Деформации алгебры Ли типа a5 в характеристике 21

УДК 512.554.31

DOI 10.21685/2072-3040-2019-1-5

М. И. Кузнецов, Н. Г. Чебочко

ДЕФОРМАЦИИ АЛГЕБРЫ ЛИ ТИПА Т5 В ХАРАКТЕРИСТИКЕ 21

Аннотация.

Актуальность и цели. Классификация простых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики p=2 к настоящему времени не завершена. Деформации алгебр Ли позволяют получать примеры новых простых алгебр Ли. Целью работы является описание структуры пространства локальных деформаций как модуля над группой автоморфизмов Aut L.

Материалы и методы. Применяются методы теории деформаций и техника, основанная на изучении орбит действия группы автоморфизмов алгебры Ли на пространстве ее локальных деформаций.

Результаты. Найдено описание пространства локальных деформаций ал— 3 3 гебры Ли A5 как фактормодуля в ЛV V для стандартного 6-мерного

SL ( 6 ) -модуля V.

Выводы. Глобальные деформации алгебры Ли A5 дают новую простую 34-мерную алгебру Ли характеристики 2.

Ключевые слова: модулярные алгебры Ли, группа когомологий, деформации алгебр Ли.

M. I. Kuznetsov, N. G. Chebochko

LIE ALGEBRA DEFORMATIONS OF TYPE A5 IN CHARACTERISTIC 2

Abstract.

Background. The classification of simple Lie algebras over an algebraically closed field of characteristic p = 2 is not complete by now. Deformations of Lie algebras make it possible to obtain examples of new simple Lie algebras. The goal of the paper is to describe the structure of the space of local deformations as a module over automorphism group Aut L.

Methods. Methods of deformation theory and a technique based on the study of the orbits of the action of the automorphism group of Lie algebra on the space of its local deformations are applied.

Results. We find a description of the space of the local deformations of lie algebra as a quotient of the module in the standard 6-dimensional-module.

Conclusions. The global deformation deformations of Lie algebra give a new simple 34-dimensional Lie algebra of characteristic 2.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №18-01-00900, и Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ в 2018 г.

© Кузнецов М. И., Чебочко Н. Г., 2019. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

Keywords: modular lie algebras, cohomology group, deformations of Lie algebras.

Введение

Классические алгебры Ли над полями нулевой характеристики и характеристики p > 3 являются жесткими [1]. Над полем характеристики 2 и 3 классические алгебры Ли имеют нетривиальные деформации. В работах [2, 3] доказано, что над полем характеристики p > 2 глобальные деформации

имеет только алгебра Ли типа C2, их описание дано в работах [4, 5]. Пространства локальных деформаций классических алгебр Ли с однородной системой корней над полем характеристики 2 найдены в [6]. В характеристике 2 в сериях An и An пространство локальных деформаций нетривиально только для алгебр Ли типа A3 и A5 . Глобальные деформации A3 описаны в работе

[7].

В данной работе исследуются глобальные деформации алгебры Ли типа A5 над алгебраически замкнутым полем характеристики 2.

Используется техника, развитая в работе [5], основанная на изучении орбит действия группы автоморфизмов алгебры Ли на пространстве ее ло-

2

кальных деформаций. Коциклы H (L, L) из одной орбиты дают эквивалентные деформации.

Введем основные определения. Пусть A = K ((t)) - поле частных кольца степенных рядов от переменной t; L - алгебра Ли над полем K, La = L к A. Если билинейное отображение f: La х La ^ La вида

ft (х, У) = [х, У] +FKx, У) +1 F2(x, y) +— (где Ft - K -билинейные отображения) удовлетворяет условию антисимметричности и условию Якоби, то алгебры Ли La с умножением f являются семейством глобальных деформаций алгебры Ли L. Условия, накладываемые на отображение f, означают,

в частности, что отображение F принадлежит Z2(L, L). Когомологичные

коциклы дают эквивалентные деформации, поэтому для нахождения дефор-

2

маций рассматривают пространство локальных деформаций H (L, L).

1. Пространство локальных деформаций

Пусть L - алгебра Ли типа A5 над полем характеристики 2; {ai,а2,«3 «4,«5} - базис системы корней R типа A5 , {Ha (i = 1,...,5),

Ea (ae R)} - базис Шевалле в L . В работе [6] доказана

Теорема 1. Пространство локальных деформаций H2(L,L) имеет размерность 20. Веса H (L, L) имеют одну орбиту относительно действия группы Вейля. Весовые пространства одномерны, веса сопряжены с ai + a3 + a5 и имеют вид Р + у + 5 - сумма трех попарно ортогональных корней.

2 2

Найдем базис в H (L, L). Все веса H (L, L) сопряжены, поэтому до-

2

статочно найти базисный вектор в Hа1+аз +а5 (L, L). Так как а^ + аз + а5 нельзя представить в виде суммы двух корней (положительные корни в An -суммы по связным подмножествам графа Дынкина), то B +аз +а5 (L, L) = 0.

Вес а^ + аз + а5 представляется в виде суммы трех корней следующими способами:

а! +аз +а5, (а! +а2 +аз + а4 +а5) + (-а2) + (-аД (а3 +а 4 +а5) + (-а 4) + (а!),

(а! +а2 +аз +а4 +а5) + (-а2 - аз -а4) + (аз),

(а^ + а2 + аз) + (-а2) + (а5), (а! +а2 +аз) + (аз +а4 +а5) + (-а2 - аз -а4).

Базисным коциклом в Zа+аз+а5 (L, L) является , где

*

Е-Р А Щ-у Щ .

Р+у+6=а! +аз +а5

Когомологические классы, лежащие в одной орбите относительно действия группы автоморфизмов, дают изоморфные алгебры Ли. Поэтому важно

2

найти удобное описание Н (L, L) как модуля над группой автоморфизмов алгебры Ли L.

Пусть V - стандартный 6-мерный SL (6) -модуль с базисом {в!,в2,вз,64,65,вб) ; L - алгебра Ли типа А5 характеристики 2, т.е. L - фак-

торалгебра {фе V  V\ 1хф = 0} по центру. Черту для обозначения смежных

классов в факторалгебре писать не будем.

з * з

Рассмотрим пространство Л V Л V и подпространство

и =< / а g а И  V а ^ а и\ /, g, И(у, и, м>) = 0 > . Элементу V = ^ а а уг е

Л3V

соответствует з-мерное подпространство Же От(з^) и

о *

Ж = Annv*(Ж) е От(з^ ). Подпространство и натянуто на элементы

g  V, где V е Л3V, g = g! а g2 а gз, где < g!, g2, gз >= Ж0.

Так как Л6V - одномерный тривиальный модуль над SL(V), то на

з

Л V определена невырожденная инвариантная кососимметрическая форма

(спаривание Л^хЛ^ ^ Л6V ). Следовательно Л^ = (Л3V)* = Л3V*. Таким

з * з

образом, определен изоморфизм Ф: Л V

^Л V,

причем

Ф(/ а/] а/к) = в5 аеГ авт, где {/,],к,s,X,т} = {!,...,6} .

Получаем, что Л3У*  Л3У = Л3У  Л3У как БЬ(У) модули и и изо-

3 3

морфен < м  м?, м е Л У >. Пусть {м1,...,М2о} - базис Л У, обозначим через и подмодуль в и :

U1 =< Wl  Wy + Wy  Wj | i Ф j >, U = U / U1 =< Wl  Wj, i = 1,...,20 > . 2 —

Теорема 2. H (L, L) = U - изоморфизм модулей над Aut(L). Доказательство.

Пусть {f, i = 1,...,6} - двойственный базис к ^, i = 1,...,6}.

Определим F: Л V*  Л3V ^ C2(L, L) по

правилу

F(g1 лg2 лg3 V лv2 лv3) =¥, где

g  v, Л  u) =

g1(v) g1(u) g1

g2 (v) g2(u) g2

g3(v) g3(u) g3

g (v1) h(v) V1 g (V2) h(v2) V2 g (V3) h(v3) V3

Прямая проверка показывает, что для базисных векторов /1 л л /к  е5 л ег л ег, где /, ], к, 5, г - различны, отображение

является

F (fi л fj л fk  л et л ег) F(f2 л f4 л f6  л ез л 65) = (определено выше).

с1 л fj

коциклом.

Например:

При проверке того, что F(f л fJ л f  е, л et л ег) является коцик-

лом на векторах f  еj, f  е j, f  е^, получим

dV( fS  е, ft  еу, fr  е^) = [у( fs  е, ft  еу), fr  ек ] +

+[у(fs  е, fr  ек), ft  еу ] + [у(fr  ек, ff  еу), fs  е ] =

= [ fk  ег, fr  ек ] + [ fу  et, ft  еу ] + [ f  е,, fs  е ] =

= fk  ек + fr  ег +  еу + ft  et + fl  е + fs  е, = 0

в факторалгебре A5 . В факторалгебрах An при n > 5 элемент fk  ек + fr  ег + f]  еу + ft  et + fi  е1 + fs  е3 Ф 0, поэтому данная

конструкция работает только при n = 5 .

F перестановочно с действием Aut(L).

Базисными векторами в U являются образы векторов

f л fJ л fk  е8 лег лег, где (i,у,к} выборка трех элементов из {1,...,6},

— 2 (s,t,r} - оставшиеся три, dimU = 20 = dimH (L,L).

Рассмотрим модуль однородных многочленов второй степени в разделенных степенях от переменных Wj и подмодуль < WjW у, 1Ф у> . Фактормо-

дуль изоморфен < ^г(2),7 = ¡,...,20 > - модуль, состоящий из смежных классов элементов ^(2), < ^/2),7 =!,...,20 >= и .

2. Интегрируемость коциклов

Будем называть коцикл у из Н2(L, L) интегрируемым, если он продолжается до глобальной деформации алгебры Ли L. Соответствующий коз * з

циклу у вектор из Л V Л V также будем называть интегрируемым. Необходимым условием и интегрируемости коцикла у является тривиальность

з

коцикла уиу из Z (L,L), где

(У! и У2 )(х, У, г) = У! (у2 (X У),2) + У! (У2 (У, ?),х) + У! (У2 (г, х), У ).

Определим также коциклы [У!, у2] = У! и У2 + У2 и У!. Из определения естественного действия АиХ(L) на Zk (L, L) сразу следует, что g[Уl,У2] = [gУ!,gУ2] для любого g е АиХ(L).

Для весовых базисных векторов у из Н (L, L) выполняется у и у = 0. Это достаточно проверить для коцикла У!. Коцикл У! имеет вес а! +аз +а5. Поэтому если у!(у!(Ер,Еу),Е5)*0, то в + у + а! +аз +а5,

в + у+5 + 2а! + 2аз + 2а5 являются корнями.

Так как положительные корни в Я - это суммы с коэффициентом ! по связным подмножествам графа Дынкина, то условие в + у + 5 + 2а! +

+2аз + 2а5 означает, что минимум 2 из корней в, у, 5 отрицательны (например, в, у < 0) и имеют ненулевой коэффициент при а!. Если третий корень положителен, то так как в сумме в + У + 5 + 2а! + 2аз + 2а5 коэффициенты меньше или равны !, то два отрицательных корня должны содержать и а! и а5, а значит, в = у = -а!-а2-аз-а4-а5. Тогда в + у + 5 + 2а! + 2аз + +2а5 = 5 - 2а2 - 2а4 не является корнем ни для какого 5 . Аналогично, если третий корень отрицателен, то в + У + 5 + 2а! + 2аз + 2а5 также не является корнем. Поэтому у^у^Ер,Еу),Е5) = 0 для любых в,У,5е Я .

2

Таким образом, каждый базисный весовой коцикл у из Н (L, L) является интегрируемым и отображение / = [ , ] + ху удовлетворяет условию Якоби и антисимметричности. Так как базисные весовые векторы находятся в одной орбите относительно действия группы Вейля, то алгебры, определенные умножением / = [ , ] + хуг-, все изоморфны алгебре с умножением / = [ , ] + ху!, где Е(/2 а/4 а/6 в! авз ав5) = У!. Вектор X /2 а /4 а /6  в! а вз а в5 находится в одной орбите с вектором /2 а /4 а /6  в! а вз а в5 . Поэтому все алгебры в семействе алгебр с умножением = [ , ] + ху! изоморфны алгебре Ьу с умножением [ , ] + У!.

Так как Ep, Ey) = Eg только для ортогональных в, у, 5, то Ep, Ey) Ф 0 только, если [Ep, Ey ] = 0. Поэтому на базисных векторах

умножение в L¡ либо совпадает с умножением в L либо равно значению коцикла на этих векторах. Поэтому из простоты и ограниченности алгебры

Ли типа A5 следует, что L¡ - ограниченная простая алгебра Ли.

Библиографический список

1. Рудаков, А. Н. Деформации простых алгебр Ли / А. Н. Рудаков // Известия Академии наук СССР. Сер.: Математика. - 1971. - Т. 35. - С. 1113-1119.

2. Кузнецов, М. И. Деформации классических алгебр Ли / М. И. Кузнецов, Н. Г. Чебочко // Математический сборник. - 2000. - Т. 191, № 8. - С. 69-88.

3. Кириллов, С. А. О деформациях алгебры Ли типа G2 характеристики три / С. А. Кириллов, М. И. Кузнецов, Н. Г. Чебочко // Известия вузов. Математика. -2000. - Т. 454, № 3. - С. 33-38.

4. Кострикин, А. И. Параметрическое семейство простых алгебр Ли / А. И. Ко-стрикин // Известия Академии наук СССР. Сер.: Математика. - 1970. - Т. 34. -С. 744-756.

5. Кострикин, А. И. О деформациях классических алгебр Ли характеристики три / А. И. Кострикин, М. И. Кузнецов // Доклады Российской Академии наук. -1995. - Т. 343, № 3. - С. 299-301.

6. Чебочко, Н. Г. Деформации классических алгебр Ли с однородной системой корней в характеристике 2. I / Н. Г. Чебочко // Математический сборник. - 2005. -Т. 196, № 9. - C. 125-156.

7. Chebochko, N. G. Integrable cocycles and global deformations of Lie algebra of type G2 in characteristic 2 / N. G. Chebochko, M. I. Kuznetsov // Communications in Algebra. - 2017. - Vol. 45, № 7. - P. 2969-2977.

References

1. Rudakov A. N. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Ser.: Matematika [Bulletin of USSR Academy of Sciences. Series: Mathematics]. 1971, vol. 35, pp. 1113-1119. [In Russian]

2. Kuznetsov M. I., Chebochko N. G. Matematicheskiy sbornik [Mathematical collected articles]. 2000, vol. 191, no. 8, pp. 69-88. [In Russian]

3. Kirillov S. A., Kuznetsov M. I., Chebochko N. G. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 2000, vol. 454, no. 3, pp. 33-38. [In Russian]

4. Kostrikin A. I. Izv. AN SSSR. Ser.: Matematika Bulletin of USSR Academy of Sciences. Series: Mathematics]. 1970, vol. 34, pp. 744-756. [In Russian]

5. Kostrikin A. I., Kuznetsov M. I. Doklady Rossiyskoy Akademii nauk [Reports of Russian Academy of Sciences]. 1995, vol. 343, no. 3, pp. 299-301. [In Russian]

6. Chebochko N. G. Matematicheskiy sbornik [Mathematical collected articles]. 2005, vol. 196, no. 9, pp. 125-156. [In Russian]

7. Chebochko N. G., Kuznetsov M. I. Communications in Algebra. 2017, vol. 45, no. 7, pp. 2969-2977.

Кузнецов Михаил Иванович

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра алгебры, геометрии и дискретной математики, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

E-mail: kuznets-1349@yandex.ru

Чебочко Наталья Георгиевна

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра фундаментальной математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

E-mail: nchebochko@hse.ru

Kuznetsov Mikhail Ivanovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of algebra, geometry and discret mathematics, Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod

Chebochko Natal'ya Georgievna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of fundamental mathematics, National Research University "Higher School of Economics"

Образец цитирования:

Кузнецов, М. И. Деформации алгебры Ли типа А5 в характеристике 2 / М. И. Кузнецов, Н. Г. Чебочко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 20!9. - № ! (49). -С. 49-55. - БОТ !0.2!685/2072-з040-20!9-!-5.