Электродинамика в криволинейных координатах

9. Бочкарев С. А., Матвеенко В. П. Решение задачи о панельном флаттере оболочечных конструкций методом конечных элементов // Математическое моделирование. - 2002. - №12. - С.55-71.

10. Бочкарев С. А., Матвеенко В. П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости // Вычислительная механика сплошных сред. - 2013. - Т.6, №1. - С. 94-102.

11. Вельмисов П. А., Судаков В. А. Математическое моделирование в задаче о динамике защитной поверхности при сверхзвуковом обтекании потоком газа // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. трудов междунар. конфер. (Воронеж, 12.12.2013 -14.12.2013). - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2015. - С.58-62.

12. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В., Серебрянникова Е. С. Математическое моделирование систем динамического контроля за изменением давления // Журнал Средневолжского математического общества. - 2012. - Т. 14, №2. - С. 22-33.

13. Вельмисов П.А., Покладова Ю. В., Серебрянникова Е. С. Математическое моделирование систем контроля над изменением давления // Эвристические алгоритмы и распределённые вычисления. - 2014. - Т. 1, Вып. 2. - С. 6-20.

14. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В. О некоторых математических моделях механической системы «трубопровод - датчик давления» // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физ.-мат. науки. - 2011. - №1 (29). - С.137-144.

15. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В. Математические модели одной гидроупругой системы // Журнал Средневолжского математического общества. - 2006. - Т. 8, №2. - С. 93.

16. Шмидт Г. Параметрические колебания. - М. : МИР, 1978. - 336 с.

Вельмисов Пётр Александрович, профессор кафедры высшей математики инженерно-экономического факультета ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный технический университет» (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32), доктор физико-математических наук, профессор, velmisov@ulstu.ru

Покладова Юлия Валерьевна, доцент кафедры высшей математики инженерно-экономического факультета ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный технический университет» (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32), кандидат физико-математических наук, доцент, pokladovau@inbox. ги

Поступила 04.05.2018 г.

УДК 530.1

А. В. ПАРФЁНОВ

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

Автором найден интеграл действия для электромагнитного поля, с помощью которого получена первая пара уравнений Максвелла в ковариантном виде. Получен целый ряд закономерностей, присущих электромагнитному полю.

Ключевые слова: электродинамика, криволинейные координаты.

След тензора энергии-импульса электромагнитного поля равен нулю: Т. = 0, поэтому скалярная кривизна пространства-времени Я при наличии одного электромагнитного поля тоже равна нулю, ведь Я ~ Т. . Отсюда можно сделать вывод, что у электромагнитного поля отсутствует связь с

© Парфёнов А. В., 2018

метрикой пространства-времени, в отличие от гравитационного поля, для которого метрическим тензор gik играет роль «потенциалов». Поэтому, чтобы описать электромагнитное поле в криволинейных координатах, следует сначала согласовать электромагнитное поле с криволинейной координатной системой. Под согласованием понимается операция, которая напоминает операцию введения для векторного поля Е, заданного в трёхмерном пространстве, векторных линий с помощью дифференциальных уравнений, описывающих эти самые векторные линии:

Е х ёг = 0,

где г - есть радиус-вектор.

Переходя к четырёхмерному пространству и имея антисимметричный тензор второго ранга Р1к, описывающий электромагнитное поле, возьмём антисимметричный тензор второго ранга

ё/,к = ёх,ёх'к — ёхкёх",

описывающий бесконечно малый элемент двухмерной поверхности х1 = х1 (и, V), где и и V будем рассматривать как криволинейные координаты на указанной поверхности. Выберем эти координаты так, чтобы четырёхмерные векторы ёх' и ёх" были касательными векторами к координатным линиям и и V, соответственно. Это позволяет записать выражение (1) в следующем виде: ё/,к = /,кёи^, где

„1к _ дх' 8хк дхк дх'

/ _-----.

ди дv ди дv

Используя тензоры и /'к , составим два тензора второго ранга Л'к и В,к :

A,к = ¥г'/ы — г;1 /"к1,

B,к = рг/*ы + р*/к ,

где Е*к, /*'к — тензоры, дуальные тензорам и /,к, соответственно. Покажем, что тензоры

и (3) можно записать в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров второго ранга. Для этого запишем их в галилеевых координатах. Напомним, что инерциальную систему отсчёта с

декартовыми координатами (х0, х1, х2, х3) = (&, х, у, 2) и метрическим тензором со значениями: g00 = 1, g11 = g22 = g33 = — 1; g к = 0 при , Ф к называют галилеевой. Далее, величины, рассматриваемые в галилеевых координатах, будем выделять индексом Г . Таким образом, в галилеевых координатах имеем:

1 4

ЛГк =" Лг gГк + 4,

ВГк = 4 Вг g Г + аГк,

где ЛГ = ЛГ,, ВГ = ВГ,, тензор арк , дуальный тензору а'Г.

Справедливость равенств (4) и (5) можно проверить непосредственным вычислением, которое даёт для входящих в эти равенства величин:

ЛГ = 4

ВГ= 4

где Е Г и Н Г — векторы напряжённости электрического и магнитного полей,

ГГ =

8 Г =

где, например,

,01 8с1 дх дх 8с1

^ ^^,

ди дv ди 8v

и т. д.

Компонентами антисимметричного тензора второго ранга а'т являются компоненты двух векторов:

а = Е гх 8 г+ Н гх Гг ,

причем

аг =

Ь = Е г х f г - Н г х 8 г.

0 ахх ау аг

ах 0 - К К

ау ъ2 0 -ь.

- К К 0

Связь тензора Л'к, записанного в криволинейных координатах х' с тензором Л^, записанным в галилеевых координатах хг , даётся законом преобразования

. к дх' дх . 1т

л =—---лг".

дхг дх;" г

Подставляя сюда вместо Л^" правую часть равенства (4), учтём, что тензоры g'k и g£ , а'к и а1^ тоже связаны таким же законом преобразования (13), как и тензоры Л'к и Л^ .

Таким образом, после подстановки действительно получаем, что тензор Л'к можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров

Л'к = 1 Лг g

1к + а'к.

И аналогично для тензора В11

в1к = 4 Вг g

1к + а "1к.

Вид компонент (11), (12) антисимметричного тензора второго ранга аг говорит о том, что получен тензор являющийся своеобразным «векторным» произведением трёхмерных векторов, компоненты которых являются компонентами исходных тензоров. Поэтому можно считать, что первая часть задачи по согласованию электромагнитного поля и криволинейной координатной системы выполнена.

Приступая к отысканию уравнений, которым подчиняются рассматриваемые величины, обратим

1к *'к т х

внимание на антисимметричный характер тензоров а и а . Из него следует равенство нулю двойных ковариантных производных от указанных тензоров:

а% = 0, = 0.

В данной статье рассматривается только электромагнитное поле, которое, как было сказано выше, не связано с метрикой пространства-времени, поэтому любые преобразования координат, рассматриваемые в статье, не должны менять метрику пространства-времени. Такие инфинитезимальные преобразования координат определяются так называемыми уравнениями Киллинга, которые означают,

что при указанных преобразованиях координат вариация метрического тензора равна нулю Sg'k = 0 . Отсюда легко можно получить, что якобианы таких преобразований координат равны единице. А это, в свою очередь, означает, что детерминанты метрических тензоров таких систем координат

должны удовлетворять следующему условию: д/—g = 1.

Учитывая это условие, дважды ковариантно дифференцируя левые и правые части равенств (14) и (15) и учитывая равенства (16) и (17), получаем уравнения, являющиеся результатом согласования электромагнитного поля и криволинейной координатной системы:

х

д ( rik дАг | _ 4^ik

дх1

g

V

дхк

д ( k dB К дх

дх

f| = 4Bik.

Запишем закон преобразования, связывающий тензор F\ f , заданный в криволинейных координатах х1 и в галилеевых координатах х'т :

дxi дхк pi г kl _ илГ ^ Г pm rpr

_~дх" 'дх7 r

Аналогичное равенство можно записать для указанного тензора, если взять в качестве криволинейных координат другие криволинейные координаты х(1). Приравнивая правые части этих равенств и затем упрощая их, получаем

F^fm _ Fprfpr.

Умножим левую и правую части равенства (20) на dudv. Затем, интегрируя по произвольной области S , лежащей на двухмерной поверхности х1 (u, v) , приходим к равенству

JJ F

S S

Пусть криволинейные координаты x(1) отличаются от координат х1 на бесконечно малую величину. Тогда переход от одних криволинейных координат к другим можно описать в виде вариации дх1 _ х(1) — х1. Подставляя в левую часть равенства (21) х(1) _ х1 + дх' и разлагая подынтегральное

выражение в ряд по степеням бесконечно малой величины дх', получаем

dJJFkifkl dudv _ 0.

При согласовании электромагнитного поля с криволинейной координатной системой компоненты тензора надо рассматривать как функции от координат х1:

= (х') . Таким образом, из (22) получаем следующую вариационную задачу:

dJJА(х' , х'и, х,; )dudv _ 0,

где

1 8Xi дх1

Л = — я Гк = Я х хк • х _—— • х _——

2 ди 8v

Выполняя варьирование в (23), приходим к уравнению Эйлера и естественным граничным усло-

виям:

дА

дх1 дидх

д2 А д2 А

д;дх'

_ 0,

JJ

д_

ди

(

дА

дх',,

Л

дх1

+

дv

дА

дх'

дх1

dudv _ 0

Подставляя значение Л в уравнение Эйлера и выполняя дифференцирование, находим:

;1 + + ЯН;к = 0 .

S

S

и

д

S

Это первая пара уравнений Максвелла. Отсюда следует, что уравнение Эйлера выполняется автоматически.

Рассмотрим естественные граничные условия для бесконечно малого участка Л? двухмерной поверхности. Его площадь будет стремиться к нулю, поэтому этот участок в первом приближении можно считать плоским и применить к интегралу (25), записанному для Л?, формулу Грина

и

Л?

а

(

дп

дЛ

дТ"

л

дх1

+ -

д_

ду

(

дЛ

дТ"

V

5хг

дЛ дх'ёу --дЛдх'ёп

ЛС\

дх\

дх\

= 0.

где ЛС - замкнутый контур, охватывающий Л? .

Введём ещё одну систему криволинейных координат х'0, х'1, х'2, х'3, у которой первые две координаты это координаты на рассматриваемой двухмерной поверхности: х'0 = п , х'1 = V . Две оставшиеся координаты будем обозначать так: х'2 = w, х'3 = п. Знак (') использовался только раз в формуле (1), поэтому его новое применение не должно вызвать недоразумений. Касательные векторы к координатным линиям w и п обозначим:

г _дх; г _ дх1

_ ~ ' х,п _ - .

дw дп

Представим вариацию 8х1 в виде суммы

дх1 = ах'и + / +ух\. +$х!п

где а, Р,у,3 - произвольные величины, связанные с вариацией дх1 .

Подставляя в интеграл по замкнутому контуру ЛС (26) значение Л и вместо вариации дх1 правую часть равенства (27), приходим к следующему интегралу:

ЛС

Так как а, /,у,3 - произвольные величины, то интеграл (28) можно разбить на четыре интеграла и рассматривать их независимо друг от друга:

§Лаёу = 0,

ЛС

§Л/п = 0,

ЛС

§ р1кГ

ЛС

§ Мх» - хкпх]Л) =0.

ЛС

Из (29) и (30) следует, так как Л Ф 0, данные интегралы будут равны нулю при условии

а = / = 0.

Но а и / описывают ту «часть» вариации, которая лежит в касательной плоскости к двухмерной поверхности х1 = х1 (п,у). Поэтому из условия (33) следует, что вариация вдоль двухмерной поверхности равна нулю. Это означает, что вариация не меняет расстояние между любыми двумя точками на поверхности х1 = х1 (п, у) . Это значит, что поверхность ведёт себя как несжимаемая и нерастяжимая плёнка. Такие изменения, происходящие с поверхностью, в математике называются изгибаниями.

Замкнутый контур ЛС, как и С, имеет произвольную форму, поэтому при рассмотрении интегралов (31) и (32) надо учитывать варианты, при которых основной вклад в интеграл может вносить суммирование или по координате п, или по координате V. Поэтому равенства (31) и (32) могут выполняться при условии:

хк = V,х' хк = Р,х' хк = Р,х' хк = 0.

,к ,ч ,и ,к ,ч ,v ,к ,п ,и ,к ,п ,v •

Это условие можно переписать и так

Рог = = Р/2 = ^ = 0,

если учесть, что тензоры электромагнитного поля и р , рассмотренные в криволинейных координатах х1 и х" , связаны следующим законом преобразования:

- -> - --- = Р1т .

дх" дх'

Таким образом, в криволинейных координатах х" у тензора электромагнитного поля отличны от нуля только две компоненты Р0'1 и Р2'3. Для компоненты Р0'1 закон преобразования (35) можно записать и так

Из полученных равенств находим:

1 р /1к = р' 2 ~ 1 01 •

V' =1Л

1 01 4 г '

Р '* =1В

-'01 ^ Г •

Первая пара уравнений Максвелла в криволинейных координатах х" с учётом равенства (34) будет выглядеть так:

р' = р' = V' = р' = 0

1 01,2 1 01,3 1 23,0 1 23,1 и •

Отсюда следует, что Р0'1 = Р0'1( х'0, х'1), т. е. данная компонента является функцией только координат х'° = и и х'1 = V, а Р2'3 = Р2'3(х'2, х'3), т. е. данная компонента является функцией только координат х'2 = ч и х'3 = п. Таким образом, мы получаем два двухмерных пространства. Одно из них образовано двухмерной поверхностью х1 (и, V), второе двухмерное пространство образовано двухмерной поверхностью х1 (ч, п). Так как данные поверхности являются координатными поверхностями четырёхмерной криволинейной координатной системы (и, V, ч, п), поэтому их геометрию, а значит и геометрию двухмерных пространств, определяют метрические тензоры:

g аЬ

£аь

8х'г 8xГi 8хГ дхГ1

дх'а дх'ь где а, Ь,... = 0,1; а, Ь,... = 2,3.

Каждый из этих тензоров, очевидно, связан с метрическим тензором криволинейной координатной системы (и, V, ч, п):

gik =

88хг дхг I

дх'1 дх'к '

В каждом из этих двухмерных пространств соответственно можно записать следующее тензорное равенство:

РаЬ gacgЬdF 2 (gacgЬd gadgЬc))Р ,

р' _ ' &' р'сй _ 1 (&' &' &' &' )ргей

аЪ басб Ьй ~2 " Ьй Ъс! '

Отсюда получаем

р' _ ^'01,

р23 _ ЯР'23,

где

Я _ £0о^ - 801 _ ¿е^ь ],

Я _ 822^3з - 823 _ ае^].

Формулы (40) и (41) устанавливают связь между ковариантными и контравариантными компонентами электромагнитного поля в соответствующем двухмерном пространстве. Заметим, если двухмерные поверхности представить в виде плоскостей и рассмотреть их в галилеевых координатах, то для величин (42) и (43) будем иметь следующие значения: Я _ — 1 и Я _ 1. Подставляя эти значения в (40) и (41), приходим к хорошо известной связи между различными видами компонент тензора электромагнитного поля, заданного в галилеевых координатах.

Для проведения дальнейших выкладок рассмотрим более подробно тензор энергии-импульса электромагнитного поля, запишем его в галилеевых координатах

ТИк _ — рГПрГк + 4 8пкрГ1шрГ .

Можно доказать, что для данного тензора справедливо следующее равенство:

_ ,

где

тМ _— р* р*1 , 1 8 р* р*ш

Пк 1 ПГ Гк ^ 4& Пк ГЫ1 Г •

Равенство (45) можно записать в следующем виде:

рлЛк' — рГцрГк' _

Справедливость тензорного равенства (47) легко проверить непосредственно для каждой из его компонент. Используя равенство (45), легко получить равенство

Тк_ ТГ.

Вид тензоров энергии-импульса электромагнитного поля, входящих в равенство (48) будет аналогичен определениям (44) и (46) с единственным отличием: тензоры, входящие в эти определения, рассматриваются в криволинейных координатах х" . Поэтому, если повторить выкладки, проделанные в галилеевых координатах, можно получить для криволинейных координат выражение аналогичное выражению (47):

рр — р"*рТ _

Учтём так же, что

8_8к.

Запишем тензорные равенства (49) и (50) в компонентах. Из этих равенств получаем:

я р"2 — рт)_ я(

\р"2 — рТ)_ Яр2 — р"**2).

Используя равенства (40) и (41), находим:

р"

р0'*_—

F'

F '* _ 01

23 _

q

Подставляя (52) и (53) в (51), окончательно получаем

F' 2 F

2

q

Из (34) следует, что

F' _

1 ik

0 F 01 0 0

F 1 01 0 0 0

0 0 0 F 23

0 0 — F ' 1 23 0

Для тензора F'lk , учитывая изложенное, можно записать

F'ik _

0 F 101 q 0 0

F 1 01 0 0 0

q

0 0 0 F 1 23 q

0 0 F 1 23 q 0

Из (54), (55) и (56) находим:

Fi -2VFF\/q—о,

F'3 —}VFkF%/q_о.

Эти равенства устанавливают связь электромагнитного поля с детерминантами метрических тензоров (38) и (39), определяющих геометрию двухмерных пространств.

Покажем, что равенство (57) — это закон Кулона, записанный в криволинейных координатах. Для этого запишем (57) в трёхмерном пространстве в ортогональных координатах. Используя формулы [1]:

_ — , SoaS0ß

У aß _ — Saß + "

go

S _ Soor

где у = ёе1;[уа;0 ], и учитывая, что в ортогональных координатах у = упу22у33, а также определение (42) и равенство у/—^ = 1, получаем

q _

Г22Г33

Электрическое поле, которое рассматривается в законе Кулона, является сферически симметричным. Такое поле удобнее всего рассматривать в сферических координатах.

Поэтому для определения у22 и у33 запишем квадрат элемента длины в сферических координатах:

Л82 = Лг2 + г2Л32 + г2 ми2 Мр2.

Применяя теорему Менье, которую мы запишем, используя радиус сферы р0 и радиус окружности р, которую представляет лежащая на этой сфере координатная кривая р:

1

р р0 cos а

выражение (62) можно записать так:

2 2 r / . „42 r

&2 = Ф2 +—

Ро Ро

Заметим, что равенство (63) справедливо в бесконечно малой окрестности произвольной точки, лежащей на сфере. Для этой окрестности можно считать радиус р постоянным. Он остаётся постоянным и вдоль всей координатной кривой р, а значит и вдоль касательной к координатной кривой, по которой откладывается дифференциал координаты р . При этом величина этой постоянной может меняться в зависимости от положения точки на сфере. Но это никак не влияет на величину компонент метрического тензора, которые, как видно из (63), будут равны

г2

Г22 = У33 =— .

р02

Подставляя эти значения в (61) и результат этой подстановки в (57), приходим к следующей формуле:

р;л = - пр,,к 4 •

2 Г

Из (36) и (6) находим

F' = E f - H s

1 01 А^г'Г JJ-rSr .

Но мы рассматриваем только электрическое поле, поэтому Hг = 0. В отсутствие всякого движения и изменения время остаётся неизменным, поэтому u = х'0 = хГ = ct. Таким образом, всё сводится к преобразованию пространственных координат: прямоугольных декартовых координат х, y, z и криволинейных координат v, w, n, в качестве которых естественно следует взять сферические координаты. Так что, например v = r , а для электрического поля имеем Er = E; E3 = E = 0 . Отсюда находим:

Ег = E(sin 3 cos р, sin 3 sin р, cos 3). А из (8), (10) и т. д. находим:

fr = (sin 3 cos р, sin 3 sin р, cos 3). Таким образом, имеем F'1 = Erfr = E . Теперь формулу (65) можно записать так:

E = У - F'kF "к Р.

Из этой формулы следует, что физическая величина, равная

4ж2E = 2^— Fk F'ik Р02, есть электрический заряд. Обозначая его 4ж , окончательно получаем формулу

E=4.

r

которая и является законом Кулона. Это доказывает, что формула (57) есть закон Кулона, записанный в криволинейных координатах.

Теперь рассмотрим в трёхмерном пространстве в ортогональных координатах формулу (58). Для

этого опять воспользуемся формулами (59), (60) и опять учтём, что -yj— g = 1. После преобразований

получаем для (43) следующее выражение:

1

1

Я _ Г22Г33

8 2

83

Г11Г22 ХУ

Данное выражение после подстановки значений трёхмерного метрического тензора (64) можно записать так:

г

Р0

Р ((—2 1 —2 ,.2 V

^ + 833

Здесь было учтено, что у _ УиУ22У33, а уп _ 1, это следует из формулы (63). А в предыдущем выражении был введён трёхмерный вектор

8 а

8,

0а

8

00

2 2 гг Умножим левую и правую части формулы

Р0 Р0

в виде кубического уравнения

Его решением являются три корня:

%3 — Ч% — 822 — 832 _ 0.

'1

22 г22 г32

_ 1 _ 2 . _ 3

Х\ _ %2 _ %3 _ 2

Р0 Р0 Р0

удовлетворяющие соотношениям:

%1 + %2 + %3 _ 0,

%1%2 ^ %2%3 ^ %3%1 _ — Ч

22 %1%2%3 _ 82 ^ 83 .

Возводя левую часть равенства (68) в квадрат и учитывая (69), получаем после подстановки значений корней %

Я _

4 4 4

Г + Г + Г3

2Ро

Разделим левую часть равенства (69) на левую часть равенства (70) и соответственно правую часть равенства (69) на правую часть (70), получаем после подстановки значений корней %

(

Я _—р0

1 1

1

Л

2 + -2 + 2 V Г1 Г2 Г3 У

822 + 832 ).

Из (72) следует, что величину Я образуют три отдельных «частицы» с относительными зарядами, соответственно равными

2 ' 2 ' 2 ' %1 Г1 %2 Г2 %3 Г3

Обратные величины этих зарядов должны удовлетворять соотношению (68), которое можно записать так

222

Г1 Г2 Г3

Р + Р + Р =

Р0 Р0 р0

Из определения зарядов данных «частиц» следует, что эти «частицы» не могут существовать в свободном друг от друга состоянии. Ведь тогда должно быть возможным состояние, при котором «частицы» находились бы на очень больших расстояниях друг от друга. В этом случае двухмерное

2

пространство (ч, п), представляющее в ортогональных трёхмерных координатах поверхность сферы радиуса р0, теряет смысл, так как, находясь на больших расстояниях друг от друга, «частицы» не могут ничего образовать. Поэтому теряет смысл и само понятие радиуса сферы р0, а с ним и определение зарядов «частиц», а значит и понятие самих «частиц».

Из изложенного следует, что такими «частицами» могут быть только кварки. Легко проверить для

2 2 1

кварков, образующих протон и имеющих заряды действительно выполняется соотноше-

3 3 3 ние (68): — +---= 0.

2 2 1

Подставляя в (58) вместо детерминанта Ц правую часть формулы (71), получаем, что в двухмерном пространстве (ч, п) величина электромагнитного поля Р2'3 прямо пропорциональна квадрату радиус-вектора. Это говорит о том, что в двухмерном пространстве (ч, п) зависимость электромагнитного поля от расстояния подчиняется закону, отличающемуся от закона Кулона:

^23+г4+г4

22 рР

0

Это поле есть не что иное, как сильное взаимодействие. В криволинейных координатах оно определяется формулой (58).

Итак, следует сказать, что роль уравнений движения в электродинамике, рассмотренной в криволинейных координатах, играют уравнения (18) и (19). Которые, если учесть равенства (36) и (37), непосредственно связаны с формулами (57) и (58). К этому следует ещё добавить, что уравнения, из которых можно получить вторую пару уравнений Максвелла, записываются без использования вариационного принципа. Эти уравнения можно записать, используя антисимметричный характер тензора электромагнитного поля. Из этой антисимметричности следует = 0 .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля // Теоретическая физика. - Т. II. - М. : Физматлит, 2014. - С. 299,300.

Парфёнов Анатолий Вениаминович, ведущий электронщик кафедры «Металлорежущие станки и инструменты» УлГТУ. Область научных интересов - теоретическая физика.

Поступила 11.05.2018 г.