К вопросу о положительности функции Коши сингулярного функционально-дифференциального уравнения

УДК 517.929

К ВОПРОСУ О ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ КОШИ СИНГУЛЯРНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ

© И.М. Плаксина

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения; сингулярные уравнения; задача Коши; функция Коши; дифференциальные неравенства. В работе рассмотрены сингулярные по независимой переменной функционально-дифференциальные уравнения первого порядка. Получены теорема вида теоремы Валле-Пуссена, условия положительности функции Коши.

Предлагаемая работа посвящена приложению теоремы Валле-Пуссена к линейным сингулярным функционально-дифференциальным уравнениям первого порядка. Название «Теорема Валле-Пуссена» было предложено Н. В. Азбелевым в 1970-х годах для теоремы об эквивалентности некоторых свойств дифференциального уравнения. Это, в частности, утверждения о существовании знакопостоянного решения дифференциального уравнения, о величине спектрального радиуса вспомогательного интегрального оператора, об изотон-ности оператора Коши (Грина).

Теорема Валле-Пуссена для абстрактных функционально-дифференциальных уравнений [1, с. 18] приведена в [1, с. 356-363]. Различные варианты общей теоремы для конкретных видов функционально-дифференциальных уравнений рассматривались, например, в работах [2-7].

Рассмотрим уравнение

где правая часть / принадлежит пространству Ьр[0,Ь] = Ьр суммируемых со степенью

(ь \ р

р € (1, то) функций г: [0, Ь] ^ М , имеющему стандартную норму ||г||¿р = /|г(*)|р .

)

Определим пространство 0р[0, Ь] = Ор абсолютно непрерывных функций х: [0, Ь] ^ М, имеющих производную в пространстве Ьр. Решение х принадлежит пространству 0р[0, Ь] = ОР функций х € Ор , удовлетворяющих дополнительному условию х(0) = 0. Норма в этом пространстве имеет вид ||х||др = ||х ||^р .

Отметим, что пространство О0 изоморфно пространству Ьр . Изоморфизм между пространствами ОР и Ьр определим равенством = , где х € О, г € . Обратное

I

преобразование в этом случае имеет вид х(*) = / ¿(з) .

о

В дальнейшем будем использовать также пространства Ьр[а, Ь] и Ор[а, Ь] , где 0 < а < Ь, определенные аналогично пространствам Ьр[0,Ь] и 0р[0, Ь] соответственно.

Оператор В: Ор ^ Ьр определим равенством (Вх)(*) = д(*)х^(*) , где Л,(*) ^ * — из-

г ,1 , Сх[Ш)], если Ш) € [0, Ь],

меримая на отрезке [0, Ь] функция, х^(*) = < Функция д ^ 0

10, если Л,(*) € [0, Ь].

является сингулярной в точке Ь = 0, а именно, д € Ьр[0,Ъ] , но д € Ьр[е, Ъ] для любого е > 0 . Определим оператор В£: Бр[е, Ъ] ^ Ьр[е, Ъ] равенством

(В£ж)(Ь) = А^Х^ если е [е, Ъ], ( ) |0, если Ь(Ь) € [е,Ъ].

оператор В может иметь вид (Вж)(Ь) = ж(Ь3) или (Вж)(Ь) = 1 ж^^ при Ь € [0,1] .

Функции таковы, что оператор В£ : Бр[е, Ъ] ^ Ьр[е, Ъ] вполне непрерывен для любого е > 0 и В: Бр[0,Ъ] ^ Ьр[0,Ъ] не является вполне непрерывным, но ограничен. Например,

1 ( 3) ,, ч 1

-ж I ^ I при Ь €

Случай (Вж)(Ь) = 1 ж(Ь) рассмотрен в работе [8].

Так как д ^ 0 , то оператор В: Б0 ^ Ьр изотонен (то есть Вж ^ 0 при ж ^ 0); так как

Л,(Ь) ^ Ь, то оператор В: Бр ^ Ьр вольтерров (то есть условие ж(Ь) = 0 при Ь € [0, с] , с €

€ (0, Ъ) , гарантирует справедливость равенства (Вж)(Ь) = 0 на отрезке Ь € [0, с] ). Оператор

Т положим линейным ограниченным вольтерровым.

Пусть уравнение (1) однозначно разрешимо при любой правой части. Тогда его решение

г

имеет вид ж = С/ , где (С/)(Ь) = / С(Ь, 8)/(5) ^в , С(Ь, 8) — функция Коши, С — оператор

о

Коши. Функция Коши #$(•) = С(-,в) как функция первого аргумента является решением

Г(£у)(Ь) = 0, г „

задачи < при Ь € [8, Ъ] и тождественно равна нулю при Ь < в .

[у(в) = 1

Положим Т = 0 и рассмотрим вспомогательное уравнение

Обозначим С0: Ьр ^ Бр оператор Коши для уравнения (2).

ь

Пусть в € (0, Ъ] и оператор К0 : С [в, Ъ] ^ С [в, Ъ] имеет вид (К0ж)(Ь) = / (Вж)(() .

г

Также определим оператор £0 : Б0 ^ Ьр равенством

(С3ж)(Ь) = /^Х^ если Ь € [в,Ъ],

10 ^() \0, если [в, Ъ].

Теорема 1. Пусть задача Коши для уравнения (1) однозначно разрешима. Тогда эквивалентны следующие утверждения.

а) Существует семейство функций и3(Ь) > 0, таких что £0и3 ^ 0 для любого значения в € (0, Ъ) .

б) Функция Коши уравнения (1) строго положительна при Ь ^ в > 0 .

в) Спектральный радиус оператора К0 меньше единицы.

г) Для всех в > 0 задача

Г

\у(Ъ) =0

однозначно разрешима в пространстве Бр[в,Ъ] , и, ее функция Грина неположительна.

д) Любое нетривиальное решение уравнения (£0у)(Ь) = 0 в пространстве Бр[в,Ъ] не имеет нулей на отрезке [в, Ъ] .

Доказательство. Эквивалентность утверждений а) и б) доказывается аналогично работе [9] (см. также [10, с. 65]).

Импликация б) ^ в). В силу определения функции Коши д3(*) = С(*, з) справедливо ь

равенство д5(*) — / (Вд5) (() (( = д5(Ь) . Так как д5(Ь) > 0, то [1, с. 339, теорема Д.2] г

спектральный радиус оператора Ко меньше единицы.

Импликация в) ^ г). Зафиксируем з € (0,Ь] и воспользуемся изоморфизмом пространств Ор[з,Ь] и Ьр[з,Ь] . Изоморфизм установим следующим образом: у(*) = ,

ь

у

г

примет вид

Так как спектральный радиус оператора Ко = ЛВ меньше единицы, то уравнение (4) имеет единственное решение г = С0/ = — (/ + К0 + К2 + ...)Л/ с антитонным оператором С0 . Импликация г) ^ а). В качестве функции п5(*) можно взять решение задачи

(£0х)(*) = —1, х(Ь) = 0.

Эквивалентность утверждений б) и д) следует из того факта, что ядро оператора £ в пространстве Ор[з,Ь] пропорционально функции д5(*) . Теорема доказана.

Теорема2. Пусть существуют такая константа з0 и такая функция п5° (*) > 0, что (С3°п3°) (*) ^ 0 .

Тогда для любого значения з > з0 существует функция п5(*) > 0, порождающая неположительную невязку £0п5 .

Доказательство. Положим п5(*) = п^ (*) при * ^ з . Тогда для * € [з, Ь] справедливо неравенство (£5п5) (*) ^ (£5°п5°) (*). Так как £5°п5° ^ 0 в силу условия теоремы, то невязка £5п5 тем более неположительна. Теорема доказана.

Пусть теперь Т ф 0 . Вернемся к уравнению (1).

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 . Тогда эквивалентны следующие утверждения.

а) Существует функция V € Ор , положительная при * € (0, Ь] и порождающая неотрицательную невязку ^ .

б) Спектральный радиус оператора С0Т меньше единицы.

в) Уравнение (4) имеет единственное 'решение при любой правой части, оператор Грина этого уравнения антитонен.

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы Валле-Пуссена для абстрактных функционально-дифференциальных уравнений [1, с. 359-360, теорема Д.14].

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002.

2. Азбелев Н.В., Домошницкий А.И. К вопросу о линейных дифференциальных неравенствах, I // Дифференциальные уравнения. Москва, 1991. Т. 27. № 3. С. 376-384.

2. Азбелев Н.В., Домошницкий А.И. К вопросу о линейных дифференциальных неравенствах, II // Дифференциальные уравнения. Москва, 1991. Т. 27. № 6. С. 923-931.

3. Исламов Г.Г. О некоторых приложениях теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения, I // Дифференциальные уравнения. Москва, 1989. Т. 25. № 11. С. 1872-1881.

4. Исламов Г.Г. О некоторых приложениях теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения, II // Дифференциальные уравнения. Москва, 1990. Т. 26. № 2. С. 224-232.

5. Лабовский С.М. О положительных решениях двухточечной краевой задачи для линейного сингулярного функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. Москва, 1988. Т. 24. № 10. С. 1695-1704.

6. Чичкин Е.С. Теорема о дифференциальном неравенстве для многоточечных краевых задач // Известия вузов. Серия: Математика. Казань, 1962. № 2. С. 170-179.

7. Азбелев Н.В., Алвеш М.Ж., Бравый Е.И. О сингулярной краевой задаче для линейного дифференциального уравнения второго порядка // Известия вузов. Серия: Математика. Казань, 1999. № 2. С. 3-11.

8. Плаксина И.М. О положительности функции Коши сингулярного линейного функционально-дифференциального уравнения // Известия вузов. Серия: Математика. Казань, 2013. № 10. С. 16-23.

9. Domo.shnit.sky A. Maximum principles and non-oscillation intervals for first order Volterra functional differential equations // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series A: Mathematical Analysis. Waterloo (Ontario, Canada), 2008. V. 15. Issue 6. P. 769-814.

10. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований (проект № 14-01-00338).

Поступила в редакцию 9 июня 2015 г.

Plaksina I.M. ON THE CAUCHY FUNCTION POSITIVITY FOR A SINGULAR FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATION

The article discusses first order functional-differential equations with independent variable singularity. Vallée-Poussin-like theorem, the Cauchy function positivity conditions are obtained.

Key words: functional-differential equations; singular equations; Cauchy problem; Cauchy function; differential inequalities.

Плаксина Ирина Михайловна, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры автоматизации технологических процессов, e-mail: impl@list.ru

Plaksina Irina Mikhailovna, Perm National Research Polytechnical University, Perm, the Russian Federation, Senior Lecturer of the Process Automation Department, e-mail: impl@list.ru

УДК 517.929

УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО СИНГУЛЯРНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

© В.П. Плаксина, И.М. Плаксина, Э.В. Плехова

Ключевые слова: сингулярное дифференциальное уравнение; задача Коши; функционально-дифференциальное уравнение.

Рассматривается квазилинейная задача Коши с нулевыми начальными условиями для сингулярного функционально-дифференциального уравнения второго порядка. Получены достаточные условия разрешимости рассматриваемой задачи Коши и соответствующей линейной задачи.