Теплообмен при гравитационном взаимодействии капли с высокотемпературной поверхностью

УДК 536.24

ТЕПЛООБМЕН ПРИ ГРАВИТАЦИОННОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ КАПЛИ С ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

В.Я. Губарев, А.Г. Арзамасцев

В статье рассматривается аналитическое решение уравнения Лапласа для капли - полусфероида, позволяющее при численном определении констант интегрирования получить распределение температуры по поверхности и среднюю температуру в условиях диффузионного испарения с внешней поверхности. Показано, что распределение температуры по поверхности и средняя температура поверхности капли, испаряющейся на высокотемпературной поверхности, не зависят от радиуса основания полусфероида и остаются постоянными в течение всего процесса испарения. Найденное значение средней температуры позволяет оценить диффузионный тепловой поток с поверхности и уточнить время испарения капли

Ключевые слова: теплообмен, испарение, капля, диффузия

В металлургии весьма актуальной является проблема охлаждения элементов оборудования и горячего металла при различных температурных уровнях. Охлаждение поверхности струями диспергированной жидкости является интенсивным процессом, который используется на практике и может найти еще более широкое применение. При форсуночном охлаждении горизонтальных поверхностей сверху и малых скоростях газокапельного потока имеет место осаждение капель и гравитационное взаимодействие с охлаждаемой поверхностью.

При сравнительно небольших значениях плотности орошения теплоотвод определяется суммой тепловых контактов отдельных капель. Тепловое взаимодействие одиночной капли с поверхностью твердого тела имеет сложный характер. Наиболее изучена стадия испарения капли в полусфероидальном состоянии [1,2,3]. В работе [1] температура капли принималась, равной температуре насыщения при атмосферном давлении и не учитывался теплоотвод с внешней полусферической поверхности в окружающую среду. В работе [4] показано, что тепловой поток от внешней поверхности капли за счет диффузионного испарения может существенно сказываться на времени испарения капли и проведены его расчеты при условно принятой температуре внешней поверхности капли 1000С. Для более точной оценки теплоотвода в окружающую среду с поверхности капли, попавшей на высокотемпературную поверхность, необходимо знать распределение температуры по поверхности капли и ее среднее значение.

В данной работе распределение температуры по поверхности капли получено путем решения дифференциального уравнения теплопроводности для стационарного теплообмена при граничных условиях Неймана (3 рода) и граничными условиями 1го рода для внешнего контура основания.

Губарев Василий Яковлевич - ЛГТУ, канд. техн. наук, доцент, E-mail: qv_lipetsk@rambler.ru Арзамасцев Алексей Геннадьевич - ЛГТУ, студент E-mail: qv_lipetsk@rambler.ru

Распределение температуры по поверхности капли получено при следующих допущениях:

под каплей уже образовался паровой слой, а сама капля представляет собой полусфероид; тепловые потоки теплообмен капли с окружающей средой принят стационарным и на внешней поверхности капли теплопроводностью и теплоотдачей равны, а теплоотдача на поверхности капли определяется диффузионным тепловым потоком.

Дифференциальное уравнение теплопроводности при стационарном теплообмене (уравнение Лапласа) в цилиндрических координатах:

д 2и + 1 ди + 1 д 2и + д 2и о

дг2 r дг r2 дф2 д12

где г - полярный радиус, м; z - высота капли (апликаты), м; ф -полярный угол, рад;

и = t - toc -разница температур капли и окружающей

среды, 0С.

Для полусфероида U от ф не зависит и

уравнение Лапласа примет вид:

д2и 1 ди д2и _

—+-----+—=0

дг2 г дг дг2

Уравнение решается методом разделения переменных с подстановкой: и = ^(г). F (z)+с, где FM

- функция, зависящая только от г, F (z) - функция, зависящая только от z, С = const.

После разделения переменных получаем:

F 2

-F1'(г )- F1 (г ) г______________________

F1

где в = const, в> 0 Решая (2), получим:

F

_\2n ^

Щ=а)

1+X:

в

=2-42-62 •..••(2nf ) где 00, A, B - const. Общее решение имеет

вид:

и = С + ^008(„-) + 5^ІП(„-))•) •

1+ 1

(„-

=1 22 -42 -62

к -

(„-

Предположим, что ряд

=122 • 42 • 62-к-(2и) является убывающим и первый член ряда намного больше последующих.

Тогда ((Р  г )2 ”________1 ^ (Р  г )2

[ п = 1 22 - 42 • 62 -к -(2 п )2 ) 4

Общее решение в этом случае будет иметь вид:

= С +

1 +

в2

ди в2  —2

---= Ц-А- 8ІП(„-)„ ^Пр+ 5 - 008(в' 2)  в вїп^] - 1+---

в2 2

І-—К - 0082р 2

Здесь. А=А - Й0, В=5 - *0, 8ІП р = ---------; 008р = —. А В,Св~

+|~А - сов („ -)+5 - 8Іп(„ -)]- “ -„ - ота2р

г г

—; 008 = —

К К

константы, находящиеся из численного решения. Граничные условия на внешней поверхности

' —

Г и К=п=ао\

I, ак)'К=Кк 1к=Кк

где к -сферический радиус, м; кк - радиус капли, м; а—коэффициент теплоотдачи капли, Вт/(м2К), зависящей от положения точки на поверхности.

Общее решение уравнения (3) имеет физический смысл только в том случае, если температура в центре основания капли больше температуры внешнего контура основания капли на величину перегрева А т и, если принять, что температура внешнего контура поверхности основания капли равна температуре насыщения при атмосферном давлении , получаем при г = о , г = 0

и = А („) + С(„) = 100 + АТ -ґос. -

и = А („) + С („) + А („)-„—„^ = 100 - о

г = „2

Тогда

А („) = -

4АТ

в2 -к2

; где ат - разница темпера-

тур на поверхности и в центре капли при г = 0.

Подставляя полученную функцию А (в) в (4) при г = 0, получим:

4АТ 1 в2 „ „„ 2-ХАТ

-X

в2

„2 „2 \- ~Т- К2 = “(г=0)-80 ^“(-=0) = „ - „2 } 2

кк

где а (г=0) - значение коэффициента теплоотдачи

для внешнего контура основания капли.

Так как аналитическое решение, описывающее распределение температуры по поверхности капли, содержит константы, зависящие от положения точки на поверхности капли, то средняя температура поверхности 1с находится численным методом из

условия равенства теплового потока теплопроводностью тепловому потоку диффузией:

ел=&; где бх=-ч 1|ц.

дК

К=к,

-й¥

- тепловой поток теплопроводностью к внешней поверхности капли, Qd = 2 п - Кк - Б - г - рп - тепловой поток диффузией от внешней поверхности капли (находится применением тройной аналогии к решению задачи теплопроводности через шаровую стенку); Б — коэффициент диффузии при средней температуре поверхности капли, м2/с; г — теплота парообразования при средней температуре поверхности капли, Дж/кг; р — плотность пара при средней температуре поверхности капли, кг/м3.

Используя полученное значение tcp, находим

распределение температур по основанию ^ = Л

и по поверхности капли t = /1(г).

На рис.1 представлены зависимости значения температуры основания и внешней поверхности от относительного радиуса.

Относительный радиус капли

Рис. 1. Распределение температуры по поверхности капли - полусфероида

Характерно, что независимо от радиуса капли

((г=0,г=0)*П9.70С , ^ср = 82-4°С , t(z=Кk,г=0) :

и распределение температуры по поверхности и средняя температура поверхности капли, испаряющейся на высокотемпературной поверхности остаются постоянными в течение всего процесса испарения. Найденное значение средней температуры позволяет оценить диффузионный тепловой поток с поверхности и уточнить время испарения капли, находящейся в полусфероидальном состоянии.

В работе [4] получено критериальное уравнение для полного времени испарения капли с учетом диффузионного испарения с внешней поверхности

0.25

, = 71.10С , т.е

Бо* =

1л

, 0.25 0.75 2п р*

-(1 -„)'

0.25

где Бо* =

п 10

а*»

й.

0

критерий Фурье, О = П- -

£й0

определяющий критерий теплового гравитационного взаимодействия капли с высокотемпературной

поверхностью, а*» = -—п— - условный коэффициент

—Рп

температуропроводности пара с учетом теплоты парообразования, й0 - начальный диаметр сфериче-

0

ской капли, Рьп =vn/а*п - условный критерий Прандтля, р* =рп/рк - относительная плотность пара, кп =А/п/г - коэффициент перегрева пара, Р = ЧбЫх - коэффициент диффузионного теплового потока, представляющий собой отношение диффузионного теплового потока от внешней поверхности полусфероида, приведенного к плоской поверхности основания полусфероида, к тепловому потоку через паровой зазор.

Результаты расчета времени испарения капли с начальным диаметром 1,9 мм по формуле (5) с учетом теплового потока при диффузионном испарении с внешней поверхности в сопоставлении с экспериментальными данными [3] приведены на рис.2. В расчете принята найденная ранее температура внешней поверхности полусфероида 82,4°С.

диаметром 1,9 мм в зависимости от температуры поверхности.

Влияние диффузионного теплового потока особенно заметно при относительно низких температурах поверхности.

Литература

1. Исаченко В.П., Кушнырев В.И. М. Струйное охлаждение [Текст] /: Энергоатомиздат. 1984. 216 с.

2. Андреев А.П., Боришанский В.М. О расчете температуры становления сфероидального состояния и времени испарения капли в этом режиме/ Кризисы теплообмена в околокритической области. Л: Энергия, 1975, 80 с.

3.Tamura Z.,Tanasawa Y.,Eraporation and combustion af a ohop coutactiug with a kot surface / Symposium (International) on combuction 7.tu. London, 1959.V.l 26.P.509-522.

4. В.Я.Губарев, Ю.В. Шацких. Теплообмен при гравитационном соударении крупнодисперсных капель на высокотемпературной поверхностью [Текст] / Труды Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену. Т5. - М.: МЭИ, 2006. - С. 107-110

Температура поверхности, °С

Рис. 2. Время полного испарения капли начальным

Липецкий государственный технический университет

HEAT TRANSFER BY GRAVITATIONAL INTERACTION OF A DRIP WITH A HIGH TEMPERATURE SURFACE

V.Y. Gubarev, A.G. Arzamastcev

This article touch the analytical solution of an equation of the Laplace for a drip - hemispheroid, permitting is esteemed at numerical definition of constants of integrating to receive distribution of temperature on a surface and mean temperature in conditions of diffusive vaporization from an external surface. Is founded, that distribution of temperature on a surface and mean surface temperature of a drip exhaling on a high temperature surface do not depend on radius of the basis hemispheroid and remain constants during all process of vaporization. The retrieved value of mean temperature allows to evaluate a diffusive heat flow from a surface and to update time of vaporization of a drip

Keywords: Heat transfer, vaporization, drop, diffusion