Задача с интегральным условием в гиперболической части для характеристически нагруженного гиперболо-параболического уравнения

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4

УДК 517.95

ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЧАСТИ ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИ НАГРУЖЕННОГО ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ К. У. Хубиев

Аннотация. Для модельного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа с характеристической нагрузкой доказана теорема существования и единственности решения нелокальной задачи с интегральным условием в гиперболической части. Единственность решения доказывается методом Трикоми, существование — методом интегральных уравнений.

Ключевые слова: нагруженное уравнение, уравнение смешанного типа, гиперболо-параболическое уравнение, нелокальная задача, интегральное условие.

Рассмотрим характеристически нагруженное уравнение гиперболо-параболического типа

(х + у)и(х + у, 0) = 0, у < 0,

в области О, ограниченной отрезками ААо, В Во, АоВо прямых х = 0, х = 1, у = ¡г > 0 соответственно и характеристиками волнового уравнения АС : х + у = 0, ВС : х — у =1, где А = А(х, у), г =1, 2, — заданные функции. Через О+

и О- обозначим параболическую и гиперболическую части смешанной области О соответственно, а через 3 — интервал 0 < х < 1 прямой у = 0.

В настоящее время задачи для уравнений в частных производных основных и смешанных типов с нелокальными условиями, в том числе и интегральными, активно изучаются. Различные краевые задачи для уравнений гиперболического и параболического типов с интегральными условиями рассматривались в работах многих авторов (см., например, работы [1-5] и библиографию в них). В некоторых случаях для исследования разрешимости нелокальных краевых задач весьма эффективен метод, основанный на сведении их к локальным задачам для нагруженного уравнения [6-9].

В данной работе рассматривается задача с интегральным условием в гиперболической части для уравнения гиперболо-параболического типа с характеристической нагрузкой, в [10] была исследована задача с интегральным условием в гиперболической части для уравнения (1) при = Мг(^) = 0.

© 2016 Хубиев К. У.

Введение

1. Постановка задачи

Регулярным в области О решением уравнения (1) назовем функцию u(x,y) из класса C(Í2) П С1 (О) П C2(íl~) П удовлетворяющую уравнению (1) в

О+ UО-, такую, что uy(x, 0) может обращаться в бесконечность порядка меньше единицы на концах интервала J.

Функция p(x) удовлетворяет условию монотонности M [11, с. 42], если для любых x и y из ]0,1[

1

p(x) е C1]0,1], p(x) > 0, / p(x) dx < ж,

о

P(x) > p(y), p'(x) < p'(y) Vx < y.

Задача. Найти регулярное в области О решение u(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

u

i

u

о

где ^o(y), ^1(y), ^(x), K(x, £) — заданные функции.

Для задачи (1)-(3) справедлива

Теорема. Пусть ^o(y),^i(y) е C[0,h], ^(x) е C1[0,1] П C2]0,1[, A(x,y) е C(íí ) удовлетворяет условию Гельдера по x, ^1(x) е C[0,1], ^2(x ) е C[0,1] П C 1]0,1[ и выполняются условия

A(x, 0) < 0, M1(x) > 0, M2(x) > 0, ^2(x) > 0, функция K(x, £) представима в виде

K (x,0= p(C)+sgn(x — ^)p(|x — £|),

где p'(t) удовлетворяет условию M, p(t),p''(t) е L[0,1]. Тогда задача (1)-(3) имеет решение и притом единственное.

2. Функциональные соотношения между u

Пусть существует решение u(x, y) задачи (1)-(3). Положим т(x) = u(x, 0), х £ J, v(x) = uy(x, 0), x £ J, тогда т(х) £ C(J) П C1( J), v{x) £ C( J) П L(J), а из условий (2) получим

т

Переходя в уравнении (1) к пределу при y ^ +0, получим функциональное соотношение, принесенное из параболической части О+ смешанной области О на AB:

т''

Если ^1(х),^2(х) € С[0,1], то, учитывая гладкость функций т(х), ^(х), решение задачи Коши для уравнения (1) в О- можно представить в виде [12, с. 59]

х-у

, \ т(х+у) + т{х-у) 1 [ Чх,у) =----- I НО^

х+у

0 х-у+п

1

+ 2

И I + + +

у х+у-п

Учитывая в (6) условие (3) задачи и дифференцируя, после несложных преобразований получим функциональное соотношение, принесенное из гиперболической части О- смешанной области О:

хх

х1

т'

0

где

х1

^о(х)= ^(х) — | К(х,С)т(С) ¿С

0

3. Единственность решения задачи

Пусть ^о(у) = ^1(у) = 0. Умножая тождество (5) на функцию т(х) и интегрируя от 0 до 1, с учетом того, что т(0) = ^о (0) = 0, т(1) = ^1(0) = 0, получим

х1

/т(С)[т''(С) + А(С, 0)т(С) — V(С)] ¿С

о

= - /т(0К0 ^ + / ([г2«)] - + °)т2«)) ^

оо

х1 х1

= — / т(СМС) ¿С — / ([т'(С)]2 — А(С, 0)т2(С)) ¿С = 0,

о

откуда непосредственно следует

х1 х1

/т(СМС) ¿С = — / ([т'(С)]2 — А(С, 0)т2(С)) ¿С.

оо По условию теоремы А(х, 0) < 0, следовательно,

х1

/т

о

С другой стороны, выражая ^(ж) из (7) при ^(ж) = 0, получим 11 Г €

I т

0 0 [ 0

1 1 1 €

= Ц [г2т'^+\ I + \ 11М2

¿С

00

11 1 1

+ 21 т(£) I = ^ I М^ЛО^ + ^О) I т(0

00

'¿С

1 1 11 + \ 1^2

0 I. € ] 0 0

Учитывая, что Кх(ж, С) = р'(|ж — С|), а функция р'(|ж — С|) удовлетворяет условию монотонности М и, следовательно [11, с. 43],

11 11

I ¡К(£,*)т(С)т(¿) ^ = 11 р'(|С — *1)т(С)т(¿) ¿¿¿С > 0, 0 0 0 0

при выполнении условий теоремы ^1(ж) > 0, ^2(ж) > 0, ^2 (ж) > 0 имеем

1

I т(СМС) ¿С > 0.

Отсюда и из (8) получим, что

т (СМС) ¿С = 0.

Поскольку левая часть (9) равна нулю, а слагаемые справа неотрицательны, то

1 1

У/р'(1С — ¿1)т (С)т (¿) ¿¿¿С = 0

00

и, следовательно, т(ж) = 0 [11, с. 43], из чего нетрудно заключить единственность решения задачи (1)-(3).

4. Существование решения задачи

Подставляя ^(ж) из (7) в (5), получим уравнение вида

т ''(ж) — т'(ж) = д(ж),

2

1

где

X

д(х) = —2^о(х) —

А

Ф)+1 I М2ЙМ0С

о

Решение задачи Дирихле (4) для уравнения (10) имеет вид

х1

т

о

где С(х, С) — функция Грина

г 0 < ^ < е* - е ех — 1

\ ж<^<1, ^ е-1' е — 1

\ е-1 ' — ^ — '

Подставляя д(х) в (11), получим уравнение

х1

т

где

х1

/(х)= С((х, 1)^(0) — С((х, 0)^о(0) — 2^ С(х,С)^'(С) ¿С,

д(х,с) =

х1 х1

<И

х1 х1 о - ^^ J с{х, г) м - 2 J с{х, г)р'{- <я.

Учитывая свойства функций А(х, 0), (х), ^2(х), ^(х), р(х) и С(х, С), заключаем, что уравнение (12) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи (1)-(3), причем его решение т(х) принадлежит С[0,1] П С2]0,1[. Далее v(x) находим из (7), откуда видно, что v(x) € С 1]0,1[.

После нахождения функции т(х) регулярное решение задачи (1)-(3) в О-находится по формуле (6), а в

О+

— как решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности (см., например, [13, с. 267]) с правой частью /(х,у) = —Х(х,у)т(х), причем /(х,у) принадлежит С(Г2+) и удовлетворяет условию Гельдера по х, откуда следует, что решение и(х, у) задачи (1)-(3) регулярно и в О+.

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1166-1179.

2. Пулькина Л. С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями 1-го и 2-го рода // Изв. вузов. Математика. 2012. № 10. С. 32-44.

3. Кожанов А. И. Разрешимость краевых задач для линейных параболических уравнений в случае задания интегрального по временной переменной условия // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 4. С. 20-30.

4. Мамчуев М. О. Необходимые нелокальные условия для диффузионно-волнового уравнения // Вестн. Самар. гос. ун-та. 2014. № 7. С. 45-59.

5. Моисеев Е. И., Корзюк В. И., Козловская И. С. Классическое решение задачи с интегральным условием для одномерного волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50, № 10. С. 1373-1385.

6. Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 1. С. 72-81.

7. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012.

8. Кожанов А. И. О разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для линейных гиперболических уравнений второго порядка // Докл. АН. 2009. Т. 427, № 6. С. 747-749.

9. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для одномерного гиперболического уравнения и ее связь с нагруженным дифференциальным уравнением // Докл. Адыгской (Черкесской) междунар. Академии Наук. 2013. Т. 15, № 2. С. 68-72.

10. Хубиев К. У. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения гиперболо-параболического типа // Тр. Междунар. конф. «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, 24-27 июня 2008 г.). Стерлитамак, 2008. Т. 2. С. 180-184.

11. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003.

12. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

13. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995.

Статья поступила 18 октября 2016 г. Хубиев Казбек Узеирович

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, ул. Шортанова, 89А, Нальчик 360000 к1шМе¥_та"Ь11@та11 .ги

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4

UDC 517.95

A PROBLEM WITH AN INTEGRAL CONDITION IN THE HYPERBOLIC PART FOR A CHARACTERISTICALLY LOADED HYPERBOLIC-PARABOLIC EQUATION K. U. Khubiev

Abstract. We prove the uniqueness and existence of solutions of a model characteristically loaded mixed hyperbolic-parabolic equation. The Tricomi method is applied for establishing the solution uniqueness and the existence is proved with the use of the integral equation method.

Keywords: loaded equation, mixed type equation, hyperbolic-parabolic equation, nonlocal problem, integral condition.

REFERENCES

1. Kozhanov A. I. and Pul'kina L. S. "On the solvability of boundary value problems with a nonlocal boundary condition of integral form for multidimensional hyperbolic equations," Differ. Equ., 42, No. 9, 1166-1179 (2006).

2. Pul'kina L. S. "A nonlocal problem for a hyperbolic equation with integral conditions of the 1st kind with time-dependent kernels," Russ. Math., 56, No. 10, 26-37 (2012).

3. Kozhanov A. I. "Solvability of boundary value problems for linear parabolic equations with a boundary condition of integral form in time variables," Mat. Zamet. SVFU, 21, No. 4, 20-30 (2014).

4. Mamchuev M. O. "Necessary non-local conditions for a diffusion-wave equation," Vestn. Samar. Gos. Univ., Estestvennonauchn. Ser., No. 7, 45-59 (2014).

5. Moiseev E. I., Korzyuk V. I., and Kozlovskaya I. S. "Classical solution of a problem with an integral condition for the one-dimensional wave equation," Differ. Equ., 50, No. 10, 1364-1377 (2014).

6. Nakhushev A. M. "Approximate method of solving boundary-value problems for differential equations and its application to the dynamics of ground moisture and ground water," Differ. Equations, 18, 60-67 (1982).

7. Nakhushev A. M., Loaded Equations and their Applications [in Russian], Nauka, Moscow (2012).

8. Kozhanov A. I. "Solvability of some spatially nonlocal boundary value problems for second-order linear hyperbolic equations," Dokl. Math., 80, No. 1, 599-601 (2009).

9. Pul'kina L. S. "A nonlocal problem with conditions of integral form for the first-order hyperbolic equation and its connection with the loaded differential equation," Dokl. Adygsk. (Cher-kess.) Mezhdunar. Akad. Nauk, 15, No. 2, 68-72 (2013).

10. Khubiev K. U. "On some nonlocal boundary value problem for the hyperbolic-parabolic equations," Proc. Int. Conf. "Differential Equations and Related Problems" (Sterlitamak, June 24-27, 2008), 2, 180-184 (2008).

11. Nakhushev A. M., Fractional Calculus and its Applications [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2003).

© 2016 K. U. Khubiev

12. Tikhonov A. N. and Samarskii A. A., Equations of Mathematical Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1977).

13. Nakhushev A. M., Equations of Mathematical Biology [in Russian], Vysshaya Shkola, Moscow (1995).

Submitted October 18, 2016 Khubiev Kazbek Uzeirovich

Applied Mathematics and Automation Institute, 89A Shortanov Street, Nal'chik 360000, Russia khubiev_math@mail .ru