Моделирование процесса вытеснения суспензии

ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ, ПОДЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЯ. МЕХАНИКА ГРУНТОВ

УДК 624.131, 532.546 DOI: 10.22227/1997-0935.2018.8.944-951

Моделирование процесса вытеснения суспензии

Ю.П. Галагуз, Г.Л. Сафина

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26

АННОТАЦИЯ: Предмет исследования: движение жидкости со взвешенными твердыми частицами существенно влияет на прочность и устойчивость подземных хранилищ, туннелей и гидротехнических сооружений. Рассматривается процесс фильтрации суспензии и ее вытеснение потоком жидкости.

Предпосылки исследования: задачи фильтрации интенсивно исследуются последние полвека. За этот период модели фильтрации существенно усложнились. При моделировании процессов долговременной глубинной фильтрации современные исследователи вынуждены учитывать многочисленные факторы, влияющие на перемещение и осаждение микроскопических частиц в пористых средах. Ряд моделей строится на основе соотношений баланса взвешенных и осажденных частиц. Стохастические подходы к задачам фильтрации, использующие модель Больцма-на, сетевые модели и уравнения случайных перемещений, также успешно развиваются.

Цель исследования: изучение сложной одномерной модели фильтрации суспензии в твердой пористой среде при ее вытеснении чистой водой.

Задача и методы: рассмотрен процесс перемещения суспензии с чистой водой в пористой среде, который сопровождается переносом мелких частиц и накоплением осадка. Механико-геометрическое взаимодействие частиц с пористой средой взято в основу математической модели: твердые частицы свободно проходят через большие поры и застревают в порах, размеры которых меньше диаметра частицы. Уравнение баланса масс осажденных и взвешенных частиц и кинетическое уравнение увеличения осадка описывают модель фильтрации. При длительной фильтрации количество свободных мелких пор значительно уменьшается, что приводит к изменениям пористости и проницаемости пористой среды. Чтобы учесть это явление вводится зависимость коэффициентов уравнения баланса У з масс от концентрации осадка.

> 10 Результаты: для задачи фильтрации с переменными пористостью и проницаемостью найдена подвижная граница

двух фаз — фронт движущегося потока воды, и построен ее график. Приведены трехмерные графики концентрации осажденных и взвешенных частиц и их двумерного поперечного сечения при фиксированном времени и координате. М ф Численное решение сравнивается с точным решением для постоянных коэффициентов.

Выводы: модель фильтрации с постоянными функциями пористости и проницаемости при малых значениях времени О 5 может быть линейной аппроксимацией общих нелинейных моделей.

Н £ Практическая значимость: планирование и разработка современных технологий очистки сточных вод и промышлен-

ных отходов, защиты подземных сооружений от грунтовых и паводковых вод, укрепление пористого грунта методом ^ бетонирования основаны на результатах математического моделирования задач фильтрации. Результаты работы

^ позволяют сократить объем и стоимость лабораторных исследований и оптимизировать технологии очистки филь-

ер  тровальных систем.

! '«?

О ш КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: моделирование, поток жидкости, пористая среда, осажденные и взвешенные частицы,

о ^ фильтрация, пористость, проницаемость, граница двух фаз, численный расчет

со б

со со

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Галагуз Ю.П., Сафина Г.Л. Моделирование процесса вытеснения суспензии // Вестник о ^ МГСУ. 2018. Т. 13. Вып. 8 (119). С. 944-951. DOI: 10.22227/1997-0935.2018.8.944-951

Z  ОТ

Ol (Л

Modeling of suspension displacement process

(Л

lo g Yuri P. Galaguz, Galina L. Safina

g co Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU),

fj 2 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

o> -

CO

^ Subject: transport of fluid containing suspended solid particles significantly affects the strength and stability of underground

¿2 t5 storage facilities, tunnels and hydraulic structures. The process of suspension filtration and displacement of suspension by

<u a flow of fluid is considered in this article.

o Research background: filtration problems have been intensively studied for the last half-century. During this period, filtration

l models have become much more advanced. When modeling long-term deep bed filtration, modern researchers have to take

" into account the numerous factors that influence the transport and deposition of microscopic particles in the porous media.

O yj A number of models are being constructed on the basis of balance relationship between suspended and retained particles.

g O Stochastic approaches to filtration problems using the Boltzmann model, network models and random walk equations are

g E also successfully being developed.

S Research objectives: the study of an advanced one-dimensional model of suspension filtration in a solid porous medium

¡E £ when the suspension is being displaced with pure water.

q Materials and methods: we consider the process of displacement of suspension with pure water in a porous medium at

U > which the transfer of fine particles and the accumulation of a deposit occur. The mechanical and geometric interaction of

944

© Ю.П. Галагуз, Г.Л. Сафина, 2018

particles with a porous medium is the basis of our mathematical model: the solid particles freely pass through the large pores and get stuck in the pores whose size is smaller than the particle diameter. It is assumed that the fluid flow or other particles cannot knock out the retained particles. Deep bed filtration model is described by the equation of mass balance of suspended and retained particles of suspension and the kinetic equation for growth of deposit. When deep bed filtration process is long, the number of free small pores is significantly reduced, which leads to the changes in permeability and porosity of the porous medium. In order to account for this phenomenon, in contrast to the classical filtration equations, the dependence of the coefficients of mass balance equation on deposit concentration is introduced. In this problem at the initial moment a porous medium is filled with a suspension of retained and suspended particles at given concentrations. At filter inlet the pure water starts flowing, which displaces the suspension and gradually fills the porous medium. In the porous medium with pure water the filtering of suspension is terminated, the suspended particles concentration becomes zero, and the retained particles concentration is constant. The numerical calculation is performed by the method of finite differences. Results: for the deep bed filtration problem with variable porosity and permeability, a moving boundary between two phases has been identified, i.e., the front of the moving water flow, and its graph is constructed. Three-dimensional plots of retained and suspended particles concentrations and plots of their two-dimensional cross-section at a fixed time and for a prescribed distance from the filter input are created. The numerical solution is compared with the exact solution for the case of constant coefficients.

Conclusions: it is shown that the filtration model with constant functions of porosity and permeability for small values of time can be a linear approximation of more general nonlinear models.

Practical significance: planning and development of modern technologies for wastewater and industrial waste treatment, protection of underground structures from groundwater and flood waters, strengthening of porous soil by the concrete grouting method are based on the results of mathematical modeling of filtration problems. The results of the paper allow us to reduce the amount and cost of laboratory research and optimize the cleaning technologies of filter systems.

KEY WORDS: modeling, fluid flow, porous medium, permeability, two-phase boundary, numerical calculation

retained and suspended particles, deep bed filtration, porosity,

FOR CITATION: Galaguz Yu.P., Safina G.L. Modelirovanie protsessa vytesneniya suspenzy [Modeling of suspension displacement process]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2018, vol. 13, issue 8 (119), pp. 944-951. DOI: 10.22227/1997-0935.2018.8.944-951

e е

<D (D

t О

i H G Г

С" c У

ВВЕДЕНИЕ

При выборе местоположения строительных объектов, при проектировании туннелей и подземных сооружений необходимо учитывать структуру подземных вод и водопроницаемость горных пород [1, 2]. Подземные воды существенно влияют на строительные свойства грунтов. Интенсивная фильтрация водных потоков приводит к разрыхлению грунта и уменьшению его прочности. Решение задач фильтрации позволяет дать прогнозы подтопления многоэтажных сооружений и оценить долговременную устойчивость строительных конструкций.

В работе рассматривается одномерная задача фильтрации суспензии в твердой пористой среде при ее вытеснении чистой водой. Поры в фильтре образуют пересекающиеся каналы различной протяженности и формы. Математическая модель движения частиц в фильтре строится на основе механико-геометрического взаимодействия частиц с пористой средой. Пусть все частицы имеют форму твердых шаров одинакового размера, а каналы — круговое поперечное сечение неизменного диаметра на всем своем протяжении. При построении модели фильтрации частиц пренебрегают влиянием вязкости жидкости и электрическим взаимодействием частиц со стенками каналов.

В рассматриваемой задаче в начальный момент пористая среда заполнена суспензией с заданными концентрациями взвешенных и осажденных частиц.

Чистая вода начинает поступать на вход фильтра, вытесняя при этом суспензию и заполняя пористую среду. В части пористой среды за фронтом воды фильтрация суспензии заканчивается, концентрация взвешенных частиц становится нулевой, концентрация осажденных частиц неизменна.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Подземные воды, проходящие через пористые горные породы и грунт, увлекают твердые частицы малого размера. Взвесь частиц в жидкости называется суспензией. Задачи фильтрации суспензии исследуются в работах авторов [3-10]. Предполагается, что твердые частицы свободно проходят через поры больших размеров и задерживаются в горловине малых пор с размерами, меньше диаметра частиц [11, 12]. Поток жидкости или другие частицы не могут выбить из пор осажденные частицы. Уравнение баланса масс осажденных и взвешенных частиц суспензии и кинетическое уравнение увеличения осадка определяют процесс фильтрации [13, 14]. При длительной фильтрации количество свободных малых пор существенно уменьшается, пористость и проницаемость пористой среды меняются. Для учета этого явления в отличие от классических уравнений фильтрации вводится зависимость коэффициентов уравнения баланса масс от концентрации осадка S(x, 0 [15]. Предполагается, что рост осадка пропорционален концентрации

о

0 CD CD

1

(О сл

CD CD 7

ö 3 о

О ( t r a i

r 2

s M

3 Й

>< о

f -

CD

О en

0 О

По

1 i n =J CD CD CD

ем

ü w

w Ы s

s у с о ü ü , CO

2 2 О О л -А

00 00

со во

г г

О О

СЧ СЧ

СО СО

* (V

U 3 > (Л

С (Л

2 "" (0 (О

(О

<л

га

С(х, 0 взвешенных частиц суспензии. Коэффициент пропорциональности, называющийся коэффициентом фильтрации, зависит от концентрации осадка [16].

Процесс перемещения частиц через поры фильтра и динамика образования осадка определяются решением задачи диффузии частиц в фильтре. Точные и асимптотические решения задачи фильтрации представлены в исследованиях [13, 17-24], однако задача не имеет аналитического решения в общем случае.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

В области О = {0 < х < 1, t > 0} концентрации взвешенных и осажденных частиц С(х, Г), S(x, Г) удовлетворяют уравнениям

-(g (S )C) + -(f (S )C)+— = 0;

ST ' dxy ' dt

— = Л( S )C; dt

с краевым и начальным условиями

X = 0: C = 0;

ш

г

ф

ф Ф

CZ с

1= '«?

О Ш

о ^ о

со О

СО ч-

4 °

о со

см <л

концентрации С(х, t), S(x, 0 положительные и переменные. Решение С(х, Г) имеет сильный разрыв на фронте Г в силу того, что условия (3) и (4) не согласованы в начале координат. Решение S(x, 0 является непрерывной функцией в О, имеющей слабый разрыв на фронте Г.

Если функции, входящие в уравнение (1), постоянны и положительны

g(S) = g0 > 0, f (S) = f0 > 0,

то границей Г двух фаз и характеристикой уравнения (1) является прямая линия

t = ax а = g„/ f0.

t = 0: С = С0

где — проницаемость; g(S) — пористость; Л(S) — коэффициент фильтрации; С0 (х), S0 (х) — начальные концентрации, являющиеся положительными непрерывными функциями.

Уравнения (1), (2) определяют квазилинейную гиперболическую систему первого порядка. Граница Г двух фаз является характеристической кривой. Она выходит из начала координат и делит область О на две подобласти О и О с водой и суспензией соответственно. В подобласти О концентрация взвешенных частиц равна нулю, концентрация осажденных частиц независима от времени; в О

При непостоянных функциях g(S), f(S) граница Г является кривой линией, для которой не имеется аналитического выражения.

В общем случае задача (1)-(4) не имеет аналитического решения. Ниже приводятся результаты численного расчета методом конечных разностей аналогично [25].

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет границы двух фаз выполнен для коэффициента фильтрации Л^) = 2 - S, пористости g(S) = 1 + 4S и постоянных начальных условий t = 0: C = 1, S = 0,5 при различных значениях проницаемости: fS) = 1 + 3S (рис. 1, а) иfS) = 1 + 0,1S (рис. 1, б).

Расчет задачи фильтрации выполнен методом конечных разностей по явной схеме. Условие сходимости Куранта т < min (g (S)/f (S)) • h определяет соотношение между шагом h по координате x и шагом т по времени.

Численное решение задачи (1)-(4) получено для коэффициентов уравнений и постоянных начальных условий, указанных выше для рис. 1, б (си-

CL СЯ

« I

со О

О) "

а>

"о

Z ст (Л £=

<Л ТЗ — ф

ф

о о

С W

8 i * ES

О (0

Рис. 1. Граница между водой и суспензией Fig. 1. Boundary between water and suspensions

b

a

няя сплошная линия на рис. 2-6). Красной пунктирной линией обозначено точное решение задачи для постоянных функций пористости и проницаемости

^ = ЛS) = 1.

ВЫВОДЫ

В работе получено численное решение задачи о вытеснении суспензии потоком чистой воды в пористой среде. Найдена граница двух фаз, построены трехмерные графики концентраций взвешенных и осажденных частиц и их двумерные сечения в фиксированный момент времени и на заданном расстоянии от входа фильтра.

Расчеты показывают, что граница двух фаз зависит от коэффициентов уравнений (1), (2). При = граница является отрезком прямой линии. Чем больше отношение g ^)//^) отличается

от константы, тем больше кривая Г отклоняется от прямой линии.

Введение переменных пористости и проницаемости существенно меняет зависимость концентраций взвешенных и осажденных частиц от времени и координаты. Из рис. 2, 4 следует, что модель фильтрации с постоянными функциями пористости и проницаемости при небольших значениях времени может служить линейным приближением общей нелинейной модели.

Для численного расчета в качестве блокирующего коэффициента фильтрации выбран Л^) = 2 - S. В этом случае при неограниченном времени фильтрации концентрация осажденных частиц S(х, t) ^ 2 и концентрация взвешенных частиц С(х, t) ^ 1. Однако вода вытесняет суспензию из пористой среды и не позволяет концентрациям частиц достичь предельных значений (рис. 3, 5).

Рис. 2. Концентрации взвешенных частиц для: a — x = 0,5; b — x = 1 Fig. 2. Concentration of suspended particles for: a — x = 0.5; b — x = 1

e е

<D (D t О

i G Г

С" c У

(О сл

Рис. 3. Концентрации взвешенных частиц для: a — t = 0,5; b — t = 1 Fig. 3. Concentration of suspended particles for: a — t = 0.5; b — t = 1

CD CD 7

о 3 о

о ( t r

r 2

S м

3 Й >< о

f -

CD О CD

О о

По Q jQ

П =J CD CD CD

ем

• w

s

s у с о w w 00 00

2 2

О О

л -А

00 00

b

a

b

a

Рис. 4. Концентрации осажденных частиц для: a — x = 0,5; b — x = 1 Fig. 4. Concentration of retained particles for: a — x = 0.5; b — x = 1

со со

г г О О

сч сч со со

* (V U 3

> (Л

с и

m СО И

ф

ф ф

CZ с

1= '«?

О Ш

о ^ о

со О

со ч-

4 °

о

со &

гм <л

<л

га

Рис. 5. Концентрации осажденных частиц для: a — t = 0,5; b — t = 1 Fig. 5. Concentration of retained particles for: a — t = 0.5; b — t = 1

CL со

« I

со О

О) "

CO

CO С CO T3 — Ф Ф О

о

С« 8

О (0

Рис. 6. a — концентрация взвешенных частиц; b — концентрация осажденных частиц Fig. 6. a — concentration of suspended particles; b — concentration of retained particles

b

a

b

a

b

a

ЛИТЕРАТУРА

1. Arora K.R. Soil mechanics and foundation engineering. Delhi, 2004. 903 p.

2. Basniev K.S., Dmitriev N.M., George V. Mechanics of fluid flow. John Wiley & Sons, Inc., 2012. 568 p. DOI: 10.1002/9781118533628.

3. Sharma M.M., Yortsos Y.C. Transport of particulate suspensions in porous media: Model formulation // AIChE Journal. 1987. Vol. 33. No. 10. Pp. 1636-1643. DOI: 10.1002/aic.690331007.

4. Khilar K.C., Fogler H.S. Migrations of fines in porous media: theory and applications of transport in porous media. Dordrecht, 1998. 173 p. DOI: 10.1007/97894-015-9074-7.

5. Tufenkji N. Colloid and microbe migration in granular environments: a discussion of modeling methods // Colloidal Transport in Porous Media. 2007. Pp. 119-142. DOI: 10.1007/978-3-540-71339-5_5.

6. Gitis V., Dlugy C., Ziskind G., Sladkevich S., Lev O. Fluorescent clays — Similar transfer with sensitive detection // Chemical Engineering Journal. 2011. Vol. 174. Issue 1. Pp. 482-488. DOI: 10.1016/j. cej.2011.08.063.

7. Bradford S.A., Kim H.N., Haznedaroglu B.Z., Torkzaban S., Walker S.L. Coupled factors influencing concentration-dependent colloid transport and retention in saturated porous media // Environmental Science & Technology. 2009. Vol. 43. Issue 18. Pp. 6996-7002. DOI: 10.1021/es900840d.

8. Chalk P., Gooding N., Hutten S., You Z., Bed-rikovetsky P. Pore size distribution from challenge core-flood testing by colloidal flow // Chemical Engineering Research and Design. 2012. Vol. 90. Issue 1. Pp. 63-77. DOI: 10.1016/j.cherd.2011.08.018.

9. Mays D.C., Hunt J.R. Hydrodynamic and chemical factors in clogging by montmorillonite in porous media // Environmental Science and Technology. 2007. Vol. 41. Issue 16. Pp. 5666-5671. DOI: 10.1021/ es062009s.

10. Civan F. Reservoir Formation damage: fundamentals, modeling, assessment, and mitigation. 2nd ed. Amsterdam : Gulf Professional Pub, 2007. 1136 p. DOI: 10.1016/B978-0-7506-7738-7.X5000-3

11. Badalyan A., You Z., Aji K., Bedrikovetsky P., Carageorgos T., Zeinijahromi A. Size exclusion deep bed filtration: Experimental and modelling uncertainties // Review of Scientific Instruments. 2014. Vol. 85. Issue 1. 15-111. DOI: 10.1063/1.4861096.

12. You Z., Badalyan A., Bedrikovetsky P. Size-exclusion colloidal transport in porous media-stochastic modeling and experimental study // SPE Journal. 2013. Vol. 18. No. 4. Pp. 620-633. DOI: 10.2118/162941-pa.

13. You Z., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Exact solution for long-term size exclusion suspension-

colloidal transport in porous media // Abstract and Applied Analysis. 2013. Vol. 2013. Pp. 1-9. DOI: 10.1155/2013/680693.

14. Herzig J.P., Leclerc D.M., Goff P. Le. Flow of suspensions through porous media — application to deep filtration // Industrial and Engineering Chemistry. 1970. Vol. 62. Issue 5. Pp. 8-35. DOI: 10.1021/ ie50725a003.

15. Bedrikovetsky P. Upscaling of stochastic micro model for suspension transport in porous media // Transport in Porous Media. 2008. Vol. 75. Issue 3. Pp. 335369. DOI: 10.1007/s11242-008-9228-6.

16. Tien Chi, Ramarao B.V. Granular filtration of aerosols and hydrosols. 2nd ed. Amsterdam : Elsevier Science, 2007. 512 p.

17. Vyazmina E.A., Bedrikovetskii P.G., Poly-anin A.D. New classes of exact solutions to nonlinear sets of equations in the theory of filtration and convec-tive mass transfer // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007. Vol. 41. Issue 5. Pp. 556-564. DOI: 10.1134/s0040579507050168.

18. You Z., Osipov Yu., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Asymptotic model for deep bed filtration // Chemical Engineering Journal. 2014. Vol. 258. Pp. 374-385. DOI: 10.1016/j.cej.2014.07.051.

19. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Asymptotic solution for deep bed filtration with small deposit // Procedia Engineering. 2015. Vol. 111. Pp. 491-494. DOI: 10.1016/j.proeng.2015.07.121.

20. KuzminaL.I., Osipov Yu.V. Deep bed filtration asymptotics at the filter inlet // Procedia Engineering. 2016. Vol. 153. Pp. 366-370. DOI: 10.1016/j.pro-eng.2016.08.129.

21. Кузьмина Л.И., Осипов Ю.В. Асимптотика задачи фильтрации суспензии в пористой среде // Вестник МГСУ. 2015. № 1. С. 54-62. DOI: 10.22227/1997-0935.2015.1.54-62.

22. KuzminaL.I., Osipov Yu.V. Inverse problem of filtering the suspension in porous media // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2015. Vol. 11. No. 1. Pp. 34-41.

23. KuzminaL.I., Osipov Yu.V. Particle transportation at the filter inlet // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2014. Vol. 10. No. 3. Pp. 17-22.

24. Кузьмина Л.И., Осипов Ю.В. Математическая модель движения частиц в фильтре // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. М. : МГСУ. 2014. № 17. С. 295-304.

25. Galaguz Yu.P., Safina G.L. Modeling of particle filtration in a porous medium with changing flow direction // Procedia Engineering. 2016. Vol. 153. Pp. 157-161. DOI: 10.1016/j.proeng.2016.08.096.

e е

<D (D t О

i G Г

С" c У

(О сл

CD CD

О 3 о cj

о ( t r a i

r 2

S м

3 Й

>< о

f -

CO

О CD

0 о

1 i n =J CD CD CD

ем

• w

W Ы

s

s у с о w w

, CO

2 2 О О л -A

00 00

Поступила в редакцию 15 января 2017 г. Принята в доработанном виде 7 июня 2018 г. Одобрена для публикации 26 июля 2018 г.

Об авторах: Галагуз Юрий Петрович — старший преподаватель кафедры прикладной математики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, yuri.galaguz@gmail.com; ORCID 0000-0002-1682-516; ResearcherlD G-4960-2018;

Сафина Галина Леонидовна — кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, minkinag@mail.ru; ORCID 0000-0001-9409-1174; ResearcherlD E-7479-2018; Scopus AuthorlD 57192380329.

REFERENCES

1. Arora K.R. Soil mechanics andfoundation engineering. Delhi. 2004. 903 p.

2. Basniev K.S., Dmitriev N.M., George V. Mechanics offluid flow. John Wiley & Sons, Inc. 2012,

« « 568 p. DOI: 10.1002/9781118533628.

§ 3. Sharma M.M., Yortsos Y.C. Transport of partic-jq jq ulate suspensions in porous media: Model formulation. *  AIChE Journal. 1987, vol. 33, no. 10, pp. 1636-1643.

U 3

> i5 DOI: 10.1002/aic.690331007.

E (A

4. Khilar K.C., Fogler H.S. Migrations of fines n in porous media. Theory and Applications of Trans-

g port in Porous Media. Dordrecht. 1998, 173 p. DOI:

1 = 10.1007/978-94-015-9074-7.

5. Tufenkji N. Colloid and microbe migration ot in granular environments: a discussion of modeling

methods. Colloidal Transport in Porous Media. 2007,

f £ pp. 119-142. DOI: 10.1007/978-3-540-71339-5_5. ! 1? 6. Gitis V., Dlugy C., Ziskind G., Sladkevich S.,

^ ^ Lev O. Fluorescent clays — Similar transfer with sensitive

g ¿5 detection. Chemical Engineering Journal. 2011, vol. 174,

^ -5 issue 1, pp. 482-488. DOI: 10.1016/j.cej.2011.08.063. 8 I? 7. Bradford S.A., Kim H.N., Haznedaroglu B.Z.,

2 cD Torkzaban S., Walker S.L. Coupled Factors Influencing $ i= Concentration-Dependent Colloid Transport and Reten-

<u tion in Saturated Porous Media. Environmental Science

|| & Technology. 2009, vol. 43, issue 18, pp. 6996-7002.

~ g DOI: 10.1021/es900840d.

S§ 8. Chalk P., Gooding N., Hutten S., You Z., Bed-i^L J rikovetsky P. Pore size distribution from challenge coreo> o flood testing by colloidal flow. Chemical Engineering z. ot Research and Design. 2012, vol. 90, issue 1, pp. 63-77. $ DOI: 10.1016/j.cherd.2011.08.018.

g 9. Mays D.C., Hunt J.R. Hydrodynamic and

2 chemical factors in clogging by montmorillonite in po-

^ • rous media. Environmental Science and Technology.

0 g 2007, vol. 41, issue 16, pp. 5666-5671. DOI: 10.1021/ S | es062009s.

| ^ 10. Civan F. Reservoir formation damage: funda-

1 '¡E mentals, modeling, assessment, and mitigation. Am-g « sterdam, Gulf Professional Pub, 2007. 1136 p. DOI:

> 10.1016/B978-0-7506-7738-7.X5000-3.

11. Badalyan A., You Z., Aji K., Bedrikovetsky P., Carageorgos T., Zeinijahromi A. Size exclusion deep bed filtration: Experimental and modelling uncertainties. Review of Scientific Instruments. 2014, vol. 85, issue 1, pp. 15-111. DOI: 10.1063/1.4861096.

12. You Z., Badalyan A., Bedrikovetsky P. Size-Exclusion Colloidal Transport in Porous Media-Stochastic Modeling and Experimental Study. SPE Journal. 2013, vol. 18, no. 4, pp. 620-633. DOI: 10.2118/162941-pa.

13. You Z., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Exact solution for long-term size exclusion suspension-colloidal transport in porous media. Abstract and Applied Analysis. 2013, vol. 2013, pp. 1-9. DOI: 10.1155/2013/680693.

14. Herzig J.P., Leclerc D.M., Goff P. Le. Flow of suspensions through porous media - application to deep filtration. Industrial and Engineering Chemistry. 1970, vol. 62, issue 5, pp. 8-35. DOI: 10.1021/ie50725a003.

15. Bedrikovetsky P. Upscaling of stochastic micro model for suspension transport in porous media. Transport in Porous Media. 2008, vol. 75, issue 3, pp. 335369. DOI: 10.1007/s11242-008-9228-6.

16. Tien Chi, Ramarao B.V. Granular filtration of aerosols and hydrosols. 2nd ed. Amsterdam : Elsevier Science, 2007. 512 p.

17. Vyazmina E.A., Bedrikovetskii P.G., Poly-anin A.D. New classes of exact solutions to nonlinear sets of equations in the theory of filtration and convec-tive mass transfer. Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007, vol. 41, issue 5, pp. 556-564. DOI: 10.1134/s0040579507050168.

18. You Z., Osipov Yu., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Asymptotic model for deep bed filtration. Chemical Engineering Journal. 2014, vol. 258, pp. 374-385. DOI: 10.1016/j.cej.2014.07.051.

19. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Asymptotic solution for deep bed filtration with small deposit. Procedia Engineering. 2015, vol. 111, pp. 491-494. DOI: 10.1016/j.proeng.2015.07.121.

20. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Deep bed filtration asymptotics at the filter inlet. Procedia Engineering. 2016, vol. 153, pp. 366-370. DOI: 10.1016/j.pro-eng.2016.08.129.

21. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Asimptotika zada-chi fil'tratsii suspenzii v poristoy srede [Asymptotics of the filtration problem for suspension in porous media]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 1, pp. 54-62. DO I:org/10.22227/1997-0935.2015.1.54-62.

22. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Inverse problem of filtering the suspension in porous media. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2015, vol. 11, no. 1, pp. 34-41.

23. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Particle transportation at the filter inlet. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2014, vol. 10, no. 3, pp. 17-22.

24. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Matematicheskaya model' dvizheniya chastits v fil'tre [Mathematical model of particle motion in the filter]. Voprosy prikladnoy matematiki i vychislitel'noy mekhaniki [Questions of applied mathematics and computational mechanics]. Moscow, MGSU, 2014, no. 17, pp. 295-304.

25. Galaguz Yu.P., Safina G.L. Modeling of particle filtration in a porous medium with changing flow direction. Procedia Engineering. 2016, vol. 153, pp. 157-161. DOI:org/10.1016/j.proeng.2016.08.096.

Received January 15, 2017. Adopted in final form on June 7, 2018. Approved for publication on July 26, 2018.

About the authors: Yuri P. Galaguz — Senior Lecturer, Department of Applied Mathematics, National

Research Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, ^ ^

Russian Federation, yuri.galaguz@gmail.com; t Q

Galina L. Safina — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Applied Mathematics, k U

National Research Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, m *

129337, Russian Federation, minkinag@mail.ru. О

С

о

0 CD

CD _

1 CO n CO <Q N О 1

a 9

c 9

8 3

a (

CO r

a i

r a

s M iC

>< о f

CO

О CT)

v 0

0 о

По

1 i n =J CD CD CD

ем

ü w

w Ы s

s у с о ü ü 00 00

2 2

О О

л -А

00 00