Об автоколебательных свойствах простой системы "генератор - двигатель"

ОБ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ПРОСТОЙ СИСТЕМЫ «ГЕНЕРАТОР — ДВИГАТЕЛЬ»

Л. И. Ганджа

Наиболее общим случаем простой системы „генератор—двигатель" является система с генератором и двигателем последовательного возбуждения, представленная на рис. 1. Исследование этой системы связано с очень большими трудностями, если ее рассматривать как нелинейную. Чтобы убедиться в этом, опишем ее соответствующими уравнениями. Исходным является уравнение

= + + (О

описывающее переходный процесс тока I силовой цепи и справедливое, очевидно, при следующих допущениях:

1) отсутствие реакций якорей генератора и двигателя; это. предполагает либо наличие в системе рис. 1 машин с компенсационными обмотками, либо пользование внутренними характеристиками намагничивания машин, учитывающими реакции якорей;

2) отсутствие для каждой из машин взаимной индуктивности между обмоткой независимого возбуждения и обмотками якоря и последовательного возбуждения, что означает независимость токов в обмотках независимого возбуждения от переходного процесса тока I в силовой цепи и их постоянство в случае отсутствия внешних воздействий на цепи обмоток независимого возбуждения;

3) отсутствие колебаний скорости генератора при колебаниях тока нагрузки;

4) отсутствие влияния вихревых токов, возникающих в массивных частях машин во время переходного процесса.

Этих допущений мы будем придерживаться во всем дальнейшем изложении. Исходя из них, мы можем пользоваться обычными „статическими" характеристиками намагничивания машин.

Учитывая сказанное, мы можем рассматривать э. д. с. генератора ег как линейную функцию суммарного магнитного потока Фг генератора, складывающегося из потока Фгн его независимой и из потока Ф его последовательной обмоток возбуждения; исходя из кривой намагничивания генератора, потоки Фгн и Ф являются нелинейными функциями соответствующих им токов / и I соответственно независимой обмотки возбуждения генератора и силовой цепи; поэтому е, является нелинейной функцией двух независимых переменных— токов и I:

ег = ег

При тех же условиях противо-э. д. с. двигателя ед может быть представлена как нелинейная функция скорости п двигателя и его

суммарного магнитного потока Фд> складывающегося из потока Фдн его независимой и из потока Фдп его последовательной обмоток возбуждения. Исходя из кривой намагничивания двигателя, эти потоки являются нелинейными функциями соответствующих им токов ¿дн и I соответственно независимой обмотки возбуждения двигателя и силовой цепи; поэтому ед может быть представлена как функция скорости п, тока возбуждения / и тока /:

дн

вЬ = Сед%П = Сед

Первый член правой части уравнения (I) представляет собой падение напряжения в активном сопротивлении силовой цепи. Оно включает в себя и падение напряжения в переходном слое „щетки—коллектор", которое является функцией многих переменных: силы тока направления этого тока, силы нажатия на щетки, скорости вращения якоря, сорта

1*1

Рис. 1.

Рис. 2.

щеток и т. д. Так как, с одной стороны, большинство из этих факторов не поддается учету и аналитическому выражению, а с другой — влияние их, за исключением тока /, на падение напряжения на щетках невелико, будем в дальнейшем принимать во внимание только зависимость падения напряжения на щетках от тока I. Тогда, как известно, вольт-амперная характеристика силовой цепи может быть представлена в виде кривой, изображенной на рис. 2; из сказанного ясно, что сопротивление $ силовой цепи является нелинейной функцией тока I:

* = *

Второй член правой части уравнения (1) представляет собой составляющую э. д. с. генератора, затрачиваемую на преодоление про-тиво-э. д. с. самоиндукции, наводимой в силовой цепи. Последняя, как известно, равна:

ёФ йЧГ (II т £/_

сИ

(И

сИ

где — величина потокосцеплений силового контура системы, рис. 1, а представляет собой коэффициент дифференциальной индук-

тивности, определяемый по кривой намагничивания (рис. 3) и являющийся при наличии железа нелинейной функцией ампер-витков. Очевидно, что Ь может быть представлен нелинейной функцией трех независимых переменных — токов ¿гн, 1дн и /, поскольку совокупным действием этих токов определяется степень насыщения машин. Тогда

О",«. ')

Учитывая (а), (б), (в) и (г), получим на основании (1):

Для исключения одной из переменных (/ или п) воспользуемся уравнением движения двигателя:

М = М +М, = М йп

ст\ ст »

ст » 1375 (И '

где момент М двигателя является нелинейной функцией тока и суммарного магнитного потока Фд двигателя и может быть представлен в виде:

м=V=+/=к* *)7' <д)

а статический момент М в дальнейшем считается постоянным и

ст ^

реактивным, т. е. скачком, меняющим свой знак при изменении знака у

аш

мст

п

Рис. 3.

Рис. 4.

скорости и, таким образом, представляющим собой нелинейную функцию скорости, представленную на рис. 4. Подставляя (д) в (2), получим:

СI

Дифференцируя (1а) по времени и подставляя в него из (2а),

получим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка для тока двигателя:

йЧ

сН2 ' ¿(¿гн, ¿дн, /) 1 <Ц 1 ^ ' ' д/,.." (Н

, <П1А1гн, ¿(^1)]с11дн , д{Ц£гн, ¿,н, /)] й! д[ег(1гн, /)] ) й!

сН

дн

сН

д/

сН

д!

М

375 ЧдеИдн* ^ЪУмУдн*

00* Ц1гн, 1дн, I)

I-1-

X

дн> ^'йн, д \'$де ^ ОН' /)1 а/

дЬ

дн

сН

0/

г'й«> ') Мгн

^ГГО)'^''"' /) = 0'

окончательно скорость п может быть исключена путем подстановки ее значения из (1а) в (За); однако мы этого преобразования делать не будем, имея в виду, что оно не имеет значения с точки зрения последующего изложения.

Исключая же из (1а) ток / путем подстановки его значения из (2а), получим окончательно нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка для скорости двигателя:

, ( *<'> , 375 м> {п) 1 /)] Мдн

м* 1 W') 1 GD* «их / ?dM(idH,I) didH dt

1 НЧдмУд» 'И dl \ dn

?dM

1 д1УдмУдн* 7)] didn 1 Э^дмУдн*1)] dI I M , ,,

Ъм ') dt ydM (idH> I) dl dt j Mcm w -Г

, 375 *dM{idK.I)lde

Л — ТТпГГТ^-i—= Зо

' GD* L (¿гн, idKt I) GDZ L {i2Ht idH9 ir^**1

Из уравнений (За) и (36) следует, что при упомянутых выше допущениях система рис. 1 представляется как динамическая система с тремя степенями свободы, поскольку она описывается тремя независимыми переменными — токами id и I.

Исследование этих уравнений в общем виде представляет непреодолимые трудности. Естественно поэтому начать изучение системы рис. 1 с исследования более простых частных случаев, из нее вытекающих.

Примем следующие допущения:

1. Будем считать, что к цепям обмоток независимого возбуждения машин внешние воздействия не приложены. Тогда = const и

di2 didH

idH = const, — = 0 и -^-=0 и соответствующие члены уравнений (За) и (36), содержащие эти производные, обращаются в нуль; ¿гя и ¿дн в соответствующих функциях, входящих в уравнения (За) и (36), могут рассматриваться как параметры, что приводит к зависимости этих функций только от одного переменного I. Тогда соответствующие частные производные переходят в обыкновенные производные по /.

2. Положим Мст (п) = 0, т. е. будем рассматривать переходные процессы в системе рис. 1 при отсутствии нагрузки на валу двигателя; при этом члены уравнений (За) и (36), содержащие Мст (/г) и

М'ст (п), обращаются в нуль.

3. Положим далее, что L(ieft; ¿дк, I) = const и /?(/) = const; тогда члены уравнений (За) и (36), содержащие производные от L(iiK, iдн, /) и R(I), также обращаются в нуль.

Прилагая сказанное к (За) и (36), получим упрощенные уравнения, описывающие систему рис. 1:

+ Пъм{1дя, П1 = 0-,

Т d2n I

D __ т Чдм(1дн> dl

* Wa*. ') dt.

375

dn , 375 T> т*

GD

ЪЛи<> !)' ') = 0*. .

* После сказанного выше соответствующие функции в уравнениях (4а) и (46) (например, уде (1дн, /) рассматриваются как функции одного переменного / и постоянных параметров I и ¿дн> указывающих в данном случае на наличие в системе рис. I

независимых, обмоток возбуждения.

Рассмотрим частные случаи, вытекающие из уравнений (4а) и (46) 1) Пусть в системе рис. 1 отсутствует обмотка независимого возбуждения генератора и /гя=0; тогда из (4а) и (46) получим уравнения, описывающие поведение системы „генератор — двигатель" с генератором последовательного и двигателем смешанного возбуждений:-

dt

dl

at'

375

GD2

(in

т d2n , [D J Л d/

1 GD2 дк'

7) dt

375

2) Пусть теперь генератор не имеет последовательной обмотки возбуждения; тогда е = const не зависит от I и е[(1) = 0; при этом из (4а) и (46) получим уравнения, описывающие поведение системы „генератор— двигатель" с генератором независимого и двигателем смешанного возбуждений:

¿2/

dt2

d

У дм (1дН /) df dn 375

Удм dt GD'1

375

?аЛ'дк' 7К(<«)=0-

3) Пусть двигатель не имеет независимой обмотки возбуждения, а генератор имеет смешанное возбуждение. Тогда ¿дн = 0 и из (4а) и (46) получаем уравнения:

375

г d2n %

R — L

Ш + ШЪмУ) be (!)П

Удм dl 9дм (7) dt. 375

описывающие систему „генератор — двигатель" с генератором смешанного и двигателем последовательного возбуждений.

4) При отсутствии независимых обмоток возбуждения как у двигателя, так и у генератора ¿гн=0 и ¿дя — 0 и из (4а) и (46) имеем уравнения для системы „генератор — двигатель" с машинами последовательного возбуждения:

[ + =

с14 , dt2_t"

L

Чдм (f) dl

dt 1 GD2 Tde dn . 375 /уч /уч

fdM (/) <«

—(7)^(/) = o.

5) При отсутствии независимой обмотки возбуждения у двигателя и последовательной — у генератора из (4а) и (46) получим уравнения для системы, состоящей из генератора независимого и двигателя последовательного возбуждений:

[1*.

М2 1 *-тде I м ' ОВ<

т ,

1 ж^

ч'дмЮа/

375

375

вй*

Ъи

6) Пусть далее, у двигателя нет последовательной обмотки возбуждения, генератор же имеет смешанное возбуждение; пусть 1дн —

= *дном> Т0ГДа фдп = °> фдн=фдноя и из (б) получаем:

ед = ?де

откуда следует, что

' ¿с Л

Точно так же из (д) следует, что

М = 1)1 = 9дмЧдн)1 = ся1

и, следовательно,

' ^С м

тогда, используя (е) и (ж), из (4а) и (46) получим уравнения для системы „генератор смешанного — двигатель независимого возбуждений:

П]%+ъ&с,см1 = 0-,

ьъг'+*ъ+Щ1смс'п-шс«е*{'**' /) = 0-

7, При тех же условиях, что и в п. 6, но при отсутствии обмоГ-ки независимого возбуждения у генератора (/ =0) из (4а) и (46) получим уравнения для системы „генератор с последовательным — двигатель с независимым возбуждениями":

г/2 т г иг 375с „ сл

+ <г ^ 1 ='< 1 1а>

, с12п . п йп . 375смсе 375см ,г\ П

8. Наконец, при генераторе и двигателе независимого возбуждения из (4а) и (46) имеем уравнения:

15-1383 ,,,

из которых легко могут быть получены известные уравнения:

(Рп , 1 йгь , 1 1 ег _/Л

Ж^т ~тв п ~ Тв~с^~

Различные .варианты простой 'системы «генератор — двигатель», представленной на рис. 1, описанные уравнениями (4а) —(126), представляют собой 'при Ля=сопз1 и ¿¿н~сдинамические системы с одной степенью свободы. Простейшая из «их, описанная уравнениями (12а), (126), является линейной системой, в связи с чем автоколебания в ней невозможны.

Следующая система [п. 7 и уравнения (На), (116)] является уже нелинейной, но простейшей, поскольку уравнение (Па) содержит один второй ¡нелинейный член, нелинейность которого обусловлена видом характеристики намагничивания ег~ег (/). За счет последней эта система допускает возможность возникновения автоколебаний, рассмотренных в [1, 2, 3, 4]. Как указывалось в цитированной литературе, эти автоколебания при малых индуктивностях могут сопровождаться реверсом двигателя, а при больших Ь -могут оказаться односторонними (без перемены знака) относительно скорости двигателя.

Переход от системы п. 7 к системе п. 6 не вносит лишних нелиней-ностей и сопровождается переходом автоколебаний с реверсом двигателя в односторонние автоколебания; при больших ампер-витках независимой обмотки возбуждения генератора эти автоколебания могут исчезнуть совсем. Этот случай рассмотрен в [5].

Добавляя двигателю в системе п. 7 последовательную обмотку возбуждения, .мы получаем систему, описанную в п. II. Эта система является более сложной, так как содержит уже две нелинейности: во втором и третьем членах уравнения (5а). Как было указано в ¡[б], в такой системе (возникают автоколебания с реверсом двигателя и с неравными полупериодами, поскольку в одном полупериоде магнитный поток, характеризующий третий член в (5а), достигает наибольшей величины, а в другом— наименьшей.

Система, описанная в п. 4, является также автоколебательной, по-

/О Ч ^

скольку в (8а) имеется нелинейность при присущая характеристике

намагничивания генератора. Третий член в (8а) также нелинеен, и эта система тоже содержит две нелинейности. Некоторые автоколебательные свойства этой системы описываются нами в статье «Об автоколебаниях в системе ¡генератор — двигатель с машинами последовательного возбуждения», публикуемой в настоящем сборнике. Система, описанная в п. 3, являющаяся разновидностью системы, упомянутой в п. 4, является также автоколебательной в той мере, в какой независимая обмотка возбуждения генератора сохраняет нелинейность характеристики намагничивания генератора и, следовательно, нелинейность второго члена в (7а).

Система рис. 1 также сохраняет автоколебательные свойства, поскольку второй член в (4а) является нелинейным за счет характеристики, намагничивания генератора; при этом она также является системой с двумя нелинейноетями.

Что касается систем, описанных в п. 2 и 5, то в них автоколебания не наблюдаются, так как в них ег =сопб1 и в (6а) и (9а) нелинейность второго члена не обусловливается характеристикой намагничивания генератора.

В случае переменной индуктивности система рис. 1 явится системой второго порядка с одной степенью свободы, содержащей три нелинейности. Таким образом:

1) система рис. 1 является наиболее общим случаем простой автоколебательной системы «генератор — двигатель» с одной степенью свободы прл тех допущениях, которые были изложены выше;

2)изучение автоколебаний в столь сложной системе целесообразно начинать с изучения простейшей системы, упомянутой в п. 7, постепенно усложняя задачу путем учета дополнительных ¡нелинейноегей.

Литература

1. Ганджа Л. И., Физика колебаний в системе «генератор с последовательным — двигатель с независимым возбуждением», Изв. ТПИ, т. 76, 1954.

2 Ганджа Л. И. и Потехин Ю. И., О переходных процессах и колебаниях в системе «генератор с последо-в а тельным— двигатель с независимым возбуждением», Изв. ТПИ, т. 76, 1954.

3. Ганджа Л. И., Линейная аппроксимация автоколебаний в электромеханической системе, Изв. ТПИ, т. 82, 1956.

4. Ганджа Л. И., Влияние индуктивности на форму автоколебаний в электромеханической системе, Изв. ТПИ, т. 82, 1956.

5. Ганджа Л. И .и Севастьянов В. А., Об автоколебаниях в электромеханической системе с электромашин,ным усилителем, Изв. ТПИ, т. 82, 1956.

6. Г а н д ж а Л. И., Самореверс как элемент электромашинной автоматики, диссертация, Томск, 1948.