Анализ зависимостей амплитуд и фаз гармоник магнитной индукции от параметров петель гистерезиса

Предлагаемые алгоритмы управления упругими колебаниями могут быть использованы в системах управления движением как серийных, так и проектируемых конструкций промышленных роботов. В первом случае для их реализации необходимо доработать систему управления движением роботов путем организации дополнительных обратных связей по

упругим координатам и их скоростям. Во втором случае снижения интенсивности упругих колебаний можно добиться на стадии проектирования роботов путем соответствуюшего выбора конструктивных параметров исполнительных механизмов. Применение этих алгоритмов позволит повысить точность, быстродействие и надежность работы мехатронных систем.

Библиографический список

1. Елисеев С.В., Кузнецов Н.К., Лукьянов А.В. Управление колебаниями роботов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. 320 с.

2. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: Линейные модели. М.: Наука, 1987. 304 с.

3. Кузнецов Н.К. Динамика управляемых машин с дополнительными связями: монография. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2009. 288 с.

4. Кузнецов Н.К., Грудинин В.Г., Умнов В.И. Синтез управляющих воздействий методом обратных задач динамики // Проблемы механики современных машин: мат. четв. меж-дун. конф. Улан-Удэ: Изд-во ВСТГУ, 2009. Т.1. С. 240-243.

5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников. М.: Наука, 1968. 720 с.

УДК 621.3.01 -621.3.09-621.3.013

АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТЕЙ АМПЛИТУД И ФАЗ ГАРМОНИК МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ОТ ПАРАМЕТРОВ ПЕТЕЛЬ ГИСТЕРЕЗИСА

1 9

© В.Д. Сартаков', В.В. Гасельник2

1Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83. 2Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.

Решается нелинейная электрофизическая задача расчета амплитуд и фаз гармоник магнитной индукции в ферромагнитных материалах, перемагничиваемых синусоидальным полем. Выполнен анализ, позволяющий связать величины амплитуд и фаз гармоник магнитной индукции с параметрами петли гистерезиса. Найдены взаимосвязи между амплитудами и фазами гармоник магнитной индукции и коэрцитивной силой. Получены аналогичные взаимосвязи для остаточной индукции в ферромагнитных материалах. Сделан вывод о возможности неразрушающего контроля физико-механических параметров промышленных изделий с использованием метода высших гармоник. Ил. 15. Библиогр. 3 назв.

Ключевые слова: магнитная индукция; амплитуда гармоник; фаза гармоник; коэрцитивная сила; остаточная индукция; ряд Фурье.

ANALYSIS OF DEPENDENCIES OF MAGNETIC INDUCTION AMPLITUDES AND HARMONICS PHASES ON HYSTERESIS LOOP PARAMETERS V.D. Sartakov, V.V. Gaselnik

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074. Irkutsk State University of Railway Engineering, 15 Chernyshevsky St., Irkutsk, Russia, 664074.

The paper solves a nonlinear electrophysical problem of calculating the amplitudes and harmonics phases of magnetic induction in ferromagnetic materials being remagnetized by a sinusoidal field. The analysis enabling to connect the values of magnetic induction amplitudes and harmonics phases with the hysteresis loop parameters is performed. The relationships between the amplitudes and harmonics phases of magnetic induction and the coercive force are found. Similar relationships for the residual induction in ferromagnetic materials are obtained. A conclusion is made on the possibility of nondestructive control of physical and mechanical parameters of industrial products by applying the method of higher harmonics. 15 figures. 3 sources.

Key words: magnetic induction; amplitude of harmonics; harmonics phase; coercive force; residual induction; Fourier series.

1Сартаков Валерий Дмитриевич, кандидат технических наук, профессор, тел.: (3952) 410160, e-mail: valery_41@mail.ru Sartakov Valery, Candidate of technical sciences, Professor, tel.: (3952) 410160, e-mail: valery_41@mail.ru

2Гасельник Владимир Валерьевич, кандидат технических наук, доцент, тел.: 89148743596, e-mail: gasvv@yandex.ru Gaselnik Vladimir, Candidate of technical sciences, Associate professor, tel.: 89148743596, e-mail: gasvv@yandex.ru

Для неразрушающего электромагнитного контроля (НЭК) физико-механических параметров (ФМП) промышленных изделий из ферромагнитных материалов (ФМ) используются взаимосвязи этих параметров с магнитными параметрами (МП) контролируемых изделий (КИ). Среди физико-механических параметров изделий из ФМ, контроль которых осуществляется в промышленных условиях, имеются такие, как твердость, предел прочности, остаточное напряжение и др. В практике промышленного неразрушающего контроля (ПНК) также проводится измерение параметров и характеристик структуры металла и усталостных характеристик. Исследование зависимостей ФМП с магнитными параметрами КИ в настоящее время проводится, как правило, экспериментально.

При реализации НЭК производится измерение таких МП, как коэрцитивная сила НС, остаточная индукция BR и др. При перемагничивании КИ из ферромагнитных материалов в синусоидальном переменном магнитном поле кривая магнитной индукции B(t) представляет периодическую несинусоидальную функцию, т.е. ФМ являются генераторами высших гармоник индукции [1, 3]. Так как электрические и магнитные величины взаимосвязаны, то достаточно легко аналитически и практически по измерениям гармоник ЭДС вторичной обмотки датчика ПНК оценить ФМП промышленных изделий из ФМ при наличии взаимосвязи этих параметров с МП [2].

Для аналитического исследования связи амплитуд и фаз гармоник индукции необходимо аналитическое описание петли гистерезиса, т.е. зависимости между напряженностью и магнитной индукцией в ФМ при перемагничивании. Выразить в аналитической форме реальную петлю перемагничивания в общем виде, отражающем поведение ферромагнетика при средних и сильных полях, пока не удаётся [3]. Метод кусочно-линейной аппроксимации [1] позволяет идеализировать процесс перемагничивания и получать аналитические решения для некоторых частных случаев, которые в дальнейшем удается распространить на другие модели петли гистерезиса.

Рассмотрим методику исследования взаимосвязей амплитуд и фаз гармоник индукции с параметрами следующих вариантов петель гистерезиса, представленных на рис. 1 и 2. Предположим, что напряженность внешнего магнитного поля, под влиянием которого находится изделие из ФМ, изменяется по синусоидальному закону во времени:

H = Hm  sinoj  t.

Магнитная индукция в ФМ изменяется по периодическому несинусоидальному закону во времени, т.к. перемагничивание изделия осуществляется по петле гистерезиса. Представим периодическую несинусоидальную функцию B(t) в виде ряда Фурье [3]:

да гармоники индукции; ^к - начальная фаза гармоники индукции.

Вследствие симметрии относительно оси абсцисс кривая индукции B(t) не содержит постоянную составляющую и четные высшие гармоники (к =2, 4, 6 и др.).

Рис. 1. Идеализированная петля гистерезиса без насыщения

Для аналитического определения амплитуд и фаз гармоник индукции необходимо произвести математическое описание участков петли гистерезиса. Для первого варианта участок «авс» петли гистерезиса (рис. 1) является прямой, не проходящей через начало координат. Ее уравнение можно представить в трех вариациях. На участке «ав» уравнение прямой записывается с использованием параметров Вг и Нс , на участке «вс» - с использованием параметров Вт и Нс , а на участке «авс» - с использованием параметров Вт , Вг и Нс :

B = —B„ + Ki  H .

H = Hq + K2  B

Коэффициент пропорциональности К! определим

из следующего уравнения:

0 = —B, + K,  H,

1  HC .

Тогда

K1 =A. 1 Hr

B,

B = —Br +-B—  H = Br

H

C

H,

C

B

к=1

где к - номер гармоники индукции; Bmk - амплиту-

Коэффициент пропорциональности К2 определим из уравнения

Hm = HC + K2 B .

x>

к = Hm — HC

Bm

Из уравнения (2) следует, что

Отсюда

B„, — —B„ + Ki • H„

K = Bm + Br

H

Приравнивая (5) и (10), получим соотношение

B

Hr

Bm + Br

Hm

, устанавливающее связь между пара-

метрами идеализированной петли гистерезиса без насыщения.

При изменении синусоидальной напряженности магнитного поля в момент времени г = 0 состояние ФМ определяется точкой «а» ( В = Вг) . Точка «Ь» идеализированной петли гистерезиса без насыщения ( Н = Нс) устанавливается в момент времени, равный

t, —

Не ,

arcsin(—е) H

m

Точка «с» характеристики ФМ (В = Вт и Н = Нт) достигается в момент г2 , равный четверти периода

Т N

изменения индукции (г2 = —).

4

Участок характеризуется следующим уравнением: В = Вт. Точка <^» идеализированной петли гистерезиса без насыщения устанавливается в момент времени, равный г3:

U —

Ht

arcsin(——) H

Анализ состояния ФМ на участке <^» можно осуществить c помощью уравнения

B,

H

B — Br +• H — Br-(1 +-).

' и ' и

HC HC

Точка «е» устанавливается в момент времени,

T

равный половине периода (/4 =— ). Далее процесс

перемагничивания ФМ повторяется со сдвигом во времени, равным половине периода изменения напряженности поля.

Для идеализированной петли гистерезиса с насыщением (рис. 2) можно выделить следующие параметры: Hс, Вг, Bm, Hm,HBm и др. На рис. 3 приведена примерная временная диаграмма, соответствующая процессу перемагничивания ФМ по рассматриваемой петле гистерезиса.

Рис. 2. Идеализированная петля гистерезиса с насыщением

B Bm

Рис. 3. Временная диаграмма напряженности для идеализированной петли гистерезиса с насыщением

Математическое описание пяти участков петли гистерезиса с насыщением выполнено по той же методике, что и для рис.1.

Первый участок «abc» характеризуется таким же уравнением, как и для предыдущего варианта:

B,

H

B — —Br • H — Br •(—1 +-) на интервале вре-

H

H

мени г2 >/ > 0.

Второй участок «cdeh» характеризуется уравнением В = Bm на интервале времени г4 > / > г2.

Третий участок «Ытп» характеризуется уравнением

B,

H

В = Вг +—— • H = Вг-(1 +-) на интервале време-

Hс Hс

ни г6 > ( > 14 .

Четвертый участок «порг» характеризуется уравнением В = Bm на интервале времени > / > г6.

Пятый участок «гэ» характеризуется таким же уравнением, как и первый участок:

t

1

m

B

H

B = —Br +—— H = Br  (—1+-) на интервале вре-

H

H

мени Т > г > г8.

Обозначим напряженность поля в точке «с» как НВ , а в точке «г» как Нг . Тогда тангенс наклона

Вт' Вт

прямой к оси напряженности поля (коэффициент К1) можно определить по формуле

K, = - 2 ^ Bm

B,

B„

HR + Ht.

HC HC + HtB

2

BmK =—JB(t)  sin(k a t) dt. (20) T 0

T

„ 2 2

BmK = - JB(t) cos(k© t) dt. (21) 1 0

Разобьем интервал интегрирования на части: от 0

T

до t2; от t2 до t4; от t4 до —.

2

Моменты времени, когда состояние ФМ по петле гистерезиса определяется соответственно точками «с» и «И», находятся по уравнениям

U =

arcsin(

Hz

H„

-)

tA =

Ht

arcsin(——) H

a

Величину HB можно рассчитать, используя вы-

ражение (14):

Hh =-

2  Bm  Hr

Br

—H,_ =-

Bm + B„

K,

Из (14) также следует, что

HC'(Bm — Br ) _ Bm — Br

Ht_ = -

B

K,

Разделив (17) на (18), получим

H

Bm _ Bm + Br

H

tB Bm — Br

m

Используя классический метод [3], можно определить синусные BmK и косинусные BmK , составляющие основной (К=1) и высших (k >1) гармоник индукции в ФМ:

1 t

BmK = — J B(t)^sin(k а  t) dt - амплитуды синус-

T 0

ных составляющих гармоник индукции в ФМ;

1 t

BmK = — J B(t)^cos(k а  t)^dt - амплитуды коси-

T 0

нусных составляющих гармоник индукции в ФМ.

При симметрии кривой индукции относительно оси абсцисс интегрирование следует выполнять в преде-

T

лах от 0 до —. При указанной симметрии в разложе-

2

нии B(t ) в ряд Фурье отсутствуют четные гармоники индукции.

Bm„ = —

к t tj

T

JB1(t) sin(k  a  tj^dt

0

J B2(t)-sm(k a  t) dt

2 + —

T

JB3(t) sin(k^ <$ t)^dt

BmK J, '

в

J(—Br +  Hm  sinat)  sin(k а t) dt

JBm -sin(k < 4)^dt

1

2 2 B

+---J

T t Hq

t4 C

n _

T

2 B

J(—Br +——  Hm  sinat) cos(k a -t)-dt

0 HC

rtd

2

T

'4

JBm  cos(k < ^t)^dt

m

+ 2 J(Br — Hm  sinat )^cos(k< 4)^dt. (24) T Hr

t4

2 2 B„

rm iC

B

H

B1

H

H

B2(t) = B„

D

B3(t) = Br ——¡—H = Br-(1 — H) . (27) HH

H_

C

Интегрирование выполнено аналитическим методом с использованием приема замены переменных. Вычисление интегралов для 1-ой гармоники (К=1) приводит к следующим результатам:

m

m

2

+

m

t

2

a

4

+

0

t

2

+

+

t

2

m

m

m

2

+

t2

J B}(t) • sin( a •1) • dt 0

Br

=--- •( 1 - cos at2) +

a

h 1

+ Ki • Hm • (-2- — • sin2at2) . 2 4a

JB2(t) • sin(a-1) • dt

--— • (cosat4 -cosat2) =

a

B„

•(cosat2 - cosat4 ) .

JB3(t) • sin(a • t) • dt

Br

= -r- • ( —1 — cos at4 ) +

a

EnMm • [(I—24 ) + ± • sin2at4] . 2 2 4a 4

h

J B1(t) • cos(a • t) • dt

0

Ki • H„

Br

=--- • sinat2 —

a

4 •a

•(-1 + cos2at2).

JB2(t) • cos(a • t) • dt

B„

•(sinat4 - sinat2 ) .

JB3(t) • cos(a • t) • dt

Br

=--- • sinat4 +

a

+ Ki •Hm •(i - cos 2at4 ).

4 •a

Вычисление интегралов для 3-ей гармоники (к =3) приводит к следующим результатам:

'г2

| В ¡(г) • &чп(3а • г) • л

о

=--— • (1 - ал'3аг2 ) + К1 • Hm х

3а

ьчп3аг7 • созаг7 + Зьчпаг? • соз3аг7 , .„.. х

8a

t4

JB2(t) • sin(3a • t) • dt

Bm

3a

•

JB3(t) • sin(3a • t) • dt

B

—— • (-1 - cos 3at4 ) + 3a

sin3at4 • cosat4 + 3sinat4 • cos3at4 (36) 8a

J B1(t) • cos(3a • t) • dt

—— •(sin3at2) +

3a

^ tt 1 , cos4at2 1 _ , K1  Hm---

4a

t4

JB2(t) • cos(3a • t) • dt

Bm

3a

• (sin3at4 - sin3at2 ) .

JB3(t) • cos(3a • t) • dt

3a

•(sin3at4 ) -

^ „ 1 xos4atj 1 „ , .„...

-K1 • Hm • — •

4a 2 2

Вычисление интегралов для 1-ой гармоники (k =1) и 3-ей гармоники (k =3), представленных в виде формул с (28) по (39), полностью согласуется с результатами аналитического интегрирования, полученного с помощью математического программного продукта WolframAlpha.

Расчет и построение зависимостей амплитуд и фаз гармоник от параметров петли гистерезиса осуществлены с применением программного продукта Microsoft Office Excel 2003. Параметры петли гистерезиса и их вариации приняты следующими: HC изменяется в диапазоне от 100 до 300 А/м; Br изменяется в диапазоне от 0,55 до 0,9 Тл; Bm = 1 Тл; Hm = 1000

А/м. Расчеты выполнены для промышленной частоты f =50 Гц. На рис. 4 - 15 представлены результаты

расчета для петли, приведенной на рис. 2.

Анализ полученных расчетным путем зависимостей показывает, что между коэрцитивной силой и амплитудой 1-ой гармоники индукции в ФМ имеется однозначная связь (см. рис. 5).

При увеличении коэрцитивной силы в 3 раза (от 100 до 300 А/м) амплитуда 1-ой гармоники индукции Bm1 уменьшается на 4.2%, что подтверждает гипотезу о возможности контроля физико-механических параметров изделий из ферромагнитных материалов по измерению амплитуды основной гармоники ЭДС электромагнитного двухобмоточного датчика с применени-

4

2

0

+

a

t

t

2

4

4

2

a

t

4

t

2

ем классического компенсационного метода измерений. Расчетное значение амплитуды основной гармоники, равное примерно 0,5 Тл, находится в пределах допустимых значений при заданной максимальной индукции Вт = 1 Тл.

коэрцитивная сила, Нс, А/м

Рис. 4. Зависимость коэффициента К1 от коэрцитивной силы

увеличению площади петли гистерезиса и, следовательно, к росту потерь на гистерезис и увеличению сдвига по фазе между Н и В1.

0 50 100 150 200 250 300 350

коэрцитивная сила

Рис. 7. Зависимость амплитуды 3-ей гармоники индукции от коэрцитивной силы

50 100 150 200 250 300

коэрцитивная сила, А/м

Рис. 5. Зависимость амплитуды 1-ой гармоники индукции от коэрцитивной силы

Однозначная практически линейная связь также наблюдается между фазой 1-ой гармоники индукции в ФМ и коэрцитивной силой (см. рис. 6).

з ч

¡5 -10

ь s 5.

о

0 S

1 I

коэрцитивная сила, А/м

Рис. 6. Зависимость фазы 1-ой гармоники индукции от коэрцитивной силы

При увеличении коэрцитивной силы Нс сдвиг по фазе между 1-ой гармоникой индукции и напряженностью поля увеличивается на 14 электрических градусов. С ростом Нс увеличивается отставание основной гармоники индукции от напряженности магнитного поля, что соответствует физическим представлениям о процессе перемагничивания ФМ. Увеличение Нс приводит при прочих неизменяемых параметрах ФМ к

Анализ зависимости на рис. 7 показывает, что отсутствует однозначная связь между коэрцитивной силой и амплитудой 3-ей гармоники индукции в ФМ. Аналогичный вывод можно сделать по результатам анализа зависимости между коэрцитивной силой и фазой 3-ей гармоники индукции, приведенной на рис.

s

S

И 80 *

X 60

s

S

* 40

S

£

° 20

а га

0

со га

о -20 &

-40

коэрцитивная сила

Рис. 8. Зависимость фазы 3-ей гармоники индукции от коэрцитивной силы

Таким образом, эти переменные не могут быть использованы при контроле физико-механических параметров изделий из ФМ с применением электромагнитного двухобмоточного датчика.

Если представить вектор 3-ей гармоники магнитной индукции в алгебраической форме, то синусная составляющая этого вектора совпадает по направлению с действительной осью комплексной плоскости (т.е. совпадает по направлению с вектором напряженности магнитного поля Н) и является активной составляющей, а косинусная составляющая вектора в'ш3

представляет собой ортогональную, т.е. реактивную составляющую.

На рис. 9 и 10 приведены соответственно синусная и косинусная составляющие вектора 3-ей гармоники магнитной индукции.

00

0

350

коэрцитивная сила

Рис. 9. Зависимость амплитуды синусной составляющей 3-ей гармоники индукции от коэрцитивной силы

Анализ зависимости на рис. 9 показывает, что между коэрцитивной силой и синусной составляющей 3-ей гармоники индукции в ФМ имеется однозначная связь. В диапазоне изменения коэрцитивной силы от 100 до 225 А/м синусная составляющая 3-ей гармоники индукции положительная и ее величина уменьшается с увеличением Hс. При Hс =225 А/м синусная составляющая 3-ей гармоники индукции становится равной 0. В диапазоне изменения коэрцитивной силы от 225 до 300 А/м синусная составляющая 3-ей гармоники индукции отрицательная и ее модуль увеличивается с увеличением Hс.

Анализ зависимости на рис. 10 показывает, что между коэрцитивной силой и косинусной составляющей (Вт3 РЕАКТ) 3-ей гармоники индукции в ФМ имеется однозначная связь. При увеличении Hс отрицательная величина Вт3 РЕАКТ уменьшается.

коэрцитивная сила

Рис. 10. Зависимость амплитуды косинусной составляющей 3-ей гармоники индукции от коэрцитивной силы

Вторым параметром, который в практике ПНК достаточно часто имеет однозначную связь с контролируемыми ФМП, является остаточная индукция Вг.

На рис. 11 - 14 представлены графики зависимостей амплитуд и фаз основной и 3-ей гармоник при изменении остаточной индукции в пределах от 0,55 до 0,9 Тл.

0.615 -

2 0.62 -Ь ,

ЕГ 061

т- =г 0.605 -

га £

СГ ^

а ? 0.6 -

Н I

0.2 0.4 0.6 0.8

остаточная индукция, Тл

Рис. 11. Зависимость амплитуды 1-ой гармоники от остаточной индукции

ч

Г

га

остаточная индукция, Тл

Рис. 12. Зависимость фазы 1-ой гармоники от остаточной индукции

Анализ полученных зависимостей уверенно подтверждает гипотезу существования однозначной связи между амплитудами основной и 3-ей гармоники и остаточной индукцией ФМ. Однозначная связь между фазой 3-ей гармоники и остаточной индукцией существует в ограниченном диапазоне изменения Вг (см. рис. 14).

На рис. 15 приведена однозначная зависимость между фазой 1 -ой гармоники индукции в ФМ и коэрцитивной силой при заданном значении максимальной индукции Вт = 0,9 Тл. Сравнение этой зависимости с аналогичной на рис. 6 указывает на отсутствие значительного влияния максимальной индукции Вт на характер связи.

остаточная индукция

Рис. 13. Зависимость амплитуды 3-ей гармоники от остаточной индукции

0.595

0.585

0

-18

-19

0.4 0.6 0.8

остаточная индукция

Рис. 14. Зависимость фазы 3-ей гармоники от остаточной индукции

Результаты исследования взаимосвязи между амплитудами и фазами основной и 3-ей гармоник и магнитными параметрами ФМ могут служить основой ре

5 . -5

I 3

О ьТ -10

М

л 1

-15

т > -20

8 | а * -25

коэрцитивная сила, А/м

Рис. 15. Зависимость фазы 1-ой гармоники индукции от коэрцитивной силы при Вт=0,9 Тл

комендаций по выбору метода контроля ФМП и соответствующей аппаратуры.

Библиографический список

1. Бессонов Л. А. Электрические цепи со сталью. М. - Л.: ГЭИ, 1948.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. М.: Энергия, 1964.

3. Городецкий П. Г. Обзор аналитических выражений кривых намагничивания и гистерезисных петель. Киев: Воениздат, 1956.

0

-30