Замкнутые вихри Абрикосова во внешнем магнитном поле

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2GG7. № 3. С. 2G-25.

УДК 543.123

И.В. Тихомиров, К.Н. Югай

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ЗАМКНУТЫЕ ВИХРИ АБРИКОСОВА ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

It is shown in this work that the phase transition of the vortex structure is connected with the advent of an additional degree of freedom, i. e. with the generation of closed (annular) Abrikosov vortexes in the system. Two mechanisms of the generation of closed vortexes are examined. One of these is an origin of vortexes because of thermal fluctuations and other one is a mechanism resulting from by fluctuating of linear vortexes. In the first case the number of arising closed vortexes does not depend on the applied magnetic field, but in the second case this one it is depended on it substantially. Physical properties of closed Abrikosov vortexes are examined.

Введение

Вихри Абрикосова появляются в сверхпроводниках 2-го рода при достижении нижнего критического поля Нс1, при этом возникает смешанное состояние сверхпроводника, в котором магнитное поле проникает внутрь сверхпроводника в виде вихрей Абрикосова, образуя треугольную решетку в плоскости, перпендикулярной внешнему магнитному полю. Картина с неподвижными вихрями в узлах треугольной решетки справедлива, однако, только при Т=0. При Т>0 эта картина оказывается несправедливой, поскольку из-за тепловых флуктуаций вихри будут случайно отклоняться от своих положений равновесия. Очевидно, что эти отклонения будут тем больше, чем выше температура. Кажется естественным использовать при описании этих явлений аналогию с твердым телом: кристаллическая решетка, тепловые колебания атомов решетки и при больших амплитудах колебаний - плавление. Эта аналогия решетки вихрей с кристаллической решеткой твердого тела является в настоящее время главенствующей, определяющей основные направления исследований в этой области. При исследовании плавления твердого тела часто используется так называемый критерий Линдеманна: плавление возникает тогда, когда среднеквадратичное тепловое смещение атома решетки достигает определенного значения, а именно:

где а - постоянная решетки, сь - постоянная Линдеманна, обычно сь = = 0,25. Смысл этого критерия прозрачен: при большой амплитуде тепловых флуктуаций атома решетки кристалла он отрывается из узла решетки и пускается в «свободное плавание». Но вряд ли то же самое происходит в случае вихрей, поэтому можно сказать, что критерий Линдеманна

© И.В. Тихомиров, К.Н. Югай, 2007

в применении к решетке вихреи в том виде, в котором он в настоящее время используется, является критерием формальным, не имеющим того ясного физического смысла, который присущ для кристаллической решетки твердого тела. В подавляющем числе работ, посвященных исследованию этого явления, термин «плавление» в применении к вихрям Абрикосова понимается в следующем смысле: «плавление» вихрей - это просто условие достижения критерия Линдеманна. Явление, подобное плавлению твердого тела, действительно происходит в системе вихрей Абрикосова, об этом говорят эксперименты [1-5].

На данный момент существует множество моделей, пытающихся описать аномальное поведение вихревой жидкости вблизи Тс. Одной из первых таких моделей была XY-модель [6], основанная на определенном построении гамильтониана системы [7]. Именно при помошд этой модели был впервые получен переход первого рода в треугольной решетке вихрей [8]. В дальнейшем проводилась доработка и усложнение модели, в частности была замечена аналогия между взаимодействием вихрей и взаимодействием двумерных бозонов [9; 10]. Это привело к возникновению новой модели, а именно двумерной (2D) Бозе-модели, которая в дальнейшем также усложнялась [1115]. Тем не менее описательная способность данных моделей не охватывает все флук-туационные эффекты. Кроме того, в отличие от твердого тела выполнение критерия Линдеманна не говорит о принципиально отличном характере движения вихрей, которое можно было бы уверенно отнести именно к плавлению. Если даже взять в качестве постоянной Линдеманна значение CL = 1,0, характер движения вихрей, очевидно, не изменится по сравнению с движением при CL = 0,25: это будут колебания вихрей относительно равновесного положения, правда, с большей амплитудой. Кроме того, отклонение вихря с CL >> 1,0, когда можно было бы говорить о его движении как движении атома, оторвавшегося от узла кристаллической решетки, мало вероятно, поскольку большие отклонения должны быть обусловлены большими тепловыми флуктуациями тока или несколькими флуктуациями тока меньшей величины, но направленными одинаково.

Однако в сверхпроводнике даже в отсутствие внешнего поля могут появляться более сложные вихревые структуры типа замкнутых (кольцевых) вихрей Абрикосова. Такие вихри могут образовываться в результате достаточно сильных токовых флуктуаций. Расчеты показывают, что токи, достаточные для образования замкнутого вихря, значительно меньше критического тока. Это говорит о том, что замкнутые вихри начинают влиять на сверхпроводящие свойства при значительно меньшей температуре, чем температура, при которой сверхпроводимость разрушается чисто флуктуационно. Иными словами, в сверхпроводнике появляется дополнительный и эффективный канал сброса энергии - через генерацию системой замкнутых вихрей Абрикосова. Нельзя не заметить аналогию с неустойчивостью Бенара в слое жидкости, когда диффузионный механизм отвода тепла, имеющий место при низком значении подводимой к поверхности жидкости тепла, сменяется более эффективным конвекционным механизмом переноса при значении подводимого тепла, большем некоторого критического значения.

Замкнутый вихрь

Замкнутый вихрь представляет собой вихревую нить, в которой силовые линии магнитного поля замкнуты. Подобные вихревые структуры рассматривались ранее в работах [16-18]. Для упрощения расчетов предполагается, что магнитное поле имеет форму кольца. Хотя реально в результате тепловых флуктуаций форма замкнутого вихря может существенно искажаться.

Радиус нормальной сердцевины, как и в случае прямолинейных вихрей, порядка Е -длины когерентности теории Гинзбурга-Ландау. Распределение магнитного поля замкнутого вихря определяется из решения стационарного уравнения Гинзбурга-Ландау и в общей форме может быть записано как

2А1

г 971 (Р9)71 (Рз ?)ехр(-\C\-yJ1 + 92 )л

/:=Т й9

0 VI + 9

Здесь р = г / Я , £ = г / Я, рз = Я8 / Я ,

где г, г - цилиндрические координаты, плоскость г =0 совпадает с плоскостью кольца, магнитное поле имеет только азимутальную компоненту Н, Я - глубина про-

X

тЛте

никновения магнитного поля, Ф0 =------- -

е

квант потока магнитного поля, Л: - функция Бесселя первого рода. Проинтегрировав распределение (2) по полуплоскости , можно вычислить величину магнитного потока Фу в замкнутом вихре

Ф К =Ф 0

где К: - модифицированная функция Ганкеля. При достаточно больших радиусах (в > 4) поток вихря приближается к

кванту потока. Это связано с тем, что структура замкнутого вихря с большим радиусом близка к структуре прямолинейного вихря. Магнитный поток вихря с рв < 4 меньше Фо. Энергия вихря, согласно модели Лондонов, равна

Жу = Ф 0 Ну

8п

где Ь = 2лКв, Ну (рв ,0) - поле в сердцевине вихря. Как видно из выражения (4), энергия вихря линейно зависит от его радиуса, это значит, что вихрь является неустойчивым и сжимается с течением времени. Таким образом, время жизни одиночного вихря определяется его начальным радиусом. Численное интегрирование выражения (2) показывает, что при больших радиусах вихря оно стремится к полю в центре прямолинейного вихря, которое определяется как

Нр

2ж£

где к = Х/Е - параметр Гинзбурга-Ландау.

На рис. 1 представлены энергия и время жизни кольцевого вихря. Как видно на рисунке, у вихрей с малыми радиусами время жизни мало. Далее мы не будем рассматривать такие структуры, поскольку они быстро разрушаются и не могут существенно влиять на свойства сверхпроводника. Таким образом, будем полагать, что поле в сердцевине замкнутого вихря равно полю в центре прямолинейного.

А

Рис. 1. Энергия кольцевого вихря wу , нормированная на энергию прямолинейного вихря, и время жизни т кольцевого вихря радиуса рв

Механизм образования замкнутых вихрей из прямолинейных

При достаточно сильном внешнем магнитном поле в сверхпроводнике одновременно могут присутствовать и замкнутые, и прямолинейные вихри. Прямолинейные поддерживаются внешним магнитным полем, а замкнутые - разрушаются и появляются снова, так что их среднее число остается постоянным при заданной температуре [19]. До сих пор в литературе рассматривался только один механизм образования замкнутых вихрей, а именно образование вихря в результате сильной тепловой флуктуации тока. Мы введем дополнительный механизм - образование замкнутого вихря из прямолинейного. Как известно, тепловые флуктуации приводят к искажению формы прямолинейного вихря. В силу флуктуа-ционного механизма образования таких искажений, они могут иметь разнообразную форму. Увеличение длины вихря энергетически не выгодно, поэтому вихрь стремится сжаться до первоначального размера, определяемого толшдной образца. Однако если изгиб будет достаточно большим, кольцевые токи противоположных сторон изгиба будут взаимодействовать, что приведет к появлению дополнительной энергии взаимодействия. Конкуренция этих энергий может привести к тому, что изгиб не «разгладится», а замкнется в кольцо, радиус которого определится радиусом закругления изгиба. Замкнутый вихрь, образовавшийся таким образом, будет абсолютно идентичен замкнутому вихрю, образовавшемуся в результате сильной токовой флуктуации.

Для простоты вычислений, рассмотрим отклонение вихря от прямолинейной формы в виде дуги радиуса го и углом разворота а (рис. 2).

Рис. 2. Отклонение вихря от прямолинейной формы

Общая энергия такого образования отсчитывается от энергии невозмущенного вихря. Она представляет собой энергию дуги минус энергия разорванной части вихря, т. е.

Ф = ФЮоР ( г0 )-е0х =

=<6> 8п

где ео - энергия прямолинейного вихря на единицу длины, Нр (0) - поле в сердцевине прямолинейного вихря, '1оор - энергия дуги. Энергия дуги - энергия вихря, содержащего в себе магнитное поле, плюс энергия, связанная с взаимодействием сверхпроводящих токов противоположных концов дуги. Поскольку при расчете распределения магнитного поля замкнутого вихря уже учитываются оба типа энергий, то энергию дуги можно записать через энергию замкнутого вихря

Ф 0НУ

№.ЮоР = аг0 =

8п

-аг0

где е - энергия замкнутого вихря на единицу длины, Ну (г0,0) - поле в сердцевине замкнутого вихря. Значение а = 0 соответствует невозмущенному вихрю, поскольку тогда ' = 0, напротив, а = 2п соответствует появлению замкнутого вихря, и полная энергия тогда равна энергии замкнутого вихря. Как мы показывали ранее, Ну (г0,0) стремится к Нр (0) при

больших радиусах замкнутого вихря, поэтому можно ввести

г(го ) =

Ну

НР

Є

Є

при Го >> Л У(г0) ^ 1. Тогда

1 Л ХАА^ А*АЧ/^ААААи -Д111І1У-Ч 1 AJ ж я к к ^ ^ /

№

причем при Г 0

полную энергию можно записать в виде

Ф 0 Нр (0) г Гу(л )а- 2 81пГаа

Для образования замкнутого вихря необходимо выполнение двух условий.

1. Энергия тепловых флуктуаций должна быть по порядку сравнима с энергией образующегося замкнутого вихря радиусом го.

2. Скорость сближения точек перегиба должна превышать скорость естественного сжатия вихря, иначе вихрь просто «разгладится».

Учет первого условия можно осуществить добавлением в выражение для числа образующихся вихрей больцмановского

множителя

ехр

2пг0є

кТ

определяющего

собой вероятность появления тепловой флуктуации достаточной величины. Второе условие накладывает ограничение на параметры го, х образующейся дуги, которые определяют средний радиус обра-

*

зующихся замкнутых вихрей г0 . Увеличение внешнего магнитного поля Но приводит к возрастанию числа прямолинейных вихрей в решетке, а значит, и к увеличению общей длины, на которой могут образовываться замкнутые вихри. Каждый вихрь несет в себе квант потока магнитного поля, поэтому количество прямолинейных вихрей в сверхпроводнике

н 0 в

можно оценить как

Фп

где Б - площадь

поверхности сверхпроводника, перпендикулярной внешнему магнитному полю. Таким образом, выражение для внутренней энергии, учитывающей замкнутые вихри, примет вид

АЕу (Т, Н 0) = 2пє#(

(

Фп

ехр

2пг0 є кТ

л

г0*.

Найдем скорости сближения точек перегиба и естественного сжатия дуги, для этого продифференцируем выражение для полной энергии дуги (9) по параметрам х и го:

&х

1 дф П дх 1 дФ

1 --

ИГ0 )

П ^ ео8

д = - —(- 2tg(а/2^ П ог0 п

где п - кинетическая вязкость, коэффициент, связывающий силу, действующую на вихрь, со скоростью движения нормальной сердцевины вихря. Выражение (11) представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, определяющую динамическое поведение дуги. Начальные условия, приводящие к образованию замкнутого вихря, определяют средний радиус вихрей. То есть из всевозможных возмущений выбираются такие, которые приводят к образованию замкнутых вихрей, а поскольку сами возмущения зависят от температуры, то следует ожидать, что при определенной температуре число образующихся замкнутых вихрей возрастет. Таким образом, средний радиус образующихся замкнутых вихрей в выражении (1о) неявно зависит от температуры.

Точки перегиба, приводящие к образованию замкнутого вихря, будем называть плюс- и минус-точками (+, -) (см. рис. 2), учитывая характерное притяжение между ними. Очевидно, что (+, -) точки могут образовываться только парами, причем взаимодействие может происходить не только между точками одной пары. Поскольку образование замкнутых вихрей связано с исчезновением (+, -) точек, то количество замкнутых вихрей будет определяться количеством (+, -) точек в сверхпроводнике. Для определения равновесного количества замкнутых вихрей в сверхпроводнике введем простую модель, описывающую процессы рождения и уничтожения (+, -) точек, а именно получим уравнение баланса (+, -) точек. Во-первых, будем считать, что количество (+, -) точек, рождающихся за единицу времени, пропорционально общему удлинению вихря АЬ = Ь - И, где Ь - длина невозмущенного вихря, очевидно, что Ь представляет собой также размер сверхпроводника в направлении внешнего магнитного поля. Во-вторых, учтем тепловой механизм образования (+, -) точек введением больцмановского множителя

ехр

кТ

который определяет веро-

ятность образования пары (+, -) точек с характерным средним расстоянием меж*

ду ними г0 . Кроме того, необходимо

учесть механизм уничтожения (+, -) точек. Во-первых, аналогично процессу рождения количество (+, -) точек, аннигилирующих за единицу времени, будет пропорционально общему удлинению вихря АЬ . Во-вторых, это число будет линейно зависеть от общего числа (+, -) точек

АЬ

N р =---- . С учетом предыдущих рассу-

2пГ0

ждений запишем уравнение баланса для (+, -) точек

ёМр

Ж

= ЮА ехр

кТ

2яг„

----Ют, Мп

АЬ

2пг*

= юа ехр

2пг0*е^

кТ

Nр - юв Nр

где ЮА,юв - частоты рождения и уничтожения пар (+, -) точек. Это уравнение определяет динамику количества (+, -) точек. Очевидно, что в равновесном состоянии скорости рождения и уничтожения (+, -) то-

чек будут сбалансированы,

т. е.

= 0.

Количество (+, -) точек, соответствующих равновесному состоянию, будет

Ю

(

Мр 0 =----------ехр

2пг0*е^

кТ

У

Поскольку аннигиляция пары (+, -) точек есть не что иное, как рождение замкнутого вихря, можно записать также уравнение баланса для замкнутых вихрей

= юаМр - ЮуМу .

где Юу - характерная частота уничтожения замкнутых вихрей. Замкнутый вихрь не стационарен по своей природе и разрушается со временем. Поскольку время жизни вихря определяется его начальным радиусом, то частота уничтожения замкнутых вихрей Юу будет зависеть от среднего радиуса образующихся вихрей г0* .

По аналогии с уравнением баланса для (+, -) точек число вихрей в равновесном

состоянии будет определяться равенством скоростей рождения и уничтожения замкнутых вихрей

Nv о =•

О

О

-N2 =

Jvp о

О

(

ОвО,

-exp

. * л

4пг0 є

kT

.

Таким образом, выражение для внутренней энергии сверхпроводника с учетом механизма образования замкнутых вихрей из (+, -) точек будет

ДЕ, (T, H 0) = 2пє-

H о S

Ф

-exp

Ґ л * Л

4пг0 є

kT

.

швшу ^0

Как уже отмечалось ранее, при достаточно больших радиусах ( Г0 >> Л) энергия замкнутого вихря на единицу длины стремится к энергии прямолинейного вихря, а поскольку вихри с малыми радиусами имеют непродолжительное время жизни, то средний радиус образующихся вихрей должен быть достаточно большим по сравнению с глубиной проникновения магнитного поля. Тогда

є(го = г0*) ~єо =

Ф оHp (о) = Г Ф

8п

4пЛ

1пк,

где к = Л/£ - параметр Гинзбурга-

Ландау. Учитывая, что вблизи Тс температурные зависимости Л и £ пропорциональны (1 - Т / Тс )-1/ 2 , запишем выражение для внутренней энергии

(

ДЕ, (T) = Е,

T 1---

T

exp

1 -—1 ,_?L

T_

,

где Еу0, п - выражения, не зависящие от температуры, которые определяются как

Е, о = 2пєо

о,

H о S

ОвО, Ф о

n=

4ngp (о)г kT

а є

выражение для энергии прямо-

линейного вихря с Л = Л(0) .

Заметим, что Еу0, входящая в выражение для внутренней энергии (18), линейно

зависит от внешнего магнитного поля. Таким образом, с увеличением Н0 растет

вклад во внутреннюю энергию, приходящуюся на замкнутые вихри, образованные из прямолинейных. При определенной температуре Т0 выражение (18) имеет максимум, соответствующий максимальному числу замкнутых вихрей в сверхпроводнике. Заключение

1. Показано, что фазовый переход в структуре вихрей Абрикосова возможен при появлении в системе замкнутых вихрей.

2. Подробно рассмотрен механизм генерации замкнутых вихрей вследствие флуктуаций линейных вихрей. Вычислена энергия замкнутых вихрей.

3. Исследованы свойства замкнутых вихрей Абрикосова. Показано, что они в общем случае неустойчивы и разрушаются и что их средний радиус зависит от температуры.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Charalambous M., Chaussy J. Pascal Lejay // Phys. Rev. B. 1992. V. 45. P. 5091.

[2] Kwok W.K., Miller M.M. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. 3370.

[3] Safar H. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 824.

[4] Kwok W.K., Welp U. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 1092.

[5] Fendrich J.A., Welp U. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 2073.

[6] Teitel S., Jayaprakash C. // Phys. Rev. B. 1983. V. 27. P. 598.

[7] Shih W.Y., Ebner C, Stroud D. // Phys. Rev. B. 1984. V. 30. P. 134.

[8] Hetzel R, Sudb A., Huse D.A. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 518.

[9] Nelson D.R. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 1973.

[10] Nelson D.R, Seung H.S. // Phys. Rev. B. 1989. V. 39. P. 9153.

[11] Nelson D.R., Vinokur V.M. // Phys. Rev. Lett.

1992. V. 68. P. 2398.

[12] Nelson D.R, Vinokur V.M. // Phys. Rev. B. 1993. V. 48. P. 13060.

[13] Tauber U.C., Nelson D.R. // Phys. Rev. B. 1995. V. 52. P. 16106.

[14] Hatano N., Nelson D.R. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 570.

[15] Chen Tao, Teitel S. // Phys. Rev. B. 1997. V. 55. P. 15197.

[16] Козлов В.А., Самохвалов А.В. // Письма в ЖЭТФ. 1991. Т. 53. С. 150.

[17] Kozlov V.A., Samokhvalov A.V. // Physica C.

1993. V. 213. P. 103.

[18] Kozlov V.A., Samokhvalov A.V. // J. Superconductivity. 1993. V. 6. P. 63.

[19] Tesanovic Z // Phys. Rev. B. 1999. V. 59. P. 6449.

r

о

2

о

*

r

о

*

о