Порядок предпочтительности в системе измеримых множеств, вводимый с помощью уравнения динамики меры

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 5 (2), с. 126-132

УДК 517.938

ПОРЯДОК ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНОСТИ В СИСТЕМЕ ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ, ВВОДИМЫЙ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МЕРЫ

© 2012 г. О.А. Кузенков, Е.А. Рябова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

riabova-ea@rambler.ru

Поступила в редакцию 10.09.2012

Вводится порядок предпочтительности на системе измеримых множеств, исходя из некоторого заданного процесса динамики положительной меры, изучается управляемый процесс динамики положительной меры с целью изменения порядка в желаемую сторону.

Ключевые слова: динамика положительной меры, уравнение с наследованием, отношение строгого предпочтения, частичный порядок.

Введение

Важнейшим моментом в постановке экстремальной задачи является выбор способа сравнения друг с другом элементов рассматриваемого множества или, другими словами, задание в нем порядка предпочтительности. Среди бесчисленного разнообразия различных вариантов определения порядка существует подход, который позволяет сравнивать элементы по результатам процесса отбора. Наиболее известен такой подход в биологии, где в основе сравнения приспособленности биологических видов лежит естественный отбор. Подобная методика используется в разнообразных соревнованиях и конкурсах. Процессы отбора широко распространены в окружающей действительности, наблюдаются в физических, химических, биологических, экономических, социальных и информационных системах. Математически задача введения порядка предпочтительности как результата действия отбора была рассмотрена в [1-3]. Там математическая модель процесса описывалась с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а порядок устанавливался посредством предельных соотношений между значениями фазовых переменных. Таким образом, сравнивались между собой элементы конечного множества. Очевидно, что это множество представляет собой самую простую задачу для введения порядка, и рассмотрение более сложных примеров требует существенного развития методики сравнения.

В самом общем случае для описания процессов отбора целесообразно использовать уравнения динамики положительной или вероятност-

ной меры [4, 5]. Широкое использование дифференциальных уравнений, заданных относительно распределений или мер, началось после введения Л. Шварцем аппарата обобщенных функций [6]. Уравнения динамики меры применяются как для описания разнообразных физических процессов, так и в качестве удобного математического аппарата. В частности они привлекались для создания полноценного анализа функций в бесконечномерных пространствах [7]. Важным классом таких уравнений являются уравнения с наследованием. Они позволяют в общем виде описать процессы авторепродукции, имеют приложение в волновой физике [8], динамике популяций и популяционной генетике [9, 10], где явления отбора представляют наибольший интерес. Для уравнений динамики меры процессы отбора можно определить в терминах локализации меры на измеримых подмножествах. В [10] было доказано, что почти всегда в системе с наследованием будет иметь место процесс отбора.

Цель настоящей статьи состоит в том, чтобы определить порядок предпочтительности на системе измеримых подмножеств с помощью предельных характеристик эволюции меры на этих подмножествах и исследовать введенный порядок. В работе приводится пример задания такого порядка в случае, когда эволюция меры описывается простейшим уравнением с наследованием. Рассматривается случай более сложного уравнения с наследованием для динамики абсолютно непрерывной меры. Для этого случая исследуются возможности внешнего воздействия на систему (управления) с целью корректировки или изменения введенного порядка.

Задача Коши

Пусть X - компактное топологическое пространство, X - борелевская о-алгебра в нем, М(Х) - банахово пространство конечных мер на X с нормой меры ц, равной ее вариации на множестве X: ||ц|| =|ц|(Х), М+(Х) - семейство положительных мер на X из М(Х), М(Х, ц ) - семейство мер из М^, абсолютно непрерывных относительно некоторой меры ц е M+(X), Ll(X, ц) - банахово пространство всех суммируемых по Лебегу функций по мере ц с нормой || V ||= Г w\:^(dx), Lp(X, ц*) - пространство JX

всех функций, степень р модуля которых интегрируема в смысле Лебега по мере ц, LШ(X) -пространство ограниченных измеримых функций, Я+ - множество неотрицательных действительных чисел.

Поставлена задача Коши: найти непрерывную по И при И > 0, дифференцируемую по И при И > 0 функцию ц[И], удовлетворяющую уравнению и начальному условию

ц = ги, Ц[0] = x,

где ц[И]: Я+ ^ M(X), X е М^, оператор Г[ц]:

M(X) ^ M(X) удовлетворяет в некоторой ок-

рестности меры X условию Липшица.

Введем следующие обозначения: ц[И](А) -мера ц множества А в момент времени И, Г[ц](А) - значение образа меры ц на множестве А.

Известно [4, 5], что если для фиксированного измеримого множества А оператор Г подчиняется условию

Г[ц]

то при Х(А) > 0 решение задачи Коши (1) удовлетворяет неравенству ц[И](А) > 0 во все моменты времени t > 0. Если условие (2) выполняется для любого измеримого множества А, то при Х(А) > 0 решение задачи Коши (1) остается в семействе Мф^. Если же X е М^, ц ) и Г[ц](А) = 0 для любой меры ц е М^, ц ) и для любого ц -нулевого множества А, то решение задачи Коши остается в семействе М^, ц ).

Если оператор Г задается в виде

Г[ц] = кц,

где к = к(х) - непрерывная функция, кц - мера, определяемая тождеством

| у( х)[кц](йХ) = | к (х)у( х)ц(йХ),

X X

справедливым для любой непрерывной на X функции у(х), то уравнение (1), (3) является простейшим представителем класса уравнений с наследованием. Нетрудно видеть, что его решение ц[И] будет положительной мерой в любой

момент времени t > 0, если начальное состояние X есть положительная мера. Более того, если Х(А) = 0, то ц[И](А) = 0 для любого t > 0.

Когда задача (1) решается в классе М^ ц ), из теоремы Радона - Никодима следует, что любая мера ц[И] из этого класса определяется своей плотностью р(И, х) относительно положительной меры ц*: ц[И](А) = Г р(И, х)ц*(оХ), и можно опре-

^ А

делить оператор /[р]: L1(X, ц*) ^ L1(X, ц*) такой, что Г[ц](А) =Г /[р]ц*(йХ). В этом случае

А

от задачи Коши (1) можно перейти к эквивалентной задаче в пространстве L1(X, ц ): найти непрерывную по и при и > 0, дифференцируемую по И при И > 0 функцию р(И, х), удовлетворяющую уравнению Эр/дИ(И, х) = /[р](И, х) и начальному условию р(0, х) = р0 (х), где связь между плотностью р0 (х) и мерой X определяется выражением X(A) = Г р0(х)ц*(&).

А

Отношение строгого предпочтения

Пусть поставлена задача Коши (1), решение которой на некоторых измеримых подмножествах А, В множества X не обращается в ноль: ц[И](А) > 0, ц[И](В) > 0 для всех И > 0. Введем на парах (А, В) элементов множества Е отношение строгого порядка следующим образом.

Определение 1. Будем считать, что подмножество А находится в отношении строгого предпочтения с подмножеством В:

А У В, если ііш ^ |

вдоль решения ц[И] задачи (1); и будем считать, что подмножество А находится в отношении нестрогого предпочтения с подмножеством В:

А ъ В, если А ъ В или А = В.

Нетрудно убедиться, что введенное отношение нестрогого предпочтения (5) удовлетворяет аксиомам частичного порядка: 1) рефлексивности А ъ А; 2) транзитивности: А ъ В и В ъ С, то А ъ С; 3) антисимметричности: если А ъ В и В ъ А, то А = В.

Заметим, что если в задаче (1) изменить начальные условия X, то порядок (5), вообще говоря, изменится.

Из работы [5] следует, что для выполнения соотношения (4) между измеримыми множествами А и В необходимо и достаточно, чтобы выполнялось интегральное соотношение

F[t]

Л

dt = +<».

Если в задаче Коши для уравнения с наследованием (1), (3) функция k(x) такова, что inf k(x) > sup k(x), то A f В. Действительно,

xeA xeB

обозначив a = inf k (x), P = sup k (x), имеем кон-

xeA

xeB

станту а - Р> 0. В силу свойства интеграла Лебега и определения меры к ц имеют место неравенства

[к Ц]

К A) ц

JA

a

ц

• = a,

ц

ц

<в,

тогда

[k ц]

> a _ в > 0,

^

что означает выполнение интегрального равенства (6) для этой задачи и, следовательно, A f В.

Очевидно, что установить отношение строгого предпочтения по этому признаку можно лишь для непересекающихся множеств A и В Однако, из этого признака следует, что если для некоторого измеримого подмножества D с A выполняется неравенство inf k(x) > sup k(x), то

xeD xeB

A f В и, таким образом, можно сравнивать в том числе и пересекающиеся множества.

Лемма 1. Если мера ц множества X ограничена, и измеримые подмножества A и В множества X находятся в соотношении A f В, то lim |a[t ](В) = 0.

t iW

Действительно,

limtft ]

так как выполняется предельное соотношение (4) и |a[t](A) - величина ограниченная в силу ограниченности меры множества X.

Лемма 2. Если lim |a[t](В) = 0 и |a[t](A) > a >

t iW

> 0, где a - некоторая константа, то A f В.

Очевидно, что если |a[t](A) > a > 0, то обратная величина 1/|a[t](A) ограничена и при выполнении условия lim |a[t](В) = 0 справедливо

соотношение (4).

Управляемая система динамики плотности положительной меры

Введенный порядок предпочтительности в системе измеримых подмножеств, как уже было показано, целиком зависит от системы динамики меры. Он может быть изменен, если на систему оказывается какое-либо внешнее воздействие - управление. Можно поставить задачу изменения порядка с помощью допустимого управления.

В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение с управлением для меры, абсолютно непрерывной относительно некото-

*

рой положительной меры ц . В этом случае, как уже отмечалось выше, можно перейти к дифференциальному уравнению для ее плотности в пространстве Ь^Х, ц). Пусть это уравнение имеет вид

^ 0,х) = (б(Р,и )(Ъ + и) + Р(Р,и )) У(Р), (7) ОТ

и задано начальное условие

Р

Уравнение (7) является частным случаем уравнения с наследованием и обобщает исследованную в [11] симметричную форму уравнения динамики вероятностной меры. Для конечномерного случая эта форма уравнения рассматривалась в [12].

Здесь функция р((, х) е (X); управляю-

щая функция и = и(х) - измеримая, удовлетворяющая ограничению

Iи

где с - некоторая константа; функционалы Q, Р определены на (X) х (X), удовлетворяют

условию Липшица по аргументу р, непрерывны по и, Q(р, и) > д > 0, д - некоторая константа;

функция у: Я1 ^ Я1 строго монотонно возрастает, удовлетворяет условию Липшица, у(0) = 0; Ъ = Ъ(х) - измеримая ограниченная функция; т, N - некоторые константы.

Пусть мера ц(Х) = | р(£, х)\С(<Зх) множества X ограничена положительными константами: 0 < и'о < ц^) < Ж; О - некоторое подмножество множества X, О - дополнение множества О до X, ц*(О) > 0, ц*(О) > 0, [ р0(х)ц*(^х) > 0,

J О

|ОР0(^Ц*^ > 0.

Предположим, что задача (7), (8) имеет един-

+W

ственное решение р(?, х), бесконечно продолжаемое по t для любого допустимого управления и.

Лемма 3. Задача (7), (8) с помощью взаимнооднозначной замены переменных

у = {е°

[ 0, если р = 0,

Г Р

где Ф(р) = ^ й0 /у(0), сводится к задаче

5у (t, х)=

дГ

= ((Ф-1 (1п У), и)(Ъ( х) + и( х)) + Р(Ф-1 (1п у), и)) у,

У(0, х) = У0 (х\ 0 < Ут < У0(х) < УN ,

где ут = еф(т), yN = еф(N), Ф-1 - обратная функция к Ф, при этом для любых точек х, х1 из X отношение у^, х)/у(t, х1) удовлетворяет дифференциальному уравнению

_______ _ У(t, х) х

У

Доказательство. Так как функция №(р) удовлетворяет условию Липшица, то она непрерывна и справедливо неравенство

№@1) -У(02)1< 1 |01 02 I

для некоторой константы Ь при любых

01,02 е Я1, в частности, при 02 = 0 имеет место неравенство 1/ №(01) > 1/ Ь01 и, следовательно,

З/ У^ ді

і

• = +<»,

= +05.

0 №

Значит, функция Ф(р) обладает предельными свойствами: Нш Ф(р) = -ад, Нш Ф(р) = +<».

Р——+0 р—+ад

Из курса математического анализа известно, что при требованиях, наложенных на функцию №, функция г = Ф(р) будет непрерывной строго монотонно возрастающей при р > 0, имеющей обратную функцию р = Ф-1 (г) на промежутке (-», +*), которая также является непрерывной и строго монотонно возрастающей. При замене (10) функция у(р) является непрерывной строго монотонно возрастающей, следовательно, имеет на промежутке [0, +<») обратную функцию

I Ф-1 (1п у), если у > 0,

Р =

0,

если у = 0,

которая также непрерывна и строго монотонно возрастает. Очевидно, что при неограниченном увеличении переменной р неограниченно увеличивается переменная у и наоборот. При этом равномерно ограниченная на множестве X функция р0( х) будет соответствовать после замены (10) равномерно ограниченной функции у0( х).

Продифференцировав функцию у(р^, х)) по переменному t, и воспользовавшись обратной функцией (12), придем к уравнению динамики функции у^, х). Продифференцировав отношение у^, х)/у(^ х1) по переменному t, после несложных алгебраических преобразований получим уравнение (11). Лемма доказана.

Лемма 4. В задаче (7), (8) функция р^, х) ограничена по переменной t при почти всех х е X.

Доказательство. Обозначим

а = уга18ир(Ъ( х) + и (х)).

xеX

Из определения существенной точной верхней грани а следует, что для почти всех точек х е X выполняется неравенство Ъ(х) + и(х) <а.

Возможны два варианта: первый, когда для всех точек некоторого множества юс X,

ц*(ю) > 0, выполняется Ъ(х) + и(х) = а; второй, когда равенство Ъ(х) + и(х) = а выполняется только в точках некоторого множества 0 с X, ц*(0) = 0. В последнем случае для любой фиксированной точки х1 е X \ 0 обязательно найдется подмножество юсX строго положи-^ *

тельной меры ц такое, что для всех хею справедливы неравенства

Ъ(х1) + и(х1) < Ъ(х) + и(х) < а.

Действительно, если предположить, что последние неравенства реализуются на множестве ю нулевой меры ц*(ю) = 0, то для почти всех х е X выполняются неравенства

Ъ(х) + и(х) < Ъ(х1) + и(х1) <а, что противоречит факту

а = уга18ир(Ъ( х) + и (х)).

xеX

В обоих вариантах для почти всех точек х1 еX найдется подмножество юсX с мерой

ц*(ю) > 0, в каждой точке которого выполняется неравенство Ъ(х1) + и (х1) < Ъ( х) + и (х).

Докажем, что в этих точках функция у ^, х1), соответствующая р^, х1), является величиной

ограниченной для всех t > 0. Предположим противное: для любой сколь угодно большой положительной константы С найдется момент

времени X такой, что у(Х*, х1) > С. Тогда для всех точек хею в силу уравнений (11) следует, что отношение у(X, х)/у(Х, х1) не убывает с ростом X. Это означает, что

у(Х, х) > ур(х) > Ут

у(Х , х1) У0( х1) УN

и в момент времени X для всех хею справедливы неравенства

Ут_ < У

<-

Р(х *, х) >Ф-1

1п

С

V V

2т

Ум

С* = ф-1

1п

V V

С

Уп_

ум

/у

Тогда

Доказательство. Покажем, что при выполнении неравенства (13) существует управление и(х), удовлетворяющее ограничению (9), при

котором О у О. В качестве такого управления возьмем и( х) = с, если х еО, и и( х) =-с, если

х е О, при этом для любых точек х еО, х1 е О отношение у(Х, х)/у(X, х1) согласно (11) удовлетворяет уравнению

_д/ у (X, х) ^ дХ

У

У

Ум У (X \ х1) С

из которых вытекает, что у(X*, х) > Сут /yN для всех х ею.

Поскольку из замены (10) следует существование непрерывной строго монотонно возрастающей функции (12), то для всех точек хею выполняется неравенство

Г Г „ V*

У

хQ

Обозначим

у = уга18ир(Ъ(х) + с), Р = уга18ир(Ъ(х) - с),

хеО хеО

8 =

т-Р 2 :

в котором сколь угодно большому числу С соответствует сколь угодно большое значение

Г Г „

ц[Х*]

ю

и, следовательно, мера ц(ю) является величиной неограниченной, что противоречит ограниченности меры ц множества X. Значит, функция у (X, х) ограничена почти всюду на множестве X.

Из леммы 3 следует, что функция р(Х, х) будет также ограниченной почти всюду на множестве X. Лемма доказана.

Предельные возможности управления

Найдем условия, при которых в задаче (7)-(9) возможно управление такое, что измеримое множество О было бы лучше своего дополнения О .

Теорема 1. Для того чтобы в поставленной задаче существовало управление, удовлетворяющее ограничению (9), при котором О у О, достаточно выполнение неравенства

уга18ир

где 8 - положительная константа согласно (13). Из определения существенной точной верхней грани у следует, что найдется подмножество множества О с ненулевой мерой ц* , для всех точек которого справедливы неравенства у-8 <Ъ(х) + с <у.

Как следует из леммы 4, почти во всех точках этого подмножества функция у(Х, х) ограничена. Зафиксируем точку х1 из этого подмножества, в которой функция у(Х, х1) ограничена. Так как для почти всех х еО выполняется неравенство Ъ(х) - с <Р, то для почти всех

х е О выполняется оценка

Ъ( х1) + с - (Ъ( х) - с) >у-8-Р = 8>0.

Учитывая это и условие ограниченности функционала Q(p, и) > д > 0, проинтегрировав уравнение (14) на промежутке времени [0, X], получим неравенство

У(Х, х) = У0(х) х

х ехр

У

I Q(Ф-1 (1п У), и)(Ъ (х1) + с - (Ъ(х) - с))йХ

\

< —- ехр(-д8Х),

Ут

справедливое почти для всех х еО, из которого вытекает, что отношение у(X, х)/у(Х, х1) стремится к нулю при X — <» равномерно по х почти всюду на множестве О.

Так как у(Х, х1) ограниченная величина, то

хеО

хеО

Нш у(г, х) = Нш У(Х, х) у(X, х1) = 0

г—ад г—ад у

почти для всех х еО, причем стремление к нулю равномерное по х, тогда и р(Х, х) равномерно стремится к нулю при г, стремящемся к бесконечности, почти для всех х еО, что следует из связи переменных (12). Из равномерной сходимости к нулю плотности р(Х, х) следует равномерная сходимость интеграла

Нш [_р(Х, х)ц*(йх) = 0,

г—ад * О

следовательно,

Нш ц[г ](О) = 0.

г—ад

Согласно лемме 2 это означает, что подмножество О находится в отношении строгого предпочтения с подмножеством О, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Для того чтобы в задаче (7), (8) существовало управление, удовлетворяющее ограничениям (9), при котором О у О, необходимо выполнение неравенства

уга18ир

хеО хеО

Доказательство. Предположим, (15) не выполняется, что в принятых обозначениях выглядит как неравенство у-Р = 28< 0.

Из определения существенной точной верхней грани в следует, что найдется подмножество множества О, с ненулевой мерой ц*, для всех точек которого справедливы неравенства в + 8< Ъ(х) - с <р. Зафиксируем точку х2 из этого подмножества, в которой функция у (г, х2) ограничена. Возможность такого выбора следует из леммы 4.

При любом выборе допустимого управления почти для всех х еО имеет место оценка Ъ(х) + и(х)-Ъ(х2)-и(х2)<у-Р-8 = 8 <0. Проинтегрировав уравнение (14) на промежутке времени [0, X], с учетом имеющихся оценок получим неравенство

у

г

хехр |Q(Ф-1(lnу),и)(Ъ(х) + и(х) -Ъ(х2) -и(х2))йг<

0

< — ехр(д8г),

Ут

означающее, что отношение у (X, х)/у (X, х2) стремится к нулю при г — ад равномерно по х

почти всюду на множестве О. Поскольку у (г, х2) ограниченная величина, то

У

У

равномерно стремится к нулю при X, стремящемся к бесконечности, почти для всех х е О и вместе с этим, как следует из связи (12),

Ншр(Х,х) = 0 почти для всех хеО, причем

г—ад

стремление к нулю равномерное по х. Из равномерной сходимости к нулю плотности Р(г, х) следует равномерная сходимость интеграла

lim f p(t, x)|a*(dx) = 0,

t —— W J

Q

и, следовательно,

lim |a[t ](Q) = 0.

tiW

Так как по условию теоремы Q f Q, то из леммы 1 следует выполнение предельного равенства lim |a[t](Q) = 0, но тогда lim |a[t](X) =

tiW t iW

= lim |a[t ](Q uQ) = 0 и это противоречит огра-

t iW

ниченности меры ц множества X. Теорема доказана.

Обоснованные необходимые и достаточные условия являются, по сути, требованиями, которым должна удовлетворять константа с, ограничивающая мощность управляющего воздействия, для того чтобы в задаче (7)-(9) возможно было управление, с помощью которого некоторое измеримое множество стало бы лучше своего дополнения.

Список литературы

1. Кузенков О.А., Рябова Е.А. Математическое моделирование процессов отбора: Учебн. пособие. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2007.

2. Кузенков О.А. Задача оптимального управления для распределенной системы типа Вольтера // Автоматика и телемеханика. 2006. №7. С. 14-26.

3. Кузенков О. А. Уравнения динамики меры как

язык для описания оптимизационных процессов// Вестник ННГУ. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып. 1(30).

Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2006. С. 51-62.

4. Кузенков О.А., Новоженин А.В. Уравнения динамики меры: Учебн. пособие. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2010.

5. Кузенков О. А. Исследование динамической системы вероятностных мер Радона // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 4. С. 591-596.

6. Schwartz L. Theories des distributions. Tome I, II. Paris: Hermann et Cie., 1951.

7. Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. М.: Наука, 1983.

8. L’vov V.S. Wave turbulence under parametric excitation application to magnets. Berlin, Heidelberg: Springer, 1994.

9. Розоноэр Л.И., Седых Е.И. О механизмах эволюции самовоспроизводящихся систем // Автоматика и телемеханика. 1979. №5. C.137-148.

10. Горбань А.Н. Обход равновесия. Новосибирск: Наука, 1984.

11. Кузенков О. А. О свойствах одного класса ин-тегро-дифференциальных уравнений в пространстве Лебега // Нелинейная динамика и управление. Вып. 1. М.: Физматлит, 2001. С. 347-355.

12. Кузенков О.А., Кузенкова Г.В. Оптимальное управление системами авторепродукции // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2012. № 4. С. 26-37.

PREFERENCE ORDER IN THE MEASURABLE SET SYSTEM INTRODUCED BY THE MEASURE DYNAMICS EQUATION

O.A. Kuzenkov, E.A. Ryabova

The order of preference is introduced in the system of measurable sets on the basis of some given process of the positive measure dynamics. The controlled process of the positive measure dynamics is studied with the aim of changing the order in the desired direction.

Keywords: positive measure dynamics, inheritance equation, strict preference relation, partial order.