К вопросу расчета прямых геликоидальных оболочек по методу В. Г. Рекача

К ВОПРОСУ РАСЧЕТА ПРЯМЫХ ГЕЛИКОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК ПО МЕТОДУ В.Г. РЕКАЧА

М.И. РЫНКОВСКАЯ, магистр техники и технологий ТУП МО «НИИПРОЕКТ», Москва

В связи со строительным бумом, который не только гремит в Москве и Московской области, но и набирает обороты по всей России, перед архитекторами и инженерами возникли новые задачи при проектировании жилой застройки. Все большую актуальность приобретают вопросы развития инфраструктуры, увеличения строительных объемов при уменьшении площади застройки, а также привнесения новых архитектурных форм в типовые строения общественно-хозяйственного назначения. В связи с этим широкое применение в последнее время получили конструкции винтовых пандусов, транспортных развязок и других сооружений, в основе которых лежат винтовые поверхности. Такие конструкции позволяют не только разнообразить архитектуру гаражей, торговых комплексов и транспортных систем, но и сэкономить площадь застройки.

Винтовыми поверхностями, в том числе геликоидальными оболочками, начали интересоваться еще в 60-е годы. На начальном этапе были реализованы лишь единичные объекты, но в настоящее время строительство подобных конструкций приобрело массовый характер. Примеры применения винтовых поверхностей при строительстве различных сооружений можно найти в обзоре С.Н. Кривошапко [1].

Что касается инженерного проектирования, на сегодняшний день известны различные методы расчета геликоидальных оболочек, такие как метод Л.И. Соломона [2], метод конечных элементов, метод В.Г. Рекача с использованием тригонометрических рядов, метод квазисимметричных оболочек, расчеты Дж. Кохена [3] и др. Но на практике инженерные расчеты конструкций проводятся с использованием программных комплексов ЛИРА, СКАД и других, в основе которых лежит метод конечных элементов. Непрозрачность хода решения приводит к необходимости проведения проверочных или сравнительных расчетов по смежным программам, результаты решений которых в свою очередь зависят от заложенного в них метода.

Аналитическим методам расчета геликоидальных поверхностей уделяется явно недостаточно внимания. Оболочки, применяемые в реальных конструкциях и спроектированные на основании аналитических расчетов, с геометрической точки зрения относятся к весьма ограниченному числу поверхностей: круговых цилиндрических, конических, сферических, то-рой&альных, прямого переноса и некоторых других. Оболочки, имеющие боцее сложную форму, обычно рассчитываются в программных комплексах и на основании эксперимента.

На кафедре сопротивления материалов и расчета на прочность Российского университета дружбы народов под руководством В.Г. Рекача с 1963г. рассматривались расчеты тонких упругих оболочек, очерченных по сложным контурам. Так, например, В.Г. Рекачом в статье [4] и монографии [5] был предложен аналитический метод расчета геликоидальных оболочек с использованием рядов Фурье. Статья была написана в 1957 году, но численных результатов расчета по данной методике нет до сих пор.

Метод В.Г. Рекача заключается в следующем. Он использовал параметрические уравнения винтовых поверхностей х = и cosv; = Hsin v; z = cv+f(u) для вычисления геометрических характеристик срединной поверхности прямого геликоида:

A2=l, B2=u2+c2~u2~r\ F = 0,

1 = 0, = , N = 0,

4и2+сг

где A,B,F - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, L,M,N- коэффициенты второй квадратичной формы.

Взяв за основу два дифференциальных уравнения Е. Рейснера [6]

л г or\r OV л г2 дг {г dv

В.Г.Рекач свел их к одному дифференциальному уравнению в частных производных восьмого порядка

V4V4

где / = 1пг, <р = (Eh H)V2k(t,v)<í>(t,v), uz =V4(t,v)0(t,v), Я-шаг винта,

л

V4 - гармонический оператор, V¿ - дифференциальный оператор второго порядка.

Решение дифференциального уравнения (1) было взято в тригонометрических рядах Фурье

00

Ф(/, v) = X <t>m(t) sin mv,

т=1

что сделало возможным получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка для определения коэффициентов тригонометрических рядов Фурье Фm(t) . Операторы имеют вид [5]

DV2V2U=Z + H 1

,3 .2 ,

У4(/,/и)... = —^...- 4 , ... + 2(2 - /и2) - ... + 4/я2 ... + /я2(/и2 -4)... , (2) Ж Ж Ж Ж

V2 (1,т)... = -1)..., Ф„,(0 = А1теа»>' Ж

Необходимые коэффициенты Ат1 ищутся посредством решения характеристического уравнения

а4 ~4а3+ 2(2-т2)а2 + т(4т±р)а + т[т(т2 - 4) + /?] = 0, которое решается через нахождение действительного корня уравнения [5]

у3-

через 23 -Зрг + 2д = 0 , где р = -4(т4-т2 +1)/9 ;

д = -

Частное решение (0 < V < л) находится из уравнения

р\2Ч2к

тап и

откуда Ф(0 - Ас4',

—4 а

где А---- -----------,----------, , , , , ..... „ , ,

Оят[4 (2-т ) + 4 т (2-т ) + т -9р т ]

При изучении статьи [4] и монографии [5] и поэтапном проверочном решении уравнений для составления программы по расчету прямых геликоидов на основе аналитического метода В.Г. Рекача были выявлены опечатки, неточности и несоответствия, которые могут повлиять на окончательные результаты расчета.

Обнаружились разночтения в записи выражения для гармонического

оператора V4 (Г, т) . Правильная запись оператора (2) представлена в монографии [5]. В статье [4] этот оператор дан в виде

У4(1,т)...= А-^... + 2{2-т2)^ ... + 4т2 + т4...

Ж4 Ж Ж2 Ж

Проверка промежуточных выводов показала, что уравнение (3) правильно

было записать следующим образом:

у3 - (2 - т2 )у2 - т4у - т2(т4 - 2т2 + р2 /8] = 0, а уравнение (4) будет

иметь вид <7 = -(8тб -12т4 -12тг + 8+21т2 р2 /16).

Также при решении уравнения (5) очевидно, что формула (6) должна быть записана в виде:

Плт[46 + те8 - 40т6 + 528т4 - 2560т2 -9р2т2]

Таким образом, на основании проделанной работы можно заявить, что теперь данная методика готова к использованию в качестве основы для создания программы по расчету прямого геликоида. На следующем этапе планируется рассчитать пандус для автомобильной стоянки со следующими параметрами.

Минимальный радиус поворота легкового автомобиля составляет 8 м, минимальная ширина одной полосы составляет 3,65 м, второй 3,2 м. Следовательно, в обозначениях статьи принимаем &м < и < 15м. Толщина пандуса И = 0,16м. Расчет будет проводиться на нагрузку 600 кг/м~, принимаемую без динамического коэффициента. Высота этажа принимается Нэт = 3,0 м.

Литература

1. Кривошапко С.Н. Расчет и проектирование винтообразных конструкций, применяемых в строительстве и строительных машинах//Строительные конструкции и материалы/РОССТРОЙ России ВНИИНТПИ Строительство и Архитектура.Вып. 1-2 -М.: 2006. - 68с.

2. Соломон Л.И. К расчету геликоидальных оболочек.- Дисс. к.т.н.-М.:МИСИ, 1953.

3. Cohen J. W. On stress calculations in helicoidal shells and propeller blades.-Delft, Holland, Walman, 1955,- 100р.

4. Рекач В.Г. Расчет пологих винтовых (геликоидальных) оболочек//Тр. МИСИ, 1957.-№27.-С.113-132.

5. Рекач ВТ., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии.-М.: Изд-во УДН, 1988,-177с.