Разработка модели колонны крытого конькобежного центра в Крылатском и выбор числа конечных элементов для ее расчета

СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

УДК 69.04

РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ КОЛОННЫ КРЫТОГО КОНЬКОБЕЖНОГО ЦЕНТРА В КРЫЛАТСКОМ И ВЫБОР ЧИСЛА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЕЕ РАСЧЕТА

А.Ф. Шакиров

Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, Россия, 117198

Рассмотрены вопросы, связанные с разработкой математической модели монолитной железобетонной свободно опертой колонны крытого конькобежного центра в Крылатском и вычислением ее динамических параметров. Выполнены вычисление частот ее собственных продольных и поперечных колебаний для двух видов загружений и выбор числа конечных элементов для ее расчета.

Ключевые слова: математическая модель, свободно опертая колонна, поперечные колебания.

В последнее время большое распространение и развитие получили методы диагностики конструкций на основе анализа изменения динамических параметров конструкций или частей объекта как неразрушающие методы, наиболее поддающиеся процессу автоматизации сбора и анализа информации [1; 2].

Методы диагностики конструкций на основе анализа изменения динамических параметров конструкций нашли широкое применение при разработке стационарных автоматизированных станциях мониторинга, в том числе на крытом конькобежном центре в Крылатском (ККЦ).

В качестве основного несущего элемента покрытия ККЦ применены радиальные деревометаллические фермы, образующие двухпролетную неразрезную систему с опиранием внутренних ферм на монолитную железобетонную опору, внешних — на монолитные железобетонные колонны по скользящим опорам.

Для контроля деревометаллических ферм покрытия и несущих железобетонных колонн использовался разработанный ГУП МНИИТЭП новый способ определения технического состояния строительных конструкций и (или) их частей и их

элементов [3]. Способ определения технического состояния строительных конструкций и (или) их частей и их элементов состоит в возможности установления, для какого элемента строительной конструкции или ее части степени снижения или потери несущей способности.

Реализацию этого способа на примере монолитных железобетонных колонн условно можно поделить на два этапа. Первый этап — разработка математических моделей колонн для разных типов колонн и степеней загружения и вычисление значений требуемых динамических параметров. Второй этап — проведение измерений с помощью установленной стационарной станции мониторинга на реальном объекте, где определяются те же динамические параметры. После определения этих параметров на реальном объекте и, сравнивая результаты измерений с аналогичными величинами, судят о степени приближения несущей способности фермы к ее предельной несущей способности [4].

Для анализа зависимости изменения динамических параметров колонн ККЦ от изменения их крена и прочности необходимо вначале разработать математические модели колонн. Рассмотрим пример свободно опертой монолитной железобетонной колонны с жестким защемлением высотой 27,4 м и круглым сечением радиусом 0,5 м, что соответствует одному из типов колонн ККЦ.

С помощью методов математического моделирования вычисляют частоты основного тона и нескольких первых обертонов собственных колебаний колонны в минимально нагруженном состоянии и в максимально нормативно нагруженном состоянии, характеризующем ее предельную несущую способность. Расчетная схема железобетонной колонны представлена в виде жестко защемленного стержня.

В качестве основного метода расчета был использован программный комплекс Лира 9.2. В основу расчета колонны положен метод конечных элементов в перемещениях. Задача рассматривалась как плоская, состоящая из стержневых элементов; расчет производился на статические и динамические воздействия, был проведен модальный анализ (определение периодов и форм собственных колебаний). Ниже приведены результаты модального анализа колонны для двух видов загружений: с учетом только собственного веса и с дополнительной массой 100 т.

Таблица 1

Значения частот собственных (вертикальных) колебаний монолитной железобетонной свободно опертой колонны с учетом ее веса

№ формы Частота, Гц, 40 КЭ Частота, Гц, 20 КЭ Частота, Гц, расчет по формулам Разница, % 40/20 Разница, % 40/фор Разница, % 20/фор

Основной тон 32,827 32,824 32,850 0,01 0,07 0,08

1-й обертон 98,355 98,270 98,549 0,09 0,20 0,28

2-й обертон 163,505 163,109 164,249 0,24 0,45 0,70

3-й обертон 228,026 226,944 229,948 0,48 0,84 1,32

4-й обертон 291,676 289,379 295,648 0,79 1,34 2,17

5-й обертон 354,215 350,029 361,347 1,20 1,97 3,23

Таблица 2

Значения частот собственных (вертикальных) колебаний монолитной железобетонной свободно опертой колонны с учетом ее веса и массы 100 т

№ формы Частота, Гц, 40 КЭ Частота, Гц, 20 КЭ Частота, Гц, расчет по формулам Разница, % 40/20 Разница, % 40/фор Разница, % 20/фор

Основной тон 14,083 14,082 14,091 0,01 0,05 0,06

1-й обертон 69,018 68,954 69,077 0,09 0,08 0,18

2-й обертон 132,948 132,516 133,162 0,33 0,16 0,49

3-й обертон 197,710 196,307 198,285 0,71 0,29 1,01

4-й обертон 262,454 259,180 263,689 1,26 0,47 1,74

5-й обертон 326,910 320,576 329,212 1,98 0,70 2,69

Таблица 3

Значения частот собственных (горизонтальных) колебаний монолитной железобетонной свободно опертой колонны с учетом ее веса

№ формы Частота, Гц, 40 КЭ Частота, Гц, 20 КЭ Частота, Гц, расчет по формулам Разница, % 40/20 Разница, % 40/фор Разница, % 20/фор

Основной тон 0,670 0,670 0,671 0,04 0,13 0,17

1-й обертон 4,192 4,185 4,204 0,15 0,30 0,45

2-й обертон 11,718 11,690 11,772 0,24 0,46 0,71

3-й обертон 22,925 22,847 23,067 0,34 0,63 0,96

4-й обертон 37,833 37,666 38,130 0,44 0,79 1,23

5-й обертон 56,418 56,112 56,955 0,55 0,96 1,50

Таблица 4

Значения частот собственных (горизонтальных) колебаний монолитной железобетонной свободно опертой колонны с учетом ее веса и массы 100 т

№ формы Частота, Гц, 40 КЭ Частота, Гц, 20 КЭ Частота, Гц, расчет по формулам Разница, % 40/20 Разница, % 40/фор Разница, % 20/фор

Основной тон 0,228 0,228 0,228 0,01 0,06 0,08

1-й обертон 3,031 3,030 3,032 0,02 0,06 0,08

2-й обертон 9,627 9,625 9,633 0,02 0,06 0,08

3-й обертон 19,979 19,975 19,991 0,02 0,06 0,09

4-й обертон 34,095 34,085 34,116 0,03 0,06 0,12

5-й обертон 51,975 51,947 52,007 0,05 0,06 0,16

Предварительно колонна была рассмотрена в виде 20 конечных элементов (КЭ) и был осуществлен расчет. Были вычислены частоты, отдельно, продольных и поперечных колебаний до пятого обертона колебаний включительно. В целях определения точности расчета колонна также была рассчитана с разбивкой на 40 КЭ. В таблицах 1—4 приведены также сравнения значений обоих расчетов в процентах. Для сравнения, частоты были также вычислены математическим способом по формулам.

Частоты и периоды колебаний вычислялись следующим образом.

Для продольных колебаний с учетом только собственного веса. Уравнение колебаний:

д 2и _ 1 д 2и )

дЛ2 ~ ~^~дГ'

Общий вид частных решений уравнения колебаний (1):

inx ( . inat . inat Л

Ui = cos---------1 A cos-+ B, sin----------------------------I.

г l ^ l l )

Для стержня, один конец которого закреплен, а другой остается незакрепленным, с учетом соответствующих концевых условий находим следующие значения частот и периодов различных форм колебаний:

_ina _ 2п

Р, -7 > i 1,3,5,...

21 Pi

Общее решение для продольных колебаний получаем суммированием всех решений, что дает [6. С. 328]:

ina( . inat . inatЛ

U¡ = / , „ ' sin---1 A cos------+ B: sin---I.

i ¿-^U.5.... 2l ^ 2l 2l )

Для частот продольных колебаний с учетом дополнительной массы. Выражение для i-й формы колебаний [6]:

Ui = Xi

Для частот поперечных колебаний — с учетом только собственного веса. Уравнение колебаний:

э4 y _ 1 э2 y

Эх4 a2 dt2

Общее выражение для нормальной функции в следующей эквивалентной форме:

X = C1(coskx + ch kx) + C2(coskx - ch kx) +

+ C3(sin kx + sh kx) + C4(sin kx - sh kx).

Из соответствующих концевых условий получаем частотное уравнение [6]:

cos klchkl = -1.

Для частот поперечных колебаний — с учетом дополнительной массы. Основное дифференциальное уравнение:

yIV +1 y = 0,

a

[ej

где а = J—,

V m

y = -p2X

где p — частота колебаний.

Учитывая результаты работы [5], и анализируя результаты расчета, можно сделать вывод, что разбивка колонны на 40 конечных элементов позволила реализовать расчет с достаточной точностью. Таким образом, в качестве рационального числа расчетного количества конечных элементов математической модели для расчетной схемы монолитной железобетонной свободно опертой колонны принято число 40.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Дорофеев В.М. Вопросы безопасности эксплуатации спортивных сооружений с большепролетными конструкциями // Строительство и недвижимость. — 2007. — № 22.

[2] Гурьев В.В., Дорофеев В.М., Лысов Д.А. Опыт проектирования автоматизированных систем мониторинга технического состояния зданий и сооружений с большепролетными конструкциями. [Электронный ресурс] / Строительная наука. — М., 2008. Режим доступа: http://www.stroinauka.ru.

[3] Гурьев В.В., Дорофеев В.М., Лысов Д.А. Патент РФ № 2341623. Способ определения технического состояния строительных конструкций и/или их частей и их элементов.

[4] Дорофеев В.М., Лысов Д.А., Хайнер Е.П. К вопросу о контроле состояния ферм крытого Конькобежного центра в Крылатском // Промышленное и гражданское строительство. — 2009. — № 1.

[5] Дорофеев В.М., Булыкин И.И., Назьмов Н.В. Методика определения периода и логарифмического декремента основного тона собственных колебаний зданий и сооружений // Промышленное и гражданское строительство. — 2006. — № 4.

[6] Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле / Под ред. Э.И. Гри-голюка. — М.: Машиностроение, 1985.

THE ELABORATION OF COLUMN MODEL OF SKATING FIELD HOUSE IN KRYLATSKOE AND SAMPLING OF NUMBER OF FINITE ELEMENTS FOR ITS CALCULATION

A. Shakirov

Peoples’ Friendship University of Russia

Mikluho-Maklaja str., 6, Moscow, Russia, 117198

The elaboration of mathematical model of monolithic concrete free-ended column of Skating field house in Krylatskoe and calculation of its dynamic parameters. The calculations of frequencies of selfinduced longitudinal and lateral vibrations for two types of loadings and sampling of number of finite elements for its calculation.

Key words: mathematical model, free-ended column, lateral vibrations.