Формирование у будущего учителя математики профессиональных умений по воспитанию у учащихся культуры мышления

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

ФОРМИРОВАНИЕ У БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ УМЕНИЙ ПО ВОСПИТАНИЮ У УЧАЩИХСЯ КУЛЬТУРЫ МЫШЛЕНИЯ

К.Г Кожабаев, доцент кафедры математики Кокшетауского государственного университета им. Ш. Уалиханова

В статье обобщается опыт подготовки будущего учителя математики к формированию у учащихся навыков логического мышления. Приводятся рекомендации, которые выработаны автором на основе анализа личного опыта работы в вузе в качестве преподавателя методики математики.

The article is about the experience of preparation of students (future teachers of mathematics), to form skills of logical in students. The author proposes a number of recommendations, which were made on the basis of analyses of private work experience at high school as a teacher of methods of teaching mathematics.

Современной школе нужен учитель математики, не только владеющий методами преподавания, но и являющийся творчески работающим специалистом-воспитателем, умеющим формировать у учащихся интерес к математике и воспитывать рациональные качества самостоятельного мышления. Важность воспитания культуры мышления подчеркивал в своих работах А.Я. Хинчин1. От учителя математики сегодня требуется не просто хорошее знание предмета — он должен уметь развивать мышление учащихся, что является самым трудным в педагогике. К проведению такой работы студенты должны быть подготовлены в стенах вуза.

Хорошими педагогами не рождаются — ими становятся. Процесс воспитания педагога начинается со школьной скамьи, продолжается в период учебы в педагогическом вузе и в ходе последующей работы. Очевидно, что воспитание учителя — более сложный процесс, чем подготовка инженера, экономиста или агронома. Вместе с тем, как справедливо отмечает Б.В. Гнеденко, «поразительно мало делается для того, чтобы показать важность, привлекательность и общественную значимость педагогического труда, заставляющего каждый день своих представителей находиться в творческом напряжении. Учителю каждый день приходится иметь дело с десятками живых характеров, с непрерывно меняющимися требованиями и увлечения-ми»2.

Процесс обучения и формирования будущего учителя математики нельзя

признать соответствующим современным требованиям. Сегодня эта проблема является предметом обсуждения общественности.

Как известно, прежде чем управлять умственной деятельностью учащихся, будущий учитель математики должен пройти надлежащую подготовку. Ему необходимо знать логику, психологию, дидактику, философию, физиологию нервной деятельности. Он должен обладать глубокими знаниями математики, ее внутренней логики; уметь проводить логико-дидактический и логико-математический анализ темы с точки зрения ее соответствия уровню логической подготовки учащихся, оценивать не только знания учащихся, но и их логические навыки. От него требуется также умение применять методику формирования и развития навыков умственной деятельности на математическом материале.

На наш взгляд, изучение логики в педвузах изолировано от основной цели, которой является овладение будущим учителем методикой воспитания логического мышления учащихся. Можно основательно заучить определение той или иной логической операции, но этого окажется недостаточно для формирования у учащихся навыков ее применения на конкретном учебном материале.

Изучение опыта преподавания математики в школе показывает, что учащиеся, как правило, не умеют доказывать. Причина этого кроется в слабом владении учителем методикой воспитания мышления учащихся. Чтобы воспитание мышления и формирование у учащихся

© К.Г. Кожабаев, 2004

111!111Й1И1!Ш № 4,

конкретных знаний объединить в единый процесс обучения, прежде всего необходимо улучшить методическую подготовку будущих учителей математики. Особенно важно разработать такую методику преподавания, в которой получили бы отражение вопросы управления развитием мышления учащихся на конкретном математическом материале.

В вопросе формирования и развития логического мышления центр тяжести приходится на математику, так как знания и навыки выполнения логических операций, выработанные и закрепленные при изучении математики, можно применять и в отношении других предметов. Слияние воспитания мышления с накоплением знаний в единый процесс получает реальную основу.

Исходными при организации работы по опережающей подготовке будущих учителей к управлению развитием мышления учащихся в процессе обучения математике являются следующие положения.

1. Для возникновения установки на педагогическую деятельность, носящей длительный характер, переходящей в качество личности, необходимо формировать соответствующую направленность личности, владеющей высокой мотивационной готовностью к овладению избранной специальностью.

2. Чтобы овладеть предметом или явлением, нужно активно осуществлять деятельность, адекватную той, которая воплощена в данном предмете или явлении (А.Н. Леонтьев).

Умение аргументированно доказывать теоремы студенты приобретают при изучении ведущих математических дисциплин, таких как «Математический анализ», «Алгебра и теория чисел», «Геометрия» и др. Вузовские курсы математики при их правильной постановке обеспечивают высокий уровень математических знаний, развивают логическое мышление студентов. Особая роль в формировании у будущих учителей умения развивать мышление у школьников принадлежит курсам «Элементарная математика», «Методика обучения ре-

шению задач» и «Теория и методика обучения математике».

Исключительное значение для целей воспитания мышления школьников имеет курс геометрии, где учащиеся узнают о дедуктивном методе доказательства. Здесь они впервые встречаются с высокой требовательностью к полноте аргументации, которая вначале удивляет, но постепенно становится привычной. Важно, чтобы знакомство с логикой формального доказательства геометрических фактов предварялось рассмотрением конкретных фактов, примеров.

В нашем вузе на семинарских занятиях студенты приобретают навыки взаимной критики. Когда один из них что-либо доказывает или решает задачу перед всей группой, остальные должны напряженно продумывать возможные возражения и немедленно их высказывать. Студент, который «отобьется» от таких возражений, заставит согласиться с ним всех своих оппонентов, испытает радость победы. Вместе с тем победитель почувствует, что именно благодаря логической полноценной аргументации он сумел убедить своих критиков, приобретает важное умение разбираться в структуре рассуждений, смысле условий теоремы, в важности значения каждого слова в определении, самостоятельно мыслить. Участвуя в анализе решения задач сокурсниками, будущий учитель математики научится обращать внимание на речь своих товарищей, на ее точность, краткость, логическую полноту и обоснованность рассуждений. Он поймет, что в математической речи не должно быть слов, не несущих смысловой нагрузки.

Занятия по специальным дисциплинам должны способствовать росту профессиональных умений — умений вести преподавание на высоком уровне строгости и выражать свои мысли посредством краткой, предельно четкой и логически отточенной речи. Как известно, в вузовском курсе элементарной математики многие вопросы излагаются значительно строже, чем это сделано в школьных учебниках. В курсе элементарной геометрии приводятся доказательства

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

теорем, отличные от доказательств, изучаемых в школе. Тем самым студенты получают возможность ознакомиться с различными способами доказательств геометрических теорем, что является важным фактором в их профессиональной подготовке. Вузовский курс желательно снабдить большим количеством задач с интересным геометрическим содержанием. Прорешав такие задачи, будущий учитель овладеет значительно более полными и глубокими знаниями о геометрических фигурах, что, несомненно, будет способствовать его профессиональному становлению.

Для методической подготовки студентов системообразующим является курс «Теория и методика обучения математике», содержание которого строится так, чтобы ориентировать их на формирование умений логического мышления, на приобретение методического опыта и овладение необходимыми навыками. Например, работая над темой «Методика изучения геометрических теорем», будущие учителя математики приходят к осознанию необходимости четкого изложения материала, проведения доказательства всех рассматриваемых утверждений.

Приведем примерное содержание названной темы: Понятие теоремы. Виды теорем. Методы доказательства теорем. Методические схемы введения теорем. Основные этапы работы над формулировкой и структурой теоремы, ее доказательством. Методика формирования у учащихся умений доказывать теоремы. Соответствующие приемы работы учителя. Основная идея и план доказательства. Оформление записи доказательства в виде цепочки рассуждений и конечной последовательности предложений; в виде блок-схемы. Доказательство теорем как средство развития математической культуры мышления учащихся.

При доказательстве теорем учащимися допускаются следующие ошибки: подмена тезиса; нарушение правил вывода; неправильный подбор аргументов; искажение методов доказательства; использование ложного высказывания в качестве основания; порочный круг в

доказательстве; при доказательстве от противного отрицание не заключения теоремы, а ее условия; искажение метода математической индукции, подмена полной индукции неполной и др.

Сформулируем требования к методической компетентности будущего учителя математики при доказательстве теорем.

Студент должен знать:

— методы доказательства теорем;

— схему рассуждений при доказательстве синтетическим методом, методом восходящего и нисходящего анализа и методом от противного;

— четыре вида теорем и связь между истинностью прямого (обратного) и обратного противоположному (противоположного) предложений;

уметь:

— иллюстрировать на примерах различные методы доказательства теорем;

— иллюстрировать на примерах способы усвоения школьниками формулировки теоремы;

— иллюстрировать основные этапы работы над доказательством теоремы на примерах ведущих теорем планиметрии;

— выделять основную идею доказательства теоремы на конкретном примере;

— записывать доказательство теорем в виде цепочки рассуждений, таблицы «утверждение-обоснование», блок-схемы;

— иллюстрировать на примерах индуктивные и дедуктивные методы доказательства теорем;

— иллюстрировать на примерах доказательство теорем методом от противного;

— характеризовать основные типы ошибок учащихся в доказательстве теорем;

— составлять систему упражнений для предупреждения и устранения основных типов ошибок учащихся в доказательстве теорем;

иметь навыки устранения возможных методических ошибок при обучении учащихся доказательству теорем.

При изложении теоретического материала преподаватель дает образцы строгих доказательств с полной аргументацией каждого этапа. Студентам предла-

№ 4, 2004

гаются задачи для самостоятельного доказательства. В продолжение заложенной в школьном курсе геометрии идеи использования символики, а также краткой записи предложений особое внимание отводится обучению студентов использованию математической символики для краткой записи определений и теорем. Таким образом формируется математический язык и развивается умение осуществлять переход от знаково-символьной формы к словесной и наоборот.

Для фиксации результатов процесса формирования обозначенных выше умений применяется система коллоквиумов и заданий, например по теме «Методика доказательства теорем. Словесная и знаково-символьная форма»:

1. Разработать образец строгого доказательства признаков равенства треугольников.

2. Раскрыть деятельность учащихся при отыскании способа доказательства теоремы о сумме углов треугольника.

3. Составить картотеку публикаций журнала «Математика в школе» по теме «Теоремы на уроках математики».

Ввиду принципиальной важности вопроса о записи условия теорем и хода их доказательства приведем примеры — образцы строгих записей, составленных совместно со студентами во время практики в 8-х и 10-х классах.

П р и м е р 1. Теорема. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

С

Дано:

1) АБСБ — параллелограмм (рис. 1);

2) АС и БВ — его диагонали;

3) О — точка пересечения АС и БВ. Доказать: АО = ОС; ВО = ОБ. Доказательство

' АБ=ВС

1) ААО£=АВОС|

Z1=Z3,Z2=Z4.

2) Следовательно, АО = ОС; ВО = = ОБ.

П р и м е р 2. Теорема. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Р и с. 2 Дано:

Плоскость а (рис. 2);

1) а ё а; 2) Ь с а; 3) а || Ь.

Доказательство

1) Допустим, что а К а.

2) Тогда а пересекается с а в некоторой точке К (условие 1).

3) Пл. (а, в) пересекается с а по прямой (условия 3, 2, 1).

4) К е а, а с пл. (а, в); следовательно, К е пл. (а, в); К с а, К с пл. (а, в); следовательно, К с в, что противоречит условию 3. Итак, а || а.

В записи использована математическая символика, а также ссылки на пункты условия, которые дают указание о способах обоснования доказываемых пунктов. Ссылки должны быть полностью развернуты учащимися в словесной форме.

Подобная запись доказательства теоремы дает представление о том, до какой степени строгости следует доводить математическое рассуждение. Образцы строгих доказательств приводят учащихся к пониманию вполне обоснованного дедуктивного рассуждения и способствуют приобретению навыка в построении таких рассуждений. Для этого учитель должен добиваться от учеников полноценного объяснения каждого утверждения, сопровождая его словесной ссылкой на пункт условия либо доказательства или на ранее доказанную тео-

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

рему. Очень важно обратить их внимание на то, что в процессе доказательства использованы все пункты условия теоремы и не привлечено какое-либо условие, не принадлежащее к доказываемой теореме.

При изучении всех тем курса «Теория и методика обучения математике» студенты включаются в систему учебно-педагогических ситуаций, ориентированных на формирование методических умений учителя.

Одним из эффективных способов развития мышления является анализ ошибок учащихся. Как известно, к математическим ошибкам приводят поверхностное усвоение и неправильное применение нового знания. Поэтому необходимо уделить серьезное внимание аспекту формирования критического мышления у учащихся посредством целенаправленного создания системы специальных ситуаций поиска ошибок.

Для будущего учителя важно уметь находить гносеологические и методические ошибки. К гносеологическим ошибкам относятся ошибки познавательного характера, допущенные учеными в процессе эволюции математической науки. Например, Ферма считал, что (22п +1) есть простое число, так как при п = 1, 2,

3, 4 получаются простые числа. Л. Эйлер установил, что при п = 5 получается составное число 641.

При анализе методических ошибок учащихся выявляется их математическая сущность, указываются возможные причины появления.

Нами сформулированы требования к методической компетентности будущего учителя математики, к умению анализировать математические ошибки учащихся.

Студент должен знать:

— сущность понятия «математическая ошибка»;

— психологические причины появления математических ошибок учащихся;

уметь:

— раскрыть сущность работы учителя по определению математических ошибок учащихся;

— классифицировать математические ошибки учащихся для удобства работы над ними на практике;

— показать на конкретных примерах математическую сущность ошибок учащихся;

— использовать основные приемы методического анализа математических ошибок учащихся;

иметь навыки своевременного предупреждения появления математических ошибок учащихся.

Каждая ошибка характеризуется содержанием и причиной возникновения. Содержание — ее внешнее проявление, а причина скрыта в глубине. Ошибки бывают случайными и систематическими, типичными. Случайные ошибки ликвидируются в процессе индивидуальной работы с учащимися, а для ликвидации типичных ошибок необходима фронтальная систематическая работа. Студент должен уметь анализировать содержание каждой ошибки, допускаемой учениками, выяснять причины ее возникновения. В процессе такого анализа он показывает ученикам суть каждого правила, понятия, теоремы и т.д. По утверждению Н.М. Бескина, «учитель должен не просто поправить ошибку, а выкорчевать ее. Для этого он должен понять неправильный ход мыслей и заблуждений ученика, который сам ученик не может сформу-лировать»3.

В.А. Далингер указывает следующие причины ошибок, допускаемых студентами при изучении различных математических дисциплин:

1) связанные с психологическими факторами (ослабление психических функций: внимания, памяти, мышления);

2) вытекающие из недостатков учебных программ и учебников;

3) обусловленные несовершенством организации учебного процесса;

4) обусловленные не овладением студентами на требуемом уровне синтаксисом и семантикой математического языка4.

Указанные причины в полной мере можно отнести и к учащимся.

На старших курсах читается спецкурс «Развитие мышления учащихся при

№ 4, 2004

обучении математике». При определении содержания спецкурса мы исходили из следующего:

— будущий учитель должен в совершенстве владеть теоретическими знаниями управления мыслительной деятельностью школьников;

— одним из основных путей подготовки учителя является интеграция знаний и социального опыта, усвоенного на предыдущих этапах при изучении философии, психологии, педагогики, спецпред-метов, методики обучения математике.

Методика преподавания спецкурса в целом и отдельных форм занятий базируется на теории поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин). Спецкурс позволяет студентам увидеть, что практически любое содержание учебного материала возможно использовать для развития мышления учащихся. Вначале на спецкурсе осуществляются теоретическое изучение основных направлений психологии и педагогики по проблемам развития мышления в процессе обучения, приобщение будущих учителей математики к чтению, анализу, оценке и систематизации психолого-педа-гогической литературы; только упорядоченные, систематизированные знания могут активно использоваться в практической работе. Теоретические занятия способствуют возникновению у студентов ориентировочной основы действия в результате сообщения сведений о сущности психологии мышления, способах деятельности, которыми надо овладеть.

Чтобы формировать мышление, необходимо знать закономерности его развития, которые исследуются диалектической и формальной логикой, психологией. Дискуссионной во взглядах психологов и педагогов является проблема моделирования мыслительной деятельности человека. Поэтому одной из задач спецкурса является ознакомление студентов с теоретическими разработками по проблеме на уровне практических умений. На спецкурсе поднимаются многие вопросы, необходимые для совершенствования обучения математике. Обсуждение этих вопросов опирается на знания студентов, полученные ими в процессе изучения философии, педагогики, психологии и методики обучения математике. Такая постановка проблемы формирования мышления позволяет студентам более глубоко осмыслить многие вопросы данных наук, что, в свою очередь, помогает понять проблемные и практические вопросы школьного курса математики и способствует формированию творчески мыслящего учителя.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 См.: Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М., 1963.

2 Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М., 1985. С. 11.

3 Бескин Н.М. Роль задачи в обучении математики // Математика в школе. 1992. № 4. С. 3.

4 См.: Далингер В.А. Начала математического анализа: типичные ошибки, их причины и пути предупреждения: Учеб. пособие. Омск, 2002. С. 8—12.

Поступила 22.10.04.