Описание образа одного оператора типа потенциала с осциллирующим ядром

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2005, Том 7, Выпуск 2

УДК 517.983

ОПИСАНИЕ ОБРАЗА ОДНОГО ОПЕРАТОРА ТИПА ПОТЕНЦИАЛА С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМ ЯДРОМ1

М. А. Бетилгириев, Д. Н. Карасев, В. А. Ногин

Посвящается академику С. М. Никольскому

Рассматриваются операторы типа потенциала с гармоническими характеристиками и ядрами, осциллирующими на бесконечности. Методом аппроксимативных обратных операторов построено обращение и дано описание образов этих потенциалов в случае, когда характеристика является неэллиптической сферической гармоникой.

1. Введение

Рассматриваются операторы типа потенциала

Г У (+>г

К"

где 0 < И,е а < п/2, Ут(г') — неэллиптическая сферическая гармоника т-го порядка.

Получены (Ьр — Ьд)-оценки для оператора К^,. Методом аппроксимативных операторов (АОО) построено обращение потенциалов (1.1) с Ьр-плотностями и дано описание образа К!т(Ьр) в терминах обращающих конструкций. Это описание, содержащееся в теореме 2.2, является основным результатом статьи.

Заметим, что рассматриваемый случай является неэллиптическим: в нем символ оператора (1.1) вырождается на конусе нулей однородного многочлена Ут(г).

В настоящее время имеется ряд работ по обращению операторов типа потенциала в неэллиптическом случае в рамках Ьр-пространств (см. книгу [19], обзорные статьи [16-18] и имеющуюся там библиографию). Однако описать образы таких потенциалов удавалось редко и, как правило, для операторов специального вида. Для операторов вида (1.1) до сих пор оставался открытым даже случай т = 1 (хотя, обращение этих операторов было построено в [5]). Возникающие здесь трудности принципиального характера связаны с вопросом о плотности в Ьр пространства Фу типа Лизоркина, построенного по множеству нулей символа рассматриваемого оператора (см. замечание 4.1).

Эти трудности удалось преодолеть при 0 < И,е а < п/2, используя (Ьр — Ьд)-оценки для оператора К^, полученные в теореме 2.1. Заметим, что аналогичный подход использовался в [12] в случае радиальных характеристик, т. е. характеристик принципиально иной природы.

Отметим также, что при доказательстве теоремы 2.1 мы получаем представляющие самостоятельный интерес (Ьр — Ьд)-оценки для операторов Бохнера — Рисса В7 комплексного порядка 7, Яе 7 ^ 0, играющих важную роль в различных вопросах анализа. Эти оценки содержатся в теореме 3.1. Ранее утверждение этой теоремы было известно в случае 1т 7 = 0 (см. замечание 3.1).

© 2005 Бетилгириев М. А., Карасев Д. Н., Ногин В. А.

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 04-01-00862а.

2. Основные результаты

2.1. (Ьр — Ьд )-оценки для оператора К^. Через (А, В,..., К) будем обозначать открытый многоугольник с вершинами в точках А, В,..., К; [А, В,..., К] — его замыкание; £(А) — ^-характеристика оператора А, т. е. множество всех пар (1/р, 1/») для которых оператор А из Ьр в Ьд ограничен.

Пусть 0 < Яеа < п/2. Рассмотрим следующие точки на (1/р, 1/»)-плоскости:

А = С = О = н

1, 1

Яе а

п

3 2Яе а 3 2Ие а 2

п — 1 2 п — 1 1 (п — И,е а)(п — 1) 1 Яе а п(п + 3) ' п

= 1-

И,е а

1

п

К =

/2(Ие а + 1) I п + 1

И,е а п 1 1 2' 2

А' = С' = О' = н' =

К' =

И,е а

п

2Яе а 1 2Яе а 1

п — 1 2 п — 1 2 Яе а

п ' п(п + 3) И,е а И,е а4

пп 1 3 2(Яе а + 1) 2, 2

Е = (1,0), Е =| 2.2

п + 1

О = (1,1), О' = (0,0).

Нам понадобятся следующие множества (см. рисунки 1 и 2):

' [А', Н', Н, А, Е] \ ([А', Н'] и [А, Н]), (А', О', С', С, О, А, Е) и (А, Е] и (А', Е) и (С', С), Ь1 (а, п) = { (А', О', Е, О, А, Е) и (А, Е] и (А', Е) и |Е}, (А', О', Е, О, А, Е) и (А, Е] и (А', Е), к (А', О', К', К, О, А, Е) и (А, Е] и (А', Е) и [К', К],

Ь2(а, п) = [О, А, А', О'] \ ({А'} и {А}). 1/»

п ^ Т-> ^ п

0 < Яе а < 27П+Г,

п

2(п+1) '

< Яе а < п-!,

Яе а = п—1, 1т а = 0,

а

п—1 2 ,

п—1 < Яе а < п,

О'

А' Рис. 1.

Е 1/р О'

О

/К/

/ о//

О

А

А' Е 1/р

Рис. 2.

Следующая теорема описывает выпуклые множества (1/р, 1/»)-плоскости, для точек которых оператор К^ ограничен из Ьр в Ьд (см. рисунки 1 и 2).

0

Теорема 2.1. Пусть 0 < Яе а < п/2. Тогда справедливо вложение

) Э Ь (а, п) П ¿2 (а, п).

Замечание 2.1. Заметим, что для (п — 1)/2 < И,еа < п (за исключением некоторых значений а) оценки для оператора , а также для более общего оператора вида (1.1) с произвольной однородной характеристикой 0(4') (вместо гладкой в Ж"\{0}, были

получены в [8] с помощью другого метода, который не работает в случае И,е а ^ . Результат, содержащийся в теореме 2.1 при (п — 1)/2 < Яеа < п/2 (см. рисунок 2), совпадает с полученным в [8].

2.2. Описание образа (Ьр). Пусть А^,(£) — символ оператора (см. п. 3.4). Введем оператор

(£2) (п — 1)р

Н/ = Иш 11т <5 * /, ^ < —

где

,-Н Ат (Ш12 —

\(|Ат(^)12 + ¿¿)(к12 + (е + ¿)2)7

I > Яе а (2[п/2] + 1) + [п/2](3 — п) + 3 — (п — 1)/2, = {/(х) : / |/(х)|р(1 + |ж|)^ж < то) .

Следующая теорема дает описание образа (Ьр) в терминах оператора На, являющегося левым обратным к потенциалу .

Теорема 2.2. Пусть 0 < Яе а < п/2, а = (п — 1)/2, (п — 3)/2,... Предположим, что 2(Иеа + 1)/(п + 1) — 1/2 < 1/р < 1 при (п — 1)/2 < Яеа < п/2 и 1/2 < 1/р < 1 при 0 < Яе а < (п — 1)/2. Тогда

Кт(Ьр) = {/ е Ь: н/ е Ьр},

где На — оператор (2.1), д — произвольное число такое, что 1 < д ^ 2 и оператор К, ограничен из Ьр в Ьд в соответствии с теоремой 2.1.

3. Вспомогательные сведения и утверждения

3.1. Обозначения. Пусть (/, ш) = /(ж)ш(ж)^ж; — ядро Гаусса — Вейер-

штрасса; ^о = {^ : ^ = / е Ьх} — винеровское кольцо функций; Ьр — класс ядер А е 5' таких, что ||А * /||д ^ С||/||р, где / е 5, константа С > 0 не зависит от /; Мр = ^(Ьр) — класс (р — демультипликаторов. Классы Ьр и Мр были введены Л. Хермандером в [10].

Пусть далее V — произвольное замкнутое множество в Ж". Обозначим Фу = {^ е 5 : (^ ^)(£) =0, £ е V, | = 0,1,... }, Фу = {^ е 5 : е Фу}. Пространства Фу и Фу были введены и изучены С. Г. Самко в [6, 7], см. также книгу [19]). В случае, когда V — совокупность всех координатных гиперплоскостей, указанное пространство изучалось П. И. Лизоркиным (см. [3]).

Пусть функции ш(г), к(г),х(г) е Сте(0, то) таковы, что 0 ^ ш(г), к(г), х(г) ^ 1, ш(г2) = 1, если г| ^ 1 — ¿/2, ш(г2) = 0, если г ^ 1 — ¿/4; к(г) = 1, если |1 — г| ^ ¿/4,

к(г) = 0, если |1-r| ^ ¿/2; %(r) = 1, если r ^ 1+5/2, x(r) = 0, если r ^ 1+5/4. Выбором 5 (0 <5 < 1/2) мы распорядимся при доказательстве леммы 3.1. Предположим также, что

ш(г2) + к(г) + x(r) = 1.

3.2. Об одном (p — демультипликаторе. Обозначим

ba

A\ = (2n)-ne-"2(Л+1)Г(А + 1). При доказательстве теоремы 2.1 существенно используется следующая

Лемма 3.1. Пусть 0 < Re a < n/2, a = (n — 1)/2, (n — 3)/2,... Тогда

MKl) G ,

< В статьях [12-14] показано, что ядро sa(t) = %(|i|)|i|a-nei|i| принадлежит Lp, если (1/p, 1/q) G Li (a, n), следовательно, (£) G Mp для указанных p и q. Кроме того, в [11] и [12] было получено следующее представление для Sa(£) в окрестности единичной сферы:

где P(x) — бесконечно дифференцируемая функция, для которой P(1) = 0, к(|£|)па(£) G Mp, если (1/p, 1/q) G [O', O, E]. Выберем 5, участвующее в определении функций ш, к, % (см. п. 3.1) так, чтобы нули функции P(|£|) не принадлежали suppк(|£|). Тогда разделив (3.3) на P(|£|), из полученного равенства имеем (3.2). >

3.3. Оценки для оператора Бохнера — Рисса комплексного порядка с неотрицательной вещественной частью. Указанный в заголовке оператор определяется в образах Фурье равенством

-—- 2-7(2n)-n/2

BYy(fl= r(1+ y) (1 — |^|2)+^(e), Re7 > 0

(см. [20, гл. 9, § 2]). Для него справедливо интегральное представление

JR" 2

где Jv (z) — функция Бесселя порядка v.

Следующая теорема содержит (Lp — Lq)-оценки для оператора (3.4). Теорема 3.1. Пусть 0 ^ Re7 < (n — 1)/2. Тогда справедливо вложение

L

< Представив +7 (г) в виде линейной комбинации функций Ханкеля

* I+7

и воспользовавшись интегральным представлением из [4, стр. 165] для Н(1)(г) и Н2)(г), оператор (3.4) запишем в виде

где

К"

, 1 , ¿п(п+1+27) / 2 + 1

С± = (2п)-2е±~^ 4 Г-Ч + 7

С п-1

т±(|у|) = | е-'*"-1± 2У-У й; о

(N7<^)(ж) = 1(1 - х(|у|))|у|-2^+7(|у|Мж - у) йу.

К"

Характеристики т±(г) удовлетворяют условиям теоремы 4.2 из [14]. Применяя эту теорему, получаем

) + ,п).

Кроме того, очевидно, что

ДЖ 7 ) = [О' ,0,Е].

Из (3.6)-(3.8) следует (3.5). >

Замечание 3.1. Отметим, что в случае вещественных 7 > 0 утверждение теоремы 3.1 можно получить интерполяцией между оценками, полученными в [20] (см. утверждение на стр. 390) и замечании 2 из [9].

Замечание 3.2. Нам понадобится также результат для оператора (3.4) в случае -1/2 < И,е 7 < 0, полученный в [14]. Именно, в [14] было доказано, что вложение (3.5) справедливо для таких 7.

3.4. Вычисление символа оператора . Обозначим &те(ж) = Ут(ж')ег|х|-е|х| |ж|а-п. Переходя к полярным координатам и применяя формулу Функа — Гекке (см. равенство (1.60) из [19]), получаем

со 1

Се(0 = 1^-1|Ут(0/ Ра-1е*р-£рф|(1 - у2)Рт(уИ«|уйу,

о -1

где Рт(у) — многочлен Лежандра. Применяя далее к внутреннему интегралу последовательно формулы 7.321 и 6.621 из [1], имеем

= ст^тг^ ,а+т+1; 2+т; - ,

где

се = ,^-1, ™тГ

т!2тГ(п--2)Г(п + т)(е - г)«+т'

а ^(а, 6; с; г) — гипергеометрическая функция Гаусса.

Пусть |£| < 1. Переходя в (3.9) к пределу при е ^ 0, будем иметь

Пусть |£| > 1. Применяя к гипергеометрической функции в (3.9) формулу (12) из [4, стр. 219], и переходя затем к пределу при е ^ 0, получаем

Рт- с0 у ^ г

— ст,пут(Ч ) I

Г

V Ш-aFfa + m а - m - n + 2 ,1. -2

_Г(т + п/2)Г(-1/2)_

+ Г

/а + т + 1 а — т — п + 3 3 2

х|«г-.—2—1—; 2;

Нетрудно показать, что при 0 < Яе а < п/2 справедлива формула для преобразования Фурье в слабом смысле:

4. Доказательство основных результатов 4.1. Доказательство теоремы 2.1. Имеем

km

Очевидно, что

kmO

Кроме того, из соотношения х(|е1Ж1-а G Mp, (1/p, 1/q) G L2(a,n), доказанного в [15], вытекает, что

ё

Рассмотрим kmi(e). Применяя к гипергеометрическим функциям в (3.10) и (3.11) формулу (11) из [4, стр. 219], представим km i(е) в виде

____ та-1 —а

km,i

где М1е1) - функция (3.1), га(е), j(е) G Co°° (j = 1, 2). Тогда

к^Ке) G Mpq,

в силу теоремы 3.1 и леммы 3.1.

Из (4.1)-(4.3) и (4.5), на основании (3.12) получаем

С учетом теоремы С. Л. Соболева, оценка (4.6) распространяется на функции ^ G Lp, 1 < p < n/ Re а.

4.2. Доказательство теоремы 2.2. Вложение

Km

вытекает из теоремы 2.1 и равенства

(HaKm¥>) (ж) = <^(ж),

которое доказывается так же, как в [11, 12] в случае потенциалов с радиальными характеристиками.

Докажем вложение, обратное к (4.7). Предположим, что f е Lq, Haf е Lp. Пусть функция ш е S такова, что ш(£) = 0 в некоторой окрестности множества V = {£ : km (О = 0} U Sn-1 (следовательно, ш е Фу). Легко показать, что

где Km оператор с символом km(£). С учетом (4.8) имеем

eiU öiO '

где H^g — оператор свертки с ядром (2.2). Воспользовавшись равенством

где K^ä — оператор с символом

(|km(£)12 - ¿6)(|£I2 + (е - ¿)2Г,

с учетом (4.9) имеем

eiU eiU äiU

Докажем равенство

lim

äiU

Очевидно, что (Ke>äWe/^)(£) е Фу. Следовательно,

(f,i6K£)ä W^) = (2n)-n(Ff,i6F (Ke>5 W^)),

где Ff понимается в смысле Фу-распределений; это преобразование Фурье совпадает с преобразованием Фурье в смысле Lq (в соответствии с теоремой Хаусдорфа — Юнга). Применяя неравенство Гельдера, имеем

Заметим, что интеграл в правой части (4.13) конечен. Переходя в (4.13) к пределу при 6 ^ 0, получаем (4.12).

В силу (4.11) и (4.12) имеем

( Л (I £12_ 1)V£li|2 \

н/ w> = Urn (2n)-n/ ((|£|2 + (j _ ,)2)< u(£)> J = / w>.

Таким образом, мы пришли к равенству

Переходя к завершающему этапу доказательства, для заданной функции ^ £ S выберем последовательность {uj}, wj £ S такую, что Uj

множества V и lim Uj = Существование такой последовательности доказано в [7] jiro

(см. также [19, гл. 2]).

На основании (4.14) имеем

(кт н a/,Uj > = (/, wj >.

Переходя в этом равенстве к пределу при j ^ то, получаем

о» = (ктна/,^>, ^ £ s,

откуда следует, что

/

для почти всех x £ Rn.

Равенство (4.15) означает, что /(x) £ Km(Lp). Теорема 2.2 доказана. Замечание 4.1. Доказательство теоремы 2.2 существенно основано на возможности аппроксимации функции ^ £ S по норме Lp (p ^ 2) функциями из Фу, преобразования Фурье которых обращаются в нуль в некоторых окрестностях множества V. Как уже отмечалось ранее, возможность такой аппроксимации была доказана в [7] (см. также [19, гл. 2]) в случае произвольного замкнутого множества V.

Литература

1. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.—М: Физматгиз, 1971.-1108 с.

2. Карапетянц А. Н., Карасев Д. Н., Ногин В. А. Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Изв. НАН Армении.—2003. —Т. 38, № 2—С. 7-62.

3. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций // Тр. МИАН СССР.—1969.—Т. 105.— С. 89-107.

4. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики.—М: Наука, 1984.—344 с.

5. Ногин В. А., Шевченко К. С. Обращение некоторых потенциалов Рисса с осциллирующими характеристиками в неэллиптическом случае // Изв. вузов. Математика.—1999.—№ 10.—С. 77-80.

6. Самко С. Г. Об основных функциях, исчезающих на заданном множестве и о делении на функции // Мат. заметки.—1977.—Т. 21, № 5.—С. 677-689.

7. Самко С. Г. О плотности в Lp(Rn) пространства Ф^ типа Лизоркина // Мат. заметки.—1982.—Т. 31, № 6.—С. 855-865.

8. Betilgiriev M. A., Karasev D. N., Nogin V. A. (Lp — Lq)-estimates for some fractional type operators with oscillating kernels // Fractional Calculus & Applied Analysis.—2004.—V. 7, № 2.—P. 213-241.

9. Borjeson L. Estimates for the Bochner-Riesz operator with negative index // Indiana University Mathematics Journal. 1986. V. 35, № 2.—P. 225-233.

10. Hormander L. Estimates for translation invariant operators in Lp spaces // Acta Math.—1960.—V. 104.— P. 93-140.

11. Karasev D. N., Nogin V. A. Inversion of some potential-type operators with oscillating kernels in the elliptic and non-elliptic cases // Integral Transforms and Special Functions.—2002.—V. 13.—P. 529-545.

12. Karasev D. N., Nogin V. A. Description of the ranges of some potential-type operators with oscillating kernels in the non-elliptic case // Fractional Calculus & Applied Analysis.—2002.—V. 5, №. 3.—P. 315349.

13. Karasev D. N., Nogin V. A. Estimates for the acoustic potential and their application // Proceedings of A. Razmadze Math. Inst.—2002.—V. 129.—P. 29-51.

14. Karasev D. N., Nogin V. A. (Lp ^ Lq )-estimates for the Bochner—Riesz operator of complex order // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen.—2002.—V. 21, № 4.—P. 915-929.

15. Miyachi A. On some estimates for the wave equation in Lp and Hp // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. IA.—1980.—V. 27.—P. 331-354.

16. Nogin V. A., Samko S. G. Method of approximating inverse operators and its applications to inversion of potential type integral transforms // Integral Transforms and Special Functions.—1999.—V. 6.—P. 1-14.

17. Nogin V. A., Samko S. G. Some applications of potentials and approximative inverse operators in multi-dimensional fraction calculus // Fractional Calculus & Applied Analysis.—1999.—V. 2, № 2.— P. 205-228.

18. Samko S. G. Inversion theorems for potential-type integral transforms in Rn and on Sn-1 // Integral Transforms and Special Functions.—1993.—V. 1, № 2.—P. 145-163.

19. Samko S. G. Hypersingular integrals and their applications. Internat. Series «Analytical Methods and Special Functions».—V. 5. London: Taylor & Frances, 2002.

20. Stein E. M. Harmonic Analysis: Real-variable Method, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton: Princeton Univ. press, 1993.

Статья поступила 12 ноября 2004 г-Бетилгириеб Маула Абдурахманобич, к. ф.-м. н.

Ростов-на-Дону, Ростовский государственный экономический университет Карасеб Денис Николаевич

Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет E-mail: denis_karasev@mail.ru

Ногин Владимир Александрович, к. ф.-м. н. Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет E-mail: vnogin@math.rsu.ru