О решении некорректно поставленной задачи для нелинейного дифференциального уравнения методом проекционной регуляризации

УДК 517.948

О РЕШЕНИИ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПРОЕКЦИОННОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

Е.В. Табаринцева1

Рассмотрена задача с обратным временем для полулинейного дифференциального уравнения. Устойчивое приближенное решение данной нелинейной некорректно поставленной задачи строится методом проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации по схеме М.М. Лаврентьева. Получена точная по порядку оценка погрешности этого метода на одном из классов корректности.

Ключевые слова: обратная задача, нелинейное дифференциальное уравнение, метод приближенного решения, оценка погрешности.

Введение

В статье рассматривается задача с обратным временем для полулинейного дифференциально-операторного уравнения.

Данная задача поставлена некорректно, поэтому основными вопросами при ее исследовании являются вопросы построения устойчивого приближенного решения и оценки погрешности приближенного решения.

Для линейных некорректно поставленных задач вопросы построения приближенных решений и оценки погрешности построенных приближенных решений на классах корректности рассматривались, например, в работах В.К. Иванова, В.Н. Страхова, их учеников и последователей (см., напр., [1-3]) . Были введены понятия оптимального и оптимального по порядку метода приближенного решения [1].

Соответствующие понятия были введены и для нелинейных некорректно поставленных задач [4, 5].

Пусть Н - гильбертово пространство, М с и , а С[Н] - пространство непрерывных отображений, действующих в Н .

Рассмотрим операторное уравнение

Аи = /; и е Н; / е Н,

где А0 е С[Н] - взаимно-однозначный оператор.

Предположим, что при / = /0 существует точное решение и0 уравнения (1), которое принадлежит множеству М, но точное значение правой части нам не известно, а вместо него дано приближенное значение /$е Н такое, что У f0 - /§ ||< 8. Требуется по исходным данным задачи М и /8 определить приближенное решение уравнения (1) и оценить его уклонение от точного решения.

Определение 1. Семейство операторов {78 :0 <8<80} будем называть методом приближенного решения уравнения (1) на множестве М, если для любого 8е (0;80] оператор Т8 непрерывно отображает пространство Н в Н и Т8/8^ и0 при 8^ 0 равномерно на множестве М при условии У А0и0 - /8 ||< 8.

Рассмотрим следующую величину, характеризующую точность метода {Т8 : 0<8<80} на множестве М :

Обозначим

Щ_(т;М) = 8ир{|| их,и2 ||: их,и2 е М, у А0и1 - А0и2 ||< т}

1 Табаринцева Елена Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра вычислительной математики, ЮжноУральский государственный университет.

E-mail: eltab@rambler.ru

модуль непрерывности оператора, обратного к А0, на множестве А0М .

Определение 2. Метод Т : 0 < 8< 80} будем называть оптимальным по порядку на множестве М , если существует число к такое, что для любого 8 е (0; 80 ]

Д(78) < кщ_(8; М).

Различные подходы к приближенному решению нелинейных некорректно поставленных задач предложены и исследованы, например, в монографиях [6-9] и статьях [10, 11].

В настоящей работе предложен метод приближенного решения полулинейной обратной задачи (модификация метода проекционной регуляризации) и доказана его оптимальность по порядку на одном из классов корректности.

1. Задача с обратным временем для дифференциально-операторного уравнения.

Пусть Н - гильбертово пространство, А - линейный неограниченный положительно определенный самосопряженный оператор с областью определения 0(А), плотной в Н .

Рассмотрим задачу вычисления элемента (ре Н , такого, что решение задачи Коши

ли

— = -Аи + /

аХ

и(Х0) = р, ре Н, 0 < Х0 < Т, удовлетворяет условию и(Т) = Х. Здесь /: [Х0 ;Т] XН ^ Н - отображение, удовлетворяющее условию Липшица по переменной и и условию Гельдера по переменной Х, т.е. существуют постоянные Ь > 0, К > 0 и 0 <а< 1, такие.

II /(их,Х) -/и,Х) 1Н< Ь II и -и2 1Н для всех Х1, Х2 е [Х0 ;Т], и1, и2 е Н .

Зафиксируем число г > 0 . Рассмотрим множество

М = {ре 0(еАХ0 ): || еА1°р\\< г}.

Предположим, что при заданном %е Н существует точное решение ре Н поставленной обратной задачи, принадлежащее множеству М .

Элемент хе Н нам не известен, а вместо него дано приближенное значение Х8е Н , такое, что У х- Х8 11< 8. Требуется по исходным данным задачи определить приближенное решение р§ задачи с обратным временем и оценить его уклонение от точного решения.

Задача Коши (2) равносильна интегральному уравнению

Х

и

Х0

(см.. напр., [12]).

Рассмотрим величины:

со(М,8) = 8ир{||р-р2 ||: р,р2еМ,||Х1 -Х2 Н<8>-модуль непрерывности для нелинейной обратной задачи,

Наряду с нелинейной обратной задачей, рассмотрим соответствующую обратную задачу для линейного уравнения, т.е. задачу вычисления элемента ре Н такого, что решение задачи Коши

^ = -Ау; Х е

аХ

у(Х^ = р, ре Н, 0 < Х0 < Т, удовлетворяет условию у(Т) = Х, где Х е Н - заданный элемент.

Рассмотрим величины:

о(М ,8) = 8ир{||р-р2 ||:р,р2 е М ,11Х1 -Х2 \\<8} -модуль непрерывности для нелинейной обратной задачи,

Табаринцева Е.В. О решении некорректно поставленной задачи

для нелинейного дифференциального уравнения ...

модуль непрерывности для соответствующей линейной обратной задачи.

Справедлива следующая лемма (см. [13 ).

Лемма. Существует 80 > 0, такое, что для всех 8 <80 выполняются неравенства

ЬТ

сЬ(М,е~ЬТ8) < й)(М, 8) < й)(М, еЬТе 8).

3. Метод приближенного решения задачи с обратным временем.

Обозначим через {Е% :Л> 0} разложение единицы, порожденное оператором А . Пусть Аа -линейный ограниченный оператор в Н , определяемый формулой

Aau = | AdE^u.

Вместо неустойчивой обратной задачи для уравнения (2) рассмотрим задачу вычисления элемента ра = иа(Х0), где иа(Х) удовлетворяет условиям

= -Ааиа

иа(Т) = ЕаХ.

Рассмотрим задачу Коши

= -Ааиа

иа(Х0) = ра;

ГДе ра = Еа ра

Так как Аа - ограниченный самосопряженный оператор в Н , то задача Коши (5) равносильна интегральному уравнению

иа

Х0

Выполняется

Теорема. Для любого элемента Хе Н существует элемент р = рае ЕаН , такой, что решение и(Х) задачи Коши (5)удовлетворяет условию иа(Т) = ЕаХ.

Доказательство. Рассмотрим решение задачи Коши (5), которое удовлетворяет также интегральному уравнению (6) Из (6) следует, что функция иа(Х) удовлетворяет также уравнению

иа‘

at) = eAaT-t)EaZ-f eAat-T)Eaf

t

Рассмотрим в пространстве C([t0 ;T] ^ H) непрерывных функций на [0;T] со значениями в H норму

|| и Ik = max e-k У и(t) Ун,

to &<t

эквивалентную норме

У и |C = max У и(t) |H

to <t <t

пространства C([t0 ;T] ^ H). Рассмотрим оператор Pa, действующий в C([t0 ;T] ^ H) по правилу

T

Pa = eAa-t) EaX-f eA“(t-T) Eaf (t, u(т))dт

t

Имеем неравенство

У Paul -Pau2 Ik< Lea max [e k(t T)e кт || ul(r)-u2(r) ||я

to <t <t J

t

T 1 - e-kT

< Lea \\u1 - u2 \\k max [ e~k(t-T)dT< Lea--У u1 - u2 ||k .

t0 <t <tt k

Выбирая k > Lea, убеждаемся, что отображение Pa является сжимающим в пространстве C([t0 ;T] ^ H) с нормой У • Ik. Следовательно, уравнение (7) имеет единственное решение в C([t0 ;T] ^ H) . Обозначим Ba :H ^ EaH оператор, действующий по правилу

BaX =

где ua(t) - решение уравнения (7). Тогда

искомый элемент, определяемый элементом X однозначно. Теорема доказана.

4. Оценка погрешности метода проекционной регуляризации.

Обозначим pa = ua(t0), где ua(t) - решение задачи (4); pO =p°a(t0), где u£(t) - решение задачи (4) с приближенными исходными данными. В качестве приближенного решения задачи с обратным временем рассмотрим элемент pO''8) = Pa(S)Xs ИРИ подходящем выборе зависимости a = a(8).

Рассмотрим величину

Ам (a,8) = supflp-pH: ре M, у x-x8I<8}, характеризующую точность построенного метода приближенного решения задачи (2) на введенном множестве M .

Воспользуемся неравенством

Ам (a, 8) < Ai (a) + А 2 (a, 8),

где

А2 (a, 8) = sup \\pa5-pa\\,

\\X-Xs\\<5

peM

Оценим величину А2(е,8) . Рассмотрим функцию Уа(ґ) = е( 0>аиа(ґ). Функция Уа(ґ), очевидно, удовлетворяет дифференциальному уравнению

—^ = -

аґ

где ga(t,V) = Еав(-о)а/(ґ,е~(t~tо)аv): [ґ0 ;Т]XН ^ Н - отображение, удовлетворяющее условию Липшица по переменной V и условию Гельдера по переменной ґ , ґ є [ґ0 ;Т].

По построению функция Vа (ґ) удовлетворяет также условиям

^ = а

Vа

Решение задачи Коши (9), (10) удовлетворяет интегральному уравнению

Vа

ґ0

Из равенства (12) при ґ = Т с учетом (11) следует равенство

е“

G

Из (13) следует

е-(Аа-аЕ )(Х -Ы Еара= еа(Т-Х0) ЕаХ-] е“( ^)(Т-Х) Еа ЯаТ, VаТ))dТ.

Подставляя выражение (14) в равенство (12) , имеем

Va(Х) = е^Аа~аЕ)(Т-Х)еа(Т-Х0)ЕаХ-| е(Аа~аЕ)(Т-Х)Еа ga(Т,УаТ))Лт .

Х

Аналогично, функция V% (Х) удовлетворяет уравнению

у8

Х

Из (15) и (16) следует неравенство

Из неравенства (17) с учетом леммы Гронуолла и неравенства

У е1

(Аа-аЕ)(Г-Х) у< тах е(Я-а)(Г-Х) < !

0<Л<а

следует

откуда при Х = Х0

у va(Х) - va(Х) у< еа(Т-Х0)еЬ(Т-Х}8,

у ра - раа у< еа(Т-Х0) еь(Т -Х0)8.

Следовательно, для величины Д2 (а, 8) имеем оценку

Д 2(а,8) < еа(Т-t°)eLTeLT8 Оценим величину Д1 (а). Рассмотрим функцию и (Х), удовлетворяющую интегральному уравнению (3) и функцию иа(Х), удовлетворяющую (6) и функцию и(Х) = Еаи(Х). Рассмотрим равенство

_ Т

и (х ) = еАа(Т -Х} ЕаХ-1 еАа(т-Х} Еа/(т, и{т))ат.

Х

Из (3) следует равенство

Х = е~А (Т-Х0)р+1 е~А(Т-т)/(т,и(т))ат.

Подставляя выражение (20) в равенство (6) и учитывая, что еАа(Т Х)Еа = еА(Т Х)Еа, имеем

равенство

аа) = е-А

С учетом равенства (19) из (21) следует

т

иа(Х) - и(Х) = Еаи(Х) - и(Х) +1 е-А(Х-т)Еа(/(т,и(т)) - /(т,иа{т))ат

Х

Из (22) с учетом неравенства еА(т-Х)Еа < еа(т-Х) следует

-а

Из (23) в силу леммы Гронуолла

иа(Х) - и(Х) < еЬ(Т-Х0)||Еаи (Х) - и(Х)||.

Следовательно.

A1(a) < eL(T-t0) supf ||p — Eap ||: pe M} = eL(T-t0) A1(a) < eL(T-t0)re~at0.

Выберем зависимость a = a* (8). из условия

e«

(cm. [14]). Из (24) следует , что

a* (8) = 1ln(reL(T -t0)/8).

Таким образом, оценка погрешности метода проекционной регуляризации на множестве M с выбором параметра регуляризации из условия (24) имеет вид

T-t0 t0

AM

Так как модуль непрерывности для полулинейной обратной задачи на множестве M удовлетворяет неравенству

T-t0

(o(M,8) < eL(T-t0)r T 8T (cm. [13]), то из оценки (25) следует теорема.

Теорема. Метод проекционной регуляризации приближенного решения задачи с обратным временем, определенный равенством (8), оптимален по порядку на множестве M .

Литература

1. Иванов, В.К. Теория линейных некорректно поставленных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. - М.: Наука, 1978. - 208 с.

2. Страхов, В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве /

B.Н. Страхов // Дифференциальные уравнения. - 1970. - Т. 6, № 8. - С. 1490-1495.

3. Иванов, В.К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филинков. - М.: Наука, 1995. - 176 с.

4. Танана, В.П. Оптимальные по порядку методы решения нелинейных некорректно поставленных задач / В.П. Танана // ЖВМиМФ. - 1976. - Т. 16, № 2. - С. 503-507.

5. Танана, В.П. О сходимости регуляризованных решений нелинейных операторных уравнений / В.П. Танана // Сиб. журнал индустр. математики. - 2003. - Т. 6, № 3. - С. 119-133.

6. Тихонов, А.Н. Нелинейные некорректные задачи / А.Н. Тихонов, А.С. Леонов, А.Г. Ягола.

- М.: Наука, 1995. - 312 с.

7. Васин, В.В. Некорректные задачи с априорной информацией /В.В. Васин, А.Л. Анеев. -Екатеринбург: Наука, 1993. - 262 с.

8. Кокурин, М.Ю. Операторная регуляризация и исследование нелинейных монотонных задач // М.Ю. Кокурин. - Йошкар-Ола, Изд. Марийского гос. Ун-та, 1998. - 292 с.

9. Tanana, V.P. Methods for solving of nonlinear operator equations / V.P. Tanana. - Utrecht, VSP, 1997. - 241 p.

10. Табаринцева, E.B. Об оценке погрешности метода квазиобращения при решении задачи Коши для полулинейного дифференциального уравнения / Е.В. Табаринцева // Сибирский журнал вычисл. математики. - 2005. - Т. 8, № 3. - С. 259-271.

11. Танана, В.П. Об одном подходе к приближению разрывного решения некорректно поставленной задачи / В.П. Танана, Е.В. Табаринцева // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2005. - Т. 8, № 1(21). - С. 129-142.

12. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. -М.: Мир, 1985. - 376 с.

13. Табаринцева, Е.В. Об оценке модуля непрерывности одной нелинейной обратной задачи / Е.В. Табаринцева // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2013. - Т. 19, № 1. -

C. 253-257

14. Лаврентьев, М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики // М.М. Лаврентьев. - Новосибирск: Сибирское отделение АН СССР, 1962. - 92 с.

ABOUT SOLVING OF AN ILL-POSED PROBLEM FOR A NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATION BY MEANS OF THE PROJECTION REGULARIZATION METHOD

E.V. Tabarintseva

A retrospective inverse problem for a semi-linear differential equation is studied. The projection regularization method with the choice of the regularization parameter by means of M.M. Lavrentiev scheme is used to find a stable approximate solution to the ill-posed problem under consideration. An explicit evaluation of inaccuracy of this method was measured on one of the cases of robustness.

Keywords: inverse problem, nonlinear differential equation, approximate method, evaluation of inaccuracy.

References

1. Ivanov V.K., Vasin V.V., Tanana V.P. Teoriya lineynykh nekorrektno postavlennykh zadach i ee prilozheniya (Theory of linear ill-posed problem and its applications). Moscow: Nauka, 1978. 208 p. (in Russ).

2. Strakhov V.N. Differentsial'nye uravneniya. 1970. Vol. 6, no. 8. pp. 1490-1495.

3. Ivanov V.K., Mel'nikova I.V., Filinkov A.I. Differentsial'no-operatornye uravneniya i nekor-rektnye zadachi (Differential and operator equations and ill-posed problems). Moscow: Nauka, 1995. 176 p. (in Russ.).

4. Tanana V.P. Optimal order methods of solving non-linear ill-posed problems. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1976. Vol. 16, no. 2. pp. 219-225.

5. Tanana V.P. Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki. 2003. Vol. 6, № 3. pp. 119-133. (in Russ).

6. Tikhonov A.N., Leonov A.S., Yagola A.G. Nelineynye nekorrektnye zadachi (Non-linear ill-posed problems). Moscow: Nauka, 1995. 312 p. (in Russ.).

7. Vasin V.V., Aneev A.L. Nekorrektnye zadachi s apriornoy informatsiey (Ill-posed problems with prior information). Ekaterinburg: Nauka, 1993. 262 p. (in Russ.).

8. Kokurin M.Yu. Operatornaya regulyarizatsiya i issledovanie nelineynykh monotonnykh zadach (Operator regularization and the study of non-linear monotonic problem). Yoshkar-Ola, Izd. Mariyskogo gosudarstvennogo universiteta, 1998. 292 p.

9. Tanana V.P. Methods for solving of nonlinear operator equations. Utrecht, VSP, 1997. 241 p.

10. Tabarintseva E.V. Sib. Zh. Vychisl. Mat. 2005. Vol. 8, no. 3. pp. 259-271. (in Russ.).

11. Tanana V.P., Tabarintseva I.V. Sib. Zh. Ind. Mat. 2005. Vol. 8, no. 1. pp. 129-142. (in Russ.).

12. Khenri D. Geometricheskaya teoriya polulineynykh parabolicheskikh uravneniy (Geometrical theory of semilinear parabolic equations). Moscow: Mir, 1985. 376 p. (in Russ.). [Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Springer-Verlag, 1981. 348 p.]

13. Tabarintseva E.V. Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN. 2013. Vol. 19, no. 1. pp. 253-257. (in Russ).

14. Lavrent'ev M.M. O nekotorykh nekorrektnykh zadachakh matematicheskoy fiziki (Some improperly-posed problems in mathematical physics). Novosibirsk: Sibirskoe otdelenie AN SSSR, 1962. 92 p. (in Russ.). [Lavrentiev M.M. Some Improperly Posed Problems in Mathematical Physics. Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K, Berlin, 2012. 88 p.]

Поступила в редакцию 15 февраля 2013 г.

1 Tabarintseva Elena Vladimirovna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Computational Mathematics Department, South Ural State University.

E-mail: eltab@rambler.ru