Полиномиальные классы сложности над вещественными алгебрами с нильпотентными элементами

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 4. С. 37-41.

УДК 510.52 А.Н. Рыбалов

Омский государственный университет им. Ф. М.Достоевского

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ СЛОЖНОСТИ НАД ВЕЩЕСТВЕННЫМИ АЛГЕБРАМИ С НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ*

Рассматирвается теория сложности вычислений над произвольными алгебраическими системами, развитая Рыбаловым на основе подхода к обобщенной вычислимости, предложенного Ашаевым, Беляевым и Мясниковым. Пусть А - алгебра над полем И с хотя бы одним нильпотентным элементом. В статье доказывается, что аналоги классических классов сложности Р и ЫР не совпадают.

Ключевые слова: обобщённая вычислимость, Р, ЫР. вещественные алгебры.

Введение

Теория сложности вычислений над произвольными алгебраическими системами берет своё начало с работы Блюм, Шуба и Смейла

[1], в которой она была развита на основе теории вычислимости над кольцами и полями. В дальнейшем подход Блюм, Шуба и Смейла был обобщен Хеммерлингом на произвольную алгебраическую систему в работе [2]. В работе [3] была развита теория сложности вычислений над алгебраическими системами на основе подхода к вычислимости из работы [4].

Наибольший интерес в теории сложности вычислений над алгебраическими системами представляет аналог известной проблемы о совпадении классов Р и ИР. Было получено много результатов о несовпадении этих классов над различными системами. Меер в работе [5] доказал, что Р ^ КР над аддитивной группой поля вещественных чисел. Койран в работе [6] упростил результат Меера и доказал, что над упорядоченной аддитивной группой поля I? проблема Р ^ КР эквивалентна классической. Гасснер в работе [7] доказала неравенство Р ф ЫР для всех бесконечных абелевых групп, а Прунеску в [8] - для бесконечных булевых алгебр. Рыбалов в работе [9] доказал, что имеет место неравенство Р ф КР над кольцами вещественных матриц. Для упорядоченного поля I? и для поля С проблема Р Ф КР до сих пор не решена.

Данная работа продолжает эти исследования. Основным результатом является доказательство неравенства Р Ф ЫР для алгебр над I? с нильпотентными элементами. Это является обобщением результата из работы [9].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ

©А.Н. Рыбалов, 2010

Предварительные сведения

Пусть дана алгебраическая система (^4,с) • Следуя [4], введем списочную надстройку HL(A) множества А:

со

L,=A, 4+1=Z(4)uZ„, HL(A) = {jLn,

п=О

где L(M) - множество всех конечных

списков с элементами из М . Расширим сигнатуру с до сигнатуры

сг* = a u|=,co«5(2) ,taifr> ,headm ,

где функции cons - добавление одного списка в конец другого, tail - отбрасывание первого элемента списка, head - взятие первого элемента списка, а константа nil - пустой список. В итоге получаем

систему (HL( A) ,ст*^, которая называется

списочной надстройкой системы исходной системы. За основную вычислительную модель примем машины с неограниченными регистрами (МНР) над списочной надстройкой. Эти вычислительные устройства имеют конечный набор регистров, в которых можно хранить элементы HL(A), и программу, состоящую из набора команд, которые могут записывать в регистры значения функций и *

констант из с и совершать условные ветвления в зависимости от истинности

предикатов из сг . Нас будут интересовать только МНР, распознающие некоторые подмножества HL(A), поэтому будем предполагать, что программы МНР могут содержать команды accept и reject, выполнение которых приводит к остановке МНР и к допущению либо отвержению входного списка. Будем говорить, что МНР М распознает множество S с HL(A), если х е S <=> М допускает X . Заметим, что МНР, распознающая некоторое множество, всегда останавливается. Далее будем рассматривать только такие машины. Недетерминированные МНР имеют команды недетерминированных ветвлений, после выполнения которых управление может быть передано одной из двух команд. Определим функцию размера size следующим образом:

Г1, <=> a = nil, ae А, size(a) = \

\ / ,. size{ai) +1 <=> a = \al,...,an^

По МНР M определим функцию времени tM . Если М на входе X не останавливается, полагаем 1и (х) = х . Пусть т = {11,- вычислительный путь М на

х . Положим tM г(х) = ^ time(Ik),

где Ите{1 к) = 1, если 1к - одна из следующих команд:

• Rm := с, где с е сг* - константа,

• Rm:=f(Rh,...,Rlsl где /еа -функция,

• if P(Rj )gOtO I, где Р G СГ -

h h

предикат,

• if ? goto I,

• accept,

• reject,

и time (I k) = size{ocl), если I k - одна из команд

•Rm -=Ru

• Rm := I

• Rm := head(R,) ,

где Otf - содержимое регистра Rt. Наконец, time(Ik ) = size{al) + size(ar), если Ik

- одна из команд

• Rm = cons{Rt, R,),

• if Rj = R. goto I,

где aha. - содержимые регистров Rt. R. . Положим теперь tM(x) = tM z{x) для детерминированной МНР М. Для недетерминированной МНР М мы будем использовать полную запись tM Т{х).

Будем говорить, что детерминированная МНР М полиномиальна, если существует полином р такой, что \/x<eHL

принадлежит классу NPA, если существует такая недетерминированная МНР М и такой полином р, что X G S О существует вычислительный путь т МНР М на X такой, что М принимает X и

(М,ЛХ) < ?(^е(х)).

>«„)•

Содер-

В заключение рассмотрим одно полезное свойство вычислительных путей детерминированных МНР. Пусть

- вычислительный путь МНР

М на входе а. Очевидно, что на всем протяжении работы М в регистрах находятся списки, элементы которых - термы сигнатуры сг от содержащихся во входном

списке а праэлементов ax,...,an (выписанных в том порядке, в котором они встречаются в а при его просмотре слева направо). Определим структуру списка следующим образом:

struc(a) =

Г nil <=> a = nil, a e A, [(struc(al),...,struc(an)} <=> a = (al,.. Заменим все праэлементы Cl], списке a переменными Xj,..., xn. жимые регистров МНР вдоль пути т теперь - это списки с элементами-термами сигнатуры с от переменных хг. Рассмотрим все условия в командах условного перехода пути т . Все они имеют вид либо

R, =Rf, либо P(R, ,...,Rj ), где Р - пре-

* J h *s

дикат из сг . Эти условия можно представить как набор атомарных формул сигнатуры сг от переменных Хг следующим

образом: равенства списков представляются равенствами их соответствующих элементов-термов в случае, если их структуры равны, иначе имеем тождественно ложную формулу; любой предикат Р представляется им же самим, если его аргументы - праэлементы, иначе - тождественно ложной формулой. Назовем теперь

набор (х),(рт(х) из всех нетождественных формул среди полученных таким образом формул характеристикой пути Т. Аналогично определяется характеристика начального участка пути. Заметим, что m<tM {а) - это непосредственно следует из определения функции времени. Назовем список /? эквивалентным списку а для МНР М, если

• struc

• <рХа) <-> V/=

где Ъ - праэлементы списка /?, выписанные слева направо.

Лемма 1. Пусть М - детерминированная МНР, распознающая некоторое множество А с НЬ(А) . Если элемент

Р е НЬ(А) эквивалентен входу а е НЬ(А) для МНР М, то а е А <=> /? е А .

Доказательство. Пусть МНР М имеет программу 1Х,../у . Пусть т = /! ../г -вычислительный путь М на а, Л = /- на Р. Докажем индукцией

' л ’ ’л

по номеру команды в пути Г , что для любого П — 1,...,5 /. =/ . Из этого будет

Зп

следовать, что г = Л , а потому их последние команды совпадают и МНР принимает или отвергает а и /? одновременно. Основание индукции. При п = 1 и для а , и для Р выполняется первая команда /1. Шаг индукции состоит в рассмотрении типа команды /, . Если это не команда

гп

условного перехода, то /г = / , - сле-

дующая после /г команда в программе М. Если /г - команда условного перехода, то заметим, что характеристика начального участка /1,...,/п пути г для а является характеристикой этого же участка для Р (по предположению индукции эти участки в т и Л совпадают). А т.к. условие в /, зависит только от истинности

гп

формул характеристики и /? эквивалентен ОС , ТО I: = I

Jn+1

Основной результат

Для любого кольца К и любого размера п рассмотрим множество списков глубины 1 с элементами из И:

О” = |(х15.: 3/ с {1,= о| =

ІЄІ )

со

Теперь положим

Лемма 2. £2

NPV

-к

Доказательство. Недетерминированная МНР первого рода для £1К при помо-

П=1

щи недетерминированных ветвлении решает, включать элемент во входном списке в тестируемую сумму или нет, а затем проверяет, равна ли эта сумма О или нет. Поэтому 0.к е N1’,/.

Рассмотрим алгебру А над полем вещественных чисел I?, в которой имеется нильпотентный элемент //. Обозначим

через к индекс нильпотентности //. Существует тесная связь между некоторым подмножеством П, И множеством £2/, над I?.

Лемма 3. Для любых вещественных

чисел X,

, х„ имеет место

(XI Г!,...,хл) еПАо (х15...,хя) е Од. Доказательство. Непосредственно следует из того, что г?7 = 0 <=> г = 0 для вещественных Г .

Следующая лемма даёт полезную информацию о покрытии множеств Од алгебраическими множествами.

Лемма 4. Пусть

О” е :/(х1,...,х„) = о}

2=1

где /' - непостоянные многочлены,

имеющие степень не больше к по любой

переменной. Тогда т >

2»-і _1

к

Доказательство. Заметим, что

т

и{(*1,...,Хя): _/;(*! ,-.,Х„) = °}с

2=1

і=1

Теперь покажем, что если для любого непустого / С1 {],...,//} и для некоторого многочлена / имеет место

с{(х1,...,х„):/(х1,...,х„) = 0}, то / делится на ^

X,.

ния общности можно

Без ограниче-полагать, что

/ с: (],..., .V}, Л < II. Представим многочлен / в виде

/(х1,...,хя) = £(х1,...,хя)(х1+... + хя) +

+/2(Х1,...,ХХ_1,ХХ+1,...,Х„), где g,h - некоторые многочлены. Если к не равен тождественно нулю, то можно выбрать вещественные числа

*5-1

!+1

), мы полу-

а^х,...,ап так, что Теперь, взяв аж = —(о1 + ...+ чим, что о1+... + ож = 0 , но/(а1;...,аж) = 0, что противоречит исходной посылке. Таким образом, мы доказали, что / делится на х1 +... + хж.

Применяя полученное утверждение ко всем непустым подмножествам

/ С1 (]получаем, что многочлен

РХ ]Уг (Х1’ - ’Хп) Делится на все 2”4 ЛИ-

неиных многочлена

I

X,

гь! 1

а значит, и

л

Т.*.

кото-

на их произведение [

) п-1

рое имеет степень 2 — 1 по каждой пе-

ременной. А так как все многочлены /' имеют степени по всем переменным

2п-\ _ 1

меньше к , то я? >

к

. Доказательство

окончено.

Теперь всё готово, чтобы доказать основное утверждение.

Теорема 1. £1а ^ЫРА, но ПА£РА-Таким образом РА ФЫРА.

Доказательство. То, что О , е МР,,

следует немедленно из лемм 2 и 3. Пред-

и распознается

ПОЛОЖИМ, ЧТО О , Є Р,

некоторой детерминированной МНР М за время, ограниченное полиномом р от размера входа. Выберем п достаточно большим, чтобы выполнялось неравенство

2«-1 _ 2

р(п +1) < ———. Рассмотрим вход

= (^7%...,апг^ с алгебраически незави-

а

симыми над Z вещественными числами

ах,...,ап. Очевидно, что ,

и, по лемме 3, а £ £1Л .

Характеристикой вычислительного пути М на входе а будет набор равенств

от элементов а{Г) /^(х1,...,хп) = 0, 7 = 1, где /' - непостоянные многочлены степени меньше к по каждой переменной (так как Г)к — 0) с коэффициентами из Z. Приравнивая к О вещественные коэффициенты при каждой степени //, каждое такое равенство можно переписать как не более чем к равенств уже от чисел С11: / ]{х1,...,хп) = 0, 7 = 1у = 0,...,Лг -1, где многочлены /*. опять имеют степени

^ г>3

меньше к по каждой переменной. Перенумеруем эти многочлены для единообразия /г., / = < р(п + \)к . Так как

ах,...,ап алгебраически независимы над

Z, то /1(а1,...,ап) Ф 0 для всех / = 1,...,да.

2»-1 _ ^

Так как т<р(п +1) <-------------, то из лем-

k

мы 4 следует, что

!=1

Поэтому существуют такие числа Ъх,...,Ъп, что но в то же

время /1{Ъ1,...,Ъп) Ф 0 для всех / =

Но это означает, что список

эквивалентен списку а и, по лемме 1, /3 £ , в то время как по

лемме 3 Р е (3 ,. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Blum L., Shub M., Smale S. On a theory of computation and complexity over the real numbers: NP-completeness, recursive functions and universal machines // Bull. AMS. 1989. №21. P. 146.

[2] Hemmerling A. Computability and complexity over structures // Math. Logic Quarterly. 1998. Vol. 44. № 1. P. 1-44.

[3] Рыбалов A. H. Сложность вычислений в алгебраических системах // Сибирский математический журнал. 2004. Т. 45. № 6. С. 13651377.

[4] Ашаев И. В., Беляев В. Я., Мясников А. Г. Подходы к теории обобщенной вычислимости // Алгебра и логика. 1993. Т. 32. № 4. С. 349-386.

[5] Меег К. A note on Р Ф NP result for a restricted class of real machines // Journal of Complexity. 1992. Vol. 8. P. 451-453.

[6] Koiran P. Computing over the reals with addition and order // Theoretical Computer Science. 1994. Vol. 133. P. 35-47.

[7] Gassner C. The P-DNP problem for infinite abelian groups // Journal of Complexity. 2001. Vol. 17. P. 574-583.

[8] Prunescu М. P Ф NP for all infinite Boolean algebras // Math. Logic Quarterly. 2003. Vol. 49. № 2. P. 210-213.

[9] Rybalov A. On the P-NP problem over real matrix rings // Theoretical Computer Science. 2004. Vol. 314. № 1-2. P. 281-285.