Распределение тока рамочной антенны, расположенной на поверхности продольно замагниченного плазменного столба

Электродинамика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 5 (3), с. 321-326

УДК 533.951

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОКА РАМОЧНОЙ АНТЕННЫ, РАСПОЛОЖЕННОЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ПРОДОЛЬНО ЗАМАГНИЧЕННОГО

ПЛАЗМЕННОГО СТОЛБА

© 2011 г. Т.М. Заборонкова, А.С. Зайцева, А.В. Кудрин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

kud@rf.unn.ru

Поступила в редакцию 01.07.2011

Рассмотрена задача о распределении тока рамочной антенны, представляющей собой свернутую в кольцо бесконечно тонкую, идеально проводящую узкую ленту. Антенна расположена на поверхности продольно замагниченного плазменного столба и возбуждается гармонической во времени сторонней ЭДС. Задача сведена к системе интегральных уравнений для тока с логарифмическими и сингулярными ядрами. Показано, что наличие плазменного столба может существенно влиять на распределение тока антенны по сравнению со случаем ее размещения в свободном пространстве.

Ключевые слова: гиротропный плазменный столб, рамочная антенна, распределение тока.

Введение

Изучению электродинамических характеристик металлических антенн в магнитоактивной плазме посвящено большое число публикаций. Интерес к данной проблеме обусловлен, в частности, широким применением антенных систем для проведения различных экспериментов в космической и лабораторной плазме. При выполнении таких экспериментов довольно часто используется кольцевая рамочная антенна (виток с электрическим током). В подавляющем большинстве теоретических работ по указанной проблематике рассматривается антенна, расположенная в однородной замагниченной плазме (см., например, [1-4] и цитируемую там литературу). В последнее время в связи с постановкой некоторых космических и лабораторных экспериментов повышенное внимание уделяется характеристикам рамочных антенн при наличии в среде вытянутых вдоль внешнего магнитного поля цилиндрических плазменных структур, способных направлять электромагнитные волны [5-7]. Однако до настоящего времени влияние таких плазменных неоднородностей на распределение тока рамочной антенны изучено не было.

В данной работе на основе метода интегрального уравнения решается задача о распределении тока кольцевой рамочной антенны, расположенной на поверхности продольно за-магниченного однородного плазменного столба. Предполагается, что столб окружен фоновой однородной изотропной средой. Основное вни-

мание сосредоточено на изучении распределения тока антенны в нерезонансной области частот магнитоактивной плазмы, когда диагональные компоненты тензора ее диэлектрической проницаемости имеют одинаковые знаки.

Постановка задачи. Вывод интегральных уравнений для тока

Рис. 1. Геометрия задачи

Рассмотрим рамочную антенну, представляющую собой бесконечно тонкую, идеально проводящую ленту ширины , свернутую в кольцо и расположенную на поверхности продольно замагниченного однородного плазменного столба радиуса а. Ось симметрии кольца параллельна внешнему магнитному полю Б0 (см. рис. 1). Плазма внутри столба описывается тензором диэлектрической проницаемости вида

Ґ 8 0 л

Є=Єо щ 8 0

10 0

где е0 - электрическая постоянная. Выражения для компонент тензора (1) приведены в [8].

Предполагается, что плазменный столб окружен однородной изотропной средой с диэлектрической проницаемостью Вфон = е0еа .

Будем полагать, что рамочная антенна возбуждается гармонической во времени (-ехр'ю?)) сторонней ЭДС, создающей электрическое поле с единственной азимутальной

^ г<ст ^

составляющей £ф , отличной от нуля только при р = а, | г |< й в интервале («зазоре») малой угловой ширины | ф — % |< А << п :

E,^™ (a, ф, z) = ^[U (ф —фо + А) — 2aA

— U (ф — ф0 — A)]|U (z + d) — U (z — d)].

Здесь V0 = const - комплексная амплитуда приложенного к зазору напряжения, Д - угловая полуширина зазора, U - единичная функция Хевисайда, р, ф, z - цилиндрические координаты. Величина Е™ может быть записана в виде

E7 = g Am exp(—/mФ);

где

. V 8Іп(тД) ...

Ап = Т"0--— ехР

2па тД

Плотность электрического тока ], возбуждаемого на антенне сторонним полем (2), будем искать в виде

І = ФоI

где | г |< d, 8 - дельта-функция Дирака. Линей-

ная плотность тока I(ф, г) допускает следующее представление:

ад

1

т=-ад

Для отыскания функции Дф,.г) выразим азимутальную (Еф) и продольную (Ег) компоненты электрического поля, возбуждаемого током (5), через неизвестные величины 1т(^) и далее воспользуемся граничными условиями на поверхности плазменного столба (р = а, -ад < г < ад), а также граничными условиями на поверхности антенны (р = а, | г |< d):

Eф + Eфm = о,

Е2 = 0 •

Описанная процедура позволяет получить интегральные уравнения для неизвестных величин !т(£) и, таким образом, свести задачу о распределении тока на антенне к решению соответствующих интегральных уравнений.

Получение выражений для компонент поля, отвечающего плотности тока, представленной в виде (6), может быть выполнено стандартным образом [4]. При этом поле внутри и вне столба выражается через цилиндрические функции с соответствующими аргументами и удовлетворяет граничным условиям на поверхности столба. Данные условия состоят в непрерывности тангенциальных компонент Еф, Ег, Нф на границе столба р = а. Что касается компоненты Нг , то она непрерывна на этой границе при | г |> й , а при | г |< й испытывает скачок, отвечающий поверхностному току (5).

Опуская громоздкие промежуточные преобразования, приведем результирующие выражения для азимутальной и продольной компонент электрического поля на границе р = а , которые потребуются в дальнейшем для получения интегральных уравнений:

да й

Еф

т=—да —й

да й

Ег

т=—да —й

Здесь

Кт (0 =^'2Па (Еф;т,„ (а))2 ехр(— /коРт,п\С|К

І ЛГ \^;m,n'

n m,n

2 2 в

km (С) = sgn (a)Ez;m,n («)>

,N ^;m,n (a)Ez;m,n (a )X

n Nm,n

: exp(— /коPm,n P^+TT— X

і p(q)g g 'Anr nkQkJ”(Qk

і -pbg g ж nk6kj. Q).

ex ^оР^ KlVqK

где Jm — функция Бесселя порядка т, к0 = ю/с — волновое число в свободном пространстве, Еф;т,п(р) и Ег;т,„(р) — функции, описывающие распределение по поперечной координате р азимутальной и продольной компонент электрического поля направляемых столбом собственных мод с азимутальными и радиальными индексами т и п соответственно (т = 0, ±1, ±2, ...; п = 1, 2, ...), Nтп — нормы собственных мод, рт,п — их постоянные распространения, нормированные на к0, р(д) = (еа — д2)12 — нормирован-

m=—да

да

X

ная постоянная распространения нормальной волны фоновой среды, отвечающая поперечному волновому числу д = к±/к0 (предполагается, что 1т р(д) < 0). Выражения для полей и норм собственных мод, поддерживаемых замагни-ченным плазменным столбом, а также дисперсионное уравнение, позволяющее определить их постоянные распространения, приведены в [5-7]. Остальные величины, входящие в (11) и (12), даются формулами

В(1 ) = 7

Вт\ = 70

к0а

6/т

п Л ) +

п2 :т 1т +

+л ^.т:~(2)- п л )2+р_ т_ п

+ Р ~2 :т п2Іт + ^4 п2

8а а 8а 64

ка

- п Л :~(\)у(г)-

п\ :т Хт

В(/) = 7 ________________

Вт2 = 70 62:т

22

-л рт/ (\)+п л )2 - р_ т_ п

р ^2 т + п\Хт ^4 п\

8 а 6

Д ) = (-\)1 -I

Л Т(\)/(2)-

: и? : гм

8а 64

Т

:т + :т

V 8а у

у

Л 7(\)7(2)-

: гм : гм

\

7

:т + т

V 8а у

у

Ат

2 2 а)2 - Р_ т_

Лт ^4

8 а 64

+

+ рлт[/(\)+7 (\)-: (2)-./ (2)11

+ р «-.о ^ т + т т т ][,

8 а 0 \

( 2

р2 (д)+чк (р(д))+—8

р(ч) ё

= - \ +

х, р2 (<?)+чк (р(ч))-8

ё

6к = КаЧк, к = \, 2, I = \, 2,

где

/(\)= :т+\(б\) + т_^1, /(2)= :т+\(62) -т.Ё1.

6/ (б\) а

62^(62) 6

7(\) = Тт +\(6\) т Р\ 7(2)= Тт+\(62) +т^2

^ = /6 ) V ^ = 62 /и (62) + т 62 ,

х£ = т, 6 = кач, Рк = 1 + —,

6Н( '(6) 62 6 4 пк ’ ' '

Л-\^(- \)к [(р2 - р&2 )(р2 - рс2)]

І/2

І/2

Еб,с = {8-

+ -

2Х

6,с

8ё

!л(? 2-(л-8)2 )]\'2}\'2

Хь = —Х с =—1,

20 — волновой импеданс свободного пространства, и И(2) — функции Ханкеля первого и второго рода соответственно.

Из граничных условий для тангенциальных компонент электрического поля на поверхности антенны с учетом выражений (3), (4), (9), (10) можно получить интегральные уравнения для величин 1т(£). Так, из условия (7) имеем

| Кт (г - г ' )Іт (г ' Уг' =-А •

Граничное условие (8) дает

| кт (г - г ' )Іт (г' Уг'

= 0 •

В (15), (16) предполагается, что т = 0, ±1, ±2, ...,

Поведение решений полученных интегральных уравнений определяется свойствами их ядер. Как будет показано ниже, в случае достаточно тонкой антенны, когда выполняются неравенства

свойства этих ядер позволяют получить приближенные решения уравнений (15), (16) в аналитическом виде. Ниже мы изложим способ получения таких решений в случае нерезонансной плазмы, когда в = ц . Случай резонансной плазмы, отвечающий соотношению sgn в ф sgn ц , является значительно более сложным, и его рассмотрение выходит за рамки настоящей работы.

Решение интегральных уравнений для тока

Анализ интегральных уравнений (15), (16) начнем с изучения некоторых свойств их ядер, даваемых соотношениями (11), (12). Представим ядра уравнений в виде суммы сингулярных и несингулярных слагаемых:

х

X

8

а

d

8

а

d

d

п

2

а

8

а

+

8

а

Кт

кт (С)= кт) (С)+ /„ (С),

где

>2 ад

КП5 ) (С)=-і70 -0а | :т+\(к0ач)ехр(- М Фч -

0

+ і70 —т |/2т(каУт1 (Ч) еХР - к0. -ЧС| 8Л 2а ^ V л

V

л

dq,

кП) (с)= sgn С 70 к0 т ^ X

2 8Л

ч/,п (ч)єхр- к^8 ч\С

dq,

Тг / ч -21 7 кт К )

^т (Ч) = «Іп | -0«Ч ^ —“ 1 +

8 а 21 у кт к і

+—сое I ^ —-—-8Л V 2 4

кт} (с)=7

-п

2л

2а

2

„2 (

8Л (к0а)2

£

\

Вт =—1 Ст = К/- +^|т + ^| + У-

После проведенных выше преобразований интегральное уравнение (15) принимает вид:

а

| Іт (г ')1п

2/кА„

dг'-

(к0 а )2 Вп

Щ/8 а

7 0к0 і 2 + к а )2 Вт 8Л/

-

где

і І і -d

о

о ____________Вп________

п т2 +(к0а)2Вп 8Л/8а

Величины Fm(Z),^(§ не приводятся здесь из-за недостатка места и определяются слагаемыми, отвечающими собственным модам в (11), (12), а также интегралами по д, подынтегральные выражения которых даются разностями соответствующих величин, входящих в строгие формулы для ядер ^(0, и в соотношения

(19), (20).

Нетрудно показать, что величины (19), (20) обращаются в бесконечность при £ = 0, в то время как величины Fm(Q, ^(С) не имеют особенностей в данной точке. Таким образом, формулы (18) действительно дают представления

ядер ^^ в виде сумм сингулярных (Кт ) , kт )) и несингулярных (Fm, т слагаемых. Последние, при выполнении условий (17), можно далее брать при £ = 0.

Выражение (19) при выполнении условий (17) принимает вид

и и ( 31 '

1п— + у| т + — I + у

{т 2Сп + (к0 а )2 (8Л/8 а )х

^т+2 У+Т-р-

}.

В свою очередь, уравнение (16) в случае (17) преобразуется к следующему виду:

т

dг' = 0 •

г - г

При получении уравнения (25) учтены формулы (20), (21), а также соотношение ^(0) = 0^ Можно показать, что решения уравнений (23) и (25) являются главными членами асимптотик решений исходных интегральных уравнений (15) и (16) при выполнении неравенств (17). Здесь мы ограничимся анализом лишь уравнений (23), (25).

Нетрудно убедиться, что решение уравнения (23) с логарифмическим ядром автоматически удовлетворяет сингулярному уравнению (25) с ядром Коши [9]. Это обстоятельство позволяет рассматривать далее только уравнение (23). Его решение может быть найдено с помощью методов, изложенных в [9], и имеет вид:

Іт (г )--"

2І

70к0

^йГ-

•

0а) Вт 8Л/8а

где у = 0.5772. — постоянная Эйлера-

Маскерони, ^(г) = й 1п Г(г)/йг — логарифмическая производная гамма-функции, Bm и Cm — коэффициенты, не зависящие от £, которые в общем случае могут быть определены только

численно. В частном случае в2 = вц они допускают точное аналитическое представление:

т2 + (к,а)2Вт вц/ва 1п(4а/й) — Бт Подставляя выражение (26) в (6), получаем следующую формулу для линейной плотности тока

Дф ^):

І (ф, г ) = -

ІУа

I

7^ кк^а~ 8Іп

4йГ-

2 2 г

а„

тД Іп^а^) - 5

ех

Р[- Іт(ф-ф0 )]

d

ад

8

а

а

ад

X

X

X

X

т

X

X

т--ад

где

(к0а)2Вт щ/ва

(к0а)2 Вт вЦва

2

т +

Из полученных формул видно, что вблизи кромок идеально проводящей ленты поверхностная плотность тока обращается в бесконечность. Такое поведение плотности тока отвечает известному условию Мейкснера на ребре [10]. Отметим, что, несмотря на расходимость функции 1(ф,г) при \z\^d, полный ток /е(ф) в сечении Ф=сош1;, определяемый соотношением

-й

является конечной величинои.

Результаты численных расчетов распределения тока

Представленные в предыдущем разделе результаты весьма удобны для исследования распределения тока антенны. Очевидно, что в общем случае сделать это можно только численно. Приведем некоторые выборочные результаты численных расчетов, демонстрирующие поведение распределения тока.

ри 1

0.8

0.6

0.4

0.2

« /4 1 * / ' 1 "' # % 1 \ : * * ! /'\ / 1 * * » • \

» / • 1 % / . • » • 11 » * * 11 II * • I * 1 /^\ ' 1 \ • ' % * \ * * * • \ * * » / \ • ! ‘ ' Г. \ •

1 * / \ * / —_ 1 1 / \ • / \ . * / *\ 1 / \;7 V •А; ;> 1 /* \ * * / \ V \ • V

*/ /V V11 V?

-150 -100 -50 С 50 100 150

Рис. 2. Зависимости нормированной амплитуды тока антенны от угла ф при ф0=0, ю = 6.6 109 с-1, а = =5 см, d = 0.1 см, аД = 0.05 см, 8а = 1, В0 = 200 Гс для N = 1011 см-3

В качестве примера на рис. 2, 3 показаны рассчитанные численно зависимости нормированной на максимум амплитуды \/е(ф)\ и фазы ф (ф) = аг^(1ш /2(ф)/К.е /е(ф)) тока антенны от

азимутального угла ф для двух значений плотности плазмы в столбе: N = 1011 см-3 и N = =1012 см-3. Предполагается, что центру области подключения сторонней ЭДС отвечает азиму-

тальная координата ф0=0. Расчеты были выполнены при следующих значениях параметров: угловая частота ю = 6.6109 с-1; геометрические размеры антенны — а = 5 см, d = 0.1 см, аД = =0.05 см; относительная диэлектрическая проницаемость фоновой среды £а =1 (свободное пространство); внешнее постоянное магнитное поле В0 = 200 Гс. Указанные значения параметров среды могут быть реализованы в лабораторных условиях и отвечают случаю нерезонансной плазмы. Заметим, что диагональные компоненты тензора диэлектрической проницаемости такой плазмы при выбранных значениях параметров являются отрицательными (8 = -9.2, П = -6.3 при N = 1011 см-3 и 8 = -101.2, п = -72.1 при N = 1012 см-3). Примечательно, что на распределение тока антенны вблизи области подключения сторонней ЭДС заметно влияет наличие собственных мод, направляемых плазменным столбом. В частности, при значениях параметров, использованных для построения рис. 2, 3, плазменный столб поддерживает три распространяющиеся собственные моды, поля которых имеют поверхностный характер, а азимутальный и радиальный индексы равны т=0, п=1 и т=±1, п=1.

Рис. 3. Зависимости фазы тока антенны от угла ф при ф0=0, ю = 6.6 109 с-1, а = 5 см, d = 0.1 см, аД = 0.05 см, 8а = 1, В0 = 200 Гс для N = 1011 см-3

Из представленных данных следует, что наличие плазменного столба может существенно влиять на распределение тока рамочной антенны по сравнению со случаями ее размещения как в свободном пространстве, так и в однородной магнитоактивной плазме, параметры которой совпадают с параметрами плазмы внутри столба (см., например, [4]).

Заключение

Итак, в настоящей работе получено решение задачи о распределении тока рамочной

ат = —

антенны в виде бесконечно тонкой, идеально проводящей узкой ленты, расположенной на поверхности продольно замагниченного плазменного столба. Построенное решение описывает распределение тока как вдоль, так и поперек ленты и позволяет исследовать зависимости электродинамических характеристик антенны от ее параметров, а также параметров плазменного столба и окружающей среды. Существенно, что изложенный в данной работе метод решения, использованный применительно к случаю, когда плазменная среда внутри столба является нерезонансной, может быть распространен и на более сложный случай резонансной плазмы, допускающий существование бесконечного числа направляемых столбом квазиэлектростатических мод [6]. Рассмотрению этого случая предполагается посвятить отдельное исследование.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 09—02—00164-а, 11—02—97013-а) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (государственный контракт № П313).

Список литературы

1. Мареев Е.А., Чугунов Ю.В. Антенны в плазме. Н. Новгород: ИПФ СССР, 1991.

2. Ohnuki S., Sawaya K., Adachi S. // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1986. V. AP-34. No. 8. P. 10241029.

3. Заборонкова Т.М., Кудрин А.В., Петров Е.Ю. // Изв. вузов. Радиофизика. 1998. Т. 41. № 3. С. 358-373.

4. Kudrin A.V., Petrov E.Yu., Zaboronkova T.M. // J. Electromagn. Waves Appl. 2001. V. 15. No. 3. P. 345378.

5. Kondrat’ev I.G., Kudrin A.V., Zaboronkova T.M. Electrodynamics of density ducts in magnetized plasmas. Amsterdam: Gordon and Breach, 1999.

6. Kudrin A.V., Es’kin V.A. // Physica Scripta. 2006. V. 74. No. 4. P. 425-438.

7. Kudrin A.V., Es’kin V.A., Krafft C., Zaboronkova T.M. // Physica Scripta. 2008. V. 77. No. 5. P. 0555011-055501-11.

8. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967.

9. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974.

10. Meixner J. // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1972. V. AP-20. No. 4. P. 442-446.

CURRENT DISTRIBUTION OF A LOOP ANTENNA LOCATED ON THE SURFACE OF AN AXIALLY MAGNETIZED PLASMA COLUMN

T.M. Zaboronkova, A.S. Zaitseva, A. V. Kudrin

The problem of the current distribution of a loop antenna in the form of an infinitesimally thin, perfectly conducting narrow strip coiled into a ring is considered. The antenna is located on the surface of an axially magnetized plasma column and is excited by a time-harmonic external EMF. The problem is reduced to a system of integral equations for the current, which have logarithmic and singular kernels. It is shown that the presence of the plasma column can significantly influence the current distribution of the antenna as compared with the case of its location in free space.

Keywords: gyrotropic plasma column, loop antenna, current distribution.