Использование диофантовых уравнений как средств совершенствования учебной деятельности студентов в обучении математике

УДК 378.016:51

ХАМОВ Геннадий Григорьевич, доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. Автор 159 научных публикаций, в т.ч. одной монографии и 18 учебно-методических пособий

ТИМОФЕЕВА Лариса Николаевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. Автор 23 научных публикаций, в т.ч. трех учебнометодических пособий

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ КАК СРЕДСТВА СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

СТУДЕНТОВ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Статья посвящена проблеме повышения мотивации обучения студентов, развитию исследовательских умений при обучении математике, привитию навыков самостоятельной работы через наполнение содержания учебной программы исследовательскими задачами.

Диофантово уравнение, теория сравнений, исследовательские умения

Овладение исследовательскими умениями в процессе изучения вузовских математических дисциплин является необходимым условием профессионального роста будущих учителей математики. На этот факт неоднократно обращали внимание в своих публикациях (Бе-зумова О.Л., Котова С.Н1, Патронова Н.Н.2, Форкунова Л.В.3 и др.). Они отмечали, что исследовательские умения не только расширяют границы собственных познавательных возможностей студентов, но и составляют основу образовательно-ценного познавательного опыта будущего педагога, подлежащего передаче его ученикам.

Одним из уникальных средств формирования исследовательских умений будущих учителей математики являются диофантовы уравнения. Диофантовыми называют уравнения с целыми коэффициентами, содержащие более одной переменной и решаемые в натуральных

© Хамов Г.Г., Тимофеева Л.Н., 2011

или целых числах. Они настолько разнообразны, что не существует универсального способа или алгоритм для их решения. Задача о поиске универсального способа Диофантовых уравнений была поставлена в 1900 году выдающимся математиком Давидом Гильбертом и известна как 10-я его проблема. Гипотеза об отсутствии универсального способа была высказана американским математиком М. Дэвисом в 1949 году, а доказана в 1970 году Юрием Владимировичем Матисевичем4.

Возможности использования этих уникальных средств для целенаправленного формирования исследовательских умений студентов в контексте их учебной математической деятельности и профессионального роста определяются тем, что во-первых, теория диофантовых уравнений тесно примыкает к содержанию вузовского курса алгебры и теории чисел; а, во-вторых, ее элементы включены в программу

математической подготовки учащихся классов с углубленным математики. Для использования названных возможностей достаточно к содержанию некоторых тем (в основном теоретико-числовых) курса алгебры и теории чисел привлечь примеры, содержащие диофантовы уравнения или задачи, решение которых сводится к решению диофантовых уравнений.

Так при изучении теории делимости в кольце целых чисел в курсе «Алгебра и теория чисел» можно рассмотреть диофантовы уравнения, решаемые методом исследования возможных остатков от деления одного целого числа на другое, или с использованием свойств делимости. При этом используются свойства:

- если целое число а при делении на целое число m дает остаток г то число а2 при делении на m дает остаток, равный остатку от деления числа г2 на m;

- если числа a, b при делении на m дают остатки г г2 то число ab при делении на m дает остаток, равный остатку от деления произведения г г2 на m.

Заметим так же, что г2 при делении на число m некоторые числа множества {1, 2,...,m-1} в остатке давать не может. Например, квадрат целого числа при делении на 3 не может давать остаток 2; при делении на 5 - остатки 2, 3; при делении на 7 - остатки 3, 5, 6; при делении на 8 - остатки 2, 3, 5, 6, 7 и т.д.

Кроме того, например, сумма квадратов трех целых чисел при делении на 8 не может давать остаток 7; сумма кубов двух целых чисел при делении на 9 не может давать остатки 3, 4, 5, 6, а сумма кубов трех целых чисел при делении на 9 не может давать остатки 4, 5 и т.д.

С помощью этих свойств доказывается неразрешимость в целых числах некоторых классов уравнений (n є N, N - множество натуральных чисел):

• X2 + 3y = 2; X2 + 3yn = 2; 13х2 + 2010y = 2009;

7х2 + 2010yn = 2012; 2011х2 = 2010yn + 2012;

3n = X2 + 25.

• X2 = 2009/ + 2012; x2 = 2009yn + 5; x2 - 7yn = 6;

5x2 + 7y = 15; 5x2 + 11y = 7.

• 11 x2 + 2010y3 = 3; 11x2 + 2010yn = 5z + 3; x2 = 2010yn + 2012.

• x2 - 2x + 2010/ = 2008; x2 + 4x - 2010yn = 2009; x2 - 4x + 2010y3 = 5z + 3; 7x2 - 2009 = 2010yn.

• x2 - 2x + y2 +4y + z2 = 2010; x2 + y2 + z2 = 8t + 7.

• x2 - 2y2 + 8z = 2011; x2 - 2y2 = 8zn + 3; x2 - 2y2 = 8zn + 5.

• x3 + y3 + z3 = 2011; x3 + y3 + z3 = (2009)2; x3 + y3 + z3 = 9t + 4.

• x3 + y3 = 2010; x3 + y3 = 9z + t, t є {3; 4; 5; 6}; x3 + 3x2 + 3x + y3 = 2010; x3 + 3x2 + 3x + y3 =

9z + t, t є {2; 3; 4; 5};

x3 + 3x2 + 3x + y3 + 3y2 + 3y = 2010; x3 - 3x2 + 3x + y3 + 3y2 + 3y = 9z + t, t є {3; 4; 5; 6};

20x3 + 11y3 = 2010; 20x3 + 11y3 = 9z + t, t є {1; 3; 6; 8}.

• x ! + 2010 = y2.

Решение следующих диофантовых уравнений может быть проведено путем исследования всех возможных вариантов четности, нечетности значений переменных, входящих в уравнение:

> x2 - y2 = 2010 (решений нет);

> 2n - 2009 = x2 (n є N, ответ: решений нет);

> x2 - 2xy = 2010 (решений нет).

> x4 - 2y2 = 1 (ответ: x = ±1, y = 0, ) Решение. Из уравнения следует, что x = 2p +

1 - нечетно, а y = 2q - четно. Получаем уравнение q2 = (p2 + p)(2(p2 + p) + 1). Так как p2 + p и 2(p2 + p) + 1 взаимно просты, то каждое из них является точным квадратом, то есть p(p + 7) = z2.

Аналогично, p = а2 (или - p = а2), p + 1 = b2 (или - (p + 1) = b2), что возможно только при p = 0 или p = -1.

> 4x3 + 5 = (2x2 + 1)(5y2 - 17) (ответ: x = 1,

y = ±2);

> 3 2х = у2 - 1 (ответ: х = 0, у = ±2; х = 3, у = ±5; х = 4, у = ±7;

> 2х2 = 3г2 - 7у2

Решение. Из уравнения следует, что числа

у и г либо оба четны, либо оба нечетны.

Если у = 2£ + 1, г = 2к + 1, то х = 2s - четно

и получим уравнение 2я2 = 3к

- 1). Левая часть четна, а правая нечетна.

Пусть у и г - четны, т.е. у = 21, г = 2к. Предположим, что при к > 0 решения существуют и выберем решение (х, у г) с наименьшим положительным значением г. Тогда х = 2s - четно и 2я2 = 3к2 - 7£2, то есть найдется решение (я, I, к), такое, что 0 < к < г, что противоречит условию выбора решения (х, у г).

> х2 + у2 + г2 = 2010хуг (ответ: х = у = г = 0);

^ Сколькими способами можно разложить число 2п

^ Исследовать систему диофантовых уравнений:

2 , О 2 2

X +2 у =2

2х +у =t

Решение. Числа х и у взаимно просты, в противном случае, обе части уравнений можно сократить на квадрат их наибольшего общего делителя. Если х и у - оба нечетны, то г2 = 3(mod4) и £2 = 3(mod4), что невозможно. Если х - четно, а у - нечетно, то х2 + 2у2 делится на

2, но не делится на 4, а число £2 либо нечетно, либо делится на 4. Аналогично при х - нечетном и у - нечетном.

При исследовании уравнений, содержащих в качестве коэффициентов простые числа, применяются следующие свойства:

- если произведение делится на простое число, то хотя бы один из сомножителей делится на это число;

- если квадрат целого числа, не делящегося на простое число р > 3, при делении на р не дает в остатке хотя бы одно из чисел к и

р - к для всех к от 1 до р - 1, то сумма квадратов двух целых чисел х2 + у2 делится на простое число р лишь в том случае, когда каждое из этих чисел делится на р. Таким свойством обладают, например, числа 3 и 7.

20113х = у2; 2011рх = у2, р - простое,

р ф 2011;

2010 7х = у2; 2010р = у2, р - простое,

р ф 2; р ф 3;р ф 5; р ф 67;

х2 - 2у2 = 2007г + 2010; х2 + 3х + 4 = 2009у (решений нет).

х2 + у2 = 2010

(Ответ: х = у = г = ґ = 0).

х4 + у4 = 5г2; х4 + у4 = 5

(Ответ: х = у = г = ґ = 0).

ху = р(х + у), р - простое

(Ответ :

{(0,0); (2р,2р); (р + 1, р + р2); (р + р2, р + 1); (р - 1, р -р2); (р -р2, р -1)}).

1 + х + х2 + х3 = 2011у; 1 + х + х2 + х3 = рУ,

р - простое, р > 3, (Ответ: х = у = 0).

Доказать, что из всех целых чисел вида 2р + 1, где р - простое, только одно число является точным кубом (Ответ: р = 13).

Найти натуральное число, зная, что оно имеет только два простых делителя, число всех натуральных делителей 6, сумма всех натуральных делителей 28. (Ответ: 12).

Найти двузначное число, квадрат которого равен кубу суммы его цифр.

Решение. Составляем уравнение: (10х +у)2 = (х + у)3, где 10 < 10х + у < 99, 1 < х + у < 18. Обозначив (10х + у)2 = (х + у)3 = Ы, получим 100 < N < 5832, и N = s2 = ґ3. Тогда N = к6, так как для любого простого делителя р числа N имеем N = р“^, р не делится на N при этом а делится на 3 и на 2, то есть а делится на 6. Неравенство 100 < к6 < 5832. Отсюда 3 < к < 4. Искомое число 27.

В ряде диофантовых уравнений многочлен, стоящий в одной из частей может быть разложен на множители, что позволяет найти решения уравнения, приравнивая полученные множители возможным делителям целого числа, находящегося в другой его части. Например,

для решения уравнения axy + bx + cy + d = 0, равносильного (ax + c)(ay + b) = bc - ad, приравниваем числа ax + c и ay + b всем возможным парам делителей числа bc - ad, произведение которых равно этому числу. Уравнение bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, b Ф 0 преобразуем к виду

2 , ,, ,4 b2 f — bed + cd2

b x =—bey - (be — cd)------------------

by + d

Целые решения находим, приравнивая число by + d всем возможным делителям числа bf - bed + cd2.

В большинстве уравнений разложение на множители требует большой изобретательности, что, несомненно, способствует привитию исследовательских навыков в математике.

S 2xy + 2x + y = 2010

(Ответ: {(0;2010), (1005;0), (-1;-2012), (-1006;-2)}).

S 2xy + y2 - х + 3y + 1 (Ответ: {(-5;1), (1;0), (-5;6), (1;-5)}).

S x2 - 6xy + 5y2 = 2011 (решений нет).

S x2 + xy + y2 = x2y2 (Ответ: {(0;0), (1;-1), (-1;1)}).

Решение. x2 + xy + y2 = x2y2 равносильно (x + y - xy)(x + y + xy) = xy. Если x > 2 и y > 2, x + y + xy > xy и равенство невозможно. Далее исследовать сначала x > 2, y < -2, затем x < -2, y > 2, и x < -2, y < -2.

S x3 + y3 + z3 - 3xyz = 1

Решение.

Преобразуем в (x + y + z)[(x + y + z)2 - 3 (xy + xz + yz)] = 1.

Получаем две системы диофантовых уравнений:

fx + y + z-1 fx + y + z = -1

[лу + xz + yz - 0 [лу + xz + yz = 2

Вторая система целых решений не имеет, так левая часть второго уравнения делится на

3, а правая не делится. Кроме тривиальных решений (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), других решений первая система не имеет. Из системы получаем уравнение (x + y)2 = xy + x + y равносильное (x + y)2 + 1 = (x + 1)(y + 1). Отсюда следует, что числа x, y либо оба положительны, либо

оба отрицательны. Поэтому х2 + 2ху + у2 > ху + х + у.

х2 - у3 = 7; х2 - у3 = 20103 - 1; х2 - у3 = (2с)3 - 1, с - нечетное. (решений нет).

Решение. х2 - у3 = (2с)3 - 1 равносильно х2 + 1 = (у + 2с)[(у - с)2 + 3с2].

Далее исследуются остатки от деления левой и правой частей полученного уравнения на 4 при у - нечетном и на 8 при у - четном.

^ Доказать, что ни одно из чисел вида 2п (п е К) не представимо в виде суммы двух и более последовательных натуральных чисел.

^ Найти наибольшее целое число х, такое, чтобы число 4201 + 41106 + 4х являлось точным квадратом. (Ответ: х = 2010).

Решение. Задача сводится к нахождению наибольшего числа у = х - 201, которое удовлетворяет уравнению 1 + 4905 + 4 = п2, равносильному 1 + 4905 = (п + 2у)(п - 2у). Из данного уравнения получаем 22у + 1 < п + 2у < 4905 + 1, то есть у < 1809.

^ Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа его десятков и квадрата числа его единиц. (Ответ: 24).

При решении некоторых диофантовых уравнений используются свойства наибольшего общего делителя двух и более чисел, взаимно простых чисел, в частности, если произведение делится на некоторое число и один из сомножителей взаимно прост с этим числом, то на него делится другой сомножитель:

• х2у = 2010х + у.

Ответ: {(0;0),(2;1340),(-2;-1340),(4;536),

(-4;-536)}.

• х(у + 1)2 = 2009у.

Ответ: {(0;0),(-4018;-2),(6;246), (-8;-328)}.

• у4 - х3 - х2у = 0

(Ответ: {(т4 + т3, т3 + ш2), т е 2}

Решение. Если НОД(х, y)=d, то есть х = х^, у = у^, НОД(х1, у1) = 1, то у4 = х2(х + у), что равносильно у^ = х12(х1 + у1). Так как НОД(х1,у1) = 1, то НОД(х1 + у1,у1) = 1, тоу14 = 1, то есть у1 = ±1.

х у г _

• , т е К, х, у, г - попарно взаимно просты.

(Ответ, m = 3, х = y = z = ±1).

I + I-I

X у Z

(Ответ:

х = т (т + n)t

х = т(- т + n)t

у = п (т + n)t’< у = п(т - n)t

z = mnt

z = mnt

где т, п, г е 2, т Ф 0, п Ф 0, г Ф 0, т Ф -п).

• Доказать, что можно найти такое целое число х, умножив на которое данное простое число р, взаимно простое с 10, получим в произведении число, оканчивающееся заданными цифрами ^7.

2010 цифр

Решение. Так как НОД(р, 10) = 1,

НОД(р, 102010) = 1, то линейное уравнение с двумя переменными рх - 102010 у = 1 имеет целые решения (х;у), при этом число

- искомое.

х • abc...f

2010 цифр

При изучении в курсе «Алгебра и теория чисел» теории сравнений, хорошей иллюстрацией творческого применения полученных на занятиях знаний может стать решение специальных диофантовых уравнений, в исследовании которых можно применить свойства сравнений, методы решения линейных сравнений, сравнений высших степеней, свойства первообразных корней и индексов, теоремы Эйлера и Ферма.

• х2 - 10х - 11у + 5 = 0.

Ответ: {(8 + 11г; - 1 + 6г + 11г2), (2 + 11г; -1 - 6г + 11£2), г е г}.

• 4х = 2 + 9у, 4х + 2007у = 2012, (решений нет). -2 —2

• . Ответ: {1233; 8833}

Решение. Составляем уравнение 1000х + 100у + 10г + г = (10х + у)2 + (10г + г)2, переходим к сравнению по mod10 и исследуем

его.

• х3 + 2007y3 = 2010 (перейти к сравнению по mod 9. Решений нет).

• Найти год рождения тех людей, которым в 2010 году исполнится столько лет, како-

ва сумма цифр года их рождения. (Ответ: 1986, 2004).

С помощью теоремы Ферма: при простом р и условии НОД(а, р) = 1 имеет место сравнение ар-1 = 1(mod р), доказывается неразрешимость в целых числах некоторых классов диофанто-вых равнений:

хр-1 + ур-1 = к, р - простое,

р > 3, кФ 0;1;2(тос1 р).

хр-1 - ур-1 = к, р, - простое,

р > 3, к Ф 0;+1(тос1 /?).

хр-1 + хр-2у + ... + хур-2 + ур-1 = к,

р - простое, р > 3, кФО; 1(тос1 р).

Для решения следующих уравнений применяются свойства первообразных корней и индексов:

х8 - 23 = 41у3 (решений нет).

2х3 - 17 = 41у.

Ответ: {(22 + 41г; 519 + 2904г + 5412г2 + 3362г3), г е г}.

• 7х - 11 = 17у. (Ответ: х = 16г + 5;

У = -

[ -11

17

t > 0, ).

Уравнение ах + pyn = b, х, n е N, p - простое, не имеет решений, если НОД(Мра, p - 1) не делит ind b, так как при этих условиях неразрешимо сравнение ах = b(mod p):

• 7х - 19y = 2010, 7х - 19yn = 2010.

• 42х - 53yn = 27.

• 52х - 73yn = 57.

Уравнение ахn ±pym = b, n, m е N, p - простое, не имеет целых решений, если НОД(п, p - 1) не делит ind b - ind а, так как при этих условиях сравнение ахn = b(mod p) неразрешимо:

• 11хп ± 23ym = 2010, где n = 2k или n = 11k к е N.

• 36х23к ± 47ym = 2011.

Уравнение х2 ± pym = q, p - простое, p > 2, m е N, в целых числах х, y, решений не имеет, если q - первообразный корень по модулю p:

• х2 ± 17ym = 2011.

• х2 ± 31 ym = 11.

Осознание студентами состава исследовательских действий, осуществляемых в процессе решения представленных в статье задач, позволяет сделать предметом целенаправленного усвоения ими исследовательских умений следующих видов: выделение существенных

связей в содержании изучаемого, проведение анализа, выявление причинно-следственных связей; а также формирование представлений

о «цикле познания», способностей к целепола-ганию, самоконтролю в соответствии с достигнутыми результатами.

Примечания

1 Котова С.Н., Безумова О.Л. Методические особенности раскрытия содержания основным математических категорий в курсе «Введение в математику» // Вестн. Помор. ун-та. Сер.: Гуманит. и соц. науки. 2006. № 3. С. 204-208.

2 Патронова Н.Н. Серия взаимосвязанных задач как средство формирования вероятностно-статистического мышления студентов на занятиях по теории вероятностей и математической статистики // Вестн. Помор. ун-та. Сер. Гуманит. и соц. науки. 2006. № 3. С. 209-215.

3 Форкунова Л.В. Особенности подготовки учащихся к исследовательской деятельности в области приложений математики // Вестн. Помор. ун-та. Сер.: Гуманит. и соц. науки. 2008. Спецвыпуск. С. 180-185.

4 Матисевич Ю.В. Десятая проблема Гильберта. М., 1973.

Khamov Gennady, Timofeeva Larissa

USE OF DIOPHANTINE EQUATIONS AS A WAY OF THE PERFECTION OF STUDENT EDUCATIONAL ACTIVITY ON MATHEMATICS

The article is devoted to the problem of increasing motivation for learning in students, development of research abilities in teaching Mathematics, development of independent work skills through including research problems in the content of the academic programme.

Контактная информация: Хамов Геннадий Григорьевич e-mail: gghamov@yandex.ru Тимофеева Лариса Николаевна е^аП: tln142@mail.ru

Рецензент - ШабановаМ.В., доктор педагогических наук, профессор кафедры методики преподавания математики Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова