Плотность энергии деформации для тел с V-образными вырезами при продольном сдвиге (mode III)

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 145-153

^ Механика =

УДК 539.375

Плотность энергии деформации для тел с V-образными вырезами при продольном сдвиге

Ю. Н. Овчаренко

Аннотация. С позиции линейной механики разрушения рассмотрены острые V-образные вырезы с произвольным углом раскрытия при продольном сдвиге (mode III). На основе сингулярных решений показана возможность использования энергетической характеристики «плотность энергии деформации» для оценки напряженно-деформированных состояний (НДС) у вершины выреза. Такая характеристика снимает проблему разных размерностей коэффициентов интенсивности напряжений V-образных вырезов, имеющих различные углы раскрытия, при прямых сравнительных оценках НДС.

Ключевые слова: линейная механика разрушения, V-образные вырезы, mode III, сингулярные решения, плотность энергии деформации.

Введение. Задача о V-образных вырезах с позиции линейной механики разрушения ранее решалась в докторской диссертации, американского ученого Gross В. “Some plane problem elastostatic solution for plates having a V-noteh” в 1970 году [1]. Однако его решение из-за предложенной им функции напряжений в виде х (г, в) = rxF (в) оказалось довольно громоздким, конечные выражения по напряженно-деформированному состоянию получились усложненными. В процессе решения Gross В. пришлось преодолеть серьезные затруднения, поскольку полученное им характеристическое уравнение имело много лишних корней, с которыми надо было разбираться.

Автор настоящей статьи предложил более простой вариант решения вышеуказанной задачи. Новизной является априори выбранная функция перемещений в виде w (г, в) = ^гА/ {в). Внешне она похожа на то, что предлагал Gross В., но это функция перемещений, а не напряжений. Кроме того, на основе сингулярных решений для острых V-образных вырезов впервые показана возможность использования такой энергетической характеристики, как плотность энергии деформации для сравнительной оценки напряженно-деформированных состояний тел с различными V-образными вырезами применительно к mode III. Такой подход снимает проблему разных размерностей

коэффициентов интенсивности напряжений У-образных вырезов, имеющих различные углы раскрытия.

1. Теоретическая часть. Рассмотрим в цилиндрической системе координат тело с острым У-образным вырезом (рис. 1) под действием сдвигающих усилий в направлении оси г. Определим напряженно-деформированное состояние (НДС) этого тела.

Задача решается при упрощающих условиях:

1) перемещения иг = и$ = 0;

2)'ш = 'ш(г,0), то есть перемещения по оси г постоянны по координате г.

Отсюда следует, что напряжения

(7 г — (7 г — (Т 0 — Тг0 — 0.

Исходным условием задачи принимается также:

ъи (г, 0) = 0,

то есть перемещения по оси г равны нулю на плоскости симметрии У-образ-ного выреза.

Рис. 1. Тело с V-образным вырезом при продольном сдвиге

Рис. 2. Представление тгг и те-для элементарных объемов в разных квадрантах координатной плоскости

При выполнении условий (1) уравнения равновесия в цилиндрической системе координат значительно упрощаются:

д тгг

dz °’

і?=»

OZ

drrz 1 дтвг 1

“Тл--1-------™—I—Trz ~

от г ов г

Касательные напряжения тгг и уравнения (3) для ясности показаны на рис. 2.

Первые два уравнения равновесия (3) показывают, что касательные напряжениятгг и t$z всегда постоянны по оси г.

Последнее уравнение из (3) рассмотрим подробнее. Поскольку

dw 1 dw

Trz = /Х'Уrz ^ Trz = j Tez = ^ T

or r oo

где fi — модуль упругости второго рода, упомянутое уравнение можно представить как уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат:

д2 1 д 1 д2 \

дг2 + г дг + г2 дв2)т ^

Используя полуобратный метод исследования, представим перемещение w в виде следующей суммы бесконечного ряда собственных функций:

2 °°

w = -J2rXnfn{e)

^ п=1

Подставим (6) в (5). Из решения полученного уравнения имеем:

2 °°

W = - ^2 гХп {рш cos хпв + sin ХпвJ.

^ п= 1

оо , .

Из условия (2), что w = 0 при 0 = 0, имеем ^ rXnC^ cos Апв = 0. И,

п= 1

следовательно, (6) принимает окончательный вид

о сю

\ ' „ДпГ’С"’) ;

W

-ErAnC,3a sinA„0.

vn=l

Примечание. Для соответствия с общепринятой нумерацией mode, принятой в механике разрушения, в выражении (7) проведено переобозначение

коэффициентов^!”^ на ^ это будет иметь место до конца статьи.

Подставляем (7) в (4). Касательные напряжения после простейших преобразований приобретают вид

°о ( .

Trz = 2 Е C^r^^Xn sin Хпв,

Z1

% = 2 Е C^VA"_1AncosAn0.

71=1

Как видно из (8), напряжения носят сингулярный характер у вершины V-образного выреза пока Хп — 1 < 0. Это условие выполняется в пределах углов 0 ^ а < 7г, что следует далее из (9).

Пусть грани V-образного выреза свободны от внешних нагрузок, т. е. выполняются следующие граничные условия: tqz = 0 при в = ± (тт — |-). Это приводит к простому характеристическому уравнению

cos Ат

где корни Ап — собственные числа. На рис. 3 они показаны в виде графиков. Далее рассматриваются только положительные их значения.

Из графиков на рис. 3 следует, что для вторых членов и выше (п > 1) рядов (8) всегда Ап ^ 1, то есть эти члены не вносят никакого вклада в сингулярность первых членов. При указанных собственных числах Ап указанные ряды являются знакопеременными и сходятся при г < 1 по признаку Лейбница.

‘А,

в Диапазон в 'применения"

Рис. 3. Графики собственных чисел А™

Тг;

0=0

Те^

1C

0=0

Рис. 4. Напряжения и перемещения у вершины V-образного выреза

Для а = 0ип = 1 (первые члены рядов разложения) выражения (8) дают известные формулы Вестергарда-Ирвина [2, 3] для трещины mode III (здесь =

Кш _i . в

= 2 Sm 2 ’

Кш -і 0 Т^=Ж 2 C°S 2

Формулы представлены в прямоугольной системе координат, как это имеет место в вышеуказанных литературных источниках.

Перемещения для случая с трещиной получаем из (7):

2 Kjjj і . в

w =-------¡= г2 sin —.

М 2

На рис. 4 показано графическое представление напряженно-деформированного состояния у вершины V-образного выреза при а = 60° (как пример).

При построении графиков расчетными формулами являлись (7) и (8) для п = 1 (первые домирующие члены рядов). Приняты также упрощающие

условия Сд^ = 1, г = 1. Из графиков следует, что тдги гп симметричны, а туг антисимметричны относительно плоскости у = 0. Для 0 = 0 наблюдается стремительный рост напряженийт0г к бесконечности при г —» 0, т. е. имеет место сингулярность указанных напряжений.

Для оценки разрушения подход здесь, по-видимому, должен быть таким же, как в механике разрушения для тел с трещинами: начало разрушения тела с У-образным вырезом начнется при достижении критического значения его коэффициента интенсивности напряжений С%а.

2. Расчетный пример. Полученные теоретические результаты могут иметь практическое применение. В качестве расчетного примера оценки НДС конкретного тела с У-образным вырезом при продольном сдвиге рассмотрена сварная двутавровая балка при поперечном упругом изгибе (рис. 5).

Рис. 5. Расчетный пример — двутавровая балка при поперечном

упругом изгибе

Сварной шов со стенкой балки создает угол «выреза» а = 135°. Возможные подрезы при сварке могут создавать острые переходы в вершине выреза. Поперечное сечение модели тела с У-образным вырезом, как показано на рис. 5, является выносным элементом А поперечного сечения двутавровой балки. Пусть верхняя грань модели нагружена распределенной нагрузкой т = 200 МПа в направлении оси г (перпендикулярно плоскости листа), а нижняя грань закреплена от перемещения в том же направлении. Модель вполне реальна. Основные размеры сечения модели в мм показаны на рисунке.

Численный расчет производился по специально разработанной компьютерной программе методом граничных коллокаций. Число точек коллокаций было выбрано 157 с шагом 1,25 мм по контуру сечения модели. Число членов рядов (7) и (10) взято 35 — более чем достаточно для точного и устойчивого

решения алгоритма программы. Заключительный этап работы компьютерной программы заключался в решении переопределенной системы линейных уравнений (157x35) с использованием метода наименьших квадратов и метода Гаусса. Для данной конкретной задачи окончательное решение позволило найти коэффициент интенсивности напряжений у вершины рассматриваемого V-образного выреза С$а = 217 Н/мм1,8. Для зрительной оценки напряженного состояния с найденным Сза на рисунке построены изолинии интенсивностей напряжений af. 1 — 500 МПа, 2 — 450 МПа, 3 — 400 МПа, 4 - 350 МПа, 5 - 300 МПа, 6 - 250 МПа, 7 - 200 МПа, 8 - 150 МПа. Полученная картина вполне ожидаемая. По мере приближения к вершине выреза величина интенсивностей напряжений Cj и густота соответствующих линий резко возрастают.

3. Плотность упругой энергии деформации. Следует заметить, что размерность С$а (Н/мм1,8) для V-образного выреза с а = 135°, полученная выше, отлична от известной размерности коэффициента интенсивности напряжений для трещины (Н/мм1,5). Более того, для каждого угла выреза имеет место своя собственная размерность. Это затрудняет сравнительный анализ только по этим характеристикам напряженно-деформированного состояния у вершин V-образных вырезов с различными углами. Проблему можно решить путем перехода в рамках линейной механики разрушения к такой физической, энергетической характеристике, как плотность энергии деформации, которая, естественно, не может менять свою размерность в зависимости от угла выреза.

Для случая с трещиной считается [4, 5], что для mode III она начинает развиваться в некотором направлении в только тогда, когда плотность энергии деформации И на расстоянии гс от ее вершины в этом направлении равна или выше критической величины Wc, то есть

Это условие предлагается в данной работе распространить на рассматриваемые \/-образные вырезы, где трещина — только частный случай. Аналогично будем предполагать, что внутри весьма малой окрестности вершины острого ^образного выреза нарушены соотношения теории упругости сплошной среды. Поэтому плотность энергии деформации IV оцениваем на расстоянии гс от вершины ^образного выреза. Это расстояние также трактуем как радиус цилиндрической центральной зоны у вершины ^образного выреза, где материал нельзя считать сплошной средой.

Плотность упругой энергии деформации \¥ для данной задачи в цилиндрической системе координат представляется как:

('Trz'Jrz ~Ь 7’0г'У0г) — ^

dr T&z г дв

При подстановке в нее формул (7) и (8) для п = 1 имеем:

где Хщ — первое положительное собственное число.

Из (12) следует, что плотность упругой энергии деформации является сингулярной функцией, пока Хщ — 1 < 0. Из (9) и рис. 3 следует, что указанное неравенство выполняется для диапазона углов 0 ^ а < 180°.

Для случая с трещиной (а = 0, Хщ = 0,5) получаем из (12) известное [5] выражение для плотности энергии деформации на расстоянии г от вершины трещины:

Ц/ 9

Г ¿ц

За;

Кщ

д/2тг

где в данном случае С%а

Эпюры \У для выреза с а = 60° (как пример) при условных гс = 1, ¡х = 1, С%а = 1 показаны на рис. 6.

W

X

X

Рис. 6. Эпюры плотности энергии деформации для V-образного выреза при продольном сдвиге

Из рисунка следует, что конкретное направление развития трещины из вершины V-образного выреза при продольном сдвиге не определено в рамках И^-концепции, поскольку плотность энергии деформации одинакова во всех реальных направлениях в.

Таким образом, условие (10) является необходимым и достаточным для оценки НДС и оценки разрушения тел с рассматриваемыми вырезами.

Выводы по работе. 1. Предлагается более простой вариант решения задачи определения НДС для тел с V-образными острыми вырезами при mode III. Новизной является априори выбранная функция перемещений в виде суммы бесконечного ряда собственных функций

W

2. Подход для оценки разрушения тел с V-образными вырезами с конкретным углом раскрытия а должен быть, по-видимому, таким же, как в механике разрушения для тел с трещинами: начало разрушения начинается при достижении коэффициентом интенсивности напряжений Сза критического значения.

3. На основе сингулярных решений для острых V-образных вырезов показана возможность использования энергетической характеристики плотности энергии деформации И в качестве сравнительных оценок напряженно-деформированных состояний тел с различными V-образными вырезами применительно mode ///. Такой подход снимает проблему разных размерностей коэффициентов интенсивности напряжений V-образных вырезов.

4. В рамках теории упругости характеристику плотности энергии деформации И предлагается использовать в качестве критерия разрушения тел с V-образными вырезами с различными углами раскрытия при mode /// в соответствии с неравенством W ^ Wc.

Список литературы

1. Gross В. Same plane problem elastostatic solution for plates having a V-notch. Thesis ... Doctor of Philosophy: Case Western Reserve University, 1970. 347 p.

2. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

3. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985. 504 с.

4. Sih G.C. Strain energy density factor applied to mixed mode crack problems // International Journal of Fracture, 1974. V. 10, JV 3. P. 305-321.

5. Плювинаж Г. Механика упругопластического разрушения. М.: Мир, 1993. 450 с.

Поступило 11.06.2009

Овчаренко Юрий Николаевич (ovcharenkos@rambler.ru), к. т. н., доцент, кафедра сварки, литья и технологии конструкционных материалов, Тульский государственный университет.

Density of energy of deformation for bodies with V-notch at longitudinal shift

J. N. Ovcharenko

Abstract. From a position of linear mechanics of destruction are considered sharp V-notch with an any corner of disclosing at longitudinal shift (mode III). On the basis of singular decisions the opportunity of use of the power characteristic «density of deformation energy” for an estimation of the stress-deformed

conditions (SDC) at top notch is shown. At comparative estimations of the SDC such approach removes a problem of different dimensions of factors of intensity of stress V-notch, having various corners of disclosing.

Keywords: linear mechanics of destruction, V-notch, mode III, singular decisions, density of deformation energy.

Ovcharenko Jury (ovcharenkos@rambler.ru), candidate of technical sciences, associate professor, department of welding, casting and construction materials technology, Tula State University.