Кластеризационные поправки к модели разрушения неоднородных сред

Кластеризационные поправки к модели разрушения неоднородных сред

А.М. Авдеенко

Московский институт стали и сплавов (Технологический университет), Москва, 117936, Россия

Рассмотрены поправки к флуктуационной модели разрушения, связанные с кластеризированным либо периодическим размещением неоднородностей — частиц второй фазы (пор). Показано, что учет этих эффектов может быть осуществлен введением поправочного множителя, зависящего нелинейным образом от безразмерного параметра — отношения интервала корреляций неоднородностей к величине структурного масштаба.

В предшествующей работе [1] был построен производящий функционал полей деформации модели нелинейного псевдоконтинуума с локальными неоднородностями — порами или частицами второй фазы. Локальное разрушение было определено как скачок поля разрушения на границе структурного элемента. Производящий функционал флуктуаций полей разрушения определен континуальным интегрированием производящего функционала флуктуаций суммарной деформации по полям совместной (упругой + пластической) деформации.

Было установлено существование двух типов асимптотического поведения среды с локальными неоднородностями. Для асимптотического поведения первого типа характерны большая дисперсия локальной неоднородности и положительное (либо малое отрицательное) взаимодействие флуктуаций полей деформации, асимптотическому поведению второго рода соответствуют отрицательное взаимодействие флуктуаций полей деформации и малая дисперсия локальной неоднородности. Каждому типу асимптотического поведения соответствует свое условие макроразрушения, определяемое через полюс полной корреляционной функции флуктуаций полей разрушения с бесконечным интервалом корреляций.

Критерий макроразрушения был параметризован через безразмерный модуль упрочнения вдоль классической траектории, его величина зависит от дисперсии локальной неоднородности. Для пропорционального нагружения полученные соотношения позволяют определить напряжение и деформацию макроразрушения. Для дельта-коррелированной неоднородности ее дисперсия определяется обьемной долей и “мощностью” П. Для поры п = -1, для частиц обычно п > -1.

Учет следующих порядков теории возмущений связан с эффектами взаимной корреляции в расположении локальной неоднородности так называемой кластеризацией — образованием локальных неоднородностей с конечным интервалом корреляций, сравнимым с величиной фундаментального масштаба упругого псевдоконтинуума.

Кластеризация в размещении локальных неоднородностей имеет обычно технологическое происхождение. Интервалы корреляции (характерные размеры кластеров) для пористых структур различного типа, спеченых алюминиевых порошков (А1-А1304), феррит-перлит-ных углеродистых дуаль-сталей лежат обычно в интервале 5.. .50 мкм [2]. Для хаотических композиционных материалов типа А!^Ю интервалы корреляции состав-

© Авдеенко А.М., 2002

ляют, по данным [3], 40.50 мкм. Рассмотрение этих поправок — предмет предлагаемой работы.

Прежде чем приступить к построению строгой модели учета нелокальных эффектов, попытаемся определить минимальную комбинацию внешних и внутренних параметров, задающих условие разрушения.

В качестве внешнего параметра (средней характеристики напряженно-деформированного состояния) выберем модуль упрочнения, нормированный на модуль сдвига, п 1 ёст „

0 =-----. В упругой области эта величина равна еди-

G

нице, в окрестности макроразрушения близка к нулю. Соответствующие напряжения и деформации для различных материалов могут отличаться друг от друга из-за разной диаграммы деформации.

Структурные неоднородности — поры, частицы второй фазы — инициируют зарождение микротрещин. Поэтому их концентрация, статистика, взаимные корреляции, степень локального отклонения их свойств от свойств основы определяют характер разрушения. Локальные свойства частиц удобно характеризовать через безразмерный параметр отклонения их свойств от свойств основы — простейшая комбинация п = О - О)/О, где Ох и G — модули сдвига частицы и основного материала соответственно (для пор п = -1). Разделение на основной материал и возмущения структуры не однозначно — оно определено, вообще говоря, некоторой величиной структурного масштаба £0 (в терминологии работы [1] £0 — структурный масштаб упругого псевдоконтинуума). Прямые измерения методом сканирующей лазерной профилометрии дают оценку £0 = 10...30 мкм [4]. Процессы в масштабах менее £0 связаны с движением отдельных дислокаций или элементов дислокационной субструктуры. В масштабах более £0 возможно полевое описание пластической деформации и, как следствие, введение переменных типа полной дистор-сии (деформации) и параметров описания — модуля упрочнения и т.д. В этом случае пространственные масштабы структурной неоднородности (интервалы корреляции либо периоды) £ к целесообразно нормировать на величину £ 0. Наконец, вводится мера влияния неоднородностей — их концентрация N0, полагаемая в дальнейшем малым параметром разложения [3].

Зависимость модуля упрочнения 0С, параметризующего макроразрушение от величин N0, £0/£С, п, нелинейная. Причина нелинейности очевидна: слияние двух пор перегружает среду, инициируя зарождение новых микротрещин, — процесс разрушения автокатали-тичен.

Таким образом, соотношение, определяющее макроразрушение, зависит от пяти параметров, причем четыре из них сгруппированы в два безразмерных соотношения £ 0/£ с, п.

Введем нелокальный (кластерный) процесс с корреляционной функцией в фурье-пространстве

Д(д) = А

где т- = £к — средний размер кластера, либо квази-периодическую (слоистую) структуру со средним периодом т_1 = £ к и парной корреляционной функцией

А(д) = А -г—Г •

д -т

Определим безразмерный параметр у = т2/ц2 = = (£0/£ к)2.

Дисперсию локальной неоднородности А~А(д = 0) = ~ N0 << 1 будем, как и ранее, полагать малым параметром разложения при построении производящего функционала флуктуаций полей деформации среды с нелокальными неоднородностями.

Парная корреляционная функция флуктуаций деформации в модели с неоднородностями в нагруженном состоянии имеет вид:

RЦ'"V (р) =

= RЦ0"V (р) - RЦo"g' ( р) V.-' (р) R2,o••V' (р), яТТ (р)= с^ (ц 20(^) + р 2)-1,

Ц..^^' 2,ц ...V

где введены обозначения

'•••V'(р^^'•••Да ((0) + а2А(0))|Я20(д)ёд ),

обозначения

А(0) =а+^а21 Л220(д)ёд+о(А3, §а2),

§4

+ьз | Л220(д)А2 (0)ёд+ Ь4 §4 / Л220(д)А(0)ёд+

+ 0(А3, § 4А, §4).

Величины а1 = (п +1)/2, а2 = 1/2, Ь1 = (п + 8)/2,

Ь3 = 2, Ь4 = 3 — топологические коэффициенты, возникающие при вычислении функциональных интегралов; п — количество независимых компонент поля Ац, обычно полагается п = 3.

В этом выражении используются терминология и обозначения работы [1]: ЛЦо^ (р) — свободная (без учета локальных неоднородностей) и (р) — полная

(с учетом неоднородностей) парные корреляционные функции флуктуаций полей деформации; 0(я) — безразмерный модуль упрочнения вдоль “классической” траектории нагружения; я — эквивалентная деформация.

Рассмотрим кластеризованную модель. Поправка ~ N к вершине второго порядка после регуляризации Х(р = 0, А2, т2) = 0 [1] имеет вид:

Х(р, А, т ) =

1

= ц 2я2а| dzln

z(1 - z)р 2 + (А2 - т 2)z + т 2 (А2 - т 2)z + т2

и

При р2 >>А2 имеем 2(р) = а2Ац21пр2/ц2, т.е. можно пренебречь влиянием нелокальных эффектов в первом порядке на ультрафиолетовую область полной парной корреляционной функции флуктуаций деформации.

При р ^ 0 нелокальная поправка после регуляризации 2(р = 0, А2 = ц2, т2) = 0 имеет вид:

2(0, у) = а2Ац2 (/(0, у) - /(0 = 1, у)),

где 0 = А2/ц2 — безразмерный модуль “чистой” среды; f (01 у) = 1п 0+(у/(0- у))1п(0/ у) -1.

Разделив это выражение на ц2, имеем эффективный модуль упрочнения среды с нелокальными неоднородностями в порядке А:

П

0

Ренормгрупповое уравнение для величины ^(0) имеет вид:

^1п О ^1п О и-------— и

d0

где^ (,) — Й/У»

d0

— 1 + F (у)а2А,

0—1

<І0

-(1 + У - У1п У).

0—1

(1 - y)1

Его решение при начальном условии ^(0 = 1) = = (1 + п^>):

П(0) = (1 + п^>)0'+\

где V = -ахя4 + a2АF(у) при учете взаимодействия флуктуаций полей деформации.

Для всех значений 0 < у < 1 имеем ёР(у)/ёу < 0, т. е. функция F(y) убывает с увеличением величины у = (£0/£ к)2 — уменьшением интервала корреляций нелокальных неоднородностей F(0) = 1 при у ^ 1 F(y)^ 1/2.

Аналогичное решение в квазипериодической модели может быть получено заменой у ^ -у. Соответствующий поправочной коэффициент имеет вид: Р (у) = = (1/(1 + у)2)(1 + у - у 1пу). Предельные значения F(0) = = 1, F(y) =1/2-

Отметим существенное отличие в немонотонном характере зависимости F(y). При у = 0.101... она имеет максимум F(y) = 1.009..., причем во всем интервале изменения величины у поправочный коэффициент для кластеризированной структуры всегда меньше либо равен поправочному коэффициенту для периодической структуры.

В высших порядках теории возмущений необходимо учесть нелокальные поправки к третьей и четвертой диаграммам во втором уравнении системы ренормгруп-повых уравнений. Это ведет к замене системы локальных топологических констант Ь3, Ь4 на величины, зависящие от у: 63, 64 ^ 63 ( у), 64 (у).

Для кластеризованной структуры эффективные константы принимают вид:

ьз( У) —-Ьз0

Ыз

Э0

0—1

: ьз (1 -1у)4 (-5+4 У+у 2 - 2Ч УІ- 4 У Ч У^’

Ь4( У) —-Ь40

ЭЫ4

Э0

0—1

4(1 - У)3

с заменой у ^ -у для квазипериодической структуры.

В этих выражениях функции Ы (0, у) — / (0, у) --/і (1, У) соответствуют третьему и четвертому слагаемым системы (1) при рі — 0 в порядке А2, g4А соответственно. Регуляризация осуществлялась следующим образом g4(0 — 1, А, т2) — g4. Зависимости /(0, у) выражаются в квадратурах и имеют вид:

/э(0, У) — /4(0, У) —

1

(0- у) 1

0+У 0-У

1п

0-У

1 -^ 1п

0-У

-2

Существенная особенность — логарифмическая расходимость для длиннопериодических структур 63( у), 64( у) =- 21п у при у ^ 0. В целом, нелокальные поправки изменяют константы разделения с 2 (у) фазовой плоскости системы ренормгрупповых уравнений на области асимптотического поведения различного типа (в частности, при у ^ 0 существенно сокращается область асимптотического поведения первого типа).

Для квазипериодических структур при у < у1, где у — решение уравнения (63 (у) - ^)2 + 46164 (у) = 0, в системе вообще отсутствуют предельные траектории. Необходим численный анализ: решение системы (1) при заданных начальных условиях — константе взаимодействия флуктуаций полей деформации, параметре размещения у и дисперсии неоднородностей А, определяемой концентрацией N0 и мощностью п дефектов.

В системе с нелокальными неоднородностями безразмерный модуль упрочнения, параметризующий макроразрушение, зависит не только от дисперсии, но и от параметра у, и в общем случае имеет вид, схожий с соответствующим выражением, полученным ранее в работе [1]:

0с

где ^(А у) = -а1§4(0с) + а2Р(у)А(0с).

Решение этого уравнения совместно с системой ре-нормгрупповых уравнений (1) при замене 634 ^ ^ 63 4 (у) дает условие макроразрушения: для асимптотического поведения первого рода в кластеризирован-ных структурах:

кластеризованная P2J * б кластеризованная

структура структура

квазипериодическая 1.1 - квазипериодическая

структура V структура

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 У 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 У

Рис. 1. Поправочные коэффициенты на нелокальные эффекты для систем с асимптотическим поведением первого и второго рода

0С (А, у) = еЧ/д1(у)А

где д, (у) =(а, + а2 - с, (у))Р(у).

Для асимптотического поведения второго рода:

0С

где д 2( у) = а2 у).

Для квазипериодических структур эти соотношения справедливы вплоть до значений у < у* = 0.0459... (£к/£0 > 4.26...).При у > у* в системе вообще отсутствуют асимптотические траектории — необходимо полное решение (4) совместно с (1).

Зависимости поправочных коэффициентов д1 2( у) от величины у, обеспечивающие переход от модели разрушения локальной структуры к нелокальной, приведены на рис. 1.

Таким образом, условие макроразрушения для асимптотического поведения первого и второго рода па-раметризируется через эффективные величины д1 (у) А либо д2 (у) А, зависящие от локальных свойств частиц (пор) А и их размещения — интервала корреляций £ к.

Для пропорционального нагружения полученные соотношения позволяют вычислить деформацию, напряжение и удельную работу разрушения.

Для практического использования, а также для сравнения с экспериментом, гораздо больший интерес представляют энергетические параметры разрушения — У-интеграл, критическая интенсивность напряжений К 1с и критическое раскрытие трещины.

Из анализа размерностей этих величин следует, что окончательный ответ должен содержать величину структурного масштаба упругого псевдоконтинуума £0 (интервал корреляций £k структуры входит в ответ в виде безразмерного отношения y = (£ к/ £ 0)2).

Поскольку для большинства сред масштаб £0 неизвестен либо определен с большой ошибкой, то оценка абсолютных величин энергетических параметров разрушения нецелесообразна, однако относительное изменение этих параметров для различных структур и диаграмм деформации представляет существенный интерес для конструирования новых материалов. Решение этой проблемы — предмет следующей работы.

Литература

1. Авдеенко A.M. Модель разрушения структурно-неоднородных сред // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 4. - С. 15-22.

2. Штремелъ M.A. Прочность сплавов. Ч. 2. - М.: Наука, 1997. -792 с.

3. Авдеенко A.M., Крупин Ю.А. Флуктуационная модель потери устойчивости пластического течения высокомодульного композиционного материала Al-SiC // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1999. - № 4. - С. 65-76.

4. Авдеенко A.M., Кузъко Е.И., Штремелъ M.A. Развитие неустойчивости пластической деформации как самоорганизация // ФТТ.- 1994. - № 10. - С. 31-58.

5. Авдеенко A.M. Неустойчивость пластической деформации и разрушение. Диаграмма деформации неоднородных сред // ПМТФ. - 2000. - Т. 41. - № 6. - С. 125-132.