Синтез оптимальных обратных связей для электромеханических объектов

УДК 621.3.001.5 В.В. Кибардин, А.А. Буралков

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

В статье рассмотрен синтез обратных связей методами размещения полюсов и LQR-регулятора для электромеханического объекта третьего порядка. Разработаны математические модели и приведены результаты моделирования в среде MATLAB + Simulink.

Ключевые слова: электромеханический объект, математическая модель, пространство состояний, синтез обратных связей.

V.V. Kibardin, A.A. Buralkov OPTIMAL FEED-BACK SYNTHESIS FOR THE ELECTROMECHANIC FACILITIES

Feed-back synthesis is considered in the article by means of the techniques for the pole and LQR-regulator placing for the third order electromechanical facilities. Mathematical models are developed and the results of simulation in MATLAB + Simulink environment are given.

Key words: electromechanical facilities, mathematical model, state space, feed-back synthesis.

Управление современными электромеханическими системами реализуется на базе микропроцессорной техники и ЭВМ, а математическая модель объекта управления описывается в терминах вход u - выход у (передаточная функция) или вход - переменная состояния x - выход [1, 2]. В пространстве состояний непрерывная система описывается уравнениями

dx

dt

= x = Ax+Bu,y = Cx+Du. и = -Кх,

где А - матрица состояния; В - матрица входа; C - матрица выхода; D - матрица обхода, для технических систем она обычно равна нулю; K - матрица коэффициентов обратных связей по переменным состояния.

Рассмотрим задачу синтеза обратных связей для объекта управления преобразователь - двигатель, математическая модель которого в пространстве состояний описывается матрицами

0 1,046 О 0

A = -195,402 -16,667 143,678 • В = 0

О О -100 2300

Задачу решаем с помощью пакета прикладных программ MATLAB + Simulink [3, 4].

Для рассматриваемого объекта выберем линейно-квадратичный регулятор с помощью оператора MATLAB Результатом расчета является матрица К оптимальных обратных связей по пере-

менным состояния и выходным переменным и минимум функционала

J = ^уТОу л-иТИгі л-2.уТ N11)^.

о

Модель объекта управления РБ является параметром процедуры MATLAB PS=ss(A,B,C,D).

Матрицы О, 1, N определяют количественную меру качества регулирования, по определению, матрица О неотрицательно определена, а матрица 1 положительно определена. Изменяя матрицы 0, 1 и N, можно установить зависимость прямых показателей качества управления от элементов этих матриц.

В этом случае управление и = -Кх = -К1БТРх, где Р - решение матричного уравнения Риккати

АТР + РА - РВК1БТР + О = 0.

Матрицу оптимальных коэффициентов обратных связей К замкнутой системы при О = 1 = 1, N = 0 рассчитаем с помощью процедуры пакета MATLAB = ^гу(Р^Д):

К = [0,0271 0,0247 0,9058].

На рисунке 1 представлены структурные схемы объекта управления и замкнутой системы управления с оптимальными обратными связями, рассчитанными методом размещения полюсов, а на рисунке 2 - переходные функции.

Рис. 1. Структурные схемы объекта и систем управления

Рассмотрим для этого же объекта синтез обратных связей методом назначения полюсов замкнутой системы управления. Этот метод не требует многократных расчетов, как предыдущий, для получения заданных показателей качества.

Для систем третьего порядка желательно, чтобы характеристический полином замкнутой системы управления имел вид

(.у2 + 2 + со1 )(^ + ^у),

где со - собственная частота; (- декремент затухания. Это обеспечивает быстрое нарастание переходного процесса и малое перерегулирование, если принять £ = 0,707 и т = 40 с1. В этом случае характеристический полином

q(s) = (s2 + 56,6 s + 1600) (s + 28,3) = s3 + 84,9s2 + 3230s + 45280.

Для систем с одним входом и одним выходом матрицу коэффициентов обратных связей по состоянию К = [k fe ... kn] рассчитаем с помощью формулы Аккермана

К = [0 О ... 1 \Рс'ч(Л),

гдeq{A) = Ап + щАпЛ + ... + а„л А + ап I- матричный полином, образованный путем использования коэффициентов характеристического уравнения q(s)= q(s) = sn + aiSn~] + ... + a„; Pc = [В AB A2 B...AnAB] - матрица наблюдаемости, /-единичная матрица. Следовательно,

K = [0,0906 0,0057 -0,0138].

Для определения матрицы К в MATLAB есть функции K = acker(A,B,s) и К = place(A,B,s), где s - вектор-строка желаемых полюсов передаточной функции замкнутой системы управления. Первая команда может быть использована только для систем с одним входом по и при n < 5. Вторая не имеет таких ограничений, однако кратность полюсов не должна превышать ранг матрицы В [4].

Рис. 2. Переходные функции объекта и систем управления: wd - объект управления; w - система с обратными связями; ww - система с оптимальными обратными связями

Для исследования влияния матриц О, 1, N на переходные процессы в замкнутой системе управления были сняты три переходные функции при их различных значениях, результаты моделирования представлены на рисунке 3.

Рис. 3. Переходные функции замкнутой системы управления с оптимальными обратными связями при различных значениях матриц 0 и Я при N = 0. - 0 = Я = 1; - 0 = 10, Р = 1; - 0 = 1, Я = 10.

Анализ результатов моделирования позволяет сделать следующие выводы:

1. При прямом пуске двигателя перерегулирование равно 11,5 %, время переходного процесса - 0,408 с; в системе с обратными связями перерегулирование отсутствует, время переходного процесса равно 0,138 с, запас устойчивости по амплитуде - 17,9 дБ, запас устойчивости по фазе - 99,5°; в системе с оптимальными обратными связями перерегулирование составляет 7,27 %, время переходного процесса - 0,112 с, запас устойчивости по амплитуде - 15,3 дБ, запас устойчивости по фазе 67,4°.

2. Все системы являются астатическими по заданию и статическими по нагрузке, система с оптимальными обратными связями лучше отрабатывает изменение нагрузки.

3. При 0 = Я, N = 0 результат расчетов не зависит от значений 0 и Я; изменение матриц 0 и Я существенно влияет на быстродействие системы, при этом перерегулирование остается постоянным; решение задачи наиболее чувствительно к изменениям матрицы N, при N = 0 = Я = 1 переходный процесс имеет плохие показатели качества (большое перерегулирования и высокую колебательность).

4. Задача выбора обратных связей методом размещения полюсов решена для случая нулевого входного воздействия и если оно не равно нулю, требуется выполнить перерасчет [1,2]; синтез ШЯ-регулятора не имеет таких ограничений и дает наилучший результат как по быстродействию, так и при компенсации изменений нагрузки.

5. Для рассматриваемого объекта рекомендуется [5] последовательная коррекция с помощью пропорциональных и пропорционально-интегральных регуляторов, структура и параметры которых выбираются по критериям модульного, симметричного и компромиссного оптимумов; предлагаемая система отличается более простой технической реализацией и большей надежностью при сравнимых показателях качества.

Литература

1. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления / пер. с англ. Б.И. Копылова. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. - 832 с.

2. Филипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2001 - 616 с.

3. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6. Основы применения // Сер. Библиотека профессионала. - М.: СОЛОН-Пресс, 2005. - 800 с.

4. Перельмутер В.М. Пакеты расширения MATLAB. Control System Toolbox и Robust Control Toolbox // Сер. Библиотека профессионала. - М.: СОЛОН-Пресс, 2008. - 224 с.

5. Ключев В.И. Теория электропривода: учеб. для вузов. - 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Энергоатомиз-дат, 1998. - 704 с.