Дифракция упругой волны на стыке двух композитов, зажатых между жесткой поверхностью и упругим полупространством

УДК 517.958

И. Е. Плещинская, К. Н. Стехина, Д. Н. Тумаков

ДИФРАКЦИЯ УПРУГОЙ ВОЛНЫ НА СТЫКЕ ДВУХ КОМПОЗИТОВ, ЗАЖАТЫХ МЕЖДУ ЖЕСТКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ И УПРУГИМ ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ

Ключевые слова: динамическая теория упругости, дифракция, упругая волна, приближение волноводных мод.

Исследована задача дифракции волноводной моды на стыке двух однородных упругих слоев, зажатых между жесткой поверхностью и упругим полупространством. Задача дифракции сформулирована как граничная задача для системы дифференциальных уравнений динамической теории упругости. Рассмотрено приближение волноводных мод. При оценке точности приближенного метода использован закон сохранения энергии. Приведены графики зависимости относительной погрешности потоков энергии от отношения значений скоростей упругих волн обоих слоев.

Keywords: dynamic theory of elasticity, diffraction, elastic wave, approximation of waveguide modes.

Diffraction problem of waveguide mode at the joint of two homogeneous elastic layers clamed between a rigid surface and elastic semi-space is investigated. The diffraction problem is formulated in the form of the boundary value problem for the set of differential equations of the dynamic theory of elasticity. To assess the accuracy of approximate method the energy conservation law is used. Dependency graphs of relative error of energy flows from the relationship of the elastic wave propagation speeds of both layers are provided.

Введение

Слоистые покрытия, образованные композитными материалами, используются в различных областях промышленности, в том числе при производстве авиационной и космической техники. Применяемые в таких покрытиях слоистые композитные структуры получили широкое распространение прежде всего из-за своих механических свойств. Процессы распространения упругих колебаний в подобных структурах достаточно хорошо исследованы.

В ряде конструкций поверхность, контактирующая со слоистыми покрытиями, имеет гораздо более высокую жесткость, что позволяет эту поверхность считать абсолютно жесткой. При большом количестве периодически чередующихся тонких слоев удобно использовать метод усреднения [1]. В этом случае вместо открытой многослойной структуры можно рассматривать однослойный полуоткрытый волновод с фиксированной границей.

В работе [2] исследованы свойства слоистого композита с периодическими включениями, в [3] рассмотрены колебания многослойного композита со свободной поверхностью, а в работах [4, 5] - поведение многослойной упругой геологической среды при распространении упругих возмущений.

В данной работе исследованы процессы дифракции упругих волн на стыке двух волноводных структур, образованных

находящимися в полном контакте жестко закрепленными упругими полосами с различным однородным заполнением и упругой полуплоскостью.

Выполнены численные эксперименты для различных заполняющих материалов. Приведены графики зависимости относительной погрешности потоков энергии от отношения продольных скоростей состыкованных слоев.

Постановка задачи

Рассмотрим задачу дифракции упругой волны на стыке двух полуоткрытых волноводов. Полуоткрытый упругий волновод представляет собой волноводную структуру, которую в двумерном (плоском) случае образуют упругая полоса и упругая полуплоскость, находящиеся в полном контакте. Пусть в декартовой системе координат стенка волновода совпадает с прямой у=0, граница между полосой и полуплоскостью -прямая у=И. Пусть прямая х=0 разделяет волновод на две части с полосами, заполненными средами с различными свойствами (рис. 1).

y=0

D 2 x D 2

y=h y

Рис. 1 - Стык двух полуоткрытых упругих волноводов

Будем считать, что заполняющая полуоткрытый волновод среда в каждой его части линейная, однородная, изотропная и без поглощения. Рассматриваемые среды отличаются друг от друга значениями плотности р, и коэффициентами Ламе А и у. Здесь и далее знаками «-» и «+» отмечены величины, относящиеся соответственно к левой и правой частям полосы, а индексами 1 и 2 - нижняя и верхняя части составной волноводной структуры.

Зависимость компонент поля от времени примем в виде в'ш[ Будем рассматривать двумерную

задачу дифракции, когда упругое поле не зависит от координаты г. В этом случае задача может быть сформулирована как задача сопряжения для системы уравнений динамической теории упругости

даХ дт 2 п —— + — + рш иХ = О, ду

дх

дт да y

--1--—

ду

дх дих

+ рш Uy = О,

диу

£7х = fl+2^ НХ +

дх

ду

. дих . чдиу у дх ду

,т = р

ди

х +диУ ^

ду дх

Рассмотрим случай, когда верхняя граница упругого волновода фиксирована.

Задачу, представляющую собой математическую модель процесса дифракции двумерной упругой волны, набегающей на стык (х=0) слева, сформулируем следующим образом: в

областях Р-|, Р-, (срис. 1) найти решение

системы уравнений (1) с кусочно-постоянными

коэффициентами р, А и у, удовлетворяющее граничным условиям

их ХА + 0 )= 0, иу ХА + О У О,

их ХИ + 0 )= их Х,Ь -0 ) иу ХИ + 0 )= иу ХИ -0 )

ау ХИ+ 0 Уау ХИ-О )т ХИ+ 0 ут ХИ-О ) и^ -О, у )= и^ + 0, у ) иу 0 -О, у )= иу р + 0, у)

условиям сопряжения

£7х р -0, у )=С7Х Р + 0, у)Т р-0, у ^Гр + 0, у) (4) а также условиям на бесконечности.

Условия на бесконечности примем следующие: искомое решение должно быть ограничено при у ^ и распространяться (как волна) в направлениях Х ^ и Х ^ -да в полуплоскостях Х >0 и Х <0 соответственно.

Собственные волны упругой волноводной структуры

Собственные волны упругого

полуоткрытого волновода представляют собой ненулевые решения системы уравнений (1), удовлетворяющие граничным условиям (2) и условиям сопряжения (3). Двумерное упругое поле в полуоткрытом волноводе может быть представлено в виде наложения (суперпозиции или линейной комбинации) собственных волн [6].

Направление распространения волн должно соответствовать условиям излучения - от стыка на бесконечность. Следовательно, представление полей полуоткрытых упругих волноводов может быть записано в виде

(

W- ху )=

О ¡0

W

v-kii "¡ю

Л

[C- V,а }+

-kii

+ Jc-pfi- +

-ki2

N- _. -

n=1

где C±(a), A±(a) - некоторые функции, Cn -произвольные постоянные. Здесь

w- ху ;=(и- ху), иу ху;, сгх ху), <?у ху),

т~ ху )} - искомая комплекснозначная вектор-функция рассеянного поля в каждой из рассматриваемых областей.

Вектор-функции w- у\а ], W- у\а ) и W- у\а ) относятся к непрерывному спектру, а

wn у;Яп" Ь к дискретному [7].

Решение задачи дифракции в случае полуоткрытых упругих волноводов является существенно более сложным, чем решение аналогичных задач в закрытых волноводных структурах. Это связано прежде всего с тем, что соответствующие дифференциальные операторы имеют не только дискретный, но и непрерывный спектр [8].

Приближение волноводных мод

Построим приближенный метод решения задачи сопряжения полуоткрытых полубесконечных упругих волноводов. Рассмотрим наиболее простой частный случай, когда в представлении искомого поля учитываются только собственные волны дискретного спектра. Предположим, что на стык набегает слева j-ая собственная волна с потенциальной функцией

w° х у У cjw- у;-of £Haj х,

Будем искать потенциальные функции рассеянного упругого поля справа и слева от стыка в виде

N+ i +

w+ ху ^ХC+W + у,а+ п=1

N-

VI Ху )=Е- у^п

п=1

Таким образом, в терминах потенциальных функций условия сопряжения при х=0 будут иметь вид

Ы- Ы+

Е сти-т Р,у > и^,у )= £ С+и+п Р,у )

m=1

n=

+ A- Qrfi- у-, а ) Je+^da +

N- N+

ХC-nи-m Р>У > и^,у )=ХСПи+^,у)

m=1

n=1

Ы- 0 N

Е Хт Р,у У аХ р,у )= £ С^Хп Р,у )

тН п=1

Ы- Ы+

Е от гт р ,у р,у )= Е С^п р,у.)

т= п=

Обозначим ч(х,у) = [их{х,у), иу(х,у), ах(х,у), т(х,у)}. Запишем (8) в векторной форме Ы- Ы+

Е сmvт Р. у >у V р, у )= Е сХ Р,У.)

т= п=

Рассмотрим скалярное произведение [7]

<ж£)жр>±=±! {[ и^^Х £ У

О

С иХ 0 У иу (г Г руте и*у @ ) ]с1у.

Скалярное произведение отдельно вводится для волн, распространяющихся вправо, и отдельно для волн, распространяющихся влево.

Умножим поочередно уравнение (9) на

V- Р, у ] и Л/+ Р, у ; в смысле скалярного произведения. Заметим, что < V± Р, у ) Р, у )> =

<^/± Р, у ВД±Р, у > так как в скалярном

произведении компонента упругого поля Оу не участвует. Учитывая ортогональность собственных волн упругого волновода, получим конечную систему линейных алгебраических уравнений для

вычисления коэффициентов Cs, ^ следующего вида:

2

р,у

+ р,у ) Ws Р,у )> =

= ЕCП <Жп Р,у)«- р,у )>, s = 1.N ,

П=1

W+ р,у

= Р,у ) Р,у )> +

N

+ ЕСт<»т Р.Я .«+ р,у )>,I = 1.Ы+.

т=1

Выразим из первого уравнения (10) неизвестные От через СП

Е оП <™ п р.у)™- р,у )>

сs =

П=1

Ws р,у

<жи р,у ) р,у )>

Ws р,у

^ = 1. ы-

Подставим выражения (11) во второе уравнение (10), получим конечную систему

линейных алгебраических уравнений вычисления коэффициентов СП

_ £ ОпЕ <™П Р. у )*т Р. у )>х

п=1 т= Р,у

х<\ытРр,у )> +С| .0

для

W+ р,у

= 0,у) КУ, Р,у )>-

- Е <у° Р. у )ут а у )> х

т=1

«т Р>у

х<№ т Р.у )«+ р,у >, I =1. ы+.

Алгоритм приближенного решения

Построим алгоритм приближенного решения задачи дифракции упругой волны на вертикальной границе раздела сред в полуоткрытом упругом волноводе, основанный на методе решения СЛАУ (11), (12).

Полный расчетный алгоритм состоит из следующих шагов

1. Вычислим нормы собственных волн

ц2

ЭП =

к^Р.у

п = 1..1\Т

т = 1. ,Ы-.

Эт = |* т Р.у 2. Вычислим скалярные произведения

0±т =<«^.у ) Р,у >

отп =<*т Р.уЦи^ Р,у )>, п = 1.Ы+, т = 1.Ы" и заполним матрицу коэффициентов СЛАУ

ы- П± П+

пт^т!

тИ Эт

, I = 1. ,Ы+, I ф п,

ы- о± о+ Мпп = Эп - Е 0пт^,п = 1..М+

тИ Эт

3. Вычислим скалярные произведения

р+ =<ВД° р,у ) Р,у )>, п = 1.,Ы+, рm=<w0 ру) №т р, у )>, т=1..ы-

и заполним вектор правых частей СЛАУ

Ы- р-о+ Вп = Рп+ - Е п = 1.,Ы+.

тИ Эт

4. Решим систему линейных алгебраических уравнений

Ы+

Е М|пСп = ВЬI = 1.,м+.

п=

5. Вычислим коэффициенты Ст по найденным коэффициентам Сп

+

Ы+

Есп^пт 2 р

т

г_ - п=1 ст =

Б

-, т = 1..Ы_.

т

Численные результаты

Рассмотрим рассеяние упругой волны с частотой о>=15 кГц на стыке двух различных композитов, зажатых между жесткой поверхностью и упругим полупространством. Левый слой будем считать каучуковым со следующими упругими

параметрами: р2 =0,93 г/см3, у-2 =198 м/с, \\§2 =54 м/с. Параметры слоя справа с плотностью

+ __з

Р2 = Р2 =0,93 г/см будем варьировать, непрерывно изменяя скорости упругих волн от \/-2

и \\§2 в сторону увеличения. При этом коэффициент Пуассона считаем постоянным так, чтобы выполнялось условие \\§2 I \\-2 = ^^ I \\р2 .

Слои выберем толщиной Ь=1 см, лежащие на общей плексигласовой подложке (р 1=1,18 г/см3, уР1=2672 м/с, уБ1=1284 м/с).

Проверим, выполняется ли закон сохранения энергии

Ер

£• = 1--

-0

где

Ео> Еь =ЕЫ=о1с_12 Б_

Ер с^ БП - потоки энергии

падающей, отраженной и прошедшей волн. На рис. 2 приведена зависимость 1д £ от соотношения

упругих скоростей слоев у +1 у- = ^^ I у-2 = = ^^^ \\Б2 . Слева расположен каучуковый слой

__3 ___

(Р2 =0,93 г/см , \р2 =198 м/с, \з2 =54 м/с) на плексигласе (р1=1,18 г/см3, уР1=2672 м/с, vs1=1284 м/с). Толщина слоя Л=1 см, частота колебаний ш=15 кГц.

Рост отношения \ +1 \_ приводит к нарушению закона сохранения энергии. Это можно объяснить в частности тем, что энергия рассеянной волны увеличивается, и недостаточно описывать полное поле лишь дискретными волноводными модами. Тем не менее, отметим, что при \ +1\- <1,5 погрешность £ не превышает 1%.

Рассмотрим теперь зависимость £ от

\ +1\_ = \\Р?1 \\р2 = для случая, когда

начальные упругие параметры слоев, лежащих на

__+ 3

плексигласе, совпадают: Р2 =^2 =0,93 г/см ,

\\_2 = \р2 =583 м/с, \\д2 = ^^ =159 м/с. Будем

изменять скорости упругих волн правого слоя при постоянном коэффициенте Пуассона, уменьшая их

до значений скоростей волн в каучуке. Частоту колебаний полагаем такой же, как и в предыдущем примере: ш=15 кГц. В данном случае (рис. 3) зависимость погрешности не является монотонной. Объяснить это можно тем фактом, что в предыдущем эксперименте увеличивалось рассеяние волн и уменьшалось количество дискретных мод справа. Здесь же количество мод увеличивается, что улучшает приближение прошедшей волны (количество мод увеличивается с 3 до 7).

Рис. 2 - Зависимость 1д £ от отношения скоростей в слоях \+/ \ _

Рис. 3 - Зависимость 1д £ от отношения скоростей в слоях \ + / \_ = \р2 / \\_2 = ^^ / \\§2

Слева находится слой с параметрами

__3 ___

Р2 =0,93 г/см , \р2 =583 м/с, \з2 =159 м/с на подложке (р1=1,18 г/см , =2672 м/с,

\\Б =1284 м/с). Толщина слоя И=1 см, частота колебаний ш=15 кГц.

Выводы

Эффективность метода решения задачи дифракции на стыке упругих слоев в приближении волноводных мод прежде всего зависит от величины скачка параметров состыкованных слоев. При увеличении разности упругих параметров сред, возрастает рассеянная энергия, и метод дает худшую точность. На точность метода влияет также количество мод волноводной структуры. Погрешность увеличивается при малом числе волноводных мод.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №12-01-97012-р-поволжье-а и за счет средств субсидии, выделенной Казанскому

федеральному университету для выполнения государственного задания в сфере научной деятельности.

Литература

[1] Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко, Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. Наука, Москва, 1984. 352 с.

[2] И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский, Вестник Казан. технол. ун-та, 11, 147-153 (2010).

[3] И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский, Д.Н. Тумаков, Вестник Казан. технол. ун-та, 18, 111-115 (2011).

[4] В.Л. Кипоть, Д.Н. Тумаков, Георесурсы, 1, 33-35 (2009).

[5] В.Л. Кипоть, Д.Н. Тумаков, Е.В. Еронина, Георесурсы, 6, 2-6 (2011).

[6] К.Н. Вдовина, Н.Б. Плещинский, Д.Н. Тумаков, Известия высших учебных заведений. Математика, 9, 6975 (2008).

[7] И.Е. Плещинская, К.Н. Стехина, Д.Н. Тумаков, Вестник Казан. технол. ун-та, 16, 17, 42-45 (2013).

[8] K.N. Stekhina, D.N. Tumakov Days on Diffraction 2013, 136-140 (2013).

© И. Е. Плещинская - канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры информатики и прикладной математики; Казанский национальный исследовательский технологический университет, plant_flower@mail.ru; К. Н. Стехина - канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики; Казанский (Приволжский) федеральный университет; институт вычислительной математики и информационных технологий; Kristina.Stekhina@kpfu.ru; Д. Н. Тумаков - канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики; Казанский (Приволжский) федеральный университет; институт вычислительной математики и информационных технологий; dtumakov@kpfu.ru.

© I E. Pleshchinskaya, Cand. of physical and mathematical sciences, Associate Professor, Associate Professor of Department of Informatics and Applied Mathematics; Kazan National Research Technological University, plant_flower@mail.ru; K. N. Stekhina, Cand. of physical and mathematical sciences, Associate Professor, Associate Professor of Department of applied mathematics; Kazan (Volga region) Federal University; Institute of Computational Mathematics and Information Technology; D. N. Tumakov, Cand/ of physical and mathematical sciences, Associate Professor, Associate Professor of Department of applied mathematics; Kazan (Volga region) Federal University; Institute of Computational Mathematics and Information Technology; dtumakov@kpfu.ru.