Расчет эффективной трещиностойкости для упругопластической слоистой среды

УДК 539.375

Р.Я. Газизов, С.Л. Калюлин, Р.Н. Сулейманов, М.А. Ташкинов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия

РАСЧЕТ ЭФФЕКТИВНОЙ ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ ДЛЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ

Решается задача прогнозирования эффективной трещиностойкости слоистой среды. В качестве расчетной модели была представлена двухкомпонентная периодическая слоистая среда с трещиной нормального отрыва, расположенной перпендикулярно плоскости армирования, размер которой много больше характерного размера элемента структуры (толщины слоя). Параметр трещиностойкости структурного элемента принимается равным параметру трещино-стойкости однородного материала, эквивалентного ему по составу.

Исследовано влияние нелинейного деформирования одной из компонент, упругие свойства которой на порядок отличаются от второй, на величину эффективной трещиностойкости композита по известным параметрам трещиностойкости элементов структуры с учетом вида анизотропии.

Задача решалась численно методом конечных элементов, позволяющим моделировать структуру неоднородного материала с использованием конечно-элементной сетки. Эффективная энергия разрушения определялась как сумма затрат энергии на разрушение N слоев при приращении длины трещины на длину А/. Принималось, что /-й элемент структуры разрушается при достижении текущей характеристики трещины величины трещиностойкости элемента структуры. При соответствующей внешней нагрузке из решения краевой задачи для неоднородного тела с трещиной вычислялась работа внешних сил (энергия разрушения).

Получены зависимости эффективной интенсивности освобождения энергии от уровня макронагрузки. Уровень нагрузки в соответствии с параметрами трещиностойкости компонент выбирается таким образом, чтобы материал в целом деформировался упруго, при этом связующее переходило в пластическое состояние. Расчеты показали, что по аналогии с традиционными конструкционными материалами (металлы и сплавы) учет пластической деформации приводит к увеличению энергии разрушения и, соответственно, к увеличению трещиностойкости макроодно-родной анизотропной среды. Трещиностойкость также возрастает с увеличением жесткости компонент в направлении армирования.

Ключевые слова: эффективная трещиностойкость, слоистая неоднородная среда, структура, механика разрушения, интенсивность освобождения энергии, пластическая деформация.

R.Ya. Gazizov, S.L. Kalyulin, R.N. Suleymanov, M.A. Tashkinov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation

CALCULATION OF THE EFFECTIVE FRACTURE TOUGHNESS FOR AN ELASTIC-PLASTIC LAYERED MEDIA

The problem of prediction of effective fracture toughness of the layered media is solved in this work. The two-component periodic layered media with the crack of a normal separation, which is located perpendicular to the plane of the reinforcement, the size of which is much greater than the characteristic size of the element structure (layer thickness) was presented as a calculated model. Parameter of fracture toughness of a structural element is accepted equal to the parameter of fracture toughness of the homogeneous material, the equivalent to it on structure.

Influence of non-linear deformation of one of the components, elastic properties of which much differ from the second, by the amount of effective crack resistance of a composite in known parameters of crack resistance of structural elements taking into account a type of anisotropy is investigated.

The problem was solved numerically by finite element method, which allows model the structure of inhomogeneous material using the finite element mesh. The effective energy of destruction was defined as the sum of energy consumption for the destruction of N layers at an increment of crack length on the length Д/. There was accepted that the i-th element of the structure is destroyed when the current characteristics of the crack reaches fracture toughness value of structure element. The work of external forces (energy of destruction) was calculated at the corresponding external loading from the solution of a boundary value problem for the inhomogeneous body with a crack.

The dependencies of effective intensity of exemption energy from the level of macroloading were obtained. The load level according to parameters of fracture toughness of components was chosen so that the whole material is subjected to elastic deformation, at the same time the binder turns into plastic condition. Calculations shows that by analogy to traditional constructional materials (metals and alloys) the account of plastic strain leads to increase the fracture energy and, respectively, to increase the fracture toughness of the macrohomogeneous anisotropic medium. Fracture toughness also increases with increasing stiffness of the component in the direction of reinforcement.

Keywords: effective fracture toughness, layered inhomogeneous medium, structure, fracture mechanics, intensity of exemption energy, plastic strain.

При создании конструкций из композиционных материалов, в том числе и конструкций аэрокосмической техники, как правило, принято выбирать плоскости армирования (плоскости укладки слоев, направление укладки волокон), совпадающие с направлением приложения наиболее опасных растягивающих усилий. На макроуровне неоднородный материал деформируется в этом направлении обычно линейно-упруго (точнее, расчетные модели выбирают линейно-упругие), так как армирующие элементы (слой, волокно и т.д.) обладают намного большей жесткостью, чем связующее, и ведут себя линейно-упруго (упруго) в рамках действующих на конструкцию нагрузок.

Пусть неоднородной среде поставлена в соответствие макроскопическая анизотропная среда с эффективными свойствами: эффективными упругими характеристиками и эффективными параметрами прочности.

Наиболее исследованными являются вопросы прогнозирования эффективных упругих свойств неоднородных сред [1, 2], а также задачи, связанные с изучением влияния параметров структуры: объемной доли компонентов, вида армирования, вида анизотропии и т.д. - на эффективные жесткости (податливости) композитов и обусловленные этим проблемы оптимального проектирования композиционных конструкций [3-5].

Большой интерес представляют задачи прогнозирования эффективных характеристик прочности композитов. Значительное внимание уделяется исследованию влияния разброса предела прочности волокон, объемного содержания, типа связующего и т.д. на прочностные характеристики композитов [1, 6-9]. Существенный интерес представляют задачи прогнозирования усталостного разрушения композитов, в особенности материалов, полученных методами порошковой металлургии, керамики и пр. [10-12].

В наименьшей степени, с нашей точки зрения, освещены проблемы прогнозирования характеристик трещиностойкости (критического коэффициента интенсивности напряжений, критической интенсивности освобождения энергии, критического раскрытия трещины и т.д.) и влияния на них различных структурных параметров композита, таких как: объемная доля компонентов, вид армирования, тип анизотропии и пр. [13-15].

Рассмотрим неоднородный материал, например слоистый композит, у которого одна из компонент имеет жесткость намного больше, чем остальные. В предельном случае это модельный двухкомпонент-ный слоистый материал (обозначим его компоненты как / и т).

Пусть компонента / - это жесткая компонента, например армированная ткань, слой однонаправленных волокон, а т - связующее: клеевой слой, смола и т.п. Внешнюю нагрузку будем прикладывать таким образом, чтобы направление укладки армирующих элементов, а следовательно, и наибольшая жесткость, совпадали с направлением нагрузки. При этом слой может представлять собой в общем случае анизотропный композит.

Хотя на макроуровне композит и ведет себя линейно-упруго, на структурном уровне связующее может деформироваться нелинейно (пластические деформации, растрескивание и т.д.), что во многих моделях разрушения не учитывается [6, 13-15].

В работе исследуется влияние нелинейного деформирования одной из компонент на энергию разрушения и прогнозирование эффективной трещиностойкости в рамках ранее предложенной методики [16, 17].

При использовании модели анизотропной макрооднородной среды для рассматриваемой задачи наиболее опасной трещиной будет трещина нормального отрыва, плоскость которой перпендикулярна действию наибольших растягивающих нагрузок (перпендикулярна плоскости армирования).

Рассмотрим слоистую неоднородную среду с трещиной нормального отрыва (I типа), размер I которой много больше характерного размера элемента структуры Д/г- (толщина слоя). Пусть неоднородной

среде поставлена в соответствие макроскопически однородная анизотропная среда с эффективными свойствами. Макроскопический критерий разрушения можно выбрать в виде

О; > 0;с ,

где О*с - критическая интенсивность освобождения энергии при разрушении однородной среды, эквивалентной в энергетическом смысле неоднородной среде. Считаем, что образец из неоднородного материала с трещиной разрушится тогда, когда текущее значение интенсивности освобождения энергии О7 достигнет критического значения О*с .

Для макрооднородной среды с эффективными свойствами будет справедлива известная зависимость [6, 14]

_А

г зп

От =- ,

где зП* - потенциальная энергия упругого деформирования макрооднородной среды с эффективными свойствами; I - длина трещины.

*

Пусть определена процедура усреднения энергии разрушения Пс с учетом микроструктуры материала, т.е. энергии упругой деформации тела с трещиной в момент ее страгивания до разрушения этого тела. Тогда эффективная трещиностойкость может быть найдена как

* зп с

Отг =-•

1с

По аналогии с методом податливости [18] величину 0*с будем определять из приближенного выражения

ап

С;с ^, <2>

где АПс = ПСг -Пс , А1=/2 -/1; Пс (Пс2) - энергия разрушения при

;

длине трещины (/2). Поскольку величина П* и, соответственно, изменение энергии АП* определяются с учетом микроструктуры материала, то значение величины 0*с будет зависеть от выбора критерия разрушения на микроуровне (критерия разрушения элемента структуры).

Примем, что г-й элемент структуры разрушится за счет прохождения через него трещины при выполнении условия

01 > О'с ,

где Ог1С - структурный коэффициент разрушения (кусочно-постоянная функция координат), считается известной величиной. Рассмотрена следующая модель разрушения слоистой неоднородной среды с трещиной. Пусть трещина проросла через N слоев (на длину А/). Произвольный г-й слой из N разрушится по критерию (3), при этом длина трещины увеличивается на величину А/; - толщину г-го слоя. Увеличение длины трещины приведет к изменению потенциальной энергии упругой деформации АП^, которая в изотермической задаче теории

упругости на макроуровне равна работе внешних сил: А^ на приращение длины трещины А/ (АПг = АЩ) . Работа внешних сил находится как

=/ дЬ,

ь

где ui - перемещения границ, на которых заданы внешние нагрузки £г0. Будем выбирать нагрузку £г0 таким образом, чтобы в слое перед трещиной реализовалось условие разрушения (3). Затем для нахождения перемещений иi решаем краевую задачу (4) для тела с трещиной:

Сук1ик ,) = 0,

С1]к!ик ,1П]

Сук!ик ,1П]

= V0

I, ^ ,

12 = 0,

где с - компоненты тензора эффективных упругих свойств (макроскопических модулей упругости); I, - границы, на которых приложена внешняя нагрузка V0; 12 - свободные границы тела.

Энергию разрушения при прохождении N слоев (эффективную энергию) найдем как сумму:

* N дПс =!дПг.

1=1

Согласно критерию (1) трещина начнет распространяться по достижении параметром О критической величины О * и при неизменной внешней нагрузке будет безгранично прорастать до разрушения тела. Поэтому величину Д1 (число слоев N можно брать сколь угодно большой и достаточной для получения представительной выборки реализаций микроструктуры композита в вершине трещины. Однако Д1 должно быть не очень большим, чтобы с заданной точностью вычислить параметр О по методу податливости.

В рамках линейной механики разрушения выражение (2) сводится к линейному суммированию и приводит для величины О1С к выражению типа математической смеси:

О1с = ЫсРк,

к=1

где Q - количество компонентов, Q << N; рк - объемная доля к-го

компонента. Например, для двухкомпонентной слоистой среды получим простую зависимость эффективной критической интенсивности освобождения энергии от объемной доли армирующих слоев (рис. 1), где От < О(с - критическая интенсивность освобождения энергии компонент т и/соответственно.

<

Рис. 1. Зависимость эффективной интенсивности освобождения энергии двухкомпонентной слоистой среды от объемной доли компонентов

Использование методов линейной механики разрушения обычно заключается в определении коэффициента интенсивности напряжений К в зоне трещины и сравнении его с предельным значением - критическим коэффициентом интенсивности напряжений К1С , являющимся

одним из параметров трещиностойкости материала. Для неоднородной среды можно ввести эффективную характеристику текущего состояния трещины - величину К* [15, 19]. Соответствующий ей эффективный параметр трещиностойкости макрооднородной среды коэффициент К*с связан с величиной 0*1С зависимостью [14]

К1С -

>

где С - функция упругих характеристик и вида анизотропии:

С -

Г Л0'5

а11а22

\ 0,5

а

22

2а12 + а66

V а 11 У

2 а,

11

0,5

-1

где а. - эффективные упругие податливости неоднородной среды.

Для однородного материала зависимость (6) будет иметь вид

К = ОсЕ

К1с =1

где Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона. В частном случае для среды с однородными упругими свойствами (композиция только в смысле прочностных свойств) из (5) и (6) можно получить приближенную оценку для величины К*1С :

Для двухкомпонентной слоистой среды кривая для К * будет иметь вид, представленный на рис. 2.

Рис. 2. Зависимость эффективного коэффициента интенсивности напряжений двухкомпонентной слоистой среды от объемной доли компонентов

В другом частном случае, когда композиция «традиционная» -с неоднородными упругими свойствами (пусть каждый из слоев изотропный и однородный), а критические коэффициенты интенсивности напряжений одинаковы, зависимость К* от объемной доли компонент примет другой вид (рис. 3).

Рис. 3. Зависимость эффективного коэффициента интенсивности напряжений двухкомпонентной слоистой среды от объемной

доли компонентов при КС - К-[с - К\с, -10

Е[_ Ет

Разработанная методика в более общем случае численного моделирования позволяет рассматривать слои анизотропными с произвольными упругими и прочностными характеристиками. Например, на рис. 4 приведены зависимости К*с при разных значениях модуля Е и коэффициента К1С для слоев.

Для определения эффективных упругих характеристик в расчетах можно использовать любые известные формулы [6, 20].

В общей постановке, с учетом неоднородности, вида анизотропии и физической нелинейности компонент, задача (4) решалась численно методом конечных элементов (МКЭ) с использованием прикладного пакета ANSYS 14.5 [21]. Вопросы использования МКЭ в механике разрушения исследованы достаточно давно [6, 18]. В настоящее время широко используется автоматизированный пакет ANSYS, в том числе и в задачах определения характеристик трещин [22]. Метод конечных элементов позволяет сравнительно легко реализовывать метод податливости и моделировать на основе кончено-элементной сетки структуру материала у вершины трещины.

Рис. 4. Зависимость эффективного коэффициента интенсивности напряжений двухкомпонентной слоистой среды от объемной

1

доли компонентов при Кт =0,1 МПа-м 2, Ет = 2 • 104 МПа,

1

К[с = 0,5 МПа^м2, Е = 5 • 104 МПа, VГ = Vт

В работе трещину нормального отрыва рассматривали в виде краевой трещины в прямоугольном плоском образце (рис. 5).

Рис. 5. Трещина нормального отрыва в прямоугольном плоском образце

В качестве модельного материала использовали двухкомпонент-ную периодическую слоистую среду. Описанная методика позволяет рассчитать зависимости эффективной интенсивности освобождения энергии от уровня макронагрузки. На основе полученного решения

рассчитана зависимость эффективной трещиностойкости от параметров задачи. Уровень нагрузки в соответствии с параметрами трещино-стойкости компонент выбирается таким образом, что материал в целом на макроуровне деформируется упруго, а связующее переходит в пластическое состояние. На рис. 6 и 7 представлены расчеты для модельных материалов при следующих характеристиках компонент: Композит № 1:

жесткая компонента (/): Е = 320 ГПа, V = 0,25, сттт = 640 МПа; связующее (т): Е = 3,2 ГПа, V = 0,25, стI = 6,4 МПа.

Рис. 6. График зависимости эффективной интенсивности освобождения энергии от уровня макронагрузки для композита № 1: Орс - критическая интенсивность

освобождения энергии в неупругой постановке задачи; О^с - критическая интенсивность освобождения энергии в линейно-упругой постановке;

т

стт - предел текучести связующего

Композит № 2:

жесткая компонента (/): Е = 320 ГПа, V = 0,25, стТт = 640 МПа;

связующее (т): Е = 16 ГПа, V = 0,25, ст Тт = 32 МПа.

Расчеты показали, что с увеличением уровня пластической деформации одной из компонент расчетная эффективная трещиностой-кость возрастает в сравнении с расчетной эффективной трещиностой-костью композита при линейно-упругом решении.

Рис. 7. График зависимости эффективной интенсивности освобождения энергии от уровня макронагрузки для композита № 2: Орс - критическая интенсивность

освобождения энергии в неупругой постановке задачи; Ое1С - критическая

интенсивность освобождения энергии в линейно-упругой постановке;

т

um - предел текучести связующего

Таким образом, по аналогии с традиционными однородными конструкционными материалами (металлы и сплавы) [14, 18] учет пластической деформации одной из компонент приводит (в рамках рассматриваемой модели) к увеличению энергии разрушения и, соответственно, к увеличению прогнозируемой эффективной трещиностой-скости макрооднородной анизотропной среды.

Библиографический список

1. Соколкин Ю.В., Чекалкин А.А., Бабушкин А.В. Прогнозирование физических и механических свойств порошковых и армированных высокопрочными волокнами металлических материалов // Известия вузов. Цветная металлургия. - 1995 - № 2. - С. 53-57.

2. Макарова Е.Ю., Соколкин Ю.В., Чекалкин А.А. Структурно-феноменологические модели прогнозирования упругих свойств высокопористых композитов // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Физико-математические науки. - 2010. - № 5(21). - С. 276-279.

3. Исследование микроструктуры углерод-углеродного композита 2D + 1 при термохимической обработке и насыщении пироуглеродом /

А.В. Долгодворов, А.Г. Докучаев, П.А. Судюков, А.А. Чекалкин // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2013. - Т. 79, № 12. -С. 31-33.

4. Sokolkin Yu.V., Chekalkin A.A., Kotov A.G. A structural multiscale approach to the design of spatially reinforced carbon-carbon composites // Mechanics of Composite Materials. - 1995. - Vol. 31, № 2. - Р. 143-148.

5. Нуруллаев Э.М., Ермилов А.С., Гуров Д.С. Оптимизация гранулометрического состава твердых дисперсных наполнителей полимерных композиционных материалов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. - 2013. - № 34. - С. 108-123.

6. Фудзи Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. - М.: Мир, 1982. - 232 с.

7. Postnykh A.M., Chekalkin A.A., Khronusov V.V. Structural-statistical model of the reliability and durability of the fiber composite // Mechanics of Composite Materials. - 1991. - Vol. 26, № 5. - Р. 633-637.

8. Long-term durability of glass-fiber-reinforced composites under operation inpulp and reactant pipelines / A.A. Chekalkin, A.V. Babushkin, A.G. Kotov, S.E. Shakleina // Mechanics of Composite Materials. - 2003. -Vol. 39, № 3. - Р. 273-282.

9. Sokolkin Yu.V., Kotov A.G., Chekalkin A.A. Structural multistage model of the bearing capacity of carbon-carbon laminate shells // Mechanics of Composite Materials. - 1994. - Vol. 30, № 1. - Р. 55-60.

10. Sokolkin Yu.V., Postnykh A.M., Chekalkin A.A. Probabilistic model of the strength, crack resistance and fatigue life of a unidirectionally reinforced fibrous composite // Mechanics of Composite Materials. - 1992. -Vol. 28, № 2. - Р. 133-139.

11. Features of powder material deformation with cyclic loading / V.N. Antsiferov, A.V. Babushkin, Yu.V. Sokolkin, A.A. Shatsov, A.A. Chekalkin // Powder Metallurgy and Metal Ceramics. - 2001. - Vol. 40, № 1112. - Р. 569-572.

12. Babushkin A.V., Sokolkin Yu.V., Chekalkin A.A. Fatigue resistance of structurally inhomogeneous powdered materials in a complex stress-strain state // Mechanics of Composite Materials. - 2014. - Vol. 50, № 1. - Р. 1-8.

13. Полимерные композиционные материалы. Прочность и технология / С.Л. Баженов, А.А. Берлин, А.А. Кульков, В.Г. Ошмян. -Долгопрудный: Интеллект, 2010. - 352 с.

14. Си Дж., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения // Разрушение: сб. ст.: в 7 т. Т. 2. Математические основы теории разрушения. - 1975. - С. 83-204.

15. Ромалис Н.Б., Тамуж В.П. Влияние микродефектов на трещи-ностойкость материалов // Механика и научно-технический прогресс. -М.: Наука, 1988. - С. 104-122.

16. Ташкинов А.А., Газизов Р.Я. Влияние неоднородности среды на трещиностойкость композитов // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных материалов и конструкций / УрО АН СССР. -Свердловск, 1989. - С. 56-62.

17. Газизов Р.Я. Прогнозирование трещиностойкости неоднородных сред // Механика композитных материалов. - 1991. - № 3. -С. 531-534.

18. Морозов Е.М., Николаев Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. - М., 1980. - 254 с.

19. Ромалис Н.Б. Расчет эффективных коэффициентов интенсивности напряжений для структурно-неоднородных тел с трещинами // Механика композитных материалов. - 1987. - № 3. - С. 420-423.

20. Справочник по композиционным материалам: в 2 кн. / под ред. Дж. Любина; пер с англ. А.Б. Геллера [и др.] под ред. Б.Э. Геллера. -М.: Машиностроение, 1988. - 448 с.

21. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров: справ. пособие. - М.: Машиностроение-1, 2004. - 512 с.

22. Петров С.Н., Чернякин С.А. Исследование применимости метода конечных элементов для оценки параметров механики разрушения конструктивных элементов из композиционных материалов // Известия Самар. науч. центра РАН. - Самара: Изд-во Самар. науч. центра РАН, 2013. - Т. 15, № 4(2). - С. 480-483.

References

1. Sokolkin Yu.V., Chekalkin A.A., Babushkin A.V. Prognozirovanie fizicheskikh i mekhanicheskikh svoystv poroshkovykh i armirovannykh vysokoprochnymi voloknami metallicheskikh materialov [Prediction of physical and mechanical properties of powder and reinforced with high-strength fibers of metallic materials]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Tsvetnaya metallurgiya. Moscow, 1995, no. 2, pp. 53-57.

2. Makarova E.Yu., Sokolkin Yu.V., Chekalkin A.A. Strukturno-feno-menologicheskie modeli prognozirovaniya uprugikh svoystv vysokoporis-tykh kompozitov [Structural-phenomenological models predict the elastic properties of highly porous composites]. Vestnik Samarskogo gosudarst-vennogo tekhnicheskogo universiteta. Fiziko-matematicheskie nauki, 2010, no. 5(21), pp. 276-279.

3. Dolgodvorov A.V., Dokuchaev A.G., Sudyukov P.A., Chekalkin A.A. Issledovanie mikrostruktury uglerod-uglerodnogo kompozita 2D + 1 pri termo-khimicheskoy obrabotke i nasyshchenii pirouglerodom [The microstructure of carbon-carbon composite 2D + 1 in thermo-chemical treatment and saturation pyrocarbon]. Zavodskaya laboratoriya. Diagnostika materi-alov, 2013, vol. 79, no. 12, pp. 31-33.

4. Sokolkin Yu.V., Chekalkin A.A., Kotov A.G. A structural mul-tiscale approach to the design of spatially reinforced carbon-carbon composites. Mechanics of Composite Materials, 1995, vol. 31, no. 2, pp. 143-148.

5. Nurullaev E.M., Ermilov A.S., Gurov D.S. Optimizatsiya granulo-metricheskogo sostava tverdykh dispersnykh napolniteley polimernykh kompozitsionnykh materialov [Optimization of grading of polymer composites solid dispersed fillers]. Vestnik Permskogo natsionalnogo issledovatel-skogo politekhnicheskogo universiteta. Aerokosmicheskaya tekhnika, 2013, no. 34, pp. 108-123.

6. Fudzi T., Dzako M. Mekhanika razrusheniya kompozitsionnykh materialov [Fracture mechanics of composite materials]. Moscow: Mir, 1982. 232 p.

7. Postnykh A.M., Chekalkin A.A., Khronusov V.V. Structural-statistical model of the reliability and durability of the fiber composite. Mechanics of Composite Materials, 1991, vol. 26, no. 5, pp. 633-637.

8. Chekalkin A.A., Babushkin A.V., Kotov A.G., Shakleina S.E. Long-term durability of glass-fiber-reinforced composites under operation inpulp and reactant pipelines. Mechanics of Composite Materials, 2003, vol. 39, no. 3, pp. 273-282.

9. Sokolkin Yu.V., Kotov A.G., Chekalkin A.A. Structural multistage model of the bearing capacity of carbon-carbon laminate shells. Mechanics of Composite Materials, 1994, vol. 30, no. 1, pp. 55-60.

10. Sokolkin Yu.V., Postnykh A.M., Chekalkin A.A. Probabilistic model of the strength, crack resistance and fatigue life of a unidirectionally reinforced fibrous composite. Mechanics of Composite Materials, 1992, vol. 28, no. 2, pp. 133-139.

11. Antsiferov V.N., Babushkin A.V., Sokolkin Yu.V., Shatsov A.A., Chekalkin A.A. Features of powder material deformation with cyclic loading. Powder Metallurgy and Metal Ceramics, 2001, vol. 40, no. 11-12, pp. 569-572.

12. Babushkin A.V., Sokolkin Yu.V., Chekalkin A.A. Fatigue resistance of structurally inhomogeneous powdered materials in a complex stress-strain state. Mechanics of Composite Materials, 2014, vol. 50, no. 1, pp. 1-8.

13. Bazhenov S.L., Berlin A.A., Kulkov A.A., Oshmyan V.G. Po-limernye kompozitsionnye materially. Prochnost i tekhnologiya [Polymer composite materials. Strength and technology]. Dolgoprudny: Intelligence, 2010. 352 p.

14. Xi J., Liebowitz G., Matematicheskaya teoriya khrupkogo razrusheniya [Mathematical theory of brittle fracture]. Razrushenie. Ma-tematicheskie osnovy teorii razrusheniya. Moscow, 1975, vol. 2, pp. 83-204.

15. Romalis N.B., Tamuzh V.P. Vliyanie mikrodefektov na tresh-chinostoykost materialov [Effect of stress at fracture of materials]. Mek-hanika i nauchno-tekhnicheskiy progress. Moscow: Nauka, 1988, pp. 104122.

16. Tashkinov A.A., Gazizov R.Ya. Vliyanie neodnorodnosti sredy na treshchinostoykost kompozitov [The influence of heterogeneity of the media on the fracture toughness of composites]. Deformirovanie i razrushenie strukturno-neodnorodnykh materialov i konstruktsiy. Sverdlovsk: Uralskoe otdelenie Akademii nauk SSSR, 1989, pp. 56-62.

17. Gazizov R.Ya. Prognozirovanie treshchinostoykosti neodnorod-nykh sred [Prediction of fracture of inhomogeneous media]. Mekhanika kompozitnykh materialov, 1991, no. 3, pp. 531-534.

18. Morozov E.M., Nikolaev G.P. Metod konechnykh elementov v mekhanike razrusheniya [The finite element method in fracture mechanics]. Moscow, 1980. 254 p.

19. Romalis N.B. Raschet effektivnykh koeffitsientov intensivnosti napryazheniy dlya strukturno-neodnorodnykh tel s treshchinami [Calculation of the effective stress intensity factors for structurally inhomogeneous bodies with cracks]. Mekhanika kompozitnykh materialov, 1987, no. 3, pp. 420-423.

20. Spravochnik po kompozitsionnym materialam. Ed. by Dzh. Lyubin [Handbook of composite materials]. Moscow: Mashi-nostroenie, 1988. 448 p.

21. Chigarev A.V., Kravchuk A.S., Smalyuk A.F. ANSYS dlya in-zhenerov [ANSYS to engineers]. Moscow: Mashinostroenie-1, 2004. 512 p.

22. Petrov S.N., Chernyakin S.A. Issledovanie primenimosti metoda konechnykh elementov dlya otsenki parametrov mekhaniki razrusheniya konstruktivnykh elementov iz kompozitsionnykh materialov [Research the applicability of finite element method for estimation the parameters of fracture mechanics of constructive elements from composites]. Izvestiya Samar-skogo nauchnogo tsentra Rossiyskoy akademii nauk, 2013, vol. 15, no. 4(2), pp. 480-483.

Получено 10.03.2014

Об авторах

Газизов Рафиль Яминович (Пермь, Россия) - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Механика композиционных материалов и конструкций» ФГБОУ ВПО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: mkmk@pstu.ru).

Калюлин Станислав Львович (Пермь, Россия) - студент кафедры «Механика композиционных материалов и конструкций» ФГБОУ ВПО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: stasons91@mail.ru).

Сулейманов Руслан Нафисович (Пермь, Россия) - студент кафедры «Механика композиционных материалов и конструкций» ФГБОУ ВПО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: Melou179111@gmail.com).

Ташкинов Михаил Анатольевич (Пермь, Россия) - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник кафедры «Механика композиционных материалов и конструкций» ФГБОУ ВПО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: mkmk@pstu.ru).

About the authors

Gazizov Rafil Yaminovich (Perm, Russian Federation) - Ph. D. in Physics and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of

Mechanics of Composite Materials and Constructions, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: mkmk@pstu.ru).

Kalyulin Stanislav Lvovich (Perm, Russian Federation) - student, Department of Mechanics of Composite Materials and Constructions, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: stasons91@mail.ru).

Suleymanov Ruslan Nafisovich (Perm, Russian Federation) - student, Department of Mechanics of Composite Materials and Constructions, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: Melou179111@gmail.com).

Tashkinov Mikhail Anatolevich (Perm, Russian Federation) - Ph. D. in Physics and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Department of Mechanics of Composite Materials and Constructions, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: mkmk@pstu.ru).