Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения четвертого порядка

УДК 517.95

Н.В. Бейлина1

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО

ПОРЯДКА

В статье рассматривается нелокальная задача с интегральным по пространственной переменной условием для уравнения с частными производными четвертого порядка. Найдены условия на входные данные, при которых задача однозначно разрешима в пространстве Соболева. Доказательство единственности обобщенного решения базируется на полученных априорных оценках. Доказательство существования обобщенного решения проведено по следующей схеме: построена последовательность приближенных решений с помощью метода Галеркина, получены априорные оценки, позволившие выделить из нее слабо сходящуюся подпоследовательность, на завершающем этапе показано, что предел выделенной подпоследовательности является искомым обобщенным решением.

Ключевые слова: нелокальная задача, интегральное условие, пространство Соболева, обобщенное решение, разрешимость.

Введение

Внимание к нелокальным задачам обусловлено как теоретическим интересом, так и их прикладной значимостью. Хотя к настоящему времени уже разработаны некоторые методы обоснования разрешимости задач с нелокальными условиями, проблема поиска эффективных методов исследования нелокальных задач остается и сейчас актуальной. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений с интегральными условиями ставились и изучались многими авторами. Подробная библиография, а также постановка и методы исследования таких задач приведены в работе [1]. Следует отметить, что большинство работ посвящены исследованию уравнений второго порядка. Отметим здесь статьи [4-8]. Однако большое число задач о колебаниях стержней, пластин и балок приводит к уравненям более высоких порядков [9], что и послужило мотивацией постановки и исследования задачи с интегральными условиями для уравнения четвертого порядка.

!© Бейлина Н.В., 2014

Бейлина Наталья Викторовна (natalie@samdiff.ru), кафедра высшей математики и прикладной информатики, Самарский государственный технический университет, 443100, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

па + ихххх -

в области Qт = (0,1) х (0,Т) и поставим для него задачу: найти функцию п(х,Ь), удовлетворяющую в Qт уравнению (1.1), начальным условиям

п

граничным условиям

Пхх

и нелокальным условиям

I

пххх

0 I

пххх

0

Здесь Кг(х,Ь) Н\(Ь), Н2(Ь), /(х,Ь), с(х,Ь) и а(х,Ь) — заданные функции.

Следует отметить прикладную значимость поставленной задачи. К уравнению (1.1) приходят в задачах определения формы колебаний камертона и его частоты [9], при расчете устойчивости вращающихся валов, а также при изучении вибрации кораблей [10].

Перейдем к исследованию поставленной задачи. Стандартным способом получим тождество, определяющее обобщенное решение [11].

Определение. Под обобщенным решением задачи (1.1)—(1.5) будем понимать функцию п(х,Ь) € Ш^'1^т), удовлетворяющую условию п(х, 0) =0 и тождеству

т I т I

пххухх + апхух + спь] ¿х & - к2 (х,г)п

\-UtVt + пххьхх + апхух + спь] ¿х А — ^ у(1,Ь) J К2 (х,Ь)п(х,Ь) ¿хси+ 0 0 0 0 т I т I

+/к1

0 0 0 0 т т

^У у(1,г)н2(г)А - !у(0,г)н1(г)аь

00

для любой функции ю(х,Ь) € Ш^^^т), где Ш^^^т) = {ь(х,Ь) : ю(х,Ь) € € Ш^^т), ь(х,Т) = 0}.

2. Разрешимость поставленной задачи

Теорема.

Пусть выполняются условия: а(х,Ь),а^х,Ь) € С^т), с(х,Ь) € С 1^т),

К^(х,1) € С(Дт), (КМх,Ь) € С(Дт),Нг(Ь) € Ь2(0,Т), /(х,1) € Ь2^т). Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (1.1)—(1.5).

Доказательство теоремы.

Из условий теоремы следует, что найдутся такие положительные константы со, С1, ао, а,1, а,2, к1, к<2, д1, д2, что выполняются неравенства:

^ а1, тах \аг(х,г)\ ^ а2, тах \К1(х,г)\ ^

дК2(х,г] дг

0 < со ^ \с

^ к1, тах \К2(х,г)\ ^ к2,

дКг(х,г) дг

< д1,

< д2-

Доказательство единственности обобщенного решения проведем стандартным методом. Предположим, что существует два различных решения и1 и и2 задачи (1.1)—(1.5). Тогда функция и = и,1 — и,2 удовлетворяет тождеству

Т I Т I

[—щщ + Ыхх + аих„х + сМ м — I^г^К2(х,г)и(х,г) ¿х

о о о о

Т I

Ч =о

оо

Возьмем в тождестве (2.1) в качестве '(х,г) функцию вида

г

'

о, т < г < т.

Очевидно, что '(х,г) € Ш2'1 (^т) и Vг(х,г) = и(х,г). После преобразований тождество (2.1) примет вид:

I Т I Т I

\и2(х,т)+ Vхх(х, 0) + а(х, 0).х(х, 0^ ¿х = 2 / сию ¿х ¿г — / аг.х<

J [и2(х,т)+ V2х(х, 0) + а(х, 0).х(х, 0)] дх = 2^ J си'дх ¿г — J ^ аг.х ¿х ¿г+

о 0 0 0 0

Т I Т I

+ J '

о о о о

г

Введем функцию Ш(х,г) = /их(х,ц)дц. Тогда Vх(х,г) = Ш(х,г) — Ш(х,т),

о

Vхх(х, 0) = —Шх(х,т).

С учетом введенной функции Ш(х,г) тождество (2.3) запишется следующим образом:

I Т I Т I

и

J [и2(х,т) + Ш2(х,т) + а(х, 0)Ш2(х,т)] ¿х = 2 J J симЗ,хЗ,г — J ^ а^х ¿х ¿г+

о 0 0 0 0

Т I Т I

+ / „

0 0 0 0 Применяя к правой части (2.4) условия теоремы и элементарные неравенства, нетрудно получить оценки

Т I Т I

2JJ си/ийхйг ^ с + т2)^ Jи2 ¿х&,

0 0 0 0

Т

I I

J ! г>2 <1х&< J ! Ж2 (х,г) йхдА, + т 1ш2(х,г) ¿х,

0 0 0 0 0 Т I Т I I

J ! 2 ¿хА ^ а2 J J Ж2(х,г) ¿х ¿г + а2Т ! Ж2 (х,т) ¿х. 0 0 0 0 0 Оценим последние два слагаемые (2.4). Для этого заметим, что справедливо представление

I

у

X

Возводя (2.5) в квадрат, применяя неравенство Коши — Буняковского и интегрируя полученное по г от 0 до т, получим

Т Т I Т I

! у2

0 0 0 0 0 Аналогично

Т Т I Т I

J v2(0,t) ¿г < 2^ J(vx(x,t))2 ¿^¿г + 2У J(v(x,t))2 ¿^¿г. 0 0 0 0 0 В силу полученных оценок справедливо неравенство

1

т) + (а0 - (а2 + 40т2(х,т) + Ж2(х,т)] ¿х <

0

Т I Т I

2 2 2 2 2 2

< (с, + т2 + 2т(Л2 + &2)у J и2 ¿х^г- + (а2 + 41) у J Ж2 ¿хсМ.

0 0 0 0 Выберем т так, чтобы а0 — (а2 + 41)т > 0. Пусть а0 — (а2 + 41)т > а2т, т. е. т £ £ [0; 2(а:+41) ]. Тогда для этих т

I Т I

и2

0 0 0

где М = шах{е2 + т2 + 2т(&2 + &2),а2 +41}. Обозначим т0 = шт{1, ^}, М, = М. Тогда

I Т I

У [и2(х,т) + ЖХ2 + Ж2 (х, т)] ¿х < М^ у (и2 + Ж2) ¿^¿г,

0 0 0

в частности

I Т I

/Их,т) + ¿х<м,//(и2 + и-2) ¿ыи ад

0 0 0

Применяя теперь к (2.7) неравенство Гронуолла [12], заключаем, что и(х,г) = = 0 для выбранных т. Повторяя рассуждение для т £ [2(а^+41), (а2°+41) ], а затем

Т

продолжая этот процесс, убедимся в том, что u(x,t) = 0 для всех t £ [0, T]. Таким образом, единственность обобщенного решения поставленной задачи доказана.

Перейдем к доказательству существования обобщенного решения. Пусть функции wk £ C2[0, l] линейно независимы и образуют полную в W2;(0,l) систему, причем (wk ,wi)b2(0,i) = Ski.

Будем искать приближенное решение задачи (1.1)—(1.5) в виде

m

um

k=i

из соотношений:

i i j [umwj + umxw'! + aumwj + cumwj] dx — wj (l) J K2 (x, t)um(x, t) dx+ 0 0

i i

«j rnj Kibib-bi)dxdt = j f xt)wjdx.

00 Подставляя (2.8) в (2.9) и меняя порядок суммирования и интегрирования, приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

i

m

Cj

1— 1

i

= j f (x,t)wj dx.

0

Присоединив начальные условия

ек

получим задачу Коши для системы (2.10). В силу условий теоремы коэффициенты

I

системы ограничены, а свободные члены / (£) = § /(х^^^ ¿х принадлежат про-

0

странству Ь\(0,Т). Но тогда задача Коши однозначно разрешима и с'к £ Ь^(0,Т).

Таким образом последовательность {пт(х,1)} приближенных решений построена [11]. Для дальнейших шагов в доказательстве нам потребуется априорная оценка, которая также будет полезна для доказательства возможности предельного перехода.

Умножим (2.9) на с'к(£) и просуммируем по ] от 1 до т, а затем проинтегрируем по £ от 0 до т, получим

т i

[umum + <xuTxx + ^^ + cum<] dxdt —j um(l,t) J K2(x,t)um(x,t) dx dt+

00

т i т i

+ j u'm

т

Проинтегрировав по частям первые четыре слагаемых в левой части (2.12), приходим к следующему тождеству I

11 [(и?(х,т))2 + (и™(х,т))2 + а(х,т)(и?(х,т))2 + с(х,т)(ит(х,т))2] ¿х = о

т I т I

= !и^

о о о о

т I I I I

+/ / ^ит ¿хЛ +Ц(и?х 0))2 ¿х +Ц(и:х(х, 0))2 ¿х + 1 ! с(х, 0)(ит(х, 0))2 ¿х+

о о о о о

I т I т I

1 [ а(х, 0)(ит(х, 0))2 ¿х +1 ( I аг(ит)2 ¿х ¿г +1 [ ( сг(ит)2 ,

о 0 0 0 0

Оценим правую часть. Для этого сначала преобразуем первые два слагаемых правой части (2.13):

т I I

J и?(1,г) J к2 (х,Ь)ит(х,Ь) ¿хА = ит(1,т)^ к2(х,т)ит(х,т) ¿х-

0 0 0 I т I

-ит(1, 0)!к2(х,0)ит(х, 0) ¿х - !ит(1,г) J дк2(х,г)ит(х,г) ¿хаь-

0 0 0 т I

- ! ит(1,г) J к2(х,Ь)ит(х,Ь) ¿хсМ;

00

т I I

Jи?(0,г) !кх(х,г)ит(х,г)¿^¿г = ит(0,т) Jк1(х,т)ит(х,т)¿х-

0 0 0 I т I

-ит(0,0) Iкх(х,0)ит(х,0) ¿х - !ит(0,г) J дд1к1(х,г)ут(х,г) ¿^¿г-

0

т I

т

(0,г)!к1(х,г)ит(х,г)¿^¿г.

-и

00

Применяя неравенство "Коши с е", получим

I

I

т(1,т) ! к2(х,т )ит(х, ) ¿х < 2 (ит (I, т ))2 + 1! к2(х, т )(ит(х,т ))2 ¿х. 0 0 Проводя те же рассуждения, что и при получении оценки (2.6), получим:

I I

(ит(1,т))2 < (и?(х,т))2 ¿х + (ит(х,т))2 ¿х.

Аналогично

(ит(0,т))2 < 2^(„Х(х,т))2 3х +2 J (иТ(х,т))2 3х. о о

т

(ит(х, т))2 < 2Т !иЧх, г))2 3г + 2(иТ(х, 0))2.

Таким образом, в силу последних трех неравенств справедливы оценки

I I I

.Г^] Кф^г) 3х<^ е,/^»2 3х + Ц^м? 3х+

0 0 0 т I I

+ ТГ / ¡'(ит(х,г))2 3х3г + Тк2 I (ит(х, 0))2 3х; оо о

I I I

„"

о о о

т I I

+ ТГ //(и™(х,г))2 3х3г + (ит(х, 0))2 3х;

о о о

т I

У ит(1,г) J дк2(х,г)ит(х,г) 3х3г <

т I

оо

о

т I

< 21/ I (ит(х,г))2 3х3г +( - + 1д2) I I (ит(х,г))2 3х3г;

оо

I

м/Ыъюм 3х3г

<

< 21 I I

оо

оо

т I

т

оо

и

М / ^»„Т м 3х3г

о

<

< 21/ ¡

оо

оо

оо

т I

I ит(1,г) I дк1(х,г)ит(х,г) 3х3г

<

< 21/ I

оо

оо

т

и

т

т

т

т

г

ит(1,0) У К2(х, 0)ит(х, 0) 3х < (ит(1, 0))2 + к%11(ит(х, 0))2 3х; (2.20) о о г г

ит

о о

I т I т I

! J/

0 0 0 0 т I т I

У J at

т I

0 0

0 0 т I

00 т I

ом»2 «/ /<«« ом»2

0 0 0 0 Тогда в силу равенства (2.13) и неравенств (2.14)-(2.24) справедлива оценка

иГ(х,т))2 + (иГх(х,т))2 + £0(ит(х,г))2 + Е0(ит(х,т))2] 3х <

< Л1 / (ит)2 3х3г + л2 (ит)2 3x3; + л3 /(и™)2 3х3ь + - /2 3х3г+

00

00

00

00

+Л^ (ит(х, 0))2 3х +2 J(uT(x, 0))2 3х +2 f(u%x (х, 0))2 3х+

0

г

+у У (ит(х, 0))2 3х + (ит(0,0))2 + (иГ(/, 0))2

0

где £0 = шп{а0; }, Л! = 8 +/(^ + з|) + I2, Л2 =41 + а2, Лз = Т(к2 + к2) + /(к 2 +

2,-т2, Л4 = Щ* + /(к2 + к2) + ^ +52.

Обозначив п = ш1п{е0; 2}, М = тах{Л 1; Л2Лз; 1}, Ы\ = шах{Л4; 2; а1}, из (2.25) получим

п1 [(иТ(х,г))2 + (иХх(х,т))2 + (ит(х,т))2 + (иГ(х,т))2] 3х <

1,

0

т г

< М ] I [

00

Применяя теперь к (2.26) неравенство Гронуолла [12], а затем, интегрируя полученное неравенство по Ь от 0 до Т, приходим к оценке

1

2

т

т

т

т

\\ут

в которой N зависит от Т, I и входных данных и не зависит от т.

Априорная оценка (2.27) позволяет выделить из последовательности {ит(х, Ь)подпоследовательность {итк (х,Ь)}, сходящуюся слабо в ) и

равномерно по Ь £ [0;Т] в норме Ь2 [11] к некоторому элементу и(х,Ь) £ ).

Покажем, что эта функция и есть обобщенное решение поставленной задачи. Начальное условие будет выполнено в силу отмеченной сходимости иГПк (х, Ь) к и(х,Ь) в Ь2(0,1) и того, что итк (х, 0) ^ 0 в Ь2 (0,1).

Проведенные рассуждения позволяют перейти к пределу в (2.9). Но сначала умножим каждое из равенств (2.9) на Н^ (Ь) £ С[0,Т] такие, что Н^ (Т) = 0, просуммируем по ] от 1 до т, затем проинтегрируем по Ь от 0 до Т. После интегрирования по частям получим

т I

[-и^Пг + иХхПхх + аиХПх + ситп] 3х3Ь - J п(1,Ь) ^ К2(х,Ь)ит(х,Ь) 3x31+

0 0 0 0

т I т I I

+ J п(0,Ь) J К\(х,Ь)ит(х,Ь) 3х 3Ь = J ! / (х,Ь)п(х,Ь) 3х3Ь + J иХ (х, 0)ц(х, 0) 3х,

00

где

га

П

3 = 1

Учитывая полученные выше включения и сходимости, перейдем в (2.28) к пределу при т ^ <ж и получим (1.6) для у(х,Ь) = ц(х,Ь). Но так как множество всех функций п(х,Ь) плотно в Х^^^т), то тождество выполняется для произвольной у(х,Ь) £ XV^т). Следовательно, предельная функция является обобщенным решением задачи (1.1)-(1.5).

Замечание. Однородность начальных условий (1.2) позволяет немного упростить вычисления и не ограничивает общности. Действительно, если при условиях и(х, 0) = ф(х), иг(х, 0) = ф(х) ввести новую неизвестную функцию V = и — ф(х) — — Ьф(х), то получим следующую задачу относительно функции V:

vtt + Vxxxx — (а(х,г^х )х + е(х,г^ = Г (х,Ь), v(x, 0)=0, vt(x, 0)=0,

Vxx (0,Ь) = Vxx(l,t) = 0 I

Vxxx(0,Ь) — 0(0,^x^,1) + ! К1(х,г^(х,г) 3х = д\(Ь),

0 I

Vxxx(l,t) — a(l,t)vx(l,t) + ! К2(х,ф(х,г) 3х = д2(Ь),

0

где

Г(х,Ь) = /(х) — ф (х) — Ьф (х) — ф (х) — Ьф (х) — с(ф(х) + Ьф(х)),

l l g1(t) = -У'(0) - а(0,г)ф'(0) + J Кфх) dx + гф'''(0) - а(0,г)ф'(0)+ J К1ф(х) dx],

0 о

1 l

g2(t) = ф'''(l) - a(l, г)ф'(0)+J К2ф(х) dx + гф'''(l) - а(1,г)ф'(l) + J К2ф(х) dx.

оо

Литература

[1] Пулькина Л.С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений. Самара: Изд-во "Самарский университет", 2012.

[2] Avalishvili G., Avalishvili M., Gordeziani D. On Integral Nonlocal Boundary Value Problems for some Partial Differential Equations // Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences. 2011. Vol. 5. № 1. P. 31-37.

[3] Ashyralyev A., Aggez N. On the Solution of Multipoint NBVP for Hyperbolic Equation with Integral Condition // Malaysian Journal of Mathematical Sciences. 2012. № 6(S). P. 111-121.

[4] Бейлин С.А. Смешанная задача с интегральным условием для волнового уравнения // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2005. С. 37-43.

[5] Bouziani A. Solution Forte d'un Problem Mixte avec Condition Non Locales pour une Classe d'equations Hyperboliques // Bull. de la Classe des Sciences, Academie Royale de Belgique. 1997. № 8. P. 53-70.

[6] Бейлина Н.В. О разрешимости задачи с интегральным условием для многомерного гиперболического уравнения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2010. № 2(78). C. 12-20.

[7] Пулькина Л.С. Краевые задачи для гиперболических уравнений с нелокальными условиями I и II рода // Известия вузов. Сер.: Математика. 2012. № 4. С. 74-83.

[8] Пулькина Л.С. Нелокальная задачадля гиперболического уравнения с интегральным условием I рода с ядрами, зависящими от времени // Известия вузов. Сер.: Математика. 2012. № 10. С. 32-44.

[9] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, 5-е изд. М.: Наука, 1977.

[10] Крылов А.Н. Вибрация судов. ОНТИ НКТП. Редакция судостроительной литературы. Л.; М., 1936.

[11] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

[12] Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений М.: Иностр. лит., 1961.

[13] Бейлина Н.В. Нелокальная задача с интегральным условиеми для псевдогиперболического уравнения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2008. № 2(61). C. 22-28.

References

[1] Pulkina L.S. Problems with nonclassical conditions for hyperbolic equations. Samara: Samara: Izd-vo "Samarskii universitet", 2012 [in Russian].

[2] Avalishvili G., Avalishvili M., Gordeziani D. On Integral Nonlocal Boundary Value Problems for some Partial Differential Equations. Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences, 2011, Vol. 5, no. 1, pp. 31-37 [in Russian].

[3] Ashyralyev A., Aggez N. On the Solution of Multipoint NBVP for Hyperbolic Equation with Integral Condition. Malaysian Journal of Mathematical Sciences, 2012, no. 6(S), pp. 111-121.

[4] Beilin, S.A. Mixed problem with integral condition for the wave equation. Neklassicheskie uravneniia matematicheskoi fiziki [Nonclassical equations of mathematical physics]. Novosibirsk: Izd-vo In-ta matematiki, 2005, pp. 37-43 [in Russian].

[5] Bouziani A Solution Forte d'un Problem Mixte avec Condition Non Locales pour une Classe d'equations Hyperboliques. Bull. de la Classe des Sciences, Academie Royale de Belgique, 1997, no. 8, pp. 53-70 [in Russian].

[6] Beilina N.V. On solvability of a problem with integral condition for multidimensinal hyperbolic equation. Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaia seriia [Vestnik SamSU. Natural Science Series], 2010, no. 2(78), pp. 12-20 [in Russian].

[7] Pul'kina L.S. Boundary-value problem for a hyperbolic equation with nonlocal conditions of the I and II kind. Izvestiia vuzov. Matematika [News of Higher Educational Institutions. Mathematics], 2012, no. 4, pp. 74-83 [in Russian].

[8] Pul'kina L.S. A nonlocal problem for a hyperbolic equation with integral conditions of the 1st kind with time-depended kernels. Izvestiia vuzov. Matematika [News of Higher Educational Institutions. Mathematics], 2012, no. 10, pp. 26-37 [in Russian].

[9] Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Equations of mathematical physics, 5th ed. M., Nauka, 1977 [in Russian].

[10] Krylov A.N. Vibration of vessels. Department of Scientific and Technical Information of NKTP. Redaktsiia sudostroitel'noi literatury, Leningrad-Moscow, 1936 [in Russian].

[11] Ladyzhenskaya O.A. Boundary problems of mathematical physics. M., Nauka, 1973 [in Russian].

[12] Garding L. Gauchy's problem for hyperbolic equations. M., IL, 1961 [in Russian].

[13] Beilina N.V. A nonlocal problem with integral condition for pseudohyperbolic equation.

Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaia seriia [Vestnik SamSU. Natural Science Series], 2008, no. 2(61), pp. 22-28. [in Russian].

N.V. Beilina2

NONLOCAL PROBLEM WITH INTEGRAL CONDITION FOR A FOURTH ORDER EQUATION

In this paper, we consider a nonlocal problem with integral condition with respect to spacial variable for a forth order partial differential equation. The conditions on the data for unique solvability of the problem in Sobolev space are determined. Proving of uniqueness of generalized solution is based on acquired apriori estimates. To prove the solvability we use a following scheme: sequence of approximate solutions using Galerkin procedure is built, apriory estimates that allow to extract from it a convergent subsequence are received, on the final stage it is shown that the limit of subsequence is the required generalized solution.

Key words: nonlocal problem, integral condition, Sobolev space, generalized solution, solubility.

Статья поступила в редакцию 1/IX/2014. The article received 1/IX/2014.

2Beilina Natalia Viktorovna (natalie@samdiff.ru), Department of Mathematics and Applied Informatics, Samara State Technical University, Samara, 443100, Russian Federation