Роль логических конструкций в освоении учащимися универсальных учебных действий в школьном курсе алгебры

мия, 2001; Аяпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. Ч. 1. М.: Просвещение, 1974; Нечаев В. И. Числовые системы. М.: Просвещение, 1975; Проскуряков И. В. Числа и многочлены. М.: АПН РСФСР, 1947; Феферман С. Числовые системы. (Обоснования алгебры и анализа) / пер. с англ. М.: Наука, 1971; Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. М.: Наука, 1977.

3. Калужнин А. А. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973; Кантор И. А, Солодовников И. С. Гипердействительные числа. М.: Наука, 1973; Кириллов А. А. Что такое число? М.: Наука, 1993; Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. М.: Мир, 1982; Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986; Понарин Я. П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах. М.: МЦНМО, 2004.; Понтрягин А. С. Обобщения чисел. М.: Наука, 1986 (Библиотечка «Квант»); Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. М.: Наука, 1967; Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ? М.: Наука, 1987.

4. Вечтомов Е. М., Чермных В. В. Изучение алгебраической структуры // Вестник ВятГГУ. 2012. № 1 (3). С. 41-48.

5. Вечтомов Е. М. Изучение порядковой структуры // Вестник ВятГГУ. 2010. № 2 (1). С. 111120; Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.

6. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

7. Дэвис М. Прикладной нестандартный анализ. М.: Мир, 1980; Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970; Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. М.: Наука, 1967; Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ? М.: Наука, 1987.

8. Брудно А. А. Теория функций действительного переменного. М.: Наука, 1971; Аарин С. В. Числовые системы. М.: Академия, 2001; Русаков А. А., Чубариков В. Н. О двух подходах к обоснованию действительных чисел // Математика в высшем образовании. 2006. № 4. С. 37-44; Яковлев М. К. Построение поля действительных чисел и теории пределов числовых последовательностей на основе понятия стабилизатора последовательности бесконечных десятичных дробей // Математика в высшем образовании. 2010. № 8. С. 41-52.

9. Справочная книга по математической логике: в 4 ч. / под ред. Дж. Барвайса. Ч. I. Теория моделей. М.: Наука, 1982. С. 74.

10. Там же. С. 70.

11. Колмогоров А. Н. Математика - наука и профессия. М.: Наука, 1988. С. 215-218; Гладкий А. В., Козиоров Ю. Н. Действительные числа как последовательности обыкновенных дробей (Теория действительных чисел по Колмогорову) // Математика в высшем образовании. 2009. № 7. С. 21-38.

12. Аенг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

УДК 37.025.7 + 372.851

А. Г. Гейн, Е. М. Рекант

РОЛЬ ЛОГИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ В ОСВОЕНИИ УЧАЩИМИСЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ

Предлагается построение процесса формирования логических универсальных действий с опорой на освоение базовых логических конструкций. Сформулированы диагностические критерии и уровни оценки сформированности логических УУД для осваиваемых логических конструкций как метапред-метных умений. Приведены образцы типовых задач для диагностики сформированности у учащихся логических универсальных действий.

It is suggested to build up the process of formation of logic universal actions with the support on the base logic constructions. There are formulated the diagnostic criteria and the levels of a formation of logic universal educational actions for logic constructions as metasubject skills. There are given samples of standard tasks for diagnostics of formation of logic universal actions.

Ключевые слова: универсальные учебные действия, логическое мышление, метапредметные умения, логические конструкции.

Keywords: universal educational actions, logic thinking, metasubject skills, logic constructions.

Развитие логического мышления всегда понималась как одна из центральных задач образования на всех уровнях - от дошкольного до высшего. Совершенно ясно, что это надпредметная задача, и усилия педагогов по её решению должны прилагаться в любом предмете. Это положение закреплено и в новом ФГОС общего образования: к метапредметным результатам освоения основной образовательной программы отнесены «умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы» [1, с. 7, п. 6]. Но математике здесь всегда отводилась главенствующая роль. Подтверждением тому служит, в частности, тот факт, что при описании предметных результатов освоения основной образовательной программы развитие логического мышления ФГОС общего образования упоминает только для предметной области «Математика и информатика» [2]. Поэтому вопросам развития логического мышления в школьном курсе математики посвящено немало публикаций,

© Гейн А. Г., Рекант Е. М., 2012

спектр которых чрезвычайно широк - от общепсихологических до узкометодических. В большинстве из них развитие логического мышления трактуется как продвижение учащихся в овладении умением рассуждать. Слова «умения рассуждать» в этих работах конкретизируются в зависимости от того, к какой части указанного выше спектра относится работа. Это, в частности, приводит к расплывчатости в понимании того, в какой форме должны быть выражены результаты развития логического мышления - они плохо укладываются в рамки принятой системы знания - умения - навыки. Появление в ФГОС второго поколения понятия «логические универсальные учебные действия» (сокращенно, УУД) позволяет обсуждать результаты развития логического мышления в терминах сформированности этих УУД. Ведь именно формирование УУД составляет ту часть фундаментального ядра общего образования, которая определяет не предметные, а личностные и метапредметные результаты образования, к которым, как отмечалось выше, и относится развитие логического мышления.

Напомним состав универсальных логических действий [3]:

- анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

- синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

- выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов; подведение под понятия,

- выведение следствий;

- установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений, доказательство;

- выдвижение гипотез и их обоснование.

На этапе начального образования решаются задачи по формированию первичных логических операций - умению анализировать объект, осуществлять сравнение, выделять общее и различное, осуществлять классификацию, сериацию, логическую мультипликацию (логическое умножение), устанавливать аналогии [4], - а также по освоению общего приема решения задач. Принципиальным моментом в описании УУД является указание типовых задач, позволяющих оценивать сформирован-ность соответствующих УУД. Для логических универсальных действий, которые должны быть освоены учащимися начальной школы, такие типовые задачи приведены там же, на с. 109-114. Что касается этапа общего образования, то здесь на сегодняшний день, по-видимому, нет сформировавшейся точки зрения на то, как освоение логических УУД должно развертываться при изучении алгебры и геометрии в 7-9-х классах. В данной статье мы намерены обсудить некоторые концеп-

туальные вопросы по формированию логических УУД при изучении курса алгебры в звене общего образования. Это обсуждение имеет два центральных аспекта: 1) проекция приведенного выше общего состава логических УУД на уровень общего образования и 2) указание таких заданий, которые могли бы рассматриваться как примеры типовых задач, позволяющих диагностично развивать у учащихся логическое мышление.

Мы разделяем общепринятую точку зрения, что первоочередные возможности для развития логического мышления предоставляются курсом геометрии, который в большинстве школьных учебников излагается дедуктивно, демонстрируя учащимся основные принципы и методы логических построений. Очевидно, что существенную роль в развитии логического мышления учащихся играет решение задач. В нашей работе [5] проведен анализ задачного материала, предлагаемого в наиболее широко используемых школьных учебниках геометрии, и показано, что для развития логического мышления учащихся его потенциал используется недостаточно эффективно.

Что касается курса алгебры, то и здесь, конечно, значимо присутствуют логические построения, в том числе связанные с доказательствами тех или иных утверждений, например иррациональности числа Однако в большей своей части алгебраический материал связан с освоением определенных алгоритмов. И это закономерно, поскольку сама идея применения алгебраических методов, восходящая к Р. Декарту и Г. Лейбницу, состоит в том, чтобы заменить рассуждения вычислительными процедурами, т. е. создать почву для алгоритмизации решения большинства математических задач. Следует ли из этого, что алгебра дает малые возможности для развития логического мышления? Конечно, нет. Но чтобы этому априори правдоподобному утверждению придать конструктивную основу, обсудим предварительно, что понимается под развитием логического мышления и каковы основные логические схемы, освоение которых учащимися может свидетельствовать о достаточном уровне развития у них логического мышления.

Напомним, что, говоря о логическом мышлении, Л. С. Выготский [6] отмечает, что основными логическими формами, в которых реализуется мысль, принято считать аналитическую и синтетическую деятельность ума, то есть такие, которые сперва разлагают воспринимаемый мир на отдельные элементы, а затем строят из этих элементов новые образования, помогающие разобраться в окружающем. Развитие логического мышления учащихся - это вооружение их знаниями требований логики и выработка навыков использования этих требований в учебной и практической деятельности [7]. Тем самым, говоря о педагогическом аспекте развития логического мышле-

ния, необходимо вести речь не только о требованиях логичности проводимых умозаключений, но и об освоении учащимися основных логических методов и умений осознано применять их в решении учебных задач. Поэтому, строя проекцию состава логических УУД для курса алгебры, мы рассмотрим некоторые основные типы логических конструкций, применяемых в математических исследованиях, и продемонстрируем, в каком качестве каждая из них может быть задействована для формирования логических УУД в среднем звене общеобразовательной школы. Включение каждой из конструкций в курс будем иллюстрировать подходящими примерами задач. При этом мы выбирали задачи, которые содержат логические конструкции, так сказать, в чистом виде, и потому могут использоваться и как стартовые для построения методики развития логического мышления, и как диагностические.

1. Импликативные рассуждения: построение логической цепочки, дедукция

Умение строить логические цепочки той или иной длины в первую очередь ассоциируется с обладанием развитым логическим мышлением.

Понятие логической цепочки непосредственно связано с понятием дедукции. Напомним, что в математическом смысле дедукция - это вывод по правилам формальной логики; цепь умозаключений (рассуждение), звенья которой (высказывания) связаны отношением логического следования. Началом (посылками) дедукции являются аксиомы, постулаты или просто гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом -следствия из посылок, теоремы («частное»). Дедукция выступает как основное средство доказательства.

Однако в отличие от геометрии, где дедуктивный характер рассуждений проявляется особенно ярко, поскольку в явном виде указывается, что есть два класса утверждений - аксиомы и теоремы, - и последние должны быть получены из первых или ранее доказанных теорем исключительно дедуктивным способом, в алгебре наличие аксиом скрыто от обучаемых, и даже само слово «теорема» встречается в учебниках крайне редко. Но это вовсе не означает отсутствия в алгебре дедуктивных построений. Эти умения необходимы, например, при решении любой текстовой задачи.

Отметим, что дедукция как форма рассуждения тщательно изучается в психологии, особенно в связи с формированием понятий и решением задач. Большой толковый психологический словарь [8] трактует дедукцию как логическую операцию, в которой рассуждение ведется от общего к частному. Дедуктивное умозаключение представляет собой абстрактный процесс, который не требует никакого другого подтверждения, кроме логической непротиворечивости.

В исследовании разбития логического мышления необходимо учитывать как общепсихологический контекст употребления этого понятия, так и собственно математический. Общепсихологический контекст важен тем, что он акцентирует внимание на умение из общих соображений делать конкретные выводы в данной ситуации. Как правило, основная трудность у школьников заключается в том, чтобы увидеть, где и в каком виде в данной задаче нужно использовать тот или иной теоретический факт. Что касается математического контекста употребления этого понятия, то он проявляет себя именно как требование строгого соблюдения логических связей между исходными положениями (или данными) и получаемыми выводами (результатами). Вот пример задачи, иллюстрирующий эту ситуацию.

Задача 1. Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел четно.

Импликативная цепочка здесь состоит всего из двух звеньев:

а) среди двух последовательных натуральных чисел одно обязательно четно;

б) произведение любого числа на четное число обязательно четное число.

Однако для начального этапа формирования логического мышления важно не только то, что она достаточно короткая, но и естественность её появления. Действительно, поскольку в заключении требуется установить свойство четности, то требуется понять, как это свойство проявляет себя в последовательности натуральных чисел. Подметить, что в натуральном ряде четные и нечетные числа чередуются, уже несложно (в некоторых учебниках, например, в [9], этот факт формулируется в явной форме). После этого утверждение, записанное в пункте а), фактически является тривиальным следствием обнаруженного свойства ряда натуральных чисел. Этим рассмотрением заканчивается фаза логического анализа. Следующий шаг -это логический синтез, когда по свойствам сомножителей мы судим о свойствах произведения. И, наконец, выстраивается требуемая логическая цепочка.

Этот пример демонстрирует не только процесс развития мышления школьника через логический анализ и синтез дедуктивной цепочки, но и процесс демистификации появления доказательства, снимая явно задаваемый или немой вопрос, лишь отражающийся на лице школьника «А как до этого догадаться?», если ему просто предлагается решение в готовом виде.

Предложенная задача может также служить образцом типовой задачи, предназначенной для диагностики сформированности действия по построению дедуктивной цепочки. Принципиальным моментом является однозначность аналитико-син-

тезирующей деятельности, которую должен осуществить учащийся. Это позволяет сформулировать критерии оценивания и уровни оценивания сформированности действия по построению дедуктивной цепочки.

Критерии оценивания:

- умение выявить свойства элементов, обеспечивающих достижение цели;

- установление дедуктивной связи между исходными утверждениями о свойствах элементов и целевым утверждением.

Уровни оценивания:

- отсутствует умение разложить свойство итогового объекта (в данном случае произведения двух чисел) в свойства составляющих элементов (в данном случае сомножителей);

- сформировано умение разложить свойство итогового объекта в свойства составляющих элементов, но не установлена дедуктивная связь выявленных свойств элементов с их свойствами, определенными условиями задачи;

- сформированы умения разложить свойство итогового объекта в свойства составляющих элементов и установления дедуктивной связи выявленных свойств элементов с их свойствами, определенными условиями задачи.

Мы считаем, что на начальном этапе развития логического мышления в плане овладения умением проводить дедуктивные рассуждения целесообразно использовать именно задачи с короткими и однозначно определёнными дедуктивными цепочками. В последующем задачи могут усложняться за счет построения более длинных цепочек рассуждений, но по существу речь идет о встраивании промежуточных звеньев, в которых фиксируется обнаружение очередных свойств элементов и дедуктивных связей с исходными данными. Задачи, допускающие вариативные дедуктивные цепочки, составляют важный класс задач, развивающих логическое мышление, но в процессе обучения они должны появиться после того, как учащимися прочно освоены умения строить такие цепочки.

2. Разбор случаев

Разбор случаев - это фактически одно из утверждений математической логики, согласно которому, если из А1 следует В, из А2 следует В, ... , из Ап следует В, то из (А1 или А2 или ... или Ап) тоже следует В. Как правило, в качестве К, А2, ..., Ап выбираются такие утверждения, чтобы в совокупности они исчерпывали описание всех возможных ситуаций, т. е. чтобы дизъюнкция (А1 или А2 или ... или Ап) являлась истинным высказыванием.

Умение выделять и правильно анализировать все возможные случаи - важнейшая составляющая развитого логического мышления. Несомненно, с задачей рассмотрения разных ситуаций ученики не раз встречались и до курса алгебры. Но тогда не-

обходимость такого рассмотрения, а нередко и все рассматриваемые случаи были оговорены в условии задачи; учащимся требовалось лишь выполнить стандартные операции по готовой схеме. С идеей самостоятельно выделить при решении задачи несколько принципиально разных ситуаций учащиеся в курсе алгебры среднего звена школьного образования практически не встречаются и, тем самым, данный логический механизм мышлением школьников не осваивается [10]. Научить учащихся проводить разбор всех возможных случаев и доказывать невозможность остальных - сложная, но крайне необходимая задача, стоящая перед учителем математики. Она непосредственно связана с формированием того компонента логических УУД, который обозначен как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов. Приведем иллюстрирующую задачу.

Задача 2. Из двух пунктов, расстояние между которыми 340 км, выехали одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого. Найти скорости поездов, если известно, что через 2 ч после начала движения расстояние между ними стало 30 км.

На первый взгляд это стандартная задача на составление уравнения (хотя он может быть решена и число арифметическими средствами). Главная проблема - увидеть наличие двух случаев: когда поезда через 2 часа ещё не успели встретиться, и когда они уже после встречи разъехались на 30 км. Сама возможность существования двух различных ответов в одной задаче является довольно непривычной для школьников седьмого класса, особенно в курсе алгебры. Само понимание необходимости рассматривать две ситуации свидетельствует о довольно высоком уровне логического мышления, хотя, надо отметить, в геометрии с такими ситуациями школьникам приходится встречаться не раз. К примеру, в задаче на определение длины отрезка АС на прямой 1, если известны длины отрезков АВ и ВС, но неизвестно взаимное расположение точек А, В и С на 1, требуется рассмотрение трех случаев, из которых один оказывается невозможным, а два другие дают соответственно два ответа.

Возможность использования данной задачи как образца для конструирования типовых задач обеспечивается тем, что выделение двух случаев однозначно определяется условием задачи.

Критерии оценивания:

- ориентация на выделение условий задачи, предусматривающих необходимость рассмотрения случаев.

Уровни оценивания:

- отсутствует умение выделять условия, которые содержат в себе необходимость разбиения на несколько случаев;

- имеется неустойчивая ориентация на выделение условий задачи, предусматривающих необходимость рассмотрения случаев;

- сформировано умение выделять те условия, которые содержат в себе необходимость разбиения на несколько случаев, но отсутствует полнота в их перечислении;

- устойчивое распознавание условий, требующих перехода к рассмотрению случаев, и умение формировать из них полную систему.

Класс задач, требующих более высокого уровня логического мышления, связан с разбиением на случаи, необходимость которых диктуется не исходными условиями, а различиями в построении дедуктивных рассуждений.

3. Доказательство от противного

Метод рассуждений от противного достаточно часто используется в математике. Он базируется на формально-логическом законе исключенного третьего. Однако использование рассуждения от противного должно быть мотивированным. Во многих простых случаях без него вполне можно обойтись, и тогда он только загромождает решение задачи. В целом его использование как метода целесообразно, на наш взгляд, в тех случаях, когда отрицанием заключения в доказательстве утверждения приходится воспользоваться (в явной или неявной форме) более одного раза. Тем не менее не называемый, он может применяться в некоторых доказательствах уже в самом начале курса алгебры.

Задача 3. Может ли среднее арифметическое двух следующих друг за другом нечетных простых чисел быть простым числом?

Задача достаточно простая, однако без применения рассуждения от противного увидеть её решение трудно. Наоборот, предположив, что полусумма двух соседних простых чисел есть простое число, противоречие получается почти мгновенно. В самом деле, полусумма строго больше меньшего из двух взятых простых чисел и строго меньше большего из этих чисел, поскольку взяты простые числа, непосредственно следующие друг за другом, т. е. между ними нет простых чисел, их полусумма не может быть простым числом. Идея применить метод от противного рождается, скорее всего, после нескольких безуспешных попыток привести пример, дающий положительный ответ к задаче.

Такое «одноходовое» применение, когда противоречие получается сразу, как только выказано противоположное утверждение, полезно как пропедевтика данного метода.

Наше предложение рассматривать эту задачу именно как пропедевтическую связано еще и с тем, что для неё несложно построить и прямое доказательство. Схема такого доказательства достаточно проста. Пусть среди чисел натурального ряда выде-

лено некоторое подмножество, такое, что среднее арифметическое двух соседних элементов этого подмножества - натуральное число. Тогда это среднее арифметическое не принадлежит данному подмножеству. Действительно, среднее арифметическое всегда лежит строго между этими двумя числами. Но раз они соседние в данном подмножестве, то никакое число, лежащее между ними, в частности, и среднее арифметическое, подмножеству не принадлежит. На наш взгляд, школьник с развитым логическим мышлением может предпочесть именно эту схему, поскольку она показывает, что свойство простоты и нечетности нужно лишь для описания выделяемого подмножества, а не касается собственно дедуктивного рассуждения. В силу указанного обстоятельства данная задача не годится для диагностики сформированности умения применять метод «доказательство от противного».

4. Расширение / сужение условий

При решении той или иной задачи ученику нередко бывает полезным вспомнить, не было ли подобной задачи ранее. К сожалению, учащиеся успешно используют ранее изученные рассуждения лишь тогда, когда они полностью повторяются в новой задаче. Если же ситуация иная, и очевидно, что дословное копирование старого решения не ведет к успеху, ученики теряются и вообще не пытаются обратиться к предшествующему случаю. Вот иллюстрирующий эту ситуацию пример.

Задача 4. а) Верно ли, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел всегда делится на 3?

б) Дана бесконечная арифметическая прогрессия, все члены которой - натуральные числа. Верно ли, что произведение любых трех последовательных членов такой прогрессии всегда делится на 3?

Очевидно, что пункт б) является расширением пункта а) - разность прогрессии теперь не равна 1, а может быть произвольным натуральным числом. Положительный ответ в случае а) достаточно очевиден, поскольку среди трёх последовательных натуральных чисел обязательно найдется одно (причем ровно одно, хотя это и не важно), делящееся на 3. Для б) простейший опровергающий пример -прогрессия 1; 4; 7; 10; ...

После решения этой задачи перед учащимися естественно поставить вопрос, какому условию должна удовлетворять разность арифметической прогрессии, чтобы для неё сформулированное утверждение было верным. В этом случае надо обязательно обратить внимание, что расширение множества рассматриваемых прогрессий связано именно с переходом от разности 1 к произвольному натуральному числу, поэтому и условие надо искать относящееся именно к разности, а не, например, к первому члену прогрессии. После того как достаточное

условие сформулировано - разность прогрессии должна не делиться на 3 - и обосновано, можно обсудить, будет ли оно необходимым. Ответ, очевидно, отрицательный, поскольку, если не только разность, но и первый член прогрессии делится на 3, то и каждый член прогрессии (а значит, и произведение любого их количества) делится на 3.

Пример этой задачи показывает, насколько велик потенциал для развития логического мышления школьников. В рамках приведенной выше классификации логических УУД такие задачи способствуют, прежде всего, развитию умений анализировать объект с целью выделения существенных и не существенных признаков.

Диагностика и оценка сформированности логического УУД, связанного с анализом расширения/ сужения условий, с очевидностью требует предъявления как минимум двух заданий, в одном из которых как раз и присутствует более широкое условие, нежели в другом.

Критерии оценивания:

- выделение варьируемого условия.

Уровни оценивания:

- отсутствует умение выделять условие, которое при переходе от одного задания к другому определяет более широкий или, наоборот, узкий класс рассматриваемых объектов;

- имеется неустойчивая ориентация на выделение условий задачи, определяющих варьирование рассматриваемого класса объектов (условие указано правильно, но ученик не может объяснить, в чем именно состоит расширение или сужение класса рассматриваемых объектов);

- сформировано умение выделять те условия, которые определяют изменение класса рассматриваемых объектов, и на основе их анализа ученик может объяснить, какие дополнительные свойства имеет новый класс объектов по сравнению с предшествующим.

5. Конструктивные методы

Построение конкретных примеров - едва ли не самый «любимый» метод рассуждений у школьников, применяемый далеко не всегда правомерно. В использовании этого метода необходимо учитывать три вещи, которые они часто забывают:

1) построенный пример является подтверждением существования, но никак не доказательством, что всегда происходит так. В то же время, если пример не удается привести, это ещё не значит, что его не существует;

2) приведенный пример, доказывающий существование одного из случаев, вовсе не говорит о том, что не может быть случаев других. Здесь мы возвращаемся к типу логических рассуждений, связанному с разбором случаев;

3) в случае, когда надо опровергнуть утверждение, построение примера столь же удачно, как и

при доказательстве существования. Фактически опровергая всеобщность некоторого свойства, мы доказываем, что существуют ситуации, когда имеет место его отрицание.

Мы не приводим здесь иллюстрирующей задачи - в её роли вполне может выступить задача, рассмотренная в предыдущем пункте.

На данном этапе нашего исследования мы не можем привести образец соответствующей типовой задачи, пригодной для диагностики уровня сформированности данного логического УУД.

6. Индукция

Индукции и, в частности, методу математической индукции, уделяется значительное внимание в курсе алгебры. Имеется довольно обширная методическая литература по вопросам изучения метода математической индукции, в которой, как правило, обсуждается и общее понятие индукции, поэтому мы ограничимся лишь несколькими замечаниями, позволяющими сместить акцент в нужную, на наш взгляд, сторону.

Индукция - это умозаключение, ведущее от фактов к некоторой гипотезе (общему утверждению). Индуктивные рассуждения играют большую роль в выдвижении гипотез. Умение строить гипотезы на основании рассмотрения конечного множества примеров, проверять их - неотъемлемая черта развитого логического мышления. Вместе с тем учащиеся должны отчетливо понимать, что никакая проверка частными случаями не является основанием для вывода об истинности общего утверждения (см. обсуждение в п. 5). Тем самым индуктивное умозаключение обязательно должно быть поддержано дедуктивным рассуждением. И здесь возможны различные варианты перехода от частного случая к общему. Например, разобрав какие-то конкретные примеры, можно перейти к рассмотрению общей ситуации, где конкретные числа заменяются буквами. Скажем, рассмотрев в задаче 4 б) несколько примеров арифметических прогрессий с различными значениями разности, учащиеся вполне способны высказать общее суждение о том, какому условию должна удовлетворять разность прогрессии, чтобы гарантировать делимость на 3 произведения трех любых последовательных её членов. Дедуктивное рассуждение может быть осуществлено уже с помощью чисто алгебраических методов.

В то же время надо, чтобы учащиеся отчетливо понимали, что метод математической индукции - это дедуктивный механизм, и употребление в его названии слова «индукция» отражает всего лишь внешнее сходство с индуктивными умозаключениями.

В отличие от предыдущих пунктов диагностике умений делать обобщения посвящено немало исследований. Однако в подавляющем большинстве предлагаемых диагностических заданий учащимся предъявляется готовый набор объектов, для кото-

рых требуется выделить общее свойство. Мы же под индуктивным рассуждением понимаем единство процессов генерации объектов, удовлетворяющих исходным условиям задания, и выделение у них общего свойства, позволяющего в последующем получить требуемый в задании результат. Поэтому умение выполнять действия индуктивного характера непосредственно опирается на умение конструировать объекты с заданными свойствами (о чем шла речь в п. 5). В предположении, что такое умение сформировано, можно предложить следующие критерии и уровни освоенности умений выполнять индуктивные построения.

Критерии оценивания:

- умение строить репрезентативный набор объектов, удовлетворяющих заданным условиям при значительном варьировании других свойств и признаков;

- умение в полученной совокупности объектов выделить общее свойство, являющееся следствием наложенных на объекты исходных требований (возможно, с дополнительными ограничениями, сопряженные с варьируемыми признаками, выделенными на этапе построения совокупности объектов).

Уровни оценивания:

- отсутствует умение строить набор объектов, удовлетворяющих заданным условиям и при этом не имеющих скрытое несущественное общее свойство (стереотипное или сугубо формальное восприятие условия задачи);

- при построении набора объектов, удовлетворяющих заданным условиям, наблюдается неустойчивая ориентация на несущественные свойства (учащийся не осознает и не может сформулировать, какие свойства объектов подвергаются варьированию при построении набора);

- сформировано умение строить репрезентативный набор объектов, удовлетворяющих заданным условиям, при осознанном варьировании других свойств и признаков;

- сформированы умения строить репрезентативный набор объектов, удовлетворяющих заданным условиям, и умение выделять у них свойства, полезные с точки зрения продвижения к требуемому заключению, с одновременным анализом влияния на наличие таких свойств варьируемых характеристик рассматриваемых объектов.

В качестве типовой снова рассмотрим задачу 4 б). В ней варьируемыми параметрами является первый член арифметической прогрессии и её разность - именно они определяют любую арифметическую прогрессию. Если принять гипотезу, что положительный ответ на вопрос задачи связан со свойствами разности прогрессии, то почти мгновенно можно сделать вывод, что она не должна делиться на 3, когда первый член прогрессии делится на 3. Если же варьировать только значение первого члена прогрессии, то получающиеся при-

меры ясно показывают, что результат всё равно зависит от свойств разности.

Такое достаточно простое, ясное и четкое выделение варьируемых параметров свидетельствует о том, что данная задача может служить типовой для диагностики сформированности логических УУД данного вида.

7. Использование символьного языка

В этом пункте мы обсудим не конкретные логические конструкции, а общую идею использования символьного языка в логических построениях. Речь, конечно, не идет о той степени формализации логических построений, которая позволяет доказывать, к примеру, знаменитые теоремы Геде-ля о неполноте. Мы лишь хотим показать, как можно продемонстрировать учащимся эффективность использования алгебраических (в школьном понимании) методов при построении логических рассуждений. Рассмотрим для примера следующую задачу.

Задача 5. Из трехзначного числа вычли число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Доказать, что результат разности делится и на 9, и на 11.

Данная задача отличается от большинства предлагаемых в школе заданий тем, что множество исходных данных (трехзначные числа) велико - их 900 [11]. Да и множество возможных результатов вычитания из исходного числа того, которое получается при его записи теми же цифрами в обратном порядке, тоже, мягко говоря, немало. Перед учеником возникает логическая проблема, как охарактеризовать эти множества так, чтобы можно было конструктивно описать связь между ними. Понимание учеником этой общей постановки проблемы обнаружения конструктивной связи между множеством исходных данных и множеством результатов (именно между множествами, а не отдельными их элементами - такая связь в явной форме представлена в условии задачи) - это и есть признак развития логического мышления, поскольку такое понимание не связано с конкретной задачей, а представляет собой обобщенный взгляд на задачу. При этом ясно, что множество исходных данных желательно охарактеризовать исчерпывающим набором свойств или признаков - ведь заранее неизвестно, что именно из этих свойств окажется полезным для получения нужного вывода. В то же время для множества результатов может оказаться достаточным предъявление какой-либо частной характеристики. Скажем, в данной задаче таких характеристик две: числа, получающиеся как разность, должны делиться на 9 и должны делиться на 11. Ясно, что множество чисел, делящихся на 9, явно больше, чем множество чисел, которые можно получить как разность между числом и его «обращением». То же самое можно сказать и про второе свойство - делимость на 11.

Нередко на вопрос, как нам записать произвольное трехзначное число, учащиеся отвечают, что его надо обозначить буквой. Это проявление стереотипа, который вырабатывается на формально применяемое правило «неизвестное обозначай буквой». Это правило очень важно - на нем зиждется вся алгебра, - но оно не должно превращаться в формальную процедуру. Поскольку нам для решения задачи предстоит манипулировать с цифрами (записывать их в обратном порядке), а они нам тоже неизвестны, то естественный логический ход обозначить каждую цифру своей буквой, например, х - количество сотен, у - количество десятков, а г - количество единиц. То же самое правило «обозначай неизвестное буквой» сработало не формально, а логически вытекающим из условия задачи. Следующий шаг - получение ответа на вопрос, как описать элементы множества исходных данных с помощью введенных нами обозначений. Здесь тоже бывают заминки, но в целом учащиеся формулу 100х + 10у + г пишут достаточно уверено.

Причин, по которым уже в этой части, относящейся по существу всего лишь к описанию множества исходных данных, задача оказывается сложной для учащихся 7-8-х классов, по-видимому, три:

1) довольно поверхностное представление о структуре десятичной записи натуральных чисел,

2) малый опыт решения задач на доказательство с помощью алгебраических методов,

3) привычка сводить задачи к уравнениям с одним неизвестным.

Как правило, следующий шаг в решении задачи учащиеся выполняют без особых усилий. Более того, они обычно самостоятельно или с минимальным призывом со стороны учителя преобразуют полученную разность к виду 99 (х - г). Однако даже после этого далеко не каждый ученик видит и/или может обосновать, почему полученное число делится на 9 и на 11. Дело в том, что понятие «одно число делится на другое» у большинства школьников связано с операцией деления - одно число делится на другое, если в результате выполнения этой операции остаток окажется нулевым. А как здесь выполнить деление? В данной задаче надо использовать тот факт, что одно число делится на второе, если первое из них можно представить как произведение второго числа на еще какой-либо целый множитель. Полученное выражение 99 (х - г) можно записать как 9-11- (х - г), откуда вывод о делимости на 9 и 11 станет очевидным, поскольку х - г - это целое число [12].

С точки зрения развития у школьников логического мышления здесь было бы полезно поставить вопрос, действительно ли множество возможных результатов описывается двумя указанными признаками, т. е., иными словами, верно ли, что любое не более чем трехзначное число, делящееся

на 9 и 11, представимо как разность некоторого трехзначного числа и его «обращенного». Ответ, разумеется, положительный, но требует от школьника уже других логических операций, связанных с конструированием примеров.

Приведем пример еще одной задачи, где переход к алгебраическому языку не очевиден, но эффективен.

Задача 6. На плоскости расположено n точек, попарно соединенных между собой. При этом оказалось, что никакие три точки не лежат на одной прямой. После этого на той же плоскости провели прямую, не проходящую ни через одну из данных точек. Какое наибольшее число отрезков могла пересечь такая прямая, если а) n = 4; б) n = 6; в) n = 1000?

Рассмотрение случаев n = 4 и n = 6 дает школьникам экспериментальную базу для высказывания общей гипотезы, что прямая будет пересекать наибольшее число отрезков в том и только том случае, когда по каждую сторону от неё располагается половина от общего числа точек. Перед учащимися возникает задача, как доказать эту гипотезу. Не перебирать же все возможные варианты, когда по одну сторону лежит 1 точка, а по другую -999, по одну сторону 2 точки, а по другую - 998 и т. д. На помощь приходит алгебра. Из курса геометрии известно, что прямая пересекает отрезок тогда и только тогда, когда его концы расположены по разные стороны от прямой. Пусть по одну сторону от прямой располагается 500 + k точек, тогда по другую сторону находится 500 -k точек. Число отрезков, соединяющих эти точки, равно (500 + k) (500 - k) = 5 002 - k2. Очевидно, что наибольшего значения это выражение достигает, когда k = 0, т. е. когда по обе стороны от прямой располагается по 500 точек [13].

Как мы видим, курс алгебры в 7-9-х классах предоставляет значительные возможности для развития логического мышления школьников в целом и формирования логических УУД в частности.

Примечания

1. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. URL: http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId = 2588 (Дата обращения 25.04.2012).

2. Там же. С. 13.

3. Фундаментальное ядро содержания общего образования: проект / под ред. В. В. Козлова, А. М. Кондакова. М.: Просвещение, 2009. С. 41.

4. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе: от действия к мысли: пособие для учителя / под ред. А. Г. Асмолова. М.: Просвещение, 2008. С. 91.

5. Гейн А. Г., Рекант Е. М. Развитие логического мышления в начале курса школьной геометрии // Современные проблемы физико-математического образования: вопросы теории и практики

/ под ред. И. Г. Липатниковой. Екатеринбург, 2012. С. 181-197.

6. Выготский Л. С. Мышление и речь. М.: Лабиринт, 1999.

7. Поспелов Н. Н., Поспелов И. Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников. М., 1989.

8. Мещеряков Б. Г., Зинченко В. П. Большой психологический словарь. М.: Прайм-Еврознак, 2003.

9. Шеврин Л. Н, Гейн А. Г. и др. Математика: учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. М.: Просвещение, 1989.

10. С разбором случаев учащиеся знакомятся преимущественно при решении уравнений, сводящихся к решению совокупностей уравнений. Но в этом случае появление такой совокупности, как правило, является результатом применения алгоритма, действуя по которому учащийся, не переходя в зону ближайшего развития, и получает требуемую совокупность. Это означает, что применение данной логической конструкции - разбор случаев - не становится метапредметным умением и, тем самым, изучение данного материала слабо способствует формированию у учащихся требуемого логического универсального учебного действия.

11. С формальной точки зрения решение этой задачи возможно полным перебором вариантов. И учитель может задать провокационный вопрос: «А не перебрать ли нам все возможные трехзначные числа?» Но он должен быть уверен, что его ученики уже достаточно интеллектуально развиты, чтобы отвергнуть такой вариант. А.Н. Колмогоров в [9] прямо указывает, что «для задачи, в которой возможно решение методом перебора, показателем искомых [математических] способностей [учащихся] могло бы быть только краткое, логически интересное решение».

12. Отметим, что и здесь у школьников далеко не всегда имеется полная ясность. Некоторых смущает, что число х - л может оказаться отрицательным или нулем. Всё это обусловлено тем, что делимость чисел обсуждается только на множестве натуральных чисел, а вопросам делимости целых чисел в школьном курсе алгебры внимания практически не уделяется.

13. На самом деле, чтобы идея применения алгебры присутствовала в задаче в чистом виде, надо было бы предложить школьникам срезу доказывать, что наибольшее число пересечений получается, когда по каждую сторону от прямой располагается половина из заданных точек. Но, на наш взгляд, это бы снизило образовательный потенциал задачи, лишив её возможности приучать школьников выдвигать гипотезы на основе индуктивного обобщения (см. п. 6).

УДК 37.016:811

Т. П. Фролова

ОСОБЕННОСТИ ИНОЯЗЫЧНОЙ ДИАЛОГИЧЕСКОЙ РЕЧЕВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА ЗАНЯТИЯХ ПО ИНОСТРАННОМУ ЯЗЫКУ В ВУЗЕ

Статья посвящена явлению иноязычной диалогической речевой деятельности. Автор изучает лингвистические, психологические и методические особенности в рамках коммуникативно-деятельностного подхода, дает определение понятию, а также рассматривает возможности оптимизации процесса обучения иностранному языку с использованием умений иноязычной диалогической речевой деятельности.

The article deals with the phenomenon of dialogical speech activity in foreign language. The author studies linguistic, psychological and methodical features within the frame of the approach of communicative activity, gives the definition of the concept, and also considers possibilities of optimization of the process of foreign language training using abilities of dialogical speech activity in foreign language.

Ключевые слова: иноязычная диалогическая речевая деятельность, коммуникативно-деятельност-ный подход, коммуникативный акт, умения иноязычной диалогической речевой деятельности.

Keywords: dialogical speech activity in foreign language, the approach of communicative activity, the communicative act, abilities of dialogical speech activity in foreign language.

Конечной целью образования в любом вузе является подготовка специалиста, хорошо понимающего особенности своей профессии и стремящегося преуспеть в ней. Несмотря на то что конечная цель остается неизменной, способы ее достижения меняются и развиваются вместе с основными тенденциями развития всего общества. «Цели образования должны соответствовать запросам и установкам конкретного этапа общественного развития и условий реализации поставленных целей. При этом изменение целей образования происходит в результате осознания обществом того факта, что всегда существовало - существует и сейчас - противоречие между поставленными целями и получаемым результатом обучения» [1]. Цели обучения иностранному языку претерпели следующие изменения: иностранный язык перешел из ряда «теоретических» дисциплин в ряд «практических», позволяющих получать новую информацию по специальности и обмениваться опытом с представителями других стран и культур.

Также произошел сдвиг в методическом плане от языковой формы к содержательной стороне, от воспроизведения по памяти языкового клише к

© Фролова Т. П., 2012