Фредгольмова разрешимость первой краевой задачи для уравнения смешанного типа второго порядка со спектральным параметром

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2018. Том 25, № 1

УДК 517.956

ФРЕДГОЛЬМОВА РАЗРЕШИМОСТЬ ПЕРВОЙ

КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО ПОРЯДКА СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ И. Е. Егоров, Е. С. Ефимова, И. М. Тихонова

Аннотация. В цилиндрической области пространства для уравнения сме-

шанного типа второго порядка со спектральным параметром изучается первая краевая задача. Для уравнений смешанного типа второго порядка ранее были получены лишь результаты разрешимости различных краевых задач в двумерной области. Постановку корректной краевой задачи для уравнений смешанного типа впервые предложил В. Н. Врагов. Одним из условий корректности является условие неотрицательности спектрального параметра. В этой работе анализируется случай комплексного спектрального параметра. При определенных условиях на коэффициенты уравнения получены априорные оценки. С их помощью доказана теорема существования и единственности решения первой краевой задачи в энергетическом классе. Получены достаточные условия фредгольмовой разрешимости первой краевой задачи в энергетическом классе.

Б01: 10.25587/8УРи.2018.1Л2765

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, априорная оценка, условия ортогональности.

Фредгольмова разрешимость краевых задач для уравнений смешанного типа со спектральным параметром изучалась во многих работах [1-14]. В основном интересные результаты были получены для модельных уравнений смешанного типа со спектральным параметром на плоскости [1,4,5]. При этом установлены теоремы единственности решений краевых задач для уравнений смешанного типа со спектральным параметром, найдены собственные значения и собственные функции этих задач для специальных областей на плоскости. Наиболее полную библиографию по данной теме можно найти в [1, 2,4, 5, 9].

Исследование спектральных задач, возникающих при исследовании разрешимости локальных и нелокальных краевых задач, представляется актуальным, поскольку возникающие задачи имеют особенности, не позволяющие применить известные результаты.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (договор № 16-31-00430).

© 2018 Егоров И. Е., Ефимова Е. С., Тихонова И. М.

В данной работе исследуется первая краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка со спектральным параметром в многомерном случае. При этом спектральный параметр является комплексным числом.

Пусть О — ограниченная область в Кп с границей 5 € С1, О4 = О х {Ъ} для 0 < Ъ < Т, Бт = 5 х (0,Т), Ц = О х (0,Т).

В цилиндрической области Ц рассмотрим уравнение смешанного типа

Ьи - Ли = /

где

Ьи = ¿(ж, Ъ)и« — Аи + а(ж, + с(ж)и,

Л € С, и = Ие и + г 1т и.

Будем предполагать, что коэффициенты дифференциального оператора Ь — вещественные достаточно гладкие функции в С Введем множества

Р± = {(ж, 0) : &(ж, 0) ^ 0, ж € О}, Р± = {(ж, Т) : &(ж, Т) ^ 0, ж € О}.

Краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области Ц такое, что

и^т = 0, и|4=о = о, щ |р+ = 0, и|р- = 0.

р 0 р т

Пусть Сь — класс комплекснозначных функций из (Ц), удовлетворяющих условиям (2). Через Сь* обозначим класс комплекснозначных функций из (Ц), удовлетворяющих сопряженным краевым условиям

Чзт = 0, у\р- = О, у\г=т = 0, уг\р+ = 0,

р 0 р т

причем

Ь* V = ¿(ж, — Аг> + а* VI + с*г>, V € Сь*,

а* = — а, с* = с + к^ — а^

Рассмотрим известное пространство Соболева Ж2(Ц) [15] со скалярным произведением

(и,^1 = J

Я

иг>

+ У^ + UtVt

г=1

ЙЦ, ||иП2 = (и, и) 1 Уи, V € Ж^Ц),

и пространство Ь2(Ц), в котором

(и^)=У ипЙЦ, ||и||2 = (и,и), и, V € Ь2(Ц). Я

Пусть Ж21(Ц) (соответственно Ж21(Ц)) — пополнение класса Сь (Сь*) по норме пространства Соболева Ж21(Ц).

Определение 1. Функцию u £ L2(Q) будем называть сильным решением краевой задачи (1), (2), если существует последовательность функций um £ Cl такая, что

m—m—

Определение 2. Функция u(x,t) £ W^(Q) называется обобщенным решением первой краевой задачи (1), (2), если выполнено интегральное тождество

a

" 11

для любых v £ W21(Q), f £ L2(Q) и

a(u, v) = j

dQ.

-kutVt + пХкиХк + (а - к^щь + сии

Я

Аналогично даются определения сильного решения и обобщенного решения сопряженной краевой задачи для уравнения

Ь*у - Ау = д, д £

с краевыми условиями (2*). В силу равенства

(Ьи,у) = (и, Ь*у), и £ Сь, V £ Сь*, оператор Ь с областью определения Сь допускает замыкание Ь = А в пространстве Ь2(^). Для положительных чисел и со введем множество

£(¿1 ,м,со) = (А £ С : Ие А < со - ¿-1^2(1т А)2, Ие А < 0}. Лемма 1. Пусть коэффициент с(х) достаточно большой и выполнены условия

к(х, Т) < 0, с(х) > 2со, а--Ь>5> 0.

Тогда существуют положительные числа 617 ^ и при А £ 0(51, со) имеет место неравенство

для всех функций и £ £(Л - АЕ).

Доказательство. Для любой функции и £ Сь рассмотрим выражение

J(Ьи - Аи)(ф(Ь)щ + ^(¿)и) dQ, Я

где — неотрицательные бесконечно дифференцируемые функции. По-

сле интегрирования по частям с учетом краевых условий (2) имеем

ы2

Re j(Lu — Au)(put + ф-а) dQ = j Q Q

1

a ~ \кА<р-к(ф + ^ipt

+ (ф ~ ^Vtj ¿KJ2 + -ReA^V " ^Vtj + (ф~\vtjc

22 + Im A Im

где

I = J к(р\щ\2 Ах

t=т

¿=о

Выберем число То так, что — ¿(ж,Ъ) > ¿о > 0, Ъ € [То,Т], То < Т. Будем считать, что <^(Ъ) = м > 0 при 0 < Ъ < То, <^(Т) = 0 и ^ < 0. Положим

Ф = + 1-

Далее, выберем м так, чтобы

¿М — тах |&| > ^ > 0.

Тогда в силу условий леммы 1 и неравенства Коши имеем а - ^кЛ(р - к(ф + ^(рЛ > тт{6^,к0} =

^ 1т Л 1т

< 1м2(1тЛ)2| \и\2с1Я+5-± I \щ\

[(а — А^)^ — Re(utu) ЙЦ

<5Л ! \utfdQ

+

.у [(а — ^ — ад2|и|2 ЙЦ.

Пусть со удовлетворяет условию

со — ¿-[(а — ^ — ЭД2 > ¿2 > 0.

С другой стороны, имеем

I = J к\щ\2 ¿х\ > 0.

Тогда при Л € ^(¿1,^, со) из соотношения (5) следует априорная оценка (4). Лемма 1 доказана.

Введем множество

^

при &(ж, 0) < 0, &(ж,Т) < 0,

Б*

Л е С : Ие Л < со -

¿* М

(1т Л)2

при &(ж, 0) > 0, &(ж,Т) < 0.

1

¿

1

0

1

Лемма 2. Пусть коэффициент c(x) достаточно большой, выполнены усло-

вия

3

a--kt>6>0, с*(х) > 2cq

и имеет место один из следующих случаев:

¿(ж, 0) < 0, &(ж, Т) < 0 либо ¿(ж, 0) > 0, ¿(ж, Т) < 0. Тогда при Л € Б*(¿*, м* , со) имеет место неравенство

для всех функций V € Б (А* — ЛЕ), причем параметры ¿*, м* выбираются в зависимости от вышеназванных случаев.

Доказательство. Для функций V € Сь * после интегрирования по частям с учетом краевых условий (2*) имеем

Re у (L*v - Av)(-<^t + ^v) dQ = J

Q Q

-ReA( V + ^Vt) + U + l^t )c*

+ [

где

1 f t=T I = -- kip\vt\2 dx

2 J t=0

n

Рассмотрим случай k(x, 0) < 0, k(x,T) < 0. Выберем число to < T так, чтобы —k(x,t) > ki > 0, t G [0, to]. Пусть функция y(t) удовлетворяет условиям y(0) = 0, yt > 0, y(t) = м*, to < t < T,

причем для ¡j* = ¡i выполнено (6). Положим ф = ^<pt + 1. Снова имеем неравенство

~ к(ф > min{5/i, A;i} = ¿1.

Будем считать, что для c0 выполнено условие

* / c0 — (51

Также имеем

*

м*

c0 — (5*)-1[(kt — o)^ — k^t]2 > ¿2 > 0.

"Y j kv\vt\2dx>0.

2

пт

Теперь при Л € Б*^,м, со) из соотношения (8) получаем априорную оценку (7).

Пусть имеет место случай ¿(ж, 0) > 0, ¿(ж, Т) < 0. В равенстве (8) положим ^(Ъ) = е2м -0(Ъ) = 0. Выбираем м* > 0 так, чтобы

3 у * ¿ -*

а - +М к > ^ =

В этом случае снова имеем I > 0. Тогда априорная оценка (7) следует из (8) для Л € Б*^*, м*, со). Лемма 2 доказана.

Теорема 1. Пусть выполнены условия лемм 1,2 и А £ Б(б1,^,со) П В*(6*,^*,с*о).

Тогда для любой функции / £ Ь2(^) существует и притом единственное сильное решение краевой задачи (1), (2) из Б(Л - АЕ).

Доказательство. Из априорной оценки

К{А - АЕ) = Е(А-ХЕ). Тогда уравнение Ли - Аи = / везде разрешимо. Единственность искомого решения следует из леммы 1. Теорема 1 доказана.

Отметим, что сильное решение краевой задачи (1), (2) из £(Л - АЕ), гарантированное теоремой 1, является обобщенным решением краевой задачи (1), (2) из пространства ^г21^).

Краевая задача, сопряженная к задаче (1), (2), имеет вид

Ь*у - Ау = д

с краевыми условиями (2*).

Теорема 2. Пусть выполнены условия лемм 1,2 и А £ Б(б1,^,со) П Б*(6*1 ,м*,с*).

Тогда для любой функции д £ Ь2(^) существует и притом единственное сильное решение краевой задачи (1*), (2*) из Е(Л* - АЕ).

Доказательство теоремы 2 проводится аналогично доказательству теоремы 1.

Следуя [2], введем энергетические классы

= Б

для операторов

Л\ = Л - АЕ, Л*х = Л* - АЕ.

Лемма 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда имеет место равенство

(Л-1) * = (Л*Х )-1. Доказательство. В силу теорем 1, 2 справедливо равенство (Лхи,у) = (и, Л*ху) и £ Vl(Q), у £ VI* . В этом равенстве положим

ф = Л\и, ф = Л*х у. На основании теорем 1, 2 оно принимает вид

(ф, (Л*х)-1ф) = (Л-1 ф,ф) = (ф, (Л-1)*ф), ф,ф £ Ь2^),

откуда

(Лд)-1ф = (Л-1)*ф, ф £ ^(Я).

Лемма 3 доказана.

Теорема 3. Пусть выполнены условия лемм 1, 2. Тогда имеют место следующие утверждения.

1. Краевая задача (1), (2) однозначно разрешима в У^^) кроме не более чем счетного множества (Ак}, причем единственной предельной для (Ак} точкой может быть А = то. Наряду с Ак в спектр краевой задачи (1), (2) входит Ак. При значениях А = Ак из спектра задачи (1), (2) однородная краевая задача (1), (2) имеет нетривиальные решения в У^^), причем каждому Ак соответствует конечное число Пк линейно независимых решений.

2. Числа (Ак}, (Ак } являются собственными значениями сопряженной краевой задачи (1*), (2*), причем Хк имеет кратность Пк и соответствующие собственные функции Ук:1, з = 1, , принадлежат У^*. Для разрешимости краевой задачи (1), (2) при А = Ак необходимо и достаточно выполнения условий ортогональности

(/,%) = 0, ] = 1 ,пк.

Доказательство. Краевая задача (1), (2) эквивалентна операторному уравнению

Лдои = Ли - Аои =

При

Ао £ £№,М,со) П Б* (¿*,^*,с*о) оператор Л\0 по теореме 1 имеет ограниченный обратный Л-1, действующий из Ь2(^) в У^^). Поэтому операторное уравнение (9) эквивалентно уравнению

и =

В силу вполне непрерывности вложения У1^) в Ь2(^) заключаем, что Л- — вполне непрерывный оператор из Ь2^) в Ь2^). Тем самым доказано утверждение 1 теоремы 3.

Заметим, что сопряженная краевая задача (1*), (2*) эквивалентна операторному уравнению

у =

В силу леммы 3 однородное уравнение (11) является сопряженным к однородному уравнению (10).

Для разрешимости уравнения (9) при А = Ак необходимо и достаточно выполнения условий ортогональности

з=Т~к.

Отсюда получаем

о = (/, (А^уук]) = (/, К.ГЧ) = т^-с/^Л

Ак - Ао

Теорема 3 доказана.

Замечание. Случаи к(х, 0) < 0, к(х,Т) > 0 или к(х, 0) > 0, к(х,Т) > 0 рассмотрены в [9].

ЛИТЕРАТУРА

1. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.

2. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990.

3. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

4. Салахитдинов М. С., Уринов А. Н. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. Ташкент: Изд-во ФАН, 1997.

5. Салахитдинов М. С., Уринов А. Н. К спектральной теории уравнений смешанного типа. Ташкент: Изд-во МUМTOZ 80% 2010.

6. Егоров И. Е. О фредгольмовой разрешимости одной краевой задачи для уравнения смешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 55—64.

7. Егоров И. Е., Захарова Т. И. О фредгольмовости краевой задачи для уравнения смешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, вып. 1. С. 20-26.

8. Врагов В. Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 6. С. 1098-1105.

9. Егоров И. Е. О краевой задаче для уравнения смешанного типа со спектральным параметром // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 1, С. 11-17.

10. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

11. Кальменов Т. Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева — Бицадзе // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 8. С. 1418-1425.

12. Егоров И. Е. О фредгольмовости краевой задачи Врагова для уравнения смешанного типа четного порядка // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 4, С. 19-28.

13. Егоров И. Е. О фредгольмовой разрешимости первой краевой задачи для уравнения смешанного типа четного порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, вып. 2. С. 48-56.

14. Капустин Н. Ю., Моисеев Е. И. О сходимости спектральных разложений функций из класса Гёльдера для двух задач со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 8. С. 1069-1074.

15. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

Статья поступила 22 января 2018 г.

Егоров Иван Егорович, Ефимова Елена Сергеевна, Тихонова Ирина Михайловна

Северо-Восточный федеральный университет им М. К. Аммосова, НИИ математики,

ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891

IvanEgorov51@mail.ги, 0з1ашЕ@ша11.ги, 1г1пат1кК3007@ша11.ги

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2018. Том 25, № 1

UDC 519.956

ON FREDHOLM SOLVABILITY OF

FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM

FOR MIXED-TYPE SECOND-ORDER

EQUATION WITH SPECTRAL PARAMETER

I. E. Egorov, E. S. Efimova, and I. M. Tikhonova

Abstract: We study the first boundary problem for the mixed-type second-order equation with a spectral parameter in a cylindrical domain in Rn+1. Previously, for the mixed-type second-order equations some results were received only in two-dimensional domains. V. N. Vragov was the first to propose a well-posed statement of a boundary problem for the mixed-type equations. One of the well-posedness conditions is non-negativity of the spectral parameter. Here we analyze the case of complex spectral parameter and receive a priopri estimates under certain conditions, using which an existence and uniqueness theorem is proved for the first boundary problem in the energy class. Also, we obtain sufficient conditions for the Fredholm solvability in the energy class.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.1.12765

Keywords: mixed-type equation, a priori estimate, inequality, equality, orthogonality conditions.

REFERENCES

1. Moiseev E. I., Equations of Mixed Type with Spectral Parameter [in Russian], Izdat. Mosc. Univ., Moscow (1988).

2. Kuz'min A. G., Nonclassical Equations of Mixed Type and their Application to Gas Dynamics [in Russian], Izdat. Leningr. Univ., Leningrad (1990).

3. Egorov I. E. and Fedorov V. E., Nonclassical Higher-Order Equations in Mathematical Physics [in Russian], Izdat. Vychisl. Tsentra SO RAN, Novosibirsk (1995).

4. Salakhitdinov M. S. and Urinov A. N. Boundary Value Problems for Equations of Mixed Type with Spectral Parameter [in Russian], Izdat. FAN, Tashkent (1997).

5. Salakhitdinov M. S. and Urinov A. N., To Spectral Theory of Equations of Mixed Type [in Russian], Izdat. MUMTOZ SO'Z, Tashkent (2010).

6. Egorov I. E., "On Fredholm solvability of boundary value problem for mixed-type equation [in Russian]," Mat. Zamet. YaGU, 18, No. 1, 55-64 (2011).

7. Egorov I. E. and Zakharova T. I., "On Fredholm property of boundary value problem for mixed-type equations [in Russian]," Mat. Zamet. YaGU, 20, No. 1, 20-26 (2013).

8. Vragov V. N., "To the theory of boundary value problems for mixed-type equations [in Russian]," Differ. Uravn., 13, No. 6, 1098-1105 (1977).

9. Egorov I. E., "On a boundary value problem for equation of mixed type with spectral parameter [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU, 21, No. 1, 11-17 (2014).

10. Egorov I. E., Pyatkov S. G., and Popov S. V., Nonclassical Differential-Operator Equations, Nauka, Novosibirsk (2000).

© 2018 I. E. Egorov, E. S. Efimova, I. M. Tikhonova

11. Kalmenov T. Sh., "On the spectrum of the Tricomi problem for the Lavrent'ev—Bitsadze equation [in Russian]," Differ. Uravn., 13, No. 8, 1418-1425 (1977).

12. Egorov I. E., "On the Fredholm property of Vragov boundary value problem for mixed-type equations of even order [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU, 23, No. 4, 19-28 (2016).

13. Egorov I. E., "On Fredholm solvability of the first boundary value problem for mixed-type equations of even order [in Russian]," Mat. Zamet. YaGU, 20, No. 2, 48-56 (2013).

14. Kapustin N. Yu. and Moiseev E. I., "On the convergence of spectral expansions of functions from the Holder class for two problems with spectral parameter in the boundary condition [in Russian]," Differ. Uravn., 36, No. 8, 1069-1074 (2000).

15. Ladyzhenskaya O. A., Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Nauka, Moscow (1973).

Submitted January 22, 2018

Ivan E. Egorov, Elena S. Efimova, Irina M. Tikhonova M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics,

48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891, Russia

IvanEgorov51@mail.ru, OslamE@mail.ru, irinamikh3007@mail.ru