Двухсекторные варианты неоклассической модели экономического роста

ИСТОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МЫСЛИ

Д-р экон. наук А. С. Квасов А. С. Красильников

ДВУХСЕКТОРНЫЕ ВАРИАНТЫ НЕОКЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА

В статье исследуется роль двухсекторных моделей в развитии теории экономического роста. Рассматривается несколько двухсекторных вариантов неоклассической модели, предложенных Х. Узавой, выделяются их отличительные особенности. Особое внимание уделяется методологии Узавы, которая послужила основой для дальнейшего развития теории роста.

Неоклассическая теория экономического роста достигла своего расцвета в 60-е гг. XX вв. В это время сложились два основных направления теории роста. Одно включало в себя последовательные исследования в области эндогенизации нормы сбережений, которые проводились Д. Кассом и Т. Купмансом. Одновременно с направлением, изучавшим проблемы эндогенизации нормы сбережений в рамках модели Солоу - Свана, появились исследования, посвященные двухсекторным модификациям неоклассической модели. Следует заметить, что эти модели отличались активным использованием математических абстракций для анализа феномена экономического роста, что, вероятно, послужило одной из причин того, что экономисты и историки науки уделяли им незаслуженно мало внимания. Наибольшую известность получила модель японского экономиста Хирофуми Узавы, выделявшего в экономике два сектора, - инвестиционные товары и предметы потребления. В модели предполагается, что норма амортизации капитала постоянна, темп роста рабочей силы экзогенно задан и постоянен. Кроме того, вводится жесткое предположение о том, что доход производителей полностью используется для приобретения инвестиционных товаров, а доход работников тратится на покупку предметов потребления. Предполагается также, что производственная функция является неоклассической [4. С. 40].

Каждый сектор характеризуется своей производственной функцией. Пусть Кх,Ц) - производственная функция в секторе инвестиционных товаров, а К2, Ь2) - функция, описывающая производство

предметов потребления. Здесь К1 и К2 - объемы капитальных средств, используемых соответственно в секторе инвестиционных товаров и в секторе потребительских товаров. Аналогично под Ц и Ь2 понимается рабочая сила, занятая в этих секторах. Узава использует стандартные неоклассические предположения об отсутствии эффекта масштаба и убывающей предельной производительности факторов производства. Так как отсутствует эффект масштаба, производственную функцию можно записать в интенсивной форме:

У = /, (г) = Г (г ,1),

где г = К / Li - капиталовооруженность /-го сектора.

Как было замечено ранее, в каждый момент времени предложение труда экзогенно и неэластично. Также в каждый момент времени в экономике имеется неэластичный запас капитала, который определенным образом распределяется между секторами. Для описания механизма распределения введем следующие обозначения: Р1 - цена инвестиционных товаров, а Р2 - цена предметов потребления. Отметим, что в данном контексте под ценой понимается некоторый агрегированный индекс цен, посчитанный по сектору в целом. Очевидно, что произведение цен товаров и предельной производительности капитала равно норме дохода на капитал. Если последнюю обозначить через q, то мож-

дГ

но записать следующее равенство: Р—- = q,i = 1,2. Аналогично, если

дКг

н - ставка заработной платы, то она будет равна произведению цены

дГ

товаров и производительности труда, т. е. Р—- = н, г = 1,2. По сути,

дЦ

эти два уравнения представляют собой условия равновесия на рынке труда и капитала. Обозначим отношение между ставкой заработной

_ н дГ дГ

платы и нормой дохода на капитал через с. Тогда с =— = —г-/—-.

q дЦ дКг

Учитывая, что Г (К, Ц) = Lifi (£г) и г = К /Ц , получим выражение:

с д[Ц^(г)] д[(г)] f (Г) + ^ '(г)К/Ц2) ¿ы Г1 1 2 дЦ дК, Ц^ '(г)• (1/Ц) f '(г) г' ' '

Получено выражение для ставки заработной платы. Из этого уравнения для любого с можно найти оптимальную капиталовооруженность для определенного сектора. Это означает, что с задает равновесное распределение труда и капитала между секторами.

Поскольку, по предположению модели, работники тратят свои доходы на предметы потребления, а не инвестируют их в производство, выполняется равенство Г2У2 = н'Ь . Подставим в это уравнение выраже-

дГ

ние для полученное ранее: Р2У2 = Р2—-Ь. Для удобства обозначим

дЬ2

долю рабочей силы в /-ом секторе через р. После преобразований

Ь2./2 (г2 ) = [/2 (г2 ) - Г2/2 ХГ2 )] Ь °Р2У2 (г2 ) = /2 (Г2 ) - Г2-/2 '(Г2 ) . Поскольку производители используют весь капитал в первом секторе и не тратят средства на потребление, стоимость всех произведенных инвестиционных товаров должна равняться доходу на весь вложенный капитал, т. е. РД = цК. Подставим в это уравнение выражение для q, полученное ра-дГ

нее: РД = Р —^К . Отсюда РД = Р1/1'(г1)К о = /'(^Ж . Тогда

дК1

после деления обеих частей на Ь уравнение примет вид Р1 /1(г1) = / '(г>. В итоге, модель на данном этапе может быть описана следующей системой уравнений [4. С. 42]:

/

_ г, / = 1,2

/ '(Г) Р/М) = /1 ,(г1)г

Р +Р2 =1

По сути, получена модель общего равновесия Вальраса в миниатюре. Основной переменной модели является а - отношение ставки заработной платы и нормы дохода на капитал. Именно от значения этой переменной зависит распределение капитала и труда между секторами, а также соотношение уровней цен. Как уже было замечено, каждая а однозначно определяет уровень капиталовооруженности в отдельном секторе. Этот процесс можно описать с помощью обратной функции Г = г (а), которая может быть получена из первого уравнения системы. Так, доля рабочей силы в секторе инвестиционных товаров может быть определена после подстановки первого уравнения во второе уравнение / '(г ) г г

системы: р1 = ——1— =-. Аналогично для второго сектора

/1

Тогда, принимая во внимание третье уравнение рассматриваемой системы, получим

г .+1 _ г2

Отсюда г =-г2(с).

с+ г1

Таким образом, равновесное значение с можно получить, решив это уравнение. Описание части модели, относящейся к общему равновесию, на этом можно считать завершенным.

Смысл ее сводится к следующему: в экономике экзогенно задается величина рабочей силы и начальный запас капитала; в результате рыночных процессов устанавливается равновесное значение с, которое определяет равновесное распределение труда и капитала, и, следовательно, равновесное соотношение цен в секторах. Одной из выходящих переменных модели является выпуск инвестиционных товаров, который определяет величину капитала на следующий период. Поскольку труд является экзогенным параметром, процесс «нащупывания» будет регулярно повторяться [2. С. 49] .

Для построения модели роста проанализируем динамику капитала. С одной стороны, норма дохода на капитал составляет q. Значит, при использовании К единиц капитала совокупный доход составит qK . По предположению модели, эта сумма реинвестируется в производство, т. е. на нее закупаются инвестиционные товары по цене Р . В этом случае капитал в экономике увеличится в следующем периоде на гК / Р1 единиц. Однако инвестиционные товары подвержены амортизации. Пусть мгновенная норма амортизации равна м. Тогда реальный

,-К

мгновенный прирост капитала составит К '(^) =--/К (^). Поделив

Р

обе части на К(¿), получим выражение для темпа роста капитала К '(^) q

К ( ) = - - Как и в оригинальной модели Солоу - Свана, предположим, что темп роста труда задается экзогенно и равен п, т. е.

Ц Ц)

—— = п.

щ)

Перейдем к темпу роста капиталовооруженности:

г Ц) = К '(;) Ц(;) _ К (г) ц '(/) • до = ш _ ДШ = ± _и_ п г (Г) Ц2(Г) К (Г) К (Г) Ц(() Р .

дГ

Учитывая условие равновесия, согласно которому ц = Р1 —-, по-

1 дК1

лучим следующее дифференциальное уравнение, описывающее динамику капиталовооруженности:

—— = /1

где г = г^а);

а - равновесное отношение между ставкой заработной платы и нормой дохода на капитал, которое зависит от агрегированного уровня капиталовооруженности г.

Теперь можно найти значение капиталовооруженности, характерное для траектории равновесного роста. На этой траектории темп роста капиталовооруженности должен быть равен нулю, а производство должно увеличиваться таким образом, чтобы доход на душу населения оставался постоянным. Тогда г '(^) / г^) = 0 о / '(г1) = п + /и. В этом уравнении г1 = г1(а), но а в свою очередь зависит от агрегированного уровня капиталовооруженности, который в данном случае можно назвать сбалансированным и обозначить г *. Очевидно, что, если процесс

*

экономического роста начнется со значения г , то капиталовооруженность не будет меняться во времени, и, следовательно, а также будет константой.

В заключение рассмотрим вопрос о том, приближается ли экономика к сбалансированной траектории и является ли такое динамическое равновесие устойчивым. Для этого сначала выясним, имеет ли основное уравнение решение относительно а , а именно:

г = а +г1

момент времени капиталовооруженность г задана и является определенным числом. Таким образом, задача сводится к исследованию уравнения г = щ(а) на разрешимость. Узава вводит предположение о том, что сектор предметов потребления всегда является более высококапи-талоинтенсивным, чем сектор инвестиционных товаров, т. е. г1(а) < г2(а) для всех а из области определения. Благодаря этому предположению с помощью арифметических операций он доказывает, что производная ц/'(а) положительна. Это значит, что правая часть уравнения представляет собой возрастающую функцию. Очевидно, что уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда константа г пересечется с рассматриваемой функцией, т. е. если г будет принад-

лежать отрезку [у(0), . Решение уравнения с зависит только от

капиталовооруженности г, поэтому равновесное значение с можно записать как функцию от г, т. е. с = с(г) .

Теперь, когда установлено, что равновесная с существует и притом только одна, можно перейти непосредственно к анализу условия сбалансированного роста, а именно определить, когда уравнение У1'(г1) = п + / имеет решение. Для этого рассмотрим более подробно левую часть. Учитывая, что г1 = г1(с) , с = с (г), левая часть может быть записана так: /'[г1(с(г))]. Для того чтобы исследовать эту сложную функцию, проанализируем поведение составляющих функций. Так как г = у(с), то ю = щ~1(г), тогда по теореме об обратной функции

ё<с= йу (г) = 1/^1(с) > о. Этим установлено, что с(г) - возрастаю-йг йг

щая функция. Исследуем поведение функции г1(с). Вначале было по-

/

лучено следующее соотношение между г1 и с : с = ——1— г . Отсюда

/А г1)

йг [ /'(К) ]2 о с

—= —----> 0. Следовательно, г (с) - строго возрастающая

йс _/1

функция. Вторая производная /1 ''(К1) отрицательна в силу закона убывающей предельной производительности, поэтому / '(К1) - убывающая функция. Поскольку с(г) и г1(с) - строго возрастающие, /'[г1(с(г))] - строго убывающая функция относительно г . Это значит, что уравнение /1'[г1(с(г))] = п + и имеет единственное решение, если выполняет-

ся следующее условие: (п + и) е

11ш /'

Следовательно,

при данном условии всегда существует сбалансированный агрегированный уровень капиталовооруженности г , к которому экономическая система приближается в долгосрочном периоде. Как показал Узава, важным условием существования и единственности сбалансированной капиталовооруженности является то, что сектор предметов потребления более высококапиталоинтенсивен, чем сектор инвестиционных товаров [4. С. 45]. Однако следует заметить, что это условие является достаточным, но не необходимым для стабильности равновесной траектории.

Модель, построенная Узавой, с одной стороны - попытка детализировать модель Солоу - Свана, а с другой - она использовала слишком жесткое предположение о том, что работники тратят заработную плату исключительно на потребительские товары, а производители направ-

ляют прибыль только на приобретение инвестиционных товаров. Это было отмечено многими экономистами, в том числе и Робертом Солоу. В частности, Фрэнк Хан писал: «Предположения, необходимые для обеспечения единственности мгновенного равновесия, ужасны» [1. С. 345]. Результатом усилий по отказу от нереалистичного предположения стала модель Узавы, построенная им через год.

Во второй модели Узавы использовались основные положения первой модели, за исключением предположения о характере сбережений, вместо которого Узава вслед за Солоу ввел дополнительную переменную - норму сбережений. Формально это выразилось в том, что вместо уравнений P2Y2 = wL и P1Y1 = qK Узава вводит следующее условие:

p(t )Y(t) = sY (t),

где p(t) = P(t)/P2 (t);

s - норма сбережений;

Y (t) - валовой национальный продукт в количественном выражении, где за единицу измерения взяты потребительские товары, т. е.

Y (t) = Y2(t) + p(t )Y(t).

Ставку заработной платы w и норму прибыли на капитал q определяют, как и в первой модели, исходя из предположения о совершенной конкуренции [5. С. 106]. Единственным отличием является то, что вместо стоимостного измерения используется натуральное, причем единица измерения - потребительские товары. В этом случае можно

dF dF

записать следующие соотношения: w(t) = —- = p(t)—1 и

dL2 dL1

dF dF

q(t) = —— = p(t)—-. Исходя из этих равенств p(t) можно интерпрети-

дК2 дК1

ровать как цену предложения капитала, т. е. такую цену инвестиционного товара, которая была бы достаточной для побуждения каждого производителя в секторе инвестиционных товаров произвести дополни-

f '

тельную единицу того же товара. Отсюда p = ———. Обозначим через

f1ri)

yi валовой продукт /-го сектора на единицу рабочей силы. Тогда

yi = f (ri)pi, i = 1,2. Для единообразия выразим доли рабочей силы в

секторах р2 и р1 через показатели капиталовооруженности

r - r r2 - r P2 =-L и Pi =~-.

r2 - ri r2 - ri

Учитывая уравнение, полученное в первой модели, и вновь введенные предположения, запишем систему уравнений, характеризующую состояние равновесия

/

а =

--г-, i = 1,2

/'(г-) Р = /2'(г2)//1'(г1) У = У2 + Р • У

у = т) ; у 2 = т)

г2 - г1

г - г

г2 - г1

{РУ1 = ЯУ

Как и в первой модели, после подстановки первых четырех уравнений системы в пятое можно получить основное соотношение

[г2(а) + а]-[ г1(а) + а]

г + а =

я [г2 (а) + а ] + (1 - ^) [г1(а) + а ]

Из этого уравнения единственным образом определяется равновесное отношение между ставкой заработной платы и нормой дохода на капитал н, которое зависит только от агрегированного уровня капиталовооруженности г, причем, чем больше значение г, тем больше а [5. С. 108-109]. Это логично с экономической точки зрения: если значение г возрастает, то в экономике становится больше капитала и относительно меньше труда, что приводит к росту спроса на рабочую силу, в результате чего увеличивается заработная плата, а следовательно, растет отношение а .

По-прежнему для более детального анализа модели необходимо сделать предположение о том, что сектор предметов потребления является более высококапиталоинтенсивным, чем сектор инвестиционных товаров, т. е. г2(а) > г1(а) для У а > 0. Это предположение позволяет нам установить характер зависимости валового продукта на душу населения от отношения а . Для начала запишем у как функцию от а . Для этого подставим второе и четвертое уравнения системы в третье, и, учитывая первое уравнение системы, получим у = /2'(г2) • (а + г). Для получения экономической интерпретации этого уравнения выполним следующие преобразования:

(

у = Л'( г2) • (а+г) = ц

Л

н К — +—

V Ц Ь у

о У = нЬ + цК .

По сути, это частный случай закона Вальраса, согласно которому полная ценность пользующихся спросом товаров равна общей ценности

предлагаемых товаров. Для установления характера зависимости у от

л ч, Р (г2(с)_г1(с)) -с найдем производную (1п у) =--—--^. Заметим, что знак

производной определяется знаком выражения [ г2(с) _ г1(с)]. Таким образом, если гипотеза о более высокой капиталоинтенсивности сектора предметов потребления верна, то ВНП на душу населения является возрастающей функцией от отношения зарплаты и нормы прибыли на капитал [5. С. 110].

Все вышеперечисленные рассуждения относились к характеристике модели для состояния краткосрочного равновесия. Теперь можно перейти к описанию процесса экономического роста. Как и в первой модели, динамику капитала отражает следующее дифференциальное уравнение: К '(^) = У1_/К (^). Тогда динамика капиталовооруженности

. г Ц) К Ц) Ц Ц) у1

может быть описана так: -=---= —- _ и _ п . Для детализа-

г(0 К(0 Ц(0 к

ции этого уравнения с учетом нововведений второй модели подставим

выражение у = р/1'(г1) • (с+ г) в пятое уравнение системы:

у1 = = я/1'(г1) • (с + г). Уравнение для капиталовооруженности при-Р

мет вид г ) = я/1'(г1)• с + г _и_п. Таким образом, удалось показать г ^ ) к

зависимость изменения капиталовооруженности во времени от нормы сбережений. Очевидно, что стационарная траектория во второй модели Узавы характеризуется следующим условием:

г ) ^ г I/ \ с + г

—^ = 0 о / '(г )--= и + п .

г(Г) 11 к

Как и в первой модели, под г* будем понимать сбалансированный уровень капиталовооруженности, соответствующий условию стационарности. Узава формально доказал, что при условии выполнения гипотезы о капиталоинтенсивности сектора предметов потребления для каждого значения нормы сбережений я всегда найдется единственное сбалансированное значение уровня капиталовооруженности г* . Кроме того, он показал, что при выполнении указанной гипотезы и постоянной норме сбережений капиталовооруженность г будет стремиться к сбалансированному уровню г * в долгосрочном периоде [5. С. 112].

В результате отказа от неправдоподобного предположения о характере распределения доходов и введения постоянной нормы сбережений выводы модели не изменились. Однако Узава понимал, что в дей-

ствительности норма сбережений не является константой. Поэтому он и предпринял попытку ее эндогенизации в рамках своей модели с тем, чтобы проверить, сохранятся ли полученные выводы в этом случае. Узава предположил, что норма сбережений в момент времени г зависит от рыночной ставки процента и ВНП на душу населения, т. е.

я (г) = g (р(г), у (г)), где р(г) - рыночная процентная ставка в момент времени г;

g (•) - некоторая функция.

В условиях совершенной конкуренции производство новых инвестиционных товаров будет увеличиваться до тех пор, пока предельная эффективность капитала не будет равна ставке процента, доминирующей на рынке. Очевидно, что предельная эффективность капитала определяется будущей нормой прибыли и ожидаемыми ставками дисконтирования. Пусть ц(г,У) - прогнозируемая норма прибыли через V периодов на капитальный товар, произведенный в момент времени г. Уза-ва предположил, что будущая норма прибыли зависит от текущей нормы прибыли имеющегося капитала и от производства инвестиционных товаров, т. е.

ц(г ,у) = <(г ,у, ц(г), г (г), уг(г)),

где <() - некоторая функция, которая выражает связь между будущей нормой прибыли и текущими экономическими условиями [5. С. 113].

Очевидно, что спрос на капитал определяется будущей отдачей от капитала, дисконтированной с учетом амортизации и рыночной процентной ставки. Спрос на капитал равен дисконтированной сумме ожидаемых будущих поступлений в каждый момент времени. Поскольку в модели время рассматривается как непрерывная величина, сумма заменяется своим непрерывным аналогом, а именно определенным несобственным интегралом. Исходя из этого спрос на капитал можно записать

ад

в следующем виде: (г) = |ц(г,у)в~{м+р))уёу. Предложение капитала

0

задается уже известной величиной ц(г). Тогда производство инвестиционных товаров У, (г) будет определяться из условия равновесия на рынке капитала, которое задается уравнением ц(г) = (г). Таким образом, модель замкнулась: для любых начальных К(г) и Ь(г) в рамках заданной системы соотношений определяются равновесные цены и количества, в частности, объем производства инвестиционных товаров. Можно схематично описать функционирование модели: в каждый момент времени в экономике имеется определенный уровень капиталовооруженности к и норма сбережений я; на основании этих значений из

основного соотношения определяется равновесное отношение между ставкой заработной платы и нормой дохода на капитал с, соответствующее заданному я; затем из второго, третьего и четвертого уравнений системы определяются равновесное отношение цен р =р(я), норма дохода на капитал q = q(s), ВНП на душу населения у =у(я) и производство новых инвестиционных товаров в расчете на душу населения у1 = у1 (я) ; исходя из полученных значений определяется значение будущей нормы прибыли q(t,у), после чего из условия равновесия q(t) = qD ^) находится равновесная ставка процента р = р(я) . В следующем периоде определяется новая норма сбережений из полученных значений процентной ставки и ВНП на душу населения, и в модели выполняется следующая итерация.

Узава доказал, что рассмотренная модель имеет единственное решение и равновесную траекторию, характеризующуюся равновесным значением капиталовооруженности, к которой стремится экономика. Однако по-прежнему в качестве достаточного условия для этих утверждений выступает гипотеза об относительно высокой капиталоинтен-сивности сектора потребительских товаров по сравнению с сектором инвестиционных товаров. Другим традиционным ограничением модели является предположение о неоклассических свойствах производственных функций, включающих отсутствие эффекта масштаба. Определенного внимания также заслуживает попытка Узавы по эндогенизации нормы сбережений. Его рассуждения в целом протекают в русле кейн-сианской парадигмы, однако он не смог учесть качественные факторы, которые, по мнению Кейнса, влияли на норму сбережений. С одной стороны, такой подход к параметру я - это шаг вперед по сравнению с его экзогенной трактовкой, а с другой - модель Узавы, по сути, продемонстрировала невозможность удовлетворительной формализации концепций Кейнса без привлечения других теорий.

В 1964 г. появились новые модели Узавы и Сринивасана [3. С. 358-373], в которых делался отказ от предположения об относительно высокой капиталоинтенсивности сектора потребления. Пытаясь избежать этого допущения, совершенно неоправданного с точки зрения экономического смысла, Узава и Сринивасан приблизились к новой методологии построения моделей роста, которая используется и по сей день. Узава в своей статье «Оптимальный рост в двухсекторной модели накопления капитала» предложил использовать абстракцию субъекта социального планирования, задачей которого является максимизация суммарного объема потребления населения. Узава считал показателем благосостояния населения потребление, дисконтированное к текущему моменту времени по соответствующей ставке дисконта д. Если траек-

тория удовлетворяет обычным условиям модели Узавы, то она называется допустимой. Если допустимая траектория максимизирует потребление, то она называется оптимальной [6. С. 3]. Формально целевой интегральный функционал можно записать в следующем виде:

Это означает, что приведенная стоимость потребления на душу населения максимизируется на бесконечном временном горизонте. Такая оптимизационная задача решается с помощью уравнений Эйлера, аналогично модели Купманса - Касса. Важное достоинство модели состоит в том, что даже при отказе от жесткого предположения о капита-лоинтенсивности сектора потребительских товаров сохраняется свойство стабильности траектории, благодаря использованию условия оптимальности. Безусловно, эта модель не лишена недостатков. Во-первых, происходит максимизация потребления на душу населения, а не полезности этого потребления. Это некорректно, так как в каждый момент времени человек делает выбор между сиюминутным потреблением и сбережениями, которые в будущем могут доставить ему большее удовлетворение. Во-вторых, стабильность в этой модели отличается от ее общепринятого толкования. Используя математическую терминологию, можно сказать, что в данном случае мы имеем дело со стабильностью седловой точки. На практике это означает, что если вначале будут иметься произвольные уровни капиталовооруженности г и отношение нормы заработной платы и прибыли с, то экономика не сможет автоматически выйти на оптимальную траекторию. Напротив, со временем система будет от нее удаляться. Только при установлении определенных начальных условий экономика будет стремиться к стационарному состоянию.

Отметим, что двухсекторные модели роста не получили большой популярности. Исследования в этом направлении практически прекратились в 70-х гг. XX в. Однако попытки, направленные на эндогениза-цию нормы сбережений и использование критериев оптимальности, оказали влияние на общую методологию исследований, посвященных экономическому росту. Методология двухсекторного анализа Узавы впоследствии активно использовалась К. Шеллом при изучении влияния научных исследований на экономический рост. Кроме того, Узава, по сути, приблизился к решению проблемы эндогенизации нормы сбережений, которая в окончательном виде была решена Д. Кассом и Т. Купмансом.

Список литературы

1. Hahn Frank H. On Two-Sector Growth Models // Review of Economic Studies. 1965. Vol. 32 (№ 92).

2. Solow R. Note on Uzawa's Two-Sector Model of Economic Growth // Review of Economic Studies. 1961.Vol. 29. October.

3. Srinivasan T. N. Optimal Savings in a Two Sector Model of Growth // Econometrica. 1964. Vol. 32.

4. Uzawa H. On a Two-Sector Model of Economic Growth // Review of Economic Studies. 1961.Vol. 29. October.

5. Uzawa H. On a Two-Sector Model of Economic Growth II // Review of Economic Studies. 1963. Vol. 30.

6. Uzawa H. Optimal Growth in a Two-Sector Model of Capital Accumulation // Review of Economic Studies. 1964. Vol. 31.