Обучение школьников математике в условиях модернизации образования

УДК 372.851

Е. В. Козлова

ОБУЧЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ МАТЕМАТИКЕ В УСЛОВИЯХ МОДЕРНИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ

В статье обсуждается вопрос о необходимости совершенствования методической системы обучения современных школьников математике. Автор вводит в рассмотрение понятие комплексной системы обучения, базирующейся на синтезе реализации основной образовательной программы и средств дополнительного образования учащихся.

The article discusses the need to improve the methodology of teaching today's students math. The author introduces the concept of a comprehensive review of the system of training, based on a synthesis of the basic educational program and the supplementary education to students.

Ключевые слова: модернизация образования, новая образовательная парадигма, комплексная система обучения.

Keywords: modernization, a new educational paradigm, integrated learning system.

В настоящее время педагогическая наука отказывается от представлений о человеке «как средстве достижения результата и обращается к концепции человека как цели» [1]. Это обусловлено тем, что сегодня человечество значительно расширило свои познания о возможностях каждой личности в самосовершенствовании, в овладении достижениями современной науки и технологий. В сферу интересов личности входит умение адаптироваться к новым условиям жизни: критически оценивать и находить пути решения возникающих проблем, анализировать ситуацию, адекватно изменять организацию своей деятельности, уметь добывать информацию, в том числе с помощью компьютера, и грамотно пользоваться ею. Все это определяет необходимость перехода к новой образовательной парадигме, согласно которой школа должна предоставить учащимся возможность самообучения, саморазвития и самосовершенствования в этих направлениях.

В то же время в сегодняшней массовой школе все еще преобладает классическая образовательная парадигма, реализуется ее традиционная модель, ориентированная на усвоение знаний, умений и навыков учащихся в каждой области знаний, с ее неизменным атрибутом — классно-урочной системой обучения и ориентацией на деятельность учителя. Такое положение дел сохраняет в образовании основные неразрешенные противоречия:

© Козлова Е. В., 2013

— между ценностными ориентациями в семье и школе;

— декларируемыми целями образования и его реальными результатами;

— необходимостью дифференциации образования и единообразием технологии обучения;

— преобладающими в школе фронтальными формами обучения, объяснительно-иллюстративным характером преподавания и личностно-дея-тельностным характером учения и усвоения знаний;

— неизбежными результатами обучения традиционными методами и стремлением достичь развития учащихся средствами учебного предмета.

Для организации педагогического процесса, отвечающего новой парадигме образования, направлениям его модернизации, недостаточно переосмысления и преобразования отдельных его звеньев; необходимо совершенствование всей методической системы обучения в целом, при этом образование не может рассматриваться в отрыве от внешних условий и факторов.

В последние десятилетия активно конструируются методические системы обучения, обеспечивающие осуществление образовательного процесса в условиях дифференциации и индивидуализации, профилизации, информатизации, интенсификации, фундаментализации, гуманизации и гуманитаризации [2].

Рассмотрим характерные особенности упоминаемых методических систем обучения математике.

Современный школьный курс математики необходимо рассматривать как общеобразовательный предмет, в содержании которого присутствует значительная фундаментальная научная составляющая и который ориентирован не только на изучение основ науки математики как таковой, но и на образование школьника посредством математики. В связи с этим приоритетным направлением является развитие личности учащегося, создание фундамента его математической культуры, формирование и развитие у школьников тех качеств мышления, которые необходимы для адаптации к полноценной жизни и успешной деятельности в современном обществе. В то же время необходимо понимать, что формирование и развитие качеств интеллекта учащегося основывается на приобретении им конкретных знаний и умений в области математики, на познании окружающего мира методами и средствами математики.

Наполнение учебного материала гуманитарной составляющей, адекватное отражение в школьном курсе современного состояния фундаментальной науки математики — все это создает условия для фундаментализации обучения математике.

Фундаментализация образования означает ориентацию образования на приобретение знаний фундаментальных законов природы, общества и самого человека. Это должно дать возможность учащимся самостоятельно решать свои проблемы в критических и стрессовых ситуациях при условии неопределенности, новизны, сложности в сочетании с природными и социальными явлениями.

Следует подчеркнуть, что под фундаментали-зацией обучения математике понимается не только изучение в школе основ фундаментальной науки математики, но и образование школьников с помощью математики. Кроме того, фундаментальная подготовка учащихся основной школы в области математики должна учитывать процессы гуманизации, дифференциации и индивидуализации обучения, быть основана на использовании личностно ориентированных технологий обучения.

Основными направлениями гуманизации математического образования являются:

— личностно ориентированное развивающее обучение;

— гуманитарное обучение;

— индивидуализированное и дифференцированное обучение.

Реализация гуманитарной направленности в образовании связана со следующими аспектами:

— поворотом обучения к ученику как к личности;

— усилением прикладной и практической направленности;

— повышением общекультурной и общеобразовательной значимости изучаемых вопросов;

— ознакомлением с математикой как с определенной специфической методикой научного познания.

В настоящее время неотъемлемой характеристикой учебного процесса является дифференциация обучения. Это связано с тем, что, во-первых, современные гуманистические подходы к образованию предполагают выдвижение на передний план общечеловеческих ценностей, и в первую очередь личности ребенка как высшей, уникальной человеческой ценности. Во-вторых, ориентация на желаемый образ выпускника школы, которому должны быть присущи высокий культурный уровень, нравственность, образованность, гражданственность, владение навыками самообразования, креативность, физическое здоровье.

Дифференциация обучения включает в себя создание разнообразных условий обучения для различных школ, классов, групп с целью учета особенностей их контингента, а также комплекс методических, психолого-педагогических и организационно-управленческих мероприятий, обеспечивающих обучение в гомогенных группах.

Принцип дифференциации обучения — положение, согласно которому педагогический процесс строится как дифференцированный.

Технология дифференцированного обучения представляет собой совокупность организационных решений, средств и методов дифференцированного обучения, охватывающих определенную часть учебного процесса.

Дифференциация понимается как средство максимального развития способностей личности, повышения качества образовательного процесса.

В обучении математике дифференциация имеет особое значение, что объясняется спецификой этого учебного предмета. Математика объективно является одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает объективные трудности у многих школьников. В то же время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету. Разрыв в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух «полюсах», весьма велик.

Использование преимуществ технологии внутренней дифференциации обеспечивает каждому школьнику возможность достижения планируемых результатов в обучении с учетом его индивидуальных особенностей, что определяет факт использования принципа индивидуализации обучения.

Трактовка данного понятия зависит от того, какие конкретные цели и средства обучения имеются в виду, когда говорят об индивидуализации. Затруднение в характеризации рассматриваемого принципа вызывает то обстоятельство, что смешиваются таких два понятия, как «индивидуализация» и «дифференциация» обучения.

Мы определимся в следующей трактовке понятия «индивидуализация обучения». Под индивидуализацией обучения условимся понимать систему мер в организации учебного процесса, при которой выбор способов, приёмов, средств, темпа, элементов содержания обучения осуществляется с учётом индивидуальных различий учащихся, уровня развития их способностей к учению, самостоятельности при решении познавательных задач.

Приводимая трактовка созвучна с определением индивидуализации как «организации учебного процесса, при котором учитываются индивидуальные особенности учащихся; позволяет создать условия для реализации потенциальных возможностей каждого ученика» [3] и «учета в процессе обучения индивидуальных особенностей учащихся во всех его формах и методах, независимо от того, какие особенности и в какой мере учитываются» [4].

В педагогической литературе также встречается понятие «индивидуальный подход в обучении». Подавляющее большинство педагогов индивидуальный подход провозглашают принципом

обучения и воспитания современной школы, считая его «широким», «общим», «универсальным», «основным» принципом всей педагогической работы. Однако, учитывая, что есть авторы, придерживающиеся другого мнения, остановимся на данном вопросе подробнее.

Очевидно, что в системе ведущих педагогических понятий (цель, содержание, принципы, методы и формы организации воспитания и обучения) индивидуальный подход невозможно считать ни целью, ни задачей, ни содержанием учебно-воспитательной работы. Индивидуальный подход не может также являться методом или организационной формой обучения и воспитания, так как формы и методы меняются в зависимости от изменения задач и содержания учебно-воспитательной работы, а учет индивидуальных особенностей школьника в эффективном воспитательном процессе присутствует всегда. Таким образом, наиболее правильно относить индивидуальный подход к принципам воспитания и обучения [5]. Реализация данного принципа предполагает частичное, временное изменение ближайших задач и отдельных сторон содержания учебно-воспитательной работы, постоянное варьирование её методов и организационных форм с учетом общего и особенного в личности каждого ученика для обеспечения ее всестороннего, целостного развития.

Индивидуальный подход в учебном процессе означает действенное внимание к каждому ученику его творческой индивидуальности в условиях классно-урочной системы обучения по основным и дополнительным образовательным программам и предполагает разумное сочетание фронтальных, групповых и индивидуальных занятий для повышения качества обучения и развития каждого школьника.

Исходя из определений понятий «индивидуальный подход» и «индивидуализация обучения», можно сделать вывод, что индивидуальный подход — это принцип обучения, а индивидуализация обучения — это особая организация учебного процесса в коллективе класса (группы), которая направлена на осуществление этого принципа.

Одним из средств дифференциации и индивидуализации обучения является его профили-зация — средство, когда за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитываются интересы, склонности и способности учащихся, создаются условия для образования старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования.

Выделяют несколько вариантов, или моделей, организации профильного обучения: а) внут-ришкольная (программы профильного обучения реализуются школой); б) сетевая (программы

профильного обучения составляются в процессе кооперации между несколькими образовательными учреждениями общего, профессионального и дополнительного образования); в) свободная (программы профильного обучения реализуются обучающимся самостоятельно, преимущественно вне образовательных учреждений — домашнее и дистанционное обучение). Профильному обучению предшествует предпро-фильная подготовка, осуществляемая в основной школе. Суть предпрофильной подготовки — создать образовательное пространство, способствующее самоопределению учащихся основной школы, через организацию курсов по выбору, информационную работу и профильную ориентацию. Основной задачей предпрофильной подготовки в 9-м классе является комплексная работа с учащимся по выбору дальнейшего пути обучения.

Особое внимание следует уделить информатизации образования. Информационные и коммуникационные технологии (ИКТ) с каждым днем все больше проникают в различные сферы образовательной деятельности. Этому способствуют как внешние факторы, связанные с повсеместной информатизацией общества и необходимостью соответствующей подготовки специалистов, так и внутренние, связанные с распространением в учебных заведениях современной компьютерной техники и программного обеспечения, принятием государственных и межгосударственных программ информатизации образования, появлением необходимого опыта информатизации у все большего количества педагогов. В большинстве случаев использование средств информатизации оказывает реальное положительное влияние на интенсификацию труда учителей школ, а также на эффективность обучения школьников.

Информатизация образования представляет собой область научно-практической деятельности человека, направленной на применение технологий и средств сбора, хранения, обработки и распространения информации, обеспечивающее систематизацию имеющихся и формирование новых знаний в сфере образования для достижения психолого-педагогических целей обучения и воспитания.

Может сложиться впечатление, что использование средств ИКТ всегда оправданно во всех областях образовательной деятельности. Безусловно, во многих случаях это именно так. Вместе с тем информатизация образования обладает и рядом негативных аспектов.

В частности, чаще всего одним из преимуществ обучения с использованием средств информатизации называют индивидуализацию обучения. Однако наряду с преимуществами здесь есть и

существенные недостатки, связанные с тотальной индивидуализацией. Индивидуализация сводит к минимуму ограниченное в учебном процессе живое общение учителей и школьников, учащихся между собой, предлагая им общение в виде «диалога с компьютером». Это приводит к тому, что обучаемый не получает достаточной практики диалогического общения, формирования и формулирования мысли на профессиональном языке.

Наибольшую трудность в системе образования представляет собой переход от информации, циркулирующей в обучении, к самостоятельным профессиональным действиям, иначе говоря, от знаковой системы как формы представления знания на страницах учебника, экране дисплея и т. п. к системе практических действий, имеющих принципиально иную логику, нежели логика организации системы знаков. Это классическая проблема применения знаний на практике, формальных знаний, а на психологическом языке — проблема перехода от мысли к действию.

Определенные трудности и негативные моменты могут возникнуть в результате применения современных средств ИКТ, предоставляющих учителям и школьникам значительную свободу в поиске и использовании информации. При этом некоторые педагоги и обучаемые зачастую неспособны воспользоваться той свободой, которую предоставляют современные телекоммуникационные средства.

Использование информационных ресурсов, опубликованных в сети Интернет, часто приводит к отрицательным последствиям. Чаще всего при использовании таких средств ИКТ срабатывает свойственный всему живому принцип экономии сил: заимствованные из сети Интернет готовые проекты, рефераты, доклады и решения задач из школьных учебников стали сегодня в школе уже привычным фактом, не способствующим повышению эффективности обучения и воспитания школьников.

Во многих случаях использование средств информатизации образования неоправданно лишает школьников возможности проведения реальных опытов «своими руками», что негативно сказывается на результатах обучения. И наконец, нельзя забывать о том, что чрезмерное и неоправданное использование большинства средств информатизации негативно отражается на здоровье всех участников образовательного процесса.

С понятием информатизации образования тесно связано понятие интенсификации обучения. Интенсификация обучения — повышение производительности деятельности учителя и учащихся в единицу времени.

Основными направлениями интенсификации являются:

— повышение целенаправленности обучения;

— усиление акцента на развивающие цели и функции обучения;

— усиление мотивации учения;

— повышение информационной емкости содержания обучения;

— использование укрупненных дидактических единиц и изменение порядка изучения тем.

В условиях реализации ФГОС для достижения высокого уровня обученности школьников не всегда бывает достаточно лишь базового или профильного образования. В последние годы наблюдается снижение уровня подготовки учащихся. Например, Александр Запесоцкий, ректор одного из университетов, отмечает: «Мы располагаем методиками, позволяющими померить на входе в вузовскую систему наполненность школьной оценки реальными знаниями. Если 5— 6 лет назад, к примеру, реальное наполнение среднего школьного балла 4,2 составляло 3,8, то теперь — 2,8. Теперь среди старшеклассников со средним школьным баллом 4,2 свыше 70% не способны к элементарному анализу получаемой информации. "Скачать" текст из Интернета умеют, способны учебник пересказать, а приступить к простейшим формам исследовательской работы не могут. Мы фиксируем падение у выпускников школ умения работать в коллективе, снижение мотивации к учебе и соблюдению дисциплины. Сказывается коммерциализация школы, влияние телевидения и многое другое» [6].

Кроме того, важным фактором снижения уровня математических знаний является и уменьшение количества учебных часов, отводимых на освоение математики, при этом увеличивается количество изучаемых тематических разделов. В частности, это касается вероятностно-статистической линии, которая вызывает у школьников затруднения при изучении.

В связи с этим весомую роль в активном освоении учащимися школьного курса математики, а также его содержания, выходящего за пределы общеобразовательного стандарта, начинает играть дополнительное образование. На сегодняшний день оно становится необходимым условием обеспечения высоких результатов обучения [7]. Дополнительное образование позволяет полнее использовать потенциал основного образования за счет углубления, расширения и применения школьных знаний.

В настоящее время в школах существует четыре основные модели организации дополнительного образования учащихся [8].

Первая модель характеризуется случайным набором кружков, секций, клубов, работа которых не всегда сочетается друг с другом. Вся внеклассная и внеурочная деятельность школы полностью зависит от имеющихся кадровых и мате-

риальных возможностей; стратегические линии развития дополнительного образования не прорабатываются. Это наиболее распространенная модель. Но даже и такой вариант дополнительного образования в школе имеет определенный смысл, поскольку способствует занятости детей и определению спектра их внеурочных интересов.

Вторая модель отличается внутренней организованностью каждой из имеющихся в школе структур дополнительного образования, хотя как единая система оно еще не функционирует. Тем не менее в таких моделях встречаются оригинальные формы работы, объединяющие как детей, так детей и взрослых (ассоциации, творческие лаборатории, «экспедиции», хобби-центры). Нередко в таких школах сфера дополнительного образования становится открытой зоной поиска в процессе обновления содержания основного образования, своеобразным резервом и опытной лабораторией последнего. В результате те образовательные области, которые вначале изучались в рамках дополнительных образовательных программ, затем входят в базисный учебный план школ.

Третья модель организации дополнительного образования строится на основе тесного взаимодействия школы с одним или несколькими учреждениями дополнительного образования детей или учреждением культуры — центром детского творчества, клубом по месту жительства, спортивной или музыкальной школой, библиотекой, театром, музеем и т. п. Такое сотрудничество осуществляется на регулярной основе. Школа и специализированное учреждение, как правило, разрабатывают совместную программу деятельности, которая определяет содержание дополнительного образования в данной школе. При этом в практической реализации дополнительных образовательных программ значительно возрастает роль сотрудников специализированных учреждений.

Четвертая модель организации дополнительного образования детей в современной школе существует в учебно-воспитательных комплексах. На сегодняшний день эта модель является наиболее эффективной с точки зрения интеграции основного и дополнительного образования детей, поскольку в ней органично сочетаются возможности обоих видов образования. В учебно-воспитательных комплексах, как правило, создается солидная инфраструктура внешкольного дополнительного образования, на основе чего появляются условия для удовлетворения разнообразных потребностей ребенка и его реального самоутверждения.

Таким образом, независимо от модели реализации дополнительное образование компенсирует неизбежную ограниченность школьного кур-

са математики, дает возможность каждому ребенку удовлетворить свои индивидуальные познавательные, эстетические, творческие запросы, обеспечивает формирование круга общения учащихся на основе общих интересов и духовных ценностей.

Все указанные особенности методики преподавания математики в зависимости от внешних условий рассматриваются отдельно друг от друга. К сожалению, на сегодняшний день не существует методической системы обучения предметным областям, которая бы в комплексе рассматривала образовательный процесс без отрыва от многофакторных внешних условий. В связи с этим становится актуальным вопрос разработки комплексной методической системы обучения школьников математике.

В педагогическом энциклопедическом словаре приводится следующая трактовка понятия комплексной системы обучения. Комплексная система обучения — способ построения содержания образования и организации процесса обучения на основе единого связующего стержня (например, области детских интересов и склонностей, знакомства с определённым кругом жизненных явлений и т. д.) [9].

Все сказанное выше позволяет дать собственное определение понятия комплексной системы обучения школьников. Комплексная система обучения — система мер в организации учебного процесса, при которой выбор содержания, методов, способов, приемов, средств и форм обучения реализуется с учетом многофакторных внешних условий (гуманизация, гуманитаризация, дифференциация, индивидуализация, информатизация, интенсификация, фундаментализация, профилизация обучения), приводящих в совокупности к достижению школьниками высоких учебных результатов не только в рамках основной образовательной программы, но и с привлечением потенциала дополнительного образования.

Каждый педагог должен помнить, что наибольшего образовательного эффекта можно достичь только посредством комплексного подхода к организации подготовки учащихся, ориентации на перспективу личностного продвижения, формирования высокого уровня самостоятельности и ответственности, гибкого графика усвоения содержания образовательных программ и введения новых методов дополнительного обучения. Вопрос разработки комплексной методической системы обучения школьников математике и ее реализации в образовательной практике требует более детального рассмотрения. Но уже сегодня, в условиях модернизации школьного образования, очевидно, что именно при комплексном подходе к обучению учащихся математике можно говорить о высоких учебных результатах.

В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов. Изучение теории метрических пространств

Примечания

1. Епишева О. Б. Деятельностный подход как теоретическая основа проектирования методической системы обучения математике: автореф. дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.02; Тобол. гос. пед. ин-т им. Д. И. Менделеева. М., 1999.

2. Гусев В. А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: дис. ... д-ра пед. наук. М.: 1990; Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «17» декабря 2010 г. № 1897); Тестов В. А. Переход к новой образовательной парадигме в условиях сетевого пространства // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2012. № 4(1). С. 5056; Мартиросян А. П. Теоретико-методические основы информатизации математического образования: автореф. дис. ... д-ра пед. наук. М., 2010; Указ Президента РФ В. В. Путина «О мерах по реализации государственной политики в области образования и науки» от 7 мая 2012 г.; Аевченко И. В. Предпосылки и особенности фундаментализации образования на современном этапе. URL: http://www.mgpu.ru/ download. php?id=17051 [дата обращения: 09.02.2013]; Берулава Н. М. Гуманизация образования: направления и проблемы // Педагогика. 1996. № 4. С. 32-34; Миракова Т. Н. Гуманитаризация школьного математического образования (методология, теория и практика). М.: ИОСО РАО, 2000.

3. Российская педагогическая энциклопедия. М.: Научное общество, 1993. Т. 1. С. 359.

4. Унт И. Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. М.: Педагогика, 1990.

5. Сластенин В. А., Исаев И. Ф, Шиянов Е. Н. Педагогика / учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. завед.; под ред. В. А. Сластенина. М.: Изд. центр «Академия», 2002.

6. URL: http://www.rg.ru/2011/09/20/ obrazovanie.html

7. Козлова Е. В. Подготовка учащихся основной школы к итоговой аттестации по математике в современных условиях // Физико-математическое образование в школе и вузе: проблемы и перспективы: сб. ст. по материалам Всерос. науч.-практ. конф. преподавателей, аспирантов, магистрантов и учителей / под ред. Е. Н. Перевощиковой. Н. Новгород: НГПУ им. К. Минина, 2013. С. 149-153.

8. Кондаурова И. К. Избранные главы теории и методики обучения математике: дополнительное математическое образование школьников: учеб.-метод. пособие. Саратов: ИЦ «Наука», 2010.

9. Бим-Бад Б. М. Педагогический энциклопедический словарь. М., 2002. С. 125.

УДК 51

В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов

ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРИИ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

В статье представлены исходные понятия, центральные результаты, методика изучения метрических пространств. Изложение сопровождается примерами и упражнениями.

Initial concepts, the main results, technique of studying of metric spaces are presented in the article. The statement is accompanied by examples and exercises.

Ключевые слова: расстояние, метрика, метрическое пространство, изометрия, непрерывная функция, топология, методика изучения.

Keywords: distance, metric, metric space, isometry, continuous function, topology, methods of study.

1. Историко-методологическое введение

В конце XIX — начале XX в. произошла коренная перестройка оснований математики — в сторону строгого понятийного аппарата и безупречной логики рассуждений. К этому периоду был накоплен огромный математический материал, связанный с классическим анализом и геометрией, с теорией чисел и линейной алгеброй. Стремительно обогащалось само математическое знание: рождались новые подходы, теории и методы. Немецкие математики Карл Вейерштрасс (1815-1897), Георг Кантор (1848-1918) и Рихард Дедекинд (1831-1916) заложили современные основы математического анализа: обосновали теорию действительных чисел, построили строгую теорию предельного перехода на «языке £ — * ». На этой почве возникла и стала активно развиваться теория функций действительного переменного, главным образом, усилиями французских математиков Эмиля Бореля (1871-1956), Рене Бэра (1874-1935), Анри Лебега (1875-1941). Теория функций включала и исследование различных множеств (пространств) функций.

В конце XIX в. осуществлена арифметизация математики - построение всей классической математики на числовой основе. Было окончательно осознано, что математика - точная дедуктивная наука, в которой одни теоремы и понятия выводятся и определяются из других (теорем, аксиом) и через другие (первичные понятия) соответственно. В этом заключается аксиоматический метод. Арифметизация должна начинаться с аксиоматизации натуральных чисел, что было сделано итальянским математиком Джузеппе

© Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., 2013