Абелевы группы с UA-кольцом эндоморфизмов и их однородные отображения

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2014 Математика и механика № 4

УДК 512.541

Д.С. Чистяков

АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ С иА-КОЛЬЦОМ ЭНДОМОРФИЗМОВ И ИХ ОДНОРОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ1

Мультипликативные свойства колец играют важную роль в структурной теории колец. Под мультипликативными свойствами понимаются свойства мультипликативной полугруппы кольца. Прежде всего это касается свойств элементов, идеалов и самих колец. Следующий вопрос вызывает особый интерес: когда каждый мультипликативный изоморфизм полугрупп является изоморфизмом колец? Кольца, обладающие данным свойством, называют кольцами с однозначным сложением. В работе изучаются абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов, решаются близкие вопросы.

Ключевые слова: кольцо с однозначным сложением, однородное отображение.

Идея данной работы возникла на основе статьи [1]. Заключается она в следующем: исследовать UA-свойства абелевых групп и их колец эндоморфизмов, используя данные о почтикольце однородных отображений [2-5]. Таким образом, мы обобщаем понятие «обобщенной эндопримальности» абелевой группы, введенное и исследованное У. Альбрехтом, С. Бреазом, У. Уиклессом [1]. В то же время мы по-новому определяем эндоморфные модули [2]. Это позволяет рассматривать обобщенно эндопримальные абелевы группы и эндоморфные модули с единых позиций. Вначале сформулируем необходимые для дальнейшего изложения определения.

Пусть Я - ассоциативное кольцо с единицей, А и В - левые унитарные модули над кольцом Я. Введем обозначение МЯ(А, В) = {/: А^В | /(га) = г/(а), геЯ, аеЛ}. Элементы множества МЯ(А, В) называются однородными отображениями. Множество

МЯ(Л) = {/ Л ^Л I /(га) = г/(а), г е Я, а е Л} образует почтикольцо относительно операций сложения и композиции отображений. Всегда имеет место включение ЕпёЯ(Л) с МЯ(Л).

Определение 1. Пусть п - натуральное число. Я-модуль А называется п-

эндоморфным, если

МЯ(Лп) = ЕпёЯ(Лп).

Определение 2. Я-модуль А называется эндоморфным, если он п-эндоморфен для всех пе N.

Таким образом, обобщенно эндопримальная абелева группа [1, определение 3] - это абелева группа, которая является эндоморфным модулем над своим кольцом эндоморфизмов. Исследованию абелевых групп как 1-эндоморфных модулей над своим кольцом эндоморфизмов посвящены работы [3-5].

1 Работа выполнена при поддержке совместной программы «Михаил Ломоносов III» Министерства образования и науки Российской Федерации и DAAD: научно-исследовательские стипендии и научные стажировки (Michail Lomonosov III - Forschungsstipendien und Aufenthalte).

Лемма 3. Следующие условия эквивалентны:

1) А - п-эндоморфный Я-модуль;

2) каждое отображение/е МЯ(Лп, Л) аддитивно;

3) каждое отображение/е МЯ(Лп, Л) может быть представлено в виде

/(хь... ,хп) = и1х1 +... + ипхп, где иь... ,ип е EndЯ(Л).

Доказательство. Полагаем В = ©,=1пЛ,, Л, = Л, в,: В ^ Л - соответствующие проекции. 2-модульный изоморфизм

Ф: Мя(В) ^ ©=пМя(В, Л,),/^ (в/. ,в/) дает равносильность первых двух условий леммы.

3) ^ 2) Для /(хь...,хп) = и}Х} +...+ и„хп е МЯ(Лп, Л), где щ,... ,ип е EndЯ(A) и а!,. ,ап, а\,... ,а'п е Л, имеем

/(а-[ + а\,... ,ап + а'п) = и^а! + а'1) +... + ип(ап + а'п) =

= и1а1 +... + ипап + и1а\ +... + ипа'п = /(аь... ,ап) + /(а'ь... ,а'п).

Импликация 2) ^ 3) следует из изоморфизма

МЯ(Лп, Л) = НотЯ(Лп, Л) = ©1=1п НотЯ(Л, Л) = ,=1п EndЯ(Л).

Лемма доказана.

Заметим, что конечная прямая сумма копий эндоморфного модуля будет эндоморфным модулем.

Определение 4. Пусть Я - ассоциативное кольцо с единицей. Кольцо Я называется кольцом с однозначным сложением (иА-кольцом), если на его мультипликативной полугруппе (Я, *) можно задать единственную бинарную операцию +, превращающую ее в кольцо (Я, *, +).

Определение 5. Кольцо Я называется иА-кольцом, если любой изоморфизм мультипликативных полугрупп колец а: Я ^ £ является изоморфизмом колец.

Покажем равносильность определений 4 и 5. Если а: Я ^ £ - мультипликативный, но не аддитивный изоморфизм колец, то новое сложение на полугруппе (Я, *) можно определить по правилу

х +' у = а ~ '(а(х) + а(у)).

Выполнение аксиом кольца проверяется непосредственно. С другой стороны, предположим, что на мультипликативной полугруппе (Я, *) можно определить две различные бинарные операции + и +' так, что тройки (Я, *, +) и (Я, *, +') образуют кольца. Тогда тождественное отображение (Я, *, +) ^ (Я, *, +') не является изоморфизмом колец.

Приведем некоторые примеры. Периодическая р-группа, имеющая прямое слагаемое Z(p“) © Z(p“), эндоморфна как модуль над своим кольцом эндоморфизмов [1, следствие 19]. Также р-группа, имеющая неограниченную базисную подгруппу, эндоморфна как модуль над своим кольцом эндоморфизмов [1, лемма 22]. Указанные группы имеют иА-кольцо эндоморфизмов [9]. Абелева группа Л = Z(pю) © В, где ркВ = 0 для некоторого целого числа к, не является эндоморфным модулем над своим кольцом эндоморфизмов [1, лемма 20] , ее кольцо эндоморфизмов не обладает свойством однозначности сложения [9].

Определение 6. Я-модуль А называется модулем с однозначным сложением (иА-модулем), если на множестве А нельзя задать новое сложение, не изменяя действия кольца Я на А.

Определение 7. Я-модуль А называется иА-модулем, если каждая биекция из Мя(Л,В) является изоморфизмом для любого Я-модуля В.

Покажем равносильность определений 6 и 7. Если /: Л ^ В - Я-однородное биективное отображение из Я-модуля А в Я-модуль В, не сохраняющее сложение, то новое сложение на множестве А можно определить по правилу

х +' у = /- 1(/(х) + /(у)).

Легко видеть, что для (Л,+г) выполняются все аксиомы модуля. При этом кольцо Я действует на (Л,+) и (Л,+') одним и тем же образом. С другой стороны, если мы имеем два Я-модуля (Л,+) и (Л,+') с одинаковым действием кольца Я и различными операциями + и +', то тождественное отображение из (Л,+) в (Л,+г) не является изоморфизмом.

Кольцам с однозначным сложением посвящены работы [6 - 9]. Модули с однозначным сложением изучаются в [10 - 12]. В книгах [13] и [14] можно найти факты и понятия, используемые в данной статье.

Предложение 8. Каждый эндоморфный модуль является иА-модулем.

Доказательство. Пусть (А,+) - эндоморфный модуль над кольцом Я. Предположим, что существует другая бинарная операция +', такая, что (А,+') - Я-модуль с тем же действием кольца Я на А. Рассмотрим отображение/ Л2 ^ Л, действующее по правилу /(х,у) = х +' у. В силу предположения, /(х,у) = их + уу для некоторых эндоморфизмов и и у. Заметим, что группы (А,+) и (А,+') имеют один и тот же нейтральный элемент 0, поскольку кольцо Я действует на них одним и тем же образом. Отсюда

х = х +' 0 = /(х, 0) = их, х = 0 +' х = /(0, х) = ух для всех хе Л . Таким образом, и и у суть тождественные отображения, сложения + и +' совпадают. Предложение доказано.

Заметим, что кольцо Z(2) является иА-кольцом, однако векторное пространство Z(2) © Z(2) не является 1-эндоморфным модулем. Отображение / Z(2)© Z(2) ^ Z(2)© Z(2), действующее по правилу /(1,1) = (1,1) и /(х) = (0,0) во всех остальных случаях, не сохраняет сложение.

Во многих случаях абелевы группы, эндоморфные как модули над своим кольцом эндоморфизмов, имеют иА-кольцо эндоморфизмов.

Предложение 9. Пусть А - периодическая группа, такая, что ее 2-компонента не изоморфна группе Z(2), а 3-компонента не изоморфна группе Z(3). Следующие условия равносильны:

1. А - эндоморфный модуль над кольцом End(Л);

2. End(Л) - иА-кольцо.

Доказательство следует из результатов работ [1, §3; 9].

Хорошо известен класс g, состоящий из самомалых смешанных редуцированных абелевых групп, часть без кручения которых является делимой группой конечного ранга.

Предложение 10. Пусть группа А принадлежит классу g и ее 2-компонента не изоморфна группе Z(2), а 3-компонента не изоморфна группе Z(3). Следующие условия эквивалентны:

1. А - эндоморфный модуль над кольцом End(Л);

2. End(Л) - иА-кольцо;

3. Если р-компонента tp(A) группы А отлична от нуля, то она содержит прямое слагаемое Z(pk) © Z(pk), где рк - наибольший из порядков элементов группы рЛ).

Для доказательства данного факта нам понадобится следующее утверждение [8, лемма 1].

Лемма 11. Предположим, что кольцо К обладает такой системой идемпотен-тов Е = {в,- | , е I}, что

1) для любого 0 Ф к е К найдется идемпотент в1 е Е, для которого кв1 Ф 0;

2) для всякого идемпотента в1 е Е существует ортогональный ему идемпотент вj е Е, такой, что для х е К из в1 хв, Квj = 0 = в}Кв1 хв, следует, что в,хв, = 0.

Тогда К - иА-кольцо.

Доказательство предложения 10. Эквивалентность условий 1 и 3 следует из [1, теорема 40].

Пусть End(Л) - иА-кольцо. Предположим, что некоторая ненулевая р-компо-нента tp(Л) не содержит слагаемое Z(pk) © Z(pk), где рк - наибольший из порядков элементов группы рЛ). В этом случае кольцо End(tp(Л)) не является иА-кольцом [9]. Имеет место прямое разложение Л = ^(Л) © В, где В - некоторая р-делимая группа. Откуда

End(Л) = End(tp(Л)) х End(B).

Построим отображение

Р: End(tp(Л)) х End(B) ^ End(tp(Л)) х End(B), (г,5) ^ (а(г), s), где а: End(tp(Л)) ^ End(tp(Л)) - мультипликативный, но не аддитивный автоморфизм. Легко видеть, что отображение р является мультипликативным автоморфизмом, не сохраняющим сложение. Противоречие.

Пусть выполнено условие 3. Каждая ненулевая р-компонента группы А имеет вид

tp(A) = Z(pk) © Z(pk) © А'р для некоторой р-группы А р, не содержащей элементы, порядок которых превосходит рк. Пусть Е - множество всех примитивных идемпотентов кольца End(Л). Для любого 0 Ф ф е End(Л) выполнено условие 1) леммы 11. В противном случае эндоморфизм ф аннулирует периодическую часть ^Л) группы А и, следовательно, существует ненулевой гомоморфизм ЛЛ(Л) ^ Л, что невозможно, поскольку группа А - редуцированная, а группа ЛЛ(Л) - делимая.

Для любого е е Е группа е(Л) изоморфна группе Z(pk) для некоторыхр и к. Далее, Л = в(Л) © Л'. Группа А' содержит прямое слагаемое в'(Л), изоморфное Z(pm), где т > к и в’ е Е. Заметим, что

вEnd(Л)в' = Нот^(рт), Z(pk)), вEnd(Л)в = Z(pk).

В силу точности Z(pk)-модуля Hom(Z(pm), Z(pk)) условие 2) леммы 11 выполнено, End(Л) - иА-кольцо. Предложение доказано.

Пусть А - абелева группа без кручения ранга 1. Согласно [2, теорема 3.5; 8], £^(Л)-модуль А не является эндоморфным, а кольцо End(Л) не обладает свойством однозначности сложения.

Пусть А - сепарабельная абелева группа без кручения. Прямое слагаемое В ранга 1 группы Л назовем полусвязанным, если в его дополнительном прямом слагаемом найдется прямое слагаемое ранга 1, тип которого сравним с типом В. Группу О назовем полусвязанной, если всякое ее прямое слагаемое ранга 1 полу-связанно.

Предложение 12. Пусть А - сепарабельная абелева группа без кручения. Следующие условия эквивалентны:

1. А - эндоморфный модуль над кольцом End(Л);

2. End(Л) - иА-кольцо;

3. А - полусвязанная группа.

Доказательство следует из результатов работ [1, предложение 29; 8].

Будем говорить, что группа А квазиравна группе В (А ~Б), если А квазисодер-жится в Б и Б квазисодержится в А (т.е. если пЛ с В, тВ с Л для некоторых п, т е №). Квазиравенство А ~©е1 А, где I - конечное множество, называется квазиразложением или квазипрямым разложением группы А. При этом подгруппы А, называются квазислагаемыми группы А [14, §4].

Абелеву группу без кручения Л можно естественным образом вложить в 0-пространство 0Л = 0Л, которое является делимой оболочкой группы Л. Естественный образ вложения подразумевает отождествление элемента ае Л с элементом 1а е 0Л. Каждый эндоморфизм а е End(Л) единственным образом продолжается до линейного преобразования 1а 0-пространства 0Л. Кольцо End(Л) содержится в Endo(QЛ) [14, §5].

Таким образом, End(Л) = {а е EndQ(QA)| аЛ с Л}. 0-алгебра QEnd(Л) = = QEnd(Л) называется кольцом квазиэндоморфизмов группы Л.

Далее речь пойдет о сильно неразложимых абелевых группах без кручения конечного ранга. Факты, касающиеся этого класса групп и используемые в работе, могут быть найдены в книге [14].

Пусть А - абелева группа без кручения конечного ранга, такая, что N(End(Л)) = 0. В этой ситуации группа А квазиравна прямой сумме ©г=1/Лгп(г) сильно неразложимых групп А,, при этом каждое из колец QEnd(Л1) является телом и группыАь... Л/ образуют жесткую систему [14, теорема 7.3].

Предложение 13. Пусть А - абелева группа без кручения конечного ранга и N(End(Л)) = 0.

1. End(A)-модуль А эндоморфен тогда и только тогда, когда п(/)>1 для всех I = 1,.,/.

2. Если End(A)-модуль А не является эндоморфным, то кольцо QEnd(Л) не обладает свойством однозначности сложения.

Доказательство. Первое утверждение доказано в [1, теорема 32]. Предположим, что п(к) = 1 для некоторого ке{1,...,/}. Тогда QEnd(Л) = QEnd(Лk) х Т. Кольцо QEnd(Лk) не является кольцом с однозначным сложением, поскольку тело является иА-кольцом тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет полиномиальному тождеству х(х + 1)(х2 + х + 1) = 0 [7, теорема 5.2]. Следовательно, кольцо QEnd(Л) не обладает свойством однозначности сложения. Предложение доказано.

Теорема 14. Пусть А - абелева группа без кручения конечного ранга, такая, что QEnd(A)/QN(End(A)) = О.

Тогда QEnd(Л) не является иА-кольцом и группа А не является эндоморфным модулем над своим кольцом эндоморфизмов.

Доказательство. Напомним, что из условий теоремы непосредственно вытекает, что кольцо QEnd(Л) артиново и не содержит нетривиальных идемпотентов [14, замечание перед леммой 5.1, следствие 5.12]. Кроме того, данное кольцо является локальным с единственным максимальным идеалом QN(End(Л)). На основании [14, теорема 5.18, следствие 5.19] заключаем, что ниль-радикал N(End(Л)) нильпотентен. Следовательно, QN(End(Л))k = 0 для некоторого натурального числа к.

Кроме того, имеется прямое разложение аддитивной группы QEnd(Л) = Я © QEnd(Л), где Я - подкольцо кольца QEnd(Л), состоящее из всех квазиэндоморфизмов вида q1. Каждый квазиэндоморфизм и е QEnd(Л) представим в виде и = а + Ь, где а е Я, Ье QN(End(Л)). Заметим, что кольцо Я содержится в центре кольца QEnd(Л).

В случае, когда QN(End(A)) = 0, получаем QEnd(A) = Q. Но поле рациональных чисел не является UA-кольцом [7, теорема 5.2].

Пусть QN(End(A)) Ф 0 и QN(End(A))2 = 0. Определим биекцию t: QEnd(A) ^ QEnd(A) по правилу

t(x) = x, если x е QEnd(A) \ QN(End(A)), и t(x) = - x в противном случае. Покажем, что отображение t сохраняет умножение.

Зафиксируем обозначения: u = a1 + b1, v = a2 + b2, где a1, a2 е R, b1, b2 е

QN(End(A)). Тогда

1) если a1, a2 Ф 0, то uv - обратимый элемент и t(uv) = uv = t(u)t(v);

2) если a1 = 0, a2 Ф 0, то t(uv) = -uv = t(u)t(v);

3) если a2 = 0, a1 Ф 0, то t(uv) = -uv = t(u)t(v);

4) если a1, a2 = 0, то t(uv) = t(0) = 0 = (-u)(-v) = t(u)t(v).

Однако t(1 + x) = 1 + x Ф 1 - x = t(1) + t(x), 0 Ф x е QN(End(A)).

Пусть QN(End(A))k = 0, k > 2, причем k - наименьшее натуральное число с таким условием. В этом случае найдется элемент d е QN(End(A)), такой, что d = c1 ...ck_1 Ф 0, где сь... ,ck_1 е QN(End(A)).

Полагаем c = c1.ck_2. Рассмотрим биективное отображение t: QEnd(A) ^ QEnd(A), определяемое правилом

t(x) = x, если x е QEnd(A) \ QN(End(A)), и t(x) = (c + 1)x в противном случае.

Покажем, что отображение t сохраняет умножение. Так же, как и выше:

1) если a1, a2 Ф 0, то uv - обратимый элемент и t(uv) = uv = t(u)t(v);

2) если a1 = 0, a2 Ф 0, то t(uv) = (c + 1)b1(a2 + b2) = t(u)t(v);

3) если a1 Ф 0, a2 = 0, то t(uv) = (c + 1)(a1 + b1)b2 = c a1 b2 + a1 b2 + b1 b2 = t(u)t(v);

4) если a1, a2 = 0, то t(uv) = (c + 1) b1 b2 = b1 b2 = t(u)t(v).

Остается заметить, что

t(l + ck_1) = 1 + ck_1 Ф 1 + d + ck_1 = t(l) + t(ck_1).

Кольцо QEnd(A) не обладает свойством однозначности сложения. Второе утверждение следует из [1, теорема 33]. Теорема доказана.

Заметим, что условиям теоремы 14 удовлетворяют сильно неразложимые абелевы группы без кручения А конечного ранга р, где р - простое число и N(End(A)) Ф 0 [16, теорема 4.4.12].

Автор благодарен коллективу кафедры алгебры Томского государственного университета за внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Albrecht U., Breaz S., Wickless W. Generalized endoprimal abelian groups // J. Alg. and Its Appl. 2006. V. 5. No. 1. P. 1-17.

2. Hausen J. and Johnson J.A. Centralizer near-rings that are rings // J. Austr. Math. Soc. 1995. V. 59. P. 173-183.

3. Чистяков Д. С. Эндопримальные абелевы группы и модули // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 3(19). С. 31-34.

4. Чистяков Д.С., Любимцев О.В. Абелевы группы как эндоморфные модули над своим кольцом эндоморфизмов // Фундамент. и прикл. матем. 2007. Т. 13. № 1. С. 229-233.

5. Чистяков Д.С. Однородные отображения абелевых групп // Изв. вузов. Математика. 2014. № 2. С. 61-68.

6. Stephenson W. Unique addition rings // Can. J. Math. 1969. V. 21. No. 6. P. 1455-1461.

7. Михалев А.В. Мультипликативная классификация ассоциативных колец // Мат. сб. 1988. Т. 135 (177). № 2. С. 210-224.

8. Любимцев О.В. Сепарабельные абелевы группы без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов // Фундамент. и прикл. матем. 1998. Т. 4. № 4. С. 1419-1422.

9. Любимцев О.В. Периодические абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов // Матем. заметки. 2001. Т. 70. № 5. С. 736-741.

10. B. van der Merwe. Unique addition modules // Communications in Algebra. 1999. 27(9). P. 4103-4115.

11. Любимцев О.В., Чистяков Д.С. Абелевы группы как UA-модули над кольцом Z // Матем. заметки. 2010. Т. 87. № 3. С. 412-416.

12. Чистяков Д.С. Абелевы группы как UA-модули над своим кольцом эндоморфизмов // Матем. заметки. 2012. Т. 91. № 6. С. 934-941.

13. ТуганбаевА.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. М.: МЦНМО, 2009.

14. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал пресс, 2006.

15. Чистяков Д.С., Любимцев О.В. Об абелевых группах без кручения с UA-кольцом эндоморфизмов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. № 2. С. 55-58.

16. Faticoni T. Direct Sum Decompositions of Torsion-Free Finite Rank Groups, Taylor&Francis Group, 2007.

Статья поступила 11.03.2014 г.

Chistyakov D.S. ABELIAN GROUPS WITH UA-RING OF ENDOMORPHISMS AND THEIR HOMOGENEOUS MAPPINGS

A ring R is said to be a unique addition ring (UA-ring) if a multiplicative semigroup isomorphism (R, *) s (S, *) is a ring isomorphism for any ring S. Moreover, a semigroup (R, *) is said to be a UA-ring if there exists a unique binary operation + turning (R, *, +) into a ring. An R-module A is called an n-endomorphal if any R-homogeneous mapping from An to itself is linear. An R-module A is called endomorphal if it is n-endomorphal for each positive integer n. In this paper, we consider the following classes of Abelian groups: torsion groups, torsion-free separable groups, and some indecomposable torsion-free groups of finite rank. We show that if an Abelian group is an endomorphal module over its endomorphism ring, then this ring is a UA-ring, and vice versa.

Keywords: unique addition ring, homogeneous mapping.

CHISTYAKOV Denis Sergeevich (Candidate of Physics and Mathematics,

Moscow State Pedagogical University, Moscow, Russian Federation)

E-mail: chistyakovds@yandex.ru

REFERENCES

1. Albrecht U., Breaz S., Wickless W. Generalized endoprimal abelian groups (2006) J. Alg. and Its Appl., v. 5, no. 1, pp. 1-17.

2. Hausen J. and Johnson J.A. Centralizer near-rings that are rings (1995) J. Austr. Math. Soc., v. 59., pp. 173-183.

3. Chistyakov D.S. Endoprimal'nye abelevy gruppy i moduli

4. Chistyakov D.S., Lyubimtsev O.V. Abelevy gruppy kak endomorfnye moduli nad svoim kol'tsom endomorfizmov

5. Chistyakov D.S., Odnorodnye otobrazheniya abelevykh grupp

6. Stephenson W. Unique addition rings (1969) Can. J. Math., v. 21, no. 6, pp. 1455-1461.

7. Mikhalev A.V. Mul'tiplikativnaya klassifikatsiya assotsiativnykh kolets

В. Lyubimtsev O.V. Separabel'nye abelevy gruppy bez krucheniya s UA-kol'tsami endomor-fizmov

9. Lyubimtsev O.V., Periodicheskie abelevy gruppy s UA-kol'tsami endomorfizmov

10. B. van der Merwe. Unique addition modules (1999) Communications in Algebra, v. 2l(9), pp. 4103-4115.

11. Lyubimtsev O.V., Chistyakov D.S. Abelevy gruppy kak UA-moduli nad kol'tsom Z

12. Chistyakov D.S. Abelevy gruppy kak UA-moduli nad svoim kol'tsom endomorfizmov

13. Tuganbaev A.A. Teoriya kolets. Arifmeticheskie moduli i kol'tsa. Moscow, MTsNMO Publ., 2009.

14. Krylov P.A., Mikhalev A.V., Tuganbaev A.A. Abelevy gruppy i ikh kol'tsa endomorfizmov. Moscow, Faktorial press Publ., 2006.

15. Chistyakov D.S., Lyubimtsev O.V. Ob abelevykh gruppakh bez krucheniya s UA-kol'tsom endomorfizmov

16. Faticoni T. Direct Sum Decompositions of Torsion-Free Finite Rank Groups. Taylor&Francis Group, 2001.