Эволюция движения твердого тела с неподвижной точкой и эллипсоидальной полостью, заполненной вязкой жидкостью

9. Shiozaki S., Sakiyama Y., Takagi S., Matsumoto Y. Multiscale analysis of heterogeneous catalysis on a silica surface // AIAA Paper. 2008. N 1250.

10. Ковалев В.Л., Погосбекян М.Ю. Анализ каталитических свойств силиконизированных теплозащитных покрытий // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 2. 44-49.

11. Ковалев В.Л., Крупнов А.А., Погосбекян М.Ю., Суханов Л.П. Моделирование адсорбции атомов кислорода на поверхности AL2O3 методом функционала плотности // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 4. 58-62.

12. Ковалев В.Л., Крупнов А.А., Погосбекян М.Ю., Суханов Л.П. Анализ гетерогенной рекомбинации атомов кислорода на оксиде алюминия методами квантовой механики и классической динамики // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2010. № 2. 153-160.

13. Armenise I., Rutigliano M., Cacciatore M., Capitelli M. Hypersonic boundary layers: oxygen recombination on SiO2 starting from ab initio coefficients //J. Thermophys. and Heat Transfer. 2011. 25, N 4. 627-632.

14. Balat-Pichelin M., Bedra L., Gerasimova O., Boubert P. Recombination of atomic oxygen on a-AbO3 at high temperature under air microwave-induced plasma // Chem. Phys. 2007. 340. 217-226.

15. Hinnemann B., Carter E.A. Adsorption of Al, O, Hf, Y, Pt, and S atoms on a-Al2O3(0001) //J. Phys. Chem. C. 2007. 111, N 19. 7105-7126.

16. Gomes J.R.B., Moreira P.R. de, Reinhardt P., Wander A., Searle B.G., Harrison N.M., Illas F. The structural relaxation of the a-Al2O3(0001) — an investigation of potential errors // Chem. Phys. Lett. 2001. 341. 412-418.

17. Wittbrodt J.M., Hase W.L., Schlegel H.B. Ab initio study of the interaction of water with cluster models of the aluminum terminated (0001) a-aluminum oxide surface //J. Phys. Chem. B. 1998. 102, N 34. 6539-6548.

18. Becke A.D. Density-functional exchange-energy approximation with correct asymptotic behavior // Phys. Rev. A. 1988. 38, N 6. 3098-3100.

19. Lee C., Yang W., Parr R.G. Development of the Colle-Salvetti correlation-energy formula into a functional of the electron density // Phys. Rev. B. 1988. 37, N 2. 785-789.

20. Hariharan P.C., Pople J.A. The influence of polarization functions on molecular orbital hydrogenation energies // Theor. Chim. Acta. 1973. 28, N 3. 213-222.

21. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИЛ, 1961.

22. Чоркендорф И., Наймантсвердрайт Х. Современный катализ и химическая кинетика. Долгопрудный: Интеллект, 2010.

23. Глесстон С., Лейдлер К., Эйринг Г. Теория абсолютных скоростей реакций. М.: ИЛ, 1948.

24. Ralchenko Yu, Kramida A.E., Reader J., NIST ASD Team (2010). NIST Atomic Spectra Database (ver. 4.0.1), [Online]. Available: http://physics.nist.gov/asd [2011, February 5]. Gaithersburg, MD: National Institute of Standards and Technology, 2011.

25. Бала-Пишлен М., Ковалев В.Л., Колесников А.Ф., Крупнов А.А. Влияние неполной аккомодации энергии гетерогенной рекомбинации на тепловые потоки к теплозащитным силиконизированным покрытиям // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2008. № 5. 181-190.

Поступила в редакцию 26.12.2011

УДК 531.391

ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ, ЗАПОЛНЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Е. Ю. Баранова1, В. Г. Вильке2

Рассматривается движение по инерции системы, состоящей из твердого тела с неподвижной точкой и вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей сферическую или эллипсоидальную полость внутри твердого тела. Главные моменты инерции системы относительно неподвижной точки близки к главным моментам инерции осесимметричного

1 Баранова Елена Юрьевна — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: destrela@mail.ru.

2 Вильке Вла/)имир Георгиевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: polenova_t.m@mail.ru.

тела. Число Рейнольдса, обратно пропорциональное вязкости жидкости, предполагается малым. Для описания движения используются обобщенные канонические переменные Андуайе, метод разделения движений и метод усреднения. Установлено, что движение системы стремится к стационарному вращению вокруг оси с наибольшим моментом инерции, направленной по постоянному вектору момента количеств движения системы.

Ключевые слова: твердое тело с неподвижной точкой и полостью, заполненной вязкой жидкостью; метод разделения движений; асимптотический метод.

The inertial motion of a system consisting of a solid with a fixed point and a viscous incompressible liquid filling a spherical or ellipsoidal cavity inside the body is considered. The principal moments of inertia of the system about a fixed point are approximately equal to the principal moments of inertia of an axisymmetric body. The Reynolds number being inversely proportional to the viscosity of the liquid is assumed to be small. For the description of motion, the generalized canonical variables of Аndoyer, the motion separation method, and the averaging method are used. It is shown that the motion of the system tends to the steady rotation about the axis of the greatest moment of inertia directed along the constant angular momentum vector of the system.

Key words: solid body with a fixed point and a cavity filled with a viscous liquid, motion separation method, asymptotic method.

1. Введение. Движение твердого тела с неподвижной точкой и полостью, содержащей жидкость, изучалось в [1-3]. В работе [2] получена общая система уравнений движения системы в векторном виде и на ее основе исследована эволюция движения системы в частных случаях. Уравнения, описывающие эволюцию вращения осесимметричного тела со сферической полостью, содержащей вязкую жидкость, в канонических переменных Андуайе получены в [4]. В настоящей работе рассматривается задача, когда эллипсоид инерции системы близок к эллипсоиду вращения, а полость с вязкой жидкостью имеет форму шара или близкую к трехосному эллипсоиду.

2. Эволюция вращения твердого тела со сферической полостью, заполненной вязкой жидкостью. Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки О. Внутри тела находится заполненная вязкой несжимаемой жидкостью сферическая полость V радиуса а, центр которой находится в точке О1 и определяется вектором Г1 в системе координат ОЖ1Ж2Ж3, жестко связанной с телом. Тензор инерции тела с жидкостью в системе координат ОЖ1Ж2Ж3 имеет диагональный вид 3 = А(1 + £1)-1, А(1 — в1)-1,С}, А = С, где £1 — малый параметр. Система движется по инерции, т.е. внешние силы отсутствуют. Задача сводится к случаю Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки, если вязкость жидкости считать бесконечно большой, т.е. положить равным нулю поле относительных скоростей жидкости. Случай симметричного твердого тела, когда £1 = 0, рассмотрен в [4].

Исследуем эволюцию движения системы с двумя малыми параметрами £1 и £, считая вязкость жидкости достаточно большой или соответствующее число Рейнольдса £ течения вязкой жидкости в сферической полости малым параметром. Поскольку момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю, то вектор момента количества движения системы О постоянен. Пусть система координат £з

неподвижна. Для описания движения системы воспользуемся обобщенными переменными Андуайе /1, /2, /3, ^>1, ^>2, ^з [4-6]. Обозначим через v(r',t), г' = г — Г1, |г'| ^ а, поле относительных скоростей жидкости в системе координат ОЖ1Ж2Ж3 и запишем выражение кинетической энергии системы в виде

Здесь — область, занимаемая твердым телом; р(г) — плотность тела или жидкости. Поле скоростей v(r',t) = 0, когда г £ ^1. Момент количества движения системы равен

так как относительная скорость центра масс частиц жидкости vc = 0 и

/

pv dx = pvc vol V = 0.

Согласно определению канонических переменных Андуайе, вектор О представляется в системе координат ОЖ1Ж2Ж3 следующим образом [3, 4]:

G = (VJ2 - Ji sin fi, ~ Ti cos fi, h^j

Запишем кинетическую энергию системы (1) в форме

11

11 Т = - (Ju>,u>) + (u>,Gv) + - / v2pdx.

V

Для описания движения воспользуемся уравнениями Рауса, когда одна группа уравнений представляется в виде канонических уравнений относительно канонических переменных Андуайе, а вторая группа — в виде уравнений движения в лагранжевой форме (уравнения Навье-Стокса движения вязкой жидкости в сферической полости). Функционал Рауса задается в форме

1 1 С

V

Уравнения движения представим следующим образом:

d

I = -V^iR, ф = Vi£H, —Vv9i - Vr/9=t = Vr/p - г/Av.

Здесь p(r',t) — давление в жидкости, v — кинематический коэффициент вязкости. Последнее уравнение в системе (5) имеет вид [4, 5]

^ + [J"1

dt dr' P

Решение уравнения (6) должно удовлетворять условию несжимаемости жидкости и граничному условию, т.е.

div v = 0, v|r/€dv = 0.

Решение уравнений (6), (7) найдем в виде ряда по малому параметру е = Re = a^2(0)/^ ^ 1. Будем считать е = при соответствующем выборе основных единиц измерения и положим v(r',t) = evi (r',t) +e2v2 (r' , t) + ..., p = po + ep1 + .... Поле скоростей vi(r' , t) получим как решение уравнений (6), (7) в приближении Стокса

Av1 = J-1G х r', p0 = const, div v1 = 0, v1|r/edV = 0.

Решение задачи (8), согласно [5, 7], имеет вид

v1 = i(r'i-a2)[J-1Gxr';

Используя это решение, найдем

°- = 1оУ

V

/2 _ь.т-1^ 8nPa

г' х \J~1G х r'l

525

Получим в явном виде канонические уравнения. В силу (4) имеем

/2 _ /2 /2 1 1 г

= + + j v2pdx.

V

Функционал Рауса не зависит от переменных /3, ^>2, Соответствующие уравнения движения примут вид /2 = /3 = ^3 = 0- Следовательно, вектор момента количеств движения постоянен в неподвижной системе координат. Канонические уравнения для переменных /1, ^>1 таковы:

dR /22 - /? . „ т I dG

/1 = --— w —в\ ——-—— sin2(pi + Gv, J"1

d^i A \

dR Ii „ ^^ T-i dG^ , A - C

= од ~ w(/i) cos - i Gv, J —j, u(h) = Ac h.

Система уравнений (11) содержит два малых параметра £1, е, определяющие компоненты тензора инерции и вязкость жидкости. Для исследования уравнений (11) воспользуемся методом разделения движений [2, 4].

Если положить нулю малый параметр е, то уравнения (11) будут описывать движение твердого тела с "замороженной" жидкостью в случае Эйлера, когда два главных момента инерции близки друг к другу, а движение тела близко к регулярной прецессии. Канонические переменные действие-угол в этом случае отличаются от канонических переменных Андуайе [8].

В переменных Андуайе уравнения невозмущенного движения примут вид

дЯ /2 - /2

11 = --—=£1^1(11,(^1), ^ = —2 1 ап2у1,

А (12) дя / аА сс

Ф\ = -щ = Р2(1ъ<р{), Р2 = (Л 4- £Г1 сое 2^1), А = ——.

Вычислим производную G в соотношении (9) в силу уравнений невозмущенного движения (12):

д/1 д^1 и подставим ее выражение в уравнения (11). Получим

Малый параметр e входит в правые части уравнений (13) линейным образом, так как поле скоростей v(r',t) было найдено с точность до е. Явный вид системы уравнений (13) следующий:

Ii ~ eiFi + eQ2, <£i ~ P2 + eQ4,

Q2 = -kA-3/i

Q4 = keiA-3 sin 2pi [/2(1 + 2A + ef) + (/22 - /2)A2C-2].

При вычислении частных производных в правых частях уравнений (14) использовано координатное представление (3) вектора G. Правые части уравнений (14) п-периодичны по углу При e = ei = 0 переменные /i, становятся переменными действие-угол, а решение уравнений (14) представляется в форме /i(t) = /i (0), ^i(t) = A/i(0)A-it + <^i(0). Усреднив правые части уравнений (14) и заменив переменные /i, ^i на переменные Ji, ^i, получим

Ji = -ekA-3Ji

Уравнения (15) описывают эволюцию вращений твердого тела, у которого два момента инерции близки друг к другу, а в теле находится сферическая полость, заполненная вязкой несжимаемой жидкостью. Если положить ei = 0, то уравнения (15) совпадут с уравнениями, полученными в [5].

Первое уравнение не зависит от второго и имеет два стационарных решения Ji =0 и Ji = /2. Если A > C, то решения первого уравнения стремятся к аттрактору Ji = 0, а стационарное решение Ji = /2

неустойчиво. Если A < C, то решения первого уравнения стремятся к аттрактору Ji = /2, а стационарное решение Ji =0 неустойчиво. Предельное движение является стационарным вращением тела вокруг оси с наибольшим моментом инерции. При этом поле скоростей жидкости относительно тела равно нулю и рассеяния энергии нет.

Из второго уравнения системы (15) следует, что поправка в частоту угловой переменной равна нулю.

Если параметр Л близок к нулю, т.е. главный момент инерции A близок к главному моменту инерции C, то эволюция переменной Ji замедляется и становится пропорциональной ее! при Л = 0. В случае сферически-симметричного тела, когда ei = 0, производная переменной Ji =0 и эволюции движения нет.

3. Эволюция вращения тела с эллипсоидальной полостью, заполненной вязкой жидкостью. Постановка задачи аналогична представленной в п. 1. Отличие состоит в том, что область, занимаемая вязкой жидкостью, имеет вид

V = {r : (Лг', г') < 1, r' = Г-1(г - ri), Г е SO(3)},

где матрицы Л = diag{a1,a2,a3}, a^ = ao(1+ > 0, + + = 0, и Г постоянны, как и вектор г1, определяющий положение центра эллипсоидальной полости в системе координат ОЖ1Ж2Ж3, связанной с телом. Оператором поворота Г задается переход от системы координат Ож!ж2ж3, в которой уравнение эллипсоида представляется в каноническом виде, к системе координат ОЖ1Ж2Ж3, а параметры ^ предполагаются малыми. Вихревое поле скоростей вязкой жидкости, находящейся внутри области V, представим в системе координат Ож!ж2ж3 как функцию v'(r',t), обращающуюся в нуль на границе области V. В функционале Рауса (10) поле v(r — ri, t) заменяется полем скоростей Tv'(r-1(r — ri),t) = Tv'(r',t), а момент количества относительного движения частиц жидкости в соотношении (2) равен

Gv = ryV х v'jpda',

при этом

/v>,fe'=0.

V

Уравнения невозмущенного движения, когда поле скоростей жидкости равно нулю, совпадают с уравнениями (12), а уравнения (8) представляются в форме

Avi = в х r', p0 = const, div vi = 0, vijr'edV = 0, в = T-1J-1G.

В уравнениях (17) частные производные вычисляются по переменным ж!, ж2, ж3, являющимся координатами вектора r'. Рассмотрим векторное поле v^ = [(Лг', r') — 1] [b х Лг'], где b — постоянный вектор. Имеем

div v'i0 = (V, v0) = 2(Лг', [b х Лг']) + [(Лг', r') — 1] V[b х Лг'] = 0,

Av'i0 = [b х

Здесь K — кососимметрическая матрица, а C — симметрическая матрица. Обозначив элементы диагональной матрицы (2Л^Л + 4Л2) через щ = a0 (10 + 14^j + 4^2), найдем

K=

C=

( 0 —63(^2 + Vi)/2 b2(vi + V3)/2

b3(vi + V2)/2 0 — bi(v3 + V2)/2 . ,

V—62

( 0 63(vi — V2)/2 62(^3 — vi)/2

b3 (vi — V2)/2 0 — bi(v2 — V3)/2

V—b2(v3 — vi)/2 bi(v2 — V3)/2 0

Элементы матрицы С являются суммами линейных и квадратичных величин, пропорциональных ^ и Если принять

2/3! 2/32 2/Эз А Л , 7 \ Ь1 =-:-, Ъ2 =---, Ь3 =---, Ьк& —— 1 + — Цк , к = 1,2,3,

+ ^з ^з + VI VI + V2 10а2 \ 10 /

то, согласно второму уравнению системы (18), справедливо равенство Дv/lo — [в х г'] = С г', где

П < \ п д — ^2 ^3 — V! ^2 — ^3

С={Сгу), Сц = 0, С12=С21=Рз -;-, С13 = С31 = Р2-;-, С23 = С32 = Р\ -;-.

Vl + V2 Vз + Vl V2 + Vз

Найдем векторное поле V' 1 (г', , удовлетворяющее соотношениям

Дv/11 = —Сг', У ё1у V' 1 = | v/11n ^ст = 0, V' 1 |г'еду = 0.

V дУ

Здесь п — внешняя нормаль к эллипсоиду дУ. Второе равенство в соотношениях (19) описывает "интегральное" свойство несжимаемости жидкости и заменяет условие ё1у V' =0 в соотношениях (17). Решение задачи (19) найдем в виде

vi1 = [(Лг', г') - 1 Dr', D = -C(6aoE + 4Л)-1 = (dj), di = 0, i = 1, 2, 3,

7 7 7

di2 & (¿21 to ——— /?3(aí2 - ¿ti), di3 ^ d3i ^ ——/32(/xi-/x3), d23 to d32 to ——/3i(/x3 -/X2).

100ao 100ao 100ao

Коэффициенты d¿j определены с точностью до членов порядка . Суммарное поле скоростей жидкости в эллипсоидальной полости примем равным

vi = vi0 + v'11 = [

При вычислении вектора Gv используем соотношение (16) и равенство (20). В результате найдем Gv = Gv0 + Gv1, Л1/2г' = x = (x sin в cos p, x sin в sin p, x cos в),

T+ 1 , 7 .. 1 , 7 .. Ь-17-l,

Gv0 = ll)-')x 77T77"777I7ГЬ и "¡¡^ Г1 + 10 1 + И) ^ 1 + К) ^ ^ J

Gvi = T J [(Лг', г') - 1 [г' х D^]pdx =

V

Г

л/а\а2аз J

(x2 - 1) [Л-1/2x х DЛ-1/2x] px2 sin в dx de dp = O(^1 + ^2 + ^э)-

Уравнения возмущенного движения (13) трансформируются в систему уравнений

Л = - * ([* + гмг-Ч,- (Щ + Ц д),Ц) ,

, 8епр 7

К =--=-тт, М = —

525 а7/2 10

Если положить М = 0, то уравнения (21) совпадут с уравнениями (13) и после процедуры усреднения по быстрой переменной превратятся в уравнения (15), описывающие эволюцию движения. Заметим, что в этом случае эллипсоидальная полость превращается в сферическую полость.

Добавочные члены в уравнениях (21), содержащие компоненты матрицы М = 0, описывают влияние геометрических параметров полости на эволюцию движения системы. В результате после усреднения соответствующих выражений по углу добавочные члены в первом из уравнений системы (15) представятся в форме

im-Jb ~£k 20уР

(Л + (1 + el)2 Е + (л - (! - £l)2 Е

Здесь — компоненты ортогональной матрицы Г. Очевидно, что добавочные члены не изменят характера эволюции переменной действие 7, поскольку их учет приводит к уравнению

Ji = -efcA^ Ji(If - J2) { Л + e2 (Л + 2) +

7_

20

(a + 0 (1 + £l)2 ¿ ßnlL + (л - ^ (1 - £l)2 ¿ ßnll

Второе уравнение системы (21) после процедуры усреднения по быстрой переменной ^>1 примет вид

• Л 7eei(l - el) 2 v^ ^ = А 1--Ш*-Ji 2^fc7*i7fc2.

k=l

Поправка в частоту изменения угловой переменной зависит от геометрических параметров эллипсоидальной полости (коэффициенты ^) и от ориентации ее главных осей относительно главных осей тензора инерции системы (коэффициенты ^^). Знак поправки совпадает со знаком суммы в уравнении (22) и может быть как положительным, так и отрицательным.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тел с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965.

2. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидкостью, при малых числах Рейнольдса // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. 5, № 6. 1049-1070.

3. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: Наука, 1968.

4. Вильке В.Г. Эволюция движения симметричного твердого тела со сферической полостью, содержащей вязкую жидкость // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. № 1. 71-76.

5. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Ч. 1, 2. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 1997.

6. Andoyer H. Cours de mecanique celeste. Paris: Gauthier-Villars, 1923. Vol. 1; 1926. Vol. 2.

7. Кибель И.А., Кочин Н.Е., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. М.: Физматгиз, 1963.

8. Садов Ю.А. Переменные действие-угол в задаче Эйлера-Пуансо // Прикл. матем. и механ. 1970. 34, вып. 5. 962-964.

Поступила в редакцию 30.03.2012