Модификация модели накопления повреждений Lemaitre дополнением функции учета локальной многоосности нагружения при нелинейном деформировании

УДК 620.171.3

Модификация модели накопления повреждений Lemaitre дополнением функции учета локальной многоосности нагружения при нелинейном деформировании

А.В. Туманов

Институт энергетики и перспективных технологий, Федеральный исследовательский центр «Казанский научный центр Российской академии наук», Казань, 420111, Россия

Предложена модификация модели накопления повреждений Lemaitre, основанная на внедрении в нее функции, чувствительной к параметру Лоде. Модифицированная модель интегрирована в программный комплекс расчетов методом конечных элементов в виде динамически подключаемой пользовательской библиотеки. Модель позволяет учесть изотропное упрочнение на основе экспоненциальной модели Voice и кинематическое упрочнение на основе модели Armstrong-Frederick. Проведен численный анализ методом конечных элементов и получены диаграммы предельных состояний для трех типов экспериментальных цилиндрических образцов: образец на сжатие при дополнительном внешнем давлении, образец с кольцевой выточкой при одноосном растяжении и полый цилиндрический образец при совместном действии растяжения, кручения и внутреннего давления. Рассмотрены преимущества и недостатки предлагаемой модели. Даны рекомендации в выборе параметров модели для прогнозирования предельных состояний при многоосном нагружении.

Ключевые слова: накопление повреждений, многоосное нагружение, сложное напряженное состояние, модель Lemaitre, модель Armstrong-Frederick

DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_3_105

Modification of the Lemaitre damage model by a local multiaxial stress state function

A.V. Tumanov

Institute of Power Engineering and Advanced Technologies, Federal Research Center "Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences", Kazan, 420111, Russia

A modification of the Lemaitre damage model is proposed based on the introduction of a function sensitive to the Lode parameter. The modified model is imported into the ANSYS software as a dynamically linked custom tag library. The model takes into account isotropic hardening based on the exponential Voice model and kinematic hardening based on the Armstrong-Frederick model. Limit state curves are obtained by numerical finite element analysis for three types of experimental cylindrical specimens: a compression specimen under additional external pressure, a circular-notch specimen under uniaxial tension, and a hollow cylindrical specimen under combined tension, torsion, and internal pressure. The advantages and disadvantages of the proposed model are considered. Recommendations are given for choosing model parameters to predict limit states under multiaxial loading.

Keywords: damage accumulation, Lemaitre damage model, multiaxial stress state, complex stress state, Armstrong-Frederick model

1. Введение

Основные принципы механики повреждений были заложены в работах Л.М. Качанова [1] и Ю.Н. Работнова [2]. Образование и рост пор при-

водят к их объединению, что, в свою очередь, обуславливает накопление и рост повреждений, особенно при повышенных температурах и при ползучести. Модели, описывающие процессы на-

© Туманов А.В., 2023

копления повреждений в твердых телах, предоставили возможность обобщить процессы механики разрушения на различных структурных уровнях: от инициации разрушения, вызванного ростом и объединением пор на микроуровне [3-5], до разрушения тела при достижении макротрещины критических размеров [6]. По мере развития представлений появилась возможность учета влияния вида напряженно-деформированного состояния материала и анизотропии свойств в моделях развития и накопления повреждений.

Существует два основных подхода к моделированию поведения изначально изотропной неповрежденной среды, которая в процессе деформирования приобретает анизотропию свойств. В первом случае скалярная мера повреждений заменяется тензором второго или четвертого ранга [712]. Это приводит к тому, что моделируемая виртуальная пора в бесконечно малом объеме имеет различную площадь поперечного сечения в трехмерном пространстве. Как следствие, скорость накопления повреждений в различных направлениях будет отличаться. К преимуществам данного подхода можно отнести точную математическую формулировку, однако существует ряд нерешенных вопросов в методиках и алгоритмах определения параметров кинетических уравнений накопления повреждений для моделей на основе тензорных мер поврежденности. Во втором случае кинетические уравнения скорости накопления повреждений, основанные на скалярных мерах поврежденности, дополняются функциями учета локального напряженно-деформированного состояния [13-19]. Данный феноменологический подход позволяет инкорпорировать в кинематические уравнения накопления повреждений функции, описывающие диаграммы предельных состояний при многоосном нагружении в явном виде. К преимуществам этого метода можно отнести отсутствие необходимости в разработке новых алгоритмов определения параметров моделей, характеризующих свойства материала в оговоренных условиях. Одним из основных недостатков таких моделей является проецирование диаграммы предельных состояний, полученной на экспериментальных образцах, на локальное многоосное нагружение в бесконечно малом объеме. Для получения удовлетворительных результатов численных расчетов это часто приводит к необходимости корректировки параметров моделей, которые изначально должны были выступать свойствами материала.

Следует отдельно выделить современные тенденции в моделировании разрушения на основе физики процессов межатомного взаимодействия [20-25]. Данные методы имеют очень широкие перспективы применения, однако в настоящее время они сильно ограничены требованиями к вычислительным ресурсам оборудования.

Аналитические исследования механизмов пластического разрушения при многоосном нагруже-нии тесно связаны с критериями, определяющими предельное состояние. В качестве критериальной величины изначально рассматривались максимальные главные напряжения и касательные напряжения [26, 27]. По мере развития механики сплошной среды в качестве критериальных характеристик стали выступать интегральные функции, например плотность энергии деформации [28-30]. Наиболее полное описание путей развития критериев разрушения в XX веке можно найти в монографии [31]. Чаще всего критерии того времени были функциями одного или двух инвариантов тензоров главных напряжений. В современной литературе предпочтение отдается тем критериям, функции предельного состояния в которых включают в себя все три инварианта тензора напряжений [13, 32-39].

Целью данной работы является создание и численная реализация в программных комплексах расчетов методом конечных элементов обобщенной модели, описывающей изотропное и кинематическое упрочнение при нелинейном деформировании, накопление повреждений на основе скалярной меры поврежденности, а также изменение предельных характеристик сопротивления разрушению при сложном напряженном состоянии.

2. Модельные представления

В качестве опорного материала для фиксации параметров, вложенных в обобщенную модель уравнений, рассматривается алюминиевый сплав Д16Т. Следует отметить, что все константы материала в данной работе были получены при монотонном статическом деформировании.

2.1. Изотропное упрочнение

При выборе модели изотропного упрочнения, описывающей диаграмму одноосного растяжения, рассматривалась совокупность двух факторов. Первый — это минимизация среднестатистического отклонения экспериментальных данных от аппроксимирующей функции на стадии упроч-

нения. Вторым фактором являлось совпадение касательных аппроксимирующей функции и экспериментальных данных в точке начала пластического деформирования. Такой подход обусловлен тем, что в точке перехода от упругого к пластическому деформированию можно пренебречь функцией накопления повреждений при определении параметров обобщенной модели. На этих участках диаграммы одноосного растяжения для алюминиевого сплава Д16Т экспоненциальный закон изотропного упрочнения дает лучшее совпадение с экспериментальными данными, нежели степенной. В связи с этим при численном моделировании в качестве аппроксимирующей функции диаграммы одноосного растяжения была выбрана экспоненциальная модель Voice:

с y =с0 + tfinf[l - exp(-ys p)^

где Sp — пластические деформации; о0 — предел текучести материала; Rinf — асимптотический предел временного сопротивления; у — показатель упрочнения материала.

2.2. Кинематическое упрочнение

Одной из самых распространенных моделей, описывающих смещение центра поверхности текучести, является модель Chaboche [40]. Эволюция обратных напряжений в данной модели реализуется через суммирование трех кривых, каждая из которых описывает разупрочнение, стабильный цикл и упрочнение соответственно. Данная модель позволяет добиться очень хорошего совпадения ширины петель упругопластического гистерезиса при численном моделировании циклического нагружения. К преимуществам данной модели можно отнести возможность контролирования ширины участков упрочнения и разупрочнения изменением параметров модели. Альтернативой данной модели является не менее распространенная модель Armstrong-Frederick [41], в которой эволюция обратных напряжений описывается кинематическим уравнением

. 2

Р=-J °Asp -6Psp

где в — обратные напряжения; а и Ь — константы материала; вр — пластическая деформация; Авр — приращение пластической деформации. В этом случае форма пространственной кривой эволюции обратных напряжений является предопределенной. Это приводит к тому, что при численном моделировании процессов кинематического упрочнения на некоторых участках общего диа-

пазона циклического нагружения наблюдается расхождение полученных петель гистерезиса с экспериментальными данными. В современной литературе широко используется модификация модели Chaboche, в которой первый член заменен кинематическим уравнением Armstrong-Frederick. Сравнительным преимуществом модели Armstrong-Frederick является необходимость определения всего двух констант материала против шести в модели Chaboche. В целях минимизации общего количества параметров, характеризующих свойства материала обобщенной модели, в данной работе было отдано предпочтение оригинальной модели Armstrong-Frederick.

2.3. Накопление повреждений

В качестве модели накопления повреждений была выбрана классическая модель Lemaitre. Скорость накопления повреждений со в данной модели является функцией скорости приращений пластических деформаций у и скорости высвобождения энергии деформации поврежденного материала Y [3]:

. . 1 (-Y' со = у-

1 -ю

-Y = -

1

2

2 Cj

:[D]-1: с„ =

Cq Rv

2E (1 -ю)2

Rv=I

f Y

V Ceq у

где Е — модуль упругости; V — коэффициент Пуассона; г, т — параметры повреждений, характеризующие материал; В — матрица жесткости; Оу — тензор напряжений; — функция перехода от одноосного к многоосному нагружению; от = (о1 + о2 + о3)/3 — гидростатическое напряжение; ОеЧ — эквивалентные напряжения по Мизесу. Отношение И = от/оед называют коэффициентом трехосности. Таким образом, в данной модели автоматически происходит учет влияния первых двух инвариантов тензора напряжений при переходе от одномерной к трехмерной задаче.

Если условно рассматривать меру поврежден-ности ю как пористость материала, то параметры г, т будут характеризовать то, насколько существующие поры ускоряют процесс появления новых пор и рост уже существующих. В математическом смысле данные параметры являются константами степенного уравнения, описывающего эволюцию поврежденности, где г — ампли-

тудный коэффициент; т — показатель степени. Константы материала г, т определяются из испытаний при статическом или циклическом нагру-жении в зависимости от моделируемого в численных исследованиях процесса [42].

2.4. Локальное многоосное нагружение

Как уже отмечалось ранее, в современной литературе наибольшей популярностью при описании предельных состояний пользуются критерии, являющиеся функциями всех трех инвариантов тензора главных напряжений. Это связано с тем, что критерии многоосности, функции которых зависят только от параметра трехосности, не могут удовлетворительно описать диаграмму предельных состояний. В работах [32, 39] продемонстрировано, что сочетание параметра трехосности и параметра Лоде может однозначно идентифицировать вид многоосного нагружения. Следует отметить, что в данной работе используется формулировка параметра Лоде, отличающаяся от классической, а именно:

ь = -соБ(3еь) = 271/3

2а

ес1

где 0Ь — угол Лоде; /3 = а1а2а3 — третий инвариант тензора напряжений. Связь с классической формулировкой параметра Лоде ^=(2о1 - а3 - о2) х

(о3 - о2) 1 выражается в следующем виде [43]:

Ь =

Ц

2+3)3

На рис. 1 показана зависимость главных напряжений от параметра Лоде при различных коэффициентах трехосности. При значении пара-

метра Ь = -1 напряженное состояние осесиммет-рично с одним положительным и двумя отрицательными главными напряжениями (осесиммет-ричное растяжение). С другой стороны, при Ь = 1 напряженное состояние тоже осесимметрично, но с двумя положительными и одним отрицательным главными напряжениями (двухоосное растяжение с осесимметричным сжатием). Данные два вида напряженного состояния приведут к абсолютно разным процессам накопления повреждений при одинаковых коэффициентах трехоснос-ти. Также следует отметить, что при увеличении/ уменьшении параметра трехосности И происходит смещение данной диаграммы как жесткого целого вверх/вниз. Таким образом, сочетание параметра трехосности и параметра Лоде позволяет покрыть весь возможный диапазон видов напряженного состояния.

Хие предложил функцию зависимости предельных деформаций от угла Лоде при монотонном статическом деформировании в следующем виде [16]:

Г \\к

г (еь) = (1 -ю

РХ=0.5

д=0 '

1 =

$1

где $ — девиаторные напряжения; к — параметр формы кривой; X — свойство материала, выраженное через отношение предельных деформаций при % = 0.5 к предельным деформациям при %=0 в условиях одинакового гидростатического давления.

Рис. 1. Зависимость безразмерных главных напряжений от параметра Лоде, И = 0

й-

Рис. 2. Зависимость/от параметра Лоде Ь, X = 1.0

3. Модификация модели накопления повреждений

3.1. Функция учета локального многоосного состояния

В данной работе предлагается в обобщенной модели накопления повреждений, учитывающей изотропное (1) и кинематическое упрочнение (2), дополнить функцию накопления повреждений Ьешакге (3) функцией вида напряженного состояния (8). Исходя из допущения о том, что эффекты локальной многоосности влияют только на скорость высвобождения энергии деформации, кинематическое уравнение накопления повреждений предлагается записать в следующем виде:

Г х. \т

со = у

1

1 -ю

-У г/

где функция учета локальной многоосности /(Ь) получена подстановкой (6) в (8):

/

/ / \ \

2 27 3з 1

—агееоз аз.

п 2

V V С4УУ

Такое допущение не противоречит принципам механики сплошной среды, однако для получения удовлетворительных численных результатов может потребовать существенной корректировки параметров кинематического уравнения накопления повреждений, полученных по стандартным методикам.

На рис. 2 представлены значения функции учета локальной многоосности от параметра Лоде.

При значениях Ь < 0.5 данная функция будет редуцировать скорость накопления повреждений, а при Ь> 0.5 — увеличивать. В работах [16, 38] предлагается рассматривать зависимость много-осности (8) только от абсолютных значений угла Лоде. Преимущества такого подхода в том, что мы можем использовать произвольный показатель степени к. В настоящей работе предлагается значения данного параметра выбирать из ряда к = 1/5, 1/3, 1, 3, 5, ... . Избавление от модуля в знаменателе функции хотя и ограничивает выбор значений параметра к, однако дает возможность учесть разницу предельных состояний при растяжении и сжатии. При четных значениях параметра к функция будет иметь вид параболы к-го порядка с фокусом на оси ординат и будет чувствительна только к абсолютным значениям соотношения главных напряжений.

3.2. Численная реализация

Совокупность модельных представлений, описанных выше, приводит к следующей системе разрешающих уравнений:

Аф = ^ - а0 - Е^ [1 - ехр(-у(вр + Дг^))] = 0,

4 -Дг? - '

1 -ю

Аа = а у - (1 -ю)[ В ]:

ле=Р„ -Рсу -Дер4

Аю = ю-ю0 --

Л

з аа

2(1-ю)а

= 0,

2(1-ю)а

Ь

е4

е4

= 0,

1

' -У ^

1 -ю

Д8р4 =0.

V г/ (Ь),

На каждой итерации расчета методом конечных элементов ищется решение системы уравнений (13). Для этого система линеаризуется с помощью разложения в ряд Тейлора без учета членов более высоких порядков. Если записать внутренние переменные, от которых зависят уравнения (13), в виде х =/(оу, ю, Авр, в), то итерационный процесс Ньютона-Рафсона можно упрощенно представить следующем образом:

А( х') =

/ 1 Л л-1

дА

дХ

: А

'-ь

Х

Х''-1 - [ 3 ]-1: А(х'-1),

0,

где 3 = дА/дх — матрица Якоби.

Таблица 1. Параметры модели

Е, МПа V о02, МПа У МПа а, МПа Ь, МПа г т X к

75 000 0.3 430 1.1 2800 2500 20 1.1 1 1.2 1

Таблица 2. Условия нагружения цилиндрического образца на сжатие

Таблица 3. Цилиндрический образец с кольцевой выточкой при растяжении

оп, МПа п И ^ес

-191.5 -2.00 0.320 0.0637

-293.5 -1.00 0.160 0.0683

-395.0 -0.50 0.000 0.0704

-471.0 -0.25 -0.128 0.0689

-575.0 0.00 -0.320 0.0639

-717.0 0.25 -0.640 0.0497

-958.0 0.50 -1.280 0.0289

4. Численные расчеты

Система разрешающих уравнений (13) была интегрирована в программный комплекс для расчетов методом конечных элементов А^УБ в виде подключаемой динамической пользовательской библиотеки для трехмерных задач. Для покрытия диаграммы предельных деформаций в диапазонах трехосности -1 < И < 1 рассматривались три варианта геометрии образцов: цилиндрический образец на сжатие с внешним давлением (рис. 3, а), цилиндрический образец с кольцевой выточкой (рис. 3, б) и полый тонкостенный цилиндрический образец (рис. 3, в).

При моделировании полного разрушения для получения сходящихся решений в вышеописанную модель необходимо интегрировать корректирующие функции учета геометрии конечного элемента. В связи с этим полное разрушение образца не моделировалось. За начало разрушения принималось достижение в любой точке расчетной схемы критического значения параметра поврежден-ности юс = 0.1 [6, 42]. Такой подход приводит к существенному занижению значений предельных деформаций, но позволяет соотносить их абсо-

Яс, мм оп, МПа И ^ес

0.0 600.0 0.550 0.0518

5.0 350.0 0.560 0.0637

10.0 164.0 0.160 0.0683

12.5 83.9 0.000 0.0704

15.0 34.8 -0.128 0.0689

Рис. 3. Геометрия образцов

лютные величины качественно. Параметры моделей, используемые в расчетах в качестве свойств материала, приведены в табл. 1.

Для цилиндрического образца на сжатие варьировалось соотношение приложенных нагрузок к свободным поверхностям п = о^/оу (рис. 3, а). Высота образца 20 мм, внешний диаметр 40 мм. Значения нагрузок и коэффициент двухосности п, при которых в образце достигалось критическое значение параметра поврежденности, представлены в табл. 2. Помимо этого в таблицу занесены средние значения эквивалентных деформаций вес в элементе, для которого наступили условия разрушения, а также коэффициент трехосности И.

Следует отметить, что некоторые виды внешнего нагружения данного образца сложно реализуемы экспериментально. В связи с этим для значений коэффициента трехосности выше И = 0.5 был использован образец с кольцевой выточкой (рис. 3, б). В данном случае варьировалось значение радиуса выточки, выступающей в роли концентратора напряжений. При внешнем диаметре образца 40 мм оно составляло Яс = 5, 10, 12.5 и 15 мм. Значения номинальных напряжений, приложенных вдоль линии нагружения, занесены в табл. 3.

Геометрические размеры полого цилиндрического образца представлены на рис. 4. Моделировались условия нагружения внутренним давлением д, растяжением оп, кручением М, а также совместное действие внутреннего давления с растяжением и внутреннего давления с кручением. Полученные значения приложенных усилий, при которых достигалось критическое значение параметра поврежденности, занесены в табл. 4. Таблица дополнена значениями параметра Лоде в точке инициализации разрушения.

5. Результаты и обсуждение

В результате расчетов были получены три кривые предельного значения эквивалентных дефор-

Рис. 4. Полый цилиндрический образец. Размеры в мм

Таблица 4. Полый цилиндрический образец

д, МПа оп, МПа М, Н • м И ^ес Ь

Внутреннее давление 110.0 0 0 0.550 0.0518 0.027

Давление и растяжение 80.5 17 0 0.480 0.0450 -0.510

Растяжение 0.0 25 0 0.330 0.0399 0.820

Растяжение и кручение 0.0 15 48 0.180 0.0490 0.517

Кручение 0.0 0 61 0.006 0.0596 0.012

маций при монотонном статическом деформировании. На рис. 5 представлены средние эквивалентные деформации в зависимости от коэффициента трехосности в элементе, для которого в процессе монотонного статического нагружения мера поврежденности принимает значение равное критическому. Кривая 1 соответствует цилиндрическим образцам на сжатие, кривая 2 — образцам с кольцевой выточкой и кривая 3 — полым цилиндрическим образцам. Деформации представлены в нормированном виде. За единицу принято значение эквивалентных деформаций в точке пересечения кривых.

Первые два типа образцов позволяют покрыть весь исследуемый диапазон трехосности нагруже-

Рис. 5. Эквивалентные деформации при инициализации разрушения

ния, однако круговые диаграммы Мора для данных условий нагружения будут идентичны, т.к. приводят к одному и тому же абсолютному значению параметра Лоде Ь = ±0.82. Для данных геометрий влияние третьей координаты фиксировано. Как следствие, их можно рассматривать в двухмерной осесимметричной постановке. Для данного типа образцов единственное влияние предложенной модификации можно наблюдать в разнице предельных деформаций при растяжении и сжатии. Влияние третьей оси в пространстве главных напряжений и, как следствие, изменение параметра Лоде хорошо отражаются в поведении третьей кривой. Можно наблюдать существенное уменьшение значения предельных деформаций при одном и том же значении коэффициента трехосности. Полученные результаты свидетельствуют о том, что при выборе значения параметра к из предложенного рядя и оперировании не абсолютными, а реальными значениями параметра Лоде можно получить несимметричную пространственную кривую предельных деформаций в условиях сложного трехмерного напряженного состояния.

Для экспериментального обоснования предложенной модификации модели накопления повреждений проведено сравнение с экспериментальным исследованием поведения алюминиевого сплава Д16Т в условиях сложного напряженного состояния [44].

На рис. 6 представлены расчетные и экспериментальные значения интенсивности предельных

Рис. 6. Предельные деформации в полом тонкостенном цилиндре при сложном напряженном состоянии

деформаций при различных сочетаниях растягивающих усилий, крутящего момента и внутреннего давления в испытательном образце, имитирующем полый тонкостенный цилиндр (рис. 4). Подобное качественное поведение значений предельных характеристик различных металлических сплавов отмечено в литературе [32, 36, 38, 45]. Следует отметить, что точность прогнозирования при некоторых вариантах сложного напряженного состояния остается неудовлетворительной, при этом для модифицированной модели количественные характеристики более приближены к реальным.

Анализ численных и экспериментальных результатов позволяет сделать вывод о том, что предлагаемая модификация модели накопления повреждений Ьешайге позволяет значительно повысить точность прогнозирования значения предельных характеристик сопротивления разрушению в условиях сложного напряженного состояния.

Литература

1. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. - М.: Наука, 1974.

2. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука, 1966.

3. Lemaitre J. A continuous damage mechanics model for ductile fracture // J. Eng. Mater. Technol. Trans. ASME. - 1985. - V. 107. - No. 1. - P. 83-89.

4. Gurson A.L. Continuum theory of ductile rupture by void nucleation and growth: Part 1. Yield criteria and flow rules for porous ductile media // J. Eng. Mater. Technol. Trans. ASME. - 1977. - V. 99. - No. 1. - P. 2-15.

5. De Souza Neto E.A., Peric D., Owen D.R.J. Computational Methods for Plasticity: Theory and Applications // Computational Methods for Plasticity: Theory and Applications. - 2008. - P. 1-791.

6. Cao T.S. Numerical simulation of 3D ductile cracks formation using recent improved Lode-dependent plasticity and damage models combined with remeshing // Int. J. Solids Struct. - 2014. - V. 51. - No. 13. - P. 2370-2381.

7. Naimark O.B. Defect-Induced Transitions as Mechanisms of Plasticity and Failure in Multifield Continua // Advances in Multifield Theories for Continua with Substructure. - Boston: Birkhäuser, 2004. - P. 75-114.

8. Вильдеман В.Э. Краевые задачи механики неупругого деформирования и разрушения материалов / Дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Пермь: 1998.

9. Jaric J., Kuzmanovic D. On damage tensor in linear anisotropic elasticity // Theor. Appl. Mech. - 2017. -V. 44. - No. 2. - P. 141-154.

10. Görthofer J., SchneiderM., Böhlke T. A convex anisotro-pic damage model based on the compliance tensor // Int. J. Damage Mech. - 2022. - V. 31. - No. 1. - P. 43-86.

11. Voyiadjis G.Z., Kattan P.I. Decomposition of healing tensor: In continuum damage and healing mechanics // Int. J. Damage Mech. - 2018. - V. 27. - No. 7. - P. 1020-1057.

12. Ильиных А.В. Численное моделирование процессов структурного разрушения зернистых композитов с изотропными элементами структуры // Вестник Самарского университета. Физико-математические науки. - 2011. - Т. 2. - № 23. - С. 101-106.

13. Lian J., Feng Y., Münstermann S. A modified Lemaitre damage model phenomenologically accounting for the Lode angle effect on ductile fracture // Proc. Mater. Sci. -2014. - V. 3. - P. 1841-1847.

14. Cocks A.C.F., Ashby M.F. Intergranular fracture during power-law creep under multiaxial stresses // Met. Sci. 1980. - V. 14. - Nos. 8-9. - P. 395-402.

15. Cocks A.C.F., Ashby M.F. On creep fracture by void growth // Prog. Mater. Sci. - 1982. - V. 27. - Nos. 3-4. -P. 189-244.

16. Xue L. Constitutive modeling of void shearing effect in ductile fracture of porous materials // Eng. Fract. Mech. -2008. - V. 75. - No. 11. - P. 3343-3366.

17. Xue L. Damage accumulation and fracture initiation in uncracked ductile solids subject to triaxial loading // Int. J. Solids Struct. - 2007. - V. 44. - No. 16. - P. 51635181.

18. Nielsen K.L., Tvergaard V. Ductile shear failure or plug failure of spot welds modelled by modified Gurson model // Eng. Fract. Mech. - 2010. - V. 77. - No. 7. - P. 10311047.

19. Nahshon K., Hutchinson J.W. Modification of the Gurson model for shear failure // Eur. J. Mech. A. Solids. -2008. - V. 27. - No. 1. - P. 1-17.

20. Freitas R., Asta M., Bulatov V. V. Quantum effects on dislocation motion from ring-polymer molecular dynamics // npj Comput. Mater. - 2018. - V. 4. - No. 1. - P. 55.

21. Volegov P.S., Gerasimov R.M., Davlyatshin R.P. Models of molecular dynamics: A review of EAM potentials. Part 1: Potentials for single-component systems // PNRPU Mech. Bull. - 2017. - No. 4. - P. 214-237.

22. Volegov P.S., Gerasimov R.M., Davlyatshin R.P. Models of molecular dynamics: A review of EAM-potentials. Part 2. Potentials for multi-component systems // PNRPU Mech. Bull. - 2018. - No. 2. - P. 114-132.

23. Белова О.Н., Степанова Л.В. Изучение распространения трещины методом молекулярной динамики в медной пластине // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. - 2019. - Т. 25. - № 3. -С. 39-61.

24. Панин В.Е., Моисеенко Д.Д., Максимов П.В., Панин С.В. Эффекты пластической дисторсии в зоне кривизны кристаллической решетки в вершине трещины // Физ. мезомех. - 2017. - Т. 20. - № 3. - С. 4050. - https://doi.org/10.24411/1683-805X-2017-00025

25. Панин В.Е., Елсукова Т.Ф., Сурикова Н.С., Попкова Ю.Ф., Борисюк Д.В. Роль поворотных мод деформации в процессах разрушения поликристаллов высокочистого алюминия при низкотемпературной ползучести // Деформация и разрушение материалов. -2016. - № 12. - С. 2-9.

26. Эрдоган Ф., Си Д. С. О развитии трещины в пластинах под действием продольной и поперечной нагрузок // Труды американского общества инженеров-механиков. Техническая механика. - 1963. - № 4. - С. 49-59.

27. Потапова Л.Б., Ярцев В.П. Механика материалов при сложном напряженном состоянии. - М.: Машиностроение, 2005.

28. Sih G.C. Strain-energy-density factor applied to mixed mode crack problems // Int. J. Fract. - 1974. - V. 10. -No. 3. - P. 305-321.

29. Hussain M., Pu S., Underwood J. Strain Energy Release Rate for a Crack under Combined Mode I and Mode II // Nat. Symp. Fracture Mechanics, 2009. - P. 2-2-27.

30. Shlyannikov V.N. Elastic-plastic mixed-mode fracture criteria and parameters // Lect. Notes Appl. Comput. Mech. - Berlin-Heidelberg: Springer, 2003. -V. 7. -P. 236-243.

31. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. - Киев: Наукова думка, 1976.

32. Bai Y., Wierzbicki T. A new model of metal plasticity and fracture with pressure and Lode dependence // Int. J. Plast. - 2008. - V. 24. - No. 6. - P. 1071-1096.

33. Kumar A., Singh A.K., Shrivastava A., Mishra S., Nara-simhan K. Shear modified Lemaitre damage model for fracture prediction during incremental sheet forming // Int. J. Solids Struct. - 2022. - V. 252. - P. 111822.

34. Alves J.L., Cazacu O. Effect of the Third Invariant of the Stress Deviator on the Response of Porous Solids with Pressure-Insensitive Matrix // From Microstructure Investigations to Multiscale Modeling. - Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, Inc., 2017. - P. 167-196.

35. Coppola T., Córtese L., Folgarait P. The effect of stress invariants on ductile fracture limit in steels // Eng. Fract. Mech. - 2009. - V. 76. - No. 9. - P. 1288-1302.

36. Pater Z., Tomczak J., Bulzak T., Wojcik L., Skripalen-ko M. Prediction of ductile fracture in skew rolling processes // Int. J. Mach. Tools Manuf. - 2021. - V. 163. -P. 103706.

37. Da Silva Santos I., Sarzosa D.F.B., Paredes M. Ductile fracture modeling using the modified Mohr-Coulomb model coupled with a softening law for an ASTM A285 steel // Thin-Walled Struct. - 2022. - V. 176. -P. 109341.

38. TengX. Numerical prediction of slant fracture with continuum damage mechanics // Eng. Fract. Mech. - 2008. -V. 75. - No. 8. - P. 2020-2041.

39. Peng J., Zhou P., Wang Y., Dai Q., Know les D., Mosta-vi M. Stress triaxiality and Lode angle parameter characterization of flat metal specimen with inclined notch // Metals (Basel). - 2021. - V. 11. - No. 1627. - P. 1-14.

40. Chaboche J.L. On some modifications of kinematic hardening to improve the description of ratchetting effects // Int. J. Plast. - 1991. - V. 7. - No. 7. - P. 661-678.

41. Frederick C.O., Armstrong P.J. A mathematical representation of the multiaxial Bauschinger effect // Mater. High Temp. - 2007. - V. 24. - No. 1. - P. 1-26.

42. Lemaitre J., Desmorat R. Engineering Damage Mechanics: Ductile, Creep, Fatigue and Brittle Failures. - Berlin: Springer, 2005.

43. Danas K., Ponte Castañeda P. Influence of the Lode parameter and the stress triaxiality on the failure of elasto-plastic porous materials // Int. J. Solids Struct. - 2012. -V. 49. - Nos. 11-12. - P. 1325-1342.

44. Иштыряков И.С. Развитие поверхностных дефектов в условиях сложного напряженного состояния при отрицательной, нормальной и повышенной температурах / Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 2021.

45. Bao Y., Wierzbicki T. A comparative study on various ductile crack formation criteria // J. Eng. Mater. Technol. Trans. ASME. - 2004. - V. 126. - No. 3. - P. 314-324.

Поступила в редакцию 27.07.2022 г., после доработки 14.09.2022 г., принята к публикации 26.09.2022 г.

Сведения об авторе

Туманов Андрей Владиславович, к.т.н., внс Института энергетики и перспективных технологий, ФИЦ «Казанский научный центр Российской академии наук», 1утапо1Г@гатЪ1ег.га