Использование функций В. Л. Рвачева для геометрического моделирования областей сложной формы

№ 2(26) 2010

С. В. Чопоров, А. А. Лисняк, С. И. Гоменюк

Использование функций В.Л.Рвачева для геометрического моделирования областей сложной формы

В статье рассматривается проблема геометрического моделирования сложных тел. Произведен обзор методов геометрического моделирования сплошных объектов. В качестве наиболее универсального подхода к моделированию произвольного тела предлагается использовать функциональный подход, в основе которого лежит теория И-функций.

Введение

Задача автоматизации построения адекватных геометрических моделей различных объектов сложной формы часто возникает в математическом и компьютерном моделировании, САПР, а также различных приложениях компьютерной графики.

Большинство современных методов вычислительной математики базируются на идее перехода от непрерывной задачи к дискретной, когда исследуемая сплошная область заменяется некоторой конечной дискретной моделью. Например, в одном из наиболее применяемых в настоящее время методе конечных элементов исследуемый объект заменяется непересекающейся совокупностью заполняющих весь его объем элементов простой геометрической формы, которые принято называть конечными элементами. [1]

Автоматизация разбиения геометрических областей на конечные элементы заданной формы в общем виде является весьма сложной задачей (особенно для трехмерных областей). Это обусловлено тем, что на форму конечных элементов налагаются два основных ограничения: они не должны иметь слишком малых или больших углов и их площадь или объем не должны превышать некоторую наперед заданную величину. В противном случае при расчетах возникают су-

щественные вычислительные погрешности и риск потери точности вычислений при значительном изменении градиента исследуемой функции.

Таким образом, задача автоматизации построения геометрических (топологических) моделей двух- и трехмерных областей сложной формы, пригодных для последующей дискретизации на конечные элементы, является актуальной.

Основные понятия геометрического моделирования пространственных объектов

Исследованием проблемы описания топологии плоских и пространственных объектов занимается геометрическое моделирование. Реальные объекты (различные инженерные конструкции, сооружения, машины, механизмы и т.п.) занимают определенный объем в пространстве. Для геометрического моделирования предметов с ненулевым объемом используются объекты, называемые сплошными (solid) телами или просто телами. Понятие «сплошное» применяется к телам, которые можно представить в виде подмножества трехмерного евкпидового пространства ЕЗ и которые удовлетворяют следующим свойствам (рис. 1) [2, 3]:

1) твердость в смысле инвариантности структуры и формы относительно расположения в пространстве;

№ 2(26) 2010

Рис. 1. Сплошное (а) и несплошное (б) множество

2) однородность — отсутствие изолированных и «висячих» участков границы;

3) конечность занимаемой части пространства (площади, объема);

4) замкнутость относительно Булевых операций: в результате их применения к сплошным телам получаются тоже сплошные тела;

5) конечность описания — наличие конечного числа геометрических особенностей, что дает возможность описать структуру тела с помощью ограниченного объема информации для представления в памяти компьютера.

6) детерминированность границы — сплошное тело должно задаваться множеством, однозначно определяемым его границей.

Моделями, удовлетворяющими свойствам 1-6 и пригодными для моделирования сплошных тел, являются замкнутые, ограниченные и регулярные подмножества ЕЗ [3].

Множество X называется регулярным, если замыкание его внутренних точек совпадает с множеством X [4, 5]. Операция регуляризации г множества X определяется соотношением:

гХ = замыкание (внутренние точки (X)).

Следует отметить, что пересечение двух замкнутых регулярных множеств не всегда является замкнутым и регулярным (рис. 2, г). Аналогичное утверждение справедливо и для разности двух замкнутых регулярных множеств [5]. Для преодоления этой пробле-

мы вводится дополнительный шаг — регуляризация [4, 5]. Применив оператор г к результатам множественных операций, можно получить регуляризированные множественные операции:

X и *У = г (X и У) X п *У = г (X п У).

X - *У = г

В дальнейшем под сплошным телом или просто телом будем понимать объект с ненулевым объемом, геометрическое место точек которого удовлетворяет описанным выше свойствам.

Автоматизированные системы геометрического моделирования используют много различных подходов к представлению плоских или пространственных областей. Для компьютерной обработки сплошные тела должны иметь определенное представление, при помощи которого описывается их геометрическая структура и характеристики. Схема представления (или просто представление) множества объектов О множеством L — это отношение г между О и Ь. Если (х,у) 6 г , то это означает, что у представляет х [4]. Схема представления должна обладать рядом свойств:

1) область определения — множество тел, которое можно описать при помощи схемы представления;

2) однозначность — схема представления г однозначна, если г является отношением один к одному (например, если О — множество многоугольников на плоскости, тогда

110

№ 2(26) 2010

ft V

il V

Рис. 2. Пересечение регулярных множеств: а) и б) исходные множества; в) их взаимное расположение; г) пересечение множеств; д) регуляризация пересечения

множество упорядоченных последовательностей точек Ь будет однозначной схемой представления, и наоборот, множество неупорядоченных последовательностей будет неоднозначной схемой представления) (рис. 3);

Рис. 3. Пример неоднозначной схемы представления

3) уникальность — возможность представления объекта единственным путем;

4) точность — схема представления является точной, если она не использует аппроксимацию объекта;

5) действительность (валидность) — невозможность создания модели несуществующего объекта;

6) замкнутость — объединение и пересечение сплошных тел является сплошным телом;

7) компактность и эффективность — возможность компактного хранения структуры

объекта и наличие эффективных алгоритмов для определения необходимых физических характеристик.

Классификация схем представления сложных объектов

Существует несколько возможных схем представления, включая шесть «чистых» и ряд гибридных [3].

1. Инженерные чертежи — набор плоских проекций, на основе которых строится изометрическое изображение детали. Данный подход получил широкое распространение в технике как средство коммуникации между инженерами. Он поддерживается большинством современных САПР, например, AutoCAD и Компас. Однако следует отметить, что в общем случае для произвольного трехмерного объекта трудно определить необходимое количество плоских проекций для полного и адекватного описания его геометрии.

2. Каркасное представление — одна из первых компьютерных схем представления трехмерных линейных многогранников [4], основанная на идее хранения информации только об их ребрах. Преимуще-

111

№ 2(26) 2010

Рис. 4. Неоднозначность каркасного представления

ство такого представления — возможность использования простейших структур данных и алгоритмов для его хранения и обработки. Недостатком выступает неоднозначность каркасного представления (рис. 4).

3. Плоскогранное представление (faceted representation) является естественным решением проблемы неоднозначности каркасного представления трехмерных тел путем добавления информации о структуре граней. Объекты с криволинейными поверхностями могут быть аппроксимированы элементами треугольной или четырехугольной формы. Использование плоских поверхностей значительно упрощает выполнение операций над геометрическими телами [6]. Плоскогранное представление широко применяется в компьютерной графике для получения тонового изображения.

4. Макетирование параметризованных объектов — описание объекта в виде ссылки на образец из библиотеки параметризован-

ных примитивов, которые представляются посредством использования кортежей, состоящих из номера примитива и последовательного перечисления требуемых параметров для получения необходимого объекта (например, для зубчатого колеса N — количество зубьев, в — окружной шаг, /4 — угол зубчатого зацепления, рис. 5). Такое представление является однозначным и компактным, однако алгоритмы вычисления свойств объектов требуют отдельной адаптации для каждого конкретного типа примитива. Данный подход применим, когда количество типов моделируемых объектов сравнительно невелико. Кроме того, отсутствие возможности агрегировать примитивы делает сложным процесс построения модели нетривиального объекта (применение такой схемы сравнимо с использованием языка, в котором слова не могут составлять предложения).

5. Граничное представление (рис. 6) — подход, основанный на том, что любое сплош-

н

a)NSA 6)HD

Рис. 5. Макетирование параметризованных объектов

112

№ 2(26) 2010

Рис. 6. Граничное представление

ное тело X обладает определенной границей дХ, а граница любого трехмерного тела в евклидовом пространстве однозначно его определяет [5]. Возможность представления тела совокупностью ограничивающих его объем оболочек и универсальность используемых структур делают такой подход одним из наиболее общих в компьютерной графике [4, 6]. Граничное представление лежит в основе ядра графического моделирования РагаэоНс! (системы ЭоУс^огкз, Мюгс^а^оп,

Topsolid и др.) и системы геометрического моделирования сплошных тел Romulus.

6. Конструктивная блочная геометрия (Constructive Solid Geometry, CSG) — подход, при котором объекты описываются последовательностью Булевых множественных операций и операций движения, применяемых к определенной коллекции примитивов. Данное представление схематически можно изобразить в виде двоичного CSG-дерева. Например, на рис. 7 изображено двоичное

№ 2(26) 2010

дерево последовательности операций, необходимых для получения объединения двух эллипсов и балки. Использование общих операций и ограниченного набора примитивов з делает данное представление однозначным, il неединственным, компактным и простым s- для использования. Одним из преимуществ а данного подхода является валидность такой

s

s схемы представления. При использовании регулярных множеств в качестве примити-

§ вов и регуляризированных множественных операций, свойства регулярных множеств

« обеспечивают валидность результата [4].

Недостатком является относительная слож-â ность получения границы, адекватно отра-g жающей моделируемый объект и ограничен-|| ность количеством примитивов. ¡2 7. Вытягивание, движение, вращение — § подход, базовая идея которого основана I на том факте, что в результате движения ÍS плоского множества в пространстве «вытя-§ гивается» некоторый объем (тело), который « может быть представлен движущимся Gáfala ектом и его траекторией (рис. 8). Следует S отметить, что использование данного под-¿g хода не гарантирует получения регулярного с? множества (т. е. что будет получена модель ^ валидного геометрического тела). § 8. Параметрическое представление — j| подход, в основу которого положена идея «g не ограничиваться параметризацией двумер-! ных объектов, а предоставить явный доступ § к внутренним точкам объекта с использо-! ванием трехмерной параметризации. Hais пример, р (г, 9, z) = (г cos0, г sin 0,z), г 6 [0,1],

0 6 [0,2], г 6 [0,3], соотношение является моделью сплошного цилиндра с единичным диаметром и длиной 3. Стоит отметить, что глобальная параметризация границы тела является достаточно сложной задачей.

9. Схемы на основе декомпозиции представляют геометрическое тело в виде объединения непересекающихся элементов. Данные представления разделяются на два типа: основанные на объекте и основанные на пространстве [4]. Первые — представляют адаптивную дискретизацию непосредственно объекта и носят название декомпозиции на ячейки (результат методов дискретизации). Вторые — производят равномерное разбиение всего пространства вокруг объекта, оставляя элементы, принадлежащие объекту, и называются пространственным перечислением (вокселы);

10. Срединные оси (поверхности) — подход, основанный на идее использования «скелета» многоугольника (многогранника), под которым понимается геометрическое место точек кривой (поверхности), образованной центрами окружностей (сфер), касающихся границ объекта (рис. 9). С каждой точкой срединной оси (поверхности) сопоставляется функция, возвращающая радиус соответствующей окружности (сферы). Данный подход позволяет качественно описать топологию геометрического объекта и является предметом большого количества исследований [10]. Алгоритмы получения срединных осей (поверхностей) могут использовать разбиения объема, трассировку

№ 2(26) 2010

лучей, диаграммы Воронова, триангуляцию Делоне и т. п.

^^.Фyнкциoнaльнoe представление — подход, который основан на идее представления геометрического тела с помощью математических функций или соотношений. Более подробно он будет описан ниже.

Метод функций Рвачева для неявного функционального представления тела

Сложность применения функционального подхода к представлению тела заключается в трудоемкости построения и доказательства корректности математического выражения, соответствующего описываемому телу. Данную проблему позволяет решить теория Р-функций, разработанная В. Л. Рвачевым.

Пусть О. — сплошное тело, геометрическую модель которого необходимо получить. Наиболее общим методом определения множества точек X, образующих объект О., является определение предиката А, который может быть вычислен для каждой точки р пространства [5]:

Х = {р1А

Таким образом, X определено неявно и состоит из всех точек, удовлетворяющих условию, определенному предикатом А. Простейшей формой предиката является ограничение на знак некоторой действительной функции Цр). Например, если Г = Ах + Ву + Сг + О, тогда f{p) = 0, f{р)>О

и f(p)<0 определяют плоскость, закрытое полупространство и открытое полупространство соответственно. Например, х > 0 определяет правую полуплоскость, г2 - х2 - у2 > 0 — круг радиуса г на плоскости или бесконечный цилиндр в пространстве.

Более сложные функции могут быть использованы для определения объектов нетривиальной формы. Развитием данного подхода является построение таких функций конструктивно, используя логические комбинации более простых функций, которые эквивалентны стандартным операциям над множествами. Такие функции независимо разработали Рвачев [11-14] и Ричи (Ricci) [15]. Ричи предложил использовать разрывные в С1 функции минимума и максимума. В работах Рвачева разработан более общий подход, получивший название теории R-функций, в котором предложены непрерывные в Ст функции для описания теоретико-множественных операций.

Функции В. Л. Рвачева являются логически изменяемыми действительными функциями, знак которых полностью определяется знаками их аргументов. Например, рассмотрим следующие функции:

l/Ц = xyz,

W2 = x + y + yjx2 + у2 + ху,

W3 = х2 + у2 + z2 +10,

WA = x + y + z-у/х2 + у2 -Vу2 +z2 - ^ -VX2 +Z2 2 +у2 +Z2.

В таблице 1 показана зависимость знака функций (4) — (7) от знаков их аргументов.

Обобщение свойств наследования знака для функций со свойствами, аналогичными свойствам зависимостей (4) — (7), непосредственно предполагает установление связи с функциями двоичной логики. Эта связь обеспечивается использованием характеристической функции S2 (х):К ^ В = {0,1} на интервале [0+,«>) :

№ 2(26) 2010

52 (х) =

О, если х < -О, если х > +0.

Таким образом, отношение ^

является Р-функцией, если существует функция двоичной логики Ф : В" ^ В , которая удовлетворяет коммутативной диаграмме [14]:

ф

52" I Вп

I Эг В

Такая функция является логической функцией Булевой алгебры со значением истины, равным 1, или лжи, равным 0. Она обычно определяет логические операции, такие как v (и), а (или), ^ (отрицание) от п логических переменных. Функция Ф называется сопровождающей функцией для Р-функции Коммутативная диаграмма подразумевает, что

52 ([ф(ххх2 ...,хп))= = Ф (Эг (х, ),вг (х2).....¡Зг (хп)).

Т. е. действительная функция является Р-функцией, если она может изменять ее свойство (знак), когда определенный ее аргумент меняет такое же свойство (знак). По-

нятие Р-функции является частным случаем более общего понятия Р-отображения, связанного с ^-значной логикой [11].

Из этого следует, что любая логическая функция является сопровождающей для бесконечного числа Р-функций [13]. Например, сопровождающей логической функцией для функции = ху является X « У (X эквивалентно У), что проверяется выражением

^

Однако эта логическая функция также будет сопровождающей для функций вида

2 = ху (с + х2" + угт ), С > 0, п е М, т е N

Подмножество всех Р-функций, которые обладают одинаковыми сопровождающими логическими функциями, называется ветвью множества Р-функций. Учитывая, что число различных логических функций п аргументов равно 22 , можно получить такое же количество различных ветвей Р-функций п аргументов.

В приложениях нет надобности знать все Р-функции, а необходимо конструировать только те, которые принадлежат определен-

Таблица 1

Зависимость знаков функций 1/У,, W2, W3, 1/У4 от их аргументов

№ 2(26) 2010

ной ветви [14]. Способы конструирования таких функции вытекают из общих свойств Р-функций, полное доказательство которых можно найти в [11]:

1. Множество Р-функций замкнуто относительно композиции. Другими словами, любая композиция Р-функций также является Р-функцией.

2. Если непрерывная функция f (х1,...,хп) обладает нулями только на гиперплоскостях (т.е. / = 0, если один или более х.= О, / = 1,2.....л), то /— Р-функция.

3. Произведение Р-функций является Р-функцией. Если две Р-функции принадлежат одной ветви, то их произведение принадлежит той же ветви.

4. Сумма двух Р-функций, принадлежащих одной ветви, является Р-функцией, принадлежащей той же ветви.

5. Если ^ — Р-функция, сопровождающей для которой является функция Ф, С — константа, тогда С/ф — Р-функция, сопровождающей для которой является Ф, если С > Ои -,Ф , если С < 0.

Перечисленные выше свойства Р-функ-ций позволяют предположить, что сложные Р-функции могут конструироваться из более простых. Замкнутость относительно композиции приводит к понятию достаточно полной системы Р-функций — набора Р-функций, из которых может быть получена Р-функция, принадлежащая любой ветви. Система Р-функций является достаточно полной, если система логических сопровождающих функций является полной [11].

Полной (хотя и не минимальной) системой Булевых логических функций является система {1, -X, Х1 л ХгХ1 v Хгкоторая является сопровождающей для системы R-функ-ций, состоящей из константы, R-отрицания, R-конъюнкции и R-дизъюнкции. Замкнутость и полнота таких систем важны для геометрических приложений и моделирования сплошных тел.

Примером достаточно полной системы R-функций является система ^ :

С=const, х = -х,

х1 а„ х2 (х1 + х2 -Jxf + х?-2ах1х„), (13) x1 va х2 = (Х1+хг+4+ хг ~ 2ах1х2 j.

где а (х, у) — произвольная функция, удовлетворяющая неравенствам -1 < а(х1х2) < 1.

При а = 1 получим частный случай системы — систему , график которой приведен на рис. 10.

С = const, х = -х,

х1 а1 х2 = ^

x1 v 1 х2 = ^ (х1 + х2 + (х1 - х2)) = max (х1 х2).

Недостаток системы — недифференцируемость входящих в нее двухме-

Рис. 10. Конъюнкция и дизъюнкция системы

117

№ 2(26) 2010

!

'SS

I

'SS

SS

u

S§

0

1

s 00

0

1 5

I

H

i

0 £

1 p

S

S

¿5

CO

I

I

S 00

0 to

1 £

Рис. 12. Конъюнкция и дизъюнкция системы Ж

стных R-операций вдоль прямых х1 = х2

или х1 = -х2.

При а = 0 получим систему (рис. 11), которую чаще всего используют на практике [11]:

С = const,

х = -х,

Лп Х0 — | ^ Х2 ^ ^ Х^

х, vn х0 = I х, + х0 + Jх2 + х2

Ф

R-операции системы имеют разрывы производных только в точке (0,0).

Система (рис. 12), которая является модификацией системы , принадлежит классу Ст и имеет вид

С = const, х = -х,

/ .-> т

х1 А™х2 = +х2 х2 + х2 j

/ /-\ —

х1 V™ х2 = |х1 + хг + ^/xf + х22 j(xf + х2)2 .

118 I =

Практическое применение И-функций для геометрического моделирования объектов

Вышеописанный функциональный подход к геометрическому моделированию объектов сложной формы с использованием теории Р-функций был программно реализован в рамках развития инструментальной САПР БОРЩ-БЕМ [16]. Генератор конечно-элементного разбиения поддерживает четыре самые распространенные на практике типы конечных элементов: треугольники и четырехугольники на плоскости; тетраэдры и кубы в пространстве.

Ниже приведен ряд примеров Р-функций, их изображений, а также дискретных моделей, построенных на их основе.

Пример 1. Балка, ограниченная прямыми у = х + 0,1; у = х-0,1; у = 0,8-х и у = -х (рис. 13) будет представляться уравнением

w^ = (х + 0,1 - у) а (у - х + 0,1) а а (0,8 - х - у) а (у + х).

№ 2(26) 2010

Рис. 13. Изображение функции

Рис. 14. Карта линий уровня и дискретизация функции

Рис. 15. Карта линий уровня и дискретизация функции \м3

. 119

№ 2(26) 2010

Рис. 16. Карта линий уровня и дискретизация функции \мл

Рис. 17. Карта линий уровня и дискретизация функции ю'

Пример 2. Диск радиуса 1 с круглым отверстием радиуса 0,25 (рис. 14) может быть смоделирован уравнением

=

Пример 5. Лентообразное плоское тело (рис. 17), можно ограничить двумя синусоидами вертикально и границей круга большого радиуса горизонтально

Пример 3. Плоское тело (рис. 15), которое ограничено параболой у = х2, прямой у = 0,81 и обладает круглым отверстием диаметром 0,2 с центром в точке (0; 0,4) можно представить уравнением

= (у - э1п(х + 0,5)) а (э1п(х) + 2 - у) А А(25 - х2 - у2).

Пример 6. Сложное плоское тело

1/Ид =(у - х2) а (0,81- у) а а(х2 + (у -0,4)2 - 0,04).

Пример 4. Объединение квадрата и двух кругов

= (1 - х2) А (1 - у2) V (1 -(х -1)2 - у2) V (20) -(х +1)2 - у2).

Рис. 18. Дискретизация функции ^

120

№ 2(26) 2010

с(х,у)= 0,42-(х2+у2) г(х, у)=(х-0,б)л(0,8 - х)л(у+0,2)л(0,2 - у),

х+0,7 - у^л(у+х+0,8)л(0,95 - х)л ^

л

Пример 7. Трехмерное составное тело «чашка» (рис. 19).

дДх) = 8 - х2, д2(у) = 8 - у2,

Яз(х,У) = х) + Яг(х) = 7х)1 + д2(х)2,

1

х, у, г) = (у/х2 + г2 - 4)2 - у, 1Ь

д2(х,г) = 9 - х2 - г2,

Я3(У) = у(7 - у), д4(х,у,7) = 1 -х2 -(7- у)2 - 72, д6(х,г) = 2 - х2 - 9(6 - у)2 - г2,

= Ш У. г) А Яг( А Я3( У)) V v{q4{ х, у, г) V д6( х, у, г)).

д4( х, у) = д3( х, у) +

1 + х)2 + д2( у)2

д6(х,у) = 15 - (х - 4)2 - (у - 4)2, Яе(х> У) = Я4(х> У)" 96( х> У)" (23) "V Я Л У )2 + Я5(х, У )2,

-I

д7(х, у) = 5 + де( х, у) +

1 + д4(х, у)2 + д6(х, у)2'

д8(х,у,г) = (г -1) + (-г + 2) -

-V(2 - 1)2 + (-7 + 2)2 , = д7( х, у) + д8( х, у, г) -

-VЯ7( х, У )2 + д8( X, у, г)2.

>

Рис. 19. Дискретизация функции

Пример 8. Трехмерное составное тело <пешка» (рис. 20).

Рис. 20. Дискретизация функции

Пример 9. Трехмерное составное тело <атом» (рис. 21).

х, у, г) = 10(Vх2 + г2 - х2 - у2 - г2) - 24, д2 (х, у, г) = 10(7У2 + 72 " х2 " У2 " 72)" 24> д3 (х, у, г) = 10(у/х2 + у2 - х2 - у2 - г2) - 24, д4(х, у, г) = 9 - х2 - у2 - г2,

д6 (х, у, г) = д1 (х, у, г) + д2 (х, у, г) + х, у, г)2 + д2( х, у, г)2,

де (х, у, г) = д3 (х, у, г) + д6 (х, у, г) + +7 д3( х, у, г)2 + д5( х, у, г)2,

= Я А У' 2) + де( х, у, г) + +7 д4( х, у, г)2 + де( х, у, г)2.

121

№ 2(26) 2010

Рис. 21. Дискретизация функции w9

Выводы

i

II При помощи функций В. Л. Рвачева геометрические объекты могут быть описаны § конструктивно с использованием логиче-| ских операций над элементарными функциями. Метод R-функций сочетает в себе § наглядность инженерных подходов и формализм математических функций. При этом | итоговое представление получается в виде ;§ единственной действительной функции. ^ Следует отметить, что такое представ-g ление является однозначным в смысле указания геометрического объекта, соответст-¡2 вующего функции, но не является единст-§ венным, т. к. один и тот же геометрический [£ (логический) объект может быть описан бес-is конечным множеством функций. § Таким образом, использование аппарата || R-функций дает возможность сравнительно легко описывать геометрические объекты I произвольной формы с последующей их ав-¿о тематической дискретизацией на конечные

с? элементы, со

§. Описок литературы

ig

.jg; 1. Метод конечных элементов [Электронный ре-

Sg сурс]: http://ru.wikipedia.0rg/wiki/MeT0fl_K0He4-

Ц ных элементов.

2. Requicha A. G. Geometric Modeling: A First Course

Ц [Электронный ресурс]: http://www-pal.usc.edu/

is -requicha/book.html

3. Requicha A. G. Representations for Rigid Solids: Theory, Methods, andSystems/AriG. Requicha// Computing Surveys. — 1980. — V. 12, №4. — p. 437-464.

4. Agoston M. K. Computer graphics and geometric modeling: implementation and algorithms / Max K. Agoston. — London: Springer-Verlag, 2005. — 959 p.

5. Farin G. Handbook of computer-aided geometric design / G. Farin, J. Hoschek, M.-S. Kim. — Amsterdam: Elsevier Science В. V., 2002-848 p.

6. Гэлованов H. H. Геометрическое моделирование / Николай Николаевич Голованов. — М.: Издательство физико-математической литературы, 2002. — 472 с.

7. Shene С.-К. Introduction to Computing with Geometry Notes [Электронный ресурс]: http://www.cs.mtu.edu/ -shene/ COURSES/cs3621/NOTES/notes.html

8. Математические основы машинной графики / Д. Роджерс, Дж. Адаме. — М.: Мир, 2001. — 604 с.

9. Lekien F. Tricubic interpolation in three dimensions / F. Lekien, J. Marsden // International journal for numerical methods in engineering. — 2005. — №63. — P. 455-471.

10. Препарата Ф. Вычислительная геометрия: Введение / Ф. Препарата, М. Шеймос. — М.: Мир, 1989. — 478 с.

11. Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В. Л. Рвачев. — К.: Наукова думка, 1982. — 552 с.

12. Рвачев В. Л. Введение в теорию R-функций / В. Л. Рвачев, Т. И. Шейко // Проблемы машиностроения. — 2001.—Т.4, № 1-2. — С. 46-58.

13. Кравченко В. Ф. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях / В. Ф. Кравчеко, В. Л. Рвачев. — М.: Физмат-лит, 2006. — 416 с.

14. Shapiro V. Semi-analytic geometry with R-functions / V. Shapiro, dedicated to V. L. Rvachev // Acta Numerica. — 2007. — № 16. — P. 239-303.

15. Ricci A. A constructive geometry for computer graphics / F. Ricci // The computer Journal. — 1973. — V. 16, №2. — P. 157-163.

16. Толок В. А. Метод конечных элементов: теория, алгоритмы, реализация / В. А. Толок, В. В. Кири-чевский, С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, Д. П. Бу-вайло. — К.: Наук, думка, 2003. — 316 с.