Мера на булевых алгебрах

КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

Вестник Сыктывкарского университета.

Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 4 (25). 2017

УДК 517.981

МЕРА НА БУЛЕВЫХ АЛГЕБРАХ В. Н. Алексюк

Если на регулярных булевых алгебрах со счетной системой образующих имеется существенно положительная квазимера, то полные булевы алгебры с непрерывной внешней мерой нормируемы (в ZFC+CH).

Ключевые слова: булева алгебра, непрерывная внешняя мера, мера.

В заметке используются понятия из книги Д. А. Владимирова [1].

Пусть Е — непрерывная счетно-полная булева алгебра. Непрерывная внешняя мера на булевой алгебре Е — это функция f : Е ^ [0, то), равная нулю лишь в нуле этой алгебры, монотонная (если х < у, то f (х) < f (у)), непрерывная сверху в нуле (если последовательность элементов еп £ Е убывает к нулю, то f (еп) ^ 0), субаддитивная (если х, у £ Е, то f (х V у) < f (х) + f (у)). Аддитивная внешняя мера называется мерой.

В статье Д. Магарам [2, с.167] предложен следующий вопрос: «Каждая ли безатомная счетно-полная булева алгебра Е с непрерывной внешней мерой обладает мерой?».

В работе автором представлены следующие предложения на эту тему, имеющие место в теории множеств ZFC+CH.

Теорема. Если на любой регулярной булевой алгебре Е = Е(С), порожденной счетной подалгеброй С, имеется существенно положительная квазимера, то:

1. Любая непрерывная регулярная булева алгебра Е = Е(С) счетного веса нормируема.

2. Любая непрерывная счетно-полная булева алгебра Е(С) счетного веса с непрерывной внешней мерой нормируема.

© Алексюк В. Н., 2017.

76

Алексюк В. Н.

3. Каждая непрерывная полная булева алгебра E с непрерывной внешней мерой нормируема.

Проблема (в ZFC+CH). Каждая полная булева алгебра со строго возрастающей непрерывной внешней мерой нормируема.

Список литературы

1. Владимиров Д. А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969. 320 с.

2. Magaram D. An algebraic characterisation of measure algebras // Annals of Mathematics. 1947. V. 48. №1. P. 154-167.

3. Алексюк В. Н. Теорема о миноранте. Счетность проблемы Мага-рам // Математические заметки. 1977. Т. 21. №5. С. 597-604.

4. Владимиров Д. А. Теория булевых алгебр. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2000. 616 с.

5. Сикорский Р. Булевы алгебры. М.: Мир, 1969. 376 с.

Summary

Aleksyuk V. N. Measure on Boolean algebras

If measures exist on all regular Boolean algebras with a countable system of generators, then on complete Boolean algebras with continuous external (outer) measure there are measures (in the set theory ZFC+CH).

Keywords: Boolean algebras, the external (outer) measure, measure.

References

1. Vladimirov D. A. Bulevy algebry (Boolean algebras), M.: Izdatel'stvo «NAUKA», 1969, 320 p.

2. Magaram D. An algebraic characterisation of measure algebras, Annals of Mathematics, 1947, v. 48, №1, pp. 154-167.

3. Aleksjuk V. N. Teorema o minorante. Schetnost' problemy Magaram (The Minorant Theorem. The countability of the Magaram problem), Matematicheskie zametki, 1977, t. 21, №5, pp. 597-604.

4. Vladimirov D. A. Teorija bulevyh algebr (The theory of Boolean algebras), SPb.: Izdatel'stvo S.-Peterburgskogo universiteta, 2000, 616 p.

Мера на булевых алгебрах

77

5. Sikorskij R. Bulevy algebry (Boolean algebras), M.: Izdatel'stvo «MIR», 1969, 376 p.

Для цитирования: Алексюк В. Н. Мера на булевых алгебрах // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 4 (25). C. 75-77.

For citation: Aleksyuk V. N. Measure on Boolean algebras, Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, №4 (25), pp. 75-77.

СГУ им. Питирима Сорокина

Поступила 19.12.2017