Операторный метод исследования локальных бифуркаций многопараметрических динамических систем

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 2

УДК 519.92

М. Г. Юмагулов, А. А. Вышинский, С. А. Муртазина, И. Д. Нуров

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ*)

1. Введение. Функционирование динамических систем, как правило, зависит от различных внешних и внутренних параметров. Особый интерес представляют те значения параметров, при которых качественно изменяется поведение системы. В математической постановке им соответствуют точки бифуркации (см., например, [1, 2] и имеющуюся там библиографию).

Моделирование бифуркационных процессов в динамических системах является важной и в то же время сложной задачей, так как поведение системы изучается вблизи границы устойчивости стационарных состояний, а возникающие новые решения, как правило, образуют непрерывные по параметрам ветви, что затрудняет применение большинства приближенных методов исследования. Вопросам теоретического и компьютерного моделирования бифуркационных явлений в динамических системах посвящена обширная литература (см. [2-4]).

В настоящей статье приводятся основные положения нового метода исследования широкого класса бифуркационных задач, приводящего к итерационной процедуре построения решений. Метод позволяет моделировать поведение зависящих от параметров динамических систем, линеаризованные уравнения которых имеют многомерные вырождения.

2. Постановка задачи. Рассмотрим зависящую от скалярного или векторного параметра А динамическую систему, описываемую уравнением

х = f

Юмагулов Марат Гаязович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информационных технологий Сибайского института Башкирского государственного университета. Количество опубликованных работ: 80. Научные направления: динамические системы, теория нелинейных колебаний, теория бифуркаций, теория управления. E-mail: yum_mg@mail.ru.

Вышинский Александр Алексеевич — аспирант (заочно) Башкирского государственного университета. Ассистент кафедры прикладной математики и информационных технологий Сибайского института Башкирского государственного университета. Научный руководитель — проф. М. Г. Юмагулов. Количество опубликованных работ: 6. Научные направления: динамические системы, теория нелинейных колебаний. E-mail: aleksandr_wyshin@mail.ru.

Муртазина Сария Аширафовна — старший преподаватель кафедры прикладной математики и информационных технологий Сибайского института Башкирского государственного университета. Количество опубликованных работ: 8. Научные направления: динамические системы, теория нелинейных колебаний. E-mail: sariamurtaz@mail.ru.

Нуров Исхокбой Джумаевич — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института математики АН Республики Таджикистан. Количество опубликованных работ: 25. Научные направления: динамические системы, теория нелинейных колебаний, теория управления. E-mail: nid1@mail.ru.

+ ) Работа выполнена частично при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 06-01-72552-НЦНИЛ_а).

© М. Г. Юмагулов, А. А. Вышинский, С. А. Муртазина, И. Д. Нуров, 2009

Предполагается, что уравнение (1) при всех Л имеет нулевое решение х = 0, т. е. /(0, Л) = 0. При переходе через некоторые значения Ло параметра Л решение х = 0 может потерять устойчивость, а система (1) перейти на новый устойчивый режим (новое состояние равновесия, периодическое или почти периодическое решение и т. п.). Такие Ло называют точками бифуркации. В статье расматривается случай, когда этот переход осуществляется непрерывно, т. е. бифуркация сопровождается мягкой потерей устойчивости решения х = 0. Другими словами, изучаются локальные бифуркации уравнения (1) в окрестности решения х = 0. Предполагается, что функция /(х, Л) непрерывно дифференцируема по х, при этом Ц/'х (х, Л) - /'(у, Л)У < е(р)||х - у||, ||х||, ||у|| < р для некоторой функции е(р) такой, что е(р) ^ 0 при р ^ 0.

Необходимое условие локальной бифуркации - чтобы матрица Якоби /'(0, Ло) имела собственные значения вида ±о>о*. В этом случае говорят, что линеаризованное в окрестности нуля уравнение, т. е. х' = /'(0, Ло)х, имеет простое или многомерное вырождение.

В задаче о локальных бифуркациях основными являются следующие вопросы: при каких Ло возможна локальная бифуркация, какими эффектами сопровождается бифуркация, тип бифуркации (суб- или суперкритический), приближенное построение бифурцирующих решений, анализ их устойчивости и др. Указанным вопросам посвящена обширная литература. Был разработан ряд эффективных методов исследований, таких как метод интегральных многообразий, методы теории ветвлений, метод усреднения и др. (см., например, [1, 2]). Они наиболее эффективны в задачах исследования систем, зависящих от одного скалярного параметра. Существенно меньше известно результатов относительно систем со многими параметрами и многомерным вырождением линеаризованной задачи. Такие системы возникают при моделировании многих практических задач. Некоторые примеры указаны ниже.

В настоящей работе предлагается новая общая схема исследования задачи о локальных бифуркациях системы (1) в ситуации, когда линеаризованное в окрестности х = 0 уравнение имеет многомерное вырождение, а параметр Л является векторным той же размерности, что и вырождение. Результаты применимы и для динамических систем, описываемых уравнением

х' = /

где /(х,Ь, Л) - периодическая по £ вектор-функция, /(0,1, Л) = 0.

3. Переход к операторному уравнению. Локальные бифуркации обычно сопровождаются возникновением новых состояний равновесия, периодических или почти периодических решений уравнения (1) или (2). Задача о таких решениях различными способами часто может быть сведена к эквивалентному операторному уравнению вида

х = Б

где ц - векторный параметр; линейный оператор Б(р) : Н ^ Н является вполне непрерывным (здесь Н - банахово или гильбертово пространство, часто конечномерное), а нелинейный вполне непрерывный оператор Ъ(х, ц) удовлетворяет соотношениям

Ит эир = 0,

\\ц, — ц,0 11^1

для некоторой функции е(р) такой, что е(р) ^ 0 при р ^ 0. Здесь цо - некоторое

значение параметра ц, а || • || обозначает норму в соответствующем пространстве.

Приведем некоторые из таких способов перехода.

Задача о состояниях равновесия системы. Задача о точках равновесия системы (1) равносильна уравнению /(х, Л) = 0, которое может быть представлено следующим образом:

А(Х)х + а(х, X) = 0,

где А(Л) = /'(0, X), а(х, Л) = /(х, X) — А(Х)х = о(||х||) при ||х|| — 0 и \\а(х, Л) — а(у, Л)|| ^ є(р) \\х — у\\, ||х||, ||у| < р. Последнее уравнение имеет вид (3) при В(Л) = А(Л) + I; условия (4) здесь, очевидно, выполнены.

Задача о периодических решениях автономной системы. Уравнение (1) представимо в виде

х = А

Задача о периодических решениях периода Т уравнения (5) равносильна задаче о решении интегрального уравнения

т

х = етА

о

в котором х(Ь) - решение уравнения (5) при начальном условии х(0) = х; в таком случае,

т

полагая В(Т,Л) = етА(х) и Ъ(х,Т,Л) = / е(т-я)А(Л)а[х(в),Л] ds, придем к уравнению

о

вида (3), при этом условия (4) вытекают из аналогичных требований на нелинейность а(х, Л) .

Задача о вынужденных колебаниях. Рассмотрим задачу о Т0-периодических решениях уравнения

х' = А(Ь, р)х + а(Ь, х, р),

где р Є Нк, А(ї + Т0,р) = А(Ь,р). Для перехода к операторному уравнению вида (3) можно использовать оператор сдвига за время То или отображение Пуанкаре [2].

Ниже будем считать, что оператор В(р) непрерывно дифференцируемо (по норме операторов) зависит от параметра р. Через Б(р0,є) и Б(х0,е) будем обозначать шары радиуса є > 0 с центрами в точках р0 и х0 в пространствах Нк и Н соответственно.

Значение р0 называют точкой бифуркации уравнения (3), если для любого є > 0 существует р = р(є) такое, что при р = р(є) уравнение (3) имеет ненулевое решение х(є), при этом ||х(є)|| —— 0 и р(є) — р0 при є — 0.

Уравнение (3) при всех р имеет нулевое решение х = 0. Если у оператора В(р0) нет собственного значения 1, то из теоремы о неявной функции следует, что при некотором §0 > 0 для всех р, близких к р0, уравнение (3) не имеет в шаре Б(0,§0) ненулевых решений. Поэтому точки бифуркации уравнения (3) следует искать лишь среди таких р0, при которых оператор В(р0) имеет собственное значение 1.

Предполагается, что выполнено

Условие 1. Число 1 является полупростым собственным значением оператора В(р0) кратности к.

Другими словами, предполагается, что корневое подпространство Н>, соответствующее собственному значению 1 оператора В(р0), имеет размерность к и состоит только из собственных векторов, при этом число к совпадает с размерностью векторного параметра р.

Пусть е € Н - некоторый ненулевой вектор; значение ро назовем правильной точкой бифуркации уравнения (3) по направлению вектора е, если существует функция б(е), 6(е) = о(е) при е ^ 0, такая, что для каждого е > 0 найдется р(е) € Б(ро,е), при котором уравнение (3) имеет ненулевое решение х(е) € Б(ее,5(е)). Векторы х(е) и значения р(е) назовем бифурцирующими решениями уравнения (3). Правильная точка бифуркации соответствует тому, что уравнение (3) имеет семейство бифурцирующих решений р(е) и х(е) так, что р(е) ^ ро и ||х(е) — ее\\ = о(е) при е ^ 0.

Из общей теории локальных бифуркаций векторных полей [2] известно, что правильные точки бифуркации уравнения (3) есть смысл искать только по направлению собственных векторов оператора В(ро), отвечающих собственному значению 1. Причем, как показывают простые примеры, не каждому такому собственному вектору отвечает правильная точка бифуркации.

4. Признаки правильной бифуркации. Для простоты будем считать, что Н является гильбертовым пространством, при этом запись (х, у) будет означать скалярное произведение векторов х и у. Рассмотрим вопрос о достаточных признаках правильной бифуркации для операторного уравнения (3). Для однопараметрических векторных полей, т. е. для к = 1, такой вопрос изучен достаточно полно (см, например, [1, 2]). В данном случае правильные точки бифуркации могут возникать по направлению только двух векторов е и —е, где е - собственный вектор оператора Во = В(ро), отвечающий простому собственному значению 1.

Обозначим через д собственный вектор сопряженного оператора Вд = В*(ро), соответствующий простому собственному значению 1, а через В'(р) - производную оператора В(р) по параметру р.

В [5] установлена

Теорема 1. Пусть р € Я1 и оператор В(ро) имеет простое собственное значение 1. Пусть выполнено соотношение (В'(ро)е, д) = 0. Тогда ро является правильной точкой бифуркации уравнения (3) по направлению векторов е и —е.

Рассмотрим теперь вопрос о признаках правильной бифуркации для уравнения (3) при к ^ 2. Приводимый ниже признак основан на вычислении некоторой числовой характеристики оператора В(р) и является развитием теоремы 1.

Так как оператор Во = В(ро) имеет полупростое собственное значение 1 кратности к, то существует линейно независимая система из собственных векторов е*: Вое* = е*, г = 1 ,к. Сопряженный оператор В^'.Н^Н также имеет полупростое собственное значение 1 кратности к, которому отвечают собственные векторы е*: В^е* = е*, г = 1, к. Векторы еI и е* можно выбрать из соотношений (е1 ,е*) = 1, (е{,е*) = 0 при г = у, * = 1, к, j = 1, к.

Ниже, наряду с условием 1, предполагается, что для некоторого собственного вектора е^0 оператора Во выполнено

Условие 2. Имеет место соотношение

Д = ёе!

В

(К

11 е3о , е1) 11 е3о , е2)

(В1

(В1

12 е30 , е1) 12 еЗо , е2 )

В

(К,

1к е3 0 , е1 ) 1 к е3о , е2 )

= 0.

Здесь В1. 1

в'{ро), г = 1,к, рг - компоненты к-мерного вектора р.

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1 и 2. Тогда ро является правильной точкой бифуркации уравнения (3) по направлению вектора ез0.

Д = det

= 0.

5. Приближенное исследование бифуркации. Справедливость теоремы 2 следует из предлагаемой ниже схемы приближенного построения бифурцирующих решений уравнения (3).

Для простоты изложения параметр р будем считать двумерным, а именно р = (Т, Л), где T и Л - скалярные параметры. Тогда уравнение (3) примет вид

х = В

Пусть ро = (То, Л0); тогда условие 1 означает, что оператор В(То, Ло) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Пусть е, д - это линейно независимые векторы, так что В(То, Ло)е = е и В(То, Ло)д = д.

Для определенности будем исследовать уравнение (8) на наличие правильной бифуркации по направлению вектора е. Пусть е* и д* - собственные векторы, отвечающие собственному значению 1 сопряженного оператора В*(То, Ло), которые выбраны из соотношений (е,е*) = 1, (д,д*) = 1, (е,д*) = (д,е*) = 0. Тогда условие 2 для вектора е примет вид

' (ВТ(То, Ло)е,е*) (В'х(То,Ло)е,е*) ‘

В основе схемы построения бифурцирующих решений уравнения (8) положим метод функционализации параметра [6].

На первом этапе рассматривается функционализированное уравнение

х = В[Т

где Т(х) и Л(х) - непрерывные функционалы

Т(х) = Т0 + - [(х, е*) - е], А(х) = Л0 + -(х,#*);

£ £

здесь £ > 0 - вспомогательный малый параметр. Если х* - решение уравнения (10), то х* - решение уравнения (8) при Т = Т(х*) и Л = Л(х*).

Замечание. В случае общей ситуации, т. е. при изучении уравнения (3) конструируется к различных функционалов pi = р\(х), ...ри = Рк(х), при этом один из них

можно выбрать в виде pj0

при i = jo, где е^0 - вектор, для которого выполнено условие 2.

На втором этапе уравнение (10) изучается методом Ньютона-Канторовича [7]. Для этого (10) представим следующим образом:

С

где С(х) = х — В[Т(х),Л(х)]х; W(х) = -Ь[х,Т(х),Л(х)]. Операторы G, W действуют в пространстве H и зависят от параметра £ > 0, однако для простоты изложения (учитывая, что уравнение (11) будет рассматриваться при фиксированных значениях £) в обозначении операторов G и W параметр £ не используется.

Положим хо = £е; оператор G(х) дифференцируем по Фреше в окрестности вектора хо. Из условия 2 следует, что существует ограниченный оператор Го = [G1 (хо)]-1 : H ^ H, при этом оператор Го не зависит от £. Для оператора Го может быть получено явное представление из формулы, определяющей оператор G'(хо):

G'(:хо)Ь = h — [(h, е*)ВТ(То, Ло) + (h, д*)В'х(То, Ло)]е — В(То, X0)h.

Теорема 3. При всех достаточно малых е > 0 уравнение (11) имеет в шаре

£

Я(хо, -) решение х(е), которое может быть получено как предел последовательных приближений

Хп+1 = Хп - ГоО

при этом ||х(е) — ев\\ = о(е), Х(х(е)) ^ Л0 и Т(х(е)) ^ Т0 при е ^ 0.

Доказательство теоремы 3 сводится к проверке достаточных условий сходимости модифицированного метода Ньютона-Канторовича с возмущениями (см. [8]) для уравнения (11). Теорема 2 следует из теоремы 3, так как уравнение (8) при Л = Ле = Л(х(е)) и Т = Те = Т(х(е)) имеет ненулевое решение х(е).

Теорема 3 позволяет не только строить бифурцирующие решения и соответствующие значения параметров, но и получать асимптотические (по е) представления для решений х(е) и параметров Ле и Те уравнения (8).

Пусть, например, нелинейность Ь(х, Т, Л) является однородной по х порядка 2, т. е. Ь(ах, Т, Л) = а2Ь(х, Т, Л).

Теорема 4. Существующие в условиях теоремы 3 бифурцирующие решения х(е) уравнения (8) и соответствующие значения параметров Ле, Те представимы в виде

х(е) = ее + е2е\ + о(е2), Л£ = Ло + еЛ\ + о(е), Те = То + еТ\ + о(е),

где е1 = ГоЬо; Т = (ВТе,е*)(Ьо,е*) + (В'хе,е*)(Ьо,д*); Л1 = (ВТе,д*)(Ьо,е*) +

+ (ВХе,д*) х (Ьо,д*); В'Т = В'Т(То,Ло); Вх = Вх(То,Ло); Ьо = Ь(е,То,Ло).

6. Приложения. Теоремы 2 и 3 могут быть использованы в задачах компьютерного моделирования бифуркационных процессов в динамических системах. Авторами разработана программа (в среде МаЛаЪ), реализующая итерации (12) и позволяющая приближенно определять бифурцирующие решения и соответствующие значения параметров. Для пользования программой необходимо задачу о бифуркации в динамической системе привести к эквивалентной задаче для операторного уравнения вида (3).

Приведем некоторые примеры задач, для изучения которых может быть применен предложенный выше метод.

Задача о бифуркации Андронова-Хопфа. Пусть матрица А(Л) в уравнении (5) при некотором Л = Ло имеет пару чисто мнимых собственных значения ±ио*, ио > 0, а вещественные части остальных собственных значений отличны от нуля. Величина Ло соответствует точке бифуркации Андронова-Хопфа: как правило, при близких к Ло значениях параметра Л у системы (5) в окрестности нуля возникают ненулевые периодические колебания малой амплитуды.

Эта задача зависит лишь от одного скалярного параметра. Однако сам эффект бифуркации связан с возникновением периодических решений некоторого периода Т, 2п

близкого к То = —• Величина Т может быть рассмотрена как второй параметр задачи.

ио

Перейдем к уравнению (6). Приведенный в настоящей работе метод позволяет провести детальное исследование задачи о бифуркации Андронова-Хопфа, в частности получить новые достаточные условия бифуркации, провести ее приближенное изучение.

Приведем в качестве иллюстрации некоторые результаты численного исследования бифуркации Андронова-Хопфа в системах Лэнгфорда [4] и Лоренца [2], возникающих при моделировании турбулентности в жидкости и описываемых уравнением

х = А

о 1 1 А Х1 Хз

1 2А -1 0 , а(х, А) = Х2 Хз

1 0 0 - V 1 і - н ь^Ю 1 Х юю 1 Х сою 1

А(А) =

Переходя от (13) к операторному уравнению (6), получим, что бифуркационными значениями параметров являются То = 27т и Ао = -, а соответствующие собственные

" 1

и д =

векторы операторов В (Т0, Л0) и В * (Т0, Л0) можно выбрать в виде е = е* =

; тогда соотношение

д * =

выполнены.

В приведенной ниже таблице указаны некоторые результаты численного исследования бифуркации в системе Лэнгфорда (13), полученные по разработанной программе (реализующей итерации (12)), а именно, бифурцирующие значения параметров Ле и Т£, а также векторы х(0,е); здесь х(Ь,е) - это бифурцирующие решения системы (13) при Л = Ле. На рисунке изображено семейство бифурцирующих решений системы (13) при различных значениях параметра Л.

Семейство периодических траекторий системы Лэнгфорда

Отметим, что значения Те оказались одинаковыми, равными 2п, т. е. все бифур-цирующие решения имеют одинаковый период; этот факт может быть установлен и аналитически.

Результаты численного исследования бифуркации в системе

є Выходные данные

0.15 Л£ = 0.52362924 Т£ = 6.28318530 ж(0,є) = 0.15000000007489 0.00354438673706 -0.04725848986039

0.2 Л£ = 0.54393838 Т£ = 6.28318530 ж(0,є) = 0.20000000017514 0.00878767733219 -0.08787677335237

0.25 Л£ = 0.57370410 Т£ = 6.28318530 ж(0,є) = 0.25000000034866 0.01842602745992 -0.14740821968246

0.3 Л£ = 0.62019277 Т£ = 6.28318530 ж(0,є) = 0.30000000067376 0.03605783157651 -0.24038554377302

б) Модель Лоренца. В этой модели

-10 10 0 ' 0

А(А) = 1 -1 -^(А - 1) - 8/3 , а(х, А) = —Х1Х3

[ л/(А 1) • 8/3 л/(Л 1) • 8/3 -8/3 Х1Х2

Бифуркационными значениями параметров являются То = 2п/9.62453006 и

470

Ао = ——, а соответствующие собственные векторы операторов В(То,Хо) и В*(То,Хо) 19

можно выбрать в виде е =

; тогда соотношение (9) и, следовательно, условия 1 и 2 для уравнения

0.1454 ' 0.5562 ' 0.1364

—0.3899 , 9 = 0.6961 , е* = —0.6347

0.9093 0.4541 0.8058

9

0.4584 0.8738 0.3014 (6) выполнены.

В этой модели значения как Х£, так и Те различны для разных е. Приведем некоторые из них:

є

А£

0.15 0.2 0.25 0.3

24.7359444 24.7352206 24.7342840 24.7331344

0.65286263 0.65288801 0.65292072 0.65296077

Ограниченная эллиптическая задача трех тел. В качестве второго приложения рассмотрим плоскую ограниченную эллиптическую задачу трех тел

(см., например, [9]). При подходящем выборе системы координат движение тела нулевой массы в комплексной форме описывается дифференциальным уравнением (см. [10]) относительно переменной г\

/ dz м - 1

здесь z = —, J(z,n) = -г-гї-z -

dv z 3 z — 1 3

(z - 1), є и v - соответственно эксцентриситет

м

орбиты и истинная аномалия относительного движения одного из притягивающих тел

с массами то о и то 1, л =----------параметр масс.

тоо + ш\

Уравнение

в окрестности треугольной точки либрации го = — +

Эта задача в вещественной постановке приводит к операторному уравнению Н = V(е,р)Н + у(е,л,Н), Н € Я4,

правая часть которого - оператор сдвига за время Т = 4^ по траекториям соответствующей (14) нормальной системы дифференциальных уравнений

h/ = А(є, м, t)h + а(є, м, t, h),

в которой А

Зл/З

0

0

з

4Р р

Зл/З

~

р(1 - 2м) 0 2

9

;fJ

-2 0

1

1 + є cos t ’

4 ^ 4f

a

dt

1 у/2

Уравнение (15) зависит от двух параметров: е и р. При ро = — — матрица

1 а/3

Ао = A(0,fj,o,t) (она не зависит от времени) имеет собственные значения и

оператор V(0,ло) = eTAo имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Имеем V'(0,m) = X'E(0,л, T) и V^(0,л) = X' (0,л, T). После несложных вычислений получим, что при подходящем выборе собственных векторов матриц Ао и Aq определенное равенством (7) число Д будет равно 18\/бб7г, т. е. является ненулевым. Поэтому значение (0,ло) есть правильная точка бифуркации в задаче о 4^-периодических решениях в окрестности треугольной точки либрации zo уравнения (14).

Таким образом, уравнение (14) имеет семейство нестационарных 4^-периодических решений z = z(е, л, t), определенных при л, близких к ло, малых е > 0 и стягивающихся к точке либрации zo при л ^ ло и е ^ 0. Введя вспомогательный малый параметр S > 0, представим бифурцирующие решения z (t) и соответствующие значения л и е в параметрической форме:

z(t) = zo + z\(t)S + z2(t)S2 + ..., л = ло + л^ + л2S2 + ..., е = eiS + e^S2 + ... .

р

Приведем некоторые (полученные по разработанной программе) численные результаты: е1 = 0, е2 = 3.9241, рх = 0, р2 = 0.0626, при этом значения ех =0 и рх = 0 являются точными. Данные результаты показывают, что бифурцирующие 4^-периодические решения уравнения (14) возникают при е > 0 и р > ро.

Литература

1. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 2-е изд., испр. и доп. Ижевск: Ред. журн. «Регулярная и хаотическая динамика»: Удмуртский ун-т, 2000. 400 с.

2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / пер. с англ. А. П. Иванова; под ред. А. Д. Морозова. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.

3. Острейковский В. А. Анализ устойчивости и управляемости динамических систем методами теории катастроф. М.: Высшая школа, 2005. 326 с.

4. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / пер. с англ. Ю. А. Кузнецова; под ред. Э. Э. Шноля. М.: Мир, 1985. 280 с.

5. Юмагулов М. Г., Ибрагимова Л. С. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем // Автоматика и телемеханика. 2007. №4. С. 3—12.

6. Козякин В. С., Красносельский М. А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254, № 5. С. 1061—1064.

7. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. 4-е изд., испр. СПб.: Невский Диалект, 2004. 816 с.

8. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. 456 с.

9. Маршал К. Задача трех тел. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 640 с.

10. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космонавтике. М.: Наука, 1978. 312 с.

Статья рекомендована к печати проф. Е. И. Веремеем.

Статья принята к печати 25 декабря 2008 г.