О гиперболичности связанных уравнений математической теории пластичности

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2005. №6(40).

УДК 539.374

89

О ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ СВЯЗАННЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

© 2005 Ю.Н.Радаев, Н.А. Курнышева1

Рассматривается напряженно-деформированное состояние жесткопластического тела с рассеянным анизотропным полем микроповреждений. Поврежденность представляется симметричным тензором по-врежденности второго ранга, главные оси которого совпадают с главными осями тензора напряжений. Получена замкнутая система статических и кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изостатической координатной системе относительно приращений главных напряжений, главных скоростей пластических деформаций и приращений перемещений, что наиболее удобно для представления и анализа уравнений связанной задачи. Рассмотрен случай плоской пластической деформации и показано, что система основных соотношений относится к гиперболическому типу, что позволяет обобщить понятие поля скольжения на случай связанных состояний.

1. Математическая модель анизотропного распределения поврежденности

В представляемой работе рассматривается связанная задача математической теории пластичности. Связанная постановка задач необходима в механике деформируемого твердого тела для того, чтобы учесть искажение пластического течения полем повреждений, и одновременно возрастание повреждений в процессе накопления пластических деформаций. Эта задача значительно сложнее с точки зрения общих свойств уравнений, возможных постановок задач и возможных подходов к их интегрированию по сравнению с традиционными уравнениями теории идеальной пластичности. Актуальным также представляется учет анизотропии распределения поврежденности в основных уравнениях математической теории пластичности. Цель работы состоит в том, чтобы дать вывод основных соотношений связанной

1 Радаев Юрий Николаевич (radayev@ssu.samara.ru), Курнышева Наталья Александровна (knatalyasamgu@mail.ru), кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

задачи2 и указать случаи их гиперболичности, обобщив тем самым понятие поля скольжения на случай связанных состояний. Математическое моделирование пластического течения, сопровождающегося накоплением повреждений, подразумевает описание разупрочнения и соответствующую нетривиальную модификацию инкрементальных соотношений теории пластичности.

Математическое моделирование анизотропной поврежденности являлось предметом интенсивных исследований на протяжении последних десятилетий [1, 7].

Под поврежденностью, следуя [8], понимается сокращение обратимого отклика тела вследствие сокращения эффективной площади, передающей внутренние усилия от одной части тела к другой его части, обусловленного, в свою очередь, появлением и развитием рассеянного поля микроповреждений, которые при пластическом течении проявляются в форме распределения дислокаций. В рамках математической модели поврежденность, как правило, представляется специальной тензорной переменной — тензором поврежденности. Тензорная мера анизотропной поврежденности является мерой сокращения, вследствие распределения микроповреждений, реально несущей нагрузку площади двумерного элемента тела в зависимости от его ориентации (см. рис. 1, 2).

В [2, 3] с самого начала тензорная мера анизотропной поврежденности вводится как симметричный тензор второго ранга. Это позволяет преодолеть трудности, связанные с несимметричностью введенных ранее тензорных мер анизотропной поврежденности, а также дать ясную геометрическую и механическую интерпретацию собственных значений и главных направлений тензора поврежденности.

Будучи симметричным тензором второго ранга, тензор поврежденности D имеет три взаимно ортогональных главных направления (главные оси поврежденности) и три соответствующих собственных значения (главные поврежденности). Векторы ортонормированного базиса из собственных векторов тензора D будем обозначать через da, а собственные значения — через Da. В дальнейшем будет предполагаться, что базис di, d2, d3 ориентирован точно так же, как и базис из собственных векторов тензора напряжений 1, m, n. Это положение нуждается в обосновании, поскольку, вообще говоря, оно может и не выполняться.

Тензор поврежденности удобно представлять в форме спектрального разложения

3

D = ^ Dada  da.

a=1

2Используя для этого преимущества изостатической системы координат.

А

1-0

А*=(1-0)А

Рис. 1. Математическая модель сокращения эффективной площади вследствие скольжения при одноосном растяжении жесткопластического образца (схема Она-та—Прагера [9]). Скольжение происходит вдоль двух изолированных плоскостей

А

* О

о =

1-0 А*=(1-0)А

о

*

О

о

Рис. 2. Математическая модель сокращения эффективной площади вследствие скольжения при одноосном сжатии

Главные поврежденности выражают сокращение несущей нагрузку площади элементов, нормальных главным осям поврежденности (см. [3]):

dA*в =

2. Основные соотношения связанной задачи

2.1. Уравнения равновесия в криволинейной сетке изостат

Рассмотрим уравнения равновесия в ортогональной криволинейной сетке изостат, известные как уравнения Ламе (см., например, [10, р. 91], [11, с. 42, 43], [12, с. 230-232].

Спектральное разложение тензора напряжений Коши имеет вид:

о = о11 <8> 1 + 02т <8> т + 03п <8> п,

где 01, 02, Оз —главные нормальные напряжения; 1, т, п — базисные орты, направленные вдоль главных осей напряжений.

Уравнение равновесия в инвариантной форме есть

V  о = 0.

Обозначим через dk производную по направлению изостатической траектории с номером к

1 д

<4 =---------г

где ‘%к — ортогональные криволинейные изостатические координаты; gij — компоненты метрического тензора.

Вводя кривизны Kij

К23 = -1  [(т  V) т], К32 = -1  [(п  V) п],

К13 = -т  [

К12 = -п  [(1  V) 1], К21 = -п  [(т  V) т],

приведем уравнения Ламе (2.2) к виду (ср. [11, с. 43, уравнение 20]) dl01 + К23 (01 - 02) + К32 (01 - 03) = 0,

d202 + К31

dз03 + К12 (03 - 01) + К21 (03 - 02) = 0,

где значения кривизн к^ вдоль изостат можно, пользуясь деривационными формулами [13], связать уравнениями

dl К32 + dз К12 + К^ + к22 + К13К31 = 0, dl К23 + d2 К13 + К^3 + К3 + К21К12 = 0,

d2К31 + dз К21 + К^ + К21 + К32К23 = 0,

^К12 = К13

или, что эквивалентно, — уравнениями

dl К32 + dз К12 + к|2 + к22 + К13К31 = 0, dl К23 + d2 К13 + к|з + К23 + К21К12 = 0,

d2К31 + dз К21 + к|1 + к|1 + К32К23 = 0,

d3К13 = К12 (К31 - К13) , d1К21 = К23 (к12 - К21) , d2К32 = К31 (к23 - К32) .

Чаще всего оказывается удобнее использовать формулировку уравнений относительно приращений. Уравнения равновесия в приращениях имеют вид

V  ^о) = 0.

При дифференцировании спектрального разложения тензора напряжений (2.1) вдоль процесса нагружения необходимо дифференцировать также и базисные векторы 1, т, п, поскольку, вообще говоря, они будут поворачиваться при нагружении. С целью описания поворота главных осей напряжений 1, т, п при малом догружении введем вектор dw такой, что

d1 = dw X 1, dm = dw X т, dn = dw X п.

Здесь dw следует рассматривать как единый символ, обозначающий вектор, определяемый согласно (2.9), а не приращение вектора, стоящего под знаком дифференциала3.

Разложим вектор dw по ортонормированному собственному локальному базису тензора напряжений 1, т, п:

dw = Мш<1> + mdш<2> + пdш<3>.

Заметим, что dш<j> есть физические компоненты вектора dw по отношению к изостатической координатной сетке. Они не являются приращениями. Поэтому dш<j> следует трактовать как единый символ. Для простоты мы в дальнейшем будем использовать более короткое обозначение dшj, опуская треугольные скобки.

Изменение ориентаций базисных векторов на основании (2.9) и (2.10) вычисляется как

d1 = -ndш2 + mdш3, dm = ndш1 - Ишз, dn = -mdш1 + Ыш2.

Дифференцируя спектральное разложение тензора напряжений (2.1) вдоль процесса нагружения и учитывая (2.11), получим

dо = 1 <8> Ыо1 + т <8> mdо2 + п <8> пdо3+

+1 <8> т

+т <8> 1 (о1 - о2) dш3 + т <8> п (о2 - оз) dш1 +

+п <8> 1 (оз - о1) dш2 + п <8> т (о2 - оз) dш1.

3Это обстоятельство мы не отражаем в нашей системе обозначений, чтобы не усложнять запись уравнений. Ясно, что при этом мы создаем ряд неудобств, затрудняющих понимание работы. Так, например, dо является действительным приращением тензора напряжений при догружении, в то время как dю приращением не является.

В дальнейшем будут необходимы следующие соотношения:

V

а также

V

Учитывая (2.12)—(2.14), находим уравнения равновесия в приращениях

(2.8) относительно линий главных напряжений:

d1dо1 + К23 (dо1 - dо2) + К32 (dо1 - оз) +

+ (2К13 + К31 + d2) [(01 - 02) dшз] +

+ (2К12 + К21 + dз) [(0з - 01) dШ2] = 0,

d2dо2 + К31 (dо2 - dо3) + К13 (dо2 - о1) +

+

+ (2к21 + К12 + dз) [(02 - 03) dшl] = 0, d3dо3 + к12 (dо3 - dо1) + к21 (dо3 - о2) +

+ (2Кз2 + К23 + dl) [(03 - 01) dШ2] +

+ (К13 + 2К31 + d2) [(02 - оз) dшl] = 0,

где d0l, d02, d0з —приращения главных напряжений4.

Заметим, что второе и третье уравнения в системе (2.15) получаются из первого циклической перестановкой индексов.

2.2. Уравнения совместности приращений малых деформаций в криволинейной сетке изостат

Сформулируем далее уравнения совместности приращений малых деформаций в ортогональной криволинейной сетке ^1, ^2, ^з.

Уравнение совместности малых деформаций в приращениях, как известно, имеет вид [12]

dS = V X dP = 0,

где тензор второго ранга dP есть транспонированный вихрь тензора приращений полных деформаций

dP =

Тензор несовместности dS симметричен:

dS =

Тензор dP антисимметричен, поскольку:

4Эти величины представляют собой действительные приращения главных напряжений 01 , 02, 03 при малом догружении.

Физические компоненты тензора несовместности dS вычисляются в форме [13]:

dS

1 д

<и> -

Н2Н3 д?2 [Нг

1

д

д?3

Ні д?1

dє<з2> дНз dє<lз> дН2

Н2

1

д?з

д

Н2Ъъ д^\к3 dє<зз> дН2

д?2 й?£<22> д/г3

_й2 <9?2. д

Нз д?2 Ні д?1 Нз д?3

д?з

д

д\2

+

+

1 д/г3 /г2/г2/г3 д?1

д

д?2

д?1

+

1 д/г2 /г2/г2/г3 д?1

1 д/г3 й3йі

dє<зl> дН2 dє<l2> дНі dє<ll> дН2

+

Н2Нз д?3 Н1 Н2 д?2 Н1Н2 д?1

д

д?1

д?

+

+ -

1 дН 2 /г2йі

¿/є<2і> <9й3 ¿/є<із> дк\ de<ц> <9/г3

Н2Нз д?2 НзН1 д?3 НзН1 д?1

dS

1 д Г 1

<12> -

Н2Нз д?2 Н1

д

д?1

д?з

dє<2l> дНз dє<lз> дНі dє<ll> дНз

Н2

д?2

1

Ні д?3

д Н2

+ -

^е<зі> д/г3

Аз <9?2

Н2Н3 д?3 dє<lз> дНі

Н1 д?21 1 дН2

1 Н2Н + -

Н1 Нз

Н1 д?1

д

д?1

д?з

+

д

1 д/г3

йій|й3 <9?2

НіНуНз д?1

1 д1г2 й2йі ¿й;1 д

д?з

dє<l2> дНз

д?2

1

д?2

дНз

____________dє<2з> д1г2 dг<22> дНъ

А3йі с)^1 А2/г3 <9^3 А3й2 <9^2

д(h2de<22>) д11

Н3Н2 д?2

+

dє<зl> дН2 dє<l2> дНі dє<ll> дН2

/г2/г3 й^3 1 дН2

+ -

1 д/г2 /г2/г3

йі/г2/г3 <9^3 dє<l2> дНі dє<2l> дН2

Н1Н2 д?2 о*

ді2

Н2Н1 д?1 д

д?1

Ні Нз д?3 Н2Н3 д?3

где йа = л/#аа (по а не суммировать) — параметры Ламе; de<ij> — ские компоненты тензора dг в изостатической системе координат:

dг - 1 <8> Ые<п> + 1 <8> mdє<12> + 1 <8> ndє<13> +

+т <8> mdє<22> + т <8> Ые<21> + т <8> ndє<23>+

+п <8> ndє<33> + п <8> Ые<31> + п <8> mdє<32>.

физиче-

з

+

+

+

+

Компоненты dS <22>, dS <зз> получаются циклической перестановкой индексов в (2.20). Компоненты dS <2з>, dS <з1> получаются циклической перестановкой индексов в (2.21).

Здесь представляется уместным еще раз упомянуть о том, что ни dS <ij>, ни dг<ij> не являются приращениями величин, находящихся под знаком дифференциала.

Опираясь на приведенные формулы, запишем уравнение совместности для приращений пластических деформаций в изостатической сетке. Мы будем пренебрегать упругими деформациями: dг = díP. Поскольку тензоры

о и dгP соосны, то в сетке изостат матрица тензора dгP диагональна, и в физических компонентах имеем

dS <ц> = -d2d2deз - dзdзd£2 + ^^1 - К2^ (d£з - d£2) + +dз (К21 Ыгз - de2)) - d2 (К31 ^ез - de2)) --К23К32 ^ + deз - 2del) - Кзld2deз —

-К2^зde2 - Кз2dlde2 - К2зdldeз,

dS <12> = d2dldeз + d2 [К32 ^63 - del)] + Кзldl ^63 - de2) --К2зd2deз + К31 ^ез - del) (К32 - К23),

где dг = 1 <8> Ые1 + т <8> mde2 + п <8> пde3.

Как и прежде, компоненты dS <22>, dS <зз> получаются циклической перестановкой индексов в (2.23). Компоненты dS<2з>, dS<з1> получаются циклической перестановкой индексов в (2.24).

В случае плоской сжимаемой пластической деформации имеется всего одно соотношение

dS <зз> = 0

или

- dS <зз> = dldlde2 + d2d2d£l +

+ ^е2 - de1) {й1к2 - d2к1 + к2 - к2) +

+К2d1 (2de2 - de1) + к^2 (2de1 - de2) = 0.

2.3. Условие совместности для приращений поворотов

Сформулируем далее уравнения совместности для приращений поворотов в криволинейной сетке ^1, ^2, ^з.

Вектор поворота dQ определяется как половина вихря вектора приращений перемещений

2dQ = V X du.

Из данного определения следует уравнение совместности для поворотов в приращениях

V  dQ = 0.

В изостатической системе координат уравнение совместности для приращений поворотов (2.28) примет вид

+dldПl + d2dQ.2 + dзdПз — 0,

где dПj• — физические комноненты вектора dQ в изостатической системе координат и, следовательно, они не являются действительными приращениями.

2.4. Соотношения Коши для плоской задачи в изостатической сетке координат

Соотношения Коши в приращениях есть

2d£ —

Приращения перемещений можно представить в виде разложения по векторам ортонормированного базиса на плоскости 1, т:

du — Ии<1> + mdи<2>.

Заметим, что величины du<j> не являются действительными приращениями, а представляют собой компоненты разложения вектора du по базису 1, m. Тем не менее о величинах du<j> мы будем говорить как о приращениях перемещений.

Оператор Гамильтона, как нетрудно видеть, имеет форму

д , д

Оператор V <8> du вычисляется в виде:

V <8> du — 1 <8> Vdu<l> + m <8> Vdu<2> + ^и<і>) V <8> 1 + ^и<2>) V <8> m.

Ясно, что

дд

7 = '"Г1|ЖТ+',?‘тЗв- (2-32>

1 дdu<1> і дdu<1>

\аи<\> = п, 1---------:------------1- й- т- —.

1 д11 2 д\2 '

1 дdu<2> ,-1 дdu<2>

Чсіи<2> = йх 1 + й2 т-

д^1 ' "2 “ д^2 '

Используя далее выражения для производных от базисных векторов:

51 _ 1 дкх дт= 1 дЬ

^ = ~^т’ д^~1г2д12’

д}_ = 1^2т дт _ _\_дЪг ( ]

д12 Й1 ’ д12 ~ Й1 дф1’ приходим к формулам

V <8> 1 = -й-1 ^й^ 1 <8> т + й-1 ^й) т <8> т,

11 12

V <8> т = й- (d2й1) 1 <8> 1 - й- (d1й2) т <8> 1.

Используя (2.34) и (2.36), градиент приращений перемещений (2.33) можно представить следующим образом

V <8> du = 1  1 [й-1 (d2йl) du<2> + (dldи<1> )| +

+т <8> т й-1 (dlй2) du<l> + (d2du<2> Л +

12 г ] 1

+1 <8> т -й- (d2йl) du<l> + (d2du<l> ) +

+т <8> 1 [-й-1 №й2) du<2> + (dldu<2>)| .

Транспонировав уравнение (2.37), получаем

(V <8> du)T = 1 <8> 1 [й-1 (d2йl) du<2> + (dldu<l> )| +

+т <8> т й-1 (dlй2)du<l> + (d2du<2> Л +

12 г 1 1

+т <8> 1 -й- (d2йl)du<l> + (d2du<l>н +

+1 <8> т [-й-1 (dlй2) du<2> + (dldu<2>)| .

Подставляя выражения (2.37) и (2.38) в соотношение Коши (2.30), приходим к

d£ = 1 <8> 1 [й-1 (d2йl) du<2> + (dldu<l> )| +

+т <8> т [й-1 ^й2) du<l> + (d2du<2> )| +

+ — [—Й11 (й?2Й1) й?М<1> + (й?2<^м<1>) —

2 ] 1

-й- (dlй2) du<2> + (dl du<2> Л 1 <8> т+

+ — Й11 (й?2Й1) й?М<1> + (й?2<^м<1>) —

-й-1 (dlЙ2) du<2> + (dl du<2> )] т <8> 1.

В силу того, что d£ = dEP, а также ассоциированного закона течения, из которого следует соосность тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, из формулы Коши (2.39) вытекают три соотно-

шения

„Р

dep = й-1 ^2 й]) du<2> + dldu<l>,

dep = й-1

-й-1 (d2Йl) du<l> + d2du<l> -

-й-1 (dl й2) du<2> + dldu<2> = 0.

Вводя кривизны изостатических траекторий К1 , К2 согласно

d2Йl = й]К], dlЙ2 = й2К2

в соотношения (2.40)—(2.42), получим

de1 — Кldu<2> + dl du<l>,

dep = К2du<l> + d2du<2>,

dldu<2> - Кldu<l> + d2du<l> - К2du<2> = 0.

Приведем также матричную форму двумерных соотношений Коши:

Р I - I ^ а. II а,. . I •

dep \ I dl К] \1 du<l>

dгp ) \ К2 d2 )\ du<2>

Трехмерные соотношения Коши в изостатической системе координат выводятся в приложении.

2.5. Эффективные напряжения

Рассмотрим призматический образец, растягиваемый силой Р. Обозначим через А и А* соответственно площадь поперечного сечения образца в начальном неповрежденном и текущем поврежденном состояниях соответственно (см. рис. 1, 2). В силу того, что параметр поврежденности D представляет собой относительное сокращение эффективной площади, то для параметра D имеет место следующее простое соотношение:

А*

1-Я = —.

А

Вызванное внутренним распределением повреждений сокращение эффективной площади сразу же приводит к важнейшему представлению об эффекте возрастания внутренних напряжений в теле с распределенными поврежденностями. Действительно, наряду с напряжениями

Р

о = —,

А у 7

очевидно, следует рассмотреть эффективные напряжения

Р

оэ = —,

А*

которые в силу формулы (2.48) можно также представить в виде

оэ = —(2.51) 1 -О У !

или в общем случае, учитывая соосность тензора напряжений и тензора

поврежденности,

О j

аэ- = ---

j 1 - Dj

Ясно, что о^ > О;, если поврежденность ненулевая.

2.6. Обобщенное условие текучести Треска для микроповрежденного тела

Понятие эффективного напряжения позволяет весьма просто произвести обобщение критериев текучести изотропных тел так, чтобы учесть возможную их повреждаемость. Действительно, рассматривая условие текучести изотропного тела в наиболее общей форме

/(О], О2, Оз) = 0,

мы переформулируем его в терминах эквивалентных напряжений

/ (о], О2, ОзЭ) = 0.

В пространстве главных напряжений классическое условие текучести Треска изображается поверхностью шестигранной призмы с ребрами

О] ± 2к = О2 = О3, О] = О2 ± 2к = О3, О] = О2 = О3 ± 2к,

где к — предел текучести при чистом сдвиге.

Для напряженного состояния, соответствующего грани призмы Треска, всегда можно перенумеровать главные оси тензора напряжений так, чтобы главные напряжения были связаны соотношением

о1 - о2 = 2к.

Для напряженного состояния, соответствующего ребру призмы Треска, всегда можно перенумеровать главные оси тензора напряжений так, чтобы выполнялось равенство

О] = О2 = О3 ± 2к.

Последнее условие означает, что главное напряжение 03 является либо наименьшим, либо наибольшим главным нормальным напряжением.

Перепишем классическое условие Треска для грани (2.54) и ребра (2.55) с учетом соотношений (2.52), выражающих увеличение внутренних напряжений вследствие повреждений, заменяя главные напряжения на эквивалентные, и получим обобщенное условие текучести Треска для тела с микроповреждениями.

Обобщенное условие текучести для грани призмы Треска (2.54) имеет форму:

О1 - О2 = 2к

или

—!------°2 = 2 к.

1-0! 1-о2 у 7

Обобщенное условие текучести для ребра призмы Треска (2.55) примет вид:

о] = 02 = 03 ± 2к

или

О] О3 О2 О3 , ,

-— -----, = 2 к, —^--------„ = 2 к. 2.59

1 - D1 1 - D3 1 - D2 1 - D3 у 7

2.7. Закон накопления повреждений

Закон накопления повреждений, принимая во внимание соосность тензора напряжений и тензора поврежденности, примем в простейшей форме:

dDj = К;^п ^еР^еР

где Кj — определяющие функции (Кj > 0). Здесь dDj представляют собой действительные приращения главных поврежденностей Dj, а dеp действи-

* j

тельными приращениями не являются.

Закон накопления повреждений также можно представлять в виде степенной зависимости

dDj = Кj ^п

или в общей линейной форме

dDj = К ]^п

где а — постоянный показатель; определяющие функции Кj и Кjs не зависят от приращений do j, dеp, dDj.

3 j 3

Следует также заметить, что в соответствии с представлениями, положенными в основу рассматриваемой математической модели связанного состояния, поврежденность возрастает в процессе деформации сжатия, поэтому в соотношениях (2.60)-(2.62), определяющих закон накопления повреждений, используется модуль главных приращений пластических деформаций sgn(dеp^еР. Это означает, что независимо от процесса всегда dDj ^ 0. Закон накопления повреждений, в том случае, когда при деформации сжатия не происходит рост поврежденности, очевидно, имеет следующий вид (по ] не суммировать):

{ К;82П^еР)dеp, dеp > 0,

dDj = \ п ] ё ^ 1 Л

] \ 0, dеp < 0.

2.8. Обобщенный ассоциированный закон течения тела с микроповреждениями

Мы сохраним традиционную форму ассоциированного с условием пластичности

/ (о], о2, Оз3) = 0.

закона течения тела с микроповреждениями, приняв соосность тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, и три соотношения

с?ер = ¿/Л——.

7 <9оу

Рассмотрим соотношения ассоциированного с условием пластичности Треска закона течения. Нас будет интересовать определяющая зависимость главных приращений пластической деформации от приращений главных напряжений в поврежденной среде.

1. Предположим, что напряженное состояние соответствует грани призмы Треска (2.57). Согласно ассоциированному закону течения, определяющие зависимости для грани (2.57) есть

р dЛ р dЛ р .

с1г, =-----, с?е9 =--------, = 0.

1 1-Й1 2 1 -В2 3

Множитель dЛ без труда исключается с помощью уравнения, устанавливающего непрерывность нагружения:

й?

\1-Di 1-Б2/ у 7

Учитывая, что приращения главных поврежденностей и главные приращения пластических деформаций связаны определяющими зависимостями вида

dD1 = K1sgn

где определяющие функции5 не зависят от приращений главных напряжений и главных приращений пластических деформаций, находим

м =---------

KlSgn ^еР] О] + (|3 - 1) K2Sgn\dePj 02

р-1=1^1,

' 1-С2

dеp

-± =

Г

Здесь Г не зависит от приращений и определяется как

1 - D1 ,

Г ;—ч-----------Ц------;—•

и, таким образом,

Klsgn (^єр) Ох + (|3 - 1)3 К2н§п (^ер) о2

Заметим, что на основании Оjdеp ^ 0 вдоль всего процесса нагружения

* ]

dЛ ^ 0, следовательно, при течении на грани призмы Треска

sgn (йеР) =+1, sgn ^еР^ = -1.

В силу ассоциированного закона течения на грани (2.63) выполняется

соотношение

поэтому

^єр = -

—— — (|3 — 1) ¿/о2 — сІО\,

Г

——- = - (|3 - 1) с?о2 + (|3 - 1) йо\.

Г

Заметим также, что условие разупрочнения при накоплении повреждений

^ао, < о

0о1

5В первом приближении их можно считать постоянными. В случае течения на грани призмы Треска главное приращение dеp не может быть положительным. Накопление поврежденности Л2 при этом не может быть значительным, и с хорошим приближением можно полагать, что К2 = 0.

в случае течения на грани призмы Треска эквивалентно неравенству

(в - 1^о2 - do1 > 0,

которое гарантирует выполнение неравенства диссипации dЛ > 0. Упрочнение

> о

3°]

при накоплении повреждений никогда не реализуется, поэтому условие

(в - 1^о2 - do1 < 0

вдоль действительного процесса никогда не выполняется.

Процессы, характеризуемые условием

(в - 1^о2 - do1 = 0,

происходят, как это следует из соотношений ассоциированного закона течения на грани, при нулевых главных скоростях пластических деформаций и не сопровождаются ростом главных поврежденностей6.

2. Рассмотрим далее соотношения между главными приращениями пластических деформаций и приращениями главных напряжений при течении на ребре призмы Треска.

Ребро образовано пересечением граней, и всегда можно считать, что ребро задается уравнениями (2.59). Согласно ассоциированному закону течения, определяющие зависимости для ребра (2.59) есть

Р Р йКг Р йА2 ( Л

с?е, =------, =-----------------. 2.71

1 1-БГ 2 1-£>2 1-£>з 1-£>з

Неравенство диссипации

0jdеpp = 2k(dЛ1 + dЛ2) ^ 0

должно выполняться вдоль всего процесса нагружения.

Множители dЛl, dЛ2 без труда исключаются с помощью уравнения, устанавливающего непрерывность нагружения, и закона накопления повреждений

dD1 = K1sgn(dеP )dеP, dD2 = К^п^еР^еР, dD3 = К^п^ер^ер.

Мы приводим соответствующие формулы для случая dеP ^ 0, dе2р ^ 0, dе1р ^ 0:

dЛl = [(1 - Dl)2 [02К2 - (в2 - 1)30зКз] [(в1 - 1^03 - d0l] +

+(1 - D2)2(вl - 1)зозКз [(в2 - 1)doз - d02]] X

X |о1О2К1К2 - 0]0зК]Кз(в2 - 1)3 - О2О3К2К3(в 1 - 1)3] dЛ2 = [(1 - D2)2 [01К1 - (в1 - 1)30зКз] [(в2 - 1^0з - d02]

+(1 - Dl)2(в2 - 1)30зКз [(в1 - 1)doз - d0l]] X

X ^0]02К]К2 - 0]0зК]Кз(в2 - 1)3 - 020зК2Кз(в1 - 1)3]

1

+

з I-1

з I-1

6При таких процессах, однако, может происходить поворот триэдра 1, т, п.

где

Рі - 1 = 1 В\ Р2-1 = ^. 1-^3 1-^3

Главные приращения пластических деформаций и выражают-

ся через приращения главных напряжений определяющими зависимостями вида

¿ер

—— = й?Оз — Еі2<І02 — Ецй?Оь ¿ер

—— - й?Оз - Е22<І02 - ЕгііІОі,

Л 2

+

в которых

Л 1 = [(1 - ^1)(р1 - 1) [02К2 - (р2 - І)3О3К3] +(1 - £2)2(1 - ^1)-1(Р1 - 1)3(р2 - 1)ОзКз] х X [0102К1К2 - 0103К1К3Ф2 - 1)3 - 0203К2К3Ф1 5 2 = [(1 - ^2)(р2 - 1) [01К1 - (р1 - 1)3 03К3] + +(1 - Б1)2(1 - Б2)-1(р2 - 1)3(р1 - 1)03К^ X X [0102К1К2 - 0103К1К3Ф2 - 1)3 - 0203К2К3Ф1 (1 - А) [02К2 - (р2 - 1)303К3]

1)3 -1

1)3 -1

Л1Е11 =

0102К1К2 - 0103К1К3Ф2 - 1)3 - 0203К2К3Ф1 - 1)3 (1-Я2) [01К! - (р! - 1)3о3К3]

О1О2К1К2 - ОіОзКіКз(|32 - I)3 - ОгОзКгКзфі - І)3

(1 - Б2)2(1 - ^1)-1(р1 - 1)303К3

0102К1К2 - 0103К1К3Ф2 - 1)3 - 0203К2К3Ф1 - 1)

3

(1 - Б02(1 - Б2)-1(р2 - 1)303К3

0102К1К2 - 0103К1К3Ф2 - 1)3 - 0203К2К3Ф1 - 1)

3

Для главного приращения de3p имеем формулу -^р = Ф1 - 1^ер + ф2 - 1Мер

или

¿ер

№

^1 - 1 , ^2 - 1

¿03-

Рі - 1 62 - 1

Ьі2 + —“-----------Ь22

¿02 -

Рі - 1 |32 -1

Ьп + —-----------Ь21

¿01.

Соотношения ассоциированного закона течения для ребра (2.72), справедливы, лишь когда наблюдается активное разупрочнение:

(в1 - 1^о3 - do1 ^ 0, ф2 - 1)doз - d02 ^ 0.

Режим нагружения

(в1 - 1)^03 - ¿01 - 0, ф2 - 1)^03 - ¿02 - 0

Л

Л

2

характеризуется тем, что - 0 и ¿Б; - 0. При таких режимах течения, однако, может происходить поворот главных осей напряжений, т.е. поворот триэдра 1, т, п.

Уравнения ассоциированного закона течения для грани (2.70) и ребра (2.72), (2.74) не позволяют, в силу линейной зависимости правых частей, найти обратные соотношения, т. е. выразить приращения главных напряжений через главные приращения пластических деформаций.

3. Связанное плоское деформированное состояние

Плоское деформированное состояние характеризуется условием deз = 0. В плоскости течения Х1, Х2 имеется два взаимно ортогональных семейства изостатических траекторий. Одно из семейств будем идентифицировать номером 1, другое — номером 2. Если считать, что 01 —наибольшее главное напряжение, то обобщенное условие пластичности Треска в состоянии плоской деформации выражается уравнением

01 02

- 2к,

1 - Б1 1 - Б2

где к по-прежнему есть предел текучести при сдвиге.

Обозначая через 0 угол наклона к оси Х1 изостаты первого семейства, получаем

К = К13 = ^10, К2 = К23 = d20.

Единственное деривационное соотношение в этом случае имеет форму

d1к2 + d2к1 + к2 + к2 = 0.

Уравнения равновесия, сформулированные в изостатической координатной сетке, сводятся к двум соотношениям Ламе—Максвелла

dl0l + К2(01 - 02) = 0, d202 + К1(02 - 01) = 0.

Пренебрегая упругими деформациями, приведем основные соотношения для приращений.

Уравнения равновесия в приращениях

dld0l + К2 ^01 - d02) +

d2do2 + к1 ^02 - do1) + (2к2 + d1) [(01 - 02) dш] = 0,

где dш = dшз определяет малый поворот главных осей напряжений в плоскости течения при догружении.

Формулы Коши, связывающие главные приращения пластических деформаций с приращениями перемещений, в случае плоской деформации имеют следующий вид (см. (2.44), (2.45)):

dep = к^и<2> + dldи<l>, р

de2 = К2dм<l> + d2dм<2>.

Условие соосности тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций (см. (2.46)) приводит к соотношению

dldи<2> - к^и<1> + d2dи<l> - К2dи<2> = 0.

Условие совместности для приращений поворотов (2.29) в случае плоской связанной задачи удовлетворяется тождественно.

Уравнение совместности

d2d2del - (в - 1) dldldel - ((1 + в) К2 + 2dlв dld£l +

+

-к^2р - вd1к2 + вd2к1 - вк| + вк2^е1 = 0.

При плоском пластическом течении главные приращения пластических деформаций имеют разные знаки:

dep ^ 0, dep ^ 0.

Ассоциированный закон течения

(в - 1) de1 + de2 = 0,

de1

—— = (|3 — 1) йа2 — do\,

Г

где F не зависит от приращений

F =---------1 ~Dl ------,

K1O1 - (|3 - 1) K2o2

p-i = 1—5i.

' i-d2

Закон накопления повреждений есть

dDi = Kidep, (3

dD2 = -K2deP.

Полученная система соотношений замкнута, например, относительно пяти приращений doi, d02, dw, dei, de2, поскольку для их определения имеется ровно пять уравнений.

Уравнение совместности (3.5) относительно главного приращения dei можно формально рассматривать независимо от остальных соотношений плоской задачи. Главная часть этого уравнения есть:

—d2d2da 1-------

g22 gii

Характеристическое уравнение, которое получается по главной части

(3.9), указывает на его гиперболичность. Характеристики плоской связанной задачи

л/яТТ^1 /1 - £>i

л/?22^2 V 1 “ £>2

совпадают с линиями максимального касательного напряжения только в случае изотропного в плоскости течения распределения поврежденности D1 = D2*

Заключение

Получена замкнутая система статических и кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изостатической координатной системе относительно приращений главных напряжений, главных скоростей пластических деформаций и приращений перемещений, что наиболее удобно для представления и анализа основных соотношений связанной задачи. Рассмотрен случай плоской пластической деформации и показано, что система основных соотношений относится с гиперболическому типу, что позволяет обобщить понятие поля скольжения на случай связанных состояний. Линии скольжения для связанного состояния наклонены иначе, чем линии скольжения при идеально пластическом течении.

Литература

[1] Murakami S. Mechanical modeling of material damage // J. Appl. Mech. 1988. V. 55. No. 2. P. 280-286.

[2] Radayev Y.N., Murakami S., Hayakawa K. Mathematical Description of Anisotropic Damage State in Continuum Damage Mechanics // Trans. Japan Soc. Mech. Engn. V. 60. A. No. 580. 1994. P. 68-76.

[3] Мураками С., Радаев Ю.Н. Математическая модель трехмерного анизотропного состояния поврежденности // Изв. РАН. Мех. тверд. тела. 1996. №4. С. 93-110.

[4] Радаев Ю.Н. Тензорные меры поврежденности и гармонический анализ тонкой структуры поврежденности // Вестник Самарского гос. университета. 1998. №2(8). С. 79-105.

[5] Радаев Ю.Н. Канонические инварианты уравнений теории связанной пластичности и поврежденности // Вестник Самарского гос. университета. 1999. №4(14). С. 70-93.

[6] Радаев Ю.Н. Канонические инварианты уравнений теории связанной пластичности и поврежденности // Изв. РАН. Мех. тверд. тела. 2000. №5. С. 27-45.

[7] Radayev Y.N. On directional average of the local anisotropic damage // Int. J. Fracture. 2004. V. 128. P. 293-307.

[8] Maugin G.A. The Thermomechanics of Plasticity and Fracture. Cambridge: Cambridge University Press, 1992. 350 pp.

[9] Онат Е., Прагер В. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца // Механика. Сб. переводов. М.: Изд-во АН СССР, 1955. №4(32). С. 93-97.

[10] Love A.E.H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications, 1944. 643 pp.

[11] Папкович П.Ф. Теория упругости. М.; Л.: Оборонгиз, 1939. 640 с.

[12] Блох В.И. Теория упругости. Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1964. 484 с.

[13] L.E. Malvern. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice-Hall. Englewood Cliffs, N.J. 1969. 714 pp.

Поступила в редакцию 15/XTT/2005;

в окончательном варианте — 15/X///2005.

ON HYPERBOLIC PROPERTY OF THE COUPLED (PLASTIC STRAIN-DAMAGE) EQUATIONS

© 2005 Y.N. Radayev, N.A. Kurnysheva7

In the present study the problem of mathematical modelling of a stress-strain state of rigid-plastic solid with scattered anisotropic microdamages is considered. Damage is represented by a symmetric second-rank damage tensor. The principle axes of the damage tensor are assumed to coincide with principle axes of the Cauchy stress tensor. Closed system of static and kinematic equations of coupled (plastic strain-dam-age) theory in isostatic coordinate net in their incremental forms is obtained which appears subsequently most convenient for the coupled analysis. In the paper those cases when the resolving equations belong to hyperbolic type are discussed. Particularly this holds in the case of plane strain thus allowing to generalize slip lines theory known from perfect plasticity to coupled states.

Paper received 15/X///2005. Paper accepted 15/X///2005.

7Radayev Yuri Nickolaevich (radayev@ssu.samara.ru), Kurnysheva Nataliya Aleksandrovna (knatalyasamgu@mail.ru), Dept. of Continuum Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.

ПРИЛОЖЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ КОШИ В ИЗОСТАТИЧЕСКОЙ КООРДИНАТНОЙ СЕТКЕ

Соотношения Коши, записанные для приращений перемещений, имеют форму

2йг =

Приращения перемещений можно представить в виде разложения по векторам

ортонормированного базиса в пространстве 1, т, п

Ли = 1Лы<1> + тйы<2> + пЛы<3>.

Здесь величины йы<> не являются действительными приращениями.

Трехмерный оператор Гамильтона, как нетрудно видеть, в триортогональной изостатической системе координат есть

жг . 1 д 1 д 1 д .....

+ ( 1 Оператор V <8> йи вычисляется в виде:

V  du = 1  Vdы<1> + т  Vdы<2> + п  ^ы<3>+

+ (¿ы<1>) V  1 + (¿ы<2>) V  т + (¿ы<3> ) V  п.

Ясно, что

Vйы<1> = 1

Vdы<2> = 1

Vйы<з> -1

1 дdы<1> 1 дdы<1> 1 дdы<1>

+ 1Т1------—--------1- п-

или

Н1 д^1 Н2 д^2 Н3 д^3 ’

1 дйы<2> 1 дdы<2> 1 дйы<2>

1 дdы<3> 1 дdы<3> 1 дdы<3>

д'Е} 1г2 д'Е,2 1г3 дЕ,3

Vdы<1> = 1(Л1Лы<1>) + т^^ы^) + п(Л3Лы<1>),

Vdы<2> = 1

Vdы<1> = 1(Л1Лы<3>) + т^^ы^) + п(Л3Лы<3>).

Используя далее выражения для производных от базисных векторов 51 1 ЙЙ1 1 ЙЙ1 им ы I, л

да = “¡7 зрт “ ¡¡ар" = -(<,л)т “

Я 1 , . , , , ...

да = *7а|гт = < 1 !)ш>

* 1А

да = *7»" =<<,л)п'

дт 1 ЗЙ!

ар = »¡да '2 11 •

^ ~ ~ 7Г^п ~ ~

д§2 я1 д^1 п3 д§3

дт 1 дй3

зр = ^да" = (',*)п'

дп 1 дкі 1

дп 1 дН2

(А) 1 (,х) Ш ~ 'ІГЖ1 “ /!~Шт ~ “ №/'з)т,

<9§3 «1 З^1 «2 д§2

приходим к следующим формулам:

V <8 1 =-------(сіфі) 1 <8 т---------(<13кі) 1п+

«1 п1

н----(йіііг) т <8 т н-------(<1ік3) п <8 п,

«2 «3

V т = —- {й2кх)\\ - — {й\к2)т\-«1 «2

- ~г~ №^г) т»п + — №й3) п <8 п,

«2 «3

V <8 п = —(с131гі)1 <8 1 Н----(й3к2)гл <8 т-

«1 «2

{¿\1г3)п <8 1----------(¿21г3)п <8 т.

«3 «3

Используя (уі) и (х), соотношение (іу) можно представить следующим обра-

V <8 йи = 1 <81

+т 8 т

+п 8 п +1 8 т

— (^2Йі)^И<2> + — (^зЙі)^И<з> +

п1 п1

+ ^-(<іф2)<іи<3> + й2йи<2>

«2 «2

—(¿ік3)йи<і> + —(с1ф3)с1и<2> + йфи<3>

«3 «3 _

----(^2Йі)^И<і> + ¿2йи<\> +

«1 _

+1 8 п

1

+т 8 1

~—{(1ік2)йи<2> + ¿фи<2> «2

+п 8 1

-—{і1ік3)йи<3> + йфи<3>

«3

+т 8 п

+п 8 т

-—(йф2)йи<2> + й3йи<2> «2

~—{<1ф3)<1и<3> + ¿фи<3>

«3

зом:

+

+

+

+

+

Транспонировав уравнение (х1), получаем (V <8 йи)т = 1 <8 1

+

+п <8 1

+т <8 т

+п <8 п +т <8 1

1

— (с12к\)с111<2> Н----(^зЙ1)^И<з> +

Я1 Я1

+ ^-{¿ф2)йи<3> + й2йи<2>

Я2 _ Я2

—(¿1Й3)^и<1> + —((12к3)йи<2> + с13с1и<3> Яз Яз

----(^2Й1)^И<1> + ¿2(11.1^

Й1

-—(йф^йи^ + й3йи<х> Я1 _

+

+1 <8 т

1

-—(йук2)йи<2> + й\йи<2> Я2 _

1

+п <8 т

+1 <8 т

1

(й\к3)йи<3> + ¿1<1и<3>

Яз

~—{(13к2)йи<2> + й3йи<2> Я2

1

-—(<Л21г3)йи<3> + й2йи<3> Яз

+т <8 п

Подставляя выражения (х1) и (хп) в соотношения Коши (1), получим = 1 <8 1

Я1

+т <8 т

+

—(с12]11)с1и<2> + — (с13к\)ёи<3> +

Я1 _ Я1

-^-(^1Й2)^и<1> + (с13к2)с1и<3> + й2йи<2>

Я2 _ Я2

11

+п <8 п

+

+ -1 <8 т 2

1

—(¿1Й3)^и<1> + — (с12]г3)с1и<2> + й3йи<3> Яз Пз

1

------(с12}1\')с1и<\> + й2йи<1>---------------(с1\к2)ёи<2> + с1\йи<2>

Я1 _ Я2

+ -1 <8 п 2

~1~(с13]г\)с1и<1> + ^з^и<1> - — (^1Йз)^и<з> + ¿Ми<3> Я1 _ Яз

1

+

+ -т<8 п 2

+ -т(81------------(с12}11)с1и<1> + й2йи<\>--------------(с1\к^и<2> + й\йи<2>

2 [ Я1 я2

{с131г2)с1и<2> + й3йи<2> - —(й2к3)йи<3> + й2йи<3>

Я2 _ Яз

+ -11 <81 2

-----(^зЙ1)^И<1> + ^З^И<1>----------(^1Йз)^И<з> + с1^и<3>

Я1 _ Яз

1

+ -п <8 т 2

- — (с13}12)с1и<2> + й3йи<2> - —(с12113)с1и<3> + й2йи<3> Я2 Яз

Тензор йг симметричен.

В силу того, что в приближении жесткопластического анализа йг = йгр, а также ассоциированного закона течения, из которого следует соосность тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, полученная формула приводит к шести соотношениям

= —(с12}11)с1и<2> + — (с13к\)ёи<3> + 1 Я1 Я1

1

1

^е2 = — (^1Й2)^и<1> + —(с13112)с1и<3> + й2йи<2>,

Я2

Я2

+

+

+

+

+

+

+

1

+

1

= — (¿1кз)йи<1> + —(^2йзМи<2> + с1фи<3>,

йэ

йэ

- —(^2Й1)^И<1> + й2<1и<1> - — (^1Й2)^И<2> + й\йи<2> = О, Й1 й2

(^зЙ1)^и<1> + ^з^и<1> - — (¿1\11т)с1и<з> + ¿1йи<3> = О, й1 йэ

- —(^зЙ2)^И<2> + й3йи<2> ~ — (^2Йз)^И<3> + ^2^И<з> = О.

й2 йэ

Вводя кривизны в соотношения (хш)-(хуш), согласно

^1 йэ - Й3К32, ^1Й2 - й2К2Э,

^2йэ - йэКэ1, ^2й1 - й1К1э,

^эй2 - й2К21, ^эй1 - й1К12,

получим

d£p - К1э^и<2> + К12^и<э> + d1dы<1>, й£1 - К2э^ы<1> + К21^ы<э> + d2dы<2>,

^ер - Кэ2^ы<1> + Кэ1^ы<2> + йэйы<э>,

-К1э^ы<1> - К2э^ы<2> + d2dы<1> + d1dы<2> - 0,

-К12^ы<1> - Кэ^ы<э> + dэdы<1> + d1dы<э> - 0,

-К2^ы<2> - кэ1dы<э> + dэdы<2> + d2dы<э> - 0.

Эти соотношения компактно представляются в матричной форме:

deP d1 К1Э К12 ' dы< 1 >

d•£L - К2э 21 К2 2 ^3 dы<2> ,

dгp \ иъэ ) , Кэ2 К31 dэ , V dы<э> ,

-К1Э + d2 -К2Э + dl 0 dы< 1 >

-К12 + dэ 0 -Кэ2 + dl dы<2>

V 0 -К21 + dэ -Кэ1 + d2 / ч dы<э> ,