Моделирование энергетических характеристик электродинамических тросовых систем

Проведены исследования алгоритмов преобразования координат из прямоугольных в географические, предложены алгоритмы решения задач для любого эллипсоида, точность преобразований менее 10-4м на границе 6-градусной зоны.

Проведены исследования алгоритмов вычисления основных геодезических задач на эллипсоиде, рекомендован метод Бесселя. Для уменьшения методической погрешности путем учета коэффициентов более высоких порядков, вычисление дальности доведено до 1-2 мм между двумя точками, находящихся на противоположенных сторонах эллипсоида, а также при решении задачи на любом эллипсоиде.

Разработан и рекомендован алгоритм определения местоположения на эллипсоиде через широту и долготу на базе итерационного метода Ньютона. В настоящее время разработанный алгоритм реализован в программном обеспечении вторичной обработки информации бортовой станции РНС «Спрут» с целью решения задач определения координат морских объектов.

Библиографический список

1. Шебшаевич, В. С. Сетевые спутниковые радионавигационные системы / В. С. Шебшаевич [и др.] ; под ред. В. С. Шебшаевича. 2-е изд. М. : Радио и Связь, 1993. 408 с.

2. Алешечкин, А. М. Исследование дальномерного режима радионавигационной системы «КРАБИК-БМ» / A. М. Алешечкин, А. Г. Бяков, М. М. Валиханов // Современные проблемы радиоэлектроники : сб. научн. тр. / под науч. ред. А. В. Сарафанова ; Краснояр. гос. техн. унт. Красноярск, 2002.

3. Алешечкин, А. М. Исследование дистанционного режима радионавигационной системы «КРАБИК-БМ» /

A. М. Алешечкин, А. Г. Бяков, М. М. Валиханов // Современные проблемы радиоэлектроники : сб. научн. тр. / под науч. ред. А. В. Сарафанова ; Краснояр. гос. техн. унт. Красноярск, 2002.

4. Морозов, В. П. Курс сфероидической геодезии /

B. П. Морозов. М. : Недра, 1979.

A. M. Aleshechkin, M. M. Valikhanov, V. I. Kokorin

THE RESEARCH OF ACCURACY DETERMINATION OF POSITION OF GROUND RADIO-NAVIGATION SYSTEM

It is covered methods of accuracy determination of position in working area ground radionavigation system. It is displayed that method of indirect measuring is optimized with relation computational burden. Algorithm determination of ship position via latitude and longitude with Newton iteration method is suggested.

ХЦК 629.78

М. В. Лукьяненко, М. М. Лукьяненко

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ТРОСОВЫХ СИСТЕМ

Рассмотрены вопросы математического моделирования электродинамических тросовых систем. Разработана математическая модель электродинамической тросовой системы, позволяющая определить зависимость характеристик системы от положения на орбите и параметров троса, а также область наиболее эффективного использования системы в качестве источника электроэнергии космического аппарата.

Космические тросовые системы - новое и очень перспективное направление развития космической энергетики. Особый интерес представляют электродинамические тросовые системы (ЭТС), которые являются альтернативным источником электроэнергии в околоземном пространстве. Они представляют собой систему космических объектов, соединенных между собой токопроводящим тросом.

При пересечении силовых линий магнитного поля Земли токопроводящим тросом, развернутым с орбитальной станции вдоль местной вертикали, в нем наводится ЭДС, и при замыкании контура по тросу начинает течь ток. Со стороны магнитного поля Земли на трос, по которому течет ток, действует распределенная сила Ампера, которая тормозит движение станции. Вся система в этом случае представляет собой глобальный виток, вырабаты-

вающии электроэнергию за счет торможения в магнитном поле Земли.

ПроводящиИ трос может быть использован как генератор электроэнергии. При движении троса в магнитном поле, снабженного на концах устройствами контакта с плазмоИ, в тросе будет индуцироваться ЭДС. Если между тросом и одним из устроиств контакта с плазмои поместить электрическую нагрузку, то на неИ будет производиться полезная работа. Сила, действующая на трос со стороны магнитного поля, в этом случае будет тормозить движение станции.

Концепция тросовых космических систем представляет следующие уникальные характеристики:

- сматывание троса может заменить сложныИ и дорогостоящий процесс стыковки;

возможна передача энергии или данных по тро-

су;

- на платформе, соединенной тросом с орбитальной станцией, можно проводить научные эксперименты, изолированные от магнитной интерференции и динамических турбуленций, обычно исходящих от работающей космической станции;

- развернутый вниз трос может позволить изучение верхних слоев атмосферы Земли;

- тросовые космические системы могут позволить корректировать траекторию станции;

-вращающиеся тросовые космические системы могут создавать на платформе искусственную тяжесть, которую можно регулировать, изменяя расстояние от центра масс системы;

- возможно использование тросовой космической системы с токопроводящим тросом для создания дополнительной тяги, т. е. использование ее в качестве двигателя.

Для исследования движения тросовой космической системы на орбите использовалась модель с невесомым тросом. Расчеты проводились при допущении, что магнитное поле дипольное. На основе разработанной модели исследовалась динамика движения ЭТС в режиме генерации электроэнергии на экваториальных и наклонных круговых орбитах, а также влияние параметров ЭТС на вырабатываемую электроэнергию при ряде допущений.

1. Предложенная модель рассматривает основные энергетические характеристики ЭТС в точке максимальной мощности без учета нагрузки и при условии протекания по тросу постоянного тока. Это допущение обусловлено тем, что на концах троса происходит непрерывный контакт с окружающей плазмой и по тросу, таким образом, течет постоянный ток, значение которого изменяется в зависимости от положения движущегося троса относительно пересекаемых линий магнитной индукции. Поведение энергетических характеристик ЭТС при подключении нагрузки переменного тока является одним из направлений дальнейших исследований в этой области.

2. На концах троса имеются идеальные устройства контакта с плазмой. Идеальность в данном случае подразумевает малое сопротивление контакторов. Практически сопротивление плазменных замыкателей и полых катодов на обоих концах троса составляет не более 5 % сопротивления всей электрической цепи. Поэтому при моделировании протекания тока по тросу сопротивлением контакторов можно пренебречь.

3. Сопротивление плазмы пренебрежимо мало (0,1-0,3 Ом). При использовании длинных тросов (0,5-10 км) в зависимости от диаметра, сопротивление троса составит в среднем 8-10 Ом. Таким образом, сопротивление плазмы составляет менее 3 % сопротивления электрической цепи и им можно пренебречь.

4. Математическая модель, разработанная авторами, не учитывает изменения плотности плазмы на освещенных и затененных участках орбиты, хотя изменение плотности заряженных частиц ведет к изменению сопротивления плазмы. В данной работе значение тока в точке максимальной мощности сравнивалось с током, который может течь при использовании полых катодов в идеальных условиях при плотности частиц 1011 м-3.

Математическая модель ЭТС включает в себя две взаимодействующие подмодели - модель генерации электроэнергии за счет торможения в магнитном поле Земли и модель движения системы под влиянием всех внешних сил, действующих на систему. В проводимых ранее исследованиях эти две модели рассматривались по отдельности, что не давало целостной картины.

Для аппроксимации магнитного поля Земли при исследованиях можно использовать различные математические модели. Наиболее точную аппроксимацию магнитного поля Земли дают модели с использованием полиномов Лежандра и косого диполя. При незначительном различии в ошибке аппроксимации модель с использованием косого диполя является более простой и требует меньше вычислительных ресурсов.

В данной работе модели генерации энергии и движения системы связаны между собой. Связующим звеном является разработанная модель магнитного поля Земли в виде косого диполя, используемая для определения энергетических характеристик ЭТС, которые, в свою очередь, влияют на динамику движения системы (за счет действующей на трос с током распределенной силы Ампера при взаимодействии с магнитным полем).

На основе разработанных математических моделей предложена методика определения допустимых параметров троса для генерации заданной мощности на орбите.

Математическая модель генерации электроэнергии за счет торможения в магнитном поле Земли, разработанная авторами, отличается от ранее используемой тем, что она определяет энергетические характеристики ЭТС в точке максимальной мощности, использует модель магнитного поля Земли в виде косого диполя и позволяет определить зависимость характеристик системы не только от положения на орбите и параметров троса, но и от времени.

При расчетах энергетических характеристик ЭТС была представлена в виде эквивалентной схемы (рис. 1), последовательно включающей в себя источник ЭДС, генерируемой в тросе, и сопротивление, которое определяется суммой сопротивлений (троса ЯТР, контакторов ЯК1 и ЯК2, нагрузки Ян и плазмы Яп ).

Максимальную полезную мощность в данной схеме можно получить при равенстве сопротивления нагрузки Ян и внутреннего сопротивления источника, т. е. суммы

ЯК1 + ЯТР + ЯК2 + Яп .

Г/

Рис. 1. Эквивалентная схема ЭТС

При допущении, что на концах троса установлены идеальные устройства контакта с плазмой, максимальная мощность, которую можно получить от ЭТС, определяем по формуле

Е2

Р =

тах

4ЯТ

где Е - ЭДС индукции, наводящаяся в тросе; ^ТР - внутреннее сопротивление троса, вычисляемое по формуле

Rtp = р

где I - длина троса; £ - диаметр поперечного сечения троса; р - удельная проводимость троса.

Учитывая, что длина троса на несколько порядков меньше высоты орбиты, изменением вектора магнитной индукции вдоль троса можно пренебречь и ЭДС индукции, возникающая при его движении в магнитном поле Земли, равна

E = ^ = BlV, dt

где Ф - поток вектора магнитной индукции через площадь контура; В - вектор магнитной индукции на высоте орбиты основного спутника; V - скорость движения основного спутника.

С учетом выражений (2) и (3) формула для определения максимальной мощности, которую можно получить от тросовой системы (1), принимает вид

р = (BV2 = Si ( bv )2.

4р

4р l/s

Составляющие вектора скорости основного спутника V в точке на орбите определяют по формулам [1]

V = *Л~Р (! + e • cos(ti)),

Vr =ЛЦ~Р • e • sin

V = W^VT,

где Vn - составляющая скорости по нормали к радиусу орбиты; Vr - составляющая скорости по радиусу орбиты; e - эксцентриситет орбиты, Р - фокальный параметр орбиты; ф - угол истинной аномалии; | - гравитационная постоянная.

Ток, текущий по тросу, в точке максимальной мощности равен

Р

• max

E '

На проводник с током, движущийся в магнитном поле, действует распределенная сила Ампера, которую определяют по формуле

Fa = I • B • l • sin

где I - ток, текущий по тросу; a - угол между вектором магнитной индукции и направлением тока.

Сила Ампера отклоняет трос от радиального положения и в зависимости от направления тока в тросе либо ускоряет, либо тормозит движение ЭТС. При больших токах гравитационный момент не может уравновесить момент амперовых сил, и тросовая система переходит во вращение. Поэтому для поддержания тросовой системы в равновесии на силу Ампера накладывают следующее ограничение [2]:

Fa < 3

где mc - масса субспутника; mT - масса троса;

Ю= /у 3 - угловая скорость основного спутника.

V/R0

Ограничение на силу Ампера эквивалентно ограничению на силу тока, текущего в тросе, и, следовательно, на вырабатываемую мощность. Согласно формулам

и (8), критический ток определяется по выражению

I __Ъ{тс + тт 12)ю

K В sin

При токе I < ^ ЭТС будет оставаться в равновесии. Основным показателем эффективности ЭТС является отношение генерируемой электроэнергии к массе ЭТС

Р

К^ _------,

где Р - мощность, вырабатываемая ЭТС; ттс - масса источника электроэнергии, которую определяют как сумму масс

тТС _ тт? + тпк + тмв ,

где тпк - масса плазменных контакторов; Wмв - масса механизма выдвижения.

Массу троса определяем по формуле

= Р mlS + mu

'"ТР Гт и !

где рт - плотность материала, из которого изготовлен проводник, ти - масса изоляции троса.

Введя параметр тс _ ттр + тпк + тмв + ти по выражениям (4) и (9).. .(13), получим

к =

TP _

Р

Sl (BV )2

= _4р__________

mTC PmlS + mc

Следует отметить, что если в (13) принять рт1Б >> тс, то коэффициент К^ не зависит от длины и диаметра троса.

Генерация электроэнергии ЭТС вызывает снижение орбиты основного спутника. Причем на более низких орбитах генерируется большая мощность, но и снижение орбиты при этом также увеличивается. Определим критерий эффективности использования ЭТС в режиме генерации электроэнергии и назовем его высотно-мощ-ностным Кн„ :

Р

ту' ____ max

кBM _ ТТ Пп

где Pnax - максимальная генерируемая мощность, кВт; Н0 - относительный уход с орбиты (потеря высоты за сутки в метрах по отношению к высоте орбиты в километрах).

С точки зрения данного критерия использование ЭТС в режиме генерации наиболее эффективно, когда при вырабатывании некоторой мощности относительное снижение ЭТС является минимальным либо при заданном снижении возможна генерация максимальной мощности. В общем случае данный коэффициент зависит от параметров орбиты и троса.

Движение центра масс ЭТС относительно геоцентрической системы координат определяется суммой гравитационных и аэродинамических сил, сил реакции связи, электростатическими и магнитными силами, силой светового давления, возмущениями плазмы и т. д. Центр масс системы принимается совпадающим с центром масс основного спутника, так как масса основного спутника значительно превышает сумму масс троса и субспутника. Задача изучения движения объектов является чрезвычайно сложной, поэтому приходится вводить ряд упрощений и рассматривать, в первую очередь, влияние наиболее существенных факторов, которыми являются грави-

тационные, аэродинамические и электромагнитные силы, а также силы реакции связи.

Превалирующей из всех сил в свободном полете является сила, обусловленная гравитационным полем Земли, которая и определяет при заданных начальных условиях траекторию полета основного спутника.

При предположении, что поле тяготения Земли является центральным (гравитационная сила в любой точке направлена к центру Земли), ее величина определяется следующим выражением:

тп тг

0 = ЛЯ

2

^ = ^^3Ю2 в

Математическая модель абсолютного движения объектов связки представляет собой следующую систему дифференциальных уравнений:

ё2 г. - -

тЧё = F +

где Яд - гравитационная сила; г - расстояние от центра масс связки до центра Земли; тЗ - масса Земли; т^ -масса объекта связки.

На каждый объект ЭТС кроме гравитационных сил действует также центробежная сила. Центробежная сила определяется следующим выражением:

С _ т0ю2Я,

где С - центробежная сила; т0 - масса объекта; ю -угловая скорость объекта; д - расстояние от объекта до центра Земли.

Силу сопротивления при движении объекта в молекулярном потоке газа можно рассчитать по формуле

р(ку2

где 0 - аэродинамическая сила; Ах - безразмерный коэффициент аэродинамического сопротивления (для тел сферической формы Ах ~ 2...2,5); Бт - площадь миде-лева сечения объекта; р(к) - плотность воздуха.

Трос, соединяющий объекты связки, ограничивает их свободное движение, поэтому движение связанных объектов будет отличаться от того, какое они имели бы под действием тех же сил в отсутствии троса. Эффект действия троса аналогичен действию сил, вследствие чего действие троса можно заменить силами реакции связи.

Сила реакции идеальной невесомой связи, действующей на объекты, равны по величине и противоположны по направлению. Вектор силы реакции, приложенной к объекту массой т , на оси орбитальной системы координат определяется следующим выражением:

т + т

Я _-Ь——]-г,,

где Ft - сумма всех внешних сил, действующих на г-й объект связки.

Таким образом, полученные математические выражения для расчета энергетических характеристик ЭТС в точке максимальной мощности позволяют определить зависимость характеристик системы не только от положения на орбите и параметров троса, но и от времени. Кроме того, получены математические выражения для определения параметров троса, при которых ЭТС будет генерировать заданную максимальную мощность при ограничении на напряжение.

Основными энергетическими характеристиками ЭТС являются максимальная мощность, вырабатываемая системой; наводящаяся в тросе ЭДС индукции; ток в тросе. Кроме того, важными характеристиками работы ЭТС в режиме генератора являются сила Ампера, действующая на трос с током и тормозящая систему; уход системы с орбиты за счет торможения в магнитном поле Земли и коэффициенты эффективности.

На основе разработанных авторами математических моделей проведены исследования энергетических характеристик ЭТС в режиме генерации электроэнергии в зависимости от параметров орбиты и троса с использованием модели косого диполя магнитного поля Земли.

По результатам моделирования определена зависимость максимальной мощности ЭТС от высоты орбиты основного спутника при различных длинах и диаметрах троса (рис. 2).

(18) ті

где Я. - сила реакции троса; г - расстояние от объекта до центра масс связки; X - множитель связи; т. - масса г-го объекта.

При допущении, что центр масс связки движется по круговой орбите с постоянной скоростью, множитель связи определяется формулой

где О - текущее расстояние между объектами связки; ю - угловая скорость движения объектов связки.

При допущении, что трос всегда находится в натянутом состоянии (О _ I), сила реакции троса будет равна

Я,. = —т, • 3ю Бк .

Рис. 2. Зависимость генерируемой максимальной мощности ЭТС от высоты орбиты для тросов различной длины

Исследования показали, что при увеличении высоты орбиты на 50 км максимальная мощность вырабатываемой электроэнергии уменьшается в среднем на 5% для любого из выбранных диаметров троса на всем исследуемом интервале высот орбиты 200-1 000 км. Исследования для других параметров троса на этом же диапазоне высот показали аналогичные результаты.

Исследование ЭДС индукции, наводящейся в тросе, при его движении в магнитном поле Земли показало значительную зависимость от высоты орбиты ЭТС (рис. 3).

Анализ полученных зависимостей показал, что при увеличении высоты орбиты на 50 км ЭДС индукции уменьшается в среднем на 2,48 % для любой из выбранных длин троса на всем исследуемом интервале высот орбиты ЭТС и составляет 214 В на высоте 250 км и 147 В на высоте

1 ООО км для троса длиной 1 км.

чении высоты орбиты на 50 км сила Ампера уменьшается в среднем на 4,5 % и составляет 2,21 Н на высоте 200 км и 1,05 Н на высоте 1 000 км при длине троса 1 км и диаметре 5 мм и соответственно 0,794 Н и 0,376 Н при диаметре

3 мм (рис. 5).

Рис. 3. Зависимость ЭДС, наводящейся в тросе, от высоты орбиты ЭТС для тросов различной длины

На основе математической модели определялся ток в точке максимальной мощности, и проведено исследование его зависимости от высоты орбиты ЭТС

Рис. 5. Зависимость среднего значения силы Ампера, действующей на трос с током, при длине троса 1 км и диаметре 3 мм на орбитах с разными наклонениями

В реальной ЭТС суммарная масса контакторов, механизма съема энергии и механизма выдвижения ориентировочно составляет 10 кг. При этом условии проведены исследования зависимости коэффициента эффективности КЕР от высоты орбиты ЭТС при разных параметрах троса (рис. 6, 7).

Рис. 4. Зависимость силы тока в тросе от высоты орбиты ЭТС с разным наклонением при длине троса 1км и диаметре 3 мм

Исследования показали, что ток в точке максимальной мощности с увеличением высоты орбиты на 50 км уменьшается в среднем на 2,5 % для тросов с любыми параметрами из заданного диапазона на всем интервале высот орбиты. При отсутствии орбитального наклона ток в точке максимальной мощности составляет 76,2 А на высоте 250 км и 52,4 А на высоте 1 000 км для тросов диаметром 5 мм и соответственно 27,4 А и 19 А при диаметре 3 мм.

Сила Ампера, действующая на трос с током, зависит от высоты орбиты ЭТС, так как значение вектора магнитной индукции уменьшается с увеличением высоты, и скорость спутника зависит от параметров орбиты. Исследования зависимости силы Ампера от высоты орбиты при ее нулевом наклонении показали, что при увели-

Рис. 6. Зависимость среднего значения коэффициента эффективности КЕР от высоты орбиты ЭТС при длине троса 1км и диаметре 3 мм на орбитах с разным наклонением

Исследования показали, что при увеличении высоты орбиты ЭТС на 50 км К£ЕР уменьшается в среднем на 4,9 % и для троса длиной 1км и диаметром 3 мм составляет 90,7 на высоте 200 км и 40,58 на высоте 1 000 км, для тросов длиной 5 км КЕР соответственно равен 117,7 и 52,7.

Таким образом, по результатам проведенных исследований, можно сделать следующие выводы:

- при разработке математической модели ЭТС модель генерации электроэнергии за счет торможения в магнитном поле Земли и модель движения системы под влиянием всех внешних сил, действующих на систему, необходимо рассматривать взаимосвязанно;

- полученные математические выражения для расчета энергетических характеристик ЭТС в точке максимальной мощности позволяют определить зависимость харак-

2 105 4-10і 6 -105 8 -Ю5 l id5

Ь=1 КМ

.... Ь=5км

X' X: Ь=10 км

Рис. 7. Зависимость среднего значения коэффициента эффективности КЕР от высоты орбиты при различной длине троса и диаметре 3 мм на орбитах с разным наклонением

теристик системы не только от положения на орбите и параметров троса, но и от времени;

- использование ЭТС в режиме генерации электроэнергии наиболее эффективно, когда при генерации некоторой мощности относительное снижение системы минимально либо при заданном снижении возможна генерация максимальной мощности;

- математическая модель позволяет определить параметры троса, при которых ЭТС будет генерировать заданную максимальную мощность при ограничении на напряжение и область наиболее эффективного использования ЭТС в качестве источника электроэнергии космического аппарата.

Библиографический список

1. Чернявский, Г. М. Орбиты спутников связи / Г. М. Чернявский, В. А. Бартенев. М. : Связи, 1978. 240 с.

2. Белецкий, В. В. Динамика космических тросовых систем / В. В. Белецкий, Е. М. Левин. М. : Наука, 1990. 336 с.

M. V. Lukyanenko, M. M. Lukyanenko

ENERGY CHARACTERISTICS SIMULATION OF ELECTRODYNAMIC WIRE ROPE SYSTEMS

Mathematical simulation issues of energy characteristics of electrodynamic wire rope systems are considered. The mathematical model of electrodynamic wire rope system is developed. This model allows dependence of system characteristics versus orbital position and rope parameters as well as the area of the most effective utilization of the systems as spacecraft power supply to be determined.

УЦК 621.362:621.316.728

М. В. Лукьяненко, А. Б. Базилевский ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ СОЛНЕЧНОЙ БАТАРЕИ

Предложена идентифицированная теоретическая модель солнечной батареи, содержащая элемент формализации. Разработанная модель позволяет производить практические расчеты в диапазоне от холостого хода до короткого замыкания.

Необходимость сокращения сроков разработки и повышения эксплуатационных характеристик систем электроснабжения (СЭС) космических аппаратов (КА) выдвигает на первый план задачу создания эффективных методов проектирования подобных систем. В большинстве случаев правильный выбор структуры СЭС КА и согласованный режим работы источников электроэнергии позволяют повысить удельные энергетические характеристики на 40 % [1].

В настоящее время в качестве первичного источника электроэнергии в СЭС КА наиболее широко применяются солнечные батареи (СБ). В статье рассмотрены вопросы математического моделирования характеристик СБ в диапазонах освещенностей и температур, соответствующих реальным условиям ее эксплуатации.

Энергоотдача СБ во многом зависит от структурной схемы СЭС КА, схемотехнических решений силовой час-

ти импульсных преобразователей и способа формирования управляющего сигнала. Оценка энергетических возможностей СБ для каждого конкретного случая определяется точностью математической модели при любом сочетании значимых факторов.

Наиболее распространена теоретическая модель воль-тамперной характеристики (ВАХ) солнечного элемента (СЭ), полученная на основе схемы замещения с сосредоточенными параметрами [2; 3]:

1 н 1 ф -^он {exp[

e(Uн + 1нRn )] _ 1} _ U H

AkT

Uh

Rn

где Ін - ток нагруженного СЭ; Іф - фототок, или ток короткого замыкания СЭ; Іон - обратный ток насыщения; Пн - напряжение на СЭ; Яи - последовательное сопротивление (тела полупроводника и контактной сетки СЭ);