О гамильтоновых системах с малыми неавтономными возмущениями

13. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. 4-е изд., перераб. M.: Наука, 1987.

14. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.

Рассматриваются гамильтоновы системы с малым неавтономным и непериодическим возмущением. Доказываются достаточные условия, при которых значения первых интегралов невозмущенной системы слабо меняются вдоль решения возмущенной системы, если возмущение мало. В качестве примеров рассматриваются механические системы.

Ключевые слова: возмущенная гамильтонова система, постоянно действующее возмущение, неавтономная гамильтонова система.

Hamiltonian systems under weak nonautonomous and nonperiodic perturbations are considered. Sufficient conditions under which the first integrals of the unperturbed system vary slightly along the solution of the perturbed system are formulated. Some mechanical systems are considered as examples.

Key words: perturbed Hamiltonian system, constantly acting perturbations, nonautonomous Hamiltonian system.

Теория КАМ позволяет получать качественные выводы о динамике близких к интегрируемым га-мильтоновых систем, если возмущение гамильтониана автономно или периодично по времени [1]. При определенных предположениях о невозмущенной системе большинство нерезонансных инвариантных торов не разрушается, а только слегка деформируется. Однако если размерность фазового пространства системы больше 4, то значение переменных действие в возмущенной системе может изменяться на величину порядка единицы при сколь угодно малом возмущении [2]. В работе изучаются гамильтоновы системы c неавтономным и непериодическим по времени возмущением. Найдены достаточные условия, при которых значения первых интегралов невозмущенной системы слабо меняются вдоль решений возмущенной системы, если возмущение мало. В частности, если система имеет полный набор первых интегралов в инволюции, то доказываемые утверждения предоставляют достаточные условия, при которых возмущенное решение, начавшееся на инвариантном торе, все время будет оставаться близким к этому тору. Приводятся примеры механических систем, иллюстрирующие общие утверждения.

Введем некоторые определения.

Определение. Гамильтоновой системой будем называть [3] тройку (M,u2,H), где M — гладкое многообразие, dim(M) = 2n, и2 — замкнутая невырожденная 2-форма на M, H = H(x, t) : M х ^ R — гладкая функция. Через мы обозначаем множество всех неотрицательных действительных чисел.

Динамика в системе (M,u2задается уравнением X = {x,H}, где {•, } — скобка Пуассона двух функций на M, соответствующая 2-форме и2. При вычислении скобки Пуассона переменная t, определяющая зависимость гамильтониана от времени, считается параметром. В координатах Дарбу (p, q) = (pi,p2, ...,Pn,qi,q2,---, qn), в которых и2 = Ya=i dpi Лdqi, скобка Пуассона двух функций f (p, q) и g(p, q, t) вычисляется по формуле

Поступила в редакцию 24.12.2010

УДК 531

О ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ С МАЛЫМИ НЕАВТОНОМНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

И. Ю. Полехин1

n

{f,g} = Е

df

% dpi dpi %

i=1

1 Полехин Иван Юрьевич — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

ivanpolekhin@gmail.com.

Определение. Пусть дана система (М,ш2, H°j, где Ho не зависит от t, Ho : M ^ R. Такую систему мы будем называть невозмущенной. Соответствующую ей систему (М, ш2, Ho + £Hi), где Hi : М х ^ R, £ > 0, мы будем называть возмущенной.

Мы будем предполагать, что для всех начальных условий x(0) = x° Е М при достаточно малых значениях £ > 0 для системы X = {x,H° + £Hi} существует решение x(t) = x(t,x°,£), определенное для всех t ^ 0. Если £ = 0, то будем говорить о возмущенном решении или о решении возмущенной системы. Соответственно если £ = 0, то решение будем называть невозмущенным.

Пусть дана невозмущенная система, у которой существует k произвольных первых интегралов Fi,F2,...,Fk : М ^ R. Через Mf будем обозначать множество их уровня:

Mf = {x Е М : Fi(x) = fi, i = 1, 2,...,k} ,

здесь f = (fi,f2,...,fk) Е Rk.

Пусть 5 > 0, тогда через U(5, Mf) будем обозначать подмножество фазового пространства U(5, Mf) = {x Е М : \Fi(x) — fi\ ^ 5, i = 1, 2,..., k}; Fi, F2, . ..,Fk — первые интегралы невозмущенной системы.

Теорема 1. Пусть даны числа (fi, f2,..., fk) = f Е Rk и возмущенная гамильтонова система, для которой выполнены следующие условия:

1) соответствующая ей невозмущенная система имеет k первых интегралов

Fi,F2,...,Fk : М ^ R;

2) существуют 5° > 0 и функции Fi : ^ R, i = 1, 2,... ,k, такие, что

(a) при всех t ^ 0

Fi

(b) конечны несобственные интегралы

j Fi

°

Тогда для любого 5 > 0 и любой точки x° Е Mf существует £° = £°(5,x°) > 0, такое, что для любого £ Е (0, £°) решение возмущенной системы удовлетворяет следующему условию:

\Fi(x(t,x° ,£)) — fi\ <5 при всех t ^ 0, i = 1, 2,...,k.

Доказательство. Введем в рассмотрение величину ¿1 = ^ min{£, ¿о}- Доказательство будем вести от противного. Предположим, что существуют 5 > 0 и точка x° Е Mf, такие, что существуют значение £ Е (0, £°), момент времени ti > 0 и m Е{1, 2,... , k}, такие, что выполнены следующие условия:

\Fi(x(t,x° ,£)) — fi\ ^ 5i <5 при всех t Е [0, ti ], i = 1, 2,...,k; \Fm(x(ti,x°,£)) — fm\ = 5i <5.

Здесь

/ +<x \ -i

m\* ) Ujl I •> ^wi^i i j m

£° =

°°

^ 1 в противном случае.

Из условия (1) следует £о > 0. Покажем, что наше предположение ведет к противоречию. Вычислим производную первого интеграла Fm в силу системы. Так как ^т,Ио] = 0, то

д

п = {Рт, Н0+еН1} = £ {Рт, Нг} .

Для любого решения x(t,xo,e) верно следующее:

t t Fm(x(t,xо, в)) = Fm(x(0,xo,e)) + J —Fm(x(T,x0,e)) dr = Fm(x(0,xo,e)) +e J {Fm, Hi} (x(t, x0, e), r) dr.

0

Поэтому

\Fm(x(t,xo,e)) — Fm(x(0,xo,e))\ =

t

t

e\ I i m, 0

ej {Fm,Hi} (x(r,xo,e),r) dr ^ \e\ j\{Fm,Hi} (x(r,xo,e),r)\dr. (4) 0\

Согласно предположению (2), \Fi(x(t,xo ,e)) — fi\ ^ ¿i, i = 1, 2,... ,k, при t E [0, ti ]. Следовательно,

\{Fm ,Hi}

xeu

при t E [0, ti]. Здесь мы использовали неравенство ¿i < ¿o.

Учитывая (4) и (5) и то, что Fm(x(0,xo,e)) = fm, получаем

ti

\Fm(x(ti,xo,e)) — Fm(x(0,xo,e))\ = \Fm(x(ti,xo,e)) — fm\ ^ \e\ / Fm(T) dT ^ \e\ I Fm (t) dT,

00

откуда для любого e E (0,eo) заключаем: 1) если У Fm(t)dt = 0, то

/ \ i

\Fm(x(ti,xo,e)) — fm\ ^ e J Fm(t) dT <eo J Fm(t) dT = ¿i I J Fт(т) dT I J Fm(t) dT = ¿i;

2) в противном случае сразу получаем, что ^т(х(1\,х°,е)) — /т\ = 0.

В обоих случаях мы видим, что ^т(х(1\,х°,е)) — /т\ < §1, что противоречит предположению (2). Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть даны числа (/1, ¡2,..., ¡к) = f Е Мк и функция И1(х,Ь,£) : М х х О, где О С М1 — область. Пусть выполнены следующие условия:

1) невозмущенная система имеет к первых интегралов Fl 2 ,...^к : М ^ М;

2) существуют §о > 0 и функции Fi : ^ М, г = 1, 2,... ,к, такие, что

(a) при всех Ь ^ 0

Fг (Ь) > нир } (х,Ь,0\, г = 1,2,...,к,

хеи (&0,мг) Сео

(b) конечны несобственные интегралы

У Fг(т) дт < ж, г = 1,2,...,к. 0

Тогда для любого 5 > 0 и любой точки х° Е М^ существует е° = е°(5,х°) > 0, такое, что для любого е Е (0,е°) и любых функций (П1,П2 ,...,П1) : ^ О, г = 1, 2,...,1, решение возмущенной системы (М, ш2, И°(х) + еИ1(х, Ь, П1 (Ь), щ(Ь),..., Щ(Ь))) удовлетворяет следующему условию:

^г(х(Ь,х° ,е)) — /г\ <5 при всех Ь ^ 0, г = 1, 2,...,к.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1. Тот факт, что ео можно выбрать одинаковым для всех возмущенных систем (М,ш2,Но(х) + еН\(х,Ь,П\ (Ь),П2(Ь), ...,П(Ь))) при заданной начальной точке и заданном значении 5 > 0, следует из того, что явное выражение (3) для е не будет зависеть от функций (щ, Ц2,...,щ).

Теорема 2. Пусть даны числа (/\, /2,..., /к) = / Е Мк и рассматривается возмущенная гамильто-нова система, для которой выполнены следующие условия:

1) соответствующая ей невозмущенная система имеет к первых интегралов

^1,^2,...,^ : М ^ М;

2) один из первых интегралов совпадает с функцией Гамильтона невозмущенной системы: = Но;

3) существуют 5о > 0 и функции 0, : ^ М, г = 2, 3,... ,к, такие, что

(о) при всех Ь ^ 0

G (t) ^ sup

xeu

dHi

dt

Fi(t) ^ sup \{Fi,Hi] (x, t) I, i = 2,3,...,k;

xeu

(b) конечны несобственные интегралы

У G(r) dr < ж, У Fi(r) dr < ж, i = 2,3,...,k;

4) функция Hi такова, что sup \Hi(x,t)\ < ж.

xeu (So,Mf ),t>o

Тогда для любого 5 > 0 и любой точки xo Е Mf существует £o = £q(5,Xq) > 0, такое, что для любого е Е (0, ео) решение возмущенной системы удовлетворяет следующему условию:

\Fi(x(t,x0 ,е)) — fi\ <5 при всех t ^ 0, i = 1, 2,...,k.

Доказательство. Положим ¿1 = ^ min{£, ¿о}- Как и в доказательстве теоремы 1, предположим, что существуют 5 > 0 и точка Xo £ Mf, такие, что существуют е Е (0,£о), ti > 0 и m £ {1, 2,... ,k}, такие, что выполнены два условия:

\Fi(x(t,xo, е)) — fi\ ^ 5i при t Е [0,ti ], i = 1,2,...,k; \Fm(x(ti ,xo, е)) — fm\ = 5i.

Здесь ео = min{£l ,е2 ,ез }, где

Si

£i = 3

|Hi(xo, 0)| +У G(t) dr J , если |Hi(xo, 0)| + J G(t) dr = 0;

^1 в противном случае,

. 7Г ( sup \Н\(x, t)| е2 = \ 3 \xeu(S0,Mf),t>o

1 в противном случае,

f / i \ -1

i

если sup |Hi(x,t)| = 0;

xeu (S0,Mf ),t>o

ез =

\ i

У Fm(r) dr J , если m = 1 и J Fm(t) dt = 0;

^1 в противном случае. Из условий теоремы следует, что ео > 0. Покажем, что наше предположение (6) ведет к противоречию.

Если т = 1, то рассуждения, приводящие к противоречию, совпадают с таковыми в теореме 1. Поэтому считаем, что т = 1.

( д дН\ Вычислим производную энергии возмущенной системы: — (Но + еН\) = — (Но + еН\) = е ——. Для

(Ь дЬ дЬ

любого решения х(Ь,Хо,е) имеем

г

Но(х(Ь,хо,е)) + еН1(х(Ь,х0,е),1) = Но(х(0,хо,е)) + еНг(х(0,хо,е),0) + е { (х(т,х0,е),т) йт,

поэтому

\Ho(x(t, Xo, е)) + £Hi(x(t, Xo,£),t) — Ho(x(0,xo,е))\ =

t

/dHHi

(х(т, х0,е),т) dr

< е |Hi(x(0,xo,е), 0)| + е

дН\

~дГ

(x(r, xo,е),т) dr

<

t

< е |Hi(x(0,xo,е), 0)| + е J

dHi

dt

dr.

Согласно предположению (6), \Fi(x(t, xo,е)) — fi\ ^ 5i, t Е [0,ti], i = 1, 2,..., k, поэтому при t Е [0, ti]

dHi

dt

^ sup

xeu

dHi

dt

^ sup

xeu

dHi

dt

< G(t).

Здесь мы пользуемся тем, что 51 < 5о. Из (7) и (8) и того, что 0(Ь) ^ 0 и х(0,Хо, е) = Хо, получаем |Но(х(Ь1,хо,е)) + еН1(х(Ь1,хо,е),Ь1) - ^ е |Н1(хо, 0)| + е ^ 0(т) (т.

Так как £o ^ £i , то для любого е Е (0, £o) имеем

\H0(x(ti,x0,e)) +eHi(x(ti,x0,e),ti) - /i| < у.

Ввиду неравенства 5i < 5o

|Hl(x(tl,Xo,£),tl)| ^ sup |Hi(x,t)| ^ sup |Hi(x,t)| xeu(Si,Mf ),t>o xeu(So,Mf ),t>o

поэтому из (9) и (10) и того, что £o ^ е2, для любого е Е (0,£o) получаем

\ \ 5i 2

\Ho(x(ti,xo,e)) - /i| < у + e\Hi(x(ti,xo,e),ti)\ < -<5Ь

что противоречит предположению (6). Теорема доказана.

Пример 1. Рассмотрим систему ^М = М2, с1р Л (1д, Ц^ + \— е )' Г1П,е а ^ ^ — параметр. Система описывает динамику гармонического осциллятора во внешнем поле, притом в каждой точке пространства поле изменяется со временем и характер этого изменения задается параметром а. Инвариантные многообразия невозмущенной системы следующие: М^ = {(р,д) € М2 : р2/2 + д2/2 = / € М^0}. Из теоремы 1 найдем достаточное условие на а, при котором решение, начавшееся на Mf, останется близким к нему, если е > 0 достаточно мало. Легко показать, что это выполнено, если /0+О° ^ < °°> т-е 01 > 1.

С другой стороны, мы можем явно выписать точное решение возмущенной системы:

q(t) = С\ sin t + С2 cos t + e ^ | sin t J

t t t

sin 2r f cos 2r , f dr

ат + cos t I -——ГТ— dr — cos t

, p(t) = q(t).

t

Рассмотрим значения q(2nk), k Е N. Если а = 1, то

' 2пк

q(2nk) = C2 +

cos 2т т + 1

йт — 1п

если а Е (0,1), то

если а ^ 0, то

д(2жк) = С2 + -

2пк

' 2пк

cos 2т (т + 1)°

(2ттк + 1) - 1 1а

q(2irk) = С2 + ^ Í J (cos 2т — 1)(т + dr I , ¡3 = -а, /3^0.

Поскольку при а > 0 сходится интеграл /0+О° (т+1)а dт1 то окончательно получаем, что если а ^ 1, то при любом е > 0 имеет место \д(2пк)\ ^ ж при к ^ ж. Следовательно, решения покидают окрестность Mf при достаточно больших значениях Ь; если а > 1, то при достаточно малых значениях е решения будут оставаться рядом с Mf. Таким образом, можно заключить, что для данного однопараметрического класса систем достаточное условие из теоремы 1 совпадает с необходимым.

Пример 2. Рассмотрим систему с одной степенью свободы, состоящую из двух математических маятников в плоскости, которые находятся в однородном поле силы тяжести и концы которых соединены пружиной. Положение маятников задается углами ф и ф. Считаем, что закон движения одного из маятников задан и определяется функцией ф(Ь). Пусть ¡1, ¡2 —длины маятников, т — масса материальной точки первого маятника, к = е к(Ь) — зависящая от времени жесткость пружины, д — ускорение свободного падения, (0, 0) — декартовы координаты точки подвеса первого маятника, (с1, 0) — декартовы координаты точки подвеса второго маятника. Пусть ф Е (—п, п) — обобщенная координата первого маятника, значению ф = 0 соответствует нижнее положение равновесия.

Кинетическая энергия и потенциал силы тяжести следующие:

т11ф 2

Т=—г—, У\ = тд1\ соэ <р,

2

потенциал пружины имеет вид

V2 = -

£x(t) 2

(li sin y — l2 sin ф(Ь) — d)2 + (li cos y — l2 cos ф(Ь))'

После преобразований гамильтониан возмущенной системы можем записать в форме

p2

H(pip, ip, t) = —~~ rngh cos ip — ex(t) (hh cos(ip — + hd sin ip). i

Будем рассматривать решения с начальными условиями следующего вида:

(Pv(0),y(0)) = (0,yo), где yo Е (—п,п).

В невозмущенной системе будут происходить колебания маятника, при которых ф(Ь) Е [—\фо\, \фо\]. Пусть /о ^ \к(Ь) \ < ж, тогда для любого начального условия (11) и любого достаточно малого Аф > 0 (Дф + \фо\ < п) существует не зависящее от ф(Ь) значение ео = ео(фо, Аф) > 0, такое, что при всех е Е (0, ео) возмущенное решение будет таким, что ф(Ь) Е (—Дф — \фо\, \фо\ + Дф) при всех Ь ^ 0. Отметим, что условие Дф + \фо\ < п на малость Дф > 0 выбрано для исключения тривиального случая, когда на возмущенное решение не накладывается никаких ограничений. Покажем, что наше утверждение верно.

Обозначим Но = —тд1\ cos фо. С помощью следствия 1 покажем, что для любого малого изменения энергии ДН > 0 существует такое значение ео = ео(фо, ДН) > 0, что при всех е Е (0,ео) и для любой функции ф(Ь) возмущенное решение будет таким, что

\Ho(pv(t),y(t)) — ho\ < Ah.

Г

Можем записать H(pv,^,t) = H0(pv,^)+eH1(ip,t,^(t)). Здесь H1(^,t,£) = —K(t)(l1l2 cos(^>—£)+hdsinф),

где £ E R. Положим F(t) = C|x(t)|, где C = sup

что

Р-Д'2 + H) rrdi

< OO. Тогда F(t)dt < то. Видно,

F(t) ^ sup l{Ho,Hi} (pv,v,t,g)l = sup

'

Окончательно из (12) следует, что при достаточно малом АЬ ф(Ь) € ( —Аф — |фо|, |фо| + Аф). Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 10-01-00406.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Успехи матем. наук. 1963. 18, № 5(113). 13-40.

2. Арнольд В.И. О неустойчивости динамической системы со многими степенями свободы // Докл. АН СССР. 1964. 156, № 1. 9-12.

3. Трещев Д.В. Лекционные курсы НОЦ. Вып. 4: Гамильтонова механика. М.: МИАН, 2006.

Поступила в редакцию 23.03.2011