Моделирование обтекания объектов методом дискретных вихрей с представлением вихревой пелены изолированными вихревыми частицами

2008

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность

№ 125

УДК 532.5+517.9

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ ОБЪЕКТОВ МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ С ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ ВИХРЕВОЙ ПЕЛЕНЫ ИЗОЛИРОВАННЫМИ ВИХРЕВЫМИ ЧАСТИЦАМИ

В.Ю. КИРЯКИН

Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.

В статье рассматривается решение трехмерной нестационарной задачи обтекания объектов сложной формы идеальной несжимаемой жидкостью методом дискретных вихрей. Для повышения устойчивости вихревой пелены предлагается новая численная схема на основе изолированных вихревых частиц (вортонов). Описана численная схема расчета нагрузок. Приводятся результаты расчетов.

1. Актуальность моделирования пелены изолированными вихревыми частицами

Метод дискретных вихрей, предложенный С.М. Белоцерковским в 50-х годах, нашел широкое распространение при решении различных задач обтекания тел несжимаемой жидкостью [1]. При моделировании обтекания объектов сложной формы или групп объектов в трехмерной постановке с использованием замкнутых вихревых рамок становится актуальной проблема растяжения вихревых нитей. Можно выделить следующие группы задач, в которых использование классического подхода к моделированию вихревого следа вихревой пеленой, состоящей из связанных вихревых рамок или отрезков, вызывает существенные затруднения.

Во-первых, это случаи, когда вихревая пелена, сходящая с одних объектов, при своем развитии наталкивается на другие объекты. Часть пелены с ростом времени моделирования свободно сходит в поток, часть задерживается преградой (рис. 1, а и б).

Во-вторых, задачи, в которых происходит изменение направления схода пелены с кромки объекта в процессе моделирования с течением времени, или пелена сходит по разные стороны от кромки в разных местах линии отрыва. Примером такой задачи может быть сход пелены с кромки полусферы под углом атаки. При этом часть пелены сходит внутрь полусферы, а часть наружу (рис. 1, в).

а) б) в)

Рис. 1.

В этих случаях происходит сильная деформация незначительной части рамок пелены, рост длины их вихревых отрезков и в конечном итоге разрушение всей пелены. В статье рассмотрен подход численного представления пелены вихревыми рамками совместно с изолированными вихревыми отрезками (вортонами). Такой подход позволяет не допустить рост размеров вихревых отрезков и сохранить устойчивость пелены.

2. Общая постановка задачи

Рассматривается трехмерная задача о нестационарном обтекании тела (группы тел) идеальной несжимаемой жидкостью, имеющей заданную скорость на бесконечности У¥. На поверхностях тел ставится условие непротекания (условие равенства нулю нормальной компоненты скорости). Предполагается, что течение является потенциальным всюду вне тел и вихревых следов, которые образуются на заданных линиях отрыва. Движение вихревых следов подчиняется законам о движении вихревых линий вместе с жидкими частицами и о сохранении циркуляции скорости по контуру, движущемуся вместе с жидкостью. Полная постановка задачи приводится в работах [2, 3].

3. Численная схема расчета отрывного обтекания тел

Численное моделирование обтекания тел осуществлялось модифицированным методом вихревых рамок. Исходная версия этого метода изложена в работах [1 - 3].

В предлагаемом методе поверхности обтекаемых тел заменяются системой замкнутых вихревых рамок, так же, как и в стандартном методе. Вихревой след эмпирически делится на две части: "ближний след" и "дальний след". Ближний след состоит из вихревых рамок, которые сходят в поток с линии отрыва в дискретные моменты времени и имеют не зависящие от времени циркуляции. При этом рамки, образующие ближний след, можно перегруппировать в систему вихревых отрезков, образующих связанную структуру. Дальний след состоит из отдельных вихревых отрезков (вортонов), длины которых не зависят от времени (рис. 2, а) и которые могут быть не связаны друг с другом.

3*

Рис. 2.

Скорость жидкости в произвольной точке течения М представляется в виде:

W = 'т

где 'т - скорость, индуцируемая рамками тела, 'Р - скорость, индуцируемая связанными отрезками из ближнего следа, 'у - скорость, индуцируемая изолированными отрезками. Расчет скорости, индуцируемой вихревым отрезком, осуществляется обычным способом для метода дискретных вихрей [1] с домножением на регуляризирующий множитель, сглаживающий особенность на оси вихревого отрезка. Отличие от классического метода заключается в алгоритме смещения изолированных отрезков пелены.

Смещение вортонов осуществляется в два шага (рис. 2). Пусть М^ и М£ - начало и конец вортона на к-м шаге интегрирования по времени. Сначала находятся новые координаты концов отрезка, как и для обычных связанных вихревых отрезков: М^+1 = М£ + 'нЛ1;,

М к+1 = М ¡к + 'к Л1. Затем проверяется условие

мн+1мк+1

<

мн мк

Если оно выполняется

(длина вихря не увеличилась), то новые координаты концов отрезка будут равны

м k+i=м k+i,

Мк+1 = М™, и его циркуляция не изменится 8к+1 = 8 к+1. Если вортон удлинился, то координаты его концов и циркуляция пересчитываются по формулам:

k+1

MH+1 = Mk+1 -rk+1 /2, Mk+1:

:Mk+1 -r k+1 /2 , 8k+1:

.k+1

8k, где, Mk+1 = (Mk+1 + MH+1)/2

k+1

rk+b

k+1

= 0,5-

( k/ r,t+1

k+1 „k+1

^m^m k+1

=M kIM k

При этом предполагается, что "ближний след" на каждом шаге пополняется отрезками, сошедшими с линии отрыва, и содержит отрезки, сошедшие за фиксированное число N последних временных шагов. На каждом шаге интегрирования по времени концы каждого вихревого отрезка в ближнем следе сдвигаются по скорости жидкости. Отрезок, сделавший в ближнем следе N временных шагов, переводится в "дальний след" и начинает сдвигаться с пересчетом длины и циркуляции.

k

/

r

k

r

*

*

*

4. Численная схема расчета нагрузок

Суммарная нагрузка, действующая на объекты, представлялась как сумма сил, дейст-

N

вующих на вихревые рамки: F = ^FRi , где FRi - сила, действующая на рамку объекта. Если

i=0

объект является тонким (например, щит), то сила, действующая на вихревую рамку, определяется по формуле:

N n

Fr = lFVi/(N Vi +1)+n( Y-Y-1)S/dt, i=1

где NV - количество вихревых отрезков, которые лежат на сторонах рамки, включая отрезки самой рамки, вихревые отрезки соседних рамок, и отрезки, моделирующие вихревой след и лежащие на линии отрыва (отрезки только что сошедших в поток вихревых рамок), FVi - сила, действующая на вихревой отрезок с номером i, NVi - количество соседних рамок, граничащих с данной рамкой по отрезку с номером i, g и g-1 - значения циркуляции рассматриваемой рамки, в которой вычисляется давление, на текущем временном шаге и на предыдущем шаге соответственно, dt - шаг дискретизации по времени. Для вычисления силы, действующей на вихревой отрезок, использовалась формула

FV =gp-W xL,

где L - вектор, соединяющий начало и конец вихревого отрезка, g - циркуляция вихревого отрезка, p - плотность жидкости, W - скорость жидкости в центре отрезка, вычисленная по формуле (1).

5. Результаты моделирования

Предложенная численная схема была опробована при решении задачи обтекания системы из двух дисков, расположенных один следом за другим поперек потока (рис. 3). Сложность данной задачи состоит в том, что вихревая пелена, сошедшая с первого диска, в процессе своего развития сближается со вторым диском. Часть этой пелены остается в пространстве между дисками, а часть продолжает движение по потоку. При моделировании пелены связанными отрезками происходит их растяжение, что в конечном итоге вызывает развал пелены и всего решения.

При моделировании обтекания двух дисков рассчитывался коэффициент сопротивления данной системы для разных значений соотношения L/D, где D - диаметр диска, L - расстояние между дисками. Расчеты проводились для L/D = 0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 3,0; 4,5. Целью

расчетов было сравнить полученные значения коэффициента сопротивления сх с экспериментальными данными.

D

і 1

Диск №2

/— Диск №1

L

1 Г

Разбиение диска

Система двух дисков

Рис. 3.

Результирующая зависимость коэффициента сопротивления системы сх = 2Ех/(рУ008) (здесь Бх - суммарная сила сопротивления системы из двух дисков, Б - площадь одного диска) от расстояния между дисками показана на рис. 4. На этом же рисунке показана экспериментальная зависимость [4] (на рисунке схр - значения коэффициента сопротивления, полученные в расчете, схэ - в эксперименте).

Рис. 4. Зависимость cx системы дисков от параметра L/D

Характер зависимости cxp дисков от расстояния между ними согласуется с экспериментальной зависимостью схэ. При увеличении параметра L/D от 0 до 1,5 наблюдается падение сх, что является следствием интерференции дисков. При дальнейшем увеличении расстояния между дисками их взаимовлияние уменьшается и происходит рост коэффициента суммарного сопротивления. При больших значениях параметра L/D обтекание системы можно уже рассматривать, как обтекание двух изолированных дисков.

Эффективность использования вортонов для случая изменения направления схода вихревой пелены с кромки объекта была проверена на примере обтекания полусферы потоком под углом 30° от оси вращения. На рис. 5 показана вихревая пелена, полученная при обтекании полусферы. Видно, что часть вихревой пелены на первоначальном этапе сходит внутрь полусферы, а часть наружу. При моделировании следа связанными вихрями дальнейшее выполнение расчета было бы невозможным из-за разрушения пелены.

Выводы

Реализация численной схемы представления вихревой пелены на основе использования изолированных отрезков позволила повысить ее устойчивость. При таком подходе удается

выполнять расчеты, в которых вихревая пелена при своем развитии наталкивается на препятствия и терпит разрывы. Расчеты нагрузок на объектах с новым численным представлением пелены дали хорошее совпадение с экспериментальными данными. Негативным последствием использования вортонов является увеличение времени расчета. Поэтому целесообразно использовать численный алгоритм движения вихревой пелены, в котором переход на ворто-ны осуществляется не с заданного шага, а по мере необходимости.

Рис. 5.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. -М.: Наука, 1985.

2. Гутников В.А., Кирякин В.Ю., Лифанов И.К., Сетуха А.В. Математическое моделирование аэродинамики городской застройки. - М.: Изд-во "ПАСЬВА",2002.

3. Гутников В. А., Лифанов И.К., Сетуха А.В. О моделировании аэродинамики зданий и сооружений методом замкнутых вихревых рамок // Механика жидкости и газа. 2006. № 4. С. 79 - 93.

4. Справочник авиаконструктора. Т.1. Аэродинамика самолета. - М.: ЦАГИ, 1937.

MODELLING OF A FLOW OVER BODIES BY A DISCRETE VORTEX METHOD WITH REPRESENTATION OF A VORTEX TRAIL USING THE ISOLATED VORTEX PARTICLES

Kiryakin V.Yu.

In paper the solution of a three-dimensional unsteady problem of inviscid incompressible flow over bodies using a discrete vortex method is considered. For a raise of a stability of a vortex trail the new numerical scheme on the basis of the isolated vortex particles is offered. The numerical scheme for calculation of loadings is described. Outcomes of calculations are reduced.

Сведения об авторе

Кирякин Валерий Юрьевич, 1973 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1996), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор более 30 научных работ, область научных интересов - гидродинамика, математические методы моделирования.