Динамика шариков при тонком шлифовании соосным кольцевым инструментом

щих с в контакте. Пр и этом происходит также изменение направлений осевой и окружной составляющих внутренней силы взаимодействия между элементами червячной пары.

Неоднозначность силовой передаточной функции для самотормо-зящихся червячных передач может привести к существованию нескольких решений дифференциальных уравнений движения механической системы, включающей такие передачи.

Список литературы

1. Гидаспов И.А., Вейц В.Л. Динамика самотормозящихся механизмов. Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1987. 144 с.

2. Крюков В.А. Особенности динамики приводов автоматических роторных линий с червячными редукторами // Изв. ТулГУ. Сер. Машиностроение. 1998. Вып. 3. Ч. 2. С. 65-73.

3. Артоболевский И.И. Теория механизмов. М.: Наука, 1967. 719 с.

4. Иосилевич Г.Б. Детали машин. М. : Машиностроение, 1988. 68 с.

5. Крайнев А.Ф. Словарь-справочник по механизмам. М. : Машиностроение, 1987. 560 с.

M. Bulatova

The mathematical model of the worm gear

Power transfer function of a worm gear as a part of the machine unit, using the design model without transition to analogue of transfer - wedge-bar mechanism is received.

Получено 07.04.09

УДК 621.822:621.623

К.Г. Щетникович, канд. техн. наук, доц.,

ДИНАМИКА ШАРИКОВ ПРИ ТОНКОМ ШЛИФОВАНИИ СООСНЫМ КОЛЬЦЕВЫМ ИНСТРУМЕНТОМ

Определены силы сцепления и трения скольжения, действующие на шарики из хрупких материалов при тонком шлифовании между нижним приводным диском и двумя соосными кольцами. Установлены условия одновременного скольжения шариков в процессе шлифования по неподвижному и приводному кольцам. Получена зависимость угла наклона мгновенной оси вращения шарика от давления колец.

Ключевые слова: шарики, хрупкие материалы, тонкое шлифование, кольцевой инструмент, динамика.

При традиционном способе шлифования шариков между двумя соосными дисками в кольцевых канавках обработка проходит в условиях трения качения при дифференциальном проскальзывании шариков относи-

тельно рабочих поверхностей инструмента [1, 2]. Низкая скорость проскальзывания, медленное изменение положения мгновенной оси вращения шарика и большие контактные нагрузки ограничивают область применения способа в основном шлифованием стальных шариков. Обработка шариков между диском и двумя приводными кольцами [3, 4], конические фаски которых образуют кольцевую канавку, позволяет изменять положение мгновенной оси вращения шарика путем изменения угловой скорости колец. Обработка шариков осуществляется в условиях трения качения и верчения, поэтому скорость проскальзывания несколько возрастает, тем не менее она составляет незначительную часть от линейной скорости инструмента.

Значительное увеличение скорости скольжения шариков достигается применением соосного кольцевого инструмента с базированием неподвижного кольца непосредственно на обрабатываемых изделиях с помощью кольцевой проточки прямоугольного профиля [5, 6]. Данная конструкция обеспечивает 4-точечный контакт заготовок с инструментом, и перемещение шариков по кольцевой дорожке сопровождается их скольжением относительно одной из поверхностей контакта с неподвижным кольцом. Анализ кинематики шариков проводился для случая, когда основная нагрузка на изделия прикладывается к внутреннему приводному кольцу с конической фаской, а давление неподвижного кольца на заготовки определяется его весом.

При повышенных нагрузках на неподвижное кольцо наблюдается зависимость кинематики шариков от величины давления колец на заготовки. Для выбора соотношения нагрузок на кольца в процессе обработки необходимо определить силы, действующие на шарики в точках контакта с инструментом. Данная работа посвящена анализу сил, действующих на шарики при тонком шлифовании, и определению положения мгновенной оси вращения шарика.

Конструкция инструмента и кинематика шариков при доминирующей осевой нагрузке. В состав инструмента (рис. 1) для обработки шариков 11 входят следующие основные детали: нижний приводной диск 12, внутреннее приводное кольцо 5 с конической фаской, наружное неподвижное кольцо 4, базирующееся на обрабатываемых шариках с помощью кольцевой проточки 9 прямоугольной формы, и сепаратор 8, установленный на оси 7. Приводное кольцо закреплено на оправке 6 верхнего шпинделя, а нижний диск установлен на оправке 13 нижнего шпинделя. Контакт неподвижного кольца с обрабатываемыми шариками по двум поверхностям обеспечивает его самоустановку в осевом и радиальном направлениях относительно оси вращения инструмента.

Общая нагрузка на шарики складывается из осевой нагрузки, прикладываемой к приводному кольцу, и нагрузки, создаваемой неподвижным кольцом. Последняя определяется весом неподвижного кольца и суммарным усилием пружин растяжения 10. Зацепы пружин входят в отверстия уголков 2, установленных на столе 15, и кронштейнов 3, закрепленных на

неподвижном кольце. Регулировка усилия пружин достигается их переустановкой в соответствующие отверстия уголков и кронштейнов. Стойка 1, закрепленная на уголке и входящая с зазором в прорезь на кронштейне, фиксирует неподвижное кольцо от вращения. Таз 14 предохраняет рабочую зону от разбрызгивания абразивной суспензии. При обработке шарики перемещаются по кольцевой дорожке, образованной торцевой поверхностью нижнего приводного диска, конической фаской верхнего диска и двумя поверхностями проточки на неподвижном кольце.

Рис. 1. Конструкция инструмента для шлифования шариков

Когда осевая нагрузка на приводное кольцо намного превышает нагрузку на неподвижное, кинематика шариков (рис. 2) может быть рассмотрена из условия отсутствия проскальзывания в наиболее нагруженных точках контакта с инструментом А, В и К [6]. Мгновенная ось вращения шарика проходит через точку К на неподвижном кольце и точку Р, являющуюся полюсом скоростей уа и ув точек А и В контакта шарика с нижним диском и приводным кольцом. Точка Р делит расстояние АВ на части, пропорциональные скоростям уа и ув .

Угловая скорость абсолютного вращения шарика ю определяется величиной угловых скоростей нижнего диска и приводного кольца:

^ ,

2 Г Бт

где - угловая скорость нижнего диска; ^ - радиус кольцевой дорожки; г - радиус шарика; в - угол наклона мгновенной оси абсолютного вращения шарика при качении в точках А, В и К .

Угол в определяется из выражения

(R -r cos a) -<$dR sin а

tgP

(R - r cos а) + radR(1 + cos а) где - угловая скорость приводного кольца; а - угол конической фаски на приводном кольце.

Рис. 2. Кинематика шарика при доминирующей осевой нагрузке

Угол у наклона мгновенной оси относительного вращения шарика связан с углом в соотношением

К + г п

= - tgв.

К

Угловые скорости относительного юг и переносного юе вращения шарика при известном значении ю могут быть определены по формулам

ю, =

ю cos в

ю„ =

ю r sin в

cos у R

Скорость скольжения шарика по горизонтальной поверхности кольцевой проточки определяется выражением

,П

v = >/2юг cos(--------В).

і

Расчет скорости скольжения показывает, что ее величина более чем в 4 раза превышает максимальную скорость дифференциального проскальзывания шариков при дуге контакта с инструментом длиной 0,3 й, где й -диаметр шарика. Скольжение шариков по одной из поверхностей инстру-

ЗО

мента позволяет повысить интенсивность шлифования шариков по сравнению с обработкой при 3-точечном контакте с инструментом. Однако, как видно из формулы (4), высокая скорость скольжения шарика возможна только при его большой угловой скорости. Увеличение угловой скорости шариков сопровождается ростом динамических нагрузок, действующих на них в зоне обработки. При обработке хрупких материалов допустимая угловая скорость заготовок, имеющих особенно в начале обработки значительные отклонения от сферической формы, мала. Данный фактор существенно ограничивает максимальную скорость вращения инструмента при шлифовании шариков из материалов низкой прочности.

Динамика шариков в зоне обработки. В точках контакта с инструментом (рис. 3) на шарик действуют силы нормального давления ИА, Мв, и Мк.

Рис. 3. Динамика шарика в зоне обработки

Силы вызванные осевой нагрузкой на приводное кольцо и нагрузкой на неподвижное кольцо, а также касательные силы сцепления и трения Fa , FB, Fd и FK, вызванные вращением инструмента. Внутреннее приводное кольцо взаимодействует с шариком по конической поверхности с силой

P

Nb =-^, sin а

где Pm - осевая нагрузка, приходящаяся на один шарик.

Неподвижное кольцо давит торцевой поверхностью проточки на каждый шарик с силой

Nd = P,

где Ps - нагрузка на один шарик, создаваемая неподвижным кольцом.

Сила трения скольжения шарика по горизонтальной поверхности проточки ^

где f - коэффициент трения скольжения шарика о материал инструмента.

В процессе движения шарики испытывают силовое воздействие сепаратора. Из-за погрешности формы шариков и рабочих поверхностей инструмента линейные скорости шариков различаются. Часть шариков является ведущими, часть - ведомыми, причем один и тот же шарик в разные моменты времени может являться и ведущим, и ведомым. Скорость сепаратора равна скорости ведущих шариков, которые испытывают силовое воздействие сепаратора, пропорциональное силе трения скольжения шарика по рабочим поверхностям инструмента. Учитывая, что контакт сепаратора с шариком происходит на уровне его центра, максимальное усилие надавливания ведущего или ведомого шарика на сепаратор

Npmax = 2 f (Nb + Nd ).

При трении шарика о сепаратор возникает тормозящий момент, направленный вдоль мгновенной оси относительного вращения шарика,

Mp = fpNp- = fpf-(Pm + Ps Sln аХ

sin а

где fp - коэффициент трения скольжения шарика о материал сепаратора.

Для определения неизвестных сил сцепления и давления необходимо составить уравнения движения шарика в рабочей зоне. Учитывая, что сила трения скольжения шарика по неподвижному кольцу намного превышает силы трения качения, последние не учитывались при составлении уравнений движения шарика. Дифференциальные уравнения относительного движения шарика в системе координат XYZ , проходящих через его центр, имеют вид [2], представленный системой (5).

При нагрузках на приводное кольцо, превышающих нагрузку на неподвижное, шарик скользит по наименее нагруженной горизонтальной поверхности кольцевой проточки и положение мгновенной оси вращения может быть определено по формулам (1) - (3). Решение дифференциальных уравнений при известном угле у позволяет определить силы, действующие на шарик при перемещении по кольцевой дорожке.

Нормальное давление шарика на нижний диск и на боковую поверхность кольцевой проточки найдем из первого и третьего уравнений системы (5) дифференциальных уравнений

NA = Ps + Pm + mg , NK =

Pm

m

tgа

dv

m

CX

m

m

dt

dvCY

dt

dvCZ

dt

Na + NB sin а + Nd + mg = О,

= - Fa + FB - FD + FK = О

= -NB cos а + NK = О

I dЮ-х = -FBrcosа + FKr + Mp sin y = О, dt B p'

d ю

I

rY

dt d ю

= О,

I—Z = -FAr - FBr sin а + FDr + M cos y = О, dt

где m, I - масса и момент инерции шарика; vC - скорость центра шарика.

Сила трения сцепления шарика с вертикальной поверхностью проточки на неподвижном кольце

FK = FB cos а -

M sin y

Подставив выражение (6) во второе уравнение системы (5), полу-

чим

-Fa + FB (1 + cos а) - Fd -

M sin y

= О.

Вычитая из данного уравнения последнее уравнение системы (5), находим значение силы сцепления шарика с конической фаской приводного кольца

Fb = f

Ps [V2 +fp cos

^ . а ж ач

2sin а cos cos

2 4 2

Значение силы FK найдем, подставив найденное значение силы FB

в выражения (6):

r

ЗЗ

f Ps [V2 cos a + fp cos a cos(П - y) + 2 fp cos—cos(П - —) sin у] sin a

FK =-------------------------------4---------------2------4—2---------------+

K _ . a ж a4

2sin a cos cos

2 4 Г

frfPm [cos a cos( П - Y) - 2cos f cos( 7 - ^ sin Y]

+----------------------------------------------------4-2-4—2-•

_ . a ж a. vJ

2sin a cos cos

2 4 2

Силу сцепления шарика с нижним диском определим из последнего уравнения системы (5), используя выражение (7):

fP [(1 + fp cos Y) cos(П - a) - (v/2 + fp cos(П - Y)] sin a

Fa =----------------------------------------------4------------+

ж a.

sin a cos

4 2

ffpPm[cos( 7 - a) cos Y - sin a cos( 7 - Y)]

+ p___________4____2_____________2____4______.

ж a4

sin a cos

4 2y

По мере увеличения нагрузки на неподвижное кольцо силы сцепления шарика с инструментом, как следует из выражений (7) - (9), возрастают и их максимальная величина ограничивается значением сил трения скольжения. Скольжение шарика начнется в той точке, где сила сцепления первой достигнет значения силы трения скольжения.

Определение сил сцепления и трения при дополнительном скольжении шариков относительно приводного кольца. Сравнивая отношения сил сцепления к соответствующим силам нормального давления находим, что в точке A это отношение намного меньше, чем в других точках и при положительных значениях угла y :

Fb > FK

NB Nk

Следовательно, при достаточной нагрузке на неподвижное кольцо скольжение начнется в точке B контакта шарика с приводным диском, где величина силы трения

Fb = f—

sin a

Значение силы сцепления в точке K в этом случае

FK =fPm

sin a

Значение силы сцепления FA найдем из второго уравнения системы (5):

Fa = fP^

sin a 2

Снижение скорости шарика в точке B по сравнению с линейной скоростью приводного кольца вызывает уменьшение угла наклона мгновенной оси вращения шарика из-за смещения полюса P скоростей VA и VB вверх по прямой AB. Подставив выражения (10) - (12) в последнее уравнение системы (5), получим

1 + sin a + cos a -

P[2 + fp(sin Y + cos Y)] - P----------------:—p--------------= °

sin a

откуда зависимость между углом Y и отношением нагрузок на неподвижное и приводное кольца:

_ a ж a. ж ч

n 2cos cos

Pl = 2 4 2 p 4

P i— n

m [V 2 + fp cos(— - y)] sin a

Подстановка в выражение (13) значения угла y из выражения (3) определяет минимальное отношение нагрузок на неподвижное и приводное кольца, превышение которого сопровождается скольжением шарика по приводному кольцу при данных угловых скоростях инструмента. При меньших значениях отношения нагрузок положение мгновенной оси вращения шарика определяется угловыми скоростями приводного кольца и диска. Увеличение нагрузки на неподвижное кольцо сопровождается уменьшением угла наклона мгновенной оси вращения шарика и ростом скорости скольжения по приводному кольцу. При достижении величины угла y = 0, поступательная скорость шарика принимает нулевое значение, которой соответствует соотношение нагрузок на кольца

p 2л/2 cos a cos( n-a) - fp PL =__________2 4 2 p

pm (2 + fp)sin a

При дальнейшем увеличении нагрузки на неподвижное кольцо мгновенная ось абсолютного вращения пройдет через точку D на неподвижном кольце.

P

График зависимости угла y от отношения нагрузок на кольца —^

Pm

(рис. 4) построен при следующих исходных данных: r = 5,5 мм, R = 71 мм,

a = 55°, md = 1,68 c-1, ют = 3,77 c-1, fp = 0,3. Численные значения угла y

получены с помощью программы Mathematica 4.1. Они показывают, что в области нагрузок, где наблюдается скольжение шарика одновременно по двум кольцам, малые изменения соотношения нагрузок на кольца сопровождаются значительными изменениями угла наклона мгновенной оси вращения шарика.

У, град

X

Рис. 4. Зависимость угла наклона мгновенной оси относительного вращения шарика от отношения нагрузок на неподвижное и приводное кольца

Неизбежные колебания в технологической системе вызывают постоянное изменение соотношения нагрузок на кольца, что обеспечивает быстрое нанесение сетки следов обработки на сферическую поверхность шарика. При скольжении шарика по приводному кольцу увеличение угловой скорости приводного кольца не влияет на угол наклона мгновенной оси вращения шарика, который определяется соотношением нагрузок на кольца. Тонкое шлифование шариков из оптического стекла [6] и минерального сырья показало высокую эффективность процесса.

Заключение. В результате анализа динамики шариков в зоне обработки получены аналитические зависимости для расчета сил сцепления и трения, действующих на шарики при повышенных нагрузках на неподвижное кольцо. Шлифование шариков соосным кольцевым инструментом позволяет изменять положение мгновенной оси вращения шарика как путем изменения частот вращения нижнего диска и приводного кольца, так и путем увеличения нагрузки на неподвижное кольцо. Изменение соотношения нагрузок на кольца дает возможность реализовать режим обработки со скольжением шариков одновременно относительно приводного и неподвижного колец. Такой режим шлифования обеспечивает интенсивную обработку шариков изготовленных из хрупких материалов. Колебания инструмента при шлифовании, вызывая изменения нагрузки на шарики, сопровождаются непрерывным смещением следов обработки по сферической поверхности и обеспечивают равномерную обработку шарика.

Список литературы

1. Олендер Л. А. Технология и оборудование шарикового производства. Минск: Вышэйшая школа, 1974. 336 с.

2. Филонов И. П. Механика процессов обкатки. Минск: Наука и техника, 1985. 328 с.

3. Способ чистовой обработки шаров: а. с. 1060428 СССР, МКИ3 В 24 В 11/02 / А.Н. Резников, Б.Г. Яновский; Тольят. политехн. ин-т. № 3476319: заявл. 11.06.82; опубл. 15.12.83. Бюл. № 46. С. 57.

4. Устройство для обработки шариков: пат. 3178771 Япония, МКИ5 В 24 В 37/02. NTN Corp. № 19900204846: заявл. 30.07.90; опубл. 02.08.91. Изобрет. стран мира. № 2. С. 15.

5. Устройство для обработки шариков: пат. 1969 Респ. Беларусь, МПК7 В 24 В 11/02. № 1836; заявл. 29.03.94; опубл. 30.12.97. Бюл. № 4.

Ч. 1. С. 120.

6. Щетникович К. Г., Киселев М. Г. Шлифование стеклянных шариков между двумя соосными кольцами и диском // Вестник ГГТУ им. П.О. Сухого. 2007. № 4. С. 3-10.

K. Schetnikovich

Dynamics of the balls during the fine grinding by a coaxial annular tool

The cohesive and sliding-friction forces acting on the balls of fragile materials when performing the fine grinding between the bottom drive plate and two coaxial rings have been determined. The conditions of simultaneous sliding of the balls over the stationary and drive plates in the grinding process have been ascertained. The dependence of the tilt angle of the instantaneous axis of ball’s rotation on the load on the rings has been obtained.

Получено 07.04.09

УДК 621.833.16

И.А. Ширяев, асп., (4872)33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru,

А.А. Пашин, канд. техн. наук, доц., (4872)33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru,

П.Г. Сидоров, д-р техн. наук., проф., зав. кафедрой,

ВЗАИМОСВЯЗЬ ГАБАРИТОВ ПЛАНЕТАРНЫХ ПРИВОДОВ С ПАРАМЕТРАМИ ИХ ЗУБЧАТЫХ ЗВЕНЬЕВ

Изложены фрагменты взаимосвязей габаритно-массовых параметров привода с параметрами их зубчатых звеньев на основе метода обращённого движения. Введен новый параметр - сумма чисел зубьев центральных колёс зубчатой ступени.

Ключевые слова: планетарный электропривод, многопоточные передачи, зубчатые звенья, габариты трансмиссии, конструирование приводов, синтез параметров.

Несмотря на постоянно растущие показатели энерговооружённости, производительности и быстроходности современных технологических ма-

37