Исследование динамической модели рынка вальрасовского типа со многими товарами

В.В. Поддубный, Е.А. Сухарева

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЫНКА ВАЛЬРАСОВСКОГО ТИПА СО МНОГИМИ ТОВАРАМИ

Исследуется нелинейная динамическая модель рынка вальрасовского типа со многими конкурирующими товарами при наличии запаздываний в поставках товаров. Показано, что из-за запаздываний переход рынка к равновесию носит колебательный характер, причем имеется ограниченная область устойчивости положения равновесия рынка в пространстве запаздываний. Приведены примеры расчета границ областей устойчивости.

Проблема описания ценообразования и исследования вопросов существования и устойчивости равновесных рыночных цен является одной из важнейших в математической экономике. Описание динамики рыночных цен в экономических системах обычно опирается на соображения, связанные с рассмотрением баланса спроса и предложения, и восходит к Л. Вальрасу. Процесс «нащупывания» равновесия по Вальрасу, описываемый дифференциальным соотношением первого порядка [1], можно считать простейшей динамической математической моделью поведения рынка во времени, объясняющей механизм перехода рынка от неравновесного состояния к равновесному. На основе этой модели можно строить различные модификации динамических моделей рынка, включающие в себя учет различных факторов, так или иначе влияющих на взаимодействие спроса, предложения и цены товара на рынке.

В работе [2] исследована классическая динамическая модель Вальраса-Маршалла с постоянным запаздыванием в предположении гиперболической зависимости спроса и параболической зависимости предложения от цены товара. При этом рассматривался рынок, на котором имеется только один товар.

В настоящей работе исследуется поведение и устойчивость динамической модели рынка вальрасовского типа со многими конкурирующими товарами.

МОДЕЛИ РЫНКА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Классическая модель рынка по Вальрасу

Линейная динамическая модель поведения рынка по Вальрасу хорошо известна [1]. Вальрас рассматривал объемы спроса Qd и предложения Qs товара в зависимости от цены Р. Функции спроса и предложения у него имеют вид Qd = Qd (Р) и Qs = Qs (Р), а условие рыночного равновесия выражается равенством

Qd

При равновесной цене Р* объем спроса совпадает с объемом предложения и составляет равновесный объем продаж Q*:

Qd

Процесс перехода рынка к равновесию по Вальрасу описывается уравнением [1]:

—±L = hAQd

dt

где t - время, AQd (P) = Qd (P) - Qs (P) - избыток спроса при цене P. При AQd (P) > 0 рыночная цена повышается, при AQd (P) < 0 падает, при AQd (P) = 0 выполняется условие равновесия (1).

Обычно объем предложения реагирует на изменения цен с некоторым запаздыванием т (будем считать его постоянным), тогда как объем спроса определяется текущей ценой. В этом случае уравнение Вальраса (3) принимает вид дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом [1]:

^ = h(Qd (P(t))-Qs (P(t-т))).

dt

В работе [2] проведено исследование этой модели. Запаздывание связано с тем, что предложение товара на рынок в данный момент времени определяется на самом деле рыночной ценой товара в некоторый предыдущий момент времени, поскольку требуется некоторое отличное от нуля время для заказа товара, исполнения заказа, транспортировки и доставки товара на рынок. Классическая модель Вальраса предполагает наличие на рынке лишь одного товара.

В данной работе рассматривается модификация классической модели, учитывающая наличие на рынке нескольких конкурирующих товаров.

Динамическая модель рынка вальрасовского типа со многими товарами

Рассмотрим модель рынка, на котором имеется N >1 товаров. Следуя традиции, восходящей к Маршаллу и Вальрасу, будем считать выполненными следующие условия для каждого из товаров на рынке:

1) в каждый момент времени г-й товар продается по единой рыночной цене Pt;

2) поведение потребителей и производителей описывается соответственно функциями спроса и предложения, причем характерное время изменения функций спроса и предложения много больше характерного времени изменения цен, т.е. эти функции не зависят явно от цены.

Пусть P - рыночная цена г-го товара, тг - запаздывание, задержка во времени, связанная с тем, что для

производства /-го товара и доставки его на рынок требуется некоторое время т 1, Q,d (Р) и Qts (Р) - объемы спроса и предложения /-го товара при рыночной цене товара Р, / = 1, N. Объемы спроса определяются текущими ценами товаров, т.е. в момент времени t объем спроса на /-й товар будет составлять Q,d (Р (/)). Объем предложения на /-й товар реагирует на изменение цены с запаздыванием т, т.е. в момент времени t объем

предложения /-го товара составляет Q's(Р^ - т/)).

Тогда в случае отсутствия конкуренции на рынке изменение во времени цен товаров определяется решением начальной задачи для N независимых линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом:

^=к [ (р [ - (р (I-т))], к > о, /=^, (4) dt

при заданных в начальный момент ^ = 0 начальных условиях

Р

и заданных начальных значениях вектора решения (начальных функциях) р (t), / = 1, N , на интервалах

[-Т,0),

Р

Уравнения (4) представляют собой классические уравнения Вальраса, описывающие динамику рыночных цен товаров [1]. В левой части каждого уравнения стоит скорость изменения цены (в расчете на единицу времени). Если слева записать скорость изменения цены в расчете на единицу цены (т.е. рассматривать относительное изменение цены товара), мы получим модифицированные уравнения Вальраса следующего вида:

^ * = К[

dt Р (ц

При наличии конкуренции товаров естественно предположить, что цена каждого товара зависит от объемов спроса и предложения остальных товаров. Тогда динамическую модель рынка будем описывать системой связанных дифференциальных уравнений ^го порядка с N постоянными запаздываниями:

^= К[(Р([ - (Р(t - Т))]-

dt Р

-£*„[

]=1 ^ *

Такую модель при начальных условиях (5) и (6) будем называть моделью вальрасовского типа с N конкурирующими товарами.

В системе уравнений (8) h¡J > 0 - некоторые константы (коэффициенты системы уравнений), характеризующие, насколько сильно влияние избытков спроса на j-е товары, j = 1, N , j ф і, на изменение цены i-го товара, i = 1, N . Если hjj = 0 (это возможно только при i ф j ), то это означает отсутствие влияния j-го товара на i-й товар, т.е. отсутствие конкуренции товаров. Поведение рынка будем рассматривать на некотором конечном промежутке времени t є [t0, T ].

Как видно из i-го уравнения системы (8), рыночная цена i-го товара p (t) растет, если, например, избыток спроса на этот товар положителен и сумма избытков спроса на конкурирующие товары отрицательна, т.е.

AQd (Pi ) > 0 и XN=i,jфі AQi (Pj ) < 0 , и наоборот, рыночная цена i-го товара падает при AQ‘d (p) < 0 и

X N=i, j фі ( pj ) > °.

Функции спроса Q'd (P) и предложения Q's (P) по природе своей являются соответственно монотонно убывающими и монотонно возрастающими функциями [1, 2]. В окрестности точки рыночного равновесия (p , Qt ) они обычно принимаются как линейные. Однако по мере удаления от точки равновесия все больше проявляется нелинейный характер этих функций. При этом функции спроса оказываются, как правило, вогнутыми (выпуклыми вниз) функциями, которые могут приблизиться к осям координат (P, Q) как на конечных интервалах, так и (теоретически) на бесконечности (асимптотически). Функции предложения могут оставаться линейными, выпуклыми вниз или вверх, но обязательно монотонно возрастающими.

В работе [2] нами рассматривались существенно нелинейные функции спроса и предложения, а именно гиперболические функции спроса и параболические функции предложения:

Qd

где D¡ > 0, > 0 - заданные константы, определяю-

щие порядки гипербол и парабол, а постоянные Ai, Bi,

C¡ определяются из условия прохождения гипербол и

(* * \

P , Q, ) и

условия выхода парабол из точек (р. = Pmin,, Q = 0), где Pmin , - минимальная цена, ниже которой поставщик не может поставлять на рынок i-й товар, i = 1, N :

a,.=q;/(p*m¡ - PMii ),

Bt = QiP\Di , c, = APMn,.

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МОДЕЛЕЙ РЫНКА ВАЛЬРАСОВСКОГО ТИПА СО МНОГИМИ ТОВАРАМИ Описание метода численного решения

Для решения системы дифференциальных уравнений

Р (') на интервалах ['0 - т, '0), I = 1, N . Пусть это будут

функции р (') = р, постоянные на интервалах

['о -Т, 'о), »' = 1N .

Моделирование рынка проводится при р* = 1. Рассматривается ситуация, в которой до момента времени '0 = 0 рынок находится в состоянии равновесия, а в момент времени '0 = 0 под воздействием каких-либо факторов выводится из состояния равновесия таким образом, что цены на товары резко возрастают.

Для численного решения задачи Коши для системы уравнений (8) используем метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности [3] с применением метода шагов [4], модифицированного для решения системы с N запаздываниями.

Модифицирован метод шагов следующим образом:

тш1п = шт(т,.,г = 1, N). Весь интервал интегрирования

/

делится на К интервалов длиной тш1п: [0, т^п),

[Тшп,2Тшп), ..., [(К - 1)Тшп, КТш1п), К = (Т - '0 )Тш1п.

Последовательно на каждом из промежутков [(] - 1)Тш1п,/тШп), } = 1, N , методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности решается система обыкновенных дифференциальных уравнений без запаздываний с учетом решений, полученных на предыдущих промежутках и с учетом начальных функций решения р ('), 1 = .

Моделирование рынка одного товара

Моделирование рынка проводилось при разных значениях N. При N = 1 система (8) представляет собой одно модифицированное уравнение Вальраса с одним запаздыванием вида

сІРі

= к[

В этот момент цена на товар резко возрастает (например, в 2 раза), так что Р(') = Р*, ' е [- т,0), Р(0) = 2Р*. Для получения численного решения уравнений описанной выше динамической модели рынка примем следующие значения входящих в описание модели параметров: Р* = 1, 0* = 1, Б = 1,5, М = 2,5, Рш1п = 0,1, следовательно, А = 1,0032, В = 1, С = 0,0032. Пусть к = 0,2 . Примем '0 = 0, т = 4, Т = пт , где п = 20 , так что Т = 60. Траектория полученного решения представлена на рис. 1.

Рис. 1. Решение модифицированного уравнения Вальраса

Моделирование рынка нескольких товаров

Рассмотрим рынок, на котором присутствует два конкурирующих товара (Ы = 2). Моделирование рынка проведем при следующих значениях параметров:

Р* = Р* = 1, а* = е* = 1, Б = [1,5 1]т , М = [2,5 3]т , Рш1п = [0,1 0,4]т . Примем '0 = 0, т = [1,6 2,6]т, Т = п шт(т;), где п = 20, так что Т = 52,

I

0,2 0,17"

к =

0,12 0,25

. Квадратные скобки определяют мат-

В этом случае рассматривается рынок, на котором присутствует только один товар (и, следовательно, нет конкуренции товаров). Метод численного решения такого уравнения описан в [5].

Рассматривается ситуация, в которой до момента времени ґ0 = 0 рынок находится в состоянии равновесия, а в момент времени ґ0 = 0 под воздействием каких-либо факторов выводится из состояния равновесия.

рицы соответствующих размерностей, верхний индекс Т - знак транспонирования. Рассмотрим ситуацию, в которой до момента времени '0 = 0 рынок находится в состоянии равновесия, а в момент времени '0 = 0 под воздействием каких-либо факторов выводится из состояния равновесия, цены на товары резко возрастают (например, в два и в полтора раза соответственно), т.е. Р = Р* Р = Р* Р = 2Р Р = 15 Р

М М > г2 г2 > М0 1 ’ -г20 1>~,г2

На рис. 2 представлены кривые решения системы вальрасовского типа (8) при N = 2, выражающие динамику рыночных цен товаров. На рис. 3 представлен график, отражающий зависимость цены второго товара Р2 (') от цены первого товара Р1 (').

Как видно из рис. 1, 2, 3, рыночные цены товаров при переходе рынка к состоянию равновесия совершают довольно сложные затухающие колебания.

Рис. 2. Траектории решения системы вальрасовского типа, рыночные цены Р

рыночных цен товаров при достаточно больших для рассматриваемого случая запаздываниях т = [3,2 5], а также зависимость цен товаров друг от друга.

Рч

Рч

іМ П 111

У Г-1 ' 1 п л и *

1. 11 М II 1

рч11 |П і 1 1 И 41 1 1  и 1 її 'і 1 і л  'Л' ІІ г V Ч Т ІІ * 1 л 1 1 л ' Г 1 V 1

І  1 Д I 11 I ЦІПІ * ] ! Т п 11 *1

'1 І ґ 1 \‘У'' V. V«. ~ * »А/ 'Л/ '

І^і ц к

У ь

21.25

47.5

1

73.75

100

Р1

Р2

Рис. 4. Траектории решения системы вальрасовского типа при больших запаздываниях

Рис. 3. Зависимость рыночной цены Р2

Скачки производной и изломы в динамике цены обусловлены именно влиянием запаздываний, а не вычислительными ошибками, поскольку шаг интегрирования взят здесь Н = 0,01шіп(х), а точность вычислений равна 10-6. Если в случае рынка одного товара производная рыночной цены претерпевает скачки, уменьшающиеся по мере приближения к состоянию равновесия, через интервалы времени т (рис. 1), то на рис. 2 можно заметить, что скачки производных и, следовательно, изломы в динамике цен на рынке двух товаров происходят через более частые интервалы времени, что обусловливается влиянием уже не одного запаздывания, а двух. Производные двух рыночных цен конкурирующих на рынке товаров претерпевают скачки через

12 1 12 интервалы времени т , т - т , где т , т - упорядоченные по возрастанию запаздывания. Заметим, что в отсутствие запаздываний колебания цен также отсутствуют, все рыночные цены идут к равновесному значению апериодически. Наоборот при очень больших запаздываниях (выше некоторого критического значения) точка равновесия рынка теряет устойчивость, цены начинают совершать колебания все возрастающей до некоторого насыщения амплитуды.

На рис. 4, 5 представлены кривые решения системы вальрасовского типа (8) при N = 2, выражающие динамику

Рис. 5. Зависимость рыночной цены Р2(?) от Р (?) при больших запаздываниях

Получив решение системы вальрасовского типа (8), выражающее динамику рыночных цен товаров, можно вычислить объемы спроса и предложения на эти товары в каждый момент времени на рассматриваемом промежутке (0, Т]:

(Р (?)) = В, /Р (?)^ (Р (/)) = А,Р, (/)м - С,.,

, = \Ы .

На рис. 6 и 7 представлены зависимости объемов спроса Qd (Р (?)) и объемов предложения Q's (Р (?)) рассматриваемых товаров от времени ?. Объемы спроса и предложения также совершают довольно сложные затухающие колебания при переходе рынка к состоянию равновесия, причем производные объемов предложения и спроса претерпевают скачки, уменьшающиеся по мере приближения к состоянию равновесия через те же интервалы времени, что и производные рыночных цен Р (?), , = 1, N . Интересен тот факт, что в

любой момент времени при большом объеме спроса на один из товаров объемы спроса на другой товар в тот же момент времени значительно меньше. Это подтверждает наличие конкуренции на моделируемом рынке. Такая ситуация не всегда выполняется для объемов предложения товаров, что обусловливается влиянием разных запаздываний в объемах предложения товаров.

Рис. 6. Траектории функций спроса Q'd(P¡ (t)) , ¡ = 1,N

Рис. 7. Траектории функций предложения Q (P (t)), ¡ = 1,n

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МОДЕЛЕЙ РЫНКА ВАЛЬРАСОВСКОГО ТИПА

Возникновение экономического кризиса обычно связывают с тем, что, например, при превышении производственными мощностями некоторого критического значения равновесные цены теряют устойчивость. В результате возникает сложная динамика цен, и экономические агенты не могут достоверно прогнозировать свою деятельность. Причиной возникновения неустойчивости в рассматриваемых моделях рынка является неявно присутствующая инерционность в реакции поставщиков товаров на изменение цен, т. е. наличие запаздываний в системе вальрасовского типа (S).

Процесс исследования устойчивости систем дифференциальных уравнений с запаздывающими аргумен-

тами достаточно сложен. Способы исследования устойчивости, предложенные Н.Н. Красовским [6], Б.Г. Гребенщиковым [7], Ю.Ф. Долгим и С.Н. Нидченко [8] и другими математиками, интересующимися этой проблемой, плохо реализуемы численно. Поэтому мы ограничимся здесь чисто эмпирическим исследованием устойчивости.

Рассмотрим задачу устойчивости для рынка двух товаров. Возьмем те же параметры функций спросов и предложений, что и ранее, и ту же матрицу коэффици-Г 0,2 0,171

ентов h = . Построим экспериментальным

0,12 0,25J

способом область устойчивости рыночных цен Pj (t), P2(t), изменяя запаздывания т1, т2 от больших до малых значений. Получим область, лежащую в первой четверти системы координат, ограниченную слева и снизу осями координат, а с остальных сторон некоторой кривой. На рис. 8 представлена область устойчивости, внутри которой находятся те значения запаздываний т1, т2, при которых рынок устойчив.

Рис. S. Область устойчивости рынка вальрасовского типа с двумя товарами

Как видно из рис. S, область устойчивости имеет очень интересные границы. Рассмотренные выше случаи устойчивого рынка при т = [1,6 2,6]т (рис. 2, 3) и

неустойчивого рынка при т = [3,2 S]T (рис. 4, S) удовлетворяют получившейся области устойчивости.

Рассмотрим, допустим, т1 = 4 . Согласно рис. S, при т2 = 2 и т2 = 6,S получим устойчивый рынок, при т2 = 4 - неустойчивый. На рис. 9, 10, 11 представлены кривые решения системы вальрасовского типа (S) при N = 2, выражающие динамику рыночных цен товаров соответственно для т2 = 2, т2 = 4, т2 = 6,S при т1 = 4 .

Область устойчивости была получена при фиксиро-" 0,2 0,17“

0,12 0,2S_

этих параметров очевидно и изменение области устойчивости. Заданные параметры означают сильное влияние избытка спроса на второй товар на изменение цены первого товара ( h12 = 0,17 ). Попробуем уменьшить это влияние, не изменяя при этом других параметров. На рис. 12, 13

ванных параметрах h =

При изменении

представлены области устойчивости соответственно при

0,2 0,03"

к =

0,2

0,12

0,12 0, 25

и при к =

0,12 0,25

Как видно из рис. 8, 12, 13, с уменьшением влияния избытка спроса на второй товар на изменение цены первого товара изгиб области устойчивости уменьшается и совсем исчезает при небольшом влиянии.

Рис. 9. Траектории решения системы вальрасовского типа при т = [4 2]Т

Рис. 10. Траектории решения системы вальрасовского типа при т = [4 4]Т

Рч

рц

Г И И и и «V

1 '! ¡|'! і  : 'ЇЙ* ІЙ Г.л‘

1 Р ДО

-6.2 349 16.6 113.3 1

-----Р1

----- Р2

Рис. 11. Траектории решения системы вальрасовского типа при т = [4 6,8]Т

Рис. 12. Область устойчивости рынка " 0,2 0,12 "

0,12 0,25

при к =

іаііі

Рис. 13. Область устойчивости рынка 0,2 0,03"

при к =

0,12 0,25

ЛИТЕРАТУРА

1. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика: В 2 т. / Под общей ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа,

2002. Т. 1. 349 с.

2. Поддубный В.В., Сухарева Е.А. Динамическая модель Вальраса-Маршалла рынка с запаздыванием при параболическом предложении и

гиперболическом спросе // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. № 16. С. 236-239.

3. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 288 с.

4. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964. 128 с.

5. Поддубный В.В. Численное решение дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием методом Эйлера с уравниванием и интер-

поляцией // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 7. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. С. 165-174.

6. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. 205 с.

7. Гребенщиков Б.Г. Методы исследования устойчивости с линейным запаздыванием // Сибирский математический журнал. 2001. Т. 42, N° 1.

С. 41-51.

8. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Бифуркационный метод исследования устойчивости решения дифференциального уравнения с запаздыванием

// Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 6. С. 1289-1301.

Статья представлена кафедрой прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2006 г.