Об универсальности математики и логики мышления

ОБ УНИВЕРСАЛЬНОСТИ МАТЕМАТИКИ И ЛОГИКИ МЫШЛЕНИЯ

Б.Л. Яшин

Аннотация. В статье обсуждаются проблемы универсальности математики и логики, понимаемой как минимальный набор общепринятых норм и правил мышления, сопоставляются возможные аргументы «за» и «против», показывается, что общепринятого решения этой проблемы в современной науке и философии пока нет.

Ключевые слова: универсальность, математика, этноматематика, логика, принципы правильного мышления.

Summary. The article deals with the problem of universality of mathematics and logic understood as the minimum set of generally accepted norms and rules of thinking. It also maps possible arguments "for" and "against" and shows that the conventional answer to this problem in modern science and philosophy has not been worked out yet.

Keywords: universality, mathematics, etnomathematics, logic, principles of correct thinking.

В философии математики с момента ее рождения и до наших дней обнаруживаются весьма различные по своим подходам взгляды на природу математики, на ее предмет, методы и объекты. Но, «если тридцать лет назад в тематике историко-научных изысканий доминировала история идей, то сегодня мы видим значительное количество исследований, направленных на выяснение того, каким образом математика в своем развитии зависит от социальных факторов (и в какой мере ими определяется)» [1, с. 10]. Одним из вопросов, имеющих такой явно выраженный социокультурный контекст, является вопрос об универсальности и единственности, общности для всех времен и народов

математики, который до сих пор не имеет однозначного решения.

Казалось бы, совершенно очевидно, что все существующие сегодня математические системы, независимо от места и времени их происхождения, являются инвариантными друг другу. С их помощью описывают, по сути дела, одни и те же реально существующие или возможные миры, те или иные пространственные формы, количественные отношения, а также существующий в них тот или иной порядок. Иными словами, математика едина и единственна, то есть универсальна для всего человечества. «Единственна» в том смысле, что все известные до сих пор в истории человечества цивилизации имели и имеют дело

229

230

с одними и теми же (в смысле их тождественности, эквивалентности) математическими объектами, с одними и теми же структурами.

Вместе с тем, существуют точки зрения, в которых эта идея явно или неявно ставится под сомнение. Есть и такие высказывания, которые могут стать или становятся основанием для такого рода сомнений. Вот, например, позиция Ф. Китчера, который в одной из своих работ пишет, что «математику следует понять как совокупность отчетов о деятельности идеального субъекта, которому мы приписываем особые возможности структурировать окружающий нас мир» [2, с. 24]. Но если математика представляет собой «отчеты о деятельности идеального субъекта», то есть субъекта предельно общего, сугубо абстрактного, трансцендентального, то становится очевидным, что Ф. Китчер здесь утверждает факт универсальности математики.

Однако чуть раньше, в этой же статье он писал, что «предмет математики в конечном итоге - способ, которым человеческое существо структурирует мир путем или операций грубых, физических, или операций мысленных» [там же]. Из этого высказывания Ф. Китчера вполне возможно сделать вывод, отрицающий универсальность математики. Ведь если математика представляет собой способ конструирования мира «человеческим существом» с помощью не только мысленных, но и «грубых, физических» операций, то этот человек предстает уже не трансцендентальным, а эмпирическим субъектом. В таком случае и эти способы, и созданные с помощью них воображаемые, идеальные миры отдельных людей в силу их субъективности вполне могут

и не совпадать, не быть инвариантными в разных реальных социальных мирах, в разных культурах.

К аналогичному следствию приводят и рассуждения представителей предикативного и социального конструктивизма в математике (Ч. Фе-ферман, Т. Тимошко, Р. Херш, П. Эрнест и др.), для которых математические теории являются социальными конструктами, специфическим продуктом социальной деятельности, культуры в целом. «Качество» этих конструктов во многом, зависит от характера трансформаций, происходящих в процессе развития социальной реальности.

Из утверждения конструктивистов о том, что знание (в том числе и математическое) есть социальный конструкт, вытекает следствие, что «объяснить, почему в математике принимаются именно такие, а не другие утверждения и теории невозможно ни апелляцией к особой идеальной реальности, ни ссылкой на всеобщие априорные структуры, присущие трансцендентальному субъекту. Развитие математики не предопределено ни тем, ни другим, а зависит от культурных и социальных факторов» [см: 3, с. 49].

Позицию социальных конструктивистов в определенном смысле усиливают сторонники контекстуализма в математике, которые, отрицая «единственность», «универсальность» математики, утверждают, что на разных континентах, у разных цивилизаций, у разных наций и этносов вполне возможна своя собственная математика.

Они настаивают «на изучении математических реалий в самой тесной связи со средой существования математических представлений». При этом сторонники контекстуализма

Преподаватель XX

2 / 2013

уделяют основное внимание «т.н. фолк («народной») математике и/или этно-математике (трактовке природы математики как элемента национальной, этнической культуры в существенно большей степени, чем формальной системы)» [4, с. 10].

Термин «этноматематика» впервые появился во второй половине прошлого столетия в работах бразильского математика Убиратано Д'Амбро-зио. Этот термин сам У. Д'Амброзио использовал в разных, но достаточно близких значениях: как совокупность математических практик в различных культурах (национально-племенных, профессиональных, возрастных и т.п.); как специфический инструмент кодирования, позволяющий членам той или иной культурной группы не только описывать, но также понимать реальность и управлять ею; как некую систему стилей, технических приемов, методов, складывающихся в той или иной культуре, направленных на понимание, объяснение, а при необходимости - на изменение природной и социальной среды.

Некоторые ученые понимают под этим термином способ сделать математику более релевантной разным культурным и этническим группам, другие считают этноматематику способом постичь различия между культурами. Отчетливо видно, что общим для всех представленных подходов к пониманию этноматематики является то, что в ней обосновывается положение о том, что человеческая мысль может предложить не один, а множество различных способов количественного восприятия мира, каждый из которых возникает из обыденной практики.

Это означает, что принятая современной математикой парадигма на са-

мом деле является всего лишь одной из возможных. Она, как и другие созданные человеческим интеллектом системы, находится в прямой зависимости от тех жизненных реалий, в которых мы существуем.

Так, например, М. Ашер, являющаяся сегодня одним из авторитетнейших исследователей в области этнома-тематики, утверждает, что представители «примитивных» культур Африки, Южной Америки, Индонезии и Океании являются порой носителями значительно более сложных математических представлений, чем было принято считать. Она полагает, что исследование математических идей тех немногих дошедших до нас самобытных культур даст возможность увидеть другие цивилизационные пути развития человеческого мышления, осознать степень его вариативности.

М. Ашер, а вслед за ней и многие другие ученые, занимающиеся этой проблематикой, убедительно показывают, что человеческое мышление может предложить множество отличающихся друг от друга способов количественного восприятия мира. Иными словами, исследования в области эт-номатематики, с одной стороны, можно рассматривать как подтверждение точки зрения оппонентов об универсальности, единственности общепринятой математической парадигмы. Эти исследования достаточно убедительно свидетельствуют в пользу того, что эта парадигма является «всего лишь одной из возможных и, как и все прочие, придуманные человеком системы, находится в прямой зависимости от тех жизненных реалий, в которых мы существуем» [5].

С другой стороны, результаты исследований М. Ашер и других ученых,

231

232

работающих в области этноматемати-ки, можно использовать и в качестве аргументов, подтверждающих позицию защитников математического универсализма. Во всяком случае, эти результаты, по их мнению, свидетельствуют, по крайней мере, о том, что универсальные математические структуры обнаруживаются в любой культуре. Различие между разными математиками заключается, как полагают некоторые ученые и философы, лишь в способах выражения этих структур. Однако это самое «лишь» оказывается весьма существенным с точки зрения происхождения математики, а стало быть, и с точки зрения понимания природы математического знания.

Точка зрения «универсалистов» оказывается во многом сходной с позицией математического априоризма, которая, кстати говоря, была подтверждена исследованиями американских психологов в 2008 г., показавшими, что способности людей к математике являются врожденными.

Однако в апреле 2012 г. группа психологов под руководством Рафаэля Нуньэса установила, что «концепция числовой прямой, используемая в математике, не является врожденной идеей, а формируется в процессе обучения». Тем самым было показано, что «математика не является универсальным языком Вселенной», поскольку многие фундаментальные концепции являются результатом образования и воспитания» [6].

Таким образом, можно утверждать, что на сегодняшний день ни одна из рассмотренных точек зрений не имеет значительного перевеса, а значит, философам и ученым предстоит еще много работы в поисках ответов на поставленные вопросы.

Во многом сходная ситуация наблюдается и в отношении проблемы универсальности логики мышления. Название недавно опубликованной в журнале «Вопросы философии» статьи Г. Пауля и Х. Ленка, в которой рассматривается эта проблема, говорит само за себя [7].

Главный вопрос, на который пытаются ответить авторы этой статьи, можно, по-видимому, сформулировать следующим образом. «Существует ли нечто общее (базисное) у логик, на которые опираются в повседневной практике представители различных культур, и, если «да», то в чем же оно состоит?»

Иными словами: «Существуют ли какие-либо всеобщие, универсальные логические принципы, которые все люди независимо от конкретной ситуации, пространства и времени принимают и разделяют, считая их верными, а поэтому - гарантирующими, скажем, достоверность получаемых с их помощью следствий?»

На этот вопрос ученые и философы отвечали и до сих пор отвечают по-разному. И в настоящее время мы имеем две альтернативных точки зрения по поводу универсализма логики, понимаемой, что очень важно, не как теории, а как некоторой весьма ограниченной совокупности принципов мышления, относящихся, в первую очередь, к его структуре, форме, способу связи элементов или частей. Иначе говоря, речь, по сути дела, идет об универсальности, то есть всеобщности некоторых логических структур, которые чаще всего считают принципами правильного мышления. Это, прежде всего, относится к принципу двузначности и опирающимся на него законам тождества,

Преподаватель

2 / 2013

непротиворечия и исключенного третьего, аксиоме силлогизма, находящей свое выражение в известном модусе barbara, закону транзитивности, modus ponens и modus tollens условно-категорическо го умозаключения и некоторым другим.

Сторонники универсальности ссылаются на «очевидность» существования некоторого минимального по объему класса законов (принципов) «естественной» логики, которые являются верными в равной степени для всего человечества. Подтверждением этого служит, например, рассуждение такого рода.

Предположим, что на самом деле не существует никакого минимального набора законов (принципов) «естественной» логики, которые были бы универсальными. В силу этого в действительности должны существовать как минимум два несовместимых класса логических законов (принципов), в равной степени верных для всех людей. Но в этом случае, пишут, например, Г. Пауль и Х. Ленк, «люди, придерживающиеся каждого из этих двух классов, скажем, европейцы и азиаты, регулярно делали бы разные выводы из одних и тех же посылок. Любая попытка достичь взаимопонимания между представителями этих двух групп была бы практически невозможной даже в вопросах математики - а это не вязалось бы как минимум с общим опытом человечества» [там же].

Кроме этого аргумента, который Г. Пауль и Х. Ленк называют «прагматически трансцендентальным» или «фундаментальным методологическим», и который, по их мнению, является самым важным, они приводят еще несколько доводов в пользу универсальности «естественной» логики.

Аргумент «к универсальности математики» состоит в том, что «верное математическое рассуждение логически последовательно, и неправдоподобно, чтобы универсально верные математические принципы (к тому же открываемые в разных культурах) проистекали бы из применения взаимно несовместимых правил логики».

Аргумент «к переводу» сводится к утверждению о том, что никакой перевод с одного естественного языка на другой был бы невозможен без использования, «по крайней мере, некоторых универсально верных правил логики», которые необходимы для установления семантической непротиворечивости текста.

Есть в статье и другие аргументы в подтверждение универсальности «естественной» логики, самым сильным из которых, на мой взгляд, является выделение авторами некоторого исходного ядра, базисной структуры логики, в виде позитивной логики следствий. Эта логика, по их мнению, «содержится вообще в любой логической системе, например, в классической, строгой, а также в конструктивных логиках (за исключением, до известной степени, некоторых разделов «паранепро-тиворечивых» логик!)», что дает основания интерпретировать ее «как возможную или даже единственную универсальную основу логики» [там же].

В пользу этой гипотезы говорит, как считают сторонники универсальности логики, и наличие в мозгу человека определенных врожденных лингвистических структур, «врожденной синтактики», некоторого минимального набора правил или принципов, присущих любому человеческому языку (Н. Хомский). Ведь если есть «врожденная универсальная грамматика»,

233

234

то почему же не может быть «врожденной универсальной логики»?

Тем не менее, Г. Пауль и Х. Ленк, как мы видим, считают существование этой базисной логической структуры не более чем гипотезой, которая нуждается в подтверждении. Мы «должны убедиться в том, - пишут они, - что это без сомнения есть апостериорная интер претация, а не просто механическое получение, или выведение, или дедукция логики из некоторого априорного принципа без всякого использования логики самой по себе» [там же].

Приведенные выше аргументы в пользу универсальности «естественной» логики многим могут показаться достаточно убедительными и даже неопровержимыми. Однако принимаются они далеко не всеми из тех, кто предметно занимается этой проблемой.

Аргумент «к универсальности математики» невозможно принять, так как эта «универсальность», как было показано выше, сама является не более чем гипотезой. А, кроме того, следует отметить, что в современной науке изменилось отношение даже к математическому доказательству, которое на протяжении многих веков считалось идеалом. У самих математиков появились к нему претензии, ему стали меньше доверять. С одной стороны, это было вызвано кризисом в основаниях математики, а с другой стороны, оказалось, что и способы математической аргументации не безупречны с точки зрения их строгости и «объективности», что на самом деле они «нагружены» субъективностью, они историчны и во многом детерминируются социальной реальностью.

Аргумент «к переводу» также не безупречен, ибо он, как и в предыду-

щем случае, предвосхищает «универсальность логики», а, кроме того, - и однозначность ответа на вопрос о том, связана ли логика с содержанием высказываний или же она не имеет к нему никакого отношения, который на самом деле до сих пор остается неясным.

Наиболее убедительным представляется «фундаментальный методологический» аргумент. Однако и он не выдерживает критики. При ближайшем рассмотрении оказывается, что в нем при обосновании универсальности «естественной» логики, во-первых, ссылаются на ее универсальность, что представляет собой известную логическую ошибку «круг в доказательстве». Во-вторых, в этом рассуждении неявным образом опираются на закон исключенного третьего, универсальность которого, как известно, не безусловна.

Кроме того, представленный аргумент не менее убедительно опровергается сторонниками противоположной точки зрения научными фактами.

Свою позицию они подтверждают, например, тем, что различным типам социальной организации людей соответствуют качественно различные типы мышления (Л. Леви-Брюль и др.). В частности, давно известно, что люди, являющиеся членами племен, мышление которых находится на стадии «пралогического» или «мифологического сознания», в своих рассуждениях игнорируют общепринятый в «цивилизованном мире» закон непротиворечия. Они мыслят в соответствии с другим законом - «законом партиципации». Это позволяет воспринимаемому человеком объекту быть одновременно самим собой и

Преподаватель ^

2 / 2013

иным, находиться одновременно в различных местах, а свойствам изображения - быть тождественными со свойствами оригинала. На этом основании Л. Леви Брюль во многих своих работах раннего периода, например, делал вывод о том, что в мифологическом сознании нет места логике в ее традиционном смысле.

В коллективных представлениях первобытного мышления, писал он, «...предметы, существа, явления могут непостижимым для нас образом быть одновременно и самими собой, и чем-то иным», это мышление ... «не стремится, подобно нашему мышлению, избегать противоречия» [8, с. 62]. При этом Л. Брюль не исключал и того, что у первобытного человека есть-таки логика в общепринятом понимании, но она «погружена в мистические ориентации его сознания». В условиях же свободных от влияния «коллективных представлений» первобытный человек будет рассуждать вполне ожидаемо для нас, то есть вполне логично, в рамках «естественной логики».

Гипотеза Л. Леви-Брюля нашла свое подтверждение в своеобразной логике представителей племени азан-дов, у которых ситуации, воспринимаемые в современном мышлении как противоречие и поэтому в нем запрещаемые, воспринимаются иначе. Азанды считают их вполне допустимыми, - пишут в одной из своих работ по проблемам параконсистентных логик Н. да Коста и С. Френч, - «поскольку, нет трудностей на практике при употреблении противоречивых высказываний» [см.: 9, с. 51].

На похожее свойство мышления человека первобытного общества, признающего одновременное и равноправ-

ное существование множества временных циклов вне их линейной последовательности, обращал внимание и французский философ Ж. Дюран, который отмечал, что такого рода признание предвосхищает все парадоксы теории относительности. А о «многообразном единстве однотипных отличий» конкретных образов внешнего мира, имеющих место в первобытном мышлении, писала известная исследовательница, как сегодня бы сказали, «археологии» культурных форм в рамках символической антропологии, О.М. Фрей-денберг, называвшая этот этап развития человеческого сознания «доформально-логическим» мышлением [см. об этом, напр.: 10, с. 29].

Еще одним аргументом в пользу «мультикультуризма» логики обыденного, повседневного мышления нередко считают несхожесть «восточной» и «западной» логик. Некоторые исследователи, проводившие сравнительный анализ этих логик, указывая, например, на то, что в первой из них отрицаются такие основные принципы второй, как непротиворечивость, «третьего не дано» и некоторые другие, делали на этом основании вывод о том, что эти логики являются несовместимыми друг с другом.

Наличие всеобщих и инвариантных для всего человечества структур субъективности, таких, например, как логические структуры или исходные понятия математики, связанных со счетом (понятие числа) или с геометрическими понятиями, отрицают и представители эпистемологии радикального конструктивизма. Это вытекает, по крайней мере, из двух основных его тезисов.

Суть первого состоит в том, что знание является результатом актив-

235

236

ной конструктивной деятельности субъекта. «Субъект только тогда располагает знанием, когда он произвел его собственными операциями в когнитивном аппарате». Суть второго выражается в утверждении о том, что целью познания является создание и структурирование «внутреннего мира» субъекта, а не описание или объяснение мира внешнего, то есть объективной реальности [11, с. 15].

В контексте рассмотрения идеи о возможности существования не одной, а различных «естественных» логик, нельзя пройти и мимо открытия в начале двадцатого века так называемой «воображаемой логики». Под влиянием созданной Н.В. Лобачевским «воображаемой геометрии» возникла идея о том, что вполне возможны такие миры, в которых разум при сохранении формальных правил классической двухзначной логики как бы «не замечает» закона непротиворечия, то есть допускает в мышлении противоречия.

Эту идею впервые высказал в одной из своих работ основоположник паранепротиворечивых логик Н.А. Васильев. «Когда мы не будем согласовывать мышление с представлениями, а будем мыслить воображаемый мир, мир иных представлений, -писал он, - то мы можем мыслить без закона противоречия, можем мыслить противоречие» [12, с. 69]. И это подтверждается очевидным фактом того, что мы, действительно, можем, например, мыслить круглый квадрат или квадратный треугольник, хотя представить себе такой объект ни один нормальный человек не в состоянии.

Хорошо известно, что современная логика как отрасль научного знания представляет собой весьма раз-

ветвленную совокупность различных логик как классических, так и неклассических, которые существенным образом отличаются друг от друга. Казалось бы, этот непреложный факт также свидетельствует против того, что существует некий их общий логический базис. Ибо все логические структуры, «все логические формы зависят и 1) от исторического момента, и 2) от социальных условий, и 3) от специфики языка и концептуального аппарата (связанного, например, с металогическими философскими соображениями), и от 4) области (универсума) рассуждений» [13].

Однако исследование, например, выразительных средств и технического аппарата многозначных логик привело, как пишет А.С. Карпенко, «к довольно-таки странному и неожиданному открытию. Большинство многозначных систем логики явно или неявно строились с целью ограничения или опровержения тех или иных классических законов логики, но на самом же деле получилось не ограничение, а расширение классической логики. Оказалось, что большинство конечнозначных логик настолько богато по своим выразительным свойствам, что они могут быть аксиоматизированы как расширение классической логики!»[14].

Таким образом, по поводу универсальности логики можно сказать то же самое, что и об универсальности математики: однозначного ответа на этот вопрос ни у философов науки, ни у ученых на сегодняшний день нет.

С моей точки зрения, вопрос об универсальности математики и логики тесным образом связан с целым рядом вопросов эпистемологии, наиболее важными из которых являются

Преподаватель

2 / 2013

вопросы о происхождении математики и логики, а также - о природе познания вообще и научного познания, в частности. Но тогда мы вновь должны вернуться к рассмотрению проблемы априоризма и реализма по отношению к математике и логике. Достаточно интересно и, с моей точки зрения, весьма убедительно это делает в ряде своих работ В.Я. Перминов, который, используя праксеологический подход, отстаивает и априоризм, и реальность арифметики, евклидовой геометрии и системы интуитивно ясных логических норм, вовлеченных в обыденное и математическое мышление [см., напр.: 15].

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демидов С.С. Математика в опыте историко-математических исследований последних десятилетий // Математика и опыт. - М., 2003.

2. Китчер Ф. Математический натурализм // Методологический анализ оснований математики. - М., 1988.

3. Сокулер З.А. Является ли теорема Пифагора социальным конструктом? // Философия математики: актуальные проблемы. Тезисы Второй международной научной конференции; 28-30 мая 2009 г - М., 2009.

4. Бажанов В.А. Стандартные и нестандартные подходы в философии математики // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы Международной научной конференции 15-16 июня 2007. - М., 2007.

5. Айме М. Сверимся по кольчатым червям // Русский журнал. - URL: http://www.russ. ru/layout/set/print//Kniga-nedeli/Sverimsya-po-kol-chatym-chervyam (дата обращения: 2.12.2012).

6. Rafael Núñez, Kensy Cooperrider, Jürg Was-smann. Number Concepts without Number

Lines in an Indigenous Group of Papua New Guinea // PLoS One. - URL: http://www. plosone.org/article/info% 3Adoi%2F10.1371 %2Fjournal.pone.0035 662#top (дата обращения: 2.12.2012).

7. Пауль Г., Ленк Х. Логика и культура. Об универсально верных законах логической формы и определяемых культурой различиях логики // Вопросы философии. -2012. - № 7. - С .30-48. - URL: http://vphil. ru/index.php?option=com_content&task=vi ew&id=357&Itemid=52 (дата обращения: 2.12.2012).

8. Леви-Брюль Л. Сверхъестественное в первобытном мышлении. - М., 1999.

9. Да Коста Н., Френч С. Непротиворечивость, всеведение и истина (или попытка сконструировать схему для рассуждений, скорее подходящих для простых смертных, чем для ангелов // Философские науки. - 1991. - № 8.

10. Савчук В.В. Новации и архаические элементы сознания // Философские науки. -1991. - № 10.

11. Кезин А.В. Радикальный конструктивизм: познание «в пещере» // Вестник Московского университета. - Сер. 7. Философия.

- 2004. - № 4.

12. Васильев Н.А. Воображаемая логика. -М., 1989.

13. Карпенко А.С. Ян Лукасевич о законе противоречия: contra et pro // Вопросы философии. - 2012. - № 8. - С. 154-165.

- URL: http://vphil.ru/index.php?option=com _content&task=view&id=585&Itemid=52 (дата обращения: 2.12.2012).

14. Павлов А.К. На подступах к понятию логики // Вопросы философии. - 2009. - № 8.

- С. 66-79. - URL: http://vphil.ru/index. php?option=com_content&task=view&id=58 5&Itemid=52 (дата обращения: 4.12.2012).

15. Перминов В.Я. Реальность математики // Вопросы философии. - 2012. - № 2. -С. 24-39. - URL: http://vphil.ru/index.php? option=com_content&task=view&id=585&It emid=52 (дата обращения: 4.12.2012).

237