Конструирование биортогональных вейвлет-базисов для оптимального представления сигналов

та и графическое изображение области расположения вейвлет-коэффициентов. Область расположения значимых (ненулевых) значений определяется параметрами Ь и а, где а - определяет масштаб амплитуды сигнала ;Ж-ответа, а Ь- расположение этой амплитуды по оси времени I

Анализ результатов приводит к следующим выводам:

1. М-ответ у здоровых людей представляет собой сигнал, который имеет один положительный пик с определенной амплитудой (рис. 2, а), а у больных - с несколькими пиками и амплитудами меньшими по величине (рис. 2, б, в). Это связано с тем, что сигнал Л/-ответа отражает одновременную реакцию двигательных единиц мышцы на электрическое раздражение нерва. У больных пациентов в результате травмы двигательные единицы мышцы реагируют неодновременно, и это отражается в виде нескольких пиков.

2. У здоровых людей (рис. 3, а) области локализации значимых вейвлет-коэффициентов отличаются от областей больных пациентов (рис. 3, б, в) как характером расположения (по параметру а), так и их числом (по параметру Ь). Количество положительных пикой сигнала М-ответа связано с количеством областей локализации значимых вейвлет-коэффициентов.

СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ

1. Гусев Е.И., Коновалов А.Н., Беляков В.В. Методы исследования в нейрологии и нейрохирургии. - М.: Нолидж, 2000. - 336 с.

3. В группе больных пациентов по числу расположения вейвлет-коэффициентов (по параметру Ь) выделилось две подгруппы. Анализ состояния пациентов, проведенный врачом-экспертом, позволяет сделать вывод, что у пациентов с легкой степенью тяжести травмы области: локализации две (рис. 3, б), а с тяжелой - три (рис. 3, в).

4. Границы (по параметру а) локализации значимых вейвлет-коэффициентов для различных групп пациентов также отличаются. Так у здоровых они расположены в пределах от 5 до 25, у больных с легкой степенью тяжести травмы - от 4 до 17, с тяжелой - от 3 до 10.

Таким образом, использование вейвлет-преоб-разования для математического описания М-ответа позволяет восстановить сигнал, а по характеру и количеству областей расположения значимых вейвлет-коэффициентов можно оценить степень тяжести травмы.

В дальнейшем, используя математическое описание М-ответа, предполагается построить обобщенные показатели, с помощью которых можно было бы оценить тяжесть патологического процесса и скорость восстановительных процессов в не-рвно-мышечном аппарате в курсе лечения.

2. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. -М.: Солон-Р, 2002. - 448 с.

3. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. -2001. - Т. 171. - № 5. - С. 465-501.

УДК 535.416.3 /

КОНСТРУИРОВАНИЕ БИОРТОГОНАЛЬНЫХ ВЕЙВЛЕТ-БАЗИСОВ ДЛЯ ОПТИМАЛЬНОГО

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

Ю.Н.Исаев

Томский политехнический университет Институт оптического мониторинга СО РАН. г. Томск E-mail: lsaev_Yusup@mail.ru

Подробно описывается алгоритм синтеза биортогональных условию кратномасш'табного анализа. Приводятся примеры восстановления и сжатия сигналов на основе сконструированных вейвлетов. Описывается их сходство с базисом Карунена-Лоева.

Введение

Интенсивность и фаза оптического излучения, прошедшего атмосферу со случайными нёоднородно-стями, используются для извлечения информации об атмосфере или передачи информации через неё. В результате взаимодействия с турбулентной средой рас-

пространения фаза и интенсивность волны становятся топологически сложными объектами. Происходит преобразование гладкого рельефа волнового фронта в прерывистую изломанную структуру со степенными особенностями и сингулярностямй. Для удобства и упрощения анализа эти сложные математические объекты, условно будем называть их случайными

оптическими сигналами, обычно представляются в виде сумм ортогональных составляющих бесчисленным количеством способов. И поскольку каждый раз система ортогональных функций, применяемая для разложения, бывает известна, то интенсивность или фаза оптической волны полностью определяются наборами весовых чисел для этих функций. Насколько адекватным реальности окажется восстановление сигнала, зависит от удачи выбора базиса. При решении задач восстановления поля волны возникает необходимость хранить большие массивы данных изображения, необходимость устранять шумы изображения, сократить время обработки данных и тем самым приблизиться креальным временным масштабам физического процесса, отслеживать эволюцию частоты сигнала, вызванную различными временными и пространственными масштабами неоднородности.

В данной работе мы не будем рассматривать полиномиальные функции, гладкость которых заставляет их вести себя определённым образом, потому что сигналы с которыми приходится встречаться на практике хотя и непрерывные, но не дифференцируемые. Полиномиальные функции недостаточно гибки, что бы отслеживать скачки и степенные особенности натурных сигналов. Поэтому в данной работе мы будем рассматривать вейвлет-базисы, обладающие фрактальным свойством самоподобия и позволяющие отслеживать сингулярности и изломы исследуемого сигнала. Замечательное свойство самоподобия является причиной других полезных свойств, как то: свойство локальности, свойство быстрых преобразований, возможности высокой степени компрессии сигналов и изображений, возможность выделять сингулярные особенности и фрактальную структуру случайного сигнала, возможность разложения исследуемого сигнала по масштабам неоднородности.

Существует широкий класс вейвлет-базисов различной природы, однако, их математическое описание слабо освещено в отечественной литературе. Количество отечественной литературы по синтезу вейвлет преобразований не велико. Отметим некоторые из них. Полезной и интересной работой о возможностях приложения вейвлет преобразований является работа [1]. Наиболее информативными являются работы [2,3] в которых приводятся классификация вейвлетов и все необходимые теоремы по синтезу вейвлет преобразований. Недавно появился перевод книг по конструкции вейвлетов [4] и [5]. И наконец самым мощным источником информации о вейвлетах остаётся Internet. На сайтах http://www/mathsoft/com/wavelet.html, http:// playfair.stanford.edu/~wavelab, www.wavelet.org, www.math.spbu.ru/~dmp/ можно получить информацию о программах, статьях, конференциях по теории и приложениям вейвлетов. Последний из перечисленных является сайт Санкт-Петербургского семинара "Всплески и их приложение". Для инженеров, интересующихся приложениями готовых программ по вейвлет-пре-образованиям, можно порекомендовать известные математические программные средства, как MATLAB-6.1, Mathematica-4 и Mathcad-2001 (Wavelet Extension).

В данной работе мы проведём синтез новых вейвлет-базисов и покажем на примерах их применение для обработки сигналов. Новые они потому, что ни один из приведённых ниже вейвлетов не относится к известным группам которые приводятся в существующей литературе по данной теме. Из широкого класса вейвлетов мы будем конструировать только биор-тогональные вейвлеты и только те, которые подчиняющиеся свойству кратномасштабного анализа. Именно это свойство позволяет осуществлять эффективные быстрые алгоритмы разложения и восстановления.

В отличие от синтеза ортогональных вейвлетов [6], синтез не ортогональных вейвлетов имеет гораздо большую свободу как по выбору формы, гладкости, симметрии, так и по таким важным критериям, как локализация и число нулевых моментов, то есть, класс не ортогональных вейвлетов гораздо шире. В этой работе мы подробно опишем алгоритм построения не ортогональных вейвлетов, которые имеют сходства с статистически оптимальным базисом Ка-рунена-Лоева-Обухова [7].

Скейлинговые функции. Биортогональный вейвлет-

базис

При разложении сигнала Дх) в не ортогональный вейвлет-базис необходимо иметь два базиса, вейвлет ЧЧ;с), по которому собственно раскладывается сигнал и двойственный ему вейвлет Т (х), с помощью которого определяются коэффициенты разложения, то есть

Дх)=1>Л«,

М

где х¥'к{х) = 2~1П\у{2~>х-к) и с]к определяется как:

^ =(/, =]/«*,* (2) причём выполняется соотношение

где 5И- символ Кронекера. Вейвлеты ^ и называются биортогональными и образуются на основе скейлинговых функций Ф и ф которые подчиняются двухмасштабным соотношениям

N

4=0

N

$

. Верхние индексы суммирования N и N являются носителями функций Ф и ф соответственно то есть ,4= 8иррф(зс), N - виррф. После определения коэффициентов рк и рк из формул (4) можно определить ^ и \|/ с помощью соотношений

ы о

=

к=о

Таким образом, чтобы получить вейвлеты V}/ и у необходимо определить коэффициенты рк и рк в разложения (4). Для определения коэффициентов запишем разложения (4) в частотной области

1 "

ф(к) = ф(к / 2) - ]Г рк ехр(-Дк / 2),

4=0

1 ^

ф

1 00

где ф(к) = — ^(x)exp(-jxк)c/x, и введём обо-значения для фильтров

I »

«(к) = -Ха ехр(-Д к / 2),

* 4=0

1 "

*=о

Выполнение условия ортогональности (3) для и эквивалентно выполнению следующего условия для фильтров [4, 5]:

т(к)т(к) + т{к + л)т(к + тс) = 1, (8) здесь черта означает знак комплексного сопряжения.

Если в качестве фильтра выбран т{к), то решая уравнение (8) мы можем найти т(к).

Прежде чем объяснить как решается уравнение (8), сделаем некоторое отступление, а затем вернёмся к его решению.

Критерии синтеза вейвлет-базиса

В предыдущем разделе говорилось о том, что при сжатии изображения желательно иметь вейвлеты с большим числом нулевых моментов. Дадим краткое пояснение. Пусть сигналах) раскладывается в ряд

/

если разложить сигналах) в ряд Тейлора в окрестности точки к. то можно получить

Лх) = Г(к) + /(кХх-к) +

+-/\х-к)2+... + -р")(х-к)" + ... (10) 2 ,п\

Если мы умножим это выражение на Ц'(2'j х-к) и проинтегрируем то, очевидно, в разложении пропадут члены для которых выполняется соотношение

|ВД*"& = 0,и = 0,1,2...М.

В разложении (9) останутся высокочастотные члены при этом подавляются малоинформативный низкочастотные тренды. При сжатии сигнала производится сортировка (значимых) коэффициентов выше некоторого порогового значения. Очевидно, что, чем больше количество нулевых моментов тем лучше сжатие'сигнала, то есть тем меньше останется коэффициентов для представления сигнала. В этом смысле симметричный вейвлет-базис близок к оптимальному базису Карунена-Лоева [7]. Сход-

ство проявляется в том, что базис Карунена-Лоева имеет некоррелированные, а вейвлет-базис имеет слабо коррелированные коэффициенты разложения, что является критерием для хорошего сжатия сигнала. Слабая коррелированность вейвлет-базиса объясняется тем, что носители базисных функций (замыкание множеств, на которых функции отличны от нуля) разнесены в пространстве (или во времени). Возвращаясь к уравнению (6), скажем, что оно позволяет синтезировать вейвлеты с любым числом нулевых моментов. Приведём алгоритм синтеза вейвлета с требуемым числом нулевых моментов.

Сконструировать вейвлеты vp и - значит найти т(к) и т(к). Выбираем т(к) в виде

m

если п чётное, и в виде

т{ k) = ехр

если я нечётное. В этом выражении п - степень первого сомножителя cos"(-&) определяет число нулевых моментов в конструируемом вейвлете, а Р(х) - некий полином. При выбранном выражении для т(к) будем искать решение для т(к) в виде

т(к) = coss(k/2 ) P(sin2(K/2)) (14) если п чётное, и в виде

т{ к) = ехр

если п нечётное.

Введём обозначения

х— sin2(k/2), (1 - x)s/2P(k) = т(к), подставим (12) или (13) и соответственно (14) или (13) в (8), в результате получим уравнение Безу [8]:

_

где В(х)- Р(х)Р(х), N = (s + п)/2. Общеерешение уравнения Безу имеет следующий вид

В

*=о

где C(N,k) - число сочетаний из л-элементов по к, а fix) - любая нечётная функция. Первый и второй члены выражения (16), есть частное решение неоднородного уравнения и общее решение однородного уравнения Безу, соответственно. Выбирая различные N и fix) при выбранном т{ к) в соответствии с (16), получим совершенно определённое выражение для т(к). Приведём конкретный пример для чётного и нечётного N. Выбираем N=3 иДх) =х+ х3, в этом случае имеем

В(х) = 1+Зх+бх2 +х3(х-1/2 +(х-1/2)3). (18) Определим корни выражения (18) и запишем его в факторизованном виде

В

j - .

где А - константа, которую можно определить, разделив (19) на (18); в нашем случае А-1, Zj =Re(Zj )+jlm(Zj) - 3 пары комплексно сопря-

р0=Р9= 0,0004301 Р\~ р%~ 0,0004417 Рг= Рт= 0,009309 Рз=Рб= 0,0101488 р4 = р5= 0,6867772

а)

р0 = р9 =0,0177396 р, = р8 =0,0182202 Рг = Рп = "О-1346437 р3 = р6 = -0,1140526 А, = Й= 0,7281784

б)

Ро=Р11=0,0004301 Р1=Рш= 0,0004417 Р2=Р9= 0,009309 Рз=Р8= 0,0101488 р4=Р?= 0,6867772 Рз = Рб= 0,6867772

в)

р0 = р9= 0,0177396 р, = р3= 0,0182202 р2 = р7 = 0,1346437 р3 =р6=-0,1140526 р4 = р5= 0,7281784

Рй~ Р$~ 0,011997 р1=р4=0,1058479 р2=р3= 0,5892818

Д)

р0 = р13 = 0,000637 р, =р12 = -0,0056295 р2 =р,, = -0,0266914 Рз = Рю = 0,0097508 р4 =р9= -0,2005914 р5 =р8 = 0,0288662 р6 = р7= 0,843824

1 .5 1

0.5

!

.........:.......

—"1 Дн-

1.5 1

0.5 О

-0.5 -1

N

е)

Рис. 1 Биортогональные вейвлеты. Слева - скейлинговые функции, справа ~ вейвлеты

жённых корней: ^ = -0,4763090739-.¡1,2303119751, 12 =г„ г3 = -0,2533865279 ^0,30248926121,

г4 = 2з, г5= -1,47969571803 -)1,22491119812,

рье можно осуществить, используя тригонометрические соотношения

г6 -2Ъ. Теперь выбираем

Р(х)=(х2~2Щг2)+\12Ю, п= 5, т{ к )=ехр(/к/2,) со55(к/2 )/>(8т2(к/2)),

тогда т(к) может иметь единственный вид Р(х) = (х2 - 2 )+1 |2)х

х(Л2-2Ке(2з)+|23 |2), 5 = 1, т(к) = ехрО'к/ 2)соз(к/2 Р(Бт2 (к/2)). (23) Раскладываем т(к) и /й(к) в ряды Фурье (7) и получаем по десять коэффициентов рк и рк дляскей-линговой функции ф(х) и двойственной ей функции ф, соответственно (рис. 1 ,а,6). Разложение в ряд Фу-

соэ"

Г И -XX V

,-м У

V

но гораздо проще разложение Фурье осуществлять в программно интегрируемой среде МаШсас!. Далее, следуя алгоритму, описанному в [6], можно построить скейлинговые функции и соответствующие им вейвлеты.

Графические зависимости для вейвлетов чр и и их скейлинговыхфункций приведены нарис. 1 ,а, б. Для конструкции следующей пары вейвлетов следует в (19) принять п = 3, а в (21) принять 5 = 3, при этом в раз-

Рис. 2. Биортогональные вейвлвты. Слева ~ скейлинговые функции, справа ~ вейвлеты

Ро=Р1б= -0,00013233 pi=pis= 0,00175273 Р2=Ры= -0,01181917 Pi=Pn= -0,00878867 P4=Pi2= 0,08313578 p5=pn= -0,11690713 p6=Pio= -0,29571447 />7=Р9= 0,45991912 Р8= 1,15616716

S Ю 15

а)

Ро=Рб= 0,00360339 Й =Й = 0,04772721

= & = 0,34995' Й = 0,61165236

о.в

0.4 0.2 . О

0.5

10 15

5 10 15

б)

Р0=Рп= -0,00136135 Pi=Pif= 0,0054454 Pi= Р\(,= 0,00468923 Pi=Рч= -0,04598393 рл=ри= 0,01771813 Ps=Pn= 0,18082888 Pe=Pn= -0,15619841 Pi ~pw= —0,48524242 Pi =Рю= 0,48870579 p9 = 1,39701094

о e

0.4 0.2 О

1

0.5 О

-0.5

Ю 15

5 10 15

В)

Pa = A„ = 0,00000137 p{=p9 = 0,00000547 p2 = #¡ = 0,00003618 p} =p7 = 0.08849887 & = £6= 0,35343055 ps = 0,53003394

.5 10 15

Г)

Po=P\6= -0,00002804 Pi=Pu= -0,00060931 Pi=Pif= 0,00674686 Рз=Pi3= 0,00592045 P4=Pn= 0,03761214 Ps=Pu= -0,02871934 P6=Pio=-0,03011743 р7=Л= 0,37696159 p8= 0,70566718 .

1

0.5 О

-O.S

10 15

Д)

5 10 15

Po = P\4 ~ 0,00006642 Л =Д3—0,00144319 А =Йг = 0.01584165 Pi = Ai = 0'01703875 Л =Ao = -0,121698 -0,11432698 = 0,45934331" Й = 0,90456961

0.5 О

-0.5

5 Ю 15

е)

ложениях ти(к) и т(к) в ряд Фурье (7) мы получим 12 коэффициентов рк и 10 коэффициентов рк (рис. I, в, г). Соответствующие этим коэффициентам скейлинговые функции и вейвлеты приведены на рис. 1, в, г. Если принять п=5, ¿=1 и переместить корень z, из (21) в (19), то получим коэффициенты и соответствующие им вейвлеты и скейлинговые функции, приведённые на рис. 1, д, е.

Остановимся теперь на примере для чётного N= 4. В этом случае решение уравнения Безу будет иметь следующее решение

В(х) = 1+4х+10х2 +20х3+;(4/[х-1/2). (24) Выберем в качестве f(x) нечётную функцию Дх)=х+ Xs. Находим корни В(х) и записываем в фак-торизованном виде

В

г 2:5

ibfigitial signal

Mliiiw pilip

256;:

Рис. 3. Разложения сигнала по вейвлетам с разным числом коэффициентов разложения и с разным числом нулевых моментов вейвлетов

В этом случае получаем один вещественный корень Яо = -0,3378926514 и 3 пары комплексно сопряжённых корней Zj = Re( Zj )+/'Im(z/):

z, =-0,9055499544-jl,581306455, z4=z3, -z3 = -8,1141156107-10-2 - jO,3725006021, z5 = 1,9056374362 - jl,5814099917, z6=z5. Теперь можно записать выражение для т(к) и т{к) ввде (12) и (14), соответственно, где Р(х) и Р(х) есть различные сочетания сомножителей выражения (25).

Раскладывая в ряды Фурье фильтры т(к) и т{к), получим коэффициенты рк и рк.

Возможные варианты решений приведены на рис. 2. Здесь мы привели только некоторые из возможных решений для чётных и нечётных N. Отметим, что при фиксированном /Укласс возможных решений можно расширить, изменив вид функции/х), но при этом

увеличиваются носители вейвлета и его скейлинговой функции.

Рассмотрим теперь разложение сигналов по полученным базисам. На рис. 3 приведён модельный профиль фазы оптического сигнала (рис. 3, а) и его вейв-лет-разложение (рис. 3, б-д). В качестве базиса были выбраны вейвлеты, приведённые на рис. 1, а - число нулевых моментов 5 = 3, и на рис. 2, д - число нулевых моментов, равное 5 = 6. На рис. 3, б, в приводится вос-становлениесигналас компрессией для вейвлетас^ =6; рис. 3, б - 32 коэффициента из 256 и рис. 3, в - 128 коэффициента из 256. На рис. 3, г, ¿все то же для вейвлета с 5=3. Как и следовало ожидать, лучшее восстановление и лучшее сжатие сигнала (а, следовательно, и меньшее число коэффициентов в разложении) потребовалось для вейвлета с 5=6 с более высоким числом нулевых моментов.

СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. -1996. - Т. 166. - № 11. - С. 1145-1170.

2. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. — 1998. — Т. 53. — № 6. - С. 53-128.

3. Дрёмин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. -2001. - Т. 171.-№ 5. - С. 465-501.

4. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / Пер. с англ. Е.В. Мищенко. Под ред. А.П. Петрова. - М.: РХД, 2001.

5. Чуй К. Введение в вейвлеты / Пер. с англ. под. ред. Я.М. Жилейкина. - М.: Мир, 2001. - 372 с.

6. Исаев Ю.Н. Синтез вейвлет-базиса для анализа оптических сигналов. Ч. 1. Ортогональный базис // Оптика атмосферы и океана. - 2002. - Т. 15. -№ 11. -С. 974-981.

7. Исаев Ю.Н., Захарова Е.В. Синтез оптимального базиса для восстановления случайных волновых полей // Оптика атмосферы и океана - 1998 - Т. 11. - № 5. - С. 451-454.

8. DeVore R.A., Jawerth В., Lucier B.J. Image compression through wavelet transform coding // IEEE Transactions on Information Theory. - 1992. - V. 38. - № 2. -P. 719-746.