О коммутанте операторов дифференцирования и сдвига в весовых пространствах целых функций

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 3 (2017). С. 38-49.

УДК 517.9

О КОММУТАНТЕ ОПЕРАТОРОВ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И СДВИГА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

O.A. ИВАНОВА, С.Н. МЕЛИХОВ, Ю.Н. МЕЛИХОВ

Аннотация. Описываются линейные непрерывные операторы, действующие в счетном индуктивном пределе Е весовых пространств Фреше целых функций многих комплексных переменных и перестановочные в нем с системами операторов частного дифференцирования и сдвига. При сделанных предположениях коммутанты систем операторов дифференцирования и сдвига совпадают. Они состоят из операторов свертки, задаваемых произвольным линейным непрерывным функционалом на Е. При этом не предполагается, что множество многочленов плотно в Е. В топологическом сопряженном к Е пространстве Е1 естественным образом вводится умножение. С ним алгебра Е1 изоморфна упомянутому коммутанту с обычным умножением - композицией операторов. Этот изоморфизм является и топологическим, если Е' наделено слабой, а коммутант - слабо-операторной топологией. Отсюда следует, что множество многочленов от операторов дифференцирования плотно в коммутанте с топологией поточечной сходимости. Исследована также возможность представления операторов из коммутанта в виде дифференциальных операторов бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Доказана автоматическая непрерывность линейных операторов, перестановочных со всеми операторами дифференцирования в весовом (ЬР)-пространстве целых функций, изоморфном посредством преобразования Фурье-Лапласа пространству бесконечно дифференцируемых в многомерном вещественном пространстве функций с компактным носителем.

Ключевые слова: оператор дифференцирования, оператор сдвига, коммутант, весовое пространство целых функций.

Mathematics Subject Classification: 30D15, 47В38, 46Е10

Введение

Операторам в пространствах аналитических функций, перестановочным с дифференцированием, посвящено большое число работ. Линейные непрерывные операторы, перестановочные с операторами дифференцирования и сдвига в пространствах функций, аналитических в областях из Си CN, изучались в [1], [3], [10], [15] (см. библиографию в [5, § 2.8]). Коммутанты операторов дифференцирования в весовых пространствах Е целых функций изучены в [6], [16]. В пространстве целых (в CN) функций экспоненциального типа, реализующем сопряженное к пространству функций, голоморфных в области в CN, такое описание получено в [11] (см. также [12, § 2, предложение 1]). Если соответствующая область выпуклая, то это пространство с естественной топологией является весовым (ЬВ)-проетранетвом, В [7, гл. 9, § 7] исследованы линейные и непрерывные (в некотором смысле) операторы, перестановочные с дифференцированием в специальном

O.A. Ivanova, S.N. Melikhov, Yu.N. Melikhov, On the commutant of differetiation and

translation operators in weighted spaces of entire functions.

© Иванова O.A., Мелихов С.H., Мелихов Ю.Н. 2017.

Поступила 30 июня 2017 г.

пространстве Р* целых в С функций. Во всех рассмотренных ситуациях перестановочными с операторами дифференцирования оказываются операторы свертки, в частности, дифференциальные операторы бесконечного порядка, играющие важную роль в приложениях,

В настоящей работе описаны коммутанты К(д) и К(т) систем операторов частного дифференцирования, соответственно, операторов сдвига в счетном индуктивном пределе Е весовых пространств Фреше целых в См функций. Такие проетранетва Е интенсивно применяются, Они возникают при реализации различных пространств посредством преобразования Фурье-Лапласа и его аналогов. Во всех предыдущих исследованиях при описании К-(д) существенно использовалась плотность многочленов в соответствующих пространствах, Здесь мы не требуем, чтобы это свойство выполнялось и Е содержало многочлены. Возможность этого дает полнота (см, § 1) системы функционалов <ра : / м да f (0), а Е в топологическом сопряженном к Е пространстве Е' с топологией, согласующейся с двойственностью между Е' и Е. В другой ситуации упомянутый подход использован в [2] при описании операторов, перестановочных с оператором Поммье, Как и во многих других случаях, К(д) при сделанных предположениях совпадает с множеством К(т), Самое ограничительное среди этих предположений - условие (\ 2). близкое к полуаддитивности весов, задающих пространство Е. Описание общего вида операторов из К(т) просто вследствие возможности перемены местами аргумента и вектора сдвига в коммутационном равенстве. Операторами из К,(д) = К(т) являются те и только те, которые действуют по правилу f м (£ + г)), г € См, f Е Е, где <р - произвольный линейный непрерывный функционал на Е (т. е. операторы свертки). Произвольность функционала ф Е Е', как выше, обеспечивает условие (У2). Некоторую существенность условия (У2) для этого показывает пример пространства Е преобразований Фурье-Лапласа Т всех функций из V - пространства бесконечно дифференцируемых в функций с компактным носителем, В этом случае множества К(д) и К(т) также совпадают, их элементы являются операторами свертки, но ф может принадлежать только собственному подпространству (Т')-1 )) пространства Е' (здесь Т' : Е' м V - оператор, сопряженный к Т : V м Е) (в этом случае условие (VI) выполняется, а (У2) места не имеет). При этом доказывается результат об автоматической непрерывности линейных операторов в V, перестановочных со всеми операторами умножения на независимые переменные. Отсюда следует, вследствие свойств преобразования Фурье-Лапласа, автоматическая непрерывность линейных операторов в Е ~ V, перестановочных со всеми частными дифференцированиями,

В топологическом сопряженном Е' к Е (если веса обладают свойством (У2)) естественным образом вводится умножение ©. Алгебр а (Е', ©) изоморфна алгебре К(д) с обычным умножением — композицией операторов. Соответствующий изоморфизм является и топологическим, если Е' наделено слабой, а К,(д) - слабо-операторной топологией. Такая слабая топологическая изоморфноеть Е' и К,(д) позволяет показать, что множество многочленов от операторов частного дифференцирования плотно в пространстве К(д), наделенном топологией поточечной сходимости, и исследовать возможность представления операторов из К,(д) в виде дифференциальных операторов бесконечного порядка с постоянными коэффициентами.

1. Описание коммутанта системы операторов частного

дифференцирования и операторов, инвариантных относительно

сдвигов

1.1. Основной результат. Пусть N е N уп,к : См ^ Е, п,к е N — двойная последовательность непрерывных функций такая, что в См

ъп,к+1 < ъп,к < Уп+1,к, п,к е N. Для п,к е N введем весовые банаховы пространства целых функций

Еп,к := {f е Н(См) ||/|и := вир ^<

I гесм вщр(ьп,к(г)) J

и пространства Фреше Еп := Р| Еп,к. Топология в Еп задается последовательностью норм

|| ' !п,к-, к е N. При этом символ Н(См) обозначает пространство всех целых (в См) функций. Каждое пространство Еп непрерывно вложено в Еп+1.

Положим Е := у Еп.~В Е введем топологию индуктивного предела пространств Фреше

raeN

Еп, п е N относительно отображений вложения Еп в Е.

(V1) Уп Зт Ук Зв:

Ит Ш Ут,к(г) - вир =

и

(V2) Уп Зт Ук Зв ЗС < : У г, г е С1

ъп,з(1 + г) < уш,к(Ь) + ьт,к(х) + С.

Замечание 1. Для того чтобы следить за зависимостью выбираемых индексов, мы будем в условии (VI) последовательность кванторов "Уп Зт У к Зз" записывать также так: пУп Зт(п) Ук Зв(п,к)п.

Пусть дз f := -г^, 1 < ] < N. Введем операторы сдвига

г,(/№ := /(I + г), м е См, f е Е.

Замечание 2. Пусть выполняется условие (VI). Тогда Е обладает следующими свойствами:

(I) Каждый оператор с^- линейно и непрерывно отображает Е в Е. При этом Уп Зт Ук Зз ЗВ <

Цд,/Цт,к < ВЩ||га,в, f е Еп, 1 < з < N.

При этом т и 8 можно выбрать такими, как в условии (VI).

(II) Для любого г е См оператор тх линейно и непрерывно отображает Е в Е.

(III) Для любого п е N существует т е N такое, что всякое ограниченное в Еп множество относительно компактно в Ет. При этом га для каждого п можно выбрать таким, как в условии (VI).

Доказательство. Неравенство (1) вытекает из (одномерной) интегральной формулы Ко-ши. Оно влечет, что для любого п каждый оператор ¿^-непрерывно отобр ажает Еп в Ет, а значит, Е в Е.

Утверждение (ш) вытекает из теоремы Монтеля.

Роль условия (V2) проясняет лемма 3,

Пусть С(Е) — пространство всех линейных непрерывных операторов в Е. Оно является кольцом с обычными операциями сложения и умножения (композиции) операторов. Введем коммутант К(т) системы операторов сдвига в С(Е):

ВД := [A е С(Е) | У z е CN Arz = tzAb Е}

и коммутант К(д) системы [dj | 1 < j < N} в С(Е):

К,(д) := [А е С(Е) | Adj = djA в Е, 1 <j< N}.

Е Е

Е Е Е

М(т) := [р G Е' | р(т(/)) G Е для любого f G Е}.

Теорема 1. Пусть выполняется условие ( V1). Следующие утверждения равносильны:

(i) А еВД.

(ii) Существует р е М(т) такое, что A(f)(z) = р(tz(f)), f G Е, z е CN. Доказательство, (г) ^ (ii): Пусть A е К,(т). Тогда

A Tz

для любых f е Е, t,z е CN, Полагая в последнем равенстве t = 0, получим, что для линейного непрерывного на Е функционала р := 50A.J Для любых f е Е, z е CN выполняется равенство A(f)(z) = р(tz(/)). При этом р е М(т). (Такое р единственно, поскольку

р = МО

(гг) ^ (г): Непрерывность линейного оператора A : Е ^ Е следует из теоремы о замкну-

A

очевидна,

Положим

д N f N

No := N U [0}; da(f) := Q^ JQ, a = («j)f=1 е К; |a| := .

Введем функционалы

д H f

pM) := ^.. J9zT (0), 1еЕ,а е nN.

Ясно, что ра е Е' для любого a е NN,

Через т(Е', Е) обозначим топологию Макки в Е', заданную естественной двойственностью между Е и Е' (см, [14, гл. 8, 8,3,3]), Е'т := (Е, т(Е',Е)),

Замечание 3. Система [ра : a е NN} полна в Е' с любой топологией согласующейся

Е Е

совпадает с Е'. В частности, она полна в Е'т. Действительно, если f е Е и pa(f) = 0 для любого a е NN, то f = 0,

Лемма 1. Пусть выполняется условие (VI), Справедливо следующее: Уп 31 У к

sup If (z) - f(t)l у |z-t|<e „

lim sup ---—-= 0

tecN exp

для любой функции f е Еп.

Доказательство. Для любой целой функции /, любых z,t Е C

N

N 1

/(?) - / = - ^) %/(г+& -

0

Зафиксируем п Е N. Тогда, учитывая замечание 2 (1) (см, также замечание 1), получим, что для любого к Е N существует постоянная С1 < + го такая, что при е Е (0,1] для любой функции $ Е Еп

^ exp(-vm(m(n)),k(t

sup suP l/(Z) — /(t)l exp( — Vm(m(n)),kCOM < tecN \ \>-t|<£

e^N sup sup sup Idj/(z)M exp(-vm{m{n)),k(i)) < i<j<NtecN \ у у

e^N sup sup \\dj/\\m(n),s(m(n),k) sup exp(^m(ra),s(m(ra),fc)(w)n  i<j<NtecN W k-t|<i у

exp(-vm(m(n)),k(t))) < Cie\^N\\/\\ra,si,

где s1 := s(n,s(m(n),k)). Следовательно, справедливо утверждение леммы для I := т(т(п)).

Введем орты в Cw: ej = (5jk)к=1, 1 < j < N.

Лемма 2. Пусть выполняется условие (VI). Для любых / Е Е, z Е CN в Е

lim (/) - / = д<(/), 1 < j < N.

Эта лемма вытекает из леммы 1, примененной к функции dj/ (в роли /), с учетом

1

равенства / (t + r/ej) — / (t) = ц f dj / (t + ^qej )d£.

o

Функционалы (дельта-функции) öz(/) := /(z), z Е CN, очевидно, линейны и непрерывны на Е.

Для р Е N, множества W С Ер через aconv(W) обозначим замкнутую абсолютно

выпуклую оболочку W в Ер.

Лемма 3. Пусть выполняются условия (VI) и (У2). Для любой функции / Е Е существуют т Е N и р Е N такие, что для, л,юбого к Е N для,

Vm,k(/) := {exp(—vm,k(t))/( + t) 11 Е Cw}

множество жот(ут>к(/)) компактно в Ер.

Доказательство. Из условия (У2) следует, что найдется т Е N такое, что множество

Ут,к (/) ограничен о в Ет для любо го к Е N. Зафиксир уем к Е N. По замечанию 2 найдется

_^

р Е N Для которого асопч(утк(/)) Р компактно в Ер.

Для п,к Е N определим дуальные к || • \\п,к "нормы": для <р Е Е'п

п,к := ^Р М)|.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (VI) и (У2). Следующие утверждения равносильны: (г) А еК(д). (г г) А е ВД.

(111) Существует << е Е' такое, что

А(/)(г) = <(гг(/)), /еЕ, ге См. Доказательство, (г) ^ (гг): Зафиксируем г е С м и / е Е. Выполняется равенство

^

Вследствие замечания 3 существует сеть = ^ ^ е Д, сходящаяся к 6г в Е'Т

- конечные подмножества N Е

lim Е Ъъ,сУ (/) = Tz (/).

мед

/ у l

Е„

По лемме 3 найдутся т,р е N Для которых aconv(Vm,k(/)) для любого к е N компактно

" -Е

в Ер, а значит, и в Е. Тогда aconv(Vm,k(/) Р также и а(Е,Е')-компактно в Е. Поскольку

lim = 5z в Е'т, то, учитывая равенство (2), получим: меД

Am := sup |(Фм - 5z)(exp(-vm,k(t))f(- +i))| =

tecN

suP I exp

teCM 'iX

sup

tecN

E

, у еА.

m, k

Поскольку А^ ^ 0 ^ е Д, для любого к е N т0 в Ет, а значит, и в Е

Иш Е (/) = ^ (/).

(гг) ^ (г): Следует из леммы 2.

Импликация (г г ) ^ (г г г) справедлива по теореме 1,

(г г г ) ^ (г г): Вследствие теоремы 1 достаточно по казать, что М.(т) = Е'. Зафиксируем <р е Е'. Из леммы 2 и теоремы Хартогса следует, что <(тх(/)) - целая функция по г е См. Возьмем п е N и выберем т по п то условию (У2), Так как <р е Е', то для некоторого к функционал <р непрерывен по норме || • ||тк. Определим 5 и С по условию (У2). Тогда для ¡'еЕп

1<Р(( /))1 _ II /О + г)Итк

suP t t w

zecN exP

<

m,k sup / /44

ze£N exp

<

If (t + z)I

mk sup sup , f4\. t \\

, zecN tecN exp

с

' sup I nt + Z)I

m, k

, t,zec" exp

с

е~1т'т,кИИ1п,8 < +Ж.

Следовательно, <(т.(/)) е Е. Кроме того, последнее неравенство влечет непрерывность А Еп Ет Е Е

А : Е ^ Е следует также из теоремы о замкнутом графике [14, гл. 6, теорема 6,7,1],)

" "

1.2. Пример. Автоматическая непрерывность линейных операторов, перестановочных с операторами дифференцирования. Приведем пример пространства Е, для которого множества К(д) и К(т) совпадают, но утверждения (1) и (11) теоремы 2 не равносильны (ш), т. е. М(г) - собственное подпроетранетво ЕПри этом мы доказываем один результат об автоматической непрерывности линейных операторов, перестановочных с операторами д^ 1 < з < N. Пусть V :— 'Л(КМ) - пространство всех бесконечно дифференцируемых в функций с компактным носителем, наделенное естественной топологией (ЬГ)-проетранетва, Положим

N

{1,г) — £ 13г3, I — &)»=1,г — (г,)= е С".

3 = 1

Как известно, преобразование Фурье-Лапласа

Т(К)(г) := I к(х)е-{х'2)с1х, г е См,

является топологическим изоморфизмом V па

-пространство Е-р :— Е, заданное, как выше, функциями (г) :— ехр(п|1ш г| — к ^(1 + |^|)), £ е См, п,к е N. Эта последовательность удовлетворяет условию (VI), но не удовлетворяет условию (\'2),

Положим ег(£) :— е См. Введем операторы умножения на независимые

переменные х^ М^(/)(х) :— х^f(х), х е Через I будем обозначать тождественный оператор в V.

Предложение 1. Для, любого линейного оператора А : V ^ V равносильны, следующие утверждения:

(1) А перестановочен с каждым оператором, М^ 1 < з < N. (и) Существует функция а е ) такая, ч,то А(/) — , / е'О.

Доказательство. Импликация (И) ^ ({) очевидна,

(г) ^ (гг): Пусть линейный оператор А : V ^ V таков, что АМ3 — М^ Д 1 < з < N, на V.

Возьмем $ е V и какую-либо функцпю И е О такую, что И = 1 на вирр /, Тогда $ — ¡И.

Для х — (х^)^=\, А — )1^=1 е положим

¡зЛх) :— /..., ^3-1,Хз, ...,хм) — !..., ,хз+1, ...,хм), 2 < з < N;

I\,\(х) :— !(х) — /(Х\,Х2, ...,хм).

Ясно, что

N

/ — f

3 = 1

По формуле Тейлора

1зЛх) — (Хз — Аз )ду f (\1,...,Хз ,ху+г,...,хм)+ 1

(х3 — \з)2 У(1 — з)д?/(А1,..., (1 — s)Xj + вх^,Хз+1, ...,хм)<1з — о

(Хз — )Ых), А е , 1 < 3 < N.

где функция

1з,\(х) :— дуf(\1,...,Хз,ху+1,...,хм) +

(ху — Ау) у (1 — в)д?/(Аь ..., (1 — + вХу,Ху+1 ,...,хм 0

бесконечно дифференцируема в К '.

Пусть 5\(/) = 0, т. е. /( А) = 0, Поскольку /¿¿к = ( Му — Ау/)(Длк), 1 < j < N, то, вследствие (3),

N

А(/)(А) = Е А(М, — Ау I)(1],\Ъ)(А) =

3 = 1

N

АуА( ¿»(А) — А3А( Л»(А)) = 0.

0 = 1

Определим на V линейный функционал гуА(:= А(f)(А), f е V. Тогда, как показано выше, Кег 5\ С Кег 7А, Поэтому для любого А е К' существует а(А) е С такое, что А(f)(А) = а(А)/(А) для любой функции / е "Р. Очевидно, что а е ),

Следствие 1. (г) Всякий линейный оператор А : V ^ V, перестановочный с каждым оператором, Му, 1 < з < N, непрерывен.

(И) Всякий линейный оператор А : Ер ^ Ер, перестановочный с каждым оператором, ду, 1 < 3 < N, непрерывен.

Отметим, что в [9, лемма 1,7], [4] описаны линейные операторы, перестановочные с умножением на независимую переменную в пространствах голоморфных функций одной комплексной переменной, и доказана автоматическая непрерывность этих операторов.

Из предложения 1 и стандартных свойств преобразования Фурье-Лапласа следует, что принадлежность оператора А мпожеству К(д) равносильна тому, что найдется (единственная) функция а е С) такая, что А = ТМаТ-1, где Ма - оператор умножения на функцию а. Для а е ), / е Ер, г е С'

ТМаТ-1 (Л(г) = I е-г^а(х)Т-1а)(х)(!х = а (Т-1(/)е,) .

а

стороны, если Т' : Ер ^ V - отображение, сопряженное к Т : V ^ Ер, то

((Т)-1(а)М /(* + *)) = а (Т-1(/)е,) .

М( ) Е

М(г) = {< еЕ' | Т'(<р) е )}.

2. Умножение ^Е'и свойств а алгебры

Далее предполагается, что последовательность (уп,к)п,keN удовлетворяет условиям (VI) и (У2). Определим в Е' операцию умножения ©, Для <,ф е Е' положим

( <©ф)(Л :=<<№п(Л)), ¡еЕ.

Вследствие теоремы 2 и того, что < = 50ш(<), операция © определена корректно, а отображение ш : Е' ^ &(д),

ш(<)(Л(г) := <( г, (/)), < еЕ', / е Е, ге С',

биективно. Поскольку для любых <,ф е Е', / е Е, г е С'

ш(< © ф)(Ш = (< © Ш Г, (/)) = МФ( п( Тг (/)))) = <(ш(ф)( Т, (/))) =

<( г, ШМ)) = ш(<)(ш(ф)(Л)(г) = ш(<)ш(ф)(Л(г),

1

то ш - изоморфизм алгебр (Е', ©) и К(д) (в последней умножением является композиция операторов). Отсюда вытекает, что умножение © в Е' ассоциативно.

Следующая ниже лемма 4 влечет, что композиция операторов в К(д) коммутативна.

Лемма 4. Пусть выполняются условия (VI) и (V2).

(i) Если, сеть Фv Е Е', и Е А, сходится к ф Е Е' в Е'Т, то для, любой фу нкции f Е Ев Е'Т существует lim (Фг,)z (f ( + z)), равный фг(f ( + z)).

v EA

(ii) Алгебра, (Е', ©) коммутативна.

Доказательство, (i): Зафиксируем f Е Вследствие леммы 3 найдутся т Е N

_^

и р Е N, для которых множество V := aconv(ymk(f)) Р компактно в Ер, где

Vm,k(f) := Iexp(—vm,k(t))rt(f) 11 Е CNj, Так как Ep непрерывно вложено в (Е,а(Е,Е')),

то V также а(Е, Е')-компактпо, Следовательно, сеть {Фг | v Е А} сходится к ф равномерно на V Э Vmk (f). Поэтому

sup | exp(-Vm,k (t)) (Фг - Ф) z (f (t + z))l 0

teCjv veA

и pm,k ((Фг — Ф) z (f ( + z))) I —> 0. Таким образом, в Em, а значит, и в Е

' vEA

lim (Фг )z(f ( + z))= Фz (f ( + z)).

vEA

(фа) z((Vß )t(9(t + Z))) = )t((pa)z(g(t + Z))). Поэтому для любой функции f Е Е, с учетом утверждения (i), получим: (ip © ф)(1) = iptttz (f (t + z))) = Щ (1ЫФ v )z (f (t + z))) =

vEA

liiA ^((Фг )z(f (t + z))) = ^«ФиМ^ )z (f (t + z))) =

vEA vEA ßEA

Ит(Ит(Фг )z№Mf (t + z))) = lim(^v )t(f (t + z))) =

vEA иEЛ vEA иEЛ

lirn^v)z(<pt(f (t + z))) = фz('Mf (t + z))) = (ф © p)(f).

EA

Замечание 4. Ненулевыми мультипликативными линейными а(Е',Е)-непрерывными функционалами, т. е, ненулевыми мультипликативными функционалами вида <р м <р(д), <р Е Е', где д - фиксированный элемент на (Е', О) являются те и только те, которые задаются функцией д(г) = е^V Е С м, если она принадлежит Е. Поэтому для каждой такой функции д гиперподпространство Нд := {р Е Е' | <р(д) = 0} является а(Е',Е)-замкнутым максимальным идеалом в (Е', О).

Доказательство. Очевидно, что всякий функционал С(р) := (е^'^), если е^'^ Е Е, мультипликативен. Пусть С(р) = <р(д), <р Е Е', для некоторой функции д Е Е. Тогда для любых Е С м выполняется равенство

д(Х)д^) = С(8Х)С(8,) = С(8Х О 5,) = д(\ + ¡л).

Отсюда следует, что

2.1. Топологический изоморфизм Е' и К,(д). Рассмотрим случай, когда рассматриваемые пространства снабжены слабыми и с ними связанными топологиями. Обозначим символом К,а(д) пространство К,(д) со слабо-операторной топологией, т, е, топологией поточечной сходимости, когда в Е введена слабая топология а(Е,Е') (см, [13, гл. III, § 3,

Е

слабо непрерывных операторов в Е алгебраически совпадает с С(Е) [14, гл. 8, § 8,6, с, 703; теорема 8,6,1], Далее а := а(Е',Е),

Теорема 3. Отображение ш является топологическим из ом,орфизм,ом, (Е',а) на, Ка (д).

Доказательство. Для любого конечного множества М С Е, любого р Е Е'

suP И Л1 = suP 1 (ш( Р)( /))|.

f ем feM

Следовательно, отображение ш-1 : К,а(д) ^ (Е',а) непрерывно.

Непрерывность отображения ш : (Е', а) ^ К,а (д) следует из того, что для любых конечных множеств М С Е, Р С Е', любого р Е Е', с учетом леммы 4 (ii),

sup |ф(ш( ф)(/))| = sup ф ( ( f(t + z)))l = sup |(Ф ©р)(/)| = feM,ipeP feM,ipeP feM,ipeP

suP |( р ©^)(f)l = suP (f(t + z)))l = sup ^(г;)!,

f ем,феР f ем,феР veM

где М - конечное подмножество Е, состоящее из функций ф(f(t+z)) переменной t, f Е М, ф ЕР. '

^span^ |а е nn

ду, 1 <j<N.

Пусть V(д) := span{да | а Е NN}, т, e, V(д) — множество всех многочленов от операторов

Следствие 2. Множество V(д) плотно в К,(д), наделенном топологией поточечной сходимости.

Доказательство. Поскольку по замечанию 3 множество {<<а 1а е ^^} полно в (Е',а), то в силу теоремы 3 множество {да = ш(<а) I а е N'5^} полно в К,а(д), Поэтому для любого / е Е в пространстве Е множество V(д)(/) := {А(/) 1А е V(д)} слабо плотно в К(д)( := {А(I А е К(д)}, Значит, для любого / е Е множество V(д)(/) плотно в К-(д)(и то топологии Е. Таким образом, V(д) плотно в К(д), наделенном топологией поточечной сходимости,

Е

для которых всякий оператор из К(д) является дифференциальным оператором бесконечного порядка с постоянными коэффициентами.

Следствие 3. Следующие утверждения равносильны:

(1) {<а | а е NN} - базис в (Е', а(Е', Е)). (и) {да | а е N0} - базис в (д).

Пример 1. Пусть Q - выпуклое локально замкнутое множеетво в CN, содержащее 0; (Qn)neN _ фундаментальная последовательность компактных подмножеств Q (без ограничения общности все компакты Qn выпуклы и Qn С Qn+1 для любо го п Е N). Обозначим

через Hqn опорную функцию Qn, т. е. Hqn (z) := sup Re(t, z), z Е CN, Последователь-

t£Q„

ность vn,k(z) := Hqn (z) + lzl/k, z Е CN, п,к Е N, удовлетворяет условиям (VI) и (V2), В этом случае Е реализует (посредством преобразования Лапласа) сильное сопряженное

H( Q) Q

Q

в CN, Если Q = RN, то H(Q) = ^(RN) - пространство вещественно аналитических в RN функций.

Пример 2. Положим уп,к(г) := п(|1шг1 + log(1 + |^|)), £ е С', п,к е N (функцпи уп,к не зависят от к). Последовательность (уп,к)п,к^ удовлетворяет условиям (VI) и (У2). Про-Е

сопряженное к пространству Фреше С) всех бесконечно дифференцируемых в К' функций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Братищев A.B., Коробейник Ю.Ф. Общий вид линейных операторов, перестановочных с операцией дифференцирования // Математ. заметки. Т.12, вып. 2. 1972. С. 187-195.

2. Иванова O.A., Мелихов С.Н. Об операторах, перестановочных с оператором типа Поммье в весовых пространствах целых функций // Алгебра и анализ. Т.28, вып. 2. 2016. С. 114-137.

3. Коробейник Ю.Ф. Об одном, классе линейных операторов // Годишник на ВТУЗ. Математика. Т.9, выи 3. 1973. С. 23-33.

4. Коробейник Ю.Ф. О представлении линейных операторов, перестановочных с оператором умножения // Analysis Math. Y.32. вып. 2. 2006. С. 123-153.

5. Коробейник Ю.Ф. О разрешимости в комплексной области некоторых классов линейных операторных уравнений, Ростов-на-Дону: изд-во ЮФУ. 2009. 252 с.

6. Коробейник Ю.Ф., Моржаков В.В. Общий вид изоморфизмов, перестановочных с оператором дифференцирования, в пространствах целых функций медленного роста // Матем. сб. Т.91 (133), вып. 4. 1973. С. 475-487.

7. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций, М.: ГИТТЛ. 1956. 632 с.

8. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных, М.: Мир. 1989. 350 с.

9. Мелихов С.Н. О левом обратном к оператору сужения на весовых пространствах целых функций ¡I Алгебра и анализ. Т.14, вып. 1. 2002. С. 99-133.

10. Напалков В.В. Об операторах, перестановочных с дифференцированием, в пространствах функций от нескольких переменных // Матем. заметки. Т.24, вып. 6. 1978. С. 829-838.

11. Трутнев В.М. Неоднородные уравнения свертки в некоторых пространствах целых функций экспоненциального типа, // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Красно-яр. гос. ун-т. Красноярск. 1996. С. 234-239.

12. Трутнев В.М. Уравнения свертки в пространствах целых функций экспоненциального типа / / Итоги науки и техн. Сер. Соврем, матем. и ее прил. Темат. обз. Т.108. 2006. С. 158-180.

13. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1971. 360 с.

14. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир. 1969. 1072 с.

15. G. Godefrov, J.H. Shapiro Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds //J. of Funct. anal. V.98, 1991. P. 229-269.

16. A. Martineau Equations différentielles d'ordre infini // Bull. Soc. Math. France. V.95. 1967. P. 109154.

17. S.N. Melikhov, S. Momm Analytic solutions of convolution equations on convex sets with an obstacle in the boundary // Math. Scand. V.86. 2000. P. 293-319.

Ольга Александровна Иванова,

Южный федеральный университет, Институт математики,

механики и компьютерных наук им. И,И, Воровича

ул. Мильчакова, 8а,

344090, г, Ростов-на-Дону, Россия

E-mail: ivolga@sfedu.ru

Сергей Николаевич Мелихов,

Южный федеральный университет, Институт математики,

механики и компьютерных наук им. И,И, Воровича

ул. Мильчакова, 8а,

344090, г, Ростов-на-Дону, Россия,

Южный математический институт ВНЦ РАН,

ул. Маркуса, 22,

362027, г, Владикавказ, Россия

E-mail: melih@math.r su.ru

Юрий Николаевич Мелихов,

Военная академия ВКО им, Г.К, Жукова

ул. Жигарева, 50,

170022, г, Тверь, Россия

E-mail: melikhow@mail.ru