Моделирование функции распределения напряжения для криволинейных щелевых антенн

УДК 621.396.6

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ЩЕЛЕВЫХ АНТЕНН

М.А.Хаванова, В.А.Камайкин

MODELING THE DISTRIBUTION FUNCTION OF VOLTAGE FOR CURVED SLOT ANTENNAS

M.A.Khavanova, V.A.Kamaikin

Институт электронных и информационных систем НовГУ, hma41@mail.ru

Приводятся аналитические выражения для расчета функции распределения напряжения в криволинейных щелях различной формы с возбуждением симметричными полосковыми линиями на основе удобного для инженерной практики дифференциального уравнения Я.Н.Фельда. Найденные функции позволяют вычислять диаграммы направленности аналогичных щелевых антенн с приемлемой заданной точностью.

Ключевые слова: функция распределения напряжения, щелевая антенна, диаграмма направленности

This paper presents analytical expressions to calculate the distribution function of voltage in curvilinear slots of various shapes with excitation by the symmetric strip lines based on the differential equations of Ya.N.Feld, which is convenient for engineering practice. These functions allow calculating the directional diagram of similar slot antennas with acceptable accuracy. Keywords: distribution function of voltage, slot antenna, directional diagram

Для расчета характеристик направленности и других параметров различных тонких криволинейных щелевых антенн требуется однозначно знать распределение напряжения по их длине. В случае возбуждения таких антенн системой симметричных полоско-вых линий требуется знание распределения токов на пластинах линий.

В работе [1] разработан приближенный, но удобный с инженерной точки зрения метод расчета функции напряжения в различных криволинейных щелевых излучателях по заданной функции возбуждающих источников на основе дифференциального уравнения Я.Н.Фельда. Это уравнение получается из общего интегро-дифференциального уравнения, если ввести ряд приближений. Для инженерной практики расчета напряжений в щелях это приемлемо, т.к. погрешность расчетов при этом не превышает 10%. Но

самое главное, приближенное уравнение Яна Фельда справедливо для поверхности любой кривизны, в которой прорезается щель, т.е. не только плоской, но и цилиндрической, сферической и др. Все это, конечно, в первом приближении, но для инженерной практики оказывается вполне достаточным. Т.е. слишком много факторов влияет на реальные параметры проектирования щелевых антенн, которые практически учесть не удается. А такой метод позволяет дать хороший ориентир для проектировщика.

В работе [2] для расчета таких напряжений использовалось общее интегродифференциальное уравнение, и результаты получались в виде громоздких формул. Поэтому предлагаемые в данной работе формулы для расчета более приемлемы с практической точки зрения. И кроме того, всегда надо учитывать, что при практической реализации необходимых

распределении напряжении в щелях, возникают значительные погрешности, и использовать очень точные формулы просто не имеет смысла.

Пусть щель возбуждается дискретно в точках

{хп} комплексными токами /"(х)}. Тогда функция

возбуждающего тока /(т) запишется:

/ (X) +]Г/. (х)е^Ях,

1=1

где т — длина дуги вдоль криволинейной щли шириной d и длиной I, причем С/1<<1, / (т) — функция возбуждения в точке г, п — число точек возбуждения, р = .

к

Для возбуждающих токов в полосковой линии высотой Ь [2]:

п /о

/ (X) =

4ЬК

- УРх

где /о — амплитуда тока в центральном проводнике; К(Ж) — полный эллиптический интеграл первого рода

, ( пж Л

модуля Ж = ш "2Ь I.

Приближенное дифференциальное уравнение Я.Н.Фельда [3] имеет следующий вид:

сС 2и Сх2

+ Р2и = / (х),

где и — напряжение в щели; х — некоторая постоянная; т — длина дуги вдоль криволинейной щели шириной С и длиной I, причем С/1<<1, /(т) — функция возбуждения.

Используя выражение (1) и (2) можно записать выражения для расчета напряжения вдоль узкой щели произвольной формы как результат решения дифференциального уравнения антенны (2) при заданных граничных условиях: и(0) = и(1) = 0 для незамкнутых щелей и и(0) = и(1) для замкнутых.

Рассматриваем только нерезонансные щели, наиболее удобные с точки зрения формирования в них различных сложных законов распределения напряжения. Тогда, используя общий вид решения уравнения (2) для напряжения в щели при возбуждении ее в нескольких точках токами симметричной полосковой линии (1), получим следующие аналитические выражения для функции напряжения в криволинейной щели с учетом реального распределения тока в симметричной полосковой линии.

1. Тонкая щель в виде окружности радиуса Я:

N фо

2 01 /, sin(рЯ(фо -ф))Сф

и (Ф) = /о

-шфЯф)

sin

N ф

/, sin(рЯ(фо -ф))Сф

л/1 +

где ф — угловая координата; фо — координата конца щели; начало при ф = о; фг- — координата, отвечающая точке пересечения проекции средней линии центрального полоскового проводника с образующей щели; /о — постоянная, зависящая от длины волны и радиуса щели [2].

2. Тонкая щель в виде части эллипса, рассеченного вдоль большой оси 2с (малая ось 2а):

и (ф)=/

о"

( ф А

-ш!

Г

• ~ Г ас , -ш2п —— Сф J Г

N п

I

г=1 о

N Ф

I

/ sin(2п

(ф,--Ф:>

г

^+(1-ж 2).

/, -|п( 2пас(ф-ф')'

Сф-

( 2пас(ф-ф,-) Л

п

Сф

где г(ф) = л/С2со-2ф + а2-п^ф. 3. и-образная щель:

( ф

и (ф) = / о \

2п

I -I

-1 -I

Сф

2ф

-т

JV

<2

г=1

2 I

/, -ш(2пЯ)• ctg(фо-фК 2

/ -Ш ф

фо-п

'1 +

.И2(пя(ф/. Г!

Сф +

п-фо / 2

+ I /г -1п(2пЯ) • ^(фо - ф)/-1П ф Сф +

I

^ +

^1+(1-ж 2) .и2(пЯ(Ф-

Ь

Сф]-

N ф

-2 I

/ • -ш(2пЯ) • ctgф —7

ф

2

-Ш ф

1 ф^ 1+(1-Ж2) • .И2(пЯ) .(ф/-1П2 ф-м,-) • Ь

Сф

где начало щели соответствует ф = -п + фо; конец щели совмещен с ф = п - фо; Мг — обобщённая координата г-й точки возбуждения.

4. Кольцевая тонкая щель радиуса Я:

и (ф) = /о \А со-(рЯф)+В -ш(рЯф) +

N ф

21-

г= о

^+(1-ж 2) .и2(пЯ(ф-ф,))/

-Сф

X

е

V фо-^

+

где

A =

sin

2-

N 23

J cos

i=i ^1+(1-k2)sh2(nR((P-(Pi)yt

=cfy +

N 2J

2 I J

+1 -vT

J sin

i=1 0

1 + (1- k 2). ^2(яЯ(ф-фО)/

=ёф,

N 2j

B = 2 •

2 -I J

Jcos(ßR(2^9))_

sin

i=1 0.^1 ' ( N 2 л

J • sin

Ii

i=i ^1 + (1-£2)^2(лЯ(ф-фО)/

-dp.

Выражение (6) отличается от (3) в силу разных граничных условий на концах замкнутой и незамкнутой щели.

Полученные выражения (3)-(6) для наиболее интересных практических случаев криволинейных щелей с возбуждением в ряде точек полосковыми линиями позволяют находить сложные законы распределения напряжения, а затем по известным формулам рассчитывать все электрические характеристики таких щелевых излучателей (диаграммы направ-

ленности, КНД, входные сопротивления и т.д.), т.е. решить задачу анализа таких щелевых антенн с многоточечным возбуждением в полной форме.

Работа выполнена в рамках исследовательского проекта РФФИ№#15-57-50010.

1. Хаванова М.А. Синтез криволинейных щелевых антенн: методы решения внутренней задачи синтеза. Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. 120 с.

2. Радциг Ю.Ю., Добронравов О.Н. О возбуждении малогабаритных щелевых излучателей токами симметричной полос-ковой линии // Микроэлектроника. 1972. Вып.7. С.60-65.

3. Фельд Я.Н. Основы теории щелевых антенн. М.: Сов. радио, 1948. 160 с.

References

1. Khavanova M.A. Sintez krivolineinykh shchelevykh antenn: metody resheniia vnutrennei zadachi sinteza [Synthesis of curvilinear slot antennas: methods for solving the inner problem of synthesis]. LAP LAMBERT Academic Publishing, Saarbrucken, 2012. 120 p.

2. Radtsig Iu.Iu., Dobronravov O.N. O vozbuzhdenii ma-logabaritnykh shchelevykh izluchatelei tokami simmetrichnoi poloskovoi linii [On the excitation of small-size slot radiators by the symmetric stripline current]. Mikroelektronika, 1972, no. 7, pp. 60-65.

3. Fel'd Ia.N. Osnovy teorii shchelevykh antenn [Foundations of the theory of slot antennas]. Moscow, "Sovetskoe radio" Publ., 1948. 160 p.