Определение депланации поперечного сечения мерного инструмента при кручении аналитическим методом

DOI: 10.24143/2073-1574-2018-2-14-21 УДК 624.074.5

Р. В. Гусейнов, М. Р. Ахмедова

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕПЛАНАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ МЕРНОГО ИНСТРУМЕНТА ПРИ КРУЧЕНИИ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Для анализа колебательного движения при резании металлов необходимо составить математическую модель системы. Математическая модель динамической системы считается заданной, если известны параметры системы, однозначно определяющие её состояние, и указан закон изменения состояния во времени. Поэтому каждому исследованию колебательных движений должно предшествовать определение параметров колебательных контуров математической модели. Рабочая часть мерного инструмента представляет собой стержень сложного профиля, что значительно затрудняет проведение таких расчётов. В научной литературе отсутствуют приемлемые для инженерной практики формулы, поэтому данные по характеристикам мерного инструмента, в частности депланации, дают значительный разброс. Цель статьи - получить расчётные зависимости депланации поперечного сечения мерного инструмента. Для расчётов используются методы теории упругости. Разработана методика определения функции депланации при кручении мерного инструмента аналитическим методом. Полученные функции используются для нахождения переменной составляющей толщины среза мерным инструментом при резании в условиях вибраций. Методика апробирована на примере расчёта функции кручения в зависимости от геометрических характеристик поперечного сечения мётчиков. Полученные расчётные зависимости позволяют с оптимальной точностью задать параметры технологической системы при анализе динамики процесса обработки металлов мерными инструментами.

Ключевые слова: мерный инструмент, мётчик, депланация, функция кручения, стержень сложного поперечного сечения.

Введение

Для обработки отверстий используются следующие мерные инструменты: свёрла, мётчики, развёртки, зенкеры. Если сравнивать указанные инструменты, то можно заметить, что они имеют много общих характерных черт. У всех инструментов много лезвий с большим количеством режущих кромок; рабочая часть инструмента имеет, как правило, две части -режущую и калибрующую; размеры инструмента ограничены размерами обрабатываемого отверстия; и, самое главное, рабочая часть инструмента представляет собой некруглый стержень, и на него распространяется известное положение Сен-Венана о кручении некруглых стержней [1, 2]. Согласно этому положению все точки поперечного сечения некруглого стержня при закручивании, кроме поворота вокруг оси кручения, получают ещё соответствующие перемещения вдоль оси, что вызывает искривление поперечного сечения или деплана-цию сечения. Величина депланации пропорциональна нагрузкам, действующим на инструмент в процессе работы.

Изгиб поперечного сечения, например мётчика, ведёт к повороту и изгибу зубьев, угол подъёма винтовой нарезки в пределах зуба изменяется и не соответствует расчётному [3]. Зубья мётчика при повороте своими боковыми гранями будут срезать дополнительную стружку, увеличивая общую площадь среза [4]. Изменение площади среза приводит к изменению сил резания. Этот факт необходимо учитывать при исследовании вибраций при резании [5, 6].

Методика решения

Определение депланации поперечного сечения стержня произвольного сложного сечения является сложной задачей. Её решение может быть получено различными методами. Из численных методов наиболее популярным является метод конечных элементов, который предполагает дискретизацию всей площади поперечного сечения [7]. В методе граничных элементов дискретизация производится для контура поперечного сечения, а внутри области используется аналитическое решение. В данной работе для определения функции кручения используется аналитический метод, задающий формулы контура поперечного сечения.

Мерный инструмент представляет собой упругий стержень, режущая часть которого в поперечном сечении имеет сложную конфигурацию. Изгиб поперечного сечения можно определить через коэффициент депланации 5.

Как правило, задача о кручении стержней произвольного сечения сводится к поиску решения уравнения Лапласа

У2у = 0,

при условии, что функция у принимает на контуре значения

V

или к нахождению функции напряжения Прандтля F(x, у) из решения уравнения Пуассона

№ = -2

при нулевых значениях функции напряжения на контуре [8].

При этом между функциями у и F существует однозначное соответствие:

F = V -1 (х2 + у2).

Естественно предположить, что угол скручивания 0 пропорционален расстоянию 1 рассматриваемого сечения до нижнего основания © = тк1, где тк - степень закручивания или крутка постоянная, которая изменяет угол взаимного поворота поперечных сечений, отстоящих друг от друга на единицу высоты (угол закручивания на единичной длине инструмента).

Продольное перемещение а при скручивании можно определить по формуле, предложенной в [9]

а = тк5(х, у),

где 5(х, у) - коэффициент депланации или функция Сен-Венана, которая характеризует перемещение точек поперечного сечения из его плоскости. Функция кручения удовлетворяет равенству

д 25 д 25 п —^ + —^ = 0

д2х д у

и находится из дифференциальных соотношений Коши-Римана

д5 ду д5 ду

дх ду ' ду дх

Тогда для функции 5(х, у) с учётом формулы (1) получим выражение

5

где интегралы J1 и J2 берутся по контуру поперечного сечения.

Из формулы (2) видно, что, задав форму контура поперечного сечения инструмента точными геометрическими формулами, можно определить значение функции Сен-Венана, не прибегая к приближенным графическим методам.

На рис. 1 представлена расчётная схема к исследованию депланации поперечного сечения мерного инструмента на примере мётчика.

Рис. 1. Поперечное сечение режущей части мётчика

Наиболее нагруженные точки сечения инструмента при закручивании лежат на контуре. Это несколько упрощает задачу и позволяет отыскивать только контурные значения функции кручения. Тогда формулу (2) целесообразно переписать в виде суммы трёх интегралов

5

где Lь L2, L3- длины кривых DAB, 2ИМ, LEF соответственно.

Эта формула вытекает из условия равенства нулю функции кручения на участках BZ, ML, ED, где выполняется равенство

(х2 + у2) = d2/4,

где d - наружный диаметр инструмента.

Кривую L1 можно представить в виде суммы кривых

Ц=ВВ'+В'А+АС + СВ,

где ВВ'В'А АС - длины соответствующих дуг; СИ - длина соответствующего прямого отрезка кривой.

Уравнение дуги окружности с центром в точке О1 задаётся формулой

(х - хо1 )2+(у - Уо1 )2 = I2, где хО1, уО1 - абсцисса и ордината дуги окружности с центром в точке О1; г1 - радиус. Величина абсциссы и ординаты центра определяются по выражениям

x0l = | у+r Icos25°;

y0l = \ f + ri ) sin25°,

где - диаметр сердцевины поперечного сечения инструмента.

С учётом формул (4) и (5) для интегралов после интегрирования по формуле (2) получим по длине дуги Б'А:

Ji =\d; +r I sin25°(хв - хн) +

(r2 • t t , . .

—arcsin — +—J r -12

2

r 2

J 2 — — Х\

V'2 — (х - ^ )2 +

2 К . I I ¡"2 2" —агс8т— ——г — i 2 г1 2 1

где ^ — х - | + 1 | 00825°.

Расчёт интегралов ведётся в интервале (хн; хв) - нижнего и верхнего предела интегрирования по длине дуги.

Аналогично путём геометрических расчётов определяются значения интегралов и для остальных дуг.

Координаты пределов интегрирования находим из совместного решения уравнений: - с точки В:

(х2 + у 2) — ^;

4

х — | + г1 100825°

у — I "у + ' I 8*п25°

— Г2-

'1 5

- с точки А:

Л 2

(х 2+у2) —

У — I у + Гз 181п25с

— Г

- с точки С:

Х — | + г3 100825°; У — I + г3 18т25°г3;

- с точки D:

X — А--у; У — I-0- + г3 18ш25° - Г3.

4

2

По аналогии находим координаты других точек Е, F, G, L, М, N, К, Z. В выражениях (6)-(9) принято обозначение г = АО2.

На прямолинейных участках значение функции Сен-Венана определяется по формуле

ф(х У) — Ун(хв — хн) — хн(Ув — Ун).

Зная величины интегралов по длинам дуг L1, L2, L3 можно определить значение

функции Сен-Венана по длине контура поперечного сечения мётчика по формуле (3).

Результаты расчёта

Результаты расчёта значений 5(х, у) на микро-ЭВМ приведены в таблице.

Зависимость функции кручения от геометрических параметров поперечного сечения трёхпёрого мерного инструмента

2

2

+

2

2

о

+

2

d, мм dc, мм 5 (х, у), мм2/рад

6 3,2 1,6625

8 3,6 1,802

8 4 2,021

8 4,4 2,211

10 4,5 2,8489

10 5 3,212

10 5,5 3,529

10 6 3,7895

10 6,5 4,0033

12 5,4 4,1493

14 6,3 5,7984

16 7,2 7,2217

Графики зависимости функции кручения 8(х, у) от величин Ли Лс трёхпёрого мётчика приведены на рис. 2, 3.

S(x, у), мм2/рад

5,6 3,6 1,6

I v!8 MIO М12 М14 М16

Рис. 2. Зависимость функции кручения от диаметра мётчика в диапазоне размеров М8-М16

5(х, у), мм2/рад

3,8

2,8

1,8

dc, мм

Рис. 3. Зависимость функции кручения от диаметра сердцевины мётчика М10

Для проверки правильности выведенных формул был проведён эксперимент. Мётчик нагружался моментом Мкр с использованием образцово-механического динамометра с погрешностью ±0,5 %, и с помощью инструментального микроскопа фиксировалось продольное перемещение зубьев мётчика при кручении.

Величина 8(х, у) определялась по формуле

5 =

Са

М

где С - коэффициент жёсткости.

На рис. 4 представлен график зависимости депланации поперечного сечения мётчика от величины крутящего момента Мкр.

4

5

6

а, мкм

12 8 4

М6 у М8 М10

/ _L_ у / М12

\

10 20 30 Мкр, Н-м

Рис. 4. Зависимость депланации мётчика от момента кручения Мкр

Расхождение теоретических и экспериментальных значений составляет 5-28 %. Хорошее согласование теоретических и экспериментальных результатов исследования позволяет широко использовать их в инженерных расчётах.

Заключение

Разработана методика определения депланации поперечного сечения мерного инструмента аналитическим методом. Методика достаточно проста и может быть использована в расчётах при исследовании динамики процесса резания и точности обработки. Также было выяснено, что зависимость депланации от геометрических параметров инструмента, в частности от наружного диаметра и диаметра сердцевины инструмента, имеет нелинейный характер. Депланация зависит от формы контура стружечных канавок, что указывает на возможность влияния на переменную составляющую силы резания и точность обработки за счёт изменения формы и геометрии последних. Депланация зависит от момента закручивания и имеет различный характер для разных типоразмеров мерного инструмента.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 192 с.

2. Варданян Г. С. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: Ассоц. строит. вузов, 1995. 572 с.

3. Гусейнов Р. В., Гусейнова М. Р. Обоснование базы данных для исследования динамических процессов при резании // Вестн. Дагестан. гос. техн. ун-та. Технические науки. 2014. № 4. Т. 35. С. 36-44.

4. Матвеев В. В. Нарезание точных резьб. М.: Машиностроение, 1978. 88 с.

5. Гусейнов Р. В. Вибрации при обработке отверстий резанием // Металлообработка. 2017. № 4 (100). С. 23-28.

6. Гусейнов Р. В., Гусейнова М. Р. Расчётная модель динамики нелинейных систем // Вестн. Дагестан. гос. техн. ун-та. Технические науки. 2015. № 1 (36). С. 24-30.

7. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. 248 с.

8. Fung Y. C. Foundations of Solid Mechanics. New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1965. Pp. 162-170.

9. Гусейнов Р. В., Рустамова М. Р. Исследование процесса обработки отверстий на основе нелинейной динамики // Вестн. Дагестан. гос. техн. ун-та. Технические науки. 2012. № 26. С. 77-80.

Статья поступила в редакцию 22.01.2018

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Гусейнов Расул Вагидович — Россия, 367026, Махачкала; Дагестанский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры организации и безопасности движения; ragus05@mail.ru.

Ахмедова Милена Расуловна — Россия, 350040, Краснодар; Кубанский государственный университет; канд. экон. наук; старший преподаватель кафедры мировой экономики и менеджмента; ragus05@mail.ru.

R. V. Guseinov, M. R. Akhmedova

APPLYING ANALYTICAL METHOD TO DETERMINE DEPLANATION OF A MEASURING TOOL BY TORSION

Abstract. To analyze the vibrational motion when cutting metals it is necessary to create a mathematical model of the system. Mathematical model of the dynamic system is thought to be given when parameters of the system defining its status are known and the law of state-time history is specified. Therefore, defining parameters of the resonant circuits of the mathematical model should precede studying the oscillatory movements. Working part of a measuring instrument comprises the core of the complicated shape, thus, it is especially difficult to carry out such calculations. In the scientific literature there are no formulas acceptable for engineering practice, so the data on characteristics of the measuring instrument, in particular, deplanation, give considerable spreading. The purpose of this article is to obtain the calculated dependences of deplanation of the measuring tool. Methods of theory of elasticity are used in calculation. The method of determining deplanation function by torsion of a measuring instrument using analytical method has been developed. The functions obtained are used to find the variable component of a cut thickness by a measuring tool when cutting under vibration. The method was tested on the example of calculation of function of torsion in dependence on geometric characteristics of the cross-sections of taps. The calculated dependences with maximal accuracy help to set up the parameters of the system in analyzing the dynamics of metalworking process with measuring instruments.

Key words: measuring tool, tap, deplanation, torsion function, rod with complicated cross section.

REFERENCES

1. Muskhelishvili N. I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoi teorii uprugosti [Some general problems of mathematical theory of elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 192 p.

2. Vardanian G. S. Soprotivlenie materialov s osnovami teorii uprugosti i plastichnosti [Strength of materials with introduction into theory of elasticity and plasticity]. Moscow, Assotsiatsiia stroitel'nykh vuzov Publ., 1995. 572 p.

3. Guseinov R. V., Guseinova M. R. Obosnovanie bazy dannykh dlia issledovaniia dinamicheskikh protsessov pri rezanii [Substantiation of database for investigating dynamic processes of cutting]. Vestnik Dage-stanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Tekhnicheskie nauki, 2014, no. 4, vol. 35, pp. 36-44.

4. Matveev V. V. Narezanie tochnykh rez'b [Making accurate threads]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1978. 88 p.

5. Guseinov R. V. Vibratsii pri obrabotke otverstii rezaniem [Vibrations in cutting holes]. Metalloo-brabotka, 2017, no. 4 (100), pp. 23-28.

6. Guseinov R. V., Guseinova M. R. Raschetnaia model' dinamiki nelineinykh sistem [Computable model of dynamics of non-linear systems]. Vestnik Dagestanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Tekhnicheskie nauki, 2015, no. 1 (36), pp. 24-30.

7. Brebbiia K., Uoker S. Primenenie metoda granichnykh elementov v tekhnike [Application of boundary element method in technology]. Moscow, Mir Publ., 1982. 248 p.

8. Fung Y. C. Foundations of Solid Mechanics. New Jersey, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1965. Pp. 162-170.

9. Guseinov R. V., Rustamova M. R. Issledovanie protsessa obrabotki otverstii na osnove nelinei-noi dinamiki [Studying the process of machining holes using non-linear dynamics methods]. Vestnik Dagestanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Tekhnicheskie nauki, 2012, no. 26, pp. 77-80.

The article submitted to the editors 22.01.2018

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Guseinov Rasul Vagidovich - Russia, 367026, Makhachkala; Dagestan State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Traffic Organization and Safety; ragus05@mail.ru.

Akhmedova Milena Rasulovna — Russia, 350040, Krasnodar; Kuban State University; Candidate of Economic Sciences; Senior Lecturer of the Department of World Economy and Management; ragus05@mail.ru.