Расчет момента силы, действующей со стороны цилиндрического Гауссова пучка на цилиндрическую микрочастицу

РАСЧЕТ МОМЕНТА СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ СО СТОРОНЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ГАУССОВА ПУЧКА НА ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ МИКРОЧАСТИЦУ

А.Г. Налимов, В.В. Котляр Институт систем обработки изображений РАН Самарский государственный аэрокосмический университет

Аннотация

Численно исследована зависимость от угла и смещения углового орбитального момента силы, действующей со стороны цилиндрического непараксиального Гауссова пучка на цилиндрическую микрочастицу с комплексным показателем преломления. Показано, что момент силы, действующий на поглощающую частицу с эллиптическим сечением относительно центра частицы, расположенную по центру перетяжки Гауссова пучка намного меньше момента, действующего на не поглощающую частицу при тех же параметрах, а поглощающая частица с круглым сечением вращается, если ее центр смещен с оптической оси.

Введение

Актуальной задачей является контролируемое вращение микрочастиц разной природы с помощью лазерного излучения. Вращение возможно как при помощи передачи частице орбитального углового момента светового поля [2], так и за счет спинового момента поля, из-за круговой поляризации света [3]. Также можно вращать микрочастицы, если их форма не сферическая [4]. Например, в работе [5] было исследовано вращение цилиндрических объектов с эллиптическим сечением в остро-сфокусированном Гауссовом пучке. Однако не была исследована зависимость момента силы от точки, относительно которой рассчитывается момент, и момент рассчитывался только для не поглощающих диэлектрических частиц. Также было указано, что момент не зависит от точки, относительно которой он рассчитывается, что неверно для случая, когда сила, действующая на объект, равна нулю. В работе [6] приведен аналитический расчет момента силы для двулучепрелом-ляющей сферической частицы в приближении, что размер частицы намного меньше длины волны. Измерение момента силы, как спинового, так и орбитального, рассмотрено в работе [7]. В [8] осуществлено измерение момента со стороны астигматического оптического пучка на диэлектрическую прозрачную частицу, при наблюдении за ее вращением в микроскоп. В статье [9] экспериментально изучена ориентация плоских частиц микронных размеров в линейно-поляризованном свете. В [10] рассмотрены сила и момент силы со стороны электромагнитного поля в классической теории Лоренца. В работе [11] рассмотрены два частных случая давления света в теории Лоренца на макроскопические тела. Коллективом авторов в [12] рассмотрена манипуляция лазерным излучением нано-цилиндров из стекла и показана возможность создания нано-моторов. А в [13] по вращению красных кровяных телец определялось заражение клеток малярией. В работах [14, 15] исследовано вращение круглых шариков в световых пучках с угловыми гармониками, сформированными фазовыми ДОЭ, и установлена скорость вращения частиц в воде под действием света.

В данной работе в отличие от [5] рассчитывается момент силы, действующий на цилиндрический не поглощающий и поглощающий микрообъекты с эллиптическим и круглым сечениями со стороны сфокусированного непараксиального Гауссова пучка. Приведен расчет момента силы в зависимости от размеров и формы области интегрирования охватывающей исследуемый микрообъект. Рассмотрен момент силы, действующий на микрообъект, расположенный в точке, где сила, действующая со стороны света равна нулю. Так же рассмотрен момент силы, действующий на микрообъект с эллиптическим сечением в стоячей волне.

1. Орбитальный угловой момент для цилиндрической микрочастицы

На рис. 1 представлена схема рассматриваемой задачи.

Свет распространяется вдоль оси 1 в среде с диэлектрической проницаемостью е1 и падает на объект с диэлектрической проницаемостью е2. Тогда момент М в любой точке А можно рассчитать по формуле [5]:

М = ф[гх

где п - нормаль к поверхности 5, охватывающей рассматриваемый объект, А - точка, в которой рассчитывался момент М, г - радиус-вектор из точ-

ки A до поверхности интегрирования Т - тензор напряжений Максвелла электромагнитного поля.

Произведение Максвелловского тензора напряжений на нормаль можно расписать в виде:

1 іі Т 1 ік к* ' Пх '

Тп Тр к Т ПУ

1 3" Тр Т 1кк 1 п

~ Тп + Тп + Ткп ( К ]

іі х і У ік г

Т..П + п + Т кп = t

р х р У рк г У

1 і п х + ТкіПУ + Тшп> _ 1 ^ і

Тогда

і )

г х

- і ( - Гу ) + к (у - Гу ^ ).

К ty к

= і Н t - Г І )-

\ У ^ г у /

Для двухмерного случая (цилиндрический объект) имеет смысл момент только относительно оси X. то есть

Мх = (гуі2 - г2іу ) dS .

Компоненты тензора напряжений Максвелла имеют вид:

(

Т =

ік

1_

4п

є, Е + Н

ік -

-є,ЕЕк - НН)

Так как Еу = Е2 = Нх = 0 для ТЕ-поляризации, окончательно получим:

Мх = 1 ^ Є0Є1 |Ех Г + ^0 |НУ |2 -^0 \Нг |2

ХГУФ - -2^ М-^0 Ке (НгНУ* )ГУdz -

2 5

- 44 є0 єі |ЕХ |2 -Ц^0 |НУ |2 + ^0 \Нг Г Г ^ -

4 5

- 2 <^ЦЦоКе Н УН1 ) ^ .

2. Результаты численного моделирования Для проверки правильности формулы (6) был проведен расчет момента силы, действующего на эллиптическую микрочастицу со стороны непараксиального Гауссова пучка, при различных размерах квадратного контура интегрирования 5. На рис. 2б представлен график изменения момента М х от контура интегрирования, параметры которого указаны на рис. 2а. Падающий непараксиальный Гауссов пучок рассчитывался по формуле [16]:

Ех (У, 2) =-

,72л

где ст0 - параметр Гауссова пучка, связанный с ра-

I ехрI-4— +ік(у£ + ^1 -|2 )!^

диусом его перетяжки ю0 соотношением: ст0 =

1

к ю0

, 2п .

к = — - волновое число, к - длина волны в вакуу-

X

ме. Перетяжка Гауссова пучка расположена в центре координат, свет распространяется в положительном направлении вдоль оси 2. Расчет поля дифракции производился методом, описанным в [17]. Интегрирование проводилось по квадратному контуру 5, число отсчетов 254^254 (рис. 2а). Это удобно тем, что не надо рассчитывать нормаль п в каждой точке контура - интеграл по контуру (6) распадается на сумму интегралов, часть из которых берется по сторонам контура, параллельным оси У, а другая часть по сторонам контура, параллельным оси 2. Мощность падающего излучения равнялась Р=100 мВт/м, длина волны к=1 мкм, диэлектрическая проницаемость среды є1 =1, диэлектрическая проницаемость частицы є2 =2. Точка А, относительно которой рассчитывался момент, совпадает с центром эллиптической частицы.

Рис. 2. Параметры расчета момента силы

Отметим, что момент силы М измеряется в единицах [ Н • м]. Однако в данном случае размерность

' Н'

величины М х будет

так как сила в дву-

х

мерном случае в силу бесконечности длины цилиндрического объекта вдоль оси X выражается в едиН

ницах — и является погонной силой на единицу м

длины микрообъекта.

Из рис. 2 видно, что колебания величины Мх с

изменением Я составляют менее 4%.

Отметим, что величина момента силы М зависит от расположения точки А, относительно которой он рассчитывается, в случае, если сила, действующая на частицу не равна нулю. Если рассчитать момент силы Мх для схемы на рис. 2а при том же расположении цилиндра, но в случае, когда точка А имеет координаты (0,25 мкм; 0,25 мкм), значение Мх будет равно Мх = 8,8 х10-171 — |- м.

I м

У А(0,96мкм; 0,26мкм) д 5 мкм

г=0,77мкм

© у=0,03мкм X

со „=0,5мкм

1 мкм

Х=1 мкм .. 8,=7,77

\ 82=2

Рис. 3. Расчет момента силы при нахождении эллиптического цилиндра в точке равновесия

На рис. 3 представлена схема расчета момента силы Мх для случая, когда сила действия света на частицу равна нулю. Эллиптический цилиндр с диэлектрической проницаемостью е2 =2 находится в воде с е1=1,77.

Момент силы Мх при нахождении эллиптического цилиндра в фокусе с точкой А, расположенной в центре частицы, равен

Н'

Мх = 7,11x10 | —

м

м.

Если сдвинуть точку наблюдения А в точку с координатами (0,96 мкм; 0,26 мкм), то момент станет равен

Мх = 7,13 х10-181 — м

м.

Таким образом, видно, что момент силы, действующий на частицу, почти не зависит от точки, относительно которой он рассчитывается, если частица находится в точке, где сила, действующая со стороны светового поля, равна нулю.

На рис. 4 приведен график зависимости момента силы Мх от угла а. Параметры моделирования та-

кие же, как на рис. 2а, но объект расположен по центру перетяжки, точка А расположена по центру объекта, больший диаметр эллипса 1,2 мкм, меньший 0,3 мкм, диэлектрическая проницаемость объекта є1=2,25. Угол а определялся, как показано на рис. 2а (отсчитывался от оси 2 против часовой

0 20 40 60 80 100 120 140 а,°

Рис. 4. Зависимости проекции на ось X момента силы М , действующего на эллиптический цилиндр в фокусе Гауссова пучка, от угла а

Из рис. 4 видно, что положения эллиптической частицы в фокусе, когда ее длинная ось расположена вдоль и поперек оптической оси, являются устойчивым равновесием (Мх >0 при вращении частицы по часовой стрелке). При а, приблизительно равном 60° и 120°, существуют еще две точки неустойчивого равновесия, когда момент равен нулю. Это хорошо согласуется с данными [5], где получен аналогичный график зависимости момента силы от угла поворота частицы а.

На рис. 5 представлен график зависимости момента силы Мх от смещения Ь частицы круглой формы радиусом 0,25 мкм по оси У через центр перетяжки. Точка А расположена в центре частицы А(0;0), и на 0,25 мкм выше центра по оси У. Остальные параметры те же, что и на рис. 2.

*414

0 -0,5

-1,0

-1,5

-2,0

-2,5

\

м '0,0))

\А(0; 0,25 л ЛКМД

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 Ь,мкм

Рис. 5. Зависимость момента Мх от смещения Ь круглой частицы вдоль оси У для двух положений точки А относительно центра частицы

Как видно из рис. 5, момент силы, действующий на круглую не поглощающую частицу относительно центра, равен нулю при ее смещении вдоль оси У и изменяется при смещении точки А вверх на 0,25 мкм относительно центра частицы по оси У. Если же в функцию, описывающую диэлектрическую проницаемость частицы добавить мнимую составляющую

(поглощающая частица), то момент силы на круглую частицу относительно центра будет отличаться от нуля при аналогичном рис. 5 смещении частицы. На рис. 6 приведен график зависимости момента силы, действующего на круглую частицу с е2 = 2 +1 относительно центра частицы. Остальные параметры те же, что и при расчете графика на рис. 5.

Рис. 6. Зависимость момента силы Мх от смещения Ь круглой поглощающей частицы

Как видно из рис. 6, момент силы, действующий на круглую поглощающую частицу относительно центра, не равен нулю при смещении частицы с оптической оси.

На рис. 7 представлен график зависимости момента силы Мх, действующего на эллиптическую диэлектрическую (є2 = 2 + 0і) и поглощающую микрочастицу (є2 = 2 + 1і), от угла поворота частицы а. Частица расположена в координатах (0; 0,25) относительно перетяжки пучка, момент рассчитывался относительно центра эллипса. Остальные параметры моделирования те же, что и на рис. 2а.

0 20 40 60 80 100 120 140 а,°

Рис. 7. Зависимость момента силы Мх на эллиптическую частицу от угла поворота частицы а Как видно из рис. 7, при добавлении мнимой части в функцию диэлектрической проницаемости частицы увеличивается рассеивающая сила на частице, за счет чего при любом угле а момент силы отличен от нуля и направлен против часовой стрелки (Мх <0).

На рис. 8а приведены результаты расчета зависимости момента М х , действующего на эллиптическую частицу, расположенную по центру Гауссова пучка, от угла поворота а. Все параметры такие же, как на рис. 2а, только частица взята вдвое меньше

(меньший диаметр эллипса 0,25 мкм, больший

0,5 мкм), диэлектрическая проницаемость частицы взята е2 = 2 и е2 = 2 +1. На рис. 86 построен такой же график, но для двух встречных Гауссовых пучков, радиус перетяжки первого ст1 =0,5 мкм, второго ст2 =0,6 мкм, интенсивность обоих Гауссовых пучков одинакова и равна 50 мВт/м. Дифракция таких встречно направленных пучков на частице при а=45° приведена на рис. 6в.

0,8

> °>4 \ • -0,4

-0,8

Іь 2-2+ 0ї|=

\\

( \ N. \

ч

Є2 —Л~Г1 1 —3

у ч.

\Ч

V-

в) 0 20 40 60 80 100 120 140 а,°

Рис. 8. Зависимость момента Мх от угла а для одного Гауссова пучка (а); зависимость момента Мх от угла а для двух встречно направленных

Гауссовых пучков (б); амплитуда поля |£х|

при дифракции двух встречно направленных Гауссовых пучков на эллиптической частице

Как видно их рис. 8, при добавлении мнимой части в функцию диэлектрической проницаемости в случае, если цилиндр расположен в центре перетяжки одного Гауссова пучка, момент силы сильно ослабляется и имеет несколько нулевых точек. Так же видно, что положение устойчивого равновесия при добавлении второго встречно направленного Гауссова пучка будет наблюдаться при расположении большей оси эллиптической частицы вдоль оси У, то

есть эллиптическая частица стремится расположиться вдоль линии с максимумом интенсивности.

Основные результаты:

• Расчет момента М х по формуле (6) почти не зависит от выбора контура S, колебания величины Мх при изменении размеров контура S находятся в пределах менее 4%.

• При нахождении частицы в равновесии, когда сила, действующая со стороны света, равна нулю, величина момента Мx не зависит от расположения точки, относительно которой он рассчитывается. В противном случае момент зависит от точки, относительно которой предполагается вращение частицы.

• Момент круглой не поглощающей частицы относительно центра стремится к нулю вне зависимости от падающего пучка. Момент силы, действующей на поглощающую частицу относительно центра, может быть отличным от нуля в зависимости от расположения частицы в пучке.

• В случае расположения частицы в стоячей волне, эллиптическая частица стремится расположиться вдоль поперечной линии с максимальной интенсивностью.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF RUX0-014-SA-06), а также грантов РФФИ 05-0850298, 07-07-97601 и 07-07-97600.

Литература

1. Ashkin A., Dziedzic J.M. Science. - 1987. - Vol. 235. -P. 1517.

2. O’Neil A.T., Padgett M.J. Three-dimensional optical confinement of micron-sized metal particles and the decoupling of the spin and orbital angular momentum with an optical spanner // Opt. Commun. 2000. - Vol. 185. - P. 139-143.

3. Friese M.E.J., Nieminen T.A., Heckenberg N.R., and Rubinsztein-Dunlop H. Optical torque controlled by elliptical polarization // Opt. Lett. 1998. - Vol. 23. -P. 1-3.

4. Bayoudh S., Nieminen T.A., Heckenberg N.R., and Rubinsztein-Dunlop H. Orientation of biological cells using plane-polarized Gaussian beam optical tweezers // J. Mod. Opt. 2003. - Vol. 50. - P. 1581-1590.

5. Rockstuhl C., Herzig H.P. Calculation of the torque on dielectric elliptical cylinders // Opt. Soc. Am. A., 2005. -Vol. 22. - No. 1. - P. 109-116

6. Nian J., Mengkun L., Jihao Z., Zhifang L. Radiation torque on a spherical birefringent particle in the long wave limit: analytical calculation // Opt. Express, 2005. -Vol. 13. - No. 14. - P. 5192-5204.

7. Parkin S., Knoner G., Nieminen T.A., Heckenberg N.R., Rubinsztein-Dunlop H. Measurement of the total optical angular momentum transfer in optical tweezers // Opt. Express, 2006. Vol. 14. - No. 15. - P. 6963-6970.

8. Santamato E., Sasso A., Piccirillo B. and Vella A. Optical angular momentum transfer to transparent isotropic particles using laser beam carrying zero average angular moimentum // Opt. Express, 2002. - Vol. 10. - No. 17. - P. 871-878

9. Galajda P. and Ormos P. Orientation of flat particles in optical tweezers by linearly polarized light // Opt. Express, 2003. - Vol. 11. - No. 5. - P. 446-451

10. Mansuripur M. Radiation Pressure and the linear momentum of the electromagnetic field // Opt. Express, 2004. -Vol. 12. - No. 22. - P. 5375-5401.

11. Loudon R., Barnett S.M. Theory of the radiation pressure on dielectric slabs, prisms, and single surfaces // Opt. Express, 2006. Vol. 14. - No. 24. - P. 11855-11869.

12. Bonin K.D., Kourmanov B., Walker T.G. Light torque

nanocontol, nanomotors nanorockers // Opt. Express,

2002. - Vol. 10. - No. 19. - P. 984-989.

13. Dharmadhikari J.A., Roy S., Dharmadhikari A.K.,

Sharma S., Mathur D. Torque-generating malaria-

infected red blood cells in an optical trap // Opt. Express,

2004. - Vol. 12. - No. 6. - P. 1179-1184.

14. Скиданов Р.В., Хонина С.Н., Котляр В.В., Сой-фер В.А. Экспериментальное исследование движения диэлектрических шариков в световых пучках с угловыми гармониками высоких порядков // Компьютерная оптика, 2007. -В. 31. - N. 1. - С. 14-21

15. Хонина С.Н., Котляр В.В., Сойфер В.А., Скиданов Р.В. Вращение микрочастиц в световых полях // Компьютерная оптика, 2005, вып. 28, С. 5-17

16. Petersson L.E., Smith G.S. Three-dimensional electromagnetic diffraction of a Gaussian beam by a perfectly conducting half-plane // J. Opt. Soc. Am. A, 2002. -V. 19. - No.11. - P. 2265-2280.

17. Котляр В.В., Скиданов Р.В., Налимов А.Г. Метод быстрого расчета дифракции лазерного излучения на микрообъектах // Оптический журнал, 2005. - Т. 72. -№ 5. - С. 55-61.