Сравнительный анализ математических моделей высоковольтного асинхронного двигателя с постоянными и переменными параметрами

УДК 621.313.3 ББК 31.261.63

Е.И. ИВАНЧИНА

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВЫСОКОВОЛЬТНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С ПОСТОЯННЫМИ И ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Ключевые слова: сравнение, математическая модель, высоковольтный асинхронный двигатель, эффект вытеснения тока, постоянные параметры, переменные параметры.

Рассмотрены две математические модели высоковольтного асинхронного двигателя. Первая модель (АК21) известная, составленная на основе обобщенной машины, описывается уравнениями с постоянными параметрами. Вторая модель (АК22) составлена на основе первой и использует формулы и величины, рассчитанные с помощью программы, предложенной автором ранее. Данная модель учитывает эффект вытеснения тока и отличается от известных тем, что, во-первых, переменными параметрами становятся не только активное и индуктивное сопротивления, а все величины, так или иначе зависящие от частоты протекающего тока (приведенные активное и индуктивное сопротивления ротора, индуктивность ротора, индуктивность рассеяния ротора, эквивалентная индуктивность статора, эквивалентное сопротивление, постоянная времени ротора, эквивалентная постоянная времени статора и коэффициент, равный отношению индуктивности воздушного зазора к индуктивности ротора), и, во-вторых, эти переменные параметры являются нелинейными. Приведены осциллограммы смоделированного пуска этих моделей двигателя. На основе этих результатов сделаны выводы и даны рекомендации.

Для исследования переходных процессов, протекающих в электроприводе, широко применяется моделирование. Модель электропривода можно представить в виде отдельных блоков, важнейшими из которых являются блок системы управления и блок электродвигателя. Блок системы управления будет рассмотрен подробно в следующей статье. В данной работе рассмотрена модель электродвигателя, а именно: асинхронного двигателя с коротко-замкнутым ротором.

Для моделирования процессов, происходящих в асинхронном двигателе, воспользуемся теорией обобщенной электрической машины. Согласно этой теории, любой электродвигатель можно представить с помощью уравнений электрического и механического

равновесия:

Па Ыв = ЯА^А Яв!в +— & "V А " V в Ыа Ыь = Яа!а Яь^ь +- & "V а " V ь

ис _ _Яс!с _ с _ ис _ _Яс1с _ .V с _

=м -Мс,

&

где ЯА, Яв, Яс - активные сопротивления обмоток статора; Яа, Яь, Яс - активные сопротивления обмоток ротора; уА, щ, ус, уа, уь, - потокосцепления обмоток статора и ротора, соответственно; J - суммарный момент инерции, складывающийся из момента инерции самой машины и приведенного к валу двигателя момента инерции нагрузки (рабочего механизма); юмех - механиче-

ская скорость ротора; Мс - момент сопротивления рабочего механизма, приведенный к валу двигателя.

После преобразования этих уравнений путем перехода от мгновенных значений величин к пространственным векторам и использования единой системы координат выразим электромагнитный момент через векторное произведение пары векторов и преобразуем уравнения в проекциях векторов на выбранную систему координат. Тогда система уравнений (1) для асинхронного короткозамкнутого двигателя примет вид

usa = r(1 + T'ss)isa - Т- Vra - krрЮмех Vrp,

Т r

Usp = r(1 + T'ss)isp - Т=Г Vrp + krрЮмех Vra , Т r

0 = -Rrkrisa + Т-(1 + TrS)vra + РЮмех Vrp ,

1r

0 = -Rrkrisp + — (1 + TrS)Vrp - РЮмех Vra , Т r

3

M = -pkr (vraisp - Vrpisa ),

jdo^ = M - M dt

L's

где r = Rs + Rrk? - эквивалентное сопротивление; TS = — - эквивалентная

r

постоянная времени статора; s - оператор Лапласа; kr = —— коэффициент,

br

равный отношению индуктивности воздушного зазора к индуктивности ро-

rr.br Ю

тора; Tr = — - постоянная времени ротора; Юмех =— ; р - число пар полюсов;

Rr Р

Ю1 -Ю Ю2

s =-= — - скольжение; œ1 - угловая частота вращения поля статора;

Ю1 Ю1

œ2 - угловая частота вращения поля ротора; Rr - активное сопротивление обмотки ротора.

Системе уравнений (2) соответствует математическая модель высоковольтного асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором AKZ1 (рис. 1).

В ходе преобразований уравнений (1) и составления модели AKZ1 (рис. 1) были использованы следующие общепринятые допущения: обмотки статора полагаем симметричными; пренебрегаем насыщением, наступающим при больших токах в обмотках; пространственное распределение магнитного поля в воздушном зазоре считаем синусоидальным; вытеснением тока в обмотках ротора пренебрегаем. Поэтому в математической модели AKZ1 и в других известных моделях асинхронных двигателей [4, 9, 10] не учитывается ряд факторов: влияние скорости œ, температуры Т, геометрии пазов и прочих. Одни факторы оказывают незначительное влияние, другие - более существенное. Для асинхронного двигателя к числу определяющих факторов можно отнести частоту и температуру.

Под воздействием температуры изменения происходят достаточно медленно, поэтому в силу кратковременности пуска заметного влияния они не оказывают. Наиболее заметное влияние на параметры электродвигателя в процессе пуска оказывает частота. Явление зависимости параметров двигателя от частоты словлено эффектом вытеснения тока и заключается в следующем.

Рис. 1. Схема математической модели высоковольтного асинхронного короткозамкнутого двигателя с постоянными параметрами

Вытеснение тока в стержнях обмотки ротора происходит в результате действия ЭДС, индуцируемых потоками рассеяния Фс; при этом нижняя часть стержня охватывается большим числом линий потока рассеяния Фс, а верхняя - меньшим числом линий потока. Поэтому при пуске в нижней части по сравнению с верхней частью индуцируется большая ЭДС самоиндукции, и плотность тока ] распределяется по высоте проводника неравномерно (рис. 2). Значит, ток в стержне вытесняется по направлению к воздушному зазору (проявляется поверхностный эффект). В результате получаем, что при пуске активное сопротивление больше, а индуктивное - меньше, чем аналогичные показатели при номинальной скорости вращения [3, 7].

Ф,

Рис. 2. Форма паза ротора и распределение плотности тока в стержне при пуске

В работах [3] и [7] рассмотрено влияние эффекта вытеснения тока в стержнях обмотки ротора и даны формулы, позволяющие оценить значения активного и индуктивного сопротивлений ротора в зависимости от частоты ю. Однако для более точного определения значений этих сопротивлений необходимо знать параметры пазовой и лобовой частей обмотки, а также их геометрические размеры и глубину проникновения тока при поверхностном эффекте. Другими словами, изложенная в этих работах методика не доведена до инженерного уровня.

В работе Н.В. Донского [5] предложена более точная модель асинхронного двигателя, учитывающая также влияние насыщения магнитной цепи. Однако расчеты показали, что предлагаемая нами методика учета влияния поверхностного эффекта на параметры асинхронного двигателя обладает рядом преимуществ: 1) не требует дополнительных сведений от завода-изготовителя, кроме номинальных данных; 2) пользователь программы может иметь среднюю инженерную квалификацию; 3) использование предлагаемой методики при одинаковых вычислительно-временных ресурсах дает более точные результаты, так как в методику заложена минимизация ошибки.

В работе [2] предложена программа, разработанная автором, для определения электрических и электромеханических параметров асинхронного двигателя

и параметров его модели.

Зависимости переменных параметров асинхронного двигателя и его модели от скорости ю

Обозначение параметра Формула, используемая в программе и модели

R2' w nom - w R 2 = R 20 + delta R 2 —- w _0

X-2 X k 0 X _2 =--X _10 ( w nom - w ) 1 + kkl —- I ^ w 0 J

La2 X 2 Lb2 = w

Lr Lr = Lb 2 + Lm

kr Lm kr =- Lr

T ± r Lr Tr =- R 2

r r = R1 + R _2 • kr2

L' Lm2 Lss = Ls-- Lr

Ts' Lss Ts =- r

В таблице отражены только переменные параметры асинхронного двигателя и его модели, зависящие от скорости ю. С физической точки зрения сопротивления ротора зависят от скольжения я, но для удобства моделирования и программирования было принято решение представить все зависимости в функции скорости ю, что согласуется с другими авторами [3, 7].

Все параметры таблицы находятся с помощью программы, подробный алгоритм которой описан в статье [2].

На рис. 3 в графическом виде представлены некоторые зависимости параметров от частоты ю, рассчитанные по приведенным в таблице формулам.

Далее, используя формулы из таблицы и систему уравнений (2), собираем математическую модель высоковольтного асинхронного короткозамкнутого двигателя (AKZ2), учитывающую эффект вытеснения тока (рис. 4).

Х_2

0 45 1.9

0.4 1.35

0 35 1.3 1.75

0.3 1.7

0 25 Тг 1.65

0.2 1.6

0 15 -Л — ТБ 1.55

— 0.1 -I-I-:-:-:-:- 1.5 -

100 150 200 250 300

Рис. 3. Некоторые переменные параметры асинхронного двигателя и его модели в зависимости от скорости ю

~*н ..Зп

ЕИг

ттэь '—

-О

РГ

Рис. 4. Схема математической модели высоковольтного асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором с учетом эффекта вытеснения тока АК22

Эта модель учитывает эффект вытеснения тока в стержнях обмотки ротора и отличается от модели AKZ1 (рис. 1) и от известных следующим. Во-первых, переменными параметрами становятся не только сопротивления, а все величины, которые так или иначе зависят от частоты протекающего тока (приведенные активное Я2' и индуктивное Х2' сопротивления ротора, индуктивность ро-

тора Ьг, индуктивность рассеяния ротора Ьа, эквивалентная индуктивность статора Ь/, эквивалентное сопротивление г, постоянная времени ротора Тг, эквивалентная постоянная времени статора Т/ и коэффициент кг, равный отношению индуктивности воздушного зазора к индуктивности ротора). Во-вторых, все эти переменные параметры нелинейные (рис. 3, таблица).

Для детального сравнения двух моделей высоковольтного асинхронного двигателя: упрощенной АК^1 (с постоянными параметрами) и с учетом эффекта вытеснения тока АК^2 (с переменными параметрами) - смоделирован прямой пуск. Результаты моделирования приведены на рис. 5.

а б

Рис. 5. Осциллограммы прямого пуска двух моделей высоковольтного асинхронного двигателя: а - упрощенной АК71 (с постоянными параметрами); б - с учетом эффекта вытеснения тока АК72 (с переменными параметрами): угловой скорости ^^шех, электромагнитного момента М, токов статора для двигателя 4АЗМВ-1600/6000

Анализ приведенных осциллограмм (рис. 5) позволяет сделать следующие заключения:

1. Время переходного процесса, найденное с помощью модели с учетом вытеснения тока, на 20-30% меньше времени переходного процесса в таком же режиме, найденного с помощью упрощенной модели с постоянными параметрами.

2. Кратность тока в случае применения уточненной модели ниже по сравнению с результатами расчета на упрощенной модели на 20-35% (для смоделированного прямого пуска).

3. Максимальная кратность пускового момента выше на 30%.

Еще одно из отличий рассмотренных нами моделей (АК^1 и АК^2) состоит в том, что для выполнения расчетов по модели АК^2 требуется в несколько раз больше времени, чем для выполнения расчетов по модели АК^1. Это связано с тем, что в системе дифференциальных уравнений (2) некоторые из постоянных параметров выступают функциями искомого решения, т.е. задача становится существенно нелинейной. Зато предложенная модель АК22, учитывающая эффект вытеснения тока, является более точной и приближенной к реальным процессам, протекающим в двигателе в процессе пуска. Модель АК^2 дает результаты, отличающиеся от результатов модели АК^1 на 20-30% (в зависимости от нагрузки, приложенной к электродвигателю), что является важным при проектировании систем, в которые входят высоковольтные двигатели переменного тока.

Кроме того, полученные данные можно использовать при выборе токовых защит, которые можно задать точнее. Результаты моделирования позволяют учесть следующее: во-первых, двигатель в реальной системе запустится быстрее (по сравнению с данными упрощенной модели АК^1), во-вторых, реальный пусковой момент окажется выше, следовательно, во время пуска нагрузка на вал будет больше, что нужно учитывать при выборе алгоритма ввода нагрузки.

Полученные результаты согласуются с данными других авторов [1, 6, 8, 11].

Выводы. Поскольку учет эффекта вытеснения тока в процессе пуска обеспечивает более точную картину происходящих в электродвигателе процессов, следует ориентироваться на результаты, полученные с помощью уточненной модели как более близкие к действительным. Уточненная модель дает результаты, в среднем отличающиеся от упрощенной модели на 20-30%, что весьма существенно при проектировании высоковольтных электроприводов.

Литература

1. Важное А.И. Переходные процессы в машинах переменного тока. Л.: Энергия, 1980.

256 с.

2. Визгина Е.И. Математическая модель высоковольтного асинхронного двигателя большой мощности // Вестник Чувашского университета. 2011. № 3. С. 44-52.

3. ВольдекА.И. Электрические машины. Л.: Энергия, 1978. 832 с.

4. Герман-Галкин С.Г. МаНаЪ & 8гти1тк. Проектирование мехатронных систем на ПК. СПб.: Корона-Век, 2008. 368 с.

5. Донской Н.В. Асинхронный двигатель в системах автоматического управления. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2012. 284 с.

6. Казоеский Е.Я. Переходные процессы в электрических машинах переменного тока. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 624 с.

7. Копылов И.П. Электрические машины. М.: Энергоатомиздат, 1986. 360 с.

8. Соколов М.М., Масандилов Л.Б. Измерение динамических моментов в электроприводах переменного тока. М.: Энергия, 1975. 184 с.

9. Черных И.В. SimPowerSystem: Моделирование электротехнических устройств и систем в Simulink [Электронный ресурс]. URL: http://matlab.exponenta.ru/simpower/book1/ 1_7.php (дата обращения: 13.02.2017).

10. Черных И.В. Моделирование электротехнических устройств в MATLAB, SimPowerSystem и Simulink. М.: ДМК Пресс, СПб.: Питер, 2008. 288 с.

11. White D.C., Woodson H.H. Electromechanical Energy Conversion. New York, John Wiley and Sons, Inc. 1959.

ИВАНЧИНА ЕЛЕНА ИГОРЕВНА - научный сотрудник отдела разработки преобразовательной техники департамента электроприводной техники, ОАО «ВНИИР», Россия, Чебоксары (ivanchinalena@yandex.ru).

E. IVANCHINA

COMPARATIVE ANALYSIS OF MATHEMATICAL MODEL OF HIGH-VOLTAGE ASYNCHRONOUS MOTOR WITH CONSTANT AND VARIABLE PARAMETERS Key words: comparison, mathematical model, high-voltage, asynchronous motor, current displacement effect, constant parameters, variable parameters.

The article presents two mathematical models of high-voltage asynchronous motor. The first model (AKZ1) is known and based on generalized machine; it is described by equations with constant parameters. The second model (AKZ2) is compiled on this basis and uses equations and values calculated according to the program proposed earlier by the author. This model takes into account current displacement effect and differs from the known models; firstly, variable parameters result from not only active resistance but from all the values and parameters depending on the frequency of flowing current (reduced active and inductive rotor resistances, rotor inductance, rotor leakage inductance, equivalent stator inductance, equivalent resistance, rotor time constant, equivalent stator time constant and coefficient, which is the ratio of the inductance air gap to rotor inductance); secondly, these variable parameters are nonlinear. Oscillograms to simulate start of these motors are given. On the basis of these results conclusions are made and recommendations are given.

References

1. Vazhnov A.I. Perehodnye protsessy v mashinah peremennogo toka [Transient processes in AC machines]. Leningrad, Energiya Publ., 1980, 256 p.

2. Vizgina E.I. Matematicheskaya model' vysokovol'tnogo asinhronnogo dvigatelya bol'shoi moshhnosti [Math model of high-voltage asynchronous motor]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2011, no. 3, pp. 44-52.

3. Voldek A.I. Elektricheskie mashiny [Electrical machines]. Leningrad, Energiya Publ., 1978, 832 p.

4. German-Galkin S.G. Matlab & Simulink. Proektirovanie mehatronnyh sistem na PK [Designing mechatronic system on PC]. St. Petersburg, Korona-Vek Publ., 2008, 368 p.

5. Donskoi N.V. Asinhronnyj dvigatel' v sistemah avtomaticheskogo upravlenija: monografija [Asynchronous motor in automatic control systems: monograph]. Cheboksary, Chuvash University Publ., 2012, 284 p.

6. Kazovskii E.Ya. Perehodnye protsessy v elektricheskih mashinah peremennogo toka [Transient processes in electric AC machines]. Moscow, 1962, 624 p.

7. Kopylov I.P. Elektricheskie mashiny: Uchebnik dlja vuzov [Electrical machines: Tutorial]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1986, 360 p.

8. Sokolov M.M., Masandilov L.B. Izmerenie dinamicheskih momentov v elektroprivodah peremennogo toka [Measuring dynamic moments in AC electric drives]. Moscow, Energiya Publ., 1975, 184 p.

9. Chernyh I.V. SimPowerSystem: Modelirovanie elektrotehnicheskih ustrojstv i sistem v Simulink [SimPowerSystem: Modeling of electrotechnical devices and systems in Simulink]. Available at: http://matlab.exponenta.ru/simpower/book1/1_7.php (Accessed 13 Feb. 2017).

10. Chernyh I.V. Modelirovanie elektrotehnicheskih ustrojstv v MATLAB, SimPowerSystem i Simulink [Modeling of electrotechnical devices in MATLAB, SimPowerSystem and Simulink]. Moscow, DMK Press Publ., St. Petersburg, Piter Publ., 2008, 288 p.

11. White D.C., Woodson H.H. Electromechanical Energy Conversion. New York, John Wiley and Sons, Inc. 1959.

IVANCHINA ELENA - Research Scientist of Converter Equipment Development Group of Electrical Drive Engineering Department, JSC «VNIIR», Russia, Cheboksary (ivanchinale-na@yandex.ru).

Ссылка на статью: Иванчина Е.И. Сравнительный анализ математических моделей высоковольтного асинхронного двигателя с постоянными и переменными параметрами // Вестник Чувашского университета. - 2017. - № 3. - С. 47-55.