Исследование дифракционного поля, формируемого фрактальными дифракционными структурами

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННОГО ПОЛЯ, ФОРМИРУЕМОГО ФРАКТАЛЬНЫМИ ДИФРАКЦИОННЫМИ СТРУКТУРАМИ

А.В. Нелепец

Научный руководитель - д.т.н., профессор В.А. Тарлыков

Рассмотрены особенности формирования дифракционного поля для фрактальных дифракционных элементов. Предложен аналитический метод расчета дифракционных спектров самоподобных фрактальных узоров. Проведен анализ структуры ДК. Приведено сопоставление фрактальных размерностей узоров и их дифракционных спектров.

Введение

В последние годы идет активное исследование фрактальных структур в различных областях науки и техники. С момента опубликования первой книги Мандельброта, посвященной фракталам [1], установлено, что фрактальный характер имеет большинство объектов естественного происхождения - от облаков и береговых линий до мхов, нейронов головного мозга и костных тканей человека. Установлена также и фракталь-ность динамики многих процессов - от цикличности разливов Нила до динамики изменения стоимости ценных бумаг [2, 3].

В настоящее время проявляется большой интерес к исследованию и применению фрактальных структур в оптике. Активно исследуется фрактальная структура мод неустойчивых лазерных резонаторов [4-7], разрабатываются фрактальные интерференционные зеркала [8], методы оптической диагностики структуры костной ткани как биофрактала [9, 10]. В ряде работ [11-15] исследована дифракция Фраунгофера на амплитудных экранах, функция пропускания которых соответствует фракталам Кантора [12, 13] и фракталу, известному под названием ковра Серпинского [40, 15]. Такие узоры можно представить в виде суперпозиции периодических составляющих на плоскости. На этом представлении основан и метод расчета дифракционных картин от этого узора.

Для установления связи между геометрией фрактального узора и свойствами дифракционных картин в работах [14, 15] приведен анализ самоподобия дифракционных картин. Для этого авторы используют функцию самоподобия, определяемую как корреляция между распределением интенсивности дифрагированного поля и распределением интенсивности в дифракционной картине, увеличенной в R раз. В работах [12-15] приведены результаты расчетов дифракционных спектров и результаты экспериментального исследования фрактальных дифракционных структур, однако не приведен анализ основных закономерностей формирования структуры дифрагированного поля, не прослежены закономерности его изменения при переходе к более высоким поколениям предфракталов.

В настоящей работе использован аналитический метод расчета дифракционных спектров фрактальных узоров, основанный на свойствах линейности и интерференции Фурье-преобразования. Исследованы фрактальные структуры двух видов: ковер Серпинского и узор, составленный из пересекающихся окружностей. Проанализирована структура дифракционных картин и основные механизмы, влияющие на эту структуру. Произведено сопоставление фрактальных размерностей узоров и дифракционных картин. Для определения фрактальной размерности узоров использован метод подсчета «сеточной» размерности, размерность дифракционных картин определена по методу, предложенному в работе [16].

Исследуемые фрактальные узоры

Исследованы два вида фрактальных узоров. Узоры первого типа представляют собой совокупности пересекающихся окружностей (рис. 1а). На каждом этапе форми-

рования такие структуры строятся из самоподобных элементов изменяющегося масштаба, что позволяет говорить о фрактальности геометрической структуры узора.

Основным (базовым) элементом, из которого строятся все последующие уровни, является кольцо. Предфрактал первого поколения представляет собой совокупность 5 исходных колец. При его построении базовое кольцо помещается в центре, и к нему добавляются четыре кольца, смещенные вправо, влево, вверх и вниз относительно центра на величину радиуса кольца. Полученная фигура обводится еще одним кольцом, радиус которого вдвое превышает радиус исходного кольца. Предфрактал второго поколения строится по то же схеме, но вместо исходного кольца берется предфрактал первого поколения. В данной работе расчеты проведены для фрактального узора третьего поколения, который и является полной картиной узора.

Выбор таких фрактальных структур для исследования обусловлен возможностью построения узоров в различном количестве направлений. На рис. 1а представлены первые два поколения фрактала, построенного в четырех направлениях. Возможно построение такого фрактала также и в 2, 8, 16 и т.д. направлениях. В этом случае возможно проследить изменение свойств дифракционного распределения интенсивности в зависимости от фрактальности узора.

Второй вид узора - хорошо известный и описанный в литературе [1, 2] фрактал, имеющий название ковра Серпинского (рис. 1б). Здесь базовым элементом построения является квадрат, и процесс формирования рисунка может быть сведен к схеме, подобной описанной выше.

Рис. 1. Исследуемые фрактальные узоры: (а) первые два поколения фрактального узора, построенного в 4 направлениях; (б) первые три поколения Ковра Серпинского

Расчет дифракционных картин от узоров

Расчет ДК можно выполнить с помощью быстрого преобразования Фурье изображения узора. Но в этом случае построить тонкую структуру дифракционного спектра практически не представляется возможным в силу необходимости задания очень мелкого шага разбиения исходного изображения. Кроме того, затруднительным представляется и анализ вклада в дифракционную картину от различных элементов узора. Поэтому для расчета ДК выбран аналитический метод расчета.

Для расчета ДК от узоров, построенных из пересекающихся колец, использован Фурье-спектр кольца и теорема о переносе [17]. Математически узкую кольцевую щель в полярных координатах можно записать, используя понятие дельта-функции Г (р) = 5(т - а0). Это радиально-симметричная функция, и ее Фурье-образ можно получить, осуществляя преобразование Фурье-Бесселя по переменной г:

ад ад

Г(р) = 2п|г/(г) /0(2пгр& = 2п|г5(г-а0) J0 (2пгр& =2па0J0 (2па0р = а/0 (ар),

о о

где /0 - функция Бесселя первого рода нулевого порядка, а - параметр, характеризующий размер объекта (радиус кольца).

Численные расчеты показали, что формула, полученная с использованием 5-функции, дает точное положение первого минимума в предельном случае нулевой толщины линии И=0. Если принять как допустимую ошибку в 1%, то можно считать, что полученная формула применима при отношении толщины линии к размеру кольца, равном 0,02 и менее.

Для расчета ДК от ковра Серпинского использована известная формула Фурье-спектра прямоугольника.

Расчет Фурье-спектра всего узора производится поэтапно, в соответствии со схемой построения узора. При расчете используются такие свойства Фурье-преобразования, как линейность и теорема переноса. Для получения Фурье-образа первого поколения предфрактала образ его базового элемента (кольца или квадрата) умножается на сумму фазовых множителей, соответствующих сдвигу базовых элементов относительно центра узора. Дифракционные спектры следующих поколений фрактальных узоров получаются домножением спектров первого поколения на сумму фазовых множителей, соответствующих сдвигу элементов предыдущих поколений.

Для получения распределения интенсивности дифракционной картины необходимо значение соответствующей функции в каждой точке помножить на комплексно сопряженное число.

Распределения интенсивности ДК, получившиеся в результате расчетов, приведены на рис. 2. Наблюдаемые ДК имеют ярко выраженную симметрию и наличие фрактальных элементов.

Анализ структуры дифракционного поля

Рассмотрим структуру дифракционной картины от фрактального узора первого типа, построенного в четырех направлениях. Учитывая свойства линейности и интерференции Фурье-преобразования, очевидно, что вид и структура ДК определяются, в основном, двумя явлениями:

(1) взаимодействие излучения, дифрагированного кольцами различного диаметра, приводит к модуляции интенсивности колец ДК;

(2) смещение колец из центра узора и образование периодических структур из колец приводит к модуляции ДК в виде полос Юнга.

Дифракционный спектр каждого кольца в отдельности, описываемый функцией Бесселя первого рода нулевого порядка, представляет собой совокупность концентрических колец, ширина и период которых в радиальном направлении зависит от размера кольца. В рассматриваемом случае дифракция происходит на кольцах различного диаметра. Число колец зависит от их диаметра. Интенсивность света, дифрагированного каждым кольцом, является функцией его диаметра. В результате происходит модуляция интенсивности колец и сбой периода их следования.

f J à, I * V <  . у

^ *  • » j, " " J * y *  » ^

ï  jî"" ,4" ,v," v. ' r.s:1

V 4 S   * -V » - ' ь  ht ч  4 '

',4 : m Jg>"Vй; ..- V :

t i  +•* "im *

» *. > v 1*1 v , - -л *

f ь

Î   Л «A » 4H.'.Î¥ f Д.* .fc . i- 1,- «.,

'.t.* * i'.-i - ix+Л - Sit 1 *.o

i   * u 1г p ' J

.- . * л ' О Ч  f* г-ж* v. * . г.

V 'i' > v ^„™У i 'У.. ' *  '*

- г L_. Ч ' ? « 1 ' f - J - "

" ' - "V >. ' . "

' V î - - » 1 .1 |Й1 . V ^ - - m ¿'V '

; - ; ; - j ;

- ; S? t i '- : 1

(V A, » + - . ». * »

- - t*

i f, L. '.. i

Рис. 2. Распределения интенсивности в ДК от третьего поколения фрактала, построенного из колец в 8 направлениях

Проявление модуляции интенсивности в виде полос Юнга удобно проследить, последовательно добавляя элементы в рассчитываемую структуру (рис. 3). Дифракционная картина от двух колец (рис. 3 а) представляет собой дифракционную картину от окружности, промодулированную полосами Юнга в соответствии со свойством интерференции Фурье-спектра. Полосы Юнга ориентированы перпендикулярно линии, соединяющей центры окружностей.

Добавим еще два кольца. Такой элемент можно рассматривать как две пары колец, смещенных друг относительно друга в направлении, перпендикулярном линии, соединяющей центры окружностей (рис. 3б). Таким образом, в структуре ДК возникает еще одна система полос Юнга, перпендикулярная уже существующей, с тем же периодом. Две системы полос с равными периодами, наклоненные на углы +45° и -45° к вертикали, создают сетку, ячейками которой являются квадраты.

Добавление к получившейся еще одной окружности того же размера, помещенной в центре, приводит к появлению еще одной сетки, образованной двумя системами полос Юнга, ориентированными горизонтально и вертикально. Эти системы полос возникают вследствие взаимодействия окружностей, смещенных от центра узора, с центральной окружностью. В каждом из направлений (в вертикальном и горизонтальном) полосы возникают в результате интерференции излучения, отклоненного при дифракции на трех кольцах, т. е. наблюдается многолучевая интерференция.

Последним этапом построения узора первого поколения с 4 направлениями является добавление окружности с удвоенным радиусом, помещенной в центре узора (рис. 3в). При этом в структуре ДК появляется модуляция интенсивности колец в результате интерференции световых полей, дифрагированных кольцами разного диаметра.

При переходе ко второму и третьему уровням построения все изменения структуры узора сводятся к тому, что увеличивается количество взаимодействующих элементов в каждом направлении. Новых направлений и новых пар взаимодействующих элементов не появляется. Периоды (минимальные расстояния между взаимодействующими одинаковыми элементами) не изменяются, поэтому и периоды модуляции ДК остаются прежними. Однако структура ДК становится более тонкой, выделяются практически точечные (малого размера) максимумы интенсивности на фоне узора из большого количества вторичных максимумов интенсивности. Причем при переходе от первого ко второму и от второго к третьему этапу построения узора главные максимумы интенсивности обостряются, число побочных максимумов возрастает, интенсивность побоч-

ных максимумов уменьшается. В итоге, на третьем этапе построения, ДК от всего узора представляет собой фактически набор изолированных точек.

/ '/ > - - V \ Л

ч Ч Ь - чч чЧ О

1 1 / о Л \ 1 » <1

» » * ч4 О / 1 1 '1

Л О <> - ч о О

\ 1 Ч

/ ^ — — ^ ^

/// - \ \\

/ I , ч \ \

1 7 '*( \ \ 1

| I' (• • |) I) 'I 'I | \ Л Лч >5 - > //, / I 1

V Л Ч > - < / Л у

^ ^ ч ^ * ' //

Рис. 3. Последовательное формирование структуры ДК: (а) от двух колец; (б) от четырех колец; (в) от первого поколения предфрактала

Исходя из способа построения узоров и рассмотрения механизмов формирования структуры ДК, очевидно, что и дифракционная картина от ковра Серпинского определяется теми же явлениями.

Оценка фрактальной размерности узоров и их ДК

Размерность Хаусдорфа-Безиковича является важной характеристикой фрактальных структур. Она служит показателем заполнения пространства структурой и, в отличие от топологической размерности, она может принимать дробные значения [1, 2]. Существуют различные определения размерностей, значения которых совпадают с размерностью Хаусдорфа-Безиковича для самоподобных фракталов. К ним относятся размерность подобия, кубическая размерность, информационная размерность и другие, описанные в [3, 18].

Выбор метода оценки фрактальной размерности объекта определяется, прежде всего, характером объекта.

Фрактальная размерность узоров

Изображения узоров дифракционных элементов являются битовыми, состоящими из отдельных линий. Для таких объектов можно ожидать, что фрактальная размерность должна принимать значения в интервале [1; 2). Наиболее распространенным подходом для определения фрактальной размерности объектов такого рода является подсчет сеточной размерности [19]. Кроме того, этот метод является достаточно простым в реализации.

Изображение разбивается сеткой на 4, 16, 64, ..., 2т прямоугольников. При каждом разбиении подсчитывается количество прямоугольников, внутри которых оказался хотя бы один «черный» пиксель, принадлежащий изображению узора. После этого строится график зависимости числа ячеек, содержащих «черные» пиксели от длины стороны ячейки (от шага разбиения). График строится в двойном логарифмическом масштабе.

Точки графика аппроксимируются прямой, имеющей некий угол наклона к оси абсцисс. Зная тангенс угла наклона прямой, значение фрактальной размерности можно определить по формуле D=1+tg(a). Полученное таким способом значение фрактальной размерности ковра Серпинского D=1,88 и хорошо совпадает со значением размерности подобия для этого узора Dп=1,89. Полученные значения для узоров, построенных по первой схеме, приведены в табл. 2.

При переходе от узора с 4 направлениями к узору с 8 направлениями и, далее, к узору с 16 направлениями, дробная часть фрактальной размерности увеличивается приблизительно на одинаковые значения JD~0,3.

С увеличением количества направлений в узоре рост фрактальной размерности замедляется. Если при переходе от 4 направлений к 8 дробная часть фрактальной размерности увеличивается приблизительно в два раза, то при переходе от 8 направлений к 16 дробная часть размерности увеличивается уже только приблизительно в 1,5 раза. При дальнейшем росте числа направлений фрактальная размерность, очевидно, должна стремиться к 2,0.

Размерность дифракционных картин

Дифракционный спектр представляется в виде полутонового изображения. В трехмерном пространстве профилю интенсивности соответствует некая поверхность. Для объектов такого типа можно ожидать фрактальную размерность, находящуюся в интервале [2; 3).

Методы определения фрактальной размерности объектов такого типа разработаны менее хорошо, чем методы определения размерности плоских объектов [16, 19].

В основном, эти методы сводятся к отображению поверхности на плоскость и определению фрактальной размерности результата этого отображения, обычно - методом сеточной размерности. Понятно, что в этом случае полученная размерность d находится в интервале [1; 2). Затем, в соответствии с эмпирическим правилом Мандельброта [1], фрактальная размерность поверхности определяется из соотношения D=d+1.

Недостатком таких методов является зависимость результата измерения от способа отображения поверхности на плоскость. Лишен указанного недостатка метод непосредственного определения фрактальной размерности поверхности, предложенный в [16]. Этот метод называется Projective Covering Method (PCM). Он заключается в подсчете площади фрактальной поверхности путем аппроксимации поверхности совокупностью плоских фигур при изменении масштабов этих фигур.

Были произведены измерения фрактальной размерности дифракционных картин от узоров, построенных по первой схеме, с 4 и 8 направлениями каждым из описанных методов. Результаты приведены в табл. 1.

В среднем оценки, сделанные по разным методам, дают приблизительно одинаковый результат. Разброс не превышает 9 % от среднего значения.

Значение фрактальной размерности, наиболее близкое к среднему, дает метод PCM, поэтому именно он был использован для оценки фрактальной размерности ДК от различных элементов.

Метод оценки Количество направлений Примечания

4 8

1 Сеточный 2,62 2,27 Подсчет количества ячеек, содержащих узор [20]

2 Сеточный 2,59 2,32 Подсчет количества ячеек, средняя интенсивность внутри которых >0,1 [21]

3 Сеточный 2,27 2,11 Фрактальная размерность изолинии по уровню 0,1 [22]

4 PCM 2,50 2,26 Projective covering method [16]

Среднее 2,495 2,24

Таблица 1. Методы оценки фрактальной размерности ДК

Величины фрактальной размерности узоров дифракционных элементов дифракционных картин от них приведены в табл. 2.

Количество направлений в узоре Фрактальная размерность

узора ДК

2 1,24 2,82

4 1,33 2,50

8 1,64 2,26

16 1,92 2,15

Ковер Серпинского 1,88 2,13

Таблица 2. Фрактальная размерность узоров и ДК от них

и 2 4 6 8 10 12 14 N Рис. 4. Зависимость дробной части фрактальной размерности узоров

от числа направлений

Отметим, что непосредственно фрактальные свойства объекта характеризует дробная часть (после запятой) фрактальной размерности. Целая часть соответствует топологической размерности объекта, на основе которого строится фрактал: 1 - для линии, 2 - для поверхности. В связи с этим на рис. 4 приведены графики зависимостей

*

дробных частей размерности Б от количества направлений в узоре.

Из графика видно, что дробная часть фрактальной размерности дифракционной картины падает с ростом фрактальной размерности узора дифракционного элемента. Кроме того, с увеличением количества направлений в узоре скорость роста дробной части фрактальной размерности узора уменьшается, как и скорость падения дробной части размерности ДК. При дальнейшем увеличении количества направлений в узоре фрактальная размерность узора, так же, как и фрактальная размерность ДК от такого узора, стремятся к одному значению - к 2, при этом фрактальность узора растет, а ДК -падает. При этом сумма дробных значений размерностей узоров и ДК близка к 1 как для фракталов, построенных из пересекающихся узоров, так и для ковра Серпинского.

Заключение

В работе исследованы дифракционные спектры двух видов фракталов: ковра Сер-пинского и фракталов, построенных из пересекающихся окружностей. Описан аналитический метод расчета дифракционных картин. Расчет производится поэтапно, в соответствии со схемой построения узора. Это позволяет выявлять основные закономерности и механизмы формирования структуры дифракционных спектров.

В качестве параметра, характеризующего как фрактальные узоры, так и ДК от них, использована величина фрактальной размерности. Для определения фрактальной размерности узоров использован сеточный метод. Проведено сравнение различных ме-

тодов оценки фрактальной размерности объектов с ожидаемой размерностью в пределах (2; 3).

Рассмотрена взаимосвязь фрактальной размерности узора и дифракционной картины от него. Важным результатом является установление следующей закономерности: фрактальная размерность ДК тем меньше, чем больше фрактальная размерность узора, на котором происходит дифракция, причем их сумма близка к 1 для всех видов рассматриваемых узоров.

Литература

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы: Пер. с англ. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

2. Федер Е. Фракталы: Пер. с англ. М.: Мир, 1991.

3. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов: Уч. пособие. Н. Новгород: Издательство Нижегородского государственного университета, 1999.

4. Berry M. Fractal modes of unstable lasers with polygonal and circular mirrors. // Optics Communications. 2001. V. 200. №1-6. Р. 321-330.

5. Berry M., Storm C., Saarloos W. Theory of unstable laser modes: edge waves and fractal-ity. // Optics Communications. 2001. V. 197. №4-6. Р. 393-402.

6. New G.H.C., Yates M.A., Woerdman J.P., McDonald G.S. Diffractive origin of fractal resonator modes. // Optics Communications. 2001. V. 193. Р. 261-266.

7. Yates M.A., New G.H.C. Fractal dimension of unstable resonator modes. // Optics Communications. 2002. V. 208. Р. 377-380.

8. Megademini T., Pardo B., Jullien R. Fourier transform and theory of fractal multilayer mirrors. // Optics Communications. 1991. V. 80. №5-6. Р. 312-316.

9. Ангельский О.В., Ушенко А.Г., Архелюк А.Д., Ермоленко С.Б., Бурковец Д.Н. О структуре матриц преобразования лазерного излучения биофракталами. // Квантовая электроника. 1999. Т. 29. №3. С. 235-238.

10. Ушенко А.Г. Лазерная диагностика биофракталов // Квантовая электроника, 1999, т. 29, №3, с. 239-245.

11. Lehman M. Fractal diffraction gratings built through rectangular domains. // Optics Communications, 2001. V. 195. №1-4. Р. 11-26.

12. Lehman M. Superposition of Cantor gratings II: Fractality of the moiré profiles. // Optik -Internetional Journal for Light and Electron Optics. 2005. V. 116. №6. Р. 281-287.

13. Lehman M. Superposition of planar Cantor gratings and directional self-similarity I: General considerations. // Optik - International Journal for Light and Electron Optics. 2002. V. 113. №1. Р. 13-24.

14. Lehman M., Patrignani D., Pasquale L., Pombo J. Properties of in-order self-similarity function in the Frensel region for the Sierpinski carpet grating. // Proc. SPIE. 1997. V. 3159. Р. 261-268.

15. Velez C., Lehman M., Garavagila M. Two-dimensional fractal gratings with variable structure and their diffraction // Optik - International Journal for Light and Electron Optics. 2001. V. 112. №5. Р. 209-217.

16. Xie H., Wang J. Direct fractal measurement of fracture surfaces // International Journal of Solids and Structures. 1999. V. 36. №20. Р. 3073-3084.

17. Гудмэн Дж. Введение в Фурье-оптику. М.: Мир, 1970.

18. Falconer K. Fractal Geometry - Mathematical Foundations and Applications. J. Wiley&Sons: N. Y., 2003.

19. География и мониторинг биоразнообразия / Колл. авторов. М.: Издательство Научного и учебно-методического центра, 2002.

20. Учаев А.Я., Пунин В.Т., Завада Н.И. О количественных характеристиках процесса динамического разрушения металлов, диэлектриков, взрывчатых веществ // Труды VI Забабахинских научных чтений: сб. науч. тр. Снежинск, 2001.

21. Александров В.В., Уставников Д. А., Коровкин Н.В. Действие магнитного поля на поведение и двигательную активность гидробионтов. / Труды IV Международного симпозиума по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии ЭМС: сб. науч. тр. СПб, 2001.

22. Коровкин Н.В., Кочетов С.В., Селина Е.Е. Фрактальный подход к регистрации слабого влияния низкочастотных электромагнитных полей на развитие мхов. / Труды IV Международного симпозиума по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии ЭМС: сб. науч. тр. СПб, 2001.