Исследование контактных напряжений в процессе локального кольцевого упругопластического деформирования составного цилиндра

УДК 539.374:621.787

Исследование контактных напряжений в процессе локального кольцевого упругопластического деформирования составного цилиндра

А. Н. Исаев, А. Р. Лебедев

Рассмотрены особенности геометрии очага деформации и определены задачи конечно-элементного моделирования контактных напряжений в процессе упругопластического деформационного формообразования составного цилиндра методом дорнования отверстия.

Ключевые слова: напряжённо-деформированное состояние, контактные напряжения, конечно-элементное моделирование.

Введение. В приводах исполнительных механизмов металлорежущих станков, гидропрессов, сельскохозяйственных и строительно-дорожных машин широко используются силовые цилиндры, корпуса которых изготавливают из трубчатых заготовок. Для придания рабочим поверхностям корпусов специфических свойств по параметрам износостойкости, твёрдости, теплопроводности и др., в том числе за счёт использования разнородных материалов, целесообразно применять составные (многослойные) конструкции цилиндров. Составные цилиндры, полученные запрессовкой с некоторым натягом одной трубчатой заготовки в другую, обладают повышенной прочностью.

Наиболее эффективным методом сборки составных цилиндров является метод дорнования отверстия внутренней трубчатой заготовки, основанный на деформационном упругопластическом изменении диаметральных размеров соединения. После деформирования за счёт сил упругой разгрузки на контактной поверхности соединяемых заготовок образуется напряжение (контактное давление), соответствующее условиям образования соединения с достаточно большим натягом. Сборка составного цилиндра дорнованием не требует высокой исходной точности сопрягаемых поверхностей. Повышенная прочность корпуса обеспечивается дополнительными внутренними силами упругости, поэтому при одинаковых поперечных сечениях составной цилиндр допускает более высокие нагрузки по сравнению с монолитным. Дорнование позволяет достаточно просто изготовить многослойный цилиндр, отдельные слои которого выполнены из обычного трубного проката.

Особенности геометрии очага деформации при дорновании. Составной цилиндр выполняется путём деформационного соединения двух или более тонкостенных цилиндров. Тонкостенность исходных заготовок позволяет отнести получаемый цилиндр к телам типа «оболочки вращения». Очаг деформации, образующийся в процессе ло-кально-кольцевого упругопластического формообразования составного цилиндра, условно можно представить неразрывной последовательностью плавно сопряжённых упругих и упругопластических участков (рис. 1) [1]. Средний участок контактирует с инструментом, его напряжённое состояние характеризуется как объёмное. Остальные участки — неконтактные, находятся в упругом или упругопластическом состоянии. Инструментом деформирования является дорн, его кольцевая форма ограничена передним (заборным) и задним конусами, разделён-

Рис. 1. Схема очага деформации трубчатой заготовки при дорновании отверстия

ными цилиндрический ленточкой. Диаметр отверстия сЬ изменяется благодаря раздаче цилиндра дорном на величину натяга /„. Заборный конус дорна выполнен под углом а. Внеконтактные части очага деформации в продольном сечении, передняя и задняя, имеют форму, приближённо описываемую дугой окружности радиуса Л„. Позади цилиндрической ленточки дорна образуется волна высотой /7В. Контактная часть ограничена участком шириной /к. Окончательный размер отверстия ¿1 после прохода дорна зависит от высоты волны /7В и упругой разгрузки 2¿Уупр.

Известные аналитические методы определения напряжений, сил и деформаций обрабатываемого дорнованием цилиндра [2], [3] и др. построены в предположении, что направления главных напряжений и деформаций совпадают с его координатными осями, что позволяет не учитывать касательные напряжения и существенно упростить способ решения задачи. Естественно, что аналитические зависимости недостаточно полно отражают особенности процесса формирования составного цилиндра, их практическое использование не всегда эффективно. В этой связи применение методов математического моделирования процесса дорнования отверстий на ЭВМ путём приближённого интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих состояние материала под воздействием локальной кольцевой нагрузки, позволяют существенно сократить материальные затраты на проведение экспериментальных исследований.

Задачи исследования процесса дорнования методом конечных элементов (МКЭ). Задачи анализа деформационного процесса формообразования составных оболочек вращения локально-кольцевым упругопластическим деформированием с применением МКЭ применительно к дор-нованию целесообразно рассматривать поэтапно в следующей последовательности [4]:

1) идентификация задачи и выбор пути решения;

2) создание трёхмерной модели соединения;

3) разбиение модели на конечные элементы;

4) описание граничных условий, определяющих условия закрепления модели на границах и (или) граничные нагрузки;

5) численное решение системы уравнений;

6) анализ результатов.

На каждом из перечисленных этапов необходимо определить возможности применения МКЭ для решения задачи моделирования деформационного процесса формообразования составных цилиндров.

Общая характеристика задачи. Главная проблема контактной задачи применительно к процессу дорнования заключается в том, что истинная контактная зона до решения задачи неизвестна, так как её параметры зависят от нагрузок, свойств материала, граничных условий и других факторов. Контактируемые поверхности могут входить в контакт друг с другом и выходить из него внезапно и непредсказуемо. Задача многосвязного контакта обусловливает учёт взаимного влияния контактных поверхностей деталей.

Получение общего решения, определяющего напряжённо-деформированное состояние деталей в процессе локально-кольцевого деформирования, справедливого для упругих и упругопластических зон деформаций, с учётом контактных взаимодействий приводит к физическим нелинейным соотношениям. Нелинейная связь напряжений с деформациями является обычной причиной нелинейного поведения конструкции. Для расчёта нелинейных задач используется метод Ньютона — Рафсона [5], основанный на разделении нагрузки на серию элементарных приращений. Для улучшения сходимости задачи могут применяться различные методы, такие как поиск на линии, автоматическое назначение шага нагрузки и деление его пополам. Если сходимость не может быть достигнута, проводится расчёт с уменьшенным приращением нагрузки.

Разработка геометрической модели. Геометрическая модель, в зависимости от типа задачи, разбивается на осесимметричные или объёмные конечные элементы (рис. 2). Для повышения

точности расчёта используются элементы второго порядка. В предполагаемых зонах концентраций напряжений и их градиентов (контактные зоны и торцевые участки деталей) производится сгущение конечно-элементной сетки. Особенностью расчёта МКЭ является необходимость использования для промежуточных деталей с целью корректной передачи нагрузок от охватывающей детали к охватываемой и обратно минимум тройного слоя конечных элементов. Контактное взаимодействие может определяться с помощью контактных пар, состоящих из контактных конечных элементов соответствующего основным элементам порядка.

Наличие натягов в составных оболочках вращения обусловливает возникновение узловых сил. В собранном состоянии соединение находится в равновесии (сумма всех действующих внутри соединения сил равна нулю). Это касается и зон контакта.

В рамках решаемой задачи граничные условия — это только условия симметрии, т. е. подразумевается статическая задача теории прочности без приложения внешних нагрузок.

Представив составную оболочку вращения в виде охватываемой (внешний элемент составной оболочки вращения — обойма), промежуточной (внутренний элемент составной оболочки вращения — втулка) и охватывающей (инструмент — инструмент) деталей, получим систему трёх линейных уравнений:

И{*2Нр2) - (и И(*Л = И

где [К\ — матрица коэффициентов жёсткости детали; {А} — перемещения узлов сетки конечных элементов; {Я} — поверхностные и объёмные силы, действующие в узлах сетки; индекс 1 соответствует охватываемой детали, 2 — промежуточной, 3 — охватывающей.

Получить общее решение системы (1) сложно, поэтому реализуется следующий алгоритм определения контактных давлений в составных оболочках вращения, в котором контактные зоны рассматриваются по отдельности, но во взаимной связи. Выделим контактную зону 1 (инструмент — втулка) и контактную зону 2 (втулка — обойма).

Начальные матрицы жёсткости деталей [К{\, [К{\ и [/С3] формируются в соответствии с теорией МКЭ [4].

Рис. 2. Конечно-элементная модель формирования составных оболочек вращения с объемными тетраэдральными элементами: а — схема размещения элементов в составных оболочках вращения (1 — инструмент, 2 — втулка, 3 —

обойма); б — конечно-элементная сетка в модели

Построение модели. Для построения модели процесса дорнования отверстий деталей многослойного соединения использовалось программное обеспечение Ansys-V12. Исследуемая модель выбрана в виде трёх тел — втулки, обоймы и движущегося со скоростью Vдорна. В качестве исходных параметров были приняты: d0, Do, L — внутренний и наружный диаметры и длина втулки; du Du L— внутренний и наружный диаметры и длина обоймы; dA, ¿д, а — диаметр, длина и угол рабочего (заборного) конуса дорна; X = i / d0 — относительный натяг дорнования ( / =dR-d0 ).

При разбиении твёрдых тел на КЭ использовались следующие типы элементов: для цилиндра — solid 164, для дорна shell 163. Элемент solid 164 имеет вид параллелепипеда и описывается восемью точками (узлами), степенями свободы которых выбраны перемещение, скорость и ускорение узлов по осям X, Y, Z. Элемент Shell 163 — четырёхузловой, имеющий названные степени свободы по осям X, Y, Z и вращения вокруг узлов в плоскостях XY, YZ, XZ. Оптимальная длина граней элементов (1 мм) установлена по критерию минимизации необходимых системных ресурсов ЭВМ, удовлетворяющих условиям получения приемлемого результата.

Исследования процесса дорнования проводились для цилиндров из стали 45 со следующими линейными свойствами: плотность — 7800 кг/м3; модуль продольной упругости — 2-105 МПа; коэффициент Пуассона — 0,3; предел прочности при растяжении — 610 МПа; предел текучести — 360 МПа. Упрочнение материала в процессе пластической деформации учитывалось путём ввода пяти наиболее характерных точек зависимости а, = соответствующей кривой упрочнения стали 45 [2]. Модуль упругости Етвердосплавного дорна составляет 0,45—0,55 ГПа, что примерно в 2,5 раза выше, чем у материала детали. Поэтому считаем дорн абсолютно твёрдым телом, не испытывающим внутренних напряжений и деформаций. Параметры перемещения дорна и граничные условия для детали определены запретом перемещения одного из торцов заготовки вдоль оси Z, а для дорна — запретом перемещения по всем осям, кроме Z. Задача является осесимметричной, поэтому достаточно исследовать лишь четверть модели в продольном направлении, что позволяет сократить время решения дифференциальных уравнений и системные ресурсы вычислительной техники. Но в этом случае необходимо наложить условия симметричности на поверхности, полученные в результате разреза.

При определении «контактных пар» необходимо задавать коэффициенты трения поверхностей дорна и отверстия втулки, наружной поверхности втулки и внутренней поверхности обоймы. Результаты исследований. В результате расчёта получены значения деформаций, напряжений, контактных давлений в любой точке построенной модели в любой момент времени в процессе и после дорнования (рис. 3). Это даёт возможность в динамике наблюдать за процессами, протекающими в материале детали.

Проведён численный эксперимент по исследованию рабочих, остаточных контактных давлений, геометрии очага деформации при сборке многослойного соединения.

Целевые параметры исследований: Pi — рабочее давление в соединении дорн — втулка (дорн в средней части соединения), МПа; Р2 — рабочее давление в соединении втулка — обойма, МПа; Р3 — остаточное давление в соединении обойма — втулка (дорн вышел из отверстия), МПа; Я4 — длина контакта дорн — втулка, мм; Р5 — остаточный диаметр отверстия втулки, мм.

Варьируемые параметры исследований: X — относительный натяг дорнования; твт— относительная толщина стенки втулки; тоб— относительная толщина стенки обоймы.

По данным моделирования проведён факторный анализ, результаты которого признаны удовлетворительными (см. табл. 1).

Рис. 3. Моделирование процесса дорнования многослойного соединения на различных этапах: а — при заходе дорна; 6 — дорн в средней части соединения; в — конечный этап деформирования; г — при выходе дорна — снятие нагрузки

Таблица 1

Анализ регрессионных зависимостей

Коэффициенты модели Целевые параметры исследований

Р\ Рг Ръ Я, А

Коэф. Зн.1 Коэф. Зн. Коэф. Зн. Коэф. Зн. Коэф. Зн.

Во 657,4 + 468 + 31,6 + 5,96 + 33,7 +

В1Х -191 - -105,6 + 13,8 + 5,12 + 1,12 +

В2твт -4,81 + -36,9 + 5,34 + 0,17 - 0,06 -

В3т0б -4,48 - 91,3 + 3,95 + 0,52 + 0,08 +

В4Хтвт 7,39 - -4,1 - 2,82 - -0,58 + 0,048 -

В5Хт0б -28,2 - -33,6 + 1,7 - -0,41 - 0,042 -

ВбГпВТт0б 18,8 + 50,1 + -6 + -0,46 - -0,196 +

В7ХтВТт0б 2,88 + 10,4 - -5,85 + -0,53 - -0,13 +

Адекват- ность2 И=1,67 ?г= 4,1 Адекватна ?г= 9,1 Адекватна Рг= 3,92 Адекватна Рг= 6,9 Адекватна Рг= 14,3 Адекватна

Заключение. Моделирование даёт возможность исследовать напряжённо-деформированное состояние многослойного соединения как во время проведения процесса дорнования, так и после прохода инструмента.

Перечень регистрируемых параметров НДС в узлах элементов:

- смещения по осям X, У, Л (их, иу, у7);

1 Значимость коэффициентов оценивалась по критерию Стьюдента для Р = 0,95.

2 Оценки адекватности и значимости проведены для вероятности Р= 0,95.

- компоненты суммарных деформаций {&х, е» &z, ух, у y, у z);

- компоненты упругих деформаций (еуХ, Ъуу, EyZ, у уХ, УуУ, у yz)',

- компоненты пластических деформаций

- интенсивность деформаций eJ;

- компоненты напряжений деформаций (anX, anY, стл7, хпХ, тпУ, тл7);

- интенсивность напряжений а,.

Следует отметить, что при снятии нагрузки, то есть при выходе дорна из отверстия многослойного соединения регистрируются параметры остаточных напряжений и деформаций.

Кроме этого, анализ получаемых результатов позволяет определять важные технологические параметры процесса дорнования, которые аналитически и экспериментально трудно или невозможно установить. К ним относятся: длина контакта дорна с втулкой, мм; радиус изгиба продольного сечения втулки, мм; высота волны внеконтактной деформации, мм; рабочее давление в зоне контакта дорна и втулки, МПа; рабочее и остаточное давление в зоне контакта втулки и обоймы, МПа.

Полученная модель открывает широкие возможности для проведения дальнейших исследований по следующим направлениям:

- моделирование многозубого дорнования с оптимизацией распределения натягов на зубьях и их осевого расположения;

- моделирование процессов сборки многослойных соединений с применением свёрнутых втулок со специальными свойствами;

- моделирование процессов сборки многослойных соединений с применением проволочных наполнителей со специальными свойствами;

- моделирование процессов сборки не осесимметричных многослойных соединений;

- моделирование процессов сборки многослойных соединений для обоймы с произвольным наружным контуром.

Библиографический список

1. Исаев, А. Н. Геометрия очага деформации при локально-кольцевой раздаче пустотелого цилиндра методом дорнования / А. Н. Исаев, А. Р. Лебедев // Математические методы в технике и технологиях: сб. трудов XXIII междунар. науч. конф. — Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2010. — Т. 5. - С. 153-156.

2. Безухов, Н. И. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач / Н. И. Безухов, О. В. Лужин. — Москва: Высшая школа, 1974. — 200 с.

3. Ильюшин, А. А. Упругопластические деформации полых цилиндров / А. А. Ильюшин, П. М. Огибалов. — Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1960. — 224 с.

4. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. — Москва: Мир, 1986. -318 с.

5. Митчелл, Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными /

Э. Митчелл, Р. Уэйт. — Москва: Мир, 1981. — 185 с.

6. Зайдес, С. А. Технологическая механика осесимметричного деформирования / С. А. Зай-дес, А. Н. Исаев. — Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2007. — 432 с.

Материал поступил в редакцию 16.01.2012.

References

1. Isaev, A.N. Geometriya ochaga deformacii pri lokal'no-kol'cevoj razdache pustotelogo cilindra metodom dornovaniya / A. N. Isaev, A. R. Lebedev // Matematicheskie metody' v texnike i

texnologiyax: sb. trudov XXIII mezhdunar. nauch. konf. — Saratov: Sarat. gos. texn. un-t, 2010. — T. 5. — S. 153—156. — In Russian.

2. Bezuxov, N. I. Prilozhenie metodov teorii uprugosti i plastichnosti k resheniyu inzhenerny'x zadach / N. I. Bezuxov, 0. V. Luzhin. — Moskva: Vy'sshaya shkola, 1974. — 200 s. — In Russian.

3. Il'yushin, A. A. Uprugoplasticheskie deformacii poly'x cilindrov / A. A. Il'yushin, P. M. Ogibalov. — Moskva: Izd-vo Mosk. un-ta, 1960. — 224 s. — In Russian.

4. Zenkevich, O. Konechny'e e'lementy' i approksimaciya / 0. Zenkevich, K. Morgan. — Moskva: Mir, 1986. — 318 s. — In Russian.

5. Mitchell, E'. Metod konechny'x e'lementov dlya uravnenij s chastny'mi proizvodny'mi / E'. Mitchell, R. Ue'jt. — Moskva: Mir, 1981. — 185 s. — In Russian.

6. Zajdes, S. A. Texnologicheskaya mexanika osesimmetrichnogo deformirovaniya / S. A. Zajdes, A. N. Isaev. — Irkutsk: Izd-vo IrGTU, 2007. — 432 s. — In Russian.

CONTACT VOLTAGE STUDY UNDER LOCAL RING ELASTOPLASTIC DEFORMATION OF COMPOSITE CYLINDER

A. N. Isayev, A. R. Lebedev

The deformation zone geometry properties are considered. The finite-eiement simulation tasks for contact voltages under elastoplastic strain shaping of the composite cylinder by the hole mandrelling technique are determined. Keywords: strain-stress state, contact voltages, finite-eiement simulation.