Моделирование импульсного усилителя в базисе функций Хаара

ЭЛЕКТРОНИКА, АВТОМАТИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА

УДК 621.372.011.72

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСНОГО УСИЛИТЕЛЯ В БАЗИСЕ

ФУНКЦИЙ ХААРА

© 2003 г. Е.А. Волков, А.Н. Капитанова

Существует большой класс устройств импульсной и цифровой техники, для которых основным является импульсное воздействие и характерны резко нелинейные режимы работы. Сложность нелинейных моделей и воздействия не позволяют без применения ЭВМ рассчитать все необходимые характеристики импульсного нелинейного устройства, получить информацию о таких свойствах сигналов, как формирование фронтов, срезов, задержка выходного сигнала по отношению к входному, форма рабочей части импульса. Расчет этих характеристик для импульсных систем путем решения систем нелинейных дифференциальных уравнений каким-либо из численных методов наталкивается на ряд существенных трудностей, связанных с выбором шага интегрирования, необходимостью расчета установившегося режима с использованием переходного, что требует увеличения ресурсов ЭВМ и ограничивает область применения численных методов.

Для анализа импульсных нелинейных систем предложен метод [1], позволяющий рассчитать отклик нелинейной инерционной цепи на импульсное воздействие с помощью определенным образом сформированных сигналов. Основными базисными функциями для такого анализа выбраны ортогональные функции, например Уолша, Хаара, Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра.

Метод позволяет найти стационарный режим системы, минуя переходной процесс, в том числе и для высокодобротных цепей, и обобщает известные методы, основанные на принципе гармонического баланса [2, 3]. Он позволяет свести систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических, решение которой гораздо проще и может быть найдено с использованием одного из численных методов, например метода Ньютона.

Целью данной статьи является рассмотрение результатов моделирования импульсного транзисторного усилителя с помощью предложенного метода в базисе кусочно-постоянных ортогональных функций Хаара.

Как известно, ортогональные системы специальных функций могут быть подобраны таким образом, чтобы требуемая точность представления обеспечивалась при минимуме членов ряда [4]. Этим требованиям наилучшим образом удовлетворяет базис функций Хаара [5].

Функции Хаара Наг(], 9) или н£и) (9) образуют

полную ортонормированную систему из N кусочно-постоянных функций, каждая из которых может быть определена своими выборками, сделанными в 2 равноудаленных точках 9Ь 92,... 9N отрезка [0,1). Каждая выборка соответствует имеющему постоянную величину участку функции Хаара. Базис Хаара может быть записан в виде квадратной матрицы N х N.

" Наг

(H) n =

har

Пусть на вход усилителя, представленного на рис. 1, подается биполярный импульс (как, например, на рис За или 4а), подобный импульсам, применяемым при передаче информации по электрическим кабелям связи с использованием биполярных кодов. Представим входное воздействие в(() в виде разложения по функциям Хаара:

N-1

е

1=0

где Наг (1,9) - функция Хаара с номером

(] = 0, N - 1), переменной 9 е [0,1), N - размерность ортогонального базиса, 9 = t|T , Т - интервал ортогональности; Е1 - ]-й компонент вектора коэффициентов разложения внешнего воздействия е($) по системе

1

функций Хаара, Е: = | е(^Наг (1,9)^ 9.

E,

U „

© D

_C 4

100 пФ

Рис. 1. Электрическая схема усилителя

Составим эквивалентную схему анализируемого устройства (рис. 2), состоящую из линейных и нелинейных двухполюсников с сосредоточенными постоянными. В данной схеме транзистор представлен моделью Эберса - Молла [6], упрощенной исходя из того, что коллекторный р-п переход смещен в обратном направлении, т.е. при расчете учитываются нелинейная барьерная емкость коллектор - база Ctc и коллекторный управляемый напряжением источник тока 1С ; а эмиттерный р-п переход смещен в прямом направлении, т.е. существенное влияние оказывают нелинейная диффузионная емкость перехода эмиттер - база Cde и нелинейное сопротивление перехода эмиттер - база Rde; г - внутреннее сопротивление

источника входного сигнала U0 ; Я

bb

Re.

Rcc -

сопротивления соответственно базы, эмиттера и коллектора транзистора, Ек - ЭДС источника питания коллектора. Характеристики транзистора аппроксимировались следующими выражениями: ток эмиттер-

ного перехода Iэ = Iоэ

b0 ибэ л

e -1

; ток коллектор-

ного управляемого напряжением источника тока Iк = а1 э; диффузионная емкость перехода эмиттер -

база Cde = c0ee

b0U б

; барьерная емкость перехода

коллектор - база Ctc = С0С11 +

U.

бк /

Фт

I Z i i

I r

\

Ca

V ' R П

-, N4

TCr

JR ;

Рис. 2. Эквивалентная схема усилителя

Таким образом, получаем сложную нелинейную цепь, в которой каждый элемент представлен своей моделью. Объединим линейные элементы в линейные двухполюсники 22, 23 (см. рис. 2), каждый из которых описывается положительной вещественной функцией. Составим граф схемы рис. 2 [6], который содержит 3 узла и 4 ветви, и выберем фундаментальное дерево графа таким образом, чтобы в ветвях дерева были линейные элементы, а все нелинейные находились в хордах. Для данного графа можно найти матрицу главных контуров Вт , которая для выбранной модели усилителя имеет вид

BT =

-11 0 -11 0 -1 0 1 1 0 -1

Определив матрицу Вт , можно установить связь напряжений на элементах хорд с напряжениями на ветвях дерева

и

L = BTuT ,

где иь - вектор напряжений на элементах хорд; ит -вектор напряжений на элементах дерева, и связь токов в ветвях дерева с токами хорд

i T = BT i L :

где 1т — вектор токов в ветвях дерева; гь — вектор

*

токов элементов хорд; - знак транспонирования.

Для выбранной схемы связь токов хорд ¡ь = [г1; /2, /3, /4 ] с токами ветвей дерева (4) описывается уравнением

i1 i1 i2 i3 + l4

T = i2 = BT iL = i1 + i2

i _ _ i3 - i4

Предположим, что искомые напряжения на каждом из линейных двухполюсников дерева графа также могут быть представлены в виде разложения по функциям Хаара

N-1 ( Л

uT =1 VT j) har (j, 9),

j=0

где - вектор искомых коэффициентов при функциях Хаара у-го порядка в разложении напряжений на элементах дерева ит , который связан по закону Кирхгофа с вектором коэффициентов

иТ 1) в разложении напряжений на линейных двухполюсниках дерева графа соотношением V'Т1 = Е(- и1; Е(1 ) - коэффициенты из (2).

Воздействие вектора напряжений на элементах дерева ит на линейные двухполюсники дерева описывается системой дифференциальных уравнений

т = М

где М(р) - диагональная матрица М(р) = diag[М1(p), М2(р), М3(р)], Мт(р) - полином отр = для каждого двухполюсника, 1т (/) = [\ (/), /2 ^), /3 (/)] * - вектор токов дерева.

Подставив

n

Z

3

N-1

ij(t) = X Фj (t) UT

j=0

N-1

= - X BTV*j)har(j, 9). j=0

iT = BT iL

N-1 , л

- X BtvT 1)har

j=o

yüT = B* IL .

вид

{üг }(„+i) = {üг }(„) -

Ml dür

BT

X j\|/ ü г - BT IL

U„

1 С+1 и

где ф; (t) = — | М(р) Ф; (р) ерЧр .

1 с- ] и

Так как М(р) - операторная проводимость линейного двухполюсника, то каждый компонент диагональной матрицы ф 1 ^) есть ток, протекающий через

этот двухполюсник при воздействии напряжения, имеющего форму функции Хаара '-го порядка.

При формировании фундаментального дерева графа нелинейные двухполюсники были вынесены в хорды. Подставив (5) в (3), найдем вектор напряжений хорд

ю

20

U1

30

40

10

20 б

U2

30

б

Если нелинейные двухполюсники описываются вольтамперными или вольткулоновыми характеристиками, то вектор токов хорд гь можно представить в виде вектора, в котором соответствующие компоненты вектора (8) используются в качестве аргументов в уравнениях двухполюсников. Тогда в соответствии с (5) вектор токов дерева имеет вид

10

20

30

U3

16 14 1 2 1 О 8 6

-

10

-

30

Приравнивая (7) и (9) , разложив левую и правую части по функциям Хаара и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях, получим систему уравнений цепи

Рис. 3. Эпюры напряжений в контрольных точках усилителя

Матрица (Н)8 для базиса из 8 функций Хаара в соответствии с (1) имеет вид:

которая содержит 3Ы уравнений, N - размерность выбранного базиса функций Хаара.

Матрица у, рассчитанная из (10), имеет размерность 3 • N х 3 • N, на главной диагонали ее расположены матрицы уг трёх линейных двухполюсников дерева, т. е. у = diag[у1, у 2, у3 ].

Решение для отклика нелинейной цепи в виде напряжений на трех линейных двухполюсниках дерева графа , 22,23 находится методом Ньютона и имеет

(H)8 =

11 11

1

11

1

1

1 1 - 1 - 1 - 1 - 1

л/2 л/2 -V2 -л/2 ooo o

ooo o л/2 л/2 -л/2 -л/2

2 - 2 o oooo o

o o

- 2 o o

o o 2 - 2 o o

o o - 2

где п - порядок приближения.

На основе изложенного алгоритма расчета импульсного усилителя была составлена программа в среде Бе1рЫ-6. Работа схемы моделировалась в базисе из 8 функций Хаара (N=8) и для двух различных входных воздействий (рис. 3а и 4а).

При разложении входных воздействий по функциям Хаара в соответствии с (2) ненулевым оказался только

один коэффициент разложения: Е5 = 2 Пвх для импульса

рис. 3а и Е2 = Пвх для импульса рис. 4а, Пвх = 3В - амплитуда входного импульса источника и0.

Параметры модели транзистора определялись по его входной и выходной характеристикам и имели следующие значения: Яьь = Яее = Ясс = 10 Ом;

гг = 10 Ом; 10Э = 4,534 • 10-6 А; Ь0 = 36,8; а = 0,98; С0е = 1,93 • 10-11 Ф; С0с = 8,066 • 10-12 Ф; п = 0,325; Фт = 0,65 .

а

u

L

в

г

X

U„

ит

10

20 а

U1

30

40

10

20

30

б U2

10

20

из

30

13 12 11 10 9

0

10

20

-

30

Рис. 4. Эпюры напряжений в контрольных точках усилителя при С1=С2=62 нФ

Эпюры напряжений П(Г) в точках 1, 2, 3 усилителя приведены на рис. 3 б, в, г и 4 б, в, г и обозначены соответственно как Ш, П2, П3, 0 < t < Т, Т = 40 мкс -период следования импульсов.

В схеме усилителя моделировались также искажения фронтов и срезов импульсов. Для этого при подаче входного импульса (рис. 4а) уменьшались значения емкостей С1 и С2 (см. рис. 1) с 62 мкФ до 62 нФ, что приводило к увеличению фронтов и сколов вершин выходных импульсов. На рис. 5 б, в, г наблюдаются увеличения фронтов импульсов по сравнению с входным импульсом на рис. 5а.

Таким образом, приведенные результаты моделирования импульсного транзисторного усилителя с помощью метода [1] в базисе ортогональных функций Хаара подтверждают возможность его применения для анализа нелинейных цепей при импульсных входных воздействиях и расчета основных характеристик выходных импульсов: длительностей фронтов и срезов, задержек и сколов вершин.

10

20

а

U1

30

40

0 10 20 30

б

U2

4 1 1 1

2 г — ----1---

0 I I 1 1

г ---1--- ----1--- ---

-2 1-- 1 1 —

0 10 20 30

в

из

14 t -

12

10

8 t -

о

10

20

30

Рис. 5. Эпюры напряжений в контрольных точках усилителя при С1=С2=62 мкФ

Литература

1. Волков Е.А., Капитанова А.Н. Метод анализа нелинейных систем в базисе ортогональных функций // Изв. РГУПС. 2002. № 1.

2. Алексеев О.В., Асович П.Л., Соловьев А.А. Спектральные методы анализа нелинейных радиоустройств с помощью ЭВМ. М., 1985.

3. Волков Е.А. Метод анализа стационарного режима электрической цепи с комплексными нелинейностями при полигармоническом воздействии // Теоретическая электротехника. Вып. 34. Львов, 1983.

4. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.,

1986.

5. Залманзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. -М., 1989.

6. Чуа Л.О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы. М., 1980.

Ростовский государственный университет путей сообщения

20 сентября 2002 г.

в

г

г