Динамическая модель шпинделя на аэростатических опорах

УДК 517.93-621.9.06

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ШПИНДЕЛЯ НА АЭРОСТАТИЧЕСКИХ ОПОРАХ

А.А. Махов, Г.Г. Позняк

Кафедра технологии машиностроения, металлорежущих станков и инструментов Российского университета дружбы народов

117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6, Россия

Проводится динамический анализ шпиндельного узла прецизионного токарного станка. Выводятся уравнения движения шпинделя на аэростатических опорах, определяются критические частоты и строятся его частотные характеристики.

Современные металлообрабатывающие станки характеризуются высокой точность обработки и высокими скоростями резания. Задача динамического анализа шпиндельного узла, как самого ответственного элемента системы станка, является неотъемлемой частью его проектирования, от качества решения которой зависит не только общий уровень вибрации и шума, но также и точность обработки, долговечность и надежность работы станка. Такой анализ включает, прежде всего, вывод уравнений, теоретически описывающих движения шпинделя в опорах, определение критических скоростей, построение частотных характеристик и пр.

В прецизионных станках нашли применение аэростатические опоры, основным преимуществом которых является практически нулевое трение, т.к. ротор и подшипник никогда не соприкасаются, а трение в воздушном зазоре ничтожно мало. Однако им присущ явный недостаток - низкая несущая способность (невысокая жесткость), что ограничивает область их применения.

Рассмотрим задачу об определении закона движения шпинделя на аэростатических опорах с целью определения его резонансных частот и построения АЧХ и ФЧХ. На рис. 1 показана упрощенная модель упруго опертого жесткого ротора, рассматриваемая в ряде работ [2, 3,4]. Применение такой модели в значительной степени оправдано за счет значительного превышения жесткости шпинделя по сравнению с жесткостью опор.

Для нахождения дифференциальных уравнений, описывающих закон движения подобной модели в работе [2], использовались уравнения Лагранжа 2-го рода в обобщенных координатах, однако рассматривался ротор с двумя упругими опорами, а в качестве обобщенных - координаты смещения оси цапф ротора относительно оси подшипников.

Так как в настоящее время отсутствует методика, позволяющая определить значение подъемной силы аэростатических подшипников (с точностью не менее ± 5%), его осевой жесткости и установить закон распределения сил для расчета угловой жесткости [4], то удобно использовать понятие центра жесткости (ЦЖ), относительно которого легко экспериментально установить упругие характеристики (радиальную и угловую жесткость) опор. Фактически в рассматриваемой системе ЦЖ будет являться точка на оси аэростатического подшипника, такая, что при приложении силы к ротору в плоскости, проходящей через эту точку и перпендикулярной оси подшипника (вращения), это вызовет только поступательное перемещение ротора. Таким образом, можно привести систему из двух опор с коэффициентами радиальной жесткости СУ1 и Су2 к одной упругой опоре с коэффициентом радиальной жесткости равной Су — Су[ + Су2, и угловой жесткостью

С9 = Су1а^ + су2а\ , где а/, а2 - расстояния от ЦЖ до первой и второй опор соответственно.

В работе [4] решалась статическая и динамическая задача с использованием теорем о движении центра масс и об изменение главного момента количества движения в относительном по отношению к центру масс движении. В ней были получены дифференциальные уравнения. Недостатком такой модели можно считать неудачный выбор центра приведения

- центра масс (ЦМ) системы, который при установке на шпиндель заготовок с различными массами будет изменять свое положение.

В работе [3] вывод уравнений движения ротора на двух упругих опорах проводился с использованием условия равновесия системы в критическом состоянии и динамического уравнения Эйлера.

В каждой из рассмотренных моделей делались значительные допущения: пренебрегали демпфированием, кориолисовыми силами и полагали, что частота вращения ротора постоянна, а ротор является идеально сбалансированным (кроме [2]).

Проведенный анализ показал, что указанные модели дают разные уравнения движения, однако, при отсутствии установленной на шпинделе станка заготовки, собственные частоты, определяемые по каждой из модели, оказываются одинаковыми и мало отличаются от резонансных частот статической (при отсутствии вращения) модели. При установке на шпиндель заготовки изменяются масса системы, моменты инерции и расстояние между ЦМ и ЦЖ, что приводит к результатам, в той или иной степени отличающихся от экспериментальных данных, представленных в [4].

В работе [2] также было отмечено, что упругие, демпфирующие и инерционные характеристики будут оказывать влияние на систему: в частности, скорость прохождения системой резонанса (как при разгоне шпинделя, так и при свободном выбеге) также существенно влияет на амплитуду колебаний.

Таким образом, целесообразно разработать новую динамическую модель шпиндельного узла с использованием в качестве обобщенных координаты относительно ЦЖ с учетом затухания частоты вращения по определенному закону при свободном выбеге.

Задача вращения твердого тела вокруг неподвижной оси рассмотрена в курсе теоретической механики, однако, полученное решение в виде представленном в работе [1], неприменимо для рассматриваемой модели, т.к., содержит центробежные моменты относительно оси вращения и реакции двух абсолютно жестких опор. В рассматриваемом случае - прямая синхронная прецессия [2,3,4] в зависимости от частоты вращения будут различными отклонения главной оси инерции ротора от оси вращения (обобщенные координаты х, у, а, /3), а, следовательно, центробежные моменты инерции будут функциями этих отклонений.

В начале рассмотрим вращение идеально уравновешенного жесткого шпинделя с шестью степенями свободы на упругих опорах относительно подвижной системы координат, вращающейся вместе с ним. Демпфированием на начальном этапе также можно пренебречь. В процессе вращения главная центральная ось инерции ротора отклоняется от оси вращения в радиальном направлении, а также происходит ее поворот. Осевым смещением пренебрегаем1. За начало отсчета примем ЦЖ.

Для решения задачи воспользуемся принципом Даламбера [1], по которому следует, что все заданные силы реакции опор К, и силы инерции Рин всех материальных точек данного тела уравновешиваются. Поэтому для данной модели можно составить шесть уравнений статического равновесия сил. Для этого необходимо приравнять нулю суммы проекций всех этих на оси Х,у, г и сумму их моментов относительно этих осей.

1 Исходя из условий работы шпинделя подобное допущение является оправданным, т.к. даже в процессе резания на особо точном токарном станке вследствие малого значения глубины резания, возникающие осевые силы являются пренебрежительно малыми по сравнению, например, с неуравновешенными.

Рис. 1. Упрощенная модель жесткого ротора на упругих опорах

Шпиндель вращается с угловой скоростью со, вектор которой направлен вдоль оси г, т.е. со = сок . Угловое ускорение шпинделя £ = сок .

Разложим силу инерции шпинделя Р‘н на нормальную и тангенциальную составляющие, действующие соответственно вдоль радиуса вращения и перпендикулярно ему, и направленные против центростремительного и тангенциального ускорения тела соответственно.

Сначала составим суммы проекций на оси X, у, 2. Если обозначим касательное ускорение ЦМ через сот, то

/7' = -шт.

Касательное ускорение (от, равно векторному произведению векторов ей/?, т.е.

СО=£хЯ,

где Я - радиус вектор, проведенный из ЦЖ в ЦМ.

я = IXм + ]уИ + ,

где /, У, к - орты осей X, у, 2.

Выразим координаты ЦМ Ху, ум, гм через координаты х, у, г, а, {$

хм = X + аа\ ум = у + ар\ 2М = а.

Подставляя (2) в (1) и учитывая (3) и (4), а, также заменяя £ на ек , получим уравнения для проекций тангенциальной силы инерции шпинделя

С = Ме{у + а/3\ р;‘ = -Ме

Перейдем к рассмотрению нормальной силы инерции. Нормальное ускорение ротора равно по модулю

= гмсо2.

Нормальная сила инерции

Кн=Мгмсо\

Учитывая (7) и (4) находим уравнения для проекций нормальной силы инерции

~ Мсо7

Проектируя на координатные оси заданные реакции подшипников (приведенных к ЦЖ), получаем первые два2 уравнения рассматриваемой задачи в следующем виде:

Схх + Меу + Мшр + Мсо2х + Мсо2аа = 0; I - С у - Мех - Мша + Мсо2у + Мсо2а(3 = 0,

2.. Л

где Сх, Су - приведенные радиальные жесткости вдоль осей X, у.

Остается составить еще три уравнения, приравнивая нулю суммы моментов всех сил относительно выбранных осей.

Согласно [1] и учитывая приведение реакций опор к ЦЖ можно записать

- Саа + + 3уг£ = 0;

СрР - З^со2 + З^е - 0;

где 32х, ./У2 - центробежные моменты инерции;

Л - осевой момент инерции;

2 Исходя из сделанных допущений (пренебрежение осевыми колебаниями ротора) третье уравне-

ние поступательного движения оказывается нулевым, поэтому исключается из дальнейшего рассмот'

рения

У Г, - сумма внешних моментов

действующих на ротор (как приводящих его во вращение, так и тормозящих его);

Со, Ср - приведенные угловые жесткости.

Приведенная система (10) содержит центробежные моменты инерции, являющиеся функциями координат X, у, ОС, р. Поэтому целесообразно выразить величины Jzx> Jyz через моменты инерции ротора и соответствующие координаты.

Центробежные моменты инерции тела относительно произвольной оси, можно найти, зная направления его главных центральных осей инерции (см. рис. 2) и моменты инерции относительно этих осей [6]. Для нашего случая имеем:

JIX = MzmXm +SMJs2 - + ^12^32(^2

Jy, = MyMZM + S21 ] (Jz2 ~ Jx2) + ^22^32(^2 — ^ yl)'

где Jz2, Jy2 - осевые (экваториальные) моменты инерции ротора;

<5 - направляющие косинусы;

<5П = cos(/,,/2) = cos(a); Su = cos(il,j2) = cos(90°); S2} = cos = cos(90°); S22 = cos(;, ,y2) = cos(P);

531 = cos(&,,/'2) = cos(90° + a); 8n = cos(£py'2) = cos(90° + /?);

532 = cos {kvk2) = cos (д/а2 + p2).

Подставляя (4) и (12) в (11), и упрощая, получим

J2Х = Ма{х + а а) - cc(Jz2 - Jx2);

Jy!=Ma

Осевой момент Jz также удобно выразить через моменты инерции, принадлежащие непосредственно ротору. Согласно [6], осевой момент инерции, проходящий через произвольную ось можно выразить как

J. Mr ' + ^2^13 ^у2^2Ъ ^z2^33’

Подставляя (12) в (14) получим

J. — Мгм + J,2 — Jх2<Х — Jу2р-

Таким образом, можно переписать окончательно систему уравнений х(Мсо2 - Сх) + у(Ме) + а{Мсо2а) + Р{Мае) = 0; x(-Ms) + у(Мсо2 -Су) + а{~Мае) + /3(Мсо2а) = 0;

< х(Мааг) + y(Mas) + а(са2{Ма2 - J:2 + Jx2) - Са) + Р(£(Ма2 - J ,2 + Jy2)) = 0; x(Mas) + у(-Масо2) + а(е(Ма2 - J z2 + Jx2)) + Р(а>2(-Ма2 + Jz2 - Jv2) + Ср) = 0; (М((х + aaf + {у + apf) + Jz2 - Jх2а - Jу2Р)е =

Для случая постоянной частоты вращения шпинделя (СО = const, £ = 0), имеем

относительно осей X, у, z к моментам инерции ротора

х(Ма>2 -Сх) + а(Мй)2а) = 0; у(Мсо2 -Су) + /3(Мсога) = 0;

< х(Маа>2) + а(со2(Ма2-Jz2 + Jx2)-Ca) = 0\ (17>

у{-Масо2 ) + /3(й)2 (-Маг + Jz2 ~Jy2) + Cp) = 0;

0 = 1Г,

Система (17) полностью идентична, уравнениям, полученным в работе [3], при нашем выборе координатных осей таким образом, чтобы плоскость xz проходила через ЦМ. При равенстве моментов инерции ротора JX2, Jy2, радиальных и угловых жесткостей значения смещений и угловых отклонений х = у, а — Р система распадается на два одинаковых частотных уравнения, определяющих собственные частоты модели. Собственные частоты находятся из условия ненулевого решения системы - равенства нулю определителя. Одно из биквадратных частотных уравнений, в нашем случае принимает вид

Для построения АЧХ необходимо также добавить вынуждающую силу. Условно приложим единичную силу Fi~lH к ЦМ шпинделя, которая будет действовать с частотой (О. Направление силы можно выбрать произвольно, но для простоты выкладок, удобно принять, что сила Ft направлена также как и нормальная сила инерции. При таком выборе

проекции силы на оси х, у будут равны F* = Fx- COS?'; Fxy = Fx- sin/ , где Y - угол между плоскостью, проходящей через ось z и ЦМ, и плоскостью XZ. Дополнительно, сила F] будет создавать момент вокруг оси осей х, у, поэтому система принимает вид

х(Мй)2 -Сх) + аМа)2а = -F,x;

хМасо2 + а(о)2(Ма2 - Jz2 +Jx2)-Ca) = -F*a.

Решение системы (20) для каждой частоты дает АЧХ системы.

Недостатком спроектированной модели является ряд принятых допущений. Поэтому целесообразно усложнить модель (рис. 3), введя в нее радиальное и угловое демпфирование, а также вынуждающую силу в виде точечной массы в верхней плоскости (плоскости установки заготовки). Согласно [2 и др.] любой жесткий ротор можно представить как идеально сбалансированное тело относительно оси вращения, и пары неуравновешенных сил, действующих в плоскостях коррекции. В нашем случае, когда шпиндель номинально сбалансирован, но вследствие установки на него заготовки с эксцентриситетом, появляющийся дисбаланс может быть представлен только одной неуравновешенной массой т, расположенной

/111^ луи

на радиусе гвызывающей силы /г ,/л

в плоскости коррекции, максимально близкой к центру масс заготовки.

В систему (16) целесообразно заложить и условия работы шпинделя - свободный выбег, путем задания закона изменения

статических опорах

угловой скорости во времени. Такой закон можно задавать как аналитически, так и на основании экспериментальных данных.

На основании экспериментальных данных, представленных в работе [5], и собственных исследований можно сделать вывод о том, что закон изменения частоты во времени при свободном выбеге шпинделя лучше всего аппроксимируется в виде квадратичной или экспоненциальной зависимости.

Для ввода демпфирования в систему (16), примем, что диссипативные силы пропорциональны первой производной по скорости. Для нашего случая радиальные силы демпфирования = ШсоНх, Ра;сс = па>Ну, а угловые Fafcc = то)На; ^ = фсоНр,

где Нх, Ну, На, Нр - коэффициенты сил и моментов сопротивления; /' - мнимая единица, х,у,а,(3 - комплексные амплитуды.

Таким образом, имеем систему уравнений (20), АЧХ которой представлена на рис. 4. ЩМ + т)(о2 - Шхсо - Сх) + у((М + т)е) + а ((Ма + тс)сог) +

+ Р({Ма + тс)е) = -тг*а)2 - тг*е; х{{М -)- т)со2 - Шхо) - Сх) + у((М + т)е) + а ((Ма + тс)со2) +

+ /3((Ма + тс)е) = -тгхдоз2 - тг*£\

_ , _ _____________________________ ? ,

<х((Ма + тс)со ) + у((Ма + тс)е) + а(со (Ма +тс -,/г2+./t2)-г#a^y-Ca) +

-l- р(е(Ма2 + тс2 - 3 г2 + 3у2)) - -тг^соз2 -тг/се; х((Ма + тс)е) + у(-(Ма + тс)й)2) + а(е(Ма2 +тс2 -Уг2 + 3хг)) +

+ /З(а>2(-Ма2 - тс2 + Уг2 -Зу2) + Шр(о + С0) = тг£са>г-тг£се\

(о = /(О-

По результатам анализа разработанной модели можно сделать следующие выводы:

1. Демпфирование системы существенно влияет на амплитуду колебательного процесса, особенно вблизи резонанса, и поэтому модель, в которой пренебрегают диссипативными силами, может быть использована только для приближенного анализа динамических характеристик системы, например, для определения собственных частот.

2. Демпфирование мало влияет на собственные частоты. Анализ показал, что при различных изменяемых параметрах модели (масса системы, моменты инерции) значения собственных частот практически не изменяется в диапазонах реальных значений диссипативных характеристик системы (при 9ро0 < 0.59рад (кр), Вугл < 0.5 9уы (кр), где 9рал 9угл - коэффициенты радиального и углового демпфирования, 9ра0 (кр) = соо (рад), 9угп (кр) = со,, (уы) - критические коэффициенты радиального и углового затухания). Однако по мере их приближения к критическим значениям система (20), может давать как отрицательные, так и новые (третьи и четвертые собственные частоты) корни. Физически поведение системы на данных частотах не будет иметь резонансного характера вследствие большой диссипации энергии.

3. В отсутствии точных теоретических и экспериментальных данных о диссипативных частотных характеристиках аэростатических подшипников полученные АЧХ являются неточными. Поэтому, разработанная модель (20) может быть использована для описания поведения системы на низких частотах (до 50 Гц и более), являющихся рабочими.

4. Пренебрежение касательными силами инерции оправдано практически для всех диапазонов частот, кроме резонансных при очень малом демпфировании, на которых происходит изменение амплитуды колебаний в зависимости от скорости прохождения резонансов.

Разработанная модель обладает рядом преимуществ по сравнению с моделями [2, 3, 4], так как учитывает большее количество динамических элементов системы (демпфирование, касательные силы инерции). Разработанная модель обладает рядом преимуществ по сравнению с моделями [2, 3, 4], так как учитывает большее количество динамических элементов системы (демпфирование, касательные силы инерции).

5

<0

£

Параметры модели:

М = 37.2 кг,

0.294 кг-м2, 2

Л

У2

300 400 500

Частота, Ги,

Jx2

Jz2 — 0.22 кг-м'1,

Сх = Су -i.H-Ki н/м.

С(1 = Св = 6.2105 н-м/род,

&х=ду=0Л- &,м{кр) Щм/с),

9a=9„=0.\- Э^НМрад/с)

a = 0.002 м,

Частота, Ги

Рис. 4. Характеристики |х

ЛИТЕРАТУРА

1. Воронков И.М. Курс теоретической механики. Физматгиз, 1962, - 596 с., ил.

2. Основы балансировочной техники. Том 1. «Уравновешивание жестких роторов и механизмов». Колл. авт. Под ред. В.А. Щепетильникова. М.: Машиностроение, 1975, с. 528.

3. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л.: Машиностроение, 1976.-320 с., ил.

4. Потапов С.П. Балансировка шпинделей особо точных токарных станков. Диссерт. на соискание ученой степени канд. техн. наук: 05.03.01 / РУДН. - М., 1994. - 208 л.: ил.

5. Шиманович М.А., Захаревич Е.М., Бубнов Н.Н. Экспериментальное определение свободного выбега и момента инерции шпинделя в аэростатических опорах. Сб. научных трудов «Вопросы статических и динамических характеристик металлорежущего оборудования и инструмента» - М.: УДН, 1983. - с. 84 - 87.

6. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. - СПб.: Лань, 2001.

UDC 517.93-621.9.06

DINAMICAL MODEL OF A SPINDLE, SUPPORTED BY AEROSTATIC BEARINGS

A.A. Makhov, G.G. Poznyak

Department of mechanical engineering, machine tools and tooling Russian Peoples’ Friendship University Miklucho-Maklaya str, 6, 117187, Moskow

Dynamical model of a high precision vertical lathe’s spindle supported by aerostatic bearings is considered. System of five equations of motion is developed and discussed. Spindle unit frequency response is represented, and main conclusions are made.