Динамический анализ открытых систем с прямыми положительными и обратными отрицательными связями

Список литературы

1. Винокуренное производство // Уральская советская энциклопедия. Т. 1. Свердловск, 1933.

2. Машин М.Д. Фабрично-заводская и кустарная промышленность Южного Урала накануне Великой Октябрьской социалистической революции // Из истории Южного Урала и Зауралья. Вып. 7. Челябинск, 1973.

3. Нарский И.В. Жизнь в катастрофе. М., 2001.

4. Пищевая промышленность Челябинской области: Стат. сб. Челябинск, 2003.

5. Привалов А. О спаивании народа // Эксперт. 2004. №31.

6. Производство и продажа алкогольной продукции в Челябинской области: Ана-лит. зап. / Облкомгосстат. Челябинск, 2003.

7. Регионы России. Социально-экономические показатели: Стат. сб. / Госкомстат РФ. М., 2002.

8. Челябинской области 70 лет: Юбилейн. стат. сб. / Облкомгосстат. Челябинск,

2004.

9. Чугунов М. «Палёнка», или как бюджет теряет деньги, а народ здоровье // МК-Урал. 2003. 17-24 дек.

10. Янгирова И.С. Виноторговля // Челябинская область: Энциклопедия. Т. 1. Челябинск, 2003.

МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОЛОГИИ И ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИИ

С. Г. Агеев

Динамический анализ открытых систем с прямыми положительными и обратными отрицательными связями

Настоящая работа является начальной публикацией, посвященной вопросам гамильтоновой динамики систем, обладающих свойствами самоорганизации. С точки зрения автора этих работ, ему удалось построить непротиворечивую теорию эволюционного перехода самоорганизующейся системы из состояния зарождающейся в состояние естественной смерти. Мотивацией создания теории послужили работы И.Р. Пригожина [1; 2; 3], который значительную часть последних лет своей жизни посвятил проблеме времени. И.Р. Пригожин, как никто другой из выдающихся физиков прошлого столетия, был близок к решению этой проблемы. Результаты теоретических построений, которые будут изложены в публикациях, возможно, окажутся полезными для физиков-теоретиков в решении задачи времени. Сущность теоретических построений состоит в сочетании системного формализма с формализмом геометрий Римана, Евклида. В данной публикации излагается системный формализм, который в конечном итоге приводит к естественному пониманию стационарных и динамических свойств открытой самоорганизующейся системы.

Рассмотрим систему, состоящую из трех элементов, находящихся в трофической цепи, схема которой представлена на рис. 1. Данная схема является общепринятой в биологии, например, в цепи продуценты - консументы - редуценты, а также может быть распространена на экологические, экономические системы.

Общим свойством такого типа систем, с позиций термодинамической теории, является их открытость и неравновесность [4; 5; 6].

Отличительная особенность данной работы состоит в строгости понимания и учета влияния в балансе потоков энергии-массы как прямых положительных, так и обратных отрицательных динамических связей. Следует отметить, что влияние положительных и отрицательных связей давно уже используется в той или иной форме при построении физикохимических, биологических, экологических, экономических моделей. Представляется возможным сделать ссылку на огромный перечень научных публикаций. В данной работе автор осознанно не использует эту возможность, а отсылает заинтересованных читателей к вышеперечисленным источникам. В качестве примера можно привести классическую модель Вольтерра [7], в которой эти связи присутствуют в виде управляющих параметров собственными функциями системы. В химической кинетике положительные и отрицательные связи заменены такими понятиями, как активаторы и ингибиторы, которые также широко задействованы в биологическом морфогенезе [8]. В конструкции моделей, отражающих динамику экономических систем, этим связям отведена роль некоторых коэффициентов [9].

Представленная на рис. 1 схема учета влияния в балансе потоков энергии-массы тех и других связей позволяет функционировать системе как единому целому, а элементам системы быть частью целого, оставаясь каждый в отдельности функционально самостоятельной единицей. Другими словами, каждый отдельно взятый элемент системы самоорганизован как целое, в то же время являясь частью всей системы. В этом варианте схемы входные потоки энергии-массы • •

М, £ являются первичными и претерпевают изменения в своем качестве по мере продвижения по цепи. Далее по тексту сочетание понятий энергия-масса упрощается и будет использовано одно понятие - энергия, что совершенно исключает понятие массы. Выполненный ниже анализ в полной мере распространяется и на баланс потоков массы.

Необходимо отметить, что системы, включенные в трофические цепи, исследованы отечественными авторами [10]. Однако в модельной схеме динамические свойства совокупной системы не отражены ими в виде отдельных функций, а зависят от взаимодействия полных потоков энергии-массы, величины которых помножены на управляющие константы.

Рис. 1. Схема трехэлементной системы, находящейся в трофической цепи: $,£,а -функции прямых положительных связей; цД- функции обратных отрицательных связей;

М , £ - функции, характеризующие поток энергии-массы на

входе в систему; Ь - функция, характеризующая поток энергии-массы на выходе из систе-• • •

мы; а, в, у - функции, определяющие мощностные затраты энергии на производимую совокупную работу.

Другие буквы латинского алфавита характеризуют внутрисистемные потоки энергии-

массы.

Примем во внимание, что функции потоков, введенные в схему, зависят от времени. Динамические коэффициенты О, Ц, 8, X, С, Ю также зависят от времени. Важно отметить, что динамические связи с формальной точки зрения представляют собой доли

от I(), ю() от К(), т.е. являются безразмерными функциями. В общем случае интервал их изменения лежит в области [0—1].

Других ограничений на свойства динамических функций не накладывается, в том

числе и стохастических. Для потока энергии N() предполагается, что источник ее неограничен. Такое же условие распространяется на поток £(). Относительно потока •

£() можно сказать следующее. Его без нарушения общности можно исключить из рассмотрения. Однако в анализе он присутствует в качестве иллюстрации многообразия влияния внешних энергетических факторов. Возможны замечания читателей относительно полноты учета боковых ветвей потоков энергии на схеме. Целесообразно заранее ответить на такого рода замечание, что боковые ветви можно было бы вообще не представлять, поскольку общеизвестно, что циркуляция потоков по замкнутому контуру равна нулю. Заранее можно предсказать, что в итоговом варианте анализа будут присут-

• • • • •

ствовать потоки М, £, а, в, у, а также динамические функции 9, Ц, 8, X, С, Ю. Выполнив работу по балансу потоков энергии, запишем Г • ,

М + 8

(1 + 9) (1 + 8)1 + с) — ь[1 + ц(1 + 9) [1 + х(1 + 8) [1 + ю(1 + с) +

+ а

Уравнение (1) содержит весьма полезную информацию о влиянии динамических

• • • связей на величину потока энергии на входе системы (М + £ ) и выходе из нее (Ь ), а

• • •

также влиянии этих связей на функции а , в , у . Можно констатировать, что динамические свойства потока энергии на входе определяются только прямыми положительными связями. Обратные отрицательные связи на динамические свойства потока на входе не оказывают влияния. Иная ситуация проявляется при анализе влияния динамических

•

функций на величину выходного потока энергии (Ь ). Динамическая составляющая величины этого потока зависит от всех динамических функций.

Уравнение (1) позволяет убедиться в том, что динамические составляющие входного и выходного потоков зависят не только от значений самих функций, а также от их взаимодействия. К числу неожиданных фактов следует отнести абсолютное невлияние собственных положительных и отрицательных связей на динамические свойства функ-

• • •

ций а , в , У, т.е. на величину производимой внутренней работы.

Принимая во внимание изложенное выше по анализу уравнения (1), можно сделать вывод, что данное уравнение представимо в виде двух уравнений: одно из которых отражает баланс потоков энергии в системе на уровне стационарного режима ее функционирования, другое уравнение определяет только ее динамические качества.

Выпишем эти уравнения:

• • • • •

М — Ь — а+в+У,

• • • • •

М А(9,8 ,с) — Ь5(9,ц,Х ,8 ,с , ю) + а С (,с) + в ^(9,ц,с)+ у Е (9,ц,Х ,8), (3) где А(,8,с)—9 + 8 + С + 98 + 9с + 8С + 98С ,

в(9, Ц, X, 8, С, ю) — ц(1 + 9) + х(1 + 8) + ю(1 + с)+ Хю(1 + 8)(1 + с) +

+ Цю(1 + 9) (1 + с) + +цХ(1 + 9) (1 + 8) + цХю(1 + 9) (1 + 8) (1 + с),

С(8,с) — 8 + С + 8С ,

Э(9, ц, с) — с + ц(1 + 9)(1 + с), б[9, ц, X, 8] — ц(1 + 9) + х(1 + 8) + цХ(1 + 9) (1 + 8).

В балансовых соотношениях (2), (3) функция £() опущена по абсолютно ясной причине: множество потоков энергии на входе в систему могут быть суммированы.

Уравнение (2) по физическому содержанию является аналогом уравнения первого начала термодинамики. Суть содержания его состоит в том, что разность потоков энергии на входе в систему и выходе из нее приравнена совокупной внутренней мощностной характеристике системы. Внутри элементов системы энергия испытывает превращения. В общем случает, с учетом диссипации энергии при ее превращениях, уравнение (2) следует представить в виде неравенства

Д Q >а+Р+у,

• • •

где Д Q — М — Ь.

В этом варианте условий неравенство (4) является аналогом второго начала термодинамики. Из вышеизложенного следует, что стационарная часть задачи не представляет собой познавательного интереса, поскольку содержание ее объяснимо законами классической термодинамики. Совершенно обратное утверждение можно высказать относительно уравнения (3).

Левая часть уравнения (3) представляет собой поток энергии на входе в систему. Величина этого потока, как уже было отмечено выше, определяется только положительными связями - 9,8 ,С и взаимодействием этих связей до 3-го порядка включительно -98,9с,8С,98С . Правая часть уравнения (3) представлена 4 членами. Первый из них определяет величину потока энергии на выходе из системы, зависящей от динамических связей Ц,Х ,Ю , а также от взаимодействия динамических связей до 6-го порядка включительно, в которые включены и динамические связи 9,8, С:

98, 9с , 8С , ц9 , Хц, юц , юХ, сю , Х8,

98с , сюХ, сюц , юХ8, юХц, Хц9, ю9ц , Х8Ц,

98Хц , 8сюХ, 9сюц , юсХц , юХц9 , юХ8ц, юХц98 , сюХц9,8сюХц,

98сюХц.

Необходимо внести важное замечание относительно перечня взаимодействующих функций. Если вычислить общее количество взаимодействий от числа прямых положительных и обратных отрицательных связей, то оно составит число 57. Однако число взаимодействующих связей без учета членов 2, 3, 4 в уравнении (3) составляет 27. Воз-

никает естественный вопрос: каким принципом руководствуется система при отборе взаимодействий? Справедливо утверждение, что в системе существуют разрешенные и запрещенные отношения для взаимодействий динамических связей. Ответ на поставленный вопрос возможно получить, если обратиться к рис. 2 и проанализировать схему взаимодействий. Выпишем последовательность запрещенных взаимодействий:

9Х, 9ю,8Ц, 8Ю , СЦ, сХ,

юХ9, ЮЦ8, сХц, 8ц9 , Х98, 98ю , сц9 , 9сХ,

9сЮ , Ц8С , Х8С , 8СЮ ,

сцХю,98цю,98Хю , 9сцХ , 9сХю,8сцю,

98СЦ,98сХ , 98СЮ,

98СЦХ,98СЦЮ,98сХю.

Из анализа схемы (рис. 2) и приведенного перечня следует, что прямое взаимодействие положительной связи одного элемента системы и отрицательной связи другого элемента является запрещенным событием. Запрещенность такого рода событий относится и к взаимодействиям порядка 3, 4, 5. В этом несложно убедиться при детальном анализе приведенного перечня. На схеме, приведенной на рис. 2, запрещённые взаимодействия порядка выше второго не отражены исключительно по причине усложнения.

На рис. 3 представлена схема разрешенных взаимодействий динамических связей второго порядка, которые присутствуют в уравнении (3).

Рис. 2. Схема запрещенных взаимодействий положительных и отрицательных связей

Рис. 3. Схема разрешенных взаимодействий положительных и отрицательных связей

Линии, отражающие взаимодействия порядка более 2, не приведены по той же причине, что и в случае с запрещенными взаимодействиями высших порядков. Прослеживая по схеме направления разрешенных взаимодействий порядка 3, 4, 5, 6, предоставляется возможность убедиться в том, что направления этих линий не будут совпадать с направлениями линий запрещенных взаимодействий. Естественно сформулировать вопрос: что является причиной возникновения в системе исключительных (запрещающих) путей взаимодействия динамических связей? Ответ на данный вопрос сложен и прост. Сложен с точки зрения обоснования проявления в системе условий внутренней асимметрии энергетических потоков. Простота ответа заключается в том, что реализация условий для всего набора взаимодействий динамических связей порядка от 2 до 6 обеспечивает симметрию энергетических потоков, что исключает какое-либо проявление динамических качеств системы такого рода. В теоретической физике проблема симметрии является давно понятой, в то же время существует проблема решения задач динамики открытых неравновесных систем, т.е. введения естественным образом, на формальном уровне, условий, обеспечивающих внутреннюю асимметрию энергетических пото-

ков. Формализм проявления внутренней асимметрии энергетических потоков в системе (пространстве) более детально будет обсуждаться в последующей публикации.

Обратимся к последующим членам уравнения (3). Анализ третьего члена позволяет убедиться, что на динамические свойства системы оказывает влияние часть энергии, расходуемой на совершение внутренней совокупной работы в первом элементе системы. Доля этой энергии определяется функциями прямых положительных связей (8, с) второго и третьего элементов системы. Этот вывод можем отнести также к числу неожиданных. Однако он абсолютно не противоречит современным представлениям о функционировании, например, биологических систем. Обратим внимание на то обстоятельство, что если второй и третий элементы не включаются в трофическую цепь (т.е. 8 — 0,

•

С — 0 ), то поток энергии а(), расходуемый на совершение внутренней работы первого элемента, не оказывает влияния на его динамические свойства. Отсюда следует вывод, что динамические свойства этого элемента будут определяться только функциями 9(?) и и их взаимодействием - 9( )ц( ). Этот вывод имеет принципиально важное значение для развития всей цепи дальнейших теоретических построений. Он позволяет утверждать, что в динамическом отношении отдельный элемент (блок) открытой неравновесной системы обладает консервативными свойствами.

Рассмотрев аналогичным образом члены уравнения 3, 4 уравнения (3), получаем тот же результат относительно консервативных свойств других элементов (блоков) системы. Обобщающим выводом приведенного выше анализа является: система открытых, с термодинамической точки зрения, элементов с прямыми положительными и обратными отрицательными связями, включенных в трофическую цепь функционирует как диссипативная относительно стационарных условий ее работы и как консервативная - относительно проявления ее динамических свойств, т.е. она представима как диссипативно-консервативная (ДК).

Проследим возможность функционирования системы при отсутствии тех или иных динамических связей. Приняв, что 9 — 8 — С — Ц — Х — Ю — 0, не представляется возможным говорить о динамических свойствах системы, не прибегая к дополнительному теоретическому конструированию. Приравнивая к нулю в уравнении (1) функции, характеризующие обратные отрицательные связи (ц — Х — Ю — 0), запишем

М

Для стационарных условий функционирования системы из уравнения (5) вновь получаем уравнение вида (2).

Для динамических условий

• • •

М

Выделим из уравнения (6) динамическое соотношение только для первого элемента системы

М 9 — 0,

•

что противоречит вышепринятым условиям - М Ф 0 , 9 Ф 0 .

Аналогичные тривиальные соотношения вида (7) получаем и для других элементов системы. Следовательно, без включения в систему обратных отрицательных связей она не является жизнеспособной.

Исключим из рассмотрения в уравнении (1) прямые положительные связи, приняв

9 — 8 — С — 0 . Для данного варианта задачи уравнение (1) перепишется так:

• • • • •

М — Ь

Стационарные условия работы системы вновь приводят к записи уравнения (2). Для динамических условий уравнение (8) примет вид

• • •

Ь

Вычленяя из уравнения (9) динамические соотношения для отдельных элементов системы, получаем, как и выше, вновь тривиальные условия. Например, для первого элемента

Ь ц — 0,

что также противоречит ранее принятым допущениям: Ь Ф 0 , Ц Ф 0 .

Исключение из системы прямых положительных связей не позволяет ей проявлять свойства жизнеспособности.

Выполним переход к двухэлементной системе, включенной в трофическую цепь. Такого рода переход возможно осуществить, если положить в уравнении (1) С — 0, ю — 0 . Тогда для двухэлементной системы уравнение баланса потоков энергии запишется в форме

М (1 + 9X1 + 8) — ь[1 + ц(1 + 9)] [1 + Х(1 + 8)] +

+ а

Уравнение, определяющее стационарные условия функционирования системы, принимает вид

• • • •

М — Ь+ а+ в.

Динамическая составляющая уравнения (11) запишется так:

МА'

где А'(9,8)— (9 + 8 + 98),

Б'(9,ц ,Х ,8) — ц + Х + 9ц + цХ + Х8 + 9цХ + цХ8 + 9цХ8 ,

Б' (9,ц) — ц + 9ц .

Уравнение (11) возможно получить, если выполнить балансовый анализ потоков энергии, используя схему, представленную на рис. 1. Нетрудно убедиться в том, что результаты выполненного анализа для трехэлементной системы не вносят противоречий в результаты анализа двухэлементной системы.

Для единичного элемента системы получаем простое соотношение вида

М

Для стационарного процесса работы системы из уравнения (14) следует

• • •

М — Ь+а.

Уравнение динамики процесса имеет вид

••

9 — Ь

Приведенный выше вывод балансовых уравнений потоков энергии для одноэлементной, двухэлементной, трехэлементной трофической цепи позволяет констатировать о существовании закономерности в распределении энергии и массы, поступающей на вход в систему. Зная эту закономерность, имеется возможность записать балансовое уравнение энергии-массы для любого числа элементов (блоков), находящихся в трофической цепи.

Общая форма записи этого уравнения представима как

М П (1 + х ) = Ь П [ + у (1 + х)]+ а П (1 + х+1)+

+ Р

п-2

1 + У1

+ у ТгГ1 + Уг

+

+...,

где п - число элементов системы; г = 1, 2, Э, ..., хг - функции прямых положительных связей, расположенных в порядке их вертикальной последовательности; П - оператор произведения функций; j = 1, 2, Э, .; у]- - функции обратных отрицательных связей.

Обратимся к более детальному анализу уравнения (16). В левой части произведение с физической точки зрения представляет собой долю потока энергии, поступающего на вход в систему и расходуемого на обеспечение ее динамических качеств. Первая часть уравнения (16) свидетельствует о том, что поток энергии, поступившей на вход, расщепляется на две составляющие, одна из которых представляет собой поток энергии, включенный в обратную отрицательную связь, другая часть - поток энергии, представляющий собой взаимодействие потока прямой положительной и потока обратной отрицательной связей. Обратим внимание на то обстоятельство, которое вытекает из уравнения (16), что поток энергии взаимодействия также включается в процесс обратной отрицательной связи. Этот вывод относится к разряду трудно предсказуемых. Следовательно, доля потока энергии, выраженная функцией $(?), расщепляется на две части, выраженные функцией ) и произведением функции $(?)ц(?). Тогда можем записать, что

• •

в динамическом уравнении (16) М () = Ь(), а само уравнение (16) представимо в виде

) )-д

Ш

где

ШР

Получено «странное» дифференциальное уравнение, которое описывает динамические свойства системы. По своему типу уравнение (18), несомненно, может быть отнесено к уравнению состояния (динамического). В нем же отражены свойства сохранения, а следовательно, консервативности системы, динамику которой оно описывает, о чем речь уже шла выше. Физическая сущность этой консервативности состоит в том, что доля потока энергии, поступившего в систему, не расходуется ни на что другое, кроме самопостроения и внутренней самоорганизации и не покидает ее до конца существования. Другими словами, поток энергии-массы распределяется на построение материального пространства (физического тела) и на все виды внутренних взаимодействий, обеспечивающих в физическом теле порядок. Производная Шу(?)/ Ш > 0. Равенство ну-

лю производной d^(t)/ Ш приводит к гибели системы, что непосредственно следует из уравнения (18). К таким же последствиям приводит равенство нулю одной из динамических функций - 0() или ), что обсуждалось выше.

Непосредственное описание процесса самопостроения физического пространства и внутренней самоорганизации в нем, с использованием уравнения (18), будет изложено в последующих публикациях.

Выше отмечено, что трофическая цепь системы, представленная отдельными подсистемами, включающими в себя свойства открытости, с положительными и отрицательными динамическими связями, может рассматриваться как единая система (единое целое). Формальное представление стационарного процесса функционирования единого элемента связывается с уравнением (15). Формализм динамического состояния определяется уравнением вида (18). Перепишем его так:

&^[ф

В уравнении (19) функции ф() и у(?) могут быть получены из следующих соображений. Представим уравнение (Э) в форме

• • •

МА(0,8 ,ст)= ЬВ' (0,8 ,а ,ц Д ,ю)- ЬВ' (,8 ,а,ц Д ,ю) +

+ Д 2 ^а Ду ,0,8 ,а,цД ,ш^.

В уравнении (20) Ь(В — В )= ЬВ(0,8 ,Ф,Ц , X ,ю),

• • •

Д 2 = а С (8 ,а)+ в ^(0,ц ,а)+ у Е (0,8 ,цД).

Введем следующие обозначения:

ф(т)= А(0,8 ,ст), у(т) = В' (ц ,Х ,ю),

В' = ц + Х + ю + цХ + цю + Хю + цХю, ф(т)у(т)= АВ', Д1 = ЬВ' (0,8 ,с ,ц ,Х ,ю).

Тогда

ЬВ = ЬВ (1 + А)э = Ь(\|/(т) + ф(т)у(т)).

С учетом вновь принятых обозначений уравнение (20) перепишем в виде

• • •

М ф

Руководствуясь условием, что вся трехэлементная система в динамическом отношении представляет собой единое целое и сравнивая уравнения (18) и (21), можем положить, что Д1 = Д2, т.е. получим форму записи уравнения (21) в виде (19).

Список литературы

1. Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 197Э.

2. Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических науках. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1985.

3. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990.

4. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

5. Хакен Г. Синергетика: Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.

6. Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 197Э.

7. Рубин А.Б. Биофизика. Ч. 1. М.: Высш. шк., 1987.

8. Белоусов Л.В. Биологический морфогенез. М.: Наука, 1987.

9. Меньшиков С.М., Клименко Л.А. Длинные волны в экономике. М.: Междунар. отношения, 1989.

10. Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985.

С. Г. Агеев

Проявление динамики пространства Евклида в явлении самоорганизации

В работе [1] путем системного формализма было получено «странное» дифференциальное уравнение вида

[ )-ц

Ш

где 0(г), ц(?^ ) - функции, представляющие, с физической точки зрения, соответственно прямые положительные и обратные отрицательные связи. Обоснованно, что уравнение (1) представляет собой весьма специфическую форму уравнения состояния (динамического), в котором отражены свойства сохранения (свойства консерватизма). Функции о(') и ' ) введены в системный формализм как части (доли) энергии-импульса, определяемой производной ')/&'. Время ? ' определяется по ручным часам «ми-

рового наблюдателя», связанного с системой отсчета, которая находится в состоянии равномерного движения. Скорость хода часов считается идеальной, что имеет важное значение, понимание которого прослеживается ниже по тексту. Производная

')/&' не может принимать нулевое значение, что доказывается в работе [1]. Уравнение (1) можно переписать в виде соотношения

0

«Странность» дифференциального уравнения (1) состоит в том, что с учетом соотношения (2) решение его определяется одной функцией 0(?' ) или же ' ). Выпишем функциональные связи между ними:

й

Эг

С учетом формального смысла функций 0(?г) и ц(/О областью их определения, в общем случае, является континиум [0 -1] . Из выражений (3)-(4) можно сделать более определенные выводы относительно областей определения. Если принять условие, что динамические свойства системы определяются функцией 0(? г)е [0 -1] , то область оп-