К вопросу об определении главных осей анизотропии материала

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 203-213

Механика =

УДК 539.3

К вопросу об определении главных осей

*

анизотропии материала *

Д. В. Христич

Аннотация. Проведен анализ определения главных осей анизотропии, данного В.В.Новожиловым. Показано, что для некоторых типов анизотропных материалов это определение является необходимым, но не является достаточным. Предложено понятие канонических осей анизотропии. Разработаны программы экспериментов для определения ориентации канонических осей анизотропии в материалах.

Ключевые слова: упругость, анизотропия, свойства материалов, программа экспериментов.

Введение

Ещё с XIX века известна структура тензоров упругости и податливости для различных классов упругой симметрии материалов, унифицированных по кристаллографическим системам [1-8]. Эти тензоры отнесены к кристаллофизическим системам координат, ориентация которых в материале строго определяется ориентацией кристаллографических осей в соответствии с принятым в кристаллофизике соглашением [1]. Оси кристаллофизической системы связаны с элементами симметрии кристалла. Кристаллофизические оси выбираются вдоль осей симметрии или перпендикулярно плоскостям симметрии кристалла при их наличии. Если кристалл имеет только одну ось или только одну плоскость симметрии, то одна из трёх кристаллофизических осей связывается с элементом симметрии, направление другой оси определяется строением кристаллической решётки, а третья ось выбирается так, чтобы получилась правая система координат.

Если в материале отсутствует кристаллическая решётка или его строение неизвестно, возникает проблема: возможно ли только из механических макроэкспериментов отнести материал к одному из классов упругой

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №№ 13-01-97501-р_центр_а, 14-01-31138-мол_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).

симметрии и определить декартову систему координат, являющуюся для такого материала аналогом кристаллофизической системы.

Назовём оси такой системы координат каноническими осями анизотропии материала. Связанные с ними базисные векторы обозначим к1, к2, к3. Представление тензоров упругости материалов, относящихся к различным классам упругой симметрии [1-8], в канонических осях анизотропии совпадает с известными представлениями в кристаллофизических системах координат.

В механике деформируемого твёрдого тела распространено понятие о главных осях анизотропии материала, введённое В.В. Новожиловым [8]. В большинстве известных работ [1-8] в качестве главных осей анизотропии в кристаллических материалах принимают оси кристаллофизической системы.

1. Понятие главных осей анизотропии материала

Рассматриваются материалы, упругие свойства которых описываются законом Гука

Б = N  -е или е = С  -Б,

где Б — тензор истинных напряжений Коши, е — тензор малых деформаций, N — тензор упругости, С — тензор упругих податливостей.

В.В.Новожилов [8] ввёл понятие главных осей анизотропии как главных осей тензора второго ранга К с компонентами К^ , полученного

свёрткой тензора упругости N по второй паре индексов. Другими словами, главные оси анизотропии — это главные оси тензора напряжений Б, возникающих в материале при чисто объёмной деформации е = еЕ, так как при этом в соответствии с законом Гука Б = N  -еЕ = еК.

В силу симметрии тензора напряжений К при нахождении его главных значений и главных осей возможно появление кратных корней характеристического уравнения. Главные оси а1, а2, а3 определяются однозначно только в случае, когда о1 = о2 = о3. Эта ситуация возникает при объёмной деформации образца из триклинного, моноклинного и ромбического материалов [7, 11-13]. В случае одноосных кристаллов тензор К имеет два равных главных значения 01 = 02 = 03 [7, 11-13],

3

при этом однозначно определяется только одна главная ось а , а две

1 2 3

другие оси а и а в плоскости, перпендикулярной а , в соответствии с

методами линейной алгебры выбираются произвольно. Однако из всех

одноосных кристаллов упругими свойствами, инвариантными относительно

произвольного поворота вокруг оси а3, обладают только гексагональные

материалы. Для тетрагональных и тригональных материалов оси а1, а2

не могут быть выбраны произвольно. Аналогичная ситуация возникает,

когда все собственные значения тензора К одинаковы 01 = 02 = 03, что

присуще изотропным материалам и кристаллам кубической сингонии. В

этом случае а1, а2, а3 — произвольный ортогональный триэдр. В изотропном материале это действительно так, а тензор упругости кубического материала при произвольном ортогональном преобразовании меняет свою структуру: становится симметричным тензором самого общего вида.

В своей монографии [8] В.В. Новожилов отмечает, что в качестве главных осей анизотропии следует принимать оси геометрической симметрии кристалла. Этот же подход используется и в работах [2-6, 8, 10-13]. В них в качестве главных осей анизотропии выбираются такие оси, в которых тензоры упругости и податливости имеют наименьшее число независимых ненулевых констант.

Отметим, что канонические оси анизотропии, связанные с элементами симметрии кристаллической структуры, всегда совпадают с главными осями анизотропии, определёнными в работах В.В. Новожилова. Как показано выше, главные оси анизотропии, определённые В.В. Новожиловым, допускают произвол в выборе их направлений и в общем случае могут не совпадать с каноническими осями.

Из вышеизложенного следует, что определение главных осей анизотропии, данное В.В. Новожиловым, является необходимым для нахождения канонических осей анизотропии в кристаллах из механических макроэкспериментов. В соответствии с представлениями для матриц упругости материалов различных типов [1-8] найденный по формуле (1) тензор напряжений при деформациях е = еЕ в качестве главных осей всегда имеет оси кристаллофизической системы координат. Однако приведённый анализ возможного расположения главных осей анизотропии в пространстве для различных типов материалов показывает, что в случае тригонального, тетрагонального и кубического материалов определение В.В. Новожилова не является достаточным для того, чтобы установить положение канонических осей анизотропии. Оно достаточно лишь для триклинного, моноклинного, ромбического и гексагонального материалов.

Целью настоящей статьи является разработка системы макроскопических механических экспериментов по определению канонических осей анизотропии в тех случаях, когда они не могут быть определены из опыта по чисто объёмному деформированию.

В статье [14] показано, что главные оси тензора деформаций е, возникающих в материале при гидростатическом сжатии Б = = —рЕ, совпадают с главными осями анизотропии, определёнными В.В. Новожиловым. Поэтому в дальнейшем в качестве базового эксперимента для идентификации положения главных осей анизотропии будем рассматривать опыт по нагружению анизотропного материала гидростатическим давлением, когда тензор напряжений имеет вид Б = —рЕ. В результате этого воздействия по измеренным деформациям образца

—*2 —>3

определяют главные значения е1, е2, е3 и главные векторы а , а , а тензора деформаций. Тройка векторов а1, а2, а3 для всех материалов определяет главные оси анизотропии, введённые В.В. Новожиловым. При вычислении

главных значений тензора деформаций е, как и для тензора напряжений Б, возможны три варианта: 1) еї = е2 = е3; 2) еї = е2 = е3; 3) еї = е2 = Єз-Будем считать, что кристаллографическая система (сингония), к которой относится материал, известна, и для каждого материала из эксперимента по

<-> —*1 —*2 —*3

гидростатическому нагружению найдены главные оси анизотропии а , а , а , в дальнейших экспериментах принимаемые в качестве лабораторной системы координат. В случае неоднозначного положения главных осей анизотропии выбирается один из возможных вариантов.

2. Определение положения канонических осей анизотропии в одноосных кристаллах из механических макроэкспериментов

К одноосным кристаллам относятся [1, 4-7] тригональный, тетрагональный и гексагональный материалы.

Найдём базис к1, к2, к3, связанный с каноническими осями анизотропии, совпадающими для кристаллов с кристаллографическими осями. Матрицы тензора упругих податливостей для этих материалов имеют вид [4-7, 12] (в силу симметрии приведены только верхние части матриц):

/ Сїїїї

Стр. =

Сїї22 Сїїзз

Сїїїї Сїїзз

Сээээ

Ст =

Сї

ї23

2

0

0

С2323

Сїї22 Сїї33 0 0 0

Сїїїї Сїї33 0 0 0

С3333 0 0 0

Сї2ї2 0 0

С2323 0

0

-Сїї23 0

0

Сїї23 0

С2323

С2323

Сг. =

( Сїїїї Сїї22 Сїїзз Сїїїї Сїї33 С3333

0

0

0

2

0

0

0

0

С2323

0 0 0 0 0

С2323

Для гексагонального материала канонические оси анизотропии совпадают с любыми главными осями анизотропии, определёнными из эксперимента по гидростатическому сжатию, так как свойства этого

материала инвариантны относительно любого поворота вокруг оси симметрии [2].

Для тригонального и тетрагонального материалов вектор а3 = k3 определяет направление одной из канонических осей анизотропии — оси симметрии кристалла. Орты канонических осей анизотропии k1, k2, лежащие

3

в плоскости, ортогональной вектору а , повернуты в этой плоскости относительно ортов лабораторной системы координат а1, а2 на некоторый угол р. Найдем угол р между каноническими осями анизотропии k1, k2 и лабораторными осями а1, а2. Базисы а1, а2, а3 и k1, k2, k3 связаны

ортогональным тензором поворота

Q = cos р

так что k = а  Q, i = 1,2,3.

Для нахождения угла р в случае тригонального материала достаточно провести один эксперимент: растяжение-сжатие вдоль векторов а1, а2. В этом опыте тензор напряжений имеет вид Si = ^а1^1 — а2а2), а измеряемые компоненты тензора деформаций имеют вид

£11 = —£22 = t(C1111 — C1122), £33 = £12 = 0,

£13 = —2tC1123 sin 2р cos р, £23 = —2tC1123 sin 2р sin р.

Эти равенства справедливы с точностью, с которой выполняются измерения в эксперименте. Из выражений (5) угол р для тригонального материала определяется по формуле

ртр. = arctg Р3.

£13

Для определения угла р в случае тетрагонального материала достаточно

12

провести два эксперимента: растяжение-сжатие вдоль векторов а , а и сдвиг в плоскости этих векторов, который можно осуществить, выполняя растяжение-сжатие под углом П к направлениям а1, а2. В первом из этих экспериментов тензор напряжений Si = ^а1^1 — а2а2), а измеряемые компоненты тензора деформаций

£11 = —£22 = t [(C1111 — C1122) cos2 2р + 2C1212 sin2 2р] ,

£12 = t

Во втором опыте тензор напряжений имеет вид Sii = ^а1^2 + а2^1), а измеряемые деформации

£11 = —£22 = t(Cnn — C1122 — 2C1212) sin2р cos2р,

е12 = t [

Из выражений (7), (В) угол р для тетрагонального материала

определяется по формуле

р

т.

1 2е12

- arctg =---------—

4 е11 — ец

Ориентация канонических осей анизотропии относительно лабораторной системы координат определяется по найденному углу р (формулы (б) и (9) для тригонального и тетрагонального материалов соответственно) из соотношений k* = а*  Q, i = 1,2,3, то есть k1 = а1 cos р — а2 sin р, k2 = а1 sin р + а2 cos р, k3 = а3.

3. Определение положения канонических осей анизотропии в кубическом материале из механических макроэкспериментов

Материалы, относящиеся к кубическому классу упругой симметрии, в канонических осях анизотропии с базисом к1, к2, к3 имеют три независимые упругие константы и матрицу упругих податливостей [4-7, 12]:

Cx. =

/ C1111 C1122 C1122

C1111 C1122 C1111

V

0

0

0

C1212

0

0

0

0

C1212

0

0

0

0

0

C1212 /

При отыскании главных осей анизотропии по В.В.Новожилову оказывается, что кубический материал в качестве отклика на гидростатическое нагружение Б = —рЕ имеет чисто объёмные деформации е = 0Е. При этом главными осями анизотропии может быть произвольный триэдр а1, а2, а3, выбираемый в качестве лабораторной системы координат.

Взаимная ориентация векторных базисов й и к определяется ортогональным тензором поворота Р1 = , для компонент которого

выполняются тождества

222 511 + q21 + q31 = 1

2 2 2 2 2 2

q12 + q22 + q32 = 1 q13 + q23 + q33 = 1

511512 + 521522 + 531532 = 0, 511513 + 521523 + 5з15зз = 0,

512513 + 522523 + 532533 = 0.

Покажем, что для определения положения канонических осей анизотропии кг относительно осей лабораторной системы й достаточно провести два эксперимента на одноосное растяжение в лабораторной системе координат. В первом эксперименте Бї = Ій^а1, и измеряемые деформации

Є11 = І [ф1

Є22 = ^ [ф4

Єзз = і [фб

Єї2 = І [Ф7 (Сїїїї — (Сїї22 + 2Сї2ї2))] ,

Є13 = ^ [ф8

Є23 = ^ [ф9

где обозначено ф ї = 5^ + 5^ + ^, ^4 = 52ї52ї + + 92э92э,

фб = 5 2 ї5з ї + 5 22^32 + 5 2з9зз> Ф7 = 52 ї5 3 ї + 522532 + 52353з,

ООО ООО

ф8 = 53 15 11 + 532512 + 533513, Фо = 52 153 1511 + 522532512 + 523533513-Во втором эксперименте Б2 = ІЙ2Й2, и измеряемые деформации

Є11 = І [ф4

е22 = ^ [ф2

е33 = ^ [ф6

е12 = ^ [ф10

Є23 = І [фїї (Сїїїї — (Сїї22 + 2Сї212))] ,

Є13 = І [фї2 (Сїїїї — (Сїї22 + 2Сї212))] ,

где обозначено ф2 = 54ї + 542 + 543, ^4 = 52ї5Ії + 5225І2 + 5235І3,

Фб = 52ї5зї + 5І25І2 + 523533, Фїо = 5її53ї + 5ї2532 + 5ї3533,

о о о ООО

фїї = 531521 + 532522 + 533523, Фї2 = 511531521 + 512532522 + 513533523-

Для отыскания девяти компонент тензора Р1 используем шесть соотношений (11) и четыре независимых соотношения из (12), (13):

I [$7 (Спи — (С1122 + 2С1212))] = £12, t [фв (С1111 — (С1122 + 2С1212))] = ё13,

t [Q9 (C1111 — (C1122 + 2C1212))] = ^, t [Q10 (C1111 — (C1122 + 2C1212))] = £12-

Исключая из них множитель (Сцц — (C1122 +2C1212)), получим три уравнения относительно компонент тензора Q1:

9319и + q32^32 + 933<?33 = ^ (9219п + 922932 + 92393^ ,

£12

92 193 1921 + 9229329и + 923933923 =

£12

911921 + 912922 + 913923 = ^ (9219и + 922932 + 92393^ .

£12

Численное решение системы уравнений (11), (14) позволяет найти компоненты тензора Q1, то есть определить ориентацию канонической системы координат в кубическом материале относительно лабораторной системы координат по измеряемым в опытах деформациям.

В частном случае одна из главных осей анизотропии, определенных из эксперимента по всестороннему сжатию, может совпадать с канонической осью анизотропии, например, а3 = k3. При этом численное решение указанной системы (11), (14) не может быть получено.

В этом случае тензор поворота Q1 совпадает по форме с тензором Q (4), и ориентация канонических осей анизотропии k1, k2 по отношению к лабораторным осям а1, а2 определяется одним параметром — углом р. Тогда в обоих экспериментах по одноосному растяжению £13 = £23 = £13 = £23 = = 0. При растяжении образца вдоль вектора а1 в нем возникнут ненулевые деформации

£11 = Q1 (C1111 — (C1122 + 2C1212)) + C1122 + ^12^

£22 = Q4 (C1111 — (C1122 + 2C1212)) + C1122, £33 =

£12 = Q7 (C1111 — (C1122 + 2C1212)) ,

причем Q1 = cos4 р + sin4 р, Q4 = 2 sin2 р cos2 р, Q7 = sin р cos р cos 2р. Угол р определяется выражением

к. 1 . е22 — е33 _ч

Ч> = ~агС£—=---------.

2 е12

При совпадении векторов а3 и к3 угол рк. можно также найти по формуле (9) аналогично углу для тетрагонального материала из двух экспериментов на двухосное растяжение-сжатие в плоскости векторов а1, а2. В этих экспериментах нет необходимости измерять деформации вдоль третьей оси.

Если все три главные оси анизотропии определены в результате

эксперимента по всестороннему сжатию так, что они направлены вдоль канонических осей анизотропии, то при растяжении вдоль любой из

лабораторных осей поперечные деформации будут равны, а сдвиговые

деформации будут равны нулю.

Заключение

Из экспериментов по гидростатическому нагружению не представляется возможным различить тригональный, тетрагональный и гексагональный материалы, а также отличить кубический материал от изотропного. Для того, чтобы идентифицировать тригональный, тетрагональный и гексагональный материалы, необходимо определить их реакцию на нагружение девиатором напряжений в плоскости, ортогональной оси симметрии. Если реакция на такое нагружение инвариантна относительно любых поворотов вокруг этой оси, то материал гексагональный. Если в двух экспериментах с различной ориентацией лабораторных осей реакции на одинаковое нагружение разные, то материал тригональный или тетрагональный.

Реакции изотропного материала на нагружение девиатором напряжений одинаковы при любой ориентации лабораторной системы координат. Реакции кубического материала на одинаковые девиаторные нагружения изменяются при произвольном повороте лабораторных осей.

Для тригонального, тетрагонального и кубического материалов главные оси анизотропии материала, найденные в соответствии с определением В.В. Новожилова из эксперимента по объёмному деформированию или гидростатическому сжатию, могут не совпадать с каноническими осями анизотропии, в которых тензоры упругих констант материалов имеют простейший вид. Для указанных материалов требуется проводить дополнительные эксперименты: растяжение-сжатие для тригонального

материала, растяжение-сжатие в двух направлениях в одной плоскости для тетрагонального материала, растяжение в двух перпендикулярных направлениях или растяжение-сжатие в одной плоскости для кубического материала. Эти эксперименты позволяют определить положение канонических осей анизотропии.

Список литературы

1. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики: учебное пособие. М.: Наука, 1979. 640 с.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория упругости: учебное пособие. М.: Наука, 1987. 248 с.

3. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

4. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. 192 с.

5. Черных К.Ф. Нелинейная упругость (теория и приложения). СПб.: Изд-во Соло, 2004. 420 с.

6. Грин А.Е., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

7. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Процессы упругопластического конечного деформирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 374 с.

8. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

9. Ньюнхем Р.Э. Свойства материалов. Анизотропия, симметрия, структура.

М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт

компьютерных исследований, 2007. 652 с.

10. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

11. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Вариант определяющих соотношений нелинейной термоупругости для анизотропных тел // Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т. 44. № 1. С. 170-175.

12. Соколова М.Ю. Структурные тензоры анизотропии в пространстве А.А.Ильюшина // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7. Вып. 2. Механика. С. 173-178.

13. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Определение типа исходной анизотропии и распространение частного постулата Ильюшина на начально анизотропные материалы // Устойчивость, пластичность, ползучесть при сложном нагружении: сб. науч. трудов. Тверь: Изд-во ТвГТУ, 2000. В. 2. С. 66-71.

14. Соколова М.Ю., Христич, Д.В., Генералова Е.М. К вопросу об определении главных осей анизотропии // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. науч. конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. С. 300-301.

Христич Дмитрий Викторович (dmitrykhristich@rambler.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

On the problem of material main anisotropy axes identification

D. V. Khristich

Abstract. The analysis of main anisotropy axes definition given by V.V.Novozhilov is performed. It is shown that for some types of anisotropic materials this definition is necessary but not sufficient. The term «canonical anisotropy axes» is offered. Programs of experiments for identification of canonical anisotropy axes orientation in materials are developed.

Keywords: elasticity, anisotropy, material properties, program of experiments.

Khristich Dmitry (dmitrykhristich@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, lecturer, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 16.05.2014