Исследование влияния удлинения призмы на её аэродинамические характеристики и амплитуду колебаний при галопировании

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ УДЛИНЕНИЯ ПРИЗМЫ НА ЕЁ АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И АМПЛИТУДУ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ГАЛОПИРОВАНИИ

В. Д. Люсин1, А. Н. Рябинин2

1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, lyusinv@yandex.ru

2. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., Anatoly.Ryabinin@pobox.spbu.ru

Введение. Проблема галопирования плохообтекаемых тел получила свое развитие в середине XX века. Причиной активизации исследований стали разрушения некоторых конструкций того времени, в частности, моста Такома Нэрроуз [1]. Одной из первых работ в области моделирования галопирования стала работа Паркинсона и Брукса [2]. Более полная модель галопирования упругозакрепленного плохообтекаемого тела в потоке газа была предложена в работе Паркинсона и Смита [3]. В упомянутых работах изучалось галопирование прямоугольной призмы с квадратным поперечным сечением. Позднее Новак [4] исследовал призмы с прямоугольным сечением. В дальнейшем много работ было посвящено исследованию цилиндров с различными основаниями. Примерами исследований могут служить работы Алонсо [5-8] и его соавторов. Несомненно, важными с инженерной точки зрения являются исследования тел с круговым и близким к нему сечениями, так как в строительстве часто встречаются подобные объекты (например, кабели с намерзшим на них льдом) [9-11]. Изучалось галопирование призм при малых числах Рейнольдса [12].

В работах, упомянутых выше, рассматривались тела бесконечного удлинения. Влияние удлинения на характер галопирования изучено слабо. Однако телами малого удлинения являются, например, гондолы подвесных канатных дорог [13]; колебания гондол под действием ветра необходимо прогнозировать для обеспечения безопасности их эксплуатации. Целью работы является измерение в аэродинамической трубе сил, действующих на стационарно закрепленные призмы различного удлинения, в зависимости от углов атаки и исследование на основе изложенной ниже модели режимов колебаний упруго закрепленной призмы.

Математическая модель. Пусть ось г перпендикулярна основанию призмы. Призма может совершать колебания только вдоль оси у. Набегающий поток имеет постоянную скорость V и направлен вдоль оси х. Призма имеет массу т и размеры Ь в длину (вдоль оси г)иН в ширину и высоту (вдоль осей х и у соответственно). Смещение призмы от положения равновесия равно у. Призма удерживается упругой подвеской с жесткостью к и с вязким демпфированием, которому соответствует тормозящая сила гу. Эта сила всегда направлена против скорости призмы у. Принимается квазиста-тическое приближение, согласно которому аэродинамические коэффициенты зависят только от мгновенных углов атаки. Тогда нормальная составляющая аэродинамической силы, действующая вдоль оси у, равна Спврою2/!. Здесь ро —плотность среды, в = НЬ — площадь фронтальной поверхности призмы, Сп —коэффициент нормальной

© В. Д. Люсин, А. Н. Рябинин, 2011

силы, уг — скорость призмы относительно среды. Эта скорость складывается из собственной скорости призмы (0, у) и скорости набегающего потока, взятой с обратным знаком (—V, 0). Тем самым, относительная скорость и тангенс угла атаки вычисляются следующим образом:

^/1+1 -

V

„ 2

У \ . У

tga =-------.

V

Уравнение движения призмы в перпендикулярном набегающему потоку направлении имеет вид

ту + гу + ку = СиВ

2

Роуг 2 '

Коэффициент аэродинамической силы во многих работах [3, 12, 14] представляется в виде степенного ряда по углам атаки или по тангенсам угла атаки. Однако для призм малого удлинения такое представление, как будет показано ниже, хорошо описывает экспериментально найденные зависимости Сп^ а) только при малых углах атаки. В настоящей работе предлагается следующая аппроксимация зависимости Сп ^ а):

Сп = Бої + Віtg а, если tg а < —ш,

Сп Aг(tg а)г, если — ш< tg а<ш,

=0,1,3,

Сп = В02 + Bіtg а, если tg а > ш.

Уравнение движения призмы (1) можно переписать в безразмерном виде, выбирая в качестве единицы времени у/т/к, а в качестве единицы длины 2гу^т/(ров\/Ъ) :

У + У = р[С^2 — У , р = г/\/т

где У и V — безразмерное поперечное смещение призмы и безразмерная скорость потока.

Процедура Крылова—Боголюбова [15] в первом приближении приводит к системе дифференциальных уравнений для медленно меняющихся амплитуды р и фазы р колебаний:

Аі

Р= —Р

I ^ ^ , 3 Аз з 1 5 ^5 д 1

1—Р + а!—зР +

Аі) 4 AlV 8 AlV3

Р

2 п \2 п п

2

(р \ . р2

+А\і/ (---------------$) + Аз —

\п п / V

3о ши /3 3w2v2

—я---------5 - н---------т-

47г 7г ^4 2р2

+а5 4

V3

5р ши (5 5ш V ш V

87Г 7г у 8 \2р2 3/э4

р Р = o,

+

... ,

+

если — > гу,

V

где

Я = агсБІп

V

г

2

ш2 V2

шv

р

р

В настоящей работе рассматриваются призмы с квадратным сечением, но математическую модель можно применять и к описанию колебаний плохообтекаемых тел иной формы, в том числе несимметричных. Если тело несимметричное, в разложении для коэффициента нормальной силы по степеням тангенса угла атаки присутствуют четные члены, однако после применения процедуры Крылова—Боголюбова соответствующие им слагаемые равны нулю. Таким образом, предположение о симметричности тела не сужает общности модели. Применение метода Крылова—Боголюбова возможно, если аэродинамическая сила и сила сопротивления подвески малы по сравнению с упругими силами подвески. В этом случае колебания тела близки к гармоническим, и характерное время изменения амплитуды колебаний много больше периода колебаний. Из первого уравнения (4) следует, что решение, соответствующее отсутствию колебаний, р = 0, становится неустойчивым, когда безразмерная скорость потока V превосходит критическое значение V* = —Х/Ах > 0. Другие решения, соответствующие колебаниям с постоянной амплитудой, можно найти, разделив правую часть первого уравнения (4) на р и приравняв ее и правую часть второго уравнения нулю.

Таким образом, для описания колебаний призмы в потоке необходимо измерить зависимость аэродинамических коэффициентов нормальной силы от угла атаки и определить параметры и>, А*, В01, В02, В2.

Результаты эксперимента. Для проведения исследований было выбрано несколько призм с квадратным основанием. Удлинение призм менялось от 1 до 20. Две призмы с удлинениями Л =10 и Л = 20 испытывались также с концевыми шайбами. Эксперимент проводился в аэродинамической трубе с открытой рабочей частью. Числа Рейнольдса (Ие) во время испытания находились в диапазоне от 0,6 х 105 до 2 х 105. Призмы были жестко закреплены на проволочной подвеске аэродинамических весов. Измерения аэродинамических сил велись при углах атаки от —30° до 30° через каждый градус.

Рисунок 1 иллюстрирует преимущества предлагаемой аппроксимации перед полиномиальной для призм небольшого удлинения. В области больших углов атаки эти преимущества очевидны. Отчетливо видна также характерная особенность экспериментально полученных зависимостей коэффициента нормальной аэродинамической силы призм малого удлинения от угла атаки: симметричные призмы при нулевом угле атаки обтекаются несимметрично. Вероятно, несимметричное обтекание вызывается небольшими погрешностями изготовления макетов.

На рис. 2 приведены аппроксимации зависимости коэффициента нормальной силы от тангенса угла атаки для призм различного удлинения.

Область углов атаки, в которой знак угла атаки противоположен знаку Сп, увеличивается с увеличением удлинения Л до 10. В этой области нормальная составляющая аэродинамической силы направлена в ту же сторону, что и скорость призмы. Таким образом, аэродинамическая сила совершает положительную работу, и энергия колебательной системы увеличивается. Наличие такой области и является причиной галопирования. Максимальное значение Сп в рассматриваемом диапазоне углов атаки также увеличивается с ростом удлинения до Л = 10. Однако для призмы удлинения Л = 20 максимальное значение коэффициента меньше, чем для удлинения Л = 10.

Таблица полученных коэффициентов приведена ниже.

На рис. 3 отчетливо видна тенденция увеличения амплитуды с ростом удлинения до Л = 10. Этот результат был предсказуем, так как диапазон углов атаки, которым соответствует противоположная по знаку нормальная аэродинамическая сила, шире для

-0.6 -0.3 0.0 0.3 Ід а 0.6

Рис. 1. Сп для призмы удлинения Л = 20: 1 — предлагаемая аппроксимация по

формуле (2), 2 —аппроксимация полиномом седьмой степени, 3 —данные эксперимента.

-0.6

-0.4 -0.2 0.0 0.2 , 0.4

їда

Рис. 2. Сп для призм различного удлинения (Л):

1 — 1, 2 —3, 3 —5 , 4 — 10 и 5 —20.

Л IV Ао ¿1 Аз В 01 Во2 В і

1 0,14 -0,030 -0,288 0 -2450 0,301 -0,399 1,209

3 0,21 -0,039 -0,366 0 -671 0,829 -0,903 2,527

5 0,27 0,006 -0,398 0 -206 1,214 -1,244 3,182

10 0,30 0,016 -0,456 0 -217 2,180 -2,067 5,140

20 0,29 0,067 -0,325 0 -171 1,638 -1,615 4,091

20* 0,27 0,030 -1,698 29,08 -411 1,590 -1,754 4,503

10** 0,25 0,057 -2,127 57,83 -894 1,637 -1,589 4,383

20*** 0,24 -0,001 -2,653 78,80 -1153 1,639 -1,598 4,901

* —с концевыми шайбами диаметром 3,07Н.

** —с концевыми шайбами диаметром 3,63Н. *** —с концевыми шайбами диаметром 4,33Н.

/ —1=1 1=3

1=10 1=20

"'-ч

'у' •

I и

Рис. 3. Амплитуда установившихся колебаний для призм различного удлинения (Л):

1 —1 , 2 —3 , 3 —5 , 4 — 10 и 5 —20.

более длинных призм. Увеличение удлинения до 20 ведет к уменьшению амплитуды. Величина критической скорости, соответствующей возникновению колебаний, уменьшается, когда удлинение увеличивается с 1 до 10, и снова возрастает при увеличении удлинения до 20. При превышении критической скорости нулевые решения р = 0 урав-

нения (4) перестают быть устойчивыми, амплитуда колебаний увеличивается скачком. Для любой из изучаемых колебательных систем при заданной скорости уравнение (4) может иметь одно, два или три решения с постоянной амплитудой колебаний. В последних двух случаях одно из решений является неустойчивым. Во всех случаях существует область гистерезиса, характеризующаяся существованием трех решений, из которых среднее неустойчиво, причем критическая скорость является правой границей области гистерезиса. Нет устойчивых решений с малыми амплитудами при малом превышении критической скорости. Эффект гистерезиса наблюдается во всех случаях, а диапазон скоростей, в котором существует гистерезис, уменьшается, когда удлинение увеличивается от 1 до 10, и вновь возрастает при удлинении 20.

Рисунок 4 иллюстрирует влияние концевых шайб, представляющих собой диски, крепящиеся к торцам призм. Шайбы изменяют Сп{Х,£ а) в области малых углов атаки. Без шайб значения коэффициента нормальной составляющей аэродинамической силы при малых углах атаки малы, а с шайбами значительно от нуля отличаются. Без шайб удовлетворительную аппроксимацию удалось получить, полагая Аз = 0. Присутствие шайб приводит к появлению точки перегиба на зависимости Сп{^^а) в диапазоне углов атаки а\ < w. Удовлетворительную аппроксимацию невозможно получить, принимая коэффициент Аз = 0. Резко увеличивается абсолютное значение коэффициента Ах. Зависимость Сп{^^а) в области малых углов становится подобной зависимости, полученной в работе Паркинсона и Смита [3].

Появление точки перегиба, как это установлено в работе [14], меняет зависимость амплитуды установившихся колебаний от скорости набегающего потока (рис. 5). Критическая скорость уменьшается, уменьшается также диапазон скоростей потока, в котором существует гистерезис. Левая граница области гистерезиса лежит правее критической скорости. Призма, оснащенная концевыми шайбами, может совершать колебания с малыми амплитудами при малом превышении критической скорости набегающего потока.

Для проверки полученных решений применен еще один метод нахождения амплитуды. Уравнение (3) решалось методом Рунге—Кутты при фиксированных значениях жесткости и вязкого демпфирования. Они выбирались такими, чтобы не нарушить

/ % 1 2 /7

ІІ 4-ч //

і

чі 1

':

-0.6 -о.з о.о 0.3 0.6

ід а

Рис.4. Коэффициент нормальной аэродинамической силы для модели Л = 20 с шайбами и без:

1 — без шайб, 2 — с шайбами диаметром 3,07Н, 3 —с шайбами диаметром 4,33Н.

//

/ /У 7 2 3

,р \

0 12 3 4

Рис. 5. Зависимость амплитуды установившихся колебаний от скорости потока. Результаты для модели Л =20 с шайбами и без: 1 — без шайб, 2 — с шайбами диаметром 3,07Н, 3 —с шайбами диаметром 4,33Н.

предположение о малости аэродинамических сил по сравнению с упругими. В качестве функции Cn использовалась кусочно-линейная функция, построенная на основе экспериментальных данных. Расчеты проводились при разных скоростях и начальных данных. Два метода дают довольно близкие результаты.

Заключение. На основе предложенной математической модели галопирования призмы, упруго закрепленной в потоке газа, и экспериментально определенных аэродинамических коэффициентов проведен анализ режимов установившихся колебаний призм различного удлинения.

1. Амплитуда установившихся колебаний при большой скорости потока растет с увеличением удлинения от Л =1 до Л = 10. Однако, далее этот рост прекращается, и начинается обратный процесс, амплитуда колебаний призмы с удлинением 20 меньше, чем призмы с удлинением 10.

2. Критическая скорость уменьшается с ростом удлинения до 10 и затем увеличивается.

3. Призмы малых удлинений не могут совершать колебаний с малыми амплитудами при малом превышении критической скорости набегающего потока. Критическая скорость для призм малого удлинения является правой границей области гистерезиса.

4. Оснащение призм концевыми шайбами, препятствующими перетеканию воздуха через торцы, изменяет зависимость коэффициента нормальной силы от угла атаки в области малых углов атаки. Следствием является необходимость введения дополнительного члена в аппроксимацию коэффициента нормальной силы. Критическая скорость уменьшается, уменьшается также диапазон скоростей потока, в котором существует гистерезис. Левая граница области гистерезиса лежит правее критической скорости. Призма, оснащенная концевыми шайбами, может совершать колебания с малыми амплитудами при малом превышении критической скорости набегающего потока.

5. Результаты, полученные с помощью предложенной аппроксимации зависимости коэффициента нормальной силы от угла атаки и последующего применения метода Крылова—Боголюбова, хорошо соответствуют результатам, полученным непосредственным численным решением уравнений движения методом Рунге—Кутты, таким образом, принятая аппроксимация является удовлетворительной.

Литература

1. Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985.

2. Parkinson G. V., Brooks N. P. On the Aeroelastic Instability of Bluff Cylinders // J. Appl. Mech. 1961. Vol. 28. P. 252-258.

3. Parkinson G. V., Smith J. D. The square prism as an aeroelastic non-linear oscillator // Quarterly J. Mech. Applied Math. 1964. Vol. XVII Pt. 2. P. 225-239.

4. Novak M. Aeroelastic galloping of prismatic bodies // J. Engineering Mech. Division ASCE. 1969. Vol. 95. P. 115-142.

5. Alonso G., Meseguer J., Perez-Grande I. Galloping instabilities of two-dimensional triangular cross-section bodies // Experiments in Fluids. 2005ю Vol. 38. P. 789-795.

6. Alonso G., Meseguer J. A parametric study of the galloping stability of two-dimensional triangular cross-section bodies // J. Wind Engineering Industrial Aerodynamics. 2006. Vol. 94. P. 241-253.

7. Alonso G., Meseguer J., Perez-Grande I. Galloping stability of triangular cross-sectional bodies: A systematic approach // J. Wind Engineering Industrial Aerodynamics. 2007. Vol. 95. P. 928-940.

8. Alonso G., Meseguer J., Valero E. An analysis on the dependence on cross section geometry of galloping stability of two-dimensional bodies having either biconvex or rhomboidal cross sections // European J. Mech. B / Fluids. 2009. Vol. 28. P. 328-334.

9. Gu M. On wind-rain induced vibration of cables of cables-stayed bridges based on quasisteady assumption // J. Wind Engineering Industrial Aerodynamics. 2009. Vol. 97. P. 381-391.

10. Cheng S., Larose G.L., Savage M.G., Tanaka H., Irwin P. A. Experimental study on the wind-induced vibration of a dry inclined cable — Part I: Phenomena // J. Wind Engineering Industrial Aerodynamics. 2008. Vol. 96. P. 2231-2253.

11. Cheng S., Irwin P. A., Tanaka H. Experimental study on the wind-induced vibration of a dry inclined cable — Part II: Proposed mechanisms // J. Wind Engineering Industrial Aerodynamics. 2008. Vol. 96. P. 2254-2272.

12. Barrero-Gil A., Sanz-Andres A., Roura M. Transverse galloping at low Reynolds numbers // J. Fluids and Structures. 2009. Vol. 25. P. 1236-1242.

13. Petrova R. V., Hoffmann K., Liehl R. Modelling and simulation of bicable ropeways under cross-wind influence // Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems. 2007. Vol. 13. N1. P. 63-81.

14. Barrero-Gil A., Sanz-Andres A., Alonso G. Hysteresis in transverse galloping: The role of the inflection points // J. Fluids and Structures. 2009. Vol. 25. P. 1007-1020.

15. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.

Статья поступила в редакцию 30 ноября 2010 г.