Расчет на ЭВМ показателей долговечности лесных машин по результатам их незавершенных испытаний

70

Труды лесоинженерного факультета ПетрГУ

Расчет на ЭВМ показателей долговечности лесных машин по результатам их незавершенных испытаний

Питухин А.В.1 Шиловский В.Н.

Серебрянский НИ Петрозаводский государственный университет

В статье излагается основанный на методе Нельсона математический аппарат и последовательность расчета на ЭВМ среднего и гаммапроцентного ресурса по случайно усеченным данным без замен. В основу положен параметрический метод. Рассматриваются законы нормального распределения, логарифмически нормальный закон и распределение Вейбулла.

Ключевые слова: показатели долговечности, гамма-процентный ресурс, цензурированная выборка, закон распределения.

ВВЕДЕНИЕ

При проведении ресурсных испытаний часто складывается ситуация, в которой часть машин, не доработав до предельного состояния, снимается с наблюдения. При этом имеют место случайно усеченные данные (так называемая цензурированная выборка). Обработка их стандартными методами математической статистики невозможна. Для расчета среднего и гамма-процентного ресурсов в этом случае применяются графоаналитические методы, основанные на линеаризации зависимости факториального и результативного признаков. Расчет показателей на ЭВМ с использованием подобных методов затруднителен и неточен. В данной статье излагаются основанный на методе Нельсона [1,2] математический аппарат и последовательность расчета на ЭВМ среднего и гамма-процентного ресурса по случайно усеченным данным без замен.

М - число машин, имеющих наработку до

предельного состояния (имеющих ресурсный отказ);

Ь - наработка машины с ресурсным отказом;

1 = 1/4 .

где

ц - условный номер машины с ресурсным отказом;

Ч = 1Ч-К+1,

где

N - общее число машин, поставленных на испытание;

К - порядковый номер машины с ресурсным отказом в общем порядке поставленных на испытание машин.

Функция W(L) интенсивности замен связана с эмпирической функцией распределения ресурсов И(Ь) выражением:

\У

По рассчитанной функции \\^(Ь) определяется

функция Р(Ь). При предположении справедливости гипотезы о принадлежности опытных данных к нормальному закону можно записать выражение для квантиля нормального закона распределения (Л:

и =------— или и=~Ь---------— ,

а а а

где

Ьср - оценка среднего ресурса испытываемых машин:

СГ - оценка среднего квадратического отклонения ресурса.

Квантили функции нормального распределения имеют линейную зависимость от наработки Ь. С другой стороны, используя опытные данные, можно получить уравнение однофакторной линейной регрессии вида:

У = В0 + В,Х,

МЕТОДИКА РАСЧЕТА

Сущность метода заключается в оценке интегральной функции N¥(1^) интенсивности замен, определяемой по формуле:

в которой факториальным признаком является наработка Ь, результативным - квантиль и Сравнивая уравнения (5) и (6), имеем

1___=-

В,

1

\¥(Ь) = ]Г1

где

1 А вторы, соответственно, заведующий и доценты кафедры технологии метаппов и ремонта © А.В.Питухин, В.Н.Шиловский,

Н.И.Серебрянский, 1996

По формулам (7) рассчитываются соответствующие оценочные параметры распределения ресурса при принятии гипотезы о принадлежности опытных данных к нормальному закону.

При предположении справедливости гипотезы о логарифмически нормальном распределении факториальным признаком будет являться логарифм наработки 1пЬ. Параметры логарифмически нормального закона определятся:

Питухин А.В.. Шиловский В.Н., Серебрянский Н.И. "Расчет на ЭВМ.

71

In L =----------------; а |П L = —

В, В,

При любом законе распределения справедлива формула:

F

При распределении Вейбулла функция распределения имеет вид:

Р(Ь) = 1 - ЕХР((- —)п) , а

где

а - параметр масштаба.

п - параметр формы распределения Вейбулла. Сравнивая уравнения (9) и (10), имеем

В,=

MIXjYj -ZXjYj М1Х;2-1ХГ1Х;

где

ХХ| - сумма факториального признака при і = 1,М;

X У| - сумма результативного признака при і = 1,М.

Доверительный интервал 3 математического ожидания определяется по формуле:

5 = -;=t(P.M -1) VM

I г,

\^

а

Логарифмируя выражение (II), получаем:

1§\¥

Выражение (12) показывает, что логарифмы интегральной функции интенсивности замен имеют линейную зависимость от логарифмов наработки.

При предположении справедливости гипотезы о принадлежности опытных данных к закону Вейбулла можно получить уравнение вида (6) линейной регрессии, в котором факториальным признаком является логарифм наработки, результативным - логарифм функции интенсивности замен

Сравнивая уравнения (6) и (12), имеем:

п = В,\а = КУ'^Ч

По выражению (13) определяются оценочные параметры распределения Вейбулла. По ним рассчитываются оценочные показатели ресурса при подтверждении гипотезы о принадлежности опытных данных к распределению Вейбулла.

Ьс1,=аГ\\ + -

а~ =а--т 1 +

Г 1 + -

где

Г - символ гамма-функции Эйлера.

Коэффициенты В 0 и В ! линейной регрессии определяются методом Крамера.

IX^-SYj-IXjYj-ZX; MlX^-IXj-IXj

где

ЦР,М-1) - квантиль распределения Стьюдента. соответствующий вероятности Р и числу степеней свободы М-1;

Р - доверительная вероятность.

Для выбора закона распределения опытных данных рассчитывается оценка коэффициента г корреляции по каждой проверяемой гипотезе:

(XV)cp-XcpYcp

Выбирается закон распределения, при котором коэффициент корреляции наибольший. Оценки гамма-процентного ресурса определяются по уравнению регрессии выбранного закона распределения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По изложенной последовательности аналитического расчета оценочных показателей ресурса составлена программа для ЭВМ на языке FORTRAN. Для решения задачи в компьютер вводятся данные: количество машин, поставленных на испытание; количество машин, имеющих по результатам испытаний ресурсный отказ; порядковые номера машин с ресурсным отказом; наработки машин с ресурсным отказом; доверительная вероятность.

Выходные величины: параметры распределений нормального, логнормального, Вейбулла; точечные и интервальные оценки ресурсных показателей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Nelson W. Theory and Application of Hazard of Plotting for Censored Failure Data // Technometrics . 1972. V.14. N4. H.945-965.

2. Методические указания для определения показателей долговечности изделий по результатам незавершенных испытаний или наблюдений. М.: ОНТИ-НАТИ, 1980.