Комбинированная адаптивная система управления структурно и параметрически неопределенным нелинейным объектом

УДК 681.51

КОМБИНИРОВАННАЯ АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СТРУКТУРНО И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ НЕЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ

Е.Л. Еремин, Е.А. Шеленок

Рассмотрена задача построения системы комбинированного адаптивного управления структурно и параметрически неопределенным нелинейным динамическим объектом периодического действия с недоступными измерению переменными состояния. Для решения задачи применен критерий гиперустойчивости В.М. Попова и учтены условия Х-диссипативности систем управления.

Ключевые слова: периодический режим, адаптивное управление, комбинированный регулятор, нелинейный динамический объект, априорная неопределенность, критерий гиперустойчивости, Х-диссипативность.

ВВЕДЕНИЕ

Разработка систем управления периодическими режимами различных динамических объектов по-прежнему представляет собой одну из актуальных задач современной теории управления [1—6]. Главная особенность подобных систем заключается в наличии в контуре управления специализированного блока — генератора периодических сигналов [1], позволяющего адаптироваться к внешним и внутренним циклическим изменяющимся сигналам. Периодические системы управления нашли применение в строительстве, робототехнике, серийном производстве различных деталей. Задачи проектирования таких систем, как правило, сводятся к поиску различных способов построения систем для объектов, работающих в условиях неопределенности, зависящей от конструктивных особенностей управляемых объектов и внешних условий их функционирования. Наличие неопределенности может означать как изменение внутренних параметров объекта (параметрическая неопределенность), так изменение его структуры (структурная неопределенность) [6—8]. В последнем случае математическое описание объекта не постоянное и может «переключаться» с одной системы дифференциальных уравнений на другую. При этом определить порядок м атематической м одели объекта оказывается весьма затруднительно или вовсе невозможно [8]. Помимо априорной параметрической и структурной неопределенности

проектирование систем управления осложняется наличием постоянно действующих внешних возмущений и невозможностью непосредственного измерения параметров внутренних состояний объекта, которые используются при построении управляющих контуров. Известно, что построение систем управления (в том числе периодических) при таких условиях целесообразно осуществлять с помощью методов адаптивного и робастного управления [2—4, 9—11].

В работах [2, 3] с помощью критерия гиперустойчивости были синтезированы комбинированные, адаптивные и робастные алгоритмы систем управления, позволяющие обеспечить поддержание требуемого циклического режима работы нелинейных и нестационарных динамических объектов. В работе [4] рассмотрена возможность использования полученных результатов для решения задачи активного виброгашения вынужденных колебаний виброопоры. Рассмотрено применение адаптивного контура для управления динамическим объектом с м ножеством состояний работы [9], решена аналогичная задача и предложен комбинированный адаптивно-периодический регулятор для управления циклическими режимами нелинейного динамического объекта [10]. Синтез комбинированной адаптивной системы управления с дополнительным контуром наблюдения рассмотрен в работе [11]. С помощью адаптивного подхода построена система управления одним классом структурно-параметрически неопределенных линейных объектов, подверженных воздействию

внешних помех [12]. Отметим, что проектирование алгоритмов систем управления в работах [4, 9, 10, 12] проводилось с помощью последовательного динамического корректора, позволяющего благодаря выполнению условий Х-диссипативности [13], обеспечить устойчивый режим работы систем при управлении объектами с относительным порядком больше единицы.

В настоящей статье с учетом результатов работ [4, 9—15] рассматривается один из возможных вариантов построения комбинированной системы адаптивного управления нелинейным динамическим объектом периодического действия, функционирующим в условиях структурной и параметрической неопределенности при действии внешних неконтролируемых ограниченных возмущений. Относительный порядок и максимальная степень объекта полагаются известными.

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ

Рассматривается динамический объект управления (ОУ), относящийся к классу априорно неопределенных нелинейных объектов, с динамическими свойствами, описываемыми в пространстве состояний моделью

^ = Л(х, ЩГ) + у(1 + р(х, 1))ыО) + ДО],

y(t) = LTx(t), x(0) = x

0'

где x(t) e Rn — вектор переменных состояния; A(x, t) = A + b0p(x, t) — матрица в форме Фро-бениуса; A — некоторая стационарная матрица; b0 = [0, ..., 0, 1] — вектор размерности n; p(x, t) — периодически изменяющаяся нелинейная вектор-функция, представимая в виде

pT(x, t) = [p1(x, t), P2(x, t), ..., Pn(x, t)],

p.

P(x, t) — некоторая нелинейная функция; u(t) e R — скалярный сигнал управления (вход объекта); f(t) — внешнее постоянно действующее возмущение, удовлетворяющее соотношению

L — стационарный вектор, формирующий y(t) e R — скалярный выход ОУ; x(0) — вектор начальных условий.

Выделяя в ОУ (1)—(3) линейную стационарную и нелинейную нестационарную части, урав-

нения его динамики можно записать в эквивалентном виде

^ = Лх(^) + Ьо ц (0, У = ¿Тх(Ъ,

Ц V) = рТ(х, 1)х(1) + (1 + Р(х, 1))ы0) + М,

которому соответствует математическая модель в операторной форме записи:

a(p)y(t) = b(p) ц (t), piy(0) = y„,

где p = d/dt — оператор дифференцирования; a(p) и b(p) — нормированные полиномы

a(p) = pn + an _ 1pn _ 1 + ... + axp + a0, b(p) = pm + bm _ xpm _ 1 + ... + bp + b0;

ц (t) e R — входной сигнал; yi0 — начальные условия.

Работа объекта (4) протекает при допущениях:

— корни полинома a(p) расположены произвольно;

— полином b(p) — гурвицев;

— непосредственному измерению доступен только выходной сигнал y(t);

— значения параметра f0, а также коэффициентов an _ 1, an _ 2, ..., a1, a0 и bm _ 1, ..., b1, b0 априорно не известны и зависят от заданного набора значений e Н, Н — известное ограниченное числовое множество (параметрическая неопределенность);

— степени полиномов n = dega(p) и m = degb(p) — не известны (структурная неопределенность);

— относительный порядок объекта управления k = n _ m > 1 и максимальная степень полинома nmax = max(n) известны.

Структурная неопределенность объекта (4) имеет место при условии n < nmax [12]. В этом случае с помощью дополнительного полинома

n - n

(p + 70) max , 70 = const > 0, можно получить нормированные полиномы

c(p) = a(p) (p + 7,0 )nmax - n =

n n - 1

max I max i i i

= p + Cn -1 p + ... + Cxp + C0,

max 1 0

d(p) = b(p) (p + 70)nmax n =

nmax- k | , nmax- k -1 , , , , ,

= p + dnmax - k - 1 p + ... + d1p + d0

с известными степенями и „ и (и „ _ k) соответст-

mmax N mmax /

венно. С учетом выполненного преобразования

динамика объекта управления запишется в виде, эквивалентном виду (4):

c(p)y(t) = d(p) ц (t),

в котором структурная неопределенность будет отсутствовать.

При этом математическая модель (5) запишется в пространстве состояний в виде, аналогичном виду (1), но с размерностью вектора состояния, равной "шах.

Для задания желаемого качества переходных процессов ОУ (5) воспользуемся, аналогично работам [2—4], неявным периодическим эталоном (НПЭ), модель «вход — выход» которого имеет вид

aM (p)yM (t) = bM(p)&M(t),

где ам(р), Ьм(р) — гурвицевы полиномы; у^) — скалярный выход эталонной модели, совпадающий с периодическим задающим воздействием г(7) = г(I + Т); = ^М^ + Т) — некоторый неявный Т-периодический сигнал (требуемое управление).

В пространстве состояний модели (6) соответствует запись

^ = Мм + Мм<0,

yM(t) = LTxM(t) = г (t), AM = A - b0X0 ,

где xM(t) e R max — требуемое поведение; AM — гурвицева матрица соответствующего размера;

о ~

b0 = [0, ..., 0, 1] , L — стационарные векторы раз-

0

мерности nmax; х0 — некоторый стационарный

вектор, позволяющий сместить собственные ч исла матрицы A к отрицательным значениям.

Структуру регулятора определим в виде адаптивно-периодической комбинации

u(t) = h0(t) - x°(t)x(t), 9(t) = 0(t - T) + z(t),

0

где h = const > 0; 0(t) — выход генератора периодических сигналов; T = const > 0; z(t) — сигнал рассогласования выходов НПЭ (7) и ОУ (1); %(t) — настраиваемый параметр контура адаптации, состоящий из интегральной %иш,(0 и периодической

Хпер(0 компонент.

Очевидно, что техническая реализация контура управления (8) невозможна в силу наличия в

его структуре недоступных непосредственному измерению переменных состояния x(t). Для получения оценок требуемых переменных объекта (5) подключим к его выходу фильтр-корректор (ФК) [12, 13, ч. IV] вида

где q0, 50 — некоторые положительные константы, причем значение q0 достаточно велико; УфК

S(p) = pk - 1 + 5k - 2 p " 2 + ... + 5jp + 50.

Векторно-матричный аналог модели (9) после соответствующих преобразований примет вид

dxdr) = AoK^oK(t) + ЬфкУ(0, yOK(t) = LФK -%K(t), ХФК = 0,

где хфК(1) е Я шах — вектор состояния; ЬфК, ХФК — стационарные векторы размерностью ("шах — 1); АфК — матрица в форме Фробениуса, значения собственных чисел которой определяются значением параметра #0 (Я. = -#0, I = 1, 2, ..., ошах - 1), при этом значения переменных состояния фильтра будут соответствовать оценкам внутренних состояний объекта управления (хфК(1) = х(1)).

2. ВИДОИЗМЕНЕННАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Последовательное соединение ОУ (5) и ФК (9) можно представить моделью

c(p) (p + q0) max~ УфкО = = qomax 1 5015(p)d(p) Ц (p).

Перейдем от реального соединения объекта и корректора

_ — 1 1 с

и видоизмененного фильтр-корректора

где у (I) — видоизмененный выходной сигнал ОУ,

г -1 Т0 = ?0 .

В соответствии с работами [12, 13] будем строить систему следующим образом:

— считая ВФК (12) блоком структурного возмущения и, исключив его из рассмотрения, перейдем к так называемой упрощенной системе, для которой синтезируем алгоритмы контура управления с помощью критерия гиперустойчивости;

— далее, при наличии структурного возмущения (12) обеспечим свойство Х-диссипативности синтезированной на первом этапе системы.

Отметим одно важное обстоятельство. Выходной сигнал ФК (9) и ВФК (12) будет соответствовать выходному сигналу основного контура системы (уФК(1) = УОК(1)), при этом его динамика будет задаваться НПЭ (6) (у^) = Ум0-^ (0). В силу того,

что математические модели ОУ (5) и ВОУ (11) отличаются наличием полинома 5(р), желаемое движение ОУ в д анной ситуации будет формироваться благодаря НПЭ и дополнительной неявной эталонной модели (НЭМ). Другими словами, задав требуемое распределение корней полинома 5(р) для ФК (9), сформируем математическое описание НЭМ. Тогда требуемая динамика исходного ОУ (Умоу (0) будет задаваться моделью

аУР)5(Р) УмОУ (t) = bM(p)QM(t).

Положим (Т0 + 1) тах = 1, х(1) = хФК(0,

УФК(1) = У (1) и перейдем к математическому описанию упрощенной системы управления в пространстве состояний

^ = А(х, ЩГ) + 60[(1 + р(х, 0)и(0 + ДО],

У (t) = GTx(t), x(0) = x

0'

u(t) - h0(t) - xT(0W0, 6(t) = 0(t - T) + z(t),

XHHT(t) и Xnep(t) обеспечивающих выполнение цели управления

lim |УмОК (t) - УфкО! = Jim 1УмОК (t) - У (t)| < Ay =

t ^ W

t ^ W

= const > 0

и целей адаптации

Jim x инт(t)| m Ii. 0 = c0nst > 0,

t ^ W

lim Xi. пеp(t) = Xi, пеp(t + T)'

t ^ W

где Ду, X/ о — некоторые достаточно малые числа.

3. АЛГОРИТМЫ КОНТУРА УПРАВЛЕНИЯ УПРОЩЕННОЙ СИСТЕМЫ

В соответствии с методикой критерия гиперустойчивости, пользуясь понятием отклонения е(1) = Хм(0 — хФК(/), получим эквивалентное математическое описание системы управления ВОУ (14):

^ = АмФ) + ь^О

z(t) = Ge(t) = УмОК (t) - У (t),

= (1 + ß(x, t)) J -h[0(t) - 0(x, t)] +

+ Z [X, инт(t) - Х0/]хг; OK(t) +

i = 1

+ Z [Xi, пер

i = 1

где

0(x, 0= Pßf, , P, (x, t)-

0

пер*-

где О — вектор соответствующего размера, компоненты которого совпадают с коэффициентами

полинома g(p) = #0тах Ъ(р)й(р) размерности

(отах - 1).

Постановка задачи. Для упрощенной системы управления (14), (15) при любых начальных условиях х(0), любых ограниченных внешних возмущениях /(/), любых изменениях функций р(х, 1), Р(х, 1), а также при любом уровне априорной неопределенности е е требуется синтезировать явный вид алгоритмов самонастройки параметров

h

периодические сигналы.

1 + Р( х, О

Исходя из результатов работ [10, 14], можно показать, что выполнить условие вещественности и строгой положительности для линейной части системы

= ( </(> Е - Ам)+Ьм| > 0

Re

Vro l 0,

где (•) — присоединенная м атрица, а также обеспечить для нелинейной нестационарной части

n

n

Al AEEQ E NEl OAg NENOA Ol bAAEA ЁВ

(18) справедливость интегрального неравенства В.М. Попова

t t П(0, t) = -J^q)z(q)dq = hJ(1 + p(x, q)) X

00

S [0(Z)- 0 (x, q)][yM0K (q) - У (q)]dq -

o max t

- Z J(1 + P(X q))[X, ^(q) - X0/]x,, фк(?) S

i = 10

ot тяу 1

S [yM0K (q) - У (q)]dq - Z J (1 + P(x, q)) S

i = 10

S [Xi, пер

Y0 = const > 0, можно путем синтеза алгоритмов самонастройки комбинированного регулятора (15) в виде

dXi , инт (t) _ dt

-auxi, фк( t)[ yM0K( t) - y (t)], V| yM0K( t) - y( t )|>Д, 0, V|yM0K( t) - У(t)|<Д,

в котором с(р) + х0(р) = см(р) — гурвицев полином; Х0(р) — полином, коэффициенты которого совпадают с установившимися значениями компонент вектора %иш,(!). Возвращая в рассмотрение блок структурного возмущения (12), уравнение установившегося режима рассматриваемой системы преобразуем к виду

[

c

Очевидно, что в данной ситуации система управления теряет свойство гиперустойчивости, поскольку уравнению (23) соответствует передаточная функция

W(s) =

g

С

с относительным порядком, большим единицы. Если в этой ситуации, следуя результатам работы [12], выбрать значение параметра Т0 фК (9) в соответствии с условиями

T < T = 00 < 11

0 , 93

Xi, пер

s [ yM0K (t) - У (t)],

где a1p a2i — произвольные положительные константы; Д = const > 0 — размер зоны нечувствительности.

Тогда из выполнения требований (19) и (20) будет следовать, что упрощенная система управления (14), (15) с алгоритмами (21), (22) окажется гиперустойчивой в заданном классе неопределенности e Н, и для нее с течением времени будут выполнены целевые условия (16), (17).

4. L-ДИССИПАТИВНОСТЬ ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Покажем, что применение комбинированного контура управления (15), (21), (22) при выполнении дополнительных условий обеспечивает устойчивую работу исходной структурно возмущенной системы.

Установившейся режим системы (6), (14), (15), (21), (22) описывается уравнением

(Ф) + X0(p))z(t) = g(p)^t),

T < T =

T0 < T2 =

0,465c

M(nn

1)

( nmax - 1) c

M

где CM

— коэффициенты полинома см( р), то можно гарантировать Х-диссипа-тивность рассматриваемой структурно возмущенной системы (11), (12), (15), (21), (22).

При этом исходная система управления (1)—(3), (7), (8), (21), (22) также окажется адаптивной и Х-диссипативной в заданном классе § е Н, для которой будут выполнены цели адаптации (17) и управления

Иш 1УмОК (0 - Уфк(^1 т ДуОК = сош1 > 0,

t —> ад

lim jy- (t) - y(t)| m Д„ = const > 0.

t  Moy

t—ад oy

7ОУ

5. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

В целях оценки качества работы и подбора параметров контура управления и последовательного фК разработанной системы управления (1)—(3), (7), (8), (21), (22) рассмотрим задачу управления нелинейным динамическим объектом с относи-

х

тельным порядком k = 2 и структурой матриц и векторов в виде

(

A(x, t) =

л

0 10 0

0 0 10

0 0 0 1

V а1 (x, t) a2(x, t) a3(x, t) a4(x, t) У

b0 =

' 0 л 0 0 V 1

L =

( \

¡1

¡2 ¡3

V 0 У

a1(x, t) = a1 + Z1y1(t)91[x1(t), x2(t), x3(t), x4(t)]; a2(x, t) = a2 + Z2y2(t)92[x1(t), x2(t), x3(t), x4(t)]; a3(x, t) = a3 + C3Y3(t)93[x1(t), x2(t), x3(t), x4(t)]; a4(x, t) = a4 + C4Y4(t)94[x1(t), x2(t), x3(t), x4(t)]; Yt(t) = c;sin(^nt), ct = const > 0, p = const > 0, i = 1, ..., 4;

Ф ¿C^X x2(t), x3(t), x4(t)) = x1 ' (t) x22i (t) x33i (t) x44i (t); jbi = const > 0; b = 1, 2, 3, 4.

Условия априорной параметрической неопределенности объекта управления зададим с помощью соотношений

-10,5 m a1 m 7,2; -3,2 m a2 m 12; 0,5 m a3 m 15; -5,1 m a4 m 2;

1 m ix m 25; 3 m i2 m 10;

0,1 m l3 m 4; 100 m ht m 720;

10 m c1 m 20; 5 m c2 m 15;

17 m c3 m 32; 8 m c4 m 25; 0,1 m p m 5,2.

С учетом относительного порядка объекта управления передаточная функция ФК (9) примет вид

ww(s) =

_ ¡2, ФКs + ¡1, ФК

(T0 s + 1 )3

Требуемую динамику объекта управления зададим в неявном виде посредством НПЭ (7), на вход которого будем подавать периодическое задающее воздействие

г (1) = 0,2(еОЖ1 - С08(4п)) - 1) - 0,2(1 - со8(п<);

и НЭМ с ФК (24). Эталонное уравнение движения объекта при этом примет вид

УмОУ (s) =

1

ОУ

r

Вычислительные эксперименты проводились для двух наборов параметров рассматриваемого объекта. При наборе

а1 = -4,84; а2 = -0,25; а3 = 8,97; а4 = -1,81;

11 2; ^2 4; /3 0,7; Сх = С2 = С3 = С4 = 500; р1 = р2 = р3 = р4 = 0,5; с1 = 30; с2 = 15; с3 = 25; с4 = 10;

]\\ = 2; ./21 = 1; 731 = 3; 741 = 1; 712 = 2;

/22 = 1; 732 = 4; /42 = 5; 713 = 1; 723 = 3; 733 = 1; 743 = 4; /14 = 2; ./24 = 7; 7 34 = 5; 744 = 1 имеет место о = 4, т = 2; второй набор а1 = 3,03; а2 = 9,16; а3 = 5,14; а4 = -3,24;

/1 = 2; /2 = 4; /3 = 0,7; Сх = С2 = С3 = С4 = 500; р1 = р2 = р3 = р4 = 0,5; с1 = 30; с2 = 15; с3 = 25; с4 = 10;

]\\ = 2; У21 = 1; 731 = 3; 741 = 1; /12 = 2;

./22 = 1; 732 = 4; 742 = 5;

713 = 1; 723 = 3; 733 = 1; 743 = 4; 714 = 2;

724 = 7; 734 = 5; 744 = 1

соответствует случаю 0 = 3, т = 1.

В ходе имитационного моделирования для увеличения быстродействия системы управления были подобраны следующие значения параметров комбинированного регулятора (8), (21), (22) и ФК (24):

И = 150; Т = 2; ф = 0,001; ап = 400; а12 = 300; а13 = 200; а14 = 0,1; а21 = 20; а22 = 40; а23 = 30; а24 = 0,3; / = 1- / = ?• Т = 0 001

1, ФК 2, ФК 0

Результаты вычислительных экспериментов при внешнем возмущении /(/) = 0,Ып(6/) представлены на рис. 1—6.

Рис. 1. Сигнал рассогласования по основному контуру системы управления: а — значения параметров

Рис. 2. Задающее воздействие и выход основного контура системы: а — значения параметров

Рис. 3. Сигнал рассогласования выходов эталона

Рис. 4. Выходные сигналы эталона

а

шггС)

/

%4,пер (0 Ъ^ер (0

V Хзле

б

Рис. 5. Динамика настройки интегрального и периодического коэффициента комбинированного регулятора

Рис. 6. Управляющее воздействие и

Представленные временные характеристики свидетельствуют о том, что при различных параметрах объекта предложенная система управления обладает достаточно высоким качеством. В частности, ошибка рассогласования по основному контуру системы по завершению переходных процессов не превышает 0,4 % (см. рис. 1, 2), а рассогласование эталонного сигнала Умоу (1) и выхода

объекта у(1) в установившемся режиме составляет приблизительно 0,8 % (см. рис. 3, 4). При этом в системе выполняются цели адаптации (см. рис. 5) и формируется качественный сигнал управления (см. рис. 6).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании критерия гиперустойчивости и выполнения условий Х-диссипативности предложена комбинированная адаптивная система управления нелинейным динамическим объектом периодического действия, функционирующим в условиях априорной параметрической и структурной неопределенности при постоянно действующих внешних возмущениях. С помощью имитационного моделирования продемонстрировано достаточно высокое качество работы системы. Отличительная особенность разработанной системы управления — наличие в схеме фильтр-корректора и двух неявных эталонных моделей.

Полученные результаты могут быть полезны при построении периодических систем управления априорно неопределенными объектами с запаздыванием по состоянию.

ЛИТЕРАТУРА

1. Repetitive Control System: A New Type Servo System for Periodic Exogenous Signals / S. Hara, et al. // IEEE Trans. on Automatic Control. — 1988. — Vol. 33, № 7. — P. 659—668.

2. Еремин Е.Л., Теличенко Д.А., Шеленок Е.А. Комбинированные алгоритмы системы робастно-периодического управления нелинейным объектом с запаздыванием // Информатика и системы управления. — 2009. — № 3 (21). — С. 125—135.

3. Еремин Е.Л., Теличенко Д.А., Шеленок Е.А. Периодические режимы в схемах децентрализованного адаптивного и ро-бастного управления // Вестник Рязанского гос. радиотехнического ун-та. — 2011. — № 1 (Вып. 35). — С. 108—116.

4. Еремин Е.Л., Шеленок Е.А. Система адаптивного виброгашения вынужденных колебаний // Датчики и системы. — 2014. — № 5. — С. 16—22.

5. Zhou L., She J., Zhou S., Chen Q. Ha Controller Design for an Observer-Based Modified Repetitive-Control System // Intern. Journal of Engineering Mathematics. — 2014. — Vol. 2014. — P. 1—9.

6. Comparison of Iterative Learning and Repetitive Control Applied to a Compressor Stator Cascade / S.J. Steinberg, et al. // Notes on Numerical Fluid Mechanics and Multidisciplinary Design. — 2015. — Vol. 127. — P. 39—53.

7. Куржанский А.Б. О синтезе систем с оптимальным управлением // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2007. — № 4. — С. 2—12.

8. Бобцов А.А., Никифоров В. О. Адаптивное управление по выходу: проблематика, прикладные задачи и решения // Науч.-техн. вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2013. — № 1 (83). — С. 1—14.

9. Еремин Е.Л. Адаптивное управление динамическим объектом на множестве состояний функционирования // Информатика и системы управления. — 2012. — № 4 (34). — С. 107—118.

10. Еремин Е.Л., Шеленок Е.А. Адаптивно-периодическая система управления нелинейным объектом с изменяющимися режимами функционирования // Тр. X междунар. конф. «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'15. Москва, 26—29 янв. 2015 г. / ИПУ РАН. — М., 2015. — С. 539—547.

11. Eremin E.L., Chepak L.V., Shetenok E.A. Combined Adaptive Control System for Nonlinear Periodic Action Plant // 2015 Intern. Siberian Conf. on Control and Communications (SIBCON). Proceedings / Omsk State Technical University, May 21—23, 2015. — Omsk, 2015.

12. Еремин Е.Л., Пикуль З.Д., Теличенко Д.А. Адаптивная система управления одним классом структурно-параметрически неопределенных объектов в схеме с явной и неявной эталонными моделями // Информатика и системы управления. — 2015. — № 1 (43). — С. 105—115.

13. Еремин Е.Л. L-диссипативность гиперустойчивой системы при структурном возмущении // Информатика и системы управления. — 2006. — № 2 (12), ч. I. — С. 94—101; 2007. — № 1 (13), ч. II. — C. 130—139; № 2 (14), ч. III. — С. 153—165; 2013. — № 2 (36), ч. IV. — C. 100—106.

14. Еремин Е.Л., Капитонова М.С. Адаптивная система управления T-периодическим нелинейным объектом // Проблемы управления. — 2007. — № 1. — С. 2—7.

15. Еремин Е.Л., Шеленок Е.А. Адаптивно-периодическая следящая система для нелинейного объекта, аффинного по управлению // Автометрия. — 2015. — Т. 51, № 5. — С. 113—119.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Н. Афанасьевым.

Еремин Евгений Леонидович — д-р техн. наук, профессор,

Амурский государственный университет, г. Благовещенск,

Н ereminel@mail.ru,

Шеленок Евгений Анатольевич — канд. техн. наук, доцент,

Тихоокеанский государственный университет, г. Хабаровск,

Н cidshell@mail.ru.