Р.И.Григорчук (Texas A&M University и МИАН), "Самоподобные группы: алгебра, динамика и комбинаторика"

Topic outline

Р.И.Григорчук (Texas A&M University и МИАН) прочтет миникурс
"Самоподoбные группы: алгебра, динамика и комбинаторика".
1-ая лекция 27 декабря 2010 года (понедельник) в 13.00: Аменабельность, самоподобные группы и трюк Мюнхаузена.
(в рамках заседания СПб мат.общества)
2-ая лекция 29 декабря 2010 года (среда) в 17.00: Свободные/несвободные действия на границе дерева и асимптотические экспандеры.
(в рамках семинара по теории представлений и динамических систем)

Аннотация.

Понятие аменабельной группы было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году в связи с исследованиями алгебраической природы парадокса Банаха-Тарского. В дальнейшем аменабельность стала играть фундаментальную роль во многих исследованиях в теории операторных алгебр, геометрической теории групп, динамических системах и эргодической теории, теории случайных блужданий, топологии и геометрии, дискретной математике, дескриптивной теории множеств и других разделах математики. Существует огромное число эквивалентных определений этого понятия, звучащих "на разных языках", от определения Тарского в терминах отсутствия на аменабельных группах схем, аналогичных финансовым схемам Понзи, до вероятностного критерия Кестена в терминах случайного блуждания на группе. Важную роль в исследовании аменабельности играет понятие роста групп, определенный независимо А.С.Шварцем и Джоном Милнором.

Мы расскажем как было решено несколько важных проблем, связанных с аменабельностью и ростом, в частности, проблема Милнора о группах промежуточного роста, проблема Дэя о неэлементарной аменабельности, так называемая гипотеза фон Неймана о том,что в неаменабелной группе не может быть свободной неабелевой подгруппы, и проблема Гринлифа о существовании аменабельных действий неаменабельных групп.

Ключевую роль в решении этих проблем играет теория так называемых самоподобных групп (называемых также фрактальными группами или группами автоматов), ветвящихся групп и других классов групп, действующих на корневых деревьях. Мы расскажем о некоторых приложениях этойтеории в голоморфной динамике, а также опишем метод доказательства аменабельности, получивший название "Трюк Мюнхаузена", и укажем на его связь с техническим приемом известным как "Дополнение Шура", нередко применяющемся в численных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных и некоторых вопросах линейной алгебры.

Мы подробно обсудим различные аспекты динамики и асимтотических свойств групп, действующих на корневых дервьях и на их границе. Будет подробно обсуждена дихотомия "свободное/несвободное действие" для групп ветвящегося типа и для самоподобных групп. Будут приведены достаточные условия, гарантирующие существенную свободу действия по отношению к равномерной мере на границе, и объяснено, какое это может иметь отношение к важной проблеме из теории графов и информатики -- построения принципиально новых примеров экспандеров.

------------------------------

------------------------------

1

2