Композитные производственные функции

Композитные производственные функции

Ершов Э.Б.

Предложен подход к введению производственных функций, в форме представления которых существенно учитываются соотношения используемых ресурсов. Композитная производственная функция определяется как максимум выпуска при использовании нескольких технологий, между которыми распределяются объемы ресурсов. Их свойства исследуются для технологий, характеризуемых базовыми производственными функциями, в качестве которых рассматриваются общие однородные неоклассические производственные функции (ПФ) и ПФ Кобба - Дугласа, CES и Леонтьева. Такие композитные ПФ получаются в виде непрерывных сплайнов, образуемых частями изоквант базовых ПФ и линейных ПФ, порождаемых в композиционных режимах распределениями ресурсов между несколькими базовыми ПФ.

Ключевые слова: распределение ресурсов между технологиями; базовые и композитные производственные функции; детерминированная граница производственных возможностей.

1. Введение

Используемые в производстве материалы обладают различными свойствами. Это порождает задачу создания из нескольких уже имеющихся материалов новых, так называемых композитных материалов, обладающих желательными свойствами. Известны примеры таких материалов, имеющих преимущества перед комбинируемыми в них составляющими.

В теории производственных функций такими базовыми составляющими являются производственные функции (ПФ) из их простейших классов. Класс определяется как параметрически задаваемое семейство функций нескольких действительных переменных, называемых факторами. Наиболее известными и применяемыми в практике моделирования экономических процессов являются классы линейных ПФ, ПФ Леонтьева, Кобба - Дугласа, транслоговых ПФ и ПФ с постоянной эластичностью замещения факторов (CES PF).

Ершов Эмиль Борисович - д.э.н., ведущий научный сотрудник научно-учебной лаборатории мак-роструктурного моделирования экономики России НИУ ВШЭ, профессор кафедры математической экономики и эконометрики факультета экономики НИУ ВШЭ. Email: emborer33@gmail.com.

Статья поступила в Редакцию в ноябре 2012 г.

Транслоговый и CES классы производственных функций можно рассматривать как включающие в себя более простые классы, получаемые из них предельными переходами в пространстве параметров.

Предлагались и исследовались также и другие обобщения ПФ Кобба - Дугласа и CES, в том числе ПФ LES с линейной эластичностью замещения факторов, ПФ Аллена и Сато [3], ПФ VES c переменной эластичностью замещения факторов [14], ПФ CMS [6], трансцендентальная ПФ [9], «вложенные» CES ПФ [13; 15], многорежимные ПФ [3; 4] и класс неявно задаваемых в аддитивной форме ПФ [10; 11; 12], включающий ПФ CRESH. Рассматривались также линейные по параметрам гибкие функциональные формы производственных функций [7; 8]. Но все эти классы ПФ предполагают фиксированное аналитическое представление ПФ в пространстве значений факторов.

В этих условиях гипотеза постоянства параметров для ПФ из выбранного класса не всегда удачно сочетается с обнаруживаемой изменчивостью изучаемой связи результирующего показателя производственной деятельности выделенной системы экономических объектов с динамичной совокупностью производственных факторов. Возможности адекватно моделировать такую связь с помощью ПФ из выбранного класса, значения параметров которых дискретно изменяются, а сам процесс изменения их значений во времени не объясняется и не моделируется, ограничены, что особенно проявляется при прогнозировании. Такие возможности расширяются, если рассматривать композитные ПФ, получаемые комбинированием производственных функций из базовых классов, используя гипотезу о применении нескольких технологий, между которыми распределяются основные производственные ресурсы.

Статья содержит обзор задач, подводящих к идее построения и использования композитных ПФ (в дальнейшем используется сокращение - КПФ), и новых результатов в этой области. В разделе 2 дается общее определение композитных производственных функций, исходящее из идеи оптимального использования технологий, каждая из которых определяется с помощью своей детерминированной ПФ или границы производственных возможностей, а заданные ресурсы распределяются между технологиями так, чтобы был максимален суммарный показатель общего выпуска. Производимая с помощью технологий продукция считается однородной. Таким образом, получаемая КПФ интерпретируется как потенциальный выпуск рассматриваемой производственной системы при фиксированных объемах ресурсов. Параметры базовых ПФ (БПФ) предполагаются известными. Раздел 3 иллюстрирует введенное определение КПФ на простейшем примере, в котором БПФ берутся из семейства линейных ПФ. Случай БПФ Леонтьева рассмотрен в разделе 4.

Пример получения композитных ПФ в конечном аналитическом виде, изученный в монографиях [16; 17], анализируется в разделе 5. Известные ПФ интерпретируются как композитные и получаемые из неоклассических БПФ, отличающихся только скалярными сомножителями. В разделе 6 на примере базовых ПФ Кобба - Дугласа показано, как именно условие совпадения эластичностей для каждого фактора у таких функций позволяет находить различные формы представления КПФ.

В разделе 7 исследуется случай двухфакторных КПФ, порождаемых оптимальным распределением ресурсов между двумя технологиями, характеризуемыми разными базовыми ПФ, одна из которых - ПФ Леонтьева - не является неоклассической. Семейство линий уровня для получаемой КПФ представляется в пространстве ресурсов в виде непре-

рывных вместе с их производными функций-сплайнов. В режиме композиции, т.е. там, где обе технологии используются, КПФ оказывается кусочно-линейной.

Для двухфакторных и линейно однородных пар БПФ из семейств ПФ Кобба - Дугласа и CES режимы их композиции исследованы в разделах 8-10. В разделе 11 для линейно однородных и неоклассических БПФ доказывается линейность вариантов порождаемого ими вполне композиционного режима, в котором во всех технологиях используются все ресурсы.

2. Определение композитных производственных функций и задача их синтеза

Композитная производственная функция определяется как решение следующей задачи вогнутой оптимизации:

т

(1) таххеп(Я)£ /k(%,,хкХ

к=1

в которой к - номер базовой технологии (к = 1,...,т), характеризуемой производственной функцией /(Хк) = /¿(хк1,.,хк1,.,хкп); У - номер производственного ресурса (1 = 1,...,п); Я = (ЯУ) - заданный набор доступных и используемых ресурсов (Я1 > 0); 0.(Я) = Отп(А) -множество неотрицательных распределений X = (хкУ) ресурсов между технологиями, заданное в виде

т

(2) О (Я): £ хи = Я, 1 = !, п; хи > 0.

к=1

Множество ЩЯ) представляет собой многогранник в (тп)-мерном вещественном пространстве, определяемый набором ресурсов Я = (Я). Неоклассические ПФ предполагаются дважды дифференцируемыми и удовлетворяющими условиям: /(0) = 0, /(X) > 0 при X > 0, д//дхУ > 0, д2// дх2< 0^

Будем называть эту задачу {[ /т];[Яп]} = {[ /1,..., /т];[Яь„,Яп]}-задачей. Под ее решением (^ЯКЖЯ)}, которое предполагается существующим, ограниченным сверху в силу свойств вогнутых базовых производственных функций /(Хк), понимается набор £(Я) = (Я)) функций хк1 = дк1 (Я) = дк1 (Я1,.,Яп) от объемов ресурсов и собственно композитная производственная функция

тт

Г(Я) = таххеп(Д)£ /k(-xkl,,хкп) = £ /k(gkl(Я),,ёк^^^

к=1 к=1

Для {[ /т];[Яп]}-задачи с использованием функции Лагранжа известны условия экстремальности первого порядка в виде системы уравнений на переменные (хк1, где -множитель Лагранжа для 1-го равенства в 0.тп(Я):

т

(3) д/k(xkl,,хкп)/дх1=к £хи=Я, 1=и-n, к=l,,т

к=1

Решение находится при заданных БПФ и объемах ресурсов численными методами и, как правило, не представляется в виде достаточно простых функций от ресурсов на всем положительном ортанте Я > 0. Следовательно, существование решения при фиксированных БПФ и объемах ресурсов и его численное нахождение в общем случае не представляется интересным. Для моделирования экономических процессов могут быть полезны частные случаи КПФ, в которых решение {-Р(Я); Ж Я)} находится в явном виде на объединенном пространстве ресурсов (Я > 0) и допустимых значений параметров рассматриваемых базовых производственных функций или их семейств. В таких случаях решается задача синтеза для некоторого класса КПФ, который может совпасть или не совпасть с известным семейством ПФ.

Такой синтез дает исследователю новые возможности, позволяющие преодолевать ограниченность гипотез постоянства формы и значений параметров используемых базовых ПФ, поскольку в Г(Я) может реализоваться механизм потенциального приспособления производственной системы к внешним условиям функционирования. Такие условия проявляются в объемах и структуре реально доступных системе ресурсов, от которых может достаточно сложным образом зависеть аналитическая форма представления композитной производственной функции.

3. Композитные производственные функции для линейных базовых производственных функций

В простейшем случае базовые производственные функции являются линейными по всем ресурсам:

п

к (X,) = £ ал, ак1 > 0, £(ак1 )2 > 0.

1=1 1

В этом случае задача синтеза решения {-Р(Я); д(Я)} решается очевидным образом:

т

Р(Я) = ^ (аха)) ^ = 0, если 1Ф axgmax¡alí¡; ^ = Я, если 1 = а^тах^,

к=1

Это решение уточняется, если множество а^тахл ак1 имеет более одного элемента и можно рассматривать варианты оптимальных распределений ресурсов. Заметим, что включение в БПФ ненулевых констант ак0 не меняет это решение, но не интерпретируется экономически, поскольку при неиспользуемых в к-й технологии ресурсах /¡(0) = ак0 Ф 0.

Линейные ПФ привлекают к себе внимание потому, что многие экономисты характеризуют их как вполне соответствующие потребностям практического моделирования, несмотря на постулируемый в них упрощенный характер взаимозаменяемости факторов.

4. Композитные производственные функции и задачи линейного программирования

Помимо рассмотренного в разделе 3 случая линейных базовых ПФ детально изучены и применяются в моделях, сводимых к задачам линейного программирования, базовые ПФ Леонтьева. Но в этом случае задача синтеза КПФ оказывается эквивалентной задаче построения в многомерном пространстве семейства многогранников со многими вершинами и гранями различных размерностей, не имеющей наглядного решения.

Существо возникающих на таком пути трудностей становится ясным, когда в качестве БПФ используются т ПФ Леонтьева с п факторами /к(хк1,..,хкп) = тш,(хи/ак) = ук и максимизируется критерий ^ ук на многограннике 0.(Я)\

к

т

X ак1Ук < Я, ук1 > 0,1 = 1,...,п.

к=1

С помощью решения двойственной задачи к этой задаче линейного программирования определяются те неэффективные технологии, использование которых невозможно в оптимальном решении. Множество остальных, эффективных технологий существенно зависит от положительных коэффициентов а = (ак1) и ресурсов Я = (Я). Заведомо существующие оптимальные решения {ук(Я;а)°р'} и КПФ Г(Я,а) как функции от параметров (Я,а) задачи в общем и многомерном случае, несмотря на ее кажущуюся простоту, определять конструктивно трудно и вряд ли целесообразно.

Но при двух ресурсах (п = 2) и фиксированных коэффициентах (ак1) семейство линий уровня КПФ в неотрицательном ортанте двумерной плоскости переменных (Я1, Я2) находится в явном виде. Такие линии уровня представляют собой непрерывные кусочно-линейные сплайны, узлы которых лежат на лучах, соответствующих отношениям затрат (ак2/ак1) для эффективных технологий. Линейная однородность БПФ и КПФ позволяет ограничиться построением одной из линий уровня. В работе [5] для двух ресурсов и двух БПФ Леонтьева КПФ получена в следующем виде:

ЯЯ) = ^(Я), если Я2/ Я1 > а22/ а21; Г(Я) = 1(Я), если а12/ а11 > Я2/ Я1;

F(Я) = [(ап - а21 )Я2 + (а22 - аи)Я1 ]/(апа22 - а12а21), если а^/ а^ < Я;/Я < а22 /а21.

При этом предполагается, что обе технологии эффективны и для коэффициентов (ак1) выполняются неравенства: а21 < а11, а12 < а22. На рис. 1 изображены линии уровня такой линейно-однородной КПФ.

Однородные первой степени базовые ПФ Леонтьева, по-видимому, были первым примером композитных ПФ, для которых в режиме одновременного использования нескольких технологий (в режиме композиции) линии или поверхности уровня становились частями прямых или плоскостей. Это свойство таких КПФ дало некоторое локальное оправдание использования линейных ПФ в прикладном моделировании, привлекло внимание к последствиям их применения в линейных моделях. В то же время оно показало, что в режиме композиции КПФ могут приобретать свойства, не присущие используемым в нем базовым производственным функциям.

ПФ шт^/агь х2/а22)

Я,

Рис. 1. Линии уровня КПФ

2

= таххЕОД ^ тт(хк1 / ай; Хи/

5. Случай неоклассических базовых производственных функций, различающихся только скалярными сомножителями

0

к=1

Пусть базовые ПФ /¡(х) пропорциональны известной неоклассической ПФ

ф(Х) = ф(хь...,хя),

которая по определению является дважды дифференцируемой, вогнутой, однородной степени г < 1 и имеет отрицательно-определенную матрицу-гессиан НФ(Х), элементы которой - вторые производные фу = д2у/дх1дху. Таким образом, /¡(х) = Лкф(х1,.,хп), где Лк - положительная константа.

Шепард [16; 17] показал, что КПФ Л(Я) в этом случае пропорциональна функции ф(Х): Л(Я) = х ф(Я), с коэффициентом Предлагаемое доказательство основного утверждения, принадлежащего Шепарду, позволило обобщить этот результат. В явной форме получено оптимальное распределение ресурсов между технологиями и вид КПФ в случае выделения групп непосредственно взаимозаменяемых ресурсов. Они универсальны, не зависят от выбора неоклассических БПФ для всех технологий и для таких множеств ресурсов.

Условия экстремальности первого порядка для рассматриваемой задачи представляются в виде системы уравнений

(4) ф, (( Хх1,..., 4/(г-1) ХкП ), 1 = 1,..., п, к = 1,..., т,

111

(5) £ % = Ц 1 = 1,...

к =1

где Х1 - множитель Лагранжа для ограничения-равенства (5) по /-му ресурсу, фу = дф/дху и использовано предположение об однородности функций ф и фу.

Решения \¥

фу.(шп) = X, 1 = 1,..., п,

получаемых при фиксированных к, существуют в силу невырожденности гессиана Нф(х) и не зависят от к. Следовательно, для решения системы (4)-(5) выполняются равенства

А1/( г-1) Х = А1/( г-1) Х Ак Хк1 ~ Ак(0) Хк(0)Р

в которых к(0) - номер одной из технологий. Используя (5), из (4) получаем оптимальные значения ресурсов Хр:

хр = (А )Р [±(А )Р} Я,

где р = 1/(1 - г), доли ресурсов Х^р'/Ц, достающихся к-й технологии, равны и, следовательно, структуры используемых технологиями ресурсов повторяют структуру суммарных ресурсов: ХР'/хОр = Ц /Ц. Однородность степени г функции ф(Х) позволяет получить явную формулу для КПФ Р(Я):

1/р

р(Я)=!\ф{*г)=(Аг^ц!(А,)| ф(Я)=а)| ф(Я).

Таким образом, найден коэффициент как функция у(А) = у(Аь..., Ап), оказывающаяся общей для всех неоклассических функций ф(Х). Функцию-коэффициент

\ ]1/р

ур(А)= ^^(Ак) ^ можно рассматривать как ПФ от другого множества факторов,

если коэффициенты Ак считать функциями переменных (гь...,гч): Ак = Ик(г). Наиболее прост случай, когда эти функции обладают теми же свойствами, что были у функций /¡(X): Ик(г) = Вкт(г) и степень однородности гфТ = гф + гТ функции т(г)ф(х) удовлетворяет неравенству гф1 < 1. Тогда Г(ЯХ,Яг) = (В)т(Яг) ф(ЯХ), где ЯХ и Яг - векторы объемов ресурсов, п = 1/(1 - гфт). Но очевидно, что требования к функциям Ьк (г) можно ослабить.

Формулы оптимального распределения ресурсов между технологиями позволяют анализировать последствия отклонений от оптимальных распределений. Но принимаемое предположение о равенстве с точностью до постоянных сомножителей базовых ПФ упрощает ситуацию, хотя и позволяет интерпретировать неоклассические ПФ как композитные ПФ, возникающие при не вполне реалистических предположениях. Поэтому за-

п

дача синтеза КПФ и оптимального распределения ресурсов предполагает рассмотрение базовых ПФ из одного семейства или из нескольких семейств, каждое из которых состоит из ПФ АкГ(Х;лк), могущих иметь несовпадающие значения параметров кк = (яд).

6. Случай многих базовых технологий Кобба - Дугласа

Трудность нахождения решения задачи синтеза КПФ покажем для технологий, у которых базовые ПФ - это ПФ Кобба - Дугласа с п факторами:

п п

4(хк4(хк1,...,х^) = АПХТ'^, £а(к,1) = г(к)< 1, к=I...,т,

1=1 1=1

и неотрицательные переменные хк1 удовлетворяют равенствам (5). Из обычных условий

экстремальности первого порядка ЭГк(Хк)/дх1 = Х1 функции ^ Гк(Хк) на множестве док

пустимых распределений ресурсов получаем формулы для хк1:

(6) хк1 = \_Х,а( к, 1)/Х1а( к, х,, 1 = 1,..., п.

Используя определение функции ук = 1к(Хк), находим явные выражения переменных ха через множители Лагранжа:

Хк! = Ви (Х1 )1!(X,)-*(к^\

м

в которых *(к,) = а(к,])/(\ - г(к)) и Ва - константы, являющиеся функциями только от параметров базовых ПФ:

(7) Вк1 = а (к, 1) (Ак ))(к) ]]а(к, у)а(к,^к\ р(к) = (1/(1 - г(к)).

]=1

Тогда равенства (5) превращаются в систему п уравнений для п множителей Лагранжа ХГ:

т п ., ..

(8) IВк1 -П (X,)-^ = Х ^, 1 = х..., п,

к=1 ,=1

решение которой не находится в явном виде, если величины з(к,]) не удовлетворяют специальным ограничениям. Это очевидно, если при т = п, используя матрицу В с элементами Вк1 и обратную матрицу В 1 = С = (С1к), разрешить систему (8) относительно

переменных гк = П(Х,) ^и получить систему уравнений гк = ^Е^Х{С1к, к = I,..., т = п. ,=1 1 Комбинируя степени переменных гк, из этой системы не удается получить решение системы (8) в явном виде даже при т = п. Следовательно, при известных значениях параметров БПФ решение системы (8) приходится находить, применяя итерационные чис-

ленные методы. Однако при не зависящих от k степенях s(k,j) = s(j) для 7-го ресурса задача синтеза решается аналитически, так как переменные zk, k = 1,...т, равны, т.е.

Zk = 11 (^- z, и из (8) получаем (^)-1 П)-*Л = я]{±ВЫ 1,

м

j=1

= I Bj £ ßJ • R - uR.

Из условия «подобия» коэффициентов эластичностей для факторов у БПФ, т.е. из равенств 5( 7) = а (к, 7) /(1 - г( к)) = а (1,7) /(1 - г( 1)), следует

£ s(k, j) = £ s(j) = r(k)/(1 - r(k)) - s, r(k) = s/(1 + s) - r, p(k) - 1/(1 - r) = p, s = r/(1 - r),

j=i j=1

и все БПФ имеют общую степень однородности r < 1. Поэтому равны эластичности j-го фактора для разных технологий:

а(k, j) = s(j)(1 - r) - а (j), k = 1,...,m

Таким образом, фактически рассматривается частный случай ситуации, изученной в общем виде в разделе 5. Константы ßki в этом случае принимают разные значения для технологий (k = 1,...,m) и ресурсов (i = 1,...,n):

Ви = а(i)(Д)Р \\а(j)а(j)ХР.

j=1

Но из (8) следует, что доли ик1 оптимального распределения ресурсов между технологиями не различаются по ресурсам: ик1 = (Ак ^£ АР | - ик. Множители Лагранжа Х} также находятся из (8):

(* Г =

R S ßi

П* jj)

. j=1

п*-s (i j=rn

r/ z вк1

s(i) I ( n \

j=1

П*jj) , где s = £s(i),

* opt =

S в* R

rJ s ßj

s

1/

l=1

n

i=1

C помощью (9) композитная ПФ получается в виде

(10) F( R) = £

№

\a

Ak n

П(

\a

fk ( R),

являясь суммой m базовых ПФ, как бы использующих ресурсы в их заданных суммарных объемах R = (Ri), с коэффициентами, являющимися функциями только от параметров БПФ. Решение (7), (9)-(10) определено на всем пространстве ресурсов и допустимых значений параметров задачи, совпадает с решением, получаемым в случае БПФ Кобба - Дугласа в разделе 5, но получено и представлено в несколько ином виде.

7. КПФ для ПФ Леонтьева и линейно однородных функций Кобба - Дугласа или CES

В статье [1] и диссертации [5] в качестве БПФ рассматривались ПФ Кобба - Дугласа и Леонтьева первой степени однородности. Такие ПФ вогнуты, но не строго вогнуты, а первая не везде дифференцируема. Решение задачи {[ /2];[^]} для случая, когда одна из БПФ - функция Леонтьева, было получено в работе [5]. КПФ F(R) для задачи с

f ( X) = A(xu)a(1) (x12)a(2), f2 (X2) = min[x21 /¿(1);*22 /b(2)]

найдена в почти явном виде и зависит от того, имеет ли уравнение

(11) w( z) = Ab(2) z - z3 (2) + Aa(1)b(1) = 0,

в котором переменная z интерпретируется как соотношение R1/R2 объемов ресурсов, действительные и положительные корни.

Минимальное значение строго выпуклой функции w(z) имеем при z = z = [Ab(2)]-1/a(1) и w(z) = Aa(1)[b(1) - b(2)z]. Поскольку w(0) > 0 и w(+œ) > 0, то уравнение (11) не имеет корней при w(z') > 0 и Ab(1)a(1)b(2)a(2) > 1, имеет один корень z = z* при w(z') = 0 и Ab (1) a(1)b (2)a(2) = 1, имеет два корня z1 и z2, удовлетворяющие неравенствам z1 < z < z2, при w(z) < 0. Если z = z, то R1/R2 = b(1)/b(2) и ресурсы имеются в пропорции, определяемой ПФ Кобба - Дугласа. Корни z1 и z2 находятся численными методами.

Композитная производственная функция F(R) определяется следующим образом:

если Ab(1)a(1)b(2)a(2) > 1, то F(R) = AR(1)R(2);

если Ab(1)a(1) b(2)a(2) < 1, то положительный ортант R+ пространства ресурсов (RbR2) делится на 4 конуса лучами R1/R2 = z1, R1/R2 = b(1)/b(2) и R1/R2 = z2 и если R1/R2 < z1 или R1/R2 > z2, то F( R) = A^(1) Щ(2),

если z1 < R1/R2 < b(1)/b(2), то F( R) = [a(1) Rl + a(2) z2 R2 ]/[a(1) b(1) + a(2)b(2) z; ], если b(1)/b(2) < R1/R2 < z2, то F (R) = [a(1)Rj + a(2)zR2 ]/[a(1)b(1) + a(2)b(2)z2 ].

В режиме композиции, т.е. при выполнении неравенства

(12) АЬ(1)а(1) Ь(2)а(2) < 1

и при использовании двух технологий, КПФ 1\Я) кусочно-линейна. На границах конусов (лучах) КПФ определяется неединственным образом, но ее изокванты представляют собой непрерывные сплайны. В точках лучей Я1/Я2 = z1 и Я1/Я2 = z2 изокванты имеют касательные, но отрезки прямых, соединяемые на луче Я1/Я2 = Ь(\)/Ь(2), имеют разные угловые коэффициенты.

На рис. 2 изображены изокванты функции Р(Я) в режиме композиции БПФ Леонтьева и линейно-однородной БПФ Кобба - Дугласа.

Рис. 2. Линии уровня КПФ

FR R2) = max x.n^WfXi a(1) + min(x2l IК1), x22

В диссертации [5], выполненной под научным руководством автора данной статьи, Садыковым И.С. доказано, что для ПФ Леонтьева и линейно однородной ПФ CES с двумя факторами-ресурсами композитная ПФ или совпадает с ПФ CES, или в режиме композиции имеет почти ту же структуру, что в случае БПФ Леонтьева и Кобба - Дугласа. Была предложена гипотеза, состоящая в том, что для двух линейно-однородных, двухфакторных, возрастающих и дифференцируемых БПФ с отрицательными вторыми производными композитная ПФ в режиме композиции, если она существует при заданных параметрах функций, является кусочно-линейной [1; 5]. Для таких БПФ получено достаточное условие существования режима композиции, представляющее собой требование положительности

детерминанта некоторой матрицы Гессе на множестве 0.22(К) допустимых распределений ресурсов между технологиями. Получить из этого неравенства для функции двух переменных достаточное условие вогнутости функции (/ + /) на этом множестве как требование к параметрам неоклассических и линейно-однородных БПФ, аналогичное условию (12), в общем случае не удалось.

Таким образом, гипотезу линейности можно доказывать или опровергать, предполагая, что режим композиции существует. Доказательство утверждения, содержащегося в этой гипотезе, тогда не было найдено. Оно содержится в разделе 11 данной статьи. Но сначала в разделах 8-10 для пар БПФ из известных классов производственных неоклассических, линейно-однородных функций оптимальное распределение ресурсов между технологиями и соответствующие ему КПФ будут найдены в «почти» явном виде, допускающем использование решений относительно простых уравнений, аналогичных уравнению (11).

8. Случай линейно-однородных базовых производственных функций

Кобба - Дугласа

В разделе 6 существенно используемое требование г < 1 обеспечивало положительную определенность гессианов и строгую вогнутость базовых ПФ и получаемой КПФ. Но при г = 1 вырожденность гессиана Н[(Х) для линейно-однородной функции

/ (X) = ^ х1д/' (X)/ дх1 следует из тождеств, полученных дифференцированием этой функ-

/

ции по ее аргументам

и из непрерывности вторых производных д2Г(Х)/дх/Эх^ Поэтому система уравнений (8) может не определять переменные хи как функции множителей Лагранжа и некоторые из этих переменных в решении (-Р(Л); могут принимать нулевые значения.

Из условий экстремальности (3) максимизируемого критерия (1) на 0.тп(К) для БПФ Кобба - Дугласа

д/(X) / дх] = д/(X) / дх] + £ х; д2 / (X) / дх1 дх

з

£ х д2 /(X)/дх1 дху = 0, ] = 1,..., п,

4 (Xк) = ^хк1/а(к,1), к = 1,...,т, 1= 1,...,п,

следуют равенства

Тогда

и, учитывая условие г(к) = г = 1, получаем систему, состоящую из т уравнений

(14) П^ = ЛПа(к>#(= Вк, к = 1,-'т

7=1 7=1

для п неизвестных ^ правые части которых являются известными функциями от параметров БПФ и не зависят от объемов ресурсов (Я).

Заметим, что в случае БПФ Кобба - Дугласа, если хк/ = 0 при каком-либо 7 = 5, то хц = 0, У = 1,...,п, и Гк = 0. Следовательно, в режиме композиции приходится выделять наборы используемых технологий с к £ ю с [1,...,т], ^ Ф 0. Разнообразие таких возможных наборов в задачах {[/т];[.Я3]} делает синтез их решений возможным только в особых случаях. Поэтому будем предполагать, что такой набор ю = [1,...,т] выделен и система (тп + п) уравнений (2), (13), (14) с (тп + п) неизвестными хк, имеет положительное решение.

При т < п анализ свойств возможно неединственных решений этой системы нелинейных уравнений затруднен тем, что в эквивалентной ей системе используются как переменные хку, так их логарифмы. При т > п матрица коэффициентов (а) при переменных 1пЯ/, У = 1,...,п, в системе уравнений

т

(15) Xа(к,7)1пX/ = 1пВ,, к = 1,...,т,

к=1

получаемой из (14), должна иметь ранг га^(а) < п. Если га^(а) < п, то на параметры функций Кобба - Дугласа накладываются достаточно жесткие условия. Поэтому ограничимся рассмотрением случая га^(а) = п, в котором решение (1пЯ7) системы (15) существует в силу предположения о наборе номеров технологий ю = [1,...,т], единственно и совпадает с (1п\°р'). Оно не зависит от ресурсов (Я), определяясь только значениями параметров БПФ.

Таким образом, для существующего по предположению варианта режима композиции, определяемого множеством ю номеров технологий, используемых при оптимальном распределении ресурсов, множители (Хкр') остаются постоянными при изменении ресурсов (Я), и решение (х0кр') линейной системы уравнений (2) и (13) находится в виде линейных однородных функций (хкр )= йь{Я). Следовательно, в режиме композиции КПФ Р(Я) по формуле Эйлера является линейной функцией ресурсов: F(Я) = ^Х°1р1Я]. И гипотеза

линейности решения {-Р(Я); ^(Я)} задачи {[ /™];[Я"]} с линейно-однородными базовыми ПФ Кобба - Дугласа в режиме композиции и при т > п, гащ(а) = п доказана в более общей и уточненной формулировке. Уточнение состоит в том, что не предполагается т = 2 и п = 2, а матрица (ак7) имеет максимальный ранг.

Проиллюстрируем линейность композиционного режима в случае линейно-однородных БПФ Кобба - Дугласа в простейшем случае т = 2 и п = 2, допускающем графическое представление. Тогда

г = А

Из (16) находим и Х2

V Х2 = / у2)11[а(1)+а(2,2)-1] = ¥, X, = у2(у)а(г2), Х2 = Щу)-^,

а затем, используя (13) в виде

Х12 = [а{\2)1 а{\Л)](\1Х2) И^, х2Х = х22 [а(2,\)1 а(2,2)](Х21Х1 ) к

Ч х22

и уравнения

х11 + х21 — хц + ^2 х22 — Я^ , х12 + х22 — И1 х11 + х22 — ^2,

получаем оптимальное, линейное по ресурсам распределение (х°Ц') двух ресурсов (Я) между двумя технологиями в режиме их композиции:

Это решение положительно в предположении положительности коэффициентов а(к,]) при выполнении следующих условий, накладываемых на отношение ресурсов Я2/Я1:

Если же Б = 0, то а(1,1) + а(2,2) = 1 и степени факторов в двух функциях Кобба -Дугласа оказываются одинаковыми. При таких параметрах БПФ режим композиции невозможен, так как оптимальным решением является использование той функции, у которой больше коэффициент (А).

Пусть выполнено условие (17). Тогда вне режима композиции КПФ совпадает с одной из базовых ПФ Кобба - Дугласа.

Подстановка решения (х°Ц') в формулы для БПФ позволяет убедиться в том, что

КПФ Г(Я) = /1 (Х°р')+ 2 (х2ор> ) = Х1Я1 + Х2Я2 в режиме композиции - линейная функция

ресурсов. Но этот вывод следует непосредственно из (16), поскольку множители Лаг-ранжа для этого режима определяются только значениями параметров БПФ и не зависят от Я1 и Я2, а именно:

хп = ( - И2 Я2 )/Б, х12 = И, ( - И2 Я2 )), х21 = Ъ 2 (-Ъ1Я1 + Я2) Б, х22 = (-Ъ1Я1 + Я2) Б,

где Б = (1 - Ък2) = 1 -{[1 - а(\\)][\-а(2,2)]}/[а(1,1)а(2,2)\.

х

11

(17) если Б> 0 и а(\,\) + а(2,2) > 1, то 1/И2 > Я2/Я1 > И,;

(18) если Б< 0 и а{\,\) + а(2,2) < 1, то Ъ1 > Я2\ЯХ > 1Ъ2.

Е(Я) = /XЯ), если Д > Я2!Я; Р(Я) = Я), если Я2/Я1 > 1Ъ2

Анализ изоквант КПФ в граничных точках интервалов (17), (18) и вне этих интервалов дает предвидимый результат: изокванта - непрерывный сплайн, состоящий из линий уровня для БПФ и отрезка прямой; в узлах сплайна левая и правая производная для изокванты равны. Семейство изоквант КПФ для двух линейно-однородных базовых ПФ Кобба - Дугласа, для которых существует композиционный режим, изображено на рис. 3.

Рис. 3. Линии уровня КПФ

R2)= таххеОД{ «V S(U) + A^-^V^}

При h\ = 1/h2 = h режим композиции вырождается и непрерывные линии уровня для КПФ состоят из частей изоквант базовых ПФ, соединяющихся на луче R2 = hR1.

9. Режим композиции для линейно-однородных, двухфакторных производственных функций Кобба - Дугласа и CES

Исследуем КПФ, получаемую в режиме композиции базовых ПФ (19) fi (Xi) = x?\ /2 (X2) = [«ix£i + щx*22]1/a,

предполагая, что a(1) + a(2) = 1 и f1(X1) > 0, f2(X2) > 0. Очевидно, что x11 > 0, x12 > 0, но одна из переменных x21, x22 может принимать нулевое значение. Изменяя нумерацию ресурсов, всегда можно добиться того, что x21 = 0, x11 = R1 или 0 < x21 < R1, 0 < x11 < R1. Поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1. Пусть x21 = 0, xu = Rh Тогда максимизируется функция f

на ограничении 0 < x12 < R2, т.е. в предположении, что реализуется режим композиции БПФ и максимум функции f(x12) достигается во внутренней точке отрезка [0;R2]. Такой режим будем называть частично композиционным. Элементарный анализ, учитывающий то, что f(0) = aR2, 0 < a(2) = 1 - a(1) < 1 и f(0) = df(0)/dx = +œ, находит значение x

переменной x12, соответствующее максимуму функции f(x), и неравенство на параметры БПФ и ресурсы, которое выполняется по предположению:

x*2= (Aa(2)/ u2/ a )1/a (1)R1, (Aa(2)/$a )< R

В частично композиционном режиме КПФ F(R), как и ожидалось, линейна по ресурсам, поскольку a(1) + a(2) = 1:

F(R) = f (2) = ARa(1) (Aa(2)lи1 a)^ R'(2) + a Ir -((2)/apV

Случай 2

x„ = a(1) f (X, x12 = a(2) f (X ,

x21 =(U1al )1/<1-a) f2 (X2 ), x22 =(U2^^2 T^ f2 ( X2 ),

подставим формулы (20) для переменных x12 и x21 в БПФ. Используя (19), (20) и линейную однородность БПФ, получим два уравнения, в которых неизвестными являются и Х2:

(21) = Aa(1)a(1) a(2)a(2), [и, (a/À, )a ] + [и2 (a/^ )a ]= 1.

Поскольку предполагается, что режим композиции существует, эта система имеет решение и оно не зависит от суммарных ресурсов R1, R2. Следовательно, КПФ F(R) = 11R1+ X2R2 в рассматриваемом режиме линейна.

Решение системы (21) существует не всегда. Представим (21) в виде

V0^ = С, Cfâ/(a-1) + C2Àfa-1) = 1.

Тогда X2 = C

(22) h(z) = C1 z + C2 - Bza(ï) = 0, в котором B = Ca/(1 - a).

Поскольку h(0) > 0, a(1) < 1, d2h(z)/d2z > 0 и minzh(z) = h(z), где z* = (5a(1)/C1)1/a(1), то уравнение (22):

при h(z ) < 0 имеет корни zb z2, удовлетворяющие неравенству 0 < z1 < z < z2;

при h(z ) = 0 имеет один корень z = 20;

при h(z ) > 0 не имеет корней, так как h(z) > 0.

Таким образом, неравенство h(z) < 0 является необходимым условием существования композиционного режима в рассматриваемом случае.

Для zs (s = 0,1,2) имеем X2(s) = ^(s) ¿l~a^a и из (21) находим

a (?)(a-1V я a(()(a-()/a

Xj(s) = Cz;(2)(a 1)/a, À2(s) = Czs .

Следовательно, изокванты КПФ F(R) во вполне композиционном режиме линейно-однородных БПФ Кобба - Дугласа и CES имеют два прямых отрезка, которые могут совпадать.

Распределение ресурсов между технологиями получаем как решение системы уравнений (5) при m = n = 2, в которой неизвестные (xkl) связаны следующими из (20) соотношениями

(23) хп/x,2 =[a(1)/a(2)]z(1-;)/a = bi(s), x2Jx21 = [uju2]%a = b2{s).

Получаемая таким образом система уравнений

bl( s) x12 + b2( s) x22 = Rj, x12 + x22 = R,

в общем случае имеет невырожденную матрицу коэффициентов при неизвестных и определяет линейное по ресурсам решение (x12(R,s),x22(R,s)} и, следовательно, распределение ресурсов между технологиями {xk/R,s)}.

Требование положительности всех величин xkl(R;s) или одной из «троек» {x11(R,s),x12(R,s),x21(R;s)} и {x11(R,s),x12(R,s),x22(R,s)}, выражающее предположение о существовании вполне или частично композиционного режима, позволяет определить те отношения R2/R1 объемов ресурсов, при которых такие режимы реализуются.

Особый случай системы (23), в котором b1(s) = b2(s), zs = [a(1/a(2)][u(2)/u(1)] и матрица коэффициентов при неизвестных вырождена, также анализируется с использованием формул (21)-(23). Опустим эти стадии анализа, поскольку специфика линейности КПФ F(R) в композиционном режиме для БПФ Кобба - Дугласа и CES выявлена. Она проявляется в возможности реализации вполне и частичных композиционных режимов.

10. Композитная производственная функция

в режиме композиции двух линейно-однородных CES-функций

Роль линейной однородности базовых ПФ продемонстрируем для двух CES-функ-ций двух аргументов общего вида:

fk (Xk) = [ u(k,1)K<(k) + u(k,2)xa2k)] *k)/a(k), k = 1,2.

Система условий (4), (5) экстремальности первого порядка функции f1(x1) + f2(x2) на множестве 022(R состоит из уравнений относительно переменных xki и множителей Хь l2, а также из неравенств xki > 0. В предположении реализуемости композиционного режима, т.е. положительности в оптимальном решении, уравнения dfkI3xki = i = 1,2, определяют переменные xk1, xk2 как функции от l1 и l2. Но в общем случае l1 и l2 не находятся в элементарных функциях как решение системы (5).

Однако при г (1) = r(2) = г = 1 система уравнений (4) кардинально упрощается, превращаясь в две подсистемы, неизвестными в которых являются аргументы одной из функций fk (xk1,xn).

Для k = 1 такая подсистема приводится к виду

«(1,2)( Ixu)(1) = [/u(1,1)Г(1)I(1-a(1)) - u(1,1),

u(1,1)(xjхи)-a(1) = [/u(1,2)]a(1)I(1-a(1)) - u(1,2). Перемножив эти уравнения, получаем следующее соотношение для l1 и l2:

в котором Q11 = u(1,1)a(1)I(1-a(1))u(1,2)1I(1-a(1)), Q12 = u(1,2)a(1)I(1-a(1))u(1,1)1I(1-a(1)), и нет переменных xki. Аналогичное соотношение получаем для k = 2:

(25) (ХЛ 2 )a (2)I(1-a (2)) = Q2Àa (2)I(1-a (2)) + Q22xt (2)I(1-a (2)),

в котором Q21 = u(2,1)a(2)I(1-a(2))u(2,2)1I(1-a(2)), Q22 = u(2,1)1I(1-a(1))u(2,2)a(2)I(1-a(1)).

Решение (XbX2)opt системы (24), (25), существующее для вполне композиционного режима по предположению, не зависит от ресурсов (R) и, следовательно, КПФ F(R) = X0ptR + X2ptR - линейная функция ресурсов. Но при a(1) ф a(2), т.е. при разных эла-стичностях замещения факторов у БПФ, это решение не может быть получено в элементарных функциях от параметров БПФ. Это становится очевидным, если, исключив переменную l2 из одного уравнения с помощью другого, представить получаемое уравнение с неизвестным l1 в следующем виде:

[( - Q12 )/Q„ ] в= [( - Q22 )) ]а,

где z = l1, а = a(1)I(1 - a(1)), в = a(2)I(1 - a(2)). Но при a(1) = a(2) = a имеем a = в и получаем значения множителей Лагранжа в оптимальном решении:

(xr )a I(1-a ) = (Q„Q22 - Q12Q21 )AQn - Q21 ) (Xf ) a I(1-a)= (Q11Q22 - Q12Q21 )) - Q12 ) .

Это решение получено для несовпадающих базовых производственных функций CES, поскольку на их коэффициенты u(k, i) ограничения u(1, i) = u(2, i) не накладывались.

Заметим, что (Ç11Ç22 - Q2Q21) = 0 при ненулевых коэффициентах u(k,i), если

u

и, следовательно, в этом случае или /¡(X = f2(X), или одна из этих функций строго мажорирует другую в области их определения. Но в такой ситуации сама задача рассмотрения композитной ПФ не имеет смысла.

Для частично композиционного режима линейность КПФ F(R) в случае двух БПФ CES и двух ресурсов-факторов почти очевидна. Если x12 = 0, x21 = 0 и в технологиях используются разные ресурсы, то F(R) = u(1,1)R1 + u(2,2)R2. Несколько сложнее случай, когда один из ресурсов полностью используется только одной технологией. Пусть x12 = R2, x22 = 0 и x11 > 0, x21 > 0. Тогда максимум функции [u(1,1) xf1(1) + u(1,2) Rf(1) ] + u(2,1)(R1 - x11) достигается при

x11 = { [ u(1,2)u(1,1)a(1)/(1-a(1)) ]/[ u(2,1)a(1)(1-a(1)) - u(1,1)1/(1-a(1)) ] }1/a (1) R

и линейность КПФ в этом режиме также очевидна. При этом неравенство 0 < x11 < R1 дает необходимые условия для существования такого частично композиционного режима.

Распределение ресурсов между технологиями во вполне и в частично композиционном режиме для пары линейно-однородных БПФ CES c общей эластичностью замещения факторов находится в явном виде с помощью приемов, кратко охарактеризованных в разделе 9.

11. Линейность композитной производственной функции во вполне композиционном режиме пары линейно-однородных, неоклассических базовых производственных функций

Анализ КПФ для пары БПФ из известных семейств производственных функций позволяет сформулировать теорему о линейности композитного режима в общем виде. В математической формулировке она состоит том, что в {[ f2];[R2]}-задаче с неоклассическими функциями f1(x1,x2) и f2(x1,x2) система уравнений

(26) d/k (, xk 2 )/dxi = Xi, k = 1,2, i = 1,2,

для которой существует положительное решение {x* ; X*}, имеет своим следствием систему уравнений

hk (X1, X2 ) = 0, k = 1,2,

в которой функции hk(X1, 12) зависят от параметров БПФ и не зависят от переменных xki и, следовательно, от ресурсов (R1,R2).

Можно предложить и более общую формулировку этой теоремы для задачи {[ fm];[Rn]} и при замене требования положительности переменных xkiв решении {xk;Xi} на требование неотрицательности, т.е. при переходе к рассмотрению всевозможных ком-

позиционных, а не только вполне композиционных режимов. Такая формулировка имеет дело с условиями экстремальности, в которых часть переменных хк1 принимает нулевые значения и уравнения д^хк1хк2)1дх1 = Х1 при таких сочетаниях индексов не рассматриваются. При ее доказательстве возникают чисто технические трудности, связанные с разнообразием возможных частично композиционных режимов. Но экономическая интерпретация получаемого утверждения о линейности КПФ в таких режимах не обогащается. Поэтому ограничимся доказательством теоремы для вполне композиционного режима в {[ /^[Я^-задаче.

Доказательство. Для неоклассических функций Ц1(х1,х2) и Ц2(х1,х2) при ха > 0 система (26) представляется в виде

Ц (ХП> Х12 )дХ1 =Ц (( Хп/Х11 )дх1 = Фп (Хп1 Х11 ) = К Ц (ХП> Х12 )дХ2 =Ц ( Хп/Х11 )/дХ2 = Ф12 (Хп1Х11 ) = К Э/2 ( Х21, Х22 )дХ1 = дЦ2 (( Х21/ Х22 )дХ1 = Ф21 ( Х21/ Х22 ) = К дЦ2 (Х21, Х22 )дХ2 = дЦ2 ( Х211Х22 ))дХ2 = Ф22 (Х21 /Х22 )=К

Функции фм в случае неоклассических БПФ монотонны, и для них существуют обратные функции Тогда х121х11 = ^(хд х211х22 = у22(Х2) и

(28) X2 = Ф12 (Хп1 Х11 ) = Ф12 (¥11 ((1 )) , Х1 = Ф21 (Х21/Х22 ) = Ф21 ((22 ((2)).

Система (28) имеет положительное решение X , которое не зависит от переменных х* и, следовательно, от их сумм ^ х*, к = 1,2. Но при такой правой части системы

у

уравнений (27) она в общем случае имеет неединственное решение хк, поскольку для неоклассических и линейно-однородных БПФ их матрицы Гессе Н1(Х1) и Н2(Х2) заведомо вырождены в областях их определения, включающих положительный ортант двумерного пространства (х1 > 0, х2 > 0).

Таким образом, решение X системы (28) является общим для всех решений {.хк1; X*} уравнений (26), и, следовательно, на этих решениях, представляющих собой один

из возможных вариантов композиционного режима для БПФ, КПФ Е(Я) = X* Я1 + X* Я2 линейна по ресурсам (Я1,Я2). ЧТД.

12. Заключение

Композитные производственные функции как объект и инструмент исследований могут представлять интерес при разработке экономико-математических моделей и их применении для анализа и прогнозирования в связи со следующими соображениями.

Этот тип производственных функций не постулирует их аналитическую форму представления, а исходит из того, что ПФ является результатом изучаемого и моделируемого взаимодействия элементов исследуемой экономической системы. Поэтому такие ПФ возникают, формируются и трансформируются в процессе изменения таких систем и в то же время влияют на происходящие в них процессы. Исследование процессов гене-

зиса композитных производственных функций, интерпретируемых как детерминированные потенциальные границы результатов производственной деятельности системы в условиях ее взаимодействия с изменяющейся внешней средой, - относительно новое направление исследований в математической экономике.

В модели экономической системы производственная функция, характеризующая ее изменяющийся потенциал, может формироваться именно как результат функционирования системы, который не задается в постулируемой аналитической форме. Конструкция КПФ может рассматриваться как частный и относительно простой пример генерирования неявных ПФ в экономических моделях.

Композитные производственные функции дают одно из возможных объяснений того, почему в прикладном моделировании относительно часто применяются линейные зависимости и, в частности, линейные производственные функции. Вероятная локальная линейность потенциальных ПФ может объясняться не только возможностью использования линейных членов в разложениях нелинейных функций в ряды Тейлора и рассмотрением окрестности фиксируемого состояния системы, но и тем, что ПФ возникают как результат возможного использования ограниченных ресурсов многими ячейками общества, имеющими различные производственные возможности.

Развиваемый подход позволяет вводить в рассмотрение новые классы многорежимных двухфакторных ПФ, используя при этом их определение и способ построения, существенно отличающиеся от предлагавшихся ранее.

Композитные производственные функции, допускающие простые аналитические представления, дают возможность исследования воздействия механизмов распределения ресурсов на производственный потенциал системы. Такие механизмы определяют множества допустимых распределений ресурсов более сложной природы по сравнению с множествами свободных распределений 0.шв, фигурирующих в задачах конструирования КПФ. Для двухфакторных КПФ множество 022 модифицируется добавлением содержательно интерпретируемых линейных ограничений. На получаемом множестве допустимых распределений ресурсов при фиксированных значениях параметров базовых ПФ могут в явном виде находиться решения многих типовых задач экономической теории.

* * *

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Ершов Э.Б., Садыков И.С. Исследование взаимозаменяемости ресурсов и их динамической пропорциональности в отраслях промышленности СССР // Экономика и математические методы. 1986. Т. XXII. № 3.С. 426-440.

2. Клейнер Г.Б. Область определения производственной функции // Экономика и математические методы. 1978. Т. XIV. № 5. С. 931-948.

3. Клейнер Г.Б. Производственные функции. М.: Финансы и статистика, 1986.

4. Клейнер Г.Б., Сирота Б.Н. Об одном классе производственных функций // Экономика и математические методы. 1976. Т. XII. № 1. С. 48-55.

5. Садыков И.С. Анализ и моделирование взаимозаменяемости ресурсов (на примере отраслей промышленности СССР): дисс. ... канд. экон. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Экономический факультет, 1985.

6. Bruno M. Estimation of Factor Contribution to Growth under Structural Disequilibrium // International Economic Review. 1968. Vol. 9. № 1. Р. 49-62.

7. Diewert W.E. An Application of the Shephard's Duality Theorem a Generalized Leontief Production Function // Journal of Political Economy. 1971. Vol. 79. № 3. Р. 481-507.

8. Fuss M., McFadden D., Mundlak Y. A Survey of Functional Forms in the Economic Analysis of Production // Production Economics / М. Fuss, D. McFadden (eds.) North-Holand, 1980. Vol. 1.

9. Halter A.N., Carter N.O., Hockings J.G. A Note on Transcendential Production Function // Journal of Farm Economics. 1957. Vol. 39. № 4. Р. 966-974.

10. Hanoch G. CRESH Production Functions // Econometrica. 1971. Vol. 39. № 5. Р. 695-712.

11. Hanoch G. Production and Demand Models with Direct or Indirect Implicit Additivity // Econometrica. 1975. Vol. 43. № 3. Р. 395-420.

12. Mukerji V. Generalized SMAG Function with Constant Ratios of Elasticities of Substitution // Review of Economic Studies. 1963. Vol. 30(3). № 84. Р. 233-236.

13. Mundlak Y., Razin A. On Multy-stage, Multy-product Production Functions // American Journal of Agricultural Economics. 1971. Vol. 53. № 2. Р. 491-499.

14. Revankar N. A Class of Variable Elasticity of Substitution Production Function // Econometrica. 1971. Vol. 39. № 1. Р. 61-72.

15. Sato K.A. Two-level Constant-Elasticity-of-Substitution Production Function // The Review of Economic Studies. 1967. Vol. 34(2). № 98. Р. 201-218.

16. ShephardR.W. Cost and Production Functions. Princeton, N.Y.: Princeton University Press, 1953.

17. Shephard R.W. Theory of Cost and Production Functions (Princeton Studies in Mathematical Economics). Princeton, N.Y.: Princeton University Press, 1970.