О некоторых свойствах моментов Каги и Ренко для броуновского движения

6. Бородина Ю.В. О синтезе легкотестируемых схем в случае однотипных константных неисправностей на выходах элементов // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 2008. № 1. 40-44.

7. Бородина Ю.В. О схемах, допускающих единичные тесты длины 1 при константных неисправностях на выходах элементов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 5. 49-52.

8. Бородина Ю.В, Бородин П.А. Синтез легкотестируемых схем в базисе Жегалкина при константных неисправностях типа "0" на выходах элементов // Дискретн. матем. 2010. 22, № 3. 127-133.

Поступила в редакцию 11.02.2011 После доработки 07.09.2011

УДК 511

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ МОМЕНТОВ КАГИ И РЕНКО ДЛЯ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

М. А. Спиряев1

В статье рассматриваются вероятностные характеристики методов технического анализа Каги и Ренко. Для линейной модели Л. Башелье дается выражение ожидаемой прибыли инвестора, использующего стратегию Каги. Также в работе получены некоторые свойства, связанные с величинами "падения" и "размаха" броуновского движения.

Ключевые слова: броуновское движение, величины "падения" и "размаха" броуновского движения, стратегии Каги и Ренко, моменты Каги и Ренко.

The probabilistic characteristics of Kagi and Renko techniques are studied in the paper. Within the framework of the Bachelier model, a formula for expected gain of a trader following the Kagi strategy is derived. In addition, some properties of the "range" and 'downfall" of the Brownian motion are obtained.

Key words: Brownian motion, "downfall" and "range" of Brownian motion, Kagi and Renko strategies, Kagi and Renko stopping times.

1. Введение. На сегодняшний день существует множество графических методов технического анализа финансовых данных, позволяющих выявлять закономерности в движении цен и делать прогнозы путем анализа их графиков. Многие из этих методов посвящены проблеме определения трендов и моментов в случае, когда один тренд сменяется другим. Широкое распространение в этой связи получили методы Каги и Ренко.

Впервые подробное описание методов Каги и Ренко, а также связанных с ними стратегий было выполнено в работе [1]. В работе [2] приводится статистический анализ стратегий Каги и Ренко и их математическая формализация. В работе [3] исследуются свойства моментов Каги и Ренко для случайного блуждания и дается выражение для ожидаемой прибыли инвестора, использующего стратегию Каги в случае, когда цена актива описывается случайным блужданием.

В настоящей работе исследуется случай, когда цена актива X описывается броуновским движением со сносом (линейная модель Л. Башелье). Вычисляются распределения приращений цены актива в моментах Каги и Ренко, преобразования Лапласа этих моментов, а также математическое ожидание прибыли инвестора, использующего стратегию Каги.

2. Основные определения. Для произвольной величины H > 0 и процесса (Xtиндуктивно определим следующую последовательность моментов остановки.

Базис к0 = infiu ^ 0: max X — min X = H):

[0,u] [0,u]

если XK0 = maxX, то к^ = inf{u £ [0, к0]: Xu = min X};

[0,ко] [0,ко]

1 Спиряев Максим Александрович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: spiryaevmax@gmail.com.

если XK0 = min X, то Kq = inf{u Е [0, ko]: Xu = maxX}.

[0, ко] [0, ко]

Шаг n ^ n +1: если Xkп - Xkn = H, то

Kra+i = inf{u ^ Kn: max X — Xu = H}, к'П+1 = inf{u Е [кп, Kn+i]: Xu = max X};

[ к n,u] [кn, Kn + 1]

если Xk„ — Xk*u = —H, то

Kn+i = inf{u ^ Kn: Xu — min X = H}, кП+1 = inf{u Е [Kn, Kn+i]: Xu = min X}.

[Кn,u] [Кn ,Kn+l]

Последовательность (к, k*) называется H-построением Каги для процесса X. Моменты (к)i=o,i,... называются моментами Каги.

Также индуктивно определим последовательность моментов остановки (pi)i=o,i,...:

po = 0, ... , pi+i = min{u ^ pi: | Xu — Xp. | = H}.

Построим процесс XX = (Xt) t^o следующим образом: Xt = Xp., t Е [pi, pi+i).

Пусть (pi,p*)i=o,i,... является H-построением Каги для процесса XX. Последовательность (pi,p*)i=o,i,... называется H-построением Ренко для процесса X. Моменты (pi)i=o,i,... называются моментами Ренко.

3. Свойства моментов Каги для броуновского движения. Пусть B = (Bt)t^o — стандартное броуновское движение, заданное на некотором вероятностном пространстве (Q, F, FB, P) с согласованной фильтрацией F^ = a{Bs, s < t}. Рассмотрим процесс X = (Xt)t^o: Xt = /it + aBt, / Е R, a > 0. Теорема 1. Броуновское движение X обладает следующими свойствами:

P((X — X )i(X > 0) < х) = {PdI(x ^0) + PuP(Zmin <x), m m ^2;

m m-1 0 1 PdI(x ^ 0) + PuP((max < x), m нечетное, m ^ 2,

P((X — X )I(X < 0) < x) = / PUI(x ^ 0) + PDP(Cmax < x), m четно^ m > 2;

m m-1 0 1 PUI(x ^ 0) + PDP(Zmin < x), m нечетное, m ^ 2,

где

f_ехр(2МЯДт2)-1-2МЯДт2 nvu U ^ 0

Pjj = P(XK0 > 0) = (exp(2/iH/^)-l)(l-exp(-2^H/^)) ^ T U>

[l/2 при ß = 0,

Г_ex\>(—2ßH/а2 ) — l-\-2ßH/а2 ,

PD = P(XK0 < 0) = (exp(2/iH/^)-l)(l-exp(-2^H/^)) nPU » + [l/2 при ß = 0.

при Ц,

ехр(-2цН/а2)-1+2цН/а2 [2цН/а2

при ^

Распределения величин £т;п и (тах .задаются следующим образом,:

2^/а2

Law (H - (min) = Exp

1 - exp

/а2

Law (Я + Стах) = Exp (ехр(2^/6<у2)_1) при 0,

Law (Я - (min) = Law (Я + (тах) = Ехр при ß = 1.

Кроме того, преобразования Лапласа моментов кп имеют вид

где \x\ = min{n Е Z : n ^ x} и

—Hß/a2 „Hß/a

2

^max — / л \ / л \ / 1 ^min

cosh (я|) - sinh (я|) ' cosh (я|) + sinh (я£) Ojf '

F+(H, A) = ---j (-ГА UH/аЧНА/а _ A _ A^ / _ ^ _НА/аЛ

2(sinh(tf#))2 VA + ZX/Л A - /i/(T V

F_{H, A) = ---J (fg—ßH/a2 +HA//J - A - ^^ (1 _ e-H,/*2-HA/*\\

2(81пь(я#))2 VA-zx/Л ; Д + /Х/Л ^

Доказательство теоремы 1 опирается на следующие леммы.

Лемма 1. Пусть A ^ 0 ^ B, (Xt)t^0: Xt = ßt + aBt — броуновское движение со сносом. Пусть тA = inf{t ^ 0: Xt = A}, тB = inf{t ^ 0: Xt = B}, т [AB] = тA Л тB

— моменты выхода на уровни A и B и момент выхода процесса X из интервала [A, B] соответственно. Тогда преобразование Лапласа для момента т [A,B] обладает следующими свойствами:

Ее_Лт =тА) =--Ее_Лт =тв) =-^--г

sinh UB - А) #) sinh UB - А) %

где А ^ 0, А = ^2А + ß2/a2.

Лемма 2. Пусть H > 0, (Xt)t^o: Xt = ßt + aBt — броуновское движение со сносом. Пусть

Ymax = inf{t ^ 0: max X — Xt = H}, Ymin = inf{t ^ 0: Xt — min X = H} [0,t] [0,t]

— моменты остановки. Тогда преобразования Лапласа и математические ожидания моментов Ymax и Ymin задаются следующим образом:

p-Hß/r2 pHß/r2 Ee-A7maX = ----- Ее"Л7п

cosh (яf) - sinh (я£) ^' cosh (я|) + sinh (я|) '

а2 а2 Я (а2 а2 Я

. —„е^2--„--при а Ф 0; —^е --„ Н--при а Ф 0;

Е 7тах = { V 2/Х2 ß Е 7min = I 2ß2 2ß2 ß * ^ ^

H2ja2 при ß = 0,1 H2 ja2 при ß = 0.

Кроме того, распределения величин max X и min X имеют вид

[0,7max ] [0,7min]

Р( max I^lJ^^MÄSm)'^0' ^

Vio.Tma,] J [i -exp (-§) , ж ^ 0, n = 0,

p( min x ^ _x) = J1 -exP (-!-exp2r-t^)) . * > 0. ^0;

V [0,7min] у {1 - exp (--§-) , x^0, ß = 0,

где А ^ 0, A = ^2A + ß2/(j2.

Лемма 3. Пусть H > 0, (Xt)t^0: Xt = ßt + aBt — броуновское движение со сносом. Пусть К0 =

inf{t ^ 0: maxX — minX = H} — введенный ранее момент остановки К0. Тогда распределение величины [0,t] [0,t]

X(к0) задается следующим образом:

{exp(2ßx/a2) — l—2ßx/a2 ~ jj , „

(eM2ßH/a2)-l)(l-eXp(-^H/a2))' Р Т

ж < Я, ß = 0,

{ехр(—2/11к/<т2) — 1+2/1ж/<т2 ^ тт / п

Ж < Я, ¡1 = 0.

Преобразования Лапласа момента остановки ко обладают следующими свойствами:

Ее_Лко1(Хко > 0) =---, ("ТГ^-Г (ецН/<г2+НА/<т _ Л _ А^ (х _ я^2-яд/,Л\

2(8ть(я^))2 ; д-^/Л

Ее_Лк°1(ХКо < 0) =---, Г д-^-г {е-»н/*ЧнА/* _ Л _ А^ Л _ е-н»/*2-НА/*\\

2(81пЬ(я#))2 >1 Д + /х/Л

где А ^ 0, Д = д/2Л + /л2/а2.

В работе [3] приводятся дискретные аналоги лемм 1-3 в случае, когда процесс X является случайным блужданием. Доказательство лемм 1-3 проводится путем предельного перехода от случайного блуждания к броуновскому движению X.

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим четное т ^ 2, в этом случае

Р((ХКт - XКт — 1 )1(Хко > 0) < ж) = Р(Хко < 0, 0 < Х)+ Р(ХКт - ХКт_1 < X, ХКо > 0) = = Р(Хко < 0)1(х ^ 0) + Р(Хкт - Хкт-! < X | Хко > 0)Р(ХКо > 0) = = РП 1(х ^ 0) + РиР(Хкт - ХКт_! < X | Хко > 0).

Далее заметим, что при четном т по построению моментов кт, а также в силу строго марковского свойства и независимости приращений процесса Х имеем

(ХКт - ХКт_1 1 ХК0 > 0) = (Х7т;п).

Из леммы 2 непосредственно выводится следующее свойство распределения величины Х1тп:

V /тт/ 1 / 1 \

[Ехр при /л = 0.

Доказательство для нечетного т, а также для Р((ХКт - ХКт_ 1 )1(ХКо < 0) ^ х) аналогично. Преобразование Лапласа момента кп получается предельным переходом от дискретного случая, описанного в [3]. Теорема 1 доказана.

4. Свойства моментов Ренко для броуновского движения.

Теорема 2. Процесс Х для произвольного Н > 0 обладает следующими свойствами: Р(Х (ро )= Го Н, ..., Х(рп) = ГпН) = С (го) Л Ртт(г 21+2 - Г 21+1) ^ Ртах(г 21+1 - Г 21) при Го > 0;

пп

1=о 1=о

рп) =

Р(Х (ро )= Го Н, ..., Х(рп) = ГпН) = С (го) Л Ртах (г 21+2 - Г 21+1) Ц Рт1п(г 21+1 - Г 21) при Го < 0;

1=о 1=о

-1

где \х~\ = шт{п е Ъ : п ^ х}, кг е Ъ, произведение П = 1,

1=о

{ ехр(2/хЯ/ а2) ехр(2/хЯ/ег2) + 1 ПрП Г° = 1;

С (го) = , 1

ехр(2^Н/ст2) + 1

при Го = -1,

/ ехр(2/хЯ/сг2) _1_

Рт,Лг) ^ехр(2^я/<72) + 1) ехр(2/хЯ/<т2) + 1 [Г ^ h

р .

PmmW - \^ехр(2/хЯ/(Т2) + 1 J ехр(2/хЯ/а2) + 1 ДГ ^ ij'

ехр

^ max = -7-"Г- , ^ + (Я,Л) =

2 cosh - ехр(/хЯ/<т2) ' ' 2 cosh '

п _ехр

Mnin =-7-"Г- , Г-{П,\) =

2cosh - ехр

Доказательство. Как следует из определения, моменты (pn)n^i задаются построением Каги для

~ n

процесса X, который в свою очередь можно рассматривать как случайное блуждание: X(n) = ^ пг. Из

i=i

леммы 1 получаем

Р(Лг = Я) = Р(г["я'я1 = тя) = Ee-^-^'Kri-^l = тя)|Л=о = ^f^j 1 >

exp(2jH/<r2) + 1

P (пг = -H) = Р(т ["я'я] = г "я) = E е_Лт ™Т(г ["я>я] = г "я )|л=0

1

ехр(2^Я/<2) + 1'

Тогда утверждения теоремы следуют из аналогичной теоремы о моментах Ренко для случайного блуждания, которая доказана в [3]. Теорема 2 доказана.

5. Стратегия Каги. Под стратегией Каги понимается описанная в работе [2] стратегия, согласно которой количество единиц актива X в портфеле инвестора в момент времени Ь задается следующим образом:

м

Т(Ь) = ^П(Хкт-1 - ХК*п-1 )1(Ь € [кт-1,Кт)). т=1

Прибыль инвестора на временном интервале [0, км] в этом случае имеет вид

м

Ум = Е(-1Г+1 ^П(ХК0 )(Хкт - Х^ ).

т=1

Покажем, что ожидаемая прибыль инвестора равна

Е УМ = ехР(^Я/(т2) ~ ~ 1 (Ри

2/х/сг2

ехр(-2 ц,Я/а2) + 2цЯ/а2 - 1

2-I Ри

м + PD М - 1

2 2

М - Г + Pd

2 2

2ц./а2

Для этого рассмотрим события и = {ХК0 > 0} и В = {ХК0 < 0}. Тогда имеет место следующее представление:

Ум = Ум 1(и) + Ум 1(В).

Математическое ожидание первого слагаемого Е Ум 1(и) записывается в виде

м

Е Ум 1(и) = ^(-1)т+1 Е (Хкт - Хкт-1 )1(и).

т=1

Распределения величин (ХКт - ХКт_ 1 )1(и) даны в теореме 1. Отсюда при ц = 0 получаем

'г, ехр(2аН/а2 )-2иИ/а2 -1 Ри у о, /л -> т нечетное;

Хигп-1Щи) - < exp(-2nH/l^)+2fiH/а2 -I

T~i expi—2ДЯ/0 ) + 2Ц,Я/и —i

Ри—- 2ilia2 - ' т четное-

Следовательно, математическое ожидание E Vm I(U) при / = 0 имеет вид

E Vm I(U) = Pu

ехр(2¡лН/а2) - 2¡лН/а2 - 1 2~ф2

M'

Y

— Pu

exp(-2¡iH/a2) + 2¡iH/a2 - 1 2^

M - 1

Аналогично вычисляются математическое ожидание Е Ум и выражение для ожидаемой прибыли инвестора. Отметим, что в симметричном случае, когда л = 0, математические ожидания величин вида (ХКт - ХКт_ 1 )1(и) равны нулю и, следовательно, ожидаемая прибыль в стратегии Каги также равна нулю, что соответствует ситуации с отсутствием арбитража на рынке.

Найдем также ожидаемую прибыль, которую получит инвестор от использования стратегии Каги на бесконечном временном интервале в случае л = 0. Рассмотрим подпоследовательность М = 2N, N е N. Тогда

E Vn = N

sinh (21лН/а2) - 2/лН/а2 ¡л/а2

Поскольку sinh(x) > x при x > 0 и sinh(x) < x при x < 0, то для любого / = 0

sinh (2¡лН/а2) - 2¡лН/а2 /л/сг2

> 0.

Как уже отмечалось ранее, при ¡л = 0 ожидаемая прибыль равна нулю. Следовательно,

lim E V2n

N^oo

ж при / = 0; 0 при / = 0.

Таким образом, в рамках модели с броуновским движением инвестор, используя указанную выше стратегию Каги, всегда получает прибыль, если цена актива имеет отличный от нуля снос.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Nison S. Beyond candlesticks: new Japanese charting techniques revealed. N.Y.: Wiley, 1994.

2. Пастухов С.В. О некоторых вероятностно-статистических методах в техническом анализе // Теория вероятностей и ее применения. 2004. 49, № 2. 297-316.

3. Спиряев М.А. О некоторых свойствах стратегий Каги и Ренко для случайного блуждания // Теория вероятностей и ее применения. 2011. 56, № 2. 279-300.

Поступила в редакцию 08.07.2011