Нестационарное взаимодействие волн слабой и умеренной интенсивности с вихревой структурой, движущейся в потоке газа

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIII

1992

№ 2

УДК 533.6.011.72 532.527

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН СЛАБОЙ И УМЕРЕННОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ С ВИХРЕВОЙ СТРУКТУРОЙ, ДВИЖУЩЕЙСЯ В ПОТОКЕ ГАЗА

Р. Я Тугазаков

Исследована задача об образовании в потоке газа движущейся вихревой структуры в виде пары вихрей и взаимодействии ее с ударными волнами слабой и умеренной интенсивности. Показано, что при встречном взаимодействии ударной волны с вихревой структурой происходит значительное усиление волн, появляются новые уединенные волны, величина циркуляции вихревой структуры и ее размеры в начальный момент взаимодействия уменьшаются.

При распространении ударных волн в среде с неоднородностью происходит нелинейное взаимодействие ее с этой неоднородностью [1—4]. Так, при взаимодействии ударной волны с вихревыми структурами, порожденными движущимся летательным аппаратом (ЛА) или сверхзвуковой турбулентной струей, индуцируются нестационарные аэродинамические нагрузки, действующие на ЛА, или же происходит зарождение аэроакустического шума в струе газа.

В данной работе исследовано встречное и догонное взаимодействие ударной волны с движущейся вихревой структурой, существующей в потоке газа как устойчивое течение в виде пары вихрей с противоположными знаками завихренности. В такой постановке задача ранее не исследовалась, хотя имеет широкое приложение к проблеме взаимодействия вихрей, например, образующихся за движущимся телом, с возмущениями, распространяющимися в потоке газа в виде ударных волн слабой или умеренной интенсивности.

Существенным отличием данной работы от работ [3—5] является то, что вихрь, с которым взаимодействуют ударные волны, получается в данной же работе как решение нестационарных уравнений Эйлера без фиксирования «твердого» ядра вихря и величины его циркуляции.

1. Рассмотрим уравнения сохранения массы, момента и энергии для невязкого, сжимаемого газа — нестационарные уравнения Эйлера:

где Е=Р/(у—1)-|-р02/2 — плотность полной энергии; р — плотность газа; Р — давление, V — вектор скорости, у — отношение удельных теплоемкостей.

др/ді + V (ро) = 0; ‘

др и/д* + V (роо) = — ЪР; дЕ/ді + У(£») = — Ъ(РІ^), .

Из первого и второго уравнений (1.1) в двумерном случае имеем

с1 / а\ I (дР дР дР <?Р\ п 2ч

\ Р / Р3 \ Зх ду ду дх) ' \ • )

где ^ = —вихрь, ось которого перпендикулярна плоскости (х, у).

Уравнение (1.2) описывает изменение величины Я/р со временем в неиз-энтропийном потоке газа. Если же рассматривать несжимаемую жидкость или изэнтропийное течение газа, то левая часть уравнения (1.2) равна нулю. И в этом случае реализуются условия для выполнения теорем Гельмгольца и Томсона о вихрях. Хотя уравнение (1.2) не позволяет найти решение задачи об образовании вихревой структуры в нестационарном потоке газа, оно помогает точнее воссоздать локальную картину течения газа, пользуясь результатами численных расчетов уравнения (1.1).

Для полного решения задачи в работе используется двухшаговый конечно-разностный метод Бурштейна, который применяется к нестационарным уравнениям Эйлера (1.1). Расчеты проводятся в прямоугольной системе координат.

На рис. 1 приводится расчетное поле с вихревой структурой и ударной волной ЕО, падающей на вихревую структуру слева и справа в зависимости от рассматриваемой задачи. Стрелки на рис. 1 и других обозначают

Рис. 1

направления движения вихревой структуры и ударной волны. Ввиду симметричности задачи относительно оси х, рассматривается только верхняя половина установившейся вихревой структуры. Для получения вихревой структуры в расчетном поле выделим частицу в виде полукруга, границей которой является полуокружность АВС (первоначальная величина ее не совпадает с образовавшейся вихревой структурой), и сообщим частице дополнительное приращение скорости и. В результате этого удельная энергия частицы, приходящаяся на единицу площади, получается больше энергии окружающего газа на величину ры2/2 (скорость газа, окружающего частицу, взята равной нулю). При этом плотность выделенной частицы в процессе расчетов принимает значения 0,5; 1; 2, а скорость — 0,5; 1. Энергия окружающего частицу газа равна Е= Р/(у — 1) = 2,5. Здесь величины давления и плотности отнесены к их значениям в окружающем невозмущенном газе, а скорость газа и = Ма, где М — число Маха движущейся частицы, а — скорость звука в невозмущенном газе, равная -^у.

Частица в результате движения деформируется как жидкий контур в неоднородном потоке газа. На границе частицы и окружающего газа образуется контактный разрыв, который из-за неустойчивости Кельвина — Гельмгольца теряет устойчивость и сворачивается. В частности, когда в начальный момент времени плотности частицы и окружающего газа равны, вдоль границы ЛВС из-за разрыва касательной составляющей скорости образуется сдвиговый слой с максимумом завихренности в точке В. Со временем этот сдвиговый слой со скоростью потока газа сносится вдоль границы АВ к точке А, а в поле течения частицы в это время происходят нестационарные взаимодействия ударных волн и волн разрежения, порожденных движущимися границами ВС и АВ. При приближении к точке А сдвиговый слой начинает взаимодействовать с симметричным ему сдвиговым слоем. В результате этого в тыльной части частицы имеется излом границы в центре сдвигового слоя, который начинает перемещаться внутрь частицы. В дальнейшем в результате эволюции течения сдвиговый слой сворачивается вокруг первоначальной Точки излома и образуется вихрь с центром именно в данной точке, где реализуются минимальные значения давления, плотности и максимальные величины энтропии и завихренности.

Таким образом, в результате сообщения частице дополнительного импульса в положительном направлении оси х получаем, что однородная частица превращается в вихревую структуру, движущуюся в том же направлении. Этот процесс подтверждает известный факт, что энтропийные возмущения в дозвуковом потоке газа переносятся вихревыми течениями, и он является основным механизмом перемешивания в турбулентных течениях с помощью поперечных колебаний продольных вихрей. Процесс образования вихревой структуры для частицы с плотностью, равной плотности окружающего газа, описан в [6]. Именно сильная нелинейность является, основной причиной образования указанных изолированных вихрей.

2. Рассмотрим результаты расчетов для частиц, плотность которых меньше или больше плотности окружающего газа.. В первом случае для легкой частицы картина течения сформировавшейся половинки вихревой пары дана на рис. 1, где сплошными линиями указаны линии постоянной энтропии Б = Р/ру, а штриховыми — линии постоянной величины Я, которые являются линиями постойнной завихренности. Картина течения дана в момент t=7, где за единицу времени взято время, в течение которого звуковое возмущение пройдет расстояние АС. Первоначальные значения параметров частицы: Р= 1, р = 0,5, ы=1. В окружающем газе: Р= 1, р=1, и = 0. Из рис. 1 видно, что на месте первоначальной частицы АВС образовался вихрь в данном случае с положительным значением циркуляции. Аналогичный симметричный вихрь с отрицательным значением циркуляции образуется от второй половинки первоначально взятой круглой частицы. Линии постоянной завихренности для каждого вихря являются замкнутыми кривыми, не связанными между собой, кроме предельной линии с нулевой завихренностью, которая является внешней границей вихревой структуры и охватывает оба вихря -(верхний и нижний) с противоположными значениями циркуляции. У изоэнтроп же существуют замкнутые линии, внутри которых реализуется максимальное значение энтропии, а также линии постоянной энтропии, общие для обоих вихрей. В данном случае две области с энтропийным возмущением соединены между собой полосой высокоэнтропийного га1за, которая образовалась в результате проникания в тыльную часть частицы газа из внешней области и «наматывания» линии постоянной энтропии вокруг центра вихря. Линии постоянной энтропии и завихренности на рис. 1 обозначены цифрами, которым соответствуют следующие значения: 1—1,11; 2—1,6; 3 — 2,08; 4 — 2,56; 5 — 0,012; 6 — 0,035; 7 — 0,058; в —0,082; 9 — 0,106.

В случае движения тяжелой частицы с параметрами р == 2, и = 1 линии изоэнтроп и постоянной завихренности приведены на рис. 2. В данном варианте задачи геометрический размер вихревой структуры больше, чем на рис. 1, в 1,4 раза. В момент /=7,3 в частице происходит еще интен-

сивное «наматывание» более горячего газа, поступающего из окружающего газа. В результате образуется вихревая структура с ядром внутри. На рис. 2 линиям постоянной энтропии и завихренности соответствуют значения: / — 0,52; 2 — 0,61; 5 — 0,87; 4 — 0,96; 5— 1,005; 6 — 0,012; 7 — 0,05; 8 — 0,106; 9 -0,129. Интересно рассмотреть поведение параметров газа по сечению вихря. На рис. 3 представлены кривые, изображающие зависимость по координате у величин Р, р, 5, а, и, V, М, обозначенных цифрами /—7, в сечении х = хи проходящем через центр вихря. Здесь и, V — компоненты скорости на оси координат. Единица на оси у соответствует радиусу частицы ЛВС, а по оси х отложены значения параметров потока газа. Видно, что для данного момента /= 10,3 плотность ведет себя не монотонно, т. е., как следует из рис. 2, вокруг ядра «наматываются» слои газа с разной плотностью. Это является результатом присутствия в начальный момент времени в поле течения газов с различными плотностями, хотя для частиц с р = 0,5 и 1 еще для более ранних моментов времени параметры течения становятся монотонными с минимальными значениями плотности и давления в центре вихря. Из рис. 3 видно, что на границе вихря величины Р, р, 5 стремятся к 1, а величина и — к 0,04. Анализ рис. 3 показывает, что в центре вихревой пары существует сильная струя газа, направленная в сторону движения частицы. Скорость же самой частицы мала. В данном варианте при

¥

Рис. 3

начальной скорости и — 1 скорость частицы быстро падает до значения 0,04-^0,06. В то же время скорость струи между вихрями по величине сравнима с начальной скоростью движения частицы. Такое неравномерное распределение параметров в вихревой структуре, естественно, должно сказаться при распространении ударной волны через вихревую структуру.

3. Как уже было отмечено, в результате сообщения частице АВС дополнительной энергии она начинает двигаться и на ее границе образуется вихревой слой в виде разрыва тангенциальной составляющей скорости. До этого момента течение во всем расчетном поле было безвихревым. В дальнейшем этот вихревой слой в соответствии с уравнением (1.2) рассредоточивается по всей площади частицы и определяет ее завихренность. Начальная циркуляция, как суммарная завихренность, сообщаемая частице, находится по определению циркуляции:

Г = фы сое

где г — начальный радиус АВС, который будем полагать равным единице, и — приращение скорости, сообщенное частице. Видно, что величина начальной циркуляции, сообщаемая частице, пропорциональна ее размеру и скорости, но не зависит от плотности частицы. В то же время, если произведение ги для двух разных частиц постоянно, то величины начальных циркуляций у них равны. Сравнение результатов численного расчета с результатами расчета по формуле (3.1) дает согласие с точностью 1—2%. В процессе решения задачи величина циркуляции сильно зависит от размера и плотности частицы, которые меняются со временем, поэтому в работе вычислялись величины циркуляции

г+

1= 1 (=1

где п — число расчетных точек, входящих в вихревую структуру. При этом величины Г+ и Г_ совпадают между собой с точностью до нескольких процентов для частицы с плотностью, равной плотности окружающего газа. Из формул (3.1) и (3.2) следует связь: Г_(0) = 2гы/р = Г+(0)/р.

На рис. 4 приведены зависимости от времени циркуляций Г+ и Г_ при установлении вихревой структуры. Кривые /, 3, 4 соответствуют циркуляции Г+(/) для частиц, движущихся с начальной скоростью и = 0,5 и плот-

Рис. 4

ностями р = 0,5; 1; 2, а кривые 2, 3, 5 соответствуют циркуляции Г_(/) при тех же начальных условиях. Как было отмечено ранее, для частицы с р = I Г+(0 и Г_(/) совпадают с точностью нескольких процентов. Из анализа поведения кривых для других скоростей, рассматриваемых в диапазоне 0,25—1, видно, что величина Г+ (/) с точностью 2—4% пропорциональна начальной скорости движения частицы, т. е. для частиц одинаковой плотности кривая Г+(/) для другой скорости ы+ получается из данных кривых /, 3, 4 соответствующим домножением этих данных на 2и+. Для кривых Г_(/) такое подобие выполняется с точностью 3—6%.

Для проверки точности численного счета были рассчитаны варианты с частицей вдвое большего радиуса. Все предыдущие варианты рассчитывались при г = 1. Оказалось, что в случае г = 2, и — 0,25, р=1 кривая Г+(/) на рис. 4 с точностью 1% совпадает с кривой Г_(/) из данного рисунка (г — 1, и = 0,5, р = 1) в интервале времен 0—5, что согласуется с формулой (3.1). Этот результат подтверждает тот факт, что количество расчетных точек в поле течения и точность разностной схемы взяты такими, что присутствующая схемная вязкость мала. При этом ударная волна размывается на 3 — 4 ячейки по пространству, а линейный размер вихревой структуры равен 40 ячейкам, что позволяет идентифицировать структуру течения внутри вихревой структуры при прохождении по ней ударной волны.

Анализ кривых на рис. 4 показывает, что в случае, когда плотность частицы не совпадает с плотностью окружающего газа, в первый момент до / ^ 1 происходит существенное изменение величины циркуляции. В случае же движения частицы с р= 1 ей сообщается величина циркуляции (суммарная завихренность вдоль границы ЛВС), которая со временем незначительно уменьшается из-за нелинейно-волновых процессов, происходящих в газе.

4. После образования вихревых структур на них было проведено воздействие падающих волн с интенсивностями АР = 0,04 и 0,4. Из-за неравномерности поля течения в вихревой структуре рассматривались два предельных случая взаимодействия: встречное и догонное. На рис. 5 приведена картина встречного взаимодействия ударной волны интенсивностью АР = 0,4 с вихревой структурой, которой соответствуют начальные данные р = 1, и= 1, г = 1. Сплошные кривые на рис. 5 соответствуют изобарам, а штриховые — линиям постоянной завихренности. Изобары помечены цифрами,

которым соответствуют значения давления: / — 1,076; 2— 1,13; 3— 1,23; 4 — 1,31; 5—1,37; 6— 1,43; 7— 1,55; 8— 1,78; 9—1,84.

Анализ расчетов показывает, что усиление ударной волны происходит задолго до того, как волна приблизится к границе вихревой структуры, т. е. струя, существующая вдоль оси х, при встречном взаимодействии сдувает волну, тормозит ее и повышает в ней давление. На рис. 5 ударная волна только что прошла через вихревую структуру и в результате взаимодействия волны с вихрем в поле течения образовалась отраженная волна ОР. Интенсивность в ней на оси достигает значения 2,1. Следует заметить, что такое усиление давления происходит только в самой волне ОР, которая представляет собой «бугор» давления, т. е. уединенную волну. В следующие моменты времени волна продолжает сохраняться, интенсивность ее начинает падать после прохождения падающей волной расстояния, большего длины вихревой структуры.

На рис. 6 приведена картина догонного взаимодействия ударной волны интенсивности ДР = 0,3 с той же вихревой структурой, что дана на рис. 5. Изобарам на рис. 6 соответствуют значения давления: /—0,96; 2— 1,096; 3—1,14; 4—1,21; 5—1,25; 6—1,3; 7—1,32. В этом случае картина течения существенно отличается от предыдущей. Видно, что при проникании ударной волны в вихревую структуру происходит ускорение ее в области оси х, так что интенсивность ударной волны немного даже -падает. В данном случае волна изгибается по ходу движения волны и на оси х не происходит ее отражения. Интенсивность волны на участке О/7 сильно уменьшается после выхода из вихревой структуры, так как вне вихревой структуры резко падает скорость струи газа. Таким образом, при догонном взаимодействии ударной волны умеренной интесивности с вихревой структурой может происходить вырождение ударной волны в звуковую волну.

Это существенное различие в течении газа для встречного и догонного взаимодействия с ударной волной наглядно иллюстрируется таблицей. В ней приведены коэффициенты усиления давления Л+ = (Р+ — Р|) /АР и к- = (Я_ — — Р2)/^Р для максимального давления Р+ и давления в центре вихря Р_ после взаимодействия вихря с ударными волнами, интенсивность которых равна ДР=0,04 и 0,4. Коэффициенты вычислены по отношению к давлению

р Взаимодействие ДР

встречное догонное

*+ k- k+ k_

1 3,1 1,9 1,7 1,9 0,04

2 3,5 2,1 2 1,9 0,04

1 2,75 1,1 1,1 0,9 0,4

2 2,75 1,05 1,1 1 0,4

/>, == 1 в невозмущенном газе и давлению Р* в центре вихря до взаимодействия с волной. Скорость частицы при образовании вихревых структур бралась равной 1, а значения плотности их даны в таблице.

Видно, что у слабых волн коэффициенты усиления выше, чем у волн умеренной интенсивности. При этом в центре вихря при прохождении слабой волны результирующее давление получается как сумма давления до взаимодействия с удвоенным приращением давления в падающей волне. При умеренных волнах значительное усиление интенсивности волны происходит при встречном взаимодействии за счет образования уединенных волн. В центре же вихря происходит простое суммирование интенсивностей волн.

Изменение циркуляции при падении на вихревую структуру ударной волны с АР =0,4 показано на рис. 4 с моментов, отмеченных вертикальными прямыми. Видно, что величина Г_ значительно сильнее реагирует нй проходящую волну. В частности, на кривой 3, где Г+ и Г_ до ударной волны совпадали, теперь они различаются. Штриховая кривая соответствует Г . Сплошная кривая соответствует Г+ и совпадает с Г+ и Г_ при догонном взаимодействии ударной волны с этой же вихревой структурой, т. е. догонное взаимодействие практически не меняет Г+ и Г_. В случае тяжелой частицы Г+ возрастает, а Г- убывает после взаимодействия с ударной волной.

Сравнение по интенсивности ударных волн показывает, что при падении слабых и умеренных волн на вихревую структуру, соответствующую кривой 3 на рис. 4, Г+ практически сохраняется, а Г_ отличается до 30%. Кроме того, ударная волна умеренной интенсивности уменьшает площадь вихря на 15% больше, чем слабая волна. Этот факт объясняется тем, что при взаимодействии ударной волны с легкой частицей на границе появляются слабые вихри другого знака, которые со временем взаимодействуют С основным вихрем, уменьшая его интенсивность, т. е. в зависимости от плотности вихревой структуры, на которую падает ударная волна, в данной рефракционной задаче образуется или отраженная ударная волна, или волнЬ разрежения, скорости течения газа за которыми прямо противоположны по направлению. Это и определяет результирующий вектор скорости в потоке газа, который может совпасть с направлением движения газа в вихре до взаимодействия или же противостоять ему, уменьшая циркуляцию вихря.

ЛИТЕРАТУРА

1. Pi cone J. М., Boris J. P. Vorticity generation by shock propagation through bubbles in a gas // J. Fluid Mech.— 1988, vol. 189.

2. Тугазаков P. Я. Точное решение задачи взаимодействия движущегося со сверхзвуковой скоростью тела с границей раздела двух газов // ПМТФ,— 1983, № 5.

3. R i b n е г Н. S. Cylindrical sound wave generated by shock-vortex interaction // AIAA J. — 1986, vol. 23, N 11.

4. P a о S. P., S a 1 a s M. D. A numerical study of two-dimensional shock vortex interaction // AIAA Paper.— 1981. N 1205.

5. Moore D. W., Pul I in D. I. The compressible vortex pair // J. Fluid Mech.— 1987, vol. 185.

6. Тугазаков P. Я. Механизм образования вихрей в нестационарном потоке идеального газа // Ученые записки ЦАЛГИ.— 1989. Т. 20, № 2.

Рукопись поступила 16/X 1990 г.