Моделирование тестов обнаружения сигнала в многоканальной системе и сравнение их свойств

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕСТОВ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА В МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ И СРАВНЕНИЕ ИХ СВОЙСТВ

К.В. Дехтерева Научный руководитель - к.ф.-м.н, доцент И.А. Суслина

Цель работы - изучение задачи обнаружения сигнала в многоканальной системе, каждый из каналов которой может содержать или не содержать сигнал определенного вида. Проведено моделирование многоканальной системы, оценена эффективность оптимальных по порядку различимости тестов. По результатам экспериментов проведено сравнение эффективности алгоритмов обнаружения на базе полученных кривых обнаружения.

Введение

В работе изучается задача обнаружения сигнала в многоканальной системе, каждый из каналов которой может содержать или не содержать сигнал определенного вида, наблюдаемый в гауссовском белом шуме. Задача состоит в обнаружении факта наличия сигнала в наблюдаемых данных. Задачи такого типа возникают при разработке и исследовании различных систем технической или медицинской диагностики, радиолокационных систем, систем передачи информации и т.д. В ходе работы нужно смоделировать в среде МА^АВ 6.5 многоканальную систему с наличием (или отсутствием) сигнала в каждом канале. На базе леммы Неймана-Пирсона в этой многоканальной системе со сравнительно малым числом каналов (п = 47) нужно построить байесовский критерий при наиболее неблагоприятном априорном распределении, провести эксперименты для разного числа включенных каналов и для разных уровней сигнала, по результатам экспериментов сравнить эффективность алгоритмов обнаружения на базе полученных кривых обнаружения.

1. Проверка статистических гипотез

1.1. Гипотеза и альтернатива [2]

Часто на основе данных наблюдения из множества наблюдений х нужно проверить те или иные предположения о распределении вероятностей экспериментальных данных P = Pв, например, что распределение совпадает с заданным заранее (в = в0), что оно имеет заданные характеристики (среднее, дисперсию и т.д., g (в) = g 0) или принадлежит заданному классу распределений (является равномерным, нормальным и т.д.). Любое такое предположение называется статистической гипотезой Н и выражается соотношением Н :в е 0 Н . Здесь 0Н - некоторое подмножество 0 . Если множество 0Н состоит из одного элемента 0Н = {вН}, то гипотеза Н называется простой: Н :в евН. Если множество 0Н содержит больше элементов, то гипотеза Н называется сложной. Мы будем рассматривать двухальтернативные задачи проверки гипотез. В этом случае одна из гипотез Н0 :в е 00 называется основной (нулевой) гипотезой, а другая, Н1:ве01, - альтернативой 0О, 01 с0, 0О п01 = 0. Часто в задачах проверки гипотез задается лишь основная гипотеза Н0 :в е 00. При этом обычно считают, что Н1 :в £ 00, т.е. 01 =0\0О - дополнение множества 0 0 в 0 . Такие задачи называются задачами проверки согласия (с гипотезой Н0).

1.2. Тесты проверки гипотез

Правило принятия или отклонения основной гипотезы называют тестом проверки гипотез (его называют также критерием проверки гипотез). Тест можно рассматривать как функцию наблюдений X), X е х , принимающую значения X) = 0 (это

соответствует принятию основной гипотезы) или у(X) = 1 (это соответствует отклонению основной гипотезы, т.е. принятию альтернативы). Тест однозначно определяется одним из двух непересекающихся и дополняющих друг друга подмножеств

Хо = {X ^X-W(X) = 0}; Xi = {X ex:^(X) = 1}; Хо = х\Х-

Множество х0 называется допустимым, а множество Х1 - критическим. Если наблюдаемые данные x попадают в х1, то основная гипотеза H0 отвергается (принимается альтернатива H1); в противном случае (x ех0) основная гипотеза H0 принимается. Обычно критерий задается с помощью статистики критерия L = L(X), X е х и числового порога критерия Т: (0 при L(X) < T,

у( X) = 1

[1 при L(X) > T.

Алгоритм принятия решения состоит из двух этапов:

1) вычисление по наблюдениям X значения статистики L = L( X) ;

2) сравнение L = L( X) с порогом Т.

Основная гипотеза принимается при L < T, отвергается при L > T.

1.3. Ошибки I и II рода и их вероятности

Решения, принимаемые на основе случайных данных с помощью того или иного теста у, могут быть как правильными, так и ошибочными. В задачах проверки гипотез различают ошибки двух типов.

1. Ошибки I рода: отклонение основной гипотезы H 0, в то время как она справедлива, т.е. у (X) = 1 при в е ©0.

2. Ошибки II рода: принятие основной гипотезы H0 , в то время как имеет место альтернатива, т.е. у (X) = 0 при в е ©1.

Количественной характеристикой ошибок I и II рода являются их вероятности. Они характеризуют достоверность решений, принимаемых с помощью того или иного теста проверки гипотез.

Вероятность ошибок I рода теста у обозначается а(у,в) и зависит от значения параметра в е ©0: а(у, в) = Рв (х1), в е ©0.

Уровнем значимости а (у) теста у называется величина максимальной вероятности ошибок I рода: а(у) = Бира(у,в).

ве ©0

Вероятность ошибок II рода теста у обозначается в(у, в) и зависит от значения параметра в е ©1: в {у,в) = Рв (х0 ), в е ©1.

Часто рассматривают также функцию мощности у{у, в) теста у :

7(у,в) = РвХ) = 1 -в(у,в), в е ©1.

Функция мощности у{у,в) отличается от вероятности ошибок I рода а(у,в) лишь областью изменения аргумента в. Тест называется несмещенным, если у{у,в) > а(у,в) для всех в0 е ©0, в1 е ©1.

Для теста у, заданного с помощью статистики L и порога Т,

а(у,в) = 1 -GJT), в е©0;

в(у,в) = G^T), Г(у) = 1 -Gei(T), в е ©1,

где Ов(Т) = Рв (Ь < Т) есть значение функции распределения статистики Ь для порога Т, вычисленное при значении параметра в е 0.

1.4. Подход Неймана-Пирсона [3]

В задачах проверки гипотез желательно построить такие тесты, у которых вероятность ошибок как I рода, так и II рода были бы минимальны. Это требование, однако, противоречиво: обычно уменьшение вероятностей ошибок I рода влечет увеличение вероятностей ошибок II рода (уменьшение мощности), и наоборот. Например, для теста, основанного на некоторой статистике Ь, уменьшение вероятностей ошибок I рода требует увеличения порога Т, а уменьшение вероятностей ошибок II рода требует уменьшения порога Т.

В этой связи обычно используют подход Неймана-Пирсона, состоящий в следующем. Задается малая величина а е (0,1) - максимально допустимая величина вероятностей ошибок I рода (ее называют также допустимым уровнем значимости), и рассматриваются только тесты у = у а , для которых а(у) < а. Выбор величины а зависит от конкретной задачи. Часто выбирают а =0.1, 0.05 или 0.01; если ошибочное отклонение основной гипотезы сопряжено с большими потерями, выбирают а = 0.001 и менее.

В теории проверки гипотез разрабатываются методы построения тестов проверки различных гипотез при различных альтернативах и изучаются различные характеристики достоверности принимаемых решений, то есть вероятности ошибок и мощность тестов. Наиболее общие результаты удается получить в рамках асимптотического подхода.

1.5. Оптимальная и асимптотически минимаксная проверка гипотез. О сравнении качества оценок [4] 1.5.1. Байесовский подход

Зададим борелевскую а -алгебру в пространстве вероятностных мер Р, и пусть Р0 и Р1 - борелевские подмножества Р. Зададим две вероятностные меры п0 и п1 с носителями, соответственно, Р0 и Р1, которые будем называть априорными распределениями на Р0, Р1. Рассмотрим усредненные ошибки для данных распределений.

(У) = а(У, п0) = Eп0а(W,Р) р2= , п1) = Еп1 в(W, Р). Затем определим

Г1

в

^а

где для а е (0,1) множество тестов имеет вид ^а=^а,п0 = {Уе^ :а(у,п0) <а}.

Тест у/(() или уа называется байесовским, если удовлетворяет условиям (1.1) или (1.2). Рассмотрим смеси Рп и Р , заданные равенствами вида Рп(А) = ЕПР(А), А е А, п = п0 или п = п1, / = 0,1. Тогда задача байесовской проверки гипотез сводится к проверке простой гипотезы Р0 = Р против простой альтернативы Р0 = Р , так как а(у, п0) = а(у,Рщ), в(У, п1) = в(У, Рщ). Тогда, используя лемму Неймана-Пирсона, получаем структуру байесовского теста. В целом, если Р доминирует Р , то байесовские тесты основаны на статистике Ь = йРщ / йРщ и у = у(1) = 1 - 2ЕР |Ь -1|.

Байесовский подход очень важен с теоретической точки зрения. Но, к сожалению, возникают две основные трудности в применении этого подхода. Во-первых, для большинства представляющих интерес моделей довольно сложно изучать оптимальные тесты для гипотез, относящихся к смесям мер.

Вторая трудность заключается в том, что обычно не очень понятно, каким образом выбирать априорные распределения. В принципе они должны представлять информацию, не основывающуюся на эксперименте. Однако часто либо отсутствует такая информация, либо ее трудно представить в форме априорного распределения.

1.5.2. Минимаксный подход

Рассмотрим не средние (усредненные), а максимальные ошибки

^ (у) = а(у) = а(у, Р0) = Бир а(у, Р),

Ре ро

^ (у) = в(у) = а(у, Р) = вир в(у, Р).

Р е р

Иногда удобно считать, что а (у, Р0) = 0, если Р0 = 0 и в (у, Рх) = 0, если Рх = 0. Для а е (0,1) положим = ¥а,ро = {уе ^ : а(у, Р0) < а}.

Можно определить величины

у,

* а

Тест у(() или уа называется минимаксным, если удовлетворяет условиям (1.3) или (1.4).

Величины у{,) и в(а) характеризуют величину суммарной ошибки или ошибки второго рода, которые возможны в задаче.

1.5.3. Асимптотическая минимаксность

Минимаксные свойства семейства тестов у е характеризуются асимптотикой максимума ошибок I и II рода

ае

е

ве 0е0 ве 0.

е,1

или их суммой уе( (уе) = ,ае(уе) + ве(уе). Обозначим

Ге ) = ^ Уе, (уе ), 0 < ^е ^) < ш1п( 1,1), где нижняя грань берется по всем тестам уе е Те. Совокупность тестов у^) называет-

ся асимптотически минимаксной, если уе((у^)) = уе{1) + о(1), при е ^ е0. Исходя из подхода Неймана-Пирсона, рассмотрим совокупности тестов уе, удовлетворяющие неравенству ае (уе ) < а + о(1). Совокупность тестов уе а называется асимптотически минимаксной, если

а е (у е,а ) <а + 0(1), Ре^уе.а) <в + °(1Х е ^ е0.

Мы рассматриваем задачу изучения асимптотики уЕ(1) или ве(а) и построения асимптотически минимаксных семейств тестов у^) и уеа.

2. Обнаружение сигнала в многоканальной системе

2.1. Постановка задачи

В статье [1] рассмотрена задача обнаружения сигнала в многоканальной системе, каждый из каналов которой может содержать или не содержать сигнал /(,),, е (0,1),

наблюдаемый в гауссовском белом шуме. Рассмотрен случай, когда число каналов п велико, и изучается асимптотика при п ^ да .

Точная постановка задачи состоит в следующем. Рассмотрена модель гауссовско-го белого шума, т. е. наблюдались п независимых случайных процессов X. (^), I е ( 0,1), каждый из которых соответствует г-му каналу системы и удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

йХг

Здесь (^) - независимые винеровские процессы, а = ап > 0 - известный уровень шума, £ е {0,1} - параметры, соответствующие наличию сигнала / е Ь2( 0,1) в г-ом канале (£ = 1) или отсутствию сигнала (£ = 0), где Ь2( 0,1) - пространство измеримых функций на (0, 1) и суммируемых со степенью 2. Рассмотрен случай сигнала известной формы /(/) = сф(/), ф е Ь2 ( 0,1), ||ф|| = 1; здесь ф - известная функция,

определяющая форму сигнала, а величина с = сп = ||/|| > 0 определяет уровень сигнала.

За / = (£/,... ,£/) е Ьп2( 0,1) обозначен набор функций, характеризующих на__п

личие или отсутствие сигнала / в каналах. Величина К(£) = ^ £ есть число танагр

лов, содержащих сигналы; 0 < К(£) < п .

Пусть ¥п = {/Ьп2(0,1) - заданное множество наборов сигналов в каналах. Задачу обнаружения сигнала можно рассматривать как задачу проверки гипотезы Н0 : / = 0 против альтернативы Н1Р : / е Рп.

Изучена задача с точки зрения минимаксного подхода. Именно, пусть Уп = Уп(Х1,..., Хп) - тест, т.е. измеримая функция от наблюдений со значениями в интервале [0,1]. Пусть ап(уп) = Еп0(уп) есть вероятность ошибок I рода и

Рп (Уп, /) = Е/ (1 - щп) есть вероятность ошибок II рода теста п (здесь и ниже Еп / есть математическое ожидание по мере Рп/, соответствующей наблюдениям (2.1); мера Рп0 соответствует отсутствию сигналов в системе). Обозначена за уп (уп, Рп) сумма вероятности ошибок I рода и максимальной вероятности ошибок II рода

Уп (Уп> Рп) = ап (Уп) + тах Рп (Уп>/).

/ еР„

Пусть уп =уп (¥п) = 1пГ уп (уп, ¥п). Величина уп (Рп) называется минимаксной ошибкой обнаружения для альтернативы. Легко видеть, что 0 < уп < 1.

Будем говорить, что тест у/п является минимаксным для альтернативы Н1 Р , если Уп (Уп , Рп ) = Уп (Рп ).

Рассматриваемая задача также представлена в несколько другой форме. Рассмотрим статистики

1

х. = а-1)йХ.

0

Легко видеть, что это достаточные статистики в рассматриваемой задаче, и они независимы как при гипотезе, так и при альтернативе, соответствующей любому набору £п = (£,-.,£,). При гипотезе Н0 статистики хг имеют стандартное гауссовское распределение N(0,1). Пусть Ь = с /а есть отношение сигнал-шум. Тогда при альтер-

нативе, соответствующей набору £ п = (££,..., £п), статистики x, имеют гауссовское распределение N(v1,1), v, = b£,. При переходе к статистикам (2.2), возникает вектор наблюдений вида x = v + n, ve Rn, где jj = (п1,...,пп) - стандартный n-мерный нормальный вектор, а v = (b£,...,b£n) - n-мерный вектор, соответствующий наличию или отсутствию сигнала уровня с в каналах. Получается эквивалентная задача проверки гипотез о среднем п-мерного нормального распределения H0 : v = 0, H1V : v e Vn,

где Vn с Rn - множество, соответствующее множеству Fn с Ln2(0,1). Величины

an(¥n), Pn(Wn,v), Yn(¥n) = Y(Wn,Vn) , Yn = Yn(Vn) в этой задаче определяются аналогично.

Пусть число каналов к, 1 < к < n , содержащих сигналы, и отношение сигнал-шум b < 0 известны. Пусть

Vn

и рассматривается эквивалентная задача проверки гипотез о среднем п-мерного нормального распределения H0 : v = 0 против альтернативы H1V (b, к): v e Vn (b, к).

Указывается вид минимаксного теста в этой задаче. Именно, пусть л-равномерное априорное распределение на дискретном множестве Vn (b, к) имеет вид

n(v) = M -1 У v e Vkn; M = (Vn (b, к)) = с" .

Рассматривается байесовская задача проверки гипотезы H0 : P = Pn0 против альтернативы H1 : P = Рп о распределении Р наблюдений х; здесь Pn = JPnvn(dv) -

Rn

смесь по априорному распределению. Пусть у/л - байесовский тест, минимизирующий Y(w,Pn) = En0y + EP (1 -у). По лемме Неймана-Пирсона он имеет вид у/п = 1{L(x)>1},

где L(x) = (x) = Jexp(-|v|2/2 + (x,v))n(dv) = (CI)-1 e-кь2'2£exp(b £x,), а сумми-

dPn,0 An ,к ^-An*

рование ведется по всевозможным подмножествам Апк с {1,..., n}, содержащим к элементов. Из соображений инвариантности следует, что есть минимаксный тест для альтернативы Vn(b,к), т.е. щ(Уп(b,к)) = Y(Vn,Vn(b,к)). Это означает, что есть наименее

благоприятное априорное распределение. Однако структура статистики L(x) достаточно сложна при к < n, и трудно исследовать вероятности ошибок минимаксного теста. Кроме того, статистика L(x) существенно зависит от параметров к, b.

В этой связи изучается асимптотический вариант задачи при n ^ ю. Считается, что последовательность тестов щп является асимптотически минимаксной для альтернативы HjV , если Yn(уп,Vn) = Yn(Vn) + o(1), и состоятельной для альтернативы Hj V , если Yn {Щп ,Vn) ^ 0. Здесь и далее пределы рассмотрены при п ^ ю.

2.2. Основные результаты

Пусть к = кп, b = bn - заданные последовательности, bn > 0, 1 < кп < п. Вводится

величина 5п = (logкп)/(logп) e [ 0,1 ], т.е. кп = п5". Полагается

< = un

Если 5п —> 5 g (0, 1/4), то точная асимптотика минимаксных вероятностей ошибок в задаче описывается в терминах специальных безгранично делимых распределений без гауссовской компоненты. Однако можно получить другую точную границу между условиями различимости и неразличимости при liminf 5п < 1/4 . Пусть при 5 g [0, 1/4]

Ь*

Теорема [1, стр. 92]

Пусть Vn = Vn (Ьп, кп ) - множества вида (2.3) и 5п — 5 g (0, 1/4). Тогда справедливы утверждения:

1. Если lim sup Ьп / Ь*п(кп ) < 1, то уп — 1.

2. Если liminf Ь /Ь*(к ) > 1, то y (wthr ) — 0, где тесты wthr, основаны на стати-

п п \ п у ' / п \r п ' 5 'п5

стиках

п

tnA = Ап£v

i=1

Более того, это справедливо при 5п —5 для любого 5 g [0,1/2) .

Тесты \i/th, являющиеся состоятельными при условиях lim inf Ьп / Ь* (кп ) > 1 и liminf Ьп /Ь*(кп) < 1/2, где определены равенствами (2.4), (2.5), не зависят от параметра Ьп и кп.

3. Моделирование и обнаружение сигналов в многоканальной системе

в среде MATLAB [5]

3.1. Исходные данные

Количество каналов системы: п = 47. Количество каналов с сигналами: к = 1; 2; 3;

4. Отношение сигнал-шум: Ь = clogп , где с = 1, 3, 5.

3.2. Моделирование статистик L

Сигнал многоканальной системы имеет вид: x = v + n, vg R". Для проверки гипотезы с альтернативой вида H0 : v = 0, H1V : v g Vn необходимо построить на базе леммы Неймана-Пирсона байесовский критерий при наиболее неблагоприятном априорном распределении п, он базируется на статистике L(x):

L(x) = dp- (x) = J exp(-|V2 / 2 + (x, v))n(dv) = (C; )-1 e"»ï/2 £ ехр(Ь £ хг ).

аРп,0 Ап ,к iGАп,к

3.3. Моделирование теста по максимуму

Моделирование статистик L(x) в среде MATLAB с использованием описанного выше метода занимает довольно много объективного компьютерного времени, поэтому байесовский критерий неудобен в применении. В вычислении использовался персональный компьютер на базе процессора Pentium-III, тактовая частота которого составляет 800 MHz. На указанной машине формирование только одного набора из одной тысячи пятисот статистик L(x) для п = 47 и к = 4 заняло 25 часов компьютерного времени. Всего же таких наборов нужно было смоделировать не менее восьми. Также было проведено тестирование программы и на более мощном компьютере, результаты теста показали, что и в случае увеличения оперативной памяти компьютера и тактовой частоты процессора формирование массива из тысячи L(х) займет не менее 10-12 часов.

Существуют очень простые в применении отдельно для большого числа включенных каналов к асимптотически минимаксные тесты (критерии) (линейные тесты), и отдельно для малых к - оптимальные по порядку различимости (тесты по максимуму), но и те, и другие гарантированно имеют «хорошие» свойства только при больших п. Число каналов 50 - сравнительно малое, поэтому проводится сравнение работы этих приближенных критериев (так как к = 1...4, т.е. малое, то проводился тест по максимуму) с точным (байесовским). Для проведения теста по максимуму:

Б(X) = шах(хх,..., х47), ср(X, Т) = ] , (_} , Т = с 1о§ п .

[0, Б(X) < Т,

Ошибка I рода: а(р(X, Т)) = 1 - (Ф(Т))п.

Ошибка II рода: в(р(X, Т)) = (Ф(Т))п-к (Ф(Т - Ь))к.

Для каждого к (к = 1, 2, 3, 4) получено 3 набора по 500 значений статистик Ь(х) и Ь1(х).

3.4. Построение графиков

Рис. 3.1. Кривые обнаружения для байесовского теста

Рис. 3.2. Кривые обнаружения для теста по максимуму

Для анализа полученных результатов, основываясь на полученных статистиках Ь(х) (только шум) и Ь1(х) (наличие сигнала), строим кривые обнаружения для байесовского теста, основанного на лемме Неймана-Пирсона. Аналогично строим кривые обнаружения для теста по максимуму.

Из рисунков видно, что при увеличении количества включенных каналов к и/или уровня сигнал-шум Ь различимость становится лучше и для теста по максимуму, и для байесовского теста, кривые обнаружения располагаются ближе к осям координат.

3.5. Сравнение работы для теста по максимуму и байесовского теста.

Как уже говорилось выше, байесовский критерий, базирующийся на статистике Ь(х), из-за сложности моделирования статистики неудобен в применении, а простой в применении тест по максимуму гарантированно дает «хороший» результат при больших п. Нужно провести сравнение, которое идет на базе кривых обнаружения теста по максимуму и байесовского теста, а также, по возможности, проследить динамику к .

Ниже приведены графики сравнения кривых обнаружения для байесовского теста и теста по максимуму

Рис. 3.3. Сравнение кривых обнаружения, при к = 1

Рис. 3.4. Сравнение кривых обнаружения, при к = 2

Рис. 3.5. Сравнение кривых обнаружения, при к = 3

Рис. 3.6. Сравнение кривых обнаружения, при к = 4

На рис. 3.5 можно видеть, что кривые обнаружения практически сливаются. При увеличении количества включенных каналов расстояние между кривыми немного увеличивается, но в целом можно признать, что тест по максимуму довольно «хорошо» работает и со сравнительно малым числом каналов. Из рис. 3.6 видно, что различия между кривыми обнаружения незначительны, что свидетельствует о состоятельности теста по максимуму как критерия проверки гипотез.

Заключение

В ходе работы была смоделирована многоканальная система с наличием (или отсутствием) сигнала определенного вида в каждом канале. На базе леммы Неймана-Пирсона в этой системе со сравнительно малым числом каналов (п = 47) был построен байесовский критерий при наиболее неблагоприятном априорном распределении. В среде МЛТЬЛВ также был смоделирован тест по максимуму, который очень прост в применении, но гарантированно имеет хорошие свойства только при больших п. Эксперименты проводились для разного числа включенных каналов и для разного уровня сигнала. По результатам экспериментов выполнено сравнение точных байесовских

тестов и тестов по максимуму (оптимальных по порядку различимости) на базе полученных кривых обнаружения.

В результате анализа экспериментов были сделаны выводы о состоятельности теста по максимуму как критерия проверки гипотез. Сравнение байесовского теста с тестом по максимуму показало, что последний можно применять без существенной потери качества и для многоканальных систем со сравнительно малым числом каналов.

Литература

1. Ингстер И.Ю., Суслина И.А. Об обнаружении сигнала известной формы в многоканальной системе. // Записки научных семинаров ПОМИРАН. 2002. Т. 294. С.88-112.

2. Бодрова Н.А., Родина Т.В., Суслина И.А. Элементы теории вероятностей и математической статистики (Под редакцией В.П. Смирнова). СПб: СПбГУ ИТМО, 2001.

3. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. СПб: Лань, 1998.

4. Ингстер Ю.И. Асимптотические методы в статистике. СПб: ПГУПС, 2000.

5. Потемкин В.Г. Система МАТЬАБ. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1997.