Свободные колебания сферической оболочки с упругим заполнителем

Динамика конструкций и сооружений

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С УПРУГИМ

ЗАПОЛНИТЕЛЕМ

А.И. СЕЙФУЛЛАЕВ, Г.Д. АГАЛАРОВ

Национальная Академия Наук Азербайджана,

Институт Математики и Механики, г. Баку, AZ 1143, ул. Б. Вахабзаде, 9. а. seyfullayev@yahoo. сот

Исследуются свободные колебания сферической оболочки заполненной упругой средой. Приведены уравнения движения тонкой упругой сферической оболочки подверженной внутреннему давлению. Среда, заполняющая оболочку, со значительно меньшим модулем упругом оболочка. Решение представляется для свободных колебаний системы оболочка-заполнитель. Строится аналитическое решение задачи, т.е. зависимость частоты колебаний оболочки без заполнителя как функция частоты системы оболочки - заполнитель. Представлен график зависимости частот для двух ветвей спектра.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: колебания, волны, частота, оболочка, плотность

Оболочки как элементы машин и сооружений широко применяются в авиа-судостроении и т.д. Поэтому в последнее время значительный интерес у исследователей вызывают вопросы, связанные с динамическим поведением тонкостенных конструкций, которые в рабочих условиях находятся в контакте с внешней средой. Важное место среди динамических контактных задач теории оболочки занимают задачи о свободных колебаниях упругих тонких оболочек, контактирующих с упругой средой и жидкостью. Оболочки с наполнителем могут применяться на практике для хранения и транспортировки продуктов. Так как в связи с добычей нефти и газа, необходимостью хранения, транспортировки и переработки разнообразных химических жидкостей весьма актуальны проблемы прочности и ресурса оболочек резервуаров. Кроме того, Земля может рассматриваться как сферическая оболочка с наполнителем.

В работах [1-3] исследуются частоты и формы свободных колебаний сферической и цилиндрической оболочек, контактирующих с упругой и жидкой средами. Асимптотическими методами получены приближенные простые формулы для вычисления частоты и определения формы колебаний, рассмотренных систем, что ограничивает использование полученных результатов, поскольку исключает в ряде важных случаев возможность проведения качественного анализа исследуемых процессов. Эти исследования также сопряжены с большими трудностями в связи с необходимостью решения трансцендентных систем уравнений.

В работе [4] исследованы свободные колебания тонкостенной оболочки, содержащей сжимаемую жидкость. При некоторых значениях параметров системы определены ее собственные частоты колебаний, а также исследовано влияние геометрических и физических параметров системы цилиндрическая оболочка-жидкость на свободные колебание цилиндра.

В данной работе исследуется задача о свободных колебаниях тонкостенной упругой сферической оболочки содержащей упругую среду с отличающимися свойствами, обычно с модулем упругости значительно меньшим модуля упругости материала оболочки. Известные решения в этой области получены численными методами или представляют собой асимптотические решения для мод высоких порядков. Здесь строится точное аналитическое решение задачи, представляющее зависимость частоты оболочки без заполнителя от частоты заполненной оболочки. Результат демонстрируется в виде двух кривых спектра.

Постановка задачи. Выпишем системы дифференциальных уравнений, описывающих свободные колебания сферической оболочки, контактирующей со

средой. Система уравнений сферической оболочки представляется в виде [2]:

Л

Eh

(1 -V2у2 у

Eh

др

дЛ - 6 2A(v 2 + _(1 -v{-

др ' v \ si

1 дЛ1 dw

--L - u +—

sin р дв др

1

sin р

дл

дв

0 - ъ 2 A(v 2 +

яа V >

+

дЛ1 1 дw

1 + 3-

др

sin р дв

ъ2 [v2 +1 - v]a0 -(v2 + 2)w]-(l + v)Л

Л о =

sin р

д , . , д3

— (u Sin р ) +--

др ' дв

+ 2w, Л1 =

v =. 1

sin р

д

др

• р д Sin р —

+

2sin р

1 д2

(1 -v2R2 z

Eh '

— (3 sin р)-ди др дв

др) sinр дв2

Здесь X, Y,Z -проекции поверхностного усилия на направления р,в, r сферической системы координат, E,v - модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала оболочки, Ъ2 = h2 /12R2.

Уравнение движения упругой среды имеет вид:

В сферической системе координат r, р,в эти уравнения имеют с учётом гармонических колебаний следующий вид:

+ 2U )г sin, - 2U

дг

дв1

(да,,

дф

(даг д

- -д(а, sin y)JJ + рг sin у/а2Sr = 0,

(Я, + 2u)г sin, ^т1 - 2U ~~~ -~(гаф )J + Рг sin,a2 Se = 0,

дф

ду дг

(Л + 2u)г sin, ir1 - 2u

дв . ( д í . \ да ^

гафsin,)

ду

дг

дф

+ рг sin уа2 S р = 0,

где

в = 4 -

г дг

(г2Srí-f^ siny) +

дSв ^

г sin у ^ дг дф

1 (cS, д

2г

ду дг

(S )1.

1 (cS

аг =-

2г sin р

Л

др ду

ау =

1 ( д дS ^

— (st

дг дф

2г sin р

Уравнения движения оболочки (1) и среды (3) дополняются контактными и граничными условиями. На стыке запонителя и оболочки ставятся условия равенства компонент перемещений:

Sp = S2 = и, S = S3 = W; S1 = u, S2 = 3, S3 = w (г = R) (4) и равенства давлений

х1 =-ст1 - Ph , Y1 =-ст2 - Ph дrт, Z1 =-CT3 - Ph

д1 д д

где X1, Y1, Z1 - давления со стороны оболочки на заполнитель.

0

1

1

Решения уравнения движения упругой среды в сферической системе координат принимают вид:

S, = Sr =± ф + -1 Me dr Mt

(

Mt r% +

52 Ы

Л

dr2

S 2 - Sp -

S 3 - Se

dфф + 1 dy + d2

Mer dp sin p de Mtr drdp

1

5Ф dy

1

d2

Uer sin р др 80 jutr sin p дгдв где Ф,^, X суть решения скалярных волновых уравнений:

V 2ф-

a 2 dt2

- 0; V2y -

_L dy

a2 dt2

- 0; V2x-

a2 dt2

- 0;

V2 -оператор Лапласа в сферической системе координат.

Составляющие вектора напряжений на сферической поверхности г = 0, согласно [5], определяются следующим образом:

= Л^^и+2^

СТ - ст

СТ2 - СТр - Ms

1 dSr

--- + r —

r dp dr

dr

d( Sp Л

v r /

стз - CTre - M

1

dS„

+ r

r sin p de dr

d ( S,

Приведем общие решения уравнений движения среды и сферической оболочки, которые понадобятся для дальнейшего исследования задачи о свободных колебаниях сферической оболочки с упругим запонителем.

Решение скалярного волнового уравнения (7) относительно потенциала Ф пишется в виде:

Ф = Г

Подстановка (9) в волновые уравнения (7), записанное в сферических координатах, дает:

d2 Г

2 dr

dr2 r dr V e r2

К

+-—+\m:--г г-o,

1 d

sin p dp

r dY Sin p —

1 d 2Y

+-2--7 + KY - 0,

sin2 p de2 t

где jue = со/ae, Xt - константа разделения.

Однозначное, конечное и непрерывное решение второго уравнения (10) V2Y + XY = 0 существует лищь при условии Xt = n(n +1), (n = 1,2....).

Частное решение образуется из функций типа присоединенных сферической функции 1-го рода:

YCn = Pnk

к - половина числа узловых меридианов или число узловых меридиананых плоскостей. Решение первого уравнения (10) следующее:

Г(г) = A, jn (цег),

где jn (z) -сферические функции Бесселя связанные с цилиндрическими функциями формулами:

+

r

jn (z) = J-f J ! (z).

2z П+ 2

В результате для Ф, у, %:

Ф = [Аип (р^ (£,0), У = В]п МУ(р,0), 2 = С]п МУ ОМ). (13) Учитывая (13) и (4), получаем выражения для проекций перемещений:

d k Sr = aoYc, Sp = щ — Yc - a2—Ys, dp sin p

д k Sp = -a2 — Yc - a1 —-— Ys. p dp sin p

Здесь приняты обозначения:

ao Í4 drIjnM)]j + ACijnM)],

M

Mr

4"{4 jMr)]}+— |Ci I j(mr)]

M r

Mtr

= B1jn (M r I

Ys = sin kdPnk (cos p), A = n (n + 1).

Для нахождения собственной частоты рассмотренной системы оболочка -заполнитель составим частотное уравнение. Нахождение собственной частоты свободных колебаний сферической оболочки со сплошным заполнителем для всевозможных форм колебаний оболочки крайне затруднительно. Поэтому выбираются те решения уравнений движения оболочки, которые хорошо согласуются с движением заполнителя. Первые три контактных условия для перемещений автоматически выполняются. Остается удовлетворить остальные три контактных условия (5) для напряжений. Используя формулы (14) для перемещений из (8) для напряжений находим:

d k & 1 = arp = bx— Yc -b2^— Ys, 1 rp 1 dp 2 sin p

d k = arp =-b2— Yc -b1^—Ys,

2 rp 2 dp 1 sin p

&3 = &rr = b0YC ,

где

b1 = Ms

d a1

r--- + —

dr r r

, b2=Msr — k=Msr -f- I у

b0 = As

1 d

-2 dr

(ao r 2 )-A

dr ^ r a1 r

dan

+ 2MS^T dr

Подставляя эти выражения в (5) и с учетом X, У, 2 в системе уравнений движения оболочки (1), получим систему алгебраических однородных уравнений относительно постоянных А1, В1, С1 для существования нетривиального

* *2 1 * * и *1*л **г>12

(л-р* -р* )-р*&а~ 11+р*)м*р-м*м*ар л +

+[лЛ + р*(4 +(2Лп-1)хК)-(-Г + хК+(-4 + Рр(гп -2хЕ**))^ер-Ьц*ар]л+

+лЛ - аяр-Цн*н*ар=0,

решения которой приравниваем к нулю главный определитель названной системы. Таким образом, частотные уравнение свободных колебаний сферы с упругим заполнителем имеют вид [5]:

где

а =

т

jn (Mt

p=щ

jn (M*

a1 =

a

2

a

Здесь и* = fj.fi, и* = JueR, X = ка

Н = -; Не = -; к = (1 -V2)рЯ2/Е,

а а„

Е.

_*_. „ = .

V 2(1 + Р ' е ^

Е*(1 -V) _ _]п(и

; Р =

Е* = ^; Р* = Р-; И* = К; а = , ЕИ* рК R ]

р - плотность оболочки, р* - плотность наполнителя, И - толщина оболочки; Е, V - модуль Юнга и коэффициент Пуассона оболочки,

Хп = п(п + 1), 2 =

1 -V2

1 + V2

где

= Г1Гп - ХпГ2 Гп + ХЕ* (- Гп - 2г1 + ХпГ3 + ХпГ2 )+ Х" Е*2 (- 2 - Хп ), Ц2 = -Гп - Г + 3ХК; А3 = -Г - ХпГ2 - ХпГЪ; Г = К - 1 +V,

г2 = ь2 К - 2)+ 1 + V; Гз = Ь2г +1 + V; гп = ЬХ + 2(1 + v), Ь2 = И2.

При отсутствии заполнителя уравнение колебаний имеет вид:

Кп - Р* + Р*2 )К2 +Кл - Ц0 К° + КА = °, К = ка0.

Решив уравнение (17) относительно X, имеем

X ==-1^11^1,

2А

. { „ * *2 Л * * / * \ * л * * п

А = К - Р*- Р* J-Р*и*а - I1 + Р*М*р - U*Utар, В = ХЦ + р* Ц +(2Кп - Х*)-(- г + хЕ* )р>* dt +

+ (- Ц2 + Р* (гп - 2ХЕ* ))МеР - Ц2 М* М*аР,

С = ХпЦ1 - АМ*р - Ц1И*И;ар =

и,ш Х - В° ±>/В°2 - 4А°С° Из (18) следует Х° =-

2 А°

А° = Хп ; В° = ХпЦ2 - 2А2 ; С° = ХпА1 - А1 .

Исключая из (19) и (2°) к, получим

В° ±7В°2 - 4 А° С° А

-ВВ2 - 4 АС А°

Уравнение (21) связывает частоту системы с частотой оболочки.

Нахождение частот свободных колебаний системы в целом связано с решением трансцендентного уравнения. При решении трансцендентного уравнения часто авторы прибегают к приближенным методам, в частности к асимптотическим. Однако, решение данной задачи методом, использованным в работах [6,8] позволяет, строить спектр графиков, что упрощает исследование, в том числе определение частоты.

Рассмотрим пример:

2

а =

п = 2, h = 104 м, V, =0.5, h =0,00167, 12=6, 103 кг

Е!1 = 4гПа, р!1 = 7,8-

-, р = 3 • 103кг/м3

м

Е = 50гПа, V = 0.2, R = 6 • 106 м; В^0, А1 = 3,125; 2 = 0,64; Е* = 47,9; р* = 1556,9

Ме =.

В> р = 0; М*= R • -, Е * а,

Е,

2(1 + vi Р

= 0,17 • 103; м* =35,28 • 103т;

Г = 5,2; г2 = 1,2; г3 = 1,2; г4 = 2,4; = -3705,8; L2 = 84,4; L3 = -9,2; А = -2425,5 • 103 - 54927 • 103та; А0 =-2425,5 • 103, В = 511169,6 -1398232• 103та; В0 =511,17 • 103; С = -22234,8; С0 =-22234,8 Частотное уравнение будет иметь вид

(242,5 • 103 + 54927 • 103та)л2 -(511170 -1398232 • 103а)л + 22234,8 = 0. (22) При отсутствии заполнителя будем иметь

2425,5 • 103 - 51170А0 + 22234,8 = 0.

Из уравнений (22) и (23) имеем

1

511 - 1398 • 103 та ±>/

а = у2 (м*2(М*); М =35•103.

Формула (21) является аналитическим решением задачи свободных колебаний сферической оболочки с упругим заполнителем, представляющая собой обратную зависимость, т.е. зависимость частоты оболочки без заполнителя как функцию от частоты оболочки с упругим заполнителем.

На рис. 1 представлен спектр графика зависимости частоты системы от частоты оболочки без заполнителя.

400000,000

350000,000 300000,000 250000,000 200000,000 150000,000 100000,000 50000,000

0,000

ооооооооооооооооооооооооооооооо ооооооооооооооооооооооооооооооо

Рис.1. График зависимости частот колебаний для различных мод системы от частоты колебаний пустой оболочки

Для иллюстрации расчёта проведены вычисления с вышеприведёнными данными системы оболочка-наполнитель. Результаты вычислений представлены

на рисунке в виде двух ветвей спектра собственных колебаний. Из графика видно асимптотическое нарастание частоты системы с до некоторого постоянного значения, отвечающего жесткой оболочке для каждого спектра.

Л и т е р а т у р а

1. Ильина А.М., Корбут Б.А. Колебания цилиндрической оболочки, содержащей упругий заполнитель// Изв. АН СССР, Механика твердого тела. - 1968.-№4.- C.183-186.

2. Ильина А.М. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. - М.: Наука, 1969. - 182 с.

3. Корбут Б.А. Собственные колебания цилиндрической оболочки с упругим заполнителем// Изв. вузов: Авиационная техника. - 1970. - №4. - C.136-141.

4. Сейфуллаев А.И., Мамедова Г.А., Рустамова М.А., Юзбашиева А.О. Анализ свободных колебаний тонкостенных цилиндрических оболочек содержащих сжимаемую жидкость //Инженерно-физический журнал (Минск). - 2012. - Том. 85, № 6.

5. Latifov F.S. Giyasbeyli S.A. Oscillation of current carries cylindrical envelope with filter // Translation of NASA, №1, vol. XXI, PP 204-206.

6. Seyfullayev A.I., Rustamova M.A., Agasiev S.R. Free oscillations of two concentrically located cylindrical shells with a fluid between them // International Journal of Engineering and Innovative Technology (IJEIT), Vol. 3, Issue 10, April 2014, p.33-37.

7. Мамедова Г.А, Рустамова М.А., Агасиев С.Р. Исследование свободных колебаний сферической оболочки с жидкостью обратным методом //Восточно-европейский журнал передовых технологий. - 2013. - 6/7 (66). - C. 16-20.

References

1. Il'ina, A.M., Korbut, B.A. (1968). Vibration of cylindrical shell containing elastic filler. Izv. AN SSSR: MTT, № 4, p. 183-186.

2. Il'ina, A.M. (1969). Vibrations of Elastic Shells Containing Liquid and Gas. Moscow: Nauka, 182

P.

3. Korbut, B.A. (1970). Natural vibrations of a cylindrical shell with an elastic filler. Izv. Vuzov: Aviatzionnaya Tehnika, №4, p. 136-141.

4. Seyfullayev, A.I., Mamedova, G.A., Rustamova, M.A.,Yuzbasheva, A.O. (2012). An analysis of natural vibrations of thin-walled cylindrical shells containing compressive liquid. Inzhenernofizicheskiy Journal (Minsk), Vol. 85, № 6.

5. Latifov, F.S., Giyasbeyli, S.A. Oscillation of current carries cylindrical envelope with filter. Translation of NASA, №1, vol. XXI, PP 204-206.

6.Seyfullayev, A.I., Rustamova, M.A., Agasiev, S.R. (2014). Free oscillations of two concentrically located cylindrical shells with a fluid between them. International Journal of Engineering and Innovative Technology (IJEIT), Vol. 3, Issue 10, April, p.33-37.

8.Mamedova, G.A., Rustamova, M.A., Agasiev, S.R.(2013). The investigation of free vibrations of a spherical shell with liqued by the back method. Vostochno-Evropeyskiy Journal Peredovyh Tehnologiy, 6/7 (66). - C. 16-20.

FREE VIBRATIONS OF THE SPHERICAL SHELL CONTAINING AN ELASTIC FILLER

SEYFULLAYEV A.I., AQALAROV H.C.

National Academy of Sciences of Azerbaijan, Institute of Mathematics and Mechanics, Azerbaijan, Baku, AZ 1143, B. Vahabzadeh str., 9.

We study the free vibrations of a spherical shell filled with an elastic medium. The equations of motion of a thin elastic spherical shell of exposure to internal pressure are given. Medium, filling the shell with a significantly has the lower modulus of elasticity.

Solution for the free vibration of the system shell filler is presented. We construct an analytical solution of the problem, dependence of the oscillation frequency of the shell without the filler as a function of the frequency of the shell - filler. A plot of the frequency spectra for the two branches is given.

KEY WORDS: vibration, wave, natural frequency, shell, density.