Течение разреженного газа между двумя параллельными пластинами

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Томі 1970

№ 6

УДК 533.6.011.8

ТЕЧЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ

С. Л. Горелов, М. Н. Коган

Методом Монте-Карло решается линейная задача о течении разреженного газа между двумя бесконечными пластинами, под действием градиента давления (течение Пуазейля) и под действием градиента температуры вдоль пластин. Кратко описан применяемый метод. Результаты расчетов расхода в зависимости от числа Кнудсена сравниваются с данными, полученными другими методами и экспериментальными данными. Представлены профили скорости для разных чисел Кнудсена. Решается задача о скачке скоростей и течении в слое Кнудсена, вызванном градиентом температуры. Даны результаты расчетов профиля скорости в этом случае. Все расчеты проведены для модели молекул в виде .максвелловских сфер", сечения которых изменяются обратно пропорционально относительной скорости молекул.

Известно, что в основе расчета всевозможных трубопроводов и каналов лежит классическое течение Пуазейля. Однако полученное в рамках уравнений Навье—Стокса решение Пуазейля применимо лишь при числах Кнудсена

V — к

------0, т. е. когда длина пробега молекул X мала по сравнению с диаметром й канала. В настоящее время для расчета многочисленных вакуумных систем необходимо иметь аналогичное решение для произвольного числа Кнудсена. Экспериментально такие течения исследовались еще Кнудсеном [1], который обнаружил, что при изменении числа Кп расход газа через трубу меняется не монотонно, а имеет минимум (парадокс Кнудсена).

Наряду с течениями, вызванными градиентами давления в разреженном газе {при Кпф 0), возникают течения при наличии градиентов температуры вдоль канала. Исследования этих течений требуют решения уравнения Больцмана. Задача о течении Пуазейля решалась с помощью модельного уравнения в работах [2] — [5]. Для течения, вызванного градиентом температуры, с помощью модельного уравнения получено асимптотическое решение при Кп -»0 [6] и приближенное решение при не слишком малых числах Кп [7]. К последней задаче тесно примыкает задача о скачке скоростей и течении в слое Кнудсена, вызванных градиентом температуры, которая для модельного уравнения решена в работах [5] и [в].

В настоящей статье все три задачи впервые решаются для полного линейного уравнения Больцмана. Решение находится методом Монте-Карло, аналогичным применявшемуся в работах [9] — [11]. Расчеты проводятся для модели молекул в виде „максвелловских сфер', сечения которых изменяются обратно пропорционально относительной скорости молекул.

1. Рассмотрим газ, находящийся между двумя параллельными пластинами. Координата л: направлена перпендикулярно пластинам. Пусть газ будет в состоянии равновесия с пластинами, тогда равновесную функцию распределения

скоростей обозначим /<*>, а вероятнность пролета пробной молекулы по некоторой траектории —В70. В случае истинных граничных условий вероятность пролета по той же траектории обозначим Ш, а искомую функцию распределения—/.

Функция /00 есть некоторая максвелловская функция распределения, и функция / мало отличается от /(»:

и=щ

где т — масса молекулы; к — постоянная Больцмана; £ — скорость молекулы; <р — малая величина, квадратом которой можно пренебречь; щ и 7"0 - некоторые характерные плотность и температура.

Пусть нужно вычислить величину некоторого молекулярного признака А, переносимого молекулами через плоскость, параллельную пластинам. Если молекулы находятся в состоянии равновесия с границами и имеют функцию распределения /оо, то средняя величина переносимого признака А

N В {а) .

<'*

здесь N—число разыгрываемых траекторий (траектории начинаются и кончаются <яа стенках); V = £ | 5* ] /00 <26 —действительный поток числа частиц, „вылетающих" «з стенок; — перенос признака А по а-траектории при Р-м пересечении рассматриваемой плоскости; | ^ — модуль скорости молекулы в а-траектории

пересекающей рассматриваемую плоскость в р-й раз. Всего а-траектория пересекает рассматриваемую плоскость В(а) раз. Так как в исследуемом течении вероятность пролета молекулы по той же траектории в Й^/П^о раз больше, то

Л - N 2- 1г0Л 2* | ег |ар

а = 1 р—1

Вычитая (1.2) из (1.3), исключаем ошибки, связанные с рассмотрением ненужной для задачи равновесной функции /00:

I/ ** , \г/ \ В(а) А

»*>

а=1 р=1 к

Рассмотрим отношение вероятностей №1\№о:

_____

«'о а0 Ь0 с0 К

Здесь а/а0—отношение вероятностей вылета с поверхности со скоростью, лежащей в интервале [£, £>/60 — отношение вероятностей пробега без

столкновения времени т и столкновения в интервале с/со — отношение вероятностей столкновений с молекулой, обладающей скоростью в интервале [£,,

I, + й?]| и т. д.

Рассмотрим подробнее сомножители (1.5):

16,|/,(6)<№ |5х|/оо(6)^

“о — Г I 6 I ' I1-™

Л 6*1/.(6) </6 ’ /16,|/оо(6)*6

где /щ, — функция распределения на границе. Для .максвелловских сфер"

пйх ехр ^ — а0 ^ лйт | ; й0 = я0а0йгехр[—^оп0];

ш. ,

и = — сечение столкновения, ^ = | с — 1 — относительная скорость молекул

лри столкновении;

/(61) (&) _ /оо (61) g^^ (м) ^«1 ,, оу

Линеаризуя (1.5) и считая, что я = /і0(1 +"*)> а ^ — малая добавка, получаем:

X

^  = 1 + (0 — °0 П0 | + (р (£,) + . . . .

1^0

о

Из (1.9) следует, что для определения И7/и^0 надо знать функцию <р, которая находится следующим образом. Для V согласно (1.4) можно записать

N В

1 Г, V V’/' ИР л 2 (1.10>

«о

\^х І а'і

Разбивая поле скоростей на скоростные ячейки, записываем (1.10) в виде суммы:

V

ІX /о° У* ді - щ - X £ (

//А а=1

у?_

\ №0

В

Здесь индексом 1]к отмечена скоростная ячейка с центром в точке (£*,-, £уу,-

Ег*) и со сторонами Д?*, Д£у, Д?г, Д£ = Мх Д£у 46*. Отсюда легко найти <р/уй:

.V В

= у у / у \ -у 1 лу<юу*Д£ ~ \ 470 I ^

Задача решается методом последовательных приближений. В первом приближении принималось <р = 0.

2. Рассмотрим течение между двумя бесконечными параллельными неподвижными пластинами. Пусть температура пластин постоянна и одинакова, течение происходит под действием малого градиента давления и стенки отражают молекулы по максвелловскому закону с температурой, равной температуре стенок.

На фиг. 1 представлена зависимость объемного расхода <3 от числа Кп (кривая 2):

2<?

<2Л>

(ро

Кп

сР <1р\ -Ж Г

Ро Іг ) V

Рой Г

2кТа

2кТв

Здесь ро — характерное давление, й — расстояние между пластинами, - коэффициент вязкости.

Кривая 1 (см. фиг. 1)—точное решение Черченьяни [2] модельного уравнения методом дискретных скоростей; кривая 3—решение линейного уравнения Больцмана для модели твердых сфер четырехмоментным методом; кривая 4 — решение линейного уравнения для модели максвелловских молекул шестимоментным методом. Эти решения получены Хуангом [3]. Кроме того, приведены экспериментальные данные Донга (результаты взяты из [2] для различных газов: кружочки— водород, треугольники — воздух, крестики — углекислый газ).

На фиг. 2 представлены профили скорости и для -...........................

разных чисел Кп (верхний график):

2 и

dp_

dz

V-

2 kT0 m

3. Рассмотрим теперь течение между двумя бесконечными параллельными пластинами, вызванное малым градиентом температуры вдоль пластин. Молекулы отражаются от стенок по максвелловскому закону с температурой, равной температуре стенок.

На фиг. 1 представлена зависимость объемного расхода (2 от числа Кп (кривая 5):

2 Q

( d2

\Т0

2кТ0

где То — характерная температура.

Интересно отметить, что в отличие от задачи Пуазейля здесь нет минимума расхода, кривая расхода изменяется монотонно. Кроме того, на фигуре нанесены результаты приближенного решения модельного уравнения [7] (кривая ,5).

На фиг. 2 представлены также профили скорости и для разных чисел Кп (нижний график):

2 кТп

4. Перейдем к задаче о скачке скоростей и течении в слое Кнудсена, вызванном градиентом температуры. Эта задача легко получается из задачи о течении газа между двумя параллельными пластинами под действием градиента температуры вдоль пластин заменой граничного условия диффузного отражения на верхней стенке граничным условием отражения с навье-стоксовской функцией распределения. На фиг. 3 представлен профиль скорости в слое Кнудсена. Здесь

_ ират I йТ (41^

2 цо £ / d'C

Криповый коэффициент равен (1) = 0,402 + 0,002.

Из решения модельного уравнения в работе [5] получено х = 0,42, а в работе [8] х(1) = 0,383.

Скорость скольжения определяется выражением

2 |х0 к dT Ръ т dx

и

ЛИТЕРАТУРА

1. Knudsen М. Thermischer Molekulardriick in Rohren. Annalen der Physik, 1927, B. 83.

2. Cercignani C., Daneri A. Flow of a rarefied gas between

two parallel plates. J. Appl. Phys., 1963, v. 32, № 12.

3. Huang A. B., Stoy R. L. Rarefied gas channel flows for three molecular models. Phys. Fluids, 1966, v. 9, № 12.

4. Huang A. B., Qiddens D. P., В a gn a 1 C. W. Rarefied gas

flow between parallel plates based on the discrete ordinate method. Phys. Fluids, 1967, v. 10, № 3.

9—Ученые записки № 6

129

5. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа. М., ,Наука", 1967.

6. S one Y., Yamamoto К. Flow of Rarefied gas through a circular pipe. Phys. Fluids, 1968, № 8.

7. Коган М. H., Макашев H. К. О течении газа в плоском канале, вызванном продольным градиентом температуры при произвольном числе Кнудсена. Ученые записки ЦАГИ, т. I, № 2, 1970.

8. Sone Y. Thermal creep in Rarefied gas. J. Phys. Soc., Japan, 1966, № 21 ,

9. Власов В. И., Горелов С. Л., Коган М. Н. Математический эксперимент для вычисления коэффициентов переноса. ДАН СССР, т. 176, № 6, 1968.

10. Горелов С. Л., Коган М. Н. Решение линейных задач динамики разреженного газа методом Монте-Карло. МЖГ, 1968, Ms 6.

11. Г о р е л о в С. Л., К о г а н М. Н. Решение задачи о скачке температуры (течение в слое Кнудсена) и линейной задачи о передаче тепла между двумя параллельными пластинами в разреженном газе. МЖГ, 1969, № 4.

Рукопись поступила 13/1 1970