Применение векторных сферических функций для анализа собственных движений звезд

АСТРОНОМИЯ

УДК 521:27

В. В. Витязев, А. К. Шуксто

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА СОБСТВЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ ЗВЕЗД*

1. Введение. Обычно изучение кинематики звезд основывается на получении методом наименьших квадратов оценок параметров моделей, описывающих главные компоненты собственных движений звезд — движение Солнца, вращение Галактики и остаточную прецессию оси вращения Земли. Такой подход методически безупречен при условии полноты используемых моделей. В реальности мы никогда не можем включить в модель собственных движений звезд все явления, связанные с кинематикой звезд, то есть сделать модель полной с физической точки зрения. Однако существует другой подход к построению моделей, основанный на представлении изучаемых данных с помощью полных ортогональных систем функций [1-4]. Такие модели являются полными (с математической точки зрения), то есть вся имеющаяся в наблюдательных данных информация может быть описана с помощью коэффициентов их разложения по функциям выбранного базиса. В тех случаях, когда удается получить соответствия между параметрами физических и математических моделей, метод ортогональных представлений способен дать оценку физических параметров моделей, защищенных от искажений (смещений) со стороны явлений, не включенных в модель.

Целью настоящей статьи является использование векторных сферических функций для изучения кинематики звезд. Отметим, что в астрометрических задачах, связанных со сравнением каталогов, эти функции впервые применили Миньяр и Морандо [5] для представления систематических разностей каталогов HIPPARCOS и FK5.

2. Метод векторных сферических функций. Введем в рассмотрение компоненты собственного движения звезд Ц1 и ць в галактической системе координат (I, Ь). Определим вектор-функцию

/

где в[ и еь — единичные орты.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №02-02-16570) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ-1078.2003.2).

© В. В. Витязев, А. К. Шуксто, 2005

Представим функцию (l) в виде разложения

f

j=i

где функции Tj(l, b) и Sj(l, b) задаются следующим образом:

dVj

Tj(l, b) = Rj Sj (l,b) = Rj

db Gl cos b dl Gb 1 dVj(l,b) ^ | dVj(l,b) /

cos b dl db

при j = 1,..., ж.

В выражениях (3-4) через Rj обозначены нормировочные коэффициенты, а через Vj(l,b) —сферические функции, которые мы, следуя Броше [1], представим в следующем виде:

Vj

где Pn,k(b) —присоединенные функции Лежандра, n = 0,..., ж; k = 0,...,n; p = 0 или p = 1.

Множества функций Tj (l, b) и Tj (l, b) образуют на небесной сфере совместно полную ортонормированную систему векторных сферических функций, поэтому коэффициенты tj и Sj могут быть вычислены по формулам

2-гг +f

tj =

0 -i

2-гг +§

Sj =

0 -f

где функции fi, Ti и Ti являются «долготными» компонентами вектор-функций S, T,

S, а функции fb, Tb, Tb — «широтными» компонентами соответственно.

Согласно модели Огородникова—Милна [6], поле скоростей звезд задается следующим уравнением:

V = V0 + M + S + M- r,

где

Vo — скорость поступательного движения Солнца относительно выбранного центроида звезд. В галактической системе координат данная скорость задается тремя компонентами U, V и W относительно осей x,y,z (ось x направлена к центру Галактики, ось у — по направлению вращения Галактики, а ось z перпендикулярна к плоскости галактического экватора);

M + —матрица деформации поля скоростей, содержащая параметры M+, M+, M+3, и M+2, M+3 M23, описывающие деформацию в плоскостях (x, y), (x, z) и (y, z). Поскольку собственные движения отражают только смещения звезд в тангенциальной плоскости, мы приняли M+2 = 0 [7]. Это равносильно замене неизвестных M+ и M33 параметрами M* 1 = M+1 — M+2 и M33 = M3+3 — M+2 соответственно;

М- — матрица локального твердотельного вращения, элементы которой которой задаются компонентами и? и из вектора мгновенной угловой скорости твердо-

тельного вращения системы звезд вокруг осей системы координат.

Ключевым моментом нашего подхода является то, что между параметрами модели Огородникова—Милна и коэффициентами разложения вектор-функции (1) существуют следующие взаимно-однозначные соотношения:

1

1

h — -гг R2

t3-wr'u

S4

2 • R4

MS 3 - 2^*!

1

ss = ^-M+, S6=^-M+,

R5 Re

Sr = 2~R7 Ml+2’ 58 = lhf8 M“'

Данные соотношения были получены нами путем аналитического разложения функций, входящих в модель Огородникова—Милна, по системе векторных сферических функций. Коэффициенты Rj, участвующие в формулах, являются коэффициентами нормировки соответствующих вектор-функций Tj и Tj.

Остальные члены разложения (2) не входят в модель Огородникова—Милна и могут использоваться для изучения «внемодельных» кинематических эффектов. Отметим, что для корректного использования формул (9-12), параметры движения Солнца U,

V, W должны быть исключены из собственных движений звезд.

2. Кинематический анализ звезд каталога HIPPARCOS. Для изучения возможностей предлагаемого метода мы провели кинематический анализ собственных движений звезд каталога HIPPARCOS [8].

Отметим некоторые существенные с точки зрения кинематического анализа собственных движений звезд обстоятельства, связанные с использованием каталога HIPPARCOS:

• собственные движения звезд этого каталога определены с точностью 1 mas/yr =

0.1 /су в случайном отношении;

• параллаксы звезд измерены с ошибкой на уровне 1 maS;

• в каталоге имеются высокоточные фотометрические данные, позволяющие строить диаграммы Герцшпрунга—Рассела по абсолютной звездной величине Mv и показателю цвета (B — V);

• в отличие от каталогов классической наземной астрометрии (например, FK5 и PPM), собственные движения звезд каталога HIPPARCOS отнесены к системе ICRS, реализуемой положениями внегалактических радиоисточников. Это обстоятельство роднит собственные движения звезд каталога HIPPARCOS с так называемыми собственными движениями звезд, «абсолютизированными» относительно галактик. По этой причине собственные движения звезд каталога HIPPARCOS не содержат в себе прецессионных эффектов.

Опыт использования модели Огородникова—Милна показывает, что значения кинематических параметров существенно зависят от выборки звезд. Поскольку метод векторных функций позволяет определять систематические компоненты, лежащие за границами модели Огородникова—Милна, мы провели кинематический анализ собственных движений для различных выборок звезд из каталога HIPPARCOS, объединенных общими признаками.

2.1. Глобальное решение. Естественно, что при проведении кинематического анализа собственных движений звезд каталога HIPPARCOS, прежде всего нужно посмотреть, какова кинематика всех звезд в целом. С этой целью нами были решены основные кинематические уравнения, связывающие собственные движения звезд с кинематическими параметрами модели Огородникова—Милна (8). В решении участвовало 113646 звезд (остальные звезды были отброшены, так как для них в каталоге отсутствуют либо координаты, либо собственные движения, либо параллаксы). Кинематические параметры определялись методом наименьших квадратов, а также с помощью разложения собственных движений звезд по векторным функциям.

Анализ полученных результатов показывает, что результаты определения классических параметров модели Огородникова—Милна, полученные двумя методами, практически совпадают. Действительно, помимо характеристик движения Солнца относительно звезд, значимыми среди них оказались только значения параметров Оорта. Для сравнения приведем стандартные значения величины скорости и апекса движения Солнца, а также стандартные значения параметров Оорта, рекомендованные Международным астрономическим союзом:

1Аи : V© = 19.7 ± 0.01 км с-1 Ь© = 55° .86 Б© = 23° .55

Н1Р : V© = 23.3 ± 0.01 км с-1 Ь© = 60°.1 ± 0.3 Б© = 11°.2 ± 0.3

1Аи : А =15, 0 ± 0.9 км с-1 кпк-1

Н1Р : А =13.5 ± 2.0 км с-1 кпк-1

1Аи : Б = —10.0 ± 1, 4 км с-1 кпк-1

Н1Р : Б = —12.6 ± 1.6 км с-1 кпк-1

На основании этих данных мы получили оценку для угловой скорости вращения Галактики на расстоянии от центра до Солнца П = А — Б = из — М+? = 26.1 ± 2.5 км с-1 кпк-1, что соответствует периоду обращения 236 млн. лет.

Если основываться только на определении параметров модели Огородникова— Милна, можно сделать вывод о том, что в целом кинематика взятых в рассмотрение 113646 звезд каталога HIPPARCOS определяется эффектами плоского вращения Галактики. Этот результат получается как методом векторных функции, так и методом наименьших квадратов.

Различие между методом векторных функций и традиционным решением заключается в том, что метод векторных функций обнаружил еще и несколько значимых (на уровне почти «3 сигма») старших членов ра^зложения ею = —12.9 ± 4.6, в!4 = 12.2 ± 4.4, в20 = —12.7 ± 4.6, вз4 = 11.1 ± 4.3 (значения всех коэффициентов даны в км с-1 кпк-1), свидетельствующих о том, что в дополнение к эффекту плоского вращения Галактики в собственных движениях звезд проявляются еще и другие кинематические составляющие.

2.2. Выборки по расстояниям. Перейдем теперь к изучению кинематических свойств различных выборок звезд. Поскольку известно, что кинематика близких и да-

леких звезд существенно различна, мы рассмотрели выборки звезд с расстояниями до них от нуля до 300 пк с шагом 50 пк.

Наиболее выраженными параметрами модели Огородникова—Милна во всех выборках являются параметры из и М+2, с увеличением расстояния до звезд выборок приближающиеся к своему наивероятнейшему значению (рис. 1). На средних расстояниях заметно влияние параметров и2 и М*1 (рис. 2). Влияние остальных параметров модели Огородникова-Милна выражено очень слабо, однако нельзя не отметить существование ряда «внемодельных» систематических гармоник. Так, для средних расстояний (от 50 до 150 пк) такими гармониками являются базис-функция с коэффициентом (—22.3 ± 12.3 с™к) и базис-функция 5м с коэффициентом (26.4 ± 6.3 с.™к)- Для больших расстояний (от 150 до 300 пк) явно видно существование гармоники Тю с коэффициентом ( — 18.9 ±4.0 с.™к).

Среднее расстояние, пк Среднее расстояние, пк

Рис. 1. Изменение параметров модели Огородникова—Милна шз (слева) и М+ (справа) в зависимости от среднего расстояния до звезд выборки.

Параметры модели Огородникова—Милна и, и2 и из позволяют вычислить модуль скорости (и), и координаты полюса (Б и Ь) осей твердотельного вращения рассматриваемых выборок звезд. Значения этих величин приведены в таблице 1 (во время опре-

Таблица 1. Зависимость параметров ш, Ь и В от средних расстояний до выборок звезд из каталога HIPPARCOS

К и), км с 1 Ь В

0-50 - - -

50-100 18.3 ±4.3 90° 53° ± 13

100-150 11.5 ±2.2 90 48 ± 11

150-200 12.7 ± 1.5 90 68 ±7

200-250 14.2 ± 1.3 - 90

250-300 12.3 ± 1.3 - 90

Среднее расстояние, пк Среднее расстояние, пк

Рис. 2. Изменение параметров модели Огородникова—Милна Ш2 (слева) и М^ (справа) в зависимости от среднего расстояния до звезд выборки.

Б -V

^ +5

+ 15

+ 10 -

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Б -V

Рис. 3. Диаграммы Герцшпрунга—Рассела для звезд каталога ШРРАЯС08 с расстояниями от нуля до 50 пк и от 50 до 100 пк, соответственно.

-5

0

+ 10

+10

+15

+15

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Б -V

Б -V

Рис. 4. Диаграммы Герцшпрунга—Рассела для звезд каталога ШРРАИ,С08 с расстояниями от 200 до 250 пк и от 250 до 300 пк, соответственно.

деления значений принимались во внимание только шх, ш2, шэ, значимые на уровне За; в случае, если какую-либо величину нельзя было определить, в таблице ставился прочерк). Таблица показывает, что по мере перехода от близких звезд к далеким ось твердотельного вращения «выпрямляется».

Основным результатом этого параграфа является тот факт, что близкие звезды имеют принципиально другую кинематику, чем далекие. В свою очередь, как это видно из диаграмм Герцшпрунга—Рассела, показанных на рис. 3-4, звездный состав наших выборок также зависит от расстояний. По всей видимости, различие кинематических характеристик близких и далеких звезд связано с различием среднего возраста звезд наших выборок. Среди далеких звезд, по-видимому, преобладают молодые звезды тонкого диска, в то время как среди близких звезд — более старые звезды. Исследование кинематики звезд различных возрастов представляет собой самостоятельную задачу, которая в рамках данной работы не ставилась.

3. «Внемодельные» компоненты собственных движений звезд. Основным преимуществом метода векторных сферических функций перед традиционной оценкой параметров кинематических уравнений методом наименьших квадратов является возможность обнаружения «старших» членов разложения, не входящих в основную модель. Выше мы отмечали, что во всех рассмотренных нами выборках звезд такие «внемодельные» компоненты (Т4, Тб, 510 и Т14) были обнаружены. Аналитические выражения для этих гармоник выглядят следующим образом:

Т4(1,Ь) = К4 вт2Ьв1

Среднее расстояние, пк

Среднее расстояние, пк

Рис. 5. Изменение коэффициентов обнаруженных значимых внемодельных гармоник б' 1 о (слева) и б' 1 4 (справа) в зависимости от среднего расстояния до звезд выборки.

I°

Рис. 6. Сравнение вклада «долготной» компоненты гармоники 67 (коэффициент Оорта А = М+2, сплошная линия) с вкладом значимых внемодельных «долготных» компонент гармоник 61 о (точки) и 61 4 (ромбы) в плоскости галактического экватора (при Ь = 0°) для выборки по всем звездам каталога ШРРАИСОЗ.

-,2 ix,,,, ^ ^ 7 isf/i :< )м /, -+-

5

[sin26sin/---------sin/] в;),

5ю(/, 6) = Rio ([2cos2bsinbcos/ — sin26cosbcos/ H— cosbcos/] еь—

5

S\4

При этом в различных выборках проявлялись как свои, индивидуальные гармоники, так и гармоники, общие для других выборок. В этом нет ничего странного. Подобным же образом ведут себя и некоторые классические компоненты собственных движений звезд, например, параметр о>2, значения которого являются значимыми для близких звезд и не значимыми для далеких звезд. Другие классические компоненты, например, сферическая компонента с номером j = 7, определяющая параметр Оорта A = M+, уверенно обнаруживается во всех выборках. Среди «внемодельных» компонент наиболее устойчивой оказалась гармоника Sio (рис. 5).

Из рис. 6 ясно видно, что вклад в собственные движения звезд «внемодельных» гармоник может быть весьма значительным, а иногда и превосходить вклад параметров стандартной модели. Выяснение физического смысла «внемодельных» гармоник представляет собой тему дополнительных исследований.

Summary

V. V. Vityazev, A. K. Shuksto. Analysis of Proper Motions with Vectorial Harmonics.

To study the stellar kinematics, we propose a new method based on decomposing of proper motions on a set of orthogonal vectorial spherical functions. The first degree harmonics of the decomposition are identical with the terms of the Ogorodnikov—Milne model, whereas the high order harmonics are able to detect the effects that are beyond the model. The method is applied to examine the stellar velocity field for various samples from the HIPPARCOS catalogue. Besides the classical contributions to the proper motions (Solar motion, rotation of the Galaxy, etc.,) our method revealed some harmonics the physics of which requires further study.

Литература

1. Brosche P., 1966, Representation of systematic differences in positions and proper motions of stars by spherical harmonics, Veroff. des Astron. Rechen-Inst. Heidelberg, N 17, pp. 1-27.

2. Schwan H., 2001, An analytical representation of the systematic differences HIPPARCOS-FK5. A&A, 367, pp. 1078-1086.

3. Vityazev V., 1994, The ROTOR: a new method to derive rotation between two reference frames. AATr, vol.4, pp. 195-218.

4. Vityazev V., 1999, The link of FK5 to HIPPARCOS: is the model of rotation sufficient to tie the FK5 and HIPPARCOS frames, Journees 99, Systemes de reference spatio-temporels. Dresden, pp. 14-16.

5. Mignard F., Morando B., 1990, Analyse de catalogues stallaires au moyen des harmoniques vectorelles, Journees 90. Systemes de reference spatio-temporels. Paris, pp. 151-158.

6. du Mont B., A three-dimensional analysis of the kinematics of 512 FK4/FK4 Sup. stars, Astron. and Astrophys., 61, N1. 1977, pp. 127-132.

7. Clube S. V. M., Galactic rotation and the precession constant, Mon. Notic. Roy. Astron. Soc., 159, N3, pp. 289-314, 1972.

8. European Space Agency, 1997, The Hipparcos and Tycho Catalogues, «ESA».

Статья поступила в редакцию 5 июня 2004 г.