Гидромеханические характеристики шатунных подшипников, смазываемых неньютоновскими жидкостями

УДК 55.42.31

ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ШАТУННЫХ ПОДШИПНИКОВ, СМАЗЫВАЕМЫХ НЕНЬЮТОНОВСКИМИ ЖИДКОСТЯМИ*

В.Н. Прокопьев, А.К. Бояршинова, Е.А. Задорожная,

К.В. Гаврилов, И.В. Андрющенко

Приводится методика и результаты расчета гидромеханических характеристик шатунного подшипника коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания. Поле гидродинамических давлений в смазочном слое подшипника определяется на основе алгоритма сохранения масс. Неньютоновские свойства применяемой для смазки жидкости Максвелла учитываются зависимостями ее вязкости от второго инварианта скоростей сдвига и времени запаздывания изменений вязкости при быстром росте давлений в смазочном слое. Показано, что применение для смазки шатунного подшипника неньютоновских жидкостей приводит к заметному уменьшению толщины смазочного слоя и потерь на трение.

1. Введение. К числу распространенных смазочных жидкостей, обнаруживающих неньютоновские свойства, относятся масла, загущенные полимерными присадками. За последнее время интерес к таким жидкостям возрос и появились работы, в которых неньютоновские свойства масел учитываются при расчете сложнонагруженных подшипников и, в частности, подшипников коленчатого вала двигателей внутреннего сгорания.

С целью упрощения решения задачи расчета динамики и гидромеханических характеристик таких подшипников чаще всего полагают, что они смазываются вязкоупругой жидкостью Максвелла, неньютоновские свойства которых можно описать степенной зависимостью вязкости от скоростей сдвига в смазочных слоях [1]. В работе [2] дополнительно учитываются эффекты релаксации, вызванные запаздыванием изменения вязкости при быстром нарастании гидродинамических давлений. К сожалению, степенной закон при малых скоростях сдвига не обеспечивает получение хотя бы качественно правильных результатов.

В работе Гезима [3] для зависимости вязкости от второго инварианта скоростей сдвига использовано эмпирическое выражение, обеспечивающее совпадение расчетных и экспериментальных результатов для всех реальных значений скоростей сдвига в смазочном слое статических нагруженных подшипников.

В работе [4] формулой Гезима учитываются неньютоновские свойства жидкости Максвелла при решении задачи расчета гидромеханических характеристик сложнонагруженного подшипника. Поле давлений в смазочном слое рассчитывается на основе численного алгоритма сохранения масс, разработанного Элродом [5], который, как показано во многих работах, не гарантирует получения устойчивых результатов.

В статье для определения поля гидродинамических давлений в смазочном слое в отличие от работы [4] использован хорошо зарекомендовавший себя алгоритм сохранения масс, первоначальная версия которого предложена в [6]. Алгоритм базируется на интегрировании модифицированного уравнения Элрода и обеспечивает равенство переносимых масс на границах разрыва и восстановления активной области смазочного слоя неньютоновской жидкости.

2. Уравнение Рейнольдса для давлений в смазочном слое неньютоновской жидкости.

На схеме (рис. 1) подшипник и шип, радиусы которых г1 = г2 ~ г, вращаются с абсолютными угловыми скоростями о\ и ю2. Положение центра шипа характеризуется эксцентриситетом е = 0102 и углом 5, отсчитываемым от оси 01Х системы 01ХУ , закрепленной на подшипнике. В этой системе угловая скорость шипа в) = (в1 - (о2), а его центр О2 движется с некоторой относи-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Проект 04-01-96088).

тельной скоростью, составляющие которой на линию центров и направление ей перпендикулярное равны ёе/& и е • ё5/& , где t - время.

Оси 0х , 0z системы координат 0хху , в которой рассматривается течение неньютоновской жидкости в тонком смазочном слое, лежат в плоскости, на которую развёртывается поверхность подшипника. Ось 0у направлена по нормали к поверхности, - В/2 < z < В/2, где В - ширина подшипника.

Для скоростей поверхностей подшипника и шипа справедливы приближенные соотношения [6]:

Vх =0; Vу =0; у2х = вг; у2у = дVдt + вг • Vг ^дVдt,

где Л = МХМ2 = МХМ2 - толщина смазочного слоя.

Рассмотрим класс вязкоупругих жидкостей Максвелла, реологические свойства которых описываются уравнениями

дТ <т)дУх , дТ

12 )^т; гyz

ду

т + х-х- = м

ху

Эt ду дt ду

Здесь Л. - время релаксации, характеризующее запаздывание изменений касательных напряжений т относительно изменений скоростей сдвига; ц(12) - вязкость смазки, являющаяся функцией второго инварианта скоростей сдвига:

І2 =

V Л +(дУ

ду І [ ду

Связь касательных напряжений с гидродинамическими давлениями в смазочном слое определяется обычной системой уравнений Рейнольдса:

=дт^. дР=^1. дР=0

дх ду ’ дz ду ’ ду Дифференцируя уравнения (2) по у, получаем соотношения

дт

ху

з д

+

ду дґ

(дт„, Л

ху

д

( дУ, X дт

, Л. + Х—

ду І ду [ ду | ду дґ

д

(дту, X д ( дУ, Л

V V / чг V подстановкой которых в (4), находим

др* д ( дУх X др* д

ду І ду I ду

м

( дУ, X. др* = 0

дх ду ду ) д, ду [М ду ) ду '

где

р*(ґ) = р + Х

др

дґ

При Х = 0 система (5), за исключением обозначения р*, ничем не отличается от системы уравнений, являющейся исходной для задачи тепломассообмена в тонких смазочных слоях

неньютоновской жидкости, сформулированной в работе [7].

і

Исходя из этого, обозначив фк = | ук /~Ц^у, где м=м/м0 (Мо - характерная вязкость),

о

у = у/Ь, выпишем, воспользовавшись результатами работы [7], уравнение (символ «* » при р опущен), интегрированием которого определяется поле гидродинамических давлений р * (ф,,):

2

_д_

дф

72 Л

го у

_др

рдф

+-

д,

И

_др

д

дф

ю-р-И

1-й-

фо І

д

+ дт

Здесь Л = Л/Л; Л = ( - г2); р = р/р0 ; р = (р - ра У2/и0; ¥ = К1 г; “ = ^г, - а < z < а, а = В/ 2г ; т = в()t, где ц0,р0,в)0 - характерные: вязкость, плотность смазки, частота вращения шипа, ра - атмосферное давление.

Безразмерная толщина смазочного слоя Л и её производная дЛ/дт определяются формулами Л = 1 -хсо$((р-5) дЛ/дт =-Хсоъ(р-5)-х5со8(р-5), где х = е/Л0 - относительный

эксцентриситет; х5 - производные по безразмерному времени т .

Интегрируя (6), получаем уравнение

р = р(ґ - ґо)е

-(ґ-ґо )/Х

+—е ~ґ/Хр*(ґ )Л,

с помощью которого определяется поле давлений р(р, z, t) при известном из решения уравнения (7) поле р*((р, z, t).

Формулы для проекций на оси 0х , 0z производных вектора скорости элементарного объема смазки имеют вид [7]:

дУх

ду М¥

ю — =^ + И

Ифо

- ФФ X

у Фо І

д р

дф

дУ,

ю

ду М¥

-_Ф^хд р

Фо І

д,

Уравнения (7)-(9) пригодны и для описания неизотермического течения неньютоновской жидкости в тонком смазочном слое, когда его температура является функцией координат р, z, у . В изотермическом случае, который рассматривается в настоящей статье, зависимость Т = Т(р, z, у) не учитывается и тем самым вводится понятие эффективной (расчетной) температуры смазочного слоя Тэ (), которая, являясь функцией времени, может в момент т корректироваться на основе рассмотрения уравнения теплового баланса, отражающего равенство количества теплоты, рассеянной в смазочном слое и отведенной смазкой, вытекающей в торцы подшипника. Приближенно может быть учтено и количество теплоты, отведенной в шип и подшипник.

3. Модифицированное уравнение Элрода. Уравнение (7) в области й = [ре 0,2^; ~е -а,а] будем интегрировать при граничных условиях ЯФО (Якобсона - Флобера - Ольсена), используя основополагающие идеи алгоритмов сохранения массы из работ [5, 6]. Заменим уравнение (7) уравнением относительно степени заполнения зазора в :

д-М+др

дт др дz

Здесь В = в(Нв), И = Л (1 -ф/ф,); С = -Г-^[[(в-1)], где Г = И3 ( -ф2/ф,), в = в¥2/Ив -

др

коэффициент сжимаемости смазки; g(в) - переключающая функция: g = 1, если в> 1, g = 0,

если в< 1; В = -Г-^[(в-1)]. дz

Степень заполнения в, связанна с гидродинамическими давлениями соотношением

Р = Ра + g

Здесь рс - давление кавитации, постоянное в области йС = (й-йА), где йА - активная область, где р(р, z)> 0

Для интегрирования уравнения (10) использовался конечноразностный алгоритм из работы [5], а само уравнение было модифицировано следующим образом. В активной области йА в виду малых отличий степени заполнения от единицы функция в заменялась на в* = g + (1 - g )в .

2

д

3

о

Операторы С и В с учетом (11) заменялись на С * =-ГдП/др , В * =-ГдП/д z , где

П = ЕР + (1 - g )рс.

С учетом этого уравнение (10) записывалось в виде

±

дт др дz

где В* =в[Н + (1 - g )(Нв)].

4. Динамика сложнонагруженного подшипника. Типичным представителем сложнона-груженных гидродинамических подшипников является шатунный подшипник коленчатого вала (рис. 2) двигателя внутреннего сгорания. Очевидно, что

- отношение

о1 =-dP¡dt, о2 = dt,  = /0 = 1 + Xcosa/(i- 0,5X2sin2a), где o0 = o2, X радиуса кривошипа к длине шатуна.

Внешние нагрузки Fu (г) и реакции смазочного слоя Ru (ü, Ü) приводились к центру шипа, а уравнения плоского движения его центра записывались в виде:

Оо2mU = Fu

Здесь тэ,Ü = (X,Y) - эффективная (расчетная) масса

шипа и вектор перемещений его центра; Ü,Ü -производные по безразмерному времени. Проекции Fu

считаются известными, реакции Ru {ü, Ü) связаны с безразмерными реакциями

Ru =

R

X

ry

- ia íí;

*_ [cos^ P Lsinp_

Рис. 2

соотношениями RU = kRRU (U,U), где kR = БВ^0ю0/щ2 , U = U/h0 .

На основе результатов численного интегрирования уравнений (10) и (13) рассчитывается траектория центра шатунной шейки и определяются мгновенные за цикл нагружения Тц гидромеханические характеристики: минимальная толщина смазочного слоя hmin(r), максимальное гидродинамическое давление pmax (т), потери мощности на трение N(т), расход смазки QT (т) в торцы подшипника, эффективная (расчетная) температура смазочного слоя Тэ (т). Кроме этого определяются экстремальные inf hmin, sup pmax и средние h*mm, p*max, N*, Qt* , T* значения этих характеристик.

Расход Qt (т) определяется формулой [7]:

гг_ воУт0 рФ -ФЇ?!_

Qt =-

2а

dz

о V ГО J

а N (т) - интегрированием диссипативной функции рассеивания

N =

ВВ2щ/и0

8а

JJД* -оdp

dz .

і

Здесь Q =(-^ Qs); Д* = J¡u

о

dVx X ( dVz

dy

+ V' dy

где ^ Уs - площадь, занятая источниками смазки.

У

У

2

ц = цх-

5. Зависимость вязкости неньютоновских масел от скоростей сдвига. Для неньютоновских масел, например, для масел загущенных полимерными присадками, достаточно удовлетворительное совпадение с экспериментальными результатами обеспечивает следующая формула [3]:

Кс + И-2^112

Кс + 12

Здесь и и ¡и2 - первая и вторая ньютоновские вязкости, являющиеся для конкретной смазки функциями температуры; Кс (Т) - параметр, характеризующий сдвиговую стабильность смазки (чем выше Кс, тем выше стабильность смазки по отношению к сдвигу).

При малых скоростях сдвига значение вязкости и приближается к и, а при высоких скоростях к и2. Значения этих вязкостей, как и коэффициента Кс, рассчитывается в зависимости от эффективной температуры Тэ.

6. Численные алгоритмы. Разностная аппроксимация уравнения (12) на сетке тп,р у,zi,уук;

тп = пДт(п = 0,1,2,...); р = iАрВ = 1,2,...,Н), Ар = -1);

Ъ; = ]А1(] = 1,2,..., М), А? = 4/(М -1); ^ = кА-у( = 1,2,..., К), Ду = 1/К , где 1р и 4 - протяженности подшипника в направлении координат р и г , приводит к следующей системе уравнений для вычисления давлений р и степени заполнения в

Р« = ^ (1 + М2Рс + М3 - К3 + К4 ) если = 1 ;

= М1 +(М2 - К2 )Рс + М3 + М4

юЬуНг] + Кз

, если gI| = 0 .

Здесь К, =

где К2 = 2

Гу

Кз=д;

Л

+ І Дт дт

V I

К4 =Д,

2

М = \\gi

1-ИГІ-у2']Рі-1.і| ^ГІ+ у2,]Рі+1,і I +

Дт

( Дт )2

М 2 gI-1, у ГІ-у, і! І ^'+1, у ГІ+12

М з = дД(1 - [ -1,у pH,--1,і^-1,і - / ],

)і

где У/ =

(НР-1,/ ( Р (нР+1,/ (нР

---------Ч2 - gI/)--------------

шg I/

(2 (І+1,і gI-1,у)-

2 1 2 2 Процедура решения уравнений (16) включает следующие шаги.

1. В зависимости от значения gу вычисляется либо ру когда gу = 1, либо ву, когда gу = 0 .

Массив и ] к остается при выполнении этого шага неизменным, начальные массивы р

У ’ I

и ; к берутся из (п -1) -й точки временной оси.

2. После получения сходящегося на предыдущем шаге решения, в точках к = 1,2...К оси 0 < у < 1 для каждого узла i,] по формулам (9) рассчитываются массивы

(д^/дУ\}.'к , (К/дУ1,],к и по формуле (15) вязкости и,],к .

3. Рассчитываются новые массивы скоростей сдвига дУх/ду и дУг/ду .

4. Шаги 2, 3 повторяются до сходимости скоростей в двух соседних итерациях, число которых обычно не превышает трёх.

2

и

5. Уравнения (16) решаются вновь с новыми значениями коэффициентов при неизвестных. Массивы ру и ву берутся из предыдущего решения этих уравнений, а их коэффициенты рассчитываются исходя из значений ^  к, являющихся результатом четвертого шага.

6. Шаги 4 и 5 повторяются до сходимости значений р у и в у, которая обычно достигается не

более чем за пять итераций.

Для вязкоупругих жидкостей необходимо учесть запаздывание изменений касательных напряжений. Для этого давления р * (р, ~), определённые интегрированием уравнения (12), корректируются по формуле (8).

При ¿0 = ^п интеграл в правой части этой формулы рассчитывался по методу трапеций:

'¿У'п+1 '^гу'п Л У п+1 ^У'Л

Если реакции смазочного слоя Яи определять из (14) при р = р * , в уравнения (13) нужно подставлять Яи = Я* + АдК*/дт.

Более удобен приём замены в уравнениях (13) нагрузки Еи на модифицированную Е* = Е* +А0 дЕ*/ д а. В этом случае реакции определяются формулами (14) при р = р *, а в уравнениях для скоростей сдвига подставляются давления, определяемые из (16).

Уравнения (13) интегрировались методом, базирующимся на формулах дифференцирования назад (ФДН) для уравнений второго порядка [8].

7. Результаты решения тестовой задачи. В качестве тестовой задачи выбрана задача расчета гидромеханических характеристик шатунного подшипника автомобильного двигателя КамАЗ-740. Исходные данные приведены в таблице.

Все расчеты выполнялись для масла 10W40 по классификации 8ЛБ.

Таблица

2000010000 0 -10000 -20000

Радиус кривошипа 0,0600 м

Длина шатуна 0,2250 м

Площадь поршня 0,01130 м2

Угловая частота вращения коленчатого вала 272,27 1/с

Диаметральный зазор в подшипнике 0,0000890 м

Ширина подшипника 0,02652 м

Диаметр подшипника 0,080 м

Эффективная температура Тэ принималась равной 100 °С и не корректировалась. При этой температуре [1]: ^ = 0,01],Па• с; ¡и2 = 0,0063,Па • с ; Kc = 1500,Па.

Расчетный годограф нагрузок, действующий на подшипник, показан на рис. 3, где через 90°, 180° и т.д. обозначены точки, соответствующие углам поворота а, отсчитываемым от верхней мертвой точки такта всасывания.

Из рис. 4 (цифрами 1, 2, 3 помечены результаты расчета, относящиеся соответственно к ньютоновскому маслу с ¡иэ = ¡и1, неньютоновскому маслу при Л = 0 и неньютоновскому при Л = 5 -10-4 с) следует, что гидромеханические характеристики подшипника, работающего на ньютоновских и неньютоновских маслах, отличаются весьма заметно.

Толщина смазочного слоя hmin (рис. 4а) у неньтонов-ских масел уменьшается (до 50%), причём у вязкоупругих масел, на характеристики которых сказывается время ре-

лаксации Л, влияние неньютоновских свойств более заметно.

б)

в)

Рис. 4

Потери на трение (рис. 4в) также уменьшаются на 30... 40 %, что, возможно, является главным фактором, объясняющим положительные результаты, наблюдаемые при эксплуатации двигателей с использованием масел, загущенных полимерными присадками.

Литература

1. Элрод. Обобщенное стационарное уравнение Рейнольдса для неньютоновских жидкостей и его применение к подшипникам скольжения// ТАОИМ. - М. : МИР/ Серия Ф. Проблемы трения и смазки. - 1983. - №3. - С. 73-79.

2. Rastogi A., Gupta R.K. Accounting for Lubricant Shear Thinning in the Design of Short Journal Bearings// J. Rheol. - 1991. - V. 35. - Р. 589-603.

3. Gesim B.A. Non-Newtonian Effects of Multigrade Oils on Journal Bearings Performance// Tri-bology Transactions. - 1990. - V. 33. - Р. 384-394.

4. Paranjpe R.S. Analisis of Non-Newtonian Effects in Dynamically Loaded Finit Journal Bearings Including Mass Conserving Cavitation// ASME Journal of Tribology. - 1992. - V. 114. - P. 736-744.

5. Элрод. Алгоритм расчета зоны кавитации// ТАОИМ. - М. : Мир/ Серия Ф. Проблемы трения и смазки. - 1981. - № 3. - С. 28-32.

6. Прокопьев В.Н., Бояршинова А.К., Гаврилов К.В. Применение алгоритмов сохранения массы при расчёте динамики сложнонагруженных опор скольжения//Проблемы машиностроения и надежности машин.-М. : Наука. 2004. - № 4. - С. 32-38.

7. Прокопьев В.Н., Караваев В.Г. Термогидродинамическая задача смазки сложнонагруженных опор скольжения неньютоновскими жидкостями// Вестник ЮУрГУ. Серия Машиностроение. - 2003. - Вып. 3. - № 1(17). - С. 56-66.

8. Прокопьев В.Н., Рождественский Ю.В., Широбоков Н.В. Методы решения уравнений движения в задачах динамики опор коленчатого вала двигателей внутреннего сгорания// Вестник Уральского межрегионального отделения Российской академии транспорта. - Курган: КГУ, 1999, № 2. - С. 79-82.