Сравнительный анализ подходов к построению матрицы Грина трехмерной теории термоупругости

Механика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 250-253

УДК 539.3

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПОДХОДОВ К ПОСТРОЕНИЮ МАТРИЦЫ ГРИНА ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ ТЕРМОУПРУГОСТИ

© 2014 г.

В.П. Пазин

НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

vyacheslavpazin@yandex.ru

Поступила в редакцию 03.03.2014

Рассмотрены три способа построения статических матриц Грина для трехмерной анизотропной теории термоупругости. Представлены интегральный и полиномиальный подходы и подход на основе двойных рядов Фурье. Результаты, полученные разными подходами, сравниваются. Представлена визуализация матриц в виде поверхностей.

Ключевые слова: матрица Грина, трехмерная постановка, термоупругость, численное моделирование.

Введение

Построение матриц Грина можно рассматривать как часть гранично-элементного моделирования. Процедура получения матриц Грина базируется на основе интегральных преобразований. Решаемая в статье задача впервые была сформулирована и решена как задача Кельвина для неограниченного упругого пространства (Thomson, 1982) или задача для упругого полупространства (Boussinesq, 1885; Mindlin, 1953; Nowacki, 1975; Rongved, 1955). Дальнейшее получение решений таких задач связано с именами: Freedholm (1900), Lifshitz и Rozenzweig (1947), Kroner (1953), Synge (1957), Willis (1965), Mura и Kinoshita (1971), Pan и Chou (1976), Wang (1997). В работе [1] рассмотрены два способа получения матрицы Грина. В этой работе вслед за [2] представлена альтернативная схема построения матриц Грина для трехмерной анизотропной термоупругой статики. Исследования упругостатических матриц Грина термоупругости можно найти в монографиях [3-5]. При построении предполагается, что матрица Грина представлена в виде двойного ряда Фурье. Коэффициенты Фурье определяются численно только один раз для данного термоупругого материала. Результаты подходов сравниваются. Представлена визуализация матриц в виде поверхностей.

Постановка задач

Рассмотрим базовые уравнения трехмерной теории термоупругости [6, 7] :

сти = Сцт- Ш ¡,ЛI,т = 1Д

= 2 (и,, + ил X q^ = -каш i, ¡, =1 3

где ст,, q¡ - соответственно компоненты тензора напряжения и вектора теплового потока; ^ , Я -компоненты плотностей объемной силы и интенсивности внутреннего теплового источника; в, - компоненты тензора деформации; С,1т, Р,

и к, - упругие модули, коэффициенты термоупругости, элементы тензора тепловой проводимости; щ и ш - соответственно упругое смещение и возрастание температуры выше средней температуры. В формулах выше и далее повторение индексов означает суммирование. Запятая обозначает частное дифференцирование.

Базовые компоненты можно сгруппировать следующим образом [6]:

u¡ =

ut, i = 1,2,3, ш, i = 4,

i = 1,2,3,

sj='

-ш j, i = 4,

ct.. =

j

[o, , j = 1,2,3 [q., j = 4,

Cjkl =

Cjki, j, k = 1,2,3, -ßj, j = 1,2,3, k = 4, 0, k = 1,2,3, j = 4, - ka, j, k = 4.

Тогда физические уравнения и уравнения равновесия можно представить так:

ij = CjklS kl,

CT j,, + F = 0

где

c j,,j + F = 0

q¡,¡ - R = 0, i, j = 1,3,

p._\Fj, j = W, j 1-R, j = 4.

к

Таблица 1

C11 C12 C13 c16 C22 C23 C26 C33 C36 C44 C45 C55 c66

430.1 130.4 18.2 201.3 116.7 21.0 70.1 73.6 2.4 19.8 -8.0 29.1 147.3

Таблица 2

Р11 Р12 Р22 Р33

1.01 2.0 1.48 7.52

Таблица 3

k11 k 22 k33

5.2 7.6 38.3

Получение формул представления матриц Грина

Математически матрица Грина может быть определена следующим образом:

с«кРы,п

Из интегрального метода построения матриц Грина поля смещения могут быть записаны в виде [4]

Gk =-

1

В (2) интегрирование происходит по единичной окружности, которая является пересечением единичной сферы с плоскостью г г = 0. Подынтегральное выражение в (2) является обратной матрицей, которая может быть выражены в терминах тензора С^к1 упругих постоянных анизотропного материала [2]:

Здесь

Mk (Ф) = Сф (njcos Ф + mj sin Ф)х

х (ns cos ф + ms sin ф).

n = (cos ф cos 9,cos ф sin 9,- sin ф), m = (- sin 9,cos 9,0).

В [8] показано, что функция Грина может быть выражена в сферической системе координат (9, ф):

Н

G(r, 9, Ф) = -

где Н (9, ф) - тензор Баррета-Лота, определенный только для сферических координат, периодичный с интервалом 2л для обоих сферических углов и представимый в виде двойного ряда Фурье следующим образом:

да да

Hm

Z-iZ-I'

т=-дап=-да

Соотношение (6) может быть преобразовано путем численного интегрирования методом Гаусса:

1 k k 4 p=i q=i

/ш'п) (9, Ф) = Hm (9, ф) e-'(m9+пф), (7) где w и ^ являются весами и абсциссами метода Гаусса.

Для обеспечения хорошей точности численного интегрирования необходимы достаточно большие значения k. Некоторые численные тесты позволяют предположить, что 64 точки квадратуры Гаусса позволяют точно оценить интегралы

определяются только один раз, как бы ни было много точек интегрирования, где нужно определить функцию Грина и ее производные. С уже определенными коэффициентами Фурье формула для вычисления матрицы Грина фундаментального решения записывается таким образом:

л а а

G„

т=-ап=-а

В настоящей работе значение а = 30 .

Численные эксперименты

Тензор упругих модулей CiJkl можно выразить через константы сар (а = 1,6; Р = 1,6) [9]. В

качестве примера рассмотрим моноклинический материал [7]. Отличные от нуля упругие константы сар даны с точностью до множителя в 109 Н/м2 (и v = 12 3 4) (5) и приведены в табл. 1, коэффициенты термоупругости р, - 106 Н/(К • м2) в табл. 2, элементы

4лг

л (т,п) _

А uv = '

.. я я

\\Huv(9, Ф)е

/

dЭdф.

тензора тепловой проводимости ktJ - Вт/(К • м) в табл. 3.

л-л

252

В.П. Пазин

Таблица 4

Значения индексов компонент ( ,, к ) Интегральный метод Явная формула Двойной ряд Фурье

1,1 0.6174784846 -10-12 0.6172316951 -10-12 0.6174531425 -10-12

1,2; 2,1 -0.2400490499 -10-12 -0.2401700234 -10-12 -0.2400743525 -10-12

1,3; 3,1 0.9535587421 -10-15 0.7259562563 -10-15 0.7253323230 -10-15

1,4 0.0 0.0 0.0

2,2 0.9645754684 -10-12 0.9647376842 -10-12 0.9640050193 -10-12

2,3; 3,2 0.4519237691 -10-13 0.4544503971 -10-13 0.45442639830 -10-13

2,4 0.0 0.0 0.0

3,3 0.1210679363-10-11 0.1210355806-10-11 0.1210599589-10-11

3,4 0.0 0.0 0.0

4,1 -0.8043917673 -10-10 -0.9187738643-10-10 -0.9182064766 -10-10

4,2 0.9032813160-10-10 0.5425874990 -10-10 0.5771722140 -10-10

4,3 0.1555537276-10-9 0.1569803087-10-9 0.1560547304 -10-9

4,4 0.3457092637 -10-2 0.3458292553 -10-2 0.3450549754 -10-2

Для точки х = (1,1,1) компоненты термоупругой матрицы Грина, выраженные в метрах, приведены в табл. 4. Представлены результаты, полученные тремя различными методами.

Визуализация матриц Грина

Рассмотрим визуализацию матриц Грина в виде двумерных поверхностей, используя ин-

терполяционную схему вычисления. Значение Gjk = Gjk в зависимости от конкретных 9 и ф

строится с помощью интерполяции Лагранжа [5].

На рис. 1-4 представлены компоненты термоупругой матрицы Грина G для заданного материала.

Заключение

Дан сравнительный анализ матриц Грина трехмерной теории термоупругости. Рассматривались три подхода. Получены значения компонент матрицы Грина для конкретного материала. Представлена визуализация таких компонент в виде двумерных поверхностей.

Список литературы

1. Игумнов Л.А., Пазин В.П. Численно-аналитическое построение матриц Грина и Неймана трехмерной теории термоупругости // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. С. 153-161.

2. Shiah Y.C., Tan C.L., Wang C.Y. Efficient computation of the Green's function and its derivatives for three-dimensional anisotropic elasticity in BEM analysis

// Engineering Analysis with Boundary Elements. 2012. № 36. P. 1746-1755.

3. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во КГУ, 1986. 296 с.

4. Gaul L., Kogl M., Wagner M. Boundary Element Methods for Engineers and Scientists. Berlin: Springer, 2003. 488 p.

5. Баженов В.Г., Игумнов Л. А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физмат-лит, 2008. 352 с.

6. Bojing Z., Taiyan Q. 3D modeling of crack growth in electro-magneto-thermo-elastic coupled viscoplastic multiphase composites // Applied Mathematical Modelling. 2009. № 33. P. 1014-1041.

7. Fahmy M.A. A time-stepping DRBEM for the transient magneto-thermo-visco-elastic stresses in a rotating non-homogeneous anisotropic solid // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2012. № 36. P. 335-345.

8. Ting T.C.T., Lee V.G. The three-dimensional elas-tostatic Green's function for general anisotropic linear elastic solid // QJ Mech. Appl. Math. 1997. № 50. P. 407433.

9. Li J., Dunn M.L. Micromechanics of magneto-electroelastic composite materials: Average fields and effective behavior // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 1998. № 9. P. 404-416.

COMPARATIVE ANALYSIS OF APPROACHES FOR CONSTRUCTING GREEN'S MATRICES FOR 3D THEORY OF THERMOELASTICITY

V.P. Pazin

Three approaches to construct static Green's matrices for the 3D anisotropic theory of thermoelasticity are considered: integral, polynomial, and the one based on the double Fourier series. The results obtained by different approaches are compared. Visualization of the matrices in the form of surfaces is presented.

Keywords: Green's matrix, 3D formulation, thermoelasticity, numerical simulation.

References

1. Igumnov L.A., Pazin V.P. Chislenno-analiticheskoe postroenie matric Grina i Nejmana trekhmernoj teorii termouprugosti // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2012. S. 153-161.

2. Shiah Y.C., Tan C.L., Wang C.Y. Efficient computation of the Green's function and its derivatives for three-dimensional anisotropic elasticity in BEM analysis // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2012. № 36. P. 1746-1755.

3. Ugodchikov A.G., Hutoryanskij N.M. Metod gra-nichnyh ehlementov v mekhanike deformiruemogo tver-dogo tela. Kazan': Izd-vo KGU, 1986. 296 s.

4. Gaul L., Kogl M., Wagner M. Boundary Element Methods for Engineers and Scientists. Berlin: Springer, 2003. 488 p.

5. Bazhenov V.G., Igumnov L.A. Metody granichnyh

integral'nyh uravnenij i granichnyh ehlementov v reshenii zadach trekhmernoj dinamicheskoj teorii uprugosti s so-pryazhennymi polyami. M.: Fizmatlit, 2008. 352 s.

6. Bojing Z., Taiyan Q. 3D modeling of crack growth in electro-magneto-thermo-elastic coupled viscoplastic multiphase composites // Applied Mathematical Modelling. 2009. № 33. P. 1014-1041.

7. Fahmy M.A. A time-stepping DRBEM for the transient magneto-thermo-visco-elastic stresses in a rotating non-homogeneous anisotropic solid // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2012. № 36. P. 335-345.

8. Ting T.C.T, Lee V.G. The three-dimensional elasto-static Green's function for general anisotropic linear elastic solid // QJ Mech. Appl. Math. 1997. № 50. P. 407-433.

9. Li J., Dunn M.L. Micromechanics of magneto-electroelastic composite materials: Average fields and effective behavior // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 1998. № 9. P. 404-416.