Алгоритмы оптимизации топологии силовых конструкций

Том XЬїї

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011

№ 2

УДК 529.7.015.4

АЛГОРИТМЫ ОПТИМИЗАЦИИ ТОПОЛОГИИ СИЛОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

В. В. СЫСОЕВА, В. В. ЧЕДРИК

Представлены два эвристических метода оптимизации топологии конструкций. Они основаны на применении критерия равнопрочности, используемого на практике для определения рациональных параметров конструкции с учетом ограничений по прочности. Рассмотрены особенности разработанных алгоритмов и проведен сравнительный анализ результатов оптимизации с известными решениями по другим алгоритмам.

Ключевые слова: оптимизация топологии, критерии оптимальности, полностью напряженная конструкция, много случаев нагружения.

При проведении проектировочных исследований авиационных конструкций важную роль играют методы оптимизации силовых конструкций, которые позволяют отыскивать рациональное распределение материала с учетом многочисленных функциональных ограничений. В качестве проектных переменных при оптимизации выступают поперечные размеры силовых элементов, геометрические параметры и в частности параметры, определяющие топологию силовой конструкции. Существуют три типа задач оптимизации конструкции: 1) определение оптимального распределения размеров элементов при неизменной геометрии и топологии конструкции; 2) оптимизация размеров элементов и геометрии (формы) конструкции; 3) оптимизация топологии конструкции с последующим определением формы и размеров элементов. В отличие от оптимизации формы и размеров силовых элементов топологическая оптимизация позволяет найти оптимальное распределение материала в заданной проектной области при определенных нагрузках и граничных условиях.

Направление оптимизации топологии возникло сравнительно недавно с появлением высокопроизводительных вычислительных машин. Впервые подробная постановка задачи оптимизации топологии была рассмотрена в 1988 г. в работе [1], которая и поныне является основополагающей в данной области. С тех пор методы топологической оптимизации быстро развиваются и в последние годы широко используются в практике проектирования. Обширный обзор методов оптимизации топологии конструкций приведен в работах [2 — 4]. Большинство исследовательских работ основываются на предложенном в [1] методе гомогенизации, в котором заданная проектная область разбивается на конечные элементы. Затем вводится функция плотности материала, которая определяет процентное отношение используемого материала в определенных местах проектной области.

Оптимальное распределение плотности для каждого элемента определяется из ограничений на главные напряжения [4]. Основным недостатком метода гомогенизации является появление областей с чередующимися элементами

СЫСОЕВА Вера Владимировна

магистр, аспирант МФТИ, ОАО «Московский вертолетный завод им. М. Л. Миля»

ЧЕДРИК Василий Васильевич

кандидат технических наук, доцент, начальник отдела ЦАГИ

с высокой и низкой плотностью материала. Это приводит к вопросу, как интерпретировать полученное распределение материала в таких областях с точки зрения изготовления конструкции. В работах [5 — 7] представлены так называемые SIMP-методы топологической оптимизации. Они основаны на разбиении рассматриваемой области конечными элементами с заданием переменной плотности материала для каждого элемента. Модуль упругости материала в элементе связан степенным законом с плотностью материала элемента. Использование степени величиной больше единицы позволяет налагать штраф на элементы, в которых появляются промежуточные плотности материала в процессе оптимизации, приводя таким образом к финальной конструкции с плотностями, близкими к нулю или единице. Оптимизация топологии обычно применяется на концептуальной стадии проектирования. Здесь в качестве оптимизируемой функции рассматривается величина потенциальной энергии системы (податливость) или перемещение узлов, а ограничение накладывается на объем используемого материала.

Решение задач оптимизации топологии может быть найдено путем применения различных методов математического программирования. Однако математическое программирование может быть недостаточно эффективным и часто непригодным в задачах поиска оптимальной конструктивно-силовой схемы. В этом случае использование отдельных критериев оптимальности может решить поставленную задачу [8]. Многие из разработанных методов оптимизации топологии были успешно применены при проектировании конструкций [9, 10].

Отметим, что точные решения задач оптимизации топологии в большинстве случаев неизвестны. Поэтому для их практического применения необходима разработка приближенных численных решений. В этом случае практические задачи могут быть сформулированы в стандартном виде минимизации целевой функции с удовлетворением функциональным ограничениям. Этим они существенно отличаются от задач оптимизации потенциальной энергии, которая для инже-нера-проектировщика не имеет принципиального значения. Первые подходы к решению задач топологической оптимизации с учетом ограничений на напряжения были заложены в работе [11, 12], где рассматривается так называемый «эволюционный» метод оптимизации конструкции ESO. В данной статье задача определения оптимальной топологии решается на основе применения метода получения равнопрочных конструкций. В отличие от традиционных подходов, в которых определяются плотности материала элементов, построены алгоритмы с удалением ненужных элементов и одновременным или последующим определением толщин оставшихся элементов. Алгоритмы реализованы в виде программы и проверены на ряде примеров оптимизации конструкций.

1. Постановка задачи оптимизации топологии. Общий процесс оптимизации конструкции включает как отдельный этап оптимизацию топологии, направленную на поиск рациональной конструктивно-силовой схемы при действии определенных экстремальных нагрузок. Затем результаты топологической оптимизации должны быть интерпретированы инженерами-разработ-чиками САПР-модели. Второй этап состоит в детальной реализации полученной топологической концепции. На данном этапе выполняется оптимизация формы конструкции и определяются рациональные поперечные размеры силовых элементов, таких как толщины пластин и размеры сечений балочных элементов, с учетом дополнительных функциональных ограничений. Общая схема получения оптимальной конструкции показана на рис. 1.

Будем считать, что у нас заданы общие геометрические обводы механического элемента, где может находиться силовая конструкция (проектная область). Конструкция предполагается закрепленной в определенных областях и подверженной нагрузке в общем случае внешними силами для нескольких случаев нагружения. Проектную область подробно разобьем на конечные элементы с целью применения конечноэлементного подхода для расчета перемещений и напряжений.

Наиболее популярный подход при определении оптимальной конструкции состоит в минимизации функции податливости или потенциальной энергии

Рис. 1. Схема оптимизации силовой конструкции

деформации при ограничении на заданный объем конструкции. Математически формулировка задачи оптимизации конструкции выглядит следующим образом:

найти

шш { т и

при ограничении

|р х сЮ. <М0.

Здесь { — вектор внешней нагрузки; и — вектор перемещений; р х — плотность материала в рассматриваемой проектной области; О — множество элементов проектной области; М0 — величина, ограничивающая массу силового материала. Решение задачи оптимизации строится на введении в каждом конечном элементе проектной переменной х, которая связывает модуль Юнга и плотность каждого конечного элемента конструкции при помощи следующих соотношений: р х ~ р0х, Е х = Е0хр, где р0 и Е0 —исходные плотность и модуль Юнга материала, р — показатель штрафа для выделения необходимых и ненужных элементов конструкции. Постановка задачи (1) предполагает наличие только одного случая нагружения. В то же время часто проектируемая авиационная конструкция должна воспринимать различные нагрузки, и при этом действующие в ее элементах напряжения должны быть ниже допускаемых значений.

Поэтому рационально рассматривать постановку задачи о нахождении минимума массы конструкции при ограничениях на действующие напряжения во многих случаях нагружения. Математическая формулировка такой задачи оптимизации при двухмерном моделировании конструкции методом конечных элементов выглядит следующим образом:

найти

П

ттМ = ^р;/17,

2=1

при ограничениях

к = \,п, т = 1,Л^С;

Ь-ки г=\п.

Здесь ^ — проектная переменная (толщина двухмерного элемента); рг — плотность материала; /; — площадь в плане /-го элемента; а/:т — эквивалентное напряжение в к-ом элементе при действии нагрузок т-то расчетного случая; ак — допускаемое по условиям прочности и ресурса напряжение в к-ом элементе; Мс — количество расчетных случаев нагружения.

Приведенная формулировка является стандартной для задачи по определению оптимальных размеров силовых элементов. Если установить, что минимальные толщины проектных переменных могут достигать нулевого значения /()1 = О, / = 1, п, то некоторые элементы конструкции, представляющей собой проектную область, могут исчезать и формулировка задачи (2) — (4) превращается в формулировку задачи поиска оптимальной топологии. Другими словами, мы хотим оставить в конструкции только те элементы, которые определяют оптимальные способы передачи сил на опоры.

Непосредственное решение задачи (2) — (4) весьма затруднительно ввиду нелинейности системы уравнений, получаемой из необходимых условий Куна — Таккера. Наличие ограничений в виде нулевых минимальных толщин проектных переменных усложняет вычисление градиентов функций напряжений, необходимых для применения методов нелинейного программирования. Поэтому здесь решение задачи оптимизации (2) — (4) строится на основании известного

эвристического алгоритма равнопрочности. Ниже представлены два алгоритма оптимизации топологии конструкции.

2. Алгоритмы решения задачи. Эвристическим критерием оптимальности нагруженной конструкции является то, что каждый ее элемент должен быть нагружен до предела прочности. Этот критерий часто используется в процедурах оптимизации для уменьшения избытков прочности и массы конструкции. С учетом конструктивных ограничений (4) формула для пересчета проектных переменных по алгоритму равнонапряженности имеет вид:

(

/У+| = тах

тах

/V т

где ст* — значение допускаемого напряжения, V — номер итерации. В классическом методе полностью нагруженных конструкций ст* = ст,. г = \. п. Результаты исследований в [13] показали, что в алгоритме оптимизации с компенсацией нарушенных ограничений по прочности величину ст*

можно задавать постоянной для всех элементов в диапазоне ттст( < ст* < тах ст( для разделения

/ І

элементов на «недогруженные» и «перегруженные». Затем эта же формула применяется для увеличения толщин элементов в «перегруженных» элементах, чтобы компенсировать нарушенные ограничения по прочности. В этом случае уже используются заданные допускаемые напряжения для элементов. При наличии различных материалов и многих случаев нагружения алгоритм с компенсацией нарушенных ограничений может привести к конструкции с массой много меньшей, чем получается при использовании классического алгоритма равнопрочности. Поиск оптимальной топологии в рамках решения двухмерной задачи теории упругости предлагается производить также с использованием зависимости (5) как для выявления активных элементов, так и для компенсации в них нарушенных ограничений по напряжениям. При этом во избежание неустойчивости решения величина минимальных толщин должна быть установлена достаточно малой, отличной от нуля. Удаление слабо нагруженных элементов из конечно-элементной сетки приводит к формированию рациональных путей передачи нагрузок и уменьшению статической неопределимости конструкции. Появляются выраженные стержневые структуры, обладающие меньшей массой при удовлетворении ограничений по напряжениям.

Первый алгоритм оптимизации топологии силовой конструкции состоит из следующих шагов:

1. Производится расчет конструкции, моделируемой двухмерными мембранными конечными элементами, определяются напряжения в центральных точках элементов для заданных случаев нагружения.

2. Определяется перегруженность в элементах как отношение эквивалентных напряжений Мизеса к заданным допускаемым напряжениям в элементах или к условному среднему уровню допускаемых напряжений при наличии различных материалов.

3. Новая толщина мембранного элемента рассчитывается как произведение старой толщины на коэффициент перегруженности (как представлено в зависимости (5)); в случае различных материалов производится цикл статических расчетов для определения напряженного состояния и компенсации нарушенных ограничений по напряжениям с применением (5) для перегруженных элементов.

4. Шаги 1 — 3 повторяются до тех пор, пока какие-нибудь из элементов не достигнут величины, меньшей, чем наперед заданное малое значение; такие элементы удаляются из конечноэлементной сетки; при удалении конечного элемента из сетки проверяется, принадлежат ли узлы этого элемента какому-нибудь из оставшихся элементов. Если узел не принадлежит ни одному из оставшихся элементов, то он также удаляется из сетки (или фиксируется по всем степеням свободы).

5. Сходимость процесса определяется величиной нарушения ограничений по напряжениям для всех рассматриваемых случаев нагружения, а также близостью целевой функции (массы) на соседних итерациях. Если данные критерии сходимости не удовлетворяются, то переходим к шагу 1, в противном случае процесс оптимизации завершается.

Удаление конечных элементов и узлов из сетки на шаге 4 существенно уменьшает размерность системы линейных уравнений при продвижении к оптимальной конструкции и повышает эффективность задачи оптимизации топологии конструкции. На шаге 2 перегруженность в элементах может определяться на основе других критериев, например, критерия Цая — Хилла для ортотропных слоев композиционного материала. Алгоритм оптимизации топологии конструкции был реализован в рамках системы многодисциплинарного проектирования АРГОН [14].

Отметим, что применение алгоритма пересчета (5) также возможно при задании конструктивных ограничений на постоянство толщин элементов в определенных областях конструкции. В этом случае пересчет толщины элементов области производится по максимальной перегруженности среди всех элементов этой области. Изменение топологии конструкции в таких областях может производиться на основе анализа соотношения между минимальными и максимальными напряжениями. Такой подход положен в основу второго алгоритма оптимизации топологии. Основные его шаги являются следующими:

1. Заданная проектная область подробно разбивается на конечные элементы, определяются критерии процесса оптимизации.

2. Определяется напряженное состояние на основе конечно-элементного статического расчета.

3. Определяются перегруженности в элементах и удаляются наиболее недогруженные элементы.

4. Вычисляется отношение минимальной перегруженности к максимальной перегруженности в конструкции. Если оно меньше заданной величины, то имеются недогруженные элементы. В таком случае переходим к шагу 2, в противном случае процесс оптимизации завершается.

5. Для двухмерных мембранных элементов для полученной топологии производится перерасчет их толщин на основе формулы (5). Вычисляется масса конструкции.

Представленный алгоритм оптимизации топологии был реализован в виде программы, использующей программу MSC.Nastran для определения напряженного состояния в элементах проектной области. Преимуществом второго алгоритма является то, что он может быть использован при решении трехмерных топологических задач.

Два разработанных алгоритма были апробированы на ряде тестовых примеров и применены для оптимизации топологии нервюры крыла большого удлинения.

3. Тестовые примеры оптимизации топологии. Пример 1. В качестве проектной области рассматривается прямоугольная пластина (рис. 2). Она закреплена в трех узлах на левой границе от перемещений в двух направлениях, а к одному узлу внутри пластины была приложена вертикальная сила Р = 5000 кГс. Точка приложения силы находилась на одном уровне с центральным узлом закрепления. Конструкция выполнена из алюминиевого сплава с модулем упругости Е = 7200 кГс/мм2 и коэффициентом Пуассона V = 0.3. Допускаемые напряжения в элементах равнялись 40 кГс/мм .

Рис. 2. Размеры проектной области (в мм), нагрузка и закрепление

Для оптимизации топологии конструкции была создана достаточно подробная конечноэлементная (КЭ) модель плоской пластины. КЭ модель содержит 5000 элементов (50 х 100) и 5151 узел. Моделирование пластины производилось четырехугольными мембранными элементами. Применяемый материал имеет изотропные свойства.

Сначала расчеты с заданными условиями нагружения и узлами закрепления проводились с помощью блока оптимизации топологии в программе MSC.Nastran. Определялась топология, соответствующая минимуму податливости при заданном ограничении на массу конструкции. На рис. 3 представлены три полученных решения, соответствующие различным ограничениям по массе (М — процентное отношение получаемой массы к начальному значению массы).

Как видно из картины распределения плотностей материала, при уменьшении параметра массы М происходит резкое уменьшение количества материала в зоне, близкой к точке приложения силы. Такая топология является трудной для инженерной интерпретации.

При решении задачи с использованием первого алгоритма уровень допускаемых напряжений был задан одинаковым для всех элементов. Минимальная толщина элементов, при которой производилось удаление элементов, равнялась 10 4 мм. Оптимальная топология конструкции для этого случая приведена на рис. 4.

Полученные конструкции с помощью второго алгоритма, основанного на отношении напряжений, представлены на рис. 5. Различные топологические схемы получаются в зависимости от параметра 8, представляющего собой отношение минимального эквивалентного напряжения к максимальному эквивалентному напряжению, при котором процесс изменения топологии прекращается. Как видно из рисунков, конструкция с удалением большого количества элементов получается при большом значении параметра 8. При этом минимальная масса конструкции с постоянной толщиной элементов соответствует четвертой силовой схеме.

Оптимизация распределения толщин по элементам показывает, что наименьшую массу имеет конструкция, полученная при 8 = 0.03. Как видно из картины распределения толщин на рис. 4, аналогичная конструкция получена с помощью первого алгоритма. Масса оптимизированной конструкции с топологией, соответствующей 8 = 0.05, превышает массу лучшей конструкции более чем в 2 раза.

М = 60% М = 40%

Рис. 3. Варианты оптимальной топологии конструкции, полученные в программе Ка81хап

Рис. 4. Распределение толщин в конструкции с оптимальной топологией

є = 0.01

є = 0.02

є = 0.03

є = 0.05

Рис. 5. Варианты топологии конструкции, полученные с помощью второго алгоритма

Пример 2. Здесь проектная область такая же, как и в примере 1. Закрепление производится в шести узлах (рис. 6). К одному узлу внутри области приложена вертикальная сила Р = 10 000 кГс. Точка приложения силы находится на одном уровне с центральными узлами закрепления, причем ближе к правой тройке закрепленных узлов. Упругие константы материала и допускаемые напряжения принимались такими же, как и в первом примере.

Топология конструкции, соответствующая минимуму податливости при ограничении на массу конструкции (М = 50%), показана на рис. 7. В кружках указана часть полученной конструкции, которая, очевидно, не рациональна с точки зрения минимизации массы при заданном уровне напряжений. Такая топология объясняется тем, что при решении данной задачи поиск решения производится путем минимизации потенциальной энергии деформации конструкции и не учитываются ограничения на напряжения.

Совместная оптимизация топологии и толщин элементов с помощью первого алгоритма привела к конструкции, изображенной на рис. 8. Здесь удаление конечного элемента из сетки производилось при минимальной толщине, равной 10 6 мм. В отличие от конструкции, показанной на рис. 7, нижняя и верхняя границы в центре проектной области являются гладкими, и часть материала в этой области удалена из границ. Намечается удаление левого центрального узла закрепления. Образовавшиеся отверстия в обеих конструкциях по форме близки.

Рис. 6. Размеры проектной области (в мм), нагрузка и закрепления

Р(*)/Ро

1.00+000 9.39-001 8.78-001 8.17-001 7.55-001 6.94-001 6.33-001 5.72-001 5.11-001 4.50-001 3.89-001 3.28-001 2.66-001 2.05-001 1.44-001 8.30-002!

I

Рис. 7. Оптимальная топология конструкции по критерию минимума податливости

Рис. 8. Распределение толщин в конструкции с оптимальной топологией

Решение задачи на основе второго алгоритма для различных параметров е приведено на рис. 9.

В данном случае конструкция минимальной массы с максимальным эквивалентным напряжением, меньшим, чем заданный уровень допускаемых напряжений, соответствует схеме, полученной с параметром с = 0.05. Отметим, что она весьма близка к схеме, полученной с применением первого алгоритма. Напряжения, возникающие в ней под действием приложенной силы, хорошо согласуются с картиной распределения толщин при оптимизации по первому алгоритму.

8 = 0.03 8 = 0.04

Рис. 9. Варианты топологии конструкции, полученные с помощью второго алгоритма

Пример 3. Предложенные два алгоритма оптимизации могут быть легко применены для многих случаев нагружения и различных типов ограничений на напряжения. В качестве ограничений могут быть различные критерии для различных зон проектной области, например, эквивалентные напряжения по Мизесу, плотности энергии деформации, перегруженность по критерию Цая — Хилла в ортотропных материалах. В этом примере продемонстрировано применение второго алгоритма, когда в одной и той же конструкции имеются два различных материала с различными допускаемыми напряжениями в двух подобластях. На рис. 10 показана проектная область, состоящая из двух подобластей, симметричных относительно вертикальной оси. Предельное напряжение в левой части конструкции примем равным 1 МПа, а в правой части — 1.5 МПа. Конструкция подвергается действию двух случаев нагружения одинаковыми силами с левой и правой стороны (рис. 10). Нагрузка 3Н прикладывалась в шести ближайших узлах, чтобы избежать концентрацию напряжения в области ее приложения. Расчет производился с использованием квадратных билинейных элементов, работающих в плоском напряженном состоянии. Толщина всех элементов выбиралась равной 1 мм. Модуль упругости — 1 МПа, коэффициент Пуассона — 0.3.

Сходимость оптимизационного процесса была достигнута за 350 итераций (конечно-элементных расчетов). На рис. 11 представлена полученная оптимальная топология конструкции. Как видно, задача оптимизации топологии при наличии многих случаев нагружения и различных критериях по напряжениям решается без значительных затруднений с помощью разработанного алгоритма. Конструкция имеет ферменную схему с большей площадью поперечного сечения в подобласти с меньшим допускаемым напряжением. Недостатком полученной конструкции

Рис. 10. Параметры задачи оптимизации

Рис. 11. Оптимальная топология конструкции при действии двух случаев нагружения и наличии различных допускаемых напряжений

является наличие концентраторов напряжений в местах излома проектной области. Это обусловлено тем, что алгоритм, основанный на отношении напряжений, не может удалить элементы в зоне высоких напряжений и сгладить прямой угол для уменьшения концентрации напряжений.

Тем не менее, применение алгоритма позволяет найти рациональное распределение материала в конструкции. При этом только толщины элементов в локальной зоне концентратора необходимо увеличить для удовлетворения ограничениям по прочности. Это не приведет к большому росту массы конструкции.

4. Оптимизация топологии нервюры крыла. Второй алгоритм оптимизации топологии применялся в практике проектирования нервюры крыла современного пассажирского самолета. Несмотря на широкое использование оптимизации топологии, в последнее время было сделано лишь несколько попыток решить подобную задачу в работах [10, 15].

Действующие нагрузки на конструкцию нервюры в основном обусловлены общим изгибом крыла и кручением. Условно нагрузки показаны на рис. 12.

При изгибе крыла элементы верхней и нижней панелей стремятся сблизиться друг с другом, чему препятствуют нервюры. Погонную сжимающую нагрузку на нервюру с/а можно рассчитать по формуле [16]:

%='

ЬаМ'ъ Д./ ./

У,

с ?^стр

где о = -

— приведенная толщина панели крыла; ^/схр — общая площадь стрингеров; В — расстояние между лонжеронами; 50 — толщина обшивки; а — расстояние между нервюрами; Мъ — изгибающий момент; Ш — жесткость на изгиб; J — момент инерции сечения.

Нервюра также нагружается погонными касательными усилиями от крутящего момента в соответствии с известной формулой Бредта:

% =

2І7’

Рис. 12. Проектная область нервюры и нагрузки

где М — крутящий момент в сечении нервюры и ¥ — площадь сечения нервюры.

Проектная область нервюры разбивалась на 2750 четырехугольных билинейных элементов. Оптимизация топологии проводилась в прог-

Р л' /Рощ

1 оо+оооИ 9.39-ОСпВ 8 78-001И

8.17-00

7.65-001^

6 94-001И 6 33-001И 6.72-00^

6 п-осоИ 4.60-001В 3.89-001И 3.28-001!

2 66-001И 2 06-001И

1.44-001 II 8.30-00а_

Рис. 13. Оптимальная топология по критерию минимума податливости

рамме Nastran, где в качестве целевой функции выступала функция податливости. Распределение плотностей материала по проектной области показано на рис. 13. Полученную картину распределения материала можно интерпретировать как ферменную конструкцию с двумя массивными крестообразно расположенными стержнями и двумя более слабыми подкосами внутри области нервюры.

При использовании второго алгоритма, представленного в этой работе, получены два альтернативных варианта топологии, показанных на рис. 14. Несмотря на простоту инженерного интуитивного подхода, заложенного в разработанном алгоритме, он приводит к реРис. 14. Два варианта оптимальных топологий нервюры шениям, аналогичным получаемой конструкции

при минимизации податливости с использованием методов нелинейного программирования. В первом варианте получается ферменная конструкция с относительно тонкостенными подкосами (их максимальная толщина составляет примерно половину от максимальной толщины). Отметим, что при дальнейшей оптимизации элементы в центральной части (подкосы) исчезают. Получается оптимальная с точки зрения топологии конструкция, представляющая собой раму с четырьмя массивными дугообразными стержнями.

После масштабирования толщины элементов по отношению максимального напряжения к допускаемой величине напряжения были получены массы двух конструкций. Масса конструкции со вторым вариантом топологии более чем на 20% меньше, чем с первым вариантом.

Заключение. Разработанные алгоритмы оптимизации топологии силовых конструкций, основанные на применении простого критерия равнопрочности, позволили получить рациональные силовые схемы для двухмерных задач. Показано, что они могут быть использованы при действии многих случаев нагружения и различных допускаемых напряжениях в элементах конструкции. Практическое применение реализованных алгоритмов продемонстрировано на решении задачи поиска рациональной топологии нервюры. Сравнение найденной конструкции с оптимальной топологией, получаемой в программе MSC.Nastran, показало их хорошее согласование. Представленные здесь эвристические методы оптимизации топологии являются робастными и достаточно эффективными при учете только ограничений по прочности. Включение других критериев в задачу оптимизации потребует определенной модификации алгоритмов и разработки новых подходов.

1. Bends 0 e M. P., Kikuchi N. Generating Optimal Topologies in Structural Design Using a Homogenization Method. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 1988, 71(2), p. 197 — 224.

2. B e n d s 0 e M. P., S i g m u n d O. Topology optimization: theory, methods, and applications. — Springer, Berlin, Germany, 2003, ISBN-3540429921, 376 p.

3. Saitou K., Izui K., Nishiwaki S., Papalambro s P. A survey of structural optimization in mechanical product development // J. of Computing and Information Science in Engineering, September 2005. V. 5, p. 214 — 226.

4. Diaz A. R., Kikuchi N. Solutions to Shape and Topology Eigenvalue Optimization Using a Homogenization Method // Int. J. Numer. Methods Eng., 1992, 35, p. 1487 — 1502.

5. Bends 0 e M. P. Optimal shape design as a material distribution problem // Structural Optimization, 1989, 1, p. 193 — 202.

6. R o z v an y G. I. N., Zhou N., Sigmund O. Topology Optimization in Structural Design. In: Advances in Design Optimization. — Adeli, 1994, London, p. 240 — 299.

7. Yang R. J., Chahande A. I. Automotive applications of topology optimization // Structural Optimization, 1995, 9, 3-4, p. 245 — 249.

8. R o z v a n y G. I. N. Structural design via optimality criteria. — Kluwer, Dordrecht, 1989,

p. 463.

9. Eves J., Toropov V. V., Thompson H. M., Gaskell P. H., Doherty J. J., Harris J. C. Topology optimization of aircraft with non-conventional configurations // 8th World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization. — June 1 — 5, 2009, Lisbon, Portugal, p. 1 — 9.

10. Krog L., Grihon S., Marasco A. Smart design of structures through topology optimization // 8th World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization. — June 1 — 5, 2009, Lisbon, Portugal, p. 1 — 9.

11. Xie Y. M., Steven G. P. A simple evolutionary procedure for structural optimization // Computers&Structures. 1993. V. 49, N 5, p. 885 — 896.

12. Huang X., Xie Y. M. Evolutionary topology optimization of continuum structures: methods and applications. — Wiley, 2010, p. 223.

13. Липин Е. К., Фролов В. М., Чедрик В. В., Шапыгип А. Н. Алгоритм оптимизации силовых конструкций по условиям прочности с компенсацией нарушенных ограничений // Ученые записки ЦАГИ. 1988. Т. XIX, № 1, с. 58 — 66.

14. Евсеев Д. Д., Липип Е. К., Чедрик В. В., Ишмуратов Ф. З. и др. Комплекс программ аэропрочностного проектирования «АРГОН» // Ученые записки ЦАГИ. 1991. Т. XXII, № 5, с. 89 — 101.

15. Oliveira A., Krog L. Implementation of FEA in the minimum weight design process of aerostructures // Proceedings of NAFEMS World Congress. — 2005, Malta.

16. Зайцев В. Н., Рудаков В. Л. Конструкция и прочность самолетов. — Киев: Вища школа, 1978, с. 488.

Рукопись поступила 9/VI2010 г.