Применение системы компьютерной математики Wolfram Mathematica при решении задач начертательной геометрии

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ WOLFRAM MATHEMATICA ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

APPLICATION OF COMPUTER MATHEMATICS WOLFRAM MATHEMATICA IN SOLVING PROBLEMS DESCRIPTIVE

GEOMETRY

E.A. Степура, P.A. Зонтов

E.A. Stepura, R.A. Zontov

ГОУ ВПО МГСУ

Статья иллюстрирует применение алгебраического метода решения геометрических задач и возможностей СКМ Mathematica по решению систем уравнений. В качестве примера использовано решение задачи о построении касательных элементарных поверхностей.

The article illustrates the application of an algebraic method for solving geometric challenges and opportunities for SCM Mathematica for solving systems of equations. Kaused as an example of the problem of constructing the tangent of elementary surfaces

Большинство первых систем программирования компьютерной математики (СКМ) предназначались исключительно для численных расчетов. Они как бы превращали компьютер в калькулятор, способный быстро и автоматически (по введенной программе) выполнять арифметические и логические операции над числами или массивами чисел. Их результат всегда конкретен - это или число, или набор чисел, представляющих таблицы, матрицы или точки графиков. Разумеется, компьютер позволяет выполнять такие вычисления с огромной скоростью и даже точностью, выводя результаты в виде хорошо оформленных таблиц или графиков.

Однако результаты вычислений редко бывают абсолютно точными в математическом смысле: как правило, при операциях с вещественными числами происходит их округление, обусловленное принципиальным ограничением разрядной сетки компьютера при хранении чисел в памяти. Реализация большинства численных методов (например, решения нелинейных или дифференциальных уравнений) также базируется на заведомо приближенных алгоритмах. Часто из-за накопления погрешностей эти методы теряют вычислительную устойчивость и расходятся, давая неверные решения.

Уровень математической логики прокладного пакета «Mathematica» позволяет решать поставленные задачи сформулированные в «альфа-нумерик» символах, т.е. в алгебраической лексике. Результат выполнения программы также можно получить в алгебраическом виде. Численные результаты при этом являются частными случаями символьных. Указанная особенность позволяет применять символьные СКМ не только в тех областях знаний, где важен конкретный численный результат, но и там, где необходимо получить решение задачи в общем виде.

2/2П11 ВЕСТНИК _2/201_]_МГСУ

Перевод условий любой задачи (и в частности геометрической) на язык, понятный СКМ связан с представлением всех данных в аналитической форме. В рамках начертательной геометрии применение СКМ связано с использованием т. н. алгебраического метода построения [1]. Метод заключается в следующем:

- составление уравнений по условию задачи;

- решение полученных уравнений относительно неизвестных величин и их построение по полученным формулам.

Обычно неизвестными являются отрезки, которые обозначим через (а,Ь,с,ё,...). Приведем способы их построения по чаще всего встречающимся формулам (на эти способы в дальнейшем мы будем постоянно ссылаться, указывая в скобках ссылку, например: см. А).

A. Построение отрезка по формулам, представляющим собой сумму, разность (х — а ± Ь), а также умножение и деление на целое число (х — ка, х — а / к) сводится к сложению или вычитанию отрезков, увеличению отрезка в к раз и делению отрезка на заданное число частей.

Б. Построение отрезка по формуле х = л/а2 ± Ь2 сводится к построению прямоугольного треугольника с гипотенузой и катетами, удовлетворяющими заданному соотношению.

B. Построение отрезка по формуле х — аЬ / с сводится к нахождению четвертого пропорционального отрезка (рис. 1).

Рис.1

Г. Построение отрезков х — а2 / Ь или х — ^[аЪ можно выполнить, используя теорему о перпендикуляре, опущенном из точки окружности на диаметр (рис. 2).

Рис.2

Построение отрезков по формулам, представляющим собой комбинации формул, приведенных выше, будем выполнять путем введения вспомогательных неизвестных и последовательного их построения [2].

Теперь посмотрим, как можно использовать алгебраический метод в сочетании с возможностями СКМ Ма&ешайса в задачах начертательной геометрии.

Задача

Данные сферы а и ¡5 с центрами А и В (АВ ± П1) вписаны в параболоид вращения Ф (рис. 3). Построить параболоид Ф .

х

Рис.3

Решение

Построить параболоид - значит построить его фронтальный очерк, т. е. параболу с осью А2В2, для которой окружности а2 и /32 являются касательными, или, что тоже, имеют с ней общие касательные прямые. В построении этой параболы допустимыми с точки зрения начертательной геометрии инструментами (т. е. циркулем и линейкой) и состоит задача.

Введем каноническую для искомой параболы систему координат. Особенность ее заключается в том, что начало координат этой системы пока остается для нас неизвестным.

Уравнение параболы в этой системе записывается в виде [3]:

у2 = 2 рх

р - фокальный параметр параболы.

Уравнения окружностей:

Ь - расстояние от центра окружности радиуса г (назовем ее условно первой) до начала координат;

а - расстояние между центрами окружностей.

2/2П11 ВЕСТНИК _2/201_]_МГСУ

Определение двух неизвестных отрезков: Ь и фокального параметра p сделает возможным построение параболы.

В силу симметрии окружностей и параболы относительно оси абсцисс введенной системы координат можно рассматривать задачу лишь на полуплоскости с положительными ординатами.

Положим, первая и вторая окружности касаются искомой параболы в точках М1(x1, у1) и M2(x2,у2) соответственно. В этих точках парабола и окружности имеют общие касательные.

Напишем уравнение касательной к параболе в точке M1(x1, у1) : дF дF

—{х^ у )•(* - Х1 ) + —(Xl, У1 )-(у - У1 ) = 0, где

о\ оу

F(x, у) = у2 - 2px

Продифференцировав F (x, у) получаем:

-2p •

Или используя равенство (1) и раскрыв скобки:

у у - Px - Pxl = 0

Уравнение касательной к окружности в точке M1 (x1, у1):

дG дG

—(xl, У1 )•(x - xl) + —У1 )'(у - У1 ) = 0, где

т оу

G (x, у ) = ^ - Ь)2 + у2 - г2 Продифференцировав G (x, у) получаем:

2

Касательная к параболе и окружности, записанная уравнениями (5) и (7) - суть одна и та же прямая, и потому необходимо заключить, что коэффициенты при x и у , равно как и свободные члены в этих уравнениях, пропорциональны. Более того: они равны, так как в обоих уравнениях при у стоит один и тот же коэффициент у1. Итак, выполняется система:

р = Ь - x1

1 2 + Ь Ь2(8) [ px1 - г + bx1 - Ь

Совершенно аналогично, рассмотрев касательную к параболе и второй окружности в точке М2^2,у2) получаем:

Сопоставляя (8) и (9) получаем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными (р, Ь, x1, x2), из которых нас интересуют только две (р и Ь):

р - Ь - х1 р -{Ь + а)- х2 рх1 - г2 + Ьх1 - Ь2 рх2 - Я2 + (Ь + а)х2 - (Ь + а)2

Решение такой системы - трудоемкая задача, если выполнять его вручную. С использованием же СКМ Ма&ешайса она не представляет особой сложности. На рис. 4 приведен рабочий текст программы, решающей такую задачу.

Рис.4

После несложных устных преобразований, которые также можно сделать в СКМ Ма&ешайса, получаем следующий результат:

Я2 - г2 р = —— (10) 2а

ь (Я2 - г2 )2 + 4а2г2 _ я2 _ г2 аг2

Ь 4а

С учетом (10) равенство (11) переписывается в виде: 2

Ь = р

2 2 р

Остается построить отрезки р и Ь .

Строим р . Величину Я - г обозначим за к , где к = у1 Я2 - г2 - катет прямоугольного треугольника с гипотенузой Я и другим катетом г (см. Б). Затем строим р:

Я2 - г2 к2

р —-= —

2а 2а

Теперь строим Ь:

2/2П11 ВЕСТНИК

2/20L]_мгсу

b = £ + -г 2

2 2 р р r

т

2' 2 р Ь — т + п

Строим т (см. А), затем п (см. A и Б) и, наконец, Ь (см. А).

Отрезок Ь определяет начало канонической для данной параболы системы координат. Вершина параболы совпадает с началом координат. Фокус параболы и ее директриса удалены от вершины параболы вдоль оси абсцисс на р /2 (см. рис. 3). Строим параболу как геометрическое место точек равноудаленных от ее фокуса и директрисы.

Литература:

1). Александров П. С. «Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры». Наука, 1968 г.

2). Курант Р., Роббинс Г. «Что такое математика? (Элементарный очерк идей и методов)». Перевод с английского под редакцией А. Н. Колмогорова. МЦНМО, 2000 г.

3). Сборник докладов научно-технической конференции Института фундаментального образования МГСУ по итогам научно-исследовательских работ студентов и молодых ученых МГСУ за 2009/2010 учебный год. Том 2 / Под ред. И. П. Павлючко, О. М. Бызовой, Т. Н. Маге-ры, Н. И. Малявского, Н. М. Буровой, А. В. Кофанова. М., МГСУ, 2010.

The literature:

1). Aleksandrov P.S. Lekcii po analiticheskoy geometrii, popolnennye neobhodimymi svedenija-mi iz algebry. Nauka, 1968

2). Kurant R., Robbins G. Chto takoe matematika? (Elementarny ocherk idey I metodov) Perevod s angliyskogo pod redakciey A.N. Kolmogorova, MCNMO, 2000

3). Sbornik dokladov nauchno-tehnicheskoy konferencii Instituta fundamentalynogo obrazovanija MGSU po itogam nauchno-issledovatelyskih rabot studentov I molodyh uchenyh MGSU za 2009/2010 uch.god. Tom 2 / Pod red. I.P. Pavljuchko, O.M. Byzovoy, T.N. Magery, N.I. Maljavskogo, N.M. Bu-rovoy, A.V. Kafanova - M.: MGSU, 2010

Ключевые слова: система компьютерной математики, Wolfram Mathematica, символьные операции, алгебраический метод, парабола, параболоид вращения, каноническая система координат, касательная, фокус, директриса, замена переменных.

Keywords: System of Computer Mathematics, Wolfram Mathematica, symbolic operations, algebraic method, parabola, paraboloid of revolution, the canonical system of coordinates, tangent, focus, directrix, the change of variables.

e-mail: grafika@mgsu.ru

Рецензент: H.C. Кадыкова к.т.н., доцент кафедры «Инженерная графика» Московской академии тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова.