Проектирование курса «Элементы алгебры, логики и теории множеств» на основе технологического подхода

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 37.022

Е. В. Евсюкова

Проектирование курса «Элементы алгебры, логики и теории множеств» на основе технологического подхода

В статье рассматриваются вопросы проектирования курса «Элементы алгебры, логики и теории множеств» с использованием технологии В. М. Монахова. Представлен опыт проектирования пяти основных параметров модели учебного процесса (целеполагание, диагностика, дозирование домашнего задания, логическая структура учебного процесса, коррекция), включенных в технологическую карту. Проведен логико-математический анализ содержания курса с целью проектирования второго блока и выделения объектов диагностики. В отличие от работ академика В. М. Монахова и других исследователей, иначе предложено спроектировать блок «Коррекция». Сформулирован план занятия, проводимого в условиях технологического подхода, включающий следующие этапы: организация внимания студентов, формулировка дидактической цели, актуализация опорных знаний, предъявление нового материала, организация и руководство самостоятельной учебной деятельностью студентов, обеспечение обратной связи, рефлексия деятельности.

In the article the planning of the course "Elements of algebra, logic and set theory", using the technology of V. M. Monahov is considered. The experience in planning five basic characteristics of the educational process model is presented (the targeting, the diagnostics, gradual giving of the homework, the logical structure of the educational process, the correction) which are included in the process map. A logical-mathematical analysis of the course content for the purpose of planning the second block and of the selection of the objects of diagnostics is carried out. Unlike the works of academician V. M. Monahov and other researchers, the block «Correction» is designed differently. The lesson plan is formed which is conducted according to the technological approach. It comprises the following stages: the organizing of the students' attention, the formulation of the didactic purpose, the actualization of the basic knowledge, the presentation of the new material, the organization and management of the students' self-education, the provision of feedback and the reflection of activities.

Ключевые слова: технологический подход, целеполагание, диагностика, дозирование домашнего задания, логическая структура учебного процесса, коррекция.

Keywords: technological approach, process map, targeting, diagnostics, gradual giving of the homework, logical structure of the educational process, correction.

Технологический подход к обучению является одним из перспективных воплощений инновационных моделей обучения (В. П. Беспалько, О. Б. Епишева, М. В. Кларин, В. Ф. Любичева, В. М. Монахов, А. И. Уман и др.). Технологический подход к обучению означает:

- постановку и формулировку диагностируемых учебных целей, ориентированных на достижение запланированного результата обучения;

- организацию всего хода обучения в соответствии с учебными целями;

- оценку текущих результатов и их коррекцию, направленную на достижение поставленных целей;

- заключительную оценку результатов [1].

Технологический подход применительно к деятельности преподавателя означает владение способом конструирования учебного процесса на основе четкого упорядочения целевых установок [2]. Вадим Макариевич Монахов является одним из ведущих исследователей проблемы технологи-зации образования на разных ее уровнях в контексте стандартизации образования и совершенствования системы повышения квалификации учителей и преподавателей высшей школы, когда владение ими педагогической технологией стало элементом профессиональной культуры преподавателей [3].

© Евсюкова Е. В., 2015

0. Б. Епишева, технология которой спроектирована на основе деятельностного подхода к обучению, отмечает, что во многих известных технологиях обучения практически отсутствует технологическое проектирование образовательных целей в действиях обучающегося, которые лежат в основе проектирования учебного процесса. В технологии академика В. М. Монахова этот недостаток отсутствует [4].

В. М. Монахов ввел понятие «параметрическая модель учебного процесса» и выделил следующие ее параметры: целеполагание; диагностика; логическая структура учебного процесса; коррекция; внеаудиторная деятельность учащихся [5].

1. Целеполагание реализуется как процесс построения так называемых микроцелей, последовательность которых представляет все содержание учебной темы. Микроцели определяют содержание следующих параметров, т. е. выполняют функции управления деятельностью учителя по проектированию соответствующих процедур.

2. Диагностика включает три составляющие:

- ориентировочная (осуществляется логико-предметный анализ учебного материала, выделяются объекты диагностики),

- исполнительная (строится тематическая модель, компонентами которой служат выделенные объекты как элементы содержания учебного материала, действия студентов по их усвоению, разрабатываются самостоятельные работы),

- рефлексивно-оценочная (осуществляется оценка выполнения методом «сложения», где отсчет ведется от уровня стандарта, минимально обязательного для всех).

3. Дозирование домашнего задания определяет содержание, объем и особенности самостоятельной деятельности обучаемых, необходимые им для успешного прохождения диагностики на выбранном ими самими уровне, который выявляется по результатам диагностики.

4. Логическая структура учебного процесса раскрывает содержание модели конкретного учебного процесса, оптимизирует логическую структуру учебного содержания, встраивает в учебный процесс программы развития.

5. Коррекция доставляет информацию о наиболее вероятных затруднениях и типичных ошибках учащихся при освоении соответствующей микроцели и проектирует траекторию выведения на уровень стандарта тех, кто не прошел диагностику.

Средством представления результатов проектирования технологии изучения конкретной учебной темы является «технологическая карта» [6] (табл. 1).

Таблица 1

Форма технологической карты в технологии В. М. Монахова

Технологическая карта В. М. Монахова

Тема:

Ф. И.О.преподавателя

4. Логическая структура учебного процесса

1. Целеполагание 2. Диагностика 5. Коррекция

3. Дозирование домашнего задания

Технологический методический инструментарий преподавателя, включающий методы, средства и формы обучения, организует его управляющую деятельность в обучении. Решающее значение имеет банк задач, с помощью которых организуется работа по усвоению и применению определений понятий, их свойств, создаются проблемные ситуации. Банк задач включает не только предметные, но и рефлексивные задачи, с помощью которых осуществляется анализ процесса усвоения обучаемыми различных компонентов учебной деятельности, обеспечивающий ее понимание, осознание, предупреждение ошибок и их причин.

Опираясь на педагогическую технологию В. М. Монахова, мы разработали техноло-го-методическое оснащение процесса изучения курса «Элементы алгебры, логики и теории множеств» студентами первого курса направления подготовки «Математика» (профиль подготовки: «Вычислительная математика и информатика»). Исходя из содержания дисциплины, профессиональной образовательной программы, мы выделили в данном курсе следующие две учебные темы: «Элементы алгебры высказываний и алгебры множеств» - 16 час.; «Предикаты и кванторы. Строение теорем. Бинарные отношения» - 20 час.

На примере проектирования системы микроцелей изучения данных тем продемонстрируем проектирование первого блока (целеполагание) (см. табл. 2).

Таблица 2

I. Элементы алгебры высказываний и алгебры множеств

Ц1 Знать и понимать определение высказывания, логических операций, их свойства; уметь составлять таблицы истинности и проверять, будет ли данная формула законом логики, являются ли две данные формулы равносильными

Ц2 Знать и понимать определения подмножества, операций над множествами, их свойства; уметь доказывать (опровергать) равенство двух множеств, полученных из других множеств с помощью теоретико-множественных операций, иллюстрировать операции над множествами диаграммами Эйлера -Венна

II. Предикаты и кванторы. Строение теорем. Бинарные отношения

Цз Знать и понимать определения предиката, его областей определения и истинности, логических операций; уметь записывать и читать высказывания, содержащие предикаты и кванторы, формулировать их отрицания; записывать высказывания, используя термины «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно», конструировать контрпримеры, обратную, противоположные теоремы

Ц4 Знать и понимать определения прямого произведения множеств, бинарного отношения (б. о.), его свойств и видов, способы задания б. о.; уметь проверять его свойства и определять, является ли оно порядком, функцией, эквивалентностью, строить фактор-множество

Нами проведен логико-математический анализ содержания названных ранее тем курса с целью проектирования второго блока и выделения объектов диагностики (рис. 1, 2). Затем спроектированы третий, четвертый (табл. 3) и пятый блоки (дозирование домашнего задания, структура учебного процесса и коррекция).

Все пять параметров модели учебного процесса внесены в технологическую карту. В качестве примера приведён фрагмент технологической карты по теме "Элементы алгебры высказываний" (табл. 4).

Рис. 1. Объекты диагностики в теме I

Таблица 3

Логическая структура учебного процесса_

I. Элементы алгебры высказываний и алгебры множеств

Ц1. Д1. Ц2. Д2.

1 2 3 4 5 6 7 8

л пр л пр Л пр л пр

II. Предикаты и кванторы. Строение теорем. Бинарные отношения

Ц3. Д3. Ц4. Д4.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Л пр л пр л пр л пр л пр

я

о »

3 "1

Рис. 2. Объекты диагностики в теме II

о сл

чО

ст*

Таблица 4

Логическая структура гаМно.Ш процесса Технологическая карта Тема «Элементы алгебры высказываний» Д*Д2 12 34 5 678 © В, М. Монахов Курс 1м Преподаватель:

Дата Диагностика Дата Коррекция

ЦХ. Освоить понятие выска- Д1. 1. Запишите в символической форме высказывание, обозначив йУЖА" Типичные ошибки:

зывания, знать определения ЩЦ операций и их свойства, уметь составлять таблицы истинности и проверять является ли формулазаконом логики ми р я д элементарные высказывания д=ЬЬ7): «Неверно, что Ь не делится ни на 5, ни на 7». 2. Сформулируйте отрицание для высказывания «500 делится на 5 и на 4». Будет ли оно истинным? - при использовании логических символов для записи сложных высказываний, в которых участвует несколько отрицаний, - при формулировании щршщ-

3. Является ли данная формула законом логики? 0г-»а) А

Дозирование домашних заданий

Стандарт [«удовлетворительно») «Хорошо» «Отлично»

ДР1: (1) 1.1; 1. 2; 1. 3 (1) 1. 1; 1. 2; 1. 31.4; [2] 1.1.12 (Ч 1 Г2) 1.1. 7 2; 1. 31. 4; Л. 1. 12

Одной из задач моделирования оптимального образовательного процесса является оптимизация коррекционной работы по результатам аналитической обработки всех диагностик. Опираясь на сформулированные в нашем исследовании [7] требования к проектированию коррекционной работы, мы условно разделили зону коррекции при изучении раздела «Элементы алгебры, логики и теории множеств» на две группы:

1) ошибки и затруднения, связанные с неумением работать с определениями понятий;

2) ошибки и затруднения, связанные с анализом структуры и доказательством математических предложений.

Каждая из выделенных групп, в свою очередь, была разделена на подгруппы в соответствии с уровнями учебной деятельности. Для каждой подгруппы указывались основные причины типичных ошибок и затруднений. Цели коррекции спроектировали по категориям знание, понимание, умение, согласовали с целями изучения дисциплины, дифференцировали по уровням учебной деятельности и группам типичных ошибок и возможных затруднений на каждом из них. Задания для коррекции дифференцировали по уровням учебной деятельности, группам типичных ошибок и возможных затруднений на этих уровнях, адекватных дифференцированным целям коррекции.

Одним из способов преодоления формализма знаний является достижение понимающего усвоения предмета обучающимися [8]. В качестве средства достижения понимания используются различные типы учебных задач. Большую роль играют рефлексивные задачи, обеспечивающие понимание, осознание, предупреждение ошибок и их причин в процессе учебной деятельности. Приведем несколько примеров учебных заданий для коррекции, на формирование понимания.

I уровень

1. Прочитайте символически записанные высказывания по правилам русского языка: а) р л q ; б) р V q ; с) р, q; в) р ^ q ; г) р О q, где р = «Весной тает снег», q = «Осенью листья желтеют».

2. В данной таблице вместо вопросительных знаков вставьте соответствующее обозначение логической операции над высказываниями р и д._

р д р ? д р ? д р ? д р ? д ? д

1 1 1 1 1 1 0

1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1 1

3. Приведите примеры: а) простого высказывания; б) сложного высказывания; в) формулы логики высказываний; г) равносильных формул; д) законов логики;

II уровень

1. Прочитайте следующие предложения (р = "Наулице светит солнце", д = «Сегодня идет дождь», г = «Сегодня пасмурно»):

а) (г ^ q) V р; б) р О q V г; в) q О г.

2. Запишите в виде формулы алгебры высказываний следующие сложные высказывания, обозначив буквами простые высказывания, входящие в них:

а) «Если Михаил пойдет на стадион, то Андрей пойдет на каток, или Михаил останется дома, и Андрей будет читать книгу»;

б) «Экономика страны улучшится тогда и только тогда, когда наступит мир, а если экономика не улучшится, то у бюджетников уровень жизни будет очень низким и они будут искать дополнительный заработок».

3. Является ли формула алгебры высказываний а(х1, Х2) законом логики, если известен только следующий фрагмент ее таблицы истинности:_

Х1 Х2 а

1 1 1

1 0 1

0 1 1

4. Укажите, какие логические равенства последовательно использовались в процессе упрощения формулы:

((р л q) V р) л ((р л q) V д) = (р V р) л (q V р) л (р V д) л (q V д) = (1 л (q V р)) л (р V д) л 1 = = (q V р) л (р V 4).

III уровень

1. Сформулируйте отрицание высказывания: «Если 6 делится на 3, то 6 > 3». Проанализируйте следующий неправильный ответ: «Если 6 не делится на 3, то 6 < 3».

2. Докажите, что следующий фрагмент программы

if (not(p and q) or (not(p or t)and not (q) and t)) then

A

else

if (not(p or q) and not (q or t)) then B

else C

равносилен такому фрагменту:

if p and q) then C else A

Студенты часто допускали ошибки при попытках сформулировать отрицания сложных высказываний. Подробнее на примере охарактеризуем, какую работу можно организовать для искоренения подобных ошибок.

Пример 1. Сформулировать отрицание для высказывания: «Если 6 делится на 3, то 6 > 3». Был дан неправильный ответ: «Если 6 не делится на 3, то 6 < 3». Такой ответ ничем не обоснован, не выполнен анализ логической структуры сложного высказывания, студенты продемонстрировали неумение применить теорию на практике (вид ошибки).

В подобной ситуации студентам можно задать несколько вопросов.

1. Как надо было действовать? Обозначим p = «6 делится на 3», q = "6 > 3", r="6 = 3". Исходное высказывание имеет следующую структуру: p ^ (q v r). Найдем его отрицание:

р ^ V г) = р л q V г = р л q л г.

Правильный ответ: "6 делится на 3 и 6 < 3" .

2. Какова причина ошибки? Не выполнен анализ логической структуры исходного сложного высказывания, не учтено, что высказывание "6 > 3" является дизъюнкцией двух высказываний

"6 > 3" V "6 = 3", не использованы логические равенства а ^ Ь = а л Ь (здесь а = р, Ь = q V г ) и

закон де Моргана (q V г = ^ л г ).

3. Что делать, чтобы избежать ошибки? Следовало сравнить истинностные значения исходного высказывания и того, что получилось в неправильном ответе. Они оказались оба истинны, значит, сделана ошибка. Необходимо выучить теоретический материал и, опираясь на него, проанализировать структуру сложного высказывания, затем преобразовать его отрицание, используя законы логики.

4. Можно решить задачу иначе? Ответ можно записать по-другому: "Неверно, что если 6 делится на 3, то 6 > 3 ".

5. Как сформулировать подобную задачу?

6. Как сформулировать и решить задачу, обратную исходной задаче?

Таким образом, устранение допущенных ошибок и выбор пути решения задачи зависят от умения анализировать логическую структуру рассматриваемой единицы предметного содержания. Приведем еще два примера.

Пример 2. Выяснить, является ли убывающей функция

f (x) =

16 - 4x2

-, если x Ф - 2

4 + 2x 12, если x = - 2

Графиком этой функции всюду, за исключением единственной точки, является прямая у = -2х + 4, и поэтому многие учащиеся предлагают считать данную функцию убывающей. Чтобы избежать подобной ошибки, следует записать символически определение убывающей функции:

и подобрать контрпример: при Х1 = - 2, Х2 = -3 имеем, что Х1 > Х2, но ДХ1) > ДХ2). Делаем вывод, что функция не является убывающей.

Пример 3. Известна формулировка определения нечетной функции: нечетной называется функция Дх), область определения которой симметрична относительно начала координат, и для

любого значения аргумента x из области определения функции верно, что Д- x) = - fx). Если нужно выяснить, какая функция не является нечетной, т. е. не удовлетворяет данному определению, то используются логические правила построения отрицаний.

В результате можно получить формулировку: функция не является нечетной, если ее область определения не симметрична относительно начала координат или существует такое значение аргумента x из области определения функции, при котором Д- x) Ф - fx). Данная формулировка позволяет опровергнуть ошибочное мнение, что функция, не являющаяся нечетной, четная. Достаточно сравнить данную формулировку с определением четной функции.

Рассмотрим пример, который демонстрирует тот факт, что математика не сводится к логике, хотя и не может без логики обойтись.

Пример 4. Оцените правильность логического вывода: "Если натуральное число оканчивается четной цифрой, то оно делится на 2. Если сумма цифр четырехзначного числа делится на 9, то оно делится на 9. Сумма цифр четырехзначного числа равна 36. 36 делится на 9. Значит, это четырехзначное число не делится на 2".

Решение. Обозначив простые высказывания буквами, получим:

p = "Натуральное число n оканчивается четной цифрой", q = "Натуральное число n делится на 2", r = "Сумма цифр числа n делится на 9", s = "Число n делится на 9", t = "Число n четырехзначно", k = "Сумма цифр числа n равна 36", m = "36 делится на 9". Рассмотрим логическое следование: p ^ q, r ^ s, t л k, m |= t л q . Используя только правила логического вывода, в таком общем виде заключение нельзя вывести из сформулированных посылок. Однако оно справедливо (используем арифметическое свойство четырехзначного числа): если n = abcd М , то цифра d является четной, но из равенства a + b + c + d = 36 следует, что a = b = c = d = 9 - противоречие.

Решение задач в конечном итоге преследует почти те же цели, что и проектная деятельность, которую считают основным средством реализации компетентностного подхода. Решение задач в обучении математике остается основным видом учебной деятельности, а проекты - дополнением к нему [9].

Сделаем несколько замечаний по организации и планированию учебных занятий. В условиях технологического подхода при планировании занятий следует тщательно продумывать следующие этапы: организация внимания студентов, формулировка дидактической цели, актуализация опорных знаний, предъявление нового материала, организация и руководство самостоятельной учебной деятельностью студентов, обеспечение обратной связи, рефлексия деятельности. Внимательное отношение к каждому из этапов влияет на качество учебного занятия как системы. Целостность системы определяется оптимальным набором элементов и связью между ними. Методы, средства и формы обучения (технологический методический инструментарий) организуют управляющую деятельность преподавателя.

Примечания

1. Кларин М. В. Педагогическая технология в учебном процессе. Анализ зарубежного опыта. М.: Знание, 1989. (Новое в жизни, науке и технике. Сер. «Педагогика и психология», № 6).

2. Там же.

3. Монахов В. М. Педагогическое проектирование - современный инструмент дидактических исследований // Школьные технологии. 2001. № 5. С. 75-98.

4. Епишева О. Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: кн. для учителя. М.: Просвещение, 2003.

5. Монахов В. М. Технологические основы проектирования и конструирования учебного процесса. Волгоград: Перемена, 1995.

6. Там же.

7. Евсюкова Е. В. Проектирование коррекционной работы в процессе обучения будущего учителя математики элементам логики и теории множеств в педвузе: автореф. дис. ... канд. пед. наук. Омск, 2007.

8. Евсюкова Е. В. Коррекционная работа в процессе обучения бакалавров математике, направленная на достижение понимания. // Вестник Тюменского государственного университета. 2014. № 9. Сер. «Педагогика. Психология». С. 62-68; Брейтигам Э. К., Кисельников И. В. Достижение понимания, проектирование и реализация процессного подхода к обеспечению качества личностно развивающего обучения. Барнаул: АлтГПА, 2011.

9. Тестов В. А. Основные тенденции развития математического образования // Тенденции и перспективы развития математического образования: материалы XXXIII Междунар. науч семинара преподавателей математики и информатики ун-тов и пед. вузов, посв. 100-летию ВятГГУ. Киров: Радуга-ПРЕСС, 2014. С. 105-115.

Notes

1. Klarin M. V. Educational technology in the educational process. Analysis of foreign experience. Moscow: Znanie Publ., 1989.

2. Ibid.

3. Monahov V. M. Instructional Design - modern tool didactic research. // School technology. 2001. № 5. Pp. 75-98.

4. Episheva O. B. The technology of teaching mathematics based on the activity approach. Moscow: Enlightenment, 2003.

5. Monahov V. M. Technological basics of design and construction of the educational process. Volgograd: Peremena Publ. 1995.

6. Ibid.

7. Evsjukova E. V. Design of correction work in the process of training future teachers of mathematics elements of logic and set theory in pedagogical institute: Auth. disser. of the cand. of ped. sci. Omsk, 2007.

8. Evsjukova E. V. Work on improvement, aimed at achieving understanding, in teaching mathematics to undergraduate students// Tyumen State University Herald. 2014. № 9. Pp. 62-68; Breytigam E. K., Kiselnikov I. V. Achieving understanding, design and implementation of a process approach to ensure the quality of personal developing training. Barnaul: AltSPA, 2011.

9. Testov V. A. The main trends in the development of mathematical education. // XXIII Proceedings of the international science universities of mathematics and computer science universities and pedagogical institutes, dedicated to the 100th anniversary Vyatka State University of Humanities. Kirov: Raduga-PRESS. 2014. Pp. 105-115.

УДК 37

Т. Н. Суворова

Применение системно-деятельностного подхода к решению проблем разработки электронных образовательных ресурсов

В статье проанализировано текущее состояние в области разработки и применения электронных образовательных ресурсов. Раскрыты причины создания электронных образовательных ресурсов (ЭОР) с низким уровнем дидактических и потребительских характеристик. Одна из этих причин заключается в том, что заказчики (педагоги и методисты), как правило, не способны предоставить исчерпывающие психолого-педагогические и дидактические требования, на основании которых можно было бы создать подробное техническое задание на разработку электронных образовательных ресурсов силами ИТ-специалистов и компьютерных дизайнеров. Предложены пути выхода из сложившейся ситуации на основе применения систем-но-деятельностного подхода. Для этого существует ряд предпосылок, одна из которых заключается в том, что системно-деятельностный подход на сегодняшний день наиболее полно описывает основные психологические условия и механизмы процесса усвоения знаний и структуру учебной деятельности обучающихся.

The paper analyzes the current status of development and application of electronic educational resources. The reasons of electronic educational resources with low didactic and consumer characteristics are revealed. One of the reasons is that customers (teachers and methodists) usually are not able to provide comprehensive psychological-pedagogic and didactic requirements, on which base it would be possible to create the detailed specification for development of electronic educational resources by IT professionals and computer designers. The reasons can be solved by use of system-activity approach in process of resources design. There is a number of preconditions, one of which is that system-activity approach is fully describes the basic psychological conditions and mechanisms of learning process and the structure of students learning activities

Ключевые слова: электронные образовательные ресурсы, психолого-педагогические аспекты разработки электронных образовательных ресурсов, системно-деятельностный подход.

Keywords: electronic educational resources, psychological-pedagogic aspects of electronic educational resources development, system-activity approach.

Как показывает практика, в учебном процессе регулярному использованию подвержен лишь незначительный процент разработанных электронных образовательных ресурсов, и из всех используемых ЭОР высокой эффективностью обладают лишь порядка 5% [1]. Среди причин низкого уровня дидактических и потребительских характеристик разработок в сфере электронного обучения - отсталость методических аспектов электронного обучения от развития технических средств и закрытость большинства разработок, которая не позволяет преподавателям и обучающимся вносить изменения и использовать какие-либо фрагменты ЭОР для собственных разработок [2]. Кроме того, большинство этих разработок не опирается ни на методологию дидактики, ни на теоретические или концептуальные разработки в области информатизации образования [3] и т. д.

© Суворова Т. Н., 2015 100