Общекультурные и гносеологические аспекты курса «История и методология математики»

корректное построение отрицаний, правильную

интерпретацию материала, его осмысление в

сонкретизациях, аналогиях и обобщениях.

Литература

|1. Основы педагогического мастерства / Под ред. И.А.Зюзина, М., 1989.

2. Львова Ю.Л. Как рождается урок. М., 1976.

3. Архангельский С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы. М,: Высшая школа, 1980.

4. Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе. 1980. № 3. С. 56.

5. Соколов В.М., Захарова Л.Н., Соколова В.В., Гребнев И.В.. Проектирование и диагностика качества подготовки преподавателя. М., 1994.

6. Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение, 1987. 400с.

В. Ф. Чаплыгин

Общекультурные и гносеологические аспекты курса «История и методология математики»

История и методология математики (ИММ) как учебная дисциплина включена в учебный план специальности «Математика» классических университетов сравнительно недавно. Значение этой дисциплины, на наш взгляд, очень важно для завершения образования математика вообще и тем более будущего педагога. Первой проблемой, связанной с преподаванием курса ИММ, является разработка программы, от которой зависит его содержание. Коллектив математиков Ярославского госуниверситета им. П.Г. Демидова создал свой вариант программы и представил его на конкурс, проводившийся министерством. Один из главных вопросов, который при этом возникает, состоит в выборе приоритетов, а именно, в определении того, что должно превалировать в содержании ИММ. Можно уделять большее внимание истории возникновения и развития основных математических идей и теорий или ученым, их создававшим. Речь не идет о противопоставлении двух точек зрения, а лишь о рас-

становке акцентов, и, по нашему мнению, предпочтение следует отдавать развитию идей и методов.

Историки математики выделяют в развитии этой науки четыре этапа, которые мы приводим без указания временных рамок:

1) накопление математических фактов, зарождение математики;

2) построение математики как науки, период элементарной математики;

3) создание математики переменных величин;

4) период современной математики.

При изложении материала, особенно относящегося к первым трем этапам, на наш взгляд, совершенно необходимо рассматривать саму математику и ее историю как составную часть общей культуры человечества, материальной и духовной. Ее происхождение, безусловно, было вызвано практическими потребностями человека. Земледелие, в частности, землемерие, строительство ирригационных сооружений (дамб, плотин, каналов), мореплавание и связанные с ним навигационные проблемы, торговля, обмен, налоговое дело, необходимость счета, измерение площадей и объемов, военное и инженерное дело, искусство - все это требовало математических знаний. В начале XVII века создается математическое естествознание. Обширные теоретические исследования проводятся в области механики: Г.Галилей открывает закон свободного падения тел, И.Кеплер - закон движения планет, Р.Бойль получает закон зависимости объема газа от давления, Р.Гук - закон упругости. Серьезные математические вопросы, которые успешно решает Х.Гюйгенс, возникли при создании точных хрондметров. Рождается идея создания универсального математического метода (Р.Декарт, Б.Спиноза, Г.Лейбниц, И.Ньютон), что приводит к необходимости изучения переменных величин, открытию дифференциального и интегрального исчисления. И, конечно, не случаен тот факт, что многие выдающиеся ученые внесли огромный вклад не только в математику, но и в смежные науки и решили множество прикладных проблем. Ярким примером может служить творчество Архимеда, Л.Эйлера, К.Ф.Гаусса, П.Л.Чебышева, А.Пуанкаре и др.

Чтение курса ИММ естественно начинать с определения математики как таковой, а затем переходить к предмету изучения ИММ, его содержанию и значению. Определение математики с течением времени эволюционировало, и это понятно. Возможно, первым, кто определил

Ярославский педагогический вестник. 2000. N9 3

математику, был Платон, писавший, что основными объектами, которые изучают математики, являются числа, величины и фигуры. Хорошо известно определение, данное Ф.Энгельсом в «Анти-Дюринге», которое достаточно полно характеризовало математику в тот исторический момент. Позже математику стали понимать как науку, имеющую объектами своего изучения математические модели и структуры. Из российских математиков близкую точку зрения высказывали академики Л.Д.Кудрявцев, И.Н.Моисеев, А.Н.Тихонов. Последнее определение отражает современное состояние математики и носит существенно более общий абстрактный характер. Но это отнюдь не означает, что с некоторых пор математика изучает саму себя. Конечно, имея свои внутренние потребности, она должна решать присущие ей проблемы. Но необходимо помнить, что, во-первых, они родились из менее отвлеченных фактов, а во-вторых, математика непрерывно подпитывается задачами извне, которые она решает и тем самым обслуживает, обеспечивает другие науки и дает немало практических приложений. Кстати, история знает немало примеров, когда та или иная теория, созданная математиками, находила применение спустя многие десятилетия, а то и века. Так было с булевыми алгебрами, теорией функций комплексного переменного, неевклидовыми геометриями и др. Таким образом, на протяжении чтения всего курса ИММ сохраняется возможность демонстрировать происхождение математических теорий и их практическую значимость. Этот курс необходимо использовать для того, чтобы показать пути зарождения, формирования и развития отдельных частей математики: алгебры, геометрии, теории чисел, дифференциальных уравнений, теории функции и их взаимосвязи. Коснемся лишь первых двух наук. Алгебра, возникшая еще в глубокой древности, начиналась с решения простейших уравнений и систем, затем пришла к буквенной символике и создала методы решения в радикалах уравнений третьей и четвертой степеней. Проблемы, связанные с решением уравнений степени выше четвертой, привели к возникновении теории групп, после чего алгебра становится учением об операциях над различными математическими объектами, тем самым завершается классический период ее развития и начинается современный. Не менее поучительна история развития геометрии от древности до Евклида, от Ев-лида до Лобачевского и Римана и далее. Создание неевклидовой геометрии, пересмотр ее ос-

нований имели огромное значение, так как д; вали возможность построения новых матемап ческих теорий. Нам представляется необходр мым подчеркнуть то удивительное обстоятел! ство, что история математики знает не оди случай, когда к одной и той же теории прихс дили практически одновременно и независим друг от друга несколько ученых. Так было с| упомянутыми выше открытиями и рядом других (например, создание дифференциального и интегрального исчисления И.Ньютоном и Г.Лейбницем или открытие неевклидовой геометрии К.Гауссом, Я.Больяи, Н.Лобачевским).

С точки зрения теории познания и теории обучения очень важно проследить историю формирования ит>азвития основных математических понятий, идей1 и методов, их генезис. К ним прежде всего можно отнести число, функцию, непрерывность, производную, дифферен-цируемость и дифференциал, меру, интеграл, алгоритм и др. Проследив логику их происхождения, дальнейшую эволюцию, преподаватель сможет методически грамотно построить процесс обучения. Такой подход принято называть генетическим. Речь не идет о буквальном повторении всех этапов и моментов развития, а лишь о логике и последовательности их введения. Эта мысль не оригинальна, ее не раз высказывали видные математики Дж.Валлис.

A.Клеро, А.Пуанкаре, наш соотечественник

B.В.Бобынии, М.Клайн.

Если говорить о средней школе, то при формировании понятия действительного числа естественно следовать историческим путем, а именно, начинать с натуральных чисел, затем вводить аликвотные дроби, рациональные положительные числа, отрицательные целые числа, множество рациональных чисел в целом, иррациональные числа и, наконец, множество действительных чисел. При этом иррациональные числа можно определить как бесконечные десятичные непериодические дроби и связать их с несоизмеримостью отрезков. Имеет смысл дать историю развитие понятия функции, способов ее задания и сопровождавшую ее дискуссию, к которой были причастны И.Бернулли. Д. Бернулли, Л.Эйлер, Ш.Фурье, К.Вейерштрасс. Н.Лобачевский, П.Дирихле и др. В качестве аргумента, подтверждающего высказанное предложение, приведем слова М.Клайна: «Нет никакого сомнения, чТо затруднения, которые встретили великие математики, являются теми же камнями преткновения, какие встречают студенты, и что никакие попытки смазать эти трудности с помощью' логической словесности

не достигнут цели». Не случайно за последние тридцать лет определение функции в школьном учебнике менялось трижды.

Если говорить об основных математических понятиях, излагаемых в университетах, то, на наш взгляд, преподаватель вместе со студентами должен проделать путь от отображений, действующих из Я в Я, Я2 в Я, Я" в Я до отображений в топологических векторных пространствах, проследив при этом за понятиями предела в точке, непрерывности, дифференцируемо-сти и т.д. Полезно, по нашему мнению, дать представление о развитии понятия интеграла хотя бы на примере задачи о восстановлении первообразной по схеме: интеграл Римана, Лебега, Данжуа-Перрона.

Нельзя не отметить, что существует точка зрения, отличная от высказанной. Некоторые преподаватели предпочитают вводить понятия сразу в полной общности без какой-либо пропедевтики, без конкретных простых примеров и задач, которые к ним приводят. Это примерно то, что французы называют термином «парашютировать» (идеи падают с неба, как бы спускаясь на парашюте).

Сказанное выше имеет прямое отношение к вопросу о соотношении индуктивного и дедуктивного методов в преподавании. Однозначный ответ в пользу одного из них даже в отдельном конкретном случае вряд ли возможен, но, по мнению автора, в большем числе случаев индуктивный метод предпочтительнее. Особенно он полезен при введении новых определений и понятий и дальнейшем их развитии и расширении, при доказательстве теорем в простейших случаях и в дальнейшем - их обобщении. Примером могут служить теоремы о свойствах функций, непрерывных на компактных множествах.

Конечно, элементы и<^оризма можно и нужщ включать в любую учебную дисциплину, но у ИММ для этого существенно больше возможностей. Эта дисциплина может выделить общие идеи, провести аналогии, дать синтезированное изложение теории. Приведем примеры. Как известно, интегральное уравнение Фредгольма второго рода и сопряженное с ним уравнение имеют единственное решение для любых правых частей в том и только в том случае, когда выполняются соответствующие условия ортогональности правых частей всем решениям сопряженного однородного уравнения. Фактически с похожей ситуацией студенты сталкиваются в теории линейных алгебраических систем, а затем в качественной теории

обыкновенных дифференциальных уравнений при отыскании периодических решений. Аналогично обстоит дело с обобщением понятия скалярного произведения, которое первоначально вводится в двумерном евклидовом пространстве, затем - в n-мерном и далее - в гильбертовом пространстве. Заслуживает внимания также и алгоритм Евклида, позволяющий находить общую меру двух отрезков, наибольший общий делитель двух чисел или двух многочленов.

Мы не касаемся здесь еще одной чрезвычайно важной задачи, которую можно решать в процессе чтения курса ИММ, а именно - формирования личности будущего специалиста, особенно учителя, но это уже другая тема.

Литература

1. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М: ИЛ, 1963.

2. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М: Физматгиз, 1991.

3. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. М: Физматгиз, 1977.

4. Моисеев И.Н. Математика ставит эксперимент. М: Физматгиз, 1979.

5. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М: Физматгиз, 1984.

6. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. I, II. М: Просвещение, 1982, 1983.

7. Энгельс Ф. Анти-Дюринг. М: Госполитиз-дат, 1950.

8. Рыбников К.А. История математики. Ч. I, II. М.: Изд-во МГУ, 1960, 1963.

9. Белобородое C.B. Об историко-генетическом методе // Математика в школе. 1999. №6.

Программа курса «История и методология математики»

Основные этапы развития математики. Математика и другие науки.

Зарождение математики (Египет, Вавилон, Индия, Китай). Период накопления математических знаний.

Формирование математики как науки. Древняя Греция. Появление аксиоматического построения математики и дедуктивного метода рассуждения. Пифагор, Архимед, «Начала» Евклида.

Ярославский педагогический вестник. 2000. № 3

Развитие математики на Востоке, начало 11 тысячелетия (Индия, Средняя Азия, Египет).

Начало развития математики в Европе в средние века (XII-XVI вв.). Тарталья, Кардано, Феррари и их вклад в решение алгебраических уравнений.

XVII век - начало периода математики переменных величин. «Геометрия» Б.Кавальери, «Арифметика» Д.Валлиса и исчисление бесконечно малых. П.Ферма, Р.Декарт, Б.Паскаль, работы по алгебре, геометрии, теории вероятностей. Создание аналитической геометрии. И.Ньютон, Г.Лейбниц -создатели дифференциального и интегрального исчисления.

XVIII век - продолжение деятельности И.Ньютона, Г.Лейбница. Бернулли (Якоб, Иоганн, Даниил и др), Л.Эйлер, Ж.Лагранж. Развитие математического анализа, алгебры, вариационного исчисления, теории дифференциальных уравнений.

XIX век - вклад К.Ф.Гаусса в развитие теории чисел, алгебры, геометрии, математического анализа. Н.Абель и Э.Галуа - создатели современной алгебры. Г.Монж, В.Понселе, создание начертательной и проективной геометрии. Работы Ж.Фурье, П.Дирихле, Б.Римана, пересмотр основ математических понятий и строгости математических доказательств. О.Коши и К.Вейерштрасс - создатели математического анализа.

Развитие математики в России. Вклад в математическую науку Н.И.Лобачевского, П.Л. Чебышева, C.B. Ковалевской, М.В. Остроградского, В.А. Стеклова, A.A. Маркова, A.M. Ляпунова и др.

Математика XX столетия. А.Пуанкаре, Д.Гильберт, Г.Кантор. Работы по основаниям математики. Появление новых разделов алгебры, анализа, геометрии. Развитие теории функций действительного и комплексного переменного, топологии, функционального анализа, теории уравнений математической физики, математической логики, теории алгоритмов.

Творчество Н.Бурбаки. Появление новых направлений математики: кибернетики, теории игр, исследования операций и др. Работы русских математиков П.С. Александрова, А.Н. Колмогорова, С.Л. Соболева, Л.С. Понтря-гина, П.С. Урысона, И.М. Виноградова, А.И.Мальцева, П.С.Новикова, Ю.В.Линника, Н.Н.Боголюбова и др.

Особенностью указанной программы является выделение роли отечественных ученых,

что весьма важно для гражданского становления будущего преподавателя. По данному курсу к студенту предъявляются следующие требования:

Студент должен знать:

- пути зарождения математики, основные периоды ее развития, формирование ее как науки, ее место среди других наук и взаимосвязи с ними;

- роль наиболее выдающихся ученых в развитии математики;

- возникновение и развитие основных идей и понятий математики: числа, бесконечности, бесконечно малых величин, дифференциального и интегрального исчисления, геометрических, алгебраически структур, алгоритма;

- значение классических задач древности для развития математики;

- историю возникновения и развития аксиоматического метода построения математики;

- процессы образования новых направлений в математике (особенно в двадцатом столетии); образование смежных направлений:

- основные литературные источники по истории математики.

Он должен иметь представление:

- о нерешенных проблемах в различных областях математики;

- о единстве и постоянном развитии математики.

Литература

1. Александров А.Д. Общий взгляд на математику // Математика, ее содержание, методы и значение. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1956. С.5-78.

2. Боголюбов H.H., Мергелян С.Н. Советская математическая школа. М.: Знание, 1967.

3. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Иностр. лит-ра, 1963.

4. Бюлер В. Гаусс. М.: Наука, 1989.

5. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.

6. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия, 2-е изд. М.: Наука, 1966.

7. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: Наука, 1967.

8. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. М.: Наука, 1982.

9. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М.: Мир, 1986.

Ю.Дальма А. Эварист Галуа, революционер и математик. М.: Наука, 1984.

11 .Житомирский C.B. Архимед. М.: Просвещение, 1981.

12.История математики с древнейших времен до начала XIX века / Под ред. А.П. Юшкевича. Т. 1-3. М.: Наука, 1970-1972.

13.Кац М., Улам С. Математика и логика. Ретроспектива и перспектива. М.: Мир, 1971.

14.Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование. М.: Советское радио, 1972.

15.Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988.

16.Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Т.1. М.: Наука, 1989.

П.Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.: Наука, 1991.

18.Кольман Э. История математики в древности. М.: Физматгиз, 1961.

19.Лебег А. Об измерении величин. М.: Учпедгиз, 1960.

20.Математика в современном мире. М.: Мир, 1967.

21.Математика XIX века. Т. 1-3. М,: Наука, 1978,1981, 1987.

22.Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1969.

23.Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975.

24.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1982.

25.Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.

26.Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. М.: Наука, 1976.

27.Рыбников К.А. История математики. М.: Мкл.-ип МГУ., 1974.

28.Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики / Пер. и доп. И.Б. Погребысского. 2-е изд. М.: Наука, 1969.

29.Тростников В.Н. Конструктивные процессы в математике. М.: Наука, 1975.

30.Тростников В.Н. Всемирный конгресс математиков в Москве. М.: Знание, 1967.

31.Труды международного конгресса математиков. М.: Мир, 1968.

32.Успенский В.А., Семенов АЛ. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. М.: Наука, 1987.

33.Хрестоматия по истории математики / Под ред. А.П. Юшкевича. М.: Просвещение, 1977.

34.Юшкевич А.П. История математики в средние века. М.: Физматгиз, 1961.

35.Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. М.: Наука, 1968.

36.Яновская С.А. Методологические проблемы науки М.: Мысль, 1972.

Л. Н. Серебренников

Технологическое образование школьников в свете современных задач

В современных социально-экономических условиях подготовка школьников к трудовой и профессиональной деятельности приобретает новое значение. Наряду с сокращением и реструктуризацией рынка труда резко изменились требования к уровню и содержанию подготовки специалистов, основа которой закладывается системой общего образования. Анализ занятости населения показывает, что при достаточно высоком образовательном цензе молодежи вероятность реализации полученных знаний на практике невелика, и лишь малая часть выпускников средних и высших профессиональных учебных заведений получает возможность профильного трудоустройства. Низкая конкурентоспособность молодежи делает ее наиболее незащищенной категорией на рынке труда. Чаще всего это обусловлено несоответствием полученного образования профессиональным интересам и рыночному спросу, недостаточной квалификацией и неготовностью молодых специалистов к практической деятельности.

Качество подготовки специалистов в средних и высших учебных заведениях определяется структурой и содержанием предшествующего общего образования, подготовленностью школьников к профессиональному обучению. Общеобразовательная практикоориенти-рованная подготовка включает в себя трудовое и технологическое обучение, завершающееся специализированной подготовкой старшеклассников. Анализ организации профессиональной подготовки школьников (табл. 1) указывает на современные тенденции и условия развития технологического образования. Отечественный педагогический опыт показывает, что практическая подготовка учащихся в на-