Использование метода проекций градиента при оптимальном проектировании металлоконструкций тяжелых козловых кранов

МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 621.873

Л.В. Барановская

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ ГРАДИЕНТА ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ

ТЯЖЕЛЫХ КОЗЛОВЫХ КРАНОВ

Рассмотрен алгоритм метода проекций градиента, применяемого при оптимальном проектировании металлоконструкций тяжелых козловых кранов. Указаны преимущества метода. Представлена математическая модель оптимизационной задачи для крана К2х190 Балаковской АЭС в виде целевой функции и ограничений-неравенств. Приведены результаты расчета крана на оптимальность с использованием метода проекций градиента.

Козловые краны, оптимальное проектирование, условная оптимизация, метод проекций градиента.

L.V. Baranovskaya

GRADIENT PROJECTION METHOD APPLICATION IN HEAVY ANGLE CRANES OPTIMAL DESIGNING

The algorithm of gradient projection method, used in optimal designing of metal constructions of heavy angle cranes is described in the article. The advantages of this method are pointed out. The paper shows a mathematical model of optimal task for crane K1x190 of Balakovo NPP (Nuclear Power Plant) in the form of purpose and limit of inequality functions. The results of the calculations of crane optimization according to gradient projection method are given here.

Angle cranes, optimal designing, conditional optimization, gradient projection method.

Эксплуатационная надежность, энергоемкость, стоимость, масса подъемнотранспортных машин в значительной степени определяются их металлическими конструкциями. Поэтому создание рациональных конструктивных схем металлоконструкций является важной задачей, которая решается методами оптимального проектирования. Выбор оптимальных металлоконструкций для тяжелых козловых кранов особенно важен, т.к. они изготавливаются в единичном или мелкосерийном производстве, нет возможности испытаний их опытных образцов, а схемы отличаются сложностью и разнообразием.

При оптимальном проектировании тяжелых козловых кранов в качестве критерия оптимальности выбирается металлоемкость металлоконструкции. Получение наименьших значений металлоемкости требует учета большого количества ограничений - на прочность, общую и местную устойчивость, статическую жесткость, динамическую жесткость, время затухания колебаний.

Решаемая задача является нелинейной многомерной задачей условной оптимизации. Существуют прямые и градиентные методы ее решения. Из прямых методов оптимизации широко применяется модифицированный метод Хука - Дживса. Преимущество метода состоит в том, что не требуется дифференцируемости целевой функции, используются только ее значения в заданных точках. Однако модифицированный метод Хука - Дживса уступает градиентным методам в скорости сходимости и точности получаемых решений. Из градиентных методов условной оптимизации представляет интерес для решения поставленной задачи метод проекции градиента, т.к. он позволяет найти оптимальное решение на границе области допустимых значений.

Основные процедуры метода проекций градиента рассмотрим на примере решения нелинейной многомерной задачи условной оптимизации, которая имеет вид:

минимизировать /(х) при нелинейных ограничениях 8. (х) > 0 . = 1, ] ,

где х = (х1....хп) - переменные задачи.

Пусть х0 - допустимая точка, удовлетворяющая ограничениям. Предположим, что некоторые ограничения выполняются как равенства в х0, т.е. являются активными. Производим линеаризацию активных ограничений по формуле:

8;(х) - 8;(х0) + V8j(х0)(х-х0),

где

(х0) =

градиент функции 8. (х) в х0.

Так как рассматриваем активные ограничения, то 8.(х°) = 0. Следовательно, в результате линеаризации получаем:

обозначим

8.

Если ограничение 8.(х) = 0 является плоской кривой, то 8 * (х) = 0 - касательная к этой кривой (рис. 1). Если 8;(х) = 0 - поверхность, то 8* (х) = 0 -

касательная плоскость.

После линеаризации активных ограничений находим антиградиент -V/ (х0) целевой функции, определяющий направление наискорейшего убывания целевой функции в х0. Проекция антиградиента на линеаризованные ограничения определяется по формуле:

;(х0) д8.(х0)]

дх1 дхп

5( хи) = - Р V/ (хи).

где

Р = I - АТ (ААТ )-1

А - проекционная матрица,

Э8х

0ч ^

А =

где 3 - количество активных ограничений.

При перемещении из х0 вдоль направления s(x0) может быть получена недопустимая точка у0 (рис. 1). Для возвращения в область допустимых значений опускаем перпендикуляр к поверхности ограничений из у0. Точка на границе области допустимых значений может быть определена в несколько шагов согласно итерационной формуле:

я+1 I лТ / л лТ \ -1

у = у - А (АА ) 8

где 8 - вектор значений активных ограничений в точке У .

Указанные процедуры лежат в основе алгоритма метода проекций градиента.

Даны допустимая точка х0, допустимая погрешность сходимости £х > 0 и погрешность определения активных ограничений £2 > 0, £ = 0.

Шаг 1. Определение множества активных ограничений

1 =0:8.(х <£2,. = и-3}.

Шаг 2. Вычисление проекционной матрицы Р и проекции антиградиента

5 = - PV/ ( х‘).

Шаг 3. Если 5| > £1, то переход к шагу 4. Иначе вычисляются множители Лагранжа по формуле

и = (ААТ )-1 AVf

и определяется

ит = т1пк :1 6 1 ^) }.

Если \ит \ < £1, то вычисления заканчиваются. В противном случае исключается ограничение т из I и производится переход к шагу 1.

Шаг 4. Определение максимальной длины шага атах в формуле

у0 = х(‘) +а- 5 {‘),

при котором 81 (у(а)) ^ 0 для всех ограничений. Для каждого а функция у(а) является ре-

зультатом итераций

ж"

У - АТ (ААТ )-18

Шаг 5. Определение а на [0, атах], при котором достигается минимум целевой функции /(х).

Метод проекций градиента был применен для решения задачи оптимального проектирования металлоконструкции козлового крана К2х190 коробчатой конструкции, схема которого представлена на рис. 2.

В точках х = 27 м и х = 47 м главной балки 13 приложены сосредоточенные силы Р13 = -2156000 Н и сосредоточенные моменты М13 = 4312000 Нхм.

Соответствующая оптимизационная задача имеет вид:

Найти значения переменных - длин 17,18,19,1ю подкосов 7, 8, 9, 10, высот кг, ширин Ьг, толщин поясов 5п и стенок 8а (г = 1,13), при которых целевая функция

т (Х) = Е [у • 2 • (Ьг5пг + Нг 5сг)' 1г + тг]

г=1

принимает минимальное значение, и выполняются ограничения на прочность, местную устойчивость, статическую жесткость, прочность сжатой стенки, динамическую жесткость:

<[а], П-0 ^ п, и <[и], а см <[а], г3 <[гз ],

где у - плотность материала; тг - металлоемкость ребер жесткости; аэ - эквивалентные напряжения в элементах металлоконструкции; и - вертикальный прогиб в главной балке; асм - местные напряжения смятия под ходовым колесом тележки; Ъ - время затухания собственных колебаний крана; [а], [и], [£з] - допустимые напряжение, прогиб, время затухания колебаний; пг0 -запас местной устойчивости в г-м элементе металлоконструкции; п - запас прочности.

Минимум функции цели методом проекций градиента определяется в результате 16 итераций, при этом металлоемкость уменьшилась. Были найдены оптимальные размеры сечений всех элементов металлоконструкции. Полученные результаты показывают быструю сходимость метода проекций градиента и позволяют рекомендовать его для решения задач оптимального проектирования тяжелых козловых кранов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гончаров В. А. Методы оптимизации: учеб. пособие / В. А. Гончаров. М.: Высшее образование, 2009. 191 с.

2. Кобзев А.П. Развитие теории оптимального проектирования тяжелых козловых монтажных кранов: дис. ... д-ра техн. наук / А.П. Кобзев. Саратов, 1996. 405 с.

3. Реклейтис Г. Оптимизация в технике: в 2 кн. / Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел; пер. с англ. М.: Мир, 1986. Кн. 2. 318 с.

Барановская Лариса Вакифовна -

ассистент кафедры «Высшая математика и механика» Балаковского института техники, технологии и управления (филиала) Саратовского государственного

Baranovskaya Larisa Vakifovna -

Junior Teaching Staff Member of the Department of «High Mathematics and Mechanics» of Balakovo Institute of Techniques, Technologies and Management (branch) of Saratov State Technical University

технического университета

Статья поступила в редакцию 08.12.09, принята к опубликованию 27.01.10

27