Неравновесные процессы в конденсированных средах. Часть 1. Экспериментальные исследования в свете нелокальной теории переноса

УДК 539.374

Неравновесные процессы в конденсированных средах. Часть 1. Экспериментальные исследования в свете нелокальной теории переноса

Ю.И. Мещеряков, Т.А. Хантулева1

Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, 199178, Россия 1 Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, 199034, Россия

На основании результатов экспериментальных исследований по ударному нагружению твердотельных материалов показано, что, наряду с пространственно-временным профилем массовой скорости ударной волны, важными динамическими характеристиками являются вариация массовой скорости, дефект скорости и порог структурной неустойчивости, регистрируемые в реальном масштабе времени. Зависимости указанных характеристик от скорости деформации, толщины мишени и структурного состояния материала показали, что их адекватная трактовка и моделирование ударно-волновых процессов невозможны в рамках традиционных подходов механики сплошной среды. Предложена новая концепция ударно-волновых процессов в конденсированных средах, основанная на нелокальной теории неравновесных процессов переноса, которая позволяет описывать переход от упругой к гидродинамической реакции среды в зависимости от скорости и времени нагружения. Построена модель нестационарной упруго-пластической волны, описывающая релаксацию упругого предвестника и формирование запаздывающего пластического фронта при ее распространении в среде с учетом эволюции структуры. Анализ экспериментальных данных показал, что разделение напряжений и деформаций на упругие и пластические части некорректно для ударных нагружений.

Ключевые слова: ударные волны, упругий предвестник, пластический фронт, вариация скорости, дефект скорости, неравновесные процессы переноса, нелокальные модели, структурно-неустойчивое состояние материала

Nonequilibrium processes in condensed media. Part 1. Experimental studies in light of nonlocal transport theory

Yu.I. Meshcheryakov and T.A. Khantuleva1

Institute of Problems of Mechanical Engineering RAS, St. Petersburg, 199178, Russia 1 St. Petersburg State University, St. Petersburg, 199034, Russia

Based on experimental research in shock loading of solid-state materials it is shown that among the important dynamic characteristics of the process, like spatial-temporal mass velocity profiles of shock waves, are the mass velocity variation, velocity defect, and structural instability threshold recorded in real time. Analysis of these characteristics depending on the strain rate, target thickness, and structural state of material demonstrates that conventional approaches of continuum mechanics fail to provide their adequate interpretation and simulation of shock wave processes. A new concept of shock wave processes in condensed media is proposed. The concept, being based on nonlocal nonequilibrium transport theory, allows describing the transition from elastic to hydrodynamic response of a medium depending on the loading rate and time. A nonstationary elastoplastic wave model is proposed for describing the relaxation of an elastic precursor and formation of a retarded plastic front during the wave propagation in a medium with regard to structural evolution. Analysis of the experimental data shows that the division of stresses and strains into elastic and plastic components is incorrect for shock loading.

Keywords: shock waves, elastic precursor, plastic front, velocity variation, velocity defect, nonequilibrium transport processes, nonlocal models, structurally unstable state of material

1. Введение

При экспериментальном исследовании высокоскоростных процессов в конденсированных средах, помимо технических трудностей, связанных с необходимо-

стью проводить измерения на малых пространственно-временных масштабах, возникают еще и принципиальные трудности обработки и интерпретации результатов измерений. Если размер области усреднения становится

© Мещеряков Ю.И., Хантулева Т.А., 2014

соизмерим с размером структурного элемента среды, то результат измерения уже не относится к макроскопическому масштабному уровню. Для динамических процессов чаще всего это промежуточный между микроскопическим и макроскопическим уровень, отвечающий масштабу внутренней структуры среды [1, 2]. Процессы, протекающие на таких масштабных уровнях, не описываются корректно аппаратом механики сплошной среды. В этих условиях средние плотности массы, импульса и энергии определены лишь в вероятностном смысле и не совпадают с их классическим определением. При этом надежность экспериментальных измерений падает, становится невозможным набрать достаточную статистику по результатам измерений.

Экспериментальные результаты, полученные при исследовании неравновесных процессов в различных областях механики (гидродинамика турбулентных течений, многофазных сред, волновые процессы в твердых телах, живых системах), обнаруживают множество общих черт, характеризующих неклассическую реакцию системы на внешнее воздействие. Вдали от термодинамического равновесия процессы переноса в разных средах часто сопровождаются формированием новых многомасштабных структур, таких как пристеночные слои, крупномасштабные пульсации массовой скорости, вихревые структуры, локализованные неоднородности и т.п. Наблюдаемые эффекты самоорганизации определяются не только самим веществом и его фазовым состоянием, но также режимом нагружения, граничными условиями и геометрией системы. Сформированные этими факторами структуры в результате взаимодействия их элементов начинают эволюционировать. Скорость эволюции структуры должна влиять на релаксационные характеристики среды и может приводить к неустойчивос-тям состояний, к структурным переходам с переключением режимов и появлению обратных связей. Таким образом, адекватное описание неравновесных процессов требует выхода за пределы механики сплошной среды и разработки нового подхода на стыке континуальной механики, неравновесной термодинамики и теории управления.

В настоящей работе приведены экспериментальные результаты по ударному нагружению твердых материалов (металлов) и предложено теоретическое описание неравновесных процессов переноса импульса и энергии, инициированных ударом по поверхности материала и приводящих к образованию новых структур мезоско-пического масштаба. Использован комплекс математических моделей, разработанных на основе нелокальной теории неравновесных процессов переноса, которые позволяют описывать поведение динамически нагружаемых сред за пределами концепции механики сплошной среды. С помощью этих моделей решается задача об эволюции фронта нестационарной упругопластичес-

кой волны, инициированной плоским ударом и распространяющейся в твердом материале. Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными позволило объяснить аномальную реакцию материала на ударное нагружение, обнаруженную в области распространения нестационарной волны. Эта реакция заключается в том, что в условиях динамического деформирования материал достигает структурно-неустойчивого состояния, в котором за счет энергообмена между разными масштабными уровнями внутри бегущей волны возникает синергетический процесс генерирования трехмерных вихре-волновых пульсаций [3-7].

2. Методика и результаты эксперимента по ударному нагружению твердых материалов

Исторически первыми теоретические и экспериментальные исследования ударно-волновых процессов в твердом теле проводились в условиях одноосного напряженного состояния, которое реализуется при ударном нагружении стержней и тонких нитей. К сожалению, эти эксперименты имеют ограничения на максимальную скорость деформации [8]. Ударные нагруже-ния по методу Тейлора (соударение стержня с жесткой наковальней) позволяют по величине деформации нагружаемого конца стержня получить данные только о величине динамического предела текучести материала [9], что недостаточно для полной характеристики динамических свойств материалов.

Важным шагом в диагностике быстропротекающих процессов в твердых телах стала регистрация пространственно-временного профиля массовой скорости [10, 11]. Форма и структура этого профиля оказались очень чувствительными к структурным характеристикам динамически деформируемого материала — плотности и подвижности дислокаций, вязкости, тепловым и структурным неоднородностям деформируемой среды, в том числе таким, которые инициируются самим ударным нагружением. Особенно большой вклад в исследование процессов распространения волн и ударно-волнового поведения материалов внес метод регистрации волновых процессов, осуществляемый с помощью лазерных интерферометров: интерферометр смещения [12], скоростной интерферометр SANDIA [13, 14], интерферометры типа VISAR [15], ORVIS [16] и др. Высокое временное и пространственное разрешение интер-ферометрических методов позволило выявить многие особенности ударно-волнового поведения материалов, включая фазовые и структурные превращения, отколь-ные процессы [17, 18] и др. Систематизация экспериментальных данных по одноосной деформации привела к установлению общего для большинства материалов так называемого «закона четвертой степени» [19], согласно которому скорость деформации на ударном

О 100 200 300

Время, не

Рис. 1. Временные профили скорости свободной поверхности и& и вариации скорости D, полученные при ударном на-гружении мишени стали 30ХН4М при скорости ударника 237 м/с

фронте пропорциональна четвертой степени пикового значения напряжения в ударной волне. Физическая природа этой закономерности пока не выяснена.

Следующим важным шагом в совершенствовании методов регистрации ударно-волновых процессов была разработка методики определения вариации массовой скорости D (корня квадратного из дисперсии массовой скорости) как количественной характеристики скоростной неоднородности волнового процесса [20, 21]. Оказалось, что отдельные участки деформируемой среды локально имеют разные значения массовой скорости. При определенных условиях это приводит к возникновению относительных смещений и/или поворотов структурных элементов относительно друг друга и далее к структурному переходу , инициированному ударным нагружением. Для нестационарных волновых фронтов распределение по скоростям присутствует не только на пластическом фронте волны, но и на протяжении всего импульса сжатия, включая плато импульса и задний фронт. На рис. 1 представлены временны е профили массовой скорости и^ и вариации скорости D в 5 мм мишени из стали 30ХН4М. Видно, что вариация скорости возрастает на переднем фронте импульса, остается постоянной на плато и падает до нуля на заднем фронте импульса сжатия. Регистрация вариации массовой скорости дает информацию о характере протекания процессов на промежуточном масштабном уровне (мезоуровне) на разных стадиях динамического деформирования.

В случае стационарных волновых фронтов вариация массовой скорости максимальна в середине пластического фронта, т.е. там, где скорость деформации также максимальна. В качестве примера на рис. 2 приведены временны е профили массовой скорости, вариации скорости и скорости деформации в алюминиевой мишени, нагруженной в условиях одноосной деформации при

скорости соударения 315 м/с. Видно, что скорость деформации ёв/ёt и вариация массовой скорости D изменяются синхронно и их максимумы совпадают по времени с серединой пластического фронта волны. Это позволяет записать соотношение, устанавливающее закон пропорциональности между вариацией массовой скорости и скоростью деформации D в/dt. Это соотношение связывает мезоскопический масштабный уровень деформирования (среднюю амплитуду пульсаций массовой скорости на мезоуровне, количественно характеризуемую величиной вариации скорости D) и макроскопический уровень, характеризуемый скоростью деформации ёв/ dt. Заметим, что аналогичное соотношение между интенсивностью пульсаций и массовым ускорением имеет место в турбулентности [22].

Несмотря на то что с момента первых публикаций, касающихся экспериментов по одноосной деформации материалов, прошло более пятидесяти лет, мезомеха-ника многомасштабного динамического деформирования до сих пор не включена в описание ударно-волновых процессов [23]. Это связано с тем, что отсутствуют соотношения, связывающие динамические переменные на разных масштабных уровнях. Эти соотношения должны описывать текущий обмен импульсом и энергией между уровнями в процессе деформирования. В то же время, как показывают эксперименты по ударно-волновому деформированию материалов, подобный обмен действительно имеет место и может быть зарегистрирован в реальном масштабе времени. Количественной характеристикой энергообмена между масштабными уровнями является так называемый «дефект» скорости на плато импульса сжатия. Он появляется вследствие потерь импульса и энергии при структурных превращениях материала в процессе динамического деформирования. Вместе с динамическим пределом текучести, порогом структурной неустойчивости и откольной прочностью дефект массовой скорости является важнейшей характеристикой динамического деформирования и разрушения материалов.

Щд, М/С

Время, не

Рис. 2. Профиль скорости свободной поверхности вариации скорости D и скорости деформации dв/dt для 15 мм мишени из алюминия Д16 при скорости нагружения 315 м/с

зоо-

200-

100

О'/ Ув^ // ия

^max ^striker/ \/ / <Л a j j ^max

/о

100 200 300 400

^striker' м/с

500

Рис. 3. Зависимость максимального значения скорости на плато импульса от скорости ударника для стали 30ХН4М

Эксперименты показывают, что общепринятое мнение о том, что 90-95 % работы пластического деформирования преобразуется в тепло, в случае динамического деформирования не соответствует действительности [24]. В своих экспериментах авторы [24] измеряли долю работы пластического деформирования, преобразованной в тепло при ударном нагружении алюминиевого сплава 2023-Т3 и а-титана. Было показано, что только 35-50 % работы динамического деформирования преобразуется в тепло. Остальная часть этой работы запасается в материале как латентная энергия в виде дефектов структуры, трещин, полос локализованного сдвига и других структурных неоднородностей [25].

В случае ударного нагружения определение дефекта массовой скорости основано на независимом измерении скорости свободной поверхности ий, с одной стороны, и скорости ударника при его соударении с мишенью, с другой стороны. Как известно, при симметричном соударении массовая скорость ир равна половине скорости ударника, т.е. и§Ыкег = 0.5ир. С другой стороны, при выходе волны на свободную поверхность массовая скорость удваивается, т.е. ий = 2Цр, откуда следует, что в случае отсутствия потери импульса должно выполняться равенство Ц8Мкег = Ц-8. В действительности, как показывают эксперименты, это соотношение не выполняется, из-за того что в материале мишени происходит потеря импульса за счет внутренних процессов гетеро-генизации структуры [5]. При этом дефект скорости определяется как разность между скоростью ударника и максимальным значением скорости свободной по-

верхности на плато импульса сжатия Ц

def

striker

- Цтах. В качестве примера на рис. 3 представлена зависимость Цтах = f (Ц8Мкег) для стали 30ХН4М. Кривая этой зависимости состоит из двух отрезков, первый из которых (отрезок АВ) соответствует величине дефекта скорости в области скоростей деформации ниже порога структурного превращения, инициированного ударным нагружением. Вторая компонента дефекта ско-

рости связана со структурным переходом, инициированным ударным нагружением. Из рис. 3 видно, что при скорости ударника 376 м/с имеет место излом кривой Цтах = f (Ц^ет). Величина скорости ударника, при которой происходит излом зависимости кривой Цтах = I (Ц^ет), определяет скорость деформации, соответствующей порогу структурного перехода в данном материале, равному = 323.8 м/с. Выше скорости ударника 376 м/с дефект массовой скорости начинает резко нарастать (отрезок ВС на рис. 3), что свидетельствует о росте энергозатрат на структуризацию материала.

Таким образом, в качестве характеристик динамического отклика материалов на ударное нагружение современные методы диагностики ударно-волнового процесса позволяют определять следующие величины: динамический предел текучести у , откольную прочность а8ра11, порог структурного перехода, инициированного ударным нагружением дефект скорости на плато импульса сжатия и вариацию массовой скорости D. Определение некоторых из перечисленных характеристик поясняется на рис. 4, где представлен один из профилей, зарегистрированных при ударном нагружении мишени из стали 30ХН4М. Отдельные участки профиля соответствуют разным временны м стадиям динамического отклика материала на ударное нагружение. Участок ОА определяет упругий предел Гюгонио ЦНе1, который связан с нормальным напряжением на упругом предвестнике аНе1 соотношением:

°Hel _ "2PQUHel*

Динамический предел текучести у определяется как 1 -V

Ydyn

1 - 2 v

JHel'

где V — коэффициент Пуассона.

Рис. 4. Временной профиль скорости свободной поверхности в 5мм мишени стали 30ХН4М при скорости ударника 376 м/с

Рис. 5. Временные профили скорости свободной поверхности и&, полученные при ударном нагружении мишени из двух партий стали 30ХН4М в различном структурном состоянии: отпуск при температуре 250

Участок профиля АВ характеризует пластический фронт волны. Его положение относительно упругого фронта ОА зависит от скорости ударного нагружения, а форма и наклон определяются релаксационными и вязкими свойствами материала.

Откольная прочность а8ра11 материала определяется из разности Ж максимального значения скорости свободной поверхности на плато импульса сжатия и величины первого минимума на заднем фронте импульса (отрезок CD на рис. 4). В акустическом приближении откольная прочность рассчитывается по следующей формуле:

1

J spall

-pChW,

где Съ — гидростатическая скорость звука в материале.

Величина дефекта скорости зависит от многих факторов, включая исходное состояние внутренней структуры материала, скорость деформации, склонность материала к структурным и фазовым превращениям и др. Влияние исходной структуры на макроскопический отклик материала можно проследить на рис. 5, где представлены временны е профили скорости свободной поверхности, полученные при ударном нагружении двух 5мм мишеней из стали 30ХН4М в различном структурном состоянии. Первый тип стали прошел стандартную для этого материала термообработку (отпуск при температуре 250 °С). Второй тип стали был подвергнут термообработке при температуре 450 °С. Обе мишени были нагружены при одинаковой скорости ударника 320 м/с. Видно, что в одном случае дефект массовой скорости равен 10 м/с, в то время как в другом случае он равен 160 м/с. Во втором случае произошел структурный переход, в результате которого резко изменился отклик материала на ударное нагружение, что нашло отражение в большой величие дефекта скорости на плато импульса.

В первом случае условия для структурного перехода не были реализованы и дефект скорости оказался очень низким. Этот эксперимент показывает, что исходное состояние непосредственно влияет на макроскопический отклик материала на ударное нагружение, что выражается в появлении дефекта скорости.

Ниже некоторой критической скорости деформации величина дефекта скорости слабо зависит от скорости деформации. На рис. 6 представлены три временны х профиля массовой скорости, полученные в мишенях одинаковой толщины 5 мм из стали 30ХН4М при разной скорости ударного нагружения. Видно, что несмотря на различие в амплитуде импульса сжатия и крутизне переднего фронта (т.е. скорости деформации) величина дефекта скорости мала и остается практически неизменной.

Иная картина наблюдается на рис. 7, где представлены импульсы сжатия, зарегистрированные в алюминии АМг-6 при скорости ударного нагружения 178 и 187 м/с. На рис. 7, а максимальная амплитуда импульса сжатия совпадает со скоростью ударника, что отвечает принципу удвоения массовой скорости на свободной поверхности мишени при одноосном нагружении. На рис. 7, б вместо ожидаемой скорости свободной поверхности 187 м/с зарегистрировано пиковое значение скорости, равное 116 м/с. Таким образом, при увеличении скорости ударного нагружения со 178 до 187 м/с происходит переход от эволюционного процесса динамического деформирования к катастрофическому. Момент срыва интерференционного сигнала, свидетельствующий о таком переходе при ударе со скоростью 187 м/с, указан символом А. При этом дефект скорости на плато возрастает до 74 м/с. Такое поведение свидетельствует о том, что при данной скорости деформации значительная часть импульса затрачена на внутренние процессы структурообразования, в результате чего резко упала амплитуда импульса сжатия.

Рис. 6. Временные профили скорости свободной поверхности мишени, полученные в 5мм мишенях из стали 30ХН4М при разной скорости ударного нагружения: 1 — и = 278 м/с, ийе{ = = 51.7 м/с; 2 — и = 320 м/с, = 50.9 м/с; 3 — и = 376 м/с,

Udef = 51.0 м/с

1б

Нт = 10 мм

^пкег=320 м/с

125 м/с

нагружении алюминия АМг-6 при скорости ударника 178

Так как дефект массовой скорости определяется релаксационными свойствами деформируемой среды, его величина может изменяться при распространении ударного импульса. На рис. 8 представлены два временны х профиля скорости свободной поверхности для мишеней 5 и 10мм толщины, изготовленных из стали 30ХН4М одинакового химического состава и одинакового исходного структурного состояния, нагруженных при близких скоростях ударника 318 и 320 м/с. Видно, что с ростом толщины мишени дефект массовой скорости на плато импульса сжатия вырос с 47 до 125 м/с.

Приведенные выше примеры поведения материалов при ударном нагружении свидетельствуют о том, что макроскопический отклик материала на ударное нагру-жение зависит как от исходного состояния его структуры, так и от характеристик процесса нагружения. При этом в процессе распространения импульса по материалу этот отклик изменяется. Этот процесс сопровождается генерацией мелкомасштабных пульсаций скорости, поведение которых регистрируется в реальном времени в виде профиля дисперсии массовой скорости. Аномальные потери амплитуды импульса в волне и рост дисперсии могут приводить к формированию новых структур мезоскопического масштаба, наблюдаемых в материале после прохождения волны. Объяснить эти факты можно только многомасштабными процессами обмена импульсом и энергией внутри волны, сопровождающими ее распространение в среде. Но для их описания традиционные подходы, основанные на понятиях сплошной бесструктурной среды, непригодны. Возни-

кает необходимость применения новых теоретических подходов, способных описывать быстропротекающие процессы с учетом всего комплекса порождаемых ими эффектов.

3. Проблема описания неравновесных эффектов в динамически нагружаемых конденсированных средах

Известно, что при коротких импульсах и давлении, не превышающем предел упругости, в любой среде будет распространяться упругая волна. Форма начального импульса в процессе распространения волны не меняется, процесс обратимый и не сопровождается макроскопическим переносом массы. Свойства среды при этом характеризуются лишь упругими модулями, описывающими поведение среды как твердого тела. За пределом упругости перенос массы становится необратимым, форма импульса при распространении меняется, формируется двухволновая структура упругопластичес-кой волны. При длительном нагружении возникает гидродинамическое течение, и любая среда, даже твердое тело, не достигшее температуры плавления, будет вести себя как жидкость. В промежуточном режиме среда проявляет как упругие, так и гидродинамические свойства, модули упругости начинают зависеть от скорости деформации, а вязкость и время релаксации — от размеров и геометрии границ системы. В этих условиях константы среды становятся функционалами процесса переноса импульса, а традиционные модели упругого тела или вязкой жидкости перестают быть корректными. Такие переходные процессы не описываются моделями меха-

м/с 200 100 0

м/с 200

100-

Нт = 5 мм

^пкег=318м/с

47 м/с

0

400 800 1200 1600 Время, не

и

Нт = 10 мм ^пкег=320 м/с 125 м/с

400

800 Время, не

1200

1600

Рис. 8. Временные профили скорости свободной поверхности в стали 30ХН4М

ники сплошной среды. В переходных процессах невозможно корректно выделить обратимые и необратимые части потоков импульса [26, 27], разделить деформацию и напряжение на упругие и пластические части, определить фазовую и групповую скорости нестационарной волны.

С традиционных позиций механики сплошных сред реакция конденсированных сред на динамическое на-гружение является аномальной и определяется неравновесными процессами переноса. Эти процессы сопровождаются возникновением эффектов коллективного взаимодействия элементов среды, обусловленных силами инерции, а не потенциалом взаимодействия. Определяющую роль при этом играют такие характеристики импульса, переданного среде при нагружении, как скорость ввода и его длительность. В результате динамические свойства среды зависят от режима нагружения и потому отличаются от квазистатических [28, 29]. Процесс распространения нестационарной упругопласти-ческой волны, в которой изменение формы волнового фронта связано с изменением состояния среды в волне, относится к переходным неравновесным процессам, которые не описываются моделями механики сплошной среды. В настоящей работе для описания такого переходного процесса используется интегральная модель переноса импульса, разработанная в нелокальной теории переноса [30-40], свободной от перечисленных недостатков.

4. О нелокальной теории неравновесных процессов переноса

С точки зрения неравновесной статистической механики в случае произвольного отклонения от равновесного состояния системы фактически любой уровень усредненного описания будет заведомо неполным. Наиболее конструктивным результатом в рамках неравновесной статистической механики является доказательство того факта, что уравнения, описывающие поведение неравновесной термодинамической системы в терминах неполного набора переменных, уже не могут быть чисто дифференциальными, т.е. локальными в пространстве и времени [41-43].

Корректный статистико-механический метод описания неравновесных процессов переноса массы, импульса и энергии был предложен Д.Н. Зубаревым [44, 45]. Полученные на основе этого подхода интегральные по пространству и времени соотношения между сопряженными потоками J(г, t) и макроскопическими градиентами плотностей импульса и энергии G(г, t) содержат релаксационные ядра переноса Ж (г, г', t, t'), которые обобщают коэффициенты переноса на неравновесные условия и являются нелинейными функционалами макроскопических плотностей:

,1

V

Релаксационные ядра описывают пространственно-временные корреляции полей макроскопических плотностей и являются проекциями неравновесного распределения в фазовом пространстве системы в конфигурационное пространство. Поскольку неравновесные состояния являются следствием взаимодействия с другой системой, то в общем случае ядра переноса неизвестны. Однако наличие корреляций в выражении (4) указывает на возможность описания на его основе коллективных эффектов. В общем случае для неравновесных процессов в конденсированных средах невозможно разделить нелокальные пространственно-временные эффекты, связанные с неполнотой описания и коллективными эффектами, поэтому в выражении (4) в отличие от [44, 45] оставлен только один пространственный интеграл. Поскольку далее будут рассматриваться в основном быстропротекающие ударные процессы, в которых механическая энергия не успевает диссипировать, вклад перекрестных тепловых потоков в выражение (4) не включен.

В предельных случаях замороженной и завершенной релаксации по поступательным степеням свободы, как будет далее продемонстрировано, эти ядра характеризуют упругую и гидродинамическую реакцию среды соответственно. В обоих предельных случаях поведение среды описывается дифференциальными уравнениями переноса механики сплошной среды. Гиперболический тип уравнений на начальной стадии меняется на параболический на конечной гидродинамической стадии релаксации. В переходных режимах, где имеют место коллективные эффекты и процессы структурообразования, явный вид ядра неизвестен, а уравнения переноса становятся интегро-дифференциальными. Попытки строить эмпирические модели интегральных ядер приводили к очень грубым моделям и не позволяли удовлетворить граничным условиям, наложенным на систему. Это обстоятельство несколько десятилетий препятствовало использованию нелокальных моделей в практических задачах.

На основе нелокальных и запаздывающих уравнений переноса, полученных методами неравновесной статистической механики, одним из авторов работы предложена самосогласованная нелокальная теория неравновесных процессов переноса, которая является принципиально новым, универсальным и экономичным способом описания комплекса процессов переноса в открытых системах [30-40]. Математическая модель релаксационного ядра переноса содержит зависимость от параметров, которые характеризуют масштабы внутренней структуры системы и эволюционируют со временем. При замыкании модельных уравнений применяются методы, разработанные в механике резонансных систем и теории нелинейных операторных систем специального вида [46, 47], а также кибернетические методы управления адаптивными системами через обратную

связь [48]. Граничные условия, наложенные на систему, приводят к дискретизации спектра масштабов (структурированию системы), как это имеет место в квантовой механике. Постановка краевых задач для нелокальных в пространстве и времени уравнений за счет структурных параметров становится самосогласованной: процесс переноса зависит от структуры системы, а структура определяется самим процессом переноса. В модель внутреннего управления включены обратные связи между эволюцией структуры системы и режимом ее нагружения. Только такой междисциплинарный подход на стыке механики, физики и кибернетики приводит к замкнутой самосогласованной формулировке граничных задач теории неравновесных процессов переноса в открытых системах и позволяет предсказать процесс динамического образования внутренней структуры среды и ее эволюцию. Показано, что описание обнаруженных в экспериментах эффектов с помощью нелокальной теории переноса открывает принципиально новые возможности для разработки современных технологий и материалов с заданной внутренней структурой.

5. Нелокальная модель неравновесного переноса импульса

Рассмотрим задачу о распространении импульса умеренной интенсивности в конденсированной среде, индуцированного ударом по поверхности среды со скоростью V0 << C: pC2 = K + 4/3G, где C — скорость звука в продольной волне; p — плотность среды; K — модуль всестороннего сжатия; G — модуль сдвига. Пусть импульс распространяется вдоль оси x со скоростью u = dx/ dt. Упругие волны распространяются с фазовой скоростью, равной скорости продольного звука C, и не переносят массу. При превышении предела упругости происходит перенос массы со скоростью v, максимум которой в силу дисперсии среды движется с групповой скоростью, которая меньше фазовой. Для стационарных упругопластических волн, форма которых не меняется при их распространении, фазовая и групповая скорости определяются скоростями упругого предвестника и пластического фронта. Для нестационарных волн точка максимума амплитуды волны изменяется и может стать трудно определимой при расплывании волны за счет дисперсии среды. Поэтому скорость переноса импульса в нестационарном процессе в общем случае не может быть разделена на две части: u = U + v, где первая компонента определяет фазовую скорость распространения волны, а вторая — скорость переноса массы волной v = J m / p (J m — поток массы). Для импульсов умеренной интенсивности на макроскопических расстояниях от поверхности удара фазовая скорость упруго-пластических волн совпадает со скоростью звука в среде U ^ C = const, а массовая скорость мала по сравнению со скоростью звука: vj C << 1. В этом случае разделение

скорости переноса импульса на две компоненты u = C + + v оправдано, хотя форма волнового фронта при этом может изменяться.

Для твердых материалов при умеренном нагружении отклонение состояния среды от невозмущенного мало, а величины, характеризующие это отклонение (p = p0 + +Pi, pi/p0 << 1, где p1 — поправка к плотности p0 = = const и v/C << 1), имеют одинаковый порядок малости. Компоненту тензора потока импульса Jxxx = J0 + J1 также представляем в виде суммы некоторой постоянной величины J0 и малой поправки J1. Дальше будет показано, что постоянная J0 = p0C определяется упругими модулями невозмущенной среды. В линейном приближении по параметру v/C << 1 уравнения переноса массы и импульса принимают вид

1 dp1 dv А dv dJ1

--— + — = 0, p0 — + —1 = 0.

p0 dt dx dt dx

Если в качестве J1 = р1С взять упругую компоненту потока импульса, то, исключая поправку к плотности р1 из уравнений (5), получаем волновое уравнение для массовой скорости

^-с2^=о.

дt2 Эх2

Уравнение (6) описывает распространение упругой стационарной волны, форма которой не меняется при ее распространении в среде. Однако, если амплитуда волны превосходит динамический предел текучести материала, среда проявляет пластические свойства, форма волны меняется, формируется двухволновая структура, состоящая из упругого предвестника и пластического фронта. По мере его распространения упругий предвестник релаксирует, а пластический фронт от него отстает. В настоящее время в рамках концепции сплошной среды не построено математических моделей, корректно описывающих переходные процессы формирования и распространения нестационарных упругопластичес-ких волн.

Переходный процесс от упругой реакции в области предвестника волны к гидродинамической в области пластического фронта, когда линейная зависимость напряжения от деформации сменяется зависимостью от скорости деформации, протекает за счет релаксации сдвиговых степеней свободы, которые релаксируют много быстрее, чем объемные. Используем для описания неравновесных переходных процессов самосогласованную нелокальную теорию переноса [30-40], которая пригодна в широком диапазоне режимов. В рамках нелокальной теории переноса эффекты коллективного взаимодействия учитываются посредством пространственно-временной корреляционной функции 3(х, х ; t, t'), играющей роль релаксационного ядра переноса в интегральном соотношении между продольной компонентой напряжения J1(х, t) и скоростью деформации е = -Эр/ дх:

х,') = -РоС2'г | — | —3

0 'г 0 'г дх

Г', ' < [С', С' < Д

ю(') = \ й(') = <!

' > [г, С' > L.

Характерное время нагружения при ударе 'R (время ввода импульса в среду) является определяющим для режима переноса импульса в среде. Вместе с тем это время не входит в традиционные модели динамического деформирования. Характерная длина пути определяется толщиной мишени L, по которой пробегает плоская волна вдоль оси х. Ядро переноса импульса 3 зависит от параметров релаксации продольного напряжения — характерного времени релаксации 'г и характерного пространственного масштаба релаксации 1г = С'г. Принято считать, что связь между упругими модулями K, G и коэффициентами объемной и сдвиговой вязкости X и ц определяют времена релаксации объемных 'г0 и сдвиговых ' степеней свободы: Х + 4/3ц = К'г0 + 4/3G'гg. Поскольку для конденсированных сред сдвиговые степени свободы релаксируют много быстрее, чем объемные (' << 'г0), последние будем считать замороженными. Это значит, что сдвиговая релаксация, в отличие от объемной, является необратимым процессом. Однако в динамических процессах разделить вклады обратимых и необратимых процессов заранее также невозможно, как разделить напряжение и деформацию на упругие и пластические компоненты. Эти вопросы уже давно поднимались в работах [26, 27]. Поэтому вместо Х + 4/3 ц = К'г0 + 4/3G'гg возьмем р0С2'г, где под 'г будем понимать характерное время релаксации сдвигового напряжения на переднем фронте волны, заранее его не выделяя, поскольку сами модули в динамическом процессе не являются постоянными величинами. Процесс сдвиговой релаксации будем считать завершенным, когда профиль массовой скорости выйдет на плато, обусловленное формой начального импульса с замороженными объемными степенями свободы. При этом квазистационарный режим распространения волны считается установившимся, когда скорость пластического фронта достигает объемной скорости звука С0:

РоСО2 = К.

Подстановка интегрального соотношения (7) в уравнение переноса импульса (5) приводит к интегро-диф-ференциальному уравнению относительно массовой скорости, которое описывает процесс распространения нестационарной упругопластической волны. В отличие от локальных моделей соотношение (7) определяет продольную компоненту напряжения 11 (х,') не через скорость деформации в той же точке и в тот же момент времени, а через историю всего поля скорости деформации. При коротком нагружении верхний предел интегрирования по времени не превышает времени нагру-жения, а так как возмущения не могут распространяться

быстрее скорости звука в продольной волне ^ то они не сразу достигают границы L. Это требует, чтобы область интегрирования по пространству, охваченная корреляциями, на начальной стадии процесса имела движущуюся границу О. На начальной стадии при ' < ^ в пределе незатухающей памяти вдали от поверхности удара 'г/^ ^го, /г/L ^0 выражение (7) определяет упругое напряжение /1(х,') ^р1С2. В гидродинамическом пределе, при длительном нагружении и в отсутствие как памяти, так и пространственной нелокальности 'г/^ ^ 0, /г/L ^ 0, продольная компонента тензора вязких напряжений соответствует случаю ньютоновской жидкости 31 (х,') ^ -(X + 4/5 ц) др/дх. В упругом пределе процесс обратимый, в гидродинамическом — необратимый, сопровождается диссипацией механической энергии. В переходной области вклады обратимых или необратимых процессов можно определить только по состоянию среды после их окончания. На промежуточной стадии процесса, когда масштабы корреляции конечны и эффектами нелокальности и памяти нельзя пренебречь, работают оба механизма переноса: волновой и диффузионный. Однако в этом случае указанные механизмы уже не дают аддитивные вклады (как в механике сплошной среды) в процесс динамического деформирования, и помимо них возникают эффекты самоорганизации новых структур на промежуточном мезоскопическом уровне. Такое описание процесса позволяет проследить за изменением механизмов переноса в зависимости от изменения параметров структуры среды.

6. Постановка задачи о распространении нестационарной волны, индуцированной плоским ударом по поверхности твердого тела

Процесс распространения волны характеризуется тремя относительными масштабными параметрами:

1) параметром релаксации сдвиговых напряжений т = 'г /определяющим режим переноса;

2) параметром запаздывания 6 = 'т/'R , который характеризует отставание максимума пластического фронта от упругого предвестника, а его изменение с расстоянием определяет групповую скорость волны;

3) параметром нелокальности (длины релаксации) е = С'г/ L, который характеризует эволюцию формы волны с расстоянием.

Перейдем в систему безразмерных координат, связанную с упругим предвестником, который на расстояниях порядка L движется с постоянной скоростью звука в продольной волне С

Соотношение между масштабами по новым переменным тд/д£ >> ед/д^ определяется оценкой е/т << 1, которая следует из условий эксперимента:

ак _ 6-103 м/с • 2-10-9 с

10-2 м

= 10

-3

Разделение характерных масштабов процесса считается необходимым условием для описания процесса самоорганизации новых структур и позволяет существенно упростить вид нелокальных уравнений переноса в новых переменных:

дРх/ Ро

1 др + едр = о

эс Сэс + тэТ ,

эр -1 дСП + едИ = 0

ЭС С ЭС + Т э^ = ,

а ю

п = -| d^'j dC'Ж

Эр е Эр _ЭС7+тЭ^

= 1 dC'И

, ю(С) =

С, С< 1,

1, С>1.

Эр е Эр _ЭС7-тЭ^_

Здесь введена величина П(С, т, 6) = /[(х, t)/р0С. Массовая скорость отнесена к скорости удара У0. Координата £ отсчитывается от задней поверхности мишени, на расстоянии £ от поверхности удара, а координата С от момента, когда упругий предвестник достигает задней поверхности мишени и регистрируется прибором. В силу условия разделения масштабов временные и пространственные корреляции в интегральном ядре в уравнениях (8) также разделяются. При этом пространственной нелокальностью можно пренебречь, а пространственная зависимость ядра по координате £ определяется 8-функцией. Что касается временной корреляционной функции, то для нее построено модельное выражение [30, 38-40]

ЖС. с; Т) = ехр (-«Й-^ |.

Временная корреляционная функция (9) замыкает систему (8) с точностью до параметров т(£), 6(£), характеризующих относительные масштабы релаксации и запаздывания в зависимости от пройденного волной пути. Возникает вопрос определения зависимостей т(£), 6(£), поскольку эмпирически их задать невозможно в силу обратного влияния на них самого процесса распространения импульса.

7. Распространение нестационарной волны на основе автомодельного решения

Рассмотрим процесс распространения импульса умеренной интенсивности в конденсированной среде в нулевом приближении по параметру е/т << 1, т.е. полностью пренебрегая зависимостью от медленной переменной. Это позволяет искать автомодельное решение задачи как функцию только волновой переменной С. Автомодельное решение описывает эволюцию профиля скорости при его распространении в среде только через параметры ядра переноса т, 6. Это квазистационарное

решение описывает эволюцию профиля нестационарной упругопластической волны, поскольку включает процессы формирования и релаксации как упругого предвестника, так и пластического фронта одновременно. Вплоть до настоящего времени не построено ни одной достаточно строгой и последовательной теории, которая адекватно описывала бы нестационарные волновые фронты в зависимости от скорости и времени деформирования.

Из уравнения неразрывности в (8) видно, что в первом порядке по малому параметру р/ С << 1 и в нулевом приближении по параметру е/т= С£ << 1 деформация е определяется массовой скоростью среды е = = р^р0 = р/С. Строго говоря, за пределами этих допущений само понятие деформации становится некорректным. Это значит, что при описании динамических процессов необходимо пользоваться только такими величинами, как массовая скорость — единственная динамическая переменная ударно-волнового процесса, реально измеряемая в форме временного профиля р(^).

Уравнение переноса импульса в (8) без учета членов порядка е/т << 1 принимает вид

= о,

эс эс

6 иг I я(С-С-6)2 Ьр П(С; х,6) = 0 ^ехр (--^-}эс7 •

Проинтегрируем уравнение (10) при нулевых начальных условиях

я(С-С-6)2 ] Эр

р -1 ехр (-

эс

= 0.

Из (10) и (11) следует, что в этом приближении П = = р(С; т, 6), т.е. напряжение пропорционально деформации, как это имеет место в линейной теории упругости, р0Ср = р0С 2е, но величина е, как будет понятно из нижеследующего, имеет смысл деформации только в упругой области. Вблизи упругого предела при т^^, С< 1 уравнение (11) обращается в тождество и напряжение действительно становится пропорционально упругой деформации. Однако для нестационарных упру-гопластических волн, форма которых меняется при распространении, функция е(С; т, 6) не имеет смысла деформации. При конечных значениях параметров релаксации и запаздывания т, 6 скорость р(С; т, 6) отличается от р(С; т0, 60), стоящей под интегралом справа, где параметры т0, 60 соответствуют начальному профилю скорости. Поскольку зависимость скорости от расстояния, пройденного волновым фронтом, определяется параметрами интегральной модели т, 6, начальный профиль под интегралом справа р(С; т0, 60) вблизи поверхности удара отличается от профиля скорости р(С; т, 6) на расстоянии |х|. Поэтому соотношение (11) между напряжением и скоростью деформации при конечных

значениях параметров т, 0 нелокально. Таким образом, интегральный оператор в (11) играет роль оператора эволюции, который преобразует начальный профиль в новый с параметрами т(х), 0(х), который впереди по ходу волны достигнет точки х. В этом заключается принципиальное отличие от случая упругой волны, где напряжение и деформация связаны друг с другом в одной точке. Для упругопластической волны традиционные представления о пластической деформации требуют переосмысления, поскольку пластическая реакция всегда отстает от упругой, которая возникает одновременно с нагружением.

Основываясь на таком действии интегрального оператора в уравнении (11), последнее будем решать методом итераций, разработанным в теории нелинейных операторов специального вида [46, 47]. В первой итерации решение уравнения (11) получается при подстановке в правую часть под интеграл начального профиля скорости т0, 0о). Поскольку начальный профиль массовой скорости при ударном нагружении неизвестен, а экспериментально он может быть измерен только на некотором расстоянии от поверхности соударения, чаще всего начальный профиль берут прямоугольным, считая, что максимальная амплитуда импульса достигается мгновенно. Вместе с тем установлено [28, 29], что в динамических процессах важную роль играют скорость и время передачи импульса среде. Поэтому будем считать, что удар характеризуется некоторой средней силой на единицу поверхности, которая создает постоянное ускорение в течение конечного времени соударения. Примем ускорение при ударе со скоростью У0 (скорость деформации отличается от него на множитель С) постоянной величиной: дг/д^ = 1. При этом условии передний фронт начального волнового профиля с единичной амплитудой представляет собой прямую, идущую из начала координат в точку £ = 1, V = 1. Тогда в рамках первой итерации получаем явное автомодельное решение уравнения (11) для профиля скорости [38]:

т, 0) =

е*

л/Л (С-

0) + „л/гс0 — + егт-

с< 1,

ег*:^) + ег^

С> 1.

Решение (12) связывает напряжение с начальной скоростью деформации и описывает эволюцию упругого предвестника (верхнее выражение) и пластического фронта за счет инерционных эффектов среды (нижнее выражение). На основе построенного решения уже в первом приближении без изначального разделения напряжения и деформации на упругую и пластическую части, как будет показано ниже, можно описать все наблюдаемые эффекты, связанные с распространением

Рис. 9. Формирование двухволнового фронта при 0 = 1

нестационарных упругопластических волн. Если нагрузка длится конечное время, а потом снимается, то работает нижнее выражение в формуле (12), которое описывает процесс релаксации сдвиговых напряжений с учетом инерционных эффектов или памяти. В этом случае формула (12) описывает процесс формирования двухволнового фронта. Из рис. 9 видно, что в момент снятия нагрузки обрывается упругая часть фронта, называемая упругим предвестником, а за ним плавно поднимается пластический фронт. Он образуется за счет инерционных эффектов и определяет релаксацию сдвигового напряжения после снятия нагрузки. В зависимости от параметров интегрального ядра процесс релаксации может быть монотонным и немонотонным. Вблизи гидродинамического предела, где запаздывание и память пренебрежимо малы, напряжение после снятия на-гружения будет монотонно затухать. При достаточно больших временах запаздывания и релаксации после снятия нагружения, превышающего предел упругости, напряжение будет продолжать расти по инерции, пока не достигнет максимального значения р0СУ0, а безразмерная скорость V = 1.

Когда пластический фронт распространяется с объемной скоростью звука, он отстает от упругого предвестника, бегущего с продольной скоростью звука С2 = = Со + 4^ (3р0). Это значит, что на вершине пластического фронта заканчивается релаксация сдвиговых степеней свободы. Если же объемные степени считать замороженными, то достигнутая амплитуда волны не будет затухать и на верхней части фронта за счет инерции образуется плато, создаваемое начальной формой импульса и наблюдаемое в экспериментах.

Принципиальное отличие настоящей модели фронта волны от традиционных подходов заключается в том, что движущая сила при ударе действует только в течение времени подъема упругого предвестника до своей максимальной амплитуды, тогда как пластический фронт

формируется за счет инерционного отставания реакции среды на быстрый ввод импульса при ударе. Кроме того, через величину дг/ д^ = 1 в модель (12) включена зависимость от скорости деформации, чего нет в моделях [49-51]. На рис. 10 показано принципиальное различие между квазистатическим и ударным способами нагру-жения. При ударе (согласно нижнему выражению (12)) сила действует только на упругом предвестнике в интервале времени £ к, а пластический фронт поднимается за счет инерции среды, пока не достигнет максимума, отвечающего скорости удара. При непрерывном нагру-жении (согласно верхнему выражению (12)), когда сила действует на всей длительности фронта, та же максимальная скорость, отвечающая порогу пластичности, достигается при скорости деформации примерно в 25 раз меньше, чем при ударном нагружении. Поэтому модель идеальной пластичности, не учитывающая скорость деформации, некорректна для ударно-волновых процессов. Кроме того, при непрерывном нагружении двухволновая структура фронта никогда не возникнет, поскольку пластический фронт отделяется от упругого предвестника только в момент прекращения действия силы £к. На упругом предвестнике в каждый момент времени напряжение пропорционально деформации, тогда как на пластическом фронте напряжение от деформации во время удара отстает.

При ударном нагружении вдали от поверхности удара для уже сформировавшейся структуры фронта ускорение при ударе можно считать бесконечно большим и задать его в виде дг/ д^ = 5(С), а начальный импульс брать в виде ступеньки, как это обычно и делают. Однако в отличие от стационарных моделей фронта ступенька релаксирует согласно приближенному выражению, задаваемому релаксационным ядром:

\2 1

v(Z; 0, т) - exp 1-

п( Z-0)2

Максимальная амплитуда пластического фронта гтах (С = 0) = 1- Отсюда видно, что длительность переднего фронта волны определяется параметром запаздывания 0. В области больших т инерционные эффекты позволяют волне набрать максимальную амплитуду, заданную скоростью удара, уже после снятия нагрузки. Увеличение напряжения без нагрузки принято считать упрочнением твердого материала. При продвижении в сторону гидродинамического режима этого эффекта не наблюдается, и напряжение сразу же после снятия нагрузки начинает спадать. Вблизи гидродинамического предела волновая модель (12) и упрощенная (13) непригодны. Из рис. 11 видно, что при уменьшении параметра релаксации пластический фронт становится круче. Из формулы (13) сразу следует, что максимальная амплитуда упругого предвестника изменяется, если изменяются параметры т, 0:

Рис. 10. Сравнение двух волновых фронтов, построенных по модели

Ae - exP 1-

л/п

\2

Формула (14) приближенно описывает процесс релаксации упругого предвестника при распространении волны за счет изменения параметров т, 0. С ростом отношения параметров 0/т амплитуда Ae уменьшается. Из экспериментальных данных известно, что амплитуда упругого предвестника затухает, пока не достигнет постоянного значения Ae (0/т) = const, отвечающего динамическому пределу упругости среды, который в общем случае может отличаться от квазистатического предела. Согласно выражению (14), это означает, что параметры т, 0 становятся линейно связанными между собой.

Полученное приближенное решение задачи (13) позволяет легко определять параметры т, 0 из экспериментальных профилей скорости. Измерив временную ширину переднего фронта на профиле, получим параметр 0, а измерив амплитуду упругого предвестника, из фор-

Рис. 11. Изменение волнового фронта конечной длительности при 0 = 20 с уменьшением параметра релаксации т = 45

Рис. 12. Экспериментальное поведение размерных значений времен релаксации т и запаздывания 6 с ростом скорости ударника

мулы (14) можно вычислить параметр релаксации т. Это значит, что экспериментальное измерение профиля скорости позволяет определить изменение состояния материала внутри фронта волны. Экспериментальные данные по определению параметров т, 6 для разных толщин мишеней и разных скоростей удара, представленные на рис. 12, позволяют проследить эволюцию профилей при их распространении.

8. Соотношение между напряжением и деформацией в рамках нелокальной модели

Первое выражение (12) для случая неограниченного времени нагружения Iк ^^ дает возможность построить зависимость напряжения от деформации при фиксированной скорости деформации в явном виде. В двух предыдущих разделах получена зависимость напряжения ) =р0СП = р0Ср(£; т, 6) = р0С2е(£; т, 6) от времени и скорости деформации без разделения последней на упругую и пластическую части, но с учетом процесса релаксации сдвиговых степеней свободы. За счет параметров нелокальной модели, отвечающих за релаксацию и запаздывание в процессе нагружения, эта зависимость в общем случае отнюдь не линейная и напряжение р0С2е(£; т, 6) относится к другой пространственной точке, чем породившая его деформация. В упругом пределе на малых временах tR << tr при замороженной релаксации т^ ^ напряжение, согласно (12), становится пропорционально деформации:

• =р0 Се -

^^(С-е) + е^

J

т 2

^ р0С х

л/л (С-6) + л/лЭ

Ф0С2 ¿С = р0С2 е.

Вблизи гидродинамического предела на больших временах tк >> tx после завершения релаксации из (12) получаем модель ньютоновской жидкости с коэффициентами объемной X и сдвиговой вязкости ц, где напряжение пропорционально скорости деформации:

р0С2 е(С; т, 6) = р 0Се 2

+^

т^0

^Р0С 2 е т 2 = Р0С 2 ет =

т^0 2

1 4 X +—ц 3

е = сош!

В самом гидродинамическом пределе т ^ 0 функция е = 0 обращает напряжение в 0, что отвечает модели идеальной жидкости, которая используется для описания идеальной пластичности. Эти предельные ситуации, соответствующие упругой и пластической реакции на нагружение, имеют место не одновременно, а последовательно во времени. Между этими пределами функция е(£; т, 6) описывает плавный переходный процесс, согласно формуле (12), через эволюцию параметров модели т, 6 в зависимости от скорости релаксации. Именно в эту переходную область и попадают процессы динамического нагружения конденсированных сред и, в частности, упругопластические волны. Для переходных динамических процессов теряет смысл само понятие модели среды. Корректно можно говорить только о модели динамического процесса, поскольку свойства среды, характеризуемые ее «константами», в процессе нагружения меняются.

Если все же разделить деформации на упругие и пластические, то напряжение в полупространстве будет состоять из двух частей, соответствующих напряжению при объемном («гидростатическом») сжатии и сопротивлению сдвигу:

2

•1 = •ю + ^ =р 0С2 ее + а

где зависимость во втором слагаемом пересчитывается через экспериментальную зависимость, полученную в процессе простого растяжения-сжатия стержней [51].

Покажем, как такое выражение можно получить из решения (12) на основе модели (11). Разобьем интеграл по времени в уравнении (11) при непрерывном нагруже-нии на два интеграла: до достижения предела упругости ) = Y и после него, разделяя вклады объемных и сдвиговых степеней свободы:

Су

•1 =р0(С2 + фе / а с ехр \

п(С-С-6)2

+ р0(С(2 + фе/<ехр{-П(^~6)2 }.

Будем считать при этом, что объемные степени свободы заморожены, т0 ^ ^ в любой рассматриваемый момент времени, тогда как сдвиговые степени заморожены только в упругой области при С < С У, где имеем, согласно (15), напряжение

т е _ т е + т е _

е^г. т _) с^е

После прохождения предела Y при £ > С г считаем, что сдвиговые степени свободы уже почти завершили свою релаксацию тg ^ 0, и тогда, согласно (16), получаем

тр _РоСо2ее

Из сшивки (18) и (19) в точке £ _ С г при фиксированной скорости деформации следует соотношение

Г _ Р0С02ее(; т0 + Р0 С2ет _

= РсС2ве(Zy; Т0 ^ -) + PcC2eе(Zу; тg ^ -), из которого видно, что динамический предел упругости зависит от скорости деформации и эволюции параметра т = Zy, а потому в общем случае не совпадает с квазистатическим пределом упругости. Таким образом, полученные в рамках нелокальной модели выражения (18), (19) соответствуют (17) только в предельных случаях релаксации сдвиговых степеней свободы при разделении напряжения и деформации на упругие и пластические части, а сам процесс релаксации и зависимость от скорости деформации вообще исключаются из рассмотрения.

В общем случае упругопластического процесса зависимость Jx(e) определяется решением (12). Поскольку процесс деформирования протекает с постоянной скоростью деформации (в (12) учтено условие Эе/ = e = = const), а сама деформация линейно растет со временем е = eZ, то, исключая временную переменную из соотношений (18), (19), а в общем случае из (12), получаем соотношения между напряжением и деформацией. На рис. 13 представлена зависимость «напряжение - деформация» для случая одноосной деформации, отвечающая решению (12) и традиционной модели (18), (19). Все ломаные линии соответствуют скачкообразному упругопластическому переходу ( Y— предел упругости) по предельным моделям (18), (19), а гладкие кривые описывают переходный режим по нелокальной модели (12):

J1(e) = PoC02 е + PoCg е "Т"Х

erf

4п

e--0

+ erf

л/п0

В отличие от (18), (19), выражение (20) описывает переходный режим между упругой Т _Р0С2ее и пластической Тр областями за счет процесса релаксации сдвигового напряжения. Второе слагаемое в (20), в отличие от (17), содержит зависимость от скорости деформации, из которой следует, что с ростом скорости деформации предел упругости должен расти. Из рис. 13 видно, что выйти на квазистатическое значение Y при непрерывном нагружении можно только при очень ма-

Рис. 13. Диаграмма «напряжение - деформация», построенная на основе автомодельного решения

лой скорости деформации. Однако при ударном нагружении скорость деформации велика, возникают инерционные эффекты, зависящие от скорости деформации, и запаздывающие релаксационные процессы. Поэтому скоростью деформации в общем случае пренебрегать нельзя.

Если отдельно рассмотреть релаксацию сдвиговых напряжений в рамках нелокальной модели по формуле (12) при длительном нагружении tR , то получим зависимость напряжения J1 =р0СП = р0С2Te от скорости деформации e = const, соответствующую гидродинамическому режиму. На рис. 14 представлен процесс релаксации сдвиговой части напряжения при различных значениях параметров нелокальной модели т, 0. В зависимости от параметров т, 0 скорость выхода на гидродинамический режим меняется: при малых т, 0 выход происходит быстрее, а при больших т, 0 — медленнее. Формула (12) содержит зависимость пределов упругости и текучести от скорости деформации, а также от параметров т, 0. Заметим, что предел текучести растет с ростом скорости деформации. Зависимость механических

Рис. 14. Релаксация сдвиговых напряжений при длительном нагружении согласно автомодельному решению при 6 = 20, т = 1

О 10 20 30 40 50 I

Рис. 15. Траектории эволюции волновых профилей при распространении в квазистационарном режиме, построенные с использованием экспериментальных значений параметров т, 6 для стали 30ХН4М

свойств от скорости деформации является чисто динамическим эффектом, который часто наблюдается в экспериментах по ударному нагружению различных материалов. Представленная зависимость характеризует только сдвиговые степени свободы. Для полупространства полученная зависимость накладывается на гидростатическую прямую согласно (19). Это значит, что в упругой области волна распространяется со скоростью звука в продольной волне, а после достижения предела текучести пластический фронт движется со скоростью объемного звука. При этом подразумевается, что объемные степени свободы заморожены и не релаксируют, что при длительном нагружении может быть неверно.

В отличие от традиционной диаграммы «напряжение - деформация» переход к пластической стадии происходит постепенно в зависимости от скорости деформации через некоторый переходный режим, в котором упругие модули (касательные к кривым линиям напряжений) переменные. В рамках нелокального подхода упругие модули в общем случае представляют собой функционалы процесса деформирования среды. Допущения в работе [51] о разделении деформации на упругие и пластические компоненты, а также об отсутствии зависимости от скорости деформации при нагружении, свойственные только квазистатическим процессам, делают пересчет напряженно-деформированного состояния на полупространство некорректным для динамического нагружения.

9. Распространение волновых профилей в квазистационарном режиме

Представленная на рис. 12, б зависимость параметров релаксации т и запаздывания 6 от продольной координаты получена из экспериментальных квазистационарных профилей для алюминиевого сплава Д16 с установившимся предвестником на пяти разных расстояниях от поверхности удара. Для данного материала и за-

данного диапазона скоростей удара эта зависимость близка к линейной. Это значит, что фазовая точка (т, 0) на плоскости параметров движется от начала координат по прямой, что соответствует завершенной релаксации упругого предвестника (exp{-n02/т2} ~ ~ const) и установлению квазистационарного режима. На рис. 15 нанесены две траектории эволюции волновых фронтов на фазовой плоскости параметров т, 0, проведенные через экспериментальные точки для двух серий опытов по ударному нагружению стали 30ХН4М и алюминиевого сплава Д16 для разных толщин мишеней в диапазоне скоростей ударника 200-400 м/с. Видно, что в процессе распространения фронта параметры волны т, 0 растут. Оценим скорость распространения пластического фронта по экспериментальным значениям параметра 0. С учетом отставания плато импульса от упругого предвестника, бегущего со скоростью звука в продольной волне C2 = C^ + 4G/ (3p 0), с ростом 0 скорость распространения пластического фронта можно приближенно рассчитать по формуле x/(x/ C + 0), которая в общем случае отлична от объемной скорости звука в среде. Измерение длительности переднего фронта для всех пяти толщин мишеней дает примерно одинаковую скорость пластического фронта C -3x/dtm = C0 ~ ~ 5000 м/с, равную скорости объемного звука для данного материала. Это означает, что установился квазистационарный режим распространения волны в исследуемом материале.

В общем случае скорость пластического фронта можно рассматривать как групповую скорость волнового пакета, который расплывается при распространении. Поскольку длительность фронта на разных расстояниях может меняться с разной скоростью, то и модуль сдвига есть величина переменная, и выделить его из модуля p0C2 в ходе процесса невозможно. Отсюда следует, что в динамических процессах некорректно разделять упругие и пластические компоненты тензоров напряжений и деформаций.

10. Заключение

Базирующаяся на нелокальной теории переноса импульса модель нестационарной упругопластической волны позволяет с единых позиций объяснить все экспериментально наблюдаемые закономерности эволюции волнового профиля в процессе его распространения. В работе показано, что формирование двухволновой структуры с выделением релаксирующего упругого предвестника и отстающего пластического фронта возможно только с учетом эффектов запаздывания реакции среды на ударное нагружение. При этом упругие модули становятся функционалами процесса нагружения и уже не полностью характеризуют среду, поскольку зависят от скорости деформации. Формирующийся после прекращения действия силы при ударе пластический фронт

имеет инерционную природу, когда уцар с задержкой инициирует немонотонную релаксацию сдвиговых степеней свободы, тогда как объемные степени еще заморожены. Выход профиля на плато означает завершение сдвиговой релаксации, а поскольку временшя ширина переднего фронта эволюционирует в процессе распространения волны, времена релаксации и запаздывания также изменяются с расстоянием и зависят от характеристик нагружения. Описан выход на квазистационарный режим распространения волны с постоянными значениями амплитуды упругого предвестника и скорости пластического фронта.

Работа выполняется в рамках гранта РФФИ № 12-01-00340а.

Литература

1. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Панин А.В. Физическая мезомеханика

деформируемого твердого тела как многоуровневой системы. I. Физические основы многоуровневого подхода // Физ. мезомех. -2006. - Т. 9. - № 3. - C. 9-22.

Panin V.E., Egorushkin V.E., Panin A. V. Physical mesomechanics of a deformed solid as a multilevel system. I. Physical fundamentals of the multilevel approach // Phys. Mesomech. - 2006. - V 9. - No. 34. - P. 9-20.

2. Макаров П.В. Об иерархической природе деформации и разруше-

ния твердых тел и сред // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 4. -C. 25-34.

Makarov P. V. On the hierarchical nature of deformation and fracture of solids and media // Phys. Mesomech. - 2004. - V. 7. - No. 3-4. -P. 21-29.

3. Zaretsky Е.В., Mogilevsky M.A., Kanel G.I., Fortov B.E. Device for investigating X-ray diffraction studies in shock-compressed materials // High Temperature Physics. - 1991. - V. 29. - Р. 1002-1008.

4. Mogilevsky M.A. Mechanisms of Deformation under Shock Loading // Shock Waves and High Strain Rate Phenomena in Metals / Ed. by M.A. Meyers, L.E. Murr. - New York: Plenum Press, 1981. - P. 531542.

5. Meshcheryakov Yu.I., Divakov A.K., Zhigacheva N.I., Makarevich I.P., Barakhtin B.K. Dynamic structures in shock-loaded copper // Phys. Rev. B. - 2008. - V. 78. - Р. 64301-64316.

6. Мещеряков Ю.И., Жигачева НИ., Диваков А.К., Макаревич И.П., Барахтин Б.К. Диссипативные структуры в ударно-деформируемой меди // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 5. - C. 63-69. Mescheryakov Yu.I., Zhigacheva N.I., Divakov A.K., Makarevich I.P., Barakhtin B.K. Dissipative structures in copper under impact deformation // Phys. Mesomech. - 2007. - V. 10. - No. 5-6. - P. 275-280.

7. Koskelo A.C., Greenfield S.R., Raisley D.L., McClellan K.J., BylerD.D, Dickerson R.M, Luo S.N., Swift D.C., Tonk D.L, Peralta P.D. Dynamics of the onset of damage in metals under shock loading // Shock Compression of Condensed Matter-2007: AIP Conf. Proc. - 2008. - V. 955. - P. 557-560.

8. Степанов Г.В. Упругопластическое деформирование материалов под действием импульсных нагрузок. - Киев: Наукова думка, 1979. - 268 с.

Stepanov G. V. Elastic-Plastic Deformation of Materials under Pulsed Loading. - Kiev: Naukova Dumka, 1979. - 268 p.

9. Тейлор Дж. Испытание материалов при высоких скоростях деформации // Механика: Сб. переводов. - 1950. - № 3. - С. 64-79. Taylor G.I. Testing of materials at high rates of loading // J. Inst. Civil Eng. - 1946. - V. 26. - P. 486.

10. Graham R.A., Nelson F.W., Benedic W.B. Piesoelectric current from shock-loaded quarts a submicrosecond stress gauge // J. Appl. Phys. -1962. - V. 33. - No. 11. - P. 3224-3332.

11. Taylor J.W. Dislocation dynamics and dynamic yielding // J. Appl. Phys. - 1965. - V. 36. - No. 10. - Р. 3146-3155.

12. Barker L.M., Hollenbuch R.E. Interferometric technique for measuring the dynamic mechanical properties of materials // Rev. Sci. Instruments. - 1965. - V. 36. - No. 11. - Р. 1617-1621.

13. BarkerL.M. Fine Structure of Compressive and Release Wave Shapes in Aluminum Measured by the Velocity Interferometer Technique // Symp. High Dynamic Pressure. - Paris: Commissariat a l'Energie Atomique, 1967. - P. 369-382.

14. Златин Н.А., Мочалов С.М., Пугачев Г.С., Брагов А.М. Лазерный дифференциальный интерферометр // ЖТФ. - 1983. - Т. 49. -№9.- С. 1961-1966.

Zlatin N.A., Mochalov S.M., Pugachev G.S., Bragov A.M. Laser differential interferometer // Zhur. Tekh. Fiz. - 1983. - V. 49. - No. 9. -P. 1961-1966.

15. Barker L.M., Hollenbuch R.E. Laser interferometer for measuring of any reflecting surfaces // J. Appl. Phys. - 1972. - V. 43. - No. 6. -Р. 4669-4679.

16. Furnish M.D., Trott W.M., Mason J., Podsednik J., Reinhart W.D., Hall C. Assessing mesoscale material response via high resolution line-imaging VISAR // Shock Compression of Condensed Matter-2003: AIP Conf. Proc. - 2003. - V. 706. - Р. 1159-1163.

17. Cochran S., Banner D. Spall studies in uranium // J. Appl. Phys. -1977. - V. 48. - No. 7. - P. 2729-2735.

18. Meshcheryakov Yu.I., Divakov A.K., Zhigacheva N.I. Shock-induced structural transition and dynamic strength of solids // Int. J. Solid Struct. - 2004. - V. 41. - P. 2349-236.

19. Swegle J.W., Grady D.E. Shock velocity and the prediction of shockwave times // J. Appl. Phys. - 1985. - V. 58. - No. 2. - P. 692-699.

20. Asay J.R., Barker L.M. Interferometric measurement of shock-induced particle velocity and spatial variations of particle velocity // J. Appl. Phys. - 1974. - V. 45. - No. 6. - Р. 2540-2550.

21. Meshcheryakov Yu.I., Divakov A.K. Multiscale kinetics and strain-rate dependence of materials // Dymat J. - 1994. - V. 1. - No. 1. -Р. 271-287.

22. Hintze T. Turbulence. - New York: Mc. Grow, 1962. - 546 p.

23. Asay J.R. Shock wave paradigms and new challenges // Shock Compression of Condensed Matter-2001: AIP Conf. Proc. - 2002. -V. 620. - P. 26-35.

24. Ravichandran G., Rosakis A.J., Hodovany J., Rosakis P. On the convention of plastic work into heat during high-strain-rate deformation // Shock Compression of Condensed Matter-2001: AIP Conf. Proc. -2002. - V. 620. - P. 557-562.

25. BeverM.B., HoltD.L., Titchener A.L. The stored energy of cold work // Prog. Mat. Sci. - 1973. - V. 17. - P. 5-177.

26. Gilman J.J. Mechanical states of solids // Shock Compression of Condensed Matter-2001: AIP Conf. Proc. - 2002. - V. 620. - P. 3641.

27. Gilman J.J. Response of Condensed Matter to Impact // High Pressure Shock Compression of Solids. VI. Old Paradigms and New Challenges / Ed. by Y-Y. Horie, L. Davison, N.N. Thadhani. - New York: Springer, 2002. - P. 279-296.

28. Морозов Б.А. Особенности нагружения, деформирования и разрушения материалов в субмикросекундном и наносекундном диапазонах длительностей // Модели механики сплошной среды: Сб. обзорных докладов и лекций 14 Межд. школы по моделям механики сплошной среды. - М.: МФТИ, 1997. - Т. 1. - С. 324-329. Morozov V.A. Peculiarities of Loading, Deformation, and Fracture of Materials in the Submicro- and Nanosecond Range // Models of Continuum Mechanics: Proc. of the 14th Int. School on Models of Continuum Mechanics, Zhukovskii, 1992. - V. 1. - P. 324-329.

29. Байзаков О.Д., Морозов В.А., Судьенков Ю.В. Модель затухания упругой волны с учетом релаксационных явлений в приповерхностной зоне ударного нагружения // Газодинамика и теплообмен. Вып. 9. Динамика однородных и неоднородных сред. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1993. - С. 187-191.

Baizakov O.D., Morozov V.A., Sudenkov Yu. V. Model of Elastic Wave Attenuation with Relaxation Phenomena in the Near-Surface Zone of

Impact Loading // Gas Dynamics and Heat Transfer. Iss. 9. Dynamics of Homogeneous and Heterogeneous Media. - Leningrad: LSU Publ., 1993. - P. 187-191.

30. Филиппов Б.В., Хантулева Т.А. Граничные задачи нелокальной гидродинамики. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1984. - 88 с.

Filippov B. V., Khantuleva T.A. Boundary Problems of Nonlocal Hydrodynamics. - Leningrad: LSU Publ., 1984. - 88 p.

31. Khantuleva T.A., Mescheryakov Yu.I. Nonlocal theory of the highstrain-rate processes in a structured media // Int. J. Solids Struct. -1999. - V. 36. - P. 3105-3129.

32. Хантулева Т.А., Мещеряков Ю.И. Кинетика и нелокальная гидродинамика формирования мезоструктуры в динамически деформируемых средах // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 5. - С. 5-17. Khantuleva T.A., Mescheryakov Yu.I. Kinetics and non-local hydrodynamics of mesostructure formation in dynamically deformed media // Phys. Mesomech. - 1999. - V. 2. - No. 5. - P. 5-16.

33. Khantuleva T.A. Non-local theory of high-rate processes in structured media // Shock Compression of Condensed Matter-1999: Conf. Proc. APS 1-56396-923-8/00. - 2000. - V. 505. - P. 371-374.

34. Khantuleva T.A. Non-local theory of high-rate straining followed by structure formations // J. Phys. 4 France. - 2000. - V. 10. - P. 485490.

35. Khantuleva T.A. The Shock Wave as a Nonequilibrium Transport Process // High-Pressure Compression of Solids VI: Old Paradigms and New Challenges / Ed. by Y. Horie, L. Davison, N.N. Thadhani. -New York: Springer, 2003. - P. 215-254.

36. Хантулева Т.А. Исследование неравновесных процессов методами кибернетической физики // Управление в физико-технических системах. - СПб.: Наука, 2004. - С. 246-264.

Khantuleva T.A. Study of Nonequilibrium Processes by Methods of Cybernetic Physics // Control of Physical and Technical Systems. -St. Petersburg: Nauka, 2004. - P. 246-264.

37. Хантулева Т.А. Самоорганизация мезоуровня при высокоскоростном деформировании конденсированных сред // Хим. физика. -2005. - Т. 24. - № 11. - С. 36-47.

Khantuleva T.A. Self-organization at the mesolevel at high-rate deformation of condensed media // Khim. Fiz. - 2005. - V 24. - No. 11. -P. 36-47.

38. Хантулева Т.А., СеребрянскаяН.А. Релаксация волн, распространяющихся в конденсированной среде // Изв. вузов. Физика. -2009. - Т. 52. - № 2. - С. 165-171.

Khantuleva T.A., Serebryanskaya N.A. Waves relaxation in a condensed medium // Izv. vuzov. Fiz. - 2009. - V. 52. - No. 2. - P. 165-171.

39. Родионов А.А., Хантулева Т.А. Нелокальная гидродинамика и ее приложения // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. -2011. - Т. 4. - № 3. - С. 22-36.

Rodionov A.A., Khantuleva T.A. Nonlocal hydrodynamics and its applications // Fundam. Prikl. Gidrofiz. - 2011. - V 4. - No. 3. - P. 2236.

40. Хантулева Т.А. Нелокальная теория неравновесных процессов переноса. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2013. - 278 с.

Khantuleva T.A. The Nonlocal Theory of Nonequilibrium Transfer Processes. - St. Petersburg: SPbU Publ., 2013. - 27 p.

41. Боголюбов Н.Н. (мл.), Садовников Б.И., Шумовский А.С. Математические методы статистической механики модельных систем. -М.: Наука, 1989. - 295 с.

Bogoliubov N.N., Jr., Sadovnikov B.I., Shumovskii A.S. Mathematical Methods of Statistical Mechanics of Model Systems. - Moscow: Nauka, 1989. - 295 p.

42. Richardson J.M. The hydrodynamical equations of a one-component system derived from nonequilibrium statistical mechanics // J. Math. Anal. Appl. - 2013. - No. 1. - P. 12-60.

43. Ailavadi N., Rahman A., Zwanzig R. Generalized hydrodynamics and analysis of current correlation functions // Phys. Rev. A. - 1971. -V. 4. - №. 4. - Р. 1616-1625.

44. Зубарев Д.Н., Тищенко С.В. Нелокальная гидродинамика с памятью // Физика. - 1972. - Т. 59. - № 2. - С. 285-304. Zubarev D.N., Tishchenko S.V. Nonlocal hydrodynamics with memory // Fizika. - 1972. - V. 59. - No. 2. - P. 285-304.

45. Зубарев Д.Н. Современные методы статистической теории необратимых процессов // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. - М.: ВИНИТИ, 1980. - Т. 15. - С. 152-376. Zubarev D.N. Modern methods of the statistical theory of nonequil-librium processes // J. Sov. Math. - 1981. - V. 16. - No. 6. - P. 15091571.

46. Вавилов С.А. О разрешимости одного класса операторных уравнений // ДАН СССР. - 1991. - Т. 316. - № 1. - C. 22-26.

Vavilov S.A. On solution of a class of operator equations // DAN SSSR. - 1991. - V. 316. - No. 1. - P. 22-26.

47. Вавилов С.А. Геометрические методы исследования разрешимости одного класса операторных уравнений // Докл. РАН. - 1992. -Т. 323. - № 2. - С. 206-210.

Vavilov S.A. Geometric methods of studying the solvability of a class of operator equations // Dokl. Math. - 1992. - V. 45. - No. 2. - P. 276280.

48. Фрадков А.Л. Кибернетическая физика. - СПб.: Наука, 2003. -283 c.

Fradkov A.L. Cybernetical Physics: From Control of Chaos to Quantum Control. - Berlin: Springer-Verlag, 2007. - 236 p.

49. Prieto F.E., Renero C. Steady shock profile in solids // J. Appl. Phys. -1973. - V. 44. - No. 9. - P. 4013-401.

50. Johnson J.N., Barker L.M. Dislocation dynamics and steady plastic wave profiles in 6061-T6 aluminum // J. Appl. Phys. - 1969. - V. 40. -No. 11. - P. 4321-4335.

51. Вуд Д. Продольные плоские волны упругопластических деформаций в твердых телах // Механика: C6. переводов. - 1953. -Т. 5(21). - С. 150-166.

Wood D.S. On longitudinal plane waves of elastic plastic strain in solids // J. Appl. Mech. - 1952. - P. 521-525.

Поступила в редакцию 14.07.2014 г.

Сведения об авторах

Мещеряков Юрий Иванович, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ИПМаш РАН, ym38@mail.ru Хантулева Татьяна Александровна, д.ф.-м.н., проф., проф. СПбГУ, khan47@mail.ru