Витгентшейн против Гёделя: доказанность и доказуемость

Вестник Томского государственного университета Философия. Социология. Политология 2013. № 4

УДК 1

К.А. Родин

ВИТГЕНШТЕЙН ПРОТИВ ГЁДЕЛЯ: Д ОКАЗАННОСТЬ И ДОКАЗУЕМОСТЬ1

Кратко обрисовывается история споров вокруг записей Л. Витгенштейна, в которых философ прямо или косвенно обсуждает Гёделеву первую теорему о неполноте; главные моменты трактовки Витгенштейном этой теоремы реконструируются в контексте некоторых «проблем» философии математики, обозначенных Витгенштейном в Заметках по основаниям математики.

Ключевые слова: теорема о неполноте, доказуемость, Витгенштейн.

0. Первая теорема Гёделя о неполноте занимала Витгенштейна 22-24 сентября 1937 г. и - еще два дня - 2-3 июля 1941 г. Тогда и были сделаны записи, опубликованные в составе «Заметок по основаниям математики» (ЗОМ) (это, соответственно, фрагменты: 1. ЯБМ Арр. III, или в КасЫаР: МБ 118, 105у-114г; 2. ЯБМ §18,19,21,22, или в КасЫар: МБ 124, 87-94; в КасЫар, кроме того, есть записи, которые, хотя и не многочисленны, однако, если пытаться вынести окончательный вердикт по делу «Витгенштейн&Гёдель», должны быть затребованы). После публикации в 1956 г. ЗОМ Георг Крайзель и Пауль Бернайс расценили указанные записи как свидетельство того, что Витгенштейн первую теорему о неполноте не понял [1. С. 153-54; 2. С. 15]. Позднее появились несколько более «дружественные» отзывы. Однако лишь в начале 2000-х дело обратило на себя пристальное внимание. Вышли в свет: «апологитическая» статья Дж. Флойд и Х. Патнема, статьи Дж. Флойд и М. Штейнера, разбор записей о Геделе в КасЫаР В. Родича, его же критический отзыв на статью Флойд и Патнема с подробным обзором истории вопроса (соответственно [3, 4, 5, 6, 7]) (наибольшее количество откликов вызвала как раз статья Флойд и Патнема).

Известна реакция Гёделя относительно тех фрагментов записей Витгенштейна, которыми поделился с ним в личном письме Менгер (1972 г., цит. по: [8. С. 49]): «Что касается моей теоремы о неразрешимых утверждениях, то из процитированных тобой фрагментов несомненно: Витгенштейн ее не понял (или притворился что не понял). Он интерпретировал ее как вид логического парадокса, в то время как, наоборот, она представляет собой математическую теорему внутри абсолютно бесспорной части математики (теория финитных чисел или комбинаторика). Кстати, весь процитированный тобой фрагмент кажется мне бессмысленным. См., например: «суеверный страх математиков перед противоречиями». Гёдель в конце цитаты цитирует из §17

1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (мероприятие 1.2.1, заявка №2012-1.2.1-12-000-3003-029), а также в рамках государственного задания Минобрнауки РФ на проведение научных исследований (тематический план НИР Национального исследовательского Томского государственного университета №6.4832.2011).

приложения III ЗОМ (в русском переводе, сделанном с первого издания, это приложение из общеупотребимого сейчас второго, дополненного издания 1976 г. имеет номер I (об изданиях, редакциях и переводах этой работы см. подробнее: [9])). Он, следовательно, имел дело с записями 1937 г., в которых Витгенштейн обсуждает семантическую, «необязательную» формулировку теоремы.

1. Построим формулу так, чтобы она выражала недоказуемость самой себя (вспомним известный парадокс об утверждении в рамке, утверждающем, что утверждение в рамке недоказуемо: если утверждение доказуемо, то доказуема его недоказуемость, а если утверждение недоказуемо, то оно истинно, ибо само о себе как раз и говорит, что утверждение недоказуемо; иначе: если утверждение ложно, то оно доказуемо, т.е. доказуема недоказуемость утверждения, что невозможно, следовательно, утверждение истинно). Для этого используем изложение Гёделева доказательства первой теоремы о неполноте, представленное в устной лекции проф. В.А. Успенского:

а) пронумеруем все формулы: Сь С2, С3 и т.д., и все доказательства: Гь Г2, Г3 и т.д.;

б) рассмотрим функцию §: §(8) = 1 тогда и только тогда, когда Г8 есть доказательство формулы С функция § вычислима - её, следовательно, выражает некоторая формула в с параметрами х и у; 0(8,1) истинна тогда и только тогда, когда доказательство с номером 8 является доказательством формулы с номером ^

в) для каждого числа I формула ^юС(юД) означает доказуемость формулы

О и для каждого числа ^ формула ^Е|мС(ы.1.) означает недоказуемость формулы О:;

г) нумеруем все открытые формулы с единственным параметром х: А1, А2, А3; Г(ш,п) - номер формулы - закрытой - Ат(п); поскольку Г - вычислимая функция, её выражает некоторая формула Б с параметрами х,у,г; формула Б(ш,п,р) истинна тогда и только тогда, когда р есть номер формулы Аш(п);

д) формула Эи|С(с.и)&Р(т.п.и)| означает, что е - номер доказательства формулы Аш(п), имеющей номер Г(ш,п);

е) формула _,ЗюЕи[С(ю,и)&Р(т,п,и)] означает недоказуемость формулы Аш(п), имеющей номер Г(ш,п); для каждого числа п формула ^ЭмЭи|С(ы.и)&Р(п.п.и)| означает недоказуемость формулы Ап(п), имеющей номер Г(п,п);

ж) рассмотрим формулу с единственным параметром х: _,ЗюЭи[С(ю,и)&Р(х,х,и)] - эта формула есть Ач при некотором q.

з) формула Ач^), т.е. формула -,ЭюЭи[С(ю,и)&Р^^,и)], имеет номер %,о>;

и) однако, согласно пункту е) формула та же, что в пункте з), -'ЭюЭи[С(ю,и)&Р^^,и)] означает недоказуемость формулы с номером ^^). Сравним пункты з) и и).

l65

Построена такая формула, что она утверждает собственную недоказуемость. Формула истинна на интуитивном уровне, и/но недоказуема. Построим формулу, чтобы невозможно было доказать ни её саму, ни её отрицания:

а) пусть y(C) - геделевский номер формулы C, а T(C) - геделевский номер доказательства формулы, и пусть предикат Док(у^) утверждает, что у является геделевским номером доказательства формулы с геделевским номером х (мы опускаем рассмотрение способа нумерации);

б) рассмотрим функцию s(z) = у(П у '(/)), которая вычисляет геделевский номер формулы, полученной в результате подстановки в формулу у- (z) (эта запись означает, что мы по номеру восстанавливаем формулу) вместо z -х и введем предикат G(x) = Vy_,floK(y,s(x));

в) пусть q = y(G(x)); лемма: s(q) = y(G(q)) {s(q) = у(П£ у '(q)) = у(П£

y(G(x)) = y(G(q))}; ' '

г) G(q) - есть искомая формула; если G(q) доказуемо, тогда есть некое доказательство с номером m = T(G(q)), следовательно: Док(т, y(G(q))) = =Док(т, s(q)) = ЭуДок(у, s(q)), однако G(q) = Vy-floK(y,s(q));

д) если же G(q) недоказуемо, то доказуемо отрицание G(q) (мы исходим из того, что система непротиворечива), то есть -,Vy-floK(y,s(q)) = ЭуДок(у, s(q)), опять противоречие, следовательно, формулу G(q) нельзя ни доказать, ни опровергнуть (мы использовали материалы устной лекции проф. А. Б. Сосинского).

В первом и втором вышепредставленных способах доказательства число выступает в разных «интерпретациях»: как обычное число и как номер, кодифицирующий формулу. Своего рода постановка (Витгенштейн говорит: фокусы). Актер, который в жизни является одним человеком, на сцене играет роль другого. Эта метафора принадлежит Я. Хинтикки. У него же представлена наиболее короткая иллюстрация существа теоремы. Имеется лемма («diagonal lemma»), согласно которой для любой формулы F(x) из элементарной теории чисел с единственной переменной x существует число n, которое является геделевским номером формулы F(n). Рассмотрим формулу ~Prov(x), где x обозначает геделевский номер формулы. Возьмем число q, чтобы оно было геделевским номером формулы ~Prov(q) (по лемме). Получаем формулу, которая говорит, что формула с геделевским номером q недоказуема и которая сама же и есть эта формула [l0. С. 3l-33].

2. Обозначим буквой P формулу, которая выражает собственную недоказуемость. Очевидно, что среди приведенных доказательств не обнаруживается ни самореферентности, ни оправдания для семантической трактовки, при которой P объявлялась бы истинной, но недоказуемой. Кажется, Витгенштейн не обратил на это внимания: «Я представляю себе, что кто-то просит моего совета, он говорит: “Я сконструировал предложение в расселовских символах (обозначу его как Р). С помощью определенных дефиниций и преобразований его можно истолковать так, что утверждается: “Р недоказуемо в расселовской системе”. Разве я не должен сказать об этом предложении: оно и истинно, и недоказуемо. Ведь допустив его ложность, мы получили бы, что оно доказуемо! А ведь этого не может быть. Будь же оно доказуемым, дока-

зуемым было бы и то, что оно недоказуемо. Стало быть, оно может быть лишь истинным, но не доказуемым» [11. С. 54].

Стало быть, прав Гёдель, и Витгенштейн не понял доказательства теоремы? Витгенштейн, скорее всего, доказательства не читал (кроме того, смысл выражения «понимать формальное доказательство» неясен: если я его воспроизвожу, разве это означает, что я его понимаю; если я его не воспроизвожу, то я его всего лишь не воспроизвожу). Математика как таковая не интересовала Витгенштейна (об отношении философии и математики см., например: ФИ, §124). Витгенштейн тем не менее должен был бы принять невозможность формализации математики посредством рекурсивной аксиоматической системы: в §46 III раздела ЗОМ сказано, что математика есть «пестрая смесь техник доказательства», что отсылает к понятию «семейного сходства», которое предполагает несводимость математики к общей системе. Почему Витгенштейн не заинтересовался доказательством и продолжил интерпретировать теорему семантически и рассматривать ее на манер самореферент-ной конструкции (отметим, что Гёдель (см. подробнее в работе [5. С. 263]) в статье о неразрешимости в Рппс1р1а МаШешайса от 1967 г. сам сравнивает теорему с парадоксом лжеца и делает из неё семантические выводы), хотя и не во всех соответствующих записях? Ответ кажется простым: в заметках о Гёделе Витгенштейна интересует совсем не самореферентность/ несаморефе-рентность Р (после доказательства ничто не мешает нам рассматривать Р как самореферентную конструкцию - в том смысле, что воспроизводится некая аналогичная структура). Кроме того, из записи от 1 января 1939 г. [МБ 121 83у] видно, что Витгенштейн понимает не-рефлексивный характер формулы Р, и нет оснований считать, что в 1937 г. он этого еще не понимал.

3. Дж. Флойд в своей работе ссылается на Р. Гудстейна: «Не думаю, что Витгенштейн слышал об открытии Гёделя ранее 1935 года; после того, как он узнал о нём, его немедленная реакция, которая, по-моему, несомненно демонстрирует поразительное понимание, была в том, чтобы обратить внимание на тот факт, что формализации арифметики с помощью математической индукции и замены чисел переменными недостаточно для того, чтобы фиксировать понятие натурального числа. Потому что если в некоторой системе А все предложения 0(п), где п - натуральное число, доказуемы, но общее предложение (Уп)(3(п) - недоказуемо, то должна быть такая интерпретация А, в которой п принимает такие значения, которые отличны от натуральных чисел и для которых 0(п) - ложно (независимо от работы Гёделя это в 1934 году показал Сколем)» [12. С. 279].

Витгенштейн так прямо не высказывался. Он, по нашему мнению, действительно мог независимо прийти к тому, о чем говорит Гудстейн в приведенной цитате, однако вряд ли рассматривал бы результат существования определенной интерпретации системы А, связанный с теоремой Гёделя, как нечто существенное для своей философии. Замечание Гудстейна (это, само собой, видно и из доказательств) позволяет провести аналогию с диагональю Кантора, которая в ЗОМ тоже рассматривается. Мы имеем ряд (удлиняемый до бесконечности) десятичных дробей и мы всегда можем написать десятичную дробь, которой в ряду еще нет. Мы выводим формулы-теоремы из аксиом и правил вывода, и, следовательно, они доказуемы, но всегда возможно напи-

сать такую «неложную» формулу Р, которая окажется недоказуемой (окончательно вынесем за скобки вопрос о том, понимал ли Витгенштейн теорему Гёделя и каким образом). Критика Витгенштейном сомнительной интерпретации диагонального метода проста. Зададимся вопросом: уместно ли говорить, что при обучении ребенка умножению его обучают и тому, что умножение возможно? Или: мы учим ребенка располагать в ряд некоторые предметы. Это своего рода техника, которая одновременно исключает не предусмотренные в ней ходы (так, например, в технике вычисления дробей выражение «наиближайшая по величине дробь» не имеет смысла) и сама в то же время не всегда может быть применена. Уместно ли говорить о предметах, множество которых исчислимо? Предположим, что диагональная процедура была известна до Кантора и использовалась для получения числа, отличного от данных. Непонятно, почему на основании этой техники-процедуры уместно говорить, что множество действительных чисел несчетно. Или: иррациональные числа не могут быть упорядочены, следовательно, нет системы иррациональных чисел, однако «нет и Сверх-Системы, нет множества иррациональных чисел с бесконечностью высшего порядка». «Из того, что у нас есть то или иное применение для некоего типа числительного, словно бы задающего число членов того или иного бесконечного ряда, не следует, что уместно также говорить о числе применительно к понятию «бесконечного ряда», как будто тут мы располагаем неким применением чего-то, сходного с числительным. И нет никакой грамматической техники применения такого выражения. Ибо я, конечно, могу составить выражение: «Класс всех классов, которые имеют числовое равенство с классом «бесконечная последовательность», так же как и выражение: «Класс всех ангелов, которые помещаются на острие иглы», но это выражение пусто, пока для него нет применения» [10. С. 64-65]. Логика размышлений действительно простая. Умножение применимо в повседневной жизни, тогда как высказывание о возможности умножения - нет. Точно так же мы применяем некоторый тип числительного для обозначения числа членов того или иного бесконечного ряда, но мы не употребляем числительное по отношению к бесконечной последовательности в качестве числительного как такового. То есть мы употребляем якобы число для обозначения членов бесконечной последовательности, но это не означает, что о нем уместно говорить как об «обычном» числе и оперировать с ним, как с «обычными» числами. Или, говорит Витгенштейн: если слово «бесконечно» придает исчислению значение вместо того, чтобы получать значение от исчисления, то его следует избегать.

Теперь процитируем из §17 III дополнения ЗОМ:

А как предположить, что Р доказано? С помощью доказательства недоказуемости? Или каким-то другим образом? Предположи, что с помощью доказательства недоказуемости. Затем, чтобы понять, что доказано, обрати внимание на доказательство! Может быть, здесь доказано, что такая-то форма доказательства не ведет к Р. - Или пусть Р доказано, так сказать, неким непосредственным образом, - тогда из этого следует предложение «Р недоказуемо», и теперь надо выяснить, как эта интерпретация символов Р сталкивается с фактом доказательства и почему от нее следует здесь отказаться.

Предположим, однако, что доказано не-Р. - Как доказано? Например, тем, что Р доказано непосредственным образом, - ибо из этого следует, что оно доказуемо, то есть что оно есть не Р. Что же я должен теперь высказывать: «Р» или «не-Р»? Почему не оба предложения? Если кто-нибудь спросит меня: «Что в данном случае верно - Р или не-Р?» - то я отвечу: Р стоит в конце расселовского доказательства, так что в системе Рассела ты пишешь Р; однако, с другой стороны, это как раз доказуемо, и это выражается через «не-Р», но это предложение не стоит в конце расселовского доказательства, то есть не относится к системе Рассела. - Когда для Р была дана интерпретация «Р недоказуемо», то еще было неизвестно это доказательство для Р, и поэтому нельзя сказать, что Р утверждает: это доказательство не существует. -Как только выстроено доказательство, тем самым создана новая ситуация: и теперь надо решать, будем ли мы называть это доказательством (еще одним доказательством) или же утверждением о недоказуемости [10. С. 57].

Витгенштейн различает между доказанностью и доказуемостью. Различие аналогично различию между процедурой умножения и возможностью умножения или между обозначением числа членов бесконечной последовательности некоторым «числительным» и произвольным псевдоупотреблением этого «числительного» наряду с «обычными» числительными. Обобщая, можно сказать, что подобные различия служат для воспроизводства некоторой элементарной феноменологии. Что же говорит Витгенштейн в §17? Ранее Витгенштейн отмечает, что только доказательство может служить критерием того, по праву ли нечто называется высказыванием «Х недоказуемо», и весь вопрос в том, является ли «доказательство недоказуемости Р» убедительным основанием для предположения, что доказательство Р не будет найдено (можно пользоваться формулой Р из приведенных доказательств, но удобнее взять следующее: «Р: Р недоказуемо»). Если Р не доказано, то неясно, что должно служить критерием его истинности, «и его смысл, можно сказать, еще скрыт». Если доказано Р, то тем самым доказано и не-Р. Однако если Р доказано, то это есть некоторый факт, т. е. Р прямо сейчас выведено (примерно так же мы можем сказать, что когда мы прибавляем к 2 единицу и получаем три, то непосредственно производим счет), но тогда «не-Р», оно выражает то, что мы только что доказали, не является прямо доказанным (оно не стоит в конце расселовского доказательства), и от него, как от интерпретации, следует отказаться. С другой стороны, Р не может утверждать, что то доказательство, которое мы якобы непосредственно получили, не существует, потому что Р было сформулировано до всякого «доказано» из предположения о «доказуемости». Какое отношение это имеет к доказательству теоремы Гёделя? Никакого.

4. Можно сказать, теорема Гёделя, согласно Витгенштейну, обладает «двоякой бесполезностью». Первую - математическую - «бесполезность» (она как раз и обсуждалась в предыдущем разделе) лучше всего резюмировать словами самого Витгенштейна: «Ты говоришь: “... следовательно, Р истинно и недоказуемо”. Это, вероятно, означает: “Итак, Р”. Пожалуй, я не возражаю, но с какой целью ты записываешь данное “утверждение”? (Оно равносильно тому, как если бы кто-нибудь, опираясь на известные принципы, касающиеся природных форм и архитектурного стиля, вывел из них утвер-

ждение, что на горе Эверест, где никто не может жить, должно стоять небольшое шале в стиле барокко.) И как бы ты смог объяснить мне истинность утверждения, если сам не можешь использовать его для чего-нибудь иного, кроме как для этих маленьких фокусов?» [10. С. 58]

«Вторая бесполезность» теоремы связана, так сказать, с пропедевтикой различных околофилософских и теологических спекуляций, с последующим избавлением от них. Спекуляции же связаны с поиском или уверенностью в существовании истин, недоступных разуму и пр. и т.д. На выходе они чаще всего дают «платонизм», и, хотя непосредственно теорема в этом не виновата, Гёдель был несколько заинтересован в подобного рода поиске. Приведем исчерпывающую характеристику Дж. Флойд: «Гёдель читает Лейбница и Гуссерля, чтобы лучше понять такие основные идеи, как реальность, истина, объект, концепт, число, тогда как Витгенштейн спрашивает, обладаем ли мы каким-либо способом ясного выражения или представления этих основных идей. Гёдель пытается конструировать логико-математический смысл различных философских направлений: логицизма, формализма, финитизма и интуиционизма, тогда как Витгенштейн настроен скептически относительно обоснованности (coherence) какой-либо теории, говорящей о математике в целом. Гёдель проявляет интерес к рациональной теологии. Витгенштейн, определенно из-за признания религии, относится с презрением к философским попыткам рационализации оснований религии и этической жизни, точно так же он отвергает проекты, которые ставят своей целью рационализацию оснований математики» [4. С. 288].

В заключение еще раз отметим, что Витгенштейн никогда не обсуждал первую теорему Гёделя о неполноте по существу. Его целью - кажется, он оказался успешен в ее достижении - было пропустить эту теорему, пройти мимо.

Литература

1. Kreisel G. Wittgenstein’s Remarks on the Foundations of Mathematics // British Jornal for the philosophy of Science, 1958. №9. P. 135-137.

2. Bernays P. Comments on Ludwig Wittgenstein’s Remarks on the Foundations of Mathematics // Ratio. 1959. Vol. II. №1. P. 1-22.

3. Floyd J., Putnam H. A Note on Wittgenstein's "Notorious Paragraph" about the Godel Theorem // The Journal of Philosophy, 2000. Vol. 97, №11. P. 624-632.

4. Floyd J. Prose versus Proof: Wittgenstein on Godel, Tarski and Truth // Philosophia Mathe-matica. 2001. Vol. 9. №3. P. 280-307.

5. Steiner M. Wittgenstein as his Own Worst Enemy: The Case of Godel's Theorem // Philosophia Mathematica. 2001. Vol. 9, № 3. P. 257-279.

6. Rodych V. Wittgenstein on Godel: The Newly Published Remarks // Erkenntnis. 2002. Vol. 56.,№3. P. 379-397.

7. Rodych V. Misunderstanding Godel: New Arguments about Wittgenstein and New Remarks by Wittgenstein // Dialectica. 2003. Vol. 57, №3. P. 279-313.

8. WangH. Reflections on Kurt Godel. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1987.

9. Суровцев В.А., Ладов В.А. О VI разделе «Заметок по основаниям математики» Л. Витгенштейна (предисловие к русскому переводу) // Эпистемология и философия науки, 2007. Т. 12, №2. С. 216-219.

10. Hintikka J. On Godel. - Boston: Wadsworth/Thomson Learning, Inc, 2000.

11. Витгенштейн Л. Замечания по основаниям математики // Витгенштейн Л. Философские работы. Ч. II. М.: Гнозис, 1994.

12. Goodstein R.L. Wittgenstein’s philosophy of mathematics // Ludwig Wittgenstein: Philoso-phe and Language. London: Allen&Unwin, 1972. P. 271-286.