О полулинейных интегро-дифференциальных уравнениях Вольтерра

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2012, том 55, №9________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517-951

Д.Н.Гулджонов, академик АН Республики Таджикистан М.Илолов

О ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ВОЛЬТЕРРА

Институт математики АН Республики Таджикистан,

Центр инновационного развития науки и новых технологий АН Республики Таджикистан

В работе рассматриваются полулинейные абстрактные интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра в банаховом пространстве. Полученные результаты применяются при исследовании начально-краевых задач для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных.

Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра - аналитические полугруппы -параболические уравнения.

Работа посвящена полулинейным интегро-дифференциальным уравнениям типа Вольтерра в банаховом пространстве. В ней изложены результаты относительно разрешимости начальной задачи для абстрактных уравнений с секториальными линейными операторами в главной части и нелинейными отображениями типа Липщица.

В качестве примера рассматривается начально-краевая задача для полулинейных параболических интегро-дифференциальных уравнений. Отдельно обсуждается вопрос о сведении начальнокраевой задачи для уравнения Кортевега-де Фриза к интегро-дифференциальному уравнению, содержащему нелинейный член.

Следует отметить, что полулинейные абстрактные эволюционные уравнения без интегральных членов рассматривались в [1], линейные абстрактные интегро-дифференциальные уравнения в [2,3]. Пример, связанный с уравнением Кортевега-де Фриза, впервые рассматривался в [4]. В работе

[5] исследуется начально-краевая задача для интегро-дифференциального нелинейного уравнения теплопроводности.

1. Задача Коши. Пусть X - банахово пространство с нормой ||-||. Рассмотрим в X задачу Коши для полулинейного интегро-дифференциального уравнения вида

dx dt

x(0) = 0.

^ + Ax = J G(t,s)F (x(s))ds + f (t), 0 <t < T, ^

<

Адрес для корреспонденции: Гулджонов Диловар Нусайриевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: gdilovar@mail.ru

Здесь А - секториальный оператор на X с углом соА<—, то есть оператор А удовлетворя-

ет следующим условиям:

—

(А1) <г(А) Л є С :| argЛ\<a, аА<а <—,

и и г

(А2) ||(Л-А)-1|| < МШ/\Я\, Л^Еа, аА <©<-.

Нелинейный оператор Р подчинн в некотором смысле дробной степени А1 оператора А с показателем 0 < Т] < 1 и удовлетворяет условию Липщица с учётом двух дробных степеней А1 и А( (0 < ( < 1), то есть выполнено условие

+(|А"х||+||А1^)\А((х-у)||], х, уеВ(АТ), где (р(-) - непрерывно возрастающая функция. В частности, из условия (Р) следует оценка

где щ(4) = ||Р(0)| + ^)(£ + 1).

Функция /(/) описывает внешние воздействия и принадлежит пространству С([0, Т]; X), оператор-функция 0(1,5) определена на [0, Т ] х [0, Т ] и принимает значения в Ь( X) - пространство всех линейных ограниченных операторов, действующих из X в X, начальное значение х0 берётся в

А1) и х(/) - искомая функция со значениями в X.

Определение. Сильным решением задачи Коши (1) на отрезке [0, Т ] называется такая функция х(/) со значениями в X, для которой выполнены условия

а) х(/) е С1 ([0, Т]; X) п С([0, Т]; Б(А));

б) все слагаемые в (1) непрерывны, то есть принадлежат С([0, Т]; X);

в) при любом t е [0, Т] справедливо уравнение (1);

г) х(0) = х0 .

Исследование разрешимости задачи (1) проводится в три этапа. Сначала из уравнения (1) следует перейти к равносильному нелинейному уравнению Вольтерра второго рода. Затем нужно выяснить условия, при которых полученное уравнение имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение. И, наконец, надо провести проверку того, что решение интегрального уравнения является также решением исходного интегро-дифференциального уравнения.

Реализуя предложенную схему, предполагаем, что задача (1) имеет сильное решение. Введём формальное обозначение вида

t

1

0

и предположим, что эта функция известна. Тогда решение задачи

dx

— + Ax = f (t), x(0) = x0 dt

даётся формулой Дюамеля

t

x

0

где X (ї) - С0 - полугруппа или аналитическая(голоморфная) полугруппа, отвечающая генератору -

секториальному оператору А .

Соотношение (3) с учётом (2) приводит к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода

і Ґ в >

х

0 V 0 }

ї

х0

о

Здесь х0 (ї) - известная функция, являющаяся решением задачи Коши соответствующего (при G(ї, в) = 0) абстрактного дифференциального уравнения.

Осуществим в (4) перемену порядка интегрирования

jX(t-s)I jG(s,£)F(x(£))d£ ds = jl jX(t-s)G(s,%)ds

J 0 U

F (x(O)dt =

= } V

0

Тогда уравнение (4) принимает вид

I

Х

0

Предположим теперь, что выполнены условия (А1),(А2) и ^). Кроме того, пусть

0

G

дt

где А = ((^s): 0 < s < t < Т}.

Имеют место следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1([4]). Пусть А - генератор аналитической полугруппы X (^ и пусть v(t) е С'([0, Т ]; X).

Тогда справедлива формула

t t

А | X ^ = X ^ - э^

% %

Из леммы 1 следуют следующие соотношения

t

А| X ^ - 5^

%

t

А| X^ - 5^

0

Формулы (10),(11) сыграют важную роль при применении теории аналитических полугрупп к анализу разрешимости задачи (1).

Лемма 2([4]). Пусть А - генератор аналитической полугруппы X(/) и

v

Тогда имеет место

t ^ ^

А[ X

Лемма 3. Пусть оператор А имеет непрерывное обратное А-1. Тогда оператор V(/,%) из

(6),(7) допускает представление

л^,%) = А-1Ж

дО дя

Ж

ж

С учётом приведенных выше утверждений сформулируем следующий результат.

Теорема 1. Если имеют места условия (А1),(А2),^) и (в), а также включение

^

то нелинейное интегральное уравнение Вольтерра (7) допускает единственное решение

х^) е С1

Следствием теоремы 1 является основное утверждение данной работы.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (А1),(А2)^),(8) и включение (17), а также условие Х0 е Щ(АР ), 0 < Р < Т] < 1. Пусть, далее, функция £^) удовлетворяет условию

£ (t) е С1([0, Т ]; X).

Тогда задача (1) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,Т].

Доказательство теоремы следует из лемм 1-3, теоремы 1 и применения принципа сжатых отображений в соответствующих функциональных пространствах.

2. Полулинейное интегро-дифференциальное уравнение параболического типа. В качестве примера абстрактной задачи (1) рассмотрим начально-краевую задачу для полулинейных интегро-дифференциальных уравнений вида

§+ к( х)щ,и] =

г, У =1

I

= [ Я ^ - 5)^1 (Х, иф,Уи (5))Ж + £ (Х, t), (Х, t) еОх (0, Т ],

0

п

2 У1 (х)аг](х)Щи = 0,(х,t) едОх (0,Т),

^ 3 =1

и (х, 0) = и0 (х), х е О

в ограниченной области О^ К с С2 - границей дО , где 0 < Т < да - фиксированное время. Функции а (х),^ (х), (г, ] = 1, ...п) имеют непрерывные частные производные по всем переменным

Х = (х ,..., Хп), - 5) непрерывно дифференцируема по t, ^1(х, и,%) - комплексно-значная

функция для Х е О, и е К + 1Я и % е (К + ,К)п, гладкая относительно действительных переменных Х е 0,1ти, и Функция внешних воздействий £ (Х, t) и начальная функция и0 (х) имеют необ-

ходимую гладкость.

В качестве банахова пространства X берем Ьр (О), где п < р < да и, пусть, А^ - реализация

п

дифференциального оператора 2 Щ О (х)Щи ] +1 в ^ при граничном условии Неймана

^ У=1

ди = 0 на дО.

д^А

Легко показать, что область определения оператора Л^ - множество 0(Лр) характеризуется следующим образом

В(Лр) = Iи є Мгр(О); = 0 на ЙПІ,

Лри = Л^.

Используя оператор Л^ и нелинейное отображение Р(и) = и + р (х, и,Уи), находим абстрактную

формулировку задачи (19) в форме (1).

3. Сведение нелинейной начально-краевой задачи для уравнения Кортевега-де Фриза к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению Вольтерра. В работе [5] рассматривается

следующая начально-краевая задача: найти функцию и(х, ї) є С2,1{[0,І]х [0, Т]}, удовлетворяющую

уравнению Кортевега-де Фриза

начальному условию

и граничным условиям

и = 6иих - иххх, (х, ї) є (0,І) х (0, Т],

и(х, 0) = к(х), х є[0,/]

и(0, е) = рЦ), t є [0, Т], и(1, ї) = ^2(ї), ї є [0, Т], их (0, ї) = 0>з(ї), ї є [0, Т],

где от исходных данных требуется, чтобы І,ї є Я , к(х) є С'[0,І], рг(ї), р2(ї) , р3(ї) є С*[0,Т] и чтобы имело место условие согласования

К0) = Р

В [5] доказано, что задача (20)-(25) сводится к интегро-дифференциальному уравнению с нелинейным членом вида

ї

/ Вр (;,т) • Ср (;, т)Т,

где

х

і І 72 і 11 72і ,

и (;,т)а;,

0

CU(х,т) = Л(х-О - }х(1-0\ !• U((,T)d(.

Неизвестная функция и (X, t) связана с решением и(х, t) исходной задачи (20)-(25) посредством формулы

. . l2 - х2 Л х2 Л x(l - х) . .

и( хt) = /2 V(t) + у V(t) +-------j-----Рз(t) +

+ •

lj 0(1 - x)(l х) - x(l-О))^ х1 j! 1 u(0, t )df.

4. О нелинейном уравнении теплопроводности в средах с памятью. В работе [5] рассматривается нелинейное интегро-дифференциальное параболическое уравнение

t

ut

0

где h(-) - заданная непрерывно дифференцируемая функция, к (и) - коэффициент нелинейной теплопроводности, зависящий от температуры и > 0, f (и) - функция тепловыделения в случае f (и) > 0 или поглощения тепла в случае f (и) < 0. Найдена функция и(х, t), удовлетворяющая в Q = [0,1] х [0, T ] уравнению (26), а также краевым и начальным условиям вида

и(0, t) = и(1, t), 0 < t < T,

и

и(х, 0) = и0 (х), 0 < х < 1.

Поступило 20.08.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Yagi A. Abstract Parabolic Evolution Equations and their Applications. Heidelberg - Springer, 2010, 581 p.

2. Копачевский Н.Д., Крейн.С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: эволюционные и спектральные задачи. - М.:Наука, 1989, 416 c.

3. Копачевский Н.Д. Интегродифференциальные уравнения Вольтерра в гильбертовом пространстве: Специальный курс лекций. - Симферополь: ФЛП «Бондаренко О.А.», 2012, 152 с.

4. Гусейнов Ш.Э. - Computer Modelling and New Technologies, 2006, v.10, 2, pp. 68-74.

5. Гулджонов Д.Н., Илолов М. - Современные проблемы теории дифференциальных уравнений и математического анализа. Материалы международной научн. конф., посвящнной 80-летию академика АН Республики Таджикистан Джураева А.Дж. - Душанбе, 2012, с. 22-26.

Д.Н.Г улчонов, М.Илолов*

ДАР БОРАИ МУОДИЛА^ОИ НИМХАТТИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ВОЛЬТЕРРА

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон,

*Маркази рушди инновасионии илм ва технологиями нави Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон

Дар макола муодилахои нимхаттии абстрактии интегро-дифференсиалии Вольтерра дар фазой Банах омухта мешаванд. Натичахои хосилшуда барои тахкики масъалахои ибтидой-канорй вобаста ба муодилахои гайрихаттии интегро-дифференсиалй дар хосилахои хусусй ис-тифода мегарданд.

Калима^ои калиди: муодилахои интегро-дифференциалии Вольтерра - нимгурои аналитики -муодилахои параболики.

D.N.Guljonov, M.Ilolov*

ON THE SEMILINEAR INTEGRODIFFERENTIAL VOLTERRA EQUATIONS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,

*Innovation Development of Sciences and New Technologies Center,

Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,

In this paper we consider abstract semilinear integrodifferential Volterra equations in Banach space. The results of this paper can be used on investigation of initial-boundary problems for nonlinear integrodifferential equations.

Key words: semilinear integrodifferential equations of Volterra - analytical semigroups - parabolic equations.