Эволюция движения двойной планеты в гравитационном поле массивного вязкоупругого тела

Механика

УДК 531.391

ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ДВОЙНОЙ ПЛАНЕТЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ МАССИВНОГО ВЯЗКОУПРУГОГО ТЕЛА

Л. С. Шатина1

Исследуется движение двойной планеты в гравитационном поле массивной планеты, моделируемой вязкоупругим телом. Двойная планета моделируется вязкоупругим телом и материальной точкой. Вязкоупругие тела однородны, изотропны и в естественном недеформированном состоянии занимают шаровые области в трехмерном евклидовом пространстве. Задача решается в рамках линейной модели теории вязкоупругости. Методом разделения движений и усреднения получена приближенная система уравнений, описывающая эволюцию поступательно-вращательного движения механической системы. Рассмотрен пример двойной планеты Земля-Луна в гравитационном поле Солнца.

Ключевые слова: двойная планета, вязкоупругое тело, эволюция движения.

The motion of a double planet in the gravitational force field of a massive planet modeled by a viscoelastic body is studied. The double planet is modeled by a viscoelastic body and a material point. The viscoelastic bodies are homogeneous, isotropic and, in their undeformed state, occupy spherical regions in the three-dimensional Euclidean space. The problem is solved in the framework of the linear theory of viscoelasticity. The motion separation method and the averaging method are applied to derive an approximate system of equations describing the evolution of translational-rotational motion for the mechanical system under study. The Earth-Moon system is considered in the gravitational force field of the Sun as an example of a double planet.

Key words: double planet, viscoelastic body, evolution of motion.

1. Постановка задачи. Уравнения движения. Рассмотрим задачу о движении планеты со спутником в гравитационном поле планеты большей массы. Спутник будем моделировать материальной точкой с массой ц, а планеты — вязкоупругими телами с массами Ш\ и Ш2, плотностями р\ и р2, занимающими в естественном недеформированном состоянии области V = {г £ Е3 : |г| ^ то}, г = 1, 2, в трехмерном евклидовом пространстве. Предполагается, что ц ^ Ш2 ^ Ш\.

Введем инерциальную систему отсчета OXYZ с началом в центре масс системы. Обозначим через С\ и С2 центры масс планет, через Р — точку, моделирующую спутник. Через С обозначим центр масс системы "меньшая планета-спутник". Взаимное расположение планет определим векторами И,1 = С1С и К-2 = С2Р. Предполагается, что |И,11 ^ |К,21. Для описания вращательного движения г-й планеты введем

подвижную систему координат Сх^х^хЗ^ и систему осей Кенига Сг^^^З^, г = 1, 2.

Радиусы-векторы произвольных точек М1 и М2, принадлежащих большей и меньшей планетам соответственно, и вектор ОР запишутся в виде

т2 тп\ ц

=--ТТ— + Г1 (п + и!), Км2 = Т7 К-1--;— К-2 + Г2 (г2 + и2),

М М ш2 + ц

М Ш2 + Ц

где М = Ш1+Ш2 +ц, иг = ,^2г) — вектор упругого смещения г-й планеты, Г — оператор перехода

от подвижной системы координат Сгх^х^интегральным образом связанной с г-й планетой, к системе

осей Кенига ^^З^, г = 1, 2. Система координат Сгх^х^х^^ и радиус-вектор центра масс г-го шара однозначно определяются следующими условиями [1, 2]:

Лг (£) = — У КJ \ХгйУг = 0, J т1\ХгйУг = 0, йУг = йх^ йх^ <1х^\ 1 = 1,2. (1) ' V V V

1 Шатина Любовь Сергеевна — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

l shatina@mail.ru.

Кинетическая энергия системы задается функционалом

г=1 V

где ^г х (•)=ГГ1^г (•), г = 1, 2.

Предполагается, что деформированное состояние упругих планет описывается функционалом £[и] потенциальной энергии упругих деформаций в рамках классической теории упругости малых деформаций [1, 2]:

2 2

E[u] = ^ £i[u¿] = ^ J ai 1 (I2e - ai2IIíe) dvi.

Здесь

i=i i=i V

Ei (1 - 2(1 - 2^) «¿1 = 777-r--ГТ-;-on2 = —--, ац >0, 0 < ai2 < 3,

2(1 + Vi) (1 - 2vi) 1 - Vi

T (i) TT ST^ ( (i) (i) ( (i)\2\ (i) 1 (9uk) , ди()\ ( (i) (i) (i

i=i к<Л S 2 \дхГ dxk )

где Ei — модуль упругости Юнга г-й планеты, Vi — коэффициент Пуассона.

Для функционала внутренних диссипативных сил D[U] = ^2=i D[Ui] принимается модель Кельвина-Фойгта, согласно которой D[Ui] = Xi£[Í], где Xi > 0 — коэффициент внутреннего вязкого трения г-й планеты, г = 1, 2.

Потенциальная энергия гравитационных полей имеет вид

п = - // |Rm!-Rm2| irJ-opi dVl~ri IRm^-OPI

Vi V2 Vi V2

где f — универсальная гравитационная постоянная.

Ограничимся рассмотрением частного случая движения системы, когда центры масс планет и материальная точка движутся в неподвижной плоскости OXY, а векторы угловых скоростей планет направлены

по нормали к этой плоскости. В этом случае положение системы координат CiXl x2 x? относительно соответствующей системы осей Кенига задается единственным углом фi между осями £(i) и г = 1, 2, т.е. Г — оператор поворота на угол фi, г = 1, 2. Угол между вектором Ri и осью OX обозначим через ^i, г = 1, 2. Тогда Ri = Ri (cos^i, sin^i, 0), где Ri = |Ri|, г = 1, 2, а векторы угловых скоростей шаров равны U = (pie?,, где ез — орт оси OZ.

Уравнения движения системы запишем в форме уравнений Рауса, каноническую часть которых составят уравнения для переменных, описывающих поступательно-вращательное движение системы, а лагран-жеву — для деформаций.

На первом шаге перейдем от обобщенных скоростей, входящих в компоненты векторов Ri, Ui, к обобщенным импульсам:

т 1 (ш2 + fj) 2 ,п _v Т_ тW J. р2 ,п _v mi (m2 + fj) ¿ РФ i - ---ViRi, Рф2 - - + PRi - --—-Ri,

Pr2 = VkT = — R2, h = Vi.Tt = ф^[иг] +GUi, i = 1,2, R2 m2 + ¡ ф

где

J [ui] = У [ез x (ri + Ui)]2 pi dvi, Gui = J (ез x (ri + Ui), ii i )pi dvi.

Vi Vi

На втором шаге осуществим переход от обобщенных координат и импульсов Ri, pRi, p^i к каноническим переменным Делоне gi, li, Gi, Li по формулам

MGi D (m2 + f) G2 u n , q \ h 2\

= --77, Д2 = , 22n , v Ri (1+eiCOS^i = ^ (l - ef) ,

fm2

ег =

.. С2 ег + СОЭ $г

к = Wi - eismwi, со8ъиг = —-

¿2 1 + ег сов $г

Фг = дг + $г, Рфг = Сг, г = 1,2,

РЯг =

/ш\ (Ш2 + Ц)2

¡ш2ц2

е1 8ш $1, рп2 =

е2 8Ш $2,

МС1 ....." (Ш2 + ц) С2

где аг, ег — большая полуось и эксцентриситет орбиты конца вектора Иг; $г, 1г, 'г — истинная, средняя и эксцентрическая аномалии соответственно; дг — долгота перигелия от восходящего узла. В новых переменных функционал Рауса системы имеет следующий вид:

Я = -

/ Ш1 (Ш2 + ц)' 2 МЬ\

/ 2ш2ц3

2 (Ш2 + Ц) ¿2

0 ^ I 9 4, 4, 2 г=1

(в3, Гг х иг) рг йьг I -

Уг

2 12 Г

~ (в3) (в3) # + + ^ Фп + Ш1ф12 + /^Ф22 + £[и] +

г=1 г Уг

Я*

/

2

Иг

где Фгз = -^з /у. {(г,, и,) - 3 г,) и,) } р, Л = | = Г^. 1 г,= 1, 2, а слагаемое Я*

содержит члены второго и более высоких порядков по компонентам векторов иг, иг и по безразмерным величинам ш2/ш1, е2/е1, ц/ш2, ц/ш1 .

Уравнения движения представляются в форме

• _ 9Я

й

I - — с - - —

дЬг' 1 ддг'

дг =

дЛ дСг

1г = -

ЭЯ

дфг'

(Ж

Ж1

-^УиД + УиД + У^К + ЛИ, ) + (Л2г, гсЛ

йУг = 0, г = 1, 2,

Уг

где А^, Л2г — неопределенные множители Лагранжа, порожденные условиями (1).

2. Построение возмущенной системы уравнений. Предполагается, что жесткости упругих шаров велики, т.е. малы безразмерные параметры ег = ш^ргТ^Е-1, где шго — модули начальных угловых скоростей шаров, рг, Тго — их плотности и радиусы. Соответствующим выбором масштабов единиц измерения можно добиться равенств ег = 1/Ег, г = 1, 2.

Если ег = 0, то векторы упругого смещения иг полагаются равными нулю. При иг = 0 уравнения (3), (4) описывают движение исследуемой системы в случае, когда планеты представляют собой абсолютно твердые шары. Функционал Рауса при этом имеет следующий вид:

Яо =

1^11 / (т2 + цУ 2 ^ Аг

/ 2ш2ц3

г=1

2МЦ

2 (Ш2 + ц) ¿2

+ ЯО,

где Я* содержит члены второго и более высоких порядков по малым величинам Ш2/Ш1, ^2/^1, Ц/Ш2, ц/ш1. Возмущения, связанные со слагаемым Я*, носят консервативный характер и не влияют на эволюцию движения системы [1]. В дальнейшем пренебрежем этим слагаемым в функционале Рауса (5). Тогда движение "невозмущенной" системы будет описываться уравнениями

и

0,

¡1 = щ, ¿2 = 0, ¡2 = П2, Сг = 0, дг = 0, ¡г = 0, фг = шг, г = 1,2,

где

П1 =

/ Ш1 (Ш2 + /¿У

Ш{

/ 2ш2ц3

1г.

2г

П2 = ---——з, иг = -г-.

(Ш2 + ц) ¿2 Аг

При ег = 0, согласно методу разделения движений [1], после затухания собственных колебаний на порождающем решении уравнений (6) из уравнений (4) определяются функции иг(гг,Ь), г = 1, 2, описывающие вынужденные колебания вязкоупругих планет [2, 3]:

иг = ег (иго + иг1 + иг2),

2

и»0 = д Р^2г [¿1гГ2 + <12гГ%] Г*, и12 = - (ш2 + ц) Гц, и22 = -ГП^п ~ ^22,

Е

иг1 = рг^г 1 а1г _ 3/Рз (

^г2-1(гг,е3)2

Гг

+ [а2г г2 + аэгг2о]

-Гг - (Гг,е3) е3

г = 1, 2,

Кг

гз

КЗ

1 + зх,^

Кг

аз

+ [й2з г2 + азз г2о]

д Г.7 {Г3

+

3/Рз Хз

КЗ

+ ' ™ \ ац (£4,4) г, ) г, + [а2,г2 1 —:2

+ [а2зг2 + аззгз2о] (£гз, Гз) £гз + (&з, Г3) £гз

а1

2

а2г = - ( 1 + ] Й1г,

а-зг — I  ^ 2у ' --10 (1 — щ) ' ^-ТТ^^'

5^ + 7

Согласно методу разделения движений, найденные решения иг подставляются в правые части канонических уравнений (3). После вычисления тройных интегралов по областям Уг и усреднения по "быстрым" угловым переменным ¡г, г = 1, 2, получим следующую систему эволюционных уравнений относительно переменных "действие":

А ( СЗ

Ъ = У^1^ - ^^Ы

12 = "

А

12

С112

СЗ А22 СЗ

-щ ^

2

А Г ¿з 1 А Г ¿з

= - щ ^ ^з(в1)| + —[§ |ш2^2(е!) - щ ^ ^з(в1)| ,

¿з

¿2

С1=

А

11

С112

Сз А12 Сз

С2 =

А

С

С

Ц \ ш2 ^ ^1

где

^(е) = 1 + 3е2 + §е4, 8

185

25

^2(е) = 1 + ^е2 + -е4 + -е6, ^3(е) = 1 + - е2 + — е4 + — е6 + - е8 2 8 16 2 8 16 64

А 1 1 = 18р2/8т 1 2 (т2 + ц)14 М-6Б 1 £ 1 х 1, А 1 2 = 18р2/8т 14 (т2 + ц)1 2 М-6^2^2X2,

\12 Л/Т —6 ;

А22 = 18р2/8т22ц14 (Ш2 + ц)-6 Б2£2Х2

Бг

4(1 + ^)(13 + 9^) 7

4_ 4__ 'ТГу

105

Система уравнений (8) имеет первый интеграл — закон сохранения момента количеств движения относительно точки О: 11 + /2 + С1 + С2 = Со.

Настоящая статья является обобщением работы [4], где массивное тело с массой Ш1 моделировалось неподвижной материальной точкой и рассматривался частный случай квазикруговых орбит. Правая часть уравнения для переменной ¿1 содержит в данном случае еще одно слагаемое с множителем Ац. Так как А12 £2X2Ъ V) т'2,Т2о л , , Л

А11 £1 хФ (vl)(m2 + ц)2 Тю

< 1, где Ъ(и) =

5v + 7

-, то эволюция Ь1 определяется именно

этим слагаемым. В силу соотношений (2) имеем Ь\ = гп\ (т2 + /л) у//а\М~1.

3. Эволюция движения системы Земля—Луна—Солнце. Применим полученные теоретические результаты к системе Земля-Луна-Солнце. Используя эволюционную систему уравнений (8), найдем производные по времени больших полуосей орбит Земли и Луны (а1 и а2) и периода вращения Земли Т2. Справедливы равенства

а1 =

/М

п

2

а2 =

I/

п

=

(¿2

где щ, П2, ¿2 определяются формулами (7). Тогда

2

Г

з

1

а1 =

27т1 (т2 + /) п!1/3

35п/1/3М4/3 (1 - е2)15/2 Д2 Г20 т2

а2

А1Г10 { (1 - е2)3/2 ^2(е1)^1 - ^з(е1

, , ,2{(1-е?)3/2,Р2(е1)Ш2-^з (Ш2 + /) 1

-27ш2/хпГа2г20 Г (1 _ е2)з/2 _

35п/1/3

+

+

Т2 =

27т2А2 14Г20

24 Ш\П{

М2 (1 - е2)6

{(1 - е2)3/2 (е^ - ^ )щ} +

+

/2п2

(т2 + /) (1 - е2) 1

V V')

где Аг = г = 1,2; Е^, щ — модуль Юнга и коэффициент Пуассона г-й планеты соответственно;

) =

Ег

V — коэффициент внутреннего вязкого трения г-й планеты.

5^ + 7

Заметим, что уравнения (10) и (11) не содержат коэффициента А1, зависящего от вязкоупругих свойств Солнца. Подставим в правые части уравнений (10), (11) следующие числовые значения [5]:

/ = 6,67 • 10

-11

Н

м

кг

-2

Ш1 = 1,989 • 1030 кг, Ш2 = 5,9742 • 1024 кг, / = 7,3483 • 1022 кг,

24

22

г 10 = 6,96 • 108 м, г20 = 6,374 • 106 м, щ = 1,991 • 10-7 рад/с,

Получим

П2 = 2,662 • 10-6 рад/с, ^2 = 7,292 • 10-5 рад/с, е1 = 0,0167, е2 = 0,0549. а2 = 0,4072А2, Т2 = 2,2003 • 10-4А2.

Согласно данным наблюдений, опубликованным на сайте www.full-moon.ru, замедление вращения Земли составляет 0,002 с за 100 лет, при этом Луна удаляется от Земли в среднем на 3,8 см в год. Принимая значение Т2 = 0,002 с/100 лет = 6,337 • Ю-13, получим Д2 = 2,880 • Ю-9 ^р-, а из равенства (12) найдем теоретическое значение а2 = 1,1727 • 10-9 м/с = 3,701 см/год.

Как видим, теоретический результат близок к наблюдаемому.

Используя найденное значение коэффициента А2, будем иметь следующую оценку для коэффициента %2 внутреннего вязкого трения Земли:

Х2

Е2А2

ъЩ'

В работе [3], где для Земли принималась та же модель, что и в настоящей статье, на основании анализа деформированного состояния вязкоупругой вращающейся планеты были получены значения для модуля Юнга Земли при различных значениях коэффициента Пуассона. Пользуясь результатами работы [3], определяем коэффициент Х2 из формулы (13) и безразмерный параметр Х2^2. Результаты вычислений представлены в таблице.

При отыскании коэффициента Д1, зависящего от вязкоупругих свойств Солнца, по формуле (10) возникают трудности, связанные с определением угловой скорости вращения Солнца шь В ходе наблюдений за движением солнечных пятен и спектральных наблюдений других особенностей поверхности Солнца установлено, что оно вращается вокруг своей оси не как твердое тело. Наиболее быстрым является вращение экваториальной зоны: точки солнечного экватора совершают полный оборот за 25 сут., а точки вблизи полюса — за время, примерно равное 33 сут. [5]. Выполним вычисления для двух значений периода вращения Т1: Т = 25,38 сут. (сидерический период вращения) и Т1 = 29,34 сут. Последнее "среднее" значение Т1 соответствует работе [6].

V 2 Е2, Н/м2 Н{у2) Х2, с Х2Ш2

0,2 1,17 • Ю11 2,220 1,518 • 1,093 • 10"^

0,25 1,21 • Ю11 2,311 1,508 • 10А 1,100 • 10"^

0,3 1,25 • Ю11 2,401 1,499 • 102 1,107 • 10~'2

Если Т\ = 25,38 сут., то uj\ = — = 2,865 • 10" рад/с. Подставляя числовые значения параметров в

правую часть уравнения (9), получим äi = 1,4592 • 10-4Ai + 3,556 • 10-5А2. Введем параметр к = А1/А2, тогда

äi =

В 2004 г. российскими астрономами [7] было установлено, что ежегодно Земля удаляется от Солнца в среднем на 15 см. Подставляя в (14) значение äi = 15 см/год = 4,7529 • 10-9 м/c, получим к = 1,1245 • 104. Последнее означает, что диссипативный фактор, порождаемый деформациями Солнца, на 4 порядка превосходит диссипацию, связанную с деформацией Земли.

Для периода вращения Солнца 29,34 сут. и того же значения скорости изменения большой полуоси орбиты Земли получим к = 1,323 • 104.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Ч. 1, 2. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 1997.

2. Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости. М.; Л.: Гостехиздат, 1942.

3. Вильке В.Г., Шатина А.В. О поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в гравитационном поле притягивающего центра и спутника // Космич. исследования. 2004. 42, № 1. 95-106.

4. Вильке В.Г., Шатина А.В. Эволюция движения двойной планеты // Космич. исследования. 2001. 39, № 3. 316-323.

5. Куликовский П.Г. Справочник любителя астрономии / Под ред. В.Г. Сурдина. М.: Книжный дом "Либроком", 2009.

6. Хайдаров К.А. Эфир — великий часовщик. Боровое: Киев-НиТ, 2005.

7. Krasinsky G.A., Brumberg V.A. Secular increase of astronomical unit from analysis of the major planet motions, and its interpretation // Celest. Mech. and Dynam. Astron. 2004. N 90. 267-288.

Поступила в редакцию 02.06.2010

УДК 624.042.41

ТЕНЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ И РАСЧЕТ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ШПИЛЯ ВЫСОТНОГО

ЗДАНИЯ МГУ

И. А. Кийко1, А.В. Муравлев2, А. Н. Сахаров3, П. В. Чистяков4, С. В. Новотный5,

А. И. Жуков6

В работе проведено экспериментальное и численное исследование деформированного состояния шпиля высотного здания МГУ. Получено удовлетворительное совпадение экспериментальных данных с результатами расчета по конечно-элементной стержневой модели шпиля.

1 Кийко Игорь Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: elast5539@mail.ru.

2 Муравлев Анатолий Вячеславович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: a.v.muravlev@mail.ru.

3 Сахаров Александр Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории пластичности мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: asakh@rambler.ru.

Чистяков Петр Владимирович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. упругости и пластичности НИИ механики МГУ, e-mail: chist206@yandex.ru.

5 Новотный Сергей Владимирович — канд. физ.-мат. наук, ведущий программист лаб. упругости и пластичности НИИ механики МГУ, e-mail: novotny@mail.ru.

6 Жуков Александр Иванович — ведущий инженер лаб. упругости и пластичности НИИ механики МГУ, e-mail: alekzhukov@mail.ru.