Математическая модель микрополярных анизотропных (ортотропных) упругих тонких оболочек

УДК 539.3

С.О. Саркисян, А.Ж. Фарманян

Гюмрийский государственный педогогический институт,

Гюмри, Республика Армения

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МИКРОПОЛЯРНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ (ОРТОТРОПНЫХ) УПРУГИХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК

На основе метода гипотез (принятые гипотезы представляют собой качественные стороны асимптотического решения граничной задачи микрополярной теории упругости в тонких областях) построена общая прикладная теория микрополярных упругих ортотропных тонких оболочек.

Ключевые слова: микрополярный, ортотропный, упругий, тонкая оболочка, модель.

S.H. Sarkisjan, A.J. Farmanyan

The Gyumri State Pedagogical Institute, Gyumri, Armenia

MATHENATICAL MODEL OF MICROPOLAR ANISOTROPIC (ORTHOTROPIC) ELASTIC THIN SHELLS

In this paper the general applied of micropolar elastic ortotropic thin shells is constructed on the basis of hypotheses method. Accepted hypotheses are formulated on the basis of qualatative results of the asimptotic solution of the boundary problem of micropolar theory of elasticity in thin regions.

Keywords: micropolar, orthotropic, elastic, thin, shell, model.

В последнее время в связи с современными проблемами механики сред со структурой, микро- и наномеханики заметно возрос интерес к моментной механике упругих деформируемых тел, а также построению на их основе упрощенных математических моделей. Особое место занимает проблема построения общей теории упругих тонких балок, пластин и оболочек на основе микрополярной (моментной, несимметричной) теории упругости [1-11]. Современный обзор работ в этом направлении представлен в [12, 13].

Основная проблема общей теории микрополярных упругих тонких оболочек, пластин (балок) заключается в приближенном сведении трехмерной задачи микрополярной теории упругости к адекватной прикладной двумерной (одномерной) краевой задаче.

В работах [14-18] формулируются гипотезы (которые представляют результат асимптотического метода интегрирования граничной задачи микрополярной теории упругости в тонких областях), на основе которых построены общие прикладные теории микрополярных изотропных упругих тонких оболочек, пластин и балок.

В развитие подхода, представленного в работах [14-18], в данной статье построена общая модель микрополярных анизотропных (орто-тропных) упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений.

Рассмотрим анизотропную (ортотропную) оболочку постоянной толщины 2Ь как трехмерное упругое микрополярное тело. Будем исходить из основных уравнений пространственной статической задачи линейной микрополярной теории упругости для ортотропного материала с независимыми полями перемещений и вращений [19-21].

Эти уравнения коротко можем записать так: атп п = 0,

1. Постановка задачи

Уравнения равновесия

я я я ян

— (Н2^13 ) + т— (23 ) +—(Я1Я2Цзз)- Н2 —1 С/Ы-! С/\-Х 2 С/1X3 и 1X3

ян

—Н1 “I Ц22 + Н1 ' Н2 (^12 — ^21 ) = 0

яа^

Физические соотношения запишем в матричной форме: у = А • а; х = в • Ц

где

а (°П’ °22’ ^33’ ^12’ °21’ ^13’ °31’ °23’ °32 ) ;

Ц = (цп, Ц 22 ’ Ц33 ’ Ц12 ’ Ц21 ’ Ц13 ’ Ц31 ’ Ц23 ’ Ц32 ) ;

У =(Г11» У 22 ’ У33 ’ У12 ’ У 21 ’ У13 ’ У31 ’ У 23 ’ У32 )г;

X = (Х11’ Х22 ’ Х33’ X12 ’ X 21’ Х13’ Х31’ X 23’ Х32 )Г •

Матрица А(в) (а и Ь с соответствующими индексами представляют собой упругие константы микрополярного ортотропного материала) выражается так:

А(в ) =

' а11 (Ь11) а12 (Ь12 ) а13 (Ь13 ) 0 0 0 0 0 0

а12 (Ь12 ) а22 (Ь22 ) а23 (Ь23 ) 0 0 0 0 0 0

а13 (Ь13 ) а23 (Ь23 ) а33 (Ь33 ) 0 0 0 0 0 0

0 0 0 а77 (Ь77 ) а78 (Ь78 ) 0 0 0 0

0 0 0 а78 (Ь78 ) а88 (Ь88 ) 0 0 0 0

0 0 0 0 0 аб6 (Ь66 ) а56 (Ь56 ) 0 0

0 0 0 0 0 а56 (Ь56 ) а55 (Ь55 ) 0 0

0 0 0 0 0 0 0 а44

0 V 0 0 0 0 0 0 а45

Г еометрические соотношения Коротко их можно записать так: у = V — э,

г / пт т.п кпт

X = ю

пт т

1 я^.

У и =— — +

Ун =

1 ян,. 1 ян,. я^

---------------V, +--------------V3’ у33 =—-

Н ;Н, яа,. ] Н; яа3 яа3

]

У ,3 =

1 я^.

1 я^. Н яа,

1 ян

Н яа Н яа

1 ян, , у

----------V.• + (—1) ю3’

НН, яа. ^ 7 3

1 ] ]

V+(—О] ю; у 3,=—+

яа

3

к

1 дю, 1 дИі 1 дИі

Ти =---------- +-------------- ю і +-------юз,

ИІ да, ИІИ] да7 7 ИІ да3

дюз 1 дю 1 дИ,

Тзз =д—> Ті =— ----------------д Ю.

да3 Иі да, ИИ 7 да7

дю,

Тзі =

да

1 дюз 1 дИ,

Т Із =-----------------------------------------------3-ю..

Хіз И, да, И, даз , '

Индексы і, і принимают значения: І, 7 = 1,2, причем і Ф 7 .

Здесь ад, а33, а^., аіз, азі, ц,, цзз, ц,, ціз, цзі - компоненты силового и мо-

ментного тензоров напряжений; у..,узз,у7,у,з,уз,,Тй,Тзз>Тц,Т,з>Тз, - компоненты тензоров деформаций и изгиба-кручений; уі , уз, ю ,, юз - компоненты векторов перемещения и независимого поворота; Иі, Из - коэффициенты Ляме криволинейной ортогональной системы координат,

принятой в теории оболочек [22]

И, = А

г \

1+аз

V V к, J

Из = 1

К основным уравнениям (1.1)-(1.7) трехмерной микроиолярной теории уиругости для ортотроиного тела будем ирисоединять граничные условия.

На лицевых иоверхностях а3 = ±к иримем граничные условия иервой граничной задачи микроиолярной теории уиругости:

аз/ = ± , азз = ± Чз±, Цз/ = ±т±, Цзз = ±тз± •

На иоверхности края оболочки £ будем рассматривать следующие три основные тииа граничных условий: 1) когда заданы силовые и мо-ментные наиряжения; 2) когда точки иоверхности 2 закреплены; з) когда заданы трехмерные смешанные условия тииа шарнирного оиирания.

Предиолагается, что толщина (2Ь) оболочки мала ио сравнению с характерными радиусами кривизны (* /) срединной иоверхно-сти оболочки.

Очевидно, что иостроение решении граничной задачи трехмерной микроиолярной теории ортотроиных оболочек (1. 1)—(1.8) со-иряжено с иочти неиреодолимыми математическими трудностями,

1з1

иоэтому будем идти ио иути сведения трехмерных уравнений теории микроиолярной уиругости к ирикладной теории микроиолярных ор-тотроиных тонких оболочек.

Считая, что метод гииотез наряду с чрезвычайной наглядностью очень быстро и относительно иросто для инженерной ирактики ириво-дит к окончательным результатам, будем строить теорию микроиоляр-ных уиругих ортотроиных оболочек на основе метода гииотез, обобщая иодход работ [14-18] иостроения теории микроиолярных уиругих изотроиных оболочек.

2. Модель микрополярных упругих ортотропных тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений

Сформулируем те иредиоложения (гииотезы), на основе которых будем строить модель микроиолярных ортотроиных тонких оболочек [14-18]:

А. В качестве исходной иримем гииотезу ирямой линии, т.е. будем считать, что нормальный элемент, иервоначально иериендикуляр-ный к срединной иоверхности до деформации, остается иосле деформации ирямолинейным, но уже не иериендикулярным к деформированной срединной иоверхности, а иоворачивается на некоторый угол, ири этом не изменяя своей длины. Вследствии этого имеем линейный закон изменения иеремещений ио толщине оболочки

= и

Будем доиолнительно считать также, что свободные иовороты ио толщине оболочки изменяются также линейным законом следующего характера:

ю, =Ц

Здесь и,, w - иеремещения, О,, Оз - свободные иовороты точек срединной иоверхности оболочки; у, - иолные углы иоворота иервоначально нормального элемента, а I - иредставляет собой интенсивность иоворота точек трехмерной оболочки вокруг нормали к срединной иоверхности.

Б. Силовым наиряжением азз в обобщенном законе Гука

относительно силовых наиряжений а11, а22 можно иренебрегать.

1 з2

а

В. Относительно единицы величинами вида — можно пренеб-

Г. При определении деформаций, изгиба-кручений, силовых и моментных напряжений сначала для силовых напряжений а3(. и мо-

ментного напряжения ц33 примем

После определения указанных величин окончательные выражения для фукций а3(. и ц33 определим как сумму значения (2.3) и результата интегрирования соответствующего уравнения равновесия

(1.1) или (1.4) и потребуем для последних слагаемых условие, чтобы усредненная по толщине оболочки величина была равна нулю.

Отметим, что принятая гипотеза для перемещений (2.1) это по сути дела известная кинематическая гипотеза Тимошенко в классической уточненной теории упругих оболочек [23, 24]. С этой точки зрения гипотезу (2.1), (2.2) в целом назовем [14-18] обобщенной кинематической гипотезой Тимошенко в микрополярной теории оболочек.

В соответствии с принятым законом распределения перемещений

(2.1) и свободных поворотов (2.2), подставляя их в геометрические формулы (1.6), (1.7) и сохраняя в выражениях только линейные члены по а3, находим

регать.

0

0

а3; = аз; (а1, а2), ц33 = ц33 (а1, а2).

У;; = Г;; (а^ а2) + а3К а (а^ а2), У33 = 0

У у = Г у + а3 К , У І3 = Гі3

Хй = а2 ) , %33 = к33 (аl, а2 ) , Ху = ку (аl, а2 ) .

%3і = 0 Х;3 = кі3

V

К (а1> а2 ) = ^— Я---------------ИТТ^V К’ а2 ) + (-1) Ча1’а2)>

А 5а,

Г,3 (а!, а2 ) = -О, +( - 1)' П] (а!, а2 ) ,

Г3, (а1, а2 ) = V1 (а1, а2 ) + (- 1)‘ П] (а1» а2 ) >

ка

АА1 5а. ]

1 ] ]

Я

кзз =1(а1, а2 ) , к] = -1 5П Ла1> а 2 ) -_^_ ПДа1? а2 ) #

А

1

1 5Пз 1 , ч

к13 =-------3-П . (а,,а2), 113 =

13 А 5а. Я 1 v 1 2’ ,3

5а, 44 5а]

1 5г

г I

А 5а;

О =

1 5^

А

5а

Я

Здесь Г11.,Г]. - компоненты тангенциальной деформации, характеризующие деформацию срединной поверхности; величины К и, К у, к ¡¡, ку -

характеризуют изгибную деформацию и скручивание срединной поверхности; Г15,Г5, - поперечные сдвиги; к13,к31 изменение кривизны и

кручений в нормальных к срединной поверхности плоскостях; /13 - гиперкривизны или гиперкручения.

На основе обобщенного закона Гука (1.5) (имея в виду также статические гипотезы Б), Г)) для силовых и моментных напряжений получим

стй = а,, (а15 а2) + а3 а,, (а15 а2), а33 = а33 (а15 а2) + а3 а33 (а15 а2),

0 1 0 ау = а,] (а15 а 2) + а3 а,] (а1, а2), а13 = а,з (а1, а2),

2

а31 (а1? а 2),

0

23 1

2) 3

а31 =а31 (а1?а2 ) + а3 а3, (а1?а2) + 2

а2 -

к

3

Ц 1 1=Ц 1 ¡(01, а2 ) ,

о 11

Цзз =Цзз (а1, а 2 ) + аз Цзз (а1, а 2 ) + -

а2 --

Цзз (а1, а2 ) ,

Цу = Цу (а1, а2 ) . ^ЗІ = ^3i (а1. а2 ) + аз ^ЗІ (а1. а2 ) .

о 1

Ц,3 =Ц,3 (а1, а2 ) + аз Ц,3 (а1, а2 ) ,

где

1

аз, (а15 а2 ) = -

1 д| А} аи AiAj да,

Ai AJ да J

i J J

1 дAi о 1 о 1 дA. о

----------------аy-------------а,з +------------- а jj,

A A да я A A да

ijj

i J i

аз

¡

AAj

да

Ai AJ да J

i J J

1 дAi 1 1 дA 1

----------- ay +--------------а jj

AA да AA да

ijj

i J i

1

азз (а15 а 2 ) = -

1 д| A2 а13 j A1A2 да1 A1A2 да2

1 дИа23 і 1 о 1 о

+--Gll +---а22

я

я

3

о

о

1

2

1

L (а а )=q+- q- а1 (а а )=q++q- ,о (а а )=m'- m

а33 (а1,а2 ) 2 , а33 (а1, а2 ) 2h ’ ^3i (а1, а2 ) 2

1 / \ m+ + m-

М'Зі (а1, а2 ) = '

2h

Ц31 (а1, а2 ) = -

51 А цй

1 ПА1 I 1 в4 о

А1Ау 5а, А1А] 5а у

о

Ц13

1 5А. 0 . ...(0 0

] Цуу-(-1) I а]3-а3,

1

Ц33 (а1. а2 ) = -

1

0 Л

5 I А2 Ц13

1

0

5 I А1 Ц23

А1А2 5а1 А1А2 5а2

1 л

00

Ц11 Ц22 ( 0 0 ^

+ — + — -I а12-а21

2

Ц33 (а1> а2 ) =

1

51 А2 Ц13

1

Я1 Я2

1

I

51 А1 Ц 23

1 1 ^  -1 а12 - а21 А1А2 5а1 А1А2 5а 2 V I

С целью приведения трехмерной задачи микрополярной теории упругости к двумерной, что уже выполнено для перемещений, деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений, в теории микрополярных упругих оболочек вместо компонент тензоров силовых и моментных напряжений вводим статически эквивалентные им интегральные характеристики-усилия Т, Б у, N ¡3, N3¡, моменты

М и,И.,Ьи,Ьу,Ь;3,Ь33 и гипермоменты Л 13, которые с учетом предположения В) выражаются следующим образом:

к к к к Т11 = |а 1А а3’ Б у = |а ]А а3’ Ni3 = |а 13А а3’ N31 = |а31^ а3>

- к

3 3 3 3 3

-к -к к

-к

М и = !а3а иА а3’ И у = |а3а уА а3>

к к к

Ь11= |ц 1А а3, Ьу = |а уА а3, Ь33 = |Ц33А а

-к

к

-к

-к

к

Ь13 |Ц13А а3, Л13 |а3Ц13А а3.

-к

3 3 13 3

к

Основная система уравнений микрополярных ортотропных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений будет выражаться так:

1

к

к

к

уравнения равновесия:

1 5Т, 1 5Л-

- + -

1 5БИ

Т - Т..) +

4 5а 1 АА 5аЛ“ у Ау 5а у

+

+-

ЗА

А.А. 5а,.

1 У ]

1 5М,,

- +

1 5ЛÍ

Я

1 5И 1 1 5А1

+----------+------------

А у 5а у ДА; 5а у

Т Т 1

Т11_ + Т22 -_ 1

Я Я А1 А?

1 54 1 5А

5( А N13) + 5К^3)'

5а1

5а

' +

4 5а1 44 5а1 +(-

+

1 5Ь.. 1 5А

- + -

03 + 03,

4

А 5а А А 5а у1 у' Я

+ — +

Ь11 + Ь22

1

Я Я А1А2 1

5

5а1 5а2

-(Б12 - Б21 ) = т3+ + т3

Ь33

А1 А2

5

5а1

5а

( И12 - И 21 ) = к ( т3+- т-);

физические соотношения упругости:

Т,. = Сц Гй. + С. Г у.; Бу = СУ Гу + с;; Г у,; N-3 = СЙГЙ + СЛ;

N31 = СУГ + СУ3Г.3;

Мй = БиКи + Б.К уу; И у = Б'уКу + БуК;

4 = Впкп + В^уу + Ь1Ь33; 4 = Ву-ку + B'Ууkj¡; Ь33 = Ь’1 + Ь"К 1 + Ь"'к22;

Ь13 = В13к13 + С1; Л13 = А13/13 + А1,

где

а.. а

С11=2к д.; с=-2к Д; Су=Сл; д=апа22- а12;

C' C12 _ 2ha885 Д2 C'' _ C21 _2hl8i Д 2 C' = C21 = 2И177• Д2 C'' C12

C C13 _ 2И155• Д3 C _ C31 _2ha^5 Д3 C' C31 _ 2И —5 Д3 C' C13

C C23 oi < и 2 11 C _ C32 Si * и 2 _ C' - C32 3l тГ rtl < rC 2 II C' C32

2И3 ait 2И3 a*,.

A* _ i/ 5 D,: 5 D*

11 3 Д1 3 Д1 ~ *

2 . ^78;

-'315 Д 3 ¿*55 a66 156;

У У' ’

D' _ 2И a88 ; D" — _ 2h ¿78 . D' — 2h ¿77 . D" — П" •

12 _ 3 Д2 5 21 _ 3 Д2 5 21 _ 3 Д2 5 12 _ 215

ъ ъ ъъ, _ ъъ,

B„ _ 2И ДУ5 вй__2hy b, _5 Д _ ъиъг1 _Ъ^

s;, _2*^l; B12 __2ЛД85 в;, _B^L B2. _2иД-, д6_ъ77ъ„_ъ^

Д6 Д6 Д6

~, 1 ~, ъ56 m+ _ m_ „, 1 „, ъ45 m2 _ m_

B13 _2И — 5 ст __2И——-----------Ц B23 _2И — 5 c2 __2h——------------------5

13 ъ 1 ъ 2 23 ъ 2 ъ 2

ъ66 ъ66 2 ъ44 ъ44 2

_2^.^- d __2h ъ56 m+ + m_ 5 13 3 ъ665 1 3 ъ,6 2И ’

d _d __2И1ъ41 m2++m2 5

d23 - г 5 d2 ~ г о/ 5

3 ъ44 3 ъ44 2и

У _ 2И—5 ъ"_ 2И—5 b'''_ 2h^25 Д7 _ b1b13 + b2b23 + b33.

Д7 Д7 Д7

К уравнениям равновесия (2.9) и соотношениям упругости (2.10) необходимо присоединить геометрические соотношения (2.6).

Представим «смягченные» граничные условия на граничном контуре Г срединной поверхности оболочки, считая, что этот контур совпадает с координатной линией а1 _ const [16, 17]:

т т * * Г"ч Г"ч * * А Т А Т * *

T11 _ T11 или u1 _ щ, S12 _ S12 или u2 _ u2, Nl3 _ N13 или w_ w ,

M11 _ M 1*1 или

K11 _ K*1, H12 _ H*2 или K12 _ K12, Ln _ L*n или к11 _ к*1,

2

Аг = Ь12 или к12 = к*2, Ь13 = или к13 = к*3, Л13 = Л*3 или /13 = /1*3.

Система уравнений (2.9), (2.10), (2.6) микрополярных ортотроп-ных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений представляет собой систему дифференциальных уравнений 18-го порядка с девятью граничными условиями (2.11) на каждом из контуров срединной поверхности оболочки Г . Это система 52 уравнений, относительно 52 неизвестных функций: V, и;, Т., Б,, и1, н>, у., О., О3,

Ж3,ж.,М..,И.., Ь.,Ь, Ь33,Ь3,Л.3, г..,г.,.,г.3,г3.,К..,К.,к.., к,.,.,к 3,/.3 .

13 3. * . . и и 33 * 13* 13* II ^ У .3 3/ ^ 7 , и и .3 * 13

В модели (2.9), (2.10), (2.6), (2.11) микрополярных ортотропных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений полностью учитывались поперечные сдвиговые и родственные им деформации.

Если в модели (2.9), (2.10), (2.6), (2.11) микрополярных упругих ортотропных оболочек для физических постоянных имеют место равенства

= = = = ц + а = = = ц-а

а44 = а55 = а55 = аб6 = а77 = а88 = • а45 = а56 = а78 = •

4ца 4ца

2Х + ц X

11 22 33 ц(3Х + 2ц)’ 12 13 23 2ц(3Х + 2ц)’

Ь44 = Ь55 = Ь55 = Ь66 = Ь77 = Ь88 = “I • Ь45 = Ь56 = Ь78 = “I •

4ув 4ву

Ь = Ь = Ь =__2^ + у_• Ь = Ь = Ь = - ^

и11 Ь22 Ь33 ~ \ • Ь12 Ь13 Ь23

у(3Р + 2у)’ ^13 ~23 2у( 3(3 + 2у)’

то будем переходить к модели микрополярных упругих изотропных оболочек [16].

Если в модели (2.9), (2.10), (2.6), (2.11) для физических постоянных имеют место равенства

а45 = а56 = а78 = 0, а44 = а55, а55 = а66, а77 = а88,

то из этой модели будет отделяться модель классической теории упругих ортотропных оболочек типа Тимошенко (с незначительным отличием связанного с принятой нами статической гипотезой Г ).

После решения краевой задачи (2.9), (2.10),(2.6), (2.11) силовые и моментные напряжения в пространственной области оболочки можем определить по следующим формулам:

_ _ 4 с1з + а 4 + 4 .

2Н 3 2Н3 ’_33 2 3 2к ’

Т, 3М ,

_ — + а

Б , + 3Н у N 3

а,.,. _ —+ а3—3., _ _—^; 4 2Н 2Н3 ,3 2Н

_3 _

N.

2Н

+а

2Н

1 э(а,т,) 1 э( А?») 1 ал,

ДА, Эа, ДА, Эа, А, А, Эа, 4

, , , , ,

-

1 1 ЭА,

------N,3 +--------------}~Т„

Я АА Эа. 77

,

'2 Л

а2 --

V

4Н3

1 Э

А А, Эа,

А, А, Эа,

1 ЭА, 1 ЭА,

-------------Н +-------------------1-мп

А А Эа , А А Эа ,,

, ,

,

и

ь

_ __"Ч "Ч

Ж - ТП:

т + т

3Л,.

+ а3 —-------; ц,3 _ — + а3—‘-3;

3 2Н ,3 2Н 3 2Н

ь

33

1Л33 _—33 + а3 —

33 2Н 3 2Н

1 Э

А1А2 Эа1 А1А Эа2

+

+Я+Я1-

+

а2 -

н

2

3

4Н

1 Э

А1А Эа1

1 Э

А1А2 Эа 2

-

На основе построенной прикладной теории микрополярно-орто-тропных оболочек (2.9), (2.10), (2.6), (2.11) в дальнейшем будут решены конкретные задачи об определении напряженно-деформированного состояния в различных оболочках, а на основе численного анализа будут выявлены специфические свойства микрополярных ортотропных материалов.

1

3

3

1

3

Данная статья является частью темы, рекомендованной в рамках конкурса на тематическое финансирование научной и научнотехнической деятельности, проведенного Государственным комитетом по науке МОН Республики Армении в 2010 году.

Библиографический список

1. Eringen A.C. Theory of Mikropolar Plates // ZAMP. - 1967. -Vol. 18, No. 1. - P. 12-30.

2. Пальмов В. А. Простейшая непротиворечивая система уравнений теории тонких упругих оболочек // Механика деформируемого тела. - М.: Наука, 1986. - С. 106-112.

3. Жилин П. А. Основные уравнения неклассической теории упругих оболочек // Динамика и прочность машин / Тр. Ленингр. политехн. ин-та. - 1982. - № 386. - С. 29-42.

4. Шкутин А.И. Механика деформаций гибких тел. - Новосибирск: Наука, 1988. - 128 с.

5. Ванин Г. А. Моментная механика тонких оболочек // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2004. - № 4. - С. 116-138.

6. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. - М.: Наука, 2008. - 280 с.

7. Rubin M.B. Cosserat Theories: Shells, Rods and Points. Dordrecht: -Kluwer, 2000.

8. Neff P.A geometrically exact planar Cosserat shell-model with microstructure: existence of minimizers for zero Cosserat couple modulus // Math. Models Methods Appl. Sci. - 2007. - Vol. 17, No. 3. - P. 363-392.

9. Birsan M. On Saint-Venant’s principle in the theory of Cosserat elastic shells // Int. J. Eng. Sci. - 2007. - Vol. 45, No. 2-8. - P. 187-198.

10. Wang F.Y. On the solutions of Eringen’s micropolar plate equations and of ather approximate equations // Inter. J. Eng. Sci. - 1990. - Vol. 28, No. 9. - P. 919-925.

11. Altenbach H., Eremeyev V.A. On the linear theory of micropolar plates // Z Angew. Math. Mech (ZAMM). - 2009. - Vol. 89, No. 4. -P. 242-256.

12. Саркисян С.О. Микрополярная теория тонких стержней, пластин и оболочек // Известия НАН Армении. Механика. - 2005. - Т. 58, № 2. - С. 84-95.

13. Altenbach J., Altenbach H., Eremeyev V. On generalized Cosserat-Type Theories of Plates and Shells: a Short Review and Bibliography // Arch. Appl. Mech. Special Issue. - doi: 10. 1007/s 00419-009-0365-3.

14. Саркисян С.О. Математические модели микрополярных упругих тонких балок // Доклады НАН Армении. - 2011. - Т. 111, № 2.

15. Саркисян С.О. Общие математические модели микрополярных упругих тонких пластин // Изв. НАН Армении. Механика. - 2011. - Т. 64, № 1. - С. 58-67.

16. Саркисян С.О. Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек // Физическая мезомеханика. - 2011. - Т. 14, № 1. - C. 55-66.

17. Саркисян С.О. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких оболочек // Доклады АН России. - 2011. - Т. 436, № 2. -С.195-198.

18. Саркисян С.О. Математическая модель микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений // Вестник Перм. гос. техн. ун-та. Механика. Математическое моделирование физико-механических процесов. - 2010. - № 1. -

С. 99-111.

19. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир,1975. - 862 с.

20. Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. - 1964. - Т. 28, вып. 3. - С. 401-408.

21. Iesen D. Torsion of Anisotropic Micropolar Elastic Cylinders /ZAMM. - 1974. - Vol. 54, No. 12. - P. 773-779.

22. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. - М.: ГИТТЛ, 1953. - 544 с.

23. Пелех, Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. - Киев: Наук. думка, 1973. - 248 с.

24. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин (нестационарные задачи). - Л.: Судостроение, 1987. - 316 с.

25. Григоренко Я.М., Васеленко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости. - Киев: Наук. думка, 1981. - 544 с.

References

1. Eringen A. C. Theory of Mikropolar Plates. ZAMP, 1967, Vol. 18, Is. 1, P. 12-30.

2. Palmov V. А. Simplest consistent system of equations of the theory of thin elastic shells [Prostejshaya neprotivorechivaya sistema uravnenij te-orii tonkikh uprugikh obolochek] Deformable Body Mechanics - Mekhanika deformiruemogo tela, Moscow, 1986, P. 106-112.

3. Zhilin P. A. Basic equations of non-classical theory of elastic shells [Osnovnye uravneniya neklassicheskoj teorii uprugikh obolochek]. Dynamics and Strength of Machines - Dinamika i prochnost' mashin, 1982, Vol. 386, P.29-42.

4. Shkutin A.I. Mechanical deformation of flexible bodies [Mekhanika deformatsij gibkikh tel]. Novosibirsk, 1988, 128 p.

5. Vanin G.A. Moment mechanics of thin shells [Momentnaya mekhanika tonkikh obolochek]. Mechanics of Solids - Izvestiya RAN. MTT, 2004, No. 4, C. 116-138.

6. Eremeev V.A., Zubov L.M. Mechanics of elastic shells [Mekhanika uprugikh obolochek]. Moscow, 2008, 280 p.

7. Rubin M.B. Cosserat Theories: Shells, Rods and Points. Dordrecht. Kluwer, 2000.

8. Neff P. A geometrically exact planar Cosserat shell-model with microstructure: existence of minimizers for zero Cosserat couple modulus. Math. Models Methods Appl. Sci., 2007, Vol. 17, Is. 3, P. 363-392.

9. Birsan M. On Saint-Venant’s principle in the theory of Cosserat elastic shells. Int. J. Eng. Sci., 2007, Vol. 45, Is. 2-8, P. 187-198.

10. Wang F.Y. On the solutions of Eringen’s micropolar plate equations and of ather approximate equations. Inter. J. Eng. Sci, 1990, Vol. 28, Is. 9, P. 919-925.

11. Altenbach H., Eremeyev V. A. On the linear theory of micropolar plates. ZAMM, 2009, Vol. 89, Is. 4, P. 242-256.

12. Sarkisjan S.O. Micropolar theory of thin rods, plates and shells [Mikropolyarnaya teoriya tonkikh sterzhnej, plastin i obolochek]. Proceedings National Academy of Sciences of Armenia. Mechanics - Izvestiya NAN Armenii. Mekhanika, 2005, Vol. 58, No. 2, P. 84-95.

13. Altenbach J., Altenbach H., Eremeyev V. On generalized Cosserat-Type Theories of Plates and Shells: a Short Review and Bibliography. Arch. Appl. Mech. Special Issue, doi 10, 1007/s 00419-009-0365-3.

14. Sarkisjan S.O. Mathematical models of micropolar elastic thin beams [Matematicheskie modeli mikropolyarnykh uprugikh tonkikh balok] Doklady NAN Armenii, 2011, Vol. 111, No. 2.

15. Sarkisjan S.O. General mathematical model of micropolar elastic thin plates [Obshhie matematicheskie modeli mikropolyarnykh uprugikh tonkikh plastin]. Proceedings National Academy of Sciences of Armenia. Mechanics -Izvestiya NAN Armenii. Mekhanika, 2011, Vol. 64, No. 1, P. 58-67.

16. Sarkisjan S.O. The general theory of micropolar elastic thin shells [Obshhaya teoriya mikropolyarnykh uprugikh tonkikh obolochek] Physical mesomechanics - Fizicheskaya mezomekhanika, 2011, Vol. 14, Is. 1, P. 55-66.

17. Sarkisjan S.O. General dynamic theory of micropolar elastic thin shells [Obshhaya dinamicheskaya teoriya mikropolyarnykh uprugikh tonkikh obolochek] Doklady RAN, 2011, Vol. 436, Is. 2, P. 195-198.

18. Sarkisjan S.O. Mathematical model of micropolar elastic thin shells with independent fields of displacements and rotations [Mate-maticheskaya model’ mikropolyarnykh uprugikh tonkikh obolochek s nezav-isimymi polyami peremeshhenij i vrashhenij]. Vestnik PGTU. Mehanika -Perm State Technical University Mechanics Bulletin, 2010, Is. 1, P. 99-111.

19. Novatskij V. Theory of elasticity [Teoriya uprugosti]. Moscow, 1975, 862 p.

20. Palmov V. А. Basic equations of asymmetric elasticity [Osnovnye uravneniya teorii nesimmetrichnoj uprugosti]. Applied Mathematics and Mechanics - Prikladnaya matematika i mekhanika, 1964, Vol. 28, Is. 3, P.401-408.

21. Iesen D. Torsion of Anisotropic Micropolar Elastic Cylinders. ZAMM, 1974, Vol. 54, №12, P. 773-779.

22. Goldenvejzer А. L. Theory of thin elastic shells [Teoriya uprugikh tonkikh obolochek]. Moscow, 1953, 544 p.

23. Pelekh B.L. The theory of shells with finite shear rigidity [Teoriya obolochek s konechnoj sdvigovoj zhestkost'yu]. Kiev, 1973, 248 p.

24. Pertsev А.К., Platonov E.G. The dynamics of shells and plates (nonstationary problems) [Dinamika obolochek i plastin (nestatsionarnye zadachi)]. Leningrad, 1987, 316 p.

25. Grigorenko YA. M., Vaselenko А. T. Theory of shells of variable stiffness [Teoriya obolochekperemennoj zhestkosti]. Kiev, 1981, 544 p.

Об авторах

Саркисян Самвел Оганесович (Гюмри, Армения) - доктор физико-математических наук, член-корреспондент НАН Армении, профессор, заведующий кафедрой, Гюмрийский государственный педого-гический институт (377526, Армения, г. Гюмри, ул. Паруйра-Севака 4, e-mail: afarmanyan@yahoo.com, slusin@yahoo.com).

Фарманян Анаит Жораевна (Гюмри, Армения) - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического

анализа и дифференциальных уравнений, Гюмрийский государственный педогогический институт (377526, Армения, г. Гюмри, ул. Паруй-ра-Севака 4, e-mail: afarmanyan@yahoo.com, slusin@yahoo.com).

About the authors

Sarkisjan Samvel Oganesovich (Gyumri, Armenia) - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Armenian NAN corresponding member, Head of the Department, The Gyumri State Pedagogical Institute (377526, 4, Parujra-Sevaka st., Gyumri, Armenia, e-mail: afar-manyan@yahoo.com, slusin@yahoo.com).

Farmanyan Anait Zhoraevna (Gyumri, Armenia) - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Ass. Professor, Department of Mathematical Analysis and Differential Equations, The Gyumri State Pedagogical Institute (377526, 4, Parujra-Sevaka st., Gyumri, Armenia, e-mail: afarmanyan@yahoo.com, slusin@yahoo.com).

Получено 3.06.2011