О некоторых общих формах уравнений движения систем с трением

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 103-115 Механика

УДК 531.44-46

О некоторых общих формах уравнений движения систем с трением

В. В. Никольский, Ю. П. Смирнов

Аннотация. Выполнен краткий обзор наиболее известных работ по уравнениям движения систем с сухим трением и приведены основные результаты авторов статьи в этой области.

Ключевые слова: системы с трением, уравнения движения, избыточные координаты, реакции связей, варианты опирания, вариантные индексы, удерживающие системы неудерживающих связей, линейное и квадратичное программирование.

1. Обзор работ по уравнениям движения систем с сухим трением. Построение общей теории движения механических систем с трением началось, по-видимому, в конце XIX века. Большинство курсов теоретической механики, созданных к этому времени, посвящались системам без трения, последнее рассматривалось лишь в отдельных частных приложениях.

В 1892 году была опубликована работа Аппеля [44], в которой распространялся принцип Даламбера-Лагранжа на системы с трением. Аппель использовал больше обобщенных координат, чем требовалось для чисто кинематического описания движения. Благодаря лишним координатам виртуальные перемещения точек системы можно сделать ортогональными к полным реакциям и, тем самым, исключить силы связей и силы трения из уравнений движения. К сожалению, этот метод оказывается эффективным для систем, состоящих из небольшого числа материальных точек. В системах, содержащих твердые тела, исключить таким образом реакции с трением не удается.

В 1895 году вышли из печати знаменитые «Лекции о трении» Пэнлеве [14,49], где в уравнения Лагранжа первого и второго рода введены некоторые комбинации функций, определяющих силы трения. Эти функции вычисляются из дополнительных соотношений, которые получаются в результате расчленения механической системы и, в конце концов, выражаются через коэффициенты трения. Даже в простых системах эти функции определяются довольно сложными выражениями, обращающимися в нуль, если все коэффициенты трения нулевые. Набор этих функций

определяет так называемый «закон трения» системы. Сложность «законов трения» вытекает из того обстоятельства, что Пэнлеве принял, на наш взгляд, неудобное для измерений, хотя и верное по существу, определение сил трения как разности между вектором полной реакции и силой связи (при отсутствии трения). Так определенный вектор силы трения в общем случае включает в себя часть нормальной компоненты полной реакции и потому неортогонален к вектору силы связи (при отсутствии трения), и отношение между модулями этих векторов не подчиняется закону Кулона. Пэнлеве подверг подробному анализу уравнения движения систем с трением и обнаружил парадоксы трения. Работа Аппеля, на наш взгляд, дает более удобный способ составления уравнений с трением.

В статье [2], которая является развитием работы Н.Г. Четаева [19], М.Ш. Аминов показывает, что принцип Гаусса в обычной форме нельзя распространить на негладкие связи, и приводит другую формулировку принципа, обобщающую его на системы с трением.

В работе [4] Е.Л. Бравин дал общую форму уравнений движения механизма с одной степенью свободы и с учетом трения скольжения.

B.C. Пугачев [13] получил уравнения движения, совершенно аналогичные по форме уравнениям Лагранжа и Аппеля, в которых вместо кинетической энергии и энергии ускорений фигурируют приведенная кинетическая энергия и приведенная энергия ускорений. В выражения приведенной энергии и приведенных обобщенных сил входят передаточные отношения и КПД передач, которые определяются из дополнительных соотношений, полученных в результате освобождения системы от связей.

В работах [1,12] приводятся уравнения движения систем с тремя степенями свободы. Одно из уравнений представляет собой уравнение Пугачева-Бравина и включает в себя инерционные силы, два других описывают прямолинейное переносное движение, отражающее специфику работы автоматического оружия.

В статье Б.Г. Кузнецова «Обобщенные виртуальные перемещения» [7] предлагается обобщение определения виртуальных перемещений, которые в отличие от обычного определяются не алгебраическими, а дифференциальными уравнениями. Связи системы задаются нелинейными дифференциальными соотношениями произвольного порядка, и вместе с уравнениями движения в форме Лагранжа они образуют систему разрешающих уравнений относительно обобщенных координат и множителей связей. В уравнения Лагранжа входят обобщенные реакции связей, которые задаются дифференциальными выражениями относительно множителей связей и некоторых функций, характеризующих взаимодействие точек системы и связей. Такие весьма общие построения обладают необычными свойствами. Например, для определения всех произвольных постоянных требуется знание «состояния» системы в два заданных момента времени. Или, например, возможны «такие реакции, при которых полная механическая энергия системы возрастает, хотя активные силы совершают

отрицательную работу». Такие реакции могут, вероятно, возникать в результате немеханических преобразований форм движения. Из этих общих построений можно получить уравнения движения для обычных (голономных и неголономных) систем с трением, что иллюстрируется определением функций взаимодействия при движении точки по плоской кривой. Однако, вид функций взаимодействия точек со связями для более сложных систем с трением представляется весьма громоздким.

В работе Н.Г. Четаева [20] установлен принцип Даламбера-Лагранжа без явно входящих в него реакций связей для возможных перемещений, ортогональных к действительным скоростям точек системы (для так называемых С-перемещений). Эти перемещения оказываются также перпендикулярными к силам трения и к нормальным реакциям. Опираясь на введенный принцип, Н.Г. Четаев выводит уравнения движения для неголономных систем с вязким трением.

В статье [10] Г.К. Пожарицкий, пользуясь линейной аксиомой реакций связей, исключил из уравнений движения реакции неидеальных связей. Полученные не содержащие реакций уравнения пригодны для систем с сервосвязями. В работе [11] из принципа Лагранжа получены уравнения движения неголономных систем с трением в форме уравнений Аппеля. В уравнения движения явно входят силы трения, выраженные через нормальные реакции, связи с трением считаются освобождающими. Дополнительные соотношения для вычисления нормальных реакций через состояние системы и заданные силы получаются из уравнений в той же форме введением дополнительных координат, последние обращаются в нуль вместе с производными после составления уравнений. Соотношения для реакций получаются линейными, так как предполагается, что состояние системы полностью определяет положение нормалей в точках соприкосновения звеньев. Во второй части работы анализируется движение систем, у которых в начальный момент некоторые обобщенные скорости имеют нулевые значения, при этом возможен застой по некоторым обобщенным координатам. Показано, что действительное движение реализует локальный минимум аналога функции принуждения. Дана формулировка принципа Гаусса для систем с трением.

Системам с трением посвящены три работы В.В. Румянцева. В статье [15] используется подход Аппеля к системам с неидеальными связями, для которых вводятся такие виртуальные перемещения, что реакции неидеальных связей не производят на них работу. Это могут быть системы с сервосвязями и системы с сухим трением. Последнее иллюстрируется примером, заимствованным у Аппеля [44]. Для таких систем из принципа Даламбера-Лагранжа, а затем и из принципа Гаусса выводятся уравнения движения в форме уравнений Лагранжа первого рода. Система уравнений движения замыкается присоединением к ней уравнений наложенных на систему связей. Затем для обобщенных координат из принципа Гаусса

получены уравнения движения в форме уравнений Аппеля, не содержащие неизвестных реакций и сил трения.

В работе [16] принято предложенное Пэнлеве общее определение систем с трением и дано обобщение на неголономные системы некоторых его результатов. Установлен принцип Гаусса для таких систем в двух формах -с явно входящими силами трения и без них. В последнем случае класс систем с трением ограничивается возможностью выбора перемещений, ортогональных к полным реакциям [15, 44]. Из принципа Гаусса выведены уравнения движения системы с трением.

В обзоре [17] среди прочего устанавливается принцип Гаусса в форме Н.Г. Четаева для механических систем с трением и для более общих физических систем.

Среди более поздних работ укажем статью До Шаня [6], который наряду с прочим получает уравнения В.В. Добронравова [5] для неидеальных связей. В другой работе [45] обсуждаются возможности распространения принципа Гаусса на системы с неидеальными линейными неголономными связями второго порядка. Уравнения движения систем записываются с использованием обобщенной функции Гаусса в голономных и неголономных координатах.

В статье Н.Я. Цыгановой [18] обобщенная форма принципа Гаусса распространяется на неголономные системы с неидеальными связями первого и второго порядка. Заметим, однако, что рассмотрение ограничивается классом систем, у которых возможные перемещения могут быть ортогональными к действительным скоростям точек.

В работе [50] излагаются известные принципы построения уравнений движения материальной системы, составленной из некоторого числа твердых тел, подчиненных связям с трением. Применением принципа освобождаемости система расчленяется на части, и силы трения включаются в число задаваемых сил. Различаются случаи, когда трение приводит к жесткому сцеплению отдельных тел, когда имеет место скольжение и смешанный случай.

В работе [8] для системы с одной степенью свободы и одной связью с сухим трением приводится вывод общего вида уравнений, разрешенных относительно обобщенного ускорения и нормальной реакции связи. На основе этих уравнений определены условия возникновения парадоксов Пэнлеве и условие перехода от неподвижного контакта к скольжению.

В большинстве цитированных работ авторы стремятся к качественному анализу движения и представляют взаимодействие между телами через точки, скользящие по поверхностям связей. Коэффициенты трения на разных поверхностях, реализующих удерживающие связи, считаются одинаковыми, а сами эти поверхности отождествляются. Несмотря на эти допущения в слагаемых уравнений движения, содержащих трение, появляются разрывные коэффициенты, что приводит к неоднозначности. Для отбора истинного движения применяют принцип Пэнлеве: «истинное

движение определяется без всякой двойственности, если допустить, что две твердые поверхности, которые при заданных условиях не оказывали бы друг на друга давления, если бы они были идеально гладкими, не действуют также друг на друга, если они являются шероховатыми» [14, 49]. Говоря иначе, отбрасывание трения не меняет варианта контакта. В реальных системах, где удержание тел на связях осуществляется разными поверхностями, принцип Пэнлеве может приводить к неверным результатам.

В работах Г.К. Пожарицкого связи с трением считаются односторонними, и потому вопроса о вариантах контакта не возникает. В работах инженерного направления [4, 12, 13] факт различия вариантов контакта осознается, например, в [4] введены понятия лобового и тылового КПД, но выбор варианта производится интуитивно в зависимости от участка циклограммы механизма.

Динамике механических систем с неудерживающими неидеальными связями посвящены работы П. Лотстедта [47, 48], в которых получен ряд достаточных условий отсутствия парадоксов. В работе [47] анализируется решение задачи о поведении двумерной системы жестких тел при действии Кулонова трения. Предполагается, что матрица инерционных характеристик системы единичная, излишние связи отсутствуют. Задача отыскания величин реакций связей в механической системе сводится к нахождению оптимума задачи квадратичного программирования. На основе теории линейной дополнительности получены условия существования и единственности решения.

Существенный вклад в динамику механических систем с неудерживающи-ми связями внес В.Ф. Журавлев [21-24]. Аппарат аналитической механики, разработанный для систем с удерживающими связями, плохо приспособлен для изучения движения систем с односторонними связями. Это объясняется тем, что неудерживающая связь превращает объект исследования в систему с переменным числом степеней свободы. В перечисленных работах показано, что проблему исключения освобождающих связей можно решить при помощи негладких необратимых замен обобщенных координат. Получаемые при этом дифференциальные уравнения динамики типа Рауса определяют движение на бесконечном интервале времени, избавляют от необходимости рассматривать движение по кускам, делают применимыми для таких систем основные методы нелинейной механики.

В работах А.П. Иванова [25-31] приведены результаты исследований ряда проблем динамики механических систем с неидеальными связями. В статье [27] на основе постулата устойчивости движения Четаева проанализирован парадокс неоднозначности движения для механической системы, конфигурация которой описывается обобщенными координатами 51, ..., с одной неудерживающей неидеальной связью 51 ^ 0. В качестве возмущающего фактора выбраны соударения, ведущие к перемещениям, нормальным к плоскости фрикционного контакта. Требование непрерывной зависимости искомого решения от малого параметра, определяющего

величину указанных перемещений, приводит к единому решению проблемы потери корректности основной задачи динамики в случаях отсутствия и неединственности решения.

В работе [30] рассмотрена задача об определении обобщенных ускорений и реакций связей в зависимости от приложенных сил для механической системы, положение которой определяется обобщенными координатами 51, ..., 5п. Система подчинена удерживающим 51 = ... =  = 0 и неудерживающим 51+1 ^ 0, ..., 5к ^ 0, 1 ^ к ^ п неидеальным связям. Для анализа парадоксов трения автор предложил исследовать особенности кусочно-гладкого отображения пространства Мк в себя, построенного на основе уравнений движения рассматриваемой механической системы. В случае сухого трения величины нормальных реакций удерживающих связей представлены в форме, аналогичной принятой для этих величин в [39]. Возможная зависимость коэффициентов трения и координат точек контакта от знака величин нормальных реакций не рассматривалась. Полученный в работе критерий отсутствия парадоксов аналогичен условиям, приведенным в работе [38].

В работе [29] показано, что физически осмысленное решение задачи определения ускорений и реакций связей в системах с сухим трением возможно на основе учета деформаций в телах, составляющих систему. Автор включил локальные деформации в число обобщенных координат и при помощи асимптотических методов произвел разделение расширенной системы на «медленную» исходную подсистему и «быструю» подсистему, служащую для определения реакций. На основе анализа «быстрой» подсистемы получены результаты о числе стационарных решений и их устойчивости. Каждому устойчивому стационарному решению отвечает реализуемое движение исходной системы, а для отбора истинного движения требуется знание начальных деформаций и их производных по времени. «Быстрая» подсистема может обладать и устойчивыми осцилляционными решениями, которым отвечают движения исходной системы, в которых величины реакций колеблются около средних значений с высокой частотой. Возможная зависимость коэффициентов трения и координат точек контакта от знака величин нормальных реакций и механические системы с избыточными связями в статье [29] не рассматривались.

В [31] обсуждается задача нахождения реакций связей в механических системах. Показано, что в ряде случаев ее решение сводится к нахождению минимума обобщенной потенциальной энергии, выражение которой зависит от активных сил и сил инерции, а также включает энергию деформаций. Условие минимальности позволяет, в частности, выделить «наиболее реалистичное» решение статически неопределимых задач. В системах с кулоновым трением покоя проверка условий равновесия может быть сведена к задаче выпуклой минимизации. В системах с трением скольжения с одной двусторонней или односторонней связью приведены типичные выражения

для обобщенной потенциальной энергии, что позволяет определить динамику системы в случаях неопределенности.

Работы В.М. Матросова и И.А. Финогенко [33-37] посвящены исследованию поведения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику механических систем с сухим трением.

2. Другие общие формы уравнений движения систем с трением. Эти формы известны в аналитической механике систем с гладкими связями, здесь же приводится иная интерпретация, позволяющая в тех же формах учитывать сухое трение.

Поскольку неизвестные силы трения зависят от неизвестных нормальных реакций, для определения тех и других система должна быть мысленно освобождена от связей (на основании принципа освобождаемости). В аналитической механике этому соответствует введение в рассмотрение «лишних» (избыточных) координат, которое может быть осуществлено различными способами.

Аппель, например, не выделяет специально «лишние» координаты, а накладывает связи на всю совокупность обобщенных координат, заставляя виртуальные перемещения быть ортогональными к полным реакциям и, благодаря этому, легко исключая их из рассмотрения. Так же поступают и последователи Аппеля [15, 18, 20]. Однако, класс систем, для которых возможны такие перемещения, по-видимому, весьма ограничен.

Пэнлеве фактически также пользуется «лишними» координатами, записывая соотношения, из которых определяются коэффициенты набор которых составляет «закон трения» системы. Но эти построения оказываются очень сложными даже для простых систем.

Наиболее удачными нам представляются виртуальные перемещения, предложенные А.И. Лурье, когда на избыточные перемещения накладываются условия связи простейшего вида [9]. Введение избыточных независимых возможных перемещений позволяет и нормальные реакции связей отнести к активным силам. Характеристическая же функция системы также выражается в зависимости от избыточных возможных перемещений и избыточных скоростей. После составления уравнений движения в них следует приравнять нулю избыточные перемещения и производные по времени от них. Полученные таким способом уравнения будут содержать обобщенные ускорения, нормальные реакции и силы трения. В статически определимых системах для получения полной системы уравнений записывается необходимое число соотношений Кулона между нормальными реакциями и силами трения. В статически неопределимых системах должны быть записаны также некоторые другие соотношения.

Таким образом, могут быть составлены уравнения движения для сколь угодно сложной системы, состоящей из твердых тел, причем свобода выбора избыточных перемещений позволяет записывать эти уравнения сравнительно просто - так, чтобы каждое из них содержало минимальное количество нормальных реакций.

Как уже отмечалось, начиная с работ Аппеля и Пэнлеве, исследователи не предполагали различия в вариантах контакта звеньев в кинематических парах. Однако существуют механические системы твердых тел с сухим трением, в которых такое различие, зависящее от действия активных и инерционных сил, отражается на движении системы. Число степеней свободы в таких системах при смене варианта не меняется.

Обычно стремятся исключить нормальные реакции из уравнений движения: все рассмотренные в кратком обзоре формы уравнений получены именно таким путем. Однако, наличие реакций в уравнениях не только не является недостатком, но и необходимо для определения варианта опирания тел системы.

Нами рассмотрена механическая система, состоящая из абсолютно твердых тел, контакт между телами осуществляется в отдельных точках или приводится к точечному. Зазоры и лишние связи предполагаются отсутствующими. Число и расположение точек контакта могут быть заданы таким образом, чтобы обеспечивалась статическая определимость реакций связей. Считается, что положение точек контакта не зависит от интенсивности нагрузок. Каждой точке контакта на одной поверхности звена соответствует другая точка контакта на некоторой противоположной, при этом нагруженной может быть только одна из такой пары или ни одной. Каждой такой паре точек контакта поставлены в соответствие нормальная реакция N и вариантный индекс %, принимающий значение —1 для одной реакции и +1 для другой реакции в паре. Для каждого индекса 4 заданы координаты точек контакта и положения нормалей к поверхностям, а также коэффициенты трения.

Такого рода связи можно назвать вариантными связями или удерживающими системами с неудерживающими связями (УСНС) [38-43]. Приведем алгоритм вычисления движения механической системы с вариантными связями при использовании вариантных индексов. На каждом шаге процедуры численного интегрирования система уравнений движения разрешается относительно п обобщенных ускорений и т нормальных реакций как линейная алгебраическая система. При этом число неизвестных реакций 2 т. Для определения реализующегося варианта задаются произвольным набором значений вариантных индексов и решают систему уравнений движения как алгебраическую. В реализующемся варианте нормальные реакции должны быть направлены «в тело», чему соответствуют определенные условия на знаки нормальных реакций. Если какие-то реакции не отвечают таким условиям, то следует изменить соответствующие значения вариантных индексов на противоположные и повторить вычисления. В случае «малого трения» вариант контакта определяется со второй попытки. После этого определяются приращения обобщенных координат и скоростей. На следующем шаге интегрирования пробный набор значений вариантных индексов следует взять с предыдущего реализовавшегося варианта контакта. Тогда, если не произошло заметных

изменений состояния системы и реакций, вариант останется тем же. Таким образом, определение варианта произойдет с первой же попытки, что существенно сокращает время вычислений.

В работе [38] приведены три новых вариантных формы записи уравнений движения. В одной из форм обобщенные силы трения и обобщенные реакции представлены в виде негладких функций величин нормальных реакций. Для отыскания истинного движения системы предложено минимизировать обобщенную функцию Гаусса. Показано, что за счет представления величин нормальных реакций в виде разности двух неотрицательных переменных задачу безусловной минимизации обобщенной функции принуждения можно заменить задачей линейного программирования. В [38] также отмечено, что рассматриваемые в работах [38, 40, 41] удерживающие связи, по существу, представляют собой комбинации односторонних связей невырождающейся размерности. Такие связи предложено называть вариантными связями.

Исследованию свойств вариантных связей посвящена работа [39]. Свойства таких связей заключены в определителе, построенном из коэффициентов при неизвестных системы линейных уравнений для вычисления реакций. Приведены условия, которым должен удовлетворять указанный определитель и некоторые его миноры, для того, чтобы набор односторонних связей стал удерживающим. Обоснованы условия малого трения, являющиеся необходимыми условиями устойчивости движения, под которыми понимается ограниченность реакций при конечных заданных силах. Условия малого трения сформулированы следующим образом: в рассматриваемом варианте трение мало, если при непрерывном переходе от системы с трением к системе без трения по произвольной траектории в пространстве коэффициентов трения определитель системы и некоторые его миноры сохраняют свои знаки. Показано, что при выполнении условий существования двусторонних вариантных связей и малого трения решение задачи динамики существует и единственно. В случае невыполнения условий малого трения установлен ряд проявлений парадоксов трения.

В монографии [38] рассмотрен новый вид вариантных связей, реализующихся посредством п — и> + 1 поверхностей, где и> — число степеней свободы механической системы, п — количество обобщенных координат, необходимое для задания положения тел системы в свободном состоянии. Наряду с термином «вариантные связи» предложено использовать термин «удерживающие системы неудерживающих связей» (УСНС), который, по мнению автора, более точно отражает специфику рассматриваемого объекта. Для всех видов УСНС определены условия существования и единственности решения задачи динамики. Доказано, что в условиях малого трения решение задачи динамики для систем с вариантными связями в некоторый момент времени совпадает с минимумом задачи линейного программирования предложенного вида. Функция качества указанной задачи представляет собой сумму величин нормальных реакций, система ограничений состоит из

уравнений динамики механической системы в подпространстве нормальных реакций и условий неотрицательности величин нормальных реакций.

В монографии [38], обобщающей рассмотренные выше исследования [32, 40-43], обоснован метод моделирования механических систем с сухим трением, который можно назвать «методом систем неудерживающих связей». В монографии приведены уравнения движения механических систем, учитывающие особенности свойств, характера взаимодействия твердых тел и особенности реализации связей в механических системах циклической автоматики, формулировка задачи отыскания действительного решения динамики механической системы для произвольного момента времени в виде задачи квадратичного программирования. Получены условия существования, единственности решения задачи динамики для механических систем с УСНС, условия совпадения решений задачи динамики и задачи квадратичного программирования для механических систем с УСНС. Установлены условия существования и единственности решения, условия совпадения решения задачи динамики с минимумом задачи квадратичного программирования для механических систем со статически неопределимыми вариантными связями, условия существования и единственности решения задачи динамики для механической системы с неудерживающими связями, условия совпадения задачи динамики с минимумом соответствующей задачи квадратичного программирования для механизмов с односторонними связями. обоснование математического описания динамики статически неопределимых механических систем с неудерживающими связями. Предлагаются методы построения математического описания импульсивного движения для механических систем с вариантными связями (в том числе избыточными), учитывающие возможность изменения вариантов опирания и направления импульсов трения в процессе удара, и механических систем с неидеальными односторонними и неудерживающими избыточными связями, учитывающими возможность схода со связей и прихода точек системы на связи, изменения направлений импульсов трения в процессе удара. В качестве функции качества задачи квадратичного программирования используется «потенциальная энергия квазидеформации», имеющая смысл потенциальной энергии деформации, которую могла бы приобрести рассматриваемая механическая система, если бы ее тела в некоторый фиксированный момент времени стали упругими.

Разработка математических моделей движения систем твердых тел с реальными связями продолжается.

Список литературы

1. Алферов В.В. Конструкция и расчет автоматического оружия. М.: Машиностроение, 1977. 248 с.

2. Аминов М.Ш. К принципу Гаусса // Тр. Казан. авиац. ин-та. 1935. №4. С. 32-40.

3. Аппель П. Теоретическая механика. М.: Физматгиз, 1960. 487 с.

4. Бравин Е.Л., Лунц Е.Б., Гуревич М.В. Стрелково-пушечное вооружение самолетов. М.: Воениздат, 1941. 303 с.

5. Добронравов В.В. Принципы Даламбера-Лагранжа и Гельдера и уравнения движения механических систем с неголономными связями // Механика. М.: МВТУ им. Баумана, 1961. № 104. С. 19-26.

6. До Шань О принципе Гаусса и уравнениях движения механической системы с любыми связями // Прикл. механика. 1975. Т. II. № 7. С. 87-97.

7. Кузнецов Б.Г. Обобщенные виртуальные перемещения // ПММ. 1959. Т. 23. Вып. 4. С. 672-680.

8. Ле Суан Ань Парадоксы Пенлеве и закон движения механических систем с кулоновым трением // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 4. С. 520-524.

9. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

10. Пожарицкий Г.К. Об уравнениях движения для систем с неидеальными связями // ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 3. С. 458-462.

11. Пожарицкий Г.К. Распространение принципа Гаусса на системы с сухим трением // ПММ. 1961. Т. 25. Вып. 3. С. 391-406.

12. Проектирование ракетных и ствольных систем / под ред. Б. В. Орлова. М.: Машиностроение, 1974. 828 с.

13. Пугачев B.C. Основы динамики автоматического оружия // Труды ВВИА. М.: 1946. Вып. 156. 110 с.

14. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехиздат, 1954. 316 с.

15. Румянцев В.В. О движении некоторых систем с неидеальными связями // Вестник МГУ. 1961. № 5. С. 67-76.

16. Румянцев В.В. О системах с трением // ПММ. 1961. Т. 25. Вып. 6. С. 969-977.

17. Румянцев В.В. О совместимости двух основных принципов динамики и о принципе Четаева // Проблемы аналитич. мех., теорий устойч. и управления. М., 1975. С. 258-267.

18. Цыганова Н.Я. Некоторые общие свойства движения неголономных систем первого и второго порядков для непрерывных сил // Нек. вопр. дифф. уравн. в решении прикл. задач. Тула: ТулПИ, 1980. С. 60-67.

19. Четаев Н.Г. О принципе Гаусса // Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан. гос. ун-те. 1932-33. Т. 6. Сер. 3. С. 68-71.

20. Четаев Н.Г. О некоторых связях с трением // ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 1. С. 35-38.

21. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Наука, 1997. 320 с.

22. Журавлев В.Ф. Механика систем с односторонними связями // Успехи механики. 1989. № 2. С. 37-69.

23. Журавлев В.Ф. Уравнения движения механических систем с идеальными односторонними связями // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 5. С. 781-788.

24. Журавлев В.Ф., Фуфаев Н.А. Механика систем с неудерживающими связями. М.: Наука, 1993. 240 с.

25. Иванов А.П. К задаче о стесненном ударе // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 3. С. 355-368.

26. Иванов А.П. О движении плоских тел при наличии трения покоя // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 4. С. 89-94.

27. Иванов А.П. О корректности основной задачи динамики в системах с трением // ПММ. 1986. Т. 50. Вып. 5. С. 712-716.

28. Иванов А.П. О разрывных движениях в системах с односторонними связями // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 3. С. 383-392.

29. Иванов А.П. О свойствах решений основной задачи динамики в системах с неидеальными связями // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 3. С. 372-385.

30. Иванов А.П. Об особенностях динамики систем с неидеальными связями // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 2. С. 212-221.

31. Иванов А.П. Об экстремальном свойстве реакций связей // ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 2. С. 197-213.

32. Математические модели пневмогидроэлектромеханических систем автоматического управления / Ю. Б. Подчуфаров [и др.]. М.: НТЦ «Информтехника», 1992. 272 с.

33. Матросов В.М., Финогенко И.А. O правосторонних решениях дифференциальных уравнений динамики механических систем с трением скольжения // Докл. РАН. 1995. Т. 343. № 1. С. 53-56.

34. Матросов В.М., Финогенко И.А. О притяжении для автономных механических систем с трением скольжения // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 1. С. 100-109.

35. Матросов В.М., Финогенко И.А. О разрешимости уравнений движения механических систем с трением скольжения // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 6. С. 3-13.

36. Матросов В.М., Финогенко И.А. О решениях дифференциальных уравнений динамики механических систем с трением скольжения // Докл. РАН. 1994. Т. 336. № 1. С. 57-60.

37. Матросов В.М., Финогенко И.А. Об устойчивости множеств положений равновесия механических систем с трением скольжения // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 6. С. 934-944.

38. Никольский В.В. Математическое моделирование динамики механизмов и механических подсистем циклической автоматики. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. 260 с.

39. Никольский В.В., Смирнов Ю.П. О формах уравнений динамики систем с сухим трением // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 1. С. 15-22.

40. Никольский В.В., Смирнов Ю.П. Динамика систем с многовариантными моделями контактного взаимодействия трущихся твердых тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 2. С. 51-59.

41. Смирнов Ю.П. Уравнения движения систем с неидеальными удерживающими связями // Из. АН СССР. МТТ. 1983. № 2. С. 63-71.

42. Смирнов Ю.П. Уравнения удара систем с трением // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 3. С. 36-44.

43. Смирнов Ю.П. О движении системы, стесненой удерживающими связями с трением // Прикл. Механика. 1987 . Т. 23. № 4. С. 80-86.

44. Appel P. Extension des equations de Lagrange au cas du frottement de Glissement // C.R. Acad. Sci. Paris. 1892. V. 144. P. 331-334.

45. Do Shan A Gauss principle and the equations of motion of constrained mechanical system // Rev. Roum. Sci. Techn. Mech. Appl. 1980. V. 25. № 4. P. 517-531.

46. Klein F. Painleves Kritik der Coulombischen Reihungsgesetze // Zeitschrift fur Mathematik und Physik. 1909. V. 57. P. 186-193.

47. Lotstedt P. Coulomb friction in two-dimensional rigid body systems // ZAMM. 1981. V. 61. № 12. P. 605-615.

48. Lotstedt P. Mechanical systems of rigid bodies subject to unilateral constraints // SIAM J. Appl. Math. 1982. V. 2. № 2. P. 281-296.

49. Painleve P. Lecons sur le frottement. Paris: Hermann, 1895. 218 p.

50. Schiechlen W. Reibungsbehaftete Bindungen in Mehrkorper-fstemen // Ing. Arch. 1983. V. 53. № 4. S. 265-273.

Никольский Владимир Витальевич (nvv.nb@mail.ru), д.т.н., профессор, Тульский государственный университет.

Смирнов Юрий Павлович (spira@tula.net), д.т.н., профессор, Тульский государственный университет.

On some general forms of movement equations of systems

with friction

V. V. Nikolsky, Yu. P. Smirnov

Abstract. The brief review of the most known works on the equations of movement of systems with dry friction is made and the description of an essence of results of the authors of clause in this area is given.

Keywords : systems with friction, equations of movement, superfluous coordinates, reactions of restrictions, contact variants, alternative indexes, holding systems of not holding restrictions, linear and square-law programming.

Nikolsky Vladimir (nvv.nb@mail.ru), doctor of technical sciences, professor, Tula State University.

Smirnov Yuri (spira@tula.net), doctor of technical sciences, professor, Tula State University.

Поступила 20.08.2014