О возникновении конвекции Марангони, вызванной локальным внесением ПАВ (теория)

О ВОЗНИКНОВЕНИИ КОНВЕКЦИИ МАРАНГОНИ, ВЫЗВАННОЙ ЛОКАЛЬНЫМ ВНЕСЕНИЕМ ПАВ

Р.В.Бирих

Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, Акад. Королева, 1

Рассматриваются разные теоретические модели концентрационной конвекции, возникающей при локальном внесении ПАВ под свободную поверхность жидкости. Предполагаются различные реологические своства поверхностной фазы, в том числе рассматривается нелинейная связь между напряжениями сдвига на поверхности жидкости и скоростью ее движения. В численном эксперименте получена зависимость интенсивности течения от времени и структура конвективного течения для разных граничных условий на верхней границе.

Ключевые слова: конвекция Марангони, временная задержка конвекции, поверхностная фаза, поверхностная вязкость, численный эксперимент.

ВВЕДЕНИЕ

Конвекция Марангони представляет собой движение жидкости, возникающее из-за наличия градиента поверхностного натяжения на границе жидкой фазы. Эти силы увлекают жидкость в направлении области с большим поверхностным натяжением, т.е., если разговор идет о концентрационной конвекции, к области с пониженным содержанием поверхностно-активных веществ (ПАВ).

© Бирих Р.В., 2009

Поскольку ньютоновские жидкости обладают нулевой силой трения покоя, то обычно предполагается, что их свободная поверхность приходит в движение при возникновении на ней сколь угодно малого градиента поверхностного натяжения. В то же время в ряде экспериментов с газовыми и жидкими включениями в неоднородный раствор ПАВ [1, 2] наблюдалась задержка в развитии конвекции: интерферограммы показывают отсутствие движения жидкости при наличии градиента ПАВ на межфазной поверхности. Подробно задержка в возникновении конвекции Марангони исследовалась в [3, 4], где измерялась пороговая концентрация ПАВ в капле, подводимой к свободной поверхности дистиллированной воды или водного раствора ПАВ с меньшей концентрацией.

В настоящее время существует несколько гипотез, объясняющих наличие концентрационного порога. Наиболее правдоподобная из них связывает наличие порога с существованием на поверхности воды пленки исходных поверхностно-активных веществ (неконтролируемых ПАВ), обусловленных недостаточной степенью очистки дистиллированной воды и осаждением паров и пыли на ее свободную поверхность. Такая пленка придает межфазной границе «бин-гамовские» свойства: движение поверхности начинается, когда поверхностная сила превысит некоторое предельное значение.

В работе предлагается теоретическая модель, реализующая задержку в возникновении конвекции Марангони за счет свойств поверхностной фазы.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

В представляемой простой математической модели будет показано, как различается структура конвективного движения в случае разных свойств межфазной поверхности.

Рассмотрим в двумерной постановке задачу о концентрационной конвекции в плоском горизонтальном слое со свободной верхней границей, под которой на некоторой глубине в начальный момент находится «облачко» растворимого ПАВ. Поверхностное натяжение на свободной границе о зависит от поверхностной концентрации ПАВ Г на ней: о = 00 - 01Г. Неоднородность поверхностного натяжения в такой системе вызывает конвекцию Марангони. Кроме того, ПАВ является легкой примесью, которая понижает плотность жидкости: р = р0(1 - ¡Зс). В поле тяжести неоднородность плотно-

сти жидкости приводит к возникновению гравитационной конвекции. Геометрия области показана на рис. 1.

Рис. 1. Схема расчетной области

Движение жидкости будем описывать в переменных: функция тока у, вихрь р и концентрация ПАВ с, используя приближение Буссинеска:

Эр Эу Эр Эу Эр . „ Эс ......

_г. + —т.—т—!1 = Др-Ог— , Ду = -р,

Эt Эг Эх Эх Эг Эх

Эс + ЭуЭс-ЭуЭс = &-,Дс Э? Эг Эх Эх Эг

Ог = g/C0Н3/п2, & = п/В .

Здесь безразмерные параметры - числа Грасгофа Ог и Шмидта $с - определены по глубине слоя Н , концентрации ПАВ в «облачке» С0 и характеристикам жидкости - в, кинематической вязкости V и коэффициенту диффузии В .

Все границы полости будем считать непроницаемыми для ПАВ. На нижней и боковых твердых границах ставятся условия прилипания жидкости. В принятых переменных эти условия имеют вид:

* = 0: у = о, У = о, ^ = о,

дг дг

х = ±I: у = 0, дУ = 0, — = 0.

дх дх

При формулировке граничных условий на свободной поверхности для большей ясности удобно вначале записать их в размерном виде, используя в качестве переменной вектор скорости. Размерные и безразмерные величины будем обозначать одинаковыми буквами, так как из текста будет ясно, о каких величинах идет речь.

Будем считать, что переход молекул ПАВ из объемной фазы на поверхность при г = к осуществляется адсорбционно-

десорбционными процессами, и граница слоя рассматривается как отдельная фаза с поверхностной концентрацией ПАВ Г. Закон сохранения вещества на границе объемной и поверхностной фаз может быть записан в виде:

- Б — = к с - к 1Г .

дг

Первое слагаемое в правой части уравнения (1.4) дает количество вещества, которое за счет адсорбции поступает в поверхностную фазу за единицу времени (к1 - коэффициент адсорбции), а второе -описывает обратный процесс (к-1 - коэффициент десорбции).

Закон сохранения вещества в поверхностной фазе запишем с учетом возможного конвективного переноса вещества вдоль фазы (вдоль оси х X поверхностной диффузии и обмена с объемной фазой:

дГ + д Г д 2Г Г

э? дХ 'Г) = Б^+к'с-к-'Г,

где Б, - коэффициент поверхностной диффузии.

Свободная граница слоя предполагается плоской, Vг = 0, уравнение для касательных напряжений запишем с учетом конечности массы поверхностной фазы и поверхностной диффузии импульса в виде [5]:

гГ^+V ¿О = „ ^-^ + ^

[ дГ  дх ) ’’ дх2 дг дх

Здесь г - объемная динамическая вязкость жидкости, г - поверхностная вязкость, величина которой зависит от касательного напряжения на поверхности г = к . Для простоты численной модели при вычислении поверхностной дивергенции от поверхностного тензора вязких напряжений мы пренебрегаем дилатационной поверхностной вязкостью и производной от вязкости по продольной координате.

Реологические свойства поверхностной фазы будем описывать, задавая вид функции г от касательного напряжения на межфазной поверхности. Упомянутые во введении эксперименты говорят, что при малых касательных напряжениях (малых градиентах концетра-ции ПАВ) поверхность остается неподвижной, т.е. ведет себя как твердая. При достижении касательными напряжениями некоторого порога Р0 квазитвердая поверхность разрушается, поверхностная вязкость резко уменьшается, и поверхностная фаза приходит в движение. Такие свойства поверхностной вязкости можно описать, например, следующей функцией:

Г = Г /{ехр[

Здесь Р - текущее значение касательного напряжения, ё - ширина области перехода от экстремально большого значения поверхностной вязкости Г¥ к минимальному ее значению г0. Переход между предельными значениями вязкости будет быстрым при малом значении ё по сравнению с Р0.

В начальный момент жидкость покоится, в ней отсутствует ПАВ (с = 0, у = 0, (р= 0), за исключением области внутри круга радиуса Г0 с координатами центра (0 , к / 2), в которой ПАВ распределен равномерно с концентрацией С0. Под влиянием архимедовой силы это облачко ПАВ будет подниматься к свободной поверхности и растекаться вдоль нее. Рассматриваемые растворы обладают малым коэффициентом диффузии, и концентрация ПАВ оказывается практически «вмороженой» в линию тока. Выход ПАВ на меж-

фазную поверхность, тем не менее, описывается диффузионным процессом. Когда на поверхности возникнет градиент концентрации ПАВ, может начаться конвекция Марангони. В приведенном ниже численном эксперименте делается попытка проследить за влиянием свойств поверхности на момент возникновения конвекции Марангони.

2. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД

Прежде всего, завершим формулировку задачи в безразмерных переменных. Уравнения (1.4) - (1.6), определяющие условия на верхней границе области (г = 1), если за единицу измерения поверхностной концентрации выбрать величину С0к , примут вид:

4 = Кас-КёГ ,

дг

^ + А

дt дх I дг ) I , дх

ВГГ= г11у -Щ.-8с-1Ма^ ,

^ дtдz дх дхдг) дх дг дг дх

а£0 к2

Ка = к1к / В, Кл = к-1к1 / В , В = С0 / р, Ма = -

ГВ

Здесь Гэ - безразмерная поверхностная вязкость, измеренная в единицах Гк , ее значение задается по-прежнему выражением (1.7), в котором параметры Г¥ и Г0 должны быть взяты в единицах Гк . Параметр В характеризует инерционные свойства поверхности. В расчетах В = 0.1. Безразмерные коэффициенты адсорбции и десорбции Ка и Кё из-за медленной диффузии имеют большие значения, порядка 104.

Уравнение (2.1) является граничным условием к уравнению диффузии (1.2), и в таком виде его трудно использовать в конечноразностной форме. Учитывая, что диффузия слабая и ПАВ перено-

сится конвективным потоком, граничное условие (2.1) запишем в виде:

г = 1: * = 0, дг

полагая, что поле концентрации формируется в условиях, когда процессы адсорбции и десорбции скомпенсированы.

Уравнение (2.3), которое определяет граничное условие для вихря при г = 1 , записывается в интересующих нас предельных случаях следующим образом:

1) свободная поверхность без эффекта Марангони,

д у

= -ф = 0,

дг2

2) свободная поверхность с эффектом Марангони,

дх

3) твердая граница,

г = 1: . = 0,

г

с использованием формулы Тома для конечноразностной записи условия для вихря.

Сформулированная нестационарная краевая задача (1.1) - (1.3), (2.1) - (2.3) решается методом конечных разностей на квадратных

сетках 80 х 80 -160 х160 по неявной схеме Кранка - Николсона в

половине области с условиями симметрии относительно линии х = 0. Решение уравнения Пуассона для функции тока находится методом последовательной верхней релаксации.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Для исследования влияния свойств верхней границы области на развитие и структуру концентрационной конвекции были проведены четыре численных эксперимента. Во всех расчетах значения числа Шмидта и числа Грасгофа принимались одинаковыми:

Бс = 1500 , Ог = 100 . В случае свободной поверхности расчеты проводились для двух значений числа Марангони, Ма = 0 и 107, при коэффициентах адсорбции Ка = 103 и десорбции Кл = 104. Параметры поверхностной вязкости, наиболее адекватно описывающие развитие концентрационной конвекции в эксперименте, оказались следующими: Т}¥ = 10, То = 1, ^ = 4 и Р0 = 100 .

На рис. 2 показана зависимость максимального значения функции тока (расход в конвективном вихре) от времени для четырех разных граничных условий на верхней границе. Начальные участки этих кривых показывают, что гравитационная конвекция развивается по-разному для свободной и твердой верхней границы. Кривая 4 для «бингамовской» поверхности хорошо ложится на начало кривой 3, описывающей конвекцию в условиях верхней твердой границы. В момент времени, немного превышающий две единицы, напряжения на границе достигают порога, и вспыхивает конвекция Марангони - кривая 4 приближается к кривой 2. Заметим, что интенсивность конвекции Марангони в этом случае оказывается заметно меньше.

Рис. 2. Изменение со временем максимального значения функции тока для разных моделей верхней границы: 1 - нулевая поверхностная вязкость, Ма = 0 ; 2 - нулевая поверхностная вязкость, Ма = 107; 3 - твердая поверхность; 4 - поверхность с «бингамовскими» свойствами, Ма = 107

Рис. 3 иллюстрирует изменение со временем распределения концентрации ПАВ (изолинии концентрации на левом рисунке кадров) и структуры движения (изолинии функции тока на правом рисунке кадров) для четырех разных условий на верхней границе полости.

Рис. 3. Изолинии концентрации ПАВ (левый рисунок в кадре) и изолинии функции тока (правый рисунок) для разных условий на верхней границе жидкости: а - нулевая поверхностная вязкость, Ма = 0 ; б - нулевая поверхностная вязкость, Ма = 107; в - твердая поверхность; г - поверхность с «бингамовскими» свойствами, Ма = 107

В момент времени t = 1.0 концентрационное облачко не достигает верхней границы, и во всех случаях наблюдается еще чисто гравитационная конвекция. Однако в случае свободной границы (а и б) изолинии функции тока наиболее близко приближаются к поверхности, обеспечивая более быстрый вынос ПАВ на поверхность. В момент времени t = 1.6 ПАВ выносится на поверхность, и при Ма Ф 0 возникает конвекция Марангони - второй кадр серии б. Третий кадр этой серии (t = 2.1) демонстрирует развитую конвек-

цию Марангони, при которой из-за интенсивного поверхностного течения концентрация ПАВ выравнивается вдоль всей верхней границы.

Для поверхности с бингамовскими свойствами в момент t = 2.1 конвекция Марангони не наблюдается, а распределение ПАВ и структура движения такие же, как в случае твердой границы (третий кадр серии в). Движение поверхности начинается при t = 2.3 и достигает максимальной интенсивности к моменту t = 3.1.

Структура этого развитого движения Марангони для жидкости с поверхностью, обладающей «бингамовскими» свойствами, показана на последнем кадре серии г.

Заключение. Предложена и в численном эксперименте опробована модель поверхностной фазы, описывающая задержку в возникновении конвекции Марангони при локальном подведении ПАВ к поверхности из объема жидкости. Поверхностной фазе приписываются «бингамовские» свойства, что обеспечивает задержку в возникновении конвекции по сравнению с обычной свободной поверхностью жидкости. Подобраны параметры реологического уравнения, обеспечивающие качественное описание поведения водных растворов ПАВ. Для Ма = 107 задержка вспышки конвекции Марангони происходит почти на единицу вязкого времени и интенсивность ее заметно ниже. Поверхность жидкости ведет себя как твердая, и наблюдается только гравитационное растекание «облачка» ПАВ, если значение числа Марангони ниже некоторого порогового.

Работа выполнена при финансовой поддержке проекта РФФИ № 09-01-00484 и Интеграционного проекта СО, УрО и ДВО РАН № 116.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бирих Р.В., Зуев А.Л., Костарев К.Г., Рудаков Р.Н. Конвективные автоколебания вблизи поверхности пузырька воздуха в горизонтальном прямоугольном канале// Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 4. С. 30-38.

2. Бушуева К.А., Денисова М.О., Зуев А.Л., Костарев К.Г. Возникновение течения у поверхности пузырьков и капель в градиентном растворе поверхностно-активной жидкости // Коллоидный журнал. 2008. Т. 70. № 4. С. 457-463.

3.Денисова М.О._ Экспериментальное исследование развития концентрационной конвекции Марангони // Материалы Всерос. конференции молодых ученых (с международным участием) "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 5Ш7 декабря 2007 г.). Пермь, 2007. С. 166-169.

4.Денисова М.О., Костарев К.Г. Определение условий развития концентрационно-капиллярной конвекции, вызванной локальным внесением ПАВ // Труды XVI Зимней школы по механике сплошных сред (механика сплошных сред как основа современных технологий) [Электр. ресурс]. Пермь: ИМСС УрО РАН, 2009. 6 с. (CD).

5. Братухин Ю.К., Макаров С.О. Межфазная конвекция. Пермь: Изд-во ПГУ, 1994. 328 с.

ON THE MARANGONI CONVECTION INITIATED BY LOCAL INJECTION OF A SURFACTANT

R.V. Birikh

Abstract. The paper considers different theoretical models of so-lutal convection caused by local injection of a surfactant under the free surface of a fluid. The models take into account various rheological properties of the surface phase including a nonlinear relation between the shear stress at the fluid surface and the fluid velocity. Numerical simulations have been carried out to derive the dependence of the flow intensity on time and structure of the convective flow for different boundary conditions at the upper surface.

Key words: Marangoni convection, time of delay in the development of the convection, surface phase, surface viscosity, Numerical simulations.