Численное исследование ламинарного осесимметричного следа

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И То м XII 19 8 1

М 6

УДК 533.6.011

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЛАМИНАРНОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО СЛЕДА

В. И. Мьшенков

Посредством уравнений Навье—Стокса решается задача осесимметричного течения вязкого совершенного теплопроводного газа в ближнем следе цилиндра при дозвуковых — сверхзвуковых скоростях набегающего потока.

Исследуются образование и развитие отрывного течения за плоским донным срезом цилиндра. Изучается изменение газодинамических и геометрических параметров отрывной зоны. Исследования проведены в диапазоне изменения чисел Рейнольдса 102—105. Полученные зависимости донного давления и размеров отрывной области от чисел Ие и М согласуются с экспериментальными данными [1, 2].

Донное сопротивление тел вращения, как показывают экспериментальные исследования [1, 2], может достигать 30% и более от их полного сопротивления. Поэтому проблема определения донного давления является одной из важных в современной аэродинамике. К настоящему времени разработан ряд теорий и методов расчета донного давления. Для случая дозвуковых течений известны теории Кирхгофа и Кармана, а для течений со сверхзвуковыми скоростями — методы расчета, основанные на модели течения Чепмена — Корста, теория смешения Крокко—Лиза. Подробный обзор работ, касающихся этой проблемы, дан в монографиях [1, 2].

Все предложенные методы расчета основываются на предположении постоянства давления в отрывной зоне либо постоянства давления поперек нее (как в теории пограничного слоя), что выполняется лишь в небольшом диапазоне изменения характерных параметров. Тем не менее некоторые расчеты донного давления при сверхзвуковых скоростях, проведенные на основе интегральных соотношений пограничного слоя, дают результаты, хо-" рошо согласующиеся с экспериментальными данными. Значительно хуже обстоит дело с расчетом донного давления при дозвуковых скоростях течения. Поэтому основным инструментом определения донного давления до сих пор является эксперимент.

Перспективным направлением исследования течения в следе является решение задачи на основе уравнений Навье — Стокса. Такие исследования с применением численных методов решения были предприняты, например, в работе [3] для изучения плоского следа и в [4] для осесимметричного. Однако из-за недостаточной устойчивости используемой разностной схемы Лакса —Вендроффа исследования были ограничены довольны узкими диапазонами чисел Ие и М. Настоящая работа является развитием [3, 4] в части исследования возникновения осесимметричного отрыва потока в зависимости от чисел М и определения донного давления в широком диапазоне чисел Ие и М. Исследования проводятся с помощью схемы расщепления [5], обладающей существенно большей устойчивостью, чем схема Лакса—Вендроффа.

1. Постановка задачи. Рассмотрим осесимметричное течение вязкого совершенного теплопроводного газа в следе за донным срезом цилиндра при условии, что параметры потока (либо их производные) заданы на границах исследуемой области: на поверхности цилиндра, на некотором расстоянии от его донного среза вверх по потоку и на бесконечности по х, у (х, у— цилиндрические координаты). Возможность существования осесимметричного следа при умеренных числах Ие была показана экспериментально в работе [6].

Задачу из-за наличия сложных диссипативных процессов будем решать в рамках уравнений Навье — Стокса конечно-разностным методом установления, предполагая существование и единственность решения при достаточно гладких краевых условиях. Используемая система уравнений приведена в [7]. В качестве определяющих параметров примем плотность, скорость и коэффициент вязкости набегающего потока на бесконечности роо, «Ю) р-оо, а в качестве характерного размера — радиус цилиндра г0. Внутреннюю энергию набегающего потока определяем по формуле ет~ = 1/т (т — 1)М». где М — число М, ^ — показатель адиабаты, а число Рейнольдса — по параметрам набегающего потока и радиусу цилиндра Ие = РооМоо г0/[Асо .

Решение задачи в силу осесимметричности течения будем ис* кать в верхней части плоскости сечения х, у в области, ограниченной слева поверхностью , расположенной на расстоянии порядка г0 вверх по потоку ог донного среза цилиндра (см. рис. 1 ,а). На задаются входные параметры потока. у1 — вязкий пристеночный слой толщиной 8 с синусоидальным распределением продольного компонента скорости. Остальные параметры потока в вязком слое и все параметры при у >8 задаются равными параметрам в невозмущенном набегающем течении. Сверху область решения ограничивается расположенной достаточно далеко от цилиндра поверхностью Н, где задаются условия, соответствующие условиям течения на бесконечности.

На части поверхности Н, расположенной ниже донного среза цилиндра, задаются условия гладкого сопряжения течения типа д2/1ду2^= 0, где /—вектор /=(р, и, V, е)\ здесь V — поперечный компонент скорости. На оси симметрии ставятся условия др/ду — = ди/ду = V = де/ду — 0, на поверхности тела — условия прилипания и температура поверхности стенки Тт. С правой стороны область интегрирования ограничена находящейся на достаточном удалении от донного среза цилиндра поверхностью Ь2, где зада-

ются условия сопряжения типа д//дх = 0 либо д2 //дх2 = 0. Положение поверхности определяется на основе методических расчетов из условия, чтобы возмущения от правой границы не искажали решения в донной области.

Начальные условия можно задавать довольно произвольно. В настоящих расчетах параметры потока во всей области счета, кроме небольшой окрестности донной стенки длиной порядка 1—2 г0, приняты равными параметрам <рд в начальном сечении Ьл. В донной област'и значение вектора скорости равно нулю, а остальные параметры р и е равны параметрам на бесконечности.

Система уравнений решается методом установления с помощью конечно-разностной схемы расщепления [5], используемая реализация схемы приведена в ]7].

Решецйе считается установившимся, если вектор продольной составляющей скорости и в некотором выбранном поперечном сечении донной области удовлетворяет условию \dUJdt] < 10-3, где время. Дополнительно процесс сходимости решения контролируется наблюдением за длиной возникающей отрывной области, которая в процессе решения задачи стремится к своему предельному значению.

2. Результаты расчетов. Решение задачи об осесимметричном течении в следе вязкого совершенного газа получено при дозвуковых— сверхзвуковых числах 0,3 6, числах 2-гСИе<;10\

толщинах вязкого пристеночного слоя на цилиндре перед донным срезом (на левой границе области счета) 0,55-<8<;0,4, числе Прандтля Рг = 0,71 и показателе адиабаты т = 1,4. Температура стенки и набегающего потока принята равной 300 К.

Расчеты проводятся на существенно неравномерных сетках для области счета (хХу), составляющей (61X43) расчетных точек. В окрестности боковой и донной поверхностей цилиндра (а также в окрестности угловой кромки) шаги сетки Дх, Ду выбираются минимальными из условия достаточно хорошей аппроксимации течения в вязком пристеночном слое и в диссипативной области. Сетка сгущается также в области задней критической точки и в области горла течения. При удалении от поверхностей цилиндра и задней критической точки шаги сетки монотонно увеличиваются, что обеспечивает достаточно обоснованный выбор положения границ И и Ь2 области счета с учетом обратного влияния.

Применение неравномерных сеток позволяет получать решения задачи для значительно больших чисел Ре, чем в случае использования равномерной сетки. Проведенные методические расчеты на различных сетках при дроблении шагов Дх, Ду показывают сходимость решения с уменьшением Дх, Ду и достоверность его при Ре<Д04. Аналогичный вывод получен для близкой задачи в [8] при сравнении закона изменения вязкой подобласти в окрестностях точек отрыва и прилипания с результатами работ [9, 10]. Этот вывод подтверждается и при сравнении результатов расчета с экспериментальными данными. При Ке = 105 влияние сеточной вязкости становится значительным и расчеты, следовательно, имеют формальный характер. Для сокращения времени счета расчет аналЬгично [11] проводится в два этапа: первоначально рассчитывается задача на грубой сетке (31X22) в изложенной постановке, затем полученное решение используется уже в качестве начальных данных при решении на основной, более мягкой сетке (61X43).

Исследуются особенности течения у донного среза цилиндра и в отрывной области в рассматриваемых диапазонах чисел Йе и М. Изучаются возникновение и развитие отрыва потока. Координаты точек отрыва на донном срезе цилиндра определяются по изменению знака у напряжения трения, которое аппроксимируется со вторым порядком точности.

Из расчетов следует, что течение газа за донным срезом цилиндра при малых числах Ие (например, при Ие-<40 для М = 2) является безотрывным (см. рис. 1 ,а: картина течения в следе приМ = 2, Ие = 20), несмотря на наличие больших положительных градиентов давления вдоль донной стенки и в следе. Это

объясняется сильной эжекцией внешнего потока при малых числах Ие. С увеличением числа Ие эжекция внешнего потока (т. е. интенсивность ламинарного смешения) уменьшается, а положительные градиенты давления на донной поверхности и в следе возрастают.

В момент наступления равновесия этих сил на донной стенке цилиндра у задней критической точки возникает небольшая отрывная зона (рис. 1,6: М = 2, Ие = 102), размеры которой с дальнейшим увеличением числа Ке монотонно возрастают. При больших числах Ке (рис. 1,в; М = 2, Ие = 103) в связи с образованием отрывных зон значительных размеров распределение давления на донной стенке становится более плавным и при Ие 104 для М •< 2 — практически постоянным.

Осредненное по площади давление на донной стенке р0 („донное11 давление) при всех рассмотренных числах М с увеличением Ие монотонно возрастает вследствие уменьшения эжекционного действия слоя смешения в отрывной зоне, стремясь к некоторому асимптотическому значению, соответствующему Ие = с» (рис. 2, цифры соответствуют: / — М = 0,3; 2 — М = 1; 3 — М = 2\ 4 — М=4). Однако в действительности из-за турбулизации течения и связанного с этим усиления эжекционного действия слоя смешения

„донное11 давление с увеличением числа Ие претерпевает резкие немонотонные изменения (рис. 2; пунктирная кривая 5 — М = = 2,87 11]).

Такое поведение „донного" давления, как известно [1], можно объяснить следующим образом. С увеличением числа Йе в слое смешения отрывной зоны вблизи области смыкания при некотором Ие возникает точка перехода, за которой эжекционное действие слоя смешения существенно возрастает. В результате „донное* давление резко падает. Снижение давления продолжается до тех пор, пока точка перехода в слое смешения не достигнет донной

угловой кромки тела, а эжекционное действие слоя смешения (уже полностью турбулентного) относительно стабилизируется. С дальнейшим увеличением Яе наблюдается повышение „донного* давления, обусловленное утолщением пограничного слоя на теле в результате перемещения вверх по потоку точки перехода. Это повышение давления прекращается лишь после турбулизации пограничного слоя на теле. Последующее уменьшение „донного11 давления с Ие связано в основном с уменьшением толщины пограничного слоя перед донным срезом тела.

Сравнение расчетных значения „донного“ давления при М"=2 с экспериментальными данными, полученными для тела цилиндрической формы с конической носовой частью с полууглом раствора В8 = 30 [1, 12], показывает, как видно из рис. 2 (кривая 3— М = 2; кружки — эксперимент [12] при М = 2,1; кривая 6— М = 2,1, экстраполированные результаты по данным [1, 12]), хорошее согласование до чисел Ие=:104. Из-за различия сравниваемых тел значения „донного11 давления были скоррелированы по величинам давления перед донным срезом. Для этого экспериментальные значения давления были увеличены на отношение давления перед донным срезом при х — -—0,2, полученного в настоящей работе, к соответствующему давлению для тела с конической носовой частью. (Это эквивалентно приведению „донных11 давлений к давлению перед донным срезом.) При этом давление перед донным срезом этого тела считалось равным давлению в набегающем потоке. Полученное согласование результатов подтверждает вывод [1, 2] об определяющем влиянии параметров перед донным срезом на течение в следе.

Градиенты давления в следе с увеличением числа Ие уменьшаются, а распределение давления становится более немонотонным. У стенки в донной области появляется область пониженного давления, обусловленная возникновением возвратного течения.

Область положительного градиента давления за отрывной зоной оказвывается довольно протяженной и составляет более 2—3 радиусов, что согласуется с имеющимися экспериментальными данными [2]. На достаточном удалении от донной стенки давление в следе выравнивается и становится близким давлению в набегающем потоке.

Скорость циркуляционного течения в отрывной зоне с возрастанием М набегающего потока вначале увеличивается, а при значении Ке == 104 несколько снижается. Это, по-видимому, объясняется

Рис. 3 Рис. 4

уменьшением при этом числе Ие эжекционного воздействия внешнего потока, которое является причиной вращения потока в отрывной зоне'. Центр вихря с увеличением Ие монотонно удаляется от донной стенки.

После возникновения отрывной зоны ее длина /, с дальнейшим увеличением числа Ие непрерывно возрастает, достигая величины, близкой Ь~4г0 при Ие —104 иМ = 2 (рис. 3; цифры обозначают: / —М = 0,3: 2 — М=1;3 — М = 2; 4— М = 4). При значениях Ие <. Ш3 и М-<2 длина отрывной зоны Ь меняется почти линейно с ^Ие, что согласуется с данными [2]. С дальнейшим увеличением числа Ие рост Ь замедляется. При этом точка отрыва потока на донной стенке сразу после его возникновения резко устремляется к верхней угловой кромке и при значении Йе = 104 для чисел М<2 практически сливается с ней (см. рис. 3, где представлено изменение координаты точки отрыва Л в зависимости от чисел Ие: 5 — М = 0,3; 6 — М = 1; 7 —М = 2; 8-М = 4).

Поскольку характеристики течения в следе, как показали исследования [1, 2], определяются параметрами потока перед донным срезом, рассмотрим их изменение в зависимости от числа Ие. Расчеты показали, что на всей боковой поверхности цилиндра, кроме окрестности левой границы, имеет место отрицательный градиент давления, который, как и давление, с уменьшением числа Ие возрастает. Давление на боковой поверхности при больших числах Йе близко давлению в набегающем потоке.

У левой границы области с уменьшением числа Ие возникает усиливающаяся волна сжатия, обусловленная вязким взаимодействием набегающего потока со стенкой из-за некорректного задания левого граничного условия. У угловой кромки донного среза образуется волна разрежения, вызванная передачей возмущений от донной области вверх по потоку через дозвуковую часть вяз-

кого слоя. Размеры этой возмущенной зоны при больших числах Re находятся в согласии с результатами асимптотической теории [13]. С увеличением числа Re и уменьшением толщины начального пограничного слоя протяженность ее уменьшается и при значениях Re=104, М = 2 составляет jc^— 0,1. С уменьшением числа Re вязкий пристеночный слой перед донным срезом утолщается, распределение скорости в нем сглаживается, что способствует безотрывному развороту его около угловой кромки.

На течение в следе и образование отрывной зоны большое влияние оказывает величина числа М набегающего потока. С увеличением М при Re = const давление на боковой поверхности цилиндра перед донным срезом возрастает из-за усиления вязкого взаимодействия внешнего потока со стенкой. Для Re = 104 повышение давления с увеличением М становится заметным, начиная с М = 0,8. Однако градиент давления на большей части боковой поверхности остается отрицательным. Лишь у левой границы области счета появляется зона с положительным градиентом давления, обусловленная недостаточно корректным заданием граничного условия. В целом изменение распределения давления на боковой поверхности цилиндра с увеличением М качественно подобно изменению его при уменьшении Re.

При больших числах Re>104 давление на большей части донной стенки практически постоянно для всех рассмотренных М. Лишь у верхней угловой кромки с изменением М, начиная с М=1, возникает небольшая зона разрежения, которая с дальнейшим увеличением М возрастает и усиливается. Минимальная величина давления на донной стенке, начиная с М = 0,8, наблюдается не в угловой кромке, а на некотором от нее расстоянии, зависящем от числа Re, что приводит к смещению точки отрыва потока. При небольших числах Re<103 увеличение М существенно повышает градиенты давления на донной стенке, вызывая, начиная с М—1, немонотонные изменения его у угловой кромки.

„Донное“ давление р0 для Re == 103 10\ как видно из рис. 4

(пунктирные линии: 7—Re = Ю2; 8— Re = 103; 9 — Re = Ю4), с увеличением числа М монотонно уменьшается, что согласуется с экспериментальными данными, относящимися к исследованию следа за телами различных форм [1, 2]. Резкое изменение „донного11 давления возникает в диапазоне чисел М да 0,8 ч- 1, при меньших значениях М „донное11 давление почти постоянно. Для числа Re = 102 характер изменения „донного11 давления вплоть до М = 4 аналогичен изложенному. Но при М = 6 наблюдается некоторое повышение „донного11 давления, обусловленное существенным возрастанием давления на боковой поверхности цилиндра перед донным срезом.

На рис. 4 штриховкой (область /) показаны диапазоны изменения „донного11 давления за телом в виде цилиндра с конической носовой частью при различных числах М в случае ламинарного течения, полученные в [1] на основе многочисленных экспериментальных данных. Некоторое расхождение результатов расчета с экспериментальными данными объясняется отличием параметров течения перед донным срезом сравниваемых тел.

Давление в отрывной зоне имеет почти постоянное значение лишь при малых дозвуковых скоростях М<.0,5 и больших Re. С увеличением М при условии Re = const возрастают градиенты давления и немонотонность его распределения в следе. Разреже-

ние давления в области возвратного циркуляционного движения с увеличением числа М до значений М да 1 возрастает, а затем с дальнейшим увеличением числа М и сокращением размеров отрывной зоны уменьшается. Область повышения давления за отрывной зоной с увеличением числа М не сокращается и имеет длину порядка 2—3 радиусов цилиндра, что согласуется с экспериментальными данными [2], согласно которым процесс сжатия в следе осуществляется на участке, превышающем два калибра тела.

Давление поперек развитой отрывной зоны (т. е. при больших числах Ие) на большей ее части практически постоянно. Лишь в области задней критической точки и далее возникает поперечный градиент давления, возрастающий с увеличением числа М.. Большие поперечные градиенты давления возникают в отрывных зонах малых размеров, т. е. при небольших значениях чисел Ие и больших числах М. Следовательно, принимаемая в некоторых расчетных схемах изобаричность течения на оси до сечения запирания не соответствует действительности [1, 2].

Увеличение числа М набегающего потока, несмотря на возникающее при этом повышение градиентов давления на донной стенке и в следе, оказывает на течение стабилизирующее воздействие, задерживая момент возникновения отрыва потока при увеличении числа Ие. Причины такого влияния числа М рассмотрены в [8]. На рис. 5 представлено изменение критического числа Ке0 возникновения отрыва течения в зависимости от числа М набегающего потока, показывающее монотонное изменение его с ростом М. При числах Ие меньше Ке0 для соответствующего значения М течение за донным срезом цилиндра безотрывно (рис. 5, область /), при Не>Иео течение имеет отрывный характер (рис. 5;. область II).

Для достаточно больших чисел Ие^Ю2, когда в донной области существует развитая отрывная зона, увеличение М при Ие = соп8і вызывает смещение точки отрыва потока вниз от верхней угловой кромки и тем большее, чем меньше число Ие (рис. 4; к — координата точки отрыва; цифры обозначают: 1 — Ие = 102;

2 — Ие = 103; 3 — Не=104). В отличие от монотонного изменения координаты точки отрыва /г длина отрывной зоны Ь в зависимости от М меняется немонотонно: при увеличении числа М вначале возрастает, а затем уменьшается (рис. 4; цифры обозначают; 4—Ие =

= 102; 5—Ие = 103; 6 — Ие= 104). Аналогичным образом изменяется с ростом числа М и координата центра вихря отрывной зоны.

Экспериментальные данные [2] также свидетельствуют об увеличении длины отрывной зоны с возрастанием числа М до 0,95 и сокращении ее при последующем увеличении скорости потока до М = 5. При гиперзвуковых скоростях изменение I незначительно. Максимальная скорость в зоне возвратного течения с изменением числа М также меняется немонотонно. До значений М = 1 она возрастает, а затем уменьшается. При дозвуковых скоростях с увеличением числа Ие в следе возникают дополнительные области возвратного течения, имеющие слабо осциллирующий характер. Однако

течение в целом остается практически стационарным, возможно, из-за демпфирующего действия разностной схемы (вследствие большого шага по времени).

Исследования влияния толщины вязкого пристеночного слоя перед донным срезом 8 на течение в следе, проведенные в диапазоне изменения 0,05 -< 8 <0,4 при значениях М = 2, Не=Ю3, показали, что увеличение 8 приводит к уменьшению давления на боковой поверхности цилиндра, однако „донное“ давление и давление в отрывной зоне и зоне смыкания потоков повышаются. Длина отрывной зоны при этом возрастает, а скорости возвратного течения уменьшаются. С увеличением о протяженность возмущенной зоны перед донным срезом (область передачи возмущений вверх по потоку) возрастает и при 8 = 0,4, Ие^Ю4 составляет х— 0,8-ь 0,9. Аналогичные результаты по влиянию толщины вязкого слоя на течение в следе получены экспериментально для тел цилиндрической формы с конической носовой частью [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Чжен П. Отрывные течения. М., „Мир", 1973.

2. Швец А. И., Швец И. Т. Газодинамика ближнего следа. Киев, „Наукова думка", 1976.

3. Мышенков В. И. Дозвуковое и трансзвуковое течение вязкого газа в следе плоского тела. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1970. №2.

4. Ковалев Б. Д., Мышенков В. И. Дозвуковой осесимметричный след в вязком газе. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1975, № 1.

5. Березин Ю. А., Ковеня В. М., Яненко Н. Н. Об одной неявной схеме расчета течения вязкого теплопроводного газа. В сб. „Численные методы механики сплошной среды", т. 3, № 4, 1972.

6. W i n п i к о w S., С h а о В. Т. Droplet motion in purefied systems. „Phys. Fluids", vol. 9, N 1, 1966.

7. К о в а л e в Б. Д., Мышенков В. И. Расчет вязкой сверхзвуковой струи, истекающей в затопленное пространство. „Ученые записки ЦАГИ", т. IX, № 2, 1978.

8. М ы ш е н к о в В. И. Отрывные течения около цилиндра с плоским торцом. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1979, .№ 2.

9. Н е й л а н д В. Я. К теории отрыва ламинарного погранич-

ного слоя в сверхзвуковом потоке. “Изв. АН СССР, МЖГ", 1969, №4.

10. Н е й л а н д В. Я. К асимптотической теории взаимодействия сверхзвукового потока с пограничным слоем. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1971, № 4.

11. Мышенков В. И. Численное исследование отрывного течения перед уступом. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1979, № 5.

12. Ка van a u L. L. Base pressure studies in rarefied supersonic

flows. Journal of the Aaronautical Sciences, vol. 23, N 3, 1956.

13. M а т в e e в a H. С., Нейланд В. Я. Ламинарный пограничный слой вблизи угловой точки тела. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1967, № 4.

Рукопись поступила 121V №80 г.

3—„Ученые записки ЦАГИ“ № 6.