Численный подход к решению контактной задачи взаимодействия двух упругих тел с учетом трения и истории приложения внешнего нагружения

УДК 539.3

И. Б. Бокий

ЧИСЛЕННЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ УПРУГИХ ТЕЛ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ И ИСТОРИИ ПРИЛОЖЕНИЯ ВНЕШНЕГО НАГРУЖЕНИЯ

С помощью невариационного численного подхода к решению контактной задачи с трением, основанного на сведении контактной задачи к системе нелинейных операторных уравнений относительно неизвестных контактных напряжений на поверхности соприкасания, исследовано влияние истории внешнего нагружения на распределение полей контактных напряжений.

Механика контактного взаимодействия принадлежит к числу наиболее актуальных областей механики деформируемого твердого тела, основы которой были заложены H. Hertz [1].

Несмотря на то, что часто взаимодействующие тела линейно упруги, учет трения приводит к нелинейности задачи. Поэтому получение решения задачи контакта упругих тел с различными упругими постоянными при неизвестной заранее области контакта, осложненной трением на поверхности соприкасания, связано со значительными трудностями математического и вычислительного характера. До сих пор не получено аналитическое решение контактной задачи в общем случае, когда неизвестны заранее область контакта и граница раздела зон проскальзывания и сцепления, а материалы взаимодействующих тел различны. Известно лишь конечное число работ, в которых получены приближенные аналитические решения различных классов контактных задач - решения H. Hertz [1], F. Carter [2], C. Cattaneo [3], R.D. Mindlin [4], В.И. Моссаковский [5].

Поэтому в настоящее время к решению контактных задач теории упругости применяются численные методы. Эти численные методы можно разделить на две группы: вариационные и невариационные.

Вариационный подход состоит в применении идей и методов современного вариационного исчисления. Основы его заложены A.Signorini, и для контактных задач с трением развиты в работах G. Duvaut, J.L. Lions , J. Necas, J. Jarusek, J. Haslinger, P.D. Panagiotopoulos, J.J. Kalker, A.C. Кравчука, A.A. Спектора, P.B. Гольдштейна, А.Ф. 3a-зовского, Р.П. Федоренко, В.И. Кузьменко. Несмотря на развитие теории вариационных неравенств, решение контактной задачи с трением сопряжено с большими трудностями: задача ставится в объемной постановке; учет трения в вариационной формулировке не позволяет сформулировать эквивалентную ковариационному неравенству экстремальную задачу; при замене ковариационного не-

равенства последовательностью вариационных, для которых существует эквивалентная экстремальная формулировка, для получения решения приходится несколько раз решать задачу нелинейного программирования, которая сама по себе сложна.

Невариационный подход состоит в том, что за основу берется классическая постановка контактной задачи - в виде ограничений на поверхности контакта в форме равенств и неравенств. Поиск решения контактной задачи может представлять собой последовательность решений задачи теории упругости при уточняющихся граничных условиях, определяющих условия контактного взаимодействия (работы K. Chan, J. Tuba, R. Gaertner, R.N. Bentall, K.L. Jonson). Недостатком этого подхода является то, что для получения решения необходимо несколько раз решать задачу теории упругости. Сходимость итерационного процесса получения решения теоретически не обоснована, хотя на практике удается получать численный результат с удовлетворительной точностью.

Для решения контактных задач теории упругости можно применять невариационный подход, отличительной чертой которого является то, что контактная задача сводится к системе нелинейных операторных уравнений относительно неизвестных контактных (нормальных и касательных) напряжений на поверхности соприкасания - задача рассматривается в граничной постановке. Это позволяет уйти от оптимизационных алгоритмов, которые характерны для вариационных подходов. Сведение контактной задачи к системе нелинейных операторных уравнений существенно упрощает доказательство теорем существования и при рассмотрении дискретных аналогов задач позволяет строить эффективные итерационные процессы [6-12]. Объем вычислений на каждом шаге нагружения соответствует решению смешанной задачи теории упругости с фиксированными границами раздела краевых условий. Неизвестные область контакта, зоны проскальзывания и сцепления определяются в процессе решения задачи.

Рассмотрим контактное взаимодействие двух упругих тел, каждое из которых соединено с абсолютно твердым телом - жесткой опорой. Принимаются такие допущения, при которых можно считать, что поверхность контакта будет плоской в любой момент 1 процесса взаимодействия и лежит в общей для тел касательной плоскости я, проходящей через точку начального касания О. Предполагается, что волновыми и инерционными эффектами можно пренебречь. На поверхности контакта возникают силы трения, которые подчиняются закону Кулона. Взаимодействие определяется функцией Д (у) , которая представляет собой поступательное сближение жестких опор.

Введем систему координат 0ху7, связанную с нижним телом (1=1). Начало координат поместим в точку О, оси Ох, Оу расположим в плоскости р, ось 07 направим внутрь нижнего тела.

Пусть Р^бД), Рх(бД), Ру^Д) - составляющие контактного давления, а ^^Д), и(БД), у(бД) - функции относительного смещения взаимодействующих тел вдоль осей Z, х, у, определенные в точке б:

w(s, 0 = Wl 0- w2(s,t) + ад- А 7

и

у(М) = у^М)-У2(М)- а у^Х

где wi(s,t), п(бД) , у(бД) - упругие перемещения поверхностей тел; ад - зазор между телами в начальный момент взаимодействия. Тогда условия контактного взаимодействия имеют вид:

w(s,t) > 0,

р2(м) > о

w(s,t)Pz(s,t) = 0,

и = [(й(8,1))2 + (у(8, О)2 ]*/2 Ф 0 :

РХ(М) = -цР2(8,1)и

у ’

Ру(М) = -ЦР2(8,1)-иу

б ёП, 1 е[0,Т].

Здесь ц - коэффициент трения; точка над символом обозначает дифференцирование по переменой 1; О. - предполагаемая область контакта.

Предположим, что имеют место соотношения

^1-'^2=А11Ръ+А12Рх+Л13Ру, и1-и2=Л21Ръ+Л22Рх+Л23Ру, У1-У2=Л31Ръ+Л32Рх+Л33Ру,

аппроксимировать упругими полупространствами, то ядра этих операторов определяются в соответствии с формулами Буссинеска-Черутти о действии единичной силы на упругое полупространство. Тогда соотношения (1) запишутся в виде:

w(s,t)=AllPz+Al2Px+AlзPy+f(s

и(Б,1) = А21Р 7 + А22Р х+А23Р у-А х(1

у

и (б,1) =Ьи(Б,1),

V (б,1) =Ьу(б,1), где Ь - дифференциальный оператор по 1.

Если подставить полученные выражения для w (бД) 1д(б, 1) , у(б , 1) в (2), то получим систему соотношений, которым должны удовлетворять функции Р (бД), Р (бД), Ру(бД). Эта система соотношений эквивалентна системе нелинейных операторных уравнений относительно Р (бД), Р^Д), Ру(Б,1): 7

Р(ху) = h(Pz-ED1(Px, py, pz),

рх

р (х,у) = q(P -E1Dз(P , р , р ), р -Е^2(Р , Р , Р ), Р ).

у\ V / чл у 1 Зу х’ у* z/’ х 1 2Ч х у’ z/’ z/

Здесь

БДР , Р , Р) = АР +Л17Р +А13Р +ад,у)-Д (1),

1Ч х у’ ъ 11 ъ 12 х 13 у у ^ 7 ъу

Б,(Р , Р , Р ) = ЦАР +АР +АР -Д (1)),

2 х у ъ 21 ъ 22 х 23 у х

Б3(Р , Р , Р) = ЦАР +АР +Л33Р -Д (1));

3У х у’ ъ у 31 ъ 32 х 33 у уу /7’

функции И(у), q(a,p,y) определяются соотношениями

Му) =

о,

q(a, р, у) = (х,у) OW;

цу

у> 0; У< 0;

(а2 +р2)1/2 <цу; а

(а2 +Р 2)1/2Г

(а +р ) > цу; у > 0.

в которых А.. - линейные интегральные операторы с областью интегрирования Если взаимодействующие тела

Е(х,у), Е1(х,у) - произвольные положительные функции; Д(Дх,Ду,Дъ) - функция, определяющая процесс нагружения.

Определение контактных усилий свелось к нахождению функций Ръ(х,у,1), Рх(х,у,1), Ру(х,у,1), определенных на множестве 0х[0,Т], удовлетворяющих системе нелинейных уравнений (5) и начальным условиям: Р (х,у,0)=0, Рх(х,у,0)=0, Ру(х,у,0)=0 для всех точек (х,у) єО; Д(0)=0.

Для приближенного решения системы уравнений (5) перейдем к её дискретному аналогу. разобьем процесс нагружения [0,Т] на Ц промежутков (10,11), (11,12),...,

и 43

(1 1_х,1 е) . Предполагаемую область контакта О. покроем сеткой из N одинаковых квадратных элементов О. ( 1 = 1, N ) со сторонами, параллельными осям Ох,Оу. Пусть на каждом граничном элементе О. в момент времени 1т нормальная Р31-1(1ш) и касательные р31-1(1т), Р31(1т) составляющие контактного давление, а также соответствующие упругие перемещения в пределах элемента, постоянны и равны значениям в точках (х.,у.) - центрах элементов О... Дифференциальный оператор Ь заменим разностью

Lu

ЬУ

На основе сделанной дискретизации, учитывая, что решение контактной задачи при монотонном нагружении не зависит от истории нагружения, для определения контактных усилий в момент времени X получаем следующую систему нелинейных уравнений:

Р 31-2 (1т ) = И( 7 1 ( 1 т )) ,

Р 31 -1 ( 1 т ) = q(a 1 ^т^ Р . (1т),Рз. - 2(1т)) Рз.(1т) = q(P 1 ^т^ “ 1 (1ш),Рз.-2(1ш)) .

Здесь 1 = 1, N ; т = 1,1

А 3N

У.

V к=1

/ 3N

^ 1(1ш) = Рэ^ДО - Би1 Е a31-1,kРk(tm) + БвыЮ [

( 3N

Р.

V к=1

§3!-2(1ш) = f(x1,У1) “А 2(0,

3N

§31-1

к=1

3N

§31

V к=1

где Е1,Б11>0, ака - коэффициенты матрицы податливости, определяемые в соответствии с формулами для ядер интегральных операторов А. При 1=] и квадратном граничном элементе Ц со стороной И имеем соотношения:

аэ1-2,31-2 = 4с1Ь • 1п(1+ >/2),

42 +1

а31-1,31-1 = 4с1И •1п

а 31—2,31—1 а 31—2,31 а 31—1,31—2 а31-1,31 а31,31-2 а31,31-1 0

Если рл., то распределенную нагрузку на элементе Ц заменяем равнодействующей, действующей в центре элемента:

_ с1ш

а31-2,31-2 _ ,

Р«

с2га, ч

а31-2,3!-1 = —(х1 - х]),

Р11

с2ю

а31-2,3! =-^(У1 - У]),

Р11

а 31—1,3]—2 а 31—2,31—1 ,

с1ш С3<В . .2

а31-1,3Н = — + :Т(х1 - х1) ,

Рц Рц

с ю

а31-1,31 = “^Г(х1 “ х1)(У1 - У]), 1 Рц 1

а 31,31— 2 = _а31-

а31,31-1 = _а31-

с1ш

а31,31 _

Р11

1Д| = 1,N ; та= те8(0]); ру (х1 - х^2 + (У1 - У^2 ;

с 1 -у12 . 1 ^22 с

с1 _ _т- + _т- , с2 “

лБ1 тсБ2

2тсБ1

2яБ,

у1(1 + у1) у,(1 + у2) с =----=----+----=----; у1, у2, Е1, Е2 - коэффициенты

лБ1

%Бп

Пуассона и модули упругости взаимодействующих тел. Система нелинейных уравнений

И пусть Б1 — 1/ а31_2 31_2 , Б11 — 1/а31-1,31-1 _ 1/а31,31 (1 _ 1, N),

тогда на т-ом шагеконтакгные давления pk(tш) могут быть найдены при помощи итерационного следующего процесса:

РПГ-2

р^О = q

рП+Чи = q

Здесь 1 = 1,N; т = 1, £ ; п = 0,1...

2

3

а 31,31 а 31-1,31-1

У п+1(и = -

Ё а31-2,крк

а31-2,31-2 V к=1 к=31+1

РД

*1 п

1 Г 31-3 3К

“ГЧО =---------------------------1 Е а31—1,1 Р к+1

а31-1,31-1 V к=1 к=31+1

Е а31,кРк+1 (1ш) + Е а31,кРк (1ш) + §31(1ш) V к=1 к=31+1

§31-2(1ш) = f(Xi,Уi) “А ДО,

( 3К

§31-1(1ш ) = -I Е а31-1,кРк (1ш-1 ) - Ах(1ш-1 ) + Ах(и

§31

В качестве критерия прекращения итерационного процесса удобно использовать среднеквадратичную разность

Л

1 3М

эк Ц(р

Г’(0 - ркп) (1ш )) ^.

Аналогичные численные алгоритмы имеют место также и для осесимметричной [9] и плоской [10] контактных задач.

Учет трения из-за необратимости процесса нагружения ведет к тому, что окончательное распределение контактных напряжений будет зависеть не только от конечных значений приложенных сил, но и от самого процесса нагружения. На рисунках 1-3 приведено распределение касательных усилий рх при следующих различных процессах нагружения: первому рисунку соответствует пропорциональное нагружение (пропорциональное изменение параметров Дп, Дх); второму рисунку - последовательное нагружение (сначала параметр Дп изменяется от нуля до птах при Д =0, затем при фиксированном Дптах изменяется параметр Дх); на третьем рисунке сначала производилось пропорциональное нагружение до значений Дптах, Д™х, затем при фиксированном Дптах происходило уменьшение параметра Дг Результаты приведены для задачи взаимодействия бесконечного цилиндра и полупространства при следующих исходных данных: Еп=2-105 Мпа, Ец=105 Мпа, уп=уц=0.2, ц=0.125; радиус цилиндра Я=0.1 м; количество узлов сетки - 40, шаг сетки И=0.05 мм; Дптах=0.0275, значения параметра Д™™ выбирались так, чтобы отношение суммарных составляющих контактных усилий Е/цБп принимало значения 0.; 0.25; 0.5; 0.75; 1. Из рисунков видно, что распределение касательных усилий качественно различны. Имеются точки, в которых значения усилий существенно отличаются, их разность достигает величин порядка р““.

Этот подход дает возможность решать различные контактные задачи, в которых представляет интерес изменение области контакта, зон проскальзывания и сцепления в процессе нагружения. Случаи разгрузки характеризуются наличием нескольких зон проскальзывания и сцепления, что отличает их от случая монотонного нагружения взаи-

Рис. 1. Распределение касательных усилий р^ при пропорциональном нагружении

РД

*1 п

Рис. 2. Распределение касательных усилий р^ при последовательном нагружении

к=1

и 45

p./F

tn

Литература

Рис. 3. Распределение касательных усилий р/Е -случай разгрузки

модействующих тел. Например, разгрузка при нормальном взаимодействии шара и полупространства характеризуется следующим поведением этих зон: с началом разгрузки, вблизи границы области контакта, появляется еще одна зона сцепления, которая потом несколько смещается внутрь; по две зоны проскальзывания и сцепления сохраняются до конца разгрузки.

С помощью данного подхода можно также исследовать задачи на соударение взаимодействующих тел, задачи, связанные с трением и износом. Подход, основанный на сведении контактной задачи к системе нелинейных операторных уравнений относительно неизвестных контактных напряжений, заслуживает внимания. Он может быть применен в решении следующих контактных задач: задачи качения двух упругих тел с трением в нестационарной постановке; контактной задачи упругопластического взаимодействия двух тел с трением.

1. Hertz H. Uber die Beruhrung fester elastistisher Korper // J. reine und angewandte Maternatik. 1881.Bd.92 S. 15б-171.

2. Carter F.W. On the aCtion of a loCornotive driving wheel // ProC. Roy. Soc., Ser. A. 192б. Vol. 112. P. 151-157.

3. Cattaneo C. Sul Contatto di due Copri elastiCi: distribuzione loCale degli storzi // Rend. Dell’ACadernia nazionale dei LinCei. 1938. Vol.27. Ser.6. P. 342-348.

4. Mindlin R.D. CornplianCe of elastiC bodies in ContaCt // J. Appl. MeCh. 1949. Vo1.16. No.3 P. 259-2б8.

5. Моссаковский В.И. О перекатывании упругих тел // Труды III Всесоюзного математического съезда. Т.1. М.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 207

6. Галанов Б.А. О нелинейных граничных уравнениях механики контакта упругих шероховатых тел // Прикл. математика и механика. 1984. Т.48. Вып. б. С. 1020-1029.

7. Александров А.И. Решение задач контактного взаимодействия упругих тел с использованием нелинейных операторных уравнений. Днепропетровск, 1989. 74 с. (Препринт / ИТМ АН УССР; 89-2).

8. Бокий И.Б. Решение осесимметричной контактной задачи взаимодействия упругих тел с учетом трения и истории нагружения // Ин-т геотехн. мех. АН УССР. Днепропетровск, 1993. 7 с. Деп. в ВИНИТИ 28.02.92. № 668.

9. Бокий И.Б. Решение плоской задачи контактного взаимодействия двух тел с трением // Ин-т геотехн. мех. АН УССР. Днепропетровск, 1995. 10 с. Деп. вГНТБ Украины, 1995. № 1233-Ук 95.

10. АлександровА.И., Бокий И.Б. Решение задачи о контактном взаимодействии упругих тел с кулоновым трением // Вопросы механики деформирования и разрушения твердых тел. Днепропетровск: ДГУ, 1995. С. 115-120.

11. Бокий И.Б., Соловьев С.В. Численное решение задач контактного взаимодействия двух упругих тел при ударе с трением // Математические заметки ЯГУ. Т. 8. Вып. 2. Якутск 1999. С. 101-108.

12. Бокий И.Б., Колесник Р.Ю. Численное решение задач качения упругих цилиндров с параллельными осями с различными постоянными // Математические заметки ЯГУ. Т. 8. Вып. 1. Якутск, 2001.С. 93-100.

I.B. Bokiy

Numerical Solution of the Contact Problem between two elastic bodies with Friction

and External Loading

The author introduces a non-variation numerical method with Coulon friction, basing on reduction of contact problem to the system of non-lineal operator equation in the unknown normal and shear stresses on the contact surfaces. The author also investigates the influence of external loading on the contact pressure fields distribution.