Метод решения некорректной задачи для дифференциального уравнения с приближенно заданными функциями на основе представления решения интегральными уравнениями

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», №4,2015

удк517.972:519.633 Наац И. Э. [Naats I. Е.], Наац В. И. [Naats V. I.], Рыскаленко P. A. [Ryskalenko R. А.]

МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПРИБЛИЖЕННО ЗАДАННЫМИ ФУНКЦИЯМИ НА ОСНОВЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Method for solving ill-posed problems for differential equations with approximately given functions based on the representation of the solution of integral equations

В работе излагается метод построения приближенного решения дифференциального уравнения с исходными данными, полученными в эксперименте (эмпирическими функциями), известными с некоторыми погрешностями. В подобной постановке задача относится к классу некорректных математических задач и часто встречается, например, в математических моделях физических явлений, использующих результаты измерений натурных экспериментов. Этим обусловлена актуальность проводимых исследований. Для получения приближенного решения этой задачи требуется построение соответствующих регуляризирующих алгоритмов на основе методов теории функционального анализа и некорректных задач. В настоящей работе выполняется построение приближенного решения ОДУ с заданными краевыми условиями, представленного так называемыми сингулярными интегралами. Это позволяет поставить в соответствие исходному уравнению интегральное уравнение Фредгольма первого рода и найти его численное решение. При этом используется аппарат приближения функций и их производных соответствующими сингулярными интегралами, а также метод регуляризации сходимости последовательности приближенных решений, который реализуется так называемыми обобщенными обратными операторами. Построенная в итоге вычислительная модель позволяет получать устойчивые решения некорректной задачи.

Ключевые слова: интегральное уравнение, некорректная задача, метод регуляризации, обобщенный обратный оператор, вычислительная модель.

The work outlines a method of constructing an approximate solution of the differential equation with the initial data obtained in the experiment (empirical functions), which are known with some errors. In such statement the problem belongs to the class of incorrect mathematical problems and often occurs, for example, in mathematical models of physical phenomena using measurement results of field experiments. This is due to the relevance of the research. To obtain the approximate solution of this problem requires construction of appropriate regularization algorithms based on the methods of the theory of functional analysis and ill-posed problems. In the present work is the construction of the approximate solution of odes with specified bound-

ary conditions, are the so-called singular integrals. This allows you to put in the original equation Fredholm integral equation of the first kind and to find its numerical solution. This uses a machine approximation of functions and their derivatives corresponding singular integrals and regularization method convergence of the sequence of approximate solutions, which implemented the so-called generalized inverse operators. Built in the end, a computational model allows to obtain a stable solution of ill-posed problems.

Key words: integral equation, ill-posed problem, regularization method,

generalized inverse of an operator, a computational model.

В работе излагается метод построения приближенного

решения дифференциального уравнения с исходными данными, полученными в эксперименте (эмпирическими функциями), известными с некоторыми погрешностями. В подобной постановке задача относится к классу некорректных математических задач и часто встречается, например, в математических моделях физических явлений, использующих результаты измерений натурных экспериментов [1]. Для получения приближенного решения этой задачи требуется построение соответствующих регуляризирующих алгоритмов на основе методов теории функционального анализа и некорректных задач. В настоящей работе выполняется построение приближенного решения ОДУ с заданными краевыми условиями, представленного так называемыми сингулярными интегралами. Это позволяет поставить в соответствие исходному уравнению интегральное уравнение Фредгольма первого рода и найти его численное решение. При этом используется аппарат приближения функций и их производных соответствующими сингулярными интегралами, а также метод регуляризации сходимости последовательности приближенных решений, который реализуется так называемыми обобщенными обратными операторами. Построенная в итоге вычислительная модель позволяет получать устойчивые решения некорректной задачи. Подобный подход излагался ранее в работах авторов на примере решения краевых задач для уравнений в частных производных, использующих приближенные данные, на основе операторов обобщенного дифференцирования [2-4] и в рамках настоящей работы он получает дальнейшее развитие.

Постановка задачи.

Обратимся к задаче численного решения дифференциального уравнения вида

ft2

где a < x < h. f{x) = C\a,b\, f(a) и /(ft) - заданные числа.

Функции b0(x). Л, (x). b-,(x) и S(x) образуют множество исходных данных В = {¡Ь^,ft,,S}. Далее считаем, что элементы этого множества заданы приближенно, и в соответствии с этим вводим обозначение Я .ft.ft.sj. Также полагаем, что функция/(х) задана приближенно, т. е. представлена своим ^-приближением /^(х) и при этом выполняется условие f(x) - /ет(х)|| < сг|| /(х)||, в котором параметр а > 0 характеризует меру неопределенности в задании/(х). При этом предположения о таких свойствах функций, как дифференцируемость, непрерывность и т. п., не могут распространяться на гг-приближсния. и, следовательно, задачи типа (1) на множествах Ва становятся некорректными в математическом отношении [1]. Для некорректных математических задач требуется разработка соответствующих методов, аналитических построений и вычислительного алгоритма, излагаемых ниже.

Разработка и обоснование метода решения

для задачи (1), построение вычислительной модели. Положим, что функции из множества В суммируемы в классе функций Zj(Q v) и что искомая функция/(х), определенная на отрезке [a, ft] уравнением (1), может быть представлена интегралом вида [4]:

ь

¡Kz

a

где К Дх,х') - ядро интегрального оператора Кг. зависящего от параметра г > 0, (г е (0,1) и ф е О, (Ос С^, (QJ. Оценить возможную степень близости линейных функционалов fT(x,(p) на Ф к ис-

следуемой функции/(х) возможно на основе алгоритмов оптимальной аппроксимации, т. е. на основе решения оптимизационной задачи вида

Если решение этой задачи (р удовлетворяет условию I/(х) - /г (х, ср* )|| < е||/(х)||, где s > О достаточно мало, то можно говорить о том, что параметризованная последовательность |/г(х,^>)} представляет функцию /(х) с приемлемой точностью. Поскольку функция /(х) в рассматриваемой задаче представлена уравнением (1), то необходимо оптимизационную задачу (3) изменить надлежащим образом. Для этого нужно прежде всего указать способ аппроксимации производных /"(х) и f'(x). входящих в уравнение (1). Данный вопрос является принципиальным в излагаемом подходе и естественно не простым. Пока примем формально в соответствии с (2), что f"(x,cp) и ([{х. ф) при определенных допущениях представляют/'(х) и/"(х), в том смысле, в каком f\ (х. ф) представляет /(х). Ясно, что

fXx,<p) = -j- f Кг

fXx,<p) = -f ¡K'TJx,x')<p(x')dx' =\K^(x,x'Mx')dx'. (5) "Xq, о.

Предполагается при этом, что функции К'г х и К''хх интегрируемы на 0.v = \a.h\ по переменным х и х', и, значит, внесение оператора дифференцирования под знак интеграла правомерно. Заметим, что подобные предположения в прикладном анализе не всегда могут быть выполнены. В частности, для ядер потенциального типа Кр (х, х') = |х - х'| Р, где О < 3 < 1. это уже не так, поскольку К'р х и К"рщ уже не суммируемы, и требуется в подобных случаях вводить надлежащую регуляризацию сходимости аппроксимационных интегралов при |х-х'| —> 0 Соответствующие методы регуляризации в рассматриваемой задаче будут приведены ниже. С учетом представлений (2) и (4)-(5) для искомой функции/(х) и её

производных приходим к следующему интегральному уравнению относительно вспомогательной функции (р&О :

ядром которого является функция

^(х,х') = Ъ2{х)Цх (х,х') + Ьх {х)Цх(х, х') + Ь0(х)Кс(х,х').

Можно показать, что если исходные функции Ь0(х), Ъ.(х), Ь2(х) ограничены в области Пд = \а,Ь\ (тоже интегрируемы по Ри-ману), то интегральный оператор вполне непрерывен. Этого еще не достаточно для существования обратного ему, но вполне достаточно для построения обратного оператора в обобщенном смысле, т. е. для постановки оптимизационной задачи вида

Ф=0 " II

Напомним, что поскольку (6) является в нашем случае интегральным уравнением Фредгольма I рода (некорректно поставленной математической задачей), то в рамках вариационного подхода возможны варианты явного построения так называемых регуляризирующих операторов. В частности, это может быть оператор типа [1,5]

<&) =

где а > 0 - параметр регуляризации. Если обозначить Ф<х( г>(х)= (0а?г)^)(х)' т0 обобщенное решение рассматриваемой в работе математической задачи в соответствии с данным подходом определяется интегралом

/а

О«

Остается напомнить, что в вычислительных схемах обобщенной инверсии интегральных операторов, связанных с решением операторных уравнений типа (6) при приближенно заданной правой части параметр регуляризации а в выражении (7) зависит от величины о. В частности, во многих прикладных задачах, связанных с обращением экспериментальных данных, можно использовать оценку а < С гг. где С -некоторая константа (С > 1). Зависимость аппроксимационного интеграла от параметра г естественно делает зависимым величину а и от параметра г, о чем будет говориться ниже.

Для изложенного здесь подхода, связанного с решением уравнений типа (1), имеет место следующее утверждение: если искомая функция /(л ) представлена интегралом (2), т. е./е {/:/}= Кт <р, /ре О, г е (0,1)}, то при а —> 0 (а —> 0) /а{7) • •> / в слабом смысле. Заметим, что при выполнении ряда дополнительных условий слабая сходимость последовательности приближенных решений { /,' . ' может гарантировать и сходимость по норме в пространстве возможных решений.

Далее обратимся к вариантам возможного выбора параметризованного семейства ядер Кт (х,х') в представлении (2). Во-первых, заметим, что величина г в (8) в принципе слабо зависит от конкретного аналитического вида ядра Кт (х,х') и в этом смысле изложенный выше вычислительный метод можно считать инвариантным относительно выбора ядра в интеграле (2). Вместе с тем ясно, что в прикладных задачах эффективность представленной выше вычислительной схемы зависит от представления /(х) указанным выше интегралом. Как показывают исследования авторов |4|, помимо операторов потенциального типа, определенный интерес в задачах представления функций интегралами имеют и так называемые сингулярные интегралы, теория которых разработана Лебегом [6]. Напомним, что для любой суммируемой функции/(х) по определению ее сингулярного интеграла могут быть записаны следующие соотношения

ГКп{х,х'Жх')М =

а

во всякой точке непрерывности/(х) либо точке Лебега, если она суммируема по Лебегу. Примером соответствующего ядра в интегральном представлении (9) может служить функция вида

К „(*,*') =

п

1

с1  п «~(х-х')2+¿7

(Ю),

где п = 1,2,.... с/ >() - некий параметр (ядро Пуассона) Если обратиться к предложенной выше схеме построения последовательности |/а(г)|, то выбор представления (9) вместо (2) исключает необходимость привлечения некоторой вспомогательной функции <р(х), что делает вычисления более простыми. Этим не исчерпываются достоинства интегрального представления (9) в приложениях и задачах типа (1). Аппарат на основе интегралов типа (9) обладает большими возможностями в построении приближений для производных искомых функций. В частности, если/(х) дифференцируема, как, например, это имеет место в примере (1), то для её производных могут быть записаны подобные же представления, а именно,

]Х(х, *')/'(*'Ух' = (Кп/')(х) = (Л„(х) Нт(/')„(х) = /'(х),

со

)кп{х, х')Г(х')с/х' = (КпГ){х) = (ГХ(х) М Г\(х) = Г(х).

Используя формулу интегрирования по частям, нетрудно показать справедливость следующих соотношений для интегралов в левых частях в выражениях (11) и (12) соответственно

п >'<

{^(х,х')/'(х'Ух' = ¡к: д.(х,х')/(х')б/х' + П „(х,Л,

а а

у/,„

х' = Ь х' = а

W,MJJ') = (Kjxjymjx, b

Jx' h

' = a

При записи (13) и (14) использовалось условие К'п х = -К'п , которому удовлетворяют ядра сингулярных интегралов функций в соответствии с теорией Лебега [6]. Заметим, что при п —> <х> и х' Ф х значения функций у/... (х. /) и i/л ..(х. /, /') быстро стремятся к нулю в силу того обстоятельства, что А', (х.х') А'(.v х') и А'..(|.\" ,\"'|) >0 при /7 —> х вне диагонали ядра Л'' = Л' В силу этого указанные функции можно принять равными нулю. Выражения (13) и (14) определяют при п > / отображения / > /"' и / > /'" в каждой точке х, если /в принципе является дифференцируемой (/ е C2(Qr)). В противном случае речь идет о производных в обобщенном смысле. Эти отображения осуществляются интегральными операторами ( /.), Л'„) и (D^'K..) и формально определены для множества суммируемых функций. Поскольку в этих построениях f'(x) рассматривается как предельный элемент последовательности {(/')„ (х)}, a fix) соответственно рассматривается как предельный элемент последовательности {(/")„(*)}, то исходное уравнение (1) может быть заменено интегральным аналогом типа (6) на основе методики, изложенной выше. Соответственно имеем

а

а

Qnf = 4

в котором ядром интегрального оператора Оп служит функция

Оп

и правая часть имеет вид

Бп

Можно показать, используя предельные соотношения (11)—(14), что уравнение (15) эквивалентно исходному уравнению (1) при п ~ > да. Вместе с тем ясно, что при конечных п интегральное уравнение определено и для недифференцируемых функций, поскольку в нем определяющей операцией является интегрирование. Это уравнение с учетом метода обобщенной инверсии интегрального оператора 0„ вполне определено и тогда, когда исходные данные представлены своими сг-ириближениями. Напомним, что в последнем случае решение уравнения (1) является математически некорректной задачей, в то время как его интегральный аналог (модель) с применением известных методов обобщенной инверсии интегральных операторов вполне разрешим численными методами. Возникает вопрос о том, в какой мере решения уравнения (11), представленные последовательностью {/я(я)}, характеризуют аналитические свойства «точного» решения/, (если последнее существует) в зависимости от п и а. Данный вопрос и ему подобные обычно решаются методами численного эксперимента. Отдельные элементы этой задачи в рамках конструктивной теории функций [7] рассматривались автором в работе [5].

В заключительном разделе представленной работы обратимся к варианту возможного вида ядра (7), рассмотрим особенности соответствующего интегрального аналога (11) и приведем выражения, удобные для вычислений. Полагаем для удобства, что 0,х = [0,1]. с! = \ и вводим параметр г = \/п. значения которого ограничены нулем и единицей. В этом случае в формуле (16) будем иметь:

Жг(х,х') = -7-17—

л (х-х) + г

К' (х х') = -—__Х Х'_

Л- [(х-х )- + г ]-

ут-я / _2 г 3(х х) г

J ~~ 77 ITT'

к [(х-х) +г ]

Wu{xJ) = K[{x,b)JXb)-K^{x,a)f{a),

В соответствии с изложенным выше подходом соотношения (18)—(23) в совокупности определяют параметризованное семейство интегральных уравнений Фредгольма первого рода

От/=£,

решения которого определяются как функции вида fa (г) = (СЛ ) -Ч - где а - параметр регуляризации, выбор которого согласуется с погрешностью исходных данных (параметром задачи а). В такой постановке заключительным этапом решающего алгоритма является оценка значений параметров (а,г). Соответствующие методики, естественно качественного характера, обычно разрабатываются на основе численного моделирования применительно к конкретной прикладной задаче. В частности, если гипотетически известно «точное» решение /Дх),

то нетрудно изучить поведение функции р(а,т) = || /о(х) /.'.. (х) || по параметрам а ит при различных значениях параметра а. Значения (а,т ) подбираются из условий min р(а. г), а далее соответствующие результаты

используются при решении (1) на произвольном множестве Ва. Подобным образом решаются многие задачи в прикладном анализе [8, 9].

Спецификой данной задачи является наличие особенностей в исходном ядре <9т(х,х') оператора От в (24), обусловленных применением в качестве аппроксимационного аппарата сингулярных интегралов (9). Ясно, что порядок сингулярности ядра К"п х заметно выше порядка сингулярности К'пх и тем более исходного ядра К„(х, х'). В связи с этим требуется при вычислениях осуществить так называемую регуляризацию сходимости интегралов, содержащих особенности в подынтегральном выражении. Это касается как интегрируемых особенностей, например в ядре К„(х.х'). так и не интегрируемых в ядрах К'п х и . Приемы, используемые в прикладном анализе для регуляризации интегралов, могут быть самыми разнообразными. Поскольку в рассматриваемом случае особенности касаются окрестности диагонали х' = х, то простейшим приемом регуляризации может быть простое исключение этой окрестности из области интегрирования, что обычно и делается в расчетных задачах теории потенциала. Покажем далее, каким образом этот подход можно наилучшим образом применить к интегральному уравнению (24). Прежде всего, представим его ядро От(х,х') в виде произведения, а именно,

QI{x,x') = Kl{x,x')-Gl(x,x'),

Gr

6(х-х')2-2т ! V х')-. I

2

2h,

[ х-х')2 + г2]

х-х'

+4(х>.

Справедливость подобного представления подтверждается непосредственными вычислениями. Теперь введем в рассмотрение параметр ¡л и положим, что любые две произвольные точки х, и х2 отрез-

ка \ü,b\ вовлекаемые в вычисления значений указанных выше функций, удовлетворяют условию

min Ix, - Xj I > ц > 0.

Заметим, что данное ограничение для задач, содержащих приближенно заданные функции, вполне естественно. Действительно, если для изучаемой функциональной зависимости /(х) = у вводятся ограничения на Ду, то естественно вводятся ограничения и на Ах Применим ограничение (26) к составляющей Сч,(х,х) исходного ядра (25), поскольку она содержит неинтегрируемые особенности. Результатом является так называемая регуляризованная компонента

~ , \0Лх>х% Iх-А-р

Щ (х, х ) = <

Ь0 (х) х - х' < /и

С учетом регуляризованной модели ядра, уравнение (24) примет вид

=

Если рассматривать соотношение между параметрами г и и данной модели, то определяющим естественно должен считаться параметр ¡л, поскольку значение напрямую определяются точностью задания исходных данных. В связи с этим вводим зависимость г (и). Нетрудно показать, что в первом приближении можно принять г = , где // некий доверительный коэффициент (// < 1). В связи с этим замечанием для интегрального оператора в (27) следует писать От{м) и множество регуляри-зованных решений теперь обозначается = (От(/1)Уа18т.

Покажем, что построенный выше оператор огр&ничен в метрике [а,Ь]. Исходим при этом из выражения

}jTr (х, x')GTlfl) (х, x')f{x')dx' = St (х).

В соответствии с определением нормы в Lx имеем

Ь Ь bib \

J jKT(x,x')Gr(ß)(x,x')f(x')dx'dx< f \Kt(x,x')\GTiß){xX)f(x)\lx dx.

a a a\ß у

Теперь, применяя операцию предельного перехода в соответствии с (9), найдем

ь(ь \

limj ¡Kt(x,x')\GrUt)(x,x')f(x')\b' dx =

а\а У

j ilim}^T (х, х')\Gr(ft) (х, *')/(*') \tXbc = ) (х, x)f(x)\)dx

r->ü а \ а

Считая, что lim S, (х) = S(x), запишем неравенство на

г—>0

основе уравнения

G0Jx) = Gt,

iß)

>-х = 6

т=0

Ясно, что при /л > 0 интеграл в правой части (28) существует. Что касается левой части, то ее можно связать с нормой ||Л'(х)|| . Далее

II п^

воспользуемся леммой: если для суммируемой функции /(х) на интервале \а.Ь \ существует | /1 ; то существует и ||у|| и при этом ||/|| < ||/||^

(обратное не всегда имеет место). Теперь можно воспользоваться неравенством Шварца [10] в соответствии, с которым имеем

Л3

¡\GoJx)| • \/(хрс < ¡С\|/2(хУх

В итоге получаем

Неравенство (30) показывает, что в качестве нормы оператора 01{и) в пространстве / , может служить значение величины |К'п.„II, • Поскольку данная функция в соответствии с (29) прямо зависит

II

от коэффициентов Л (х). Ь,(х). Ь-,(х) исходной задачи (1), то можно исследовать их совокупное влияние на свойства интегрального оператора в модели (27). Аналогичными рассуждениями можно показать, что оператор вполне непрерывен в классе Ц[а,Ь] при // > 0. Последнее означает, что данный оператор имеет обобщенный обратный, что и обеспечивает построение обобщенного решения краевой задачи для рассмотренного дифференциального уравнения второго порядка.

Вычислительный алгоритм, результаты расчетов и численных исследований.

Построенная выше вычислительная модель реализуется с помощью алгоритма, включающего в себя следующие этапы.

Этап 1.

Построение тестового примера,

в котором задаются границы интервала а и Ь: функции Ь0 (х), Ъх (х), Ь, (х); функция /Т(х) - точное решение и вычисляется значе-

ние S(x): S(x) = b2 (х) f"(x) + b} (x)// (x) + b0(x)fT (x). Таким образом, все исходные данные определены.

Этап 2.

Вычислительный алгоритм: 1) задаются значения г = \/п и ¡и, 0<г, //<1;

КТ(х,х') =

2) последовательно вычисляются функции:

Л (х-х')* +

—Г' К'(х,х') - —--- — ——g

г Т'х п [(х —х) +г ]

(х,х') = — 3(Х , Х,х' е

я- [ х х') г I1

yu{x) = KI{x,b)f{b)-Kz(x,a)f(a), (х) = S(x) - [Ьг (x)y/hI (х) + Ь2 {х)у/2, (х)]-

G (х,х') = Ь2(х) 6(Х Х'Х 2f2-2 frfr)--f' , +Ь0(х).

тК ' 2W [(х-х ) + т ] ' ' [(х — х) + г ] oV У

[Gc(x,x') |х-х'|>// 1й0(х) Jx-x'^^

QZM = Kz(x,X')-GzJX,X');

¡Q^MfWdx^S^x),

а

3) оператору О, ставим в соответствие регуляризирующий оператор Qrafl ={Q* + aiy1 Q'приближенное решение fT a fl = 0^aßT;

4) точность вычислений: <у(а,т,/и) = }^fT{x)-fa z

min <j(a,T,/u) =>(a .t ./.C).

Этап 3.

Вычислительный эксперимент'.

задаются исходные данные

[а,Ь] = [0;лг/2],

Ь„ (х) = х + 2,

h- (х) = х - 2,

b2(x) = х2 и/г(х) = sinx.

Вычисляются /' (.V) = cosx, //(x) = -sinx и S(x) = йо (х)//(х) + Ьх (х)/г'(х) + Ь0 (х)/г (х) в точках равномерной сетки {х,}, х, = / • Ах, / = 1./?. Ах = (b - а)/п при п = 10. Расчетные формулы алгоритма также реализуются на этой сетке. Первоначально расчеты проводились при значениях п = 10, п = 20 и п = 35.

При этом погрешность о = || /7(х) — fa,4\ приближенного решения /(х) = /„т;,(х) относительно точного решсния /г(х) составила соответственно а = 0,09, а = 0,11 \\ о = 0.15. С увеличением количества узлов сетки накапливается вычислительная погрешность, хотя и незначительно. Оптимальной размерностью задачи может служить значение п = 20. Далее в вычислительном эксперименте исследовалось влияние структурной сложности функции на работу алгоритма, т. е. на точность получаемых решений. Структурная сложность функции определяется таким показателем,

N I I

как ее вариация [11] VAR = V\ f\ = Е /(х.. ) -/(хд)|, где/(х) /' (,v). N = п. С этой целью рассматривалась функция fT(x) = sinx на интервалах [0;ж/2], [0;2ж] и [0;3ж] на которых вариация составила приблизительно 0,8, 1,6 и 3,4 соответственно. Значения погрешностей составили 0,11, 0,16 и 0,24

при п 25. Для повышения точности расчетов необходимо увеличивать количество узлов п. В завершении исследовалась устойчивость вычислительного метода к погрешностям в исходных данных, а именно, по правой части уравнения (1), согласно алгоритму, подробно описанному в работе [5]. В соответствии с этим алгоритмом вносилась погрешность в правую часть уравнения (1) следующим образом: S = S + 0,001 * S (погрешность составила 0,1 %), S = S + 0,01 * S (погрешность составила 1 %). S = S + 0.1 * S(погрешность составила 10%)и5' = 5' + 0,25 * S(погрешность составила 25 %). Соответствующие значения погрешностей: а= 0,0013, сг= 0,013, о = 0,085 и о = 0,334. Полученные результаты численных исследований позволяют утверждать, что предложенный в данной работе алгоритм является достаточно устойчивым. В целом можно говорить о вполне удовлетворительной работе вычислительного алгоритма.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М., 1979. 288 с.

2. Рыскаленко Р. А., Чемеригина М. С. Операторы обобщенного дифференцирования в численных методах решения нелинейного уравнения переноса с приближенными данными // Вестник Северо-Кавказского федерального университета. 2013. № 1 (34). С. 35-38.

3. Рыскаленко Р. А., Черкасова И. В. Интегральные представления функций в численных методах решения нестационарных задач переноса // Вестник Северо-Кавказского федерального университета (СКФУ). 2013. № 1

4. Наац В. И., Наац И. Э., Рыскаленко Р. А. Расчетно-аналитичес-кие модели для дифференциальных уравнений с приближенными данными на основе представления решения интегралами // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. 2014. № 4. С. 60-71.

5. Наац В. И., Наац И. Э. Математические модели и численные методы в задачах экологического мониторинга атмосферы: монография. М.: Физматлит, 2010. 328 с.

6. Данфорд H., Шварц Дж. Т. Линейные операторы: общая теория. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 427 с.

7. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.: Физматлит, 1949. 526 с.

8. Ланцош К, Практические методы прикладного анализа. М.: Физматлит, 1961. 524 с.

9. Сухарев А. Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. М., 1989. 354 с.

10. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 1994. 296 с.

11. Семенчин Е. А., Наац В. И., Наац И. Э. Математическое моделирование нестационарного переноса примеси в пограничном слое атмосферы: монография. М.: Физматлит, 2003. 291 с.