ИНЕРЦИОННЫЙ СПОСОБ ИЗМЕРЕНИЯ ВЯЗКОСТИ
INERTIAL METHOD TO MEASURE VISCOSITY

Изобретение относится к измерительной технике и может быть использовано для измерения коэффициента динамической вязкости текучих сред со сложными реологическими свойствами, зависящими от скорости сдвига, давления и температуры.
Известен способ измерения коэффициента динамической вязкости (далее вязкости) сред, включающий определение момента силы трения на поверхности погруженного в испытуемую среду шпинделя формы цилиндр (конус, диск) при различных скоростях сдвига для испытуемой и эталонной сред (Мидлман С. Течение полимеров. Пер. с англ. Ю.Н.Панова под ред. А.Я.Малкина. - М.: Мир, 1971. - 360 с.). Способ реализован в ротационных вискозиметрах (Мидлман С. Течение полимеров. Пер. с англ. Ю.Н.Панова под ред. А.Я.Малкина. - М.: Мир, 1971. - 360 с.). Недостатком способа является невозможность создания на поверхности шпинделя условий однородности полей механических величин, что ведет к возникновению погрешности расчета касательных напряжений, сдвиговых скоростей деформаций и, как следствие, вязкости. Другим недостатком способа является сложность конструкции устройства, реализующего измерение вязкости при различных значениях гидростатического давления в испытуемой среде. Существенным совпадающим признаком аналога с заявляемым изобретением является процедура измерения момента силы трения на поверхности контакта среды и элемента устройства измерения вязкости.
Наиболее близким по физическим условиям течения испытуемой среды является способ, включающий прокачку испытуемой среды через канал известного размера и определение напряжения и скорости сдвига на стенке канала (Патент СССР №1716388, МПК G01N 11/04, опубл. 1992 г.). Способ реализован в капиллярных вискозиметрах. Недостатком способа является невозможность создания в объеме и на поверхности канала условий однородности гидростатического давления, так как процесс течения испытуемой среды обеспечивается именно перепадом давления по длине канала, что ведет к невозможности исследования сред, реологические свойства которых зависят от величины гидростатического давления. Существенными совпадающими признаками аналога (прототипа) с заявляемым изобретением являются физические условия течения, а именно реализация Пуазейлевского течения (Мидлман С. Течение полимеров. Пер. с англ. Ю.Н.Панова под ред. А.Л.Малкина. - М.: Мир, 1971. - 360 с.), а также наличие процедуры определения касательного напряжения и сдвиговой скорости деформации на поверхности канала.
Задача, на решение которой направлено изобретение, состоит в получении способа измерения вязкости сред со сложными реологическими свойствами, зависящими от скорости сдвига, давления и температуры.
Поставленная задача достигается тем, что в отличие от прототипа течение испытуемой среды происходит в замкнутом канале формы тор под действием сил инерции и трения. Такое течение при определенных геометрических, кинематических и статических параметрах устройства обеспечивает с требуемой точностью выполнение требуемых условий однородности полей термомеханических величин. Определение величин касательного напряжения, скорости сдвиговой деформации и температуры испытуемой среды на поверхности тора, а также гидростатического давления во всем объеме тора, позволяет определить величину вязкости при различных значениях выше перечисленных параметров. Предлагаемый способ заключается в плавном разгоне и резкой остановке тора с испытуемой средой с последующим в процессе инерционного торможения измерением момента силы трения и профиля скорости среды вблизи стенки тора.
Сущность изобретения заключается в следующем.
По сути, вязкость является коэффициентом пропорциональности между компонентами девиатора напряжений и девиатора скоростей деформаций в обобщенном законе Р.Гука, описывающем реологическое поведение изотропных вязкопластичных сред в рамках основных положений механики сплошных сред и безмоментной теории напряжений (Кучеряев Б.В. Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных металлов с задачами и решениями, примерами и упражнениями): Учебник для вузов. М.: МИСиС, 2006. - 604 с.):
<mrow><msub><mi>D</mi><mi>σ</mi></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>μ</mi><msub><mi>D</mi><mi>ξ</mi></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
σ
ij
где D - девиатор напряжений с компонентами s;
µ - вязкость;
ξ
ij
D - девиатор скоростей деформаций с компонентами e.
Поэтому для определения вязкости необходимо знать значения соответствующих компонент тензора напряжений и скоростей деформаций в какой-либо малой окрестности движущейся среды. В случае если поля физических величин обладают свойством однородности на какой-то поверхности и (или) в каком-то объеме, то значения выше названных компонент могут быть определены по сравнительно легко измеряемым интегральным характеристикам. Например, по известному моменту силы трения на поверхности контакта с испытуемой средой при условии, что вид напряженного состояния известен и напряженное состояние является однородным, на этой поверхности можно легко найти значение касательного напряжения.
<mrow><msubsup><mi>p</mi><mn>0</mn><mn>0</mn></msubsup></mrow>
0
0
0
0
1
1
2
2
3
3
i
Рассмотрим изотермическое инерционное тормозящееся течение вязкой несжимаемой среды в канале формы тор, характеризуемом радиусом образующей окружности r и расстоянием от центра оси симметрии тора до центра образующей окружности R. Среда закачана в тор под давлением
. Исследуется инерционное движение среды, возникшее в результате резкой остановки тора. До момента остановки тор достаточное количество времени вращался с угловой скоростью ω, поэтому угловая скорость всех материальных частиц среды одинакова и равна ω, средняя линейная скорость составляет V=ωR. В начальный момент времени тор останавливается, среда при этом продолжает движение под действием сил инерции и трения. Предполагается, что в исследуемый промежуток времени действие силы гравитации незначительно, а движение среды происходит по стационарным линиям тока, образованным множеством соосных окружностей. Вводятся криволинейные ортогональные координаты: β - радиальная координата в плоскости образующей окружности, 0≤β≤r; β - угловая координата в плоскости, перпендикулярной оси тора, 0≤β≤2π; β - угловая координата в плоскости образующей окружности, перпендикулярной оси тора, 0≤β≤2π. Коэффициенты Г.Лямэ h преобразования координат составят:
<mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mi>h</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mn>1,</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>h</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>β</mi><mn>1</mn></msub><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>β</mi><mn>3</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mi>R</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>h</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>β</mi><mn>1</mn></msub><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable>
<mrow><mover accent="true"><mi>V</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mrow><mo>[</mo><mrow><mn>0,</mn><msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub><mn>,0</mn></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow>
В криволинейных координатах скорость движения среды характеризуется однокомпонентным вектором скорости
, компоненты девиатора скоростей деформаций согласно формуле Дж.Стокса (Кучеряев Б.В. Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных металлов с задачами и решениями, примерами и упражнениями): Учебник для вузов. М.: МИСиС, 2006. - 604 с.) определяются по формуле:
<mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mi>e</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>β</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub><mo>∂</mo><msub><mi>h</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>h</mi><mn>2</mn></msub><mo>∂</mo><msub><mi>β</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>e</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mfrac><mn>1</mn><mrow><msub><mi>h</mi><mn>3</mn></msub></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>β</mi><mn>3</mn></msub></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub><mo>∂</mo><msub><mi>h</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>h</mi><mn>2</mn></msub><mo>∂</mo><msub><mi>β</mi><mn>3</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable>
2
Уравнения движения с учетом симметрии полей исследуемых термомеханических величин относительно оси тора ∂/∂β=0, что для поля скоростей совпадает с условием несжимаемости среды, имеют вид:
<mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>p</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>β</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><msub><mi>ρ</mi><mi>ж</mi></msub><mfrac><mrow><msubsup><mi>V</mi><mn>2</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>∂</mo><msub><mi>h</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>h</mi><mn>2</mn></msub><mo>∂</mo><msub><mi>β</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>t</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msubsup><mi>h</mi><mn>2</mn><mn>2</mn></msubsup><msub><mi>h</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>ρ</mi><mi>ж</mi></msub></mrow></mfrac><mrow><mo>[</mo><mrow><mfrac><mo>∂</mo><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>β</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><msubsup><mi>h</mi><mn>2</mn><mn>2</mn></msubsup><msub><mi>h</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>s</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mfrac><mo>∂</mo><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>β</mi><mn>3</mn></msub></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><msubsup><mi>h</mi><mn>2</mn><mn>2</mn></msubsup><msub><mi>s</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>p</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>β</mi><mn>3</mn></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><msub><mi>ρ</mi><mi>ж</mi></msub><mfrac><mrow><msubsup><mi>V</mi><mn>2</mn><mn>2</mn></msubsup></mrow><mrow><msub><mi>h</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>h</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>β</mi><mn>3</mn></msub></mrow></mfrac><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable>
0
где p - гидростатическое давление;
ж
ρ - плотность среды (жидкости).
0
0
Используя аппарат теории подобия и анализа размерностей, можно выполнить оценку геометрических параметров тора, начальной скорости его вращения, а также свойств среды, при которых характеристики напряженно-деформированного состояния движущейся среды на поверхности тора и поле давления во всем объеме тора будут с достаточной степенью точности однородны. Процедура обезразмеривания переменных величин представлена в таблице 1. В качестве обезразмеривающей величины вязкости µ предлагается использовать вязкость, близкой по свойствам ньютоновской жидкости, а в качестве обезразмеривающей величины времени t - время инерционного движения среды с момента остановки тора до момента остановки среды.
2
1
3
2
3
2
1
2
1
0
3
2
3
3
2
3
0
3
2
3
Компоненты градиента скорости ∂V/∂β и (1/h)(∂V/∂β) вблизи поверхности тора можно сравнить в начальный момент времени, тогда компонента ∂V/∂β обусловлена перепадом в результате условия прилипания среды к неподвижной стенке тора и при допущении о линейности составит приблизительно ∂V/∂β≈ωR/r, компонента (1/h)(∂V/∂β) обусловлена разницей окружных скоростей и составит приблизительно (1/h)(∂V/∂β)≈ω2r/πr. Отношение компонент градиента составит приблизительно R/r, поэтому при значительной разнице радиусов вкладом компоненты градиента (1/h)(∂V/∂β) в вектор градиента можно пренебречь.
Таблица 1
Обезразмеривание параметров уравнений (1)-(4)
Обозначение безразмерной величины
Способ определения безразмерной величины
Пределы изменения безразмернойвеличины (если известны)
<maths num="7"><math display="block"><mrow><msub><mover accent="true"><mi>β</mi><mo>˜</mo></mover><mn>1</mn></msub></mrow></math><img file="00000007.tif" he="7" wi="4" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
β1/r
<maths num="8"><math display="block"><mrow><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mover accent="true"><mi>β</mi><mo>˜</mo></mover><mi>i</mi></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></mrow></math><img file="00000008.tif" he="7" wi="18" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="9"><math display="block"><mrow><msub><mover accent="true"><mi>β</mi><mo>˜</mo></mover><mn>2</mn></msub></mrow></math><img file="00000009.tif" he="7" wi="5" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
β<sub>2</sub>/2π
<maths num="10"><math display="block"><mrow><msub><mover accent="true"><mi>β</mi><mo>˜</mo></mover><mn>3</mn></msub></mrow></math><img file="00000010.tif" he="7" wi="5" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
β<sub>3</sub>/2π
<maths num="11"><math display="block"><mrow><msub><mover accent="true"><mi>h</mi><mo>˜</mo></mover><mn>2</mn></msub></mrow></math><img file="00000011.tif" he="7" wi="5" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
h<sub>2</sub>/r
<maths num="12"><math display="block"><mrow><mi>R</mi><mo>/</mo><mi>r</mi><mo>≤</mo><msub><mover accent="true"><mi>h</mi><mo>˜</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>R</mi><mo>/</mo><mi>r</mi></mrow></math><img file="00000012.tif" he="7" wi="38" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="13"><math display="block"><mrow><msub><mover accent="true"><mi>h</mi><mo>˜</mo></mover><mn>3</mn></msub></mrow></math><img file="00000013.tif" he="7" wi="5" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
h<sub>3</sub>/r
<maths num="14"><math display="block"><mrow><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mover accent="true"><mi>h</mi><mo>˜</mo></mover><mn>3</mn></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></mrow></math><img file="00000014.tif" he="7" wi="19" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="15"><math display="block"><mrow><msub><mover accent="true"><mi>V</mi><mo>˜</mo></mover><mn>2</mn></msub></mrow></math><img file="00000015.tif" he="7" wi="5" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
V<sub>2</sub>/V<sub> 0</sub>
<maths num="16"><math display="block"><mrow><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mover accent="true"><mi>V</mi><mo>˜</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>≤</mo><mn>1</mn></mrow></math><img file="00000016.tif" he="7" wi="19" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="17"><math display="block"><mrow><msub><mover accent="true"><mi>ξ</mi><mo>˜</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></math><img file="00000017.tif" he="8" wi="5" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
rξ<sub>ij</sub>/V<sub>0</sub>
-
<maths num="18"><math display="block"><mrow><msub><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>˜</mo></mover><mn>0</mn></msub></mrow></math><img file="00000018.tif" he="6" wi="5" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="19"><math display="block"><mrow><mrow><mrow><msub><mi>p</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mo>/</mo><mrow><msubsup><mi>p</mi><mn>0</mn><mn>0</mn></msubsup></mrow></mrow></mrow></math><img file="00000019.tif" he="7" wi="13" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
-
<maths num="20"><math display="block"><mrow><msub><mover accent="true"><mi>s</mi><mo>˜</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></math><img file="00000020.tif" he="7" wi="4" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="21"><math display="block"><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><msub><mi>μ</mi><mn>0</mn></msub><msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub><mo>/</mo><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mover accent="true"><mi>μ</mi><mo>˜</mo></mover><msub><mover accent="true"><mi>ξ</mi><mo>˜</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></math><img file="00000021.tif" he="8" wi="27" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
-
<maths num="22"><math display="block"><mover accent="true"><mi>t</mi><mo>˜</mo></mover></math><img file="00000022.tif" he="5" wi="4" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
t/t<sub>0</sub>
<maths num="23"><math display="block"><mrow><mn>0</mn><mo>≤</mo><mover accent="true"><mi>t</mi><mo>˜</mo></mover><mo>≤</mo><mn>1</mn></mrow></math><img file="00000023.tif" he="5" wi="17" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
0
ж
0
0
0
<mrow><mi>E</mi><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>˜</mo></mover><mo>=</mo><mrow><mrow><msubsup><mi>p</mi><mn>0</mn><mn>0</mn></msubsup></mrow><mo>/</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>ρ</mi><mi>ж</mi></msub><msubsup><mi>V</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow>
С целью оценки значимости отдельных членов в уравнениях (1)-(4) вводятся безразмерный геометрический критерий γ=r/R, число Рейнольдса Re=(rVρ)/µ, число Струхаля Sh=r/(tV) и аналог числа Эйлера
. Порядок величин компонент девиатора скоростей деформаций и правых частей уравнений движения представлен в таблице 2.
-2
Таким образом, при условии малости геометрического параметра (γ≤10) можно с погрешностью порядка γ утверждать, что компоненты девиатора скоростей деформаций (3) имеют вид:
<mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mi>e</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>β</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>e</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0.</mn><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable>
0
<mrow><msub><mi>ρ</mi><mi>ж</mi></msub><msubsup><mi>V</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup></mrow>
Девиатор скоростей деформаций (5) однороден по всей поверхности тора. Для выполнения с заданной точностью условия однородности поля давления p по всему объему тора гидродинамический напор
следует выбирать согласно рекомендациям, приведенным в таблице 3.
Таблица 2
Порядок величин членов уравнений (1)-(4)
Элемент математической модели
Физическая величина или слагаемое уравнения
Порядок величины
Примечание
Девиатор скоростей деформаций <maths num="27"><math display="block"><mrow><msub><mi>D</mi><mi>ξ</mi></msub><mo>=</mo><mrow><mo>⌊</mo><mrow><mrow><mo>⌊</mo><mrow><msub><mi>e</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><mo>⌋</mo></mrow></mrow><mo>⌋</mo></mrow></mrow></math><img file="00000027.tif" he="7" wi="22" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="28"><math display="block"><mrow><mn>2</mn><msub><mover accent="true"><mi>e</mi><mo>˜</mo></mover><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mrow></math><img file="00000028.tif" he="6" wi="8" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="29"><math display="block"><mrow><mo>≈</mo><mo>∂</mo><msub><mover accent="true"><mi>V</mi><mo>^</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>/</mo><mo>∂</mo><msub><mover accent="true"><mi>β</mi><mo>˜</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>−</mo><mi>γ</mi></mrow></math><img file="00000029.tif" he="7" wi="28" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
γ≤10<sup>-2</sup>
<maths num="30"><math display="block"><mrow><mn>2</mn><msub><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>ξ</mi><mo>˜</mo></mover><mo>˜</mo></mover><mrow><mn>23</mn></mrow></msub></mrow></math><img file="00000030.tif" he="8" wi="9" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="31"><math display="block"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo>≈</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><msub><mover accent="true"><mi>h</mi><mo>˜</mo></mover><mn>3</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>∂</mo><msub><mover accent="true"><mi>V</mi><mo>˜</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>/</mo><mo>∂</mo><msub><mover accent="true"><mi>β</mi><mo>˜</mo></mover><mn>3</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mi>γ</mi><mo>≈</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>≈</mo><mi>γ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>∂</mo><msub><mover accent="true"><mi>V</mi><mo>˜</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>/</mo><mo>∂</mo><msub><mover accent="true"><mi>β</mi><mo>˜</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></math><img file="00000031.tif" he="15" wi="46" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
Уравнение движения:
проекция на ось β<sub>1</sub>
<maths num="32"><math display="block"><mrow><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>˜</mo></mover><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mover accent="true"><mi>β</mi><mo>˜</mo></mover><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac></mrow></math><img file="00000032.tif" he="13" wi="8" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="33"><math display="block"><mrow><mo>≈</mo><mfrac><mi>γ</mi><mrow><mi>E</mi><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>˜</mo></mover></mrow></mfrac></mrow></math><img file="00000033.tif" he="12" wi="11" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
γ≤10<sup>-2</sup>
проекция на ось β<sub>2</sub>
<maths num="34"><math display="block"><mrow><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mover accent="true"><mi>V</mi><mo>˜</mo></mover><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><mover accent="true"><mi>t</mi><mo>˜</mo></mover></mrow></mfrac></mrow></math><img file="00000034.tif" he="13" wi="9" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="35"><math display="block"><mrow><mo>≈</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>Re</mi></mrow></mfrac><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>S</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac><mrow><mo>[</mo><mrow><mrow><mrow><msub><mover accent="true"><mi>s</mi><mo>˜</mo></mover><mrow><mn>12</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>∂</mo><msub><mover accent="true"><mi>s</mi><mo>˜</mo></mover><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mrow><mo>/</mo><mrow><mover accent="true"><mo>∂</mo><mo>˜</mo></mover><msub><mi>β</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><mi>γ</mi></mrow></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow></math><img file="00000035.tif" he="12" wi="53" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
γ≤10<sup>-2</sup>
проекция на ось β<sub>3</sub>
<maths num="36"><math display="block"><mrow><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>˜</mo></mover><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mover accent="true"><mi>β</mi><mo>˜</mo></mover><mn>3</mn></msub></mrow></mfrac></mrow></math><img file="00000036.tif" he="13" wi="8" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="37"><math display="block"><mrow><mo>≈</mo><mfrac><mi>γ</mi><mrow><mi>E</mi><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>˜</mo></mover></mrow></mfrac></mrow></math><img file="00000037.tif" he="12" wi="11" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
γ≤10<sup>-2</sup>
Таблица 3
Условия однородности поля давления
<u>γ</u>
<maths num="38"><math display="block"><mrow><msubsup><mi>p</mi><mn>0</mn><mn>0</mn></msubsup><mo>,</mo><mtext> Па</mtext></mrow></math><img file="00000038.tif" he="7" wi="14" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
Рекомендуемая величина гидродинамического напора, Па
Порядок величины перепада давления по направлению, Па
0≤β<sub>1</sub>≤r
0≤β<sub>3</sub>≤π
10<sup>-2</sup>
10<sup>5</sup>
<maths num="39"><math display="block"><mrow><msub><mi>ρ</mi><mi>ж</mi></msub><msubsup><mi>V</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>≤</mo><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mn>5</mn></msup></mrow></math><img file="00000039.tif" he="7" wi="22" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="40"><math display="block"><mrow><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mi>p</mi><mn>0</mn><mn>0</mn></msubsup></mrow></math><img file="00000040.tif" he="7" wi="13" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
10<sup>-3</sup>
10<sup>5</sup>
<maths num="41"><math display="block"><mrow><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></msup><msubsup><mi>p</mi><mn>0</mn><mn>0</mn></msubsup></mrow></math><img file="00000041.tif" he="7" wi="13" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
10<sup>-2</sup>
10<sup>6</sup>
<maths num="42"><math display="block"><mrow><msub><mi>ρ</mi><mi>ж</mi></msub><msubsup><mi>V</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>≤</mo><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mn>6</mn></msup></mrow></math><img file="00000042.tif" he="7" wi="23" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
<maths num="43"><math display="block"><mrow><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mi>p</mi><mn>0</mn><mn>0</mn></msubsup></mrow></math><img file="00000043.tif" he="7" wi="13" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
10<sup>-3</sup>
10<sup>6</sup>
<maths num="44"><math display="block"><mrow><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></msup><msubsup><mi>p</mi><mn>0</mn><mn>0</mn></msubsup></mrow></math><img file="00000044.tif" he="7" wi="13" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
-2
Таким образом, при выполнении условий малости геометрического параметра (γ≤10), а также кинематических и статических условий
0
таблицы 3 можно с точностью порядка 10% и меньше определять вязкость испытуемой среды по формуле:
<mrow><mi>μ</mi><mo>=</mo><mrow><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mrow><mo>/</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mi>β</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow><mo>.</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
12
Компонента девиатора напряжений s является, по сути, касательным напряжением на поверхности тора, возникающим по причине инерционного тормозящегося течения испытуемой среды, и может быть определена на поверхности тора по известному моменту силы трения М:
<mrow><mrow><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>M</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><munderover><mo>∫</mo><mn>0</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></munderover><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><munderover><mo>∫</mo><mn>0</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi><mi>cos</mi><msub><mi>β</mi><mn>3</mn></msub><mo>+</mo><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup><mi>r</mi><mi>d</mi><msub><mi>β</mi><mn>2</mn></msub><mi>d</mi><msub><mi>β</mi><mn>3</mn></msub></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow></mstyle></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>≈</mo><mrow><mi>M</mi><mo>/</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><msup><mi>π</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>7</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow>
2
1
Градиент скорости ∂V/∂β может быть определен по результатам измерения скорости течения с помощью доплеровского измерителя скорости (Мидлман С. Течение полимеров. Пер. с англ. Ю.Н.Панова под ред. А.Я.Малкина. - М.: Мир, 1971. - 360 с.).
Способ осуществляется следующим образом.
<mrow><msubsup><mi>p</mi><mn>0</mn><mn>0</mn></msubsup></mrow>
0
2
1
2
1
В тор под давлением
закачивается испытуемая среда. Затем тор плавно разгоняется до угловой скорости ω, удовлетворяющей рекомендациям по величине гидродинамического напора (таблица 3), и резко останавливается. После остановки тора жидкость продолжает движение, в течение этого времени показания датчиков скорости и крутящего момента передаются на ЭВМ. Затем в фиксированный момент времени вычисляется величина касательного напряжения на поверхности тора по формуле (7) и градиент скорости жидкости на поверхности тора в виде конечно-разностного аналога производной: ∂V/∂β≈ΔV/Δβ. По формуле (6) определяется вязкость.
Предложенный способ измерения вязкости позволяет исследовать вязкость сред со сложными реологическими свойствами, зависящими одновременно от скорости сдвига, давления и температуры в широком диапазоне выше названных параметров. Выработанные рекомендации по выбору параметров и условий исследования позволяют производить высокоточные измерения вязкости.