Поперечный изгиб перфорированной тонкой пластины, ослабленной прямолинейными трещинами с концевыми зонами пластических деформаций

3. Korotkin, V.G. (1938). Obyomnaya Zadacha dly Uprugogo Izotropnogo Poluprostranstva, Sb. Gidroenergoproekta, №4, p. 52-85.

4. Florin, V. A. (1959). Osnovy Mekhaniki Gruntov, tom 1. Leningrad: Gosstroyizdat, 356 p.

5. Tzytovich, N. A. (1963). Mekhanika Gruntov, Moscow: Gosstroyizdat, 636 p.

6. Kharr, M. E. (1971). Osnovy Teoreticheskoy Mekhaniki Gruntov, Moscow: Stroyizdat, 320 p.

7. Van Baars, S. (2014). The inclination and shape factors for the bearing capacity of footings, Soils and Foundations, Vol. 54, №1, p. 985-992.

8. Tezzon, E., Tullini, N, Minghini, F. (2015). Static analysis of shear flexible beams and frames in adhesive contact with an isotropic elastic half-plane using a coupled FE-BIE model, Engineering Structures, Vol. 104, №1, p. 32-50.

9. Esen, I. (2013). A new finite element for transverse vibration of rectangular thin plates under a moving mass, Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 66, № 66, p. 26-35.

10. Wei, H.W., Wu, Y.Z., Yu, Z.H. (2012). Design parameter optimization of beam foundation on soft soil layer with nonlinear finite element, Journal of Central South University, Vol. 19, №6, p. 17531763.

The article presents the results of analytical numerical calculations of the cruciform foundations under the uniformly distributed load. The distributions of the stresses and displacements in active zone of the cross-shaped foundations are featured. The comparison of experimental and analytical settlements of complex form foundations is carried out. Multifactor power dependences are gained to define the settlements of cruciform foundations on cohesive and non-cohesive soil basement. The ability of the effective foundation forms using the condition of the maximum allowable settlement is featured.

KEY WORDS: finite element method, corner point method, cruciform foundation, stressstrain analysis.

ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ПЕРФОРИРОВАННОЙ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ ТРЕЩИНАМИ С КОНЦЕВЫМИ ЗОНАМИ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

Б.Б. КАЗБЕКОВ, аспирант

Институт математики и механики НАН Азербайджана Азербайджан, AZ1141, Баку, ул. Б. Вахабзаде, 9; e-mail:brrustam@mail.ru

Дается решение задачи о поперечном изгибе тонкой пластины, защемленной по краям отверстий и ослабленной двоякопериодической системой прямолинейных сквозных трещин с пластическими концевыми зонами, коллинеарных осям абсцисс и ординат неравной длины. Строятся общие представления решений, описывающие класс задач с двоякопериодическим распределением моментов вне круговых отверстий и прямолинейных трещин с концевыми зонами пластических деформаций. Удовлетворяя граничным условиям, решение задачи теории изгиба пластин сводится к двум бесконечным системам алгебраических уравнений и двум сингулярным интегральным уравнениям. Затем каждое сингулярное интегральное уравнение сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: перфорированная тонкая пластина, прямолинейные трещины с концевыми зонами, поперечный изгиб, зоны пластических деформаций.

Постановка задачи. Рассмотрим изотропную упругую пластину, опертую или защемленную по краям периодической системой круговых отверстий, которая изгибается под действием постоянной поперечной нагрузки. Материал

SOIL BASEMENT ESTIMATIONS OF THE CROSS-SHAPED ISOLATED FOUNDATIONS

S.P. Ivanov, A. V. Glushkov,

Volga State University of Technology, Russia, Yoshkar-Ola.

пластины принят упруго-идеально пластическим, удовлетворяющим условию пластичности Треска-Сен-Венана. Считаем, что круговые отверстия имеют радиус X (X<1) и центры в точках Рщ = mraj + n&2 (m,п = 0,±1,±2,...), raj = 2, = 2h* exp(Ja), h* >0, Imra2 >0 (рис. 1). Изотропная пластина ослаблена двоякопериодической системой прямолинейных сквозных трещин коллинеар-ных осям абсцисс и ординат. Действие поперечной нагрузки будет стимулировать возникновение в вершинах трещин зон пластических деформаций. Рассмотрим задачу о начальном развитии пластических деформаций на продолжении трещин. Исследование напряженно-деформированного состояния пластины с двоякопериодической системой круговых отверстий с прямолинейными сквозными трещинами показывает, что первые зоны пластических деформаций возникнут на продолжении линий трещин. В соответствии с моделью Леонова-Панасюка-Дагдейла [1] пластическая зона будет представлять собой узкий слой на продолжении трещин. Экспериментально показано, что зоны пластических деформаций будут представлять собой отрезки, расположенные на продолжении трещины. В тонких пластинах зоны пластических деформаций физически могут реализовываться в виде плоскости скольжения.

Берега трещин вне концевых зон свободны от внешних нагрузок. Принято, что в прочесе деформирования изотропной тонкой пластины противоположные берега трещин не контактируют между собой. Требуется определить напряженно-деформированное состояние изотропной тонкой пластины по краевым условиям, выражающим отсутствие смещений вдоль контура круговых отверстий и внешних нагрузок на берегах двоякопериодической системы прямолинейных сквозных трещин с учетом пластических деформаций на продолжении трещин. Таким образом, требует решения следующая краевая задача теории изгиба пластин:

DAAW(х, y) = q,

dW

'' z = Xe + mraj + n&2 на контурах отверстий,

- + j-

= 0,

дх dy

Mn (t) = 0,

N (t) +dHnt Nn (t) + dt

= 0

на берегах трещин,

Рис. 1. Расчетная схема задачи об изгибе пластины 30

СН

Мп ) = М8 , Ып ^) +—с^- = 0 на берегах зон пластических деформаций. Здесь q - поперечная нагрузка; t - аффикс точек берегов трещин и зон пласти-

3 / 2

ческих деформаций; А - оператор Лапласа; Б = Eh /12(1 -V ); Е - модуль упругости; V - коэффициент Пуассона; к - толщина пластины.

Размеры зон пластических деформаций изначально неизвестны; их следует определить в процессе решения задачи из дополнительного условия. Решение поставленной задачи строится по принципу суперпозиции:

W (х, у) = Wo( х, у) + Wl( х, у), 2 - 2 2

Wo (х, у) = + Б Ке[-ф0 (-)+ Х о( -)],

х, у) = Б Ке[-Ф1( -) + Х1( -)]. На основании краевых условий на жестко защемленных краях отверстий имеем:

32 + Ф

Граничные условия на берегах трещин и зон пластических деформаций имеют вид:

---Зt2

вФ

_ _ _ Зt 2

вФ (tl) + Ф + tl Ф'(tl) + Т (tl) + = /0 + С* на L2,

Здесь t - аффикс точек берегов трещин и зон пластических деформаций, направленных коллинеарно осям абсцисс и ординат соответственно; С и С* -действительные постоянные, определяемые в ходе решения задачи из условия равновесия; L1 и L2 - совокупность берегов трещин и зон пластических деформаций, коллинеарно соответственно осям абсцисс и ординат.

Постановка задачи включает случаи дефектов типа трещин (в = - (3 + V )/(1 - V)) и жестких включений (в=1) .

Решение краевой задачи. Аналитические функции Ф^), ) ищем в виде [2, 3]:

Ф

Т (-) = То( -) + -) + Т2( -);

ф о( -) = ф'о( -), То( -) = хо (-); Фо(-) = Фо1(-) + Ф1о(-), хо(-) = хо1(-) + Хю(-);

фо1

Х о1( -) = Во + В1 - 2 + В2 - 4 - Ао % *( -) -Р 2 X2 V (-) + а 2 X2 С *( -);

v(-) = {С(-)С-, %(-) = jv(-)d-, С*(-) = -^(-)С- ;

%*(-) =v*(-)С-, v*(-) = -|С*(-)С-

- ^+2 Х , (2k-1),

Ф1о( -)=!а 2k+2(21+1)! *(2k-1)( -);

^2k+2 ^2k+2 Х10 (-) = !Р2k+2 Т^ТГУ^"2) (*) " 1«2k+2 7^7б(2k-1) (*) ;

k=1

(2k +1)! Ф1( -) =

k=1

(2k + 1)!

л/(1 + к) ;

и

ig^) C(t - -)Л + А;

-) =

1

л/

|g^) [к^ - -) + б^ - -) - ¿у^ - -+ 5';

к

Ф 2 ( -) =

1

л

Igl(tl)С(/¿1 - -)Л1 + А";

и

= -я

и

Интегралы в (12) берутся по линиям Ь\ и Ь2

¿1 =[-1,-Х]+[Х, I ], и2 =[-11,-Х]+[Х, 11 ],

С( -) = - +1

т,п ,

г - Р Р

^ -1 тп -1 >

1 -

- + —-+ —т-

тп Р^

; у (-) = — +Х'

2

- т, п

1

у(2,с)(-) =_

^ + 1)! _ 2k+2

+ 1 '"

2k+2

(k=0,1,2,_);

(- Ртп) Ртп

б(-)=1

Рт

(г - Р )2

тп

--2 -

Рт

Рт

Р

Р

Рт

б

(-1) k (k + 1)! т,п (2 - Ртп ) ^

^=2,3,...).

Потенциалы (6)-(9) выбираются так, что w(х, у) является двоякопериоди-ческой функцией. Также постоянные А, В, подбираются таким образом, что функция Wo(х, у) двоякопериодическая. Используя условия периодичности функции Wo (х, у) и свойства введенных функций, находим, что

Ао =

12 - 12

32 л/

А2 = 96

§ 12 -21 -1 1 2 л/

В2 =

У21 -У1Ю2 . 12 - 12 '

2 2 — _

Р2^ §1 + а2^ (У1 + §1) - 2А1 1 - 2В1Ш1 = Ао¿1 (ш);

2 2 — _

Р2^ §2 + а2^ (У2 + §2) - 2А1Ю2 - 2В1Ш2 = Ао¿2();

— ** _ 1 _ — _2 2

¿1 (ш) = « -У1 - Л/Ш1 + 6 |§11 Ш1 - §1^1 - У1 1

— ** _ 1

¿2(ш) = «2 -у2 -Л/Ю2 + 6

«1 = 2«т1+ 8

§1ш2

§ 2 ш 2 2 - §2 2 -у 2 2. «2=

1

1

1

1

1

** ^ ^ — ^ — У! = 2v* I — I — 1 + ЛШ1 +

8

2

Ю ) _

у2 = 2v* I —2 I — Ю2v| —2 I + я/ 2 +

, У22 У22

8

2

Следовательно, с учетом выражений (10)-( 11) соотношения (6)-(9) дают двоякопериодическую функцию w(x,y). Постоянная В0 в формуле для функции Х0(г) находится из условия равенства w(x,y) нулю на контуре кругового отверстия L0,0. Из условий симметрии задачи относительно координатных осей, находим, что

1т а 2к = 0, 1т р 2k = 0

Представления (6)-(9) определяют класс симметричных задач с двоякопе-риодическим распределением смещений. Неизвестные искомые функции g(x), gl(y) и коэффициенты а2к , Р2к (к=1,2,.) должны быть найдены из краевых условий (4)-(5). В силу выполнения условия двоякопериодичности система граничных условий (4) вырождается в одно функциональное уравнение, например,

/9

на контуре L0,0 (т = Хе ), а система граничных условий (5) вырождается в краевое условие на L1 и L2.

К основным представлениям рассматриваемой задачи (6)-(9) следует добавить дополнительные условия

—Х

| g (Г) dt = 0;

—I —Х

| gl(tl) = 0;

—и

I

| g ^) dt = 0;

| gl(tl) ^ = 0.

Х

Эти условия обеспечивают однозначность углов поворота срединной плоскости при обходе контуров трещин [4].

Краевое условие (4) преобразуем относительно аналитических функций Ф 0( ^) и Т0( г):

Ф 0

32

'(нч-^тч-т Т0

/1 (9) + /2 (9) = —Ф1 (т) — Ф1( т) + [ТФ1 (т) + (т)] е2/9 ф1 (9) + /ф2 (9) = —ф2 (т) — ф2(т) + [тф2 (т) + ^2 (т)]

2/9

Считается, что функции /1 + //2, Ф1 + /ф2 на контуре кругового отверстия |т| = Х разлагаются в комплексные ряды Фурье, имеющие в силу симметрии рассматриваемой задачи вид:

/1(9) + /2(9) = ^е

к=—ю

Ф1(9) + ф 2(9) = X ^

к=—ю

2к/9

2 кг 9

1т р2к =0;

1т ^2к = 0

1 2я

*2к = з^К/1 +/2 ) е"

-2Ш9,

(к=0,±1,±2,...);

I

1 2 л

D2k = угДф! +Ф2)*"2ШdQ .

0

Подставив в (18) выражения (17) и поменяв порядок интегрирования, после вычисления интегралов с помощью теории вычетов находим величин F2k,

D2k:

F2k =" 2-1 8*

А

D2k = " 2-(1 + К) 181 )Ф2k Щ .

Ввиду громоздкости функций /2к (?) и ф2k в явном виде не приводятся.

Для нахождения коэффициенты а2k, Р2к, применяем метод степенных рядов. Подставляя в левую часть краевого условия (15) вместо аналитических функций Фо(т), Фо(т), Ф'о(т) и Т0(т) их разложения в ряды Лорана в окрестности нулевой точки, а правую часть (15) вместо /1 + ¡/2, Ф1 + ¡Ф2 ряды Фурье (17) и применяя процедуру метода степенных рядов, получаем две бесконечные системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов а2k , Р2к . После некоторых преобразований получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно а 2k :

ю

а 2у +2 = Х А]^а 2 у+2 + Ьу

У =1

Неизвестные коэффициенты Р2к определяются из уравнений: 1

Р2 =

1 з

ю л2к+2

81 - А0 +8 2 а 2 А2 + 2 x 8к +12^+2 а 2к+2 к=1 2

„ ю (2/ + 2к + 3)!8у+к+2А2/+2к+4

р2 у + 4 = (2у + 3)а2 у + 2 - А-2 у -2 + x -2 +2к+4 а2к+2 .

к=0 (2 / + 2)!(2к +1)!22  +2к+4

Таким образом, решая краевой задачи (4), определение искомых коэффициентов а2к и Р2к сведено к бесконечным алгебраическим уравнениям, в правой части которых имеются величины, зависящие в виде интегралов от искомых функций 8 (х) и 81( У). Для определения искомых функций 8 (х), 81( У) имеются граничные условия (5) на берегах трещин.

Требуя, чтобы функции (6)-(9) удовлетворяли краевому условию на контуре трещины Ь\, получаем сингулярное интегральное уравнение относительно

8*

1 +8 1

— {8*«КС " х)Л+- {8

А А

+ Qи - х) - ^ - х)у^ - х)]& + Н(х) = /С + /0, 3х2 - -

Н(х) = - КА' + А' + В' + (1 + 8)Ф„ (х) + хФ* (х) + % (х), Ф* (х) = Ф0 (х) + Ф2 (х) , % (х) = % (х) + % (х) .

Таким же образом, удовлетворяя граничному условию на контуре ^ , получаем еще одно сингулярное интегральное уравнение относительно искомой функции gl(y):

1 + 8 - У - ¿С Ф - ¿У) ]+

ni(1 + к) т

L2

+ (ti)|iQ(it - iy) + (it - iy) у (it - iy) - i'CO't - iy) Jj^tj + N (y) = iC* + /о,

_ _ 3 2 ___ _

1" , Л" , n« 3y

N (y) = -кЛ" + Л" + B "—З^- + вФ* (iy) + iy Ф* (iy) + T* (iy), Ф* (г) = Фо (z) + Ф1 (z), T* (x) = То (z) + T (z).

Используя условия [4], обеспечивающие равенство нулю скачка прогиба в вершинах разрезов L1 и L2,

-X_ / _ /j _

Re Jtg(t)dt = 0, ReJtg(t)dt = 0, Re Jt1 g1(t1)dt1 = 0, ReJ11 g1(t1)dt1 = 0,

находим, что С = 0; C* = 0 .

Для решения сингулярных интегральных уравнений (22), (23) воспользуемся разложением функций ^ (z), у(z), Q(z) в основном параллелограмме периодов. Каждое сингулярное интегральное уравнение приводим к стандартному виду с помощью замены переменных. Далее применяя процедуру алгебраиза-ции [5, 6] вместо каждого интегрального уравнения получаем конечную систему линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим правильные решетки, имеющие наибольшее практическое применение.

1) правильная треугольная решетка (= 2, га2 = 2exp(in/3)). Находим по полученным формулам значения постоянных ^ , , B2 :

Л0 =-^2 = 0, B2 = 0.

Постоянные L^ra) и L2(ra) в системе для определения Л1 и B1 в этом частном случае имеют вид:

L1

— ** __±л

L1 (га) = ^1 -у1 -ni га1, L2 (га) = —

31 e т

1 = Тб^П^-1(га); е2 =0; е3 = ; в4 =0; в5 = ; в6 =

б) правильная квадратная решетка (га1 = 2 , га2 = 2i). Для этого случая

Л0 =-4n • Л2 = B2 = l92n

— ** _ 2

L1 (га) = ^1 -у1 -ni га1 - - уl, L2(га) = -iL1(га);

1 Т i \ п n „ 2 У1 + n

В1 = L1(га); в2 = 0; в3 = 4; в4 = 0; в5 =—4—; в6 =

а постоянные в i:

Численные результаты. Для определения искомых величин а2к, Р2к, g* (¿к), gl (¿к) необходимо совместное решение системы, полученной на основании алгебраизации основных уравнений.

Каждое из сингулярных интегральных уравнений (22), (23) сводилось к конечной системе алгебраических уравнений. Из-за неизвестных размеров зон пластических деформаций полученная объединенная алгебраическая система уравнений оказывается нелинейной. Решение рассматриваемой задачи и, соответственно сингулярных интегральных уравнений (22), (23), ищется в классе всюду ограниченных функций, поскольку напряжения в изотропной упругой пластине со сквозными трещинами с концевыми пластическими зонами ограничены. Как известно из теории краевых задач, такое решение существует при дополнительных условиях (условиях разрешимости краевой задачи).

Приводя каждое сингулярное интегральное уравнение (22), (23) к стандартной форме, применяем интерполяционный полином Лагранжа, построенный по чебышевским узлам и квадратурные формулы типа Гаусса (метод Мультоппа-Каландия). Таким образом, каждое сингулярное интегральное уравнение первого рода сводится к конечной системе алгебраических уравнений, связанных с двумя бесконечными системами линейных алгебраических уравнений (20), (21). Чтобы замкнуть полученную объединенную алгебраическую систему, состоящую из двух бесконечных систем алгебраических уравнений (20), (21) и двух конечных систем уравнений, нужно добавить еще два уравнения, определяющие размеры концевых зон пластических деформаций на продолжении трещин. Эти уравнения получаем, записывая условия разрешимости краевой задачи:

м I п 0; 2к-1

!

2

I (-1) Ч* ( * m )ctg"f = 0. k=1 2 Таким образом, получена замкнутая алгебраическая система, полностью определяющая решение рассматриваемой упругопластической задачи о поперечном изгибе тонкой пластины.

Для определения предельного состояния изгибаемой тонкой пластины, при котором произойдет рост трещин, используем критерий хрупкого разрушения пластины, в качестве которого принимаем критерий критического раскрытия берегов трещин у основания пластической зоны. Согласно указанному критерию рост развитие трещин имеет место, когда раскрытие берегов трещин в вершине у основания пластической зоны достигает предельного для материала пластины значения 5cr, т.е. при выполнении условий l0 l10

í g

-l -li Представим условия (25) в дискретном виде, используя указанные выше замены переменных и квадратурную формулу Гаусса

1 - h2 M Р°

2^M k=^(1 - h2)(1 + тk) + h1

= 5 cr,

2 cr

1 -A"2

2 M2 °

— I , n = 5 cr,

24lMn=^(1 -A22)(1 + Tn ) + A22

где М1, М2 - число чебышевских узлов, принадлежащих интервалам (/0,1). (110,11).

' (I - ¡0 )1 Ь

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0

Ме

0,2 0,4 0,6

Рис. 2. Зависимость длины концевой зоны пластических деформаций (¡0 - ¡) при I = 1,5Х и значениях радиусов отверстий Х= 0,3; 0,4; 0,5 (кривые 1-3) для треугольной сетки

отверстий

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0

\ (1 -¡0)1 Ь

¡У 2 /

1 1

1

3 У

/^1

qh 2 Ме -

Рис. 3. Зависимость длины концевой зоны пластических деформаций

Полученная объединенная алгебраическая система является нелинейной из-за заранее неизвестных размеров зон пластических деформаций, поэтому ее

удобно решать методом последовательных приближений. В каждом объединенная алгебраическая система решалась методом Гаусса с выбором главного элемента для разных значений M порядка M=40.

На рис. 2 представлена зависимость длины концевой зоны пластических деформаций (Z0 -1) при /=1,5X и значениях радиусов отверстий X=0,3; 0,4; 0,5 (кривые 1-3) для треугольной сетки отверстий. На рис. 3 аналогичная зависимость показана для X = 0,3 и значениях длины трещин / = 1,10X; 1,25X; 2,00 X (кривые 1-3). Совместное решение объединенной алгебраической системы и условий (26) позволяет, имея заданные характеристики трещиностойкости материала, определить критическую диаграмму разрушения поперечной изгибающей нагрузкой тонкой пластины, опертой или защемленной по краям периодической системой круговых отверстий, размеры зон пластических деформаций для состояния предельного равновесия, при которых имеет место рост трещин.

Л и т е р а т у р а

1. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. - Киев: Наук. думка, 1991. - 416 с.

2. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. - 556 с.

3. Мирсалимов В.М. Разрушение упругих и упругопластических тел с трещинами. -Баку.: Элм, 1984. - 124 с.

4. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. - Киев: Наук. думка, 1981. - 324 с.

5. Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи. - М.: Наука, 1987. - 256 с.

6. Ladopou/os E.G. Singular integral equations, Linear and non-Linear theory and its applications in science and engineering. - Berlin: Springer Verlag, 2000. - 553 p.

R e f e r e n c e s

1. Panasyk, VV. (1991). Mechanics of quasibrittle fracture of materials. Kiev: Naukova Dumka,

416 p.

2. Grigo/yukEI, Fi/shtinskii LA. (1970). Perforated plates and shells. Moscow: Nauka, 556 p.

3. Mirsa/imov VM. (1984). Fracture of elasto - and elastoplastic bodies with cracks. Baku: Science. 124 p.

4. Savruk MP. (1981). Two-dimensional problem of elasticity for bodies with cracks. Kiev: Naukova Dumka, 324 p.

5. Mirsa/imov VM. (1987). Non-one dimensional elastoplastic problems. Moscow: Nauka, 256 p.

6. Ladopou/os EG. (2000). Singular integral equations, Linear and non-Linear theory and its appli-cations in science and engineering. Berlin: Springer Verlag, 553 p.

TRANSVERSE BENDING OF A THIN PERFORATED PLATE WEAKENED BY RECTILINEAR CRACKS WITH END ZONES OF PLASTIC DEFORMATION

B.B. Kazbekov

Institute of Mathematics and Mechanics of NAS of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan

We give a problem solution for transverse bending of a thin plate, clamped at holes edges and weakened by doubly periodic system of rectilinear through cracks with unequal length, collinear to abscissa and ordinate axes plastic end zones. We construct the general representation of the solutions describing the class of problems with a doubly periodic distribution of moments out of the circular holes and rectilinear cracks with end zones of plastic deformations. Satisfying the boundary conditions, the solution of the plate bending theory problem is reduced to two infinite systems of algebraic equations and two singular integral equations. Then, each of the singular integral equations reduces to finite system of linear algebraic equations.

KEYWORDS: perforated thin plate, rectilinear crack with end zones, transverse bending, zones of plastic deformation.