Расчет реактивных проводимостей компенсатора для трехпроводной сети

УДК 621.31

Ю.А. Сиротин

РАСЧЕТ РЕАКТИВНЫХ ПРОВОДИМОСТЕЙ КОМПЕНСАТОРА ДЛЯ ТРЕХПРОВОДНОЙ СЕТИ

Розглянуто задачу компенсації неактивної потужності у трипровідній трифазній мережі з несиметричною синусоїдальною напругою. Запропоновано алгоритм обчислення реактивних провідностей А-компенсатора за складовою повного струму, активна потужність якої дорівнює нулю. Розглянуто приклади розрахунків.

Рассмотрена задача компенсации неактивной мощности в трехпроводной трехфазной сети с несимметричным синусоидальным напряжением. Предложен алгоритм вычисления реактивных проводимостей А-компенсатора по составляющей полного тока, активная мощность которой равна нулю. Рассмотрены примеры расчетов.

ВВЕДЕНИЕ

Активная мощность характеризует безвозвратную (необратимую) передачу и потребление электроэнергии электроприемниками (нагрузкой). Наличие реактивной мощности (мощности сдвига и/или несбалансированной мощности), пульсации мгновенной мощности в точке подключения нагрузки к трехфазному несимметричному синусоидальному напряжению указывает на неоптимальность передачи электроэнергии. В точке подключения напряжение и активная мощность нагрузки определяют так называемый активный ток для данной нагрузки [1, 2]. Такой активный ток с минимальным действующим значением поставляет в эту нагрузку энергию с полной активной мощностью. Ток, дополняющий активный ток до полного тока нагрузки (неактивный ток), приводит к дополнительным потерям в цепи источника. Однако неактивный (реактивный) ток требуется для нормальной работы нагрузки (например, временной сдвиг между током и напряжением для вращающихся машин) и может создаваться компенсирующим устройством (КУ) в точке подключения нагрузки. Компенсатор удаляет (частично или полностью) неактивный (реактивный) ток из цепи источника и уменьшает (или полностью устраняет) дополнительные потери.

Активная мощность неактивного тока (или его части) равна нулю и компенсатор может быть реализован как нагрузка с чисто реактивными элементами.

Задача состоит в том, чтобы по требуемому току компенсатора при несимметричном напряжении рассчитать его ЬС реактивные элементы. В работе показано, как в трехпроводной системе по заданному 3-проводному току, активная мощность которого равна нулю, найти соответствующую нагрузку (типа треугольник) с чисто реактивными элементами.

НЕСБАЛАНСИРОВАННЫЙ И НЕУРАВНОВШЕННЫЙ РЕЖИМЫ

В синусоидальном режиме локальное энергетическое состояние в точке присоединения несимметричной нагрузки к 3-фазной сети контролируется измерениями векторов комплексных действующих значений (3-комплексов) тока и напряжения в сечении <А,В,С> ее трех фаз

и =

здесь и дальше т - символ операции транспонирования векторов.

В 3-проводной сети напряжения трех фаз измеряются относительно искусственной точки заземления [1]. Токи удовлетворяют I закону Кирхгофа. Это приводит к выполнению условий

ia + ib + ic = 0, Ua + Ub + Uc = 0.

Токи и напряжения (1, 2), удовлетворяющие (3) не содержат 0-последовательности (0-уравновешенны).

Стандартная комплексная мощность

S = UaC + Ubit + üX, S = P + jQ

дополнительно к активной мощности, определяет реактивную мощность (мощность сдвига) синусоидального режима

• 1 fT •

Re S = P = t £ p

где знак - знак комплексного сопряжения, Т - основной период (Тю=2я).

В синусоидальном режиме мгновенная мощность (ММ) определена формулой

p

Если комплексная мощность пульсаций_

N = Ne! argN = Uai a + Ubi b + Uci c

не равна нулю, то режим неуравновешен.

3-комплексы тока и напряжения (1, 2) определяют эквивалентные проводимости фаз

Yk = i jUk , k e{a, b, c}.

Если эквивалентные проводимости фаз (8) не равны между собой, то режим несбалансирован. Несбалансированный режим характеризуется мощностью небаланса [1]. В 3-проводной сети мощность небаланса вычисляется по формуле

Do = jj[ia

При несимметричном напряжении мощности (7) и (9) не равны, и входят в разные уравнения мощности (квадратичные разложения кажущейся мощности):

• уравнение несбалансированного режима [1]

S'b = P2 + Q2 + Do2,

• уравнение неуравновешенного режима [1]

SB = N2 + K o2.

© Ю.А. Сиротин

Комплексная непульсирующая мощность [1] в 3-проводной сети вычисляется по формуле

1 • * * • *

К =-3[1а(и* - и*) +1ь (ис - иа)] +I *(Па - иь)].

Кажущаяся мощность определена как произведение

Бв = и • I

действующих значений напряжения

U = yj\ü\2 +1 Üb \2 +\ÜC\2 ,1 = yl\îa |2 +\ІЬ |2 +|/с|2 .

Коэффициент мощности

P P

Х =

sb <Jp 2 + Q2 + D

характеризует дополнительные потери.

КУ метода оптимального непульсирующего режима (ОНР) [2] в цепи источника формирует 3-комплекс тока

1S =-

P

U 2п

Uл ; ( п = -п X

X -п - (1-кЦ)2)/(1 + k

Активная мощность тока КУ

U 2

).

IK = I -1 s

равна нулю.

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАКОНА ОМА И КИРХГОФА В НАГРУЗКЕ ТИПА ТРЕУГОЛЬНИК В нагрузке типа треугольник выберем последовательность обхода ветвей (рис. 1).

Рис. 1. Д-нагрузка

Определим 3-комплексы межфазных токов и напряжений

ІЛ = [І ab, î bc, î ca Г,

ил= [U ab ,Ubc ,Uca Ґ .

I закон Кирхгофа определяет связь 3-комплексов

фазных (2) и межфазных (17) токов

I - MI л ,

где

^ 1 0 -1

M -

-1 1

0 -1

I л= Y л^л.

где ил - 3-комплекс межфазных напряжений; П - комплексный множитель, характеризующий не-симметрию напряжения [2] .

Ток цепи источника (14) поставляет активную мощность Р исходного несбалансированного и неуравновешенного режима без пульсаций с минимальными потерями [2]. КМ нового уравновешенного режима не зависит от несимметрии нагрузки и определен модулем комплексного множителя, X = П = \П \-КМ представляется через коэффициент ки2 асимметрии напряжения по обратной последовательности

2

- матрица инцидентности схемы типа треугольник.

3-комплексы межфазных токов и напряжений связаны матричной формой закона Ома

где Ул = diag{YAB ,YBC ,Yqa\ - диагональная матрица межфазных проводимостей: Yab = Gab + JBab ,

YBC = Gbc + JBBC , yca = Gca + JBCA

3-комплексы фазных (1) и межфазных (18) напряжений связаны матрично-векторным соотношением

ил = MTU,

где Mт - транспонированная матрица инцидентности.

С учетом (21) и (22) цепочка преобразований 3-комплекса тока

i=Mi л = M(yaua )=M (#л M2U ) = (MYaM т )u = Yu

^~гЛ^ U Л ' Y '

дает векторно-матричную связь

I = Yu

между 3-комплексами линейных токов и фазных (узловых) напряжений.

Матрица узловых проводимостей Д-нагрузки

(16) yab - yab - yca

Y = MYK Mт = - yab о і 0 1

- yca 1 Y о YBC + yca

определяет матричную форму закона Ома (23) для Д-нагрузки в фазовых координатах.

Связь матричных форм законов Ома и Кирхгофа в фазных и межфазных координатах представляются следующей диаграммой

U

Ул

л

л

і M

КОМПЛЕКСНЫЕ МОЩНОСТИ В ТОЧКЕ ПРИСОЕДИНЕНИЯ Д-НАГРУЗКИ Комплексная мощность Д-нагрузки

¿Л = SAB + SBC + SCA

вычисляется через 3-комплексы межфазных токов и напряжений

*J* -г 'i' Л т *** ^ ***

¿л = 1Лил =

С учетом закона Ома (21) имеем

¿Л = YAB I Uab |2 +YBC I Ubc |2 +YCA I Uca P .

Справедлива цепочка преобразований

¿Л = U\ 1*л = (МХ3)Х 1*л = UтМ1*л = UтI* = S .

ил ґ

Тем самым комплексная

Из (28) следует, что активная мощность А - нагрузки обусловлена ее активными элементами и равна потребляемой из сети активной мощности

РЛ = Re[SA] = GAB I Uab |2 +GBC I Ubc |2 +GCA I U ca P Чисто реактивная А-нагрузка не потребляет активную мощность

Gab = Gbc = Gca = 0 » P = Рл .

РЕАКТИВНЫЕ ПРОВОДИМОСТИ Д-КОМПЕНСАТОРА КУ выполняется как чисто реактивная Д-нагрузка и не потребляет из сети активную мощность. При чисто реактивной Д-нагрузке 3-комплексы межфазных токов

к

компенсатора /д и 3-комплексы межфазных напряжений

jLKbi = t/Л I

к

IK = jBK ил..

ВЛк Uл= илЬК .

Уравнение (32) запишется как

Iк = jMUлЬК .

Умножим уравнение (35) слева на комплексно сопряженную матрицу иЛ = diag{Uдв, Пвс, иСА}.

Имеем систему линейных алгебраических уравнений в стандартной форме

Матрица

" Ulb 0 b a c •b -

JLa = jU лM U л = j a - UabUbc 0

0 * 8 b c b •b - U2 ca

известна, ее диагональные элементы чисто мнимые. Искомые неизвестные вещественны. Применим операцию нахождения реальной части к левой и правой части. Имеем систему вещественных уравнений

0 0 \т[исаи*аЬ ]

!т[иаЬи;с ] 0 0

0 М^сЦа ] 0

которая распадается и дает следующие формулы

1ш[ЦаЬиЬс]

Re[/ ки*л ] Re[1 Kubc ] Re[1 KU*a ]

bK

BAB

bK

BBC

bK

BCA

bK = BAB =

Re[iKul ]

bK = Im[UbcUca]

bbc =-----K“*—

Re[/cKUCa ]

BK = Im[UcaUab] BCA =-----K~*

Re[lKUab ]

Л К к к к

где В л = diag{Bав , Ввс, ВСА } - диагональная матрица

межфазных реактивных КУ.

Согласно (19) и (31) ток компенсатора в фазах 1К (в точке присоединения нагрузки) через его межфаз-ные проводимости записывается как

1К = М1Л = ]МВ\ и л

В уравнении (32) ток компенсатора соответствует требуемой цели компенсации, и, например, может компенсировать один из токов [2]:

• полный неактивный ток (метод Фризе);

• - полный пульсирующий ток + реактивный ток + частично несбалансированный ток (метод ОНР);

• - несбалансированный ток (метод сбалансированной мощности);

• чисто реактивный ток (мощность сдвига), а также любую часть полного тока, с единственным требованием - активная мощность тока, который надо компенсировать, равна нулю.

Преобразуем уравнение (32). Введем вектор меж-

К К К К Т

фазных проводимостей Ьл = [ВАВ, ВВС, ВСА ] и диагональную матрицу межфазных напряжений

ил = Л^{иав, иВС, иСА} .

Воспользуемся векторно-матричным равенством

для вычисления реактивных проводимостей Д-компенсатора, по требуемому 3-комплексу линейного тока компенсатора 1К и измеренному 3-комплексу несимметричных напряжений (1).

ЧИСЛОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Для расчета и моделирования выбран метод ОНР. Моделирование проводились в среде MathCad. В рассматриваемых ниже примерах все величины приведены в относительных единицах, I и I = 1. 3-комплекс напряжения и = (0,616, 0,557е'236,4 ,

0,557е1123,6) имеет симметричные координаты

¿1=0.998, ¿2=0.07. Коэффициент несимметрии напряжения ки2 = 7%, п = 0,99. Д-нагрузка задана меж-фазными проводимостями.

Таблица 1

Параметры Д-нагрузки

№ 1 2 3

yab 1 1-j4 0.3-j0.1

YBC 0 0 0.6-j0.3

yca 0 0 0.22-/0.2

Во всех трех примерах нагрузка выбрана так, что обеспечивается передача энергии с одинаковой активной мощностью Р = 1,07о.е. Параметры исходных режимов сведены в табл. 2. Межфазные реактивные

проводимости вА^в , ВВс , В£а компенсатора, рассчитанные согласно (37), и параметры нового ОНР приведены в табл. 3. Суммарные межфазные проводимости "нагрузка+КУ" определены диагональной

матрицей У Л = У л+ }ВЛ .

Пример 1. Модифицированная схема Штейнте-ца. Одноплечевая активная нагрузка ОАв =1 включена между фазами А и В. Суммарные проводимости "на-

K

nK

грузка+КУ" Y}B = 1 + J0.122 , Y^c = J0.624,

• v

Yca = - j 0.624 отличаются от проводимостей

Steinmetz ’ circuit при симметричном напряжении

( yAb = i , YBC = -YCA =

JOB л/3 = J0.577 ).

Таблица 2

Исходный несбалансированный режим без КУ

№ 1 2 3

Sb 1.463 6.031 1.343

P 1.07 1.07 1.07

Q 0 4.279 0.579

D 0.998 4.113 0.595

N 0.64+/0.86 4.07-/1.7 -0.27+/0.13

À 0.741 0.177 0.825

Пример 2. Индуктор. Одноплечевая нагрузка включена между фазами A и B. Коэффициент мощности cosфAB = Gab/VGAb + bab = 0243. Структурная несимметрия такая же, как и первом примере и компенсируется межфазными проводимостями

( Bkb= 0.122, B§C = 0.624 , BcA =-0.624). Дополнительная индуктивная проводимость (BAB= -4) в

K "

плече AB компенсируется емкостью КУ ( Bab = 4,

BAB = BAB + BAB ).

Пример 3. Типовая 3-фазная несимметричная нагрузка. Три однофазные активно-индуктивные нагрузки (cosфAB=0,894, cosфBC=0,919, cosфAC=0,447) формируют трехфазную несимметричную нагрузку.

Таблица 3

_______Параметры ОНР после компенсации_______

№ 1 2 3

Sb 1.07 1.07 1.07

P 1.07 1.07 1.07

Q 0 0 0

D 0.15 0.15 0.151

N 0 0 0

bK BAB 0.122 4.122 -0.027

bK BBC 0.624 0.624 0.350

bK BCA -0.624 -0.624 0.287

X 0.99 0.99 0.99

Метод ОНП обеспечивает полную компенсацию реактивной и пульсирующей мощности и частичнонесбалансированной мощности при Х«1.

3

2.4

L\A h 1 S

ІВВИ 0 6

LCCk 0 -o.i

PPk “1.Î

”2.4

50 100 150 200

а

50 100 150 200

в

Рис. 2. Поведение кривых тока в фазах и ММ до и после компенсации для рассмотренных примеров

ВЫВОДЫ

При несимметричном синусоидальном напряжении для 3-проводной схемы получены формулы для вычисления реактивных проводимостей .О-компенсатора, активная мощность тока которого равна нулю. Результаты проверены числовым моделированием для метода ОНР.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сиротин Ю.А. Энергетические режимы трехфазной трехпроводной цепи // Вісник НТУ "ХПГ. - 2013. - № 17. -С. 129-143.

2. Сиротин Ю.А. Оптимальная компенсация пульсаций при несимметричном напряжении // Технічна електродинаміка. - 2013. - № 3. - С. 73-80.

Bibliography (transliterated): 1. Sirotin Yu.A. Jenergeticheskie rez-himy trehfaznoj trehprovodnoj cepi. Bulletin of NTU "KhPI", 2013, no.17, pp. 129-143. 2. Sirotin Yu.A. Optymal'naya kompensatsyya pul'satsyy pry nesymmetrychnom napryazhenyy. Technical electrodynamics, 2013, no.3, pp. 73-80.

Поступила (received) 16.09.2013

Сиротин Юрий Александрович, к.т.н., доц.,

Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут", кафедра "Автоматизація енергосистем",

61002, Харків, вул. Фрунзе, 21,

тел/phone +38 057 3433682, e-mail: yuri_sirotin@ukr.net Yu.A. Sirotin

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

21, Frunze Str., Kharkiv, 61002, Ukraine

Calculation of compensating susceptance for a three-wire net.

A problem of inactive power compensation in a three-wire three-phase network under asymmetrical sinusoidal voltage is considered. An algorithm for calculating susceptance of a Д-compensator for the total current component active power of which equals zero is introduced. Examples of calculation are given.

Key words - three-phase network, compensation, asymmetrical voltage, reactive power.