Об одной форме определяющих соотношений математической теории пластичности (течение на ребре призмы Кулона-Треска)

УДК 539.374

ОБ ОДНОЙ ФОРМЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

© 2008 В.А. Ковалев^ Ю.Н.Радаев2

В работе рассматриваются основные положения математической теории пластичности для пространственных состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска, следующие из обобщенного ассоциированного закона течения, который в минимально возможной степени ограничивает свободу пластического течения для указанных состояний. Установлено, что пространственные соотношения теории пластичности, сформулированные А.Ю. Ишлинским в 1946 г., выводятся из указанного варианта теории течения. Показано, что определяющие соотношения А.Ю. Ишлинского для состояний на ребре призмы Кулона—Треска выражают перестановочность тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций. Найдена одна явная форма определяющей зависимости, связывающей тензор напряжений с приращениями пластических деформаций, для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска.

Ключевые слова: определяющее уравнение, закон течения, тензор напряжений, приращения деформаций, трехчленная формула.

Уравнения пространственной задачи математической теории пластичности в том случае когда, аналогично условию полной пластичности Хаара— Кармана, имеется два соотношения между главными напряжениями, были предложены и проанализированы А.Ю. Ишлинским [1], который, как выяснилось, использовал определяющие зависимости в форме соотношений перестановочности тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций3, следующие из обобщенного ассоциированного закона пластического течения в случае течения на ребре призмы Кулона— Треска и не предполагающие столь жестких ограничений на скорости пластических деформаций, устанавливаемые традиционным для исследований

1 Ковалев Владимир Александрович (kovalev@migm.ru), кафедра прикладной математики Московского городского университета управления Правительства Москвы, 107045, Россия, г. Москва, ул. Сретенка, 28.

2Радаев Юрий Николаевич (radayev@ssu.samara.ru), кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

3А.Ю. Ишлинский называл эти зависимости условиями соосности тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций.

того времени требованием пропорциональности тензора скорости пластических деформаций и девиатора тензора напряжений. Впервые, в отчетливой форме А.Ю. Ишлинский указал на необходимость при построении теории пространственной задачи математической теории пластичности двух условий пластичности, уравнения несжимаемости и условий соосности тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, которые он принял в форме трех уравнений, следующих из перестановочности этих тензоров. В своей работе [1] А.Ю. Ишлинский писал: ’’Согласно предлагаемой теории идеальной пластичности два главных напряжения должны быть непременно равны друг другу, а третье отличаться от них на удвоенное критическое значение 2к. Таким образом для пространственной задачи пластичности имеют место два соотношения между главными напряжениями, подобно гипотезе полной пластичности Хаара и Кармана. Этим предлагаемая теория отличается от теорий Леви и Мизеса, в которых принимается единственное соотношение.” Таким образом, А.Ю. Ишлинский полностью отказался от ’ неассоциированного’ определяющего закона Леви [2] и дал корректное обобщение теории течения Сен-Венана [3, 4], предложенной для случая плоского деформированного состояния идеально пластических тел, на трехмерный случай.

Результаты А.Ю. Ишлинского предвосхитили более поздние исследования Д.Д. Ивлева [5, 6], в которых было показано фундаментальное значение условия полной пластичности Хаара—Кармана для всей математической теории пластичности и был развит соответствующий вариант теории пластичности: сингулярное условие текучести (в частности, ребро призмы Кулона—Треска) и обобщенный ассоциированный закон пластического течения.

В представляемой работе4 сначала (разделы 1-4) рассматриваются основные положения математической теории пластичности для пространственных состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска, следующие из обобщенного ассоциированного закона течения, который, как известно, в минимально возможной степени ограничивает свободу пластического течения для указанных состояний. Установлено (раздел 5), что пространственные соотношения математической теории пластичности, сформулированные А.Ю. Ишлинским в 1946 г., выводятся из указанного варианта теории течения. Показано, что определяющие соотношения А.Ю. Ишлинского для состояний на ребре призмы Кулона—Треска выражают перестановочность тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций. В разделе 6 найдена одна явная форма определяющей зависимости, связывающей тензор напряжений с приращениями пластических деформаций, для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска.

1. Ассоциированный закон течения является фундаментальным принци-

4Частично базирующейся на более ранних исследованиях [7, 8].

пом математической теории пластичности и устанавливает [7, 9, 10], что в пространстве напряжений вектор, представляющий тензор приращений пластических деформаций й£р', ортогонален регулярной поверхности текучести /(о) = 0 в данном напряженном состоянии о:

С1еР = —с[к.

до

Величина йк, называемая неопределенным множителем, положительна при активном пластическом нагружении, признаком которого является одновременное выполнение условий / = 0, й/ = 0. Следует отметить, что множитель йк не может быть вычислен через определяющие функции, и его значение должно вычисляться в процессе решения краевой задачи: множитель йк произволен в той степени, в какой это допускается уравнениями совместности полных деформаций, краевыми условиями и условиями сопряжения на границе раздела жесткой (упругой, если рассматривается упругопластическая задача) и пластической зон.

В формулировке ассоциированного закона течения участвует производная от скалярной функции текучести / по тензорному аргументу о, которая представляет собой тензор второго ранга и определяется согласно

д/ д/ ,

— = -^—А* «г7, до да^

где I] — контравариантные локальные базисные векторы криволинейной координатной системы. При дифференцировании по симметричному тензору второго ранга имеем

д / д / „ ,

_ = _8ут(1

т.е. тензор

д_1

да

симметричен.

Для изотропного тела критерий текучести /(о) = 0 связывает некоторой зависимостью главные нормальные напряжения

/

причем функция текучести / на самом деле зависит от трех независимых симметрических комбинаций главных нормальных напряжений; в качестве таковых могут быть выбраны линейная, квадратичная и кубическая сим-

5Речь идет о шестимерном пространстве напряжений. Ясно, что геометрические об-

разы в таком пространстве довольно трудно себе представить. Однако в случае изо-

тропного тела, как известно, можно получить геометрические образы основных соотношений математической теории пластичности в трехмерном пространстве главных напряжений.

метрические формы главных нормальных напряжений

/х = ах + а2 + аз,

/2 = -

/з = аха2аз,

называемые главными инвариантами тензора напряжений о.

В теории идеальной пластичности обычно предполагается, что гидростатическое напряжение никак не влияет на текучесть, а поэтому функция текучести / в действительности зависит лишь от разностей главных нормальных напряжений, т.е. от главных касательных напряжений

а2 - аз аз - ах ах - а2

XX - —2~> ^2 - , тз - —

или от двух независимых инвариантов девиатора тензора напряжений

х

. л. 2 2 2

/2 = —(*51 *52 + *51*53 + *52*53) = + 52 + 5з)’

1

/3 — 5x52^3 — + ^2 + *53),

которые также могут быть выражены через разности собственных значений тензора напряжений

1 2 2 2

]2 = £((°1 ” °2) + (02 ~ Оз) + (Оз - О і) ),

/3 = ^г(2Ох - 02 - Оз)(2о2 - Оз - 0х)(203 - Ох - о2).

3 27

В итоге наиболее общими формами критерия текучести изотропного тела являются: форма в главных касательных напряжениях

І

и форма в главных инвариантах девиатора тензора напряжений

І

Ассоциированный закон течения (1) для изотропного тела устанавливает соосность тензоров и О. Действительно, если І = І(Оі, 02, Оз) — регулярная изотропная функция тензора напряжений О, то

д І д І д І д І

— = -----1 <8> 1 н-ІП  ти----п <8> п,

дО дО1 дОз дО2

где 1, т, п — ортонормированный базис из собственных векторов тензора напряжений.

В главных осях тензора напряжений ассоциированный закон течения изотропного тела (1) имеет следующий вид:

1 доі

где здесь и в дальнейшем йер — собственные значения тензора приращений пластических деформаций й£ре, которые, вообще говоря, отличаются от приращений собственных значений ер тензора пластических деформаций £р. С учетом этого замечания спектральное разложение тензора йгр представляется как

р р р р йг = 1 <8> 1йех + т <8> тйе2 + п <8> пйез.

Для изотропного тела в силу указанной выше формы критерия текучести (2) и ассоциированного закона течения (7) наиболее удобно геометрическое представление основных соотношений в трехмерном пространстве главных напряжений Хэя—Вестергарда (В.Р. Haigh, 1920 г.; Н.М. ^ев1е^аагё, 1920 г.).

В пространстве главных напряжений тензор напряжений о представляется связанным вектором с компонентами (ах,а2,аз), а тензор приращений пластических деформаций йгр — свободным вектором, компоненты которого есть (йер, й&р, й&Р). Длины этих векторов мы будем обозначать соответственно через |о|, |йвр|:

|о| = + с>2 + °з’ \^Р\ = ^(йер)2 + (с1гр)2 + (йе^)2.

В пространстве главных напряжений критерий текучести (2) определяет некоторую поверхность — поверхность текучести. Плоскость в пространстве главных напряжений, равнонаклоненная к декартовым осям этого пространства (синоптическая плоскость), называется девиаторной плоскостью. Она задается уравнением ах + а2 + аз = 0. Поверхность текучести представляет собой цилиндр с образующей, перпендикулярной девиаторной плоскости. Кривая пересечения поверхности текучести и девиаторной плоскости называется кривой текучести. Ясно, что начало координат пространства главных напряжений располагается внутри кривой текучести и любой радиус может пересекать кривую текучести только один раз. Кривая текучести изотропного тела имеет шесть осей симметрии: она симметрична относительно прямых, являющихся проекциями (проектирование осуществляется параллельно оси ах = а2 = аз) декартовых осей ах, а2, аз на девиаторную плоскость, и прямых, расположенных в девиаторной плоскости ортогональ-

7

но указанным проекциям .

Ассоциированный закон течения изотропного тела, в случае, когда функция текучести зависит лишь от разностей главных нормальных напряжений, позволяет заключить, что пластическое течение несжимаемо, т.е.

йер + йер + йер = 0.

6Или главные приращения пластических деформаций.

7Прямые, расположенные в девиаторной плоскости ортогонально проекциям декартовых осей пространства главных напряжений, называются линиями чистого сдвига и представляют собой траектории нагружения, соответствующие деформациям чистого сдвига.

Следовательно, вектор, представляющий в пространстве главных напряжений тензор deP, всегда параллелен девиаторной плоскости, и поэтому всегда ортогонален кривой текучести. Длина этого вектора |d£P| ассоциированным законом течения никак не ограничивается.

2. Сен-Венаном, на основании опытных данных Треска, было предложено условие пластичности, состоящее в том, что текучесть тела наступает как только максимальное касательное напряжение Tmax достигает некоторого критического значения k:

Tmax _ к•

Здесь постоянная к представляет собой предел текучести при чистом сдвиге. В период 1864-1872 гг. Треска провел большую серию экспериментов по выдавливанию металлов через матрицы различных форм, указав на постоянство максимального касательного напряжения в пластическом состоянии. Сен-Венан одним из первых признал важность открытия Треска и использовал критерий максимального касательного напряжения для построения математической теории пластичности.

Условие текучести Треска8 или условие максимального касательного напряжения выражается в терминах главных нормальных напряжений в форме

max

к — предел текучести при чистом сдвиге.

Величины

02 - 03 03 - 01 01 - 02 /„ч

Т1 = --~---> т2 = --- --, х3 = —-—

1 2 2 2 3 2

называются главными касательными напряжениями и представляют собой, как известно, экстремальные значения касательных напряжений для

9

всех возможных площадок, проходящих через заданную точку .

В пространстве главных напряжений поверхность текучести, определяемая уравнением (8), представляет собой правильную шестигранную призму (призма Кулона—Треска), ось которой равнонаклонена к декартовым осям этого пространства. Кривая текучести (сечение призмы Кулона—Треска де-виаторной плоскостью 01 + 02 + 03 = 0) представляет собой правильный шестиугольник с центром в начале координат и стороной, равной 2 sfTJbk.

Используя главные касательные напряжения, уравнение призмы может быть представлено в форме

[т^ - k2j [т2 - k2j [т2 - k2j = 0.

Равенство sgn(Ty)Ty = k (у = 1,2,3) может достигаться лишь для одного из трех главных касательных напряжений, если ни одно из них не равно нулю,

8В научной литературе разных стран иногда это условие текучести связывают (с различной степенью обоснованности) с именами Кулона (C.A. Coulomb, 1773 г.), Геста (J. Guest, 1900 г.) и Мора (O.Mohr, 1900 г.).

9Индексы в обозначениях для главных касательных напряжений выбраны, исходя из правила циклической перестановки.

или для двух, если третье главное касательное напряжение при этом равно нулю (тогда какие-либо два из главных напряжений равны друг другу).

Это же уравнение, выраженное через главные инварианты девиатора тензора напряжений /2, /, будет иметь следующий вид:

4/2з - 27/з2 - Эбк2/22 + 96к4/2 = 64кб

или

8

Уравнение призмы в такой сложной форме (найденное впервые М. Леви) практически бесполезно, никогда не применяется и представляет главным образом исторический интерес10.

3. Ассоциированный закон течения однозначно определяет направление вектора, представляющего приращения пластических деформаций в пространстве главных напряжений, только в регулярных точках поверхности текучести. Если напряженное состояние соответствует ребру (угловой точке) или конической особенности на поверхности текучести, то необходимы дальнейшие предположения для вывода корректного определяющего закона. Обобщение ассоциированного закона на случай поверхности текучести с угловой точкой предложено Койтером в 1953 г. Это обобщение (см. [11]) основано на следующем принципе суперпозиции: особые точки поверхности текучести представляются как пересечение конечного числа р гладких поверхностей текучести /у(а) = 0, каждая из гладких поверхностей текучести дает аддитивный вклад (с соответствующим неопределенным множителем) в величину приращения пластической деформации.

Активное нагружение, сопровождающееся изменением пластических деформаций, определяется условиями

/ш = 0, й/ = 0,

/к = 0, й/ < 0 или /К < 0, где индексы ш и к различны, и их значения в совокупности исчерпывают все значения индекса у = \, 2,..., р, причем индекс ш пробегает непустое множество значений.

Полное приращение йгр есть сумма соответствующих всем индексам ш приращений йгр(ш):

йгр = 2 йер(ш),

ш

где каждое приращение йгр(ш) вычисляется согласно ассоциированному закону течения с регулярной функцией текучести /ш

й£Дсо) =

да

10Как указывалось В.В. Соколовским, в оригинальной работе М. Леви цифры з и 4 во втором члене уравнения (12) ошибочно переменены местами, что было обнаружено И.Я. Штаерманом. См. по этому поводу: Соколовский В.В. Теория пластичности. М., Л.: Гостехтеоретиздат, 1950. С. 67, 68.

а величины йХш должны быть положительными. Множители йХш неопределенны в том смысле, что они не могут быть вычислены через определяющие функции и произвольны до такой степени, в какой это допускается условями совместности полных деформаций, краевыми условиями и условиями сопряжения на поверхностях, ограничивающих пластическую зону.

Окончательно обобщенный ассоциированный закон течения принимает следующий вид:

й*р = 2

Р д/у

йХу,

л да

^

йХу > 0 (/ = 0, й/у = 0),

йХу = 0 (/у = 0, й/у < 0 или /у < 0).

Геометрически обобщенный ассоциированный закон течения устанавливает, что в угловой точке поверхности текучести вектор, представляющий приращения пластических деформаций в пространстве напряжений, является линейной комбинацией нормальных к поверхностям /ш = 0 в указанной точке векторов, причем ни абсолютная величина, ни направление указанного вектора в угловой точке поверхности нагружения обобщенным ассоциированным законом течения не фиксируются, а остаются неопределенными. Так, в угловой точке шестиугольника Треска вектор, представляющий приращения пластических деформаций, может иметь любое абсолютное значение и занимать любое положение между нормалями к сторонам шестиугольника, сходящимся в угловую точку.

4. Рассмотрим уравнения обобщенного ассоциированного закона течения применительно к условию текучести Треска. Обозначая, как обычно, через Т1, Т2, Тз экстремальные (главные) касательные напряжения

02 - Оз Оз - 01 01 - 02

Т1 ~~ 2 ’ Т2 ~~ 2 ’ ТЗ ~~ 2 ’

имеем

^ здп(Ту) ^(ГКу (у = 1,2,3),

у

йХу > 0, если 8дп(Ту) Ту = к и йТу = 0, йХу = 0, если 8дп(Ту) Ту = к и 8дп(Ту) йТу < 0 или 8дп(Ту) Ту < к,

где индекс у пробегает значения 1, 2, з, однако суммирование в правой части (14) распространяется лишь на те значения у, для которых вдп(Ту) Ту =

= к и йТу = 0, т.е. в правой части содержится не более двух слагаемых. При записи выражения для главного касательного напряжения Ту не должна учитываться симметрия тензора напряжений, иначе значения частных производных

дТу

дач

в правой части (14) будут вычислены неправильно.

Обобщенный ассоциированный с условием пластичности Треска закон течения (14) устанавливает, что пластические деформации появляются в результате сдвига (скольжения) на тех площадках, где касательные напряжения по абсолютной величине достигают предельно возможного значения, причем скольжение происходит в направлении действия максимального касательного напряжения так, что оно совершает положительную работу.

Частные производные в правой части (14) в координатной системе, ориентированной вдоль главных осей тензора напряжений, в том случае, когда указанная координатная система однозначно определена (т.е. когда ни одно из главных касательных напряжений Ту не равно нулю), без труда вычисляются, если заметить, что тогда

и, следовательно, дві doij

о = diag

= 6iibij

Эта формула — координатное представление основных тензорных соотношений для дифференцирования собственных значений Ох, 02, 03 симметричного тензора второго ранга по самому тензору о

дох до2 до3

---=1

до до до

В результате в указанной координатной системе находим

дті дті 1

да33 да22 2’

дх2 дх2 1

дои да33 2’

дх3 дх3 1

^022 д0ц 2 Остальные частные производные равны нулю.

Непосредственный подсчет с помощью (14), (17) показывает, что в главных осях напряжений матрица тензора d£P диагональна

deP = diag (dE1, de2, de3),

т.е. ориентации главных осей напряжений и главных осей приращений деформаций одинаковы.

В случае течения на ребре призмы Кулона—Треска 03 - 01 = 2k, 03 - 02 = = 2k, когда имеет место равенство двух главных нормальных напряжений

01 = 02, равенства (15), (17) в координатной системе, связанной с главными направлениями тензора напряжений, остаются справедливыми, правда, неопределенной будет сама координатная система, ибо неопределенны ориентации векторов l, m, с помощью которой эти равенства формулируются11.

11Именно по этой причине координатная форма записи обобщенного ассоциирован-

Подсчет суммы главных приращений dep на основании (14), (17) позволяет заключить, что выполняется условие несжимаемости.

Обратимся к более детальному исследованию уравнений обобщенного ассоциированного закона течения, предполагая, что напряженное состояние соответствует ребру призмы Кулона—Треска, а третье главное напряжение является максимальным: 03 -01 = 2k, 03 -02 = 2k. Ясно, что при этом имеет место равенство двух главных напряжений 01 = 02. В терминах главных касательных напряжений этот случай характеризуется выполнением условий Т1 = -k, Т2 = k, Т3 = 0.

Равенство двух главных напряжений 01 = 02 означает, что любое направление, расположенное в плоскости, ортогональной вектору n, является главным. Ясно поэтому, что при соответствии напряженного состояния ребру призмы Кулона—Треска, т.е. в состоянии полной пластичности, имеется известная доля произвола при выборе собственных векторов l и m (они определены с точностью до поворота в плоскости, ортогональной вектору n). Их преимущественное положение в упомянутой плоскости указывается ориентацией собственных векторов тензора приращений пластических деформаций d£P, который в силу обобщенного ассоциированного закона течения должен быть соосен тензору напряжений о и обладает, поскольку, вообще говоря, de1 Ф d&2, уникальным триэдром главных направлений. Следовательно, обобщенный ассоциированный закон течения, сформулированный для ребра призмы Кулона—Треска, устанавливает совпадение только одной из трех главных осей тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, накладывая тем самым минимум кинематических ограничений. Это обстоятельство мы будем характеризовать термином ” 1/3-соосность” тензоров d£P и о.

Для течения на ребре призмы Кулона—Треска ” 1/3-соосность” тензоров d£P и о достаточна для их соосности в том смысле, что существует хотя бы одна тройка взаимно ортогональных направлений, которая будет главной как для тензора deP, так и для тензора о. Действительно, тензор deP, будучи симметричным тензором второго ранга, обладает, по меньшей мере, одной тройкой ортогональных друг другу главных осей. Одна из главных осей имеет направление вектора n, поэтому две другие располагаются в плоскости, ортогональной вектору n. Поскольку в этой плоскости любое направление будет главным для тензора напряжений о, то остается только причислить те две оси к главным осям напряжений, чтобы указать общую (для тензоров d£.P и о) тройку главных осей. Итак, при исследовании теченого закона течения (14), в отличие от прямой тензорной записи, не вполне отражает существо ситуации, соответствующей течению на ребре призмы Кулона—Треска. Частные производные

дТу

dotj ’

вычисляются в главных осях напряжений согласно (17) в координатной системе, которая не вполне определена.

ния на ребре призмы Кулона—Треска никогда не следует забывать об указанном обстоятельстве: триэдр главных направлений тензора приращений пластических деформаций всегда будет и триэдром главных направлений тензора напряжений о, но не всякий триэдр главных направлений тензора напряжений будет триэдром главных направлений тензора приращений пластических деформаций.

Обозначая, как было оговорено выше, через собственные значения тензора приращений пластических деформаций, соотношения обобщенного ассоциированного закона течения для ребра призмы Кулона—Треска Тх = = -к, Т2 = к, Тз = 0 представим в общих главных осях напряжений и приращений пластических деформаций в виде

= —й^2,

= -йХх,

= йкх + й^2,

где йХу —неопределенные множители теории идеальной пластичности. Следовательно, обобщенный ассоциированный закон течения, сформулированный для ребра призмы Кулона—Треска, эквивалентен двум условиям: условию ” 1/3-соосности” тензоров йір и о и условию

= 0,

характеризующему несжимаемость пластического деформирования.

Заметим также, что в случае течения на ребре призмы Кулона—Треска Тх = -к, Т2 = к, Тз = 0 обобщенный ассоциированный закон течения накладывает следующие ограничения на знаки главных приращений пластических деформаций:

< 0, < 0, > 0.

Таким образом, становится ясным, что формулировка пространственных уравнений теории пластичности на основе условия полной пластичности и обобщенного ассоциированного закона течения на ребре призмы Кулона— Треска является непосредственным обобщением уравнений Сен-Венана для плоской задачи [3], [4] со всеми особенностями, присущими теории плоской задачи: формальная статическая определимость и гиперболичность уравнений.

5. В точности такие же уравнения пространственной задачи математической теории пластичности были установлены А.Ю. Ишлинским [1] в 1946 г. (См. также: Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Т. I. Механика вязкопластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. С. 62-83. Здесь на с. 80 приводится полная система уравнений для пространственной задачи математической теории пластичности в рамках гипотезы полной пластичности Хаара—Кармана.) В этой работе А.Ю. Ишлинский отказался от ”неассоциированного” определяющего закона Леви [2] и дал корректное обобщение теории течения Сен-Венана [3], [4] на трехмерный случай. В яв-

ной форме он указал на необходимость при построении теории пространственной задачи двух условий пластичности

/1(01, 02, 03) = 0, /2(01, 02, 03) = 0,

в качестве которых он принял уравнения двух пересекающихся граней призмы Кулона—Треска, уравнения несжимаемости и условий соосности тензоров d£.P и о, которые он принял в следующем виде:

011 de12 + 012de22 + 013de23 = 021deu + 022de12 + 023de13,

021 de31 + 022de32 + 023de33 = 031de21 + 032de22 + 033de23,

031 den + 032de12 + 033de13 = 0nde31 + 0^de32 + 013de33.

Три последних уравнения, по существу, выражают перестановочность тензоров d£P и о, т.е.

о  (d£P) = (d£P)  о.

Обосновать перестановочность двух тензоров второго ранга, если они соосны, довольно просто: поскольку тензоры d£P и о имеют, по крайней мере, одну общую ортонормированную тройку собственных векторов, то ее можно принять в качестве базиса, а в этом базисе матрицы рассматриваемых тензоров диагональны

о = diag

и, следовательно, перестановочны.

Справедливо и обратное утверждение: если два симметричных тензора второго ранга A и B перестановочны, то они соосны, т.е. имеют, по крайней мере, одну общую тройку взаимно ортогональных главных осей. Доказательство разобьем на три случая.

Сначала предположим, что все собственные значения симметричного тензора A различны, и то же самое предположим относительно тензора B:

1 1 1 1 1 1

al a2 a3 * О, bl b2 Ьз

a\ a22 a3 bl b2 иг b2 з

Если к — собственный вектор тензора А, то Ак = Хк, и поскольку

В  Ак = А  Вк = ХВк,

Вк — собственный вектор тензора А с тем же самым собственным значением Х. В силу одномерности собственных подпространств тензора А имеем Вк = цк, следовательно, к — собственный вектор тензора В. Аналогичные рассуждения приводят к заключению о том, что если я — собственный вектор тензора В, то я — собственный вектор тензора А. Но это означает, что тензоры А и В соосны. Остается рассмотреть случаи, когда один из тензоров А или В (или они оба) имеет (имеют) кратные собственные значения.

Предположим, что один из тензоров А или В имеет три одинаковых собственных значения. Тогда он пропорционален единичному тензору I, а для него любой триэдр взаимно ортогональных направлений будет главным. И в этом случае тензоры А и В оказываются соосными.

Наконец предположим, что один из тензоров (скажем, тензор А) имеет ровно два одинаковых собственных значения ах = а2 + аз. Наличие или отсутствие кратных собственных значений у тензора В в дальнейших рассуждениях несущественно. Тройку взаимно ортогональных собственных векторов тензора А обозначим через кj. Вектор кз будет также и собственным вектором тензора В (см. первый случай). Два других собственных вектора тензора В будут располагаться в плоскости, ортогональной вектору к3. В плоскости, ортогональной вектору к3, любое направление будет главным для тензора А, поэтому вектор кх всегда можно повернуть в указанной плоскости так, чтобы он стал также и собственным вектором тензора В. Остается построить вектор к2, ортогонально векторам кх и к3, чтобы указать общую тройку взаимно ортогональных главных осей тензоров А и В. Доказательство, тем самым, завершается.

В декартовой системе координат перестановочность тензоров йгр и о приводит к соотношениям

которые при г = 1, ] = 2; г = 2, ] = 3; г = 3, ] = 1 дают соотношения соосности Ишлинского.

По причинам, рассмотренным выше, соотношения соосности Ишлинского можно назвать также соотношениями перестановочности.

Соотношения перестановочности Ишлинского в качестве следствия приводят к симметрии тензора о  йгр. Действительно, из симметрии каждого из тензоров йгр и о и их перестановочности следует

Р Т рТ т р р

(о  йг ) = йг  о = йг  о = о  йг ,

т.е.

Итак, в случае течения на ребре призмы Кулона—Треска ” 1/3-соосность” тензоров йгр и о достаточна для их соосности, понимаемой в том смысле, что существует хотя бы одна тройка взаимно ортогональных направлений, которая будет главной как для тензора йгр, так и для тензора о. Поэтому ” 1/3-соосность” тензоров йгр и о влечет перестановочность тензоров йгр и о, фиксируемую посредством соотношений перестановочности А.Ю. Ишлинского (20) и соотношения симметрии (22). В итоге приходим к заключению: пространственные соотношения Ишлинского полностью сохраняют свое значение в современной математической теории пластичности и их можно использовать при постановке и решении задач теории идеальной пластичности, поскольку они являются следствиями обобщенного ассоциированного закона течения в случае течения на ребре призмы Кулона— Треска.

6. Условие ” 1/3-соосности” тензоров йгр и о для состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска, приводит к другим важным тензорным соотношениям, не сводящимся только к соотношению перестановочности.

Предположим, что имеются два симметричных тензора второго ранга А и В. Обозначим через ау и Ьу собственные значения тензоров А и В, занумеровав их в порядке убывания: аз ^ а2 ^ ах, Ьз ^ Ь2 ^ Ьх. Тогда собственные значения девиаторов А', В' могут быть вычислены в тригонометрической форме

Углы а и в называются ’’углами вида” тензоров А и В. Вводя затем ’’направляющие” тензоры

нетрудно показать12, что если главные оси тензора В являются также главными осями тензора А, то направляющие тензоры связаны уравнением

12См.: Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. С. 103-105. В.В. Новожилов приписывает этот результат Рейнеру (M. Reiner, 1945). Его собственный результат относится к 1951 г.: Новожилов В.В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругой среде// Прикл. матем. и механика. 1951. Т. 15. Вып. 2. С. 183-194. Эта статья воспроизводится также в книге: Новожилов В.В. Вопросы механики сплошной среды. Л.: Судостроение, 1989. С. 78-92.

V3

где

где

ІВ'І = -5= V(*1 - b2)2 + (йх - Ьз)2 + Фг - Ьз)2.

V6

В русскоязычной научной литературе эта формула называется трехчленной формулой Новожилова. При ее выводе необходимо предполагать, что все собственные значения тензора В различны между собой, т.е.

Ьх ф Ь2 Ф Ь3 ф Ьх.

Угол в - а называется фазой подобия девиаторов А', В'. Если этот угол становиться равным нулю, то направляющие тензоры оказываются равными

А = В'.

Вывод трехчленной формулы (25) можно осуществить, например, следующим образом. Пусть кх, к2, кз —ортонормированный базис, в котором тензор В становится диагональным. В этом базисе тензор А также диаго-нален. Поэтому можно воспользоваться их спектральными разложениями

А = ахкх <8> кх + а2к2 <8> к2 + азкз <8> кз,

В = Ьх кх  кх + Ь2к2 <8> к2 + Ьз кз <8> кз.

С помощью системы трех уравнений

I = кх  кх + к2 <8> к2 + кз <8> кз,

В = Ьхкх <8> кх + Ь2к2 <8> к2 + Ьзкз <8> кз,

2 2 2 2 В = Ьхкх <8> кх + Ь2к2 <8> к2 + Ь3кз <8> кз,

определитель которой

х х х

Д = Ьх Ь2 Ьз

Ь2х Ь22 Ь2

в силу Ьх Ф Ьз ф Ьз ф Ьх отличен от нуля, находим базисные диады в виде

кх <8> кх = — Д

х

кз  кз =

Д

I х х

В Ьз Ьз

В3 Ьз и3 Ьз из

х X I

Ьх Ьз В

Ьх Ь3 В3

к2  к2 = — Д

х I х

Ьх В Ьз

Ь2 В2 Ьз из

Подставляя полученные выражения для базисных диад в спектральное разложение тензора А, приходим к трехчленному представлению

А = С3В  В + СхВ + С01,

где

Д0 Дх Д2

ДДД

причем

«1 «2 «3 1 1 1

До - Ь1 Ь2 Ь , Д1 - «1 «2 «3

Ь1 Ь2 2 Ь2 ^3 Ь1 Ь2 2 Ь2 3

1 1 1

Д2 - Ь1 Ь2 Ь

«1 «2 «3

Эти рассуждения в равной мере применимы и к девиаторам Л', Б'. Следовательно, имеет место представление

Л' = С Б'  Б' + С1 Б' + С01,

где

ДО

С'о=—>

0 Д'

Д' -

г /

«1 «2

Ь1 Ь2

12 ' Ь1 Ь'2 2

1 1 1

Ь1 Ь'2 Ь3

«1 «2 «3

г' -г1 -

Ь1

Д'

1

Ь2

д;

с; = —,

2 Д'

1

Ь'

ь12 к;2 К

“3

Ь3

Ь' 2

^3

1 1 1

, Д1 - «1 «2 «3

Ь12 2 2 ' 2 Ь Ь'2 и3

Д0 -

Д2 -

Формула (25) получается из (27) с помощью тригонометрических формул (23), (24) для собственных значений тензоров Л', Б'.

В случае, когда «1 - «2, в уравнении (25) следует положить

п

а=6‘

Если Ь1 - Ь2, то трехчленное соотношение (25) между тензорами Л' и Б' не имеет места, за исключением того случая, когда «1 - «2.

Если одновременно Ь1 - Ь2 и «1 - «2, то трехчленное соотношение, как мы сейчас увидим, приводится к равенству направляющих тензоров Л' -= В'. Действительно, когда «1 - «2 и девиаторы Л', Б' становятся подобными, т.е.

п п

а=6- ^6-

откуда следует

то, раскрывая неопределенности

5111 (р-?

сое 3(3

Ь1 - Ь2,

п

в

cos ^2|3 + — j

п

cos 3(3 3 6

видно, что уравнение (25) приобретает форму

~ 2~ 1

А' = ЇВ' - -F з V3

2

В' В - -I

3

Эта трехчленная формула на самом деле приводится к равенству Л' = В'. Действительно, если Ьх = &2, то

I = (кх <8> кх + к2 <8> к2) + кз <8> кз,

В = Ьх(кх <8> кх + к2  к2) + Ьзкз <8> кз,

откуда находим

k3  k3 -

,, i I i ,,, I i ,,,

ib В , кх <8> кх + к2  кг = -ft ,, В b3 ,,

где

Поскольку

то

следовательно,

6 -

1 1

bi b3

В  В - b2(ki <g> ki + k2 <g> k2) + b2k3 <g> k3,

5ВВ - b

,,, I i + ь3 ,,, i I ,,,

,, В b3 3 ,, bi В ,,

В  В = -ЬхЬз1 + (Ьх + Ьз)В.

Полученную формулу можно применить к девиатору, поэтому

в'  в' = -ь'хьз1 + (Ь'х + ьз)в',

и, учитывая тригонометрические представления для собственных значений

девиатора

2 , ,2 \ , , ъ\ъ\ = — В' , ь\+ь'= —- В' ,

13 31 1 ’ 1 3 Уз1 1

приходим к

или

2 , ,2 1 , ,

В' В' = - В' I-— в' в', З1 1 V3

В' В' = -I - —В'.

3 V3

На основании этой формулы равенство (28) приводится к Л' = В'.

i

ft

Применяя полученные результаты в случае А = о, В = й£рприходим к уравнению

de*dejk - \ьч

Прямая тензорная запись последнего уравнения есть

—-— \ cos(2\|/ + $)dep + V3 sin(\|/ - •&) cos Зу I tj

і

s =

cos

dzp  dzp - -I З

cos 3y

Здесь фаза ft (угол вида напряженного состояния) представляет собой угол наклона вектора, представляющего девиатор тензора напряжений, к соответствующей оси чистого сдвига. Для состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска, этот угол постоянен13, и, кроме того, для указанных состояний

~ = dl..

Sij 2к Sij'

Поэтому уравнение (29) можно также представить в следующем виде:

2 к 1 л/з cos 3\|/

cos

V2dEP.

+

def def

Is Is

2 V3 sin

d&P deP і

tk jk

dzp dzp 3 ^

ls ls

Здесь мы пока не уточняем значение угла 0'. Соответствующая прямая запись уравнения (31) есть

2k

і

s=

л/з cos Зу

cos

^j2d£F

л/tr

+2 V3 sin

d£P  d£

P

і

tr (deP  deP) 3

Угол у - 0' называется фазой подобия девиатора тензора напряжений 8 и тензора приращений пластических деформаций dгP.

Внося в уравнение (31) значение угла 0 в случае ох = о2 = 03 + 2к, получим

2 к 1

л/3 cos Зу

cos ^2у + — j

V2dep.

def def

ls ls

+2V3

sin у

deP, deP і

tk jk 1 5

dzp dzp 3 l]'

ls ls

13Угол 0 должен отсчитываться в девиаторной плоскости пространства главных напряжений от линии чистого сдвига, ортогональной проекции на девиаторную плоскость второй координатной оси этого пространства. Для ребра призмы Кулона—Треска О] = = о2 = о3 + 2к, очевидно, имеем

0= -.

6

sij =

+

sij =

или

2 к 1 л/з сое 3\|/

008 ^2у +

л\ л/2(1гр

6' -у/й-

+2 У3зт(\|/ - —

п

й£р • йгр

1:г (йгр

1

йер) 3

Здесь угол у выражается согласно

у =

2йе^ - - йер

л[Ъ{с1гР1 - с1гр)

Необходимо помнить, что вывод уравнения (34) законен только при выполнении условий йеР ф йеР ф йеЗр Ф йе^, т.е. когда все собственные значения тензора йгР различны между собой. Заметим также, что действительные приращения ds\, ds2, dsз равны нулю, если процесс нагружения развивается вдоль ребра призмы Кулона—Треска.

Тензорное уравнение (34) является, по существу, наиболее общей формой определяющей зависимости между напряжениями и приращениями пластических деформаций для состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска, основывающейся на обобщенном законе пластического течения, ассоциированном с условием пластичности Треска.

Заметим, что обращение (в смысле нахождения зависимости приращения й£Р от девиатора тензора напряжений 8 = о - о1 в форме, повторяющей (34)) тензорного уравнения (34) невозможно, поскольку для состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска, не всякая система главных осей тензора напряжений о будет таковой для тензора йер, что мы как раз и характеризуем термином ” 1/3-соосность”.

Тензорное уравнение (34), как и тензорное соотношение перестановочности Ишлинского, является следствием обобщенного ассоциированного закона течения.

Если тензор приращений пластических деформаций становится подобным девиатору тензора напряжений, то

п

6’

4 к

VI

л/2йгр. ч 1 йерйер гк ]к ~ \ьц

Уз с1гр с1гр 13 13

или в прямой тензорной записи

4к

Уз (з йЁО

йгр • йгр 1

-----------------— —I

1:г (йер • йер) 3

=

Последнее уравнение, как мы видели, приводится к

s' = deP.

Последняя форма определяющей зависимости слишком ограничительна, по сравнению с (34), поскольку не оставляет никакой ’’свободы” пластическому течению.

Литература

[1] Ишлинский, А.Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости / А.Ю. Ишлинский // Уч. зап. МГУ. Механика. 1946. Вып. 117. С. 90-108.

[2] Леви, М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости / М.Леви // Теория пластичности: Сб. ст. - М.: Гос. изд-во иностр. литры, 1948. С. 20-2314.

[3] De Saint-Venant, B. Sur l’etablissement des equations des mouvements interieurs operes dans les corps solides ductiles au dela des limites ой l’elasticite pourrait les ramener a leur premier etat / B.De Saint-Venant // Comptes Rendus de l’Ac. des Sciences, 1870, t. 70, pp. 473-480.

[4] De Saint-Venant, B. Memoire sur l’etablissement des equations differentielles des mouvements interieurs operes dans les corps solides ductiles au dela des limites ou l’elasticite pourrait les ramener a leur premier etat / B.De Saint-Venant // Liouville J. d. Math. Pures et Appl. Ser. II, 1871, t. 16, pp. 308-316, 373-38215.

[5] Ивлев, Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучих сред / Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика. 1958. Т. 22. Вып. 1. С. 90-9616.

[6] Ивлев, Д.Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска, и его обобщениях / Д.Д. Ивлев // Докл.

АН СССР. 1959. Т. 124. №3. С. 546-54917.

14Оригинальная работа: Levy M. Memoire sur les equations generales des mouvements interieurs des corps solides ductiles au dela des limites oU l’elasticite pourrait les ramener a leur premier etat // Comptes Rendus de l’Ac. des Sciences, 1870, t. 71, pp. 1323-1325.

15Имеется перевод на русский язык: Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости: Сб. ст. // Теория пластичности. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. С. 11-19.

16См. также: Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т. I. Теория идеальной пла-

стичности. М.: Физматлит, 2001. С. 5-14.

17См. также: Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т. I. Теория идеальной пластичности. М.: Физматлит, 2001. С. 15-20.

[7] Радаев, Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев. - 2-е изд. - Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2006. 340 с.

[8] Радаев, Ю.Н. О соотношениях перестановочности Ишлинского в математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - №6(56). - 2007. -С. 102-114.

[9] Качанов, Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. - М.: Наука, 1969. - 420 с.

[10] Ивлев, Д.Д. Теория идеальной пластичности / Д.Д. Ивлев. - М.: Наука, 1966. - 232 с.

[11] Koiter, W.T. Stress-strain relations, uniqueness and variational theorems for elastic-plastic material with a singular yield surface / W.T. Koiter // Quart. Appl. Math. 1953. - V. 11. - №3. - P. 350-354.

Поступила в редакцию 2//V/2008;

в окончательном варианте — 2//V/2008.

A FORM OF CONSTITUTIVE EQUATION OF THE MATHEMATICAL THEORY OF PLASTICITY FOR STATES CORRESPONDING TO AN EDGE OF THE COULOMB-TRESCA PRISM

© 2008 V.A. Kovalev,18 Y.N. Radayev19

Fundamental principles of the incremental mathematical theory of plasticity for three-dimensional states are discussed. Relations consequent to the generalized flow rule formulated for an edge of the Coulomb-Tresca prism are analyzed. The Ishlinsky constitutive equations of the mathematical plasticity proposed in 1946 for three-dimensional states are shown can be derived from the generalized flow rule constituting the commutative law for the stress tensor and plastic strain increment tensor. An explicit form of the three-dimensional constitutive equations for stress states corresponding to an edge of the Coulomb-Tresca prism is obtained.

Keywords and phrases: constitutive equation, flow rule, stress tensor, strain

increment, three-member formulae.

Paper received 2//V/2008.

Paper accepted 2//V/2008.

18Kovalev Vladimir Alexandrovich (kovalev@migm.ru), Dept. of Applied Mathematics,

Moscow City Government University of Management, Moscow, 107045, Russia.

19Radayev Yuri Nickolaevich (radayev@ssu.samara.ru), Dept. of Continuum Mechanics,

Samara State University, Samara, 443011, Russia.