Полупростые алгебры Хопфа

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 15 Выпуск 1

УДК 512.667.7

ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ХОПФА*

В.А. Артамонов

Аннотация

В работе приводится обзор результатов о строении полупростых конечномерных алгебры Хопфа с изоморфными неприводимыми неодномерными представлениями одной размерности. Кроме того, приведены новые результаты о групповых элементах построенных алгебр Хопфа и о строении дуальной алгебры Хопфа.

Ключевые слова: Алгебры Хопфа, проективные представления.

SEMISIMPLE HOPF ALGEBRAS

V. A. Artamonov

Abstract

There is given a survey of results on a structure of semisimple finite dimensional Hopf algebras with isomorphic irreducible non-one-dimensional representations. There is found an explicit form of group-like elements in these Hopf algebras and a structure of the dual a Hopf algebra.

Keywords:

1. Введение

В работе в разделах 1 — 4 приводится обзор по проблеме классификации полупростых конечномерных алгебр Хопфа H над алгебраически замкнутым полем k. Предполагается, что основного поля k либюо нулевая, либо больше размерности H.

Рассматривается задача описания таких полупростых конечномерных k-алгебр Хопфа H, у которых в каждой размерности, большей 1, существует не более одного неприводимого H-модуля.

Эти исследования мотивированы следующим результатом из теории групп.

ТЕОРЕМА 1 (Беркович, Chillag, Herzog). Пусть G неабелева группа, причем для любого п > 1 имеется не более одного неприводимого комплексного представления размерности п. Тогда G — одна из следующих групп:

1Частично поддержано грантом РФФИ 12-01-00070

a) Экстра-специальная 2-группа порядка 22m+1, у которой в точности одно неприводимое неодномерное представление размерности 2m.

b) G - 2-транзитивная фробениусова группа порядка qf (qf — 1), где q — простое число, и ядро Фробениуса совпадает с G'. Группа G имеет qf — 1 одномерных представлений и одно представление размерности qf — 1.

c) G является 2-транзитивная фробениусовой группой порядка 72 с фробени-совым ядром F, и G/F — группа кватернионов порядка 8. Группа G имеет, 4 одномерных представлений и два неприводимых представлений размерности 2 и 8.

Напомним, что компактные группы SU(2, C), SO(3, R) имеют в каждой размерности не более одного неприводимого представления.

В последних разделах дается описание групповых элементов в построенной в теореме 13 новой серии алгебры Хопфа H. Каждый групповой элемент соответствует одномерному представлению дуальной алгебры Хопфа H*. В заключительном разделе описывается центр H *. Размерность центра равна числу неприодимых представлений H*. Все это позволяет предположить, что дуальные алгебры H* дают новую серию полупростых алгебр Хопфа.

2. Свойства модулей

Для конечномерной полупростой алгебры Хопфа H одномерные слагаемые в полупростом разложении соответствуют гомоморфизмам k-алгебр H ^ k. Эти гоморфизмы являются групповыми элементами дуальной алгебры Хопфа H*. Всюду в работе через G обозначается группа групповых элементову в H*. Таким образом, прямая сумма одномерных слагаемых у алгебры H как алгебра совпадает с дуальной алгеброй kG)*.

Обозначим через M1,...,Mn неприводимые H-модули размерностей 1 < d1 < • • • < dn. В работе [2] показано, что каждый модуль Mi имеет такую невырожденную (косо-)симметричную билинейную форму {x,y)i, что (hx,y)i = (x, S(h)y)i для всех x,y G Mi и всех h G H. При этом |G| ^ d^

Каждая матричная компонента Mat(di,k) из полупростого разложения H инвариантна относительно антипода S. Пусть Ui - матрица Грама билинейной формы (x,y)j, в некотором базисе модуля Mi.

Предложение 1. S (x) = UitxU-1 для всех x G Mat(di,k).

Предложение 2. Для любого i имеется такое точное проективное представление Фi группы G в Mi, что

= Фi (g)h^(g)_\ g = S (ФДд)) hS ^i (g))-1

для любого h G Mat(di, k) и tr ФДд) = diô91.

Групповой коммутатор |^(g),S (ФД/))] = 1 в PGL(Mi) для любых f,g G G.

Отождествим Ыг  Ыг С алгеброй Ы&Ь^г, к), используя билинейную форму {х,у)г. Если а,Ь,с £ Ыг, то а  Ь является таким линейным оператором на Ыг, что

(а  Ь)с = а(Ь, с)г £ Ыг.

Предложение 3. При этом отождествлении образ одномерного подмодуля в Ыг  Ыг, соответствующего элементу д £ С, совпадает с линейной оболочкой матрицы Фг(д).

Алгебра Хопфа Н почти кокоммутативна, если существует такой обратимый элемент К £ Н 0 Н, что

*Д(х) = ПД(х)П-1

для всех х £ Н. Если Н почти кокоммутативно и Ы, N — произвольные Н-модули, то имеется изоморфизм Н-модулей Ы 0 N ~ N 0 Ы.

Теорема 2. Если алгебра Хопфа Н почти кокоммутативная, то группа С абелева. Если п =1, то верно и обратное.

Теорема 3 ([2]). Пусть матричная компонента Ма1(^г,к) является идеалом Хопфа в Н. Тогда г = п.

Теорема 4. Пусть С — ненулевой левый идеал в Н, являющийся левым коидеалом. Тогда С = Н.

3. Коумножение и антипод

Рассмотрим элемент

1

= Eif 0 е MatK> kT2>

dq г,3=1

где EiqJ — матричные единицы. Можно проверить, что Rq — единственный с точностью до множителя такой элемент из Mat(dq, k)2, что

для всех A, B £ Mat(dq, k).

Следующая теорема используется для классификационной теоремы 8. Впрочем, она имеет и самостоятельное значение.

ТЕОРЕМА 5 ([4, 5]). Пусть G — конечная группа, порядок которой взаимно прост с char k. Проективное представление П : G ^ PGL(d, k) с условием

П(д-1) = ВД-1, П(Е) = E,

неприводимо в том и только в том случае, если

1

ш

деС

Справедливо следующее описание структуры коумножения и антипода в алгебре Хопфа Н.

Теорема 6 ([2]). Пусть д £ С и х £ Ма^г, к). Положим Дд = (1  Б)КЯ. Тогда е(ед) = 81>д, е(х) = 0 и

Д(ед) = X/ е/ 0 -1д + X/ (10 (д ^ ))Д

f еС *=1,...,га

п

Д

дес г,з = 1

где Д^(х) £ Ма^г, к) 0 Mat(dj, к).

4. Случай одного неодномерного неприводимого представления

Приведем обзор результатов, описывающих строение Н в случае одного неодномерного неприводимого представления. В этом случае d1 делит порядок С делится на d1 и делит d‘^, [8, 9]. В работе [6] показано, что если порядок С имеет максимально возможное значение $\, то группа С абелева. Из работы [10] и предложения 2 вытекает, что С = А х А для некоторой абелевой группы А.

Если d1 = 2, то имеется 4 класса алгебр Хопфа — групповая алгебра абелевой группы порядка 8, групповая алгебра группы диэдра или группы кватернионов Q8, а также алгебра Хопфа Г.Каца Н порождаемая элементами х,у,г с определяющими соотношениями

2 2 1

х = у = 1, ху = ух, гх = уг, гу = хг, г2 = 1 + х + у-ху),

е(г) = 1, Б (г) = г-1,

А (-г) = ^ ((1 + у)  1 + (1 - у)  х) (г  г),

где х, у — групповые элементы.

В работе [7] рассматривается полупростая алгебры Хопфа Н размерности

2р2, где р — простое нечетное натуральное число. Тогда либо Н имеет одно неприводимое представление размерности d1 = р, причем | С | = р2, либо Н дуальная алгебра Хопфа к первому случаю и Н имеет 2р одномерных представлений и Р(~Р2 ^ представление размерности 2.

Теорема 7 ([1, 5, 4]). Пусть Н имеет одно неодномерное неприводимое представление и С = С(Н*).

Следующие условия эквивалентны:

1. Порядок С равен д^.

2. Д11 = 0 в теореме 6.

3. Ф1 является неприводимым проективным представлением группы С в М1.

При выполнении условий последней теоремы

Н =

и е(х) = 0, где х £ Ма^^ к). Кроме того, если {ед | д £ С} — дуальный базис к базису {д | д £ С}, то е(ед = 5д1), и

Д(х) = X] [(ф1(д)хф1(д) ^ 0 ед

дес

+ед 0 (Б ф(д)) хБ (Фг(д)-1))] .

Теорема 8 ([1, 5, 4, 3]). Пусть С — абелева группа порядка d2 с прямым разложением С ~ А х А для некоторой абелевой группы А порядка d. Группа С имеет неприводимое проективное представление Ф размерности d.

Тогда существует такая (косо-)сумметричная матрица и £ СЪ^^) что [Ф(д),Б (Ф(/))] = 1 в РОЬ^, к) для всех ¡,д £ С. Здесь Б(х) = игхи-1 для любого х £ Ма^, к). Тогда алгебра Н с разложением (1) обладает структурой алгебры Хопфа, указанной в теореме 6. При этом С ~ С(Н*) .

Теорема 9 ([11]). Если d1 нечетное простое число, то группа групповых элементов С(Н) в Н из теоремы 8 является циклической группой порядка

2dl.

Теорема 10 ([4]). Пусть п = 1, d1 > 2 и Н из теоремы 8. Тогда алгбра Хопфа Н* не изоморфна ни одной алгебре Хопфа из теоремы 8.

В работах С.Ю. Спиридоновой [18, 19] рассмотрен случай, когда Н — полу-простая алгебра Хопфа с одним неприводимым неодномерным представлением, С — циклическая группа минимально возможного порядка d1, равного размерности единственного неодномерного неприводимого модуля. Кроме того, предполагается, что

Д11(Е) £ Ма^ьк)2

симметрично относительно перестановки матричных множителей.

Теорема 11 ([18, 19]). При выполнении этих условия алгебра Хопфа Н существует в том и только в том случае, если ¿1 = р? — 1 для некоторого простого числа р. При этом матрица Грама и мономиальна. Найден явный вид гомоморфизма Д^.

В полученных алгебрах Хопфах описаны идеалы Хопфа.

5. Случай произвольного п

Рассмотрим случай произвольного числа п неприводимых неодномерных представлений. Предположим, что группа О абелева. В произвольной матричной компоненте Шаі(йі,к) для любых к-характеров ^,А группы О через Сг л обозначим множество всех таких х Є Ма^^г, к), что для любого д Є О выполнены равенства

д ^ х = Адх, х —— д = ^дх.

Теорема 12 ([2]). В алгебре матриц Маі(дг,к) имеется О* х О*-гра-дуировка

Ма1(^г, к) = м,лес*С1,\, С;,л  Са,в — С1а,\в

Кроме того, Б (Сгл) — Сгл_і і и

Д- (С;,л) — Ф?еС* (— 0 С[л) — Ма^-, к) 0 МаїЦ, к).

Пусть Фг — проективное представление группы О в модуле Мг. При этом Фг(/)Фг(д) = Ад(/)Фг(д)Фг(/), Ад Є О*.

Предложение 4 ([2]). Фг(д) Є Сг^^Хд для некоторого ^д.

Положим Ф(д,/) = Фг(/)Б (Фг(д)). Тогда Фг задает представление группы О х О в Мг.

Теорема 13 ([2]). Если представление Фг точно и неприводимо, то матрица Грама иг диагонализуема. Кроме того, ¿г = |О| и каждое пространство С;,л одномерно.

В условиях предыдущего предложения в каждом Сг л выберем нелуевой элемент (и, А) таким образом, что Б(^,А) = (А-1,^-1). Можно считать, что умножение имеет вид

для некоторого 2-коцикла а : О* х О* ^ к*.

В этом случае коумножение имеет вид

Діі(а,в) = X Ка^в(а,0 0 (С,в), Є k,

?єс*

а действия

д ^ {а,^) = (д,р){а,в), {а,р) ^ д = (д,а){а,в).

Найдены необходимые и достаточные условия на коэффициенты ка,^,в, если снова имеется только одно неприводимое представление Ф^ Они имеют вид

ка,£,в — кв-1 ,£-1 ,а-1;

^ ^ ка,т,в К^,П,У; тп=?

X Ка’^в = 0;

£&С*

ке,£,е = %£ — "¡~С|)

_ К . _= •

\с\

^у,р,и^р,а,и ^7,р,<7^7,а,и \/~<\ '

В [2] показано, что случай двух неодномерных представлений М1, М2 алгебры Н невозможен, если на М1 имеется неприводимое представление Ф1 группы

О, а на М2 — неприводимое представление Ф2 группы О х О.

6. Групповые элементы

Опишем групповые элементы в алгебре Хопфа из теоремы 13.

По [1, формула (17)], [2, формулы (12), (13)] умножение и коумножение в Н имеет вид:

х—^ а- V—л

Д(ей) = / у в/  б/г + . р / у Иа/З  -Я/За,

¡МО ' ' а,в£С*

Д(Еав) ^ ^ (вд Еав 0 ед + ад ед 0 Еав) ^ ^ ка,5,в Еа£ 0 Е5в;

деО 5еО*

ед$?,дед, Еавед едЕав ° ЕавЕт! ^а,т,в,5 Еат,в5  Рассмотрим групповые элементы х в Н из [1]. Пусть

х ^ ^ Х,д ед ^ ^ ал^ Ел^і  деО л, цеО*

По [1] и [2, Лемма 3.1]

Д(Х) ~ ^ ] Хд | ^ ] 6/0 6/* + ,^|2 ^ ] ^а/З  Я/За ) +

деО \/,кеО, /Ь=д ' ' а,веО*

^ ^ ах»кх,£,» Ях£ 0 ЯС» + х»£ео* Ад вд 0 КХ„ + ][] ах» 1^д Ях» 0 вд .

деО деО

С другой стороны,

X 0 X — £ X./ Хд в/ 0 вь + X Хд ах» вд 0 Ях»+ /,ЬеО д,х,№

^Хд ах» Ях» 0 вд + X ах» ах!»' Ях» 0 Яу »'. д,х, » Х,ц,Х;,»'

Приравнивая коэффициент при в/ 0 вь получаем, что X/Хь — Х/ь, т.е. х £ О*.

Из равенства Д(х) — х 0 X вытекает, что существует такая пара А,^ £ О*, что ах» — 0.

Приравнивая коэффициент при вд 0 Ях» получаем ах» Ад — хд ах»  Поскольку ах» — 0, то А — х. Аналогично, приравнивая коэффициент при Ях» 0 вд получаем, что ^ — х.

Итак,

х 'У ] Хдвд + ахЯхх деО

и потому

1

X, Ху \(2\2 Я<*Р 0 ЯР<* ^ X! аХКХ,£,ХЯХ$ 0 Я$Х йхЯХХ  Я

деО а,веО* 1 1 £еО*

Заметим, что х,а 1,ха 1 £ О*. Поэтому

° а — х;

X Хд а

деО

-1

д 1 \О\, а — X.

Следовательно, последнее равенство имеет вид

777Г X ^х/3 0 X ахкх£,хЯх(, 0 Щх = ах^ХХ 0 Яхх-

\ \ веО* £еО*

Таким образом, это равенство возможно только при условии

1 , /о, /3 ф х;

~Г ахКХ,Р,Х 1 2 а

\О\ (<, в — X.

Суммируя эти равенства при всех в в силу [1, формула (23)], получаем а2Х — 1, откуда ах — ±1 и

део

причем выполнено

Теорема 14. Группа О(Н) состоит из элементов (5), причем выполнено (4), При этом х : О ^ к — гомоморфизм групп.

7. Дуальная алгебра

Дуальная алгебра Н* для Н является прямой суммой групповой алгеброй кО и дуального подпространства Маі(^, к)*.

На пространстве матриц Маі(^, к) имеется билинейная форма

Поэтому если в — е, то найдется такое д £ О, что вд — 1. Следовательно, ^ (Яав) — вд ^ (Яав) и потому ^ (Яа^) — °.

Аналогично рассматривается случай а — е.

Предложение 6. Форма (6) симметрична и невырождена.

Доказательство. По [2] для любой матрицы В имеем

Поэтому іг(Б(В)) = іг В. Таким образом, учитывая, что Б2 = 1 получаем

Іг(Яав ) = {= 0' а = 'в

10, в противном случае

Доказательство. Для д £ О по [1], [2] имеем

д ^ Яав вд Яав Ад Яав Ад

Б (В) = и *Вид\

{А, В) = іг

= іг )Б2

Невырожденность очевидна.

Предложение 7. Если (а, в) — (А, 7), то (Яав,Я^х) — 0. Доказательство. Напомним, что по [1, формула (17)] имеем

Яав Я^х ^а,^,в,х) где уа,7,р,х £ к. Таким образом, по [1, теоремы 2.4, 2.7] получаем

(Яав) Я^х) — ^ (Яав^ (ВД

— ^ (ЯавЯх-11-1) — ^а,х~1,в,^~1 ^Г (Яах-1 ,^1-1) — 0

по предложению 5, если либо а — А, либо в — 1.

Без ограничения общности можно ввести нормировку

Используя билинейную форму (6) отождествим пространство матриц со своим дуальным пространством.

Найдем вид произведения * и коумножения А* в Н*.

Пусть

Яав * Я^п ^ ] Ша,~/,в,Г1Ятс + ^ ] рдд.

т,<у д

По (3), (7) и предложению 7 получаем

Кв,а,1 ^1,т ^п,а

Далее по

/ _ а ¡к Р У) = П =

\С\

а,т еО*

|/о| / у ^д ^а,т^/3,а^,а^г],т \s~i\fig ^ос,г]д/3,~/

\ \ а,теО* \ \

Итак,

/,’ . X /,’ /.• . Л /,’ . •

\С\

Яа[3 * Я^г] ^'

деО

Итак, (8) принимает вид

0, п — а;

Яав * Я^П — ^ Кв,а,1 Я7в, п — ау в — Т;

^13,а,13Я1313 + Щ ^2д£С вд 9> V в 7-

Аналогичные соображения показывают, что

Яав * д вд Ява Ява 1 д) д * Яав ад Ява д ^ Яв<а) д * I д

Вычислим теперь А*(д), А*(Яав).

Имеем

лежит в центре Н*. Тогда

г * / — / * г, г * Ятп — Ятп * г

для всех / £ С и всех т,п £ С*.

Как отмечено в предыдущем разделе

А*{д) (е/ 0 ен) = (д, е/ен) = 5д/5^,

Д*(д) (в/ 0 Яар) = Д*(д) (Яар 0 е/) = 0,

Д (д) (Яав 0 Я^П) (д, ЯавЯ1П) ^а,^,в,П(д 1 Яа^,вп) 0-

Таким образом,

Д*(д) = д 0 д

Далее

Д* (Яав) (е/ 0 еь) = (Яав, е/еь) = 0;

Д* (Яав) (Ятп 0 еь) = (Яав) Ятпеь) = 0;

Д* (Яав) (еЬ 0 Ятп) = (Яав) еНЯтг/) = 0;

Д* (Яав) (Я

тп 0 Я\£ ) ^т,ХУп,^(Яав і Ят\,п£ ) №ту\упу£5ауп£ 5в,т\

Отсюда

т\=в, п£=а

8. Центр Н*

Пусть элемент

Отсюда следует, что шіХ = 0, то 7 = Л, и

г = ^ адд + ^ шхЯхх

деО ХеО*

Далее при т = п

г * Ятп ^ ^ ад тд Япт + Е шХЯХХ * Я дХ

^ ^ ад тд Япт + Шп Кп,п,т Я'

,ад'д±ьпт 1 ^п,ьп,п,т±ьтп д

Ятп * г ад пд Япт ^ ^ шХ Ятп * ЯХХ

дХ

^ ^ ад пд Япт + шт кп,т,т Ятп •

Таким образом, при любых т = п

Ед адтд = £д адПд

шПКП,П,т — шт кп,т,т •

Наконец

Ятт ^ ^ адтдЯтт ^ ^ шХЯХХ * Ят

дХ

^ ^ (ХдТдИтТ “Ь ^Т^Т,Т,ТЯТТ “Ь |^(| ^ ^ Тд 9 дд Ятт * г ^ ^ адтдЯтт ^ ^ шХЯтт * ЯХХ дХ

^ ^ (ХдТдИтт “Ь ^т^т,т,тЯтт “Ь "ьоТ ^ у Тд 9) д 11 д

что всегда выполнено.

Таким образом, центр Н* задается системой линейных уравнений вида

с неизвестными коэффициентами ад, д Є С, и шх, Л Є О*. Число уравнений |о|

равно J——- и равно числу разных пар несовпадающих элементов г], т.

Отметим, что размерность центра Н* равна числу неприводимых представлений дуальной алгебры Хопфа Н*.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. В. А. Артамонов, Полупростые алгебры Хопфа с ограничениями на неприводимые неодномерные модули // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26, вып. 2.

2. V. A. Artamonov, On semisimple Hopf algebras with few representations of dimension greater than one // Revista de la Union Matematica Argentina, 51(2010), № 2, 91-105

3. Мухатов Р. Б. О структуре полупростых алгебр Хопфа. Рукопись. Деп. в ВИНИТИ 17.10.2012, № 405-В2012.

4. V. A. Artamonov, I. A. Chubarov, Dual algebras of some semisimple finite dimensional Hopf algebras // Modules and comodules, Trends in Mathematics, 65-85, Birkhauser Verlag Basel/Switzerland, 2008.

5. V. A. Artamonov, I. A. Chubarov, Properties of some semisimple Hopf algebras // Contemp. Math. 483, Algebras, representations and applications, A conference in honour of Ivan Shestakov’s 60th birthday, August 26 — September

1, 2007, Maresias, Brazil. Edited by: Vyacheslav Futorny, Victor Kac, Iryna Kashuba and E. Zelmanov. // Amer. Math. Soc., 2009, 23-36.

6. Tambara D., Yamagami S., Tensor Categories with Fusion Rules of Self-Duality for Finite Abelian Groups // J.Algebra 209(1998), 692-707.

7. A. Masuoka, Some further classification results on semisimple Hopf algebras // Commun. Algebra, 24(1996), 307-329.

8. S. Natale, Semisolvability of semisimple Hopf algebras of low dimension // Memoirs of AMS 186( 2007).

9. Sonia Natale, Julia Yael Plavnik, On fusion categories with few irreducible degrees // Algebra and Number theory, 6(2012), № 6, 1171—1197, DOI: 10.2140/ant.2012.6.1171

10. Frucht R., Uber die Darstekkung endlicher abeischer Gruppen durch Kol-lineationen // J. reine angew. Math., 166(1932), 16-29.

11. Е. Г. Пунинский, Групповые элементы некоторых полупростых конечномерных алгебр Хопфа // Вестник МГУ. Сер. 1, Математика. Механика. 2010. № 5. С. 15-20.

12. Спиридонова С. Ю. О некоторых полупростых алгебрах Хопфа размерности n(n + 1) // Математические заметки. 2012. Т. 91, вып. 2. С. 253--269.

13. Спиридонова С. Ю. Обобщенная кокоммутативность некоторых алгебр Хопфа и их связь с конечными полями // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25, вып. 5. С. 253--269.

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Поступило 3.03.2014