Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластинки жестко закрепленной по одному краю и шарнирно опертой по другому

СОБСТВЕННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПО ОДНОМУ КРАЮ И ШАРНИРНО ОПЕРТОЙ ПО ДРУГОМУ

OWN TRANSVERSE VIBRATIONS OF A PRESTRESSED ORTHOTROPIC PLATE RIGIDLY FIXED ON ONE SIDE AND HINGED ON ANOTHER

O.A. Егорычев, O.O. Егорычев, B.B. Брендэ O.A. Egorychev, O.O. Egorychev, V.V. Brende

ГОУ ВПО МГСУ

Динамическое поведение пластинки описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка, определяющим зависимость нормальных перемещений точек пластинки от времени и координат искомой точки.

Dynamic behavior of the plate is described by fourth order differential equations determining the dependence of normal displacements of points of the plate from time and coordinates of the desired point.

Рассмотрим ортотропную предварительно напряженную пластину-полосу серединная плоскость, которой в недеформируемом состоянии совпадает с координатной плоскостью XOY, ось Z направлена вертикально вверх. Пластина-полоса занимает следующую область:

{-l < х < l; -да < y < да;-h < z < h}.

При решении задачи будем пользоваться приближенным уравнением колебания пластинки-полосы в виде [3]: 52W , 54W , 54W , 54W л

—Г + A—Г ~ A2—т^ + A3—г = 0, С1)

dt dt дх dt дх

где W - функция прогиба.

a = ^^+co Г A3 + 3 (1+ao Г a_5 ];

A = ^[2 (1+ ao Г (1+ co) " 2A A331 - 3 ( A33 A55 у1 ( A2 - An A33)]; h2

A3 = ^ + co ^A331 (A11A13 _ A123 ),

где p - плотность, ao, co - параметры однородного напряженного состояния, At j - упругие коэффициенты определяющие ортотропию.

ВЕСТНИК МГСУ

4/2010

Решение уравнения

где Ь - скорость поперечной волны, ^ - частота.

Тогда уравнение (1) преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение:

0 'В ^ + = 0,

Сх4 где

Сх

а, („ Ь

Б1- А ]; В2=х

а^ I-1

Для решения уравнения (3) запишем характеристическое уравнение г4 + Б1г2 + В2 = 0 Его решение имеет вид:

г = +

'1,2,3,4 —

Б,

--1 ±. -

А

- Б,

Используя соотношение (4), равенство (6) будет иметь вид:

1

к Л/2 А

- А2 + А2 - 4 АА + 4 Аз\$-

Отметим характерное значение , при котором выражение (7), стоящее под корнем, обращается в ноль

А

А

> 0.

^ +2 . Ь Д 4 А1А3 - А22' 4 А1А3 - А22

Из анализа корней (7), возможны два варианта. Вариант I. ^ < , тогда к < к.

1,2,3,4 =±| £

Здесь

-А ±]

-'к

к J^/2A3

< 0, следовательно

1 -

0 <

• -'к

< А2.

Тогда

г1,2 г3,4 ~ —,

где

Л =

( и \

V к )

А 12а

Л =

( и \ ^ }

V к )

А /гХ

1.2.3.4

D =

1 -

(h v

К

; D2 A + Di; D3

Для данного варианта общее решение уравнения (3) имеет вид: W01 = C1 cos Д x + C2 sin Д x + C3 cos Дx + C4 sin Дx Вариант II. £ > , тогда h2 > h.

- bs

- A ±J

Здесь

14

>0,

1 -

h?

1 -'h

< 0,

следовательно

V h2 У

r = +

1,2,3,4 —

2 A

A2 ± ÍD1

Обозначим

/

4

( ь Y a

V h2 У

2 A

& =

4 4

V h2 У

D1

/2 A

Тогда равенство (13) примет вид:

1 1 ?2

Г1,2,3,4 =±(«3 ± ¿A У2 =±R2

ю + 2кл . ф + 2кл cosz-± I sinz-

где

—2-2 Л

аъ + Д ; q = arctg—

а,

Введем новые обозначения для равенства

1 <р + 2кл 1 . <р + 2кл

а4 = R2 cos-; В. = R2 sin-.

4 2 4 2

Окончательно получим корни характеристического уравнения (5) в виде:

Г1,2,3,4 =±

Для данного варианта II общее решение уравнения (3) представим в виде: W02 = е"4x (C1 cos Дx + C2 sin Дx) + e~a"x (C3 cosДx - C4 sinДx) Задача решается при следующих граничных условиях [2]. при x =l

dWn

dx

при x = -l

w - dW

0 j 2 dx

= 0

=0

ВЕСТНИК 4/2010

Рассмотрим решение задачи (3), (17) и (18), используя вариант I, т.е. будем искать решение в виде (11), получим систему однородных уравнений: C1 cos /31l1 + С2 sin /31l1 + C3 cos/32l1 + C4 sinP2lx = 0 -CxPx sin Pxlx + C2PX cos Pxlx - C3P2 sinP2lx + CAP2 cosP2lx = 0 C1 cosPxlx - C2 sin Pxlx + C3 cosP2lx - C4 sin P2lx = 0 -С^Д2 cosPxlx + С2Д2 sinPxlx - С3Д2 cos P2lx + С4Д2 sin P2lx = 0

, l где l1 = —. 1

Решение системы (19) приводит к трансцендентному уравнению, которое определяет общее уравнение:

Д2 [Д sin2Д2l1 cos2Д1l1 - Д sin2Д1l1 cos2Д2l1 ] = 0.

Используя общее решение (16) уравнения (3) и граничные условия (17) и (18), получим систему однородных уравнений: C1e2a4k cos Д411 + С2e2^1 sin ^4l1 + С3 cos Д411 - С4 sin Д411 = 0

С/"44 («4 cospAlx- Д sin Д41) + C2e2^ (ал sin pAlx + Д cos Д4l) +

+C3 (-a4 cos Д411 - Д4 sin Д411) + С4 (а4 sin Д411 - Д4 cos Д411 ) = 0

C1 cos Д411 - С2 sin Д411 + C3e2"44 cos Д411 + C4e2"44 sin Д411 = 0

C1 (а42 cos Д411 + 2а4Д4 sin Д411 - Д42 cos Д411 ) + С2 (-а42 sin Д411 +

+2«4Д4 cospAlx + Д42 sinpAlx) + C3e2"4l> (c^2 cos Д l1 - 2«4Д sinpAlx -

-Д2 cosД^) + C4e2^ («42 sinPAlx +2a,P, cosP41 -Д2 sinpAlx) = 0

, l где lx = —.

2

Нетривиальное решение однородной системы уравнений (21) приводит к трансцендентному уравнению, которое и является общим частотным уравнением свободных колебаний пластины:

e8^ + dL e4a4li + ^JL = 0,

dx dx

где

dx = [д (Pl -3a¡¡)sin2Д -a4 (a42 -Д2)cos2Д +(a42 -3Д2)a4 sin2^4 +[«4 («42 - P42) - 2«42Д ] sin 2Д cos 2Д + P4 («42 - P42) cos4 Д + 2aЛ sin4 Д; d2 = \2a, («42 - Pl)cos 2Д + 4a2Д2 sin2 Д ] sin2 Д + [(Д2 - 2алРл - «42) (a4 sin2 Д

+Acos2Д) + (3«^ -fi + )^т2Д]cos2Д +[4«2Л^2Л -

-(al + Pl)sin2 Д J1 sin2 Д;

d3 = 2«4Д42 (sin4 Д4 + cos4 Д4) + (3Д42 - «42) «41 sin2 2Д.

Представим в уравнениях (2o) и (22) тригонометрические и показательные функции в виде сходящихся рядов, получим частотные приближенные уравнения алгебраические уравнения любого необходимого порядка.

Литература

1. Егорычев О.А., Егорычев О.О. Влияние формулировки граничных условий при определении собственных частот колебаний пластин. ПГС №9. 2oo4.

2. Егорычев 0.0. Колебания плоских элементов конструкций. Изд-во АСВ. Москва. 2oo5. 239 с.

3. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязко-упругих пластин и стержней. Кишинев. ШТИИНЦА. 1988. 19o с.

4. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 2o9-211, Mart 1998.

5. Исаев C.A., Судаков А.Г., Баранов П.А., Усачов А.Е., Стрижак С.В., Лоханский Я.К., Гувернюк С.В. «Разработка, верификация и применение основанного на многоблочных вычислительных технологиях распараллеленного пакета открытого типа VP2/3 для решения фундаментальных, прикладных и эксплуатационных задач аэромеханики и теплофизики», Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2oo9. Т. 15o. № 17. С. 59-72.

References

1. Egorychev O.A., Egorychev O.O. Influence of formulation of boundary conditions in determining the natural frequencies of plates. PGS № 9. 2oo4.

2. Egorychev O.O. Fluctuations of plane structural elements. Publishing house ASV. Moscow. 2oo5. 239 pp.

3. Filippov I.G., Cheban V.G. The mathematical theory of vibrations of elastic and viscoelastic plates and rods. Chisinau. Shtiintsa. 1988. 19o pp.

4. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 2o9-211, Mart 1998.

5. Isaev S.A., Sudakov A.G., Baranov P.A., Usachev A.E., Strizhak S.V., Lohanskii Ya.K., Gu-vernyuk S.V. «Development, Verification and application-based multiblock computational technologies parallelized package open-VP2 / 3 for basic, applied and operational objectives of Aeromechanics and Thermophysics», Journal of South-Ural State University. Series: Mathematical Modeling and Programming. 2oo9. V. 15o. № 17. pp. 59-72.

Ключевые слова: собственные поперечные колебания, предварительно напряженное состояние, ортотропная пластинка

Key words: natural transverse vibrations, prestressing, orthotropic plate

Почтовый адрес: 129337 г. Москва Ярославское шоссе дом 26

e-mail: misi@mgsu.ru Контактные данные: (495) 739-33-63, e-mail: misi@mgsu.ru

Рецензент: профессор кафедры волновой и газовой динамики мех.-мат ф-та МГУ, д.ф.-м.н.

Киселев А.Б