Об архимедовски замкнутых полях

Г.Г. Пестов

ОБ АРХИМЕДОВСКИ ЗАМКНУТЫХ ПОЛЯХ

С помощью теории сечений исследованы свойства архимедовски замкнутых полей, в частности получено свойство, аналогичное свойству вещественной замкнутости поля. Получено достаточное условие изоморфизма архимедовски замкнутых полей.

Если элементы а, Ь линейно упорядоченного поля архимедовски эквивалентны, то будем писать а ~Ь. Если Р есть расширение упорядоченного поля К, такое что Ух е РЗу е К(х ~ у), то Р называется архимедовским расширением (короче: а-расширением) поля К. Максимальное а-расширение упорядоченного поля К называется архимедовским замыканием (а-замыка-нием) К. Упорядоченное поле Г называется архимедовски замкнутым, если Г совпадает со своим а-за-мыканием. Эти понятия восходят ещё к работам Х. Хана [3]. Аналогичные определения работают в теории решеточно упорядоченных групп [4, 5].

О сечениях в архимедовски замкнутых полях

Следующая теорема была впервые сформулирована в виде предположения В.Г. Пестовым на семинаре при ММФ ТГУ.

Теорема 1. Упорядоченное поле архимедовски замкнуто, если и только если все сечения в этом поле несимметричны [6].

Лемма 1. Пусть К есть подполе архимедовски замкнутого поля Р, (А, В) есть симметричное сечение в К. Тогда существует а е Р , такое что А < а < В .

Доказательство. Пусть, в условиях леммы, не существует такого а е Р , что А < а < В . Положим А' = {х е Р | Зу е А( х < у)}, В = {х е Р | Зу е В (у < х)}.

Легко видеть, что (А',В) есть сечение в Р, и А а А',В а В. Сечение (А1,В) в Р симметрично. В самом деле, пусть х0 е А'. По построению А', найдется х1 е А, х0 < х1 . Так как А - длинный берег сечения (А, В) в К, то найдется х е В, такой что (х + (х - х1)) е В. Следовательно, берег А' - длинный.

Аналогично доказывается, что берег В - длинный. Следовательно, сечение (А ', В ') в Р - симметричное, что противоречит архимедовской замкнутости поля Р.

Некоторые алгебраические свойства а-полей

Теорема 2. Пусть поле Р архимедовски замкнуто. Тогда множество элементов, архимедовски эквивалентных 1, есть делимая мультипликативная подгруппа поля Р .

Доказательство. Очевидно, что множество элементов поля Р, архимедовски эквивалентных 1, есть подгруппа мультипликативной группы поля Р. Остается доказать, что это - делимая подгруппа.

Пусть Ь е Р, п е N, Ь~ 1. Обозначим через Р вещественное замыкание поля Р, теперь Р с Р. Имеем 1 ________

\ = Ь п е Р. Отсюда \ ~1.

Предположим, что Е, й Р. Тогда Е, порождает в Р некоторое сечение (А, В). Это сечение несимметрично в силу архимедовской замкнутости поля Р. Предположим для определенности, что А - короткий берег и а е А есть точка, близкая к берегу В. Тогда разность

- а) не является архимедовски эквивалентной никакому элементу поля Р.

Выберем т е N, Е, < т . Разность (^ - а) бесконечно мала по сравнению с (т - £), тем более по сравнению с т.

Поскольку а отличается от Е, на бесконечно малую величину, то и а~ 1.

Обозначим f (х) = хп . Имеем f (^) = Ь. По теореме

Лагранжа найдется такое пе Р, а < п < ^ , что

/© - /

Здесь (^ - а) есть бесконечно малая. Следовательно, П отличается от Е, на бесконечно малую, поэтому

П ~1. Перепишем (1) так: Ь - а” = пп”1(^-а). Перейдем в этом соотношении к архимедовским классам [Ь - ап] = п[г\"-1 ][(£- а)].

Поскольку \пцп— ] = [1], то [Ь - ап] = [(^ - а)]. Отсюда находим (Ь - а") ~ (^ - а).

Но это отношение ложно, так как (Ь - а") е Р , в то время как - а) не является архимедовски эквивалентным никакому элементу поля Р. Итак, предположение Е, £ Р ведет к противоречию. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть К - архимедовски замкнутое упорядоченное поле, а е К . Тогда

^2 е [ап]3у е [а](уп = z) .

Иначе: если хотя бы для одного элемента архимедовского класса «-замкнутого поля существует корень степени п, то и для всех элементов этого класса справедливо то же самое.

Доказательство. Пусть в условиях теоремы z е [а" ]. Тогда za-п ~1. По теореме 2 существует Ь е К , такое что Ьп = za~п . Отсюда z = (аЪ)п .

Следствие 1. Пусть группа G архимедовских классов архимедовски замкнутого поля Р делима. Тогда уравнение хп = а разрешимо в Р для всех а > 0 и всех натуральных п.

Доказательство. В самом деле, пусть g0 есть архимедов класс, содержащий элемент а. Итак, а е е G . Так как G делима, то найдется

gl е О, такое что g|’ = g0. Пусть ах е . Тогда

аП е g0. По теореме 2 отображение /(х) = х" есть би-

екция gl на g0. Следовательно, найдется такое Ь є gl,

1 п

что Ьх = а .

Лемма 2. Если G есть архимедовская группа архимедовски замкнутого поля К, то существует представляющая группа Н а К группы G [7].

Иначе, существует подгруппа И мультипликативной группы поля К, такая что в каждый класс архимедовской эквивалентности поля К попадает один и только один элемент из И.

Теорема 4. Пусть Р - архимедовски замкнутое поле, К а Р, Р - вещественное замыкание Р. Если (А,В) -симметричное алгебраическое сечение в К, f (х) є К[х], где deg lДx)=deg (А,В), _Дх) меняет знак на

(А,В), Р, /(£) = 0, А <^< В , то ^є Р.

Доказательство. В условиях теоремы многочлен f' (х) и все его производные не меняют знака на сечении (А,В). По теореме 7 из [2] существуют такие а0 є А, Ь0 є В, что в каждом упорядоченном расширении Г поля К все значения f'(х) архимедовски эквивалентны при х є [а0, Ь0 ]_р . Имеем К с Р с Р.

Предположим, что в условиях теоремы Е, й Р. Так как Е, є Р, то Е, индуцирует в Р некоторое сечение (А1, В1), где А1 з А, В1 з В . В силу архимедовской замкнутости Р это сечение несимметрично. Пусть, например, берег А - короткий. Убедимся, что За є А1, А < а < В . Допустим, что такого а не существует. Тогда А конфинально Ах. Легко видеть, что тогда берег А1 - длинный. В самом деле, пусть а1 є А1. Найдется а2 є А, а2 > а1. Поскольку (А,В) - симметричное сечение в К, то берега А, В - длинные. Поэтому найдется такое а3 є А, что а3 + (а3 - а2) є В. Так как В1 В с £[, то а3 + (а3 - а2) є В1. Наконец,

— а2 ) < + (а — ) , значит, + (а — ) є Вх.

Это и означает, что, по определению, берег А1 - длинный - противоречие с предположением, что берег А -короткий.

Итак, За є А1, А < а < В . Выберем в А1 точку а', близкую к Вг и такую, что а < а'. Теперь А < а' < В . По свойству несимметричного сечения, (^- а') не эквивалентно никакому элементу из Р.

Воспользуемся формулой Лагранжа, справедливой для многочленов в вещественно замкнутом поле Р :

/

где пє (а', Е) Лє Р , следовательно, [а',Ь']-. По-

этому f '(^)~/'(а1). Из (2) следует

f(а') ~ /\а')(а'-%) , (а'Ч) ~ /(а')(/'(а'))- .

Последнее соотношение неверно, так как эле-мент/(а')(/'(а1))-1 є Р , в то время как элемент (а1-^) по построению не эквивалентен никакому элементу из Р. Теорема доказана.

Теорема 5. Если поле Р архимедовски замкнуто, то поле вещественных чисел вкладывается в Р с сохранением порядка.

Доказательство. Пусть Q есть простое подполе Р. Обозначим через X множество тех подполей поля Р, которые являются «-расширениями поля Q. Множество X частично упорядочено по включению. Пусть С есть

цепь в X. Тогда К0 = У К есть верхняя граница мно-

КеС

жества С. Следовательно, X удовлетворяет условию леммы Цорна, поэтому в X существует максимальный элемент К *.

Убедимся, что К * упорядоченно изоморфно полю ^. Прежде всего, в К * нет симметричных сечений. Предположим, что, напротив, (А,В) - симметричное сечение в К* .

a) Пусть, сначала, (А,В) - трансцендентное сечение. Тогда, по лемме 1, существует а е Р, А < а < В . Поле

К * (а) есть архимедовское расширение поля К *, следовательно, оно есть архимедовское расширение поля Q. Итак, К * (а) е X , К * (а) есть собственное расширение поля К* . Но это противоречит максимальности К * в X.

b) Пусть теперь (А,В) - алгебраическое сечение степени п. По определению степени алгебраического сечения, существует такой многочлен /(х) е К *[х], что /(х) меняет знак на сечении (А,В), и степень/(х) равна п. Тогда существует Е, е К" , такое что

/ (4) = 0, А <^< В .

По теореме 4 Р. Теперь К * (а) есть собственное а-

расширение поля К * - снова противоречие с максимальностью К * в X.

Итак, в К* нет несимметричных сечений. В силу теоремы 01 это поле архимедовски замкнуто. В то же время К * изоморфно некоторому подполю Я1 поля

вещественных чисел , поскольку К * архимедово [1]. Таким образом, есть архимедовски замкнутое подполе поля . Отсюда следует, что . В самом

деле, если бы существовал х0 е \ ^ , то х0 производил бы симметричное сечение в , что невозможно из-за архимедовской замкнутости ^1. Итак, , и

поле К * изоморфно ^, что и требовалось.

Архимедовские замыкания

Теорема 6. Пусть P - архимедовски замкнутое поле с группой архимедовских классов G. Тогда для вещественной замкнутости поля Р необходимо и достаточно, чтобы группа G была делима.

Доказательство. 1) Необходимость. Если поле Р вещественно замкнуто, то уравнение хп = а разрешимо в P для всех натуральных п и всех а е Р, а > 0 [8], следовательно, группа G делима.

2) Достаточность. Пусть группа G делима. Расширим P до вещественного замыкания Р . Убедимся, что Р = Р. Предположим, что, напротив, существует Е, е Р ^. Так как в P нет симметричных сечений, то Е, производит в Р несимметричное сечение. По следствию 2.9 из [2], в поле P( Е,) существуют элементы, архимедовски не эквивалентные никакому элементу из P. Пусть с - один из таких элементов. Элемент с алгеб-раичен над P. По лемме 2.1 из [2] существует такое натуральное п и такой Ь е Р, Ь > 0, что сп ~Ь. По следствию 1, уравнение хп = Ь разрешимо в P.

1

Иными словами, Ьп е Р. Но с архимедовски эквива-

1

лентно Ь п . Итак, в P существует элемент, архимедовски эквивалентный элементу с, что противоречит выбору с.

Таким образом, Р = Р , следовательно, P вещественно замкнуто.

Теорема 7. Пусть К, P есть а-замкнутые поля, у есть изотонное вложение К в P. Если для каждого х е Р существует у е К , такое что у(у) архимедовски эквивалентно х, то у есть изотонный изоморфизм К на P.

Доказательство. Пусть, в условиях теоремы, у (К) Ф Р. Тогда найдётся х0 е у (К) \ Р . Обозначим сечение, производимое в К элементом х0, через (А,В). Поскольку каждый элемент из P архимедовски эквивалентен некоторому элементу из К, то сечение (А,В) симметричное (см. следствие 2.9 в [2]). С другой стороны, поле К архимедовски полное, следовательно, в нем нет симметричных сечений. Полученное противоречие доказывает, что у (К) = Р, что и требовалось.

ЛИТЕРАТУРА

1. Pickert G. Einfurungin die Hoere Algebra. Gottingen, 1951.

2. Пестов Г.Г. К теории сечений в упорядоченных полях // Сибирский математический журнал. 2001. Т. 42, № 6. C. 1350-1360.

3. Hahn H. Uber die nichtarchimedischen Grossensysteme // S.-B. Akad. WISS. Wien. 1907. Vol. 11a, № 116. Р. 601-655.

4. Conrad P. Archimedean Extensions of Lattice-Ordered Groups // J. Indian Math. Soc. 1966. Vol. 30. Р. 199-221.

5. LarnelM. Lattice-ordered Groups. Marcel Dekker, Inc., 1994.

6. Пестов Г.Г. Теоремы о замыканиях линейно упорядоченных полей // Вестник Томского государственного университета: Бюл. операт. науч.

информ. Упорядоченные поля и группы. 2004. № 21. С. 34-38.

7. Забарина А.И., Пестов Г.Г. О критерии циклической упорядочиваемости группы. Упорядоченные множества и решётки // Межвузовский

научный сборник. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1986. Вып. 9. С. 19-24.

8. Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.

Статья поступила в редакцию журнала 29 июня 2006 г., принята к печати 10 июля 2006 г.