Распределение напряжений в слоистом массиве с вертикальной цилиндрической полостью

проектирование и конструирование

строительных систем. проблемы механики

в строительстве

УДК 517 DOI: 10.22227/1997-0935.2017.8.863-868

распределение напряжений в слоистом массиве с вертикальной цилиндрической полостью

Т.Н. Бобылева

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26

АННОТАцИЯ. Горные породы и основания сооружений из них обладают неоднородным составом. Неоднородность горных пород — причина их специфического поведения при деформировании. Уравнения в частных производных, с помощью которых описывается поведение многих таких материалов, содержат быстро меняющиеся коэффициенты, и решение таких уравнений требует немалого времени даже от современных компьютеров. В статье рассматривается слоистый массив, состоящий из попарно чередующихся изотропных упругих слоев. В результате усреднения упругих модулей данный массив с горизонтальным напластованием пород моделируется однородным трансвер-сально-изотропным полупространством с плоскостью изотропии, перпендикулярной к вертикальной оси. Полупространство ослаблено вертикальной цилиндрической полостью кругового поперечного сечения, нетронутый горный массив находится под действием собственного веса. На горизонтальных граничных плоскостях слоев задаются следующие два типа контактных условий: идеальный контакт и проскальзывание без отслоения. Для полученного однородного трансверсально-изотропного полупространства с вертикальной круговой полостью используется аналитическое решение С.Г. Лехницкого. Даны выражения для компонент напряжений и перемещений в массиве для различных краевых условий на поверхности полости.

Задачи такого типа необходимо решать при строительстве и эксплуатации сооружений, при использовании композитных материалов.

КЛЮчЕВЫЕ СЛОВА: строительство на слоистых массивах, горные породы, комбинированная среда, усредненная модель, трансверсально-изотропная среда

ДЛЯ цИТИРОВАНИЯ: Бобылева Т.Н. Распределение напряжений в слоистом массиве с вертикальной цилиндрической полостью // Вестник МГСУ 2017. Т. 12. Вып. 8 (107). С. 863-868. DOI: 10.22227/1997-0935.2017.8.863-868

STRESS DISTRIBUTION IN THE STRATIFIED MASS CONTAINING

VERTICAL ALVEOLE

__(D

T.N. Bobileva T

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), I

26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation K --^

ABSTRACT. Almost all subsurface rocks used as foundations for various types of structures are stratified. Such heterogeneity ^

may cause specific behaviour of the materials under strain. Differential equations describing the behaviour of such materials Q

contain rapidly fluctuating coefficients, in view of this, solution of such equations is more time-consuming when using today's S

computers. The method of asymptotic averaging leads to getting homogeneous medium under study to averaged equations H

with fixed factors. The present article is concerned with stratified soil mass consisting of pair-wise alternative isotropic elastic O

layers. In the results of elastic modules averaging, the present soil mass with horizontal rock stratification is simulated by S homogeneous transversal-isotropic half-space with isotropy plane perpendicular to the standing axis. Half-space is loosened by a vertical alveole of circular cross-section, and virgin ground is under its own weight. For horizontal parting planes of

K)

layers, the following two types of surface conditions are set: ideal contact and backlash without cleavage. For homogeneous 00

transversal-isotropic half-space received with a vertical alveole, the analytical solution of S.G. Lekhnitsky, well known in E

scientific papers, is used. The author gives expressions for stress components and displacements in soil mass for different

marginal conditions on the alveole surface. Such research problems arise when constructing and maintaining buildings and с

when composite materials are used. ц

KEY WORDS: construction on stratified masses, subsurface rocks, combined environment, averaged model, transversal-  isotropic environment

О

FOR CITATION: Bobileva T.N. Raspredelenie napryazheniy v sloistom massive s vertikal'noy tsilindricheskoy polost'yu «g

[Stress Distribution in the Stratified Mass Containing Vertical Alveole]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State w University of Civil Engineering]. 2017, vol. 12, issue 8 (107), pp. 863-868. DOI: 10.22227/1997-0935.2017.8.863-868

© Бобылева Т.Н., 2016 863

N О

со

о >

с во

N ^

2 О

н *

О

X 5 I н о ф ю

Строительство сооружений на основаниях, состоящих из горных пород, или внутри горных пород является актуальной проблемой, для решения которой требуется знать свойства горных пород и их реакции на то или иное воздействие. Горные массивы обладают неоднородным составом. Во многих областях механики, физики и техники встречаются подобные задачи для неоднородных материалов, т.е. материалов, содержащих чередующиеся объемы веществ с различными характеристиками. Уравнения в частных производных, с помощью которых описывается поведение многих таких материалов, содержат быстро меняющиеся коэффициенты. Для решения подобных задач можно рассматривать данную среду как макрооднородную, подчиняющуюся осредненным уравнениям с постоянными коэффициентами, которые называют эффективными, а замену исходной неоднородной среды на однородную — гомогенизацией. В общем случае полученная однородная среда является анизотропной.

Указанный метод усреднения развит в работах [1, 2], одним из первых его приложений были задачи теории упругости [3, 4]. Задача усреднения неоднородной упругой среды с использованием теоретических результатов решена в работе [5]. Исследовано напряженное состояние вертикального шахтного ствола в наклонно-слоистом массиве, моделируемом упруго-ползучим анизотропным телом [6], изучено напряженно-деформированное состояние в упругом горизонтальном слоистом массиве, содержащем вертикальную шахту [7].

С помощью метода асимптотического усреднения решаются и динамические задачи. Математическая модель малых перемещений вдоль оси построена для комбинированной среды, состоящей из взаимно чередующихся слоев вязкоупругого материала и вязкой сжимаемой жидкости [8]. Задача о прохождении плоской звуковой волны через композит конечной толщины со слоями упругого и вязкоупругого изотропных материалов решается также с использованием усредненной модели [9].

Статьи [10, 11] иллюстрируют применения метода усреднения в задачах упругопластического изгиба пластин. Для гетерогенных сред, состоящих из упругого и вязкоупругого материалов [12], а также из двух ползучих материалов [13], построена соответствующая усредненная модель, описывающая совместное движение слоев; получены эффективные модули упругости слоистой упруго-ползучей среды [14].

Неоднородные среды также могут иметь непрерывно меняющиеся характеристики. В исследовании [15] даны постановка и решение задач теории упругости, пластичности и ползучести непрерывно неоднородных тел, приведены примеры практических расчетов. Численный метод определения упругой деформации неоднородного цилиндра с учетом зависимости механических свойств матери-

ала от температуры представлен в работе [16]. Дано аналитическое решение одной из задач нелинейной теории упругости с учетом неоднородности, также рассмотрен пример вычисления распределения напряжений в неоднородном грунтовом массиве с цилиндрической полостью [17].

В данной статье используется метод моделирования напряжений слоистых горных пород, основанный на применении теории усреднения к теории упругости, с помощью которого, как было сказано, решаются задачи механики неоднородных сред с периодической структурой.

Горные породы, почти все без исключения, обладают выраженной в той или иной степени анизотропией и слоистостью, следовательно, поле напряжений и перемещений в горном массиве будет отличаться от случая изотропной среды. Неоднородность горных пород — причина их специфического поведения при деформировании.

Рассмотрим слоистый массив, ограниченный горизонтальной плоскостью, состоящий из взаимно чередующихся расположенных параллельно этой плоскости однородных слоев двух упругих изотропных материалов. В данном массиве имеется вертикальная полость, идущая от граничной плоскости, в виде цилиндра кругового поперечного сечения радиуса Яо. Массив и полость предполагаются полубесконечными. Задача состоит в том, чтобы определить напряжения в данном массиве в случае, когда объемная сила — это его вес.

Выберем цилиндрическую систему координат (г, 9, г) с началом в центре верхнего кругового сечения полости и осью г; направленной вертикально вниз. Уравнения равновесия и уравнения состояния для каждого из слоев, составляющих всю среду, имеют вид [18]

дСТг. +1 + | аг-сте _ 0.

дг г дв

дг

дстг,

1 дст„ дст„, 2СТг

_ + —

дв г дв дг г дстг, 1 д^в , дст, Стг

_ 0;

_+—

+—^+— + у_0; дг г дв дг г

стг _ (Х + 2ц)ег + цев + цег; Ств +(Х + 2ц)ев+це2; ст, _цег +цев+(Х + 2ц)е2; Стгв ег в;

Ств, ев,; стя ег, -

где с,, с9, сг — компоненты напряжений, е,, е9, ег — компоненты деформаций сплошной среды, X, д — постоянные Ламе, у — удельный вес породы. Поверхность полости свободна от нагрузок: с = 0 и с = 0 при г = Я .

г ^ А о

На горизонтальной граничной поверхности г = 0 выполняются условия с = 0 и с = 0

Распределение напряжений в слоистом массиве с вертикальной цилиндрической полостью

С.863-868

На горизонтальных граничных плоскостях слоев задаются следующие контактные условия:

• идеальный контакт: на плоскостях контакта слоев непрерывны три компоненты перемещений и, и , и и нормальная компонента напряжений сг, параллельная оси ог, т.е. [и] = 0, (. = 1,2,3) и [с ] = 0;

• проскальзывание без отслоения: на плоскостях контакта слоев непрерывны компоненты перемещений и и нормальных напряжений с, параллельных оси oz, [и ] = 0, [с ] = 0, а касательные напряжения на этих плоскостях равны нулю: с = 0, с. = 0.

Слоистые материалы являются частным случаем микронеоднородных материалов, для которых система уравнений равновесия элемента сплошной среды имеет быстро меняющиеся периодические модули упругости. Это приводит к задаче определения приближенного решения, которое удовлетворяет уравнениям теории упругости с построенными по первоначальным параметрам среды эффективными (усредненными), являющимися постоянными для всего массива, упругими модулями.

Метод усреднения неоднородной упругой среды базируется на построении асимптотического решения по отношению к периоду составной среды, который в данной задаче принимается равным единице. Дополнительно решаются граничные задачи на ячейке периодичности Y : {0 < г, 9 < да; 0 < г < 1}. Каждая ячейка Y состоит из двух слоев с разными механическими характеристиками. Существование и единственность таких решений были доказаны [1].

В данной задаче все модули упругости и удельный вес являются периодическими функциями ко-2

ординаты \= — (е — период ячейки) и являются в

кусочно-постоянными функциями этой переменной, т.е. модули упругости и удельный вес постоянны для каждого слоя:

К =

У\ =

ь =

Ц1, £е[0, И]; Ц2-^[1 — И, 1];

0 < И < 1.

с11 с12 с13 0 0 0 1

с22 с23 0 0 0

с33 0 0 0

с44 0 0

с55 0

V с66)

Здесь

с11 = с22 =(К + 2ц) +

= <к>-

К(К + 2ц)—

К2

где

С13 =С2з =К(К + 2ц)—^((К + 2ц)—^—1;

с33 =((Х + ; с44 = с55 = ; с66 =(ц).

1

(/) = ^ / С\ — операция усреднения по пе-

\К ^£[0,И]; 1К2, £е[1 — И,1];

е [0, И]; [у2>4 е [1 - И,1];

Симметричная матрица усредненной системы теории упругости имеет вид [2, 3]:

ременной

Формулы (3) получены для случая идеального контакта между слоями, составляющими горный массив. В случае же неидеального контакта, например выполнения условий проскальзывания без отслоения на граничных плоскостях слоев, формулы (3) сохраняются для всех упругих модулей, кроме двух модулей сдвига с44 = с55 = 0.

После усреднения упругих модулей имеем задачу для трансверсально-изотропной однородной упругой среды с модулями упругости, заданными матрицей (2). Связь напряжений и деформаций для нее имеет вид

сг = С11ег + С12е9 + С13е;

с9 = С12ег + С11с9 + С13^;

с=с13ег+с13с9 + с33^;

сг9 = 2(С11 - С12)ег..

Из этой системы уравнений выразим компоненты деформаций через компоненты напряжений [19]:

ег = «11сг + «12с9 + «13сг; е9 = «12сг + «11с9 + «13сг; ^ = а13сг + «13с9 + а33с ;

е9 = 2(а11 - а12)сг9.

Упругие податливости ар, = 1, 2, 3, 4) выражаются через модули упругости с.р, = 1, 2, 3, 4) в

данной задаче следующим образом:

_ — 2 2 _

„ _ С11 С33 . „ _ °12С33 .

Э11 _ Л ' а12 " Л '

А

С13 (2 _ ) .

А

С11 + С,-

(с11 + С12)С33 2с13

1 . - 1

а44 - а55 - ; —'

2((С11 - С12) С12) — 2с123]

После подстановки усредненных значений с..

где А = (с11 — с12 )[с33 (с11 + с12) — 2с12з].

+ из (3) в формулы (4) имеем

00

Ф

0 т

1

*

О У

Т

0

1

м

В

г

3

у

о *

8

О

ч

2

с

12

с9г С44е9г;

с = с,,е ;

гг 44 п'

в9. = а44с9г;

2

2

(к + 2ц)-

к + 2ц

(( + 2ц)-(А.)) + 2ц) + (А.) -2

Я. + 2ц

к + 2ц

(( + 2ц)-(х)) + 2ц) + (А.) -2 к

к + 2ц

к + 2ц

(к + 2ц) + (х)-2

Я, + 2ц

1

Х + 2ц

l + 2ц' + 2ц) + (».)-2(

311 + 312

-yz

N О

со

о >

с

10

<n

2 о

н *

О

*

S I h

О Ф

ta

311 + 312

-yz

f Л

, R

1—^

' г2,

У

/ \ , R

1+R

V У

/ я. ^ (to* 1- V R2 о

\к + 2ц/ г2 У

( > R о

/ Я )(y)z 1 + ч

\Л, + 2ц г2 У

(у)z;

/ л

V "

V У

x[yTh + у 2

{ki + 2цп)^2 + 2Ц2) / \

12

+у2(1- h)]z ° =-[у^ +y 20-h)]z;

, R 1+R

V У

+ 2ц/

а44 = a55 1); a66 =W

В работе [19] при решении задачи о распределении напряжений в тяжелом массиве из транс-версально-изотропного материала с вертикальной цилиндрической полостью, имеющего плоскость изотропии, перпендикулярную оси z, получены следующие выражения для компонент напряжений (при условии, что ue = 0 и, следовательно, тл = 0, Tez = 0):

с = 0.

rz

Перемещения ur и uz будут соответственно равны

u __+^_(1)Л-

г ((А, + 2ц}"1)((( + 2ц)) г ' (Я. + 2ц)'

2 Ь)

(к + 2ц)-(А,у

z2 +

(y)Ro2ln г + С.

Напряжение с0 рядом с поверхностью круговой полости (г = R ) при 0 = const [19, 20]

сг„=- 2

+ 2ц/

Если внутри полости находится жидкость, то она действует на поверхность полости с давлением дг, и напряжения в этом случае составят

Л

+ 2ц к

Х + 2ц

/

(у); (у)-

1--^

' г2

qR

-z;

/

\ у

qR

Сг = "ТС с = 0.

гг

С коэффициентами, найденными по формулам (5), напряжения (6) представляют собой искомое решение задачи о слоистом массиве:

Если боковая поверхность полости жестко закреплена, например, трубой, то граничные условия на ней и = 0 и с = 0 при г = Я .

г гг 1 о

В этом случае полость не оказывает влияния на напряжения, они будут такими же, как и в массиве без полости. На стенку трубы массив будет оказывать давление

к

г \к + 2ц

М-

СТ г _-с = 0.

гг

Из формул (7) с учетом значений постоянных ламе и удельного веса для каждого слоя имеем:

С использованием значений постоянных ламе и удельного веса для каждого слоя эта формула будет иметь вид

х[утИ + у 2(1- И)]г.

Таким образом, в результате усреднения упругих модулей слоистый массив с горизонтальным

2

2

2

а.„ =

12

2

313 =

2

2

2

333 =

a

13

а =

г

о =

г

2

г

a

13

a =

г

Распределение напряжений в слоистом массиве

С. 863-868

с вертикальной цилиндрической полостью

напластованием пород моделируется однородным тикальной цилиндрической полостью кругового

трансверсально-изотропным полупространством с поперечного сечения, нетронутый горный массив

плоскостью изотропии, перпендикулярной к вер- находится под действием собственного веса. тикальной оси . Полупространство ослаблено вер-

лИТЕРАТУРА

1. Олейник O.A., Иосифьян r.A., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных сред. М. : Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 199О. 311 с.

2. Бардзокас Д.И., Зобнин AM. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. М. : Едиторал УРСС, 2ОО3. 376 с.

3. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М. : Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 1984. 336 с.

4. Кристенсен Р. Введение в механику композитов : нер. с англ. М. : Мир, 1982. 334 с.

5. Bobyleva T.N. Approximate Method of Calculating Stresses in Layered Array // Procedia Engineering. 2О16. Vol. 153. Pp. 1О3-1О6.

6. Ержанов Ж..C., Aйmалuев Ш.М., Жубаев И.Ж. и др. Аналитические вопросы механики горных нород. Алма-Ата: Наука, 1969. 143 с.

7. Бобылева Т.Н. Напряженно-деформированное состояние слоистого горного массива с вертикальной шахтой // Научное обозрение. 2О16. № 24. С. 18-2О.

8. Шамаев A.C., Шумилова В.В. О спектре одномерных колебаний в периодической комбинированной слоистой среде // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2О11. № 4 (4). С. 1882-1883.

9. Шамаев A.C., Шумилова В.В. Прохождение плоской звуковой волны через слоистый композит с компонентами из упругого и вязкоупругого материалов // Акустический журнал. 2О15. Т. 61. № 1. С. 1О-2О.

10. Cавенкова М.И., Шешенин C.B., Закалюкина И.М. Применение метода осреднения в задаче унругонла-стического изгиба пластины // Вестник МГСУ. 2О12. № 9. С. 156-164.

11. Cавенкова М.И., Шешенин C.B., Закалюкина И.М.Сравнение результатов конечно-элементного анализа с результатами асимптотического метода осреднения в задаче упругопластического изгиба пластины // Вестник МГСУ. 2О13. № 8. С. 42-5О.

Поступила в редакцию в ноябрь 2016 г. Принята в доработанном виде в мае 2017 г. Одобрена для публикации в июле 2017 г.

Об авторе: Бобылева Татьяна Николаевна — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; tatyana22ll@outlook.com

REFERENcEs

12. Шамаев А.С., Шумилова В.В. Асимптотическое поведение спектра одномерных колебаний в среде из слоев упругого материала и вязкоупругого материала Кельвина—Фойгта // Современные проблемы механики : сб. стат. / под ред. В.В. Козлова, А.Г. Сергеева. М. : МАИК, 2016. С. 218-228.

13. Шамаев А.С., Шумилова В.В. Усреднение уравнений состояния для гетерогенной среды, состоящей из слоев двух ползучих материалов // Современные проблемы механики : сб. стат / под ред. В.В. Козлов, А.Г. Сергеев. М. : МАИК. 2016. С. 229-240.

14. Bobyleva T.N. Method of Calculation of Stresses in the Layered Elastic-Creeping Arrays // MATEC Web of Conferences. 2016. Vol. 86 : 5th International Scientific Conference "Integration, Partnership and Innovation in Construction Science and Education. Режим доступа: https://www.matec-conferences.org/articles/matecconf/pdf/2016/49/matecconf_ ipicse2016_01024.pdf

15. Андреев В.И. Механика неоднородных тел // М. : Юрайт, 2015. 255 с.

16. Андреев В.И. Axisymmetric Thermo-elastic Deformation of the Cylinder with Two-dimensional Inhomogeneity of Material // Procedia Engineering. 2016. V. 153. Pp. 32-36.

17. Андреев В.И., Полякова Л.С. Аналитическое решение физически нелинейной задачи для неоднородной толстостенной цилиндрической оболочки // Вестник МГСУ. 2015. № 11. С. 38-45.

18. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости / пер. с англ. М.И. Рейтмана под ред. Г.С. Шапиро. М. : Наука, 1975. 575 с.

19. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.-Л.: Гос. изд-во технико-теорет. лит-ры, 1950. 299 с.

20. Лехницкий С.Г. Симметричная деформация и кручение тела вращения с анизотропией частного вида // Прикладная математика и механика. 1940. Т. IV. Вып. 3. С. 55-56.

Л

Ф

0 H

1

s

*

о У

Т

0 s

1

К) n

г

1. Oleynik O.A., Iosifyan G.A., Shamaev A.S. Matematicheskie zadachi teorii sil'no neodnorodnykh sred [Mathematical Problems in the Theory of Strongly Non-Homogeneous Media]. Moscow, Lomonosov Moscow State University Publ., 1990. 311 p.

2. Bardzokas D.I., Zobnin A.I. Matematicheskoe mod-elirovanie fizicheskikh protscessov v kompozitsionnykh ma-

terialakh periodicheskoy struktury [Mathematical Modeling of Physical Processes in the Periodic Structure Composite Materials]. Moscow, Editoral URSS Publ., 2003, 376 p.

3. Pobedrya B.E. Mekhanika kompozitsionnykh materi-alov [Mechanics of Composite Materials]. Moscow, Lomonosov Moscow State University Publ., 1984. 336 p.

<

О *

8

О >1

N О

со

о >

4. Christensen R.M. Mechanics of Composite Materials. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1979.

5. Bobyleva T.N. Approximate Method of Calculating Stresses in Layered Array. Procedia Engineering. 2016, vol. 153, pp. 103-106.

6. Erzhanov Zh.C., Aytaliev Ch. M., Zhubaev I.Zh., et al. Analiticheskie voprosy mekhaniki gornykh porod [Analytical Issues in Rock Mechanics]. Alma-Ata, Nauka Publ., 1969. 143 p.

7. Bobyleva T.N. Napryazhenno-deformirovannoye sostoyaniye sloistogo gornogo massiva s vertikal'noy shakh-toy [Stress-Strain State of Layered Massif with a Vertical Shaft]. Nauchnoye obozreniye [Scientific Review]. 2016, no. 24, pp. 18-20.

8. Shamaev A.S., Shumilova V.V. O spektre odno-mernykh kolebaniyi v periodicheskoy kombinirovannoy sloistoy srede [On the Spectrum of Oscillations in One-Dimensional Combined Periodic Layered Medium] Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo [Vestnik of Lobachevsky University of Nizhni Novgorod ]. 2011, no. 4

9. Shamaev A.S., Shumilova V.V. Prohozhdeniye plos-koy zvukovoy volny cherez sloistyy kompozit s komponentami iz uprugogo i vyazkouprugogo materialov [Flat Passage of Sound Waves through Laminated Composite with Components of Elastic and Viscoelastic Materials]. Akusticheskii zhurnal [Acoustic Magazine]. 2015, vol. 61, pp. 10-20.

10. Savenkova M.I., Sheshenim S.V., Zakalyukina I.M. Primeneniye metoda osredneniya v zadache uprugoplas-ticheskogo izgiba plastiny [Application of the Homogeniza-tion Method for the Elastoplastic Bending of a Plate]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 156-164.

11. Savenkova M.I., Sheshenim S.V., Zakalyukina I.M. Sravneniye rezul'tatov konechno-elementnogo analiza s rezul'tatami asimptoticheskogo metoda osredneniya v za-dache uprugoplasticheskogo izgiba plastiny [Comparing the Results of Finite Element Analysis with the Asymptotic Results of the Homogenization Method to the Elastoplastic Bending of A Plate] Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 8, pp. 42-50.

12. A.S. Shamaev, V.V. Shumilova. Asimptoticheskoe povedenie spektra odnomernyh kolebaniy v srede iz sloyev uprugogo materiala i vyazkouprugogo materiala Kel'vina— Foyhta [Asymptotic Behavior of Spectrum of One-Dimensional Fluctuations in the Environment of the Layers of Elas-

tic Material and a Viscoelastic Material of Kelvin—Voigt]. Sovremennye problemy mekhaniki : sb. stat. [Modern Problems of Mechanics : Collected Articles]. Moscow : MAIK Publ., 2016. Pp. 218-228.

13. A.S. Shamaev, V.V. Shumilova. Usrednenie uravne-nii sostoyaniya dlya geterogennoi sredu, sostoyaschei iz sloyev dvuh polzuchih materialov [Averaging of the State Equations for a Heterogeneous Medium Consisting of Two Layers of Creeping Materials]. Sovremennye problemy me-hanik : sb. stat. [Modern Problems of Mechanics : Collected Articles] Vol. 295. Moscow : MAIK Publ., 2016. Pp. 229240.

14. Bobyleva T.N. Method of Calculation of Stresses in the Layered Elastic-Creeping Arrays. MATEC Web of Conferences. 2016, Vol. 86 : 5th International Scientific Conference «Integration, Partnership and Innovation in Construction Science and Education». Available at : https://www.matec-conferences.org/articles/matecconf/pdf/2016/49/matecconf_ ipicse2016_01024.pdf.

15. Andreev V.I. Menhanika neodnorodnynh tel [Mechanics of Non-Homogeneous Bodies]. Moscow, Uyrait Publ., 2015, 255 p.

16. Andreev V.I. Axisymmetric Thermo-elastic Deformation of the Cylinder with Two-dimensional Inhomo-geneity of Material. Procedia Engineering. 2016, vol. 153, pp. 32-36.

17. Andreev V.I., Polyakova L.S. Analitichskoye resh-eniye fizicheski nelineinoH zadachi dlya neodnorodnoy tols-tostennoy tsilindricheskoy obolochki [Analytical Solution of Physically Nonlinear Problems for Inhomogeneous Thick-Walled Cylindrical Shell] Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 11, pp. 38-45.

18. Timoshenko S.P., Goodier J.N. Theory of elasticity. NcGraw Hill Book Company, 1951.

19. Lekhnitskii S.G. Teoriya uprugosti anizotropnogo tela [Theory of Elasticity of an Anisotropic Body]. Moscow, Leningrad, Gosudarstvennoe izdatelstvo tekhniko-teo-reticheskoy literatury Publ., 1950, 299 p.

20. Lekhnitskii S.G. Simmetrichnaya deformatsiya i kruchenie tela vrascheniya s anizotropiey chastnogo vida [Symmetric Deformation and Torsion of Bodies of Revolution With Anisotropy of the Private View]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1940, vol. IV, issue 3, pp. 55-56.

Л

ta

<N

s о

H >

о

Received in November 2016. Adopted in revised form in May 2017. Approved for publication in July 2017.

About the author: Bobyleva Tatiana Nikolaevna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Applied Mathematics, Moscow state University of civil Engineering (National Research University) (MGsU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; tatyana2211@ outlook.com

S I h

О Ф

to