Математическая модель движения судна на мелководье

УДК 681.5

Асланов Г.К., Абдуллаева З.М.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ СУДНА НА МЕЛКОВОДЬЕ Aslanov G.K., Abdullaeva Z.M.

MATHEMATICAL MODEL OF THE MOTION OF A VESSEL IN SHALLOW WATER

Рассматриваются вопросы влияния мелководья на гидродинамические коэффициенты при уравнениях гидродинамики судна. Показано, что для аппроксимации кривых влияния мелководья на гидродинамические коэффициенты с точностью до 2,25 % достаточно использование уравнений третьего порядка.

Ключевые слова: аппроксимация, гидродинамические коэффициенты, уравнения гидродинамики судна, мелководье, моделирование.

The problems of shallow water influence on the ship hydrodynamics are considered. The analytical dependencies of the shallow water influence on positional and rotary derivatives of hydrodynamic factors in the ship dynamic equations are got. It is shown that for the approximation of curves with the accuracy up to 2,25% is sufficient the use of third order equations.

Key words: approximation, hydrodynamic factors, ship hydrodynamics equations, shallow water, simulation.

Одной из важнейших задач судовождения является обеспечение безопасности плавания.

Увеличение размеров судов, повышение интенсивности судоходства, расширение рыбного промысла привело к усложнению условий плавания, особенно в прибрежных районах, в узкостях, на подходах к портам. Всё это вызвало значительные трудности при маневрировании и управлении судами и как следствие увеличение числа аварий в виде столкновений судов и посадок на мель.

Трудности увеличиваются особенно при плавании на предельной осадке, когда запас под килем минимален.

Недостаточное знание судоводителями маневренных качеств своего судна нередко становятся причиной аварий. Наиболее характерный из них - посадка судов на мель.

Одним из эффективных методов подготовки судоводителей является их обучение на тренажерах. Для создания тренажеров требуется моделирование движения судов.

В настоящее время существует целый ряд математических моделей движения судна, описанных в литературе [1, 2, 3, 6].

Движение судна вместе с окружающей жидкостью представляет собой сложную гидромеханическую систему, теоретическое изучение которого затруднено. Поэтому при решении инженерных задач обычно используются упрощенные математические модели.

В соответствии с [6] система безразмерных дифференциальных уравнений для малых отклонений судна от криволинейной траектории, в связанной с судном системе координат имеет вид:

m22 Р+ йу Р-йуЮ + nP

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 27, 2012.

С * ^ т ^

V

V Г У

+ у\т22 т— у] = — {пр — пх)

V" У '"11

- - V

где V - линейная (приведенная) скорость судна V = —;

К-текущее значение линейной скорости судна; ¥0- начальное значение линейной скорости судна; в - угол дрейфа;

_ ОЬ

т - безразмерная угловая скорость судна т =-;

Ь - длина судна между перпендикулярами; Щ - угловая скорость судна; т11, т22, т66 - безразмерные гидродинамические коэффициенты;

V

ф - безразмерное время т = —

Ь

пх - безразмерный коэффициент сопротивления движению судна; пр- безразмерный коэффициент тяги движителей;

т°т, Пу, п°т,тУ - гидродинамические коэффициенты корпуса судна, причем;

тт — гидродинамический коэффициент вращательной производной горизонтального момента;

п^ — гидродинамический коэффициент позиционной производной поперечной

у

силы;

пт — гидродинамический коэффициент вращательной производной поперечной

у

силы;

ту — гидродинамический коэффициент позиционной производной горизонтального момента.

пт, тУ характеризуют линейные компоненты зависимости поперечной силы и

горизонтального момента на корпусе от угловой скорости и называются вращательными производными.

По аналогии с ними значения пРу , тУ называются позиционными производными. пду - коэффициент, характеризующий эффективность установленных на судне средств управления;

д- угол перекладки руля, выраженный в радианах и отсчитываемый от диаметральной плоскости судна, причем перекладка руля на правый борт соответствует д>0 а на левый борт значению д< 0;

/ - приведенное отстояние баллера руля от центра тяжести судна (безразмерное плечо руля);

п, т - коэффициенты нелинейности поперечной силы и момента. Согласно [4], влияние мелководья на гидродинамику судна можно учесть с помощью коэффициентов.

Влияние мелководья на позиционные п^,тУ и вращательные производные пт,т°т

. 2Т

поперечной силы и момента рыскания зависят от размерений судна л = —,

Н

где Т-осадка судна на мидели; Н-глубина воды.

В работе [1] выведены эмпирические зависимости вращательных и позиционных производных А";, к2, кз, к4 от отношения/ // для значения л = О,09, аппроксимированные уравнением 2-го порядка.

На рис.1 приведена зависимость влияние мелководья на позиционные и вращательные производные, взятые из [3].

К1 1,б

1,4 1,2 1,0

I

II

К2 1,6 1,4 1,2 1,0

>

/

у

<1

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 о,е

а)

т/н

ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 б)

0,6 т/н

Рисунок 1. Влияние мелководья на вращательные производные:

а) для момента рысканияМг,

б) для поперечной силыЛ^,. I - для X = 0,2. II - для X = 1.

В работе [7] получены эмпирические зависимости для коэффициентов влияния мелководья на присоединенные массы.

В этой работе также получены эмпирические зависимости для коэффициентов влияние мелководья на позиционные и вращательные производные.

В работе [1], используя методы математической обработки результатов опыта, выведены эмпирические зависимости кг- в виде функции:

к,=а[^+Ъ.

Проведенный нами анализ показал, что при такой аппроксимации максимальная средняя квадратическая погрешность аппроксимации составляет 5,1 %, что неприемлемо. Ставится задача повышение точности аппроксимации кривых с точностью 2 %. Как известно, с повышением порядка аппроксимируемой кривой увеличивается точность аппроксимации.

Аппроксимируем кривые влияния мелководья на коэффициенты при уравнениях движения судна уравнением 3-го порядка

к =а\ — \ + Ь\ — | + с\ — \ + d

{Н) [н) [н)

Для математической обработки кривых нами использован пакет программ (llll)MatLab. При расчете по этому 1111 коэффициент d получается близким к единице, а он должен быть равным единице, т.к. при глубокой воде (Н—>оо) kj должно быть равно 1. Нами первоначально аппроксимация производилась с использованием lili MatLab при этомв выражении (3) ¿/получилось меньше единицы. Т.е. lili MatLab не позволяет заранее задать d=l. В связи с этим нами аппроксимация произведена аналитически с использованием метода наименьших квадратов, при этом d задавая заранее равной единице.

Сравнение результатов аппроксимации кривой К1, полученных по первому и второму вариантам, дала несущественную разницу. Например, среднеквадратическое

отклонение аппроксимации по второму вариантусоставляет д=2,25%, а по первому -д=2,3%. С учетом небольшой разницы в погрешностях и для облегчения процесса моделирования нами было решено использовать 1111 Ма1ЬаЬ с последующим изменением расчетного значения ё на единицу.

На рис.2 и 3 приведены экранные формы результатов обработки информации при вычислении коэффициента К1и К2.

Рисунок 2. Экранная форма результатов обработки информации при вычислении

коэффициента К^

И';

в а I

File Edit View Insert Tools Desktop Window Help -

oaa^l fei^^osie л -1 a  И  в

4J Note new toolbar buttons: data brushin & linked plots Plav video

Check: to display fits onfigi 3 spline interpolant

shape-preserving ii

linear

V] quadratic cubic

O 4th degree polynoi

5th degree polynoi 3 6th degree polynot

7th degree polynot

8th degree polynoi H 1th dpnrpp nnlvnm

Iffl Show equations Significant digits; 3

Ш <r

Ш

0

Рисунок 3. Экранная форма результатов обработки информации при вычислении

коэффициента К2

Ниже приводятся аналитические зависимости влияния мелководья на гидродинамические коэффициенты при уравнениях гидродинамики судна, определяемых в функции Т/Н:

K = 4.04(T ) - 2.43^T j + 0.555(T | + 0.981

К = 3,964^-Тj - 2,399^T-j + 0'5157(^Т 1 + 0,9833

К = 3,75б(Т) - 2,254^Т) + 0,5449(( Т1 + 0,9806 К = 3,442ÍТ j - 2,024ÍТ j + 0,4795((Т | + 0,9841

Как отмечалось выше, свободные члены при коэффициентах должны быть заменены

на 1.

Таким образом, получены аналитические зависимости (4) влияния мелководья на гидродинамические коэффициенты при уравнениях гидродинамики судна, определяемых в функции отношения осадки судна к глубине акватории (Т/Н) с помощью кривых третьего порядка с максимальной средней квадратической погрешностью 8 = 2,25%.

С учетом аппроксимированных гидродинамических коэффициентов уравнения движения судна на мелководье можно записать следующим образом:

dp dt

dm

-í

dt

5 881 T13-14 T 12 + 0-541í Ti+1

3.442| T) - 2-024ÍT") + 0.4795ÍT I +1

+ CPp

3.964| T) - 2.399|-T) + 0.5157Í-T I +1

C^ ! + nfisign{p,m) = nSyS;

101T I - 4TI+24 !l+1

г

-p

3.756| T) - 2.254ÍT) + 0.5449ÍT| +1

+ CP

dV/dt V

+ P

4 041 11 - КIÍ + 0МTl +1

5 881 T Í-L78íT ]2 + a541íTl +1

Л

+ Cm

- mPmsignp, m ) = nSSlp

-0.559| Tj + 3.62ÍTj -0.406ÍT |+1

dm dt

-P = -

1

- 0.559|T) + 3.62ÍTj -0.406ÍT |+1

(пр - nx );

p

22

y

- m n

y

P

m

66

-m

m

z

m

22

m

m

По этим уравнениям могут быть вычислены изменение угла дрейфа, угловой и линейной скоростей судна при маневрировании на мелководье.

Следует отметить, что уравнения (5) получены в связанной с судном системе координат. Представляет интерес движение судна в связанной с землей системой координат. Уравнения движения судна в связанной с землей системе координат имеют вид:

в = k + P

к = к0 + J mdt;

x = x0 + J V cosedt;

y = y0 + J V sin edt. гдеи- угол между направлением на север и вектором скорости судна; к - угол курса судна;

ко -угол курса в начальный момент времени; x, у-текущие координаты судна;

x0, у0 - координаты судна в начальный момент времени.

В результате выполненной работы получены аналитические зависимости коэффициентов гидродинамики судна от отношения осадки судна к глубине акватории плавания, а также математическая модель движения судна на мелководье.

Высокая точность аппроксимации позволяет обеспечить высокую степень адекватности результатов моделирования движения судна на мелководье с результатами натурного эксперимента.

Библиографический список:

1. Асланов Г.К. Математическая модель движения судна на мелководье Вестник Дагестанского технического университета. Выпуск № 3 (Технические науки). ДГТУ г. Махачкала, 1999 г.

2. Басин A.M. Ходкость и управляемость судов. "Транспорт", М., 1977.

3. Басин A.M., Веледницкий И.О., Ляховицкий А. Г., Гидродинамика судов на мелководье. "Судостроение", Л., 1976.

4. Гофман А .Д. Теория и расчет поворотливости судов внутреннего плавания. "Судостроение", Л., 1971

5. Погосов С.Г. Безопасность плавания в портовых водах. "Транспорт", М., 1977.

6. Соболев Г.В. Управляемость корабля и автоматизация судовождения. "Судостроение", Л., 1976.

7. Асланов Г. К., Абдуллаева З. М. Моделирование влияния мелководья на гидродинамические коэффициенты при уравнениях гидродинамики судна. «Вестник Дагестанского государственного технического университета», том 22, 2011, №3, стр. 54 -58.