Учебно-познавательная ситуация, ориентированная на понимающее усвоение математики: сущность и специфика организации

ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИчЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 4 (58), ИЮЛЬ-АВГУСТ 2007

УДК 371.3

Е. Н. ДРОНОВА

Барнаульский государственный педагогический университет

УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНАЯ СИТУАЦИЯ, ОРИЕНТИРОВАННАЯ НА ПОНИМАЮЩЕЕ УСВОЕНИЕ МАТЕМАТИКИ: СУЩНОСТЬ И СПЕЦИФИКА ОРГАНИЗАЦИИ______________________________

Учебно-познавательная ситуация рассматривается автором как средство организации понимающего усвоения математики учащимися. Раскрывается ее сущность и содержание ее основных компонентов — учебно-познавательной задачи и процесса ее решения. Выявленные особенности организации учебно-познавательной ситуации, направленной на понимание учащимися учебного математического содержания, иллюстрируются на

конкретном материале.

Современный этап развития школьного математического образования характеризуется сменой пр едметно-ориентированной парадигмы на личностно ориентированную, что требует адекватной разработки содержательного и процессуального компонентов образования с упором на развитие и саморазвитие учащегося, формирование личностно значимых для него знаний и способов деятельности. В этих условиях формирование только предметных математических знаний недостаточно для становления образованной личности. Наряду с предметными знаниями сегодня нужно формировать умение ориентироваться в потоке новой информации, разрешать возникающие в учебных ситуациях проблемы, отходить от стандартных способов путем переструктурирования их в соответствии с исходными условиями задачи.

Вместе с тем результаты международных (PISA, TIMSS) и массовых отечественных (Единый государственный экзамен, тестирование «Кенгуру — выпускникам») исследований уровня математической подготовки учащихся показывают на фоне хорошей теоретической базы знаний российских школьников возникновение у них трудностей, а порой полной беспомощности в нестандартных учебных ситуациях, ситуациях, отличающихся от привычных — тех, которые присутствовали в обучении. Среди задач повышенного уровня сложности учащиеся в большинстве случаев решают те, которые характеризуются более сложными преобразованиями; решение же задач, основывающееся на видоизменении стандартного способа в соответствии с условием, удается немногим.

Преодоление негативной стороны сложившейся ситуации школьного математического образования возможно посредством обращения к смысловой стороне математического содержания, к вопросу организации понимающего усвоения математики.

Исследования вопроса организации понимающего усвоения математики немногочисленны, выполнены буквально в последнее десятилетие. Основное внимание в них уделяется организации понимания учащимися определенного учебного содержания путем реализации каких-либо условий возникновения понимания (Э. К. Брейтигам, Е. И. Лященко, Е. В. Пономарева, И. В. Сапегина, В. М. Туркина и др.).

Вместе с тем Э. К. Брейтигам, Е. И. Лященко в своих исследованиях указывают на необходимость разработки методики организации учебно-познавательных ситуаций, направленных на понимающее усвоение

математики. В этой связи Е. И. Лященко выделяет три вида ситуаций, в ходе реализации которых возможно понимание математики: диалог; перевод текста с одного языка на другой; интерпретация фактов, понятий, текстов. Однако, как указывают ученые, в каждом конкретном случае требуется специальная разработка учебно-познавательных ситуаций, нацеленных на понимающее усвоение математики учащимися.

Поэтому раскрытие сущности учебно-познавательной ситуации, ориентированной на понимающее усвоение математики, и специфики ее организации в учебном процессе актуально на современном этапе развития школьного математического образования.

В этой связи рассмотрим различные подходы к определению понятия «учебно-познавательная ситуация». Анализ психолого-педагогической и методической литературы показал, что ученые, раскрывая сущность учебно-познавательной ситуации, оперируют термином «учебная ситуация».

Так, В. И. Загвязинский подчеркивает, что учебно-познавательная задача «существует сначала в идеальной форме, а затем вносится в действительный учебный процесс и в нем на основе деятельности, осуществляемой с помощью определенных средств, развертывается в основную структурную единицу (звено) обучения — учебно-познавательную ситуацию» [3, с. 140]. Конкретизируя содержание учебно-познавательной ситуации, он указывает: «Руководимый педагогом процесс решения задачи, возникающие в этом процессе отношения, используемые средства и полученные результаты составляют структурную единицу процесса обучения» [там же, с. 28].

В более поздней своей работе В. И. Загвязинский пишет: «Задача, развернутая в процессуальном плане, в живой деятельности и во взаимоотношениях субъектов обучения (педагогов и учащихся) вместе со средствами и методами осуществления этой деятельности и полученными результатами, и составляет, на наш взгляд, структурную единицу учебного процесса — конкретную динамическую учебную ситуацию» [4, с. 29].

М. В. Кларин считает, что учебная ситуация представляет собой целостное образование, которое включает специфическую цель обучения, условия обучения, а также соответствующую деятельность учителя и учащихся, выступающие в их отношении к подлежащему усвоению фрагменту содержания образования.

В. В. Краевский и И. Я. Лернер под учебной ситуацией понимают момент процесса обучения, сохраняющий основные характеристики процесса; это такое целостное образование, которое включает дидактическую задачу, специфические условия обучения, а также специфическую деятельность учителя и учащихся в этих условиях, выступающие в их отношении к подлежащему усвоению фрагменту содержания.

Е. Н. Шиянов и И. Б. Котова считают, что система отношений, складывающаяся в определенный момент осуществления учебной деятельности, называется учебной ситуацией. Ее характеризуют отношение учащихся к целям и содержанию учебной деятельности; отношение учащихся к учителю и между собой в процессе решения учебных задач; условия осуществления учебной деятельности, т.е. субъективные возможности учащихся и учителя и объективные условия организации обучения.

A. А. Остапенко понятие «учебная ситуация» трактует как часть учебного периода с индивидуальным набором параметров учебного процесса, отличающаяся определенной организационной формой. Под параметрами учебного процесса ученый рассматривает способ обучения/учения, метод обучения/учения, режим и этап учебного процесса, а организационные формы определяет конкретным сочетанием этих четырех параметров — способа, метода, режима и этапа учебного процесса.

B. В. Сериков рассматривает учебную ситуацию как основу личностно ориентированного обучения, он считает, что вхождение учителя и ученика в личностно ориентированную ситуацию предполагает своеобразную инверсию всех параметров обучения: то, что было внешним по отношению к их общению (цель, содержание учебного процесса и др.), задавалось внешними социальными институтами, меняет источник, становится внутренним стимулом, результатом интимного согласия и сотрудничества субъектов. Иными словами, к личностно ориентированным он относит такие ситуации, в которых востребовано проявление личностных функций.

А. В. Хуторской в своих исследованиях оперирует понятием образовательная ситуация. Под образовательной ситуацией он понимает ситуацию образовательного напряжения, возникающую спонтанно или организуемую учителем, требующую своего разрешения через совместную деятельность всех ее участников. Ее целью является рождение учениками образовательного результата (идей, проблем, гипотез, версий, схем, опытов, текстов) в ходе специально организованной деятельности.

Особый интерес для нас представляют трактовки учебно-познавательной ситуации, данные в контексте организации понимающего усвоения математики. Так, Э. К. Брейтигам пишет: «Нами учебно-познавательная ситуация рассматривается как одна из характеристик целенаправленного взаимодействия двух субъектов обучения (учителя и учащегося), ведущего к осознанному, понимающему усвоению учащимся содержания образования и способствующего развитию учащегося» [1, с. 199]. И. В. Сапегина указывает: «Под познавательными математическими ситуациями мы понимаем конкретный математический материал, представленный в целостном виде, в котором обозначено противоречие. Этот материал представляет математические факты, содержательные связи между математическими фактами, способы их организации и изучения. Познавательные математические ситуации направлены на приобретение новых смыслов» [7, с. 3].

Присутствие противоречия в учебно-познавательной ситуации, нацеленной на понимание учебного содержания, существенно: «Сложность создаваемых в той или иной ситуации смыслов заключается в том, что для того, чтобы сделать ситуацию носительницей значения, она должна восприниматься как противоречивая естественному (то есть нейтральному) ходу вещей» [6, с. 90]. А. Ф. Закирова, исследуя процесс выдвижения учащимися интерпретации изучаемого материала, отмечает: «В основе герменевтической интерпретации — преодоление субъектом понимания противоречия между обобщенным характером социального опыта, зафиксированного в понятиях как объективное значение знания, и конкретным характером присвоения этого знания, смыслами, представляющими собой субъективную ценность объективных значений» [5, с. 17].

Учитывая вышесказанное, учебно-познавательную ситуацию, ориентированную на понимающее усвоение математики, мы трактуем как целостное образование, характеризующееся взаимодействием субъектов обучения (учителя и учащегося) с целью разрешения противоречия, заложенного в ее основном, связующем компоненте — учебно-познавательной задаче,

— противоречия между достигнутым учащимся на данном этапе обучения уровнем знаний и развития и тем уровнем «зоны ближайшего развития», который необходим для решения задачи.

Специфика организации учебно-познавательной ситуации, направленной на понимание учащимися учебного математического содержания, обусловлена особенностями ее основных компонентов

— учебно-познавательной задачи и процесса ее решения. Остановимся на этом подробнее.

Вопрос об особенностях конструирования учебно-познавательных задач, нацеленных на понимающее усвоение математики учащимися, в методической литературе практически не освещается. Лишь в нескольких методических пособиях этот вопрос не только поднимается, но и предлагается его авторское разрешение.

Например, О. Б. Епишева выделяет обобщенные типы задач, направленных на формирование понимания математического содержания [2, с. 19]:

- привести примеры и контрпримеры к понятию, теореме, свойству, правилу;

- прокомментировать самостоятельное письменное выполнение какого-либо задания;

- прочитать словами данную символическую информацию (рисунок, чертеж, график, математическое выражение, формулу, схему);

- перекодировать известную информацию (определение понятия, теорему, свойство, правило) в виде схемы, рисунка, графика, символической записи, блок-схемы, диаграммы, таблицы, опорного сигнала или конспекта, наглядного пособия, другой произвольной иллюстрации;

- подвести данный объект под понятие или свойство в различных формах их задания;

- вставить вместо выделенных в данном предложении слов (выражений, рисунков и т.п.) противоположное по смыслу;

- установить соответствие между двумя системами объектов по изученной теме;

- составить план доказательства теоремы (свойства);

- провести доказательство теоремы (свойства) в новых условиях (чертеж, обозначения, частные случаи);

- описать основную идею (метод, прием) доказательства теоремы (свойства);

- выяснить характер связей в изученном мате-

ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИчЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 4 (58), ИЮЛЬ-АВГУСТ 2007

ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИчЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 4 (58), ИЮЛЬ-АВГУСТ 2007

риале: а) непосредственных и опосредованных; б) причинно-следственных и генетических; в) пространственных и временных; г) последовательных и параллельных; д) прямых и обратных;

- установить какие-либо связи нового с ранее изученным (сравнить, обобщить, классифицировать, систематизировать их);

- перечислить теоремы (свойства), которые доказывались тем же методом (приемом);

- выбрать среди предложенных задачи, для решения которых можно использовать данную теорему (свойство, правило);

- составить задачу на применение данной теоремы (правила);

- ответить на вопросы, отражающие причинно-следственные связи: «Зачем...», «Почему...».

Э. К. Брейтигам рекомендует при организации обучения, ориентированного на понимание старше-классниками содержания курса алгебры и начал анализа, использовать следующие типы заданий [1, с. 147]:

- задачи на актуализацию свойств «похожего» понятия для встраивания новых знаний в личностный опыт учащихся, на сравнение свойств нового и «похожего» понятия;

- задачи различного уровня сложности для создания условий уровневой и профильной дифференциации усвоения в зависимости от: а) индивидуальных особенностей учащихся; б) роли понятий в теме;

- задачи, для решения которых необходимо использовать различные формы представления знаний, переход от одной формы представления информации к другой;

- задания на рефлексию своей и чужой учебно-познавательной деятельности;

- задачи, раскрывающие смысловую сторону изучаемого явления, для активизации мыслительной деятельности учащихся через расширение смыслового пространства нового знания;

- задачи, имеющие общую математическую модель, для одновременного предъявления учащимся с последующим анализом всех задач, выбора общего и различий в предлагаемых задачах и предоставления возможности старшекласснику самому выбрать одну из задач для последующего решения.

Обобщив вышеописанные типы задач, учитывая особенности математического содержания, мы выделили основные типы учебно-познавательных задач, направленных на понимающее усвоение математики: задачи на актуализацию субъектного опыта учащихся в изучаемой области, на постижение смысловой стороны учебного материала, на использование разных знаково-символических средств, на выяснение связей, на применение изучаемого понятия, на рефлексию, творческие (открытые) задания.

Организацию процесса решения учебно-познавательных задач целесообразно осуществлять посредством создания диалоговой среды в обучении: диалог, используемый как средство достижения понимания еще во времена Сократа, и сегодня остается общепризнанным средством при организации понимания. В нашем исследовании наряду с диалогом (взаимодействием двух субъектов обучения) мы использовали полилог (взаимодействие трех и более субъектов обучения) и конструктивный монолог (взаимодействие с самим собой в режиме диалога и полилога). Все указанные методические приемы организации понимающего усвоения математики построены по принципу диалога — «вопросно-ответного» взаимодействия

— и корректны с точки зрения числа участвующих в них субъектов обучения.

В качестве примера, как можно организовать учебно-познавательную ситуацию, ориентированную на понимающее усвоение математики, приведем пример разработанной нами ситуации по теме «Первообразная и интеграл». В ней описана организация диалоговой среды при решении задачи на применение изучаемого материала.

Задача

Найдите первообразную функции у = 1п х (х > 0), график которой проходит через точку с координатами (1; 0).

Описание процесса решения задачи

1 этап: анализ задачи

Учитель: «К какому типу можно отнести данную

задачу»? Учащиеся: «К задачам на нахождение первообразной функции, проходящей через заданную точку».

Учитель: «Каков метод решения задач указанного типа»? Учащиеся: «Он состоит в следующем: 1) найти общий вид первообразных функции ^(х) + С); 2) используя координаты данной точки, вычислить константу С».

Учитель: «Можем ли мы использовать данный метод для решения указанной задачи»? Учащиеся: «Нет, т.к. мы не знаем общего вида первообразных для функции у = 1п х».

Учитель: «Итак, известный нам способ решения задач подобного типа не подходит для решения предложенной, следовательно, необходимо искать иной путь ее решения».

2 этап: поиск способа решения задачи

Учитель: «Давайте попробуем поступить в данной проблемной ситуации, как обычно: установим связь искомого с другими понятиями. Вспомните и назовите связи первообразной с другими понятиями». Учащи-ь

еся: «1) Р'(х) = Г(х); 2) J/(лг)r/дг = F(^>)-F(я)».

а

Учитель: «Как вы думаете, можно ли как-то использовать эти связи для решения нашей задачи»? Учащиеся: «На основе связи первообразной с производной функции строится таблица первообразных, поэтому эту связь вряд ли можно как-то применить к решению данной задачи. А вот связь первообразной с интегралом, может быть, и можно как-то применить».

Учитель: «Подумайте, как можно это сделать: обратитесь к условию, требованию задачи, попробуйте соотнести их с формулой (2)». Учащиеся: «Если по-

Ь

дожить, что (а;Р(а)) есть (1; 0), то |1п.г<1г = /-(Л). Если

положить, что

или можно записать | (- 1п х)<1х = /'(«). Таким образом,

искомая первообразная есть интеграл с переменным (верхним или нижним) пределом».

Далее класс разбивается на две группы, первая группа рассматривает первый случай, вторая — второй.

Учитель: «Как можно найти этот интеграл»? Учащиеся: «Любой интеграл можно вычислить либо по теореме Ньютона-Лейбница, либо из геометрических соображений. В нашем случае мы можем попытаться вычислить интеграл, только используя геометрические соображения».

Учитель: «Что означает искомая первообразная геометрически»?

Учащиеся 1 группы: «Искомая первообразная равна площади криволинейной трапеции, ограниченной

графиком функции у = 1п х, прямой х = 1, подвижной прямой х = Ь и отрезком [1; Ь] оси Ох». Учащиеся

2 группы: «Искомая первообразная равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = — 1п х, прямой х = 1, подвижной прямой х = а и отрезком [а; 1] оси Ох».

Учащиеся в тетрадях выполняют соответствующее построение.

Учитель: «Как называется эта криволинейная трапеция»? Учащиеся: «Она называется криволинейной трапецией «переменной» площади, причем у нас вырождается в криволинейный треугольник».

Учитель: «Итак, для того, чтобы найти искомую первообразную, мы должны вычислить площадь криволинейной трапеции. Можем ли мы это сделать известным нам способом»? Учащиеся: «Нет, мы не знаем первообразной логарифмической функции».

Учитель: «Однако нам известны некоторые свойства площадей, первообразная обратной логарифмической функции (показательной функции). Подумайте, как, используя эти данные, можно вычислить искомую площадь»!

Учащиеся: «Если отобразить криволинейную трапецию симметрично относительно прямой, заданной уравнением у = х, то получим фигуру, равную данной, следовательно, площади этих фигур будут равны. В то же время «новую» фигуру будет ограничивать (с одной стороны) уже не логарифмическая, а показательная функция (по свойству обратных функций), первообразную которой мы знаем. Следовательно, мы можем вычислить площадь этой фигуры, т.е. найти искомую площадь».

3 этап: осуществление решения задачи

Учитель координирует деятельность учащихся, оказывает консультативную помощь. Учащиеся работают с чертежом. Вычисляют площадь фигуры. Записывают ответ. Защищают полученные результаты у доски.

4 этап: рефлексия

Учитель: «Какой способ решения задачи рациональней»? Учащиеся: «Рациональней первый способ решения задачи, т.е. за точку (1; 0) нужно принять точку (а; F(a))».

Учитель: «Выделите основные этапы решения задачи». Учащиеся: «1. Установить связь искомой первообразной с интегралом. 2. Выяснить геометрический смысл полученного интеграла. 3. Вычислить его, используя симметрию относительно прямой у = х».

Учитель: «Опишите средства, используемые при решении данной задачи: какими определениями, свойствами, теоремами и др. вы пользовались при ее решении»?

Учащиеся: «Мы использовали: определение первообразной и интеграла, понятие общего вида первообразных, интеграла с переменным пределом (криволинейной трапеции «переменной» площади), теорему Ньютона-Лейбница, симметрию относительно прямой у = х, свойства обратных функций, первообразную показательной функции».

Учитель: «Можно ли как-то обобщить полученный в задаче результат»? Учащиеся: «Можем записать общий вид первообразных логарифмической функции:

[ 1п хсЬс = .V 1п х - х+С ».

Учитель: «Какой новый прием вычисления пло-

щадей фигур с помощью интеграла вы узнали»? Учащиеся: «Прием, основанный на использовании симметрии относительно прямой у = х».

Учитель: «А какие приемы геометрических преобразований вы применяли раньше для вычисления площадей фигур с помощью интеграла»?

Учащиеся: «Во-первых, если заданная фигура ограничена на рассматриваемом промежутке неположительной функцией Г, то нужно применить симметрию

относительно прямой Ох: 5 = |(-/(д:))<& = -|/(х)&

. Этот прием применялся при решении данной задачи вторым способом. Во-вторых, если заданная фигура заключена между прямыми х = а, х = Ь и графиками функций f и д, для которых при любом

хе[а;Ы выполняется неравенство Г(х) > д(х), то

Л’ = |ГШс-]г(г)А = }(/(*)-£(*)><* Этот прием применялся при решении данной задачи как первым, так и вторым способом».

Таким образом, при становлении личностно ориентированного математического образования роль учителя изменяется: он становится организатором учебно-познавательной ситуации. Понимание учебного содержания определяет цель организации учебно-познавательной ситуации. Разработку методики конструирования учебно-познавательных ситуаций в процессе обучения математике в каждом конкретном случае целесообразно осуществлять в соответствии с выделенными процессуальными и содержательными особенностями ситуаций.

Библиографический список

1. Брейтигам Э. К. Деятельностно-смысловой подход в контексте развивающего обучения старшеклассников началам математического анализа: монография / Э. К. Брейтигам. — Барнаул : Изд-во БГПУ, 2004. — 290 с.

2. Епишева О. Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе. Курс лекций: учебное пособие для студентов физ-мат. спец. пед. вузов / О. Б. Епишева. — Тобольск : ТГПИ им. Д. И. Менделеева,

2000. - 126 с.

3. Загвязинский В. И. Методология и методика дидактического исследования / В. И. Загвязинский. — М.: Педагогика, 1982. — 160 с.

4. Загвязинский В. И. Теория обучения: Современная интерпретация : учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В. И. Загвязинский. — М.: Издательский центр «Академия»,

2001. — 192 с.

5. Закирова А. Ф. Теоретико-методологические основы и практика педагогической герменевтики: автореф. дис.. .д-ра пед. наук / А. Ф. Закирова. — Тюмень, 2001. — 47 с.

6. Зинченко В. П. Человек развивающийся. Очерки российской психологии / В. П. Зинченко, Е. Б. Моргунов. — М. : Тривола, 1994. — 304 с.

7. Сапегина И. В. Организация процесса обучения математике в 5-6 классах, ориентированного на понимание: автореф. дис...канд. пед. наук / И. В. Сапегина. — СПб, 2002. — 15 с.

ДРОНОВА Екатерина Николаевна, аспирант кафедры математического анализа.

Дата поступления статьи в редакцию: 27.03.2007 г.

©Дронова Е.Н.

1651

ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИчЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 4 (58), ИЮЛЬ-АВГУСТ 2007