К задаче конструирования автоматического регулятора для объекта второго порядка с запаздыванием

УДК 681.52.01

К ЗАДАЧЕ КОНСТРУИРОВАНИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ ОБЪЕКТА ВТОРОГО ПОРЯДКА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

С.В. Панферов, В.И. Панферов

ТО THE DESIGN PROBLEM OF AN AUTOMATIC CONTROLLER CONSTRUCTING FOR THE SECOND ORDER OBJECT WITH TIME DELAY

V.l. Panferov, S.V. Panferov

Для системы автоматического регулирования (САР) с ПИД-регулятором и статическим объектом управления второго порядка с запаздыванием методом математического моделирования оценивается устойчивость и определяются показатели качества переходных процессов как при возмущении по заданию, так и со стороны регулирующего органа. При этом рассматриваются значимая по размерам окрестность точки с предложенными базовыми настройками регулятора, а также и наиболее вероятные в практических ситуациях величины вариаций параметров объекта управления. Показано, что обсуждаемый метод структурно-параметрического синтеза позволяет конструировать достаточно робастные САР.

Ключевые слова: ПИД-регулятор, устойчивость САР, качество переходных процессов, базовые настройки, объект управления 2-го порядка с запаздыванием.

Using method of mathematical simulation stability is estimated and quality rating of transients both under disturbance by the task and under final control element are defined for the automatic control system (ACS) with a PID controller and a static second order control object with time delay. Both a point neighborhood significant by size with the proposed default settings of the regulator and values of variation of parameters of the control object the most probable in practical situations are analyzed. It is shown that the discussed method of a structural-parametric synthesis enables to construct sufficiently robust ACS.

Keywords: PID controller, stability of ACS, quality of transient processes, default settings, control object of the second order with time delay.

Введение

Наибольшая экономия тепловой энергии в системах теплоснабжения зданий достигается за счет их автоматизации, поэтому разработка вопросов, связанных с проблемой построения высококачественных систем автоматического управления, является вполне актуальной задачей. В настоящее время в промышленности, в том числе и в системах теплоснабжения зданий для автоматического регулирования различных переменных технологических процессов широко используются ПИД-регуляторы и их частные варианты. Накоплен огромнейший опыт применения таких регуляторов, в частности, разработаны и апробированы различные способы их настройки. Вместе с тем, как неоднократно отмечает В.Я. Ротач в своем сравнительно недавно изданном учебнике [1], П-, ПИ- и ПИД-«...алгоритмы были получены чисто эвристическим путем» [1, с. 82] и что «...достаточно убедительное формальное доказательство целесообразности их применения ... до сих пор получить не удалось» [1, с. 24].

В работе [2], как нам представляется, удалось получить некоторое формальное обоснование це-

лесообразности применения ПИД-регуляторов, здесь задача решалась методом «подгонки» передаточной функции замкнутой системы автоматического регулирования к некоторому достаточно разумному и практически достижимому виду. Найдены эталонные структуры и настройки регуляторов для типовых динамических характеристик промышленных объектов управления, при этом установлено, что все эти регуляторы принадлежат ПИД-семейству. Казалось бы, что поставленная цель достигнута, однако для полноты исследования проблемы необходимо рассмотреть вопрос о качестве переходных процессов (ПП) в таких системах и о грубости этих структур и настроек, данная задача и решается в настоящей работе.

Постановка задачи

Рассмотрим объект управления с передаточной функцией вида

Кб

а2р +ахр +1

где коб - коэффициент передачи объекта; тоб -время запаздывания объекта; ах и а2 - коэффици-

енты дифференциального уравнения объекта управления, р - комплексная переменная. По данным [3] такой передаточной функцией описывается, например, канал «расход сетевой воды - температура внутреннего воздуха здания». В соответствии с [2] близким к идеальному для такого объекта будет ПИД-регулятор с передаточной функцией

1 сг7

Ъ(р)=

1+-

ахр ах

где 0 - достаточно малая постоянная времени. Требуется оценить устойчивость САР и качество переходных процессов в ней при вариациях параметров настройки регулятора и параметров объекта управления.

Методика решения задачи

Для анализа переходных процессов в системе с объектом управления данного типа разработаны две компьютерные программы: одна для анализа переходных процессов при возмущении по заданию, а другая - при возмущении со стороны регулирующего органа.

В каждой из разработанных программ предусмотрен ввод ко6, ах, а2, тоб, а также коэффициента передачи кр, времени интегрирования Тя и времени дифференцирования Гд ПИД-регулятора,

каждая из программ осуществляет не только построение графика переходного процесса, но и определяет перерегулирование а и время регулирования (р, а также вычисляет значения следующих

критериев:

гк

/! = Ле

о

1К

/2 = _[е2

о

где е(/) = х3(0-*(0 - ошибка регулирования (рассогласование); х3(/) и х(() - соответственно заданное и действительное значения регулируемой величины; t - время; !к - конечное время оценки переходного процесса. Здесь время регулирования ?р определялось как время, по истечении которого

отклонение регулируемом величины от задания не будет превышать 5 %. Интегрирование дифференциального уравнения объекта управления осуществляется методом Рунге-Кутты с погрешностью, пропорциональной пятой степени шага по времени. Для компьютерного использования алгоритм ПИД-регулирования представляли в дискретной форме, при вычислении интеграла применяли метод трапеций. С целью сокращения объема необходимых вычислений использовали рекуррентную форму дискретного представления алгоритма ПИД-регулирования, приведенную в работе [4]:

и(т)=и(т-1)+д0г(т)+дхЕ(т-1) +

+<?2б

где т — номер расчетного шага по времени, д0 =*р [1+Та/к+к/2ТИ]; Чх =Ар [А/27; -1-2Тл/И\ ; д2 = крТД /А; А - величина шага по времени;

1/ - выходная величина регулятора (% хода исполнительного механизма (ИМ)). В программах предусматривается ввод нижнего и верхнего пределов изменения регулирующего воздействия и .

Вариация параметров настройки

регулятора

Исследование качества переходных процессов в САР проводилось в окрестности базовых настроек: кр =-———;ТК=ах\ТЛ = а2/ах, при выпол-

*об

нении вычислений параметры объекта управления соответствовали динамическим свойствам канала «расход топлива (угольной пыли) в % хода ИМ -паропроизводительность» котельной установки [5]: ^=1,66 т/ч/% хода ИМ; а, =93,33 с; а2 =1550 с2; тоб =30 с. В этом случае базовые значения параметров настройки регулятора составят (параметр

а,

в полагался равным нулю 9 = 0): к =----------— =

^об^об

= 1,87 % хода ИМУт/ч; 7И =ах = 93,33 с; Тд=а2/ах = = 16,60 с.

В табл. 1 приведены показатели качества переходных процессов в САР при базовых значениях кр, 7И и различных значениях ТЛ.

Таблица 1

Показатели качества переходных процессов при кр = 1,87 %ходаИМ/т/ч; Ги = 93,33с и различных значениях Тд при возмущении по заданию

2,2 4,4 8,8 16,6 17,6 20,0

а, % 15,97 10,34 2,73 0,008 0 0,001

1259,7 700,2 413,6 256,2 257,4 247,8

/,, (т/ч)-с 200,80 153,47- 129,86 120,87 124,58 124,59

/2,( т/ч)2с 99,11 92,79 90,39 89,61 91,32 91,93

При Тд = 0 получили незатухающий, колебательный переходный процесс с амплитудой, составляющей 25,17 % от задания. Анализ полученных значений критериев 7, и /2 показал, что базовая настройка времени дифференцирования Тд = 16,6 с, по всей видимости, является оптимальной для обоих критериев. Конечно, для большей уверенности в этом утверждении следует провести более детальный расчет зависимостей /, и /2 от Гд. Тем не менее данные табл. 1 свидетельствуют, что существует значимая окрестность точки Тд =16,6 с, в которой сохраняется приемлемое качество переходных процессов в САР, высокая точность установки значения Тд при настройке регулятора не требуется.

В табл. 2 приведены показатели качества переходных процессов в САР при базовых значениях кр, Гд и различных значениях времени интегрирования Ти.

Как видно из табл. 2, базовая настройка времени интегрирования Ги = 93,33 с не является оптимальной НИ ПО критерию /], ни по критерию /2, а также ни по критерию времени регулирования * .

Вместе с тем, как это нетрудно видеть, такая настройка времени интегрирования является достаточно приемлемой, в значимой окрестности точки 7И = 93,33 с сохраняется удовлетворительное качество переходного процесса в САР.

В табл. 3 приведены показатели качества переходных процессов в САР при базовых значениях

Таблица 2

Показатели качества переходных процессов при кр= 1,87 % хода ИМ/т/ч; Гд = 16,60 с и различных значениях Ги при возмущении по заданию

ТН’С 103,33 98,33 93,33 88,33 83,33 78,33

а, % 0 0 0,008 0,119 0,594 1,253

*р>С 291,1 267,8 256,2 248,3 242,3 237,7

/,,(т/ч)с 137,25 128,54 120,87 114,16 108,54 103,81

/2, (т/ч)2-с 96,40 92,72 89,60 86,97 84,76 82,92

Окончание табл. 2

73,33 68,33 63,33 58,33 53,33 48,33

а, % 3,169 10,117 15,044 24,801 33,462 44,840

Vе 234,2 238,3 247,5 264,2 342,9 436,2

/,,(т/ч)с 100,05 100,04 101,66 107,76 116,49 134,25

12, (т/ч)2-с 81,09 79,32 78,57 78,33 79,624 84,07

Таблица 3

Показатели качества переходных процессов при Ги = 93,33 с ; Тд = 16,60 с и различных значениях Яр при возмущении по заданию

кр, % хода ИМ/т/ч 1,87 1,97 2,07 2,17 2,27 2,37 2,47

о, % 0,008 0,034 0,123 0,399 0,993 1,948 3,088

*р>С 256,2 254,8 250,5 246,0 240,3 334,0 335,9

/], (т/ч)-с 120,87 122,14 121,73 121,61 120,51 119,36 120,92

/2, (т/ч)2 с 89,60 89,37 88,49 87,71 86,41 84,77 83,85

Окончание табл. 3

кр, % хода ИМ/т/ч 2,57 2,67 2,77 1,77 1,67 1,57 1,47

а, % 4,440 6,189 8,626 0 0 0 0

Vе 335,1 446,7 677,7 265,0 263,9 273,9 274,1

1х, (т/ч)-с 124,95 131,28 140,84 125,33 124,05 129,37 130,54 '

/2, (т/ч)2-с 83,64 83,70 83,86 92,20 92,57 95,69 97,23

В табл. 6 приведены показатели качества переходных процессов в САР при базовых значениях Ги, Гд и различных значениях коэффициента передачи регулятора кр при возмущении по нагрузке.

Таким образом, данные табл. 1-6 свидетельствуют о том, что в значимой по размерам окрестности точки с базовыми настройками регулятора

кр =—^—=1,87% ходаИМ/т/ч; Ги =а, =93,33 с;

^обхоб

ТЛ =а21ах = 16,60 с сохраняются устойчивость

САР и приемлемое качество регулирования как при возмущении по заданию, так и при возмущении со стороны регулирующего органа, следовательно, большой точности установки численных значений параметров настройки регулятора не требуется. Заметим, что здесь устойчивость системы определяется самым простым и наиболее достоверным способом - это непосредственно по кривой переходного процесса.

Изменение параметров объекта управления

Если робастность рассматривать как грубость системы по отношению к изменениям параметров объекта управления, то можно привести следую-

Таблица4

Показатели качества переходных процессов при кр = 1,87 % хода ИМ/т/ч ; ТИ = 93,33 с и различных значениях Гд при возмущении по нагрузке

2,2 4,4 8,8 16,6 17,6 18,6 19,6 20,6

а,% 48,88 40,37 23,77 1,398 0,267 0,180 0,178 0,229

Vе 1495,3 922,0 462,9 272,6 268,1 262,8 258,0 253,8

(т/ч)-с 216,74 130,32 77,06 49,58 50,54 50,48 50,48 50,51

12, (т/ч)2-с 57,77 37,43 24,96 18,39 18,14 17,77 17,44 17,15

Таблица 5

Показатели качества переходных процессов при кр = 1,87 % хода ИМ/т/ч; ТД = 16,60 с и различных значениях Ги при возмущении по нагрузке

Тя,с 103,33 98,33 93,33 88,33 83,33 78,33

о, % 0 0,207 1,398 3,780 7,427 11,077

278,8 275,3 272,6 270,5 268,9 268,1

А >(т/ч)' с 55,53 52,11 49,58 48,27 47,80 47,86

/2, (т/ч)2*с 19,22 18,75 18,39 18,11 17,91 17,79

Окончание табл. 5

73,33 68,33 63,33 58,33 53,33 48,33

а, % 15,639 22,011 26,548 35,566 43,609 54,212

268,5 273,7 280,3 295,1 306,1 394,4

(т/ч)-с 48,49 50,16 51,85 56,50 62,42 73,77

12, (т/ч)2-с 17,73 17,81 17,99 18,68 19,72 21,94

Ги, Гд и различных значениях коэффициента передачи регулятора /ср.

Также можно отметить, что базовая настройка коэффициента передачи регулятора кр = 1,87 % хода ИМ/т/ч не является оптимальной

ни по критерию /], ни по критерию /2, а также ни по критерию времени регулирования tp. Вместе с

тем, как это нетрудно видеть, такая настройка времени интегрирования является достаточно приемлемой, в значимой окрестности точки кр = 1,87 % хода ИМ/т/ч сохраняется удовлетворительное качество переходного процесса в САР. Кроме того, можно заключить, что критерии /, и /2 имеют несколько локальных экстремумов.

Показатели качества переходных процессов в САР при базовых значениях кр, Ги и различных

значениях Гд при возмущении по нагрузке приведены в табл. 4.

В табл. 5 приведены показатели качества переходных процессов в САР при базовых значениях кр, Гд и различных значениях времени интегрирования Ги при возмущении по нагрузке.

Таблица 6

Показатели качества переходных процессов при Т„ = 93,33 с; Гд = 16,60 с и различных значениях кр при возмущении по нагрузке

кр, % хода ИМ/т/ч 1,87 1,97 2,07 2,17 2,27 2,37 2,47

а, % 1,398 2,477 4,663 7,710 11,627 16,279 20,280

Vе 212,6 269,7 265,9 262,0 365,5 369,7 423,6

/,, (т/ч)-с 49,58 49,07 49,05 49,97 51,90 55,27 60,49

/2, (т/ч)2'С 18,39 17,45 16,61 15,96 15,47 15,19 15,25

Окончание табл. 6

кр, % хода ИМ/т/ч 2,57 2,67 2,77 1,77 1,67 1,57 1,47

ст, % 23,718 28,849 35,610 0,061 0 0 0

(Р’С 538,1 658,2 950,2 277,3 277,6 282,8 280,5

11,(т/ч)-с 68,13 79,37 96,55 52,87 54,61 59,57 63,01

12, (т/ч)2 с 15,74 16,90 19,38 19,80 21,14 23,16 25,22

щие результаты. При этом полагается, что ПИД-регулятор имеет следующие настройки:

кр =——— = 1,87 % хода ИМ/т/ч;

^об^об

Тш=ах =93,33с; Тл=а2/ах = 16,60с,

найденные по базовым значениям параметров объекта управления

ко6 =1,66 т/ч/% хода ИМ; а, =93,33 с;

а2 =1550с2; тоб=30с.

Далее считается, что по тем или иным причинам параметры объекта изменяются, их итоговые значения таковы: (ко6 + А коб); (то5 +Атоб); (ах + А ах); (а2 + Да2), однако настройки регулятора остаются прежними.

Данные табл. 7-14 свидетельствуют о том, что при наиболее вероятных в практических ситуациях величинах вариаций параметров объекта управления также сохраняются устойчивость САР и приемлемое качество регулирования как при

Таблица 7

Показатели качества переходных процессов при /со6=1,66 т/ч/% хода ИМ; я, =93,33 с;аг =1550 с2;то5 =30 с и различных значениях приращения Дто6 при возмущении по заданию

АТоб, с 0 +5 +10 + 15 -5 -10 -15

с?, % 0,008 2,599 10,451 22,798 0 0 0

Vе 256,2 270,1 596,5 1919 254,7 259,0 261,6

Таблица 8

Показатели качества переходных процессов при йоб=1,66 т/ч/%ходаИМ; щ =93,33с;а2 =1550с2;тоб =30с и различных значениях приращения Акоб при возмущении по заданию

Дкф, т/ч/% хода ИМ 0 +0,15 +0,30 +0,45 -0,15 -0,30 -0,45

а, % 0,008 0,203 0,873 2,124 0 0 0

256,2 248,4 240,6 334,0 263,4 268,6 270,8

Таблица 9

Показатели качества переходных процессов при /с0б=1,66 т/ч/%ходаИМ; я., =93,33с;«2 =1550с2;тоб =30с и различных значениях приращения Да, при возмущении по заданию

Д ах, с 0 +15 +30 +45 -15 -30 -45

а, % 0,008 0 0,008 0,849 1,359 10,470 со

Vе 256,2 246,2 221,3 209,7 251,3 900,8 оо

Таблица 10

Показатели качества переходных процессов при Яо6 =1,66 т/ч/%ходаИМ; а1=93,33с;а2=1550с2;т06=30с и различных значениях приращения Да2 при возмущении по заданию

А а2, с2 0 +50 +100 +150 -50 -100 -150

а, % 0,008 0,018 0,028 0,055 0,003 0,001 0

256,2 258,3 260,4 262,6 254,2 252,3 250,5

Таблица 11

Показатели качества переходных процессов при ко5 =1,66 т/ч/% хода ИМ; й1=93,33с;в2=1550с2;т06=30с и различных значениях приращения Дтоб при возмущении по нагрузке

Д*об >с 0 +5 +10 +15 -5 -10 -15

ст, % 1,398 18,918 38,201 55,952 0 0 0

Vе 272,6 362,6 730,6 2507,4 246,1 237,0 238,8

Таблица 12

Показатели качества переходных процессов при ков =1,66 т/ч/%ходаИМ; а1=93,33с;я2=1550с2;тоб=30с и различных значениях приращения Дкоб при возмущении по нагрузке

А к^, т/ч/% хода ИМ 0 +0,15 +0,30 +0,45 -0,15 -0,30 -0,45

ст, % 1,398 5,365 11,082 17,146 0,011 0 0

1Р’С 272,6 268,0 367,5 425,4 273,3 191,6 214,3

Таблица 13

Показатели качества переходных процессов при к0б =1,66 т/ч/%ходаИМ; о, =93,33с;я2 =1550с2;то5 =30с и различных значениях приращения Да1 при возмущении по нагрузке

Ай}, с 0 +15 +30 +45 -15 -30 —45

а,% 1,398 0 0,008 0,786 15,758 39,685 да

Ір,С 272,6 243,0 223,4 231,6 396,4 1414,4 оо

Таблица 14

Показатели качества переходных процессов при кс5 =1,66 т/ч/%ходаИМ; я1=93,33с;я2=1550с2;тоб=30с и различных значениях приращения Д«2 при возмущении по нагрузке

А а2,с2 0 +50 +100 +150 -50 -100 -150

а,% 1,398 1,741 2,804 4,105 1,061 0,726 0,392

272,6 276,1 279,6 283,1 269,2 265,8 262,5

возмущении по заданию, так и при возмущении со стороны регулирующего органа.

Заключение

Численными методами исследованы свойства САР с объектом управления второго порядка с запаздыванием в окрестности базовых настроек ПИД-регулятора. Установлено, что в значимой по размерам окрестности точки с базовыми настройками регулятора сохраняются устойчивость САР и приемлемое качество регулирования как при возмущении по заданию, так и при возмущении со стороны регулирующего органа, следовательно, большой точности установки численных зна-

чений параметров настройки регулятора не требуется.

Исследована робастность САР как грубость по отношению к изменениям параметров регулируемого канала системы теплоснабжения, при этом считалось, что по тем или иным причинам параметры объекта изменяются и принимают значения: (ко6+Акоб); (тоб+Атоб); (ах+Аа1); (а2+Аа2).

Установлено, что при наиболее вероятных в практических ситуациях величинах вариаций параметров объекта управления также сохраняются устойчивость САР и приемлемое качество регулирования как при возмущении по заданию, так и при возмущении со стороны регулирующего органа.

Таким образом, установлено, что рассматриваемый метод структурно-параметрического синтеза даёт возможность конструировать достаточно робастные САР. Использование полученных результатов позволит, в частности, решить проблему «слабых» настроек регуляторов и повысить качество отработки задающих и возмущающих воздействий в системах автоматизации процессов теплоснабжения.

Литература

1. Ротач, В.Я. Теория автоматического управления: учеб. для вузов /В.Я. Ротач. - М.: Изд-во МЭИ, 2004. -400 с.

2. Панферов, С. В. К обоснованию метода структурно-параметрического синтеза автоматических регуляторов / С. В. Панферов, А.И. Теле-

гин, В.И. Панферов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2009. - Вып. 9 - № 3(136). -С. 29-36.

3. Сафонов, А.П. Автоматизация систем централизованного теплоснабжения / А.П. Сафонов. -М.: Энергия, 1974. -273 с.

4. Плютто, В.П. Практикум по теории автоматического управления хгшико-технологичес-кими процессами. Цифровые системы / В.П. Плютто, В.А. Путинцев, В.М. Глумов. - М.: Химия, 1989. -279 с.

5. Копелович, А.П. Инженерные методы расчета при выборе автоматических регуляторов / А.П. Копелович. — М.: Металлургиздат, 1960. — 190 с.

Поступила в редакцию 1 февраля 2011 г.