Моделирование процессов самоорганизации финансовых систем

2 1146) - 2007

ФИНАНСОВАЯ СИСТЕМА

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ САМООРГАНИЗАЦИИ ФИНАНСОВЫХ СИСТЕМ

Д.Г. ЕГОРОВ,

доктор философских наук, профессор

Псковский государственный педагогический университет

Вторая половина ХХ в. ознаменовалась в большинстве стран мира прогрессирующим отрывом процессов на фондовых и финансовых рынках от реальной экономики. Так, Г. Мартин и Х. Шуман отмечают, что уже в 1995 г. совокупный мировой оборот фьючерсов за год составлял 41 трлн дол. (причем только 2 — 3 % этой финансовой системы реально страхуют риски торговли и промышленности, а остальные полностью оторваны от реальной экономики)1.

Во многих экономических исследованиях эксплицированы эмпирические закономерности этого процесса и конкретные механизмы функционирования складывающейся на наших глазах мировой финансовой мета-системы2. В то же время в экономической печати почти отсутствуют работы, дающие объяснение процессов финансовой глобализации на уровне теоретических моделей. Это достаточно закономерно и связано с господством в экономической теории априорно-равновесных микроэкономических подходов, в принципе не годящихся для объяснения актуально наблюдаемых на мировых финансовых рынках ситуаций длительного неравновесия.

Эта ситуация стимулирует поиски новых подходов к описанию экономической реальности. В настоящей работе для исследования не линейных эффектов в финансовых системах мы предлагаем математическую микроэкономическую модель, построенную на основе базисной метафоры нелинейной диффузии, с обращением к теории самоорганизации (синергетики).

1 Мартин Г., Шуман Х. Западня глобализации. М., 2001. С. 81 — 82; см. также: Сорос Дж. Кризис мирового капитализма. Открытое общество в опасности. М.: ИНФРА-М, 1999.

2 Так, Н. Абдулгамидовым и С. Губановым показано, что процесс финансовой глобализации может быть представлен как ряд последовательных циклов попеременного искусственного раздувания либо рынков акций ведущих корпораций США, либо рынка государственных облигаций, с последующими управляемыми биржевыми крахами, потери в которых несут почти исключительно неамериканцы. — Абдулгамидов Н., Губанов С. Двойные стандарты однополюсной глобализации // Экономист. 2003. № 12. С. 20 - 38.

Синергетика и экономическая теория. Прежде чем продолжить наши рассуждения, поясним, что мы понимаем под самоорганизацией3. Математическим языком концепции самоорганизации (синергетики) является исследовательская программа качественного анализа динамических систем А. Пуанкаре, выдвинутая им в конце XIX в. Она послужила основой для исследований теории нелинейных колебаний и волн, теории бифуркаций и др. Междисциплинарное направление исследований «теории самоорганизации» сложилось при слиянии концепций нескольких изначально независимых направлений: кибернетики, термодинамики необратимых процессов, кинетической теории химических реакций, экологии, физической теории фазовых переходов, фрактальной геометрии — после того, как выяснилось, что во всех вышеперечисленных областях при всем их разнообразии процессы образования нетривиальных пространственных и/или временных структур без специфического воздействия извне описываются качественно подобными системами уравнений. Мультидисциплинарный успех синергетики последних десятилетий стимулирует дальнейшее ее приложение (как эвристического шаблона — в виде целенаправленного поиска способов описывать процессы как самоорганизующиеся) в других областях как естественных, так и общественных наук, в том числе и в экономике4.

3 Научно-философская мода на теорию самоорганизации привела к такому потоку публикаций на эту тему, что сам термин «самоорганизация» в глазах многих серьезных исследователей оказался несколько дискредитированным. Поэтому мы считаем необходимым в данном разделе раскрыть нашу трактовку синергетической проблематики: относительно кратко, отсылая заинтересованного в более основательном анализе этого вопроса читателя к специализированным работам (Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980; Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990 и др.).

4 ЗангВ.Б. Синергетическая экономика. М: Мир, 1999; Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на цикличность, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000; Лебедев В.В, Лебедев К.В. Математическое и компьютерное моделирование экономики. М.: НВТ-Дизайн, 2002 и др.

Следует отметить, что ряд исследователей высказывали сомнения в плодотворности расширения области приложения синергетики на гуманитарные дисциплины. Так, В.Б. Губин, критикуя приложение синергетики в гуманитарных дисциплинах, пишет: «...ничего такого конкретного, как классическая термодинамика, и тем более линейного в качестве аналогии своим наукам они [гуманитарии] не воображали и ничего нового в их делах не появилось с развитием синергетики»5. Соглашаясь с В.Б. Губи-ным в том, что синергетический подход не должен сводиться к жонглированию новыми терминами (и не вступая в дискуссию по поводу гуманитарных наук в целом), заметим тем не менее, что конкретно к экономике приведенная цитата отнесена быть не может. Уже с XVIII в. (А. Смит) экономическая теория является предметом формального анализа на основе моделей атомизированного поведения отдельных субъектов (в ХХ в., как правило, - с максимизацией функции полезности как основой для математических моделей). При всем разнообразии таких подходов, они в принципе могут быть сопоставлены на формально-математическом уровне с уравнениями равновесной термодинамики. Безусловно, во многих случаях модели общего экономического равновесия в той или иной (часто — в очень значительной) степени адекватны процессам, происходящим в реальной экономике. Тем не менее это происходит не всегда: в таких областях, как фондовые и финансовые рынки, денежное обращение и кредит, экономические системы могут оставаться неравновесными неопределенно долгое время. По нашему мнению, все эти проблемные для современной экономической теории области и характеризуются развитием процессов экономической самоорганизации (и для этих случаев аналогия с нелинейной термодинамикой перестает быть сугубо формальной).

Важно отметить разницу в трактовке понятия «экономическая самоорганизация» с точки зрения обыденного и научного мышления. С точки зрения обыденного мышления самоорганизацией весьма часто именуют процесс рыночной балансировки цен. С синергетической же точки зрения этот процесс является не самоорганизацией, а достижением экономической системой положения равновесия в результате действия в ней механизмов обратной связи6. В самом деле: «невидимая рука»

5 Губин В.Б. Синергетика как новый пирог для «постне-классических ученых» или отзыв на автореферат докторской диссертации // Философские науки. 2003. № 2. С.123.

6 По этому поводу авторы сборника «Новое в синергетике»

справедливо замечают: «...ссылки на «самоорганизацию», бла-

годаря которой «рынок автоматически решит все проблемы», которыми грешили Г.Попов, Е.Гайдар и другие экономисты несколько лет назад, уже сейчас выглядят нелепостью.» : Новое в синергетике. М.: Наука, 1996. С. 7.

рынка не создает пространственно-временные структуры (различия в ценах, норме прибыли и т.д.), а, напротив, нивелирует их. Самоорганизация в экономике в строгом смысле этого понятия — это процессы самопроизвольного нарушения рыночной регуляции, с образованием устойчивых различий в тех или иных параметрах в различных частях (временных интервалах) экономической системы. Это такие явления, как циклы деловой конъюнктуры «подъем-спад» (колебательный режим), устойчивые отклонения обменных курсов валют от теоретически-равновесных значений, биржевые паники (режим хаотический) и т.д. Большая часть синергетических эффектов такого рода представляется с прагматической точки зрения вредными помехами, нежелательными с точки зрения интересов общества в целом (приводящими к искажению информации, переносимой системой цен). Но для того чтобы эти эффекты можно было предотвращать, следует как минимум понять, что лежит в их основе.

Необходимое условие для реализации процессов самоорганизации — способность элементов системы вступать как минимум в два качественно различных типа взаимодействия1. Элементы экономических систем удовлетворяют этому условию: с одной стороны, в экономике происходит обмен товарами (материальными предметами), с другой стороны, этот процесс имеет сопровождение в денежной (т.е. информационной) форме. Это порождает различные эффекты запаздывания сигнала (в силу разнесенности во времени и пространстве экономических трансакций: в конечном счете это оказывается оборотной стороной удобства, связанного с использованием денег). Так, в реальной экономике в отличие от идеальных макроэкономических моделей, ликвидация дисбаланса между спросом (C) и предложением (Y) не происходит мгновенно, а требует определенного характеристического времени (t). Как показано в ряде работ8, при превышении критического отношения C-Yк tрешения системы макроэкономических уравнений не сходятся к точке равновесия, а переходят в колебательный, а затем детерминированно-хаотический режим. Бифуркационные переходы в системах макроэкономических уравнений (с изменением основных макроэкономических показателей) могут возникать в результате

1 Подробнее об этом см.: Егоров Д.Г. Самоорганизация, энтропия, развитие: «порядок из хаоса» или «порядок из автономности»? // Философия науки. 2003. № 1 (16). С. 3 - 11; Егоров Д.Г., Егорова А.В. Самоорганизация экономического процесса с позиций нелинейной термодинамики // Общественные науки и современность. № 4, 2003. С. 135 - 146.

8 Шананин А.А. Об устойчивости рыночных механизмов // Математическое моделирование. 1991. Т. 3. № 2; Лебедев В.В., Лебедев К.В. Математическое и компьютерное моделирование экономики, и др.

целенаправленного перераспределения доходов9. Наконец, нелинейные эффекты могут быть связаны с субъективным влиянием на ход экономических процессов действий участников, примерами чего служат валютный и фондовый рынки: « [в естественных науках] существует только односторонняя связь между утверждениями и фактами... Если утверждение соответствует фактам, оно истинно, если нет, то оно ложно. Но в случае с мыслящими участниками все складывается по-другому... С одной стороны, участники пытаются понять ситуацию, в которой они участвуют. Они пытаются создать картину, соответствующую реальности. Я называю это пассивной, или когнитивной, функцией. С другой стороны, они пытаются оказать влияние, подделать реальность под их желания. Я называю это активной функцией, или функцией участника. Когда реализуются одновременно обе функции, — я называю такую ситуацию рефлексивной10. Когда обе функции реализуются одновременно, они могут вмешиваться в действия друг друга... Следовательно, понимание участников не может рассматриваться как объективное знание. И поскольку их решения не опираются на объективное знание, то, естественно, результат будет расходиться с их ожиданиями»11.

Отметим, что нелинейные эффекты рассогласования спроса и предложения есть частный случай влияний на экономическую действительность принципиального несовершенства мышления участников: такое рассогласование есть следствие того, что при задержке информации, проходящей через систему цен (а эта задержка в условиях крупного производства неизбежна), инвестор вынужден моделировать будущую конъюнктуру; кризис есть не что иное, как следствие несовершенства моделей, на основе которых инвесторы принимают решения о разворачивании избыточных производственных мощностей («если в этом году спрос повысился в два раза, значит, и в следующем он будет расти.»). Но если в случае дисбаланса спроса-предложения можно хотя бы теоретически представить создание совершенных моделей формирования спроса (так как спрос и предложение формируются различными субъектами рынка, и действия инвесторов не связаны с покупателями), то в случае фондового рынка действия участника непосредственно меня-

9 Чернавский Д. С., СтарковН.И., ЩербаковА.В. О проблемах физической экономики // Успехи физических наук. 2002. Т. 172. № 9.

10 В дальнейшем изложении мы будем использовать понятие рефлексивгого финансового процесса, под которым мы, вслед за Соросом, понимаем такие последовательности событий на фондовых и валютных рынках, на ход которых оказывают существенное влияние мысли и представления участников.

11 Сорос Дж. Кризис мирового капитализма. Открытое об-

щество в опасности. С. 17.

ют конъюнктуру рынка — т. е. степень рефлексивности процесса в этом случае значительно выше.

Моделирование финансовых систем. При рассмотрении фондового или валютного рынка адекватен, по нашему мнению, микроэкономический подход, но (в отличие от неоклассической идеализации рационального эгоизма) дополненный некими дополнительными параметрами, отражающими рефлексивность (в терминологии Дж. Сороса). Это означает не что иное, как учет факта, что в реальности люди принимают решения не только на основе цен, но и пользуясь иными, качественно отличающимися каналами передачи информации (от промышленного шпионажа до политических новостей). С точки зрения экономического описания это же будет означать, что предельная полезность меняется не только в результате обмена на рынке, но и по каким-то дополнительным причинам.

Решение этой задачи — дело отнюдь не тривиальное. Тот же Дж. Сорос по этому поводу пишет: «...(синергетический) подход более пригоден для изучения общественных явлений, по сравнению с аналитическими методами. Но даже и здесь приходится сталкиваться с недостаточным пониманием различий между общественными и природными явлениями»12.

Тем не менее попробуем продвинуться в нашем исследовании, поставив вопрос об адекватном аналоге рефлексивного финансового процесса среди моделей теории самоорганизации. На наш взгляд, в первом приближении таким аналогом может выступить модельное уравнение распространения тепла в нелинейной среде с горением13:

Т =

где Т — температура;

I — время;

Т = дТ/д1 (первая производная, то есть скорость изменения температуры во времени);

12 Сорос Дж. Мои философские взгляды // Соросовский образовательный журнал. 1996. № 2. С. 7.

13 Другим типом модельных систем, глубоко исследованных в последние десятилетия, являются системы уравнений типа «реакция-диффузия» («брюсселятор», и др.: см. подробнее Пригожин И.Р., Стенгерс И. Время, хаос и квант: К решению парадокса времени. М.: Прогресс, 1999). В результате их решения при определенных отношениях управляющих параметров получаются стационарные пространственно-временные структуры. В отличие от моделей типа «брюсселятор», модели нелинейной среды с горением дают при решении нестационарные структуры: возникающие локально, некоторое время живущие, и распадающиеся. Кроме того, в системах типа «брюсселятор» бифуркации (т.е. ветвление решений, на макроуровне проявляющееся как смена режима функционирования системы) возможны, как правило, при изменении параметров среды, в то время как в моделях нелинейной среды с горением они возможны при изменении только лишь начальных условий. Все эти свойства наблюдаются и на финансовых рынках, что и обусловливает наш выбор.

ЦТ) — нелинейный коэффициент теплопроводности, меняющийся в зависимости от изменения температуры: к(Т) = к1 Та; к12 — коэффициенты (к12 > 0, а, в > 1). Правая часть этого уравнения состоит из двух членов, первый из которых описывает рассеяние теплоты в результате диффузии14, второй — процесс горения. Если в = 1, то мы имеем дело с экспоненциальным процессом; Т в степени в > 1 означает, что с ростом температуры интенсивность процесса горения нарастает более интенсивно, чем в экспоненциальном случае. Если процесс достаточно длительное время развивается по такому закону, то мы имеем дело с режимом с обострением (достижением бесконечной температуры за конечное время). Теория этих процессов, описываемых модельным уравнением (1), подробно рассматривается в ряде работ15. Основные качественные различия в видах режимов возникают в зависимости от отношения а и в, т. е. от сравнительной интенсивности генерации тепла и его диффузии. Если а+1=в, то горение локализуется в области максимального начального теплового возмущения с характеристической длиной Lт, имеет место самоподдерживающаяся тепловая изоляция активной зоны процесса с тенденцией к бесконечному возрастанию температуры в зоне локализации (¿-режим: см. рис. 1, а). В случае, если тепло генерируется более интенсивно, чем рассеивается (а + 1 < в) мы имеем дело с ¿¿-режимом горения (рис. 1 в). При нем тепло также локализуется в области максимального начального теплового возмущения с характеристической длиной Ьт однако максимальный пик Т с развитием процесса сужается (в отличие от S-режима, где его ширина равна 1Т). Наконец, в случае а+1>в когда диффузия преобладает над генерацией тепла, процесс развивается в Ж-режиме (рис. 1, б): температура в этом случае стремится к бесконечному росту во всех точках. Понятно, что если 1 > в, процесс всегда развивается в Ж-режиме.

Теперь дадим интерпретацию уравнения (1) с точки зрения процессов роста котировок на фондовом рынке (в контексте моделирования рефлексивного процесса). Среда, в которой происходит процесс, характеризуемая координатой х (0 > х > И), интерпретируется как различные виды выставляемых на торги ценных бумаг (ЦБ) общим числом N (если ^достаточно велико, то использование непрерывной функции здесь оправданно). Т в точке х — степень желания участников торгов купить акцию «х», то есть субъективная «полезность» данной ЦБ: если Т = 0, то это значит, что

Рис. 1. Профили температуры Т для различных моментов времени

отношение доходность/цена для данной ЦБ «х» средняя для данного рынка; если Тх> 0, то это значит, что существует ажиотажный спрос на «х»; с ростом Трастет, соответственно, и цена «х»16. Диффузии тепла (первый член уравнения (1)) соответствует процесс сглаживания ажиотажных отклонений цен в процессе торгов17. Наконец,

14 Уравнение (2) моделирует одномерный процесс по пространственной координате х; при переходе к двух- или трехмерному процессу вторую производную Т по х следует соответственно заменить на дифференциальный оператор Лапласа.

15 Режимы с обострением. М.: Наука, 1998 и др.

16 При численном моделировании мы можем выражать Т в безразмерных единицах. Связь Тс ценой задается некоей функцией полезности; нахождение ее конкретного вида — отдельный вопрос, выходящий за пределы нашего исследования.

17 В случае рассматриваемого нами одномерного приближения предполагается, что ценные бумаги могут быть расположены в единый ряд, соседние точки которого как-то связаны между собой своими свойствами, так что флуктуации котировок в точке х0 сказываются сначала на наиболее близких по свойствам к инициаторам ценных бумагах, затем во все более слабом виде распространяются дальше. В общем случае можно рассматривать многомерное пространство ЦБ с соответствующим переходом к многомерной диффузии. Чем выше размерность этого идеального пространства, тем выше степень связи различных типов ЦБ между собой. Далее мы обсуждаем эту проблему подробнее.

аналог горения [второй член уравнения (1)] — и есть собственно рефлексивный процесс, в котором акции растут в цене потому, что они растут в цене. Как известно из практических наблюдений, в случаях ажиотажного спроса процесс нарастает лавинообразно, что и отражается в степенной зависимости с коэффициентом в >1 (всякий процесс распространения информации развивается по принципу цепной реакции и адекватно моделируется степенной функцией). Первоисточником данного аналога горения (то есть роста ажиотажной информации) может быть как случайная флуктуация, так и спланированная кем-либо извне акция — в рамках рассматриваемой модели это не важно. В рамках нашей аналогии LS- и S-режимы соответствуют лавинообразному росту отдельных ЦБ или групп ЦБ (типа феномена МММ); Ж-режим — это рост финансового пузыря в размере рынка в целом (типа роста котировок высокотехнологичных компаний на фондовом рынке США 1990-х гг.).

Теперь попробуем сделать нашу достаточно абстрактную модель более реалистичной. В действительности процессы ажиотажного роста котировок (также как и горение) никогда не идут до бесконечности. В модели (1) это может быть учтено либо введением ступенчатой функции 9 (исключающей член к2Тв при достижении Т порогового значения р), либо добавкой в базовое уравнение (1) третьего члена, — в этом случае исследуемое уравнение примет вид:

Т==(к(Т) Т)х + к2 Iе- к3 Т V,

при условии (к2 > к3, * > в). В случае рассмотрения тепловых процессов введенный нами новый член отражает тот факт, что с развитием процесса топливо выгорает или начинаются эндотермические реакции с поглощением тепла. В модели фондового рынка данный член отражает следующую эмпирическую закономерность: чем сильнее котировка «перегрета», тем выше вероятность, что участники торгов будут выходить из игры — в сущности, этот член отражает не что иное, как связь с реальностью, отраженную в реальной степени доходности ЦБ.

Следующий шаг в конкретизации нашей модели — учет того, что в отличие от горения ажиотажный спрос возникает не при любой флуктуации первичного распределения Т, а лишь при превышении значения Ткакого-то критического порога (часто весьма значительного). Этого можно добиться введением ступенчатой функции 9, ограничивающей член к2Т снизу (9=0, если к27К е, в ином случае 9 =1):

Т==

Далее, в общем случае значения коэффициентов к123 а, в, V для разных участников торгов (их об-

щее число обозначим N, а конкретного участника — индексом .) будут отличаться (можно предположить, что все эти коэффициенты будут связаны между собой определенными пропорциями, а абсолютное значение их будет функцией финансовых резервов конкретного участника торгов). В этом случае от уравнения (3) мы переходим к системе п-уравнений:

Т Г

N

Суммирование по . X Т означает, что ажио-

1=1

тажный спрос растет как степенная функция от совокупного «перегрева» оценки той или иной ЦБ всеми участниками торгов (общеизвестно, что паника, в том числе и финансовая, есть «стадное чувство»)18, в то время как «остывает» каждый участник индивидуально.

Наконец, для численного исследования нашей модели19 следует произвести переход от дифференциальных уравнений к дискретному отображению. Заметим, впрочем, что если при исследовании физических систем такого рода переход есть вынужденный компромисс, связанный с невозможностью аналитического решения нелинейных уравнений, то в случае анализируемой нами ситуации фондового рынка как раз дифференциальные уравнения являются менее точной моделью, чем дискретные разностные схемы. К дифференциальным уравнениям исследователи экономико-математических моделей прибегают в силу развитого аппарата их исследования, однако переход от экономической реальности к дифференциальному исчислению предполагает гипотезы непрерывности и полной выпуклости — в общем случае неадекватные экономическим реалиям20. В прообразе нашей модели дискретны и виды ЦБ, и сами участники, и время (ибо торги, как правило, идут с определенным временным интервалом). Для общего количества видов ЦБ = X и количества участников N мы можем построить клеточный автомат Х х N, каждая клетка которого содержит значения Т.х (х = 1,2 ... X; X, 2... Ы), получаемые на каждом последующем шаге

18 Такое простое суммирование предполагает, что информация о предпочтениях участников распространяется мгновенно, что соответствует условиям фондового рынка. В общем случае можно построить более сложную модель, где рассматриваемая сумма будет заменена на I. ЛТ., г), где г. — информационное расстояние, т. е. степень влияния на конкретного участника оценок других субъектов.

19 Этот шаг необходим, так как аналитическое исследование такого рода систем в общем случае не может быть выполнено — современная математическая физика не умеет (за редкими исключениями) решать нелинейных уравнений.

20 См., например: Алле М. Условия эффективности в экономике. М., 1998. С. 229 - 234, 254.

отображением T ^ t+1T(индексы j,x при T, к, k,, k3 для компактности записи опущены):

<+1T=T + к1 Та

где ДТх-1 х х+1 есть разница значений Тмежду соседними клетками (разностный аналог градиента).

Дискретное отображение (5) позволяет моделировать условия запуска рефлексивного фондового процесса. Возможны два принципиально различных рефлексивных источника нестабильности фондового рынка: случайные флуктуации и целенаправленная спекулятивная деятельность. Оба этих процесса могут быть отражены предлагаемым нами клеточным автоматом: случайные флуктуации моделируются тем или иным начальным неравновесным распределением Т; спекуляции же можно моделировать, задав возможность для некоторых участников (клеточек нашего автомата) изменять Т независимо от закона функционирования автомата (5)21.

Такое численное моделирование было нами проведено с использованием пакетов MathCad и Pascal-Delphi. Как в одномерном (N= 1), так и в двухмерном случае заданием инициирующей флуктуации мы легко получили рост Т с обострением, качественно различающийся (LS-, S-, HS-режимы) в зависимости от соотношения и а. В отличие от случайных флуктуаций целенаправленная спекулятивная деятельность (когда ряд игроков по предварительному сговору понижает/повышает цену неких ценных бумаг, чтобы запустить рефлексивный процесс, а затем скупить/продать их на волне ажиотажа) моделируется системой (5) допущением для некоторых участников N(j) изменять некоторые Т(х) независимо от закона функционирования исследуемой модели: это дает возможность держать повышенные значения для некоторых Т(х) неопределенно долго.

Главный недостаток уравнений (1-5) как аналогов рефлексивного финансового процесса в том, что они предполагают задание меры по х: ЦБ в рамках моделей (1-5) фактически расположены в единый ряд, соседние точки которого как-то связаны между собой своими свойствами, так что флуктуации котировок в конкретной точке х(0) сказываются сначала на наиболее близких по свойствам к инициаторам ЦБ, затем во все более слабом виде распространяются дальше. Это — наименее реалистичное предположение модели. Можно ли модифицировать модель так, чтобы отказаться от этого предварительного условия?

Эту модификацию мы нашли, предположив, что в общем случае изменение цены на какую-либо ЦБ меняет предпочтения участника к другим ЦБ случайным образом. Для этого для каждого участника торгов мы строим двухмерную матрицу (А) взаимосвязи цен ЦБ размерностью [х х х], содержащую случайные числа. Соответственно, член (ДТх1 х х+1), моделирующий в дискретном отображении (5) диффузию, замещается на суммирование по х, и мы получаем следующий клеточный автомат:

t+lT=T + К Та ( ДТ - То) - Ах,0]) +

+ 0 k2( I Т)в - к Т*.

j=1

21 В сущности, это и есть схема любой спекулятивной биржевой операции: ряд игроков по предварительному сговору

понижают (повышают) цену неких ЦБ, чтобы запустить рефлексивный процесс, а затем скупить (продать) эти ЦБ на волне ажиотажа.

В отличие от системы (5), подобие клеточного автомата (6) и уравнения (1) интуитивно совсем не очевидно. Введенный нами новый член — тоже в некотором роде диффузия, но она описывается в форме, которая никак не является аналогом дифференциального оператора Лапласа. Вследствие этого исследование этого нового дискретного отображения может быть только численным (во всяком случае, способы аналитического исследования такого рода выражений нам неизвестны), и результаты его заранее непредсказуемы (в отличие от системы (5), результаты исследования которой, напротив, были вполне ожидаемы). Может ли отображение (6) демонстрировать режимы с обострением? В численном исследовании (6) нами были обнаружены LS-режимы с обострением: при условиях k1 >> k2, ^ « 0, в > а+1 (например: kl = 0,001, ^ = 0,1, в = 2,6, а= 1,5)22. По нашему мнению, это обнаружение режимов с обострением подтверждает законность нашей аналогии рефлексивных финансовых процессов и нелинейного горения.

Конечно, мы отдаем отчет в том, что сущность любой аналогии — неполнота, и численный эксперимент существенно слабее строгого аналитического доказательства. В данном случае, однако, аналитическое исследование свойств отображения (6) вряд ли возможно, а полученные для системы (6) режимы с обострением, которые можно поставить в соответствие процессам биржевых паник и спекуляций, позволяют нам рассматривать данный клеточный автомат как базовую модель рефлексивных финансовых процессов.

Подводя итог нашему исследованию рефлексивных финансовых процессов, отметим: уже достаточно простые микромодели показывают возможности перехода финансово-экономической системы в неустойчивый режим с обострением (как в результате случайной флуктуации, так и целенаправленной финансовой игры): любой рефлексивный процесс

22 При условии строгого равенства в= а+1 8-режим в системе (6) обнаружен не был.

подвержен резким и принципиально непредсказуемым колебаниям. Исключение — целенаправленная финансовая игра, для организаторов которой результат, конечно, предсказуем. За счет такого рода игр возникают сверхприбыли финансовых спекулянтов. С точки же зрения интересов общества такого рода колебания — явление крайне неблагоприятное. Модели самоорганизации в экономике позволяют заключить, что в конечном счете негативные эффекты экономической самоорганизации оказываются оборотной стороной удобства, связанного с использованием денег. На макроэкономическом уровне деньги — информационный агент, передающий сигналы между различными частями экономической системы; любые колебания искажают информационный сигнал, и хаотизируют экономику. Из этого вытекает, что

одной из главных задач денежной политики любого государства должна быть минимизация негативных рефлексивных эффектов денежного обращения.

Кроме того отметим, что уже сегодня существует ряд эффективных предложений по ограничению финансовых спекуляций (например, «налог Тоби-на» — Джеймс Тобин, лауреат Нобелевской премии по экономике предложил ввести налог на продажу валюты в размере 1 %. Так как маржа при международных валютных спекуляциях относительно невелика, а сверхдоход дают огромные объемы и многоэтапность сделок, такой налог может полностью блокировать всякую спекулятивную деятельность на международном уровне). Введение их, однако, тормозится по причинам политического, а не теоретико-экономического толка.