Особенности фугоидного движения неманевренного самолета

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XXI 1990

№ 5

УДК 629.735.33.015.017.21

ОСОБЕННОСТИ ФУГОИДНОГО ДВИЖЕНИЯ НЕМАНЕВРЕННОГО САМОЛЕТА

В. А. Григорьев, В. К. Святодух

Рассматривается возможность упрощения уравнений продольного возмущенного движения для анализа фугоидного (длиннопериодического) движения неманевренного самолета. Показано, что даже при разделяющихся корнях характеристического уравнения использование допущений, «исключающих» динамику короткопериодической составляющей, может приводить к значительным ошибкам в определении характеристик фугоидного движения. Предлагается новая трактовка фугоидного движения, как движения, в котором существенным образом проявляются силы и моменты, обусловленные изменением скорости и (или) высоты полета. Эффективность предлагаемого подхода, устраняющего ряд трудностей в традиционном понимании фугоидного движения, демонстрируется на примере разделимости короткопериодического и фугоидного движений в частотной области.

В решении задач, связанных с динамикой самолета, важное место занимает вопрос выбора соответствующих уравнений движения. Продольное движение самолета описывается известными уравнениями короткопериодического и фугоидного движения. Если уравнения короткопериодического движения достаточно просты, удобны, а допущения, при которых они используются, хорошо изучены, то в отношении уравнений фугоидного движения этого сказать нельзя. Очень существенным моментом в данном вопросе является само понятие фугоидного движения. Классическое определение фугоидного движения основано на разделении собственного продольного возмущенного движения на две составляющие: короткопериодическую и длиннопериодическую, соответствующие большим и малым (по модулю) корням характеристического уравнения [1]. Однако такое определение, хотя и математически строгое, не обладает желаемой общностью, поскольку в практических приложениях:

а) встречаются случаи, когда линеаризация уравнений движения не является корректной (например, при существенной нелинейности аэродинамических характеристик самолета) и поэтому некорректно рассмотрение характеристического уравнения;

б) весьма важны случаи вынужденного фугоидного движения, когда на самолет действует управляющее воздействие со стороны летчика

или средств автоматизации. В этих условиях динамика самолета определяется не только характеристиками собственного движения самолета.

Для преодоления этих трудностей в литературе делается обобщение классической формулировки. При этом за основу берутся характерные изменения фазовых переменных в возмущенном движении. Например, в работе [2] определяется, что фугоидное движение есть медленная составляющая движения, «... связанная с изменением скорости, угла наклона траектории и высоты полета». В работе [3] отмечается, что «В длиннопериодическом движении ... в основном изменяется скорость полета и, в случае апериодической неустойчивости, также угол тангажа, а угол атаки остается примерно постоянным». Тем не менее, в используемых уравнениях фугоидного движения удерживаются члены, пропорциональные изменению угла атаки [2, 4]. Это является весьма существенным в анализе длиннопериодических процессов.

Однако самый значительный недостаток известных определений заключается в том, что они оставляют открытым вопрос о выборе уравнений, описывающих фугоидную составляющую движения. Строго говоря, этих уравнений нет, так как фугоидное движение неразрывно связано с движением короткопериодическим [3]. На практике для получения уравнений фугоидного движения используют допущения, в той или иной мере «исключающие» динамику короткопериодической составляющей, например, а = 0, сог = 0, со2 = 0, Да = 0 [2, 4, 5]. Часто применяется предположение об изотропности свойств атмосферы по высоте [2, 3]. При этом вопрос о соответствии используемой математической модели фугоидного движения решаемой задаче, как правило, не исследуется.

В настоящей работе предлагается новая трактовка длиннопериодических процессов, позволяющая преодолеть отмеченные выше трудности. Рассматриваются различные модели движения, а также условия их применимости. Как оказалось, эти вопросы тесно связаны не только с анализом понятия фугоидного движения, но и с «техническими» аспектами, которым в литературе практически не уделялось внимания, а именно: с формой представления уравнений возмущенного движения и с условиями разделимости корней характеристического уравнения продольного движения на две группы с существенно различными (отличающимися примерно на порядок и более) абсолютными величинами этих корней.

1. Существует большое число разнообразных форм записи уравнений фугоидного движения [2, 4, 6, 7]. Эти уравнения при определенных допущениях следуют из уравнений продольного возмущенного движения, которые, в свою очередь, получают линеаризацией сил и моментов, действующих на самолет, относительно приращений угла атаки, скорости и других фазовых переменных. Однако для длиннопериодических процессов более характерным является не изменение угла атаки, а изменение перегрузки. Поэтому при линеаризации уравнения сил вдоль продольной оси и уравнения моментов вместо приращения угла атаки используем приращение перегрузки относительно ее значения в прямолинейном горизонтальном полете с постоянной скоростью. В результате получим следующую систему уравнений продольного возмущенного движения:

0 = Дяу = «; Д V + пну ДЯ + п; Да + п\ Д8 + л^д Д(Хруд , |

— -}- Д0 = пх = — с°ху кпу + га* ДV + Их кН + пх Д8 + я“руд Даруд, ^

Ыг = су оп Д пу + тг ДI/ + тигЬ.Н-\- тш а + т Д8 + /и“руд да уд,

Й=У Д6, а = ш2—-б, •

V 2 /, , М ^ н 1 /, о ✓ су м ^ « су

где ЯУ=_7Д1 +-5^-7 * > п*=т;

с

с РУД огеу

77> ”ауРуд=-\-’ "'“пН*. л"“7Ч*^

о С*1Су а 1 д(Р — Х)1 V 2сУ Н СУ

Пх~~ Су » ”/ ~ б <Эаруд [Су> тг — V аУ' тг—Н*аЬ'

(“5 + »л) 6Л

9^1

«? а

по скорости [2], 0А = ^

по высоте полета [8], *]„ =----------;—»

_ /л с'

Р—тяга двигателей, ЛГ— сила аэродинамического сопротивления, С — масса самолета, <7 — скоростной напор, 5 — площадь крыла, ЬА — средняя аэродинамическая хорда, 1Х—момент инерции, а — скорость звука, р — плотность воздуха, Д8, Даруд — отклонения соответственно органа продольного управления и рычага управления двигателем, ап — степень статической устойчивости по перегрузке,

“ ~3я' П = 1 ~ степень моментной (статической) устойчивости

^ ^ ___ //т-

V — степень моментной устойчивости

п — 1 рУ — Ху

н —определим как степень "у = 1

Рн-Хн I

силовои устойчивости по скорости, У\н =—с -н- у —определим

X У Су I пу — 1

как степень силовой устойчивости по высоте полета.

В системе уравнений (1) не учитываются динамические характеристики двигателя, влияние которых на фугоидное движение при малых вариациях АУ, АН и Даруд— мало.

Представленная форма уравнений продольного возмущенного движения (1) при исследовании длиннопериодических процессов имеет ряд преимуществ, главное из которых заключается в том, что параметры, непосредственно характеризующие фугоидное движение самолета (<зу, ой, т]у, , входят сомножителями в коэффициенты уравнений.

2. Характеристическое уравнение, соответствующее системе дифференциальных уравнений (1), является достаточно громоздким. В то же время это уравнение является весьма важным в анализе фугоидно-го движения самолета. Поэтому следует использовать все возможности его упрощения. Самым существенным фактором в этом отношении, как известно, является разделимость корней характеристического уравнения на «большие» и «малые» (по модулю), соответствующие двум составляющим продольного движения. Хорошо известно, что с уменьшением запаса продольной статической устойчивости это свойство корней утрачивается (1, 7] и поэтому важно выявить условия, когда разделимость корней возможна. В литературе этот вопрос практически не

* Здесь и далее параметры справа от вертикальной черты принимаются постоянными при вычислении соответствующей производной.

освещается. В частности, отмечается, что для разделимости корней достаточно, чтобы самолет обладал некоторым запасом продольной статической устойчивости [тсу<С. — 0,02 ч--0,05) независимо, обеспечи-

вается она аэродинамической компоновкой или средствами автоматики [6].

Выбор величины т°у в качестве параметра, определяющего возможность разделения корней, не является удачным по нескольким причинам. Во-первых, расчеты показывают, что могут быть случаи, когда разделимость корней возможна и при меньших запасах статической устойчивости. Во-вторых, при рассмотрении компоновок с малыми запасами продольной статической устойчивости указывать границу области разделимости диапазоном величины т\'гУ в несколько процентов недопустимо грубо. В-третьих, для различных компоновок и условий полета граничные значения т°гу будут различными.

В более общем виде условие разделимости можно сформулировать следующим образом: если самолет в управлении перегрузкой или углом тангажа обладает хорошими пилотажными свойствами, обусловленными его аэродинамической компоновкой или наличием статической системы обеспечения устойчивости и управляемости (СУУ), т. е. требуемым относительным забросом и временем срабатывания переходного процесса на ступенчатое воздействие летчика, то корни характеристического уравнения разделяются. При этом предполагается, что исполнительная часть СУУ не содержит в себе существенные нелинейности (например, типа «люфт» или «зона нечувствительности»). В противном случае вопрос о разделимости корней некорректен, так как уравнения движения нелинеаризуемы.

Предлагаемый критерий подтверждается результатами численных расчетов. Действительно, в большинстве случаев «малые» корни характеристического уравнения А*, а, в (с-1) по модулю не превышают величину порядка (с-1) . В то же время, если неманевренный самолет

обладает хорошими пилотажными характеристиками, то его параметры короткопериодического движения таковы, что 2£>1(с-1), о>2>

>1(с-2), [2], т. е. для «больших» корней характеристического уравнения ^ 2 справедливо | ^ 21 > 1 (с-1). Тогда

=>ш

|Ч2.з1~Ш’

где — означает величину размерного (в секундах) параметра

Например, если 1/>~200 м/с (крейсерский режим), то 20. Если 1/~70 м/с (посадка), то г >7.

Использование такого критерия является удобным в практическом применении.

Наличие разделимости корней характеристического уравнения возмущенного продольного движения позволяет существенным образом его упростить и приближенно представить в следующем виде:

где первый множитель соответствует «большим» по модулю корням, а второй — «малым»; при этом

26 = 4я-_^, =

2g°Cx {°V 'I 2? 2 «» ..2

2^Ф = -XT- [ ^ I ~ ^(ВФ “ ~Ж “Ф0

(0

2 2£* °V + e°* 4g3 Cx 6 ,‘v V + °ft \

“Ф— ' a„ > v— КЗ a„

K2 2 _ 2g3

Є 2gH* ’ W<J)0 V2

cM M

l+e + -^r-

by

3. Рассмотрим упрощающие допущения, обычно используемые при анализе длиннопериодических процессов:

<х = 0, СЙг = 0, ) ^

<х = 0, шг = 0, ш2 = 0; J

a = 0, <^ = 0, Да = 0*.

Кроме того, часто используется предположение о том, что атмосфера изотропна, т. е. рн=0, Гн=0, где Т — температура воздуха. Выражения для коэффициентов характеристического уравнения фугоидного движения

Ръ + Щр* + ф Р + v = 0

при различных допущениях, приведены в таблице. Сопоставим эти коэффициенты с соответствующими коэффициентами в (2).

В случае допущения а = 0, шг = 0 ошибка содержится практически ТОЛЬКО В коэффициенте 2£ф

»о* п?* ос __ 2? 2 I *. 2

Д2$ф = 2^ф 2^ф Шф -j—j и)ф о .

яг,..

т-г 'і л "'<*> 2 2 2

При (йф~0 она составляет величину ~ а)ф0, а при <Вфг^и>ф0—

величину-— (Цфо. В обоих случаях ошибка такого же порядка, как и сама величина 2£ф| если соответственно

_g2

V апС; с°У

------1*--------1.

V2 ол с^у 06а

В случае допущения а = 0, шг = 0, шг = 0 значительные ошибки могут быть В определении величины <0ф. Например, при полете неманевренного самолета без ССУ у земли, когда ш/ «—0,05 ~ — 20, и (1 = ~ 150, получим

“Ф

/

V

т2У + .

т°У

z

* Заметим, что здесь допущение а=0 означает не постоянство величины а в фу-гоидном движении, а возможность пренебрежения величиной а по сравнению с 0, т. е. что оь«=0. Из этого, в частности, следует, что демпфирующим моментом Л4“ а можно также пренебречь. Аналогично, допущение (ог = 0 означает не постоянство аг, а возможность не учитывать инерционную составляющую продольного момента.

Коэффи- \циенты Допущения 2?ф V

.?• а. !1 1! о о ЧсУ / «„ \ к и-ч ч V

а — а “г = 0 0) =0 «8 ' у?*- 2^у/ ‘V , V 'lg<^ Су + е Од 4^3 с^у е окк)н + ал ^

и- с "!** \т,у+ СУ ) И3 я, + т* Ая Су 1/3 мсУ + ть !г„ 2 * СУ

а — 0 и>г = 0 Да = 0 28с‘у( ' с? М у У Л1+ 2Су -ъ) “Фо 4ег3 ссУ е X уз ч Г Л с«Л1 \ Л' 2с у 2/"Ь + Т |+ 1*Н

р"=о Тн — 0 2g Ссу ( Зу \ 2£* Г 25 Чу V \«« ^1“2 «я + 2^> ву ~У3'^ 0

* Кп~ коэффициент обратной связи СУУ но перегрузке.

Допущения а = 0, = 0, Да = 0 могут приводить к более

существенным ошибкам по сравнению с предыдующими случаями. Например, если самолет в дозвуковом крейсерском полете обладает значительной моментной неустойчивостью по скорости, такой,, что ~ — ап и ау + еоЛ^ау, то по расчетам в рамках допущений

(4) фугоидное движение является колебательным (с частотой №Фо~0>1с~1) и обычно устойчиво. Однако на самом деле самолет будет апериодически неустойчивым, причем время удвоения амплитуды приближенно равно Т2 ~ 0,49 с, что дает Т2« 10 с при

V ~ 200 м/с.

Влияние неизотропности атмосферы по высоте на динамику фугоидного движения наиболее значительно в сверхзвуковом

полете /поскольку е— У2 V Для дозвуковых режимов оно обычно \ 2 gH*)

не учитывается [9]. Однако этот фактор может быть существенным и при М<4, например, если за счет автомата тяги выдерживается режим 1/я2Соп81. В этом случае в изотропной атмосфере (по расчету) самолет находится на границе устойчивости (при /м“руд=0). На самом деле атмосфера неизотропна, что при значительной степени моментной неустойчивости по высоте (оЛ^—о„) приводит к апериодической неустойчивости самолета, причем время удвоения амп-

//*^8000 м.

4. В предыдущем разделе было показано, что даже при разделяющихся корнях характеристического уравнения (что соответствует разделимости короткопериодического и фугоидного движений во времени [4, 6]) использование в анализе длиннопериодических процессов допу-^ щений (3), «исключающих» из рассмотрения короткопериодическую составляющую, может приводить к значительным ошибкам. Это говорит о том, что фугоидное движение описывается уравнениями пятого порядка, совпадающими с уравнениями продольного возмущенного движения самолета. Данный факт существенным образом противоречит традиционному пониманию фугоидного движения, приводимому к системе уравнений третьего порядка.

Отмечаемое противоречие, а также другие трудности, рассмотренные во введении, легко преодолеваются, если определение фугоидного движения строить не на основе математической абстракции линейной теории и не на основе характерных изменений фазовых переменных, являющихся следствием «причин» фугоидного движения, а на основе его физической сущности. А именно, фугоидное движение самолета можно определить как движение, в котором существенным образом проявляется действие на самолет сил и моментов, обусловленных изменением скорости и/или высоты полета. Предлагаемая трактовка, в частности, делает строгой постановку вопроса о правомочности тех или: иных допущений, используемых при анализе длиннопериодических про-^ цессов. Действительно, когда нет «строгих» уравнений фугоидного движения, не может быть поиска математической модели, соответствующей им. В рамках предлагаемого подхода использованные ранее модели фугоидного движения являются частными случаями (уравнений продольного движения) и применимы только в определенных условиях.

Заметим, что сформулированное определение фугоидного движения в отличие от классического не предполагает линейность уравнений дви-

5—«Ученые записки» № 5 б&

литуды составляет

что дает Т2 — 20 с при.

жения самолета. Оно остается в силе для нелинейных моделей, а также в условиях, когда движение является вынужденным.

Следует однако ввести еще одно уточнение, что будет понятно из рассмотрения следующего частного случая. Пусть самолет разгоняется (или тормозится), находясь в прямолинейном горизонтальном полете. В этих условиях динамику самолета можно описать одним дифференциальным уравнением. При пъх = 0 это уравнение имеет вид

2 рс°у

V = т), Д К + КруД Чуя

Если самолет обладает нейтральной силовой усточивостью по скорости ^7)^=0), то в движении самолета, описываемом уравнением (5), не проявляются силы, обусловленные изменением скорости. Тем не менее, очевидно, что имеет место частный случай фугоидного движения. В предлагаемом выше определении поэтому необходимо добавить, что фуг’оидным движением является также движение с существенным изменением энергии центра масс самолета *.

Следует отметить, что аналогичную трактовку целесообразно ввести и для короткопериодического движения. Действительно, в традиционном понимании короткопериодическое движение—это движение с незначительным изменением скорости и высоты полета [2, 3]. На основании этого при получении уравнений короткопериодических процессов в уравнениях возмущенного продольного движения полагают ЛУ=0, АН = 0, что является некорректным, поскольку меняется и скорость, и высота. Более строгим является определение короткопериодического движения, как движения, в котором силы и моменты, обусловленные изменением V и Н, существенным образом не проявляются. Если это имеет место, то в уравнениях системы (1) следует обнулить все коэффициенты при Д V и АН. Получим

— 6 = Яу Да + Пу д§ + я“РУД Даруд ,

£. У

-р + де = — Ссу у 6 + Пх Д8 + пахруд Даруд ,

/шг = Су ал -у в + тю а -1- т\ Д8 + /и“руд Даруд ,

Н=У-де,

а = <о2 — 0 .

Первое, третье и пятое уравнения этой системы изолированы и представляют собой уравнения короткопериодического движения. Второе и четвертое — определяют изменение скорости и высоты полета, из которых, в частности, следует

£ + гУ&Щу = 0,

К2

где Е = — + ёН— удельная энергия центра масс самолета. Оценим

изменение величина Е за время Т5, характерное для короткопери--одического движения

* Ее величина иногда принимается в качестве фазовой переменной, относящейся ж длиннопериодическим процессам в движении самолета [10].

| AE | = I — j g Vc€y Any dt I < 'T- An

* n X ' ^шах

шах

шах

у max,

где Апу тах — максимальное по модулю значение Апу на рассматриваемом интервале времени Т8. Положив V—200 м/с, Н ~ 10 000 м, Атах —

— 20, 7’8~10 с, получим

Отсюда следует, что при сделанных допущениях на рассматриваемом интервале времени даже при больших величинах Апутах для неманевренного самолета (Альтах«'О энергия практически постоянна, т. е. фугоидное движение не реализуется. При этом изменение V и Н описывается уравнением

т. е. оказывается практически таким, как и при движении тела в отсутствии атмосферы.

В заключение отметим еще одно достоинство предлагаемого подхода. При исследовании автоколебательных режимов полезно знать, какая форма продольного движения реализуется. Это целесообразно хотя бы потому, что позволяет упрощать уравнения движения. В традиционном понимании фугоидного движения эта задача далеко непроста, поскольку обычно автоколебания связаны с наличием существенных нелинейностей в исполнительной части СУУ, что делает проблематичным вопрос о линеаризации. В рамках предлагаемой трактовки задача сводится к определению граничной частоты согр, выше которой реализуется движение короткопериодическое, ниже — движение фугоидное. Существование граничной частоты понятно физически и становится очевидным, если выписать соответствующие отношения передаточных функций фазовых переменных к отклонению органа продольного управления для короткопериодического и фугоидного движений.

где Лг=р2+ ... и А5=Р5+ ••• — характеристические уравнения коротко-периодического и фугоидного движений; 5 и Т7 — индексы, обозначающие передаточные функции короткопериодического и фугоидного движений соответственно. Заменив в (6) р на 1т р = ко, где со — параметр преобразования Фурье, и положив ш->-+оо, имеем г(ш) 1, т. е. при больших частотах

Другими словами, при любых условиях (в частности при любых значениях тпсу) на больших частотах влияние сил и моментов, обусловленных изменением V и Н, практически отсутствует, т. е. имеет место разделимость короткопериодического и фугоидного движений в частотной области (см. рисунок). Оценки показывают, что если собственная

-----1- gH ЯК const

2 s

Например, для переменной 0 имеем

Л5

[ AbJs

arg

arg

f,

-I

частота фугоидного движения такова, что ии?>0,06 с-1, то в дозвуковом полете неманевренного самолета разделимость короткопериодического и фугоидного движений в частотной области определяется граничной частотой о^р^Зсо^,.

Предельный переход от соотношения (6) к соотношению (7) также означает, что для больших частот вынужденного движения самолета уравнения короткопериодического движения справедливы при любых запасах продольной статической устойчивости.

Авторы благодарят А. Г. Обрубова за обсуждение работы.

1. Вед ров В. С. Динамическая устойчивость самолета. — М.—Л.: Оборонгиз, 1938.

2. Б ю ш г е н с Г. С., С т у д н е в Р. В. Аэродинамика самолета. Динамика продольного и бокового движения. — М.: Машиностроение, 1979.

3. Остославский И. В. Аэродинамика самолета. — М.: Оборонгиз, 1957.

4. Аэромеханика самолета./Сб. под редакцией А. Ф. Бочкарева. — М.: Машиностроение, 1977.

5. Матвеев В. Н. Расчет возмущенного движения самолета. — М.: Оборонгиз, 1960.

6. Михалев И. А., Окоемов Б. Н., Павлина И. Г., Ч и-к у л а е в М. С., Э й д и н о в Н. М. Системы автоматического управления самолетом. — М.: Машиностроение, 1971.

7. Эткин Б. Динамика полета. — М.: Машиностроение, 1964.

8. Иродов Р. Д. Критерии продольной устойчивости экранопла-на. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 4.

9. S а с h s Q. A new concept of static stability and its flight testing in supersonic flight. — Journal of Aircraft, 1977, vol. 14, N 9.

10. С a 1 i s e A. T. Optimization of aircraft altitude and flight-path angle dynamics. — Journal of Guidance, Control and Dynamics, 1984, vol. 7, N 1.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 18/VII 1989 г.