Виброконвективная неустойчивость слоя жидкости с внутренним тепловыделением при вращении

ВИБРОКОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЯ ЖИДКОСТИ С ВНУТРЕННИМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ ПРИ ВРАЩЕНИИ

А. А. Иванова, А. К. Колесников

Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Теоретически исследуется устойчивость квазиравновесия горизонтального слоя жидкости с однородным внутренним тепловыделением. Слой совершает высокочастотные круговые вибрации в горизонтальной плоскости и одновременно вращается вокруг вертикальной оси. Частота вращения предполагается малой по сравнению с частотой вибраций. Показано, что вращение оказывает стабилизирующее действие на вибрационно-гравитационную конвективную устойчивость. В пределе высоких частот получена зависимость порогового значения управляющих параметров, гравитационного и вибрационного чисел Рэлея, а также волнового числа от частоты вращения.

Несмотря на то, что проблема тепловой конвекции во вращающихся полостях не является новой (см. [1]), она до сих пор остается актуальной. Та же задача, но при осложняющих условиях, например при наличии вибрационного поля, пока изучена слабо. Можно указать лишь работы [2-4], где исследуется роль вращения в случае осредненной тепловой конвекции, вызванной осциллирующим силовым полем, иными словами, изучается влияние вращения на вибрационную тепловую конвекцию. В [2-4] экспериментально и теоретически показано, что во вращающейся полости сила Кориолиса не только влияет на осредненные виброконвективные потоки, но существенным образом определяет пульсационное поле скорости, воздействуя таким образом на сам механизм осредненной конвекции, что вращение становится важным управляющим фактором в

© Иванова А. А., Колесников А.К., 2003

вибрационной конвекции. В настоящей работе теоретически исследуется одна из задач этого нового направления.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим горизонтальный слой жидкости, ограниченный параллельными изотермическими плоскостями г = 0 и г = к , поддерживаемыми при одинаковой постоянной температуре (рис. 1). В жидкости однородно по объему распределены внутренние источники тепла с удельной мощностью тепловыделения Q (на практике такой разогрев может происходить в результате химических или ядерных реакций, пропускания электрического тока и т.п.). В отсутствие конвекции распределение температуры в слое (рис. 1) определяется молекулярным теплопереносом и имеет вид Т0 = (2 / 21)г(к - г), где 1 - коэффициент теплопроводности жидкости.

Рис. 1. Постановка задачи; Q - удельная мощность внутреннего тепловыделения

Пусть на жидкость одновременно действуют статическое поле силы тяжести, переменное силовое поле горизонтального направления, вращающееся вокруг неподвижной вертикальной оси z с высокой частотой, и равномерное вращение самого слоя вокруг той же оси z с постоянной угловой скоростью Y ( Y - единич-

ный вектор, направленный вверх). Примером силового поля может служить инерционное поле gv = bW V(cos Wv t i + sin Wv t j) в системе отсчета замкнутой полости, совершающей вибрации круговой поляризации с частотой W v и амплитудой b . Частота вибраций

предполагается высокой Пvh2/v>> 1 (n - кинематическая вязкость жидкости), частота вращения слоя - малой по сравнению с частотой вибраций жидкости в слое, П v >> П r.

В такой постановке тепловая конвекция неизотермической жидкости обусловлена действием статического поля силы тяжести (гравитационная конвекция), осредненным действием осциллирующего инерционного поля (вибрационная конвекция) и действием центробежной силы (влияние вращения). Будем рассматривать область слоя на таком расстоянии от оси вращения, где влиянием центробежной силы инерции можно пренебречь.

В пренебрежении центробежной силой и в приближении медленного по сравнению с частотой вибраций вращения уравнения вибрационной тепловой конвекции во вращающейся полости, полученные в [4], значительно упрощаются:

Э v 1

----I--(v V) v =-V p + A v + RaT у + 2w(v x k) +

Э t Pr

+ Rv

ЭТ (11) Pr — + (vVT) = AT +1,

Эt

rot w j= V T x i, rot w 2 = V T x j, div v = 0, div w, = 0 , div w2 = 0 .

В уравнения (1.1), выписанные в безразмерном виде, входят давление p, температура T , осредненная скорость v и дополнительные векторные переменные wj и w 2, характеризующие осциллирующую компоненту скорости, появляющуюся под действием высокочастотного вращающегося силового поля, действующего на неизотермическую жидкость. Единицами измерения длины, времени, скорости, давления и температуры служат толщина слоя h , h2 / n , c/ h , pvx/h2 и Qh2 / p cp, где % и cp - коэффициенты

температуропроводности и удельной теплоемкости.

Границы слоя предполагаются твердыми и изотермическими; на границах выполняется условие прилипания, температура считается

равной нулю, для переменных w1 и w2 выполняется условие отсутствия нормальной к границе компоненты:

z = 0, z = 1: v = 0, T = 0, w1z = w2z = 0 .

Система (1.1) содержит четыре безразмерных параметра: число Прандтля Pr = V/%, частоту вращения слоя w = Wrh2 / V, а также рассчитанные по мощности внутреннего тепловыделения Q гравитационное число Рэлея Ra = g b Qh 5/pcpv%2 и вибрационный

параметр Rv = (g v b Qh)2/2 p2Cp 2W 2VV%\

Полученная в приближении медленного вращения система (1.1), за исключением дополнительных членов, учитывающих действие силы Кориолиса, совпадает с системой уравнений вибрационной тепловой конвекции, записанной для круговых маятниковых вибраций [5] (с точностью до формы записи и после ряда упрощений, связанных с исключением слагаемых, учитывающих непоступательный характер колебаний).

2. УСТОЙЧИВОСТЬ КВАЗИРАВНОВЕСИЯ

Условие механического квазиравновесия, когда среднее движение жидкости в слое отсутствует, вытекает из уравнений (1.1):

[R v V(w01 i + w02 j)-Ray]xVT0 = 0 ,

rot w01 =V T0 x i, rot w 02= V T0 x j,

A T) =-1, div w 01= 0, div w 02 = 0.

На границах слоя обращается в нуль нормальная компонента пульсационной составляющей скорости, представленной векторами w 01 и w02 , и считается заданным температурное распределение.

Квазиравновесному состоянию жидкости с внутренним тепловыделением в слое с изотермическими границами одинаковой температуры соответствуют следующие распределения температуры и пульсационной компоненты скорости:

t=f (1 - z),

w0‘ = 12

1 2

w 02 = 12(-1 + 6z - 6z ) j .

Векторные переменные w 01 и w02 взаимно перпендикулярны и равны по величине. Под действием поля круговой поляризации перпендикулярные оси вращения слои жидкости в полости совершают круговые колебания в направлении вращения силового поля. Амплитуда колебаний зависит от координаты z и определяется отклонением температуры от среднего значения температуры в слое.

Рассмотрим задачу устойчивости квазиравновесия для условий

(2.2). Введем малые возмущения температуры Т', давления p , осредненной скорости v и пульсационных компонент скорости w1 и w2 . После подстановки возмущений в (1.1) и линеаризации получим систему уравнений для возмущений:

Л -

—v- = -V p + A v' +RaT' у + 2w( v'x k) +

Э t

+ Rv ((w 01 V)(T'i - w1) + (w1 V)(T0 i - w 01)) +

+ Rv

— r

Pr — + v- V T0 = A T ,

Э t

rot w1 =V T' x i, rot w'2 =VT' x j, div v- = 0, div w1 = 0, div w'2 = 0.

Рассмотрим нормальные возмущения следующего вида:

(v, T- w1, w2 )= (v, T, wj, w2) exp(i k J x + ik 2 y - It) ,

при этом ограничимся случаем монотонных возмущений, нарастание которых определяется условием l = 0 . После преобразований,

связанных с понижением числа переменных, и введения переменной w = -(ik1w1z + ik2 w2z)/ k2 получим краевую задачу:

ДАV -Rak2 T + Rv k2 Т0'(T + w')- 2wF' = 0 ,

ДT - T0, V = 0,

^ + 2ю V7 = 0,

Г+Аw=0

с граничными условиями:

г = 0, г = 1: V = V' = w = T = F = 0.

-> л Э2 , 2 , Э

Здесь А =---^ - k ; ' ° — - производная по поперечной коор-

Э г Эг

динате, V и F - г -компоненты вектора возмущения скорости и его ротора.

Если положить а = 0 , т.е. исключить действие силы Кориолиса на осредненное течение, то полученная задача совпадает с задачей устойчивости при круговых вибрациях плоского слоя [5] (за исключением равновесного температурного распределения Т0, которое в рассматриваемом случае определяется внутренним тепловыделением). Здесь, как и в [5], наблюдается вырождение по форме возмущений: в краевую задачу входит только квадрат волнового вектора k2 = ^2 + k22, а соотношение между его компонентами ^ и k1 остается произвольным.

Краевая задача (2.4) с граничными условиями (2.5) решается методом Рунге-Кутта.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Сначала рассмотрим устойчивость слоя, когда термоконвективные гравитационный и вибрационный механизмы проявляются независимо, т.е. в отсутствие вибраций (Rv = 0) и в отсутствие статического поля тяжести (Ra = 0 ). Зависимость параметров Ra, и RV от частоты вращения ( = WГН2 / п для указанных случаев представлена на рис. 2 и рис. 3.

10

10

Рис. 2. Граница возбуждения гравитационной конвекции и соответствующее минимуму устойчивости волновое число в зависимости от безразмерной частоты вращения в отсутствие вибраций

Рис. 3. Граница возбуждения вибрационной конвекции и волновое число наиболее опасных возмущений в зависимости от частоты вращения в отсутствие силы тяжести

к

к

1

При Rv = 0 и в отсутствие вращения (( = 0) пороговое значение числа Рэлея Ra* и волновое число опасных возмущений к * составляют Ra, = 3.76 • 104, к * = 4; эти результаты согласуются с данными [1]. С повышением ( порог устойчивости и волновое число монотонно нарастают, асимптотически приближаясь к значениям Ra = 146 (4/3 к * = 1.67 (1/3 (рис. 2, штриховые линии). В области

частот ( > 103 отклонение полученных кривых от штриховых линий незначительно. Итак, в отсутствие вибраций вращение приводит к стабилизации устойчивости.

В отсутствие статического поля вращение стабилизирует устойчивость термовибрационной конвекции. Критические значения вибрационного параметра RV* (напомним, что речь идет о поляризованных по кругу вибрациях) и волнового числа к* повышаются с частотой вращения, асимптотически приближаясь к высокочастотному пределу RV = 376 (4/3, к * = 1.44(1/3 (рис. 3). Зависимость RV от частоты имеет тот же вид, что и в случае гравитационной

конвекции, то же можно сказать и о числе к* .

Отметим, что полученные в отсутствие вращения пороговые значения RV = 2.69 105 и к * = 4.3 согласуются с результатами исследования вибрационно-гравитационной конвекции в слое с внутренним тепловыделением при поступательных вибрациях линейной поляризации [6]. Обсуждение этого будет ниже.

Обращает на себя внимание немонотонный характер изменения с частотой параметров RV* и к * в области частот ( » 30 (рис. 3). Не монотонность кривых объясняется сменой мод, отвечающих за возбуждение конвекции. Это хорошо видно из сравнения нейтральных кривых устойчивости 1 и 2, построенных для различных значений частоты ( (рис. 4). В отсутствие вращения, (= 0 , реализуются два близких по величине уровня, причем нижнее положение занимает тот уровень, минимум которого соответствует меньшему значению к (рис. 4 а). С повышением ( кривые 1 и 2 поднимаются, но с различной скоростью, в результате чего происходит их так называемое перезамыкание (рис. 4 б, в). И если при частоте вращения (= 25 (рис. 4 б) минимум кривой 1 находится ниже минимума кривой 2 и соответствует меньшему значению к , то при (= 35 (рис. 4 в) нижним оказывается минимум кривой, изначально имевшей номер 2. Вследствие этого при частоте ( » 30 минимум ней-

тральной кривой скачком смещается в область более высоких значений к.

35

10'4Я

30

25

V, /

а

6 к 9

45

10'4Л,

40

35

\ \2

Л \ в

Рис. 4. Нейтральные кривые устойчивости для безразмерной частоты вращения

6 к 9

Такое поведение нейтральных кривых с частотой можно объяснить тем, что вращение оказывает стабилизирующее действие, в первую очередь, на длинноволновые возмущения.

Таким образом, при одновременном действии гравитационного и вибрационного механизмов тепловой конвекции с повышением интенсивности вращения пороговые кривые устойчивости смещаются в область более высоких значений параметров (рис. 5).

Осредненное действие вибраций круговой поляризации в отличие от поступательных вибраций одного направления обладает симметрией. В плоском слое [4, 5] осредненное действие вращающегося поля напоминает действие однородного гравитационного поля. В частности, наблюдается вырождение по форме возмущений: в краевую задачу входит только квадрат волнового вектора, а соотношение между его компонентами остается произвольным.

к

3

3

6

9

3

В то же время в плоском слое в отсутствие вращения краевые задачи виброконвективной устойчивости совпадают при поступательных вибрациях как круговой, так и линейной поляризации: сравнение результатов, полученных в отсутствие вращения в настоящей работе (рис. 5, ( = 0 ), с результатами [6] показывает их полное согласие.

Рис. 5. Семейство пороговых кривых устойчивости, соответствующих различным значениям безразмерной частоты вращения (0=0. гк2 / V

Стабилизирующее действие вращения на устойчивость при наличии вибрационного поля согласуется с результатами исследования гравитационной конвекции [1]. Следует подчеркнуть то, что в пределе высоких частот действие вращения на вибрационную и на гравитационную конвекцию полностью идентично. В том и другом случае повышение порога устойчивости и волнового числа с частотой вращения происходит по одному и тому же закону, Я**, Яа * ~ 4/3 и к * ~ о13. Это позволяет построить единую кривую устойчивости на плоскости параметров Яа /о43, Я*/о43, соответствующую предельному случаю высоких частот (рис. 6). С повышением частоты вращения, как видно, пороговые кривые

асимптотически приближаются к кривой а = 5000, соответствующей высокочастотному пределу.

Рис. 6. Семейство пороговых кривых устойчивости на плоскости безразмерных комплексов, определяющих устойчивость в пределе высоких частот вращения

Заключение. Теоретически решена задача о влиянии вращения на порог устойчивости конвекции в горизонтальном плоском слое с внутренним тепловыделением, совершающем круговые вибрации высокой частоты. Показана стабилизирующая роль вращения в вибрационно-гравитационной тепловой конвекции. Для предельного случая высокочастотного вращения получены соотношения пороговых значений управляющих параметров и волнового числа

п* п * 4/3 1 * 1/3

Яу, Яа ~ а и к ~ а .

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (03-0100552).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

2. Иванова А.А., Козлов В.Г., Рылова В.В. Тепловая конвекция в плоском слое, вращающемся вокруг горизонтальной оси // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 1. С. 12-21.

3. Иванова А.А., Козлов В.Г. Тепловая конвекция в полости, вращающейся в поле силы тяжести вокруг наклонной оси // Тез. докл. Всерос. конф. "Аэродинамика и газовая динамика в XXI веке", 27-30 января 2003, Москва, МГУ. М.: Изд-во Московского ун-та, 2003. С. 67.

4. Козлов В.Г. Вибрационная тепловая конвекция во вращающихся полостях // Изв. РАН. МЖГ (в печати).

5. Козлов В.Г. О вибрационной конвекции в полости, совершающей пространственные маятниковые качания // Конвективные течения. Пермь, 1989. С. 19-27 (Переведено: Heat Transfer -Soviet Research, 1991. V. 23. N 7. P. 999-1008).

6. Vibrational convection in a horizontal layer with internal heat sources / Gershuni G.Z., Zhukhovitsky E.M., Kolesnikov A.K., Yurkov Yu.S. // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1989. V. 32. № 12. P. 2319-2328.

VIBRATIONAL-CONVECTIVE INSTABILITY OF FLUID LAYER WITH INTERNAL HEAT RELEASE UNDER ROTATION

A.A. Ivanova, A.K. Kolesnikov

Abstract. Stability of quasiequilibrium of a horizontal layer of fluid with homogeneous internal heat release is explored theoretically. The layer makes high-frequency circular vibrations in a horizontal plane and simultaneously rotates around the vertical axis. The rotation frequency is supposed to be small in comparison with frequency of vibrations. The rotation is shown to increase the vibrational - gravitational convective stability. In the limit of high frequency of rotation the dependence of threshold value of governing parameters, gravitational and vibrational Rayleigh numbers, and the wave number on the rotation frequency is determined.