Математическая модель процесса формирования гидроабразивной струи, получаемой по способу увлечения абразива

УДК 622.232.522.2

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ГИДРОАБРАЗИВНОЙ СТРУИ, ПОЛУЧАЕМОЙ ПО СПОСОБУ

УВЛЕЧЕНИЯ АБРАЗИВА

А.Б. Жабин, А.Е. Пушкарев, И.М. Лавит, Е.А. Аверин

Предложен метод математического описания процесса формирования гидроабразивной струи, получаемой по способу увлечения абразива. Данный метод включает в себя математическое описание двух процессов: захвата воздушным потоком абразивных частиц в канале подвода абразива и разгона водяной струей смеси воздуха и абразивных частиц в коллиматоре. В основу математической модели процесса формирования гидроабразивной струи кладется следующее представление о его механизме. Струя воды, вырывающаяся из струеформирующей насадки, захватывает окружающий ее в смесительной камере воздух и увлекает его в коллиматор. В результате этого создается разрежение, инициирующее мощный воздушный поток из атмосферы в смесительную камеру через устройство подвода абразива. Этот поток захватывает частицы абразива, вносит их в смесительную камеру и далее - в коллиматор.

Ключевые слова: математическая модель, гидроабразив, формирование струи, увлечение абразива, разгон струи, двухфазная жидкость, осесимметричный поток.

Поскольку гидроабразивные струи являются трехфазными (вода -твердые абразивные частицы - воздух), физические процессы, сопровождающие их формирование и определяющие их свойства, намного сложнее, чем в случае использования простых водяных высокоскоростных струй, которые на сегодняшний день достаточно хорошо изучены. Наряду с параметрами струи воды и геометрией струеформирующей насадки существенное влияние на процесс формирования гидроабразивных струй оказывают характеристики абразива, а также геометрические параметры инструмента.

В основу математической модели процесса формирования гидроабразивной струи кладется следующее представление о его механизме. Струя воды, вырывающаяся из струеформирующей насадки, захватывает окружающий ее в смесительной камере воздух и увлекает его в коллиматор. В результате этого создается разрежение, инициирующее мощный воздушный поток из атмосферы в смесительную камеру через устройство подвода абразива. Этот поток захватывает частицы абразива, вносит их в смесительную камеру и далее - в коллиматор.

В результате на выходе из коллиматора формируется гидроабразивная струя, параметры которой определяют эффективность процесса эрозии (щелеобразования). Таких основных параметров три: средние скорость и плотность струи на выходе из коллиматора, а также массовая концентрация в ней абразива. Таким образом, в результате математического модели-

рования процесса формирования гидроабразивной струи требуется определить эти параметры. При этом известными считаются: геометрические параметры струеформирующей насадки, механические и геометрические характеристики материала и частиц абразива соответственно, механические характеристики воздуха и воды, а также скорость струи воды на выходе из отверстия струеформирующей насадки. Так как частицы получаются в результате процессов, имеющих случайный характер, их усредненная форма - это сфера [1]. Частица сферической формы характеризуется одним размером - радиусом сферы.

Рис. 1. Расчетная схема разгона водяной струей смеси воздуха с абразивными частицами : 1 - смесь воздуха с абразивными частицами

в коллиматоре; 2 - струя воды

Рис. 2. Расчетная схема захвата воздушным потоком абразивных частиц в канале подвода абразива

Метод теоретического описания процесса формирования гидроабразивной струи, получаемой по способу увлечения абразива, должен включать в себя описание двух процессов:

- захват воздушным потоком абразивных частиц в канале подвода абразива;

- разгон водяной струей смеси воздуха и абразивных частиц в коллиматоре.

Моделирование первого процесса основано на следующих допущениях:

1. Осуществимо и достигнуто предельное состояние системы «воздух-абразив», когда, во-первых, изменениями поля скоростей и концентрации абразива вдоль канала подвода можно пренебречь и, во-вторых, допустимо считать, что эти величины не зависят от времени;

2. Можно пренебречь зависимостью параметров потока от горизонтальной координаты, перпендикулярной оси канала подвода абразива;

3. Взаимодействием абразивных частиц друг с другом можно пренебречь. Их осредненное движение можно рассматривать как движение жидкости с постоянной плотностью ра. При этом движение воздуха с абразивом представляется как течение двухфазной жидкости.

4.Вязкость воздуха учитывается только при моделировании его взаимодействия с частицами абразива.

Моделирование второго процесса основано на следующих соображениях.

Вдоль оси коллиматора течет водяная струя радиусом Я (см. рис. 1), которую охватывает однородный по плотности поток, представляющий собой смесь воздуха с частицами абразива. Между струей воды и потоком воздушно-абразивной смеси действуют силы трения интенсивностью т, в результате чего поток смеси ускоряется, а водяная струя тормозится. При этом радиус струи воды Я увеличивается.

Расчетная схема захвата воздушным потоком абразивных частиц в канале подвода абразива представлены на рис. 2. Предположим, что при теоретическом рассмотрении допустима замена реального поперечного сечения канала подвода абразива на квадратное сечение так, чтобы основная геометрическая характеристика потока - площадь поперечного сечения - сохранялась. Сторона упомянутого квадратного сечения определяется формулой

Н = 4%Яа.

Для получения уравнений движения абразивной жидкости рассмотрим движение одной частицы во взвесенесущей жидкости, которое характеризуется системой уравнений

du „ m—L = í\;

d (2) du2 г m—- = F2 .

dt 2

Здесь u1 и u2 - компоненты скорости частицы абразива вдоль осей x1 и x2 соответственно (см. рис. 2); F1 и F2 - компоненты внешней силы, действующей на абразивную частицу. Согласно работе [1], величины F1 и F2 определяются следующими формулами: F = вщоа{у1 - ui) + mgsin w;

1

dvi

F2 = 6pm0a(v2 - u2) + kc(vi - ul

6pv02

dx2

4 3 Эр

—na—^ - mg cos w.

3 Эх2

В выражениях (3) g - ускорение силы тяжести; у1 и у2 - компоненты скорости взвесенесущей жидкости (воздуха); р - давление.

Первые слагаемые в правых частях формул (3) являются компонентами силы Стокса, определяющей сопротивление движению частицы абразива в жидкости за счет вязкости. При этом предполагается малость соответствующих чисел РейнольдсаЯе^ = - щ )а и Яе2 = - «2)а.

V)

Второе слагаемое во второй формуле выражений (3) - подъемная сила Сэфмэна [1], обусловленная неравномерностью потока по координате х2 (см. рис. 2). Здесь кс = 81,2 - константа Сэфмэна (безразмерный коэффициент).

Третье слагаемое во второй формуле зависимостей (3) обусловлено неравномерностью давления по координате х2 (см. рис. 2).

Для того, чтобы рассматривать движение частиц абразива как движение сплошной среды, проведем усреднение по элементу объема, малому по сравнению с размером Н, но большому по сравнению с размером частицы а. Этот элемент объема записывается в виде dV = dx1dx2dx3. Пусть ёМ - число частиц абразива в объеме ёУ, тогда их масса ёМ = тёЫ, а плотность абразивной жидкости определим по формуле:

dM dN

Р я =-= т-.

На dN dV ^

Будем считать плотность ра непрерывной функцией координат.

Усредним уравнения (2) по объему ёУ. Для этого просуммируем уравнения (2) по числу частиц ёМ и сумму разделим на ёУ. В результате получим

Р = Ра Р. Р ^2 = Ра р .

=-Р а—— =-Ь2;

dt т dt т

Уравнения (5) представляют собой уравнения движения абразивной

жидкости. К ним следует добавить уравнение неразрывности потока

Эра Э Э ^

"ЭТ + ^Ра»1 + Э Ра»2 = 0

Э^ Эх1 Эх2

Уравнения (5) и (6) можно упростить с учетом принятых выше гипотез. Для уравнений (5) запишем:

ха).

dui dt dui _ dt ь ui dui dxi bu 2 du2 ; dx2 '

dui dt dui _ dt Ь ui dui dxi bu 2 du2 Ъx2

Принятые допущения позволяют выразить формулы (7) в виде

dux _ dux ; du2 _ u du2 .

dt dx2 dt dx2 Аналогично преобразуем равенство (6). Полагая pa = const, найдем

du2

—2 _ 0 ^ u2 _ const.

dx2

Теперь уравнения (5) записываются в виде

dui ki / ч

u2 —1 _ — V - Ц) + gsm w; dx2 Pa

ki k2

g cos w + — u2 ——

Pa Pa

dvi V dx2 J

2 + _ 0. Padx2

Здесь введены следующие обозначения:

_ 6ртоаРа . . ксИ-0

к1 _-. к2-1-. к3 _—I-.

т 1 3т

6р^2 т

Рассмотрим уравнения движения взвесенесущей жидкости (возду-

Уравнение несжимаемости

dvi + Эу2 5xi dx2

0.

приводится к виду

dv2 _ 0 ^ V2 _ const.

dx2

Динамические уравнения представляют собой уравнения Эйлера, в которых учтены силы, действующие на взвесенесущую жидкость со стороны абразивной жидкости.

1

Получим

р 61- кМ - ц);

т ол1

р

6У

2 _

др

61

дл1

к1(у2 - и2)-к2

Л

6У1

V 6х2 )

1

2 , др + кз и

дх2

2

Записав

1

ду[ дУ1 ду2 + У[--+ У'-— и

дУ' дУ' дУ'

-+ У1^ + У2-—

дх2

& д^ дх1 дх' & д^ дх1 а также учтя (13) и сделанные допущения, получим

6у1 = У' 6У1 и 6^ = 0.

61

6х'

2

61

Величина у2 определяется граничными условиями для потока воздуха - условиями непроницаемости. При х2 = 0 и х2 = ^величина у2 = 0.

Так как у2 = сот1 (см. равенство (13)), то у2 = 0 при любом х2 и — = 0.. По-

61

этому уравнения (14) упрощаются:

др

дх1 др

к1(У - щ ) = 0;

дхо

кщ + к'

^ 6У[ Л V 6x2 )

1

2 др к3

'

дх

0.

Таким образом, получены четыре уравнения (10) и (17). Система этих уравнений представляет собой дифференциальные уравнения относительно неизвестных и1г и2, У1 и р. Ее решение представляется в следующем виде:

Щ1 =Рх';

А

=

Р

+ g Б1П Ю

а

ь

А

У1; к1

р = Ах1 + Вх' + С, где константы ра, р, А и В связаны соотношениями

А

--+ g Б1П Ю о

Ра , кст0а Ра А .

В = кл-^-+

Р

1

бру2 шк1

А 1

--+ g Б1И Ю о о

Ра + кс^0а Ра Ар2 = 0

1 р 1 1 + кз

бру2 шк1

а постоянная С определяется из условия равенства нулю усредненной по сечению канала подвода абразива величины давления р при х1 = 0.

ВН

С = —н (круговое сечение канала при расчете заменяется равновеликим

квадратным сечением со стороной Н). Таким образом, решение зависит от двух параметров ра и р.

Следует учесть, что приток массы абразива в канал подвода в единицу времени ((а1 равен его расходу через выходное отверстие в смесительную камеру (а2:

<2а1 = Са2 = £а; Н

0а1 = Н \ РаМло;

0

0а2 = 2Н1аРаи2.

Множитель 2 в третьей формуле выражений (20) обусловлен тем, что величина и2, определяемая второй формулой уравнений (18), усреднена по сечению канала подвода абразива.

Таким образом, число независимых параметров, определяющих решение уравнений (18) с учетом того, что уравнения (20) является трансцендентными, свелось к одному ра или р.

Полагаем, что все величины, характеризующие как струю воды, так и поток смеси абразивных частиц с воздухом зависят только от одной переменной - у (см. рис. 1). Выделим из потока смеси воздуха с абразивом кольцевой слой длиной (1у (рис. 3) и запишем для него соотношения баланса импульса.

Уравнение баланса импульса записывается следующим образом:

^ = Рк,

¿1 к V 7

где (к - импульс (количество движения) жидкости, заключенной в слое; Рк

- главный вектор внешних сил, действующих на слой (в общем случае

к=1,2 и 3).

Величина Рк определяется выражением

Рк = $ дкёБ,

5

где дк - компоненты вектора распределенной внешней нагрузки; 5 - площадь боковой поверхности кольцевого слоя (см. рис. 3).

Рис. 3. Расчетная схема для вывода уравнения баланса импульса кольцевого слоя смеси воздуха с абразивом: 1 - кольцевой слой воздуха

с абразивом; 2 - струя воды

С учетом формул (21) и (22) получим

Ок = $9cukdV,

V

где рс - плотность потока смеси воздуха с абразивными частицами; ик - компоненты вектора скорости смеси; V - объем кольцевого слоя смеси воздуха с абразивом.

Из выражений (21) и (23) следует

= 6 $ р^ = ! Рс Цк™ + $ ГсЧЩУ^,

& V V 3 V

где и и V! - компоненты вектора внешней нормали к поверхности слоя.

Отсюда вытекает, что с учетом стационарности движения

!

На торцевых поверхностях

П =-1 ^ 91 = Ри; П = 1 ^ 91 = 9и + йри,

где ри - избыточное давление воздуха в коллиматоре (см. рис. 3), зависящее от его длины.

На внутренней поверхности

у2 = -1 ^ 91 =

где т - интенсивность сил трения между струей воды и воздушно-абразивной смесью (см. рис. 3).

Так как все величины зависят только от у, то подынтегральные вы-

ражения - константы (с точностью до бесконечно малых высших порядков). Получим из (25) следующее выражение:

' dp------- + Pcu2YR

+ 2pcu—

R2 - R21 - 2 Rppu + Pcu2 j— - 2 Rt = 0.

dy dy

Аналогичное рассмотрение применительно к водяной струе приводит к уравнению

pv2 dR + pR^vdv+T = о.

dy dy

Таким образом, получаем систему двух дифференциальных уравнений баланса импульса для струи воды и потока воздуха с абразивными частицами соответственно

2 dR т-, dv рИ — + pRv— + t = 0;

dy dy

'+ 2pcu^|r2 - R2)-2R(pu + Pcu2)f -2Rt = 0.

dy dy)' 1 dy

В уравнениях (28) и (29) v - скорость водяной струи (усредненная по ее сечению); u - скорость смеси воздуха с абразивом; р - плотность воды; pu - избыточное давление в коллиматоре; рс - плотность смеси воздуха с абразивом.

Плотность рс определяется результатом решения задачи по расходу абразива Qa (18) - (20), рассмотренной выше, следующим образом:

Pc = Q0±Qa

Qv

где Qo - секундный массовый расход воздуха; Qv - суммарный объемный расход смеси воздуха и абразива в гидроабразивной струе.

Расход Q0 определяется из выражения

Q0 =P0PR?vi,

где напомним, р0 - плотность воздуха; Ra - радиус канала подвода абразива к инструменту; vj - скорость воздуха.

Учитывая, что объем абразива в смеси его с воздухом занимает малое пространство, то им можно пренебречь. Тогда расход Qv определяется зависимостью

Qv = Rvx.

Скорости v и u связаны с радиусом R(y) (см. рис. 1) условиями постоянства расхода воды Qe и смеси воздуха с абразивом Qc.

Расходы Qe и Qc определяются следующими формулами:

Q = Pv0pR = const;

Qc = Q0 + Qa = Pcup(R2 - R2) = const.

Предполагается, что интенсивность сил трения подчиняется зави-

348

симости т = 7](у-и), где Т] - турбулентная вязкость воды, определяемая выражением т| = ^^. Здесь // - динамическая вязкость воды, ё - толщина по-8

граничного слоя (8 = , где Яе - число Рейнольдса), а а - эмпирический

л/Яе

коэффициент. Сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными приводит к величине о = 0,01.

Решение первого уравнения системы (30) получим в виде

Р сОе

Щ

2 с

с

-1

1п

с+Я Щ

с-Я сЯ

= у+ А

гд е с = 11к

1

Р сОв

Б - константа интегрирования, определяемая ус-

рОс + ОвРс

ловием I? = К о при у = 0.

Уравнение (35) позволяет найти г и и в выходном сечении коллиматора (при у = Ьк).

Второе уравнение системы (30) имеет решение

Ри =

1

/¿-Я2

71 р(

2^2

+ Е

71 р

где константа интегрирования Е находится из условия обращения в нуль избыточного давления при / = Ьк.

Синтез обеих моделей основывается на уравнении баланса импульса, которое записывается для характеристик смеси воздуха с абразивом, засасывающейся в смесительную камеру.

Так как поток в камере тормозится (в направлении, перпендикулярном оси коллиматора), то уравнение баланса импульса записывается в виде

Р-

<?с

р сн*

РиО-

где ри0=риЩ>и у = 0.

Уравнение (37) является тем недостающим уравнением, которое позволяет однозначно определять все неизвестные величины, входящие в расчетные формулы.

По известным значениям И, и и V при / = Ьк рассчитываются средняя скорость уа и средняя плотность ра гидроабразивной струи, а также концентрация в ней абразива са. Исходными уравнениями здесь служат соотношения баланса массы и импульса.

Получим

va =

p(r У + R - R2 )P cu2

Qв + Qa + Q0 '

P a = OlQ^ ;

pRkva

c Qa

3 Qe + Qa + Q0

'-в 1 Vа

На основании изложенного радиус гидроабразивной струи с усредненными характеристиками уа, ра и са равен радиусу коллиматора, а поток кинетической энергии абразивных частиц определяется формулой

Wa = ca ^v^.

a 2

Таким образом, разработана математическая модель процесса формирования гидроабразивной струи, основывающаяся на представлении движения воздуха и абразивных частиц в подающем канале как течения двухфазной жидкости и разгона смеси воздуха и абразивных частиц в коллиматоре как течения двух параллельных осесимметричных потоков (водяной струи и смеси воздуха с абразивными частицами), взаимодействие которых обусловлено силами трения, пропорциональными разности скоростей потоков.

Список литературы

i. Стернин Л.Е. Основы газодинамики течений в соплах. М.: Машиностроение, i974.

Жабин Александр Борисович, д-р техн. наук, проф., zhabin.tula@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Пушкарев Александр Евгеньевич, д-р техн. наук, проф., pushkarev-agn@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Лавит Игорь Михайлович, д-р техн. наук, проф., igorlavit@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Аверин Евгений Анатольевич, асп., evgeniy.averin.9G@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

MATHEMATICAL MODEL OFHYDROABRASIVE JET CREATING PROCESS

A.B. Zhabin, A.E. Pushkarev, I.M. Lavit, A.E. Averin

The method for mathematical description of hydroabrasive jet creating process is proposed. This method includes mathematical description of two processes: capture of abrasive particles in the abrasive supply canal by an air stream and acceleration of the air-abrasive mixture in the collimator by a water stream The mathematical model of the hydroabrasive jet creating process is based on the next conception of its essence. The water stream goes from the jet-forming nozzle, captures an air in the mixing chamber and then carries it away to the collimator. As a result it's made a rarefaction that initiates a powerful air stream from the atmosphere to the mixing chamber through the abrasive supply device. This stream captures abrasive particles, carries them along to the mixing chamber and then to the colli-mator.

Key words: mathematical model, hydroabrasive, jet creating, abrasive particles' carrying away, acceleration of the jet, diphasic liquid, axle-symmetric stream.

Zhabin Aleksandr Borisovich, doctor of technical sciences, professor, zha-bin. tula@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Pushkarev A.E., doctor of technical sciences, professor, pushkarev-agn@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Lavit Igor Michailovich, doctor of technical sciences, professor, igorla-vit@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Averin Eugene Anatolievich, postgraduate, evgeniy.averin.90@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University