Сравнение трех методов синтеза однородного поля перманентного магнита в МР-томографии

СРАВНЕНИЕ ТРЕХ МЕТОДОВ СИНТЕЗА ОДНОРОДНОГО ПОЛЯ ПЕРМАНЕНТНОГО МАГНИТА В МР-ТОМОГРАФИИ

Ю.И. Неронов, В.С. Сизиков, Д.Ю. Соколов

Развивается метод эквивалентных витков определения оптимальной конфигурации осесимметричного постоянного магнита МР-томографа для формирования высокооднородного поля в зазоре магнита. При этом используется аналогия между поверхностями магнита и соответствующим набором круговых витков с током. Это позволяет при расчете поля магнита использовать формулы для магнитных полей витков с током. В методе с целью повышения однородности поля в полюсные наконечники магнита вводятся углубления сложного профиля. Параметры углублений определяются из условия минимума отклонения рассчитанного поля от однородного в некоторой рабочей области. Приведены результаты компьютерного моделирования. Произведено сравнение данного метода с методом скалярного потенциала и с методом диполей, а также с методом эквивалентного соленоида. Магнит может быть изготовлен как из сплава с высокой коэрцитивной силой, например, Nd-Fe-B, так и из мягкого железа с подпитывающей катушкой. Даны рекомендации по учету неоднородности намагниченности, по подавлению токов Фуко и по использованию данного метода в МР-томографии.

Введение

Одной из важнейших задач МР-томографии является задача формирования (синтеза) высокооднородного магнитного поля [1-6], так как только при высокой однородности поля (AH/H ~10-5 -10-6 = 1 - 10ppm) можно обеспечить получение томограмм с высоким разрешением [7, с. 51-52].

Во многих работах ([1-3, 8-16] и др.) рассматриваются перманентные (постоянные) магниты из ферромагнитных материалов. Преимущество постоянных магнитов перед сверхпроводящими и резистивными магнитами состоит в том, что постоянные магниты не требуют охлаждения жидким гелием или водой и питания электричеством. Однако они создают относительно низкие поля (0.1-0.4 Тл), но это не следует считать недостатком. В последние годы многие фирмы-производители МР-томографов (General Electric, Siemens, Toshiba и др.) стали уделять внимание выпуску среднепольных МР-томографов, поскольку повысились их технические и алгоритмические характеристики. Высокопольные томографы (с полем выше « 1 Тл) перестали иметь существенные преимущества для клинической диагностики перед средне- и даже низкопольными томографами (кроме ЯМР-спектроскопии in vivo [17], где необходимы поля > 1.5 Тл).

Расчет конфигурации (формы, геометрии) постоянного магнита, при которой формируется высокооднородное магнитное поле, требует специального алгоритмического подхода. Это связано со следующими обстоятельствами. Существует ряд хорошо разработанных методов (способов) расчета магнитных полей, создаваемых витками с током различной конфигурации (изолированные витки, соленоиды, катушки с зазором и/или пазом и т.д.) [1-6, 18-20], и все эти методы основаны на законе Био-Савара-Лапласа [1-3, 18, 21]. Сложнее обстоят дела с расчетом магнитных полей, создаваемых постоянными магнитами, и это обусловлено тем, что: а) не существует реальных магнитных зарядов-монополей [21, с. 247, 611], поэтому используются диполи, что приводит к несколько более сложному закону, чем закон Био-Савара-Лапласа; б) в постоянном магните нужно учитывать такие явления, как намагничивание и размагничивание, гистерезис, неоднородность намагниченности, токи Фуко, неоднородность материала [1-3, 18]; в) имеет место более сложный математический аппарат расчета полей постоянных магнитов [1-3, 9-13, 22-25], чем витков с током. Тем не менее, можно отметить, что для расчета постоянных магнитов развиты следующие методы [3, с. 185]: метод отношений, метод размагничивающего фактора и метод эквивалентного соленоида, а также методы скалярного и векторного потенциалов и метод диполей [1-3, 9-13, 2225]. Проанализируем некоторые из этих методов.

Метод скалярного потенциала. В работах [9, 11-13] для расчета магнитного поля, создаваемого постоянным магнитом сложной конфигурации (магнит с наконечниками и углублениями), используется скалярный магнитный потенциал u [1-3, 9, 11, 13, 21- 26]. Для потенциала u в любой односвязной области пространства, не содержащей токов, справедливо уравнение Лапласа, которое в сферических координатах записывается в виде [9, 25]:

1 д ( 2 диЛ 1 д ( . адиЛ 1 д2u .

—;--I r — | + —--1 sin0—| + —----- = 0,

r2 дг У дг J r2 sin 0 д0 v д0 J r2 sin2 0 дф2

где r, 0, ф - сферические координаты, и = и (r, 0, ф) - скалярный магнитный потенциал. При этом должны быть добавлены еще граничные условия. Напряженность магнитного поля H = H(r, 0, ф) равна

H = -grad и = -Vu .

Общее решение уравнения (1) имеет вид [9, 11, 13, 25]:

Ю Ю ( Лn , ч

u

где

P

n=0 m=0 V r0 J

m (x) = (1 - x 2 )2 ,

n У ' dxm

r0 - некоторая константа (обычно радиус сферы, внутри которой ищется решение (3)),

Pn (x) - полиномы Лежандра, РП (x) - присоединенные функции Лежандра, АПт, вПт) - коэффициенты, определяемые из граничных условий. Если, например, для заданной конфигурации магнита известны (измерены магнитометром) значения потенциала u на некоторой поверхности в ряде ее точек, то, подставляя в (3) его экспериментальные значения ui, i = 1,2,к,K, получим систему K уравнений, решая которую, найдем некоторое конечное число коэффициентов А^, вПт), n = 0,1,...,N, т = 0,1, ...,M . После этого потенциал u можно рассчитать во всех точках пространства (при r < r,) по формуле (3) с конечными верхними пределами M и N суммирования по т и n.

Если на некоторой поверхности известны производные потенциала u, т.е. компоненты напряженности поля Hx, Hу, Hz, то нужно путем дифференцирования (3) найти

Hx =-1 ^, H =__^ ^, Hz = ,

x r д0 y r sin 0 дф z дr

а затем, подставив в (4) экспериментальные значения (Hx )i, (Hy ) i, (Hz ) i, измеренные

на поверхности, получим систему уравнений относительно АПп), B^ [25].

Если же постоянный магнит и его магнитное поле симметричны относительно оси z, то потенциал u не зависит от ф и записывается в более простом виде [2, 13, 26]:

ю ( Лn

u

n=0 V r0 J

где 2п - некоторые коэффициенты, определяемые из граничных условий.

Итак, первый метод требует экспериментальных значений потенциала и (или на-пряженностей Нх, Ну, Н г ) в ряде точек на некоторой граничной поверхности. Затем

путем решения системы уравнений определяются коэффициенты АПт, вПт или 2п. И, наконец, потенциал и (г, 0, ф) или и(г, 0) рассчитывается по формуле (3) или (5) с ко-

нечными верхними пределами суммирования по т и п. Если расчетное поле не удовлетворяет требованиям однородности, то вводят изменения в форму магнита и заново выполняют перечисленные операции, в том числе, экспериментальные измерения.

Видим, что данный метод является весьма трудоемким. Тем не менее, он позволяет решать задачу синтеза поля в самом общем виде, а именно, в случае неоднородности намагниченности магнита, наличия неоднородностей в материале магнита и т. д. В работах [9-13] и др. использован на практике этот метод. Отметим, что данный метод используют также при настройке (доводке до оптимальной) однородности поля постоянного магнита МР-томографа, когда зарегистрированные в измерениях неоднородности поля устраняют путем внесения дополнительных ферромагнитных вкладышей.

Метод диполей [25]. В этом методе используются элементарные магниты - диполи [2, 18, 25]. Диполь создает в некоторой точке А магнитную напряженность [24, 25] ( 3(е р, г) г е р ^

ОН = Р Р 5 —Р ,

^ г г )

где р = т & - магнитный момент диполя, т - воображаемый магнитный заряд, О -расстояние между двумя зарядами, образующими диполь, г - расстояние от диполя до точки А, ер - единичный вектор вдоль р. Формулу (6) можно записать иначе:

3005^ г) е г - е р

= р-3-,

г

где е г - единичный вектор вдоль г.

Для сравнения приведем формулу для напряженности магнитного поля, создаваемого элементом О проводника с током I в некоторой точке А (закон Био-Савара-Лапласа) [18]:

ОН = ^1 ^,

4п -3

r

где до = 4п-10 Тл м/А - магнитная постоянная. Формула (8) часто использовалась для расчета магнитных полей, создаваемых различными проводниками с током [1-6, 18-20]. Формула (6) или (7) может быть также использована для расчета магнитных полей не отдельных диполей, а намагниченных тел (например, постоянных магнитов) путем интегрирования по телу. В частности, если тело (магнит) намагничено однородно, т.е. его намагниченность J = const, то магнитный потенциал, создаваемый всем телом в некоторой точке A, равен [24, 25] u = -(J,VV), где V- гравитационный потенциал, создаваемый однородным телом. Видим, что метод диполей является также трудоемким, однако он не требует экспериментальных измерений, как метод потенциала.

Во многих работах ([1-3] и др.) использован также метод, называемый методом эквивалентного соленоида. Этот метод основан на аналогии между полем магнита и полем поверхностных некомпенсированных амперовых токов и, как следствие, на возможности рассматривать постоянный магнит как соленоид. Однако этот метод развит лишь для случая, когда намагниченность магнита J = const, а таким свойством обладают лишь магниты эллипсоидальной формы или магниты с очень высокой коэрцитивной силой и остаточной намагниченностью [1-3]. Кроме того, метод эквивалентного соленоида практически не развит для случая, когда наконечники магнита имеют углубления сложного профиля. Наконец, метод эквивалентного соленоида в основном использовался для решения прямой задачи - расчета магнитного поля по заданной форме и размерам магнита, а для практики более важна обратная задача - расчет конфигурации магнита, при которой создается наиболее однородное поле. Данная работа посвящена дальнейшей разработке метода [15, 16], который уместно назвать методом экви-

валентных витков и который является естественным продолжением метода эквивалентного соленоида.

Суть метода эквивалентных витков

Рассмотрим постоянный магнит сложной конфигурации (рис. 1) - осесиммет-ричный магнит в виде двух половин с зазором и наконечниками, внутри которых должны быть сформированы углубления сложного профиля.

Рис. 1. Постоянный магнит сложной конфигурации

Ставится задача — найти такую форму (геометрию) магнита, в первую очередь, форму углублений, при которой формируется высокооднородное поле (более точная формулировка дана ниже). Для решения данной (обратной) задачи используем принцип Ампера об аналогии между полем магнита и полем поверхностных некомпенсированных молекулярных токов [1-3, 18]. При этом под поверхностью магнита будем подразумевать не только боковую поверхность самого магнита и его наконечников, но и его внутренние поверхности - поверхности углублений. Будем полагать, что на боковые и внутренние поверхности магнита уложены фиктивные витки с током. Отличие от метода эквивалентного соленоида состоит в том, что рассматриваются, вообще говоря, изолированные витки переменного радиуса ') (см. далее рис. 3), а задача заключается в

отыскании закона R(2') (с ограничениями). При этом полагаем, что намагниченность магнита I и плотность материала магнита одинаковы по всему объему магнита.

Напомним основные (известные) формулы для напряженности полей витков с током. Заметим, что формулы для полей соленоидов нам не потребуются.

Основные формулы для напряженности магнитного поля витков с током. Рассмотрим тонкий круговой виток с током

Н2 (г, г ) =

R2 - г 2 -Аг2 ---—— Е

(R - г)2 + Аг2

ТсЯ + г^+А2

где С1 = до I/2п, I - ток в витке (в А), R - радиус витка (в м), Аг = г - г', причем г' - г-координата центра витка (в м), Е и К - полные эллиптические интегралы соответственно 2-го и 1-го рода с модулем

к = {г/ [^ + г )2 +Аг 2]},

равные [27]

я/2 _

Е

я/ 2

К (к) = }

о

ёу

д/1 - к 2м-2

к е [0, 1),

БШ у

причем Е (0) = К (0) = п/ 2, Е(1) = 1, К (1) =

ж .

Нг Нт

Рис. 2. Тонкий круговой виток с током

Поперечная (радиальная) составляющая равна [5, 19]

Нг (г, г) =

С1 Аг

+ г )2 + Аг 2

R 2 + г 2 + Аг 2

2 2 Е

(R - г)2 +Аг2

Часто [6] поперечную составляющую не учитывают, однако в некоторых областях пространства (вблизи витка) она может быть сопоставима с продольной составляющей, поэтому мы ее учитываем.

Модуль вектора магнитной напряженности, который мы обозначим через

Нт (^ гК равен

Нт(г,г) = | Н(г,г)| = ^Н2(г,г) + Н?(г,г) .

т ' ) | "V?' )\ V" г ' ) 1 " г ' )

Частные случаи. Если точка М находится на оси витка (т.е. г = 0) и R ^ 0, то к = 0 и

Если точка M находится на витке (т.е. Az = 0, r = R), то Hz (z = zr = R) = Hr (z = zr = R) = Hm (z = zr = R) = ю .

Формулы (9)-(16), справедливые для отдельных круговых витков с током, могут быть использованы для расчета магнитного поля постоянного магнита сложной конфигурации, если представить такой магнит в виде набора (фиктивных) круговых витков с током. При этом нужно учитывать, что магнитное поле витков, уложенных в углубления, вычитается из магнитного поля витков, уложенных на боковые поверхности магнита и наконечников, поскольку направления некомпенсированных амперовых токов у них различные. Аналогично, поле витков, уложенных в «ямки», также вычитается из магнитного поля витков, уложенных на боковые поверхности магнита и наконечников, а поле витков, уложенных на «горки», складывается с магнитным полем витков, уложенных на боковые поверхности магнита и наконечников.

Рассмотрим магнит в виде двух цилиндров с полюсными наконечниками (pole pieces, pole segments) и зазором (air gap). Для повышения однородности поля в работе [8], а также [9, 10, 12, 13] и др. предложены различные варианты полюсных наконечников: с кольцевым выступом (annular projection) трапецеидальной, треугольной или кри-вообразной формы вдоль периметра наконечника, с выпуклым выступом (convex projection) дискообразной формы в центре наконечника, а также с выемкой (recess) в средине выпуклого выступа. В этих работах параметры магнита и полюсных наконечников подбирались, а затем магнитное поле рассчитывалось согласно вышеприведенному методу скалярного потенциала.

В данной работе рассмотрим магнит (рис. 1) в виде двух цилиндров с полюсными наконечниками и зазором. Внутри каждого наконечника сформируем углубление (hollow), а внутри каждого углубления - «ямку» (small pit), или выемку. В работах [9, 10, 13] внутри углубления формируется «горка» (hill), или выпуклый выступ, однако «ямка» (выемка), как показало моделирование, дает более однородное поле. Такой магнит с зазором, углублениями и «ямками» (выемками) или «горками» будем называть постоянным магнитом сложной конфигурации.

Что касается ярма (кожуха, оболочки) магнита, то в работах [8, 9] рассмотрено несколько его вариантов: ярмо (yoke) цилиндрической формы с входным отверстием, ярмо с двумя пластинами и несколькими стержнями, ярмо в виде четырехсторонней рамы с входом и др. В работе [8] предложены также устройства для усиления магнитного поля и регулирующий механизм для изменения некоторых параметров магнита (величины зазора, диаметра полюсных наконечников и др.). Однако в данной работе мы рассмотрим только метод определения оптимальной формы магнита, обеспечивающей высокую однородность поля.

Параметры магнита и углублений. Введем следующие обозначения. Параметры магнита: L - длина магнита, 5 - длина наконечника, R1 - радиус наконечника, R2 - радиус магнита, A - полудлина зазора. Формы углублений и выемок аппроксимируем прямыми линиями. Прямолинейная аппроксимация наиболее проста при математической и технической реализации, а также порождает наиболее устойчивый алгоритм. Тем не менее, в дальнейшем необходимо рассмотреть и более сложные аппроксимации.

Прямолинейной аппроксимации соответствует следующая формула для радиуса витка, уложенного в углубление, в функции z' (см. рис. 3):

Магнит сложной конфигурации

R

g

и формула для радиуса витка, уложенного в выемку:

R

P

Параметры углубления: глубина g, минимальный радиус р, максимальный радиус р + а; параметры выемки: глубина p, минимальный радиус п, максимальный радиус п + £,.

Параметры магнита L, 5, Rb R2, A будем считать заданными, а параметры углубления g, р, а, p, п, ^ подлежащими определению.

Критерий выбора параметров углублений. В качестве критерия выбора оптимальных значений g, р, а, p, п, ^ используем условие минимума отклонения рассчитанного поля от однородного [15, 16]:

е opt = min .е,

где

е = n +

g ,р,а, p,n,^

Hz

1 "

- s

+1 &

Hz

причем n - число дискретных шагов h вдоль z от z = 0 до z = A/2 . Задачу минимизации (19) можно решать, используя известные методы минимизации функционалов без ограничений и с ограничениями на искомые параметры (градиента, Ньютона, координатного спуска, проекции градиента и др.) [28].

При этом ограничения на параметры целесообразно задавать в виде:

где q1 = g, q2 = р , q3 = а, q4 = p , q5 = п, q6 = £ - искомые параметры, а значения (q*) min, (q* )max следует выбирать, исходя из физико-технических ограничений на параметры, из решения близких задач и т.д.

Результаты численного моделирования

Разработан пакет программ MAGNET для определения оптимальных конфигураций цилиндрических магнитов с зазорами и наконечниками, имеющими углубления и выемки (с целью повышения однородности полей), и для расчета их магнитных полей методом эквивалентных витков. Программы разработаны на MS Fortran 5 и Fortran 90, а графика - на MathCAD, CorelDRAW и Paintbrush. Вычисления запрограммированы с двойной точностью.

Рассмотрим пример магнита (рис. 3), имеющего следующие параметры (в мм): L = 5 = 100, R1 = R2 = 320, A = 150. Это - заданные параметры.

Для расчета компонент поля Hz (z, r), Hr (z, r) и Hm (z, r) в зазоре задавалась сетка узлов: z е [0, zmax], r е [0, rmax] с шагом дискретизации h = Az = Ar = 1 мм, где zmax = rmax = 140 мм. Суммирование по (фиктивным) виткам магнита, наконечников, углублений и выемок производилось с шагом дискретизации Az' = 0.5 мм.

Сначала рассчитывалась функция Hz (z,0) согласно (15) путем суммирования по (фиктивным) виткам, причем поля витков углублений и выемок вычитались из полей витков боковых поверхностей магнита и его наконечников. Данный расчет не требует больших затрат компьютерного времени в виду простоты формулы (15).

Искомые параметры углубления g, р, а, p, п, £ определялись путем минимизации (19)-(21) при n = 75, т.е. до z = А/2 = 75 мм. При этом к ограничениям (21) добавлялись еще условия: А должно быть кратно Az, а L, А, g иp кратны Az'.

Были получены следующие оптимальные значения параметров (в мм):

g = gopt = 810, P = Popt = 209 7, а = а opt = 90 6, Р = Popt = 35, n = nopt = 85 5, £ = £ opt = 1.4, е = в opt = 2.719 • 10-6 « 2.72 ppm.

Магнит

Полюсный наконечник

/

/

Углубление

Зазор

8

Л,

R2

Сетка узлов

-z.

Рис. 3. Пример магнита

Затем при найденных оптимальных значениях параметров была рассчитана функция Нг (0, г) согласно (9). На рис. 4 приведены две нормированные функции: И г (z,0)¡ И г (0,0) и И z (0, г )/Н2 (0,0) при оптимальных значениях параметров. Результаты, отображенные на рис. 4, качественно близки результатам японских физиков [9, 10, 12, 13]. Однако в работах [9, 10, 12, 13] в основания углублений были введены так называемые «горки» (выпуклые выступы), а в данной работе введены «ямки» (выемки), что позволило получить более однородное поле.

1.0002

0.9998

0.9996

0.9994

0.9992

0.9990

0.9988

0.9986

0.9984

0.9982

И гг(г,0) /И (С

* * N. *

И Тг(0,г )/Иг (0 \ ),0) ^ к

Ч \

1 \ \

\ \ \

1 V \

\ \

1 \ 1

1 г

10 20 30 40 50 60 70 80

90 100 110 120 130 140

Г

Рис. 4. Нормированные функции Иг

Далее были рассчитаны компоненты поля Иг (г, г), Иг (г, г) и Ит (г, г) на всей сетке узлов г, г согласно формулам (9-(14) - этот расчет требует наибольших затрат компьютерного времени. На рис. 5 приведены изолинии нормированного поля И т (г, г)/Ит (0,0). Эти результаты качественно близки результатам работы [13].

На рис. 6 для большей наглядности и информативности приведены изолинии функции (логарифм относительной неоднородности поля) | Ит (г, г) - Ит (0,0) |

Ит

причем непрерывными линиями отображены изолинии, а пунктирной линией - 50-процентная зона (рабочая зона радиуса Л/2). Видим, что рис. 6 дает более точное представление о неоднородности поля, чем рис. 5 или 4.

Замечания

1

0

Приведем следующие важные замечания математического и технического характера.

1. Если значения всех параметров Ь, 5 , , Л, g, р, а, р, п, умножить на

некоторый множитель а > 0, то, как видно из (9), (13), (15), ход относительных зависимостей И г (г, г)/И г (0,0), И г (г, г)/Иг (0,0), а значит, и вид кривых на рис. 4-6 не изменится. Лишь г и г нужно умножить на а. Другими словами, если решен некоторый частный численный пример, то из него можно получить ряд других примеров путем умножения всех параметров на ряд значений а (без решения этих примеров). Например, положив а = 1.4, получим новые значения параметров (в мм): Ь = 5 = 140,

Я1 = я2 = 448, Д = 210, % = 113.4, р = 293.58, ст = 126.84, р = 4.9, п = 119.7, £ = 1.96, И = 1.4, гтах = гтах = 196, Лг' = 0.7, Л/2 = 105. При этом в сохранит свое значение:

в = 2.719 • 10-6, а также сохранят свой вид кривые на рис. 4-6. При этом сложных пересчетов делать не нужно. Данное замечание согласуется с теоремами подобия магнитных систем [3, с. 108].

о т

J-

О 20 40 60 80 100 120 Г 140

Рис. 5. Изолинии нормированного поля Hm

2. Если постоянный магнит изготовить из мягкого железа, то это будет дешевый магнит, но мягкое железо быстро размагничивается, и потребуется непрерывное намагничивание его, например, с помощью катушки с током простой конфигурации. Кроме того, у магнита из мягкого железа будет иметь место неоднородность намагниченности J. Если же использовать высококачественный сплав, например, Nd-Fe-B (как в работах [8-10, 12, 13]), Sm-Co, РЗМ, Альнико и т.д., то это будет дорогой магнит, но для него рассмотренный метод эквивалентных витков будет давать достаточно точные результаты (поскольку в этом случае практически J = const).

3. Метод эквивалентных витков изложен применительно к идеализированному случаю однородного намагничивания магнита (J = const), что справедливо лишь для магнита эллипсоидальной формы или магнита из материала с очень большой коэрцитивной силой и остаточной намагниченностью [3, с. 203]. Кроме того, полагается, что магнит и его наконечники являются однородными. Однако на практике часто имеют

место заметные неоднородности материала магнита и наконечников. В этих случаях расчеты параметров магнита и поля данным методом можно уточнить методом скалярного потенциала или иным методом (способом), использующим измерения поля магнитометром. При этом расчеты методом эквивалентных витков можно использовать в качестве хорошего начального приближения.

Рис. 6. Изолинии логарифма относительной неоднородности поля

4. В полюсных наконечниках имеют место токи Фуко [18, с. 430], которые уменьшают добротность резонансной индуктивности, принимающей МР-сигналы. Для подавления токов Фуко предлагается изготавливать полюсные наконечники из набора изолированных стержней, параллельных оси магнита. При этом стержни целесообразно изготавливать прямоугольными в сечении, чтобы они плотно прилегали друг к другу.

Заключение

В данной работе дано развитие метода эквивалентных витков расчета конфигураций постоянных магнитов МР-томографов, создающих высокооднородные поля. Для достижения высокой однородности поля в наконечниках магнитов использованы углубления и выемки («ямки»). Для расчета полей использована аналогия между посто-

янным магнитом (а также его наконечниками, углублениями и выемками) и набором витков с током. Приведены рабочие формулы, разработаны программы и решены модельные примеры, показавшие, что данный метод позволяет в принципе (при условии постоянства намагниченности и плотности материала магнита) получать высокооднородные поля постоянных магнитов с относительной неоднородностью

АН/И ~10 -5 -10 -6 , т.е. 1-10 ppm в рабочей области, причем необходимая конфигурация магнита определяется путем чисто компьютерного моделирования без измерений поля.

Сопоставим результаты данной работы с результатами работы [15]. В работе [15] положено L = 5 = 125, R1 = R2 = 300, А = 150 и получено s = 4.493 -10-6 « 4.5 ppm, т.е. в данной работе получено более однородное поле, чем в работе [15]. Если проанализировать также результаты работ [9, 10, 12, 13, 16], то можно сделать вывод, что однородность поля повышается (АН/И понижается) с уменьшением отношения А/R, где R = (R1 + R2 )/2, а также с уменьшением L + 5 . Можно рекомендовать брать отношение А/R примерно в диапазоне 0.43-0.47.

Отметим также, что в работах [9, 13] достигнута (методом скалярного потенциала) однородность поля ¡«30-70 ppm, а в наших работах (в [15, 16] и в данной работе) «3-5 ppm, т.е. получено более однородное магнитное поле, причем примерно в одинаковых рабочих областях.

Метод эквивалентных витков можно рекомендовать для практического использования при быстром компьютерном расчете постоянного магнита сложной конфигурации применительно к МР-томографу.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-08-01304-а).

Литература

1. Коген-Далин В.В., Комаров Е.В. Расчет и испытание систем с постоянными магнитами. М.: Энергия, 1977. 248 с.

2. Афанасьев Ю.В., Студенцов Н.В., Хорев В.Н. и др. Средства измерений параметров магнитного поля. Л.: Энергия, 1979. 320 с.

3. Постоянные магниты. Справочник. Изд-е 2-е / Под ред Ю.М. Пятина. М.: Энергия, 1980. 488 с.

4. Lugansky L.B. Optimal coils for producing uniform magnetic fields // J. Phys. E: Sci. Instrum. 1987. Vol. 20. P. 277-285.

5. Тихонов А.Н., Рубашов И.Б., Арсенин В.Я. и др. О математическом проектировании конструкции ЯМР-томографа. Препринт ИПМ АН СССР, 1987. 24 с.

6. Галайдин П. А., Иванов В.А., Марусина М.Я. Расчет и проектирование электромагнитных систем магниторезонансных томографов. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2004. 87 с.

7. Сизиков В. С. Математические методы обработки результатов измерений. СПб.: Политехника, 2001. 240 с.

8. Miyamoto T., Sakurai H., Hayashi H., Ohnishi Y. Magnetic field generating device for NMR-CT // Patent US4672346. Cl. B29C67/20, C08J5/18, G01R33/383. 1987.

9. Miyamoto T., Sakurai H., Takabayashi H., Aoki M. Development of a permanent magnet assembly for MRI // J. Magnet. Soc. Japan. 1989. Vol. 13. N 2. P. 465-468.

10. Miyamoto T., Sakurai H., Yanaka S. et al. Application of Nd-Fe-B magnet to MRI systems // J. Magnet. Soc. Japan. 1989. Vol. 13. N 4. P. 567-571.

11. Abele M.G., Chandra R., Rusinek H. et al. Compensation of non-uniform magnetic properties of components of a yokeless permanent magnet // IEEE Trans. on Magnetics. 1989. Vol. 25. N 5. P. 3904-3906.

12. Miyamoto T., Sakurai H., Takabayashi H., Aoki M. A development of a permanent magnet assembly for MRI devices using Nd-Fe-B material // IEEE Trans. on Magnetics. 1989. Vol. 25. N 5. P. 3907-3909.

13. Sakurai H., Aoki M., Miyamoto T. Improvement of the field homogeneity with a permanent magnet assembly for MRI // J. Magnet. Soc. Japan. 1990. Vol. 14. N 2. P. 465-468.

14. Марусина М.Я., Казначеева А.О. Современные виды томографии. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2006. 152 с.

15. Сизиков В. С., Соколов Д.Ю. О синтезе высокооднородного поля постоянного магнита в МР-томографии // Научное приборостроение. 2006. Т. 16. № 4. С. 97-104.

16. Сизиков В.С., Соколов Д.Ю. О повышении однородности поля постоянного магнита МР-томографа // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49. № 12. С. 32-38.

17. Неронов Ю.И., Каршенбойм С.Г. Метод определения частоты резонанса ЯМР-сигналов и регистрация эффектов изотопного замещения ядер молекул водорода // Научное приборостроение. 2006. Т. 16, № 1. С. 97-101.

18. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики. Учебник. Т. 2. Электрические и электромагнитные явления. Изд-е 10-е. СПб.: Лань, 2006. 528 с.

19. Дружкин Л. А. Задачи теории поля. М.: МИРГЭ, 1964. 462 с.

20. Монтгомери Д. Получение сильных магнитных полей с помощью соленоидов. М.: Мир, 1971. 360 с.

21. Тамм И.Е. Основы теории электричества. Уч. пособие для вузов. Изд-е 11-е. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 616 с.

22. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. Ч. 3. Теория электромагнитного поля. М.: Энергия, 1969. 352 с.

23. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 5. Электричество и магнетизм. Изд-е 2-е. М.: Мир, 1977. 302 с.

24. Парселл Э. Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. Учебник для вузов. Изд-е 4-е. СПб.: Лань, 2005. 416 с.

25. Яновский Б.М. Земной магнетизм. Изд-е 4-е. Л.: ЛГУ, 1978. 592 с.

26. Корзюк В.И., Шушкевич Г.Ч. Проникновение магнитного поля в тонкую незамкнутую эллипсоидальную оболочку в присутствии проводящей толстостенной сферической оболочки // ЖТФ. 2006. Т. 76. Вып. 6. С. 9-14.

27. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Изд-е 13-е. М.: Наука, 1986. 544 с.

28. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. 536 с.