К расчету плоских сверхзвуковых профилированных сопл

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIII 1992 № 4

УДК 533.6.071.1:62 — 225

К РАСЧЕТУ ПЛОСКИХ СВЕРХЗВУКОВЫХ ПРОФИЛИРОВАННЫХ СОПЛ

В. П. Верховский

Изложена методика расчета плоских сверхзвуковых профилированных сопл, контуры которых рассчитываются по аналитическим соотношениям. Контуры принадлежат классу сопл, обеспечивающих на выходе разгонных участков радиальное течение газа от плоского сверхзвукового источника при любых допустимых углах наклона прямолинейных образующих 0О. Достоверность методики подтверждается результатами экспериментального исследования течений газа в трех соплах, рассчитанных на число М = 4,0 с углами во = 10, 15 и 20°.

Методике расчета сверхзвуковых контуров плоских профилированных сопл посвящены работы [1—9]. В аэродинамических трубах широкое применение получил класс плоских сверхзвуковых сопл, контуры разгонных участков которых состоят из дуг окружностей в области критического сечения, продолженных затем прямолинейными участками. Как показали расчеты и эксперименты [1, 10], при небольших углах наклона прямолинейного участка 0о^ 10° течение газа на разгонном участке указанных сопл близко к течению от сверхзвукового источника. Последнее позволяет проводить расчет координат выравнивающего участка по простым соотношениям, вытекающим из предположения о радиальности течения газа вдоль замыкающей характеристики второго семейства в конце разгонного участка. Однако при углах 9о> 10° выполнение контура по дуге окружности не обеспечивает с необходимой точностью реализации течения от источника, что приводит к появлению неравномерности потока газа в характеристическом ромбе сопл, рассчитанных с использованием соотношений для радиального течения.

Увеличение углов наклона разгонных участков часто необходимо для уменьшения длины сопл. В работе на первом этапе ставится задача нахождения контуров разгонных участков, реализующих на выходе течение газа от плоского сверхзвукового источника при любых допустимых углах 0о.

1. Расчет изоэнтропических контуров разгонных участков, обеспечивающих на выходе радиальное течение газа от плоского сверхзвукового источника, проводился численно в результате решения обратной задачи, когда задано распределение чисел Мо(х) вдоль оси симметрии сопл. Распределение Мо(дг) задавалось в виде трех кусочно-гладких функций (параболы, линейной функции и зависимости Мо(*), соответствующей течению от сверхзвукового источника):

М„(х) = м, + (М2 - М,) (-£=тг) . *> < * < х2 М„(дс) = М2 + 1(х — х2), х2 < х < *3, *= Я* -^-(М0) — сі, х3 < х < х4,

где л:,, Мі (і = 1 -і- 4) — соответственно границы интервалов и значения чисел М на границах (отсчет х ведется от критического сечения сопла); /?* — радиус окружности критического сечения; сі — расстояние от полюса источника до критического сечения (см. схему сопла на рис. 1); к — постоянный коэффициент;

»+1

к — 1 2(*~1 >

* 1 Г* + ^м21

М * х+ 1 J

— газодинамическая функция; х — показатель адиабаты газа.

В качестве основы для выбранного закона распределения чисел Мо(лг) взято распределение чисел Мр (*) вдоль оси плоских сопл с угловой точкой [11], которое на первом участке от Х\ = 0 до лг2 = 0,5 можно аппроксимировать параболой, на втором участке от хг = 0,5 до х3 = 1,5 — отрезком прямой с угловым коэффициентом X = 0,65, на третьем участке (при достаточно большом расстоянии от критического сечения) —зависимостью М0) (х отне-

сены к Л. — половине высоты критического сечения сопл). Укажем, что выбран-

Рис. 1

ное распределение Мо(х) для плоских сопл по форме полностью совпадает с распределением Мо(дс) для осесимметричных профилированных сопл [12].

Для расчета координат конкретного разгонного участка необходимо определить константы в уравнениях, описывающих распределение чисел Мо(*)> границы интервалов и значения чисел М, на границах интервалов.

В качестве заданных параметров принимались: угол наклона прямолинейного участка 0о и коэффициент к, характеризующий интенсивность разгона потока газа вблизи критического сечения. Для рассмотренного диапазона чисел М = 1,5 -4- 5,0 угол наклона 0О может меняться от 5 до 30°, коэффициент к задавался равным к = 0,208; 0,343; 0,470 и 0,65. Расчет контуров разгонных участков проведен для сопл с половиной высоты критического сечения Н.— 1. При этом вычисления начинались с прямолинейной характеристики, соответствующей числу М1 = 1,01. Пересечение этой характеристики с осью х определяло начало первого интервала = -д/М? — 1. По аналогии с распределением чисел Мо (х) для сопл с угловой точкой значение Х2 принималось равным

к

*2 = 0,5. Значение М2 определялось по зависимости Мг = М1 + -^-(лгг — х\). Из условия равенства расхода газа источника и через критическое сечение сопла имеем следующую связь /?. = Л,/0о. Условие непрерывности первых производных функций Мо {х) на границе второго и третьего интервалов дает уравнение для определения числа М3:

Число М4 определяется из уравнения, связывающего значения чисел М в точках хз и лг4: у(М4) = v(Mз) +2-0о, где у(М) —функция Прандтля—Майера. Для расчета значений хз, с1 и х4 использовались соотношения, следующие из уравнений (1):

На основе рассмотренных распределений чисел Мо(х) вдоль оси рассчитаны контуры разгонных участков сопл, обеспечивающих радиальное течение газа на выходе. При расчете использовался метод характеристик [13] для случая течения совершенного газа с показателем адиабаты х= 1,4.

На рис. 1 представлены кривые производных у' {х) = 1^0 контуров разгонных участков по длине х, полученных при значении коэффициента к = 0,343 и различных углах наклона прямолинейных образующих 0о. Контуры в начале имеют участки с постоянной кривизной, длина которых с возрастанием 0о увеличивается. Затем осуществляется плавный переход контуров на прямолинейную образующую с заданным углом 0о. Значение радиуса кривизны контуров в окрестности критического сечения зависит от коэффициента к. Так, для течения газа с коэффициентами к — 0,268; 0,343 и 0,470 радиус кривизны в начале разгонных участков соответственно равен /?о « 8; 4 и 2. При дальнейшем увеличении коэффициента к до значения к = 0,65 радиус кривизны в окрестности критического сечения стремится к нулю (/?0 = 0). Укажем, что контуры рассмотренных разгонных участков имеют одну единственную точку с углом 0о (нулевую длину прямолинейных образующих). На йси они обеспечивают разгон потока до чисел М = М4, величина которых определяется параметрами к и 0О. При фиксированных к углы наклона 0О являются максимально возможными для реализации потока с числами М4 (обозначим их 0ОМ). На рис. 2 а представлены зависимости 0ОМ от М = М4 для различных /?о, соответствующих рассмотренным значениям к.

5° 10° 11° 20° 25° в0

Рис. 3

При проектировании профилированных сопл с использованием данных разгонных участков в них реализуется однородный поток газа с числами Мс = М4. Приведенные на рис. 2 а кривые 0ОМ = / (М) при заданных значениях М = Мс и /?о могут использоваться для нахождения углов наклона 60М. Длина профилированных сопл с углами 0ОМ для рассмотренного класса сопл будет минимально возможной. На рис. 2 б приведены относительные длины сверхзвуковые частей плоских профилированных сопл на числа М£ = = 1,0 -г- 5,0, Е = ¿/2Н (2Н — высота выходного сечения), имеющих разгонные участки с углами 0ОМ и радиусами /?0 = 0; 2; 4 и 8.

На рис. 2 для сравнения приведены также зависимости углов наклона контура в критическом сечении и длин /, от значений чисел М для сопл с угловой точкой (разрывом производной контура) в критическом сечении (Я = 0), имеющих длину разгонных участков, равную нулю [11].

Профилированные сопла на заданные числа Мс могут проектироваться также с разгонными участками, имеющими углы наклона 0о <С 0Ом (в таких соплах М4 < Мс). В этом случае расширение потока от числа М4 до Мс будет осуществляться за счет увеличения области радиального течения от х4 до *5, определяемого соотношением *5 = 1/0о-/7//г.(Мс) — <1. Это приведет к увеличению длины прямолинейных образующих контуров разгонных участков и к увеличению сверхзвуковой части сопл в целом.

На рис. 3 для фиксированных значений чисел Мс и радиусов кривизны контуров сопл в окрестности критического сечения 7?о приведены относительные длины сверхзвуковых частей сопл в зависимости от углов 0о. Минимальной длине сопл (при отсутствии клиновидного участка) соответствуют правые

границы кривых. Видно, что длина сопл сильно зависит от угла Но и незначительно от /?0.

Для оценки полной длины сопл рассмотрим часто используемые на практике дозвуковые участки, контуры которых представляются в виде сопряженных дуг окружностей с радиусами Но и /? (см. рис. 3). Для обеспечения на входе сверхзвуковых сопл течения газа с числами М = 0,15 -г- 0,20 половину высоты входного сечения принимают равной Но = (3 -г- 4) Л..

Для реализации в критическом сечении звуковой линии, близкой к прямолинейной, радиус скругления контура со стороны дозвуковой области должен составлять /?>2Л»; часто его принимают равным /? = 4/и. Длина таких до-звуковых участков определяется по формуле ¿о = А»-\/(Яо + /?)2 + (/? + 1)г,

а в калибрах выходного сечения ¿о = ^-= 2Й 1 щ ) • В таблице на рис. 3

представлены относительные длины дозвуковых участков (Но = 3, Яо — 4, А. = 1) для профилированных сопл на числа М;.= 2^-5. Видно, что для сопла на число Мс=2 длина дозвукового участка соизмерима с длиной сверхзвукового. С возрастанием чисел Мс длина ¿0 уменьшается. Для сопл на числа Мс^4 длина дозвукового участка становится пренебрежимо малой по сравнению с длиной сверхзвукового участка сопла.

2. Полученные численным методом контуры разгонных участков плоских сверхзвуковых сопл аппроксимировались аналитическими функциями. Для удобства практического применения аппроксимирующие функции имели простой вид, и количество узлов интерполяции при этом было минимальным.

Длина разгонного участка разбивалась на три интервала. Функциональные зависимости искались для производных контуров у' = 1д0 по длине х в виде полиномов с возможно низшей степенью на каждом интервале. На первом интервале — в виде линейной функции, на втором — в виде параболы, на третьем интервале —в виде полинома четвертой степени:

где х, = х — х\/Ь\, А,-(/=1-т-З) — длины интервалов, Ац (¿ = 0-Ь4,

/ = 1 -т- 3) — постоянные коэффициенты. В узлах интерполяции (/ = 1 -г- 4) значения у' (х) принимались равными значениям производных, полученным из расчета. Укажем, что при х = *1 = 0 у\ (0) = 0, а при х = х» у' (*4) = tg6o. В узле при хз ставилось условие равенства вторых производных функций у" (х) расчетным значениям, а при х* значения второй и третьей производной принимались равными нулю. Указанные граничные условия позволяют определить все коэффициенты для функций у' (х).

На кривых рис. 1 кружочками отмечены значения производных у'ь в узлах интерполяции. Положения узлов интерполяции выбирались так, чтобы максимальное отличие разности между производными аппроксимирующих функций у' (х) и расчетными значениями у' = tg0 по всей длине х разгонных участков было не более |у' (х) — 1д0| <10,005. Уравнения, описывающие контуры разгонных участков, получаются интегрированием функций для производных.

Полученные материалы дают возможность достаточно просто рассчитать координаты плоских профилированных сопл в диапазоне чисел Мс= 1,5 -4- 5,0. Координаты контуров разгонных участков вычисляются по приведенным выше аналитическим зависимостям, а выравнивающих участков — с использованием

у'(х) = А0,+Аих,;

2 >

2

соотношений для радиального течения, ограниченного справа характеристикой второго семейства (см., например, [1]).

По изложенной методике рассчитаны координаты плоских профилированных сопл на числа Мс= 1,5 -г- 5,0 без учета влияния вязкости, и для них проведены поверочные расчеты изоэнтропических течений газа (решалась прямая задача методом характеристик). Результаты этих расчетов показали, что полученные контуры обеспечивают практически однородное течение газа на выходе. Величина неравномерности потока ДМ/М в характеристическом ромбе, обусловленная аппроксимацией, составляет АМ/М«0,2% и близка к схемной точности расчетов (около 0,1%).

3. Для проверки изложенной методики рассчитаны с учетом влияния вязкости три профилированных сопла на число Мс = 4 с углами 0о = 10, 15 и 20°. Высота входного сечения сопл составляла 2Я = 80 мм, радиус дуги окружности дозвукового участка в окрестности критического сечения задавался равным R = 4h.. Длина дозвуковых участков составляла ¿о = 60-ь70 мм. Радиус кривизны невязких сверхзвуковых контуров в окрестности горла принимался также равным Ro — 4h,. Длина сверхзвуковых частей сопл равнялась ¿ = 500 мм. Высота выходного сечения сопл 2Я задавалась различной. Для сопла № 1 с углом 0о = 10° высота 2Я =113 мм, для сопл № 2 и № 3 — с углами 15° и 20° она соответственно принималась равной 2Я = 131 и 154 мм. Площадь выходного сечения сопл задавалась постоянной и равной ~ 10000 мм2. Вследствие этого ширина сопл соответственно равнялась 2В = 89, 76 и 65 мм.

Учет влияния вязкости в плоских профилированных соплах, как правило, проводится только для профилированных стенок (плоские стенки остаются параллельными) и заключается в том, что производные изоэнтропических контуров увеличиваются на постоянную угловую поправку Д0о. Ординаты сопл при этом увеличиваются на толщину вытеснения пограничного слоя, определяемую по формуле 6J= A0o"jc. Угловые поправки находятся расчетным или экспериментальным путем. Например, в работе [1] приведена эмпирическая зависимость Д0о от чисел Мс для сопл с квадратным выходным сечением. Для сопл на те же числа Мс, но с прямоугольным выходным сечением угловая поправка должна быть несколько отличной от Д0о. Для ее определения рассмотрим плоское сопло с прямоугольным выходным сечением. Будем считать, что толщина вытеснения пограничного слоя б* по всем четырем стенкам в этом сечении одинаковая. Площадь вытеснения пограничного слоя составляет S* = 4-[ (Я В) б* — 6*aJ. Второй член в этом уравнении на порядок меньше первого, и им можно пренебречь. Тогда получим S* = 4 (Я + В) б* = Рб* (Р—периметр выходного сечения сопла). Отметим, что аналогичная зависимость в случае осесимметричных сопл имеет вид S* = 2л/?б* = Рб*.

Так как в случае плоских сопл компенсация влияния вязкости осуществляется увеличением только высоты выходного сечения, то площадь вытеснения должна равняться 5* = 4вб^ (б^п назовем «эффективной» величиной

поправки на влияние вязкости). Приравнивая значения площадей вытес-

/ м \

нения, получим: б^ = i 1 + -g- j б*. «Эффективная» угловая поправка равна

б0* / \

А0Оп = ~[~= ( I + ~в~) А0- Для плоских сопл с выходным сечением в виде

квадрата при Я = В значения поправок б^ и Д0О равны б^ = 26*, Д0О = 2Д0. При известной угловой поправке Д0О угловая поправка для сопла с прямо-

о / Н \ Afy)

угольным сечением найдется ПО формуле Д0Оп = I 1 + -g-J —2“ -

Для определения толщины вытеснения пограничного слоя необходимо знать режим течения в нем (ламинарный или турбулентный). Толщина вытеснения пограничного слоя для ламинарного течения может определяться расчетным путем, см., например, [11, 14]. Для нахождения толщины вытеснения турбулентного слоя используются эмпирические зависимости. Укажем, что для

оценки толщины вытеснения пограничного слоя в плоском сопле можно использовать зависимости, полученные для осесимметричных сопл. Этот вывод следует из анализа результатов экспериментального исследования полей течения в полусопле на число Мс = 3,0 [15], где показано, что толщины пограничного слоя в выходном сечении на плоскости симметрии и на профилированных полукруглых стенках близки между собой.

В результате обобщения имеющихся экспериментальных данных зависимость толщины вытеснения турбулентного пограничного слоя от чисел М И Ие^ в случае плоских сверхзвуковых сопл с квадратным выходным сечением можно представить в виде

Для рассмотренных сопл параметры торможения принимались равными ро = 10 Па, Г0 = 300К. Число Иеьв выходном сечении составляет Яе^ «1,4-107, что свидетельствует о турбулентном пограничном слое в соплах. Толщина вытеснения, вычисленная по предложенной зависимости, равна 6^= 5,58 мм, угловая поправка Д0О = 0,0112. Отношение высоты выходного сечения к ширине сопл № 1, 2 и 3 соответственно равно Н/В — 1,26; 1,72 и 2,37, Значение угловых поправок А0Оп = 0,0128; 0,0154 и 0,0190, а .значение эффективных толщин вытеснения 6£п = 6,4; 7,7 и 9,5 мм.

4. Проведено экспериментальное исследование течения воздуха в упомянутых выше соплах при параметрах торможения: ро=106Па, Го = 288 К (без подогрева газа). При проведении испытаний измерялось давление в фор-камере ро, распределение полного давления за прямым скачком уплотнения р' ВДОЛЬ ОСИ симметрии СОПЛ — Ро (х) и в двух поперечных сечениях по осям симметрии р'о(у), р'0(г) при х = 400 и 500 мм (срез сопл). Вдоль боковых стенок измерялось статическое давление рст в имеющихся девяти приемных отверстиях. При измерении ро и ро использовались датчики МДД, статическое давление измерялось датчиками ИКД. Точность измерений'составляла 1—2%. Значения чисел М определялись по соотношениям Ро/Ро и рст/ро для течения совершенного газа с показателем адиабаты х= 1,4.

На рис. 4—6 представлены результаты испытаний. В верхней части приведены расчетные и экспериментальные распределения чисел Мо (х) вдоль

0,07 -(Мс — 1) +0,10

Сопло 1, &,=/0°

М у,мм

2

3

-50

50

0

3,9 %0 4,1 3,9 4,0 ЦМ

о

Рис. 4

оси симметрии. В нижней части представлены контуры сопл (изоэнтропичес-кие — у (дс) и с учетом влияния вязкости — уш (х)), а также поперечные профили чисел М — М(у), М(г) в сечениях х = 400 и 500 мм.

Видно, что в соплах реализуется безградиентное течение газа с числами М, близкими к расчетному значению Мс = 4. Расчетные и экспериментальные зависимости Мо (х) согласуются удовлетворительно. Имеются отличия порядка одного процента между значениями чисел М, полученными на основе данных о статических давлениях на стенке и давлениях за скачком уплотнения вдоль оси сопл. Однако величина неравномерности чисел М в характеристическом ромбе для каждого из этих распределений чисел Мо (х) не преаы-шает АМ/М ж ±0,5%. Распределения чисел М в поперечных сечениях в пределах точности проведенных измерений находятся в соответствии с продольными полями течения как по реализуемым значениям чисел М, так и по величине неравномерности потока.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рябинков Г. М. Экспериментальное исследование сверхзвуковых сопл.— Ученые .записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 1.

2. Франкль Ф. И., Христианович С. А., Алексеева Р. Н.

Основы газовой динамики.— Труды ЦАГИ, 1938, вып. 364.

3.' Atkin А. О. Two-dimensional supersonic channel.— R. and М.,

2174 pt., 1, London, 1953.

4. Подсыпанина H. А.,Шифрин Э. Г. Об одном методе профилирования коротких плоских сопл.— Изв. АН СССР, МЖГ, 1975, № 1.

5. П и р у м о в Я. Г. Расчет течения в сопле Лаваля.— Изв. АН СССР,

МЖГ, 1967, № 5.

6. Киреев В. И., Войновский А. С. Решение обратной задачи

профилирования новых классов сверхзвуковых сопл и каналов сеточнохарактеристическим методом и методом С. К. Годунова. «Численные методы сплошной среды». — Новосибирск, 1982, вып. 13, № 3.

7. К р а й к о А. Н., Шеломовский В. В. Сравнение двух методов

профилирования контуров сверхзвуковых частей сопл, реализующих равномерный поток.— Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. 12, № 4.

8. Крайко А. Н„ Шеломовский В. В. Профилирование осесим-

метричных и плоских сопл, реализующих радиальный сверхзвуковой поток.—

Изв. АН СССР, МЖГ, 1983, № 1.

-9. Котиров В. Н., Осипов И. Л., Пащенко В. П. О профилировании плоского сверхзвукового сопла, обеспечивающего равномерный поток в выходном сечении.— Ученые записки ЦАГИ, 1987, т. 18, № 3.

10. Верховский В. П. Численное исследование течений газа в плоских и осесимметричных сверхзвуковых соплах, имеющих разгонный участок в виде дуги окружности, продолженной отрезком прямой.— Труды ЦАГИ,

1980, вып. 2059.

11. Верховский В. П. Численный расчет плоских сверхзвуковых сопл с изломом контура. Таблицы координат на числа М = 3 Ч- 7.— Труды ЦАГИ, 1975, вып. 1680.

12. С о л о д к и н В. К., Р о с л я к о в Г. С. Расчет осесимметричных сопл на быстродействующих электронных счетных машинах.— Труды ЦАГИ,

1963, вып. 864.

13. К а ц к о в а О. Н., Наумова И. Н„ Шмыг леве кий Ю. Д., Шулишнина Н. П. Опыт расчета плоских и осесимметричных течений методом характеристик.— М.: ВЦ АН СССР, 1961.

14. Быркин А. П., Щенников В. В. Об одном численном методе расчета ламинарного пограничного слоя.— Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,

1970, т. 20, № 1.

15. В е р х о в с к и й В. П., П о н о м а р е в С. П., Ч и с т о в Ю. И. Исследование течения газа в профилированном сопле на число М = 3,0 с круглым и полукруглым поперечными сечениями.— Труды ЦАГИ, 1985, вып. 2306.

Рукопись поступила 10/1 ¡991 г.