Об использовании полярной системы координат в проективографических чертежах

ВЕСТНИК 11/2016

инженерная геометрия и компьютерная графика

УДК 744

А.в. Нващенко, т.м. Кондратьева

НИУМГСУ

об использовании полярной системы координат в проективографических чертежах

Аннотация. На примерах икосаэдра и одного из тел Джонсона показаны возможности оптимизации расчетов проективографических чертежей (ПЧ) при использовании полярной системы координат за счет учета определенных закономерностей чертежа. Приведена эпюра для икосаэдра и соответствующий фрагмент программы расчета в системе Mathematica. Даны рекомендации по переходу к полярной системе координат при построении ПЧ, обладающих богатой симметрией (платоновых и архимедовых тел, некоторых тел Джонсона). Показаны примеры формообразования на основе икосаэдра.

Ключевые слова: проективография, автоматизация, моделирование многогранников, икосаэдр, тела Джонсона, полярная система координат

DOI: 10.22227/1997-0935.2016.11.124-131

Проективография [1, 2] позволяет моделировать новые многогранные формы, используя следовые эпюры исходного многогранника [3-7]. Про-ективографический чертеж (ПЧ) представляет собой совокупность прямых, находящихся в определенных соответствиях с гранями ядра порождающей системы плоскостей. По уравнениям этих прямых без дополнительного анализа трудно сделать вывод об их полярном соответствии на чертеже и расположении прямых относительно центра. В определенных случаях для описания ПЧ целесообразно использовать полярную систему координат [8], имеющую ряд существенных преимуществ. При переходе к полярной системе координат на ПЧ полюс (0, 0) должен соответствовать проекции центра ядра системы, а в качестве полярной оси следует выбирать ось симметрии ПЧ. Уравнения прямых в полярной системе координат (г, f) имеют вид: rcosf- q) = p, где r — полярный радиус; f— полярный угол. Коэффициенты уравнения p, q характеризуют расстояние от центра и угол поворота нормали к прямой по отношению к полярной оси, соответственно. Для анализа положения двух прямых в полярной системе координат достаточно сравнить соответствующие коэффициенты уравнений этих прямых. Это упрощает поиск полярного соответствия прямых, который в декартовой системе координат проводится методом последовательного перебора прямых и сопоставления длин отрезков между точками одинаковой степени на этих прямых. в полярной системе координат уравнения прямых, равноудаленных от центра, имеют одинаковые значения p, а прямых, имеющих симметрию «-го порядка, — кратные значения q.

Рассмотрим преимущества полярной системы координат на примере икосаэдра, платонового тела [9-12], порождающего наиболее сложный ПЧ. ПЧ икосаэдра состоит из 18 прямых, сгруппированных следующим образом:

• А1 — три прямые, образующие равносторонний треугольник, представляющий собой очертание грани икосаэдра. Эта группа состоит из следов граней, смежных с эпюрной;

• А2 — три прямые, образующие равносторонний треугольник, представляющий собой следы граней, смежных с противоположной эпюрной гранью;

• А3 — шесть прямых, разделенных на три пары, точка пересечения каждой пары совпадает с точкой пересечения пары прямых из группы А2, а третью прямую из группы А2 эти прямые пересекают в отношении золотого сечения (совместно с двумя другими вершинами треугольника, образованного прямыми группы А2). Кроме того, каждая из этих прямых инцидентна вершинам треугольника, образованного прямыми группы А1;

• А4 — шесть прямых, разделенных на две группы, каждая из которых образует равносторонний треугольник.

Каждая из прямых икосаэдрического ПЧ пересекается с 16 другими прямыми и параллельна одной прямой ПЧ. Это соответствует тому, что в трехмерном пространстве любая грань икосаэдра имеет одну параллельную ей грань, и плоскость эпюрной грани пересекается с 18 другими плоскостями граней. В целом ПЧ икосаэдра имеет три оси симметрии, проходящие через центр чертежа, а также три поворотные симметрии 3-го порядка, что позволяет получать несимметричные объекты «левой» и «правой» ориентации. При использовании полярной системы координат поиск полярного соответствия для этой системы прямых значительно упрощается.

Приведем фрагмент программы расчета проективографической эпюры икосаэдра в полярной системе координат, написанной в системе МаШетайса [13-16]:

к=1; sq5=Sqrt[5]; sq3=Sqrt[3];

кк=^5 -2) ^И[3^5];

bb=sq3*(sq5-2);

£Г=АгсТап[-^5-2)^3];

ее=3*^5-1)/2-2;

hh=sq3*(sq5-1)/2;

gg:=hh/2;

(* первая группа прямых, образующих большой треугольник *) g1:=PolarPlot[k/Cos[t], ^,0,Р^] g2:=PolarPlot[k/Cos[t-2*Pi/3], ^,0,Р^] g3:=PolarPlot[k/Cos[t+2*Pi/3], ^,0,Р^]

g4 g5 g6 g7 g8 g9

=PolarPlot[ kk / Cos[t +ff -Pi/2] , {t,0,Pi}] =PolarPlot[ kk / Cos[t -ff +Pi/2] , {t,0,Pi}] =PolarPlot[ kk / Cos[t +ff -Pi/2 + 2*Pi/3] , {t,0,Pi}] =PolarPlot[ kk / Cos[t -ff +Pi/2 + 2*Pi/3] , {t,0,Pi}] =PolarPlot[ kk / Cos[t +ff -Pi/2 - 2*Pi/3] , {t,0,Pi}] =PolarPlot[ kk / Cos[t -ff +Pi/2 - 2*Pi/3] , {t,0,Pi}]

ВЕСТНИК

11/2016

810 В11

812

=Ро1атР1о^ее/ед1|, {t,0,Pi}] =PolarPlot[ee/Cos[t+2*Pi/3], {t,0,Pi}] =PolarPlot[ee/Cos[t-2*Pi/3], {t,0,Pi}]

(* четвертая группа прямых, образующих 2 средних треугольника *) g13:=PolarPlot[ 88/ Cos[t +ГГ +И/2] , {t,0,Pi}] g14:=PolarPlot[ 88 / Cos[t -ff-И/2] , ^,0^}] g15:=PolarPlot[ 88 / Cos[t -Г -И/2 + 2*Pi/3] , ^,0^}] g16:=PolarPlot[ 88 / Cos[t +ГГ +Pi/2 + 2*Pi/3] , {t,0,Pi}] g17:=PolarPlot[ 88 / Cos[t -Г -Pi/2 - 2*Pi/3] , ^,0^}] g18:=PolarPlot[ 88 / Cos[t +ГГ +Pi/2 - 2*Pi/3] , {t,0,Pi}] Show[g1, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 810, 811, 812, 813, 814, 815, 816, 817, 818, Р^Яап8е->2, Axes->Тrue].

На рис. 1 приведена проективографическая эпюра икосаэдра, полученная в полярной системе координат, а на рис. 2 — примеры многогранных форм, реализованных на ее основе.

Рис. 2. Примеры формообразующих решений на основе икосаэдра

Переход к полярной системе координат служит средством, позволяющим использовать определенные закономерности ПЧ в процессе их расчета. Однако использование полярной системы координат целесообразно не всегда, а лишь при построении проективографических эпюр системы плоскостей, обладающей богатой симметрией. Таким свойством обладают, например, все платоновы и архимедовы тела, а также тела Каталана.

В отношении тел Джонсона проективографический анализ показывает, что для ряда тел полярная система координат дает преимущества в построении и анализе их эпюр. Для примера рассмотрим многогранник Джонсона — Pentagonal Orthobirotunda (рис. 3).

Рис. 3. Тело Джонсона — Pentagonal Orthobirotunda

Многогранник получен из архимедового тела (икосододекаэдра) посредством поворота верхней половины тела относительно нижней на 36° в экваториальной плоскости. он имеет четыре эпюры, характеризующиеся разной степенью симметрии: от «верхнего» и «нижнего» пятиугольников; от остальных пятиугольников; от десяти треугольников, примыкающих к верхнему и к нижнему пятиугольникам; от остальных десяти треугольников (рис. 4).

Наличие симметрии на этих чертежах делает эффективным использование полярной системы координат в данном случае. Тела Джонсона с высокой степенью симметрии, подобные рассмотренному выше, порождают эстетически привлекательные формы, в то время как многогранники с низкой степенью симметрии, как правило, менее пригодны для проектирования новых архитектурных форм.

оптимизация компьютерной программы за счет использования полярной системы координат упрощает расчеты ПЧ, ускоряет процесс построения трехмерных моделей, расширяющих творческую палитру для выбора оригинального решения.

ВЕСТНИК

11/2016

Рис. 4. Эпюры, полученные от пятиугольных граней Pentagonal Orthobirotunda

Компьютерные технологии создают новые возможности применения про-ективографического метода в архитектурном проектировании и дизайнерском творчестве [17-21], позволяя разнообразить решения объемно-пространственной среды, способствуя повышению качественного уровня художественных и технических решений. Для более эффективного использования метода необходимо дальнейшее совершенствование специализированного программного обеспечения и адаптация его для целей геометрического проектирования.

Библиографический список

1. Гамаюнов В.Н. Проективография : Геометрические основы художественного конструирования для аспирантов, слушателей ФПК и студентов художественно-графического факультета. М. : МГПИ, 1976. 26 с.

2. Соболев Н.А. Общая теория изображений. М. : Архитектура-С, 2004. С. 489-491.

3. Иващенко А.В. Модели представления элементов системы прективографиче-ских эпюр и алгоритмы их определения // Молодые голоса : сб. науч.-исслед. работ асп. и соиск. М. : МГОПУ 2000. Вып. 2.

4. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективографические чертежи многокомпонентных систем многогранников // Вестник МГСУ 2012. № 6. С. 155-160.

5. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективографический анализ многогранников Джонсона // Вестник МГСУ 2013. № 5. С. 226-229.

6. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Автоматизация получения проективографи-ческих чертежей тел Джонсона // Вестник МГСУ 2014. № 6. С. 179-183.

7. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективные конфигурации на проективо-графических чертежах // Вестник МГСУ 2015. № 5. С. 141-147.

8. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров / пер. с англ. И.Г. Арамановича ; под общ. ред. И.Г. Арамановича. 2-е изд. М. : Наука, 1970. 720 с.

9. Венинджер М. Модели многогранников / пер. с англ. В.В. Фирсова ; под ред. и с послесл. И.М. Яглома. М. : Мир, 1974. 236 с.

10. Гурин А.М. К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями // Сибирские электронные математические известия. 2010. Т. 7. С. 5-23.

11. Steven Dutch. Polihedra with regular polygon faces. Режим доступа: https://www. uwgb.edu/dutchs/symmetry/johnsonp.htm. Дата обращения: 15.04.2016.

12. Sutton D. Platonic & Archimedean Solids: the Geometry of Space/Written and Illustrated by Daud Sutton. Walker & Company. New York, 2002.

13. Воробьев Е.М. Введение в систему «Математика». М. : Финансы и статистика, 1998. 261 с.

14. Дьяконов В.П. Математика 4. СПб. : Питер, 2001. 654 с.

15. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики. СПб. : БХВ-Петербург, 2003. 550 с.

16. БержеМ. Геометрия / пер. с фр. Ю.Н. Сударева, А.В. Пажитнова, С.В. Чмутова ; под ред. И. X. Сабитова : в 2-х тт. М. : Мир. 1984. Т. 1. 560 с. ; Т. 2. 368 с.

17. Калиничева М.М., Жердяев Е.В., Новиков А.И. Научная школа эргодизайна ВНИИТЭ: предпосылки, истоки, тенденция становления. М. : ВНИИТЭ ; Оренбург : ИПК ГОУ ОГУ, 2009. 368 с.

18. Шевченко О.Н. Проективография как способ повышения качества дизайнерского проектирования // Вестник Оренбургского государственного университета. 2015. № 5 (180). С. 243-248.

19. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Особенности преобразования систем координат на проективографических чертежах // Научное обозрение. 2016. № 9. С. 47-51.

20. Иващенко А.В., Знаменская Е.П. Конфигурация Дезарга в архитектурном и дизайн-проектировании // Вестник МГСУ 2014. № 9. С. 154-160.

21. Иващенко А.В., Знаменская Е.П. Особенности компьютерной реализации построения плоскостной конфигурации Дезарга // Вестник МГСУ 2015. № 9. С. 168-177.

Поступила в редакцию в июле 2016 г.

Об авторах: Пващенко Андрей викторович — кандидат технических наук, дизайнер, столичная финансово-гуманитарная академия (сфга), 109383, г. Москва, Шоссейная ул., д. 90, стр. 17, комн. 206, ivashchenko_a@inbox.ru; союз архитекторов москвы, 123001, г. Москва, Гранатный пер., д. 7;

кондратьева татьяна михайловна — кандидат технических наук, доцент, заведующая кафедрой начертательной геометрии и графики, национальный исследовательский московский государственный строительный университет (ниу мгсу), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-83, grafika@mgsu.ru.

Для цитирования: Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Об использовании полярной системы координат в проективографических чертежах // Вестник МГСУ 2016. № 11. С. 124-131. DOI: 10.22227/1997-0935.2016.11.124-131

A.V. Ivashchenko, T.M. Kondrat'eva

ON THE USE OF POLAR COORDINATE SYSTEM IN THE PROJECTIVE GRAPHIC DRAWINGS

Abstract. Projective graphics is a polyhedra simulation method, which is based on the use of trace diagrams of initial polyhedron. Previously developed computer software allows using Cartesian coordinates. In some cases it is advisable to use polar coordinate system for description of projective graphics drawings. Using the example

ВЕСТНИК 11/2016

of icosahedron the authors analyzed the advantages of using projective graphics drawings in the polar coordinate system. The transition to the polar coordinate system is a tool that allows using certain patterns of projective graphics drawings in the process of calculation. When using polar coordinate system the search of Polar correspondence for the directs is simplified. In order to analyze the two lines in the polar coordinate system it is enough to compare the corresponding coefficients of the equations of these lines. The authors consider a diagram of the icosahedron in polar coordinates, and a corresponding fragment of calculation program in the Mathematica system. Some examples of forming based on icosahedrons are offered. Optimization of computer programs using polar coordinate system will simplifies the calculations of projective graphics drawings, accelerates the process of constructing three-dimensional models, which expand the possibilities of selecting original solutions.

Finally, the authors conclude that it is appropriate to use the polar coordinate system only in the construction of projective graphics diagrams of the planes system having rich symmetry. All Platonic and Archimedean solids, Catalan solid possess this property.

Key words: projective graphics, automation, modeling of polyhedra, icosahedron, Johnson's solid, polar coordinate system

References

1. Gamayunov V.N. Proektivografiya. Geometricheskie osnovy khudozhestvennogo konstruirovaniya dlya aspirantov slushateley FPK i studentov khuzhozhestvenno-grafichesk-ogo fakul'teta [Projectography. Geometric Foundations of Artistic Design for Postgraduate Students of FPK and Students of Artistic-Graphical Department]. Moscow, MGPI Publ., 1976, 26 p.

2. Sobolev N.A. Obshchaya teoriya izobrazheniy [General Theory of Images]. Moscow, Arkhitektura-S Publ., 2004, pp. 489-491.

3. Ivashchenko A.V. Modeli predstavleniya elementov sistemy prektivograficheskikh epyur i algoritmy ikh opredeleniya [Representation Models of the System Elements of Project Graphics Diagrams and their Determination Algorithm]. Molodye golosa: sbornik nauchno-issledovatel'skikh rabot aspirantov i soiskateley [Young Voices: Collection of Scientific Works of Postgraduate Students and Doctoral Candidates]. Moscow, MGOPU Publ., 2000, no. 2.

4. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Proektivograficheskie chertezhi mnogokom-ponentnykh sistem mnogogrannikov [Shape Generation by Means of a New Method of Orthographic Representation

5. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Proektivograficheskiy analiz mnogogrannikov Dzhonsona [Analysis of Johnson's Polyhedra Using Projective Geometry Techniques]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 226-229.

6. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Avtomatizatsiya polucheniya proektivogra-ficheskikh chertezhey tel Dzhonsona [Automatic Receipt of Projective Geometry Drawings of Johnson Bodies]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 6, pp. 179-183.

7. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Proektivnye konfiguratsii na proektivograficheskikh chertezhakh [Projective Configurations in Projective Geometrical Drawings]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 5, pp. 141-147.

8. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review (Dover Civil and Mechanical Engineering). Dover Publications; 2 revised edition, 2000, 1152 p.

9. Wenninger M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press; New Ed edition, 2009, 224 p.

10. Gurin A.M. K istorii izucheniya vypuklykh mnogogrannikov s pravil'nymi granyami [On the Studying History of Convex Polyhedra with Regular Faces]. Sibirskie elektron-nye matematicheskie izvestiya [Sobolev Institute of Mathematics]. 2010, vol. 7, pp. 5-23.

11. Steven Dutch. Polihedra with Regular Polygon Faces. Available at: https://www. uwgb.edu/dutchs/symmetry/johnsonp.htm. Date of access: 15.04.2016.

12. Sutton D. Platonic & Archimedean Solids: the Geometry of Space. Walker & Company, New York, 2002, 64 p.

13. Vorob'ev E.M. Vvedenie v sistemu «Matematika» [Introduction into the System "Mathematica"]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 1998, 261 p.

14. D'yakonov V.P. Matematika 4 [Mathematica 4]. Saint Petersburg, Piter Publ., 2001, 654 p.

15. Nikulin E.A. Komp'yuternaya geometriya i algoritmy mashinnoy grafiki [Computer Geometry and Algorithms of Computer Graphics]. Saint Petersburg, BKhV-Peterburg Publ., 2003, 550 p.

16. Berger M. Geometriya : v 2-kh tomakh [Geometry : in 2 Volumes]. Transl. from French. Moscow, Mir Publ., 1984, vol. 1, 560 p. ; vol. 2, 368 p.

17. Kalinicheva M.M., Zherdyaev E.V., Novikov A.I. Nauchnaya shkola ergodizayna VNIITE: predposylki, istoki, tendentsiya stanovleniya [Scientific School of Ergonomic Design, All-Russian Research Institute of Technical Aesthetics: Background, Origins, Formation Tendencies]. Moscow, VNIITE Publ.; Orenburg, IPK GOU OGU Publ., 2009, 368 p.

18. Shevchenko O.N. Proektivografiya kak sposob povysheniya kachestva dizaynersk-ogo proektirovaniya [Projective Graphics as a Way to Improve the Quality of Engineering Design]. Vestnik Orenburgskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of the Orenburg State University]. 2015, no. 5

19. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Osobennosti preobrazovaniya sistem koordinat na proektivograficheskikh chertezhakh [Features of Transformation of Coordinate Systems in the Projective Graphic Drawings]. Nauchnoe obozrenie [Science Review]. 2016, no. 9, pp. 47-51.

20. Ivashchenko A.V., Znamenskaya E.P. Konfiguratsiya Dezarga v arkhitekturnom i dizayn-proektirovanii [Configuration of Desargue in Architectural and Design Engineering]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 9, pp. 154-160.

21. Ivashchenko A.V., Znamenskaya E.P. Osobennosti komp'yuternoy realizatsii postroeniya ploskostnoy konfiguratsii Dezarga [Features of Computer Implementation of Constructing Planar Desargues Configuration]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 9, pp. 168-177.

About the authors: Ivashchenko Andrey Viktorovich — Candidate of Technical Sciences, designer, Capital Academy of Finance and Humanities (SFGA), 90/17 Shosseyna-ya str., Moscow, 109383, Russian Federation; ivashchenko_a@inbox.ru; Union of Moscow Architects, 7 Granatnyy per., Moscow, 123001, Russian Federation;

Kondrat'eva Tat'yana Mikhaylovna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, chair, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 183-24-83; grafika@mgsu.ru.

For citation: Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Ob ispol'zovanii polyarnoy sistemy koordinat v proektivograficheskikh chertezhakh [On the Use of Polar Coordinate System in the Projective Graphic Drawings]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016, no. 11, pp. 124-131. (In Russian) DOI: 10.22227/19970935.2016.11.124-131