Имитационное моделирование систем управления запасами предприятий с фиксированным объёмом поставок

УДК 519.8

И. М. Якимов, А. П. Кирпичников, Г. Р. Зайнуллина, З. Т. Яхина

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ ПРЕДПРИЯТИЙ

С ФИКСИРОВАННЫМ ОБЪЁМОМ ПОСТАВОК

Ключевые слова: система управления запасами, имитационное моделирование, математическая модель, регрессионный анализ, стратегическое планирование, коэффициент эластичности, оптимизация.

Рассматривается система управления запасами с фиксированным объёмом поставок. Разработана имитационная модель. Составлен D-оптимальный стратегический план. Построена математическая модель системы управления запасами. Вычислены коэффициенты эластичности и удельные веса факторов. Проведена оптимизация. Получены формулы для вычисления оптимальных значений объёма поставок и уровня запаса, при котором производится заказ по значениям объективных факторов.

Keywords: inventory management system, simulation, mathematical model, regression analysis, strategic planning, the elasticity coefficient, optimization.

We consider a system inventory management with a fixed volume of deliveries. It was developed simulation model. It was compiled D-optimal strategic plan. It was built a mathematical model of the system of inventory management. It was calculated the elasticity coefficients and densities factors. It was optimized. We were obtained formulas to calculate optimal values of the volume ofsupply and the level ofstock at which the order is made by the values of objective factors.

Введение

Перевод экономики РФ с плановой на рыночную потребовал повышения эффективности работы предприятий во всех сферах деятельности, в т.ч. в сфере управления запасами продукции, требуемой для производственной деятельности. В данной работе рассматриваются вопросы повышение эффективности системы управления запасами за счёт сокращения затрат на хранение запасов, перевозки материалов и простоев из-за отсутствия требуемой продукции на складе. Для достижения поставленной цели предлагается методика исследования, включающая в себя 8 следующих этапов.

1. Предварительный анализ систем управления запасами. Выбор типа системы, её результативных показателей эффективности и влияющих на них факторов.

2. Постановка задач.

3. Разработка блок-схемы и программы имитационной модели.

4. Разработка стратегического плана проведения имитационного эксперимента.

5. Проведение имитационного моделирования (ИМ) по стратегическому плану.

6. Построение математической модели, состоящей из совокупности уравнений

регрессии, представляющих собой зависимости результативных показателей эффективности от влияющих на них факторов.

7. Оптимизация системы управления запасами по математической модели.

8. Вычисление коэффициентов эластичности и удельных весов факторов.

Далее последовательно рассмотрим все эти этапы.

1. Предварительный анализ систем управления запасами. Выбор типа системы, её результативных показателей эффективности и влияющих на них факторов

Назовём классические системы управления запа-

сами [1].

1.1 Система управления запасами без дефицита Данная система характеризуется постоянным спросом, равномерностью расходования запаса и отсутствием дефицита. Расчёт оптимального размера поставляемой продукции производится по формуле Уилсона [1]:

Q =

2цд

где 2 - оптимальный размер поставок продукции; л - интенсивность потребления продукции; 5 - плата за хранение единицы продукции; g - плата за доставку одной партии.

1.2 Система управления запасами с фиксированным временем заказа

Пополнение запасов в данной системе происходит через фиксированные одинаковые временные интервалы, а размер заказа определяется как разница между принятым максимальным уровнем запаса и количеством продукции, имеющимся на складе в момент заказа.

1.3 Система управления запасами с фиксированным размером заказа

Размер заказа в данной системе - основополагающий параметр. Заказ производится в момент, когда текущий запас на складе достигает порогового уровня. Данная система управления запасами наиболее пригодна для предприятий с серийным производством, характеризуемым, как правило, одинаковыми размерами партий выпускаемой продукции.

В данной работе исследована система с фиксированным размером заказа.

Для исследования были отобраны четыре результативных показателей эффективности системы управления запасами, два влияющих на них оптимизируемых фактора и пять объективных (неизменяемых) факторов. Перечень переменных, отобранных для исследования, приведён в таблице 1.

s

Таблица 1 - Перечень переменных, отобранных для исследования

№ Код аименование переменной

Результативные показатели эффективности системы управления запасами

1 У1 Общие затраты на снабжение производства в рублях

2 У2 Среднее количество хранимой продукции

3 Уз Количество поставок продуктов

4 У4 Количество дней простоя из-за отсутствия продуктов

Оптимизируемые факторы

5 Х1 Объём поставок заказа в единицах продукции

6 Х2 Пороговый уровень запаса на складе, при котором производится заказ в единицах продукции

Объективные )акторы

7 хз Среднее количество материала требуемого предприятию за месяц

8 х4 Затраты на транспортировку одной партии материала в рублях

9 Х5 Затраты на хранение единицы продукции в руб. за сутки

10 Хб Потери за один день простоя в рублях

11 Х? Среднее количество дней затрачиваемых на поставку в сутках

12 Х8 Остаток продукции на складе в единицах продукции

х9 - принятое время моделирования, во всех вариантах одинаковое.

2. Постановка задач

2.1. Силу связи между отобранными переменными можно определить по значениям коэффициентов линейной корреляции, вычисляемых по формуле:

ТЧху-ЧхЩу

rxy

По статистическим таблицам находится критическое значение критерия Стьюдента и вычисляется критическое значение коэффициента линейной корреляции по формуле.

гкрит —

крит

крит

+ n- 2

По результатам корреляционного анализа определяется вид уравнений регрессии. По коэффициентам линейной корреляции также можно оценить степень влияния факторов на результативные показатели эффективности системы управления запасами.

2.2. Математическая модель представляет собой совокупность уравнений регрессии, связывающих результативные показатели эффективности системы управления запасами с влияющими на них факторами.

Уу-=//<Х1,Х2,Хз,Х4,Х5,Х6,Х7,Х8) ; у'= 14.

По зависимостям (4) производится оценка степени влияния факторов на результативные показатели эффективности системы управления запасами по коэффициентам эластичности и провести оптимизацию.

2.3. Оптимизация проводится по каждому варианту стратегического плана отдельно с конкретными значениями объективных факторов в этих вариантах. Целевая функция определяется размером общих затрат на хранение, транспортировку и потерь от простоя производства.

y —f x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8) — min..

На результативные показатели эффективности накладываются ограничения.

a j — 24 .

На оптимизируемые факторы накладываются ограничения.

ci — xi — di; i — 1,2 .

В качестве ограничений: aj, Ъ; j — 2,4 С, d;

i — 1,2 .берутся минимальные и максимальные значения, полученные при имитационном моделировании по 64 вариантам.

Объективные факторы при оптимизации не меняются.

х3 - х9 = const.

2.4. Значения оптимизируемых факторов определяются по значениям объективных факторов согласно формулам, полученным по результатам регрессионного анализа.

х,.

— f,

алгоритма

3. Разработка блок-схемы и программной модели

Проведенное сравнение результатов имитационного моделирования (ИМ) в 4-х системах с результатами аналитического моделирования [2] позволило выбрать в качестве средства ИМ систему GPSS W. Составлена блок-схема алгоритма модели системы управления запасами, по которой разработана и отлажена программа имитационной модели на языке GPSS W [3].

4. Планирование имитационных экспериментов

Для стратегического планирования имитационных экспериментов используется концепция «черного ящика», суть которой заключается в абстрагировании от физической сущности процессов, происходящих в моделируемой системе и выдаче заключений о ее функционировании только на основании значений входных и выходных переменных. Входные, независимые переменные называются факторами, выходные - откликами, их величина зависит от значений факторов и параметров объекта исследования (ОИ).

Выскажем допущение, что зависимость результативных показателей эффективности функционирования системы управления запасами является нелинейной и для проведения экспериментов применим стратегический D-оптимальный план. Будем использовать план, составленный по методике Фёдорова, включающий в себя 64 варианта[4].

5. Имитационное моделирование системы управления запасами

По 64 вариантам стратегического плана прове-

дено имитационное моделирование системы управления запасами, в которых определены значения результативных показателей эффективности.

6. Построение математической модели

Математическая модель системы управления запасами представляет собой совокупность пяти уравнений регрессии, представляющих собой зависимости результативных показателей эффективности системы управления запасами от влияющих на них факторов. Уравнения регрессии получены с помощью стандартной процедуры пошаговой регрессии пакета обработки статистических данных Statistica 6.0 [4].

1. Общие затраты за рассматриваемый период y1 = -1684,95 - 2,05x1 + 637,27x2 - 1,48x3 - 52,414 -83659,84x5- 18,38x6 + 1400,01x7- 29,11x8- 0,07x12-8,83x22 - 1,21x1x2 + 0,10x1 x3 + 0,08x1x4 + 668,30x1x5 + 1,33x1x6 - 6,98x1x7 + 0,03x1x8 - 0,55x2 x3 +2,82x2x4 + 113,18x2x5 - 6,75x 2x6 - 52,22x2x7 + 2,11x2 x8.

2. Среднее количество продукции на складе: у2 = -116,39 + 1,28xi + 3,39x2 + 0,013x3 + 1,04x5 + 2821,13x6 + 2,18x6 + 15,25x7 + 0,29x8- 0,0002x12 + 0,027x22 - 0,0026x1x2 - 0,0001x1x3 - 0,0098x1x4 -14,81x1x5- 0,012x1x6-0,10x1x7- 0,0016x1x8-0,003x2x3 + 0,021x2x4- 70,35x2x5- 0,086x2x6- 0,42x2x7-0,02x2x8 .

3. Количество поставок:

у3 = -4,82 + 0,06x1 + 0,17x2 + 0,0007x3 + 0,052x4 + 141,06x5 + 0,11x6 + 0,76x7 + 0,015x8- 0,00001x12 + 0,0013x22 - 0,0001x1x2 - 0,00003x1x3 - 0,0005x1x4 -0,74x1x5 - 0,0006x1x6 - 0,005x1x7- 0,0001x1x8 -0,0002x2x3 + 0,001x2x4 - 3,52x2x5 - 0,004x2x6 -0,021x2x7- 0,001x2x8.

4. Количество дней простоя:

y4 = -2,41 + 0,032x1 + 0,085x2 + 0,0003x3 + 0,026x4 + 70,53x5 + 0,055x6 + 0,38x7 + 0,0075x8 - 0,00005x1 2 + 0,0007x2 2 - 0,00002x1x3 - 0,0002x1x4 - 0,37x1x5 -0,0003x1x6 - 0,0001x1x2 - 0,0001x2x3 + 0,0005x^4 -1,76x2x5- 0,002x2x6- 0,011x2x7- 0,0024x1x7-0,00005x1x8 - 0,0006x2x5.

7. Оптимизация

По математической модели (7) - (10) с помощью стандартной процедуры по методу касательных ППП Excel 2010 [5] проведена оптимизация по 64 вариантам стратегического плана и найдены оптимальные значения х1 и х2 для каждого варианта. Получены формулы для вычисления оптимальных значений х1 и х2 в виде уравнений регрессии с помощью стандартной процедуры пошаговой регрессии пакета обработки статистических данных Statistica 6.0 [4]. В качестве ограничений на х1 и х2 приняты их минимальные и максимальные значения, полученные по 64 вариантам стратегического плана. Получены следующие уравнения регрессии:

1. Оптимальное значение объема заказа:

х1опт = 250,99 + 1,52x3 - 4,01x4 - 7289,77x5 - 10,61x6 - 7,18x7- 2,54x8- 0,007x22 + 0,05x42 + 103941,29x2 + 0,282x62 + 5,84x22 + 0,06х82.

2. Оптимальное значение объема продукции, при котором делается заказ:

x2onm = 21,29 - 0,11x3 + 0,29x4 - 301,02x5 - 0,83x6 -1,65x7 + 0,43x8 + 0,0004x22 - 0,007x42 + 13789,85x2 +

По формулам (11), (12) с можно вычислять оптимальные значения оптимизируемых факторов по значениям объективных факторов и таким образом управлять запасами на складе, минимизируя общие затраты.

8. Вычисление коэффициентов эластичности и удельных весов факторов

Оценка влияния факторов на результативные показатели функционирования предприятия производится по их коэффициентам эластичности, показывающим на сколько процентов изменится результативный показатель эффективности при изменении конкретного фактора на один процент, и удельным весам. Ввиду того, что в уравнения регрессии (7) -(10) входят произведения факторов между собой, то при вычислении удельных весов и коэффициентов эластичности для всех факторов, кроме фактора, для которого производятся вычисления, в формулы (7) -(10), подставляются их средние значения. Вычисленные значения коэффициентов эластичности и удельных весов для наиболее существенного результативного показателя у] - общих затрат за рассматриваемый период в виде диаграмм приведены на рис. 1 - 2.

к

m £

1,2 10,8 0,6 0,4 0,2 0

x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

0,029x72 + 0,38х7 - 0,008х8 .

Рис. 1 - Диаграмма оценки степени влияния факторов на общие затраты по коэффициентам эластичности

Диаграммы, приведенные на рис. 1 - 2 позволяют сделать выводы, что:

- сильное положительное влияние на увеличение общих затрат оказывают: х2 - объем продукции на складе, при котором делается заказ и х7 - время на поставку продукции, которые рекомендуется снижать;

- умеренное положительное влияние на увеличение общих затрат оказывают: х4 - стоимость доставки одной партии комплектующих; х5 - стоимость хранения единицы продукции; х6 - стоимость одного дня простоя, которые рекомендуется снижать;

- умеренное отрицательное влияние на увеличение общих затрат оказывают: х] - объем поставок; х3 - расход продукции в месяц; х8 - остаток комплектующих на складе их можно увеличивать.

По уравнению регрессии (11) для наиболее существенного оптимизируемого фактора х]опт - объёма поставок построена диаграмма коэффициентов эластичности объективных факторов, приведённая на рис.3 и их удельных весов - на рис.4.

Удельные веса

|  х1  х2  хЗ  х4  х5  хб  х7  х8 |

Рис. 2 - Диаграмма оценки степени влияния факторов на общие затраты по удельным весам

Рис. 3 - Диаграмма степени влияния объективных факторов на оптимизируемый фактор х1опт по коэффициентам эластичности

Удельные веса

x7 1 0%

x5 1 4%

x4 1 7%

] x4  x5  x6

Рис. 4 - Диаграмма степени влияния объективных факторов на оптимизируемый фактор х1опт по удельным весам

По диаграммам, приведенным на рис.3 - 4 сделаны выводы, что при увеличении значений всех объективных факторов, кроме х8 объём заказа продукции х1опт следует увеличивать.

Заключение

В данном исследовании выполнены следующие работы.

1. Проведён анализ предметной области и отобраны результативные показатели эффективности функционирования системы управления запасами и влияющие на них оптимизируемые и объективные факторы.

2. Разработана имитационная модель системы управления запасами с фиксированным объёмом поставок на языке GPSS W.

3. Построен D-оптимальный стратегический план по методу Фёдорова, состоящий из 64 вариантов.

4. По стратегическому плану проведено имитационное моделирование (ИМ).

5. По результатам ИМ построена математическая модель, представляющая собой совокупность уравнений регрессии, отражающих зависимости результативных показателей эффективности функционирования системы управления запасами от влияющих на них факторов.

6. По математической модели проведена оптимизация, по результатам которой получены формулы для вычисления значений оптимизируемых факторов по значениям объективных факторов. Эти формулы пригодны для управления запасами продуктов, конкретного предприятия с учётом его особенностей.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РРНФ в рамках научного проекта №15-1216001 «Развитие финансовых механизмов управления транспортной системой крупных городов и регионов России».

Литература

1. Рыжиков Ю.И. Управление запасами. - М.: Наука. 1969. - 344 с.

2. Якимов И.М., Кирпичников А.П., Исаева Ю.Г., Аля-утдинова Г.Р. Сравнение результатов имитационного моделирования вероятностных объектов в системах: Anylogic, Arena, Bizagi modeler, GPSS W. Вестник тех-нол. ун-та, 2015. Т. 18, №16 . С.260-265.

3. Якимов И.М., Старцева Ю.Г., Кирпичников А.П., Мокшин В.В. Моделирование сложных систем в среде имитационного моделирования GPSS W с расширенным редактором. Вестник Казан. технол. ун-та, 2014. Т. 17, №4 . С. 298-303.

4. Халафян А.А. «Statistica 6 Статистический анализ данных», 2007

5. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel, 2013.

© И. М. Якимов - канд. техн. наук, проф. каф. автоматизированных систем обработки информации и управления КНИТУ им А.Н.Туполева; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, kirpichnikov@kstu.ru; Г. Р. Зайнуллина - бакалавр кафедры автоматизированных систем обработки информации и управления КНИТУ им А.Н.Туполева, gls666@yandex.ru; З. Т Яхина - канд.техн.наук, доцент той же кафедры.

© I. М. Yakimov - PhD, Professor of the Department of Automated Information Processing Systems & Control, KNRTU named after A.N. Tupolev; А. P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru; G. R. Zajnullina - Bachelor of the Department of Automated Information Processing Systems & Control, KNRTU named after A.N. Tupolev, gls666@yandex.ru; Z. T. Iakhina - PhD, Associate Professor of the Department of Automated Information Processing Systems & Control, KNRTU named after A.N. Tupolev.