Особенности автоэлектронной эмиссии из одномерной квантовой ямы различной глубины

УДК 537.533.2

Вестник СПбГУ. Сер. 4. Т. 2 (60). 2015. Вып. 2

А. А. Томилов, А. М. Яфясов

ОСОБЕННОСТИ АВТОЭЛЕКТРОННОЙ ЭМИССИИ ИЗ ОДНОМЕРНОЙ КВАНТОВОЙ ЯМЫ РАЗЛИЧНОЙ ГЛУБИНЫ

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Приведены результаты расчёта для автоэлектронной эмиссии из полупроводниковых материалов в случае размерного квантования приповерхностной области в сильных полях. Получены аналитические выражения в предположении описания приповерхностного изгиба зон прямоугольным потенциалом с асимметричными граничными значениями. Приведены зависимости плотности тока от ширины квантовой ямы, температуры, а также ВАХ. Приводится сопоставление с классической моделью Фаулера—Нордгейма. Модельные расчёты произведены для параметров кремния. Данные численных экспериментов находятся в согласии с экспериментальными данными. Модель позволяет объяснить низкое значение порога активации процесса автоэмиссии из полупроводниковых эмиттеров, а также низкие значения плотностей токов, полученные во время экспериментов с нанотрубками, графеном и другими полупроводниковыми материалами. Библиогр. 14 назв. Ил. 6. Табл. 1.

Ключевые слова: автоэлектронная эмиссия, размерное квантование, полупроводники.

A. A. Tomilov, A. M. Yafyasov

THE HIGH FIELD EMISSION IN THE CASE OF QUANTIZATION OF EMITTER NEAR SURFACE REGION

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

Calculation of the field emission from semiconductor emitter (Si parameters) was provided based on the 2D Fermi—Dirac statistic. The electron states of discretization were estimated proceeding from rectangular potential well in near surface region. Dependencies on the temperature and the width of barrier of the current density were built on base of equations, which were derived in the paper. As main result our approach explains low activation threshold of process and the low amount of current in case of emission from semiconductor emitters versus the metal emitters. This effect is attracting attention of researchers of condensed matter in area of investigations of field emission from nanotube, graphene and other which have perspective in applications. Dependencies of current density on the temperature are in accordance with experimental data of foreign authors. Refs 14. Figs 6. Tables 1.

Keywords: field electron emission, quantum size effect, semiconductors.

Введение. Интерес к эффектам автоэлектронной эмиссии из полупроводниковых структур обусловлен широким спектром возможностей в современной электронике: высоковольтные сильноточные бездуговые вакуумные коммутационные устройства, сенсоры инфракрасного излучения на основе фотоэффекта в автоэмиссионных структурах в предпороговом режиме, низковольтные катодолюминесцентные дисплеи высокого разрешения, мощные СВЧ-приборы с микросекундным временем готовности и низковольтным управлением [1, 2]. Пристальное внимание уделяется исследованию автоэмиссионных свойств углеродных материалов, таких как нанотрубки [5] и различные геометрические модификации графена [2-4].

Практическая реализация идей в этой области во многом обогнала теоретическое обоснование явлений. Проведено множество исследований автоэлектронных свойств катодов на основе металлических, полупроводниковых и диэлектрических материалов [2, 3, 6]. В ходе интерпретации результатов экспериментов с полупроводниковыми ка-

тодами зачастую делаются выводы о том, что увеличенную плотность тока влечет повышение напряжённости поля у эмиттера [3, 4]. В то же время увеличение плотности тока может быть связано с квантовыми эффектами, например квантовыми резонансными эффектами [3].

В настоящей работе исследовалось влияние явлений размерного квантования приповерхностной области эмиттера на ВАХ автоэмиссионного тока.

Постановка задачи. Используем одноэлектронное приближение для одномерной задачи при отсутствии поверхностных состояний и сохранении зонной структуры полупроводника вплоть до его поверхности. Внешнее поле будем считать плавно изменяющимся в пространстве (на расстояниях порядка периода кристаллической решётки) и несильным (дЕа ^ Ед, где д — заряд электрона; а — постоянная решётки; Е — напряжённость внешнего электрического поля; Ед — ширина запрещённой зоны) [7].

В полупроводниках в приповерхностной области, сравнимой с дебаевской длиной экранирования, в сильных электрических полях наблюдается искривление зонной структуры так, что в приповерхностной области имеет место образование потенциальной ямы [8, 9]. При этом, если значение напряжённости электрического поля Е, достаточно велико (109-1010 В/м [10]), то внутри ямы возникают дискретные квантовые состояния электронов [8, 9]. В нашей работе предлагается ограничиться аппроксимацией квантовой ямы прямоугольной потенциальной ямой с различной высотой стенок (рис. 1). В расчётах учитывалась зависимость положения уровня Ферми от уровня -легирования и температуры.

Теоретическое обоснование задачи. Рассмотрим задачу туннелирования электронов через треугольный барьер из ямы при условии, что её глубина допускает наличие хотя бы одного дискретного состояния.

В общем случае концентрация электронов в двумерной квантовой системе описывается выражением [11]

С

т

А + С

X

Рис. 1. Модельное представление квантовой ямы прямоугольной потенциальной ямой, из которой происходит туннелирование

П=1 4 4 77

где т* — эффективная масса электрона в полупроводнике; к — постоянная Больцма-на; Т — температура; Ер — энергия Ферми; Еп — энергия п-го состояния электрона; N — количество уровней 2D-системы.

На первом этапе расчёта найдём дискретные уровни, находящиеся в квантовой яме (ширина квантовой ямы X, должна быть сопоставимой с длиной волны де Бройля), на втором — рассчитаем туннельный ток в предположении того, что с каждого из уровней осуществляется туннелирование через треугольный барьер, вероятность которого вычисляется по формуле Фаулера—Нордгейма (ФН) [12].

Дискретные уровни в потенциальной яме с неодинаковыми стенками конечной высоты А и С можно вычислить, решая уравнение Шрёдингера для трёх областей (х < 0,

0 < х < к и х > X) и сшивая их на границах х = 0 и х = к [13]:

К2 д2

Используя обозначения

2т* дх2

п2 д2

2 т* дх2

п2 д2

2 т* дх2

-Е)

- Е + С^ =0, х < 0;

- Е^ Ф2 =0, 0 < х < к;

- Е + С + А) Ф3 = 0, х> к.

к1 - р , - -р-, - р >

(при этом С > Е, следовательно, все к — вещественны), получим трансцендентное выражение [13]

, , . ( Кк2 \ . ( Кк2 \ ,„4

Ко а = яп — агсэт , — агсэт —, .

\\/2т*С) уу/2т*

Поскольку выполняется неравенство

то

ЕЕ < ^(Т+А < \С < '

Кк2 Кк2

коа « яп —

к2

\/2т*С у/2т* (С + А) ян

Из (4) следует, что

I I л {Л__1 ^

К2 я2н2

2т

2

\ I л {Л__1 ^

^ V -/С ^С+А)

В предельном случае Е = К2 п2 я2 / (2т*к2) это выражение описывает энер-

гии дискретных уровней электрона в бесконечно глубокой потенциальной яме.

Плотность тока электронов ] (Е) из потенциальной ямы в вакуум через потенциальный барьер зависит от коэффициента прохождения электрона слева направо (Т(Е)). Коэффициент прохождения был найден Фаулером и Нордгеймом для электрона, имеющего слева от треугольного барьера энергии С + А энергию Е при приложенном поле напряжённости Е [12], и имеет вид

Как известно, плотность тока, эмитируемого из материала, будет зависеть от концентрации двумерных состояний (п2_о(Т)), частоты падения электронов на правый барьер (уп) и вероятности туннелирования электронов через барьер:

NF

3

П = 0

При этом в (7) необходимо осуществить подстановку Е = Еп из выражения (5).

Верхний индекс суммирования в выражении (7) находится из тех соображений, что у нас заполнены и участвуют в эмиссии только те уровни дискретного размерного квантования, вплоть до Мр, которые лежат ниже уровня Ферми:

Мр

2т*ЕР

X +

2т*

П2Н2

Частоту падения электронов на барьер можно оценить из условий квазиклассического квантования [13, 14]:

Т

¿х.

В выражении (9) 0 и X — классические точки поворота электрона; Т — период электрона. Отсюда найдём частоту падения электрона на барьер:

Н

пп

Хт*

X | в А___5_

\у/С у/с+х

Осуществляя подстановку Т(Еп), уп и р2_о(Т) в уравнение (7), приходим к выраже-

нию

1

4дкТ

N

х п 1п I 1 + ехр

п=1 ^

2т*

где

/с уГСТА,

Ер — Еп

кТ

^ \/п2{у — п2) ехр

В(у-п2)3/2 ЧР

у-

2т* х^С+А

п2Н2

Результаты расчётов и их обсуждение. Вычисление производилось для параметров, характерных для легированного кремния при Т = 0, 77, 144 К (таблица) [12].

1

X

V

п

1

х

1

1

Параметр Значение

Ширина запрещённой зоны Ед, эВ 1,12

Концентрация собственных носителей заряда щ, 1 /м3 1,18 • Ю10

Концентрация донорной примеси N¿1, 1/м3 4 • 1014

Работа выхода кремния А + С, эВ 4,05

Величина изгиба С, эВ 0,69

На рис. 2 представлены зависимости плотности тока от напряжённости электрического поля, построенные в координатах Фаулера—Нордгейма

Рис. 2. Графики зависимости плотности тока (А/см2) от напряжённости внешнего поля (В/м), приложенного перпендикулярно поверхности:

1 — построение для плотности тока из квантовой ямы с первого подуровня; 2 — функция плотности тока, найденная по Фаулеру—Нордгейму [12]

[12], построенного по формуле

1,55 • 10~6Е2 ( 6,85 • 107ф3/2 =- ехр -

Ф V Е

где ф — работа выхода материала.

График 2 имеет больший наклон, что соответствует более быстрому нарастанию тока. Это наглядно показывает, что ток из квантовой ямы носит низкопороговый характер, однако график полного тока, полученный исходя из уравнения ФН [12], имеет более крутой наклон. АЭЭ начинается при появлении первых дискретных квантовых уровней. Меньший наклон прямых зависимости тока от электрического поля для АЭЭ из квантовой ямы по сравнению с классическим расчётом ФН для трёхмерного электронного газа обусловлен более низкой плотностью электронных состояний для двумерного газа.

Для рассмотрения зависимости плотности тока от ширины квантовой ямы (X) удобно пользоваться приведёнными величинами Х/Хаеъ, где Хаеъ — длина волны де Бройля электрона, обладающего энергией, близкой к энергии Ферми (ХаеЪ ~ 5 нм). График такой зависимости для Т = 77 К изображён на рис. 3. Полученный результат не противоречит данным, приведённым в работе [14].

Характерно также, что плотность тока немонотонно увеличивается с ростом ширины квантовой ямы. Вероятно, это связано с началом эмиссии из новых подуровней, что приводит к росту полной плотности тока (рис. 4). Однако при увеличении ширины ямы наблюдается более глубокое расположение вновь появляющихся квантовых подуровней, что приводит лишь к незначительной добавке.

Зависимости плотности тока от напряжённости электрического поля при различных значениях приведённой ширины квантовой ямы показаны на рис. 5.

Рис. 3. График зависимости плотности тока из одномерной квантовой ямы от ширины ямы, приведённой к длине волны де Бройля

12 10 8 ^ 6 4 2

5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1

0,5 0

10 15 20 25 30 35 40

5

10

15 20

Х/У,

25 30 35 40

10

15 20

Х/У,

25 30 35 40

Рис. 4- Зависимость количества квантовых подуровней, с которых происходит туннелирование (а) и (Ер — Еп)/(кТ) (б) от приведённой ширины квантовой ямы:

С = 0,69 эВ, ^ = 3 • 109 В/м

Рис. 5. Зависимость плотности тока из квантовой ямы в координатах ФН от напряжённости поля при различных приведённых величинах ширины ямы: к = 4каеЬ

1,4 1,6 1/Р х 10-8

0

5

0

5

Наблюдается изменение угла наклона прямых. Вместе с тем, при одинаковых значениях напряжённости электрического поля большая плотность тока достигается при больших значениях ширины ямы.

Следует обратить внимаение также на зависимость плотности тока от напряжения при разных температурах (рис. 6). Закономерно, что при увеличении температуры

-55 - X

-601 _,_,_,_,_

1 1,2 1,4 1,6 1,8 1/F x 10-8

Рис. 6. Зависимость плотности тока из

квантовой ямы в координатах ФН

от напряженности поля при:

T =77 K

происходит возрастание плотности тока, поскольку, с одной стороны, происходит повышение уровня Ферми относительно дна ямы, с другой стороны, происходит рост количества электронов, налетающих на барьер. В совокупности это приводит к значительному росту плотности тока при равных значениях напряжённостях поля. Похожие результаты были получены в работе [2].

Заключение. В статье рассмотрено влияние различных факторов на плотность автоэлектронного тока в случае туннелирования из квантовых состояний, образующихся в результате приповерхностного изгиба зон. При этом установлена низкопороговость АЭЭ в сранении с эмиссией, описываемой уравнениями Фаулера—Нордгейма, и то, что эмиссионный ток в случае ФН в сильных полях 107 В/м) значительно превосходит ток из квантовых состояний. Выявлено значительное влияние температуры и ширины ямы на плотность АЭЭ тока.

Зависимость плотности тока от приведённой ширины ямы имеет осциллирующий характер: при уширении в общую плотность тока включаются все новые состояния, что приводит к наличию нескольких пиков различной величины.

Предполагается, что из-за неоднородности поверхности реального материала эмиттера возможны вариации ширины ямы, из которой наблюдается туннелирование в случае эмиссии, что может приводить к суперпозиции плотностей тока из различных точек эмитирующего острия, наблюдающейся при различных значениях ширины квантовой ямы. Кроме того, эти эффекты могут проявляться в случае многоострийных катодов, что, конечно, осложняет их рассмотрение, однако требует учёта при рассмотрении полупроводников в качестве эмиттеров.

Литература

1. Гуляев Ю. B, Абаньшин Н. П., Горфинкель Б. И. и др. // Письма в Журн. техн. физики. 2013. Т. 39. Вып. 11. C. 63-70.

2. Jun Li, Jiangtao Chen, Baoshou Shen et al. // Appl. Phys. Lett. 2011. Vol. 99. 163103.

3. ФурсейГ.Н., Поляков М. А., Кантонистов А. А. и др. // Журн. техн. физики. 2013. T. 83. Вып. 6. C. 71-77.

4. Yenan Song, Dong Hoon Shin, Yoon-Ho Song et al. // Appl. Phys. Lett. 2013. Vol. 103. 073112.

5. Bocharov G. S, EletskiiA. V. // Nanomaterials. 2013. Vol. 3. P. 393-442.

6. Елинсон М. И., Васильев Г. Ф. Автоэлектронная эмиссия. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1958.

274 с.

7. Дубицкий И. С., Яфясов А. М. // Физика и техника полупроводников. 2014. T. 48. Вып. 3. C. 327-333.

8. Яфясов А. М., Перепёлкин А. Д., Божевольнов В. Б. // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.: Физика, химия. 1987.

9. Яфясов А. М. Физика низко-размерных квантовых систем. СПб.: Изд-во ООО «СОЛО», 2004. 154 с.

10. ФурсейГ.Н. // Соросовский обр. журн. 2000. T. 6, № 11. С. 96-103.

11. ГольдманИ. И., Кривченков В. Д. Сборник задач по квантовой механике. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры., 1957. 275 с.

12. FowlerR.H., NordheimL. // Proc. Roy. Soc. (A). 1928. Vol. 119. P. 173-181.

13. Яфясов А. М., Аншуков А. М., Перепёлкин А. Д., Божевольнов В. Б. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1993. Вып. 1. (№ 4). C. 94-98.

14. Patterson A. A., Akinwande A. I. // J. Appl. Phys. 2013. Vol. 114. 234303.

References

1. Guliaev Iu.B., Aban'shin N.P., Gorfinkel' B.I. et al. Pisma v Zhurn. tekhn. fiziki. 2013. Vol. 39. Iss. 11. pp.63—70.

2. Jun Li, Jiangtao Chen, Baoshou Shen et al. Appl. Phys. Lett. 2011. Vol. 99. 163103.

3. Fursei G.N., Poliakov M.A., Kantonistov A.A. et al. Zhurn. tekhn. fiziki. 2013. Vol. 83. Iss. 6. pp.71—77.

4. Yenan Song, Dong Hoon Shin, Yoon-Ho Song et al. Appl. Phys. Lett. 2013. Vol. 103. 073112.

5. Bocharov G.S., Eletskii A.V. Nanomaterials. 2013. Vol. 3. pp.393-442.

6. Elinson M.I., Vasil'ev G.F. Avtoelektronnaia emissiia [Field emission]. Moscow, Gos. izd-vo fiz.-mat. lit-ry, 1958. 274 p.

7. Dubitskii I.S., Iafiasov A.M. Fizika i tekhnika poluprovodnikov. 2014. Vol. 48. Iss. 3. pp.327-333.

8. Iafiasov A.M., Perepelkin A.D., Bozhevol'nov V.B. Vestn. Leningr. Univ. Ser.: Fizika, khimiia. 1987.

9. Iafiasov A.M. Fizika nizko-razmernykh kvantovykh sistem [Physics low-dimensional quantum systems]. St. Petersburg, Izd-vo OOO "SOLO", 2004. 154 p.

10. Fursei G.N. Sorosovskii obr. zhurn. 2000. Vol. 6, N 11. pp.96-103.

11. Gol'dman I.I., Krivchenkov V.D. Sbornik zadach po kvantovoi mekhanike [Collection of tasks of quantum mechanics]. Moscow, Gos. izd-vo tekhn.-teor. lit-ry., 1957. 275 p.

12. Fowler R.H., Nordheim L. Proc. Roy. Soc. (A). 1928. Vol. 119. pp.173-181.

13. Iafiasov A.M., Anshukov A.M., Perepelkin A.D., Bozhevol'nov V.B. Vestn. S.-Peterb. Univ. Ser. 4. Fizika, khimiia. 1993. Iss. 1.

14. Patterson A.A., Akinwande A.I. J. Appl.. Phys. 2013. Vol. 114. 234303.

Статья поступила в редакцию 13 января 2015 г.

Контактная информация

Томилов Антон Андреевич — аспирант; e-mail: tomilov_anton@list.ru Яфясов Адиль Маликович — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: yafyasov@gmail.com

Tomilov А. А. — post-graduate student; e-mail: tomilov_anton@list.ru

Yafyasov Adil Malikovich — Doctor of Physics and Mathematics, Professor; e-mail: yafyasov@bk.ru