Эффективная компрессия сигналов на основе дельтапреобразований в условиях априорно неопределённых возмущений по амплитуде

• регистрация и анализ соматосенсорных, акустических, зрительных вызванных потенциалов, в том числе и на основе шахматного паттерна;

• анализ жевательной и мимической ЭМГ.

В прикладной программе реализован принцип модульности, суть которого в том, что каждая методика представляет собой отдельную программу. Имеется дизайнер методик, разработанный таким образом, чтобы каждый пользователь смог самостоятельно создать свою программу по реализации какой-либо методики, если ее нет в базовой версии прикладной программы.

К.А. Бай, А.С. Шульга

ЭФФЕКТИВНАЯ КОМПРЕССИЯ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ДЕЛЬТАПРЕОБРАЗОВАНИЙ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНО НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПО АМПЛИТУДЕ

В настоящее время современная медицина оснащается быстродействующими компактными системами дистанционного мониторинга физиологических сигналов реального времени и холтеровскими регистраторами. Эти системы широко распространены в диагностике состояния здоровья пациентов и научных исследованиях разных областей медицины. Функционирование этих систем заключается в записи разнообразных биомедицинских сигналов, их математическом анализе и интерпретации результатов анализа. При проведении длительных (суточных) исследований наиболее удобны портативные регистраторы, осуществляющие сохранение биомедицинских данных во внутренних блоках памяти или передачу данных посредством радиоканала. Данные регистрируемых биомедицинских сигналов могут занимать значительные объемы памяти. В связи с этим актуальной задачей является программная компрессия биомедицинских сигналов, позволяющая повысить эффективность и снизить стоимость диагностических комплексов.

К алгоритму компрессии биомедицинских сигналов предъявляют следующий ряд требований: алгоритм компрессии должен обеспечивать заданную высокую точность представления сигнала (для обеспечения работы в реальном времени трудоёмкость должна быть низкой, так как упаковка должна выполняться наряду с регистрацией данных); трудоёмкость алгоритма декомпрессии должна быть значительно меньше компонент системы, обеспечивающих цифровую обработку и отображение сигнала.

В данной статье приводится алгоритм компрессии биомедицинских сигналов на основе теории дельта-преобразований второго порядка в условиях возможных априорно неопределённых возмущений по амплитуде сигнала. Показано, что данный алгоритм теоретически отвечает всем необходимым требованиям.

Проблемы эффективной компрессии

Алгоритмы сжатия сигнала подразделяются на алгоритмы кодирования без потерь и с потерями некоторых данных. Кодирование без потерь осуществляется за счет избыточности исходных данных и позволяет полностью восстановить исходный сигнал. Кодирование с потерями имеет более высокий коэффициент сжатия, но восстановленный сигнал не идентичен исходному [7,8].

Экспериментально было установлено, что согласно теореме Шеннона, статистические методы компрессии без потерь на практике не позволяют сжимать биомедицинские сигналы более чем в два раза.

На сегодняшний день широко распространены частотные методы компрессии сигналов с потерями качества. Наиболее популярны из них - дискретное косинусное преобразование и дискретное вейвлет-преобразование.

В частотных методах качество компрессии оценивается соотношением сигнал/шум, а не на основе анализа амплитудного порога точности, что делает алгоритмы малопривлекательными для использования в биомедицинских системах.

Среди адаптивных методов компрессии сигнала наибольший практический интерес представляют апертурные методы, осуществляющие контроль абсолютной ошибки при определении избыточных отсчетов и выборе существенных, т.е. передаваемых ординат. Принцип их действия заключается в последовательном продвижении по дискретным регулярным отсчетам до некоторого п-го отсчета, в котором отклонение аппроксимированной ординаты от исходной превышает некоторое значение, задаваемое апертурой d. Апертурная аппроксимация сигнала может быть реализована также путем сравнения отсчетов сигнала с его представлением алгебраическими полиномами [7].

Среди методов компрессии с потерями можно выделить группу алгоритмов, основанных на дельта-преобразованиях второго порядка [1]. Эти алгоритмы не требуют значительных вычислительных ресурсов и позволяют эффективно компрессировать электрокардиографические и электроэнцефалографические данные, сохраняя качество упакованных данных в соответствии с международным стандартом передачи цифровых электрокардиограмм SCP-ECG.

Анализ существующих методов компрессии показал, что статистические методы не обеспечивают удовлетворительной степени сжатия, а частотные методы принципиально ориентированы в оценке качества сжатия сигнала на соотношение сигнал/шум, а не на оценку погрешности по амплитуде. Апертурные методы компрессии не эффективны для применения к сигналам хаотической структуры. Таким образом, оптимальным решением проблемы компрессии биомедицинских сигналов с гарантированной точностью является сжатие на основе дельта-преобразований второго порядка.

Метод дельта-преобразования на основе двойного интегрирования освещался в работах Венедиктова, Меньшикова, Стила, Козыревой, Шилейко. Однако алгоритмы, описанные этими авторами, характеризуются неустойчивостью и сильными колебаниями ошибки. Некоторое улучшение стабильности, путем введения прогноза на несколько шагов вперед, обеспечивается только в установившемся процессе [3].

В теории оптимизированных дельта-преобразований второго порядка Кравченко П.П. показано, каким образом на основе модулирующей функции могут быть построены алгоритмы, обеспечивающие минимизацию длительности переходного процесса и минимизацию ошибки в установившемся процессе при наихудших воздействиях [1].

Исследования в этой области привели к появлению двух основных типов алгоритмов компрессии:

• алгоритмы с прогнозированием;

• адаптивные алгоритмы без прогнозирования.

Компрессия на основе дельта-преобразований второго порядка

Алгоритмы компрессии сигналов на основе дельта-преобразований второго порядка можно разбить на две основные группы: алгоритмы с прогнозированием и адаптивные алгоритмы без прогнозирования.

Каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки в зависимости от типа компрессируемого сигнала, а так же его частотных и временных показателей.

Очевидно, что в общем случае алгоритмы с прогнозированием более эффективны при упаковке предварительно сохранённых сигналов, но не применимы в условиях реального съёма. Аналогично, адаптивные алгоритмы дают удовлетво-

рительные результаты при мониторинге, но не являются оптимальными при использовании в постреальном времени. Рассмотрим более подробно второй случай.

В разработанной ранее теории оптимизированных дельта-преобразований второго порядка описаны основные принципы компрессии. Компрессия сигнала производится на основе алгоритма модуляции, декомпрессия - алгоритма демодуляции. Исходный сигнал описывается аппроксимирующей функцией, для восстановления которой достаточно сохранить начальные значения У0, V У0, с и поток

дельта-бит А = {, А2,..., Аы }. В результате, для восстановления одного отсчета исходного сигнала, достаточно значения Аг (1 бит).

В теории оптимизированных дельта-преобразований второго порядка вычислено максимальное значение ошибки в установившемся процессе и длительность переходного процесса для произвольного значения величины кванта модуляции. Там же показано, что чем меньше длительность переходного процесса, тем выше значение ошибки в установившемся процессе. Для одновременного уменьшения длительности переходного процесса и значения ошибки установившегося процесса можно использовать дополнительно достроенные отсчеты сигнала (такая операция называется “учащение”). Вводя необходимое количество дополнительных отсчетов, можно добиться необходимых характеристик точности [3].

Повышение эффективности компрессии

Анализ способов повышения эффективности компрессии

Основа предлагаемого метода состоит в том, что, опираясь на математический аппарат оптимизированных дельта-преобразований второго порядка, строится аппроксимирующая функция, проходящая с гарантированной точностью через отсчёты исходного сигнала. Эта функция является кусочно-заданной, непрерывной, с непрерывной первой производной и для каждого интервала между парами смежных отсчётов [^., ] исходного сигнала имеет вид

. а  Аt2

Уг+1 = Уг + У г А +—^~,

где уг - значение аппроксимирующей функции в левой точке tг аппроксимирующей функции; уг+1 - значение аппроксимирующей функции в правой точке ti+l аппроксимирующей функции; уг - значение первой производной аппроксимирующей функции в точке ti; а - величина кванта модуляции (модуль второй производной аппроксимирующей функции); Аt - шаг дискретизации исходного сигнала.

Для повышения эффективности аппроксимирующей функции используется теоретическое увеличение частоты дискретизации

гг Аt

Vt = —,

п

где Vt - шаг дискретизации аппроксимирующей функции; п - коэффициент учащения.

Тогда аппроксимирующая функция между парой смежных отсчётов исходного [, ti+l ] сигнала будет состоять из п фрагментов и может быть представлена системой уравнений:

У 3 = ^ А 3

уз = у3-1 + У3  Vt = уз-1 + а  Vt  А3

• V2 . ^ а  Vt2 .

уз = уз -'+ уз  ™ + ~т~ = 3 + уз + — 'А 3 ,

где у - вторая производная в) -точке аппроксимирующей функции на рассмат-

”3

риваемом интервале; А . _ квант модуляции на ]-шаге аппроксимации рассматриваемого интервала; у у - первые производные в текущей и предыдущей

Г3 " 3 -1

точках аппроксимирующей функции на рассматриваемом интервале; vt _ шаг дискретизации аппроксимирующей функции; у . у .— - значения аппроксимирующей функции в текущей и предыдущей точках.

Из системы (3) видно, что аппроксимирующая функция между парой отсчётов исходного сигнала для своего сохранения требует п бит. Следовательно, повышения эффективности компрессии можно добиться, снижая коэффициент учащения. Результатом снижения коэффициента п является увеличение погрешности аппроксимации. Её можно избежать, производя адаптацию основных параметров системы (3) к изменениям компрессируемого сигнала. Теоретически можно показать, что в качестве простейшего критерия адаптации можно взять соотношение (4):

а^ VI2 , „

—— = kErrmax,

где а - величина кванта модуляции (модуль второй производной аппроксимирующей; Vt - шаг дискретизации аппроксимирующей функции; к - некоторый весовой коэффициент; Еггтах - порог точности алгоритма.

Поворот аппроксимирующей функции

При построении аппроксимирующей функции (АФ) на переходном процессе важную роль играет оценка динамики изменения сигнала и получение на начальном этапе аппроксимации наиболее оптимальной первой производной.

На протяжении всего модулируемого интервала аппроксимирующая функция возрастала, из чего можно заключить, что при другом, более соответствующем

(2) •

значении уг, (а для данного случая уг > уг), аппроксимирующая функция

пройдёт в окрестностях модулируемой точки. В качестве способа модификации первой производной можно выбрать перерасчёт первой производной на основании разности абсцисс, полученной обычным способом (3) (г+1)-точки и исходной г-точки аппроксимирующей функции. Это сделает возможным восстановление сигнала без сохранения дополнительной информации

Аt

Примечание: здесь и далее для удобства представления номер итерации, после которой получено рассматриваемое значение, будет указываться слева сверху соответствующей переменной в круглых скобках.

Рис.1. Оценка динамики изменения сигнала и приращение аппроксимирующей функции, где tt; ti+1 - временные границы рассматриваемого интервала

исходного сигнала; Yt, Y+i - значения отсчётов исходного сигнала в моменты

времени tt и ti+i; yt - значение аппроксимирующей функции в момент времени

tt; (1) yi +1,(2)у+i - значения аппроксимирующей функции в момент времени ti+i

для первой и второй итераций; (1) у. ,(2) у. - первые производные в начальной

точке аппроксимирующей функции для первой и второй итераций; Err -максимально допустимая ошибка модуляции.

Этим достигается приближение первой производной в начальной точке интервала к оптимальной и осуществляется поворот аппроксимирующей функции в сторону целевой точки.

Произвольное количество поворотов аппроксимирующей функции В общем случае, для описания более крутых переходных процессов, можно использовать не две, а произвольное количество m итераций аппроксимации

(») у - (1) у

О) • =—Ум-----------У^

г М

Тогда аппроксимирующая функция (1) для т итераций примет вид

(т) -а а  М

где т = 0,1,2,...

Расчёт количества поворотов аппроксимирующей функции.

Формулу (7) целесообразно использовать как критерий выбора количества итераций т

» =—МГ

а М

Рис.2. Поведение аппроксимирующей функции при нескольких итерациях аппроксимации, где ti; - временные границы рассматриваемого интервала

исходного сигнала; у, - значение аппроксимирующей функции в момент времени

ti; (1)у+ ,(2)уг+1,(т)ум - значения аппроксимирующей функции в момент

времени ti+1 для первой и второй и т итераций; (1) Уi ,(2)уг- ,(т)уг- - первые

производные в начальной точке аппроксимирующей функции для первой и второй

итераций

Тогда для получения оптимальной первой производной количество итераций можно вычислить по формуле:

т =

2

(

а • At

(т) Уг+1 + тУ,

у -(1)У

1 i + 2 У,

At

Примечание: законы (8) и (9) позволяют оптимизировать следующий шаг построения аппроксимирующей функции на отрезке [^.+1, ti+2 ], что делает компрессию более эффективной. Они дают возможность прогнозировать коэффициент компрессии на следующем шагу.

Для реализации алгоритма компрессии требуется вычисление количества поворотов аппроксимирующей функции в интервале между двумя смежными отсчётами исходного сигнала [, ti+1 ]. Минимальное количество поворотов можно

вычислить, предположив, что все дельта-биты рассматриваемого фрагмента имеют один знак.

Пусть А . = А .+г = +1. Тогда для расчёта т получаем уравнение

Л

т = 1П

-1 + у - У, - у •At'] +1 Егг

J +1,

где т - количество поворотов аппроксимирующей функции; п - коэффициент учащения; гг - ошибка аппроксимации; At - шаг дискретизации исходного сиг-

нала; Yi - значения исходного сигнала в левой точке ti; yi - значения аппроксимирующей функции в точке ti аппроксимирующей функции; yi - значение первой производной аппроксимирующей функции в левой точке ti аппроксимирующей функции; Err - максимально допустимая ошибка модуляции.

Откуда, в связи с тем, что m - целое число, можно вычислить п, причём, как показывают экспериментальные исследования, п будет небольшим.

Объединив представленные выкладки, можно вывести систему, описывающую принцип адаптации аппроксимирующей функции к изменениям исходного сигнала:

a=

Vi-2 - V.

i-1

a At2

At

= Err

m = —і-—— At! E(ni-1, A i-1) m = int(m) +1

i -1

At

где m - количество поворотов аппроксимирующей функции; n - коэффициент учащения; Err - максимально допустимая ошибка модуляции;

7TV A 4 Err f. ~ ^ f . 1Л ^

E (n, -1,A, -1) =

n

k=1

2

а - величина кванта модуляции; At - шаг дискретизации исходного сигнала; yi -значения аппроксимирующей функции в точке t i аппроксимирующей функции; yi - значение первой производной аппроксимирующей функции в левой точке t i

аппроксимирующей функции.

Описанный метод адаптации позволяет аналитически рассчитать наиболее эффективные значения для основных параметров аппроксимирующей функции, такие как коэффициент учащения, величину кванта модуляции, шаг дискретизации и количество поворотов аппроксимирующей функции.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кравченко П.П. Основы теории оптимизированных дельта-преобразований второго порядка. Цифровое управление, сжатие и параллельная обработка информации. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1997.

2. А. Костин, Ю. Балашов. Проектирование устройств первичной обработки электрокардиосигнала для дистанционного мониторинга. Chip News. 2003. - № 8. - С. 46-50.

3. Бай К.А. Разработка алгоритмов компрессии биомедицинских сигналов с использованием дельта-преобразований второго порядка. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003.

4. Daubechies I, Sweldens W. Factoring Wavelet Transforms into lifting Steps. Technical Report. Bell laboratories, lucent Technologies. 1996. P. 27.

5. Кардиомониторы // Барановский АЛ., Калиниченко А.Н., Манило Л.А. и др. Аппаратура непрерывного контроля ЭКГ: Учеб. пособие для вузов / Под ред. А. Л. Барановского и А.П. Немирко. - М.: Радио и связь, 1993. - 248с.

2

6. Zigel Y. Cohen A. On the Optimal Distortion Measure for ECG Compression. EMBEC99. Vienna, Nov. 1999 P. 1618-1619.

К.А. Бай, А.С. Шульга

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АЛГОРИТМОВ КОМПРЕССИИ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В УСЛОВИЯХ АПРИОРНО НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПО

АМПЛИТУДЕ

Одним из эффективных решений при компрессии биомедицинских сигналов является использование метода дельта-преобразований второго порядка с гарантированной высокой точностью [1].

Компрессия в алгоритмах, основанных на дельта-преобразованиях второго порядка, осуществляется посредством построения аппроксимирующей функции, проходящей в окрестностях отсчётов исходного сигнала. Сжатие достигается за счёт того, что хранение данных, необходимых для восстановления аппроксимирующей функции требует меньших объёмов памяти, чем исходный сигнал.

В настоящее время разработан ряд алгоритмов компрессии на основе дельтапреобразований второго порядка [1]. Алгоритмы можно разделить на две группы: адаптивные и неадаптивные. На практике неадаптивные алгоритмы не дают высоких показателей сжатия в случае с биомедицинскими сигналами. Адаптивные алгоритмы способны изменять свои внутренние параметры на основе анализа предыстории (предшествующего поведения) сигнала. Эта особенность позволяет повысить эффективность компрессии. В данной статье приведены некоторые теоретические основы, необходимые для синтеза эффективного адаптивного алгоритма компрессии биомедицинских сигналов на основе дельта-преобразований второго порядка.

Особенности построения аппроксимирующей функции

Процесс сжатия на основе дельта-преобразований второго порядка происходит поотсчётно. Рассмотрим более подробно этот процесс между двумя смежными отсчётами исходного сигнала. Система уравнений, описывающая состояние аппроксимирующей функции для текущего шага аппроксимации, имеет вид

у} = а- А;

у] = у] - + а- V*- А ] ,

^ а-V*2

Уг = Уу-1 + Уу-1 + ^—

где У у - вторая производная в у-точке аппроксимирующей функции на рассмат-

А у •

риваемом интервале; 1 - квант модуляции на •-шаге аппроксимации рассматри-

ваемого интервала; у , у  -1 - первые производные в текущей и предыдущей точках аппроксимирующей функции на рассматриваемом интервале; V* - шаг дискретизации аппроксимирующей функции; у у , у у-1 - значения аппроксимирующей функции в текущей и предыдущей точках; п - коэффициент учащения аппроксимирующей функции.