Аэродинамические характеристики профиля крыла в трансзвуковом потоке газа с учетом упругости конструкции

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XI 19 8 0

№ 2

УДК 629.735.33.015.4: 533.6.013.42

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОФИЛЯ КРЫЛА В ТРАНСЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА С УЧЕТОМ УПРУГОСТИ КОНСТРУКЦИИ

Ю. П. Нуиіпгаев

Проводится численное исследование аэродинамических характеристик профиля крыла в трансзвуковом потоке идеального газа с учетом влияния упругости конструкции. Расчет проводится для профилей с различной относительной толщиной. Рассматривается вопрос о сходимости итерационного процесса при определении деформации профиля в потоке в диапазоне чисел от 0,6 до 0,87. Исследуется влияние упругости на аэродинамические коэффициенты и распределение скоростей по поверхности профиля. Приводятся результаты расчетов по нелинейной и линейной теории.

При проектировании профилей крыльев экспериментальными и теоретическими методами необходимо учитывать в ряде случаев влияние упругости на форму профиля. Под действием аэродинамической нагрузки деформации профиля, даже сплошного сечения и изготовленного из жесткого материала, например, из стали, могут существенно искажать первоначальную форму профиля и тем самым оказывать влияние на распределение давления и аэродинамические коэффициенты. Этот факт особенно существен, если профиль имеет малую относительную толщину (с= 1 -ь- 2%), так как деформации при прочих одинаковых условиях возрастают обратно пропорционально кубу его толщины. Расчеты показали, что для тонких профилей деформации передней и задней кромок могут достигать при обычных значениях скоростного напора и при малых углах атаки величин порядка 20 — 30% толщины профиля.

Достаточно большие деформации профиля возможны также на упругоподобных моделях, обычно имеющих в качестве силового элемента тонкую пластину переменного сечения с относительной толщиной, много меньшей толщины профиля, и в качестве несилового заполнителя для придания аэродинамической формы материал с малым модулем упругости, жесткостью которого можно

пренебречь. Влияние упругости особенно заметно в трансзвуковом диапазоне скоростей. Теоретические исследования трансзвуковых режимов обтекания целесообразно проводить на основе нелинейной теории, которая позволяет в отличие от линейных методов, используемых до настоящего времени в статической аэроупругости, правильно описать изменение аэродинамических коэффициентов при числе Мсо, близком к 1, правильно описать смещение аэродинамического фокуса за счет наличия местных сверхзвуковых зон на поверхности профиля, описать влияние толщины профиля на характеристики течения. Необходимость использования нелинейных методов расчета была продемонстрирована в [1] на примере задачи о жестком профиле, упруго закрепленном относительно некоторой оси.

В данной работе рассматривается другая модельная задача статической аэроупругости о равновесии упругого профиля, жестко закрепленного в одном из сечений по его хорде, и проводится сравнение результатов расчета по линейной и нелинейной теории. Для того, чтобы распределение деформаций профиля под действием аэродинамической нагрузки соответствовало деформациям профиля на реальном крыле большого удлинения или деформациям модели при весовых испытаниях в трубе, сечение заделки профиля было выбрано вблизи его максимальной толщины. В данном случае в качестве такого сечения было взято сечение, перпендикулярное плоскости профиля и находящееся на расстоянии, соответствующем 35% хорды профиля от его передней кромки.

1. В основу численных исследований был положен метод расчета трансзвуковых течений около профиля по нелинейной теории с помощью итерационного метода релаксации [2]. В случае жесткого профиля решается система уравнений для идеального сжимаемого газа:

д

-^+4г1==0:

дУх дУ„

———1_ -Р^.2 — _1._!_

'А- ‘ 2 2 Т (х_ 1)М2 ’ (°>

оо

где уравнение (1) представляет собой условие неразрывности для сжимаемого газа; (2) —условие отсутствия вихрей; (3) — уравнение Бернулли.

Система уравнений (1)—(3) записана в безразмерных величинах. Здесь и ниже полная скорость W и ее проекции на оси координат отнесены К величине Voo', ПЛОТНОСТЬ Р отнесена К Роо*, у отнесены к величине хорды профиля; * — показатель адиабаты (все расчеты ниже проведены для * = 1,4).

Под действием аэродинамических сил упругий профиль деформируется, а изменение формы профиля в результате этого, в свою очередь, влияет на картину течения и суммарные характеристики. Поэтому, кроме решения системы уравнений (1) — (3), необходимо определить величину равновесной деформации профиля в потоке. Для определения деформаций профиля рассмотрим отсек крыла бесконечного размаха произвольной ширины и будем рассматривать его как балку, нагруженную аэродинамической нагрузкой,

направленной по оси у (вверх, когда угол атаки а>0). Данная схематизация применима, так как рассматриваются профили с малой относительной толщиной (с = 0,9 -ь- 9%). В данной схематизации деформации сечения профиля описываются упругими деформациями срединной поверхности (совпадающей для симметричного профиля с плоскостью хорд), которые находятся из известного уравнения изгибной деформации балки:

EI~!гт “ МИзг

dx2

где л; — координата точки балки, у — величина деформации балки, начало координат совмещено с носком профиля, Е — безразмерный модуль упругости, отнесенный к величине скоростного напора, /—безразмерный момент инерции сечения, Мизг — величина безразмерного изгибающего момента.

Введение безразмерной жесткости EI позволяет выделить влияние на аэродинамические характеристики числа Моо. Граничные условия в точке жесткой заделки при х = х0 имеют вид:

у(х0)=у'(х о)= 0.

Таким образом, носовая и хвостовая части профиля относительно плоскости заделки аппроксимировались двумя консольными балками переменного сечения, имеющими общую плоскость заделки при х = х0. Уравнение (4) решалось методом коэффициентов влияния. Распределенная аэродинамическая нагрузка, первое приближение для которой получается из решения нелинейной задачи для жесткого профиля, аппроксимировалась дискретным распределением сил давления Ph приложенных в выбранных сечениях балок х = хг В этих же сечениях задавалось дискретное распределение изгибной жесткости Е1Г Таким образом, каждая балка делилась на отсеки прямоугольного сечения. При расчете хвостовая балка делилась на 13 отсеков, носовая —на 7 отсеков, а общее количество расчетных сечений на профиле было равно 21. Известно, что величина деформации в расчетном сечении балки х-} может быть рассчитана по формуле [3]:

п i= 1

где У1, /—элементы матрицы влияния.

Элемент у/, у равен Прогибу В точке X=Xj от единичной силы, приложенной в точке х — хь и находится из уравнения (4). Действительно, приращение прогиба на участке от до Xj запишем

в виде:

мх

Величину у" определяем из уравнения (4): у" = В случае

единичной силы, приложенной в сечении х = хь, имеем Мизг*=х1—X. Следовательно, получаем

Х) X

/-1 + Л,I С */._* с1л

к) чУ 1

*7-1х]-'

или

yi.j~yi.t-1 + УI. у-1 '(Х! Х]-\) Н-----Е1~х----

— 4"

хг(х]~х]- 1) -

где

х1-1

-У

х,-- х ах- х. = Iхпри х>>х;-''

Е1

7-1

Полученная рекуррентная формула позволяет рассчитать элементы матрицы влияния у^у для обеих балок. В силу нелинейности аэродинамической нагрузки от деформации профиля решение уравнения (4) находится итерационным методом. Для нахождения равновесной величины деформации профиля у(х) был реализован итерационный процесс:

Е1 (з,о) = Ук) ’ где ук — форма упругой линии профиля после итерации к.

Итерационный процесс считался сошедшимся при \Ук+\ —

^0,0001. После каждой итерации новая форма профиля находилась путем сложения полученной деформации с координатами жесткого профиля, а затем аппроксимировалась и выглаживалась с помощью теории сплайнов.

2. Для решения задачи была составлена программа расчета на ЭЦВМ. Расчеты по нелинейной теории проводились для трех профилей:

а) симметричного профиля с относительной толщиной £=0,9%, выполненного целиком из стали (£ = 2*10° кг/см2);

б) того же самого профиля, покрытого слоем материала, жесткостью которого можно пренебречь, с суммарной относительной толщиной £ = 5% [распределение жесткостей по сечениям профиля б) те же, что и профиля а)];

в) симметричного профиля с относительной толщиной с == 9% и с распределением жесткостей, как на профиле а).

Передние кромки всех профилей затупленные, задние кромки — острые; максимальная толщина располагается на расстоянии, соответствующем 40% хорды профиля от передней кромки (рис. 1).

Два последних случая являются аналогами профилей упругоподобного крыла. Расчет проводился для угла атаки недеформи-рованного профиля а=1° в диапазоне изменения чисел Моо от 0,6

до 0,87, т. е. в области чисел М«>5 при которых на профилях возникают местные сверхзвуковые зоны. Скоростной напор принимался равным 2500 кг/м2. Безразмерный модуль упругости варьировался. Расчеты показали, что в зависимости от величины безразмерной жесткости итерационный процесс при определении деформации тонкого профиля (£ = 0,9%) может быть как сходящимся, так и расходящимся. Расходящийся процесс физически обусловлен явлением дивергенции, при которой аэродинамический момент в том или ином сечении превышает восстанавливающий момент от сил упругости. Аналогичное явление дивергенции наблюдается при решении линейной задачи о равновесии жесткого профиля, упруго

1

М^=0,6, с =0,4%

Рис. 1

закрепленного около некоторой оси [1J. При ее решении итерационным методом в зависимости от положения фокуса относи тельно оси заделки и от жесткости заделки итерационный процесс может как расходиться, так и сходиться. При этом характер сходимости может быть как монотонным, так и колебательным.

В качестве примера расходящегося и сходящегося процессов на рис. 1 приведены графики изменения величины деформации передней кромки профиля в зависимости от номера итерации N. Расчеты показали, что дивергенция тонкого профиля (с = 0,9%) возможна при варьировании жесткости по крайней мере в пределах от £,= 8-106 до 4-106, причем при относительно малой жесткости Е = 4-106 процесс расходится при числе МооЭ^0,6, а при увеличении жесткости (£* = 8• 106) расходящийся процесс наблюдается при числе Моо^0,8. При увеличении толщины профиля (с = 5% и 9%) итерационные процессы сходятся при значении Е = 8-106 во всем диапазоне чисел от Моо = 0,6 до 0,87. Сходимость достигается не более, чем за шесть — семь итераций.

Рассмотрим численные результаты более подробно. Для профиля с малой относительной толщиной с = 0,9% передняя кромка при числе Моо = 0,6 деформируется сильнее, чем задняя. Это объясняется наличием на передней кромке профиля на этом режиме узкой сверхзвуковой зоны, а следовательно, пика разрежения в этой области, приводящего к большим аэродинамическим на-

грузкам в области носовой части профиля. Для профиля с относительной толщиной с — 5% при Моо = 0,6 сверхзвуковая зона в носовой части профиля исчезает, что приводит к резкому уменьшению деформации передней кромки, при этом величина деформации становится меньше деформации задней кромки. Деформация же хвостовой части профиля при числе Моо = 0,6 практически не изменяется при изменении относительной толщины от 0,9 до 9%. При увеличении относительной толщины профиля от 5 до 9% при том же числе Моо практически не изменяется деформация всего профиля, так как на всей поверхности профиля сохраняется при этом дозвуковое течение.

Для числа Моо = 0,8 и относительной толщины с = 0,9% узкая сверхзвуковая зона в области передней кромки приводит к расходящемуся процессу при определении деформации в носовых сечениях профиля, тогда как на хвостовой части профиля итерационный процесс сходится. При увеличении величины с от 0,9 до 9% ширина местной сверхзвуковой зоны на верхней поверхности профиля увеличивается, а резкий пик разрежений в области передней кромки уменьшается и несколько смещается по направлению к хвостовой части профиля, в результате чего эффекты „рас-качки“ решения исчезают.

Анализ полученных результатов показывает, что деформация носовой части профиля увеличивается при уменьшении величины с и при увеличении числа Моо. Деформация хвостовой части профиля слабо изменяется не только при изменении относительной толщины, но и при изменении числа Моо до тех пор, пока на этой части поверхности профиля не образуется развитая сверхзвуковая зона, что приводит к резкому росту деформаций хвостовой части профиля при дальнейшем увеличении как относительной толщины профиля, так и числа Моо.

Следует отметить, что такой характер изменения деформаций позволяет существенно ускорить сходимость интерационного процесса за счет уточнения начального приближения. Кроме этого, ускорение сходимости интерационных процессов колебательного характера достигается с помощью осереднения результатов после каждой интерации.

В результате расчета с помощью итерационного метода были получены значения суммарных характеристик упругого профиля в трансзвуковом потоке. Результаты расчета величины Су показаны на рис. 2. Расчеты показали, что величины Су, niz для чисел Моо^0,8 растут при увеличении относительной толщины как для жесткого (пунктирные кривые), так и для упругого профиля. Отметим, что угол атаки для упругого профиля определялся как угол между касательной к упругой линии при х = х0 и вектором скорости 1/эо. Уменьшение величины Су при увеличении числа Моо (Моо^0,8) наблюдается для упругого профиля при меньших числах Моо, чем для жесткого профиля. Чем больше относительная толщина профиля, тем меньше число Моо, при котором наблюдается уменьшение величины Су для упругого профиля. Учет упругости профиля приводит к значительному уменьшению величин Су и т2. Для рассмотренных профилей в некотором диапазоне чисел М (Моо2?0,85) при толщине с — 9% величины Су, mz для упругого профиля в 1,5 — 2 раза меньше, чем для жесткого.

г*

И

15

10

50,6 0,7 0,8

Рис. 2

Хр

ОА

0,2

°0,7 0,&

Рис. 3

Расчет величины аэродинамического фокуса хР (см. рис. 3) показал, что аэродинамический фокус смещается по направлению к хвостовой части профиля при увеличении относительной толщины как для жесткого, так и для упругого профиля. Учет упругости приводит к заметному смещению аэродинамического фокуса к носовой части профиля по сравнению с положением аэродинамического фокуса на жестком профиле (до 5% хорды). Как видно из рис. 3, для чисел Моо^0,8 величина хг с увеличением числа Мсо как на жестком, так и на упругом профиле почти не изменяется. Для чисел Моо^0,8, благодаря возникновению на поверхности профиля развитых сверхзвуковых зон, наблюдается резкое смещение аэродинамического фокуса к хвостовой части не только на жестком, но и на упругом профиле. Расчет коэффициента Ск показал, что учет упругости приводит, начиная с некоторого числа

Moo, к заметному уменьшению коэффициента волнового сопротивления Сх.

На рис. 4 показаны распределения скоростей по верхней поверхности жесткого и упругого (сплошные кривые) профиля для чисел Мое = 0,8; 0,87 для различных значений с. Графики показывают, что увеличение относительной толщины профиля при фиксированном числе Моо приводит к заметному развитию местной сверхзвуковой зоны на поверхности как жесткого, так и упругого профиля и к перемещению скачка уплотнения к задней кромке. Учет упругости приводит к смещению скачка уплотнения на верхней

М

1.2

0.8

поверхности по направлению к носовой части профиля, а на нижней поверхности, наоборот, к хвостовой части. Величина смещения скачка уплотнения за счет упругости достигает 5% от хорды профиля.

Таким образом, влияние упругости профиля в рассмотренной схеме приводит к изменениям суммарных характеристик и распределений скоростей, аналогичным изменениям соответствующих характеристик для жесткого профиля, упруго закрепленного относительно оси жесткости [1]. Данная аналогия имеет место, несмотря на то, что между сопоставляемыми деформациями профилей имеется существенное различие. Оно состоит в том, что при возникновении развитых сверхзвуковых зон и смещений фокуса назад на жестком профиле за счет упругости заделки угол атаки уменьшается всюду на одну и ту же величину упругого поворота Дос, тогда как в рассматриваемом случае происходит не поворот, а искривление профиля, и местные углы атаки, изменяющиеся в соответствии с искривлением, уменьшаются лишь в хвостовой части профиля, а в носовой возрастают. Поэтому можно полагать, что при околозвуковых скоростях наибольшее влияние на изменение аэродинамических характеристик рассмотренных профилей оказывают упругие деформации задних кромок.

3. Расчет деформированного состояния профиля на ЭЦВМ был, кроме того, проведен по линейной теории тонкого профиля. Для нахождения равновесных деформаций тонкого профиля был также использован итерационный метод. Деформированный профиль заменялся искривленной пластиной, форма которой после каждой

м = * -‘оо \с=9°/0 ^ Н пч <х=Г И—н—

Ш Y4"*— SB 4=4

I. . .. [ X .. , <=«} м ^0,8 1

О 0,2 0А 0,6 0,8 х

Рис. 4

итерации аппроксимировалась кубическими сплайнами. Таким образом, на каждом выбранном отрезке [х1у х^] форма деформированной пластины принимает вид кубической параболы. Величина циркуляции 7(х) для такой пластины рассчитывалась по методу Л. И. Седова [4]. Известно, что

т(х) = -2Ке[4^(х, 0) , где \У — комплексная скорость в комплексной плоскости г.

(14? V* -\?ГТ^~\ 1

_____ 00

dz т

да

где Р = Р (х)— уравнение формы пластины; а — угол атаки.

В данном случае имеем:

Р' (х) = А1 х2 + В1х + С1%

где / соответствует отрезку \хь XI-1], /=1, 2, . . . , 20. Первообразная интеграла (5) имеет вид:

/=-----~хУх{ 1 —х) + (А1 г + -|" А1 + в}) [агсэт ]/ х — Vх(\—х)}

V-

In

2 у г( \ — г)х(1 — х) 2г(1 — г) , j _ 2z

х — z х — г

Зная величину 7 (л;*), легко определить дискретное распределение сил, действующих на пластину. Деформация пластины находится далее методом коэффициентов влияния. Итерационный процесс при этом сходится за несколько итераций. Отметим, что в области передней кромки пластины распределенная нагрузка на пластину записывается в виде

1 — X

Р = const

д:->0 У х

Поэтому, чтобы уменьшить ошибку при определении деформаций методом коэффициентов влияния, сосредоточенная нагрузка на передней кромке пластины, заменяющая распределенную нагрузку на полуинтервале 0, -у-],

xJ2

Р1 = const ^ 1/

%) V

рассчитывалась как

XJ2 ______

* dx.

х

Сравнение результатов линейной и нелинейной теории для чисел Моо^0,87 показывает, что нелинейная теория дает существенно большие значения аэродинамических коэффициентов. При относительной толщине ^ = 0,9% результаты расчета по линейной и нелинейной теории для чисел Моо^0,75 практически совпадают.

На рис. 5 приведено сравнение характера изменения циркуляции вдоль хорды жесткого (пунктирные кривые) и упругого профиля. Сравнение показывает практическое совпадение результатов расчета по линейной (сплошная кривая) и нелинейной теории (точки, помеченные кружками) для упругого профиля с относительной толщиной £ = 0,9% при числе Моо = 0,75. Сравнение приведенных результатов иллюстрирует также заметное влияние

упругости и относительной толщины профиля на величину циркуляции в фиксированном сечении профиля. На рис. 6 представлены результаты расчета формы упругой линии профиля по линейной (пунктирная кривая) и нелинейной теориям в зависимости от тол-

щины с и числа Мое. Расчеты

показывают, что если на профиле развитые сверхзвуковые зоны отсутствуют, например, при £ = 0,9% и Моо = 0,75, то линейная теория хорошо согласуется с нелинейной теорией расчета упругих деформаций. Если же на профиле указанные зоны появляются, например,

при £ = 5%, £ = 9%, Моо = 0,87, расхождение между расчетами по линейной и нелинейной теориям

V- м^- '-0,67

А \\ с = 91 Л

Рис. 6

становится существенным, и оно возрастает при увеличении относительной толщины профиля.

Автор благодарит Ю. Б. Лифшица за полезное обсуждение результатов работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нуштаев Ю. П. Нелинейная задача статической аэроупругости. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 9, № 1, 1978.

2. Л и ф ш и ц Ю. Б. К теории трансзвуковых течений около профиля. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 4, № 5, 1973.

3. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. М., Изд. иностр. лит-ры, 1958.

4. Кочин Е. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, т. 1, М. — Л., Гостехтеориздат, 1948.

Рукопись поступила 12\1 1979 г.