Анализ прохождения лучей через оптические системы, включающие элементы из метаматериалов

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №11-08-01226-а «Стекла с квантовыми точками

полупроводников IV-VI для модуляторов добротности инфракрасных лазеров».

Литература

1. Hayakawa T., Selvan S.T., Nogami M. Field enhancement effect of small Ag particles on the fluorescence from Eu3+-doped SiO2 glass // Appl. Phys. Lett. - 1999. - V. 74. - P. 1513-1515.

2. Wu Z.K., Lanni E., Chen W.Q., Bier M.E., Ly D., Jin R. High yield, large scale synthesis of thiolate-protected Ag7 clusters // J. Am. Chem. Soc. - 2009. - V. 131. - Р. 16672-16673.

3. Shang L., Dong S., Nienhausa G.U. Ultra-small fluorescent metal nanoclusters: Synthesis and biological applications // Nano Today. - 2011. - V. 6. - № 4. - P. 401-418.

4. Kolobkova E.V., Petrikov V.D., Lipovskii A.A. PbSe quantum dot doped phosphate glass // Electronics Letters. - 1997. - V. 33. - № 1. - P. 101-102.

5. Lipovskii A.A., Kolobkova E.V., Petrikov V.D. Wise Synthesis and characterization of PdSe quantum dots in phosphate glasses // Appl. Phys. Letters. - 1997. -V. 71. - № 23. - P. 3406-3408.

6. Andreev A.O. Lipovskii A.A., Kolobkova E.V. Optical absorption in PbSe spherical QD embedded in glass matrices // J. Appl. Phys. - 2000. - V. 88. - № 2. - P. 750-757.

7. Lipovskii A.A., Kolobkova E.V., Oktovets A., Petrikov V.D., Wise F. Formation of narrowly distributed PbS quantum dots in phosphate glass // J. of Phys. E. - 2000. - V. 5. - № 3. - P. 157-160.

8. Липовский А.А., Петриков В.Д., Колобкова Е.В. Фторфосфатные стекла, содержащие квантовые точки РbSе // Физика и химия стекла. - 2002. - Т. 28. - № 4. - C. 327-332.

9. Silver R.S., Morais P.S., Alcalde A.M., Monte A.F.G., Qu F., Dantas N.O. Optical properties of РbSе quantum dots embedded in oxide glass // J. of Non-Crystalline Soids. - 2006. - V. 352. - P. 3522-3524.

10. Dantas N.O., Qu F., Monte A.F.G., Silver R.S., Morais P.S. Optical properties of IV-VI quantum dots embedded in glass: Size effects // J. of Non-Crystalline Soids. - 2006. -V. 352. - P. 3525-3528.

11. Xu Kai, Heo J. Lead sulfide qwantum dots in glasses controlled by silver diffusion // J. Non-Cryst. Solids. -2012. - V. 358. - № 5. - P. 921-924.

12. Xu Kai, Li C., Dai S., Shen X., Wang X., Heo J. Influence of silver on formation PbS quantum dots glasses // J. Non-Cryst. Solids. - 2011. - V. 357. - № 11-13. - P. 2428-2430.

Колобкова Елена Вячеславовна - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, доктор химических наук, профессор, kolobok106@rambler.ru

Никоноров Николай Валентинович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой, Nikonorov@oi.ifmo.ru

Асеев Владимир Анатольевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, ассистент, Aseev@oi.ifmo .ru

УДК 535.015

АНАЛИЗ ПРОХОЖДЕНИЯ ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИЗ МЕТАМАТЕРИАЛОВ А. О. Вознесенская, Д. С. Кабанова

Получено обобщенное выражение закона преломления для моделирования прохождения лучей через оптические среды как с положительным, так и с отрицательным показателем преломления. В результате компьютерного моделирования установлено, что оптические системы, содержащие элементы из метаматериалов, обладают малыми аберрациями. Ключевые слова: расчет оптических систем, наноструктурированные оптические метаматериалы.

Введение

Одним из перспективных направлений развития современных оптических технологий является синтез и изучение сред с отрицательным показателем преломления - наноструктурированных оптических метаматериалов [1-5]. В целом метаматериалы представляют собой искусственные нанокомбина-ции проводников и диэлектриков. При взаимодействии с электромагнитным полем метаматериалы проявляют уникальные свойства, например, невидимость, зеркальность, «необыкновенное распространение света» (extraordinary light transmission) [6-11] и др.

Среди метаматериалов выделяют фотонные кристаллы, рассмотренные в обзоре [11], и «среды Ве-селаго» [1, 4, 6, 11]. Последние представляют собой изотропные среды с отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями. В таких средах волновой вектор и вектор Пойнтинга направлены в

противоположные стороны; на границе раздела сред наблюдается эффект отрицательного преломления -свет отклоняется в противоположную сторону, в отличие от обычных диэлектриков. Для обычной оптической среды изображение не тождественно предмету, поскольку оно формируется без участия затухающих волн. В то же время в метаматериале амплитуда затухающих волн увеличивается при удалении волны от предмета, таким образом, изображение формируется с участием затухающих волн. В силу этого становится возможным получить изображения с разрешением, превышающим дифракционный предел. Таким образом, линза из метаматериала позволяет передавать детали изображений, много меньшие, чем длина волны, а значит, преодолеть классический дифракционный предел разрешения обыкновенных линз [6, 7].

По оценке экспертов [11], несмотря на затруднения с синтезом наноструктурированных оптических метаматериалов, разработка линз с отрицательным показателем преломления, работающих в видимом диапазоне, рассматривается как крайне перспективная. Первые исследования линз из метаматериалов начались в 2004 г. [12]. С тех пор, как в 2005 г. впервые были реализованы и представлены метаматериалы для оптических частот [13, 14], происходит бурное развитие исследований в направлении проектирования оптических систем из метаматериалов. Аберрационная теория оптических метаматериалов представлена в [3, 14]. Установлено, что линзы из метаматериалов обладают малыми сферическими аберрациями [15, 16], при этом, комбинируя линзы с положительным и отрицательным показателем преломления, можно добиться уменьшения аберрации и улучшить качество оптической системы [17].

Несмотря на современные достижения в части изучения свойств оптических систем из метаматериа-лов, их аберрационные характеристики в видимом диапазоне требуют дальнейшего изучения. Настоящая работа посвящена анализу аберраций оптических систем, включающих элементы из метаматериалов, на основе трассировки лучей в оптических средах с положительным и отрицательным преломлением.

Математическая модель трассировки лучей в оптических средах с положительным

и отрицательным преломлением

Классическая теория прохождения света не позволяет производить расчет оптических систем, включающих элементы с отрицательным показателем преломления. Сформулируем математическую модель прохождения излучения в оптических средах с положительным и отрицательным показателями преломления. Диэлектрическая проницаемость е и магнитная проницаемость ц являются основными характеристиками, которые определяют распространение электромагнитных волн в веществе; они входят в дисперсионное уравнение, задающее связь между частотой ю монохроматической волны и ее волновым числом k:

Если вещество изотропно, уравнение (1) упрощается:

k2 =

где n2 - квадрат коэффициента преломления вещества, равный

n2 = ед.

Если не учитывать потери и считать n, е и д действительными числами, то из (2) и (3) видно, что одновременная смена знаков е и д никак не отражается на этих соотношениях.

Для того чтобы выявить электродинамические закономерности, связанные со знаками е и д, обратимся к уравнениям Максвелла и материальным уравнениям [5]:

grad H = j + SD/St,

grad E = - SB/St,

grad D = q, grad B = 0,

D = eE, B = дН,

где H - напряженность магнитного поля; E - напряженность электрического поля; B - магнитная индукция; D - электрическая индукция; j - плотность потока; q - плотность заряда. Электрическое и магнитное поле можно представить в виде

E = - grad ф - SA/St, Н = grad A, где A - вектор потенциала; ф - скаляр потенциала. Выражения (4) и (5) могут быть представлены как

rot E = -

rot H =

Для плоской монохроматической волны выражения

[kH] =

Из выражений (9) и (10) видно, что в случае е >0 и д >0 вектора E, H и k образуют правую тройку векторов (рис. 1, а), а в случае е <0 и д<0 - левую тройку векторов (рис. 1, б).

Если ввести для векторов E, H и k направляющие косинусы и обозначить их через а,-, Р,-, у,- соответственно, то волна, распространяющаяся в данной среде, будет характеризоваться матрицей

a2 a3 ^

G = ß1 ß2 ß3

U Y 2 Y 3)

E ,

н

--г >

--»

н

б

Рис. 1. Оптические среды: обычные

Обозначим определитель матрицы (11) через параметр «правизны» p = detG. Если тройка векторов E, H и k - правая, то p = +1, если тройка векторов E, H и k - левая, то p = -1.

Поток энергии, переносимый электромагнитной волной, определяется вектором Пойнтинга S, который равен

S =

Вектор S в соответствии с (12) всегда образует с векторами E и H правую тройку векторов. Таким образом, для «правых» сред вектора S и k направлены в одну сторону, а для «левых» - в противоположные стороны. Поскольку вектор k совпадает по направлению с фазовой скоростью, то становится ясным, что «левые» среды обладают отрицательной групповой скоростью [1].

При переходе луча света из одной оптической среды в другую граничные условия

I Et1 _ Et2,Ht1 ~ Ht2

lS1 En1 =S2En2 , hHn1 =Ц2Hn2

должны выполняться вне зависимости от того, имеют эти среды одинаковую или разную «правизну». Из (13) следует, что х- и ^-компоненты полей E и H в преломленном луче сохраняют свое направление независимо от «правизны» обеих сред. Что касается z-компонент, то они сохраняют свое направление только тогда, когда «правизна» обеих сред одинакова. Если же «правизна» различна, то z-компоненты меняют знак. Таким образом, при переходе в среду с противоположной «правизной» векторы E и H не только изменяются по величине из-за различия значений е и д, но еще и испытывают зеркальное отражение относительно границы раздела двух сред. То же самое происходит с вектором k. Одновременное зеркальное отражение всей тройки векторов соответствует изменению знака определителя G в (11). В этой связи общепринятая формулировка закона преломления

sina

siny

2Ц2

1Ц1

нуждается в уточнении для случаев, когда среды 1 и 2 обладают различной «правизной». Согласно [1] корректная запись формулы (14) - следующая:

sina siny

Ei.

Р1

е2Ц2

Представив (15) в векторной форме, можно получить выражение

е1 Д1Р1 [q1 х g] = e2№[q2 х g],

где q1 - вектор падающего луча; q2 - вектор преломленного луча; g - вектор нормали. Преобразовав (16), имеем [(62^2^2 - Х g] = 0

или

[(q2 - щО х g] = о,

где и = 61Ц1Р1 / 62Д2Р2.

Векторное произведение двух векторов g и (q2 - и^) равно нулю в случае их коллинеарности, следовательно, вектора отличаются некоторым скалярным множителем А:

^2 - = А,

откуда q2 = + А. Для нахождения А умножим предыдущее равенство скалярно на g: gTq2 = gгuql + АgTили и' = им + А ||g||2,

а

откуда А = (и' - им) / , где и = |^||со8с и и' = |^||со8у равны соответственно косинусам углов падения и преломления, умноженным на длину нормали.

Таким образом, с использованием корректного выражения закона преломления получено соотношение, позволяющее выполнять трассировку лучей через оптические среды как с положительной, так и с отрицательной «правизной»:

Результаты компьютерного моделирования

Обобщенное выражение закона преломления (17) положено в основу компьютерной модели трассировки лучей через оптические системы, включающие элементы из метаматериалов, реализованной в визуальной среде разработки С ++.

Результаты компьютерного моделирования представлены на рис. 2-5. В качестве прототипа рассмотрена оптическая система трехлинзового объектива «Таир-12» (фокусное расстояние / = 150 мм, относительное отверстие 1:4, поле предмета 2м> = 11°). В первом случае все компоненты объектива выполнены из обычных оптических материалов (рис. 2, а). Во втором случае третий компонент объектива выполнен из метаматериала. Таким образом, двояковогнутая линза исполняет роль собирающей линзы (рис. 2, б).

а б

Рис. 2. Прохождение лучей: объектив выполнен из «правых» материалов (а); третий компонент объектива

выполнен из метаматериала

1 р'

ДМСк,

1.2 -0.3 -0,6 -0.3 0,3 о]в 1,: 1,5 1.5

д^Ск,

-0.3 о.з о.9 1.3 1,5 1,е

б

Рис. 3. Волновые аберрации

р'

1 3 2

ов

ii.fi

1 г/

'р. { д у

0,01 002 0,03 0,04

а

-0,01

0,01 0,02 0,03 0,04 б

Рис. 4. Поперечные аберрации (кривая 1 - А = 546 нм; кривая 2 - А = 480 нм; кривая 3 - А = 643 нм) объектив выполнен из «правых» материалов (а); третий компонент объектива выполнен

из метаматериала

3

2

р

2

а

Введение в состав оптической системы элемента из метаматериала способствует компенсации разности хода лучей, что, в свою очередь, приводит к уменьшению сферических аберраций. Графики волновых, продольных и поперечных аберраций рассмотренных оптических систем в видимом диапазоне спектра представлены на рис. 3-5. Из графиков аберраций видно, что после замены третьего элемента объектива на элемент из метаматериала на длине волны X = 546 нм волновая аберрация уменьшилась от значения 1,0 до 0,3 длин волн (рис. 3, а, б); поперечная аберрация уменьшилась от значения -0,010 до -0,003 мм (рис. 4, а, б); продольная аберрация уменьшилась от значения -0,10 до -0,05 мм (рис. 5, а, б). Аналогичным образом снизились аберрации на границах видимого диапазона (кривые 2 и 3).

Рис. 5. Продольные аберрации (кривая 1 - А = 546 нм; кривая 2 - А = 480 нм; кривая 3 - А = 643 нм): объектив выполнен из «правых» материалов (а); третий компонент объектива выполнен

из метаматериала

Заключение

На основе электромагнитной теории распространения света в оптических средах с различными значениями «правизны» получено обобщенное выражение закона преломления для расчета оптических систем, включающих элементы из метаматериалов. Разработано компьютерное приложение, позволяющее осуществлять трассировку лучей в таких системах, рассчитывать параксиальные характеристики и аберрации в видимом диапазоне. Показано, что введение в состав оптической системы элемента из метаматериала обеспечивает дополнительную возможность компенсации аберраций и улучшения качества системы в целом.

Литература

1. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и д // Успехи физических наук. - 1967. - № 92. - С. 517-526.

2. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов. - М.: Изд-во АН СССР, 1950. - Т. 5. - 419 с.

3. Eleftheriades G.V., Balmain K.G. Negative-Refraction Metamaterials. Fundamental Principles and Applications. - NJ: John Wiley & Sons Inc, 2005. - 400 р.

4. Cai W., Shalaev V. Optical Metamaterials: Fundamentals and Applications. - Springer, 2010. - 200 р.

5. Кившарь Ю.С., Орлов А.А. Перестраиваемые и нелинейные метаматериалы // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2012. - № 3 (79). - С. 1-11.

6. Pendry J.B. Negative Refraction Makes a Perfect Lens // Physical Review Letters. - 2000. - V. 85. - № 18. Р. 3966-3969.

7. Zang X., Liu Z. Superlenses to Overcome the Diffraction Limit // Nature Materials. - 2008. - № 7. - P. 435441.

8. Schurig D., Pendry J.B., Smith D.R. Transformation-Designed Optical Elements // Optics Express. - 2007. -V. 15. - № 22. - Р. 14772-14782.

9. Li C., Meng X., Liu X. Experimental Realization of a Circuit-Based Broadband Illusion-Optics Analogue // Physical Review Letters. - 2010. - V. 105. - № 23. - P. 233906-233909.

10. Ebbesen T.W., Lezec H.J., Ghaemi H.F., Thio T., Wolff P.A. Extraordinary Optical Transmission Through Sub-wavelength Hole Arrays // Nature. - 1998. - V. 391. - P. 667-669.

11. Белов П.А., Беспалов В.Г., Васильев В.Н., Козлов С.А., Павлов А.В., Симовский К.Р., Шполян-ский Ю.А. Проблемы когерентной и нелинейной оптики / Под ред. И.П. Гурова и С.А. Козлова. -СПб: СПбГУ ИТМО, 2006. - С. 6-36.

12. Schurig D., Smith D.R. Negative-index Lens Aberrations // Physical Review E. - 2004. - V. 70. - № 6. -P. 065601-065605.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ.

13. Shalaev V., Cai W., Chettiar U., Yuan H., Sarychev A., Drachev V., Kildishev A. Negative Index of Refraction in Optical Metamaterials // Opt. Lett. - 2005. - V. 30. - P. 3356-3358.

14. Zhang S., Fan W., Panoiu N., Malloy K., Osgood R., Brueck S. Experimental Demonstration of Near-Infrared Negative-Index Metamaterials // Phys. Rev. Lett. - 2005. - V. 95. - № 13. - Р. 137404-137408.

15. Chen J., Radu C., Puri A. Aberration-Free Negative-Refractive-Index Lens // App. Phys. Lett. - 2006. -V. 88. - Р. 071119.

16. Lin Z., Ding J., Zhang P. Aberration-Free Two-Thin-Lens Systems Based on Negative-Index Materials // Chin. Phys. B. - 2008. - V. 17. - P. 954.

17. Sheppard R.H. Metamaterial Lens Design. PhD Dissertation. - The University of Arizona, 2009. - 245 p.

Вознесенская Анна Олеговна - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, voznesenskaya@mail.ifmo.ru Кабанова Дарья Сергеевна - ООО «Эксперт-Система», магистр, инженер, kabanova@devexperts.com

УДК 535.317, 628.931

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СВЕТОВОГО ПЯТНА

В НАКЛОННОМ ПУЧКЕ А.А. Трофимук

Предложено математическое описание и рассчитана оптическая система, формирующая прямоугольное пятно света в широком наклонном пучке при отсутствии наклона источника света и оптической системы. Описание пригодно для использования в процессе автоматической оптимизации и позволяет достичь удовлетворительной равномерности освещенности в световом пятне.

Ключевые слова: светодиод, кривая Безье, прямоугольное световое пятно, неизображающая оптика, уличное освещение.

Введение

В последние годы в связи с возросшими требованиями к энергопотреблению возникает необходимость использования новых источников света, таких как светодиоды. Требования к оптике осветителей также ужесточаются как со стороны производителей оптики, так и потребителя. Перспективным для расчета является использование преломляющих поверхностей свободной формы и оптических элементов на их основе. Требуются также новые методы для расчета неизображающей оптики.

В ряде светотехнических задач (уличное освещение [1], подсветка экранов и т.д.) возникает необходимость получения светового пятна, не лежащего на оси оптической системы и источника света, а также имеющего размеры больше расстояния до источника света. Использование короткофокусных проекторов, вырезающих часть поля формируемого светового пятна, имеет ряд недостатков - большие потери света, сложные оптические схемы, формирование требуемого пятна только в плоскости изображения. Использование наклона оптической системы вместе с источником ведет к искажению формы пятна и перераспределению светового потока по пятну. В связи с этим была поставлена задача предложить математическую модель и рассчитать неизображающую оптическую систему, устраняющую данные недостатки, а также имеющую минимальное количество оптических элементов. Предполагается использование модели в дальнейшем при расчете подобных систем.

Математическое описание начальной формы поверхности

Получим для начала систему, формирующую квадратное пятно, центр которого лежит на оси источника света. Возьмем точечный источник, излучающий по закону Ламберта I = I0 cos (6), который

рассматривается как грубое приближение светодиода. Для создания равномерной освещенности должно выполняться равенство E = const, где Е - освещенность в пределах светового пятна. При достаточной

удаленности светового пятна от источника света будем иметь E = . Тогда E = E (6) = I0 cos (6)/R2 .

R

Нужно поместить между источником и пятном оптическую систему, например, из двух преломляющих поверхностей, которая реализует условие постоянности освещенности.

Используем следующий алгоритм. Разобьем световой пучок на элементарные световые пучки

п

Ij = I0cos(96), 12 = I0cos(296), In = I0cos(n96), где 96= —. Пусть каждый пучок (луч) попадает на

2n

маленький отрезок прямой. Подберем такие углы наклона этих отрезков, чтобы освещенность,