Шар Чаплыгина с ротором: невырожденность особых точек

Математика

УДК 511

ШАР ЧАПЛЫГИНА С РОТОРОМ: НЕВЫРОЖДЕННОСТЬ ОСОБЫХ ТОЧЕК

А. И. Жила1

Рассматривается задача о качении уравновешенного динамически несимметричного шара с ротором по горизонтальной шероховатой плоскости. Ранее А. Ю. Москвиным для изучения динамики системы и нахождения особых решений были построены бифуркационная диаграмма отображения момента и бифуркационный комплекс. Естественное продолжение данных исследований — это проведение тонкого лиувиллева анализа системы. В работе сделан первый шаг в этом направлении, а именно проверена невырожденность особенностей и описано слоение Лиувилля в окрестности особых точек отображения момента.

Ключевые слова: шар Чаплыгина с ротором, конформно-гамильтоновы системы, особые точки отображения момента, слоение Лиувилля, инварианты Фоменко^Цишанга.

A problem of a dynamically balanced asymmetric ball with a rotor rolling over a rough horizontal plane is considered in the paper. Earlier, A.Y. Moskvin constructed bifurcation diagrams of the momentum map and bifurcation complexes in order to study the dynamics of the system and to obtain singular solutions. A natural development of this research is a fine Liouville analysis of the system. The first step in this direction is presented in the paper, namely, we verify the non-degeneracy of singularities and describe the Liouville foliation in a neighborhood of singular points of the momentum map.

Key words: Chaplygin ball with a rotor, conformally Hamiltonian systems, singular points of the momentum map, Liouville foliation, Fomenko-Zieschang invariants.

1. Уравнения движения и первые интегралы. Цель работы — изучение топологии слоения Лиувилля, т.е. пространства замыканий решений системы, что позволяет обнаруживать эквивалентные и неэквивалентные интегрируемые системы. Мы будем исследовать систему "шар Чаплыгина с ротором", многие топологические свойства которой ранее были установлены А.Ю. Москвиным [1]. Исследования проводятся в рамках теории Фоменко классификации интегрируемых систем на основе инварианта Фоменко-Цишанга с использованием бифуркационных комплексов (подробности см. в [2-10]).

Рассматривается задача о качении уравновешенного динамически несимметричного шара по абсолютно шероховатой горизонтальной поверхности. Скорость точки контакта в таком случае равна нулю. Движение шара в проекциях на главные оси, связанные с шаром, описывается уравнениями

М = М х ш, М = Juj — d(7, w)7, J = I + (IE, 7 = 7 x w, d = mr2 ^ 0, E = \\5ij\\,

где w — вектор угловой скорости, 7 — орт вертикали, I = diag(/i, /2, /3) — тензор инерции шара относительно его центра, m — масса шара, г — его радиус. Вектор М имеет смысл кинетического момента шара относительно точки контакта. С. А. Чаплыгин в работе [11] показал, что данная система допускает четыре первых интеграла:

Н = ^(М,ш), N = (М, М), C = (M,j), G = (7,7).

Если теперь закрепить внутри шара ротор, то уравнения движения (1) примут вид

М = (М + К) хш, 7 = 7 хш,

1 Жила Александра Игоревна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: saffeyaQyandex .ru.

где К — постоянный вектор момента ротора. При этом остальные уравнения системы (1) не изменятся. Система (2) обладает аналогичными четырьмя интегралами:

Н = ^(М,ш), N = (М + К,М + К), С = (М + К, 7), С = (7,7).

Согласно [12] системы (1) и (2) являются конформно-гамильтоновыми (т.е. имеют вид х = /^(x)sgrad Н(х), при этом они приводятся к гамильтонову виду х = sgradií(x) с помощью замены времени) с гамильтонианом Н и приводящим множителем р(М, 7) = 1/л/1 — (¿(7, </_17) относительно скобки Пуассона, которая в координатах (М, 7) задается формулами

{Ми Му} = е^кр{Мк + Кк- дгук), {Ми 7,} = е^кр^к, 7,-} = 0,

где егзк - тензор Леви^Чивиты. Здесь были введены следующие обозначения:

р = л/1 -

Отметим, что второе равенство в формуле (4) может быть получено из формулы М = бш — (1(7, Сс>)7 системы (1), если домножить ее на 3~1 и взять скалярное произведение с вектором 7. Используя выражения для (о;, 7) из (4), можно явно выписать вектор со и гамильтониан II в координатах (М, 7):

и = ,1~1М + д,Г17,

Н = ^(М,.Г1М) + ^д(М,.Г17).

ОН дН

После этого несложно проверить, что —— = ш, —— = аш.

дм »7

Для скобки Пуассона (3) интегралы С и К\ являются функциями Казимира. Они расслаивают фазовое пространство М6(М, 7) на четырехмерные симплектические листы Л4^.а = {С = с, О = а}.

Замечание 1. В дальнейшем мы всегда будем считать, что О = 1, поскольку при замене координат и параметров системы (2) по формулам

._. ~ й

М = М, 7 = 0:7, ¿ =

сг

где а — произвольная константа, гамильтониан II и дополнительнай интеграл N не меняются, а функции Казимира С и О умножаются на о; и а2 соответственно. Многообразие М^ мы будем

обозначать через

Замечание 2. При замене координат (М, 7) —> (М, —7) гамильтониан Н, дополнительный интеграл N и интеграл О сохраняются, а интеграл С меняет знак. Таким образом, без ограничения общности можно считать, что с ^ 0.

Введем обозначение для ограничений интегралов Н и N на симплектическое многообразие М^.:

Н:=Н\М 4, М:=Щм 4. В настоящей работе мы будем изучать особенности отображения момента

Н х N : М4с^^

Критическими точками называют точки, в которых ранг дифференциала отображения момента меньше двух. Образ критических точек отображения момента называют бифуркационной диаграммой (подробнее см. [13]).

Для шара Чаплыгина с ротором невырожденность точек ранга 1 и 0, а также типы невырожденных особенностей системы полностью определяются бифуркационной диаграммой отображения момента. Подробно особенности ранга 0 описаны в п. 3 работы, основным результатом является теорема 2. Пункт 4 данной работы посвящен особенностям ранга 1 (см. теорему 4).

Заметим, что при с! = 0 система (1) совпадает с уравнениями для случая Эйлера, а система (2) — для случая Жуковского [14].

В работе рассматривается случай различных собственных значений тензора I. При этом для простоты упорядочим главные моменты инерции: 0 < 1\ < /2 < /3. Если не оговорено противное, будем считать, что компоненты ротора К = (К\, К2, не обращаются в нуль.

2. Бифуркационная диаграмма. Бифуркационные диаграммы для шара Чаплыгина с ротором были построены А.Ю. Москвиным в работе [1].

Теорема 1 (А.Ю. Москвин [1]). Бифуркационная диаграмма отображения момента (6) состоит из объединения

1) набора кривых а, заданных следующим обора,зом:

кI , к2 , к2

с

2

П(Л) = ЛЧ (Л^лр + ТУГ^ + (^Лр " (^лр)+с2' п>с2

2/,(Л) г^ Т^- Кр3 *С2

- А)2 (32-Х)2 (З3-Х)2 (й - Л)2'

2) отрезка <то при с = 0, заданного уравнением

п = 2(11г- <1(Г1К, К), п € [0, <12(Г1К, Г1 К)]-,

3) луча &1, в случае К^ = 0 заданного уравнением,

4) отрезка т на, прямой п = с2;

5) точки, Т0 = {¡г = 0, п = (К, К)} при, с2 ^ (К, К).

Бифуркационные диаграммы системы (2) изображены на рисунке. Бифуркационный комплекс на рисунке, а, соответствует с = 0. Далее с увеличивается (рисунок, б—д).

Отметим, что для систем (1) и (2) выполнено неравенство п ^ с2, поэтому на бифуркационной диаграмме присутствует ограничительная прямая п = с2 (указана штрихпунктиром). При этом г является наименьшим отрезком этой прямой, содержащим все точки пересечения кривых а, (То,оч и точки То с прямой п = с2.

Замечание 3. На бифуркационной диаграмме (см. рисунок) кривые располагаются следующим образом:

1) отрезок сто соединяет точки Ро ш Z,

2) кривая а, Л € (—оо, 0) соединяет точки Б и То или точки Т и То;

3) кривая а, Л € (0,(1) соединяет точки Б и Z в случае с = 0 или точки 5 и 5о, проходя при этом через точку Тз, когда с > 0;

4) кривая а, Л € ((I, уходит вправо из точки Р, когда с > 0, или из точки 2, когда с = 0;

5) кривая о, \ ^ (3\,32) это кривая с точкой возврата Ь\]

6) кривая а, Л € (— это кривая с точкой возврата Тг;

7) кривая а, Л € (</3, +оо) уходит вправо из точки То, когда с2 ^ (X, К), или из точки Т, когда с2>(К,К).

Замечание 4. Бифуркационные диаграммы (см. рисунок) переходят друг в друга, когда с2 достигает значений п, соответствующих координатам точек возврата Ь\, Тг, Тз-

Утверждение 1 (А.Ю. Москвин [1]). Критические точки отображения момента (6) можно разбить на следующие 4 группы:

1) критические точки ранга 0. Множество этих точек состоит из множества неподвижных точек векторного поля V, для, которых и ф 0, и, двух точек {М = 0, 7 = ±-щ}, для которых

ш = 0, с = ±\К\ и Н = 0. Для всех точек ранга 0 значение интеграла п = с2;

2) критические точки ранга 1, в которых sgrad Н = 0. Совпадают с множеством неподвижных точек векторного поля V, т,а,ки,х, что из = 0, они существуют только при с2 < (К, К) и образуют, критическую окружность в прообразе точки То (т.е. точки Н = 0, п = (К, К))]

3) критические точки ранга 1, в которых sgrad N = 0. Для этих точек М + К = с 7, а вектор из неколлинеарен 7 и М + К. Значение интеграла п = с2, т.е. точки лежат в прообразах дуги г;

4) критические точки ранга 1, в которых sgradiV = 2Asgradií; где Л ф 0. В этих точках векторы М = К и 7 линейно независимы, и, Зиз + К = Хиз. Эти точки лежат в прообразе дуг а, причем коэффициент пропорциональности Л совпадает с параметром кривых.

Бифуркационные диаграммы

Утверждение 2. Пусть все компоненты рот,opa K-L ф 0. Тогда для системы, (2) все перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения момента (6) имеют тип А или В.

Дуги бифуркационных диаграмм, отвечающие перестройкам тина В, изображены на рисунке тонкими линиями, а дуги, отвечающие перестройкам тина А, — жирными линиями.

В случае Жуковского d = 0, поэтому отрезок сто совпадает с точкой. Бифуркационная диаграмма для случая Жуковского, когда все К{ ф 0. впервые была построена М. П. Харламовым в работе [15]. Там же произведен 'топологический анализ. А бифуркационная диаграмма в случае, когда К = 0, впервые была получена A.A. Килипым [16].

3. Определение типов особенностей ранга 0. Пусть £ — точка ранга 0 для отображения момента интегрируемой гамильтоновой системы (М4, oj, Н, N), т.е.

dH = dN\t = 0.

Описание типов невырожденных особенностей ранга 0 приведено в следующей теореме.

Теорема 2. Пусть все компоненты рот,opa К не равны, нулю. Тогда образы, точек ранга 0 отображения момента (6) — это следуюище. точки бифуркационной диаграммы,:

1) точки пересечения кривых а, заданных уравнением (7), с прямой п = с2 при X ф 0 и с ф 0;

К2 3 (1с2 К'

2) точки Ьъ Ь2 = {2Н = г_ % - п = с2} при с2 = (д, - Л)2 _г

- К2 с2 К2

3) точка Б = {2!ъ = п = с2} при с2 = (I2

<7г и, и ^

4) точка Ро = {к = 1~1К, К), п = с2} при с = 0;

5) точка То = {к = 0, п = с2} прм с2 = (К, К).

В прообразе точек Ь\,Ь2 и Б лежит ровно по одной вырожденной точке ранга 0.

В прообразе точки Ро лежат ровно две точки типа центр-центр.

В прообразе точки То лежит ровно одна точка типа центр-центр.

В прообразе точек Р, II, С, Р, Бо из п. 1 настоящей теоремы лежит ровно по одной точке типа центр-центр, при этом (Л — (1) <1е1(.1 — ХЕ)п'х > 0.

В прообразе точек и К из п. 1 настоящей теоремы лежит ровно по одной точке типа центр-седло, при этом (Л — (1) <1е1(.1 — ХЕ)п'х < 0.

Доказательству теоремы 2 посвящены пп. 3.1—3.4. Обобщим стандартный критерий невырожденности точек ранга 0 для гамильтоновых систем на симплектических многообразиях (который можно найти, например, в [13]) с помощью следующих несложных утверждений.

Вначале мы перейдем от симплектических многообразий к пуассоновым. В неявном виде следующие два утверждения содержатся в работе И.К. Козлова [17].

Утверждение 3. Пусть N — функция на пуассоновом многообразии (Рт, А), а N — ограничение функции N на симплектический лист (М2п, ш) С (Рт,А). Тогда спектр линеаризации поля sgrad N отличается от спектра линеаризации поля sgrad/V в особой точке х € (М2п, ш) добавлением, сс^т М2п = т — 2п нулей.

Утверждение 4. Пусть функции Н и N на пуассоновом многообразии (Рт, А) задают, интегрируемую гамильтонову систему на 4-мерном симплектическом листе (М4,ш) С (Рт,А), и, пусть в точке Хо € (М4,ш) вект,орн,ы,е поля sgradií и, sgrad/V обращаются в нуль. Тогда точка Хо является невырожденной точкой ранга 0 тогда и только тогда, когда линеаризации Ан и Ам векторных полей sgrad Н и sgrad N удовлетворяют следующим условиям:

1) существуют две нетривиальные линейные комбинации Х\Ан + и Х2Ан + ^А^, спектры которых не получаются друг из друга умножением на константу;

2) существует линейная комбинация ХАн + рА^, у которой собственные значения различны и не равны нулю.

При этом невырожденная точка ранга 0 полностью определяется спектром любой линейной комбинации ХАн + рА^ без нулевых собственных значений, а именно тип точки следующим образом зависит, от, типа спектра:

центр-центр — чист,о мнимые корни: га — га, г/3, —г/3;

центр-седло — два вещественных и, два мнимых корня: —а, а, г/3, —г/3;

седло-седло — четыре вещественных корня: —а, а, /3, —/3;

фокус-фокус — четыре комплексных корня: а + г/3, —а + г/3, а — г/3, —а — г/3.

Теперь перейдем от гамильтоновых систем к конформно-гамильтоновым.

Утверждение 5. Пусть векторое поле V обращается в нуль в некоторой точке х € М. Тогда для, любой функции ц, : М —> М линеаризация, векторного поля ц,  V в точке х отличается от, линеаризации векторного поля V в этой точке домножением на ц,.

3.1. Координаты особых точек ранга 0.

Лемма. Особые точки ранга 0 системы (2) с ротором К без нулевых компонент при отображении момента (6) имеют следующие координаты:

1) |7 = — и, М = , если, с ф 0 и, с ф где вектор со и параметр п находятся, из

условий

' и = -

С2 = к2 —-+ —-^-г + 3 ]

(Т-к)2 (12-к)2 (/3-«)2У'

2) = М = ш = 0.}, если с = ±\К[,

4 ВМУ, математика, механика, №2

3) 7 = ±

U3

М

М = —К > , если с = 0, где из = —I К

Доказательство. В соответствии с п. 1 утверждения 1 точки ранга 0 — это либо точки из п. 2 данной леммы, либо неподвижные точки векторного поля v для некоторого из ф 0. Для нахождения особых точек ранга 0 выпишем систему уравнений, полученную из уравнений движения (2) и условий на функции Казимира С и G, и решим ее:

' (М +К) х из = 0, 7 х из = 0,

(М + К, 7) = с, =>

(7,7) = 1,

М = 1из +

г из

7 = ±|-г,

м

М = С7 - К, М = 1из.

Если с = 0, то мы сразу получаем искомые уравнения из п. 3 данной леммы. В случае с ф 0

с " "

введем обозначение к := ±,—-. Тем самым мы имеем уравнения из п. 1 данной леммы, выражающие

М

7 и М через из. После этого уравнение относительно вектора из из (8) получается подстановкой координат точек из п. 1 данной леммы в (9), а уравнение относительно к из (8) — из условия (7, 7) = 1. Лемма доказана.

Следствие 1. 1. Образы всех точек ранга 0 лежат на прямой п = с2, более того, для всех точек ранга 0 выполняется равенство М + К = су.

2. Образ точки, заданной в п. 2 леммы, совпадает с точкой То из теоремы 2. Образы всех точек ранга 0 лежат на кривых а, заданных формулой (7). При этом, как и для точек ранга 1 (см. п. 4 утверждения 1), параметр А находится из условий Зиз + К = А из.

3. Для, точек ранга 0 выполнено тождество А = к + (I.

Таким образом, из уравнения шестой степени относительно к (из системы (8)) получаем от 1 до 6 действительных решений. Каждому из них соответствует по одному значению из, что согласуется с видом бифуркационной диаграммы из теоремы 1. Отметим, что точка, заданная в п. 2 леммы, соответствует значению к = оо в формуле (8).

3.2. Оператор А^ и его спектр. Опишем оператор А^ и найдем его собственные значения и собственные векторы в особых точках ранга 0 отображения момента (6). Оператор АN находится явно как линеаризация векторного поля

sgrad N = 2р

с последующей подстановкой в него координат особых точек ранга 0 из леммы.

Утверждение 6. В особых точках ранга 0 из леммы линеаризация, гамильтонова векторного

0 7з 72^

поля sgrad N имеет вид An = 2р

gQ —cgQ

-Q cQ

где (5 = | -73 0 71 72 -71 0

Следствие 2. Спектр оператора Ам состоит из четырех нулей и пары, комплексно-сопряженных значений ±2 г (с + д) р.

Если с + д ф 0, то ядро оператора Ам порождается векторами (0,7), (7,0) и векторами вида (сК, К), где К — вектор, ортогональный вектору 7 (если с+д = 0, то ядро оператора Ам совпадает со всем, пространством).

Паре комплексно-сопряженных собственных значений соответствует подпространство, порожденное векторами вида р = (—дР,Р), где Р — вектор, ортогональный вектору 7. При, этом

Ам(Амр) = —Ар2(с + д)2р.

3.3. Оператор А,и и его спектр. Рассмотрим линеаризацию векторного поля V, заданного формулой (2).

Утверждение 7. В координат,ах (М, 7) матрица А,и линеаризации векторного поля V в особых точках ранга 0 из леммы имеет вид

А.7,

су х

диз

ш1

1

где вектор из задан, формулой (5).

диз диз

+ С7 х т-р <37 i 7xdMq_ +

(диз

7 х w

В утверждении 7 точка в пространстве К6 рассматривается как пара 3-мерных векторов (р, д),

дш ( дшг\ дш (дшЛ . .

а Ш = ) И ¿¡7 = \<Эг) ~ ЭТ° 3)-матрицы, где г,] = 1,2,3.

Теперь найдем спектр оператора

Утверждение 8. Оператор А,и обладает спектром = {0, 0, =Ьг|си|, где р и д име-

ют следующий вид: если с ф 0, то

' = + + +к) ((Й + + (й?) • <10> , = м+ли» + Щ±1р. + +

V (Д - к)2 (Д - к)2 (/з - к)2 У

(/1_к)2 (/2-К)2 (/з-к)2;'

если с = 0, то

р = 11Ф1, д = Ш1ик\ + /1(/1(/2 + + /з) + /2(/3 + /2(1 + з/2 + и)))КЪ) + Л2/^2.

с К2

Напомним, что в соответствии с леммой = ±—, если с ф 0, и |сс>|2 = ^¿=1 —|~> если с = 0.

к Д

Доказательство. Характеристический многочлен для оператора А,„ из утверждения 7 будет

иметь вид

Х(А) = А (А2 + п,\ + «,2 + и,1) (А3 + -А + -) ,

V а2 «2/

где ао, й1,й2 однозначно определяются через значения 1,К,с,с1,ш, причем многочлен ( А3 Ч—-А+

V «2

— ) после подстановки значений компонент вектора Сс> = {ш\,ш2, с^з} из леммы перейдет в многочлен «2/

( А3 + — А ), где рад указаны в условии доказываемого утверждения. V д ) . .

Гр

Таким образом, оператор А,„ обладает спектром а(Ау) = {0, 0, ±г|сс>|, ±г, /-}• Утверждение доказано.

3-4- Типы особых точек. Теперь, когда мы нашли координаты особых точек и спектры операторов Ау и Адг, приступим к непосредственному доказательству теоремы 2, которое будет основываться на утверждении 4.

1. Вырожденность точек Ь\,Ь2 Прежде всего докажем, что точки Ь\,Ь2 характеризуются свойством р = 0. В точках возврата кривых а, А € 72), <т, А € (0,й) и а, А € (</2,</з) из (7) выполняется условие = 0. Так как нас интересует случай таких с, когда точки Ь\,Ь2,Ьз лежат на прямой п = с2, то с учетом уравнений (7) точки возврата будут удовлетворять следующей системе:

у К? с2

^ (</. _ А)2 (А _ (]) ± К?

2 '

(А — с?)3

V ь— 1

Заметим, что последний сомножитель в формуле (10) для р можно записать в виде

ьк! уд ик2 к2 » к2

(Ь -к)3 (Ь -пГ (1з-кУ

5 ВМУ, математика, механика, №2

Из системы (12) (учитывая, что Л = (I + к, ] = I + с!Е) получаем р = 0. Как следствие в

с

точках Ь\,Ь2 спектр оператора Аь равен а(Аь) = {0,0,0,0, ±—г]. Обратное тоже верно, а именно

к

из уравнений р = 0 и п = с2 вытекает система (12).

Вырожденность данных точек следует из того, что они лежат в прообразах точек, в которых одновременно пересекаются четыре дуги бифуркационной диаграммы, что противоречит теореме Рюссмана о невырожденных особенностях (о теореме Рюссмана и ее многомерных аналогах см. [13]).

2. Невырожденность точки То. Для проверки невырожденности точек используем утверждение 4. Точки в прообразе То неподвижные, т.е. sgrad Н = 0. Согласно утверждению 5 достаточно изучить спектр Ау. В данном случае, используя утверждение 7, получаем

Л = \ ( иГ о) ' ™ = Ф >

при этом \¥\, Wз и ф однозначно задаются через параметры К, I, с, (1 системы (2).

Спектр Ау вычисляется явно и состоит из четырех нулей и двух чисто мнимых ненулевых значений Ах 2> отличных от собственных значений оператора Адг:

2 / {НК1 + 12К1 + икр Л1)2 = ±с г у---.

В данном случае ядро оператора Ау порождается векторами (0,7), (7,0) и векторами вида (—дР, Р), где Р — вектор, ортогональный вектору 7. Паре ненулевых собственных значений соответствует подпространство, порожденное векторами вида (сК, К), где К — вектор, ортогональный вектору 7. При этом

(сД, Я)) = Л?>2(сД, Я).

Согласно следствию 2 единственным ненулевым парам собственных значений операторов Ау и Адг соответствуют различные собственные векторы. Значит, по утверждению 4 получаем, что точка То не вырождена и имеет тип центр-центр.

3. Условия невырожденности точек. Спектр оператора Ау (найденный в утверждении 8) может иметь менее 4 ненулевых собственных значений только в случаях, разобранных выше в пп. 1 и 2, а именно: ^

если =0, это условие отвечает точке То;

если р = 0, это условие отвечает точкам Ь\,Ь2-

Теперь рассмотрим спектр оператора Адг, найденный в утверждении 3. Используя лемму и

вид д = с!(и;,7), мы можем сделать вывод, что в случае с ф 0 для точек ранга 0, определяемых

с

формулами из п. 1 леммы, выполняется условие с + д = — (с? + к), ав случае с = 0 для точек ранга 0,

к

определяемых формулами из п. 3 леммы, выполняется условие д = (1. Таким образом, спектр А^ нулевой, т.е. с + д = 0 в следующих случаях:

если с ф 0, к = —й, то это условие отвечает точке Б (из тривиальности спектра А^ и утверждения 4 следует ее вырожденность);

если с = 0, (I = 0, то этот случай отвечает системе Жуковского.

Заметим, что для доказательства невырожденности точек достаточно доказать, что операторы Ау и Ан имеют 4 и 2 ненулевых собственных значения соответственно. Действительно, п. 1 утверждения 4 будет выполнен, так как спектры операторов Ау и Ан, имеющие разное число ненулевых значений, нельзя перевести друг в друга умножением на константу. При этом не нужно проверять, что собственные значения оператора Ау различны: п. 2 утверждения 4 будет выполнен, поскольку в рассматриваемом случае спектр некоторой линейной комбинации Ан+^м будет иметь 4 различных собственных значения.

4- Определение типов невырожденных точек. Теперь рассмотрим особые точки, в которых спектры операторов А.„ т А^ содержат 4 и 2 ненулевых собственных значения соответственно. Эти точки не вырождены, и в данном пункте мы определим их типы.

В случае с = 0 ранее найденные корни характеристического многочлена Аб^ = € С, так

как | > 0.

Теперь рассмотрим случай с ф 0. Легко заметить, что д > 0 (где д задается формулой (11)), следовательно, Аб;б будут принимать действительные или комплексные значения в зависимости только от знака р.

Можно представить р в виде р = —с4(—1\ + к)(—/2 + + гДе введено обозначение

Заметим, что из данного вида р следует, что:

1) в случае к € {(—оо, 1\) и (Д, £1) и (б2, Д) и (Д, +оо)} имеем р > 0, откуда Аб;б € С;

2) в случае к € {(еь Д) и (/2, £2)} имеем р < 0, откуда Аб;б € М, где €\, £2 — точки, в которых /(к) = 0.

Значит, мы полностью доказали теорему 2 о невырожденности точек ранга 0.

4. Особенности ранга 1. Рассмотрим теперь точку х ранга 1 интегрируемой гамильтоновой системы (М4,со, Н, /V). Тогда в этой точке дифференциалы <1Н и ё/У зависимы, т.е. существуют числа А и такие, что \(1Н(х) + /хёЖ(ж) = 0. Здесь Л и /л определены однозначно с точностью до пропорциональности. Обозначим через V векторное поле Asgradií(ж) + /^гаёЖ(ж), обращающееся в нуль в точке х. Точка х ранга 1 отображения момента называется невырожденной тогда и только тогда, когда у оператора есть ненулевые собственные значения.

Невырожденная точка ранга 1 называется эллиптической, если спектр содержит чисто мнимые собственные значения, и гиперболической, если спектр Ау имеет вещественные собственные значения.

Невырожденность точек ранга 1 также была исследована в работе А.Ю. Москвина [1], при этом использовалась следующая терминология: эллиптические критические окружности назывались устойчивыми, а гиперболические — неустойчивыми. Приведем доказанный им результат, переформулировав его с учетом принятой в настоящей работе терминологии.

Теорема 3 (А.Ю. Москвин [1]). В прообразе каждой внутренней точки

1) кривых из набора а лежит одна эллиптическая критическая окружность, если выражение (А — В)<1е1(.1 — \Е)п'х положительно, и одна гиперболическая, если отрицательно;

2) отрезка <то лежат две эллиптические критические окружности;

3) луча <Тг лежат две эллиптические критические окружности, если г = 1,3, и две гиперболические, если г = 2;

4) отрезка т лежат л,ибо неподвижные точки, являющиеся критическими т очкам и ранга 0, либо точки ранга 1. При с ф 0 все критические точки ранга 1 являются невырожденным,и т очкам и ранга 1 эллиптического типа.

Таким образом, для полной характеристики особенностей ранга 1 остается проверить невырожденность критических окружностей в прообразе точек отрезка т при с = 0 и точки То.

Теорема 4. 1. В прообразе точки касания, Б на, бифуркационной диаграмме (рисунок) лежат вырожденные окружности, и все точки в прообразе имеют ранг 1. Все критические точки ранга 1, лежащие в прообразе точек отрезка т, за, исключением точки Б, являются невырожденным,и, т очкам и ранга 1 эллиптического типа

2. Если с2 ф (К, К), то в прообразе точки То лежит одна эллиптическая критическая окружность. Если с2 = (К, К), то в прообразе То лежит одна точка ранга 0.

Доказательство. 1. Все точки, удовлетворяющие равенству п = с2, являются особыми точками для поля sgradЛ^ По определению остается доказать, что спектр линеаризации А^ поля sgradЛ^ содержит пару ненулевых чисто мнимых собственных значений. Спектр оператора АN описан в п. 3. (см. следствие 2), кроме 4 нулей он содержит числа ±2г р(с + д). Заметим, что если спектр АN тривиален, т.е. с + д = 0, то = —К и с1(и), 7) = —с, откуда следует, что

Это наименьшее возможное значение Л, для отрезка г, поэтому все точки, в которых с+д = 0, лежат в прообразе нижнего конца отрезка г. Все остальные точки ранга 1 являются невырожденными эллиптическими точками.

2. В прообразе точки То = {Л, = 0, п = (К, К)} лежат точки, заданные уравнениями {М = 0) (7)7) = 1) (-К") 7) = с1) ПРИ этом со = 0 и д = 0. Данное множество точек образует окружность, если с2 < (К, К), и состоит из одной точки, если с2 = (К, К).

При с2 < (К, К) точки ранга 1 в прообразе точки То не вырождены, так как у оператора Аг/ линеаризации sgrad II есть 2 ненулевых чисто мнимых собственных значения. Это доказывается аналогично невырожденности точки То в п. 3.4. Теорема доказана.

к

\{М, ш) = \

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Москвин А.Ю. Шар Чаплыгина с гиростатом: особые решения // Нелинейная динамика. 2009. 5, № 3. 345-356.

2. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.

3. Фоменко А. Т., Цишанг X. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике // Докл. АН СССР. 1987. 294, № 2. 283-287.

4. Matveev S. V., Fomenko А. Т. Constant energy surfaces of Hamiltonian systems, enumeration of three-dimensional manifolds in increasing order of complexity, and computation of volumes of closed hyperbolic manifolds // Rus. Math. Surveys. 1988. 43, N 1. 3-24.

5. Фоменко А. Т., Цишанг X. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. 52, № 2. 378-407.

6. Fomenko А. Т., Nikolaenko S.S. The Chaplygin case in dynamics of a rigid body in fluid is orbitally equivalent to the Euler case in rigid body dynamics and to the Jacobi problem about geodesies on the ellipsoid //J. Geom. and Phys. 2015. 87. 115-133.

7. Fomenko А. Т., Konyaev A. Yu. Algebra and geometry through Hamiltonian systems // Continuous and Distributed Systems. Theory and Applications. Ser. "Solid Mechanics and Its Application". Vol. 211 / Ed. by V.Z. Zgurovsky and V.A. Sadovnichii. Springer, 2014. 3-21.

8. Fomenko А. Т., Konyaev A. Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.

9. Кудрявцева E.A., Фоменко А.Т. Группы симметрий правильных функций Морса на поверхностях // Докл. РАН. Сер. матем. 2012. 446, № 6. 615-617.

10. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.

11. Чаплыгин С.А. О катании шара по горизонтальной плоскости // Матем. сб. 1903. 24. 139-168

12. Борисов А.В., Мамаев И.С. Гамильтоновость задачи Чаплыгина о качении шара // // Матем. заметки.

1987. 70, № 5. 793-795.

13. Болотов А.В. Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: РХД, 1999.

14. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: РХД, 2005.

15. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: Изд-во ЛГУ,

1988.

16. Kilin A.A. The dynamics of Chaplygin ball: the qualitative and computeral analysis // Regular and Chaotic Dynamics. 2001. 6, N 3. 291-306.

17. Козлов И.К. Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) // Матем. сб. 2014. 205, № 4. 79-120.

Поступила в редакцию 27.05.2015

УДК 519.7

УТОЧНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СЛОЖНОСТИ СБОРКИ СЛОВ СХЕМАМИ КОНКАТЕНАЦИИ

В. В. Кочергин,1 Д. В. Кочергин2

Исследуется задача о сложности сборки слов. Под сложностью слова понимается минимальное число операций конкатенации (склейки), достаточное для получения слова из однобуквенных слов над конечным алфавитом А (допускается многократное использование полученных слов). Пусть ЪсА(п) — максимальная сложность слова длины п над конечным алфавитом А. В работе установлено, что ЬсА(п) = п + (2 + о(1)) ") •

1 Кочергин Вадим Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, вед. науч. сотр. ИТПМ при МГУ, e-mail: vvkochQyandex.ru.

2Кочергин Дмитрий Вадимович — студ. 2-го курса мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kochdvQyandex.ru.