О преподавании математики в свете реформы образования

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 14.25

И.А. Галимов

магистрант,

ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный университет экономики и сервиса»

Л.Ю. Уразаева

канд. физ.-мат. наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Нижневартовский государственный гуманитарный университет»

О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В СВЕТЕ РЕФОРМЫ ОБРАЗОВАНИЯ

Аннотация. В работе рассматриваются различные аспекты предметного наполнения дисциплины «Математика». Авторы обращают внимание на необходимость акцентирования внимания на практическом применении знаний по математике в процессе обучения и необходимости автоматизации мониторинга успеваемости при обучении на основе индивидуальной образовательной программы учащегося.

Ключевые слова: математика, фундаментальное ядро, функция, базы данных учебных заданий, мониторинг успеваемости, задачи практического назначения.

1.А. Galimov, Ufa State Economics and Service University

L.U. Urazaeva, Nignevartovsk State University of Human Sciences

THE TEACHING OF MATHEMATICS IN THE LIGHT OF THE EDUCATION REFORM

Abstract. The work deals with the various aspects of the subject filling discipline «Mathematics». Authors pay attention to the need to focus on the practical application of knowledge in mathematics in the process of learning and the need to automate the monitoring of progress in training on the basis of individual educational programs of the student.

Keywords: mathematics, the fundamental core of mathematical education, the base of data of educational tasks, monitoring of progress, the task of the practical purpose.

В связи с реформой образования особую важность приобретает исследование проблем наполнения дисциплин предметным содержанием.

В концепции фундаментального ядра содержания общего образования отмечено [5, c.6], что важными этапами формирования содержания общего образования являются этапы 2 и 3, посвященные конкретному заполнению учебных предметов и созданию учебных материалов.

В содержание [5, c.8] не стоит включать «архаичный, малозначительный, чрезмерно детализированный материал, либо понятия и идеи, смысл которых не может быть популярно раскрыт школьнику».

Учащийся должен освоить, что математика позволяет решать и практические задачи, производить полезные инженерные и технические расчеты. Для понимания глубинных причин появления тех или иных математических теорий и идей при изучении математики предусмотрено знакомство с историей математики.

Учащийся в результате изучения математики должен не только овладеть обще-

математическими понятиями и методами, но и иметь навыки математического моделирования. Знать основные математические модели и математические методы, применяемые в физике, химии, биологии, экономике, географии, лингвистике, социологии, экологии и т.д.

Вместе с тем в ядре указано, что в разделе содержания курса школьной математики в разделе математический анализ предполагается к изучению основного элемента научного знания по математике «Функция и способы ее задания».

Великий реформатор математического образования Клейн Ф. в своем выступлениях отмечал: «Какое же понятие в современной математике доминирует? Это есть понятие о функции. Изучение функции составляет предмет, можно сказать, всей математики; установление функциональной зависимости между различными факторами составляет задачу прикладной математики... Развить в юноше способность к функциональному мышлению составляет первую задачу.....» [6, с. 3].

Выпускник, в полной мере владеющий предметными математическим компетенциями, будет в силах использовать полученные знания о существующих функциональных зависимостях не только в своей будущей профессиональной деятельности, но и в повседневной жизни при решении задач практического назначения, иметь надежный инструмент управления и прогнозирования ситуацией на основе выявленной функциональной зависимости и знания свойств этой функциональной зависимости..

Традиционно тема «Функция и способы ее задания» предполагает ознакомление учащихся с понятием функциональной зависимости на примерах из практической деятельности, чтобы затем на основе обобщения полученных знаний о существовании закономерностей и видах их проявлений на примерах осуществить переход к усвоению самого определения понятия функции.

Отметим, что в свете введения раздела «Вероятность и статистика» возникает необходимость ознакомления учащихся с расширенным представлением о возможных наблюдаемых закономерностях, имеющих место в практической деятельности, а именно, выделения детерминированных закономерностях (например, закономерностях между отработанным рабочим временим и начисленной заработной платой) и закономерностях, подверженных влиянию случайных факторов (например, закономерностях между весом и ростом).

Без четкого выделения понятия детерминированных закономерностей, описываемых с помощью жестких функциональных соотношений, понятие функции останется для школьника чисто абстрактным понятием, оторванным от жизни. Особенно важно связать использование примеров функции с примерами экономической деятельности, товарно-денежными отношениями, где как нигде важны определенность и точность.

Следующим важным результатом при изучении данной темы является усвоение учащимися способов задания функции. Этот вопрос чрезвычайно важен для решения практических задач в различных областях деятельности. Для школьника навсегда может остаться полной абстракцией представление о том, как на основе наблюдаемых закономерностей выводится аналитическое представление функциональной зависимости.

Предлагается в свете этого пояснить, каким образом, в частности, физики-экспериментаторы находили важнейшие функциональные соотношения, имеющие ме-

сто в природе, переходя от результатов экспериментов, полученных в виде таблиц к выводу различных физических законов и формул, отражающих имеющие место функциональные зависимости. Очевидно, данный переход требует использования понятия «математическая модель». Следует пояснить, что на практике имеет место много часто случайных причин, которые могут усложнить выявление вида основной закономерности, имеющей место при изучении некоторого физического явления или явления иной природы. Например, влияние количества внесенных удобрений на единицу посевной площади не всегда может привести к повышению урожайности, результат зависит и от ряда случайных факторов, таких как, например, количество осадков на единицу площади, выпавших в критический период роста растений. Для осознанного освоения материала школьники должны самостоятельно прийти к представлению того, что имеющиеся аналитические представления закономерностей, известные функции, это определенного вида математические модели, отбрасывающие все несущественное, учитывающие лишь доминирующую зависимость.

Простое представление способов задания функций в табличном виде, аналитическом виде, графическом и словесном, является явно недостаточным. Нужно показать связь между способами представления функции, показать переход или возможность перехода от всех остальных способов представления функции к аналитическому способу.

В основе любого исследования лежит обобщение экспериментальных данных. Поэтому важнейшей предметной компетенцией для школьников является компетенция математического моделирования, то есть обобщения или сведения имеющихся эмпирических данных к аналитическому виду, для дальнейшего исследования свойств управления процессом или его прогнозирования, переход от табличной формы представления функции к аналитическому представлению имеющейся закономерности.

Остановимся на табличном способе представления функции. Существуют различные способы получения аналитического выражения функции на основе имеющихся табличных данных эксперимента. Использование регрессионного анализа возможно, скорее, только при профильной подготовке, хотя в принципе формулы для определения параметров регрессии можно дать без вывода (вывод требует знания дифференциального исчисления функции нескольких переменных, что выходит за рамки школьного курса). Также изучение регрессии требует пояснения особенности регрессионной зависимости как функции среднего значения зависимой величины от изменения независимого аргумента. С другой стороны знание регрессионного анализа значительно обогатило бы курс математики, сделало бы возможным обработку различных эмпирических закономерностей, подверженных влиянию случайных факторов, способствовало бы развитию исследовательских компетенций школьников.

Более простым и доступным пониманию школьников является использование интерполяционных многочленов. Очевидно, чтобы материал был понятен школьникам, необходимо ограничиться построением интерполяционных многочленов не выше третьей степени. Приближение функции интерполяционным многочленом можно первоначально показать на примере линейной интерполяции. Например, показать пример использования линейной интерполяции для получения значений функций на основе использования соседних значений таблицы. Исследовать результаты принятого на

практике во многих видах деятельности так называемого метода «натянутой нити», согласно которого вид функции определяется на основе данных таблицы значений функции в начале и конце таблицы. В качестве подтверждения возможности использования данного метода привести пример его использования для таблиц социально-экономических показателей. Ввиду инерционности социально-экономических процессов данный метод может давать неплохие результаты при аппроксимации значений из таблиц. В качестве удачного примера использования квадратичной интерполяции можно использовать приближение данных о производительности труда в течение рабочего дня или данных о количестве внесенных уравнений и полученной урожайности. Также можно показать на графике идею использования кубических интерполяционных многочленов. В профильных классах можно познакомить с идеей использования кубических сплайнов после изучения производной функции.

Изучение метода обратной интерполяции с применением кубической интерполяции дает простой для практического применения и достаточно точный способ приближенного решения, как алгебраических уравнений высокой степени, так и трансцендентных уравнений.

Таким образом, изучение элемента «Функция и способы ее задания» способствует формированию блока универсальных действий познавательной направленности, включающего самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели при обработке таблицы значений функции; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств для определения вида функции; совершенствование знаково-символических действий, включая моделирование (преобразование объекта в математическую аналитическую модель, где выделены существенные характеристики объекта и преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область); выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, в частности, выбора лучшего аналитического представления функции; контроль и оценку процесса и результатов деятельности при проверке соответствия на основе соответствующего оценочного критерия полученного аналитического выражения исходным эмпирическим данным на основе

Наряду с общеучебными действиями познавательной направленности при изучении данного элемента также формируются универсальные логические действия: анализ объекта исследования, для которого построена таблица значений функции, с целью выделения признаков (существенных, несущественных); установление причинно-следственных связей, определяющих представление функции, выдвижение гипотез об аналитическом представлении функции и их обоснование; выбор оснований и критериев для выбора лучшего аналитического представления функции.

Использование практических задач, элементов научного поиска при изучении элемента научного знания по математике «Функции и способы ее задания» с включением формулировки проблемы и создания условий для самостоятельного создания способов решения проблемы самим школьником в рамках нормативно-возрастного развития личностной и познавательной сфер ребенка позволит эффективно формировать предметные компетенций по математике, получать опыт использования математики в для решения практических задач в различных отраслях знаний.

Кроме активного привлечения в процесс обучения практических задач авторами предлагается использование базы данных учебных заданий. База данных учебных заданий, содержащая учебные задания по различным темам, отсортированные по значимости, сложности, методам решения, времени необходимого для решения, указаниями к решению, рекомендациям для учителя и ученика, является важнейшим инструментом повышения эффективности обучения и построения индивидуальной образовательной траектории каждого учащегося. Отметим, что авторами созданы и зарегистрированы две базы данных [8, 9]. Одна база данных создана для мониторинга знаний и умений учащегося на основе выделенных и хранящихся в ней критериев оценки знаний по компетенциям и их отдельным составляющим [9], другая база данных содержит набор задач школьной геометрии [8]. Использование двух баз данных, подобных зарегистрированным, поддерживает стабильность обучения на основе индивидуальной траектории. Ученик и преподаватель могут отслеживать достижение требуемых умений и навыков на основе прохождения индивидуальной программы, базовая часть которой расположена в базе учебных заданий. Более полное обоснование предыдущего положения дано в работе [7] на основе работ [1-4]. Организация обучения по индивидуальной траектории становится неотъемлемой частью образовательного процесса и требует новых инновационных подходов к сопровождению процесса обучения.

Список литературы:

1. Возможность использования 1С при внедрении системы образовательных кредитов. Сборник материалов IX-я Международной научно-методической конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии» 2-13 февраля 2009 года. ВГУ. Воронеж. 2009. С.345-347

2. Галимов И.А., Уразаева Л.Ю. Математическое моделирование E-Learning. Научный вестник Норильского индустриального института НИИ Норильск №4 2009. С.15-17

3. Галимов И. А., Уразаева Л.Ю. Математическое обоснование некоторых закономерностей обучения. Альманах современной науки и образования 2008. 7(14). С.215-217.

4. Закирьянова Г.Т., Галимов И.А., Уразаева Л.Ю. Математическое моделирование закономерностей инновационных процессов. Естественные и технические науки №6, 2012. С.425-427.

5. Концепция фундаментального ядра содержания общего образования. Сайт. URL: http:// standart.edu.ru/ catalog.aspx?CatalogId=2619

6. Ланков А. В. К истории вопроса о реформе преподавания математики. Ф. Клейн и В. Шереметевский // Математика в школе. - 1949. - № 6. - С.1-4.

7. Практические аспекты использования ИТ для формирования индивидуальной образовательной траектории. Сборник трудов VI Международной научно-практической конференции «Информационная среда вуза 21 века». Куопио, Финляндия. 4-10 декабря 2012.

8. Свидетельство БД «Школьные задачи геометрии». Авторское свидетельство №2012620819 22 августа 2012 года. Роспатент. Москва.

9. Уразаева Л.Ю. Учет успеваемости при модульном обучении. Авторское сви-детельство.-Москва, Роспатент, № 2012620350. Реестр баз данных 11 апреля 2012 г.

List of references:

1. The possibility of use of 1C when implementing the system of educational loans. Collection of materials of the IX International scientific-methodical conference «computer Science: problems, methodologies, technologies» 2-13 February 2009. VSU. Voronezh. 2009. P.345-347.

2. Galimov I.A., Urazaeva L.YU. Mathematical modeling of E-Learning. Scientific Bulletin of the Norilsk industrial Institute research Institute of Norilsk №4 2009. P.15-17.

3. Galimov I.A., Urazaeva L.YU. The mathematical rationale of some of the regularities of the training. Almanac of modern science and education, 2008, 7(14). P.215-217.

4. Zakiryanova G.T., Galimov I.A., Urazaeva L.YU. Mathematical modeling of the regularities of the process of innovation. Natural and technical Sciences №6, 2012. p.425-427.

5. The concept of the fundamental nucleus of the content of General education. Site. URL: http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=2619(visiting day 22.02.2013).

6. Lankov A.V. To the history of the question on the reform of the teaching of mathematics. F. Klein and In. Sheremetev // Mathematics in school. - 1949. - № 6. - P. 1-4.

7. The practical aspects of the use of it for the formation of individual educational trajectory. Proc. of the VI International scientific-practical conference «Information environment of the University of the 21st century». Kuopio, Finland. 4-10 December 2012.

8. Certificate dB «School problems of geometry» inventor's certificate №2012620819 August 22, 2012. Rospatent. Moscow.

9. Urazaeva L.YU. Record of achievement in a modular training. The copyright certificate.-Moscow, Rospatent,№ 2012620350 Registry databases April 11, 2012.