Построение траектории возвращенияв окрестность коллинеарной точки либрации системы солнце–земля

УДК 521.1/.3

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 2

Д. В. Шиманчук, А. С. Шмыров

ПОСТРОЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ ВОЗВРАЩЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТЬ КОЛЛИНЕАРНОЙ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ СИСТЕМЫ СОЛНЦЕ-ЗЕМЛЯ

1. Введение. Последние десятилетия нашей истории - время осознания угроз, с которыми может столкнуться человечество в целом. Этот процесс осознания, сложный и неравномерный, под влиянием очевидных фактов развивается и даже приводит иногда к практическим действиям.

О возможности столкновения Земли с небесными телами догадывались уже давно, изучая кратеры, вызванные падением астероидов. Однако считалось, что такие явления довольно редки и непосредственной угрозы человечеству не представляют. Тунгусская катастрофа существенно повысила интерес к данной теме. Понимание реальности угрозы пришло после открытия кометы Шумейкеров-Леви и наблюдения последствий столкновения ее фрагментов с Юпитером (июль 1994 г.). С тех пор тема астероидно-кометной опасности становится предметом постоянного обсуждения, и первым реальным шагом в противодействии такой угрозе стало развитие и совершенствование наблюдательной базы. Это привело к открытию множества небесных объектов, движущихся вблизи земной орбиты. Также оказалось, что на Землю постоянно падают сравнительно небольшие (порядка нескольких метров в диаметре) небесные тела, сгорая в верхних слоях атмосферы.

В настоящее время в рамках программы обнаружения потенциально опасных космических объектов (Near Earth Objects) по данным Национального управления США по аэронавтике и исследованию космического пространства (NASA) существует более тысячи потенциально опасных астероидов, траектории которых пересекают окрестность орбиты Земли. За последнее время в связи с совершенствованием наблюдательных технологий количество таких объектов существенно возросло.

К примеру, 10 января 2010 г. учеными Массачусетского технологического института (MIT's Lincoln Laboratories) был обнаружен астероид, которому присвоили название Asteroid AL30 2010. 13 января он пролетел на расстоянии порядка 130 тыс. км от поверхности Земли. Поскольку его орбитальный период приблизительно равен одному году, то было высказано предположение, что данным объектом может являться ракетная ступень, которая движется по околосолнечной орбите. Однако дальнейшие исследования орбиты показали вероятность того, что эта ракетная ступень довольно мала, кроме того, для подтверждения данного факта с помощью экстраполяции траектории было показано, что такой объект не может быть связан ни с одним из космических запусков. Более вероятно, что это околоземный астероид приблизительно 10-15 м в диаметре, один из 2 млн таких объектов, движущихся в околоземном пространстве.

Дальнейшее продвижение идеи совершенствования наблюдательной базы вызвано выходом в космос с целью не только обнаружения, но и изучения (в частности, при достаточно тесном сближении) пролетающих в окрестности Земли небесных тел.

Шиманчук Дмитрий Викторович — кандидат физико-математических наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: shymanchuk@mail.ru.

Шмыров Александр Сергеевич — доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: ashmyrov@yandex.ru.

© Д. В. Шиманчук, А. С. Шмыров, 2013

2. Космические маневры, использующие коллинеарные точки либрации.

При космическом маневрировании, имеющем цель сближение или перехват заданного объекта в околоземном пространстве, существенную роль могут сыграть так называемые коллинеарные точки либрации системы Солнце-Земля.

Движение космического аппарата (КА) под действием сил тяготения двух притягивающих тел, таких как Земля и Солнце, может быть описано моделью круговой ограниченной задачи трех тел. В рамках этой модели исследуется движение тела малой массы Р под действием гравитационных полей притяжения двух массивных тел Е и Б, обращающихся вокруг их общего центра инерции. Тела рассматриваются как материальные точки, считается также, что тело бесконечно малой массы Р не влияет на движение притягивающих центров Е и Б.

Известно, что уравнения задачи трех тел имеют пять стационарных решений - эти решения в небесной механике называют точками либрации или точками Лагранжа. Три из них Ь\,Ь2,Ьз - коллинеарные точки либрации - неустойчивые положения равновесия во вращающейся системе координат, Ь4 и Ь - устойчивы и в силу расположения в пространстве конфигураций их называют треугольными [1].

Точки либрации являются абстрактными понятиями круговой ограниченной задачи трех тел, однако их свойства определяют качественный характер движения КА, который в реальности происходит под действием многих возмущающих факторов.

Развитие космонавтики с недавнего времени позволяет реализовывать проекты, связанные с использованием окрестностей коллинеарных точек либрации Ь\ и Ь2 [2, 3], и с учетом их свойств становится очевидной актуальность задачи стабилизации КА в их окрестности [4-8], но неустойчивость коллинеарных точек либрации может являться и положительным фактором, способствующим космическому маневрированию с относительно небольшими энергетическими затратами [7].

Уравнения движения КА во вращающейся системе координат при применении хил-ловского приближения для солнечного потенциала [9] могут быть представлены в виде [4]

здесь х = (хх; Х2; хз) - вектор координат КА, у = (ух; у2] уз) - вектор импульсов, центр инерции Земли совпадает с началом системы координат, а ось Охх направлена вдоль оси, соединяющей центры масс Земли и Солнца, || • || - евклидова норма вектора. В принятой модели единицы времени и расстояния выбраны таким образом, что единица расстояния приблизительно равна 10~2 а. е. « 1.5-106 км, а единица времени - 58.0916 суток (год, деленный на 2п). Точки либрации Ьх, Ь2 во вращающейся системе неподвижны и имеют координаты х* = (1; 0; 0), у* = (0; 1; 0) и х** = ( —1; 0; 0), у** = (0; -1;0) соответственно.

Система (1) - гамильтоновая, где функция Гамильтона Н равна

Хх = Х2 + ух, ХХ2 = —Х1 + у 2, Хз = уз,

Зхх ЗХ2

У2 = —¡Г"¡То ~ ж2 - У1,

УЗ = -ТГ~пч ~ ж3,

Н=1оМ2-Щ\~ й + ^ + Х2Ш " хт•

Известно, что гамильтониан (2) на траекториях движения сохраняет свое значение, т. е. является интегралом для системы (1). Этот факт может быть использован для оценки точности приводимых примеров численного интегрирования.

Смоделируем применение управляющего воздействия в виде малого изменения скорости КА, находящегося в окрестности коллинеарной точки либрации Результаты численного моделирования движения КА в плоскости эклиптики (если в начальный момент положить хз = 0,уз = 0) приведены на рис. 1 и 2.

*2

Рис. 1. График траектории с возвращением в окрестность с начальными условиями

хо =

*2

Рис. 2. График траектории с возвращением в окрестность с начальными условиями

хо =

На рис. 1 видно, что с помощью весьма малого воздействия КА совершает протяженный маневр в околоземном пространстве, время движения по траекториям - порядка нескольких месяцев. На рис. 2 КА совершает маневр с возвращением в окрестность точки либрации Ьх, которому соответствует больший промежуток времени. Начальный момент времени и способ применения управляющего воздействия подбираются так, чтобы обеспечить сближение с изучаемым небесным телом, траектория которого на рисунках обозначена пунктиром.

В работе [10] было показано, что существует траектория перелета из окрестности точки либрации Ь2 в окрестность Ьх в рамках модели Солнце-Сатурн.

3. Функция опасности. Условия возвращения. Линеаризованные уравнения системы (1) в окрестности коллинеарной точки либрации Ьх имеют вид [4]

Хх = Х2 + ух, Х2 = —Хл + у2,

Хз = уз,

' ух = 8

у2 = —4Х2 — ух, уз = —4Хз.

В матричной форме система (3) представляется как выражение

£ = М,

где

А

0 1 0>

К = |—1 0 0 0 0 0/

К Е У К

'1 0 0^ Е = | 0 1 0 ^0 0 1;

Хх — 1

Х2

Хз ух

у2 — 1

уз

0 0 У = | 0 —4 0 ,0 0 -4;

Матрица А линеаризованной системы (4) имеет набор собственных значений [4]

А1,2 =±у 1 + 2^7, АЗ_4 = ±гу 2А/7 — 1, А5,6 = ±2г.

Пусть Ь{ - собственный вектор-строка матрицы А, соответствующий собственному значению \г.

Определим линейные формы ] = г = 1,...,6. Величины ] удовлетворяют

уравнениям

] = г = 1,..., 6,

Из формулы (5) видно, что, для того чтобы траектория линеаризованной системы (4) оставалась в окрестности в течение бесконечно долгого времени, необходимо

£

и

и достаточно, чтобы ^(¿о) = 0. Если же эта величина отличается от нуля, то время пребывания траектории линеаризованной системы в некоторой окрестности стационарного решения будет ограничено и пропорционально ^(¿о). Как видно из (5), Сх(¿о) есть характеристика экспоненциального ухода (|]х(2)| ^ ж при £ ^ ж (когда Сх(¿о) = 0)) из окрестности коллинеарной точки либрации в линейном приближении.

Отсюда также следует, что координаты коллинеарных точек либрации являются неустойчивыми стационарными решениями уравнений движения (1), поэтому КА может существенно уйти из заданной окрестности точки либрации, что приводит к задаче удержания КА.

Собственный вектор Ьх определен с точностью до множителя, примем, что первая компонента вектора Ьх равна единице, тогда

Линейную форму ¿х = Ьх£ будем называть «функцией опасности» [5, 7, 8].

С помощью «функции опасности» определим понятие «траектории возвращения» в окрестность коллинеарной точки либрации Ьх. Зададим положительные числа 6 и е. Назовем решение z(t) = (ж(£); у(£)) системы (1), определенное на промежутке времени [¿х; Т], «траекторией возвращения», если в конечный момент времени Т выполняются соотношения

Понятие «траектория возвращения» связано с достаточно малыми числами 6 и е, которые выбираются из практических соображений. Другими словами, конечная точка «траектории возвращения» КА находится достаточно близко к коллинеарной точке либрации Ьх в метрике фазового пространства и при этом значение «функции опасности» также мало по модулю. Аналогичное понятие «траектории возвращения» можно сформулировать и для коллинеарной точки либрации Ь2.

4. Построение траектории возвращения. Смысл условий (6), (7) состоит в том, чтобы КА в конечной точке траектории находился в некоторой окрестности устойчивого многообразия, заполненного гало орбитами [3, 11, 12]. Это, в свою очередь, позволит расширить выбор управляющего воздействия (при задаче стабилизации), которое будет соответствовать современным возможностям, в результате чего движение КА будет асимптотически периодическим или квазипериодическим в окрестности одной из кол-линеарных точек либрации Ьх либо Ь2 .

Пусть в начальный момент времени КА находится в окрестности фазового пространства коллинеарной точки либрации, а затем совершает маневр, обеспечивающий наблюдение за околоземным пространством. Здесь можно использовать малое управляющее воздействие, которое становится эффективным в силу неустойчивости колли-неарной точки либрации. Именно в этом случае неустойчивость является положительным фактором, позволяющим при малых энергетических затратах существенно изменить траекторию движения.

Справедливость данного утверждения видна из примеров, приведенных в п. 2. Очевидно, что такого типа КА может быть многократно использован для исследования

№(Т)| < е.

околоземного космического пространства. При совершении такого маневра и возникает задача построения «траектории возвращения».

Рассмотрим уравнения управляемого движения КА

Х1 = Х2 + У1, ¿2 = -XI + У2,

= У3,

3х

У1 =

У2 =

\\х\\3 ¿Х2_ 13

+ 2x1 + У2 + «1,

- Х2 - У1 + «2,

\х\, 3х3

УЗ = "ТГГТГз ~ Ж3 + из-

х

Поскольку компоненты вектора управления представляют собой ускорения, то следует отметить, что единица ускорения равна 5.93844 • 10-5 м/с2 « 6.05552 • 10-6д, где д = 9.80665 м/с2 - стандартное ускорение свободного падения.

Управляющее воздействие предполагается кусочно-постоянной функцией. Критерием перелета является уменьшение значения «функции опасности» в конечной точке траектории.

Далее приведем результаты численного моделирования траекторий возвращения и проанализируем энергетические затраты, связанные с отработкой управляющих воздействий.

Уравнения управляемого движения КА (8) можно представить в векторном виде

где

г =

/ хД

Х2 хз У1 У2 Уз

f

f

Х2 + У1 -Х1 + У2

3Х1

Уз

+ 2Х1+ У2

3Х2

3 з

2 - У1

V

з

и

0 0 0 «1 «2 \из/

/

Пусть для неуправляемой системы (9) (и = 0) имеется решение

г

с начальным условием

г(г0) = го.

Уравнения в вариациях [13] для системы (9) при и = 0 запишем в виде

Ф

с начальными условиями

Ф(го) = Е,

где Ф(г) - матрица размерности 6 х 6; Е - единичная матрица размерности 6 х 6.

и

з

з

х

При изменении начальных данных в конечной точке траектории имеем

р ^о + Аго,Ъ,Т) = + Ф(Т)Azo + оД0),

здесь o(Дz0) - величина более высокого порядка малости, чем Дzо.

Для «функции опасности» с учетом изменения начальных данных находим, что

¿г(Т) = Ъг (£(Т) + Ф(Т)Дzо + аД0)) .

Замечание 1. Для (9) матрица системы уравнений в вариациях (10) может быть записана в виде

дz

где

12 + Н

Ух =

3

V

9жгжо 9x1x3

-1 +

9x1x0

9x0

9x0x3

х

-1 +

9x1x3

9x0x3

9x3

\

XII3/

Замечание 2. Поскольку фазовые координаты точки либрации Ьг являются положением равновесия для системы (1), то

А.

Управляющее воздействие строится на основе изменения начальных данных, которое обеспечивает уменьшение значения «функции опасности» в конечной точке траектории по формуле (11).

5. Пример. В п. 2 отмечалось, что в рамках рассматриваемой модели существуют траектории движения КА (см. рис. 1, 2), по которым происходит его возвращение в окрестность коллинеарной точки либрации Ьг. Существование таких траекторий обеспечивает реализацию маневра типа «встречи» с последующим возвращением в окрестность точки либрации.

На рис. 2 приведена траектория с возвращением в окрестность точки либрации Ьг в пространстве положений. Продолжительность данного маневра равна 4.3 единицам времени, «функция опасности» в конечной точке траектории ¿г « 1.71321.

Применение корректирующего воздействия переводит КА на «траекторию возвращения» с уменьшенным значением модуля «функции опасности» в конечной точке.

Траекторию КА, который совершает маневр «встречи», иллюстрирует рис. 3. Точка А - начальная точка «траектории возвращения» (положение КА на траектории «встречи» в момент ¿г =4).

Пример построения «траектории возвращения» - АВ, т. е. траектории, в конечной точке которой расстояние до Ьг и модуль «функции опасности» удовлетворяют условиям возвращения (6), (7), а также некорректированной траектории - АС проиллюстрирован на рис. 4.

С помощью управляющего воздействия, направленного по линии Земля-Солнце (и0 = и3 = 0) и равного по величине нескольким единицам ускорения с действием по времени порядка суток (ДЬ = 0.01), строим «траекторию возвращения», т. е. траекторию с малым значением модуля «функции опасности» в конечной точке, которое

3

5

5

х

х

х

х

3

5

3

5

х

х

х

3

5

5

х

х2

*2

Рис. 4. Траектории движения КА: траектория с возвращением в окрестность точки либрации Ь1 и «траектория возвращения» в Ь1

оказалось равным приблизительно 0.005. Для оценки энергетических затрат управления можно использовать функционал типа «расхода»

3

3 = ^ \uk\At.

к=1

В рассматриваемом примере функционал «расхода» 31 « 0.21 единиц скорости.

На рис. 5 представлен график значений «функции опасности» на «траектории возвращения», пунктиром отмечены результаты численного интегрирования уравнений движения КА после возвращения в окрестность точки либрации (что приблизительно соответствует 2 месяцам). Из рис. 4 видно, что скорректированное движение обеспечивает нахождение КА в окрестности коллинеарной точки либрации достаточно длительный промежуток времени, тогда как в неуправляемом случае за то же время наблюдается уход КА на расстояние порядка 106 км, а из рис. 5 - что достаточно малые

значения модуля «функции опасности» сохраняются на промежутке времени, который соответствует нескольким месяцам.

0.6

0.4

Рис. 5. График значений «функции опасности»

Численный эксперимент показал, что с помощью управляющего воздействия, направленного по линии Земля-Солнце, удается существенно уменьшить значение модуля «функции опасности».

6. Заключение. На основании рассмотренного следует отметить возможность осуществления необходимого управления при использовании таких экзотических систем как солнечный парус [14, 15], его применение оказывается возможным в силу достаточно малых значений управляющего воздействия.

Установление равенства нулю «функции опасности» в конечной точке траектории обеспечивает удержание КА в окрестности точки либрации на длительном, но не бесконечном промежутке времени (см. рис. 4 и 5). Но за этот промежуток времени можно провести подготовительную работу и начать отработку стабилизирующего управления [4-8].

Литература

1. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.

2. Farquhar R. W. The Control and Use of Libration-Point Satellites: Ph.D. Dissertation. Stanford, CA: Dept. of Aeronautics and Astronautics, Stanford University, 1968. 204 p.

3. Howell K. C. Families of Orbits in the Vicinity of the Collinear Libration Points // J. of the Astronautical Sciences. January-March 2001. Vol. 49, N 4. P. 107-125.

4. Шмыров В. А. Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации Li // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 2. С. 193-199.

5. Шмыров А. С., Шмыров В. А. Оптимальная стабилизация орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации Li // Четвертые Поляховские чтения: избр. труды. СПб.: Изд-во «ВВМ», 2006. С. 296-300.

6. Шмыров А. С., Шмыров В. А. Об асимптотической устойчивости по отношению к части переменных орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 4. С. 251-258.

7. Шиманчук Д. В. Моделирование орбитального управляемого движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации Li // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 3. С. 86-92.

8. Shmyrov A. S., Shmyrov V. A. Qualitative Properties of Controllable Orbital Motion in a Neighborhood of Collinear Libration Point // Classical and celestial mechanics: selected papers. Siedlce: Wydawnictwo Collegium Mazovia, 2012. P. 149-157.

9. Hill G. W. Researches in the Lunar Theory // Amer. J. of Mathematics. 1878. Vol. 1. P. 5-26, 129-147, 245-260.

10. Davis D. C., Howell K. C. Characterization of Trajectories Near the Smaller Primary in the Restricted Problem for Applications // J. of Guidance, Control, and Dynamics. January-February 2012. Vol. 35, N 1. P. 116-128.

11. Howell K. C., Pernicka H. J. Numerical Determination of Lissajous Trajectories in the Restricted Three-Body Problem // Celestial Mechanics. 1988. Vol. 41, N 1-4. P. 107-124.

12. Gomez G., Masdemont J., Simo C. Lissajous orbits around halo orbits // AAS Paper 97-106. Advances in Astronautical Sciences. 1997. Vol. 95. P. 117-134.

13. Понтрягин Л. C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970. 332 с.

14. Поляхова Е. Н. Динамические и астрономические аспекты проекта размещения солнечного экрана в первой точке либрации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1993. Вып. 1 (№ 1). С. 111-121.

15. Левантовский В. И. Механика космического полета в элементарном изложении. М.: Наука, Гл. ред. физ.-матем. лит., 1970. 492 с.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 20 декабря 2012 г.