Профилирование звуковых сопл

Том ХЫН

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2012

№ 3

УДК 532.525.011.5

ПРОФИЛИРОВАНИЕ ЗВУКОВЫХ СОПЛ

С. В. ЯГУДИН

Рассмотрена задача построения контуров сопл с равномерным потоком невязкого газа на выходе с числами Ме, близкими к единице. Предложен способ учета значительной

неравномерности потока около минимального сечения прямолинейно сужающегося сопла.

Ключевые слова: звуковое сопло, контур, профилирование, запирание, характеристика.

В работах [1, 2] было установлено, что при профилировании контуров сопл от верхней точки предельной характеристики С-, приходящей в центр сопла (запирающей), в которой угол 0 наклона вектора скорости к оси х в любых соплах (кроме идеальных звуковых) — отрицательный, можно получить семейство сужающихся-расширяющихся контуров с равномерным потоком на выходе, течение в которых отличается от известных представлений. Это отличие заключается

в том, что линия 0 = 0 состоит из двух различных участков (участка 0-, отклоняющегося влево

от центра сопла до точки пересечения с конечной разгонной (опорной) характеристикой С-, и

участка 0+, отклоняющегося вправо от этой точки), располагающихся частично или даже полностью перед минимальным сечением. При этом выпуклый внутрь течения участок контура около минимального сечения обтекается с торможением.

Запирающие характеристики в [1, 2] рассчитывались с помощью известных решений (в виде рядов) прямой задачи о течении невязкого газа в области минимальных сечений сопл с плавными контурами в виде дуги окружности. Неравномерности параметров на них сравнительно небольшие, углы 0 в верхних их точках составляют несколько градусов, и «необычные» особенности течения проявляются в соплах с равномерным потоком на выходе при числах Ме < 1.6. В работах [3, 4] приведены результаты анализа профилирования контуров сопл с Ме до 7.05 и крутосужающимся контуром дозвуковой части с углом сужения 0 = -90°, т. е. при сильноградиентном течении, когда значения М на запирающей характеристике изменяются от единицы до ~2.85 в осесимметричном случае = 1) и до 2.764 в плоском (V = 0).

При Ме ^ 1+ длиПны расширяющихся частей контуров, построенных указанным выше образом, уменьшаются до нуля, и методом характеристик можно построить как протяженные, так и максимально короткие сужающиеся части контуров (плоских и осесимметричных), которые переводят неравномерное сверхзвуковое течение в практически звуковое. Это позволяет использовать богатый материал, накопленный при решении различных задач о сверхзвуковых течениях в соплах в приближении звукового потока в минимальном сечении (когда сужающаяся часть сопла, обеспечивающая такой поток, предполагается известной), а также при разработке аэродинамических труб и расхо-домерных устройств.

ЯГУДИН Станислав Викторович

кандидат технических наук, старший научный

В настоящей работе решается задача профилирования контуров звуковых сопл. Газ принимается идеальным и совершенным с показателем адиабаты к = 1.4.

1. Выяснение особенностей течения при профилировании сопл от запирающей характеристики проводится ниже для плоского течения. Это возможно благодаря тому, что вдоль характеристик C + и C- выполняются конечные соотношения:

3

где 3(M) — функция (угол) Прандтля — Мейера:

3(M ) = y-1arctg (ур)- arctg (р), p = V M2 -1, у = ^/(к- 1)/(к +1).

Сравнительно коротким контуром, переводящим неравномерное дозвуковое течение в равномерное звуковое, является линия тока предельного течения Чаплыгина — граница струи с критическим давлением p* на ней. Сужающийся участок границы струи, истекающей из сопла с углом сужения 0a в неподвижную среду при степени понижения давления пj = п*, и прямая звуковая линия показаны на рис. 1 штриховой линией:

к + 1 ] к-1

п j = Ро/Pj , п* = Ро/Р* =

(р0 — полное давление газа, ру — давление покоящейся среды).

При незначительном уменьшении внешнего давления (яу >я») из угловой точки а выйдет

веер волн разрежения, соответствующих повороту вектора скорости в ней на такой угол Л0, что давление станет равным внешнему давлению покоящейся среды. В результате последовательного отражения волн разрежения от звуковой линии и границы струи звуковая линия сместится на ось у = 0. При этом граница струи окажется выше, чем при я», и, что существенно, будет расширяться правее точки т. Обозначим цифрами 1, 2, ... п точки выхода характеристик С- с границы

струи, а точкам попадания их на звуковую линию и выхода из них характеристик С + приписывается справа звездочка (1», 2»,... п »). С помощью соотношений (1) выражения для значений угла 0 в них записываются в виде:

9п =0а +(2п-1)), 0п»=0а + 2п-Эу, (п = 1, 2,.).

Значение &у (Mу) определяется по заданному значению яу. Если 0п» = 0, то при яу ^я» M,

1, 3j — 0, 01

•0a и 0n —^ -0, что соот-

^ ' "у ' "1 "а п

ветствует границе предельного течения Чаплыгина. В случае сопла с 0а = -90° при степени пони-

жения давления пj =

: 2.088 (Mj = 1.082) угол

по-

ворота вектора скорости в точке а Л0 = 1° и характеристика С- попадает на ось у = 0 при п = 45. При я у = 6.317 (M у = 1.862) «запирание»

1, 2, ...п — точки выхода характеристик С- с границы тече- произойдет при п = 2, а при яу = 25.7°3

(M у = 2.764) течение запрется в веере волн раз-

Рис. 1. Схема запирания течения в сопле с углом сужения 0a:

ния; 1*, 2*, ...n* — точки попадания C на звуковую линию; ---— решение С. А. Чаплыгина

к

режения, исходящих из точки а (n = 1, А9 = 45°). Если при заданном пj значение 0n* оказывается равным нулю не при целом n, это означает, что течение «запирается» в волне, отражающейся от участка звуковой линии, расположенного перед точкой 1*.

Если в качестве контура сопла выделить линию тока, проходящую ниже точки (n -1) * (а при n = 1 — ниже точки а), то течение под ней соответствует классическому течению в области минимального сечения сопла Лаваля. При 0n* = 0 значение 0 в точке n отрицательное, а в точке (n +1) — положительное, т. е. между ними есть сечение с 0 = 0 в верхней его точке, m — минимальное. Располагаться оно может только перед сечением, проходящим через точку n *. Это известный в теории сопла результат, который качественно доказывается, если рассмотреть выра-

F

жение для расхода G через поперечное сечение потока с площадью F в виде G = J q (A,)cos 0dF,

о

где расход отнесен к произведению критической плотности на критическую скорость, A — коэффициент скорости, q (A) — известная газодинамическая функция. Действительно, допустим, что

минимальное сечение проходит через точку n *. В приближающихся к нему слева сечениях части их со сверхзвуковым течением увеличиваются. Но тогда, учитывая характер изменения функции q(A) при A«1 и что cos0«1, площади сечений должны расти, чтобы расход через них

сохранялся, а они уменьшаются. Следовательно, сделанное допущение неправомерно. Аналогично доказывается, что минимальное сечение не может быть правее сечения, проходящего через точку n * .

Рассмотрим ускоренное течение вдоль верхней границы, когда значения S линейно увеличиваются на AS между соседними точками. Тогда в выражения для 0n и 0n* нужно добавить

соответственно члены (n -1)2 AS и n (n - 1)AS. При A0 = 1° в точке а и AS = 1° «запирание» течения наступит гораздо раньше (при n = 9), чем в случае постоянного значения Mj = 1.082 на границе (AS = 0). Очевидно, что и при ускоренном течении между верхними точками характеристик C- и C + минимальное сечение располагается перед сечением, проходящим через их общую нижнюю точку n * с 0 = 0 (ее можно называть центром сопла, а характеристику nn * запирающей, поскольку участок границы струи an можно «заморозить», т. е. считать контуром сопла). А вот при замедленном течении оно может быть перед центром сопла, совпадать или быть за

ним, что поясняется ниже. Если в качестве конечной разгонной (опорной) характеристики C-выбрать характеристику, выходящую из точки m, то правее ее контур сопла с Me = Mm будет расширяющимся. Если же в качестве опорной брать характеристики, располагающиеся выше по течению (при этом верхние их точки будут смещаться к точке n, а нижние — к точке n*), то построенные от верхних их точек контуры будут сначала сужаться, минимальные их сечения будут смещаться вниз по потоку до некоторого крайнего правого положения с xm « xe справа от «центра» сопла n * (рис. 2, а). При этом расходы через 0+ и 0- близки, а точка пересечения C+-характеристики с минимальным сечением находится в средней его части (отмечена знаком «+», значения S и 0 в ней равны $е/2). При дальнейшем смещении опорной характеристики против потока (Me ^ 1) минимальное сечение сдвигается назад, к сечению gn*, где линия 0 = 0 состоит только из вертикального участка 0+ с ординатой yg верхней его точки g, определяемой из уравнения расхода (рис. 2, б). В минимальном сечении M « Me. Ясно, что отмеченные особенности можно получить, ускоряя течения правее центра сопла от 1 до Me не только при обтекании контура nm в виде границы струи или «обычной» кривой типа дуги окружности, но и более рационально — в волнах разрежения, идущих из точки n, считая ее угловой.

В гипотетическом случае, когда запирающая характеристика определена точно, можно рассчитать контур сопла со значением Me, достаточно близким к единице (т. е. контур практически

звукового сопла), что возможно, так как при профилировании контура с Ме Ф1 методом

простой волны (V = 0) или методом характеристик (при V = 0 и 1) при равномерной характеристике С+ проблем не возникает. Учитывая отсутствие точных данных на запирающей характеристике, рассчитать контуры с Ме ^ 1 можно лишь приближенно. Но чем точнее будет рассчитана запирающая характеристика (особенно около центра), тем с более близким к 1 значением Ме может быть рассчитан контур сопла. Близость к 1 значения Ме, с каким рассчитан контур, — критерий точности расчета запирающей характеристики.

Рис. 2. Положения минимальных сечений:

а — крайнее правое; б — при Ме ^ 1

Расчет контура практически звукового сопла заключается в следующем. Сначала решается прямая задача сопла, т. е. рассчитывается численным методом течение в сопле с заданным сужающимся-расширяющимся контуром или в сужающемся сопле совместно со струей, истекающей из него, при заданном внешнем давлении лу > л* (с использованием подвижной сетки).

По найденным полям параметров выделяется линия, на которой & + 9 = 0 (т. е. запирающая характеристика), и на ней находится зависимость 0( у). Нижнюю ее часть можно корректировать.

С помощью уравнения для С~ ёх/ёу = (9-а), в котором угол Маха а = агс8т(1/М) определяется из условия совместности & + 9 = 0, находится «новая» запирающая характеристика, соответствующая зависимости 9( у). Помещая в верхнюю ее точку угловую, можно рассчитать контуры с различными Ме, а при Ме ^ 1 — участок контура, выравнивающий неравномерное течение на запирающей характеристике в практически звуковое. Если учесть, что выравнивать течение можно на любой линии тока от верхней точки запирающей характеристики, то из схемы на рис. 1 следует все многообразие возможных контуров звуковых сопл. Очевидно, что самым коротким контуром звукового сопла (при выбранном 9а) будет контур, состоящий только из участка, выравнивающего течение, запертое в волнах разрежения, идущих из точки а (см. рис. 1, п =1). Следует отметить, что расчет «новой» запирающей характеристики — это не способ уточнения исходной, полученной численным методом, а прием для получения согласованной запирающей характеристики (т. е. форма и параметры на которой согласованы с зависимостью 9 (у)), что крайне важно при расчете методом характеристик. Аналогичный прием при расчете согласованной звуковой линии был применен ранее в [5] и использовался в [3, 4].

Контур идеального звукового сопла с М = 1 спрофилировать методом характеристик нельзя, но его можно определить как предельное положение точек сужающихся частей контуров сопл с Ме ^ 1. Однако возникает вопрос о том, что произойдет с течением при переходе к такому контуру.

2. В плоском случае можно проанализировать, какое течение возможно перед минимальным сечением сопла с М = 1. Естественно считать, что оно запертое, т. е. что контур щ переводит (выравнивает) неравномерное течение на пп * в равномерное звуковое на gn *. Тогда

С "-характеристики, идущие от него, должны попасть в центр сопла — точку п*. Касания их

с линией центров течения gn* допустимы (не противоречат условию совместности), хотя ординаты точек касания неизвестны. В любом случае на каждой из них & + 9 = 0. Заранее подчеркнем,

ясно — все С+-характеристики, идущие от пп*, должны попасть только на контур ng (ни одна

из С + не может попасть на gn*, иначе условие совместности вдоль нее нарушится). Тогда из

следует, что все С+ -характеристики, начиная от характеристики пп* и выше ее, — прямые со

значениями = —9*/2 и = 0*/2 (так как идут они от точек звуковой линии со значениями 9*). Однако очевидно, что, если с помощью прямых С +, идущих от контура ng, строить С "-характеристику, выходящую из точки п, то она не попадет в центр сопла п*. Она попадет на линию у = 0 перед ним, поскольку в нижних ее точках абсолютное значение угла |9 — а| между касательной к ней и осью х больше, чем угол (9 + а) наклона С+-характеристики к оси х. А из

факта попадания запирающей характеристики пп* в центр сопла следует, что характеристики С +, идущие от нижней части пп*, чтобы попасть на нижний участок контура ng, должны искривиться, иначе они пересекут gn* [6]. Таким образом, получается «парадоксальная» ситуация, отмеченная ранее в [1, 2]: из условий совместности (1) следует, что предполагаемое поле характеристик в ngn* соответствует течению простой волны (т. е. С +, идущие от пп* и попадающие на контур ^, — прямые). А с учетом уравнений характеристик — не соответствует. Поскольку при Ме ^ 1 С+-характеристики, идущие от опорной характеристики С—, — прямые, а Сначинает заметно отличаться от запирающей лишь в нижней ее части, то можно предположить, что течение перед минимальным сечением сопла с М =1 — условно простая волна, т. е. не являющаяся простой в непосредственной близости к линии М =1. Это позволяет построить контур приближенно, когда основная его часть (от точки п до точки/, рис. 2, а) строится методом простой волны по рассчитанным параметрам на пп*, а точка/соединяется с конечной его точкой g (с известными координатами Xg, у& и углом 9g = 0) плавной линией. Выбирается система координат со

значениями хп = 0, уп = 1 в точке п. Для приближенного описания контура щ по четырем условиям в концевых его точках можно использовать полином третьей степени

у = nXg + 2 (1 — Уg )) (х/хё )3 — (2^ + 3 (1 — Уg )) (х/хё )2 + СпХ +1, Сп = 1ё (0п ) или уравнение со степенной зависимостью

у = Уg +(1 —

( \ь

1—^

V ^ У

ь =

Уг — 1

которое приводит практически к таким же результатам.

Допущение о сверхзвуковом течении под контуром сопла с М =1 позволяет учесть существенную неравномерность течения около минимального сечения сопла, т. е. получить начальные

данные на С "-характеристике, которую можно использовать как запирающую для проведения дальнейших расчетов сверхзвукового течения правее ее. Это можно пояснить на примере сопла с 9а = —90° при запирании течения в волнах разрежения, выходящих из его концевой точки а (п =1, центр сопла в этом случае обозначается буквой с). Строится контур ag (рис. 3, а) с помощью уравнения (2) при значениях = —1, хс = 0.42 и yg = 0.851, которые были получены при

расчетах согласованной запирающей характеристики ас со 120 точками на ней). Считается, что это точный контур сопла с М =1. На С "-характеристиках, идущих от него, должно выполняться условие & + 9 = 0. Используя его и уравнение (2), можно найти параметры в любой точке контура. Строится, начиная от точки а, С "-характеристика а( (дифференциальное уравнение ее известно и известны параметры на прямолинейных С+-характеристиках, идущих от ag). Число М на а( уменьшается от значения 2.764 до М? = 1.002 в точке t с х( = 0.36, а 9 возрастает от значения —п/ 4 (—45°) практически до нуля, 9t =—0.0001 (рис. 3, б). С "-характеристика at, как отмечалось выше, даже в гипотетическом случае — при точном контуре ag не может попасть в центр с при прямолинейных С +. Тем не менее at можно приближенно использовать в качестве запираю-

Рис. 3. Расчет С -характеристики в поле прямолинейных характеристик С +:

а — ag — контур, Л — С- -характеристика, ас — запирающая характеристика С-; б — распределения на С- чисел М и угла 9

щей, если заменить значения Мг и 9( в нижней ее точке на 1.00001 и ноль соответственно. Расчеты опорных характеристик С- с использованием кривой а( в качестве запирающей характеристики и сравнение их с опорными характеристиками, рассчитанными от «действительной» запирающей характеристики ас, показали, что при Ме > 1.2 влияние отличия данных на а( и ас практически не проявляется.

Выравнивающий контур ^ (см. рис. 2, а) — это «предельно» выпуклый внутрь течения контур, т. е. выпуклый максимально, но не настолько, чтобы идущие от него возмущения по

С "-характеристикам передавались на запирающую пп*. Но условия & + 9 = 0 на них, как отмечено выше, приводят к «парадоксу». Причина его изначально скрыта в предполагаемую схему течения в виде треугольника п^п*, т. е. в допущение о запертом течении перед прямой звуковой линией (как и в [6], при п = 1). Поясним. Профилирование контура сопла заключается в расчете течения между начальными характеристиками обоих семейств (задача Гурса) с выделением линии тока. При этом строится характеристическая сетка с элементарными четырехугольными

ячейками. Однако между запирающей С "-характеристикой пп* и С+-характеристикой gn* построить такую сетку нельзя, так как gn* является и С "-характеристикой. Вследствие этого всегда можно указать достаточно близкую к центру сопла С+-характеристику, которая попадет на характеристику gn* с начальными данными & = 9 = 0, и условие совместности на ней выполняться не будет. Запертое течение перед прямой звуковой линией невозможно. Такой вывод следует и из известных аналитических решений, согласно которым из центра сопла выходят 4 параболы

(в главных порядках): С +, С-, М =1 и 9 = 0. В схеме с треугольником ngn* линии С + и 9 = 0 — прямые (п*). Значит, и кривые М =1 и С- (пп*) должны выпрямиться в gn*. Запирающей С "-характеристикой (т. е. со значениями & = 9 = 0 в нижней ее точке) может быть только одна — либо кривая пп*, либо прямая gn*. Поэтому при вариациях контура с Ме ^ 1 к контуру с М = 1 должно произойти изменение режима запирания (по аналогии с [7, 8]), т. е. возникнуть процесс, в результате которого сверхзвуковое течение с кривой звуковой линией и запирающей пп* раз-

рушится и перестроится в дозвуковое до прямой звуковой линии gn*. И контур, построенный с помощью метода характеристик как выравнивающий течение на запирающей характеристике, обеспечит запирание течения в минимальном сечении — прямую звуковую линию.

3. Возможность выровнить существенно неравномерное течение на запирающей характеристике в звуковое позволяет оценить эффективность нетрадиционных контуров при всех значениях Ме, при которых течение в них отличается от классической схемы теории сопла.

Целесообразно сравнить основные параметры контуров сопл, спрофилированных при Qa = -90°, п = 1 от угловой точки а при разгоне неравномерного сверхзвукового потока на ос (сопл п) и при «обычном» разгоне равномерного потока с М =1.001 в угловой точке минимального сечения выравнивающего контура аg (сопл р). Так как расход газа через сопла одинаковый, то при одном и том же Ме одинаковы ординаты их выходных сечений и длины частей от хе до них. Одинаковы и тяги сопл, начиная с расчетного режима, соответствующего значению Ме (в [1] было отмечено, что использование выравнивающего участка в соплах р позволяет компенсировать «эффективное» увеличение относительной площади выхода сопл п, обусловленное неравномерностью течения в их минимальных сечениях). Отличия длин разгонных участков хе сопл р (штриховая линия на рис. 4) и сопл п (сплошная), составляющие менее 0.27 при Ме < 1.5, при увеличении Ме до ~3.3 уменьшаются до нуля, а далее растут (но уже со знаком «-») и составляют -0.79 при М е = 5 и -3.17 при М е = 7.

В работе [1] на основании расчетов контуров сопл с равномерным потоком на выходе, спрофилированных от верхних точек характеристик, запирающих течение в плавных соплах, прогнозировалось влияние таких же способов ускорения течения, как и в соплах п и р, на тяговые характеристики оптимальных сопл (реализующих максимум тяги при одинаковых расходах и габаритных ограничениях на длину Ь всего сопла, включая дозвуковую часть). Результаты рис. 4 подтверждают оценки [1] и позволяют сделать более конкретный вывод, который дан ниже. Если сопло п с Ме >3.3 укоротить до длины соплар с таким же Ме, то тяга соплар — оптимального сопла максимальной длины — будет выше тяги этого укороченного сопла п. Этот вывод сохранится и при укорочении этих сопл до некоторой одинаковой для них длины. Несмотря на то, что при увеличении Ме до 6.819 превышение коэффициента удельного импульса в минимальных сечениях сопл п относительно минимального его значения (единицы) в минимальном сечении сопл р увеличивается до максимального значения, тяга сопл п будет меньше тяги сопл р. Это связано с тем, что при увеличении Ме до 6.819 уменьшается до нуля длина сужающихся участков сопл п перед минимальными сечениями и увеличивается длина их расширяющихся участков с торможением потока на них. Учитывая также, что тяга оптимальных сопл п при Ме <3.3 будет выше, чем сопл р, можно заключить следующее. Для того, чтобы сопло имело высокие значения тяги, его контур должен быть достаточно протяженным, выпуклым внутрь потока перед минимальным сечением и такой формы, чтобы давление на нем либо увеличивалось, либо было постоянным (в соответствии с работами [2, 7], где было установлено, что, пристраивая к контуру конического сопла участок в виде границы струи с постоянным давлением на ней, можно получить тягу выше, чем у исходного конического сопла).

В работе [9], а затем и в [10] тяга оптимальных сопл с «внезапным» сужением (9о = -90°) и коротким сужающимся участком

особой формы перед минимальным сечением сравнивалась с тягой «плавных» оптимальных сопл (с 45°-ным сужением и участком перед минимальным сечением в виде дуг окружностей с радиусами Я = 0.625 и 0.5). При этом

м.

/ /

/

о

20

40

60

80

Рис. 4. Сравнение длин разгонных участков сопл п

и р

профилируемые их части были длиннее, чем у «плавных» сопл (на ДЬ = 2 в [9] и ДЬ ^ 1.1 в [10]), что позволило уменьшить крутизну их контуров. При таком сравнении тяга сопл с «внезапным» сужением оказалась выше тяги «плавных» сопл. Сравнение тяг оптимальных сопл п и р позволяет ответить на вопрос о том, каким должен быть контур сопла, чтобы его тяга в заданном диапазоне Ме была высокой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенный способ профилирования от верхней точки запирающей характеристики позволяет рассчитывать сужающиеся части контуров, выравнивающих неравномерное течение в звуковое, в дополнение к контурам в виде границ струй предельного течения Чаплыгина.

Предложен способ учета значительной неравномерности потока около минимального сечения прямолинейно сужающегося сопла при расчетах сверхзвукового течения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ягудин С. В. О сверхзвуковом течении идеального газа в минимальном сечении сопла // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 3, с. 132—139.

2. Ягудин С. В. О течении и интегральных характеристиках потока невязкого газа в соплах // Ученые записки ЦАГИ. 1995. Т. 26, № 3—4, с. 70—81.

3. Ягудин С. В. Сопла с короткими дозвуковыми контурами и равномерным потоком на выходе // Ученые записки ЦАГИ. 2010 .Т. ХЫ, № 4, с. 32—41.

4. Ягудин С. В. Течение невязкого газа в соплах с крутосужающимся контуром // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 2, с. 92—101.

5. Крайко А. Н., Тилляева Н. И., Щербаков С. А. Метод расчета течений идеального газа в плоских и осесимметричных соплах с изломами контура //ЖВМФ 1986. Т. 26, № 11, с. 1679—1694.

6. Шифрин Э. Г. Об использовании течений с прямой звуковой линией в соплах с угловыми точками //Изв. АН СССР. МЖГ. 1981, № 1, с. 168—170.

7. Ягудин С. В. Запирание течения идеального газа в сужающихся соплах и их интегральные характеристики // Изв. РАН. МЖГ. 1994. № 6, с. 149—157.

8. Ягудин С. В. О течении невязкого газа в сопле с изломом контура перед минимальным сечением // Изв. РАН. МЖГ. 1995. № 1, с. 130—136.

9. Крайко А. Н., Тилляева Н. И., Щербаков С. А. Сравнение интегральных характеристик и формы профилированных контуров сопел с плавным и внезапным сужениями // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 4, с. 129—137.

10. Крайко А. Н., Мышенков Е. В., Пьянков К. С., Тилляева Н. И. Влияние неидеальности газа на характеристики сопл Лаваля с внезапным сужением //Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 5, с. 191—204.

Рукопись поступила 26/IV 2011 г.