Моделирование фракталов

Моделирование фракталов

Г.М. Кравченко, С.Э. Васильев, Л.И. Пуданова Донской государственный технический университет

Аннотация: В статье приведена классификация фракталов как плоских, так и объемных, их размерности, основные принципы построения. Впервые предлагается алгоритм визуализации фракталов в геометрические формы при помощи программы «3D моделирование фракталов». Модуль генерации точек пространства, принадлежащего трехмерному фракталу, объединяет точки пространства в совокупность треугольных конечных элементов в среде вычислительного комплекса SCAD. Сложная фрактальная геометрия трансформирована в пространственную конечно-элементную модель фракталов.

Ключевые слова: фрактал, неевклидова геометрия, размерность фрактала, плоский фрактал, пространственный фрактал, 3D моделирование фрактала, мощность фрактала, итерации построения фрактала, конечно-элементная модель, визуализация

Понятия фрактал и фрактальная геометрия появились в конце 70-х годов XX века. Началом фрактальной геометрии принято считать выход в 1977 году книги Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой так же использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 г. в той же области (Анри Пуанкаре, Пьер Фату, Гастон Морис Жюлиа, Георг Кантор, Феликс Хаусдорф).

Изломы являются неотъемлемой частью человеческой жизни, и по большей части, они неподконтрольны людям и кажутся крайней степенью усложнения. Б. Мандельброт нашел признаки порядка в этих изломах. Очертания береговых линий, причудливые изгибы рек, зигзаги горных хребтов, ветви растений и многое другое с геометрической точки зрения представляют собой фракталы.

Б. Мандельброт дает такое краткое определение фрактала: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Слово фрактал образовано от латинского fractus -состоящий из фрагментов [1].

Главные элементы фракталов недоступны непосредственному наблюдению. В этом отношении они принципиально отличаются от привычных объектов евклидовой геометрии, таких, как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур. Для визуализации фракталов алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера.

По общепринятой классификации фракталы делят на геометрические, алгебраические и стохастические [2]. При этом алгебраические и геометрические фракталы являются детерминированными, т.е. абсолютно воспроизводимыми; они дают идентичные изображения независимо от числа повторений. Стохастические фракталы считают недетерминированными.

Геометрические фракталы в двухмерном случае получают с помощью некоторой ломаной (в трехмерном - поверхности), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал [3,4].

Регулярный геометрический фрактал «Канторовская пыль» строится следующим образом: единичный отрезок делится на 3 равных части; средняя часть выбрасывается, две остальные остаются. Над каждой из оставшихся частей проделывается аналогичная операция (Рис. 1). В пределе получается точечное множество несвязанных фрагментов - канторовская пыль.

1/3 2/3

0-штш-^ I-1 I-1

ь

Рис. 1. - Фрактал «Канторовская пыль»

;

В качестве исходного объекта фрактала «Звезда Коха» выбран равносторонний треугольник со сторонами единичной длины, каждый единичный отрезок делится на 3 равных части, средняя часть выбрасывается, а на ее месте как на основании строятся две боковые стороны равностороннего треугольника. Такая операция повторяется для всех сторон исходного треугольника, а затем и, для каждой уменьшенной стороны, полученной звезды, многократно.

Рис. 2. - Четыре итерации построения фрактала «Звезда Коха» Алгебраические фракталы получают с помощью итерационных процессов по выражениям типа

где г - комплексное число, а / - некая функция.

Наиболее яркими представлениями квадратичных алгебраических фракталов являются множества Жюлиа и Мандельброта. Оба типа фракталов получают на комплексной плоскости при итерировании по формуле

= /),

= ¿„2 + С,

где С - комплексная переменная.

Пусть с=0, тогда на каждой итерации вычисляется точный квадрат комплексного числа 20 ^ 202 ^ 10 ^. Для этой последовательности в

зависимости от с0 имеются три возможности:

- число получается все меньшим и меньшим, их последовательность стремится к нулю, т.е. нуль является аттрактором;

- числа непрерывно увеличиваются - бесконечность является также аттрактором;

- точки остаются на расстоянии 1 от нуля. Единичная окружность -граница двух аттракторов (нуля и бесконечности).

Если в итерационном процессе (1) фиксировать с^0 и изменять г0, то

получается совокупность множества Жюлиа, при этом внутренний аттрактор уже не является нулем, граница искривляется.

Если в (1) зафиксировать г0 и изменять с, то в результате получается

множество Мандельброта (Рис. 3).

Рис. 3. - Множество Мандельброта Бенуа Мандельброт предложил в 1975 г. новую неевклидову геометрию. Фрактальная геометрия Мандельброта изучает негладкие, шершавые, пенистые, изъеденные порами, трещинами, отверстиями объекты. Геометрия природных образований в подавляющем большинстве являются

J

именно такой, неправильной, искаженной [5,6]. Фракталы - это структуры, обладающие двумя важными свойствами - изломанностью и самоподобием, любая сколь угодная часть фрактальной линии содержит в себе уменьшенную копию всей линии, т. е. это уже не в евклидова линия, а некая «толстая линия».

Топологическая размерность для геометрических объектов: 0 для точки, 1 для линии, 2 для поверхности, 3 для пространства, не ощущает извилистости линии, шероховатости поверхности, пористости пространства. Немецкий тополог Феликс Хаусдорф и российский математик А.С. Безикович вывели дробную размерность фракталов [7].

Для бесконечного замкнутого и ограниченного множества сфер радиуса е существует конечное подпокрытие - конечное число сфер радиуса е, таких, что каждый элемент множества принадлежит хотя бы одной из сфер, не обязательно совпадая с ее центром. Пусть К(е) - число сфер в конечном подпокрытии. К(г) разлагается в ряд Лорана по целым степеням г. Правильная часть ряда Лорана (тейлоровская) содержит целые положительные степени, главная часть - целые отрицательные.

Пусть — - главный член лорановской части разложения К(е) по

ел

степеням s. При а ^ 0

N

Показатель d называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Логарифмируя (2), получим

log N

log N (а) и -d  logs ^ d и lim

log(S

Числитель размерности Хаусдорфа-Безиковича - число элементов в конечном подпокрытии исходного компактного множества сферами радиуса

;

е, знаменатель - число, показывающее, сколько раз укладывается радиус сферы е в единицы длины.

Например, для фрактала «канторовская пыль» (рис.1) число элементов в конечном подпокрытии - 2, а в единице длины укладывается три окружности радиусом 1/3. Тогда

Для фрактала «Звезда Коха» шершавая линия контура имеет размерность

Искусственно введенная дробная размерность правильных фракталов количественно характеризует хаос, который возникает при их построении.

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Все рассмотренные линейные фракталы, как графические конструкции, являются плоскими. Но если полагать, что всякая плоская фигура является, допустим, ортогональной проекцией некоторого объекта, находящегося в пространстве, то можно говорить о существовании объёмных фрактальных фигур [8].

Новой ступенью развития фрактальной геометрии являются трехмерные фракталы.

Оболочка Мандельброта — трёхмерный фрактал, аналог множества Мандельброта, созданный Дэниелом Уайтом и Полом Ниландером с использованием гиперкомплексной алгебры, основанной на сферических

^4

J

координатах. Формула для п-ой степени трехмерного гиперкомплексного числа {х, у, г} следующая:

где

г = 4 х2 + у2 + г2;

в = arctan( y / x); р = arctan(z / x2 + y2 )= arcsin(z / r); r - модуль, в и р - аргументы трехмерного гиперкомплексного числа.

Была использована итерация z ^ zn + c, где z и c — трехмерные гиперкомплексные числа, на которых операция возведения в натуральную степень выполняется так, как это указано выше. Для n > 3, результатом является трехмерный фрактал. Чаще всего используется восьмая степень.

Разработана программа «3D моделирование фрактала», которая осуществляет генерацию точек пространства, принадлежащего трехмерному фракталу, а также объединяет точки пространства в совокупность треугольных конечных элементов [9, 10] (далее КЭ) в среде вычислительного комплекса SCAD (Structure CAD Office - интегрированная система прочностного анализа и проектирования конструкций) [11].

Программа для ЭВМ «3D моделирование фрактала» предназначена для генерации точек в пространстве трехмерного фрактального множества. Программа разработана на языке C# в среде Visual Studio 2013. В программе предусмотрен ввод исходных данных, количество итераций множества и мощность фрактала. Результатом вычислений является набор точек, который образует слой - «оболочку» фрактального множества.

Целью алгоритма является определение точек, принадлежащих поверхности фрактальной оболочки (3). Определение координат точек осуществляется путем проверки принадлежности их к поверхности

фрактальной оболочки после заданного количества итераций. Проверка принадлежности точек ведется в сферических координатах, изменяя циклично сначала отдаление от центра (г), затем горизонтальный угол (ф), затем вертикальный (0). Если текущая точка вышла за пределы поверхности, значит, предыдущая принадлежала ей.

Отобранные в результате расчетов точки сохраняются в текстовый файл в формате txt, который пригоден для чтения в программном комплексе SCAD. В этот же файл записывается создание треугольных КЭ по номерам точек. В результате в SCADе можно прочитать данный текстовый файл и получить объемную фрактальную оболочку, состоящую из треугольных КЭ.

Просчет большого количества точек с меньшими шагами углов позволяет получить более детальную и гладкую поверхность оболочки. Это повышает точность расчета, однако достаточно сильно влияет на время генерации точек. Поэтому важно правильно задать исходные шаги для г, ф и 0 для получения в дальнейшем более качественной сетки КЭ.

В качестве тестового примера используем следующие исходные данные: мощность фрактала 8, количество итераций 3.

Первая итерация представляет собой шар. При увеличении числа итераций, поверхность усложняется за счет повторяющихся фрактальных элементов. Результат расчета сохраняются в текстовом файле.

Рис. 4 демонстрирует развитие фрактала 8 мощности: происходит формирование опорной зоны по аналогии с плодоножкой цветка; на полюсе появляется образование вулканического вида; основная поверхность -шероховатая.

На рис. 5 представлена проекция фрактала на плоскость YZ, которая позволяет увидеть образование экваториального пояса, мигрирующего вдоль оси Z.

Рис. 4. - Фрактал 8 мощности в координатах ХУ7

Рис. 5. - Проекция фрактала 8 мощности на плоскость У7 На рис. 6 показана 3Б модель фрактала 44 мощности, на рис. 7 -проекция на плоскость У2.

Рис. 6. - 3Б модель фрактала 44 мощности

Рис. 7. - Проекция фрактала 44 мощности на плоскость

Программа «3D моделирование фрактала» позволяет не только визуализировать сложную фрактальную геометрию, но и получить конечно-элементную модель фрактала.

Литература

1. Mandelbrot, В.В. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco: 1982. 462 p.

2. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. М. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. 162 с.

3. Васильков Г.В. Теория адаптивной эволюции механических систем. Ростов-на-Дону: Терра-Принт, 2007. 248 с.

4. Васильков Г.В., Маркин С.Г. Фракталы - следствие стремления систем к изоэнергетичности. // Материалы международной научно-практической конференции «Строительство 2003». Ростов-н/Д: РГСУ, 2003. с. 147-148.

5. Волошин А.В. Об эстетике фракталов и фрактальности искусства. В кн.: Синергетическая парадигма. Прогресс-Традиция, 2002. 495 с.

6. H.-O. Peitgen, P. H. Richter. The beauty of fractals. Springer-Verlag: Heidelberg, 1986. 184 p.

7. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. М.: Постмаркет, 2001. 184 с.

8. Ткач Д. И., Нифанин А. Б. От хаоса к порядку / LAP Lambert Academic Publishing, 2014. 104 с.

9. Кравченко Г.М., Труфанова Е.В., Борисов С.В., Костенко С.С. Динамический расчёт и анализ полусферической оболочки покрытия объекта «Зимний сад» Технопарка Ростовского государственного строительного университета (РГСУ) // Инженерный вестник Дона, 2016, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2016/3494

10. Кравченко Г.М, Труфанова Е.В., Думбай В.А., Камеш Ю.А. Исследование неравномерной осадки основания спортивно-оздоровительного комплекса технопарка РГСУ методом конечных элементов// Инженерный вестник Дона, 2016, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2016/3495

11. Карпиловский В.С. SCAD Office. Вычислительный комплекс SCAD. М.:Издательство ABC, 2007. 590 с.

References

1. Mandelbrot, В.В. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco: 1982. 462 p.

2. Morozov A.D. Vvedenie v teoriyu fraktalov [Introduction to the theory of fractals]. M. Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovaniy, 2006. 162 p.

3. Vasil'kov G.V. Teoriya adaptivnoy evolyutsii mekhanicheskikh system [Theory of adaptive evolution of mechanical systems]. Rostov-na-Donu: Terra-Print, 2007. 248 p.

4. Vasil'kov G.V., Markin S.G. Materialy mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii «Stroitel'stvo 2003» [Materials of international scientific-practical conference "Construction 2003"]. Rostov-n/D: RGSU, 2003. p. 147-148.

5. Voloshin A.V. Ob jestetike fraktalov i fraktal'nosti iskusstva [About the aesthetics of fractals and fractal art]. V kn.: Sinergeticheskaja paradigma. Progress-Tradicija, 2002. 495 p.

6. H.-O. Peitgen, P. H. Richter. The beauty of fractals. Springer-Verlag: Heidelberg, 1986. 184 p.

7. Danilov Ju.A. Lekcii po nelinejnoj dinamike [Lectures on nonlinear dynamics]. M.: Postmarket, 2001. 184 p.

8. Tkach D. I., Nifanin A. B. Ot haosa k porjadku [From chaos to order] / LAP Lambert Academic Publishing, 2014. 104 p.

9. Kravchenko G.M., Trufanova E.V., Borisov S.V., Kostenko S.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2016/3494

10. Kravchenko G.M, Trufanova E.V., Dumbay V.A., Kamesh Yu.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2016/3495

11. Karpilovskij V.S. SCAD Office. Vychislitel'nyj kompleks SCAD [SCAD Office. Computing complex SCAD]. M.: IZdatel'stvo ABC, 2007. 590 p.