Дифракция сферической звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 131-137 Механика

УДК 539.3:534.26

Дифракция сферической звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием &

Л. А. Толоконников, Г. А. Родионова

Аннотация. Получено аналитическое решение задачи дифракции сферической звуковой волны на однородном упругом шаре с радиально-неоднородным покрытием.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий шар, неоднородное упругое покрытие.

Требуемые звукоотражающие свойства упругих тел могут быть получены с помощью неоднородных покрытий с определенными законами неоднородности. Задачи дифракции звуковых волн на однородных изотропных упругих цилиндрических телах с непрерывно-неоднородными покрытиями рассматривались в ряде работ [1-5]. В [6] осуществлено моделирование дискретно-слоистого покрытия упругого цилиндра радиально-неоднородным слоем. Дифракция звуковых волн на однородных изотропных упругих сферических телах с неоднородными покрытиями изучалась в [7, 8]. При этом падающая волна полагалась плоской. Однако аппроксимация реального первичного акустического поля плоской волной справедлива только тогда, когда расстояние от источника звука до рассеивателя много больше длины звуковой волны. Если источник находится вблизи рассеивателя, то приходится учитывать криволинейность фронта падающей волны.

Значительный интерес представляет изучение дифракции звуковых волн, излучаемых сферическими источниками. Кроме того, следует иметь в виду, что на достаточно большом расстоянии от тела любой источник звука, находящийся в ограниченном объеме, можно представить как центр, из которого расходятся сферические волны.

Характер дифракции сферической волны на теле качественно отличается от характера дифракции плоской волны. В случае дифракции плоской волны ее амплитуда не изменяется, а амплитуда рассеянной волны убывает по сферическому закону. Поэтому акустическая тень за препятствием, являющаяся результатом интерференции падающей и рассеянной волн,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

на некотором расстоянии от препятствия исчезает и, начиная с этого расстояния, акустическое поле является практически неискаженным. Если же падающая волна является сферической, то она является убывающей, как и рассеянная волна. Поэтому звуковая тень при дифракции сферической волны не исчезает.

В настоящей работе находится аналитическое решение задачи дифракции сферической монохроматической звуковой волны на сплошном упругом шаре с радиально-неоднородным упругим покрытием.

Рассмотрим изотропный однородный упругий шар радиуса го, материал которого характеризуется плотностью ро и упругими постоянными Ао и уо.

Шар имеет покрытие в виде неоднородного изотропного упругого слоя, внешний радиус которого равен ri. Полагаем, что модули упругости А и у материала неоднородного сферического слоя описываются дифференцируемыми функциями радиальной координаты r сферической системы координат r, в, р с началом в центре шара, а плотность р — непрерывной функцией координаты r.

Окружающая тело жидкость является идеальной. Ее невозмущенная плотность и скорость звука соответственно равны pi и с.

Пусть из внешнего пространства на шар падает сферическая звуковая волна, излучаемая точечным источником. Без ограничения общности будем полагать, что источник сферической волны расположен в точке с координатами (r = го, в0 = п).

Тогда в сферической системе координат r, в, р потенциал скоростей падающей волны запишется в виде

pi

Фо = A—

где A — амплитуда волны, к = и/с — волновое число в окружающей жидкости, и — круговая частота,

R = (r2 + r2 + 2rfo cos в)1/2.

В дальнейшем временной множитель е~гш1 будем опускать.

Определим отраженную от тела волну, а также найдем поля смещений в упругом шаре и неоднородном слое.

Распространение гармонических звуковых волн в идеальной жидкости описывается уравнением Гельмгольца [10]

ДФ(1) + к2Ф(1) = 0,

где Ф(1) = Фо + Фз, Фз — потенциал скоростей рассеянной волны.

При этом скорость частиц v и акустическое давление p в жидкости определяются по формулам: v = gradФ(1), p = гр1иФ(1).

Рассматриваемая дифракционная задача является осесимметричной. Рассеянное акустическое поле, волновые поля в однородном шаре и неоднородном покрытии не будут зависеть от сферической координаты р.

Сферическая волна (1) может быть представлена следующим разложением [9]:

~ ( in(kr)hn(kfo), r < го,

Фо = ibA^

n=o [ jn(kro)hn(kr), r > Го,

где Pn(cos в) — многочлен Лежандра порядка n, jn(x) — сферическая функция Бесселя порядка n, hn(x) — сферическая функция Ганкеля первого рода порядка n.

С учетом условий излучения на бесконечности функцию Ф5 будем искать в виде

те

ФДг,в) = ^] Anhn

n=0

Уравнения, описывающие распространение малых возмущений в упругом однородном шаре, в случае установившегося режима движения имеют вид [10]

ДФ

ДФ + k2 Ф = 0,

где Ф(2) и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения, k¡ = u/c¡ и kT = u/cT — волновые числа продольных и поперечных упругих волн, c¡ = л/(А2 + 2^2)/р2 и cT = л/^2/р2 — скорости продольных и поперечных волн соответственно.

При этом вектор смещения u(2) частиц упругого изотропного однородного шара определяется выражением

u(2) = gradФ(2) + го1Ф, ё1уФ = 0.

Так как рассматриваемая задача осесимметричная, то

Ф = Ф(г, в)е^,

где е<^ — единичный вектор оси р. Тогда векторное уравнение (5) сведется к одному скалярному уравнению относительно функции Ф(г, в), которое в в сферической системе координат имеет вид:

Дф+

V r2 sin2 в )

Учитывая условия ограниченности, функции Ф(2) и Ф, являющиеся решениями уравнений (4) и (6), будем искать в виде:

те

Ф

n=0

п

Ф

п=0

(8).

Распространение малых возмущений в упругом неоднородном сферическом слое описывается общими уравнениями движения сплошной среды [11].

Используя соотношения между компонентами тензора напряжений а^ и вектора смещения и в неоднородном упругом сферическом слое [11], запишем эти уравнения через компоненты вектора смещения и. В сферической системе координат для установившегося режима колебаний они имеют вид

[7]

д2ит дг2

+

Л' + 2-' +

2

г

дит + - д2ит + - ^ 0 дит + дг г2 д02 г2 д0

+

2Л

г

2(Л + 2-) 2 '

—-т^2- + Ш2р

ит

+ ctg 0^ + 1 (V -

г дг г г

Л + див

Ж

+

Л + - д2ив 1

дгд0 + г

Л + 3-

^ 0ив = 0,

+

д2ив + Л + 2- д2ив + / ' + 2-\ див + Л + 2- t 0див - дг2 г2 д02 I - г / дг г2 Cg д0

-I - +

г г2 8Ш2 0

Л + 2- 2 \ Л + - д2и - ш р)щ +--

.+1 дгд0 г

- +

2

дит

Ж

0,

где ит и щ — компоненты вектора смещения и в неоднородном слое, штрих означает дифференцирование по г.

Функции ит (г, 0) и ив(г, 0) будем искать в виде разложений:

>>т\ <х

иг М) = £ и1п

п=0 п=0

Коэффициенты Ап, Вп и Сп разложений (3), (7) и (8) и функции и1п(г) и и2п(г) из разложений (10) подлежат определению из граничных условий.

Граничные условия на внешней поверхности слоя заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательного напряжения. На внутренней поверхности слоя при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения. Имеем

г = г1 :

-гшит = уг,

ат

= -р, атв = 0,

г = г0 :

ит

иТ0),

ив

и

ат

а(°) а ТТ ,

атв

а,

(0) тв.

г

г

г

Здесь верхним индексом 0 отмечены компоненты вектора смещений и тензора напряжений в однородном шаре.

Подставляя выражения (10) в уравнения (7) и используя дифференциальное уравнение для многочлена Лежандра [12], получим следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций И1п(г) и И2п(г) для каждого п:

А„иП + £„иП + спи = 0, и„ =

где

Л I ап о \ л = ( Ьц Ь12 \ с = ( С11 с12 — 1 о а22 / — I Ь21 Ь22 ) — I С21 С22

ац = А + 2^, а22 =

Ь11 = А' + 2^' + 2(А + 2^)/г, Ь12 = -п(п + 1)(А + ^)/г,

Ь21 = (А + ^)/г, Ь22 = (г^' + 2^)/г,

с11рш2 + [2А'г - 2(А + 2^) - п(п + 1)^]/г2, с12 = п(п + 1)(А + 3^ - гА')/г2,

С21 = [г^' + 2(А + 2^)]/г2, С22Р^2 - [г^ + п(п + 1)(А + 2^)]/г2.

Из граничного условия равенства нормальных скоростей при г = Г1 находим коэффициенты выраженные через величины И1п(г1):

А = - Агк(-1)га(2та + 1)^га(кго)к^П(кг1) + шщ^п) п МП(кп) '

Штрихи означают дифференцирование по аргументу.

Из условий непрерывности составляющих вектора смещения при г = г0 находим коэффициенты и Сп, выраженные через величины И2п(г2).

Из оставшихся неиспользованными граничных условий получаем четыре краевых условия, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений

где

(АЛп,ига + ЕЛп,ига)г=Г1 — D-Лra, (А4п,ига + -Лп,и«,)г=го = °

2А + ^2Р1^п(кг) - А +1) —га = ( г кЛ,П(кг) г

П = ^ __ 0 Л = /7п /12

^ — I (кг^Х^) ' V1 , ^ = /21 /22

/11 — {2А + [а„Ь„ + с„,?га(к г)]д-1}г-1,

/12 — -{Ап(п + 1) + [Ь„п(п + 1);п(кг г) + с„ (кгг)]^-1}г-1,

/21 — ^{г-1 + + еп,ь(кг г)]^-1},

/22 — -^{г-1 + + 1);'п(кг г) + е^г^ (кг г)]^-1},

Ьп = (Л + 2-)к2г2?п(кгг) + 2Лкгг^п(кгг) - Лп(п + 1).ъ(кг), Сп = п(п + 1)[(Л + 2-);'п(кгг) - 2-ктг^к-г)], Пп = 2[кУп(кьг) - г-1;п(кг)]г-1, еп = [2 - п(п + 1)];'п(Атг)г-2 - ^(ктг).

Краевая задача (11), (12) может быть решена каким-либо методом, например, из [13-15]. После ее решения вычисляются коэффициенты Ап, Вп и Сп разложений (3), (7), (8).

В результате получаем аналитическое описание акустического поля, рассеянного упругим шаром, а также волновых полей в однородном упругом шаре и неоднородном упругом покрытии.

Список литературы

1. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

2. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.2. Ч. 2. С. 265-274.

3. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.3. С. 179-192.

4. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.3. С. 202-208.

5. Ларин Н.В. Рассеяние звука упругой цилиндрической оболочкой с неоднородным покрытием и неконцентрической эллиптической полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 146-163.

6. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Моделирование дискретно-слоистого покрытия упругого цилиндра радиально-неоднородным слоем в задаче рассеяния звука // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 194-202.

7. Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 519-526.

8. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 181-193.

9. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

10. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

11. Новацкий В. Теория упругости. Т.2. М.: Мир, 1975. 872 с.

12. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963. 358 с.

13. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсаль-но-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журнал. 1995. Т. 41. № 1. С. 134-138.

14. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние звука неоднородным термоупругим сферическим слоем // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74. Вып. 4. С. 645-654.

15. Толоконников Л.А. Отражение и преломление плоской звуковой волны анизотропным неоднородным слоем // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40, № 5. С. 179-184.

Толоконников Лев Алексеевич (tolokonnikovla@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Родионова Галина Александровна (tolokonnikovla@mail.ru), к.т.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Diffraction of a spherical acoustic wave by an elastic sphere with a non-uniform covering

L. A. Tolokonnikov, G. A. Rodionova

Abstract. The analytical solution of the problem of the diffraction of a spherical acoustic wave by an elastic sphere with a radially non-uniform elastic coating is obtained.

Keywords: diffraction, sound waves, elastic sphere, non-uniform elastic coating.

Tolokonnikov Lev (tolokonnikovla@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Rodionova Galina (tolokonnikovla@mail.ru), candidate of technical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 23.09.2014