Метод оценки погрешности определения фазового спектра кусочно-аппроксимированного сигнала

В.Н.Булатов

МЕТОД2ОЦЕНКИ2ПОГРЕШНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФАЗОВОГО СПЕКТРА КУСОЧНО-АППРОКСИМИРОВАННОГО СИГНАЛА

В статье приведено решение спектрального преобразования для сигналов, функции которых могут раскладываться в степенной ряд. На этой основе составлена технология определения спектров сечений сигнала, аппроксимированных сплайном. Приведена методика оценки погрешности восстановления функции фазового спектра, обусловленной аппроксимацией.

Одним из основных объектов исследования в информационно-измерительных системах является сигнал, несущий в себе информационную составляющую и помеху. Важнейшим свойством информационной составляющей является отражение инерционных свойств физического объекта измерения. Знание порядка системы, описывающей физический объект, и наличие гладких производных, причем с конечным их числом, в информационной составляющей значительно упрощает выбор аппарата анализа и моделирования подобных сигналов с использованием современных технических и программных средств.

Для получения интерполяционных формул с гладкими производными на конечном интервале аргумента исследуемой функции, представленной выборками (сигнал с выхода АЦП, регистрация фазы по моментам пересечения сигнала через ноль и тому подобное) очень часто используются интерполяционные многочлены Ньютона, Эверетта, Стеффенсена, Гаусса, Бесселя, Стирлинга [I]. Все возрастающее значение получает сплайн-интерполяция [2]. Причем, зачастую достаточно для требуемой точности аппроксимации переносчиков существующих информационных составляющих применить так называемую кубическую сплайн-интерполяцию.

Наличие в интерполяционной формуле конечного числа слагаемых с аргументом в различной (притом невысокой) степени наводит на мысль о необходимости поиска решения спектральной функции именно для такого вида временной функции. Подобное выражение спектральной характеристики было представлено в [3] для временных функций, удовлетворяющих условиям разложения в ряд Тейлора. Эта спектральная характеристика в виде функции плотности была выведена для сигнала e(t), который полностью опреде-

лен на интервале при этом I =-т/2,

I = т/2, при условии, что для абсолютных значений всех его производных е(1) можно указать некоторое ограничивающее их число. Спектр временной функции, удовлетворяющей перечисленным условиям, представлен (I).

S(w)=-

W

WT WT

^W) Sin-J + B(w) COS-J

+ ./

^ i • WT ™ i WT C( w) +Ц w) cos~^

где

A(w) -І ^(0) І ( т /2>* Л tf, tf,[2(i - k)]! a2

^

C(w) --І Є2М)(0) І

i=0

D(w) -І4™>i

[2(i - к)]! а2к ’

і=о к=о [2(І - k)]! a

( т/2)2(і-к>+'

і (І к (I

[2(i - k) с І]! а2

Выражение (I) получено в [3] для степенного многочлена. Поэтому оно может быть использовано и для перечисленных выше интерполяций, которые по существу являются степенными многочленами.

В случае несоответствия расположения сигнала на оси ? оговоренным выше условиям можно сместить его на нужную величину смещения ^ (выравнять), чтобы эти условия выполнились; при этом в спектральной характеристике появится фазовый множитель .

СМ

В таблице I приведены зависимости для А(ю), В(ю), С(-м), Б(-м) для некоторых аппроксимаций фрагментов (аппликат) реальных сигналов, используемых в настоящей работе.

1 Определение спектральной характеристики аппроксимированного сплайн-интерполяционным многочленом сигнала

Некоторые группы измерительных сигналов в фазовых информационно-измерительных системах (ИИС), в силу приобретенных свойств мультипликативного колебательного характера, обусловленного полосовыми и параметрическими свойствами передаточных функций некоторых элементов этих систем, аппроксимировать эффективнее сплайн-интерполяционными многочленами. Причем, как показала практика, достаточно ограничиться третьей степенью, чтобы погрешность определения фазового спектра измерительного сигнала при его анализе в ограниченном диапазоне частот была существеннее меньше общей погрешности системы. Основным достоинством для данного случая выступает обеспечение интерполяционным многочленом на границах его определения гладких производных [2].

Таблица I

еф при [ 1 <т/2

Е Е 0 0 0

li*VT 0 0 -EJfwr) E/2

E*(}-8/(\Sf)) 4EJ(wr) 0 0

8Е*Ґ/У 0 0 -E*

Пусть сигнал e(t) на интервале [T0,TJ представлен выборками, приведенными в таблице 2.

Таблица 2

t) = -Pi-

бт.

- + Pr

бт

где р - вторая производная сплайн-функции в одной из точек I. , ] £ [1-1, ]

Известно, что сплайн-функция позволяет аппроксимировать в границах /-го сечения функцию сигнала тем точнее, чем больше слева и справа от этого сечения используется число выборок сигнала е(1) для определения значений р Как показал собственный опыт, при малых значениях I. (1.«1В=1/ wв , где wВ - верхняя граничная частота полосы пропускания ИИС) иногда достаточно ограничиться двумя соседними выборками с номерами 1-2 и 1+1 .

Для обеспечения неискаженного перехода к сплайн-функциям следующих интервалов зададимся краевыми условиями, заключенными в гладкости первых производных:

ds.

de

ds

dt

dt

dt

de

dt

С учетом выбранных условий интерполяции, для нахождения необходимых значений р , ] в'і-2, і+1" , можно составить следующую систему уравнений :

1ы-р +1ы^т‘

Pi-2 ^ ,

6 3

О +—Р; 6 1

3 6

4-1 і-2

-Є- е — е_

, -Pi-2+-Т-Pi-1 +0 + 0-3 6

0 + 0 + 1Ш-Рі+1Ш-Рм =

6 з

de-

dt

dt

Номер выборки 0 1 і-2 І-} і і 1 к-1 к

Момент выборки То Ті Тi-2 Т-і т, Т-і Ты тк

Величина выборки Е0 Єі С,-2 с,-і с, Є,-і Ек-і

Обозначим анализируемый интервал /-го

сечения: т=Т-Т 1. Чтобы воспользоваться

i i 1-1

выражениями спектральных характеристик приведенных в таблице I аппликат, сместим по временной оси выборки сигнала e(t) на величину tcM до симметричного расположения выборок е. 7 и е. относительно t=0 (выравнивание) таким образом, чтобы имели место следующие равенства:

t^Tu+T)# Y

t=T-t .

I I CM

2 Для определения кубической сплайн-функции s.(t) на интервале [t. ,t.] будем использовать так называемый глобальный

[2] способ:

Подставляя найденные значения р. 1 , р. из решения системы (5) в выражение (3), найдем интерполяционное выражение в;(1;). Спектральную плотность сигнала, аппроксимированного кубическим сплайном я.({), можно определить по формуле (1), если выражение

(3) привести к виду:

І) = а3Ґ + а^2 + а,і + а0 ,

где „ Р‘ Р‘ 1

3 6 Ті

„ Рі-І ‘І-Рі‘і-І

2 2 Ті ’

„ 3

' б Ті

(10 ~ ,

Наибольший интерес, с точки зрения практики, представляет случай равномерной по времени (с интервалом ?) выборки значений измерительного сигнала. В этом случае моменты выборки значений выравненного сигнала $.({) будут следующими:

і.='-Зг/2, і.=-т/2, 1 = т/2, 1.=Зт/2.

г-2 ’ 1-ї ’г ’ 1+2 4 '

Кроме этого, для вычисления первых производных (4) можно воспользоваться интерполяционным многочленом Лагранжа [2]:

йе,

йеи

-11 е2 +18 е , - 9е + 2е,+1 6 т

- 2 е 2 + 9е , -18 Є +11 ем

6 т

Рі-2 + 4Рі-І + Рі + 0 =

О + р,_, + 4р, + рм =

6

т2

6

2 рі-2 + рі-І + 0 + 0 =

5 Єі-2 - 12еі-1 + 9еі - 2еі+

-

0+0+Р +Р =

- 2е_2 + 9е , - 12еі + 5 еи

Решение системы уравнений (10) относительно вторых производных р. 1 и р. сплайн-функции 5.({) будет следующим:

рі-і =

Є - 2е;-, + Г-2

р=

ем - 2 г + е,_,

Подставляя (8) и (11) в (7), получаем вы-

ражения для ах

І аз = І = е-

т

“2 = II е-

т

І а,= — , І = -е

т

а(1=Ь0 , І=- -е

- "е + "е / - е, 6

е , + е,--2

24

16

ставляем на основе (1) выражение спектральной плотности . (м>) для выравненного сигнала $.({):

$т( *>) = — И>

*„ • *.| 4----------------Г-7

4 н>' Г

. грт Ь? грт\ .2

57/1-----1 -*-СО$--------\-\-J —

2 \\>т 2 и>

4п>т н> т

. \\>т зіп ь Ьі ь — + Ь> ҐІ- /,11

2 2 3

іК.

\\>т

При этом ошибка аппроксимации будет сказываться на функциях, содержащих полиномы выше третьей степени, что вполне согласуется с ошибкой аппроксимации в целом функции сигнала кубическим полиномом. После подстановки (8) и (9) в (5), получим:

Определяем спектральную плотность Iго сечения сигнала е():

8,

где 7 определяется в соответствии с (2).

Конечно, у сплайн-интерполяции гораздо больше возможностей по согласованию стыков аппроксимаций соседних отрезков сигнала еф (заданное выравнивание на краях, цикличность, равенство вторых производных и так далее). Выбранный здесь вариант, на взгляд автора, является достаточно минимизированным, и в то же время, достаточно эффективным для исследований и измерений параметров динамических систем спектральным методом.

2 Определение спектральной характеристики сигнала непосредственно по производным

Если по-прежнему при интерполяции по выборкам сигнала еф не выходить за полином третьего порядка, то очевидно, что в соответствии с (1) выражения А(м), В (м), С.(м), О.(м) выравненного ьго сечения можно представить через производные сигнала в момент =0. В этом случае

А( ю) = е\(>) + е\

а<2>

( г /2У

ю

7(—) =

2 —

С,(ю) =-^>- - ё» ю

( г/2У

ю) = е — + е

Л»

2ю

ч

( г/2)3

ю

2ю

Сравнивая соответствующие слагаемые функции (6) и функции, представленные в таблице 1, устанавливаем:

—0=Е, а1=Е/1, а2=4ЕЛ2, а3=8ЕА3 .

Подставляя значения (13) с учетом (12) в соответствующие табличные выражения А(м), В(м), С(м), О(м), и учитывая линейный характер Фурье-преобразования, со-

Поскольку все производные определяются в момент =0, а значит одна из выборок для точности вычислений [2] должна быть представлена по этому моменту, и по условиям применения интерполяционного многочлена Лагранжа для вычисления производных число выборок в данном случае должно быть больше или равно четырем [2], то минимальное число выборок для вычисления следует брать равным пяти. В таком случае, сигнал еф на интервале [Т^Т^] можно представить следующим образом (таблица 3):

Таблица 3

Номер выборки 0 1 2 І-2 І-1 І і+1 і+2 к-1 к

Момент выборки То Т, т2 Ті-2 Т,і Ті Ті+} Ті+2 Ты тк

Величина выборки ео Єї Є2 Єі-2 Єі-1 Е( Єі-і Єі+2 Еы е*

Обозначим интервал ьго сечения: / = Т -Т. 1 . Чтобы воспользоваться выражениями (1б)-(19), сместим по временной оси выборки сигнала е(/) на величину до симметричного расположения выборок е и е.+1 относительно /=0 (выравнивание) таким образом, чтобы имело место следующее равенство:

/с=

Производные для всех сечений, за исключением двух крайних (х=Т2-Т0, х=Тк-Тк_2) вычисляем по следующим формулам, полученных с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа:

е = е-

I '

І і >

,(1) = - Єі+2 + 8 еі+1 - 8 еі-1 + Єі-2

е

,(2) _

6 Т

- е+2 +16 еі+1 - 30 е +16 е 7 - е

'-2

е

,(3) =

3Т

4

Производные для сечения т=Т2-Т0 вычисляем по формулам:

е(0) = е

! С/ 9

е

,(1) =

е4 - 6 е3 +18 е2 -10 е1 - 3 е0

6Т

^2) =~ е4 + 4 е3 + 6 е2 - 20 е1 + 11 е0

е

3Т

4

3 Оценка погрешности определения фазового спектра при аппроксимации функции сигнала интерполяционным многочленом

Любая аппроксимация фрагментов измерительных сигналов вносит погрешность в определение амплитудного и фазового спектров, так как функция измерительного сигнала, сгенерированного практически любой динамической системой, содержит неопределенное число высших производных. Вопрос оценки погрешности определения фазового спектра в таких случаях оказывается достаточно неоднозначным. Оценки погрешностей рассмотренных выше типов интерполяций и им аналогичных при аппроксимации ими табулированных функций известны [2], но на практике оценить остаточный член интерполяции, не входящий в интерполяционный многочлен, весьма затруднительно. Кроме этого, требуется установить функциональную связь между погрешностями аппроксимации и погрешностями определения функции фазового спектра измерительного сигнала.

Разработанный метод оценки указанной погрешности базируется на предположении, что сигнал е((), содержащий измерительную информацию в фазовом спектре, имеет спектр, ограниченный справа некоторой частотой мв=м0. В этом случае для оценки погрешности определения фазового спектра сигнала е(() в качестве эталона берется фаза у0 гармонического колебания итсо$(м/+]0) и находится ее отображение ]г в частотной области от выравненного отрезка длиной / функции ит соз(м0/+]0). Делается это следующим образом. Преобразуем носитель эталона:

и„с05

Производные для сечения Т=Тк-Тк2 вычисляем по формулам:

е\0) = Ч 1 у

е(1) = - ек-4 + 6 ек-3 - 18 ек-2 + 10 ек-1 + 3 ек

І ~ £ 9 6Т

е(2) = ек-4 - 4 ек-3 - 6 ек-2 + 20 ек-1 - 11 ек

е = 3 т2 ’

е<3) = 4

Спектральную плотность 8В .^) выравненного сечения сигнала вычисляем в соответствии с (16)-(19) и (1). Определяем спектральную плотность і-го сечения сигнала е(ґ):

^ (™А а $В 1(^)'ехР(-^^гс^,)^ где Ґ определяется в соответствии с (20).

По условию эта функция существует только на интервале I / \<х/2. Тогда, учитывая линейный характер преобразования Фурье, для определения фазового спектра указанного отрезка можно воспользуемся значениями А(м), В(м), С(м), Б(м для аппликат соответственно итсоя(м/), и^Пм/), полученными с помощью выражения (1). Поскольку для первой аппликаты спектр Б (м) содержит только КеБ/м) , а для второй аппликаты спектр Б2(м) - только 1тБ2(м), то функция фазового спектра определяется как аргумент комплексной функции, составленной из двух спектров соя(у0)КеБ1(м) и у 5/п(ф0) 1тБ2(м):

ф(м) = аг^ [з1п(^^1тБ2(м) /соз(^^ЯеБ1(м)] =

- агсі%

->*’« т . и„ . и>„ Т И> Г

------— С05 —— 5ІП--------V--------5Ц- 5ІП—-— С05---

2 2 ;_И£ 2 2

**’„ И’ И>'

ип>„ % , п>т -V - . и’» г и’г

---54- СОЇ —— НИ-к--— 5ІП—— С05--

г_К_ 2 2 2 2

IV2 П’„ и>

йп

С05

<Рг = <рі *>„) = ЧГСЦ

щ т - яіп

Щ Т + віп

%

ф0=±кл и ф0=п/2±кп). При ф =п/4±к(п/2) зависимость (21) преобразуется:

= ф( щ) = агс1%

щ т - віп

Далее определяем фазу фг спектральной составляющей с частотой w0. После несложного преобразования этого выражения с нахождением предела 0/0 при w^w получаем

Очевидными являются следующие особенности поведения ф ( т):

а) при т=тк=кпЫ0, гк=1,2,3,... , ф г(тк)=ф0;

б) при x»l/w0 ф г(х)^ф0 ;

в) при т<л^0 ф г(т)<ф0

Учитывая, что в соответствии с теорией о достоверном содержании информации в дискретизированном сигнале, сечения т. аналогового сигнала еф должны удовлетворять условию: т.<Тв/2, где Tв=2nwв. В нашем случае т.=т, wв=wg, T0=2nw0, откуда т<^2=^/^. Следовательно, для оценки погрешности при определении фазы спектральной составляющей с частотой w=w0 аппроксимированного на интервале т по табулированным значениям сигнала Umcos(w0t+фg) может быть только случай в).

Оценку указанной погрешности определяем по следующей формуле:

Лф = I ф«-фг I ,

где фа - фаза спектральной составляющей с частотой w=w на интервале

итсоФ0^ф)

Предварительный анализ численных значений данной погрешности показал, что Дф зависит от ф0 и имеет экстремумы в2 окрестности ф0=п/4±к(п/2), к=0,1,2,3,... (Дф=0 при

щ г + ът

Все проведенные расчеты и их анализ показали, что для практического использования рассмотренной оценки погрешности в области измерений параметров фазового спектра при различной аппроксимации сигнала на интервале т достаточно ограничится полиномами третьей степени. По результатам расчетов с использованием одного из видов аппроксимации (прямой метод) ниже представлены зависимости функции погрешности Дф(т) при определении фазы спектральной составляющей с частотой w=w0 аппроксимированного на интервале т, где производные вычислялись по пяти значениям сигнала Umcos(wgt+'к/4) на интервале 2т .

На рисунке приведены зависимости фг и ф , позволяющие графически определить Дф при т>.0,4*Т0. Для определения значений Дф (в градусах) при 0,01Т0<т<0,4*Т0 установлена следующая зависимость: 20^(Дф) = (-200+12*к) дб , где к - декадное изменение т/ Т0, начиная от значения

т/ Т0.=0,01.

0аппроксимированного х по табуляграмме сигнала

г-"-"

л

/ /

• /

г 1

Рисунок - Графики составляющих фазовых спектров ^ и]а соответственно отрезка синусоиды и ее аппроксимации

Список использованной литературы

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и уч-ся втузов,- 13-е изд., испр,- М.: Наука, Гл. ред. ф.-мат. л-ры, 1986.-544 с.

2. Волков Е.А. Численные методы -М.: Наука, Гл. ред. ф.-мат. л-ры, 1987.-248с.

3. Булатов В.Н. Спектральная характеристика для обобщенного сигнала с динамическими параметрами/ Анализ структур электронной и вычислительной техники: Межвуз. сб. научн. тр.- Оренбург, ОГТУ.- 1995.- С. 25-30.

Статья поступила в редакцию 11.08.99