Расчет стабилизатора давления диссипативного принципа действия методом Лапласа с учетом трения в магистральном трубопроводе и нелинейной зависимости скорости перетекания жидкости через перфорации

РАСЧЕТ СТАБИЛИЗАТОРА ДАВЛЕНИЯ ДИССИПАТИВНОГО

ПРИНЦИПА ДЕЙСТВИЯ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ В МАГИСТРАЛЬНОМ ТРУБОПРОВОДЕ И НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ ПЕРЕТЕКАНИЯЯ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ПЕРФОРАЦИЮ

Ф.В. РЕКАЧ, канд. техн. наук, доцент Российский университет дружбы народов

Практика эксплуатации трубопроводных систем показывает, что пульсации давления и расхода, возникающие на выходе нагнетательных установок и затем передающиеся в магистраль, а также возмущения ударного характера, имеющие место при пуске и выключении нагнетательных установок, срабатывании запорных элементов, являются причиной воздействия на трубопровод динамических нагрузок, которые могут вызывать аварии и катастрофы с тяжелыми последствиями, человеческими жертвами.

Одним из эффективных средств гашения волновых процессов в трубопроводных системах являются стабилизаторы давления. Принцип их работы основан на распределенном но длине трубопровода диссипативном и упругодемп-фирующем воздействии на пульсирующий поток перекачиваемой среды. Наибольший эффект гашения достигается при диссипации энергии пульсаций на перфорационных отверстиях, равномерно распределенных по длине стабилизатора, а также вследствие демпфирования, обусловленного податливостью упругих элементов стабилизатора, выполняемых в виде газовой подушки, камер и сильфонов со стенками из пружинистых и эластичных материалов.

Стабилизатор состоит (рис. 1) из участка трубопровода 1 с перфорацией 5, равномерно распределенной по длине и соединяющей магистраль через предкамеру 4 цилиндрической или эллиптической формы и коллекторы 2 с упругими камерами 3 эллиптического поперечного сечения. Камеры 3, симметрично и равномерно расположенные вокруг корпуса предкамеры выполнены из пружинной стали и для обеспечения возможности разборки и настройки на другой режим работы стабилизатора закреплены между коллекторами посредством уплотнительных втулок 6 с резиновыми уплотнительными кольцами. Количество камер и их геометрические параметры определяют на основе конкретных требований к динамике трубопровода и режима работы нагнетательных установок.

Когда давление в трубопроводе отсутствует, камеры 3 имеют форму 1 (рис. 1). При квазистатическом давлении жидкость, протекающая по трубопроводу, через перфорацию, предкамеру и коллектор, частично заполняет камеры 3, которые принимают рабочую форму III. В случае возникновения колебаний давления в трубопроводе происходит линейная деформация упругих стенок, которые в зависимости от уменьшения или увеличения динамической составляющей давления могут принимать формы II или IV соответственно. Максимальные деформации имеют место в случае гидравлических ударов. В данном расчете трение учитывается коэффициентом а , а нелинейная зависимость скорости перетекания - коэффициентом В. Примем дополнительную гипотезу о том, что давление в различных элементах стабилизатора не меняется по коор-гдрш _дРш _дРк =ол

динате х, то есть

дх дх дх

. Это вполне естественная гипотеза,

т.к. длина стабилизатора 1СТ в рассматриваемых задачах значительно меньше длины волны, которую он гасит (1СТ « Ьв).

1 г

Рис. 1 Стабилизатор давления с разветвленной системой упругих камер

Наддув

На рис. 2 приведена схема магистрали, в которой установлен стабилизатор с перфорацией 3, упругими камерами 4 и предкамерой 5: колебания давления генерируются насосом 7, при открытии (или закрытии) клапана 8 может возникать гидравлический удар вследствие быстрого изменения расхода в магистрали.

Система уравнений, описывающая движение жидкости в трубопроводе со стабилизатором, считая жидкость несжимаемой средой (р-const), имеет вид [3] с начальными условиями (12):

1ЖМ

Т

Рис. 2 dpn

dpj{x,t)

dx dp[

= -Р

dvr

dt

2 avj

дх

dpn(x,t) dt

= -P

dvn{x,t)

dt

дх

= -p cT

dt

2 dvn

+ 2 av jj

дРпк ^пк .

dx ' Р dt '

71 dIII ^пк

fm nep dx

дх

= 0;

(4

dp ¡а dx 4

dm

dPK dx

дРк dt

dv

III

nep

dt ' + = 0;

P

dx ÖVK dt

2 ÖV/C -PCK —r^ dx

+ Bvy

nep

(5),

(6),

(9),

Pill - P ПК =Avnep 1 "'nep

Pl{x,t)-0, pn(x,t)~ 0 при t< 0, pj(0,t) = 0 при t> 0; Vj(x,t) = 0, vn(x,t) = 0 при /<0, vu(l[ +lCT +1ц ,t) = u(t) при t> 0, (12) где p[ j. p¡f, vц,p¡и m - давление и скорость на участках магистрали I, II, III; а- коэффициент трения в магистрали трубопровода; ст>ск- скорость звука в трубе, камере с жидкостью; vnep - скорость перетекания потока из трубопровода в предкамеру; Рпк^пк^Рк^к ~ давление и скорость в предкамере и

камере стабилизатора; /пк площадь поперечного сечения

предкамеры кольцевой формы; с1 ш, с1 ик - средний диаметр трубы магистрали и внешний диаметр кольца предкамеры; А и В - постоянные коэффициенты, получаемые экспериментально.

Уравнения (1)-(11) представляют собой систему относительно одиннадцати неизвестных функций ри V,, рп, уп, рш, х<П] рш, упк, рк, \к, Упер,

в которой (1), (3), (5), (7), (9) являются уравнениями равновесия элемента потока; (2), (4), (6), (8), (10) - уравнениями неразрывности и уравнение (11) выражает условие перетекания жидкости через перфорацию.

Интегрируя уравнения (6), (8), (10) по х (от до + 1СТ), производя необходимые выкладки, записывая условия «сшивки» решений по участкам и применяя преобразования Лапласа (13) по времени, получим систему (14) с граничными условиями для изображений (15)-(18), где /,[/(.?, изображение Лапласа функции /(х, /).

/(х,*) = ¡е~я/(х,0Ж,

Ф7(х,5) йх

+ рзу1(х,5) + 2арУ;(х,я) = 0, 5 р1(х,$) + р с]

(В1 (х, 5) йх

= 0,

+ рзуп(х^) + 2аруп(х,5) = 0, 5р„(х,5) + рс\ ^

сЬс

р;(0,5) = 0 (15), Ри^ +/сг,5) = р/(/;,5),

Як/к

с1х

- 0

рск

А (уII (Ь +1ст^)-у1(11,з))+

пЛщрек

м

А,.

Рис.3

Для упрощения выражения (18) применим следующий численный прием. Пусть на интервале (-Ъ,Ъ) задана функция /(V). Представим ее в виде (19) -

рис. 3, где А, - абсцисса 1-го отрезка, к- функция Хевисайда, Д^ - абсцисса левого конца /' -го отрезка, Д" - абсцисса правого конца I -го отрезка. В качестве V принимаем выражение (20). В первом приближении принимается 6=0

У = Уп

Для вынужденных колебаний примем функцию и(/) в виде (21). Преобразование Лапласа для и(/) имеет вид (22).

и(/) =

\и0е"* при />0, [О при ¿<0.

(21),

*0

Б-Ш,

(22).

'о

Рассмотрим случай, когда 1п =0. Решая систему (14) с граничными условиями (15)-(18) и переходя во временную область (т.е. находя оригиналы функций), найдем функцию р,(х,1) и vI(x,t)- формулы (23) и (24).

р,(х,0 = -рсти0—7

\ст

-

сА

I,

\ст

+ -

ш0астрст

<?(»' о) • ['1 + (Ат + Уст)  ('^о) ]

-.у/г

\ •

' {¿щ+а)

\ст

>70м) =

рстщ

>ю

"о

где

асг =4

сг

ХК1КА

•г

¡(щ!

хк/кьв

^к/кКт о _

7 2 2 ' "сг - , 2 - л ^ ,

лйшрск яйшрск 4 лрск1ст

При переходе во временную область используется формула обращения Мел-лина (25), интеграл вычисляется с помощью вычетов - формула (26).

/(*,,)= — \ }{5,х)-е"сЬ 2л I }

Ып

/

¿=1

Для вынужденных колебаний полюсы берутся относительно функции й(з). Следовательно, единственный полюс 5 = /0

Пример. Исходные данные: плотность жидкости р = 1000 кг/м , скорость звука в трубе сг=1200 м/с, скорость звука в камере ск =70 м/с, амплитуда скорости и0=2 м/с, круговая частота вынужденных колебаний -со0 -Юл 1/с, длина магистрали трубопровода - /, =50 л*, длина стабилизатора 1СТ— 0.4 м, диаметр трубопровода - ^/я=0.1м, площадь поперечного сечения камеры -

=0.628-10 3 л<2, число упругих камер - NK = 8, коэффициент

А = Ъ2-ЖНIм-с .

На рис. 4 показаны графики зависимости давления от времени в сечении х= 10 м без стабилизатора (А=0, В=0) - кривая 1, со стабилизатором ( А^ 0, В=0) - кривая 2 и со стабилизатором, учитывая коэффициент В (А Ф 0,

В = 0.128-109Я -с2 / л/ ) - кривая 3.

На рис. 5 показаны графики зависимости давления от времени в сечении •х=10 м без стабилизатора (А=0, В=0) - кривая 1, со стабилизатором (А#0, В=0) - кривая 2 и со стабилизатором, учитывая трение в магистрали по формуле 2а = Ъ-\у,\ (А^0,В=0,Ь=7 1/м)-кривая 4.

ДАВЛЕНИЕ В МАГИСТРАЛИ

2 1

МПа 0

ДАВЛЕНИЕ В МАГИСТРАЛИ

Рис.4 jc = 10л<;

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 t сек

Рис.5 х = \0м;

Литература

1.А.С. 1753174 СССР, МКИ3 F 16 L 55/04. Гашение колебаний давления и расхода.

2. А.с. 1010392 СССР, МКИ3 F 16 L 55/04. Гаситель пульсаций давления.

3. Ганиев Р.Ф., Низамов Х.Н., Дербуков Е.И. Волновая стабилизация и предупреждение аварий в трубопроводах,-М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996.-260 с.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - М.: Наука, 1974. - 544 с.

5. Махин В.А., Присняков В. Ф., Велик Н.П. Динамика жидкостных ракетных двигателей. - М.: Машиностроение, 1969. - 384 с.

6. Чарный И.А.. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. -М.: Недра, 1975.-296 с.

ANALYSIS OF PRESSURE STABILIZER OF DISSIPATIVE TYPE BY LAPLAS METHOD ACCOUNTING FRICTION IN MAGISTRAL TUBE AND NON-LINEAR RELATION OF LIQUID FLOATING VELOCITY

THROUGH PERFORATION

F.V. Rekach

Analysis of effective facility for reduction of harmful wave processes in circular tubes based on dissipative and elastico-damping action is described.