Вариационное доказательство существования лакуны в спектре лапласиана Дирихле для периодически связанных волноводов

ВАРИАЦИОННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛАКУНЫ В СПЕКТРЕ ЛАПЛАСИАНА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИ СВЯЗАННЫХ ВОЛНОВОДОВ

О.П. Мельничук, И.Ю. Попов

Развитие наноэлектроники породило большое количество задач, связанных с описанием новых систем. Проблема состоит в решении уравнения Шредингера в различных ситуациях. В случае баллистического транспорта задача сводится к решению уравнения Гельмгольца с условиями Дирихле на границах областей. Представляет интерес описание распространения электронной волны по волноводам, связанным через малые отверстия. Подобные системы могут использоваться для создания новых наноэлектронных устройств (квантовый интерференционный транзистор, квантовые переключатели и т.п.) [1]. Транспортные свойства электрона тесно связаны со спектральными свойствами соответствующего лапласиана Дирихле [2].

В [3, 4] показано, что наличие отверстия связи между двумя параллельными полосами приводит к возникновению связанного состояния, близкого к границе непрерывного спектра, и получены его вариационные оценки. В настоящей работе рассматривается случай двух полос с условием Дирихле, соединенных через периодическую систему малых отверстий. В этой ситуации возникает уже не связанное состояние, а зона. Для получения вариационной оценки верхнего края зоны, т. е. для величины лакуны, используется аналог метода, изложенного в [3, 4]. Для получения оценки зоны используется стандартное расслоение оператора по квазиимпульсу. Оператор в слое (при фиксированном значении квазиимпульса 9) имеет собственное значение. Оно оценивается с помощью прямых методов вариационного исчисления.

Пусть двумерные волноводы имеют одинаковые поперечные размеры С. Отверстия связи, шириной 2а, расположены периодически с периодом Ь. Опишем выбор пробной функции у (на одном периоде [-Ь/2, Ь/2]). Пусть у = Я + О,

(х+а) £ пЬ(к-9) + е - к(х-а) £ е -пЬ (к+9) + ек (х+а) I,

. _ , "=1 "=1 J

Я ь 1 (х, у) = аУ(у) \ ек(х+а) £ е'пЬ(к-9) + е'к(х-а) £ е~пЬ(к+9) + е~к(х-а)\,

Iа,2 I I п=1 "=1

Я[аа]

п=1 п=1

О (х у) = £пх

Ьп-а, Ьп+ а]

АгЬв

е соб

п

2а

я( у),

где

Я( у) =

пу 2а

пС

211 - С ]е "

у

у

с

с

сС

V (у) = \^ п )•

Здесь а, п и к - некоторые параметры, которые будут выбраны в дальнейшем.

П2„ „2

Рассмотрим форму М(у) = (Ну,у)--- |у|| , где Н - лапласиан Дирихле. Она

представима в виде

М(У) =Ш + |Уу|| - й2 Для выбранной пробной функции получаем:

М(у) = |И2 +1\вх\\2 +1\ву\|2 - } а(х,0)[Ях(х,0) + Ях(х,0)] -

-а

)^]ёувх [Ях + Ях].

а d

+

-а 0

Функция Я имеет вид:

Я Ь ] (х, у) = —У(у) {Аек(х+а) + Ве-к(х-а) + ек(х+а)},

ЬН

Я Ь ] (х, у) = —У(у) {Аек(х+а) + Ве к(х-а) + е~к(х-а)}, Я-а,а] (х, у) = —У(у) {1 + Аек(х+а) + Ве к(х-а)} ,

где

- пЬ

А = £ е

-пЬ(к-0) _ е

1 - е-"ь(к-10) ' п=1 1 ^

ад - пЬ

В = V е-п1( к+10) = ————, А = В.

/—1 1 _ е-пЬ (к+10) '

п=1 1 "

Найдем нормы функций.

2 2 г ] = а

I-а,а ]

2 а2к

к (АВ (е4ы -1) - 1аке2ка (А2 + В2)),

((1 + А + В )(1 - е"к (Ь-2а>) +

+2АВе2ка фпЬ кЬ - зтЬ 2ка) - ке2ка (Ь - 2а) (А2 + В2 + А + В)),

2

||Я||р Ь]= — ((1 + А + В) (1 - е~к(Ь-2а>) + 2АВе2ка (япЬ кЬ - 8шЬ 2ка) +

[а, 2 ] 2к

+ке2ка (Ь - 2а) (А2 + В2 + А + В)),

(к + 2 (А + В) (е2ка -1) + АВ (е4ка -1) + 2аке2ка (А2 + В2)),

2 а2

- а, а

где

Рх\I

и!=П 6-п ] <п (м-

||Я'||2 =П + Г2 е-п/2а <п, 11 11 4а ^ d 4а ^ 4а

А + В =

АВ =

2соб(9Ь )- 2е" кЬ 2со8ь кЬ - 2 соб (9Ь)'

- кЬ

2со8Ь кЬ - 2соб

А 2 = 2соз(29Ь)-4е~кЬ соб(9Ь) + 2е

А + В — —

-2кЬ

[2со8Ь кЬ - 2соб

Оставшиеся члены в рассматриваемом выражении для М(у) оцениваются следующим образом:

} О (х, 0) [ И (х, 0) + Ях (х, 0)1 = ап Д С

и и

| Сх| Су°х [Ях + Ях 1 = -ап

-а 0

4апк 2( А + В) п2 + 4а2 к2

и

(е!"" +1) Г КУСу,

I КУСу=а.\ +

пС

2е~~а 12

п\ ё ё2 + 4а

п \ С

. ч С ¡2 4а2

(1 -аС) < —,--2-7(1 + е) .

V ; п\ С С2 + 4а 1

Находим, что М(у) <

2 /2 8а /2 16Са3к2(А + В)(е2ка +1) Л

ап/С С ~аПН /2 . -И1 + е0 +

'С

+п (2+Юп2.

После минимизации последних трех слагаемых по п получаем:

а

п

[2 8а ¡2 16Са3к2

27 а2

= -а

псС

т.е.

М(у) <

22 -а

7 2

2' а

-(1 -е).

псС

При достаточно малых кМ(у)<0, поэтому для оценки сверху дробиМ(у)/||у|| мы можем увеличивать ее знаменатель:

2 < яр ь + ЯI2

II 11а <х<— II II-а<х< а 2

= 2

2 ь + 2Г"2

а< х<— 2

Последнее слагаемое имеет порядок а5, поэтому

< 2

а< х<— II II-а< х< а

2

(1 + ез).

Значение нормы ЦИЦ2 существенно зависит от значений величин АВ, А+В и А2+В2 при различных 9 и достаточно малых к. Эти величины будут различного порядка по к при 9 = 0 и 9 * 0:

е

2СОВ(9Т )- 2

(

k2 Т k3 Т3

1-кТ + — - — + о

А + В =

1 +

к2Ь2 кАТА

\

24

+ о

-1 +1 кТ + о(к), в = 0, кТ 6

-2

2

к2 Т2 к3 Т3

1 - кт+— к "'3

вФ 0, + о

АВ = -

1 +

к2Т2 к 4 т4

л

24

+ о

1 - — + — -—кТ + о(к), в = 0,

к Т кТ 12 12 1 - кТ + о

2

9ф 0,

А2 + В2 =

2соб (2вТ )- 4

С

к Т к Т к Т к Т

' 3 7-3

1 - кТ +

4 т-4

> 5 т-5

24 120

+ о

1 +

к2Т2 к4Т

л

24

+ о

1 - 2кТ + 2к2Т2 -

4к3Т3 2к 4 Т4 4к5 Т

15

+о

к2Т2

1 +

4 т-4

24

+ о

2 2 5 1

---+---кТ + о (к), в = 0,

к2Т кТ 6 6 -2^

вФ 0,

4

где у, -1< у<1,- это значение ео8(вТ).

Оценим знаменатель сверху, выбирая значения у при 9=0.

2 1 I 4

<—I — + о

к 2

к2 ^ Т

Норму ||БХ|| в числителе будем оценивать также сверху:

< к2 ^ 6 Т + о(к0) ^  к 2С2. Значит, оценка для искомого выражения будет следующей:

мм< 1

< с,

27 а2 к2

к с2 -

пй 3(2 +

(1 -*2 )|(1 + £з).

После минимизации по к окончательно получим M(¥) ^ C2 2a4(1 -s2)2 (1 + £ ) Cj Пd6 (2 + s)2( 3

Это оценка верхнего края зоны. Она доказывает существование лакуны. Одновременно мы получили следующую оценку лакуны А:

4 C2 2a4(1 -s2)2 „

-^T

C1 n d (2 + s)2 3

Отметим, что полученная оценка не является точной.

Работа поддержана грантом РФФИ 01-01-00253.

Литература

1. Beenakker C.W.J., van Houten H. Quantum transport in semiconductor nanostructures // Solid State Physics, Advances in Research and Applications. 1991.V. 44. P. 1-228.

2. Bulla W., Gesztesy F., Renger W., Simon B. Weakly coupled bound states in quantum waveguides // Proc. Am. Math. Soc. 1997. V. 125. P. 1487-1495.

3. Exner P., Vugalter S.A. Asymptotic estimates for bound states in quantum waveguides coupled laterally through a narrow window.//Ann. Inst. Henri Poincare. 1996. V. 65. № 1. P.109-123.

4. Exner P., Vugalter S.A. Bound state asymptotic estimates for window-coupled Dirichlet strips and layers // J. Phys. A: Math. Gen. 1997. V. 30. P. 7863-7878.