Локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность и ее применение к исследованию устойчивости по части переменных

ЯЗОВЦЕВА О. С.

ЛОКАЛЬНАЯ ПОКОМПОНЕНТНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ Аннотация. В статье вводится понятие локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности систем обыкновенных дифференциальных уравнений относительно некоторых функций. Приведены достаточные условия, при выполнении которых у эквивалентных систем сохраняются свойства устойчивости, асимптотической устойчивости и асимптотического равновесия покомпонентно. В качестве примера рассмотрена математическая модель брутто-реакции пиролиза этана. Для нее построены взаимнооднозначные отображения, устанавливающие локальную покомпонентную асимптотическую эквивалентность решений исследуемой системы и ее линейного приближения. На основании построенных взаимно-однозначных отображений ненулевое положение равновесия системы исследовано на устойчивость по части переменных, а также найдены асимптотики решений.

Ключевые слова: нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность по Брауеру и Левинсону, устойчивость по части переменных, пиролиз этана, химическая кинетика.

YAZOVTSEVA O. S.

LOCAL COMPONENT-WISE ASYMPTOTIC EQUIVALENCE AND ITS APPLICATION TO INVESTIGATE STABILITY WITH RESPECT TO A PART OF VARIABLES Abstract. The article introduces the notion of local component-wise asymptotic equivalence of systems of ordinary differential equations in relation to some functions. The sufficient conditions of component-wise stability, asymptotic stability and asymptotic equilibrium are received. The mathematical model of the ethane pyrolysis brutto-reaction is considered. The one-to-one mapping of the model established the local component-wise asymptotic equivalence of solutions of the researched system and its linear approximation. A nontrivial equilibrium of the system was investigated for stability with respect to a part of variables based on the constructed one-to-one mapping. The asymptotics of the solutions were found.

Keywords: nonlinear ordinary differential equations, local component-wise Brauer and Levinson asymptotic equivalence, stability with respect to a part of variables, ethane pyrolysis, chemical kinetics.

Введение. Классификация множества систем обыкновенных дифференциальных уравнений и ее применение к исследованию устойчивости решений восходит к А. М. Ляпунову [1]. В случае, когда исследуется асимптотическое поведение решений при г , классификация носит название асимптотической эквивалентности [2-4]. Основные результаты исследования подобных отношений отражены в работах [2-18]. В работах [1113] для классификации нелинейных систем введены понятия покомпонентной асимптотической эквивалентности по Брауеру и Левинсону относительно некоторых функций.

В настоящей работе продолжается развитие идей Е. В. Воскресенского [13] о покомпонентной асимптотической эквивалентности по Брауэру и Левинсону относительно некоторых функций нелинейных систем в некоторой области фазового пространства. Показано, что введенные определения позволяют исследовать устойчивость по части переменных и асимптотику решений более широкого класса нелинейных систем, чем в работах [11-13].

В качестве приложения рассмотрена математическая модель брутто-реакции пиролиза этана. Положение равновесия исследуемой системы исследовано на устойчивость по части переменных, а также найдена асимптотика решений в окрестности положения равновесия.

Локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность по Брауэру и Левинсону. Рассмотрим множество 5 всех систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида

Будем считать, что у системы вида (1) существует совокупность решений х(г : г0, х(0)) , определенных при всех г > г0 > Т и х(0) е О с Я", где О - некоторая область пространства

Я", содержащая окрестность нуля.

Обозначим через х

и (го, у(0)) соответственно системы дифференциальных уравнений (1) и системы

принадлежащей множеству 5.

Следующие определения развивают идеи Е. В. Воскресенского о покомпонентной асимптотической эквивалентности по Брауеру относительно функций ^ (г) из работ [11-13].

где х е Я", / е С(0Д)([Т,Я",Я"), Т > 0, Дг,0) = 0.

Определение 1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) и (2) назовем локально асимптотически эквивалентными по Брауэру относительно функции ц (t),

если при фиксированном t0 > Т существуют два отображения P(1) : V ^ U и P(2) : U ^ V такие, что

x,

y

при t ^да для всех i e M0 с {1,...,n} . Здесь x(t: t0,x(0)), y (t: t0,y(0)) - i -ые компоненты решений, для которых x(0) e U, y(0) e V, U ,V с D - некоторые области, содержащие окрестность нуля, ц : [T, ^ [0, .

Определение 2. Если в определении 1 положить M0 = {1,...,n}, то системы (1) и (2) будем называть локально асимптотически эквивалентными по Брауеру относительно функций ц. (t).

Замечание 1. Определение 2 обобщает определение локально асимптотически эквивалентных систем по Брауеру относительно функции p,(t) из работы [13]. Для этого

достаточно в определении 2 положить ц (t) = p,(t), i = 1, n.

Определение 3. Если в определении 1 положить P(2) = P(1) , то системы (1) и (2) назовем локально покомпонентно асимптотически эквивалентными по Левинсону относительно функций ц (t). Если же кроме этого M0 = {1,...,n}, то системы (1) и (2) назовем локально асимптотически эквивалентными по Левинсону относительно функций Цi(t).

Определение 4. Будем говорить, что система (1) имеет локальное асимптотическое равновесие по компонентам i e M0 с {1,...,n}, если каждое ее решение

x(t: t0, x(0)), x(0) e U с Rn, обладает свойством

lim x

и, наоборот, для любых чисел b,i eM0, таких, что b = colon(b1,...,Ьи) e V с D , существует решение x (t: t0, x(0)), x(0) e U с D, системы (1) такое, что справедливо равенство (5).

Определение 5. Если в определении 4 положить M0 = {1,...,n} , то будем говорить, что система (1) имеет локальное асимптотическое равновесие.

Сформулируем достаточные условия, когда локальные покомпонентные асимптотически эквивалентные по Брауэру системы сохраняют свойства устойчивости и асимптотической устойчивости по части переменных.

Теорема 1. Пусть системы (1) и (2) локально покомпонентно асимптотически эквивалентны по Брауэру относительно функций ц. (t), причем отображения P(1) и

P(2) являются непрерывными в нуле и справедливы равенства

X

yt

где 5г(t: t0,x(0)) и у.(t: t0,y(0)) стремятся к нулю при t равномерно по x(0) и y(0),

соответственно. Тогда, если у одной системы существует устойчивое (асимптотически

устойчивое) тривиальное решение по компонентам t е M0 и lim ц = d, d е R (lim Ц — 01,

t \t /

то вторая система имеет также устойчивое (асимптотически устойчивое) тривиальное решение по компонентам t е M0; кроме того, если одна система имеет локальное

асимптотическое равновесие по компонентам t е M0 и lim ц — d, d е R1 то этим же

свойством будут обладать и решения другой системы.

Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству 1.6.6 из работы [13, с. 50].

Пусть система (2) обладает устойчивым (асимптотически устойчивым) тривиальным решением по компонентам t е M0 и lim ц — d, d е R (lim Ц — 0). Сопоставим начальным

значениям у е V решений системы (2) начальные значения х = Рту соответствующих решений системы (1).

Тогда, учитывая равенства (6), получим

где у = P(2)x .

Пусть ||y|| < ö . Тогда из непрерывности отображения P(1) в нуле следует

С учетом оценки (8) из устойчивости тривиального решения системы (2) по компонентам ¡'еМ0 и того, что ö^t: t0,x)—>0 при t—»+oo равномерно по х следует

устойчивость тривиального решения системы (1) по компонентам tе M0, а из

асимптотической устойчивости тривиального решения системы (2) по компонентам г е М0 следует асимптотическая устойчивость тривиального решения системы (1) по компонентам

i е M0.

Пусть решения системы (2) при y е V имеют асимптотическое равновесие по компонентам i е M0. Это означает, что

lim y

i

Из оценки (8) получаем

x

lim X

t ц

и, следовательно, справедливы равенства (5).

Покажем теперь, для любых чисел Ъ, i е M0, таких, что Ъ = colon(b,...,Ъп) е V с D ,

существует решение х (t • t0, x(0)), x(0) е i7 с D, системы (1) такое, что справедливо равенство (5). Для фиксированных чисел Ъ, i е M0, Ъ = colon(b,...,Ъ) е V с D , найдем компоненты y(t • t0,y(0)) решения системы (2) такие, что справедливы пределы (9). Учитывая (10), получаем справедливость равенств (5), и, следовательно, система (1) имеет локальное асимптотическое равновесие по компонентам i е M0.

Доказательство устойчивости (асимптотической устойчивости) тривиального решения системы (2), когда известно, что тривиальное решение системы (1) - устойчиво (асимптотически устойчиво), проводится аналогично на основании равенства (7). Доказательство завершено.

Исследование асимптотики поведения решений системы дифференциальных уравнений математической модели брутто-реакции пиролиза этана. Рассмотрим брутто-реакцию пиролиза этана [ 19-21 ]:

C2 H6 ^ C2 H4 + H2

2 C2 H6 ^ C2 H4 + 2 CH^.

Математическая модель реакции имеет вид:

С-у — А | С-у Су

С2 = КС\ + ^2С1

¿4 =

здесь / > 0, с (г = 1,..,4), - концентрации веществ С2И6,С^^,Н2,СИ4 соответственно, ^ > 0, к2 > 0 - константы скоростей химических реакций. Так как концентрации с,.

<

представляют собой неотрицательные величины, то поведение решений системы достаточно рассматривать при с - 0. Для системы (11) ставится задача определения положения равновесия по заданным начальным концентрациям

с (0) = с(0), с2 (0) = с20), Сз (0) = с<0), с4 (0) = с40).

Приравнивая правую часть системы (8) к нулю, находим, что положения равновесия образуют множество векторов вида

с =

^0 Л С2 С3

V С4 У

где с, е Я1, г = 2,3,4.

Фиксируя некоторые с ф 0, (г = 2,3,4) и используя определения локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности, исследуем на устойчивость по части переменных ненулевое положение равновесия с* = со1оп(0, с2 *, с3 *, с4 *), а также асимптотику

решений системы (11) в окрестности этого положения равновесия. Для этого в системе (11) сделаем замену переменных

с = х + с *.

Тогда система (11) будет иметь вид

Л"2 — ^ + 1^2

Заметим, что вид систем (11) и (14) совпадает. Таким образом, задача сводится к исследованию асимптотики поведения решений в окрестности тривиального решения х = 0 системы (14).

Так как матрица линейного приближения

'Ух = ~кхУх

у2 = КУх

<

Уз = КУХ

>4=0

системы (14) имеет одно отрицательное и три нулевых собственных значений кратности 1, то нулевое решение системы (15) является устойчивым. Вместе с тем согласно [22] имеет место критический случай, и, следовательно, теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению [1] неприменима.

Исследуем устойчивость по части переменных нулевого положения равновесия системы (14) на основании локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности по Брауеру.

Используя определение 3, установим соответствие между начальными значениями

X (0) = х(0), X (0) = х(0), х (0) = х3си;, х4 (0) = х(0) решений

X(1: 0, х(0)) =

кх(0)е

.(0)„ - V

к + 2кх

Ы-,

к

х

4к

к

^(0)/

-

к

+ -

X (1 : 0, х(0)) = х(0) + А. 1п 1 + 2 к2 х,(0) (1 - е-^ ) 34 3 2к 1

к

2 V С

Л к

х

2к

к

у

Л

),

У Л

(1 - е-*)к + 2к2х(0))^

к + 2-х1

к

+ х

(1 - е"* )(к + 2к2 х(<У

к + 2кх

нелинейной системы (14) и начальными значениями у1 (0) = у(0), у2(0) = у(0), у3(0) = у30) , У 4 (0) = у(0) решений

: 0, у(0)) = у(0)е"*

У2

Уз

линейной системы (15).

Для этого определим отображения Р(1) и Р(2) из условий

11т хг (1) - уг (1) = 0 , г = 1-4 ,

^ ц-

где в качестве функций ц (1) выбраны следующие:

Ц1) = е ^, Ц (1) = Ц(1) = Ц4 (1) =1 -

Имеем

к т

у(0) = р(2) х(0) ^ кх1

к^ ^ 2^2 х1

2

у20) = Р2(2)х(0) — х20) +

у(0) = Р<2)х(0) — х(0) +

4 к

к

с

1п

1 + 2-^ х(

к2 (0) 1 ) {к1 2к2 Х}

,.(0) _ р(2) (0) = (0) _ У 4 = -'4 Л! — х4

2к

к

2 V /

1п

•2 V

Г

к

1 У

к + 2к2х[

1 + 2 ^ х(0) к, 1

к^'

У V к ^ 2к2 ) У

2к,

1п

'2

V

1 + 2 ^ х

кх у

+ х

Р2 = со!оп(р2\ Р2(2), Р<2), Р(2)) .

Обратное отображение Р(1) имеет вид

_ р«-,/0) = х1 = р у1 —

к У(

к1 - 2к2У1(

х20) = р2

4к,

2 „

1 - 2-2- у1

+ У1

к

х30) = Рз

2к,

ч у

к,

к2 У1

I к1 - 2к2 УГ )

к

1 У

к

х40) = Р4(1)У40) — У40) + 2у10) -^1п 1 - 2^ у(

2к,

к1 У1

Ч У

к1 2к2 у1

Р(1) = со1оп—\ Р1\ Р(1), Р4(1)).

Тогда, области V и и могут быть построены следующим образом:

V = V х V х V х V, V =

-да,

кЛ

2к

, V =(0, , I = 2,4,

V ""2 У ^ к

V 2к2 У

и = и х и х и х и, и =

Величины 5г (': , х(0)), г = 1,4, имеют вид 5^: '0,х(0)) =

и =

——, 2к2 У

, г = 2,4.

кхГ е"*

к + 2^х1(0)(1 - е"*)'

5,(1: '0,х(0)) =

к

4^2

-1п

к

1 + 2^ х (1 -е"*) к

к

2 Л0)

1 + 2-^ х к

+ -

X

(0) (

(1 - е-1 )(к + 2к2х1(0))2 + к- 2^1(0))(к + 2к2х,(0)(1- е-'1)) ^

-Ы N

2

5з(*: х(0)) =

к

2к2

1п

1 + 2^ х1

- кл ••

54(/: ^ х(0)) = -

к

2к2

1п

1 + 2 х(0) к 1

1 + 2^х

К )

1 + 2 — х(0) к 1

к Х(0) е-

+ Х

.

к у ^ 2^2

К + 2К х(0)(1 - е^к1Г) 1 - е"к1

кл--,

- кл

и удовлетворяют условиям (6) теоремы (1).

Заметим, что системы (14) и (15) не удовлетворяют определению асимптотической эквивалентности в смысле работ [11-13], так как области определения отображений Р(1) и Р(2) не совпадают со всем пространством Я", и, следовательно, во всем пространстве Я" не существует отображений, переводящих начальные данные одной системы в начальные данные другой, так чтобы норма разности соответствующих решений стремилась к нулю при г ^го.

Так как Р(1) = Р(2) , то системы (14) и (15) локально покомпонентно асимптотически эквивалентны по Левинсону в смысле определения 3.

Учитывая, что отображения Р(1) и Р(2) непрерывны в нуле, получаем, что все условия теоремы 1 выполнены.

Так как нулевое решение системы (15) асимптотически устойчиво по первой компоненте, а ненулевые решения имеют асимптотическое равновесие по остальным компонентам, то на основании теоремы 1 можно сделать вывод, что этими же свойствами обладают решения системы (14) в окрестности нулевого положения равновесия.

Учитывая замену переменных (13), можно сделать следующие выводы об асимптотическом поведении решений системы (11) в окрестности положения равновесия

1) каждое положение равновесия с * системы (11) является асимптотически устойчивым по компоненте с ;

2) решения системы (8), начинающиеся в окрестности положения равновесия с *, имеют асимптотическое равновесие по компонентам с2, С, С, причем при г ^ эти решения стремятся к нему.

с

Поведение решений асимптотически эквивалентных систем в окрестности положения равновесия. Так как правые части систем (11) и (14) совпадают, то из асимптотической эквивалентности систем (14) и (15) следует асимптотическая эквивалентность систем (11) и (15). Тогда формулы (19) и (20) остаются справедливыми, если х(0) заменить на с(0).

Построим графики решений для локально покомпонентно асимптотически эквивалентных по Левинсону систем (11) и (15) относительно некоторых функций (18), с начальными данными, связанными отображениями Р(1) и Р(2) согласно формулам (16) и (17), где х(0) заменены на с(0). В качестве начальных значений решений выбраны

с(0) = 1, с(0) = с3(0) = с(0) = 0 и У(0) * 0.78, У(0) * 0.16, Уз(0) * 0.1, у(0) * 0.12. Графики построены для к = 0.51, к2 = 0.07, что соответствует протеканию брутто-реакции пиролиза этана при постоянной температуре 800^.

Рис. 1. Графики решений с и х, г = 1,2, между начальными значениями которых

установлено взаимно-однозначное соответствие.

Рис. 2. Графики решений с и х, г = 3,4, между начальными значениями которых установлено взаимно-однозначное соответствие.

Положения равновесия для решений с вышеприведенными начальными значениями систем (11) и (15) совпадают и находятся по формулам

lim c (t: 0, х(0)) = lim y (t: 0, y(0)) = 0,

t—w t—w

limc(t: 0,x(0)) = limy (t: 0,y(0)) » 0.94,

t—w t—w

limc (t: 0, x(0)) = lim y (t: 0, y(0)) » 0.88,

t—w t—w

limc (t: 0, x(0)) = lim у (t: 0, y(0)) » 0.12.

t—w t—w

Заключение. Таким образом, на основании локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности для системы (11) определено положение асимптотического равновесия по заданным начальным концентрациям и исследована асимптотика поведения решений в его окрестности. Из проведенных исследований можно сделать вывод, что исследуемая система обладает свойством полиустойчивости по части переменных [23; 24].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. - М.; Л.: Гостехиздат, 1950. - 471 с.

2. Brauer F. Asymptotic equivalence and asymptotic behavior of linear systems // Michigan Math. J. - 1962. - Vol. 9. - pp. 33-43.

3. Levinson N. The asymptotic behaviour of a system of linear differential equations // Amer. J. Math. - 1946. - Vol. 63. - pp. 1-6.

4. Levinson N. The asymptotic nature of solutions of linear systems of differential equations // Duke Math. J. - 1948. - Vol. 15. - pp. 111-126.

5. Wintner A. Linear variation of constants // Am. J. Math. - 1946. - Vol. 68. - pp. 417430.

6. Brauer F., Nohel J. A. The qualitative theory of ordinary differential equations. - New York: W. A. Benjamin, 1969. - 313 p.

7. Onuchic N. Relationship among the solutions of two systems of ordinary differential equations// Michigan Math. J. - 1963. - Vol. 10. - P. 129-139.

8. Onuchic N. Nonlinear perturbation of a linear system of ordinary differential equations // Michigan Math. J. - 1964. - Vol. 11. - pp. 237-242.

9. Onuchic N. Asymptotic relationship at infinity between the solutions of two systems of ordinary differential equations // J. Differential Eqs. 3. - 1967. - pp. 47-58.

10. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

11. Качественные и асимптотические методы интегрирования дифференциальных уравнений / Воскресенский Е. В., Артемьева Е. Н., Белоглазов В. А., Мурюмин С. М.; под ред. Н.А. Лукашевича. - Саранск: Изд-во Сарат. ун-та, Саран. фил., 1988. - 188 с.

12. Воскресенский Е. В. Методы сравнения в нелинейном анализе. - Саранск: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. - 224 с.

13. Воскресенский Е. В. Асимптотические методы: теория и приложения. - Саранск: СВМО, 2000. - 300 с.

14. Мамедова Т. Ф. Асимптотические методы для части компонент решений дифференциальных уравнений: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. -Н. Новгород, 1993. -14 c.

15. Мамедова Т. Ф., Ляпина А. А. Об исследовании динамических моделей социально-экономических систем на устойчивость по части переменных // Журнал Средневолжского математического общества. - 2010. - Т. 12, № 4. -С. 152-157.

16. Мамедова Т. Ф., Егорова Д. К., Десяев Е. В. Анализ устойчивости математической модели Лукаса по части переменных // Журнал Средневолжского математического общества. - 2015. - Т. 17, № 3. - С. 30-36.

17. Язовцева О. С., Мамедова Т. Ф., Губайдуллин И. М. Исследование устойчивости некоторого решения системы кинетических уравнений химической реакции // Журнал Средневолжского математического общества. - 2016. - Т. 18, № 4. -С. 152-158.

18. Якубович В. А. Об асимптотическом поведении решений системы дифференциальных уравнений // Матем. сб. - 1951. - Т. 28(70), № 1. - С. 217-240.

19. Мухина Т. Н., Барабанов Н. Л., Бабаш С. Е. и др. Пиролиз углеводородного сырья. - М.: Химия, 1987. - 240 с.

20. Губайдуллин И. М., Пескова Е. Е., Язовцева О. С. Математическая модель динамики многокомпонентного газа на примере брутто-реакции пиролиза этана [Электронный ресурс] // Огарев-опНпе. - 2016. - № 20. - Режим доступа: http://journal.mrsu.ru/arts/matematicheskaya-model-dinamiki-mnogokomponentnogo-gaza-na-primere-brutto-reakcii-piroliza-etana.

21. Жалнин Р. В., Пескова Е. Е., Стадниченко О. А., Тишкин В. Ф. Математическое моделирование динамики многокомпонентного газа с использованием WENO схем на примере пиролиза этана // Журнал Средневолжского математического общества. - 2016. - Т. 18, № 3. - С. 98-106.

22. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966. - 533 с.

23. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. - М.: Наука, 1987. - 253 с.

24. Воротников В. В. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных: направления исследований, результаты, особенности // Автомат. и телемех. - 1993. - № 3. - С. 3-62.