Нелинейная динамика деформирования: эволюция научного направления в ИАПУ ДВО ран

Вестник ДВО РАН. 2016. № 4

УДК 539.3

О.В. ДУДКО, В.Е. РАГОЗИНА, Ю.Е. ИВАНОВА, А.А. МАНЦЫБОРА, А.А. ЛАПТЕВА

Нелинейная динамика деформирования: эволюция научного направления

Статья посвящена истории и результатам развития в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН одного из современных фундаментальных направлений механики сплошных сред — теории нелинейного динамического деформирования твердых тел. Перечислены ключевые достижения и новые результаты с обозначением их места в общем прогрессе подходов и методов нелинейной динамики.

Ключевые слова: нелинейная динамика деформирования, волны деформаций, лучевой метод, метод возмущений, нестационарная краевая задача, автомодельная задача

Nonlinear deformation dynamics: the evolution of scientific direction in the IACP, FEB RAS. O.V. DUDKO, V.E. RAGOZINA, Yu.E. IVANOVA, A.A. MANTCYBORA, A.A. LAPTEVA (Institute of Automation and Control Processes, FEB RAS, Vladivostok).

The article is dedicated to the history and the development results of one of the fundamental directions of modern continuum mechanics - the theory of nonlinear dynamic deformation of solids at the Institute of Automation and Control Processes, FEB RAS. The key achievements and new results are listed with pointing of their place in the overall progress of approaches and methods of nonlinear dynamics.

Key words: nonlinear deformation dynamics, deformation waves, ray method, perturbation method, nonstationary boundary value problem, self-similar problem.

Пожалуй, нельзя назвать ни одну область движения живой и неживой материи,

в которой не проявлялись бы волновые процессы. Модели развития популяций животных, теории волн в экономике, физика плазмы, электродинамика, оптика, явления в жидкостях и газах, геодинамика, многообразие задач акустики, динамические процессы обработки материалов в современных технологиях - всюду человека окружают волновые явления. Многие их них известны всем нам на поверхностном, бытовом уровне и потому перестают удивлять и вызывать типичный для детей и ученых вопрос: «Почему?». Есть и такие виды волн, о природе которых имеют представления только узкопрофессиональные группы исследователей. Действительно, динамика жидкости и газа не вызывает вопросов: всем известны волновые картины на воде и простейший способ их наблюдения -

* ДУДКО Ольга Владимировна - кандидат физико-математических наук, и.о. ведущего научного сотрудника, заведующая лабораторией, РАГОЗИНА Виктория Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, ИВАНОВА Юлия Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, МАНЦЫБОРА Александр Анатольевич - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, ЛАПТЕВА Анастасия Александровна - кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник (лаборатория нелинейной динамики деформирования Института автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток). * E-mail: dudko@iacp.dvo.ru

в ИАПУ

Введение

запустить в поток индикаторы-частицы. С другой стороны, значительно менее очевидной представляется динамика твердого тела (если только дело не доходит до его разрушения). Вместе с тем понятно, что нам абсолютно необходимо знание о том, как ведут себя различные твердые среды не только в условиях статики: по сути, нет процессов чисто статических, есть возможность приближенно считать некоторые процессы таковыми. Динамические нагрузки на конструкции, удар по корпусу транспортных средств, производственная динамическая формовка, прогнозирование поверхностных земных волн и разработка новейших приборов регистрации таких волн требуют всестороннего развития одного из важнейших направлений современной механики твердого тела - нелинейной динамики деформирования. Именно оно стало главной научной темой коллектива лаборатории N° 52 ИАПУ ДВО РАН. В преддверии юбилея Института мы с большим удовольствием встретили возможность поделиться результатами своей работы, тем более что формат статьи позволяет отказаться от многолетней привычки обращения к громоздким математическим формулировкам и сосредоточиться на ключевом содержании, т.е. на главном.

Немного истории

Попытка описать в масштабе нашей статьи все аспекты истории развития нелинейной динамики деформирования неизбежно обречена на поражение, поскольку могла бы стать предметом увлекательной очень обширной книги. Поэтому, заранее извиняясь за то, что не перечисляем всех ученых, внесших свой вклад в нелинейную динамику в целом, сконцентрируем внимание на основных вехах и нетривиальных вопросах, напрямую связанных с нашей научной работой.

История изучения нелинейных волн начинается со второй половины XIX в. с программных работ Б. Римана и Дж. Г. Стокса. Далее большая часть исследований вращается вокруг вопросов гидродинамики, поскольку модели жидкости (в отличие от твердого тела) изначально развивались как нелинейная теория. Теория деформирования твердого тела до середины XX в. была практически линейной. Совместное развитие теоретического аппарата и вычислительной техники привело к появлению направления, самостоятельность которого всегда подчеркивается его названием - нелинейная механика твердого тела. В разделе динамики эта теория базируется на работах Д.Р. Бленда, Дж. Грина и Ж. Адкинса, З. Весоловского, И.И. Гольденблата, А.И. Лурье и др. Наиболее активное развитие динамика нелинейного твердого тела получила в 80-90-х годах XX в. в работах московской (А.Г. Куликовский, Е.И. Свешникова, А.П. Чугайнова и др.) и воронежской (Д.Д. Ивлев, А.Д. Чернышов, Г.И. Быковцев, А.А. Буренин и др.) школ механики. В это время были получены ключевые результаты по динамике плоских волновых процессов и положены основы теоретическим методам их приближенного исследования.

Где же в нашем перечне место для Владивостока и его физиков и математиков? А вот и оно! В 1988 г. ИАПУ ДВО АН СССР возглавляет выдающийся механик Вениамин Петрович Мясников (в ту пору чл.-корр. АН СССР). В соответствии с кругом своих научных интересов (различные области механики сплошных сред) он привлекает к работе в Институте большую группу известных и молодых перспективных ученых-механиков (Г.И. Быковцев, А.А. Буренин, М.А. Гузев и др.). Многие из них переехали во Владивосток и надолго связали свою жизнь и работу с нашим городом. Одновременно с созданием нового научного направления, понимая необходимость непрерывного цикла подготовки молодых специалистов высокого профильного уровня, В.П. Мясниковым и ректором ДВПИ им. В.В. Куйбышева Н.Г. Храпатым была открыта новая специальность «Прикладная математика», а затем (после реорганизации ДВПИ в ДВГТУ) - базовая кафедра математического моделирования и информатики. Абсолютное большинство сотрудников нашей лаборатории - представители выпусков различных лет по этой специальности. Многие из сотрудников других лабораторий ИАПУ учились там же.

Формально лаборатория нелинейной динамики деформирования создана в Институте внутри отдела механики деформируемого твердого тела (МДТТ) в 2011 г. Но история наша начинается с 1988 г., когда в ИАПУ появилась лаборатория МДТТ. С 1993 г. лабораторией, как и кафедрой математического моделирования и информатики ДВГТУ, руководил д.ф.-м.н. профессор А.А. Буренин. Именно он создал основной коллектив отдела и лаборатории. Круг его научных интересов задает вплоть до сегодняшнего времени один из главных векторов наших исследований. Развитие нашего коллектива включает и спокойные плавные этапы накопления знаний и постепенного роста численности сотрудников, и этапы быстрых кардинальных преобразований, которые не могут не сопровождаться существенным изменением научного состава. Здесь наиболее серьезным изменением в жизни нашей лаборатории следует назвать смену руководства: с 2015 г. чл.-корр. РАН А.А. Буренин полностью сосредоточился на новой ответственной работе директора Института машиноведения и металлургии ДВО РАН (Комсомольск-на-Амуре), и теперь наш коллектив возглавляет к.ф.-м.н. О.В. Дудко. Второй год лаборатория № 52, несмотря на сложный процесс реформы науки, делает все возможное, чтобы максимально сохранить лучшие из своих научных традиций (за 27 лет они, безусловно, появились), найти новые направления для научного творчества и, конечно, сохранить важнейший ресурс - людей в коллективе и наработанные научные контакты. Верим, что эта работа даст свои результаты. А теперь поговорим более подробно о том, что же мы изучаем...

Моделирование: от реального объекта к математической модели

Современная физика и механика, описывая реальную среду (в частности, твердое тело, обладающее способностью к деформации при изменении внешних температурных, механических, химических, электромагнитных условий), неизбежно сталкивается с вопросом о необходимой степени детализации математического описания. Например, основа статистической физики - описание движения структурных частиц, образующих материал, и анализ усредненных по ансамблю частиц средних характеристик их состояния. Можно перейти и к уровню описания внутримолекулярных свойств, и к физике элементарных частиц. К счастью, нам далеко не всегда нужна такая модель. Во многих практически важных случаях достаточно описания среды в приближении механики сплошных сред (МСС). Этот уровень моделирования включает в себя метод статистической физики как одну из отправных точек, но и позволяет заменить реальное вещество с его структурой на идеализированную сплошную среду. Потери в точности при этом компенсируются важнейшими возможностями: согласованным применением методов математического анализа и аппарата тензорной алгебры. Способность частиц менять относительное положение задается тензорной мерой деформации, а возникающие внутренние усилия описываются тензором напряжений. Замыкает любую модель твердого тела феноменологический закон, связывающий активные и реактивные переменные и позволяющий, в частности, установить связь напряжений и деформаций. Максимально просты линейные модельные зависимости: закон упругости Гука, модели идеальной пластичности, линейная вязкоупругость, термоупругость Дюгамеля-Неймана и др. Дополнительно проводится полная линеаризация всех уравнений и условий относительно основных модельных переменных. С одной стороны, такой подход позволяет решить множество задач, с другой - одновременно исключает из определяющих соотношений многие качественно важные свойства сред. Действительно, известно, что участок линейной диаграммы закона Гука отсутствует у многих материалов (физическая нелинейность модели), да и пренебречь изменением геометрии деформируемого тела и полными деформациями в случае больших изгибов и поворотов (геометрическая нелинейность) уже невозможно. Кроме нелинейности можно учесть факторы диссипации, дисперсии, дифракции и неоднородности, изотропии или анизотропии свойств среды. Невозможность построения «общей модели всего» заставляет отказаться от учета некоторых свойств материала, сохраняя наиболее значимые в конкретной задаче.

К примеру, во многих металлах зерна кристаллов до производственной обработки типа прокатки ориентированы хаотично, что позволяет считать материал изотропным (среда Гука, материал Мурнагана). Для других сред (древесина, горные породы) отбрасывать ориентацию волокон и кристаллов нельзя, поэтому необходима модель с различием свойств по направлениям. В нелинейных средах деформации формы влияют на деформации объема (и наоборот), что существенно усложняет анализ. Заметим, что деформации объема к тому же прекрасно изучены в динамике жидкости и газа. Поэтому, чтобы изучить сдвиговые процессы в «очищенном» виде, применяется модель несжимаемой нелинейно-упругой среды (модели Муни, Муни-Ривлина и др.). Наличие в материале пустот, трещин, свойства сыпучести приводит к необходимости описания эффекта различного сопротивления растяжению и сжатию, эффекта дилатансии. В различной мере эти свойства описываются моделями Е.В. Ломакина, Ю.Н. Работнова, В.П. Мясникова и А.И. Олейникова. Свойство неоднородности среды также характерно для многих реальных задач. Нельзя быть полностью уверенными (за исключением лабораторных условий), что при движении волн деформаций на больших расстояниях сохраняются все свойства среды. Здесь модели могут быть как четко стратифицированными (разные слои воды в гидродинамике), так и с непрерывным изменением характеристик среды в зависимости от пространственной координаты (УК. Нигул, Ю.А. Энгельбрехт, В.Е Рагозина и Ю.Е. Иванова). Более тонкий учет структуры вещества (или нарушений структуры) как фактора дисперсии присутствует в моделях, использующих производные выше первых при задании меры деформации, моделях многокомпонентных сред, моделях сред с полостями, наделенными своими механическими свойствами, и др. Отдельная группа моделей - все среды со способностью к необратимому деформированию. Они составляют предмет теории пластичности и реологии.

Более конкретно о краевых задачах и методах их решения

Выше, рассматривая некоторые из моделей нелинейных твердых тел, мы, вероятно, несколько утомили читателей. Да, моделей много, но, как говорится, такова жизнь... И если необходимо знание о природе среды более глубокое, чем инженерно-практическое приближение теории сопротивления материалов, то здесь безусловен приоритет фундаментального научного знания нелинейной механики твердого тела. Однако здесь хочется вспомнить слова В.П. Мясникова о том, что модель становится действительно интересной, если на ее основе может быть решена определенная краевая задача. Модель должна открыть в этой задаче те экспериментально установленные качества, которые не проявлялись в иных моделях.

Как следует из названия лаборатории, цель нашей работы - решение новых начально-краевых задач нелинейной динамики твердого тела, разработка для этого теоретических и численных методов решений. Динамика бесконечно разнообразна, но в ней можно установить свою классификацию. Во-первых, движения сплошной среды могут быть общего типа, двумерные или одномерные. Во-вторых, динамика распадается на нестационарные процессы и идеализированные стационарные процессы (без учета начальных условий). В свою очередь стационарные процессы имеют вид задачи о собственных колебаниях, задачи о вынужденных гармонических колебаниях. Специальный предельный режим -автомодельные задачи. Есть решения типа бегущих (прогрессивных) волн. В нестационарных задачах можно выделить проблемы движения граничных возмущений, задачи о свободных колебаниях, движения под действием объемных сил.

Наибольшее внимание нашего коллектива всегда было сосредоточено на нестационарных динамических задачах в нелинейноупругих средах, включая такие сложные физические явления, как возникновение, движение по среде, взаимодействие между собой и с преградами ударных волн. Здесь будет уместным пояснить, что в механике сплошных сред запрещен разрыв поля перемещений (возникновение дефектов среды), однако можно предположить наличие разрывов первого рода у первых производных перемещений на

конечном числе стационарных или подвижных поверхностей (ударных волн). С математической точки зрения, допуская такие свойства решений, мы приближенно описываем изменения полей деформаций внутри слоев малой толщины, движущихся по среде как передние фронты волновых процессов. «Стягивание» толщины такого слоя к нулю заменяет его на поверхность разрывов деформаций (ударную волну). Из работ основоположников динамики (Ж. Адамар, Б. Риман, Т. Томас) известно, что разрывы не могут быть произвольными. Они обязаны удовлетворять системе условий: геометрическим, кинематическим и динамическим условиям совместности. Если геометрические и кинематические условия совместности являются, по сути, техническими элементами (следствиями правил дифференцирования), то динамические условия совместности - следствия интегральных законов сохранения массы, импульса, энергии и второго закона термодинамики. Их анализ постулирует возможность движения только определенных типов ударных волн. Возникающие на таких поверхностях комбинации условий, связывающих деформации за и перед ударной волной, создают механизм развития распада разрыва. Дополнительно здесь появляется возможность выразить скорость ударной волны через остальные неизвестные. Вообще говоря, неизвестными остаются скорость ударной волны и ее положение в любой момент времени, что принципиально осложняет и теоретическое, и численное решение любых задач. Кроме этого, общая волновая картина включает не только ударные волны, но и волны Римана (их передний и задний фронты имеют разрыв производных только второго порядка). Общая волновая картина в каждой задаче устанавливается отдельно.

Здесь изложены лишь самые общие свойства задач ударной деформации. Решение этих задач, математически связанное с системой нелинейных дифференциальных уравнений и системой нелинейных краевых и начальных условий, в точном виде, к сожалению, пока невозможно. Вместе с этим известно, что если в математической физике выделяют три типа уравнений (гиперболические, параболические и эллиптические), то в нелинейной математической физике есть метод эволюционных уравнений (коротких волн) и метод уравнения нелинейной модуляции (уравнение Шредингера). К наиболее популярным уравнениям здесь отнесем уравнения Коула-Хопфа для нелинейных волн, Бюргерса (диссипация за счет вязкости), Кортевега-де Вриза (дисперсия), нелинейное уравнение Шре-дингера, уравнения синус-Гордона, Колмогорова-Петровского-Пискунова, системы Лоренца, Хенона-Хейлеса и др. Перед нами возникают два важных вопроса. Первый: какими методами из исходных уравнений системы выделить эволюционные? Второй вопрос: как исследовать эволюционное уравнение и применить результат анализа к исходной задаче? В нашем научном коллективе базовым методом получения эволюционных уравнений стал асимптотический метод малого параметра, который известен с середины ХХ в. Исходно он расценивался как инженерное приближение, однако быстро получил математическое обоснование. Нами, в частности, активно применяется метод сращиваемых асимптотических разложений. При этом к эволюционному уравнению применяем варианты анализа от получения его точных решений (если это возможно и удобно) до задания дополнительных параметрических переменных и построения с их учетом решения в неявном виде. Заметим, что наличие аналитических решений имеет как самостоятельную ценность (наглядность и интерпретируемость), так и вспомогательную как инструмент тестирования сходимости численных методов.

Еще один базовый метод получения приближенных решений в окрестности передних фронтов волн деформаций - лучевые ряды (Дж. Редди, Дж. Ахенбах, Г.И. Быковцев, А.А. Буренин, Ю.А. Россихин). Он использует малость пространственно- или времен-ноподобной переменной, задающей отклонение точки от переднего волнового фронта, понятие специальных лучевых координат и замкнутую систему рекуррентных соотношений для разрывов искомых функций. Такие рекуррентные соотношения базируются на условиях Адамара, дополняются и замыкаются для производных любой степени в случае декартовых пространственных систем [5], обобщаются на случай криволинейных пространственных систем в евклидовом пространстве [6, 7]. А.А. Бурениным был предложен

вариант лучевого метода [2], позволяющий распространить его на случай ударных волн. Этот метод и его последующие обобщения стали основой для еще одного цикла работ коллектива.

В отдельных случаях квазистационарных краевых условий (например, при постоянной ударной нагрузке на границе) задачи динамического деформирования допускают автомодельную постановку. Такой прием позволяет исключить время из числа независимых параметров задачи и перейти в определяющих соотношениях и краевых условиях от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям, разрешаемым стандартными численными методами. Однако выигрышу в виде упрощения вычислительной процедуры противопоставляется проблема единственности решения. Математически допустимое решение автомодельной задачи может содержать различные комбинации ударных и простых волн, однако на постановочном этапе не удается выбрать из всех возможных случаев единственный, физически обоснованный вариант. Для устранения такой проблемы вычислительный алгоритм дополняем специальными процедурами проверки характера каждого волнового фронта (ударный или простой), а также конечно-разностными схемами для построения решения в области простой волны Римана [13].

И конечно, перечисляя методы нелинейной динамики деформирования, не следует забывать о подробном аналитическом анализе возможных разрывных решений системы определяющих соотношений в рамках каждой модели. Такой анализ, обязательно предшествующий постановке и решению краевых задач, призван выявить все возможные способы распространения деформаций в рассматриваемом материале и определить основные свойства возникающих волновых фронтов (условия их возникновения, типы, скорости, поляризацию и т.д.). Без таких сведений постановка динамических краевых задач оказывается невозможной.

О наших результатах и различных направлениях их применения

Теоретические исследования проблем нелинейной динамики деформирования твердого тела ведутся авторами статьи в течение достаточно длительного периода. Остановимся здесь только на некоторых, на наш взгляд, наиболее значимых результатах, полученных с 2011 г. (момента основания лаборатории нелинейной динамики деформирования) и до настоящего времени.

В области разработки и применения методов решения нестационарных краевых задач предложены новые методики адаптации схемы лучевых прифронтовых разложений для нелинейных деформационных процессов с возникновением ударных волн в сжимаемых или несжимаемых нелинейно-упругих средах [17, 26]. Модифицированные вычислительные схемы, основанные на лучевом методе с применением рекуррентных условий совместности разрывов для криволинейных систем координат [6, 7], использованы для решения связанной последовательности краевых задач со сходящимися и расходящимися ударными осесимметричными волновыми фронтами смешанного типа. Указаны особенности построения лучевых рядов для одиночной ударной волны, нескольких различных по типу ударных волн, а также процессов их взаимодействия [26].

Исследования, связанные с разработкой различных модификаций метода сращиваемых асимптотических разложений, позволили получить новые эволюционные уравнения для одномерных ударных волн ненулевой кривизны в однородных нелинейно-упругих средах [15, 18], плоских одномерных ударных волн в однородных [19, 21] и неоднородных [14, 16, 20, 22, 23] нелинейно-упругих средах. Показано, что эволюционное уравнение в неоднородной среде может принимать различные формы на разных расстояниях от нагружаемой границы в зависимости от степени неоднородности материала и интенсивности ударного воздействия.

Для плоских автомодельных задач ударного деформирования сжимаемой нелинейно-упругой среды предложен алгоритм выбора единственного физически обоснованного решения [3, 13], основанный на проверке термодинамического условия совместности разрывов на ударной волне [4] и ее эволюционности [11] непосредственно в процессе численного счета. Разработанная вычислительная схема использована для решения ряда автомодельных краевых задач с плоскими двумерными волнами (например, [3, 24]).

С целью исследования способов распространения деформаций в различных нелинейных материалах проведена постановка и решение целого ряда нестационарных и квазистационарных краевых задач. В результате для изотропно-упругих сред с объемной или сдвиговой разномодульностью указана возможность возникновения таких нелинейных эффектов, как одномерные плоские и сферические ударные волны, движущиеся плоские слои недеформированной среды, сферические сходящиеся и расходящиеся центрированные волны (сферические слои с неизменной плотностью) [8-10]. Для несжимаемой нелинейно-упругой среды в результате решения одномерной автомодельной задачи о столкновении двух плоских одномерных ударных волн сдвиговой нагрузки, поляризованных в различных плоскостях, установлено однозначное соответствие между краевыми условиями (интенсивностями и поляризацией взаимодействующих фронтов) и возникновением в отраженном волновом пакете определенных комбинаций ударных и простых волн [1, 25]. Влияние накопленных необратимых деформаций на процесс распространения нелинейных упругих волн в упругопластической среде показано на примере решения плоской автомодельной задачи о разгрузке полупространства [12].

Заключение

Подводя итоги, хотелось бы рассказать о некоторых дополнительных, на наш взгляд, интересных возможностях применения результатов исследований. Сравнительно давно, в середине XIX в., работы Дж. Ск. Рассела и Кортвега-де Вриза не нашли серьезного отклика среди ученых и были надолго забыты. В это время основными принципами физической модели были линейность и линейная суперпозиция. Потребовались еще один век, развитие вычислительной техники и постановка в 1953 г. знаменитой задачи Ферми-Паста-Улама, чтобы возник активный интерес к проблеме уединенных волн. Далее одно за другим последовали открытия наиболее интересных нелинейных эволюционных уравнений и веер работ, посвященных методам их решения. Прекрасным свойством этих уравнений является их возникновение в совершенно различных областях физики, а значит, возможность переноса накопленных о них фактах из одной области в другую. Мы уверены, что изученные нами свойства эволюционных уравнений в динамике твердого тела могут проявляться и в других разделах нелинейной математической физики и оказаться там полезными. Интересным, на наш взгляд, является и свойство взаимопроникновения решений, связанных с различными моделями среды. Поясним сказанное на примере. Анализ одиночных продольных (либо поперечных) ударных волн в неоднородной среде показал, что переход к эволюционному уравнению может происходить только за счет совместного изменения всех переменных задачи, причем полухарактеристика деформируется за счет накопления влияния неоднородности. Оказалось, что для исходной однородной среды прохождение по среде двух ударных волн (продольной и квазипоперечной) перед фронтом второй волны фактически создает эффект приобретенной неоднородности среды, обусловленной предварительной деформацией. Это свойство опять диктует изменение всех переменных задачи с целью получения эволюционного уравнения. В таких «возвратных» эффектах более глубокого понимания свойств одной среды за счет накопления предварительных знаний о другой среде тоже проявляется характер нелинейных моделей. Укажем и чисто практическую компоненту интереса к нашим теоретическим разработкам: все они могут использоваться как один из элементов построения новых схем численного счета для нелинейных нестационарных задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Буренин А.А., Дудко О.В., Лаптева А.А. К закономерностям распространения деформаций изменения формы // Сиб. журн. индустриальной математики. 2011. Т. 14, № 4 (48). С. 14-23.

2. Буренин А.А., Россихин Ю.А. Лучевой метод решения одномерных задач нелинейной динамической теории упругости // Прикл. задачи механики деф. сред. Владивосток: ДВО АН СССР, 1991. С. 129-137.

3. Буренин А.А., Дудко О.В., Потянихин Д.А. О соударении двух упругих тел с плоскими границами // Вычислительная механика сплошных сред. 2013. Т. 6, № 2. С. 157-167.

4. Буренин А.А., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве // Прикл. математика и механика. 1978. Т. 42, вып. 4. С. 711-717.

5. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.

6. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Геометрические и кинематические ограничения на разрывы функций на движущихся поверхностях // Дальневост. математ. журн. 2004. Т. 5, № 1. С. 100-109.

7. Герасименко Е.А., Рагозина В.Е. Лучевые разложения в изучении закономерностей распространения неплоских ударных волн // Вестн. СамГУ. Естественнонаучная серия. 2006. № 6/1 (46). С. 94-113.

8. Дудко О.В., Лаптева А.А. К распространению возмущений по несжимаемой упругой среде с разномо-дульным сопротивлением сдвигу // Сиб. журн. индустриальной математики. 2013. Т. 16, № 1 (53). С. 21-28.

9. Дудко О.В., Лаптева А.А., Рагозина В.Е. О возникновении одномерных сферических центрированных волн в разномодульной упругой среде при ее динамическом деформировании // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2016. № 1 (27). С. 64-69.

10. Дудко О.В., Лаптева А.А., Рагозина В.Е. О возникновении плоских и сферических волн в упругой среде, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2012. № 4 (14). С. 147-155.

11. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Московский лицей, 1998. 412 с.

12. Манцыбора А.А., Русанов М.М. Автомодельная задача о динамике разгрузки упругопластического полупространства // Сиб. журн. индустриальной математики. 2013. Т. 16, № 2 (54). С. 122-129.

13. Потянихин Д.А., Дудко О.В. К выбору физически обоснованных решений автомодельных краевых задач нелинейной динамической теории упругости // Вестн. Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4, ч. 5. С. 2338-2339.

14. Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е. Влияние неоднородности среды на эволюционные уравнения плоских ударных волн // Прикладная механика и техническая физика. 2013. Т. 54, № 5. С. 142-153.

15. Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е. Математическая модель движения сдвиговых ударных волн ненулевой кривизны на основе их эволюционного уравнения // Сиб. журн. индустриальной математики. 2012. Т. 15, № 1 (49). С. 77-85.

16. Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е. Метод возмущений в одномерной динамике несжимаемого упругого неоднородного полупространства под действием сдвигающей нагрузки переменного направления // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2014. № 3 (21). С. 62-72.

17. Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е. О различных методах адаптации схемы лучевых прифронтовых разложений в задачах осесимметричной динамики нелинейно-упругих сред // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2015. № 1 (23). С. 49-64.

18. Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е. Об асимптотическом представлении решений многомерных задач ударной динамики нелинейно-упругих сред // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2014. № 3 (21). С. 131-143.

19. Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е. Об ударной деформации несжимаемого полупространства под действием сдвигающей нагрузки переменного направления // Сиб. журн. индустриальной математики. 2014. Т. 17, № 2 (58). С. 87-96.

20. Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е. Об эволюционном уравнении продольных ударных волн в упругих средах со слабой неоднородностью // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2014. № 5. С. 127-137.

21. Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е. Эволюционное уравнение для одномерных сдвиговых волн разрыва деформаций // Вестн. СамГУ Естественнонаучная серия. 2011. № 2 (83). С. 91-104.

22. Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е. Эволюционные уравнения задач интенсивного деформирования упругих неоднородных сред // Дальневост. математ. журн. 2015. Т. 15, № 1. С. 76-90.

23. Рагозина В.Е., Иванова Ю.Е. Эволюционные уравнения как метод изучения динамики деформирования упругих неоднородных сред // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2013. № 2 (16). С. 106-114.

24. Dudko O.V., Shtuka V.I. The mathematical model of reflection and refraction of the longitudinal shock wave at the interface of two nonlinear elastic media // Key Engineering Materials. 2016. Vol. 685. P. 51-55.

25. Lapteva A.A., Dudko O.V. Distribution Regularities of Shear Deformations in Incompressible Nonlinear Elastic Solids // Advanced Materials Research. 2014. Vol. 1040. P. 864-869.

26. Ragozina V.E., Ivanova Y.E. Ray approximations for the axisymmetric shock waves of elastic deformation in a cylindrical layer // J. of Applied and Industrial Mathematics. 2015. Vol. 9, iss. 3. P. 423-434.