Теоретико-решеточное моделирование геометрической разрешимости при сборке изделий

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 06. С. 118-130.

DOI: 10.7463/0617.0001226

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

04.05.2017 18.05.2017

УДК 004.942

Теоретико-решеточное моделирование геометрической разрешимости при сборке изделий

БОЖКО А.Н.1'* "аЬодДдко-атЬохл!

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В статье рассматривается задача анализа геометрической разрешимости при сборке сложных технических объектов. Показано, что любой геометрический тест должен выполняться в ситуации, которая согласована со сборочной структурой изделия. Предложено математическое описание и способ генерации таких ситуаций. Введены два утверждения о геометрической наследственности, позволяющие минимизировать число проверок. Показано, что математическим описанием последовательности сборки, свободной от геометрических препятствий, служит разрешенная цепь. Доказана теорема о разрешенных цепях, которая служит основой для применения алгебраических методов анализа геометрической разрешимости.

Ключевые слова: сборка, автоматизация проектирования сборочных процессов, геометрическая разрешимость, гиперграф, решетка

Введение

Геометрия изделия - это фундаментальное конструктивное свойство, которое оказывает сильное влияние на проектные решения сборочного передела. В процессе сборки происходит накопление геометрических особенностей, и конфигурация изделия постоянно усложняется. Если при установке первой и второй деталей геометрические ограничения не являются критическими, то для всех последующих операций необходимо учитывать возможные геометрические препятствия, которые усложняют или запрещают перемещение детали в пространстве собранного фрагмента изделия.

Сборочный процесс должен быть организован таким образом, чтобы ранее установленные детали не создавали геометрических препятствий для перемещения других деталей или сборочных единиц в служебное положение в изделии. Это важнейшее условие существования проектных решений в русскоязычных публикациях по автоматизации проектирования принято называть геометрической разрешимостью (геометрическим доступом), в англоязычных работах по computer aided assembly planning (CAAP) - Geometric obstacles (геометрические препятствия) [2,4,5,8,9].

Геометрический доступ при сборке можно рассматривать как важный частный случай общей проблемы анализа геометрической разрешимости сцен. Задана конфигурация сцены в п-мерном пространстве, n > 2. В общем случае, эта сцена может состоять из статических и динамических объектов. Требуется переместить выбранный элемент сцены из стартовой позиции в финальную, избегая столкновений с другими телами.

Наибольшее прикладное значение имеет задача геометрической разрешимости трехмерных сцен. Назовем только некоторые важные области ее применения: разработка промышленных симуляторов и компьютерных игр, программирование станков с ЧПУ и роботов-манипуляторов, автоматизация проектирования промышленных изделий, компьютерное моделирование физических процессов, автоматизированный синтез сложных органических соединений, компьютерное моделирование хирургических операций и пр. В настоящее время методы анализа геометрической разрешимости сцен интенсивно развиваются. Это направление современной информатики называется Collision detection (Анализ столкновений) [10].

Несмотря на внешнее сходство с общей задачей разрешимости трехмерных сцен, задача геометрического доступа при сборке сложных технических систем в общем случае не может быть эффективно решена универсальными методами анализа столкновений. Назовем основные причины.

Во-первых, высокая геометрическая сложность сцены, которую образует собранный фрагмент изделия. Главными источниками сложности являются большое число компонентов (изделия машиностроения могут состоять из нескольких тысяч и даже десятков тысяч комплектующих), полноценная трехмерная геометрия деталей, наличие корпуса, плотный монтаж конструктивных элементов, жесткие ограничения на свободу перемещений и допустимых положений составных частей, высокая точность позиционирования и др.

Во-вторых, в классической задаче анализа столкновений конфигурация геометрических препятствий (статических и подвижных) - это априорная информация, которая заранее задана. Для сборки технических систем предположение об определенности геометрических препятствий не выполняется. В самом деле, задачу геометрического доступа решают в ситуации, когда последовательность сборки изделия еще не выбрана, поэтому приходится использовать стратегию «generate and test» (породить и проверить), то есть синтезировать последовательность сборки и проверить ее на геометрическую разрешимость. В общем случае, такой подход оказывается совершенно неработоспособным, поскольку требует анализа каждой сборочной операции для п! последовательностей, где п -число деталей изделия, то есть (п-1)п! проверок.

В многочисленных работах по CAAP предложены различные процедуры геометрического анализа, позволяющие идентифицировать геометрические препятствия или найти минимальные запрещенные группировки деталей. Обстоятельный обзор методов геометрического анализа при сборке сложных технических объектов приведен [4]. К сожалению, в этих работах не обсуждается проблема минимизации числа геометрических проверок и

геометрические свойства изделий рассматриваются в отрыве от механической структуры изделия.

По этим причинам очень важной и актуальной является задача синтеза рациональной стратегии анализа геометрической разрешимости при сборке сложных технических объектов.

1. Математическое описание сборочной структуры изделия

В работах [1,4] предложена гиперсетевая модель сборочной структуры изделия. Показано, что адекватным математическим описанием собираемого изделия служит так называемый ^-гиперграф, вершины которого соответствуют деталям, а ребра описывают минимальные геометрически определенные группировки деталей, полученные в результате базирования (рис.1). В собранном изделии все механические связи реализованы, поэтому такое состояние изделия представляется в виде одновершинного гиперграфа без петель и изолированных ребер. В практике современной промышленности преобладают секвенциальные сборочные операции [8]. Математическим описанием секвенциальных операций является стягивание ребер степени два. Такие стягивания называются нормальными [1]. ^-гиперграфы образуют класс гиперграфов, которые можно преобразовать в точку последовательностью нормальных стягиваний ребер. Такие гиперграфы служат структурными моделями собираемых изделий.

а) 6)

Рис. 1. Конструкция крепления вала

Введем необходимые обозначения. Пусть X = (хг }"=1 - множество деталей некоторого изделия. Обозначим Н = (X, К) - гиперграф, описывающий сборочную структуру изделия. В [6] показано, что упорядоченная по включению совокупность всех ^-подграфов гиперграфа Н представляет собой решетку (Е(И), <) или в кратком обозначении - F(H).

Для любых двух ¿--подграфов (А, ЯА ) и (В, Яв ), А, В е X; ЯА, Яв е Я , решетки ДН) (А, ЯА ) < (В, Яв ) тогда и только тогда, когда А е В .

На рис. 2 изображена решетка всех ¿-подграфов конструкции крепления вала. На этом рисунке вершины решетки помечены номерами деталей, входящих в собираемое множество, которое представляется ¿-подграфом. Наименьшим элементом (нулем решетки, 0) является пустое множество, наибольшим элементом (единицей решетки, 1) служит собранное изделие.

1 3,3.4,5 6.7.9

Рис. 2. Решетка всех ¿-подграфов конструкции крепления вала

Для упрощения терминологии множество вершин ¿-гиперграфа будем называть ¿-множеством. Таким образом, каждый элемент решетки Р(Н) представляет некоторое ¿-множество.

Оказалось, что решетки Р(Н) - очень содержательные объекты. Их можно использовать для генерации основных проектных решений, которые принимаются на этапе технологической подготовки сборочного производства. В частности, они позволяют связать структурные свойства технической системы с геометрическими и, тем самым, исключить избыточные и некорректные проверки при анализе геометрической разрешимости.

2. Геометрическая и наследственность

Определение 1. Геометрической ситуацией назовем кортеж (А, х), где х - деталь, А-s-множество и

является ^-множествами.

Геометрическая ситуация представляет собой математической описание элементарной части сборочного процесса, для которой проверка на геометрическую разрешимость является осмысленной и необходимой. Во-первых, в геометрической ситуации (А, х) левый элемент А, является ^-множеством. Это скоординированное множество деталей, которое может содержать геометрические препятствия, запрещающие продолжение сборочного процесса. Во-вторых, объединение также представляет собой ^-множество. Это значит, что А содержит конструкторские базы, которые дают возможность установки детали х.

Решетка F(H) позволяет определить все возможные геометрические ситуации данного изделия X. Пусть некоторое ребро соединяет в F(H) две вершины, которые расположены на соседних уровнях решетки и отличаются только одним элементом (атомом решетки). Легко видеть, что пара, состоящая из вершины нижнего уровня и само ребро, представляет собой геометрическую ситуацию в смысле определения 1. Например, для решетки, показанной на рис. 2, ситуациями являются ({4,5,8},3); ({2,3,4,5,6,7,8},1), которые на рис. 2 выделены толстыми линиями. Иными словами, геометрические ситуации - это полуоткрытые ребра решетки F(H) и только они.

Определение. 2. Ситуацию (А, х) назовем разрешенной, если существует движение, которое переводит деталь х в служебное положение в изделии, то есть реализует 5-множество

Л\3{х}

в трехмерном пространстве. В противном случае ситуация называется запрещенной.

На рис. 3 показаны две ситуации, связанные с установкой подшипника 3 (рис.1, а): разрешенная (а) и запрещенная (б).

Рис. 3. Разрешенная (а) и запрещенная (б) геометрические ситуации

Пусть X - некоторое изделия, х - деталь, а А и В две геометрические ситуации, связанные с установкой данной детали.

Утверждение 1. Если ситуация (А, х) является разрешенной, то любая ситуация (В, х) такая, что В е А, также является разрешенной.

Действительно, если ¿-множество А не содержит геометрических препятствий для установки детали х, то их не может быть в меньшем по составу собираемом множестве В.

Утверждение 2. Если ситуация (А, х) является запрещенной, то любая ситуация (В, х) такая, что В з А, является запрещенной.

В самом деле, если ¿-множество А включает в себя геометрические препятствия, запрещающие установку х в служебное положение, то добавление новых деталей способно только усложнить конфигурацию В и не может устранить наличные запреты.

В [3] описан теоретико-игровой подход к анализу геометрической разрешимости при сборке сложных изделий. В данной работе изложены основные результаты, позволяющие минимизировать число геометрических проверок при помощи теоретико-решеточных методов.

3. Разрешенные цепи в решетке Г

Определение 3. Максимальная (А,В)-цепь решетки Р(Н), которая начинается в ¿-множестве А и заканчивается в ¿-множестве В называется разрешенной, если каждое ее ребро соответствует разрешенной геометрической ситуации.

Понятно, что максимальные разрешенные (0,1)-цепи описывают последовательности сборки изделия, которые удовлетворяют условию геометрического доступа. Совокупность всех таких цепей образует допустимое множество альтернатив в задаче выбора рациональной последовательности сборки по технологическим, производственным, экономическим и пр. критериям.

Определение 4. В решетке (Р, <) элемент А покрывает элемент В, если из А < С < В следует, что А = С или С = В [7].

Определение 5. Ранговой функцией решетки (Р, <), для которой справедливо цепное условие Жордана-Дедекинда, называется функция г: Р ^ N, задаваемая соотношениями:

• г(0) = 0;

• г(В) = г(А) +1, А, В е Р и В покрывает А [7].

Теорема. Пусть в решетке Р(Н) с ранговой функцией есть максимальная разрешенная (0,1)-цепь. Тогда для любого непустого ¿-множества А е Р(Н) существует максимальная разрешенная (0,А)-цепь.

Доказательство. Обозначим максимальную разрешенную (0,1)-цепь СЯ. Докажем теорему индукцией по значениям ранговой функции г. Базис индукции выполняется тривиально. В самом деле, ранговая функция г(А) = 1 только для атомов решетки Р(Я). Любой атом х образует в решетке геометрическую ситуацию вида (0, х), которая очевидно является разрешенной.

Пусть для любого элемента А решетки Р(Н) такого, что г(А) = г существует максимальная разрешенная (0,А)-цепь. Покажем, что такая цепь существует и для любого элемента решетки В такого, что г(В) = г+1.

Обозначим В , ] = 1, р все элементы решетки Р(Н) г-го ранга, которые покрывает элемент В. Пусть х1,...,хр - атомы решетки Р(Н) такие, что

Рассмотрим отображение ж : Р(Н) ^ СЯ, которое каждому элементу А решетки Р(Н) ставит в соответствие элемент ж(А), принадлежащий максимальной разрешенной цепи СЯ, такой, что А е ж(А) и элемент ж(А) имеет минимальную мощность среди всех вершин цепи СЯ с таким свойством. Очевидно, что отображение ж - изотонное, то есть Б > О ^ ж(Б) >ж(О), У Б, О е Р(Н) . Из этого следует, что выполняется неравенство

ж( В) > ж( В).

1) Пусть существует элемент В е \В] ^ х такой, что ж(В) > ж(В1) . Тогда вершины ж(В1) и ж(В) разбивают разрешенную цепь СЯ на три отрезка, как показано на рис. 4

ч

I

С*

Рис. 4. Разбиение максимальной разрешенной цепи СЯ на три отрезка

На рис. 4. линиями изображены ребра решетки Р(Н), жирные линии представляют разрешенные цепи и ситуации, точечным пунктиром показано отображение ж .

Рассмотрим, какому из трех отрезков цепи СЯ принадлежит ребро решетки, соответствующее атому х1. Поскольку х1 е В и х1 е ж(В), то и данное ребро заведомо не принадлежит отрезку [ж( В ),1] цепи СЯ.

Если ребро х1 принадлежит отрезку [0, ж(В )], то х1 е ж(В ) . Поскольку справедливо включение В е ж(В1), то имеем

Это значит, что | ж(В1) | < | ж(В) | и вершина ж(В) цепи СЯ не является минимальной, что противоречит исходному предположению теоремы.

Остается один вариант вхождения, а именно, ребро х1 принадлежит отрезку

[ж(В), ж(В)] цепи СЯ. В этом случае, какова бы ни была начальная вершина С ребра х1 в цепи СЯ, справедливо неравенство С >ж(В ) — В . Ситуация (С, х1) - разрешенная, поэтому ситуация ( В , х ) также является разрешенной, согласно утверждению 1.

По этой причине (0,В)-цепь, состоящая из разрешенной (0, В )-цепи и разрешенной ситуации ( В , х ), является разрешенной.

2) Пусть не существует элемента В е {В такого, что ж(В) > ж(В ) . Это значит, что ж(В ) = ж(В), ] = 1, р . Этот случай изображен на рис. 5.

Рис. 5. Все элементы ж(В.) отображаются в одну точку цепи СЯ

Обозначим С вершину цепи СЯ. которую покрывает элемент ж(В), а х - атом, соответствующий ребру {С, ж(В) }. Данную ситуацию можно записать в виде теоретико-множественного равенства С и В).

Рассмотрим элемент С л В = 1п{[Л, В} решетки F(H). Его можно представить в виде

для любого ^ -1, р.

Используя полученное выражение, найдем ранг элемента С л В. Это число равно

Ранг элемента С л В равен г, кроме того С л В < В . Эти два условия могут выполняться только в случае, когда В покрывает С л В.

Найдем ребро, которое соединяет элементы С л В и В в решетке Я(Н). Это ребро равно разности

причем данное равенство выполняется для любого 7 = 1, р. Ситуация (С, х) является разрешенной и С л В < С, поэтому и ситуация (С л В, х) - разрешенная, согласно утверждению 1. Ранее показано, что ранг элемента С л В равен I. По индуктивному предположению в решетке ¥(И) существует разрешенная (0, С л В) -цепь. Данная цепь и ситуация

(С л В, х) образуют разрешенную (0,В)-цепь. Теорема доказана.

Из теоремы немедленно следует, что множество всех разрешенных цепей решетки образует покрывающее дерево с корнем в вершине 0.

На рис. 6 изображена решетка конструкции крепления вала. На этом рисунке разрешенные цепи нарисованы пунктирными линиями, цепь СЯ изображена толстым пунктиром.

1,2.3.4,5 6,7,8

Рис. 6. Разрешенные цепи в решетке F

Доказанная теорема в точных алгебраических терминах описывает факт, который хорошо согласуется с геометрической интуицией человека. А именно, если существует хотя бы одна последовательность сборки изделия, которая свободна от геометрических

препятствий, то такая последовательность найдется и для любой связного и геометрически определенного фрагмента изделия. Результат теоремы распространяется на любую часть изделия, для которой принято решение о независимой сборке на отдельном рабочем месте. Такими частями могут быть сборочные единицы разных уровней, узлы, агрегаты и др.

Теорема о разрешенных цепях позволяет минимизировать число проверок на геометрическую разрешимость при автоматизированном проектировании процесса сборки. Автор планирует описать возможные подходы к решению данной задачи в следующей статье.

Заключение

Рассмотрена проблема минимизации числа геометрических проверок при синтезе последовательности сборки сложных изделий. Показано, что любая стратегия анализа геометрической разрешимости должна учитывать сборочную структуру изделия. Предложено математическое описание элементарной проверки, которое называется геометрической ситуацией. Множество всех геометрических ситуаций можно определить по решетке F(H). Введены два утверждения о геометрической наследственности, позволяющие минимизировать число геометрических проверок. Доказана теорема о разрешенных цепях в решетке F(H).

Список литературы

1. Божко А.Н. Алгебраические модели сборки изделия // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 12. С. 216-229. DOI: 10.7463/1216.0852565

2. Божко А.Н. Геометрическая разрешимость трехмерных сцен // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2013. № 3(92). С. 76 - 89.

3. Божко А.Н. Игровое моделирование геометрического доступа // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2009. № 12. Режим доступа: http://technomag.neicon.ru/doc/134322.html (дата обращения 21.01.2016).

4. Божко А.Н. Методы анализа геометрической разрешимости при сборке изделий // Интернет-журнал Науковедение. 2016. Т. 8. № 5(36). С. 72. DOI: 10.15862/82TVN516

5. Божко А.Н. Моделирование позиционных связей в механических системах // Информационные технологии. 2012. № 10. C. 27-33.

6. Божко А.Н. Теоретико-решеточная модель конструкции // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2011. № 9. Режим доступа: http://technomag.neicon.ru/doc/207577.html (дата обращения 09.11.2016).

7. Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки. Определения, свойства, примеры. 2-е изд. М.: URSS, 2013. 348 с.

8. Bahubalendruni M.V.A.R., Bibhuti Bhusan Biswal. A review on assembly sequence generation and its automation // Proc. of the Institution of Mechanical Engineers. Pt. C: J. of Mechanical Engineering Science. 2015. Vol. 230. No. 5. Pp. 824-838. DOI: 10.1177/0954406215584633

9. Delchambre A. Computer-aided assembly planning. L.; N.Y.: Chapman & Hall, 1992. 276 p. DOI: 10.1007/978-94-011-2322-8

10. Ericson C. Real-time collision detection. Amst.; Boston: Elsevier, 2005. 593 p.

Science ¿Education

of the Baumail MSTU

Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 06, pp. 118-130.

DOI: 10.7463/0617.0001226

Received: 04.05.2017

Revised: 18.05.2017

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Theoretical-Lattice Modeling of Geometric

Obstacles in the Assembly of Products

1 *

A.N. Bozhko1,

ab ozhko 'ginb oxju

:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: assembly, computer aided assembly planning, geometric obstacles, hypergraph, lattice

The geometry of the product is a fundamental constructive property that has a strong impact on the design choices of the assembly process. In the assembly process there is an accumulation of geometric features, and the product configuration grows increasingly complicated. The assembly process must be mounted in such a way that the previously set components do not interfere with the other components or assembly units moving to the service position in the product. The paper considers mathematical modeling methods of geometrical constraints of a product in the assembly process.

The mechanical constraints (joints and linkages), which make the position of components in the product specific, impose primary restrictions on possible product assembly sequences. Therefore, any tests for geometric obstacles should be consistent with the assembly structure of the product. The paper offers a matching method of geometric tests with the structural characteristics of the product.

Introduces a concept of the geometric situation in the form of configurations of an assembled product for which it is necessary to analyze obstacles and forbidden groupings. Shows that geometric situations are semi-open edges in the lattice F (H). Proposes the geometric heredity formalization, which is a basis for development of various procedures to minimize the number of tests for geometric obstacles. A mathematically described product assembly sequence with no geometric obstructions is the enabled chain. A theorem on the enabled chains of the lattice F (H) is proved. This theorem is of great practical importance. First, it allows obtaining an assembly sequence of any independently assembled fragment of the product (assembly unit, node, etc.). Secondly, it serves as the basis for the application of lattice methods for analyzing geometric obstructions in complex technical systems.

References

1. Bozhko A.N. Algebraic models of product assembly process. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2016, no. 12, pp. 216-229. DOI: 10.7463/1216.0852565

2. Bozhko A.N. Geometrical resolvability of three-dimensional scenes. VestnikMGTU i

m. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie [Herald of the Bauman MSTU. Instrument Engineering], 2013, no. 3(92), pp. 76-89 (in Russian).

3. Bozhko A.N.Game modelling of geometric access. Nauka i obrazovanie MGTU

im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2009, no. 12. Available at: http://technomag.neicon.ru/doc/134322.html , accessed 21.1.2016 (in Russian).

4. Bozhko A.N. Methods of analysis of geometric obstacles in the assembly of products. Internet-zhurnalNaukovedenie [Internet J. Naukovedenie], 2016, vol. 8, no. 5(36), p. 72.

DOI: 10.15862/82TVN516

5. Bozhko A.N. Modeling of positional relationships in mechanical systems. Informatsionnye tekhnologii [Information Technologies], 2012, no. 10, pp. 27-33 (in Russian).

6. Bozhko A.N. Theoretical lattice structural model. Nauka i obrazovanie MGTU

im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2011, no. 9. Available at: http://technomag.neicon.ru/doc/207577.html, accessed 09.11.2016 (in Russian).

7. Gurov S.I. Bulevy algebry, uporiadochennye mnozhestva, reshetki. Opredeleniia, svojstva, primery [Boolean algebras, ordered sets, lattices. Definitions, properties, examples]. 2nd ed. Moscow: URSS Publ., 2013. 348 p. (in Russian).

8. Bahubalendruni M.V.A.R., Bibhuti Bhusan Biswal. A review on assembly sequence generation and its automation. Proc. of the Institution of Mechanical Engineers. Pt. C: J. of Mechanical Engineering Science, 2015, vol. 230, no. 5, pp. 824-838. DOI: 10.1177/0954406215584633

9. Delchambre A. Computer-aided assembly planning. L.; N.Y.: Chapman & Hall, 1992. 276 p. DOI: 10.1007/978-94-011-2322-8

10. Ericson C. Real-time collision detection. Amst.; Boston: Elsevier, 2005. 593 p.