Оценка информационной эффективности телекоммуникационных сетей с использованием метрического тензора

ЛИТЕРАТУРА

1. Гельфанд М. И., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматгиз, 1962.

2. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973.

3. Delsarte J. Hypergroups et operateurs de permutation et de transformation // Colloque International du CNR S. 1956. V. 71. C. 274-290.

4. Litvinov G. L. Hypergroups and hypergroup algebras j j J. Soviet Math. 1987. V. 38. №. 4. C. 1734-1761.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Первый автор поддержан грантом Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10—01—00041а), второй автор поддержан совместным грантом Российского фонда фундаментальных исследований и CNRS (Франция) (проект № 11—01—93106а).

Graev М. I., Litvinov G. L. I.M. Gelfand’s question, integral geometry, and harmonic analysis on hypergroups. This talk is an attempt to give an answer for the following old I. M. Gelfand’s question: why some important problems of integral geometry (e.g., the Radon transform and others) are related to harmonic analysis on groups but for other quite similar problems such relations are not clear? In the talk we indicate standard problems of integral geometry generating harmonic analysis (the Plancherel theorem etc.) on pairs of commutative hypergroups in a duality of Pontryagin’s type. As a result new meaningful examples of hypergroups are constructed.

Key words: integral geometry; hypergroups; harmonic analysis; generalized Fourier transforms.

Граев Марк Иосифович, НИИ Системных исследований, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, e-mail: graev_36@mtu-net.ru.

Литвинов Григорий Лазаревич, Независимый московский университет, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, профессор, e-mail: glitvinov@gmail. com.

УДК 621.39

ОЦЕНКА ИНФОРМАЦИОННОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СЕТЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

МЕТРИЧЕСКОГО ТЕНЗОРА

© С.А. Григоренко, И.И. Пасечников

Ключевые слова: телекоммуникации; метрический тензор; информационные сети; информационная эффективность; кибернетическая мощность.

В работе проведен анализ методов оценки информационной эффективности телекоммуникационных систем и сетей. Обосновано использование применение параметра кибернетическая мощность информационной сети и влияние компонентов метрического тензора на его значение.

Оценка эффективности информационного обмена в телекоммуникационной сети (ТКС) в настоящее время сводится к определению ее вероятностно-временных характеристик и, в частности, производительности сети. В основу теоретического решения сетевых задач положена модель Дж. Джексона, в которой используется аппроксимация независимости Л. Клейнрока [1], позволяющая применить в исследованиях сетей связи аппарат теории систем массового обслуживания (СМО). В результате, путем имитационного моделирования, получают ряд характеристик, позволяющих оценивать информационную эффективность ТКС. Основные из них приведены на рисунках 1-3 (на рисунке 1 показана производительность сетей, на рисунке 2 — усредненные временные задержки передаваемых пакетов, на рисунке 3 — информационные потери в числе пакетов) как функции входной нагрузки. При этом, пунктирные кривые характеризуют сеть наибольшей эффективности в информационном смысле, сплошные — соответствуют сети с худшими результатами в указанном смысле.

Рис. 1. Производительность сетей

Рис. 2. Средняя временная задержка пакетов в сетях

Рис. 3. Информационные потери в сетях

Приведенные качественные зависимости отражают поведение моделей сетей, тем не менее, являются подобием характеристик реально функционирующих ТКС. Различие состоят

в том, что при значительной перегрузке сети, когда временные задержки пакетов начинают существенно расти, а производительность сети резко уменьшаться, обычно используют механизмы уничтожения «устаревших» пакетов, в том числе ограничение входного потока. В результате, появляются потери, ограничивается рост временной задержки и падение производительности. В силу сложности структуры сетей и решения задач сетевого уровня исследовательские задачи ТКС основываются на имитационном моделировании, результаты которого, как правило, сводятся к рассмотренным выше характеристикам.

Причиной невозможности применения современных аналитических методов расчета к моделям ПС, особенно со сложными топологиями, является то, что они, основываясь на стохастической природе входного трафика, формируют вероятностные математические модели теории СМО, которые не предполагают использование информации о структуре сети. Реализация приближенных аналитических расчетов основана на модели сети Дж. Джексона, в которой сложный клубок связей между КС был «разрублен» и каждый КС рассматривался как отдельно взятый, погруженный в сеть, имеющий пуассоновский поток событий на входе и случайный закон обслуживания. При этом входной поток поступления сообщений и время их обслуживания считаются независимыми. Аппроксимация независимости Л. Клейнрока позволила время обслуживания связать с некоторой средней величиной путем использования определенных законов, в том числе экспоненциального. Это привело к применению в моделях ПС математического аппарата СМО и тем самым к определению некоторых границ временных задержек.

Рассмотренные выше характеристики оценки информационной эффективности ТКС имеют некоторые недостатки. Во-первых, они не позволяют определить степень близости ТКС к предельным возможностям в информационном смысле. Во-вторых, в условиях наличия ограничения к временной задержке пакетов и высокой загрузки сети, необходимо интегрированной характеристикой оценивать как скоростные возможности сети (производительность) так и ее накопительные свойства. Относительно второго недостатка необходимо заметить следующее. В условиях высокой информационной загрузки ТКС желательно стремиться не столько к повышению ее производительности, сколько к эффективности использования «скоростного» и «накопительного» ресурса как единого целого.

В связи с этим в работе [2] было предложено использовать параметр кибернетическая мощность информационной сети:

Рис = \т ,

определяемый ДЛЯ сети С реальной топологией Рис И ее модели идеальности РидС) т- е-идеальной сети (для этого применяется тензорные модели: узловые, контурные и ортогональные). В результате может быть вычислен кпд в смысле передачи информации [2]:

Р

П = Р—,

Р

который и позволяет определить степень близости сети к идеальности в смысле передачи информации (тем самым устраняется указанный первый недостаток). Кпд в смысле передачи информации ТКС зависит от входной нагрузки и, в силу ограничения на временную задержку (1), с одной стороны имеет вид аналогичный производительности, с другой показывает степень близости к сети к своим предельным функциональным возможностям в смысли передачи информации.

В условиях высоких информационных нагрузках, с использованием механизмов усреднения и выполнением требования дифференцирования на интервале (в том числе с использованием аппроксимации) состояний одноканальных систем и путевых потоков, можно

применить аппарат тензорного анализа [2, 3]. В этом случае, в окрестности точки состояния сети определяется приращение кибернетической мощности сети, а сам радиус-вектор в информационном пространстве, точнее его длина, определяет значение кибернетической мощности ТКС на основе использования усредненных величин состояний элементов сети (одноканальных систем). Приращение же кибернетической мощности определяется не только динамикой информационных потоков, но и используемыми на момент рассмотрения протоколами в сети (и в том числе возможной динамикой последних на интервале рассмотрения).

Приращение кибернетической мощности ТКС находится из выражения:

Под суммой (4) имеет место скалярное произведение частных производных, характеризующих динамику нагрузок одноканальных систем и путевых потоков в точке состояния сети, определяющей значение кибернетической мощности ТКС.

В работе [4] рассмотрены особенности построения компонент метрического тензора. Например, для пространства разомкнутых цепей метрический тензор будет иметь вид, представленный в таблице 1.

Где Xі обозначает состояние г-го элемента сети (узловые точки, каналы связи), — входные и выходные потоки для г-го узла коммутации (узловных пары), 7ті — потоки в г-ом канале связи.

Таким образом, изменение кибернетической мощности в окрестности точки состояния сети определяется метрическим тензором, а, следовательно, вычислив его компоненты, можно

Д^ИС = 9із х х3,

где дз — метрический тензор. Его компоненты определяются:

т дхи дхи

Таблица 1 Метрический тензор ТИС пространства разомкнутых цепей

производить оценку изменения информационной эффективности ТКС в окрестности точки ее состояния.

ЛИТЕРАТУРА

1. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями: Пер. с англ./ Под ред. Б.С.Цыбакова. М.: Мир, 1979. V. 600 с.

2. Пасечников И.И. Методология анализа и синтеза предельно нагруженных информационных сетей. М.: Машиностроение-1, 2004. 216 с.

3 Пасечников П.П. Анализ и методология повышения информационной эффективности телекоммуникационных систем и сетей. Монография. Тамбов.: Издательский дом ТГУ им. Г.Р.Державина

4. Григоренко С.А., Пасечников П.П. Построение метрического тензора для ортогональной модели телекоммуникационной сети // Инфокоммуникационные технологии в науке, здравоохранении и образовании: сборник научных трудов IV международного научного конгресса «Нейробиотелеком-2010». СПб.: «ТЕЛЕДОМ» ГОУВПО СПбГУТ, 2010. С. 37-42.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Grigorenko S.A., Pasechnikov 1.1. The evaluation of the informational efficiency of telecommunication networks with use of a metric tensor. The article analyzes methods for evaluation of the effectiveness of information systems and telecommunications networks. Justified the using of application of the cybernetic power parameter in the information network and the influence of components of the metric tensor on its value.

Григоренко Сергей Анатольевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры алгебры и геометрии, e-mail: aib@tsu.tmb.ru.

Пасечников Иван Иванович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор кафедры информатики и информационных технологий, e-mail: aib@tsu.tmb.ru.

УДК 517.5

ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ НЕПРЕРЫВНОЙ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

© А.С. Демышев, В.И. Родионов

Ключевые слова: непрерывно дифференцируемая функция; предел по множеству; симплекс.

Определено понятие дифференцируемой в себе функции многих переменных. Доказаны необходимые и достаточные условия дифференцируемости в себе.

1. Пусть Qo С R” — непустое ограниченное открытое множеств о, а множество Q таково, что Qo С Q С Qo .Совокупность QiQm называется разбиением множества Q,

если все Qk — непустые открытые множества, Qi П Qj = 0 при i = j и U Qk = Q.

k

Функция f: Q ^ R называется линейной, если существует вектор v Е К” такой, что f (y)-f (x) = (v ,y—ж) доя всех x,y Е Q. Функция f: Q ^ R называется кусочно-линейной, если существует такое разбиение Qi,..., Qm множества Q, что при каждом к = 1,...,m