Аксиоматизация интуиционистских логик, определяемых малыми фреймами

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

УДК 510.649

АКСИОМАТИЗАЦИЯ ИНТУИЦИОНИСТСКИХ ЛОГИК, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ МАЛЫМИ ФРЕЙМАМИ С. И. Башмаков, М. И. Голованов

Аннотация. Исследуются табличные интуиционистские логики, семантически характеризуемые фреймами Крипке глубины не более 3 и ширины не более 2. Дана аксиоматизация основных таких логик, построена порожденная ими решетка. Известные методы позволяют, используя данные аксиоматизации, задать аксиоматику остальных логик решетки.

Ключевые слова: суперинтуиционистская логика, фрейм Крипке, аксиоматизация логик.

1. Введение

Суперинтуиционистская логика является табличной тогда и только тогда, когда ее ширина и глубина ограничены [1]. Кроме того, каждая табличная суперинтуиционистская логика конечно аксиоматизируема [2]. Используя известные формулы ширины и глубины, нетрудно аксиоматизировать любую табличную суперинтуиционистскую линейную логику или логику глубины 2 (для подробного рассмотрения подобных формул см. [1,2] ). Однако задача значительно усложняется при выходе за указанные границы. Так как известных формул уже недостаточно, возникает необходимость построения новых, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей. В частности, в [2] доказывается алгоритмическая неразрешимость аксиоматизации табличных суперинтуиционистских логик. Тем не менее существует потребность и соответствующая надежда, что удастся найти достаточно удобные и интересные формулы в языке интуиционистских или модальных логик, с помощью которых можно будет описывать строение фреймов, хотя бы наиболее близких к линейным и ширины два. В данной работе дается аксиоматизация и построена решетка всех интуиционистских логик, ширина которых не превосходит двух, а глубина не превосходит трех. Наличие подобной аксиоматизации хотя бы для ряда табличных логик ширины два (или малой глубины, но большей ширины) дает по крайней мере экспериментальный материал при рассмотрении некоторых задач нестандартных логик.

© 2017 Башмаков С. И., Голованов М. И.

2. Основные сведения, определения и обозначения

Все используемые здесь утверждения и определения, относящиеся к нестандартным логикам, можно найти в монографиях [1,2].

Язык интуиционистской логики состоит из логических связок Л, V, —, пропозициональных переменных (здесь p, q, r, s, иногда с индексами) и скобок. Понятие формулы стандартное. Логику определим как множество формул, замкнутое относительно правила modus ponens и правила подстановки.

Фрейм (или шкала) Крипке — это частично упорядоченное множество F := (W, <}. Означиванием множества P пропозициональных переменных называется отображение V, удовлетворяющее следующим свойствам:

1. V: P ^ 2W, т. е. Vp е P(V(p) С W),

2. (VaVb е W)(Vp е p)(а < b ^ (а е V(p) ^ b е V(p))).

Интуиционистская модель Крипке — это тройка M = (W, <, V}, где (W, <} — частично упорядоченное множество и V — означивание множества пропозициональных переменных P на (W, <}.

Индукцией по длине формулы определим отношение а Ihy а истинности формул на точках модели M = (W, <, V}.

1. Vp е P Va е W[(а Ihy p) ^ (а е V(p))],

2. Va е W[(а Ihy а Л в) ^ (а Ihy а)&(а Ihy в)],

3. Va е W[(а Ihy а V в) ^ (а Ihy а) V (а Ihy в)],

4. Va е W[(а Ihy —а) ^ Vb е W((а < b) ^ (b Fy а))],

5. Va е W[(а Ihy а ^ в) ^ Vb е W((а < b) ^ ((b Ihy а) ^ (b Ihy в)))].

Будем говорить, что формула а истинна на модели M = (W, <, V}, если

Va е W(а Ihy а). Аналогично истинность а на фрейме (W, <} означает истинность а на модели M = (W, <,V} при любых означиваниях V. Нетрудно показать, что множество формул, истинных на всех фреймах из класса , является логикой. В этом случае говорим, что логика определяется классом .

Для логики Л фрейм F называется Л-фреймом или адекватным логике Л, если F I а для любой формулы а е Л. Класс фреймов & называется адекватным для логики Л, если & состоит из множества Л-фреймов. Логику, определяемую фреймом Fi или классом фреймов J^i, будем обозначать через Л^.

Фрейм F называется корневым или конусом, если За е F Vb е F (а < b). Тогда а — корень F (F = а-). В данной работе достаточно рассматривать только корневые фреймы.

Последовательность элементов (ах,..., ап) произвольного фрейма называется цепью длины n, если для всех i = 1,..., n — 1 элемент ai+i достижим из элемента а^ Набор элементов (bi,...,bn) произвольного фрейма называется антицепью из n элементов, если для всех i = 1,...,n и j = 1,...,n выполнено xiRyj только если i = j. Глубиной элемента x фрейма F называется максимальное число элементов в цепях, начинающихся с элемента x. Множество элементов глубины i будем называть i-м слоем фрейма F. Шириной фрейма F называется максимальная мощность антицепей данного фрейма.

Фрейм Е1 = (^1, <} называется открытым подфреймом фрейма Е2 = (^2, <}, если С и Уа е Ж УЬ е Ж (а < Ь ^ Ь е Ж), и обозначается Е1 С Е2. Если Е1 — открытый подфрейм фрейма Е2 и а е Е^ то (Е^а) 1Ьу а ^^ (Е2, а) 1Ьу а.

Отображение / некоторого фрейма (Ж1; <} на фрейм (Ж2, <} называется р-морфизмом, если

Уа, Ь е ((а < Ь) ^ (/(а) < /(Ь))), Уа, Ь е (/(а) < /(Ь)) ^ Зс е Ж : ((а < с)&(/(с) = /(Ь))).

Отметим, что композиция р-морфизмов также является р-морфизмом. Отображение двух точек фрейма в одну при р-морфизме называется склейкой.

Класс фреймов & = {Е^..., Ег} будем называть .замкнутым, если вместе с каждым фреймом Е^ е {1,...,г}) класс & содержит все его открытые подфреймы и все его р-морфные образы. Нетрудно убедиться, что объединение и пересечение замкнутых классов фреймов будет замкнутым классом фреймов. Если & — наименьший замкнутый класс, содержащий фреймы Е^ ..., Ег, то будем говорить, что & порождается Е^ . .., Ег.

Интуиционистская логика Гейтинга имеет следующую систему аксиом:

1. р ^ (д ^ р),

2. (р ^ (д ^ г)) ^ ((р ^ д) ^ (р ^ г)),

3. р ^ (р V д),

4. д ^ (р V д),

5. р Л д ^ р,

6. р Л д ^ д,

7. (р ^ г) ^ ((д ^ г) ^ (р V д ^ г)),

8. (р ^ д) ^ ((р ^ г) ^ (р ^ д Л г)),

9. р ^ (-р ^ д).

Обозначать эту логику будем символом Н.

п

Формула = У {pi ^ V р^) истинна на фрейме Е тогда и только тогда,

г=0 ¿=г

когда ширина фрейма Е не превосходит п. Будем говорить, что логика А имеет ширину п если шп е А, но шп-1 е А.

Определим по индукции следующее семейство формул: фо = фп+1 = рп+1 V (рп+1 ^ фп). Формула фп истинна на фрейме Е тогда и только тогда, когда глубина фрейма Е не превосходит п. Будем говорить, что логика А имеет глубину п если фп е А, но фп-1 е А.

На рис. 1 изображены все корневые фреймы ширины не более 2 и глубины не более 3 (с точностью до изоморфизма).

Логика, определяемая классом фреймов {Ео,... , Ед}, имеет систему аксиом Е2,з = Ни {ш2, фз}. Логики, определяемые подклассами класса {Ео,..., Ед}, являются расширениями логики Е2,з, и их системы аксиом будем строить, добавляя к Е2,з необходимое множество формул.

^

Рис. 1.

Рис. 2.

Так как все табличные логики полны по Крипке, решетка рассматриваемых в работе логик двойственна решетке замкнутых классов фреймов, содержащихся в классе, порожденном фреймами Ро,..., Рд.

Приведем с точностью до изоморфизма список замкнутых классов, порождаемых фреймами Ро,..., Рд (класс, порождаемый фреймом Fi, будем обозначать через ^):

^о = {Ро}, = {Fq.Fi}, #2 = {Fq.Fi, .2},

= {Ро = {Ро,Р1,Рз,Р4}, = {Fq.Fi,.2 },

= {Fq.Fi.F2, Fз, F6}, = ^о, Fl, F2, Fз, F4, F6, F7}, = {Fq.Fi^2^3,F4,F5,F8}, = {Fq.Fi , F2, Fз, F4, F5, F9}. На рис. 2 приведена решетка всех замкнутых классов фреймов, порождаемая фреймами Fо,..., F9, и решетка соответствующих логик.

Для любой формулы а символом V(а) будем обозначать множество элементов рассматриваемой модели, на которых истинна формула а.

3. Аксиоматизация логик Л4 — Л9

3.1. Аксиоматизация логики, определяемой фреймом (рис. 3).

Логика А4 имеет систему аксиом £2,з и {А4}, где А4 = (р ^ д) v (д ^ р) v ——(р л д).

Очевидно, что А4 истинна на фреймах Fо,Fl,Fз. Если означивание V таково, что F4 ^ (р ^ д) v (д ^ р), то V(р) = {6, V(д) = {с, (либо симметрично). Но Рис. 3. тогда F4; У—(р л д). Таким образом, F4 1У А4.

Если первый (верхний) слой фрейма F двухэлементный, то, полагая, что р истинно только в одной точке первого слоя, а д — только во второй, получим опровержение А4 на F. Следовательно, А4 опровержима на фреймах F2 ^5 — F9.

Итак, корневой фрейм F принадлежит классу ^4 тогда и только тогда, когда на нем истинны формулы ш2, ^з, А4. Поскольку множество формул £2,з и {А4} конечно, конъюнкция К всех формул множества £2,з и{А4}, взятых с различными пропозициональными переменными, также будет истинна на корневом фрейме F тогда и только тогда, когда он принадлежит классу ^4.

Покажем, что К, а следовательно, и £2,з и{А4}, является системой аксиом логики А4. Пусть ^ — произвольная формула языка данной логики. В силу теоремы дедукции К будет системой аксиом А4, если К ьд4 ^ ^^ К ^ ^ € А4. Если К ^ ^ € А4, то по определению логики А4 формула К ^ ^ истинна на F4, а так как К истинна на F4, то и ^ истинна на F4. Обратно, если ^ истинна на F4, то К ^ ^ истинна на F4 и К ^ ^ € А4. Поскольку аналогичные рассуждения справедливы для произвольной табличной логики, в следующих пунктах не будем их повторять.

3.2. Аксиоматизация логики, определяемой фреймом (рис. 4).

Логика А4 имеет систему аксиом £2,з и {А5}, где А5 = (р ^ д) v (д ^ р) v —(р л д).

Покажем истинность формулы А5 на фрейме F5. Пусть существует означивание V, при котором формула опровергается. Это означает, что ложны одновременно все три дизъюнктивных члена. Так как форму-ис. . лы (р ^ д) и (д ^ р) опровергаются на модели ^5, V},

то V(р) % V(д) и V(д) % V(р). Таким образом, V(д) и V(д) — непустые множества точек фрейма F5. Ввиду симметрии фрейма можно положить с € V (р),

d € V(д). Если d € V(р) или с € V(д), то одно из условий V(р) % V(д) и V(д) % V(р) будет нарушено. Следовательно, V(р) = {с}, V(д) = При

таком означивании формула р л д не выполняется ни на одной точке фрейма Е5, т. е. Е5 1Ь ¿5.

Непосредственная проверка показывает, что при означиваниях, указанных на рис. 5, формула ¿5 опровержима на фреймах Е4, Еб — Ед.

Рис. 5.

3.3. Аксиоматизация логики, определяемой фреймом Ед (рис. 6).

Логика Аб имеет систему аксиом Е2,з и {¿б,Вб}, где ¿6 = (фЗ ^ ф2) v (ф2 ^ [(Г ^ 5) v (5 ^ Г)]), Вб = --(р л

д) ^ [(р ^ д) v (д ^ р)].

Формула (фз ^ ф2) может быть опровергнута только на точке а при условии с € V(рх) с {с, d}, {6, с} с V(р2) с Рис. 6. {6, с, d}. Но при этом ф2 истинно только в точках 6, с, d,

следовательно, Еб 1Ь ф2 ^ [(г ^ в) v (в ^ г)] при любом означивании г и в.

На фреймах Е5, Е8, Ед формула ¿6 опровергается, когда означивание таково, что V(рх) совпадает с первым слоем, V(р2) совпадает с первым и вторым слоями.

Формула (р ^ д) v (д ^ р) может опровергаться только в точке а фрейма Еб при условии V(р) % V(д) и V(д) % V(р). Но при выполнении посылки формулы Вб справедливо включение {с^} с V(р) п V(д), что приводит к нарушению одного из условий V(р) % V(д) и V(д) % V(р). Итак, Еб 1Ь Вб.

На фреймах Е4,Еу формула В опровергается при означиваниях, указанных на рис. 5.

3.4. Аксиоматизация логики, определяемой фреймом —у (рис. 7).

Логика Ау имеет систему аксиом Е2,з и {¿б}, где ¿б = (фЗ ^ ф2) v (ф2 ^ [(Г ^ 5) v (5 ^ Г)]).

В класс не входят только фреймы —5, , Ед. Как показано в предыдущем пункте, формула ¿б на них опровергается. Если первый дизъюнктивный член опровергается, то только на точке а, при этом а V- ф2 и а 1Ь ф2 ^ [(г ^ в) v (в ^ г)]. Таким образом, а 1Ь ¿б.

Рис. 7.

3.5. Аксиоматизация логики, определяемой фреймом (рис. 8).

Логика А8 имеет систему аксиом Ь2,зи{А.8, В8, С8},

где

а8 = ——(р Л д) ^ {(р ^ д) V (д ^ р) V [д ^ (г ^ в) V (в ^ г)] V [р ^ (г ^ в) V (в ^ г)]},

Рис. 8.

в8 =

V (р ^ г) V (г ^ р) V (д ^ г) V (г ^ д), С = <2 V ((< ^ (—г V —в)) ^ —г) V ((< ^ (—г V —в)) ^ —в).

Покажем, что формула А истинна на фрейме F8. Предположим, что при некотором означивании V формула А опровергается на фрейме F8. Так как в точках с, й, е формула (р ^ д) V (д ^ р) истинна, А может опровергаться только в точках а или 6. Поскольку посылка формулы А имеет вид ——(р Л д), то {й, е} % V(р Л д) и, следовательно, а У ——(р Л д). При этом заключение формулы А-8 в точке а опровергается. Так как формулы р ^ д и д ^ р в точке а не выполняются, то V(р) % V(д) и V(д) % V(р). Учитывая включение {й, е} % V(р Л д), получаем, что либо V(р) = {6, й, е}, V(д) = {с, й, е}, либо V(д) = {6,й, е}, V(р) = {с,й,е}.

Рассмотрим первый случай: V(р) = {6, й, е}, V(д) = {с, й, е}. Так как под-фреймы й- и с- линейны, на них истинна формула (г ^ в) V (в ^ г), т. е. а У д ^ (г ^ в) V (в ^ г). Таким образом, а У А.8.

Второй случай (V(д) = {6, й, е}, V(р) = {с, й, е}) рассматривается аналогично.

На фрейме F9 формула А опровергается при означивании V(р) = {6, й, е}, V(д) = {с, й, е}, V(в) = {й}, V(г) = {е},

Покажем, что формула В истинна на фрейме F8. Если а ^ В8, то для любых двух различных множеств X и У из семейства {V(р), V(д), V(г)^(в)} справедливы утверждения X % У и У % X и, следовательно, ни одно из множеств V(р), V(д), V(г), V(в) не содержит точки а. Если одно из множеств V(р), V(д), V(г), V(в) совпадет с {6, с, й, е}, то одно из условий X % У, У % X будет нарушено. Таким образом, V(р), V(д), V(г), V(в) могут принимать только значения {й}, {е}, {й, е}, {с, е}, {6, й, е}. Так как множество {е} содержится в трех множествах из данного списка, {е} не может быть значением ни одной из четырех переменных. Значит, с точностью до перестановки семейство {V(р)^(д), V(г)^(в)} совпадает с семейством {й}, {й, е}, {с, е}, {6, й, е}. Но в этом списке имеются три включения {й} С {й, е} С {6, й, е}. Таким образом, при любом выборе означивания минимум два дизъюнктивных члена формулы В будут истинны на F8, что и требовалось доказать.

Формула В на фрейме F7 опровергается при означивании V(р) = {й, е}, V(д) = {с, е}, V(г) = {6, й}.

Покажем, что формула С8 истинна на фрейме Предположим, что при некотором означивании V формула С8 опровергается на фрейме . В этом случае а V- ф2 и а V- (ф2 ^ (—г v —в)} ^ —г. Следовательно, а У ф2 ^ (—г v —в) и а V- —г. Так как Ь 1У ф2, то Ь У—¡г v —в. Поскольку а V- —г, то Ь 1У — в и тем самым а У—в, т. е. а У ((ф2 ^ (—г v —в)) ^ —в) и а У С8.

При означивании V(рх) = {с}, V(р2) = {Ь,с}, V(г) = {с}, V(в) = {й} формула С8 опровергается на Еб.

3.6. Аксиоматизация логики, определяемой фреймом Ед.

Логика Ад имеет систему аксиом Е2,з и {Ад}, где Ад = (р ^ д) v (д ^ р) v —(р л д) v ——(р л д).

Формула (р ^ д) v (д ^ р) опровергается на Ед либо при указанном на рис. 9 означивании, либо при означивании V(р) = {й}, V(д) = {е}, либо при сим-Рис. 9. метричных им означиваниях. Но в первом случае на

фрейме истинна формула ——(рлд), во втором - —(рлд).

Следовательно, Ед У Ад.

Покажем, что формула Ад опровержима на фреймах -Рб,^, Ед. Для этого зададим следующие означивания:

на Еу, - V(р) = {Ь, е}, V(д) = {с, е}, на Еб - V(р) = {Ь, с}, V(д) = {с,й}.

4. Аксиоматизация остальных логик ширины не более 2, глубины не более 3

Пусть У Жг — объединение попарно не пересекающихся моделей Крипке,

У Ег объединение попарно не пересекающихся фреймов.

Лемма 1 [2, лемма 2.5.74]. 1. Для любой формулы а с пропозициональными переменными из области определения означивания на У Жг справедливо утверждение

У а ^ уг € I (Жг У а).

1Е1

2. У У а ^^ уг € I(Ег У а).

Теорема 2 [2, теорема 2.1.31]. Если Ах = Н © {аг | г € I}, А2 = Н © {вз | 3 € J}, то

Ах л А2 = Н © {аг2 v в3 | i € I, з € где а2 получена из аг подстановкой рг ^ р2г, вз получена из в, подстановкой р, ^ р2з+1.

В силу леммы 1 остальные логики из построенной решетки являются пересечениями логик, для которых построены системы аксиом. Системы аксиом этих логик могут быть получены указанным в теореме 2 методом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Chagrov A. V., Zakharyaschev M. V. Modal logic. Oxford: Oxford Univ. Press, 1997.

2. Rybakov V. V. Admissibility of logical inference rules. Amsterdam; New York: Elsevier Science Publ. B. V., 1997.

Статья поступила 1 ноября 2016 г.

Башмаков Степан Игоревич, Голованов Михаил Иванович Сибирский федеральный университет пр. Свободный, 79, Красноярск 660041 krauder@mail.ru, m.i.golovanov@mail.ru

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

UDC 510.649

AXIOMATIZATION OF INTUITIONISTIC LOGICS DEFINED BY SMALL FRAMES S. I. Bashmakov and M. I. Golovanov

Abstract. In this paper, we study the tabular intuitionistic logics semantically characterized by the Kripke frames of the depths no greater than 3 and widths no greater than 2. The axiomatization of such basic logics is given; the lattice generated by them is constructed. Known methods make it possible, using given axiomatization, to specify the axiomatic of the remaining logics from the lattice.

Keywords: superintuitionistic logic, Kripke frame, axiomatization of logic.

REFERENCES

1. Chagrov A. V. and Zakharyaschev M. V., Modal Logic, Oxford: Oxford Univ. Press (1997).

2. Rybakov V. V., Admissibility of Logical Inference Rules, Amsterdam; New York, Elsevier Sci. Publ. B. V. (1997).

Submitted November 1, 2016

Stepan I. Bashmakov, Mikhail I. Golovanov Siberian Federal University, 79 Svobodniy pr., Krasnoyarsk 660041, Russia krauder@mail.ru, m.i.golovanov@mail.ru

© 2017 S. I. Bashmakov and M. I. Golovanov