Ограниченность потенциала Рисса в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 2, С. 62-68

УДК 517.968

ОГРАНИЧЕННОСТЬ ПОТЕНЦИАЛА РИССА В ВЕСОВЫХ ОБОБЩЕННЫХ ГРАНД-ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА

С. М. Умархаджиев

Доказана теорема о двухвесовой ограниченности линейных операторов во введенных нами ранее обобщенных гранд-пространствах Лебега. С помощью этой теоремы получены двухвесовые оценки нормы потенциала Рисса в рассматриваемых пространствах.

Ключевые слова: обобщенное гранд-пространство Лебега, потенциал Рисса, интерполяционная теорема, весовые оценки.

1. Введение

Неравенство Соболева [2]

IIIa f I II«

для потенциала Рисса

Iaf := j \x - y\a-nf (y) dy, 0 < a < n,

Rn

в пространствах Лебега Lp(Rn) имеет известные весовые обобщения, полученные в работах В. Кокилашвили [1, 15, 16], Е. Т. Sawyer [25], Е. Т. Sawyer и R. L. Weeden [26], С. Pérez [23, 24], S. Tord [30].

В этой работе мы рассматриваем потенциалы Рисса в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега L1a)(Rn,w). В 1992 г. T. Iwaniec и С. Sbordone [13] ввели grand Lebesgue spaces (гранд-пространства Лебега) по ограниченному множеству l С Rn следующим определением:

L^'e

Операторы гармонического анализа интенсивно исследовались в таких пространствах в последние годы; они продолжают привлекать внимание исследователей в связи с различными приложениями [5, 6], [8-12], [14], [17-21].

В [27, 28] был предложен подход, позволяющий ввести гранд-пространства Лебега на множествах неограниченной меры. В наиболее общей форме этот подход реализован в [3] в виде

Lp}e

© 2014 Умархаджиев С. М.

где 1 < р < го, 9 > 0 и П С Ж™ — произвольное открытое множество; в случае 9 = 1 пишут Ьра(П, ш) := ЬРа1(П, ш) , и Ьр'в(Ж™, ш) = Ьр)'в(Ж™, ш) — в случае а = 1.

а= 1

Весовое обобщенное гранд-пространство Лебега ЬРа'в (П, ш) зависит от «функционального параметра» а и является расширением классического пространства Лебега Ьр(П,ш) при условии а £ Ьр(П,ш).

В работах [3, 27] с помощью теремы Рисса — Торина — Стейна — Вейса об интерполировании с изменением меры показано, что ограниченность произвольного линейного оператора в двух «близких друг к другу» обычных весовых пространствах Лебега влечет ограниченность в весовом гранд-пространстве Лебега. На основе этого в [3] доказана ограниченность операторов Кальдерона — Зигмунда и максимального оператора Харди — Литтлвуда в весовых гранд-пространствах Лебега.

Основная цель данной работы — исследование действия потенциала Рисса во введенных в [3] весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега. Для этого мы сначала в теореме 3.1, применением той же теремы Рисса — Торина — Стейна — Вейса получаем двухвесовые оценки для линейных операторов в рассматриваемых весовых гранд-пространствах. Как следствие из этих оценок и свойств весов Макенхаупта — Уидена получаем основное утверждение — теорему 4.2 об ограниченности потенциала Рисса в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега.

Обозначения. О, с — различные абсолютные положительные постоянные, которые могут иметь различные значения даже в одной и той же строке; П — открытое множество в Ж™ |А| — мера Лебега измеримого множества А С Ж™; V, ш — веса на П, т. е. неотрицательные локально интегрируемые на П функции, обращающиеся в нуль на множестве нулевой меры; ш(Е) = /Е ш(х) б,х\ В(х, г) = {у £ Ж™ : |у — х| < г}; В(х, г) = В(х, г) П П; Q — куб в Ж™ с ребрами, параллельными координатным осям; ^ означает непрерывное

вложение; р' = —^-г.

' г p-1

2. Предварительные сведения

2.1. Определения и вспомогательные утверждения. Через Ар, 1 < р < го,

обозначаем класс весовых функций, удовлетворяющих условию Макенхаупта [22]:

sup

QCKn

( \/ V-1

—— / vj(х) dx

—!- / w(x) p-1 dx

< го.

Определение 2.1. Будем говорить, что пара весов (ш, V) принадлежит классу 0 < а < п, 1 < р,д < го [26], если

sup \Q\a/n+1/q-1/p(^ [ г>(ж)с*ж) (jL [ вд(ж)^-dx\ <го. QcRn \|Q| Q у \|Q| Q у

Определение 2.2. Будем говорить, что пара весов (w,v) принадлежит классу A*(p,q), 1 < p,q < го [7], если

( 1 Г \1/q ( 1 Г - ' \1/p'

sup I —— / v(x)qdx I —— / vj(x) p dx I < oo.

Лемма 2.3. Пусть 0 < а < п, 1 < р,д < ж и выполнены условия

1) для весовых функций ш и V существуют числа г > 1 и 0 < £ < д — 1 такие, что

(Г \ (я-£)г / Г \ р'г

/ v

я ' ^я '

2) неотрицательные функции а и Ь таковы, что существует число 5 > £ такое, что (|ар,Ьч-Е) е А*(р, д — е).

Тогда (ша£^Ь£) £ А^л-£. < Обозначим

(л г \ 1/(q-£V 1 г х 1/p

А := sup \Q\»/n+i/(q-e)-i/p I / ф)Ь(х)£ dx [-— [w(x)a(x)£] l~p'dx

QcRn \ IQI J J \ |Q| J

Q Q y

К обоим интегралам применим неравенство Гёльдера с показателем r > 1. Получим

1 1 »(9-е) ( л Г \ 'г?

а ^ sup [ 1 f v(xydж] I w(x)(l~P'>dx

QcRn \IQI Q J ^V1 Q

b

i

1-е \ q-£ ( 1

\Q\J J -J VIQI

QQ

\£V' /p

-p \ p

dx

i

1/r'

Откуда следует утверждение леммы. >

В случае 0 < а < n, 1 < p < n/a, 1/q = 1/p — a/n известно соотношение

2.2. Ограниченность риссова потенциала в весовых пространствах Лебега. Будем говорить, что вес w удовлетворяет условию удвоения, если существует C > 0 такое, что w(2Q) ^ Cw(Q) для всех кубов Q С Rn с ребрами, параллельными координатным осям.

Основное утверждение данной статьи получено посредством теоремы Сойера — Уи-дена [26] об ограниченности оператора потенциала 1а в классических пространствах Лебега:

Теорема 2.4. Пусть 0 < а < n, 1 < p ^ q < ж.

(1) Неравенство

\\Iaf IILq

r>1

/г \ 1/

sup |Q|a/n+1/q-1/p

QQQ

(2) Если предположить, что p < q и функции v и w1-p удовлетворяют условию удвоения, то (4) выполняется тогда и только тогда, когда (w,v) G .

х

2.3. Интерполяционная теорема. Нам понадобится следующая интерполяционная теорема Рисса — Торина — Стейна — Вейса с изменением меры [4, 29], которую мы формулируем в весовых терминах.

Теорема 2.5. Пусть pu, Qu £ [1, го) и vu, Wu — веса на Q, k = 1, 2, иТ — сублинейный оператор, определенный на Lpi (Q,wi) П Lp2 (Q,w2). Если Т : Lpi (Q,wi) ^ Lqi (Q,Vi) с нормой Mi и Т : Lp2 (Q,w2) ^ Lq2 (Q,v2) с норм ой M2, то

Т : Lpt

с нормой где

ii ( 11А 11 (11А - = -+---)t, - = -+(---)t, б

Pt Pi \P2 PiJ Qt Qi VQ2 91/

(1 -t)Sí tPt (1 _t)3í_ t3L

wt = w\ P1w2P2, vt = v\ nv2q2, 0 < í < 1.

3. Ограниченность линейных операторов в обобщенных гранд-пространствах Лебега

Теорема 3.1. Пусть 1 < p,q < го, V) и v — два веса на П С Rn. Пусть линейный оператор T ограничен из пространства Lp(Q,w) в пространство Lq(Q,v) и ограничен из пространства Lp0 (П, wap—po) и пространс тво Lq0 (П, vbq-q0) для некоторых двух чисел 1 <po < p, 1 < qo < q и некоторых двух неотрицательных на П функций a £ Lp(n,w) и b £ Lq(П, v).

T

L^'9(П, w) в весовое обобщенное гранд-пространство Лебега Lcq'°q/p (П, v). < Для произвольного положительного числа 9i имеем

±L

\\Tf\Us1(nv)= sup e«-e\\Tf\\Lq-s(QtVbs) = тах{А,В},

b ( ' I 0<£<q-1

Д

A= sup £"-Е\\Т/\\Ьд-е{ПуУЬЕ), B= sup £q-E\\Tf\\Lq-s{nyVbsy

0<£^q—qo q—qo<e<q-1

Оценка величины A. По интерполяционной теореме 2.5 с параметрами p1 = p, p2 = p0, q1 = q, q2 = q0, v1 = w, v2 = wap—po, w1 = v, w2 = vbq—qo получаем, что

\\Tf (Q'Vb£ I ^ M11—tM2\\f WbPt (Q'WaP-P£ ^ = + i - ,t = {q_q0f{q_£) ДЛЯ всех £ £ [0,q — q0}. Следовательно,

A ^ sup \\f\\LPs{n,WaP-Ps)

0<£^q-q0

1 —t t -— — < sup м1 M2£4-{p-pe) PS sup (p-Pe)Ps\\f\\bPs(Cl,wdP-0<£^q-qo 0<p-pE^p-po

Учитывая, что t = , получим A sC С(ро, Qo)\\f\\Lp),e^ wy где

с(Л.)= Sup V4^ ( -»>

0<t^1 \qo + t

Выделив из правой части сомножитель можно сделать вывод: константа

C(po,qo) конечна, если 6\ =

Оценка величины B. Воспользовавшись неравенством Гёльдера с показателем ^r > 1, получим

1 V?-£ 90-

\\T/\L9-^

так что

L„ „«' 1 1

5 < sup e*-* ЦЬЦ^т^ mJ\\Tf\\Lq0{П,€Ьч-ч0)

q-qo<£<q-1 '

_£l -— Jl_ -3— £l

=

' q-qo<£<q-1 '

4 inf fh-1(q — q0) sup  A = A.

0<q-qo<q-1 ^ q-q0<£<q-1 )

f>\

где обозначено h(e) := £i-£ ll^ll^n vy Объединяя оценки для А и В, получим утверждение теоремы 3.1. >

(О _в_

Замечание 3.2. В случае = | справедливо C(p0,q0) = max < ,

4. Основное утверждение

В работе [21] получено необходимое и достаточное условие ограниченности потенциала Рисса в весовом гранд-пространстве Лебега на отрезке [0,1]:

Теорема 4.1. Пусть 0 < a < 1,1 < p < ж, @ > 0 и q = p/(1 — ap). Тогда неравенство

\\Ia

выполняется тогда и только тогда, когда vj G A1+q/p'.

На основании теоремы 3.1 мы можем получить двухвесовую оценку нормы потенциала Рисса по Rn в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега: Теорема 4.2. Пусть 0 < a < n и 1 < p < q < ж. Пусть

1) (W, V) G A^q',

2) v и w1-p удовлетворяют условию удвоения;

3) для некоторых чисел r > 1 и 0 <£0 < q — 1 выполняется условие

1 1

sup\Q\»/n+l/(q-e0)-l/p0 ^ J v^yfaj ^^ ^ J ЦЖ)(1_Р°)Г ^ < Ж, р0 4 q ~ £05 Q Q Q

4) неотрицательные функции a и b таковы, что существует число 5 > £0 такое, что

(apo, bq~Eо j ^ А*(ро, q — во) и функции vb£° и (wa£°)l~p° удовлетворяют условию удвоения.

q

Тогда оператор Рисса 1а ограничен из обобщенного гранд-пространства Лебега Ь^' (Жп,т) в обобщенное гранд-пространство Лебега Ь^' 4 р (Ж",«), в> 0.

< Из условий 1) и 2) в силу теоремы 2.4 следует ограниченность оператора Рисса из пространства Ьр(П, т) в пространство Ь(П, у), из условий 3) и 4) на основании леммы 2.3 и теоремы 2.4 следует его ограниченность из пространства ЬР0 (П,та£0) в пространство Ь9-£0 (П, уЬ£0). Таким образом, условия теоремы 3.1 выполнены и тем самым теорема 4.2 доказана. >

Следствие 4.3. Пусть П С Ж" 0 < а < и, 1 < р < и/а, 1/д = 1/р — а/и, т £ А1+ч/р' и функции т и т-р'/<1 удовлетворяют условию удвоения.

Тогда 1а : Ьр'в(П, тр/(1) ^ Ь^/р(П, т).

< Из соотношения (3) следует, что пара функций (тр/я,т) удовлетворяет условию 1) теоремы 4.2. Следовательно, v) £ А1+ . Существует число е > 0 такое, что v) £ А1+ _£.

Решив систему уравнений И^о = £) _А_ = получим числа ро и во, для которых

имеет место соотношение А1+_з_ = А д-Е0. Откуда следует выполнимость условия 3)

теоремы 4.2. Первая часть условия 4) выполняется, так как класс Ар^ содержит константу, а вторая — совпадает с условием 2). Таким образом, все условия теоремы 4.2 выполнены и следствие доказано. >

Отметим, что в случае отрезка [0,1] теорема 4.2 содержит достаточную частью теоремы 4.1 при выборе т = т1-ар, у = т, Ь = 1 а = та.

Автор выражает искреннюю благодарность профессору С. Г. Самко за полезные замечания, способствовшие улучшению содержания статьи.

Литература

1. Кокилашвили В. Максимальные функции и интегралы типа потенциала в весовых пространствах Лебега и Лоренца // Тр. Мат. ин-та АН СССР.—1985.—Vol. 172.—С. 192-201.

2. Соболев С. Л. Об одной теореме функционального анализа // Мат. c6.-1938.-Vol. 4(3).-С. 471497.

3. Умархаджиев С. М. Обобщение понятия гранд-пространства Лебега // Изв. вузов. Математика.— 2014,—Vol. 4.-С. 42-51.

4. Bergb J., Lofstrom J. Interpolation Spaces. An Introduction.—Berlin: Springer, 1976.—207 p.

5. Capone C., Fiorenza A. On small Lebesgue spaces // J. Function Spaces and Appl.—2005.—Vol. 3.— P. 73-89.

6. Di Fratta G., Fiorenz a A. A direct approach to the duality of grand and small Lebesgue spaces // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications.-2009.-Vol. 70, № 7.-P. 2582-2592.

7. Ding Y., Lin C.-C. Two-weight norm inequalities for the rough fractional integrals // Int. J. Math. Math. Sci.-2001.-Vol. 25, № 8.-P. 517-524.

8. Fiorenz a A., Gupta В., Jain P. The maximal theorem in weighted grand Lebesgue spaces // Studia Math.-2008.-Vol. 188, № 2.-P. 123-133.

9. Fiorenza A. Duality and reflexivity in grand Lebesgue spaces // Collect. Math.—2000.—Vol. 51, № 2.— P. 131-148.

10. Fiorenz a A., Karadzbov G. E. Grand and small Lebesgue spaces and their analogs // J. Anal. Appl.— 2004.—Vol. 23, № 4.—P. 657-681.

11. Fiorenz a A., Rakotoson J. M. Petits espaces de Lebesgue et leurs applications // C.R.A.S. t.—2001.— Vol. 333.-P. 1-4.

12. Greco L., Iwaniec Т., Sbordone C. Inverting the p-harmonic operator // Manuscripta Math.—1997.— Vol. 92.-P. 249-258.

13. Iwaniec Т., Sbordone C. On the integrability of the Jacobian under minimal hypotheses // Arch. Rational Mech. Anal.-1992.-Vol. 119.-P. 129-143.

14. Kokilasbvili V., Meskbi A. A note on the boundedness of the Hilbert transform in weighted grand Lebesgue spaces // Georgian Math. J.—2009.—Vol. 16, № 3.—P. 547-551.

15. Kokilashvili V. Two-weighted estimates for some integral transforms in Lebesgue spaces with mixed norm and imbedding theorems // Georgian Math. J.—1994.—Vol. 1, № 5.—P. 495-503.

16. Kokilashvili V. On a progress in the theory of integral operators in weighted Banach function spaces // Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis. Proc. of the Conf. held in Milovy, Bohemian-Moravian Uplands, May 28 - June 2, 2004.—Praha: Math. Inst. Acad. Sci. Czech Republick, 2005.—P. 152-175.

17. Kokilashvili V. Boundedness criterion for the Cauchy singular integral operator in weighted grand Lebesgue spaces and application to the Riemann problem // Proc. A. Razmadze Math. Inst.—2009.— Vol. 151—P. 129-133.

18. Kokilashvili V. The Riemann boundary value problem for analytic functions in the frame of grand Lp) spaces // Bull. Georgian Nat. Acad. Sci.—2010.—Vol. 4, № 1,—P. 5-7.

19. Kokilashvili V., Samko S. Boundedness of weighted singular integral operators on a Carleson curves in Grand Lebesgue spaces // ICNAAM 2010: Intern. Conf. Numer. Anal. Appl. Math—Vol. 1281 — P. 490-493.

20. Kokilashvili V., Samko S. Boundedness of weighted singular integral operators in Grand Lebesgue spaces // Georg. Math. J.-2011.-Vol. 18, № 2.-P. 259-269.

21. Meskhi A. Criteria for the boundedness of potential operators in grand Lebesgue spaces.— arXiv:1007.1185.

22. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function // Trans. Amer. Math. Soc.-1972.-Vol. 165.—P. 207-226.

23. Pérez C. Two weighted norm inequalities for Riesz potetials and uniform Lp-weighted Sobolev inequalities I I Indiana Univ. Math. J.-1990.-Vol. 39, № l.-P. 31-44.

24. Pérez C. Two weighted inequalities for potetial and fractional type maximal operators // Indiana Univ. Math. J.-1994.-Vol. 43, № 2.—P. 663-683.

25. Sawyer E. T. A two weight weak type inequality for fractional integrals // Trans. Amer. Math. Soc.— 1984.—Vol. 281, № l.-P. 339-345.

26. Sawyer E. T., Weeden R. L. Weighted inequalities for fractional integrals on euclidean and homogeneous spaces // Amer. J. Math.-1992.-Vol. 114, № 4.-P. 813-874.

27. Samko S. G., Umarkhadzhiev S. M. On Iwaniec-Sbordone spaces on sets which may have infinite measure // Azerb. J. Math.-2011.-Vol. 1, № l.-P. 67-84.

28. Samko S. G., Umarkhadzhiev S. M. On Iwaniec-Sbordone spaces on sets which may have infinite measure: addendum // Azerb. J. Math.—2011.—Vol. 1, № 2.—P. 143-144.

29. Stein E. M., Weiss G. Interpolation of operators with change of measures // Trans. Amer. Math. Soc.-1958.-Vol. 87.—P. 159-172.

30. Tord S. Weighted norm inequalities for Riesz potentials and fractional maximal functions in mixed norm Lebesgue spaces // Stud. Math.-1990.-Vol. 97, № 3.-P. 239-244.

Статья поступила 29 июня 2013 г.

Умархаджиев Салаудин Мусаевич Чеченский государственный университет, профессор каф. информационных технологий РОССИЯ, 364037, Грозный, ул. Киевская, 33 E-mail: umsalaudinOgmail. com

BOUNDEDNESS OF THE RIESZ POTENTIAL OPERATOR IN WEIGHTED GRAND LEBESGUE SPACES

Umarkhadzhiev S. M.

We prove a theorem on the two-weighted boundedness of linear operators in generalized Grand Lebesgue spaces introduced in our previous papers. This theorem is applied to obtain two-weigt estimated for the Riesz potential operator in such spaces.

Key words: generalized grand Lebesgue space, Riesz potential operator, interpolation theorem.