Формирование компетенций через решение задач математического моделирования у студентов направления Технология транспортных процессов

Формирование компетенций через решение задач математического моделирования у студентов..,

УДК 378:51

Титова Елена Ивановна

кандидат педагогических наук, доцент Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

ermelenka@rambler.ru

ФОРМИРОВАНИЕ КОМПЕТЕНЦИЙ ЧЕРЕЗ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ У СТУДЕНТОВ НАПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ПРОЦЕССОВ

Данная статья затрагивает один из актуальных вопросов системы высшего образования: компетентностный подход в обучении. Чтобы обеспечить общество конкурентно способными и профессионально грамотными специалистами, педагогам необходимо сформировать у студентов ряд компетенций по каждой дисциплине. Для примера работы в данном направлении выбрано направление 23.03.01 - Технология транспортных процессов, дисциплина -математика. Рассматривается решение задачи математического моделирования с точки зрения формирования необходимых компетенций у студентов данного направления. Разобраны два метода решения предложенной задачи, в содержание которой отражена профессиональная направленность курса математики. В каждом методе выделены основные знания, умения и навыки, приобретенные студентами в ходе непосредственного решения. Показаны этапы работы с задачей, нацеленные на усвоения необходимых знаний, умений и навыков, которые прописаны в ФГОС данного направления.

Ключевые слова: компетентностный подход, математика в техническом вузе, обучение по направлению «Технология транспортных процессов», задачи математического моделирования.

Транспортная отрасль - одно из основных направлений технического образования, решающего важные проблемы из жизни современного общества. Она преследует цель подготовки грамотного специалиста, обученного исследовательской, проектной, организационной и предпринимательской деятельности. Так же техническое образование должно сопровождаться лич-ностно-развивающим подходом; предполагается целенаправленная работа по формированию готовности студента к самообразованию [1]. Все это находит свое отражение в компетентностном подходе, на котором базируется сегодня высшее образование. Студент должен овладеть определенным набором компетенций, прописанных в образовательном стандарте, выбранного им направления. Сформи-рованность определенной компетенции выражается в полученных знаниях, умениях и навыках. Обучение математики является базовым и участвует в формировании основных компетенций. Студент, обучающийся на направлении «Технология транспортных процессов» должен овладеть одной из компетенций при изучении данной дисциплины:

ОПК-3: способность применять систему фундаментальных знаний (математических, естественнонаучных, инженерных и экономических) для идентификации, формулирования и решения технических и технологических проблем в области технологии, организации, планирования и управления технической и коммерческой эксплуатацией транспортных систем.

Согласно выделенной компетенции студент должен.

Знать:

- математические формулы и математические символы;

- основные методы и способы решения математических задач;

- определения и свойства математических объектов;

- методы экспертных и аналитических работ;

- принцип выбора математических составляющих для решения профессиональных задач.

Уметь:

- использовать математическую литературу;

- в решении задачи применять верные формулы и методы решения;

- обрабатывать с использованием современных информационных технологий и интерпретировать необходимые данные для формирования решений по соответствующим математическим задачам;

- анализировать математическую задачу и принимать на этой основе рациональные пути решения;

- использовать современную научно-техническую информацию по исследуемым проблемам и задачам.

Владеть:

- различными методами решения математических задач;

- навыками формирования целей и задач математических исследований;

- умением распознавать математические объекты для их верного использования в решении профессиональных задач;

- навыками применения компьютерных технологий при проведении работ в области математических исследований.

Рассмотрим формирование выделенной компетенции на примере решения задачи математического моделирования. Покажем, на каком этапе решения возможны приобретения основных знаний, умений и навыков, предполагаемых компетенцией.

Задача: Дорожная компания производит ремонт дорог двух типов: главные магистрали и внутри дворовые проезжие части. Необходимые материалы и трудовые ресурсы даны в таблице 1.

© Титова Е.И., 2018

Педагогика. Психология. Социокинетика ^ ]4 2

123

Таблица 1

Виды материалов Норма расхода ресурса на 1 м2 Запасы , кг

Дороги 1 вида Дороги 2 вида

Щебень на 1 м2 2,6 2,6 260

Плиты - 90 2800

Асфальт 80 - 6000

трудоемкость, чел.. 15 16 900

Прибыль от ремонта 1 м2 дороги первого и второго типа составляет соответственно 10 и 12 денежных единиц. Спрос на ремонты главных магистралей составляет в среднем за месяц - 50 м2 и дворовых проездов - 40 м2.

Требуется определить такой план по ремонту дорог 1 и 2 вида, при котором будет получен максимальный доход предприятия [3].

Представим математическую модель задачи. Количество дорог 1 вида обозначим за х1 , количество дорог 2-го вида обозначим за х2.

Составим целевую функцию, стремящуюся к максимальному значению:

Ъ = 10х1 + 12х2 ^ тах при системе ограничений:

15х1 + 16х2 < 900, х1 < 50,

х1 > 0,

Наиболее наглядным является графический метод. Для этого построим многоугольник решений ЛБСББ (рис. 1), с помощью простейших информационных технологий [5]. Получим пересечение полуплоскостей, заданных неравенствами ограни-

чений, для этого построим соответствующие им прямые:

Ц: 2,6х1+2,6=260, Ц: 90х2=28000, Ц: 80х1=6000, Ь4: 15х1+16х2=900, Ц: х=50, Ц: х2=40, Ь7: х=0,

Ь8: х2=0. _

Построим вектор-градиент п = (10;12), составленный из коэффициентов целевой функции, который указывает направление максимизации Ъ(Х). Затем проведем линию соответствующую значению функции Ъ = 0 (10х1+12х2 = 0) и будем передвигать ее в направлении вектора п, параллельно самой себе до прохождения крайней точки области (на графике эта прямая обозначена пунктирной линией). В данном решении это точка С, т.к. нас интересует максимальное решение, передвижение шло в направлении вектора п. Точка С лежит на пересечении прямых Ь4, Ц и имеет следующие координаты:

Г15х1 + 16х2 = 900, |х2 = 40.

При решении системы уравнений, получим: х1 = 17,33; х2 = 40. Максимальное значение целевой функции Ъ в данной точке С (Ъ = 10х1+12х2) будет: Ъ = 10x17,33 + 12x40 = 653,33=Ътах.

2,6х1 + 2,6х2 < 260

0х1 + 90х2 < 28000

80х1 + 0х2 < 6000

х2 < 40

х2 > 0

Рис. 1. Многоугольник решений ЛБСББ

124

Вестник КГУ 2018

Формирование компетенций через решение задач математического моделирования у студентов..

Данный метод влияет на формирование, выделенной выше, компетенции, так как решение задачи графическим методом, дает такие знания студентам как четкое представление свойств математических объектов, верный выбор математической составляющей при решении профессиональных задач. Вырабатывает умения применять нужные формулы, использовать информационные технологии. Формирует навыки целей и задач математических исследований и навыки применения компьютерных технологий. Следует отметить также, что использование информационных технологий показывает актуальность решения данных математических задач, увеличивает интерес обучающихся к предмету, а также подчеркивает и межпредметные связи. Согласно компетентност-ному подходу одна и та же компетенция может формироваться на нескольких дисциплинах, поэтому их отражение друг в друге только способствует ее формированию. Построение графиков с помощью специальных программных средств, в задаче математического моделирования, и показывает это отражение.

Графический метод очень наглядно демонстрирует возможные варианты решений, но имеет строгое ограничение по количеству переменных. Поэтому для масштабных задач, описывающих математические модели, зависящие от большего числа переменных, используют симплекс-метод. Рассмотрим решение данной задачи этим методом. Прежде всего необходимо поработать с системой ограничений, привести ее к каноническому виду путем добавления неотрицательных переменных

2,6х1 + 2,6 х2 + х3 = 260, 90х2 + х4 = 28000,

80х1 + х5 = 6000, 15х1 + 16х2 + х6 = 900, х + х = 50,

ресчет точек аналитически и, сопоставляя результат с наглядным решением, формируется больший кругозор решения задачи. Студенты больше анализируют, применяют экспертные методы, видят цель математического исследования, а все это прописано в формировании нужной нам компетенции.

Сделаем следующий пересчет, увеличивающий значение целевой функции 2, переведем из свободных в базисные переменную х2:

х3 = 260 - 2,6х1 - 2,6(40 - х8), х4 = 28000 - 90(40 - х8), х5 = 6000 - 80х1,

х6 = 900 - 15х1 -16(40 - х8), х7 = 50 - х1,

х2 — 40 х8 •

х3 = 156 - 2,6х1 + 2,6х8 х4 = 24400 + 90х8,

х5 = 6000 - 80х1,

х6 = 250 - 15х1 + 16х8, х7 = 50 - х1,

Далее осуществляем переход в точку В (рис. 1). Базисными переменными будут: х3, х4, х5, х6 х7 х2, свободными: х1, х8. Присваивая свободным переменным х1 = 0, х8 = 0 получим второе базисное решение х3 = 156, х4 = 24400, х5 = 6000, х6 = 250, х7 = 50, х2 = 40, где 2В=10х+12х2=10х0+12х40=480.

Продолжая увеличение значения целевой функции 2 переведем из свободной в базисную переменную х1:

, = 156 - 2,6(250 - х6 + 16х8)/15 + 2,6х8, х4 = 24400 + 90х8, х5 = 6000 - 80(250 - х6 +16 х8)/15, х1 = (250 - х6 + 16х8)/15, х7 = 50 - (250 - х6 + 16х8)/15,

при х1 > 0, х2 > 0.

Первоначально базисными переменными являются: х3, х4, х5, х6 х7 х8, а свободными переменными: х1, х2. Полагая, что свободные переменные: х1 = 0, х2 = 0, получим первое базисное решение: х, = 260, х = 28000, х = 6000, х = 900, х = 50,

3 4 5 6 7

х8 = 40 которое соответствует первоначальной точке А многоугольника решений ЛБСББ (рис. 1):

х3 = 260 - 2,6х1 - 2,6х2, х4 = 28000 - 90х2,

х5 = 6000 - 80х1, х6 = 900 - 15х1 - 16х2 х7 = 50 - х,,

Начиная со студентами решение симплекс-методом, необходимо попросить оставить и наглядное представление решения графическим методом. Пе-

х2 = 40 + х8.

Перешли в точку С (рис. 1). Базисные переменные: х = 110,93, х = 24400, х = 4613,33, х,= 17,33,

3 > > 4 ' 5 ' > 1 > >

х7 = 32,67, х2 = 40, свободные переменные: х6, х8. Обращая свободные переменные х6, х8 в ноль, получим оптимальное решение х3 = 110,93, х4 = 24400, х5 = 4613,33, х1 = 17,33, х7 = 32,67, х2 = 40, где 2С=10х1+12х2=10х17,33+12х40=653.33=2шах.

Данный метод решения влияет на формирование, выделенной выше, компетенции закладывая знания математической символики, формул и способов их преобразования. Вырабатывает умения применить необходимые формулы и методы решения для конкретных задач. Наделяет навыками рас-

Педагогика. Психология. Социокинетика ^ ]4 2

— 40 х8 .

х3, х4, х5, х6, х

— 40 х8 .

х3 = 110,93 - 0,17 х6 + 0,17 х8

х4 = 24400 - 90х8

х2 + х8 = 40

х5 = 4613.33 - 5,33х6 + 85,33х8

17,33 + 0,0667х6 -1,07х8

х

7 = 32,67 - 0,0667х6 +1,07 х8

х

х8 = 40 - х

125

познавания математических объектов для их использования в решении профессиональных задач.

При решении данной задачи, любым из рассмотренных способов, студент исследует ее, предполагает методы ее решения, выделяет главные составляющие; далее выявляет всю сущность проблемы и решает ее с помощью привлечения математического аппарата, вводя переменные, составляя математическую модель задачи; далее идет обработка данных в виде решения системы графическим способом с использованием специальных компьютерных программ либо пересчетом симплекс-таблиц. Как было выше упомянуто, методически грамотно рассмотреть эту задачу одновременно в двух способах решения, что повышает уровень знаний и умений по данной теме, а в глобальном смысле сформировать нужную компетенцию. Полученный результат в обоих решениях сформулирован четко и наглядно, где показано умение представлять информацию в требуемом формате. На примере данной задачи мы на каждом этапе ее решения отразили что происходит с знаниями, умениями и чем владеют при ее решении студенты. Все это полностью отражает выделенные знания, умения и владения необходимой компетенции, а следовательно показывает полное формирование ОПК-3.

Из решения представленной нами задачи, так же видно, что она предполагает наличие у студентов не только математических знаний, но и определенных умений профессионального характера. Полученные знания и умения формируют особенности профессионального мышления будущего специалиста, а это и показывает уровень усвоения компетенций, которые выделены в ФГОС по направлению «Технология транспортных процессов».

Библиографический список

1. Гарькина И.А., Данилов А.М. Образовательная система с позиций идентификации и управления // Региональная архитектура и строительство. - 2013. - № 2. - С. 143-146.

2. Ермолаева Е.И., Куимова Е.И. О важности фундаментальной математической подготовки студентов по направлению «Строительство» // Известия Пензенского государственного педагогиче-

ского университета им. В.Г. Белинского. - 2011. -№ 26. - С. 463-467.

3. Киселев А.А., Снежкина О.В., Бочкарева О.В. Формирование компетенций при изучении дисциплины «Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ» // Молодой ученый. - 2014. - № 18. -С. 577-580.

4. Крымская Ю.А., Титова Е.И., Ячинова С.Н. Профессиональная подготовка строителей через решение прикладных задач // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 2. -С. 168-173.

5. Титова Е.И., Акимова И.В. Информационные и коммуникационные технологии в решении профессионально ориентированных задач с целью усвоения компетенций студентами, обучающимися по направлению подготовки «Строительство» // Региональная архитектура и строительство. -2017. - № 1 (30). - С. 99-105.

References

1. Gar'kina I.A., Danilov A.M. Obrazovatel'naya sistema s pozicij identifikacii i upravleniya // Regional'naya arhitektura i stroitel'stvo. - 2013. -№ 2. - S. 143-146.

2. Ermolaeva E.I., Kuimova E.I. O vazhnosti fundamental'noj matematicheskoj podgotovki studentov po napravleniyu «Stroitel'stvo» // Izvestiya Penzenskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. VG. Belinskogo. - 2011. - № 26. - S. 463-467.

3. Kiselev A.A., Snezhkina O.V., Bochkareva O.V. Formirovanie kompetencij pri izuchenii discipliny «Matematicheskie metody i modeli v raschetah na EHVM» // Molodoj uchenyj. - 2014. - №18. - S. 577580.

4. Krymskaya YU.A., Titova E.I., YAchinova S.N. Professional'naya podgotovka stroitelej cherez reshenie prikladnyh zadach // Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya. - 2014. - № 2. - S. 168-173.

5. Titova E.I., Akimova I.V. Informacionnye i kommunikacionnye tekhnologii v reshenii professional'no orientirovannyh zadach s cel'yu usvoeniya kompetencij studentami, obuchayushchimisya po napravleniyu podgotovki «Stroitel'stvo» // Regional'naya arhitektura i stroitel'stvo. - 2017. - № 1 (30). - S. 99-105.

Вестник КГУ Л 2018

126