Математическая модель изменения содержания каротина в древесной зелени пихты сибирской при хранении

УДК 634.0.813

В.М. Ушанова, С.В.Ушанов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ КАРОТИНА В ДРЕВЕСНОЙ ЗЕЛЕНИ ПИХТЫ СИБИРСКОЙ ПРИ ХРАНЕНИИ

В работе представлены результаты анализа однопараметрической динамической математической модели изменения содержания каротина в древесной зелени пихты сибирской при хранении. Произведена параметрическая идентификация модели нелинейным методом наименьших квадратов. Проведен анализ связи параметра полученной модели со средней температурой окружающей среды в период хранения.

При организации промышленного использования древесной зелени большое значение имеет сохранность в ней биологически активных веществ при ее хранения перед переработкой. С.М. Репях [2], Р.И. Том-чук, Г.М. Томчук [3], рассматривая вопросы хранения древесной зелени, рекомендуют хранить ее в кучах зимой не более 20 суток, весной - 10 суток, летом - 6 суток.

В настоящей работе представлены результаты математического моделирования изменения содержания каротина в древесной зелени пихты при хранении. Рассматривается хранение древесной зелени пихты, отделенной от сучьев и уложенной в кучи высотой 1-1,5 м под пологом леса. Объектом исследования служили образцы древесной зелени пихты, отобранные с 20-30 деревьев. Пробы отбирались из средней части кучи методом квартования. Эксперименты проводились в течение 1999-2000, 2005-2006 гг.: зимой (в декабре - январе), весной (в апреле - мае), летом (в июле - августе), осенью (в сентябре - ноябре). Результаты экспериментов представлены на рисунках 1-2.

Анализ экспериментальных данных показал, что им соответствует линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Т + К X Ъ = 0, Z

УШ/

где Z(t) = уУ(0) , Y(t) - относительное содержание каротина по отношению к первоначальному коли-

честву и содержание каротина в древесной зелени пихты в процессе хранения; t - продолжительность хранения, сутки; К - искомый коэффициент уравнения (1), сутки-1.

Решение дифференциального уравнения (1):

_ ^

Ъ

где т - постоянная времени, характеризующая продолжительность хранения, при котором содержание каротина в древесной зелени пихты уменьшается в 2,72 раза (на 63%) по сравнению с первоначальным количеством.

Результаты параметрической идентификации модели (1) методом наименьших квадратов [4] представлены в таблице 1 и на рисунках 1-2, где fад, fвс, Sад2, Sвс2 - число степеней свободы и дисперсии аде-

кватности и воспроизводимости; R2 - коэффициент детерминации; Sост - стандартная ошибка модели; Fрас, Fкр - расчетное и критическое значение критерия Фишера при уровне значимости а = 0,05. Расчеты показали, что предложенная модель адекватна экспериментальным данным при 5% уровне значимости ^рас < Ркр).

Содержание каротина /,(1), %

100 90 80 70

Щ 60 2

1 50

30

20

100

90

гч 1 1 Хранение древесной зелени

ч • Ч Гч* Ч^ пихт ы в нояс ре - янв 1ре

\0 к" Ч. ' N.

N Ч ^ * N - * -Ч. ч

А к. | ч.

г(1) = у(1уу(о) = К.2 = 0,901, вое — Бес" — 15,9 Бад Грас = 1.70 < Рк ^ ^-0-014*1 ч

т= 4,3

3= 1.85 'ч

10 20 30 40 50 60

Госг-'ллительнссть хуанен:^ г. сух.

70

50

40

30

20

10

0

- 4ГТ ар*4- = 0, Щ) = 0 -(0) , 1 _ Эост = 5,0 вщ2 = 34,4

А\ 2(о=у т

'чЧ'Ч Я2 = 0,950.

\ гч"' ;' V 5вс2= 20.7

\Ч ч^ V  ^ ч Брас — 1.66 < Бкр — 1.89

оЧ Ч ч Ч. 4 %

\  $4. Ч ы х ч 1 ' *Ч| _ ч о * —' - .

"" - ^

Хранение дре весной зелени " 0 ^

пихты в мае - июне 1 ^ ~ ^

10 20 30

Гу'огол^лтглъностъ хвален: 1л I, сух .

40

100

90

#

~ 80 N

ё ?о I 60

и 50 1 40

и

30

20

10

"л Хранение древесной зелени

\*\ \ ЧЧк г ихты в в аире: ге

\\ к

ч л Чд Ч(

ч V4, <

- 2Г+ 0.039*2 = __ Z(t) = Y((Ш Я2 = 0.976, - 8вс2= 9.7 5 Ррас = 1.26 < ч ^ , "Ч Г\ й-^

.) = е^ * "К _

5ост= 3,2 N

Ркр = 1.84 1

10 20 30

Продолжительность хранения г, сут .

Хранение древесной зелени пихты в июле - августе

/ + 0,198*2 0,2(0) О

ад=у(1уу(о) = е^18Н

И" = 0,859, Бост = 4,9 Эвс" = 14,9 &ш’ = 23,4 Грас = 1,57 < Ркр = 1,94

40

-8— 1 -

10 20 30

хрлхгх::я;ут.

40

Рис. 1. Экспериментальные данные и результаты расчетов содержания каротина в древесной зелени пихты при хранении зимой, весной и летом:

* Репях а Томчук о 1 опыт  2 опыт о 3 опыт д 4 опыт ----Расчет----гтш--------гтах

100

40

*

80

^ч 70

1 60

50

и

5 40

щ р 30

У 20

'о

10

0

0 10 20 30 40

Продолжительность хранения ^ сут.

о 1 опыт  2 опьгх о 3 опыт д 4 опьгх

----Расчет--------гшш —  -7тах

Рис. 2. Экспериментальные данные и результаты расчетов содержания каротина в древесной зелени пихты при хранении осенью

Таблица 1

Результаты параметрической идентификации модели

Период хранения Оптимальное значение и 95% границы изменения коэффициента модели К Оптимальное значение и 95% границы изменения постоянной времени т, сутки Объем выборки Дисперсия адекват- ности Дисперсия воспроиз- водимости R2

Ктт Ктах т opt Т тип Т тах fад Sад2 fвс Sвс2

Ноябрь- январь 0,014 0,014 0,015 70,4 67,3 73,1 64 17 27,0 46 15,9 0,90

Апрель 0,039 0,037 0,041 25,8 24,6 26,9 65 17 12,2 47 9,7 0,98

Май-июнь 0,057 0,055 0,060 17,4 16,8 18,2 61 16 34,4 42 20,7 0,95

Июль- август 0,198 0,193 0,220 5,0 4,5 5,2 56 13 27,0 40 14,9 0,86

Осень 0,044 0,036 0,054 22,6 18,6 27,5 48 14 24,2 33 57,5 0,99

Сравнение эмпирической функции распределения остатков модели с теоретической функцией нормального распределения по критерию согласия Колмогорова-Смирнова (для случая, когда оценки среднего и дисперсии получены по выборке [1]) показало, что гипотеза нормальности может быть принята при 10% уровне значимости (орас < Бкр). Результаты расчетов представлены в таблице 2.

Таблица 2

Проверка по критерию Колмогорова-Смирнова гипотезы нормальности распределения остатков модели

Период хранения Объем выборки Параметр S теоретического нормального распределения N(0, ^ Значение критерия Колмогорова-Смирнова

Расчетное значение Dрас Критическое значение при 10% уровне значимости Dкр

Ноябрь-январь 64 3,8 0,067 0,101

Апрель 65 3,2 0,075 0,100

Май-июнь 61 4,9 0,082 0,104

Июль-август 56 4,1 0,098 0,108

Сентябрь-ноябрь 48 6,8 0,076 0,116

Нормальность распределения остатков модели позволяет использовать критерий Бартлетта для проверки однородности дисперсий экспериментов (табл. 3) и критерий Фишера для проверки адекватности модели экспериментальным данным.

На рисунке 3 представлено изменение постоянной времени т модели (1) в годовом цикле. Анализ изменения постоянной времени т от средней температурой хранения древесной зелени пихты (рис. 4) показал наличие значимой корреляционной связи между ними = 0,96):

т

где Т - средняя температура хранения древесной зелени пихты, 0С.

Таблица 3

Проверка по критерию Бартлетта гипотезы однородности дисперсий

Период Уровень Крите рий х2 Г ипотеза однородности

хранения значимости, а храс2 хкр2 дисперсий принимается?

Ноябрь-январь 0,05 12,4 19,7 Да

Апрель 0,05 7,9 19,7 Да

Май-июнь 0,05 10,0 19,7 Да

Июль-август 0,05 16,8 19,7 Да

Сентябрь-ноябрь 0,05 0,9 19,7 Да

а оО

70

II 60

И = 50

3 2 о 40

с. 30

1 20

10

Ь о 0

70,4

25.8

17,4

5.1

22 7

70,4

нояорь- апрель маи-июнь июль- сентяорь- нояорь-

январь август ноябрь январь

Период хранения древесной зелени пихты

Рис. 3. Изменение постоянной времени тмодели (1) в годовом цикле

На рисунке 5 представлены графики изменения среднемесячной температуры и расчетные значения постоянной времени изменения содержания каротина при хранении древесной зелени пихты в годовом цикле. Расчеты показали (рис. 6), что содержание каротина в древесной зелени пихты уменьшается:

- на 20% при хранении в течение трех недель при температуре минус 20 0С, в течение недели при температуре 0 0С, в течение суток при температуре 20 0С;

- на 30% при хранении в течение месяца при температуре минус 20 0С, в течение недели при температуре 5 0С, в течение двух дней при температуре 18 0С;

- на 50% при хранении в течение месяца при температуре минус 7 0С, в течение пяти дней при температуре 15 0С.

Оценка максимального времени хранения древесной зелени пихты 1тах при известной температуре хранения Т и заданном уменьшении содержания каротина ДZ = 1 — Z определяется выражением

1тах = т

Выражения (2)-(3) позволяют более обоснованно подойти к оценке содержания каротина в процессе хранения с учетом изменения среднесуточной температуры:

1

или

27,616 —1,962 х Т + 0,0418 х Т^

1 — у

У 1+1 = Е К =у + к , у о = 0, ^+1 = е у+1 ]=1

, V! = Уо х Zi,

где Ъ, Т - относительное содержание каротина по отношению к первоначальному количеству Yo; содержание каротина в древесной зелени пихты; средняя температура в ьй день хранения.

• 90

Е’ 80

70

н (Н1 60

50

о лЛ 40

Л 1 V 30

V 20

5 10

— 0

1

т - К 1 = 27.616 - 1.962‘Т + 0.0418»Т'

я- = 0.96

§

О

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

20

25

Средняя температура при хранения Т, С

о Расчет по модели — Результаты аппроксимации

Рис. 4. Изменение постоянной времени тмодели (1) от средней температуры хранения древесной зелени пихты

- • л н — >-. № И

5

90

80

70

60

50

40

30

20

10

о

і г

/ / Ч N Г

у і \ /

X \ , і

\ / V

/\ Л,

4 / 1 \ к А г 1 N

^ І У г N А у \ 1 і _

—п

20

15

10 и

5 4

0 Он

-5 Л О. О

-10 &

-15

-20

-25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Номер месяца

—•—Постоянная времени -А- Среднемесячная температура

Рис. 5. Изменение среднемесячной температуры и расчетных значений постоянной времени т модели (1) в годовом цикле

О ---------------------------------------------------------------------------------------

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Средняя температура хранения. °С

---1 день 2 дня 3 дня 4 дня 5 дней

6 дней -о— 7 дней 14 дней -*-21 день -о— 30 дней

Рис. 6. Зависимость изменения содержания каротина в древесной зелени пихты от температуры и продолжительности хранения

Литература

1. Джонсон, Н. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке: Методы обработки данных /

Н. Джонсон, Ф. Лион. - М.: Мир, 1980. - 510 с.

2. Репях, С.М. Закономерности изменения состава и комплексная технология древесной зелени хвойных: дис. ... д-ра хим. наук: 05.21.03, 05.21.04 / С.М. Репях. - Красноярск, 1985. - 477 с.

3. Томчук, Р.И. Древесная зелень и ее использование в народном хозяйстве / Р.И. Томчук, Г.Н. Томчук. -М.: Лесн. пром-сть, 1973. - 359 с.

4. Ушанов, С.В. Применение многомерных статистических методов при принятии решений / С.В. Ушанов;

СибГТУ. - Красноярск, 2003. - 240 с.

----------♦-------------

УДК 624.012.45 Е.М. Сергуничева, Э.В. Березина, Н.В. Ершова

ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ ДЕФОРМИРОВАНИЯ БЕТОНА ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

Предложен способ построения функциональных зависимостей о - £ для бетона при осевом растяжении. Определены узловые точки и построены диаграммы деформирования для некоторых классов бетона.

На сегодня имеет место тенденция совершенствования теории железобетона путем внедрения нелинейной теории деформирования модели расчета, предусматривающей использование диаграмм деформирования бетона и арматуры. В связи с этим, актуальной является задача получения функциональных зави-

симостей ст - е, которые наиболее полно и достоверно отражали бы реальную работу материалов. Кроме того, эти зависимости должны быть простыми по форме и универсальными, то есть иметь несложную аналитическую запись при минимальном числе эмпирических параметров.

Экспериментальные исследования проводились с целью определения узловых точек и построения диаграмм зависимости ст - е при осевом растяжении.

В результате испытаний кубов на сжатие с ребром 10 см был определен класс бетона В20, которому соответствует, согласно действующим нормам [1], начальный модуль упругости £ь=27,5'103 МПа, сопротивление при осевом растяжении для данного класса бетона %р0,9 МПа. Испытание кубов на сжатие производилось на гидравлическом прессе П-125.

Для исследования напряженно-деформированного состояния бетона при осевом растяжении использованы тензодатчики типа КФ5П1-20-200, наклеенные на образец по трем сторонам, как показано на рисунке

1. Измерение относительных деформаций осуществлялось с помощью СИИТ-3.

Рис. 1. Схема расстановки тензодатчиков

Обработка экспериментальных данных проводилась следующим образом.

Выборки данных по каждому образцу проверялись на нормальность по критерию согласия х2 Пирсона, затем данные, распределенные нормально, объединялись в общую совокупность, которая также проверялась на нормальность.

В результате было выявлено, что 63% всех данных, полученных при испытании восьмерок, распределены нормально. Это позволяет построить для них линии регрессии, то есть зависимости СТ - £.

Для определения вида функциональной зависимости ст - £ был получен коэффициент корреляции Гху=0,3. Значение Гху значительно отличается от единицы, следовательно, ст и £ не связаны линейной зависимостью. Поэтому было определено корреляционное отношение Пху=0,7. В силу того, что оно достаточно близко к единице, то зависимость между напряжениями и деформациями нелинейная.

Коэффициенты функциональной зависимости ст - £ находились с помощью метода наименьших квадратов [2].

Были выдвинуты следующие предположения о виде диаграмм:

1) ст=А£2+В£+С - квадратная парабола, удовлетворяющая условию А<0 (рис. 2,а).

2) ст=А£2+В£ - квадратная парабола, проходящая через начало координат при условиях С=0, А<0 (рис. 2,б).

3) ст=А£2+Еь£ - квадратная парабола, проходящая через начало координат (С=0, А<0) и имеющая в начале координат касательную с угловым коэффициентом, равным начальному модулю упругости Еь, значение которого соответствует СП 52-101-2003 для данного класса бетона (рис. 2,в).

кг, г<гу

4) О =

Аг2 + Вг + С, г>г

где £у - деформация, соответствующая переходу от линейного участка к нелинейному, к - коэффициент, равный условному модулю упругости Еь, А£2+В£+С - квадратная парабола (А<0) (рис. 2,г).

При статистической оценке результатов измерений необходимо, чтобы в полученной совокупности данных отсутствовали ошибки измерений (промахи), то есть результаты измерений, не принадлежащие данной генеральной совокупности. Промахи, например, могут быть следствием изменения контролируемых внешних факторов, влияющих на эксперимент, оказавшихся незамеченными экспериментатором. В этом случае, если нет возможности проанализировать условия эксперимента с целью выявления промахов, то необходимо провести анализ полученных результатов, подозреваемых на промах статистическим путем, который может быть осуществлен только в случае, если известен закон распределения измеряемой случайной величины.

В нашем случае данные распределены по нормальному закону, поэтому проверка на промах осуще-

1°

ствлялась с помощью максимального относительного отклонения Тп = ---------*—1, где а, - наи-

$

больший или наименьший результат измерений, °, ^ - выборочные математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Критическое значение т„,о при уровне значимости а=0,05 определяется по таблицам. Если т„> т„,а, то значение а, отбрасывается [3].

Для определения наиболее адекватной модели вычислялся множественный коэффициент детерми-

нации Я =

11 о

I ( ° )2

7=1 'Л

-------------------, где °1 - экспериментально полученные значения напряжений, °1 - теоре-

1( ° /

7 =1

тические значения напряжений, ° - среднее значение напряжений, п - объем выборки.

б

а

в

г

Рис. 2. Виды диаграмм

Таблица 1

Определение функциональной зависимости а-е при осевом растяжении

Вид диаграммы Уравнение R

1 -4,64-108£2+29143£-0,0002 0,81

2 -3,9 108£2+29128£ 0,81

3 -3,46 108£2+27500£ 0,83

4 |21361е, е< 1,9 10-5, < [- 3,7 • 108 е2 + 2,836 • 104е + 0,0014, е > 1,9 • 10-5 0,87

Таким образом, диаграмма, наиболее адекватно описывающая НДС образца, имеет вид (4), так как для него получен множественный коэффициент детерминации R, наиболее близкий к единице, график приводится на рисунке 3.

Остановимся подробнее на способе построения функциональной зависимости ст - £ вида (4) и определении узловых точек: (£у, Сту) - точка, соответствующая переходу от линейного участка к нелинейному; (^ ст,<) - точка, соответствующая предельному значению напряжения; (стт(, £т() - точка, соответствующая предельному значению деформаций.

Деформации с

Рис. 3. Диаграмма деформирования бетона при осевом растяжении

Построение зависимости ст - £ и определение узловых точек диаграммы осуществлялось следующим образом:

1) фиксировалось значение деформации £yi*=0,1 '10-5;

2) вычислялся условный модуль упругости Ebi с помощью метода наименьших квадратов;

3) для остальных данных строилась линия регрессии в виде параболы, которая удовлетворяет условию Ebi'-£yi'=A-(£yi')2 +В-£у1 +С, коэффициенты А, В, С находились с помощью метода наименьших квадратов;

4) определялся множественный коэффициент детерминации R;

5) аналогично фиксировались значения деформаций £у* с шагом 0,1 '10-6;

6) для каждого шага определялся начальный модуль упругости Ebi с помощью метода наименьших квадратов, для остальных данных строилась функциональная зависимость в виде параболы, вычислялся множественный коэффициент детерминации R;

7) точка (£у; Сту) соответствует случаю с наименьшей среднеквадратической ошибкой;

8) точка (£rt, Стг) определялась как вершина параболы наиболее адекватной зависимости;

9) точка (£mf; стт) соответствует деформации, при которой началось разрушение образца.

По данным обработки эксперимента были определены следующие узловые точки для диаграммы при осевом растяжении:

(£y, СТу)=(1,9-10-5; 0,45),

(е* CTrt)=(3,8'10-5; 0,542),

Ы £т?)=(4,4-10-5; 0,53).

Аналогично были получены результаты еще для двух классов бетона В35 и В45. Результаты приведены в таблице 2.

Таблица 2

Зависимости ст-£ при осевом растяжении для классов бетона В35 и В45

Класс бетона В35 В45

Условный модуль упругости Еь*, МПа 30752 35000

Узло- вые точки

Уравнение зависимости СТ-Е Г30752£ [- 7,9 • 108£2 + 6,98 -104£- 0,232 Г35000^ {- 8,4 Л08е2 + 6,75 -104£- 0,036

R 0,85 0,99

На рисунке 4 изображены графики зависимости ст - е, полученные при осевом растяжении для классов бетона В20, В35 и В45

2 1 8

1 6 *-

I 19 -А~~ -А В20

ф 1 52 1 1 к А А —а— В35 —ж—В45

О. с 0 8 ж

(О 08 "С 0 6

0 4

П 9

0

о с <о N \ <ъ <1 ь /* д *4 <ъ о р| О- ма <о )' ц ии г ь <ъ о <: N 05

Рис. 4. Диаграммы деформирования бетона при осевом растяжении

Литература

1. СП 52-101-2003. Свод правил по проектированию и строительству. Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры. - М.: ООО «Техкнига-Сервис», 2004. - 53 с.

2. Горев, В.В. Математическое моделирование при расчетах и исследованиях строительных конструкций: учеб. пособие / В.В. Горев, В.В. Филиппов, Н.Ю. Тезиков. - М.: Высш. шк., 2002. - 206 с.

3. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмур-ман. - М: Высш. шк., 1998. - 479 с.

♦