Использование реальных опционов как инструмент оценки эффективности инвестиционных проектов в условиях неопределенности и управленческой гибкости

Использование реальных опционов как инструмент оценки эффективности инвестиционных проектов в условиях неопределенности и управленческой гибкости

т

Одним из самых распространенных методов для оценки привлекательности инвестиционных проектов был и остается метод дисконтированных д енежных потоков. Несмотря на уже проверенную временем эффективность и относительную простоту, сегодня, в условиях возросшей неопределенности, применения данного метода может привести к ошибкам в расчетах из-за статичности и "консервативности" рассматриваемых инвестиционных ситуаций. Принимая решение о реализации проекта, например, о создании сети связи или внедрении новой технологии, оператор связи неизбежно сталкивается с множеством трудностей. В условиях неопределенности инвестиционный проект, после принятия решения и даже после начала его реализации, не остается неизменным. Он может протекать по непредсказуемым сценариям и приводить к незапланированным результатам незапланированными путями. В таких ситуациях необходимо обеспечить такую оценку эффективности проекта, которая позволит учитывать гибкость в принятии решений, а именно делать обоснованные выводы, например, о необходимости продолжения, прекращения или корректировки стратегии реализации проекта. Такая оценка должна осуществляться не только на начальном этапе разработки проекта, но и на всех стадиях его реализации. Статья посвящена оценке экономической эффективности инвестиционных проектов, которые допускают управленческую гибкость в процессе своей реализации. Рассматриваются модели ценообразования реальных опционов для оценки таких проектов, проводятся исследования моделей реальных опционов, анализируются основные детерминанты стоимости этих моделей. Результаты автора представлены для конкретного примера развития ВОЛС, проведен их анализ, даны рекомендации по выбору подхода к оценке реального опциона.

Ключевые слова: инвестиционный проект, оценка экономической эффективности, неопределенность, управленческая гибкость, модель реальных опционов, критерий среднего, критерий Массе.

Царенко В.А.,

аспирант кафедры Менеджмент, МТУСИ

Критерий эффективности проектов, допускающих управленческую гибкость

Основная идея применения опционной теории и техники в сфере финансово-экономического анализа для оценки эффективности инвестиционных проектов вытекает из утверждения о том, что менеджер компании всегда имеет некоторую свободу действий в процессе принятия решений. Присутствие реального опциона в инвестиционном проекте позволяет менеджеру реагировать на негативные изменения, влияющие на этот проект, и минимизировать потери компании, применяя заранее спроектированную гибкость.

В случае ухудшения ситуации менеджер может прекратить или приостановить проект, при удачном стечении обстоятельств может нарастить мощности или увеличить масштабы проекта, тем самым, получить большие прибыли. Т.е. менеджер компании получает право варьировать степень риска, которому он подвержен в ходе реализации проекта, делая проект более эффективным. Безусловно, такое право

влиять на ход инвестиционного процесса, обладает определенной стоимостью, которая обязательно должна быть учтена при его анализе и оценке эффективности.

Теория реальных опционов позволяет количественно оценивать имеющиеся в проекте возможности и, тем самым, включать их в расчет стоимости инвестиционного проекта. Безусловно, такая оценка играет важнейшую роль при принятии инвестиционного решения, в большинстве случаев, когда дополнительные возможности оцениваются лишь качественно [2].

В многочисленной литературе экономическая ценность проекта, содержащего реальный опцион, определяется как приведенная стоимость свободных денежных потоков, учитывающих такие стратегические аспекты, как перспективы будущего роста и качество управления, возможность проявления управленческой гибкости в будущем при осуществлении проекта. Т. е. расширенная (или как ее еще называют, истинная) ценность проекта в условиях неопределенности складывается из ценности проекта (ожидаемая чистая текущая стоимость, рассчитанная по традиционным методикам) и ценности реальных опционов, дающих гибкость.

Из этого определения вытекает следующая формула

Expanded Value = Expected NPV +

+Value of Real Options,

или, переходя к русским обозначениям,

Истинная ценность = Ожидаемое NPV +

+ Ценность реальных опционов,

Реальный опцион предполагает наличие у менеджера гибкости (flexibility) в принятии решений в любой будущей ситуации, поэтому управление с использованием реальных опционов анализируется с помощью сопоставления с управлением в той ситуации, когда гибкости нет.

Наивысшей ценностью гибкость проектных решений обладает, когда:

• присутствует высокая неопределенность в будущем;

• велика вероятность получения новой информации с течением времени;

• велика степень управленческой гибкости проектных решений; гибкость позволяет компаниям адекватно реагировать на новую информацию;

• NPV в отсутствие проектной гибкости близка к нулю; если проект не обладает ни явными достоинствами, ни очевидными недостатками, в его осуществлении скорее потребуется гибкость, что повышает ее ценность.

При этих условиях разница между опцион-

Таблица 1

Исходные данные для расчета реального опциона

Фактор

Стоимость актива

Цена исполнения опциона

Волатильность

Период

Краткосрочная безрисковая ставка доходности

ной оценкой и другими методами принятия решений становиться существенной.

Для определения ценности реального опциона в практике инвестиционного анализа имеется достаточное количество моделей. Одни достаточно простые (в частности биномиальная модель и модель Блэка-Шоулза) и часто рассматриваются учеными-теоретиками и практиками как инструмент стратегического управления проектами. Другие, по тем или иным причинам, не получили достаточного развития (модель на основе критерия Массе) и/или находятся в стадии становления.

Для анализа моделей ценообразования опционов воспользуемся конкретным примером развития ВОЛС. Проект разрабатывался с целью оценка экономической эффективности ВОЛС между городами Москва — Санкт-Петербург.

Выбор ВОЛС в качестве объекта исследования обусловлен двумя причинами. Во-пер-вьх, роль волоконно-оптической связи все более возрастает. Об этом свидетельствует большое число научных публикаций появляющиеся в последнее время в периодической печати связанных как с развитием самой связи ВОЛС, так и с вопросами касающихся оценки эффективности объектов ВОЛС.[8, 9] Во-вторых, принимаемый к рассмотрению инвестиционный проект имеет ярко выраженные опционные характеристики, т.е. ему свойственна управленческая гибкость.

Вид возникающих реальных опционов при рассмотрении проекта во многом зависит от конкретной ситуации, складывающейся вокруг оператора. Однако анализ показывает, что наиболее часто в отрасли связи встречаются следующие виды опционов: опцион на расширение зоны обслуживания сети; опцион на расширение номенклатуры предоставляемых услуг; опцион на предоставление другого набора услуг; опцион на изменение технологии; опцион

Мара \ieip Ед. II ІМ.

•V» тыс.руб.

/» тыс.руб.

(7 %

1 Лет

г %

Значение

53 617,6

102 275,0 106,13

3

8,5

на сокращение масштаба проекта и др. В нашем случае рассмотрим одну конкретную ситуацию, которая позволит исследовать существующие модели ценообразования опционов, а именно рассмотрим реальный опцион на увеличение масштабов проекта. Исходные данные, необходимые для расчета опциона и дальнейшего анализа рассматриваемых моделей, представлены в табл. 1.

Методика и обоснования оценки эффективности проектов в условиях неопределенности и управленческой гибкости

Как отмечено ранее, существует большое количество моделей для оценки реальных опционов. В целом, их можно разделить на модели с дискретным временем и непрерывным временем.

Биномиальная подход [2, 4], в основе которого лежит модель ценообразования опционов с дискретным временем, является на сегодняшний день простейшим подходом. Он на интуитивном уровне обеспечивает понимание принципа ценообразования опциона. Вследствие всего этого подход получил широкое распространение в научных работах. В отрасли связи его изучением занимались авторы работ [3, 7]. Основываясь на анализе конкретных примеров, авторы этих исследований подробно описывают, как следует оценивать и интерпретировать опционную стоимость управленческих решений. По этой причине мы не будем глубоко углубляться в математику данной модели. Другая причина, по которой мы не останавливаемся на исследовании биномиального метода, заключается в том, что он (метод) в ситуациях, когда временной интервал на промежуточных узлах между принимаемыми важными решениями становится бесконечно малым (т.е. изменение стоимости ожидаемых денежных потоков происходит непрерывно), значения стоимости реального опциона, которые получаются с по-

мощью биномиальной модели, все более сближаются со значениями, которые дает формула Блэка-Шоулза. В этом случае модель Блэка-Шоулза можно рассматривать как близкую альтернативу биномиального метода с очень большим количеством дат (промежуточных узлов).

Рассмотрим модель ценообразования опционов с непрерывным временем. В рабатах [2, 3, 4, 7, 14, 15] для оценки реальных опционов была предложена модель, в основе которой лежит критерий среднего (больше известный как математическое ожидание). Критерий среднего изначально был предложен в работах [2, 10] в качестве критерия учета вероятностной неопределенности. Однако, как считают многие авторы работ [11, 12, 14], его вполне можно применять и для оценки реального опциона.

Поскольку, по условию задачи, наш проект допускает управленческую гибкость в процессе своей реализации в течение периода Т, то можно предположить, что менеджер компании в каждый момент времени I е [0;Т] может рассматривать возможность о начале реализации дополнительных возможностей проекта (реального опциона), которые потребуют дополнительных инвестиции в размере 0 Также менеджер может вовсе и не рассматривать эти возможности. Чтобы опцион был исполнен (или не исполнен) в момент времени I, ожидаемый эффект проекта должен удовлетворять следующему условию:

(Б, -10)е г,‘, если8, > /0;

0, если Б, < 10,

где ЫРУ—чистый денежный доход проекта (эффект проекта, стоимость реального опциона) по состоянию на момент времени I; в дальнейшем будет обозначатся как е(|); в— стоимость ожидаемого денежного потока на момент времени ; 0 — инвестиции на момент времени I = 0; г( — безрисковая процентная ставка.

Динамика стоимости денежного потока, содержащего реальный опцион, представляет собой случайный процесс Самуэльсона [2]:

КРУ, =

Б, = 5 оехр[Я, ]

Такого рода предположения делаются традиционно при оценке реальных опционов [4, 5]. Выражение (5) может быть представлен-

но в следующем виде:

ехр

2

Бо х

х ехр

{

сІЕ, = Бо ехр [а,]

а

где ^ — случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение; а — ко-эфффициент смещения геометрического броуновского движения; о — волатильность.

В этом случае в( > 0 имет место только тогда, когда выполняется неравенство:

<^4о =

1п(10/50)-(а-а2/2),

а

В результате мы получаем формулу для определения стоимости реального опциона:

і

є(і )= {Мру)^ = 1~2= ехр

= Їтйпе

л/2П

= 5о ехР

а21 І7 1 Гі-----, I ~1= е

і

44-1 ав-Г7' 1-П ехР[-|/2] 44 =

кру, (4) 44 =

(5о - /о) ег’’4Е =

ехр[-4/2]ехр[ал/г4] •

ф (4_)-/о ег>'Ф (4.),

где

1 "

ф(4 )^-Тт=1 л/2п -

ехр

— кумулятивная функция стандартного нормального распределения, а

4(,) = -4 + а4І = 1п(5о//о) +(а + а'/2)* ;.

ау*

42 ()= -^0 = 4$)~а^1* .

Формулу (8) можно упростить, но только в том случае, если коэффициент смещения а, который характеризует среднее значение приведенной стоимости ожидаемого денежного потока 1(5 > = 5о е хр[а, ] ), совпадает с безрисковой процентной ставкой г. В этом случае формула (8) примет вид:

£

где 41(,) =

1п(5о //о)+(Г’ + а2 /2)*

^л/7 '

Линия 1:0=0 (отсутствие неопределенности, и, как следствие, отсутствие управленческой гибкости); кривая 2:0=5; кривая 3:0=8; кривая 4:0=13.

Рис. 2. Зависимость ожидаемого эффекта проекта є(ґ) от начального значения ожидаемого денежного потока во для различных значений неопределенности 0

Неопределенность О

Кривая 1: в0=5 млн.руб.; кривая 2: в0=15 млн.руб.; кривая 3: в0=30 млн.руб.; кривая 4: в0=50 млн.руб.

Рис. 3. Зависимость ожидаемого эффекта проекта е(|) от величины неопределенности й для различных значений ожидаемого денежного потока во

работах [11, 12] мы исследовали Массе в качестве критерия учета интервальной неопределенности. В настоящей работе рассмотрим этот критерий в качестве модели ценообразования

^2()= dl()-оJt .

Заметим, формула (9) является ни чем иным как формулой Блэка-Шоулса [15], которая впервые была выведена Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в 1973 г. Представим ее анализ.

На рис. 2 представлена зависимость ожидаемого эффекта проекта е(|) для различных значений неопределенности. Ожидаемый эффект тем больше, чем больше величина неопределенности этого проекта (хотя, практика принятия инвестиционных решений говорит о

том, что большинство инвесторов боятся неопределенности и не готовы идти на большой риск (см., например, [2])). Это подтверждают и другие исследователи (например, [11,12,14]).

Как видно из рис. 3, ожидаемый эффект растет монотонно. Этот рост достигает насыщения при ^^^е* Ф)= Бо /1 о . Следует также заметить, рост ожидаемого эффекта проекта, при малых значениях во является нелинейным, однако, при больших значениях во зависимость становится линейной (рис. 2).

Причиной такого результата является использование критерия среднего [2,10]. Как показано в работах [11, 12, 14], критерий среднего может давать адекватные результаты либо для нейтральных к риску инвесторов, либо в случае, если разброс возможных эффектов проекта мал по сравнению с величиной собственного средств компании.

В работах [2, 6, 10, 14], для того чтобы уйти от этих особенностей критерия среднего, предлагается использовать модель, в основе которой лежит уже критерий Массе. Ранее в

реального опциона.

Модель оценки реальных опционов на основе критерия Массе представляет собой модель с непрерывным временем. Для общего случая ее можно представить в следующем виде:

е( ) = --1п (ехр[-цМру,]) 4 )=

№

|-_ехр[ -Е,2 / 2]ехр[ -цКру,(4)] 44 = і V 2п

Ео 1 +^ 1

1 ехр[-4/2]44+ І ехр[-4/2]ехр •

І-12 Ы 2л

= -- 1п №

= — 1п №

- /,е’

Т-Сотт #7-2014

89

2

В работах [11,12,] показано, что параметр обратно пропорционален собственным средствам компании, т.е.

к

*= А

где А — собственные средства или возможности компании (средства, которые компания готова вложить в проект, необходимые для покрытия возможных потерь), а к — коэффициент учитывающий тенденцию занижения менеджером компании вклада в ожидаемый эффект наиболее оптимистичных сценариев реализации проекта.

В результате получаем:

е(г) = --А 1п к

к 2 $0 1

Ф($) + еА 0 ехр[-$2/2]ё$ +

V 2п

+ [ ____ехр[-$2 /2]ехр

•' у!2п

к °-,+^ $

--Бо е

А

а$

где $о =

- 1п(Б 0/10 )+т/2

Я ’

Кривая 1: 0=5; кривая 2: 0=в; кривая 3:0=16; кривая 4: 0=25; кривая 5: 0=45.

Рис. 5. Зависимость ожидаемого эффекта проекта е(|) от величины собственных средств компании А

где т = В = о о , = В (1п(Б* / Б 0 ))—дисперсия доходности базового актива (приведенной стоимости ожидаемого денежного потока) за время I. В нашем случае дисперсия характеризует неопределенность результатов инвестиционного проекта.

Для дальнейшего анализа модели на основе критерия Массе рассмотрим зависимость стоимости реального опциона (ожидаемого эффекта проекта) е(|) (в случае, если он будет исполнен в момент времени I) от параметров, которые определяют его стоимость: дисперсии 0, начального размера ожидаемых денежных

Кривая 1: А=15 млн.руб.; кривая 2: А=30 млн.руб.; кривая 3: А=60 млн.руб.; кривая 4: А=100 млн.руб.; кривая 5: А=150 млн.руб.

Рис. 6. Зависимость ожидаемого эффекта проекта £(/) ог начальных значений ожидаемых денежных потоков в0

потоков в0, а также величины характеризующей возможности компании. Эти зависимости представлены на рис. 4-6.

Для различных компаний (отличаются величиной собственных средств и возможностей), как можно видеть на рисунке 4, ожидаемый эффект проекта растет с ростом неопределенности. И эта ситуация вполне понятна, поскольку неопределенность дает возможность менеджеру наде-

Неопределенность I

Кривая 1: А=5 млн.руб.; кривая 2: А=15 млн.руб.; кривая 3: А=30 млн.руб.; кривая 4: А=50 млн.руб.

Рис. 4. Зависимость ожидаемого эффекта проекта £() от неопределенности 0 для компаний с различными значениями собственных средств А

яться на положительные перспективы! в будущем. Однако, будущее может также и усилить неопределенность. Тогда ожидаемый эффект пректа монотоно уменьшаться. Связано это, в первую очередь, с тем, что при больших значениях неопределенности характерный разброс возможных значений денежного потока проекта становится сравним с величиной собственных средств компании и дальнейший рост неопределенности для компании становится неприемлемым. Чем крупнее компания, чем больше у нее собственных средств, которые она готова потратить на реализацию проекта, тем большие риски она может считать допустимыми и тем больше потенциально может быть ожидаемый эффект проекта, что видно из рис. 5.

На величину ожидаемого эффекта проекта также влияет и начальное значение стоимости ожидаемых денежных потоков (рис. 6). При малых значениях в0 ожидаемый эффект неотле-чим от нуля, а далее его рост будет тем быстрее, чем больше размер собственных средств у компании. Причина этого тоже впоне понятна, крупные компании, для того чтобы увеличить свою прибыль, готовы идти на риск даже в случае, когда проект уже эффективен.

При анализе модели ценообразования реальных опционов на основе критерия Массе

т

был рассмотрен опцион на увеличение масштабов проекта. Очевидно, что с помощью данного метода аналогично можно оценивать также стоимость и других видов реальных опционов: опцион на отказ, опцион на отсрочку, опцион на переключение и т.д.

Заключение

Метод реальных опционов остается крайне сложным инструментом для анализа и оценки инвестиционных решений. Однако, сегодня, для руководства принимающего важные решения в концепции развивающейся организации, как в общем, так и в динамическом ее аспекте, важна большая степень конкретизации. Теория реальных опционов накопила богатый понятийный и инструментальный аппарат. Главным достоинством методологии является не ее теоретическая тщательность, четкость или концептуальность изложения, что без сомнения присутствует в теории реальных опционов, а ее эффективность.

Сегодня предполагается, что на языке реальных опционов можно адекватно изложить практически всю современную теорию менеджмента и всю конкретную теорию фирмы1. Однако исследования такого рода только начинаются.

Предложенные подходы к ценообразованию опционов, позволяют руководству компании принимать взвешенные, наиболее эффективные решения. Выбор метода для этой цели должен осуществляться исходя из той задачи, которая стоит перед лицом, принимающим решения, при этом должны учитываться особенно-

сти рассматриваемых подходов. Модель на основе критерия среднего (формула Блэка-Шоул-за) позволяет давать адекватную оценку опционов в условиях, когда разброс возможных эффектов проекта мал по сравнению с величиной собственного средств компании, или для нейтральных к риску инвесторов. В условиях большой неопределенности, для получения более точных результатов, необходимо применять модель, в основе которой лежит критерий Массе.

Литература

1. Брейли Р, Майерс С. Принципы корпоративных финансов. М.: ЗАО "Олимп-Бизнес" — Тройка, 1997.

2. Виленский, П.Л., Лившиц, В.Н. и Смоляк, СА Оценка эффективности инвестиционных проектов: Теория и практика. — 4-е изд., перераб. и доп. М: "ДЕЛО" АНХ,

2008. — 1104 с.

3. Груничев ЮА. Повышение экономической эффективности ИТ проектов в условиях больших рисков с использованием модели реальных опционов. // Век качества,

2009, №6. — С.75-77.

4. Дамодоран А Инвестиционная оценка: Инструменты и методы оценки любых активов. — М.: Альпина Бизнес Букс, 2004. — 1339 с.

5. Лимитовский МА. Инвестиционные проекты и реальные опционы! на развивающихся рынках. — М.: Дело, 2004.

6. Массе П. Критерии и методы' оптимального определения капиталовложений. — М.: Статистика, 1971. — 503 с.

7. Сафонова ЛА., Смоловик Ш. Использование теории реальных опционов в практике принятия инвестиционных решений // Сибирская финансовая школа. — 2006, №3. — С. 62-68.

8. Сиднев СА., Зубилевич АЛ. Применение экономического критерия при выборе одномодовых оптических во-

локон для ВОЛС // Век качества, 2011, №1 — С.60-61.

9. Сиднев С.А. Ожерельев С.В. Совместное использование ВОЛС операторами сотовой связи // Вестник связи, 2012, №7 — С.39-41.

10. Смоляк СА. Оценка эффективности инвестиционных проектов в условиях риска и неопределенности (теория ожидаемого эффекта). — М.: Наука, 2002.

11. Царенко ВА., Добронравов А.С. Влияние основных факторов неопределенности на ожидаемый эффект инвестиционных проектов в телекоммуникациях // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт, 2011. — №12. — С. 47-50.

12. Царенко ВА., Добронравов А.С. Экономический анализ инвестиционного проекта оператора широкополосного доступа в условиях неопределенности// T-Comm: Телекоммуникации и транспорт, 2012. — №12. — С. 31-35.

13. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том I, II. Факты и модели. М.: Фазис, 1998.

14. Яценко Б.Н. Оценка эффективности инвестиционных проектов, допускающих управленческую гибкость в процессе своей реализации (оценка реальных опционов) // Аудит и финансовый анализ, 2'2006 — с.141-152

15. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // Journal of political economy. 1973. Vol. 81. №3, p. 637-659.

16. Cox J., Ross S., Rubinstein M. Optimal pricing: a simplified approach // J. of Financ. Econ. Sept. 1979.

17. Geske R. A Note on Analytic Formula for Valuation Formula for Unprotected American Call Options on Stocks with Known Dividends // Journal of Financial Economics, 7 (December) 1979.

18. Roll R. A critique of the asset pricing theory's tests; Part 1: On past and potential testability of the theory.// Journal of Financial Economics Vol. 4. March 1977.

19. Whaley R. On the Valuation of American Call Options on Stocks with Known Dividends // Journal of Financial Economics, 9 (June). 1981. p. 207-212.

Use real options as a tool to the effectiveness evaluation of investment projects in the conditions of uncertainty and management flexibility

Vladimir Tsarenko, graduate student of the Management, Moscow Technical University of Communications and Informatics

Abstract: One of the most widespread methods to assess the attractiveness of investment projects has been and remains the method of the discounted cash flows. However despite the time-proved efficiency and relative simplicity, today, in the conditions of the increased uncertainty, application this method can lead to errors in calculations because of the static character and "conservatism" of considered investment situations. Taking a decision on the project, for example, about creation of a communication network, or the introduction of new technology, telecom operator is faced with many difficulties. In the conditions of uncertainty investment project, after the decision and even alter beginning of its implementation, doesn't remain unchanged. It can proceed according to unpredictable scenarios and lead to unintended results unplanned ways. In such situations it is necessary to provide such assessment of efficiency of the project which will allow to consider flexibility in decision-making, namely to make reasonable conclusions, for example, about need of continuation, the termination or correction of the project implementation strategy. Such an assessment should be carried out not only at the initial stage of project development, but also at all stages its implementation. The paper evaluates the economic efficiency of investment projects that allow managerial flexibility in the course of implementation. Models of pricing of real options for an assessment of such projects are considered, researches of models of real options are conducted, the main determinants of cost of these models are analyzed. The author's results are presented for a specific example of the development of FOCL, their analysis, recommendations on the choice of approach to evaluating real option.

Keywords: investment project, evaluation of economic efficiency, uncertainty, management flexibility, real options model, criterion average, criterion Masse.

References:

1. Braley, R, Myers, S 1997, Principles of Corporate Finance, Moscow: "Olympus-Business", Troika.

2. Vilensky, P Livshits, V and Smolyak, S 2008, Evaluating the effectiveness of investment projects: Theory and practice, 4th ed., Rev. and add. Moscow: "Delo", P1104.

3. Grunichev Yuriy 2009, Increase of economic efficiency of IT projects in the conditions of large risks using models of real options. Age of Quality, № 6, pp.75-77.

4. Damodaran, A 2004, Investment Valuation: Tools and techniques for assessment of any assets, Moscow: Alpina Business Books, P1339.

5. Limitovskiy, M 2004, Investment projects and real options in emerging markets, M: Delo.

6. Masse Pierre 1971, Optimal Investment Decisions. Criteria and models, M.: Statistics, P503.

7. Safonov, L, Smolovik, G 2006, Using the theory of real options in the practice of investment decision, Siberian financial school, No 3, pp.62-68.

8. Sydnev, S, Ozhereliev, C 2011, Application of economic criterion for selecting single-mode fibers for fiber optic links, Century of quality, No 1, pp.60-61.

9. Sydnev, S, Ozheeliev, C 2012, Sharing of fiber optic links cellular operators / Vestnik sviazy, No 7, pp.39-41.

10. Smolyak, C2002, Evaluation of investment projects under risk and uncertainty (the theory of the desired effect), Moscow: Nauka.

11. Tsaenko, V, Dobronravov, A 2011, Influence of main factors of uncertainty on expected effect of investment projects in telecommunications / T-Comm, No12, pp.47-50.

12. Tsaenko, V, Dobronravov, A 2012, The economic analysis of the investment project of the operator broadband access in the conditions of uncertainty / T-Comm, No12, pp.31-35.

13. Shiryaev, A 1998, Essentials of Stochastic Finance, vol. I, II. Facts and models. Moscow. Phasis.

14. Yatsenko, B2006, Evaluation of investment projects, admitting a flexibility in the management of it's the implementation (evaluation of real options) / Audit and Financial Analysis, No2, pp.141-152.

15. Black F, Scholes, M 1973, The pricing of options and corporate liabilities / Journal of political economy, vol. 81, No3, pp.637-659

16. Cox, J, Ross, S, Rubinstein, M 1979, ?Optimal pricing: a simplified approach?, J. of Financ. Econ. Sept.

17. Geske, R 1979, A Note on Analytic Formula for Valuation Formula for Unprotected American Call Options on Stocks with Known Dividends / Journal of Financial Economics, No7 (December).

18. Roll, R 1977, A critique of the asset pricing theory's tests; Part 1: On past and potential testability of the theory?, Journal of Financial Economics, vol. 4, March.1977.

19. Whaley R. On the Valuation of American Call Options on Stocks with Known Dividends / Journal of Financial Economics, 9 (June). 1981. pp.207-212.