Математическая модель обобщенного статического преобразователя электрической энергии

УДК 621.314.5

В. Г. Макаров

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБОБЩЕННОГО СТАТИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Ключевые слова: теория графов, топологические матрицы, преобразование электрической энергии,

математическое моделирование.

С помощью теории графов построена математическая модель обобщенного статического преобразователя электрической энергии. Получены уравнения обобщенного статического преобразователя электрической энергии по первому и второму законам Кирхгофа и методу контурных токов.

Key words: graphs theory, topological matrixes, electrical energy conversion, mathematical modeling.

With the help of mathematical apparatus of theory of graphs has been constructed the mathematical model of the generalized static converter of electric energy. The equations of the generalized static convertor of electric energy under the first and second laws of Kirhgofa and a method of contour current are received.

Введение

Основные трудности, возникающие при моделировании силовых полупроводниковых преобразователей, связаны с тем, что через определенные интервалы времени коммутируются группы вентилей, и поэтому изменяются цепи, по которым замыкаются токи в преобразователе [1].

Существует два основных подхода к моделированию вентильных элементов: с использованием микро- и макромоделей.

Отличительной особенностью микромоделей является описание полупроводниковых вентилей на уровне вольт-амперных характеристик.

При использовании макромоделей вентильные элементы представляют в виде идеальных ключей, обладающих внутренними активными сопротивлениями. Идеальный ключ рассматривают как двухпозиционный переключатель, который переходит из одного фиксированного состояния в другое, принимая поочередно положения «отключено» и «включено». При этом состояние ключа характеризуют переключающей (коммутационной) функцией.

Теоретические положения

Предлагается методика формирования математической модели обобщенного статического преобразователя электрической энергии, основанная на использовании известных в теории графов матрично-топологических соотношений. Первые работы по анализу электрических цепей с помощью топологических матриц относят еще к временам Кирхгофа и Максвелла. Отличительной особенностью предлагаемой модели является введение переключающих функций, характеризующих состояние силовых вентилей, непосредственно в топологические матрицы.

На рис. 1 приведена схема замещения обобщенного трехфазного статического преобразователя электрической энергии.

В схеме на рис. 1 вентильные элементы представлены идеальными ключами S-| - S6,

имеющими активные сопротивления R-| - R6, источник питания разделен на секции, а точки

О и N соединены нейтральным проводом. В [2] показано что, подобный вариант построения силового полупроводникового преобразователя применяется для связанных электрических сетей.

Рис. 1 - Схема замещения обобщенного трехфазного статического преобразователя электрической энергии

Система внешних переменных преобразователя должна быть образована токами и напряжениями ветвей дерева. Из общего количества полюсных токов только (гп +1 - к) являются независимыми, где т - число полюсов преобразователя, к - число каналов преобразователя [2]. В данном случае преобразователь содержит два канала. Первый канал образован полюсами й, О, связанных с первичной сетью, а второй канал образован множеством полюсов А, В, С, связанных с вторичной сетью (рис. 2).

Считая зависимым полюс Ы, получим следующую систему независимых полюсных токов и напряжений (токов и напряжений ветвей графа):

[п ]= 'о ^ ^ 'а 'ь 'о ; [ип ]:

Со о 3 Са Сь С О

где т - знак транспонирования матрицы.

Рис. 2 - Структурный граф трехфазного обобщенного статического преобразователя электрической энергии

В дальнейшем радиальную систему полюсных токов и напряжений будем называть системой фазных токов и напряжений преобразователя.

Система внутренних переменных должна быть образована токами и напряжениями хорд [2]:

Рх ]= *1 *2 *3 Ц *5 *6 ; [Ух ]= и1 и2 Цз и4 и5 Цд .

При записи системы уравнений, описывающих электромагнитные процессы в обобщенном статическом преобразователе электрической энергии, используются следующие топологические матрицы: матрица инцидентности узел - ветвь [А] , матрица сечений [] и матрица главных контуров [В].

Для структурного графа, изображенного на рис. 2, можно записать матрицу инцидентности при условии, что каждая ветвь характеризуется коэффициентом инцидентности И. Если ветвь направлена к узлу, то коэффициент инцидентности отрицателен (— И), если ветвь направлена от узла, то коэффициент инцидентности положителен (+ И), если ветвь не инцидентна узлу, то коэффициент инцидентности равен нулю. В общем случае коэффициент инцидентности узел - ветвь является некоторой линейной или нелинейной функцией тока или напряжения ветви. Если в составе ветви имеется вентильный элемент с независимым управлением, то коэффициент инцидентности является некоторой функцией времени, которую часто называют переключающей (коммутационной) функцией, и только в частном случае, когда в ветви коммутатор отсутствует, коэффициент инцидентности И равен ±1.

В зависимости от текущего состояния вентильного элемента переключающая (коммутационная) функция может принимать следующие значения:

[1, если вентиль открыт

[0, если вентиль закрыт

где I - номер вентильного элемента.

Матрица инцидентности структурного графа может быть представлена в виде двух подматриц

[А] = [[А1 ] [А2 ]].

Подматрица [А1 ] содержит коэффициенты инцидентности ветвей дерева, а подматрица [А2] - хорд структурного графа. Так как в ветвях дерева структурного графа статического преобразователя электрической энергии коммутирующие элементы отсутствуют, то подматрица [А1] имеет следующий вид:

С

[Аі] =

1 -1 -1 -1

-1

1

1

1

1

Подматрица [А2] содержит коэффициенты инцидентности хорд:

1 2 3 4 5 6

[А2] =

И1 со _С ю _С

сч _С _С И6

Л сч _С і

-1Ъ _С -

ю _С - 6 _с -

где И,, ... ,И6 - переключающие (коммутационные) функции ключей Б-! - Э6.

Условная замкнутая линия вокруг одного из узлов графа определяет сечение. Эта линия пересекает хорды и одну ветвь дерева, которые входят в данный узел или выходят из него [1, 3-5].

Матрицу сечений запишем в следующем виде

[о]=|о,][й2 ]].

При составлении матрицы сечений строки нумеруются согласно номерам ветвей дерева структурного графа. Поскольку каждая ветвь дерева входит только в одно, определяемое номером этой ветви сечение, то подматрица [й, ] содержит строки только с одним положительным ненулевым элементом, который находится на главной диагонали. Так как ветви дерева

графа преобразователя не содержат коммутирующих элементов, то подматрица [й, ] является единичной матрицей, порядок которой определяется числом независимых полюсов преобразователя.

Подматрицу [й2 ] можно записать, используя известное в теории графов соотношение между топологическими матрицами [1, 3 - 5]:

Р2] = [А1Г1[А2],

где [А,]"1 - подматрица, обратная подматрице [А, ].

_,

Перемножив подматрицы [А,] и [А2], получим матрицу Р2]:

1 2

3

4

5

6

[2]

О

О

А

В

С

-Иі 2 _С - со _С - _С - ю _С - со _С -

-Иі со _С - ю _С -

2 _С _С И6

-Иі 2 _С -

со _С - _С -

ю _С - 6 _С -

Матрицу главных контуров запишем также в виде двух подматриц

[В]=[[В,][В2 ]].

Главными называют контуры, в каждый из которых входит только одна хорда [5]. В матрице главных контуров номер каждой строки определяется номером хорды. Очевидно, что подматрица [В2] имеет следующий вид

[В2] = сііад И1

2 _с со .С .С ю .С со .С

где сЛад - означает, что элементы матрицы расположены на главной диагонали. Подматрицу [В,] определяют следующим образом [1, 3 - 5]

[В,] = - [й2]Т,

где - знак транспонирования матрицы.

На основании (5) получим подматрицу ^]

O D Q A

B C

Р1]

Ь1 Ь1 Ь1

и2 2 _С 1 Ь2

1ъ Ь3 Ь3

_с -1% .С

ю .С Ь5 Ь5

со _С -Ье Ье

Таким образом, соотношения (3) и (5) позволяют по известной матрице инцидентности

(1) путем матричных преобразований записать матрицы сечений (2) и главных контуров (4), что исключительно важно при использовании вычислительных машин.

Основные результаты

Уравнение обобщенного статического преобразователя электрической энергии по первому закону Кирхгофа будет иметь вид:

[А][1] = 0,

где [I] - матрица токов структурного графа.

Матрица токов имеет вид:

['] = [ ['п ] [IX ] ].

Запишем уравнение сечений обобщенного статического преобразователя электрической энергии:

РР = 0.

Уравнение обобщенного статического преобразователя электрической энергии по второму закону Кирхгофа будет иметь вид:

ТО] = 0,

где [и] - матрица напряжений структурного графа.

Матрица напряжений имеет вид:

[и]=[ [ип ][их ]].

С целью получения матричного уравнения обобщенного статического преобразователя электрической энергии выполним следующие действия:

1) Запишем уравнение (8) в виде ™ = [В]ИИ - [В][Е], где [Е] - матрица ЭДС; [7] - матрица сопротивлений.

Матрицу ЭДС запишем в виде двух подматриц

[Е]=|[Еп] [Ех]],

где [Еп ] - подматрица полюсных ЭДС; [Ех] - подматрица ЭДС хорд.

Так как хорды структурного графа не содержат источников ЭДС, то все элементы подматрицы [Ех] равны нулю, поэтому можно записать [Е] = [о] [Ех]|.

Запишем матрицу полюсных ЭДС:

[Еп ] =

е о еа еь ес

Матрицу сопротивлений запишем в виде двух подматриц

И=Ь, ]&,

где [гп ] - подматрица полюсных сопротивлений; [гх] - подматрица сопротивлений хорд.

Матрицы полюсных соп [гп ]= сПад

Zo

Zd

Zq

Za

ХІ

ротивлений и сопротивлений хорд имеют вид: х]

Z

Zc

Z2 СО N Z4 5 N Z6

2) Запишем матрицу полюсных напряжений как произведение матриц полюсных токов и сопротивлений

[ип ] = [1п ][2п ],

а матрицу напряжений хорд - как произведение матриц токов и сопротивлений хорд

[их] = №х] .

Применив данные преобразования, можем записать матричное уравнение обобщенного статического преобразователя электрической энергии по методу контурных токов [5]

[В,р П ][В,]т[!х] = [Б,][Еп ] + [В2]([Ех] - Мх]).

Поскольку все элементы матрицы [Ех] равны нулю, то матричное уравнение обобщенного статического преобразователя электрической энергии примет вид

[В,][гт ][В,]т[1х] = [В,][Е, ]-[В2][7х][!х].

Перемножив матрицы в (9), получим систему уравнений обобщенного статического преобразователя электрической энергии по методу контурных токов:

И, И, ( + 7а ) ', + И2 ( + 7а ) '2 + И3 (о + ^ ) 'з + ^^'4 +

И5

+і

П1 (Zo + Za ) '1 + П2 (Zo + Zq + ^ ) '2 + П3^3 + П4 (Zo + Zq ) '4 +

+ h5ZoІ5 + И6 (Zo + Zq ) ) ] = И2 (eo - eq + ^ ) - h2Z2І2 ;

П1 (Zo + Zd) 'і + П2^2 + h3(Zo + ^ + Zb) 'з + h4(Zo + Zb) '

+ П5 (Zo + Zd ) '5 + П6^6 ]= h3 (Єс + ^ + ЄЬ ) - Мз'з ; h4 h1ZoІ1 + h2 (Zo + Zq ) '2 + h3 (Zo + ^ ) '3 + h4 (^ + Zq + Zb ) ' + h5ZoІ5 + П6 (Zo + Zq ) 'б ] = h4 (eo - ^ + еЬ ) - П4^4 ;

+

h1 (Zo + Zd) '1 + П2^2 + h3(Zo + ^) '3 + h4ZoІ

+

+ h5 (Zo + ^ + Zc ) '5 + П6 (Zo + Zc ) 'б = П5 (eo + ed + ес ) - h5Z5І5 ;

+

h1ZoІ1 + h2( + Zq) '2 + h3ZoІ3 + h4(Zo + Zq) '4 +

П5 (Zo + Zc ) '5 + h6 (Zo + Zq + Zc ) '6 ] = П6 (eo - eq + Єс ) - h6Z6І

Обсуждение результатов

Уравнение (9) и система (10) - (15) являются универсальными, поскольку позволяют анализировать электромагнитные процессы как в инверторе тока, так и в инверторе напряжения. При этом для управления вентильными элементами могут быть использованы 120- или 180-градусный законы коммутации, широтно-импульсное регулирование или широтноимпульсная модуляция, а переключающие функции силовых вентилей могут быть как функциями времени, так и линейными или нелинейными функциями токов или напряжений ветвей. В случае отсутствия нейтрального провода (при отсутствии ветви о) необходимо наложить

П

3

4

п

5

4

п

условия, что сопротивление г0 бесконечно велико (г0 ^ ^), а ток '0 бесконечно мал

( 'о ^ 0 ).

Универсальность уравнения (9) и системы (10) - (15) заключается также в том, что они могут быть использованы для анализа электромагнитных процессов в управляемых выпрямителях, включая активные выпрямители.

При соответствующих изменениях уравнение (9) и система (10) - (15) могут быть использованы для анализа электромагнитных процессов в силовых полупроводниковых преобразователях с любым количеством фаз.

Выводы

1. На основании матрицы инцидентности структурного графа обобщенного статического преобразователя электрической энергии с помощью известных в теории графов соотношений между топологическими матрицами могут быть записаны матрицы сечений и главных контуров.

2. Введение переключающих (коммутационных) функций, характеризующих состояние силовых полупроводниковых вентилей, непосредственно в топологические матрицы позволяет учитывать изменение структуры силовой цепи при любых законах управления силовыми вентилями.

3. Известные методы расчета электрических цепей требуют умения выбирать независимые контуры. В данном случае использование топологических матриц с введенными в них переключающими функциями существенно упрощает задачу построения математической модели обобщенного статического преобразователя электрической энергии.

4. Полученное матричное уравнение обобщенного статического преобразователя электрической энергии по методу контурных токов позволяет анализировать электромагнитные процессы в трехфазных инверторах или выпрямителях как для связанных, так и несвязанных электрических сетей.

Литература

1. Демирчян, К. С. Моделирование и машинный расчет электрических цепей / К. С. Демирчян, П. А. Бутырин. - М.: Высшая школа, 1988. - 335 с.

2. Макаров, В. Г. Применение теории графов к моделированию статических преобразователей электрической энергии / В. Г. Макаров // Вестник Казан. технол. ун-та.- 2011. - Т. 14, № 16. - С. 102 - 105.

3. Сигорский, В. П. Математический аппарат инженера / В. П. Сигорский. - Киев: Техника, 1975. -768 с.

4. Нейман, Л. Р. Теоретические основы электротехники / Л. Р. Нейман, К. С. Демирчян. - Л.: Энергоиз-дат, 1981. - Т. 1. - 533 с.

5. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи / Л. А. Бессонов. - М.: Высшая школа, 1978. - 528 с.

© В. Г. Макаров - канд. техн. наук, доц., зав. каф. электропривода и электротехники КНИТУ, electroprivod@list.ru.