Характеристика методологических умений студентов педвуза в решении математических учебно-исследовательских задач

УДК 51 (07) ББК Ч 481.2

Черемных Елена Леонидовна преподаватель г. Пермь Cheremnykh Elena Leonidovna

Lecturer Perm

Характеристики методологических умений студентов педвуза в решении математических учебно-исследовательских задач Characteristics of methodological skills pedagogical university students in solving mathematical training and research tasks

Раскрываются содержание, основная структура понятия «методологические умения в обучении математике». Рассматриваются роль, особенности формирования и диагностики указанных умений в предметной подготовке будущих учителей математики. Приводятся результаты экспериментального исследования значимости методологических умений в процессе решения студентами задач исследовательского характера.

The article disclosed the content and basic structure of «methodological skills in teaching math». We consider the role, particularly the formation and diagnosis of these skills in preparing future teachers of mathematics. The results of the pilot research the significance of methodological skills in the process of solving research character tasks by students are presented.

Ключевые слова: обучение математике, методологические умения, методика преподавания.

Key words: math teaching, methodological skills, teaching methods.

Модернизация высшего образования, осуществляемая с учетом динамичных социально-экономических изменений в стране и современных международных требований к системе и качеству подготовки выпускников, предполагает такую организацию обучения, при которой студент сам выстраивает траекторию своего профессионально-личностного развития, овладевает необходимыми ком-

петенциями. В структуре последних важное место принадлежит методологическим умениям, которые в дидактике понимаются как операциональный компонент знаний об универсальных, обобщенных способах познания, деятельности, методах науки (И. Я. Лернер, Н. М. Зверева, Л. Я. Зорина, А. А. Касьян и др.). Особенности и компонентный состав соответствующих умений в обучении математике во многом определяются ее предметной сущностью, богатством приложений в науке и практике, высоким уровнем требований к мышлению человека.

Предварительные констатирующие исследования показали, что в обучении математике не всегда создаются условия для комплексной реализации методологических умений и осознанного их применения обучающимися. Хорошо зная методы и их суть, студенты часто не могут их актуализировать и применить в конкретной ситуации, выбрать наиболее рациональные пути достижения цели, осуществить перевод содержания текста с символьного на естественный язык и обратно, сформулировать и проверить гипотезу и др. Тестовые и традиционные формы академического контроля, как правило, не позволяют преподавателю и студенту в полной мере диагностировать уровень соответствующих умений и причины возникающих проблем при их применении на практике. Преодоление указанных трудностей может быть связано с поиском рациональных методов и форм реализации методологической составляющей обучения, которые позволили ли бы преподавателю вуза в условиях дефицита аудиторного времени органично встраивать их в собственную методическую систему; обеспечивали бы полноту формируемого комплекса умений с учетом их естественной взаимосвязи, регулярную систематизацию и рефлексию изучаемого на уровне методов деятельности, постепенное увеличение доли активной самостоятельной работы студентов (различных видов и уровней сложности).

Формирование и развитие методологических умений в процессе вузовской математической подготовки предполагает обретение ими свойств системности, интегрированной целостности как универсального ядра профессионально-предметных компетенций будущего специалиста, его культуры мышления, творческих способностей, математического мировоззрения [2, 5, 6, 7]. Значимость этого

компонента в структуре качеств выпускника педвуза определяется также проецированием рассматриваемых умений на будущую профессиональную деятельность во всем многообразии их дидактических функций: формирования универсальных учебных действий (проект Стандарта общего образования, 2006 г.) у школьников средствами образовательной области «математика», повышения качества ее изучения и связанных с ней других предметов, развития мышления учащихся, их представлений о роли математики в окружающем мире и др.

На основе изучения подходов к выделению методологических компонентов содержания образования, в том числе математического (В. И. Данилова [1], А. Л. Жохов [2], Л. В. Лободина [3], Е. Г. Плотникова, Ю. Ф. Фоминых [6], М. В. Шабанова [7] и др.), а также с учетом идей концепции структурно-количественного анализа процессов и систем (И. Д. Пехлецкий [4]) представляется целесообразным определить содержание понятия «методологические умения в обучении математике» как умения, связанные с овладением системой математических методов, процедур и алгоритмов, способов рациональной самоорганизации познавательной и коммуникативной деятельности в процессе изучения математики.

В комплексе таких умений можно выделить пять блоков, отражающих базовые методологические компоненты содержания математического образования. Первый блок - предметно-теоретический - включает умения, характеризующие владение общематематическими и специфическими для конкретных математических дисциплин методами, в том числе способами рассуждений, построения доказательств, алгоритмов и др. Второй блок - предметно-прикладной - составляют умения математического (знаково-символического, графического, геометрического и др. видов) моделирования различных процессов и явлений. Третий блок - общеметодологический - задают умения общенаучного и философско-рефлексивного уровня, выделяемые в процессе математической деятельности. Они связаны с овладением универсальными методами познания и преобразования действительности, в том числе методами построения классических видов формально-логических умозаключений (индукцией, аналогией,

рекурсией и др.). Отдельный блок составляют умения самоорганизации учебно-познавательной (анализ, планирование, поиск математической информации и т. д.) и умственной (владение приемами стимулирования, самоанализа рассуждений и т. п.) деятельности в процессе изучения математики. Пятый блок включает имеющие особую значимость для подготовки будущего учителя коммуникативные умения, формируемые в процессе изучения математики, подразумевающие владение математическими языком и речью (устной и письменной) как специфическими способами коммуникации, использование и преобразование системы знаково-символических средств математики для передачи математической информации.

С учетом современных подходов к построению образовательного процесса (личностно-ориентированный, системно-деятельностный, компетентностный) нами были разработаны приемы формирования и диагностического контроля методологических умений студентов, апробированные нами в течение двух лет в Пермском педагогическом университете при обучении математическому анализу студентов 3-4 курсов математического факультета. Из них были выделены две группы - экспериментальная (Э, N=31) и контрольная (К, N=38), - для которых не было выявлено достоверных различий по показателям общего уровня развития интеллекта, успеваемости по математическому анализу, уровню общематематической подготовки (средний балл академической успеваемости по всем математическим дисциплинам за четыре предыдущих семестра).

Изучение указанной дисциплины для экспериментальных групп предполагало наряду с традиционными средствами и формами обучения (рассмотрение на лекциях и практических занятиях общих схем математических методов, их приложений, в том числе характерных для математического анализа, на основе подобранного банка заданий обучение общим приемам работы над задачей, теоремой, понятием, текстом, методам поиска содержательной гипотезы, приемам математического моделирования; формирование коммуникативных умений при работе в парах и малых группах, комментировании у доски, написании резюме и др.) использование рефлексивно-обобщающих приемов (составление пла-

на-решения задачи, предусматривающего обязательное выделение студентами основных этапов решения, подробное описание составления математической модели, указание того, в каком виде должен быть получен ответ и как его можно интерпретировать в условиях задачи; актуализация студентами известных им универсальных эвристик, способов рассуждений с иллюстрацией применения на собственных конкретных примерах и самостоятельное обобщение их в виде математико-методологических схем).

Особая роль формирования методологических умений в подготовке будущего учителя обеспечивалась спецификой содержания учебного материала, относящегося к теоретическим и прикладным аспектам различных понятий математического анализа, отраженных в школьном курсе математики.

Обучение названным умениям в контрольной группе осуществлялось преимущественно традиционными способами и формами работы и не предусматривало реализацию рефлексивно-обобщающего компонента.

В конце каждого года экспериментального обучения проводилась контрольная диагностика, предполагавшая проверку его эффективности и выявление качества сформированности методологических умений студентов. При разработке технологии диагностики были учтены основные положения системно-деятель-ностного и личностно-ориентированного подходов: обеспечение мотивациии деятельности и личной активности участников эксперимента; соответствие характера деятельности специфике контролируемых умений; измерение всех основных компонентов системы рассматриваемых умений или получение интегрированных показателей, отражающих в комплексе их сформированность; оказание целесообразной педагогической поддержки, позволяющей нивелировать ряд факторов, которые могут оказать существенное влияние на итоговый результат работы (психо-эмоциональное состояние, интеллектуальные способности, уровень математической подготовки и т. д.).

Охарактеризуем кратко суть технологии проведения контрольной диагностики: в ситуации итоговых испытаний (зачета или экзамена) по математическому анализу студентам предлагалась для решения учебно-исследовательская за-

дача теоретического (прикладного) характера, не рассматривавшаяся ими ранее в учебной практике и не имеющая известного им алгоритма получения ответа. Студенты могли обратиться за помощью к преподавателю в любой момент работы над задачей, при этом количество оказанной помощи, как и общее время решения, фиксировались в индивидуальном протоколе каждого студента и учитывались при выставлении зачета (или итоговой экзаменационной оценки).

В качестве основных показателей уровня владения студентами методологическими умениями выступили следующие:

1) тип предпочитаемой (эффективной, полученной) помощи: помощь методологического характера (М) имела целью напомнить студентам общие принципы работы над задачей, помочь им в поиске содержательной гипотезы ее решения посредством указания на метод рассуждений (без раскрытия сути его применения). Помощь конкретно-содержательного («технического») характера (Т) раскрывала способ решения задачи. Она могла быть различной: указание на ошибки, сообщение фактических этапов, действий и даже осуществление части решения самим преподавателем.

2) количественная мера полученной помощи каждого типа, преобразующая в доступную контролю и измерению форму глубоко скрытые свойства личности и систему знаний, умений, навыков, помогающих человеку справиться с заданием. При этом, чем больше сообщалось информации и чем более конкретной по содержанию она была, тем «дороже» становилась помощь, поэтому перед студентами возникала проблема «экономного» использования предоставленной им возможности обращения к преподавателю;

3) интегральная оценка успешности решения задачи (ОЦ): в процессе обработки данных эксперимента письменные работы студентов были оценены независимым экспертом по 5-балльной шкале (с точностью до десятых долей балла) с учетом правильности и полноты выполнения задания за отведенное время, независимо от того, использовал студент в своей работе помощь преподавателя или нет. Этот показатель рассматривался в качестве интегральной оценки успешности решения задачи.

Естественно предполагать, что осознание ценности помощи и ее эффективность в достижении успешности должны быть ярче выражены у тех студентов, которые владеют более богатым арсеналом методологических средств и методов умственной деятельности. Но как сравнить группы по эффективности работы над задачей? Как выявить меру влияния уровня сформированности методологических умений на конечный результат? На практике ответить на эти вопросы оказывается непросто, поскольку такие умения относятся к глубоким внутренним образованиям личности, представляя собой определенную систему мыслительных качеств, внешние проявления которых скрыты многими другими психолого-педагогическими факторами (особенности свойств нервной системы человека, его эмоционально-волевые качества, уровень развития интеллектуальных способностей, и др.).

В ходе поиска ответов на данные вопросы нами было выдвинуто предположение, что указанное различие должно найти отражение, например, в различии для данных групп взаимосвязей между количественными показателями полученной помощи и интегральной оценкой успешности решения задачи. Для выявления указанного различия был использован регрессионный анализ (с использованием программного пакета Statistica) основных показателей эксперимента, который позволил получить уравнения вида:

ОЦ = a + b*M + с*Т (1).

В нем коэффициенты a, b, c отражают меру влияния дефицита математико-методологических (М) и конкретно-содержательных (Т) умений на успешность (ОЦ) решения студентами задачи исследовательского характера; показатели М и Т представляют количественное выражение оказанной помощи соответствующего типа в единой метрической шкале от 0 до 1.

Для получения более полной информации о работе студентов над задачей применялись также качественный и математико-статистический анализ данных эксперимента на основе комплексного анализа следующих характеристик: усредненный для группы показатель количества полученной помощи каждого типа, преобладающий, предпочитаемый студентами в группе тип помощи и тип эф-

фективной помощи, который позволял студенту существенно продвинуться в решении задачи, соотношение количества студентов в группе обращавшихся и не обращавшихся за помощью, соотношение количества студентов в группе, для которых методологическая помощь была эффективной и неэффективной, степень удовлетворенности студентов работой на экзамене.

Приведем основные результаты контрольной диагностики, проведенной после первого года экспериментального обучения. Значение критерия Колмогорова-Смирнова при заданном уровне значимости р=0,05 не дает оснований опровергнуть гипотезу о нормальном распределении основных показателей эксперимента. Однако для некоторых из них не было обнаружено равенство соответствующих дисперсий в контрольной и экспериментальной группах. Поэтому для выявления достоверности различий наряду с критерием Стьюдента использовались критерии Манна-Уитни и Фишера. Согласно им, студенты двух групп оказались достоверно (р<0,05) различимыми по показателям, характеризующим их обращение за методологической помощью, успешность выполнения задания и успеваемость по математическим дисциплинам в текущем семестре (см. таблицу).

Таблица

Средние значения некоторых показателей для групп Э и Г

КМ М МО оц АН ГЕОМ

Группа Э 1,00 0,19 0,15 4,03 3,94 3,87

Группа К 1,79 0,34 0,55 3,32 3,42 3,34

КМ - количество обращений за методологической помощью; М - величина методологической помощи (шкала 0-1); МО - величина оказанной методологической помощи организационного характера (шкала 0-1); АН - успеваемость по математическому анализу, ГЕОМ - успеваемость по геометрии.

Как видно из таблицы, студенты контрольной группы обращались за методологической помощью больше, чем студенты экспериментальной, имели более низкую успеваемость по математике (усредненная оценка итоговой контроль-

ной работы и теоретической части), успешность выполнения задания студентами данной группы оказалась значительно ниже, чем студентами экспериментальной.

Регрессионное уравнение вида (1), полученное для экспериментальной группы, свидетельствует, что оказание студентам помощи методологического характера явилось важным фактором, влияющим на успешность решения ими задачи: коэффициент при показателе М превосходит коэффициенты при показателе Т:

ОЦ=4,83-2,21*М-1,64*Т, R=0,69, p<0,05.

Знаком * выделены статистически значимые коэффициенты регрессионного уравнения. Структура взаимосвязей в уравнении говорит о том, что студенты, испытывавшие дефицит знаний методологического характера и вынужденные получать больше (в количественном выражении) помощи данного типа, имели более низкую успешность выполнения задания по сравнению со своими товарищами, не обращавшимися или мало обращавшимися за методологической помощью, и, очевидно, отличавшимися более высоким уровнем сформированности соответствующих умений.

В контрольной группе умение эффективно использовать помощь данного типа позволяло студентам добиваться большей успешности в решении задачи по сравнению с теми, кто предпочитал или был вынужден (в силу низкого уровня сформированности необходимых методологических умений) обращаться за конкретно-содержательной (технологической) помощью:

ОЦ=3,73+0,17М-1,47*Т, R=0,52, p<0,05.

Учитывая тот факт, что группы Э и К оказались статистически не различимы по оказанной им «технологической» помощи и различимыми - по методологической (студенты контрольной группы нуждались в ней больше), полученный выше результат можно интерпретировать как неумение студентов контрольной группы эффективно применить оказанную им методологическую помощь, вследствие чего она оказалась менее значимой для успешности решения задачи. В то же время соответствующий показатель имеет невысокий, но положитель-

ный коэффициент регрессии с интегральной оценкой выполнения задания, т. е. оказание студенту методологической помощи послужило фактором, пусть незначительного, но повышения успешности решения задачи.

Выводы, сделанные на основе результатов регрессионного анализа, были подтверждены и при анализе абсолютных величин диагностируемых показателей. Кроме того, по данным анкетирования после завершения лабораторного эксперимента студенты контрольной группы в большей степени были не удовлетворены своей работой и в большей мере испытывали усталость, чем студенты экспериментальной.

Таким образом, результаты контрольной диагностики подтверждают эффективность проведенного обучения с использованием рефлексивно-обобщающего компонента по повышению уровня владения студентами методологическими умениями и показывают их значимость в процессе решения задач с прикладным и теоретическим содержанием.

Библиографический список

1. Данилова, В. И. Дидактическое структурирование процесса обучения студентов в педагогическом вузе. Дис. ... канд. пед. наук [Текст] / В. И. Данилова. Пермь, 2003. - 204 с.

2. Жохов, А. Л. Научное мировоззрение в контексте духовного развития личности (образовательный аспект) [Текст] / А. Л. Жохов. - М.: ИСОМ, 2004. - 329 с.

3. Лободина, Л. В. Методика формирования системы методологических знаний учителя физики-информатики (на примере изучения образовательной области «Математика»): автореф. ... дис. канд. пед. наук [Текст] / Л. В. Лободина. Тамбов, 2004. - 19 с.

4. Пехлецкий, И. Д. Общая теория систем и анализ процесса обучения [Текст] / И. Д. Пехлецкий. - Пермь, 1976. - 120 с.

5. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб. пособие [Текст] / Под. ред. В. Д. Шадрикова. - М.: Гардарики, 2002 - 383 с.

6. Фоминых, Ю. Ф. Педагогика математики [Текст] / Ю. Ф. Фоминых, Е. Г. Плотникова. - Пермь: Изд-во Пермского ун-та, 2000. - 460 с.

7. Шабанова, М. В.Формирование методологических знаний при изучении математики в системе «Школа - ВУЗ»: дис. ... д-ра пед. наук [Текст] / М. В. Шабанова. - М., 2005. - 422 с.

Bibliography

1. Danilova, V. I. Didactic structuring the learning process of students in teacher training institution. Dissertation PhD, V. I. Danilova. Perm, 2003. - 204 p.

2. Zhohov, A. L. The scientific world outlook in the context of individual spiritual development (educational aspect) A. L. Zhohov. - Moscow. 2004. - 329 p.

3. Lobodina, L. V. The method of forming the system of methodological knowledge of teacher of physics and informatics (on instance of examining the educational field «Math»): autoreferat PhD / L. V. Lobodina, Tambov, 2004. - 19 p.

4. Pekhletski, I. D. The general theory of systems and the learning process analysis. I. D. Pekhletski. - Perm, 1976. - 120 p.

5. Training Teachers of Mathematics: Innovation: The learning manual / edited by V. D. Shadrikov - Moscow: Gardarika, 2002 - 383 p.

6. Fominykh, U. F. Pedagogy of Mathematics. / U. F. Fominykh, E. G. Plot-nikova. - Perm: Published by Perm State Pedagogical University.

7. Shabanova, M. V. Methodological knowledges formation in the study of mathematics in the system «School - university»: doctoral dissertation / M. V. Shabanova. - Moscow, 2005. - 422 p.