Двойная подстановка в тригонометрических уравнениях

6. Магомедова С.И., Магомедова Д.А. Формирование языковой догадки в процессе обучения иностранному языку: виды заданий. Мир науки, культуры, образования. 2019; № 4 (77): 289 - 291.

7. Melnichuk M.V., Osipova V.M., Kondrakhina N.G. Market-oriented LSP training in higher education: Towards higher communicative skills. Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education. 2017; Vol. 13 (8): 5073 - 5084.

References

1. Kapustina T.V., Goncharova E.M. Otnoshenie studentov k processu obucheniya v vuze. Al'manah sovremennoj naukii obrazovaniya. Tambov: Gramota, 2017; № 1 (115): 54 - 56.

2. Onipko A.A. Potrebnosti lichnosti v vysshem obrazovanii iosobennostiih realizacii. Avtoreferat dissertacii ... kandidata sociologicheskih nauk. Ekaterinburg, 2013.

3. Mel'nikov V.E. Motivaciya k obucheniyu studentov v vuze kak psihologo-pedagogicheskaya problema. Vestnik Novgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. 2016; № 5 (96): 61 - 64.

4. Orlova N., Ignatova O., Tereshina O. Educational resource in the paradigm of the digital economy. Studies in Computational Intelligence. 2019; № 826: 579 - 587.

5. Melnichuk M.V., Osipova V.M. The role of background culture and lexical knowledge in economic translation. Mathematics Education. 2016; Melnichuk M.V., Osipova V.M. The role of background culture and lexical knowledge in economic translation. Mathematics Education. 2016; Vol. 11, № 7: 2503 - 2514.

6. Magomedova S.I., Magomedova D.A. Formirovanie yazykovoj dogadki v processe obucheniya inostrannomu yazyku: vidy zadanij. Mir nauki, kul'tury, obrazovaniya. 2019; № 4 (77): 289 - 291.

7. Melnichuk M.V., Osipova V.M., Kondrakhina N.G. Market-oriented LSP training in higher education: Towards higher communicative skills. Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education. 2017; Vol. 13 (8): 5073 - 5084.

Статья поступила в редакцию 31.05.20

УДК 372.851

Guzairov G.M., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University (Orenburg, Russia), E-mail: gafur.mustafin@mail.ru

Munasypov N.A., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University (Orenburg, Russia), E-mail: nail.munasypov@mail.ru

Safarova A.D., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University (Orenburg, Russia), E-mail: aliya.safarova.66@mail.ru Cheremisina M.I., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University (Orenburg, Russia), E-mail: mar.ivan21@mail.ru

DOUBLE SUBSTITUTION IN TRIGONOMETRIC EQUATIONS. The article discusses a method for solving certain types of trigonometric equations, inequalities and problems with parameters - double substitution, describes a class of trigonometric equations in which double substitution is expedient, and the advantages of double substitution in comparison with other methods are justified. The double substitution method is known, although it is practically not presented in school textbooks, collections of problems in elementary mathematics and other educational and methodological literature, which explains the relevance of the research topic. At the same time, it turns out to be simpler and more effective in solving some trigonometry problems than the more traditional methods usually used in the school course of mathematics - this determines the practical significance of the study.

Key words: trigonometric equations, methods for solving equations, factorization, variable substitution, double substitution.

Г.М. Гузаиров, канд. физ.-мат. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет, г. Оренбург, E-mail: gafur.mustafin@mail.ru Н.А. Мунасыпов, канд. физ.-мат. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет, г. Оренбург, E-mail: nail.munasypov@mail.ru

АД. Сафарова, канд. пед. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет, г. Оренбург, E-mail: aliya.safarova.66@mail.ru М.И. Черемисина, канд. пед. наук, доц., Оренбургский государственный педагогический университет, г. Оренбург, E-mail: mar.ivan21@mail.ru

ДВОЙНАЯ ПОДСТАНОВКА В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

В статье разобран метод решения некоторых типов тригонометрических уравнений, неравенств и задач с параметрами - двойная подстановка, описан класс тригонометрических уравнений, в которых целесообразна двойная подстановка, и обоснованы преимущества двойной подстановки в сравнении с другими методами. Метод двойной подстановки известен, хотя практически не представлен в школьных учебниках, сборниках задач по элементарной математике и другой учебной и методической литературе, чем объясняется актуальность темы исследования. При этом он оказывается проще и эффективнее при решении некоторых задач тригонометрии, чем более традиционные методы, обычно применяемые в школьном курсе математики - этим обусловлена практическая значимость проведенного исследования.

Ключевые слова: тригонометрические равнения, методы решений уравнений, разложение на множители, замена переменной, двойная подстановка.

Двойная подстановка может быть применена в уравнениях вида F(x, y) = 0, где x = x(t), y = y(t) - функции одной переменной, более сложные (например, иррациональные или трансцендентные), чем, например, многочлен двух переменных небольшой степени.

Метод двойной подстановки известен, однако обычно не упоминается в школьных учебниках алгебры и начал анализа, в справочниках по элементарной математике, в сборниках задач по элементарной математике и материалах по подготовке к ЕГЭ.

В работе будет показано, что двойная подстановка является более эффективным и экономичным способом решения некоторых типов тригонометрических уравнений, чем те способы, которые обычно используются школьниками при решении подобных задач.

В тригонометрических уравнениях вида F

является естественной, так как сразу отсылает к определению косинуса и синуса на тригонометрической окружности и позволяет временным исключением параметра t и тригонометрических величин свести уравнение к системе уравнений F

В конце работы будут приведены примеры двойной подстановки, отличные от (*). 1. Двойная подстановка в линейных тригонометрических уравнениях

Приведем сначала пример применения двойной подстановки в линейных тригонометрических уравнениях, т.е. уравнениях вида a cos t + b sint = c. Задача 1. Решить уравнение 3sin t - 2cos t = 2.

Это несложное уравнение заимствовано из книги «Тригонометрия» [1, с. 148], там же приведено решение этого уравнения с помощью универсальной триго-= t

нометрической подстановки z =tg 2 в качестве иллюстрации того, как неаккуратно произведенная универсальная подстановка может привести к потере корней

за счет сужения области допустимых значений уравнения.

Другой способ решения уравнения (1) - с помощью формулы вспомогательного угла, но эта формула, во-первых, известна не всем старшеклассникам, во-вторых, приводит к решениям, содержащим разности двух значений аркфункций, что при необходимости отбора корней, принадлежащих указанному промежутку (как в задачах № 13 из вариантов ЕГЭ по математике профильного уровня), может привести к некоторым сложностям при оценке корней.

Решение. Приведем решение задачи 1 с помощью двойной подстановки (*), приводящей уравнение (1) к виду 3y - 2x = 2. Подставив найденное отсюда 2x+2

y--

3 в (), получим квадратное уравнение 13x2 + 8x - 5 = 0

_ 5 _ 2х1 + 2 _ 0 _ 2х2 + 2 _ 12

1, х2 _ 13. Найдем также у1 _ 3 _ 0, у2 _ 3 _ 13  Обратная подстановка дает совокупность двух систем:

cos t = -1, sin t = 0,

5

cos t =-,

13

12

sin t = -,

13

откуда получаются две серии корней уравнения.

5 „

Ответ: ж + 2rn и arcc°s— + 2жп, где n e Z .

Аналогично может быть решено любое линейное тригонометрическое уравнение, и, как видим, двойная подстановка в линейных уравнениях не приводит к осложнениям, описанным выше для других способов решения.

2. Двойная подстановка в тригонометрических уравнениях второго порядка

Уравнения второго порядка a cos21 + bcost sin t + c sin21 + dcos t + e sin t + f = 0, где a2 + b2 + c2 * 0, в общем виде методами элементарной

математики не решаются, и понятно, почему: система уравнений x2 + y2 = 1 и ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 при подстановке одного в другое приводит к уравнению четвертого порядка, которое решается школьными методами только при специально подобранных коэффициентах, как в следующем примере из [2, с. 133].

Задача 2. Решить уравнение cost - sint - 2costsint = 1.

=x-1 =-1

Решение. После подстановки (*) в (2) получим x - y - 2xy = 1, откуда y = 2 +1 (при 2x +1 = 0 и x = 2 , уравнение x - y - 2xy = 1 примет

2 x2 - 2 x +1

вид x = 1 - противоречие, которое доказывает, что для решений системы уравнений (*), (**), (2) 2x +1 * 0). Вычислим далее y = 4x2 + 4x +1,

х + у 4х2 + 4х +1 , т.е. подстановка х - у - 2ху = 1 в (0) приводит к уравнению ^2 + ^ + ^ _ 1, равносильному

уравнению 4х4 + 4х3 - 2х2 - 6х = 0, или, после сокращения на 2 2х4 + 2х3 - х2 - 3х = 0.

В последнем уравнении с целыми коэффициентами легко обнаруживаются корни х1 = 0 и х2 = 1. Делением «уголком» многочлена 2х4 + 2х3 - х2 - 3х на многочлен (х - х1)(х - х2), т.е. на х2 - х, получим 2х4 + 2х3 - х2 - 3х = х(х - 1)(2х2 + 4х + 3), но последний сомножи-

4x4 + 4x3 + 2x2 - 2x +1 4x4 + 4x3 + 2x2 - 2x +1

Xj = 0, (x2 = 1,

тель не имеет корней, поэтому система уравнений x + y = 1 и x - y - 2xy = 1 имеет два решения: |у1 = -1, и |y2 = 0. Обратная подстановка дает

cos t = 0, icos t = 1,

sin t = -1, и [sin t = 0, что позволяет сразу записать решение уравнения. л

Ответ: - - + 2лп, 2лп, где n е Z.

Приведенное решение подсказывает, что без двойной подстановки уравнение (2) могло быть решено разложением на множители, однако поиски этого разложения не всегда бывают успешными.

с корнями x1

3. Двойная подстановка в тригонометрических уравнениях высших порядков Задача 3. Решить уравнение

1 + sin t + cos 3/ = cos t + sin 2/ + cos 2/. (3) Решение. С помощью формул двойного аргумента и тройного аргумента для косинуса (cos3t = 4cos31 - 3cos t) приведем уравнение (3) к виду: 1 + sin t + 4cos31 - 3cos t = cost + 2sin t cost + 2cos21 -1.

После приведения подобных, двойной подстановки (*) и группировки слагаемых получим у(2х -1) = 2x 2(2x -1) - 2(2x -1). Ясно, что при 2x -1 = 0, т.е. при x = —, равенство выполнено. При 2х -1 Ф 0, сокращая, получим у = 2x2 - 2. Подставив в это уравнение x2 = 1 - y2 по формуле (**), получим уравне-

2 1 ние 2 y + y = 0, корни которого 0 и - 2. Собрав все решения системы и произведя обратные подстановки, найдем

x = 1 2' cos t = 1 = 2' t = ж +--h 2ж- n, 3

y = 0, sin t = 0, t = ж- n,

y = -1 T' ^ sin t = -1 = T' ^ t = ж 2ж — + — + 2ж 23

где n е Z.

Л Л 2л

±—+ 2л- n —±--+ 2 л -и

Ответ: 3 , л - и , 2 3 , где и е Z.

Другое решение этой задачи имеется в «Задачах по элементарной математики» [3, с. 365] (сама задача приведена на с. 79): как и в предыдущем случае, решение использует метод разложения на множители.

Понятно, что нет ограничений на степень тригонометрического уравнения, которое с помощью двойной подстановки приводится к виду F(x, y) = 0, где

F (x, y) - многочлен с двумя переменными. Проблемы могут возникнуть при решении системы уравнений F (x'y) = 0 и x2 + y2 = 1: как было сказано в п. 2, система может быть решена доступными ученикам методами только в специальных случаях даже тогда, когда F (x, y) - многочлен второй степени, тем более -выше второй. Тем не менее, если тригонометрическое уравнение такого вида может быть решено каким-либо школьным методом, то оно, скорее всего, решается и методом двойной подстановки. Другое дело, что приведение тригонометрического уравнения к виду F(cos t,sin t) = 0 , готовому к двойной подстановке, может оказаться слишком громоздким.

4. Двойная подстановка в иррациональных тригонометрических уравнениях

Задача 4. Решить уравнение

V3sin2í - cos2t -1 = 2V2 + 2cos2t.

Решение. Двойной подстановкой cos2t = x, sin 2t = y получим из (4) уравнение -J3y - x -1 = 2л/2 + 2x . Заметим, что x +1 > 0, Sy - x -1 > 0, т.е. V3y > x +1 и y > 0.

Сделаем для удобства переобозначения: -jlx + 2 = z, -J3y = w (z > 0, w > 0), тогда исходное уравнение (5) примет вид 2w = z2 + 4z .

Уравнение связи cos2 2t + sin2 2t = 1 после двойной подстановки примет вид x2 + y2 = 1, а после сделанных переобозначений запишется в виде 3z4 -12z2 +12 + 4w2 = 12.

Подставив в это уравнение предыдущее: 2w = z2 + 4z, тогда 4w2 = z4 + 8z3 + 16z2, получим уравнение с целыми коэффициентами

Jz = 0,

z4 + 2z3 + z2 = 0 и двойными корнями z = 0 и z = —1, второй из которых не удовлетворяет условию z > 0. Таким образом |w = 0, ^

ÍV2x +2 = 0= íx = —1, Jcos2f = —1, п

[V3y = 0, ^^.y = 0, ^{sin2í = 0, ^ 2t = ж + 2m ^ = 2 +Ш, n e Z.

ж

Ответ: у + жп , n e Z.

Коротко опишем другое решение уравнения (4), приведенного в «Пособии для поступающих в вузы» [4, с. 286], в виде

sin2x — 2cos2 x = 2л/2 + 2 cos 2x . От (4) это уравнение отличается фактически лишь переобозначением аргумента, но в [4] осуществлен переход не к двойному аргументу, а к однократному (с помощью формул двойного аргумента для sin2x и cos2x): 2л/з

sinхcosx - 2cos2 x = 4 | cosx |.

При раскрытии знака модуля рассматриваются два случая: 1) cosx > 0 , 2). В первом случае легко обнаруживается серия корней из условия cosx = 0,

затем доказывается с применением формулы вспомогательного угла, что для корней уравнения 2л/3 sin х - 2 cos x = 4 , полученного сокращением на cos x,

не выполняется условие cos x > 0 . Во втором случае приходится доказывать то же самое для уравнения 2>/зsinх - 2cosx = -4. В итоге решение в [4] оказывается более громоздким, чем решение с применением двойной подстановки.

Чтобы не показалось, что (*) - единственно возможная двойная подстановка в тригонометрических уравнениях, рассмотрим еще один пример.

Задача 6. Решить уравнение

VC1 - tgx)3 +V

Решение. Обозначим u =t] 1 - tgx , v = tJ 1 + tgx .

Рассмотрим вспомогательную функцию f (w) = w3 + w5 + w7; тогда уравнение (7) переписывается в виде f (u) = f (v). Но функция f (w) является монотонной (т.к. ее производная f' (w) = 3w2 + 5w4 + 7w6 не меняет знак) и всякое свое значение принимает только один раз, т.е.

|1 - tgx = 1 + tgx,

f (u) = f (v) o u = v O V1 - g = V1 + g oi-1 < tgx < 1.

Первое условие системы сводится к равенству - tgx = tgx, т.е. 2tgx = 0, т.е. tgx = 0 , т.е. x = лк , где к е Z ; для всех этих решений второе условие системы выполнено.

Ответ: ж - k, к е 2 .

Здесь двойная подстановка всего лишь облетает вычисление производной, тем не менее задача поставляет пример двойной подстановки, отличной от иодетзковки (*).

Метод двойной еодстановчи в пнигеноеопнилеских уравненияенесвео-ется универсальным и, конечно, не отменяет широкой вариативности при ре-дани з оадач, пооХде присудоотдчгономотрш.Тем не! ознее, вpизeданныx в рабопоо рсмо-)оо досготолнодмя члхюсздеции ни^со, нте мееоо онозыеalкнен успешным в некотором классе тригонометрических уравнений и часто являет-

Библиографическийсписок

ся более экономичным, чем другие методы. Мы ограничились здесь достаточно простыми примерами, чтобы технические сложности не затрудняли читателям восприятие метода. Более сложное применение двойной подстановки можно найти, например, в «Задачах по алгебре, арифметики и анализу» [5, с. 142].

Дополнительные преимущества двойная подстановка дает в тригонометрических неравенствах и в задачах с параметрами в сочетании с графическими методами, что будет показано в следующей работе.

1. ГельфандИ.М., Львовский С.М., ТоомА.Л. Тригонометрия. Москва:МЦНМО, 2003.

2. ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ. Под редакцией И.В. Ященко. Москва: Издательство «Экзамен»,2017.

3. Лидский В.Б., Овсянников Л.В., Тулайков А.Н., Шабунин М.И., Федосов Б.В. Задачи по элементарной математике. Москва: Наука, 1973.

4. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в ВУЗЫ. Москва: Наука, 1968.

5. Прасолов В.В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу: учебное пособие. Москва: МЦНМО, 2007.

References

1. Gel'fand I.M., L'vovskij S.M., Toom A.L. Trigonometriya. Moskva: MCNMO, 2003.

2. EG'E2017. Matematika. Profil'nyj uroven'. Tipovye varianty 'ekzamenacionnyh zadanijotrazrabotchikov EG'E. Pod redakciej I.V. Yaschenko. Moskva: Izdatel'stvo «'Ekzamen», 2017.

3. Lidskij V.B., Ovsyannikov L.V., Tulajkov A.N., Shabunin M.I., Fedosov B.V. Zadachipo 'elementarnojmatematike. Moskva: Nauka, 1973.

4. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H. Posobie po matematike dlya postupayuschih v VUZY. Moskva: Nauka, 1968.

5. Prasolov V.V. Zadachi po algebre, arifmetike i analizu: uchebnoe posobie. Moskva: MCNMO, 2007.

Статья поступила в редакцию 20.04.20

УДК 378

Aleyeva Yu.V., Cand. of Sciences (Philology), senior lecturer, Altai State Pedagogical University (Barnaul, Russia), E-mail: yaleeva73@mail.ru

Loginov A.N., postgraduate, Altai State Pedagogical University (Barnaul, Russia), E-mail: Loginov.ru@inbox.ru

EXPERIENCE IN PERFECTION OF FINANCIAL LITERACY IN CHILDREN REMAINING WITHOUT CARE OF PARENTS. The article analyzes the need for modern Russian education in the financial preparation of children. The essence of the study of financial literacy in children brought up in the family and children left without parental care is revealed. The relevance of financial training in modern society is emphasized. The article describes the experience of implementing the author's workshop aimed at improving the skills of financial literacy in children without parental care, the purpose of which is to form pupils' help centers, knowledge, skills necessary for making financial decisions in everyday life and in process of interaction with financial institutions. The content of the author's didactic game "MoneyLife" is determined. The authors also note that during the implementation of the workshop, participants will improve not only subject knowledge and skills, such as: mastery of the basic concepts of financial literacy, knowledge of the rules of conduct that are necessary when interacting with various financial institutions, but also personal groups (ability to differentiate short-term and long-term needs, understanding the importance of obtaining education as a condition for successful self-realization, understanding and personal responsibility for decisions made in the process of interaction with financial institutions, etc.) and meta-subject results (to analyze the practical situation in the field of finance, to set financial goals , plan to achieve goals aimed at solving a financial problem, evaluate alternative ways to achieve goals, etc.).

Key words: financial literacy, children without parental care, workshop, financial decisions.