Влияние спиновых флуктуаций на фазовые переходы в магнитных системах

26

ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2014. № 3

Влияние спиновых флуктуаций на фазовые переходы

в магнитных системах

М. А. Дергачёвa, А.М. Савченкоb, Б. И. Садовников

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой статистики и теории поля. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: a ma.dergachev@physics.msu.ru, b a.m.savchenko@gmail.com

Статья поступила 20.11.2013, подписана в печать 06.03.2014.

Исследуется допускающая точное решение задача о влиянии спиновых флуктуаций на фазовый переход в модельной многокомпонентной сверхпроводящей системе в сильном магнитном поле. Получены новые результаты для фазовых портретов системы уравнений для амплитуд волн спиновой плотности и температуры. Приведено обоснование возможности перехода системы в фазу сосуществования сверхпроводимости и антиферромагнитного упорядочения, которое в данном случае представляет собой медленно флуктуирующие волны спиновой плотности.

Ключевые слова: спиновые флуктуации, ренормгруппа, фазовые переходы.

УДК: 538.91. РАСБ: 71.10.-w.

В последние годы значительный интерес вызывают исследования фазовых переходов в магнитных структурах. Отметим, что вблизи фазового перехода флуктуации параметра порядка нельзя считать малыми, они растут с приближением к точке перехода, и их необходимо корректно учитывать.

Поскольку наличие флуктуаций является следствием разрушения дальнего антиферромагнитного порядка, логично было бы допустить их существование и в сверхпроводящей фазе. Оказалось, что, действительно, тому находятся достаточно веские экспериментальные подтверждения.

В частности, в работах [1, 2] указывается, что в сверхпроводящих системах типа Ьа2-хБгхСи04 при концентрации примеси х ^ 0.02 происходит исчезновение антиферромагнитного дальнего порядка, и следующее за ним постепенное рождение сверхпроводящего состояния сопровождается сильными спиновыми флук-туациями. Причем спиновые возбуждения при Т ^ Тм высокоэнергетичны, и скорость спиновых возбуждений (« 106 см/с) оказалась на порядок выше скорости звука в этом веществе.

Следует подчеркнуть, что спиновые флуктуации существуют во всех сверхпроводниках, но если в обычных низкотемпературных сверхпроводниках они, как правило, малы и, следовательно, не могут оказывать существенного влияния на притяжение электронов, то в высокотемпературных сверхпроводниках, как было только что отмечено, их значение резко возрастает.

В настоящей работе мы пользуемся формализмом, ранее предложенным в работах [3-5], т.е. исходный гамильтониан представляем в виде трех подсистем: спиновой, фононной и подсистемы, отвечающей их взаимодействию (спин-фононной подсистемы):

И = Н + Ирн + Я5_рь.

Гамильтониан спиновой системы может быть представлен в виде

„2 1

Hs =

m

dx I + 2 a&A - J0sM

,

где £1 — это намагниченность, соответствующая парамагнитной спиновой степени свободы («поле»

системы),т — парамагнитный момент (аналог импульса спиновой системы), х = 1/J0s — эффективная парамагнитная восприимчивость (аналог массы спиновой системы).

Оператор А'Ц равен А1 = дПа/дхк, ав = J0(гс}2, /0 = | йхJ(х), J(х) — потенциал обменного взаимодействия, (гс} — радиус корреляции. Флуктуирующие поля разложим на медленные и быстрые компоненты П = П0 + 60, и Ау = АV + 5Ау. С учетом всего вышесказанного получаем

H

s+ph+su

d^ mx+2-иш)2++1 и+

+ — mzSvv, АА^г + X pv' pv'' Sm> Sv P 2P2

/ АА

Перейдем теперь к представлению вторичного квантования для спиновых операторов:

SO z =

m г =

1

TV 1

TV

W

E e'kxi]/'

h

2xwsk

hhx^Sk

(pkz + a+kz)>

(Ukz - kz)>

АА vz = ^E

eikxik

.гг:

V 2x^sk

(pkz + a+kz).

Для фононов операторы вводятся стандартно:

рv = TV E

uiv = ^^Ы M-

^vck

elkxie,,

hМш,

vck

2

В результате мы получаем следующий вид гамильтониана:

H = Es + Ev + E3 + шvckbb+jbkv +

k,v=1,2

+ Е (Шskp^zPkz + Uck3b+3p3 -

2

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

27

- г^ш&к^ск3

где Бб + и Е3 — энергии нулевых колебаний в соответствующих подсистемах, = \f\JSk,

^к = (k/kc)2 - 1 и ^3 = с^1 + £2. Здесь

£ = \f3ghkc/V/05М — константа связи спиновой и фо-нонной подсистем, § = V//0, V — электрон-ионный потенциал, kc = 2п/(гс), 5 — спин электрона, М — масса ионов, составляющих кристаллическую решетку. Также г = (г/2)^ЩкйСм и г = £/^ 1 + £2.

Применив «ы-у» каноническое преобразование Боголюбова [6], получим гамильтониан в следующем виде:

еБкС+гСкг + ^ е3к03+к03к.

^ = Щ +

к,^=1,2

к,^=1,2

к,^=1,2

Согласно работам [5, 7], исходный гамильтониан можно записать таким образом:

Джш = ¡05

1 г0(<Ш)2 + ^ + 1Г2ОЮ)4 +

1 Т 2 1 1 1

+ 1 Т0с? т 01Д12 + Щ 1^А'2 + 8 Г^'А'4 + 4 Г« I А№)2

где

Г2 =

?2

(Ае-рь- V*) д/п(1 + 02) 1 + 02'

1 Т

Г _ 1 ' с

3п /0«'

Гь2 =

дК,

0

2ТС 1 ¡05 (Ае-рЬ - V*) д1п(1 + 02) 1 + 0о '

0 Т 0

Поясним, что т0 = т - 1, Ае-рь — константа элек-трон-фононного взаимодействия, V* — эффективный параметр кулоновского отталкивания электронов, ky — коэффициент усиления эффективного электрон-фонон-ного взаимодействия и £0 — равновесное значение параметра спин-фононной связи.

В предыдущей работе авторов [8] методом ренор-мализационной группы и е-разложения была получена следующая система уравнений для амплитуд и температуры вышеуказанного гамильтониана:

йг dvs

= 8уь

П2 + 8 + пу2, '

6 -

= у&2-—5—;-2-,

П2 + 8 + пу2

(П2 + 2)v¿ - щуь2 - + 2)уь - п^ужг]

йи п2 + 2 + п^&у&2

где была произведена следующая замена:

Г5 Г52 т5 , ^ ,

уь =тт, у52 = , Пь = —, г = -1пГ 2, и = -1пт2.

Г2 Г2 т2

Очевидно, что все характеристики стационарных точек данной системы будут определяться размерностями флуктуирующих полей 5П и А, п2 и пь. При учете флуктуаций только амплитуды сверхпроводящего параметра порядка А: пь = 1; если же еще учитывать

и флуктуации фазы, то пь = 2. В зависимости от учета количества компонент волны спиновой плотности (1 или 2) п2 = 1 или п2 = 2.

Понятно, что в данном случае ключевая информация о типе фазовых переходов содержится в уравнениях для амплитуд (первые два уравнения этой системы). То есть далее необходимо найти стационарные точки и исследовать на устойчивость поведение фазовых траекторий вблизи найденных точек.

Исходная система уравнений имеют четыре стационарные точки при п2 = пь = 1: (0;0), (1;0), (1; 1), (1;3). Из рис. 1 видно, что точка (1; 1) оказывается устойчивой стационарной точкой (что соответствует фазовому переходу первого рода), а все остальные стационарные точки неустойчивы.

Рис. 1. Фазовый портрет системы (14) при п2 = п5 = 1

При учете флуктуаций фазы сверхпроводящего параметра порядка (пь = 2, п2 = 1) оказывается, что стационарных точек у системы три: (0;0), (1; 1), (0.9; 0). Причем (1; 1) устойчива, а остальные стационарные точки вновь неустойчивы, что видно из рис. 2. Таким образом, с физической точки зрения характер фазового перехода в данном случае полностью аналогичен предыдущему.

Рис. 2. Фазовый портрет системы (14) при п2 = 1, п = 2

4

14 ВМУ. Физика. Астрономия. № 3

28

ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2014. № 3

Усложнив предыдущий случай учетом второй компоненты волны спиновой плотности (п2 = п = 2), мы получим три стационарные точки: (0;0), (1;0), (1; 1). Заметим, что в отличие от первого случая (п2 = п$ = 1), количество стационарных точек уменьшилось, более того, точка (1; 1) оказалась двукратно вырожденной (т.е. слабоустойчивой), что иллюстрирует рис. 3.

У52

1.5

1.0

0.5

О

0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 уъ

Рис. 3. Фазовый портрет системы (14) при n2 = n = 2

Таким образом, анализ фазовых портретов, полученных на основе решения системы дифференциальных уравнений для ренормализационной группы, дает возможность утверждать, что в системе, описываемой гамильтонианом, учитывающим спин-фононное взаимодействие и спиновые флуктуации обменной природы, сохраняется возможность фазового перехода второго рода в фазу сосуществования сверхпроводимости и антиферромагнитного упорядочения.

Список литературы

1. Endoh Y., Yamada K., Gable D. et al. // Phys. Rev. B. 1988. P. 7443.

2. Shirane G., Endoh Y., Burgenear R. et al. // Phys. Rev. Lett. 1987. 59. P. 1613.

3. Savchenko M.A., Stefanovich A.V. Fluctuational Superconductivity of Magnetic Systems. Springer-Verlag, 1990.

4. Карчев О.Г., Савченко А.М. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2011. № 1. C. 3.

5. Sadovnikov B.I., Savchenko A.M. // Physica A. 1999. 271. P. 411.

6. Боголюбов Н.Н., Толмачев В.В., Ширков Д.В. Новый метод в теории сверхпроводимости. М., 1958.

7. Sadovnikova M.B., Savchenko A.M., Scarpetta G. // Phisics Letters A. 2000. 274. P. 236.

8. Дергачев М.А., Савченко А.М., Садовников Б.И. // Ма-тем. заметки. 2013. 93. P. 3.

The Effect of spin fluctuations on phase transitions in magnetic systems M. A. Dergacheva, A.M. Savchenkob, B.I. Sadovnikov

Department of Quantum Statistics and Field Theory, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: a ma.dergachev@physics.msu.ru, b a.m.savchenko@gmail.com.

In this paper we study the problem of admitting an exact solution of the effect of spin fluctuations on phase transition when modeling a multiferroic superconducting system in a strong magnetic field. New results are obtained for phase portraits of the system of equations for amplitudes of spin density and temperature waves. The possibility is justified for the transition of the system to a phase in which superconductivity and antiferromagnetic ordering coexist, particularly via slowly fluctuating spin-density waves.

Keywords: spin fluctuations, renormalization group, phase transitions.

PACS: 71.10.-w.

Received 20 November 2013.

English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2014).

Сведения об авторах

1. Дергачёв Максим Алексеевич — аспирант; тел.: (495) 939-12-90, e-mail: ma.dergachev@physics.msu.ru.

2. Савченко Александр Максимович — докт. физ.-мат. наук, профессор, доцент; тел.: (495) 939-12-90, e-mail: a.m.savchenko@gmail.com.

3. Садовников Борис Иосифович — докт. физ.-мат. наук, профессор, профессор; тел.: (495) 939-12-90, e-mail: sadovnikov@phys.msu.ru