Математическое моделирование колебаний, локализованных на дислокациях в пьезоэлектрических кристаллах

УДК: 517.95: 538.9

С.Г. Гестрин, Е.В. Щукина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ, ЛОКАЛИЗОВАННЫХ НА ДИСЛОКАЦИЯХ В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ

Построена математическая модель звуковых колебаний, локализованных на дислокациях, основанная на дифференциальном уравнении движения теории упругости для пьезоэлектрического кристалла с дефектом кристаллической структуры. Получены выражения для частот осесимметричных и винтовых волн, а также частотных интервалов, отделяющих их от спектра объемных колебаний.

Найдены законы убывания амплитуды колебаний с удалением от дислокации. Показано, что с увеличением диаметра дислокационной трубки возрастает азимутальное число возмущения, способного на ней локализоваться.

Пьезоэлектрический кристалл, дислокация, дисперсионное уравнение, локализованные колебания

S.G. Gestrin, E.V. Schukina

MATHEMATICAL MODELING OF OSCILLATIONS, LOCALIZED ON DISLOCATIONS

IN PIEZOELECTRIC

A mathematical model of sound oscillations, which are localized on dislocations based on the differential equation of motion of the theory of elasticity for a piezoelectric crystal with defects of the crystal structure. Expressions are obtained for frequencies of axisymmetric and spiral waves and frequency intervals that separate them from the volume of the spectrum of vibrations. The law of decreasing amplitude with increasing distance from the dislocation. It is shown that an increase in the diameter of the tube dislocation increases the number of azimuthal perturbations able to localize it.

Piezoelectric crystal, dislocation, dispersion equation, localized oscillations

Наличие дефектов кристаллической структуры приводит, как известно, к локализации на них колебаний решетки [1]. Локализованные колебания могут существовать вблизи точечных дефектов -примесных атомов, одномерных дефектов - дислокаций, а также двумерных дефектов упаковки. От обычных колебаний решетки они отличаются тем, что их амплитуда убывает с удалением от дефекта, а частота сдвинута относительно частоты объемных колебаний.

Ранее в ряде работ [2-5] было указано на возможность локализации на дислокациях в кристаллах различных видов колебаний: плазменных волн, поляритонов, экситонов Френкеля, спиновых волн. Были исследованы условия локализации как осесимметричных возмущений ~ ехрі(к2 — Ш), так и винтовых волн ~ ехрі(к2 + тф — Ш) при т = 1,2,3...[3].

Ниже рассмотрены волны в пьезоэлектрическом кристалле, относящемся к классу С 4у (тетрагональная система), локализованные на дислокациях, ориентированных вдоль оси С4. Получены и исследованы дисперсионные уравнения для волн с т = 0,1,2,.... Показано, что с ростом азимутального числа т возрастает радиус дислокационной трубки, на которой возможна локализация данного вида колебаний.

Как известно [6], уравнения движения теории упругости для пьезоэлектрика могут быть представлены в виде

Роіі і = -

= 1

-и,,

+ь,

дЕ,

-\ гкип -\ / г,к1 -\

дхк дхк дхк

Здесь иг — вектор деформации; (Ггк, игк ,Ягк1п — тензоры напряжений, деформации и модулей

упругости соответственно, р0 - плотность среды, Е — напряженность электрического поля.

Для анизотропной диэлектрической среды вектор электрической индукции имеет вид [6]

А = А, + егкЕк — 4рДг,МиМ,

где последнее слагаемое в правой части (2) описывает пьезоэлектрический эффект. Если в (2) А0 Ф 0, то диэлектрик поляризован в отсутствие внешнего электрического поля - пироэлектрический эффект. Из уравнения ШуВ = 0 следует

Эе,,

ди,,

= 0.

1к / 1,к, дхі Эх

іі

Ниже рассмотрим пьезоэлектрический кристалл, относящийся к классу С4у (тетрагональная система). Выбираем систему координат с осью 2 по оси С4, и осями х и у , перпендикулярными к двум из вертикальных плоскостей симметрии, тогда для компонент 1ік1т выполняются соотношения [6]:

1 = 1 , 1 = 1

хххх УУУУ 5 ХХ22 уу22 - х2

Отличные от 0 компоненты тензора Д к1 [6]:

Д2,хх ДZ,уу Д1 , Д2,22 Д0 , Дх,х2

Компоненты тензора диэлектрической проницаемости:

е = е

у2у2 '

Є

Є ° Є

уу 1

Предположим, что в кристалле распространяется продольная волна вдоль оси 2 . Тогда отличными от нуля будут только иг и Ег. Из (1) в этом случае находим

э Ч

Э2 2

+ 1

Э 2и ЭЧ

где обозначено Из (3) согласно (5) и (6), имеем

« ЭЕг + Д-дГ •

эе

д і

е1Т—4Д Э2

Эх2 ду2

= 0.

Выразим из

Г0и2 =

Э Ч

Э2 2

Эх2 Эу2

Предположим теперь, что кристалл содержит дислокацию, ориентированную вдоль оси 2 и создающую возмущение компоненты 10 тензора модулей упругости, тогда вместо (10) следует записать

э Ч

Э2 2

+ 1

Эх2 Эу2

э 2и

= р0и, + а 2Г<5

+

Здесь выражение, содержащее дельта-функцию d(p) = d(x )d(y) в правой части (11), описывает возмущение, создаваемое в кристалле дислокацией; р ° (x, y), a — постоянная решетки, для краткости введены следующие обозначения:

Л°л +2пр0р2

Л0 — Ло +

4—р

Є2 Є2

Рассмотрим теперь возмущения иг = и20 (х,у)ехрі(к2 + тф—Ш) при т = 0,1,2,.... Запишем (11) в цилиндрической системе координат

Э2й 1 Эй

- + —

Эp p Эp

Решение уравнения (1З) имеет вид

- — й.

л л

/

(p)= 2—a 2k 2 Л й,m (0)KK

2— Л

Л

2—p Л

— Л

Здесь Кп (х)— функции Макдональда порядка п .

Рассмотрим вначале возмущение с т = 0. Воспользуемся известным интегральным представлением функции К0 (%Р):

1 а2к2уи20(0) г ксо$>(крсо$>р)ём1р

йг 0 (Р, k )=, ,

2

Л

к2 +

Л

k2 —

po

Полагая в (15) p = 0, находим

a2 k2r\0

kdk

2—Л о 2

1 0 к +

Л0 7,2

Л Л

= 0.

о

po

Л Л

о

В (16) верхний бесконечный предел интегрирования в интеграле по К заменен на К0 ~ 1/а . То обстоятельство, что предел интегрирования в (16) определяется лишь по порядку величины и имеет характер параметра «обрезания», связано с модельным предположением о 8 — образном характере возмущения, создаваемом дислокацией в кристалле (13).

Из (1б) при выполнении условия 4—Л / a2 k 2r>> 1 находим

2 Л0 7 2 Л 2

w0 »— k-----------------L к0 exp

po po

ґ

4—Л1

a2 k 2r

Частотный интервал, отделяющий локализованные вблизи дислокации колебания от спектра объемных колебаний:

Д°о =

1 я к

(

Vp10

exp

4—Л

a2 k 2r

\

Заметим, что функция К0 (%р) обращается в бесконечность при р  0, однако замена верх-

него предела интегрирования в (15) на к0 ~ 1/a приводит вместо (15) к

1 і

й,о (p) = 2 a2k2 Л й, (0)K0(cp), K0(cp) ° f

2 2 2 0 о x +c a

2р 1

где J 0 (хр / а) — функция Бесселя.

График функции р(р)° и20(р)/иг0(0), построенный с помощью МАТИСАБ, при %а = 0,1;

ак=0,74, уЦ = 5 представлен на рис. 1, р — выражено в постоянных решетки а. То обстоятельство, что предел интегрирования в (15) определяется лишь по порядку величины и имеет характер параметра «обрезания», связано с модельным предположением о 8 — образном характере возмущения, создаваемом дислокацией в кристалле (13).

Для исследования винтовых возмущений с т = 1,2,... воспользуемся известным интегральным представлением Кп (х):

й

1

k

x

ч т+—

ах_ти 2

2ц г(т+1)' х~т

справедливым для Яе а > 0, _ 1< Яе 1 < 2Яе т + ^ •

Полагая в (20) 1= 1, а = С, * = 2и = р,т = 0, получим

1 г К

К1С) = — | -2 г ЛК—) Шк, С

Со к2 +С

1

Заметим, что подынтегральное выражение в (21) не обладает нужным для сходимости интеграла убыванием на бесконечности, поэтому аналогично (15) верхний бесконечный предел интегрирования в интеграле по К заменяем на к0 ~ 1/а :

1 V 1 0 *-2

1 (Р)» — а2к2 ~~ и1 (0)-1~2-----Г31 (кР)Шк •

2р 3 С *-2 + V2

2р 1 ' ' С 0 к2 +С2

Выполняя в интеграле, входящем в (22), замену переменной X = Ка, находим

и

г01

(Р

1 „21,2 Г

2р

-а к“и

г01

X

Са 0 X 2 +С2а 2

31

х — \<1х. а )

1 ИЛ* 0

Для получения дисперсионного уравнения необходимо в (23) положить р = 0, однако при этом

интеграл обращается в ноль. Данный результат связан с модельным предположением о 8 _ образном характере возмущения, создаваемом дислокацией. На самом деле внутри ядра любой дислокации смещение атомов из своих равновесных положений в идеальном кристалле - порядка величины межатомных расстояний и существенно зависит от типа и конкретных свойств кристалла. Если же окружить ядро дислокации некоторой трубкой, то вне этой трубки кристалл может считаться идеальным и подверженным только малой упругой деформации. Радиус дислокационной трубки г0 порядка нескольких а. Заметим,

что и20! (р) имеет максимум при р » 3а , что соответствует радиусу дислокационной трубки. Зависимость Ь(р) ° иг01 (р)/иг01 (3а) при%а = 0,1; ак=0,56; у/1 = 5 представлена на рис. 1. Если считать, что локализация колебаний происходит на дислокационной трубке, то для получения дисперсионного уравнения необходимо в (30) положить р = г0 » 3а, а иг01 (0) заменить на иг01 (3а) :

22

311 х— шх.

Р.Р.Р Рис. 1

Приближенное вычисление интеграла (23) дает

Рис. 2

I

Для сравнения функции I (с0 ) и Н (СГ0 ) представлены на рис. 2. Подставляя (25) в (24), окончательно находим выражение для частоты винтового возмущения с т = 1:

а2 к 2_А_ к з2

Р 0 Р 0

а к у

Р0

Р0

2

X

а

и частотный интервал, отделяющий локализованные на дислокации колебания от объемных колебаний

Л1

к

yj p о Ло

( a2 к2 у Л 2 рЛ'1

Вычисления, аналогичные проделанным выше для т = 0 и т = 1, приводят для возмущения с т = 2 к результатам

*z02

(p) = — a2к2 УУ и

W

Л

Л

-0- к2 J3(2,5^-L к

2

po

po

Aw

z02

a2 к g 2p/~

» 0,04

1

v 3

Л

-0-к2 - 0,0^-Lк

Л

po

Л

к

po

2 ( 2 2 Л

)2 Л a ( a2 к2 у Л 2p/~

лі pоЛо

a к у 2p/~

График функции /(р)° м202 (р)/м202 (5а) приXа = 0,1; ак=0,39; у/1= 5 представлен на рис. 1. Из данного рисунка видно, что с ростом азимутального числа т происходит увеличение радиуса дислокационной трубки, на которой возможна локализация данного вида возмущения. Так, локализация волны с т = 0 может происходить на бесконечно тонкой нити, для моды с т = 1 нужна дислокационная трубка с г0 > 3а, а для возмущения с т = 2 подходит трубка с г0 > 5а .

Для того чтобы оценить частотные интервалы (18), (27), (29), воспользуемся следующими

значениями

параметров

po = 5 г/

г см

3

у= 5 1012 дин/см2, a = 5 10

см,

10 = 6-1012 дин/см2, 1 = 1012 дин/см2,

к = 1,26 • 107 см-1 (1 = 10а). Окончательно находим:

О» 1,38• 1013Гц, Ао0 »5,00-10УГц, Ащ » 5,74 1010Гц, Ао2 » 7,91 1010Гц. Из приведенных оценок видно, что с ростом т происходит увеличение Аот .

Таким образом, в работе доказана возможность локализации осесимметричных и винтовых колебаний на дислокациях в пьезоэлектрических кристаллах. Получены дисперсионные уравнения для локализованных волн. Найдены частотные интервалы, отделяющие частоты локализованных колебаний от объемных волн.

ЛИТЕРАТУРА

1. Косевич А.М. Основы механики кристаллической решетки / А.М. Косевич. М.: Наука, 1972. 272 с.

2. Гестрин С.Г. Локализация поляритонов вблизи дислокаций в ионных кристаллах / С.Г. Гестрин // Изв. вузов. Физика. 1996. №10. С. 45-50.

3. Гестрин С.Г. Винтовые колебания, локализованные на заряженных дислокациях в полупроводниковых кристаллах / С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников, Е.В. Щукина // Известия вузов. Физика. 2006. № 10. С. 66-69.

4. Гестрин С.Г. Локализация экситонов Френкеля на дислокациях / С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников // Изв. вузов. Физика. 2005. № 7. С. 23-25.

5. Гестрин С.Г. Спиновые волны, локализованные на дислокациях в ферродиэлектриках / С.Г. Гестрин, Е.А. Сальникова // Известия вузов. Физика. 2011. № 11. С. 3-9.

6. Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред. Теоретическая физика. Т.УШ / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М: Наука, 1982. 622 с.

Гестрин Сергей Геннадьевич -

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Физика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Щукина Елена Вячеславовна -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Физика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.

Sergey G. Gestrin -

Dr. Sc., Professor Department of Physics

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Elena V. Schukina-

Ph. D., Associate Professor Department of Physics

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 17.08.13, принята к опубликованию 15.09.13

4

a

x

к