Численное моделирование процессов формирования топологических вихрей на двумерных доменных стенках

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №10_

ФИЗИКА

УДК 537.611, 530.146

Академик АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ф.Ш.Шокиров

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФОРМИРОВАНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ НА ДВУМЕРНЫХ ДОМЕННЫХ СТЕНКАХ

Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан

Методами численного моделирования исследованы процессы формирования топологических вихрей на доменных стенках в рамках суперсимметричной (2+1)-мерной нелинейной сигма-модели. Получены модели, описывающие формирование топологических вихрей при взаимодействии локализованных (топологических) возмущений, движущихся вдоль плоскости доменных границ и волн деформаций. Также получены модели эмиссии топологического вихря доменной стенкой и подтверждено свойство Т-симметрии исследуемой модели.

Ключевые слова: топологический вихрь, доменная стенка, нелинейная сигма-модель, Т-инвариантность, численное моделирование.

Известно, что наиболее общей характеристикой всех физических законов является их симметрия (CRT-инвариантность, теорема Людерса-Паули), соответствующая законам сохранения (теорема Нетер). При этом принципы симметрии физических законов, непосредственно связанные с фундаментальными свойствами пространства-времени, несомненно, имеют большее значение, чем законы сохранения.

Настоящая работа посвящена исследованию Г-симметрии (Т-инвариантности) процессов взаимодействия локализованных полей - топологических солитонов-вихрей и доменных стенок (ДС) в рамках (2+1)-мерной суперсимметричной О(3) нелинейной сигма-модели (НСМ). Для анизотропного случая О(3) НСМ действие имеет следующий вид:

5 = [М'х = \я ач + ^32 -1] dмх ,

м = 0,1, 2; а = 1, 2,3 ; д = 1/2; ^ -1 = 0,

где s¡ (/ = 1, 2, 3) - координаты единичного изовектора S(s1, s2, s3) , эволюционирующего в изотопическом пространстве блоховской сферы Б2 е М3.

В работе [1] в рамках О(3) НСМ были получены модели взаимодействия топологических вихрей следующего вида:

tg

с известными решениями в виде ДС

Адрес для корреспонденции: Шокиров Фарход Шамсидинович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Айни, 299/1, Физико-технический институт АН РТ. E-mail: shokirov@rambler.ru

tg {в/2) = е

_ В-^! к {х-Х0 )+В^м! k2 {у—Уо )

где в{х, у, I) и (р{х, у, I) - углы Эйлера, Qt - топологический заряд (степень отображения, инвариант Хопфа), х ~ угловой параметр. Заметим, что решение (3) при б = 0,ж и б = ж / 2,3л" / 2 описывает динамику так называемых нееловских (К) и блоховских (В) стенок (см., например, [2]) ДС соответственно

Ч = Л —1

(0,п ) "

( ±2ех Л

1 — е2

В

= Л—1

Г о ^

±2ех

V1 — е2 у

Г •'

Ч = •2 =

V •з у ч cos в у

где Л = 1 + е2х . В данном случае изоспиновые параметры si (i = 1, 2,3 ) соответствуют координатам единичного (sisi = 1) изовектора

где угол в{х, у, t) представляет тип намагниченности ДС. В работе [1] было проведено численное исследование моделей двухсолитонных взаимодействий топологических решений вида (2) и (3) (при 6 = 0). Результаты каждой серии {()( =1,...,6; б = 0, ж / 2, ж,Ъж / 2) экспериментов в вышеуказанной работе можно охарактеризовать единым образом - поэтапным распадом топологических вихрей (2) на локализованные возмущения с половинными (Qt = 1/2) значениями топологического заряда. В каждом этапе процессов распада наблюдается излучение энергии топологического вихря, эквивалентное единичному топологическому заряду (Qt = 1), в виде двух локализованных возмущений,

движущихся вдоль плоскости ДС со скоростью с = 1 (см. рис. 1 для случая = —3 и с = 0).

г = о.о

/=171

Г = 21.0

г = 25.5

Рис. 1. Взаимодействие движущегося (Угк(/0) « 0.447) топологического вихря (2) (Qt = —3) с неподвижной ДС (3) нееловского типа (с = 0): а) изосииновая структура при 1=0: б) плотность энергии (ОН) процесса взаимодействия при t е [0.0, 25.5] ({¿) > 0.

В настоящей работе рассмотрена задача формирования в ДС (3) топологических вихрей (2), энергия которых достаточна для последующего их отделения от ДС. Таким образом, рассматриваемая задача описывает инвариантность вышеописанных процессов относительно обращения времени (операции Т). Заметим, что для случая скирмионных решений, обладающих Qt = 1, процессы взаимодействия с ДС вида (3) были рассмотрены в работе [3], где получены модели лобового столкновения скирмиона с ДС, а также модели излучения скирмиона ДС. В указанной работе [3] исследования проведены в рамках О(3) НСМ, описываемой плотностью лагранжиана следующего вида:

L =

- 92 {dMsa X dMsa)(dMsa X d^sa)- g3 (1 - ^),

9i = 1/2, 92 = 1/4, 9з =m2/4.

который отличается от (1) дополнительным слагаемым - двумерным аналогом потенциала Скирма трехмерной модели Скирма. В работе [3] для формирования скирмиона на ДС на первом этапе были исследованы модели трехсолитонных взаимодействий, где 2 скирмиона с Qt = 1, размещенные на конечном расстоянии друг от друга, одновременно направлялись к ДС (рис. 2а). В результате взаимодействия оба скирмиона распадались на 2х2 локализованных возмущения (с Qt = 1/ 2) попарно движущихся в противоположных направлениях. При этом два локализованных возмущения, движущиеся к границам области моделирования, поглощаются специальными граничными условиями. Два оставшиеся локализованные возмущения, движущиеся к центру области моделирования, при столкновении в определенный промежуток времени т формируют скирмион с Qt = 1, который вновь распадается на локализованные возмущения (с Qt = 1/ 2). В данном случае сформированный (в течение времени т ) скирмион не обладает энергией достаточной для отделения от ДС.

T«fM»lngiral charge: I

ы

ЧЬчогpilon

а) Ь)

Рис. 2. Динамика взаимодействия скирмионного решения (топологического солитона с Qt = 1) с неподвижной ДС. Структурная схема плотности энергии: а) поглощение скирмионов ДС; б) излучение скирмиона ДС

(р{г )> 0.

Как видно на рис. 2а, при распаде скирмиона на локализованные возмущения наблюдается определенная деформация плотности энергии плоскости ДС в виде волны деформации (Deformation wave). В процессе, приведенном на рис. 2а, локализация скирмионного поля происходит вследствие взаимодействия локализованных возмущений в плоскости ДС. В данном случае происходит нарушение полной симметрии процессов распада, так как в обратном процессе отсутствует поле деформационной волны. Поэтому сформированное по схеме рис. 2а возмущение в виде скирмионного поля не является полностью идентичным исходному скирмиону и, соответственно, не обладает достаточной энергией для отделения от ДС. Исходя из данных рассуждений, в работе [3] задача построения модели с излучением скирмиона решена размещением поля деформационной волны в область формирования скирмионного поля (рис. 2б).

В настоящей работе аналогичная группа задач решена для системы взаимодействующих топологических полей (2) и (3) в рамках (2+1)-мерной модели (1). При этом предложенный метод решения позволяет получить модели излучения ДС топологических солитонов-вихрей, обладающих

значениями топологического заряда \Qt \ ^ 1.

Qt = -\ t = 0.0 f = 40.8 f = 50.7

с' О 20 , 40 ео 19<с 20 | Зо &0 71V Й> ^ 20 30

Рис. 3. Взаимодействие топологического солитоиа-вихря (2) с доменной стенкой (0\¥) вида (3) нееловского типа (е = 0): а) 01 = —1; Ь) (2(=—2:с) интеграл энергии при 0( = -1,-2,-3 .

Как было указано выше, в наших предыдущих исследованиях (см., например, [1]) были получены модели распада топологических вихрей (2) в плоскости ДС вида (3). Для случая Qt =—3 результаты исследований, описанные в начале статьи, приведены на рис. 1. На рис. 3 приведены общие результаты аналогичных численных экспериментов для случаев Qt = —1 (рис. 3а) и Qt = —2

(рис. 3Ь). Заметим, что так как функции Лагранжа О(3) НСМ (1), а также (5) не зависят явно от времени, применение Т-операции не изменит уравнения движения, то есть данные модели обладают Г-инвариантностью. Следовательно, каждое физическое состояние, описываемое моделями, приведенными на рис. 1 и рис. 3, в момент времени t при обращении времени (t ^ — t) переходит в Г-инвариантное состояние с обращенными направлениями скоростей квазичастиц. Свойство

Т-инвариантности О(3) НСМ допускает существование последнего состояния, а также обращенного во времени движения. В настоящей работе разработаны алгоритм, численные схемы и комплексы компьютерных программ, позволяющие проведение исследований Т-инвариантных свойств теоретико-полевых моделей вида (1).

На рис. 4а приведена эволюция системы, состоящей из двух локализованных возмущений, расположенных в плоскости ДС в конечном расстоянии друг от друга. Данная система аналогична состоянию модели, приведенной на рис. 3а при / = 50.7. В настоящей работе для состояния модели, приведенной на рис. 4а (/ = 0.0), на основе теории конечных разностных схем разработан комплекс компьютерных программ, реализующий эволюцию модели, описанной на рис. 3а при обращении времени: t ^ — t. В результате серии численных экспериментов была получена модель, описывающая процессы формирования в плоскости ДС (3) топологического возмущения, из двух взаимодействующих локализованных возмущений. Анализ изоспиновой структуры сформированного топологического возмущения показывает ее полную идентичность с изоспиновой структурой топологического вихря вида (2) при Qt = — 1. При этом сформированный топологический вихрь обладает достаточной

энергией для отделения от ДС (см. рис. 4а, при t = 60). Потеря энергии системы, описанной на рис. 4а, при ? е [0,60] составляет Еп1о^ = 1) ~ 3.82 -10 3, что значительно меньше относительно потери энергии модели, описанной на рис. 3а за аналогичное время t е [0,60]: Епш (0 = 1) « 9.5 -10—3. При этом скорость движения топологического вихря после отделения от ДС в Т-инвариантной системе, описанной на рис. 4а, равна V(^ ) ~ 0.11, что также меньше аналогичного значения скорости в

системе, описанной на рис. 3а: V ^) « 0.184.

с<?, = -1 = 0.0 .

Г = 60.0 УГу(Си) * 0.196

157 С

,,<?, = ~2 [' = о.О Г'= 5.4

= 9.9

[' = 60.0 УГу(£о) * »-196

Рис. 4. Формирование топологического солитона-вихря (ТУ) вида (2) в плоскости доменной стенки вида (3) нееловского типа (б = 0). Плотность энергии (ОН) и интеграл энергии (Еп) системы при: а) = —1;

Ъ)0,=-2;с)0,=-3.

На рис. 4Ь и 4с приведены аналогичные эксперименты по формированию на плоскости ДС (3) топологических вихрей в случаях Qt = —2 (4Ь) и Qt = —3 (4с). Как видно на данных иллюстрациях, в

обоих случаях с достаточно высокой точностью наблюдается проявление свойства Г-инвариантности системы взаимодействующих топологических полей (2) и (3), приведенных на рис. 3Ь (в случае Qt = —2) и на рис. 1 (в случае Qt = —3). Потеря энергии для систем, полученных обращением времени (рис. 4Ь и 4с), составляет соответственно - Еп1(ш = —2)« 1.6 -103 и Еп¡^ = —30. При этом скорости движения сформированных топологических вихрей после отделения от ДС равны

Исследования, проведенные в настоящей работе, были мотивированы результатами, полученными в работе [3]. В указанной работе для формирования скирмионного решения в плоскости ДС была использована суперпозиция двух топологических волн и волны деформации между ними (см. рис. 2Ь). Данное начальное состояние очевидно является конечным состоянием процессов распада скирмиона в плоскости ДС (см., например, рис. 3а, при / = 50.7).

Таким образом, в настоящей работе на основе методов теории конечных разностных схем [4] разработан комплекс компьютерных программ, позволяющий провести исследование эволюции как отдельных, так и взаимодействующих локализованных решений при обращении времени t ^ — t. Проведённые численные моделирования подтверждают Г-инвариантность О(3) НСМ.

1. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Динамика взаимодействия топологических вихрей с доменной стенкой в (2+1)-мерной нелинейной сигма-модели. - ДАН РТ, 2015, т.58, №4, с.302-308.

2. Шокиров Ф.Ш. Динамика взаимодействия блоховских доменных границ в двумерной нелинейной сигма-модели. - Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование»,

2017, т.10, №4, с. 132-144.

3. Kudryavtsev A., Piette B.M., Zakrjewsky W.J. Skyrmions and domain walls in (2+1) dimensions. - Non-linearity, 1998, v.11, pp.783-795.

4. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989, 616 с.

ТАРХРЕЗИИ АДАДИИ РАВАНДХОИ ШАКЛБАНДИИ ГИРДБОДХОИ ТОПОЛОГИ ДАР САРХАДХОИ ДОМЕНИИ ДУЧЕНА

Институти физикаю техникам ба номи С.У.Умарови Академияи илм^ои Цумхурии Тоцикистон

Тавассути методхои тархрезии ададй равандхои шаклбандии гирдбодхои топологй дар сархадхои доменй дар чорчубаи сигма-модели гайрихаттии (2+1)-ченаи суперсимметрй тахкик

ЛИТЕРАТУРА

Х-Х-Муминов, Ф.Ш.Шокиров

шуданд. Моделдои шаклбандии гирдбоддои топологй дангоми таъсироти байнидамдигарии ошубдои локалишуда (топологй), ки дар дамвории сардади доменй даракат менамоянд ва мавчдои деформатсионй досил карда шуданд. Инчунин моделдои афканишоти гирдбоди топологй аз чониби сардади доменй досил карда шуда, хосияти Т-симметрияи модели тадкикшаванда тасдик карда шуд.

Калима^ои калидй: гирдбоди топологй, сардади доменй, сигма-модели гайрихаттй, Т-инвариантнокй, тарурезии ададй.

Kh.Kh.Muminov, F.Sh.Shokirov NUMERICAL SIMULATION OF PROCESSES OF FORMATION THE TOPOLOGICAL VORTICES ON TWO-DIMENSIONAL DOMAIN WALLS

S.U.Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

By numerical simulation methods the formation processes of topological vortices on domain walls within the framework of a supersymmetric (2+1)-dimensional nonlinear sigma model is investigated. The models describing the formation of topological vortices in the interaction of localized (topological) perturbations moving along the plane of domain walls and deformation waves are obtained. Also the models of emission a topological vortex by the domain wall were obtained and the T-symmetry property of the model under investigation is confirmed.

Key words: topological vortex, domain wall, nonlinear sigma model, T-invariance, numerical simulation.