Графоаналитический метод моделирования динамики систем с асимметричными колебаниями

Заключение. Постановка задачи оптимальной балансировки нагрузки для системы управления GRID в таком виде позволяет свести задачу к относительно простой. Алгоритм сходится очень быстро, за малое число шагов, тогда как полный перебор всех возможностей распределения заданий по вычислительным узлам потребовал бы для расчета т! вариантов. По сравнению с известными методами математического программирования для решения задач такого рода отпадают трудности формального описания большого количества ограничений, ведущих к возрастанию трудоемкости математического решения задачи распределения нагрузки.

Литература

1. Аветисян А.И. и др. Эвристики распределения задач для брокера ресурсов Grid / А.И. Аветисян, С.С. Гайсарян, Д.А. Грушин, Н.Н. Кузюрин, А.В. Шокуров // Труды Института системного программирования РАН. 2003.

2. Белов В.В. и др. Теория графов / В.В. Белов, Е.М. Воробьев, В.Е. Шаталов. - М.: Высшая школа, 1976. 392 с.

Олзоева Сэсэг Ивановна, доктор технических наук, профессор, Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления. Тел.: 89246505805.

Olzoeva Seseg Ivanovna, doctor of technical sciences, professor, East Siberian State University of Technologies and Management. Tel.: 89246505805.

Мархоев Виталий Цыденович, аспирант, Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления. Тел.: 89148447289.

Markhoev Vitaliy Tsydenovich, postgraduate student, East Siberian State University of Technologies and Management. Tel.: 89148447289.

Олзоева Акта Геннадьевна, аспирант, Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления. Тел.: 89247737837

Olzoeva Ауипа Gennadevna, postgraduate student, East Siberian State University of Technologies and Management.

Tel.: 89247737837.

УДК 66.621.928.13

В.Д. Анахин Графоаналитический метод моделирования динамики систем с асимметричными колебаниями

В статье рассматриваются разработанные модели процессов, используемые при математическом анализе механизма действия вибрации на нелинейные механические системы, лежащие в основе ряда современных технологий. Получены новые представления о физической сущности явлений, графически определены закономерности влияния различных вибродинамических параметров для общего случая колебаний системы.

Ключевые слова: теория колебаний; динамические системы; нелинейные механические системы.

V.D. Anakhin The graphic-analytical method of the simulation for the dynamic system with asymmetrical oscillations

The article describes the models of processes used in mathematical analysis of the mechanism of vibration impact on nonlinear mechanical systems. New ideas about the physical nature of phenomena have been raised, the regularities of various vibration dynamic parameters impact for the general case of system oscillations have been graphically estimated.

Keywords: vibration theory; dynamical systems; nonlinear mechanical systems.

Развитие и совершенствование ряда современных технологий и устройств связаны с рядом вибрационных эффектов и необходимостью математического описания этих своеобразных явлений, изучения их закономерностей и динамических процессов в целях совершенствования и обеспечения эффективности и конструктивного решения вибрационных устройств. Основные определения и достижения в новом направлении теории механических колебаний, имеющих место при действии вибрации на нелинейные механические процессы и лежащих в основе ряда современных машин и технологий, приведены в [1].

В настоящей статье изучаются эффекты, которые возникают при действии «вибрационных сил» (термин, введенный академиком П. Л. Капицей при исследовании теории колебаний маятника и ди-

намической устойчивости его движения), направленных на твердые частицы, различающиеся по коэффициенту трения и размерам и находящиеся на продольно колеблющихся поверхностях; излагается эффективный метод получения аналитических выражений для расчета вибрационных процессов и составления основных результатов путем графоаналитического решения соответствующих уравнений и подбора на основе серии выполненных вычислений ряда подходящих аппроксимирующих формул и практически полезных графических изображений.

Эффекты транспортирования твердых тел и сыпучих материалов и разделения частиц материала по их свойствам на вибрирующих поверхностях обусловлены вибрационной механикой - механикой систем со скрытыми быстрыми асимметрично устойчивыми движениями в нелинейных механических системах. В случае продольно вибрирующих поверхностей указанные эффекты характеризуются необходимостью учета в уравнениях движения дополнительных вибрационных сил, следуя П. Л. Капице. Нахождение выражений для вибрационных сил и составление уравнений движения представляет собой одну из основных задач вибрационной механики.

Исходное уравнение движения рассматриваемой системы продольно вибрирующей поверхности может быть представлено в форме

где 8 - виброперемещение поверхности;  - угловая частота; А и В - амплитуды первой и второй

Соответственно, U и W - виброскорость и виброускорение продольно вибрирующей поверхности представляются в виде

U = -Aco[coscot + ycos

W = А со2 [ sin cot + 2у sin(2cot + cpj\ ^

В r = —

где A - отношение амплитуды 2-й гармоники к первой.

При достаточно общих предположениях дифференциальные уравнения движения твердых частиц, различающихся по коэффициентам трения и размерам могут быть представлены в форме

где f- коэффициент трения частиц; g - ускорение силы гравитации.

Асимметричность колебаний приводит к проявлению значительных инерционных сил, превышающих силы трения частиц о поверхность, и к движению их вдоль вибрирующей поверхности. Полное движение твердых частиц за период колебаний вибрирующей поверхности представляет собой комбинацию трех возможных этапов движения, а именно: прямое скольжение; относительный покой; обратное скольжение. Для практических целей интерес представляет установившийся режим движения частиц, характеризующийся периодическим расположением однотипных моментов перехода от одного этапа движения к другому. Средняя скорость движения твердых частиц, как основная интегральная характеристика, учитывающая влияние свойств частиц и параметров колебаний, определится при суммировании их движения на всех этапах перемещения за период колебаний вибрирующей поверхности. Если графически представить скорость движения частиц на отрезке длины 2ж , то вне его график будет давать периодические повторения. Следовательно, для определения скорости перемещения твердых частиц по вибрирующей поверхности в установившимся режиме движения достаточно определить ее за безразмерный период 2ж.

Соответственно, скорость поступательного перемещения твердых частиц за период колебаний продольно вибрирующей поверхности представляется в виде

S = —А sinmt—Bsm

гармоник; ^ - разность фаз.

2п

Рис. 1. Диаграмма бигармонических колебаний, соотношения безразмерных величин виброскорости U/Aco и скорости частиц V/Aco на вибрирующей поверхности и схема отыскания установившихся режимов движения для значений коэффициентов трения/и соответствующих линий: 0,5 (сплошная); 0,2 (пунктирная); 0,8 (штрихпунктирная).

Графоаналитический метод определения скорости транспортирования твердых тел и сыпучих материалов, разделения твердых частиц по коэффициентам трения и размерам основан на использовании уравнения (4) в безразмерной форме. Согласно этому методу, используя уравнение (2) строят график безразмерной виброскорости U/Aco как функцию безразмерного времени cot на отрезке 2п. На полученный график виброскорости вибрирующей поверхности наносят прямые с наклоном 8, равным

Ат

Указанные прямые, определяющие абсолютную безразмерную скорость движения твердых частиц V/Aco, строят до получения периодического чередования однотипных моментов перехода от одного этапа перемещения к другому, что будет соответствовать установившемуся режиму движения твердых частиц по вибрирующей поверхности.

На рис. 1 приведена типичная диаграмма, наглядно показывающая процесс отыскания установившегося режима движения твердых частиц. Величина

V = ^F

2 л

скорости движения частиц в установившемся режиме определяется площадью F(d,y,cp) под графиком безразмерной скорости частиц за безразмерное время 2п.

Рис. 2. Скорость движения твердых частиц, различающихся по коэффициентам трения/ и коэффициент передачи скорости У/и в зависимости от разности фаз двух синхронных гармонических колебаний

На рис. 2 приведены расчетные результаты определения скоростей движения твердых частиц по формуле (7) и экспериментальные данные изучения эффектов вибрационного транспортирования твердых тел (пунктирная линия). Как видно, максимум величины скорости движения частиц материала достигается в области сдвига фаз двух синхронных гармонических колебаний от 0 до 30°; возможно реверсирование движения материала.

Изучение закономерностей изменения продольной скорости движения твердых частиц по вибрирующей поверхности в следующем диапазоне изменения параметров процесса:

Сдвиг фаз гармоник ф 0-2п radians;

Виброперемещение А 0.5-4.0 мм;

Частота вибрации v (ш=2л;у) 25-100 Hz;

Соотношение амплитуд гармоник у 0.1 -2.0.

Рис. 3. Зависимость продольной скорости твердых частиц от их коэффициента трения Г при разных углах продольного наклона вибрирующей поверхности а: 0°

Оптимальным соотношением амплитуд двух гармоник во всех режимах является у = 0,5, обеспечивающая максимальное значение продольной скорости движения твердых частиц сыпучего материала.

Изменение продольного угла наклона вибрирующей поверхности при движении исходного сыпучего материала тонким слоем способствует разделению частиц по их свойствам. Основными факторами разделения здесь одновременно являются и крупность, и коэффициент трения частиц. Рассмотренное поведение единичных частиц по коэффициентам трения показано на рис. 2.

Существует вполне определенная связь между коэффициентом трения и размерам частиц. Семейство кривых линий, изображающих на рис. 3 полученные зависимости, раскрывают существо и механизм происходящих явлений. При этом учитывается, что разделение частиц происходит в соответствии с принципами, показанными образованиями веера продуктов сепарации, и разделение частиц определяется соотношением углов наклона вибрирующей поверхности в продольном направлении с значениями коэффициентов трения и размерами частиц. Различие в скоростях движения твердых частиц в вибрационном процессе следующее: угол наклона вибрирующих поверхностей (прежде всего продольный, а также поперечный), амплитуда и частота колебаний, производительность. Материал покрытия, форма вибрирующих поверхностей не относятся к регулируемым, хотя они и выбираются в соответствии со свойствами разделяемого продукта. Диапазон крупности разделяемых твердых частиц сыпучего материала на вибрирующих поверхностях 0,02 мм - составляет 2.

При чрезмерно большом продольном наклоне вибрирующей поверхности веер частиц смещается вниз. Это приводит к снижению качества выделяемых тонких фракций. При разделении мелкого материала угол продольного наклона является основным регулируемым параметром. Наличие этого подъема способствует эффективному извлечению мелких фракций сыпучего материала и лучшему уменьшению верхнего предела крупности извлекаемых продуктов.

Реальные условия движения твердых частиц характеризуются закономерностями массового перемещения вибрирующей поверхности, что определяет разделительный процесс и вносит определенные коррективы в представления о закономерностях разделения частиц в процессах вибрационной сепарации сыпучих материалов. Увеличение угла продольного наклона вибрирующей поверхности положительно отражается в практике сепарации, так как позволяет увеличить шкалу разделения для выделения тонких фракций.

Таким образом, научные положения исследования закономерностей движения отдельной частицы под действием вибрационных сил в стесненных условиях, создаваемых совокупностью других частиц, участвующих в процессе, раскрываются скоростной гипотезой, основанной на различии в скоростях и направлениях движения мелких и крупных фракций материала. Мелкие частицы, имеющие большее значение коэффициента трения, скорее достигнут верхней части вибрирующей поверхности, а крупные частицы концентрируются в ее нижней части. Каждая частица стремится занять место среди других частиц соответственно своему значению коэффициента трения, характеризуемому физическими свойствами этих частиц и их размерами. Важное значение имеет форма частиц.

Основными параметрами, определяющими режимы сепарации на вибрирующих поверхностях, являются свойства разделяемого продукта, его вещественный состав. Параметры, которые могут регулироваться в вибрационном процессе, следующие: угол наклона вибрирующих поверхностей (прежде всего продольный, а также поперечный), амплитуда и частота колебаний, производительность. Материал покрытия, форма вибрирующих поверхностей не относятся к регулируемым, хотя они и выбираются в соответствии со свойствами разделяемого продукта. Диапазон крупности разделяемых твердых частиц сыпучего материала на вибрирующих поверхностях составляет 2 0,02 мм.

При чрезмерно большом продольном наклоне вибрирующей поверхности веер частиц смещается вниз. Это приводит к снижению качества выделяемых тонких фракций. При разделении мелкого материала угол продольного наклона является основным регулируемым параметром. Наличие этого подъема способствует эффективному извлечению мелких фракций сыпучего материала и лучшему уменьшению верхнего предела крупности извлекаемых продуктов.

Рис. 4. Зависимость угла вибросепарации а° от коэффициента трения /

Реальные условия движения твердых частиц характеризуются закономерностями массового перемещения группы частиц, при котором каждая частица испытывает влияние окружающих частиц. Совместное движение частиц сопровождается не только гидродинамическим сопротивлением, но и дополнительным сопротивлением от механического взаимодействия частиц за счет взаимного столкновения частиц друг с другом, трения частиц друг о друга. Поэтому в качестве модели процесса рассматривается тонкослойное перемещение сыпучего материала.

В соответствии с вышеизложенными концепциями и по аналогии с формулой (6) предложена формула (8), приемлемая для значений 5, при которых движение твердых частиц по наклонной вибрирующей поверхности, безразмерное их ускорение определяется соотношением

_

д = 8-----л 2-----

Аа2 5

где g - локальное ускорение силы гравитации; / - коэффициент трения; Аса2 - виброускорение; а -угол продольного наклона вибрирующей поверхности. Упоминаем, что параметр 5 является угловым коэффициентом прямых, отсекающих при своих построениях площади, определяющие численные значения продольной скорости твердых частиц.

Из зависимостей, показанных на рисунке 3 (при расчетах использована вышеприведенная формула), видно, что существуют две области, где характер изменения скорости и направления движения частиц различны. С увеличением угла продольного подъема вибрирующей поверхности скорость движения частиц уменьшается и при некотором угле ее подъема обращается в нуль. Этот предельный угол подъема, по И.И. Блехману, называется углом вибросепарации частиц. Обработанные автором данные показывают, что угол вибросепарации не зависит ни от виброускорения, ни от виброскорости продольно вибрирующей поверхности, а только от параметров частиц материала. Графическое изображение такой зависимости показано на рисунке 4. При бигармоническом цикле продольных колебаний вибрирующей поверхности аналитическая интерпретация зависимости выразится формулой

а°= 16.2 f+0.6

Дальнейшее развитие исследований в направлении совершенствования метода определения этих величин привело к разработке экспериментального метода определения численных значений угла вибросепарации. Экспериментальные данные по замеру этих величин приведены на рисунке 5. При этом представлял существенный интерес оценка угла вибраций fi.

Экспериментальная проверка показала, что оптимальным значением угла вибрации 13° является величина, равная 25°, обусловливающая максимальные значения скорости и разделительной способности процесса. Экспериментально полученные зависимости изменения скоростей показывают также, что производительность вибрирующей поверхности как транспортного аппарата возрастает с увеличением ее виброускорения. Экспериментально установлено, что при разделении полидисперсных продуктов каждый узкий класс крупности распределяется автономно, и частицам каждого класса в среднем соответствует своя установившаяся скорость движения. С точки зрения совершенствования процесса этажерочная конструкция легких вибрирующих поверхностей из алюминиевого сплава в сочетании с бигармоническим циклом колебаний позволяет получить высокую удельную производительность и технологическую эффективность.

V-10, m/sec

Angle of vibration

Рис. 5. Зависимости угла вибросепарации а°для размеров угольных частиц -100+80 мкм (кривая 1),

-200+160 мкм и скорости их движения Ум/с (кривая 3) от угла вибрации 13°

Литература

Анахин В.Д., Анахин Т.В.Уравнения для динамической вибрирующей системы// Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 1 (25). С. 44-49. Библиогр.: с. 49.

Анахин Владимир Дмитриевич, доктор технических наук, профессор кафедры машиноведения Бурятского государственного университета, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а. E-mail: anakhin@mail.ru

Anakhin Vladimir Dmitrievich, doctor of technical sciences, professor, department of machine studies, Buryat State University, Ulan-Ude, Smolin str., 24a. E-mail: anakhin@mai 1.ru