Приближенное решение задачи рассеяния излучений на малых телах произвольной формы

УДК 519.6

И. В. Бойков

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ ИЗЛУЧЕНИЙ НА МАЛЫХ ТЕЛАХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

Аннотация. Построены итерационные методы решения следующих задач электростатики и электродинамики: 1) распределение заряда на поверхности идеального проводящего тела, находящегося во внешнем поле; 2) вычисление электрической емкости идеально проводящих тел; 3) приближенное решение задачи рассеяния излучений на малых телах произвольной формы. Исследование этих задач основано на общем математическом аппарате - приближенном решении слабосингулярных интегральных уравнений на спектре.

Ключевые слова: итерационные методы, задачи электростатики, задачи электродинамики, слабосингулярные интегральные уравнения.

Abstract. The article describes iterative methods to solve the following problems of electrostatics and electrodynamics: 1. Charge distribution on the surface of an ideal conducting body, situated in the external field; 2. Calculation of capacitance of ideal conducting bodies; 3. Approximate solution to a problem of radiation scattering on small bodies of random shape. Investigation of these problems is based on the general mathematical technique - approximate solution of weakly singular integral equations on a spectrum.

Key words: iterative methods, electrostatics problems, electrodynamics problems, weakly singular integral equations.

Многие задачи физики и техники моделируются операторными и, в частности, интегральными уравнениями первого рода вида

где A - линейный оператор из банахова пространства B в B.

Интегральные уравнения первого рода являются классическим примером некорректных задач [1]. Для их решения разработаны многочисленные методы регуляризации, в число которых входят итерационные методы. Приведем несколько итерационных методов решения операторных и интегральных уравнений первого рода, которые используются в работе.

Для решения уравнения (1) при условиях || A ||= 1, || A — 11|= 1 в работе [2] предлагается следующий итерационный метод:

где Xo - произвольный элемент пространства B.

Показано, что если B - рефлексивное пространство, то итерационный процесс (2) всегда сходится к одному из решений уравнения (1), если последнее разрешимо, и является регуляризующим. Итерационный метод (2) обладает, как показано в [2], еще одним достоинством - он сходится в равномерной метрике.

Итерационный метод (2) допускает следующее обобщение [2]: последовательность хп+1 =(! — цА)хп + , 0<|!< 1, сходится.

Введение

Ax = f,

Замечание. Последовательность (2) построена по аналогии с суммированием расходящихся рядов по методу Фейера [3]. Из доказательства, приведенного в работе [2], следует, что и многие другие методы суммирования расходящихся рядов [4, 5], в частности методы Валле - Пуссена и Бернштейна - Рогозинского, также могут быть использованы для решения уравнения (1).

Теорема 1 [6]. Пусть B - рефлексивное банахово пространство и || Kn ||= C, n = 1,2,...,C = const, 0 < C < го. Итерационный процесс

хи+1 = anxn +

*

сходится к решению x уравнения x = Kx — f, если последнее разрешимо.

Распределение зарядов на поверхности идеального проводника

Рассмотрим следующую классическую задачу электростатики. Пусть идеально проводящее тело с кусочно-гладкой поверхностью Г находится в электростатическом поле E = —Уф. Тогда на поверхности тела индуцируется заряд с плотностью а, которая удовлетворяет [7] интегральному уравнению

a

W Эп Г dns 2nr (s, t) W J W

где n - внешняя нормаль к поверхности Г, нижний индекс s в ns означает, что производная берется по переменной s; s и t - точки на поверхности Г; r(s, t) - расстояние между точками s и t в евклидовой метрике; dt -элемент площади поверхности Г.

Уравнение a + Aa = 0 исследовано в монографии [8, с. 623-625]. Показано, что оно не имеет собственных значений внутри единичной окружности с центром в начале координат, а на единичной окружности имеет собственное значение X = —1.

Замечание. В данном разделе собственные значения понимаются как это принято в теории интегральных уравнений: комплексное число X называется собственным значением уравнения a + Aa = 0, если существует элемент x Ф 0 такой, что x + XAx = 0.

Тамже показано, что однородное уравнение a + Aa = 0 имеет только одно линейно независимое решение а0.

Известно [8, с. 624], что уравнение (4) имеет собственное значение, равное —1 кратности единица, и единственную собственную функцию. Таким образом, задача распределения заряда по идеально проводящей поверхности является классической задачей на спектре.

Различным методам решения этой задачи посвящено большое число работ. В работе [7] для решения уравнения (4) предложен итерационный метод

an+1

n+1 idns 2nr(s, t) nW dns W

Г

и доказана его сходимость в предположении, что выполнено условие

f a0

Г

При численной реализации этого метода возникают большие затруднения из-за его неустойчивости к возмущениям и при аппроксимации интегрального оператора.

В этом отношении более предпочтительными являются итерационные методы (2), (3).

Для решения уравнения (4), которое представим в виде

K a = a + Aa = f,

воспользуемся итерационным процессом

an+1= an an —

где 0<a* < an <a <1.

Теорема 2. Итерационный процесс (8) сходится при любом начальном приближении.

Доказательство. Из теоремы 1 следует, что для доказательства сходимости итерационного процесса (8) достаточно выполнения неравенства

|| An ||< B = const, n = 1,2,... Известно [9], что расстояние от начала координат до ближайшего собственного значения уравнения a + Aa = 0 определяется формулой

r = 1/ lim (| An |)1/n.

П—го

Так как оператор A не имеет собственных значений внутри единичного круга, а на единичной окружности имеет собственное значение X = — 1, то

r = 1 и, следовательно, lim (|| An ||1/n) = 1. Отсюда У An ||< B = const, n = 1,2,...

n——го

Теорема доказана.

Замечания.

1. При численной реализации вычислительной схемы (8) необходимо следить за тем, чтобы норма конечномерной аппроксимации оператора A не превосходила 1. Проведение подобной коррекции программно реализуемо.

2. При решении задачи о распределении заряда во внешнем поле естественно предполагать, что первоначальный заряд равен нулю. Для этого в итерационном процессе (8) следует в качестве начального значения взять функцию ag(s), удовлетворяющую условию ag(s) = 0.

*

Тогда итерационный процесс (8) будет сходиться к функции a (s), описывающей распределение заряда на идеально проводящей поверхности, не имеющей первоначального заряда. Докажем это утверждение. Известно, что подпространство нулей уравнения a + Aa = 0 имеет размерность 1 и его базисом является собственная функция уравнения a + Aa = 0 .

Пусть H — гильбертово пространство. Обозначим через H1 подпространство нулей уравнения a + Aa = 0, а через H2 его дополнение до H.

Из теории Рисса - Шаудера [10] следует, что итерационный процесс (8) можно представить в виде системы из двух независимых уравнений:

с"+1= аис” +

°2+1= апс\ +

где / = 71 + /2, с0 =с° +с2,/1, с0 е H1, /2,с2 е Н2-

Так как базисом подпространства Ну является собственная функция

уравнения с + Ас = 0, то из разрешимости уравнения (4) следует, что

/1 = 0, |/2 (я)^ = 0г

Следовательно, предыдущая система имеет вид

сп+1= а ”Сп +

с2+1= а”С2 +

Из теоремы 2 следует, что каждый из итерационных процессов незави-

* * 0 1 п *

симо сходится к функциям с и с2, причем с =с1 = ...с1 =... = с1 = 0.

*

Решение Х2 второго уравнения определяет распределение заряда. Интегрируя уравнение (12) по области Г, имеем

| с2+1 (я )ds = | с2 (я )ds = -- -=|' с2 (я )ds = 0.

ГГ г

Таким образом, итерационный процесс (8) с начальным приближением

*

с0 = 0 сходится к функции с (я), описывающей распределение заряда на поверхности идеального проводника, помещенного во внешнее поле и не имеющего первоначального заряда.

Методы вычисления электрической емкости

Теория электростатики описывается уравнениями

У-Е = Р0,

е0

Ух Е = 0,

Е р У ( д Э д >

где Е - электрическое поле; р0 - распределение зарядов; У = —,—,—

^ Эх Эу Эг

£0 - характеристика среды.

Переход от уравнений (13), (14) к соответствующим уравнениям теории гармонических функций осуществляется с помощью электростатического потенциала ф, который определяется формулой Е == -Уф.

Электростатический потенциал в точке P записывается в виде

P

ф( P) = - J Eds.

P0

Обычно в качестве точки Po берут бесконечно удаленную точку.

Пусть заряд распределен на поверхности Г с плотностью р(x,y, z),

(x, y, z) e Г. Тогда потенциал, создаваемый этой поверхностью в точке P, равен

Ф( P)=JL~ J ds,

4лео Г r

где p - точка с координатами (^,n, Z), расположенная на поверхности Г.

С математической точки зрения введение электростатического потенциала очень удобно, так как сводит задачи электростатики к простейшим эллиптическим уравнениям.

Подставляя в уравнение (13) значение E = -V • ф, приходим к уравнению

Аф = -Ро.

Обозначим через Г поверхность проводника, находящегося в электростатическом поле E. Так как в стационарном электростатическом поле заряды в проводнике Г постоянно распределены, то справедливо граничное условие Et |г = 0. Здесь, как и всюду ниже, через N обозначена внешняя нормаль к поверхности Г, а через t - тангенциально составляющая вектора E. С понятием потенциала тесно связано понятие емкости. Приведем определение емкости, принятое в электротехнике.

Определение 1 [11, с. 52]. Емкостью уединенного проводника, т.е. проводника, бесконечно удаленного от всех других проводников, называется величина заряда, необходимая для сообщения этому проводнику потенциала, равного единице. Емкость принято обозначать буквой C.

Наряду с определением емкости, принятым в электротехнике, емкость может быть введена как константа, характеризующая геометрические свойства поверхности. Пусть в евклидовом пространстве En задана замкнутая поверхность ЭП, ограничивающая область П. Поверхность ЭП будем рассматривать, следуя [12], как проводник. Это означает, что гармоническая функция u(x), x = (x1,...,xn), определенная вне области П, принимает на ЭП постоянные значения.

Пусть гармоническая функция u(x) вне области П разлагается в ряд

2 2 1/2

по поверхностным гармоникам r = (1 +---------+ xn) . На поверхности ЭП

потенциальная функция u( x) принимает постоянное значение

u0= X0 r-1 + X1r-2 + ••• + Xnr-n+1.

Определение 2 [13]. Величина С = Xд/ п§ зависит только от

поверхности О и называется емкостью проводника О.

Известно, что величины емкости, введенные определениями 1 и 2, совпадают.

Для некоторых простейших геометрических тел известны аналитические формулы для определения емкости. Приведем некоторые из них.

Емкость уединенного шара равна его радиусу: С = Я.

Известно [12, стр. 40], что емкость уединенного сплюснутого

х2 у2 с2 г и \ п 4пЕо>/а2 - с2

эллипсоида — + — + —= 1 (а = Ь > с) равна С =--------- ---------, а емкость

а2 Ь2 с2 агсоо8

уединенного вытянутого эллипсоида (а < Ь = с) равна С =-----------.

ЛгсЬ

В общем случае [12, с. 39], емкость эллипсоида выражается

эллиптическим интегралом I рода по формуле

го

_1 = 1г_____________^_________

С 2 Ц^ + а2)(^ + Ь2)^ + с2)'

Отметим, что точные аналитические формулы для вычисления емкости удалось получить лишь в исключительных случаях.

В книге [13] показано, что С =---1— ГГ -^^й а, где интеграл берется

4пы0^ дпе Р Р

по произвольной замкнутой поверхности, охватывающей О (возможно, по

самой поверхности ЭО), йа есть элемент площади поверхности, пе -

внешняя нормаль к поверхности.

С вычислением электростатической емкости связаны изопериметриче-ские задачи математической физики. А. Пуанкаре показал в 1903 г., что из всех тел с данным объемом сфера имеет наименьшую электростатическую емкость.

Т. Карлеман в 1918 г. получил аналог теоремы Пуанкаре на плоскости. Строгое доказательство теоремы Пуанкаре было дано в 1930 г. Г. Сеге.

Важную роль в оценке величины электростатической емкости играют принципы Дирихле и Томсона, причем оценки сверху получаются на основании принципа Дирихле, а оценки снизу - на основе принципа Томсона.

Принцип Дирихле

Пусть /(х) - произвольная скалярная функция, определенная вне поверхности О, причем /(х) = Ыд при хеЭП и /(го) = 0. Принцип Дирихле заключается в следующем: для любой функции /(х), удовлетворяющей перечисленным выше условиям,

СГГГ|8гас1/

4п ыoJJ О

где йт - элемент объема.

Таким образом, для того чтобы оценить сверху емкость С, нужно найти нижнюю грань значений интеграла, стоящего в правой части неравенства (17) на множестве всевозможных скалярных функций /(х),

определенных вне О и удовлетворяющих условиям: и(х) = Мд при хеЭП и

н(го) = 0.

Очевидно, при выборе классов функций /(х), на которых ищется тйшиш приходится руководствоваться различными предпосылками физического характера.

Принцип Томсона

Пусть /(х) есть произвольная векторная функция /(х) = і/1 (х) + +/ (х) + к/3 (х) без источников: &і\/ (х) = 0.

нормали к поверхности ЭП; /п - проекция векторной функции /(х) на вектор п.

Принцип Томсона. Для любой векторной функции / (х) без источников справедливо неравенство

Таким образом, для оценки снизу электростатической емкости С достаточно найти нижнюю грань значений интеграла, стоящего в правой части неравенства (18), по множеству всевозможных векторных функций без источников.

В монографии [13, с. 71] принципы Дирихле и Томсона обобщены на случай нескольких поверхностей, которые рассматриваются как «проводники». Это означает, что значение гармонической функции на каждой из этих поверхностей принимает постоянное значение.

Пусть дПд и ЭО1 - две замкнутые поверхности, причем ЭО1

охватывает ЭОд. Пусть в области, расположенной между поверхностями дПд и ЭО1, определена гармоническая функция ы(х), принимающая на поверхности дПд - значение Ыд, а на поверхности ЭО1 - значение Ы1, где Ыд и Ы1 - постоянные, Ыд Ф Ы1.

Положим

где п - единичный вектор внешней

'3

Обобщение принципов Дирихле и Томсона

Величина

называется емкостью поверхностей ЭПд и ЭО1.

Здесь интеграл берется по произвольной поверхности, охватывающей ЭОо и содержащейся внутри ЭО1, n означает внутреннюю нормаль.

Пусть f (x) - произвольная скалярная функция, определенная в

области, заключенной между поверхностями ЭОо и ЭО1 и принимающая значения Ufr на поверхностях ЭОк, к = 0,1, Mj,U2 = const, Mj Фuo. Тогда принцип Дирихле выражается неравенством

C < -1----1— [[ [ | grad f (x) |2 dт,

4п u0 - Ui i—

0 1 О1\О0

где интеграл берется по замкнутой области, включающей область, расположенную между поверхностями ЭОо и ЭО1, и сами эти поверхности.

Пусть f (x) - векторная функция, определенная в области О1 \ Оо и принимающая значения Mo и U1 на поверхностях ЭОо и ЭО1, U1, U2 = const,

U1 Ф Uo.

Пусть Q = -1 JJfndа, где интеграл берется по произвольной поверхности ЭО, расположенной между поверхностями ЭОо и ЭО1, n означает внешнюю нормаль.

Принцип Томсона выражается неравенством

1 <-!!

C 4п Q

Qj\O0

(х)\2 dт.

Пусть даны две замкнутые поверхности ЭОо и dOj, расположенные одна вне другой. Пусть u(х) - гармоническая функция, определенная вне поверхностей ЭОо и dOj, принимающая на этих поверхностях значения uo и uj, uo,uj = const, uo Ф uj, и такая, что в разложении в ряд (16) отсутствует

слагаемое Xor-1.

В этом случае емкость определяется формулой

C = -!_L_ ГГ

4п (u^ — u )J J dn-

4п (ыд - Ы1^

где интеграл определяется по поверхности ЭО, охватывающей поверхность ЭОд и расположенной вне поверхности ЭО1.

Принципы Дирихле и Томсона определяются по аналогии с приведенными выше.

Итерационные методы вычисления электрической емкости тел произвольной формы

Приведенные выше принципы Дирихле и Томсона позволяют получить оценки емкости. Во многих задачах требуется знать с высокой точностью емкость тел достаточно сложных форм. Определение электрической емкости

различных тел является классическом задачей электростатики, которой посвящено более 800 работ, в каждой из которых для отдельных классов тел предлагаются отдельные методы. Изложение известных методов и подробная библиография содержатся в книгах [7, 14].

При этом остался открытым вопрос о построении универсального метода вычисления емкости произвольных тел. Таким методом является приближенный метод вычисления электрической емкости тел произвольной формы. Эффективный алгоритм решения этой задачи дан в статье [15] и в книге [16].

В последнее время активно развиваются направления нанотехнологии, связанные с построением радиотехнических схем и устройств вычислительной техники на фракталах. Предлагаемый ниже алгоритм позволяет вычислять емкость на фракталах различных поколений, в частности, на снежинках Коха, развертках Гильберта и Пеано [17].

Итерационные методы вычисления электрической емкости тел произвольной формы

В работе [7] предложена аналитическая формула для вычисления емкости произвольного тела с любой наперед заданной точностью £:

C(n) = = 4пє0 S

(-1) rrdsdt

(2n)n

я dd j-j * (t ,1)... * (tn-1,tn )dt1— dtn

ГГ st Г Г n

,

где S - площадь поверхности Г проводника; £д - электрическая проницаемость; г51 :=| 5 -11;

*(t, s):=

д J_

dNt rst

C (°) =

4пє о S

J

2

-< C, J=jj

dsdt

ГГ

'st

Там же доказано, что

C - C

< Aqn, 0 < q < 1, где A и q - постоян-

ные, зависящие от формы тела Г. Из (20) следует, что

C(„ =4п£0 S 2

N 1

JJ rst Ч(t )dtds

ГГ

где 8„ определяется последовательными приближениями

Sn+1= - A8„, 80=1, j 6 „dt = S,

а оператор A определяется формулой A8 = J 8

_д_______1_

dNs 2nrst

t, где Ns

внешняя единичная нормаль к поверхности Г в точке s.

Итерационная схема (21), (22) неустойчива при аппроксимации оператора А и при различных возмущениях. Поэтому для вычисления емкости следует использовать следующую итерационную схему:

Г

сходимость которой обоснована в предыдущем разделе.

При использовании итерационного метода (23) необходимо располагать эффективными кубатурными формулами для вычисления интеграла

Опишем кубатурную формулу вычисления интеграла (24), предполагая, для простоты обозначений, что область О, ограниченная поверхностью Г, выпуклая. Следует отметить, что предлагаемый алгоритм может быть применен к телам произвольной формы.

Обозначим через S сферу с центром в начале координат и с макси-

*

мальным радиусом г , вписанную в поверхность Г. Введем сферические

*

координаты (г, ф, 0) и через (г , фк, 0/) обозначим систему узлов фк =2к п /п, к = 0,1,., п,0/ = п/ / т, = 0,1,..., т.

Предположим, что т - четное число и покроем сферу S сферическими треугольниками Ак, к = 1,2,..,^, N = 2п(т — 1). Опишем построение сферического треугольника. При 0<0<п/т треугольники Ак,к = 1,2,.,п,

* * * имеют вершины (г ,0,0), (г ,фк—1,01), (г ,фк,01), к = 1,2,.,п.

При 0/ <0< 0/+1, / = 1,2,., т/2 — 1, треугольники Ак,

к = п + 2п(/ — 1) + у, 1 < у < 2п, строятся следующим образом. Прямоугольник [0,2п; 0/, 0/+1 ] покрывается квадратами Ак/ =[фк, фк+1; 0/, 0/+1],

к,/ = 0,1,.,п — 1. Каждый квадрат Ак/ делится на два равных треугольника

12 1 Ак/ и Ак/, к = 0,1,.,п — 1,/ = 1,2,.,т/2 — 1. Сферические треугольники Акі

2

и Ак/, к = 0,1,., п — 1, / = 1,2,., т /2 — 1, являются образами треугольников

АИ и АІ/ на сфере 5.

В результате этих построений сфера 5 оказывается покрытой треугольниками Ак, к = 1,2,., N.

Проведем прямые из начала координат через вершины треугольников Ак, к = 1,2,.,N. Точки пересечения этих прямых с поверхностью Г

являются вершинами треугольников Ак, к = 1,2,.,N. В результате этих построений поверхность Г аппроксимируется поверхностью Г N, состоящей из плоских треугольников Ак, к = 1,2,.,N, и интеграл (32) аппроксимируется интегралом

6п+1 = оА —

Зафиксируем произвольный треугольник Ак, к = 1,2,.,N, и поставим ему в соответствие точку Тк е Ак, к = 1,2,.,N, равноудаленную от вершин треугольника Ак,к = 1,2,.,N. Будем вычислять интеграл (25) в точках Тк, к = 1,2,., N, по кубатурным формулам, описанным в [16, разд. 1 гл. 4].

Таким образом, для вычисления емкости реализуется следующий вычислительный процесс:

6п+1 ап 6п '

(1 ап) AN 6п, 60 1, ^ 6п

N,

N

4—1

AN 6 = -П | 8(*) -1Л, С^ = 4пеоS2N | | г- % ()Л

1N V1 N1 N

SN - площадь поверхности Г N.

Решение модельных примеров показало его высокую эффективность. Некоторые примеры приведены в [16].

Рассеяние излучения на малых телах произвольной формы

Задаче дифракции волн на различных препятствиях посвящена обширная литература, из которой упомянем лишь монографии [18-21].

Особенно сложными являются задачи дифракции волн на произвольных телах малой формы, когда длина волны сопоставима с размерами тела.

Исследование этих задач представляет значительный интерес в геофизике (особенно в сейсмологии), астрофизике, оптике, нанотехнике.

В данном разделе предлагается численный алгоритм решения этой задачи для одного тела.

Будем рассматривать внешнюю задачу Неймана для уравнения Гельмгольца

(А + к )у = 0 в О,

с граничным условием

дщ

и с условием на бесконечности вида у( х) = 0

Здесь А — оператор Лапласа; О = Я \ В , В - ограниченная область с гладкой границей Г.

Будем искать решение краевой задачи (26), (27) в виде

гехР

V = ]----- ---------йи, гху =1 х — У |.

Г 4пгху

Подставляя (28) в граничное условие (27), получим интегральное уравнение относительно О:

с = Л

дЫ

где

р д ехр0’кг)

Л

ГдЫх 2пгху

Для удобства обозначим последнее слагаемое в (29), обозначим как

. г,дио( х) ....

р(х) = 2------- и окончательно получим о = Л(к)о+р , или в развернутом

дЫ

виде:

г д ехр

ГдЫх ^

Будем решать это интегральное уравнение методами простой итерации: с д ехр

ои+1

ГдЫх гху

и итерационным методом:

Оп+1

х[^-----------Оп

ГдЫх гху

Для вычисления интеграла в формулах (32), (33) используются оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления слабосингулярных интегралов [15, 16]. Триангуляция поверхности Г описана в предыдущем разделе.

Решение модельного примера показало высокую эффективность численного алгоритма. При различных значениях волнового числа невязка метода колеблется от величин порядка 10 5 до величин порядка 10 10.

Список литературы

1. Тихонов, А. Н. Некорректные задачи / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М. : Наука, 1974.

2. Бакушинский, А. Б. О решении некоторых интегральных уравнений I рода методом последовательных приближений / А. Б. Бакушинский, В. Н. Страхов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1968. - Т. 1. -С. 181-185.

3. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. - М. ; Л., 1949. - 688 с.

4. Кук, Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей / Р. Кук. -М. ; Л., 1960. - 472 с.

5. Харди, Г. Расходящиеся ряды-/ Г. Харди. - М. ; Л., 1951. - 504 с.

6. Обломская, Л. Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений / Л. Я. Обломская // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1968. - Т. 8, № 2. - C. 417-426.

7. Ramm, A. G. Iterative Methods for Calculating Static Fields and Wave Scattering by Small Bodies / A. G. Ramm. - New York : Springer-Verlag, 1982. - 124 p.

8. Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. - М. : ГИФМЛ, 1958. - Т. 4. - 812 с.

9. Красносельский, М. А. Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко и др. - М. : Наука, 1969. - 456 с.

10. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. - М. : Наука, 1965. - 510 с.

11. Тамм, И. Е. Основы теории электричества / И. Е. Тамм. - М. : Наука, 1989. -504 с.

12. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. : ГИТТЛ, 1957. - 532 с.

13. Полиа, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г. Полиа, Г. Сеге. - М. : ГИФМЛ, 1962. - 336 с.

14. Иоссель, Ю. Я. Расчет электрической емкости / Ю. Я. Иоссель, Э. С. Кочанов, М. Г. Струнский. - Л. : Энергоиздат, 1981. - 288 с.

15. Boikov, I. V. Optimal with Respect to Accuracy Algorithms for Calculation of Multidimensional Weakly Singular Integrals and Applications to Calculation of Capacitances of Conductors of Arbitrary Shapes / I. V. Boikov, A. G. Ramm // Acta Appli-candae Mathematicae. - 2003. - V. 79, № 3. - P. 281-362.

16. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингу-лярных интегралов. Часть 1. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2005. - 360 с.

17. Кроновер, Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах / Р. М. Кроновер. -М. : Постмаркет, 2000. - 352 с.

18. Стретт, Дж. В. (лорд Релей). Теория звука / Дж. В. Стретт (лорд Релей). - М. : ГИТТЛ, 1958. - Т. 1. - 504 с.

19. Стретт, Дж. В . (лорд Релей) Теория звука / Дж. В. Стретт (лорд Релей). - М. : ГИТТЛ, 1958. - Т. 2. - 476 с.

20. Бабич, В. М. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн / В. М. Бабич, В. С. Булдарев. - М. : Наука, 1972. - 250 с.

21. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс. - М. : Мир, 1987. - 311 с.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,

Penza State University

E-mail: math@pnzgu.ru

УДК 519.6 Бойков, И. В.

Приближенное решение задачи рассеяния излучений на малых телах произвольной формы / И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. - № 3 (23). - С. 71-84.