Критерий рациональности алгебраического тора

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2006. №9(49).

МАТЕМАТИКА

УДК 512.752

КРИТЕРИЙ РАЦИОНАЛЬНОСТИ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ТОРА1

© 2006 В.Е. Воскресенский2

Доказано, что всякий стабильно рациональный к-тор является рациональным. Теперь мы имеем алгоритм, позволяющий находить торы, рациональные над данным основным полем.

В монографиях по линейным группам подробно освещается строение этих групп, определенных над алгебраически замкнутым полем. Рассмотрение линейных групп, определенных над незамкнутым полем к, приводит нас к задачам изучения группы бирегулярных преобразований АШь(О) данной к-группы О, к с Ь, а группа АШь(О) уже в простейших случаях оказывается весьма и весьма непросто устроенной. К примеру, группа всех бирегулярных преобразований аффинного пространства А", п > 1. Далее, вопрос о бирациональной классификации линейных к-групп приводит к необходимости изучать проективные модели линейных групп и их бирациональные инварианты, а это необъятная область дальнейших исследований. Остановимся на этих вопросах более подробно.

Пусть к— некоторое поле, X — аффинное к-многообразие, неприводимое над замыканием к поля к (абсолютно неприводимое многообразие), к[Х] —его координатное кольцо, к(Х) — поле рациональных функций на X, к с к[Х] с к(Х). Если У — другое такое многообразие над полем к, то будем говорить, что У есть к-форма многообразия X, если X и У становятся изоморфными при расширении поля определения к до поля к, _более точно, если X <8к к = _У % к. На языке алгебр это означает, что кольца Ц^] и к[У] изоморфны над к. Можно детализировать это определение. Пусть Ь/к — расширение Галуа с группой П = ОаІ(Ь/к), XI = X <8к Ь. Группа Галуа П действует на XI через второй множитель. Если XI = Уь, то будем говорить, что У есть Ь/к-форма многообразия X. Как описать множество всех Ь/к-форм данного аффинного многообразия X? Пусть / : XI ^ Уь — изоморфизм Ь-многообразий, тогда а/ снова Ь-изоморфизм для любого а є П и /~1(а/) = аа является Ь-автоморфизмом многообразия XI. Легко видеть, что аат = ао(аах), т.е. набор аа, а є П, является 1-коциклом группы П со значениями в группе АШь(X). Два коцикла аа и а'а группы АШь(X) называются когомологичными, если существует элемент Ь є АШь^К) такой, что а'а = Ь~1ао(аЬ). Когомологичность является отношением эквивалентности на множестве 1-коциклов, и множество классов эквивалентности называется множеством одномерных когомологий группы Галуа П со

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 05-01-00313.

2Воскресенский Валентин Евгеньевич, кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

значениями в группе АМ!^) и обозначают H 1(П, АШ!^)) или H 1(L/k, Аи^^)). Если AutL(X) — коммутативная группа, то H1 (П, AutL,(X)) также коммутативная группа, (в этом случае определены группы Н”(П, AutL(X)) для любых п ^ 0), в общем случае H1 (П, AutL(X)) лишь множество с отмеченной точкой — классом коцикла Ь~1(аЪ). Вышеприведенный коцикл аа определяет многообразие Y с точностью до изоморфизма. Сопоставление многообразию Y класса когомологий, содержащего коцикл aa, определяет взаимнооднозначное соответствие между множеством различных L/k-форм данного ^многообразия X и множеством Н^П, AutL(X)). Подробности в работах [1, 2], там же показано, что это утверждение верно не только для аффинных, но и для любых локально замкнутых подмногообразий проективного пространства. Вопрос о вычислении Н^П, AutL(X) является частью более общей задачи вычисления множества H 1(П, A), где A — некоторая П-группа. Следующие результаты хорошо известны.

^

Очень трудной оказалась задача нахождения всех к-форм аффинного пространства АПк, п ^ 2, т.е. задача вычисления когомологий Н 1(П, АШь(Ап). Если п = 1, то Н1(П, АШь(А1) = 0, это легко следует из редукции к случаям (1). Однако группа АШь(Ап) для п > 1 не имеет конечной размерности, и ряд гипотез о ее строении пока не доказан для п > 2. Имеется теорема Шафаревича [3], утверждающая, что Н 1(П, АШь(А2)) = 0 для любого расширения Ь/к, т.е. не существует к-форм плоскости Ак, отличных от А^.

Значительно проще находятся все формы проективного пространства РП. Группа АМь(Рп) всех Ь-автоморфизмов пространства Р£ изоморфна фактор-группе GL(n + 1,L)/L*, она обозначается PGL(n + 1, V) и называется проективной группой. Поэтому множество Н1(П, PGL(n + 1, V)) описывает все Ь/к-формы пространства РП. Всякая к-форма пространства Рп называется многообразием Севери-Брау-эра размерности п. С другой стороны, группа PGL(n + 1, V) может быть истолкована как группа дробно-линейных автоморфизмов поля рациональных функций Ь(х1,..,хп). Коцикл аа со значениями в PGL(n + 1, V) определяет представление к : П ^ PGL(n + 1, V), и группа Ш = к(П) конечна. Подполе инвариантов Г = = L(xl,.., хп)Ш обладает свойствами Г П V = к, FL = L(xl,.., хп), и Г есть поле рациональных функций к(X) на многообразии Севери-Брауэра X, которое определяется тем же коциклом аа. Еще одна очень важная ипостась группы PGL(n). Пусть М(п, к) — алгебра всех квадратных матриц порядка п с коэффициентами из поля к. Известно, что всякий автоморфизм этой алгебры является внутренним, т.е. группа Аш(М(п, к)) = PGL(n, к). Поэтому когомологии Н 1(П, PGL(n, кц)) описывают также множество всех простых центральных к-алгебр ранга п2 с точностью до изоморфизма. Итак, каждый элемент к е Н1(П, PGL(n +1, V)) однозначно определяет многообразие Севери-Брауэра XI,, поле функций Гк и центральную простую алгебру Лк. Точная последовательность

1 ^ V ^ GL(n, V) ^ PGL(n, V) ^ 1

определяет естественное отображение ф : Н1(П, PGL(n, V)) ^ Н2(П, V*). Обстоятельное исследование отображения ф провел Рокетт [4]. Он показал, что отображение ф является мономорфизмом, т.е. при отображении ф различные элементы множества Н1(П, PGL(n, V)) переходят в различные и вычислил образ 1т(ф). Напомним, что группа Н2(П, V*) коммутативна, периодическая и элементы из Н2(П, П1) взаимно однозначно соответствуют классам эквивалентных простых алгебр А с центром к, которые распадаются над расширением L/k, [5]. Рокетт показал, что 1т(ф) оосто-

ит в точности из тех элементов группы Н2(П, L*), индекс которых делит n. Сверх того, Im<p является подгруппой в группе Н2(П, L*). Это позволяет определить естественную групповую структуру на множестве L/k-форм пространства Pnk.

Теперь перейдем к важнейшим объектам нашей статьи. Рассмотрим k-формы диагональных групп. Пусть Dk(n) — диагональная группа размерности n, определенная над полем k. Удобно ее реализовать как диагональную подгруппу группы GLk(n + 1), определяемую в D(n + 1) уравнением xiХ2 •••xn+i = 1. Тогда кольцо регулярных функций k[D(n)] легко вычисляется, оно является фактор-кольцом k[xi,xn+i]/(xi ••• xn+i - 1), которое изоморфно кольцу частных k[xi,.., xn, x-1,.., x-1]. Если g = (ai,..,an) е D(n, k), ai ф 0, то xi есть координатные функции xi(g) = ai и x¡(gig2) = xí(gi)x¡(g2), т.е. xi — это базисные рациональные характеры группы Dk(n). Группа Autk(D(n)) бирегулярных преобразований k-схемы Dk(n) вычислена в работе автора [7]. Напомним ее строение. Пусть а е D(n, k), а = (ai,.., an), ai е k, ai ф 0. Элемент a определяет левый сдвиг Ta, который на точках действует обычным образом: Ta(P) = ар. Далее, пусть Autk-gr(D(n)) — подгруппа группы Autk(D(n)), состоящая из k-преобразований, сохраняющих групповую структуру на Dk(n). Такие преобразования характеры группы Dk(n) переводят в характеры и этим полностью определяются. Таким образом, группа Autk-gr(D(n)) = AutL-gr(D(n)) является постоянной групповой схемой, изоморфной группе GL(n, Z). Заметим, что элемент g = (gij) е GL(n, Z) действует на точках а = (ai,.., an) мультипликативно бирацио-нально : g(a) = в,

n

где в = (Pi,.., Pn), Pi = Y\ °gJ, gij е Z, det(gij) = ±.

j=i

Подгруппа сдвигов D(n, k) и подгруппа автоморфизмов GL(n, Z) порождают всю группу Autk(D(n)) и Autk(D(n)) есть полупрямое произведение этих подгрупп, при этом D(n, k) является нормальной подгруппой в Autk(D(n)): Autk(D(n)) =

= D(n, k)GL(n, Z). Пусть k(Xi,..,Xn) — поле рациональных функций на группе Dk(n), где Xi —базисные характеры группы Dk(n). Как мы видели, группа D(n, k) действует линейно в k-пространстве < %i,..,%n >, что совершенно не так для группы GL(n, Z). Группа Autk(D(n)) есть подгруппа группы бирациональных преобразований Crk(n) поля k(Xi,..,Xn), и мы видим, что группа Autk(D(n)) не является алгебраической подгруппой в группе Crk(n). Все торы данной размерности n над полем k описываются множеством когомологий H1(k, GL(n, Z)), где GL(n, Z) действует би-рационально на поле k(xi,..,xn) по правилу Xj ^ П xfJ. Пусть h е H1(k, GL(n, Z)). Поскольку группа Галуа действует тривиально на GL(n, Z), то элемент h есть просто представление группы Галуа G в группу GL(n, Z) с точностью до целочисленной эквивалентности. Поскольку группа G компактна, а группа GL(n, Z) дискретна, то Im(h) является конечной подгруппой W группы GL(n, Z). Пусть Gi = ker(h), W - G/Gi =П, L = (ks)G.

Теперь легко определить L/k-тор T, соответствующий коциклу h. На группе Diín) действуют два точных представления группы П : a ^ 1 <8> h(a) и a ^ a <8> 1, которые коммутируют друг с другом, поэтому имеем точное представление u(a) = a <8> h(a) группы П в группу Autk-gr(DL(n)). Сам тор T тогда k-изоморфен фактор-группе DL(n)/u(U). Имеет смысл описать эту конструкцию на языке алгебр и целочисленных представлений конечных групп. Пусть L/k — конечное расширение Галуа с группой П, T — П-модуль без кручения ранга n, Xi,.., Xn — базис модуля T, L[T] = L[xi, .., Xn, X-1, ..,X-1] —групповое кольцо группы T, группа T рассматривается в мультипликативной записи. Тогда алгебра инвариантов A = (L[T])П является

алгеброй с когрупповой структурой, а ее спектр Т = 5ресА есть к-тор с группой характеров Т. Если Т — точный П-модуль, то Ь — минимальное поле разложения тора Т. Мы видим, что описание к-торов эквивалентно изучению целочисленных представлений конечных групп и работы здесь хватит всем будущим поколениям математиков. Легко проверяется, что изоморфизм двух к-торов Ті и Т2 эквивалентен П-изоморфизму модулей Ті и Т2, где П — группа Галуа их общего поля разложения. Сверх того, из точной последовательности П-модулей без кручения

0 — Т1 — Т2 — Т3 — 0

следует точная последовательность к-торов

1 —— Т3 —— Т2 —— Ті —— 1.

Весьма интересен вопрос о бирациональной эквивалентности двух к-торов. Поскольку над полем кк все торы рациональны, то над полем кк все торы одинаковой размерности изоморфны. Долгое время оставался открытым вопрос о рациональности тора Т над незамкнутым полем. Дело в том, что бирациональные инварианты алгебраического тора имеют существенно проективную природу. Пусть два к-тора Ті и Т2 бирационально эквивалентны над полем к, XI и X2 —гладкие проективные модели этих торов, определенные над к. Тогда П-модули PicXll и PicX2l являются подобными, т.е. существуют пермутационные П-модули 51 и 52, такие, что прямые суммы PicXl l © 51 и PicX2l © 52 изоморфны. Класс подобия модуля А обозначим через [А]. В частности, если к-тор Т является к-рациональным, то класс [PicXl] = [0]. Из открытого вложения Т с X следует точная последовательность П-модулей

0 — Т — 5 — Ко Xl — 0,

где 5 —пермутационный модуль. Группы Я1(п, PicXl) и И~1(п, PicXl) являются би-рациональными инвариантами многообразия Т. Следующий неожиданный факт является одним из важнейших в бирациональной классификации алгебраических к-торов, а именно И~1(Ь/Г, PicXl(X)) = 0, где к с Р с Ь. Это свойство позволило строить канонические резольвенты (2) чисто алгебраически, минуя построение проективной модели. В вопросах классификации многообразий связных линейных групп весьма полезным оказалось понятие стабильной рациональности и стабильной эквивалентности, а именно два к-многообразия Xl и X2 называются стабильно эквивалентными, если произведения Xl X кАт и X2 X кАр бирационально эквивалентны над к при некоторых т и р. Если же имеется бирациональный к-изоморфизм XX кАт = Ар, то многообразие X называется стабильно рациональным. Ясно, что стабильно рациональные многообразия являются унирациональными. В 1984 году в работе [6] впервые были построены примеры стабильно рациональных, но не рациональных многообразий. Если поле к не замкнуто, то такие имеются в размерностях начиная с двух, а над полем комплексных чисел, начиная с трех. В этой же работе [6] имеется обстоятельный обзор истории вопроса и состояния дел к тому времени с точными библиографическими ссылками.

Особую роль в вопросах бирациональной геометрии алгебраических торов играют квазиразложимые торы, т.е. торы 5, определенные над полем к с пермута-ционными модулями характеров 5. Квазиразложимые торы являются первыми по сложности после к-разложимых. Разбиение пермутационного базиса модуля 5 на орбиты группы П определяет разложение П-модуля 5 в прямую сумму ©^^[П/Л'], где Пі —некоторые подгруппы группы П. Тор 5 с модулем 5 = /[П/п] легко описывается. Пусть Р = Ьп — поле инвариантов, Ю1,..., шт —базис расширения .Р/к, имеем регулярное представление поля Р матрицами алгебры М(т, к), которое опре-

деляет группу р * как подгруппу в полной линейной группе ОЬ(т, к). Тор 5 есть максимальный к-тор группы ОЬк(т) с условием 5 (к) = Г*. Его стандартное обозначение: 5 = Яр/к(От). Таким образом, каждый квазиразложимый ¿/к-тор есть прямое произведение торов вида Яр/к (Ст), где к с р с Ь. Если хт —координаты общего элемента поля Г относительно базиса ют, то координатное

кольцо тора Яр/к(&т) можно записать в явном виде: к[Яр/к(Ст)] = к\х\,..., хт, у-1], где у = Мр/к(Х1Ю1 + ... + хтшт). Вложение к\х1,..., хт] с к\х1,..., хт, у~г] определяет точное действие группы Яр/к(&т) на Яр/к(Ар) = Ат и вложение многообразия Яр/к(&т) в Ат в качестве открытой орбиты. Переходя к прямым произведениям, мы видим, что всякий квазиразложимый к-тор 5 размерности п может быть реализован как максимальный к-тор группы ОЬк(Ап), и многообразие 5 можно рассматривать как открытую орбиту в пространстве АП. Тор 5 является к-рациональным.

Для всякого П-модуля рациональных характеров Т тора Т существует вялая резольвента, т.е. точная последовательность П-модулей без кручения конечного ранга

0 ^ Т ^ 5 ^ ^ 0,

в которой 5 является пермутационным, а модуль N — вялым, последнее означает, что И~1(п, М) = 0 для всякой подгруппы п группы П. Вялая резольвента модуля Т определена неоднозначно, однако класс подобия [М] модуля N однозначно определяется модулем Т и является бирациональным инвариантом к-тора Т [2]. Обозначим этот класс символом р(Т) или р(Т). Он равен также классу модуля Пикара \Р1о Хь], где X — какое-нибудь гладкое проективное пополнение тора Т над полем к. Пусть С(Ь/к) —категория торов, определенных над к и разложимых над Ь, -Р(П) — полугруппа классов подобия П-модулей, порожденная вялыми модулями. Сумма классов [N1] + [N2] определяется как класс [N1  N2]. Определим полугруппу Z(Ь/k), порожденную классами стабильно эквивалентных между собой торов категории С(Ь/к) с умножением классов по правилу

[Т1\Х[Т2\ = {Т1 X кТ2}.

Напомним, что два к-многообразия Х1 и Х2 называются стабильно эквивалентными, если произведения Х1 X кАт и Х2 X кАр бирационально эквивалентны над к при некоторых т и р. В работе [2] показано, что соответствие Т ^ р(Т) определяет изоморфизм полугрупп Z(Ь/k) и .Р(П). Конечно, этот изоморфизм является только первым приближением к вопросу о бирациональной классификации торов из С(Ь/к). Однако инвариант р(Т) позволяет выделить класс торов, близких к рациональным, и мы докажем, что такие торы действительно являются рациональными над полем к.

Как и следовало ожидать, тор Т с условием р(Т) = [0] обладает особыми свойствами. Это торы, которые представимы в виде фактора

а в

1 ^ 51 ^ 52 ^ Т ^ 1,

где 51 и 52 —квазиразложимые к-торы. Конечно, из эпиморфизма в : 52 ^ Т следует, что поле к(Т) содержится в к(5 2), т.е., что всякий к-тор является унира-циональным многообразием. Квазиразложимые торы 5 обладают важными свойствами: И1(М/И1,5 (М)) = 0 для любого расширения Галуа М/М1, М1 э к. Отсюда следует, что отображение в последовательности (3) обладает к-рациональным сечением у : Т ^ 52, в? = 1. Имеем к-рациональное отображение

Ф = (а,у): 51 XкТ — 52,

определяемое по правилу:

Ф(ж, і) = а(5)у(0, 5 є 51(к5), ї є Т(к5).

Отображение ф является бирациональным. В самом деле, пусть имеем равенство а(5)у(0 = а(з1)у(ї1). Тогда Р[а(я)у(0] = Р[а(51)у(і1)], откуда ї = ї1, а тогда 5 = 51. Таким образом, тор Т с условием р(Т) = [0] является стабильно рациональным над полем к. Группы 51 и 5 2 могут быть реализованы в качестве максимальных к-торов в линейных группах ОЬк(У1) и ОЬк(У2), где Vі —линейные пространства над полем к, йхт^У' = Шт*^. Мы видим, что поле рациональных функций к(Т) тора Т есть поле инвариантов к(У2)1 группы 51, которая линейно и точно действует на пространстве У2 посредством представления а. Бирациональное отображение ф формулы (4) можно переписать в виде

Ф : У1 X кТ — У2.

Пусть теперь 5 —произвольный максимальный к-тор группы ОЬ(У1). Зададим действие группы 5 на У1 X кТ по правилу: 5 действует линейно и точно на У1 и тривиально на Т (обобщенное отражение от пространства Т). Тогда группа 5 действует линейно на У2 очевидным образом: 5(%) = фgф-1. Оператор 5 определен этой формулой на всей группе ОЬк(УО, и мы имеем ее линейное представление в группу ОЬк(Уг). Мы имеем любопытный факт: поле к(Т) можно представить в виде поля инвариантов к(У2)5(5} для любого максимального к-тора 5 группы ОЬкУ1), действующего на У2 указанным выше способом. Пусть теперь 5 = 01 — максимальный к-разложимый тор в ОЬк(У1).

Поскольку группа 5(01) является подгруппой группы ОЬк(У2), то существует максимальная к-диагонализируемая подгруппа 02, О2 э 5(01), йіт^02 = йіткУ2. Отсюда следует, что поле к(Т) = к(У2)5°'> = к(02/5(0{) будет чисто трансцендентным над полем к, ибо тор 02/5(01) разложим над полем к, а следовательно, рационален над полем к. Таким образом, имеем следующий результат данной статьи.

Теорема Всякий стабильно рациональный к-тор является рациональным над полем к.

Итак, условие р(Т) = [0] является критерием рациональности алгебраического к-тора Т.

Следствие 1. Пусть а : 5 — ОЬ(У) — точное линейное представление квазираз-ложимого тора 5. Тогда существует бирациональное преобразование пространства У в Ш такое, что действие группы 5 на линейном к-пространстве Ш будет квази-регулярным, т.е. 5-модуль Ш разложим в прямую сумму Ш © Ш2, где Ш1 — пространство регулярного представления тора 5, а действие группы 5 на Ш'2 — тривиально.

Пусть теперь расширение Ь/к является циклическим, П = Gal (Ь/к), (Ь : к) = п. Кольцо целых элементов Ті[С„] кругового поля Q(Zn), где ^п - первообразный корень п-й степени из 1, можно рассматривать как П-модуль, полагая о(а) = ^па для всякого а є Ъ[С„\, здесь а - образующий элемент группы П. Пусть Тп будет к-тор с П-модулем рациональных характеров Тп = /[^п]. Поскольку все торы вида Тп стабильно рациональны над полем к [2], то имеем следующий результат.

Следствие 2. Торы Тп рациональны над полем определения для любого п.

Прямое доказательство рациональности торов Тп было изложено в докладе автора на конференции в Лиможе в 1997 году и опубликовано в заметке [8].

Литература

[1] Серр, Ж.-П. Когомологии Галуа / Ж.-П.Серр. - М.: Мир, 1968.

[2] Воскресенский, В.Е. Алгебраические торы / В.Е. Воскресенский. - М.: Наука, 1977.

[3] Shafarevich, I.R. Lectures on minimal models and birational transformations of two-dimensional schemes / I.R. Shafarevich. - Bombey: Tata Inst. Fund. Res., 1966. - 175 p.

[4] Рокетт, П. Когомологии Галуа проективных линейных групп и их приложения / П.,Рокетт // Математика. - 1967. С. 88-116.

[5] Ван-дер-Варден, Б.Д. Алгебра / Б.Д. Ван-дер-Варден. - М.: Наука, 1976.

[6] Varietes stablement rationnelles non rationnelles / A. Beauville [et al.] // Ann. of Math. - 1985. - No. 121. - P. 283-318.

[7] Воскресенский, В.Е. Проективные инвариантные модели Демазюра /

B.Е. Воскресенский // Известия АН СССР. Сер. Матем. - 1982. - Т. 46(2). -

C. 195-210.

[8] Voskresenskii, V.E. Stably rational algebraic tori / V.E. Voskresenskii // J. Th. des Nombres Bordeaux. - 1999. - No. 11. - P. 263-268.

Поступила в редакцию 30/ VIII/2006; в окончательном варианте — 30/VIII/2006.

A CRITERION OF RATIONALITY OF AN ALGEBRAIC TORUS

© 2006 V.E. Voskresenskii3

The rationality of stably rational fc-torus is proved. Therefore we have an algorithm enabling us to find algebraic tori which are rational over a basic field.

Paper received 30/VIII/2006. Paper accepted 30/VIII/2006.

3Voskresenskii Valentin Eugenievich (voskresassu.samara.ru) Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russia