Феномен математической беглости

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 159.9

ФЕНОМЕН МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БЕГЛОСТИ

Т.Н. ТИХОМИРОВА1' 2*, Ю.В. КОВАС1 2 3, М.С. ЗАЛЕШИН2, А.В. БУДАКОВА2, К.Р. ШАРАФИЕВА2, С.Б. МАЛЫХ1' 2

1 ФГНУ «Психологический институт» РАО, Москва, Россия;

2 ФГБОУ «Национальный исследовательский Томский государственный университет», Томск, Россия; 3 Международная лаборатория междисциплинарных исследований индивидуальных различий в обучении, Голдсмитс, Университет Лондона, Лондон, Великобритания

В статье представлены результаты изучения феномена математической беглости на выборке в 932 российских старшеклассника. Дано определение математической беглости, показана актуальность данной исследовательской проблематики, приведен обзор экспериментальных работ в области формирования математической беглости и изучения взаимосвязей с успешностью в математических дисциплинах. Отмечается, что половые различия для показателей математической беглости в старшем школьном возрасте не найдены ни в одном из трех (9-, 10-, 11-й) классах. Старшеклассники каждого последующего года обучения в среднем обнаруживают лучшие значения математической беглости по сравнению с предыдущим.

Ключевые слова: математическая беглость, успешность в математике, образовательный процесс, половые различия.

Введение

Понятие беглости в психологии традиционно связывается с динамическими характеристиками процесса мышления и используется в качестве психометрического показателя в ряде тестовых методик, направленных на диагностику, например, творческого мышления (Runco M.A. et al., 2010) [21]. При этом беглость понимается как определенное сочетание точности и скорости ответов, характеризующее компетентное поведение в определенных областях (Дружинин В.Н., 2007 [2]; Binder C., 1996 [5]; Therrien W.J., 2004 [28]). В экспериментальных исследованиях понятие беглости изучается, прежде всего, на материале, релевантном процессу чтения,

© Тихомирова Т.Н., Ковас Ю.В., Залешин М.С., Будакова А.В., Шарафиева К.Р., Малых С.Б., 2013

* Для корреспонденции: Тихомирова Татьяна Николаевна кандидат психологических наук, старший научный сотрудник лаборатории возрастной психогенетики ФГНУ «Психологический институт» РАО 125009 Москва, ул. Моховая, 9, стр. 4

и ассоциируется с формированием основных качеств чтения (ГригоренкоЕ.Л., 2011 [1]; Kuhn M.R., Schwanenflugel P.J., Meisinger E.B., 2010 [17]; Hasbrouck J., Tindal G.A., 2006 [15]; Therrien W.J., 2004 [28]; Fuchs L.S. et al., 2001 [14] и др. ).

Вместе с тем фокус внимания исследователей в последнее время смещается в сторону изучения феномена математической беглости, который определяется как умение быстро и точно выполнять элементарные математические операции и, как следствие, обуславливает успешность в дисциплинах математического цикла (Singer-Dudek J., Greer R.D., 2005 [24]; Floyd R.G., Evans J.J., McGrew K.S., 2003 [13] и др.).

Действительно, экспериментальные исследования, направленные на оптимизацию процесса усвоения и дальнейшего применения элементарных математических навыков, имеют большое социально-практическое значение в связи с требованиями, во-первых, государственных образовательных стандартов (Федеральный государственный образовательный стандарт РФ; USA

National Council of Teachers of Mathematics), во-вторых, повседневной жизнедеятельности (Codding R.S. et al., 2009) [9], и, в-третьих, развития наукоемких сфер общества (Butterworth B., Kovas Y., 2013) [7].

Исследования показывают, что трудности в обучении математике имеются не только у людей с низким уровнем когнитивного развития (Siegel L.S., 1988) [23]. Одной из причин низкой успешности в математике называется низкий уровень математической беглости (Binder C., 1996 [5]; Ramos-Christian V., Schleser R., Varn M.E., 2008 [20] и др.). По мнению исследователей, механизм подобной взаимосвязи заключается в некорректном распределении и/или ограничении когнитивных ресурсов, когда на выполнение элементарных этапов решения задачи человек затрачивает максимум своих когнитивных ресурсов, тем самым оставляя минимум на выполнение более сложных этапов, приводящих к успешному решению (Delazer M. et al., 2003) [12].

Показано, что, например, при решении математических заданий повышенной сложности людям с низким уровнем математической беглости приходится на начальном этапе решения максимально задействовать возможные когнитивные ресурсы (например, внимание, память) для выполнения элементарных арифметических вычислений, что ограничивает использование этих ресурсов для дальнейшей «работы» над решением задания (Ramos-Christian V., Schleser R., Varn M.E., 2008 [20]; Skinner C.H., Pappas D.N., Davis K.A., 2005 [26]; Dehaene S., 1997 [11]). В свою очередь, лицам с высоким уровнем математической беглости для решения сложных математических задач удается быстро и точно выполнять первичные вычисления, тем самым сохраняя больше когнитивных ресурсов для дальнейшего решения задания [11]. Также выявлено, что студенты, имеющие более высокие показатели математической беглости, обнаруживают более низкий уровень математической тревожности (Cates G.L., Rhymer K.N., 2003) [8] и более высокую мотивацию к матема-

тической деятельности (Codding R.S. et al., 2009) [9], что, также способствует более высоким достижениям в этой области.

Факт взаимосвязи математической беглости с успешностью в математических дисциплинах привел к активизации исследований в области конструирования образовательных технологий с целью повышения математической беглости. Так, большая часть научных исследований в области математической беглости посвящена сравнению эффективности тренинговых программ, направленных на улучшение показателей математической беглости у студентов и школьников (Hulac D.M., Dejong K., Benson N., 2012 [16]; Smith C.R., Marchand-Martella N.E., Martella R.C., 2011 [27]; Bramlett R. et al., 2010 [6]; Codding R.S., Hilt-Panahon A., Panahon C.J., Benson J.L., 2009 [10]; Seethaler P.M. & Fuchs L.S., 2005 [22]). Эти работы построены по методу формирующего эксперимента. Математическая беглость, как правило, диагностируется с помощью субтеста математической беглости теста достижений Вудкок-Джонсон (Woodcock Johnson Tests of Achievement; Woodcock R.W., McGrew K.S., Mather N., 2001) [29].

Единичными являются исследования этиологии математической беглости. В частности, одно из таких психогенетических исследований было направлено на оценку вклада генетических и средовых факторов во взаимосвязи показателей математической беглости с другими, релевантными математической успешности признаками (Petrill S.A., Logan J., Hart S., Vincent P., ^ompson L., Kovas Y., Plomin R., 2012 [18]; Малых С.Б., Тихомирова Т.Н., Ковас Ю.В., 2012 [3]).

Следует особо отметить, что большая часть исследований математической беглости проведена на англоязычных выборках США и Великобритании, отчасти благодаря поддержке государственных органов управления образованием (например, The National Council of Teachers of Mathematics).

Целью данной работы является определение возрастных и половых особенно-

стей математической беглости у школьников Российской Федерации, обучающихся в 9-11-х классах муниципальных образовательных учреждений.

Методика

Методы. Все участники исследования выполнили тестовое задание «Верно или неверно?». Этот тест состоит из двух тренировочных заданий и 48 основных математических заданий на арифметические действия с числами и дробями. Стимуль-ный материал, предъявляемый испытуемым на экране компьютера, состоит из уже решенного математического примера в верхней части экрана и «ключей» в нижней части экрана: «А = Верно», «О = Неверно» и «Л = Не знаю» (рис. 1). Испытуемые должны решить, верно или неверно выполнен каждый математический пример, и в течение 10 секунд нажать соответствующую клавишу на клавиатуре. Индикатор времени расположен в левой верхней части экрана, для того чтобы испытуемые могли видеть оставшееся на решение время. Если ответ не дан в обозначенное время, то программа автоматически переходит к следующему заданию, а ответ определяется как неправильный. Компьютерная программа регистрирует показатель - количество правильных ответов.

— + - = — 14 ' 7 ~ 14

А О

ВЕРНО НЕВЕРНО

Рис. 1. Пример тестового задания «Верно или неверно?»

Испытуемые. Участниками исследования стали 932 обучающихся 9-, 10- и

11-х классов образовательных учреждений г. Томска в возрасте от 14,17 до 18,67 года (среднее значение = 16,53; стандартное отклонение = 0,88). Обучающиеся 9-х классов составили 46% от общего количества участников (428 человек), обучающиеся 10-х классов - 31,5% (294 человека), обучающиеся 11-х классов - 22,5% (210 человек).

Сбор данных проводился в образовательных учреждениях строго по разработанному протоколу под постоянным контролем экспериментатора. Анализ результатов осуществлялся на базе обезличенных персональных данных.

Результаты и обсуждение

В работе анализировался показатель математической беглости, который рассчитывался как количество правильных ответов с ограничением в 10 секунд для каждого задания. Минимально возможное количество баллов по тесту составляет 0, максимально возможное - 48. В таблице 1 представлены описательные статистики для теста «верно или неверно» в соответствии с годом обучения и полом участников. Из таблицы видно, что эффекты пола и класса не взаимодействуют между собой: у обоих полов результаты возрастают с каждым годом обучения и результаты юношей немного выше результатов девушек на каждом годе обучения.

Эффект фактора принадлежности к году обучения в образовательном учреждении (9-, 10- и 11-е классы) - «Год обучении» - оценивался с помощью однофакторного дисперсионного анализа. В качестве зависимой переменной выступали показатели по тесту «Верно или неверно?».

Для проверки гипотезы о том, что все распределения зависимых переменных для сравниваемых выборок имеют одинаковые дисперсии, использовался критерий равенства дисперсий Левина. Для показателя по анализируемому тесту уровень значимости оказался меньше, чем 0,05, что говорит о неравенстве дисперсий по этому тестовому

показателю. Эффект объясняется уменьшением стандартного отклонения к 11-му классу, что свидетельствует о тенденции к концентрации и упорядоченности показателей математической беглости у одиннадцатиклассников.

Таблица 1

Средние значения и стандартные отклонения показателя математической беглости, тест «Верно или неверно?»

Классы Среднее значение Стандартное отклонение Количество юношей

Юноши Девушки Юноши Девушки

9-е 38,50 37,73 6,23 5,70 210

10-е 39,50 39,18 6,47 4,49 120

11-е 42,03 40,99 3,21 4,04 89

Таблица 2

Оценка эффекта фактора принадлежности к году обучения на показатель по тесту «Верно или неверно?»

Анализируемый эффект Показатель Сумма квадратов

«Год обучения» «Верно или неверно?» 1537,60 26,88 0,00 0,06

Из таблицы 2 видно, что эффект фактора «Год обучения» оказался статистически значимым (но очень слабым) для показателя математической беглости (^2=0,06, р=0,00). Результаты множественных сравнений с поправкой Бонферрони показали значимые различия между всеми анализируемыми группами (р<0,01). При этом наименьшее среднее значение показывают обучающиеся 9-х классов (среднее значение составляет 38,11, стандартное откло-

нение - 5,96). Лучшие показатели по тесту «Верно или неверно?» показывают обучающиеся 11-х классов (среднее значение составляет 41,41, стандартное отклонение - 3,75). Результаты средних значений и стандартных отклонений представлены в таблице 1.

Полученные результаты, возможно, демонстрируют аккумулирующий эффект образовательного процесса - обучающийся каждого последующего учебного года имеет в среднем большее количество учебных занятий, в частности, по математике, по сравнению с предыдущим годом обучения. Факт улучшения показателей математической беглости вследствие специальных формирующих образовательных мероприятий, заключающихся в увеличении количества занятий по работе с элементарными математическими операциями, неоднократно был зафиксирован в литературе (Hulac D.M., Dejong K., Benson N., 2012 [16]; Bramlett R. et al., 2010 [6]). Например, найдено, что метод «Закрой, воспроизведи и сравни» («Cover, Copy, and Compare»), основанный на идеях бихевиоризма, является эффективным инструментом в повышении индивидуальных показателей математической беглости (Poncy B.C., McCallum E., Schmitt A.J., 2010 [19]; Skinner C.H., McLaughlin T.F., Logan P., 1997 [25]).

В таблице 3 представлены результаты однофакторного дисперсионного анализа, где фактор «Пол» - фактор принадлежности к полу. В качестве зависимой переменной выступали показатели по тесту «Верно или неверно?». Проверка равенства дисперсий (критерий Левина) выявила уровень значимости меньше, чем 0,05. Этот факт говорит о неравенстве дисперсий по анализируемому тестовому показателю. В таблице 1 представлены средние и стандартные отклонения по показателю мтема-тической беглости для юношей и девушек. Как видно из таблицы 1, разброс по показателю математической беглости выше у юношей в 9 и 10 классе, тогда как в 11 классе - у них разброс меньше.

Таблица 3

Оценка эффекта фактора принадлежности к полу на показатель по тесту «Верно или неверно?»

Анализируемый эффект Показатель Сумма квадратов (88) Критерий Фишера Уровень значимости (Р) Размер эффекта

«Верно

«Пол» или 80,63 2,68 0,10 0,00

невер-

но?»

Как видно из таблицы 3, эффект принадлежности к полу оказался статистически незначимым для показателя математической беглости (р>0,05). Надо отметить, что в одном из наших предыдущих исследований на небольшой выборке российских старшеклассников был также получен статистически незначимый эффект фактора принадлежности к полу на показатели математической беглости (Тихомирова Т.Н., Ковас Ю.В., 2013) [4]. Следовательно, результаты настоящего исследования, проведенного на увеличенной выборке, демонстрируют устойчивую тенденцию к отсутствию половых различий в математической беглости у российских обучающихся старших классов.

Заключение

Результаты исследования могут свиде-тельствать в пользу предположения, что математическая беглость может улучшаться под воздействием тренировки - в виде уроков математики в ходе образовательного процесса (как в настоящем исследовании) или специально разработанных тренинговых занятий (согласно теоретическому анализу, представленному выше). Результаты подтверждают отсутствие половых различий в математической беглости у российских старшеклассников.

Следует особо отметить, что, с одной стороны, в литературе стабильно прослеживается единственное направление причинно-следственной взаимосвязи математической беглости и успешности в выполнении математических заданий - математическая беглость является предиктором математической успешности. С другой стороны, в исследованиях, описывающих эффект тренинговых занятий, констатируется влияние математических упражнений на показатели математической беглости, чем собственно и аргументируется повышение уровня математической беглости. Анализ подобных тренинговых программ показывает, в основном, единое содержание - выполнение арифметических действий, - при различающейся форме подачи материала (на карточках, в виде триад, посредством устного и письменного объяснения взаимосвязей сложения и вычитания и т.п.).

Дальнейшие исследования должны быть направлены на изучение причинно-следственной связи математической беглости и успешности в математике с использованием многомерных и лонгитюд-ных подходов.

Работа выполнена при поддержке гранта Правительства Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований, проводимых под руковолством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях высшего профессионального образования

Литература

1. Григоренко Е.Л. Этап «дочтения», его характеристики и их роль в овладении чтением // Вопросы психологии. - 2011. - № 6. - С. 122-131.

2. Дружинин В.Н. Психология общих способностей. 3-е изд. - СПб.: Питер, 2007.

3. Малых С.Б., Тихомирова Т.Н., Ковас Ю.В. Индивидуальные различия в способностях к обучению: возможности и перспективы психогенетических исследований //

Вопросы образования. - 2012. - № 4. - С. 186-199.

4. Тихомирова Т.Н., Ковас Ю.В. Взаимосвязь когнитивных характеристик учащихся и успешности решения математических заданий (на примере старшего школьного возраста) // Психологический журнал. -2013. - Т. 34. - № 1.- С. 63-73.

5. Binder C. Behavioral fluency: Evolution of a new paradigm // The Behavioral Analyst. -1996. - Vol. 19. - P. 163-197.

6. Bramlett R., Cates G.L., Savina E., Lauinger

B. Assessing effectiveness and efficiency of academic interventions in school psychology journals: 1995-2005 // Psychology in the Schools. - 2010. - Vol. 47(2). - P. 114-125.

7. Butterworth B., Kovas Y. Understanding neurocognitive developmental disorders can improve education for all // Science. - 2013. -Vol. 340. - No. 6130. - P. 200-205.

8. Cates G.L., & Rhymer K.N. Examining the relationship between mathematics anxiety and mathematics performance: An instructional hierarchy perspective // Journal of Behavioral Education. - 2003. - Vol. 12. - P. 23-34.

9. Codding R.S., Chan-Iannetta L., Palmer M., & Lukito G. Examining a classwide application of cover-copy-compare with and without goal setting to enhance mathematics fluency // School Psychology Quarterly. - 2009. - Vol. 24. - P. 173-185.

10. Codding R.S., Hilt-Panahon A., Panahon

C.J., & Benson J.L. Addressing mathematics computation problems: A review of simple and moderate intensity interventions // Education and Treatment of Children. - 2009. - Vol. 32(2). - P. 279-312.

11. Dehaene S. The number sense: How the mind creates mathematics. - New York: Oxford University, 1997.

12. Delazer M., Domahs F., Bartha L., Brenneis C., Locky A., Treib T., Benke T. Learning complex arithmetic-an fMRI study // Cognitive Brain Research. - 2003. - Vol. 18. - P. 76-88.

13. Floyd R.G., Evans J.J., & McGrew K.S. Relations between measures of cattell-horn-cattell (CHC) cognitive abilities and mathematics achievement across the schoolage years // Psychology in Schools. - 2003. -Vol. 40. - P. 155-171.

14. Fuchs L.S., Fuchs D., Hosp M.K., & Jenkins J.R. Oral reading fluency as an indicator of

reading competence: A theoretical, empirical, and historical analysis // Scientific Studies of Reading. - 2001. - Vol. 5(3). - P. 239-256.

15. Hasbrouck J., & Tindal G.A. Oral reading fluency norms: A valuable assessment tool for reading teachers // The Reading Teacher. -2006. - Vol. 59(7). - P. 636-644.

16. Hulac D.M., Dejong K., Benson N. Can students run their own interventions?: a self-administered math fluency intervention // Psychology in the Schools. - 2012. - Vol. 49(6). - P. 526-538.

17. Kuhn M.R., Schwanenflugel P.J., Meisinger E.B. Aligning theory and assessment of reading fluency: automaticity, prosody, and definitions of fluency // Reading Research Quarterly. -2010. - Vol. 45(2). - P. 230-251.

18. Petrill S.A., Logan J., Hart S., Vincent P., Thompson L., Kovas Y., Plomin R. Math fluency is etiologically distinct from untimed math performance, decoding fluency, and untimed reading performance: Evidence from a twin study // Journal of Learning Disability. - 2012. - Vol. 45(4). - P. 371-381.

19. Poncy B.C., McCallum E. & Schmitt A.J. A comparison of behavioral and constructivist interventions for increasing math-fact fluency in a second-grade classroom // Psychology in the Schools. - 2010. - Vol. 47(9). - P. 917-930.

20. Ramos-Christian V., Schleser R., & Varn M.E. Math fluency: Accuracy versus speed in preoperational and concrete operational first and second grade children // Early Childhood Education Journal. - 2008. - Vol. 35. - P. 543549.

21. Runco M.A., Millar G., Acar S., Cramond B. Torrance tests of creative thinking as predictors of personal and public achievement: A fifty year follow-up // Creativity Research Journal. - 2010. - Vol. 22 (4). - P. 361-368.

22. Seethaler P.M., & Fuchs L.S. A drop in the bucket: Randomized controlled trials testing reading and math interventions // Learning Disabilities Research & Practice. - 2005. -Vol. 20(2). - P. 98-102.

23. Siegel L.S. Evidence that IQ scores are irrelevant to the definition and analysis of reading disability // Canadian Journal of Psychology. - 1988. - Vol. 42. - P. 201-215.

24. Singer-Dudek J., & Greer R.D. A long-term analysis of the relationship between fluency

and the training and maintenance of complex math skills // Psychological Record. - 2005. -Vol. 55. - P. 361-376.

25. Skinner C.H., McLaughlin T.F., & Logan P. Cover, copy and compare: A self-managed academic intervention effective across skills, students and settings // Journal of Behavioral Education. - 1997. - Vol. 7(3). - P. 295-306.

26. Skinner C.H., Pappas D.N., & Davis K.A. Enhancing academic engagement: Providing opportunities for responding and influencing students to choose to respond // Psychology in the Schools. - 2005. - Vol. 42. - P. 389-403.

27. Smith C.R., Marchand-Martella N.E., Martella R.C. Assessing the effects of the Rocket Math program with a primary elementary school student at risk for school failure: A case study // Education and Treatment of Children. -2011. - Vol. 34(2). - P. 247-258.

28. Therrien W.J. Fluency and comprehension gains as a result of repeated reading // Remedial and Special Education. - 2004. -Vol. 25. - P. 252-261.

29. Woodcock R.W., McGrew K.S., & Mather N. Woodcock-Johnson III: Test of cognitive abilities. - Itasca, IL: Riverside. 2001.

PHENOMENON OF MATHEMATICAL FLUENCY

T.N. TIKHOMIROVA1, 2, Y. KOVAS1, 2, 3, M.S. ZALESHIN2, A.V. BUDAKOVA2, K.R. SHARAFIEVA2, S.B. MALYKH1 2

1 Psychological Institute, Russian Academy of Education, Moscow, Russia;

2 National Research Tomsk State University, Tomsk, Russia;

3 Goldsmiths, University of London, London, UK

The article presents the results of a study on mathematical fluency in a sample of 932 Russian high school students. The paper provides the definition of mathematical fluency and outlines recent research on mathematical fluency acquisition and its relationship with success in mathematics disciplines, as well as the relevance of this research. No sex differences in mathematical fluency in high school students were found in any of the three (9th, 10th, 11th) grades. A significant (but weak) effect of year of education was found: students on average showed better results on mathematical fluency with each increasing year of education.

Keywords: mathematical fluency, mathematical achievement, sex differences.