Об одном аппроксимационном свойстве полициклических групп

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 3

УДК 512.543

ОБ ОДНОМ АППРОКСИМАЦИОННОМ СВОЙСТВЕ ПОЛИЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП

А. В. Розов

Аннотация

Мы обобщаем результат А. Л. Шмелькина, устанавливающий почти аппроксимируемость конечными р-группами полициклических групп.

Ключевые слова: полициклическая группа, аппроксимируемость конечными р-группами, почти аппроксимируемость конечными р-группами.

ON THE RESIDUAL PROPERTY OF POLYCYCLIC GROUPS

A. V. Rozov

Abstract

We generalize the result of A. L. Shmelkin which establishes the fact that polycyclic groups are virtually residually р-finite for any prime p.

Keywords: polycyclic group, residually a finite p-group, virtually residually a finite p-group.

Пусть K — некоторый класс групп. Напомним, что группа G называется аппроксимируемой группами из класса K (или, короче, K-аппроксимируемой), если для каждого неединичного элемента x из G существует гомоморфизм группы G на группу из класса K, образ элемента x относительно которого отличен от единицы. Если F обозначает класс всех конечных групп, то понятие F-аппроксимируемой группы совпадает с классическим понятием финитно аппроксимируемой группы. Наряду с финитной аппроксимируемостью изучается также свойство Fp-аппроксимируемости, где р — простое число, Fp — класс всех конечных р-групп. Здесь будет рассмотрено свойство почти Fp-аппроксимируемости, являющееся промежуточным между финитной аппроксимируемостью и Fp-аппроксимируемостью. Напомним, что группа G называется почти Fp-аппроксимируемой, если она содержит Fp-аппроксимируемую подгруппу конечного индекса.

Примером финитно аппроксимируемой группы является произвольная по-лициклическая группа. Финитная аппроксимируемость полициклических групп была доказана К. Гиршем в работе [1]. Вопрос об Fp-аппроксимируемости поли-циклических групп исследован только для некоторых частных случаев, например, для конечно порожденных нильпотентных групп (см. [2]) и для сверхраз-решимых групп (см. [3]). В общем же случае аппроксимируемость конечными р-группами полициклических групп не исследована.

Иначе дело обстоит с почти Fp-аппроксимируемостью. А. Л. Шмелькин доказал, что произвольная полициклическая группа является почти Fp-аппрок-симируемой для любого простого числа p. Доказательство этого факта было приведено в работе [4]. Мы обобщаем результат А. Л. Шмелькина следующим образом.

Теорема 1. . Пусть группа G содержит конечно порожденную нормальную подгруппу H такую, что фактор-группа G/H является по.лицик.лической. И пусть р — простое число. Тогда в группе G существует нормальная подгруппа S конечного индекса, содержащая H и такая, что для любой нормальной подгруппы N группы G, содержащейся в H, из того, что группа H/N Fp-аппроксимируема следует, что группа S/N Fp-аппроксимируема.

При H = 1 данная теорема совпадает с результатом А. Л. Шмелькина. Прежде чем перейти к доказательству теоремы, докажем несколько вспомогательных утверждений.

Для произвольной группы A через A1 будем обозначать коммутант группы A, а через An — степенную подгруппу группы A, где n — целое неотрицательное число. Если A — конечная р-группа, то ее подгруппа A'Ap очевидно совпадает с пересечением всех максимальных подгрупп группы A. Очевидно, что факторгруппа A/A1 Ap является периодической абелевой группой. Поэтому если группа A конечно порождена, то ее фактор-группа A/A Ap конечна.

Лемма 1. . Пусть A — конечная р-группа, Г — подгруппа в группе всех автоморфизмов группы A. Если все автоморфизмы из Г действуют тождественно по модулю подгруппы A'Ap, то Г является р-группой.

Этот результат Ф. Холла хорошо известен (см., напр., [5, с. 562]).

Напомним, что группа G называется расщепляемым расширением группы A с помощью группы B, если A — нормальная подгруппа группы G, B — подгруппа группы G, A П B = 1 и G = AB. Очевидно, что G/A = B, и что если A — конечная группа, то [G : B] = |A|.

Некоторые достаточные условия аппроксимируемости конечными р-группа-ми расщепляемых расширений будут доказаны ниже в леммах 2 и 3. Эти леммы принадлежат Д. Н. Азарову и не опубликованы. Мы приводим эти результаты с подробными доказательствами.

Лемма 2. . Пусть С — расщепляемое расширение конечной р-группы А с помощью Тр-аппроксимируемой группы В. И пусть взаимный коммутлнт, [В, А] подгрупп В и А содержится в подгруппе ААр. Тогда группа С Тр-аппроксимируема.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждого элемента х из С через х будем обозначать внутренний автоморфизм группы С, действующий по правилу: дх = х-1дх для любого элемента д группы С. И пусть

АЫВ (А) = {х\А : х € В}

— множество ограничений на подгруппу А всех внутренних автоморфизмов группы С, производимых элементами из В. Это множество является подгруппой в группе всех автоморфизмов группы А. Так как [В, А] С А Ар, то все автоморфизмы из АпЬВ (А) действуют тождественно по модулю подгруппы ААр. Следовательно, в силу леммы 1 АпЬВ (А) — конечная р-группа.

Пусть

9 : В АЫВ

— гомоморфизм, сопоставляющий каждому элементу Ь из В ограничение на подгруппу А соответствующего ему внутреннего автоморфизма Ь группы С. И пусть Н = Кег9. Так как АпЬВ (А) — конечная р-группа, то Н — нормальная подгруппа конечного р-индекса группы В. Кроме того, индекс подгруппы В в группе С равен порядку подгруппы А и, следовательно, является степенью числа р. Из последних двух обстоятельств получаем, что Н — подгруппа конечного р-индекса группы С. Заметим, что подгруппа Н Тр-аппроксимируема, поскольку содержится в группе В. Заметим еще, что подгруппа Н нормальна в группе С, поскольку она поэлементно перестановочна с подгруппой А и нормальна в подгруппе В.

Таким образом, группа С является расширением Тр-аппроксимируемой группы Н с помощью конечной р-группы С/Н. Отсюда следует (см., напр., [2, лемма 1.5]), что группа С Тр-аппроксимируема. Лемма доказана.

Лемма 3. . Пусть С — расщепляемое расширение конечно порожденной Тр-аппроксимируемой группы А с помощью Тр-аппроксимируемой группы В. И пусть [В, А] С ААр. Тогда группа С Тр-аппроксимируема.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства Тр-аппроксимируемости группы С достаточно для каждого ее неединичного элемента д указать нормальную подгруппу N группы С, не содержащую элемент д и такую, что фактор-группа С/Ы Тр-аппроксимируема. Если д € А, то в качестве N можно взять А, так как С/А = В — Тр-аппроксимируемая группа. Если же д € А, то из Тр-аппроксимируемости группы А следует существование в ней нормальной подгруппы М конечного р-индекса, не содержащей д. Пусть N — пересечение всех подгрупп Мх группы С, сопряженных с М (х € С). Очевидно, что подгруппа

N нормальна в группе С и д € N. Кроме того, N имеет конечный р-индекс в группе А. Действительно, все подгруппы Мх нормальны в группе А и имеют в ней индексы, совпадающие с индексом [А : М]. Поэтому в силу теоремы М. Холла (см., напр., [6, с. 250]) число различных подгрупп Мх конечно. Отсюда и из теоремы Ремака [7, п. 4.3.9] следует, что N — подгруппа конечного р-индекса группы А.

Заметим, что группа С/N является расщепляемым расширением конечной р-группы A/N с помощью Тр-аппроксимируемой группы BN/N = В, причем поскольку

[В, А] С ААр,

то

[BN/N,A/N] С (А^)'(A/N)р.

Отсюда по лемме 2 следует, что группа С/N Тр-аппроксимируема. Лемма доказана.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Приступим к доказательству теоремы 1. Пусть Н — конечно порожденная нормальная подгруппа группы С, и фактор-группа С/Н является полициклической. Тогда существует последовательность подгрупп

Н = Со < Сг < ... < Сг = С

такая, что для каждого г = 1,... ,г подгруппа Сг-г нормальна в С г, и факторгруппа Сг/Сг-г является циклической. Пусть р — простое число. Индукцией по г покажем, что в группе С существует нормальная подгруппа Б конечного индекса, содержащая Н и такая, что для любой нормальной подгруппы N группы С, содержащейся в Н, из того, что группа H/N Тр-аппроксимируема следует, что группа S/N Тр-аппроксимируема.

Если г = 0, то С = Н, ив качестве искомой подгруппы Б можно взять Н.

Пусть теперь г > 0. По индуктивному предположению в группе Сг-г существует нормальная подгруппа Г конечного индекса, содержащая Н и такая, что для любой нормальной подгруппы N группы Сг-г, содержащейся в Н, из того, что H/N Тр-аппроксимируема следует, что F/N Тр-аппроксимируема. В частности, это верно для любой нормальной подгруппы N группы С, содержащейся в Н. Пусть Q — пересечение всех подгрупп группы С, сопряженных с Г. Тогда очевидно, что Q — нормальная подгруппа группы С, содержащая Н. Поскольку группа Сг-г является расширением конечно порожденной группы Н с помощью полициклической группы, то она сама конечно порождена. Отсюда следует, что индекс подгруппы Q в группе Сг-г конечен. Кроме того, для любой нормальной подгруппы N группы С, содержащейся в Н, фактор-группа Q/N содержится в F/N, и поэтому из Тр-аппроксимируемости H/N следует Тр-аппроксимируемость Q/N.

Если С/Сг-г — конечная циклическая группа, то Q имеет конечный индекс в С, и мы можем в этом случае в качестве искомой подгруппы Б взять Q.

Будем теперь предполагать, что G/Gr-i — бесконечная циклическая группа. Тогда G/Q представляет собой расширение конечной группы Gr-i/Q с помощью бесконечной циклической группы G/Gr-1. Хорошо известно и легко проверяется, что такое расширение является расщепляемым, и поэтому G/Q содержит бесконечную циклическую подгруппу T/Q конечного индекса. Тогда T — подгруппа конечного индекса группы G, и T представляет собой расщепляемое расширение группы Q с помощью бесконечной циклической группы X = (x).

Так как группа Q представляет собой расширение конечно порожденной группы H с помощью полициклической группы, то она сама конечно порождена. Поэтому ее фактор-группа Q/Q'Qp конечна. Обозначим через n порядок группы Aut(Q/Q'Qp). Тогда сопряжение элементом xn на подгруппе Q действует тождественно по модулю Q'Qp. Поэтому

Xn,Q] С Q'Qp.

Пусть U = QXn. Так как индексы [X : Xп] и [G : T] конечны, то подгруппа U имеет конечный индекс в группе G. Кроме того, U — расщепляемое расширение группы Q с помощью Xп. Пусть теперь N — нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в H и такая, что фактор-группа H/N Fp-аппроксимируема. Тогда Q/N также Fp-аппроксимируема. Следовательно, фактор-группа U/N представляет собой расщепляемое расширение конечно порожденной Fp-ап-проксимируемой группы Q/N с помощью бесконечной циклической группы XnN/N = Xn, причем из (*) следует, что

[XnN/N,Q/N] С (Q/N)'(Q/N)p.

Поэтому в силу леммы 3 группа U/N Fp-аппроксимируема.

Пусть S — пересечение всех подгрупп группы G, сопряженных с U. Тогда S — нормальная подгруппа конечного индекса группы G, содержащая H. Если теперь N — нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в H и такая, что H/N Fp-аппроксимируема, то U/N Fp-аппроксимируема. А поскольку S/N < U/N, то и S/N Fp-аппроксимируема. Теорема доказана.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hirsh K. A. On infinite soluble groups // J. London Math. Soc. 1952. Vol. 27. P. 81—85.

2. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. 1957. Vol. 7. P. 29—62.

3. Азаров Д.Н., Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость сверхразрешимых групп конечными р-группами // Науч. труды ИвГУ. Математика. 1999. Вып. 2. С. 8—9.

4. ШмелькинА.Л. Полициклические группы // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9. С. 234—235.

5. ПлоткинБ. И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. М.: Наука, 1966.

6. КурошА.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

7. КаргаполовМ. И., МерзляковЮ. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977.

Ивановский государственный университет.

Поступило 7.09.2013