Использование теории многочленов для составления и решения диофантовых уравнений

УДК 372.851+511.6

Г. Г. Хамов, Л. Н. Тимофеева

Использование теории многочленов для составления и решения диофантовых уравнений

Статья посвящена проблеме формирования содержания обучения в педагогическом вузе, при котором будущий учитель будет подготовлен к работе различного профиля, в том числе в классах с углубленным изучением предмета. В курсе математики классов с ее углубленным изучением важной является арифметическая линия, базирующаяся на целых и натуральных числах, которая включает в себя элементы теории диофантовых уравнений. В статье рассмотрены методы решения и составления диофантовых уравнений, использующие некоторые свойства многочленов, формулы разложения многочлена на множители. Приведены примеры решения и конструирования уравнений, содержащих взаимно простые многочлены. Метод разложения на множители применяется в решении заданий математических олимпиад. В работе показана возможность использования ряда формул, содержащих многочлены и их разложение на множители, в теории диофантовых уравнений. На конкретных примерах подробно описан процесс применения этих формул, как для решения, так и для составления уравнений.

Рассмотрены вопросы применения теории симметрических многочленов к исследованию диофантовых уравнений. Приведены примеры решения и составления уравнений с использованием формул, в которых некоторые симметрические многочлены выражены через элементарные симметрические многочлены.

Ключевые слова: диофантово уравнение, взаимно простые многочлены, разложение многочлена на множители, линейное уравнение, симметрический многочлен, основные симметрические многочлены.

G. G. Khamov, L. N. Timofeeva

Use of the Theory of Polynomials to Drawing up and Solve Diophantine Equations

The article is devoted to the problem of the formation of the content of training in the pedagogical higher education institution where a future teacher will be trained for the work of the various profile, including work in classes with profound studying of the subject. During Mathematics lessons in classes with its profound studying the arithmetic line which is based on the whole and natural numbers which includes the elements of the theory of the diophantine equations is important. In the article the methods of solution and drawing up the diophantine equations using some properties of polynomials, formulas of the decomposition of polynomials on multipliers are considered. The examples of the solution and designing of the equations containing mutually simple polynomials are given. The decomposition method on multipliers is applied in solution of problems of the mathematical competitions. The possibility to use a number of formulas containing polynomials and their decomposition on multipliers in the theory of the diophantine equations is shown in the article. The process of the use of these formulas, both for solution, and for drawing up the equations is in detail described with certain examples.

The questions of the use of the theory of symmetric polynomials to research the diophantine equations are considered. The examples of solution and drawing up the equations with the use of formulas where some symmetric polynomials are expressed through elementary symmetric polynomials are given.

Keywords: a diophantine equation, mutually simple polynomials, polynomial decomposition on multipliers, a linear equation, a symmetric polynomial, main symmetric polynomials.

Возможности использования диофантовых уравнений в контексте учебной математической деятельности студентов и их профессионального роста определяются тем, что теория диофанто-вых уравнений тесно связана с вузовским курсом теории чисел, ее элементы включены в программу классов с углубленным изучением математики и в задания единого государственного экзамена по математике. Для использования указанных возможностей достаточно к содержанию некоторых теоретико-числовых тем привлечь примеры, содержащие диофантовы уравнения, задачи, приводящие к решению таких уравнений, а также задачи на составление самих уравнений.

В современных условиях основным направлением совершенствования учебного процесса в средней школе и высших учебных заведениях является развитие активных методов обучения, которые позволяют не только глубже проникнуть в суть изучаемых фактов, но и повысить интерес к обучению вследствие личного участия в получении новых знаний [2-5]. Диофантовы уравнения являются одним из средств, способствующих развитию этого направления.

Имеется немало диофантовых уравнений, для решения и составления которых могут быть использованы некоторые свойства содержащихся в них многочленов.

©Хамов Г. Г., Тимофеева Л. Н., 2014

Рассмотрим уравнение:

4х2 +1 +33(Г=2014{х2 +2 Многочлены 2х2 +1, Зх2 + 2 взаимно просты. Это следует из равенства Зх2 +2 = 2 ^х2 +1 — х2 ,так как любой общий целый делитель чисел вида 2х +1 и Зх2 + 2 будет делителем числа х2, то есть общим делителем чисел 2х2 +1 и х2, а, следовательно, делителем 1. Поэтому из уравнения следует, что числа вида 2х2 +1 должны быть делителем числа 2014. Это возможно прих = 0, х = ±3 . Подставляем в уравнение и находим решения: х = ±3, у-14.

Примеры:

4х2 + 118^= 2014х3. Ответ: х = 3, у = 14.

^х2-1^3+7^=2014х2015. Ответ: х = 1, у = Ю.

Составление такого вида уравнений надо начинать с подбора двух взаимно простых многочленов, например, 4х2 +1, х и коэффициента

/4С=у2+ау + Ь .

Так как число вида 4х2 +1 является делителем числа 2015, то непосредственной проверкой находим возможные значения для переменной х: 0, ± 1, ± 4. Для составления разрешимого уравнения (1) выбираем одно из них, например, х = 4

. Тогда многочлен /ф = у2 +ау+Ь надо выбрать так, чтобы уравнение у2+ау + Ь-124=0 имело целочисленный корень. Если взять, например, а — 6, то число Ъ должно быть таким, чтобы 133—/) было полным квадратом, т. е. ?2=133—Ь. Ближайшие квадраты к числу 133

это 112 =121 и 122 =144; в первом случае Ъ = 12 , во втором ¿ = —11.

Получаем уравнения:

4х2 +1 + 6у -1 Г= 2015х. Ответ:

4х4 +1^2 +6^ + 12^= 2015х2 . Ответ: 8^.<-2; -14^ <-2;-14^,

Проверкой убеждаемся, что при других возможных значениях х целых решений составленные уравнения не имеют.

Выбираем взаимно простые многочлены 6х -1 и хи . Исследуем возможности составления уравнения вида Щх2 2015хи .

Находим возможные значения х, при которых

число 6х2 — 1 является делителем числа 2015: х = 0, х = ±1. Для составления уравнения выбираем х = 1. Получим уравнение относительно переменной у: /ф^=403. Рассмотрим кубическое уравнение ау3+Ьу2+с = 403. Задаем корень этого уравнения у = 5 и подбираем числа а , Ъ, с, чтобы выполнялось равенство 125а+ 25й+с = 403.

Получили уравнение первой степени с тремя переменными а, Ъ, с, которое решается с помощью сравнений. Одно из решений: а — 3, 6 = 1, с = 3.

Легко установить, что уравнение З^3 + у2 -400= 0. кроме у = 5, других целых корней не имеет. Для этого достаточно разделить многочлен Зу3 + у2 —400 на у — 5 и получим квадратный трехчлен, не имеющий целочисленных корней. Получаем уравнения: ^х2-1ду3 +у2 +3^=2015х" ,при п - четном (например, 2014) два решения: 5 , ^-1; 5 ; при п - нечетном (например, 2015) одно решение:

С С

Примеры:

С2 +4х + 1 )2 +4>>-Г=2015х2 . Ответ: -27^ .

С2-5х + 7 +6.у + 103=2015«:-3]. Ответ:

При решении этого уравнения убеждаемся, что многочлены х2 — 5х + 7 и х —3 взаимно просты. Это следует из равенства х2 -5х + 7 = + С-3^+1.

4х2-1)3+7]=2014Х:2()14. Ответ: 10^ 1; 1

^х2+1^3-118^=2014х3. Ответ: х = -3 , у — —14.

Один из методов решения диофантовых уравнений предполагает возможность разложения многочлена, содержащего все входящие в уравнение переменные, на множители, которые затем приравниваются возможным делителям числа, стоящего в другой части уравнения, и таким пу-

тем находят целые решения данного уравнения. Процесс составления таких уравнений осуществляется в обратном порядке. Например, берем формулу 4с~а= ху-Ьх-ау + аЬ . Составляемое уравнение ху-Ьх-ау-2015. Числа а , Ь подбираем так, чтобы после разложения на множители получилось уравнение

. Тогда аЪ = -2013. Один из вариантов а = -183, ¿=11: С-11^ + 183^= 2 <=> ху+183х—11у = 2015.

Множество решений:

-|2;-181^<3;-182^<0;-185^;-184^.

Заменим в полученном уравнении перемен-

2

ную х на х :

х2^ + 183Х2 -11у = 2015. Ответ: -|;-184^<-3;-184^.

Берем другой вариант: а = 671, ¿ = -3 и пе-

з

ременную у заменяем на у :

ху3 -671у3 +3х = 2015. Ответ: х = 672, у = -1.

Рассмотрим процесс составления уравнения с использованием формулы: 4/х+Ь4ку + с1 <=> асху+асЬс+Ьсу = е-Ьс1.

Вначале задаем числа е и е — Ьс1. Например, е-М = 2015, е = \, ¿¿/ = -2014, ¿ = -19, ¿/ = 106. Получаем уравнение

Сх -19 +106^= 1. Возможны два варианта:

Гах = 20 Гах = 18

< или {

[су = -105 [су = -107

то есть уравнение разрешимо, если а - делитель 20, с - делитель -105 или а - делитель 18, с - делитель -107. Например, приа = 5, с — 1 получаем уравнение: 3 5ху +53 Ох -13 3>' = 2 01 5. Решение: х — 4, >" = -15.

Уравнение можно усложнить, заменив пере-

2

менную х на х :

35х2_у+ 530х2 -133у = 2015. Решения: С;-15^, <-2;-15^.

С помощью формулы

+ ау^ + Ьу = х2 + ф + Ъ ху + аЬу1 можно составить разрешимые уравнения вида х2 + ф + Ъ ху + аЬу2 = к,

для которых выбирается конкретное число к или аЪ. Например, при к = 2014 получим С + ау£ + Ъу = 2014, при этом

\х + ау = т

, т-п = 2014.

[х + Ъу = п

Чтобы уравнение имело целые решения число а — Ъ должно быть делителем числа т — п . Один из возможных вариантов да = 106, п —19, а = 31, ¿ = 2 . Получаем уравнение: х2+33x^ + 62/ =2014.

3;3^<-13;-3^<12;-3^<-112;3_. Если выбрать да = 53, и = 38, а = 8, ^и переменную y заменить на у1007, то получим уравнение:

х2 +хУ°07-56_у2014 = 2014. Ответ: С<-46; <-45; -1^«6;-Г.

В уравнении (2) выбираем число ¿^¿ = 2015, один из вариантов а — 65, ¿ = 31. Тогда Гх + 65у = т [х + 3 ly = п

и 34у — т—п, то есть т — п должно делиться на 34. Один из вариантов: да = 37, п = 3, получаем уравнение:

х2 +96х_у+2015_у2 =111. Ответ: -f28;CC8;-C<>8;-C<-68;P;.

Это же множество решений будут иметь уравнения:

х2+96х/+2015/ =111, х2+96х/015 + 2015/030 = 111. Формулу

ах + by cx + dy - асх2 + ad +bc ху + bdy2

т-п — к.

ис-

пользуем для составления уравнения вида:

асх2 + i^d + bclcy+bdy2 =2015 (3) Один из вариантов: [ах + Ьу = 65 [cх + dy = 31

Числа а, с выбираем произвольно, например, а-3 , с— 2. Из системы

^3х->- Ьу = 65 \ 2 х -+- dy = 3 1

получаем, что уравнение (3) может иметь решения, если число 2Ъ — Ъd делит 37, то есть числа Ь . d можно выбрать среди решений линейного уравнения с двумя переменными — Зс/ = 37. Например, ¿ = 5 , d - -9. Искомое уравнение

6х2-Пху-45у2 =2015. Ответ: -$0; 1]>20;

Те же решения имеют уравнения 6х2-17х/-45/ =2015; 6Х2-17Х/015-45/030 = 2015. В формуле

4(-а^-Ь = хуг-ауг-Ьхг-сху +

аЬг+асу + Ьсх-аЬс

берем числа а — 2, ¿ = 19, с = 53, произведение которых равно 2014. Составляем уравнение хуг- 2уг -19хг - 5 Зху+ 3 +10 6у +10 07х = 2 015 , которое с помощью рассматриваемой формулы преобразуется к уравнению С - 2 - 19 <£ -53 "= 1 , множество решений которого

4;20;54^ «д 8;52^ <;20;52^ <;18;54^. Для решения и составления некоторых дио-фантовых уравнений, содержащих симметрические многочлены могут быть использованы формулы выражающие их через элементарные симметрические многочлены от переменных х, у,

г: а^х + у + г, а2 = ху+хг + уг, а3=хуг (см. [1]):

2,2,2 2 0 х +у =сг1 -2а

2 :

,.3

.3

г3 = (7/ - 3(7^(72 + Зст3

X у I — 2 1 3 '

О 0 0 0 0 о

х_у + х_у +хг + хг +у г + уг = ага2 - 3 а3

4

х

.4

У

4 4,2

-г = а, -4<Т| ст2

- 2сг2 + 4ег1ег3

Исходя из сг/ - Зсг^з = и .

равенства (2) Например,

получим при и = 4:

сг.

— За2 =4. Приравнивая множители <т1,

I возможным делителямчисла 4, произ-

О"! -Зет

ведение которых равно 4, получим возможные значения для сг1, <72:

|а1=1 \а,=-2 |ах =4

1СТ2 =-!' \а2=2 ' 1°"2 =5

Используя формулу (1) получаем три уравнения: х2 + у2 +г2 =3 , х2+>>2+г2=0, х2 + _у2 + г2 = 6, среди решений которых находятся решения уравнения х3 + у3 + г3 - Зх^г = 4 . Непосредственной проверкой находим решения:

С; 1; <: 2; 1 с 1; 2 . Аналогично исследуются уравнения при других значениях п. Например, при п — 2 целых решений уравнение не имеет.

Уравнение

2 2 2 2 2 2 х_у + х_у + х г + хг + +3х_уг = и со-

ставляется и исследуется с помощью равенства (3), из которого следует равносильное уравнение <У]&2 = п . Прип = 2, например, устанавливаем с помощью (1), что решения данного уравнения находятся среди решений уравнений:

х2 + V2 + г2 = -3 , х2 + V2 + г2 = 2,

2 2 х2+у2

-г2 = 5 , х2

-гА=6.

Непосредственной проверкой находим целые решения полученных уравнений и среди них выбираем те, которые удовлетворяют заданному уравнению: <;1;0], <: 0: Г. С;1;Г, <-2; 1; 0 ~.

<;-2;0], <-2;0;Г, <;0;-2], 0;-2;Г, 0;1;-2] , <-2;-1;Г, <-2;1;-Г, <;-2;-Г, <-1;-2;Г, <;-1;-2^, <-1;1;-2^

С помощью формулы (4) уравнение х4 +у4 +г4 + преобразуется к

виду а1 - 4а, а2 + 4а3 ^ п.

Рассмотрим случай при и = 1. Получаем две системы:

22, 22, 22 ^ <-> х у + х г =ег2 - 2сг1ег3,

3 3333 3 2 2

Х^ + Х^ +Х2 + Х2 + _у 2 + =0"1£Т2-20'2 -О^Оу

17 +17 +х V +х 2 +у 2 +у 7 = а{аг -2ох а3 -а2а3.

Формулу (2) можно использовать для составления и решения уравнений вида

3 3 3 -1

х + у + г - 3 хуг = п .

\а,=\

[о-!3 - 4аха2 + 4(т3 = 1 к=-1

^=1

<71=-1

а 9 = —а-.

[о-! - 4а^а2 + 4ст3 = -1 Исследуем первую систему: Гх + _у + г = 1 Г_у + г = 1- х

|х_у + хг + уг-хуг = 0 + 0

Если х = 1, то у = —г . Получаем множество решений вида г - любое целое число.

Если хф\,а х = 0, то

хФ 1

уг = -х {

х+у+г=1

ХФ 1

хФ 0 .

<-г>-1>0 Получаем возможные наборы решений при хф\, х^О: С;-х;1, С;1;-х . Про-

веркой убеждаемся, что 4с,\,\ - решение уравнения при х = -1, т. е. ^-1;1;1 . Обобщая найденные решения, получим исходя из первой системы

множество решений данного уравнения: .

<-?; 1;Г, <;-?;Г,где

Исследуя вторую систему, найдем все множество решений уравнения:

Рассмотрим уравнение

М 2 2 2 2 2 2 тт

щу + хг + уг^—х у -х г -у г =п . Левая часть уравнения есть симметрический многочлен, который в силу формулы (5) равен 2ег1ег3, то есть 2ег1ег3 = п. Отсюда видим, что при нечетных значениях п данное уравнение в целых числах неразрешимо.

При п = 6 получаем уравнение сг,^ = 3 ; множество решений:

Г <;1;1>1;-1;-С«;-1;-1>1;3;-С] [<-1;-1;3>3;1;С<;-3;С<;1;-3^ ]' Для решения и составления уравнения

3 33 3 3 3 ^

х у+ ху +х г + хг + у г + г у + щ +у + г хуг = п применяем формулу (6), из которой следует, что

а ~2°2=П-

При п = 2

2 о 2

(7, - Z(T1 = X

получаем,

что

, | ^ 2 — л г у может принимать значе-

ния равные 2; -2; 1; -1. Решения имеют уравне-

2 2 2 2 2 2 ниях +у =1, х +у =2, из которых

выбираем решения данного уравнения для п — 2 :

<;1;(Г, со;С 0; 1;С С1;о;-Г,

Уравнение

<; + >> +г^у + хг + уг^ -х -х у -

32 32 32 32

х г -г х -у г -г у =п

Исследуется с помощью формулы (7). Получим

й 2 " уравнение ^о^ + сг2 о"3 = п .

1При п = 1 множество решений

4. Секованов, В. С. Использование информационных технологий и фракталов в образовании с целью формирования эстетических и культурных ценностей студентов [Текст] / В. С. Секованов, Н. Б. Тарасова, Ю. А. Хапкова // Педагогическая информатика.- 2012. - с. 46-52.

5. Смирнов, Е. И. Фундирование опыта в профессиональной подготовке и инновационной деятельности педаго-га[Текст]: монография / Е. И. Смирнов. - Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К. Д. Ушинского, 2012. - 646 с.

Bibliograficheskij spisok

1. Boltjanskij, V. G. Simmetrija v algebre [Tekst] / V. G. Boltjanskij, N. Ja. Vilenkin. - M. : MCNMO, 2002. - 240 s.

2. Kuchugurova, N. D. Promezhutochnyj kontrol' znanij kak sredstvo stimulirovanija uchebno-poznavatel'noj dejatel'nosti uchashhihsja [Tekst] / N. D. Kuchugorova, Z. N. Bagdueva // Nauka i shkola. - 2011. - № 3. - s. 77-82.

3. Latysheva, L. P. O fundirovanii matematicheskih umenij pri kompetentnostnom podhode k obucheniju bakalavrov peda-gogicheskogo obrazovanija [Tekst] / L. P. Latysheva, E. L. Cheremnyh // Jaroslavskij pedagogicheskij vestnik. Tom II (Psihologo-pedagogicheskie nauki), 2012. - № 4. - S. 168-172.

4. Sekovanov, V. S. Ispol'zovanie informacionnyh tehnologij i fraktalov v obrazovanii s cel'ju formirovanija jesteticheskih i kul'turnyh cennostej studentov [Tekst] / V. S. Sekovanov, N. B. Tarasova, Ju. A. Hapkova // Pedagogicheskaja informatika. -2012. - s. 46-52.

5. Smirnov, E. I. Fundirovanie opyta v professional'noj podgotovke i innovacionnoj dejatel'nosti pedagoga [Tekst]: monografía / E. I. Smirnov. - Jaroslavl' : Izd-vo JaGPU im. K. D. Ushinskogo, 2012. - 646 s.

Библиографический список

1. Болтянский, В. Г. Симметрия в алгебре [Текст] / В. Г. Болтянский, Н. Я. Виленкин. - М.: МЦНМО, 2002.-240 с.

2. Кучугурова, Н. Д. Промежуточный контроль знаний как средство стимулирования учебно-познавательной деятельности учащихся[Текст] / Н. Д. Кучугорова, З. Н. Багду-ева // Наука и школа. - 2011. - № 3. - с. 77-82.

3. Латышева, Л. П. О фундировании математических умений при компетентностном подходе к обучению бакалавров педагогического образования [Текст] / Л. П. Латышева, Е. Л. Черемных // Ярославский педагогический вестник. Том II (Психолого-педагогические науки), 2012. - № 4. - С. 168-172.