Контактное взаимодействие упругой пластины с жестким телом 1. Геометрически линейная постановка

Математика. Физика

УДК 539.3

КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ С ЖЕСТКИМ ТЕЛОМ

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНАЯ ПОСТАНОВКА

Г.М. Куликов, С.В. Плотникова, Д.В. Казаков

Кафедра «Прикладная математика и механика», ТГТУ

Ключевые слова и фразы: геометрически линейная контактная задача; модифицированный метод множителей Лагранжа; пластина типа Тимошенко; смешанный метод конечных элементов.

Аннотация: Рассмотрена задача контактного взаимодействия геометрически линейной упругой пластины типа Тимошенко с абсолютно жестким штампом постоянной кривизны. Получено новое аналитическое решение задачи цилиндрического изгиба пластины с учетом поперечного обжатия. Разработан алгоритм численного решения контактной задачи на основе смешанного метода конечных элементов (МКЭ) с использованием модифицированного метода множителей Лагранжа. Приведено сопоставление полученных численных и аналитических результатов и даны рекомендации по выбору регуляризационного параметра, характеризующего жесткостные характеристики штампа.

Введение

Проблема расчета упругих пластин, взаимодействующих с абсолютно жесткими штампами еще не является окончательно решенной. Причина кроется в необходимости значительного усложнения теории для получения приемлемых результатов. В первую очередь это относится к учету поперечного обжатия, поскольку порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений даже в простейшем варианте теории пластин типа Тимошенко возрастает до двенадцати [1]. Отметим также, что обстоятельный анализ различных постановок контактных задач для пластин, взаимодействующих с жесткими штампами представлен в монографии [2].

На основе теории упругих оболочек типа Тимошенко с учетом поперечного обжатия [3 - 5] разработан алгоритм численного решения контактной задачи для геометрически линейной пластины с использованием смешанных конечноэлементных аппроксимаций [6, 7]. Существенной особенностью подхода [3 - 7] является то, что в качестве искомых функций выбираются 6 перемещений лицевых поверхностей пластины. Это позволяет, во-первых, упростить формулировку контактной задачи [1, 8], так как в качестве искомых функций выбираются функции, с помощью которых формулируются условия непроникания контактирующих тел; и, во-вторых, разработать эффективные конечные элементы пластины типа Тимошенко с точки зрения точного представления перемещений элемента как жесткого целого [6, 7].

1 Постановка задачи

Рассмотрим пластину постоянной толщины к, ограниченную лицевыми плоскостями £- и Б+, расположенными на расстояниях 5- и 5+ от отсчетной плоскости Б, соответственно, и боковой поверхностью О , перпендикулярной к £ (рис. 1). Отнесем плоскость Б к системе декартовых координат х±, Х2 ; поперечную координату Х3 направим по направлению нормали к Б. Пусть Б - срединная

плоскость пластины; Г = БIО - граничный контур; е, - базисные векторы де-

картовой системы координат х,; р± - внешние поверхностные нагрузки, действующие на лицевых поверхностях Б± ; q = V + 1 + ^еэ - вектор внешних поверхностных нагрузок, действующих на боковой поверхности О ; V , 1 - нормальный и тангенциальный единичные векторы к граничному контуру Г ; и, - компоненты вектора перемещений; е,у , ст,у - компоненты тензоров деформаций и напряжений. Здесь и далее латинские индексы ,, у, 1, т = 1, 2, 3; а греческие индексы а, р, у = 1, 2 .

Воспользуемся кинематической гипотезой Тимошенко о линейном распределении перемещений по толщине пластины [3, 4]:

и = Ы~

и = Хи,е,, ^=Х ¥±е,,

где V* - векторы перемещений точек лицевых поверхностей Б± ; (Х1 , Х2 ) -

компоненты этих векторов; ^ (х3) - линейные функции формы пластины:

N-(3 ) = к (5+ - х3), N + (3 )= -5-) .

Подставив перемещения (1.1), (1.2) в деформационные соотношения геометрически линейной теории упругости [9], приходим к деформационным соотношениям теории пластин типа Тимошенко

8аг = N- (х3 ) еаг + ^ (х3 ) , 833 = е33 ,

2еар = v±аер + ^реа , 2еа3 = Реа + ^ае3 , е33 = Ре3 >

Р = к

Здесь нижний индекс а, следующий после запятой, означает частное дифференцирование по координате ха.

Деформационные соотношения (1.3) являются весьма привлекательными с точки зрения их использования в МКЭ, поскольку они точно представляют перемещения пластины как жесткого тела. Действительно, перемещения лицевых поверхностей пластины как жесткого тела можно представить в виде [6]

v±R = А + Ф х Я± ,

А = ХД, е , Ф = X Ф е , К± = X ха еа + 5± е3 ,

, , а

где А - вектор поступательного перемещения пластины; Ф - вектор, характеризующий вращение пластины как жесткого целого вокруг точки 0 (рис. 1);

s+

Я± - радиус-векторы точек лицевых плоскостей Б± . Для производных векторов жестких смещений (1.4) имеет место формула

у±ай = ф х еа.

Вводя далее формулы (1.4), (1.5) в деформационные соотношения (1.3), получим

2 ^ =(Ф х еа ) ег +(Ф х е; )еа = 0, е33 =(Ф Х е3 ) е3 = 0 ,

что и требовалось доказать.

В целях дальнейшего использования деформационных соотношений (1.3) представим их в скалярной форме

2е±р = У±,р + Ур,а , 2е±3 = Ра + ^,а , е33 = Рз ,

в = \

2 Вариационное уравнение Ху-Васидзу для упругой пластины

типа Тимошенко

Как известно, уравнения равновесия, деформационные соотношения, уравнения обобщенного закона Гука и граничные условия на лицевых и торцевых поверхностях пластины представляют собой уравнения Эйлера и естественные граничные условия некоторой вариационной задачи. В связи с этим введем в смешанный вариационный принцип Ху-Васидзу [9] независимые аппроксимации перемещений (1.1) и деформаций

8аг = и-

где (Х1, х2), Е±3 (, Х2) - тангенциальные и поперечные касательные

деформации лицевых плоскостей пластины; Е33 (х1, Х2) - поперечное обжатие

пластины. В результате, учитывая соотношения (1.3), (1.6), приходим к следующему вариационному уравнению:

£ V-+3<6

33

1+т<6

Т+- I (( + ^Цт^+т )) Ез

щ +

1+т<6

і

33 33

8£+ +

+( -е- ) +( -4)Т+ -Т-5»- -Ті+8е+ [ +

Т33 - I (^33ітЕ-н + ^331тЕ*т )-Т333Т33

1+т<6

5Е33 + (Е33 - е33 )5Т33 -

-Т33 5е33 +

-1

йхійх^ +

+^

г

Здесь у±, V*, V* - компоненты векторов перемещений лицевых плоскостей Б ± в локальном базисе V , 1 е3 (рис. 1); , Д±1т, 03333 - компоненты матрицы

жесткости пластины; 7*, Т33 - результирующие напряжений; Т±, Т±, 7^*3 -

результирующие внешних поверхностных нагрузок, действующих на боковой поверхности О :

5+

0,р1т - | Ътт [^

Р+9

0-33 = О003 + О03з, °+33 = О03з + °}/зз , °3333 = °з"ззз + °+ззз ;

5+ 5+

7* = | СТшЖ± (х3 )<&3 , 733 =| ст33^3 >

5- 5-

5+

7* =| Я*^±

5-

где Ьут - жесткости материала.

При вычислении компонент тензора напряжений могут быть использованы полные соотношения обобщенного закона Гука

Ьі]1т е1т •

1, т

Однако, при расчете пластин из несжимаемых или близких к ним по характеристикам материалов, у которых коэффициенты Пуассона близки к 0,5 [3, 8], а также с целью преодоления так называемого Пуассоновского заклинивания [10, 11] будем приближенно полагать в (2.5) йар33 - 0 . Вместе с тем уравнение для поперечного нормального напряжения используется в неизменном виде, т.е.

5

Ьззар ф 0 . Сказанное означает, что согласно (2.3) подчеркнутые члены в вариационном уравнении (2.2) следует опустить. В результате приходим к несимметричной матрице жесткости [7], что, однако, не вносит существенных корректив в численную реализацию контактной задачи.

3 Модифицированное вариационное уравнение Ху-Васидзу для решения контактной задачи

Предположим, что контакт пластины с абсолютно жестким гладким выпуклым штампом осуществляется для определенности по части внешней плоскости Б+, причем трение в области контакта отсутствует. Пусть поверхность штампа задается уравнением

¥

при этом внутри штампа Т (х , Х2 , Х3) < 0 , вне его Т (х , Х2 , Х3) > 0 .

Сдвинем штамп на величину А вертикально вниз, тогда уравнение поверхности штампа будет иметь вид

Т

В результате перемещения штампа точка М +(Х1, Х2 , 5+), принадлежащая поверхности предполагаемого контакта Б+ (рис. 2), переходит в новое положение М + ( , .Х2 , Х3), где обозначено:

Ха = Ха + ^ , Х3 = 5+ + .

Рис. 2 Контакт пластины с жестким штампом

Учитывая формулы (3.2), (3.3), условие непроникания контактирующих тел можно записать так:

Условие неположительности контактного давления д+ (*і, *2) запишем в

виде

Неравенства (3.7), (3.8) необходимо дополнить условием того, что контактное давление определяется в тех точках, которые вступают в контакт с жестким штампом, т.е. должно выполняться равенство

Для решения задачи контактного взаимодействия пластины с жестким штампом рассмотрим вариационное уравнение (2.2), дополнив его одним слагаемым, отвечающим за выполнение условий контакта (3.7) - (3.9), и другим слагаемым [12], связанным с регуляризацией задачи

где X (, Х2) - множитель Лагранжа суть контактное давление; еге§ - регуляри-

зационный параметр. Отметим, что наличие регуляризационного члена в уравнении (3.10) подразумевает замену абсолютно жесткого штампа совокупностью непрерывно распределенных пружин с жесткостью еге§. При этом, предельный случай еге§ ^ ж соответствует классическому методу множителей Лагранжа.

С учетом (3.7) вариационное уравнение (3.10) приводится к виду

которое будет положено в основу при построении смешанных элементов.

Смешанное вариационное уравнение (2.2), (3.11) для элемента пластины в его локальных координатах §і, §2 может быть записано в матричной форме так:

которое после линеаризации приводится к следующему неравенству:

g+ (Xb X2 ) = x(Xi, X2 )-8+ ,

условие непроникания (3.5) представим еще в более простой форме

Ф^Ь X2 ) = g+ -Д-v+ > 0.

;

4 Алгоритм численного решения контактной задачи смешанным МКЭ

j Д(Т - DE)T 5E + (E - e)T 5T - TT5e +

-1 -1

-1 -1

+ (P + Xm)T 8v-|ф—1-xj SX d^d5,2 + \j\ T8vrds = 0,

m = [0 0 0 0 0 1]T ,

где v - столбец перемещений; vг - столбец перемещений граничного контура

(2.1); T - столбец результирующих напряжений; Тг - столбец внешних результи-

стных нагрузок; D - несимметричная матрица коэффициентов упругости размера 11x11, элементы которой определяются на основе соотношений (2.3) с учетом допущений, принятых для расчета несжимаемых материалов [3, 7, 8], а также с целью преодоления Пуассоновского заклинивания [6, 13].

В функционале (4.1) вектор-функции v, E, T и множитель Лагранжа X являются независимыми функциональными переменными, поэтому для них на элементе надлежит использовать независимые аппроксимации. Для перемещений и множителя Лагранжа воспользуемся стандартной билинейной аппроксимацией

узлах элемента. Здесь и далее индекс г = 1, 4 .

Для деформаций согласно методу двойной аппроксимации [14, 15], обобщенному на случай учета поперечного обжатия [6, 13], имеем еще более простые зависимости

элемента Ге1; e, E - столбцы деформаций лицевых плоскостей пластины из (1.3),

рующих нагрузок, действующих на границе элемента Ге1; P - столбец поверхно-

r

r

где

столбцы узловых перемещений;

Ыг (, §2) - линейные функции формы; Xг - значения множителя Лагранжа в

где

e00 = Г p-00 E+00 e—00 E+00 2 E-00 2 E+00 2 E~~00 2 E+00 2 E-00 2 e+00 e00 V -^^11 11 22 c22 ZjC12 zc12 ZjC13 zc13 zc23 zc23 ^3 J

e01 =[ Е-Г En12 E-3012 E+01 E01 ]T >

E10 =

Г E 10 E+10 2 E-10 2 E+10 e10 ] T e11 = Г E11 ]

[^22 22 23 23 33 J ’ [33 ]!

01

1 0 0 0 0" "0 0 0 0 0" ~0“

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 , Q10 = 0 0 0 0 0 , Q11 = 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1]

Здесь Q00 - единичная матрица размера 11x11; Euu - столбец, характеризую

00

щий однородную форму деформации элемента; E01, E10 , E11 - столбцы, характеризующие неоднородные формы деформации. Здесь и далее индексы гь Г2 принимают значения 0 или 1. Отметим также, что различный характер аппроксимации компонент тензора деформаций обеспечивает нужное число степеней свободы, что в свою очередь необходимо для корректного представления перемещений элемента как жесткого целого [6, 13].

Для результирующих напряжений примем аналогичную (4.3) аппроксимацию:

T = X Qr‘ r2 T1 r2 51 52

T00 = Г t00 t +00 T“00 T+00 T“00 T +00 T“00 T+00 T“00 T +00 T00

± I ^ 11 in Ml in Jn iOQ iQ'

‘11

‘22 22 12 12

‘13

"13

23 23

33

t01 = Г t—01 t +01 t -101 t+01 t 01 ]T

1 r 11 41 43 43

t10 = Г t—10 T+10 T “10 T+10 t10

* Moo Ml Ml Ml

t11 =[T3131 ].

*33 ^ ^ 22 22 23 23 *33

Вводя аппроксимации (4.2) - (4.5) в уравнение (4.1) и пользуясь стандартной вариационной процедурой смешанной модели МКЭ, приходим к следующим уравнениям равновесия элемента:

EГ1Г2 =

1

У ( ГГ ) Qr1 r2 Tr1 Г2 + Lr1 Г2 Л

^ 3Г1 +r2 V /

= F,

где V = ^ v[ v2 ^ v4 ] - столбец узловых перемещений элемента;

Л = [ X2 Х3 X4 ] - столбец узловых значений множителя Лагранжа; F - столбец

+ -Д-mT vp—rer xp=0,

узловых нагрузок; Lгl Г - матрицы размера 24 х 4, отвечающие контактному

взаимодействию элемента; BГl Г2 - матрицы размера 11 х 24, характеризующие

деформационные соотношения (1.3), (1.6).

Дополним уравнения (4.6) соотношениями, отвечающими согласно формулам (3.7) - (3.10) за выполнение условий контакта. В зоне контакта (ре 1С) должны удовлетворяться условия

2

еге§

Хр< 0,

а вне зоны контакта (рг 1С) - условия

Я^-Д-т1Vр > 0,

Хр= 0,

где 1С с{ 1, 2, 3, 4} - множество входящих в контакт узлов; - значения

зазора в узлах элемента.

Исключая в соотношениях (4.6) столбцы ЕГ1 Г и ТГ1 Г , приходим к разрешающей системе уравнений

У —1— (Br1 r2 )T Dr1 r2 Br1 r2 V+Lr1 r2 Л

^ V, + r2 V /

3r1 + r2 r1> r2

=F,

которую следует решать совместно с контактными условиями (4.7) - (4.8). В соотношениях (4.9) для удобства записи введены матрицы порядка 11x11:

Dr1 r2 = Qr1 r2 (Q1 r2 jT DQr1 r2 (Qr1 r2 )T .

На стандартной процедуре сборки элементов в ансамбль с получением системы уравнений относительно глобального вектора узловых перемещений здесь останавливаться не будем. Далее был использован метод проб и ошибок, суть которого состоит в следующем. Вначале задается начальное приближение зоны контакта и решается модифицированным методом Гаусса для ленточных матриц линейная система уравнений (4.7а), (4.8б), (4.9), затем проверяется выполнение неравенств (4.7б), (4.8а). Если неравенство (4.7б) не выполняется, то узел выводится из зоны контакта. В случае, если не выполняется неравенство (4.8а), то узел добавляется к зоне контакта.

5 Точное решение задачи цилиндрического изгиба пластины

жестким штампом

Рассмотрим задачу цилиндрического изгиба изотропной пластины абсолютно жестким пологим штампом [1], радиус основания которого равен Я (рис. 3). Если предположить, что существует зона плотного прилегания пластины и штампа [-Ь, Ь], то в этой зоне согласно условию (3.7) имеем

Х—Д,

3 2Я

где Д - смещение штампа.

Ограничиваясь случаем симметричных граничных условий, разрешающие уравнения [1], описывающие изгиб пластины в зоне контакта [0, Ь], запишем в виде

D

d4 v3 h2 d2 q

dx4 б (l -v)dx2

d 2 v

d2 Рз .. vX dvl --^P3 -

dx^

1 -v dxl 2 E

q,

dx^

= 0 e =_ h2 d 3 v3 - dvL + (l + v) h dq

, 1 б(l-v) dx3 dx1 3(l-v)Edx1

vn = 2

D =

Eh3

X =

24 (l + v) h2

12

где q (Х1) - контактное давление; Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона; п = 1, 3.

Разрешающие уравнения, характеризующие изгиб пластины вне зоны контакта [Ь, 1], представим в форме

d 4

v3

dx4 d 2 v1 dxl

= 0,

= 0,

d203.-xp3 -_^^ = 0,

1 -v dxl

h2 d3 v3 dv3

dx^

Pl =-

б (l -v) dx3 dx1

Рассмотрим для определенности случай шарнирного опирания краев, тогда граничные условия и условия непрерывности в точке Х1 = Ь имеют вид:

v (0 ) = 0, Pl (0 ) = 0, dv3 , 4 ^(0 )=0 dxl dP3 dxl (0 ) =

dv1 , ч dl( ^0 N 0, v3 (1) = 0, вз (l) =

vn (b - 0) = vn (b + 0) Pn ( b - 0) = P* ! (b + 0 ),

^ (b - dxl 0 ) = ^ (b + 0 ), ’ dx^ ’ IT (b - 0 ) = dxl dPn dxl -(b +

Вводя функцию из (5.1) в уравнения (5.2) и исключая перемещения с

учетом соотношений (5.3) - (5.6), приходим к дифференциальному уравнению для определения контактного давления

d4 q 3

dx^

2 h2

dxl

q = 0.

Из соображений симметрии решение уравнения (5.7) является четным, поэтому может быть представлено в форме

q = qchaxi cosyxi + C2shaxi sinyxi,

V39 - 30 v-73 v2

a = scos

p = arctg-

Ь* ' ^ 5 + 3v

Константы С1 и С2 могут быть найдены в процессе решения граничных задач

(5.2) - (5.6) с последующим удовлетворением условия равновесия штампа

21 q (xi )dxi = P.

0

В результате приходим к условию того, что контактное давление не обращается в нуль на границе области контакта, т.е.

q (Ь) Ф 0,

что противоречит решению плоской задачи теории упругости [2].

Что касается решения задачи [1], которое позволяет удовлетворить условию контакта

q (Ь ) = 0

то оно приводит к нарушению одного из условий непрерывности

^ (Ь - °)Ф ^ (Ь + 0).

dxl dxl

Указанные несоответствия обусловлены использованием кинематической модели Тимошенко (1.1) и могут быть преодолены путем применения более общих кинематических моделей, основанных на нелинейных законах распределения перемещений по толщине пластины [4, 16].

Результаты решения задачи при Е = 2-104 МПа ; v = 0,3; 1 = 100 мм; Я = 1000 мм представлены в табл. 1. Как видим, решение [1] приводит к заниженным значениям параметра нагружения Р*. Однако, в целом оба решения хорошо согласуются с точным решением теории упругости [2].

Таблица i

Зависимость параметра нагружения Р* = Р£Я 12Б от геометрии пластины и контактной области

b/l l / h = i0 l / h = 50

Решение [2] q (b ) ф 0 q (b ) = 0 Решение [2] q (b) ф 0 q (b ) = 0

0,03 0,8i9 0,888 0,699 i,0i7 i,0i8 i,0i4

0,06 0,970 0,983 0,940 i,049 i,050 i,046

0,i i,032 i,039 i,0i6 i,095 i,i09 i,092

0,3 i,303 i,3i4 i,284 i,402 i,409 i,397

0,6 2,i40 2,303 2,089 2,4i7 2,449 2,405

6 Сравнительный анализ численных и аналитических результатов расчета

Результаты численных расчетов результирующей контактного давления Р из

(5.9) и размера контактной области Ь, показанные для шарнирно опертой и защемленной пластин в табл. 2, 3, были получены с использованием тех же значений механико-геометрических параметров, что и ранее. При этом № обозначает число элементов, а еге - регуляризационный параметр из (3.10). Расчеты выполнены по следующему алгоритму. Вначале задается значение параметра Ьт , затем на основе аналитического решения при q (Ь) Ф 0, находятся точные значения перемещения штампа Дт и усилия Рт . Далее перемещение Дт вводится в условие непроникания (3.7) и решается контактная задача с помощью МКЭ. В результате, могут быть вычислены два основных параметра контактной задачи Р и Ь. Можно видеть, что при малых значениях регуляризационного параметра еге§ < 103, а для толстых пластин и при еге < 104, происходит заметное увеличение размеров контактной области.

Дополнительные данные о существенном влиянии регуляризационного

параметра на распределение безразмерного контактного давления q* = ql / Р представлены на рис. 4. Как видим, в данном классе задач оптимальным значением для параметра регуляризации является еге = 105, которое приводит к хорошему согласованию с аналитическим решением особенно для толстых пластин.

Таблица 2

Сравнение результатов расчета на основе МКЭ с точным решением при q (Ь 0 для шарнирно опертой пластины

Ьт , Дт , Рт — точные значения 1 / к = 10 1 / к = 50

Ьт =15,0 Дт = 3,6290 Рт = 40,22 Ьт = 30,0 Дт = 4,0469 Рт = 48,15 Ьт =15,0 Дт = 3,7647 Рт = 0,3403 Ьт = 30,0 Дт = 4,1608 Рт = 0,4128

Ме егеё Р Ь Р Ь Р Ь Р Ь

10 105 40,39 10,0 40,51 30,0 0,3411 20,0 0,4177 30,0

20 105 40,27 15,0 48,23 30,0 0,3410 15,0 0,4141 30,0

40 105 40,23 15,0 48,17 30,0 0,3405 15,0 0,4131 30,0

80 107 40,22 15,0 48,15 30,0 0,3404 15,0 0,4129 30,0

80 105 40,22 15,0 48,15 30,0 0,3404 15,0 0,4129 30,0

80 104 40,22 16,25 48,15 31,25 0,3403 15,0 0,4129 30,0

80 103 40,24 18,75 48,12 33,75 0,3403 16,25 0,4129 31,25

Таблица 3

Сравнение результатов расчета на основе МКЭ с точным решением при q (Ь) Ф 0 для защемленной пластины

bT, At , Pt — точные значения 1 / h = 10 1 / h- = 50

bT = 15,0 At = 1,9981 Pt = 88,06 bT = 30,0 At = 2,5047 Pt =126,0 bT = 15,0 At = 2,1312 Pt =0,7903 bT = 30,0 At = 2,6358 Pt = 1,163

Ne 8 reg p b p b p b p b

10 105 89,27 10,0 129,0 30,0 0,7999 20,0 1,199 30,0

20 105 88,40 15,0 126,7 30,0 0,7948 15,0 1,173 30,0

40 105 88,14 15,0 126,2 30,0 0,7914 15,0 1,165 30,0

80 107 88,08 15,0 126,1 30,0 0,7906 15,0 1,164 30,0

80 105 88,08 15,0 126,1 30,0 0,7906 15,0 1,164 30,0

80 104 88,07 16,25 126,0 31,25 0,7906 15,0 1,164 30,0

80 103 88,07 18,75 125,8 33,75 0,7905 16,25 1,164 31,25

в) г)

Рис. 4 Зависимость контактного давления q* = ql / Р от координаты :

— МКЭ; • — точное решение при q (Ь ) Ф 0;

— точное решение плоской задачи теории упругости [2]

1. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Численное решение контактной задачи для многослойных композитных пластин // Вестник ТГТУ. — 1998. — Т. 4, № 4. — С. 526 — 539.

2. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. — М.: Машиностроение, 1980. — 412 с.

3. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Сравнительный анализ двух алгоритмов численного решения нелинейных задач статики многослойных анизотропных оболочек вращения. 2. Учет поперечного обжатия // Механика композитных материалов. — 1999. — Т. 35, № 4. — С. 435 — 446.

4. Kulikov G.M. Refined Global Approximation Theory of Multilayered Plates and Shells // Journal of Engineering Mechanics. — 2001. — V. 127, No. 2. — Pp. 119 — 125.

5. Kulikov G.M. Analysis of Initially Stressed Multilayered Shells // International Journal of Solids and Structures. — 2001. — Vol. 38, No. 26 — 27. — Pp. 4535 — 4555.

6. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. Simple and Effective Elements Based upon Timoshenko-Mindlin Shell Theory // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2002. — V. 191, No. 11 — 12. — Pp. 1173 — 1187.

7. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Исследование локально нагруженных многослойных оболочек смешанным методом конечных элементов. 1. Геометрически линейная постановка // Механика композитных материалов. — 2002. — Т. 38, № 5. — С. 607 — 620.

8. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Контактная задача для многослойной анизотропной оболочки вращения // Прикладные проблемы механики тонкостенных конструкций. — М.: Из-во МГУ, 2000. — С. 205 — 223.

9. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987. — 542 с.

10. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Исследование локально нагруженных многослойных оболочек смешанным методом конечных элементов. 2. Геометрически нелинейная постановка // Механика композитных материалов. — 2002. — Т. 38, № 6. — С. 815 — 826.

11. Bischoff M., Ramm E. On the Physical Significance of Higher Order Kinematic and Static Variables in a Three-Dimensional Shell Formulation // International Journal of Solids and Structures. — 2000. — V. 37. — Pp. 6933 — 6960.

12. Zhong Z.H. Finite Element Procedures for Contact-Impact Problems. — Oxford: Univ. Press, 1993. — 371 p.

13. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. Non-Linear Strain-Displacement Equations Exactly Representing Large Rigid-Body Motions. Part I. Timoshenko-Mindlin Shell Theory // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2003. — V. 192, No. 7 — 8. — Pp. 851 — 875.

14. Hughes T.J.R., Tezduyar T.E. Finite Elements Based upon Mindlin Plate Theory with Particular Reference to the Four-Node Bilinear Isoparametric Element // Trans. ASME, Journal of Applied Mechanics. — 1981. — Vol. 48. — Pp. 587 — 596.

15. Wempner G., Talaslidis D., Hwang C.M. A Simple and Efficient Approximation of Shells via Finite Quadrilateral Elements // Trans. ASME, Journal of Applied Mechanics. — 1982. — Vol. 49. — Pp. 115 — 120.

16. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. — М.: Машиностроение, 1988. — 288 с.

Contact Problem for the Elastic Plate and Rigid Body 1. Geometrically Linear Formulation

G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova, D.V. Kazakov

Department of Applied Mathematics and Mechanics, TSTU

Key words and phrases: geometrically linear contact problem; Timoshenko-type plate; mixed finite element method; perturbed Lagrangian formulation.

Abstract: A contact problem for the geometrically linear elastic Timoshenko-type plate and rigid punch is considered. The new analytical solution has been derived for the cylindrical bending of the plate by a rigid punch of the uniform curvature accounting for the thickness change. The numerical algorithm has been elaborated for solving the contact problem on the basis of the mixed FEM by using the perturbed Lagrangian formulation. A comparison of the obtained numerical and analytical results, and some recommendations on choosing the penalty parameter are presented.

Kontaktzusammenwirken der elastischen Platte mit dem Hartkorper 1. Geometrisch lineare Stellung

Zusammenfassung: Es ist die Aufgabe des Kontaktzusammenwirkens der geo-metrischen elastischen Platte vom Timoschenko-Typus mit dem absolutharten Gesenk der unveranderlichen Kurvatur betrachtet. Es ist die neue analytische Losung der Aufgabe der zylindrischen Plattenbiegung mit Rucksicht auf die Querabnahme erhalten. Es ist den Algorithmus der zahlenmaBigen Losung der Kontaktaufgabe auf Grund der Ge-mischtenmethode der Endelemente mit der Benutzung der modifizierten Methode von Lagrange-Multiplikatoren ausgearbeitet. Es ist den Vergleich der erhaltenen Zahl- und Analytischergebnisse angefuhrt. Es sind die Empfehlungen nach der Auswahl des die Hartcharakteristiken des Gesenkes charakterisierenden Regelparameters angegeben.

Interaction de contact de la plaquette elastique avec un corps rigide

Resume: Est examine le probleme de l’interaction de contact de la plaquette elastique du type Timochenko avec une etampe rigide absolue de la courbure constante. Est regue une solution analitique de probleme de la flexion cylindrique de la paquette compte tenu du serrage transversal. Est elabore l’algorithme de la solution numerique du probleme de contact a la base de la methode mixte des elements finis avec l’utilisation de la methode de modification des multiplicateurs de Lagrange. Est citee la correspondance des solutions numeriques et analytiques regues et sont donnees les recommandations sur le choix du parametre de regularisation definissant les caracteristiques rigides de l’etampe.