Оценочная диаграмма квазихрупкого разрушения тел с иерархией структур. Многомасштабные необходимые и достаточные критерии разрушения

УДК 539.3

Оценочная диаграмма квазихрупкого разрушения тел с иерархией структур. Многомасштабные необходимые и достаточные критерии разрушения

В.М. Корнев

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

При построении необходимых и достаточных критериев разрушения используется подход Нейбера-Новожилова для каждого структурного уровня. Рассматриваются материалы с регулярной структурой, которые имеют хрупкий или квазихрупкий тип разрушения, причем для каждого структурного уровня материала известен характерный линейный размер.

Используется модификация модели Леонова-Панасюка-Дагдейла для трещины нормального отрыва, когда поперечник зоны предразрушения совпадает с поперечником зоны пластичности. Выведены простые соотношения для критических параметров: растягивающих напряжений, длин зон предразрушения, коэффициентов интенсивности напряжений. Описано разрушение для разных структурных уровней (от нано- до макроуровней). Полученные соотношения допускают рассмотрение разрушения структурного уровня материала, когда длина трещины пренебрежимо мала. Предлагается в широком диапазоне изменения длин трещин рассматривать оценочную диаграмму разрушения, в которой используются критические напряжения по обоим критериям для разных структурных уровней. Выявлены при некотором уровне нагружения три области, в первой из которых длина исходной трещины не меняется (трещина устойчива), во второй длина исходной трещины увеличивается на длину зоны предразрушения (трещина подрастает, оставаясь устойчивой), в третьей длина исходной трещины увеличивается катастрофически (трещина неустойчива).

Критический коэффициент интенсивности напряжений, полученный по достаточному критерию разрушения, вычисляется в рамках модели по диаметру зерна, модулю упругости и предельному относительному удлинению материала.

Ключевые слова: хрупкое и квазихрупкое разрушение, необходимые и достаточные критерии, материалы с иерархией структур

Evaluation diagram for quasibrittle fracture of solids with structural hierarchy. Necessary and sufficient multiscale fracture criteria

V.M. Kornev

Lavrentiev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

In the work, necessary and sufficient fracture criteria for each structural level are derived using the Neuber-Novozhilov approach. Consideration is given to regularly structured materials that feature brittle or quasibrittle fracture and have a known characteristic linear dimension at each structural level.

A modified version of the Leonov-Panasyuk-Dugdale model for opening mode cracks is employed in which the cross-sectional dimensions of prefracture and plastic zones coincide. Simple relations are derived for the critical parameters: tensile stress, lengths of prefracture zones, and stress intensity factors. Fracture is described at different structural levels (from the nano- to macrolevels). The derived relations allow consideration of fracture at any structural level for negligible crack lengths. A fracture evaluation diagram in which the critical stress at different structural levels is employed in both criteria is proposed for use in a wide range of crack length. At a certain level of loading, three regions are distinguished of which one features a constant initial crack length (stable crack); the second, an initial crack length increased by the length of a prefracture zone (growing, yet stable, crack); and the third, catastrophically increasing crack length (unstable crack).

In the framework of the model, the critical stress intensity factor for the sufficient fracture criterion is calculated from the grain diameter, elastic modulus and limiting elongation of material.

Keywords: brittle and quasibrittle fracture, necessary and sufficient criteria, materials with structural hierarchy

© Корнев В.М., 2010

1. Введение

Наблюдается повышенный интерес как к многомасштабному расчету, так и к многомасштабному конструированию материалов [1, 2] (весь выпуск цитируемого журнала Science посвящен этому вопросу). Детальное описание многомасштабного разрушения приведено в обзоре [3], где даны ссылки на 42 работы. В модели Си на рис. 1, заимствованном из обзора [3], для правой вершины трещины использованы обозначения: c = a + + b — длина исходной макротрещины (макромасштабный уровень); b — полудлина зоны предразрушения (мезомасштабный уровень); d — длина микровыреза (микромасштабный уровень). В этой модели имеются две зоны предразрушения для мезо- и микроуровней, причем для микроуровня рассматривается микровырез, который примыкает к вершине фиктивной трещины. Автор [3] предупреждет, что возможно возникновение потенциальных ошибок из-за наличия дополнительных параметров, характеризующих длины зон предразруше-ния и раскрытия трещин для каждого структурного уровня. Кроме того, в работе [3, с. 26] отмечено, что любая реалистическая модель повреждений должна включать особенности многомасштабности, в которой отражены изменения геометрии, нагружения и материала.

Прекрасная схема, иллюстрирующая процесс разрушения материалов со структурой, с точки зрения шкалы размеров приведена на рис. 3.1 обзора [4]. По сути дела, та же схема приведена на рис. 41 монографии [5]. На этом рисунке проиллюстрированы линейные масштабы явления разрушения. Когда явление разрушения изучается только с позиций механики, рассматривается конец шкалы масштабов, а нано-, микро- и мезоуровни разрушения игнорируются. Ниже мы воспользуемся схемами из [4, 5] и предложим модель, описывающую разрушение материалов на разных структурных уровнях. Таким образом, в предлагаемых диаграммах разрушения для разных структурных уровней принимаются во внимание начало, средняя часть и конец шкалы масштабов. Эта предложенная модель существенно отличается от представления Си [3].

Htttttttttmtttttttttt

Х2

о

НННШННННШШ!

Geo

Рис. 1. Схема разрушения многоуровневой системы по Дж. Си [3]

Ранее необходимые многомасштабные критерии разрушения для хрупких сред были получены в [6, 7]. При построении необходимых многомасштабных критериев разрушения на всех структурных уровнях используются только исходные длины трещин. Позднее [8-10] были предложены улучшенные достаточные критерии разрушения для одного из структурных уровней. Эти достаточные критерии [8-10] построены в рамках модификации модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [11, 12]. Необходимо отметить, что в работах [6-10] используется подход Нейбера-Новожилова [13, 14] для структурированных материалов. Модификация модели Леонова-Панасюка-Дагдейла, по сути дела, свелась к тому, что в отличие от классической модели у зоны предразрушения, кроме длины, появился поперечник. Появление дополнительного параметра позволило оценить разрушение структуры зоны предразрушения, ближайшей к середине реальной трещины, привлекая информацию о параметрах стандартной ст-е-диаграммы материала [9]. Построенные достаточные критерии [810] допускают предельный переход к необходимым критериям, когда длина зоны предразрушения стремится к нулю.

Подход Нейбера-Новожилова [13, 14] позволяет расширить класс решений для сред со структурой. По терминологии В.В. Новожилова изучаемые здесь критерии разрушения называются достаточными. Бесконечные напряжения в вершине фиктивной трещины, не допускаемые континуальным критерием разрушения, не противоречат дискретным критериям разрушения, если сингулярная составляющая решения имеет интегрируемую особенность. Обоснование подхода Нейбера-Но-вожилова при формулировке критериев приведено в

[15].

Так как ниже обсуждаются критические параметры разрушения в широком диапазоне изменения характерных линейных размеров, то естественно затронуть вопрос о критических расстояниях для трещин [16, 17], когда рассматриваются материалы с иерархией структур.

2. Описание структуры материала и предлагаемой модели

Рассматриваются материалы с иерархией структур [4, 5]. Введем обозначения для номеров структур i = 1,

2, ..., г0, где индекс i = 1 соответствует макроструктуре. Пусть г — характерный линейный размер г-й структуры, причем г >> г+1 при г = 1, 2, ..., г0 -1, г0 < 4. Ниже анализируется своеобразная трактовка [8, 9] модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [11, 12], когда используются параметры классических -диаграмм ма-

териалов для каждого структурного уровня (стг — напряжение, ег — относительное удлинение г'-й структуры).

Рис. 2. Простейшие аппроксимации о. — е.-диаграмм материалов со структурой

Рисунок 2 поясняет, какие именно простейшие аппроксимации о. — е. -диаграмм используются ниже: каждая из о. — е. -диаграмм аппроксимирована двухзвенной ломаной, когда на упругом участке все модули упругости совпадают, т.е. Е1 = Е{ при i = 1, 2, ..., г0. Изображенные кривые 1-3 соответствуют макроструктуре i = 1, некоторой промежуточной г-й структуре и

0

наноструктуре г = г , характерными параметрами этих аппроксимаций о. — е. -диаграмм являются параметры ай., , е0г-, е1г-, где ай. — «теоретическая» прочность

гранулированного материала; а(Дг- — постоянные напряжения, действующие согласно модели Леонова-Па-насюка-Дагдейла; е0г- — максимальное упругое удлинение; е1г- — максимальное удлинение материала г-й структуры. Таким образом, величина е1г- — е 0г- есть неупругое удлинение материала г-й структуры. В классической модели Леонова-Панасюка-Дагдейла напряжения ой-, ош совпадают, т.е. ой- = ош, в предлагаемых аппроксимациях о. — е. -диаграмм эти напряжения могут различаться, т.е. о. Ф о(Дг-, что и изображено на рис. 2,

когда > о

(Д2, ст(3 <о(Д3. Напомним, что

теоретическая прочность монокристалла о. и предел текучести ст(1 обычных конструкционных металлических сплавов отличаются на полтора или два порядка, т.е. СТ. >> СТ41.

Предположим, что плоская трещина нормального отрыва распространяется прямолинейно в материале с иерархией структур, т.е. не меняет своего направления для разных структур г = 1, 2, ..., г0. Пусть на бесконечности заданы растягивающие напряжения о^1, действующие по нормали к плоскости трещины; индекс 1 указывает на то, что напряжения о^1 заданы для макроструктуры г = 1. Кроме реальной внутренней прямолинейной трещины-разреза длиной 2/0, введем в рассмотрение фиктивные трещины-разрезы длиной 2/. = = 2/0 + 2Д., каждая из зон предразрушения Д. расположена на продолжении реальной трещины (/., Д. —

длины фиктивных трещин и зон предразрушения г-й структуры). Полная постановка задачи о распределении напряжений и смещений трещины нормального отрыва для упругопластических материалов относится к нелинейной механике разрушения. Эту сложную нелинейную задачу предлагается существенно упростить: воспользуемся классическими представлениями линейной механики разрушения, когда фиктивная трещина нормального отрыва моделируется двусторонним разрезом, а нелинейность задачи связана только с описанием зоны предразрушения. Напомним, что согласно классической модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [11, 12] пластический материал зоны предразрушения стягивает берега трещины, причем его поперечник равен нулю.

В модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [11, 12] поле нормальных напряжений оу. (х. ,0) на продолжении фиктивных трещин можно представить в виде суммы двух слагаемых (каждое начало декартовой системы координат О.х.у. согласовано с правой вершиной фиктивной трещины для г-й структуры):

о„.

Кц = кы + Кш, Км > 0, Кд < 0, где Кь- = Кь- (/., Д.) — суммарные коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах фиктивных трещин; Км — коэффициенты интенсивности напряжений, порождаемые напряжениями о^1; Кш — коэффициенты интенсивности напряжений, порождаемые постоянными напряжениями стш. Первое и второе слагаемые в соотношении (1) — сингулярная и гладкая части решения соответственно.

При описании зон предразрушения возможно исследование трех классов решений [8, 9]:

1) Кь- > 0, г = 1, 2, ..., Л

2) Кь. = 0, г = 1, 2, ..., Л

3) Кь- < 0, г = 1, 2, ..., 1°.

Подход Нейбера-Новожилова [13, 14] позволяет использовать первый класс решений (2) для сред со структурой, поскольку бесконечные напряжения в вершине фиктивной трещины (см. (1) и (2)), не допускаемые континуальными критериями прочности, не противоречат дискретным критериям, если сингулярная составляющая решения имеет интегрируемую особенность. Второй класс решений (3) для сред со структурой соответствует классической модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла [11, 12]. Обсуждение использования третьего класса решений (4) приведено в последнем разделе статьи.

Зона предразрушения [8, 9] занимает прямоугольник со сторонами Д., а., причем, если длина зоны предразрушения Д. определяется в процессе решения задачи о разрушении, то поперечник зоны предразрушения а. для каждой г-й структуры надо определять из каких-то

дополнительных соображений. Например, поперечник зоны предразрушения а1 для макроуровня целесообразно отождествить с поперечником зоны пластичности, как в [8, 9], а поперечник зоны предразрушения а.0 для наноуровня в некоторых случаях [10] целесообразно отождествить с длиной, равной нескольким межатомным расстояниям.

Авторы [4, 5] привели схему, иллюстрирующую процесс разрушения металлов с точки зрения шкалы размеров. Этой схеме не противоречат введенные в рассмотрение материалы с иерархией структур, для которых выполняется соотношение г >> г+1 для i = 1, 2, ..., I -1 (например г1 = 10- мм, г2 = 10 мм, г3 = 10- мм). Надо обратить внимание на то [4], что для образца толщиной = 1 мм при рассмотрении макроразрушения используются соотношения для плоского напряженного состояния, а при изучении микроразрушения используются соотношения для плоской деформации. Поскольку длины зон предразрушения г-й структуры измеряются в характерных линейных размерах каждой структуры, то естественно рассматривать соотношение Аг- >> Аг+1 для I = 1,2,..., 10 -1. Это ограничение соответствует предположению, что все безразмерные длины зон пред-разрушения имеют одинаковый порядок

Аг-/г

= 0(1), і = 1,2,..., і0 -1.

А+1/ Г+1

Соотношению (5) соответствует схема, аналогичная русской матрешке, все зоны предразрушения начинаются от вершины реальной трещины, а длины фиктивных трещин удовлетворяют неравенствам > 1М для г =

= 1, 2,..., 1°-1.

Схема, иллюстрирующая взаимное расположение зон предразрущения на соответствующих структурных уровнях, приведена на рис. 3, когда используются три уровня. Три кривые 1, 2 и 3 ограничивают зоны пред-разрушения соответственно для макро-, мезо- и микроуровней. На рис. 4 приведена схема, качественно поясняющая взаимосвязь между точками 1, 2, 3, 4 на аппроксимации а -ег- -диаграммы и точками 1, 2, 3, 4 зоны

предразрушения; последние точки расположены на продолжении реальной трещины для ее левой стороны. Эта взаимосвязь отображена штриховыми прямыми, когда материал в вершине трещины находится в критическом состоянии. Предлагаемая схема входит в противоречие со схемой Си [3]. Однако предлагаемые схемы рис. 3 и 4, по мнению автора, отражают разные структурные уровни пластической деформации и разрушения [18, 19]. Вне зоны предразрушения материал деформируется упруго, затем на границе зоны предразрушения материал начинает деформироваться неупруго, те или иные точки зоны предразрушения соответствуют неупругому деформированию материала, как правило, при обобщенном напряженном состоянии. На продолжении реальной трещины реализуется чистое растяжение, поэтому можно пользоваться характеристиками классических ст-є-диаграмм материала. В докритическом состоянии материал, расположенный в вершине трещины на ее продолжении, имеет удлинение е1 < е11, а при критическом состоянии его удлинение совпадает с критическим удлинением, т.е. е1 = е11 в точке 4 на рис. 4.

3. Многомасштабные дискретно-интегральные критерии прочности

Предлагаются многомасштабные достаточные прочностные критерии [14] для г-й структуры, когда рассматриваются трещины нормального отрыва:

1 г і

т— ] ауі (хі ,°№' ^ ^і , г = 1, 2, ..., Л кіГі 0

2vг

Здесь а уЛ (, 0) — нормальные напряжения на продолжении трещин; 01х1у1 — прямоугольные системы координат, ориентированные относительно правых частей трещин (начало координат для каждой структуры совпадает с вершиной фиктивной трещины в модели Леоно-ва-Панасюка-Дагдейла [11, 12]); щг — интервал осреднения; (щ - ^)/щ — коэффициент поврежденности ис-

Рис. 3. Схема взаимного расположения зон предразрушения

Рис. 4. Взаимосвязь между точками аг- -ег--диаграммы и точками зоны предразрушения

ходного материала на г'-м интервале осреднения (1/2 < < (щ - ^)/щ < 1); 2vi = 2vi (х.,0) — раскрытие трещин; щ, к. — целые числа (щ > к. ,1 < щ < 4); 2v* (-А*, 0) = = 8,- — критическое раскрытие трещин.

Для того чтобы воспользоваться достаточными дискретно-интегральными критериями (6), (7), надо иметь аналитические выражения нормальных напряжений ау- (х., 0) на продолжении трещин и раскрытие трещин

2^. = 2vi(х,0).

Начнем с построения напряжений ау- (х., 0) на продолжении внутренней трещины. В материале с иерархией структур имеется сингулярная часть решения. Эта сингулярная часть решения в (1) определяется по заданным напряжениям а—, для каждой длины 21. = 2/0 + +2А. фиктивной трещины. Коэффициент интенсивности напряжений К 1—, порождаемый напряжениями а—, подсчитывается по правилу

к 1-- = а^^/Л", г = 1, 2, ..., -0

Далее рассматривается квазихрупкое разрушение, когда зона предразрушения А1 для макроуровня существенно меньше длины исходной трещины /0, т.е.

Д, << /о, i = 1, 2,

Принимая во внимание неравенства (9) и оценки (5), равенства (8) сводятся к одному равенству с точностью до величин высшего порядка малости:

»1V п/0 > i 1 2>

0 (10) Имеет место иерархия по длинам зон предразруше-ния А. >> А.+1, что существенно упрощает описание сингулярной части решения (1), (8) в вершинах трещин для материалов с иерархией регулярных структур г. >> >> г+1 для . = 1, 2,...,.0 -1. Поскольку далее используется первый класс решений (2), то воспользуемся следующими тремя представлениями нормальных напряжений (1) на продолжении трещины а ^ (х., 0), порождаемых напряжениями а-1:

ау.(х,0) = - а-

»1 \xi + l0

д, = 0, i = 1, 2,

а»

а уг- (х,,°) =

\х, +1,\

K

ш

V(х + k )2 - ,

пх,

Д * 0, i = 1, 2,

а (х,0) =

K

1Д,

72Л

V2

Ki»,=а»1

пх,

0

¿т.

]п/., г = 1, 2, ,

Если соотношение (11)—точное решение упругой задачи при А. = 0, то представления (12) и (13) — сконструированные аппроксимации решения. Эти аппроксимации имеют ту же особенность, что и точное решение (1), (11) при х. ^ 0, и совпадают с точным решени-

ем (11) в предельном случае при х, ^ », когда а» = = const.

Приведем выражения для коэффициентов интенсивности напряжений Кш из соотношений (1), (12) и (13), порождаемых постоянными напряжениями а(Дг-, действующими согласно модифицированной модели Лео-нова-Панасюка-Дагдейла. Эти выражения для коэффициентов интенсивности напряжений K ш заимствованы из справочника [20]:

K1Д, = аш

№

1-----arcsin

п

1 —

= -<а

1 - — arcsin п

1 —

Ki

1Д

i = 1, 2,

-\/2ПХ

Постоянные напряжения а(Аг-, стягивающие противоположные берега двустороннего разреза, не порождают гладкую составляющую решения в (12), (13) из-за того, что они являются самоуравновешенными. Итак, выполнено построение нормальных напряжений на продолжении трещины:

,

где для соотношений (12) и (13) первый член суммы (15) представлен соответственно:

ау»,

V( х + к )2 - lf

Ki

I»,

ау», ( х, ,0) Г-

у2пх1

+ а»

Когда рассматривается квазихрупкое разрушение А.//. << 1 (г = 1, 2, ..., .0), то с точностью до величин высшего порядка малости имеем для вторых слагаемых в квадратных скобках соотношения (14) очень простое представление:

arcsin

Переходим к построению раскрытия трещин 2у. = = 2у. (х. ,0). В работах [8, 9] предложена модификация модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [11, 12], когда вводится параметр, характеризующий поперечник зоны предразрушения. В модифицированной модели рассматривается двулистность решения для каждого г-го структурного уровня. Схема, поясняющая двулистность решения, приведена на рис. 5. На всей плоскости с двусторонним разрезом определено решение, соответствующее линейной механике разрушения. Только в зонах предразрушения, занимающих прямоугольники со сторонами А., а., определено то или иное решение, соответствующее нелинейной механике разрушения. Вершины этих прямоугольников суть

А+ (-А.,а./2), В + (О.,а./2),

y¡

А В+

Трещина

-A¡ 0¡ x¡

А В-

Рис. 5. Расположение прямоугольных зон предразрушения

А-(-А.,-а./ 2), В - (О.,-а./ 2).

Условия склейки решений по нормальным напряжениям а+., а-. и смещениям V*, V- достаточно своеобразны (знаки плюс и минус указывают на верхнюю или нижнюю стороны разреза и верхнюю или нижнюю стороны прямоугольника):

I-Á+O+

= СТ У

IA+B+

-Л-0-

+ 1 -

СТ vi\ yi I-Á+O+ СТ yi l-Á-O -

= СТ,

tÁi,

= V

= V,

I-Á+O+ IA+B+ l-Á -O~ \A~B -

то есть к берегам разреза в зоне предразрушения, как и в классической модели, приложены равные по абсолютной величине противоположно направленные напряжения СТ+,- , СТ-, , на ст,-е, -диаграмме рис. 2

yi I-Á+O+ yi l-Á-O- I I Г

«работает» участок диаграммы, соответствующий стш = = const. В зоне предразрушения можно рассматривать растяжение пучка волокон, так как на продолжении реальной трещины нормального отрыва имеют место только растягивающие напряжения. Толщина этих волокон совпадает с характерным линейным размером rt, i-й структуры.

Поперечник зоны предразрушения для макроуровня i = 1 отождествим с поперечником зоны пластичности [9] при плоском напряженном состоянии в вершине реальной трещины:

0 = 5( ^)2 0,1 — . .

4n

Из аппроксимации ст, - е, -диаграммы заимствуем параметр максимального неупругого удлинения е11 - е01 (см. рис. 2). Тогда критическое раскрытие трещины CTt1, при котором разрушается ближайшее к центру трещины волокно макрозоны предразрушения i = 1, подсчитывается по формуле

^t1 =

Для раскрытия 2v1(-x1) фиктивной трещины в (7) используется простейшее представление [21]:

2V1(-x) K

K„ > 0,

3-^1 1+ M-1

когда опущены второстепенные слагаемые порядка О (-х-[) в асимптотическом представлении решения (18). Здесь ^ — коэффициент Пуассона; G1 — модуль сдвига; рассматривается плоское напряженное состояние.

При преобразованиях в равенствах (6), (7), когда используются соотношения (1), (12)-(18), удерживаются члены с множителями дУА[ //[ и опускаются члены с множителями А[ //[ << 1. Окончательно получим аналитические выражения для критических напряжений а—

^ А *

и критической длины зоны предразрушения А1 для квазихрупких материалов (критические параметры отмечены звездочками):

r1 *1

У”! CTtÁ1

е,, -е,

8п *

1

1 _ 5 CTtÁ1 е11 е01

-1

8п ст,

21?

01

k1

52 8

. t 5

IF

е1 1-е

0

01

lt

Здесь 2/* = 2/0 + 2А* — критическая длина макротре щины. Выражения (19) и (20) имеют смысл, если 5

1 —

8п ст,

CTtÁ 1 е 1 1 е0 1 > 0

t1

01

Неравенство (22) — ограничение, которое выполняется только для хрупких и квазихрупких материалов типа керамик и высокопрочных сплавов, оно соответствует существованию первого класса решений (2), когда опущены второстепенные слагаемые порядка О(-х1) в асимптотическом представлении решения (18). Из неравенства (22) следует, что неупругое удлинение

= 5е,

01,

ес-

е11 - е01 материала не должно превосходить ли а^/ а(1 = 1. Если для критической длины зоны предразрушения А* получено одно соотношение (21), так как при преобразованиях используется выражение (18), то для критических напряжений а— приведены два соотношения (19) и (20), поскольку при преобразованиях используются представления решений (12) и (13) соответственно.

Замечание. Если в соотношении (22) заменить знак неравенства на равенство, то получаем ограничение, которое соответствует второму классу решений (3). Если в соотношении (22) поменять знак неравенства на противоположный знак, то реализуется третий класс решений (4), при котором перекрываются берега трещины для I моды разрушения.

Для соотношений (19)-(21) очевиден предельный переход при еп/ е01 ^ 1, позволяющий перейти к рассмотрению разрушения хрупких материалов (для хрупких материалов зона предразрушения отсутствует А1 = = 0). Критические напряжения а-1 по необходимому критерию прочности при хрупком разрушении подсчитываются следующим образом (А1 = 0, /10 = 2/0):

а-

а„

Аналитические выражения (23), (24) для а-1 соответствуют представлениям решений (11) и (13). Аналитические представления критических напряжений а-1

(23), (24) зависят от четырех параметров: длины исход-

ной трещины ¿1 = /0, характерного линейного размера структуры ?1, интервала осреднения и повреж-денности материала и1. Критические напряжения

а-1 в соотношениях (19), (20), соответствующие достаточному критерию прочности (6), (7), кроме указанных четырех параметров, зависят от двух отношений а^/а41, (е„ -е01Vе01- В зоне предразрушения первое из отношений, а а (1 характеризует прочностные свойства материала, а второе, (е11 -е01)/е01 — отношение неупругих и упругих относительных удлинений материала.

Поскольку представления решений (11)-(13) содержат сингулярную и гладкую части решений при наличии трещин, естественно получить оценки предельных случаев при /0 ^ 0, /0 ^- для аналитических выражений а-1(/1*), а-1(/10) соответственно из (19), (20) и (23),

(24). Эти оценки имеют вид:

0

1т а-! = lim а- = k1аtJ щ, ¡0 ^0 10 ^0

при /0 ^ -,

1-

5 а,

,А1 41

еп - е,

01

8п а,

,1

01

при /0 ^ -.

Когда трещина отсутствует /0 ^ 0, прочность тела прямо пропорциональна напряжениям а,1 с учетом поврежденности материала как для достаточного, так и для необходимого критериев прочности (25). Для

необходимого критерия прочности (25) для длинных трещин /0 ^- прочность тела прямо пропорциональна напряжениям а,1 с учетом поврежденности материала и обратно пропорциональна корню квадратному из длины трещины 2/0/г в структурированном материале. Для достаточного критерия прочности (26) по сравнению с необходимым критерием (25) для длинных трещин /0 ^- появляется множитель, связанный со свойствами материала зоны предразрушения при неупругом деформировании. Подчеркнем, что для достаточного критерия прочности оценки (26) не зависят от того, какое из решений (12) или (13) используется. Полученные предельные соотношения и оценки (25), (26) позволяют утверждать: кривые разрушения, соответствующие необходимым (23), (24) и достаточным критериям (19), (20), обладают некоторой универсальностью при описании процесса разрушения.

Результаты расчетов для критических напряжений а0-1 при хрупком разрушении бездефектных материалов приведены на рис. 6, где кривые 1 и 2 соответствуют соотношениям (23) и (24) при п = k = 1. Максимальное рассогласование этих кривых имеет место при 2/0 / г1 ~ = 1, оно составляет около 40 %. Предпочтительно пользоваться более точными соотношениями (23) и (19), поскольку представления решений (11) и (12) содержат не только сингулярную часть решения, но и высшие

члены разложения [17]. Очевидно, что для одной и той

* * 0 0 же длины трещины /0 имеем: а-1(/1) > а-1(/1).

На рис. 7 приведено отношение критических нагрузок по достаточному и необходимому критериям а-1/ а-1 при а^у/ а,1 = 1, щ = ^ = 1, /*/г >> 1 в зависимости от параметра у = (5/8л)(еп/ е01 -1), характеризующего неупругое поведение материала (см. (23) и (19)). Полученные критические напряжения по необходимому а0-1 и достаточному а*-1 критериям различаются существенно.

Изучим поведение нелинейной системы, когда нагружение таково, что а-1 <а-1. При таком слабом нагружении в рамках предлагаемой модели никакие нелинейные эффекты не проявляются, длина исходной трещины 2/0 не меняется. Такое слабое нагружение со-

Рис. 6. Критические напряжения а- при хрупком разрушении бездефектных материалов

Рис. 7. Отношение критических нагрузок по достаточному и необхо-

* / 0

димому критериям Ст-1/а-1

ответствует неравенствам в достаточном критерии (6), (7).

Когда в достаточном критерии (6), (7) в первом соотношении (6) используется равенство, а во втором соотношении (7) реализуется неравенство, получаем до-критическое состояние системы. Рассмотрим постепенное догружение в интервале нагрузок а-1 < а- < а-1. При таком догружении имеет место устойчивый рост длины фиктивной трещины, когда 0 <А1 <А* и 2/1 = = 2/0 + 2А1. Первое из соотношений в достаточном критерии (6), (7) контролирует продвижение вершины фиктивной трещины.

Когда в соотношениях (6) и (7) реализуются равенства, то система переходит в критическое состояние. Ближайшая структура к середине трещины разрушается, поскольку А1 =А* и 2/* = 2/0 + 2А*. Неустойчивость критического состояния нелинейной системы очевидна при а-1 = а-1. Соотношение (7) в достаточном критерии (6), (7) контролирует обрыв силовых связей в структуре зоны предразрушения, эта структура является ближайшей к середине реальной трещины. Таким образом, критические нагрузки по необходимому а-1 и достаточному а*-1 критериям разрушения суть нижняя и верхняя оценки критических нагрузок рассматриваемой нелинейной системы.

На рис. 8 изображены две кривые разрушения в двойных логарифмических координатах: кривая 1 построена по необходимому критерию (23), кривая 2 —

Рис. 8. Оценочная диаграмма разрушения

по достаточному критерию (19), причем аа= 1, щ = кх = 1, еп/е01 = 1 + 4п/ 5. На рис. 8 жирной штриховой линией указан интервал Х1 критических расстояний и принцип его построения (тонкие штриховые линии), см. рис. 1, а из [16] и приведенные ниже рассуждения. Получена оценочная диаграмма разрушения, которая характеризует состояние нелинейной системы на плоскости (2^/г1, а). Эта плоскость кривыми 1 и 2 разбивается на три области: первая область I расположена левее и ниже кривой 1, вторая область II заключена между кривыми 1 и 2, третья область III расположена правее и выше кривой 2. В первой из областей длина исходной трещины не меняется (трещина устойчива), во второй области длина исходной трещины увеличивается на длину зоны предразрушения (трещина подрастает, оставаясь устойчивой), в третьей длина исходной трещины увеличивается катастрофически (трещина неустойчива). Предлагаемая оценочная диаграмма разрушения хорошо согласуется с описанием результатов экспериментов, приведенных в работе [16] на рис. 1, а.

Наибольший интерес представляют участки устойчивого роста трещин при а-1 < а-1 < а-1, А* = А* (/0), так как появляется своеобразная ловушка для распространяющихся трещин [10, 22, 23] в области II. Напомним, что решеточный захват [22] имеет место только для наноуровня . = .0: перенапряженная связь в вершине трещины может обрываться из-за раскрытия трещины и восстанавливаться после сближения берегов трещины, когда рассматриваются потенциалы межатомного взаимодействия (безусловно надо отказаться от простейшей аппроксимации а-е-диаграммы на рис. 2 для . =.0). Таким образом, диаграмма «усилие - длина трещины» для . = .0 имеет множественные локальные минимумы и максимумы [22, 23] типа «спина динозавра» с гладкими гребнями, что объясняет большие разбросы в экспериментах.

Участки устойчивого роста трещин соответствуют области II на оценочной диаграмме разрушения (рис. 8). Подчеркнем, в рассматриваемой нелинейной системе на макроуровне отсутствует решеточный захват [22] в классическом понимании, так как при критическом раскрытии трещины оборванная связь не восстанавливается для макроуровня, что связано с наличием разрыва в точке (е11,аш) стандартной а-е-диаграммы на рис. 2. Однако нечто напоминающее решеточный захват имеет место на макроуровне при г = 1. На рис. 9 изображена «спина динозавра» по Томсону [22] с острыми гребнями. На рис. 9 кривые 1 и 2 суть графики критических нагрузок а-1 и а-1, полученных по необходимому и достаточному критерию разрушения при аш/ а,1 = 1, щ = к1 = 1, /0 /г1 >> 1. Вид гребней на «спине динозавра» определяется аппроксимацией а-е-диаграммы рассматриваемого материала. Подобная «спина динозавра» может возникнуть после испытания набора образцов,

Рис. 9. Множественные локальные минимумы и максимумы

имеющих разные исходные длины трещин /0. Наличие множественных локальных минимумов и максимумов объясняет большие разбросы, наблюдаемые в натурных экспериментах.

Критические коэффициенты интенсивности напря-

ът0

жений соответственно для хрупкого л1с1 и квазихруп-

кого KIc1 приближений

Г0 -ЛГ0 K Ici _

*1. = <1>/П

для макроуровня і = 1 в рамках предлагаемой модели [4, 5] являются оценками снизу и сверху для разрушающего коэффициента интенсивности напряжений. Эти критические коэффициенты интенсивности напряжений константами материала не являются, поскольку вычисляются непосредственно по общепринятым характеристикам хрупкого и квазихрупкого материалов:

туї

K Ici = Cti

8 2

0

2/i ni

yi/2

5 Vni cu

8n k.

01

Критический коэффициент интенсивности напряжений хрупкого материала (28) определяется через структурный г1, прочностной аш параметры материала и исходную длину макротрещины 2/10 = 2/0. Критический коэффициент интенсивности напряжений ^*с1 ква-зихрупкого материала (29) определяется через структурный г1, прочностные а,1, а,А1 /а,1 параметры и параметр (е11 е 01)/ е01? характеризующий отношение неупругих и упругих относительных удлинений материала, а также через исходную длину макротрещины 2/10 = = 2/0. Этот критический коэффициент интенсивности напряжений более сложно зависит от исходной длины макротрещины 2/10 = 2/0, чем критический коэффициент интенсивности напряжений ^1<С1.

Частично формулы (28), (29) были подтверждены экспериментально [24, 25]. Соотношение (28) проверялось на образцах из мелкозернистого бетона [25], когда наполнителем для бетона служил песок. Песок специально просеивался через сито, что позволяло легко контролировать структурный параметр материала. Проведенные эксперименты [25] выявили удовлетворительное соответствие критических коэффициентов интен-

^ ТУ'О

сивности напряжений K 1с1, полученных в эксперименте, с теоретическими построениями (28) для хрупкого материала. Для квазихрупкого материала «... наблюдается линейная зависимость Kjc1 от параметра пластичности для керамики с одинаковой структурой, но с разным соотношением фаз и размером наноструктуры., что обуславливает различия в пластических характеристиках образцов» [24, с. 1090]. Пластичность в принятых обозначениях связана с параметром (е11 -е01)/е01 в

(29). Это наблюдение из [24] верно в некотором диапазоне изменения параметра (е11 - е01 )/е01 в соотношении (29). В работах [24, 25] при обработке экспериментальных результатов не принималась во внимание зависимость критических коэффициентов интенсивности напряжений K^, Kjc1 от длин трещин. Действительно, такой зависимостью в (28), (29) можно пренебречь для достаточно длинных трещин 2/0/ г1 >> 1 .

Очень простой вид оценочной диаграммы разрушения для макроуровня связан с представлениями (19), (23) и (28), (29): кривые разрушения для длинных трещин описываются линейной механикой разрушения или ее модификацией, а для коротких трещин кривые отклоняются от кривой линейной механики разрушения в сторону at1 [16]. В отличие от [16, 17] для длинных трещин 2/0/r1 >> 1 укажем интервал L1 критических расстояний, подсчитанный по правилу для макроуровня (ср. рис. 8 и 1, а из [16]):

(кы/cti)2/п< L <(кы/cti)2/п ri/2< Li < rj2 i-

8п ov

tAi cii

Єн “Є,

0i

-41 С01

В соотношениях (30) принято, что повреждения исходного материала отсутствуют: ^ = п1 = 1. Очевидно, что

верхняя оценка 1\ критического расстояния от ниж-01

ней оценки ¿і может отличаться в несколько раз, а иногда на порядок. Эти оценки , ¿1 в рамках предлагаемой модели в отличие от [16] вычисляются непосредственно через диаметр зерна, прочностные характеристики квазихрупкого материала и параметр (є11 -є 01Vє 01, характеризующий отношение неупругих и упругих относительных удлинений материала. Нижняя и верх-

няя оценки критического расстояния характеризуют переход от очень коротких трещин к трещинам средней длины соответственно для необходимых и достаточных критериев. Таким образом, частично снят вопрос о бо-

лее точном определении критического расстояния [17]. Напомним, что наибольшее рассогласование между критическими нагрузками а0-1 при хрупком разрушении наблюдается для коротких трещин при 2/0 / г =1 (см. рис. 6).

Замечание. Выше были использованы такие упрощения (16), которые соответствуют квазихрупкому разрушению, когда А[ //[ << 1. Если отказаться от таких ограничений, то надо будет решать трансцендентное уравнение, полученное из соотношений (7), (14), (18).

4. Взаимодействие разрушения на разных структурных уровнях в иерархической системе

В предыдущем разделе было описано разрушение на макроуровне г = 1. Чтобы воспользоваться полученными результатами для других структурных уровней г = 2, ..., i0, поступим следующим образом: в предыдущем разделе индекс г = 1 заменим на текущий индекс г, привлекая информацию о характеристиках материала г-го структурного уровня (см. рис. 2). Аналитические выражен ют вид:

а-

а,,

а-

а

, = 2,

Третье выражение соотношений (31) представляет ограничение, которое соответствует существованию второго класса решений (3) для каждого структурного уровня. Таким образом, рассматриваются такие материалы, в которых реализуется квазихрупкое или хрупкое разрушение на каждом структурном уровне. Продвижение зоны предразрушения г-й структуры связано с величиной «теоретической» прочности гранулированного материала а, и контролируется соотношением (6), а обрыв связи г-й структуры в вершине реальной трещины зависит от величины максимального неупругого удлинения (е1г--е0г-)/е0, материала и контролируется соотношением (7). При превышении критических нагрузок а0-, в окрестности вершины реальной трещины формируются зоны предразрушения длиной А,, когда 0 <

0 * • л ^ *0

< а- < а- < а- при г = 1, 2,...,г .

На оценочной диаграмме разрушения рис. 8 для макроуровня построены три области, в которых существенно различается поведение трещин при заданном уровне нагружения. Изучим взаимное расположение кривых для а-,, а-, в оценочных диаграммах разрушения (31) для различных структурных уровней г = 2, ..., г0. Сначала остановимся на оценках величин адля

г' = 2, ..., г в соотношениях (31). Если для аи — напряжения текучести для поликристалла технического сплава (классическое определение), то для а, — теоретическая (идеальная) прочность монокристалла на растяжение, например микроусов, а для а,- при г ф 1, г0 — напряжения текучести г-й структуры, которая погружена в (г - 1)-ю структуру. Простейший способ экспериментального определения а, для г ф 1, г0 — определение напряжения текучести при заданном гидростатическом давлении жидкости на образец. Воспользуемся обзором [26], из которого можно заимствовать оценки для отношения

5/ а и = 0(10х),

где X = Х(г ,1) — параметр, оцениваемый как 1< х < 2 [26].

Переходим к рассмотрению взаимодействия отношений аи/аи, 2/0/г при г = 2, ..., г'0, характеризующих соотношение «теоретических» прочностей и длин трещин для разных структурных уровней. Пусть отсутствуют повреждения исходного материала на всех структурных уровнях, т.е. к = щ = 1 в соотношении

(31) при г = 2, ..., г. ких напряжений 2/«/Г >> 1:

Из (31) получим оценки критичес-а-, а- для длинных трещин

1 -

5 аАг е1г е1

8п а,;

г = 2,

Естественно за единицы измерения выбрать наимень-

шие величины из ай- и г:

На рис. 10 приведены оценочные диаграммы разрушения материала для макро- и наноуровней, когда параметр х(г0,1) = 2 в соотношении (32), точнее а«0/а,1 = 90, а гг.0 = 104. При построении кривых использовались формулы (31), причем кривая 1 соответ

0

ствует а-1/а,1, кривая

2 — а-^/а^, кривая 3 —

Рис. 10. Оценочная диаграмма разрушения материала для макро- и наноуровней

а

что

0 / , кривая 4 — а^ /а(1 (при расчетах принято

аа = 1 щ = к, = 1, (5/8л)(еп/ Ео1 -1) = 0.25 для г = 1,г ). Для достаточно длинных трещин 21^г.0 > > 50000 области II устойчивого подрастания трещин (ср. с рис. 8) перекрываются для макро- и наноуровней. Возможно сателлитное зарождение микротрещин в зоне предразрушения для макроуроня, если привлекать дополнительную информацию о поврежденности (разрыхлении) материала к\/п1 < 1 в этой зоне. Первым претендентом, провоцирующим сателлитное зарождение микротрещины, является наличие на продолжении трещины тройного стыка малоугловых границ монокристаллов, когда одна из малоугловых границ расположена на продолжении трещины. Подчеркнем, что при сателлитном зарождении трещин обрываются межатомные связи на малоугловой границе. Приведенный простейший пример (рис. 10) соответствует следующему расположению структур в окрестности вершины трещины (материал рассматривается как композит): трещина упирается в монокристалл, за которым располагается регулярная зернистая структура из монокристаллов, причем на продолжении трещины отсутствуют какие-либо существенные неправильности или повреждения материала. Схема сателлитного зарождения микротрещин для первой моды разрушения описана К. Бробер-гом [27, рис. 1].

Использование оценочных диаграмм разрушения для макро- и наноуровней можно продолжить и для других структурных уровней, если будет известно взаимное расположение всех структурных уровней материала как композита в окрестности вершины реальной трещины (безусловно некоторые из структурных уровней могут отсутствовать из-за особого расположения вершины трещины).

Рассмотрим следующее расположение структур в окрестности вершины трещины: трещина упирается в малоугловую границу двух монокристаллов, причем эта граница расположена на продолжении трещины. В первом приближении малоугловую границу можно рассматривать как своеобразный структурный уровень материала. Вдоль этой границы имеем периодическую структуру [28, с. 235-236], для характерного линейного размера г0 _1 этой структуры справедлива оценка г0-1 = = 0(10ге), где ге — постоянная атомной решетки. Далее используются соотношения из (33) для г = 1,г0 _ 1 и (34), т.е. для макро- и микроуровней. На рис. 11 приведены оценочные диаграммы разрушения материала для этих уровней, когда а(1 = 1.2, а г.0 _1 = 103 (по

сравнению с прочностью а

малоугловой границы

на разрыв техническая прочность а(1 макроуровня меньше на 20 % из-за наличия дополнительных повреждений). При построении кривых использовались формулы (31), причем кривая 1 соответствует .0 _^а (1, кривая 2 — <а\0_х!а(1, кривая 3 — а^/ай, кривая 4 —

Рис. 11. Оценочная диаграмма разрушения материала для макро- и микроуровней

а-1/а41 (при расчетах принято, что а (Д^ а (1 = 1, щ = = к = 1, (5/8л)(еп/£01 _1) = 0.25 для г = 1, г'0 _ 1). На рис. 11 области II устойчивого подрастания трещин (ср. с рис. 8) не перекрываются для макро- и микроуровней: разрушение всегда начинается с обрыва межатомных связей на малоугловой границе. Таким образом, микромасштабный уровень разрушения проявляется очень четко, так как при выполнении достаточного критерия прочности (6), (7) вершина реальной трещины скачком продвигается на величину г.0 -1. Устойчивость образовавшейся трещины длиной /* _1 + г0 -1 надо специально исследовать, привлекая информацию о конкретном расположении структур в окрестности вершины этой новой трещины. Возможные сценарии (приведем только два сценария): 1) трещина останавливается, если ее вершина упирается в монокристалл; 2) трещина продолжает распространяться, если продолжением этой трещины служит малоугловая граница, тело разделяется на части.

Для каждого структурного уровня г = 2, ..., г0 получаются свои оценки критических расстояний Li:

(К 1сг /аИ)2/П ^ Ц ^ (КМ /аЬ')2/П,

7-2

N /Т О _ О

Г /2 ^ Ц ^ Г/2

1- Л а1А. е1г- -е0г-

@ 8П ай %

Эти оценки характеризуют переход от очень коротких трещин к трещинам средней длины для каждого структурного уровня соответственно для необходимых и достаточных критериев (31). Пусть длина исходной трещины ¿0 совпадает с нижней оценкой Ц критического расстояния (35), т.е. ¿0 = Ц0, тогда желательно для изучения разрушения перейти на другой структурный уровень г + 1. Если на этом структурном уровне г + 1 трещина является острой, то все рассуждения этого пункта остаются в силе. Если же трещина является тупой, например рассматриваемая трещина моделируется узким вырезом с закруглением в вершине, то целесообразно дополнить предлагаемые исследования изучением концентрации напряжений около такого выреза, см. соотношение (6) и справочника [20, с. 26-29].

5. Обсуждение и заключение

Предложенные оценочные диаграммы разрушения могут оказаться полезными при исследовании деформирования и разрушения материалов со структурой в широком диапазоне изменения относительных длин трещин, когда имеет место взаимодействие разрушения на разных структурных уровнях. Общепринятая точка зрения о том, что линейная механика разрушения не описывает разрушение тел с очень короткими трещинами, вероятно, не соответствует действительности, если в рамках линейной механики разрушения использовать решения типа (11), (12), в которых кроме сингулярных присутствуют еще и гладкие части решений. Для коротких трещин и трещин средней длины обнаружена существенная зависимость точности оценок критических нагрузок от того, какое (точное (11) или асимптотическое (13)) решение используется. Процедура построения асимптотического решения в окрестности вершины трещины достаточно проста, так как основывается на использовании коэффициентов интенсивности напряжений для стандартных задач. Эти коэффициенты интенсивности напряжений чаще всего легко отыскать в справочниках [20, 29]. Эффективные способы построения аналитических представлений точных решений для широкого класса задач о трещинах пока отсутствуют. Представление точного решения в виде очень простого соотношения (11) является приятным исключением, см. [30, с. 68; 31, с. 106]. Было бы желательно построение высших членов разложений решений для нормальных напряжений а уг (х., 0) на продолжении трещины (см. (11) и (12)) и для раскрытия трещин 2vi (х. ,0) (см. (18)).

В модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла поперечник зоны предразрушения совпадает с поперечником зоны пластичности, что позволило описать накопление повреждений в этой зоне при малоцикловой усталости [32, 33].

Обсудим использование соотношения (30) для получения оценки эффективного размера макроструктуры Г* материалов, обладающих свойством хладноломкости. Рассмотрим такие материалы, тип разрушения которых при понижении температуры меняется с квазихруп-кого на хрупкий, причем сама макроструктура не претерпевает изменений. Для таких материалов справедливо приближенное соотношение е11 =£01 (см. рис. 2). Но тогда соотношение для критических расстояний (30) можно преобразовать в приближенное равенство г* ~ Г* ~ 2Ц. Параметр Ц, характеризующий критическое расстояние, легко получить из натурного эксперимента, когда 210/г = 0(102) или 210/г1 = 0(103) (см. рис. 8). Было бы желательно сопоставить оценки эффективного размера г1 макроструктуры с характерным линейным размером г1 макроструктуры, полученным металлофи-зиками. Для построения диаграммы разрушения при

рабочей температуре экспериментально строится ст-е-диаграмма материала. Далее по эффективному размеру г* макроструктуры и аппроксимации этой ст-е-диа-граммы для макроструктуры отыскиваются критические напряжения по необходимому и достаточному ст-j критериям, используя формулы (23), (24) и (19), (20). Таким образом, построение диаграммы разрушения для макроуровня завершено.

Предлагаемая схема деформирования и разрушения материала с иерархией структур в окрестности вершины трещины не согласуется со схемой Си [3], однако предлагаемая схема не противоречит взглядам авторов [18, 19]. Для каждого структурного уровня i = 1, 2, ..., i0 длина фиктивной трещины своя, так как 2l¡ = 2l0 + 2Ai, причем lj > l2 > ... > / о > lo- Наибольшая концентрация деформаций имеет место в предлагаемой модели в вершине реальной трещины, а в модели Си [3] в некоторой внутренней точке зоны предразрушения. В окрестности вершины реальной трещины материал зоны предразру-шений Ai (рис. 3) проходит все стадии деформирования [18, 19].

Напомним, что второй класс решений (3) соответствует гипотезе Христиановича [34] об отсутствии сингулярности в вершине трещины. Эта гипотеза обсуждается в [35, с. 52] и используется в [3, с. 28] и [21, с. 64] при построении решений в классической модели Леонова-Панасюка-Дагдейла.

Третий класс решений (4) в рассматриваемой модели не соответствует какому-либо реальному физическому объекту. Однако желательно этот класс решений не упускать из вида, так как возможны другие постановки и модели разрушения тел с трещиноподобными дефектами при сжатии. Приведем ссылки на работы [36, 37], в которых обсуждаются проблемы разрушения деформируемых тел со структурой при интенсивном сжатии, когда возникающие расслоения ориентированы вдоль главных сжимающих напряжений. Возникающие при сжатии структуры разрушения [36, 37] существенным образом отличаются от рассматриваемой здесь модели продвижения вершины трещины, так как соотношения (2) и (3) соответствуют первой моде разрушения. Соотношение (4), описывающее третий класс решений, можно условно отнести к трещинам сжатия [36].

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 07-01-00163 и в рамках проекта программы Президиума РАН № 11.16.

Литература

1. Szuromi Ph. Microstructural engineering of materials // Science. -1997. - V. 277. - No. 5330. - P. 1183.

2. Olson G.B. Computational design of hierarchically structured materials // Science. - 1997. - V. 277. - No. 5330. - P. 1237-1242.

3. Sih G.C. Fracture mechanics in retrospect in contrast to multiscaling in prospect // Proc. 17-th Nat. Conf. of Italian Group of Fracture, Bolo-

gna, June 16-18, 2004 / Ed. by A. Finelli, L. Nobile. - Torino: Politecnico di Torino, 2004 . - P. 15-37.

4. Макклинток Ф.А., Ирвин Дж.Р. Вопросы пластичности в механике

разрушения // Прикладные вопросы вязкости разрушения. - М.: Мир, 1968. - С. 143-186.

5. Партон В.З. Механика разрушения: От теории к практике. - М.: Изд-во ЛКИ, 2007. - 240 с.

6. Корнев В.М. Иерархия критериев прочности структурированных хрупких сред. Сателлитное зарождение микротрещин // ПМТФ. -2000. - Т. 41. - № 2. - С. 177-187.

7. Корнев В.М. Многомасштабные критерии сдвиговой прочности блочных хрупких сред. Сателлитное зарождение микропор // ФТПРПИ. - 2000. - Т. 40. - № 5. - С. 7-16.

8. Корнев В.М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Опи-

сание зоны предразрушения // ПМТФ. - 2002. - Т. 43. - № 5. -С. 153-161.

9. Корнев В.М. Распределение напряжений и раскрытие трещин в зоне предразрушения (подход Нейбера-Новожилова) // Физ. мезо-мех. - 2004. - Т. 7. - № 3. - С. 53-62.

10. Kornev V.M., Kurguzov VD. Multiparametric sufficient criterion of quasi-brittle fracture for complicated stress state // Eng. Fract. Mech. -2008. - V. 75. - No. 5. - P. 1099-1113.

11. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. - 1959. - Т. 5. - № 4. - С. 391-401.

12. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. - 1960. - V. 8. - No. 2. - P. 100-104.

13. Neuber H. Kerbspannungslehre: Grundlagen fur Genaue Spannungsrechnung. - Berlin: Springer-Verlag, 1937. - 160 s.

14. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. - 1969. - Т. 33. - Вып. 2. - С. 212-222.

15. lsupovL.P., Mikhailov S.E. A comparative analysis of several nonlocal criteria // Arch. Appl. Mech. - 1998. - V. 68. - No. 9. - P. 597-612.

16. Taylor D. The theory of critical distances // Eng. Fract. Mech. - 2008. -V. 75. - No. 7. - P. 1696-1705.

17. Neimitz A. Jump-like crack growth models of theory of critical distances. Are they correct? // ESIS Newsletter. - 2008. - No. 44. - P. 20-

26.

18. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.И. и др. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. - Новосибирск: Наука, 1990. - 255 с.

19. Деревягина Л.С., Панин В.Е., Стрелкова И.Л., Мирхайдарова А.И. Самоорганизация зон повышенной пластичности в области геометрических концентраторов напряжений и характер разрушения меди при растяжении // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 5. -С. 47-52.

20. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2. - Киев: Наукова думка, 1988. - 620 c.

21. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 с.

22. Thomson R., Hsieh C., Rana V Lattice trapping of fracture cracks // J. Appl. Phys. - 1971. - V. 42. - No. 8. - P. 3154-3160.

23. Корнев В.М., Тихомиров Ю.В. О критерии хрупкого разрушения тел с трещиной при наличии дефекта атомной решетки // Изв. АН. МТТ. - 1994. - № 2. - C. 185-193.

24. Щуров А.Ф., Перевощиков В.А. Механические свойства кристаллов диоксида циркония // Неорганические материалы. - 1997. -Т. 33. - № 9. - С. 1087-1092.

25. Демешкин А.Г., Корнев В.М. Критический коэффициент интенсивности напряжений при изгибе бетонных балок с поперечной трещиной // Изв. вузов. Строительство. - 2007. - № 8. - С. 10-19.

26. Macmillan N.H. The ideal strength of solids // Atomistics of Fracture / Ed. by R. Latanision, J.R. Pickens. - New York: Plenum Press, 1983. - P. 95-164.

27. Broberg K.B. On crack paths // Eng. Fract. Mech. - 1987. - V. 28. -No. 5/6. - P. 663-679.

28. Шмитт-Томас К.Г. Металловедение для машиностроения: Справочник. - М.: Металлургия, 1995. - 512 с.

29. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений / Под ред. Ю. Мураками. - М.: Мир, 1990. - 620 с.

30. Броек Д. Основы механики разрушения. - М.: Высш. школа, 1980.- 368 с.

31. Сиратори М., Миеси Т., Мацусита Х. Вычислительная механика разрушения. - М.: Мир, 1986. - 334 с.

32. Корнев В.М. Двухмасштабная модель малоцикловой усталости. Переход от квазивязкого разрушения к хрупкому // Деформация и разрушение материалов. - 2008. - № 2. - С. 2-11.

33. Демешкин А.Г., Карпов Е.В., Корнев В.М. Малоцикловая усталость образцов с краевой трещиной из сталей с разными степенями предварительного деформирования // Физ. мезомех. - 2009. -Т. 12.- № 3. - С. 91-99.

34. Желтов Ю.П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтяного пласта // Изв. АН СССР. ОТН. - 1955. - № 5. - С. 3-41.

35. Гудьер Дж. Математическая теория равновесных трещин // Разрушение. Математические основы теории разрушения. Т. 2. - М.: Наука, 1975. - С. 13-82.

36. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Структуры разрушения в условиях интенсивного сжатия // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород: Сборник статей к 75-летию Е.И. Шемякина / Под ред. Д.Д. Ивлева, Н.Ф. Морозова. - М.: Физмат-лит, 2006. - 864 с.

37. Carpinteri A., Corrado M., Paggi M., Mancini G. New model for the analysis of size-scale effects on ductility of reinforced concrete elements in bending // J. Eng. Mech. ASCE. - 2009. - V. 135. - No. 3. -P. 221-229.

Поступила в редакцию 15.04.2009 г., после переработки 23.12.2009 г.

Сведения об авторе

Корнев Владимир Михайлович, д.ф.-м.н., профессор, гнс ИГИЛ СО РАН, kornev@hydro.nsc.ru