Линейные операторы в нормированных пространтствах

Ох.

Что такое x? Функция. Надеюсь, вы знаете, что такое функция. Функция принимает разные значения при разных t, и чтобы задать функцию, надо указать, какие значения она принимает при каких t.

Что такое Ax из примера 1)? Тоже функция. Какая, как то есть её построить по x? Надо указать, какие значения она принимает при всевозможных t. Например, если мы знаем x, то как найти значение функции Ax, например, при t = 1/2? У вас есть формула: Ax(t) = x(t^2). То есть чтобы найти значение функции Ax в точке t, надо в x подставить t^2. Например, значение функции Ax в точке 1/2 есть значение функции x в точке 1/4. И если мы знаем значения x в любой точке, мы знаем и значения функции Ах в любой точке.

Получается, что каждой непрерывной функции х мы поставили в соответствие функцию Ах. Это соответствие называется оператором.

Вам надо проверить, что это линейный оператор.

С областью определения просто - она совпадает со всем пространством.

Теперь насчёт свойств 2 и 3. Кстати, их можно объединить в одно, чтобы меньше проверять:
A(αx + βy) = αAx + βAy
Это должно выполняться для всех функций х и у и для всех чисел альфа и бета.

Вот и проверяйте.

Что стоит в левой части? В левой части стоит функция, построенная по функции αx + βy применением нашего оператора А. То есть значение функции A(αx + βy) в произвольной точке t равно значению функции αx + βy в точке t^2.

Что стоит в правой части? Стоит сумма двух функций, каждая из которых построена по...

Понятно или непонятно? Попробуйте сделать первое задание и пишите, что будет получаться и что не получаться.

0