Применение формализма Гамильтона для решения задач оптимального управления динамическими и переходными процессами в электрических цепи и сетях энергосистем, с использованием принципа максимума Понтрягина

Вестник ДГТУ. Технические науки. № 14, 2008. -I-

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 531.314 А.А. Тамаев

ЗАДАЧ

А

В статье рассмотрено применение метода формализма Гамильтона для решения задач при переходных процессах в электрических цепях.

В литературе приведено большое количество работ, как по самой теории оптимального управления, так и по ее практическому применению в различных прикладных исследованиях. Наиболее эффективными теориями оптимального управления являются: а) теория принципа максимума Понтрягина, например [1], [2]; б) теория динамического программирования Белманна (США). Для задач большой размерности намного предпочтительней является использование теории Понтрягина и его коллег. Но ее применение, в ряде случаев, встречает затруднения в прикладных дисциплинах, в частности по причине необходимости формализованного построения (согласно теории) функции Гамильтона для динамических процессов. Эти процессы в литературе в подавляющем большинстве случаев (например, в механике, электротехнике) описываются традиционными классическими способами (назовем их условно формализмами Ньютона, а также Лагранжа, что, как правило, в литературе не оговаривается). При этом используется в качестве независимых переменных одна группа векторов в соответствующих дифференциальных уравнениях, например векторов тока или напряжения в электрических цепях.

Совершенно иной подход при описании динамических процессов лежит в теории формализма Гамильтона, реализация которого для электрических цепей осуществлена в [3]. В частности при этом вводятся две независимые группы векторов переменных (канонически-сопряженных), а также строится, уже вполне естественно, функция Гамильтона (как и в принципе максимума Понтрягина, но несколько иным путем). Из последнего, а также по другим причинам, вытекает, что совместное применение формализма Гамильтона (для описания динамического процесса) и принципа максимума Понтрягина (для оптимизации этого же процесса с позиции того или иного критерия эффективности) может быть весьма рациональным на практике.

В [3] приведены некоторые проработки по этому вопросу. Но ниже осуществим более углубленные соответствующие разработки, как с теоретических позиций, так и с позиций их прикладного применения.

В качестве исходной системы дифференциальных уравнений определяющих динамический процесс в электрических цепях используем Гамильтоновую систему, разработанную в [3] (см. выражение (9)) из [3]. Эту систему в компактной форме запишем в матрично-векторном виде. Так:

где X =

X — ИХ +Ми

^ , причем «д» и «р» векторные подматрицы

обобщенных «координат» и «импульсов» соответственно; «и» - векторная матрица

источников питания электрической цепи; «D» и «М» - квадратные матрицы (их расшифровку см. в [3]).

При рассмотрении задач оптимального управления, как известно вектор «u» в уравнениях типа (1) необходимо считать «управляющим» вектором для процесса, закон изменения которого во времени должен определяться исходя из минимизации (максимизации) того или иного критерия (целевой функции). Поставим, например, следующую типовую задачу оптимального управления: при заданных уравнениям «движения» в виде уравнений (1); при заданном «левом конце» (начальное условие); при свободном «правом конце»; при наличии некоторых ограничений на переменные вектора управления «и» (u{t) е Gu), необходимо минимизировать некоторый функционал «Ф», например вида

Ф =id,X

где Т - заданный конечный момент времени; d - некоторый вектор с заданными координатами (коэффициентами); (d,X(T)) -скалярное произведение векторов «d» и «Х(Т)» (подобная запись скалярного произведения будет использоваться и ниже).

Т.е. в поставленной задаче необходимо найти решение, которое обеспечит выполнение условия:

min Ф = min

Решим поставленную задачу при использовании принципа максимума Понтрягина, в соответствии с теорией которого осуществим следующее:

а) вводим вектора сопряженных переменных Z(t) (координаты которых подлежат определению (вычислению);

б) вводим функцию Гамильтона Н^)

H

в) вводим уравнения движения сопряженных переменных

г) вводим условие трансверсальности

Z(T) =

¿Ф

Ж

д) решение поставленной задачи определяется (согласно [1], [2]) исходя из минимизации (максимизации) для каждого момента времени I функции Гамильтона «Н» по составляющим вектора «и», а именно

min НЦ) = min

и и

при ue Gu

В соответствии с приведенными выражениями имеем:

• выражение (4) с учетом выражения (1) примет вид

Н = (Z,X) = (Z,[DX + Ми]) = {Z,DX) + (Z,Mu) ;

• выражение (5) с учетом (8) примет вид

Т

И - транспонированная матрица от матрицы £);

• выражение (6) с учетом (2) примет вид

1(Т)=й ;

• выражение (7) с учетом (8) примет вид

Ж

А min H

и и

при ue Gu.

Выражение (11) можно заменить следующим выражением (учитывая содержание вышеприведенных выражений), и то что первое слагаемое в (11) не содержит величин «и»:

min/f

и и

при ue Gu.

Отметим, что при использовании выражения (12), предварительно необходимо определить величины Z(t) из уравнения (9) с учетом (10). Но численное решение уравнений подобных (9) не представляет затруднений для современных ЭВМ (при использовании стандартных подпрограмм решения нормальной системы дифференциальных уравнений). Данное обстоятельство весьма существенно для решения всей исходной задачи, так как значительно облегчает ее вычислительную реализацию по сравнению с общим подходом (приведенным в [1], [2]) решения (с общим случаем). Это обстоятельство обусловлено в частности тем, что при общем подходе, при оптимизации, необходимо совместно решать системы уравнений (1) и уравнения типа (5) для сопряженных переменных, которые в общем случае являются функцией как от «Z», так и от «X». Но при этом система уравнений (1) имеет заданным «левый конец» (т.е. Х(0)), а система уравнений вида (5) имеет заданным «правый конец» (т.е.2(Т)), согласно принципа максимума. Это вызывает необходимость численного решения многомерной двухточечной краевой задачи, что приводит к вычислительным затруднениям даже при использовании ЭВМ. А согласно выкладкам же данной работы это вычислительное затруднение отпадает. Но в разработанной выше модели удалось обойти отмеченную трудность, поскольку предварительно решается выражение (5) отдельно от (1) с учетом (6), а затем это решение подставляется в выражение (12) с учетом (1).

Для численного решения выражений типа (12) (с учетом вышеотмеченного) на ЭВМ очевидно необходима дискретная аппроксимация вышеприведенных выражений (уравнений), в частности дифференциальные уравнения (1) должны заменяться конечно-разностными. Можно показать и доказать, что в случае если выполнить все необходимые выкладки и преобразования, то выражение поиска (12), при принятии одной из простых схем дискретизации, может принять следующий вид (см. ниже выражение (13), вывод которого опущен), но этот вывод аналогичен выводу, приведенному в [4]:

min//[

при u(K) е GU(K), К=0,1,... ,N-1

ЛГ Л ^+1 ~ ^к

где W - число дискретных шагов, А —

Отметим, что вместо выражений (13) могут быть выведены и несколько иные (но подобные) выражения, хотя и несколько более сложные по форме, но более эффективные с позиций точности решения при численной реализации.

Но совокупность выражений (13) по существу представляет совокупность типовых математических моделей линейного программирования. Это также весьма существенный фактор для практики (с вычислительных позиций), так как известно, что модели линейного программирования очень эффективны при их численной реализации на ЭВМ

Отметим также, что кроме постановки типовой задачи оптимизации приведенной выше, очевидно имеются и ряд других моделей оптимизации. Ряд из них, например модель с интегральным показателем качества эффективности, могут быть решены по аналогии с вышеприведенным материалом.

Таким образом, применительно к гамильтоновым уравнениям «движения» вида уравнений выведенных в работе [3] (например, уравнения (9) в [3]), поставленная типовая задача оптимального управления, после использования принципа максимума Понтрягина,

преобразована при дискретизации к совокупности (системе) из декомпозиционных расчетных выражений вида (13). Каждое из этих расчетных декомпозиционных выражений уже является математической моделью линейного программирования, и может быть без особых затруднений решена в численном виде на ЭВМ, что очень существенно для практики, с использованием (и с небольшим расширением) стандартных подпрограмм решения соответствующих задач (моделей) линейного программирования (как правило, имеющихся в библиотеке математического обеспечения многих ЭВМ).

Примечание: Можно показать, что и ряд других проблем и задач теории электрических цепей могут быть эффективно решены при применении формализма Гамильтона (который лишь частично реализован в данной работе). Например, эффективно могут быть решены также важные для практики задачи как диакоптика (расчленение) сложных многомерных электрических цепей (без необходимости использования методов Крона, хотя и интересных но крайне сложных); как задача преобразования координат с использованием групп симплектичных матриц (широко используемых, например в современной механике, и пока совершенно неиспользуемых в электротехнике); эквивалентирование (агрегатирование) сложных электрических цепей, с переносом в электротехнику принципов аналогичных некоторым фундаментальным принципам физики (закона сохранения энергии, импульса и т.д ); т.п.

Библиографический список:

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. «Математическая теория оптимальных процессов», М.,Физматгиз, 1961

2. Фан Лянь-цэнь, Ван Чу-сен. «Дискретный принцип максимума», М, Изд.,Мир, 1967.

3. Исмаилов Т.А., Тамаев А.Г., Тамаев А.А., «Математическое моделирование, построение теории и исследования динамических и переходных процессов в электрических цепях на основе формализма Гамильтона», Вестник ДГТУ, Технические науки. Выпуск №7. Махачкала. 2005.

4. Тамаев А.Г. «Декомпозиционная математическая модель оптимизации динамического развития топливно-энергетического комплекса», Сборник научных трудов «Вопросы экономичности и надежности энергетических систем», Государственный научно -исследовательский институт им. Кржижановского, Москва, 1981.

Вестник ДГТУ. Технические науки. № 14, 2008. -I-

A.A.Tamayev.

THE USE OF HAMILTON'S FORMALISM IN SOLVING THE PROBLEMS OF OPTIMUM REGULATING OF DYNAMIC AND TRANSITIONAL PROCESSES IN ELECTRICAL CIRCUITS AND ENERGY SYSTEMS' NETWORKS, EMPLOYING PONTRYAGIN'S PRINCIPLE OF MAXIMUM

The use of methods of Hamilton's formalism for solving the problems during transitional processes in electrical circuits has been considered.

Тамаев Арбули Арсланович

Область научных интересов: разработка декомпозиции оптимизационной модели динамического развития топливно-энергетических компонентов Автор более 5 научных работ.