Численное решение задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном резонаторе

УДК 517.3, 519.6

М. Ю. Медведик

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ТЕЛЕ, РАСПОЛОЖЕННОМ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ РЕЗОНАТОРЕ

Аннотация. Рассмотрена задача дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном резонаторе. Задача сведена к объемному сингулярному интегральному уравнению на теле. Рассмотрен численный метод коллокации для решения этого уравнения. Представлены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации. Получены численные результаты.

Ключевые слова: краевая задача, электромагнитная задача дифракции, интегральное уравнение, численный метод.

Abstract. The article considers electromagnetic field diffraction on a dielectric body located in a rectangular resonator. The problem is reduced to volume singular integral equation on the body. The article reviews a numerical collocation method for solving the equation. The authors present formulas of matrix coefficients for the collocation method and introduce numerical results.

Key words: boundary value problem, electromagnetic scattering, integral equations, numerical method.

Постановка задачи

Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в декартовой системе координат P = {x: 0 < xi < a, 0 < x2 < b, 0 < x3 < c} - резонатор с идеально проводящей поверхностью dP . В резонаторе расположено объемное тело Q (Q с P - область), характеризующееся постоянной магнитной проницаемостью Цо и положительной 3 X 3-тензорной функцией диэлектрической проницаемости е(x). Компоненты е(x) являются ограниченными функциями в области Q , обратный тензор е 1 (x) существует в Q , и его компоненты также ограниченны в Q [1-3].

Граница dQ области Q кусочно-гладкая. Будем также предполагать, что тело Q не касается стенок резонатора, dQ n dP = 0 . Вне Q среда изотропна и однородна с постоянными ео (> 0), Ц0 (> 0).

Требуется определить электромагнитное поле E, H е Lq loc (P) (и, следовательно, E, H е Lq (Q)), возбуждаемое в резонаторе сторонним полем с временной зависимостью вида exp(-/rot), где ю - круговая частота. Источник стороннего поля - электрический ток jE е Lq loc (P) с компактным носителем в волноводе P . В области P с R стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot понимаются в смысле обобщенных функций.

Будем искать «слабые» (обобщенные) решения системы уравнений Максвелла:

I rot H = -iroeE + jfi

[rotE = /ЮЦ0Н, xе P.

Для E, H должны выполняться краевые условия на стенках волновода:

Et IdP = °.

iiTjdP = 0.

Из соотношений (1), (2) для поля E следует интегродифференциальное уравнение [3]

- - 2 г * (£ (V) 'Л -

E(x) = E0 (x) + k0 JGE (r) -^-1 E(v)dy +

Q

+graddiv J Ge (r) Q

e(y) e0

-1

E(y)dy, x є Q.

Компоненты диагонального тензора Грина Ge = diag

E , GE

имеют вид, представленный в [3].

Для применения численного метода [4, 5] проинтегрируем компоненты тензора Грина по параллелепипеду

nte*3 = |(xb x2, x3): »1 - h~ - *1 + 1 »2 - ^ - Z2 + 1, *3 - ^ - Z3 + 1J и обозначим их через G\, G2, G3 , тогда

Л™

^ n=1 m=1 n ' т 'Уйот

cos

(nX“ )• sin (mX2 )x

x sin (П1Н2 (i'2 + 0,5)) • sin ^™2H jj • cos ((( + 0,5)) sin )nHH“ jj +

I 2H1 ^ flom (x3) •( X ) • / H (  I 0 5\) • fm H j

^—2“ I--------------2-----sin (mX2 )• sin (mH 2 (i2 + 0,5)) • sin I — H2 I;

^ m=1 m •У0m

g2 = 4II-

"2 = 5 ^ ^ ^nm ( 3) .sin(nX“ )• cos(mX2)x

^ n=1 m=1 n • m 'Уnm

xsin(nH“ (i“ + 0.5) sin f2H jj • cos(mH2 (i'2 + 0,5)sin f“HH2jj+

I 'I Л2п0 (2Х3) •sin (nXi )• sin (nHi (ii + 0,5))) I nHij;

^ n=1 n •Yn0

/пт

п п=1 т=1 п ' т 'Упт

н

эт (пХх) • эт (тХ2 )х

хэт(пН1 (/'1 + 0,5)-этI п—1 1эт(тН2 (/'2 + 0,5))пI т

Н 2

Здесь

ПХ1

пИ2

и ’*1 =-, 12 =~Г~, Н1 =------------,н 2 = и

Ь а Ь а Ь

пх^ лу

пУ2

пИ^

Х1 =—^,Х2 =-^,1 =^, 12 = ^,Н1 = ^,Н2 = а

Х1 = х2 = j2h2, У1 = КК У 2 = /2 И2 , У пт =

-2 ' эЬ (уптх3 )' ^

\2 г \2

пп 1 Г пт 1 ,2

— I +1 -г-1 - %;

а У I Ь I

$т (х3 ) =

~пт 'с)

х3 < /3И3

2 ' эЬ (у пт ~- х3 )) Г У пт (х3 + /3И3 ) ) ^ Г У пт (х3 - /3И3 )1

(упт ' с) \

2 ' (уптх3 ) Г

I у пт I с

3И3 + И3 + х3

х

хэЬ

1

, И3/3 < х3 <~3 + 1)И3;

/ У

2 '

7 и3 IV Г и3

3И3 + у! I У пт —

х3 >~3 + 1)'И3;

Аот (х3 ) = 4 ' /о0т (х3 ); /00 (х3 ) = 4 ' /п°0 (х3 );

*/п1т

-4'СЬ ~"тх3 ) 'Л1-У И31 сН

л / \ ЬП | * пт ^ I 'Л1

(Упт ' с) I 2 У

4 ' сЬ ~пт ~- х3 )) зЬ Г х3 - НИ,

У пт |с - /3И3 - у У У, х3 < /3И3;

Л

Л

(

х3 - /3И3 - И3

сЬ

х

х3 + /3И3

Л

хсЬ

2с - х3 - /3И3 - И3

И3/3 < х3 <~3 + 1)И3;

4сЬ ~ ~'~- х3 »'ЗЬIУ „„Л 1 сЬ Г

У пт | /3И3 + у | , х3 >~3 + 1)И3.

Результаты дифференцирования функций G\, G2, G3 и вычисление вторых производных представлены в [6]. Уравнение (3) решается методом коллокации.

Метод коллокации

Для уравнения Лф = f (ф, f е X) с линейным ограниченным оператором Л: X — X в гильбертовом пространстве X рассмотрим метод коллокации, который формулируется следующим образом. Приближенное решение фи е Xn определяется из уравнения РпЛфп = Pnf . Здесь фи е Xn (Xn есть п -мерное подпространство пространства X), Pn : X — Xn - оператор проектирования на конечномерное подпространство, который определяется ниже.

Разобьем область Q на элементарные подобласти Qi с кусочногладкими границами dQj так, чтобы выполнялись условия Qi n Qj = 0

при i Ф j и Q = U Qj . Выберем в каждой подобласти Qj точку (узел) колло-i

i [1,х е Qi

кации х . Рассмотрим базисные функции V; = \ . Пусть подпростран-

I0,х Й Qi

ства Xn являются линейными оболочками базисных функций:

Xn = span{v/, ..., vn}. Потребуем, чтобы для выбранных базисных функций выполнялось условие аппроксимации

n——^ хеКГ1

Проектор Pn : X — Xn определим так: (Pnф)(х) = ф(х1), х е Qi. Заметим, что при таком определении проектора не определены значения функций (P^)(х) при х е dQi, но это не будет важно, так как в нашем случае X = Ь2 . Уравнение PnЛфn = Pnf эквивалентно следующему:

( Лфп )(х}) = f (х}), j = 1,..., n.

Представим приближенное решение в виде линейной комбинации ба-

n

зисных функций: фп = 2 c^v^ . Подставив это представление в схему метода

к=1

коллокации, получим систему линейных алгебраических уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов Ск :

2 Ск (Avk)(х) = f (х), j = 1, ., n.

к=1

Рассмотрим теперь вопрос о построении схемы решения интегрального уравнения методом коллокации [4-8]. Будем формулировать метод для инте-

(-1 ^

гродифференциального уравнения (3). Предположим, что тензор

V

е0

V

обратим в Q , а компоненты тензора

функциями.

Введя обозначения

е

V е0 У

-1

являются ограниченными

V

е

V е0 J

-I

J =

Ф)

V е0 J

-I

E.

перейдем к следующему уравнению:

AJ = |(x)J(x) -k0 J Ge (x, y) J(y)dy -

Q

-grad div J Ge (x, y) J(y)dy = J0(x), x e Q .

Q

Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:

3

2 V (X) - *01 ¿Е (х, .у) /1 (у)ф -1=1 <2

divx JGe(x,y)J(y)dy = E01 (x), l = 1,2,3.

x Q

— 12 3

Определим компоненты приближенного решения ,1п = (/п, /п, /п) следующим образом:

п п п

А = 2 ак/к(х) = 2 ьк/к (х), А=2 с*^(х),

k=i

k=i

k=i

где fk - базисные функции-«ступеньки».

Ниже проводится построение функций fk . Будем считать, что Q - параллелепипед: Q = {x: öi < xi < ö2, ¿1 < x2 < ¿2, С < x3 < c2). Разобьем Q на элементарные параллелепипеды:

Пklm = {x : x1,k < x1 < x1,k+1, x2,l < xl < x2,l+1, x3,m < x3 < x3,m+1} ,

a2 - b2 - ¿1 c2 - c1

x1,k = a1 + —----1 k, x2, l = ¿1 + —--11, x3, m = c1 + —---1 m,

И И и

где k, l, m = 0,..., и -1.

Запишем формулы для fkm , i = 1,2,3 :

1, x e П

klm,

0, x ?П

klm .

Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходи-

3

мому условию аппроксимации в ^ X Ь2 X ^ .

Применим метод коллокации для параллелепипеда Q (рис. 1). Для этого произведем последовательный перебор всех точек коллокации для каждого из носителей. Используя проинтегрированные компоненты функции Грина 12 3

и значение их вторых производных, вычислим значение матричных элементов. Расширенную матрицу, полученную из метода коллокации, удобно представить в блочной форме:

1а 1а 2 ІА 3 Вл

А22 А23 В2

А 3 А32 А33 В3 )

б

Рис. 1. Тело Q , разбитое на элементарные параллелепипеды ПИт Элементы В£ и Л^1 определяются из следующих соотношений:

в£=4

4г = ) - з^о21 ок (х], у) /I (у)ау -

Q

-^ 11Т°1

ОХк •> ОХ1

к Q 1

где координаты точки коллокации

Х = (х-1,xi2,Х3), Х1 = (1 + 0,5) х-2 = (2 + 0.5) х-3 = (з + 0,5)й3 , к, I = 1,2,3; -1, -2, -3, У1, У2, У3 = 0,..., п -1.

Таким образом, получены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации для решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала. Решая систему линейных алгебраических уравнений для матрицы, составленной с использованием сетки, находим значения поля внутри фигуры. Используя субиерархический метод, можно вычислить значение поля на фигурах сложной формы [9-19].

Численные результаты

Представлены результаты расчета поля внутри куба, целиком заполняющего резонатор (рис. 2-5). Размер сетки фигуры 8^8x8. Диэлектрическая проницаемость материала 1,2. Волновое число kо = 1,5 .

Рис. 2. Падающее поле направлено вдоль первой координатной оси, и ее значение равно единице. Представлено второе сечение вдоль третьей координаты

Рис. 3. Падающее поле направлено вдоль первой координатной оси, и ее значение равно единице. Представлено второе сечение вдоль первой координаты

Рис. 4. Падающее поле направлено вдоль второй координатной оси, и ее значение равно единице. Представлено второе сечение вдоль третьей координаты

Рис. 5. Значение падающего поля равно единице. Представлено второе сечение вдоль третьей координаты

Список литературы

1. Самохин, A. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин. - М. : Радио и связь, 1998.

2. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : Радиотехника, 1996.

3. Смирнов, Ю. Г. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле методом объемного сингулярного интегрального уравнения / Ю. Г. Смирнов, Д. А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 12. - С. 2252-2267.

4. Смирнов, Ю. Г. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, Д. И. Васюнин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. -№ 3. - С. 71-87.

5. Медведик, М. Ю. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -

2009. - № 4. - С. 54-69.

6. Медведик М. Ю. Численное решение задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном резонаторе / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 2. - С. 28-40.

7. Медведик, М. Ю. Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 2. - С. 2-14.

8. Смирнов, Ю. Г. О существовании и единственности решений обратной краевой задачи определения диэлектрической проницаемости материалов / Ю. Г. Смирнов, Д. А. Миронов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50, № 9. - С. 1587-1597.

9. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного поля на плоском экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Серия «Естественные науки». - 2004. -№ 5. - С. 5-19.

10. Медведик, М. Ю. Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. - 2005. -Т. 6. - С. 99-108.

11. Антонов, А. В. Разработка web-ориентированного вычислительного комплекса для решения трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн на основе субиерархических параллельных алгоритмов и ГРИД-технологий / А. В. Антонов, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007.- № 4. -С. 60-67.

12. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2008. - Т. 53, № 4. - С. 441-446.

13. Медведик, М. Ю. Численный метод решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Мед-ведик, И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № I. - С. 87-99.

14. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод для решения псевдодифференци-ального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Медведик, И. А. Родионова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009.- № 3. - С. 59-70.

15. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения на плоских экранах произвольной формы / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -

2009. - № 4. - С. 48-53.

16. Медведик, М. Ю. Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -

2010. - № I. - С. 2-13.

17. Медведик, М. Ю. Субиерархический подход для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле в волноводе методом коллокации / М. Ю. Медведик, Д. А. Миронов, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 2. - С. 32-43.

1S. Гурина, Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе I Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 2. - С. 44-53.

19. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения на поверхностях произвольной формы I М. Ю. Медведик II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. -№ 3. - С. SS-94.

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Medvedik Mikhail Yuryevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,

Penza State University

E-mail: _medv@mail.ru

УДК 517.3, 519.6 Медведик, М. Ю.

Численное решение задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном резонаторе /

М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 3 (19). - С. 22-31.