Алгебраическая геометрия над дистрибутивными решётками

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4. С. 23-29.

УДК 512.57+512.7 Ю.С. Дворжецкий

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАД ДИСТРИБУТИВНЫМИ РЕШЁТКАМИ

Изучается алгебраическая геометрия над дистрибутивными решётками. Доказано, что существующий критерий нётеровости по уравнениям для булевых решёток переносится на более общие дистрибутивные решётки. Также приведены примеры, показывающие, что существующий критерий слабой нётеровости по уравнениям для булевых решёток не переносится на дистрибутивные.

Ключевые слова: универсальная алгебраическая геометрия, дистрибутивные решётки, нётеровость по уравнениям, слабая нётеровость по уравнениям.

Основными работами в универсальной алгебраической геометрии являются работы Э.Ю. Данияровой, А.Г. Мясникова и В.Н. Ремесленникова [1-5]. В этих работах доказаны две объединяющие теоремы (в терминологии авторов), дающие 7 эквивалентных подходов к проблеме описания координатных алгебр для произвольной алгебраической системы. Данные теоремы применимы только к определённым классам алгебраических систем: классам N и № нётеровых и слабо нётеровых по уравнениям алгебр и классам р и и - и пт -компактных алгебр соответственно. Определения этих понятий будут даны ниже. Таким образом, чтобы применить результаты к определённой системе, нужно проверить, в каком из классов лежит рассматриваемая система. А.Н. Шевляковым были доказаны критерии принадлежности булевых алгебр к классам р, и, N и №. С любезного разрешения автора приведём ещё не опубликованные критерии нётеровости (класс N и слабой нётеровости по уравнениям (класс №).

Теорема (А.Н. Шевляков). Булева С-алгебра В нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда подалгебра С, порожденная константами, конечна [6].

Теорема (А.Н. Шевляков). Булева С-алгебра В слабо нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда алгебра С полна в В [6].

В настоящей работе доказано, что критерий нётеровости по уравнениям переносится с булевых решёток на более общие дистрибутивные решётки.

Теорема. Дистрибутивная С-решётка А нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда дистрибутивная решётка С, порождённая константами, конечна.

В работе приведены примеры, которые показывают, что критерий слабой нётеровости для булевых алгебр не переносится на дистрибутивные решётки. Также показано, что некоторые другие свойства в дистрибутивных решётках не могут быть достаточными условиями слабой нёте-ровости по уравнениям.

1. Решётки, дистрибутивные решётки

В этом разделе мы приведём основные определения из теории решёток, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Рассмотрим язык Ьо = {V1-2-1, л1-2-1} , состоящий из двух бинарных функциональных символов - V и л .

Определение 1 (решётка). Алгебраическую систему А ={А;V,л^ языка Ь0 мы будем называть решёткой, если для любых а,Ь,с е А выполнены следующие аксиомы:

© Ю.С. Дворжецкий, 2013

1) идемпотентность: а л а = а, а V а = а;

2) коммутативность: а л Ъ = Ъ л а , а V Ъ = = Ъ V а;

3) ассоциативность: (а лЪ) л с = а л (Ъ л с) , (а V Ъ) V с = а V (Ъ V с);

4) законы поглощения: а л (а V Ъ) = а, а V (а л Ъ) = а .

Факт 1 (принцип двойственности). Если какая-то формула верна на всём классе решёток, то двойственная формула, полученная взаимной заменой символов V ил, также истинна на всём классе решёток.

Определение 2 (дистрибутивная решётка). Решётку А =( А; V, л^ мы будем называть дистрибутивной, если для любых элементов а,Ъ, с е А выполнено:

а л (Ъ V с) = (а л Ъ) V (а л с), а V (Ъ л с) = (а V Ъ) л (а V с).

Можно ввести несколько эквивалентных определений дистрибутивной решётки.

Утверждение 1. Пусть А А; V, А^ -

решётка. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) У а, Ъ, с е А

а л (Ъ V с) = (а л Ъ) V (а л с);

2) У а, Ъ, с е А

а V (Ъ л с) = (а V Ъ) л (а V с);

3) У а, Ъ, с е А

(а л с = Ъ л с)&(а V с = Ъ V с) ^ а = Ъ .

Пример 1

является дистрибутивной решёткой. Такую дистрибутивную решётку мы будем называть решёткой подмножеств. Если множество А - это множество всех подмножеств множества X , то в этом случае А будем называть решёткой всех подмножеств. Расширим язык Ь0 до языка Ь , добавив бесконечное множество констант:

Ь = Ь и {с 17 е I} .

Введём понятия С-решётки и дистрибутивной С-решётки.

Определение 3 (С-решётка). Решётку А расширенного языка Ь мы будем называть С-решёткой, где через С обозначена решётка, порождённая константами {с1 17 е I} .

Определение 4 (дистрибутивная С-ре-шётка). Дистрибутивную решётку А расширенного языка Ь мы будем называть дистрибутивной С-решёткой, где через С обозначена дистрибутивная решётка, порождённая константами {с1 17 е I} .

На любой решётке можно ввести частичный порядок, положив:

a < Ъ « a л Ъ = a

или

a < Ъ « a v Ъ = Ъ.

Операции V и Л могут быть интерпретированы следующим образом: a v Ъ = sup{a,Ъ}, a л Ъ = ir£{a,Ъ}.

Определение 5 (цепь, антицепь). Любое линейно упорядоченное подмножество элементов решётки мы будем называть цепью. Антицепью мы будем называть подмножество элементов решётки, в котором любые два элемента несравнимы.

Определение 6 (ACC, DCC). Будем говорить, что решётка удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей (ACC), если в решётке не существует бесконечных строго возрастающих цепей элементов. В этом случае решётку принято называть нё-теровой.

Будем говорить, что решётка удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей (DCC), если в решётке не существует бесконечных строго убывающих цепей элементов.

Определение 7 (JID, MID). Будем говорить, что полная решётка A удовлетворяет свойству бесконечной дистрибутивности JID, если

X лVx¡ =V ( x л ),

tel tel

и свойству бесконечной дистрибутивной дистрибутивности MID, если в A выполнено

X V ЛXt. = Л(X V Xt).

tel tel

Определение 8 (относительное дополнение). Пусть A - произвольная решётка, a, Ъ, c e A , Ъ < a < c. Элемент a* e A называется относительным дополнением элемента a в интервале [Ъ,c], если a л a = Ъ и a v a = c.

Определение 9 (решётка с относительными дополнениями). Решётку A мы будем называть решёткой с относительными дополнениями, если для любого a e A и любого интервала [Ъ,c], содержащего a, в A существует относительное дополнение элемента a в интервале [Ъ,c].

Определение 10 (псевдодополнение

элемента). Пусть A - дистрибутивная решёт*

ка с 0 . Элемент a называется псевдодополнением элемента a, если a л a = 0 , и

для любого другого X e A из того, что

*

X л a = 0 , следует X < a .

2. Основные понятия алгебраической геометрии

Все приведённые ниже определения можно найти в [1].

Пусть L - функциональный язык, т. е. содержит только функциональные и константные символы. Атомарные формулы языка L от переменных x будут иметь вид равенства двух термов t( x) = s( x), где t( x) и s(x) - термы языка L от переменных x .

Определение 11 (уравнение). Атомарные формулы языка L от переменных x мы будем называть уравнениями языка L от переменных x .

Замечание 1. На любой решётке можно ввести предикат частичного порядка атомарной формулой

a < Ъ « a л Ъ = a.

Следовательно, нестрогие неравенства тоже можно считать уравнениями, положив

t(x) < s(x) « t(x) л s(x) = t(x), где s(x) и t(x) - термы языка L от переменных x .

Определение 12 (система уравнений). Системой уравнений от переменных x будем называть любое множество уравнений от переменных x .

Пусть A =(A; L} - алгебраическая система языка функционального языка L .

Определение 13 (решение уравнения). Пусть cp(x ) - уравнение от переменных x,

|x| = n. Решением уравнения c (x ) будем

называть n-ку элементов a е An, если A

= c(a).

Определение 14 (решение системы уравнений). Пусть S(x) - система уравнений от переменных x, |x| = n. n-ку элементов a е An будем называть решением системы уравнений S(x) , если a является решением каждого уравнения из S(x) .

Множество решений системы уравнений S обозначим V(S).

Определение 15 (эквивалентные системы уравнений). Две системы уравнений P(x) и Q(x) от переменных x будем называть эквивалентными, если V(P) = V(Q).

Утверждение 2. Приведённая эквивалентность действительно является отношением эквивалентности.

Введём понятия нётеровости и слабой нётеровости по уравнениям.

Определение 16

от переменных x, |x| = n существует такая конечная подсистема уравнений

S о( x ) ç S ( x), что V ( S ) = V ( S0).

Определение 17 (слабая нётеровость по уравнениям). L -алгебру A будем называть

слабо нётеровой по уравнениям, если для любого п е К, для любой системы уравнений 5"(х) от переменных х, |х| = п существует такая конечная система уравнений 50(х), что Г (5) = V (5о).

3. Преобразование систем уравнений Пусть Ь = Ьо О {с. | / е I} - расширенный язык, С - дистрибутивная решётка, порождённая константами {с | / е I} , А - дистрибутивная С-решётка.

Как уже говорилось, любое уравнение от переменных х языка Ь имеет вид: ?

или

t(х) < s(х),

где t(х) и 5(х) - термы языка Ь . Поэтому

все неравенства далее по тексту мы будем называть уравнениями, а системы уравнений будут содержать как сами уравнения, так и неравенства.

Теорема 1 (преобразование систем уравнений). Пусть а,а1,а2,...,Ь,Ь1,Ь2,... - термы языка Ь от переменных х . Тогда верны следующие утверждения:

1) Любой терм языка Ь от переменных х = (х^...хп) можно записать в любой из следующих форм:

а) конъюнктивная нормальная форма (КНФ):

(а1,1 V ... V а1,п1) л ... л К,1 V ... V акпк ) ,

б) дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ):

(а1,1 л ... л а1,п1) V ... V (ак,1 л ... л акпк ) ,

где а1 J - либо символ одной из переменных

х , либо константный символ языка Ь , причём интерпретация этого терма в системе А не изменится.

2) Следующие системы эквивалентны: [а < Ь, [Ь < а.

3) Следующие системы эквивалентны:

' а < Ь,

a =

= ъ ^

al v a2 v... v ak < Ъ ^ <

a2 < t

ak <'

4) Следующие системы эквивалентны:

a < Ъ1,

a < Ъ л Ъ2 л... л Ък ^ <

a < К

a < К.

5) Любое уравнение от переменных х эквивалентно системе, состоящей из уравнений вида

(а1 л а2 л ... л ак ) < (Ь1 V Ь2 V ... V Ьт ),

где а1, Ъ,! - либо символ одной из переменных х , либо константный символ языка Ь .

6) Уравнение (а ла2 л... лак) < (Ъ VЪ2 V...VЪтX можно эквивалентно записать в виде

(хи л... лхт лса) < (хл V...Vхл VсЪX

так, что в каждой части уравнения символы переменных не повторяются (одна и та же переменная не может быть и в левой, и правой частях) и в каждой части уравнения не более одного константного символа, причём если в каждой части есть константный символ, то са > сь.

Доказательство. Докажем эти утверждения по порядку.

1) Это утверждение очевидным образом следует из аксиомы дистрибутивности.

2) Эквивалентность этих систем следует из одной из аксиом для частичного порядка <.

3) Очевидно, что система неравенств а1 < Ъ является следствием уравнения а1 V... V ап < Ъ. Докажем в другую сторону. Запишем все неравенства а1 < Ъ в виде а1 V Ъ = Ъ. Следствием этой системы является равенство объединения левых и объединения правых частей:

(аг V Ъ) V... V (ап VЪ) = Ъ V... V Ъ ~ а1 V... V ап V Ъ = = Ъ ~ а1 V... V ап < Ъ.

4) Доказывается аналогичным образом.

5) Пусть дана система уравнений 5(х). Каждое уравнение а = Ъ эквивалентно представим в виде систем неравенств а < Ъ и Ъ < а. Левую часть каждого неравенства а < Ъ запишем в ДНФ А1 V... V Ап < Ъ, где А -конъюнкты, состоящие из символов переменных и константных символов. Эквивалентно перепишем систему неравенств в систему, состоящую из неравенств вида А < Ъ. Аналогично разложим все правые части на конъюнкцию дизъюнктов (КНф и получим систему неравенств вида А < , т. е. систему неравенств вида

(а1 л а2 л... л ак ) < (Ъ1 V Ъ2 V...V Ът X где а1, Ъ,! - либо символ одной из переменных х , либо константный символ языка Ь .

6) По предыдущему пункту эквивалентно запишем систему в виде системы, состоящей из неравенств вида

(а1 л... л ак ) < (Ъ1 V ... V Ът X где а1,- либо константы, либо символы

переменных. Так как решётка констант С замкнута относительно V и л, то в каждой части неравенства можно заменить объединение или пересечение констант на одну константу. Таким образом, получаем не больше одной константы в каждой части.

Рассмотрим произвольное неравенство системы, в каждой части которого есть по константе: ca - константа из левой части, cb - из правой. Заметим, что если ca < cb, то неравенство автоматически истинно и может быть удалено из системы. Поэтому можно считать, что либо ca > cb, либо ca и cb несравнимы.

Пусть константы ca и cb несравнимы в неравенстве t Л ca < s V cb, где t(x), s(x) - это сгруппированные в термы символы переменных. Покажем, что неравенства t л ca < s v cb и t л ca < s v (ca л cb) эквивалентны:

(t Л ca ) < S V (ca Л cb ) »

О t Л ca Л (s V (ca Л cb )) = t Л ca о

О (t Л ca Л s) V (t Л ca Л ca Л cb ) О

О (t Л ca Л s) V (t Л ca Л cb) о

О t Л ca Л (s V cb ) = t Л ca О t Л ca < s V cb  .

Так как ca > ca л cb, то все неравенства с двумя константами можно эквивалентно переписать, чтобы было выполнено ca > cb .

Замечание 2. Если исходная система уравнений состояла из конечного числа уравнений, то и преобразованная система будет конечной.

Замечание 3. Если дистрибутивная решётка C, порождённая константами {c i | i e I}, конечна, то и число различных уравнений от переменных x вида

i\ .m ' 4 Jl Jl '

конечно.

4. Нётеровость по уравнениям в дистрибутивных решётках

В этой части статьи мы докажем, что дистрибутивная C-решётка A нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда решётка C конечна.

Теорема 2 (ACC и DCC в нётеровых по уравнениям C-решётках). Если C-решётка A нётерова по уравнениям, то в C выполнены ACC и DCC.

Доказательство. Допустим противное, т. е. в C существует или бесконечно возрастающая цепь с < с2 <..., или бесконечно возрастающая цепь с1 > с2 >..., рассмотрев в каждом случае систему от одной переменной:

S(x) = {x > ct I i e N}

или

S(x) = {x < ct I i e N}.

Очевидно, что для любой конечной подсистемы (любой из этих систем) корнем является константа ck для достаточно большого k e N, но никакое из c., i e N не является

корнем целой системы. Следовательно, A не является нётеровой по уравнениям.

Таким образом, в решётке С любая цепь конечна. Далее покажем, что в С конечна и любая антицепь.

Определение 18 (л - и V -неприводимые элементы). Элемент а мы будем называть л -неприводимым (V -неприводимым), если из того, что а = х л у (или а = х V у, соответственно), следует, что х = а или у = а

[9]

Теорема 3 [7]. Пусть А - дистрибутивная решётка, удовлетворяющая DCC, Рс А - множество всех V -неприводимых элементов. Тогда каждый элемент а е А представим единственным образом (с точностью до сокращения) в виде а = Ь1 V... V Ьп, где Ь1 -V -неприводимые элементы.

Введём частично упорядоченное множество Р - множество всех V -неприводимых элементов решётки А, упорядоченное порядком из А. Покажем некоторые свойства этого множества Р в случае бесконечной решётки А.

Утверждение 3. Пусть А - дистрибутивная решётка, удовлетворяющая БСС и АСС, Рс А - частично упорядоченное множество всех V -неприводимых элементов с порядком из А. Пусть решётка А бесконечна, тогда:

1) Множество Р бесконечно.

2) Множество Р также удовлетворяет БСС и АСС.

3) Число всех максимальных элементов в Р также бесконечно.

Доказательство. Докажем эти утверждения по порядку.

1) Очевидно, что Р бесконечно, иначе, согласно теореме 3, исходная решётка будет конечной.

2) Действительно, так как Р с А и так как Р упорядочено порядком из А, то если найдётся необрывающаяся возрастающая или убывающая цепь в Р, то эта же цепь, с сохранением порядка, будет лежать и в А, но А удовлетворяет БСС и АСС.

3) Так как множество Р удовлетворяет АСС, то любая возрастающая цепь заканчивается максимальным элементом. Рассмотрим множество этих максимальных элементов и все цепи, спускающиеся вниз из этих элементов (в порядке убывания элементов). Далее, так как множество Р удовлетворяет АСС, то, спускаясь из соответствующего максимального элемента, мы можем дойти до любого элемента из Р.

Заметим также, что никакой элемент р из Р не может быть больше двух других несравнимых между собой элементов, иначе в А найдутся два элемента, которые в объединении дадут р , но р - V -неразложимый.

Следовательно, если мы спускаемся из максимального элемента, то мы сможем спуститься только по одной цепи, т. е. эти цепи не «разветвляются» (хотя могут «склеивать-

ся»). Так как Р удовлетворяет DCC, то все эти цепи ещё и конечны.

Допустим противное - число максимальных элементов в Р конечно. Следовательно, число всех этих спускающихся конечных цепей конечно. В этих цепях лежат все элементы Р, значит, частично упорядоченное множество Р конечно - противоречие с уже доказанной бесконечностью Р.

Лемма 1 [7]. Если в дистрибутивной решётке элемент а V -неразложим а < Ь1 V... VЬп, то а < Ь1 для некоторого г = 1,..., п.

Теорема 4. Дистрибутивная С-решётка А нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда дистрибутивная решётка С, порождённая константами, конечна.

Доказательство. Если С конечна, то и число возможных уравнений тоже конечно, следовательно, любая бесконечная система уравнений является конечной.

Допустим противное. Пусть решётка С бесконечна, тогда и число всех максимальных V -неприводимых бесконечно (утверждение 3). Все эти элементы несравнимы между собой. То есть существует бесконечная антицепь а1, г е N , состоящая из V -неприводимых элементов. Рассмотрим бесконечную систему уравнений от одной переменной:

{аг < х |г е К}.

Так как А нётерова по уравнениям, то эта система эквивалентна в А некоторой конечной подсистеме. Не умаляя общности, можно считать, что эквивалентная система имеет вид

{аг < х |г = 1...п}.

Рассмотрим корень х = а1 V... V ап. Он действительно является корнем первой системы: а1 < а1 V... V ап для любого г = 1...п. Так как системы эквивалентны, то х = а1 V... V ап должен являться корнем любого другого уравнения бесконечной системы:

ап+1 = а1 V... V ап.

По лемме 1 (если рассматривать всё только в подрешётке С) ап+1 < а1 для некоторого г . Получили противоречие, так как все аг несравнимы. Следовательно, решётка С конечна.

5. Дистрибутивные решётки и слабая нётеровость по уравнениям

А.Н. Шевляковым был доказан следующий критерий слабой нётеровости по уравнениям для булевых решёток.

Теорема 5 (А.Н. Шевляков). Булева С-решётка В слабо нётерова по уравнениям тогда и только тогда, когда решётка С, порождённая константами, полна в А.

Подобный критерий для дистрибутивных решёток не верен. В этом разделе мы покажем, что наличие в решётке 0 и 1 , а

также полноты этой решетки и полноты подрешётки констант, наличие свойств бесконечной дистрибутивности JID и MID, а также псевдодополнений и относительных псевдодополнений не достаточно для слабой нётеровости по уравнениям.

Приведём пример такой решётки.

Рассмотрим отрезок [0,1], являющийся линейно упорядоченным множеством, на котором естественным образом можно построить решётку:

M = ([0,1]; V = max(2), л = min(2), [0,1]},

где все точки из отрезка [0,1] входят в константные символы. Здесь решётка C, порождённая константами, совпадает с решёткой M . Элементы 0 и 1 также являются решёточными 0 и 1 , т. е. для любого x е M верно 0 < x и x < 1.

Подобные алгебраические системы с символами min и max называются минимаксными и рассмотрены в [10].

Очевидно, что данная решётка M является дистрибутивной. Также очевидно, что M является полной решёткой, и решётка, порождённая константами, полна в M . Отметим также, что в M любые два элемента сравнимы.

Также в этой системе верны законы бесконечной дистрибутивности MID и JID, следовательно [8], решётка M является решёткой с псевдодополнениями.

Утверждение 4. В решётке M для любого терма t(x) и любых констант a > b верны следующие эквивалентности: t(x) л a < b ~ t(x) < b, a < t(x) v b ~ a < t(x).

Это утверждение означает, что в решётке M существуют относительные псевдодополнения.

Рассмотрим уравнения от одной переменной x над M . Как уже было сказано, каждое уравнение эквивалентно конечной системе, состоящей из уравнений одного из видов:

1) x < b,

2) a < x,

3) x л a < b, где a > b ,

4) a < x v b, где a > b.

Любое уравнение от одной переменой эквивалентно системе уравнений, состоящей из уравнений вида x < b и a < x . Множествами решений этих систем являются отрезки [0,b] и [a,1] соответственно. Рассмотрим следующие уравнения от двух переменных x и y :

1) x л a < y v b , где a > b,

2) y л a < x v b , где a > b .

Множество решений этих уравнений можно представить в виде:

1) x л a < y v b ~

2) y л a < x v b ~

1) x л y < b ~

2) a < x v y ~

х < у х < Ъ , а < у У < х У < Ъ . а < х

Рассмотрим следующие уравнения от двух переменных х и у :

1) х л у < Ъ,

2) а < х V у.

Множество решений этих уравнений можно представить в виде:

"х < Ъ,

_ У < Ъ , а < х а < у

Теперь всё готово для доказательства отсутствия слабой нётеровости по уравнениям в М . Следующее утверждение является некоторым аналогом утверждения, доказанного в [10].

Утверждение 5. Дистрибутивная решётка М с 0 и 1 не является слабо нётеро-вой по уравнениям.

Доказательство. Рассмотрим следующую систему уравнений:

5(^у) = {х л< у V ^ \п = Т-Х..^.

Покажем, что она не эквивалентна никакой конечной системе. Допустим противное, пусть она всё же эквивалентна какой-нибудь конечной системе 5'(х, у). Можно считать, что все уравнения системы 5'(х, у) представимы в одном из следующих видов:

1) х < Ъ, где Ъ <

2) а < х, где а > 0,

3) у < Ъ, где Ъ <

4) а < у, где а > 0,

5) х л у < Ъ, где Ъ < I,

6) а < х V у, где а > 0.

7) х л а < у V Ъ, где а > Ъ,

8) у л а < х V Ъ, где а > Ъ .

Заметим, что решениями исходной системы 5(х, у) являются точки (0,0) и (1,1), следовательно, уравнений вида 1-6 в эквивалентной системе 5'(х, у) быть не может (так как хотя бы одна из этих точек не является корнем этих уравнений).

Также отметим, что множеству решений 5(х, у) принадлежит точка (0,1), следовательно, уравнений вида у л а < х V Ъ, где а > Ъ , быть не может.

Таким образом, система S '( x, y ) состоит из конечного числа уравнений вида x л a < y v b, где a > b . Множеству решений

исходной системы S принадлежит бесконечная последовательность точек

i-2-Д], n = 1,2,...

^3n 3n )

и не принадлежит последовательность

i—,—1, n = 1,2,...

^3n 3n )

Нетрудно увидеть, чтобы одна последовательность точек принадлежала множеству решений, а другая - нет, конечного числа уравнений в S' недостаточно.

Таким образом, мы построили систему, которая не эквивалентна никакой конечной системе уравнений. Следовательно, система M не является слабо нётеровой по уравнениям.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Mathematics. 2008. № 1. P. 80-112.

[2] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures II:

Foundations. 2010. URL: http://arxiv.org/abc/ 1002.3562.

[3] Daniyarova E., Miasnikov A, Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures III: Equationally Noetherian Property and Compactness // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2011. № 35. Р. 35-68.

[4] Daniyarova E., Miasnikov A, Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures IV: Equational domains and co-domains // Algebra & Logic. Vol. 49. № 6. P. 715-756.

[5] Daniyarova E., Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures V: The case of arbitrary signature // Algebra and Logic. 2012. № 1 (51). Р. 28-40.

[6] Shevlyakov A. N. Algebraic geometry over Boolean algebras in the language with constants. URL: http://arxiv.org/abc/1305.6844.

[7] Birkhoff G. Lattice theory. AMS, 1995.

[8] Гоетцер Г. Общая теория решёток, M. : Мир, 1982. С. 80-112.

[9] Салий В. Н. Решётки с единственными дополнениями. М. : Наука, 1984.

[10] Дворжецкий Ю. С., Котов М. В. Минимаксные алгебраические системы // Вестн. Ом. ун-та. 2008. Спец. выпуск «Комбинаторные методы алгебры и сложность вычислений». С. 130136.

[11] Kotov M. Equationally Noetherian Property and Close Property // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2011. № 35. Р. 419-429.