О сходимости произведений направленностей операторов

УДК 517.98

О СХОДИМОСТИ ПРОИЗВЕДЕНИЙ НАПРАВЛЕННОСТЕЙ

ОПЕРАТОРОВ

Д. В. Фуфаев1

В работе произведено обобщение классических теорем о сходимости почти всюду наподобие теоремы Иессена-Марцинкевича-Зигмунда о дифференцировании на случай на-правленностей операторов достаточно общего вида, действующих на функциях в абстрактном пространстве с мерой. Результат применен к некоторым частным случаям, возникающим в классическом гармоническом анализе.

Ключевые слова: сходимость почти всюду, проективное тензорное произведение, тензорное произведение операторов.

The paper deals with the generalizations of Jessen-Marzinkevich-Zygmund theorem on differentiation for the case of nets of operators with sufficiently general form acting on functions in abstract measurable spaces. The result is applied to some examples arising in the classic harmonic analysis.

Key words: convergence almost everywhere, projective tensor product, tensor product of operators.

Классические задачи анализа о сходимости тех или иных последовательностей зачастую сводятся к вопросу сходимости результатов действия некоторых операторов. Примером может служить вопрос сходимости к исходной функции рядов Фурье или разнообразных средних, с рядами Фурье связанных; соответствующими операторами здесь являются операторы свертки с определенными функциями, например с ядром Дирихле в случае частичных сумм ряда Фурье. В частности, в рамках настоящей работы нас будут интересовать результаты, связанные со средними Фейера и Абеля-Пуассона. Другим классическим примером, тесно связанным с первым, является задача дифференцирования неопределенного интеграла суммируемой функции; стоит отметить, что в этой задаче весьма плодотворным оказалось исследование максимального оператора, построенного по данному семейству операторов (см. [1, гл. 1, §1]). Нами рассматривается вопрос сходимости результатов действия упомянутых операторов к исходной функции почти всюду. В одномерном случае результат положителен для любой суммируемой функции. В случае же функций нескольких переменных ситуация усложняется: результат зависит от поведения индексов по разным координатам друг относительно друга. Если это поведение регулярно (см. [2, гл. XVII, §3]), то, как и в одномерном случае, достаточно суммируемости, причем факт регулярности может быть переформулирован в терминах соответствующего максимального оператора. В нерегулярной же ситуации необходима принадлежность функции классу L(ln+L)w_1, где N — размерность пространства (см. [2, гл. XVII, § 2])-

Оказывается, что при получении соответствующих результатов о сходимости почти всюду не используется специфика классического контекста. В работе приводится их обобщение для сходимости почти всюду в пространстве с абстрактной мерой. При этом в классической ситуации обнаруживаются новые возможности для определения регулярности, точнее, промежуточной регулярности, которые ранее не рассматривались.

Пусть (X, /л), (У, и) — пространства с мерами, а оператор Т действует из Ь0(Х,/л) в L°(Y,u), где L0 — множество классов эквивалентности (эквивалентность — совпадение почти всюду) измеримых действительнозначных (либо комплекснозначных) функций. Назовем Т сублинейным (или выпуклым), если из существования Tf\ и Т/2 следует существование T(f\ + /2) и при этом выполнено \T(fi + /г)(ж)| ^ \Tfi(x)\ + \Т/2(ж)|. Будем говорить, что выпуклый оператор Т имеет слабый тип (1,1) с константой С, если для любого Л > 0 и для любой функции / € Ll{X,¡i) выполняется следующее неравенство:

»{У :\Tf(y)\ > \}

В дальнейшем (Y, v) = (X, fx).

1 Фуфаев Денис Владимирович — ассист. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: fufaevdv ©rambler. ru.

Для произвольной измеримой функции д на X определим функцию распределения Лд{а) = ¡л{х € X : \д(х)\ > а}. Для нее нетрудно установить следующее равенство, аналогичное равенству из монографии [3, гл. IX, §4, следствие 2]:

оо

J \д{х)\й!х{х) = — J а й\д{а).

х:д(х)>е £

Лемма 1. Пусть ц(Х) = 1, Т — оператор слабого типа (1,1) с константой С, а функция / такова, что 0 ^ / ^ а. Тогда для, любого 7 > 0 найдутся число к € М, не зависящее от, f, и множество Х7; такое, что /л(Ху) > 1 — 7 и для любого ж € Х1 выполнено неравенство |Т/(ж)| < а-2к.

Доказательство. Для любого натурального п имеем

ф€Х: |Т/(ж)| > а  2п} < <

Для заданного 7 > 0 найдем номер к, такой, что ^ < 7. Тогда справедливо неравенство

/л{хеХ : |Т/(ж)| > а-2к} < 7.

Следовательно, на множестве меры, не меньшей 1 — 7, выполняется неравенство |Т/(ж)| ^ а  2к. Лемма доказана

Лемма 2. Пусть ц(Х) = 1, Т — оператор слабого типа (1,1) с константой С. Тогда для, любого 7 > 0 найдутся число к £ N и МНООЮбСТПвО такое, что ц(Х7) > 1 — 7 и для любой функции / и любого а > 0 справедливо неравенство

2  С {

/ |/(ж)|ф(ж).

Доказательство. Для произвольного Ь > 0 разделим / на малую и большую части:

^^ [/(ж) при |/(ж)| < Ь, 1 0 при |/(ж)| ^ Ь

и /2(ж) = /(ж) - ¡г(х).

Очевидно, что |/(ж)| ^ |/2(ж)| + \/1(х)\- Из выпуклости оператора Т следует, что

а в силу леммы 1 существуют А; € N и Х7 с ц(Х^) >1 — 7, такие, что при ж € Х7 выполнено

|Т/(ж)К|Т/2(Ж)|+6-2й, следовательно, справедливо следующее включение:

{ж € Х7 : |Т/(ж)| > Ъ • 2к+1} С {ж € Х7 : |Т/2(ж)| > Ъ • 2к},

откуда

^тПх1{Ь^к+1) < Ат/2|Х7(6-2^) < ¿||/2||Ь1(Х7;,) = ^ / |/()|Ф().

Положив Ъ = а  2~к~1, получаем

2 • С {'

Лт/|х7(а)^—— / |/(ж)|ф(ж).

^ а

-\7

ж€Х7:|/(ж)|>а-2-'£-1

Лемма доказана.

Теорема 1 (неравенство Харди-Литлвуда). Пусть ц{Х) = 1, / € Ь1(Х),/  1п(/ + 1) € Ь1(Х), / ^ 0, Т — оператор слабого типа (1,1) и задано е > 0. Тогда для любого 7 > 0 найдется множество Xтакое, что ц(Х7) >1-711 справедливо неравенство

У |Т/(ж)|ф(ж) /(ж) • 1п(/(ж) + 1)ф(ж) + В ! /(ж)ф(ж) + е,

где А и В — постоянные, зависящие от, е, но не от, /.

Доказательство. Множество Х1 (а вдобавок и число к € М) дает лемма 2.

Оценим интеграл, разбивая функцию Т/ на малую и большую части и используя равенство (1):

У \Т/(х)\<1»(х) = I \Т/(х)^(х)+ I \Т/(х)\<1»(х) <

оо оо

< е - I а й\ТПх^

£ £

В последнем неравенстве мы проинтегрировали по частям и использовали тот факт, что А ^ 0. Оценим слагаемые в последнем выражении, применяя лемму 2:

^тПх1{е) '^Щ^-е I /ШКх) < 2 • С • ||/|Ь,

х:/(х)>£-2-к-1

оо оо г*^1/^)

J (а) с?а ^ 2 • С J- ^ ¡{х)йц{х)йа = 2 • С J ^ йайц{х) =

£ е х:/(х)>а-2-к-1 х:\/(х)\>е-2-к-1 е

= 2С [ ¡(х)(\п(2к+11\х)) - \пе)с1ф) < 2С(||/ • 1п(/ + 1)||ь1 + ((Л + 1) 1п2 + 11пе|)||/|Ы;

-fc-i

подставляя эти оценки в (2), получим нужное неравенство с постоянными А = 2  С ш В = 2  С{1 + (А + 1) • 1п2 + 11пег|).

Замечание 1. В частных случаях (максимальная функция Харди-Литлвуда, мажоранты средних Фейера), как правило, оказывается, что неравенства, доказанные в леммах 1, 2 и в теореме 1, следуют непосредственно из общего вида операторов, причем с к = 7 = 0.

Порой в гармоническом анализе возникают приближения не последовательностью операторов, а семейством операторов, которые образуют лишь частично упорядоченное множество (т.е. не каждые два оператора сравнимы по номеру). Самый распространенный пример — кратные ряды Фурье. Чтобы работать с такими семействами, напомним понятие направленности (см. [4, т. 2, с. 12]).

Определение. Непустое множество А называется направленным, если на нем задан частичный порядок, удовлетворяющий следующему условию: для любых тп,п € А найдется элемент к € А, такой, что m ^ к и п ^ к. Направленностью в множестве X называется набор элементов {хп}п&а, индексируемых элементами направленного множества. Направленность {хп}п^а в топологическом пространстве X сходится к элементу х, если для любого непустого открытого множества U, содержащего х, найдется такой элемент щ € А, что хп € U для всех п ^ no,n € А. Понятным образом определяется сходимость числовых направленностей, а также поточечная сходимость и сходимость почти всюду направленностей числовых функций.

Пусть {Тп}п€а — направленность линейных операторов, переводящих Ь°(Х,/л) в себя. Максимальным оператором относительного данного семейства операторов будем называть оператор Т : f(x) н-> sup \Tnf(x)\. Будем рассматривать лишь счетные направленности, т.е. такие, что множе-пеА

ство А счетно — это гарантирует измеримость функции Tf(x). Нетрудно увидеть, что оператор Т является сублинейным.

Аналогично [5, теорема 5.1.3] доказывается следующий результат.

Теорема 2. Пусть

направленность линеиных операторов такова, что соответству-

ющий максимальный оператор Т имеет слабый тип (1,1), и пусть для любой функции ф из всюду

плотного в Ь1(Х,ц) множества lim Тпф{х) = ф{х) почти всюду на X. Тогда для любой функции

п£А

/ € Ll(X, /л) выполняется lim Tnf(x) = /(ж) почти всюду на X.

п£А

В дальнейшем нас будут интересовать направленности лишь интегральных операторов, т.е. операторов вида Т/(ж) = f K(x,y)f(y)d^(y).

х

Теперь необходимо определить функции и операторы на них для произведений пространств. Для работы с пространством функций напомним понятие тензорного произведения [6, пп. 10.42.1, 10.42.2]: пусть /1 € Ll(Xl, /л1), /2 € L1(X2,/x2), тогда их тензорным произведением называется функция f1 (g> /2 € Ll{Xl х Х2,ц,1  /х2), определяемая по формуле /1  /2(ж 1,^2) = f1(xi)f2(x2), где /л1 <g> /л2 — произведение мер ¡л1 и /л2 (см., например, [4, т. 1, с. 223]). Такие функции называются элементарными тензорами. Пространство линейных комбинаций элементарных тензоров называется алгебраическим тензорным произведением пространств Ll(Xl, р}) и Ll(X2, fj?) и обозначается L1(X1,/x1) L1 (X2,/л2). Проективным тензорным произведением называется пополнение алгебраического по так называемой проективной норме [7, 0.3.28] и обозначается L1(X1,/x1) <S) L1 (X2,/л2), но нам важна не норма, а тот факт, что это пространство изометрически изоморфно L (X1 хХ2, /л1/л2) [7, следствие 0.3.36], в частности, что произвольная функция из Ll(Xl х Х2,/л1  /л2) приближа-

п

ется комбинациями элементарных тензоров, т.е. функциями вида ^ fk(xi) ' 9k(x2)- Более того, в

k= 1

качестве Д и gк можно брать функции из всюду плотного в соответствующем Ь1(Хг) множества, например из подпространства, которое состоит из ограниченных измеримых функций и которое мы будем обозначать Ь°°(Хг), что, конечно, не вызовет путаницы.

Вспомним, что функция ф(х) = х \nD(x + 1) выпукла для х ^ 0 и D € N.

Для измеримого пространства (Х,/л) через L(ln+ L)D(X), D € N, обозначается пространство измеримых комплекснозначных функций /, удовлетворяющих условию

j I/WI 1пд(|/(ж)| + 1)(1ц{х) < оо.

X

Лемма 3. Пусть (Х1,^1), (Х2,/л2) — пространства конечной меры. Тогда L°°(Xl) a^L°°{X2) всюду плотно в Lln+ L(Xl х X2) относительно величины

p(f,g) = J I/(ж) — g{x)\ 1п(|/(ж) - g{x)\ + 1 )ф(ж), x

где ¡л = ¡л1 <3 ¡л2.

Доказательство. Возьмем произвольную функцию / € L ln+ L(Xl х X2) и зафиксируем произвольное е > 0. В силу неравенства Чебышёва выполнено ¡л{х € X : |/(ж)| ^ п} ^ ^Ц/IIl1- Обо-

п2-1

значим ВПук = ^ f(x) < ^Г"} и Вп = У ВПук С {х : |/(ж)| < п + 1}. Тогда ввиду абсолютной

к=—п2

непрерывности интеграла Лебега найдется такое натуральное п, что

J |/(ж)|1п(|/(ж)| + 1)(^(ж) <£.

х\в„

Пусть к тому же п удовлетворяет условию ^^ < у[е. Далее, по определению меры на произведении для произвольного 5 > 0 найдутся такие множества Dn k i, г = 1,..., Гк, которые имеют вид произведений измеримых множеств из X и X2, являются дизъюнктными при фиксированных пака для

кохорь« д(Д,, Д U А,,,) < положим а, = и Да,, И заыохиы, ™ ,(В„АОп) < =

г=1 к,г

Пользуясь теперь абсолютной непрерывностью, возьмем число 5, соответствующее е для функций

»г2 —1 гк

(|/(ж)|+п) 1п(|/(ж)|+п+1) и |/(ж)| 1п(|/(ж)| + 1) и такое, что 5 <е. Пусть ipn(x) = Е Z 7iXDrhkii(x),

к=-п2 г=1

п2-1

hnix) = Y, пХ-вп,к(х)' и оценим p(f,ipn):

к=—п2

J \ f(x) - Vn(x)\ 1п(|/(ж) - Vn(x)\ + 1 )dß(x) = J If(x) - 1п(|/(ж) - <pn(x)\ + 1 )dß(x) +

X X\D„

+ f \f(x)-<pn(x)\ln(\f(x)-<pn(x)\ + l)dll(x)+ J \f(x)-<pn(x)\ln(\f(x)-<pn(x)\ + l)dll(x)^

DnriB n D„\B„

< J \f(x)\ln(\f(x)\ + l)dß(x)+ j \f(x)-^n(x)\2dß(x) + j (\f(x)\+n)ln(\f(x)\+n+l)dß(x) ^

X\Dn Dnf\Bn D„\B„

< / 1/(ж)|1п(|/(ж)| + 1)^(ж) + ||/(ж)-^га(ж)|||2(дпПБп)+ j (\f(x)\+n) \n{\f{x)\+n+l)dn{x) <

(X\B„)U(B„AD„) BnADn

i2

< 2e + (||/(ж) - Л.га(ж)||^2(дпПБп) + ||/гга(ж) - Ы^)1к2(вппБп)) + е <

^ Зе +

(

/

= Зе +

га2-1 ^ га — 1 ^ гк

J №)- -XBn,k(x))2dß(x) + || -(XB„,fc-¿XD„,M)||L2(D„nB;

d k=—n2 k=—n2 i=l

\

\

2 T?, _x ^^

ПИ.. k=—'n? г= 1

<

D„nB„ (

< Зе +

га — 1 о

nz

V

П

+ £

k=—n2

П

\

Гк

< 3e +

га2 —1

Ге + ^ n

k=—n2

\

Dn<lBn 2

i=l

<

/

»"fc

ß{Bn>k A IJ £)ra>fcii) < Зе + К/ё + 2пг

г=1

2п6

<3е + е 1 +

< 12er,

откуда, учитывая, что <£>га имеет вид линейной комбинации элементарных тензоров, получаем требуемое утверждение. Лемма доказана.

Далее, если линейные операторы Тг заданы на Ь1(Хг,цг), г = 1,2, то существует единственный оператор Т1 Т2, действующий в <3 Ь1 (X2,/л2), такой, что на элементарных тензорах он

действует по формуле Т1Т2[$ -д] (ж, у) = Т1 /(ж) -Т2д(у) [7, теорема 0.3.40]. Очевидно, что тензорным произведением двух интегральных операторов с ядрами Кг(-, •) будет интегральный оператор с ядром )  К2(-, •)•

Для двух направленностей операторов {Т^}п и {Т£2}п2€А2 их тензорным произведением назовем направленность {Т^ <8> Т22}п£а> гДе п = (п1,п2),А = А1 х А2, причем (п1,«2) > (т1,т2) тогда и только тогда, когда п1 > т1 и п2 > т2. Тензорное произведение большего числа множителей определяется очевидным образом.

Теорема 3. Пусть (Хг, ¡лг), г = 1

D

D

Y[x\ ß= (g)//; {TlAni&Ai, i = 1 ,...,D,

— измеримые пространства меры 1 каждое, X = направленности линейных интегральных операто-

ров (т.е. имеющих вид Tlnif(x) = J K^i(x,u)f(u,y)d/j,'l(u)), действующих в соответствующих

хг

Ll

ß%-почти всюду.

Тогда для любой функции / € L(ln+)DL(X) выполнено lim Tnf(x) = f(x) ß-почти всюду, где

п&А

А — произвольная поднаправленность тензорного произведения направленностей {Tli}ni&Ai.

Доказательство. Докажем индукцией по D. Случай I) I — результат теоремы 2. Пусть D > 1. Предположим, что для всех к < D утверждение доказано, докажем для к = D. Очевидно, можно считать, что функция / неотрицательна.

D

Обозначим точки из X через (х,у), где х € Х1,у € Y = П Хг, тогда функцию / можно

г=2

D

обозначать через f(x,y). Кроме того, через ¡л11- будем обозначать меру а через n1_L элемент

i=2

из А2 х ... х А°.

Возьмем произвольное 7 > 0 и, пользуясь теоремой 1, найдем множества Xlf, г = 1,..., D, такие,

D

что ßl(X}t) > 1 - 7 и ¿i1J-(r7) = П > - > 1 - Р - 1)7-

i=2

Кроме того, по теореме Егорова (которая, как нетрудно видеть, остается в силе для счетных

направленностей), поскольку по условию lim / Klnl{x,t)dßl{t) = 1 /х1-почти всюду, можно вы-

п1&А1х1 п

брать такое множество X^ С Х7, что J Klnl (х, t)dnl(t) сходится к 1 равномерно на Х^, при этом

х1

/^(Х^) > 1 — 27. Через Х7 будем обозначать X2 х Y1.

Далее рассматриваем ограничения всех функций и операторов на эти множества.

п

Пусть дп(х, у) — функции вида 9к(х)'9^ (у) ' приближающие функцию / на пространстве Х^

к=1

по величине р(-, •), введенной в лемме 3 (а значит, и по норме || • ||х7)- Далее, обозначим hn = / — дп. Возьмем произвольное е > 0. Построим функции Т1/^ по первым координатам:

Tlhn(x,y) = sup T^ihn{x, у). По теореме 1 справедливо неравенство

J J Tlhn(x,y)dßl(x)dßl±(y) <

27

^ А

J J \hn(x,y)\  \n(\hn(x,y)\ + l)dßl(x)dßl±(y) +B J J \hn(x,y)\dßl(x)dßl±(y) + ^e2,

Y'<

из которого, в частности, следует, что Т1Кп(х,у) € Ь1(X7).

Интегралы в правой части неравенства стремятся к нулю, поэтому существует такое число К, что

27

Пусть Е — множество таких точек (хо,уо) € Х7, что

1) / Т1/^, *) \пв~2{Т1Н{хо, ¿) + < оо;

у7

2) направленность Т^ (Т1Л,)(жо, уо) сходится к Т1Н{хо,Уо)-Ниже мы докажем, что

,(*,,) + 1)ф.,х)ф-М < оо

Х-у

(заметим, что в случае И = 2 это утверждение просто следует из неравенства Харди-Литлвуда, поэтому доказательство будет проводиться для И > 2). Тогда множество Е будет иметь меру /х(Х7), так как по теореме Фубини условие 1 будет выполняться для почти всех хо € X* , а условие 2 — для почти всех у о € Ку, как только выполнено условие 1, по предположению индукции.

Напомним следующее неравенство Иенсена для интеграла (см. [8, гл. 3, теорема 3.3]): для выпуклой функции ф и интегрируемой функции / справедливо неравенство

ф [I ^ /ш{х))

с1и

из которого следует неравенство

Ф (I/(ж)<Мя) I < ^ IФШ) • №)<1ф). \х / X

По определению максимального оператора Т1 для любого е > 0 существует элемент направленности п1 € А1 (зависящий, вообще говоря, от (х,у)), такой, что

Х-у

< 1

Х-у

Х^х1

X 1п

Д-2

J К1п1(х,и)(^г(и,у) +

х1

\

йц1{и) + 1

йц1(х)йц1±(у) ^

/

(применим неравенство Иенсена для ^(Х1) = У К11(х,и)(1ц1(и), ф{х) = х  1п 2(ж + 1) и функции

х1

/

<

1

У / к1п1{х^1{1) у

Х7 Х1 га XI

J К1п1(х,1)г11х1(1)(^г(и,у) +

X1

X 1п

Д-2

/

V*1

(ж, [Щи, у) +

/ К1п1{х,1)

X1

+1

X1

йц1{и)йц1{х)йц1±{у) ^

)

/ К^х^йцЩ

X1

(¡к'МЮ ) + £ + 1 <

(в силу равномерной сходимости / (¿) к 1 на Xнайдется такой элемент направленно-

х1

сти п1, что вдобавок для всех х € X1 справедливо неравенство 1/2 < / К11

х1

< / I КпЛ%, и) (Ни, у) + 2е) Лпв~2 {{I + е)  1г{и,у) + е + I) йц1{и)йц1 {х)йц1±{у) = х7хх

= У У к1п1{х, и) (Ь(и,у) + 2е) • Ып-2((1+е)  (Ь(и,у) + 1 ))йц1{и)йц1{х)йц1±{у) <

Х7 X1

х7хх

->£-3

= 2

11 КпЛ%,и) (Ни, у) +2е) • \пв~2(к{и,у) + +

+2П~3  1пв~2(1 +е)  11 К^(х,и)(к(и,у)+ 2е)с11х1(и)г11х1(х)с11х1±(у) ^

Х7 X1

+2п-31пп-2(1+е) У Т1 2/) + 2е]ф1(ж)^1±(у).

Х-у

По неравенству Харди-Литлвуда последний интеграл конечен. В силу произвольности е > 0 и неравенства Харди-Литлвуда

¡Т1к{х,у)Ыв-2{Т1к{х,у) + 1)йц1{х)йц1±{у) < 2Д"3- /г1[(/г(ж,у))-1пд"2(/г(ж,у) + 1)]ф1(ж)ф1±(у) <

< 2Д"3(А I к(х, у) • 1п^-2(/г(ж, у) + 1) • 1п[Л(ж, у) Ыв~2{к{х, у) + 1) + 1]

Х-у

+ В 11г{х, у) • 1пд"2(/г(ж, у) + 1) ¿¿/х1 (ж)^1^(у) + 7).

Х-у

Второй интеграл в последнем выражении, очевидно, сходится. Оценим первый интеграл: У Н(х, у) • \пв~2{к{х, у) + 1) • 1п[/г(ж, у) 1пд"2(/г(ж, у) + 1) + 1] йц1{х)йц1±{у) <

Х-у

^ У /г(ж,у)-1пд_2(/г(ж,у)+1)1п[/г(ж,у)1пд_2(/г(ж,у)+1)+/г(ж,у)+1пд"2(/г(ж,у)+1)+1] йц1{х)йц1±{у) =

Х-у

= У у) • 1п^-2(/г(ж, у) + 1) • 1п[(/г(ж, у) + 1)(1пд"2(/г(ж, у) + 1) + 1)] ¿//(^^(у) =

Х-у

= У л.(ж,у) • \пв~1(к{х,у) + 1)^1(ж)ф1±(у) +

Х-у

+ У у) • 1пд"2(/г(ж, у) + 1) • 1п[1п^"2(Л,(ж, у) + 1) + 1] йц1{х)йц1±{у).

Первый из интегралов в последнем выражении сходится по условию теоремы. Оцениваем второй интеграл:

I /¿(ж, у) • 1п°-2{к{х,у) + 1) • 1п[1п^"2(/г(ж,у) + 1) + 1] (III1 (х)(1/1^(у) <

Х-у

< 11г(х,у) • 1п°-2{к{х,у) + 1) • 1п[(1п(к(х,у) + 1) + 1)°~2] йц^й^у) =

Х1

= (£>-2) J к{х,у) + 1) • 1п[1п(Л,(ж, у) + 1) + 1] (1^1{х)(1^1±(у) <

Х-у

< (£> - 2) I Ь(х, у) • 1пв~2{к{х,у) + 1) • Ы(Ь(х,у) + 1)йц1{х)йц1±{у) =

Х-у

= (£>-2) I Ь(х,у) Лпв-1{к{х,у) + 1)йц1{х)йц1±{у),

Х-у

получаем, что он сходится. Таким образом, мы показали, что

Следовательно, мера множества Е равна /х(Х7).

Пусть (Хо,уо) — точка множества Е и <§) Т^А. — произвольный оператор из направленности А. Имеем

1^1 <8)^^0,2/0)1 < / / (ж0, (уо, «Ж«,(и)^1"1^) =

у х1

= / 1^(2/0,^)1 I \К11(хо,и)1г(и,у)\(11л1(и)(11л1±(у) < ^\К1п^{у0,у)\Т1к{х0,у)(1111±{у). УХ1 У

Взяв предел по направленности А, получим ИтТп/г(жо, 2/о) ^ Т1Н{хо,Уо)- Таким образом, так

как (жо,2/о) — произвольная точка множества меры /х(Х7), то 0 ^ ИтТп/г(жо, 2/о) ^ £ всюду в Х7,

кроме, быть может, множества меры, меньшей е (например, по неравенству Чебышёва). С другой стороны, поскольку функция д ограничена и имеет вид комбинации элементарных тензоров, имеем

/к \ к к

т1п1 Т^±д

\к= 1 / к= 1 " &=1

для почти всех (ж, у) € X. Таким образом, выполнено

0 < Щтп/

пеА пеА

для точек из множества меры, большей (1—7)-°_1(1—27)—е. В силу произвольности е и 7 неравенство (3) обращается в равенство почти всюду. Теорема доказана.

Замечание 2. В теореме 3 рассматриваются не произвольные семейства линейных операторов, как в теореме 2, которую она обобщает, а лишь интегральные по той причине, что в доказательстве для случая И > 2 существенно используется интегральное неравенство Иенсена. В случае же И = 2 можно действительно брать произвольные линейные операторы, как в теореме 2.

Замечание 3. Также в теореме 3 наложено более сильное условие на всюду плотное множество, на котором изначально должна сходиться направленность операторов: произвольное всюду

плотное подмножество Ь1 может вообще не лежать в 1Лп+ Ь, в то время как в шаге индукции возникает необходимость приближения в терминах этого пространства, т.е. по величине, определенной перед леммой 3. Однако, как видно из доказательства леммы 3, достаточно требовать сходимости не на всех ограниченных функциях, а только на ступенчатых. Более того, видно, что достаточно требовать сходимости на подмножествах, удовлетворяющих утверждению леммы 3, т.е. на таких подмножествах, произведения которых приближают функции из Ь\п+ Ь на произведении, причем для каждого пространства-сомножителя может быть свое подмножество функций, на котором требуется сходимость в условии. Например, если какое-то из Хг — нормальное топологическое пространство (т.е. такое, в котором замкнутые множества отделяются открытыми окрестностями) с регулярной борелевской мерой (т.е. измеримые множества приближаются замкнутыми вписанными и открытыми описанными, таковыми, например, являются радоновские меры и, в частности, мера Лебега в Мга), то, пользуясь большой леммой Урысона, по аналогии с [9, гл. VII, §1, теорема 2] можно требовать сходимости на множестве непрерывных (или даже ограниченных непрерывных) на Хг функций. Согласно же теоремам типа Уитни о продолжении для гладких функций (см., например, [10, теорема 3.1.14]), можно ограничиваться и гладкими функциями.

Замечание 4. Очевидно, полученные результаты остаются верными для пространств конечной меры.

Простейшее применение полученного результата относится к теории суммирования кратных ряд

дов Фурье. А именно: пусть М^ — натуральные числа (г = 1,..., И), Хг = Тм% X = П Тм<> = , в

г=1

качестве меры на каждом торе берем стандартную меру Лебега, а в качестве операторов Т^ возьмем средние Фейера, т.е. для /(ж) € Ь1(ТМ*) положим Т^/(ж) = = / Кпг(хг — ¿г)/(£г)сЙг, где

Кпг(-) — многомерное ядро Фейера с мультииндексом пг = (п\,..., пгм.). Направленным множеством Аг здесь является некоторое множество мультииндексов {(п\,... ,пгм.)}, возрастающих ограниченно (ограниченность понимается в смысле [2, гл. XVII, §3]), откуда следует, что соответствующий максимальный оператор Тг имеет слабый тип (1,1) (см. [2, лемма XVII.3.11]). Возрастание направленности мультииндексов А1 х ... х Ав, где каждая направленность мультииндексов Аг возрастает ограниченно, назовем /^-ограниченным. Соответствующую сходимость результатов применения данных операторов назовем /^-ограниченной. Известно, что средние Фейера ограниченно сходятся к исходной функции почти всюду, если, например, исходная функция ограниченна (см. [2, гл. XVII, §3]). Аналогичное верно и для некоторых других средних рядов Фурье, например для средних Абеля-Пуассона (см. [2, гл. XVII, §3]), направленности для которых определяются аналогичным образом, и средних Марцинкевича (см. [11] и [12]).

Отметим, что для средних Абеля-Пуассона семейство операторов является не счетным, а континуальным, но в данном случае это не создает проблемы, так как можно переходить к счетному множеству индексов, плотному в исходном (например, рассматривая рациональные числа отрезка [0,1]), подобно тому, как это делается в [13, лемма 4.1.4]. /^-кратными средними Марцинкевича функции / € Ь1(ТМ) назовем средние вида

Г °

= ] Ц/С(.<-? ¡ч/пин.

^дг .7 = 1

где К^ — обычные ядра Марцинкевича, Р, ж-7 € Тмз,1,х € . Подробно средние Марцинкевича изучены в [11]. Заметим, что при рассмотрении средних Марцинкевича каждая направленность Аг состоит из мультииндексов вида {(пг,..., пг)} С т.е. из семейства "кубических" мультииндексов.

Из вышесказанного и теоремы 3 получаем следующий результат.

Теорема 4. Пусть / € £(1п+ £)-°-1(Тм). Тогда средние Фейера, Абеля-Пуассона и кратные средние Марцинкевича функции / сходятся И-ограниченно к / почти всюду на

Другим примером служит обобщение теорем Лебега и Иессена-Марцинкевича-Зигмунда о дифференцировании в неопределенных интегралов суммируемых функций. Подробнее об этом можно прочитать в работе [14], там же приведены и дальнейшие приложения этого результата. Здесь же укажем только формулировку результата.

Теорема 5. Пусть / € £(1п+ £)-°-1(Мм). Тогда производная неопределенного интеграла функции / для любой И-регулярной системы брусов существует и совпадает с / почти всюду относительно меры Лебега.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №14-01-00417), программы Президента "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-7461.2016.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1, 2. М.: Мир, 1965.

3. Толстое Г.П. Мера и интеграл. М.: Наука, 1976.

4. Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. М.; Ижевск: РХД, 2006.

5. Голубое Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения. М.: Изд-во ЛКИ, 2008.

6. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 2. М.: Мир, 1975.

7. Хелемский А.Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. М.: Наука, 1989.

8. Rudin W. Real and complex analysis. N.Y.: McGraw-Hill, 1966.

9. Колмогоров A.H., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2004.

10. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987.

11. Дьяченко М.И. Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1989. 190. 88-101.

12. Фуфаев Д.В. Сходимость средних Марцинкевича // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Мат-лы Двенадцатой международной Казанской летней научной школы-конференции; Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. 2015. 51. 452-453.

13. Guzman М. Real variable methods in Fourier analysis. Amsterdam: North-Holland PC, 1981

14. Фуфаев Д-В. Промежуточный случай регулярности в задаче дифференцирования кратных интегралов // Изв. Саратов, ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. 14, № 4(1). 401-407.

Поступила в редакцию 27.li.2015

УДК 511

ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ ОДНОМЕСТНЫХ ПРЕДИКАТОВ ДЛЯ КЛАССОВ ПОСТА

С. В. Быковская1

Рассматривается задача о полноте систем одноместных предикатов, заданных на конечных множествах. Получены критерии полноты произвольной системы одноместных предикатов относительно произвольных множеств булевых функций.

Ключевые слова: одноместные предикаты, замыкание систем предикатов относительно замкнутых классов булевых функций, полнота систем предикатов.

The problem of completeness of arbitrary systems of monadic predicates defined on finite sets is considered. Completeness criteria are obtained for an arbitrary system of monadic predicates over arbitrary set of Boolean functions.

Key words: monadic predicates, closure of system of predicates over closed classes of Boolean functions, completeness of system of predicates.

Рассматривается множество фу одноместных предикатов, определенных на некотором непустом конечном множестве V (определения см. в [1]).

Пусть 21 — некоторое конечное множество предикатов, F — некоторое множество булевых функций. Определим понятие предикатной формулы над (21, F):

1) выражения Р(х), где Р(х) € 21, являются (атомными) формулами над (21, F)\

2) пусть f(x 1,..., хп) € F и А\,..., Ап — формулы над (21, F), тогда выражение f(A\,..., Ап) — формула над (21, F).

1 Быковская Светлана Викторовна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: bykovskaya.svetlanaQgmail.com.