Алгоритм оптимизации сложных транспортных процессов по степени осуществимости с применением вычислительной схемы метода ветвей и границ

Заключение

Настоящая статья обобщает более чем черырех-летний опыт работ по эффективному построению научно-образовательных телекоммуникационных сетей территориального и регионального масштаба. В статье на основе проведенного анализа основных телекоммуникационных технологий мотивируется выбор технологий семейства Ethernet, традиционно использовавшихся главным образом для построения локальных сетей в качестве базовых технологий для эффективного построения (в смысле объема затрат на создание и высоких эксплуатационных характеристик) магистральной инфраструктуры распределенных телекоммуникационных сетей масштаба города и региона.

Несмотря на обилие публикаций, посвященных как общему, так и детальному рассмотрению различных телекоммуникационных технологий, авторам неизвестно как попыток систематического сравнения рассмотренных в настоящей статье технологий с точки зрения оценки эффективности построения на базе этих технологий магистральной инфраструктуры распределенных сетей, так и выработки обоснованных рекомендаций по построению магистральных территориальных телекоммуникационных сетей на базе технологий семейства Ethernet (в комбинации с другими технологиями). Тем не менее следует отметить, что ориентировочно с 2002 г. в печати стали появляться публикации об опыте построении сетей операторов связи на базе технологий семейства Ethernet и технологии MPLS (см., напр., [10]). Однако и эти публикации не содержат конкретных рекомендаций по способам построения магистральной инфраструктуры сети и инфраструктуры обеспечения решений «последней мили». В связи с этим авторы надеются, что материал настоящей статьи окажется полезным не только операторам НОТС, но и любым другим организациям, занимающимся созданием и эксплуатацией распределенных телекоммуникационных сетей.

Ростовский государственный университет

Литература

1. Букатов А.А., Букатов С.А., Монастырский М.И., Шаройко О.В. Анализ эффективных методов построения транспортной инфраструктуры региональных научно-образовательных телекоммуникационных сетей // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2004. № 3. С. 12-17.

2. Букатов А.А. Опыт и технологии создания научно-

образовательных сетей городского и регионального масштаба // Тр. Всерос. науч. конф. «Научный сервис в сети Интернет». М., 2001. С. 168-169.

3. Букатов А.А., Шаройко О.В. Методы построения и основные службы научно-образовательных сетей Ростовской области и Южного федерального округа // Тр. Всерос. конф. «Научный сервис в сети Интернет». Новороссийск, 2002. С. 207-210.

4. Монастырский М.И. Методы построения транспортной

инфраструктуры магистральных территориальных и региональных сетей // Тез. докл. науч.-метод. конф. «Современные информационные технологии в образовании: Южный федеральный округ». Ростов н/Д., 2003. С. 123-126.

5. Белоконь А.В., Букатов А.А., Крукиер Л.А. Создание научно-образовательной сети Ростова-на-Дону, Ростовской области и Южного федерального округа на базе телекоммуникационной сети РГУ // Тр. Междунар. науч.-метод. конф. «Телематика'2001». СПб., 2001. С. 37-38.

6. Белоконь А.В., Букатов А.А., Крукиер Л.А. Развитие научно-образовательной сети Ростова-на-Дону, Ростовской области и Южного федерального округа на базе телекоммуникационной сети РГУ // Тр. Всерос. науч.-метод. конф. «Телематика'2002». СПб., 2002. С. 155-166.

7. Кульгин М.В. Коммутация и маршрутизация IP/IPX тра-

фика. М., 1998.

8. Букатов А.А., Букатов С.А., Шестаков С.А. Методы

оптимизации физической структуры территориальных Ethernet сетей с множественными резервными каналами // Тез. докл. Междунар. конф. ИМС-2003. Таганрог, 2003. Т. 1. С. 229-231.

9. Букатов А.А., Шаройко О.В. Методы и средства резервиро-

вания каналов удаленного доступа к вычислительным ресурсам регионального центра высокопроизводительных вычислений // Искусственный интеллект: Науч.-техн. журн. Академии наук Украины. Киев, 2003. № 3. С. 32-38.

10. Вудс Д. Ethernet-новаторы и операторы старожилы // Сети и системы связи. 2002. № 10.

23 декабря 2003 г.

УДК 65.012.12: 65.012.122

АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ СЛОЖНЫХ ТРАНСПОРТНЫХ ПРОЦЕССОВ ПО СТЕПЕНИ ОСУЩЕСТВИМОСТИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ

СХЕМЫ МЕТОДА ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

© 2004 г. А.В. Лозовский, В. Ф. Золотухин, И.В. Клименко

Традиционно сложилось так, что большинство задач менеджмента качества (его оценивания, сохранения, улучшения) формулируется и решается при-

менительно к качеству продукции и технических систем различного назначения. В меньшей мере исследуется качество имеющих важное практическое

значение процессов. Вместе с тем важное значение на практике имеет качество процессов различной природы. Это отчасти относится к процессам производства, контроля и диагностирования состояния сложных систем, качество которых исследовалось Я.Б. Шором, А.И. Ушаковым и их последователями с преимущественным использованием показателей надёжности, и в полной мере - к процессам транспортирования.

Современные процессы транспортирования (ПТ) продукции, энергетических и информационных ресурсов становятся всё более масштабными и сложными. Нередко показатели материальных затрат и потерь времени на ПТ продукции превосходят аналогичные показатели на её производство. Транспортные процессы имеют сложную структуру даже внутри предприятий и при перемещении однородной продукции в границах экономических районов областного и даже меньшего масштабов. Структурная сложность ведёт к тому, что число существенно отличающихся по качеству вариантов осуществления ПТ на практике становится весьма большим. В этой связи при менеджменте качества ПТ на этапе выбора предпочтительных вариантов их реализации возникает необходимость применения математических методов сокращённого перебора и компьютеризации таких методов. Именно к этой недостаточно разработанной проблеме относится настоящая статья.

Наряду со структурной, имеет место сложность ПТ, связанная с разнообразием показателей качества, среди которых преимущественное применение получили показатели материальных затрат и потерь времени на транспортирование (длительности ПТ). Первая группа показателей особенно важна в сфере обмена товарами, услугами, энергией и информацией, где ПТ требуют значительных расходов, сопоставимых с производственными затратами. Тем самым выработка плана транспортирования, оптимального с точки зрения материальных затрат, напрямую определяет стоимостные показатели транспортируемой продукции. Вторая группа показателей актуальна при транспортировании скоропортящейся продукции при доставке персонала и средств борьбы в районы стихийных бедствий, при передислокации войск и во многих других (не только форс-мажорных) обстоятельствах.

К настоящему времени разработаны алгоритмы выбора предпочтительных решений задач транспортного типа по стоимости и длительности процессов, в которых критериями оптимизации обычно являются минимум суммарных затрат (денежных средств, материальных ресурсов) на транспортирование, а также минимум затрат времени. Как правило, эти задачи решаются с использованием аппарата математического, чаще всего линейного программирования. Обычно применяется симплексный метод и его модификации (метод потенциалов, метод знаков, предложенный в [1]).

Однако широкое распространение на практике имеют ситуации, когда интерес представляет не только стоимость и длительность транспортирования при условии, что оно будет выполнено обязательно,

сколько сам факт успешного проведения ПТ. В последнем случае требуется рассмотрение, как правило, вероятностных показателей степени осуществимости транспортирования. Этот класс задач не достаточно изучен, хотя является актуальным (каждый заинтересован в получении нужного ресурса, например, информации, тем более, если за неё уже заплатил). Одним из показателей степени осуществимости ПТ является оценка вероятности успешного проведения ПТ.

При этом важнейшим для практики показателем осуществимости ПТ является показатель, позволяющий избегать включения таких вариантов подпроцессов, вероятность осуществления которых крайне низка. В результате задача оптимизации состоит в определении такого набора входящих в ПТ подпроцессов, чтобы меньшая вероятность (среди соответствующих каждому подпроцессу) была максимальной по сравнению с аналогичными вероятностями для остальных наборов составляющих ПТ подпроцессов

Для решения задачи определения оптимального варианта процесса по охарактеризованному показателю качества потребовалась разработка новой версии машинного алгоритма ветвей и границ [4]. Цель статьи состоит в иллюстрации, во-первых, содержательной и математической формулировки охарактеризованной задачи, во-вторых, разработанного для её решения алгоритма и его вычислительной эффективности.

Постановка задачи. Дана территориально распределённая транспортная сеть, состоящая, во-первых, из пунктов сосредоточения ресурсов; во-вторых, сеть включает совокупность удалённых пунктов назначения, нуждающихся в определённой части ресурсов, находящихся в пунктах сосредоточения. В-третьих, даны маршруты, соединяющие каждый пункт сосредоточения ресурсов с пунктами назначения. Известен состав ресурсной подсистемы (количество ресурса в каждом пункте сосредоточения и его потребности в каждом пункте назначения). Требуется таким образом осуществить транспортирование ресурса, чтобы удовлетворить все потребности. Известны вероятности (возможностные оценки [5]) успешной доставки ресурсов в пункты назначения по каждому из маршрутов. Необходимость в оценке степени осуществимости вызвана следующим обстоятельством. По ряду практических причин ресурс из пункта назначения в пункт сосредоточения может оказаться не доставленным: к таким причинам относятся отрицательные воздействия внешней среды, недостаточные уровни показателей надёжности канала связи в случае передачи информации, воздействия противника при перемещении личного состава или военной техники. В результате для многократно осуществимых ПТ вероятности успешной доставки могут быть определены по каждому маршруту.

Математическая постановка задачи включает ограничения, совпадающие с условиями широко известной транспортной задачи. Её условия состоят в следующем. Имеется т пунктов сосредоточения, на которых находится однородный ресурс. Известно коли-

чество ресурса а, на каждом пункте , для всех , = 1,..,т. Имеется п пунктов назначения, в которые должен быть доставлен упомянутый ресурс в количестве Ь] на каждый пункт], где ] = 1,..,п. Обозначим X] -объём перевозимого из пункта , в пункт j продукта. Для упрощения рассмотрим случай сбалансированности предложения и спроса (отсутствие в большинстве практических случаев такового не вызывает значительных вычислительных сложностей).

т п

1 а, = 1 Ь};

¿=1 j=l

п

1 ху = а,; ' = ^^т;

т

1X] =Ь]; ] = п.

¿=1

Известны значения р,], соответствующие значениям оценок вероятностей [1] успешной доставки груза из , в] в количестве х,], если оно больше 0. При условии, что события доставки груза из нескольких пунктов сосредоточения в один пункт назначения - независимы [3], т.е.

Р(АА2.. Ак) = адад.. Р(АК);

целевая функция Е задачи по критерию максимума меньшей вероятности доставки будет определяться выражением

т

Е = штЩрц} ^ тах, ] = 1,..,п;

', ] , =1

где р] - вероятность успешной доставки ресурса для соответствующего паре индексов ¿, ] маршрута. При этом очевидно, что

0 <р]< 1, если Х]> 0;

Р] = 1, если х] = 0.

Метод решения. Проведённый анализ показывает, что в общем случае сформулированную задачу нельзя решить с применением симплексного метода и его модификаций применительно к транспортным задачам (методом потенциалов, методом знаков), в силу нелинейности и немонотонности области допустимых значений решений этой задачи. Проведённые исследования показали, что имеется, по крайней мере, один оптимальный вариант решения вышеописанной задачи среди так называемых базисных решений, в каждом из которых имеется N = т + п - 1 (где т - количество пунктов сосредоточения, п - количество пунктов назначения) каких-либо переменных X] , больших 0 (соответствующих ненулевым объёмам ресурса), остальные переменные равны 0. В поиске такого решения и состоит наша цель.

Покажем, что такое решение может быть найдено на основе алгоритма, отсутствующего в известной литературе и базирующегося на логической схеме ветвей и границ. Метод предусматривает разбиение множества всех решений на непересекающиеся под-

множества. Можно показать, что любое допустимое базисное решение [6] содержит, по крайней мере, одну базисную переменную, имеющую значение, без остатка покрывающее либо запасы ресурсов одного из пунктов сосредоточения, либо потребности одного из пунктов назначения. В соответствии с этим принципом множество решений задачи на 1-м шаге разбивается на т-п подмножеств. Некоторое осложнение заключается в том, что на к-м шаге разбиения очередного подмножества появляются значения базисных переменных, уже встречающиеся на более ранних этапах разбиения (т.е. возникает пересечение подмножеств на разных уровнях). Они исключаются путём удаления полученных на более ранних шагах разбиения подмножеств как обладающих меньшей информативностью.

Алгоритм решения. Алгоритм включает процедуры:

- нахождения произвольного решения и соответствующего значения целевой функции с присвоением ему статуса рекорда;

- иерархического разбиения множества подозреваемых на оптимальность решений на подмножества;

- определения для подмножеств решений верхних границ;

- исключения неперспективных подмножеств решений.

Схема алгоритма решения имеет вид, представленный на рис. 1, где - количество включённых в допустимое базисное решение базисных переменных; N - общее количество базисных переменных.

Практическое приложение результатов. Помимо охарактеризованного иерархического разбиения, метод ветвей и границ включает процедуру определения нижних и верхних границ целевой функции, которую удобно описать на примере. С этой целью рассмотрим иллюстративный пример решения задачи выбора оптимального маршрута транспортирования ресурсов по критерию максимума вероятности доставки на основе вышеописанного алгоритма. При формулировке и решении задачи исходные и текущие данные удобно систематизировать в виде транспортной таблицы. В табл. 1 приведены данные конкретной задачи.

Таблица 1

i J

№ Ресурсы 1 2 3

1 8 0,8 0,6 0,9

2 15 0,7 0,95 0,8

Потребности 6 10 7

Найдём исходное допустимое базисное решение (ДБР) методом северо-западного угла [6]. Для удобства решения будем представлять данные в виде упрощённой транспортной таблицы (табл. 2).

Таблица 2

6 10 7

8 0,8 0,6 0,9

15 0,7 0,95 0,8

С

Начало

I

Заполнение данных транспортной таблицы, определение числа базисных переменных

Нахождение допустимого базисного решения методом северо-западного угла 1

Выбор max ВГ этого уровня

Переход на один уровень вверх

Рис. 1. Схема алгоритма решения задачи оптимизации ПТ методом ветвей и границ

Определим значение целевой функции F=mm{0,8;0,6•0,95;0,8}=mm{0,8;0,57;0,8}=0,57.

Минимальное значение целевой функции называется рекордом ^=0,57.

Разобьём множество решений на m•n=2•3=6 подмножеств. Для этого построим вспомогательную таблицу (табл. 3), содержащую в качестве элементов значения тп^Ь/}, /=1,..,т,/=1,..,п.

Таблица 3

6 10 7

8 6 8 7

15 6 10 7

Представим первый уровень дерева решений на рис. 2, где значения под таблицами - произведения вероятностей каждой клетки столбца, содержащей базисную переменную (общая вероятность успешного ПТ в каждый пункт сосредоточения); "><" означает, что клетка не может содержать базисную переменную, поскольку значение запаса (или потребности), соответствующих этой клетке пункта сосредоточения (или пункта назначения), уже полностью покрыто; значения в углах клеток таблиц - вероятности успешного ПТ для невычеркнутых клеток; значения в центре клеток - величины перевозок.

Определим верхние границы для каждого подмножества как минимальные из трёх вероятностей (для каждого столбца).

£1 =0,72; £2=0,57; £3=0,57; £4=0,7; £5=0,72; £6=0,57

Поскольку оставшиеся ячейки при условии N=m+n-1=4 базисных переменных целиком входят в ДБР, то xn=6, x13=2, x22=10, x23=5, F=0,72. Проверяем подмножества на перспективность и пересечение.

Так как верхняя граница пятого подмножества первого уровня разбиения имеет значение, равное значению рекорда (0,72), а верхняя граница четвертого подмножества первого уровня меньше, чем рекорд, то при условии получения решения с максимальным значением целевой функции четвертое и пятое подмножества из дальнейшего рассмотрения исключаются. Таким образом, решение х11=6, х13=2, х22=10, х23=5 со значением целевой функции F=0,72 является оптимальным.

Для ориентировочной оценки вычислительной эффективности решены на ПЭВМ в интерактивном режиме по различным исходным данным задачи размерностью m=10, n=15 в среде визуального программирования Visual Basic 6.0. При этом объём памяти, как и во всех версиях МВГ незначителен, а существенны затраты времени. Так, при упомянутой размерности длительность работы ПЭВМ на базе процессора Pentium 3 с тактовой частотой 733 МГц не превышает 30 с. С ростом размерности задачи до m = n =30 можно предполагать, что время решения

Q,

0,8 6 *- 0,9 >< 0,6 8 >< 0,6 0,9 7

>< 0,95 0,8 0,7 0,95 0,8 0,7 0,95 ><

0,9 0,8 0,9 - 0,8 0,6

>< >< ><

0,7 6 0,95 0,8 0,95 10 0,8 0,95 0,8 7

0,8 0,95 0,72

0,7 0,57 0,8 0,7 0,57 0,9

Рис. 2. Разбиение множества

Удалим из рассмотрения неперспективные подмножества с £ < Я . Это подмножества с £2, £3, £6. Выбираем подмножество с тах{£} (например, первое подмножество с ^=0,72). Включаем х11=6 в ДБР и преобразуем таблицу данных. Разбиваем первое подмножество на подмножества более низкого уровня (рис. 3). Определим верхние границы.

£1=0,57; £2=0,72; £3=0,72; £4=0,57 Удаляем неперспективные подмножества с £1 и £4. Выбираем подмножество с тах{£} (подмножество с £2=0,72). Включаем х13=2 в ДБР и преобразуем таблицу данных.

О

0,6 0,9

2 >< >< 2

0,95 0,8 0,95 0,8

>< 0,9

0,95 10 0,8

0,57 0,8

0,95 0,72

0,95 0,72

0,6

><

0,95 0,8

7

0,57 0,8

Рис. 3. Разбиение первого подмножества решений на втором уровне

0,7 0,95 0,72 0,8 0,95 0,72 0,8 0,57 0,8 решений на первом уровне

может увеличиться не более чем на 2 порядка и составить 5-6 мин. Поэтому разрабатывается алгоритм приближённого решения с требуемой точностью, что, как известно, возможно в рамках логической схемы метода ветвей и границ.

Литература

1. Золотухин В.Ф. Основы общей теории систем. Ч. 2. М.,

1991.

2. Олифер В.Г., Олифер Н.А. Компьютерные сети: Принципы, протоколы, технологии. Санкт-Петербург, 1999.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., 1983.

4. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. М.,

1975.

5. Золотухин В.Ф., Павлов А.А. Характеристики надёжности в условиях неразличимости // Методы менеджмента качества. 2002. № 3.

6. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М., 1967.

Ростовский военный институт ракетных войск

15 марта 2004 г.