Температурное поле полуограниченного цилиндра с локальным нагревом торцевой поверхности

УДК 536.2.083

Р.И. Гаврильев

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО ЦИЛИНДРА С ЛОКАЛЬНЫМ НАГРЕВОМ ТОРЦЕВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Решена задача о температурном поле полуограниченного цилиндра при действии на его торцевой поверхности источника тепла постоянной мощности нагрева в виде кругового пятна контакта. Найденное решение будет полезным при разработке метода неразрушающего контроля теплофизических свойств горных пород на скважинных кернах.

Ключевые слова: полуограниченный цилиндр, торцевая поверхность, источник тепла, круговое пятно контакта, температурное поле, решение задачи, интегральные преобразования Лапласа и Ханкеля.

Введение. В практике тепловых измерений последнее время широкое распространение получили методы неразрушающего контроля теплофизических свойств массивных материалов. Их теория основана на закономерностях температурного возмущения в полуограниченном пространстве от теплового источника в форме круга на его поверхности.

Представляло интерес исследовать возможности использования этих методов для измерения теплофизических свойств образцов горных пород из скважинных кернов, характеризующихся конечными диаметрами. Для этого необходимо решить задачу для ограниченной области, имеющей, в частности, форму цилиндра. Различные варианты такой задачи рассмотрены в работе В.П. Козлова и др. [1]. Изучено двумерное температурное поле ограниченного цилиндра при нагреве одной из его торцевых поверхностей локальным источником тепла круглой формы или в виде кольца переменной во времени мощности и температуры, когда на других поверхностях тела задано граничное условие третьего рода. Последнее является обобщенным случаем теплообмена тела с окружающей средой, поскольку из него могут вытекать многие частные случаи теплообмена. Полученные решения представляют теоретический интерес при разработке различных вариантов метода неразрушающего контроля теплофизических свойств материалов сообразно с техническими возможностями реализации теоретически принимаемых условий теплообмена тела с окружающей средой. Здесь мы ограничимся конкретной задачей применительно к скважинным кернам горных пород (в длине ограничений нет).

Постановка задачи. Дан цилиндр радиуса Я бесконечной длины. На торцевой поверхности цилиндра ^ = 0) дей-

ГАВРИЛЬЕВ Рее Иванович - д.т.н., вед. научный сотрудник Института мерзлотоведения СО РАН

ствует источник тепла постоянной мощности нагрева Q радиуса г0, 0 < Го < R. Цилиндр с торцевой (z = 0) и боковой (г = R) поверхностей изолирован. Начальная температура цилиндра постоянная и равна температуре среды t. На большом расстоянии по длине (z ^ да) за период действия источника тепла температура цилиндра не меняется. Задача осесимметричная.

Математическая формулировка задачи

821 1 81 821 1 81 /_ _ „ч ,1Ч

—- +-------------+ —- =----

8г г 8г 8z а 8т

t

при любых z

д t

д г ’

при z = 0

- q = const при 0 < г < г0 , где q = Qjж г02 ,

0 при г0 < г < R,

при г = 0

дtz- т> = 0 и t

8 г

В формулах (1)-(5) приняты следующие обозначения: t - температура, °C, K; t - время, с; z - декартовы координаты, м; г - цилиндрические координаты, м; R - радиус тела, м;

l - коэффициент теплопроводности тела, Вт/(м-К); а - коэффициент температуропроводности тела, м2/с; q - плотность теплового потока, Вт/м2.

Введём обозначение для избыточной температуры тела: S(r, z, z)= t (г, z, т)- tc. Тогда условие (2) будет равно 0. Остальные условия для Q такие же, как и для t.

д t (г, 0, т) _ 5z

Р.И. Гаврилъев. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО ЦИЛИНДРА С ЛОКАЛЬНЫМ НАГРЕВОМ ТОРЦЕВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Решение задачи. Его будем искать последовательным применением метода интегральных преобразований Хан-келя T H и Лапласа вНя.

1\

Гн

Подставив выражение 0н s из соотношения (І4) в формулу (І5), получим

T (р z х)= q ^ г( . exp (~z'Ra

X R2 s Vs

eH5

0

где p и 5 - параметры интегральных преобразований Хан-келя и Лапласа соответственно; J0(pr) - функция Бесселя нулевого порядка.

Параметр p определяется как корень характеристического уравнения:

J0

В обозначениях преобразования Лапласа-Ханкеля 0Н5 система уравнений (1)-(5) может быть представлена в виде

-f p2 + -1вн, = 0

д z \ a J

при граничных условиях: для z = 0 и любого г

звн,

д z

X ps

для г = 0 и любого z

50 нs

д г

= 0

ДЛЯ г = 0 И z ^Ж

0 нs (О, да, s)ф<х , для любого г и z ^ Ж

(p, ^ s)=(.

При этом получим следующее решение задачи в изоб ражениях:

(p, z, 5)= qr ) exp (- z^p2 + s/a ),

Aps^jp + 5/a

+ 2 ? Г ^ /,

X Я 2 п = 1 Рп/0

Используя таблицы изображений по я к формуле (16), решение задачи окончательно запишем в виде

t(п z т)-tc =

q ro

V

_2

2 J — exp I-—I- z erfc —z= я I 4 a ті 2Ja x

q ro

где

J1 |ц nR j J 0 [ц nR j ^ (ц n , z, “0

^ 2 J02 n )

- exp I ^ I erfc

z +Hn^laT

\

R

fj.n = p n R ; erfc = 1 - erf; erf - интеграл ошибок.

Исследуем полученное решение на предельных случаях.

1. При z ^ж W = 0 и t - t = 0, т.е. на большом удалении от поверхности тела изменения температуры нет.

2. При г0= R сумма ряда равна нулю, поскольку

Jj (ц n ) = 0 , и получим решение задачи для полуограниченного тела, нагреваемого с поверхности источником постоянной мощности нагрева Q, т.е. при q = Q/S = const (здесь S = ж R 2 - площадь торцевой поверхности цилиндра) [2] :

( „2 Л z f _ \

— erfc 2

t -1„ =

2 q

~X~

exp

2 Ja t

где /1(рг0) - функция Бесселя первого порядка.

Осуществим с помощью теоремы обращения последовательный переход от изображения (14) к оригиналам сначала по преобразованию Ханкеля

г„(р, г,,)-А 5„.(о, г, •)+-! £ 8»•{р-/д)/о^пГ),

М. . > Я2 н Л. . > Я /2 (рпЯ} •

где р - корни характеристического уравнения (8).

3. При г0 = 0 (г2/Я2)= 0 и J1 (0) = 0 . Тогда ґ — ґс =0 , т.е. нет никакого нагрева тела.

4. При Я ^ (г02 / Я 2 ) ^ 0 и первый член формулы

(17) исчезает. Во втором члене параметр /л принимает совершенно иные значения. Поскольку рассматриваемая область по радиусу совершенно не ограничена, то на параметр /л никаких ограничений не накладывается и он принимает любые значения от 0 до ж, а в решении сумма заменяется бесконечным интегралом по ^ или /л = /МЯ

0

z

t

о

который в случае граничного условия (4) принимает вид решения УД. Оостеркампа (ЖЮо81егкатр) [2]:

t X, Г)-tc = | 3! (р Го ) 3 о {рг) т(z, x, р) ^ ,

2 ^ 0 р

где с(р) - параметр интегрирования; Ф (г, $ р ) -то же самое, что и в формуле (18), только без индексного знака п для р и У. При этом получается случай нагрева полуограниченного пространства через пятно контакта радиуса г0 на его поверхности (г = 0).

Подобная задача [3] встречается в расчетах термического сопротивления соприкасающихся материалов в высокотемпературной теплофизике в различных областях техники, но здесь ограничиваются рассмотрением лишь только стационарного теплового состояния тел. Однако из фор-

мулы (17) следует, что такие системы никогда не приходят к стационарному тепловому состоянию.

Заключение. Найденное решение рассмотренной задачи позволяет разработать метод неразрушающего контроля теплофизических свойств горных пород на скважинных кернах [4].

Литература

1. Козлов В.П., Абделъразак Н.А., ЮрчукН.И. Физико-математические модели для теорий неразрушающего контроля теплофизических свойств // ИФЖ. 1995. Т. 68. № 6. С. 1011-1022.

2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.

3. Шлыков Ю.П., Ганин Е.А., Царевский С.Н. Контактное термическое сопротивление. М.: Энергия, 1977. 328 с.

4. Гаврильев Р. И. Метод неразрушающего контроля теплофизических свойств горных пород на скважинных кернах // ИФЖ. 2008. Т. 81. № 2. С. 389-393.

R.I. Gavriliev

Temperature field of semibounded cylinder with local heating of the side surface

The article presents a solution of the task on temperature field of the semibounded cylinder at heating of its side surface by source of heat of permanent output in the form of a circle contact spatch. The investigated solution will be useful in development of the method of a nondestructive test of thermal-physical properties of rocks in borehole cores.

Key-words: semibounded cylinder, side surface, heating source, circle contact patch, temperature field, task solution, integral transformations of Laplace and Hankel.

###'