Пространства функций первого класса Бэра, наделенные топологией поточечной сходимости и их L-эквивалентность

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 3

УДК 517.982.2

Т.Е. Хмылёва, Л.В. Гензе ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ ПЕРВОГО КЛАССА БЭРА, НАДЕЛЕННЫЕ ТОПОЛОГИЕЙ ПОТОЧЕЧНОЙ СХОДИМОСТИ И ИХ /-ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

В статье даны достаточные условия линейной гомеоморфности пространств всех вещественнозначных функций первого класса Бэра, определенных на ординалах, с топологией поточечной сходимости. Аналогичные достаточные условия даны и для пространств двузначных функций первого класса Бэра.

Ключевые слова: функции первого класса Бэра, линейные гомеоморфизмы, ординалы, топология поточечной сходимости.

В данной работе рассматривается вопрос о линейной гомеоморфности пространств функций первого класса Бэра, заданных на отрезках ординалов. Эти пространства наделяются топологией поточечной сходимости. Для нормированных пространств непрерывных функций на счетных отрезках ординалов полная изоморфная классификация была дана в работе С. Бессаги и А. Пелчинского [1], а затем была продолжена в работе З. Семадени [2] и полностью завершена в работах С.П. Гулько и А.В. Оськина [3] и С.В. Кислякова [4]. Затем С.П. Гулько в работе [5] доказал, что аналогичная классификация имеет место и в том случае, когда пространства непрерывных функций снабжены топологией поточечной сходимости. В данной работе приведены достаточные условия линейной гомеоморфности пространств функций первого класса Бэра, заданных на двух произвольных отрезках ординалов.

Соглашения и обозначения. Строчными греческими буквами обозначаются ординалы. Отрезки ординалов [1, а] и их подмножества снабжаются порядковой топологией. Множество А с [1, а) называется конфинальным в [1, а), если для

каждого Е, е [1, а) существует такой п е А, что п > ^. Известно [6, стр. 282], что наименьший порядковый тип множеств А, конфинальных в [1, а), является начальным ординалом. Будем его обозначать е/(а). Как обычно, С (X, У) - множество всех непрерывных отображений из топологического пространства X в топологическое пространство У. Функция первого класса Бэра - это функция, являющаяся поточечным пределом последовательности функций из С (X, У). Символом В[1, а] мы будем обозначать множество всех функций первого класса Бэра, определенных на отрезке ординалов [1, а] со значениями в У (У - это либо вещественная прямая R, либо дискретное двоеточие Б = {0,1}). В последнем случае сложение и умножение функций происходит как в поле Z2. Множество В[1, а] снабжается топологией поточечной сходимости и обозначается Вр[1, а]. Если А - подмножество в [1, а], то символом ([1, а], А) обозначается множество

{х е Вр[1, а]; х |А = 0}. Если А = {а}, то вместо ([1,а], {а}) пишем просто

[1, а]. Тот факт, что два топологических векторных пространства Ь и М линейно гомеоморфны, будем обозначать Ь ~ М. Так же как и в [1], можно доказать, что

В0 [1, а] ~ Вр [1, а]. Если {X, | я е 5} - семейство топологических векторных про-

странств, то символом 2{Х5 ; я е 5} будем обозначать 2-произведение пространств X» т.е. множество {х = {х,} е П^ | я е 5}; |{я е 5 | х, Ф 0}| < к0}. Если X, = X для всех я, то вместо 2^ ; я е 5} будем писать 2^ ; т}, где т - мощность множества 5.

Теорема 1. Функция х: [1, а]^У принадлежит пространству Вр[1, а] тогда и только тогда, когда она непрерывна во всех таких точках в е [1, а], что е/ (в) > ю.

Доказательство. Пусть х е ВД1, а]. Тогда существует последовательность функций х„ е С ([1, а], У), сходящаяся к х(у) в каждой точке. Зафиксируем в е [1, а] со свойством е/ (в) > ю. Для каждого п = 1, 2, ... существуют такие вп < в, что х„(у) = х„(в) при всех у е (в„, в] [7. С. 206] (другими словами, в некоторой окрестности точки в функции хп становятся постоянными). Пусть во = зир{вп ; п = 1, 2, ...}. Так как е/ (в) > ю, то во < в. Окончательно, при у е (в0, в] х(у) = Нш хп (у) = Нш хп (в) = х(в), следовательно, функция х непрерывна в точ-

п—ю п——Ю

ке в.

Обратно, пусть х - функция, заданная на отрезке [1, а] со значениями в У, непрерывна во всех точках несчетной конфинальности. Построим последовательность непрерывных функций {хп }“=1, поточечно сходящуюся к х. Доказательство проведем по трансфинитной индукции. Ясно, что если а - конечный ординал, то утверждение теоремы верно.

Предположим, что для всех ординалов, меньших а, утверждение доказано.

С л у ч а й 1 : а - непредельный бесконечный ординал. По индуктивному предположению существует такая последовательность непрерывных функций {хп :[1,а-1] ^ ^}=1, что Нш хп(у) = х(у) для всех у е [1, а - 1]. Продолжим

Очевидно, что {хп }П=1 - требуемая последовательность непрерывных функций.

Случай 2: а - предельный ординал и е/ (а) = ю. Тогда существует возрастающая последовательность ординалов {ап }=1, такая, что Нш ап = а . Рассмот-

рим следующее разбиение отрезка [1, а]:

[1, а] = [1, а:] и (аь а2] и ... и (аы, а*] и ... и {а}.

На отрезке [1, а:] и на каждом из отрезков (ак-1, ак] существует последователь-

функции хп на отрезок [1, а], полагая

ность непрерывных функций {хП }*=! , поточечно сходящаяся к х. Положим

х'п (у)> Уе [1, а; ]; х1 СуХ Уе (а1 > а2];

ХП (У) = ]:

(У), Уе(а„ _1, а„]; х(а), уе (аи,а].

Нетрудно увидеть, что все функции хп непрерывны на отрезке [1, а] и поточечно сходятся на этом отрезке к функции х.

Случай 3: а - предельный ординал и е/ (а) > ю. Тогда существует такой ординал у0 < а, что х(у) = х(а) при всех у е (у0, а]. По предположению индукции существует последовательность непрерывных функций {хп }=1, заданных на отрезке [1, у0], поточечно сходящаяся к х. Продолжим эти функции на отрезок [1, а], полагая

Понятно, что {хп }П=1 - последовательность непрерывных функций, поточечно сходящаяся к х. Теорема доказана.

Замечание 1. Эта теорема верна и для функций со значениями в произвольном топологическом пространстве У с первой аксиомой счетности.

Замечание 2. Из теоремы 1 следует, что для любого счетного ординала а функции класса а по классификации Бэра совпадают с функциями первого класса Бэра [8], поэтому вместо обозначения В:[1, у] мы используем обозначение В [1, у].

Следствие 2. Если а, в е [ю, ю:), то ВД1, а] ~ ВД1, в].

Доказательство. Так как для каждого у е [ю, ю:) выполнено е/ (у) < ю, то Вр[1, у] ~ УК° (напомним, что У - это либо вещественная прямая, либо дискретное двоеточие).

Лемма 3. Пусть а и в - произвольные ординалы. Тогда

Доказательство. Рассмотрим множество А = {ау; 1 < у < в}. Нетрудно видеть, что А - замкнутое подмножество отрезка [1, а-в], гомеоморфное отрезку [1, в]. Дополнение множества А распадается на непересекающиеся открытые интервалы /у = (а-у, а-(у+1)) = [а-у+1, а-(у+1)), т.е. [1, а-в] \ А = и{/у ; 1 < у < в} и каждый интервал /у гомеоморфен отрезку [1, а).

Для каждой функции х е ВД1, а-в] построим функцию

Нетрудно видеть, что х е Вр [1, а-Р]. Тогда отображение Тх = (х |А, х - X) определяет линейный гомеоморфизм между пространствами ВД1, а-в] и Вр(А)хВр([1,а-в], А). Так как множество А гомеоморфно отрезку [1, в], то

Г = (у < в; х \1 ^ 0} не более чем счетно. Действительно, если Г - несчетное множество, то для некоторого Е > 0 существует несчетное множество Г = {у е Г; Бир{|х(/)|; ? е /у} > е}. Для каждого у е Ге выберем такую точку гу е /у, что |х(?)| > е. Пусть Т = {гу; у е Ге}. Положим у0 = ш1и{у; |Т П [1, а-у]| > К0}. Нетрудно видеть, что ординал у0 является предельным и что е/ (у0) > ю. Действительно, если предположить, что е/ (у0) = ю, то существует возрастающая последо-

'*п (у )> [!> Уо ];

х(а), уе (уо, а].

Вр[1, а-в] ~В^[1, в] х 2{Вр[1, а]; |в|}.

Вр(А) ~ Вр[1, в].

Покажем теперь, что для каждой функции х € В0 ([1, а-Р], А) множество

вательность (уп }=1, для которой Нш уп = у0. По определению у0 множество

Т П [1, а-у0] несчетно, а множества Т X [1, а-у„] счетны. Но это противоречит тому, что Т П [1, а-у0] = и{ТX [1, а-уи]; п = 1, 2, ...}. Итак, е/ (у0) > ю. По теореме 1 функция х непрерывна в точке а-у0 е А, следовательно, существует ординал у < у0, такой, что х(г) = 0 для всех г I [а-у, а-у0], что противоречит определению у0.

Итак доказано, что каждая функция х € В0 ([1, а -Р], А) лишь на счетном числе

интервалов /у отлична от нулевой функции. Это означает, что отображение их = {х |[а.у+1>а.(у+1)] }а<р является линейным гомеоморфизмом пространства

([1,а-Р], А) на 2-произведение 2{В0[а-у +1,а-(у +1)];у<Р}. Учитывая, что

отрезки [а • у +1, а • (у +1)] и [1, а] гомеоморфны, получаем

2{В^[а-у +1,а-

Таким образом, применяя к пространству ВД1, а-в] линейные гомеоморфизмы Т, и и цепочку линейных гомеоморфизмов (1), получаем утверждение теоремы.

Теорема 4. Пусть юп и ют - начальные ординалы и ю < юп < ют. Тогда для любого а е [ют-юп, ют-юп+1) пространства ВД1, а] и ВД1, ют-юп] линейно гомеоморфны.

Доказательство. Ординал а можно единственным образом представить в виде а = ют-в + р, где юп < в < юп+1, р < ют. Имеем цепочку линейных гомеоморфизмов: Вр[1, а] ~ Вр[1, ют-в + р] ~ Вр[1, ют-в] х Вр[1, р] ~ Вр[1, р + ют-в] ~ Вр[1, ют-в].

По лемме 3, с учетом равенства в + ют = ют получаем

Вр[1, ют-в] ~Вр[1, в] х 2{ВД1, ют]; |в|} ~Вр[1, в] х ВД1, ют] х 2{ВД1, ют]; |в|} ~

~Вр[1, в + ют] х 2{Вр[1, ют]; |в|} ~Вр[1, ют] х 2{Вр[1, ют]; |в|} ~ 2{Вр[1, ют]; |в|}.

С другой стороны, также по лемме 3, с учетом равенства юп + ют = ют получаем Вр[1, ют-юп] ~ Вр[1, ю0] х 2{Вр[1, ют]; |ю0|} ~ ВД1, ю0] х Вр[1, ют] х 2{Вр[1, ют]; |ю0|} ~

~Вр[1, юа + ют] х 2{Вр[1, ют]; |ю0|} ~ Вр[1, ют] х 2{Вр[1, ют]; |юа|} ~ 2{Вр[1, ют]; |юа|}. Так как |в| = |юп|, то ВД1, а] ~ Вр[1, ют-юп] и теорема доказана.

Теорема 5. Пусть ют - начальный ординал и п < ю. Тогда для любого а е [ют-п, ют-(п+1)) пространства Вр[1, а] и ВД1, ют-п] линейно гомеоморфны.

Доказательство. Ординал а можно единственным образом представить в виде а = ют-п + р, где р < ют. Тогда нужная цепочка линейных гомеоморфизмов выглядит следующим образом:

Вр[1, а] ~ Вр[1, ют-п + р] ~ Вр[1, ют-п] х Вр[1, р] ~ ВД1, р + ют-п] ~ ВД1, ют-п]. Теорема 6. Пусть ют - начальный ординал. Тогда для любого а е [ю2, ют+1) пространства В^[1, а] и Вр [1, ] линейно гомеоморфны.

Доказательство. Произвольный ординал а е [ю2, ют+1) можно представить в

виде а = ю^-П1 +Ю^2-ц2 +... + ю}>-цт), где у1 > у2 > ... > ут, причем у1 > 2,

1 < П; < ют, г = 1,., п. Нетрудно видеть, что отрезок [1, а] гомеоморфен отрезку [1, ю^1 -П1 ] и, следовательно, мы можем считать, что а = -п, У > 2, 1 < п < ют.

Покажем сначала, что для любого а = юТ, у > 2, пространства Вр [1, юТ ] и Вр [1, ю^ ] линейно гомеоморфны. Доказательство проведем по трансфинитной индукции.

Для у = 2 утверждение очевидно. Пусть теперь у0 > 2 и для всех у є [2, у0) верно, что Вр [1, ] ~ Вр [1, ю^ ].

Случай 1: у0 - непредельный ординал, т.е. у0 = (у0 - 1)+1. Тогда по лемме 3

Вр [1, «Т0 ]~ Вр [1, «Т0-1 .Ют ]~ Вр [1, «т ]хЕ{ Вр [1, «Т0-1 ];| «т |}~ В р [1, «т ]хЕ{ Вр [1, «? ];| «т |}~

-'р^ J Т р^’ Т -1’1 Т \> -‘'р^ р*-

Вр [1, Ют ]х2{ Вр [1, Ют ]ХЕ{ Вр [1, Ют ];| Ют |};| Ют |}~ Вр [1, Ют ]хЕ{ Вр [1, Ют ];| Ют |}~ Вр [1, ю? ].

Случай 2: с/ (у0) = ю. Тогда существует последовательность ординалов

2 < у1 < у2 < . < у0, такая, что Нш уп = у0 и Вр [1, ю^” ] ~ Вр [1, ю^ ]. Применяя лемму 3, получаем, что

Вр[1,юТ°] ~ Вр[1,ю? ]хП{Вр[юТ” +1,юТ”+1 ];п = 1,2...} ~ П{Вр[1,юТ” ];п = 1,2...} ~

'Р ^1 J ^р^ ^ 1 Л)'*

Вр[1,ю?])*0 ~(Е{Вр[1,ют];| ют|})*0 ~ Ъ[Вр[1,ют];| ют|}~ Вр

Случай 3: с/ (у0) = юп, где ю1 < юп < ют. В этом случае существует замкнутое множество А с [1, у0], гомеоморфное отрезку [1, ю„], А = {5р ; в<юп}, причем при в1 < в2 выполняется неравенство 5^ < 5р2 и 5Ш = у0. Рассмотрим множество

Г = {юТР; в ^ юа} с [1, юТ° ]. Оно замкнуто и гомеоморфно отрезку [1, юп]. Открытое подмножество [1, юТ° ] \ Г распадается на объединение открытых интервалов вида 10 = [1, юТ1) и /р = (ю*р, юв+1), 1 < в < юп. Для каждой функции х € Вр [1, ю^0 ]

Г х(г), г е Г;

построим функцию х(г) = \ 6 Нетрудно понять, что X € Вр [1, ю1° ] .

[ х(ютв+1), г е /р.

Тогда отображение Тх = (х |г, х - X) будет линейным гомеоморфизмом пространства Вр[1, ю^° ] на произведение Вр[1, юа] х В0([1, ю^0 ], Г). Так же, как в лемме 3, покажем, что для любой функции х е В0([1, ю^0 ], Г) множество (в < юа;х |/р Ф 0}

не более чем счетно.

Действительно, если предположить противное, то для некоторого Е > 0 существует несчетное множество Т = {гр е /р; |х(/р)| > е}. Положим Р0 = шт(Р;| Т п [1, ю^р ] | > К0}. Ординал во является предельным и с/ (во) > ю. По

теореме 1 функция х непрерывна в точке юТР0 е Г и, значит, существует ее такая

окрестность (ю*Р , ю> ] , что х() = х(юТв0 ) = 0 для любого г € (ю*Р , ЮтРо ], что противоречит определению числа во.

Итак, мы показали, что любая функция х е В° ([1, ю^° ], Г) лишь на счетном множестве интервалов /р отлична от нулевой функции. Следовательно, отображе-

ние их = (хр; в < юа}, где хр - сужение функции х на отрезок +1, ], явля-

ется линейным гомеоморфизмом пространства х е В0 ([1, ю^° ], Г) на Е{£0[Ютв +1, юв+1 ]; в < юа}. Так как отрезки [ю*в +1,ю'Тв+1 ] и [1,юТв+1 ] гомео-морфны и по предположению индукции Вр [1, юв+1 ] ~ Вр [1, ю2 ], получаем, что

Вр [1, ю*> ]~ Вр [1, юа ] х В0 ([1, ю*> ], Г)~ Вр [1, юа ] хЕ{ В°р [ +1, ]; р<юа }~

~ Вр [1,ю0 ]хЕ{В0 [1,ю^ ];Р<Юо}~ Вр [1,ю0 ]хЕ{Вр [1,2 ];1о!}~ 2{Вр [1,ю?];|ю„|}~

~ Щ{Вр [1,ют ]; | шх |}; | шст |}~ Е{Вр [1,ют ];|ют-юа|}~ Е{Вр [1, « ]; | « |}~ Вр [1, «2 ].

Итак, мы показали, что для любого ординала а = е [ю2, ют+1) пространства Вр [1, а] и Вр [1, ю2 ] линейно гомеоморфны.

Пусть теперь а = ю^ -п , где п < ют. Применяя лемму 3, получаем цепочку линейных гомеоморфизмов:

вр [1, «2-П]~ вр [1, п] ВР [1, «* ]; I п1}~ вр [1, п] хЕ{ вр [1, «2 ];1 п1}~ Ц вр [1, «21; I п1 }~

~ Ъ{Ъ{Вр [1,«т ]; |«т|}; |п|}~ 2{Вр [1,«т ]; |«т-п| }~ 2{Вр [1,«т ]; |«т|}~ Вр [1,«2 ]. Теорема доказана.

Теорема 7. Каждое из пространств Вр[1, югп], п е N, Вр[1, югю] и Вр[1,ю^]

линейно гомеоморфно пространству Вр[1, ю1].

Доказательство. Пусть в - один из ординалов п е N, ю или ю1. В отрезке [1, югв] рассмотрим замкнутое подмножество А = { ю1-у; 1 < у < в}. Как показано в лемме 3,

Вр [1, Ю1 - р] ~ Вр [1, р] X Б°Р

и существует не более чем счетное множество интервалов 1у = (ю1-у, ю1-(у+1)),

0 < У < в, на которых функция х е В° ([1, ю1 -в], А) отлична от нулевой функции.

Так как по теореме 1 функция х непрерывна в каждой точке вида ю1-(у+1) и х(ю1-(у+1)) = 0, то в каждом интервале /у функция х лишь в счетном числе точек может быть отлична от нуля. Таким образом, для любой функции

х е В° ([1,ю1 -Р], А) множество Тх = {? е [1, югв]; х(0 ^ 0} не более чем счетно.

Заметим, что Тх с [1, югв] \ А и обозначим через ф произвольную биекцию интервала [1, ю1) на множество [1, югв] \ А. Определим отображение и :В0Р([1,ю1 -в], А) ^Вр[1,ю1 ] по формуле

Ща).(Х(ф(а))- );

(0, а = ю1.

Функция их будет отлична от нуля лишь в тех точках а, для которых ф(а) е Тх, т.е. не более, чем в счетном числе точек. Это означает, что функция их непрерывна в точке ю1 и, следовательно, их & [1, ю1 ]. Нетрудно видеть, что отображение

и является линейным гомеоморфизмом пространств В0 ([1, ю1 -Р], А) и В£ [1, ю1 ].

Отсюда, учитывая (2), получаем

Бр [1, Ю1 • р] ~ Bp [1, р] х B0p [1, a>!] ~ Bp [1, р] х Bp [1, ] ~ Bp [1, р + ^]. (3).

Если в = n или в = ю, то очевидно, что Bp[1, в + Ю1] ~ Bp[1, Ю1]. Если же в = Юь

то Bp[1, в + ю1] ~ Bp[1, ю1-2]. Используя (3) для в = 2, получаем, что

Bp[1, ю1-2] ~ Bp[1, 2 + ю1] ~ Bp[1, ю1]. Теорема доказана.

Из теорем 4 - 7 получаем

Следствие 8. Для любого ординала а е [ю1, ю2) пространства Bp[1, а] и Bp[1, ю1], линейно гомеоморфны.

Итак, подводя итог, мы можем сформулировать следующую теорему:

Теорема 9. Пусть ют, юп - произвольные начальные ординалы, такие, что

1 < юп < ют, ют > ю1, и ординалы а, в удовлетворяют условию ют юп < а < в < ют ю0+1. Тогда пространства Bp[1, а] и Bp[1, в] линейно гомеоморфны.

Если ют = ю1, то для любых а, в е [ю1, ю2) пространства Bp[1, а] и Bp[1, в] линейно гомеоморфны.

Если ют = ю, то для любых а, в е [ю, ю1) пространства Bp[1, а] и Bp[1, в] линейно гомеоморфны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bessaga C., Pelczynski A. Spaces of continuous functions (IV). On isomorphic classification of spaces of continuous functions // Studia Math. 1960. V. 19. P. 53 - 62.

2. Semadeni Z. Banach spaces non-isomorphic to their Cartesian squares // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Math., Astron. et Phys. 1960. V. 8. P. 81 - 84.

3. Гулько С.П., Оськин А.В. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на вполне упорядоченных бикомпактах // Функц. анализ и прил. 1975. Т. 9. № 1. С. 61 - 62.

4. Кисляков С.В. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на ординалах // Сиб. матем. журн. 1975. Т. 16. С. 293 - 300.

5. Гулько С.П. Свободные топологические группы и пространства непрерывных функций на ординалах // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 34 - 38.

6. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.

7. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

8. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

Статья принята в печать 27.10.200S г.