Свободные алгебры многообразия унаров с мальцевской операцией p заданного тождеством p(x, y,x) = y

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 2

Труды VIII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и 120-летию Ивана Матвеевича Виноградова

УДК 512.572

СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ МНОГООБРАЗИЯ УНАРОВ С МАЛЬЦЕВСКОЙ ОПЕРАЦИЕЙ p ЗАДАННОГО ТОЖДЕСТВОМ p(x,y,x) = у

В. Л. Усольцев

FREE ALGEBRAS OF VARIETY OF UNARS WITH MALCEV’S OPERATION p, DEFINE BY IDENTITY

P

Аннотация

В работе дается описание конструкции свободных алгебр многообразия унаров с мальцевской операцией p заданного тождеством p(x, у, х) = у, доказываются разрешимость проблемы равенства слов и единственность свободного базиса в свободных алгебрах, а также выполнение в свободных алгебрах конечного ранга свойства Хопфа.

In article is given construction of free algebras of the variety of algebras with one unary and one ternary Mal’cev’s operation p provided that operations is commute, defined bv identity p(x, y, x) = y. It is proved decidability of word problem in free algebras and uniqueness of free basis. It is proved realization of Hopf property for free algebras of finitely rank.

Рассматриваемые в настоящей работе вопросы находятся на стыке двух направлений: теории коммутаторов конгруэнций алгебр конгруэнц-модулярных многообразий [1] и теории унаров — алгебр с одной унарной операцией. Значительную роль в первом из указанных направлений играет изучение конгруэнц-переетановочных многообразий. Многообразие является конгруэнц-переетано-вочным тогда и только тогда, когда существует такой тернарный терм p от основных операций, что на данном многообразии выполнены тождества Мальцева [2]

p

В [3] были найдены аналогичные условия, характеризующие арифметические, то есть конгруэнц-переетановочные и конгруэнц-дистрибутивные многообразия, Арифметичность многообразия эквивалентна существованию такого тернарного терма р (терма Пиксли), что на всех алгебрах этого многообразия истинны тождества Пиксли

Р

Направление, связанное с изучением унаров, получило развитие в работах Л,А, Скорнякова [4], В,К, Карташова [5] и др. Заметим, что унары являются частным случаем унарных алгебр, или полигонов над полугруппами, которые изучались А,И, Мальцевым [6], Л,А, Скорняковым, А,В, Михалевым [7], Д.М. Смирновым [8], И,Б, Кожуховым [9] и др. Унарные алгебры являются полигонами над бесконечной циклической полугруппой (f), где f — заданная унарная операция,

В настоящей работе изучается многообразие VS унаров с мальцевекой опе-p

p

У нар ом с мальцевекой операцией [10] называется алгебра (A, f,p) с унарной

операцией / и тернарной операцией р, на которой истинны тождества (1) и

f

Тождества (1), (4) определяют многообразие VM унаров с мальцевекой операцией, Заметим, что VS является собственным подмногообразием в VM, поскольку существуют унары с мальцевекой операцией, не принадлежащие VS, Примером может служить алгебра (A,f,p), где A = {а, b, c},f (а) = b, f (b) = c, f (c) = а, р(а, b, c) = p(b, а, c) = c, p(b, c, а) = p(c, b, а) = а, р(а, c, b) = p(c, а, b) = b и p(x, y, x) = p(x, y, y) = p(y, y, x) = ж для всех ж, y G A,

В работе дается описание конструкции свободных алгебр многообразия VS и канонической формы элементов свободных алгебр, изучается строение групп автоморфизмов и унарных редуктов свободных алгебр, доказываются разрешимость проблемы равенства слов, единственность свободного базиса в свободных алгебрах, а также выполнение в свободных алгебрах конечного ранга свойства Хопфа, Алгебра обладает свойством Хопфа, если любой ее сюръективный эндоморфизм является автоморфизмом,

В [11] часть этих вопросов была решена для многообразия унаров с мальцевекой операцией, заданного тождествами Пиксли,

Заметим, что разрешимость проблемы равенства слов в многообразии VS вытекает из более общего результата, установленного М.М. Глуховым [12], однако в нашей работе этот факт получен другим путем (конструктивно).

Введем некоторые обозначения и дадим основные определения. Для любого элемента x унара (A, f) через fn(x) обозначается результат n-кратпого применения операции f к элементу x; при этом f0(x) = x, Через F обозначим свободный однопорожденный унар. Под суммой унаров понимается объединение

x

если не существует такого y G A, что f (y) = x, то есть, x G f (A).

операцию s, что данный унар превращается в унар с мальцевской операцией (A, f, s), на котором, выполняется тождество (3).

s

зом. Пусть (A, f) — произвольный у нар и x,y G A. Положим Mx,y = {n G N0 | fn(x) = fn(y)}, а также k(x,y) = min Mx,y, если Mx,y = 0 и k(x,y) = то, если Mx,y = 0, Положим далее

Прямая проверка показывает, что определенная таким способом операция удовлетворяет тождествам (1), (3) и (4),

Предложенная в теореме 1 конструкция восходит к [10] и дает широкий класс примеров алгебр многообразия VБ, Будем называть определенную выше операцию з(х,у,г) симметрической.

Опишем конструкцию свободной алгебры многообразия VБ с системой свободных порождающих X, Пусть X — некоторый алфавит. Определим термы т сигпату р ы {/,р} с длин ой /(т) над алфавн том X следующим образом:

1) любой элемент х множества X является термом длины 1;

2) /га(х), где х € X, п > 0, — терм длины /(/п(х)) = п +1;

3) если и>1, т2, т3 — графически различные термы, то р^^ т2, т3) — терм длины /(р(т ,т2, тз)) = /(^) + /(^2) + /(тз) + 1;

4) других термов нет.

Обозначим через Б множество всех термов, определенных выше. Равенство термов будем понимать графически и обозначать символом =, Определим на Б тернарную операцию р. Пусть а, Ь, с € Б, Если среди элементов а, Ь, с есть совпадающие, то значение р(а, Ь, с) определяется в соответствии с (1) и (3), Если все элементы а, Ь, с различны, то значением операции р от а, Ь, с будем считать терм р(а, Ь, с).

Теперь определим па множестве Б унарную операцию /, Для любого х € X и любого п € N положим /(х) = /1 (х), /(/п(х)) = /га+1(х). Для произвольных термов т1 ,т2,т3 € Б положим /(р(т1,т2,т3)) = р(/(т1),/(т2),/(т3)). Также, полагаем /0(т) = т для любого т € Б,

р/

алгебра (Б,/,р) является унаром с мальцевской операцией, удовлетворяющим тождеству (3),

z, если k

y, если k

x, если k(x,y) > k(y,z).

Лемма 1. Операция / на алгебре (Б, /,р) инъективна.

Доказательство, Очевидно, что для произвольных х,у € X из условия х = у следует, что /(х) = /(у), Пусть для всех термов длины, не превосходящей п > 1, операция / инъективна. Предположим, что заданы термы мис длинами /(ш) = п +1 > 2, /(и) ^ п +1, Тогда

р(т1,т2,т3), = Г Р(И1,И2,И3),

/п

для некоторых к € N х,у € X и графически различных термов т1,т2,т3 и иьи2,и3, где /(т1) + /(ш2) + /(ш3) = п, п ^ /(и1) + /(и2) + /(и3) > 0, Отсюда

/ (т) = / Р(/(т1),/ (т2),/ М), Г (и) = Г р(/(и1),/ (и2),/

/ (ш)=| /п+1(х); /(И)^ /к+1(у).

Пусть /(ш) = /(и). Случаи, когда /(ш) = р(/(т1),/(ш2),/(ш3)) и /(и) = = /к+1(у) либо /(ш) = /га+1(х) и /(и) = р(/(и1),/(и2),/(и3)) исключаются, так как тогда термы /(ш) и /(и) графически не равны. Еели же /(ш) = /га+1(х) и /(и) = /к+1(у), то имеем /(/п(х)) = /(/к(у)), откуда по индуктивному предположению, х = у и п = к, то есть, т = и.

Пусть /(ш) = р(/(Ш1), /(Ш2), /М), /(и) = р(/(и1), /(и2), /(и3)). Поскольку,

по предположению, т = % при г = ^ а го условия /(ш1) + /(ш2) + /(ш3) =

п следует, что /(ш*) < п при всех г, то по индуктивному предположению, /(ш*) = /(т) при г = ^ Отсюда, р(/(ш1 ),/(ш2),/(ш3)) — терм. Аналогично; р(/(и1),/(и2),/(и3)) — также терм. Тогда имеем р(/(ш1),/(ш2),/(ш3)) = р(/(и1),/(и2),/(и3)), откуда то определению операции р следует, что /(ш*) = /(и*), г = 1, 2, 3 Последнее, то индукции, влечет ш = и*, г = 1, 2, 3 и, окончательно, ш = и.

Лемма 2. 2ер»м ш € Б является, минимальным элементом, унара (Б, /) тогда, и только тогда, когда, в записи ш имеется вхождение символа алфави-

/

Лемма 3. У«ар (Б, /) является, суммой унаров вида, причем, число слагаемых равно шах{Н0, IX|}.

Доказательство лемм 2 и 3 аналогично доказательству соответствующих лемм в [11]. Эти леммы описывают строение унарного редукта (Б, /) алгебры (б,/,Р)-

Лемма 4. Длд любых термов ш1, ш2, ш3 € Б выполняется /(р(ш1, ш2, ш3)) ^ тгп{/(ш1), /(ш2), /(ш3)}.

Доказательство. Если ш1 = ш2, то то определению операции р получаем, что /(р(ш1,ш2,ш3)) = /(ш3) ^ тгп{/(ш1),/(ш2),/(ш3)}. Аналогичное верно при ш2 = ш^п ш1 = т3. Пусть теперь термы ш1,ш2,ш3 графически различны. Тогда, применяя к ним операцию р, получаем терм р(ш1,ш2,ш3). Отсюда,

/(р(ш1 ,Ш2,Ш3)) = /(Ш1) + /(Ш2) + /(Ш3) + 1 > Шгп{/(Ш1),/(Ш2),/(Ш3)}.

Следствие 1. Для, любых графически различных термов ш1,ш2,ш3 € Б выполняется условие р(ш1,ш2,ш3) € X.

Лемма 5. Если, п ^ 1, то для любого терма ш € Б выполняется условие /(/п(ш)) > п.

Доказательство, Если ш = /т(х) при т ^ 0, то /п(ш) = /п+т(х) и /(/п(ш)) = /(/п+т(х)) = п + т +1 ^ п +1 > п.

Пусть теперь ш = р(ш1, ш2, ш3), где термы ш1, ш2, ш3 € Б различны. По лемме 4 имеем /(ш*) < /(ш) при всех г. Тогда /п(ш) = р(/п(ш1), /п(ш2), /п(ш3)), откуда по лемме 4 и по индукции, /(/п(ш)) ^ тгп{/(/п(ш1)),/(/п(ш2)),/(/п(ш3))} > п.

Следствие 2. п ^ 1, то /п(ш) € X для любого ш € Б.

Теорема 2. Алгебра, (Б,/,р) является, свободной алгеброй многообразия VБ с системой свободных порождающих X.

Доказательство, Предположим, что на (Б,/,р) истинно нетривиальное тождество Т, имеющее вил ш1 = ш2, где ш1 , ш2 — термы сигнатуры {/,р}. Про-

пр

Т

п = 0 Т

ных: х = у, /к(х) = /т(у), /к(х) = х, /к(х) = /т(х), где к,т > 0 [6, стр. 349].

Б

тождеств.

Пусть п = 1. Тогда тождество Т имеет вид р(и1,и2,и3) = V для некоторых термов и1,и2,и3,^ € Б, та содержащих в записи операцию р, В случае совпадения каких-либо термов среди и1,и2,и3, получаем либо тривиальное тождество, либо противоречие с леммой 3, Если же термы и1,и2,и3 графически различны,

Т

р

Б

тождеств с числом вхождений операции р, меньших, чем п > 1, Предполагая, что либо ш1 , либо ш2 те содержит вхождений операции р, приходим либо к противоречию, либо к тривиальному тождеству, аналогично случаю п =1, Тогда ш1 = р(и1,и2,и3) ш2 = р^,^,^). Если тер мы и1,и2,и3 графически различны, и аналогичное верно для термов ,у1,,у2,'у3, то и1 = ^1,и2 = 12,и3 = 13 и,

Т

Допустим, ЧТО некоторые ИЗ термов В ОДНОМ ИЗ наборов и1, и2, и3 ИЛ И 1^,12 13 совпадают между собой. Пусть, для определенности, это будет набор и1,и2,и3. Тогда, по определению, значение операции р от элементов и1,и2,и3 равно одному из этих элементов. Отсюда, по индуктивному предположению, одно из тождеств и 1 = р(11,12,13) и2 = р(11,12,13) и3 = р(11,12,13) является тривиальным.

Следствие 3. В свободной алгебре (Б,/,р) разрешима проблема равенства, слов.

Лемма 6. Пусть а — произвольный сюрьективный эндом,орфизм свободной алгебры, многообразия VБ с системой свободных порождающих X. Тогда, X С а^).

Доказательство, По теореме 2, свободной алгеброй многообразия VБ с системой свободных порождающих X является алгебра (Б, /,р). Предположим, что найдется такой элемент х0 € X, что х0 € а^). Обозначим через В множество Б \ {х0} и докажем, что В — подалгебра алгебры Б. Пусть у € В, Предположим, что /(у) € В. Тогда /(у) = х0, что противоречит следствию 2,

Пусть теперь у1,у2,у3 € В. Предположим, что р(у1,у2,у3) € В. Отсюда имеем р(у1,у2,у3) = х0. Если у1,у2,у3 графически различны, то по определению операции р, получаем р(у1,у2,у3) = х0, что противоречит следствию 1, Предполагая, что среди уь у2, у3 есть совпадающие, по определению операции р имеем либо у1 = х0, либо у2 = х0, либо у3 = х0, что противоречит выбору элементов уьу2,у3. Таким образ ом, В — подалгебра алгебры Б, причем а^) С В, Тогда подалгебра, порожденная множеством а^), содержится в В, откуда следует, что а те сюръективно. Окончательно, получаем, что X С а(X),

Теорема 3. Свободная, алгебра, конечного ранга многообразия унаров с мальцевской операцией р, заданного тождеством р(х, у, х) = у, обладает свойством, Хопфа.

Доказательство, Пусть множество X конечно, и а — произвольный сюръ-ективный эндоморфизм алгебры (Б, /,р). Тогда, по лемме 6, X С a(X), Отсюда, IX| ^ |a(X)|, а поскольку а — отображение, то |а(X)| ^ IX|, Следовательно, IX| = |а^)|, Так как по уеловию X конечно, то из X С a(X) следует, что а(X) = X. Тогда ограничение отображения а на множество X является биекцией, а, следовательно, продолжается до автоморфизма в алгебры Б, Поскольку автоморфизм в и эндоморфизм а совпадают на X, то а = в, следовательно, аБ

Теорема 4. Множество свободных порождающих свободной алгебры,

р

р(х,у,х) = у, определено однозначно.

Доказательство, Пусть У — произвольное множество свободных порождающих алгебры (Б,/,р). Предположим, что найдется элемент х0 € X, не лежащий в У. Положим В = Б \ {х0} и докажем, что В — подалгебра алгебры Б, В

случай р(у1,у2,у3) = х0, где у1,у2,у3 € В и среди у1,у2,у3 есть совпадающие

р у1 = х0 у2 = х0

у3 = х0, что противоречит выбору элементов у1,у2,у3.

Итак, B является подалгеброй алгебры (S, /,р), причем Y С B. Так как Y порождает (S,/,р), то S С B, чт0 невозможно. Поэтому X С Y,

Предположим теперь, что Y D X и, следовательно, найдется элемент g е Y \ X. Тогда g = i(xi,..., xn) для некоторого терма t сигнатуры {/,р} и некоторого n е N причем x е X, i = 1,... n, Так как g, x1...,xn е Y, то в многообразии VS выполняется тождество х = у., то есть, VS одноэлементно, что невозможно. Отсюда, Y С X, и) окончательно, Y = X.

Следствие 4. Группа автоморфизмов свободной алгебры, ранга r многообразия унаров с мальцевской операцией р, заданного тождеством p(x, у, х) = у,

r

Автор выражает глубокую благодарность В. А. Артамонову за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Freese R., McKenzie Е. Commutator theory for congruence modular varieties. London, 1987.

[2] Мальцев A. II. К общей теории алгебраических систем // Мат. сб. (Новая серия). 1954. Т.35(77). С.3-20.

[3] Pixlev A. F. Distributivity and permutabilitv of congruence relations in equational classes of algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. Y. I I. N1. P.105-109.

[4] Skornjakov L. A. Unars // Colloq, Math. Soc. J. Bolyai. 1981. N29. I’.735 713.

[5] Карташов В. К. Квазимногообразия унаров // Мат. заметки. 1980. Т. 27. N1. С. 7-20.

[6] Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

[7] Kilp М., Knauer U,, Mikhalev А. V. Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs. Berlin: Walter de Gruyter, 2000.

[8] Смирнов Д. М. О соответствии между регулярно определимыми многообразиями унарных алгебр и полугруппами // Алгебра и логика. 1978. Т.17. N4. С.468-477.

[9] Кожухов И. Б. Полугруппы, над которыми все полигоны резидуально конечны // Фунд, и прикл. математика. 1998. Т.4. N4. С.1335-1344.

[10] Карташов В.К. Об унарах с мальцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. докл. межд. семинара, поев, памяти проф. Л.А.Скорнякова. Волгоград, 1999. С. 31-32.

[11] Усольцев В, Л, Свободные алгебры многообразия унаров е мальцевекой операцией, удовлетворяющей условиям Пиксли // Известия вузов. Математика. 2009. N4. С.43-49.

[12] Глухов М. М. Свободные разложения и алгоритмические проблемы в Я-многообразиях универсальных алгебр // Математический сборник. 1971. Т.85 N3. С.308-338.

Волгоградский государственный социально-педагогический университет

Поступило 13.10.2011