О математической модели подвижности ДНК

УДК 531:518:577 Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 3

В. С. Новоселов

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПОДВИЖНОСТИ ДНК

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Многовинтовая молекула ДНК есть линейный вытянутый эластичный полимер, составленный из поворачивающихся нуклеотидов. Исходим из двухцепочечной взаимно закрученной модели ДНК. Двойная спираль ДНК стабилизирована водородными связями между перпендикулярными к оси молекулы азотистыми основаниями (нуклеобаза). Твердость спирали молекулы ДНК образуется за счет чередующихся остатков фосфатов и дезоксирибозы (сахар). В процессах, названных репликацией и транскрипцией, ферменты разрывают водородные связи и создают так называемые открытые состояния. Силы взаимного контакта атомов в многовинтовой молекуле с учетом квантово-механического эффекта полностью не определены. Частично поэтому механические методы не способны дать точный расчет взаимодействия раскручивающего растворителя. Когда ферменты раскручивают двойную спираль ДНК, они создают принудительное вращение вокруг касательных к винтовой линии. Это наводит на мысль: двойная спираль моделируется двумя линейными цепочками маятников (азотистые основания), связанных пружинными подвесками (сахарно-фосфорный скелет). Как известно, такая двойная маятниковая система является примером син-Гордона модели. Потому задача угловой подвижности азотистых оснований сводится к солитонным решениям син-Гордона (СГ) уравнения. С общей биологической точки зрения солитон можно рассматривать как уединенное возбуждение, происходящее с большой амплитудой вследствие производства нелинейного эффекта, который перемещается как частица. Принципиальная особенность солитонных возбуждений заключается в стабильной динамике и постоянном представлении в протяженной системе. В настоящей статье дается непосредственное (прямое) аналитическое построение односо-литонного (кинк) и осциллирующего бисолитонного (бион) решений СГ-уравнения. Обсуждается применимость солитонных решений СГ-уравнения к описанию подвижности ДНК в процессах репликации и транскрипции. На основе син-Гордона модели рассматриваются плотность вероятности возбуждения, а также коэффициенты кинетического уравнения. Выполняется сравнение уровней энергии для различных состояний ДНК. Библиогр. 23 назв.

Ключевые слова: подвижность ДНК, репликация, транскрипция, солитон, кинк, бион.

V. S. Novoselov

ON MATHEMATICAL MODEL OF DNA MOBILITY

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

The superhelical DNA molecule is a linearly extendet elastic polimer made from repeating nucleotides. It is start from of a two-chain interwound structure DNA molecules. The DNA double helix is stabilited of the hydrogen bonds between the nitrous bases (nucleobases) align perpendicular to the axis of the molecule. The backbone of the DNA molecule strand is made from alternating phosphate and sugar residues. In a prosesses named replication and transcription the enzymes break the hydrogen bonds and originate the so-called open states. With due regart for a quantum mechanical effect the forces of the self-cotact-atoms into the superhelikal molecule is completaty unstated. In part because, the mechanical methods inability to account explicitle for interactions spiraling sulvent. As enzymes unwinds the DNA double

Новоселов Виктор Сергеевич — доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник; e-mail: novoselov@apmath.spbu.ru

Novoselov Viktor Sergeevich — doctor of physical and matematical sciences, professor, chief scientific collaborator; e-mail: novoselov@apmath.spbu.ru

helix, they inducte the forced rotation round tangents to the spiral. This suggest the double helix modeled as two linear chans of penduls (the nucleobases) connected by springs (the sugar-phocphate backbones). It is known such the coupled-pendulum system is then an example of the sine-Gordon model. There the problem of the angular mobility nucleobases redices to the soliton solutions of the sine-Gordon (SG) equation. From a more biology viewpoint, solton may bewiewed, as solitary excitation arising from large-amplitude, the refore nonlinear effect produce, which can migrate as particle. The principal features of the solitonic exctations are stable dynamic and static mode in extended system. In this article an direct analytical construction one-solution (kink) and oscillating-soliton (bion) solutions of SG equation is given. The soliton solutions SG equation applicability on the description of the DNA mobility in a processes replication and transcription is discussed. On the basis of the sine-Gordon model we show that when the probability density of the excitations and of the kinetic equation coefficients are considered. The comparison of energy levet are realized for the different conditions DNA. Bibliogr. 23.

Keywords: DNA mobility, replication, transcription, soliton, kink, bion.

1. Молекула дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК) имеет вид правозакручен-ной вокруг общей оси двойной спирали, внутри которой в плоскостях, ортогональных оси спирали, располагаются комплементарные азотистые основания [1—4], относящиеся к разным внутренним сторонам спирали и соединенные между собой водородными связями. Скелет спирали составляют моносахариды дезоксирибозы, один углеродный атом у которых связан шарниром с соответствующим азотистым основанием, а два других с расположенными на разных уровнях внешней поверхности спирали остатками фосфорной кислоты.

Устойчивость структуры ДНК как вытянутого линейного эластичного полимера изучается в ряде работ [5-8]. Вид двойной спирали ДНК можно представить следующим образом. Натяните на прозрачный круговой цилиндр достаточно широкую полоску бумаги. В плоскостях, ортогональных оси цилиндра, нужно провести оси парных антипараллельных оснований так, чтобы соединить верхнюю кромку бумаги с нижней. Для формы Z спирали ДНК линии осей проходят через ось спирали, для формы В — несколько смещены.

На матрице ДНК осуществляется полный (репликация) или частичный (транскрипция) ферментативный синтез цепей, который связан с выведением азотистых оснований из внутренней изоляции и образованием открытых состояний. Фермент узнает знак начала, присоединяется к нему, расплетает двойную цепь и копирует одну из ветвей, перемещаясь вдоль оси спирали. Скорость перемещения определяется скоростью ферментативной реакции [2]. При последовательном разрыве водородных связей азотистые основания приобретают определенную угловую подвижность. Отметим, что создание участка дочерней цепи связано с присоединением к подвижным основаниям соответствующих комплементарных нуклеотидов. Поэтому при исследовании движения следует исходить из уравнений механики с переменными массами [9].

В предлагаемой статье обсуждается применимость син-Гордона (СГ)-уравнения к описанию подвижности ДНК. Дано непосредственное (прямое) аналитическое построение односолитонного (кинк) и осциллирующего солитонного (бион) решений СГ-уравнения. На основе син-Гордона модели рассматриваются плотность вероятности возбуждения, а также коэффициенты кинетического уравнения. Выполняется сравнение уровней энергии для различных состояний ДНК.

2. При изучении угловой подвижности азотистых оснований ДНК будем исходить из модели Инглендера о вращении оснований вокруг сахарно-фосфорных цепочек [10]. Эта модель поддержана в работах [11-13].

Вывод физически корректных уравнений вращательного движения азотистых

оснований должен учитывать следующее. Придающие стабильность макромолекуле ДНК водородные связи вызваны тем, что лишенный электронов атом Н присоединяется к атомам N или O, которые являются достаточно электроотрицательными. В результате создаются мостики для электронов [14]. Энергия водородной связи мала, имеет тот же порядок, что и энергия взаимодействия одиночных диполей молекулы ДНК. Происходит существенное увеличение плотности электронов в зоне собственно водородной связи по сравнению с зоной ковалентной связи того же атома Н. Это свидетельствует скорее всего об отталкивании, а стабилизация системы с водородной связью обусловлена увеличением связывания в других областях молекулы [14]. Разрыв конкретной водородной связи не изменяет общего силового воздействия на соответствующие нуклеотиды. Силы взаимного контакта атомов в многовинтовой молекуле с учетом квантово-механического эффекта полностью не определены. Частично поэтому механические методы не способны дать точный расчет взаимодействия раскручивающего растворителя.

Когда ферменты раскручивают двойную спираль ДНК, они создают принудительное вращение вокруг касательных к винтовой линии. Это наводит на мысль: двойная спираль моделируется двумя линейными цепочками маятников (азотистые основания), связанных пружинными подвесками (сахарно-фосфорный скелет). Как известно [10], такая двойная маятниковая система является примером син-Гордона модели. Покажем, как задача угловой подвижности азотистых оснований сводится к СГ-уравнению. Обозначим через $ угол поворота основания в его плоскости. Величина центробежной силы элемента dm будет ш2 р cos2 ан cos $dm, где ш - угловая скорость раскручивания или закручивания относительно касательной к винтовой линии, имеющей наклон ан; р - удаление по оси основания элемента dm от точки A шарнирной связи основания со скелетом ДНК. Плечо силы равно р sin $. Потому для вращающего момента получаем

MA = -О2 sin $ cos $, О2 = u2Ia cos2 ан.

Здесь Ia - момент инерции основания относительно полюса A. Отметим, что зависимость момента вращения от sin $ cos $ сохраняется и для маятников работы [10].

К точке A будут приложены упругие реакции со стороны сахарно-фосфорных остатков. Пусть a есть расстояние между плоскостями оснований. При $(x) > $(x + a) имеем отрицательную реакцию со стороны последующего сечения Fi = —aR($(x) — $(x + a)), где a = const > 0 - жесткость упругой связи, R = const > 0 - радиус спирали. Соответственно при $(x) > $(x — a) будет также отрицательной реакция со стороны предыдущего сечения F2 = —aR($(x) — $(x — a)). Принимая во внимание соотношение

&(х ±а)= -&(х) ± aQx + -аЧхх + о(а2), для суммарной реакции при x >> a запишем

F = Fi + F2 = —a2aR$xx.

Момент силы F (см. (2)) относительно точки A равен нулю.

Поскольку изменение массы подвижных оснований происходит без создания дополнительных реактивных сил, уравнение вращательного движения относительно подвижного полюса A имеет тот же вид, что и в классической механике [9]:

IA$tt + M = — О2 sin $ cos $.

Здесь M - проекция на направление оси вращения, умноженного на массу основания m векторного произведения вектора длиной l, соединяющего точку A с центром масс основания, и ускорения точки A, которое равно ускорению центра масс, сложенного с касательным и центростремительным ускорениями. Ускорение центра масс будет равно отношению F к m. В результате получаем

(IA - ml2)dtt - a2alRdxx = -Q2 sin д cos д.

Так как Ia - ml2 = I, где I - момент инерции основания относительно его центра масс, то можно записать

I^tt — a2alR^xx + Q2 sin ф = 0, ф = 2д.

Уравнение (3) выражает закон изменения момента количества движения основания относительно его центра масс. Его можно получить и непосредственно. Из-за допускаемого изменения массы величины I, l и Q следует считать кусочно-постоянными. Вводя обозначения

t = ar4, х = /3~1х, a = Q-1li, /3 = «.

и опуская для удобства записи метки у безразмерных переменных í и X, приходим к задаче для стандартного СГ-уравнения

фи - ф-xx + sn^ = 0.

В статье [13] приводятся аналитические выражения решений СГ-уравнения в виде кинк-солитона и биона. Для обоснования этих решений делается ссылка на методы, развитые применительно к квантовой теории поля [15-18]. Нижеуказанные аналитические решения получены непосредственно.

3. Кинк-солитоном, или просто кинком (от англ. - изгиб), называют решение, представляющее переход от одного асимптотического решения (x — -с») к другому (x —> ^о), не равного первому.

Перейдем в уравнении (5) к волновой фазовой переменной £ = x - wt, где w = const > 0,

(w2 -l)^J+sin^ = 0.

Здесь V - безразмерная скорость процесса, направленная в сторону оси х. После умножения на ^ и интегрирования

dф 2 2

( —) =--^ cos у + С, С = const.

d£ 1 - w2

Пусть го < 1, кроме того при х —> —оо будет у —> 0, ^ —> 0. Тогда С = 2(1 — и;2) 1 и получаем решение для правостороннего кинка

х — хо — — ¿о)

<р = 4arctge VI-™2 .

При х имеем ^ 2п.

С помощью формул (4) перейдем от безразмерных переменных к физическим:

х — хо — V

где v = a-1 (3w - скорость перемещения центра реакции раскручивания. Если величина в2 — a2v2 << 1, то график правой части формулы (7) почти всюду до точки x0, t0 совпадает с осью $ = 0. В указанной точке делает быстрый изгиб, выходя на прямую $ = п, а угол ф сразу выходит на значение ф = 2п.

При замене ф = п + ф уравнение (5) в случае w < 1 и использовании угловой фазовой переменной £ = x — wt переходит в уравнение математического маятника, обладающего сепаратрисой [19] вида

— = ±2(1 — cos —.

d£ К > 2

Поэтому кинк-солитон (6) является аналогом сепаратрисы математического маятника.

Вращательное движение азотистых оснований происходит в водном растворе. Молекулы воды находятся в равновесии с термостатом и имеют соответствующую тепловую скорость [20]. Если будем рассматривать азотистое основание, освобожденное от водородной связи, как броуновскую частицу, и тем самым допускать макроскопический учет вязкости среды, то вместо (5) приходим к уравнению

фи — фхх +sin ф = —Ъфг, b = const > 0.

С помощью замены ip = ^ + ф перейдем к уравнению математического маятника с вязким трением, для которого ф —> 0. В этом случае $ —> В особом случае

dxi dx2

—— = Х2, £—— = —bwx2 + smji, d£ d£

1 2 1 dФ

£ = l—W <<1, X\ = <p, X2 = —-

d£

Достаточные условия теоремы регуляризации А. Н. Тихонова [21, 22] выполнены. Решение задачи состоит из вырожденного (е = 0) движения

~ 1 xi I о I

ж2 = - Sinn, tgy =е ь» , xi|5^_oo=0, х1\^00=тг и пограничного слоя

-—" / o -—o\ —bwr

x2 — x2 = (xo — x2 )e , т = е £.

В рассмотренном особом случае также $ —>

4. Для аналитического построения осциллирующего солитона (биона) будем отыскивать решение СГ-уравнения (5) в виде ф(£), где

eZ = сф1

Здесь приняты обозначения безразмерных величин

£1 = a,1(wx — t + 6), £2 = a2(x — wt — xo),

0 ^ w < 1, w = const, a1 = const, a2 = const. Подлежат определению функции ф1 и ф2, а также постоянные с, a,1,a,2.

После вычисления частных производных от по £ и х можно записать равенства

П

ftt - fxx = (1 - W

„ dm Г _ . d2,n-

+

2,„-2 I ^PA2 _ 2 -2 [d(fi2\

^Ж) \d£2J

+

dZ

2 2 _2 f dipA 2 2 -2 /^2 Y

Его правая часть упрощается при специальном выборе функций = sin £1 ,у>2 = ch^2, для которых

1 d? (dipA2 2 f d(fi2\2 2

Будем иметь

d(2

siníp = - cptt = (1 - w2)(a2 +

/ 2 -2 1 2 -2\ d2ф /2-2 2 -2\dф

-

Принимая с2 = a^^2, на основании (8) находим

2 2 2 2 2 2 2 2 1 thZ = (alФl - a^2 )(alФ1 + 0-2Ф2 ) .

Соотношение (9) преобразуется к виду

sin^ -

При (1 - w2)(a2 + a2) = 1 уравнение (10) имеет обращающее в нуль левую и правые части решение

ф = 4arctge^.

Можно получить стандартную запись решения (11). Для этого положим ai = 7 и>, а2 = ^vT—cJ2, 7 = const, lo = const. Тогда с = \ЛjJ~2 — 1- Принимаем 72 Js 1, ш2 ^ 1. Приходим к стандартной [18] записи биона СГ-уравнения при w =

2

íp = 4arctg(v/w~2 — lsin^i sec £2),

= 7 lú(wX — t + Ó), £2 = 7\/1 — íü2{x — wt — Xo).

Вернемся к первоначальному представлению биона. За основу выбираем безразмерную постоянную c > 0. Для постоянных ai, 0,2 получаем

аг = (1 + с2)~^(1 - w2)-^ >0, а2 = с(1 + с2)~5(l -w2)-| > 0.

Выражение (11) в силу формулы (8) при строгом обозначении (4) безразмерных переменных примет вид

I wx — tt + S c

(f> = 4arctg с sin —sec — r

V v/(l + c2)(l-«;2) + c2)(l — w2) J '

Перейдем к физическим переменным

I . а/ 1 vx — a 1/t + /36 c(x — vt — xo) \ ,1Г1.

v = 2arctg с sin— -sec— — 12

^ v/(l + c2)(/32 - a2v2) v/(l + c2)(/32 - a2«2) J

Решение (12) позволяет сделать следующий вывод. В собственной системе (v = 0) бион представляет собой осциллирующий с угловой частотой ск_1(1 + с2)~ 2 уединенный горб. В лабораторной системе (v = 0), как показывает аргумент секанса, горб распространяется в сторону оси ДНК с фазовой скоростью v. В выражении для аргумента синуса можно положить x = vt. Поэтому в лабораторной системе происходит осцилляционное заполнение горба с угловой частотой а^1 /З^1 (1 + с2)^^ (/З2 —a2v2)~z,

5. С общей биологической точки зрения, солитонное решение можно рассматривать как уединенное возбуждение, происходящее с большой амплитудой. Принципиальная особенность солитонных возбуждений заключается в стабильной динамике и постоянном представлении в протяженной системе. Вместе с тем кинки и бионы обладают свойствами, отражающими особенности математического решения нелинейного уравнения (5) при изменении полевой координаты и времени от —ж до +ж.

Согласно солитонной модели, выражаемой решениями (7) и (12), разворот азотистых оснований происходит во всех сечениях двухцепочной спирали ДНК. При этом вероятность ферментативной деятельности для указанного разворота будет различной: при изменении волновых фазовых переменных £ для кинка и £2 для биона от —ж до xo (при t ^ to =0) происходит увеличение вероятности, а при изменении £ и £2 от xo = 0, to = 0 до ж - убывание. Можно принять плотность вероятности ферментативной деятельности в виде

где постоянная ж должна определяться из условия нормировки на единицу.

Для кинк-солитона будем исходить из формулы (7), представленной в физических переменных. Угловой фазовой переменной здесь служит п = x — vt, п = в£, £ = x — wt. После нормировки на единицу получим следующую плотность вероятности ферментативной активности:

р{г]) = 1 cfo-i .

п V в2 — a2v2 л/в2 — a2v2

Формула (13) показывает, что центр ферментатической деятельности отвечает значению п = no, для которого

р(г] о) = та хр(г]) = 7г_1(/32 — а2г;2)~^.

Обычно вероятность нахождения фермента в промежутке (x, x+dx) для момента времени t, обозначаемую N(x,t)dx, находят с помощью кинетических уравнений [3, 4]. Двухцепочная спираль ДНК разбивается на конечное число ячеек и для промежуточной г-й ячейки можно написать

Ni = kNi-1 — kNi.

Константа скорости роста k = const > 0 принимается одинаковой для любого звена цепочки. Система (14) замыкается заданием уравнений в первой и последней ячейках. С помощью операционного исчисления получают весьма громоздкое решение [3, 4].

Физический смысл коэффициента к кинетического уравнения (14) заключается в том, что это вероятность перехода активизации в единицу времени пары комплементарных азотистых оснований из ячейки г — 1 в г-тую ячейку [20]. Поскольку на одном шаге спирали ДНК длиной Ь расположены 10 плоскостей азотистых оснований [1—4], то, выбирая в качестве ячейки плоскости оснований, с вероятностью единица непосредственно находим

к

Получим это значение с помощью уравнения (14), которое в континуальном представлении запишется так:

x) = k(t,x- p(t,x- - k(t, x)p(t, х).

Рассмотрим x >> L и перейдем к фазовой переменной п

v— = —L—(кр), (v--кЬ \ p(t,x) = С = const.

dfj 10 d'q 1 h V 10 J

Поскольку p(t, —ж) = 0, получаем C = 0 и приходим к указанной выше формуле.

Солитонное решение выражает общие свойства подвижности ДНК. Если обратиться к деталям сложных ферментативных реакций, то прежде всего обнаруживается необходимость преодоления энергетических барьеров. При репликации, т. е. при создании двух спиралей ДНК из одной, энергетическим донором являются нук-леотидтрифосфаты (НТФ) [3, 4, 23]. Для соответствующей ферментативной реакции константа роста k на основании теоретических положений химической кинетики и термодинамики принимается равной [3, 4]

k = eWh~\

Здесь в - произведение коэффициента Больцмана на абсолютную температуру, W -вероятность того, что ячейка ДНК, находящаяся перед центром роста, содержит адсорбируемую НТФ, h - постоянная Планка. Сопоставление формул (15) и (16) показывает, что скорость кинк-солитонной волны может быть принята в виде v = 0.1LW9h-1. Сравним затраты энергии на репликацию и транскрипцию. Как отмечалось выше, энергетическим донором при репликации служат НТФ. Каждая из НТФ при включении соответствующего основания в цепь переходит в скелет цепи как нук-леотидмонофосфат (НМФ) [3, 4, 23], иными словами, теряет два фосфорных остатка. Наиболее изучен из НТФ в энергетическом отношении аденозинтрифосфат (АТФ). При понижении на один фосфатный остаток свободная энергия АТФ уменьшается [2, 4] на 7 ккал/моль. Поэтому энергетическая затрата на создание одного звена в каждой из дочерних ДНК составляет 14 ккал/моль. Бион отвечает копированию фрагментов одиночной цепи, т. е. транскрипции. При этом энергетическим донором являются [23] нуклеотиддифосфаты (НДФ), содержащие по два фосфорных остатка. В копируемую цепь и в таком случае включается НМФ. Можно считать, что на создание одного звена цепи здесь будет тратиться энергия порядка 7 ккал/моль.

Литература

1. Биологический энциклопедический словарь / гл. ред. М. С. Гиляров; редкол: А. А. Баев, Г. Г. Винберг, Г. А. Заварзин и др. М.: Сов. энциклопедия, 1989. 863 с.

2. Бреслер С. Е. Молекулярная биология. Л.: Наука, 1973. 578 с.

3. Волькенштейн М. В. Молекулярная биофизика. М.: Наука, 1975. 616 с.

4. Волькенштейн М. В. Биофизика. М.: Наука, 1981. 576 с.

5. Chosh A., Bansal M. A glossury of DNA structures from A to Z // Acta Crystallogr. 2003. D. Vol. 59(4). P. 620-626.

6. Нечипоренко Ю. Д., Рурский Г. В. Термодинамические модели связывания лигандов ДНК // Биофизика. 2003. Т. 48. C. 773-796.

7. Нечипоренко Ю. Д., Полозов Р. В., Нечипоренко Д. Ю., Ильичева И. А., Воробьев Е. А., Гороховский Р. В., Рурский Р. В. Математические модели регуляции генов: механические возмущения структуры ДНК // МК0-2006 (математика, компьютер, образование). Москва; Ижевск: Науч. исслед. центр, 2006. Т. 2. C. 393-403.

8. Benham C, Mielke S. DNA mechanics // Annu Rew Biomed Eng. 2005. Vol. 7. P. 21-53.

9. Новоселов В. С. Аналитическая механика систем с переменными массами. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1969. 240 с.

10. Englander S. W., Kallenbach N. R., Heeger A. J., Krumhansl J. A., Litwin S. Nature of the open state in long polynucleotide double helices: possibility of solution excitations // Proc. Nati. Acad. Sci. USA. 1980. Vol. 77(12). P. 7222-7226.

11. Резниченко Р. Ю. Математические модели в биологии и экологии. Москва; Ижевск: Ижевск. ин-т компьютерных исследований, 2003. 184 с.

12. Якушевич Л. В. Как построить математическую модель расплетания двойной спирали ДНК? // URL: www.library.biophys.msu.ru/mce/20002413 htm.

13. Якушевич Л. В., Краснобаева Л. А., Шаповалов А. В., Кинетро Н. Д. Одно- и двухсо-литонные решения уравнения ^нус-Гордона в приложении к ДНК // Биофизика. 2005. Т. 50, № 3. С. 450-455.

14. Шусторович Е. М. Химическая связь. М.: Наука, 1973. 232 с.

15. Тахтаджан Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.

528 с.

16. Захаров В. Е. Метод обратной задачи рассеивания // Кунин И. Л. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975. С. 226-273.

17. Додд Р., Эйлбек Д., Гиббон Д., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / пер. с англ. В. И. Мациева, В. П. Гурария; под ред. А. Б. Шабата. М.: Мир, 1988. 694 с.

18. Маханьков П. Р. Солитоны и численный эксперимент // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1983. Т. 4, вып. 1. С. 123-180.

19. Новоселов В. С., Королев В. С. Аналитическая механика управляемой системы: учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. 298 с.

20. Новоселов В. С. Статистическая динамика: учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. 393 с.

21. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. 1952. Т. 31(73), № 3. С. 575-586.

22. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 с.

23. Добрынина, В. И. Биологическая химия. М.: Медицина, 1976. 504 с.

References

1. Biologicheskij jenciklopedicheskij slovar' (Encyclopedic Dictionary of Biology) / gl. red. M. S. Giljarov; redkol.: A. A. Baev, G. G. Vinberg, G. A. Zavarzin i dr. Moscow: Sov. jenciklopedija, 1989, 863 p.

2. Bresler S. E. Molekuljarnaja biologija (Molecular Biology). Leningrad: Nauka, 1973, 578 p.

3. Vol'kenshtejn M. V. Molekuljarnaja biofizika (Molecular Biophysics). Moscow: Nauka, 1975, 616 p.

4. Vol'kenshtejn M. V. Biofizika (Biophysics). Moscow: Nauka, 1981, 576 p.

5. Chosh A., Bansal M. A glossury of DNA structures from A to Z. Acta Crystallogr. 2003, D, vol. 59(4), pp. 620-626.

6. Nechiporenko Ju. D., Gurskij G. V. Termodinamicheskie modeli svjazyvanija ligandov DNK (Thermodynamic binding model DNA ligands). Biofizika, 2003, vol. 48, pp. 773-796.

7. Nechiporenko Ju. D., Polozov R. V., Nechiporenko D. Ju., Il'icheva I. A., Vorob'ev E. A., Gorohovskij G. V., Gurskij G. V. Matematicheskie modeli reguljacii genov: mehanicheskie vozmushhenija struktury DNK (Mathematical models of gene regulation: mechanical perturbations of DNA structure). ICE-2006 (mathematics, computer, education). Moscow; Izhevsk: Nauch. issled. center, 2006, vol. 2, pp. 393-403.

8. Benham C., Mielke S. DNA mechanics. Annu Rew Biomed Eng., 2005, vol. 7, pp. 21-53.

9. Novoselov V. S. Analiticheskaja mehanika sistem s peremennymi massami (Analytical mechanics of systems with variable masses). Leningrad: Izd-vo Leningr. un-ta, 1969, 240 p.

10. Englander S. W., Kallenbach N. R., Heeger A. J., Krumhansl J. A., Litwin S. Nature of the open state in long polynucleotide double helices: possibility of solution excitations. Proc. Nati. Acad. Sci. USA, 1980, vol. 77(12), pp. 7222-7226.

11. Reznichenko G. Ju. Matematicheskie modeli v biologii i jekologii (Mathematical models in biology and ecology). Moscow; Izhevsk: Izhevsk. in-t komp'juternyh issledovanij, 2003, 184 p.

12. Jakushevich L. V. Ko,k postroit' matematicheskuju model' raspletanija dvojnoj spirali DNK? (How to build a mathematical model of the unwinding of the DNA double helix?). URL: www.library.biophys.msu.ru/mce/20002413 htm.

13. Jakushevich L. V., Krasnobaeva L. A., Shapovalov A. V., Kinetro N. D. Odno- i dvuhsolitonnye reshenija uravnenija cinus-Gordona v prilozhenii k DNK (One and two-soliton solutions of cinus-Gordon equation in the annex to the DNA). Biofizika, 2005, vol. 50, no. 3, pp. 450-455.

14. Shustorovich E. M. Himicheskaja svjaz' (Chemical bond). Moscow: Nauka, 1973, 232 p.

15. Tahtadzhan L. A., Faddeev L. D. Gamil'tonov podhod v teorii solitonov (Hamiltonian approach to the theory of solitons). Moscow: Nauka, 1986, 528 p.

16. Zaharov V. E. Metod obratnoj zadachi rasseivanija (The inverse scattering). Kunin I. L. Teorija uprugih sred s mikrostrukturoj (The theory of elastic media with microstructure). Moscow: Nauka, 1975, pp. 226-273.

17. Dodd R., Jejlbek D., Gibbon D., Morris H. Solitony i nelinejnye volnovye uravnenija (Solitons and nonlinear wave equations). Per. s angl. V. I. Macieva, V. P. Gurarija; pod red. A. B. Shabata. Moscow: Mir, 1988, 694 p.

18. Mahan'kov P. G. Solitony i chislennyj jeksperiment (Physics of elementary particles and atomic nuclei). Fizika jelementarnyh chastic i atomnogo jadra, 1983, vol. 4, issue 1, pp. 123-180.

19. Novoselov V. S., Korolev V. S. Analiticheskaja mehanika upravljaemoj sistemy: ucheb. posobie (Analytical mechanics controlled system: studies allowance). St. Petersburg: Izd-vo S.-Peterb. un-ta, 2005, 298 p.

20. Novoselov V. S. Statisticheskaja dinamika: ucheb. posobie (Statistical Dynamics: proc. allowance). St. Petersburg: Izd-vo S.-Peterb. un-ta, 2009, 393 p.

21. Tihonov A. N. Sistemy differencial'nyh uravnenij, soderzhashhie malye parametry pri proizvodnyh (Systems of differential equations containing small parameters in the derivatives). Matem. sb., 1952, vol. 31(73), no. 3, pp. 575-586.

22. Vasil'eva A. B., Butuzov V. F. Asimptoticheskoe razlozhenie reshenij singuljarno vozmushhennyh uravnenij (Asymptotic expansion of solutions singularly perturbed equations). Moscow: Nauka, 1973, 272 p.

23. Dobrynina V. I. Biologicheskaja himija (Biological Chemistry). Moscow: Medicina, 1976, 504 p.

Статья поступила в редакцию 3 апреля 2013 г.