прогнозирующие свойства моделей. Одним из наиболее существенных факторов, влияющих на выбор математической модели, является учет переменных, между которыми существует высокая взаимосвязь. Это так называемая проблема мультиколлинеарности [3], рассматриваемая многими исследователями, занимающимися проблемами статистики и эконометрики. Для ее решения предлагается наиболее простой способ — исключение коррелирующих факторов. Но такой подход не всегда продуктивен [4] и часто приводит к дефициту структурной информации. Как показывают исследования, это справедливо для изучаемой предметной области.

В эконометрике для построения математических моделей при наличии лаговых переменных применяются различные априори задаваемые зависимости, описывающие закон изменения коэффициентов при лаговых переменных. Это так называемые параметрические схемы [5, 6], отражающие изменение коэффициентов модели. При этом на коэффициенты налагается ряд ограничений, которые не всегда выполняются на практике. В настоящее время задание параметрических законов изменения коэффициентов при распределенном лаге является доминирующим в эконометрике. В основном применяются различные модификации схем Койка, Фишера и др. с целью уменьшения числа оцениваемых параметров. Предлагаемые подходы ориентированы на идентификацию параметров с помощью метода наименьших квадратов или максимального правдоподобия [6]. В условиях априорной неопределенности такая схема идентификации не всегда является эффективной и требует проведения дополнительных трудоемких исследований.

Для решения существующих проблем, присущих параметрическим схемам, применяются модели адаптивных или рациональных ожиданий [6]. Другие подходы к оценке параметров используются нечасто. Одним из перспективных подходов к оценке параметров является адаптивный подход, который применяется для построения моделей, описывающих изменение экономических показателей. При этом априори задается параметрическая схема изменения коэффициентов модели, что позволяет минимизировать число настраиваемых параметров. По результатам моделирования подбирается структура модели. Во всех работах, посвященных анализу моделей с распределенным лагом, используется статистическая трактовка входных и выходных переменных. Из них следует, что оценка параметров систем с распределенным лагом в большинстве случаев базируется на реализации различных параметрических схем, что позволяет уменьшить число оцениваемых неизвестных параметров. Но при таком подходе параметрическая ошибка (далее — ПО) между параметрами модели и системы не минимизируется. Для этого применяются различные подходы, основанные на преобразовании лаговых переменных. В условиях априорной неопределенности реализация такого подхода требует проведения предварительного моделирования с целью формирования исходной схемы изменения параметров. Далее предполагаемая схема корректируется на основе уточнения исходных предположений. Поэтому задача минимизации ПО в рамках такой парадигмы не всегда корректна.

Ниже предлагается адаптивный подход к идентификации параметров системы с векторным входом. При этом не делается предположений относительно статистических свойств входных и лаговых переменных, а также возмущений. Дано решение задачи выбора способов уменьшения влияния взаимосвязей лаговых переменных на свойства адаптивного алгоритма. Рассмотрен случай, когда существует взаимосвязь возмущения с выходной переменной системой. Для обеспечения сходимости адаптивных алгоритмов в системе идентификации в этом случае введен адаптивный наблюдатель возмущения. В работе не рассматривается задача структурной идентификации системы с распределенным лагом. Для выбора структуры модели применяются результаты, полученные в [7-9].

Постановка задачи

Рассмотрим систему

у = Ати + ВТХ + ^ ,

п п п ^ п ' V /

где уп е R — выход; Лп е Rk — вектор входа, элементы которого являются ограниченными, предельно невырожденными функциями; п е - [0,N — дискретное время, N ; X - X (и е^ , у ) е Rm — вектор распределенных лагов по и. е^ и у ; А е , В е Rm — векторы

п 4 I ,п п'-'п' гггг^ I ,п п у п ' ' г

постоянных параметров, ^п е R — внешнее возмущение, | ^п |< то для всех п е JN. Под системой будем понимать математическое уравнение, которое описывает налоговый показатель.

Для системы (1) известны множество измеренных значений

1о = { Vn е М

и отображение Г0 : |?7п } Vn е JN, описывающее наблюдаемый информационный портрет

[10].

Необходимо на основе анализа 10 оценить множество параметров системы (1). Рассмотрим сначала методы и алгоритмы параметрической идентификации системы (1), а затем применим их для построения моделей прогнозирования налоговых показателей.

Адаптивная идентификация параметров при отсутствии взаимосвязи лагов в хи

Рассмотрим случай отсутствия взаимосвязи лаговых переменных. Для идентификации системы (1) применим модель

у = АТи + ВТ.х. ,

п п-1 п п-1 I,п > V /

где уп е R — выход модели, Ап_1 е Rk, Вп_1 е Rm — векторы настраиваемых параметров модели. Обозначим ошибку прогнозирования налогового показателя уп (1) через еп - уп - уп. Она удовлетворяет уравнению

е -8АТ Л +8 Вт.X. +&

п п-1 п п-1 I ,п ^п' V /

где 5 Ап - Ап - Ап, 5 В п - Вп - В п — параметрические ошибки.

Рассмотрим функцию Ляпунова (ФЛ) Уе п - е2п. Определим адаптивные алгоритмы из условия устойчивости системы (1), (3): ДКе п - V - V, п-1 < 0. Они имеют следующий вид:

5А = 5 А . -ГАе Л ,

п п-1 А п п * V /

5 В = 8 В . - Гяе X. ,

п п-1 В п [,п> \ /

где ГА е Rkxk, ГВ е Rmy'm — диагональные матрицы с у.. А > 0, у „ В > 0.

Матрицы ГА, ГВ обеспечивают сходимость алгоритмов (5), (6) при наличии возмущений. Из (5), (6) получаем адаптивные алгоритмы настройки параметров модели (3):

А = А ,+Г.еЛ ,

п п-1 А п п 9 V /

В = В , +Гйе X. .

п п-1 В п I ,п \ /

Обозначим 5 Нп - |5 АЩ ,5 ВЩ ^ , Кп - ^иЩ, ХТп ^ , Г = ГА + ГВ. Тогда (7) и (8) запишем в виде

8Н=§Н, -Ге К ,

п п-1 п п ' V /

где + — знак прямой суммы матриц.

Сходимость (7), (8) вытекает из следующего утверждения.

Теорема 1. Пусть: 1) возмущение ^п в (1) ограничено ||п| < и для Vn > 0, где о> 0 — некоторое число; 2) существуют функции ¥е п, ¥5 п - |б Н п || , где ||-|| — векторная норма; 3) у 1к+т < Г < у 1к+т, где у = Лт|п(Г), у = ^(Г) — минимальное и максимальное собственные числа матрицы Г; 4) векторы ип, Х.п являются кусочно-непрерывными функциями п, удовлетворяющими условию предельной невырожденности

ап < К КТ < а,I.,

0 (к\т) п п 1 (к+т)>

где ао,а1 — некоторые неотрицательные числа, !{к\т) Е R{k^m)Уik^m) — единичная матрица,

Кп = [иТХТп,]Т, К||2 < р2 < ^ для Vn > 0.

Тогда все траектории системы (1), (3), (5), (6) ограничены и справедливы оценки ки2 ки2

5,п 1 > е ,п

1 -ц

к

е

—2п4

если у а0 < 1 + у Р , 0 <ке < 1, где

0

г , л

ц = 1 -у «0 + у2р4,р2

^ + 2у2

чР

= к, КТГК , Кг,ГК <0 ,

' п п * п-1 п 9

ке = 1+ 0- 20 -0, к = 0 + 0, 0> 0, ||Г||<л.

Из теоремы 1 следует, что алгоритмы (7), (8) настройки параметров модели прогнозирования налогового показателя уп сходятся, если ип, Х1 п являются ограниченными, предельно невырожденными вектор-функциями. Другими словами, для них должно выполняться условие (10). Предельные свойства полученных оценок параметров и ошибки еп прогнозирования налогового показателя уп зависят от мощности действующего возмущения ^п. Если условие (10) не выполняется, для оценки работы адаптивной системы должен применяться подход, предложенный в [10]. Свойства алгоритмов существенно зависят от начального приближения.

Рассмотрим информационную мощность [11] возмущения ^п:

1 N

В, = N § *.

Если ^п является случайной помехой с нулевым средним, то Н^ совпадает с дисперсией ^п. Из теоремы 1 следует известный результат об асимптотической оценке для параметров системы (1).

Изложим подход, позволяющий сократить число настраиваемых параметров модели для системы (1) для случая X п - Хи . Он заключается в апостериорном задании оценок для вектора Нв - В, введенного выше. Эти оценки служат основой для построения базовой модели системы. Затем выполняется «доводка» базовой модели с целью получения адекватной математической модели.

Пусть число ш лаговых переменных определено с помощью метода, предложенного в [7, 8]. Для формирования вектора НВ применим алгоритм АНВ. Его суть состоит в том, что сначала с помощью метода наименьших квадратов (далее — МНК) ищутся секущие уу х , уу и для налогового показателя уп на заданном множестве факторов х] п, и1 п, влияющих на его изменение. Так, для показателя ВВП это могут быть объемы экспорта и2 и импорта и3. Для каждой секущей уу х и уу и определяются коэффициенты детерминации гу2х , г2и и задается некоторое неотрицательное число ф. На основе коэффициентов секущих и подхода, предложенного в [7, 8], формируется оценка НВ вектора Н в (7) — (9).

Для повышения точности прогноза налогового показателя уп с помощью модели (3) с вектором НВ введем параметр лп. В результате получим следующую прогнозирующую модель для уп:

у„ - л Жк ,

•'В ,п 'п-1 В п>

где лп е R — настраиваемый параметр модели, УВп — выход модели, оценивающей значение налогового показателя уп в момент времени п. Вектор НВ е ^^+ш определяется с помощью алгоритма АНВ.

Обозначим через еВ п - уп - уВ п ошибку прогнозирования налогового показателя (1). Рассмотрим ФЛ Ке п - е2вп.Из условия устойчивости системы (1), (12) находим алгоритм настройки мультипликативного параметра лп:

л -л , + У е„ НТК - -п , + у е„ к ,

*п 'п-1 * л В,п В п 'п-1 * - В,п п

где у_ > 0 — параметр, обеспечивающий сходимость алгоритма (13), кп = НТКп.

Алгоритм (13) обеспечивает минимизацию критерия

Запишем выражение для ошибки прогнозирования еВ п показателя уп:

еп =5HT К ,

В,п В,п-1 п ~п >

где ЪHB,n-1 = H "Лп-1НВ .

Теорема 2. Пусть: 1) существует ограниченный вектор Hв, полученный с помощью алгоритма AHB ; 2) выполняются условие 4 теоремы 1. Тогда алгоритм (13) сходится при

у <

' л

2 2 е2 -и

В

2 о2 '

еВ Р

В

и справедлива оценка

К. <

ки

,п Уц(а0 -у/)'

если

„. I лЛ - 1

Из теорем 1, 2 следует, что сходимость алгоритмов (7), (8) достигается при удовлетворении входа К п условию (10). Алгоритмы сходятся на заданном множестве начальных условий и позволяют получить

истинные оценки параметров системы (1). Объясняется это тем, что адаптивные процедуры представляют собой разностные уравнения первого порядка относительно настраиваемых параметров модели (4), что справедливо и для модели (12) с алгоритмом (13).

В реальных условиях адаптивный алгоритм (13) при действии ^п обеспечивает выполнение следующего условия для ошибки прогнозирования: |еВ I < (^п), где 5^ > 0 — некоторая заданная величина. Если это условие не выполняется, модель (12) следует преобразовать, Так, можно ввести два мультипликативных настраиваемых параметра т) 1 п_1, г| 2 п_1. При этом методика построения модели прогнозирования изменения налогового показателя уп не претерпит изменения.

При таком подходе речь может идти только о минимизации ошибки прогнозирования еВ п налогового показателя уп. Применение данного подхода справедливо в случае, если к точности параметрического оценивания не предъявляются высокие требования. Это значит, что такие модели могут применяться для определения тенденции изменения налогового показателя уп.

идентификация параметров при наличии взаимосвязи лагов

Рассмотрим случай, когда существует взаимосвязь лаговых переменных. Такая ситуация может возникнуть, например, когда для прогнозирования ВВП используются лаговые значения объема импорта.

При наличии лаговых переменных для идентификации параметров системы широко применяют метод главных компонент [12], который сводится к преобразованию входных переменных для исключения существующей взаимосвязи. При этом данный метод требует проведения ряда предварительных этапов и не всегда применим в реальных условиях.

Замечание 1. Часто при построении регрессионных и авторегрессионных моделей применяется метод адаптивных ожиданий [6], который основан на прогнозе исходных факторов с помощью фильтра экспоненциального сглаживания (рекурсивного фильтра первого порядка). Причем такой фильтр не является адаптивным.

Далее применяется подход, основанный на преобразовании входных лаговых переменных модели, которое исключает взаимосвязи лагов. В качестве новых переменных используются разности распределенного лага х1 п :

г - х.. - х.., ,

I ,п I,] ,п I,]+1 ,п '

где х( п — компонента вектора X. п.

Замечание 2. Некоторые авторы [6] применяют такую процедуру для исключения связи между лагами зависимой (прогнозируемого налогового показателя) переменной уп. Такой подход справедлив при оценке параметров с помощью МНК. Получаемая при этом модель не является динамической, что следует учитывать при выборе адекватных методов идентификации.

Выбор подлежащих преобразованию компонент вектора X. п зависит от свойств налогового показателя. Обычно такому преобразованию подвергаются лаговые переменные с большой величиной лага.

Техника адаптивной идентификации в этом случае ничем не отличается от подхода, изложенного выше.

адаптивная идентификация системы с лагом по Хуп

Пусть вектор Хп - Ху п, Ху п - |^уп_1,..., уп _к J . Это означает, что налоговый показатель описывается авторегрессионным уравнением (1). Далее предполагается, что возмущение ^п линейно взаимосвязано с выходом уп.

Для идентификации налогового показателя (1) применим модель

у. = АТЛ + Вт, Х. + 4,

4,п п-1 п п-1 у,п -п V /

где п е R — оценка возмущения, Ап,Вп — векторы настраиваемых параметров, Xy,n = [у^,п-1' —' у£,,п-к ] — вектор распределенных лагов по у^п.

Пусть для системы (1) имеется информационное множество 10.

Необходимо с помощью модели (15) на основе анализа 10 оценить множество параметров, описывающих изменение налогового показателя уп (1), и получить оценки возмущения ^п.

Покажем сначала, как определить наличие взаимосвязи между ^ и уп. Для этого можно воспользоваться модификацией процедуры, предложенной в [8].

В условиях априорной неопределенности для установления существующей взаимосвязи налогового показателя уп с ^п применим наблюдатель для ^п .Обозначим через е^ п - уп - у^ п ошибку прогнозирования уп с помощью модели (15). Пусть 4И -%п е и г (15) запишем в виде

у = Ат л + Вт X- + 1 е ,,

£,,п п-1 п п-1 у,п ^п-1 ^,п-1' V /

где X п_1 — настраиваемый параметр.

Такой подход справедлив в случае, если ошибка прогнозирования е^ п1 сохраняет свой диапазон изменения. Так как в процессе адаптации она изменяется, то е^ п будет содержать искаженную информацию о возмущении.

Поэтому в качестве носителя информации о при прогнозировании налогового показателя уп следует взять переменные еп или £еп.Перепишем (16) следующим образом:

ур = АТЛ + В.т1 X. + . ,е .

£,,п п-1 п п-1 у,п ^п-1 п

Уравнение для ошибки прогнозирования уп имеет вид:

еР = 8АТ Л + 8ВТ1X. +8^ ,

£,,п п-1 п п-1 у,п ^п '

где - £ -у ,е .

^ ~п ~п -1 п

Алгоритмы адаптации параметров модели для оценки налогового показателя у п имеют вид

А = А ,+Т.ег Л ,

п п-1 А п > V /

В = В , + ГН ^ X ,

п п-1 В у,п>

Хп = Хп-1 + У/^«,

где ГА, ГВ, у^ — матрицы, обеспечивающие сходимость алгоритмов.

Из (17) — (19) нетрудно получить зависимости для 8Ап, 8 Вп. Они описывается уравнением (9) с е п = е^п. Для 5 хп =Х~Хп справедлив алгоритм

8х =8 у , - у е. е ,

Кп Г^п-1 1 X п >

где X — некоторое число такое, что £„. В силу выбора £„ алгоритм (20) не всегда является

работоспособным. Но пока считаем, что это соотношение выполняется.

Алгоритмы (17) — (19) сходятся при выполнении следующего условия:

^2п2 , .2 2

2я>у2р2 + у>2,

если |еи| < ц < то для Vn > 0, а п - тт(у.

Рассмотрим случай, когда £n не выполняется. Такая ситуация типична при математическом

моделировании налоговых показателей. Поэтому считаем, что

S^n = ^n - Xn-ln = SXn-ln + l

где |eJ <цх, > 0 — некоторое число.

£% характеризует неопределенность, возникающую из-за отсутствия достоверной информации о возмущении. Нетрудно заметить, что в этом случае свойства системы идентификации налогового показателя yn можно оценить с помощью теоремы 2. В силу наличия неопределенности в (21) параметр у% в (19) будем подбирать из условия минимизации ошибки прогнозирования налогового показателя yn:

2

minec ^у*.

у 1 х

Итак, рассмотрены методы адаптивного прогнозирования налоговых показателей, описываемых уравнениями с лаговыми переменными и действующими возмущениями. Относительно возмущения делаются различные предположения и показывается, как они отражаются на свойствах как адаптивных алгоритмов, так и системы прогнозирования налоговых показателей.

адаптивные модели прогнозирования налоговых показателей

Применим полученные выше результаты для построения моделей, описывающих изменение налоговых показателей. Рассмотрим информационный массив I0, содержащий данные об основных макроэкономических и налоговых показателях за 2004-2012 гг., который включает следующие показатели: ul — ВВП (млрд руб.), u2 — экспорт (млрд руб.), u3 — импорт (млрд руб.), u4 — занятость (млн человек), u5 — индекс потребительских цен (%), u6 — поступления НДС (млн руб.), u7 — возмещения НДС (млн руб.).

В качестве выходных показателей рассмотрим ВВП (y1 = ul) и импорт (y2 = u3). Выбор структуры моделей, отражающих изменение указанных показателей, описан в [9].

1. ВВП. Для описания изменения ВВП применим адаптивную модель

У = b ,У, ,+ a u + a u + b u ,.

-r1,n 1,n-^1,n-1 2,n-1 2,n 3,n-1 3,n 2,n-1 2 ,n-1

Для настройки параметров модели (22) используем алгоритмы (7), (8). Матрицы = diag(0,00007; 0,00001), ГA = diag(0,000021; 0,000018).

п

Рис. 2. Результаты работы системы в выходном пространстве модели

Заметим, что для описания ВВП применяется авторегрессионное уравнение первого порядка. Если применять регрессионную модель, как принято в эконометрических исследованиях, то в силу наличия автокорреляции сходимость алгоритмов (7), (8) не обеспечивается.

Результаты настройки параметров модели показаны на рис. 1. Полученная адаптивная модель имеет следующий вид:

у. = 0,76у 1 + 0, 02и2 + 0,074и3 - 0,03и2 1.

1,п ' 1,п-1 ' 2 ,п ' 3,п ' 2,п-1

Выход модели (22) и показатель ВВП представлены на рис. 2. Максимальное значение относительной ошибки прогнозирования для п > 30 не превышало 4%. Коэффициент детерминации равен 0,99.

На уровень ВВП, как показывают результаты анализа, существенное влияние оказывает занятость населения. В результате структурной идентификации была синтезирована зависимость:

120

80 -

40 -

0

у = 0,6662х - 4,6461 R2 = 0,9691

у = 9,9747е0,0173х R2 = 0,9238

у = 0,3194х11415 R2 = 0,9745

20

40

60

80

100

120

140

О Импорт

Степенная

---Экспоненциальная

—Линейная

160

0

Рис. 3. Результаты работы модели

y, = b, ,y, ,+ а. ,и. .

J 1,n 1,n-1-/1,n-1 4 ,n-1 4 ,n

Получены следующие оценки коэффициентов модели — b1 n1 =0,98, а4 n1 - 0,01. Коэффициент детерминации равен 0,98.

2. Импорт. Для анализа эффективности работы экономики часто необходимо сопоставлять взаимосвязи таких показателей, как объемы импорта и экспорта. Как показывают результаты моделирования, такая связь существует и описывается нелинейной степенной адаптивной моделью

и = а .и?"-1,

3,n n-1 2,n > V-"^/

где an1 ,ß n1 — настраиваемые параметры модели. Здесь не приводятся адаптивные алгоритмы для оценки параметров, так они имеют вид, аналогичный (7), (8). Получены следующие оценки — an - 0,319, ßn1 = 1,14. Из (23) следует, что импорт составляет почти третью часть экспортных поступлений страны.

На рис. 3 показаны результаты работы модели (23) и ее сравнение с линейной и экспоненциальной моделями. По линейной модели импорт составляет две трети экспорта, но при этом необходим учет постоянного смещения, которое в конечном счете приводит к тому же соотношению между рассматриваемыми показателями. Из (23) нетрудно получить зависимость между экспортом и импортом.

Быводы

В статье предложены методы адаптивного прогнозирования налоговых показателей, описываемых уравнениями с лаговыми переменными с действующими возмущениями. Доказана ограниченность траекторий адаптивной системы идентификации. Полученные результаты применяются для построения адаптивных моделей прогнозирования изменения ВВП, а также объемов экспорта и импорта.

Литература

1. Джигир Ю. Методы налогового прогнозирования и оценки. URL: http://fisco-id.com/download. php?m=an&l=ru&id=106 (дата обращения: 28.10.2013).

2. Мальцева Е.Д. Методика прогнозирования налоговых поступлений в федеральный бюджет РФ в условиях экономического кризиса // Материалы научно-практической конференции Территориального органа федеральной службы государственной статистики по Челябинской области «Современная статистика в диалоге с обществом». Челябинск: ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет», 2009.

3. Mosteller, J.W. Tukey, Data analysis and regression: a second course in statistics, Addison-Wesley Publishing Company, London. 1977.

4. Karabutov N.N. About structures of state systems identification of static object with hysteresis // International journal sensing, computing and control. 2012. Vol. 2. No. 2. P. 59-69.

5. Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980, 444 c.

6. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. М.: Статистика, 1976. 325 с.

7. Karabutov N.N. Structural identification of static systems with distributed lags // International journal of control science and engineering. 2012. Vol. 2. No. 6. P.136-142.

8. Karabutov N.N. Structural identification of systems with distributed lag // International journal of intelligent systems and applications. 2013. Vol. 5. No. 11. P. 1-10.

9. Карабутов Н.Н. Математические модели прогнозирования налоговых показателей // Экономика. Налоги. Право. 2013. № 6. С. 115-121.

10. Карабутов Н.Н. Адаптивная идентификация систем: информационный синтез. М.: УРСС/ Ком-Книга, 2006. 384 с.

11. Карабутов Н.Н. Структурная идентификация систем: анализ информационных портретов. М.: УРСС, 2009. 176 с.

12. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика. 1987. 351.