Об оценках экспонентов орграфов с использованием чисел Фробениуса

M'' : vi ^ v2 ^ v3 ^ v4 ^ vs ^ v6 ^ vi ^-упорядоченное множество вершин содержит тоже единственную главную антицепь — {2, 4, б}, но здесь она не является правильной, так что M'' — не шпернеров граф.

Под цепью в многоугольном графе будем понимать его максимальную собственную связную часть, в которой І) есть хотя бы одна вершина, не являющаяся ни источником, ни стоком, и 2) любые две соседние дуги одинаково направлены. Например, цепями в графе M' являются vi ^ v2 ^ v3 и vi ^ v6 ^ vs, а в графе M'' — vi ^ v2 ^ v3 и vs ^ v4 ^ v3. Всякая цепь начинается в источнике и завершается стоком. Зигзагом в многоугольном графе назовём его максимальную собственную связную часть, в которой І) каждая вершина является источником или стоком и 2) любые две соседние дуги противоположно направлены. Зигзаги классифицируются по виду их концевых вершин: в ss-зигзаге оба конца являются источниками; в st-зигзаге один конец источник, другой сток; в tt-зигзаге оба конца стоки. Так, в графе M' есть tt-зигзаг v3 ^ v4 ^ vs, а в графе M'' имеется ss-зигзаг vi ^ v6 ^ vs.

Теорема. Многоугольный граф тогда и только тогда является шпернеровым, когда в нём нет ss-зигзагов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Sperner E. Ein Satz uber Untermengen einer endlichen Menge jj Math. Zeitschrift. 1928. V. 27. No. 1. S. 544-548.

2. Мешалкин Л. Д. Обобщение теоремы Шпернера о числе подмножеств конечного множества jj Теория вероятностей и её применения. 1963. Т. 8. №2. С. 219-220.

3. Stanley E. P. Weyl groups, the hard Lefschetz theorem and the Sperner property // SIAM J. Alg. Discr. Math. 1980. V. 1. No. 2. P. 168-184.

4. Wang J. Proof of a conjecture on the Sperner property of the subgroup lattice of an abelian p-group jj Annals Comb. 1999. V. 2. No. 1. P. 85-101.

5. Jacobson M. S., Kezdy A. E., and Seif S. The poset of connected induced subgraphs of a graph need not be Sperner jj Order. 1995. V. 12. No3. P. 315-318.

6. Maeno T. and Numata Y. Sperner property, matroids and finite-dimensional Gorenstein algebras jj Contemp. Math. 2012. V. 280. No. 1. P. 73-83.

7. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997.

8. Салий В. Н. Упорядоченное множество связных частей многоугольного графа jj Изв. Сарат. ун-та. Нов. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13. №2(ч. 2). С.44-51.

УДК 519.7

ОБ ОЦЕНКАХ ЭКСПОНЕНТОВ ОРГРАФОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

ЧИСЕЛ ФРОБЕНИУСА

В. М. Фомичев

Для частных классов сильносвязных орграфов получены достаточные условия примитивности и оценки экспонентов, которые выражены через числа Фробени-уса. Показано, что во многих случаях полученные оценки экспонента орграфа существенно лучше известных оценок.

Ключевые слова: число Фробениуса, примитивный граф, экспонент графа.

Введение

Одним из основных направлений в исследовании экспонентов примитивных неотрицательных матриц (примитивных сильносвязных графов) является уточнение известных оценок экспонентов для различных частных классов матриц (графов), важных для тех или иных приложений.

Абсолютная оценка экспонента п-вершинного орграфа Г дана в [1]: exp Г ^ ^ п2 — 2п + 2.

Последующие результаты уточнили абсолютную оценку. Если длина кратчайшего простого контура в Г равна l [2, с. 227], то exp Г ^ п + 1(п — 2). Если, в частности, в орграфе Г имеется d петель [2, с. 408], то exp Г ^ 2n — d — 1.

Пусть в орграфе Г известны длины l и Л двух простых контуров C и Z [3], где (l, Л) = 1, 1 < Л < l ^ п, п> 2 и h — число общих вершин контуров C и Z. Тогда exp Г ^ /л — 2l — 3Л + 3п, если h = 0, и exp Г ^ /л — l — 3Л + h + 2п, если h > 0.

Оценки экспонентов других частных классов графов имеются в работах [2,4-6]. Обзор результатов в этом направлении, полученных до 2012г., дан в [7].

Для новых частных классов п-вершинных орграфов приводятся достаточные условия примитивности и оценки экспонентов с использованием чисел Фробениуса.

1. Оценки экспонентов орграфов

Пусть C = {Ci,... , Ck} — система контуров в п-вершинном орграфе Г, длины контуров равны l1,...,lk соответственно, где k ^ 2 и l1 < ••• < lk. Систему C назовём примитивной, если (l1,... , lk) = 1. Тогда универсальный критерий примитивности орграфа Г [2, с. 226] допускает следующую формулировку: сильносвязный орграф Г примитивный, если и только если в Г имеется примитивная система контуров.

Систему C назовем i-связанной, если каждый из контуров C1,...,Ck содержит вершину i, где i Е {1,... ,п}. В частности, система контуров перемешивающего графа биективного регистра левого (правого) сдвига длины п является п-связанной (1-связанной). Через g(l1,...,lk) обозначим число Фробениуса для натуральных аргументов 11,... , lk.

Теорема 1. Пусть в сильносвязном орграфе Г имеется примитивная i-связанная система контуров C = {C1,... , Ck}, i Е {1,... ,п}, состоящая из q вершин орграфа. Тогда

exp Г ^ g(lb ... ,lk) + 2(п — q + lk) — 1.

Обозначим через [i, j]с простой путь, проходящий через вершины i, j и являющийся частью простого контура C. Длину пути w в Г, равную числу дуг, составляющих путь, обозначим l (w). Символом • обозначим конкатенацию путей графа Г.

Пусть в орграфе Г контур C длины t, где 4 ^ t ^ п, содержит различные вершины

i, j и r, тогда возможны два варианта:

C = [i,r]C • [r,j]с • [j,i]C,

в этом случае положим l([i,j]C) = h > 2, l([i,r]C) = т < h;

C = [i, j]C • [j,r]C • [r,i]C,

в этом случае положим l([i, j]C) = h < t — 2, l([j, r]C) = в < t — h.

Теорема 2.

1) Пусть (i, r) и (r, j) —дуги орграфа Г, тогда Г — примитивный:

— в случае равенства (1), если (t — h + 2, t — т + 1, t — h + т + 1) = 1, при этом

exp Г ^ g(t — h + 2, t — т + 1, t — h + т + 1) + 2(п — t + max{T, h — т}) — 1;

— в случае равенства (2), если (в + 1, t — h — в + 1, t) = 1, при этом

exp Г ^ д(в + 1,t — h — в + 1,t) + 2п — 1.

2) Пусть (r, i) и (j,r) —дуги орграфа Г, тогда Г — примитивный:

— в случае равенства (1), если (т + 1 , h — т + 1 , t) = 1 , при этом

exp Г ^ д(т + 1, h — т + 1,t) + 2п — 1;

— в случае равенства (2), если (t — в + 1, h + 2, h + в + 1) = 1, при этом

exp Г ^ g(t — в + 1, h + 2,h + в + 1) + 2(п — t + max{в, t — h — в}) — 1.

Примеры. Пусть п = 100, C = (1,..., 80), t = 80, i = 1, j = 41, тогда h = 40.

1) Пусть r = 33, (1, 33) и (33, 41) — дуги орграфа Г, тогда т = 32 и

(t — h + 2, t — т + 1,t — h + т + 1) = (42,49, 73) = 1,

то есть по п. 1 теоремы 2 орграф Г примитивный и exp Г ^ g(42, 49, 73) + 103.

Используя обозначения работы [8], определим g(42,49,73). Вычисляем: d = = (42,49) = 7, z = 7 • 29 = 203, тогда | (42, 49)| = |C(42, 49)| = 30/2 = 15,

(42, 49) = 7 • {0, 6, 7,12,13,14,18,19, 20, 21, 24, 25, 26, 27, 28},

C(42, 49) = 7 • {1, 2, 3, 4, 5,8, 9,10,11,15,16,17, 22, 23, 29},

S(73) = 0, g(42,49, 73) = z + (d — 1)73 = 203 + 6 • 73 = 641 и expT ^ 744.

Оценки exp Г по формулам работ [1, 2, 3] равны 9802, 4216 и 3109 соответственно.

2) Пусть r = 55, (1,55) и (55, 41) — дуги орграфа Г, тогда в =14 и

(в + 1,t — h — в + 1,t) = (15, 27, 80) = 1,

то есть по п. 1 теоремы 2 орграф Г примитивный и exp Г ^ g(15, 27, 80) + 199.

Определим g(15,27,80). Вычисляем: d = (15,27) = 3, z = 3 • 31 = 93, тогда

|(15, 27)| = |C(15, 27)| = 32/2 = 16,

(15, 27) = 3 • {0, 5, 9,10,14,15,18,19, 20, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30},

C(42,49) = 3 • {1,2,3,4,6, 7,8,11,12,13,16,17,21,22,26,31},

S(73) = 0, g(15, 27, 80) = z + (d — 1)80 = 93 + 2 • 80 = 253 и exp Г ^ 452.

Оценки exp Г по формулам работ [1, 2, 3] равны 9802, 1570 и 2226 соответственно.

3) Пусть r = 33, (33,1) и (41, 33) — дуги орграфа Г, тогда т = 32 и

(т + 1,h — т + 1,t) = (33, 9, 80) = 1,

то есть по п. 2 теоремы 2 орграф Г примитивный и exp Г ^ g(9, 33, 80) + 199.

Определим g(9, 33, 80). Вычисляем: d = (9, 33) = 3, z = 3 • 19 = 57, тогда |(9, 33)| = = |C(9, 33)| = 20/2 = 10,

(9, 33) = 3 • {0, 3, 6, 9,11,12,14,15,17,18},

C(42, 49) = 3 • {1, 2, 4,5, 7, 8,10,13,16,19},

S(73) = 0, g(9, 33, 80) = z + (d — 1)80 = 57 + 2 • 80 = 217 и expT ^ 416.

Оценки exp Г по формулам работ [1, 2, 3] равны 9802, 982 и 814 соответственно.

4) Пусть r = 59, (59,1) и (41, 59) — дуги орграфа Г, тогда в =18 и

(t — в + 1, h + 2, h + в + 1) = (63,42,59) = 1,

то есть по п. 2 теоремы 2 орграф Г примитивный и exp Г ^ g(42, 59, 63) + 83. Так как (42, 59) = 1, то g(42, 59, 63) ^ g(42,59) = 2377, отсюда получаем exp Г ^ 2460.

Оценки exp Г по формулам работ [1, 2, 3] равны 9802, 4216 и 2535 соответственно. Анализ числовых примеров позволяет считать, что полученная оценка, как правило, значительно точнее известных оценок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Wielandt H. Unzerlegbare nicht negative Matrizen / / Math. Zeitschr. 1950. No. 52. P. 642-648.

2. Сачков В. Н., Тараканов В. Е. Комбинаторика неотрицательных матриц. М.: ТВП, 2000. 448 с.

3. Фомичев В. М. Оценки экспонентов примитивных графов // Прикладная дискретная математика. 2011. №2(12). С. 101-112.

4. Князев А. В. Оценки экстремальных значений основных метрических характеристик псев-досимметрических графов: дис. ... докт. физ.-мат. наук. М., 2002. 203 с.

5. Коренева А. М., Фомичев В. М. Об одном обобщении блочных шифров Фейстеля // Прикладная дискретная математика. 2012. №3(17). С. 34-40.

6. Дорохова А. М., Фомичев В. М. Уточненные оценки экспонентов перемешивающих графов биективных регистров сдвига над множеством двоичных векторов // Прикладная дискретная математика. 2014. №1(23). С. 77-83.

7. Когос К. Г., Фомичев В. М. Положительные свойства неотрицательных матриц // Прикладная дискретная математика. 2012. №4(18). С. 5-13.

8. Фомичев В. М. Оценка экспонента некоторых графов с помощью чисел Фробениуса для трёх аргументов // Прикладная дискретная математика. 2014. №2(24). С. 88-96.