Кинетическое описание импульсной сверхзвуковой струи, истекающей в вакуум. П. Смеси одноатомных газов

УДК 333.6.6.011

КИНЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ СТРУИ, ИСТЕКАЮЩЕЙ В ВАКУУМ. II. СМЕСИ ОДНОАТОМНЫХ ГАЗОВ

A.B. Лазарев, H.H. Застенкер, Д.Н. Трубников, К.А. Татаренко, A.B. Прибытков

На основе кинетического уравнения Больцмана построена модель расширения импульсной струи смеси одноатомных газов. Уравнение Больцмана решено методом Грэда. Для анализа системы моментных уравнений использовался метод сращивания асимптотических разложений. Рассмотрено поведение "скольжения" скоростей и разности температур в зависимости от условий в источнике и концентраций компонентов смеси. Установлена функциональная связь этих величин с формой потенциала взаимодействия.

Сверхзвуковые импульсные струи и молекулярные пучки смесей газов используются во многих областях физики и химии, таких как изучение химических реакций, процессов релаксации энергии, получение кластеров и исследование их свойств, получение тонких пленок эпитаксией из струй и т. д. [1, 2]. В связи с этим заслуживает внимания интерес моделирование импульсных струй смесей газов с целью получения зависимостей, связывающих макропараметры струи с условиями в источнике струи и потенциалом межатомного взаимодействия.

В работе [3] построена модель однокомпонент-ной сверхзвуковой импульсной струи одноатомного газа, истекающей в вакуум. Как и в случае непрерывных струй [4, 5] представляет интерес обобщение на случай многокомпонентных струй. При этом также возникают эффекты, обусловленные неравновесным обменом импульсом и энергией между частицами разного сорта ("скольжение" скоростей и разность температур компонентов). Теоретическое рассмотрение этих эффектов может служить основой для создания метода определения параметров потенциала взаимодействия частиц разного сорта по результатам экспериментального измерения температуры и скорости компонентов, а также для описания процессов "разгонки" тяжелого компонента в струе из смеси и газодинамического разделения компонентов струи.

Асимптотический анализ уравнений модели многокомпонентной струи в общем случае более сложен по сравнению с однокомпонентной струей из-за появления ряда безразмерных параметров (число Кнудсена для взаимодействия разных пар частиц, соотношения масс и концентраций компонентов). До-

полнительные трудности возникают из-за того, что в разных ситуациях порядок этих величин может отличаться, и в каждом таком случае необходим анализ порядка малости величины, по которой выполняется разложение, и определение области ее допустимых значений.

Цель настоящей работы - обобщение кинетической модели импульсной сверхзвуковой струи одноатомного газа, истекающей в вакуум, на многокомпонентный случай, а также и рассмотрение случаев предельных соотношений масс и мольных долей компонентов.

Модель

По постановке задачи моделирование процесса нестационарного истечения многокомпонентной струи в вакуум не отличается от моделирования в случае однокомпонентной струи. Поскольку струя рассматривается как возмущенный равновесный поток газа, а описание равновесного невозмущенного течения возможно методами континуальной газовой динамики, выбирается граничная точка, в которой течение еще континуально, и рассчитываются значения параметров струи. Эти значения будут граничными условиями для моментных уравнений. В настоящей работе граничные условия и масштабные величины определяли так же, как в [3], но расширяющуюся смесь рассматривали как газ со средней молекулярной массой

т = Ет а у а, а

где уа - мольная доля компонента а. Считается, что течение сферически-симметричное, а частицы взаимодействуют со степенным потенциалом (г) =

-4eap(aap/r )6 Подробное обсуждение предположений % 2 , 2

модели см. в [3]. f Т = У3Л2пГ3/2у в),

Система кинетических уравнений Больцмана для нестационарного сферически-симметричного расширения смеси в вакуум записывается в безразмерном виде:

где Та = та /(кТа ) , па и Та - локальная числовая плотность и температура компонента а.

Макроскопические параметры компонентов смеси и смеси в целом определяются как моменты функ-

f + (% + f -Êu.fi*_*U.îfa + ЦИИ распределения:

dt + (%+u)( dr dr д% ) dt d% +

числовые плотности

+ = 1E/Pa, (1 =ff % n = E , = ¿ф dœ;

r 0% r Оф s p aa a a

массовые плотности p = m n , p = E P ;

1 г/ г/ n 1 '—' 1 m '

a' a

где /а - функция распределения частиц сорта а по скоростям, и - среднемассовая скорость смеси. В

физическом пространстве введена сферическая сис- кинетические температуры (Та и Т) тема координат Г = (г,0,с), а в пространстве скоро- ^

стей - цилиндрическая % = (%, ф, ю). 7е а - интеграл 3пакТа = та I (% + ф )й%,

столкновения частиц сорта в иа пТ = Е п Т ;

а а а

rPa (%) = /[fp (%')fa (%; ) - давления

Pv

"fp (% ) fa (% ;)]°Pa ( ^ ' X) gd %;d « •

р = п кТ , р = Е р ;

г а а а ^ а

а

диффузионная скорость

Здесь введено число Кнудсена источника 1 -

_ . ^ =-] / % = и — м.

Кпз — (ЯцПцО)~ (индекс 'У обозначает условия в а па а а

источнике), _ - эффективное сечение рассеяния Из определения среднемассовой (рм = Е Р аиа) и диф-смеси [4, 5], определенное таким образом, чтобы фузионной скоростей следует, что учитывался вклад взаимодействий всех сортов частиц с весами, пропорциональными их мольной доле в смеси:

a а/

а

Е p w = 0.

r a a

a

_ ) I__Тензор вязких напряжений пца и тепловой поток

_ = ^ ^_ар (у1 )УаУр. а а компонента а, а также п|| и а для смеси в це-

а в и ^

лом определяются следующим образом:

a в

Для рассматриваемого в модели степенного потенциала эффективное сечение 1-го порядка имеет вид: 2 ;

С» = й"> (С"» / i p -,2/n, "»a - ma ifa ^ " Тф1>* П|| = Ç П

ap apo n apy '

a'

^a = ^ma/fa%(%2 + Ф2)d4 = T.q

^Де СГР = 4£apOOp, iap = ^pg2/2 . a 2 a

a

a

(Коэффициент пропорциональности приведен в [6]). Масштабы переменных выбирали так же, как в [3].

Систему уравнений (1) решали методом Грэда в При этом под т подразумевается средняя молекуляр-

13-моментном приближении, где функция распределе- ная масса смеси ния fа (^ ) имеет вид [7]:

1 , 0 0 ^ =Е таУ а

f = f (0)[1 + У ™ % + 1 Я„ р-1У (22%2 - ф2) + а

^а •'а 'аа^ 4 || а^ а 'а4 ^ т '

-г м я

л 5 где у а - мольная доля компонента а в источнике.

+ 5У2аРа Л(^а - Ра^ а)%(%' + Ф2 " 5

Моментные уравнения

В нулевом приближении выбирали локальное макс- Формальная процедура построения системы мо-велловское распределение: ментных уравнений во внутренней и внешней облас-

тях расширения в любом приближении по числу Кнудсена Кп5 полностью аналогична случаю чистого газа [3]. В нулевом приближении смесь расширяется как одноатомный газ со средней молекулярной массой . Эффекты "скольжения" скоростей и разности температур во внешней области расширения возникают соответственно в первом и втором приближениях по Кп] /(4~2ю) (щ = 1/2 + 2/п, п - показатель степени в потенциале взаимодействия). Чтобы избежать громоздких выкладок, выпишем лишь уравнения для указанных эффектов в значимых приближениях в интересующей нас дальней области. Подробный вывод системы моментных уравнений можно найти в работе [8].

В нулевом приближении решениями системы моментных уравнений являются известные континуальные соотношения:

р А = т п .= т у Ап

а 0 а а О ау а О

а а 0

а^а0 0'

y Л = ys, п„ = , и. = X,

-а0 -а' 0 3 ' 0 ' 2/3

Тп = , Aw Rn = 0, AT Rn = 0, 0 2 аР0 ' аР0 '

G1 и п п Q"

аР0 3 ^ ар а0 P0 аР0'

G

«Р0 _ 3 ИарПа0Пр0(5 «Р0 аР0Л

G (5) =_6± и к п п rQ 22 , аР0 ар аР0 а0 P0L аР0 ^

, (15. 25 УР0 )Q11 _ + ( 4 у^ + 8 ) аР0

'Р0

1 а 0

О

_ 1 ^P^(5Q12 _ Q13 )]

2 Y ( аР0 аР0 ' 1 а 0

G(6) =_64 и к п п rQ22 аР0 ар аро а0 P0L аР0

_ i^Q11 + ^5Q12 - Q13 ^ 8 аР0 2К аР0 аР0Л'

1 ОО U

lr ИS2r+3exp(-t2)Q$(g)dt -интеграл

aß 2nj

aß

0 0

Чепмена-Энскога = göap/2 )? величины к и у

определены выражениями

'ар

ар

+ YP

'ар

YiYP + Yp

'а kT

где X = r/t, а g = 5"3/2(1 - X2/5)1/2 Г3].

В первом приближении температуры компонентов равны континуальной T11 = T12 = T0, поэтому разность температур AT112 = 0. Система уравнений для диффузионных скоростей wа и величин Ьа = Ча - Ра wа (а = 1, 2) в этом приближении имеет вид:

dw

а1

dt

dh

V+1,_L _ ^ g ~1/3 g'

t 3 m mn t3 а0

а1

6h

а1

dt

5 ^ ¿V

3 m 18

R

где

r«0g а1р)с( W«1 - wßl)+

R10/p 0,

а r а0

11

"Скольжение" скоростей и разность температур

В общем случае система уравнений (2) может быть решена численно. Однако сначала рассмотрим интересный с практической точки зрения частный случай, когда легкий компонент смеси преобладает (8 = ур7 у^ << 1). Далее предположим, что массы компонентов существенно различаются (е = та/шр << 1). При этом можно выделить два случая с разной соразмерностью параметров 8 и е:

1) компонент в - малая примесь (8 < е << 1);

2) компонент в находится в следовом количестве (8 << е << 1).

В обоих случаях уравнение для Ли^ имеет один и тот же вид:

+ Г Y G(2) (

а1

ß1

Р аР° аР° ^а0Ра0 Yß0Ppc

R11 = y 1 FG

а а0 q аР0 p ^ aß0 p

P1

а 0

ß0

5 Yqß0 G

2 Y

(w« - wm ^

а0

«P0v а1 ß1

dAw

аР1

dt

л 1 , 16 m0 o11 л

Wаß1 (7 + T~M п0°аР0)~

m„ — m -1/3 _'

5 P а g_

3 mm t3

а p 1 Q12 _ Q11 )(.

45 q«P0 q«P0)(

g 16

а1

_и _L Т-1

3 аР M 0

P1

my

а а 0

mp У P0

При этом в первом случае, когда тяжелый газ находится в виде примеси к легкому газу, функция распределения легкого газа остается максвелловской или при больших степенях равновесия - слегка возмущенной. Уравнение для ка1 по форме совпадает с уравнением для чистого газа [6]:

дк

г лг с У 4/3 '

___к (6 I 16 п 0 22 ) _ 5_0ОЛ_£_

дг а^ г ^ 15 а0 аа^ 3 т г 8

Г/ »

а1

ния для к^ (к). В пределе Ь  ¥ в размерных переменных получаем:

AwРр" (к,г) = Я /г(7_2ю)]1/(4-2ю)х

кТ

( л )1/(4—2ю) [ а (4 - 2ю )1/(4—2ю) . (рЯ_) 4 - 2ю ( Ь '

<Г(4^) + Ь ^,

т.е. поведение ка1 определяется лишь самостолкновениями легких молекул. Уравнение для к р1 в этом случае имеет вид:

дкв1 (6 ,16. О22

дг V г 15 проОрро

где

16 ^ар^р о11 ) _ 16 М па0Оаро) 3 т

5 Ур0

4/3

р

5 Ур0

4/3 '

пТ

3 тр 00 г8

При ур0 ^ 0 эволюция тяжелого газа полностью определяется перекрестными столкновениями. Для степенного потенциала, используемого в этой модели:

01г = 01г

ар0 а^ 0 ар^'

где

о агр (^

1 ц»-1 _

тп — т 5 р а -1/3 /

3 т тп а р

Ь = ^ ^ я (5-2ю)/3о11р (1),

3М

р

Если уменьшать параметр 8, что соответствует переходу ко второму случаю, а физически это соответствует уменьшению роли самостолкновений тяжелых молекул, получим уравнение:

дкр1 к (6 ^ар^р 011 -^— = —кп. (--1-16——— п Л1 „.)-

дг р^ г М а0 ар о'

16 Царт0 г 2 012 т

С = -Т—М^~ [5 0ар (1) -

и к °°

Чр (1)][ -91—

т У А ау а0

кр? (к) р^ 'я-2ю/3

трур0

х Г(г+2 - ю), (ю = П+2).

В этом случае уравнения (4)-(6) интегрируются, и легко получается асимптотика

кк1ж (к,г) = кк>)/г 6

с уже определенной функцией к^ (к) (подробности см. в [8]). Теперь несложно найти асимптотическое представление и для "скольжения" скоростей ар1<» (к, г) = ~р!(кV г . Для этого нужно проинтегрировать (3) с учетом полученного выраже-

а - начальный радиус газового пакета (см. [8]). Выражение (7) показывает, что величина Амар увеличивается при уменьшении давления и увеличении температуры в источнике, что объясняется уменьшением протяженности равновесной области в потоке. Очевидная связь Амар с интегралом Чепмена-Энскога позволяет разработать метод определения параметров потенциала взаимодействия из экспериментального определения "скольжения" скоростей компонентов смеси.

После того как получены асимптотические выражения для функций ка1, кр! и "скольжения" скоростей, несложно проанализировать разности температур. Во втором приближении по Кпя1/(4 2ю) уравнение для разности температур имеет следующий вид:

3д7(АТар2) + 6 г

АТ 2/3

ар 2 я д

к

(А^рА2)1

2 дгК ар1

ЛГ. т тп л

а то п . 10 а р . -1/3 / 1

- ^ ар1(1 ) я + г т г

0

г2 г 1 д 2Л1 1 д 2

(Я ^ 2)] -

як 21 у дк™ а1

& уа0

- 32-^ АТ 011 (1) я р2 р

(О ^

У

р0

(5-2ю)/3

дк^р1

М ар 2 арw г 5—2ю '

Асимптотическое решение этого уравнения имеет вид:

ЯЛТ^ (X, I) = Я][242П/Г(7-22 }]1/(2-щ):

<^)1/

р Я Ц ар ^2

где К( X) - довольно сложная функция X, зависящая от тк, ук0 и параметров потенциала взаимодействия (через интегралы О ар, О ар и О ар). Поведение ЛГар в зависимости от условий в источнике аналогично поведению Лиар. Общие же закономерности поведения Лиар и ЛГар полностью согласуются с результатами для непрерывных струй [4, 5].

Численно система уравнений (2) была решена в ряде случаев для смесей Не с Кг различного состава. Начальный момент г = 0 соответствует моменту прекращения действия импульсного сопла. Данные расчетов приведены на рис. 1-4.

Ли'

.. 1

10

Рис. 2. "Скольжение" скоростей в зависимости от времени при разных расстояниях для смеси 99% Не +1% Кг: 1 - г = 2, 2 - г = 4

Рис. 1. "Скольжение" скоростей в зависимости от расстояния в различные моменты времени для смеси 99% Не +1% Кг: 1 - г = 5,2 - г = 10

На рис. 1, 2 показано поведение "скольжения" скоростей Ли ар в системе центра масс для смеси состава 99% Не + 1% Кг при Кпх = 10_3. Величина Лиар положительна, т.е. скорость легкого компонента больше скорости тяжелого. В центре газового пакета "скольжение" скоростей равно нулю, а при удалении от центра оно быстро увеличивается. Такое поведение Ли ар согласуется с нашей моделью, поскольку газовый пакет первоначально континуален, а по мере рассеяния континуальным остается лишь ядро пакета, уменьшающееся с течением времени. С ростом времени в каждой фиксированной точке пакета Лиар быстро падает. Отметим, что бесконечно большие значения Лиар на рис. 2 при малых временах - это значения вблизи фронта расширения при X ~ 5 . На рис. 3 представлены значения предельной величины Ли ар- г для различных составов смеси Не и Кг при Кп5 = 10 3. Как видно, с уменьшением доли тяжелого компонента величина "скольжения" скоростей возрастает.

На рис. 4 показано поведение величины Л7ар-

, 2

г в

зависимости от X для смеси 99% Не + 1% Кг при Кп = 10 . Очевидно, что температура легкого ком-

Рис. 3. Зависимость Дwар-г от X для разных составов смеси гелия и криптона: 1 - 80% Не +20% Кг; 2 - 90% Не +10% Кг; 3 - 99% Не +1% Кг

Рис. 4. Зависимость ДТ^-г от X для смеси 99% Не +1% Кг

понента всегда ниже температуры тяжелого. Это можно объяснить, если сравнить эффективные частоты столкновений. Полное число столкновений для частиц разной массы примерно одинаково, но для легких частиц все столкновения эффективны для релаксации, а для тяжелых частиц - только самостолкновения. Это приводит к уменьшению скорости релаксации тяжелого компонента, а значит, к большему отклонению от изэн-тропической температуры. Поскольку по определению температура компонентов связана со средней температурой смеси Т соотношениями

Та = Т + ДТав 2,

Тв = Т - У а 0 ДТав2,

то при малых у ^ (у а0 ~ 1) температура легкого компонента близка к средней температуре смеси, а температура тяжелого компонента выше температуры смеси на величину ДТа^2.

Разность температур, как показывают расчеты, зависит от концентрации компонентов значительно слабее, чем "скольжение" скоростей. Уменьшение у ро вызывает лишь незначительный рост величины ДТ ар: при переходе от смеси состава 99% Не + 1% Кг к смеси 99,9% Не + 0,1% Кг разность температур увеличивается лишь на 1%. Кроме того, видно, что величина ДТар при асимптотических временах (г ~ 100) слишком мала, чтобы ее использовать для обработки времяпролетных спектров.

Таким образом, в работе на основе кинетического уравнения Больцмана построена модель расширения импульсной струи смеси одноатомных газов. Уравнение Больцмана решалось методом Трэда. Система моментных уравнений анализировалась методом сращивания асимптотических разложений. Получены система уравнений, описывающая поведение параметров струи в дальней области расширения, и асимптотические выражения (при больших временах) для "скольжения" скоростей и разности температур компонентов. В ряде конкретных случаев система уравнений для этих величин решена численно. Проанализировано поведение "скольжения" скоростей и разности температур в зависимости от условий в источнике и концентраций компонентов смеси. Установлена функциональная связь этих величин с формой потенциала взаимодействия.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смирнов Б.М. // Успехи физических наук. 2003. 173.

С. 609.

2. Макаров Г.М. // Успехи физических наук. 2003. 173. С. 913.

3. Лазарев A.B., Застенкер H.H., Трубников Д.Н., Тата-

ренкоК.А., Прибытков A.B. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 2. Химия. 2006. 47. С. 377.

4. ЛенинЛ.В., Лазарев A.B., Трубников Д.Н. // Вестн. Моск.

ун-та. Сер. 2. Химия. 1987. 28. С. 347.

5. Lenin L. V., Lazarev A. V., Trubnikov D.N. // Chem. Phys. Lett.

1988.148. P. 401.

6. Лазарев A.B., Застенкер H.H., Трубников Д.H. / / Вестн.

Моск. ун-та. Сер. 2. Химия. 2004. 45. С. 111. 1. Жданов В.М. Явления переноса в многокомпонентной

плазме. М., 1982. С. 33. 8. Колосова Т.Ю. Дис. ... канд. хим. наук. М., 1990.

Поступила в редакцию 11.01.01

KINETIC DESCRIPTION OF A SUPERSONIC IMPULSE JET EXPANDING INTO VACUUM. II. MIXTURES OF MONOATOMIC GASES

A.V. Lazarev, N.N. Zastenker, D.N.Trubnikov, K.A. Tatarenko, A.V. Pribytkov

On the basis of Boltzmann kinetic equation, the model of impulse jet expansion of a monoatomic gas mixture has been constructed. The Boltzmann equation has been solved by the Grad method. For analysis of a moment equation system, the method of matching of asymptotic expansions was used. The velocity slips and temperature differences depending on the source conditions and the concentrations of components of a mixture were obtained. The functional connection between these magnitudes and the interaction potential form was also determined.