Определение оптических постоянных интерференционного слоя путем обратного проектирования на основе модифицированного метода Хука - Дживса

УДК 681.7.064.45

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОГО СЛОЯ ПУТЕМ ОБРАТНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ХУКА - ДЖИВСА1

А. Н. Баранов, Л. А. Губанова

DETERMINATION OF OPTICAL CONSTANTS OF INTERFERENCE FILMS BY USING A MODIFIED PATTERN

SEARCH METHOD

A. N. Baranov, L. A. Gubanova

Аннотация. Актуальность и цели. Изменения структурно-химических характеристик интерференционных слоев во время их изготовления приводят к отличиям оптических характеристик от моделируемых. Для получения требуемых спектральных характеристик покрытий необходима информация об оптических постоянных слоев, получаемая как во время осаждения, так и после него. Цель данного исследования - разработка метода определения оптических постоянных путем обратного проектирования. Материалы и методы. Реализация задач была достигнута за счет использования комбинированного оптимизационного метода на основе алгоритмов Хука - Дживса и «роя пчел». Описание дисперсии комплексного показателя преломления осуществлено при помощи формул Коши. Результаты. В работе подробно описан алгоритм разработанного метода, продемонстрирована его работа на примере обратного проектирования слоя TiO2 на стекле марки КУ-2, проведено сравнение с данными расчетов при помощи стороннего коммерческого программного обеспечения. Выводы. Предложенный в работе метод обратного проектирования на основе модифицированного алгоритма Хука - Дживса может быть использован для определения оптических постоянных интерференционного слоя. Приведенные в работе результаты расчета хорошо согласуются как со спектральными характеристиками, так и с расчетами, проведенными по методу огибающих.

Ключевые слова: обратное проектирование, оптические покрытия, оптические постоянные.

Abstract. Background. Spectral characteristics of fabricated optical coatings exhibit deviations from theoretically predicted spectral characteristics due to manufacturing errors. To make process corrections the information on actual thicknesses and refractive indexes of individual layers is required. The purpose of this study - develop a method for determining the optical constants by reverse engineering. Materials and methods. For reverse engineering, we chose a combined optimization method based on Hooke - Jeeves and algorithms "Artificial Bee Colony". The dispersion of the complex refractive index is described by the Cauchy formula. Results. The paper described the algorithm of developed method andan example of reverse engineering TiO2 layer onglass, compared results with the calculated databy commercial software. Conclusions. The proposed method of reverse engineering on the basis of the modified algorithm of Hooke - Jeeves can be used to determine the optical constants of the interference layer. The results are in good agreement with the spectral characteristics and the calculations on the envelope method.

Key words: optical coatings, optical constants, reverse engineering.

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-23-00136).

Оптические характеристики тонких слоев, получаемых методом вакуумного термического испарения, существенно отличаются от соответствующих свойств аналогичных массивных материалов. Основными причинами, приводящими к указанным отличиям, являются изменения структурно-химических характеристик слоев во время их нанесения, связанные со спонтанным дрейфом технологических параметров, флуктуациями, связанными с термодинамическими и физико-химическими закономерностями испарения пленкообразующего материала, а также факторами, определяемыми особенностями формирования слоев.

Кроме того, получение однозначных результатов осложнено диссациа-тивным характером испарения многих материалов, а также сложными диффузионными и десорбционными процессами, сопровождающимися автоколебаниями или скачками парциальных давлений испаряемых компонент.

Указанные отклонения влияют на основные оптические характеристики тонкого слоя: величину показателя преломления и коэффициента поглощения, их неоднородность по толщине и дисперсию.

Таким образом, определение оптических постоянных тонких слоев и оптимизация технологии осаждения на основе его результатов является актуальной задачей. Для решения это задачи на данный момент разработаны различные методы: эллипсометрия, нелинейное программирование, генетические алгоритмы, методы огибающих, стохастические методы оптимизации [1-6].

Получение достоверных результатов при использовании эллипсомет-рического метода затруднено тем, что свойства поверхности оптического элемента отличаются от свойств основной части из-за наличия нарушенного слоя после обработки и адсорбции различных химических соединений в результате контакта с атмосферой, а также чисткой перед осаждением покрытия. Кроме того, точность измерений ограничена качеством оптических окон для ввода и вывода зондирующего излучения [7]. Окна вносят искажения в поляризацию света за счет двулучепреломления, вызванного остаточными механическими напряжениями. Искажение поляризации возникает также при использовании микрообъективов [8], фильтров [9] и других элементов в оптическом тракте эллипсометра.

Для определения оптических постоянных на практике более распространено одновременное измерение коэффициентов пропускания и отражения системы «слой - подложка». Вместе с тем недавнее сравнение методов обратного проектирования, использующих в качестве данных для расчета всю измеренную спектральную характеристику, с методом огибающих, оперирующим данными только в интерференционных экстремумах, показало, что первые позволяют получить более точные результаты [10]. Остановимся на методах данного типа в рамках этой работы.

Задача обратного проектирования схожа с задачей синтеза оптических покрытий - требуется найти соответствующие минимуму функции качества 2И параметров:

h1, п2,   , ,

где hi и - комплексный показатель преломления и толщина /-го слоя соответственно; N - количество слоев в структуре покрытия.

В роли функции качества выбирают среднеквадратичное отклонение измеренной спектральной характеристики пропускания/отражения полученной интерференционной системы от рассчитанной матричным или рекуррентным методом [11].

Рассмотрим применимость обратного проектирования на основе оптимизационного метода Хука - Дживса к поставленной задаче.

Метод Хука - Дживса относится к прямым (опирается непосредственно на значения функции) методам и содержит два повторяющихся шага:

1) шаг исследующего поиска - начинается в исходной координате (выбирается заранее исследователем или генерируется случайно; в нашем случае -рассчитывается вторым алгоритмом). В процессе поиска значение каждого параметра координаты последовательно изменяется на величину заранее выбранного шага H. Если значение целевой функции в новой координате не превышает значение в исходной точке, то данный шаг признается успешным. Иначе осуществляется шаг в противоположном направлении с последующей проверкой значения целевой функции. После перебора всех P параметров (количество зависит от выбранной дисперсионной модели и количества слоев в покрытии) исследующий поиск завершается. Шаг H уменьшается, если новая координата совпадает с исходной;

2) шаг поиска по образцу - заключается в последовательном движении из полученной на шаге исследующего поиска координаты вдоль прямой, соединяющей ее с исходной. Итоговая координата определяется окончанием уменьшения значения целевой функции и становится новой исходной для первого шага.

Для ускорения сходимости и нахождения глобального минимума в методе предлагаем использовать дополнительный этап поиска подходящей начальной координаты при помощи алгоритма «роя пчел».

Алгоритм «роя пчел» - алгоритм для нахождения глобальных экстремумов сложных многомерных функций, впервые предложенный Karaboga в 2005 г. [12]. В работе [13] хорошо описана суть алгоритма и приведено сравнение с генетическим алгоритмом и алгоритмом, моделирующим поведение муравьев. Опишем шаги алгоритма применительно к обратному проектированию оптических покрытий.

1. Создадим M координат, каждая из которых содержит P параметров, значения которых в свою очередь генерируются случайно в пределах ограничений снизу и сверху, обусловленных физической природой материала и нашими начальными знаниями о структуре покрытия.

2. Рассчитаем значения функции качества в каждой из координат и выделим k лучших участков и l выбранных участков (значения хуже, чем в лучших).

3. Для каждого из k лучших участков создадим K координат, каждая из которых содержит P параметров, значения которых генерируются случайно в окрестности лучшего участка.

4. Для каждого из l выбранных участков создадим L координат, каждая из которых содержит N параметров, значения которых генерируются случайно в окрестности выбранного участка.

5. Будем повторять шаги 1-4 до срабатывания критерия остановки.

Значение выделенных параметров алгоритма обычно подбирается экспериментально, однако K должно быть больше N, исходя из логики метода.

В ситуации, когда случайный поиск в шаге 1 повторяется на каждой итерации, в шаге 2 выбор осуществляется, соответственно, и среди его значений функции качества. Для критерия остановки в нашем случае выбрано превышение максимального количества итераций цикла.

Продемонстрируем работу предложенного модифицированного метода на примере обратного проектирования слоя ТЮ2 на стекле марки КУ-2. Поверхность оптического элемента обрабатывалась методом глубокой шлифовки-полировки по ОСТ 3-6043-86. Слой осаждался до достижения оптической толщины 550 нм. Измеренная спектральная характеристика отражения и пропускания оптического элемента представлена на рис. 1.

Рис. 1. Спектральные характеристики исследуемого слоя TiO2 на стекле КУ-2

Для описания дисперсии показателя преломления пленки были использованы формулы Коши [14]:

i(X) = A-

104 B

109 C

X2 X4 ' 104E 109F

k (X) = 10"5 D +—— +

X2

X4

где n (X) и k (X) - действительная и мнимая часть показателя преломления материала на длине волны X , соответственно, A, B, C, D, E, F - свободные параметры.

Следовательно, каждая координата в используемых алгоритмах содержала шесть параметров, описывающих дисперсию комплексного показателя преломления слоя и один параметр для толщины.

Результаты расчета, проведенного алгоритмом, представлены в табл. 1. Эти данные хорошо согласуются с результатами, полученными нами при помощи коммерческого программного обеспечения Essential Macleod [15] (табл. 2).

Кроме того, стоит отметить практически полное совпадение измеренных и рассчитанных спектральных характеристик.

Таблица 1

Параметры, характеризующие тонкий слой TiO2 на стекле КУ-2

A B, нм2 C, нм4 D E, нм2 F, нм4 d, нм

2,173 6,712 -1,897 -13,721 0,0408 -0,043 63,42

Таблица 2

Сравнение результатов работы алгоритмов

Показатели преломления Essential Macleod Предложенный метод

n , X = 450 нм 2,46 + i0,0008 2,46 + i0,0008

n , X = 600 нм 2,35 + i0,0005 2,35 + i0,0006

n , X = 800 нм 2,28 2,27 + i0,0004

n , X = 1000 нм 2,24 + i0,00016 2,27 + i0,0002

d, нм 63,4 63,42

Таким образом, предложенный нами метод может быть использован для определения оптических постоянных и толщины интерференционного слоя. Модификация алгоритма позволяет избежать застревания в локальных минимумах, что часто наблюдается в исходной версии для рассматриваемой задачи. Относительная погрешность определения толщины и показателя преломления слоев метода не должна превышать 1 % при относительной погрешности измерения коэффициентов пропускания и отражения на уровне ±0,5 %. Полагаем, что метод может найти свое применение в качестве дополнительной функции в программном обеспечении для спектрофотометров и спектрометров, в том числе и встроенных в установки осаждения интерференционных покрытий.

Список литературы

1. Determination of layer thickness and optical constants of thin films by using a modified pattern search method / R. Miloua et al. // Opt. Lett. - 2012. - Vol. 37, № 4. - P. 449.

2. Swanepoel, R. Determination of the thickness and optical constants of amorphous silicon / R. Swanepoel // J. Phys. E. - 2000. - Vol. 16, № 12. - P. 1214-1222.

3. Determination of thickness and optical constants of amorphous silicon films from transmittance data / M. Mulato et al. // Appl. Phys. Lett. - 1983. - Vol. 77, № 14. -P. 2133.

4. Ross, T. Particle swarm optimization for ellipsometric data inversion of samples having an arbitrary number of layers / T. Ross, G. Cormier // J. Opt. Soc. Am. A. - 2010. -Vol. 27, iss. 2. - P. 319-326. - DOI: 10.1364/JOSAA.27.000319.

5. Cormier, G. Genetic algorithm for ellipsometric data inversion of absorbing layers / G. Cormier, R. Boudreau // J. Opt. Soc. Am. A. Opt. Image Sci. Vis. - 2000. - Vol. 17, iss. 1. - P. 129-134.

6. Шаганов, И. И. Определение оптических констант слабопоглощающих диэлектрических слоев на прозрачной подложке / И. И. Шаганов // Оптико-механическая промышленность. - 1988. - № 8. - С. 39-41.

7. Швец, В. А. Влияние остаточного напряжения в оптических окнах на точность эллипсометрических измерений / В. А. Швец // Автометрия. - 2008. - Vol. 44, № 2. - С. 119-126.

8. Спесивцев, Е. В. Эллипсометрия высокого пространственного разрешения / Е. В. Спесивцев, С. В. Рыхлицкий // Автометрия. - 1997. - № 1. - С. 73.

9. Швец, В. А. Эллипсометрический комплекс для исследования быстропротекаю-щих высокотемпературных процессов / В. А. Швец, С. И. Чикичев, В. Ю. Проко-пьев // Автометрия. - 2004. - Vol. 40, № 6. - С. 61.

10. Comparison of envelope method and full spectra fitting method for determination of optical constants of thin films / H. Liu et al. // Seventh International Conference on Thin Film Physics and Applications / ed. J. Chu, Z. Wang. - 2010. - P. 799 528-799 528 - 4.

11. Macleod, H. Thin-Film Optical Filters / H. Macleod. - Fourth Edition. - Boca Raton, FL : CRC Press, 2010. - Vol. 20102860. - 800 p.

12. Karaboga, D. An Idea Based on Honey Bee Swarm for Numerical Optimization / D. Karaboga // Technical Report TR06, Erciyes University. - 2005. - October.

13. The Bees Algorithm - A Novel Tool for Complex Optimisation Problems / D. T. Pham, A. Ghanbarzadeh, E. Kog, S. Otri, S. Rahim, M. Zaidi ; Manufacturing Engineering Centre, Cardiff University, Cardiff CF24 3AA, UK. - 2006. - URL: https://svn-d1.mpi-inf.mpg.de/AG1/MultiCoreLab/papers/Pham06%20-%20The%20Bee%20Algorithm.pdf

14. Stenzel, O. Optical Coatings Material Aspects in Theory and Practice / O. Stenzel. -Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2014. - 378 p.

15. The Essential Macleod. - URL: http://www.thinfilmcenter.com/essential.html (дата обращения: 27.03.2016).

Баранов Александр Николаевич аспирант,

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики E-mail: a.n.baranov@outlook.com

Губанова Людмила Александровна доктор технических наук, профессор, кафедра оптоинформационных технологий и материалов,

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики E-mail: la7777@mail.ru

Baranov Aleksandr Nikolaevich postgraduate student, Saint-Petersburg National Research University of information technologies, mechanics and optics

Gubanova Lyudmila Aleksandrovna doctor of technical sciences, professor, sub-department of optical information technologies and materials, Saint-Petersburg National Research University of information technologies, mechanics and optics

УДК 681.7.064.45 Баранов, А. Н.

Определение оптических постоянных интерференционного слоя путем обратного проектирования на основе модифицированного метода Хука -Дживса / А. Н. Баранов, Л. А. Губанова // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2016. - № 2 (18). - С. 106-111.