Фазовая нестабильность и резонанс нелинейных системм

УДК 539.371:534.134

ФАЗОВАЯ НЕСТАБИЛЬНОСТЬ И РЕЗОНАНС НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Умушкиным Б. П.

Рассмотрен нетрадиционный подход к определению резонансных частот как линейных, так и нелинейных систем, на основе которого получены результаты, существенно изменяющие представления о динамическом поведении нелинейных систем.

Ключевые слова: резонансные частоты; линейные и нелинейные системы; колебания.

В настоящее время бурное развитие техники приводит к существенному усложнению конструкций создаваемых объектов, а высокие требования к их качеству неизбежно приводят к необходимости более точно описывать протекающие в исследуемых системах процессы, что, в свою очередь, усложняет их математические модели и математический аппарат, применяемый для исследования динамических процессов. Для механических систем сложность решения задач по исследованию их динамического поведения во многом определяется необходимостью учитывать нелинейность характеристик различных элементов конструкции. Ускоренное и непрерывное развитие возможностей компьютерной техники и ее программного обеспечения неизбежно привело к существенному увеличению доли численных методов, применяемых при решении широкого класса сложных задач, в том числе и задач нелинейной механики. Однако анализ результатов их решения основывается на тех базовых положениях, которые были выработаны чисто теоретическими исследованиями и которые в идеальном случае не должны вызывать никаких сомнений в своей корректности. Методы нелинейной механики оказались неспособными определить те условия, при которых в нелинейных системах могут возникать резонансные режимы [1-5].

Для определения условий, при которых в нелинейных системах возникает какой-либо резонансный режим, необходимо исследовать изменения кинетической, потенциальной и полной энергий, которые соответствуют колебательным процессам системы.

Общеизвестно, что уравнение Лагранжа второго рода описывает динамическое поведение исследуемой системы (как линейной, так и нелинейной) с точки зрения изменения в ней кинетической Т и потенциальной и энергий и функции рассеивания (диссипативной функции) Ф, если принято предположение, что силы сопротивления пропорциональны скорости движения системы [6]

коэффициент жесткости пружины; Ь — коэффициент диссипации; ц — обобщенная координата.

К.А. МОИСЕЕВ

ё (дТ 1 дТ ди дФ

+

Л і ) д!і дц і д<!і

Л

Уравнение Лагранжа второго рода (1) записано таким образом, что в левой части находятся члены, определяющие отклик системы на внешнее воздействие, а в правой - члены, определяющие силы сопротивления и возмущающие силы, от взаимодействия которых зависит величина отклика. Применяя к уравнению (1) известный приём, можно привести его к такому виду [6]

d

dt

где T + U = Е — полная энергия системы.

Полная энергия системы определяется выражением

E

dE (t > 1 2(2 2 \ \r>

Тогда условие ——— = — mvA m — v Jcos 2( vt + ф> = 0 говорит о том, что изменение полной

энергии носит периодический характер. Однако при условии Ю = V, которое соответствует общеизвестному условию проявления резонанса в системе, изменений энергии в системе не происходит, т. е. полная энергия при резонансе остается постоянной в любой момент времени

1 2 2

E = — mm A = const. Элементарные исследования выражения (4) показывают, что при

резонансной частоте имеет место максимум функции E = T + U. Из равенства при резонансе dE( t > _ .

------= 0 неизбежно должно вытекать другое равенство 2Ф = Qf (t>q, которое говорит о

dt

том, что изменение энергии в системе, порождаемое ее диссипативными свойствами, компенсируется изменением энергии, поступающей из внешнего источника. Элементарные

2 2 2 2 выкладки приводят к следующим выражениям - 2Ф = bv A sin vt, а Qf(t>q = vAP sin vt.

Приравнивая их, приходим к такому равенству - vbA = P, которое говорит о том, что амплитуда силы сопротивления равна амплитуде внешней силы, а сами силы сопротивления действуют в фазе с внешней силой, чем и обеспечивается мощнейший всплеск отклика системы на внешнее воздействие. При рассогласовании фаз между силой сопротивления и внешней силой величина отклика уменьшается.

Приведенные математические выкладки позволяют сделать следующее заключение: изменение энергии в системе в результате ее рассеивания полностью компенсируется изменением энергии внешнего источника. Последнее означает ни что иное, как то, что система при резонансе ведет себя как свободная консервативная система без трения с начальным отклонением от положения равновесия, равным максимуму резонансной амплитуды, т. е. q(0> = Ape3 ; q(0> = 0. Поэтому условие постоянства максимума полной энергии системы при

колебательных процессах можно также назвать ее резонансом, которое полностью соответствует общепринятым понятиям теории колебаний.

Выявленная закономерность динамического поведения резонансных линейных систем неизбежно должна распространяться и на нелинейные системы, так как выведена она из уравнения Лагранжа второго рода, которое определяет динамическое поведение систем (как линейных, так и нелинейных), с точки зрения изменения в них полной энергии.

Исследуем условия возникновения резонансных режимов в простейших нелинейных системах. Для примера возьмем нелинейную систему с одной степенью свободы, динамическое поведение которой можно описать уравнением Дуффинга [5]

q + 2aq + m2 q + fíq3 = Pcos vt.

Выражение для кинетической энергии нелинейной системы будет выглядеть точно так же, как и для линейной системы, а выражение для потенциальной энергии будет таким

U

Учитывая, что при резонансе исследуемая система ведет себя как при отсутствии сил

сопротивления, то колебательный процесс при резонансе можно описать уравнением, которое

определяет колебания нелинейного осциллятора

q + ю2 q + Pq3 = 0

при следующих начальных условиях q( 0) = Лрез; q( 0) = 0.

Точным решением уравнения (7) при указанных начальных условиях может являться гиперболический синус, т. е. q = Лрезsn\at,k], где к — модуль эллиптической функции, dn —

функция дельта амплитуды. Учитывая, что q = &Лрезcn{at,k)dn(at,k), и используя известные

соотношения [4]

cn2 (at,k) + sn2 (at,k) = 1, dn(at,k) = ^J 1 — к2sn2 (at,k) , w2 = — = a2 (1 + к2 ),

m

c 2a2k2 1

в = — =-------2— после несложных преобразований, получим T + U = — ma2Л2ез .

m Л 2

рез

Следовательно, резонансный режим в исследуемой системе можно описать эллиптическими синусом или косинусом, когда колебания совершаются с частотой a = v .

Однако приведенные выше выкладки будут справедливы лишь тогда, когда правая часть уравнения (2) будет равна нулю, т. е. — 2Ф + QF (t)q = 0 . Именно в этом случае изменений полной энергии в системе происходить не будет. Для доказательства этого факта подставим в правую часть уравнения — 2Ф + Qf (t)q = 0 значения скорости, выраженной через производные от эллиптических косинуса или синуса. Тогда получим — 2Ф + Qf( t)q j = —Ь{аЛрез sn{at, k)dn(at, kjf + P cos vt  аЛрезsn{at, k)dn(at,k).

По определению это выражение должно быть равно нулю, а это возможно тогда, когда выполняются равенства baЛрез = P и sn{at,k)dn(at,k) = cos vt или cn{at,k)dn(at,k) = cos vt.

Элементарный анализ показывает, что последние два равенства не выполняются, т. к. sn{at,kk)dn(at,k) Ф cos vt и cn{at,k~)dn(at,k) Ф cos vt. Это говорит о том, что в нелинейной системе, динамическое поведение которой описывается уравнением Дуффинга, резонансных режимов, строго говоря, возникнуть не может. В таких системах может возникать только околорезонансный режим, если при некоторых параметрах системы и внешнего воздействия имеет место приближенное равенство cn{at,k)dn(at,k) » cos vt. Таким образом, установлено, что в нелинейных системах с одной степенью свободы, колебательный процесс которых описывается уравнением Дуффинга, резонансных режимов возникать не может, а может возникнуть только околорезонансный режим. Исследование резонансных режимов аналогичных систем энергетическим методом показало, что в них не возникает ни ультрагармонических, ни субгармонических резонансов, а только соответствующие колебания. В колебаниях может возникнуть только околорезонансный режим и то только при определенной величине начальных условий движения системы и при соответствующей величине амплитуды внешней силы.

Приведенные выше соображения говорят о том, что нелинейные системы должны обладать каким-то свойством, которое придает динамическому поведению нелинейных систем определенную специфику. Действительно, периодические решения уравнения Дуффинга, с помощью которых определяются и так называемые резонансные частоты, строятся в виде

ограниченного ряда Фурье, т. е. в виде суммы нескольких гармоник. Сама такая постановка задачи наводит на мысль, если сумма гармоник, подставленная в левую часть уравнения, должна обеспечивать равенство одной гармоники в его правой части, то система должна обладать каким-то особым свойством, проявление которого и учитывается в таком парадоксальном варианте решения задачи. В то же время для уравнения Дуффинга не существует таких математических функций, подстановка которых в левую часть уравнения тождественно приводила бы к равенству между левой и правой частями уравнения. Пытаясь решить эту проблему, научная мысль в нелинейной механике совершенно естественным образом перенесла методологию исследования колебательных процессов линейных систем на нелинейные, рассматривая их поведение с тех же позиций, которые использовались для анализа линейных систем [1-5].

Чтобы ответить на вопрос о физическом механизме появления в таких системах комбинационных колебаний и, как их частный случай, супергармонических и субгармонических колебаний, необходимо рассмотреть, в чем состоит принципиальная разница между колебательными процессами линейного и нелинейного осцилляторов, поведение которых описывается соответственно тригонометрическими и эллиптическими функциями. Существенное различие между ними заключается в том, что для гармонических функций sin и cos любая производная их по аргументу определяется точно такими же функциями, но смещенными относительно исходной функции на величину 0,5nn, где n - порядок производной, то есть (cosu)u = — sinu = cos(u + 0,5п) и т. д., а для эллиптического синуса, например, производная будет определяться произведением эллиптического косинуса на дельтафункцию, snu = cnu  dnu = —snu V1 — k2sn2u , таким образом, производная от эллиптического синуса будет сложной функцией относительно аргумента. Таким образом, для гармонических функций любая производная смещена относительно исходной функции на постоянную величину, то есть фазовые отношения между ними остаются постоянными, а между эллиптическим косинусом или синусом и их производными фазовые соотношения будут непрерывно изменяться в течение периода колебаний. Так как функция дельта амплитуды dnu является так же, как и функции cnu и snu , периодической, но с другим периодом [7], то изменение фазовых соотношений будет периодическим.

Функции, у которых фазовые соотношения не изменяются при изменении аргумента, можно назвать фазостабильными, в противном же случае - фазонестабильными. Очевидно, что резонансные режимы линейных систем могут описываться только фазостабильными гармоническими функциями. Это означает, что внешние силы, действующие на линейную систему, должны описываться также фазостабильными функциями. При воздействии на линейные системы фазонестабильных сил, фазовые соотношения между полезным сигналом и его производными будут непрерывно изменяться во времени, т. е. отклик системы неизбежно будет фазонестабильным, что в принципе исключает появление резонансных режимов в колебательных процессах.

Если самые простые нелинейные системы обладают фазовой нестабильностью, то в более сложных системах фазовая нестабильность должна проявляться в большей степени. Поэтому можно сказать, что фазовая нестабильность колебательных процессов нелинейных систем является их специфическим и объективно проявляющимся свойством, не зависящим от характера внешнего нагружения, которое может быть как фазостабильным, так и фазонестабильным. К сожалению, в математическом каталоге нет таких функций, которые бы были в состоянии описать фазовую нестабильность нелинейных систем, подверженных внешнему возмущению. Поэтому периодические процессы в нелинейных системах описываются гармоническими, т. е. фазостабильными функциями, которые не в состоянии адекватно описать фазонестабильный процесс, если число членов ряда Фурье будет ограничено.

Но, даже, если число членов гармонического ряда будет достаточным для удовлетворительного описания процесса, то гармонические фазостабильные функции позволяют оценить только частотный спектр выходного сигнала на строго фиксированной частоте источника внешней энергии. Тригонометрические гармонические функции являются фазостабильными функциями, а их взаимосвязь в зависимости от характера нелинейной связи порождает более сложные, но все-таки фазостабильные функции. Поэтому можно еще раз повторить, что в целом гармонические функции не способны адекватно описать фазонестабильный процесс.

Приведенные выше исследования резонансных режимов с энергетической точки зрения помогают определять на качественном уровне энергетическую восприимчивость системы, то есть энергию, которая идет на формирование отклика системы на внешнее воздействие. Энергетическая восприимчивость системы увеличивается, если разность фаз между внешней силой и силами сопротивления, пропорциональными скорости перемещения системы, уменьшается, и наоборот. Из этого следует, что форма колебательного процесса нелинейных систем определяется изменением энергетической восприимчивости. Причем, если энергетическая восприимчивость на каком-то коротком отрезке времени сильно возрастает, а в последующем, вследствие изменения фазовых отношений, уменьшается, то образуется избыток энергии, который не востребован для формирования отклика системы. Избыточная энергия создает свой колебательный процесс, который увеличивает фазовую нестабильность системы. Исследования колебаний нелинейных систем, динамическое поведение которых описывается уравнением Дуффинга, показали, что в низкочастотной части избыточная энергия способствует возникновению ультрагармонических колебаний, а в высокочастотной - субгармонических колебаний. Таким образом, колебания нелинейных систем протекают в режиме непрерывных переходных процессов, продолжительность которых зависит от величины частоты внешнего воздействия, причем проявление этих переходных процессов носит периодический характер, что и вводило в заблуждение исследователей.

В свете вышесказанного можно утверждать, что большинство методов нелинейной механики работоспособно тогда, когда фазовая нестабильность нелинейной системы незначительна. Однако проблема заключается в том, что на разных частотных диапазонах внешней силы фазовая нестабильность, а следовательно, и энергетическая восприимчивость системы различны. Поэтому в одном частотном диапазоне выбранный метод будет давать удовлетворительные по точности результаты, а на другом - нет.

Можно с уверенностью также сказать, что большинство методов нелинейной механики может работать в узком частотном диапазоне, границы которого определить весьма проблематично ввиду отсутствия таких исследований.

Следует также заметить, что приведенные выше соображения ни в коем случае не противоречат большинству положений нелинейной механики, они только показывают, что основные положения нелинейной механики приспособлены для относительно узкого диапазона практических задач, и что теоретические представления теории нелинейных колебаний необходимо существенно расширять.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вибрации в технике. Справочник. - М.: Машиностроение, 1979. - Т. 2.

2. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.:

Наука, 2005. - Т. 3.

3. Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. Нелинейная механика. - М.: Наука, 2006. - Т.4.

4. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. - М.: Наука, 1969.

5. Крюков Б. И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем. - М.: Машиностроение, 1984.

6. Бабаков И. М. Теория колебаний. - М.: Наука, 1968.

7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1973.

PHASE INSTABILITY AND RESONANCE OF NONLINEAR SYSTEMS

Moiseev K.A.

Considered not a traditional approach to determining the resonant frequencies of both linear and nonlinear systems, on the basis of which the results obtained significantly alter the picture of the dynamic behavior of nonlinear systems. Showed «mechanism» appearance of combinational vibrations caused by the phase instability of nonlinear systems.

Key words: resonant frequencies, linear and nonlinear systems.

Сведения об авторе

Моисеев Константин Александрович, 1946 г.р., окончил Серпуховское высшее командноинженерное училище (1971), кандидат технических наук, доцент ВВИА им. И.Е. Жуковского, автор более 60 научных работ, область научных интересов - динамика и прочность летательных аппаратов.