Компьютерный анализ импульсной системы автоматического регулирования

В.И. Каганов,

доктор технических наук, профессор, Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики

С.В. Терещенко,

Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики

КОМПЬЮТЕРНЫЙ анализ импульснои системы АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

COMPUTER ANALYSIS OF IMPULSE CONTROL SYSTEM

Рассматриваются два типа импульсных систем автоматического регулирования: первый, в котором объект регулирования работает в импульсном режиме, второй, в котором объект регулирования работает в непрерывном режиме и регулируется последовательностью импульсов. Описан классический подход к анализу линейных импульсных систем и приводится новый алгоритм для проведения компьютерного анализа. Даны примеры расчета переходных процессов при использовании данного алгоритма для обоих типов импульсных систем.

Two types of automatic control system are considered. The first type is a system where plan operates in pulse mode and the second where the plant is regulated by pulse sequence while operating in continuous mode. The theoretical analysis and the new algorithm for computer analysis are provided. The examples of transient process calculation according to the new algorithm are derived for two types of systems.

Для стабилизации режима работы, для слежения за изменяющимися условиями и реагирования на внешние сигналы в разнообразных машинах и устройствах, работающих в импульсном режиме, применяются системы автоматического управления [1—3]. Примером могут послужить радиоэлектронные средства, как гражданской, так и военной радиолокации, а также различные системы мониторинга. Классический подход к анализу импульсных систем регулирования основан на сложных математических моделях и поэтому не является практичным. Использование современных компьютерных программ позволяет значительно облегчить анализ импульсных систем регулирования и провести все необходимые расчеты в целях ее оптимизации [4], а именно определить ее устойчивость и характеристики переходных процессов.

Импульсные системы автоматического регулирования можно разбить на два основных типа. В системах первого типа (рис. 1,а) сам управляемый объект работает в импульсном режиме работы. К таким системам, в первую очередь, относятся радары, в которых радиопередатчик работает в импульсном режиме. В течение коротких радиоимпульсов при слежении за целью требуется обеспечить стабильное значение одних параметров радара и изменение других в строгом соответствии с определенным законом. В системах второго типа (рис. 1,б) сам управляемый объект работает в непрерывном режиме, но измерение его параметров, в том числе сигнала ошибки, осуществляется в импульсном режиме с применением широтно- или амплитудно-импульсной моду-

Введение

1. Два типа импульсных систем автоматического регулирования

ляции. К системам второго типа относятся, например, устройства термодинамического типа, стабильные источники постоянного и переменного тока, устройства автоматического регулирования коэффициента усиления (АРУ) и некоторые другие [3].

Рис. 1. Структурная схема импульсной системы автоматического регулирования:

а — первого типа, б — второго типа

Структурная схема обоих типов импульсной системы автоматического регулирования включает как непрерывную динамическую часть, так и импульсную. Следует заметить, что если импульсная часть вынесена за пределы контура регулирования, то такая система является непрерывной с импульсным воздействием.

2. Метод анализа импульсной системы автоматического регулирования

Математической аппарат, используемый при анализе линейных импульсных систем автоматического управления, основывается на методе дискретного преобразования Лапласа для решетчатых функций [1,2]. При этом импульсная часть системы расчленяется на два элемента: импульсный и формирующий. С помощью первого генерируется последовательность мгновенных импульсов в виде дельта- функции, второго — их преобразование в импульсы требуемой длительности.

Формирующий элемент совместно с непрерывной частью составляет приведенную непрерывную часть структурной схемы, которая характеризуется оператором:

К

где КФ(д) — оператор формирующего элемента, КН(д) — оператор непрерывной части.

Динамика процессов в импульсной системе описывается при помощи разностного уравнения, а при линейной импульсной системе — в сокращенной форме на основе дискретного преобразования Лапласа:

У "

1 + Кр

где К*(д, е) — оператор разомкнутой импульсной системы; КЗ*(д, е) — оператор замкнутой импульсной системы; х*(д) — дискретное изображение входного сигнала; у *(д, е) — дискретное изображение выходного сигнала.

В соответствии с правилами обратного дискретного преобразования Лапласа по

изображению г (д,є) определяют оригинал г[ к,є ], т.е. решетчатую функцию, где пара-

метр к определяет изменение выходного сигнала от импульса к импульсу, а параметр в

— внутри импульса.

Такова в общих чертах процедура анализа импульсных линейных систем автоматического регулирования. Следует отметить большой объем математических преобразований, сопутствующий данному методу, связанному с определением корней алгебраических уравнений, нахождению дискретного изображения оператора сначала разомкнутой, а затем замкнутой системы и обратной процедуре перехода от изображения к оригиналу. Сказанное касается даже систем с непрерывной частью, описываемой разностным уравнением первого и второго порядка. Поэтому во многих случаях исследование систем автоматического регулирования в рамках данной методики ограничивается поиском только условий устойчивой работы схемы [3].

3. Компьютерный подход к анализу импульсной системы автоматического регулирования

Этот подход основан на составлении и численном решении дифференциального уравнения с переменными коэффициентами с помощью компьютерной программы. При этом компьютерное моделирование импульсной части системы осуществляется путем ввода в нее специального импульсного генератора, описываемого с помощью двух операторов:

ф

где г (ї ) = cos

2к —

К Ту

cos

1; Т — период следования импульсов; т — длительность

импульса; и — амплитуда. Меняя три последних параметра, можно формировать требуемую последовательность импульсов. Пример графиков функции (3) приведен на рис. 2. Сформированный импульсный сигнал, воздействуя на управляемый параметр, переводит в целом устройство автоматического регулирования в импульсный режим работы.

Рис. 2 . Сигнал, формируемый импульсным генератором первого типа

4. Алгоритм компьютерной программы анализа импульсной системы

первого типа

Пусть оператор линейной непрерывной части системы описывается выражением

^

к р

к=0

где К0— коэффициент усиления; х 2(р), у(р) — изображения сигналов на входе и выходе непрерывной части системы (рис. 1, а).

Оператору (4) соответствует следующее дифференциальное уравнение:

к=? ¿ку + К

2 ак + а0 У = К0 х1( *).

к=1

Уравнение сигнала ошибки согласно рис. 1, а:

*х

где хвХ (*) — внешний непрерывный, управляющий сигнал.

Функция, описывающая действие импульсной части:

и

где Ф(*) — функция (3), характеризующая объект управления в импульсном режиме работы, q = т/Т — скважность.

Заметим, что ввод параметра q необходим для выравнивания по «площади» импульсного сигнала объекта управления и непрерывного внешнего сигнала управления.

Совместно решив уравнения (4)—(7), получим следующее дифференциальное уравнение с переменным коэффициентом для линейной импульсной системы авторегулирования п-го порядка:

п ёку

X ак-г1+ао у+К о q ф(*) у=К о ХВХ (*).

к=1 а г

При наличии нелинейного звена в динамической части системы следует составить нелинейное дифференциальное уравнение для аналогичной системы, работающей в непрерывном режиме работы (см., например [5]), а затем ввести в это уравнение функцию Ф(0, описывающую импульсный элемент.

Численное решение уравнения (8) по компьютерной программе в среде МаЛсаё позволяет рассчитать переходный процесс в системе и определить условия устойчивости.

Пример 1. Приведем результаты такого расчета для линейной системы, динамическая часть которой описывается оператором второго порядка:

К Р

Х2

где К0 — коэффициент усиления; Т1, Т2 — постоянные времени.

При операторе (9) дифференциальное уравнение для линейной импульсной системы авторегулирования второго порядка примет вид:

а2 у

а2-ГТ + а1~Т у + а0 у + К0 q ф (0 у = К о ХВХ (*), а* а*

где входной сигнал есть ступенчатая функция:

0 при I < 0

и0 при I > 0 ’

а0 = 1, а1 = Т1 + Т2, а2 = ТгТ2 — постоянные коэффициенты.

Плавно меняя параметры системы, можно найти их комбинацию, соответствующую трем режимам работы: устойчивому, неустойчивому и автоколебательному. Примеры переходного процесса в системе у(*) при трех таких режимах работы приведены на рис.3. При К0 =10, Т1 =2 мс , Т2=0,3 мс система работает устойчиво (рис. 3,а). При К0 =10 , Т1 =2 мс, Т2=0, 3 мс система переходит в режим автоколебаний (рис. 3,б), а при увеличении коэффициента усиления до значения К0 =19,7 — в неустойчивый режим (рис. 3,в). Соответствующая рассматриваемой импульсной системе непрерывная система автоматического регулирования описывается тем же дифференциальным уравнением (10) при q=1 и Ф (0=1. Переходный процесс в ней при К0 =50, Т1 =2 мс, Т2=0,3 мс построен на рис. 3,г. Размерность величин Т1, и Т2 определяет и размерность времени в

графике переходного процесса у(*).

х вх (0

Л О, в

и(У), В

у( О, в

ЯО,в

в

г/(0, в

в)

Рис. 3. Графики переходного процесса в системе первого вида: а — при устойчивом режиме; б — автоколебательном, в — неустойчивом, г — при непрерывном режиме

Следует отметить особенность импульсной системы, связанную с устойчивостью ее работы. Поскольку в системе регулирование осуществляется от импульса к импульсу, то такой процесс идентичен процессу с задержкой сигнала по времени. В этом смысле импульсная система идентична непрерывной системе с элементом запаздывания, устойчивость которой во многом определяется временем задержки [5]. В результате неустойчивой может быть даже импульсная система второго и даже первого порядка, хотя соответствующая ей непрерывная система будет устойчива при любых значениях параметров. Данное утверждение наглядно демонстрируется путем сравнения графиков на рис. 3,в и рис. 3,г.

5. Алгоритм компьютерной программы анализа импульсной системы второго типа

Как указывалось выше, в системах второго типа сам управляемый объект работает в непрерывном режиме, но измерение его параметров, в том числе сигнала ошибки, осуществляется в импульсном режиме с применением широтно-импульсной (ШИМ) или амплитудно-импульсной модуляции (АИМ). При АИМ измерительный импульсный элемент вырабатывает импульсы, амплитуда которых пропорциональна измеряемому сигналу:

^ ) = кивх

где г(і) = СОБІ 2Р —

I Т у

- СОБ

Т

ивх (і ) — входной сигнал.

Графики функции (12) при входном синусоидальном сигнале и линейном возрастании амплитуды приведены на рис. 4,а и рис. 4,б соответственно.

Рис. 4. Сигнал, формируемый импульсным генератором второго типа

При тех же исходных условиях, что и в системе первого типа, дифференциальное уравнение, описывающее процесс в линейной системе автоматического регулирования второго типа с учетом (12) и иного места включения импульсного элемента (рис. 1, б), примет вид:

к=п йку - ,

Е‘

+ а0 У = К0 Я ¥(хвх(—) - У) ,

где х ВХ(—) — внешний непрерывный, управляющий сигнал.

Численное решение уравнения (12) по компьютерной программе в среде МаШсаё позволяет рассчитать переходный процесс в системе и определить условия устойчивости. Как и в первом случае, меняя параметры системы, можно найти возможность существования в ней трех режимов работы: устойчивого, неустойчивого и автоколебательного. Приведем результаты расчета для линейной системы, динамическая часть которой описывается оператором (9).

Пример 2. При операторе 9) дифференциальное уравнение для линейной импульсной системы авторегулирования второго порядка (12) с учетом (13) примет вид:

+ а1 — У + аоУ = КокЯ (хвх(—)-У)Ы8П(г(—)) +1] .

Плавно меняя параметры системы, можно найти их комбинацию, соответствующую устойчивой и неустойчивой работе системы. Примеры переходного процесса в системе при двух таких режимах работы приведены на рис. 5. При К0 =10, Т1 =2 мс, Т2=3 мс система работает устойчиво (рис. 5,а). При К0 =15,5, Т1 =2 мс, Т2=0,3 мс система неустойчива (рис. 5,б). Как и в первом случае, размерность величин Т1, и Т2 определяет и размерность времени в графике переходного процесса у(/).

у(О, В и(1), В

а)

у( О? в м(£), в

б)

Рис.5. Графики переходного процесса в системе второго вида: а — при устойчивом режиме; б — неустойчивом

Выводы

По результатам проведенного анализа можно сделать следующие выводы:

1.Разработанная методика компьютерного анализа позволяет рассчитать переходный процесс в импульсной системе автоматического регулирования и найти комбинацию параметров, соответствующую трем возможным режимам работы: устойчивому, автоколебательному и неустойчивому.

2. В основе анализа лежит включение в состав исследуемой модели импульсного генератора с переменными параметрами и численное решение дифференциального уравнения, описывающего работу такой модели.

3. Приведены примеры расчета переходного процесса в двух типах импульсной системы автоматического регулирования: при работе в импульсном режиме самого объекта управления и при измерении разностного сигнала с помощью импульсного элемента.

ЛИТЕРАТУРА

1. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. — М.: Физ-матгиз, 1958. — 456 с.

2. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. — М.: Физматгиз, 1963.

— 968 с.

3. Дискретные и самонастраивающиеся системы: труды 2-го Международного конгресса ИФАК. — М.: Наука, 1965. — 847 с.

4. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления / под ред. Н.Д. Егупова. — М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. — 736 с.

5. Каганов В.И. Радиоэлектронные системы автоматического регулирования. — М.: Горячая линия-Телеко м, 2009. — 432 с.