Разрешимость векторных задач о p -центре с помощью алгоритма линейной свертки критериев

МАТЭМАТЫКА

УДК 519.8

Е. Е. Гуревский, В. А. Емеличев, В. Г. Принцев

РАЗРЕШИМОСТЬ ВЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ О P -ЦЕНТРЕ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМА ЛИНЕЙНОЙ СВЕРТКИ КРИТЕРИЕВ1

1. Введение

Широкий и важный с практической точки зрения класс задач наилучшего выбора составляют векторные (многокритериальные) задачи, в которых качество принимаемого решения оценивается по нескольким критериям одновременно. Одной из центральных проблем векторной оптимизации является проблема скаляризации задачи. Сущность скаляризации заключается в сведении векторной задачи поиска лучших, в некотором смысле, альтернатив к скалярной (однокритериальной) задаче с агрегированным (обобщенным) критерием, зависящим от параметров и представляющим собой некоторую свертку критериев. Центральным понятием в векторной оптимизации является принцип Парето, а важнейший прием нахождения паретовских оптимумов (эффективных альтернатив) основан на линейной свертке критериев. Однако этот подход не всегда гарантирует нахождение всего множества Парето. В таких случаях говорят о неразрешимости векторной задачи в классе алгоритмов линейной свертки (АЛС). С выявлением классов векторных задач, разрешимых с помощью АЛС, связаны имена Купманса, Карлина, Джоффриона, Куна, Саати, Таккера и др. Обзор истории этого вопроса достаточно полно представлен в монографии [1] (см. также [2]).

В настоящей работе исследуется возможность применения АЛС для нахождения всех элементов множества Парето в векторном варианте популярной среди специалистов комбинаторной оптимизации p -center problem, т. е. задачи о наилучшем размещении p центров обслуживания (см., например, [3, 4]). Показано (см. ниже теорему 1), что существуют векторные задачи о p -центре, не разрешимые с помощью АЛС. Аналогичные результаты для разнообразных векторных задач дискретной оптимизации (о коммивояжере, об остовном дереве, о совершенных паросочетаниях и др.) были получены ранее в [5-10].

Далее в статье на основе известного достаточного признака разрешимости [11] строится алгоритм, позволяющий сводить любую векторную задачу о p -центре к эквивалентной

и разрешимой задаче. Ранее в работах [11-13] подобные алгоритмы сведения были разработаны для векторных траекторных задач с другими видами частных критериев.

2. Основные определения и обозначения

Рассмотрим векторный (s -критериальный) вариант задачи о p -центре. Для этого введем следующие обозначения:

Nm ={1,2,...,m} - множество возможных пунктов размещения поставщиков (оборудования, складов, средств обслуживания и т. п.),

N - места расположения потребителей,

k mxn „

Dk =[а.. ] е R - матрица затрат, связанных с доставкой требуемого количества

k У

продукта из пункта i е Nm в пункт j е N по критерию k е Ns.

Вектор D = (Dj, D2,..., Ds), состоящий из всех матриц затрат, будем называть системой затрат.

Пусть 1 < p < m - 1 и пусть некоторая система подмножеств (p -центров) T множества

Nm такова, что

111= p, "t е T.

'Работа выполнена при финансовой поддержке Межвузовской программы Республики Беларусь «Фундаментальные и прикладные исследования» (грант 492/28).

Как обычно (см., например, [9-13]), элементы множества T будем называть траекториями. На множестве траекторий T зададим векторную целевую функцию

f (t, D) = (Л (t, Di), f (t,D2),..., fs (t,Ds)),

частными критериями которой являются критерии «узкого места» [3, 4]:

k

f, (t, Dk) = maxmin d..  min, k e N .

k k JeNn iet 1} teT s

Под s -критериальной

Ps (T, D) ={t e T :" t' e T t f t'},

D

где f - отрицание бинарного отношения f , которое задает паретовский принцип оптимальности:

DD

t f t' ö f (t, D) > f (t', D) & f (t, D) Ф f (t', D).

D

Такую задачу мы будем обозначать Zs (T,D). Скалярную (однокритериальную) задачу

^тхп (Т, В), В е ^ можно интерпретировать как экстремальную задачу на графах или сетях. Например, если граф представляет собой сеть дорог, а вершины - пункты возможного размещения р центров обслуживания и места расположения потребителей, то требуется так разместить эти центры, чтобы минимизировать наибольшее расстояние от произвольного потребителя до ближайшего к нему центра (пункта обслуживания). Желание оптимизировать размещение р -центров по нескольким критериям и приводит к изложенному выше варианту векторной задачи.

Следуя [6-8], задачу п (Т, В), 5 > 2 назовем разрешимой с помощью АЛС, если выполняется равенство

Р5 (Т, В) = X5 (Т, В),

где

х5 (Т, в )= ит (1),

1еЛ 5

Л5 ={1 = (11512,к, 15) : Ь,к =1, 1к >0, к е N},

к=1

Т(1) = Лгмш1п{<1, /(Г, В)>: I е Т}

и (1, /(I, В)> = 21 к/к (^, Вк) - линейная свертка критериев /к (, Вк), к е N5.

к=1

Тем самым, задача

2 (Т, В) разрешима, если для любой эффективной траектории t е Р5 (Т, В) найдется такой вектор 1 еЛ5, что

(1*,/(Г\В)> = ш1п{(1*,/(Г,В)>: Г е Т},

т. е. всякая траектория t е Р5 (Т, В) может быть найдена в результате решения скалярной задачи с целевой функцией, представляющей собой линейную свертку частных критериев с подходящим

* 5

вектором 1 из Л . Другими словами, в случае, когда задача разрешима с помощью АЛС, имеется потенциальная возможность получения всего множества Парето с помощью свертки критериев.

В противном случае, т. е., когда существует такая траектория t е Р5 (Т, В), что для любого вектора 1еЛ5 выполняется неравенство

<1, f (t , D)> > шш{<1, f (t, D)>: t е T},

задача Zsm п(Т,D) называется неразрешимой с помощью АЛС. Очевидно, что в этом случае имеет место строгое включение

X* (Г, D) с Р" (Т, D).

3. Неразрешимость

Множество траекторий Т назовем примитивным, если выполняются следующие два условия: 1) существуют такие три попарно различные траектории t1,12 и t3, что

где

I е и \ / , I = 1,2,3,

t = и (^ п ^ ),

1<г1 <г2 £3 1 2

2) для любой траектории t е Т 12, t3} выполняется равенство

t п N3 = 0.

Таким образом, в случае, когда множество Т примитивно, число пунктов возможного размещения поставщиков т > 4 .

Теорема 1. Для всякого примитивного множества траекторий Т существует такая

система затрат D, что векторная задача о р-центре ZSmп (Т, D), р > 1, * > 2, т > 4, п > 1 неразрешима с помощью АЛС.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай двух критериев (* = 2). Пусть tl, t2, t3 -тройка траекторий, фигурирующих в определении примитивного множества Т. Пусть матрицы

^ = [

Я

к = 1,2 имеют вид

' 0 0 . . 0 а а а

а а а 0 0 . . 0

Ь Ь . Ь Ь Ь . Ь

, D2 =

с с с с с с

V с с  с Vс с  с 0

где с > а > Ь > а/2 > 0.

Тогда, учитывая примитивность множества Т, легко получаем векторные оценки всех траекторий из Т :

f (t1, D) = (0, а), f ^ 2, D ) = ( а, 0), f (tз, D) = (Ь, Ь),

f ^,D) = (с,с) "t е Т t2,t3}.

22 Поэтому Р (Т, D) = {/ /2, /3}, и для любого вектора 1еЛ справедливы соотношения

<1, f (t3, D)> = Ь > а/2 > шт{<1, f (^, D)>: / = 1,2} > шт{<1, f ^, D)>: t е Т}. (1) Отсюда следует справедливость теоремы в случае, когда * = 2.

Окончательное доказательство теоремы (* > 2) получаем, если к прежним матрицам D1 и D2 добавим матрицы

Б. = Б2, к е 3,4,...,5.

к 2' ' ' '

В результате получаем следующие векторные оценки траекторий:

/(грБ) = (0,а,а,.,а) е Я5, /(г2, Б) = (а,0,0,. ,0) е Я5, /(г3, Б) = (6, Ь, Ь,..., Ь) е Я5, /(г,Б) = (с,с,.,с) е Я5 "г е Т \ {/1,г2,г3>.

Поэтому Р (Т, Б) = {г, , г2, г3>, и для любого вектора 1еЛ вновь справедливы

соотношения (1).

Теорема 1 доказана.

4. Алгоритм Т

Каждый из пяти этапов алгоритма Т построения видоизмененной системы затрат Б состоит из 5 шагов (5 > 2).

Этап 1. Шаг к е N. Для любого индекса ] е N упорядочим все элементы

к

С.., I е Nт, . -го столбца матрицы Бк :

ёк. > ёк. > . > ёк .. '11 '21 'т1

Этап 2. Шаг к е N . Удалим из матрицы Бк все элементы последовательностей

ёк. > ёк . > . > ёк ., 1 е N ,

'1. '2! 'д. ^ п

где д = р - 1.

Этап 3. Шаг к е N. Перенумеруем все оставшиеся элементы матрицы Бк в порядке

неубывания

'Л

где и = п(т - р + 1). Естественно, что все эти элементы остаются на прежних местах матрицы Бк .

ьк < ьк7 < к < ьк,

Этап 4. Шаг к е N . Преобразуем элементы неравенства (3) с помощью следующей рекуррентной формулы

к

Ь , если г = 1,2,

Ьк = если Дк

Ьк + 5(6— - Ь^) + Ь^, если Дк(г,г - 1) > 0, г = 3,4,...,и,

к к к -к -к -к где Д (у, w) = Ьи - Ьк. В результате получаем , Ь2,..., Ьи .

Этап 5. Шаг к е N. Каждый элемент последовательности (2), удаленный на этапе 2,

заменяем одним и тем же числом Ь ^ + 1, т. е. для каждого . е ^ полагаем

% '1! = % '2! = к = % 'д. = С + 1. В результате работы алгоритма Т система затрат Б заменяется системой

Б = (Б,, Б,, к, Б), где Б, =[с1к. ] .

ч1> 2' ' 5 ^ * ^ к 1 г] лтхп

Замечание 1. Нетрудно понять, что для любого индекса к е Ns и для всякой траектории t выполняется неравенство

fk (t. D )< С+1.

5. Обоснование алгоритма

Сначала докажем, что полученная в результате работы алгоритма Y векторная задача Zsm (T, D) разрешима с помощью АЛС. Для этого воспользуемся известным достаточным

признаком разрешимости векторных дискретных задач [11], сформулировав его в удобном для нас виде. Для этого, в свою очередь, введем новое понятие регулярности множества попарно различных чисел.

При любых натуральных числах s > 2 и h > 1 множество, состоящее из h попарно различных чисел, будем называть (s, h)-регулярным, если после упорядочения этих чисел по возрастанию

а < а. < ... < а, 1 2 h

при h > 3 выполняются неравенства

s -S(r + 1,1) <S(r + 2,1), r е Nh-2,

где 5(м, v) = аи - av.

Замечание 2. Очевидно, что множество, состоящее из одного или двух различных элементов, является соответственно (s, 1) - и (s, 2) -регулярным при любом s > 2 .

В этих терминах для s -критериальной дискретной задачи Zs

f (t)  min, к е N ,

к teT s

где s > 2, fk (t) e R, | T |< ¥, справедлив следующий достаточный признак разрешимости.

Теорема 2 [11]. Если для любого индекса k е Ns множество, состоящее из всех h(к) различных значений к-го частного критерия fk (t) на множестве T, является (s, h(k)) -

регулярным, то задача Z разрешима с помощью АЛС.

Легко видеть, что для всякого индекса k е Ns множество всех h(к) различных чисел последовательности

bk, b2k,..., bk, 1 ' 2 ' ' и '

полученной в результате работы этапа 4 алгоритма Y, является (s, h(к))-регулярным. Отсюда, учитывая замечание 1, заключаем, что множество всех h'(к) (h'(к) < h(к)) различных значений

к -го частного критерия fk (t, Dk) на множестве T является (s, h' (к))-регулярным, и поэтому

в силу теоремы 2 задача Zsm (T,D) является разрешимой с помощью АЛС.

Исходя из строения алгоритма Y, легко убеждаемся в справедливости для любых траекторий t и t' следующей формулы:

t f t' ö t f t' ,

D D

которая свидетельствует, что векторные задачи Zsm (T,D) и Zsm (T,D) эквивалентны,

т. е. справедливо равенство Ps (T, D) = Ps (T, D).

Нетрудно видеть, что сложность этапов 1 и 2 алгоритма Y в совокупности составляет O(snm log2 m). Этап 3 представляет собой многопутевое слияние упорядоченных числовых

последовательностей, временная сложность выполнения которого не превосходит О(яп(т - р + 1) 1оя2 п) (см., например [14]). Сложность выполнения этапов 4 и 5 не влияет на общую временную сложность алгоритма Т и составляет О(яп(т - р + 1)) и О(яп(р - 1)) соответственно.

Резюмируя вышесказанное, заключаем, что справедлива

Теорема 3. Алгоритм Т сводит любую векторную задачу о р -центре (Т,П), я > 2 к эквивалентной задаче (Т,П), разрешимой с помощью АЛС,

тхп4 ' тхп ^ ^ 1

причем сложность алгоритма Т составляет О(яп(т 1og2 т + (т - р + 1) 1о§2 п)) операций. Непосредственно из теоремы с учетом замечания 2 вытекает

Следствие. Задача хп (Т, П) разрешима с помощью АЛС, если И(к) < 2 для каждого к е ^ . 6. Пример

Рассмотрим бикритериальную задачу о 2-центре порядка 5 х 2 , т. е. я = 2, р = 2,

т = 5, п = 2. Пусть Т = {/1, /2, /3, /4>, где ^={1,2}, ¿2={2,3}, /3 ={3,4}, /4 = {4, 5}. П = (П1, П2), где

4 01 Г 2 6

0 6 1 10

6 4 , П2 = 0 4

10 2 8 0

8 10 110 3

2

Тогда векторные оценки траекторий задачи 2 52 (Т, П) имеют вид

/ (^ П) = (0,6), / (Г 2, П) = (4,4), /П) = (6,0),

/ (Г 4, П) = (8,8).

22 Легко видеть, что Р (Т,П) = {/1, г2, t3>, причем задача 25х2(Т,П) неразрешима,

так как для любого вектора 1еЛ2 справедливы соотношения

<1, /(^, П)> = 4 > 3 > шп{<1, /(/., П)>: I е ^ },

т. е. /2 ^ Х2(Т, П).

Преобразуем систему затрат П в П = {ПП1, П2} с помощью алгоритма Т.

Этап 1. В матрицах П1 и П2 перенумеруем числа каждого столбца по возрастанию

Г 42 011 Г 23 64 1

01 65 12 105

63 44 , П2 = 01 43

105 23 84 01

8 12 0 1 ю5 32 0

Этап 2. Из каждого столбца матриц П1 и П2 удалим одно (q = р - 1 = 1) наибольшее число:

О1 =

,1 Л

О2 =

,4\

х ! 1

Этап 3. Перенумеруем все оставшиеся числа каждой матрицы Б1 и О2 в порядке неубывания, располагая их в массивах В1 и В2 соответственно:

О1 =

1

, 1 ,1

О2 =

4

В = (Ь1, ь2, ..., ¿8) = (0,0,1,2,4,4,6,8),

В2 = (Ь12, й2, к, й2) = (0,0,1,2,3,4,6,8).

Этап 4. Преобразуем числа массивов В1 и В2 согласно формуле (4):

В1 = (й/, ¿2, к, ¿8) = (0,0,1,4,12,12,30,68),

В2 = (й12, й22, к,¿82) = (0, 0,1, 4,11, 26, 58,124).

Этап 5. В каждом столбце матрицы на месте удаленного на этапе 2 числа записываем число

¿1 +1 = ¿8 +1 = 69, а в каждом столбце матрицы О2 - число

О1 =

V

ь2 и +1 = ь2 +1 = 125.

12 01 Г 4 58

0 69 1 125

30 12 , О = 0 26

2

69 4 124 0

68 1 0 125 11

В результате работы алгоритма Т получаем задачу 75х2(Т, О), в которой векторные оценки имеют вид

/ О) = (0,58), / (Г 2,0) = (12,26), / О) = (30,0),

/ (Г 4,0) = (68,124).

2 2 2 2 Поэтому Р (Т, О) = Р (Т, О), т. е. задачи 75х2(Т, О) и 75х2(Т, О) эквивалентны.

Кроме того, полагая

I1 = (0.9,0.1),

2

1 =(0.6,0.4),

1 =(0.1,0.9),

будем иметь

<1, f (t1, D)> = mmKI1, f (t., D)> : i e = 5.8, <12, f (t2,D)> = min{(12,f (t.,D)> : i e ^4} = 17.6,

<13, f (t3, D )> = min{<13, f (t., D )> : i e ^4} = 3.

2

Следовательно, задача Z5x2 (T, D) разрешима с помощью АЛС.

Литература

1. Подиновский, В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач / В. В. Подиновский, В. Д. Ногин. - М. : Наука, 1982. - 256 с.

2. Ногин, В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде. Количественный подход / В. Д. Ногин. - М. : Физматлит, 2002. - 176 с.

3. Кристофидес, Н. Теория графов. Алгоритмический подход / Н. Кристофидес. - М. : Мир, 1978. - 432 с.

4. Замбицкий, Д. К. Алгоритмы решения оптимизационных задач на сетях / Д. К. Замбицкий, Д. Д. Лозовану. - Кишинев : Штиинца, 1983. - 115 с.

5. Емеличев, В. А. Многокритериальные задачи об остовах графа / В. А. Емеличев, В. А. Перепелица // Доклады АН СССР. - 1988. - Т. 298, № 3. - С. 544-547.

6. Emelichev, V. A. Complexity of vector optimization problems on graphs / V. A. Emelichev, V. A. Perepeliza // Optimization. - 1991. - V. 22, № 6. - P. 903-918.

7. Емеличев, В. А. О неразрешимости с помощью алгоритмов линейной свертки векторных задач на графах / В. А. Емеличев, В. А. Перепелица // В сб. : IV Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. - Кишинев. - 1991. - C. 82-83.

8. Емеличев, В. А. Сложность дискретных многокритериальных задач / В. А. Емеличев, В. А. Перепелица // Дискр. математика. - 1994. - Т. 6, вып. 1. - С. 3-33.

9. Емеличев, В. А. О неразрешимости векторных задач дискретной оптимизации на системах подмножеств в классе алгоритмов линейной свертки критериев / В. А. Емеличев, М. К. Кравцов // Доклады РАН. - 1994. - Т. 334, № 1. - С. 9-11.

10. Емеличев, В. А. О задачах векторной дискретной оптимизации на системах подмножеств, неразрешимых с помощью алгоритмов линейной свертки / В. А. Емеличев, М. К. Кравцов // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1994. - Т. 34, № 7. - С. 1082-1094.

11. Кравцов, М. К. О разрешимости векторной задачи с помощью алгоритма линейной свертки критериев / М. К. Кравцов, О. А. Янушкевич // Мат. заметки. - 1997. - Т. 62, вып. 4. - С. 502-509.

12. Условия разрешимости векторных задач с помощью линейной свертки критериев / Э. Гирлих [и др.] // Кибернетика и системный анализ. - 1999. - № 1. - С. 81-95.

13. Емеличев, В. А. Разрешимость векторной траекторной задачи на «узкие места» с помощью алгоритма линейной свертки критериев / В. А. Емеличев, М. К. Кравцов, О. А. Янушкевич // Докл. АН Беларуси. - 1996. -Т. 40, № 4. - С. 29-33.

14. Кнут, Д. Э. Искусство программирования. Сортировка и поиск / Д. Э. Кнут. - СПб. : Вильямс, 2000. - Т. 3. - 832 с.

Summary

A translation algorithm of possible insoluble problem to solvable and equivalent problem is produced.

Поступила в редакцию 10.10.06.

УДК 519.8

В. А. Емеличев, Е. Е. Гуревский

О РАДИУСЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЭФФЕКТИВНОГО РЕШЕНИЯ ВЕКТОРНОЙ КОМБИНАТОРНОЙ ЗАДАЧИ РАЗБИЕНИЯ 2

Практически любая задача, относящаяся к проблемам проектирования, планирования и управления в технических и организационных системах, носит ярко выраженный многокритериальный характер. Во многих случаях возникающие при этом многоцелевые модели

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Межвузовской программы Республики Беларусь «Фундаментальные и прикладные исследования» (грант 492/28).