Расчет прочности плит монолитного безбалочного перекрытияпо методу предельного равновесия

УДК 624.073

В.С. Кузнецов, Ю.А. Талызова

ФГБОУВПО «МГСУ»

РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ПЛИТ МОНОЛИТНОГО БЕЗБАЛОЧНОГО ПЕРЕКРЫТИЯ ПО МЕТОДУ ПРЕДЕЛЬНОГО

Приведены особенности расчета прочности монолитного безбалочного перекрытия, полученные на основе метода предельного равновесия. Рассмотрено влияние различных соотношений сторон ячейки и размеров сечения колонн на изгибающие моменты.

Ключевые слова: момент, монолитное перекрытие, прочность, несущая способность, метод предельного равновесия, расчетная схема, нагрузка, конструирование, пластический шарнир, расчет, загружение, запас прочности.

Цель работы — установить перераспределение усилий в плите монолитного железобетонного безбалочного перекрытия под действием сплошной равномерно распределенной нагрузки в предельном состоянии. Выявить влияние соотношения сторон ячейки перекрытия и размеров поперечного сечения колонн на величины действующих усилий.

В качестве объекта исследования выбрана изотропная плита монолитного безбалочного перекрытия толщиной t, опирающаяся на колонны прямоугольного сечения hk на Ьк. Размеры ячейки плиты — а и Ь. Рассмотрен случай, когда равномерно распределенная нагрузка V приложена по всей поверхности плиты.

Переменными параметрами в работе принимались размеры сторон ячейки а и Ь и сечения колонн hk и Ьк.

Схема плиты и основные размеры ячейки приведены на рис. 1.

Рис. 1. Фрагмент плиты перекрытия: 1 — рассматриваемая ячейка; 2 — колонны

РАВНОВЕСИЯ

ВЕСТНИК -г юм 1

7/2013

Если представить плиту как бесконечную пластинку, то любую среднюю ячейку перекрытия можно представить как отдельную плиту, опирающуюся на колонны и загруженную сплошной равномерно распределенной нагрузкой V [1, 2].

Под действием равномерно распределенной нагрузки плита прогибается и в предельном равновесии разламывается на плоские звенья, соединенные между собой линейными пластическими шарнирами (рис. 2). Полное образование всех шарниров превращает плиту в изменяемую систему, что характеризует исчерпание несущей способности.

Для каждого случая опирания и загружения пластины схема разрушения определяется, как правило, экспериментальным путем, кроме простейших случаев, где она может быть установлена на основе предыдущего опыта.

Для рассматриваемого случая схема разрушения может быть принята такой, как она изложена в [1], т.е. по нижней поверхности плиты трещины располагаются в двух перпендикулярных направлениях в срединных частях пролетов. На верхней стороне трещины образуются вблизи углов колонн (рис. 2), что подтверждается результатами натурных исследований [3—8]. Ориентация верхних трещин зависит от формы и размеров поперечного сечения колонн. Например, при квадратном сечении угол наклона будет составлять примерно 45° [1].

Рис. 2. Схема излома и действующих усилий

В общем случае на плиту действуют пролетные моменты М и М2 и моменты МхР Му. (г = 4) в приопорных зонах колонн (см. рис. 2). В случае колонн одинакового сечения опорные моменты будут равны, т.е. М1 = М2 = М3 = М4 = М

иМ, = М, = М, = М. = М.

у1 у2 у3 у4 у

Погонные моменты, действующие по линиям излома, определяются количеством и видом арматуры, классом бетона, а также геометрическими размерами плиты. Причем, относительная высота сжатой зоны бетона £ не должна превышать 0,35 высоты сечения.

И = Я Л г.,

s s Ъ к '

где Я — расчетное сопротивление арматуры; Лх — площадь поперечного сечения арматуры; гЪ — плечо внутренней пары.

В предельном равновесии плита приобретает форму неправильной пирамиды, высота которой равна/ а гранями служат треугольники.

При малых углах поворота звеньев обычно допускают, что ф ~ tgф =//(а/2) = = 2//а и а ~ tgа = //(Ь/2) = 2//Ь, где а — меньшая; Ь — большая сторона плиты (см. рис. 2).

Условием равновесия системы является равенство работ моментов Лт на возможных углах поворота и внешней нагрузки на соответствующих переме-щенияхЛ

Л = Л .

ц т 47

Работа внешней равномерно распределенной нагрузки Л численно равна произведению интенсивности нагрузки ц на объем фигуры V, образованной наклонными звеньями плиты.

А = дУ = 3 /я

Работа внутренних усилий выражается суммой работ моментов на соответствующих углах поворота

Л = !М ф.

т г~ г 47

В случае ячейки с одинаковыми колоннами работа внутренних усилий равна

Ат = 4фМ V Нк + Мх 2фЬ + 4аМх *Ьк +М2 2аа.

Приравняв выражение для внешней и внутренней работ и выполнив некоторые преобразования, получим равенство (6), выражающее условие равновесия плиты в предельном состоянии

1 / (М'A M' Ъ, \

3q(аЪ - 2ИкЪк ) = 8 > k  ' k

Мф М2а

у а ь ) у а Ь ) У '

Полученное уравнение является общим для решения задач прочности монолитных плит с регулярной сеткой колонн, загруженных сплошной равномерно распределенной нагрузкой.

Задаваясь соотношением пролетных и опорных моментов по грани колонны, можно получить конструктивные решения армирования плит с наиболее экономичными показателями.

В частном случае, для квадратной пластинки (а = Ь = с) при квадратных колоннах = Ьк = Ь) и равномоментной схеме (М = М1 = М'х = М2 = М ) выражение (6) принимает вид

1 дс

М =--^-.

24 2Ь + с у '

ВЕСТНИК

МГСУ-

7/2013

Данное выражение позволяет легко вычислить пролетные и опорные моменты и установить оптимальное армирование в плите [8—11].

Для различных соотношений размера колонны к стороне ячейки X = Ьк/с были вычислены величины моментов, которые приведены в табл. 1 и на графике (рис. 3).

Табл. 1. Опорные и пролетные моменты для различных соотношений Ьк1с

пр к к

Ь /с к М пр М оп

1/30 35,078qb2 35,078qb2

1/20 15,076qb2 15,076qb2

1/15 8,199qb2 8,199qb2

1/12 5,07^Ь2 5,071qb2

1/10 3,403qb2 3,403qb2

Очевидно, что увеличение величины X приводит к непропорциональному изменению опорных и пролетных моментов.

Для случая с неквадратными колоннами hk = 2Ьк и hk = 3Ьк выражение

I дс

М = -

М =

24 3Ь + с ! дс

24 4Ь + с

Для различных X величины моментов приведены в табл. 2 и 3 и на графике (рис. 3).

Табл. 2. Опорные и пролетные моменты для различных соотношений Ьк/с

4 оп пр к к

Ь /с к М пр М оп

1/30 33,939qb2 33,939qb2

1/20 14,348qb2 14,348qb2

1/15 7,674qb2 7,674qb2

1/12 4,667qb2 4,667qb2

1/10 3,077qb2 3,077qb2

Табл. 3. Опорные (М = М и ^ = 3Ь,) 4 оп пр к к и пролетные моменты для различных соотношений bJc при

Ь/с М пр М оп

1/30 32,868qb2 32,868qb2

1/20 13,68^Ь2 13,68^Ь2

1/15 7,204qb2 7,204qb2

1/12 4,313qb2 4,313qb2

1/10 2,798qb2 2,798qb2

1/10 1/12 1/15 1/20 1/30

•к = %

•К = 2\

•к = щ

V с

Рис. 3. Зависимость опорного момента Моп от различных соотношений Ьк/с и hJbk

4 оп пр'

При увеличении опорных моментов М = М = М по отношению к пролетА А хг уг оп А

ным М1 = М2 = М и отношении Моп/Мпр= 2 выражение

M =-

24 4b + с

Для случая с неквадратными колоннами hk = 2bи hk = 3bk и отношении

Моп/Мпр = 2 выражение (6) принимает вид

M =

M =

I qc

24 8Ь + с

Для различных X величины моментов приведены в табл. 4—6 и на графике (рис. 4).

Табл. 4. Опорные и пролетные моменты для различных соотношений Ьк/с

у оп пр к к'

b /с k М пр М оп

1/30 33,015qb2 66,030qb2

1/20 13,819qb2 27,638qb2

1/15 7,336qb2 14,672qb2

1/12 4,438qb2 8,876qb2

1/10 2,917qb2 5,834qb2

Табл. 5. Опорные (М = 2М и h = 2b,) v оп пр k k и пролетные моменты для различных соотношений bjc

b /с k М пр М оп

1/30 31,111qb2 62,222qb2

1/20 12,692qb2 25,384qb2

1/15 6,557qb2 13,114qb2

1/12 3,889qb2 7,778qb2

1/10 2,500qb2 5,000qb2

ВЕСТНИК

МГСУ-

7/2013

Табл. 6. Опорные и пролетные моменты для различных соотношений Ьк/с

4 оп пп к к

b /с k М пр М оп

1/30 29,408qb2 58,816qb2

1/20 11,726qb2 23,452qb2

1/15 5,951qb2 11,902qb2

1/12 3,450qb2 6,900qb2

1/10 2,176qb2 4,352qb2

Мо

80 60 40 20 0

'hk = bk = 2bk •К = 3bk

1/10

1/12 1/15

1/20 1/30

b/c

Рис. 4. Зависимость момента М от различных соотношений b,/с и h,/b,

оп А к к к v оп прк

Выводы. 1. Установлено, что при различных X значения опорных и пролетных моментов изменяются незначительно в пределах 7 %.

2. Увеличение X в пределах (1/10.. .1/30) приводит к непропорциональному изменению опорных и пролетных моментов.

3. Выявлено, что при переходе от равномоментной схемы к схеме Моп = = 2Мпр уменьшение опорного момента непропорционально росту пролетного, что свидетельствует о том, что колонна берет на себя часть нагрузки, ранее воспринимаемой плитой [8].

4. Схема излома, предложенная в настоящей работе, не является единственно возможной. Дальнейшие варианты разрушения будут предложены авторами в последующих разработках.

Библиографический список

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. 2-е изд. М. : Наука, 1959. С. 274—283.

2. Никоноров С.В., Тарасова О.А. Технология раннего нагружения монолитных перекрытий при использовании балочно-стоечной опалубки // Инженерно-строительный журнал. 2010. Вып. 4. Режим доступа: http://www.engstroy.spb.ru. Дата обращения: 05.12.2012.

3. Khaled Soudki, Ahmed K. El-Sayed, Tim Vanzwolc. Strengthening of concrete slab-column connections using CFRP strips. Journal of King Saud University Engineering Sciences. Volume 24, Issue 1, January 2012, pp. 25—33. Режим досупа: http://www. sciencedirect.com. Дата обращения: 10.04.13.

4. Damir Zenunovica, Radomir Folic. Models for behavior analysis of monolithic wall and precast or monolithic floor slab connections. Engineering Structures. Volume 40, July 2012, Pp. 466—478. Режим доступа: http://www. sciencedirect.com. Дата обращения: 10.04.13.

5. Дорфман А.Э., Левонтин Л.Н. Проектирование безбалочных бескапительных перекрытий. М. : Стройиздат, 1975. 124 с.

6. ШтаерманМ.Я., Ивянский А.М. Безбалочные перекрытия. М., 1953. С. 47—64.

7. Золотков А.С. Вибрационные испытания фрагментов монолитных зданий до разрушения // Инженерно-строительный журнал. 2012. Вып. 1. Режим доступа: http:// www.engstroy.spb.ru. Дата обращения: 05.12.2012.

8. Miroslaw Wieczorek. Influence of Amount and Arrangement of Reinforcement on the Mechanism of Destruction of the Corner Part of a Slab-Column Structure. Proсedia Engineering. Volume 57, 2013, pp. 1260—1268. Режим доступа: http://www. sciencedirect. com. Дата обращения: 10.04.13.

9. Малахова А.Н. Усиление монолитных плит перекрытий зданий стеновой конструктивной системы // Строительство: наука и образование. 2012. Вып. 4. Ст. 3. Режим доступа: http://www.nso-journal.ru. Дата обращения: 31.03.2013.

10. Погребной И.О., Кузнецов В.Д. Безригельный предварительно напряженный каркас с плоским перекрытием // Инженерно-строительный журнал. 2010. Вып. 3. Режим доступа: http://www.engstroy.spb.ru. Дата обращения: 05.12.2012.

11. СамохваловаЕ.О., ИвановА.Д. Стык колонны с безбалочным бескапительным перекрытием в монолитном здании // Инженерно-строительный журнал. 2009. Вып. 3. Режим доступа: http://www.engstroy.spb.ru. Дата обращения: 05.12.2012.

Поступила в редакцию в мае 2013 г.

Об авторах: Кузнецов Виталий Сергеевич — кандидат технических наук, профессор кафедры архитектурно-строительного проектирования, Мытищинский филиал, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 141006, Московская область, г. Мытищи, Олимпийский проспект, д. 50, 8(495)583-07-65, visku1943@km.ru;

Талызова Юлия Александровна — ассистент кафедры архитектурно-строительного проектирования, Мытищинский филиал, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 141006, Московская область, г. Мытищи, Олимпийский проспект, д. 50, yuliatalyzova@yandex.ru.

Для цитирования: Кузнецов В.С., Талызова Ю.А. Расчет прочности плит монолитного безбалочного перекрытия по методу предельного равновесия // Вестник МГСУ 2013. № 7. С. 51—58.

V.S. Kuznetsov, Yu.A. Talyzova

ANALYSIS OF STRENGTH OF MONOLITHIC BEAMLESS FLOORS USING THE LIMIT

EQUILIBRIUM METHOD

The authors present features of the strength analysis of monolithic beamless floors, obtained using the limit equilibrium method. This method consists in the following procedure: a monolithic plate bends and breaks in the limit equilibrium under a uniformly distributed load. The influence of various combinations and dimensions of column sections on bending moments are considered. The influence of cross-sectional dimensions of columns on values of effective forces is analyzed in detail. The general equation to solve the strength problems of monolithic plates, having regular grids of columns exposed to continuous uniform loads, is derived and solved by the authors. This expression can be applied to calculate the span and support moments and to establish optimal reinforcement of plates. Results of calculations are presented in graphs that make it possible to derive interesting findings.

Key words: moment, monolithic slabs, strength, bearing capacity, limit equilibrium method, design, load, plastic hinge, calculation, congestion, safety margin.

BECTHMK -rioM 1

7/2013

References

1. Timoshenko S.P., Voynovskiy-Kriger S. Plastinki i obolochki [Plates and Shells] Moscow, 1959, pp. 274—283.

2. Nikonorov S.V., Tarasova O.A. Tekhnologiya rannego nagruzheniya monolitnykh per-ekrytiy pri ispol'zovanii balochno-stoechnoy opalubki [Technology of Early Loading of Monolithic Slabs Using Rack-girder Formwork]. Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal [Civil Engineering Journal]. 2010, no. 4. Available at: http://www.engstroy.spb.ru. Date of access: Dec. 5, 2012.

3. Soudki Kh., El-Sayed A.K., Vanzwolc T. Strengthening of Concrete Slab-column Connections Using CFRP Strips. Journal of King Saud University Engineering Sciences. January

2012, vol. 24, no. 1, pp. 25—33. Available at: http://www. sciencedirect.com. Date of access: Apr. 10, 2013.

4. Zenunovica D., Folic R. Models for Behavior Analysis of Monolithic Wall and Precast or Monolithic Floor Slab Connections. Engineering Structures. July 2012, vol. 40, pp. 466—478. Available at: http://www. sciencedirect.com. Date of access: Apr. 10, 2013.

5. Dorfman A.E., Levontin L.N. Proektirovanie bezbalochnykh beskapitel'nykh perekrytiy [Design of Beamless Cap-free Floors]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1975, pp. 11—22, 36—46.

6. Shtaerman M.Ya., Ivyanskiy A.M. Bezbalochnye perekrytiya [Beamless Floors]. Moscow, 1953, pp. 47—64.

7. Zolotkov A.S. Vibratsionnye ispytaniya fragmentov monolitnykh zdaniy do razrusheni-ya [Vibration Testing of Fragments of Monolithic Buildings to Fracture]. Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal [Civil Engineering Journal]. 2012, no 1. Available at: http://www.engstroy.spb.ru. Date of access: Dec. 5, 2012.

8. Wieczorek M. Influence of Amount and Arrangement of Reinforcement on the Mechanism of Destruction of the Corner Part of a Slab-Column Structure. Procedia Engineering.

2013, vol. 57, pp. 1260—1268. Available at: http://www. sciencedirect.com. Date of access: Apr. 10, 2013.

9. Malakhova A.N. Usilenie monolitnykh plit perekrytiy zdaniy stenovoy konstruktivnoy sistemy [Strengthening Monolithic Slabs of Buildings Having Wall Structural Systems]. Nauch-no-prakticheskiy Internet zhurnal «Nauka. Stroitel'stvo. Obrazovanie» [Science and Practical Journal "Science, Construction, Education"]. 2012, no. 4. Available at: http://www.nso-journal. ru. Date of access: March 31, 2013.

10. Pogrebnoy I.O., Kuznetsov V.D. Bezrigel'nyy predvaritel'no napryazhennyy kar-kas s ploskim perekrytiem [Beamless Pre-stressed Frame Having a Flat Slab]. Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal [Civil Engineering Journal]. 2010, no 3. Available at: http://www.engstroy. spb.ru. Date of access: Dec. 5, 2012.

11. Samokhvalova E.O., Ivanov A.D. Styk kolonny s bezbalochnym beskapitel'nym perekrytiem v monolitnom zdanii [Juncture of a Column and Beamless Cap-free Floors in a Monolithic Building]. Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal [Civil Engineering Journal]. 2009, no 3. Available at: http://www.engstroy.spb.ru. Date of access: Dec. 5, 2012.

About the authors: Kuznetsov Vitaliy Sergeevich — Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Architectural and Structural Design, Mytishchi Branch, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 50 Olimpiyskiy prospect, Mytishchi, Moscow Region, 141006, Russian Federation; +7 (495) 583-07-65; visku1943@km.ru;

Talyzova Yulia Aleksandrovna — Assistant Lecturer, Department of Architectural and Structural Design, Mytishchi Branch, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 50 Olimpiyskiy prospect, Mytishchi, Moscow Region, 141006, Russian Federation; yuliatalyzova@yandex.ru.

For citation: Kuznetsov V.S., Talyzova Yu.A. Raschet prochnosti plit monolitnogo bezba-lochnogo perekrytiya po metodu predel'nogo ravnovesiya [Analysis of Strength of Monolithic Beamless Floors Using the Limit Equilibrium Method]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 7, pp. 51—58.