Исследование численного алгоритма операции "сжатие-растяжение" применяемой для восстановления биоиндикационных данных

турная схема контура ФАПЧВ с учетом всех его нелинейностей.

2. Разработан специальный SIMULINK-блок, моделирующий работу многозначной статической нелинейности, которая входит в состав модели импульсного частотно-фазового дискриминатора.

3. Проведено моделирование электропривода с фазовой синхронизацией в переходных режимах работы при различных начальных условиях,

получены временные зависимости и фазовые портреты работы электропривода, что позволяет определить время регулирования и величину перерегулирования в контуре ФАПЧВ, а также наглядно демонстрирует форму и характер переходного процесса.

Полученные результаты могут быть использованы при проектировании прецизионных электроприводов с фазовой синхронизацией.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трахтенберг Р.М. Импульсные астатические системы электропривода с дискретным управлением. - М.: Энергоиздат, 1982. - 168 с.

2. Бубнов А.В. Вопросы теории и проектирования прецизионных синхронно-синфазных электроприводов постоянного тока. -Омск: Редакция журнала «Омский научный вестник», 2005. -190 с.

3. Бубнов А.В. Математическая модель логического устройства сравнения для электропривода с фазовой синхронизацией // Электричество. - 2005. - № 5. - C. 27-31.

4. Катрич П.А., Игнатов А.С. Блок «Многозначная нелинейность». - М.: ВНТИЦ, 2005. - № 50200501804.

5. Бубнов А.В., Катрич П.А. Вопросы выбора регулятора для следящего электропривода с фазовой синхронизацией // Омский научный вестник. - 2005. - № 2. - C. 128-131.

УДК 519.688

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННОГО АЛГОРИТМА ОПЕРАЦИИ «СЖАТИЕ-РАСТЯЖЕНИЕ», ПРИМЕНЯЕМОЙ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ БИОИНДИКАЦИОННЫХ ДАННЫХ

Ю.В. Волков, В.А. Тартаковский*, В.Н. Попов, И.А. Ботыгин

Томский политехнический университет E-mail: yvvolkov@tpu.ru *Институт мониторинга климатических и экологических систем СО РАН, г. Томск E-mail: tv@iom.tomsknet.ru

Рассматривается способ восстановления фазы сигнала, основанный на численном алгоритме, реализующем операцию «сжатие-растяжение», используемый при выделении биоиндикационной информации. Приведены результаты численного исследования предлагаемого алгоритма.

Введение

Биоиндикационное исследование часто основывается на анализе слоистых или кольцевых структур биообъектов [1]. Информация, содержащаяся в картине чередующихся полос разной интенсивности, может быть использована для восстановления связи между биологическим объектом и окружающей средой. Восстановление закодированной подобным образом информации предлагается осуществлять путем вычисления фазы сигнала, представляемого в виде колебательного процесса [2]. В результате реализации данного подхода получают информацию об особенностях изменений локальной структуры индикатора. Точность восстановления информации зависит от уровня и вида составляющих шума, содержащихся в смеси с анализируемым сигналом. Применяя процедуры фильтрации, как во временной, так и в частотной областях добиваются требуемой точности вычисления фазы. В то же время, для сигналов с широким спектром частот ошибка восстановления фазы связана с отсутствием аналитичности.

Введение аналитического сигнала (АС), позволяет однозначным образом определить амплитуду, фазу и частоту любой вещественной функции времени [3-6]. Наиболее важное свойство аналитического сигнала - это причинность его спектра. Спектр АС располагается по одну сторону от начала координат оси частот [7], т.е. АС, соответствующий действительной функции, получается путем обнуления одной половины спектра частот. Эта операция непротиворечива только в том случае, когда сигнал сформирован как двухполосный, как сумма сопряженных комплексных функций с непересекающимися спектральными полосами. Эти комплексные функции будут по определению сопряженными аналитическими сигналами. Качественный признак наличия двухполосности - это большое число мало меняющихся периодов у колебания, но при наличии шума трудно сделать вывод о выполнении данного требования.

Решение данной проблемы возможно с использованием операции «сжатия-растяжения» сигнала во

временной области совместно с фильтрацией в частотной области. Преобразование «сжатие», обозначенное символом С, сжимает периоды колебания, которые больше некоторого среднего периода, и растягивает те из них, которые меньше, а обратное преобразование - «растяжение» С-1 возвращает сигнал в исходное состояние. Применение операции «сжатие-растяжение» позволяет группировать частотный спектр сигнала вблизи несущей частоты, рис. 1.

предположить, что величины ф0(х), определяемой в соответствии с выражением (4), будет достаточно для осуществления начального сжатия спектра

Í HU (х) Фс(x) = arctg \~Тт

I U

Затем процесс восстановления фазы реализуется по формуле (5) [2].

фс( х) = arctg

HU [ф;‘( f>)]

U [ф;‘( fcz)]

= фп

fc

5 10 15

Рис. 1. Модуль частотного спектра сигнала: а) до, б) после осуществления операции «сжатие-растяжение»

Численная реализация операции «сжатие-растяжение» основана на алгоритме сплайн-интерполяции с использованием априорной информации о восстанавливаемой фазе. Предположив, что функция фазы ф монотонно возрастающая, получим, что обратная ей функция ф- будет однозначна, и не будет иметь разрывов, что особенно важно для ее численной реализации.

ф(х) = fcz(x), x(z) = q>~\fcz),

где f - частота несущая, x, z - шкала отсчетов прямая, обратная.

Введем преобразование «сжатие-растяжение» вдоль оси x следующим образом. Пусть H есть оператор последовательного выполнения полосовой фильтрации на несущей частоте f и преобразования Гильберта, тогда для сигнала, представленного в виде колебательного процесса и(х)=[1+/л(х)]со$ф(х), где 1+^(х) - амплитуда сигнала, алгоритм реализации операции «сжатие-растяжение» совместно с полосовой фильтрацией может быть представлен в следующем виде:

С[1 + /л

H[c0S fcZ + M

C 4 sin fcz = sin ф

Как следует из уравнений (1-3), преобразование «сжатие-растяжение» и полосовая фильтрация позволяют выделить из колебания с монотонной фазой гармоническое колебание с частотой fc, для которого находится Гильберт-трансформанта, которая затем сжимается и растягивается в обратном порядке.

Возникает вопрос о реализации описанных операций. Для того, чтобы определить ф(х), необходимо задать некоторую начальную фазу для осуществления преобразований (1-3). Можно

где «=0,1,2,...

В результате многократного повторения процесса восстановления находят последовательность значений фазы. Эта последовательность будет сходиться к точному решению в том случае, если при неограниченном возрастании числа итераций будет существовать предел этой последовательности. Наличие сходимости определено в ходе отдельного численного эксперимента, по результатам которого при уровне аддитивного шума о=0,2 для достижения заданного уровня допустимой погрешности (е=0,0001) было произведено от 5 до 9 итераций.

Для определения эффективности и целесообразности применения предложенного алгоритма, реализующего операцию «сжатие-растяжение», а также для определения свойств данной операции проведен замкнутый численный эксперимент. В рамках эксперимента было осуществлено численное исследование качества оценок фазы. Результаты работы операции «сжатие-растяжение» получены при разных уровнях и видах вносимого в исходный сигнал шума, а также при исходных сигналах с разной шириной спектра частот.

Описание этапов численного эксперимента

1. Формирование исходного сигнала и сигнала с шумом.

Исходный сигнал задавался в соответствии с математической моделью ^(х)=[1+^(х)]ео8ф(х). В качестве фазы в модельном сигнале использовалась функция следующего вида:

2пТ

ф,(х):

N

+a sin

" 2nT

1_ N2 J L N J

где сре - начальная фаза, N - количество отсчётов, а, Ь - постоянные коэффициенты, Т- количество периодов колебания, Т=10.

Шум формировался в частотной области. За центр полосы частот шума была принята несущая частота исходного сигнала /с. Частотный диапазон шума заполнялся псевдослучайными числами, имеющими равномерное распределение. Сигнал-шум, вводился в исходный сигнал аддитивно или мультипликативно во временной области.

2. Восстановление фазы из смеси сигнала с шумом на основе операции «сжатие-растяжение» и определение ошибки восстановления фазы.

Вычисление фазы осуществлялось в соответствии с выражением:

К (х) ,

Ф = аг^------± пп,

и

где Цх) - мнимая часть, Г(х)=И[Ц(х)], и(х) - действительная часть сигнала.

Восстановление функции фазы производилось путем последовательного сшивания элементов дискретной фазы. Оценка нормированной среднеквадратической ошибки восстановления фазы вычислялась по формуле:

N _

X( аф -аф)2

/=1___________

N _ 9

X фе< )2

1=1

где Аф - разность между исходной и восстановленной фазами, -ф - среднеарифметическое значение разности фаз, фе - разность между исходной фазой и прямой, проведенной через начальное и конечное значение исходной фазы, -е - среднеарифметическое значение разности между исходной фазой и прямой.

Выборочный ансамбль состоял для всех экспериментов из 100 разных реализаций сигналов для каждого уровня шума. Отдельные контрольные эксперименты с большим объемом выборки показали, что среднее и дисперсия, полученных оценок остаются неизменными, что было расценено как наличие статистической устойчивости. При данном объеме выборки в силу центральной предельной теоремы среднее арифметическое значение ошибки <еф> будет распределено по закону, близкому к нормальному. При проведении статистического эксперимента представляют интерес случаи с малым среднеквадратичным отклонением ст£ф, что означает устойчивость алгоритма оценивания фазы к входным параметрам, вследствие этого среднее арифметическое значение как оценка ошибки фазы еф будет близко к оценке максимального правдоподобия.

Шум в частотной области занимал полосу от нуля до удвоенного значения несущей частоты исходного сигнала/с. В качестве начальной информации для осуществления растяжения и сжатия сигнала использовалась исходная фаза. Оценка нормированной среднеквадратической ошибки восстановления фазы рассчитывалась при изменении отношения шума к сигналу от 0,1 до 0,7.

Из результатов эксперимента, представленных на рис. 2, видно, что с увеличением уровня шума растет среднее значение нормированной среднеквадратической ошибки восстановления фазы и увеличивается ее среднеквадратическое отклонение. Сравнение оценок нормированной среднеквадратической ошибки восстановления фазы при мультипликатив-

ном (рис. 2, а) и аддитивном (рис. 2, б) шуме позволяет сделать вывод о том, что наибольшую ошибку в восстановление фазы вносит аддитивный шум. Полученные оценки определяют потенциальную точность операции «сжатие-растяжение».

10 20 30 40 50 60 70

Рис. 2. Оценки нормированной среднеквадратической ошибки восстановления фазы после операции «сжатие-растяжение» с исходной фазой при шуме: а) мультипликативном, б) аддитивном

При проведении анализа реальных сигналов исходная фаза является неизвестной, поэтому для осуществления операции «сжатие-растяжение» применяют функцию фазы, восстановленную из исследуемого сигнала с шумом.

По результатам эксперимента с использованием в качестве исходной информации для осуществления операции «сжатие-растяжение» восстановленной фазы (рис. 3, б, для мультипликативного и на рис. 3, г, для аддитивного шума) можно сделать вывод о том, что исходная информация о фазе оказывает существенное влияние на ошибку ее восстановления. Ошибка при сравнении с результатами первого эксперимента (рис. 2) выше в 3...5 раз.

Проведено сравнение полученных оценок нормированной среднеквадратической ошибки восстановления фазы после применения операции «сжатие-растяжение», включающей полосовую фильтрацию (рис. 3, б, г), и после полосовой фильтрации спектра аналогичных сигналов без применения операции «сжатие-растяжение» (рис. 3, а, в). Данные результаты отражают то, что оценка нормированной среднеквадратической ошибки восстановления фазы после применения операции «сжатие-растяжение» с исходной фазой в несколько раз ниже (для мультипликативного шума в 3.7 раз, для аддитивного шума в 2.3 раза) по сравнению с результатами полосовой фильтрации без применения операции «сжатие-растяжение».

В результате замены исходной фазы на восстановленную в операции «сжатие-растяжение» ее эффективность по отношению к полосовой фильт-

Рис. 3. Оценки нормированной среднеквадратической ошибки восстановления фазыы при мультипликативном шуме (а, б) и при аддитивном шуме (в, г) после применения: а, в) полосовой фильтрации; б, г) операции «сжатие-растяжение» с восстановленной фазой

рации без применения операции «сжатие-растяжение» снижена для мультипликативного шума до 1,5 раз, для аддитивного шума до 1,3 раз. Данное исследование позволяет сделать вывод о том, что ошибка восстановления фазы с применением операции «сжатие-растяжение» будет тем меньше, чем точнее априорная информации об исходной фазе.

Наиболее значимым исследованием является определение влияния величины частотного интервала шума / на работоспособность операции «сжатие-растяжение». Данное исследование проводилось при постоянном уровне шума (о=0,4). Частотный интервал шума / варьировался от 0 до 80 при собственной частоте исходного сигнала ,/=10. Результаты данного численного эксперимента, рис. 4, показывают, что величина частотного интервала шума не оказывает влияния на изменение ошибки при использовании операции «сжатие-растяжение» в отличие от полосовой фильтрации без применения операции «сжатие-растяжение», при которой оценка нормированной среднеквадратической ошибки восстановления фазы растет с увеличением частотного интервала аддитивного шума.

Вторым значимым исследованием является применение операции «сжатие-растяжение» для сигналов с «широким» частотным спектром, т.к. они наиболее соответствуют реальным сигналам, получаемым при анализе биоиндикационных картин [3]. Эксперимент проводился для аддитивного шума постоянного уровня (о=0,4). Варьируемым параметром в данном эксперименте являлся интервал частотного спектра исходного сигнала (рассматривались сигналы, для которых /=6, 8, 10, 12 при /=10).

Из результатов проведенного эксперимента (рис. 5) следует, что изменение интервала частотного спектра исходного сигнала не оказывает влияния на изменение оценки нормированной среднеквадратической ошибки восстановления фазы при использовании операции «сжатие-растяжение» до тех пор, пока выполняется условие /</С, а при полосовой фильтрации без применения операции «сжатие-растяжение» наблюдается постоянное ее увеличение при расширении спектра частот сигнала.

В результате замкнутого численного эксперимента показано, что при использовании алгоритма,

Рис. 4. Оценки нормированной среднеквадратической ошибки восстановления фазыы при изменении диапазона аддитивного шума после применения: а) полосовой фильтрации; б) операции «сжатие-растяжение» с восстановленной фазой

Рис. 5. Оценки нормированной среднеквадратической ошибки восстановления фазы для сигналов с разной шириной спектра частот при аддитивном шуме после применения: а) полосовой фильтрации; б) операции «сжатие-растяжение» с восстановленной фазой

реализующего операцию «сжатие-растяжение» совместно с полосовой фильтрацией:

1. Ошибка восстановления фазы сигнала ниже при мультипликативном шуме в 1,5 раза, при аддитивном шуме в 1,3 раз по отношению к ошибке восстановления фазы сигнала при использовании полосовой фильтрации без применения операции «сжатие-растяжение».

2. Величина частотного интервала исходного сигнала не влияет на точность восстановления фазы при выполнении условия /</с.

3. Точность восстановления фазы не зависит от величины частотного интервала шума.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект «Обь» № 05-07-98009.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ваганов Е.А., Шашкин А.В. Рост и структура годичных колец хвойных. - Новосибирск: Наука, СИФ РАН, 2000. - 232 с.

2. Тартаковский В.А., Волков Ю.В., Исаев Ю.Н., Несветайло В.Д., Попов В.Н. Математическая модель радиального сечения годичных колец деревьев // Автометрия. - 2003. - № 5. - C. 118-127.

3. Нуссенцвейг Х.М. Причинность и дисперсионные соотношения. - М.: Мир, 1976. - 208 с.

4. Doroslovacki M.I. On nontrivial analytic signals with positive instantaneous frequency // Signal Processing. - 2003. - № 83. -P. 655-658.

5. Vakman D. On the analytic signal, the Teager Kaiser energy algorithm, and other methods for defining amplitude and frequency // IEEE Trans. Signal processing. - 1996. - № 4. - P. 791-815.

6. Cohen L., Loughlin P., Vakman D. On an ambiguity in the definition of the amplitude and phase of a signal // Signal Processing. -1999. - № 79. - P. 301-312.

7. Нуссенцвейг Х.М. Причинность и дисперсионные соотношения. - М.: Мир, 1976. - 208 с.