Фрактальный подход к описанию структуры аврорального свечения атмосферы

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ГЕОФИЗИКЕ

DOI: 10.25702/К80.2307-5252.2018.9.5.127-136 УДК 514.8 + 533.9

Б. В. Козелов

ФРАКТАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ СТРУКТУРЫ АВРОРАЛЬНОГО СВЕЧЕНИЯ АТМОСФЕРЫ

Аннотация

В работе дается обзор работ, использующих для описания структуры оптического свечения в авроральной зоне подходы, основанные на представлениях геометрии фракталов. В первую очередь внимание уделяется методической стороне работ, использующих оптические данные наблюдений полярных сияний.

Ключевые слова:

полярные сияния, фракталы, нелинейная динамика, статистическое самоподобие, степенные законы распределения, масштабная инвариантность.

B. V. Kozelov

FRACTAL APPROACH TO DESCRIPTION OF STRUCTURE OF THE AURORAL LUMINOSITY

Abstract

The paper gives an overview of works that use approaches based on representations of fractal geometry to describe the structure of optical glow in the auroral zone. The first focuses on the methodical side of the work using optical observations of auroras.

Keywords:

aurora, fractals, non-linear dynamics, statistical self-similarities, power-law distributions, scaling.

Введение

Полярные сияния являются наиболее наглядным проявлением динамичных процессов в магнитосферно-ионосферной плазме. Современная техника дает возможность регистрировать полярные сияния с хорошим временным и пространственным разрешением, и эта информация является уникально-детальной для всей ионосферно-магнитосферной системы. Тем не менее, так как для анализа информация о пространственно-временной динамике авроральных явлений требуется разработка специальных методик, она до сих пор используется далеко не полностью. Обычно изображения структуры полярных сияний используются как дополнительные иллюстрации к выводам, основанным на данных других измерений, а известная морфологическая классификация

структуры полярных сияний весьма субъективна. Общепринятой формой представления является построение кеограмм, когда из каждого кадра используется только разрез вдоль направления север -юг или запад-восток, или построение временного ряда, представляющего интегральную динамику интенсивности свечения в какой-либо области поля зрения.

С внедрением цифрового анализа изображений, для его широкого использования еще более актуальной стала необходимость выработки численных характеристик и методик, позволяющих охарактеризовать как наблюдаемые авроральные формы на отдельных изображениях, так и пространственно-временную динамику аврорального свечения в целом.

Фрактальная геометрия дает подходы к решению этой задачи. Имеется в виду свойство самоподобия (скейлинга), масштабной инвариантности, широко представленное в природе, и характерное во многих случаях для структур аврорального свечения. Обычно это свойство проявляется в виде степенных спектров флуктуаций, построенных тем или иным методом. Типичным является конечный участок такого спектра, ограниченный либо возможностями регистрации, либо характерными масштабами лежащих в основе физических процессов.

В работе дается обзор работ, использующих для описания структуры оптического свечения в авроральной зоне подходы, основанные на представлениях геометрии фракталов. В первую очередь внимание уделяется методической стороне работ, использующих оптические данные наблюдений полярных сияний.

Метод анализа размерности изолиний

В работах [1-4] в качестве характеристики пространственного распределения аврорального свечения использовался, спектр размерности изолиний. Для его получения оцифрованный телевизионный кадр, представляющий собой двумерный массив (п*т) неотрицательных значений интенсивности свечения I, подвергался обработке, состоящей из последовательности этапов:

1) Выделялась прямоугольная область, содержащая исследуемую форму.

2) Для каждого уровня интенсивности свечения I в выделенной области строились линии равного уровня Ь(1).

3) Для всех 5, 5= 1, 2, 4, ., тт(«,т), подсчитывалось число квадратов N(8,1) с ребром размера8, занятых изолинией Ь(1).

4) Фрактальная (сеточная) размерность Б(1) изолинии Ь(1) определялась как угловой коэффициент зависимости 1^(5,1) от 1п 5.

Таким образом, после обработки для каждого кадра были получены зависимости размерности В от уровня I. Алгоритм был протестирован на модельных изображениях префракталов, в том числе синтезированных с учетом проекционных искажений оптической системы и шума.

На примерах применения к данным телевизионных камер всего неба и камен с малым полем зрения было показано, что описание изображения полярного сияния с помощью спектра размерности изолиний позволяет:

1) локализовать авроральную форму из фонового свечения;

2) численно охарактеризовать пространственную структуру полярных сияний;

3) выделить диапазон интенсивностей свечения, связанных с наиболее развитыми структурами в авроральной форме;

4) по изменению спектра размерности изолиний проследить пространственно-

временную динамику полярных сияний, как деформацию формы (изменение размерности наиболее структурированной изолинии), так и изменение интенсивности свечения всей формы (изменение интенсивности, соответствующей наиболее структурированной изолинии).

В применении такой методики возможны два подхода. Во-первых, максимальную размерность изолинии можно использовать как своеобразный индекс структурированности авроральной формы. Причем этим индексом можно характеризовать как отдельную форму, так и всю окрестность точки наблюдения (по изображению камеры всего неба). Было показано, что для разных авроральных форм характерны несколько разные размерности: больше (~1.5-1.7) для диффузных илучистых форм, меньше (~1.2-1.4) для линейных дуг. Во-вторых, в ряде случаев можно связать изменения в спектре размерности изолиний с конкретными физическими процессами, происходящими в магнитосферно-ионосферной системе. Так рост размерности изолинии, отражающий усложнение формы области аврорального свечения, по-видимому, отражает развитие какой-либо неустойчивости. Однако для детального анализа необходим тщательный отбор событий, а также привлечение данных других измерений и соответствующей физической модели.

Низкоразмерная динамика авроральных структур

В большинстве случаев сильные изменение структуры и интенсивности в полярных сияниях происходят одновременно, что существенно усложняет их анализ. К таким случаям в первую очередь относятся взрывные фазы суббурь. Однако для некоторых типов явлений удается продвинуться в анализе их динамики несколько дальше. Это относится в первую очередь к псевдо-периодическим явлениям, при которых (даже при наличии общего тренда) изменения происходят вблизи некоторых средних значений. Наиболее типичными явлениями такого типа являются пульсирующие пятна и лучистые дуги.

В работах [5-7] нескольких таких случаев анализировались численно с использованием модифицированной процедуры определения корреляционной размерности по алгоритму Грассбергера-Прокаччи, в основе которого лежит теорема Такенса [8]. В общем случае, нелинейная диссипативная динамическая система описывает в своем фазовом пространстве какую-то сложную траекторию. Из экспериментального временного ряда х(0, состоящего из эквидистантных выборок, образуются га-мерные векторы Хг-, 7 = 0, 1, ... , координаты которых состоят из выборок х с последовательно возрастающими сдвигами, кратными времени сдвига т, т.е. Хг= {х@), х(и+т), ... , х(Ъ+(т-\)т)}.

Время сдвига ткратно времени квантования данных Д£ При достаточно большом сдвиге можно ожидать, что векторы Х„ становятся независимыми, поэтому их можно принять за последовательность точек в фазовом га-мерном пространстве (пространстве вложения).

По построенному набору {Х„} рассчитывается корреляционный интеграл С(г), определяющий вероятность того, что расстояние между парой векторов меньше, чем заданное расстояние г. Если корреляционный интеграл зависит от г по степенному закону С(г) ~Г>, то показатель степени представляет собой корреляционную размерность процесса Ъ=Бс. Эта размерность является оценкой снизу для размерности Хаусдорфа-Безиковича Б: Бс<Б. Практически, для определения Бс необходимо построить зависимости 1пС(г) от 1пг при различных возрастающих значениях размерности пространства вложения га. Расчет

заканчивается, если наклон графика перестает меняться с ростом т. Полученное значение Вс можно считать достаточно надежным, если оно не меняется вплоть до т=Юс+1. Если при этом полученное значение В с не является целым числом, то говорят, что система имеет аттрактор, обладающий фрактальными свойствами (странный аттрактор). В случае чисто белого шума при любых значениях т насыщения корреляционного интеграла не происходит и С(г)~гт. Если в экспериментальном временном ряду присутствует шум с амплитудой го, то в области масштабов г<2го поведение корреляционного интеграла соответствует выражению для белого шума.

С помощью такого метода и данным ТВ наблюдений обсерватории Ловозеро в работе [5] был проанализирован случай регистрации пульсирующих пятен, типичных для околополуночного сектора. Показано, что динамика всей области, занятой на кадре пятнами, характеризуется корреляционной размерностью ~7.0. В то же время динамика отдельного пятна в основном характеризуется корреляционной размерностью ~2, что типично для периодических режимов.

Во время активизаций типа брейкапов и превдобрейкапов динамика полярных сияний характеризуется корреляционной размерностью ~2.7-2.8. При этом с увеличением интенсивности авроральной активизации (то есть при переходе от уярчения дуги к псевдо-брейкапу и, далее, к брейкапу) проявляется рост относительного диапазона масштабов, в котором имеется самоподобие траектории системы в фазовом пространстве (линейная зависимость \пС(т) от 1пг) [6-7].

Степенные распределения в пространственно-временной динамике аврорального свечения во время магнитосферных суббурь

В работах [9-12] пространственно-временное распределение аврорального свечения во время взрывных фаз суббурь исследуются на основе представлений о состоянии самоорганизованной критичности, определяющем суббуревую динамику магнитосферы. Согласно этим представлениям, распределенная диссипативная система с локальными нелинейными связями (в данном случае - магнитосфера) под внешним неспецифическим (т.е. не навязывающим явно специфическую структуру [13, см.с.28]) воздействием эволюционирует к так называемому самоорганизованно критическому (СК) состоянию. В этом состоянии у системы появляется новое свойство - свойство целостности, которое характерно для всей системы в целом и отсутствует у каждого ее элемента в отдельности. Это свойство целостности проявляется, в частности, в таких характерных явлениях, как фликкер-шум, перемежаемость, а также в степенных законах распределения вероятностей. Первоначально идея самоорганизованной критичности опиралась на наглядные модели, динамические свойства которых легко поддаются численному анализу, а прототипом первой модели, на основе которой в работах [14] была сформулирована идея самоорганизованной критичности, является растущая песочная кучка (горка).

В такой модели склон песочной горки остается устойчивым, пока угол наклона в каком-то месте не превышает определенный критический угол, после чего по склону сходит лавина, которая возвращает кучку к состоянию с углом наклона меньше критического. При шумовом возбуждении, связанным с медленным случайным высыпанием песка на кучку, за счет лавинного сброса песка устанавливается квазистационарное состояние с профилем, близким к критическому. Вне зависимости от начальных условий в этом квазистационарном состоянии распределения длительностей лавин, затронутой ими площади и числа

осыпаний имеют степенной вид, причем длина степенного участка в распределении определяется лишь размером системы и при его увеличении может быть сделана сколь угодно большой. Поскольку нарушение степенной зависимости связано лишь с конечными размерами системы, то происходящие в ней релаксационные процессы не имеют собственных характерных размеров.

Кроме этого, в случае, если система находится в СК состоянии, между индексами, характеризующими степенные распределения различных величин, должна существовать определенная связь. В работе [15] такая методика была предложена и обоснована для выявления СК состояния магнитосферы по данным спутника POLAR.

В работе [11] по данным наземных оптических наблюдений ПГИ в обс. Баренцбург получено, что статистические распределения пространственно -временных характеристик индивидуальных областей аврорального свечения на ночной стороне авроральной зоны во время суббуревых возмущений имеют степенной вид для пространственных и временных масштабов в диапазоне 2-100 км и 1-100 с соответственно. Это является экспериментальным свидетельством в пользу гипотезы о существовании режима самоорганизованной критичности в магнитосферно-ионосферной плазме. Соотношения между полученными индексами также свидетельствуют в пользу этой гипотезы.

Полученные в [11, 12] по наземным данным критические индексы хорошо согласуются с показателями, полученными ранее в [9, 10] по данным спутника POLAR для больших пространственных и временных масштабов. Тем самым, общий диапазон масштабной инвариантности во время суббуревых возмущений достигает 4 десятичных порядков по времени жизни, 6 порядков по пространственной характеристике (максимальная площадь, занятая индивидуальной областью свечения) и 10 порядков по пространственно-временной характеристике (площадь, интегрированная по времени жизни области).

Полученные соотношения между пространственными и временными масштабами позволяют обосновывать требования к разрешению оптических приборов в планируемых спутниковых экспериментах, что было сделано, например, в работе [16].

Признаки турбулентности в пространственном распределении аврорального свечения

Динамика пространственного распределения аврорального свечения во время взрывной фазы суббури может быть рассмотрена с другой точки зрения. Если во время суббуревого транзиента движение плазмы является турбулентным, то определенные проявления турбулентности должны присутствовать в авроральном структурировании. В ряде работ [17, 18] в данных наблюдений полярных сияний были выявлены типичные свойства диссипационных полей перемежающейся турбулентности.

По тем же данным наземных телевизионных наблюдений III И в обс. Баренцбург, по которым были продемонстрированы признаки СК состояния, были найдены также признаки перемежающейся турбулентности в пространственном распределении аврорального свечения. Показано, что распределения плотности вероятности флуктуаций интенсивности на пространственных масштабах 1.5 - 100 км имеют негауссову форму, причем эксцесс распределений растет с уменьшением пространственного масштаба. Анализ обобщенной структурной функции

исследуемых пространственных флуктуаций интенсивности свечения показал, что для первых 6-ти статистических моментов на масштабах 3-20 км наблюдается степенная зависимость статистического момента от масштаба. Оказалось, что рассчитанные показатели этих степенных зависимостей линейно зависят от номера момента для первых 3 моментов с отклонением от линейной зависимости для старших моментов. Полученные статистические закономерности могут быть интерпретированы как свидетельство режима перемежающейся турбулентности в магнитосферно-ионосферной плазме, приводящего к образованию би- или мульти-фрактальных структур в полярных сияниях. Аналогичное сосуществование признаков СК-состояния и турбулентности было найдено также в солнечной [19] и лабораторной плазме [20].

Сильный шум телевизионной системы регистрации несколько осложняет анализ ТВ данных и интерпретацию полученных результатов. Однако анализ данных мало шумящей CCD камеры системы ALIS, проведенный в работе [21], также свидетельствует в пользу масштабной инвариантности пространственных флуктуаций аврорального свечения во время суббуревой активизации. На масштабах 6.4-51.2 км индекс самоподобия, полученный в этой работе несколькими разными методами, имеет значения соответствующие H = 0.55-0.7.

Несмотря на то, что наиболее интенсивные оптические проявления магнитосферных возмущений связаны с явлением суббури, наличие скейлинговых свойств в структуре полярных сияний характерны не только для суббуревых активизаций. Например, в работе [22] анализировалось довольно редкое событие активизации трансполярной дуги, которое произошло в поле зрения ТВ камеры обс. Баренцбург 7 марта 2002 г. в интервале 21:15-21:30 UT. Оказалось, что в данном случае имеются те же признаки турбулентности, что и в случае суббуревых активизаций.

Необходимо отметить типичные методические проблемы, возникающие при анализе скейлинга по оптическим данным: зависимость от аппаратного шума, от наличия полиномиальных трендов в данных, от длины ряда (особенно для структурной функции порядков более 2); влияние аспектных искажений пространственных структур на изображении; необходимость оценки погрешности, доверительных интервалов (не процедуры аппроксимации наклона степенного спектра, а самих точек, по которым проводится оценка). В работе [23] на синтезированных изображениях с известными параметрами проведен ряд тестов распространенных процедур определения параметров самоподобия из оптических данных. Наиболее достоверными на данный момент можно считать результаты, полученные методом логарифмических диаграмм, изложенным в работе [24], при использовании ввейвлет-разложении ряда вейвлеты Добеши порядка, более 2. Процедура оценки погрешности и доверительных интервалов может быть проведена бутстреп-методом [25].

Масштабная инвариантность в динамике полярных сияний как проявление динамики магнитосферно-ионосферной плазмы

Существует большое число работ многих авторов, в которых, так или иначе, отмечались масштабная инвариантность (скейлинг), степенные спектры, характерные для многих наблюдаемых величин в магнитосферно-ионосферной плазме, особенно в связи с суббуревой динамикой. Эти исследования выходят за рамки данного обзора, отмечу только, для примера [26-28].

Анализ экспериментальных данных свидетельствует о том, что индексы,

характеризующие самоподобие в пространственном распределении аврорального свечения на отдельном изображении, варьируются в довольно широких пределах, а не принимают какое-либо одно определенное значение. Это согласуется с представлением отом, что полярные сияния - это отражение переходных процессов (транзиентов) в магнитосферно-ионосферной плазме. В работе [29] отмечено, что в магнитосферной плазме формируется особое неравновесное стационарное состояние. Это состояние поддерживается за счет переходных процессов, коллективная статистика которых может быть описано, как проявление турбулентности или самоорганизованной критичности.

В работах [30-33] предпринята попытка связать индексы, характеризующие самоподобие в пространственном распределении иаврорального свечения со структурой магнитосферно-ионосферных токов.

В работе [30] по изображениям ночной стороны аврорального овала со спутника "Полар" исследовалась эволюция индекса самоподобия на масштабах 50-400 км вблизи начала суббуревой интенсификации. Полученные логарифмические диаграммы, характеризующие пространственный спектр флуктуации аврорального свечения, позволяют оценить индекс самоподобия ад = 2H, который варьируется от значений меньше 1 до начала суббуревой интенсификации, до ~1.4 во время аврорального брейкапа. Такое проявление в полярных сияниях сравнивалось с динамикой структуры распределенных продольных токов, моделируемой численно в модели нелинейно взаимодействующих когерентных альвеновских структур.

В работе [31] фрактальная геометрия и теория перколяции использованы для описания пространственной структуры ионосферной проводимости. Теоретически получены топологические величины, фрактальные размерности и индексы связности, характеризующие структуру педерсеновской и холловской проводимостей на ночной стороне авроральной зоны. Проанализированы ограничения, накладываемые на фрактальные оценки условием протекания ионосферных токов. Показано, что наблюдаемый в авроральной зоне скейлинг во флуктуациях электрических полей и аврорального свечения хорошо укладывается в ограничения, накладываемые критическим условием на протекание педерсеновских токов.

Более детально теоретический анализ структуры педерсеновской и холловской проводимостей на ночной стороне авроральнойзоны проведен в [32, 33], там же приведено сравнение полученных результатов со скейлинговыми индексами, характеризующими структуру полярных сияний с учетом анизотропии, типичной для ярких авроральных форм. Показано, что полученные значения фрактальных параметров описывают фрактальную геометрию ионосферных токов Педерсена и Холла вблизи порога протекания. Показано, что в области пространственно-анизотропных авроральных высыпаний для структуры холловского тока возможно наличие асимптотической связности. Поскольку носители заряда, направления и высоты токов Педерсена и Холла различны, одно и то же высыпание авроральных частиц может создавать фрактальные структуры с различными параметрами для проводимостей Педерсена и Холла.

Заключение

Свойство скейлинга, масштабной инвариантности, широко представленное в природе, характерно во многих случаях для структур аврорального свечения. Обычно это свойство проявляется в виде степенных спектров флуктуаций, построенных тем или иным методом. Анализ экспериментальных данных свидетельствует о том, что

индексы, характеризующие самоподобие в пространственном распределении аврорального свечения на отдельном изображении, варьируются в довольно широких пределах, а не принимают какое-либо одно определенное значение. Это согласуется с представлением о том, что полярные сияния - это отражение переходных процессов в магнитосферно-ионосферной плазме. Коллективная статистика таких процессов может быть описана, как проявление турбулентности или самоорганизованной критичности, что находит свое подтверждение при статистическом анализе структуры аврорального свечения. В ряде случаев фрактальный подход позволяет продвинуться в понимании процессов, определяющих структуризацию в магнитосферно-ионосферной плазме.

Благодарности. Работа выполнена по проекту «Разработка моделей мониторинга авроральной зоны и воздействия гелиофизических факторов на технические системы» программы Президиума РАН «Арктика - научные основы новых технологий освоения, сохранения и развития».

Литература

1. Козелов Б.В. Применение методов фрактального анализа к данным наземных наблюдений. / В.кн.: Приборы и методика геофизического эксперимента // ПГИ КНЦ РАН. 1997. C.107-118.

2. Kozelov B.V. Fractal approach to dynamics of auroral TV images // Proc. XXII Annual Seminar "Physics of Auroral Phenomena". 1999. P. 45-48.

3. Козелов Б.В. Фрактальные характеристики пространственной структуры полярных сияний. / В кн. "Физика околоземного космического пространства" //Апатиты: изд. КНЦ РАН. 2000. C. 572-597.

4. Kozelov B.V. Fractal approach to description of the auroral structure //Annales Geophysicae. 2003.V. 21. P. 2011-2023.

5. Kozelov B. V., Vjalkova N. Y. Search of temporal chaos in TV images of aurora // Int. J. Geomagn. Aeron. 2005. V. 5. GI3005.

6. Kozelov B.V., Kozelova T.V., Kornilova T.A. Developing of auroral intensification as an output of magnetosphere-ionosphere dynamical system // Proc. XXV Annual Seminar "Physics of Auroral Phenomena". 2002. P. 47-50.

7. Kozelov B.V., Kozelova T.V., Kornilova T.A. Dynamics of auroral intensification as an output of magnetosphere-ionosphere system // Proc. Sixth International Conference on Substorms. University of Washington, Seattle, March 25-29. 2002. P. 432-437.

8. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // Lect.Notes in Math. Berlin: Springer. 1981. V. 898. P. 336-381.

9. Scale-free statistics of spatiotemporal auroral emissions as depicted by POLAR UVI images: Dynamic magnetosphere is an avalanching system / Uritsky V. M. et al. // J. Geophys. Res. 2002. V.107 (A12), P. 1426.

10. Uritsky V., Klimas A., Vassiliadis D. Evaluation of spreading critical exponents from the spatiotemporal evolution of emission regions in the nighttime aurora // Geophys. Res. Lett. 2003. V. 30. NO. 15. P.1813.

11. Kozelov B.V., Uritsky V.M., Klimas A.J. Power law probability distributions of multiscale auroral dynamics from ground-based TV observations //Geophys. Res. Lett. 2004. V. 31. P. L20804.

12. Kozelov B.V., Uritsky V.M. Scale-free statistics of spatiotemporal auroral emissions obtained from groundbased optical observations // Proc. of the 7-th International

Conference on Substorms, Edited by Natalia Ganushkina and TuijaPulkkinen, Finnish Meteorological Institute, Helsinki. 2004, P.160-163.

13. Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам. Пер.сангл.- М.: Мир, 1991. - 240 с.

14. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality // Physical Review. 1988. V. A38. № 1. P.364.

15. Урицкий В. М. Исследование многомасштабных процессов в периоды магнитосферных возмущений. Диссертация на соискание уч. степ. д.ф. -м.н., Санкт-Петербург. 2005.

16. Uritsky V. M., Donovan E., Trondsen T., Pineau D., Kozelov B. V. Data-derived spatiotemporal resolution constraints for global auroral imagers // J. Geophys. Res. 2010. V. 115. P.A09205.

17. Kozelov B.V., Rypdal K. Spatial scaling of optical fluctuations during substorm-time aurora // Ann. Geophys., 2007. V.25, P.915-927.

18. Kozelov B.V., Rypdal K. Intermittence in auroral fluctuations during substorm // Physics of Auroral Phenomena. 2006. P.48-51.

19. Uritsky V. M., Paczuski M., Davila J. M.; Jones S. I. Coexistence of Self-Organized Criticality and Intermittent Turbulence in the Solar corona // Physical Review Letters. vol. 99. Issue 2. id. 025001.

20. Rypdal K., Kozelov B., Ratynskaia S., Klumov B., Knapek C., Rypdal M. Scale-free vortex cascade emerging from random forcing in a strongly coupled system // New J. Phys. 2008.V. 10. N. 9. P. 093018.

21. Golovchanskaya I.V., Kozelov B.V., Sergienk, T.I., BraNdstroM U., Nilsson H., Sandahl I. Scaling behavior of auroral luminosity fluctuations observed by Auroral Large Imaging System (ALIS) // J. Geophys. Res. 2008. Vol. 113, Is. A10, A10303.

22. Kozelov B.V., Golovchanskaya I.V. Scaling of electric field fluctuations associated with the aurora during northward IMF // Geophys. Res. Lett. 2006. V.33. P. L20109.

23. Kozelov B. V., Golovchanskaya I. V. Derivation of aurora scaling parameters from ground-based imaging observations: Numerical tests // J. Geophys. Res. 2010.V. 115. P. A02204.

24. Wavelets for the analysis, estimation and synthesis of scaling data/ Abry P. et al. // In: Park K., Willinger W. (Eds.), Self-similar Network Traffic and Performance Evaluation. Wiley, New York, 2000. P. 39-88.

25. Wendt H., Abry P., Jaffard S. Bootstrap for Empirical Multifractal Analysis // IEEE Signal Proc. Mag. July 2007. P. 38-48.

26. Milovanov A.V., Zelenyi L.M., Zimbardo G. Fractal structures and power law spectra in the distant Earth's magnetotail // J. Geophys. Res. 1996. V.101. №A9. P.19903-19910.

27. Kozelov B.V., Kozelova T.V. Fractal analysis of the magnetic fluctuations near local dipolarization at 5-7 Re // Proc. XXV Annual Seminar Seminar. Physics of Auroral Phenomena. 2003. P.29-32.

28. Kozelov B.V., Golovchanskaya I.V., Ostapenko A.A., Fedorenko Y.V. Wavelet analysis of high-latitude electric and magnetic fluctuations observed by the Dynamic Explorer 2 satellite // J. Geophys. Res. 2008. V.113, P. A03308.

29. Milovanov A.V., Zelenyi L.M. Nonequilibrium stationary states in the earth's magnetotail: Stochastic acceleration processes and nonthermal distribution functions // Adv. Space Res. 2002. V.30 (12). P. 2667-2674.

30. Kozelov B.V., Golovchanskaya I.V., Mingalev O.V. Inverse cascade in the structure of substorm aurora and non-linear dynamics of field-aligned current filaments // Ann. Geophys. 2011. V. 29. P. 1349-1354.

31. Чернышов А.А., Могилевский М.М., Козелов Б.В. Фрактальный подход к описанию авроральной области // Физика плазмы. 2013.Т.39. J№ 7. С. 636-646.

32. Chernyshov A.A., Mogilevsky M.M., Kozelov B.V. Use of fractal approach to investigate ionospheric conductivity in the auroral zone // J. Geophys. Res. 2013.V.118.

33. Chernyshov A.A., Kozelov B.V., Mogilevsky M.M. Study of auroral ionosphere using percolation theory and fractal geometry // Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. 2017. V. 161. P. 127-133.

Сведения об авторах

Козелов Борис Владимирович,

д. ф.-м. н., директор, Полярный геофизический институт, Апатиты

E-mail: boris.kozelov@gmail.com