ВЛИЯНИЕ ЗАёМНОГО ФИНАНСИРОВАНИЯ НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ КОНЕЧНОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ

УДК 336.6

п.н. брусов

профессор кафедры «Прикладная математика» Финансового университета

т.В. филатова

профессор кафедры «Финансовый менеджмент» Финансового университета

влияние заёмного финансирования на эффективность инвестиционных проектов конечной продолжительности

1. Введение

В первой статье [1] мы исследовали проблемы влияния заёмного финансирования на эффективность инвестиционного проекта в рамках теории Модильяни-Миллера. В данной статье мы рассмотрим эту проблему для проектов конечной продолжительности, используя полученные нами результаты [2, 3].

Модильяни и Миллер создали теорию стоимости и структуры капитала для перпетуитетных компаний [4, 5], для компаний же с конечным временем жизни, как и для проектов конечной продолжительности (каковыми являются все инвестиционные проекты) мы развили последовательную теорию средневзвешенной стоимости капитала ШЛСС [1-3].

В данной работе эффективность инвестиционного проекта рассмотрена с двух точек зрения: владельцев собственного и заёмного капитала, и владельцев только собственного капитала. Для каждого из этих случаев ЫРУ вычислен двумя способами: с разделением кредитного и инвестиционного потоков (и, соответственно, дисконтированием платежей по двум различным ставкам), и без такого разделения (в этом случае оба потока дисконтируются по одной ставке, в качестве которой, очевидно, может быть выбрана средневзвешенная стоимость капитала ШЛСС). Для каждой из четырёх ситуаций рассмотрены два случая:

1) постоянства величины собственного капитала S;

2) постоянства величины общего инвестированного капитала 1=$+0 (О - величина заёмных средств).

Разница по сравнению со случаем Модильяни-Миллера, рассмотренном в первой части статьи, состоит в том, что вместо перпетуитетных пределов для ЫРУ и стоимостей собственного капитала, ке, и средневзвешенной ШЛСС, используются полученные нами точные выражения [2, 3].

2. Ставки дисконтирования для проектов конечной продолжительности 2.1. Средневзвешенная стоимость капитала

Мы получили следующее уравнение для средневзвешенной стоимости капитала ШЛСС в случае п - летнего проекта

[1 -(1 + ШЛССп ] [1 -(1 + ко)- п ] 1

ШЛСС = ко [1 -Ш /

10

20

30

40

50

60 Wd

0

Рис. 1. Зависимость ШЛОО для компаний с различным временем жизни, от доли заёмных средств ^ , при различной стоимости собственного капитала к0.

Здесь ^ - доля заёмного капитала, ^ - ставка налога на прибыль компании. При п=1 получаем формулу Майерса [6] для одногодичного проекта

(1 + кп)к,

ШЛСС = к0 - --^ .

0 1 + кл

При п=2 уравнение (1) ещё можно решить относительно ШЛСС [3]. При п=3 и п=4 уравнение для ШЛСС становится довольно громоздким, но его всё ещё можно в принципе решить аналитически, а при п>4 оно и в принципе решается только численно.

Приведём графики зависимости ШЛСС для компаний с различным временем жизни, от доли заёмных средств wd, при различной стоимости собственного капитала к0. Мы использовали следующие значения параметров: к0 = 10% + 24%; кл = 7%; I = 50%; м>л = 0% + 60% . Верхняя линия соответствует п=1,средняя - п=2 и нижняя п = ^ (рис. 1).

Видно, что все зависимости ШЛСС ) с хорошей точностью можно считать линейными и аппроксимировать формулой

WACC (wd ) = k0 (1 -у-wd ) = k0

' L Л

1 -Y

v

1 + L

Y вычисляется по формуле Брусова-Филатовой и зависит от параметров k0, kd, t. При фиксированных k0, kd, t параметр y = const.

Мы будем использовать ставку дисконтирования (3) при приведении потоков без разделения их на операционные и кредитные.

2.2. Стоимость собственного капитала

Выведем формулу для стоимости собственного капитала с использованием формулы (3). Запишем стандартную формулу для WACC:

Б 8 L 1

WЛCC = к* (1 - г) — + к - = к* (1 - г)-+ к -

* I е1 * 1 + L е 1 + L

Находя отсюда к , имеем

ке = ШЛСС (1 + L) - к^(1 - г).

Подставляя вместо ШЛСС = к0

1 -у

L

, получим

1 + L

к. = ко (1 + L (1 -у))-к^(1 - г).

Мы будем использовать ставку дисконтирования (6) при приведении потоков с разделением их на операционные и кредитные.

3. Эффективность проекта для владельцев собственного и заёмного капитала

3.1. Рассмотрение с разделением потоков

-А N01

ЫРУ = -1 + 2-+ 2— —"=-1 +

1

п

+ Ог

1

п

*

3.1.1. Случай постоянства общей величины инвестиций (1=еотг) Учитывая О = 1Ь/ (1 + L), получим

ШУ = -I +

N01

п

.) У

+ -

иг

= -1

1-

Lt

1 + L

1-

*]

1 + L

/

п

<?/ у

+

N01

1-

п

.

Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = ^ имеем, соответственно,

ШУ (0)= -1 +

N01

1-

п

оп

ШУ (~)=-1

1-г

1-

п

* ) У

ЫР

NPУ

ЫР К2

II

L

Рис. 2. Зависимость NPV проекта от левериджа в случае постоянства величины инвестиций (¡=сопэ^

1

1

I=1

.

1

1

к

1

1

к

1

к

0

1

Для одногодичного проекта формулы (9) и (10) упрощаются и имеют вид

NPV (0)=-1 +

NOI

1+к

NPV (~)=-1

г • к,

1 + к

а /

Растёт ли NPV с левериджем или убывает (для одногодичного проекта), зависит от соотношения

I • г • к. N01 (1 - г) . ч

и -, или, что то же, I • г • кл и N01 (1 - г). Если больше первая

между величинами

1+к

1+к

а 0

величина, то NPVрастёт, если вторая - то убывает (рис. 2).

3.1.2. Случай постоянства величины собственного капитала (Б=сотг) Учитывая Б = Ь5, I = S (1 + Ь), получим

NPV = - 5 - ЬБ +

N01

+ Бг

е/ /

п

а) У

В случае Б=сотг N01 уже не является константой и в общем случае пропорциональна величине инвестиций N01 = в I = в 5 (1 + Ь).

NPV = - 5

1 + Ь - гЬ

— -

п

а) У

+

в5

— -

п

е) У

Стоимость собственного капитала линейно зависит от левериджа ке = к0 + Ь [к0 (1 - у ) - кЛ (1 - г) ]. Для предельных случаев Ь = 0 и Ь = ^ имеем, соответственно,

NPV (0)=- 5 + Для одногодичного проекта

NPV = - 5

в 5

1-

п

0п

NPV (<»)=-«.

1 + Ь - гЬ

1+к

+

в5

1+к

Отсюда для предельных случаев Ь = 0 и Ь = ^ имеем, соответственно,

NPV (0) = - 5 + в 5 (1 - *), NPV (~) = —

1+к

ЫРУ

ЫР¥

Ь

Рис. 3. Зависимость NPV проекта от левериджа в случае постоянства величины собственного капитала (5=00^). Ь0 -максимальная величина левериджа, при которой проект всё ещё остаётся эффективным

1

1

к

е

1

1

к

1

к

0

к

Ь

0

Уравнение для ь0 (максимальной величины левериджа, при которой проект всё ещё остаётся эффективным) имеет следующий вид: 1) для одногодичного проекта

8

1 + L - ь

к

1+к

в8

1+к

2) для п - летнего проекта

8

1 + ь - гь

1 —

)п

л)

в8

1-

п

.

3.2. Рассмотрение без разделения потоков

^ N01 (1 - г)+к0г N01 (1 - г)+ ко

ЖУ = -1 + 2-^-— — =-1 +

=1

ШЛСС

1-

(1 + ШЛСС )п

/

Подставляя вместо ШЛСС его выражение через леверидж (3) ШЛСС = к0

ЖУ = -I +

1 -у

ь

\

N01 (1 - г)+ко

к0 / 1 - V ь } -у 1+ь У

V 1 + Ь/

\

получим

1+к

1 -у

ь

1+ь

3.2.1. Случай постоянства общей величины инвестиций

ЖУ = -I +

N01 (1 - г)+кЛВг

ШЛСС

1-

(1 + ШЛСС )п

ЖУ = -1

кл-

1 —

Ь 1 + Ь

N01

ь

1 -у-г

1 + ь у

1 -у-г

. 1 + ¿у

1-

1-

1

1 + к

ь

1 -у-г

1 + ь у

V

У]

1 + к

ь

1 -у-г

1 + ь у

Отсюда для предельных случаев ь = 0 и ь = ^ имеем, соответственно,

ЖУ (0)=-1

N01

1-

ЖУ («>)=-1

1-

к0

1-

(1 + к (1 -У г ))п

]

(1=

N01

к0

1-

(1 + к (1 - У г ))п

NPУ растёт либо убывает с левериджем в зависимости от соотношения между параметрами (N01,ка,к*,ку) -ри). 3).

1

1

к

1

1

п

1

+

к

0

1

+

к

0

1

к

0

1

1

Для одногодичного проекта

NPV = -I

кл-

1 --

L 1 + L

1 + WACC

NOI (1 -1 ) 1 + WACC

Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,

NPV (0)= -1 +

NOI

1 + к

NPV («>)=-1

1-

1 + ко (1 -Yt)_

NOI

1 + ко

3.2.2. Случай постоянства величины собственного капитала

NPV = -I +

NOI (1 -1)+kdDt

= -S

k.Lt 1 + L - d

WACC

/

1-

1

WACC

1-

ß S

v

(1 + WACC )n

+

WACC

1-

(1 + WACC )n

Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,

NPV (0)= - S +

NPV убывает с левериджем от - S +

ß S

1

NPV (œ)=-œ

о

NOI

1-

f

о

до -œ (рис. 3), обращаясь в ноль при

L = L0, определяемом из уравнения

S

кХЛ 1 + L — d

WACC

1-

(1 + WACC )n

NOI

WACC

1-

(1 + WACC )n

Отметим, что L = L0 является максимальным значением левериджа, при котором проект остаётся эффективным (NPV > 0).

Для одногодичного проекта

NOI (1 -1)+ кЛл

NPV = -1 +-^-1-d— = - S

1 + WACC

1 + L--

1 + WACC

+

NOI

1 + WACC

Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,

, ч NOI

NPV (0) = - S +-^-}-

1

f

0j

NPV убывает с левериджем от - S + определяемом из уравнения

S

NOI

f

0j y

, NPV

, обращаясь в ноль при L = L0,

до

кХЛ 1 + L — d

1 + WACC

NOI (1 -1 ) 1 + WACC

+

1

1

к

0

1

к

0

1

1

0

1

к

0

Учитывая, что в случае 8=еотг N01 пропорциональна величине инвестиций N01 = вI получим для предельных случаев

ЖУ (0)=- 8 +

в 8

1

(1 + к0 Ь

ЖУ (<»)=-»

Таким образом, ЖУ убывает с левериджем (рис. 3).

4. Эффективность проекта для владельцев собственного капитала 4.1. Рассмотрение с разделением потоков

^ N0I (1 - г) - ко (1 - г )-а О

ЖУ = -8 + 2-+ 2" =

= - 8 +

N0I

1-

п

.п

О

1-

(1+к Ь

4.1.1. Случай постоянства общей величины инвестиций (!=еот{) Учитывая О = К,/ (1 + ь), 8 = I/ (1 + ь), получим

ЖУ =

1+ь

1+

ь

п *

+

N0I

п

.

Отсюда для предельных случаев ь = 0 и ь = ^ имеем, соответственно,

ЖУ (0)=-1 +

N0I

1

--

(1+к Ь

жУ (-) =

-1

(1 + к )п ,

Для одногодичного проекта

ЖУ =

1+ь

1 + ь

1+к

+

N0I

1+к

Отсюда для предельных случаев ь = 0 и ь = ^ имеем, соответственно,

, ч N0I

ЖУ (0) = -I +-^-}- , ЖУ (~) = -

1+к

1+к

4.1.2. Случай постоянства величины собственного капитала

ЖУ = - 8

^ + ь

V

к

1-

(1 + к Ъ

+

в8

к

1-

(1+к. ъ

в 8 (1 + ь),

Мы учли, что в случае 8=еотг N0I пропорциональна величине инвестиций N0I = вI Отсюда получим для предельных случаев п-летнего проекта

ЖУ (0)=- 8 +

в 8

1-

1

п

0

ЖУ (с~)=-^.

(38) в 8 (1 + ь).

л

1

к

0

I=1

I=1

1

1

к

к

*

1

1

к

к

*

к

0

1

к

*

Л

г

1

1

к

0

Итак, NPV с ростом левериджа убывает от - S +

ß S

к

n

0) J

при отсутствии заёмного

финансирования, до при бесконечном леверидже (рис. 2), обращаясь в ноль при Ь = Ь0, определяемом из уравнения

S

1+

L

1

d / /

ßS

1

— -

e/ /

Для одногодичного проекта

NPV = - S

/

1+

L

v

1+к

+

d

1+к

Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,

NPV (0)=- S +ß S (1 - Л ) , NPV (œ)=-œ . 1 + к0

Зависимость NPV от левериджа та же, что и в случае n-летнего проекта (рис. 2).

4.2. Рассмотрение без разделения потоков

NPV = - S + ^

NOI

= - S +

WACC

(1 + WACC )n

4.2.1. Случай постоянства общей величины инвестиций (!=сотг) Учитывая Б = (1 + Ь), 5 = I/ (1 + Ь), получим

NPV = --

1+L

1 + L

WACC

1-

(1 + WACC )n

+

NOI

WACC

1-

(1 + WACC )n

Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,

NPV (0)=-1 +

NOI

1 --

1

NPV (œ)=-1

к

1-

(1 + 0

f

0/ y

+

NOI

к

1-v (1 + » 0

Для одногодичного проекта

NPV =

1+L

1+

L

1 + WACC

+

NOI (1 -1 ) 1 + WACC '

NPV (0)=-1 +

NOI

1 + к

NPV (œ)=-1

(к (1 - л)+a)"

_ 1 + к (1 -yt)_

+

NOI

1

1

r

r

к

к

d

\

1

1

1

к

0

Л

1

1

Итак, возможен как рост NPV с левериджем, так и его убывание (рис. 1), в зависимости от соотношения между параметрами проекта (NOI, к0, кл, t, a, y).

4.2.2. Случай постоянства величины собственного капитала

J . \

NPV = - S +

Заменяя D = LS , получим

NOI

WACC

1-

1

(1 + WACC )n

NPV = - S

1 + L

WACC

1-

(1 + WACC )n

+

ßS

WACC

1-

(1 + WACC )n

Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,

NPV (0)=- S +

ß S

n

0n

NPV (œ)=-œ

Итак, NPV с ростом левериджа убывает от - S +

ß S

к

1-

n

0n

при отсутствии заёмного

финансирования, до при бесконечном леверидже, обращаясь в ноль при Ь = Ь0, определяемом из уравнения

S

1 + L

WACC

1-

1

(1 + WACC )n

ßS

WACC

1-

1

(1 + WACC )n

Для одногодичного проекта

NPV = - S +

NOI

1 + WACC

Заменяя D = LS, NOI = ßI = ßS (1 + L), получим

NPV = - S

1+

L

1 + WACC

+

ßS

1 + WACC '

Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,

NPV (0)=- S +ß S (1 - Л ) , NPV (œ)=-œ . 1 + к

в 5

Итак, NPV с ростом левериджа убывает от -5 +--при отсутствии заёмного финансирова-

1 + к0

ния, до при бесконечном леверидже, обращаясь в ноль при Ь = Ь0, определяемом из уравнения

1 + WACC + L (^ (1 -1 )+a)=ß(1 + L )(1 -1 ).

л

1

1

1

к

0

1

f

5. Заключение

В работе впервые за почти 60-летнюю историю исследования проблемы влияния заёмного финансирования на эффективность инвестиционного проекта получены реальные результаты для проектов конечной продолжительности. Эффективность инвестиционного проекта рассмотрена с двух различных точек зрения: владельцев собственного и заёмного капитала, и владельцев только собственного капитала. Показано, что как и в теории Модильяни-Миллера, NPV для проектов конечной продолжительности всегда убывает с левериджем (Ь=Б/5) в случае постоянства величины собственного капита-

ла 8. Для каждого из четырёх случаев (при 5=сош^) получены уравнения для максимального значения левериджа ь = ь0, при котором проект остаётся эффективным (МРУ> 0).

В случае постоянства величины общего инвестированного капитала (!=со^^) возможен как рост NPУ с левериджем, так и его убывание, в зависимости от соотношения между параметрами проекта (N0I, к0, кл, г, а, в, у).

литература

1. Брусов П.Н, Филатова Т.В. Влияние заёмного финансирования на эффективность инвестиционного проекта в рамках теории Модильяни-Миллера // Вестник ФА №5, 2010. - С. 28-36.

2. Финансовый менеджмент: Учебное пособие / П.Н. Брусов, Т.В. Филатова. - M. : Кнорус, 2010.

3. Филатова Т.В, Орехова Н.П, Брусова А.П. Средневзвешенная стоимость капитала в теории Модильяни-Миллера, модифицированной для конечного времени жизни компании. // Вестник ФА №4, 2008. - С. 74-77.

4. Мodigliani F, UillerM. American Economic Review, v.48. Р.261-297 (1958).

5. Мodigliani F,МИ^гM. American Economic Review, v.53. Р.147-175 (1963).

6. Мyers S. Journal of Economic Perspectives, v.15. Р.81-102 (2001).