О разрешимости дифференциального уравнения с запаздыванием, не разрешенного относительно производной

УДК 517.922

О РАЗРЕШИМОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, НЕ РАЗРЕШЕННОГО ОТНОСИТЕЛЬНО

ПРОИЗВОДНОЙ

(с) Е.С. Жуковский, Т.В. Жуковская

Ключевые слова: накрывающее отображение, дифференциальное уравнение с запаздыванием, не разрешенное относительно производной, задача Коши.

Получены условия локальной разрешимости дифференциального уравнения с запаздыванием, не разрешенного относительно производной. Используются методы теории накрывающих отображений.

В статье [1] предложены новые методы исследования не разрешенных относительно производной обыкновенных дифференциальных уравнений. В этой работе введено понятие условно накрывающего отображения, получены утверждения о липшицевых возмущениях таких отображений, и эти результаты применены к исследованию существования и продолжаемости решений дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Это применение основано на полученных авторами условиях накрывания оператора суперпозиции (оператора Немыцкого), действующего в пространстве существенно ограниченных измеримых функций. В работах [2, 3] найдены условия накрывания оператора Немыцкого в пространсвах непрерывных и суммируемых функций. Эти результаты и методы [1] позволили в [4] получить утверждения о разрешимости краевых задач для не разрешенных относительно производной обыкновенных дифференциальных уравнений. В предлагаемой работе описанные методы и результаты применяются к исследованию локальной разрешимости дифференциального уравнения с запаздыванием, не разрешенного относительно производной.

Пусть (X,рх), (У,ру) — метрические пространства. Обозначим через Вх{х,г) замкнутый шар с центром в точке х радиуса г > 0. Аналогичное обозначение примем для шара в пространстве У. Пусть заданы число а > 0 и множества и С X, IV С У.

Определение 1 [5]. Отображение ^ : X —> У называется а открывающим относительно множеств II, IV, если для любых таких и Е II, г > 0, что Вх{и,г) С [/, имеет место включение Ву аг) Р| IV С Г(Вх(и, г)).

Определение 2 [1]. Отображение .Р : X —>• У называется условно а-накрывающим относительно множеств II С X, IV С У, если оно является а-накрывающим относительно множеств и и IV = IV Р|Р(С/).

Пусть заданы замкнутое множество ^ С Е” и вектор А о £ Кп. Пусть функция / : [а, Ь] х Мп х £7 —> М771 удовлетворяет условиям Каратеодори, то есть при почти всех значениях первого аргумента £ Е [а, Ь] является непрерывной по совокупности второго и третьего аргументов, а при любых жбМ", у £ Л — измеримой по первому аргументу. Кроме того, предполагаем, что для любого д > 0 найдется такое число М, что при любых

х Е Rn, у Е , удовлетворяющих неравенству |ж| + \у\ ^ д, и п.в. t Е [а, 6] имеет место

\f(t,x,y)\ ^ М. Пусть также заданы: измеримая по Борелю функция </? : (—оо,а) —У Еп и

измеримая по Лебегу функция h : [а, 6] -» R, такая что h(t) < t почти всюду на [а,Ь].

Рассмотрим задачу Коши для не разрешенного относительно производной дифференциального уравнения с запаздыванием, содержащего дополнительные ограничения на производную искомой функции,

f(t,x{h(t)),x(t))= 0, te[a,b],

x(s) = v?(s), если s ^ [a, 6], ' '

с начальным условием

x

Отметим, что дополнительное ограничение на производную искомой функции x(t) Е Г2 (для п.в. t Е [а, Ь]) возникает, например, при исследовании задач теории управления.

Заметим, что здесь не предполагаются ни непрерывность функции / (по совокупности аргументов), ни ее дифференцируемость по третьему аргументу. Поэтому даже если = ]Rn , тем не менее применение классических методов исследования (см., например, [6]), использующих для разрешения уравнения (1) относительно производной теорему о неявной функции, невозможно.

Определение 3. Пусть <5 Е (0,6—а]. Абсолютно непрерывную функцию х5 : [а, а+5] —> Мп, у которой производная существенно ограничена и для которой справедливо (2) и при п.в. t Е [а,а+6] выполняется (1), будем называть решением задачи Коши (1),(2) на отрезке [а,а+5].

Определим полные метрические пространства: пространство Loo([a, 6], Г2) измеримых существенно ограниченных функций а:: [а, 6] —О с метрикой

PLo«,(M,n) (УЫ/г) = vrai sup |yi(«) - jfeWI;

te [а, 6]

пространство ACoo(Ao, [a, 6], Г2) таких абсолютно непрерывных функций х : [а, Ь] —> Мп,

что х Е Loo([a, 6], Г}), х(а) = Ао, с метрикой

РАСоо(Ао,[а,Ь],П){х1, х2) — Р£,оо([а,Ь],П)(*^1> %2)‘

Согласно введенному определению, решение на отрезке [а, а+<5] есть элемент пространства ЛСоо(Ло, [а, а+<5], 12). Приведем условия локальной разрешимости задачи (1),(2).

Обозначим 7+ = {t Е [а, 6], | h(t) > а}, Т_ = {t Е [а, 6], | h(t) < а}.

Теорема 1. Пусть существуют такие положительные числа v,R\,R2, число о Е (0,6—а] и функция щ Е Loo([a, Ь], Г2), что:

A) для некоторого а > 0 при п.в. t Е [а, а+сг] ПТ+ и любом х Е В]цп(Ао,и) отображение f(t,Xi •) : Г2 —> Ш™ является условно а-накрывающим относительно шаров U(t) = Bn(ua(t),Ri), V+(t,x) = B^rn(f(t:x,uo(t)), o:i?2); если же t E [а, а+сг] П T_, то отображение f(t,ip(h(t)),•) : Q Em является условно а-накрывающим относительно шаров U(t), V-(t) = B$im(f(t,(p(h(t)),uo{t))i ai^);

B) npun.e. t E [а, а+ст]ПТ+ и любом xeB]&n(Ao, и) выполнено включение 0Е f(t,x,U(t))] а при п.в. t Е [а, а+сг] ПТ_, имеет место 0 Е f(t,ip(h(t)),U(t))]

C) существует такое К ^ 0, что при п.в. t Е [а,а+сг]ПТ+, для всех х\, Х2 Е В^п(Ао,и) и любого и Е U(t) выполнено \f(t,x\,u) — f(t,X2,u)\ < К\х — ж|.

Положим,

го := a~l max-j vrai sup \f(t, A0,u0{t))\, vrai sup \f(t, ip(t), u0(£))| [.

^ te[a,a+a]nT+ f€[a,a+cr]nT_ J

Тогда, если го < min{i?i, R2}, то для любого е > 0 существует S G (0, а] и соответствующее решение х5 € АСоо{Ао, [а,а+<5], О,) задачи (1), (2), для которого выполнено неравенство

PLoo([a,a+<5], П)?wo) ^ ^0 "Ь £•> где Uq — сужение на [а, а + £] функции щ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. JV 5. С. 613-634.

2. Жуковский С.Е. Об одном классе операторов в пространствах непрерывных функций // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1675-1677.

3. Плужникова Е.А. О накрывании оператора Немыцкого в пространстве суммируемых функций // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1686-1687.

4. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об одном методе исследования разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1673-1674.

5. Arutyunov A., Avakov Е., GeVman В., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points. J. Fixed Points Theory and Applications. 2009.

6. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2004.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты 09-01-97503, 11-01-00626, 11-01-00645), Министерства образования и науки РФ (АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы) проект № 2.1.1/9359; ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы госконтракты П688, 14.740.11.0682, 14.740.11.0349; темплан 1.8.11).

Поступила в редакцию 10 ноября 2010 г.

Zhukovskii E.S., Zhukovskaya T.V. On solvability of a delayed differential equation unsolved for the derivative. There are derived the local solvability conditions for a delayed differential equation unsolved for the derivative. The methods of covering mappings theory are used.

Key words: covering mapping; delayed differential equation unsolved for the derivative; the Cauchy problem.

Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, доктор физико-математических наук, профессор, директор института математики, физики и информатики, e-mail: zukovskys@mail.ru

Жуковская Татьяна Владимировна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: zukovskys@mail.ru