Течение вязкой жидкости на волнистой поверхности скользящего крыла

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И ТОм I 19 7 0

№ 6

УДК 533.6.011.34:629.7.025.1 532.526.2.011.6

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ НА ВОЛНИСТОЙ ПОВЕРХНОСТИ СКОЛЬЗЯЩЕГО КРЫЛА

В. А. Баринов, А. В. Зубцов

Задача об обтекании волнистой пластины потоком вязкой жидкости рассматривалась в работах [1] и [2]. В настоящей статье исследуется влияние волнистости поверхности на обтекание скользящего крыла. Задача решается для малых длин волн в предположении, что амплитуда волны намного больше толщины пограничного слоя. В этом случае решение задачи распадается на невязкое решение и решение уравнений пограничного слоя. Показано, что возмущения, вызванные волнистостью в невязком потоке, проявляются в очень тонкой пристеночной зоне, толщина которой порядка длины волны. При этом невязкое решение для возмущений в окрестности каждой точки поверхности совпадает с решением для некоторой эквивалентной волнистой пластины, обтекаемой идеальным потоком со скоростью, равной местной скорости невозмущенного течения.

Приводится пример численного расчета трехмерного пограничного слоя на скользящем крыле. Результаты расчета показывают, что волнистость поверхности может вызвать существенное изменение характеристик динамического пограничного слоя и перераспределение тепловых потоков на поверхности крыла.

Рассмотрим обтекание скользящего крыла потоком вязкой несжимаемой жидкости. Пусть \/0 — скорость потока на бесконечности, а а и р — соответственно угол атаки и угол скольжения крыла. Будем считать, что контур С каждого сечения, нормального к передней кромке крыла, образован путем наложения колебаний большой частоты на исходный контур С (фиг. 1) по закону

" ОтгС

Я'£ == еХЛ

где «£ — расстояние, отсчитываемое от контура С по нормали к нему; X — длина волны заложенных колебаний, Х<С1; в — длина дуги контура С, отсчитываемая от критической точки;

«-С1, Л(8)~0(1), ^ 0(1), 4£~0(1).

Линейные размеры I, s, как и все линейные размеры, встречающиеся далее, отнесены к ь — длине хорды сечения.

у ^

Для больших чисел Re — —2—>1 всю зону течения можно

разбить на невязкую область, где течение описывается уравнениями Эйлера, и вязкую, где движение жидкости подчиняется уравнениям Прандтля. В настоящей статье рассматривается случай, когда амплитуда волнистости намного больше толщины пограничного слоя: еХ>8. Это позволяет исследовать влияние волнистости

поверхности на идеальное обтекание крыла без учета толщины пограничного слоя. Так как условия на бесконечности и форма поверхности не зависят от координаты z, то задача об идеальном обтекании скользящего крыла, как известно, сводится к задаче плоского обтекания профиля С потоком жидкости, имеющей скорость V0 cos р. Безразмерная функ-ip-

ция тока ф = -¡тут— идеального тече-

ния удовлетворяет ловиям

следующим

bV о

уравнениям и

граничным ус-

у2 ф 0;

ф =0 на контуре; ф -*_у cosp cos а (при х3 -\-y"t — оо); ф cos Р (у cos а — х sin а).

Будем считать, что решение системы уравнений (2) для случая, когда обтекается профиль С, известно. Обозначим это решение через ф0. Решение исходной задачи будем искать в виде

Ф — Фо + 'h-

Граничные условия для функции ф, будут иметь вид

"Фх

ф,-.

дп

0 (при х2

Пс= — (S) U0 е (s) C0S

У2 -> оо),'

2tcs

где и0 е (я) — скорость, касательная к контуру С, определяемая из основного решения.

Определим условия, при которых граничное значение для ф^ лолученное на контуре С, можно перенести на контур С. Представим ф! (С) в виде '

Фх

где Дфі — приращение функции при переходе с контура С на

контур С. Из равенств (6) и (4) следует

фі (С) — —еХ«0е А соэ ( 1 + ^

Таким образом, при условии

Д*1— « 1 (7>

и0еп-с ' 7

имеет место соотношение

__ О-тго

Ф,

Далее, найдя решение для ф,, покажем, что при достаточно малых є неравенство (7) справедливо. Введем криволинейную систему координат (s, п), связанную с контуром С[3]. Коэффициенты Ламэ для этой системы координат имеют вид •

И'=1 + Ш> н* =

где p(s)—радиус кривизны профиля крыла.

Уравнения для определения функции ^ в координатах (s, п) будут иметь вид

, дп \ н, дз ,

-‘а.......~ + - * =0' (9>

2тгс

ф) = — еХи0 е

Рассмотрим вначале частный случай задачи, когда Л(«)=1, а контур С есть круг радиусом г0. Используя метод Фурье, нетрудно получить точное решение задачи:

-1 _ Фі--------2-(1 + я) х

1 + и + sin ( + ео) cos Х^-

1 \ 2тг0"

1 + п — Z----- I COS (6 4- 60) sin •

It-И X

где 6 =-Г , — «

го

Из выражения (12) видно, что затухание функции определяется в основном членом, стоящим перед квадратной скобкой,

2п

(1 + п) х. Его величина уменьшается в е раз при п Х/2к, поэтому толщина зоны, в которой проявляются возмущения, вызванные вблнистостью, является величиной порядка — Х/2тс. В этой зоне, так как при Х<1 имеет место

2«

(1 + л) х - ^ + 2í/x ] ~г-л' = е х ,

решение (12) можно представить в виде

- — o_Q

~ — sle х sin (0 + во)cos -у- •

Асимптотическое поведение функции Ф[ при 1 можно представить в виде

еХ -2^+1 Ь------тп х

эШ (9 + 0О) соэ — сое (0 + 0О) ЭШ

Для случая, когда профиль С не является кругом, естественно считать, что толщина зоны, где появляется действие волнистости, является также величиной порядка ~Х/2тс. Этот же результат можно получить, исходя из оценок порядков членов уравнения (9). Обозначим через Д характерный размер, определяющий расстояние по координате п, на котором практически происходит затухание функции Очевидно, для выполнения граничных условий (10), (11) порядок члена, содержащего вторую производную от ^ по п, должен в области Д быть больше или равным порядку члена, содержащего вторую производную от <1»! по в.

Так как функция ^ является гармонической и затухает на бесконечности, то в силу принципа максимума порядок величины д2'Ъ^д8г в области Д будет определяться порядком этой величины на контуре С. Таким образом, должна иметь место оценка

п

дп2

1+т

М£)

Д2

1

4тга

-¿-Ь

^2лД

2п:Р )

> I.

Из неравенства (13) при условии, что Х<£р, получается оценка порядка зоны Д:

А<т.-- <14>

В силу неравенства (14) коэффициенты Ламэ можно принять равными единице, и уравнения, описывающие течение в области Д, принимают вид

дЧ, <?2ф, дп2 ~1г

= 0;

<!», = — гХ«0 е (в) А («) сое

2тг5

(при п = 0);

4»! -* 0 (при п -» оо).

Нетрудно проверить, что решение системы (15) с точностью до членов порядка гХ2 можно представить в виде

21гв

2 пп

' Т~

Из решения (16) следует, что для выполнения неравенства (7), справедливость которого мы предположили вначале, необходимо потребовать, чтобы 2тсе <$; 1. Следует отметить, что при X 0 вблизи поверхности крыла всегда существует тонкий слой ~ X, в котором возмущенные скорости и их производные могут существенно отличаться от соответствующих невозмущенных величин, т. е. полученное решение не является равномерно непрерывным поя при X-* 0.

Появление такой зоны неоднородности в задаче идеального обтекания, вообще говоря, можно объяснить тем, что в условие задачи вошел малый параметр X, являющийся отношением двух длин: длины волны к длине хорды.

Уравнения пограничного слоя для скользящего крыла в координатах, связанных с контуром С, имеют вид

ии’+ ъип= иеК5 + Шп^

: V

иге/ + = v'гг;"a;

тю = 0 (при п -

;0);

и -> ие, ни -> \/0з1пр (на верхней границе слоя).

Значения величин ир и и'е$ определяются из формул (3) и (16) и приближенно имеют вид:

1

г. Л \

2тсе А соб —— 1 ;

Из уравнений пограничного слоя и выражений (20) и (21) нетрудно видеть, что влияние волнистости поверхности на пограничный слой сказывается через изменение характеристик невязкого потока и, главным образом, через изменение градиента давления. Изменение величины градиента можно охарактеризовать величиной I = (4я2а)/Х, которая при малых X может быть величиной порядка или больше единицы. Таким образом, малые возмущения в профиле крыла могут вызвать значительное изменение характеристик пограничного слоя. Отметим, что при X0 и фиксированном значении $

величина t неограниченно возрастает, что может привести к отрыву пограничного слоя непосредственно в области носка крыла. Для того чтобы на крыле существовала зона безотрывного обтекания, где применимы результаты работы, необходимо наложить требования на X и е так, чтобы величина t была ограниченной.

Для примера численного расчета взято характерное распределение скорости на внешней границе слоя, представленное на фиг. 2. Решение системы уравнений пограничного слоя (17)—(19), зависящих от двух переменных, проведено численным методом [4] на ЭЦВМ М-20 при следующих значениях параметров: р = 35°, А=—1, Х = 0,04, £ = 0; 0,0005; 0,001; 0,002, что соответствует значениям t = 0; 0,5; 1,0; 2,0.

На фиг. 3 представлена зависимость величины трения от координаты я.

Волнистость поверхности вызывает существенное изменение значений трения на стенке и способствует отрыву пограничного

слоя. Трехмерность течения в пограничном слое можно характеризовать максимальным значением скорости шах в направлении, нормальном к внешней линии тока.

На фиг. 4 показано влияние амплитуды волнистости на поведение значений Илгтах вдоль оси «. Так как при Рг= 1, решение урав-

нения теплопроводности эквивалентно решению уравнения (18), то легко получить значения температур Т(в, п) в пограничном слое и тепловых потоков ^(я), зная решение системы (17)—(19).

На фиг. 5 построено значение числа Нуссельта Ыи = -т~

1 цц I е К

(Т9, Те — соответственно температура на стенке и на границе

пограничного слоя, к, — коэффициент теплопроводности) в зависимости от координаты Из этого графика видно, что волнистость может вызвать заметное перераспределение тепловых потоков на поверхности крыла.

Таким образом, результаты расчетов показывают, что для случая єХ >о волнистость поверхности вызывает изменение характеристик течения как в идеальном потоке, так и в пограничном слое.

В заключение авторы выражают благодарность А. Д. Хонькину за обсуждение работы и ряд ценных замечаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Р г е t s с h Т. Die Stabilität einer ebenen Laminarströmung bei Drückgefälle und Drückanstieg. .Jahrbuch 1941 der deutschen Luftfahrtfor-schung\ S. 158—175.

2. СопруненкоИ. П. Пограничный слой на слабо волнистой стенке. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, № 2, 1962.

3. К о ч и н H.' E., К и бель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. II, гл. II, § 29. М., Физматгиз. 1963.

4. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. Сб. „Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы*. М., „Наука“, 1964.

Рукопись поступила 21/1 1970 г.

6 Ученые записки № 6