Тонкий вязкий ударный слой с учетом эффектов разреженности газа

Том XXXVIII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 7

№ 3 — 4

УДК 533.6.011.8

ТОНКИЙ ВЯЗКИЙ УДАРНЫЙ СЛОЙ С УЧЕТОМ ЭФФЕКТОВ

РАЗРЕЖЕННОСТИ ГАЗА

А. Л. АНКУДИНОВ

Рассмотрена задача гиперзвукового тонкого вязкого ударного слоя около тел конечной толщины в переходном (от свободномолекулярного к сплошносредному) режиме течения для однородного многоатомного газа с внутренними степенями свободы.

Предложена математическая формулировка задачи, существенным образом упрощающая проблему. Показано, что использование связанных с потоком независимых переменных позволяет, во-первых, исходную задачу со свободной границей трансформировать в традиционную краевую задачу, во-вторых, проблему тонкого вязкого ударного слоя для переходного режима свести к задаче, аппарат исследования которой хорошо разработан.

Исследованию переходных режимов гиперзвукового течения разреженного газа посвящен ряд работ последних десятилетий (см. [1] и др.). Перспективный шаг в указанной области был сделан авторами [2], применившими концепцию гиперзвукового тонкого вязкого ударного слоя. Эта модель эффективно использовалась ранее при изучении сплошносредного (навье-стоксовского) режима гиперзвуковых течений. В [2] с использованием теории тонкого вязкого ударного слоя на базе кинетического уравнения Больцмана были получены макроскопические уравнения и граничные условия, описывающие течение в тонком вязком ударном слое около тел конечной толщины с учетом эффектов разреженности, т. е. течение в промежуточном (переходном) между свободномолекулярным и сплошносредным режиме гиперзвукового обтекания; при этом рассматривался однородный многоатомный газ с внутренними степенями свободы.

Ниже речь пойдет о существенном упрощении упомянутой выше проблемы для стационарного двумерного (плоского или осесимметричного) случая, т. е. по существу о приведении новой задачи, сформулированной в [2], к изученной задаче, эффективные средства решения которой уже разработаны.

1. Следуя работе [2], выпишем уравнения и краевые условия для двумерной стационарной задачи гиперзвукового тонкого вязкого ударного слоя около тел конечной толщины в однородном многоатомном газе с внутренними степенями свободы для режима течения, являющегося промежуточным между свободномолекулярным и сплошносредным.

Уравнения:

ди ди 1 д Р22 ди

ри---------+ ру— =-------------— и—;

дх ду Re ду р ду

2 1 дР22

ри — =—22;

К ду

2

дН дН д 1 Р22 д г„ пи

ри-----------+ ру--=--— и—[Н + (Pг-1)—];

дх ду ду Re Pг р ду 2

д V д V п

—г ри +-г ру = 0;

дх ду

р=1+—

Р22 3а

^ 1 и ди^ Re р ду

2

Внешние краевые условия, т. е. условия на неизвестной внешней границе ударного слоя у = уе (х), определяемой в процессе решения:

1 Р22 ди

р* у*(и - и*)+----------^ = 0;

Re р ду

1 Р д и2

р*у*

RePг р ду 2

Р22 = р*у1; ру = р*у*.

Внутренние граничные условия (на поверхности тела) для заданной температуры стенки, т. е. условия при у = 0 :

и = у = 0; Н -Н№

Обозначения величин в (1.1) — (14): хЬ, уЬ — расстояния, отсчитываемые в плоскости рассмотрения от передней критической точки вдоль поверхности и от поверхности вдоль нормали к ней соответственно; ии*, уи* — компоненты скорости в направлениях х и у

соответственно; рр*и**, рр*, Ти* /Ср — давление, плотность и температура соответственно;

гЬ — расстояние от оси (плоскости) симметрии осесимметричного (плоского) тела до его поверхности; цц0 —

коэффициент вязкости; Р22 = р + р22, где р22р*и* — компонента девиаторной части тензора напряжений р^р^и*(¡,] = 1,2) при индексах 1 и 2, ассоциируемых с направлениями х и у соответственно; е = (у-1)/2у — малый параметр; Re = и*Ьр*1и0 — число Рейнольдса;

Рг = Срии0 /X — число Прандтля; у — отношение удельных теплоемкостей, т. е. у = Ср^у , где

Ср и Су — удельные теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно; X — коэффициент теплопроводности; Я№Ь — радиус продольной кривизны поверхности; р*, и* — плотность и скорость набегающего невозмущенного потока

соответственно;

Ь — характерный линейный размер (радиус кривизны носка затупленного тела, т. е. Ь = Я№0 = []х=0); и0 =и(Т0) — значение коэффициента вязкости и при температуре

торможения; Т00 — температура торможения набегающего потока; Пи*а,Ни* — удельные

и2

энтальпия и полная энтальпия соответственно, Н = п + —; а — отношение времен релаксации

при упругих и неупругих столкновениях молекул; V = 0 в плоском случае и V = 1 в осесимметричном. Индексы «т>, «е», «<х>» относятся к величинам на поверхности тела, на внешней границе ударного слоя и в набегающем потоке соответственно.

Задача, сформулированная в соотношениях (1.1) — (14), относится к категории краевых задач с неизвестной границей. Наличие в структуре задачи граничных условий в количестве, на одно превосходящем порядок системы, позволяет определять неизвестную форму внешней границы ударного слоя.

Необходимость определения последней соответственно добавляет трудности в разрешение проблемы по сравнению с краевой задачей с заданными границами.

2. Введем вместо физических независимых переменных задачи х, у (см. п. 1) новые

независимые переменные — так называемые переменные Мизеса х, у, где уЬ(1+^р*и* — функция тока, описываемая соотношениями:

V ду V ду

г ри =—, г ру =-----------.

ду дх

Использование переменных Мизеса (х, у) позволяет привести задачу (1.1) — (14) к

следующему виду.

Уравнения:

ди 1 ^ д Рл ди

— = — г-----------— ири—;

дх Re ду р ду

— = гvдP—;

К ду V '

дН 2v д 1 Р22 д и2

----= г------------22 ири—[Н + (Рг-1)—];

дх ду RePг р ду 2

-Р = 1 + ^)2.

Р22 3а Re р ду

Как следует из соотношений (2.2) — (2.3), записанные в новых переменных уравнения рассматриваемой задачи не содержат неизвестной величины V. Соответственно следует исключить и краевые условия на V. Граничные условия для уравнений (2.2) — (2.3) будут выглядеть следующим образом.

Краевые условия задачи на внешней границе при у = уе, где уе — значение величины функции тока у на внешней границе ударного слоя:

гV Р22 ди

р*у* (и - и*) + -----ири — = 0;

Re р ду

р*у*

RePг р ду 2

Р22 = р*у<х, .

Краевые условия на поверхности при у = 0 :

и = 0; Н - Н№ = 0.

Из соображений баланса расхода газа через тонкий вязкий ударный слой вблизи тел конечной толщины можно получить для величины уе:

Итак, в соответствии с (2.2) — (2.6), представленная в п. 1 краевая задача с неизвестной границей в п. 2 переформулировалась в замкнутую краевую задачу в фиксированной области новых независимых переменных.

3. Мизесовская форма представления рассматриваемой проблемы дает возможность расчленить общую задачу на основную (первичную) и дополнительную (вторичную).

Заменим в (2.2) — (2.5) плотность р с помощью уравнения состояния совершенного газа

Обнаруживаем, что уравнения (2.2), (3.2) с граничными условиями (2.4), (2.5) представляют собой замкнутую краевую задачу с исключенной из числа зависимых переменных величиной р, как, впрочем, и величиной р — в силу р = р(р,Т) из (3.1). (Здесь р исключается с помощью равенства (3.1), а давление р — из-за структуры соотношений задачи, явно его содержащих). Задачу (2.2), (3.2), (2.4), (2.5) назовем основной (первичной). Величина давления р определяется после решения первичной задачи из уравнения (2.3) с исключенной плотностью р; затем из (3.1) вычисляется плотность р. Другими словами, на основе решения первичной задачи решается вторичная задача (2.3), (3.1), определяющаяр и р.

Введя вместо Р22 новую функцию Р22 , т. е. по существу переобозначив величину Р22, полученную выше первичную замкнутую краевую задачу вследствие особой ее роли в изучаемой корреляции назовем критериальной задачей.

4. Поскольку рассматриваемый корреляционный принцип обращается к навье-стоксовскому приближению тонкого ударного слоя, укажем на следующие обстоятельства, касающиеся его трактовки. В исходных (х, у) переменных оно выглядит таким образом: это уравнения (1.1) с граничными условиями (1.3) и (1.4), в которых величина Р22 формально заменена на р. То же самое можно сказать и о мизесовской форме данной задачи: эта форма представляет из себя уравнения (2.2) и краевые условия (2.4) и (2.5) при формальной замене в них величины Р22 на величину р.

Как и в случае тонкого вязкого ударного слоя для переходного режима (см. п. 3), исключим (с помощью уравнения состояния (3.1)) величину р (величина давления р при этом не исключается), а величину р заменим (переобозначим) на Р(= р). При этом получаем

критериальную задачу, сформулированную в п. 3. Из (3.1) определяется р, что составляет, по терминологии п. 3, вторичную задачу для проблемы навье-стоксовского тонкого ударного слоя.

Итак, и рассматриваемое для переходного режима, и навье-стоксовское приближения тонкого ударного слоя приводят к одной и той же критериальной задаче, которая и является фундаментом корреляционного принципа, позволяющего из решения критериальной задачи извлечь решения в физических переменных и для рассматриваемой в переходном режиме, и для навье-стоксовской задач тонкого ударного слоя. В этом и заключается суть обсуждаемой корреляции.

5. Очевидно, что полученная после решения так называемой критериальной задачи величина Р% является величиной (%) Р22 для переходного режима и величиной (%) р для

навье-стоксовского ударного слоя, поскольку величина и попадала в структуру критериальной задачи как Р22 из полной задачи тонкого вязкого ударного слоя для переходного режима (см. п. 3) и как р — из навье-стоксовской задачи тонкого ударного слоя (см. п. 4). Кстати, величина р (илир/Р22 ) для переходного режима определяется из соотношений (2.3), (3.1). Здесь и далее (как и выше в п. 5), конечно, предполагается, что критериальная задача в переменных Мизеса уже решена.

р = 2врТ

и примем в качестве закона вязкости (навье-стоксовскую) зависимость

и = и(Т).

В дальнейшем изложении будет целесообразно пользоваться более удобными для представления решения (и для проведения вычислений) независимыми и зависимыми переменными;

с этой целью введем функции:

%=_У , %= и, д = -%/2.

Уе Г

Для вычисления физической независимой переменной поперек слоя у = у(д) следует воспользоваться первым соотношением из (2.1), которое в новых переменных примет вид:

дд = 2у-1 % дУ д .

6. Анализ структуры уравнений и краевых условий, описывающих переходный тонкий вязкий ударный слой около тел конечной толщины в многоатомном газе с внутренними степенями свободы, позволяет обозначить целый класс независимых переменных, которые приводят данную задачу к виду, дающему возможность выделить критериальную задачу (в том качестве,

в каком она была введена в п. 3). На такого рода корреляцию, но для задачи тонкого вязкого ударного слоя, сформулированной на основе 13-моментных уравнений Греда, описывающих течение слаборазреженного простого (одноатомного) газа без внутренних степеней свободы, указывалось в [3]. Переменные Мизеса, кстати, среди вышеупомянутых критериальных переменных являются в некотором роде оптимальными применительно к двумерным задачам тонкого ударного слоя, точнее, среди прочих используемых при таких расчетах переменных представляются гораздо более предпочтительными.

7. Уже предварительный анализ проблемы позволяет выявить два важных обстоятельства. Во-первых, обе обсуждаемые задачи тонкого вязкого ударного слоя (для переходного режима и

для режима сплошной среды) оказываются абсолютно идентичными в окрестности передней критической точки затупленного тела; добавим при этом, что величина на линии торможения становится равной Р22 = Р . Во-вторых, значения напряжения трения и теплового потока в соответствующих точках поверхности тела для обеих задач строго совпадают вдоль всей обтекаемой поверхности.

Ниже приводятся некоторые результаты численного решения задач тонкого вязкого ударного слоя для переходного и сплошносредного режимов в физической плоскости. Просчитывалось обтекание носовой части гиперболоида вращения с асимптотическим полууглом раствора 60° потоком, параллельным оси тела. Параметры, характеризующие обтекание, были приняты следующими:

Шх=ю, Т№ /Т0 = 0.0625 , Яе = 1, Рг = 0.7, а = 1, ц ~ Т,

0.1 0.2 0.3 V, Н 0.4

Рис. 3

х=0

/ л

Vу/ /н

0.1 0.2 0.3 V, Н 0.4

Рис. 1

где Mк, — число Маха набегающего потока, Т№ /Т0 — температурный фактор. Результаты расчетов представлены на рис. 1 — 4 в виде профилей величин отнесенной продольной скорости V (величина будет пояснена ниже) и полной энтальпии Н поперек ударного слоя для начального (х = 0) и конечного (х = 1) значения продольной

координаты расчетного интервала по х. На ри-

сунках

принято:

V = и / и„

2 =

^+1

1/2

„г  42"

модифицированная поперечная переменная Мизеса. Пунктирные кривые на рис. 3 и 4 соответствуют решению тонкого вязкого ударного слоя для сплошносредного режима, жирной линией на всех рисунках изображаются кривые полной энтальпии Н. Отметим, что на рис. 3 пунктирные кривые совпадают со сплошными в силу идентичности решений обеих рассматриваемых задач в критической точке, т. е. при х = 0 (см. выше). Решения, представленные в физических переменных на рис. 3 и 4, получены из решений в переменных Мизеса соответственно на рис. 1 и 2. Результат в физической плоскости для ударного слоя с учетом эффектов разреженности получен пересчетом согласно корреляционному принципу соответствия между задачами ударного слоя для переходного и сплошносредного режимов. Результат в физической плоскости для сплошносредного ударного слоя получен простым пересчетом поперечной координаты в соответствии

с формулами связи между физическими переменными и переменными Мизеса. Как показывают расчеты, различия между решениями обеих рассматриваемых задач сосредоточиваются во внешней области ударного слоя и нарастают по мере удаления от носка, что является ожидаемым результатом (см. начало п. 7). При выбранных параметрах обтекания эти отличия невелики. С ростом числа Рейнольдса они убывают.

Заключение. Для переходного режима между свободномолекулярным обтеканием и сплошной средой предлагаемая формулировка исследуемой задачи позволяет существенно упростить анализ течения молекулярного газа с внутренними степенями свободы в гиперзвуковом тонком вязком ударном слое около тел конечной толщины, а именно:

преобразовать исходную краевую задачу с неизвестной границей в краевую задачу традиционного типа, что значительно снижает уровень вычислительной трудности;

построить решение исследуемой новой задачи переходного ударного слоя на базе решения известной, существенно более простой задачи сплошносредного (навье-стоксовского) тонкого вязкого ударного слоя, эффективные способы численного анализа которой достаточно хорошо разработаны.

Представлен механизм реализации указанной выше корреляционной связи решений упомянутых задач.

Проведенный анализ позволил получить важные характеристики гиперзвукового обтекания тел в переходном режиме:

влияние эффекта разреженности в тонком ударном слое около тел конечной толщины не сказывается на пристеночных величинах

напряжения трения и теплового потока; 01 0 2 оз о 4 V. НО 5

Рис. 4

1.2

г

1

0.8

0.6'

0.4

0.2'

0

х= 1

< Н

0.1

0.2 0.3

Рис. 2

0.41/, Н0.5

0.22

У0.2-

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08'

0.06

0.04

0.02

о

х= 1

Л і

А //

///У /Ш

У / /

* / /9 / /І

✓ * /* У //// / //

/У V //

У // ./ / // г Н

//

в окрестности передней критической точки затупленного тела решение задачи тонкого вязкого ударного слоя с учетом эффекта разреженности совпадает с решением аналогичной задачи для режима сплошной среды;

эффект разреженности проявляет себя более во внешней части поля течения в ударном слое; влияние разреженности на течение в ударном слое быстро затухает при возрастании числа Рейнольдса.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 05-08-01307).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гусев В. Н., Коган М. Н., Провоторов В. П., Рябов В. В. О роли физико-химических процессов в задачах моделирования гиперзвуковых течений разреженного газа // Ученые записки ЦАГИ. 1981. Т. 12, № 4.

2. Кузнецов М. М., Никольский В. С. Кинетический анализ гиперзвуковых вязких течений многоатомного газа в тонком трехмерном ударном слое // Ученые записки ЦАГИ. 1985. Т. 16, № 3.

3. Cheng H. K. The viscous shock layer problem revisited // Proc. International Conference of Research in Hypersonic Flows and Hypersonic Technologies. — Zhukovsky, Russia. Sept. 19 — 21.

1994.

Рукопись поступила 6/VI 2006 г.