Продольный удар конического стержня о жёсткую преграду

УДК 539.3

В. К. МАНЖОСОВ, В. В. СЛЕПУХИН

ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР КОНИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ О ЖЁСТКУЮ ПРЕГРАДУ

Рассмотрена задача продольного удара конического стержня о жёсткую преграду. Представлены результаты моделирования волновых процессов в коническом стержне, диаграммы изменения во времени продольной деформации в ударном сечении при различных значениях угла уклона конуса.

Ключевые слова: конический стержень, продольный удар, волны деформаций.

Исследования продольного удара стержня с конической поверхностью о полуограниченный стержень были начаты в работах Алимова О. Д., Дворникова Л. Т., Шапошникова И. Д. [I], продолжены в работах Дворникова Л. Т., Мясникова А. А., Жукова И. А. [4, 6| (исследования продольного удара стержней с гиперболической и полукатеноидальной поверхностями), Алимова О. Д., Еремьянца В. Э., Манжосова В. К. [2, 3, 5].

В данной работе рассмотрена модель продольного удара конического стержня о жёсткую преграду. Схема ударной системы изображена на рис. 1.

Конический стержень длиной / движется в

направлении продольной оси со скоростью У0 и

своим торцом наносит удар по абсолютно жёсткой преграде. Угол уклона конуса считается малым и равен

\о

I)

.г

Рис. I. Схема ударной системы

(X , диаметр ударного сечения стержня равен &

I

диаметр начального сечения стержня равен О0 . Движение поперечных сечений стержня описывается дифференциальным уравнением вида

, дА(х) ди(х,р А(х) ди(х,р 0<х</

5х2

ах

ах

а

д(

А(х) =

к

г

\2

О

\

/

а =

/

¡1 Р

где Е - модуль упругости р - плотность материала;

1-го рода материала стержня; А(х) */(*,/) - продольное перемещение

стержня, х - координата поперечного сечения; / - время,

- площадь поперечного сечения, поперечного сечения; / - длина

ди

---- = £(х,1) - продольная

дх

деформация в поперечном сечении,

д2и[х,/)

д1

ускорение поперечного сечения.

Начальные условия определяют значения перемещений и скоростей поперечных сечений при /

ди

= 0:

м(х,0) = 0,

д1

= V,

о •

Э В. К. Манжосов, В. В. Слепухин, 2008

Граничные условия характеризуют отсутствие деформаций в начальном сечении л=0 (£(0./) — 0), отсутствие перемещений в ударном сечении X = I (если имеет место взаимодействие стержня с абсолютно жёсткой преградой, когда £(/,/)< 0), отсутствие деформаций в ударном сечении л* = / (если происходит разрыв контакта стержня и абсолютно жёсткой преграды):

, ч ди

/./(/,/)=(). если —I-<0, -У, если

ди

>0.

дх

ах

о х

Масса конического стержня в зависимости от диаметра ударного сечения 01 , длины стержня / и

угла уклона конуса О. определится как

I

тс = |рА{х)(к =

о

\

/

Если анализировать влияние угла уклона конуса а на характер ударного нагружения стержня, то для различных а необходимо сохранить постоянными значения как предударной скорости У

конического стержня, так и массы стержня тс. В этом случае при нанесении удара будут сохранены

значения как кинетической энергии стержня, так и его количество движения.

Пусть масса конического стержня соответствует массе цилиндрического стержня длиной /,

имеющим диаметр поперечного сечения Ос, тс = П]. Тогда соотношение между диаметром ударного сечения 0{, диаметром Ос> длиной стержня / и углом ОС определится как

О, = -/ . +

Диаметр начального сечения 0{) конического стержня равен

[\ = О, + 21 ^^а .

Представим конический стержень в виде множества последовательно сопряжённых конечных элементов (рис. 2).

Г

о

о

Рис. 2. Модель конического стержня

Чтобы конечные элементы моделировали с достаточной степенью приближения конические участки, длина участка должна быть малой (если, например, Д/= 0,025/, то погрешность не

превышает 0,2 %). Диаметр поперечного участка сечения должен учитывать изменение диаметра сечения конического стержня по длине, масса цилиндрического участка должна быть равна массе соответствующего конического участка.

Па рис. 3 представлен у'-й участок конического стержня

длиной Л/, ограниченный сечениями у-1 и у. и и^ -

диаметры соответствующих поперечных сечений конического участка).

Начальные условия

№ ВсО) /

\ V

А 1

Рис. 3. Схема/-го участка стержня

Мх,0) = г/о(х),

ди.(х,0) , .

-——= 7 = 1,2....п .

определяют перемещение и скорости поперечных сечений в начальный момент времени.

Граничные условия характеризуют равенство перемещений сопряжённых сечений и условия равновесия продольных сил на границе сопряжённых участков

; и Е А 'у > = О, ин х, / = и (х /), у = 1,2..

¿7Х ¿7Х 4 ' 4 '

г/

Лт д " ; дх дх дх

где и/ ¡(х^), И .(л: ./) - перемещения сопряжённых поперечных сечений (у - 1 )-го и У-го участков, положение которых определяется координатой X ; Ь | и Е - модуль упругости материала стержня соответственно на (у - 1 )-м и / -м участках, дк^о,/) _ продольная деформация

на 1-м участке стержня в сечении х-0, ,/) — продольное перемещение ударного сечения

стержня, положение которого определяется координатой , дг/я(хя,/) - продольная деформация в

дх

ударном сечении стержня.

Перемещение произвольного у-го сечения представляем в виде сумы двух функций

и.} (ху) = /у [а/ -х) + (р} [а/ + х), ху_, < х < хр

первая из которых /Да^-х) описывает параметры прямой волны деформации, а вторая (р (а 1 + х) - параметры обратной волны.

Прямая волна /¿(а^ — х) на у -м участке стержня распространяется в направлении оси X со скоростью а 1. Обратная волна ^,(<2/ + *) распространяется на у -м участке стержня со скоростью ¿7 -, в направлении, противоположном оси X .

Начальные значения функций /ДяД-х), (р (я ./0 + х) и их производные ('(а^-х), (р ' (а /0 + х) определяются из начальных условий (2) и при = 0

^ ' м ^ т

Целесообразно перейти к относительным величинам, характеризующим прямые и обратные волны

/{а; -*) = Ф] {а/ +х) = +х)/\

деформацию = -/\at-x) + (аГ + х), скорость ^(х,/) - /'(я / -х)+ 7

Тогда начальные прямые и обратные волны

/'(а /0-х)=0,5; <р'(я/0+х) =0,5.

Диаграммы начальных прямых и обратных волн изображены на рис. 4.

Последующие значения функций /'(я/-л*) и + определяются особенностями

распространения прямых и обратных волн на ) -м однородном участке стержня и преобразования волн в ] -м сечении, где сопряжены / -й и (у + 1 )-й участки стержня (у = 1,2,...,«-!).

/

(_______^

--:-- ' I-к---.---- - _.... _________-___- 1

й

/лл

ш Й.

I". '

ш

'Ь

V

.Г-

&

О •<ч

л>\ >Л

г

т

С-

О

£

... -"

О-«

•I •

Ж

¿¿г

-•л

л >

Ш9

41

»11

•¿г"

'А' УХ 1. у-.

% »£>, 1щ1*\ •

- ' -У^Т.

№ *

V 1 ¿V Ш

.. г  1 г*' VI ! I • • ••• « »-у  1 •

гтит ] -г

ПГСГГ датт-Ь

I

о

-ч-,

0'5 ГО": - ''•.

шщ

-у

_ в

/У,

Рис. 4. Прямые и обратные волны в коническом стержне перед ударом

При сопряжении у -го и ( у +1 )-го участков стержня в у -м сечении, на которое падают прямая волна /Дяу-,^) со стороны У-го участка и обратная волна ф , (я ,/+*.) со стороны (/ + 1)-го

участка, формируются прямая /у+,(яу+,/- х,) и обратная ^Дяу + х;) волны.

Параметры этих волн удовлетворяют граничным условиям (6) и (7). Из этих условий следует, что

ф; [а/ + х,) = Г] Л (а/ - х,) + + Х)), у = 1,2,..., и -1,

где г  ф - коэффициент отражения от /-го сечения падающей обратной волны (я^./ + х); г - коэффициент прохождения через у -е сечение падающей прямой волны //(а/ - х,); г, ¡- -

^ I •

коэффициент отражения от у-го сечения падающей прямой волны fj '(я,/ -х;); £/,ф -

коэффициент прохождения через у -е сечение падающей обратной волны (р(я/+!/ + х;). Значение коэффициентов прохождения и отражения воли в у -м сечении определяются как

а,

аи' а, '

0./ -1 гу+|./ ~1 0.У+1

' Г Л п '

пению

где Г} /+] - отношение волнового сопротивления у -го участка к волновому со против; (/ + 1)-го участка; Г, , • - отношение волнового сопротивления (/ +! )-го участка к волновому

у"*"'»/

сопротивлению ] -го участка.

В сечении стержня х = 0 1 -го участка из граничного условия

= о, -Д«,,-0)+ *(«,/ + <>) = О,

ох

следует, что в этом сечении формируется прямая волна - 0) = (р\ (я,/ + 0), параметры которой

соответствуют параметрам падающей на это сечение обратной волны <р] (¿7,/ + 0). В ударном сечении стержня X — Хп П -го участка из граничных условий

= 0, если

ди

д{ дх ' дх

следует, что в этом сечении формируется обратная волна

.(V)«,. (*..')=0> если 0>

дх

ох

ОХ

параметры которой определяются параметрами падающей на это сечение прямой волны

/Л аи1-хн)..

Процедура решения задачи продольного удара стержня о жёсткую преграду связана с анализом процесса формирования и распространения прямых и обратных волн деформаций от сечения к сечению по всей длине стержня.

Па рис. 5 представлены диаграммы прямых и обратных волн в коническом стержне с углом

уклона конуса СХ - 3° в различные моменты времени = & 11а (где 1а - длина конического стержня): а) диаграммы прямых и обратных волн в коническом стержне при Г = 0,117; б) диаграммы прямых и обратных волн в коническом стержне при Г = 0,583.

-0,363

-0,586

а) диаграммы прямых и обратных волн в коническом стержне при 1а = 0,117

ттж

&олна сжатия

-0,897

б) диаграммы прямых и обратных волн в коническом стержне при Га - 0,583

Рис. 5. Диаграммы прямых и обратных волн в коническом стержне в процессе удара

Результаты вычислений были соотнесены к значениям продольной деформации в- ударном сечении, которая возникает при ударе о жёсткую преграду стержня (рис. 6, а) длиной /() = 1 м.

диаметром Оп = 0,025 м. углом уклона конуса а = 0° .

— й V

п - О

/п

О

П Î '

а)

Рис. 6. Схема удара стержня о жёсткую преграду

б)

Если сохранить неизменными диаметр ударного сечения Dn и массу стержня, то при увеличении

угла уклона конуса OL (рис. 6, б) уменьшается длина конического стержня / , которая может быть найдена из решения кубического уравнения

Ug2aC+aDntgala2 + D2n(le-\) = 0.

Если при а = 0° 1а =10, то при а = 3° 1а = 0,33/0, при а = 6° 1а = 0,234/о, при

а =9» 1а - 0,1888/0.

lia рис. 7 приведены диаграммы, характеризующие изменение относительной продольной деформации в ударном сечении (соответственно, ударной силы во времени - отношения ударной силы конического стержня к ударной силе цилиндрического стержня с ударным сечением

диаметра Dn при сохранении массы и предударной скорости стержня). При представлении диаграмм

в системе координат

£

— t за относительное время принята величина t =

at

l

о

0.5 1

Относительное время

t

Рис. 6. Диаграммы, характеризующие изменение ударной силы во времени

При а - 0° (уДаР цилиндрического стержня) относительное значение ударной силы равно

единице, т. с. Р{] - Л(/7,/) = 1 для интервала времени 0</ <2. Здесь Р0 =----ЕЛ{), где

2 а

У() - предударная скорость стержня; а - скорость звука в материале; А{} - площадь поперечного

г-1 - 1

сечения цилиндрического стержня диаметром ип\ ( ——— - относительное время; 1(Уа - время

1о/а

распространения волны деформации по стержню длиной

При ударе коническим стержнем (а = 3°) относительное значение ударной силы увеличивается от I (при / = 0 ) до 3,632 (при / — 0,6616), затем ударная сила резко уменьшается до значения

1.718 и затем плавно уменьшается до нуля (при Г = 0,9917 ).

С увеличением угла уклона конуса сокращается длительность ударного взаимодействия, а значение по модулю продольной деформации в ударном сечении существенно возрастает. Так при

а - 3° длительность ударного взаимодействия сокращается практически в два раза, а значение ударной силы возрастает в 3,632 раза по сравнению с ударом цилиндрическим стержнем той же массы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алимов, О. Д. Бурильные машины/ О. Д. Алимов, Л. Т. Дворников. - М. : Машиностроение, 1976. - 295 с.

2. Алимов, О. Д. Метод расчёта ударных систем с элементами различной конфигурации/ О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. - Фрунзе : Изд-во «Илим», 1981. - 71 с.

3. Алимов, О. Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах/ О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. - М.: Наука, 1985.-386 с.

4. Дворников, Л. Т. Продольный удар полукатеноидальным бойком/ Л. Т. Дворников, И. А. Жуков. - Новокузнецк. - 2006. - 80 с.

5. Манжосов, В. К. Продольный удар/ В. К. Манжосов. - Ульяновск, 2007. - 358 с.

6. Мясников, А. А. Импульс продольных колебаний, генерируемый, бойком, имеющим форму гиперболоида вращения, в стержне постоянного поперечного сечения / А. А. Мясников // Материалы 6-й науч.-практ. конф. по проблемам машиностроения, металлургических и горных машин. -Новокузнецк: Сиб. гос. горно-металлургическая академия, 1997. - С. 55-67.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических паук, профессору заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладном механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.

Слепухин Виталий Владимирович, аспирант Ульяновского государственного технического университета. Имеет публикации по моделированию продольного удара в стержневых систеимах.