О характере деформаций на свободной поверхности и жесткой границе раздела при отражении упругих волн

УДК 539

О характере деформаций на свободной поверхности и жесткой границе

раздела при отражении упругих волн

Н.В. Чертова, Ю.В. Гриняев

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия В рамках известной задачи отражения упругих волн при падении на свободную поверхность и жесткую границу раздела получены аналитические выражения, определяющие коэффициенты отражения. Найденные коэффициенты отражения позволяют проанализировать зависимости различных компонент деформации и поворота при отражении упругих волн от свободной поверхности и жесткой границы раздела в случае идеального контакта и возможного проскальзывания от угла падения волны и упругих параметров среды. Рассмотрены особенности деформаций упругих сред на исследуемых границах раздела для падающих продольных и поперечных волн.

Ключевые слова: отражение упругих волн, свободная поверхность, жесткая граница раздела, компоненты деформаций

Deformation features on the free surface and rigid interface during elastic wave reflection

N.V. Chertova and Yu.V. Grinyaev

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia

Analytical expressions defining the reflection coefficients have been derived in the framework of the known problem of elastic wave reflection from the free surface and rigid boundary. The found reflection coefficients are used to analyze the dependences of different strain and rotation components during elastic wave reflection from the free surface and rigid interface in the case of ideal contact and possible slip on the wave incidence angle and elastic parameters of the medium. Deformation features of elastic media at the studied interfaces are considered for incident longitudinal and transverse waves.

Keywords: elastic wave reflection, free surface, rigid interface, strain components

1. Введение

Свободные поверхности, представляющие границы сплошных тел при некоторых схемах внешнего нагруже-ния и являющиеся характерной особенностью пористых материалов и сред при наличии трещин, определяют многие физические явления и оказывают существенное влияние на процессы деформации и разрушения [1-5]. В последние десятилетия актуальность изучения роли свободных поверхностей определяется интенсивными исследованиями и разработками наноструктурных материалов, в частности пористой нанокерамики [6-9]. Чтобы установить, какие особенности процессов деформирования могут быть обусловлены наличием свободных поверхностей, в [10] были рассмотрены закономерности отражения плоской гармонической волны при падении

на свободную поверхность. Традиционной целью аналогичных исследований является нахождение коэффициентов отражения, которые связывают амплитуды отраженных волн с амплитудой падающей волны, и определение потоков энергии первичной и вторичных волн [11, 12]. В работе [10] коэффициенты отражения были использованы для анализа различных мод деформации, характеризующих формоизменение бесконечно малого элемента среды и его поворот на свободной поверхности. Однако в указанной работе не были рассмотрены особенности деформаций свободной поверхности

п0

при углах падения первичной волны сдвига 6(, удовлетворяющих условию 6° >6* = атезт(С1/С), где С1, С — скорости продольных и поперечных упругих волн. Как известно, в этом случае отраженная про-

© Чертова Н.В., Гриняев Ю.В., 2016

дольная волна распространяется вдоль свободной поверхности, затухая по экспоненте вглубь среды [11, 12]. Этого вывода вполне достаточно для анализа закономерностей волновых процессов на свободной поверхности, но характер ее деформаций при углах падения больше критического не был изучен. В настоящей работе представлены результаты исследований особенностей деформаций на свободной поверхности при углах падения поперечной волны 0° < 90 < 90° и жесткой границе раздела. Исследование закономерностей деформаций при отражении упругих волн от жесткой границы раздела актуально с точки зрения анализа деформационного поведения дисперсионно упрочненных материалов и сплавов [13]. Физические и математические модели, используемые для изучения указанных материалов, предполагают наличие включений с более высокими прочностными свойствами и соответствующими границами раздела [14, 15]. Рассматриваемая задача о структуре деформаций при отражении упругих волн от свободной поверхности и жесткой границы раздела также представляет интерес с точки зрения определения предельного характера деформаций на границе раздела двух сред с различными упругими свойствами.

2. Постановка задачи

Предположим, что на граничную поверхность, определяемую нормалью w||z, падает волна, направление распространения которой образует некоторый угол с осью z в плоскости yz. Упругая среда, расположенная в области z < 0, характеризуется параметрами ц, А, р. Вектор смещений падающей продольной волны или волны расширения, сопровождаемой деформациями растяжения-сжатия в системе координат, связанной с направлением распространения волны [12], в координатах xyz имеет компоненты

U0 = 4° cos 90 exp(ik0 r0),

U° = 4o sin e°exp(ik° r0),

где 4° — амплитуда; e° — угол падения; k° — волновой вектор; r ° = z cos e° + y sin e° — радиус-вектор первичной волны. Если на свободную поверхность падает поперечная волна, известная как волна искажения или сдвига [12], смещения в координатах xyz определяются выражениями

U0 = -4° sin e° exp(ikt° r0), U° = A° cos e° exp(k° r °).

Здесь 4° — амплитуда; e° — угол падения; kt° — волновой вектор; r° = z cos e° + y sin e° — радиус-вектор падающей поперечной волны. При записи (1), (2) опущен множитель exp(-ztot), где ю — частота; t — время. Дифференцируя (1), (2) по координатам, получим выражения для компонент тензора упругих дисторсий,

определяющих деформации и поворот. В случае падающей продольной волны указанные величины запишутся следующим образом:

с0 тт0 0 ^0 2П0 /•; 0 0Ч

= = А А 01 ехр(г^1 Г ),

E°y = U° y = ik° 4° sin2 e°exp(k° r °), U = U°z = 4° cos e° sin el exp(ik°r°),

E°y = (U°° y + U°0 z )/2,

E° = E— + E° = 4°exp(k° r°),

К = (U°0z - U°°y )/2 = 0.

Для падающей поперечной волны соответственно получим

E°zz = -ik° sin (2ef) exp(ikt° r0 )/2,

E°y = ikt° 4 sin (2ef) exp(ikt° r° )/2,

E° = E°y = ikt° 4° cos (2et) exp(ikt° r° )/2,

Wy = ikt° 4t°exp(ikt° r0 )/2.

Как известно [11, 12], на границе раздела двух сред при произвольном угле падения продольной или поперечной волны возникают отраженные волны обеих поляризаций, поэтому смещения для отраженной волны запишутся следующим образом:

U- = -4- cos e- exp(ik-rl-) - 4- sin e- exp(ikt-rt-).

U- = sin e l exp(ikl rl ) - 4t cos et exp(ikt rt ).

Здесь 4-t) — амплитуды; e-^ — углы отражения; rl-t) = = -z cos e-(t) + y sin e-(t) — радиус-векторы; k-t) — волновые векторы отраженных волн; kl = ю/C, kt- = kt- = ю/Ct. Углы падения и отражения связаны равенствами, представляющими законы отражения для первичной волны расширения (6) и сдвига (7):

e° = e-, sin e- = cj clsin e°,

et = e-, sin e- = cj ctsin et.

Компоненты деформаций отраженной волны на основе (5) находятся в виде:

E- = ik- 4- cos2 e- exp(ikf rl-) +

+ ikt- 4- sin e- cos e- exp(ikt- rt-), E- = ik- 4- sin2 e- exp(/kl- rl-) -

- ikt-4- cos e- sin e- exp

E-y = (-ikf 4- sin(2e- )exp(ikf ri-) + + ikt- cos(2e-) exp(ikt- rt- ))/2, W-y = ikt-4- exp(ikt-rt-)/2, E- = ik- 4- exp(ikl"rl"). Согласно (1), (5), суммарные смещения на границе

для падающей продольной волны примут вид

uz = (4o - 4-) cos е? - 4- sin et-, uy = (4? + 4-) sin е? - 4t- cos е-,

соответствующие деформации будут равны

ezz = ik0 ( a__ + ao) cos2 eo+ik- a__ sin e_ cos e_, Eyy = /kj°(a- + Al0)sin2 eO - ikt_ a_ cos e_ sin e_,

Еу = [гк^А° - А- ^т(26-) + гк-А- cos(26t" )]/2,

W = гк-А-/2, Еу = ¿к°(А- + А°). Для первичной волны сдвига суммарные смещения на границе определяются формулами (2), (5), на основе

которых получим

Uz = _( AtO + At-) sin eO - A_ cos e-, uy = (AO - At-) cos et0 + Al- sin e_.

Деформация на границе в случае падающей поперечной волны сдвига задается выражениями, следующими из (4), (8):

Ez = ikO (At_ - At0) sin et cos et+ikl- a_ cos2 e-,

Eyy = ikt0(AO - At-)cos eO sin et + ikl- a- sin2 e

Ezy = [iktO (At- + AO) cos (2eO) - ikl- Al- sin (2e_ )]/2, W = ikO (AO + A-)/2, Ev = ik_ A_.

3. Нахождение решений в случае свободной поверхности

Граничные условия на свободной поверхности предполагают равенство нулю напряжений, действующих на эту поверхность:

azz = 2\xEzz + XEV = 0, а^ = 2^ = 0.

Для падающей волны расширения, подставляя (10) в (13), получим систему уравнений относительно коэффициентов отражения продольной и поперечной волн, решение которой имеет вид

C2 sin

R = -

u " C2sin

= _ 2C cos(2e; )sin(2eO) Rtl = C2 sin (2e__) sin (2eO) + cos2 (2e__)'

где Яц = А-/А1°, Rt1 = А,"/А°, С = С(/С1. При нормальном падении, когда 6° = 0, отраженная волна является продольной, поскольку R11 = -1, R1t = 0. С учетом (14) выражения для компонент деформаций (10) могут быть записаны следующим образом:

= (2С2-1^т(26- ^т(26°) 22 = С2 sin(26- ^т(26°) + cos2 (26-) ,

Eyy = ^ 2

sin

C ¿sin

Еу = 0, W = Rtl А/(2С), Еу = (1 + Яи) А, А = А°.

Подставляя в граничные условия (13) выражения (12) для суммарных деформаций на границе, получим систему уравнений относительно коэффициентов отражения в случае падающей поперечной волны: R1t = А-/А°, Rtt = А~/А, из которой следует что

= C2 sin (2eO) sin (2e_) _ cos2 (2eO) = C 2sin(2eO)sin(2e_) + cos2(2eO)' 2C cos(2eO)sin(2eO) C sin (2eO) sin (2e_)+cos2 (2eO).

Rlt = ^2

При угле падения 6° = 0 Я = -1, Я^ = 0, т.е. отраженная волна является поперечной при нормальном падении волны. С учетом (16) компоненты деформаций на границе для первичной волны сдвига (12) можно переписать следующим образом:

Е = (2С2 -1^т(260)^(26р) в 22 С^т(260^т(26-) + cos2(260) ,

Eyy = ^ 2

sin

C sin

B,

Ezy = O, W = (1 + Rt)B/2, Ev = CRlt B, B = iktO AO.

На основе выражений (14)-(17) в [10] были рассчитаны и проанализированы коэффициенты отражения и амплитуды компонент деформаций при любых углах падения продольной волны 60 и при углах 0 < <6^ <6* поперечной волны. Если угол падения волны сдвига 60 больше критического 6t, то рассматриваемые величины становятся комплексными. Коэффициенты отражения (16) при углах 60 > 6t запишутся в виде

Яе(Я^ = ((С^т(260^ш(26-))2 -^4(260))/2,

Гт(Яа) = 2C2sin(260)sin(26" )^2(260)/ Z,

Re(R1t) = 2С ^3(260^т(260)/^,

1т(Я1{) = -2С3 sin2(26t,)sin(26- )^(260)/2,

где Z = (С^т(260^т(26-))2 + ^4(260). Формулы для деформаций (17) преобразуются следующим образом:

Е22 = (2С2 -1^ш(260)^3(260)£^,

Еуу = ^п(260)^3(260) В ¡2,

Еу = 0, W = (C2sin(260)sin(26" ))2 В^,

Еч = С Яе(Я,)В.

4. Нахождение решений в случае жесткой границы раздела

Граничные условия на жесткой границе раздела в случае идеального контакта предполагают равенство нулю компонент вектора смещений:

и2

Для падающей продольной волны граничные условия (20) и выражения для смещений (9) позволяют записать систему уравнений относительно коэффициентов Френеля % Я^

(1 _ Rll) cos eO _ Rtl sin e_ = O, (1 + Rll)sin eO _ Rtlcos e_ = O. Решение (21) имеет вид

R = cos (90 + 9- )/cos (90 - 9-),

Rtl = sin(290)/cos(90 -9-). Подставляя найденные решения в (10), получим выражения для компонент деформации на жесткой грани-

це раздела в случае падающей продольной волны:

Ev = E- = 2cose- cose° 4, Eyy =

cos

Es = Ey = W = -

sin

2c cos

Для падающей на жесткую границу раздела поперечной волны условия (20) и формулы (11) позволяют получить систему уравнений относительно коэффициентов Rtt, Rit:

(i+Rtt) sin e°°+Rlt cos e- =

(1 - Rtt)cos e° + Rlt sin e- = ° и найти следующие решения:

Rtt = cos(e° + e- Vcos(e° -e-),

Rlt = - sin (2e° )/cos (e° - e-).

Компоненты деформаций (12) на основе (25) запишутся в виде

= -csnM) в, Eyy = °, zz cos(e° -e-) yy

Es = W = cos^cos^ Ev = Ez

cos

При углах падения больше критического et коэффициенты отражения (25) и компоненты деформации (26) определяются выражениями

Re

Im( Rlt) = sin (2e°) cos e° cos e- /z ; Ez = - sin (2e°) sin e° sin e-B/z, Eyy = Es = W = (cos et° cos e- )2 b/z ,

где Z = (cos e°cos e- )2 + (sin e°sin e-)2.

При возможности проскальзывания граничные условия на жесткой границе раздела предполагают равенство нулю нормальной компоненты вектора смещений и сдвиговой компоненты тензора напряжений

Uz

Для падающей продольной волны условия (29) и соответствующие выражения для смещений (9) и деформаций (10), определяющих напряжения, позволяют записать систему уравнений относительно коэффициентов отражения:

(i - Rll) cos e° - Rtl sin e- =

(1 - Rll)c sin(2e°) - Rtlcos(2e-) =

Подставляя решение (30) = 1, = 0 в (10), можно определить амплитуды компонент деформации на жесткой границе раздела при условии проскальзывания для падающей волны расширения:

Ez = 2 4 cos2 e°, Eyy = 2 4 sin2 e°, Es = W = °.

Для падающей на жесткую границу раздела поперечной волны граничные условия (29) и формулы (11), (12) позволяют получить систему уравнений:

(i+Rtt) sin e°°+Rlt cos e- =

(1 + Rtt)cos(2e°) - cRlt sin(2e-) =

Используя решение (32) Rtt = -1, Rlt = несложно определить компоненты деформаций на жесткой границе раздела при условии проскальзывания в случае первичной волны сдвига:

Ezz = -B sin(2e°), Eyy = B sin(2e°),

Es = W = °.

5. Анализ и обсуждение результатов

Полученные в двух предыдущих разделах аналитические выражения позволяют исследовать зависимости коэффициентов отражения упругих волн и различных компонент деформации на свободной поверхности и жесткой границе раздела при условии идеального контакта и возможного проскальзывания от угла падения волны и различных свойств среды.

5.1. Отражение волны при падении на свободную поверхность

Падающая на свободную поверхность волна расширения отражается в виде продольной и поперечной волны при углах падения 0° < е? < 90°. Исключением являются углы е? =е?„, удовлетворяющие условию

(1 - 2(С sin е? )2 )2 - 2C3 sin е? sin^?*) х

*yj 1 - (Сsinе° )2 = 0, при которых падающая продольная волна отражается в виде сдвиговой волны. В теории электромагнитных волн аналогичные углы известны как углы полной поляризации, или углы Брюстера [16]. Коэффициенты отражения и особенности деформаций на свободной поверхности в случае первичной продольной волны подробно рассмотрены в [10]. Если на свободную поверхность падает сдвиговая волна, то отраженная продольная волна существует в виде однородной волны в интервале углов 0 <е0 <е*. При углах е0 > е* отраженная волна расширения становится неоднородной волной и распространяется вдоль свободной поверхности, затухая по экспоненте вглубь среды. На рис. 1 приведены зависимости действительной и мнимой частей коэффициентов отражения от угла падения волны сдвига и

значений отношения C = Ct/ Cx, характеризующего среду. Предельный угол отражения продольной волны является особой точкой на кривых рис. 1. Угол е0 =et является точкой возврата на зависимостях Re ^tt(e°), Re £lt(e°) и минимальным граничным значением для мнимых частей коэффициентов отражения. Из полученных результатов следует, что в интервале углов е° > е t

2 2 2 | Rtt | = Re Rtt + Im Rtt = 1, т.е. перенос энергии осуществляется отраженной волной сдвига, когда отраженная продольная волна неоднородна. При углах е° < е^ поток энергии падающей волны равен потокам энергий отраженных продольных и поперечных волн: | Rtt| + + | Rlt|2 cos е-/(Ccos е°) = 1. В случае первичной волны сдвига углы полной поляризации е° = е°*, при которых отраженная волна является продольной, определяются условием

sin2 е° + (cos2(2e0* )/(2sin(2e0*)sin е0*))2 - с2 = 0.

Характер деформаций на свободной поверхности упругого тела определяется граничными условиями. Из равенства нулю напряжений на свободной поверхности следует равенство нулю деформаций сдвига. Удлинения, не равные нулю на границе в общем случае, обуславливают объемные изменения, которые выражаются через коэффициенты отражения продольной волны при падении на свободную поверхность волн любой поляризации (15), (17). Как следует из указанных формул, компоненты деформаций Ezz, E обращаются в нуль при

углах падения продольной волны 60 = 0°, 90° и при 60 = = 0°, 45°, 90° в случае первичной волны сдвига. В обоих случаях удлинения связаны соотношением Е2 = Е х х(2С -1) и Е2 = 0, если для среды выполняется равенство С = 1/2 (рис. 2, а). Характер объемных изменений на свободной поверхности и ненулевой компоненты напряжений при падении сдвиговой волны, как и в случае падения продольной волны, аналогичен, поскольку на основе (15), (17) их можно записать следующим образом:

Syy = Суу/ (2ц + Г) = Еуу + (1- 2С2 )Е22 =

= 4С2(1 - С2)Еуу,

Еу = 2С2 Еуу.

В отличие от деформации сдвига, равной нулю на границе, поворот отличен от нуля на свободной поверхности и определяется, согласно (15), (17), коэффициентами отражения поперечной волны. Соотношение амплитуд объемной деформации и поворота на свободной поверхности, остающееся практически неизменным во всем интервале углов падения продольной волны [10],

в случае падающей волны сдвига существенно различно

0 * 0 * при 6t < 6t и 6t > 6t (рис. 2, б). В интервале углов

60 < 6t величины амплитуд поворота и объемной деформации имеют сравнимые значения, при углах 60 > 6 t Еу заметно меньше W, за исключением окрестности

60 = 90° , где их значения приближаются к нулю.

Рис. 1. Действительные и мнимые части коэффициентов отражения продольной и поперечной волны в зависимости от угла падения волны сдвига на свободную поверхность. с = 0.40 (сплошные кривые), 0.65 (пунктирные кривые), здесь и далее значения угла падения 60 приведены в радианах

77 17 1.6

0.8

0.0

-0.8

Л 1  / \ у \ £_-_-

/ 1 / ' \ / 1 \ / 1 1 1 | гт»^ I I 1 1

0.4

0.0

-0.4

-0.1

0.0

0.0

0.4

0.4

0.8

1.2

1.2

0

/ / \ /' \ /' \ /' \ /' \ ** N /

/ ' \ 1 \ ^ / \ __»—✓ Еб (С-0.40) / \ / \ / 4

-----ж

0

0.4

0.0

-0.4

-0.8

1

1 / 1 1 1 1 \ \ / \ / \ / \/

^ е8 (с~ 0.65) / \ / \ / %

-----Ж

0

0.0

0.4

1.2

Рис. 2. Зависимости компонент деформаций на свободной поверхности от угла падения поперечной волны

На рис. 2, в, г приведены зависимости, позволяющие сравнить амплитуды сдвиговой деформации Е8 = Е— и поворота Ж = от угла падения первичной волны для отраженной волны. Указанные величины синхронно увеличиваются при углах 00 <0* и изменяются в проти-вофазе при 00 >>0*. В обоих интервалах углов падения первичной волны деформация сдвига и поворот в отраженной волне являются величинами одного порядка.

5.2. Отражение волны от жесткой границы раздела

На рис. 3, а представлены зависимости коэффициентов отражения от угла падения продольной волны на

жесткую границу раздела при условии идеального контакта. Коэффициент отражения продольной волны равен нулю при углах 0°° = 0° = агС:§(1/С), представляющих углы полной поляризации. Согласно формулам (22), (23), коэффициент отражения поперечной волны определяет значения поворота и деформации сдвига, а следовательно, и сдвиговых напряжений на жесткой границе раздела:

Е = Ж = Rl А/ (2С), Sy =Оу/ (2ц + Х) = С2 Еу.

Зависимости Е8(00), приведенные на рис. 3, б, обращаются в нуль при углах 0°° = 0°, 90° и имеют экстремальные значения при углах 0{, удовлетворяющих

ной волны при условии идеального контакта

Яе/?„, ЯеЯ

-ЛеЯй

-----ЛеЯй

---ЫеЯк

ЛеЯ^

0

Рис. 4. Действительные и мнимые части коэффициентов отражения на жесткой границе раздела в зависимости от угла падения волны сдвига в случае идеального контакта

условию

ЭЯ = ^36р ^ 6- - sin360 sin 6-

Э6 0

cos2(60-

6-)

: 0.

На основе данного равенства получаем кубическое уравнение относительно у -

60:

у

-6ау1 + 4ау- а = 0, где а = С2/(1 + 3С2),

и находим довольно громоздкие аналитические ре-

шения и соответствующие численные значения 6

~ 0.9585 при С = 0.4 и 60т производная

Э 2 Я -3sin 60cos 60

: 0.8766 при C = 0.65. Вторая

_Ч

Э X

cos

при найденных значениях 61т будет отрицательна, что соответствует максимальным значениям рассматриваемых величин.

Поскольку на жесткой границе раздела при условии идеального контакта Е = 0 (23), объемные изменения равны удлинению Е22 = (1 + Я11)А, определяемому коэффициентом отражения продольной волны, а диагональные компоненты напряжений вычисляются по формулам

0

S 22 (2ц + Х) = Е22,

5уу =°уу/ № + = (1 -2С 2)Е2

Удлинение Е22 и связанные с ним величины Еу,

822, изменяются монотонно по мере увеличения уг-

уу 0 ла падения волны, максимальны при 61 = 0° и равны

нулю при 60 = 90°(рис. 3, б).

Падающая поперечная волна имеет на жесткой границе действительные коэффициенты отражения при

0

61 <61 и комплексные, определяемые действительной и мнимой частями, при 60 > 6t

на жесткой границе раздела имеют при 60 =61 точку возврата, а 1тЯй(60), 1т Я1,(60) — нулевые значения. Углы полной поляризации в случае первичной волны сдвига задаются равенством 60 = 6^ = arctg С. На рис. 5 приведены зависимости амплитуд компонент деформаций и напряжений на жесткой границе раздела от угла падения волны сдвига в случае идеального контакта. Как следует из формул (25), (26), компоненты деформаций на жесткой границе раздела связаны с коэффициентами отражения падающей поперечной волны следующим образом: Е2 = Еу = ЛкСВ, Е^ = Ж = (1 + Яи)В/2. Диагональные

Рис. 5. Зависимости компонент напряжений и деформации сдвига от угла падения поперечной волны на жесткую границу раздела в случае идеального контакта

компоненты напряжений определяются выражениями (34), а ^ = с2 Е8.

Падающая на жесткую границу раздела упругая волна любой поляризации при проскальзывании порождает на границе компоненты удлинений Е22, Еуу (31), (33) и определяемые ими диагональные компоненты напряжений. Деформация сдвига и поворот равны нулю на жесткой границе раздела при проскальзывании, как и объемные изменения в случае падающей поперечной волны.

6. Заключение

Свободная поверхность в процессе деформации является областью объемных изменений и поворотов. Объемные деформации, оказывающие существенное влияние на процессы диффузии, теплопроводности, абсорбции и т.д., определяют многие особенности поведения материалов при наличии свободных поверхностей. Поворот и деформация сдвига, сопровождающие распространение отраженных от свободной поверхности волн, являются величинами одного порядка, что указывает на необходимость рассмотрения обеих величин при описании деформации материалов и сред, имеющих поры, трещины и свободные поверхности в качестве границ. При отражении упругих волн от жесткой границы раздела в случае идеального контакта деформация сдвига и поворот равны между собой на границе, что также указывает на важность использования трансляционных и вращательных мод деформации при описании сред с границами раздела и необходимость учета энергии деформирования, определяемой различными степенями свободы.

Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013-2020 гг. В части обоснования появления вихревых мод деформации при отражении упругих волн от свободной поверхности и жесткой границы раздела работа поддержана грантом Российского научного фонда № 14-19-00718.

Литература

1. Мамонова М.В., Прудников В.В., Прудникова И.А. Физика поверхности. Теоретические модели и экспериментальные методы. - М.: Физматлит, 2011. - 400 с.

2. Поверхностные слои и внутренние границы раздела в гетерогенных материалах / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006. - 520 с.

3. Сарафанов Г.Ф., Перевезенцев В.Н. Анализ влияния свободной поверхности и размера пластической зоны на эффект экранирования упругого поля дисклинации // ПЖТФ. - 2006. - Т. 32. - №18.-С. 35-43.

4. Чертова Н.В. О закономерностях распространения волн через границу раздела сред с дислокациями // ЖТФ. - 2012. - Т. 82. -№ 12. - С. 135-138.

5. Романова В.А., Зиновьева О.С., Балохонов P.P., Ковалев В.А. Формирование мезоскопического рельефа на поверхности стальных образцов при одноосном растяжении: эксперимент и моделирование // Деформация и разрушение материалов. - 2012. - № 5. -С. 32-43.

6. Gleiter H. Nanostmctured materials: basic concepts and microstructure // Acta Mater. - 2000. - V. 48. - No. 1. - P. 1-29.

7. Андриевский P.A., Глезер А.М. Прочность наноструктур // УФН. -

2009. - Т. 179. - № 4. - С. 337-358.

8. Нагорнов Ю.С. Термодинамика отжига нанопористого кремния // ПЖТФ. - 2015. - Т. 41. - № 11. - С. 35-47.

9. Панин С.В., Любутин П.С., Буякова С.П., Кульков С.Н. Исследование поведения пористой керамики при одноосном сжатии путем расчета мезоскопических деформационных характеристик // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 6. - С. 77-86.

10. Чертова Н.В. О характере деформаций на свободной поверхности упругого тела // ПЖТФ. - 2015. - Т. 41. - № 22. - С. 15-24.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости // Теоретическая физика. Т.УП. - М.: Наука, 1987. - 244 c.

12. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. - Изд-во иностранной литературы, 1955. - 194 с.

13. Гольдштейн М.И., Литвинов B.C., Бронфин Б.М. Металлофизика высокопрочных сплавов. - М.: Металлургия, 1986. - 312 с.

14. Цвелодуб И.Ю. Плоские задачи для упругой среды с жесткоплас-тическими включениями // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 5. -С. 73-77.

15. Козлов Э.В., Конева Н.А., Попова Н.А. Зеренная структура, геометрически необходимые дислокации и частицы вторых фаз в поликристаллах микро- и мезоуровня // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12.-№ 4. - С. 93-106.

16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред // Теоретическая физика. Т.УН. - М.: Наука, 1987. - 244 c.

Поступила в редакцию 15.04.2016 г.

Сведения об авторах

Чертова Надежда Васильевна, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, chertova@ispms.tsc.ru Гриняев Юрий Васильевич, д.ф.-м.н., внс ИФПМ СО РАН, grn@ispms.tsc.ru