Вариационно-разностный подход в расчетах монолитных безбалочных перекрытий

УДК 624.04 А. И. Чубрик

ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ ПОДХОД В РАСЧЕТАХ МОНОЛИТНЫХ БЕЗБАЛОЧНЫХ ПЕРЕКРЫТИЙ

В статье изложен теоретический подход для расчета с учетом физической нелинейности прогибов средней ячейки железобетонного монолитного безбалочного перекрытия, разработанного в РУП «Институт БелНИИС», на основе вариационно-разностного способа. Показано, что для ячейки, имеющей четыре оси симметрии, при симметричной нагрузке достаточно проводить расчет для одной восьмой ее площади. Отмечено перераспределение усилий в характерных точках плиты вследствие проявления физической нелинейности. Проведено сравнение прогибов плиты перекрытия, полученных при теоретическом расчете и замеренных в процессе натурных испытаний. Указаны факторы, влияющие на величины расхождений. Даны рекомендации по дальнейшему применению предложенной методики расчета. Отмечены особенности конструктивных требований строительных норм РБ, существенно влияющих на реализацию фактора физической нелинейности.

Введение

Введенные в действие нормы проектирования бетонных и железобетонных конструкций [1, 2] требуют от инженера для оптимального проектирования учитывать при расчетах физическую нелинейность бетона и арматуры, а при расчетах изгибаемых элементов рекомендуют использовать диаграмму зависимости «момент-кривизна». Это требование значительно осложняет процедуру поиска решения, которое, как правило, сводится к итерационным процессам. Для балочных элементов этот вопрос широко освещен, в том числе и в [3], однако для плоских элементов приемлемое решение пока не найдено. В данной статье автор излагает подход, позволяющий определить прогибы в характерных точках средней ячейки монолитных безбалочных перекрытий.

Теория расчета

Рассмотрим среднюю типовую ячейку (рис. 1) средней части монолитного безбалочного перекрытия постоянной толщины, разработанного под руководством А. И. Мордича [4] в отделе несущих конструкций РУП «Институт БелНИИС».

Расчет такой ячейки позволит оценить картину напряженно-деформирован-

ного состояния (НДС) в средней части рассматриваемого перекрытия.

Выполним расчет этой ячейки перекрытия вариационно-разностным способом, считая железобетонную плиту ортотропной и физически нелинейной. Согласно [5] функционал энергии изгиба ортотропной плиты можно выразить интегралом

Б.

дх2

+

д2Ж дЖ

+ 2 Б и

+ Б

х у дх2 ду2 ' - ^ 2 д 2Ж

+

ду2

+ 4Б

'д 2ЖЛ 2

дхду

dxdy,

где Ж - прогибы плиты; Бх, Бу, Бху - из-гибные для направлений ОХ и ОУ и крутильная цилиндрическая жесткость ортотропной плиты; иу - коэффициент Пуассона для направления ОУ, в дальнейшем принимается иу = их = 0,2.

В (1) интеграл берется по площади £ плиты.

Для реализации указанного подхода разобьем плиту сеткой на равные прямоугольные участки размерами Ах и Ау (рис. 2).

Рис. 1. Средняя ячейка монолитного безбалочного перекрытия

X

Рис. 2. Нумерация узлов сетки при выводе разностных отношений

Заменим в (1) частные производные разностными отношениями по формулам [6]:

д2 ^ Жь - 2Жк + Wd ,

дх2 д2 wk

(Ах)2 Ж - 2Ж + Ж

ду2 (Ах)2

д2 wk _ Ж - Ж + - Жк

дхду

4АхАу

где Ж - прогибы плиты в точках.

При подстановке (2) в (1) интеграл преобразуется в сумму

Wb - 2Wk + Wd

+

+ 2 Dk и

k k b

(A x)2

W - 2Wk + Wd Wa - 2W„ + W„

(A x)2

+D

Wa - 2Wk + Wc

. (Ay)2

(A y)2 AxAy+

+

Mk _-D

Ґд 2W„

M _ - D

y y

дx

ґд 2W„

k + д 2WkЛ

k + и k

уд, ,2

By

k д 2W^

k +u

x 2

Bx2

У

^k д2Wk

M _ -2 D ------------L

xy * B^Bx

M

+ -4У D

2 n_1

W - Wf + Wg - w, AxAy

AxAy,

где Бк, Бк, и - изгибные жесткости и

х у у

коэффициент Пуассона в точке к плиты; N - число узлов на плите; М - число пря-

Бп -

моугольных участков на плите;

xy

крутильная жесткость в середине прямоугольной ячейки с номером п.

Принимаем, что:

D _ b,Eb

xy 12 • 2

Для получения функционала полной энергии плиты ячейки и действующей на нее внешней нагрузки к (3) добавлялась работа внешних сил [7]:

П _-S Pk • Wk

k _1

где Рк - узловая внешняя нагрузка. Таким образом, полная энергия

э = и+П.

Составляем систему линейных алгебраических уравнений [8]:

дЭ

bw„

_ о, k = 1, 2, З, ..., N.

В дальнейшем будем считать известными диаграммы зависимости «момент-кривизна» для каждого узла сетки плиты (рис. 3). Это можно выполнить с помощью программного комплекса (ПК) «Бета» [9].

Аппроксимируем эти диаграммы кубическими параболами следующего вида:

M

_ Б

Г -1 p J

- J2"B03 x 27

sign

Г - 1 p у

+ 1 sign

-1

M.

Md

(1_ V

v p J

.

Тогда касательную жесткость для каждого узла найдем дифференцированием (9) по кривизне 1/ р. То есть, для узла к

сетки

р _ dMk _ Bk 2 р3

Б, _ —7--------г- _ р------Бп

2

d

VPk J

VPk J

sign

Pk

+ 1 sign

Pk

-1

M.

2

y

2

2

x

2

2

x

9

x

2

2

После ее решения по найденным значениям прогибов Жк в каждой точке к

определяем изгибающий и крутящий моменты по формулам [5]:

В формулах (9) и (10) В0 - начальное значение цилиндрической жесткости по х( Бх) или у( Бу).

Формула (10) позволяет скорректировать величины жесткостей для каждого узла сетки по величинам перемещений предыдущего расчета, так как [10]:

' 2Л

ЧРк у,

д 2 ^ дх2

' ^ Л

ЧР к У,

д 2 ^ ду2

После этого необходимо снова решить систему (7) при новых значениях жесткостей. Этот итерационный процесс продолжается, пока разница между тремя расчетными величинами (Мх, Му, Ж) соседних итераций не будет превышать принятой точности.

М

Рис. 3. Зависимость «момент-кривизна» для точек плиты

Поэтому алгоритм предполагаемого определения прогибов перекрытия состоит в следующем.

Этап 1. Линейный расчет при постоянных начальных жесткостях Бх, Бу, Бху в каждом узле сетки. Начальные жесткости определяются из условия упругой работы сечений с заданным армированием.

Этап 2. По найденному из линейного расчета вектору прогибов плиты Ж1 оп-

ределяются кривизны

(1У Рх

\Ру У

Р

ху У

по формулам (11) методом конечных разностей (2). Эти векторы кривизн позволя-

ют вычислить касательные жесткости по формулам (10) для каждого узла сетки. Это, в свою очередь, позволяет сформировать систему уравнений (7) и решить ее при новых жесткостях И,

и, и .

у ’ ху

Этап 3. Повторяет этап 2 при новых значениях вектора прогибов, полученного в конце этапа 2.

На заключительном этапе расчета по окончательным значениям прогибов и кривизн вычисляются итоговые значения изгибающих и крутящих моментов в узлах принятой сетки по формулам (8).

Практический расчет

В качестве примера для апробации предложенной методики рассмотрим среднюю ячейку междуэтажного перекрытия здания Торгового центра по ул. Крыленко в г. Могилеве. Перекрытие было запроектировано в отделе строительных конструкций РУП «Институт БелНИИС», а затем были проведены натурные испытания этого перекрытия (рис. 4).

Характеристики перекрытия и материалов, из которых оно изготовлено, следующие: бетон класса С25/30; толщина перекрытия к = 0,22 м; нагрузка на перекрытие q = 10 кН/м2. Армирование некоторых сечений перекрытия, разбивка которого показана на рис. 6 и 7, приведено на рис. 5.

Применим описанный выше метод к расчету средней ячейки монолитного железобетонного перекрытия. Разобьем ячейку 6^6 м на равносторонние квадраты размером 1^1 м (рис. 6).

Данная разбивка отвечает характеру изменения армирования плиты.

При составлении функционала полной энергии (3) в разностной форме при-

нимались следующие граничные условия (см. рис. 6):

- при х = 0, у = 0; х = а, у = 0; х = 0, у = Ь; х = а, у = Ь;

Ж = 0 (точечное опирание плиты на колонны);

по граням

х = 0, х = а,

у = 0, у = Ь,

дw

дх

дw

ду

_ 0;

_ 0.

что соответствует скользящей заделке по направлению, перпендикулярном плоскости плиты. Такие граничные условия реализуются в средней ячейке многопролетного перекрытия при симметричном ее загружении.

Так как рассматриваемая плита имеет четыре оси симметрии, то достаточно рассчитать 1/8 части ячейки. На рис. 7 приведена схема сетки с учетом симметрии ячейки.

Рис. 4. Средняя ячейка ортотропной монолитной безбалочной плиты перекрытия: а - общий вид;

б - схема армирования

в)

010 3500

010 5500

08 3240

А=1М

Г)

083500

=Г=Г

Т 020 5^00 Т"

016 3500 -----А=1М-------

Рис. 5. Армирование перекрытия вдоль осей X иУ для сечения в точках: а - для точек 9, 8, 7 вдоль осей X и У; б - для точек 6, 5, 4 вдоль оси У и точки 4 вдоль оси X; в - для точек 3, 2 вдоль оси У; г - для точек 3, 2 вдоль оси X

о-6

0-8

¥

-12

о

-1

и

да

[7]

13Ц15]

-3530{ [22]

-41

0[1] 1[2] 2[3] 3[4] 4[5] 5[6] т0[7] -35 ,.х

№

14

27,[15] 28 {29

35

] р2]_ 41

Л

15

20( [22] 21 22 23 24 25.

36

42

16

30

37

43

$43] 144] 145] '[46]

-36 [

.сЪ.

10

17

31

38

44

[47] Ах

11

Я

18

32

[24

[301

39

45

[48]

12[14]

]

19[29]

26[28]'ГС\

] М

33[35]

40[42]

0 АУ

9] -45

°-40

Рис. 6. Принятая разбивка сетки для средней ячейки

7

8

9

а

Рис. 7. Нумерация узлов сетки с учетом симметрии

Также учтем, что при замене (1) суммой, площади участков, примыкающие к узлам сетки, будут меняться:

А П ^

для точек 0, 9 - "8;

Г

для точки 3 - "4;

Г

для точек 1, 2, 4, 6, 7, 8 - у; для точки 5 - ^2 .

Так как плита загружена равномерно распределенной нагрузкой q, то работа внешних сил при переходе рассчитываемой плиты из деформируемого состояния в исходное недеформируемое будет равна

П _ - qX

1

1

1

-Ж, +- Ж2 + - +

V 2 1 2 2 4 3

+1ж4 + ж5 + 1ж6 + 1ж7 +

1 1 Л + - Же + - Ж

2 8 4 9 у

При помощи ПК «Бета» построим диаграммы «момент-кривизна» для точек плиты 1-9. Для расчета плиты средней ячейки была составлена программа расчета на языке МаШета1;1са-5 [11]. Результаты сведены в табл. 1.

Табл. 1. Линейный расчет

Номер итерации Значения перемещений и усилий Номер узла

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 (линейный расчет) мм 0 0,57 1,39 1,72 1,03 1,67 1,94 2,11 2,30 2,47

Мх, кН-м -87,77 -13,66 11,34 18,17 -6,26 9,68 14,56 8,52 12,69 11,93

Му, кН-м -87,69 -26,19 -12,90 -8,74 -6,29 -2,76 -1,31 -8,53 8,19 11,93

1 мм 0 0,59 1,43 1,77 1,07 1,73 2,00 2,17 2,38 2,56

Мх, кН-м -90,22 -14,26 11,57 18,59 -5,94 9,02 15,03 8,76 13,12 12,36

Му, кН-м -89,92 -27,22 -13,71 -9,51 -6,032 -2,63 -1,12 8,47 8,78 13,11

2 мм 0 0,59 1,44 1,78 1,08 1,73 2,01 2,19 2,39 2,57

Мх, кН-м -90,84 -14,32 11,59 18,63 -5,88 -9,95 -15,07 8,77 13,17 12,41

Му, кН-м -90,13 -27,34 -13,82 -9,61 -5,99 -2,60 -1,10 8,81 8,50 12,41

Заключение

1. Результаты расчета (см. табл. 1) показывают, что при действии постоянной внешней нагрузки происходит перераспределение усилий в точках плиты, что свидетельствует об изменении жесткостей сечений.

2. Прогиб в середине ячейки для плиты с заданным армированием при заданной равномерно распределенной по площади нагрузке по завершению итерационного процесса составил Ж9 = 2,57 мм, полученный в результате натурных испытаний конструкции ^"9 = 5,3 мм. Различие

обусловлено граничными условиями рассматриваемой ячейки. В модели было принято, что угол поворота по грани ячейки равен нулю, однако в реальной конструкции на граничные условия существенное влияние оказывают загружение и опи-рание конструкций в смежных ячейках. Из этого следует, что при более точном учете граничных условий представленную схему определения прогибов при заданном армировании можно использовать в дальнейшем.

3. На практике армирование плит перекрытия осуществляется не только по прочности, а также с учетом конструктивных требований размещения арматуры в сечении, ширины раскрытия трещин в зависимости от назначения конструкции и

прогибов. Так, например, согласно [1, 2] железобетонные изгибаемые элементы с ненапрягаемой арматурой должны иметь минимальную площадь сечения продольной арматуры 0,15 % от площади сечения бетона. В рассматриваемой плите минимальная площадь арматуры составит

А _ 0,0015Ьк _ 0,0015-1000 • 220 _

_ 330 мм2/м.

СНБ 5.03.01-02 ограничивает максимальное расстояние между осями рабочих стержней в середине пролета и над опорами. В нашем случае оно должно быть не более 330 мм. Сочетание этих параметров дает конструктивное армирование стержнями диаметром 12 мм с шагом 330 мм, т. е. для полосы шириной 1000 мм следует размещать три стержня. Однако, как показывает подбор арматуры по программе «Бета» для участков с изгибающими моментами, близкими к нулевым, площадь, необходимая для обеспечения прочности сечения по первой группе предельных состояний при реальных нагрузках (порядка 10 кПа), гораздо меньше. Следовательно, конструктивные ограничения снижают область применения физической нелинейности монолитных плит безбалочных перекрытий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. СНБ 5.03.01-02. Бетонные и железобетонные конструкции. - Минск : Минстройархитекту-ры, 2003. - 139 с.

2. Изменения № 1 СНБ 5.03.01-02. Бетонные и железобетонные конструкции. - Минск : Минстройархитектуры, 2003. - 22 с.

3. Босаков, С. В. Расчет железобетонных балок с помощью зависимости «момент-кривизна» / С. В. Босаков, А. И. Чубрик // Строительная наука и техника. - 2006. - № 6 (9). - 103 с.

4. Рекомендации по расчету и конструированию монолитных железобетонных каркасов многоэтажных зданий системы БелНИИС с армированием плоских дисков перекрытий пространственными (объемными) арматурными каркасами / А. И. Мор-дич [и др.] - Минск : РУП «Институт БелНИИС», 2003. - 13 с.

5. Лехницкий, С. Г. Анизотропные пластинки / С. Г. Лехницкий. - М. : Гостехтеориздат, 1957. -463 с.

6. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения / Л. Коллатц. - М. : Наука, 1968. - 503 с.

7. Александров, А. В. Теории упругости и пластичности / А. В. Александров, В. А. Потапов. - М. : Высш. шк., 1990. - 399 с.

8. Тимошенко, С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Д. Гудьер. - М. : Наука, 1975. -575 с.

9. Лазовский, Д. Н. Руководство пользователя по программе «Бета» версии 3.2 / Д. Н. Лазовский, Д. О. Глухов. - Новополоцк : Полоцкий гос. ун-т, 2005. - 207 с.

10. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. - М. : Наука, 1969. - Т. 1. - 607 с.

11. Дьяконов, В. П. Система символьной математики МаШетайса 2. МаШетайса 3 / В. П. Дьяконов. - М. : Пресс, 2001. - 238 с.

РУП «Институт БелНИИС» Материал поступил 22.03.2007

A. I. Chubrik

Variation and differential approach for calculation solid girderless ceiling

RUP «Institute BelNIIS»

In the article the theoretical approach for calculations flexure of medium cell reinforced concrete solid girderless ceiling with taking into account physical non-linearity based on variation-differential method. The ceiling is developed in RUP «Institute BelNIIS». It is indicated, that there is enough to make calculation for one eighth part of slab, if it has four axes of symmetry and symmetrical loads. The redistribution of strain in the characteristic points of slab as a result of manifestation the physical non-linearity is marked. The comparison of the flexures of slab acquired by theoretical calculations and measured on the slab is executed. The factors, influencing on value of divergence, are shown. The recommendations for further application the methods of calculation are given. The features structural demands building codes RB, appreciably influencing on realization the factor of the physical non-linearity, are marked.