О критической скорости дивергенции

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVI 1995 № 3-4

УДК 629. 735. 33. 015. 4: 533. 6. 013. 424

О КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ ДИВЕРГЕНЦИИ

Г. А. Амирьянц, В. Л. Токарь

Рассмотрены методы расчетного определения критической скорости дивергенции конструкций летательных аппаратов и основные факторы, влияющие на величину критической скорости.

1. Дивергенцией называют апериодическую потерю устойчивости упругой конструкцией в потоке воздуха, при которой аэродинамические силы, обусловленные ее деформациями, не могут быть уравновешены упругими силами, соответствующими этим деформациям. Нормативные документы авиастроения России, США, европейских и других стран требуют определения критической скорости, при достижении которой появляется дивергенция, и обеспечения необходимого запаса по скорости полета летательного аппарата для его безопасности.

Расчетное исследование может быть выполнено при анализе динамического поведения конструкции. При этом математическая модель представляет собой, как правило, систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих неравновесное состояние летательного аппарата с учетом степеней свободы, соответствующих упругим деформациям. Критическому скоростному напору дивергенции соответствует ситуация, при которой корень характеристического уравнения, описывающий апериодический режим, становится равным нулю.

Тот же результат можно получить, решая статическую задачу с учетом упругих деформаций. В этом случае математической моделью в линейной постановке является система алгебраических уравнений, при решении которой определяются угловые и линейные деформации, а также другие характеристики статической аэроупругости. Пороговому значению дивергенции соответствует нулевое значение детерминанта матрицы линейных алгебраических уравнений, при котором деформации конструкции становятся неопределенными.

Иногда, не очень строго, дивергенцией называют ситуацию, при которой из-за влияния упругости конструкции органы управления (элероны, элевоны, рули высоты) теряют свою эффективность

настолько, что она становится нулевой [1 — 3]. Более точно это явление называется реверсом. Попытка балансировки ЛА при скоростных напорах, соответствующих потере эффективности, может привести к значительным деформациям и, как следствие, к поломке аппарата. В настоящей статье рассмотрены процедуры определения критической скорости при решении статических задач.

Простые и достаточно эффективные расчетные схемы для определения критической скорости дивергенции крыльев большого удлинения основаны на балочной теории и аэродинамической теории несущей линии [4, 5]. Для расчета характеристик статической аэроупругости ЛА, имеющих несущие поверхности произвольной формы в плане, наиболее широко используются метод заданных форм (Ритца) и, в частности, его разновидность — метод многочленов [6, 7], а также метод коэффициентов влияния [8, 9]. Оба метода основаны на трехмерной линейной аэродинамической теории. Упругие характеристики определяются либо на основе метода заданных форм, либо на основе метода конечного элемента (МКЭ). Остановимся на них подробнее.

Упругие деформации при решении задач методом заданных форм описываются линейной комбинацией собственных форм либо многочленом. Применяя уравнения Лагранжа к системе, обобщенными координатами которой являются коэффициенты заданных форм, получим систему уравнений для решения динамических задач:

(с + у2в)и + увй + си = О,

где С — обобщенная матрица жесткости; В — обобщенная аэродинамическая матрица; Б — матрица демпфирования; С — обобщенная матрица массовых характеристик; V — скорость полета ЛА; II — вектор обобщенных перемещений.

Размерность системы равна количеству обобщенных координат.

Оставляя в системе только те инерционные и демпфирующие члены, которые связаны с движением аппарата как твердого тела, приходим к системе уравнений статической аэроупругости:

'0 0 ' + V2 ' Вц вх2 (иЛ--у ( /) > и\т ÙT - (С. Ï 1т

^22, ^Вц в22> <D2t, т ^2т,

Здесь G22 и В22 — жесткостная и аэродинамическая подматрицы, соответствующие упругим степеням, Т. е. вектору U2, В\1, Вц, Ат»

D2т —

аэродинамические подматрицы, соответствующие вектору l/j — углов поворота ЛА как твердого тела и отклонения его рулей, а также вектору ÙT — производной по времени от вектора линейных и угловых смещений ЛА как твердого тела; CiT, С-ц — инерционные подматрицы, связанные с линейными и угловыми ускорениями ЛА.

Решение системы уравнений (1) приводит к выражению для обобщенных координат, соответствующих упругим степеням свободы:

U2 = ~{g22 + V2B22Ï\v2B2iUi + VD2TÙr + C2rÜT\

При достижении наименьшей из скоростей полета, при которых детерминант матрицы ((?22 + ^2-22) равен нулю, деформации конструкции ЛА становятся неопределенными. Это означает, что данная скорость является критической скоростью дивергенции.

Задачи статической аэроупругости, решаемые методом коэффициентов влияния, базируются, как правило, на панельной аэродинамической схеме [8, 9].

В его основе лежат два соотношения:

Здесь {а9} — вектор угловых деформаций, обусловленных действием потока воздуха; {аж} — вектор местных углов атаки аэродинамических панелей недеформированного жесткого летательного аппарата; {а„} — вектор угловых деформаций, обусловленных действием совокупности сил инерции, связанных с движением ЛА как твердого тела, и сил тяжести при отсутствии потока воздуха; } — вектор перепадов давления на панелях аэродинамической схемы деформированного ЛА; <7 — скоростной напор; — матрица коэффициентов аэродинамическо-

го влияния; [С*] — матрица податливости, связывающая распределенные силы с вызванными угловыми деформациями; [5^ — диагональная матрица площадей аэродинамических панелей.

Размерность векторов и матриц соответствует количеству панелей в аэродинамической схеме.

Разрешив уравнения (3) и (4) относительно {а?}, получим соотношение, которое является базовым для определения характеристик статической аэроупругости методом коэффициентов влияния [8]:

И = 1

Наименьший скоростной напор, при котором детерминант матрицы ^ АаР j - ^[С“^ обращается в нуль, соответствует дивергенции.

Физический смысл этого явления как раз и состоит в том, что при достижении критической скорости дивергенции аэродинамические силы, обусловленные деформациями ЛА, не могут быть уравновешены упругими силами, и конструкция теряет устойчивость. Отметим, что матрицы (¿22 и Сар зависят от способа закрепления упругой системы, который, разумеется, влияет и на критическую скорость дивергенции. Ниже будет описан метод определения критической скорости дивергенции свободного ЛА. На практике для определения скоростного

напора дивергенции нет необходимости вычислять детерминанты матриц, входящих в уравнение (2) или (5). Поскольку приближение к 1фи-тичекой скорости дивергенции характеризуется увеличением аэродинамических нагрузок, связанных с деформациями конструкции, получившей некоторое начальное возмущение, достаточно проанализировать поведение интегральной характеристики нагрузки, например, коэффициента подъемной силы, отнесенного к возмущающему фактору для всех элементов конструкции — углу атаки, т. е. производной с“.

При приближении к скоростному напору дивергенции дя деформации, а следовательно, и с“ возрастают и при достижении нулевого значения детерминанта становятся неопределенными. Значения с“ при ¿7 > <7Д практичекого смысла не имеют.

Любое положение равновесия упругих и аэродинамических сил при неизменных аэродинамических характеристиках профиля крыла при д > <7д будет неустойчивым, как следует из решения динамической задачи. В ряде случаев о достижении критической скорости дивергенции ЛА можно судить по совмещению фокуса по углу атаки с фокусом по углу отклонения органа продольного управления, однако совмещение фокусов, свидетельствующее о потере управляемости, возможно и при меньших скоростях.

Для тех режимов полета, которые плохо поддаются расчетным исследованиям, проводят испытания в аэродинамических трубах упругоподобных аэродинамических моделей. Критический скоростной напор дивергенции в этих случаях определяют путем экстраполяции зависимости измеряемых аэродинамических коэффициентов или шарнирных моментов по скоростному напору, не доводя модель до состояния дивергенции, например, по методу Саусвелла [10]. Возможен и другой подход, разработанный специалистами ЦАГИ, — довести модель до состояния дивергенции, но предотвратить разрушение, установив ограничители нахрузок и деформаций. О достижении критической скорости (скоростного напора) дивергенции можно судить по невозможности предотвратить резкое увеличение деформаций модели, связанных с флуктуациями потока, в то время как модель расположена практически под нулевым углом атаки. Для предотвращения разрушения скоростной напор увеличивают с некоторым шагом. При приближении к ограничению угол атаки модели уменьшают, чтобы уменьшить ее деформации. После этого увеличивают скорость настолько, чтобы вновь достигнуть ограничения. Это позволяет вплотную приблизиться к скорости дивергенции и считать таковой, например, скорость, когда углы закручивания концов крыла, достигших ограничителей, превышают угол атаки модели во много раз.

2. У консольно-защемленного прямого крыла, которое используется на дозвуковых летательных аппаратах, ось жесткости обычно расположена позади линии фокусов. Увеличению скоростного напора дивергенции цк такого крыла способствует уменьшение расстояния между этими линиями, а также увеличение крутильной жесткости крыла.

Изгибные деформации для этого типа конструкции на аэродинамические характеристики влияния не оказывают, а для несущих поверхностей прямой стреловидности изгибные деформации оказывают стабилизирующее влияние. При угле стреловидности крыла более 30—40° дивергенция практически невозможна. Для таких крыльев основной проблемой статической аэроупругости является реверс элеронов.

Для крыльев обратной стреловидности, напротив, проблема дивергенции является первостепенной из-за дестабилизирующего влияния прежде всего изгибных деформаций.

Крлья обратной стреловидности, выполненные из изотропного материала, не нашли применения на практике именно из-за большой необходимой жесткости, а следовательно, и веса конструкции [11]. Отметим, что при сверхзвуковых режимах полета, когда фокус смещается назад, может оказаться полезным уменьшение жесткости крыла на кручение, если линия фокусов оказывается позади оси жесткости. В этом случае крутильные деформации могут частично компенсировать отрицательный эффект от изгибных деформаций.

Одним из способов борьбы с дивергенцией может быть выносной стабилизатор — небольшая аэродинамическая поверхность, вынесенная назад по потоку на штанге, закрепленной в конце крыла, которая смещает местный фокус назад. В настоящее время проблема дивергенции крыльев с обратной стреловидностью решается при помощи композиционных материалов [11], применение которых позволило построить и испытать летательные аппараты с такими крыльями.

Дивергенции могут быть подвержены также рулевые поверхности с большой степенью аэродинамической компенсации. Для них основным фактором, влияющим на устойчивость, является жесткость проводки управления, а также положение оси вращения рулевой поверхности. Смещение оси вращения вперед способствует увеличению <7Д и наоборот.

3. Выше были рассмотрены методы определения критической скорости дивергенции упругой системы, находящейся в потоке воздуха, закрепленной на неподвижной опоре. Такая схематизация вполне приемлема, когда определяется скорость дивергенции относительно легких несущих поверхностей, закрепленных на массивном фюзеляже. Аэродинамические силы при такой схематизации компенсируются силами реакции в заделке. Однако такой подход физически некорректен, если рассматривается летательный аппарат типа «летающее крыло» или ракета, где невозможно выделить легкую несущую часть и массивное несущее основание, к которому она крепится. Для решения этой задачи необходим другой подход, требующий расчета матрицы податливости свободного ЛА.

Приведем процедуру определения критической скорости дивергенции свободного ЛА методом коэффициентов влияния применительно к продольному движению.

Пусть имеется матрица упругой системы с зафиксированными двумя степенями свободы, а также инерционные векторы {а} =1

Пу

и {а}. =1.

Инерционными векторами названы векторы угловых деформаций в центрах тяжести аэродинамических панелей, обусловленные единичной перегрузкой пу и единичным угловым ускорением со £ соответственно.

Определим столбец угловых деформаций панелей, соответствующих единичной силе, приложенной к у-й аэродинамической панели Fj = 1Н, которая вызывает перегрузку в центре масс свободной конструкции пу и угловое ускорение со г:

{с<£ } = {с“^ } + {«}„,_! Лу +{а}йг=1“г, пу и сог определяются из уравнений движения ЛА как твердого тела:

пу=ъ)/С’ “г =мг/1г >

где Мг — момент силы Р] относительно центра масс упругой конструкции. Поскольку у системы зафиксированы две степени свободы, это приводит к тому, что силы реакции в опорах становятся равными нулю (см. также [8]), что соответствует свободной конструкции. Например, для плоской аэродинамической схемы

М - } + Ы^., £ + .

Здесь (7 — вес ЛА, /г— момент инерции конструкции относительно

оси z, проходящей через центр масс.

Совокупность определенных таким образом столбцов образует матрицу податливости свободного ЛА, элементы которой не зависят от точек закрепления конструкции. Подставив эту матрицу вместо Са^| в

выражение (5), можем определить скоростной напор дивергенции свободного ЛА.

В предельных случаях распределения масс, когда (а) =0 и

Пу

{а}. =0, значение #д свободного аппарата будет равно <?д закрепленного. Так, для схемы «летающее крыло» обратной стреловидности (х < 0) сосредоточение всей массы ЛА на оси симметрии приведет к тому, что критическая скорость дивергенции будет соответствовать <7Д консольно-защемленного крыла обратной стреловидности. И наоборот, сосредоточение полной массы на концах крыла приведет к бесконечной скорости дивергенции, как у «обычных» стреловидных крыльев

(х>о)-

Это подтверждается данными работы [2], где приведена зависимость критической скорости дивергенции «летающего крыла» от соотношения массы крыла и фюзеляжа, полученная путем анализа динамического поведения конструкции.

Расчеты критических скоростей дивергенции метеорологических ракет показывают, что эта характеристика ЛА зависит от множества параметров: высоты, скорости полета, изгибной жесткости фюзеляжа и

узлов крепления частей ракеты, скорости выгорания топлива и взаимного расположения несущих частей. Однако можно выделить факторы, влияющие на величину дд. Несущими частями ракеты являются конусообразный носовой отсек, а также оперение. К факторам, увеличивающим скоростной напор дивергенции ракет, можно отнести увеличение изгибной жесткости, применение двух блоков оперения, один из которых расположен в ее хвостовой части, второй — в средней части по длине, а также уменьшение длины ракеты. Увеличению дд способствует также разнесение массивных компонентов в обе стороны от центра масс ракеты вдоль ее продольной оси.

Распределение масс, так же как расположение несущих частей ракеты, может существенно влиять на величину критического скоростного напора дивергенции. Так, упруго-подобная модель, закрепленная в хвостовой части, что эквивалентно сосредоточению всей массы ракеты в этом месте, имеет значение дд в несколько раз меньшее, чем дд ракеты с равномерно распределенной массой и одним блоком оперения. Та же ракета с двумя блоками оперения имеет бесконечное значение дд .

Отметим в связи с этим, что при использовании двух блоков оперения потеря эффективности блока, находящегося ближе к середине ракеты, из-за влияния упругости при больших скоростных напорах может значительно уменьшить критический скоростной напор дивергенции.

Стабилизирующие и дестабилизирующие тенденции поведения ракеты могут быть выявлены также путем анализа деформаций, полученных расчетными методами для свободного аппарата. Дестабилизирующей тенденцией является отгибание носка ракеты, находящейся под углом атаки и уравновешенной инерционными силами, вверх. Критический скоростной напор дивергенции дд может значительно уменьшиться вследствие технологических ошибок и недостаточной жесткости стыковых узлов [12]. Для ракет с несимметричным оперением дестабилизирующим фактором может оказаться вращение вокруг оси симметрии [13].

Моделирование в аэродинамических трубах, имеющее целью определение критической скорости дивергенции свободного ЛА, является весьма сложной задачей.

На практике конструкция с нерегулируемой нагрузкой, например модель крыла, закрепленная на стенке аэродинамической трубы под углом атаки, разрушится еще до достижения дд из-за увеличения аэродинамической нагрузки с ростом скоростного напора.

Управляемые летательные аппараты или их свободнолетающие модели могут вплотную приближаться к пороговым значениям скорости дивергенции благодаря сбросу нагрузок, связанных с деформациями, например уменьшением угла атаки. В этом случае разрушение может произойти спонтанно, несмотря на то что регулируемым (или поддерживаемым) режимом является режим постоянной перегрузки.

Для предотвращения таких спонтанных разрушений нормативные требования к летательной технике включают пункт о необходимости обеспечения запасов по скорости полета.

В настоящее время этот запас составляет 20% предельной скорости V > 1 2 V

' д — ' тах тих-

1. Weisshaar Т. A., Ashley Н. Static aeioelasticity and the flying wing I I AIAA Ргфег. - 1973, N 73-397.

2. W e i s s h а а г T. A. Static aeioelasticity and the flying wing, revisited // J. Aircraft. — 1974. Vol. 11, N 11.

3. N i b 1 e 11 LI. T. Aeroelastic divergence of trimmed aircraft // J. Aircraft. — 1986. Vol. 23, N 9.

4. Г p о с с м а н Е. П. Перекручивание монопланного крыла // Труды ЦАГИ. - 1936. Вып. 253.

5. Diederich F., Budiansky В. Divergence of swept wings // NACA, TN-1860, 1948.

6. А м и p ь я и ц Г. А., Б у н ь к о в В. Г. Применение метода многочленов к расчету параметров установившегося маневра упругого самолета // Ученые записки ЦАГИ. — 1976. Т. 12, № 4.

7. Амирьянц Г. А. Об определении некоторых аэродинамических

характеристик упругого самолета при его установившемся продольном маневре // ТВФ. - 1974, № 8. 4

8. Е в с е е в Д. Д. Расчет некоторых аэродинамических характеристик

упругого самолета методом коэффициентов влияния // Ученые записки ЦАГИ. — 1978. Т. 9, № 6. '

9. С е р г е е в А. А., Т о к а р ь В. Л. Методика расчета характеристик статической аэроупругости летательных аппаратов методом коэффициентов влияния с использованием пространственных схем метода конечных элементов // Ученые записки ЦАГИ. — 1991. Т. 22, № 3.

10. S h е г г е г V. С., Н е г t z Т. J., S h i г к М. Н. A demonstration of the

principle of aeroelastic tailoring applied to forward swept wings // AFWAL-TR N 81-3066. .

11. Spacht G. The forward swept wing a unique design challenge // AIAA Aircraft system meeting. — August 4 — 6, 1980. Anaheim, California.

12. Stewart C., Meyers. Aeroelastic analysis of sounding rocket vehicles // AIAA Paper. — 1973, N 73-284.

13. Clarence P., Joung. On the steady aeroelastic behaviour of a spinning rocket vehicle having aerodynamic asymmetry // AIAA Paper. — 1970, N 70-13-97.

Рукопись поступила 7/VI 1994 г.