Элементарный подход к построению солитонных решений уравнений нелинейной физики

ФИЗИКА

УДК 517+530.1

С. В. Жестков, д-р физ.-мат. наук, проф., М. В. Стефаненко, Е. В. Холстинникова

ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ СОЛИТОННЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЗИКИ

Развит элементарный подход к построению солитонных решений уравнений нелинейной физики, основанный на анализе классической теории солитонов. Он позволяет исследовать системы связанных уравнений нелинейной физики с произвольными коэффициентами. Получены необходимые и достаточные условия существования солитонов для системы второго порядка связанных уравнений Кортевега-де Фриза и системы связанных уравнений Шредингера.

Введение

За последние 30-40 лет в различных областях физики на передний план вышли задачи качественно нового типа. Речь идет о повороте от квазилинейной (почти линейной) физики к физике, существенно нелинейной. Такой поворот оказался бы невозможным или, по крайней мере, сильно затрудненным без параллельного развития математического аппарата, адекватно отражающего новые представления. Поэтому очень важно, что нынешний прогресс в физике совпал по времени с математическими открытиями. Впервые за долгое время в центре внимания физиков и математиков оказываются (хотя и в разных «проекциях») одни и те же ключевые понятия. К таким понятиям, безусловно, относится солитон - частицеподобная волна. Ранее этот термин встречался значительно реже, чем сейчас. Роль солитонов в нелинейной математической физике подобна той роли, которую в квазилинейном случае играют гармонические колебания и волны, соответствующие, например, чистым тонам в акустике или чистым цветам в оптике. Поэтому символически путь от квазилинейной к нелинейной математической физике можно охарактеризовать так: от гармонических волн к солитонам [1-10].

В начале настоящей работы излагается методика построения классических

солитонов для нелинейных уравнений Кортевега-де Фриза (КДФ) и Шрединге-ра в форме бегущих волн. Позже она применяется к исследованию систем второго порядка связанных нелинейных уравнений КДФ и Шредингера, имеющих физические приложения.

Построение солитонных решений нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза (КДФ) с помощью элементарных математических методов

Рассмотрим уравнение КДФ

= 0,

д 3и

ди ди

— + Ри— + 0—3

дг дх дхъ

где р, q - произвольные действительные числа.

Решение уравнения (1) будем строить в форме бегущей волны:

и

где а, р, ф - произвольные действительные числа.

Подставляя (2) в (1), получим

аи' + риРи' + qP3u'" = 0 .

Интегрируя один раз уравнение (3) и полагая константу интегрирования равной нулю, найдем

аи + “Рви2 + др3и" = 0

или

где

и"" = аи - Ьи

2

а

2ав2

Уравнение (4) является автономным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Для его решения обозначим

, ёи

и = — = ъ .

Тогда

ёъ ёъ ёи ёъ

и" =— =--------------------=—ъ.

^ ёи ^ ёи

Подставляя (5) в (4), получим

ёъ и 2

— ъ = аи - Ьи ёи

или

ъёъ = (аи - Ьи2 )ёи .

Уравнение (6) - это уравнение с разделяющимися переменными. Поэтому его общий интеграл имеет вид:

2 2 3

ъ аи , и

— =--------------Ь — + с,

2 2 3

где с - произвольная постоянная.

Известно [7], что солитон должен удовлетворять краевым условиям

ёи 2 2Ь 3

ъ =— = — аи-----Ьи .

^ V 3

Знак минус указывает на то, что функция и(£) убывает с ростом £ . Этот факт согласуется с краевыми условиями (8).

Уравнение (10) сводится к уравнению с разделяющимися переменными

ёи

/аи2 - 2Ьи3

= -ё£,

3

которое имеет общий интеграл вида:

ёи

/аи2 - |ьи3

= 4 + ^0,

где £0 - произвольная постоянная.

Чтобы вычислить интеграл, сделаем замену переменной

а - 2Ьи = б .

I 3

Тогда

3 ( 2 )1

и = — 1а - б I—; 2У Ь

а — Ьи = б2; 3

ёи = -—БёБ.

Ь

В результате соотношение (11) примет вид:

I 0 ёи

и к ^ = 0, —

1^+» ’ ё£

= 0.

Следовательно, из уравнения (7) найдем, что с = 0 . Поэтому выражение (7) примет вид:

или

2 2 3

ъ = аи ь и

2 = 2 3

2 2 2 и 3

ъ = аи-------------Ьи .

3

Из уравнения (9) найдем, что

2

б2 - а

= Ч + £ 0.

Полагая, что а > 0, окончательно

получим

та1п

Обозначим

і - л/а

Б +

у[а

= -£ + £0.

е^(£ 0 -£) = е.

Тогда из уравнения (12) найдем

Р

I

s =

Va

1 + e

u = -

Поэтому

бя e b (1 + e)2

или u =

2a

3bch2f

Это и есть выражение классического солитонного решения, которое впервые было получено Кортевегом и де Фризом методом обратной задачи рассеяния [10].

Уравнение (1) допускает также со-литонное решение вида

и

где ё0 > 0, ё1 > 0, ё2 > 0, а - произвольные действительные числа.

Подставляя (14) в (1), получим следующие дисперсионные соотношения:

а = а2; Ь = 3аё0; 3ё2 = 8ё1ё2.

Следовательно, справедлива теорема 1.

Теорема 1. Для того чтобы уравнение (1) имело решение вида (14), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись дисперсионные соотношения (15).

Отметим, что решение (14) удовлетворяет краевым условиям (8).

Построение солитонныхрешений нелинейного уравнения Шредингера с помощью элементарных математических методов

Рассмотрим нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) вида

*^7 + Р—2 + ^и| и = 0; 1 = л/-1,

д! дх

где а, р,Ь, к, 1,0- произвольные действительные числа, а у(£), £ = а! + Рх + Ь, неизвестная функция.

Подставляя (17) в (16), получим

1у'а-ку+р

Из (1В) следует, что a + 2pPl = 0,

pP2v" =

либо

2

2 k + pl

v(£) - const = c, c =-------------.

q

Случай, когда v(£) = const, не представляет интереса. Поэтому исследуем уравнение (20). С этой целью перепишем его в виде:

где

v" = Pv - Qv3

pP

2

Уравнение (21) допускает решения в замкнутой форме [10] в зависимости от краевых условий. Для его решения обозначим

' ёу

у = — = ъ .

1£

Тогда уравнение (21) можно записать в виде:

—ъ = Ру - Оу3.

ёу

Интегрируя уравнение (22), найдем его общий интеграл

ъ2 = Ру2 -°у4 + с,

2

где Р, а - произвольные действительные числа.

Солитонное решение уравнения (16) будем строить в виде:

и

где с - произвольная постоянная.

Учитывая краевые условия (8), найдем, что с = 0 .

Поэтому выражение (23) примет

вид:

2 т, 2 Q 4 z = Pv-----------------v .

1

Из уравнения (24) получим, что

JD 2 0 4

Ру---------V

или

«V = - Ру2 -2у4.

ё5 \ 2

Интегрируя уравнение (25), найдем его общий интеграл

ёу

= -5 + 5с

2

где £0 - произвольная постоянная.

Чтобы вычислить интеграл, сделаем замену переменной

предполагая, что P > 0. Тогда

^

2^ и ^ у =----— и ёу = -

В результате уравнение (26) примет

вид:

| — = 7? (5-50).

• с

' ёБ Б

Следовательно,

з = е^ М 0) е.

Подставляя это выражение в (27), найдем, что

у(5) =

2>/Ре

2+е2 2 Л 2^

1

2-У? Де

1 +

О > 0.

Таким образом, получаем классическое солитонное решение уравнения (16) [6]:

и(1,х) = ^ ^?сЬ-|л/р (5-50 )+1п, х ехр{і(к + 1х + 9)},

для которого выполняется условие (19). Решение (28) в теории солитонов называется «светлым» солитоном [10].

Чтобы получить солитонное решение в виде кинка, к уравнению (21) нужно добавить следующие краевые условия:

dv

% = 1, 15^+да

= 0.

что

5^+да

Тогда из уравнения (23) найдем,

с=2 - р.

2

Поэтому первый интеграл примет

вид:

ъ2 = Ру2 - 2у4 + 2 - Р.

2

2

Преобразуем уравнение (29) таким образом, чтобы правая часть была полным квадратом, т. е. потребуем, чтобы

Тогда, очевидно, должны выполняться равенства:

Я2 = 2 - р; 2Я1Я2 = Р; Я2 =--2.

Из (30) следует, что 2- Р > 0; -2 > 0.

Поэтому

-Р >-2 >0,

а значит, Р<0 или < 0. Поскольку числа ЯЬЯ2 определяются с точностью до знака, то выберем число Я1 положительным, а Я 2 - отрицательным. Тогда уравнение (29) можно записать в виде:

X

2

2

2

2

2

ъ2 =

где Я > 0, Я2 > 0. Из (31) вытекает, что

— = Я1 - Я2У2 или --------------2 = ё5 .

а5 г> г> „2

Я1 - Я2У

Интегрируя уравнение (32), найдем

1п

л/^Т “V Я2У

где 50 - произвольная постоянная. Из

(33) получим

д/я! ^УяГу = е^Я1Я2 (5-50).

Vя! “V Я2у

Поэтому

у(5) =

л/ЯГ

л/ЯГ

^л/Я1Я2 (5-5 0)-1‘ 3^Я1Я2 (5-5 0) +1

л/Я1

ТЯГ

Таким образом, получаем кинковое солитонное решение уравнения

и(1, х) = ТЯТГ 'И^Я1Я2 ( - 50 )}х

х ехр{і(к' + 1х + 9)}

производных произвольного порядка.

Рассмотрим систему связанных уравнений КДФ второго порядка:

дип ^ (п) 5и3 д ип

----п + / Різ и;---------- + -----п = 0,

5' А1 ;з ; 5х 4п 5х3

п = 1, 2,

где р(Д)^п - произвольные действительные числа.

Вопрос о применимости к ней классических методов построения солитонов является открытым. Солитонное решение системы (34) строится в виде:

ип

где Ап - неизвестные амплитуды соли-тонов; а, в, ф- произвольные действительные числа.

Подставляя (35) в (34) после элементарных преобразований, получим

ЛпасИ (5) -р/ р;п ЛіЛз -

і,з=1

- ЯпЛпР3 [4сИ2

£ = аt + Px + ф.

Из уравнений (36) в силу линейной независимости экспонент найдем, что

а = -4дпр , п = 1, 2;

Построение и анализ солитонных решений системы связанных уравнений КДФ

Анализируя форму солитонных решений, нетрудно заметить, что они представляют собой дробно-рациональные функции от соответствующих экспонент.

На основании этого факта в [10] развит прямой метод построения солитонных решений нелинейных систем в частных

/ р^Лз = 12р2апЛп, п = 1,2.

і,з=1

Таким образом, справедлива теорема 2.

Теорема 2. Для того чтобы система

(34) имела решение вида (35), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись дисперсионные соотношения (37), (38).

Изучим эти уравнения. Из (37) следует, что

Я1 = Я2 = а =

а

4р3

Уравнения (38) приводятся к виду:

p(l)A12 + p(l)AlA2 + p22'A2 = 12Р 2qAl;

p(l). p(2' + p2l';

p(2'A2 + p(2)AlA2 + p22'A2 = 12P 2qA2;

p(2) . p(2' + p22'.

Обозначим A^lA2 =0 . Тогда уравнения (39) преобразуются следующим образом:

I: pH92 + p(l) 9+p 22 =9.

,

p(!' 92 + p(2) 9 II: A2 =

+p222' 12P 2q

p(2' 92 + p(2)9 + pg''

Из уравнения I найдем P3(9). p(l)93 +92(p(2) -pll>)+

+ 9(p2|) - p(l))-p(2) = 0.

Таким образом, существование со-литонов вида (35) определяется корнями полинома третьей степени /3 (9) . Известно [11], что максимальное число корней уравнения (40) равно трем и обеспечивается выполнением неравенства Б > 0, где Б - дискриминант уравнения (40). Он имеет вид:

D = -108

)

p

pll

p

pll

p(22

+

Следовательно, система (34) может иметь максимальное число различных со-литонов вида (35), равное шести (т. е. три пары солитонов), если Б > 0 . Это новый результат в теории солитонов.

Построение и анализ солитонных решений для двухсердцевинного оптического ответвителя

В [12] предложена и исследована простейшая модель К-сердцевинного ответвителя, которая учитывает линейное взаимодействие только соседних сердцевин. В частности, построено симметричное, стационарное, солитонное решение этой системы. Рассмотрим более общую, чем в [12], систему связанных НУШ, описывающую нерезонансное самовоздействие двух волн,

Фп

дч д t

+iqn

д un

д x

= r.

д 2un П д x2

+

V

un +

+ Z K

s=1

(n)u

n = 1, 2,

где рп, qn, Г„, я(п), к(п) - произвольные

действительные числа.

Вопрос о применимости к ней классических методов построения солитонов, таких как метод обратной задачи рассеяния, метод Хироты и их модификаций, является открытым.

Решение системы (41) будем строить в виде:

un(t,x) = X n exp{i(kt + lx + 9)}x

1 2 f p(2) - p(l'' 3

4 27 p(2' V pll у c^T е гд

x ch 1 (at + Px + h), n = 1, 2,

ды солитонов, а, р, Ь, к, 1, 9 - произвольные действительные числа. Подставляя (42) в (41), получим следующие дисперсионные соотношения:

I:

II:

III

apl +Pql = 2РЦ; ap2 +Pq2 = 2ph-2;

[ R((l) X2l + R21' X22 = 2P 2Гі;

[r(2) Xl + R(22) X22 = 2P 2r2;

Xl (- plk - qll-P 2rl + l2rl )=

= K(l) X1 + K21' X 2;

X 2 (- p2k - q2l-p 2r2 + l2r2 ) =

= K(2) X1 + K(22) X 2.

2

s

Таким образом, справедлива теорема 3.

Теорема 3. Для того чтобы система (41) имела решение вида (42), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись дисперсионные соотношения (43).

Изучим эти соотношения. Система I не представляет принципиальных затруднений, так как число параметров больше, чем число уравнений. Система II является линейной алгебраической системой относительно параметров Х|, которую можно записать в виде:

ЯХ = г,

где элементы матрицы Я равны Я(п), а

элементы вектора г равны 2р2гь2р2г2. Если det Я ф 0, то система (44) имеет единственное решение

Х = К ~1г,

при условии, что все компоненты вектора Я-1Г строго положительны. Считая, что Х1 > 0, Х2 > 0, и подставляя найденные Хі, Х2 в систему III, получим два линейных уравнения относительно произвольных параметров к(1), к21), к(2), К(22). Следовательно, дисперсионные соотношения (43) исследуются элементарными методами и определяют условия существования солитонов вида (42).

Заключение

В работе развит простой и эффективный метод построения солитонных

решений нелинейных уравнений КДФ и Шредингера. Исследованы системы второго порядка нелинейных связанных уравнений КДФ и Шредингера, имеющих физические приложения. Для них получены необходимые и достаточные условия существования солитонов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Теория солитонов : Метод обратной задачи / В. Е. Захаров [и др.]. - М. : Наука, 1980. - 314 с.

2. Бреховских, Л. М. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн) / Л. М. Бреховских, В. В. Гончаров. - М. : Наука, 1982. -248 с.

3. Лэм, Дж. Л. Введение в теорию солито-нов / Дж. Л. Лэм. - М. : Мир, 1983. - 294 с.

4. Буллаф, Р. Солитоны / Р. Буллаф, Ф. Кодри ; под ред. Р. Буллаф. - М. :Мир, 1983. - 232 с.

5. Калоджеро, Ф. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений / Ф. Калоджеро, А. Дегасперис. - М. : Мир, 1985. - 469 с.

6. Тахтаджян, Л. А. Гамильтонов подход в теории солитонов / Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев. - М. : Наука, 1986. - 528 с.

7. Абловиц, М. Солитоны и метод обратной задачи / М. Абловиц, Х. Сигур. - М. : Мир, 1987. -479 с.

8. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд [и др.]. - М. : Мир, 1988. - 694 с.

9. Ньюэлл, А. Солитоны в математике и физике / А. Ньюэлл. - М. : Мир, 1989. - 326 с.

10. Жестков, С. В. Конструктивные методы построения глобальных решений нелинейных уравнений в частных производных / С. В. Жестков. -Могилев : МГУ им. А.А.Кулешова, 2006. - 220 с.

11. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. - М. : Наука, 1968. - 432 с.

12. Ахмедиев, Н. Н. Солитоны / Н. Н. Ах-медиев, А. Анкевич. - М. : Физматлит, 2003. - 304 с.

Могилевский государственный университет продовольствия

Материал поступил 16.11.2006

S. V. Zhestkov, M. V. Stephanenko,

E. V. Holstinnikova

Elementary approach to constructing

of soliton-solutions of equations of

nonlinear physics

Mogilev State University of Food

The elementary approach to constructing of soliton-solutions of of equations of nonlinear physics is developed. The method permits to investigate the systems of coupled equations of nonlinear physics with arbitrary coefficients. The necessary and sufficient conditions of existence of solitons for system of the second order of coupled equations of Korteveg-de Vries and system of coupled equations of Scrodinger are obtained.