Квантовая модель и гамильтониан информационной биомакромолекулы

Е.Е. Слядников

Квантовая модель и гамильтониан информационной биомакромолекулы

Показано, что в информационной биомакромолекуле потенциальный рельеф электрона, ответственного за «переключение» между конформациями молекулы тубулина, имеет двухъямный характер. Поэтому систему конформационных возбуждений в информационной биомакромолекуле необходимо описывать как квантовую двухуровневую систему. Вычислена энергия основного состояния электрона

_1 9   13 11 1

е+ = 2 • 10 Дж ~ 1,2 эВ , частота туннелирования электрона ю = 6 • 10 _ 6 • 10 с_ в молекуле тубулина.

Введение

В последние годы наблюдается значительный интерес к гипотезе квантовой природы человеческого сознания [1]. Одним из возможных вариантов этой гипотезы является предположение, что сознание — это процесс, протекающий в квантово-полевой подсистеме мозга, которая, благодаря своей квантовой природе, способна чрезвычайно эффективно обрабатывать сенсорную и иную информацию, осуществлять сложные логические операции и т.п., то есть выполнять те функции, которые обычно приписывают человеческому сознанию. Есть экспериментальные свидетельства, что в мозге подходящими субстратами для «квантовых вычислений» являются информационные биомакромолекулы (микротрубочки цитоскелета, цепочки ДНК и другие периодические наноструктуры) [2].

Единственной структурой, присущей всем живым организмам — от одноклеточной амебы до человека — и способной управлять информационными процессами, является цитоскилет клетки. Базовым элементом структуры цитоскелета клетки служат микротрубочки цитоскелета, которые представляют собой полые цилиндрические трубки с внешним диаметром 25 нанометров (1 нм = 10_9м) и внутренним — около 14 нм, иногда организованные в более крупные трубкообразные волокна. Каждая микротрубочка — это белковый полимер, состоящий из субъединиц, называемых тубулинами. Каждая субъединица тубулина, в свою очередь, представляет собой димер, то есть состоит из двух соединенных тонкой перемычкой частей, называемых а -тубулином и Р -тубулином (приблизительно по 450 аминокислот в каждой). Эти пары глобулярных белков, напоминающих по форме орех арахиса, уложены в слегка скошенную гексагональную решетку вдоль всей трубки. Обычно на каждую микротрубочку приходится по 13 рядов димеров тубулина. Размеры димера составляют приблизительно 8 X 4 X 4 нм, а его атомное число — около 11104 [1]. Димер тубулина может существовать в двух (по крайней мере) различных геометрических конфигурациях, называемых конформациями. Конформации, по всей видимости, обусловлены тем, что в центре димера (в его «безводной части») имеется электрон, который занимает одно из двух возможных положений. На способность молекул димера переключаться из одной конформации в другую влияют ван-дер-ваальсовые силы притяжения соседних молекул. Для того чтобы произошло «переключение» из одной конформации в другую, достаточно, чтобы один электрон «перескочил с места на место».

Недавно появились экспериментальные работы, в которых измерения диполя тубулина и проводимости микротрубочек показали, что микротрубочки являются сегнетоэлектриками при физиологической температуре [3], оптически мерцают при метаболической активности [4]. Экспериментально определены приблизительные резонансные частоты структурных элементов биоклетки (микротрубочек цитоскелета, цепочек ДНК), составляющие 1011-1013 Гц для механизма электронной поляризации. Обнаружены солитонные возбуждения в биомакромолекулах, вызванные когерентным электромагнитным излучением [5]. Для описания перечисленных явлений нужно сформулировать новые микроскопические модели информационных биомакромолекул, учитывающие изменения поляризации биомолекул и возбуждение дополнительных степеней свободы [6].

Модель информационной биомакромолекулы

Рис. 1 — Зависимость потенциальной энергии электрона в молекуле тубулина от координаты х

Рассмотрим информационную биомакромолекулу, которая неустойчива относительно сегнетоэлектрического перехода параэлектрик-сегнетоэлектрик. Для описания сегнетоэлек-трических свойств такой системы удобно выбрать элементарную ячейку биомакромолекулы в виде правильного шестиугольника, содержащего только одну молекулу тубулина, вследствие чего дипольные моменты молекул тубулина образуют гексагональную решетку. Пусть значение внешнего воздействия (температуры, внешнего поля) меньше критического, то есть биомакромолекула находится в сегнетоэлектрической фазе. Поскольку тубулины — это мо-

лекулы-димеры, существующие в двух пространственных конформациях, то электрон молекулы тубулина, ответственный за «переключение» между конформациями, находится в асимметричном потенциале, который имеет два различных по глубине локальных минимума (рис. 1). Левая глубокая яма соответствует исходной структуре молекулы (а-состоянию тубулина), а правая мелкая яма — конечной структуре молекулы (р-состоянию тубулина). Для простоты вычислений будем считать, что минимумы исходной и конечной структур молекулы тубулина лежат на одной оси, например х.

Классический случай. С точки зрения классической механики, полная энергия электрона в молекуле тубулина при отсутствии внешних сил постоянна и является суммой кинетической и потенциальной энергий. В простейшем случае одной степени свободы можно записать

Е =

где т — масса; и — скорость; х — координата электрона; ^а(х) — потенциальная энергия. Кинетическая энергия ти2 /2 пропорциональна квадрату скорости и поэтому не может быть отрицательной. Следовательно, движение возможно лишь в тех областях пространства, где Е >^а(х) (см. рис. 1). На рис. 1 изображены три типичные ситуации, возникающие при различных полных энергиях электрона, для характерного профиля потенциальной энергии иа(х), часто встречающегося в молекулярных задачах с электронным переходом через барьер. Кривая ^а(х) имеет две потенциальные ямы, которые разделены потенциальным барьером высотой еа .

В соответствии с приведенным неравенством при низких значениях полной энергии (случай Е1) движение происходит только в ограниченной области потенциальной ямы между точками поворота (точками пересечения уровня энергии с потенциальной кривой). При значениях полной энергии меньших, чем значение потенциальной энергии в область потенциального барьера (случай Е2), движение может происходить в двух областях — в областях левой и правой потенциальных ям между соответствующими точками поворота. Принципиально важно, что область барьера между второй и третьей точками поворота недоступна для движения электрона, который не может самостоятельно, без затраты энергии от внешних источников, перейти из одной разрешенной для движения области в другую. Преодоление барьера становится возможным при энергиях больших, чем значение максимальной потенциальной энергии в области барьера (случай Е3).

Для большинства физических процессов в биологических системах характерны именно электронные переходы через потенциальные барьеры, происходящие при движении, например электрона в молекуле тубулина. При этом переход электрона из одной потенциальной ямы в другую сопровождается перегруппировкой молекулярной системы тубулина, изменением поляризации (дипольного момента) молекулы тубулина. С точки зрения классической механики, процесс, связанный с переходом через барьер, возможен лишь при энергии электрона выше энергии активации е. Температурная зависимость частоты перехода электрона через барьер описывается известной формулой Аррениуса [7]

ю(Г) = ^ ехр

-е

Множитель ^ по порядку величины обычно близок к частоте столкновений с барьером. При температурах, близких к абсолютному нулю, это выражение пренебрежимо мало. Однако из эксперимента известно, что частота перехода электрона через барьер имеет конечный низкотемпературный предел [7].

Квантовый случай. Описанная классическая картина движения практически никогда не противоречит эксперименту для частиц с массой порядка 100 а.е.м. или более. Однако даже для таких относительно тяжелых частиц заметны, особенно при низких температурах, квантовые поправки [6]. Что касается ядер водорода (протонов), и особенно электронов, то их поведение практически невозможно объяснить в рамках классической механики. Наглядно это проявляется на примере прохождения электрона через потенциальный барьер. В классическом случае при энергии Е2 (см. рис. 1) движение под барьером невозможно, так как должно выполняться условие и2 > 0. Однако в квантово-механической теории (более точно описывающей движение по сравнению с классической механикой) у частицы не существует состояний, для которых одновременно определены координата и скорость. Более точно это утверждение формулируется принципом неопределенности Гейзенберга [8]:

тАиАх > Й ,

где Аи и Ах — неопределенности в значениях скорости и координаты; Й = 1,0545 • 10_27 эрг • с — постоянная Планка. Так как постоянная Планка с точки зрения макроскопических явлений пренебрежимо мала, то принцип неопределенности для частиц с достаточно большой массой не играет практической роли. Однако для частиц с массой порядка 10-27 г (масса электрона) значения неопределенностей Аи и Ах становятся сравнимыми со средними значениями этих величин и результаты классического описания движения теряют смысл. Согласно квантовой механике, частица может оказаться в классически запрещенной области и, более того, проникнуть через эту подбарьерную область из одной ямы в другую. Это явление называется туннельным эффектом. Вероятность туннельного эффекта (прозрачность барьера), или вероятность туннелирования частицы под барьером за одно столкновение с ним, определяется известной формулой Гамова [8]

_2\>/ 2те

Т = ехр---,

Й

где т — масса частицы; \ — ширина барьера; е — разность между высотой барьера и полной энергией частицы. Для макроскопических частиц, например массой 1 г при высоте барьера 1 эрг и его длине 1 см, вероятность туннелирования столь ничтожна, что даже если частица будет сталкиваться с барьером 1015 раз в секунду (порядка частоты колебаний электрона в атоме), то за время жизни Вселенной вероятность прохождения туннельного барьера будет исчезающе мала.

Однако для частиц с массой 10-27 г при высотах барьера порядка 1 эВ, длинах барьера 1 А прозрачность потенциального барьера становится порядка 1. Туннельным эффектом определяется множество самых различных явлений: радиоактивный распад [8], фотосинтез [7], формирование предпереходных состояний в структурно-неустойчивых кристаллах [6].

Вернемся к обсуждению температурной зависимости частоты электронного перехода через барьер. Выход частоты электронного перехода на плато при низких температурах свидетельствует в пользу туннельного механизма перехода электрона в молекуле тубулина. Понятно, что при конечной температуре вклад в частоту электронного перехода дает как туннельная, так и активационная составляющая:

. _е _ _2\V 2те

ю = К ехр-+ В ехр--

Й к '

где В — частотный фактор (величина порядка частоты столкновения с барьером туннели-рующей частицы). В духе проведенных рассуждений о прохождении частицы через барьер величина е должна быть как раз порядка высоты барьера, отсчитанной от нижнего энергетического уровня (от энергии основного состояния электрона). Для проведения оценки величины е можно просто указать ее область изменения квТп < е < еа . Характерные энергии отрыва электрона от молекулы тубулина еа = 4 _ 5 эВ , а тепловая энергия частицы

кТ = 0,02 эВ для Тп = 273 К [7]. Вероятность набрать энергию 4 эВ за счет тепловых флук-

-100 /1

туаций при комнатных температурах крайне мала — порядка е . С другой стороны,

потенциальный барьер для туннелирования электрона никак не может быть меньше тепловой энергии частицы 0,02 эВ. Отсюда следует вывод, что переход электрона из одной потенциальной ямы в другую в молекуле тубулина даже при комнатных температурах носит туннельный характер. Попробуем теоретически рассчитать энергию основного состояния р и частоту туннелирования электрона ю в молекуле тубулина.

Энергия основного состояния,

частота туннелирования электрона в молекуле тубулина

Исследуем движение электрона в потенциальной яме иа(х) молекулы тубулина. Когда ширина локальных ям много меньше расстояния между ними, для потенциала иа(х), в котором находится электрон, можно использовать следующее представление:

иа (х) = -^й8|х + 11- х - 2 |,

где 8(х) — дельта-функция Дирака; ось х совпадает с осью, вдоль которой идет переход электрона в молекуле тубулина; о — расстояние между левым и правым минимумами потенциала; ^2— глубина левой и правой ям соответственно; й — ширина левой и правой

локальных ям. Интегралы | ^йЗ^х + 0^ = ^й, |^йЗ^х -0^ = ^й дают нам площадь (мощность) локальной ямы в точках —о/2 и 0 /2 соответственно. Будем считать, что левая локальная яма больше правой V > , а расстояние между ними значительно больше ширины локальной ямы (о >> й) . Удобно разделить асимметричный потенциал 0а (х) (6) на симметричную часть (х) с локальными ямами одинаковой глубины и поправку А0а (х) , связанную с разной глубиной (асимметрией) локальных ям:

0а (х) = О, (х) + А^а (х),

О, (х) =-^1й8|х + 0|- ^2йЗ| х - 0

АОа (х) = (^2 -V )й8|х + 0

2

Предполагая асимметричную поправку малой — (V*! -1 << 1 , сначала исследуем движение электрона в симметричном потенциале, а асимметрию потенциала затем учтем по теории возмущений. Хорошо известно, что движение электрона в потенциальной яме О, (х) (7) подчиняется уравнению Шредингера [8]

й2 э2

2т Эх2

Т(х )= -еТ(х ),

0

Рис. 2 — Основное состояние и собственные функции

для симметричного двухъямного потенциала

где Т(х) — волновая функция электрона; -е — собственное значение энергии электрона, которое выбрано явно отрицательным (е > 0), так как ищем только локализованные в потенциальной яме решения уравнения Шре-дингера.

Симметричный потенциал О, (х) задает два равновесных положения электрона, причем в случае классического движения электрона его основное состояние в каждой локальной яме дважды вырождено, то есть е+ = е- для четной (х) и нечетной (х) собственной волновой функции (рис. 2). Учет квантового туннелиро-вания электрона через потенциальный барьер между левой и правой локальными ямами снимает это вырождение (е+ > е-) и существенно влияет на динамику такой двухуровневой системы. Чтобы найти собственные энергии е+, е- и собственные функции , из уравнения (8), запишем волновые функции , в виде

' =

_К4.

х _ Ь 2

х _ Ь 2

х _ Ь 2

± ехр

± ехр

_К

± ехр

_К

х + Ь 2

х + Ь 2

х + Ь 2

для х < _ — _; 2

ЬЬ

для _ — < х < —; 22

для х > —, 2

где к±1 — характерный радиус локализации четной (+) и нечетной (-) волновых функций; К± — нормировочная константа. Волновые функции (9) должны удовлетворять граничным условиям и условиям нормировки, которые позволяют определить величины к± и К± :

2т

_ I _0 И±|_ 2+01,

'|2 _ 0 ) = '±( 2 + 0

Эх V±|_ I + 0|-Эх '±(_ 2 _ 0

2т

'(х)=_^'±| 22

I I''± (х)|2^х = 1, | V+ (х)'_ (х)Лх = 0

Решая уравнение Шредингера (8) совместно с (10)-(12), получим

— К± = ^ Г1 ± ехр (_К±° )] , е± = К± .

т ь -1 2т

Поправку к собственной энергии электрона ЙА, связанную с влиянием асимметрии потенциала А0а (х) , вычислим в первом порядке теории возмущений по волновым функциям четного и нечетного состояний (9):

В пределе «слабого» туннелирования к±0 >> 1 , что соответствует случаю классической двухуровневой системы, выражения (13), (14) принимают вид

Й2

Й2 м а

-К± =

т ± 2

1 ± ехр (_К_)], к0

Й2 / т

N =

Й2/ т

Йю =

2

е+ _ е_ = -Й- (к+ _ к_ )= 24^ ехр (_K!-1 0 , ЙА =

(V2 _

4

где Йю — расщепление энергий четного и нечетного состояний электрона; ^ — коэффициент квантовости двухуровневой системы, который мал, когда туннелирование мало, и стремится к единице, когда туннелирование велико. Из (15), (16) видно, что в пределе к±0 >> 1 расщепление энергий Йю стремится к нулю, туннельный эффект отсутствует. Следовательно, когерентная связь между четным и нечетным состояниями электрона отсутствует, и мы имеем дело с локализованным электроном в левой потенциальной яме. Проводя оценку величин (15), (16) для значений 1 эВ = 1,6 • 10_19 Дж ; Й = 10_34 Дж• с ; V = 6,4 • 10_19 Дж = 4 эВ ; Л = 10_10 м ; о = 10_8 м ; = 10_30 кг ; V-, _V = 1,6 • 10_23 Дж , получим К"1 = 64; к0 = 6,4 • 109 м_1 ; к+= к_ = 6,4 • 109 м_1 ; е+= 2 • 10_19 Дж = 1,2 эВ ; Йю = 10_39 Дж = 10_20 Эв ^ 0 ; ЙА = 0,16 (V2 _ V, ) = _0,29 • 10_23 Дж . Это означает, что для горба, разделяющего левый и правый минимумы двухъямного потенциала (см. рис. 2), с высотой ^2 = 6,4 • 10_19 Дж — 4 эВ и шириной 10 нм расщепление энергий Йю стремится к

Ь

К

К

К

2

Й

2

Й

нулю и квантовое туннелирование электрона в правую яму практически отсутствует, а энергия основного состояния электрона составляет е+ = 2 • 10 19 Дж — 1,2 эВ .

В пределе «сильного» туннелирования к±Ь ~ 1 , что соответствует случаю квантовой двухуровневой системы, выражения (15), (16) принимают вид

2

Кк±Ъ = [1 ± ехр

ЙА =

Из (17), (18) видно, что в пределе к±Ъ ~ 1 расщепление энергий Йю отлично от нуля, а туннельный эффект велик. Следовательно, когерентная связь между четным и нечетным состояниями электрона существует, и мы имеем дело с квантовым движением электрона в двухъямном потенциале. Проводя оценку величин (17), (18) для значений V = 6,4 • 10-19 Дж — 4 эВ ; й = 10-10 м ; о = 10-9 м ; те = 10-30 кг ; V -V = 1,6 • 10-23 Дж , получим К- = 6,4; к0 = 6,4 • 109 м-1; к+= 6,46 • 109 м-1; к-= 6,34 • 109 м-1; е+ = 2 • 10-19 Дж — 1,2 эВ ; йю = 6,4 • 10-21 Дж — 0,04 эВ ; ЙА = 0,01(У2 -^1) =-1,6 • 10-25 Дж . Это означает, что для горба, разделяющего левый и правый минимумы двухъямного потенциала, с высотой ^2 = 6,4 • 10-19 Дж — 4 эВ и шириной 1 нм расщепление энергий Йю отлично от нуля, квантовое туннелирование электрона велико, и необходимо учитывать квантовые свойства двухуровневой системы, а энергия основного состояния электрона составляет е+ = 2 • 10-19 Дж — 1,2 эВ .

Таким образом, в двухъямном потенциале молекулы тубулина появляются дополнительные квантовые смещения электронов (туннелирование) в определенном направлении и на определенное расстояние — дискретные конформационные степени свободы. Следовательно, волновая функция электрона в молекуле тубулина должна зависеть не только от непрерывной пространственной координаты х , но и от одной дискретной переменной, указывающей значение проекции псевдоспина на некоторое выбранное направление в пространстве псевдоспина, например ось ъ . Для нашего случая двухуровневой системы волновая функция электрона будет иметь вид спинора Т(х,), который представляет собой совокупность двух различных функций координат — четной Т(х, +1/2) = Т+ (х) и нечетной Т(х, -1 /2) = (х) , отвечающих различным значениям ъ -компонента псевдоспина. Оператор псевдоспина при применении его к волновой функции ¥(х, ) действует только на переменную . Для операторов псевдоспина выполняются обычные коммутационные соотношения

^ ]= зд^,

где а, Р, у = х,ъ в пространстве псевдоспина; а,Ъ — номера элементарных ячеек биомакромолекулы. Для каждой двухуровневой системы любой оператор частиц (эрмитова матрица второго порядка) может быть выражен через операторы псевдоспина 1/2 (Бх, Б^1, и единичную матрицу).

В представлении четной и нечетной волновых функций Т+ , одночастичная потенциальная энергия электрона в молекуле тубулина (ячейке) с номером а , находящегося в симметричном двухъямном потенциале, будет иметь вид

= йюБа .

Гамильтониан взаимодействия электронов в различных ячейках в простейшем случае можно записать в виде суммы двухчастичных взаимодействий псевдоспинов:

^ =-1X

2 а,Ъ

где ЛаЪ — эффективная константа взаимодействия псевдоспинов. Суммирование по а, Ъ идет по всем молекулам тубулина (ячейкам) в информационной биомакромолекуле.

Обсуждение результатов

Предложенная модель позволяет заключить, что в информационной биомакромолекуле, неустойчивой относительно сегнетоэлектрического перехода, одночастичный потенциальный рельеф электрона, ответственного за «переключение» между конформациями молекулы ту-булина, имеет двухъямный характер. Поэтому систему конформационных возбуждений в информационной биомакромолекуле необходимо описывать как квантовую двухуровневую систему (19)—(21). Эффект квантового поведения информационной биомакромолекулы становится существенным, когда высота горба, разделяющего левый и правый минимумы двухъям-ного потенциала в молекуле тубулина, становится V2 = 6,4 • 10_19 Дж = 4 эВ, а ширина 1 —2 нм. В рамках предложенной модели энергия основного состояния электрона составляет е+ = 2 • 10 19 Дж — 1,2 эВ, расщепление энергий четного и нечетного состояний электрона (величина, характеризующая туннельный эффект) равно е = Йю = 6,4 • 10_21 _6,4 • 10_23 Дж —

1 3

— 0,04 _ 0,0004 эВ , соответствующая частота туннелирования составляет ю = 6 • 10 _

111 у 3 г \

_ 6 • 10 с_ , длина электромагнитной волны X = 0,5 (10_ _ 10_ ^ м , что согласуется с экспериментально определенными резонансными частотами и длинами волн биомакромолекул. Электрон в молекуле тубулина за очень короткое время, порядка 1—0,01 пс (1 пс = 10-12 с), туннелирует через потенциальный барьер. Такое сверхбыстрое разделение зарядов в молекуле тубулина позволяет избегать диссипации энергии, поскольку время релаксации электронного возбуждения в молекуле тубулина достигает нескольких сот пикосекунд.

Конформации тубулина соответствуют различным состояниям электрической поляризации димера, возникающим вследствие того, что электрон в центре перемычки а-тубулин / Р-тубулин занимает в различных конформациях различные положения. Последнее, очевидно, обусловлено сменой электрической поляризации молекулы на альтернативную. На состояние каждого димера воздействуют состояния поляризации каждого из шести его соседей (вследствие ван-дер-ваальсовых взаимодействий между ними, которые вызывают слабое притяжение между молекулами тубулина, обладающими электрическим дипольным моментом), то есть существуют вполне конкретные правила, определяющие конформацию каждого ди-мера через конформации его соседей. Благодаря этому обстоятельству каждая микротрубочка способна осуществлять передачу и обработку любого рода сообщений.

Управляя внешним воздействием, можно изменять площадь горба, разделяющего минимумы двухъямного потенциала биомолекулы, а следовательно, квантовые свойства системы. Поэтому информационная биомакромолекула является естественной квантовой оптико-акустической системой, способной считывать, записывать, обрабатывать, генерировать и передавать информацию, то есть выполнять те элементарные функции, которые обычно приписывают человеческому сознанию.

Возвращаясь к природе человеческого сознания и принимая во внимание информационные процессы в микротрубочках цитоскелета, можно говорить, что потенциальная вычислительная мощность мозга гораздо больше, чем можно ожидать, используй мозг в качестве простейших вычислительных блоков «цельные нейроны». Если простейшими вычислительными блоками считать молекулы тубулина, то придется предположить, что потенциальная вычислительная мощность мозга просто неимоверно превосходит возможности классического искусственного интеллекта. Основываясь на «цельнонейронной» модели, человеческий

мозг может, в принципе, достичь производительности порядка 1014 операций в секунду, но не

11

более того; при этом в мозге имеется около 10 функционирующих нейронов, каждый из которых способен посылать примерно по 103 сигналов в секунду. Если же в качестве элементарного вычислительного блока взять димер тубулина, то следует учесть, что на каждый нейрон приходится около 107 димеров; соответственно элементарные операции теперь выполняются в 106 раз быстрее, в результате чего получается 1027 операций в секунду. Возможно, производительность современных компьютеров и начинает приближаться к первой цифре, 1014 в секунду, однако, несмотря на все успехи, достичь в обозримом будущем производительности 1027 операций в секунду не представляется возможным. Разумеется, можно утверждать, что мозг работает далеко не со стопроцентной «микротрубочковой» эффективностью, какую вышеприведенные цифры предполагают. Тем не менее ясно, что человеческий мозг существенно выигрывает в производительности, благодаря гигантскому массиву своих «микротрубочковых информационных нанопроцессоров», если сравнивать с тем, чего он смог бы достичь, располагай лишь «переключателями цельнонейронного типа».

Литература

1. Пенроуз Р. Тени разума: в поисках науки о сознании / Р. Пенроуз. — Ижевск : ИКИ, 2005. - 690 с.

2. Hameroff S. Quantum coherence in microtubules: A Neural Basis for Emergent Consciousness / S. Hameroff // Journal of Consciousness Studies. - 1994. - J. 1. - P. 91-118.

3. Tuszynski J.A. Ferroelectric behavior in microtubule dipole lattices: implications for information processing, signalling and assembly / J.A. Tuszynski [et al.] // J. Theor. Biol. -1995. - V. 174. - P. 371-380.

4. Hunt C. Role of MAPs and motors in the bundling and shimmering of native microtubules from insect variables / C. Hunt, H. Stebbings // Cell Motility and the Cytoskeleton. - 1994. -V. 27. - P. 6978-6985.

5. Благодатских В. И. Взаимодействие когерентного электромагнитного излучения с биомакромолекулами / В.И. Благодатских, П.П. Гаряев // Laser Physics. -V.6. - №№ 4. - P. 621628.

6. Слядников Е.Е. Предпереходное состояние и структурный переход в деформированном кристалле / Е.Е. Слядников // Физика твердого тела. - 2004. - Т. 46, вып. 6. - С. 10651071.

7. Волькенштейн М.В. Биофизика / М.В. Волькенштейн. - М. : Наука, 1988. - 591 с.

8. Ландау Л. Д. Квантовая механика / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М. : Наука, 1989. - 521 с.