О диофантовых редуктах алгебр отношения татарского

маемых решений, так как распределение капитала между активами компаний, относящихся к различным странам, уменьшает риск (дисперсию поргф^пя). Доходности по пенным бумагам, относящимся к одной стране, могут быть более коррелированны, поэтому риск вложения в целом можно существенно уменьшить путем выбора компаний из различных стран.

Более того, в случае если интернациональная диверсификация разрешена, инвестиции осуществляются в иностранной валюте, и волатиль-ность обменного курса влияет на вариацию портфеля. Таким образом, дальнейшая модификация предложенного подхода, когда ставка обменного курса включена в рассмотрение, можег существенно улучшить применимость модели.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Малюгин В. И. Рынок ценных бумаг: количественные методы анализа. Минск,

2001.

2. Edwin J., Elton P., Martin J., Gruber T. Modem portfolio theory and investment analysis-6 ed. N.Y., 2003.

УДК 519.4

Д. А. Бредихин

О ДИОФАНТОВЫХ РЕДУКТАХ АЛГЕБР ОТНОШЕНИЯ ТАРСКОГО

Статья содержит обзор и новые результаты, касающиеся описания диофантовых редуктов алгебр отношений Тарского.

Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности Q операций над ними, образует алгебру (Ф, Q), называемую алгеброй отношений. Основы алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А. Тарского [1, 2]. Им были рассмотрены алгебры отношений вида (Ф, А, и, г\ , 0, U), где 1 - операции умножения и обращения отношений; и, n, ~ - булевы операции объединения, пересечения и дополнения; А, 0, U - тождественное, пустое и универсальное отношения, рассматриваемые как нульар-ные операции. Алгебра отношений (Ф, Q) называется редуктом алгебры

отношений Тарского, если Пс{о, Д, и, п, , 0, U}. Обзор некоторых результатов, посвященных редуктам алгебр отношений Тарского, можно найти в [3].

Операция над отношениями называется диофантовой [4], если она может быть задана с помощью формулы исчисления предикатов первого порядка с равенством, содержащей в своей записи лишь операцию конъюнкции и кванторы существования. К числу диофантовых операций алгебр

9

отношения Тарского относятся операции о, Д; п, Ьт. Мы сосредоточим свое внимание на редуктах с множеством операций О, удовлетворяющим условию {о} с С! с {о, А, г\ и}.

Обозначим через Я{П) класс алгебр, изоморфных алгебрам отношения с операциями из О. Пусть (){0.} - квазимногообразие и К{0} -многообразие, порожденное классом Л{Г2}, Перечислим ряд проблем, обычно рассматриваемых при изучении алгебр отношений:

(1) найти систему элементарных аксиом для класса ;

(2) выяснить, является ли класс Л{П} конечно аксиоматизируемым;

(3) выяснить, является ли класс квазимногообразием;

(4) найти базис квазитождеств квазимногообразия ;

(5) выяснить, является ли квазимногообразие Q{Щ конечно базируемым;

(6) выяснить, является ли квазимногообразие многообразием;

(1) найти базис тождеств многообразия У{0.};

(%) выяснить, является ли многообразие К {О} конечно базируемым.

В следующей таблице приводится сводка результатов, касающихся указанной проблематики [4 - 15], где символы +, - означают соответственно позитивное и негативное решения проблемы, а символ ? означает тот факт, что проблема остается открытой.

| Проблемы

j {.};{о.Д};{о,п} + + + + + + +

! S'\A! 9 - + ? - 7 7 ?

{», '};{«. А} + - + + - + +

! {о, п, Л} + - т + - - +

1 €/> ! + ? - + ? - + +

{", А, U} ? - ? +

-+ - + # + + +

{о, п, &.U] ? 7 7 ? 7

{о, {о, Д,U) ? - - 7 - - + -

{о, ~\n,U}; {о, п, Л,С/} 7 - - + - +

Ниже приводятся новые результаты, дающие решение проблем (7) и (8) для классов R\o, U} и R{°, ', А, U}.

Пусть х1,х2,...,х11 - переменные. Для любых двух различных натуральных чисел i,j<n положим [xi,xJ] = x,xM..jx/, если i<j, и [х(, xj ] = Х/'х'^.. , если i > j. Чередующейся последовательностью назо-

вем последовательность натуральных чисел (i],i2y...,x2m^), удовлетворяющую условиям iu <х2;Ы и iu <x2k+¡ для к = 1 ,...,т -1.

ТЕОРЕМА 1. Многообразие U) не является конечно бази-

руемым. Алгебра (А,-, '.и) типа (2,1,0) принадлежит многообразию V{°, ', U} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам:

(xy)z-x(yz), (х~[у'=х, = у~'х 1, и2 = и, и ' = и,

и для каждой чередующейся последовательности (il,i2,...,x2m_l) - тождеству u[x,,xj = u[xl,x. ][x¡i,xl2]...[x¡2m í,xl][x¡,xn], где и = шах{/l,i2,...,x2m_]).

ТЕОРЕМА 2. Многообразие V{°, A, U} не является конечно базируемым. Алгебра (А, •, й, и) типа (2,1,0,0) принадлежит многообразию A, U} тогда и только тогда, когда алгебра (А, и) принадлежит многообразию U} и выполняется тождество хе - ex = х.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. Vol. 6. P. 73 - 89.

2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1953. Vol. 18. P. 188 - 189.

3. Schein В. M. Representation of reducts of Tarski relation algebras /'/ Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. 1991. Vol. 54. P. 379 - 394.

4. Бредихин Д. А. Абстрактная характеристика некоторых классов алгебр бинарных отношений // Алгебра и теория чисел. Нальчик, 1977. Вып. 2. С. 3 - 19.

5. Bredikhin D. А., Schein В. М. Representations of ordered semigroups and lattices by binary relations // Colloq. Math. 1978. Vol. 49. P. 2 - 12.

6. Bredikhin D. A. On relation algebras with general superpositions // Coll. Math. Soc. J. Bolyai. 1991. Vol. 54. P. Ill - 124.

7. Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. вузов. Сер. Математика. 1993. X? 3. С. 23 30.

8. Andreka Н., Bredikhin D. A. The equational theory of union-free algebras of relations // Alg. Univers. 1994. Vol. 33. P. 516 - 532.

9. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовами операциями // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38. С. 29-41.

10. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыви операциями // Докл. РАН, 1998. Т. 360. С. 594 - 595.

11. Бредихин Д. А. О редуктах алгебр отношений Тарского // Алгебра и логика. 1998. № 1.С. 3- 16.

12. Bredikhin D.A. On classes of Omega-semigroups // Semigroups with Applications, Including Semigroup Rings / St.-Petersburg State University of Technology. St.-Petersburg, 1999. P. 59 - 62.

13. Бредихин Д. А. ¿/-полугруппы отношения // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. № 1. С. 51 - 56.

14. Haiman М. Arguesian lattices are not tvpe I // Alg. Univers. 1991. Vol. 28. P. 191-199.

15. Schein В. M. Representation of involuted semigroups by binary relations // Fundamenta Math. 1974. Vol. 82. P. 121 - 141.