Применение математической модели турбулентного движение жидкости для прогнозирования значений обменных курсов

УДК 330.43

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ОБМЕННЫХ КУРСОВ

© 2017

Мусин Артур Рустамович, аспирант кафедры «Бизнес-статистика» Московский финансово-промышленный университет «Синергия»

Аннотация. Цель: данная работа посвящена демонстрации разработанной нелинейной модели, основанной на математической теории турбулентного движения несжимаемой вязкой жидкости. В качестве основы модели выступает уравнение, предложенное И. М. Бюргерсом. Данное уравнение является простейшей математической моделью, позволяющей описать турбулентную динамику вязкой жидкости. Его модификация, реализованная в предлагаемой автором модели, позволяет строить более точные прогнозы будущего направления приращения уровня временного ряда по сравнению с моделью случайного блуждания. Методы: разработанная модель была применена для прогнозирования направления движения ряда обменного курса евро к доллару США (EURUSD). В качестве выборки значений временного ряда использовались четырехчасовые данные, выгруженные за период с 01.12.2016 по 31.03.2017. В качестве простейшей оценки коэффициентов модели был использован метод наименьших квадратов. Результаты: несмотря на краткость приведенных выкладки и результатов, данная работа демонстрирует возможности применения математических моделей, используемых в физических исследованиях, для моделирования процессов и описания движений временных рядов и, в частности, для прогнозирования данных финансового рынка. Также приведенные в работе результаты свидетельствуют об определенной эффективности такого прогнозирования. С численной точки зрения применение разработанной модели на данных тестового множества позволило увеличить точность прогноза направления движения временного ряда на 15,9% по сравнению с моделью случайного блуждания. Практическая значимость: разработанная модель имеет наглядную физическую и интуитивную интерпретацию и может быть использована для прогнозирования направления будущих изменений значений временных рядов финансовых рынков, и в частности рынка обменных курсов.

Ключевые слова: теория турбулентного движения жидкости, уравнение Бюргерса, временные ряды, прогнозирование, финансовые рынки, обменные курсы, фильтр Калмана, модель случайного блуждания, нестационарность.

APPLYING MATHEMATICAL MODEL OF FLUID TURBULENT DYNAMICS TO FORECASTING

EXCHANGE RATES TIME SERIES

© 2017

Musin Artur Rustamovich, post-graduate student business statistic department,

Moscow University for Industry and Finance "Synergy"

Abstract. Aim: the following article is focused on demonstration nonlinear model developed that is based on mathematical theory of incompressible and viscous fluid's turbulent dynamics. Burger's equation stands in a role of the basic model. This equation is the simplest mathematical model, allowing to simulate turbulent dynamics of viscous fluid. Its modification that is realized in promoting model allows to build more precise forecasts of future time series returns in contrast of random walk model. Methods: the model developed was applied to forecasting future returns of euro's exchange rate against US dollar (EURUSD). Data set, used in paper, contained time series' four hours values for the period since 01.12.2016 till 31.03.2017. OLS was used as the simplest technique for estimation model's coefficients. Results: although the presentation of results obtained is rather tight, the following article demonstrates the possibility of application physics models for modeling and describing time series behavior, and in particular for forecasting financial markets' data. There also exists an evidence presented in this paper that such forecasting has certain degree of effectiveness. From the quantitative point of view, applying developed model on testing data set allowed to increase preciseness of forecast future time series returns for 15,9% comparing with random walk model. Practical value: the model developed has descriptive physical and intuitive interpretation and can be applied for forecasting future time series returns and in particular series of exchange rates market.

Keywords: theory of turbulent fluid dynamics, Burger's equation, time series, forecasting, financial markets, echange rates, Kalman filter, random walk model, nonstationarity.

Временные ряды финансовых рынков как объект научного и прикладного исследования узкой группы специалистов за последние десятилетия переместились в область, привлекающую внимание широкой аудитории. Постоянные упоминания об изменении обменных курсов и котировок компаний ведущих отраслей занимают значительную часть в СМИ. Прогнозированием будущих движений обменных курсов, занимаются как частные лица, например, для планирования расходов в заграничных поездках, так и правительства стран, например, для планирования бюджета. Несмотря на повышенное внимание к данной проблеме как со стороны широкой публики, так и со стороны квалифицированных специалистов и ученых, прогнозирование временных рядов финансовых рынков продолжает оставаться непростой задачей, актуальной для корпоративных заемщиков и инвесторов, трейдеров и управляющих портфелями [1], компаний импортеров и экспортеров, брокеров и аналитиков. Как известно, данные финансовых рынков обладают рядом проблем: наличие «острого пика» и «тяжелых хвостов» распределения, нестационарность значений ряда, гетероскедастичность, выражающаяся в кластеризации волатильности данных. На сегодняшний день существует ряд инструментов и моделей, по-

зволяющих с определенной степенью эффективности бороться с данными проблемами. Например, классическими методами снижения влияния статистических выбросов на результаты оценки моделей являются преобразования взятия первых разностей или логарифма относительных приращений ряда. В качестве традиционных моделей прогнозирования и описания временных рядов необходимо отметить модели авторегрессии скользящего среднего и ее интегрированную версию (ARMA и ARIMA) [2] и [3], модель авторегрессионной условной гетероскедастичности и ее обобщенную версию (ARCH и GARCH) [4], а также их агрегированные аналоги, например, модели GARCH с процессом ARMA - ARMA-GARCH. Применение моделей ARIMA позволяет снизить эффект автокорреляции в данных, в то время как применение моделей GARCH позволяет учесть эффекты присутствия гетероскедастичности дисперсии. Несмотря на значимые оценки и неплохое качество аппроксимации данных, такие модели, как правило, не позволяют получить более точный прогноз по сравнению с моделью случайного блуждания (RW), считаемую рядом экономистов наиболее простой и приближенной к реальности [5]. Действительно, как продемонстрировал ряд исследований, например, [6], традиционные модели

типа ARMA и GARCH, несмотря на возможность учитывать индивидуальные особенности и статистическую структуру исследуемых рядов, с точки зрения прогнозной способности не имеют преимуществ над моделью случайного блуждания (RW). Одной из возможных причин отсутствия преимуществ в использовании традиционных моделей перед моделью случайного блуждания может являться нестационарность исследуемых временных рядов. Как известно, для построения моделей типа ARMA и ARCH требуется стационарность временных рядов [7], [8]. Существует ряд способов снижения нестационарности, например, описанный выше метод взятия логарифма относительного приращения последовательных значений ряда. Однако возможность применения данного метода является ограниченной. Например, в работе [9] показано, что при увеличении частоты поступления данных, помимо увеличения присутствия шума также усиливается проблема нестационарности ряда. Другими подходами к прогнозированию временных рядов финансового рынка в условиях нестационарности, являются динамические факторные модели, представленные в форме пространства-состояния (state-space) [10], оцененные с помощью фильтра Калмана [11] и [12]. Как показано, например, в работе [13], использование фильтра Калмана как оптимального рекурсивного решения [14] на каждом временном шаге t, позволяет строить модели на нестационарных временных рядах. Другой возможностью прогнозирования нестационарных временных рядов является использование искусственных нейронных сетей [15], [16] позволяющих учитывать нелинейный характер связей в данных. Однако использование нейронных сетей как мощного алгоритма прогнозирования обладает рядом недостатков. Такими недостатками являются нетривиальность вычислительного алгоритма и отсутствие наглядной физической и интуитивной интерпретации. Данная работа посвящена демонстрации разработанной модели, имеющей, в отличие от искусственных нейронных сетей, интуитивную интерпретацию и позволяющую описать важнейшие свойства динамики финансовых рынков. Основой представляемой модели является предложенное Бюргерсом [17] уравнение (1), описывающее физическое явление турбулентного движения несжимаемой вязкой жидкости.

щ + аиих + vnxx = f{x, t)~

где ut представляет собой частную производную обменного курса u (EURUSD) по времени t, f(pc, t) обозначает фундаментальное внешнее воздействие периодического характера, влияющее на динамику системы, vuxx является диффузионной составляющей, иллюстрирующей рыночное свойство стремления к равновесной (справедливой) цене, аиих является импульсом движения котировок к более высокой (низкой) цене, их представляет собой приращение цены внутри определенного периода времени t по координате х (частную производную обменного курса u по х), являющейся, как будет описано далее, более коротким временным промежутком, чем t.

Целью данной работы является краткая демонстрация возможностей уравнения (1). Перед тем, как перейти к основному исследуемому уравнению, необходимо более детально описать структуру уравнения (1) и природу его компонент [18]. С точки зрения общей структуры, уравнение (1) является аналогом стохастического диффузионного процесса Ито [19] (Ito's diffusion process), применяемого для описания эволюции значений временных рядов финансового рынка (в данной работе, последовательности значений обменного курса). Данный процесс является обобщенным случаем Винеровского процесса, обладающего дрифтовой (drift term) и вариационной компонентами. Дрифтовая компонента отвечает за скорость изменение среднего значения процесса во времени и умножается на приращение по времени St, ва-

риационная компонента представляет собой вариацию Винеровского процесса. Предлагаемая в данной работе модель, которая будет описана далее, является частично схожей с моделями, представленными в работах [20] и [21]. Для построения данных моделей авторы исключили из уравнения (1) члены аиих и vuxx. а в качестве fix, t) использовали элементы системы стохастических дифференциальных уравнений Капассо-Бианчи [22], применяемой для моделирования популяции животных (аналог явления ценового «столпотворения» на рынке - явления ориентирования участвующих трейдеров друг на друга при выставлении ордеров). Данная аналогия является правдоподобной, так как установление рыночной цены финансового инструмента (обменного курса) в большинстве случаев является процессом, вовлекающим множество участников рынка (трейдеров, групп трейдеров), таким образом, их можно считать отдельными элементами большой популяции. Используя уравнение (1), где их является спрэдом между котировками в ордерах группы трейдеров (0 < х < 1), и принцип моделирования взаимодействия между отдельным индивидуумом (трейдером) k и популяцией, состоящей из N элементов, авторы работы [21] получили модель, позволяющую спрогнозировать значение котировки выставляемой трейдером k в момент времени t. Данная модель обладает рядом недостатков. Во-первых, она является применимой для моделирования поведения (выставления цен ордеров) ограниченного числа гомогенных трейдеров. В действительности, на любом финансовом рынке, и в большей степени рынке обменных курсов, может присутствовать значительное множество гетерогенных участников, преследующих различные цели и обладающих различным видением ситуации. Во-вторых, для реального применения любой модели из работ [20] или [21] необходимо иметь информацию о выставленных котировках каждого участника (трейдера), что в действительности является практически невозможным. В-третьих, как было отмечено выше, все данные модели получаются из уравнения (1) путем исключения компонент аиих и vtiit. и использования исключительно определенного выражения для внешнего воздействия fix, t). Сходством представляемой в данной работе модели с описанными выше является принцип построения функции fix, t), состоящей из трех следующих компонент: элемента, отвечающего за стремление котировок к постепенному возврату к среднему, элемента, отвечающего за сезонную и трендовую составляющую рынка и элемента, описываемого броуновским движением, и отвечающего за нормальное распределение флуктуаций вокруг среднего. Главной отличительной особенностью представляемой модели является замена в множестве значений х котировок отдельных трейдеров агрегированными значениями временного ряда (обменного курса). Таким образом, в представляемой модели переменная t, как и в моделях [20] и [21], отвечает за момент времени. В то время как переменная х также представляет собой момент времени, однако более короткий, чем t, таким образом, что между любыми последовательными промежутками времени tk и tfc+1, содержится множество значений временных отсечек х. Другими словами, u(t) является значением временного ряда в момент времени t (в работе четырехчасовые данные), в то время как и(х) является значением временного ряда в более короткий момент времени х (в работе тридцатиминутные данные). Использование в качестве и(х) вместо значений котировок отдельных трейдеров агрегированные значения рыночных котировок в момент времени x, позволяет учитывать факт участия в торгах неограниченного числа гетерогенных участников. Другой особенностью разработанной модели является возврат к использованию элементов моментной аиих и диффузионной составляющих. Использование их в модели позволяет учитывать такие особенности функционирования рынка, как стремление рынка к возврату в равновесное состояние (

ихх) и инертность рынка или стремление его участников следовать локальным трендам (иих). Представляемая в данной работе модель приведена в уравнении (2).

du(x, t) + аи(х, t)их(х, t)dt + vихх(х, t)dt —

+¡-t{u (х, í) — д (х, í) ) dt + dBt'

где u(x, t) является значением временного вяда для периода времени t в момент времени х, их(х, t) является средним значением частных производных первого порядка от уровня временного ряда по времени х внутри периода времени i. uxx(x,t) является средним значением частных производных второго порядка от уровня временного ряда по времени х внутри периода времени I. ита (t) представляет собой трехпериодную экспоненциальную скользящую среднюю по времени I. что позволяет учесть период всей дневной торговой сессии на используемых в модели 4 часовых данных, ¡tp(t) является значением временного ряда в момент времени t. с исключенной трендовой и сезонной составляющей, д (a, í) является наиболее удаленным от среднего по времени х значения и(х, i). dBt - составляющая нормально распределенных случайных флуктуаций относительно среднего значения ряда u(x, t).

В качестве фильтра, позволяющего выделить трендо-вую и сезонную компоненту исследуемого временного ряда u(x, t) для каждого момента времени t, использовался фильтр Кристиано-Фиджеральда (Cliristiano-Fizgerald) [23]. Для данного фильтра, как и для оценки ¡ima(t), использовалась трехпериодная, но уже простая скользящая средняя. Оценка коэффициентов а, v, в, 4 и ц модели (2), проводилась с помощью метода наименьших квадратов МНК. В качестве данных для построения модели, использовались значения обменного курса EURUSD1 выгруженные за период с 01.12.2016 по 31.03.2017. Частота дискретизации для временных шагов t и x составила 4 и 0,5 часа соответственно. Построение проводилось в статистическом пакете Stata 12. Результаты построения приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Оценка коэффициентов модели (2) МНК

Параметры модели Коэффициента] Стандартная ошибка t-статистика Р-значение

¡> 1,43 0.01 134.99 0,00

0,00 0,00 1,75 0.0S

и 0,04 0.01 4," 0,00

и -0,06 0,01 -7,34 0,00

V 0,01 0,01 1J4 0.21

Биквадрат 0.9S

Стандартная ошибка 0,01

Наблюдения 3S2

Как видно из таблицы 1, результаты оценки коэффициентов модели получились статистически значимыми (p-значения трех коэффициентов <0,001, одного 0,08), кроме оценки коэффициента v, имеющего физический смысл коэффициента вязкости уравнения движения жидкости, или в данном случае скорость стремления значений обменного курса к состоянию равновесия. Как показано в работе [24], в случае исключения данного коэффициента (вязкости) из уравнения Бюргерса (1), его решение может представлять собой интегральную траекторию с разрывами. Таким образом, также не следует исключать данный коэффициент из уравнения (2). В качестве дополнительной проверки качества построенной модели на рисунке 1 приведены значения временного ряда EURUSD и его прогнозов, полученных с помощью модели (2) и модели случайного блуждания (RW). Построение выполнено на тестовом множестве (период с 01.03.2017 по 31.03.2017, приращению в 1 шаг по оси X соответствует временной шаг в 4 часа).

Рисунок 1 - Иллюстрация временного ряда EURUSD и его прогнозов с помощью модели (2) и модели случайного блуждания (RW)*

Как видно из рисунка 1, прогнозы, полученные с помощью модели (2) обладают большей средней ошибкой по сравнению с моделью случайного блуждания (RW). Однако, как можно видеть из результатов, приведенных

в таблице 2, модель (2) позволяет чаще предсказывать правильное направление движения ряда EURUSD.

Таблица 2 - Результаты применения модели 2 и модели случайного блуждания (RW).

Модель (2) RW

Средняя относительная ошибка 0,16% 0,12%

Минимальная относительная ошибка 0,03% 0,00%

Максимальная относительная ошибка 1,01% 1,03%

% правильных прогнозов направления 51% 44%

Основным выводом данной работы является подтверждение возможности применения разработанной модели (2) для прогнозирования временных рядов валютного рынка. Элементы представленной модели имеют натуральную экономическую интерпретацию особенностей присущих для любых финансовых рынков. Дальнейшим направлением исследования может являться калибровка данной модели, при помощи варьирования составляющих внешнего воздействияf (x, t), а также с помощью применения более мощных методов оценки коэффициентов, в частности фильтра Калмана.

*Данные котировок

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Сорокин А.С., Дьяков В.Ф. Управление инвестиционным портфелем акций российских эмитентов на основе метода регрессионного анализа // Математика, статистика и информационные технологии в экономике, управлении и образовании материалы II Международной научно-практической конференции. 2013 - с. 50-55.

2. Box, G.E.P. and G.M. Jenkins. Time Series Analysis: forecasting and control // Holden Day. - 1970. - pp. 575576.

3. Kohn, R. and Ansley C. F. Estimation, prediction, and interpolation for ARIMA models with missing data // Journal of the American Statistical Association. - 1986. -pp. 751-761.

4. Bollerslev, Tim. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity // Journal of Econometrics. - 1986.

- pp. 307-327.

5. Newbold, P., Rayner, T., Kellard, N. and Ennew, C. Is the dollar/ECU exchange rate a random walk? // Applied Financial Economics. - 1998. - pp. 553-558.

6. Meese, R.A. and Rogoff, K. Empirical exchange rate models of the seventies: do they fit out of sample? // Journal of International Economics, Vol. - 1983. - pp. 3-24.

7. Brooks, C. Linear and non-linear non-forecastability of high-frequency exchange rates // Journal of Forecasting.

- 1997. - pp. 125-145.

8. Мусин, А.Р. Проблема нестационарности временных рядов при построении эконометрических моделей на данных финансового рынка // Научные исследования и разработки молодых ученых: сборник материалов XV международной молодежной научно-практической конференции 7 декабря, 30 декабря 2016 г., Новосибирск / ФГБОУ ВО «Новосибирский государственный технический университет» - Новосибирск. 2016. - с. 158-164.

9. Bolland, J., Connor, J. T. Estimation of intraday seasonal variances // Technical Report, London Business School. - 1996. - pp. 3-5.

10. Поршаков, А., Дерюгина, Е., Пономаренко, А., Синяков, А. Краткосрочное оценивание и прогнозирование ВВП России с помощью динамической факторной модели // Серия докладов об экономических исследованиях. №2. - 2015. - с. 6-35.

11. Kalman, R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. ASME, J. Basic Engineering.

- 1960. - pp. 94-135.

12. Kalman, R.E., Bucy, R.S. New results in linear filtering and prediction theory // Trans. ASME, J. Basic Engineering. - 1960. - pp. 95-107.

13. Мусин, А.Р. Использование фильтра Калмана для построения моделей на данных финансового рынка

// Прикладные статистические исследования и бизнес-аналитика: материалы II межд. науч.-практ. конф. 1220 декабря 2016 г., Москва / ФГБОУ ВО «Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова» -Москва. 2016. - с. 28-31.

14. Сорокин, А.С., Мусин, А.Р. К вопросу применения фильтра Калмана в эконометрических моделях // Наука и практика. №1 (25). 2017. - с. 71-76.

15. Franses, P.H., Griensven, K.V. Forecasting exchange rates using neural networks for technical trading rules // Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics. - 1998. - pp. 109-114.

16. Сорокин, С.В., Сорокин, А.С. Использование ней-росетевых моделей в поведенческом скоринге // Прикладная информатика. - 2015. № 2 (56). - с. 92-109.

17. Weinan, E., Khanin, K., Mazel, A., Sinai, Ya. Invariant measures for Burgers equation with stochastic forcing // Annals of Mathematics (2). - 2000. v. 151. № 3. pp.877960.

18. Колмогоров, А. Н. Математические модели турбулентного движения несжимаемой вязкой жидкости // Успехи Математических Наук. №1(355). 2004. - с. 5-10.

19. Ito, K. On stochastic differential equations // Mem. Amer. Math. Soc. 4. - 1951. - pp. 1-51.

20. Jablonska, M. From Fluid dynamics to human psychology. // PhD thesis, Lappeenranta University of Technology. - 2011

21. Jablonska, M., Kauranne, T. Multi-agent stochastic simulation for the electricity spot market price // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. - 2011. -pp. 3-14.

22. Bianchi, A., Capasso, V., Morale, D. Estimation and prediction of a nonlinear model for price herding // Complex Models and Intensive Computational Methods for Estimation and Prediction. - 2005. - pp. 365-370.

23. Christiano J. Lawrence, Fitzgerald, J. Terry. The Band Pass Filter // Working Paper 9906, Federal Reserve Bank of Cleveland. -2003.

24. LeVeque, R. Numerical Methods for Conservation Laws // Lectures in Mathematics, Birkhauser. - 1992. - pp. 23-37.

Статья поступила в редакцию 30.04.2017.

Статья принята к публикации 22.06.2017.