Исследование концентрации напряжений в пластинке с выточками методом граничных уравнений

УДК 539.3 + 624.042.1

А.А. Ходжибоев

ТТУ им. акад. М. С. Осими

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛАСТИНКЕ С ВЫТОЧКАМИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Исследована концентрация напряжений в пластинке с двумя боковыми выточками под действием заданных напряжений на поверхности. Исходя из теоремы о взаимности работ, получены граничные интегральные уравнения. Для определения поля перемещений в ограниченной изотропной упругой плоскости от действия единичных сил использовано фундаментальное решение Кельвина. Разработанные математическая модель и алгоритм расчета реализованы для численного решения пластины с боковыми выточками. Сравнение результатов расчета с известными решениями показывает их хорошую сходимость. Выявлено, что с уменьшением радиуса округления выточки уровень концентрации напряжений повышается.

Ключевые слова: выточка, радиус округления, концентрация напряжений, конечное тело, граничные элементы, фундаментальное решение, численное решение, граничные уравнения.

Актуальными остаются вопросы определения напряженно-деформированного состояния на контурах концентраторов напряжений в различных телах. В предлагаемой работе разработаны математическая модель и алгоритм расчета перемещений, деформаций и напряжений на контуре пластины с боковыми выточками методом граничных уравнений. Для вывода разрешающих граничных уравнений рассмотрим пластинку конечных размеров с двумя боковыми выточками (рис.) под действием заданных напряжений на поверхности. Исходя из теоремы о взаимности работ [1], можно получить интегральные уравнения, которые после дискретизации могут быть представлены в виде системы алгебраических уравнений [2]:

k k 7 au.+ 7 au . ¿J 4 xj j yj j=i j=i k k = 7ejPxj+7 fij Pyj, '" = 1 2, k, j=i j=l

k k k k

7 c u . + 7 d*u . ¿—¡ j Xj ¿—1 j yj j=i j=i =7 g jPj +7 h«Pyj, j=i j=i

где ux, uy — искомые перемещения; px, py — заданные на поверхности пластинки напряжения; к — количество элементов на внешнем контуре тела, включая контуры округления и выточки; коэффициенты определяются на основе решения Кельвина [3] по следующим формулам:

cos у

aÍj = a¡j + 8j/2 dj = dij +8j/2, av =-b J ( + 2wf )-"-dsj,

ASj rj

Г sin Y ¡i r cosy н b„ = b  с I -- ds. — 2b I m • m2-- ds.,

J J y J J r

ASj ij ASj ij

Г sin у н r cosy н с. = -b  c I -ds. — 2b I ml  m2-ds.,

AS. rj AS. rj

d v =-b J (c + 2m22) dSj, e v = - a J [(3 - 4v) ln rtJ - mf ] dsj,

AS. rij AS,

© Ходжибоев А.А., 2012

121

ВЕСТНИК

8/2012

f = a J щщdsj, g ij = fj > hij =-a J [(3 - 4v)lnrj -m2]dsj,

ASj ASj

где cos jy = nlml + n2m2, sinjj = m]n2 -m2n1, nl = cosa¡, n2 = sina1; ml = cosPj,

m2 = sin P1; гу = ^(ху - xi)2 + (yj - yi)2 J — радиус-вектор (расстояние) между точкой наблюдения p и точкой к, где определяются перемещения; Р1, Р2 — углы между радиус-вектором и осями x и y; a1, a2 — углы между нормалью в точке к и осями x и y; a = 1/8%G(1 -v), b = 1/4л(1 -v), c = 1 - 2v, — символ Кронекера.

ji x

_ W W La_ A th A T

h ,  ii ; n

Образцы с боковыми выточками

Из решения системы алгебраических уравнений (1), при заданных напряжениях на контуре тела, определяется вектор перемещений размера 2к, компонентами которого являются перемещения ых1, ыу! на контуре тела. Далее вычисляются тангенциальные напряжения.

В табл. 1 приведены результаты численного решения задачи пластинки с боковыми выточками (рис., а) при А = 5, В = 15, г = 0,15, а = 1, в = 0,6640 (размеры в мм) а°у = 1 кгс/мм2, О = 1 кг/мм2, V = 0,25 и различных разбиениях контура округления выточки. Общее число элементов для всего контура образца составляет 12^ = к, где N — число элементов на отрезке dD. Из полученных результатов следует, что имеет место хорошая сходимость. Полученный коэффициент концентрации напряжений Кп = 6,85 на 2 % отличается от значения, вычисленного методом конечных элементов [4].

Табл. 1. Напряжения, деформация и перемещения в контрольных точках пластинки с боковыми выточками

B

б

а

N üsc SSH SSC UnH UnF

5 7,0686 0,9796 2,6507 0,3673 —0,1359 5,8202

7 6,8609 0,9881 2,5728 0,3705 —0,1240 5,8375

9 6,8506 0,9907 2,5690 0,3715 —0,1195 5,8501

В табл. 2 представлены численные результаты, полученные в зависимости от геометрии выточки, при N = 7. С уменьшением радиуса г округления уровень концентрации напряжений повышается, и также увеличиваются деформации и перемещения. В табл. 3 приведены результаты численного решения задачи с полукруглыми выточками (рис., б) при В / А = 3. Схема разбивки на граничные элементы следую-

щая: контур ИБ разбивается на п0 элементов, ПК на п1 и ЕМ на п2 соответственно.

Значение Ы0 вычисляется по формуле Ы0 = 2(2п0 +1) + 4п1 + 2п2. Численные эксперименты показывают, что коэффициент концентрации напряжений приближается к значению Кп = 3,7.

Табл. 2. Сравнение результатов при различных значениях г

r/a ^ sc SSH SSC UnP b/a

0,10 8,0387 0,9881 3,0145 0,3705 -0,1420 5,8376 0,6351

0,15 6,8609 0,9881 2,5728 0,3705 -0,1240 5,8373 0,6640

0,30 5,2593 0,9881 1,9723 0,3705 -0,0869 5,8449 0,7506

0,5 4,4567 0,9887 1,6713 0,3708 -0,0559 5,8359 0,8660

Табл. 3. Полукруглые выточки

n0 n1 n2 CTsc SSH SSC U„H U„F

7 7 7 3,4036 0,9880 1,2764 0,3705 -0,0135 5,8656 72

11 7 7 3,5826 0,9880 1,3435 0,3705 -0,0156 5,8653 88

13 7 7 3,6755 0,9880 1,3783 0,3705 -0,0165 5,8654 96

13 9 9 3,6908 0,9905 1,3841 0,3714 -0,0141 5,8753 108

Таким образом, разработаны математическая модель и алгоритм расчета концентрации напряжений в пластине с двумя боковыми выточками, которые позволяют исследовать напряженно-деформированное состояние контура тела, включая контуры выточек, на основе метода граничных уравнений.

Библиографический список

1. Новацкий В. Теория упругости. М. : Мир, 1975. 872 с.

2. Низомов Д.Н. Сингулярное поле напряжений вблизи трещины // Актуальные проблемы научных исследований сейсмоактивных территорий : материалы республиканской науч. конф. Д., 19—20 октября 2007. С. 144—148.

3. Бреббия К., ТеллесЖ., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М. : Мир, 1987. 524 с.

4. Мавлютов Р.Р. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. М. : Наука, 1981. 141 с.

Поступила в редакцию в июле 2012 г.

Об авторе: Ходжибоев Абдуазиз Абдусатторович — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой строительной механики и сейсмостойкости сооружений, Таджикский технический университет имени академика М.С. Осими Министерства образования Республики Таджикистан (ТТУ им. акад. М.С. Осими), 734042, Республика Таджикистан, г. Душанбе, проспект академиков Раджабовых, д. 10, +992 918 89 35 14, hojiboev@mail.ru.

Для цитирования: Ходжибоев А.А. Исследование концентрации напряжений в пластинке с выточками методом граничных уравнений // Вестник МГСУ 2012. № 8. С. 121—124.

A.A. Khodzhiboev

RESEARCH OF THE CONCENTRATION OF STRESSES IN A RECESSED PLATE USING THE METHOD OF BOUNDARY EQUATIONS

The subject of the research is the concentration of stresses in a plate that has two side recesses, if the plate is exposed to the pre-set surface stress. Boundary integral equations are derived on the basis of the reciprocity theorem. The fundamental Kelvin solution is used to define the displacement area in the finite isotropic elastic plane. The mathematical model and the solution algorithm, both developed by the author, represent a numerical solution designated for the plate

Designing and detailing of building systems. Mechanics in civil engineering

123

вестник 812012

that has two side recesses. Comparison of results with well-known solutions demonstrates their good convergence. The author has discovered that the smaller the radius of the recess, the higher the stress concentration.

Key words: recess, circle radius, stress concentration, finite body, boundary elements, fundamental solution, numerical solution, boundary equations.

References

1. Novatskiy V. Teoriya uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow, Mir Publ., 1975, 872 p.

2. Nizomov D.N. Metod granichnykh uravneniy v reshenii staticheskikh i dinamicheskikh zadach stroitel'noy mekhaniki [Method of Boundary Equations Employed to Solve Static and Dynamic Problems of Structural Mechanics]. Moscow, ASV Publ., 2000, 282 p.

3. Brebbiya K., Telles Zh., Vroubel L. Metody granichnykh elementov [Methods of Boundary Elements]. Moscow, Mir Publ., 1987, 524 p.

4. Mavlyutov R.R. Kontsentratsiya napryazheniy v elementakh aviatsionnykh konstruktsiy [Concentration of Stresses in Elements of Aircraft Structures]. Moscow, Nauka Publ., 1981, 141 p.

About the authors: Khodzhiboev Abduaziz Abdusattorovich — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Chair, Department of Structural Mechanics and Seismic Resistance of Structures, Tajik Technical University named after academic M.S. Osimi, 10 Akademikov Radzhabovyh St., Dushanbe, 734042, Republic of Tajikistan; hojiboev@mail.ru; +992 918-89-35-14.

For citation: Khodzhiboev A.A. Issledovanie kontsentratsii napryazheniy v plastinke s vytochkami metodom granichnykh uravneniy [Research of the Concentration of Stresses in a Recessed Plate Using the Method of Boundary Equations]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 8, pp. 121—124.