Философско-методологические вопросы применения методов и алгоритмов вычислительной математики при решении задач прикладной математики

УДК 1:001 001.8+519.6

Н.М. Охлопков

философско-методологические вопросы применения методов и алгоритмов вычислительной математики при решении задач прикладной математики

Рассматриваются философско-методологические особенности применения методов и алгоритмов вычислительной математики для решения моделей прикладной математики. При этом математическая модель интерпретируется как основа современной информационной технологии. На основе математических моделей проводится вычислительный эксперимент, который выступает как теоретико-практическая реализация метода математического моделирования, представляющего собой новый способ описания реальности - вычислительный метод познания.

Ключевые слова: метод, алгоритм, вычислительная математика, прикладная математика, модель, корректность, устойчивость, обусловленность, погрешность, сходимость, точность, приближенный метод, обратная задача, регуляризация, функция, вычислимость, информация, технология, эксперимент, ядро.

Из истории развития математики известно, что появление интереса к применению численных методов было связано с развитием дифференциального и интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений. Разработка и использование численных методов и простейших (тривиальных) алгоритмов связано с появлением математических моделей физики, механики и астрономии [1].

Широкие возможности для вычислительной математики наступили в 30-х годах XX века в связи с появлением релейных вычислительных машин. Носителями исходной информации были перфокарты, перфоленты, магнитные ленты, кинопленки. Переломный момент в развитии вычислительной математики наступил в связи с открытием факта, что каждой математической или логической формуле, составленной с использованием алгебры логики, однозначно соответствует некоторая релейно-контактная сеть, осуществляющая функции всех видов вычислений. Тем самым релейно-контактные сети являлись моделями вычислительного процесса. Затем релейно-контактные вычислительные устройства были заменены бесконтактными, роль реле выполняли электронные лампы. Такая машина была построена в 1946 году (ЕМАС). Начиная с середины XX века, постепенно изменилось содержание и методология вычислительной математики [2].

Под вычислительными задачами понимаются задачи, которые возникают при анализе математических моделей. Все величины, включенные в математическую модель, условно разобьем на три группы: 1) входные данные х; 2) параметры модели р; 3) искомое решение (выходные данные) у. Таким образом, вычислительную задачу запишем символически в виде:

у = /

ОХЛОПКОВ Николай Михайлович -к.ф.-м.н., доцент института математики и информатики ЯГУ E-mail: unir@sitc.ru

Например, при описании многих явлений используется модель полиномиальной зависимости между величинами х и у:

У = Рп

Коэффициенты многочлена а0, а1, ..., ап являются параметрами модели. При фиксированных значениях параметров прямая задача состоит в вычислении значения многочлена у=рп(х) по заданному х. Целью решения обратной задачи является определение по заданному значению у соответствующего ему значения х. Это есть задача отыскания корней многочлена

~п(х) = ~о + а1 х + ... + апХп = 0, ~о = а{) - у .

Если известна из практики некоторая информация о зависимости у от х, то определение параметров а0, а1, .,

а, при которых модель (2) в некотором смысле лучше описывает зависимость (2), представляет собой задачу идентификации. Если задана таблица значений (х,у), то такую задачу можно решать, используя известные методы интерполяции и наименьших квадратов.

Вычислительная задача (1) называется корректной (по Адамару-Петровскому), если выполнены условия [3]: 1) ее решение у е Y существует при любых входных данных х е X; 2) это решение единственно; 3) решение устойчиво по отношению к малым возмущениям входных данных. В том случае, когда хотя бы одно из этих условий не выполнено, задача называется некорректной. Первые два условия означают математическую определенность задачи, а третье - физическую определенность.

Устойчивость вычислительной задачи по входным данным х означает непрерывную зависимость решения у от входных данных х. Это означает, что для любого в > 0 существует 5 = 5(в)> 0 такое, что всякому исходному данному х*, удовлетворяющему условию д(х *)< 5,

отвечает приближенное решение у*, для которого Д(у *)< в. Таким образом, для устойчивой вычислительной задачи ее решение теоретически можно найти со сколь угодно высокой точностью В , если обеспечена достаточно высокая точность 5 входных данных.

В классической математике исходные данные задачи задаются абсолютно точно и вычисления проводятся без потери информации, а следовательно, и результаты будут точными. Долгое время предполагалось, что переход к решению задач практики со сколь угодно точными входными данными и соответствующей точности вычислений принципиальных изменений не произойдет в постановке и решении задачи. Такое неверное представление считалось справедливым, хотя математикам были известны примеры задач, в которых очень малая погрешность во входных данных задачи может играть принципиальную роль. Как влияют малые, но конечные погрешности входных данных на решение, как сильно они могут исказить желаемый результат? Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым погрешностям входных данных.

Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Подчеркнем, что потеря точности объективно обусловлена погрешностью задания входных данных и не связана с используемым алгоритмом.

Считают вычислительный алгоритм корректным, если выполнены три условия: 1) он преобразует после выполнения конечного числа элементарных для ЭВМ операций любое входное данное х е X в результат у; 2) результат у устойчив по отношению к малым возмущениям входных данных; 3) результат у обладает вычислительной устойчивостью. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то говорят, что алгоритм является некорректным.

Устойчивость алгоритма по входным данным означает, что результат непрерывным образом зависит от входных данных при отсутствии вычислительной погрешности. Отсутствие такой устойчивости делает алгоритм непригодным для использования на практике. Следует отметить, что в это определение устойчивости по входным данным вместе со входными данными х е X входят и все близкие к х приближенные входные данные х*. Для фиксированного алгоритма, в основном, величина погрешности округления чисел определяется машинной точностью Вм . Называют алгоритм вычислительно устойчивым, если вычислительная погрешность результата стремится к нулю при вм ^ 0. Вообще вычислительный алгоритм называют устойчивым, если он устойчив по входным данным и вычислительно устойчив, и неустойчивым, если хотя бы одно из этих условий не выполнено.

По аналогии с понятием обусловленности математической задачи вводят понятие обусловленности вы-

числительного алгоритма. Вычислительно устойчивый алгоритм называют хорошо обусловленным, если малые относительные погрешности округления (В м) приводят к малой относительной вычислительной погрешности 5(у *) результата у*, и плохо обусловленным, если вычислительная погрешность может быть недопустимо большой. Если 5(у *) и Вм связаны неравенством 5(у *)< УАВм, то число V а называют числом обусловленности вычислительного алгоритма. Для плохо обусловленного алго Vа > 1. При очень боль-

шом значении числа обусловленности алгоритм считают практически неустойчивым.

Отсюда следует, что для решения хорошо обусловленной задачи нет смысла применять плохо обусловленный алгоритм. Если задача плохо обусловлена и тем более решение задачи неустойчиво, то классические вычислительные методы и алгоритмы не дают желаемого результата. В этом случае приходится, для решения таких задач пользоваться неклассическими методами или даже требуется серьезное переосмысление постановки вычислительной задачи.

В 1932 году Ж. Адамар [3] указал на отличие таких задач от корректных краевых задач математической физики. В конкретных приложениях исходная информация всегда дана с некоторой погрешностью, отсюда он сделал вывод, что только математически корректно поставленные задачи могут иметь физическую интерпретацию. Те задачи, которые не удовлетворяли условию корректной постановки задачи, по его мнению, не могли иметь физической интерпретации, а потому не представляют ни теоретического, ни практического интереса. Действительно, для некорректно поставленных задач понятие «приближенное решение» теряет смысл, т.к. одно «приближенное решение» может очень сильно отличаться от другого при малом изменении входных данных. При решении некорректных задач классическими методами нет сходимости приближенных решений к точному решению. Отказ Ж. Адамара признать правомерность решения некорректных задач на первый взгляд вполне обоснованна, т.к. некорректность задачи может быть истолкована как дефектность математической модели, на основе которой она сформулирована. Потом выяснилось, что его отказ от физической интерпретации некорректных задач был ошибочным. Ж. Адамар не учел того обстоятельства, что в данном случае не «виновата» модель, которая описывает реальный процесс, а «виноваты» существующие в данное время методы вычислений, которые могут быть несовершенными и не позволяют извлечь полезную информацию, содержащуюся в модели, или даже создавать впечатление неполноценности модели. Таким образом, отказ Ж. Адамара от физической интерпретации некорректных задач оказался обусловленным ограниченностью классических методов их приближенного решения, а не дефектами математической модели соответствующего процесса.

В 1943 году для решения некорректных задач математической физики А.Н. Тихоновым был предложен новый алгоритм [4], основанный на сужении класса возможных решений путем использования дополнительной априорной информации о решении (метод сведения к условно корректной задаче).

Обратные задачи математической физики относятся к классу некорректных задач (нет устойчивости решения), которые определяются наличием необратимых во времени процессов. В преодолении принципиальных трудностей в решении обратных некорректных задач сыграл предложенный А.Н.Тихоновым в 1963 году общий метод нахождения приближенного решения некорректных задач, получивший название метода регуляризации [4, 5]. После этих работ последовало быстрое развитие теории некорректных задач и алгоритмов их решения [5, 6, 7, 8, 9].

Многие специалисты считали [10, 11], что теперь все основные вопросы некорректных задач решены и нет никаких принципиальных затруднений в разработке вычислительных алгоритмов для решения широкого класса таких задач. Однако выяснилось, что в действительности дело обстоит не так просто. Класс регуляризуемых некорректных задач был описан в работах В.А. Винокурова [10, 11].

Решение некорректной задачи, абстрагируясь от несущественных деталей, представляется как приближенное вычисление некоторой разрывной функции. Алгоритм, который используется для регуляризации непрерывных функций, называется тривиальным алгоритмом. До 1960-х гг. использовались только эти алгоритмы.

По мере развития науки и техники практические задачи требовали приближенного вычисления разрывных функций. Для широкого класса разрывных функций оказалось возможным разработать нетривиальный вычислительный алгоритм, что потребовало развития принципиально новых методов вычислений.

Ошибка Ж. Адамара заключалась в том, что он рассматривал только тривиальные алгоритмы и не допускал использование более сложных вычислительных алгоритмов. Усложнение математических моделей реальных процессов потребовало проведения более точного анализа и обоснования постановки задачи приближенного решения некорректной математической задачи. Для функций, имеющих «слишком много» точек разрыва, приближенное вычисление практически неосуществимо, т.к. их значения слишком часто и резко меняются. Таким образом, проблема приближенной вычислимости для широкого класса функций оказывается неразрешимой. Это означает, что для широкого класса математических задач справедливо утверждение [10, 11, 12]: с какой бы высокой (конечной) точностью мы ни задавали входную информацию, отклонение от точного решения не может быть меньше некоторой фиксированной величины. Тре-

бование приближенной вычислимости не ограничивает сферу применения ЭВМ, но сужает свободу построения математической модели. Математические модели должны удовлетворять требованию приближенной вычислимости, т.к. в случае невыполнения этого требования из модели не удается извлечь практически полезной информации.

Древние китайские, индийские и греческие философы рассматривали в качестве материи какое-то чувственно-воспринимаемое вещество, которое считали первоосновой всего сущего в мире и занимались поиском субстанции (основы) мира.

Пифагор Самосский (ок. 570-500 до н.э.) в качестве основного принципа всего сущего выделял число. Число является, во-первых, сущностью всех вещей и, во-вторых, принципом, который упорядочивает и организует Вселенную. Пифагорейцы впервые под сущностью стали понимать умопостигаемую природу. Такой нечувственной сущностью, субстанцией всех вещей и было названо число.

Если Платон признавал первичным реальным бытием общие и неизменные идеи, то Аристотель подчеркивал приоритет индивидуального, чувственно воспринимаемого.

Левкипп, Демокрит, Эпикур, Лукреций провозглашают основные положения материализма: все сущее состоит из мельчайших неделимых частиц - атомов.

Окружающий нас мир состоит из двух начал - формы и материи. Формы - это различные математические структуры, составляющие закономерный и логический скелет всех явлений и процессов в мире. Формы-структуры являются и логическим фундаментом человеческого разума. Структурное единство человеческого разума и мира является условием познаваемости мира через структуры. В основе всего лежат структурные формы, выражающие себя в числах, операциях и отношениях. Такого рода философия близка к философии «пифагореизма» (в основе всего лежат числовые структуры).

В настоящее время стало возможным преобразовывать любую информацию в цифровую. Вся современная техника, технология становится цифровой. Все это позволяет считать числа фундаментальной математической структурой, тесно соединяющей теоретическую, прикладную и вычислительную математику с информатикой и современной информационной технологией. Фактически математическая модель является основой современной информационной технологии (рис. 1).

Обработка огромного количества данных в цифровом виде дала возможность человеку использовать цифровую технику не только в целях вычисления, но и для анализа и выяснения глубинных свойств реального мира.

Рис. 1. Математическая модель - основа современной информационной технологии, где РО - реальный объект, КН - конкретные науки, ПМ - пр -кладная математика, ММ - математическая модель, АО - а -страктный объект, МС - математические структуры, ТМ - теоретическая математика, ВМ - вычислительная математика, Инф - информатика, ЭВМ - электронно-вычислительная машина, УО - управление объектом

Среди всех преобразователей информации ЭВМ при работе с любыми входными данными перед исполнением операции приводит их к «общему знаменателю», представляя их в виде конечной последовательности цифр

- информационной модели. Теперь стало возможным окружающий мир записать цифровым способом, то, что казалось людям совершенно разным, теперь они выражают одним способом - через последовательности двоичных кодов, т.е. «все сущее можно представить в виде двоичных кодов» [13]. Вычислительное направление исследований в дальнейшем трансформировалось в новую методологию и технологию проведения научных исследований, которое получило название вычислительного эксперимента [14]. Общую схему проведения вычислительного эксперимента можно представить следующим образом (рис. 2).

Центральным ядром организации математического знания является построение математических моделей конкретных наук, соединяющих вместе различные ветви математического знания. Вокруг математических моделей конкретных наук разворачиваются и теоретические и прикладные исследования. Математические модели исследуются как теоретические конструкции аксиоматического типа. Выявляются общие методы, заложенные в структуре математических моделей. Особое внимание уделяется разработке вычислительных алгоритмов, удовлетворяющих современным требованиям вычислительной математики. Построение математических моделей соединяет вместе различные отрасли теоретической

математики. Математическая модель в то же время является для прикладной математики экспериментальным средством.

Математика

А

П

ЭВМ

ВЭ

Рис. 2. Общая схема вычислительного эксперимента где А - алгоритм, П - программа, ВЭ - вычислительный эксперимент

На основе математических моделей проводится вычислительный эксперимент, который выступает как теоретико-практическая реализация метода математического моделирования, означающего нового способа описания реальности - вычислительного метода познания [15], конкурирующего с традиционными методами познания (экспериментальным и чисто теоретическим).

Ядро вычислительного метода познания: «модель

- алгоритм - программа», а в ней главное звено - математическая модель. В современных условиях вычислительный метод познания превращает вычислительный эксперимент в теоретико-информационный метод.

Л и т е р а т у р а

1. Королев Л.Н., Рыбников К.А. Вычислительная математика и вычислительная техника; очерки истории. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 95 с.

2. Яненко Н.Н. Методологические вопросы современной математики // Вопросы философии. - 1981. - № 8. - С. 60-68.

3. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees partielles uneaires hyperboliques. - Paris: Herman, 1932.

4. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады АН СССР. - 1943. - Т. 39. - № 5. - С. 195-198.

5. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и метода регуляризации // Доклады АН СССР. - 1963. -Т. 151. - № 3. - С. 501-504.

6. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Доклады АН СССР. - 1963. - Т. 153. - № 1. -С. 49-52.

7. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // Доклады АН СССР. - 1962. - Т. 145. - № 2. - С. 270-272.

8. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. - Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

- 68 с.

9. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. - М.: Наука, 1980. - 288 с.

10. Винокуров В.А. О понятии регуляризуемости разрывных отображений // Журнал вычислительной мате-

матики и математической физики. - 1971. - Т. 11. - № 5. -С. 1201-1211.

11. Винокуров В.А. Регуляризуемость и аналитическая представимость // Доклады АН СССР. - 1975. - Т. 220. -№ 2. - С. 300-303.

12. Solovej R.M., Tennenbaum C. Iterateol Cohen Extensions and Souslins Problem // Annals of mathematics. - 1971. - Vol. 94.

- № 2. - P. 201-245.

13. Томпсон М. Философия науки / Пер. с англ. А. Гарька-вого. - М.: ФАИР-Пресс, 2003. - 304 с.

14. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР. - 1979. -№ 5. - С. 38-49.

15. Охлопков Н.М. Вычислительный метод познания // Информационные технологии в науке, образовании и экономике.

- Якутск: Изд-во ЯГУ, 2003. - С. 82-89.

N.M. Okhlopkov

Philosophical and methodological issues of application of methods and algorithms of computational mathematics in solving the problems of applied mathematics.

The article deals with the philosophical and methodological peculiarities of application of methods and algorithms of computational mathematics in solving the problems of applied mathematics. With that, mathematical model is interpreted as a basis of modern information technology. Based on mathematical models the author carries out a computing experiment which comes out as theoretical and practical realization of mathematical modeling method corresponding to a new way of describing the reality - a computing method of knowledge.

Key words: method, algorithm, computational mathematics, applied mathematics, model, correctness, stability, conditionality, deviation, convergence, accuracy, approximate method, inverse problem, regularization, function, computability, information, technology, experiment, kernel.

УДК 316,3 (=512,2) П.В. Сосин, П.З. Тобуков

РАЗВИТИЕ СОЦИАЛЬНОЙ ИНФРАСТРУКТУРЫ В НАСЕЛЕННЫХ ПУНКТАХ ПРОЖИВАНИЯ КОРЕННЫХ МАЛОЧИСЛЕННЫХ НАРОДОВ СЕВЕРА

На основании социологических исследований социальной инфраструктуры в национальных поселениях народов Севера раскрыты оптимальные механизмы решения этой проблемы. Предлагаются новые подходы к планированию и строительству стационарных и кочевых поселений.

Ключевые слова: социальная инфраструктура, населенные пункты, расселение, коренные малочисленные народы Севера, кочевые школы, номенклатура объектов, жилище, нормы, нормативы, типы поселений.

Развитие социальной инфраструктуры населенных пунктов компактного проживания коренных малочисленных народов Севера зависит от многих факторов,

СОСИН Платон Васильевич - научный сотрудник Института гуманитарных исследований и проблем малочисленных народов Севера СО РАН.

E-mail: inip@ysn.ru

ТОБУКОВ Павел Захарович - к. филос.н., профессор кафедры философии ЯГУ

E-mail: unir@sitc.ru

таких как достаточное финансирование, устойчивое материально-техническое снабжение, усовершенствование проектов генеральных схем и отдельных объектов в соответствии с образом жизни коренных малочисленных народов Севера, качественное строительство и безаварийная эксплуатация объектов социальной инфраструктуры. В условиях рыночных отношений требуется разработка новых социальных норм и нормативов развития материально-технической базы для социальной инфраструктуры стационарных и мобильных поселений.