Интегративный подход к решению основных проблем изучения математического анализа в школе и педагогическом вузе

№ 3, 2008

ИНТЕГРАТИВНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ОСНОВНЫХ ПРОБЛЕМ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ШКОЛЕ И ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ

С. А. Кузнецов, аспирант кафедры методики преподавания математики МГПИ им. М. Е. Евсевъева

В статье рассматриваются основные проблемы изучения математического анализа в школе и педагогическом вузе и пути их решения. Подчеркивается необходимость профессиональной направленности курса математического анализа в вузе. Особое внимание уделяется проблеме формирования целостных знаний учащихся.

Общество ориентируется на учителя, владеющего широким спектром фундаментальных знаний, компетентного в проектировании и осуществлении профессионально-педагогической деятельности в школе, толерантного к педагогическим инновациям и способного к разработке авторских технологий проектирования учебной деятельности школьника.

Выпускник педагогического вуза, получивший квалификацию «учитель математики», должен быть готовым осуществлять дифференцированное обучение и воспитание школьников, использовать разнообразные приемы, методы, средства и технологии обучения; обеспечивать уровень подготовки учащихся, соответствующий требованиям государственного образовательного стандарта, и т. д. В свете этого одной из ведущих задач педагогического процесса подготовки учителя математики средней школы является преобразование студента в учителя-профессионала, способного решать многообразные задачи, связанные с обучением и воспитанием школьников. Улучшение профессиональной подготовки учителя математики требует не только новых, более эффективных путей организации учебно-воспитательного процесса в педагогическом вузе, но и пересмотра структуры и содержания математической подготовки студентов, поднятия ее на технологический уровень преподавания и учения. В немалой степени это касается преемственности содержания математического образования в средней и высшей школе.

В формировании личности учителя-профессионала основной компонент содержания образования определяется опытом личности, базирующимся на освоении целостных блоков предметной, методической, общекультурной и психоло-го-педагогической подготовки. В соответствии с психолого-педагогическими закономерностями становление этого опыта создает фундамент для развития личностных качеств, формирования и развития эмоционально-волевой сферы, характера и способностей обучаемого.

В узкопроцессуальном смысле передача опыта предшествующих поколений (обучение математике в педагогическом вузе) предполагает умение студента преобразовывать полученные в вузе знания до уровня школьного математического образования в различных типах школ.

Логика проектирования и развертывания (дидактического раскрытия) учебных предметов профессионального образования направлена на интериоризацию базовых учебных элементов (знаний, умений, навыков) в процессе приобретения, применения и преобразования опыта, в то время как для эффективной профессионально-предметной подготовки учителя математики требуется повторное (по отношению к школьному образованию) обращение в математических дисциплинах к базовым учебным элементам в расширенном и обобщенном качестве (знания, умения, навыки, математические методы — алгоритмы, процедуры), в том числе с методологических и методических позиций.

© С. А. Кузнецов, 2008 69

Ориентация на активное усвоение обучаемым способов познавательной деятельности, на возможности самораскрытия личности и учет ее интересов и потребностей создает условия для придания педагогическому процессу инновационного характера. Инновационное обучение — процесс и результат такой учебной деятельности, которая стимулирует вносить инновационные изменения в существующую культуру. Изменение социальной роли знаний (в частности, математических) и творческих возможностей личности в современный период развития общества неизбежно ставит вопросы об оптимальном соотношении технологических и гуманистических ориентаций в организации обучения математике в педагогическом вузе, о создании условий для самостоятельного освоения нового опыта. Однако ведущую роль во всех инновациях имеет математическое содержание, поскольку все технологии обучения направлены на усвоение предметного содержания.

Таким образом, необходим поиск путей усвоения студентами прежде всего того математического содержания, которое они в будущем должны определенным образом преобразовывать и интерпретировать.

Вопросы совершенствования подготовки будущих учителей математики исследовались в работах В. В. Афанасьева, Н. Я. Виленкина, А. Г. Мордковича, Г. И. Саранцева, Е. И. Смирнова и др. Среди всех вопросов, рассматриваемых перечисленными авторами, нас интересует проблема обучения математическому анализу в педагогическом вузе. Наиболее полно она отражена в работах А. Г. Мордковича и Е. И. Смирнова.

Изучение курса математического анализа в педагогическом вузе имеет свои особенности. В частности, общие цели изучения математического анализа можно сформулировать следующим образом: подготовка учителя математики для профессиональной деятельности; подготовка студентов к дальнейшему

изучению курса математического анализа и иных дисциплин. Реализация той и другой цели предполагает и развитие мировоззрения обучаемых средствами математического анализа.

Анализ научно-методической литературы показал, что вопрос о преподавании элементов математического анализа в средней школе ставился еще на I и

II Всероссийских съездах учителей математики в начале XX в. (1911, 1914 гг.).

В конце 1940-х — начале 1960-х гг. в курсе математики средней школы более отчетливо стал рассматриваться предел числовой последовательности. Настойчиво звучало требование включения в программу по математике производной и интеграла. Во время «колмогоровской» реформы этот вопрос был решен. Понятие производной и интеграла вошло во все действующие учебники школьного курса алгебры и начал анализа для общеобразовательных школ, не говоря уже

о математических классах. Тем не менее трудности, связанные с изучением элементов математического анализа в школе, не устранены и на сегодняшний день. Основная из них заключается в том, что в курсе математики средней школы не представляется возможным изучать корректно такие понятия математического анализа, как действительное число, предел и непрерывность функции, производная и ее применение к исследованию функций, интеграл и его приложения. Поэтому в кругах учителей, методистов, иногда и преподавателей высшей школы ведутся дискуссии о необходимости изучения начал анализа в средней школе.

Сторонники первого подхода высказывают мнение о том, что изучение начал анализа нужно лишь ограниченному кругу выпускников школы — будущим математикам, физикам, инженерам, т. е. тем, кто выберет профессию, связанную с математикой. А так как в школе невозможно логично ввести довольно сложные и абстрактные понятия предела, непрерывности, производной и интеграла,

111!111Й1И1!Ш № 3,

то их следует исключить из программы по математике.

Сторонники второго подхода (А. К. Власов, А. Г. Мордкович, А. Я. Хинчин и др.) придерживаются мнения о необходимости изучения начал анализа в средней школе, так как развитие математики связано с огромным расширением поля ее приложений; нет такой научной области, в которой не применялись или не исследовались бы возможности использования математических методов. Именно на языке современной математики моделируются явления и процессы природы и общества. Средствами математического анализа исследуются движения, непрерывно изменяющиеся состояния, процессы. Моделью таких процессов являются функции.

Считаем, что математические модели, математический язык нужны культурному человеку. Производная — огромное завоевание человечества, и с ней выпускник общеобразовательной школы должен быть знаком.

Гуманитарный потенциал школьного курса начал анализа состоит в следующем:

1) владение математическим языком и математическими моделями позволяет учащимся лучше ориентироваться в природе и обществе;

2) математика по своей внутренней природе имеет богатые возможности для воспитания мышления и характера учащихся;

3) уроки математики (при правильной постановке) способствуют развитию речи обучаемого в не меньшей степени, чем уроки русского языка и литературы;

4) на уроках математики создаются условия для реализации идей развивающего и проблемного обучения.

Изучение начал анализа в средней школе связано с такими понятиями, как действительные числа, функция, предел и непрерывность функции, производная и интеграл. Это базовые понятия курса математического анализа: они входят в школьный курс математики и имеют важ-

ное значение для изучения курса математического анализа в вузе. Курс математического анализа может сыграть свою гуманитарную, мировоззренческую роль лишь в том случае, если студент не формально заучивает основные понятия, а понимает и осознает их глубокий содержательный смысл.

Вслед за А. Г. Мордковичем1 выделим специфические особенности курса математического анализа.

1. Математический анализ — в широком смысле слова диалектико-материалистическое учение об изменяющихся величинах. Отсюда вытекает первая особенность математического анализа как учебного предмета педагогического вуза: будущий учитель математики должен как можно глубже понять мировоззренческое и общеобразовательное значение математического анализа и необходимость изучения его начал в школе.

2. Общеобразовательный аспект математического анализа в широком смысле не может быть успешно реализован в школе, так как нет достаточного времени для применения исторического подхода; слабо методически разработаны межпредметные связи. Вследствие объективных трудностей, которые представляют для учащихся соответствующие методы мышления, требующие нового уровня логической культуры, должная логическая строгость изложения элементов математического анализа в школе недостижима. Отсюда вытекает вторая особенность математического анализа как учебного предмета — будущий учитель математики должен знать математический анализ как с формальной, так и с содержательной сторон, четко понимая методические недостатки первой и логические недостатки второй.

3. Понятия математического анализа имеют высокий уровень абстракции и сложную логическую структуру определений, что связано с наличием в них кванторов. Условно можно разделить определения понятий на «однокванторные» (например, понятие четности функции),

«двухкванторные» (понятие ограниченности) и «трехкванторные» (понятие предела функции). Однокванторные определения доступны среднему ученику, двух-кванторные требуют от него умственного напряжения, а трехкванторные — не по силам школьнику ввиду его возрастных особенностей и недостаточной математической культуры. Поэтому многие вещи следует рассматривать в школе на интуитивном уровне, отказавшись от жесткой модели — формального определения.

Очевидно, что уровень изложения начал анализа в средней школе не может быть таким же, как в вузе. В связи с этим для первого случая выделяются четыре возможных уровня обоснования тех или иных свойств, утверждений, фактов:

— принятие на веру (когда, например, ученикам сообщается, что сформулированная теорема доказана в математике, а мы принимаем ее без доказательства, поскольку оно непосильно школьникам);

— замена доказательства геометрическими иллюстрациями или рассуждениями «на пальцах»;

— правдоподобные рассуждения (например, использование вместо доказательства конкретного примера, в котором фактически раскрывается идея формального доказательства или вывод на основе физических представлений);

— формально строгое доказательство.

А. Г. Мордковичем разработана концепция выбора уровня строгости изложения элементов математического анализа.

1. Если некоторое утверждение, используемое в предмете, в принципе не доказуемо в школе, то оно принимается без доказательства или заменяется геометрическими иллюстрациями.

2. Если некоторое утверждение в принципе доказуемо в школе, но это доказательство искусственно, технически сложно и не имеет существенного развивающего значения, то оно не приводится.

3. Если некоторое утверждение в школе в принципе доказуемо и это доказательство имеет развивающее значение, то оно приводится.

Выделяются следующие уровни формирования базовых понятий математического анализа у учащихся: наглядноиллюстративный; операционный (усвоение приемов использования понятия); формально-логический (предполагает умения давать строгие определения понятий, осуществлять доказательство их свойств). Он становится возможным при хорошо организованном наглядно-интуитивном усвоении школьниками изучаемых математических фактов и овладении их операционной стороной.

Достижение формально-логического уровня усвоения базовых понятий математического анализа в практике школьного обучения оказывается невозможным в силу следующих причин:

1) переход на формально-логический уровень при изучении понятия предела требует высокого уровня сформирован-ности логического мышления школьников, достичь которого на материале предшествующего курса не удается;

2) объективная сложность изучения базовых понятий требует больших затрат учебного времени, пропедевтической работы на предшествующих этапах изучения математики в школе;

3) в практике школьного обучения часто игнорируется первый этап уровней формирования;

4) влияние, которое оказывает на школьный курс математики вузовский курс математического анализа, способствует механическому переносу задач операционного характера в школьные пособия и учебники. Следовательно, у большинства школьников знания формальны и не характеризуются осознанностью.

Анализ концепции А. Г. Мордковича приводит нас к выводу о том, что в первую очередь студент, будущий учитель, должен владеть базовыми понятиями математического анализа на выделен-

111!111Й1И1!Ш № 3,

ных трех уровнях. Между тем практика обучения математическому анализу в вузе показывает, что предпочтение здесь отдается формально-логическому уровню без должной предварительной подготовки. Недостаточно внимания уделяется усвоению базовых понятий на наглядно-иллюстративном и операционном уровнях. Цель усвоения этих уровней — обеспечить содержательное понимание изучаемых понятий. Иначе знания будут носить формальный характер: даже выучив определение предела числовой последовательности, студенты будут затрудняться в его геометрической иллюстрации, в раскрытии смысла каждого квантора, присутствующего в определении, не смогут использовать определение для решения простейших задач на доказательство существования предела, т. е. не будут владеть теми умениями, которые должны формировать у своих будущих учеников.

Важной проблемой на современном этапе образования является формирование целостных знаний учащихся. Ее разработка имеет непосредственный выход на такие ключевые моменты, как отбор содержания образования, структурирование учебного материала и т. д.

Понятие «целостная система» описано в докторской диссертации Т. В. Кирилловой2. В работе говорится, что целостность выражает целое; самодостаточность, внутреннее единство системы, иерархическую функциональность, со-подчиненность подструктур, равновесие в них диалектических противоречий и противоположностей. В основе целостности лежат интегративные процессы. Другими словами, знания не являются целостной системой, если студент может пользоваться ими только в рамках того предмета, где они были преподнесены ему изначально. Применительно к математическому анализу сформулируем это так: студент должен уметь использовать методы других математических дисциплин (в частности, геометрии) при решении задач, доказательстве теорем, изучении понятий.

Понятие целостности знаний тесно связано с понятием их системности, но не тождественно ему. Системность знаний — это качество определенной совокупности знаний, которое характеризует наличие в сознании учащихся структурных связей, адекватных связям между элементами знаний внутри теории, системы. Целостность — внутреннее свойство системы, приобретаемое ею в процессе развития. Целостный — значит обладающий внутренним единством. Основными качествами целостных знаний выступают системность, полнота и обобщенность.

Одной из составляющих целостных знаний является умение студента представить то или иное понятие, теорему на трех языках — естественном (чисто словесном), алгебраическом (буквенно-символическом) и геометрическом, т. е. понимание им алгебраической и геометрической сущности понятия, теоремы, задачи, а также понимание связей между различными видами знаний.

Геометрическое (графическое) толкование аналитических фактов всегда полезно: раз усвоенные графические образы понятий (например, функции, производной), их свойств и отношений надолго остаются в памяти и представлениях учащихся. Большую роль в развитии их графических представлений играет обучение переходу от графика функции к задающей ее формуле (общеобразовательный курс, курс В, углубленное изучение). Целесообразно обучение школьников графическому изображению и аналитическому выражению свойств изучаемых функций: сохранения знака, монотонности, четности-нечетности, периодичности, ограниченности, обратимости функций и др. Усвоению понятия производной способствует развитие графических представлений о ней: обобщение знаний о касательной (касательные, имеющие с графиком функции или кривой одну, две общие точки и более, касательные-секущие (касательные, параллельные и перпендикулярные к осям координат, к задан-

ным прямым и т. д.)). Графические представления позволяют развить знания учащихся об экстремумах (включая экстремумы в точках разрыва функции и ее производной), выпуклости, точках перегиба. Весьма полезны графические иллюстрации к изучению основных теорем дифференциального исчисления, в частности при установлении необходимости каждого из условий этих теорем.

В настоящее время выделяются шесть уровней оценки сформированности целостных знаний. Перечислим их применительно к понятию как одному из видов знаний.

0 уровень — при описании определенного понятия названо от одного до половины признаков;

1 уровень — раскрыто более половины сущностных характеристик, но не все;

II уровень — описаны все сущностные характеристики понятия, но без соответствующей системы и на основании сведений только из одного учебного предмета;

III уровень — описаны все сущностные характеристики понятия с учетом соответствующих сведений других учебных предметов, но без учета структурно-логической схемы описания данного понятия;

IV уровень — понятия усвоены в соответствии со структурно-логическими схемами их описания, но без привлечения информации остальных учебных дисциплин;

V уровень — понятия раскрыты в соответствии со структурно-логическими схемами их описания и с привлечением соответствующей информации других учебных дисциплин3.

Критериями сформированности у учащихся целостной системы знаний и умений могут являться:

1) наличие знаний о составе целого, закономерностей и правил соотношения его составляющих, о системообразующих связях и отношениях целого и его частей, а также о способах и средствах их выявления, фиксации и использовании

в обучении. Применительно к математическому анализу это может быть составление родословной понятия с последующим представлением схемы учащимся;

2) наличие умений использовать полученные знания в интеллектуальных и практических действиях, в выявлении и анализе структурных элементов знания, механизмов их связей и отношений, в осуществлении цепочки действий при их усвоении и творческом применении;

3) сформированность умения вычленять новые функции и стороны целого в различных условиях и обстоятельствах;

4) понимание того, что любая система представляет собой часть системы более высокого порядка, где ее свойства объясняются как типичные проявления свойств последней.

Таким образом, основные проблемы изучения математического анализа в школе и педагогическом вузе имеют много общего, поэтому решаться они должны в тесной взаимосвязи. Наиболее значимой в современных условиях, когда вводится профильное обучение в школе, является проблема формирования целостных знаний учащихся и студентов. При изучении математического анализа ее решение ведет к пониманию студентами изучаемого материала и формированию у них тех знаний и умений, которые необходимы им в будущей профессиональной деятельности.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 См.: Мордкович А. Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте : дис. ... д-ра пед. наук / А. Г. Мордкович. М., 1987.

2 См.: Кириллова Т. В. Формирование целостной системы знаний и умений учащихся старших классов средней школы (на материале естественно-научных дисциплин) : дис. ... д-ра пед. наук/ Т. В. Кириллова. Саранск, 2002.

3 См.: Капкаева Л. С. Интеграция алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании : моногр. / Л. С. Капкаева. Саранск, 2004 ; Степанюк А. В. К вопросу о формировании целостных знаний школьников / А. В. Степанюк // Новые исследования в педагогических науках. М., 1990. С. 36—39.

74

Поступила 16.04.08.