Метод вероятностно-алгебраического моделирования надёжности структурно-сложных систем большой размерности

УДК 007; 681.3 Е.И. СУКАЧ*

МЕТОД ВЕРОЯТНОСТНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НАДЁЖНОСТИ СТРУКТУРНО-СЛОЖНЫХ СИСТЕМ БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, Гомель, Белоруссия

Анотація. Розглядається метод оцінки ймовірнісних характеристик надійності багатоелементних структурно-складних систем великої розмірності, що мають два входи і два виходи, по ймовірнісних характеристиках надійності їх елементів.

Ключові слова: ймовірнісно-алгебраїчне моделювання, надійність складної системи, структурнопроста система, структурно-складна система.

Аннотация. Рассматривается метод оценки вероятностных характеристик надёжности многоэлементных структурно-сложных систем большой размерности, имеющих два входа и два выхода, по вероятностным характеристикам надёжности их элементов.

Ключевые слова: вероятностно-алгебраическое моделирование, надёжность сложной системы, структурно-простая система, структурно-сложная система.

Abstract. The method of assessment of probability characteristics of reliability of structurally-difficult complex large-scale systems with two inputs and two outputs on probabilistic characteristics of reliability of their elements is observed.

Keywords: probability-algebraic simulation, reliability of difficult system, structurally-simple system, structurally-difficult system.

1. Введение

Для оценки и прогнозирования вероятностного поведения многоэлементных структурносложных систем (ССС) используются различные математические модели, при которых исследуемая система формализуется в виде графовой структуры [1-3], имеющей один вход (начальная вершина) и один выход (конечная вершина). Это ограничивает применение моделей при рассмотрении систем со множеством входов и выходов. В работе [4] рассматривается метод оценки вероятностных характеристик графовых структур со множеством входов и выходов, основанный на согласованном использовании метода Монте-Карло и аналитических расчётов. Метод с достаточной точностью, приемлемой для выбранной предметной области, обеспечивает нахождение приближённого решения практических задач, связанных с управлением транспортными системами сообщения. Однако решение задач оценки надёжности систем, образом которых являются графовые структуры со множеством входов и выходов, требует точных расчётов, позволяющих с полной уверенностью гарантировать безотказность работы систем в условиях вероятностного изменения показателей надёжности их элементов. Поэтому является актуальной и практически востребованной разработка методов и программных средств автоматизации, позволяющих получать точные вероятностные оценки надёжности графовых систем со множеством входов и выходов.

В статье излагается метод вероятностно-алгебраического моделирования надёжности ССС большой размерности, интерпретируемых в виде структур n -полюсников, позволяющий рассчитать результирующие вероятности состояний надёжности систем по вероятностям надёжности составляющих их элементов. Сущность метода состоит в разбиении ССС на совокупность подсистем, для каждой из которых в отдельности отыскивается решение поставленной задачи, а общее решение получается путем сочленения полученных

© Сукач Е.И., 2Q14

ISSN 1Q28-9763. Математичні машини і системи, 2Q14, № 1

частных решений для подсистем с использованием вероятностно-алгебраического умножения.

Новизна метода обеспечивается его применением для ССС большой размерности со множеством входов/выходов, при котором реализуется вероятностно-алгебраическое умножение векторов вероятностей, характеризующих состояния надёжности подсистем, выступающих в качестве обобщённых элементов исследуемых ССС.

2. Идея метода вероятностно-алгебраического моделирования надёжности структурно-сложных систем большой размерности

Метод заключается в поэтапном использовании одной из предложенных схем формализации [5] и последующей автоматизации создания и эксплуатации вероятностноалгебраических моделей надёжности ССС большой размерности. Он основан на применении правил формализации при построении моделей ССС и сочетании принципов диакоп-тики, позволяющих структурировать систему в ходе моделирования, с вероятностноалгебраическим аппаратом, реализующим расчёты вероятностных характеристик надёжности ССС по вероятностным характеристикам подструктур n-полюсников, при эксплуатации готовых моделей.

Метод ВАЛМ надёжности ССС большой размерности реализуется следующей последовательностью этапов (рис. 1).

Первые три этапа направлены на формализацию ССС в виде графовых схем и проверку их структурной сложности, позволяющей определить метод исследования. Для этого используются встроенные средства анализа в составе системы вероятностноалгебраического моделирования PALS [6].

Следующие два этапа направлены на модификацию графовых схем исследуемых ССС, в результате которой они распадаются на совокупность подструктур n -полюсников (n = 2,3,4), выступающих в качестве элементов агрегированных ССС, надёжность которых оценивается с использованием одной из методик, предназначенных для оценки надёжности ССС ограниченной размерности [7].

Непосредственно вероятностно-алгебраическому моделированию ССС, представленных в виде структур n -полюсников, посвящены этапы 6-7, предполагающие, во-первых, рекурсивный возврат на предыдущие этапы, реализующие расчёт надёжности структур n -полюсников ограниченной размерности, во-вторых, статическое (одномоментное) моделирование ССС, в-третьих, динамическое итерационное моделирование, позволяющее проследить за изменением как характеристик надёжности систем, так и их структур, и, в-четвёртых, использование управляющих воздействий, позволяющих подобрать оптимальные структуры ССС, обеспечивающие их надёжную работу на заданном временном интервале.

Наконец, этапы 8-10 представляют собой эксплуатацию готовых вероятностноалгебраических моделей ССС, результативность проведения которых гарантируется наличием встроенных средств расчёта сопутствующих статистических характеристик, визуализации результатов моделирования, применения процедур выбора решений.

3. Анализ надёжности сетевых структур большой размерности

Рассматривается абстрактная структурно-сложная система, имеющая графовую структуру и включающая множество элементов K = {K.},i = 1,104. Предполагается, что система

включает 6 подсистем, которые имеют свою структурную организацию и могут быть соединены различным образом.

Рис. 1. Схема этапов реализации метода вероятностно-алгебраического моделирования надёжности ССС большой размерности

В ходе формализации подсистемы Z = 2}, i = 1,6 интерпретируются как подструктуры-четырёхполюсники, то есть имеют по два входа и два выхода. Предполагается, что элементам подсистем 2. (K, N), N = 1, и1, K = 1, к1 соответствуют вершины графов (схема формализации «элементы-вершины»), четыре из которых выбраны в качестве полюсов *„ К 2 , Кз, К4. _

Предполагается, что графовые структуры подсистем , I = 1,6 попарно совпадают. Рассматриваются два варианта соединений подсистем, выделенных в процессе декомпозиции исследуемой сетевой структуры. Варианты соединений подсистем представлены на рис. 2 и 3. На схемах номерованными вершинами отмечены элементы исследуемых подсистем, связи между которыми представлены рёбрами графа.

Рис. 2. Схема многоэлементной сложной системы с выделением структурных подсистем

Рис. 3. Схема многоэлементной сложной системы с выделением структурных подсистем

Решается задача оценки надёжности всей сетевой структуры для различных соединений её подсистем.

Элементы системы имеют вероятностные значения надёжности { P' = (p 1, p2)}, i = 1,1 Q4 . Предполагается, что значения надёжности элементов известны: с вероятностью pl элемент работоспособен, а с вероятностью pl - отказал. Расчёт надёжности подсистем Zi , i =1,б производился с использованием аппарата вероятностно-алгебраического моделирования и средств его автоматизации PALS.

Вычисления проводились при условии, что вероятности работоспособности всех элементов подсистем одинаковы, то есть pl = Q,9, i = 1,1 Q4. Были получены результирующие векторы вероятностей, характеризующие 15 состояний надёжности подсистем и результирующие значения вероятностей состояний для двух вариантов организации исследуемой системы (табл. 1).

Таблица 1. Результаты расчёта надёжности двух вариантов организации исследуемой структурно-сложной системы__________________________________________________________

Номер состояния Графическая интерпретация Значения вероятностей подструктур Zt, i = 12 Значения вероятностей подструктур Zt, i = 3,4 Значения вероятностей подструктур Zt, i = 5,6 Значения вероятностей системы

Si і 4 Q,Q35QQ2419 Q,Q24981664 Q,Q2413Q63 Q,Q5378884 Q,1QQ297219

S2 > • Q,Q435425Q6 Q,Q96881695 Q,Q872Q298 Q,118742735 Q,153QQ9Q14

S3 і • Q,Q217Q9488 Q,QQ6335367 Q,QQ774198 Q,Q 15253112 Q,Q34783142

S4 X Q,QQ9635535 Q Q Q,Q23Q37877 Q,Q22796872

S5 і * Q,Q 13191818 Q,QQ4782969 Q,QQ715149 Q,Q 1395191 Q,Q14879987

S6 і Q,Q94774133 Q,Q57Q183Q5 Q,Q6377292 Q,Q8842888 Q,1QQ23874

S7 X Q Q Q Q Q

S8 Q,Q37244783 Q Q Q,Q212QQ826 Q,Q436Q9927

S9 4 і Ф Q,QQ4785Q47 Q Q 3,1QE-Q6 Q,QQ9971Q12

S1Q X Q,167934Q96 Q Q Q,133957744 Q,138258973

S11 Q,Q12Q66293 Q,Q53834974 Q,Q3232467 Q,Q43Q581Q8 Q,Q3568221

S12 Q Q,142935256 Q,Q6967782 Q,Q8Q386748 Q,Q47174338

S13 і s 1 Q,Q41Q778Q7 Q,Q57Q183Q5 Q,Q6967782 Q,Q52829151 Q,Q42221678

Sl4 1 / 1 Q,Q69321766 Q,Q43Q46721 Q,Q6436341 Q,Q48495395 Q,Q4QQ81352

S15 і X 1 Q,4497143Q8 Q,513164744 Q,57395628 Q,3Q6865568 Q,216995535

P (K1  K 4) Q,6683617463 Q,57Q183Q489 Q,6436341 Q,51669Q341 Q,42Q273Q58

Исходя из полученных результатов расчёта для двух вариантов организации структурно-сложной системы, включающей 6 подсистем в виде структурных фрагментов результирующего графа системы, можно заключить, что первый вариант структурной организации системы (0,516690341) обеспечивает более надёжную работу системы (приблизительно на 9%) по сравнению со вторым (0,420273058).

4. Заключение

Предложенный метод снимает ограничения на размер исследуемых ССС, расширяет свойство прогностичности моделей ССС с одним входом и одним выходом при оценке их надёжности и позволяет решать следующие задачи: оценки вероятностных характеристик

надёжности ССС на основе вероятностных характеристик составляющих их элементов; выявление множества элементов и их комбинаций, оказывающих существенное влияние на вероятностные значения выбранного показателя надёжности исследуемых ССС; получение, обоснование и оптимизацию решений на основе результатов расчёта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рябинин И. А. Надёжность и безопасность структурно-сложных систем / Рябинин И. А. - СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 2GG7. - 276 с.

2. Можаев А.С. Теоретические основы общего логико-вероятностного метода автоматизированного моделирования систем / А.С. Можаев, В.Н. Громов. - СПб.: Изд-во ВИТУ, 2GGG. - 145 с.

3. Sahinoglu M. Network reliability evaluation / M. Sahinoglu, R. Benjamin // Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics. - 2G1G. - Vol. 2. - P. 189 - 211.

4. Максимей И.В.Определение интегрального максимального потока в региональной сети с помощью имитационного моделирования / И.В. Максимей, Е.И. Сукач, П.В. Гируц // Математичні машини і системи. - 2GG8. - № 2. - С. 128 - 136.

5. Способ формализации объектов графовой структуры с вероятностными параметрами функционирования / Е.И. Сукач, Д.В. Ратобыльская, Ю.В. Жердецкий [и др.] // Известия Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины. - 2G12. - №5 (74). - С. 195 - 2G2.

6. Сукач Е.И. Компьютерная система вероятностно-алгебраического моделирования сложных систем со многими состояниями / Е.И. Сукач, А.Б. Демуськов, Д.В. Ратобыльская // Математичні машини і системи. - 2G11. - № 3. - С. 32 - 39.

7. Сукач Е.И. Методика оценки вероятностных характеристик надёжности систем-четырёхполюсников / Е.И. Сукач // Доклады БГУИР. - 2G12. - № 7 (69). - С. 71 - 77.

Стаття надійшла до редакції 25.06.2013