Нелинейная задача Кельвина

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005, вып. 2

А. О. Бочкарев

НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА КЕЛЬВИНА*)

Сингулярные решения в задачах механики твердого тела являются важным инструментом в моделировании точечных особенностей различной природы - геометрической (разрезы, линейные включения), сосредоточенного воздействия (силы, моменты). Получение таких решений в нелинейной постановке особенно ценно, поскольку в окрестности особых точек линейная теория заведомо не работает. Как правило, они могут быть найдены либо для однородных полей напряжений, либо в одномерных случаях.

Свой путь выявления влияния нелинейности в общих условиях неоднородности и многомерности поля напряжений был предложен в [1-4]. Он состоит в конструировании специальных модельных упругих законов (каким является, например, редуцированный стандартный материал [3]), позволяющих в замкнутом виде решать эталонные сингулярные задачи теории упругости и механики разрушения. Однако комплексный метод, разработанный в [1-4], в отдельных случаях позволил получить аналитическое решение решения сингулярных задач и для реальных законов упругости.

В данной работе для ряда упругих законов 1-го порядка (стандартный и малосжи-маемый материалы) выводится элементарное или фундаментальное решение плоской задачи, известной в линейной теории как задача Кельвина.^

Задача Кельвина - классическая плоская задача линейной теории упругости. В силу особой роли, играемой ею в граничных интегралах, ее решение называют еще элементарным или фундаментальным. В ней рассматривается сосредоточенная сила, приложенная в начале координат и действующая в срединной плоскости (рис. 1).

Рис. 1.

Для решения задачи Кельвина в нелинейной постановке выбрана комплексная форма изложения. Она позволила практически единообразно вывести сначала общее, а затем и элементарное решение для ряда упругих законов 1-го порядка (по степени тензора кратности удлинений) - для стандартного и малосжимаемого материалов.

1. Основные соотношения плоской упругой задачи в комплексной форме

Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президента РФ (грант № НШ-2180.2003.1), Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 02-01-01258), а также Министерства образования РФ (грант № Е02-4.0-75).

© А. О. Бочкарев, 2005

изложения. Комплексные зависимости получили широкое распространение в теории упругости. В работах [1-4] дается последовательный вывод основных таких зависимостей применительно' к нелинейной теории, где комплексный метод выступает как основной рабочий аппарат. ~

Следуя ему, совместим с двумерным евклидовым пространством комплексную плоскость, связанную с декартовой системой координат Ох 1X2, и сопоставим материальной точке плоскости до деформации и после комплексные переменные г = ¿1 + 1x2 и г = XI + 1x2 соответственно. Плоскую статическую упругую задачу определяет комплексный закон перемещения

z = z(z,z), Хз = Мз,

в котором роль независимых материальных координат выполняют комплексно сопряженная пара i, z (в-.плоскости О&1Х2) и ¿3. Здесь Л - кратность удлинения в направлении оси ¿3. В случае обобщенной плоской деформации Л является константой (при обычной плоской деформации Л ='1). В случае же обобщенного плоского напряженного состояния Л = Л(1,1). Однако мы предполагаем, что данная зависимость носит плавный характер, так что при малой толщине пластины можно пренебречь ее частными производными. Другими словами, при обобщенном плоском напряженном состоянии Л есть параметр, зависящий от координат точки срединной плоскости.

Наряду с комплексными переменными, отвечающими векторным величинам, будем использовать комплексные компоненты тензоров

Т\ = ¿ц + ¿22 + «

Так, закону перемещения отвечает градиент движения F (тензор дисторсии), чьи половинные комплексные компоненты

F\ _ dz F2 _ dz 2 ~ dz' 2 ~ дЪ

будут использоваться как основные деформационные величины, через которые выражаются всё другие, в том числе и главные инварианты тензора кратности удлинений:

1Л = Ai + А2 + A3 = 2

dz dz

+ А,

1л — А1А2 4- А2А3 + А3А1 =

Мл = J = А1А2А3 = А

dz dz

dz 2 dz

dz dz

2 dz 2\

d~z

+ 2А

dz dz

где J - кратность изменения объема. Таким образом, для однородного изотропного материала упругий потенциал Ф(Ц, Ид, Шд) всегда можно рассматривать как функцию

Ф = $(\dz/dz\,\dz/z\,X).

Тензор напряжений, энергетически сопряженный градиенту движения, есть 1-й (несимметричный) тензор номинальных напряжений Пиола-Кирхгоффа. Выражения для

«то ъомгююяга % составляет ^теругий закон сжимаемого материала

ОТ1 ЛЬ =2 9Ф = д2/д* дФ х п д(ЩЩ) \dzidz\d\dzfdzy

= 2 = *»_, .

а(аг/а1) \Щдг\ д\дг/дг\

В комплексных компонентах номинальных напряжений формулируется и уравнение равновесия плоского элемента среды относительно недеформированной конфигурации

^{Р-1- Л^ + ^{Р-1-ЛЬ + ра = 0,

где р - плотность среды до деформации; а - интенсивность внутренних сил.

Из граничных условий в контексте рассматриваемой задачи нас интересует главный вектор условных напряжений на недеформированном граничном контуре Ь

я +1Р2 = -г~1{р-^Щки -

2. Гармонический или полулинейный материал (стандартный материал 1-го порядка). Стандартный материал известен как естественное обобщение закона Гука на большие деформации [5]. Действительно, использование в его упругом потенциале

ф = Ь {2^7)

(где V - упругие постоянные) тензора относительных удлинений п-го порядка вместо линеаризованного тензора деформаций Грина, в который он переходит при малых деформациях, позволяет адекватно описывать большие углы поворота, например, для таких гибких тел как стержни, пластины и оболочки.

Наиболее изученным является стандартный закон 1-го порядка. Начиная с Р. Са-усвелла, Ф. Джона и А. И. Лурье [5, 6] он известен в литературе как гармонический или полулинейный материал. Переходя в упругом потенциале (2.1) при п = 1 от инвариантов 1Л, Пл, Шл к комплексным компонентам дг/дг} дг{дг и А, получим

Ф

2ц [

1 -2г/ [

дг дг

+

дг дг

- 2[1 + 1/(1 - А)]

дг дг

}

Упругий закон (1.3), отвечающий потенциалу (2.2), имеет вид

{Р~1,Л]}1 = Г^к! I1 " 1\дфг\Х)) '

«^»--АНя

+

-2^1.

В частности, редуцированный вариант потенциала (2.2) (без двух подчеркнутых слагаемых) приводит к физически линейному упругому закону и позволяет при условии всестороннего равномерного напряжения материала получить целый ряд точных аналитических решений в геометрически нелинейной постановке [1, 3].

Уравнение равновесия (1.4) в силу упругого закона (2.3) принимает вид

4[л д

+ рог = 0.

1 - 2и дг I дг \ "' \дг/дг\ При отсутствии внутренних сил уравнение (2.4) допускает первый интеграл

4/2 дг

1-2 иЪк

2(1 -и)-

1 + 1/(1 - Л) \дг/дг\

) = 4^',

где £(г) - 1-я неизвестная голоморфная функция, определяемая из граничных условий. Интеграл (2.5) дает алгебраическое уравнение для отыскания \дг/дг\ по

2

дг дг

-[1 + „(1-А)]

= (1-2и)\а

Рис. X.

Графически уравнение (2.6) показано на рис. 2. Как из него видно, уравнение может иметь два решения. Однако в положительной области оказывается только одно из них - большее:

дг дг

2

По решению (2.7) из интеграла (2.5) находим комплексные компоненты градиента движения

дг дг

= 2(ГЬ) {(1 " + [1 + 1/(1 ~ А>]^} '

= 5(1^{^-^ШЪ./Я»**}

и закон перемещений

I

где г](г) - 2-я неизвестная голоморфная функция, определяемая из граничных условий. По деформациям (2.8) и из упругого закона (2.3) находим комплексные компоненты номинальных напряжений

(Р^ ЛЬ = ^ {[1 + ,(1 - А)]¿X+ .

Соотношения (2.8), (2.9) представляют собой общее решение однородного уравнения равновесия (2.4). Входящие в него две неизвестные голоморфные функции {(¿) и т}(£) подбираются исходя из граничных условий краевой задачи.

Определим эти функции для задачи Кельвина, для чего рассмотрим равновесие части плоскости, ограниченной простым гладким замкнутым контуром ¿, содержащим начало координат - точку приложения силы Р = Р\ + ¿Рг- Такая сила должна уравновешиваться главным вектором (1.5) усилий (2.10), действующих по контуру Ь:

1 - V

Уравнение (2.11) должно выполняться для произвольного конечного контура а функции £(¿) и т](г) при этом должны оставаться голоморфными во внешности проведенного контура.

Заметим, что выражения (2.9) и (2.11) имеют одни и те же функциональные слагаемые. Анализируя их в окрестности бесконечно удаленной точки, приходим к выводу, что в данной постановке невозможно реализовать всестороннее равномерное растяжение на бесконечности с кратностью удлинения Аоо- Действительно, подчеркнутое слагаемое в (2.9) и (2.11) при асимптотике искомой функции

(У.

£~Аоо£ + аЬп;г, ~Аоо + -

х <

дает асимптотику корневого выражения

у/С ~ л/А^о + (¿->оо).

Его интегрирование в (2.9) и (2.11) приводит к неоднозначному {при обходе по замкнутому контуру) логарифмическому выражению, имеющему функциональный вес. Поэтому рассмотрим решение вида

£(i) = aLn i, rj(z) = /?Lni - const).

Тогда подчеркнутое слагаемое в соотношениях (2.9) и (2.11) при обходе по произвольному замкнутому контуру L обратится в нуль, а для однозначности закона перемещения (2.9) останется положить a(l — 2р) — ¡3. Неизвестные константы находятся из уравнения (2.11):

Р р

а 4/27Г' ^ ^

Таким образом, окончательно имеем следующие выражения для комплексных комбинаций градиента движения (2.8):

аг 1 Г(1-2,)-А-[1 + К1-А)Ь/Й

dz 2(1 - v) 1 v ' 4/J.7TZ 1 v V Pz

dz dz

t = ——7———r |(1 - 2v) * - [1 + i/(l - A)]I/5 г 2(l-i/) Ufinz 1 v V Pz ^

для закона перемещения (2.9):

г = 'W^T) {(1" ~ \[1+1/(1" ^

и для комплексных комбинаций номинальных напряжений (2.10):

Интересно рассмотреть асимптотику полученного решения в окрестности точки приложения силы. С этой целью введем полярное представление для вектора силы Р = \Р\е{{р и полярные координаты ¿ = ге^. Прежде всего из (2.14) следует, что J = 0, и истинные напряжения теряют смысл. Для комплексных же комбинаций условных напряжений из (¡2.12) и (2.14) получаем

У _ dz/dz t ^ JP|e^_l

Покомпонентно в полярных координатах находим

\р\

2тг(1 - у) г

т, ~ О,

'н

О (г -> 0).

Как видно, для условных напряжений асимптотики имеют стандартный порядок сингулярности и пропорциональны величине силы. Данный результат совпадает с асимптотикой известного элементарного решения в случае редуцированного стандартного закона [3].

3. Малосжимаемый материал 1-го порядка. Малосжимаемые материалы -перспективное направление в нелинейной теории упругости. Большинство конструкционных материалов (если не рассматривать пористые) малосжимаемы, т. е. мало изменяют свой объем при деформировании. За математическое описание данного процесса ответствен в основном третий главный инвариант тензора кратности удлинений. Потому для таких материалов естественно предположить линейную зависимость упругого потенциала от Жд*. На основании этих соображений и был введен в рассмотрение [3] малосжимаемый материал (п-го порядка), для которого упругий потенциал не зависит от Ядп •

9л

где /х и и - упругие постоянные, а функция Ф должна удовлетворять условиям

Ф(3) = 0, ф'(3) = 1, ф"(3) = ^;,

обеспечивающим переход при малых деформациях в закон Гука. Простейшей ее конкретизацией является квадратичная

Переход в упругом потенциале

Ф =

2ц

1-21/

[2(1 - и) - А(1 - 21/)]

дг дг

+ А

0г\

д1\

- 2[2 — I/ - А(1- и)]

дг

Эг

+ |[(3 - А)2(1-г,) - 2(1-2^(2 - Л)]} -

Итак, для потенциала

^"^ЕЬ =

4 \1 дг

1-2г/ дг

¡{2(1-,)-

А(1- 2у) —

2 - у — А(1 — у) \дг!дг\

}

{^•ЛЬ

1 дг 2 дг 2 2(1 -«/)! дг

[ д! дг 1-21/ Эг

(1-

у)А-2 + 1/1 1-21/ $

и уравнение равновесия в форме (1.4) 4ц д

4ц д (дг / „ . 2-1/-А(1-1/)\1 . „ /ч

Далее алгоритм решения полностью совпадает со случаем стандартного материала (п. 2). Общее решение однородного уравнения (3.4) строится из его первого интеграла

4/1 дг 1-2 и дг

где £(£) - 1-я неизвестная голоморфная функция. Сначала из алгебраического уравнения, даваемого модулем выражения (3.5):

2(1-1,)1й|-[2~1,~А(1~17)1

= (1-21010,

находится единственное положительное решение

дг\_

Затем с помощью интегрирования по г и дифференцирования по г выражения (3.5), а также упругого закона (3.3) последовательно находим: комплексные компоненты градиента движения

дг дг

2(1 - {

(1 - 2+ [2 - у - А(1

дг д'г

+ Л;

комплексный закон перемещений

(1-2^ +

2=2(ГЬ){(

V?

комплексные компоненты номинальных напряжений

= ^~|[2(1-»')-А(1-21/)]^'-А[2-1/-А(1-1/)]^=|, {р-1- л5а = ^ {а[2 -у-х(1- / + ,

где 7}{г) - вторая неизвестная голоморфная функция.

Функции £(¿) и т](г) для задачи Кельвина определяются из условия (1.5) равновесия части плоскости, ограниченной простым гладким замкнутым контуром ¿, содержащим точку приложения силы:

-Р=

г/х

[2

(3.11) 135

По тем же соображениям, что и в п. 2, следует, что в данной постановке невозможно реализовать равномерное всестороннее растяжение на бесконечности из-за наличия неоднозначного при обходе по замкнутому контуру слагаемого, подчеркнутого в (3.9) и (3.11). Повторяя далее в точности рассуждения п. 2, находим те же выражения для функций £(£) и г)(г).

Таким образом, окончательно имеем для комплексных комбинаций градиента движения

£ = /(1 _ - [2 - „ - А(1 - и)]Щ\,

дг 2(1-г/)|ч 1 4 у/Ш \

% = -¡¡тЛ-Г I (1 - [2- *- А(1 - ;

Эг 2

для закона перемещения

* = -2<1Ь) {(1 - ^ " " " " ^ " ^Ф"] ^

и для комплексных комбинаций номинальных напряжений (3.10) :

Р-КЩ, - А[2 — с — А(1 — „]${}.

Асимптотика полученного решения в окрестности точки приложения силы полностью совпадает с асимптотикой решения для стандартного материала.

4. Изотропный малосжимаемый материал 1-го порядка. Другой вариант малосжимаемого материала п-порядка - изотропный - был рассмотрен в [7]. Для него упругий потенциал учитывает зависимость от 1дп линейным образом (так же как и от Шл»):

Ф = пЦ1- 2у) [АФ

В отличие от упругого потенциала (3.1), переход в закон Гука при малых деформациях обеспечивается за счет выбора четырех произвольных постоянных А, В, С и Б вместо дополнительных условий на производные функции Ф. В случае п = 1 для этих постоянных имеем [3, 7]

А = (!-»)/Ф"(3),

В = [ф"(3)(1 - 21/) - Ф'(3)(1 - *)]/Ф"(3), "' •

С = [Ф'(3)(1 -v)- 2Ф"(3)(1 - 21/)]/Ф"(3), Я = {[2Ф'(3) - Ф(3)](1 - г/) - Ф"(3)(1 - 21/)}/Ф"(3).

Как и в п. 3, простейшей конкретизацией функции Ф является квадратичная

* = 12л,

которая и приводит к упругому потенциалу в форме

Ф =

2/л

1-2 и

[А(1+ !/)-!/]

дг дг

- 2А

дг дг

+ 1[А*(1-„) + ! +

+ [2 - V - А(1 + и)]

и}.

дг д~г

Для потенциала

{Г--ГЦ1 =

Ац дг 1-21'дг

А(1 + !/)-!/

\дг/дг\

{^Ь = ^[2-,-А(1+ ,)]§,

{^•./ЕЬз

дг 2 дг 2" дг + (1 - |/)А|

дг д1 -2 дг

и уравнение равновесия в форме (1.4) 4 д д

1-2и дг

Далее повторим алгоритм решения, изложенный в случае стандартного материала (п. 2). Общее решение однородного уравнения (4.4) находим из его первого интеграла

"с в*г2(1-„)- А

1-2идг '' \дг/дг\

где £(1) - 1-я неизвестная голоморфная функция. Алгебраическое уравнение

2

дг дг

-А

= (1-2^1

дает единственное положительное решение

дг дг

(1-21/Ш+ А

2(1 - и) '

откуда последовательно находим комплексные компоненты градиента движения

дг

дг 2

(1 - 2-Ь А

-1 Т

1 = 2(1У^Ш^'У'

комплексный закон перемещений

2

комплексные компоненты номинальных напряжений

г = 57гЦл и1 - + I т/СМ+ИУ,

где г){к) - 2-я неизвестная голоморфная функция.

Функции £(г) и г)(г) для задачи Кельвина определяются из условия (1.5) равновесия части плоскости, ограниченной простым гладким замкнутым контуром содержащим точку приложения силы:

1-1/

По тем же соображениям, что и в п. 2, следует, что в данной постановке невозможно реализовать равномерное всестороннее растяжение на бесконечности из-за наличия неоднозначного при обходе по замкнутому контуру слагаемого, подчеркнутого в (4.9) и (4.11). Далее, повторяя в точности рассуждения п. 2, находим те же выражения для функций £(£) и г}(г).

Таким образом, окончательно для комплексных комбинаций градиента движения (4.8) имеем

дг _ 1 \1Л п ч Р

дг~ 2(1-1/) 4/м7Г2 у/Щ}'

дх _ 1 \(л п ч Р Хл/Р11

д1 " 2(1 — I/) | 21/)4/хтг 1 ч/Р|/;

для комплексного закона перемещения

и для комплексных комбинаций номинальных напряжений

rt.-i.rn 2/х Г[Л

у-. ^ = _ 2^2 - , - Л

Асимптотика полученного решения в окрестности точки приложения силы полностью совпадает с асимптотикой решения для стандартного и малосжимаемого (без учета 1Л) материалов.

Итак, комплексный метод продемонстрировал свою эффективность решения нелинейных задач теории упругости для ряда законов 1-го порядка (стандартный и малос-жимаемый материалы). Для них единообразно были выведены общие решения плоской однородной задачи, а также в замкнутом виде получены частные сингулярные решения задачи Кельвина. Было показано, что в данной постановке невозможно реализовать классическое условие затухания возмущений от действия сосредоточенной силы в виде равномерного всестороннего растяжения. Из анализа асимптотики полученных решений в окрестности сингулярной точки установлено, что истинные напряжения оказались непригодными, а условные имеют стандартный порядок и пропорциональны величине силы, что совпадает с результатами известного сингулярного решения упрощенного модельного закона упругости для редуцированного стандартного материала.

Summary

Bochkarev А. О. The nonlinear Kelvin's problem.

In the frames of geometrically and physically nonlinear elasticity theory the Kelvin's problem solutions are obtained for series of elastic materials (standard and two low-compressional ones).

Литература

1. Черных К. Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М., 1996. 288 с.

2. Chernykh К. F. An introduction to modern anisotropic elasticity. New York, 1998. 282 p.

3. Черных К. Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Ч. 1. Теория. СПб., 1999. 276 с.

4. Черных К. Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Ч. 2. Приложение. СПб., 1999. 195 с.

5. John Plane strain problems for a perfectly elastic material of harmonic type// Comms. Pure. Appl. Math. 1960. Vol. 13, N 2. P. 239-296.

6. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. M., 1980. 512 с.

7. Вочшрев А. О. Элементарное решение плоской упругой задачи для одного малосжимаемого материала// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2002. Вып. 3 19), С. 62-64.

Статья поступила в редакцию 21 апреля 2005 г.