Математическая модель движения фрагментов разрушения космических объектов при высокоскоростном соударении

УДК 620.17

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ФРАГМЕНТОВ РАЗРУШЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПРИ ВЫСОКОСКОРОСТНОМ СОУДАРЕНИИ

Л.П. Зозуля, П.С. Гончаров, М.Ю. Булекбаева, Т.Ю. Девяткина

Предложена математическая модель определения параметров орбит фрагментов, образующихся в результате разрушения космических объектов, движущихся по круговым орбитам. Рассмотрен пример применения математической модели для двух космических объектов, с заданными параметрами орбит.

Ключевые слова: космический мусор, космический объект, космический аппарат, математическое моделирование, высокоскоростной удар.

Развитие космонавтики и освоение околоземного космического пространства (ОКП) приносит неоспоримые преимущества человечеству. Вместе с тем это явление содержит и отрицательные моменты. В результате освоения ОКП человеком оказывается засоренной не только поверхность Земли, но и ее атмосфера. Наиболее крупные космические объекты (КО) (космические аппараты (КА) и ступени ракет-носителей (РН)) являются каталогизированными. За ними ведется постоянное наблюдение, их число увеличивается достаточно монотонно. Наибольшую опасность представляют собой некаталогизированные КО, возникновение которых обусловлено двумя обстоятельствами:

1) размером (существующий инструментарий наблюдения за ОКП не позволяет выявлять КО размером менее 10 см);

2) образованием новых фрагментов в результате разрушения КО.

Техногенное загрязнение такими КО максимально в области низких

орбит, а также в области геостационарных орбит (ГСО), где возникла реальная опасность взаимных катастрофических столкновений (КО), так называемый эффект Кесслера, при котором увеличение интенсивности техногенного засорения космоса может произойти от взаимного столкновения объектов и частиц космического мусора (ЧКМ). В изменении числа таких фрагментов разрушения наблюдается большая неравномерность. Причиной неравномерности являются случаи фрагментации объектов на большое число осколков. Образовавшиеся осколки, летящие по неизвестным траекториям, могут вывести из строя дорогостоящие конструкции. Таким образом, изучение и описание последствий разрушений КО, определение траекторий фрагментов разрушений являются важной научно-практической задачей. В данной работе предлагается один из возможных вариантов определения параметров орбит, образовавшихся в результате высокоскоростного соударения фрагментов разрушения.

Исходными данными для решения задачи являются: - параметры двух орбит а, е, ю, Ф, /;

- координаты точки пересечения этих орбит в абсолютной геоцентрической экваториальной системы координат

xагэск , У агэск , z агэск ;

- масса КО m\, m2;

- материал, из которого изготовлены КО.

Параметры орбит фрагментов разрушения, образующихся при высокоскоростном соударении, будут вычисляться при следующих допущениях:

- точка пересечения орбит является одновременно и точкой встречи данных КО;

- координаты точки пересечения орбит являются начальными координатами движения фрагментов разрушения;

- орбиты исходных КО являются круговыми;

- удар при встрече КО считается мгновенно абсолютно неупругим;

- фрагментация производится на осколки одинаковой массы;

- все фрагменты в момент разлета находились в одной точке;

- структура материала исходных объектов однородна.

При абсолютно неупругом ударе два соударяющихся КО образуют один, скорость которого определяется законом сохранения количества движения:

mi • V + m2 • V2 = M • V,

где M = m1 + m2 - масса образовавшегося объекта; V1 и V2 - скорости соударяющихся объектов; V - скорость образовавшегося объекта. Спроецируем данное уравнение на оси АГЭСК:

т1 • V1 xАГЭСК + т2 • V2хАГЭСК = M • VxАГЭСК, < т • V1y АГЭСК + т2 • V2 У АГЭСК = M ^ Vy АГЭСК, т • V1zАГЭСК + т2 ^ V2 zАГЭСК = M • Vz АГЭСК .

Абсолютная скорость движения образовавшегося объекта по модулю

VKO = ,V2 +V2 +V2 .

v x лгэск у лгэск z лгэск

Для определения параметров орбит образовавшихся фрагментов необходимо знать не только их начальные координаты, но и проекции начальной скорости фрагментов на оси АГЭСК

V1i фр = VKO + DVn фр , V2k фр = VKO + DV2k фр ,

где Vu фр и V2k фр - абсолютные скорости i-го фрагмента первого КО и

k-го фрагмента второго КО; AV^- и DV^ - добавочные относительные

скорости i-го фрагмента первого КО и k-го фрагмента второго КО.

111

С достаточной точностью добавочные относительные скорости определить невозможно из-за большой неоднозначности исходных данных (зависит от материала объектов, предварительной конфигурации формы, скорости столкновения и т.д.). Процесс высокоскоростного взаимодействия твердых тел сопровождается разнообразными физическими явлениями, возникновение и относительная роль которых зависят от их прочностных характеристик, скорости и многих других факторов. При разрушении КО каждый фрагмент получает энергию и импульс, что приводит к возникновению относительной скорости по отношению к образовавшемуся в результате соударения КО. Вся приобретенная внутренняя энергия, определяемая из закона сохранения энергии, с учетом закона сохранения количества движения будет

2 2

и=и+у 2=^+_ М^,

1 2 2 2 2

где и - вся приобретенная внутренняя энергия; и - внутренняя энергия первого КО; и2 - внутренняя энергия второго КО.

В свою очередь, внутренняя энергия делится на упругие и неупругие энергии (диссипации). Под диссипацией понимается переход части энергии упорядоченных процессов в энергию неупорядоченных процессов, в конечном итоге - в тепло. Упругая энергия определяется как разность между всей внутренней энергией и энергией диссипации [1]:

№КО, = 'М- - ^ ^ = ^ -

где Дко2 и Дко2 - неупругие энергии первого и второго объектов.

Для оценки вклада диссипаций можно воспользоваться предельной удельной диссипацией dкox и , определяемой экспериментально [2]:

= т1 •dко, ^к02 = т2 • dko2 . Часть упругой энергии пойдет на разрушение объектов:

ЕЮ.=21,= &>

№разр1 №разр2

где 2 (у = 1,2) - коэффициент, равный отношению упругой энергии №к0уу

к энергии, затраченной на разрушение, №Грар. Коэффициент зависит

от различных параметров, в том числе и от пиковых значений давления в ударной волне.

Оставшаяся часть упругой энергии полностью превращается в кинетическую энергию движения фрагментов. Эта часть энергии находится из разности энергий и Wра3рj. На основании методики, описанной в

[3], и в предположении, что фрагментация производится на осколки одинаковой массы, добавочные относительные скорости разлета осколков каждого из КО имеют одинаковые значения:

112

АУИ = ^ 2-(1 - б! )•

АК2к = ^2-(1 -б2)• ^2 ' где и - удельные (на единицу массы) энергии:

№К01 №.К02 Wl =--, ^2 =-— .

Ш1 Ш2

При моделировании распределения точек конца вектора добавочной относительной скорости предлагается считать их равномерно распределенными по сфере, радиус которой и равен модулю добавочной относительной скорости. Несмотря на простоту постановки, задача о равномерном распределении точек на поверхности сферы является непростой в решении. Существуют различные подходы к решению данной задачи. В разработанной модели предлагается использовать генератор псевдослучайных точек, сферические координаты которых удовлетворяют заданным условиям и ограничениям. Этот подход может оказаться наиболее адекватным в случаях с достаточно большим количеством точек [4]. В рамках данного подхода строгая формализация понятия равномерного распределения точек на поверхности сферы определяется тем, что на двух любых элементах этой сферы с одинаковыми площадями будет содержаться одинаковое число точек. Генерирование точек по сфере производится по формулам

0 = 2 -р-Х; Ф = аг0008(2 -и-1), где Х и и - случайные вариации, равномерно распределенные на промежутке [0,1].

Проекции векторов относительной скорости разлета объектов можно найти относительно системы координат с центром в точке соударения. Оси рассматриваемой системы координат направлены параллельно осям АГЭСК:

хАГЭсК = АУ1/ '008 0 - 008 ф, АУ27 хАГЭСК = АУ1/- 0080 - 008ф,

АУц

УАГЭСА = АУ1 - 81П 0 - 008 ф, АУ27 УАГЭСА = АУ1/ - 81п 0 - 008 ф,

АУ1/ ^АГЭСА = АУ1/ - 81П Ф, А¥27 ^АГЭСА = АУ1/ - 81П Ф.

Абсолютная скорость образовавшихся фрагментов относительно АГЭСК на основании

хагэск = Уко хагэск

.уагэск = Уко Уагэск

2 агэск = Уко 2агэск

х агэск = Уко хагэск

^2]уагэск " Уко У агэск '

у27 2 агэск = Уко 2агэск

113

+ АУ1-агэск , + АУ27Хагэск ,

По начальным координатам фрагментов разрушения в АГЭСК и проекциям скоростей новых объектов на оси АГЭСК могут быть определены параметры орбиты нового объекта а, е, О, ю, Ф, /.

В качестве примера применения разработанной модели приведен расчет орбит фрагментов разрушения при высокоскоростном соударении КО.

В качестве исходных данных даны параметры двух КО: масса КО т1 = 200кг, т2 = 100 кг;

материал соударяющихся объектов - алюминий, т.е. ^ = d2 = 30 103 Дж/кг;

орбиты круговые, высота орбит Н = 1500км ; долгота восходящего узла О1 = 85°, О2 = 45°; наклонение 11 = 62° и ¡2 = 60°; 21 = 02 = 0,8.

Все расчеты проводились в среде МаШСаё. Визуализация выполнена на языке программирования С++. После столкновения группировка фрагментов образует сферическую конфигурацию разлета. Так как скорость объектов различна, различны их орбиты, то через некоторое время фрагменты разлетятся (рис.1).

Анализ результатов показывает:

- наклонение орбит / меняется незначительно (в пределах двух градусов);

- долгота восходящего узла О фрагментов при заданных параметрах исходных орбит смещается в сторону О1 КО с большей массой;

- все орбиты являются эллиптическими, диапазон изменения е находится в пределах от 0,015 до 0,303;

- часть фрагментов сгорит в атмосфере, так как их орбиты пересекают Землю.

Рис. 1. Группировка фрагментов после столкновения

114

Множество орбит фрагментов, образующихся в результате столкновения КО, представлено на рис. 2.

Рис. 2. Орбиты фрагментов разрушения КО

Таким образом, разработанная математическая модель позволяет оценить начальные параметры орбит фрагментов разрушения при высокоскоростном соударении КО, дает возможность находить диапазоны изменения всех параметров орбит фрагментов. Кроме того, можно определить количество фрагментов, траектории которых пересекают поверхность Земли. Такие фрагменты, войдя в плотные слои атмосферы, в подавляющем большинстве сгорят, и только небольшая их часть достигнет поверхности Земли. Наибольшую опасность представляют фрагменты, которые останутся в ОКП. Фрагменты собираются в кольцо в достаточно узких полосах орбит. Однако со временем плоскости будут расходиться. В итоге обломки распределятся по всему сферическому слою околоземного пространства: траектории их полетов обхватят Землю тонкой оболочкой. Знание орбит еще некаталогизированных объектов позволят предупредить столкновение функционирующих КА с образовавшимися фрагментами.

Список литературы

1. Киселев А.Б. Моделирование фрагментации тонкостенных конструкций и компактных элементов при взрывном нагружении и ударном взаимодействии // Математическое моделирование / МГУ им. М.В. Ломоносова. 2012. Т. 24. Номер 2. С. 33 - 60.

2. Киселев А.Б., Юмашев М.В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель повреждаемой термоупругопластической среды // ПМТФ. 1990. №5. С. 116 - 123.

115

3. Зозуля Л.П., Гончаров П.С. Определение скорости разлета фрагментов космических объектов при их столкновении // Сборник материалов II Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы создания и применения космических аппаратов и робототехнических средств в интересах Вооруженных Сил Российской Федерации». 2018. С. 102 - 107.

4. Weisstein E.W. Sphere Point Picking // From Math World-A Wolfram Web Resource [Электрронный ресурс] URL: http://mathworld.wolfram.com/ SpherePointPicking.html (дата обращения: 10.05.2019).

Зозуля Людмила Петровна, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, vkaamil.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского,

Булекбаева Марина Юрьевна, младший научный сотрудник, vka@mil.rH, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,

Гончаров Павел Сергеевич, канд. техн. наук, начальник отдела, vka@mil.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия им. А. Ф.Можайского,

Девяткина Татьяна Юлиановна, младший научный сотрудник, vka@mil.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского

A MATHEMATICAL MODEL OF THE DESTROYED BY A HIGH-VELOCITY COLLISION

SPACE OBJECTS FRAGMENT MOVEMENT

L.P. Zozulya, M.Ju. Bulekbaeva, P.S. Goncharov, T.Yu. Devyatkina

A mathematical model intended for the orbital parameters determination of the fragments resultant of the moving along circular orbits space objects destruction, is presented. An example of the mathematical model application for two space objects with given orbital parameters is examined.

Key words: space debris, space object, spacecraft, mathematical modeling, highvelocity impact.

Zozulya Ludmila Petrovna, candidate of technical sciences, senior researcher, vka@mil.ru, Russia, Saint-Petersburg, Military Space Academy,

Bulekbaeva Marina Jur 'evna, junior researcher, vka@mil.ru, Russia, Saint-Petersburg, Military Space Academy,

Goncharov Pavel Sergeevich, candidate of technical sciences, head of department, vka@mil.ru, Russia, Saint-Petersburg, Military Space Academy,

Devyatkina Tatyana Yulianovna, junior researcher, vka@mil.ru, Russia, Saint-Petersburg, Military Space Academy