Параметрические резонансы в микронеоднородных средах и существование мягких сценариев развития катастроф

Параметрические резонансы в микронеоднородных средах и существование мягких сценариев развития катастроф

Б.П. Сибиряков

Институт геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Параметрические резонансы — это явление, хорошо известное в теории колебаний маятника с движущейся точкой подвеса. Интересно то, что такие колебания могут усиливать свою амплитуду неограниченно, даже если периодические возмущения, создающие такие колебания, имеют сколь угодно малую амплитуду. В работе построена модель среды с мезоструктурой, которая в одномерном случае описывается не элементарным уравнением стационарных колебаний, а уравнением Матье. Это уравнение описывает как колебания, так и неустойчивые процессы, связанные с резонансными явлениями. Причина появления новых, более сложных уравнений — это реальные конечные размеры мезоструктур, которые определяются удельной поверхностью пористого или трещиноватого тела.

1. Обобщение закона Гука

Предположим, что диаграмма «напряжение - деформация» представляется замкнутой кривой в плоскости т —— у, где т есть касательное напряжение, а у касательная деформация (рис. 1).

Допустим также, для простоты, что эта замкнутая кривая есть эллипс с полуосями а и Ь. Параметрическое уравнение такого эллипса записывается в форме

т = а cos и - Ь sin и, цу = а cos и + Ь sin и.

Исключая параметр и, мы можем переписать уравнение (1) в виде:

т + цу

\2

т-ЦУ

,\2

= 1.

Если Ь — 0, или и — 0, мы имеем обычный закон Гука.

Квадрат скорости поперечных волн в общем случае может быть записан в виде выражения

V 2 = 1 dт = ц 1 + Ь/а ^и 5 р dY р 1 - Ь/а ^и

Здесь возможны как положительные, так и отрицательные значения величины V2, т.к. мы можем положить угол между касательными больше чем п/ 2 в некоторой малой области (рис. 1). Это явление возникновения отрицательной энергии можно интерпретировать как выделение последней в ходе деформирования благодаря элементарным актам разрушения. Тем самым, мы можем ожидать, что эти связи между напряжениями и деформациями, данные формулой (1), способны описать два противоположных процесса: затухание энергии, где показателем затухания выступает площадь петли, и возникновение энергии в результате деструкции материала. В комплексной форме уравнение (1) выглядит следующим образом:

т = Re[aeш (1 + г'Ь/а)], цу = Re[aeш (1 - гЬ/а)].

Обобщение формулируется следующим образом: мы можем себе представить напряжения и деформации как некоторые комплексные величины, а их отношение записать в виде:

т 1 + гЬ/а цу 1 - гЬ/а

+

© Сибиряков Б.П., 2004

Рис. 1.

Иными словами в формуле (4) снять символ вещественной части. Это предположение дает возможность ввести комплексный модуль сдвига, а именно:

ц = ц о

1 + іЬ/ а 1 - іЬ/ а

* ц 0(1 + 2/Ь/а),

где ц 0 есть обычный модуль сдвига.

Каков физический смысл комплексных напряжений? Для того чтобы ответить на этот вопрос, мы должны исследовать поведение какого-нибудь структурного элемента при сдвиговой деформации (рис. 2).

Чисто мнимая часть напряжений гт2 описывает поворот некоторого элементарного зерна в направлении, перпендикулярном направлению скольжения. Действительная часть т1 действует в направлении скольжения (рис. 2). Однако такая интерпретация связана с появлением моментных напряжений и теорией несимметричного континуума братьев Коссера [1]. Эта теория хорошо разработана в настоящее время. Тем не менее, если имеет место ситуация, когда площадка скольжения во много раз превышает размер элементарного зерна р*, мы можем приближенно считать, что тензор напряжений симметричен, как и в обычной теории упругости. Действительно, следуя Джонсону, [2], можно оценить размер площадки скольжения при сдвиге двух зерен с определенной площадью контакта (рис. 3).

В самом деле, согласно работе Джонсона [2], область проскальзывания, которая показана на рис. 3 серым цветом, определяется выражением

ґ

1 - 1-

Рро

1/3'

а ц 3 ~рРо

У,

где а — радиус контакта; с — радиус зоны сцепления (черный цвет); ц — модуль сдвига материала зерна; р — коэффициент трения; /0 — вертикальное давление. Разница а - с это область проскальзывания, которая воз-

никает благодаря сдвиговым напряжениям. Моментные напряжения оцениваются выражением

Эу

Т м =Цд-Р>

дх

где р это новый масштаб размеров, более точно, средний радиус локальных закруглений, которые возникают из-за сложной, шероховатой поверхности контакта зерен. Значение дY/дx ~ ^Ь, где Ь есть расстояние, на котором существенно изменяется крупный масштаб поля деформаций. В случае, когда рР0 >> р/Ь тензор на-

пряжений практически симметричен. Важно отметить, параметр ц/рР0 очень велик. Для геологических и геофизических приложений он может достигать величин 103-104 и более. Теоретические результаты Джонсона состоят еще и в доказательстве того факта, что дисси-пируемая энергия в результате частичного проскальзывания при чистом (среднем) сдвиге пропорциональна третьей степени приложенных напряжений или деформаций. Это влечет за собой требование того, чтобы малая полуось эллипса Ь (рис. 1) была бы пропорциональна квадрату деформаций, в то время как большая полуось а была бы пропорциональна самой деформации. Это обстоятельство дает в одномерном случае соотношение:

т = до

Нелинейная связь (9) есть обобщение закона Гука в одномерном случае для неидеальных плоскостей скольжения. Что касается параметра £, то это очень большая величина. Благодаря этому обстоятельству невозможно пренебречь нелинейной комплексной добавкой в формуле (9) в достаточно широком диапазоне деформаций. Для гранулированных сред

2 — V ц

П(1 — П) п,

где п = а0г0/3, т.е. одна треть безразмерного произведения удельной поверхности а0 на средний радиус зерна г0. Это означает, что роль нелинейных эффектов возрастает при уменьшении коэффициента трения р. В гео-

Т

Рис. 3.

логических приложениях это уменьшение коэффициента трения может быть связано с миграцией флюидов. В выражении (10) V есть коэффициент Пуассона, п — среднее число контактов для некоторого типичного зерна. В общем случае модифицированный закон Гука может быть записан в форме:

а№ = Шд. + 2цей (1 + Мд/дТ )•

В формуле (11) ВЕ2 есть второй инвариант девиато-ра тензора деформаций.

2. Уравнение движения структурированных сред

Существование характерных размеров микроструктур требует некоторого конечного объема, который является представительным для данного тела. Меньше этого объема микронеоднородное тело не может существовать как объект. Вместе с тем размеры такого элементарного блока определяются удельной поверхностью этого тела. Удельная поверхность связана со средним расстоянием от поры до поры или от трещины до ее ближайшей соседки, известной в интегральной геометрии формулой [3]:

ао1о = 4

где 10 есть среднее расстояние от трещины (поры) до ее ближайшей соседки; а0 — удельная поверхность; Г— пористость образца.

На рис. 4, а показано некоторое число трещин, причем О есть центр тяжести элементарного блока структуры, а 10 это среднее расстояние от одной трещины до другой. На рис. 4, б изображена аналогичная картина для гранулированной среды. Очевидно, что уравнение равновесия не обеспечено для любой замкнутой поверхности в микронеоднородной среде. Например, поверхность, обозначенная символом С, обеспечивает равновесие в точке О, в то время как поверхность Д значительная часть которой соответствует нулевым нагрузкам, не обеспечивает равновесия внутри выделенного эллипсоида.

Выберем элементарный объем V, который заключает в себе центр блока О, а также некоторую часть соседних зерен (рис. 4, б). Основное предположение классической механики сплошной среды состоит в том, что близость точек влечет за собой близость всех физических свойств без исключения, таких как напряжения, деформации, температуры и т.д. Это предположение может быть записано в форме операторного равенства

Р = Е,

где Е есть единичный оператор, а Р — оператор осреднения, более точно, оператор продолжения поля в центре тяжести блока на весь элементарный объем. Другими словами, в механике сплошной среды любое свойство в точке есть среднее по сколь угодно малому объему среды. В микронеоднородной среде оператор Р должен привести реальный блок среды, размеры которого определены удельной поверхностью тела, к его идеальной континуальной модели. Действуя на реальную среду этим оператором, мы заменяем среду со структурой некоторой идеальной средой, лишенной этой структуры. Однако параметры структуры войдут в уравнения равновесия и движения, так как они должны содержаться в определении оператора. В реальных пористых средах не имеет места операторное уравнение (13). Породы, содержащие поры, трещины и каверны не удовлетворяют основной гипотезе континуума, выраженной формулой (13). Параметры материалов твердого скелета и

порозаполнителя, т.е. жидкости или газа, отличаются друг от друга на многие порядки (например, модуль сдвига). Кроме того, поверхностные силы и силы инерции имеют разные точки приложения. Силы инерции приложены в центре тяжести микроструктуры. Что касается поверхностных сил, которые уравновешивают силы инерции, то они расположены на поверхности конечных размеров (поверхности элементарного блока) и никак не могут совпадать с центром тяжести блока, так как произвольно малый объем (необходимый для такого совпадения) не может представлять микрострук-турное тело как единый объект. Следовательно, поверхностные силы надо предварительно подвергнуть действию Р оператора. После этой процедуры можно поступать с ними обычным образом, как в механике сплошной среды. Инерционные же силы, которые с самого начала приложены в центре тяжести структуры, не нуждаются в действии упомянутого оператора. Таким образом, реальные размеры микроструктур приводят к тому, что разностные и дифференциальные операторы становятся не эквивалентными друг другу.

Следуя работе Маслова [4], оператор переноса поля и(х) из точки х в точку х + /о может быть записан в форме

и

где Вх = д/дх — дифференциальный оператор. Разностный оператор первого порядка выражается через операторы переноса в соответствии с формулой:

д и

А1 = / =

'о

= и (х)-

ЄХРІ У Дх ехр[- у Ох

простейшем случае в символическом пространстве, где координатами служат символические переменные Вх, В у, В2, может быть представлена в виде среднего арифметического значения по трем пространственным координатам:

Р(Вх, Ву , Вг, /о) =

sh| 1-°Вх ]+ 1-°Ву ] + в,

Здесь оператор представляется как функция указанных символических переменных. Более точное выражение для такого оператора было дано в работе [5] в интегральной форме:

Р = -4- | ехр[/о фп 0 соз фВх

+

оо

+ sin 0 sin фВу + cos 0В2)] sin 0d0.

В символическом пространстве с координатами Вх, Ву, В2 функция Р(Вх, Ву, В2) в уравнении (18) удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

ДР - /о2 Р = о.

В выражении (19) А есть оператор Лапласа. Одно из решений уравнения (19) которое стремится к единичному оператору Е при 10 ^ 0 есть:

Р =

э^/оУД)

= Е +

/о2Д /о4ДД

3!

5!

-+ к .

Этот результат дает возможность написать уравнение движения структурированного тела в форме:

= и

і Т В

/о 12

Разностный оператор второго порядка определяется следующим выражением:

д 2 = и

зИ 1± Вх

/о 2

Формальное разложение в ряд Тэйлора уравнения (15) дает в первом члене обычную первую производную. Следующие члены содержат высшие производные. Наличие высших производных и есть выражение неэквивалентности разностных и дифференциальных операторов. Лишь в случае бесконечно малых размеров структуры 10 эти операторы совпадают. В уравнении (16) первый член разложения дает обычную вторую производную. Конструкция оператора продолжения поля Р в

дРаг,

д

дхк дхк

ік

з^/оТД)

/ол/Д

аік

д

дхк

Е + /о2 Д + ^ДД

3!

5!

+...

а

= Риі.

В случае /о ^ о уравнение движения (21) принимает обычный вид.

3. Длинноволновое приближение

В длинноволновом приближении можно пренебречь всеми членами в разложении (2о) за исключением первых двух. Другими словами, можно использовать приближенное значение оператора продолжения поля в поро-вое пространство, т.е.

/2

Р = Е + Д.

3!

+

В том случае, когда первый член много больше, чем второй, можно пренебречь действием оператора Лапласа, снабженного малым множителем в (22), на нелинейную добавку в уравнении состояния (11). Таким образом, в одномерном случае возникает нелинейное уравнение движения микронеоднородной среды в форме:

+ (/о2/б)и

хххх + ^ 2 ихихх =(1/ Со2)и

Здесь с0 — обычная скорость поперечных упругих волн. Второй член в (23) это дисперсионное слагаемое. Уравнение (23) является уравнением типа Кортевега-де-Вриза. В самом деле, переходя к характеристическим переменным по формулам £ = t - х/с0 , п = t + х/с0 и подставляя эти связи в уравнение (23), мы будем иметь

{ д л У

дифференциальные операторы вида

^ д д ^2 ^ д д V д д V

Для слабой нели-

А±_д_ д£ дп

А±_д_

д£ дп

д£ дп

д£ дп

нейности, т.е. небольшой амплитуды сигнала, и малой дисперсии, что связано с малым отношением размера структуры к длине волны, возникает соотношение между производными по различным характеристикам, а именно: д/дп << д/д£. Действительно, в пределе для чисто волнового процесса д/дп = 0. Это обстоятельство означает, что мы можем пренебречь произведением малого числа на малую производную д/дп, ибо такого рода произведения будут порождать члены второго порядка малости. Пользуясь этим замечанием, т.е. пренебрегая членами второго порядка малости, мы можем несколько упростить дифференциальное уравнение (23), приведя его к виду:

и^п + ієи^и^ + Ри^^ = о.

Введем новую функцию и £ = w. Уравнение (24) напоминает по форме уравнение Кортевега-де-Вриза:

w,

+ ієм^ + Pw^ = о

Отличие уравнения (25) от классического уравнения Кортевега-де-Вриза заключается в том, что нелинейный член в уравнении (25) чисто мнимый. Величины е и в это малые константы. В классическом уравнении Корте-вега-де-Вриза роль нелинейного члена заключается в том, что он делает фронт волны более крутым. Дисперсионный же член, наоборот, способствует тому, что фронт волны становится более пологим и плавным. Взаимодействие этих двух процессов может порождать, в частности, такое явление, как солитон, т.е. уединенную волну постоянной формы. В уравнении (25) роль нелинейного члена абсолютно иная. Для выяснения этой роли полезно исследовать уравнение (25) без дисперсионного члена, иными словами, рассмотреть уравнение:

+ i£ww | = о.

Точное решение уравнения (26) можно представить в виде:

м = F (£ + іщм>),

где F — произвольная функция. Сложный характер этого решения очевиден, несмотря на кажущуюся простоту выражения (27). Дело в том, что неизвестная функция п входит как в левую, так и в правую части равенства

(27). Тем не менее, можно попытаться искать решение уравнения (26) в форме п = ехр(;'£с;), где с = £ + гегп, или п = ехр[г^£- Аепп]. Такого рода решения содержат в себе как возрастающие, так и убывающие решения, в зависимости от знака вещественной части при экспоненте. Что касается дисперсионного члена, то его удобно также исследовать отдельно, без влияния нелинейного члена, т.е. рассмотреть уравнение

= о.

Его решение удобно представить в интегральной форме, т.е.

м(£, п) = | А(к) ехр[ік(£ - к2Рп)] dk•

В интеграле (29) А(к) есть произвольная функция. Случай А(к) = 1 соответствует фундаментальному решению уравнения (28) в форме:

м(£, п) = | ехр[ік(£ - к2Рп)] dk =

= Аі

£

В выражении (30) Ai есть функция Эйри соответствующего аргумента. Решение (30) есть аналог дельтафункции Дирака для сред с дисперсией и стремится к дельта-функции при в ^ 0. Это решение описывает очень плавные возмущения, с размытыми первыми вступлениями волн, что создает немало проблем при определении скорости волн по первым вступлениям (рис. 5).

На рис. 5 представлен интересный эффект существования волновых возмущений впереди чисто упругого фронта поперечной волны. Время вступления строго упругой волны соответствует г = 0 (область впереди упругого вступления заштрихована). Этот эффект, при неправильной его интерпретации, может привести к ложному определению первых вступлений якобы чисто упругих волн и, тем самым, к повышенной скорости поперечных волн, вплоть до ее аномально больших зна-

Рис. 5.

чений. Поскольку это явление гораздо сильнее для поперечных, нежели для продольных волн, то возникает проблема появления отрицательных коэффициентов Пуассона, хорошо известная в практике петрофизичес-ких измерений на образцах пород-коллекторов нефти и газа. Однако это чисто дисперсионный эффект.

4. Уравнение Матье и параметрические резонансы

Вернемся к уравнению (23). Его решение можно искать в виде:

и (х, і) = /ои

VI - х

о

где скорость движения возмущений не равна скорости чисто упругой волны V Ф со. Подставляя (31) в уравнение (23), будем иметь обыкновенное уравнение четвертого порядка:

и'

V

1 —- - іги'

со

+и " = о.

3!

Что касается скорости V, можно предположить, что она близка к скорости возмущений, которая получается с учетом дисперсионного уравнения, однако без учета нелинейного члена, влияние которого на скорость волны незначительно. Это означает, что скорость возмущения определяется линеаризованным уравнением (23), а именно: ихх + (/о /6)ихххх =(1/Сд )и„. Дисперсионное волновое число к связано с волновым числом чисто упругого волнового процесса к8 с помощью формулы:

к2 =-

1 -

Очевидно, что скорости движения возмущений V и скорость чисто упругой волны с0 связаны следующим образом:

'V

1

(Ш

3!

Подставляя это выражение в уравнение (32) и принимая во внимание, что нелинейный параметр е мал,

функцию Ю' можно заменить близкой ей функцией и ~ Ю' = ехр(/к£), где £ = Vt - х. Вводя новую функцию Ж = и ", можно записать уравнение четвертого порядка приближенно, с точностью до малых второго порядка, в виде линейного уравнения второго порядка:

1 —

3!е

-cos к$£

= о.

Уравнение (35) есть хорошо известное уравнение Матье [6]. Несмотря на то, что нелинейный параметр е есть малая величина, полное влияние второго члена в скобках (35) отнюдь не малое, так как безразмерная величина к8/0 также является малой. Их отношение не является малой величиной. Это уравнение имеет два вида решений. Одни из них описывают колебания более или менее сложной природы и называются устойчивыми решениями. Другие решения либо экспоненциально возрастают, либо так же сильно убывают. Эти неустойчивые решения связаны с хорошо известными явлениями параметрических резонансов при колебании маятника с движущейся точкой подвеса. Таким образом, чисто волновой процесс в обычной упругой среде в одномерном случае моделируется колебаниями маятника с неподвижной точкой подвеса, в то время как в микроне-однородной среде аналогичное явление моделируется движением маятника с колеблющейся точкой подвеса. Области появления параметрических резонансов показаны на рис. 6.

На рисунке 6 т = 3!е/ (к8/0)2. Серым цветом показаны области возникновения первого и второго параметрических резонансов. Белым цветом показаны области устойчивых решений. Область первого резонанса недостижима для решений уравнения (35), в то время как второй резонанс вполне реален для представленных параметров. Рост колебаний или их затухание зависят от фазы по отношению к структуре пор и трещин. Если трещина подвергается периодическому растяжению, то амплитуда колебаний в случае параметрического резонанса растет. Физический смысл параметрических резонансов может быть проиллюстрирован при движении

качелей. Классическое уравнение Ж" + к^Ж = 0 соответствует малым колебаниям маятника с неподвижной точкой подвеса. Уравнение Матье (35) соответствует движению маятника с колеблющейся точкой подвеса. Колебания точки подвеса моделируются приседанием и вставанием человека на качелях. Если частота качания присел-встал в два раза выше собственных колебаний маятника, то параметрический резонанс наступает, даже если сами колебания весьма малые. Противофазные движения останавливают качели.

Таким образом, параметрические резонансы могут возникать в пористых либо трещиноватых средах под действием периодических нагрузок, даже если эти периодические нагрузки очень малы. Поэтому в структурированных средах малые колебания могут представлять известную опасность, в отличие от сред, лишенных

микроструктуры. Главная причина возникновения параметрических резонансов в геологической среде это наличие конечного линейного размера структуры, который определяется удельной поверхностью пор и трещин.

Литература

1. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

2. Джонсон К.Л. Механика контактных взаимодействий. - М.: Мир,

1989. - 509 с.

3. Sibiriakov B.P. Implication of wave velocities for porous medium microstructure // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - 2000. -V. 34. - P. 109-115.

4. Маслов В.П. Операторные методы. - М.: Наука, 1973. - 541 с.

5. Sibiriakov B.P. Supersonic and intersonic cracking in rock-like material under remote stresses // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. -2002. - V. 38. - P. 255-265.

6. Абрамовиц M., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

Parametric resonances in microheterogeneous media and the possibility of mild scenarios of catastrophe development

B.P. Sibiryakov

Institute of Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

Parametric resonances are a phenomenon well known in the theory of motion of a pendulum with the moving point of suspension. It is of interest that the amplitude of such oscillations may be amplified without limit, even if periodic disturbances generating the oscillations have an arbitrarily small amplitude. In the paper a model of a medium with the mesostructure is developed. In the one-dimensional case the model is described not by an elementary equation of stationary oscillations but by the Mathieu equation. The latter describes both oscillations and unstable processes related to resonance phenomena. The reason for the appearance of new, more complex equations is the real finite sizes of the mesostructures, which are determined by the specific surface of a porous or cracked solid.