Модели оценки финансовых активов

© В.В. Беспалов, 2006

МОДЕЛИ ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ

В.В. Беспалов

В данной статье возможности определения рыночной цены риска и приемлемой меры риска отдельного актива рассматриваются с позиций концепции рыночного равновесия, исходя из модели У. Шарпа \ впоследствии развитой Дж. Моссином, Дж. Линтнером и Ф. Блэком 2.

Изучение поведения несклонного к риску инвестора на рынке капитала подразумевает выявление соотношения между риском и ожидаемой доходностью каждой ценной бумаги. Общий риск ценной бумаги включает рыночный (недиверсифицируемый) и собственный (диверсифицируемый) риск 3. При рыночном равновесии ожидается, что ценная бумага обеспечит доходность, соответствующую ее недиверсифицируемому риску. Чем больше недиверсифицируемый риск ценной бумаги, тем большей доходности от нее будут ожидать инвесторы.

Определение соотношения между ожидаемой доходностью и недиверсифицируемым риском и осуществляемая на этой основе оценка ценных бумаг составляют сущность модели оценки финансовых активов (САРМ). Как и любая другая модель, САРМ имеет ряд предпосылок, точное количество которых зависит от того, как они агрегированы. Один из возможных перечней предпосылок 4: инвестиции оцениваются на основе их доходности и риска; доходности представляются инвесторами некоторым стохастическим образом; риск пропорционален дисперсии доходности; инвесторы действуют таким образом, чтобы максимизировать ожидаемую полезность, которая может быть выражена как функция ожидаемой доходности и дисперсии; инвесторы не склонны к риску; рынок капитала является совершенным; отсутствуют налоги, трансакционные издержки, непредвиденная инфляция; информация бесплатна и все инвесторы имеют одинаковый доступ к ней; инвестиции бесконечно делимы; нет ограничений на займы и кредитование по безрисковой ставке процента; все инвесторы одинаково оцени-

вают вероятностное распределение будущих доходностей и имеют одинаковый горизонт инвестирования, равный единице (одному году, одному месяцу и т. п.).

При заданных предпосылках использование САРМ позволяет решить следующие задачи: обосновать соответствие структуры каждого оптимального индивидуального портфеля структуре рыночного; провести расчет ожидаемой доходности отдельных активов, индивидуального и рыночного портфелей; проверить соответствие получаемых выводов результатам хозяйственной практики.

В рассматриваемой модели инвесторы анализируют ценные бумаги и определяют структуру касательного портфеля. В равновесном случае все инвесторы выбирают один и тот же касательный портфель, поскольку оценки ожидаемых доходностей бумаг, их дисперсий и ковариаций, а также величины безрисковой процентной ставки полностью совпадают. Единственной причиной, по которой инвесторы предпочтут различные портфели, является то, что они характеризуются различными кривыми безразличия. Это означает, что каждый инвестор распределяет свои средства среди рискованных бумаг в одной и той же пропорции, увеличивая безрисковое заимствование или кредитование с целью достижения предпочтительной для него комбинации риска и доходности. Это свойство CAPM часто называют теоремой разделения 5.

Заметим, что в условиях сделанных предположений линия рынка капитала (CML) будет одинаковой для всех инвесторов (см. рис. 1). Это означает, что существует только один портфель рисковых активов (портфель, которому соответствует точка m), который комбинируется с безрисковым активом. Теорема разделения утверждает, что все инвесторы должны держать одинаковый набор акций в своих портфелях.

Итак, существует два типа возможностей инвестирования: безрисковые ценные бу-

маги, доходность которых в течение всего периода владения определенно известна; а также рыночный портфель обыкновенных акций.

Рис. 1. Линия рынка ценных бумаг

Возникает вопрос относительно содержания рыночного портфеля. Поскольку ни один инвестор не будет держать никакой другой портфель рисковых ценных бумаг, кроме рыночного портфеля т, и всегда найдется инвестор, который владеет абсолютно всеми ценными бумагами, портфель т должен содержать все рыночные активы (напомним, что предполагается отсутствие трансакционных издержек). Таким образом, рыночный портфель представлен всеми доступными акциями, выпущенными в обращение, взвешенными в соответствии с их рыночными стоимостями. Вследствие того, что рыночный портфель является слишком громоздким для рассмотрения, часто используются его заменители - рыночные индексы.

В соответствии с САРМ, ожидаемая доходность любого актива или портфеля (эффективного или неэффективного) связана с безрисковой ставкой и ожидаемой доходностью рынка следующим, графически отображенном на рис. 1, соотношением6:

- ( - \

Ri — Rf + Р.

Ят - Rf

где Я. - ожидаемая доходность і-й ценной бумаги;

Р - мера чувствительности доходности актива к изменениям на рынке. Заметим, что рыночный портфель сам по себе может быть описан следующим выражением:

Я — яг + рг

( -Ят - Яf

откуда получаем, что Ь-коэффициент рыночного портфеля равен единице.

В САРМ каждый инвестор обладает рыночным портфелем и его интересует среднеквадратичное отклонение своего портфеля, так как от него будет зависеть наклон CML, следовательно, размер инвестиций инвестора в рыночный портфель. Величина допустимого риска каждой ценной бумаги определяется ковариацией этой ценной бумаги с рыночным портфелем s.m. Эта зависимость ковариации и ожидаемой доходности известна как рыночная линия ценной бумаги (SML). Рыночная линия представляет соотношение ожидаемой доходности и среднеквадратического отклонения для эффективных портфелей.

Превышение доходности ценной бумаги над безрисковой ставкой составляет премию за риск ценной бумаги, то есть ожидаемая доходность актива должна быть равна доходности безрисковой ценной бумаги плюс премия за риск.

Поскольку эффективные портфели лежат как на линии CML, так и на SML, то для какого-либо эффективного портфеля можно записать:

Яі — Яf +

Ят - Яі

<3т

<3,

Я — ЯГ +Рг\Ят - Я

т V -

уравнение рыночной линии.

Откуда для эффективных портфелей имеем:

Р— іт іт ~

<3т

Эта величина называется Ь-коэффициен-том для бумаги I и является альтернативным способом представления ковариации бумаги.

Для данного значения риска SML показывает «скорость движения» доходности на рынке. Каждая ценная бумага, обладающая таким риском, должна обеспечивать соответствующую ожидаемую доходность, требуемую для компенсации этого риска. Если ожидаемая доходность ценной бумаги не равна требуемой, то цена ценной бумаги будет меняться: если ожидаемая доходность ценной бумаги больше, чем требуемая, спрос на эту ценную бумагу будет расти, и ее цена будет

увеличиваться; если ожидаемая доходность ценной бумаги меньше, чем требуемая, инвесторы будут стремиться продать эту ценную бумагу, и ее цена будет падать.

Сравним теперь ожидаемую доходность ценной бумаги с ожидаемой доходностью рыночного портфеля. Если сравнение основывается на опыте прошлых лет, ожидаемая доходность будет рассчитываться с использованием зафиксированных эмпирических данных, например, за прошедшие пять лет. Для каждого из 60-ти месяцев этого периода рассматриваем доходность отдельной ценной бумаги, включенной в портфель, а также доходность рыночного портфеля, который представлен каким-либо индексом. Ежемесячные значения доходностей точечно отображаются на графике. Так называемая характеристическая линия, показанная на рис. 2, демонстрирует отношение между доходностью ценной бумаги и доходностью рыночного портфеля.

Из рис. 2 видно, что чем больше ожидаемая доходность рынка, тем больше ожидаемая доходность акции. При рассмотрении этой зависимости необходимо обратить внимание на три показателя. Первый показатель - а-коэф-фициент - представляет собой точку пересечения характеристической линии с осью ординат. Теоретически, а-коэффициент отдельной акции должен быть равен нулю. Однако при использовании данных прошлых лет для построения характеристической линии могут наблюдаться и а-коэффициенты, отличные от нуля. Это происходит, если рынок не находится в состоянии равновесия, рынок не является совершенным, или если возникают статистические ошибки. Будем предполагать, что а-коэффициент отдельной акции равен нулю.

Второй показатель - Р-коэффициент - это наклон характеристической линии. Он показывает чувствительность доходности ценной бумаги к изменению рыночного портфеля. Если наклон равен единице, это означает, что доходность акции изменяется пропорционально доходности рыночного портфеля, то есть акция имеет тот же недиверсифицируемый (систематический) риск, что и рынок в целом. Наклон, больший, чем 45° (Р > 1), означает, что доходность акции изменяется быстрее, чем доходность рыночного портфеля, то есть акция имеет больший систематический риск, чем рынок в целом.

Вложения в такой тип акций часто называют «агрессивной» инвестицией. Наклон, меньший, чем 45° (Р < 1), означает, что акция имеет меньший недиверсифицируемый риск, нежели рынок в целом, ее доходность изменяется медленнее, чем доходность рыночного портфеля. Вложения в такой тип акций часто называют «оборонительной» инвестицией. Чем больше Ь-коэф-фициент, тем больше систематический риск.

Доходность

ценной бумаги

Рис. 2. Сравнение ожидаемых доходностей ценных бумаг

Одно из свойств Ь-коэффициента портфеля заключается в том, что он представляет собой среднее Ь-коэффициентов входящих в него ценных бумаг, где в качестве весов выступают доли инвестиций в эти бумаги.

Выражение для вычисления Ь-коэффициента портфеля выглядит следующим образом7: N

РрМ ~ ^ .

7=1

Третий показатель - это несистематический риск ценной бумаги. Он описывается дисперсией значений, используемых при построении характеристической линии ценной бумаги. На рис.

2 он представлен относительным расстоянием от точек до сплошной линии. Чем больше разброс, тем больше несистематический риск акции.

Теперь можно выразить уравнение SML другим способом. Ь-коэффициент ценной бумаги является показателем отзывчивости ее доходности к доходности рыночного портфеля. Математически эта отзывчивость является ковариацией между ожидаемой доходностью 7-й ценной бумаги и рыночным портфелем, деленной на дисперсию ожидаемой доходности рыночного портфеля, то есть:

Рі —

а,

где р т - коэффициент корреляции между доходностями ценной бумаги и рынка.

Подставляя это выражение (7) в уравнение САРМ (1), получаем:

Я, — яг +

Ят — Я

/

С,

(рітСіСт ).

Для инвестора, владеющего диверсифицированным портфелем, выражение р,та,ат представляет собой часть общего риска і-й ценной бумаги, которая не может быть устранена путем диверсификации.

Выражение

Ят — Яі

представляет собой

соотношение рыночного равновесия между систематическим риском и превышением доходности над безрисковой ставкой.

Поскольку несистематический риск может быть устранен с помощью диверсификации, согласно САРМ, он инвесторам не компенсируется. Хотя инвестор, имеющий только одну ценную бумагу, подвергается как систематическому, так и несистематическому риску, ему будет компенсироваться только систематический риск.

Если г = 1, то портфель лежит на CML

и Рі —^ .

а т

Если актив абсолютно некоррелирован (р.т =1) с рынком, то не имеет значения, какова дисперсия его доходности: он не имеет премии за риск. Цена этого актива будет устанавливаться на том уровне, чтобы обеспечивать такую же доходность, как и безрисковый актив.

Теоретически, ріт может быть отрицательным, то есть актив, который отрицательно коррелирует с рынком, будет иметь отрицательную премию за риск - его цена будет устанавливаться таким образом, чтобы обеспечивать ожидаемую доходность, меньшую, чем доходность безрискового актива независимо от ее изменчивости.

Итак, рассмотрены две меры риска: одна является мерой общего риска (стандар-

тное отклонение), другая - относительным показателем систематического или недивер-сифицируемого риска (Р-коэффициент). р-ко-эффициент является лучшим показателем для оценки ценных бумаг по сравнению со стандартным отклонением. Ожидаемую инвесторами доходность логически следует связывать с систематическим, а не с общим риском. Ценные бумаги, имеющие более высокий систематический риск, должны иметь и более высокую ожидаемую доходность.

Главный принцип, лежащий в основе САРМ, - то, что активы с одинаковым систематическим риском должны иметь одинаковую ожидаемую доходность, то есть цены на рынке должны регулироваться именно таким образом. Этот принцип называется «законом одной цены»8.

Чтобы понять смысл этого принципа, рассмотрим инвестора, который владеет рисковым портфелем, имеющим тот же риск, что и рыночный портфель (Р = 1). На какую доходность он может рассчитывать? Логически, он может рассчитывать на такую же доходность, как и доходность рыночного портфеля. Рассмотрим другого инвестора, который владеет безрисковым портфелем (Р = 0). В этом случае инвестор может рассчитывать на получение такой же доходности, как доходность безрискового актива. Другими словами, инвестор, который не хочет принимать риск, получает только безрисковую доходность. Теперь рассмотрим третьего инвестора, который владеет смешанным из этих двух портфелем. Предположим, что он вкладывает часть своих средств, равную х, в рисковый портфель и остальные средства (1 - х) - в безрисковый актив. С каким систематическим риском он сталкивается и на какую доходность может рассчитывать? Вычислим риск такого комбинированного портфеля. Ь-коэффи-циент портфеля - это средневзвешенное Ь-ко-эффициентов ценных бумаг, входящих в портфель, при этом весами являются доли ценных бумаг в портфеле, то есть Ь-коэффициент портфеля равен:

Р р — (1 — X )х 0 + X X 1 — X.

Таким образом, Ьр равен части средств, инвестированных в рисковый портфель. Если 100 % или меньше средств инвестируется в

С

рисковый портфель, Ь-коэффициент портфеля будет принимать значения от 0 до 1. Если инвестор занимает средства по безрисковой ставке и вкладывает все в рисковый портфель, то есть х > 1 и (1 - х) < 0, то Ь-коэффициент портфеля будет больше единицы.

Ожидаемая доходность комбинированного портфеля также равна средневзвешенной из ожидаемых доходностей рыночного портфеля и безрискового актива:

Rp — (і— xR + xRm •

Подставляя x — p в это выражение и преобразуя его, получаем9:

Rp — Rf + p

f —

Rm — R

f

Таким образом, получено уравнение САРМ для портфеля и еще раз подтвержден важный теоретический результат, что ожидаемая доходность портфеля должна быть больше безрисковой доходности на сумму, пропорциональную Ь-коэффициенту портфеля, то есть отношение между ожидаемой доходностью и риском должно быть линейным.

САРМ часто формулируется в виде премии за риск. Ожидаемые премии за риск портфеля и рыночный риск, обозначенные Г и Г ,

Т Г ГУ р т?

соответственно, получаются как:

r—Rp—Rf,

r — Rm — Rf •

Подставляя эти премии за риск в уравнение САРМ, получим:

— Р рГт •

Записанная в такой форме, САРМ говорит о том, что ожидаемая премия за риск должна быть равна количеству риска (измеряемому Ь-коэффициентом), умноженному на рыночную цену риска (измеряемую ожидаемой премией за рыночный риск).

Ограничивающие предположения, касающиеся трансакционных издержек и получения информации в модели оценки финансовых активов, а также зависимость модели от ры-

ночного портфеля на протяжении длительного времени воспринимались специалистами-теоретиками и практиками со скептицизмом.

С. Росс предложил альтернативную модель для измерения риска, которая называется моделью арбитражной оценки (APT) 10. Если инвесторы могут инвестировать без риска и зарабатывать больше, чем по безрисковой ставке, это означает, что они нашли возможность арбитража. Предположение, лежащее в основе модели арбитражной оценки, заключается в том, что инвесторы пользуются выгодными возможностями арбитража и устраняют их в процессе торгов. Если два портфеля в одинаковой степени подвержены риску, но предлагают различный ожидаемый доход, то инвесторы приобретут портфель с большим ожидаемым доходом и продадут портфель с меньшим. Заработанная разница составит безрисковую прибыль. Для предотвращения возможности арбитража два портфеля должны создавать одинаковые ожидаемые доходы.

Подобно модели оценки финансовых активов, модель арбитражной оценки начинает с разделения риска на специфический риск фирмы и рыночный риск. Как и в модели оценки финансовых активов, специфический риск фирмы охватывает информацию, которая влияет в основном на саму фирму. Рыночный риск касается многих или всех фирм и предполагает непредвиденные изменения в определенном числе экономических переменных, включая ВВП, инфляцию и процентные ставки. Включив оба типа риска в модель доходности, получаем11: R = E(R) + m + e, где R - фактическая доходность;

E(R) - ожидаемая доходность;

m - компонент непредвиденного риска в масштабе всего рынка; e - компонент отдельной фирмы.

Хотя и CAPM, и APT различают риск отдельной фирмы и рыночный риск, они измеряют рыночный риск по-разному. Модель CAPM предполагает, что рыночный риск полностью охватывается рыночным портфелем, в то время как модель арбитражной оценки допускает множество источников рыночного риска, измеряя чувствительность инвестиций к изменениям в каждом идентифицированном источнике. Вообще говоря, рыночный компо-

нент непредвиденных доходов можно разложить на экономические факторы:

R = E(R) + m + e = R + (b1F1 + b2F2+   + bFJ + e, где bj - чувствительность инвестиций к непредвиденным изменениям в факторе j;

F. - непредвиденные изменения в факторе j.

Отметим, что измерение чувствительности инвестиции к любому макроэкономическому фактору принимает форму b-коэффициента, называемого фактором b, который в действительности во многом сходен с рыночным b-коэффициентом в модели CAPM.

Модель APT приводит к выводу, что доходность портфеля не будет содержать компонент непредвиденных доходов отдельной фирмы. Доход портфеля можно записать как сумму двух средневзвешенных - ожидаемого дохода портфеля и рыночных факторов:

R = (w,R, + wR + ... + w R ) +

p v 1 1 2 2 n n

+ (w b + wb + + wb)F +

^ 1 1,1 2 1,2 n 1fl> 1

+ (wb + wb + + wb )F

1 2,1 2 2,2 n 2,n 2

где w.. - вес актива j в портфеле (в котором имеется n активов);

R j - ожидаемая доходность актива j;

В - b-фактор i для актива j.

Заключительным шагом является оценка ожидаемого дохода как функции только что определенных b-коэффициентов. b-коэффициент портфеля является средневзвешенной величиной b-коэффициентов различных активов, входящих в портфель. Данная особенность, в сочетании с отсутствием арбитража, приводит к заключению, что ожидаемые доходы находятся в линейной зависимости от b-коэффициентов. Если бы этой зависимости не было, то мы смогли бы скомбинировать два других портфеля - один с более высоким b-коэффициентом, а другой - с более низким, чтобы добиться более высоких доходов по сравнению с исходным портфелем. Тем самым мы заработали бы более высокий доход, чем тот, который приносит рассматриваемый портфель. Данный аргумент можно применить к ситуации с множественными факторами и тем же результатом. Следовательно, ожидаемый доход на актив можно записать следующим образом:

E(R) = Rf + b1(E(R1) - Rf) + b/E(R2) - R) + ... +

+ \(E(Rk) - Rf), где Rf - ожидаемая доходность портфеля с нулевым b-коэффициентом;

E(Rj) - ожидаемая доходность портфеля с b-коэффициентом, равным 1 для фактора j и 0 - для всех прочих факторов.

Элементы в скобках можно рассматривать, как премии за риск каждого фактора в модели. Модель оценки финансовых активов можно представить как особый случай модели арбитражной оценки, где присутствует только один экономический фактор, создающий доходы в масштабах всего рынка, и этим фактором является рыночный портфель.

E(R) = R + WRm) - R).

Модель APT позволяет оценить b-коэффициенты для каждого фактора и премии за риск по факторам в дополнение к безрисковой ставке. На практике они обычно оцениваются при помощи эмпирических данных по доходам, приходящимся на актив, и факторного анализа. Факторный анализ позволяет определить число общих факторов, влияющих на исторические данные по доходам; дает возможность измерить b-коэффициент каждой инвестиции относительно любого из общих факторов и обеспечивает оценку фактических премий за риск, заработанных каждым фактором.

Тем не менее факторный анализ не занимается идентификацией факторов с экономических позиций. Как правило, в модели арбитражной оценки рыночный риск измеряется по отношению к множеству не поддающихся спецификации макроэкономических переменных. При этом чувствительность инвестиции соотносится с каждым фактором, измеренным при помощи b-коэффициента.

САРМ предполагает, что риском, с которым сталкивается инвестор, является только неопределенность, связанная с будущей ценой финансового актива. Однако инвесторы обычно имеют дело и с другими рисками, влияющими на их способность приобретать товары и услуги в будущем: рисками, связанными с будущей заработной платой, с будущими отно-

сительными ценами потребительских товаров и инвестиционными возможностями.

Р. Мертон развил САРМ, чтобы объяснить оптимальную продолжительность потребления, когда потребители сталкиваются с дополнительными, помимо рыночного, источниками риска12.

CAPM делает наиболее строгие предположения относительно того, как работает рынок, и все же оказывается самой простой моделью, где присутствует только один фактор, влияющий на риск и требующий оценки. APT отличается меньшим числом предположений, но она оказывается и самой сложной моделью, по крайней мере, с точки зрения требующих оценки параметров. Модель оценки финансовых активов может рассматриваться как особый случай модели арбитражной оценки, где есть только один базовый фактор, полностью выражаемый рыночным индексом. Как правило, преимущество модели CAPM заключается в простоте оценки и использования, однако она менее эффективна, чем более богатая модель APT, особенно когда инвестиции чувствительны к экономическим факторам, плохо представленным в рыночном индексе.

С. Росс предположил, что поскольку рыночный портфель наблюдать невозможно, модель CAPM протестирована быть не мо-жет13. Другими словами, любой тест CAPM может показать только то, что модель работает при конкретных предположениях, используемых применительно к рыночному портфелю. Следовательно, в любом эмпирическом тесте, претендующем на критику CAPM, опровержение может касаться только аппроксимации в отношении рыночного портфеля, а не самой модели.

Что касается тестирования АРТ, то хотя первоначальные тесты обещали больший успех в объяснении различий в доходах, было проведено разграничение между использованием этих моделей для объяснения различий в доходах в прошлом и их применения для предсказания будущих доходов. Учет значительного числа факторов становится проблематичным при планировании ожидаемых доходов в будущем, поскольку приходится оценивать b-коэффициенты и премии для каждо-

го из этих факторов, которые сами по себе изменчивы. Поэтому ошибка в оценке моделей может уничтожить все преимущества, получаемые при переходе от модели CAPM к более сложным моделям. При использовании моделей регрессии, предлагаемых в качестве альтернативы, возникают трудности при оценке, поскольку переменные, используемые в качестве показателей риска в одном периоде, могут оказаться неработоспособными в следующем.

Таким образом, по-видимому, наиболее эффективным способом обращения с риском в современных корпоративных финансах является рациональное использование модели оценки финансовых активов.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Шарп У, Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. М.: Инфра-М, 2001. С. 258-310.

2 Black F., Sholes M. The pricing of options and corporate liabilities // Journal of Political Economy. 1973. Vol. 81. P. 637-659.

3 Галиц Л. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансовым риском. М.: ТВП, 1998. С. 243-251.

4 Бланк И.А. Управление финансовыми рисками. М.: Ника-Центр, 2005. С. 259-261.

5 Шарп У, Александер Г., Бэйли Дж. Указ. соч. С. 263-264.

6 Гибсон Р. Формирование инвестиционного портфеля: управление финансовыми рисками. М.: Альпина Бизнес Букс, 2005. С. 123-125.

7 Боди З., Кейн А., Маркус А. Дж. Принципы инвестиций. М.: ИД «Вильямс», 2004. С. 364-375.

8 Шарп У, Александер Г., Бэйли Дж. Указ. соч. С. 265-266.

9 Там же. С. 271-275.

10 Ross S.M. An elementary introduction to mathematical finance. Cambridge University Press, 2003. P 34-40.

11 Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Указ. соч. С. 295-300.

12 Merton R.C. The theory of rational option pricing // Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. №> 4. P 141-183.

13 Ross S.M. The arbitrage theory of capital asset pricing // Journal of Economic Theory. 1976. V 13. P 341-360.