Умение видеть красоту математики при решении задач как показатель математической культуры будущего учителя информатики

ЛИТЕРАТУРА

1. Борисова Л.Г. Молодой учитель. Труд, быт, творчество. — М., 1983.

2. Недвецкая М.Н. Кто поможет молодому педагогу? — М.: АПКиППРО, 2006.

3. Ситник А.П., Маслова Л.В. Методическая помощь молодому учителю в период его профес-

сионального становления. — М.: АПКиПРО, 2005.

4. Маслова Л.В. Профессиональная адаптация молодого учителя в муниципальной развивающейся системе образования: Методические рекомендации. — М.: АПКиПРО, 2002.

УМЕНИЕ ВИДЕТЬ КРАСОТУ МАТЕМАТИКИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ КАК ПОКАЗАТЕЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ

М.С. Мирзоев, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математической физики Московского педагогического государственного университета, (499)246-56-68

В статье рассматривается возможность формирования математической культуры будущего учителя информатики через эстетическое и творческое развитие личности на примере блока дискретных математических дисциплин (дискретная математика, математическая логика и теория алгоритмов).

Ключевые слова: математическая культура учителя информатики, эстетическое развитие, блок дискретных математических дисциплин.

ABILITY TO SEE THE BEAUTY OF MATHEMATICS AS AN INDICATOR OF MATHEMATICAL CULTURE OF THE FUTURE TEACHER OF INFORMATION TECHNOLOGY

Mirzoev M.S.

The possibilities of mathematical culture formation of the information technology future teacher are looked upon in this article through aesthetic and creative development of the personality on the example of the learning of the block discrete mathematics disciplines (the discrete mathematics, the mathematical logic and the theory of algorithms).

Key words: mathematical culture of the teacher of computer technology, aesthetic development, block of discrete mathematical disciplines.

В формировании математической культуры будущего учителя информатики важную роль играет эстетическое (умение видеть красоту математики) и творческое развитие личности. Многие ученые считают, что одним из путей достижения творчества является эстетическое развитие личности, включающее законы красоты. Именно эстетический фактор ориентирует студента на выбор оптимального пути из альтернативных направлений научного поиска.

Эстетическое развитие личности включает в себя формирование эстетического идеала, активный идейно-эмоциональный отклик на эстетические черты математического процесса, способность личностного восприятия, суждения, оценки. Одним из главных показателей такого развития личности является умение увидеть красоту математики при решении различных задач.

Известный американский математик, основоположник ЭВМ Д. фон Нейман считал, что математика, как и искусство, движима почти исключительно эстетическими моти-

вами. Другой выдающийся математик ХХ века Ж. Адамар утверждал, что ученый, видя структурно несовершенную, несимметричную, «кривобокую» математическую конструкцию, начинает испытывать потребность в активной деятельности по ее гармонизации и совершенствованию [3].

Об эстетическом развитии личности, умении увидеть красоту математики в формировании математической культуры школьников написал отечественный математик В.Г. Болтянский [2]. По мнению В.Г. Болтянского, красота математического объекта может быть выражена посредством изоморфизма между объектом и его наглядной моделью, простотой модели и неожиданностью ее проявления. Далее автор приводит формулу «математичкой эстетики», характеризующей красоту математики:

Красота = Наглядность + Неожиданность = Изоморфизм + Простота + Неожиданность.

Наиболее четкая характеристика эстетической привлекательности математического объекта была дана Г.Д. Бирк-

гоффом: М=О/С, где М — мера красоты, О — мера порядка, а С — мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта [1]. Очевидно, в случае затраты минимума усилий (а это возможно, когда восприятие объекта укладывается в обобщенный его образ) мера красоты возрастает прямо пропорционально росту меры порядка. Отсюда следует, что для обучаемого красивыми математическими объектами будут те, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями с его стороны. Эстетическая мера будет увеличиваться с упорядочиванием структуры объекта, которое осуществляется в процессе его преобразования.

Вышеизложенные формулы, несомненно, связаны с математической культурой. Человек, обладающий такой культурой, быстрее и легче решает задачи. Математическая культура личности предполагает наличие научного мировоззрения, умения с минимальным количеством признаков находить аналогию с другими областями математики, легко усматривать новые формулировки задач, на другом языке находить разные модели задачи, в том числе более простые, более наглядные. Разумеется, нужно уметь считать, преодолевать технические сложности, знать формулы и уметь их применять, но все это не может ни в коей степени заменить решения задач, которые заставляют думать, сопоставлять различные методы, искать иные формулировки, находить связи с другими разделами математики. Именно такие задачи воспитывают хороший вкус и математическую культуру.

Эстетический компонент МК БУИ направлен на выяснение сущности прекрасного в математической гармонии, на умение видеть красоту математики и на воспитание тех эмоций, которые вызывают у студента чувство прекрасного в процессе обучения математическим дисциплинам дискретного блока. Успешность эстетического развития студента обусловлена пониманием его как целостного процесса развития эстетического отношения во взаимосвязи и взаимообусловленности с развитием творческих способностей. Раскроем суть развития эстетических качеств в процессе обучения математическим дисциплинам дискретного блока. В качестве примера задачи, развивающей эстетическое качество личности, рассмотрим задачу установления связи между последовательностью чисел Фибоначчи и треугольника Паскаля с помощью метода рекуррентных соотношений.

Решение. Воспользуемся рекуррентной формулой для получения последовательности чисел Фибоначчи, т.е. Вп=Вп-1+Вп-2 , где п>2 , с начальными значениями В0=В1=1, получаем: Вп=Вп ,+Вп 2=Вп 2+Вп 3+Вп 3+Вп 4=2Вп 2+2Вп 3+Вп 4=В

3 п п-1 п-2 п-2 п-3 п-3 п-4 п-2 п-3 п-4 ш-

3+Вп 4+2(Вп 4+Вп 5)+Вп 5+Вп 6=Вп 3+3Вп 4+Вп 5+Вп 6=Вп 4+Вп 5+3(Вп

3 п-4 4 п-4 п-5' п-5 п-6 п-3 п-4 п-5 п-6 п-4 п-5 4 п-

5+Вп 6)+3(Вп 6+Вп 7)+Вп 7+Вп 8=Вп 4+4Вп 5+6Вп 7+4Вп 7+Вп =...

5 п-6' 4 п-6 п-7' п-7 п-8 п-4 п-5 п-7 п-7 п-8

В наглядной форме это выглядит так.

Представленная наглядная модель решения данной задачи отражает красоту математики, которая и позволяет формировать у студентов эстетическое качество.

Можно привести немало задач на формирование эстетического качества студентов, где широко применяются элементы теории графов. Мощный толчок развитию теории графов дала кибернетическая наука совместно с развитием электронной вычислительно-информационной техники.

Одно из направлений кибернетической науки — задачи синтеза оптимальных управляющих систем, занимающихся переработкой информации, — внесло в теорию графов новые постановки проблем и методы их решения. Основная схема постановки задач синтеза выглядит следующим образом. В вершинах графа размещаются устройства переработки информации, а его ребра являются информационными каналами, осуществляющими связь между этими устройствами. Каждое устройство и каждый информационный канал обладают характеристиками, сведения о которых используются при формировании маркированного графа, описывающего разрабатываемую (синтезируемую) систему. Среди вершин графа выделены полюса ввода и вывода. Информация поступает в систему через входные полюса (истоки), передается по ребрам (дугам, если исследуется орграф), перерабатывается в элементарных устройствах, поступает на выходные полюса (стоки), откуда считывается из системы. Таким образом, в результате преобразований, проводимых в устройствах системы по некоторым законам, входная информация перерабатывается в выходную. Задача установления этих законов относится к классу задач анализа системы. Задача же синтеза системы состоит в том, чтобы в соответствии с установленным законом переработки информации подобрать граф с соответствующими ребрами (дугами), обеспечивающими эффективную передачу информации. При этом необходимо разместить в его вершинах устройства системы так, чтобы при минимальных суммарных затратах на комплектующие система с минимальными потерями информации реализовала бы требуемые законы переработки. Примером такого рода являются функциональные схемы переработки компьютером информации.

Функциональная (логическая) схема — это схема, состоящая из логических элементов, которая выполняет определенную функцию. Анализируя функциональную схему, можно понять, как работает логическое устройство, т.е. дать ответ на вопрос, какую функцию она выполняет. Рассмотрим использование функциональных схем в реализации различных типовых устройств компьютера.

Логическая реализация типовых устройств компьютера.

Обработка любой информации на компьютере сводится к выполнению процессором различных арифметических и логических операций. Для этого в состав процессора входит так называемое арифметико-логическое устройство (АЛУ). Оно состоит из ряда устройств, построенных на рассмотренных выше логических элементах. Важнейшими из таких устройств являются триггеры, полусумматоры, сумматоры, шифраторы, дешифраторы, счетчики, регистры.

Рис. 1

В п 1

В ,+В 2 п-1 п-2 1 1

В 2+2В 3+В . п-2 п-3 п-4 1 2 1

В ,+3В ,+3В ,+В й п-3 п-4 п-5 п-6 1 3 3 1

В .+4В ,+6В „+4В „+В я п-4 п-5 п-6 п-7 п-8 1 4 6 4 1

Конструирование логического устройства состоит из следующих этапов:

1) построение таблицы истинности по заданным условиям работы проектируемого узла (т.е. по соответствию его входных и выходных сигналов);

2) конструирование логической функции данного узла по таблице истинности, ее преобразование, если это возможно и необходимо;

3) составление функциональной схемы проектируемого узла по формуле логической функции.

После этого остается только реализовать полученную схему.

Рассмотрим пример, где требуется построить логическую схему для заданной таблицы истинности:

Таблица 1

Таблица 2

А В С F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Запишем логическую функцию по данной таблице истинности:

Упростим полученное логическое выражение:

Построим логическую схему для данного выражения: Схема 1

Слагаемые Перенос Сумма

А В Р S

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 0

2. Сконструируем функции Р(А,В) и S(A,B) по этой таблице:

Преобразуем вторую формулу, пользуясь законами логики:

3. Теперь можно построить функциональную схему одноразрядного полусумматора:

Р(А,В) = А&В

Схема 2

Попробуем, действуя по этому плану, сконструировать устройство для сложения двух двоичных чисел (одноразрядный полусумматор). Пусть нам необходимо сложить двоичные числа А и В. Через P и S обозначим первую и вторую цифру суммы: A+B = PS.

1. Таблица истинности, определяющая результат сложения, имеет вид:

Чтобы убедиться в том, как работает схема 2, нужно проследить за прохождением сигналов в каждом из четырех случаев.

Решение подобных задач в процессе обучения математической логике расширяет и укрепляет логико-теоретические знания студентов, развивает математическое мышление, исследовательские умения и эстетиче-

ское качество личности, обеспечивающие формирование МК БУИ.

Существенный вклад в эстетические развитие личности окажут и задачи исторического характера. Приведем наиболее яркие из них, дающие положительный толчок в развитии дискретной математики.

Первые положения математической теории графов были разработаны в XVIII веке Леонардом Эйлером в его знаменитой задаче о мостах в Кенигсберге.

Рис. 2

C

при условии, что ни в одну из вершин нельзя заходить более одного раза. Обращает на себя внимание двойственность постановки этой задачи по отношению к задаче нахождения эйлерова графа.

Приведем другие примеры на применение элементов теории графов в решении логических задач.

Задача. Несколько человек встретились на вокзале, чтобы поехать за город в лес. При встрече все они поздоровались друг с другом за руку. Сколько людей поехало за город, если всего было 10 рукопожатий?

Решение. Будем решать задачу графически, т.е. с помощью построения элементов графа. Вначале отметим точки А и В и соединим их отрезком. Точками будем изображать людей, а отрезок будет означать рукопожатие. Добавим еще одну точку С и соединим ее с точками А и В. Всего получается три отрезка.

Рис. 4

A

Л. Эйлер занялся вопросом, можно ли пройти через 7 мостов, соединяющих два района Кенигсберга с двумя островами на реке Преголе, так, чтобы, не проходя по какому-либо из них дважды, пройти последовательно через все мосты и вернуться в ту же часть города, откуда вышел. Большой остров был соединен с каждым из берегов двумя мостами, а малый остров — одним мостом с каждым берегом; кроме того, острова были соединены между собой еще одним мостом. Для наглядности на рисунке 2 приведено расположение мостов в Кенигсберге того времени. К задачам на эйлеровы графы приводят головоломки, в которых требуется вычертить на плоскости одним росчерком замкнутые кривые, проходя каждый участок маршрута в точности один раз.

В 1857 году ирландский математик Вильям Р. Гамильтон предложил игру, названную «Кругосветное путешествие по додекаэдру». Игра сводилась к обходу всех вершин правильного додекаэдра (рисунок 3) по ребрам, их соединяющим,

Рис. 3

C

Отметим следующую точку Д и соединим ее отрезками с тремя точками А, В и С. Теперь уже получилось шесть отрезков. Наконец, отметим пятую точку Е и соединим ее со всеми точками, отмеченными ранее. Получилось 10 отрезков, т. е. 10 рукопожатий. Получаем в итоге граф вида

Рис. 5

10

E

9/ \8

A

C

Таким образом, на вокзале встретились 5 человек.

Таких примеров можно привести достаточно много, однако мы ограничимся этим и отметим, что блок дискрет-

1

B

B

B

ных математических дисциплин предоставляет широкие возможности для формирования научного мировоззрения, математического мышления, математического мастерства, культуры математического языка и развития эстетического качества личности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Birkhoff G.D. Aesthetic Measure. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1933.

2. Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе. — 1982. — № 2.

3. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. — М.: Сов. радио, 1970.

4. Матросов ВЛ, Мирзоев М.С., Каладзе ВА. Дискретная математика. Учебное пособие. — М.:МПГУ, 2008.

5. Мирзоев М.С. Математическая логика. Учебное пособие. — М.: МПГУ, 2008.

РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ ШКОЛЬНИКОВ КАК СПОСОБ АКТИВИЗАЦИИ ИХ УЧЕНИЯ

И.В. Кулагина, НОУ СОШ «Свет», аспирант кафедры методики преподавания русского языка Московского педагогического государственного университета, (916) 4534268

В статье раскрываются основные показатели сформированности познавательных способностей школьников, рассмотрены способы развития познавательных способностей учащихся на уроке, анализируются блоки познавательной деятельности в учебно-познавательном процессе.

Ключевые слова: познавательные способности школьников, самостоятельность мышления, мотивация.

DEVELOPMENT OF COGNITIVE ABILITIES OF SCHOOL PUPILS AS A wAY TO ACTIVATE THEIR LEARNING PROCESS

Kulagina I.V.

In this article we identify the main indicators showing formation of cognitive abilities in elementary school pupils. Then we examine some ways of developing such cognitive abilities in children attending lessons. Finally we analyze the blocks of cognitive activity in the cognitive learning process.

Key words: cognitive abilities of schoolchildren, independent thinking, motivation.

Вопросы активизации учения школьников относятся к числу наиболее актуальных в современной педагогической науке и практике. Реализация принципа активности в обучении имеет первостепенное значение, т.к. обучение и развитие носят деятельностный характер, и от того, насколько качественно будет организована эта деятельность, зависит будущий результат обучения, развития и воспитания школьников. Знания, полученные в готовом виде, как правило, вызывают у учащихся затруднения как в их применении, так и в объяснении наблюдаемых явлений и решении конкретных задач. Одним из существенных недостатков современного образования остается формализм, который проявляется в отрыве заученных учащимися теоретических положений от умения применить их на практике.

Ключевой проблемой в решении задачи повышения эффективности и качества учебного процесса является развитие познавательных способностей (РПС) школьников. Особая значимость РПС состоит в том, что учение, являясь

отражательно-преобразующей деятельностью, направлено не только на восприятие учебного материала, но и на формирование отношения ученика к самой познавательной деятельности. Ее преобразующий характер всегда связан со способностями субъекта.

Можно выделить следующие основные показатели сформированности познавательных способностей школьников;

1) определенный фонд знаний и умений, их качество, степень обобщенности;

2) уровень развития психических механизмов, лежащих в основе развития познавательных способностей учащихся: внимания, памяти, воображения; эти качества являются основой продуктивного мышления;

3) уровень развития мышления ученика, который определяется степенью сложности умственных действий и операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстракция, классификация, конкретизация и т.п.), производимых им