Расчет частот собственных колебаний с целью предупреждения резонансных явлений и оптимизации процессов конструирования и изготовления лопаток моноколес авиадвигателей

УДК 621.3.018.6: 62-253.5

В. Г. Шевченко, А. Г. Попович

РАСЧЕТ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ С ЦЕЛЬЮ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ И ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ИЗГОТОВЛЕНИЯ ЛОПАТОК МОНОКОЛЕС АВИАДВИГАТЕЛЕЙ

Приведена методика конечноэлементного расчета частот собственных колебаний лопаток моноколес авиадвигателей. На основе теории колебаний проведено исследование возможных резонансных частот нежесткого элемента детали при ее механической обработке. Предложен метод отстройки от резонанса путем выбора частоты вращения инструмента.

Предупреждение вредных последствий резонансных явлений является важной технической задачей. Актуальным аспектом этой задачи является определение частот собственных колебаний элементов конструкций. Знание собственных частот позволяет указать те режимы работы механизмов и машин, при которых не возникнут нежелательные резонансные явления.

Частоты периодических механических процессов, которые возникают в оборудовании, должны быть отдалены, насколько это возможно, от частот собственных колебаний соответствующих механических систем. Эта задача выполняется подбором рабочих режимов оборудования и оптимизацией его конструктивных параметров [1].

Отстройка деталей от опасных резонансов значительно снижает уровень динамических напряжений и, тем самым, повышает выносливость, надежность и долговечность деталей [2].

В авиадвигателях 5-го поколения находят широкое применение центробежные моноколеса компрессоров из титановых сплавов с высокой удельной прочностью [3]. Определение частотных характеристик лопаток моноколес в ходе конструкторской подготовки производства на опытных образцах связано с высокой стоимостью материалов и сложнейшей механической обработкой (5-координатное фрезерование). Рассчитать и спроектировать геометрию ступичной части и лопаток моноколеса, изготовить опытный образец, определить экспериментально частоты собственных колебаний и сопоставить их с частотами, которые могут возбуждаться в собранном узле (компрессоре) - эти операции следовало бы выполнять до тех пор, пока не будет выполнена поставленная выше задача. Поэтому представляет значительный интерес теоретический (прогнозирующий) расчет частот собственных колебаний лопаток моноколес. Применение численных методов и современной компьютерной техники может обеспечить хорошее совпадение

© В. Г. Шевченко, А. Г. Попович, 2007

результатов таких расчетов с реальными значениями, полученными в эксперименте.

Ступица центробежного моноколеса является довольно жесткой по сравнению с телом лопатки, поэтому лопатку моноколеса можно рассматривать как балку сложной формы, жестко закрепленную в ступичную часть колеса. Граничным условием при решении задачи о колебаниях приняты нулевые перемещения узлов, принадлежащих воображаемому участку лопатки, по которому она сопрягается с телом колеса (рис. 1).

Определение частот собственных колебаний лопаток проводили в несколько этапов.

Построение геометрической модели лопатки выполнено на основании технического документа «профиль пера» (4500103001ПП) [4]. Затем файл с расширением *.igs импортировался программой конечноэлементных расчетов ANSYS 8.0.

Задавались свойства материала лопатки: модуль упругости 1-го рода Е = 1,151011 Н/м2 и плотность р = 4500 кг/м3.

Для генерации конечноэлементной модели принят тип элемента SOLID 95, имеющий форму тетраэдра. Этот элемент может иметь любую пространственную ориентацию и используется при расчетах твердых тел произвольной формы (а не являющихся, к примеру, симметричными оболочками).

Генерация конечноэлементной сетки осуществлялась с помощью препроцессора (Preprocessor) автоматической разбивки. При этом указан максимальный длиновой размер конечного элемента 0,002 м. Конечноэлементная модель состояла из 5405 элементов, 11003 узлов (рис. 2).

После генерации сетки на модель наложено граничное условие: перемещения узлов сетки, принадлежащих поверхности, которая ограничивает геометрическое тело лопатки со стороны ступичной части колеса, невозможны.

Следующий этап - решение (Solution) задачи о колебаниях. Используется модальный анализ ме-

ши (для демпфирования). Таким образом, ступичную часть колеса можно считать жесткой и неподвижной и влияние колебаний других лопаток на колебания контролируемой лопатки не учитывать.

Теоретическое (рассчитанное) значение частоты собственных колебаний лопатки по первой из-гибной форме 2813Гц находится в хорошем согласии с экспериментально определенным интерва-

лом частот колебаний

Рис. 1. Расчетная схема для моделирования

тодом В1оск Lanczos программы ДЫБУБ. Расчет выполнен в системе единиц Б1, поэтому при задании Е в Н/м2 и р в кг/м3 величины собственных частот получены в герцах.

В технологическом процессе изготовления этого моноколеса при окончательном контроле имеется операция контроля частот собственных колебаний лопаток. Колесо устанавливается торцевыми шлицами на соответствующую подставку, прижимается с противоположной стороны гайкой (через шайбу), а между всеми лопатками колеса, кроме контролируемой, вставляются резиновые вклады-

1эксп'

- 2813......2840 Гц. Этот

интервал был определен в производственных условиях с помощью устройства, включающего частотомер и пьезоэлектрический источник колебаний.

Таким образом, сформулированная модель с достаточной точностью отражает моделируемое явление. Поскольку полученные результаты хорошо согласуются с экспериментом, то описанную методику можно применять для определения частот собственных колебаний создаваемых лопаток моноколес.

Знание частот собственных колебаний конструкций, деталей и их элементов нужно не только для обеспечения их надежности и долговечности (т.е. при конструкторской подготовке и на стадии эксплуатации). Это знание полезно и в технологическом процессе их изготовления.

б

Рис. 2. Модель лопатки центробежного моноколеса: а - схема задания граничных условий; б - конечноэлементная модель лопатки

а

¡ЭБЫ1727-0219 Вестник двигателестроения № 2/2007 # 35 —

В современном машиностроении существует задача обеспечения качества поверхностей нежестких деталей со сложной пространственной конфигурацией. Такими деталями, в частности, являются лопатки вентиляторов и компрессоров, лопатки моноколес. Из-за возникновения при обработке вредных вибраций качество обработанной поверхности часто не соответствует требованиям конструкторской документации. Таким образом, есть смысл рассмотреть колебания нежесткого элемента детали при его окончательной механической обработке, что и сделаем на примере высокоскоростного пятикоординатного фрезерования лопатки моноколеса.

Лопатка моноколеса представляет собой колебательную систему с распределенными параметрами. В результате конечноэлементной аппроксимации такой системы приходим к системе с N степенями свободы. От перемещений точек поверхности лопатки, расположенных в окрестности места контакта обрабатывающего инструмента-фрезы с деталью-лопаткой, будут зависеть точность и шероховатость поверхности готовой лопатки. Упомянутые перемещения зависят от узловых перемещений соответствующего участка конечноэлементной сетки.

Рассмотрим вынужденные колебания такой системы с конечным числом N степеней свободы. Матричное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

ИМ+ЫМ={е},

где {q} - вектор (матрица-столбец) N обобщенных координат, которыми являются перемещения узлов системы от положения равновесия;

[а] и [с] - матрицы обобщенных коэффициентов инерции и жесткости соответственно;

{Q} - вектор обобщенных вынуждающих сил.

Силу резания при пятикоординатном фрезеровании следует записать как сумму двух периодических составляющих с периодами T/z и T, где T = 1/н - время одного оборота фрезы, с; v - частота вращения фрезы, с-1; z - число зубьев фрезы. Частота первой составляющей силы zv определяется периодичностью последовательных силовых воздействий зубьев фрезы на обрабатываемый материал. Частота второй составляющей v связана с такими факторами, как: наличие у фрезы эксцентриситета (который, хотя и предельно мал, но при высокой частоте вращения может проявлять свое влияние), неодинаковое затупление зубьев фрезы (из-за многофакторности процесса обработки), в результате чего силовые воздействия зубьев могут несколько отличаться друг от друга. Обе эти составляющие силы резания изменяются по несинусоидальному закону, поскольку такая обработка является сложным процессом. А именно: площадь сечения срезаемого слоя сложным

образом зависит от угла поворота сферической фрезы по мере врезания ее зубьев в обрабатываемый материал; сила резания нелинейно зависит от изменяющейся формы сечения срезаемого слоя и т.д. Тогда и компоненты вектора обобщенных сил {0} можно представить в виде суммы периодических несинусоидальных функций времени Ь

Я] = в] + Qf, причем ^

(+т )=(().

По методу главных координат [5] решения системы уравнений (1) ищем в виде:

М=ММ,

где [и] - постоянная матрица амплитудных коэффициентов, найденная при рассмотрении задачи о собственных колебаниях механической системы;

{п} - столбец искомых решений в главных координатах.

Подставляя (2) в (1), умножая результат на [ и]т слева, получаем систему уравнений в главных координатах:

МШ+М-Ы=ИТ {а} ,

где [м]=[«]Т [а][и] и

[к] = [«]Т • [с]- [«] - диагональные матрицы главных коэффициентов инерции и жесткости соответственно.

Решения каждого из уравнений записанной диагональной системы находятся так же, как и соответствующие решения уравнений колебательной системы с одной степенью свободы:

N

М] п ]+к] п ] = £ и- се^+е[2), (3) к=1

} = 1, 2,......N ,

т.е. в виде п = П1 + П2, где п1 - общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, оно имеет ограниченную амплитуду, и, если учесть трение,

затухает (п1 ^ 0 при t ^ да);

п2 - частное решение неоднородного уравнения.

Правая часть каждого из уравнений (3) является суммой двух функций

()=(1) ()+<2) () = ^и-ек + £«--2 к2), к=1 к=1

удовлетворяющих условиям Дирихле, поскольку

и О^2) на протяжении одного периода имеют конечное число максимумов и минимумов и точек разрыва 1-го рода. Тогда можно представить с помощью разложений в ряд Фурье:

A(1) A о

F(t) =-+ Y(a« cosnmt + B^ sinnmt) +

n=1

Д2)

+-+ Y (A^cos pzmt + B^sin pzmt ),

p=1

2

где A(n) = — J F (1)(t )cos nmtdt

7

Bn = — J F(1)(t)sin nm tdt ,

A(f = — J F(2)(t)cospzmtdt , T о

о %

B(2 = — J F(2)(t) sin pzmtdt,

TZ

T

n, p = 1, 2, ...

Приведя подобные члены, перепишем выражение для F(t) в виде:

A т

F

2 и=1

где Ao = A(0) + A(02) ; An = A(n и Bn = B

, если n не кратно z, и

An = A

если n кратно z.

Тогда решаемое уравнение

N

n j + m°n = — Y ukjQk примет вид:

Mjk=1 2 = a0 j

т& j + ю° j n = + Y

n=1

ao j œ a„¡ cos nmt + bw sin nmt

n j =—ÓT + Y~-2- 2- ,

2юо j n=1 Юо j -

где ю0у - собственные частоты колебаний системы.

Решение в исходных координатах:

N

qj = Y ujk nk. k=1

При nm = moj, наступают резонансные колебания n-го порядка по j-й форме. Наиболее «вредными» являются колебания лопатки по j = 1 первой (изгибной) форме, т.е. при nm = Ю01.

Пример. Частота собственных колебаний по первой форме лопаток центробежного моноколеса

двигателя АИ-450 составляет vl3KCn=2813......2840

Гц (разброс получен при экспериментальных измерениях), отсюда v1cр=2826Гц; значение, рассчитанное в ANSYS методом конечных элементов, v = 2813с-1. Фреза при высокоскоростной обработке вращается с частотой 12000 об/мин, т.е. v = 200

об/с. Тогда nv = 200, 400, 600, 800,......, 2400, 2600,

2800, 3000, 3200... Здесь подчеркнуты те значения nv, для которых n кратно z = 4. В данном случае собственная частота достаточно удалена от этих более опасных значений. Однако видно, что

14vsv1.

Практический вывод заключается в том, что частоту вращения фрезы для отведения системы от резонансной области следует выбрать так:

v1

nx +1/2 '

где юо} = К} /М}.

Из (4) вытекает, что большие значения имеют те ап и Ьп, для которых п кратно г. Поэтому более опасны с точки зрения возникновения резонанса те гармоники п ю, у которых п кратно г.

Применяя принцип суперпозиции, находим:

где пх выбрано из ряда натуральных чисел так, чтобы найденное V было как можно ближе к значению vтехн, рекомендуемому из технологических соображений. При этом особое внимание следует обращать на то, чтобы V-! была удалена от тех значений nv, для которых п кратно г.

В примере выше vтехн = 200 об/с; выбирая пх = 13,находим:

* = = 209

тогда nv= 209, 418, 627,......, 2717, 2926, ...

Таким образом, собственная частота п1 будет лежать посредине между п^ и (пх+1^.

В рассматриваемом случае

13v+14v 2717 + 2926

2 2 Или же, при nx = 14 имеем:

= 2822 « 2826 =

Чер^

ISSN 1727-0219 Вестник двигателестроения № 2/2007 — 37 —

2826 14 + 1/2

= 195 (об/с),

тогда nv = 195, 390, 586,......, 2730, 2925, ...

При этом

14v + 15v 2730 + 2925

2

2

= 2827,5 « 2826 = v1cp (с-1).

Заметим, что для расчета по формуле (5) можно использовать как значение частоты собственных колебаний лопатки, рассчитанное по методу конечных элементов, так и усредненное из экспериментально измеренных данных.

Еще одна практическая рекомендация. На окончательно чистовом проходе спирального высокоскоростного фрезерования с поверхности лопатки снимается очень малый припуск. Из-за этого частоты собственных колебаний лопатки по первой форме могут различаться - до снятия малого припуска и после снятия. Поэтому для улучшения предложенной методики отведения от резонанса можно рекомендовать следующее. Определить (теоретически и экспериментально) частоту собственных колебаний до и после снятия припуска. Рассчитать по формуле (5) соответствующие частоты вращения фрезы (эти значения будут незначительно отличаться друг от друга). С учетом того, что обработка лопатки выполняется по спирали, разделить

лопатку по высоте (при разработке программы для ЧПУ) на несколько участков и во время обработки постепенно изменять частоту вращения фрезы от участка к участку. Начальная частота вращения фрезы соответствует лопатке с малым припуском, конечная - лопатке с конструкторскими размерами. Малые изменения частоты вращения фрезы во время обработки не скажутся на шероховатости поверхности детали.

Перечень ссылок

1. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле (Пер. с англ.). - М.: Машиностроение, 1985. - 472 с.

2. Муравченко Ф.М., Шереметьев А.В. Обеспечение динамической прочности деталей авиационных ГТД при прогнозировании больших ресурсов// Вестникдвигателестроения, 2002. - № 1. - С. 32-35.

3. Богуслаев В.А. и др. Отделочно-упрочняющая обработка деталей ГТД. - Запорожье: издат. ОАО « Мотор Сич», 2005. - 559 с.

4. Технический документ «Колесо центробежное. Профиль пера» (4500103001 ПП). - ЗМКБ « Прогресс» им. А.Г. Ивченко, 2000.

5. Василенко Н.В. Теория колебаний. - К.: Вища шк., 1992. - 430 с.

Поступила в редакцию 20.06.2007

Наведено методику к1нцевоелементного розрахунку частот власних коливань лопаток монокол1с ав1адвигун1в. На основ1 теорИ'коливань проведено досл1дження можливих резонансних частот нежорсткого елементу детал1 при Имехан1чн1й обробц1. Запропоно-вано метод в1дведення вд резонансу шляхом вибору частоти обертання ¡нструменту.

A technique for finite-element computation of free-running frequencies of aero engine bling blades is presented. A research of potential resonance frequencies of non-rigid part during its mechanical treatment is made on the basis of a vibration theory. The method of avoiding from resonance mode via a choice of an instrument rotation frequency is proposed.