Задачи на построение, неразрешимые циркулем и линейкой, и их решение в компьютерной среде

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ, НЕРАЗРЕШИМЫЕ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ, И ИХ РЕШЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНОЙ СРЕДЕ

GEOGEBRA

TASKS ON CONSTRUCTING INSOLUBLE WITH COMPASS AND STRAIGHT-EDGE, AND THEIR SOLUTION IN COMPUTER ENVIRONMENT GEOGEBRA

C.B. Ларин, B.P. Майер S.V. Larin, V.R. Mayer

Неразрешимость циркулем и линейкой, алгебраический метод, компьютерная среда, веоСеЬга, почти разрешимость циркулем и линейкой, алгебраические числа.

Моделирование циркулем и линейкой операций над произвольными действительными числами приводит к обобщению известного алгебраического метода решения задач конструктивной геометрии. В статье выделен новый класс задач, почти разрешимых циркулем и линейкой, который, с одной стороны, содержит все задачи, разрешимые циркулем и линейкой, а с другой - содержит многие задачи, неразрешимые этими инструментами (в частности, классические задачи древности, задачу на построение равнобедренного треугольника по биссектрисам и др.). Показано, как они решаются с использованием графических и анимационных возможностей компьютерной среды беобеЬга. Предлагаемая методика компьютерного сопровождения конструктивной геометрии представляет интерес не только при решении конкретных задач на построение, но и в вопросах преподавания геометрии как в школе, так и в вузе.

Unsolvability with straight-edge and compass, algebraic method, computer environment, GeoGebra, close solvability straight-edge and compass, algebraic numbers.

Modeling operations with a compass and a straight-edge on arbitrary real numbers leads to the generalization of a well-known algebraic solving method in constructive geometry. The article presents a new class of tasks which can be almost totally solved with a compass and a straight-edge. On the one hand, this class includes all the tasks which are solved with a compass and a straight-edge, on the other hand, it includes many tasks which are not solved with these tools (in particular, classical tasks of ancient times, tasks on constructing a isosceles triangle on on a bisectrixes etc.). The authors show how they are solved by means of graphic and animation possibilities of the computer environment GeoGebra. The proposed method of computer support in constructive geometry is important not only for specific tasks on constructing, but also in teaching geometry, both in schools and colleges.

Широко известен алгебраический метод решения задач на построение циркулем и линейкой [Базылев, 1975]. В его основе лежит сведение задачи к построению названными инструментами отрезка, длина которого выражается через длины данных отрезков с помощью подходящей формулы. Моделирование циркулем и линейкой операций над произвольными действительными числами приводит к обобщению алгебраического метода. Круг решаемых задач значительно расширяется, позволяя взглянуть на известную проблему древности с позиций современных информационных технологий.

Целью статьи является описание построений в среде беовеЬга [беобеЬга, 2012], которые с ис-

пользованием анимации приводят к решению задач, неразрешимых циркулем и линейкой.

В основе лежит метод геометрического моделирования операций. Сложение чисел оси абсцисс (ординат) сводится к геометрическому сложению соответствующих векторов. Чтобы геометрически перемножить два действительных числа, нужно первое число изобразить точкой на оси ординат, а второе - на оси абсцисс прямоугольной системы координат. Затем точку, изображающую первый сомножитель, соединяем отрезком с единичной точкой оси абсцисс и через точку, изображающую второй сомножитель, проводим прямую параллельно построенному отрезку. Точка пересечения этой прямой с осью ординат и даст искомое произведение

чисел. Отсюда ясно как выполнить деление. Для построения квадратного корня из данного неотрицательного числа х изображаем его точкой Х(х,0) оси абсцисс, отмечаем точку is( —1,0), находим середину О отрезка ЕХи проводим окружность с центром в точке О радиусом ОХ. Точка пересечения этой окружности с положительной полуосью ординат даст искомую точку Y(0,y[x).

Чертежи для выполнения указанных операций, изготовленные на экране в среде GeoGebra, можно рассматривать как виртуальные приборы, из которых затем конструируются более сложные приборы.

Приведем пример задачи, решаемой алгебраическим методом.

Задача. Дон отрезок длины а и три окружности радиусом г (о <4г), имеющие центры в концах отрезка и в его середине. Постройте четвертую окружность, касающуюся трех данных.

Решение. Из чертежа (рис. 1) видим, что задача сводится к построению отрезка х = LM, являющегося радиусом искомой окружности. Поскольку А ВМС прямоугольный с катетами ВС — а/ 2,

МС = г — х и гипотенузой ВМ = г + х, то

2

X-LM- а

| . Выполняя в среде GeoGebra со-

ответствующие построения циркулем и линейкой

2

а

(выражение X =------ строим с помощью геоме-

трического моделирования операций), получаем две искомые окружности (на рисунке вспомогательные линии построения спрятаны). Затем проводим экспериментальное исследование решения задачи, меняя данные параметры (длину отрезка АВ и радиус г можно изменить, передвигая мышкой соответственно точки А и И).

Примеры конструктивных задач, решаемых с помощью компьютерной среды «Живая геометрия», можно найти в [Майер, Анциферова, 2010].

Наиболее эффективен алгебраический метод, когда нужно доказать, что данная задача на построение циркулем и линейкой неразрешима. Например, если искомая величина х выражается через данные величины уравнением третьей степени с целыми коэффициентами и это уравнение не имеет рациональных корней, то задача неразрешима циркулем и линейкой (см. [Куликов, 1979]).

Рассмотрим три классические задач древности, неразрешимые циркулем и линейкой: об удвоении куба, о трисекции угла и о квадратуре круга. Для их решения древние греки придумали замечательные кривые, соответственно циссоиду Диоклеса, конхоиду Никомеда и квадратрису Динострата. С помощью этих кривых можно циркулем и линейкой решить соответствующую задачу. При этом для циссоиды Диоклеса и конхои-

16г

ды Никомеда были построены приборы, которые вычерчивают соответствующую кривую. Каждый из этих приборов представляет собой чертеж, выполненный циркулем и линейкой, и при заданном непрерывном перемещении некоторой точки чертежа вычерчивается соответствующая кривая. Особняком стоит задача о квадратуре круга: для вычерчивания квадратрисы не существует прибора-чертежа, построенного циркулем и линейкой, который вычерчивал бы эту кривую. Так что третью задачу древности мы оставим в стороне.

Итак, идеология решения первых двух задач древними греками состояла в том, что сначала строился циркулем и линейкой прибор-чертеж для вычерчивания «замечательной кривой», а потом с помощью вычерченной линии циркулем и линейкой решалась данная задача. Сохраняя эту идеологию, покажем, что роль «замечательной кривой» может сыграть график функции, к которой приводит решение данной задачи алгебраическим методом.

Например, решение задачи об удвоении куба (по данному кубу циркулем и линейкой построить ребро нового куба, объем которого вдвое больше объема данного куба) приводит к уравнению хъ = 2 , где длина ребра данного куба взята за единицу, а х - длина ребра искомого куба. Используя геометрическое моделирование операций, на экране компьютера легко построить виртуальный чертеж, который при анимации точки X (х, 0) будет вычерчивать график функции/(х) = х*~ 2. Точка пересечения этого графика с осью абсцисс дает искомую точку, определяющую длину ребра искомого куба.

Аналогичная ситуация в задаче о трисекции угла. Напомним эту задачу: циркулем и линейкой данный угол разделить на три равные части. Она, как известно, сводится к построению циркулем и линейкой корня уравнения 4л3 - Зх - а = 0, где а = cosa, a-данный угол. Если а = 60°, то получаем уравнение 8х3 - 6х - 1 = 0, которое не имеет рациональных корней и в силу этого об-

стоятельства задача неразрешима циркулем и линейкой.

Продемонстрируем новый метод на примере построения в среде веобеЬга виртуального прибора для трисекции данного угла (рис. 2).

1. Отмечаем начало координат - точку О и единичные точки / и J.

2. Строим единичную окружность и на ней отмечаем точку К.

3. Проводим луч с началом в точке О, проходящий через точку К. Угол / К Ж изображает данный угол а. Через точку К проводим прямую параллельно оси ординат и отмечаем точку G пересечения прямой с осью абсцисс - проекцию на ось абсцисс точки К, OG = cos а.

4. Чтобы косинус данного угла отметить на отрицательной полуоси ординат (для дальнейшего построения графика функции у = Ахъ - Зх-а проводим окружность с центром в начале координат радиусом OG и отмечаем точку А пересечения окружности с отрицательным лучом оси ординат.

5. Строим «искомый» угол по его косинусу. На отрезке 01 отмечаем точку L, проводим через нее прямую параллельно оси ординат, отмечаем точку А^пересечения этой прямой с единичной окружностью и через нее проводим луч с началом в на-

чале координат. Угол /ЮМ изображает «искомый» угол.

Построение первой части прибора закончено. Затем это построение дополняется второй частью, которая представляет собой прибор для вычерчивания графика функции у = 4х3 — 3X — а .

6. На оси абсцисс отмечаем «текущую» точку X и проводим через нее прямую параллельно оси ординат, назовем ее «собирательной прямой».

7. Чтобы перенести число X, соответствующее точке X, на ось ординат, соединяем единичные ТОЧКИ отрезком и и через точку X проводим прямую параллельно построенному отрезку. Отмечаем точку Х{ пересечения построенной прямой с осью ординат.

8. Строим X“. Для этого точку Х{ соединяем с единичной точкой / отрезком Хх1, а затем через точку X проводим прямую параллельно построенному отрезку. Отмечаем точку Х2 пересечения построенной прямой с осью ординат - она изображает X“.

9. Строим X" . Для этого точку Х-, соединяем с единичной точкой I отрезком Х21, а затем через точку X проводим прямую параллельно построенному отрезку. Отмечаем точку Х3 пересечения построенной прямой с осью ординат - она изображает X3.

10. На оси абсцисс отмечаем точку /*(4,0) и строим 4х3. Для этого точку Х3 соединяем с единичной точкой / отрезком ХЪ1, а затем через точку Р проводим прямую параллельно построенному отрезку. Отмечаем точку В пересечения построенной прямой с осью ординат - она изображает 4х3. Переносим эту точку на «собирательную прямую», для чего через точку В проводим прямую параллельно оси абсцисс и отмечаем точку пересечения этой прямой с «собирательной прямой».

11. На оси ординат отмечаем точку С(0,—3) и строим —Зх. Для этого точку С соединяем с единичной точкой / отрезком С/, а затем через точку X проводим прямую параллельно построенному отрезку. Отмечаем точку Р) пересечения построенной прямой с осью ординат - она изображает —Зх.

12. Строим сумму 4х3 + (—Зх) . Для это-

го точку Fx соединяем с началом координат О отрезком FxO и через точку D проводим прямую параллельно построенному отрезку. Отмечаем точку F2 пересечения этой прямой с «собирательной прямой».

13. Наконец, строим (4х3 — Зх) + (—а) . Для этого точку F1 соединяем с началом координат О отрезком f2o и через точку А проводим прямую параллельно построенному отрезку. Отмечаем точку F пересечения этой прямой с «собирательной прямой».

Построение прибора закончено.

Покажем, как пользоваться построенным прибором. Передвижением точки К по единичной окружности устанавливаем луч ок так, чтобы угол ZIOK равнялся данному углу ОС. Заставляем точку F оставлять след и задаем анимацию точки X . Наблюдаем, как точка F вычерчивает график функции у = 4х3 — Зх — <2 . Совмещаем точку L сточкой пересечения графика функции с осью абсцисс, которая принадлежит отрезку OI,

и получаем искомый угол /.ION = —

Покажем, как можно значительно упростить прибор, используя возможности, предоставляемые средой GeoGebra.

Построение (рис. 3).

Рис. 3

1. Строим точку О пересечения осей, отмечаем единичную точку Е на оси абсцисс и строим единичную окружность.

2. Отмечаем точку А на единичной окружности, проводим луч и проекцию В точки А на ось абсцисс. Если а - ААОЕ то \ОВ\ = cosa .

3. Строкой ввода вводим параметр а = х(В) (& есть абсцисса точки В , то есть ü = C0S<2).

4. Строкой ввода строим график функции f (х) — 4х3 — 3х — а и отмечаем точки пересечения графика с осью абсцисс.

5. Из точек пересечения графика с осью абсцисс выбираем точку F, соответствующую положительному корню, и проводим через нее вертикальную прямую. Отмечаем точку Н пересечения этой прямой с центральной окружностью и проводим луч ОН. Получаем искомый угол

сх

АНОЕ = —. Построение закончено.

Чтобы с помощью построенного виртуального прибора данный угол разделить на три равные части, достаточно перемещением точки А построить угол (X, равный данному.

Новые решения старых задач приводят к следующим обобщениям.

Определение 1. Будем говорить, что циркулем и линейкой по единичному отрезку

, в результате которого появляется чертеж, причем при анимации точки X, когда X пробегает область D, точка Y, оставляя след, вычерчивает график данной функции.

Определение 2. Будем говорить, что задача на построение почти разрешима циркулем и линейкой по единичному отрезку (или данному набору отрезков), если ее решение сводится к построению циркулем и линейкой прибора для вычерчи-

вания графика функции / (х) и нахождению числа ОС, удовлетворяющего уравнению f (х) = 0 .

На алгебраическом языке определение 1 означает, что функция f(x) принадлежит некоторому квадратичному расширению (объединению цепочки простых квадратичных расширений) поля отношений кольца многочленов 0[х] над полем рациональных чисел Q . Если при построении графика функции используется набор длин {ал,...,ак} данных отрезков, то поле Q надо заменить его расширением Р = Q(ax,...,ak). Например, в приведенной выше первой задаче

fix) = X - а

16г и ^ = 00,г). Очевидно, всякая задача, разрешимая циркулем и линейкой, является почти разрешимой. Нетрудно доказать, что задача на построение числа СС почти разрешима циркулем и линейкой по единичному отрезку тогда и только тогда, когда число ОС является алгебраическим. Например, задача о трисекции угла почти разрешима циркулем и линейкой, а задача о квадратуре круга не является почти разрешимой циркулем и линейкой по единичному отрезку.

Библиографический список

1. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. М.: Просвещение, 1975.

2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

3. Майер В.Р., Анциферова A.B. «Живая геометрия» как средство развития исследовательских умений студентов в условиях индивидуальноориентированного обучения // Вестник Красноярского государственного педагогического университета им. В.П. Астафьева. 2010 (2). С. 9-16.

4. Система динамической геометрии GeoGebra. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra (дата обращения 01.12.2012).

5

в

н

и

ш

PQ