Оптимальное проектирование сборного железобетонного перекрытия

№ 11 - 12 листопад - грудень 2011

6. Ковальчук І. О. Проблема залучення іноземних інвестицій в регіони України / І. О. Ковальчук // Зб. матеріалів науково-практичної конференції «Митна політика та актуальні проблеми економічної безпеки України на сучасному етапі». - Д. : Академія митної служби України, 2007. - С. 89 - 90.

7. Кутьин В. М. Территориально-экономическая кластеризация (классификация) регионов России: социально-географический аспект // Безопасность Евразии. - 2003. - № 1. -С.525.

8. Мигналева Ж. А.,Ткачева С. В. Кластеры и формирование структуры региона // Мировая экономика и международные отношения. - 2000. - № 5. - С. 99.

9. Петрушенко М. Кластери розпочинають та перемагають / М. Петрушенко // Урядовий кур'єр від 21 листопада 2001 р. - С. 3.

10. Письмак В. Новые формы организации инновационного процесса / В. Письмак // Экономист, 2003. - № 9. - С. 53 - 65.

11. Свірідова Н. Д. Кластерний аналіз у процесі залучення іноземних інвестицій/ Н. Д. Свірідова // Економіка промисловості. - 2005. - № 3 (29). - С. 105.

12. Третьяк В. П. Кластеры предприятий / В. П. Третьяк. - Иркутск: Балт. гос. ун-т экономики и права, 2006. - С. 32.

13. Czamanski S., Ablas L. A. Identification of industrial clusters and complexes: a comparison of methods and findings // Urban Studies. - 1979. - V. 16. - P. 61 - 80.

14. Enright M. Regional Clusters and Economic Development: A Research Agenda, working paper, Harvard Business Scholl, Boston, 1995.

15. Haag Den. Cluster Specialization Patterns and Innovation Style. - N.-Y. - 1998. - Р. 65.

16. Marshall A. Principles of Economics. London: Macmillan, 1890. - P. 332.

17. Perroux F. Note on the concept of growth poles. Regional economics: Theory and practice, The Free Press, New York, 1970. - P. 93 - 103.

18. Porter M. E. The Competitive Advantage of Nations, London: Macmillan, 1990.

19. Roelandt T., Hertog P. Boosting Innovation: The Cluster Approach, Paris: OECD. - 1999. -P. 9 - 23.

20. Simmie J., Sennett J. Innovative Clusters and Competitive Cities in the UK and Europe // OxfordBrookesSchool of Planning Working Paper. - 1999.

21. Schmitz H. On the clustering of small firms. - IDS Bulletin, 1992. - V. 23. - № 3.

УДК 624.04

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СБОРНОГО ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО

ПЕРЕКРЫТИЯ

Н. М. Ершова, д. т. н., проф.

Ключевые слова:проектное решение, вариант проекта, объект, проект времени, оптимальное проектирование, сборное железобетонное перекрытие, геометрическое программирование

Проблема. Об оптимальных параметрах выпускаемого изделия (объекта) необходимо думать еще при его проектировании, потому что потом повлиять на расходы, связанные с его изготовлением и последующей эксплуатацией, уже не удастся. Это заставляет задуматься над тем, что представляет собой проектирование [1] и какое место в нем отводится принятию оптимальных решений. Проектировщику требуется большой опыт и гибкость мышления, чтобы найти приемлемое решение среди множества различных вариантов. Под вариантом проекта понимается любое проектное решение, в той или иной степени удовлетворяющее требованиям:

• эффективности, т. е. как можно более полное соответствие цели, для которой объект создается;

• надежности, т.е. безотказности при эксплуатации;

• долговечности, т. е. способности к выполнению своих функций в течение предусмотренного проектом времени;

• технологичности, т. е. удобству изготовления элементов объекта, их транспортировки, монтажа;

32

Вісник ПДАБА

• экономичности, т. е. затраты на изготовление и эксплуатацию объекта не должны выходить за определенные рамки;

• эстетичности, т. е. изделия, не обладающие привлекательным внешним видом, неконкурентоспособны;

• конъюнктурности, т.е. соответствия специфическим требованиям заказчика. Непременным атрибутом идеальной схемы поиска оптимального проекта является некий

совокупный технико-экономический показатель качества проекта, который создается специально созданной командой высококвалифицированных специалистов-экспертов. Показатель качества проекта обычно имеет денежное выражение и записывается в виде:

S = TliKrfi

где f (Хр..., am) - технико-экономический показатель отдельного звена проекта (масса

определенных элементов конструкции, трудоемкость определенного вида работ и т.п.); а^ —

весовой коэффициент, учитывающий значимость рассматриваемого звена проекта; xj —

параметры управления, т. е переменные, изменяя которые можно влиять на показатель качества; а^ - постоянные неуправляемые параметры. Параметры xj и а^ обычно связаны

между собой ограничениями, которые вытекают из требований, предъявляемых к проектируемому объекту. Они могут иметь форму неравенств или равенств.

Задача экспертов состоит в том, чтобы, исследуя каждое звено проекта, выяснить, от каких параметров оно зависит, как связано с другими звеньями, какой удельный вес имеет. Необходимо установить все ограничения, которые в рамках данного звена накладываются на параметры x j и а^ . Это самая сложная и важная часть процесса проектирования, так как

после построения функции (1) и ограничений остается чисто техническая операция - выбрать метод математического программирования реализации созданной модели.

Описанная схема поиска оптимального проекта нереализуема, так как никакие эксперты не смогут совершенно объективно назначить весовые коэффициенты показателя качества. Но ничто не мешает проводить в процессе проектирования частичную оптимизацию, чтобы получить оптимальные решения для отдельных звеньев проекта.

В статье рассматривался частная задача оптимизации - оптимальное проектирование сборного железобетонного перекрытия.

Постановка задачи оптимального проектирования сборного железобетонного перекрытия. Сборное железобетонное перекрытие из балок и плит загружено равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q (рис. 1). Балки расположены вдоль короткого пролета. По ним уложен настил из плит, работающих на изгиб как балки пролетом а . Допустимые напряжения для плит и балок одинаковы и равны [ст]. Требуется определить минимальный объем перекрытия, исходя из условий прочности по максимальному изгибающему моменту в середине пролета плит и балок [2].

Рис. 1. Сборное железобетонное перекрытие: а - схема перекрытия; б - сечение по балке

Таким образом, требуется спроектировать железобетонное перекрытие минимального объема

V =

33

№ 11 - 12 листопад - грудень 2011

где N - количество балок (две крайние принимаются за одну), остальные обозначения соответствуют рисунку 1, при условии, что напряжение в опасных сечениях плит и балок не превышает заданного проектного напряжения a q:

Mпл /Wm <а0, Mб /W6 <а0.

В качестве неизвестных параметров выступают: высота плиты h, высота балки H и количество балок. Параметры эти должны быть положительными

h, H, N > 0.

Считаем, что масса материала, из которого изготовлены балки и плиты, равномерно распределена по контуру их поперечного сечения. Перекрытие спроектировано оптимально в том случае, если в нем содержится такое количество материала, что при полной нагрузке напряжения в опасных сечениях балок и плит равны проектному напряжению а о.

При соотношении между шириной и высотой поперечного сечения балок B = аН, а < 1 объем перекрытия

2

V =

Определим минимальные значения моментов сопротивления сечений плит и балок

Wm.min = M плтах / ао;

W6.min Mб.тах /а0 .

В то же время моменты сопротивления сечений определяются по формулам

2

3

Wm = Lh /6 ; W6 = аН /6 .

Максимальные значения изгибающих моментов

2 2 2

мпл.тах = qma /8 = qLL2 /(8N ); a = L^N; qm = qL.

M. = q,l}/8 = qLL /(8N); a. = qL / N.

б.тах чб 4 1 чб 4 1

Подставляя в формулы (6) выражения (7) - (9), имеем:

Lh2 /6 = qLL2 /(8N2а0); аН3 /6 = qL]L2 /(8Na0).

Из равенств (10) получаем формулы для определения высот h и Н :

h = ,j0,75qL2/(N2aQ) ; Н = |0,75qL1L2 /(аЛ'ст()) .

Анализируя формулы, отмечаем, что высоты поперечного сечения плит и балок зависят от количества балок. В таком случае, алгоритм поиска оптимального решения можно построить следующим образом:

• ввести исходную информацию;

• в цикле изменять значение количества балок в некотором реальном диапазоне, по формулам (11) получать значения h, Ни определять объем перекрытия по формуле (5);

• из полученного множества допустимых решений выбрать ту совокупность параметров h, Н , N , которая обеспечивает минимальный объем перекрытия.

Алгоритм поиска реализован в среде электронных таблиц. В таблице 1 приведены результаты оптимизации при следующих исходных данных: L1 = 20 м; L =10 м; q =0,05 МПа;

а0 =100 МПа; а =0,3.

Результаты оптимального проектирования

Т а б л и ц а 1

А В С D Е F H I J К L

1 L1 L Ч sigma О a If a

2 20 10 0,05 100 0.3

3 п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 N 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5 h G.G387 0,035 0,0323 0,03 0,0277 0,0258 0,0242 0,0228 0,0215 0,0204 0,0194

6 сО 0,25 0,227 0,2083 0,192 0,1786 0,1667 0,1563 0,1471 0,1389 0,1316 0,125

7 Н 0,63 0,61 0,5928 0,577 0,5631 0,5503 0,5386 0,5278 0,5179 0,5086 0,5

8 V 19,651 19,33 19,106 18,95 18,851 18,792 18,766 18,765 18,786 18,823 18,873

9 Opt

34

Вісник ПДАБА

Анализ результатов показывает, что оптимальное решение существует и ему соответствует вариант 8 перекрытия. Железобетонное перекрытие должно иметь 17 балок с параметрами поперечного сечения H = 0,5278 м, B = 0,158 м и плиты перекрытия высотой h = 0,0228 м.

Для подтверждения правильности выбора оптимального варианта перекрытия решим задачу методом геометрического программирования. Обозначим x^ = h; x2 = H; x3 = N и

запишем математическую модель прямой задачи геометрического программирования.

Математическая модель прямой задачи

целевая функция

ограничения

/q(Xp Xj, X3) = + CjXjX3 = u1 + u2 ^ min,

f1(X1,X2,X3) = c3X1 2X32 = u3 < 1, f2( X1, X2, X3) = C4 X-3 X-1 = u 4 < 1 ,

граничные условия

X1, X2, X3 > 0,

где

2 2

C1 = LL^ c2 = aL; C3 = 0,75^ /^; C4 = 0,75^2 /(ас^).

Здесь число неизвестных параметров n =3, число одночленных позиномов m =4. Следовательно, степень трудности задачи d = m - n -1 =0. Число позиномов целевой функции два. Число ограничений к =2.

Математическая модель двойственной задачи • целевая функция V(5) ^ max,

ограничение AT 5 = E,

• граничные условия 5 > 0.

Составим матричное уравнение для определения двойственного вектора:

AT 5 = E

A =

О о "1 0 — 2 0" "51 " "0"

0 2 1 0 2 0 — 3 52 0

— 2 0 — 2 0 1 — 2 — 1 53 0

0 — 3 — 1 110 0 1 1 1

или <

51 — 253 = 0;

252 — 354 = 0;

52 — 253 — 54 = 0; 51 + 52 = 1

53 =51/2;

51 = 1 — 5 2;

54 = 252 /3.

Ограничения содержат по одному одночленному позиному, поэтому Л = 53; = 54.

Двойственная функция имеет вид:

5 5 5 5 Л Х

U(5) = (C1/51) 1(C2/52) 2(C3/53) 3(c4/54) 4 Л^2.

Данная двойственная задача - задача, в которой независимой является только одна переменная 52. Все двойственные переменные должны быть положительны, поэтому

переменная 52 может изменяться в пределах 0 < 5 2 < 1

Рассмотрим полученные ранее варианты 6 — 11 (табл. 1) и вычислим для них значения целевой функции по выражению (12). Результаты расчета представлены в таблице 2.

35

№ 11 - 12 листопад - грудень 2011

Прямая задача геометрического программирования

Т а б л и ц а 2

А В | С [)

12 прямая задача

13 с 1 с2 сЗ с4

14 200 3 0,15 2.5

15 х1 Х2 хЗ ffx1,Х2,Х31

16 0,0258 0,5503 15 18,792345

17 0,0242 0,5386 16 18,766835

13 0,0228 0,5278 17 18,76483

19 0,0215 0,5179 18 13,736224

20 0,0204 0,5036 19 18,821575

21 0,0194 0.5 20 18,872

Выполним расчет двойственной функции при изменении переменной ^2 в пределах от 0,1 до 0,9 с шагом 0,1. Результаты расчета представлены в таблице 3.

Т а б л и ц а 3

Двойственная задача геометрического программирования

А ВІСІ D E F (5

23 двойственная задача

24 delta2 deltal delta3 delta4 лямбдаї лямбда2 Ufdeltal

25 0,05 0,95 0,475 0,0333 0,475 0,03333 82,786

26 0,15 0,85 0,425 0.1 0,425 0,1 79,553

27 0,25 0,75 0,375 0,1667 0,375 0,16667 70,247

28 0,35 0,65 0,325 0,2333 0,325 0,23333 58,739

29 0,45 0,55 0,275 0.3 0,275 0,3 46,982

30 0,55 0,45 0,225 0,3667 0,225 0,36667 36,08

31 0,65 0,35 0,175 0,4333 0,175 0,43333 26,603

32 0,75 0,25 0,125 0.5 0,125 0,5 18,763

33 0,85 0,15 0,075 0,5667 0,075 0,56667 12,531

34 0,95 0,05 0,025 0,6333 0,025 0,63333 7,6906

Для оптимального варианта /„(**) = 1/(Г). Такой вариант есть: в таблице 2

f (Хр%2,Х3) = 18,76483 и в таблице 3 U(J) = 18,763 . В таблице 1 варианту 8 соответствует

объем V = 18,765. Следовательно, оптимальное перекрытие должно иметь 17 балок и тогда длина пролета a =1,1765 м. Но строительными нормами предусматривается, что длина пролета должна быть кратна трем, т.е. a =3; 6; 9 м.

Тогда целесообразно задаваться длиной пролета и выражать через нее максимальный изгибающий момент и высоту плиты перекрытия, т.е. :

мпл.тах = qma /8 = qLa /8;

h = a^j0,75q / Oq .

пл

qL.

В этом случае высота плиты определяется исходными данными и не зависит от количества балок, поэтому можно дополнительно ввести переменную а. Кроме того, для ускорения поиска оптимального решения следует печатать значения объема перекрытия только при условии, что

aN > L1.

Результаты реализации такого алгоритма приведены в таблице 4.

36

Вісник ПДАБА

Результаты оптимизации параметров перекрытия

Т а б л и ц а 4

Н О p  R 8 T

1 L1 L q sigmaO

2 20 10 0,05 100

3 а h

4 3 0,05009

5 п 1 2 3 4 5 6

6 н 2 3 4 5 6 7

7 С 0,375 0,25 0,1875 0,15 0,125 0,10714

3 a If а Н

9 0.3 1,07722 0,94104 0,85499 0,7937 0,7469 0,70949

10 0,4 0,97072 0,85499 0,77681 0,72112 0,6786 0,64462

11 0.5 0,90056 0,7937 0,72112 0,66943 0,62996 0,59841

12 0.5 0,85499 0,7469 0,6786 0,62996 0,59282 0,56312

13 0.7 0,81217 0,70949 0,64462 0,59841 0,56312 0,53492

14 0.8 0,77681 0,6786 0,61655 0,57236 0,53861 0,51163

15 0.9 0.7469 0,65248 0,59282 0,55032 0,51787 0,49193

16 1 0,72112 0,62996 0,57236 0,53133 0.5 0,47496

17 a If а V

10 0.3 net net net net net 22,1899

19 0.4 net net net net net 23,2538

20 0.5 net net net net net 24,1522

21 0.6 net net net net net 24,9375

22 0,7 net net net net net 25,6398

23 0.8 net net net net net 26,2779

24 0.9 net net net net net 26,8649

25 1 net net net net net 27,4098

26 а h

27 е 0,11619

20 a If а V

29 0.3 net net 32,01 32,6873 33,2794 33,8088

ЗО 0.4 net net 32,8928 33,6383 34,29 34,8727

31 0.5 net net 33,6383 34,4414 35,1434 35,7711

32 0,6 net net 34,29 35,1434 35,8894 36,5565

33 0.7 net net 34,8727 35,7711 36,5565 37,2587

34 0.8 net net 35,4023 36,3416 37,1627 37,8969

35 0.9 net net 35,8894 36,8663 37,7202 38,4838

зе 1 net net 36,3416 37,3534 38,2379 39,0288

Анализ результатов оптимизации. Увеличение длины пролета вдвое приводит к увеличению вдвое высоты плит перекрытия и уменьшению практически вдвое количества балок перекрытия.

Вывод. Оптимальные значения параметров строительных конструкций эффективно определять двумя способами:

• применяя непосредственно принцип оптимального проектирования;

• методом геометрического программирования.

Метод геометрического программирования является контрольным методом и его следует использовать в том случае, когда среди некоторого множества оптимальных вариантов трудно выбрать вариант для практической реализации.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гольдштейн Ю. В. Оптимизация проектных решений: Учеб. пособие / Ю. Б. Гольдштейн. - Петрозаводск: ПетрГУ, 2001. - 164 с.

2. Ильин В. П. Численные методы решения задач строительной механики / В. П. Ильин, В. В. Карпов, А. М. Масленников. - Минск: Вышэйшая школа, 1990. - 350 с.

3. Даффин Р. Геометрическое программирование / Р. Даффин, Э. Питерсон, К. Зенер. М. : Мир, 1972. - 311 с.

4. Хог Э. Прикладное оптимальное проектирование: Механические системы и конструкции: Пер. с англ. / Э. Хог, Я. Арора. - М. : Мир, 1983. - 478 с.

37