РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

УДК 622 Сырлыбаев А.Р., Чигиринский В.В.

Сырлыбаев А.Р.

магистрант кафедры высшей школы металлургии и горного дела Рудненский индустриальный университет

Чигиринский В.В.

док. тех. наук, кафедры профессор высшей школы металлургии и горного дела Рудненский индустриальный университет

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Аннотация: на базе метода аргумент функций и метода функций комплексного переменного получены обобщающие решения плоской задачи теории упругости с использованием инвариантных дифференциальных соотношений, способных замкнуть результат для поставленной системы уравнений. Исследовано напряженное состояние упругого полупространства под действием массивного тела в условиях шероховатой контактной поверхности. Проанализированы распределения нормальных и касательных напряжений в глубине массива.

Ключевые слова: теория упругости, аргумент функции, соотношения Коши-Римана, уравнения Лапласа, граничные условия.

В механике грунтов рассматриваются общие закономерности взаимодействия под нагрузкой горных пород разной деформируемости, устойчивости и прочности.

Для создания математической модели напряженно деформированного состояния грунтов используются разные направления механики сплошной среды: теоретическая механика, теория упругости, пластичности, теория динамических процессов и т.д. Предварительный анализ показывает, что нагружения горных пород происходит по разным причинам и при разных условиях их взаимодействия. Это значительно усложняют задачу с практической точки зрения. Возникает необходимость оценки напряженного состояния при: создании искусственных откосов, каналов, дамб и карьеров.

При реализации подземных выработок большое внимание уделяют устойчивости горных пород, и особенностям напряженно деформированого состояния массивов. Основные проблемы вызваны сложностью строительства и поддержания горно-капитальных выработок в тектонически напряженных низкопрочных массивах трещиноватых скальных горных пород. В данных условиях, несмотря на сравнительно высокую прочность горных пород в образцах, нарушения устойчивости приконтурного массива подземных выработок происходят даже при сравнительно небольших обнажениях и невысоком уровне напряжений и деформаций. В подземных выработках на прочность массива влияют: многочисленные хаотичные трещины и разно-ориентированные тектоническими нарушениями на структурные блоки. Вероятностная природа и пространственно-временная изменчивость данных показателей обуславливают необходимость в проведении натурных инструментальных исследований на различных масштабных уровнях.

Основные задачи, которые возникают в процессе освоения полезных ископаемых, это создание условий, обеспечивающих устойчивость, прочность и надежность породных массивов, позволяющих эффективно и безопасно реализовывать технологические режимы добычи полезных ископаемых.

Следует отметить, что ежегодный ущерб от оползневых явлений во всем мире составляет огромные суммы, соизмеряемые с ущербами от землетрясений, такое же соотношение с человеческими жертвами. Поэтому проблема

количественного прогнозирования устойчивости, ползучести и прочности склонов и откосов имеет первостепенное народно-хозяйственное значение.

Цель и задачи. Целью исследования является разработка методики расчетов напряженного состояния полупространства под действием массивных тел в условиях шероховатой контактной поверхности.

Задачи исследования.

- разработка математической модели напряженного состояния полупространства в условиях шероховатой контактной поверхности,

- исследования напряженного состояния упругого полупространства под действием массивного тела в условиях шероховатой контактной поверхности,

- анализ полученного результата распределения нормальных и касательных напряжений в глубине массива.

Состояние вопроса.

Первой фундаментальной теоретической работой по механике грунтов следует считать работу Ш. Кулона (1773) о давлении грунта на подпорные стенки [1].

В 1885 г. был опубликован труд профессора Ж. Буссинеска «О распределения напряжений в упругой почве от сосредоточенной сил». В [2] решение задачи Буссинеска обобщено на случай полупространства, лежащего на упругом основании.

В 1915 г. профессор П.А. Миняев впервые применил теории упругости к расчету напряжений в сыпучих грунтах [3].

В дальнейшим получили развитие работы, связанные с полубесконечным пространством под воздействием сосредоточенных сил и действия жесткого штампа. В работе [4] предложены решения действия жесткого штампа на упругое полу бесконечное пространство, получено следующие выражение:

_ Р

п^а2 — х2

наименьшее значение при х=0 по краям жесткого штампа теоретически становится бесконечным.

В задаче Штаермана показано, что бесконечный результат по краям может быть скорректирован из-за микроструктуры сменяемых тел. На рисунке 1 показано распределения напряжения под жестким штампом при различных характеристиках состояния среды.

Рис. 1. Распределение напряжений под жестким штампом в зависимости от смягчения профиля закраины (по Штаерману).

В работе [5] на современном уровне показаны распределения напряжений не только в тонком подстилочном слое, но и в массивах грунта. Как правило рассматривалась плоская упругая задача, которая позволила решить ряд практических задач. На рисунке 2 представлены распределения нормальных напряжений по ширине поверхности полупространства и в глубину под сосредоточенной силы.

Рис. 2. Определения сжимающих напряжений в грунте при действии сосредоточенной силы.

Видно, что на линии действии силы расположены максимальные нормальные напряжения, а по бокам минимальные. Так же видны распределения нормальных напряжений в глубине массива, которые имеют затухающий характер. Под действием штампа имеем распределения сжимающих напряжений по глубине массива Рисунок 3 [6].

I *Вм

Рис. 3. Определения сжимающих напряжений при действии равномерно распределенной нагрузки.

В зависимости от нагружения могут быть варианты деформируемого напряженного состояния, когда упругие перемещения в вертикальных и

горизонтальных направлениях создают зоны затрудненных деформаций, которые представлены на рисунке 4.

Под штампом находится зона затрудненных деформаций, которая ведет себя как абсолютно жесткое тело. Сопоставляя данную схему с напряжённым состоянием на рисунке 3 можно объяснить такое появления нагружения с механистической точки зрения. Частицы упругой среды перемещаются из областей большого нагружения в области меньшего нагружения поэтому частицы стремятся с крайних зон нагружения, с области большого нагружения, перемещается в середину, в зону минимального нагружения. Это вызывает застойные процессы и полное отсутствие пластической и упругой деформации по всем направлениям.

В работах [7] решалась задача действия сосредоточенной силы на клин полуупругого пространства. Определены выражения нормальных напряжений в глубине клина при отсутствии в решении касательных и поперечных нормальных напряжений.

В работе [9] показаны решения плоской задачи теории упругости в полупространстве под действием сосредоточенной силы. Как и предыдущих статьях здесь рассмотрены изменения напряжения сжатия по глубине пространства, без учета касательных напряжений и без учета поперечного нормального напряжения.

В работе [10] показано влияние геометрии полупространства не только на напряжения и сжатие по глубине, но и касательных напряжении. Когда

I р

Рис. 4. Зоны затруднённых деформаций.

геометрия полупространства определяет нагружения сосредоточенности на дне траншеи, тогда в приконтактных слоях породы показатели нормальных и касательных напряжений достигают своего максимума.

В публикациях [9]...[12] предложен новый метод решения задачи механики сплошной среды, метод аргумент функции комплексной переменной.

Из литературных данных видно, что изучения напряженного состояния в упругом и пластическом полупространстве в горных массивах разной глубины представляет собой актуальную проблему механики сплошной среды. В решениях на современном этапе эффективно используется метод аргумент функции комплексной переменой, однако из представленных анализов видно, что влияние касательных напряжений представлено не в совсем полной мере, что не позволяет адекватно оценить его влияния на прочностные характеристики горных пород. Возникает необходимость на современном уровне выполняемых решений, усилить известные решения и обеспечить реальную достоверность полученного результата.

Постановка плоской задачи теории упругости.

Для плоской задачи выбраны три уравнения теории упругости, два дифференциальных уравнения равновесия, условие неразрывности деформации через напряжения и граничные условия:

£ + Т? = 0' ^ + £ = 0, + =

Имеем граничные условия в напряжениях:

Тп = — • зЫ2ф + тху • соъ2ц)

В работе [9] представлены решения плоской задачи теории упругости в декартовых координатах. Аналитическое решения данной задачи представлено в виде:

ох = Са ехр(—9) собАФ + а0 + С,

оу = —Са ехр

тху = exp(—9) СаБ1пАФо0 = Са ехр(—9) собАФ,

при вх = АФу, ву = —АФХ, АФХХ + АФуу = 0, вхх + вуу = 0

где ох, Gy, тху - компоненты тензора напряжений, о0 - среднее нормальное

напряжение.

С учетом граничных условий выражение (3) было представлено в виде,

Оу = 2ехр [1 • ААб(х2—у2)] Са cos^xy) (4) тху = ехр [2 • ЛАб(х2 — у2)| Са sin(AA6xy).

Показатель экспоненты 0 и аргумент тригонометрической функций АФ были получены из уравнений Лапласа и соотношений Коши-Римана. В соответствии с задачей [9] должны быть удовлетворены граничные условия по напряжениям, т.е.:

ау = 2ехр [^ •

В соответствии с формулой (5), были рассчитаны контактные напряжения и напряжения в глубине массива, рисунок 5.

Рис. 5. Распределение нормальных напряжений на контакте и в глубине полупространства при действии плоского штампа без учета трения.

Из решения (4) видно, что нулевые касательные напряжения не отрицают их наличие в глубине полупространства. Получено устойчивая затухающая функция в глубину полупространства и вогнутая эпюра контактных нормальных напряжений, которая ранее определялась в классических решениях [4], [5], [7], [8].

При такой постановке вопроса теоретический и практический представляет интерес для решения задачи шероховатой контактной поверхности. Рассмотрим решение плоской задачи теории упругости в условиях шероховатой контактной поверхности.

Разработка математической модели напряженного состояния полупространства в условиях шероховатой контактной поверхности.

Воспользуемся постановкой задачи (1) и граничными условиями (2). Упрощая граничные условия через тригонометрическую подстановку вводится в рассмотрение первая аргумент функция АФ. Из условия решения вводится

вторая аргумент функция 0, определяющая фундаментальную подстановку ехр(—0). С учетом тригонометрической и фундаментальной подстановки в уравнение неразрывности деформации с учетом функции комплексной переменной [9] получено дифференциальное уравнения в виде:

ехр(в + ЬАФ~) •

+ (АФХХ + АФуу) -I + (вх + 1АФХ)2 + (ву + ЬАФу) + ехр(в - 1АФ) • (6) [(0ХХ + вуу) - (АФХХ + АФуу) -I + (вх- 1АФХ)2 + (ву - 1АФу)2

+

= 0.

Операторы в формуле (6), находящиеся возле экспонента, содержат одинаковые вторые производные по координатам и нелинейности. Если в силу каких-то причин операторы равны нулю, то имеет место тождество. Распишем нелинейности в операторах и перегруппируем их.

(вх + 1АФХ)2 + (ву + 1АФу) = (вх + АФу) - (вх - АФу) + +И(вх - АФХ + ву - АФу) + (ву + АФХ) - (ву - АФХ),

2

Из этого следует что данное дифференциальное уравнение будет удовлетворено тогда, когда выполняется соотношения Коши-Римана и уравнения Лапласа:

9Х = АФу, 0у = -АФХ, АФХХ + АФуу = 0,

@хх + @уу °°

Отсюда существует возможность в получении нового решения при взаимодействии тел с шероховатой контактной поверхностью. В результате решения дифференциальных уравнений (7), имеем:

АФ = АА6х(у + С), (8) Функция (8) удовлетворяет уравнение Лапласа, т.е. имеем:

АФхх АФуу 0

Таким образом уравнение (8) определяет новые граничные условия, которые будут связаны с шероховатостью контактной поверхности. Через соотношения Коши-Римана определяется вторая аргумент функция 0. Показатель экспоненты 0 запишется в виде:

в = АА^-2-^

С учетом выражения (8) и (9) нормальное и касательное напряжение принимает вид,

О-

У

АА(

х2-(у+С)2

] СасоБ[ААбХ(у + С)],

тху ехр

АА(

х2- (у + С):

Са бЫ[АА6Х(У + С)].

На основании анализа полученных выражений (10) установлено, что:

С = /•Ь

где/и Ь- коэффициент трения на контактной поверхности и полуширина массивного основания, рисунок 7.

Граничные условия вида : при х= Ь, у= 0, оу= к\, Тху=/• к\, АФ= АФ1, 6= 01. Подставляя граничные условия в решение (4) находим постоянную 6:

Г Г 1

ААб =

ь • С ь • / • ь ь:

-г-гг

ГГ>

Рис. 6. Действие массивного основания на упругое полупространство.

В итоге разработана математическая модель напряженного состояния полупространства в условиях шероховатой контактной поверхности.

Исследования напряженного состояния упругого полупространства под действием массивного тела в условиях шероховатой контактной поверхности.

На основании выражений (10), были проведены исследования напряженного состояния массива при действии массивных внешних тел с шероховатой контактной поверхностью. На рисунках (7) - (8) показаны распределения контактных нормальных и касательных напряжений в глубину массива с учетом влияния ширины основания, а также коэффициента трения.

Относительная ширина основания х/Ь

Рис. 7. Распределение нормального напряжения на контакте и в глубине массива с коэффициентом трения 1=0,3 и с шириной Ь=60.

Рис. 8. Распределение касательных напряжений на контакте и в глубине массива с коэффициентом трения 1=0,3 и с шириной Ь=60.

Сопоставляя результаты исследования с данными других авторов, убеждаемся в том, что они в качественном и количественном отношении совпадают. На контакте со штампом в полубесконечном пространстве эпюра нормальных контактных напряжений имеет вогнутый характер. Это свидетельствует о достоверности полученного результата. В глубине пространства имеет место затухание напряженного состояния среды к нулевой отметке.

Как показывает анализ под действием максимальных касательных напряжений развиваются линии скольжения в массивах, которые опасны тем, что они являются источниками сдвигов, обрушений и проседанию породных массивов. Видны распределения касательных напряжений, величины которых максимальны на глубине 70, в угловых зонах нагружения такое напряженное состояние грунтов показывает возможности разрушения под действием касательных напряжения с учетом коэффициентом трения.

На рисунке 9 показано влияния коэффициента трения 1=0,1 - 0,5 на распределения нормальных напряжений в глубину по краям штампа х= Ь и в центре х= 0, с шириной основания Ь=60.

-0,5

0 0,5 1 1,5 2

-в— чп лГ

АГ\

ЛП УУ/

ЯП у

12о' У

19Л

опл

220 ^-

Относительная ширина основания х/Ь

О 0,2 0/4 0,6 0,8 1 1Д

Относительная ширина основания х/Ь

Рис. 9. Распределение нормальных напряжений на контакте и в глубине массива по краям штампа и в центре с шириной основания Ь=60.

На рисунке 10 показано влияние коэффициента трения 1=0,1 - 0,5 на распределения касательных напряжений в глубину по краям штампа х= Ь, с шириной основания Ь = 60.

-1

-0,5

0,5

1,5

§

X

н =

X

£ №

Л =

<Я X <и о X Л

ч &

Н (Я и (Я

в

о X л

ч &

Н =

и о X н

о

ИЛ

СП

ОД

11 пп

11 эп

ПАП

1СП

ПОД

240 ( -

{=0,1 {=0,2 {=0,3 {=0,4 {=0,5

Относительная ширина основания х/Ь

Рис. 10. Распределение касательных напряжений на контакте и в глубине массива по краям штампа с шириной основания Ь=60.

На рисунке 11 показано влияние ширины основания Ь=20 - 100 на распределения нормальных напряжений в глубину по центру х=0, с коэффициентом трения 1= 0,3

Из полученных графиков (рисунок 9) видно, что с увеличением коэффициента трения глубина затухания нормальных напряжений не значительно увеличивается.

Из рисунка 5 видно, что металл течет из зоны большого нагружения в зону меньшего нагружения. Судя по рисунку металл из центра растекается в

горизонтальном оси в противоположном направлении, это дает касательное напряжение одного знака.

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

§

С =

X

£ №

Л =

(Я X <и о X Л Ч (Я

г

Л

о

X

к

<Я X Л

ч

н =

и о X н

с:

-0-1

од

19П

1 СП

7ПП

240 поп

320

Ь=20 Ь=40 Ь=60 Ь=80 Ь=100

Относительная ширина основания х/Ь

Рис. 11. Распределение нормальных напряжений на контакте и в глубине массива в центре штампа, с разными ширинами с коэффициентом трения 1=0,3.

Касательные напряжения в приконтактных слоях перемещается к центру такое положение объясняется переменой знака на контакте (зона затрудненных деформаций) рисунок 10. С увеличением коэффициента трения глубина максимального касательного напряжения увеличивается, а глубина затухания идентична нормальному напряжению.

Также показано (рисунок 11) что с увеличением ширины основания глубина затухания нормальных напряжений значительно увеличивается.

Заключение.

1. Разработана математическая модель напряженного состояния полупространства в условиях шероховатой контактной поверхности.

2. Исследовано напряженное состояние упругого полупространства под действием массивного тела в условиях шероховатой контактной поверхности. Сравнивая гладкую и шероховатую контактную поверхность (рисунки 6,8), нормальные напряжения с гладкой поверхностью по центру равны 1 , а по бокам 1,4. А шероховатая контактная поверхность на контакте имеет по центру напряжения 1, а по бокам 1,1. Нормальные напряжения с гладкой поверхностью затухают на глубине 400, а с шероховатой затухает на глубине 300.

3. Проанализированы полученные результаты распределения нормальных и касательных напряжений в глубине массива. На рисунке 12 видно, что на ширине основания b=20 нормальные напряжения затухают на глубине 65, с b=40 на глубине 140, b=60 на глубине 200, b=80 на глубине 260, b=100 на глубине 320.

Финансирование:

Данное исследование финансировалось Комитетом науки Министерства науки и высшего образования Республики Казахстан

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Coulomb, C. A. (1776). Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture. // Mem. Acad. Roy. Div. Sav., vol. 7, pp. 343—387;

2. Залётов В.В. Распределение напряжений в изотропном полупространстве при заданных граничных условиях смешанного типа // Труды ИПММ НАН Украины, 2006. Т. 13. С. 83-91;

3. Миняев П.А О распределении напряжений в сыпучих телах: Новая теория давления земли, 1914;

4. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. Гостехиздат, 1949;

5. Bartolomey A.A. Soil Mechanics: Textbook / ACU, Moscow, 2004. 304pp;

6. Цытович Н.А. Механика грунтов. Краткий курс. М.: Высш.шк, 1983;

7. Тимошенко С.П, Дж.Гудьер. Теория упругости М.: Наука, 1975. - 575с;

8. Никифоров С.Н. Теория упругости и пластичности / Москва, 1955. - 283с;

9. Valeriy Chigirinsky, Olena Naumenko. Studying the stressed state of elastic medium using the argument functions of a complex variable/ Eastern-European Journal of Enterprise Technologies,2019.-pp. 27-35;

10. Valeriy Chigirinsky, Abdrakhman Naizabekov, Sergey Lezhnev, Sergey Kuzmin, Olena Naumenko. Solving applied problems of elastic theory in geomechanics using the method of argument functions of a complex variable. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 5/7 (119) 2022, 105.. .113;

11. Valeriy Chigirinsky, Abdrakhman Naizabekov, Sergey Lezhnev. Closed problem of plasticity theory/ Journal of Chemical Technology and Metallurgy,56,4,2021.-pp. 867-876;

12. Valeriy Chigirinsky, A. Putnoki. Development of a dynamic model of transients in mechanical systems using argument functions/ Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 3/7 (87) 2017, 11.21

Syrlybaev A.R., Chigirinsky V.V.

Syrlybaev A.R.

Rudnensky Industrial University

Chigirinsky V.V.

Rudnensky Industrial University

DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL MODEL OF STRESS STATE OF ELASTIC HALF-SPACE WITH ROUGH SURFACE

Abstract: on the basis of the method of argument offunctions and the method offunctions of a complex variable, generalizing solutions of the plane problem of elasticity theory using invariant differential relations capable of closing the result for the set system of equations are obtained. The stress state of an elastic half-space under the action of a massive body under conditions of a rough contact surface is investigated. The distributions of normal and tangential stresses in the depth of the array are analyzed.

Keywords: elasticity theory, function argument, Cauchy-Riemann relations, Laplace equations, boundary conditions.