Имитационное стохастическое моделирование чистого дисконтированного дохода и риска инвестиционного проекта

УДК 336:658.012.4 + 519.2

А. Н. Титов, Р.Ф. Тазиева, Е. П. Фадеева

ИМИТАЦИОННОЕ СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЧИСТОГО ДИСКОНТИРОВАННОГО

ДОХОДА И РИСКА ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА

Ключевые слова: чистый дисконтированный доход, риск инвестиционного проекта, имитационное моделирование, распределение Гаусса, распределение Шарлье, метод Монте-Карло.

Проведено стохастическое моделирование и статистический анализ чистого дисконтированного дохода NPV. Показано, что в большинстве случаев распределение NPV не подчиняется закону Гаусса и лучше применять распределение Шарлье. Разработана программа для расчета риска инвестиционного проекта.

Keywords: net present value, investment project risk, simulation modeling, Gauss distribution, Charlier distribution, Monte Carlo

method.

Stochastic simulation and statistical analysis of net present value (NPV) have been carried out. It is shown that in most cases the distribution of NPV is not subject to Gaussian law and it is better to apply the Charlier distribution. The software for investment project risk calculation has been developed.

В работе проводится стохастическое

моделирование и статистический анализ чистого дисконтированного дохода ЫРУ, а также расчет и имитационное моделирование риска

инвестиционного проекта, реализуемого одним из предприятий г. Набережные Челны в 2017-2021 годах. Анализ финансовых результатов деятельности этого предприятия за 2012-2016 годы показал снижение рентабельности и ухудшение финансовых результатов в 2016 году по сравнению с 2012-2015 годами. В целях их улучшения руководством предприятия было принято решение о диверсификации его деятельности в направлении реализации нового инвестиционного проекта по производству влагомаслоотделителей. Анализ спроса и предложения этого товара на автомобильном рынке показал, что на товар имеется большой спрос, превосходящий его предложение.

Чтобы цена единицы товара, планируемого к выпуску, была конкурентоспособной, руководством фирмы было принято решение о назначении цены на влагомаслоотделитель в размере Р=3100 рублей, что меньше цены каждого из конкурентов. Основные фонды предприятия позволяют принять объём выпуска в размере <2=100 штук и условно-переменные расходы в У= 2600 рублей за один влагомаслоотделитель. Для реализации проекта фирме необходимы инвестиции в объёме 10=110000 рублей, которые предприятие намерено взять под 12.5 % (ставка дисконтирования г=12.5%). Остальные факторы проекта имеют следующие значения: срок реализации проекта п=5 лет, условно-постоянные затраты ^=4600 руб., амортизация А=3000 руб., ставка налога на прибыль 7=0.2 (или 20 %), остаточная стоимость S=0.

Как известно [1], основным критерием

NPV= f [QP - V) - F - A] * (1-T)+A +_ S

-10

ы (1+г)' (1+г)п

Здесь Р - цена, 2 - объём выпуска, У - условно-переменные расходы на единицу продукции, 10 -инвестиции, г - ставка дисконтирования, п - срок реализации проекта, ^ - условно-постоянные затраты, А - амортизация, Т - ставка налога на прибыль, £ - остаточная стоимость; под символом суммы в числителе формулы (1) стоят чистые платежи, представляющие собой аннуитет.

Практически во всех финансовых расчётах и работах экономистов чистый дисконтированный доход считался распределённым по нормальному закону. В данной работе проводится проверка обоснованности такого подхода.

В формуле (1) три случайные величины (ключевые факторы проекта) Р (цена), У (условно-переменные затраты) и 2 (объём выпуска продукции) считаются распределёнными по

нормальному закону, а остальные факторы являются константами. Таким образом,

случайная функция ЫРУ является нелинейной функцией трёх случайных величин. При статистическом анализе чистого дисконтированного дохода ЫРУ разных инвестиционных проектов нами было обнаружено, что в некоторых из них эксцесс ЫРУ равен 2 и более, а асимметрия более 1.5. Естественно, что ни о каком нормальном распределении ЫРУ в таких проектах и речи быть не может. Но в некоторых проектах эксцесс и асимметрия были невелики и тогда удавалось доказать нормальность распределения ЫРУ. В большинстве из исследованных авторами проектов в нефтяной промышленности и автомобильной отрасли (более чем в 190 из 200) распределение ЫРУ не подчинялось закону Гаусса. Данный факт был установлен на основе проведенной в этих работах проверке по различным критериям.

Одним из критериев того, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе о нормальном распределении, является критерий асимметрии и эксцесса [2].

Асимметричность или коэффициент асимметрии (скоса) As характеризует смещение распределения исследуемого параметра проекта относительно его среднего. Если As>0, то длинная часть лежит правее среднего значения, и наоборот. Для нормального распределения As=0.

Для оценки значимости коэффициента асимметрии As рассчитывают стандартную ошибку

асимметрии по формуле: sa =_6m-1_, где

As \

m - число значений исследуемого параметра проекта [3].

Как известно из теории математической статистики, если отношение абсолютной величины коэффициента асимметрии As к величине его

ошибки SAs меньше трех | lAs| < 3|, то асимметрия

[Sas )

считается несущественной, т.е. ее наличие объясняется воздействием случайных факторов [4].

Эксцесс характеризует остроконечность (в случае его положительности) или пологость (при его отрицательности) вероятностного распределения изучаемой случайной величины (NPV) по сравнению с нормальным распределением. Теоретически эксцесс нормального распределения должен быть равен нулю, однако на практике для генеральных совокупностей больших объемов его малыми значениями можно пренебречь.

Для оценки значимости коэффициента эксцесса Ex рассчитывают стандартную ошибку эксцесса. Существует множество оценок стандартной ошибки эксцесса. В своих расчетах мы воспользовались формулой sEx = 24  т(т-2) (m~ 3) . При больших

x \(m-11 2( m + 3) (m+ 5) значениях m расхождения в этих формулах не существенно.

Известно [4], что если lEx\ < 3, то эксцесс

SEx

следует считать незначительным и его величиной можно пренебречь.

Считается [4], что экспериментальные данные не противоречат гипотезе об их нормальном распределении, если и асимметрия, и эксцесс являются не существенными (то есть одновременно выполняются два условия: lAs| < 3 и \Ex\ < 3).

SAs SEx

Исследования маркетологов фирмы по установлению значений стандартных отклонений для изменяемых факторов P, V и Q рассматриваемого инвестиционного проекта привели к следующим оценкам их

среднеквадратических отклонений:

с = 20, с = 20, с = 4.7. Средние значения

изменяемых факторов проекта определены выше.

Считая цену, условно-переменные затраты и объём выпуска изменяемыми факторами, распределёнными по нормальному закону (закону Гаусса), сгенерируем m=10000 значений каждого из трёх вышеназванных изменяемых факторов P, V и Q. Значения чистого дисконтированного дохода NPV вычислим по формуле (1). Все расчеты

проведём в системе компьютерной математики Scilab [5, 6].

В приведенной реализации As= 0.1127400, Ex= 0.0184311.

Asl

= 4.604,

\Ex\

- = 0.376 .

^Ля SEx

Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины ЫРУ по критерию хи-квадрат Пирсона. В соответствии с формулой Стерджесса число групп было выбрано равным

к = 1 + 3.3221дт» 15.

При уровне значимости а=0,05 по критерию Пирсона получаем: х2выб = 36.23 , х2крит = 21,03, то есть

гипотеза о нормальном распределении ЫРУ также отвергается.

В случае относительно больших значений коэффициентов асимметрии и эксцесса для альтернативного закона распределения ЫРУ среди множества непрерывных вероятностных

распределений авторы выбрали распределение Шарлье [7] как наиболее адекватное распределение вероятностей для чистого дисконтированного дохода ЫРУ. Выбор обусловлен, в частности, тем, что распределение Шарлье широко используется для сглаживания эмпирических распределений с умеренными значениями асимметрии и эксцесса (как показывает практика, именно такие асимметрия и эксцесс наблюдаются у

эмпирического распределения ЫРУ ).

Говорят, что НСВ распределена по закону Шарлье, если ее плотность распределения вычисляется по формуле /2

ах =- 1 "

- _-e 2|1-_(3t-t3)+—(t4 -6t2 + 3

42Жс К 6 24

. X-ß

t =-—, -ю< Х<ю

Здесь / - параметр положения, математическое ожидание (среднее значение), а - параметр масштаба, стандартное отклонение, Ах -параметр формы, асимметрия, Ех - параметр формы, эксцесс случайной величины Х.

При этом функция распределения Шарлье

f(\=(к S2 -1)+EX t - 3t)'

где

Ф(х) =

42ж

je 2 dz,

\^x) =

1

л/2 • ж

•e 2 , t =

X-ß

- ю < X <ю

Очевидно, что при Ах=0 и Ех=0 распределение Шарлье совпадает с нормальным.

В рассмотренном примере в результате обработки одной случайной реализации получены следующие оценки: /*=21406.449, а*=10448.002, А/=0.1127, Ех*=0.0184.

Диаграмма, графики функции плотности нормального распределения и распределения Шарлье с приведенными выше значениями параметров этих распределений показаны на рис.1.

сг

z

1

-ю

X

и

Рис. 1 - Гистограмма и графики плотности нормального распределения и распределения Шарлье при = 20, а*

= 20, а = 4.7

2

Проверим гипотезу о распределении ЫРУ по закону Шарлье.

При уровне значимости а=0,05 по критерию

Пирсона получаем: хвыб = ш0> Хкрит = 18.31, то

есть гипотеза о распределении ЫРУ по закону Шарлье принимается.

Для того, чтобы выяснить, в каких пределах могут лежать значения параметров Ах и Ех, а также значения средних ЫРУ и их среднеквадратических отклонений, было сгенерировано 1000 реализаций случайной величины ЫРУ (в каждой по 10000 значений).

Полученные результаты представлены в табл. 1.

Таблица 1 - Статистические оценки параметров распределения Шарлье

Параметры Оценки параметров

Минимум Максимум

ц 21089.486 21829.317

а 10202.640 10745.296

Ал 0.0350 0.1993

Ех -0.1497 0.2419

Среднее Среднеквадратическое отклонение

ц 21457.247 104.1245

а 10478.711 75.833

Ал 0.1060 0.0257

Ех 0.0147 0.0526

Общее представление о виде распределения коэффициента асимметрии дает рис. 2.

Из 1000 реализаций ЫРУ по критерию асимметрии и эксцесса около 900 не проходят проверку на нормальность (893 по критерию асимметрии и 8 по эксцессу, одновременно по обоим критериям 6).

Все приведенные данные были получены в предположении, что среднеквадратические отклонения параметров - небольшие (а* = 20, а = 20, а = 4.7). Если же, например,

а = 250, а = 20, а = 25 (а в некоторых

Р 'у 2

инвестиционных проектах такое допущение вполне возможно), то преимущество распределения Шарлье для ЫРУ перед нормальным распределением становится очевидным, что подтверждается графиками плотностей распределения, показанными на рис.3.

Рис. 2 - Распределение коэффициента асимметрии по 1000 реализациям

5.5е-ае -Бе-ое -

Эмпирич данные

Т[х) распределения Шарлье

Т(х) нормального распределения

-ГШ ГОГ ЭПП ПОЕ ОП ГПГ О '1Г1П ГПП 2ПП000 ЭОПШО 11Г '1ГГ 50П

Рис. 3 - Гистограмма и графики плотности нормального распределения и распределения Шарлье при а*

* = 250, а*

Р V

: 20, а = 25

о

Для тысячи реализаций с приведенными выше значениями оценок среднеквадратических отклонений получены следующие интервалы изменения параметров:

Ц е [18465.7278 ,23995.4784], ц = 21463.4590; а* е [79921.45496 ,83760.6632], а* = 81767.3770;

А/ е [0.4035 , 0.5984], А/ = 0.4977;

Ех* е [0.2713 ,1.0506], Ех* = 0.5547.

По критерию асимметрии и эксцесса ни одна из 10000 реализаций не подчиняется нормальному закону (и асимметрия, и эксцесс существенны).

На основе проведенного анализа можно заключить, что при существенных, но не очень больших значениях Ал и Ех ЫРУ хорошо

р

У

описывается функцией распределения Шарлье, что отчетливо видно на одной из реализаций (рис. 3).

Итак, выберем в качестве статистических оценок четырех параметров /*, а*, Ая* и Ех распределения

Шарлье значения этих параметров, равные их

математическим ожиданиям (см. таблицу 1) : /

* * * *

=21457.247; о= 10478.711; у1 = Ая =0.106; у2 = Ех*=0.015 (числа округлены до трех знаков после запятой) и примем в качестве распределения вероятностей чистого дисконтированного дохода ЫРУ распределение Шарлье с функцией распределения _ ч (х - 21457.247^ (х - 21457.247

0.106

6

0.015

24

10478.711

х - 21457.247 10478.711

х - 21457.247 10478.711

-1

- 3

10478.711

х - 21457.247 10478.711

величины

случайной ее исчерпывающей знание функции

Функция распределения является, как известно, характеристикой, т.е. распределения обеспечивает исследователя (инвестора) полнейшей информацией о возможном поведении чистого дисконтированного дохода ЫРУ в будущем, так как позволяет вычислить любую из вероятностей вида Р{ЫРУ >W}, где W - любая сумма (доллар, евро или руб.), то есть вероятность того, что чистый дисконтированный доход превзойдет денежную сумму W.

Предположим, что инвесторам (устроителям) исследуемого инвестиционного проекта важно знать, какова будет вероятность того, что чистый дисконтированный доход (резерв прибыли проекта ЫРУ) будет больше, чем четвёртая часть первоначальных инвестиций в проект, т.е. превзойдет сумму 27500 руб.

Итак, следует рассчитать вероятность того, что ЫРУ будет больше чем 27500 руб., т.е. Р{ЫРУ >27500}. Как известно из теории вероятностей [2], эту вероятность удобнее находить по формуле Р{ЫРУ>27500} = 1- Р{ЫРУ < 27500}=Р(27500)= 1-0.7222205=0.2777795 (все расчеты проведены в среде Scilab).

Согласно правилу финансового менеджмента: « Если NPV> 0 , то инвестиционный проект следует принимать к реализации, если №У<0 , то проект подлежит отклонению » [1, 3]. Поэтому рассчитаем по формуле (4) вероятность того, что ЫРУ будет больше нуля и, следовательно, проект следует принимать к реализации: Р{ЫРУ >0} = 1- Р{ЫРУ <0} = 1-^(0) = 0.9823973 или 98.23973 % . Тогда, очевидно, риск исследуемого проекта составит 1.76027 %.

По функции распределения (4) также можно рассчитать любую интересующую инвестора вероятность Р{NPV>W руб.}, например, вероятности Р{NPV >15000 руб.}= 0.7278378 или 72,8% и Р{NPV >5000 руб.}= 0.9449263 или 94.493%.

Знание таких вероятностей обеспечит инвестора информацией о целесообразности инвестирования в данный проект и прогнозом будущих денежных поступлений от проекта.

Если предположить, что ЫРУ распределен по нормальному закону с приведенными выше значениями /* =21457.2465; а*= 10478.7112, получим, что риск равен 2.0295%.

Далее рассчитаем вероятность риска данного инвестиционного проекта, т.е. Р(ЫРУ<0), с помощью стохастического моделирования

(методом Монте-Карло), с использованием нормального закона распределения и закона распределения Шарлье, вычисляя для каждой реализации соответствующие вероятности с их последующим осреднением.

На основе метода Монте-Карло получаем, что в тысяче случайных реализаций среднее число отрицательных значений чистого

дисконтированного дохода ЫРУ равно 174.59, то есть риск равен 1.7459% (см табл. 2).

Для каждой реализации были найдены оценки среднего (/), среднеквадратического отклонения (а), асимметрии (Ая *) и эксцесса (Ех*).

Для расчета риска в предположении, что ЫРУ имеет распределение Шарлье, полагаем х=0 и находим значение р1=?(ЫРУ<0) для каждой из к=1000 выборок (I = 1,1000). Осредняя значения по

1000 выборкам, получим средний риск равен 1.7611%.

к

I Р

. Он

Рис. 4 - Гистограмма распределения рисков, рассчитанных по методу Монте-Карло

В предположении, что ЫРУ имеет нормальное распределение Ы(/ , а) с параметрами /и а , также были рассчитаны риски для каждой реализации. Осредненное значение риска равно 2.03 % (табл. 2).

Согласно данным табл.2, результаты расчетов риска по методу Монте-Карло (1.75%) и по распределению вероятностей Шарлье (1.76%) довольно близки, т.е. теоретическое распределение Шарлье адекватно сгладило эмпирическое распределение вероятностей чистого

дисконтированного дохода ЫРУ исследуемого

2

+

X

3

1=1

к

проекта. Высокое значение риска (2.031%), полученное по распределению Гаусса, по сравнению со значениями риска, полученными по распределению Шарлье (1.76%) и по методу Монте-Карло (1.75%), свидетельствует в пользу выбора теоретического распределения Шарлье в качестве распределения, адекватно сглаживающего эмпирическое распределение ЫРУ.

Таблица 2 - Результаты имитационного стохастического моделирования риска проекта методом Монте-Карло и по законам распределения Шарлье и Гаусса

Метод получения Оценки риска

Минимум Максимум Среднее Средне-квадрати- ческое отклонение

Монте-Карло 1.3800 2.1300 1.7459 0.1302

Закон Шарлье 1.4908 2.1121 1.7611 0.0949

Закон Гаусса 1.7409 2.3610 2.0305 0.0840

«Осторожный» инвестор может

руководствоваться максимальным риском. У данного проекта максимальный риск, рассчитанный методом Монте-Карло и по функции распределения Шарлье при а* = 20, а* = 20, а* = 4.7, как

р 'у ' е

видно из таблицы 2, не превышает 2.13%. Следовательно, даже при самом неблагоприятном стечении обстоятельств риск исследуемого инвестиционного проекта не превысит 2.13 %. Поэтому, ввиду незначительности риска, проект следует принимать к реализации.

Если размах риска R, то есть величина тах^)-тт(Д), велик, а закон его распределения -неизвестен, то для того, чтобы определить вероятность того, что риск R не превысит некоторое пороговое значение Ь (Р^<Ь)), можно методом Монте-Карло смоделировать (как это было сделано в работе для NPV ) и рассчитать по

большому числу реализаций частоту получения таких (R<b) значений рисков. При большом объёме выборки относительная частота будет стремиться к вероятности события P(R<b). С точки зрения банкиров значение b не должно превосходить 5 %. Именно это значение считается критическим при принятии банком положительного решения об инвестировании в проект.

Таким образом, авторами разработана в системе компьютерной математики Scilab программа, позволяющая рассчитать не только риск R инвестиционного проекта, но и вероятность того, что риск будет меньше любого достаточно малого числа b %: P{R< b} и, значит, принять обоснованное решение о целесообразности инвестирования в проект.

Литература

1. Теплова, Т.В. Финансовый менеджмент: управление капиталом и инвестициями: учебник /Т.В. Теплова. -М.: ГУ ВШЭ, 2000. - 504 с.

2. Гмурман, Е.В. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие / Е.В. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высшее образование, 2006. - 404 с. - (Основы наук). -ISBN 5-9692-0032-8.

3. Лукасевич, И.А. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений : учеб. пособие / И.А. Лукасевич .— М.: ЮНИТИ, 1998 .— 400с. : ил. — ISBN 5-85173-1154. Маркин Н.С. Основы теории обработки результатов

измерений: Учебное пособие - М.: Издательство стандартов, 1991. - 176 с.

5. Плещинская И.Е., Титов А.Н. Программирование в интегрированных средах. Система Scilab: учеб. пособие . - Казань, Отечество, 2016. - 86 с.

6. Титов А.Н., Нуриев Н.К., Тазиева Р.Ф. Оценка параметров вероятностной модели по экспериментальным данным. Вестник Казанского технологического университета. 2013. Т. 16. № 19. С. 324-330.

7. Вадзинский, Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям / Р.Н. Вадзинский. - СПб.: Наука, 2001. - 295 с.

© А. Н. Титов - доцент кафедры информатики и прикладной математик КНИТУ, к.т.н., redposition53@mail.ru; Р. Ф. Тазиева - доцент кафедры информатики и прикладной математики КНИТУ», к.т.н., ram89_89@mail.ru; Е. П. Фадеева - к.ф.-м. н., д.э.н., профессор кафедры высшей математики Набережночелнинского филиала Казанского инновационного университета.

© A. N. Titov - PhD, Applied Mathematics and Informatics Department Associated Professor, Kazan National Research Technological University, redposition53@mail.ru; R. F. Tazieva - PhD, Applied Mathematics and Informatics Department Associated Professor, Kazan National Research Technological University, ram89_89@mail.ru; E. P. Fadeeva - PhD, Advanced Mathematics Department Professor, Naberezhnye Chelny Branch of Kazan Innovation University.