Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами или гиперболами

УДК 517.938.5

ОПИСАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ СИСТЕМЫ БИЛЬЯРДА В ОБЛАСТЯХ, ОГРАНИЧЕННЫХ СОФОКУСНЫМИ ЭЛЛИПСАМИ ИЛИ ГИПЕРБОЛАМИ

В. В. Фокичева1

Изучается интегрируемая система — бильярд в области, ограниченной софокусны-ми эллипсами и гиперболами, которая возникает при описании движения точки внутри области с естественным отражением на границе. Вычислен топологический инвариант ли-увиллевой эквивалентности таких систем — молекула Фоменко—Цишанга — с помощью нового метода, разработанного автором.

Ключевые слова: интегрируемая система, бильярд, лиувиллева эквивалентность, молекула Фоменко—Цишанга.

An integrable system that is a billiard in a domain bounded by confocal ellipses and hyperbolas is studied. This system arises in the description of the motion of a point inside this domain with natural reflection from the boundary. The topological invariant of Liouville equivalence of such systems, namely, the Fomenko-Zieschang molecule, is calculated using a new method developed by the author.

Key words: integrable system, billiards, Liouville equivalence, Fomenko-Zieschang molecule.

1. Введение. Рассмотрим следующую динамическую систему, называемую бильярдом в области. Дана замкнутая кусочно-гладкая кривая на плоскости (при этом все углы в точках излома равны 90°), заметим, что кривая не предполагается связной. Точка движется внутри компактной области Q, ограниченной этой кривой, и отражается на границе по естественному закону (угол падения равен углу отражения), а в точках излома границы движение продолжается по непрерывности. Эта система, описываемая на кока-сательном расслоении к области Q (точка этого расслоения задается как точка в области и касательный вектор в точке к области), обладает естественным интегралом — модулем вектора скорости. В некоторых случаях данная система имеет второй интеграл, например движение точки внутри прямоугольного стола. Здесь, очевидно, сохраняется синус угла между вектором скорости точки и горизонтальной прямой. Эту двумерную задачу можно обобщить, рассматривая движение точки в произвольной компактной области с кусочно-гладкой границей в Rn. В результате возникают многомерные бильярды.

В данной работе рассматривается бильярд в плоской, компактной и необязательно выпуклой области, ограниченной софокусными квадриками (эллипсами и гиперболами). Более точно, будем рассматривать компактные, связные и необязательно выпуклые области, на границе которых нет точек излома с углами 270°. В этом случае все углы в точках излома равны 90°, поскольку известно, что софокусные квадрики пересекаются всегда под прямыми углами. В книге [1] замечено, что эти динамические системы являются вполне интегрируемыми по Лиувиллю (т.е. имеется дополнительный независимый интеграл Л), а именно интегрируемость данных систем эквивалентна малой теореме Понселе. Известно также, что неособая связная поверхность уровня интегралов (модуля вектора скорости движущейся точки и дополнительного Л

трехмерном многообразии Q3 слоение Лиувилля мы будем описывать с помощью теории меченых молекул Фоменко-Цишанга. Четырехмерное фазовое пространство данной системы расслоено на трехмерные поверхности уровня постоянной энергии. В свою очередь эти трехмерные изоэнергетические поверхности расслоены на торы Лиувилля и особые слои. Это слоение называется слоением Лиувилля. Его топологию можно описывать, используя теорию меченых молекул Фоменко-Цишанга, а именно слоения Лиувилля классифицируются с помощью инварианта Фоменко-Цишанга, называемого "меченой молекулой" и являющегося одномерным графом, на ребрах которого поставлены некоторые числовые метки, а вершинами служат "атомы" — бифуркации (см. ниже). Следовательно, задача лиувиллевой классификации указанных выше интегрируемых бильярдов будет решена, если нам удастся вычислить инвариант Фоменко-Цишанга (подробнее см. книгу [2]).

Скажем несколько слов об истории вопроса. Интегрируемость бильярда в эллипсе была упомянута Дж. Д. Биркгофом [3], он показал, что эта система получается из интегрируемой системы геодезического потока [4] на эллипсоиде (задача Якоби) устремлением малой полуоси эллипсоида к нулю. Далее, в книге В. В. Козлова и Д. В. Трещева [1] говорится об интегрируемости плоских бильярдов в областях, ограни-

1 Фокичева Виктория Викторовна — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: arinirQyandex .ru.

ченных любым набором софокусных квадрик. Аналитические и топологические свойства таких бильярдов изучалась многими авторами с разных точек зрения. Например, были исследованы периодические траектории. В работах [5] и [6] В. Драгович и М. Раднович применили к задаче лиувиллевой классификации интегрируемых плоских бильярдов, ограниченных софокусными квадриками, теорию меченых молекул Фоменко-Цишанга. Для большинства таких систем искомые инварианты были вычислены. Однако в некоторых случаях были допущены неточности (см. ниже).

В настоящей работе мы даем полную лиувиллеву классификацию всех плоских бильярдов в областях, ограниченных софокусными квадриками. В частности, предъявлен полный список всех таких "софокусных" областей. Исследованы точки ранга один соответствующего отображения момента, первая "координата" которых (т.е. точка из П) лежит строго внутри области П. Изучены случаи обобщения задачи плоских бильярдов.

2. Постановка задачи. Пусть дана область П на плоскости М2, ограниченная несколькими квадриками из софокусного семейства:

х2 у2

+ г^—г = 1, а > 0, Ъ > 0,

а - Л Ь - Л

где Л £ М — параметр семейства, причем граница области не содержит то чек излома с углами 270°. Рассмотрим динамическую систему, описывающую движение (материальной) точки внутри области П с естественным отражением на границе Р = дП. Эту систему назовем бильярдом в области. Будем считать, что в точках, где граница Р не гладкая (тогда, как было сказано выше, угол излома обязательно равен 90°), траектории системы можно доопределить по непрерывности: попав в вершину угла на границе, точка, не теряя скорости, отразится назад по той же траектории. Таким образом, фазовым пространством системы является многообразие

М4 := {(х,у) I х £ П, V £ ГХМ2, |V| > 0}/ где отношение эквивалентности задается так:

Здесь через ТХ Р обозначена касательная прямая к граничной кривой Р = дП в точке х, а терез V — евклидова длина вектора V.

Теорема (Якоби, Шаль, см. [7]). Касательные прямые к геодезической линии на квадрике в и-мерном евклидовом пространстве, проведенные во всех точках геодезической, касаются кром,е этой квадрики еще и-2

Замечание 1. Софокусные квадрики в многомерном случае иногда называются конфокальными.

В плоском двумерном случае из теоремы Якоби-Шаля следует, что касательные в любой точке тра-

Р

П

1) V — модуль вектора скорости, Л

Известно, что эти интегралы функционально независимы (см. [1, 3]). Будем считать, что модуль скорости фиксирован и равен единице. Ограничим бильярдную систему (изначально заданную на фазовом пространстве М4) на трехмерную изоэнергетическую поверхность ф3, задаваемую уравнением V = 1. При этом величина V играет роль "энергии".

Определение. Пусть (М4,^,/1,91) и (М|,^,/2,92) — Две интегрируемые по Лиувиллю системы на симплектических многообразиях М4 и М4, обладающие соответственно интегралами /1,5*1 и /2,92-Рассмотрим изоэнергетические поверхности ф3 = (С £ М4 | /1(С) = С1} и ф2 = (С £ М| | /2 (С) = с2}. Они называются лиувиллево эквивалентным,и, если существует послойный гомеоморфизм ф3 ^ ф2, который, кроме того, сохраняет ориентацию 3-многообразий ф3 и ф2 и ориентацию всех критических окружностей (подробнее см. [8-10]).

В силу теоремы Лиувилля (см., например, [2]) многообразие ф3 расслоено на торы и особые слои (фактически оно представляет собой склейку регулярных окрестностей особых слоев друг с другом по граничным торам). Рассмотрим базу возникающего слоения Лиувилля на ф3. Эта база является одномерным графом Ш, называемым грубой молекулой (см. [2]).

В вершинах Ш расположены "атомы" (см. [2]), описывающие соответствующие бифуркации торов Лиувилля (оказывается, в бильярдных системах, изучаемых в настоящей работе, появляются лишь следующие атомы: А, А\ В, С2, см. их определения в [2]). Граф Ш вместе с естественными сопоставлениями его вершинам атомов, а полуребрам граничных торов этих атомов называется грубой молекулой (см.

[2]). Однако эта грубая молекула Ш не описывает полностью топологию слоения Лиувилля, так как она не содержит всей информации о склейках регулярных окрестностей особых слоев. Оказывается, для описания топологии слоения необходимо выбрать пары так называемых допустимых базисов на граничных торах (но правилам, приведенным в [2, 8 10]) и предъявить матрицы перехода от одного базиса к другому. Из полученных матриц перехода — матриц склейки — вычисляются числовые метки т, е и и, которые, будучи расставленными на грубой молекуле Ш, полностью определяют слоение Лиувилля с точностью до послойной эквивалентности и уже не зависят от выбора допустимых базисов на граничных торах (см. [2]). Получающийся граф (точнее, грубая молекула) с метками называется меченой молекулой Ш*, т.е. инвариантом Фоменко Цишанга.

3. Полный список классов эквивалентности плоских компактных областей двумерных бильярдных систем, ограниченных софокусными квадриками. Напомним, что мы рассматриваем область О, являющуюся компактной, связной, с кусочно-гладкой границей, имеющей в точках излома углы 90°. Разделим все такие области на два класса. В первый класс областей (их мы назовем неособыми) входят те области О, граница которых Р = дО образована дугами софокусных квадрик из семейства (1), таких, что ни для какой из них Л = Ь (поясним, что квадрика, соответствующая этому значению параметра Л, — горизонтальная прямая). Иначе говоря, никакая часть границы неособой области О не может быть горизонтальным отрезком. Особыми областями мы назовем все остальные области.

О

бивалентной р,ругой области О', ограниченной квадриками из того же семейства (1), если О' можно полу-О

ЛЬ

или путем симметрии относительно главных осей семейства (1).

Очевидно, что данное определение корректно описывает отношение эквивалентности.

Определение. Фокальная прямая это горизонтальная прямая, проходящая через фокусы эллипса.

О дО

Образующие отрезки различаются по количеству лежащих на нем фокусов и бывают соответственно трех типов не содержащие фокусов, содержащие один фокус и содержащие два фокуса.

Утверждение 1. Эквивалентные области содержат одинаковый набор образующих отрезков.

Утверждение 2. Для любой пары, вещественных чисел а,Ь > 0 существует ровно 7 классов эквивалентности неособых компактных областей О. Они изображены на, рис. 1.

Рис. 1. Неособые бильярдные области

О

семейства (1), без углов 270°) у интеграла Л есть три критических значения, причем седловое значение соответствует движению вдоль фокальной прямой. Поэтому в качестве образующих отрезков выгодно

брать именно горизонтальные отрезки, лежащие на этой прямой, так как они несут наиболее полную информацию об основном критическом уровне.

Замечание 3. Особые области О, т.е. те области, у которых часть границы — горизонтальный отрезок, получаются из вышеперечисленных предельным переходом. Все такие области изображены на рис. 2. Все они, кроме области Б[, те содержат образующих отрезков. Область Б[ имеет один образующий отрезок.

Рис. 2. Особью бильярдные области

Замечание 4. В работе [5] рассмотрены почти все области из упомянутого списка, кроме неособой области Б 1, а из шести особых областей рассмотрена только область

4. Фазовое пространство бильярдной системы М4 является топологическим многообразием. Многообразие М4 является результатом некоторой склейки многообразия с краем. Поэтому вопрос

М4

Утверждение 3. Для, всех двумерных бильярдов в плоских компактных областях, ограниченных

М4

пологическим многообразием. Более точно: в точках вида (х,у), где х € О\дО, многообразие (а также функции Щи А на нем) является гладким, а в точках вида (х,у), где х € дО; — топологическим (соответственно непрерывными).

М4

дить структурой гладкого многообразия (хотя функцию |-и| на М4, видимо, не всегда можно сделать гладкой). Однако здесь мы не будем останавливаться на этом вопросе, поскольку для развиваемой далее теории вычисления инварианта Фоменко Цишанга нам достаточно лишь топологических свойств слоения Лиувилля.

Доказательство. Гладкость М4 в точках (х,у), где х € О \ дО, очевидна.

Рассмотрим область Согласно Биркгофу (см. [3]), бильярд в области, ограниченной эллипсом

2 2 2

(область Ох), получается из системы геодезического потока на эллипсоиде + + = 1 устремлением малой полуоси с к нулю. При этом геодезическая, которая пересекала эллипс г + — ~

а ' Ь ' с

22

^ + \ = 1 (на уровне -г = 0), перейдет в траекторию бильярда на плоскости, которая отражается от этого же эллипса. Это позволяет считать, что склейка (2) задает структуру топологического многообразия на М4 для случая области Для других областей доказательство опускаем.

5. Невырожденность точек ранга 1 отображения момента. Дадим ряд определений.

М4

гамильтоновой системы, а /1,/2 два интеграла в инволюции. Отображением, момента Е = Е(£) гамильтоновой системы называется отображение Е : £ ^ (/1(0, Доопределение. Точка £ из М4 называется критической (или особой) точкой отображения момента, если ранг ёЕ (£) меньше 2.

Определение (см. [2]). Особая точка £ € М4 ранга 1 отображения момента называется невырожденной, если ранг формы и1ё2/1 + и2ё2/2 на Ь1 равен 2.

Напомним, что точка £ из М4 задается в виде пары (х,у), где х € О. В дальнейшем для удобства

х € О £

Пусть в точке £ € М4, первая координата которой лежит строго внутри области О (см. утверждение 3), ранг отображения момента равен 1: + ^2/2 = 0 Пусть Ь — касательная прямая к одномерной

орбите действия М2. Она является одномерным подпространством (в касательном пространстве к М4), порожденным линейно зависимыми векторами sgrad/l, sgrad/^. Пусть Ь' — трехмерное подпространство, ортогональное к Ь в смысле симплектической формы.

1 М4 О

из указанного выше списка классов эквивалентности областей (см. утверждение 2) общего положения {т.е. при а = Ь), являются точки вида (х, 0,у1, 0) и (0,у,0,у2). Эти точки являются невырожденным,и 1

Если же а = Ь, то для области О1 {^мск, ограниченный окружностью) точками ранга 1 в М4

являются точки, удовлетворяющие соотношению у2х — у1у = 0 {эти точки лежат на, траекториях,

)

ными точками ранга 1, кроме точки с координатам,и {0, 0,^1 ,у2).

а = Ь О

ким диском, ограниченным окружностью), так как мы обнаружили (см. выше), что в данном случае

Л

6. Топологический тип многообразия ф3. Заметим, что все неособые области О, кроме С, являются односвязными (см. утверждение 2).

Теорема 2. Изоэнергетическое многообразие ф3 бильярдной системы в любой, облает,и О из указанного выше списка, кром,е С, гом,еом,орфно сфере Б3. Для области С многообразие ф3 гомеоморфно Б1 х Б2.

Замечание 7. В случае области О с гладкой границей (например, для области А2) данный факт был упомянут в статье [11].

А2

Многообразие ф3 можно представить как полноторие со склейкой (2) на границе. В самом деле, рас-

А2 Б1

длины). Получается полноторие П3. Введем на его граничном торе естественный базис — параллель и меридиан. В качестве параллели можно взять окружность векторов скорости единичной длины, а в качестве меридиана — границу области А^. Склейка (2) на границе П3 оставляет на месте два цикла граничного дО1 х Б1 А2

А2

два касательных единичных вектора, направленных по ориентации границы и в противоположном на-

А2

на торе (обозначим его а), при движении же точки по границе области в противоположном направлении возникает цикл (обозначим его в)-

{1, 1)

дА2 х Б1 дА2 х Б1

параллели лежат точки вида (х,у), где х — фиксированная точка дО, а V € Б1 - вектор скорости в этой точке. Эта параллель пересекает два выделенных выше цикла а и в в двух диаметрально противоположных точках (х, V!) и (х, V2), где Vl,V2 — два различных касательных вектора к гр анице области дО в точке х. Введем на параллели тора координату ф так, чтобы значение ф = 0 соответствовало точке (х^1), а значение ф = п = —п — точке (х^2). Тогда склейка записывается как ф ~ —ф. Таким образом, любая параллель склеивается в отрезок. Данную склейку в отрезок можно реализовать как заклейку диском параллели тора. Следовательно, склейка на границе полнотория реализуется как склейка полнотория еще с одним полноторием. Легко понять, что при этом параллель граничного тора одного полнотория склеивается с меридианом граничного тора другого полнотория. Многообразие, полученное таким образом,

Б3

Для области С многообразие ф3 гомеоморф но Б1 х Б2. Аналогично предыдущему случаю рассмотрим

С Б1

дС х Б1

будем называть их внутренним и внешним торами многообразия О1.2 х Б1. Склейка (2) здесь производится

как на внутреннем торе, так и на внешнем. На каждом из этих торов по аналогии с рассмотренным выше

случаем мы выделим циклы а1,в1 и а2,в2- Склейка же производится на каждом полнотории отдельно

абсолютно так же, как и в указанном выше примере. Введем координату ф на меридиане полнотория.

Рассмотрим поверхности уровня функции ф =сопв^ обозначавмые Кф Тогда многообразие С х Б1 будет

гомеоморфно Кф х Б1 (на окружности Б1 — коордпната ф ). Поверхность уровня Кф будет гомеоморфна

Б2

С х Б1 Кф х Б1

Б2 х Б1

Чтобы доказать тот факт, что в случае других односвязных областей О из спис ка ф3 гомеоморф но 53, необходимо уточнить понятие склейки (2) на дО х 51. Там, где граница является гладкой дугой, поступаем

х

соответствующую параллель тора дА2 х Б\ образованную точкамп (х, у), где х — точка границы области, в которой она имеет излом. В этой точке однозначно определены 4 различных вектора скорости укаждый

О

х

образом: у1 соответствует ф = 0 у2 — ф = 90°, у3 — ф = 180°, у4 — ф = 270° (заметим, что мы можем так сделать, поскольку софокусные квадрики всегда пересекаются под прямыми углами). Склейка (2) может быть описана как следующее соотношение эквивалентности: ф ~ п — ф ~ —ф ~ —п — ф. Очевидно, что в данном случае параллель также гомеоморфна отрезку. Далее доказательство проводится аналогично

А2

7. Лиувиллева классификация бильярдных систем. Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

(

фокусными квадриками) при а = Ъ лиувиллево классифицируются (см. п. 2) молекулами с метками, изображенными на рис. 3.

а б в

А А А А

А А

Рис. 3. Меченые молекулы для динамических систем в бильярдных областях Бо,Б0,Б^,А'0,А[,А'2^),Ао,Б1,Б'^^), А2

Следствие. Некоторые системы этого типа оказались лиувиллево эквивалентными это бильярдные системы в областях Б1 и А0.

А

софокусными квадриками, имеет три типа критических значений.

1. Критическое значение А = 0 соответствует движению вдоль границы наибольшего эллипса. Комментарий. Рассмотрим движение бильярдной точки на уровне интеграла А = е, где е > 0 и достаточно мало. Квадрика с таким значением параметра А является эллипсом в, близким к внешнему эллипсу границы. Движение бильярдной точки на уровне интеграла А = е соответствует движению, при

в

при е ^ 0 это движение переходит в движение вдоль границы внешнего эллипса.

Данный факт можно описать в несколько иных терминах, а именно в терминах предельного геодезического потока. У геодезического потока на эллипсоиде критическая траектория на уровне интеграла

2 2

Л = 0 — это движение по эллипсу ^ + \ = 0 в плоскости г = 0. При переходе к пределу с —> 0 эта траектория останется на месте, тогда как другие траектории перейдут в отрезки прямых. 2. Критическое значение Л = Ь соответствует движению вдоль фокальной прямой.

Л

вдоль вертикальной прямой, проходящей через центр, или движение вдоль ветвей граничных гипербол. Разобьем дальнейшее доказательство теоремы 3 на ряд лемм.

Лемма 1 (вычисление грубых молекул). Для неособых областей молекулы имеют вид, изображенный на рис. 3. Для особых областей, кром,е области Б[, седловая бифуркация отсутствует и молекула имеет вид А — А. Для области Б'1 молекула совпадает с молекулой для области Б1.

Доказательство. Опишем особенности, которые возникают в случае, если Л = Ь. Все остальные особенности, очевидно, отвечают атомам А. Напомним, что уровень Л = Ь описывает траектории, состоящие из точек (х, V) где прямая х + Ьи проходит через один из двух фокусов семейства (1). Критическая окружность, соответствующая этому уровню, — движение вдоль горизонтальной фокальной прямой (понятно,

О

отрезки).

Для начала рассмотрим систему бильярда в эллипсе. Эта система подробно изучается в статье [12]. Седловому значению интеграла соответствует атом Б. Выберем Л1 = Ь — е. Данному значению интеграла соответствуют два тора Лиувилля. Траектории на них касаются эллипса из софокусного семейства с параметром Аь Траектории, соответствующие движениям бильярдной точки внутри эллипса по часовой стрелке, и траектории, соответствующие движению точки против часовой стрелки, лежат на разных

А2

единичной длины. Выберем кольцо между квадриками с параметрами Л1 = Ь — е и Л1 = 0. В это кольцо

х

векторами скорости так, что прямые х + будут касаться эллипса с параметром Л1 = Ь — е. Всего будет четыре таких вектора скорости. Они разбиваются на пары: первая пара векторов (обозначим ее '

' 2 ' 3 ' 4

Без ограничения общности будем считать, что Ш1 и ' направлены к границе области А2. Легко понять, чт0 точки ВИда (х,'1) или (х,'2) лежат на одном торе Лиувилля, а точки вида (х,'3) и (х,'4) — на е

торам. Критическая окружность особого слоя слоения Лиувилля, соответствующая движению по горизонтальной прямой, может быть представлена как движение по циклу типа (2, 1) обоих вышеуказанных торов Лиувилля (т.е. проходит два раза вдоль меридиана и один раз вдоль параллели). Эта траектория

Б

Теперь рассмотрим бильярд в области А^. Легко понять, что для точек (х^), где х — точка на граничной гиперболе, выполнена следующая склейка указанных единичных векторов скорости '1 ~ ' и '2 ~ Ш3. Таким образом, в центре эллипса кусочки седловой окружности (той, что была определена в

Б

аном другого. Очевидно, что таким образом мы получаем атом А*.

Все остальные неособые области не содержат фокусов (для особых областей наличие фокусов не так существенно). В этом случае особый слой можно описать проще.

Из произвольной точки х описываемой обл асти О можно выпустить четыре вектор а скорости V: к левому фокусу (обозначим его v1), от левого фок уса ^2), к правому ^3) и от право го ^4). Таким образом, получаются четыре копии области (каждая из которых оснащена векторами VI). Осталось описать лишь склейку вдоль их границы. На граничных эллипсах и на горизонтальном отрезке между фокусами склейка производится по правилу V2 ~ Vз, Vl ~ V4, а на граничных гиперболах и горизонтальных отрезках фокальной прямой, лежащих слева и справа от фокусов, — по правилу Vl ~ V2,Vз ~ V4.

Опишем бифуркации всех остальных неособых областей, кроме области Ао- Возьмем точку £ =

х

ности будем считать, что вектор скорости V направлен вправо. Проведем через точку х квадрику, софо-кусную с семейством (1), и обозначим через в пересечение этой квадрики с областью О (если х лежит

в

эллипсами, то в — дуга эллипса). Оснастим точки в указанными выше парами векторов Vi, сонаправлен-ными с выбранным вектором скорости V в точке

Теперь используем склейку векторов Vi на критической окружности и границе области О. Тогда все точки нашей кривой, оснащенные векторами, направленными вправо, образуют или восьмерку, или трой-

ную восьмерку (так как эта дуга ß пересекает границу и образующий отрезок в точках с одинаковыми правилами

склейки v^, или двумерный атом C2 (в случае области C).

ß

ß

стью границы, вступает в силу склейка векторов, которая тождественно склеивает оснащенные дуги). Полученный таким образом критический слой и является искомой бифуркацией. На рис. 4 представлен пример для области Б\. Эта конструкция годится и для особой области Б[.

Покажем теперь, что для случая особых областей из указанного выше списка (кроме области Б[) и для неособой области Б0 (т.е. для областей, не содержащих образующих отрезков) седловая бифуркация на уровне Л = b отсутствует.

Внутри рассматриваемой области Q теперь пет склеек оснащенных точек. Поэтому уровень интеграла Л = b можно получить, склеив четыре экземпляра рассматриваемой области Q по их границам. Разобьем границу каждой области Q на отрезки, склейка векторов Vi на которых одинакова. Таких отрезков, как легко видеть, четыре. Очевидно, что полученное путем склейки многообразие будет гомсоморфно двумерному тору. Таким образом, данный уровень интеграла для всех особых областей и неособой области Б0 представляет собой тор. Лемма доказана.

Замечание 8. В работе [5] в случае области Б0 указано, что седловому значению интеграла соответствует атом V. Как следует из леммы 1, данное утверждение неверно, а бифуркация на данном уровне отсутствует.

Лемма 2 (A.B. Болсинов, А. Т. Фоменко [2]). Рассмотрим произвольное ребро какой-либо молекулы W, и пусть (A+,ß+) и (A_,ß_) — допустимые системы координат,, отвечающие двум атомам, соединенны, м, этим ребром,. Будем, считать, что все эти, циклы, лежат на, одном, и, том, же торе Лиувимм, в середине ребра,. Рассмотрим, следующие три важных случая:

1) если циклы и А_ не пересекаются, т.е. гомологичны на, торе, то r = ж;

2) если циклы и А_ пересекаются ровно в одной точке, то r = 0;

3) если циклы А+ и А_ имеют индекс пересечения 2, то r = 1/2.

Во всех этих трех случаях метка r не зависит, от выбора ориентации на многообразии Q3, на ребра,х молекулы и критических окружностях.

Ориентируем все ребра молекул из седлового атома в атомы А. Выберем тор T2 на произвольном ребре молекулы W. На нем для определения метки r выберем два цикла А_ и А+. Цикл А- — это цикл, который переходит в периодический при стремлении тора к седловому атому, а цикл А+ — цикл, исчезающий при стремлении тора к атому А.

Циклы мы будем выбирать, указывая кривую на области бильярда Q, которая предполагается оснащенной парами векторов скорости.

Лемма 3. Пусть область бильярда, содержит, образующие отрезки без фокусов. Тогда, у седлового атома, соответствующего этой траектории, выделим "нижние" ребра, соответствующие уровню интеграла с параметром Л < b, и "верхние", соответствующие уровню интеграла с параметром Л > b. Если концы образующего отрезка (отрезков) лежмт на эллипсах, то м,ет,ка, r = ж на нижних ребрах, а, если на, гиперболах, то r = ж на верхних ребрах.

Доказательство. Рассмотрим первый случай: образующий отрезок заключен между двумя эллип-

ß

интеграла Л = 0 (дуга наибольшего эллипса), а второй — нет. Фиксируем тор T2 на нижнем ребре молекулы, и пусть ему соответствует значение Л = t < b. Траектории, лежащие на торе T2, будут касаться эллипса с параметром t. Исчезающий цикл Л+ можно выбрать как отрезок фокальной прямой от границы ßt

Л_

образующий отрезок, то при переходе к пределу часть траектории с другой стороны фокуса не была бы покрыта этим циклом при переходе к пределу при t — b). Это равносильно тому, что метка r = ж.

Рассмотрим теперь второй случай: образующий отрезок заключен между двумя гиперболами. Тору T2 на верхнем ребре молекулы соответствует значение Л = t > b. Здесь в качестве цикла можно выбрать

t

r = ж

А А2

лишь в этих случаях имеет смысл вычислять метку п. 13 ВМУ, математика, механика, №4

Б1

ной точке векторами скорости

Лемма 4. Для всех ребер молекул бильярдных систем,, кроме тех, о которых речь идет, в лемме 3, метки r = 0.

Доказательство. На торе каждого ребра легко предъявить пару необходимых циклов А в каждом случае — исчезающий и переходящий в периодический — и убедиться, что они будут пересекаться лишь в одной точке. В статье [12] показано, как это сделать для случая области

Для области Во и для всех особых областей Wi, кроме области молекула имеет вид A — A. Утверждение теоремы в этом случае следует из того, что многообразие Q3 для всех систем в этих областях гомеоморфно S3 (см. предложение 4.3 из книги [2]).

Лемма 5. Для бильярдных систем, грубые молекулы которых содержат седловые атомы, на всех конечных ребрах соответствующих меченых молекул стоят метки е = 1.

Доказательство, почти полностью повторяющее доказательство вычисления меток е в статье [4], проведем от противного. Рассмотрим два базиса на концах ребра — (А+,^+) и (А- , ß-)- Ориентируем ребра молекулы W из седлового атома в атомы A. Тогда цикл А- — это "ось" атома. Цикл ß- — это произвольный цикл на торе, дополнительный к А-. Цикл А+ — это исчезающий цикл тора при стремлении тора к атому A (т.е. цикл, стягивающийся в точку). Цикл ß+ — это произвольный цикл на торе, дополнительный к А+. Можно считать, что ß+ переходит в критическую минимаксную окружность атома A при стремлении тора к атому. По определению метка е на ребре равна 1, если ориентация базиса (A+,ß+) совпадает с ориентацией базиса (А+,А-). Если ориентации противоположны, то е = —1, и в таком случае цикл А+ лежит между ориентированными циклами А- и ß+. Но циклы А- и ß+ задают предельные положения

A

того что цикл А+ расположен между А- и ß+, на некотором торе ребра молекулы он будет гомологичен замкнутой траектории гамильтонова векторного поля. Однако в силу выбора цикла А+ данная траектория

A

Поэтому метка е = 1.

Лемма 6. Для динамических систем бильярда в областях A1 м A2 метки n в молекулах равны, 0 и

1

Доказательство. Вычисленные метки r и е позволяют выписать возможные матрицы склейки, если

считать метку n неизвестной: ^По) На веРхнем Рбре W, ^0°) на нижних ребрах W.

Таким образом, вычисляя фундаментальную группу Q3 по матрицам склейки, в случае области Qi получаем ^i(Q) = Z/nZ, откуда n = ±1. Изоэнергетическая молекула, соответствующая бильярду в A1 n

Q3

бесконечных ребрах молекул W* (так называются ребра, имеющие r = го) не фиксирован знак метки е. Для молекул типа A — A (особые области и область Во) знак е также не фиксирован. Для областей Ai и A2 при данных значениях меток r и е метка n может принимать значение —1 (подробнее см. [2, § 4.5.2]). Напомним, что аналогичный результат имел место в случае геодезического потока на эллипсоиде [4]. В работе [5] данный эффект не отражен.

8. Обобщения задачи: "накрывающие" бильярды. Опишем некий новый тип бильярдных систем. Рассмотрим k экземпляров области C, в каждом из которых сделан разрез вдоль нижнего отрезка координатной оси. Склеим их по следующему правилу: левый берег разреза г-й области склеивается с правым берегом разреза г + 1-й области. Оставшиеся берега разрезов первой и последней областей также склеиваются. Полученную область будем обозначать Если же не склеивать первую и последнюю области C, а на берегах разреза оставить отражение, то полученную область будем обозначать Д^. Область Дк можно заменять на эквивалентную, при этом полученную область мы также будем обозначать Д^. Задача о рассмотрении бильярдных систем в подобных областях была впервые предложена A.A. Ошемковым и Е. А. Кудрявцевой.

Изоэнергетическое многообразие Q3 для системы в области Д^ будет гомеоморфно сфере S3, а для области Дк — прямому произведению S1 х S2. Данный факт может быть доказан аналогично теореме 2. Теорема 4. Меченые молекулы бильярдных систем в областях Дк и Д'к изображены на рис. 5. Доказательство. Легко видеть, что критические уровни интеграла Л для бильярдных систем в этих областях совпадают с критическими уровнями интеграла для обычных плоских бильярдных систем, ограниченных софокусными квадриками. А именно это следующие уровни интеграла:

Л = 0. Этому уровню интеграла соответствует движение вдоль границы внешнего эллипса. В случае

Дк A

внешней границы. Для области Дк бифуркация описывается одним атомом A (подобно соответствующей

В2

Л = b. Этому уровню интеграла соответствуют движения вдоль горизонтальных отрезков, лежащих на координатной оси;

Л = а. Этому уровню интеграла соответствуют движения вдоль вертикальных отрезков, лежащих на координатной оси. Бифуркация, как легко видеть, описывается атомами A в количестве, равном количеству вертикальных отрезков, т.е. 2k. Заметим, что коли-A

А'к заменить на ей эквивалентную несмотря на то, что количество вертикальных отрезков может уменьшиться.

Опишем отдельно бифуркацию на уровне Л = b. Для этого воспользуемся построением из доказательства леммы 1: возьмем точку на одной из критических окружностей, первые две координаты определяют точку области. Проведем через

k

На каждом из них дуга, оснащенная векторами скорости, сонаправленными с исходным вектором на критической окружности, будет представлять собой фрагмент атома Dа именно атом Di без концевых

k

листа накрытия, т.е. получается цепочка. В случае области Ак цепочка замыкается в кольцо: соединяются первый и последний фрагменты, образуя атом A2k (его определение см. в [13]). В случае области А'к последние звенья замыкаются и образуется длинный атом, подобный атомам B и Di.

Метки в этих случаях могут быть вычислены с применением вышеперечисленных лемм.

Автор приносит глубокую благодарность научному руководителю А. Т. Фоменко за постановку задачи, существенную помощь и постоянное внимание к работе, а также А. А. Ошемкову, Е. А. Кудрявцевой, П. Е. Рябову за ряд ценных и полезных замечаний.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10 01 00748-а), программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ 1410.2012.1), программы ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (грант 14.740.11.0794) и гранта Правительства РФ по договору № 11.G34.31.0054.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Козлов В.В., Трещав Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.

2. Балашов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1, 2. Ижевск: РХД, 1999.

3. Биркгоф Д'Лс.Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

4. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Траекторная классификация геодезических потоков двумерных эллипсоидов. Задача Якоби траекторно эквивалентна интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела /'/' Функц. анализ и его прил. 1995. 29, № 3. 1 15.

5. Dragovic V., Radnovic М. Bifurcations of Liouvillo tori in elliptical billiards // Regnl. Chaotic Dyn. 2009. 14, N 4 5. 479 494.

6. Драгович В., Раднович M. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понесло. М.: Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2010.

7. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

8. Фоменко А. Т., Цишанг X. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. 52, № 2. 378 407.

9. Фоменко А.Т. Симплсктическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, № 1 (265). 145 173.

10. Фоменко А.Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546 575.

11. Gutkin Е. Billiard dynamics: a survey with the emphasis on open problems // Regnl. Chaotic Dyn. 2003. 8, N 1. 1 13.

12. Фокичевa B.B. Описание особенностей системы "бильярд в эллипсе" // Вести. Моск. ун-та. Матом. Мохан. 2012. № 5. 31 34.

13. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3 96.

Поступила в редакцию

Рис. 5. Моченые молекулы для динамических систем в обобщенных бильярдных областях Ак