Метод Ляпунова-Мовчана в одной задаче устойчивости колебаний пластины

8. Никабадзе М.У. О некоторых вопросах тензорного исчисления. II // Тр. Ин-та кибернетики Грузии. Современная математика и ее приложения. Т. 62. М.: ВИНИТИ, 2009. 96-130.

9. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

10. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.

11. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

12. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1995.

13. Крутков Ю.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. М.: Изв. АН СССР, 1949.

14. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Физматгиз, 1959.

15. Блох В.И. Теория упругости. Харьков: Изд-во Харьков. ун-та, 1964.

16. Кренер Э. Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений. М.: Мир, 1965.

17. Остросаблин Н.И. Условия совместности малых деформаций и функции напряжения // Прикл. механ. и техн. физ. 1997. 38, № 5. 136-146.

Поступила в редакцию 29.06.2010

УДК 539.3

МЕТОД ЛЯПУНОВА-МОВЧАНА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНЫ

К. В. Квачев

При помощи метода Ляпунова-Мовчана исследуется задача об устойчивости колебаний упругой пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа. Найдена критическая скорость.

Ключевые слова: аэроупругость, пластина, устойчивость, метод Ляпунова-Мовчана.

The stability problem for elastic plate vibrations in a supersonic gas flow is studied using the Lyapunov-Movchan method. The critical velocity is found.

Key words: aeroelasticity, plate, stability, Lyapunov-Movchan method.

1. Постановка задачи. Рассматривается пластина из однородного изотропного материала, подчиняющегося закону Гука. Предполагается, что две параллельные стороны пластины имеют шарнирное защемление, а из оставшихся одна — жесткое защемление, а другая свободна. Пластина обтекается сверхзвуковым потоком газа. Скорость газа предполагается направленной параллельно сторонам, имеющим шарнирное защемление, от стороны, имеющей жесткое защемление, к стороне, свободной от нагрузок. Вводится прямоугольная система координат ОХУ таким образом, что одна из сторон шарнирного закрепления совпадает с осью ОХ, а сторона жесткого защемления совпадает с осью ОУ. Воздействие на пластину со стороны набегающего потока газа определяется в соответствии с "поршневой" теории. Сразу заметим, что эта модель используется как первое приближение в задачах аэроупругости, поскольку имеет самое простое формульное выражение [1]. Существуют более точные модели взаимодействия упругого тела с обтекающим его потоком [2].

Уравнения движения и граничные условия имеют вид

E

( д2и d2v \ 1-+ +

E

1 — v2 \ дх2

E ( д2 u

( д2u d2v I — + —г

дхду ) d2v

(д2и

+

2(1 + v) v ду2 E (c)2v

d2v \ дхду )

2(1 + V )\ дхду дх2

Eh3 íd4w _ _

~ 12

1 — V2

+ 1

д2и

ду2 дхдуJ

д2и

\ cj2v I = р —

Copo

дг2

д'ш\

^ dw _ .. дх дt )

c)2w

1 Квачев Кирилл Вадимович — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kvachevkirill@yandex.ru.

у = 0;Ь: и = 0, v = 0, w = 0, = 0;

d2w dy2

дw

х = 0: и = 0, V = 0, IV = 0, —— = 0;

дх (2) ди дь ди дь '

х = а: — + г/ — = 0, — + — = О, дх ду ду дх

д2ъи д2ъи д3ъи д3ъи

дх2 ду2 ' дх3 ду2дх '

где Е — модуль Юнга; V — коэффициент Пуассона; р — плотность материала; Ь — время; и, V, w — компоненты перемещения вдоль ОХ, ОУ, OZ соответственно; Н — толщина пластины; а, Ь — длина и ширина пластины; Со — скорость звука; ро — плотность газа, а1 — скорость набегающего потока газа. После обезразмеривания уравнения (1) и граничные условия (2) запишутся следующим образом:

Eo (д uo 2 . д2vo \ Eo (d2uo о д2vo \ , д2ио

а я я а/3 + o/i I a "FT Р + я я аР) =Р аР дходуо J 2(1 + v)\ ду2 dxodyo J

1 — v2\ дх0 дх0ду0 ) 2(1 + v)\ ду2 дх0ду0 J dt0

д 2w,

o

где

у0 = 0; 1: ио = 0, v0 = 0, w0 = 0, —5- = 0;

ду°

дw0

хо = 0: и0 = 0, vo = 0, wo = 0, -— = 0;

дх0

дио д^о дио , дvo

хо = 1: т;--= ---h т—= 0,

дхо дуо дуо дхо

c)2Wo О д2Wo а2 а д3Wo 2 . /0 л д3Wo Д2 п

дхо ду2 дхо ду2дхо

а/

со'

w wo = h' v vo = h> ио и = V хо х 1 a уо У 6' ао =

р = — , to = Ро Cot а = h а в = h V Ео = Е 2 ' Росо

2. Устойчивость колебаний. Для исследования устойчивости колебаний пластины воспользуемся теоремой Ляпунова-Мовчана об устойчивости [3-6]. Заметим, что уравнения для переменных u, v и переменной w можно разделить. Рассмотрим заведомо неотрицательный функционал, который по своему механическому смыслу является энергией системы, описываемой уравнениями (3) и (4):

о о

Ео ((дио\2 а2 . (о дио дvo \\ ^ дио дv0 дио дv0 дио дv0

В пространстве переменных ——, ——, ——, ——, ——, —— этот функционал (с учетом граничных

дхо дхо дуо дуо сЯо то dVi

условий) обнуляется только в начале координат, а- = 0. Значит, решение уравнений (3) и (4) является

аЬо

устойчивым в смысле Ляпунова-Мовчана.

Рассмотрим вторую подсистему:

Е0 f d4wо 4 d4w0 2о2 . дЛ ( dw0 . r-r\ , Ñd2w0 , .

d2w0

Уо = 0; 1: Wo = 0, —— = 0;

т

п п dwo _

Хо = 0: Wo = о, -— = 0;

дх0

d2w0 2 д2w0 п2 д3w0 2 . д3w0 п2 п

жо = 1: "7ПГ а; + г/ -тту ß = 0, —-f а2 + 2 - v) " /З2 = 0. 8

дХ(0 ду2 дх0 ду0 дх0

д4 w(

функцию на отрезок [— 1; 0] нечетным образом. Тогда

Предположим, что функцию --¡- можно разложить в ряд Фурье по переменной у о- Продолжим эту

9Уо

д4 w0

дуо

Используя граничные условия (6), получим

Т - ^2an

02 СО СО

V-^ ( i \ sin nnyo v^ ^ . \ sin nnyo ,1ГЛ

-ту = - > an(xo,to) ——гт>—, Wo = } an(xo,to) ——(10) дУо (nn)2 (nn)4

Подставляя выражения (9), (10) в уравнение (5) и граничные условия (7), (8), будем иметь Ео (д4ап а4 2а2[32 д2ап Л / дап а дап л/оф \ , а/3 д2ап

--i --— - —

12

да

ап( 0,*о) = 0, —^(0, ¿о) = 0,

дХ0

д2аП(л ч а2 _ у(32ап(1, ¿р) _ д3ап (л а2 _ (2 - у)/32 даП(л дх20{ , 0) (ттп)4 (ттп)2 ' дх30{ , 0) (ттп)4 (ттп)2 дх0{ , 0)~

Рассмотрим функционал, являющийся аналогом энергии системы, которая описывается уравнением (11):

т/ 1 ( , ав (дап У, Ео в4 2| Еоао (О2 ап\2 Е0(1 - и)в2а2 ( да 4 2 У= [р ТГ^Г ^Г" + ТТТ71-Г5Т ап + 77771-ЛД Т-Г +

(nn)4{ dtoj 12(1 - V2) n 12(1 - v2)(nn)4\ dx2 ) 6(1 - v2 )(nn)2\ dxo 0

Epvß2(x2 д2ап dan p'aß л/сф 2\

6(1 - v2)(im)2 ün дх2 + n dt0 (ттп)4 + Л 2(vm)4

R " dV

в силу уравнении движения —— имеет вид

dt0

1 1 2

(IV Г дап ( дап а дап л/сф \ х х( П E0ß4 2 Ео а4 f д2а 4

= -2 / тт— ао т^ т—тг + тт— т—тг )dxo + А / -ап -

dto J дго\и дхо (nn)4 Oto (nn)4) \J \ 12(1 — v2) n 12(1 — v2) (nn)^ дх2

oo

,2fí2 д Л2 a'n ~r

Eo(1 — v)a2ß2 (да,п\ , Eova2ß2 д2а„ , aß (дап . - 2(л + w ^

n

Q{l-v2){im)2\dxo) ' 6(1 -v2)(im)2 ~дЩ ' F (ттп)4 \ dt0 J ^2(7m)4"n

1 1 2 /о Í дап ( дап а дап \/оф\ ( [( Е0(34 2 Е0 а4 (д2ап\ ^ -2 / ттг" «о т— т—77 + ттг" 7—+ Л / -—ту--ап —

dt0\ дхо [пи]4 dt0 [пи]4 У 0 \J V 12(1 - v2) n 12(1 - v2) (ки)4\ dx2

о

Eo{ 1 - z/)q2/32 /9ага\2 £0z/q:2/32 rj2an \

6(1 — v2)(im)2 \ дхо J 6(1 — v2)(im)2 an дх2 P (vm)4 \ dt0 J J J'

7777 <777 То

2 2 о

Воспользовавшись теоремой Ляпунова-Мовчана об устойчивости, найдем условия положительной определенности функционала и неположительности его производной:

\2р'а[3 ЕоР4

Л U, —;-—г — —;-—г — - <- U,

4(тг п)4 2(тт)4 12

ApV Ш ХЕр/32 ín , , 2

+ т—7J > 0, а0 ^ ———-

Из этой системы неравенств получаем, что критическая скорость определяется из следующего соот-

ношения: а2 =

Еов2п2

6(1 + V )рг

Следует отметить работу [7], в которой методом Ляпунова-Мовчана исследована задача об устойчивости колебаний вязкоупругой полосы (пластины), обтекаемой сверхзвуковым потоком газа. В этой работе метод Ляпунова-Мовчана распространяется на вязкоупругие системы.

Работа выполнена под руководством Д.В. Георгиевского и поддержана грантом РФФИ № 08-01-00231.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе // Прикл. матем. и механ. 1957. 21, вып. 2. 231-243.

2. Кийко И.А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью // Прикл. матем. и механ. 1999. 63, вып. 2. 317-325.

3. Мовчан А.А. Об устойчивости процессов деформирования сплошных тел // Arch. mech. stosow. 1963. 15, N5. 659-682.

4. Parks P.C. A stability criterion for a panel flutter problem via the second method of Liapunov // Differential equations and dynamical systems. N.Y.; London: Acad. Press, 1967. 287-298.

5. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. Новосибирск: Наука, 1987.

6. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. M.: Эдиториал УРСС, 1999.

7. Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии. Ульяновск: УлГТУ, 2009.

Поступила в редакцию 13.10.2010

УДК 539.3

СЖАТИЕ-СТОК АСИМПТОТИЧЕСКИ ТОНКОГО ИДЕАЛЬНО ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОГО СФЕРИЧЕСКОГО СЛОЯ

Д. В. Георгиевский1

Исследуется осесимметричное меридиональное течение со стоком несжимаемой идеально жесткопластической среды между двумя концентрическими шероховатыми сферами, такими, что внешняя сфера неподвижна, а поверхность внутренней равномерно расширяется. Осуществляется асимптотическое интегрирование краевой задачи с естественным малым геометрическим параметром.

Ключевые слова: идеально жесткопластическое течение, тонкий слой, растекание, сжатие, сток, задача Прандтля, асимптотики.

An axially symmetric meridional flow with a drain of an incompressible perfect rigid plastic medium between two concentric rough spheres is studied. The external sphere is fixed, whereas

1 Георгиевский Дмитрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: georgiev@mech. math.msu.su.