Многоуровневые физические модели монои поликристаллов. Прямые модели

УДК 539.3

Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов.

Прямые модели

П.В. Трусов, А.И. Швейкин

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

Статья представляет собой вторую часть обзора работ, посвященных построению и применению многоуровневых моделей для анализа поведения моно- и поликристаллических материалов при их интенсивном деформировании. В отличие от математических теорий пластичности рассматриваемый класс моделей оперирует с мезо- и микроструктурой деформируемого материала, позволяет анализировать эволюцию последней. Рассматриваются получившие в последние годы широкое распространение так называемые прямые модели, основанные на физических теориях пластичности и численных методах.

Ключевые слова: обзор, физические теории, прямые модели, микроструктура, текстура

Multilevel physical models of single- and polycrystals. Direct models

P.V. Trusov and A.I. Shveykin

Perm National Research Polytechnical University, Perm, 614990, Russia

The paper provides the second part of review on the development and applications of multilevel models to analyzing the behavior of single- and polycrystals under severe plastic deformation. Unlike mathematical models of plasticity, the models under consideration operate with meso- and microstructures of deformed materials to analyze the evolution of the latter structures. The so-called direct models that are based on physical theories of plasticity and numerical methods and have gained wide recent acceptance are discussed.

Keywords: review, physical theories, direct models, microstructure, texture

1. Введение

Данная статья представляет собой вторую часть обзора работ [1], в которых обсуждаются вопросы построения и применения многоуровневых моделей для исследования поведения моно- и поликристаллических материалов в условиях интенсивной деформации.

Весьма интенсивно в последние десятилетия развиваются так называемые прямые модели поликристаллов, большей частью основанные на прямом применении метода конечных элементов и физических теорий для описания деформирования монокристаллов-зерен. Пионерскими в этом направлении следует признать работы [2, 3]. В качестве определяющих соотношений на макроуровне обычно используется изотропный или анизотропный закон Гука, в котором неупругие деформации определяются осреднением (в ориентационном или геометрическом пространстве) этих деформаций для зерен, определяемых с применением физических теорий.

Для определения неупругих деформаций (или неупругих составляющих тензора деформации скорости) в последние годы наиболее часто применяются вязкопластические теории, в которых скорости сдвига по системам скольжения зависят от касательных напряжений, критических напряжений сдвига и температуры. При использовании численных методов с нелинейной аппроксимацией искомых функций (чаще всего полей перемещений или скоростей перемещений) неупругие составляющие деформаций (деформаций скорости) устанавливаются в точках интегрирования.

Следует отметить, что реализация прямых моделей требует чрезвычайно больших вычислительных ресурсов, даже на современных кластерах расчет одного варианта требует часов и десятков часов. В связи с этим прямые модели, за редким исключением, не применяются для решения реальных технологических задач, область их применения — как правило, представительный

© Трусов П.В., Швейкин А.И., 2011

макрообъем моно- и поликристаллических материалов. Однако прямые модели позволяют более детально анализировать процессы деформирования на мезо- и микроуровнях, глубже уяснять закономерности неупругого деформирования, формирования и эволюции микроструктуры (и текстуры в частности). Весьма высокие темпы развития вычислительной техники позволяют надеяться, что в недалеком будущем прямые модели станут инструментом решения реальных задач по совершенствованию существующих и созданию новых технологий обработки материалов.

2. Прямые двухуровневые модели

Хотя первые публикации по прямым моделям появились в начале 70-х годов ХХ века, их широкое применение началось в 90-х. Поскольку классификация работ по прямым моделям весьма проблематична (в одной и той же статье могут использоваться различные физические теории, рассматриваются разнообразные процедуры численной реализации), в дальнейшем будем в основном придерживаться хронологического порядка.

В статье [4] детально описывается процедура реализации упруговязкопластической модели монокристалла и модели поликристалла, интегрированной в конечно-элементную программу ABAQUS. Особое внимание при этом уделено алгоритму интегрирования по времени и итерационной пошаговой процедуре определения напряжений, соответствующих концу шага нагружения. Для описания формирования текстуры использована «полностью стесненная» модель Тейлора. Рассмотрены две задачи: простого сдвига и осадки в условиях плоского деформированного состояния полосового образца с трапецией в основании. Приведены описания соответствующих экспериментов, при этом для первой задачи использованы две схемы эксперимента: сдвиг прямоугольной полосы в условиях плоской деформации и кручение трубчатого образца с фиксированным положением торцов. Задачи решены в плоской постановке, однако авторы утверждают, что сама конститутивная модель учитывает произвольную ориентацию кристаллической решетки в трехмерном пространстве; детали реализации модели в условиях трехмерной решетки отсутствуют.

При решении первой задачи на макроуровне (в конечно-элементной процедуре) используется гиперупру-гий закон, в каждой точке интегрирования напряжения определяются осреднением (по Тейлору) по представительному объему, включающему 400 зерен. Результаты расчета по предлагаемой модели сопоставлены с экспериментальными данными и с вязкопластическим вариантом модели Тейлора. Показано, что предлагаемая модель обнаруживает хорошее соответствие с экспериментальными данными. Представлены эксперименталь-

но и теоретически определенные полюсные фигуры. Отмечается удовлетворительное соответствие экспериментальных данных и результатов конечно-элементной модели, тогда как модель Тейлора дает более «острую» картину текстуры. Вторая задача также решена в предположении реализации плоского деформированного состояния. Приведены результаты экспериментально измеренной и вычисленной по предлагаемой модели кривой «усилие - перемещение», показывающие хорошее соответствие. Для нескольких стадий процесса приведены экспериментально и теоретически определенные полюсные фигуры, которые также показывают хорошее качественное соответствие.

По существу, та же самая двухуровневая модель применяется в [5] для анализа влияния предварительно созданной текстуры на поведение поликристаллической меди. На первом этапе осуществляется экспериментальное и теоретическое исследование отклика материала и формирования текстуры при деформировании (осадкой) отожженной поликристаллической меди в условиях плоскодеформированного состояния (степень осадки в логарифмической мере — 0.34). Для идентификации модели используются экспериментальные данные по одноосному сжатию образцов. Показано хорошее соответствие результатов по текстуре и зависимости «усилие стесненной осадки - перемещение пуансона». На втором этапе для экспериментальных исследований из предварительно деформированной полосы в трех перпендикулярных направлениях (по направлению осадки, направлению ограничений перемещений и направлению перпендикулярно к свободной поверхности полосы) вырезаны три цилиндрических образца, в дальнейшем подвергнутые одноосному сжатию. Для теоретического анализа приняты данные расчетов, соответствующие концу первого этапа. Сопоставление осуществляется сравнением кривых «усилие осадки - перемещение пуансона» и полюсных фигур. Кроме того, анализировалась анизотропия свойств, проявившаяся в овальности первоначально круглого поперечного сечения образца. По всем сравниваемым параметрам показано хорошее соответствие теоретических и экспериментальных данных.

В работе [6] рассматривается применение физической теории упругопластичности (типа Тейлора-Би-шопа-Хилла) в сочетании с методом конечных элементов (программа ABAQUS/ Explicit-1995) для анализа процесса деформирования ГЦК-поликристаллов с высокой и низкой энергией дефекта упаковки. Для материалов с высокой энергией дефекта упаковки деформирование осуществляется путем сдвига по системам скольжения, для материалов с низкой энергией дефекта упаковки превалирующим механизмом является двой-никование. Полагается, что двойники образуются пакетами (кластерами), их появление ведет к упрочнению

на пересекающих плоскости двойников системах скольжения. Принимается, что обратное превращение двойники не могут испытывать. Следуя [7], скорость сдвига при двойниковании определяется произведением характерной для данного кристалла величины сдвиговой деформации двойника и скорости изменения двойниковой фракции в кристалле. Как и в большинстве других работ, используется релаксационная форма определяющего соотношения, в основе которой лежит анизотропный закон Гука, связывающий второй тензор Пиола-Кирх-гоффа и упругую составляющую тензора деформаций Коши-Грина, определенных в разгруженной конфигурации. Скорость пластической деформации определяется суммой произведений скоростей сдвига и двойнико-вания на ориентационные тензоры по всем активным системам. Критические напряжения сдвига/двойникова-ния определяются линейным законом упрочнения с превалирующим латентным упрочнением; полагается, что двойникование приводит к существенному повышению критического напряжения сдвига в системах скольжения, не параллельных плоскости двойников. Предлагаемая модель была использована для анализа стесненной (в условиях плоскодеформированного состояния) и свободной осадки латунного образца. Представлены результаты расчета кривых «напряжение - деформация» и полюсных фигур; сопоставление теоретических результатов с экспериментальными данными обнаруживает хорошее соответствие.

В работе [8] двухуровневая термоупруговязкопластическая модель применяется для анализа поведения поликристаллических тел с ОЦК-решеткой. В конечноэлементной процедуре макроуровня используется закон Гука вида:

К х = П :(С$ - В(6-60)),

где Кх, СХ — второй тензор Пиола-Кирхгоффа и тензор деформации Коши-Грина, определенные в разгруженной конфигурации; П — тензор 4-го ранга упругих свойств; В — двухвалентный тензор термических свойств (П, В в общем случае описывают анизотропные свойства); 6, 60 — текущая и начальная абсолютные температуры. На мезоуровне скорости пластических сдвигов определяются вязкопластическим соотношением. Следуя [9], сопротивление сдвигу т в ^й системе скольжения представляется суммой сопротивления препятствий, преодолеваемых термически активируемым сдвигом т (сопротивление Пайерлса, растворенные атомы примеси, лесовые дислокации), и сопротивления препятствий, не чувствительных к термической активации т (скопления дислокаций, крупные частицы второй фазы). С использованием уравнения Орована и обозначения тк = |т(к)| -тк в конечном итоге получено следующее соотношение для скорости сдвига:

т(к) = .

0, т(к) < 0,

У о ехР

ЛG

к6

0 <т(к) <т,

где у'

(к) —

скорость сдвига в ^й системе скольжения;

ЛG(к) = ЛР[1 - (т*к) / т)р ]? — свободная энергия активации (Гиббса); к — константа Больцмана; ЛР—сво-бодная энергия преодоления барьеров (в отсутствие сдвиговых напряжений); показатели степени принимают значения 0 < р < 1, 1 < q < 2; у0 принимается постоянной (106-107 с-1).

В анализируемой работе принято, что т является постоянной и одинаковой для всех систем скольжения величиной. Для т используется анизотропный закон упрочнения [10] с учетом зависимости упрочнения от температуры и скорости деформации. Для представительного макрообъема принята гипотеза Фойгта; напряжения определяются осреднением по объему. Физическая модель встроена в конечно-элементный пакет ABAQUS; для каждой точки интегрирования (макроточки) использовано от 18 до 400 зерен (мезоточек) с присущими им ориентациями. Идентификация модели для поликристаллического тантала осуществлена с использованием известных в литературе экспериментальных данных в широком диапазоне скоростей деформаций (от 10- 4 до 3 • 104 с-1) и температур (от 20 до 500 °С). Рассмотрены процессы квазистатического нагружения в условиях одноосного сжатия, стесненной осадки и кручения. Сопоставление результатов расчета кривых «напряжение - деформация» и эволюции текстуры с экспериментальными данными обнаруживает удовлетворительное соответствие. Предлагаемая модель использована также для анализа высокоскоростного нагружения разрезного стержня Гопкинсона. Теоретическая и экспериментальная кривые «напряжение - деформация» также находятся в хорошем соответствии.

В работе [11] в качестве физической теории используются соотношения вязкопластичности, записанные для каждой кристаллической системы скольжения. Принимается гипотеза об аддитивности скоростей упругих и вязкопластических деформаций. В качестве меры скорости изменения напряжений принимается коротацион-ная производная типа Яуманна тензора напряжений Коши. Мерой скорости поворота является разность тензора вихря и антисимметричной части скорости сдвигов; обоснование данного выбора не приводится. Отмечаются трудности интегрирования, возникающие при учете поворотов в связи с резкими «перескоками» активных систем. Подробно описывается неявная схема интегрирования определяющих соотношений, основанная на процедуре «предиктор - корректор». Решение задачи на макроуровне реализуется с помощью метода конечных элементов. В качестве примеров применения мето-

дики анализируются процессы в условиях плоскодефор-мированного состояния для ГЦК-металлов. Для описания исследуемой области используются несколько сотен четырехугольных 8-узловых или треугольных 6-узловых элементов. При этом каждое зерно представляется совокупностью нескольких элементов, что позволяет описывать внутризеренную неоднородность деформаций и напряжений. Закон упрочнения принимается в виде закона Воуса (экспоненциальная зависимость критического напряжения сдвига от накопленных сдвигов с насыщением); анализируется влияние на результаты расчетов изотропного и анизотропного законов упрочнения. Рассмотрены задачи о плоской деформации сжатием упруговязкопластической среды с жестким включением, о деформировании сжатием и простым сдвигом упруговязкопластической среды, для которых осуществлен анализ влияния «смягчения ограничений» [1] (по сравнению с «полностью стесненной» моделью Тейлора) на локализацию деформаций и повороты зерен. Анализируется также процесс сжатия полосы, представляющей собой бикристалл; получены поля интенсивностей напряжений, полос локализации деформаций (напоминающие «рыбий скелет», расходящийся от границы кристаллов). На основе полученной картины напряженно-деформированного состояния исследованы зарождение и эволюция рекристаллизованной микроструктуры. В цитируемой статье поднимается важный вопрос: до каких масштабов пригоден континуальный подход в рассматриваемой постановке? Отмечается, что некоторые важные эффекты не могут быть описаны в рамках моделей данного типа, например соотношения Хол-ла-Петча. Применение в качестве основы моделей соотношений обобщенного континуума (например градиентной теории пластичности) связано, по мнению авторов, с труднопреодолимыми сложностями.

Применение прямой двухуровневой модели поли-кристаллического агрегата, основанной на вязкоупругости кристалла (скорость сдвигов по системам скольжения определяется произведением степенной и экспоненциальной функций эффективных напряжений), для анализа неоднородности деформаций в зернах рассматривается в работе [12]. Для численной реализации модели применяется метод конечных элементов (пакет ABAQUS) с 20-узловыми элементами. Особое внимание уделяется законам упрочнения, учитывающим взаимодействие дислокаций с образованием различных типов барьеров и аннигиляцию. Отмечается, что характерным признаком локализации деформаций является активность незначительного числа (1-2) систем, присущая внутренним зернам, тогда как на границах образца реализуется множественное скольжение и значительное упрочнение, препятствующее локализации деформации.

В работе [13] рассматривается применение двухуровневой модели для углубленного анализа влияния

ориентации зерен и разориентации их с окружающими зернами на эволюцию текстуры и формирование субзерен. На макроуровне используется закон Гука в релаксационной форме. Для решения используется метод конечных элементов (программа ABAQUS) с 8-узловыми элементами с восемью точками интегрирования. Каждый элемент описывает зерно, точки интегрирования приписываются субзернам. В начальном состоянии ориентация субзерен полагается одинаковой, однако в дальнейшем их взаимная ориентация может изменяться. На мезоуровне для определения скоростей сдвигов применяется вязкопластическая модель, предложенная в работе [4]. Результаты расчетов для глубокой пластической деформации (интенсивность логарифмической деформации равна 3.0) алюминиевого поликристаллического образца показывают существенную зависимость формирования текстуры от взаимодействия зерен с их окружением. В то же время процесс образования субзерен в основном определяется начальной ориентацией зерен по отношению к характерным направлениям воздействий (для рассмотренного в статье случая листовой прокатки — направлению прокатки, направлению обжатия и поперечному направлению).

Исследованию неоднородности свойств толстых плит из алюминиевого сплава, полученных кристаллизацией из расплава и последующей прокаткой, посвящена работа [14]. В первой части работы рассматриваются методики и результаты экспериментальных исследований твердости

принято в такой же пропорции, как изменяется экспериментально измеренная твердость, остальные параметры (коэффициент упрочнения, показатель скоростной чувствительности) предполагались одинаковыми по всему объему образца. Программа нагружения «теоретического образца» полностью соответствовала принятой в реальном эксперименте. Сопоставлены результаты расчета отношения главных осей эллипсов поперечных сечений, деформаций в направлении наименьшей оси и наибольшей оси эллипса для нескольких значений средней по образцу продольной деформации; соответствие результатов оказалось хорошим.

В работе [15] рассматриваются результаты расчетов деформирования крупнозернистых поликристаллов; сопоставление результатов расчета поворотов кристаллической решетки удовлетворительно согласуется с прямыми экспериментальными наблюдениями. Второй пример относится к анализу деформирования тонкого (10 мкм) цинкового покрытия стального листа, причем средний размер зерна (300 мкм) здесь существенно превышает толщину покрытия; из результатов расчетов следует, что неоднородность деформаций присуща областям вблизи границ зерен и свободной поверхности. Приведены результаты решения трехмерной задачи исследования поведения поликристаллического образца сложной конфигурации, подвергнутого циклическому нагружению; отмечается, что применение параллельных вычислений позволило более чем в семь раз сократить время вычислений по сравнению с обычной процедурой. Аналогичные результаты приведены для представительного объема поликристалла. Для описания межзерен-ного разрушения вводятся соотношения, связывающие нормальные и касательные компоненты напряжений и скоростей деформаций, и эволюционное уравнение для скалярной характеристики поврежденности. При численной реализации применяются специальные граничные элементы.

К работе [15] вплотную примыкает статья [16], в которой детально рассматривается прямое конечно-элементное моделирование поведения поликристалличес-кого агрегата с ГПУ-решеткой. Для описания зеренной структуры использовались многогранники Вороного. Применялись параллельные вычисления с разбиением исследуемой области на блоки. Результаты расчета для одноосного растяжения свидетельствуют об относительно малом разбросе осредненных по зернам напряжений, тогда как деформации имеют существенно большую дисперсию, т.е. гипотеза Фойгта об однородности полных деформаций в представительном макрообъеме не вполне справедлива. Результаты расчетов на мелких сетках показывают локализацию градиентов деформаций и напряжений в окрестностях границ зерен. Проанализировано влияние на результаты расчетов способа разбиения и типа конечного элемента. Отмечается, что для получения осредненных по представительному

объему поликристалла характеристик может применяться грубая (даже один элемент на зерно) регулярная сетка с 27 точками интегрирования. Однако для описания локальных характеристик (распределения напряжений и деформаций в зерне) требуется применение сетки, адаптированной к форме зерен, и повышенный порядок аппроксимации.

Для идентификации и верификации модели рассмотрены 4 варианта растяжения с различными скоростями деформаций (от 2 • 10-6 до 2 • 10-3 с-1) и 3 варианта ползучести (при напряжениях 275, 350 и 380 МПа) образца из циркониевого сплава Zy-4 при температуре 350 °С. Представительный объем поликристалла содержал 2197 зерен, использованы разбиения 13х13х13 и 32 х 32 х 32. Во всех случаях сопоставление обнаруживает удовлетворительное соответствие теоретических и экспериментальных результатов. Исходя из важности для процесса межзеренного и внутризеренного разрушения концентрации напряжений вблизи границ зерен, осуществлен детальный статистический анализ нормальных напряжений на границах зерен. Результаты его показывают, что разброс нормальных напряжений увеличивается с ростом деформации и с ростом угла между нормалью к границе и направлением растяжений.

Представляется полезным более детально остановиться на двухуровневом подходе, подробно изложенном в статье [17], в основу которого положено мультипликативное разложение градиента места мезоуровня. Приведен обзор работ, посвященных различным способам разложения мер деформации на упругую и пластическую составляющие. Рассмотрение ведется на уровне представительного макрообъема (конгломерата зерен) и мезоуровне, для каждого из которых вводятся лагран-жевы координаты. Следует отметить, что в работе не показано, в чем состоит отличие между координатами разных уровней (кроме обозначений), кроме того, векторы базисов этих систем совпадают. Градиент места макроуровня Р определяется осреднением по представительному макрообъему градиента места мезоуровня. В то же время авторы определяют градиент места обычным образом, Г = V гт. Подобное равенство представляется весьма сомнительным. Если авторы считают рассматриваемую среду материалом первого порядка на макроуровне, то представительный объем макроуровня испытывает только аффинные преобразования, градиенты места мезоуровня должны совпадать с Р. Если же материал принимается простым (первого порядка) на мезоуровне, то на макроуровне он таковым считаться не может, определение Г = V гт в этом случае теряет смысл.

Градиент места мезоуровня представляется произведением упругой (ответственной за ротацию решетки и разгрузку) и пластической (унимодулярной) составляющей: f = fе • f р. Для упругой составляющей, в свою оче-

редь, вводится полярное разложение (на левый или правый тензор искажения и ортогональный тензор, сопровождающий деформацию) fе = ге • ие = Vе • ге. По аналогии с градиентом скорости перемещений на макроуровне (Ъ = Г • Г-1) вводится тензор градиента скорос-

1 е лт е лт е ^“1 * е е Т е

ти упругих перемещений I = I • I = г • г + г х х ие • ие • геТ. Первый (антисимметричный) тензор правой части юе = ге • геТ авторы без объяснений называют спином решетки, антисимметричную часть второго тензора — упругим спином. Можно показать, что юе характеризует скорость поворота главных осей меры Vе только в случае неизменности главных осей меры ие (по отношению к материальным волокнам в промежуточной (разгруженной) конфигурации), что не выполняется в общем случае. В своем названном качестве юе может использоваться только в случае пренебрежения искажениями (углов) решетки (т.е. в случае конформных упругих деформаций решетки). Авторы предлагают использовать спин решетки как меру скорости поворота решетки в случае пренебрежения деформациями решетки, что представляется странным: спин юе определяется скоростями поворота главных векторов правой и левой мер искажения мезоуровня, которые в случае отсутствия деформаций не могут быть однозначно определены. При этом стоит отметить, что данный подход к описанию поворотов решетки, наряду с «полностью стесненной моделью» Тейлора, является наиболее популярным при описании ротаций решеток кристаллитов. Авторам настоящей статьи удалось показать, что для квазистатического нагружения эти две модели дают близкие результаты. При этом можно заметить, что в обоих случаях не учитывается физическое взаимодействие зерен в поликристалле, в частности несовместность движения дислокаций в соседних зернах, очевидно, играющая существенную роль как причина ротаций решетки.

Аналогичное разложение вводится для градиента места макроуровня:

Г = ге • гр, Ге = Vе • Re = Re • ие,

при этом тензоры искажений макроуровня определяются осреднением соответствующих тензоров искажения мезоуровня. Как отмечено выше, приведенные разложения на макроуровне теряют смысл при использовании материала первого порядка на мезоуровне. Тензор упругой ротации макроуровня Rе находится интегрированием упругого спина решетки макроуровня

Ое = Яе • ЯеТ, который определяется осреднением тензора спина решетки мезоуровня юе по представительному макрообъему. Введенный для Пе термин, как представляется, не имеет ясного физического смысла.

В отличие от общепринятого разложения движения на макроуровне используютсях две: промежуточные (разгруженные) конфигурации Kt, Kt, отличающиеся поворотом на Яе. Градиенты места в конфигурациях

X »

Kt, Kt определяются по градиенту места в актуальной конфигурации соответственно соотношениями: F =

= Fe-1 • F, F = Ve-1 • F.

X

При этом на мезоуровне конфигурация Kt ассоциируется не только с пластическими, но и с остаточными упругими деформациями. Градиент места f, связывающий K 0 и Kt, представляется мультипликативным

x o x т XX _

разложением f = V r = fe • fp, т.е. на мезоуровне в конфигурации Kt имеют место остаточные мезонапряже-ния.

С использованием вышеуказанного разложения вводится разложение градиента места на макроуровне:

X 1 1 ,х Х_ 1 «х„

F = F • F = —Jf dV, Fp = —JfpdV,

V v V v

X X i X p

F = Fe • F = Fe • F1 • Fp,

где интегрирование ведется по представительному макрообъему (в отсчетной конфигурации),

^ "A , х >-1

— J X p dV .

vV

' V

X i

Здесь введен новый градиент места F , который авторы называют тензором мезонесовместности и полагают его ответственным за неоднородность упругопластических деформаций в представительном макрообъеме. Отмечается, что для монокристалла Fi = E и введенное разложение (4) превращаются в обычное мультипликативное представление.

Авторы подчеркивают отличие введенного разложения от известных разложений (Naghdi and Srinivasa, 1993; Le and Stumpf, 1996; Shizawa and Zbib, 1999; Men-zel and Steinmann, 2000), где дополнительный член (типа Fi) является следствием применения на макроуровне модели материала порядка выше первого. Отмечается, что градиент места F является совместным, тогда как все три тензора в правой части (4) несовместны. Это действительно так, и подтверждает тот факт, что авторы неявным образом приходят на макроуровне к модели материала порядка выше первого, и что применение терминов «градиенты места» (или принятых в англоязычной литературе терминов «градиенты деформации») некорректно. Следует отметить, что в общем случае не-

X XX

совместными являются также тензоры f, fe, fe, fp, поскольку для их определения используются разгруженные конфигурации не мезоуровня, а макроуровня.

Далее приведены балансовые уравнения (сохранения массы, количества движения, энергии) мезоуровня, аналогичные соотношения макроуровня получены осреднением по представительному макрообъему. Для формулировки конститутивных соотношений макроуровня используются второе начало термодинамики (в форме неравенства Клаузиуса-Дюгема) и внутренние переменные.

p-1

Fi = F- Fp 1 =

- J ХdV •

vV

Значительная часть статьи посвящена описанию численной реализации модели и полученных результатов. Задача поставлена в условиях плоскодеформи-рованного состояния. Материал — технически чистая поликристаллическая медь. Расчетная область аппроксимировалась более 48000 симплекс-элементами. На границе области заданы кинематические граничные условия, соответствующие растяжению-сжатию и простому сдвигу, при разгрузке реализуются статические граничные условия. Для каждого из видов нагружения рассматривались 5 вариантов распределения ориентаций (2 варианта — произвольные, 2 — малоугловые,

1 — монокристалл). К представительному объему отнесена примерно четверть рассматриваемой области, включающая 105 зерен, каждое из которых аппроксимировано более чем 100 элементами; на границах зерен принимаются условия идеального контакта. Подробно описаны полученные результаты. Особое внимание уделено запасенной энергии в объеме зерен, на границах и в тройных стыках, отмечается повышенный уровень запасенной энергии в окрестностях границ зерен и тройных стыков. На основе анализа осредненных по представительному макрообъему результатов предложено аддитивное разложение функции свободной энергии, которая использована для установления общего вида определяющего соотношения макроуровня.

В работе [18] рассматривается применение прямой конечно-элементной модели к решению двумерной задачи описания поведения поликристаллического материала в условиях сверхпластичности. Учитываются такие возможные механизмы, как зернограничное скольжение, внутризеренное дислокационное скольжение, диффузионная ползучесть, миграция границ зерен. Для описания деформирования зерен принимается упруговязкопластическая модель. Зернограничное скольжение описывается вязкопластической моделью, учитывающей энергию активации и температуру. Используемое соотношение связывает скорость относительного скольжения зерен с касательными напряжениями на границе. Диффузионный поток разделяется на тангенциальную и нормальную составляющую, каждый из этих потоков полагается пропорциональным градиенту химического потенциала. Приведено выражение химического потенциала, включающего удельную энергию границы, энергию упругих деформаций и остаточных искажений (от запасенных дислокаций), энергию контактного взаимодействия. Скорость перемещения границы определяется суммой производной тангенциального потока по естественной координате (вдоль границы) и нормальной составляющей потока. Диффузия по свободным поверхностям также управляется химическим потенциалом, в который входит, кроме упругой энергии и энергии остаточных искажений, энергия поверхностного натяжения (линейно зависящая от кривизны поверхности). Отдельно рассматриваются диффузионные потоки в окрест-

ности тройных стыков и диффузия по границам зерен, примыкающих к свободной поверхности, также определяемые по соответствующим химическим потенциалам.

Подробно описана численная процедура, основанная на методе конечных элементов, текущем лагранже-вом подходе и пошаговом нагружении. Особое внимание уделено описанию процедуры перестройки конечно-элементной сетки. Тестирование модели осуществлено на примере бикристалла с периодически расположенными вдоль границы кристаллов порами синусоидальной формы, отмечается хорошее соответствие численных и аналитических результатов. Приведены также результаты численного анализа деформирования поли-кристаллического алюминиевого образца, подвергаемого одноосному растяжению с различными скоростями деформации. Отмечается удовлетворительное качественное и количественное соответствие результатов расчета известным экспериментальным данным.

В работе [19] представлена прямая конечно-элементная модель, ориентированная на детальный анализ локализации процесса деформирования. В качестве физической теории принята модель вязкопластичности (степенной закон зависимости скорости сдвигов от касательных напряжений). Используется анизотропный закон упрочнения, в котором критическое напряжение сдвига определяется по плотности дислокаций в системах скольжения. Плотность дислокаций трактуется как внутренняя переменная, предлагается кинетическое уравнение для описания ее эволюции. Ротация решетки определяется разностью тензора вихря и антисимметричной части скорости сдвиговых деформаций. Физическая модель встроена в конечно-элементный пакет ABAQUS и применена для анализа процесса стесненной экструзии (в условиях плоскодеформированного состояния). Задача решена в трехмерной постановке. Приведены результаты расчета полей интенсивностей напряжений и деформаций, плотности дислокаций, представлены полюсные фигуры. Особое внимание уделяется формированию в зернах нескольких почти однородно деформируемых областей с постепенно нарастающей по мере увеличения степени деформации разориента-цией между ними, т.е. формированию субзерен и новых зерен. Результаты расчета сопоставляются с известными теоретическими и экспериментальными данными, отмечается хорошее качественное соответствие.

В статье [20] изложены результаты исследования устойчивости ориентации ГЦК-кристаллов при стесненной осадке до 50 %. Для анализа использована двухуровневая модель. На макроуровне применяется метод конечных элементов (8-узловые элементы с восемью точками интегрирования Гаусса), образец аппроксимировался 500 элементами. Каждой точке интегрирования приписывается монокристалл с ориентацией, определяемой в соответствии с заданным законом распределения ориентаций. Для определения скоростей неупру-

гих деформаций в точках интегрирования используется физическая вязкопластическая модель. Рассмотрена осадка идеальных монокристаллов. В этом случае напряженно-деформированное состояние образца близко к однородному. Во втором случае исследовался поли-кристаллический образец. Предполагалось, что ориентации кристаллитов распределены по нормальному закону вблизи заданного значения. На стереографической проекции показано «расползание» облака точек, соответствующих ориентациям в точках интегрирования различных элементов. Отмечается, что существенное влияние на изменение ориентаций имеет трение, повышение коэффициента трения ведет к увеличению степени неоднородности напряжений и деформаций и росту разброса ориентаций.

Результаты исследования процессов микроиндента-ции и простого сдвига ГЦК-кристаллов, стесненной осадки и простого сдвига бикристаллов, стесненной осадки поликристаллического образца, полученные с использованием подхода, подобного приведенному выше, представлены в работе [21]. Отмечается, что результаты расчетов и экспериментов для монокристаллических образцов находятся в очень хорошем количественном соответствии, тогда как для бикристаллов и поликристаллов имеет место качественное соответствие. Для повышения адекватности модели каждой точке интегрирования приписывается пучок ориентаций, определяемый по заданной начальной функции распределения ориентаций, изменение которого в каждой точке интегрирования в дальнейшем определяется интегрированием скорости ротации по времени с использованием метода Монте Карло. Неупругие деформации в точках интегрирования определяются статистическим осреднением с учетом весовой доли каждой ориентации. Предлагаемая модель применена для анализа процесса глубокой вытяжки цилиндра из круговой листовой заготовки.

В работе [22] исследование образования текстуры осуществляется с использованием упруго-вязкопластической модели (степенной закон течения) монокристалла. Рассмотрение кинематики опирается на мультипликативное разложение градиента места. Конститутивная модель строится на основе термодинамического подхода. Модель материала в виде подпрограммы была встроена в стандартный пакет ABAQUS, с использованием которого исследовалось формирование текстуры по-ликристаллической меди при квазистатическом одноосном сжатии и растяжении (скорость деформации 0.001 с-1), простом сдвиге (скорость деформации 0.0017 с-1) и сжатии в условиях плоской деформации (скорость деформации 0.001 с-1). Принималось, что каждый конечный элемент описывает зерно. Для решения использовалось от 625 до 729 элементов в виде прямоугольных (в отсчетной конфигурации) параллелепипедов. Приведены упругие константы для кубического

материала. Материальные константы в законе упрочнения подбирались из условия наилучшего соответствия расчетных и экспериментальных кривых одноосного сжатия.

Приведены результаты численного решения указанных выше задач. Сопоставление кривых «напряжение -деформация» (в расчетах осреднение проводилось по поверхностным напряжениям и перемещениям) и полюсных фигур показывает удовлетворительное соответствие теоретических и экспериментальных данных.

Описание прямой двухуровневой модели и полученных с ее помощью результатов содержится в статье [23]. Модель макроуровня базируется на текущей лагран-жевой формулировке и методе конечных элементов. Анализируются два типа определяющих соотношений — гипоупругий закон с использованием яуманновс-кой производной взвешенного тензора Кирхгоффа и ги-перупругий (неогуковский) закон. В каждой точке интегрирования упругопластическая матрица свойств строится с применением физической теории пластичности (типа Тейлора-Бишопа-Хилла). При этом в каждой точке интегрирования осуществляется осреднение по совокупности большого числа (для поликристаллов — несколько сотен) монокристаллов (зерен). Рассматриваются три различные модели упрочнения и их влияние на результаты решения задачи на макроуровне. Приведен алгоритм реализации двухуровневой модели, отдельный пункт посвящен алгоритму распараллеливания расчетов. С использованием предлагаемой модели и разработанной программы проведены расчеты стесненной осадки би- и поликристаллического алюминиевых образцов и прокатки поликристаллических алюминиевых полос. Результаты расчетов деформаций и ориентации зерен удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными других исследователей и несущественно зависят от принятого закона упрочнения систем скольжения.

Результаты использования данной модели для анализа влияния неоднородности по толщине начальной текстуры горячекатаного листа из нержавеющей стали фер-ритного класса (с ОЦК-решеткой) на последующую эволюцию текстуры при стесненной осадке на 95 % приведены в статье [24]. Сопоставление рассчитанной и экспериментально определенной текстуры обнаруживает некоторое отклонение при обжатиях, превышающих 70 %. Указанное несоответствие авторы относят к недостаточной точности задания начального распределения ориентаций зерен поликристаллического агрегата.

В работах [25, 26] прямая конечно-элементная модель применена для описания поведения двухфазного материала Бе-Си, полученного методами порошковой металлургии, с содержанием фаз от 0 до 100 % объемной доли. Объектом исследования является представительный объем поликристалла, состоящий из 126 зерен; каждое зерно аппроксимируется 64-192 восьмиузель-

ными элементами с восьмью точками интегрирования. Используется мультипликативное разложение градиента места, вращение кристаллической решетки отнесено к упругой составляющей градиента места. В качестве физической теории для каждой из фаз принята упруговязкопластическая модель. Упругое поведение описывается анизотропным законом Гука. Для скоростей пластических деформаций применен степенной закон; упрочнение полагается изотропным, обладающим свойством насыщения. Для идентификации и верификации модели авторами проведены экспериментальные исследования. Расчетные и экспериментальные кривые «напряжение - деформация» находятся в хорошем соответствии. Удовлетворительным является также соответствие теоретических и экспериментальных полюсных фигур для однофазных материалов. В то же время для двухфазных материалов теоретические данные для медной фазы существенно отличаются от экспериментальных данных как по ориентировкам, так и по упругим деформациям (напряжениям). Указанное несоответствие авторы объясняют недостаточным количеством зерен представительного объема, грубостью сетки. В качестве возможной причины отмечается также недостаточная адекватность модели кристалла (изотропный закон упрочнения, принятый закон вязкопластичности).

В статье [27] приведено подробное изложение прямой конечно-элементной модели. Используется закон Гука в скоростной форме, в качестве меры скорости напряжений принята коротационная производная тензора напряжений Коши, ассоциированная с упругим спином. Скорости сдвигов по системам скольжения определяются степенным вязкопластическим законом, принят изотропный закон упрочнения. Основной целью работы является установление зависимости точности предсказания модели от аппроксимации зерен конечно-элементной сеткой. С этой целью проведена серия расчетов напряженно-деформированного состояния и ориентации решетки в образце из поликристаллической меди, подвергаемого растяжению. Рассматривался агрегат из 200 зерен с разбиением каждого зерна на различное число элементов — от 1 до 512. Отмечается, что напряжения и средняя ориентация зерен малочувствительны к числу элементов на зерно, тогда как разориентация решеток областей, заключенных в элементах, в пределах каждого зерна существенно зависит от степени аппроксимации зерен. Сопоставление результатов расчета с экспериментальными данными показывает более высокую точность в описании эволюции текстуры по сравнению с моделями типа Тейлора-Бишопа-Хилла. В то же время прямая модель даже с большим числом элементов на зерно малоприемлема для описания формирования субзерен. Указанное обстоятельство авторы связывают с отсутствием в исходной физической модели механизмов и переменных, отвечающих за возникновение и эволюцию субзерен.

Результаты применения прямой конечно-элементной модели (пакет ABAQUS) в двумерной постановке для оценки свойств и размеров представительного объема поликристалла представлены в работе [28]. Для моделирования зеренной структуры применяется процедура построения многогранников Вороного. На мезоуровне (уровне зерен) используется анизотропный закон Гука, записанный в скоростной форме. Скорости неупругих деформаций определяются с использованием вязкопластической модели кристаллита (степенной закон). Напряжения и деформации представительного объема поли-кристаллического агрегата определены как средние по объему. Представительный объем поликристалла определяется как наименьший объем материала, при котором отношение стандартного отклонения к среднему (по объему) значению интенсивности напряжений не превосходит заданного уровня (в рассматриваемой работе 1 %). Приведены результаты исследования применительно к легированной стали со структурой бейнита и ОЦК-решеткой. Рассмотрено одноосное и двухосное растяжение теоретического образца при задании кинематических и статических граничных условий. Отмечается наличие существенной неоднородности полей напряжений и деформаций в поликристаллическом агрегате. Так, интенсивность локальных напряжений отличается от интенсивности осредненных напряжений на 60 %, а деформаций — на 500 %. Материал обнаруживает большую жесткость при задании кинематических граничных условий. Для определения размеров представительного объема проведены расчеты для агрегата из 14, 23, 53, 110 и 212 зерен, для каждого из вариантов рассматривались по 30 случайных выборок зерен. Для принятого среднего размера зерна 23 мкм путем экстраполяции зависимости отношения стандартного отклонения к средним интенсивностям напряжений от числа зерен получено, что представительный объем должен содержать более 700 зерен.

Результаты исследования влияния параметра, отвечающего за анизотропию пластических свойств в модели упрочнения [29], на эволюцию текстуры и поверхности текучести при прокатке представлены в статье [30]. Вязкопластическая модель использована совместно с методом конечных элементов (пакет ABAQUS). Критические напряжения сдвига определяются по плотности дислокаций внутри и в границах блоков ячеек. Изменение плотности дислокаций определяется эволюционным уравнением, содержащим параметр, управляющий эффектом Баушингера. Результаты показывают существенное влияние указанного параметра на изменение формы и размеров поверхности текучести (включая появление вогнутых участков). В то же время текстура, полученная при отличающихся на порядок значениях параметра практически не меняется.

Результаты исследования влияния формы зерен одно- и двухфазного поликристаллического агрегата на

эволюцию напряженно-деформированного состояния и текстуры представлены в работе [З1]. Упругие деформации полагаются малыми, что позволило несколько упростить скоростные кинематические соотношения, основанные на мультипликативном разложении градиента места, используется закон Гука. Для пластических деформаций применяется вязкопластический степенной закон; входящие в последний критические напряжения сдвига приняты одинаковыми на всех системах скольжения и описываются степенной зависимостью от накопленных сдвигов. Спин решетки определяется антисимметричной частью скоростей сдвига; для описания использован аппарат кватернионов. Детально описана процедура интегрирования соотношений конститутивной модели, основанная на неявной схеме Эйлера. На макроуровне использовался метод конечных элементов с шестигранными элементами и 8 точками интегрирования. Зерна принимались либо в форме куба (1 элемент (схема А) и 27 элементов (схема В) на зерно), либо октаэдра (Іб элементов на зерно (схема С)). Решены задачи стесненной осадки однофазной стали и одноосного растяжения образца из двухфазной стали (12 % аустенита (ГЦК-решетка) + феррит и бейнит (ОЦК-ре-шетка)). Результаты расчетов по трем указанным схемам сопоставлены с результатами, полученными с помощью полностью стесненной модели Тейлора, и с экспериментальными данными. Отмечается, что схемы В и С более точно описывают эволюцию текстуры по сравнению со схемой А и моделью Тейлора. Неоднородность деформаций двухфазной стали более точно описывается схемой С, несмотря на меньшее, чем в схеме В, число элементов на зерно. Авторы объясняют данный факт более адекватным описанием в схеме С топологии зеренной структуры.

Методика и результаты комплексного теоретико-экспериментального исследования процесса внедрения на-ноиндентора в монокристалл меди (перпендикулярно плоскости (111)) представлены в статье [З2]. Теоретическое исследование осуществлено с помощью прямой конечно-элементной модели, основанной на упруговязкопластической модели [4]. Исследуемая область аппроксимировалась 1888 шестигранными элементами с 8 узлами интегрирования. Расчеты выполнены с использованием пакета MARC. Для установления параметров материала проведены предварительные эксперименты по осадке цилиндрического образца из монокристалли-ческой меди. Показано удовлетворительное качественное соответствие теоретических и экспериментальных результатов по поворотам решетки и наличие зон, отличающихся направлением поворотов. Результаты расчета показывают наличие шести систем скольжения, сдвиги по которым существенно превышают сдвиги по другим системам. Проведены также расчеты с использованием классической теории течения, отмечается, что послед-

няя не позволяет выявить все эффекты, наблюдаемые в анализируемом процессе.

Одним из способов определить эффективность прямых упруговязкопластических моделей является используемый алгоритм интегрирования скоростей сдвигов и закона изменения критических напряжений. В статье [33] приведен краткий обзор известных явных и неявных схем интегрирования. Авторами предлагается явная схема интегрирования скоростей сдвига, основанная на разложении в ряд Тейлора соотношений вязкопластического закона (в работе рассматривается степенной закон связи скоростей сдвига со сдвиговыми напряжениями). Разработанный алгоритм был использован в виде отдельной подпрограммы в пакете ABAQUS. На тестовой задаче осадки квадратного блока показано удовлетворительное соответствие результатов расчета напряжений и деформаций экспериментальным данным. Отмечается, что предлагаемый алгоритм по затратам времени процессора более чем на порядок превосходит известные алгоритмы, реализующие неявные схемы интегрирования.

Сопоставлению эффективности неявной и явной схем интегрирования скоростей сдвига и критических напряжений применительно к двухуровневой прямой модели упруговязкопластичности посвящена работа [34]. Предложена модификация явной схемы интегрирования, опирающаяся на тщательный анализ причин, приводящих к уменьшению шага интегрирования (на уровне физических соотношений для систем скольжения). Известно, что одной из основных причин ухудшения точности и устойчивости алгоритма интегрирования является возможность перехода системы скольжения из активного состояния в пассивное (и наоборот) в течение шага интегрирования. В связи с этим предлагается в ситуациях смены активности систем скольжения дробить шаг нагружения на подшаги. Определение последних основано на требовании неизменности принадлежности систем скольжения одному и тому же типу (активных или пассивных). Поскольку введение подша-гов требуется для незначительного числа систем из рассматриваемых в каждый момент нагружения, алгоритм дает 5-6-кратный выигрыш во времени счета по сравнению с неявной схемой. При этом оказалось, что величина шага интегрирования в явной схеме может быть назначена даже больше величины шага в неявной схеме без потери точности расчетов.

Анализу различных схем интегрирования и линеаризации определяющих соотношений применительно к упругопластической модели мезоуровня (зерна) посвящена работа [35]. Для решения используется пошаговая процедура. На каждом шаге интегрирование кинематических соотношений осуществляется с помощью так называемого экспоненциального отображения, получаемого аналитическим интегрированием выражения для

скорости пластической составляющей (в мультипликативном разложении градиента места). Упрощенный вариант интегрирования устанавливается разложением экспоненциальной тензорной функции в ряд с сохранением только первых двух членов. Полученный упрощенный вариант эквивалентен неявной схеме Эйлера. Отмечается, что если первая схема сохраняет изохорич-ность пластических деформаций, то при использовании неявной схемы Эйлера возможно накопление ошибки. Линеаризация определяющих соотношений физической теории упругопластичности осуществляется методами касательной и секущей жесткости. Рассматриваемые схемы интегрирования и процедуры линеаризации в различных сочетаниях использованы в прямой двухуровневой конечно-элементной модели для описания деформирования моно- и поликристаллического материала. Показано, что для монокристалла сочетание экспоненциального отображения с алгоритмом секущей жесткости дает лучший результат по скорости сходимости.

В статье [36] рассматривается применение прямой конечно-элементной модели, основанной на работах [10, 37], для анализа эволюции ориентации и искажения формы зерен и субзерен в представительном объеме тугоплавкой вольфрамовой (ОЦК-решетка) проволоки, получаемой волочением. Задача решена в плоской и пространственной постановках. Анализируемая область выбиралась в окрестности оси проволоки, на мезоуров-не граничные условия полагались периодическими. В пространственной задаче представительный объем включал 10 зерен, аппроксимированных 8000 кубическими элементами. Для плоской задачи представительный объем включал 12 зерен, разделенных на 2 500 квадратных элементов. Приведены результаты расчета изменения ориентаций кристаллографических осей в трех зернах и искажения формы зерен.

Результаты решения задачи растяжения полосы из поликристаллического технически чистого алюминия с использованием прямой конечно-элементной модели (пакет ABAQUS) представлены в статье [38]. Зеренная структура описывается с помощью многогранников Вороного. Начальное распределение ориентаций принято по равномерному закону, что соответствует глубоко отожженному материалу. На мезоуровне применяется модель упруговязкопластичности [37] с анизотропным законом упрочнения. Показано существенное влияние на кривую ст-е (одноосное растяжение) размера зерна. Теоретически предсказанная кривая хорошо согласуется с экспериментально измеренной. Отмечается наличие концентрации напряжений и существенного упрочнения вблизи границ зерен. Для четырех выделенных зерен вблизи шейки приведены полюсные фигуры, демонстрирующие повороты кристаллитов вокруг оси, перпендикулярной срединной плоскости полосы.

В работе [39] представлены результаты применения указанной выше модели для анализа процесса прокатки монокристаллического алюминиевого листа. Первоначальная ориентация ребер ГЦК-решетки совпадает с характерными направлениями обработки (направление прокатки - поперечное направление - нормаль к срединной плоскости листа). Результаты расчета свидетельствуют о преимущественном вращении решетки вокруг поперечного направления, возрастающем с увеличением степени деформации. Вращение вокруг двух других направлений пренебрежимо мало. В приконтактной области угол поворота возрастает с увеличением коэффициента трения. Показано наличие двух зон интенсивных сдвиговых деформаций, параллельных направлению прокатки. Результаты расчета находятся в хорошем соответствии с известными экспериментальными данными.

Двухуровневая прямая модель, основанная на физической упругопластической модели, дополненной учетом поврежденности, предлагается в работе [40]. На макроуровне объектом исследования является представительный объем поликристаллического материала. Характеристики напряженно-деформированного состояния макроуровня определяются осреднением по объему соответствующих параметров мезоуровня. Каждое из зерен представляется совокупностью конечных элементов. На мезоуровне используется мультипликативное разложение градиента места, в котором наряду с традиционными упругой и пластической составляющими вводятся также упругий и пластический члены, связанные с поврежденностью. Упругие деформации определяются гиперупругим законом. В потенциал упругой энергии введен скалярный параметр поврежденности. Для анализа пластических деформаций используется модель тейлоровского типа с линейным изотропным упрочнением. Для возможности описания влияния размера зерна на напряжение текучести поликристалла вводится зависимость критического напряжения сдвига по системам скольжения, аналогичная соотношению Холла-Петча. Приведен итерационный алгоритм решения задачи, основанный на методе Ньютона-Рафсона. Представлены результаты численных экспериментов для двух- и трехмерного случаев. Рассмотрено влияние на результаты расчета на мезо- и макроуровнях количества и типа конечных элементов, аппроксимирующих зерна. Отмечается необходимость применения специальных конечных элементов, позволяющих избегнуть эффекта так называемого «запирания», возникающего из-за изохоричности пластических деформаций. Исследовано влияние критического напряжения сдвига по системам скольжения на поведение поликристалличес-кого образца. Отмечается, что повышение критического напряжения ведет к увеличению сопротивления деформации и уменьшению вязкости поликристалла. Полу-

чены оценки влияния размера зерна, показано, что уменьшение среднего размера зерна также ведет к повышению напряжения течения и к уменьшению остаточного удлинения при разрушении.

Анализу возможностей применения прямой модели для описания зарождения дефектов на границах зерен посвящена статья [41]. Из обширного обзора следует, что большинство публикаций посвящены различным подходам (от континуального до молекулярной динамики) к описанию развития уже существующих в материале нарушений сплошности (микропор, микротрещин). В то же время мало работ, в которых анализируются процессы зарождения несовершенств. В связи с этим значительная часть статьи посвящена рассмотрению физических механизмов зарождения несплошностей (в первую очередь, в границах зерен), основанному главным образом на результатах экспериментальных исследований. Отмечается существенное влияние на зарождение микронесовершенств типа границ зерен, неоднородности деформирования в их окрестности и взаимодействия носителей сдвиговых мод деформации (дислокаций, двойников) по границам. Рассматривается влияние типа границ на характер деформирования в их окрестности. Выделяются три характерных случая: 1)гра-ницы, не проницаемые для дислокаций, в этом случае в окрестности границ инициируются аккомодационные сдвиги, активизируются ротационные моды; 2) границы «несовершенного» типа, прохождение дислокаций через них возможно с генерацией дислокаций ориентационного несоответствия; 3) «совершенные» границы, «прозрачные» для прохождения дислокаций (например специальные границы, малоугловые границы). Приведен перечень предположений об основных причинах возникновения несплошностей на границах зерен.

На основе анализа экспериментальных данных предлагается набор феноменологических геометрически-си-ловых параметров, характеризующих склонность границ к образованию в них микротрещин. Указанные параметры включают фактор Шмида в наиболее нагруженной системе двойникования, ориентацию максимального главного напряжения относительно вектора Бюргерса двойникования в этой системе, взаимоориен-тацию последнего и векторов Бюргерса дислокаций в системах скольжения и др. Для определения введенных параметров использована прямая конечно-элементная модель с вязкопластическим (степенным) законом течения, причем пластическая составляющая градиента скорости перемещений представляется суммой составляющих от движения дислокаций и двойникования. Рассмотрено поведение поликристаллического агрегата (сплав TiAl) при одноосном растяжении. На основе полученных численных результатов оценивается приемлемость перечисленных в статье предположений о причинах появления микротрещин. В частности, отмечается, что окрестности границ, на которых появляются мик-

ротрещины, характеризуются умеренным уровнем энергии деформации, однако в них имеют место большие градиенты деформаций.

Результаты применения двухуровневой конечно-элементной модели для исследования уровня накапливаемой при пластической деформации энергии в зависимости от начальной текстуры содержатся в работе [42]. На макроуровне используется метод конечных элементов в трехмерной реализации. Для вывода определяющих соотношений применен термодинамический подход. В каждой точке интегрирования скорости пластических деформаций определяются осреднением по 400 зернам, для совокупности зерен в точках интегрирования принята гипотеза Фойгта. В каждом зерне пластическая составляющая градиента скоростей перемещений устанавливается по скоростям сдвигов. Для скоростей сдвигов использован вязкопластический закон, учитывающий температуру деформирования. Остаточные микронапряжения и критические напряжения сдвига в системах устанавливаются законом Армстронга-Фредерика. Закон упрочнения учитывает зависимость от температуры, латентное упрочнение и «насыщение».

Рассматриваемая модель применена для анализа одноосного монотонного (растяжение до 65 % логарифмической деформации) и циклического (растяжение-сжатие по треугольному закону с амплитудой логарифмических деформаций 0.05 и скоростью деформации 0.1 с-1) нагружения образцов из монокристаллической и поликристаллической стали аустенитного класса при начальном равномерном распределении ориентаций и для двух типов начальных текстур. Рассмотрены случаи деформирования в адиабатических и изотермических условиях. Главное внимание уделено определению коэффициента п, устанавливающего отношение скорости диссипированной энергии к мощности напряжений на пластических деформациях (величина 1 - п определяет скорость «запасаемой» энергии). При монотонном нагружении для всех законов распределения ориентаций (включая монокристалл) качественно зависимость п от деформации одинакова: в начале деформирования П ~ 0.7, в дальнейшем п уменьшается, достигая минимума п ~ 0.5-0.6 при деформации 0.08-0.1, после чего п монотонно возрастает до п ~ 0.8-0.93. Показано существенное влияние текстуры на уровень накопленной упругой энергии, наибольшее ее значение достигается в монокристаллическом образце. Сопоставление деформирования в изотермических и адиабатических условиях свидетельствует о значительном различии механического поведения образцов. При циклическом деформировании показано, что изменение накопленной энергии также носит циклический характер, при этом амплитуда энергии постепенно снижается с количеством циклов. Аналогичное исследование проведено также для двумерной задачи циклического деформирования мембраны Кука (трапецеидального поперечного се-

чения). Главными выводами из проведенных исследований являются заключения о необходимости учета температурных эффектов и существенной погрешности при определении температурного источника по мощности напряжений на пластических деформациях.

Разновидность прямой модели, основанной на анализе эволюции дислокационной субструктуры, представлена в статье [43]. Вводятся плотности статистически накопленных (представляемые суммой плотностей дислокаций внутри и на границах ячеек, взвешенные с объемной долей внутренности и границ ячеек), геометрически необходимых дислокаций и дислокаций, накопленных в границах зерен, для каждой из которых сформулированы эволюционные уравнения. Плотности дислокаций определяют критические напряжения сдвига по системам скольжения. Скорости сдвигов в системах определяются вязкопластическим законом, содержащим зависимость от критического напряжения сдвига, энергии активации и температуры. Совокупность этих соотношений, представляющих собой физическую теорию вязкопластичности, используется для каждой точки интегрирования в конечно-элементном анализе. В качестве примера рассмотрено растяжение в условиях плоской деформации образца из поликристаллической меди. Анализируется развитие ячеистой структуры, раз-ориентации кристаллической решетки, локализации пластических сдвигов, зон концентрации напряжений в процессе деформирования (до средней величины деформации 20 %).

Важное значение при построении многоуровневых моделей имеют принимаемые гипотезы для осреднения мер напряженного и деформированного состояний. Как известно, в моделях типа Тейлора-Бишопа-Хилла принимается гипотеза Фойгта об однородном деформировании представительного объема макроуровня, в связи с чем в этих моделях вопрос об осреднении мер деформаций снимается. В более сложных моделях одной из распространенных гипотез является предположение о равенстве градиента места макроуровня осредненному по объему (в отсчетной конфигурации) градиенту места мезоуровня.

Мера напряженного состояния макроуровня может быть определена осреднением по представительному объему (в отсчетной конфигурации) первого тензора напряжений Пиола-Кирхгоффа. Как отмечается в работе [44], в общем случае такое осреднение не эквивалентно объемному осреднению по текущей конфигурации тензора напряжений Коши. Другой подход к осреднению независимо предложен Хиллом (1965) и Манделем (1971), согласно которому полагаются равными мощность работы на макроуровне и осредненная мощность на мезоуровне. В цитируемой статье показано, что отмеченные способы осреднения эквивалентны при определенных кинематических ограничениях, в частности в

предположении справедливости гипотезы Фойгта или линейности кинематических граничных условий для представительного макрообъема.

Результаты детального исследования влияния граничных условий на деформирование зерен при одноосном растяжении образца из поликристаллической меди представлены в статье [45]. На боковых гранях образца, состоящего из 20 и 100 зерен, задаются либо периодические граничные условия, либо тривиальные статические условия. На макроуровне задача решается с использованием метода конечных элементов (пакет ABAQUS); каждое из зерен аппроксимируется 100 -1000 конечными элементами, первоначально имеющими одинаковую ориентацию. На мезоуровне применяется упруговязкопластическая модель со степенным законом зависимости скоростей сдвига по системам скольжения от напряжения сдвига. Результаты расчетов показывают незначительное влияние типа граничных условий на макроскопический отклик образца, активность систем скольжения и ротации решетки. На основании этих результатов авторы делают вывод о возможности использования экспериментальных данных, полученных для поверхности образца (например ориентаций), для анализа поведения образца в объеме.

В работе [46] представлены результаты анализа деформирования представительного объема поликристал-лического сплава на магниевой основе (ГПУ-решетка) при условиях нагружения, соответствующих листовой прокатке. Используется прямая двухуровневая конечноэлементная модель, на мезоуровне (субзерно) применяется упруго-вязкопластическая модель. Наряду со скольжением по базовой, призматической и пирамидальной системам скольжения учитывается двойнико-вание. Отмечается, что отсутствие пирамидального скольжения (при низких температурах) ведет к существенной неоднородности деформирования зерен в представительном объеме. Показано качественное соответствие получаемой текстуры наблюдаемой в эксперименте.

Детальному сопоставлению результатов теоретического и экспериментального исследования эволюции напряженно-деформированного состояния и тепловых источников при растяжении бикристалла алюминия посвящена работа [47]. Приведено описание методики эксперимента (включая получение образцов). Для теоретического анализа применена прямая вязкоупругая модель со степенным законом течения и анизотропным законом упрочнения. Теоретические и экспериментальные результаты свидетельствуют о неоднородности деформаций и диссипативных источников в каждом из двух зерен. Сопоставление результатов показывает их удовлетворительное соответствие по деформациям. Несколько худшее соответствие наблюдается по температурным полям и тепловым источникам.

В работе [48] представлены результаты применения двухуровневой прямой конечно-элементной модели для анализа односторонней циклической ползучести на ме-зо- и макроуровнях при одноосном нагружении никелевого поликристаллического образца. На мезоуровне использована упруговязкопластическая модель с тремя различными законами упрочнения (два из них — изотропные, один — анизотропный). Подробно анализируется влияние на результаты расчета микроструктуры (формы и размеров зерен, распределение ориентаций, включая отклонение ориентаций в пределах каждого из зерен), используемых законов упрочнения. Показано, что для уровня представительного макрообъема результаты расчетов близки при вариациях указанных характеристик в реальном диапазоне их изменения. В то же время на мезоуровне результаты расчета (например неоднородность по зерну накопленных пластических деформаций) оказываются чувствительными по отношению ко всем параметрам, особенно к микроструктуре, в связи с чем при моделировании «тонких» эффектов (например накопления поврежденности) следует достаточно точно воспроизводить микроструктуру исследуемых материалов. Методы построения конечно-элементных моделей, достаточно точно воспроизводящих экспериментально определяемую микроструктуру поли-кристаллических материалов, обсуждаются в статье [49], где приведен и краткий обзор работ данного направления.

В статье [50] рассматривается прямая конечно-элементная модель, основанная на вязкопластических соотношениях мезоуровня. Особое внимание уделено формулировке и обоснованию условий непрерывности для градиента скорости перемещений и спина решетки на внутренних (образованных границами конечных элементов) и внешних границах зерен. Обоснование осуществлено на основе континуальной теории дислокаций. Анализируются результаты расчета текстуры при прокатке ГЦК-поликристаллов. Отмечается, что предлагаемая модель дает менее острую текстуру и лучшее соответствие экспериментальным данным, чем модель Тейлора.

В работе [51] представлены результаты применения прямой упруго-вязкопластической модели для анализа деформирования образцов из магниевого сплава (ГПУ-решетка), вырезанных из прокатанных листов (параллельно направлению прокатки). Начальная текстура задавалась в соответствии с экспериментальными данными. Расчеты и экспериментальные исследования проведены для растяжения и сжатия до величины истинной (логарифмической) деформации 0.2. Показана существенная анизотропия механических свойств, объясняемая, в первую очередь, различиями активации двой-никования при растяжении и сжатии. Продемонстрировано хорошее соответствие теоретических и экспериментальных результатов.

В последние годы появились двухуровневые модели, в которых делается попытка учета движения и взаимодействия дискретного множества дислокаций. Здесь не будут рассматриваться модели, основанные на методе клеточных автоматов и дислокационной динамике, остановимся только на одной работе, в которой предлагается дискретно-континуальный подход. В статье [52] предлагается модель деформируемого континуума, содержащего конечное число дислокаций (дислокационных петель). В первой части статьи осуществлена классическая и обобщенная («слабая») постановка трехмерной задачи в скоростях при использовании текущего лагран-жева подхода. Искомыми переменными являются скорости перемещений, которые состоят из двух частей: одна обусловлена движением конечной совокупности дислокаций и связанными с ними искажениями решетки, вторая описывает влияние так называемых дислокаций изображения (фиктивных дислокаций, размещаемых вне рассматриваемого кристаллического тела, вводимых для удовлетворения граничных условий). Первая составляющая терпит разрыв вблизи дислокаций, в связи с чем области ядер дислокаций «вырезаются» из анализируемой области, на их границах задаются соответствующие кинематические условия, описывающие указанный скачок скоростей перемещений. Регулярная часть градиента скорости перемещений описывает искажения и повороты кристаллической решетки.

Во второй части статьи приведена обобщенная постановка для случая плоско-деформированного состояния. Рассматриваются только прямолинейные краевые дислокации, линии которых перпендикулярны плоскости моделирования. Скорости движения дислокаций определяются линейным вязким законом. Учитываются источники генерации дислокаций Франка-Рида, аннигиляция дислокаций, препятствия для движения дислокаций полагаются точечными, допускается перерезание последних при достижении критических напряжений. В третьем разделе статьи подробно описывается реализация предлагаемой модели в рамках метода конечных элементов. Градиенты скоростей перемещений определяются, как и ранее, суммой градиентов, связанных с искажением решетки от дислокаций изображения и градиентов от присутствующих дислокаций. Последние определяются из аналитического решения для одиночных краевых дислокаций в полупространстве и «размазываются» по соответствующим конечным элементам. Описана пошаговая итерационная процедура решения задачи.

Представлены результаты решения двух тестовых задач—растяжения и растяжения-изгиба алюминиевой монокристаллической полосы. Принимается, что в материале активными могут быть только две системы скольжения. Показано различие результатов в геометрически нелинейной (с учетом поворотов кристаллической решетки) и геометрически линейной постановках.

Отмечается необходимость создания версий конечноэлементных программ, допускающих разрывы полей перемещений (скоростей перемещений).

Одной из проблем применения всех многоуровневых моделей является их идентификация. Как правило, используемые в них физические теории содержат значительное число неизвестных параметров, относящихся к мезо- и микроуровням, определение которых в прямых экспериментах весьма затруднительно, а зачастую — невозможно. В подавляющем большинстве работ данная проблема не обсуждается. Из контекста следует, что определение параметров осуществлялось в них рациональным подбором. В связи с этим остановимся на одной из немногих работ [53], посвященной данному вопросу и содержащей краткий обзор публикаций по указанной проблеме. В статье на примере прямой упруговязкопластической модели, содержащей 12 материальных параметров, подробно излагается процедура идентификации. Экспериментальные данные получены на образцах из поликристаллического алюминиевого сплава при одноосном растяжении. Анализируется различие между одноосными напряжениями при нескольких фиксированных значениях деформации. Квадратичные отклонения теоретических результатов от экспериментальных данных в указанных точках (функции ошибок) аппроксимируются как функции искомых параметров в окрестности начально выбранных значений параметров. Процедура идентификации сводится к задаче минимизации функций ошибок. Рассматриваются два варианта постановки задачи оптимизации, в первом функции ошибок используются как целевые функции (оптимизация по Парето), во втором — как ограничения. Показано, что второй вариант более эффективен по затратам машинного времени и дает более точные результаты.

3. Трехуровневые прямые модели

В последние годы появляются работы, в которых намечается дальнейшее движение «вниз по лестнице масштабов». С этим направлением можно познакомиться в [54], где подробно описывается трехуровневая (ме-зо-, микро- и наноуровень) модель. На мезоуровне используется физическая теория упруго-вязкопластичнос-ти, на микроуровне — модели дислокационной динамики, наконец, на наноуровне — методы молекулярной динамики. Представительные объемы рассматриваемых масштабных уровней отличаются на порядки (характерный размер мезоуровня — 10 мм, микроуровня — 20 мкм, наноуровня — 10 нм). Весьма существенно отличаются лимитируемые точностью расчетов шаги по времени, отношение величины шагов на мезо-, микро-и наноуровнях — 1013 : 107 : 1. В силу этого «сшивка» моделей «напрямую», через параметры, характеризующие напряженно-деформированное состояние, в данном подходе неприемлема. В связи с этим модели каж-

дого уровня относительно независимы, в то же время модели более низкого масштабного уровня применены для идентификации моделей следующего («вверх») уровня. Так, из модели наноуровня определяются силы сопротивления движению отдельным дислокациям, которые затем используются в модели дислокационной динамики для описания коллективного движения и взаимодействия дислокационных ансамблей. Из последней устанавливаются параметры закона упрочнения для критического напряжения сдвига в системах скольжения, используемые в физической теории мезоуровня. Часть параметров не может быть определена из иерархической совокупности моделей, поэтому их значения авторы взяли из литературы. Для последних проведены проверочные расчеты и исследована чувствительность модели к их вариациям. Предлагаемая иерархическая модель применена для анализа одноосного сжатия мо-нокристаллического алюминиевого образца. Сопоставление результатов расчета с данными экспериментальных исследований показывает удовлетворительную адекватность модели.

Подробному изложению трехуровневой (макро-, ме-зо- и микроуровень) упругопластической модели поликристаллического материала посвящена статья [55]. На микроуровне материал рассматривается как двухфазный, одна из фаз — внутренность ячеек с низкой плотностью дислокаций, вторая — стенки ячеек с повышенной плотностью дислокаций. Предполагается, что каждая из фаз имеет форму эллипсоида, используется самосогласованная схема, основанная на решении Эшелби (на мезоуровне). Неупругое деформирование в каждой из фаз полагается реализующимся сдвигом, напряжения и деформации мезоуровня определяются по правилу смеси с учетом объемной доли фаз. Скорость изменения критических напряжений сдвига фаз зависит от скорости сдвига в каждой из фаз. Коэффициенты связи определяются по плотностям дислокаций фаз, приведены выражения для установления указанных коэффициентов. Представлено также эволюционное уравнение для плотности дислокаций в стенках, определяемой потоком дислокаций из ячеек и аннигиляцией накопленных в стенках дислокаций. Внутри ячеек накоплением дислокаций пренебрегается, равно как влиянием стенок на упрочнение систем скольжения в ячейках, в силу чего коэффициенты в законе упрочнения полагаются положительной константой и нулем соответственно. Для каждой из фаз используется закон Гука в релаксационной форме. Получены соотношения, связывающие скорости напряжений и деформаций мезоуровня. Для связи переменных мезо- и макроуровней также применяется самосогласованная модель, использующая решение Эшелби (на макроуровне). Модель применена для анализа простого (растяжение, простой сдвиг) и сложного (простой сдвиг - разгрузка - простой сдвиг в другом направлении) нагружения монокристаллов Беа, ориен-

тированных различным образом к осям нагружения. Приведены результаты расчетов для растяжения-сжатия поликристаллов нержавеющей стали AISI 316L. Сравнение с экспериментальными данными обнаруживает удовлетворительное соответствие.

Интересная трехуровневая модель рассмотрена в статье [56]. На макроуровне используется метод конечных элементов, для каждой точки интегрирования которого анализ осуществляется с применением двухуровневой модели клеточных автоматов. Подробно обсуждаются правила, используемые для клеточных автоматов, процедуры обмена информацией между моделями всех уровней. Модель ориентирована на исследования локализации деформаций, формирования микрополос и полос сдвига при интенсивных пластических деформациях. Приведены результаты расчетов для осадки сплошного и полого цилиндров, стесненной осадки прямоугольного образца, листовой прокатки, экструзии и равноканального углового прессования. Сопоставление результатов расчета с данными экспериментальных исследований обнаруживает удовлетворительное качественное соответствие.

Конечно, прямые модели дают возможность детального анализа изменения микроструктуры материала, напряжений и деформаций, остаточных напряжений (в том числе второго рода), удовлетворяют условиям совместности деформаций, условиям равновесия, однако являются весьма ресурсоемкими. В связи с этим в последние годы весьма интенсивно развиваются многоуровневые модели, основанные на введении элементов (ячеек) различных масштабных уровней. Остановимся на одной из таких работ [57], в которой рассматривается трехуровневая модель для описания суперсплава на никелевой основе. Сплав представляется совокупностью матрицы и включений, каждая из этих фаз имеет ГЦК-решетку с несколько отличающимся параметром решетки. Принято предположение о малых деформациях, причем для рассматриваемой макрозадачи (исследования поведения лопаток газотурбинного двигателя при температурах до 950 °С) полагается, что частицы включений испытывают только упругие деформации. Верхний (макроскопический) уровень описывается с использованием метода конечных элементов, на макроуровне используется закон Гука и предположение об аддитивности упругих и неупругих составляющих тензора деформации, а неупругие составляющие тензора малых деформаций определяются из модели нижележащего масштабного уровня. Ячейка (элемент) мезо-уровня представляет собой совокупность частицы-включения, 3 областей, моделирующих матрицу, и 12 областей, описывающих межфазные границы (с учетом периодичности число этих областей в дальнейшем сокращено до 6), примыкающие к включению и матрице (каждая из соседствующих областей матрицы и включения отделены двумя межфазными областями). Облас-

ти имеют форму прямоугольных параллелепипедов. На микроуровне рассмотрение ведется отдельно для каждой из вышеуказанных областей, для чего используется физическая градиентная теория пластичности.

Для представительного объема макроуровня задаются полные деформации, на этом уровне решается краевая задача для исследуемой детали в целом. С макроуровня на мезоуровень «передаются» полные деформации, которые полагаются равными полным деформациям мезоуровня. С другой стороны, полные деформации мезоуровня равны осредненным (с учетом объемных долей) деформациям по всем элементам микроуровня.

Несколько сложнее организована связь мезо- и микроуровней. В каждой из областей микроуровня напряжения и деформации полагаются однородными, напряжения определяются по деформациям с использованием физической градиентной теории. Напряжения в микроэлементах, моделирующих включение и матрицу (3 области), в каждый момент деформирования полагаются одинаковыми и равными напряжению мезоуровня. Для каждой из пар межфазных областей напряжения равны напряжениям мезоуровня только в среднем (осреднение с учетом долей межфазных областей для каждой из пар). На внутренней границе в каждой паре межфазных областей принимаются условия идеального контакта (равенство векторов перемещений и векторов напряжений).

Поведение включения описывается моделью упругого материала с кубической симметрией. Материал матрицы полагается упруго-вязкопластическим, скорости сдвигов по системам скольжения описываются произведением степенной функции отношения эффективного напряжения к сопротивлению сдвигу и экспоненциальной функции отношения эффективного сдвигового напряжения к пороговому напряжению (напряжению Оро-вана). Эффективное сдвиговое напряжение определяется приложенным напряжением, напряжением от несоответствия параметров решеток матрицы и включения и обратными напряжениями (являющихся следствием градиентов пластических деформаций, возникающих от геометрически необходимых дислокаций в межфазных границах). Сопротивление сдвигу зависит от плотностей статистически накопленных и геометрически необходимых дислокаций. Приведены эволюционные уравнения для плотностей обоих типов дислокаций. С использованием предлагаемой модели получена кривая «напряжение - деформация» при одноосном растяжении суперсплава на никелевой основе при 850 °С, результаты удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Отмечается большая вычислительная эффективность предлагаемой модели по сравнению с прямыми моделями.

Детальное изложение подходов и методов построения иерархических моделей материалов содержится в

диссертации [58]. Рассмотрение ведется в плоской постановке на четырех масштабных уровнях: микро (характерный размер — сотни нм), мезо I (единицы мкм), мезо II (десятки мкм), макро (мм). Для структурных составляющих каждого из уровней используются определяемые из рациональных соображений модели материалов из заданного набора (упругие, упругопластические, упруго-вязкопластические и т.д.). Большое внимание уделено анализу упрочнения кристаллических материалов, связанного с возникновением и эволюцией дислокационных субструктур. Отдельные параграфы посвящены анализу влияния энергии дефекта упаковки Еду на упрочнение, морфологию и размеры дислокационных субструктур и температуры на зависимость напряжения течения от деформации и скорости деформации. При этом при анализе влияния Еду автор апеллирует в основном к снижению способности к неконсервативному движению (переползанию) дислокаций при уменьшении Еду. Значительное внимание уделено локализации пластического деформирования (образование линий Людерса, эффект Портвена-Ле Шателье). В качестве численного метода для реализации предлагаемых моделей материалов широко используется метод конечных разностей. Для проверки полученных результатов проведены расчеты с применением пакета ABAQUS. Отдельная глава посвящена многоуровневому моделированию поведения композиционных материалов (метал-локомпозитов, горных пород, материалов с покрытиями), учитывающему реальную микроструктуру материала.

Подобный подход применительно к трехмерным проблемам рассматривается в работе [59]. Подробно описана процедура построения структуры различных материалов (многофазных композитов и поликристаллов). Элементы структуры полагаются упругопластическими, напряжение течения определяется соотношением Холла-Петча, модули упругости принимают случайные значения (разброс составляет 10 %). Численная реализация модели осуществлена с помощью метода конечных разностей. Для одноосного нагружения образца показано, что напряжения и пластические деформации вблизи поверхности образца превосходят аналогичные параметры внутри образца. Значительная часть работы посвящена исследованию влияния скорости деформации на деформирование образцов. Сопоставляются решения динамических задач в пространственной и плоской постановках, отмечается качественное соответствие результатов. Предлагается своеобразная методика учета влияния границ образца и зерен: первоначальное зарождение пластических деформаций разрешается на границе образца, распространение пластических деформаций допускается при одновременном выполнении условия Мизеса и превышения в одной из соседних ячеек критической величины интенсивности

пластической деформации. Для описания прерывистой пластичности предлагается двухпороговый критерий текучести: предел текучести в упругих элементах принимается выше, чем в ячейках, перешедших в пластическое состояние.

Детально рассматривается деформирование и разрушение металлических композитов (матрица Al + включения Al2O3). Отмечается существенное отличие решения в плоской и пространственной постановках, особенно в областях границ матрицы с включениями. Особое внимание уделяется влиянию формы частиц включений, свойств матрицы, включений и промежуточной фазы, условий нагружения на характер разрушения. Отдельные параграфы посвящены исследованию поведения при нагружении пористых керамик на основе диоксида циркония и угольного композита с изначально присутствующими трещинами.

Рассматривается влияние границ раздела (свободные и зажатые в захватах поверхности образцов, сварные соединения) на характер неоднородного деформирования металлических образцов. Для исследования формирования полос Людерса также использован двухпороговый критерий текучести со случайными отклонениями пороговых напряжений на 1 %. Отмечается, что при одноосном растяжении образцов зарождение полос происходит вблизи захватов, где имеет место сильная концентрация напряжений. Сварные соединения являются также источниками концентраторов напряжений. Зона шва имеет литую структуру и практически не испытывает деформации, пластическое течение и формирование полос Людерса реализуется в зоне термического влияния и в основном металле.

4. Сравнение моделей

Результаты исследования влияния начальной текстуры и сопоставления прямой конечно-элементной модели и модели тейлоровского типа (основанной на гипотезе Фойгта) содержатся в статье [60]. Рассматриваются алюминиевые образцы без и с предварительной деформацией (осадка в условиях плоскодеформируемого состояния, моделирующая прокатку), подвергаемые простому сдвигу до значения сдвиговой деформации 2.2. В качестве физической теории используется упруговязкопластическая модель с линейной зависимостью скорости сдвига от разности сдвигового напряжения на системе скольжения и соответствующего критического напряжения. Принят неизотропный закон упрочнения с насыщением, латентное упрочнение превышает деформационное в 1.4 раза. Представительный объем аппроксимируется 1080 тетраэдрическими элементами с 343 узлами. Показано качественное соответствие текстур, получаемых с применением двух моделей. В то же время отмечаются более резко выраженные текстуры в модели тейлоровского типа. Приведенные результаты сви-

детельствуют о существенном влиянии предварительно наведенной текстуры на получаемую в результате простого сдвига.

Сопоставлению эффективности и адекватности предсказания эволюции текстуры полностью стесненной и со смягченными ограничениями моделей типа Тейлора-Бишопа-Хилла и прямой конечно-элементной модели посвящена работа [61]. Для проверки адекватности авторами используются результаты собственных экспериментальных исследований, проведенных на низкоуглеродистой стали по интересной схеме. Вначале образец прокатывался до больших степеней обжатия в холодном состоянии и подвергался глубокому отжигу. Затем из образца вырезали полосы под разными углами к направлению прокатки, определялось распределение ориентаций для каждой полосы и сваркой получали составной образец, который в дальнейшем прокатывался до разных степеней обжатия (более 1.4) в холодном состоянии.

В моделях Тейлора-Бишопа-Хилла упрочнение принималось изотропным. В прямой модели использовалась упруго-вязкопластическая модель со степенным законом течения по системам скольжения. Показатель степени принимался равным 50, что приближает модель к не чувствительной к скорости деформации. Для расчетов использовались 20-узловые шестигранные изопара-метрические элементы с 8 точками интегрирования. Для некоторых вариантов использовались 10-узловые тетраэдральные элементы с 4 точками интегрирования. Для исследования влияния степени неоднородности напряженно-деформированного состояния на эволюцию текстуры зерна аппроксимировались различным числом элементов — от 1 до 27. Начальные ориентации в каждой точке интегрирования определялись в соответствии с экспериментально определенной функцией распределения ориентаций. Результаты расчетов показали, что прямая модель, как и следовало ожидать, более точно описывает эволюцию микроструктуры, чем модели тейлоровского типа. В то же время для одной из компонент текстуры при степенях обжатия превышающих 0.75 модель Тейлора со смягченными ограничениями дает более близкие результаты к экспериментальным данным. Отмечается, что время решения с использованием прямых моделей в 900 раз превосходит затраты на расчеты с применением моделей типа Тейлора.

Сопоставлению результатов расчета, полученных с помощью самосогласованной вязкопластической модели и прямой конечно-элементной модели, и экспериментальных данных для процесса равноканального углового прессования посвящена статья [62]. Для проверки влияния внутризеренной неоднородности напряженно-деформированного состояния на эволюцию текстуры в прямой модели использовались две аппроксимации зерен — с использованием одного и восьми шестигранных элементов (с 8 точками интегрирования). В качестве

физической теории пластичности в работе использована модель, предложенная в статье [4]. Рассматривался один проход образца (материал — алюминий и медь), исходная задача заменена задачей простого сдвига прямоугольного параллелепипеда в зоне излома канала. Отмечается, что прямая модель с 8 элементами на зерно позволяет более точно, чем самосогласованная модель, рассчитывать текстуру, что авторы объясняют учетом в этом случае неоднородности деформирования в пределах каждого зерна.

Непосредственным продолжением рассмотренной статьи является работа [63]. Авторы отмечают существенную неоднородность макродеформаций при равноканальном прессовании (угол излома 90°). В связи с этим исследуемая область разделяется на эквидистантные трубки тока (квадратного сечения), анализируются три трубки — примыкающая к излому канала (трубка 1), внешняя (с наибольшим радиусом скругления, трубка 3) и в среднем сечении (трубка 2). Для каждой из трубок тока деформированное состояние также определялось простым сдвигом в области скругления. Решение для трубок осуществлено с применением метода конечных элементов в трехмерной постановке (пакет ABAQUS), использованы 8-узловые шестигранные элементы, каждый элемент аппроксимировал зерно, общее число элементов для трубки — 4 800, материал — медь (ГЦК-решетка). Исходная ориентация зерен аппроксимировалась набором 1200 дискретных ориентаций. Исследованы два прохода заготовки с кантовкой вокруг продольной оси заготовки на 180°. Для анализа влияния формы зерен на результаты расчета текстуры рассматривались кубические и вытянутые в направлении оси заготовки прямоугольные параллелепипеды. Показано практически несущественное влияние данного параметра на полученные результаты. Результаты расчетов свидетельствуют о существенном отличии градиентов места и текстуры в трубке 3 от аналогичных характеристик трубок 1 и 2. Результаты расчета полюсных фигур находятся в хорошем соответствии с экспериментами.

Анализу результатов решения задач для случаев плоского деформированного и плоского напряженного состояний с применением модели тейлоровского типа и прямой конечно-элементной модели посвящена работа [64]. Рассматриваются поликристаллические материалы (алюминиевый сплав и качественная сталь) с ГЦК- и ОЦК-решеткой. Для каждого из двух типов моделей на макроуровне используется метод конечных элементов в плоской постановке; принимается справедливым закон Гука в скоростной релаксационной форме; в качестве меры скорости напряжений применяется производная Яуманна тензора напряжений Коши. В качестве базовой на мезоуровне используется модель упруго-вязкопластичности [10]. Скорости сдвигов по системам скольжения определяются вязкопластическим степенным законом. Кратко описан использованный алгоритм

параллельных вычислений. Отмечается необходимость учета начальной неоднородности текстуры. Результаты свидетельствуют о приемлемости использования обоих типов моделей для анализа эволюции текстуры.

Результаты расчетов эволюции текстуры при осадке на 80 % цилиндра из поликристаллического тантала (ОЦК-решетка), полученные с использованием модели тейлоровского типа и прямой конечно-элементной модели с упруго-вязкопластическими соотношениями для кристаллов, представлены в статье [65]. Показано, что использование модели тейлоровского типа ведет к более «острой» текстуре по сравнению с прямой моделью, дающей более размытую полюсную фигуру. Детально исследуется влияние на текстуру числа допустимых систем скольжения, показателя скоростной чувствительности в вязкопластическом законе, отношения параметра латентного упрочнения к активному. Результаты свидетельствуют о существенном влиянии указанных параметров на полученные полюсные фигуры: увеличение параметра скоростной чувствительности (приближение материала к линейно-вязкому), уменьшение числа систем скольжения и уменьшение отношения латентного упрочнения к активному ведут к более размытой текстуре.

В работе [66] рассматриваются три основанные на методе конечных элементов и упруговязкопластических соотношениях для кристаллитов модели (правильнее было бы назвать их расчетными схемами) поликрис-таллических материалов с ГЦК-решеткой. Сопоставление осуществлено на задаче стесненной осадки (50 %), для проверки адекватности использованы экспериментальные данные для прокатки полосы. Во всех моделях расчеты проведены на 10-узловых конечных элементах в форме тетраэдра. В первой схеме исследуемая область (в отсчетной конфигурации — прямоугольный параллелепипед) аппроксимировалась 64 элементами, для каждой точки интегрирования использована модель тейлоровского типа с 559 ориентациями. Во второй схеме каждое зерно описывалось одним элементом, расчетная область содержала 3 072 конечных элемента. Наконец, в третьей схеме каждое зерно описывается 192 элементами. Показано, что первая схема дает более «острую» текстуру, наиболее размытой текстура получается при применении третьей схемы. Для объяснения данного факта, с учетом того что формирование текстуры обусловлено главным образом пластическими сдвигами, приведены гистограммы распределения сдвиговых (в осях образца) деформаций, полученные по трем схемам. Показано, что при использовании первой схемы весь объем образца имеет практически нулевые компоненты сдвиговых деформаций. Авторы отмечают, что в этом случае гипотеза Фойгта, используемая в моделях тейлоровского типа, навязывает всем зернам деформирование, аналогичное нагружению макрообразца. Приведенное объяснение представляется спорным. На макроде-

формации в предлагаемой схеме не накладывается требование однородности. Возможно, лучшее соответствие при тех же вычислительных затратах бышо бы получено при увеличении числа элементов с одновременным уменьшением числа ориентаций в каждой точке интегрирования. По второй схеме около 30-40 % объема образца испытывает сдвиговые деформации с максимальными значениями порядка 15 %. При расчетах по третьей схеме, демонстрирующей лучшее соответствие с экспериментальными данными, около 65 % объема имеет ненулевые сдвиговые компоненты с максимальными значениями 30-40 %.

Краткому описанию и сравнительному анализу различных многоуровневых моделей посвящены статьи [67, 68]. Отмечается, что на макроуровне большинство известных моделей основаны на применении метода конечных элементов. В рассмотрение включены двухуровневые модели Тейлора, LAMEL, ALAMEL, GIA [1] и прямая модель с аппроксимацией зерна одним элементом. Сравнение результатов расчета текстуры с экспериментальными данными для случая прокатки технически чистого алюминия и низкоуглеродистой стали показывает, что до 50 % обжатия даже модель Тейлора удовлетворительно предсказывает формирование текстуры. Однако при больших степенях обжатия модель Тейлора дает существенно худшие результаты, чем остальные модели. В то же время отмечается, что все рассмотренные модели малопригодны для анализа поведения многофазных материалов. Для исследования таких материалов авторы полагают необходимым привлекать трехуровневые модели типа модели [69, 70], в которой вводятся дополнительные внутренние переменные и уравнения для них, описывающие эволюцию дислокационных субструктур. Приведены результаты расчетов с применением модели [69, 70], показывающие ее способность описывать эффект Баушингера, эффекты сложного нагружения.

В работе [71] представлены результаты анализа различных подходов к агрегированию поликристалличес-ких ансамблей: прямой конечно-элементной модели, самосогласованных моделей Kroner и Berveiller-Zaoui для случая сложного нагружения листовых материалов. Для исследования применена упруго-вязкопластическая модель с анизотропным упрочнением. Рассмотрены случаи как простого (растяжение образцов, вырезанных из листа под углами 0° и 45° к направлению прокатки), так и сложного (сдвиг листовых образцов с последующим растяжением вырезанных под теми же углами образцов) нагружения. Результаты расчетов сравниваются с экспериментальными данными, полученными авторами. Сопоставление проводится на кривых одноосного нагружения (для сложного нагружения — на второй стадии испытаний). Для случая простого нагружения все анализируемые модели дают примерно одинаковые результаты, однако для случая сложного нагружения мо-

дель Kroner приводит к завышенным значениям напряжений.

5. Применение многоуровневых моделей для решения технологических задач

В большинстве рассмотренных выше работ многоуровневые модели применялись для исследования поведения представительного объема моно- и поликристал-лических материалов. Резкий рост производительности ЭВМ, появление вычислительных систем с параллельной архитектурой стимулировали в последние годы применение моделей данного класса для решения реальных технологических задач.

Краткий обзор различных моделей, используемых для исследования процесса равноканального углового прессования, представлен в работе [72]. Для анализа напряженно-деформированного состояния вполне удовлетворительные результаты дают традиционные теории пластичности в сочетании с методом конечных элементов. Однако исследование формирования и эволюции микроструктуры (величины зерен и субзерен, текстура) требует применения более «тонких» инструментов. Отмечается, что двухуровневые модели, основанные на физических теориях типа Тейлора-Бишопа-Хилла, позволяют получить результаты, находящиеся в хорошем соответствии с экспериментальными данными.

В статье [73] приведены результаты анализа процесса гидроформовки трубы из поликристаллического алюминиевого сплава с использованием двухуровневой модели. На макроуровне принята гипотеза о плоском напряженном состоянии. Для решения использован метод конечных элементов (пакет ABAQUS), исследуемая область аппроксимировалась четырехугольными оболо-чечными элементами. На мезоуровне применялась модель типа Тейлора-Бишопа-Хилла, основанная на предложенной в работах [74, 75] функции текучести монокристалла (со скругленными ребрами и вершинами). Начальная функция распределения ориентаций определена экспериментально. Исследовано влияние на результаты расчета числа элементов, аппроксимирующих расчетную область, и числа зерен (ориентаций) в каждой точке интегрирования, определено их число, достаточное для достижения приемлемой точности. Результаты расчета окружных деформаций хорошо согласуются с экспериментальными данными. Отмечается, что поскольку деформации в исследуемом процессе невелики (максимальные окружные деформации не превосходят 20 %), текстура в деформированном образце мало отличается от исходной, в силу чего оценить возможности модели для описания эволюции текстуры не представляется возможным.

В работе [76] представлены результаты решения задачи оптимизации формы матриц, используемых для экструдирования пустотелых профилей из алюминиевых сплавов различной формы поперечного сечения. В

качестве критерия оптимизации принимается однородность поля скоростей перемещений в выходном сечении матрицы. На макроуровне прямые задачи (исследование напряженно-деформированого состояния) решаются методом конечных элементов с применением теории пластического течения с анизотропной функцией текучести. Для анализа эволюции текстуры во входном сечении заготовки выделяются несколько характерных точек (представительных объемов), для каждой из которых расчеты проводятся с использованием модели тейлоровского типа с применением упомянутого выше критерия текучести [74, 75].

Статья [77] посвящена анализу результатов исследования деформирования моно- и поликристаллов с ГЦК- и ОЦК-решеткой за один проход в процессе равноканального углового прессования. Задача рассматривается в плоской постановке. Исследуется область, примыкающая к плоскости излома (на 90°) канала, деформированное состояние в каждый момент времени считается однородным в исследуемой области. Для решения использована вязкопластическая модель тейлоровского типа со степенным законом течения. Вводится пластический спин, спин решетки определяется разностью тензора вихря и пластического спина. Особое внимание в работе уделено устойчивости получаемой текстуры, для чего вводятся два параметра: дивергенция (в ориентационном пространстве) нормы спина решетки и ее производная по времени. Устойчивой считается ориентация, для которой дивергенция отрицательна, а производная по времени равна нулю. Расчеты обнаруживают существенное влияние на устойчивость текстуры параметра скоростной чувствительности материала: чем выше скоростная чувствительность, тем менее устойчива текстура. Результаты расчетов находятся в хорошем соответствии с имеющимися в литературе экспериментальными данными для моно- и поликристал-лических образцов.

Результаты аналогичных исследований применительно к поликристаллам с ГПУ-решеткой приведены в статье [78]. Кроме сдвиговых мод деформации учитывается и деформирование двойникованием, анализируется вклад различных мод в общую деформацию. Получены поля двух введенных параметров (модуля вектора спина решетки и его дивергенции) в ориентационном пространстве. Результаты расчета находятся в удовлетворительном качественном соответствии с имеющимися экспериментальными данными для поликристалли-ческих технически чистых циркония и титана, сплавов на основе бериллия и магния.

6. Проектирование функциональных материалов

В последние десятилетия механики и физики ставят перед собой весьма сложные задачи конструирования функциональных материалов, обладающих оптималь-

ной для конкретных конструкций микроструктурой [79]. Решение подобных проблем обычно строится в два этапа: вначале определяется оптимальная для конкретной конструкции и условий нагружения микроструктура, а затем — задача определения параметров технологического процесса, максимально приближающего микроструктуру материала конструкции к определенной на первом этапе. Таким образом, возникает необходимость решения двух связанных обратных краевых задач, как правило, многомерных. В настоящее время аппарат решения подобных задач разработан недостаточно для применения к конкретным проблемам. Мало того, как правило, отсутствуют аналитические решения даже прямых задач теории упругости и пластичности для анизотропных материалов. В связи с вышесказанным обратные краевые задачи сводятся к соответствующим задачам оптимизации, для решения возникающих при этом прямых задач применяются многоуровневые модели.

В статье [80] на простом примере проектирования гибкой балки рассматривается возможный подход к решению проблем рассматриваемого класса. Отмечается, что идеальной представляется методика по цепочке «конструкция - свойства - микроструктура - технология», которая обычно используется для деталей из композитов, где основным является топология компонентов. Для проектирования конструкций из поликристал-лических материалов авторами предлагается подход по «обратному маршруту» («технология - микроструктура - свойства - конструкция»). Приведена постановка задачи минимизации длины балки при заданном параллельном смещении торцов, в качестве ограничений выступают условие работы конструкции в упругой области и обеспечение необходимой для работы устройства восстанавливающей силы. Для связи мезо- и макроуровня применяется гипотеза Фойгта. Указанные ограничения переформулируются в терминах упругой запасаемой энергии и мощности напряжений на пластических деформациях зерен поликристалла. Для агрегата из кубических кристаллитов данные энергетические характеристики выражаются функциями ориентации кристаллитов относительно осей образца. Функция распределения ориентаций представляется разложением в ряд Фурье по обобщенным сферическим гармоническим функциям с учетом симметрии кристаллитов (в работе рассматриваются материалы с кубической симметрией). С использованием этого разложения целевая функция и ограничения определяются в терминах функций коэффициентов ряда Фурье. В пространстве Фурье целевая функция и ограничения описываются гиперповерхностями, пересечение которых определяет оптимальное решение. После определения оптимальной микроструктуры из банка теоретических и экспериментальных данных устанавливаются режимы изготовления конструкции, дающие близкую к требуемой микроструктуру. На-

пример, для никелевого сплава оптимальная микроструктура гибкой балки может быть получена прокаткой или прокаткой с последующим отжигом. В заключение статьи рассматриваются вопросы дальнейшего развития и усложнения подхода для учета чувствительных к дефектной субструктуре свойств, например меж-зеренного коррозионного растрескивания.

Результаты применения подобного подхода для проектирования пластины с центральным круговым отверстием, подвергаемой одноосному растяжению, представлены в работе [81]. Для пластины в целом (макроуровень) решение ищется в классе материалов с ортором-бической симметрией. В качестве целевой функции на первом этапе выступает предельная нагрузка, ограничением является отсутствие пластической деформации. После определения желательного распределения макроскопических характеристик (с использованием метода верхних оценок) устанавливается необходимая функция распределения ориентаций. На втором этапе находятся параметры технологического процесса, позволяющие приблизиться к требуемой текстуре. Оказалось, что для исследуемой задачи последняя может быть достигнута прокаткой листа с первоначальным равномерным распределением ориентаций зерен в двух перпендикулярных направлениях с обжатиями на 50 и 20 %.

Задача оптимизации параметров, отражающих микроструктуру, рассмотрена в статье [82]. В качестве целевой функции выступает квадратичное отклонение сглаженных по представительному объему характеристик микроструктуры от требуемых. Параметрами управления выступают макрохарактеристики процесса неупругого деформирования. Решение задачи оптимизации осуществляется методом наискорейшего спуска с вычислением чувствительности изменения целевой функции к вариации параметров управления. Для решения прямой задачи используется двухуровневая модель, на макроуровне применяется конечно-элементная модель, на мезоуровне — физическая модель упруго-вязко-пластичности. Значительное внимание в работе уделено предлагаемому авторами методу «гомогенизации» (сглаживания полей микроструктурных параметров). Приведены результаты решения прямых задач (для демонстрации возможностей процедуры гомогенизации) и двух задач оптимизации (достижения заданной зависимости эффективного напряжения от истории деформирования).

Краткий обзор работ по проектированию конструкций и механических свойств ортотропного материала, используемого для ее изготовления, содержится в [83]. Приведены оценки сверху и снизу для диагональных (со структурой индексов уу) и недиагональных (гуу, i Фу) компонент тензора эффективных упругих свойств ортотропного поликристаллического материала через осред-ненные по объему характеристики кристаллитов куби-

ческой симметрии, образующих поликристалл. Для описания пластических характеристик рассматриваемого поликристаллического тела используется критерий текучести Хилла. Для оценки входящих в уравнение поверхности текучести шести параметров применяются гипотезы Закса-Рейсса (нижняя оценка) и Тейлора-Фойгта (оценка сверху). Полученные оценки в явной форме зависят от распределения ориентаций кристаллитов поликристаллического агрегата. Функция распределения ориентаций аналогично работе [80] представляется разложением в ряд Фурье по обобщенным сферическим гармоническим функциям с учетом симметрии кристаллитов. С использованием этого разложения оценки механических характеристик определяются как функции коэффициентов ряда Фурье. Аналогичное разложение вводится для физически реализуемых текстур обработки. После этого задача оптимизации, к которой сводится проблема проектирования конструкции и свойств материала, формулируется в терминах коэффициентов ряда Фурье, для решения которой может быть применен любой из методов нелинейного программирования (например градиентные методы).

Оптимизации процесса листовой прокатки с целью получения микроструктуры, отвечающей лучшей фор-муемости листовых заготовок при последующей глубокой вытяжке, посвящена статья [84]. Используется двухуровневая прямая конечно-элементная упруговязкопластическая (со степенным законом для скоростей сдвигов) модель. На макро- и мезоуровнях используются 8-узловые изопараметрические элементы с восьмью узлами интегрирования. Каждой точке интегрирования элементов макроуровня ставится в соответствие представительный объем мезоуровня, аппроксимируемый несколькими десятками элементов мезоуровня, каждая точка интегрирования которых отвечает ориентировке отдельного зерна. Для установления микроструктуры представительного объема мезоуровня проведены экспериментальные исследования с помощью электронной микроскопии последовательно (с шагом 5 мкм) снимаемых полировкой слоев (до глубины в 230 мкм). Для интегрирования уравнений движения использована явная схема.

Из предварительных экспериментальных исследований определены две характерные текстуры, дающие максимальную формуемость листовых заготовок при штамповке. Поставлена и решена задача оптимизации процесса асимметричной листовой прокатки. В качестве целевой функции выбирается степень близости к определенным оптимальным ориентировкам (текстурам), параметрами управления являются отношение угловых скоростей валков и степень обжатия. Поставлена и решена задача оптимизации текстуры заготовки для симметричной листовой прокатки, дающей в результате процесса прокатки текстуру максимальной формуе-мости при последующей глубокой вытяжке.

7. Обзоры

В последние годы появились работы обзорного характера, отметим некоторые из них. Обзор работ (163 источника) по двухуровневым (мезо-макро) моделям представлен в статье [85], особое внимание уделено описанию анизотропных (текстурированых) материалов. Приведены основные определяющие соотношения макроскопической пластичности, используемые для описания деформирования анизотропных материалов (Хилл, Барлат, Карафиллис и др.), отмечаются преимущества применения этих соотношений при решении реальных задач (как правило, с помощью конечно-элементных программ). Значительная часть статьи посвящена описанию физических теорий пластичности (Тей-лора-Бишопа-Хилла, вязкоупругих и упруговязкопластических). Рассматриваются различные подходы к установлению связей моделей мезо- и макроуровней («полностью стесненная» модель Тейлора, варианты самосогласованных моделей, прямые модели). При решении краевых задач макроуровня указанные выше модели не используют понятия поверхности текучести (макроуровня), определяющие соотношения записываются в релаксационной форме закона Гука (изотропного или анизотропного). Реализация таких моделей в рамках конечно-элементных пакетов требует существенных вычислительных ресурсов. К другому направлению двухуровневых моделей автор относит использующие физические теории мезоуровня для построения поверхности текучести макроуровня с последующим применением последней для построения определяющих соотношений. В рамках этого направления выделяются два подхода: полное построение эволюционирующих поверхностей текучести и построение участка поверхности текучести, примыкающего к изображающей точке в пространстве напряжений (или деформаций) в текущий момент деформирования. В качестве примера применения разных моделей рассматривается задача анализа процесса глубокой вытяжки цилиндрической детали из листовой заготовки.

Весьма обстоятельный (555 источников) обзор работ по многоуровневым моделям приведен в [86]. Анализируются модели атомного, микро- (отдельные дислокации, дислокационные субструктуры), мезо- (зерно, субзерно) и макроуровней, охватывающие масштабы от 10-10 до 10-3 м. Отмечается существующий в настоящее время разрыв между моделями атомного (молекулярная динамика) и мезоуровня (физические теории пластичности). Существующие подходы к построению иерархических моделей подразделяются на две группы: односторонние (снизу вверх либо сверху вниз) и двухсторонние (конкурирующие, параллельные), в которых модели соседних уровней связаны итерационными процедурами. Модели, основанные на движении от низших масштабов к более высоким, обычно используются при анализе разрушения, образования дислокационных суб-

структур. Модели с передачей информации с больших масштабов к меньшим — при проектировании материалов и конструкций из них. Второй класс моделей применяется для анализа многомасштабных процессов тре-щинообразования (особенно для композитов), формирования полос сдвига, проектирования функциональных материалов (одновременное проектирование материала и конструкции). В последние годы модели этого класса используются для установления конкретной формы и параметров соотношений обобщенных континуумов (градиентных, микрополярных).

Подробно рассматриваются эффекты, вносимые в поведение материалов на макро- и мезоуровнях с более низких масштабных уровней. К числу наиболее важных эффектов относятся возникновение остаточных микронапряжений (на атомарном и микроуровне). Рассматривается модель для их описания, основанная на локально равновесной термодинамике. Наблюдаемый на мак-ро- и мезоуровнях эффект нарушения принципа гра-диентальности (закона Шмида на мезоуровне) объясняется отличием механизмов генерации и движения дислокаций, образованием микропор, фрагментацией и формированием субзерен при пластическом деформировании. Детально рассматриваются модель мезоуровня и результаты исследования поведения образцов из сплава на никелевой основе и сплава титан-алюминий-ванадий при циклическом нагружении. Использована прямая модель, базирующаяся на применении пакета ABAQUS. Показано хорошее соответствие теоретических и экспериментальных данных. Отмечается необходимость учета микроструктуры материала при использовании макроскопических критериев усталостной прочности. Приведено описание процедуры применения прямой физической конечно-элементной модели в сочетании с нейронной сетью для идентификации вязкопластической макромодели двухфазного поликристалла с законом упрочнения Фредерика-Армстронга.

Значительная часть статьи посвящена обсуждению пределов применимости обычных физических теорий пластичности и направлений их модификации для описания «тонких» эффектов (описание действия источников и стоков дислокаций, взаимодействия дислокаций с границами и частицами прочной фазы, поведения материала в окрестности кончика микротрещины и т.д.). Особое внимание в связи с этим уделено описанию дислокационных субструктур, геометрически необходимых дислокаций и возможностям применения для описания последних различных обобщенных континуумов: мик-рополярных, микроморфных и градиентных теорий (материалов второго и более высокого порядков). В то же время отмечается ограниченность масштабов и эффектов, описываемых континуальными теориями, в связи с чем значительное внимание уделено работам по дискретным и континуальным дислокационным моделям, молекулярной (атомарной) динамике. Поскольку весьма

существенное влияние на физико-механические характеристики материала и конструкций из него оказывают границы зерен и субзерен, при проектировании функциональных материалов моделирование границ требует отдельного тщательного рассмотрения. Представлен весьма детальный анализ работ этого направления.

Обширный (308 источников) обзор многоуровневых моделей представлен в статье [87]. Отмечается, что многоуровневые модели относятся к междисциплинарной области знаний. Рассмотрены существующие подходы и методы построения моделей в разных областях различными специалистами (механиками, физиками, материаловедами, химиками). Отмечаются работы, посвященные моделям металлов и сплавов, керамик, полимеров, композиционных материалов (включая нанокомпозиты), биологических тканей. Особое внимание уделяется подходам и методам установления связей между различными уровнями в иерархических моделях. Приведены два примера применения многоуровневых моделей для исследования и изменения конструкции автомобильных деталей.

Детальный обзор (442 источника) работ, посвященных прямым многоуровневым моделям, основанным на методе конечных элементов, содержится в статье [88]. Приведен перечень исследовательских (в механике и материаловедении), технических и технологических проблем, которые решаются или могут быть решены с применением этих моделей. Подробно анализируются кинематические и конститутивные соотношения (вязкопластического типа) на мезо- и микроуровнях. Последние разделяются на феноменологические (на мезоуров-не) и построенные на рассмотрении эволюции плотности дислокаций (статистически накопленных и геометрически необходимых), приведены примеры обоих типов теорий. Отдельно рассматривается влияние границ зерен на деформирование кристаллитов. Выделено два класса моделей: 1) рассматривающие границы непроницаемыми для движения дислокаций, 2) допускающие частичную проницаемость. В моделях второго класса возможность дислокации пересечь границу определяется уровнем энергии активации этого барьера, последний зависит от разориентации соседствующих зерен. Отдельный раздел посвящен применению многоуровневых моделей для анализа деформирования в присутствии фазовых превращений (аустенитные стали, материалы с памятью формы и др.).

Обзор работ (265 источников) по многоуровневым моделям за последние 25 лет (1985-2010 гг.), главным образом, выполненных сотрудниками коллектива, возглавляемого автором, представлен в статье [89]. Автором выделены следующие основные проблемы в рассматриваемой области: 1) подходы к осреднению и связи переменных разных масштабных уровней; 2) самоорганизация и законы скейлинга в многомасштабном моделировании; 3) связь и согласованность мультиплика-

тивного разложения градиента места на разных масштабных уровнях; 4) роль границ зерен в многомасштабных моделях; 5) многомасштабное моделирование в проектировании материалов с заданными свойствами для конкретных деталей (функциональных материалов). Кратко описаны работы по молекулярной (атомарной) динамике, дислокационной динамике, современным физическим теориям (включая обобщенные модели), методам сопряжения моделей разных уровней. Значительное внимание уделено вопросу нарушения принципа градиентальности («неассоциативности» закона течения) и связи данного явления с неоднородностью деформирования на различных масштабных уровнях. С последней связывается также масштабный эффект (изменение поведения материала при изменении размеров образца). Приведены некоторые результаты экспериментальных исследований, полученные руководимым автором коллективом.

8. Заключение

Приведенный обзор не претендует на полноту, количество работ по многоуровневым подходам и моделям в последние годы растет лавинообразно. В подавляющем большинстве этих работ для описания ротации кристаллической решетки используется модель «жесткого стеснения» Тейлора. Практически отсутствуют модели, в которых были бы (хотя и в «грубой» форме) заложены источники, «движущие силы» разворотов. Известно (см., например, [90-92]), что для физически корректного описания процессов фрагментации и образования текстуры необходимо рассмотрение на уровне дислокационных субструктур. Однако столь детальное рассмотрение едва ли позволит (по крайней мере, в ближайшие 5-10 лет) анализировать реальные технологические процессы, решать возникающие при этом краевые задачи на макроуровне — слишком велика разница масштабов. Однако двух- и трехуровневые модели при наличии современной вычислительной техники уже в настоящее время применяются для решения реальных прикладных задач. Вероятно, в ближайшие 3-5 лет эти модели будут весьма широко использоваться в практике проектирования и оптимизации технологических процессов. При этом наиболее эффективными на настоящее время являются модели, основанные на статистическом подходе. В то же время в рамках этого подхода остается нерешенным ряд проблем, в частности установление способа разложения движения на квазитвердое и деформационное на макроуровне (с чем связан выбор коро-тационной производной в определяющих соотношениях), определение связи однотипных характеристик различных масштабных уровней, описание ротации элементов мезоуровня (зерен, субзерен, фрагментов) с учетом взаимодействия мезоэлементов с соседними [9395]. Над этими и другими вопросами интенсивно рабо-

тают многие коллективы, в том числе коллектив, в котором работают авторы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №№ 10-08-96010-р_урал_а, 10-08-00156-а).

Литература

1. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезо-мех.- 2011. - Т. 14. - № 4. - С. 17-28.

2. Hill R., Rice J.R. Constitutive analysis of elastic-plastic crystals at arbitrary strain // J. Mech. Phys. Solids. - 1972. - V. 20. - P. 401413.

3. Miyamoto H., Sumikawa M., Miyoshi T. Interpretation of mechanical behavior of pure aluminum in terms of microstructures // Proc. of the 1971 Conf. on Mechanical Behavior of Materials. - Kyoto, Japan: Soc. Mater. Sci., 1972. - P. 140-151.

4. Kalidindi S.R., Bronkhorst C.A., Anand L. Crystallographic texture evolution in bulk deformation processing of FCC metals // J. Mech. Phys. Solids. - 1992. - V. 40. - No. 3. - P. 537-569.

5. Kalidindi S.R., AnandL. Macroscopic shape change and evolution of crystallographic texture in pre-textured FCC metals // J. Mech. Phys. Solids. - 1994. - V. 42. - No. 3. - P. 459-490.

6. Staroselsky A., Anand L. Inelastic deformation of polycrystalline face centered cubic materials by slip and twinning // J. Mech. Phys. Solids. - 1998. - V. 46. - No. 4. - P. 671-696.

7. Van Houtte P. Simulation of the rolling and shear texture of brass by the Taylor theory adapted for mechanical twinning // Acta Metall. -1978. - V. 26. - Р. 591-604.

8. Kothari M., Anand L. Elasto-viscoplastic constitutive equations for polycrystalline metals: Application to tantalum // J. Mech. Phys. Solids. - 1998. - V. 46. - No. 1. - P. 51-83.

9. Kocks U.F., Argon A.S., Ashby M.F. Thermodynamics and kinetics of slip // Prog. Mater. Sci. - 1975. - V. 19. - Р. 141-145.

10. Asaro R.J., Needleman A. Texture development and strain hardening in rate dependent polycrystals // Acta Metall. - 1985. - V. 33. - No. 6. -P. 923-953.

11. Bate P. Modeling deformation microstructure with the crystal plasticity finite-element method // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. - 1999. -V. 357. - P. 1589-1601.

12. Steck E.A., Harder J. Finite element simulation of local plastic flow in polycrystals // IUTAM Symposium on Micro- and Macrostructural Aspects of Thermoplasticity / Ed. by O.T. Bruhns, E. Stein. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. - Р. 79-88.

13. Raabe D., Zhao Z., Mao W. On the dependence of in-grain subdivision and deformation texture of aluminum on grain interaction // Acta Mater. - 2002. - V. 50. - Р. 4379-4394.

14. Turner T.J., Miller M.P., Barton N.R. The influence of crystallographic texture and slip system strength on deformation induced shape changes in AA 7050 thick plate // Mech. Mater. - 2002. - V. 34. - Р. 605-625.

15. Cailletaud G., Diard O., Feyel F., Forest S. Computational crystal plasticity: from single crystal to homogenized polycrystal // Technische Mechanik. - 2003. - B. 23. - H. 2-4. - P. 130-145.

16. Diard O., Leclercq S., Rousselier G., Cailletaud G. Evaluation of finite element based analysis of 3D multicrystalline aggregates plasticity. Application to crystal plasticity model identification and the study of stress and strain fields near grain boundaries // Int. J. Plasticity. - 2005. - V. 21. - P. 691-722.

17. Clayton J.D., McDowell D.L. A multiscale multiplicative decomposition for elastoplasticity of polycrystals // Int. J. Plasticity. - 2003. -V. 19. - Р. 1401-1444.

18. Bower A.F., Wininger E. A two-dimensional finite element method for simulating the constitutive response and microstructure of polycrystals during high temperature plastic deformation // J. Mech. Phys. Solids. - 2004. - V. 52. - Р. 1289-1317.

19. Erieau P., Rey C. Modeling of deformation and rotation bands and of deformation induced grain boundaries in IF steel aggregate during large plane strain compression // Int. J. Plasticity. - 2004. - V. 20. -P. 1763-1788.

20. Raabe D, Zhao Z., Roters F. Study on the orientational stability of cube-oriented FCC crystals under plane strain by use of a texture component crystal plasticity finite element method // Scripta Mater. -

2004. - V. 50. - P. 1085-1090.

21. Roters F Application of crystal plasticity FEM from single crystal to bulk polycrystal // Comput. Mater. Sci. - 2005. - V. 32. - P. 509-517.

22. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: Application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Meth. Appl. Mech. - 2004. - V. 193. - P. 5359-5383.

23. Prasannavenkatesan R., Li B.Q., Field D.P., Weiland H. A parallel macro/micro elastoplasticity model for aluminum deformation and comparison with experiments // Metal. Mater. Trans. A. - 2005. -V. 36. - P. 241-256.

24. Tikhovskiy I., Raabe D., Roters F. Simulation of the deformation texture of a 17 % Cr ferritic stainless steel using the texture component crystal plasticity finite element method considering texture gradients // Scripta Mater. - 2006. - V. 54. - P. 1537-1542.

25. Hartig Ch., Mecking H. Finite element modelling of two phase Fe-Cu polycrystals // Comput. Mater. Sci. - 2005. - V. 32. - P. 370-377.

26. Hartig Ch., Mecking H. Crystal plastic finite element simulation of Fe-Cu polycrystals // Proc. ICOTOM 14. Mater. Sci. Forum. - 2005. -V. 495-497. - P. 1621-1626.

27. Buchheit T.E., Wellman G.W, Battaile C.C. Investigating the limits of polycrystal plasticity modeling // Int. J. Plasticity. - 2005. - V. 21.-P. 221-249.

28. Kovac M., Cizelj L. Modeling elasto-plastic behavior of polycrystalline grain structure of steels at mesoscopic level // Nucl. Eng. Design. - 2005. - V. 235. - P. 1939-1950.

29. Peeters B., Kalidindi S.R., Teodosiu C., van Houtte P., Aernoudt E. A theoretical investigation of the influence of dislocation sheets on evolution of yield surfaces in single-phase b.c.c. polycrystalls // J. Mech. Phys. Solids. - 2002. - V. 50(4). - P. 783-807.

30. Walde T., Riedel H. Interactive texture- and finite-element simulation including the Bauschinger effect // Proc. ICOTOM 14. Mater. Sci. Forum. - 2005. - V. 495-497. - P. 1523-1528.

31. Delannay L., Jacques P.J., Kalidindi S.R. Finite element modeling of crystal plasticity with grains shaped as truncated octahedrons // Int. J. Plasticity. - 2006. - V. 22. - P. 1879-1898.

32. Zaafarani N., Raabe D., Singh R.N., Roters F., Zaefferer S. Threedimensional investigation of the texture and microstructure below a nanoindent in a Cu single crystal using 3D EBSD and crystal plasticity finite element simulations // Acta Mater. - 2006. - V. 54. - P. 18631876.

33. Li W., Yang H., Sun Z.C. Explicit incremental-update algorithm for modeling crystal elasto-viscoplastic response in finite element simulation // Trans. Nonferrous Met. Soc. China. - 2006. - V. 16. - P. S624-S630.

34. Kuchnicki S.N., Cuitico A.M., Radovitzky R.A. Efficient and robust constitutive integrators for single-crystal plasticity modeling // Int. J. Plasticity. - 2006. - V. 22. - P. 1988-2011.

35. Terada K., Watanabe I. Computational aspects of tangent moduli tensors in rate-independent crystal elastoplasticity // Comput. Mech. -

2007. - V. 40. - P. 497-511.

36. Ocenarsek J., Ripoll M.R., Weygand S.M., Riedel H. Multi-grain finite element model for studying the wire drawing process // Comput. Mater. Sci. - 2007. - V. 39. - P. 23-28.

37. Asaro R.J. Micromechanics of crystals and polycrystals // Adv. Appl. Mech. - 1983. - V. 23. - P. 1-115.

38. Si L.-Y., Lu C., Tieu K., Liu X.-H. Simulation of polycrystalline aluminum tensile test with crystal plasticity finite element method // Trans. Nonferrous Met. Soc. China. - 2007. - V. 17. - P. 1412-1416.

39. Si L.-Y., Lu C., Huynh N.N., Tieu K., Liu X.-H. Simulation of rolling behaviour of cubic oriented Al single crystal with crystal plasticity FEM // J. Mater. Process. Tech. - 2008. - V. 201. - No. 1-3. - P. 79-84.

40. Watanabe I., Terada K., de Souza Neto E.A., Peric D. Characterization of macroscopic tensile strength of polycrystalline metals with two-scale finite element analysis // J. Mech. Phys. Solids. - 2008. - V. 56. -Р 1105-1125.

41. Bieler T.R., Eisenlohr P., Roters F, Kumar D., Mason D.E., Crimp M.A., Raabe D. The role of heterogeneous deformation on damage nucleation at grain boundaries in single phase metals // Int. J. Plasticity. - 2009. - V. 25. - No. 9. - P. 1655-1683.

42. Неkansson P., Wallin M., Ristinmaa M. Prediction of stored energy in polycrystalline materials during cyclic loading // Int. J. Solids Struct. - 2008. - V. 45. - Р 1570-1586.

43. Rezvanian O., Zikry M.A., Rajendran A.M. Microstructural modeling in f.c.c. crystalline materials in a unified dislocation-density framework // Mater. Sci. Eng. A. - 2008. - V. 494. - Р. 80-85.

44. De Souza Neto E.A., Feijmo R.A. On the equivalence between spatial and material volume averaging of stress in large strain multi-scale solid constitutive models // Mech. Mater. - 2008. - V. 40. - Р. 803811.

45. Haldrup K., McGinty R.D., McDowell D.L. Effects of constraints on lattice re-orientation and strain in polycrystal plasticity simulations // Comput. Mater. Sci. - 2009. - V. 44. - Р 1198-1207.

46. Prakash A., Weygand S.M., Riedel H. Modeling the evolution of texture and grain shape in Mg alloy AZ31 using the crystal plasticity finite element method // Comp. Mater. Sci. - 2009. - V. 45. - Р 744750.

47. Saai A., Louche H., Tabourot L., Chang H.J. Experimental and numerical study of the thermo-mechanical behavior of Al bi-crystal in tension using full field measurements and micromechanical modeling // Mech. Mater. - 2010. - V. 42. - Р 275-292.

48. Dingreville R., Battaile C.C., Brewer L.N., Holm E.A., Boyce B.L. The effect of microstructural representation on simulations of microplastic ratcheting // Int. J. Plasticity. - 2010. - V. 26. - Р. 617-633.

49. Quey R., Dawson PR., Barbe F. Large-scale 3D random polycrystals for the finite element method: Generation, meshing and remeshing // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng. - 2011. - 2011.01.002.

50. Mach J.C., Beaudoin A.J., Acharya A. Continuity in the plastic strain rate and its influence on texture evolution // J. Mech. Phys. Solids. -2010. - V. 58. - Р. 105-128.

51. Choi S.-H., Kim D.H., Lee H.W., Shin E.J. Simulation of texture evolution and macroscopic properties in Mg alloys using the crystal plasticity finite element method // Mater. Sci. Eng. A. - 2010. -V. 527.- Р 1151-1159.

52. Deshpande VS., Needleman A., van der Giessen E. Finite strain discrete dislocation plasticity // J. Mech. Phys. Solids. - 2003. - V. 51. -Р. 2057-2083.

53. Hassing P.M., Fang H., Wang Q. Identification of material parameters for McGinty’s model using adaptive RBFs and optimization // Struct. Multidisc. Optim. - 2010. - V. 42. - Р. 233-242.

54. Groh S., Marin E.B., Horstemeyer M.F., Zbib H.M. Multiscale modeling of the plasticity in an aluminum single crystal // Int. J. Plasticity. - 2009. - V. 25. - No. 8. - P. 1456-1473.

55. Fajoui J., Gloaguen D., Courant B., Guillen R. Micromechanical modelling of the elastoplastic behavior of metallic material under strain-path changes // Comput. Mech. - 2009. - V. 44. - Р. 285-296.

56. Madej L., Hodgson P. D., Pietrzyk M. Development of the multiscale analysis model to simulate strain localization occurring during material processing // Arch. Comput. Methods Eng. - 2009. - V. 16. -Р 287-318.

57. Tinga T, Brekelmans W.A.M., Geers M.G.D. A strain-gradient crystal plasticity framework for single crystal nickel-based superalloys // Report National Aerospace Laboratory NLR-TP-2005-628. - Amsterdam, 2005. - 35 р.

58. Балохонов P.P. Иерархическое моделирование деформации и разрушения материалов композиционной структуры: Дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Томск: ИФПМ СО РАН, 2008. - 306 с.

59. Романова В.А. Трехмерное моделирование процессов деформации и разрушения в структурно-неоднородных материалах: Дис. . докт. физ.-мат. наук. - Томск: ИФПМ СО РАН, 2008. - 298 с.

60. Bertram A., Bohlke T., Kraska M. Texture development of aluminum polycrystals under finite plastic deformations // IUTAM Symposium on Micro- and Macrostructural Aspects of Thermoplasticity / Ed. by O.T. Bruhns, E. Stein. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.- P. 127-136.

61. Bate P.S., da Fonseca J. Quinta. Texture development in the cold rolling of IF steel // Mater. Sci. Engng. A. - 2004. - V. 380. - P. 365377.

62. Li S., Kalidindi S.R., Beyerlein I.J. A crystal plasticity finite element analysis of texture evolution in equal channel angular extrusion // Mater. Sci. Engng. A. - 2005. - V. 410-411. - P. 207-212.

63. Kalidindi S.R., Donohue B.R., Li S. Modeling texture evolution in equal channel angular extrusion using crystal plasticity finite element models // Int. J. Plasticity. - 2009. - V. 25. - P. 768-779.

64. Inal K., Neale K.W. High performance computational modeling of microstructural phenomena in polycrystalline metals // Advances in Engineering Structures, Mechanics & Construction / Ed. by M. Pandey et al. - Springer, 2006. - P. 583-593.

65. Lee M.-G., Wang J., Anderson PM. Texture evolution maps for upset deformation of body-centered cubic metals // Mater. Sci. Engng. A. -2007. - V. 463. - P. 263-270.

66. Zhao Z., Kuchnicki S., Radovitzky R., Cuitino A. Influence of ingrain mesh resolution on the prediction of deformation textures in fcc polycrystals by crystal plasticity FEM // Acta Mater. - 2007. - V. 55.-P. 2361-2373.

67. Van Houtte P., Kanjarla A.K., van Bael A., Seefeldt M., Delannay L. Multiscale modelling of the plastic anisotropy and deformation texture of polycrystalline materials // Eur. J. Mech A. Solids. - 2006. -V. 25. - P. 634-648.

68. Van Houttel P., van Bael A., Seefeldt M., Delannay L. The application of multiscale modelling for the prediction of plastic anisotropy and deformation textures // Proc. ICOTOM 14. Mater. Sci. Forum. -

2005. - V. 495-497. - P. 31-44.

69. Peeters B., Seefeldt M., Teodosiu C., van Houtte P., Aernoudt E. Work hardening-softening behaviour of b.c.c polycrystalls during changing strain paths: I. An integrated model based on substructure and texture evolution, and its prediction of the stress-strain of an IF steel during two-stage strain paths // Acta Mater. - 2001. - V. 49. -P. 1607-1619.

70. Peeters B., Bacroix B., Teodosiu C., van Houtte P., Aernoudt E. Work hardening-softening behaviour of b.c.c polycrystalls during changing strain paths: II. TEM observations of dislocation sheets in an IF steel during two-stage strain paths and their representation in terms of dislocation densities // Acta Mater. - 2001. - V. 49. - P. 1621-1632.

71. Gerard C., Bacroix B., Bornert M., Cailletaud G., Crepin J., Leclercq S. Hardening description for FCC materials under complex loading paths // Comput. Mater. Sci. - 2009. - V. 45. - P. 751-755.

72. Semiatin S.L., Salem A.A., Saran M.J. Models for severe plastic deformation by equal-channel angular extrusion // JOM. - 2004. - October. - P. 69-77.

73. Guan Y, Pourboghrat F., Barlat F. Finite element modeling of tube hydroforming of polycrystalline aluminum alloy extrusions // Int. J. Plasticity. - 2006. - V. 22. - P. 2366-2393.

74. Gambin W. Plasticity of crystals with interacting slip systems // Eng. Trans. - 1991. - V. 39. - P. 303-324.

75. Gambin W. Refined analysis of elastic-plastic crystals // Int. J. Solids Struct. -1992. - V. 29. - P. 2013-2021.

76. Yang D.Y., Kim K.J. Design of processes and products through simulation of three-dimensional extrusion // J. Mater. Process. Tech. -

2007.- V. 191. - P. 2-6.

77. Li S. Orientation stability in equal channel angular extrusion. Part I: Face-centered cubic and body-centered cubic materials // Acta Mater. -

2008. - V. 56. - P. 1018-1030.

78. Li S. Orientation stability in equal channel angular extrusion. Part II: Hexagonal close-packed materials // Acta Mater. - 2008. - V. 56. -P. 1031-1043.

79. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

80. AdamsB.L., Henrie A., HenrieB., Lyon M., KalidindiS.R., Garmesta-ni H. Microstructure-sensitive design of a compliant beam // J. Mech. Phys. Solids. - 2001. - V. 49. - No. 8. - P. 1639-1663.

81. Kalidindi S.R., Houskamp J., Proust G., Duvvuru H. Microstructure sensitive design with first order homogenization theories and finite element codes // Proc. ICOTOM 14. Mater. Sci. Forum. - 2005. -V. 495-497. - P. 23-30.

82. Sundararaghavan V, Zabaras N. Design of microstructure-sensitive properties in elasto-viscoplastic polycrystals using multi-scale homogenization // Int. J. Plasticity. - 2006. - V. 22. - No. 10. - P. 1799-1824.

83. Proust G., Kalidindi S.R. Procedures for construction of anisotropic elastic-plastic property closures for face-centered cubic polycrystals using first-order bounding relations // J. Mech. Phys. Solids. - 2006. -V. 54. - Р. 1744-1762.

84. Nakamachi E., Kuramae H., Sakamoto H., Morimoto H. Process metallurgy design of aluminum alloy sheet rolling by using two-scale finite element analysis and optimization algorithm // Int. J. Mech. Sci. - 2010. - V. 52. - Р. 146-157.

85. Habraken A.M. Modelling the plastic anisotropy of metals // Arch. Comput. Meth. Engng. - 2004. - V. 11. - No. 1. - Р. 3-96.

86. McDowell D.L. Viscoplasticity of heterogeneous metallic materials // Mater. Sci. Eng. R. - 2008. - V. 62. - Р. 67-123.

87. Horstemeyer M.F. Multiscale Modeling: A Review // Practical Aspects of Computational Chemistry / Ed. by J. Leszczynski, M.K. Shuk-la. - Dordrecht: Springer Science Business Media B.V., 2009. - Р. 87135.

88. Roters F., Eisenlohr P., Hantcherli L., Tjahjanto D.D., Bieler T.R., Raabe D. Overview of constitutive laws, kinematics, homogenization and multiscale methods in crystal plasticity finite-element modeling: Theory, experiments, applications // Acta Mater. - 2010. - V. 58. -Р. 1152-1211.

89. McDowell D.L. A perspective on trends in multiscale plasticity // Int. J. Plasticity. - 2010. - V. 26. - No. 9. - P. 1280-1309.

90. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.

91. Рыгбин В.В. Закономерности формирования мезоструктур в ходе развитой пластической деформации // Вопросы материаловедения. - 2002. - № 1(29). - С. 11-33.

92. Рыгбин В.В. Закономерности формирования мезоструктур в ходе развитой пластической деформации // Вопросы материаловедения. - 2003. - № 1(33). - С. 9-28.

93. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 1. Жесткопластические и упругопластические модели // Вестник ПГТУ. Механика. - 2011. - № 1. - С. 5-45.

94. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2. Вязкопластические и упруго-вязкопластические модели // Вестник ПГТУ. Механика. - 2011. - № 2. - С. 101-131.

95. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 3. Теории упрочнения, градиентные теории // Вестник ПГТУ. Механика. - 2011. - № 3. - С. 146-197.

Поступила в редакцию 17.02.2011 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Швейкин Алексей Игоревич, ст. преп. ПНИПУ, alexsh59@bk.ru