Зависимость упругих модулей микронеоднородной среды от структуры порового пространства

УДК 539.3, 550.3, 517.968.28, 517.956.224

Зависимость упругих модулей микронеоднородной среды от структуры порового пространства

Е.Б. Сибиряков

Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Работа посвящена использованию метода граничных интегральных уравнений для вычисления эффективных упругих модулей кавернозных (т.е. с положительной кривизной порового пространства) микронеоднородных сред. Впервые метод потенциала был применен для решения трехмерных упругих задач в многосвязных областях. Показано, что в кавернозных средах отношение V. IV. падает с ростом порового давления, а также существенно зависит от удельной поверхности порового пространства.

Ключевые слова: метод граничных интегральных уравнений теории упругости, кавернозная среда, микроструктура, структура порового пространства, контрастные среды

Dependence of elastic moduli of a microheterogeneous medium on pore structure

E.B. Sibiryakov

Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

The paper uses a boundary integral equation method to calculate effective elastic moduli of cavernous (with the positive curvature of the pore space) microheterogeneous media. The potential method is first applied to solving 3D elastic tasks in multiply-connected domains. The ratio V. /V. for cavernous media is shown to decrease with increasing pore pressure and depends essentially on the specific surface of the pore space.

Keywords: boundary integral equation method in the theory of elasticity, cavernous medium, microstructure, pore structure, contrast media

1. Введение

Проблема вычисления эффективных упругих модулей в контрастных микронеоднородных средах является достаточно старой и, вместе с тем, далекой от своего разрешения. Причина этого — в чрезвычайно больших перепадах физико-механических свойств материала скелета и флюида. Это обстоятельство не позволяет использовать какие-либо эффективные характеристики таких сред, которые бы игнорировали структуру порового пространства. Для решения проблемы необходимо интегрирование уравнений равновесия при непосредственном задании граничных условий на сложной поверхности раздела скелет-флюид. Непосредственное применение сеточных методов для решения этой проблемы связано с известными трудностями. Естественно, что граничные интегральные уравнения, которые сводят проблему к двумерной, должны сыграть важную роль в ее продвижении. Однако сингулярность этих уравнений создает также серьезные трудности для построения

численных решений и их интерпретации. Необходимо преодолеть эти недостатки метода граничных интегральных уравнений, для того чтобы получить достаточно надежный метод решения краевых задач и на этой основе провести вычисления средних упругих модулей, а стало быть, и скоростей продольных и поперечных волн в пористых средах, содержащих флюиды.

Метод граничных интегральных уравнений позволяет свести трехмерную задачу к решению двухмерных интегральных уравнений. Его суть состоит в том, что перемещения в любой точке объема (в том числе на поверхности) ищутся в виде свертки тензора Грина для

пространства с некоторым потенциалом [1]: •

и •X• — л «X» У к ^y"Sy •

где суммирование происходит по к; точка х заключается в объеме и может стремиться сколь угодно близко к поверхности изнутри (или извне); точка у движется по поверхности, в ней же берется элемент поверхности.

в Сибиряков Е.Б., 2009

В третьем случае 8 сферических полостей радиуса 0.24 находились в вершинах куба со стороной 1, а девятая — в центре шара. Все сферы разбивались по углам на 17 17 частей. Значения эффективных упругих эффективных упругих параметров среды: = 0.5, + 2 = = 0.92, V. /V. = 0.74 (что соответствует отрицательному коэффициенту Пуассона).

Эффективные упругие модули в четвертом случае: = 0.85, + 2 = 2.09, V. /V. = 0.64 (т.е. отношение V. /V. совпадает с первым случаем, когда пористость выше почти в 3 раза).

Упругие модули среды при ненулевом поровом давлении вычислялись для случая одной полости с радиусом 0.5 в шаре при условии, что на внешнюю поверхность среды приложена внешняя нагрузка, равная .„. • поровое давление р. = 0.1, т.е. ,

р. р — амплитуда нагрузки, приложенной к среде, что качественно соответствует реальным волновым процессам. Далее в уравнения (6) для нахождения потенциала на поверхности полости необходимо подставлять не р., а изменение порового давления под действием нагрузки, приложенной к внешней поверхности среды, равное р. Un^S/V.^ где Un^S — интеграл по поверхности раздела скелет-флюид от нормальной компоненты вектора перемещений (изменение объема) под действием внешней нагрузки; V. — начальный объем полости, т.е. вектор нагрузок на поверхности раздела скелет-флюид определяется путем подбора, именно так, чтобы р. ип' совпало с требуемой точностью с полученным в ходе решения задачи ип' S^ В этом случае внешняя поверхность среды разбивалась по углам на 41 41 площадку, а поверхность полости — на 31 31. В результате упругие модули среды получились равными: = 0.57, + 2 = 1.66, V. /V. = 0.59.

Можно сделать вывод, что в кавернозных и, по-видимому, в трещиноватых средах с ростом порового давления отношение = /