История и перспективы развития одного из методов решения многомерных задач строительной механики

УДК 624.04

А.Н. Станкевич

КНУСА

ИСТОРИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ОДНОГО ИЗ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Изложены исторические аспекты развития методов решения многомерных задач строительной механики. Особое внимание уделено методам понижения размерности исходных уравнений. Детально рассмотрено развитие и усовершенствование метода прямых, отмечены недостатки существующих подходов и указано возможное направление развития метода на новые классы задач.

Ключевые слова: строительная механика, метод прямых, методы понижения размерности, проекционный метод, толстые пластины, многомерные задачи

Уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние (НДС) большинства расчетных моделей в линейной постановке, рассматриваются в рамках теории упругости (статика и динамика) и термоупругости [1—3]. Эти уравнения определены в трехмерном пространстве или с учетом симметрии (осевая и переносная) в двухмерном и относятся к сложным задачам математической физики. Для простейших случаев таких задач известными математиками и механиками были предложены решения, но большинство задач, особенно динамических, аналитическими методами решить невозможно.

Традиционно в строительной механике для решения практических задач используют двухэтапный подход. На первом этапе с помощью гипотез понижалась размерность исходных уравнений (редукция уравнений), после чего редуцированные уравнения решались аналитически или приближенно. Подтверждение этому находим в теории изгиба балок Бернулли, теории пластин Кирхгофа — Лагранжа — Софи Жермен, теории оболочек Лява, С.П. Тимошенко, теории кручения Сен-Венана и мн.др.

Появление компьютерной техники существенно изменило подходы к решению многомерных задач. Во-первых, появились универсальные современные численные методы, с помощью которых решаются непосредственно многомерные задачи. Это такие методы, как метод конечных разностей, вариационно-разностный метод, метод конечных элементов. Последний среди прямых численных методов сегодня занимает первое место по применению благодаря своей универсальности и алгоритмичности. Эти особенности метода конечных элементов позволили создать программные комплексы (ЛИРА, NX Nastran, ANSYS, SIMULIA Abaqus, PLAXIS и др.), позволяющие решать статические и динамические задачи теории упругости, а также стационарные и нестационарные задачи термоупругости.

Вместе с тем не исключается и традиционный подход строительной механики, который можно назвать комбинированным подходом к решению многомерных задач. Сегодня этот подход претерпел серьезную модификацию. На

первом этапе понижения размерности исходных уравнений (редукции) вместо гипотез используются определенные методы: аналитические или численные. На втором этапе для решения редуцированных уравнений так же используются аналитические или численные методы. Как правило, на втором этапе наиболее эффективно используются численные методы, поскольку редуцированные уравнения имеют достаточно громоздкий вид, хотя и определены на области меньшей размерности по пространственным координатам.

Комбинированный подход сейчас рассматривается как альтернатива универсальным численным методам в том смысле, что, как правило, комбинированный подход используется для объектов определенного класса и в этом случае может быть более эффективным и точным, чем универсальные численные методы на объектах этого класса. Кроме этого, результаты, полученные с помощью комбинированных методов, можно использовать для тестирования при модификации универсальных численных методов.

Наиболее распространенными комбинированными являются метод граничных интегральных преобразований [4], метод потенциала [5, 6], метод граничных элементов [7, 8], в которых на первом этапе понижения размерности используется аналитический подход. В этих методах используются известные фундаментальные решения исходных уравнений теории упругости и с их помощью строятся интегральные уравнения, которые определены на границе области (на единицу меньшая размерность). Таким образом, для исходных трехмерных уравнений строятся двухмерные интегральные уравнения, определенные в точках поверхности, ограничивающей трехмерную область, а для двухмерных — одномерные, определенные в точках граничной кривой. На втором этапе интегральные уравнения численно сводятся к системе линейных алгебраических уравнений. Такой комбинированный метод называют численно-аналитическим. Он используется для решения статических и динамических задач [9—11]. Большинство комбинированных методов разработано для достаточно широкого класса классических объектов строительной механики — бруса, пластин, оболочек. Но если использование определенных гипотез, с помощью которых понижалась размерность исходных уравнений, основывалась на существенной разнице габаритных размеров (двух поперечных размеров для бруса и толщины для пластин и оболочек), то эти требования уже отпадают и понижение размерности по соответствующим направлениям выполняется с помощью аналитических или численных методов.

При понижении размерности в теории толстых пластин исходные уравнения теории упругости рассматриваются как обыкновенные дифференциальные уравнения по поперечной координате, а разрешающие функции считаются зависящими от других координат как от параметров. После чего используется любой метод решения обычных дифференциальных уравнений — степенной, асимптотический или проекционный. После редукции дифференциальных операторов по поперечной координате получаются бесконечные системы уравнений (которые потом обрезаются) относительно двухмерных разрешающих функций, с помощью которых строится решение исходной задачи. К аналогичным результатам приводит вариационная трактовка исходных зависимостей с использованием метода Ритца по поперечной координате, а также использование численных методов (чаще метода конечных разниц).

Начало применения степенного метода для понижения размерности уравнений теории упругости для толстых пластин изложено в работах А.И. Лурье [13], Н.А. Кильчевского [14], В.З. Власова [15].

Алгоритм применения степенного метода, предложенный Н.А. Кильчев-ским [14], был использован И.Т. Селезовым [16], а также И.Т. Селезовым и Г.А. Кильчевской [17] для построения редуцированных двухмерных уравнений динамики и динамичной связанной термоупругости толстых пластин постоянной толщины. С использованием полученных уравнений проведен анализ известных теорий динамики пластин. Данный вариант понижения размерности связан с проблемой применения метода однородных решений в теории толстых пластин. Одним из основных этапов этого метода является построение однородных решений для конкретных типов пластин.

В работах И.И. Воровича и его учеников [18—20] однородные решения используются для преобразования исходных уравнений, а при построении решения вспомогательной задачи используется асимптотический метод.

С целью расширения возможностей метода однородных решений В.З. Власовым [21, 22] была предложена его новая трактовка, точнее предложен новый метод — метод начальных функций. В этом методе решение пространственной задачи теории упругости записывается через набор двухмерных функций (перемещений и напряжений), определенных на одной из боковых поверхностей пластины, которую считают плоской, а другая боковая поверхность может быть произвольной. Понижены требования к точности метода — используются в основном конечные суммы в операторах. В итоге задача сводится не к трансцендентным, а к системе дифференциальных уравнений.

Дальнейшее развитие метод начальных функций получил в работе В.З. Власова и Н.Н. Леонтьева [23], в которой приведено общее решение задачи о деформации упругого основания под действием нагрузки, приложенной к поверхности, контактной задачи по расчету плиты на упругом основании и другие результаты.

Работы А.Л. Гольденвейзера [24, 25] дали начало второму основному направлению уточненной теории пластин, в котором для редуцирования по поперечной координате использовался асимптотический метод.

Прямым обобщением традиционного подхода в классической теории пластин представляется метод, предложенный И.Н. Векуа [26]. Для понижения размерности исходных уравнений теории упругости для пластин предложено использовать проекционный метод. Исходные уравнения статики упругого тела, записанные в виде девяти уравнений в частных производных первого порядка и шести алгебраических уравнений (закон Гука), умножаются на элементы некоторой полной системы функций поперечной координаты и интегрируются по этой координате. После преобразований получается бесконечная система уравнений, неизвестными в которой являются интегралы от характеристик НДС, умноженные на элементы базисной системы. Эти интегралы, как известно [27], называются моментами характеристик НДС относительно системы рассматриваемых функций. Знание бесконечной последовательности моментов некоторой неизвестной функции позволяет найти саму функцию.

И.Н. Векуа предложил в качестве базисной системы использовать полиномы Лежандра [28]. Ортогональность системы полиномов Лежандра обусловливает значительные упрощения редуцированных уравнений. Предложенный метод оказался универсальным (его можно применять для пластин и оболочек переменной толщины [26, 29], а также к объектам более сложной геометрии) и предоставляет широкие возможности для применения численных методов.

В работах В.К. Чибирякова был модифицирован комбинированный метод понижения размерности академика И.Н. Векуа для толстых пластин и оболочек. Он трактуется уже как обобщенный метод конечных интегральный преобразований, на втором этапе которого для решения редуцированных уравнений используются разные эффективные численные методы. Этот метод широко применялся автором и его учениками для решения статических и динамических задач [30—42].

Академиком Я.М. Григоренко и его учениками предложен комбинированный подход к сведению исходных двухмерных уравнений уточненной теории оболочек к одномерным уравнениям разными аналитическими методами. Это приводит к граничным одномерным задачам, которые на втором этапе эффективно решаются высокоточным устойчивым методом дискретной ортогонали-зации С.К. Годунова. Было решено большое количество статических и динамических (определение динамических характеристик) задач.

Особенное место занимает старейший из современных комбинированных подходов к решению многомерных задач строительной механики — метод прямых [43], также известный под названиями: метод линий [44], дискретно-континуальный метод [45]. Предложенный в начале 1930-х гг. для решения многомерных задач математической физики [46, 47], этот метод сохранил все свои главные особенности, определенные в работе Л.В. Канторовича [43]:

исходная функция в простейшем варианте от двух переменных рассматривается как континуальная по одной переменной и дискретная по другой;

исходные уравнения по дискретной переменной преобразуются заменой производных по этой переменной конечными разностями. В результате получается система обыкновенных дифференциальных уравнений;

на втором этапе аналитически строится общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поскольку рассматриваются уравнения с постоянными коэффициентами, это позволяет построить общее решение этих уравнений. В связи с тем, что матричные коэффициенты имеют специальный вид, для которого известны собственные векторы и собственные значения, это дает возможность преобразовать связанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений в несвязанную систему;

возможность аналитически находить общее решение системы обычных дифференциальных уравнений позволяет рассматривать исходные уравнения, определенные в произвольной области. Будем считать это главной особенностью метода прямых.

В рассматриваемой работе исходная задача формулируется в вариационной постановке, в следующих работах постановка задачи, как правило, приводится в виде дифференциальных уравнений в частных производных. В других работах Л.В. Канторовича [43, 48] рассматриваются задачи кручения призма-

тических стержней, которые также описываются классическими уравнениями математической физики, а разностные соотношения построены с помощью интерполяционных полиномов. Однако в работе В.Н. Фадеевой [47] конечно-разностные соотношения строятся с помощью ряда Тейлора, при этом получена аппроксимация производных четвертого порядка точности.

В этих первых работах подчеркивается важная особенность метода прямых — комбинированный подход, когда по одной координате рассматривается континуальное изменение координаты, что существенно повышает точность по сравнению с дискретизацией по всем координатам. В этом состоит главная особенность метода прямых. Это было предложено еще до появления ЭВМ и эффективных высокоточных алгоритмов решения граничных задач для систем обычных дифференциальных уравнений.

Непосредственно к решению статических задач теории упругости (двухмерных и трехмерных) метод прямых впервые адаптировал М.Г. Слободян-ский [46, 49—55]. Кроме традиционных задач математической физики, были рассмотрены плоская задача теории упругости в разных постановках и пространственная задача теории упругости для призматических тел. В качестве исходных автор рассматривает специальные уравнения пространственной задачи, полученные им в другой работе. И в этом случае автор строит общее решение редуцированной системы уравнений аналитически, что позволяет исследовать точность построения решений граничных задач. Для редуцирования исходных уравнений М.Г. Слободянский, как и Л.В. Канторович, использует интерполяцию немного другого вида, которая связывает три соседние прямые. В работах других авторов такой подход называют «скользящей интерполяцией» [59].

В строительной механике в работах Л.П. Винокурова [45, 56—60] предложен вариант метода прямых для решения пространственных задач теории упругости. Исходными уравнениями приняты уравнения пространственной задачи теории упругости в форме Ляме. Был построен специальный интерполяционный полином для аппроксимации производных разностными выражениями. Полином используется последовательно для определенной группы прямых, что, как отмечалось выше, называется «скользящей интерполяцией». Редуцированные уравнения построены в декартовой и косоугольной системах координат, а также в цилиндрических и сферических координатах для изотропного и ортотропного материалов в границах теории пластин [45, 56—60]. Для решения редуцированных уравнений автор предлагает разработанный им метод последовательных приближений. С помощью предложенного метода («дискретный метод») было решено достаточно большое количество задач.

Ученики Л.П. Винокурова распространили метод на задачи теории пластин. Были рассмотрены прямоугольные и косоугольные пластины [62—64], изотропные и ортотропные [64], с линейным изменением толщины в одном направлении [65]. При построении редуцированных уравнений использовалась «скользящая интерполяция», а для решения редуцированных уравнений с переменными коэффициентами — приближенный метод.

Л.Т. Шкелев [66—68] распространил метод прямых на задачи определения НДС пластин произвольной формы в полярных координатах для решения плоской задачи теории упругости. Для построения редуцированных уравнений непосредственно использовались формулы метода конечных разностей по дискретной координате. Редуцированные уравнения решались точно с использованием собственных векторов и собственных чисел матричных коэффициентов для преобразования связанной системы дифференциальных уравнений в систему несвязанных уравнений.

Учениками Л.Т. Шкелева метод был усовершенствован и расширен на задачи изгиба многосвязных пластин, пластинчатых систем, многослойных пластин, а также составных пластин и оболочек [70—76].

В монографиях [77, 78] было систематизировано развитое Шкелевым и его учениками направление метода прямых. Приведены главные принципы построения редуцированных уравнений для пространственных пластинчатых элементов и оболочек. Построено общее решение редуцированных уравнений, когда это возможно. Предложено комбинировать метод прямых с методом Бубнова — Галёркина для решения пространственной задачи теории упругости.

С появлением эффективного устойчивого численного метода дискретной ортогонализации С.К. Годунова [79] его интенсивно начали использовать в строительной механике для решения граничных задач для системы обычных дифференциальных уравнений, поскольку он оказался лучше, чем известные подобные методы (матричной прогонки, стрельбы и др.). Для решения задач теории оболочек данный метод впервые был использован академиком Я.М. Григоренко и его учениками, в т.ч. при использовании метода прямых [80], и впервые при использовании метода прямых для нахождения динамических характеристик оболочек [81]. Использование алгоритма дискретной ортогонализации С.К. Годунова в методе прямых для неканонических областей предложено в [82].

Вывод. Представленная статья является вводной к запланированному автором циклу публикаций, которые посвящены аналитическим и численно-аналитическим методам решения многомерных задач строительной механики. Исследуя историю развития метода прямых как одного из методов строительной механики, нужно признать, что он требует существенной модернизации и расширения его возможностей.

Во-первых, процедура редукции исходных уравнений не совсем отвечает современному состоянию методов, которые используются для понижения размерности уравнений математической физики. В вариационных и проекционных методах процесс их использования значительно проще и убедительнее, не требует использования законтурных значений неизвестной функции.

Во-вторых, в существующих алгоритмах метода прямых тяжело учесть изменение толщины по континуальной координате при редуцировании по поперечной координате.

В-третьих, до настоящего времени метод прямых использовался для решения статических задач теории упругости и никогда не использовался для решения задач нестационарной термоупругости и нестационарных динамических задач. Это касается как задач на плоскости, так и задач в трехмерном пространстве.

Библиографический список

1. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М. : ГИТТЛ, 1955. 491 с.

2. Ляв А. Математическая теория упругости / пер. с англ. М. ; Л. : ОНТИ, 1935. 674 с.

3. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости / пер. с польск. под ред. Г.С. Шапиро. М. : Мир, 1970. 256 с.

4. Круз Т., Риццо Ф. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике : сб. тр. / под ред. Т. Круз, Ф. Риццо ; пер. с англ. В.М. Вайншельбаума. М. : Мир, 1978. Вып 15. 210 с.

5. Верюжский Ю.В. Метод потенциала в статических задачах строительной механики : дисс. ... д-ра техн. наук. Киев., 1980. 431с.

6. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев : Вища школа,1978. 183 с.

7. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках / пер с англ. Л.Г. Корнейчука ; под ред. Э.И. Григолюка. М. : Мир, 1984. 494 с.

8. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М. : Мир, 1982. 248 с.

9. Вайнберг Д.В., Синявский А.Л. Расчет оболочек. Киев : Госстройиздат УССР, 1961. 119 с.

10. Купрадзе В.Д. О приближенном решении задач математической физики // Успехи математических наук. 1967. Т. 22. Вып. 2 (134). С. 59—107.

11. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М. : Наука, 1977. 312 с.

12. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань : Изд-во Казанского ун-та, 1986. 295 с.

13. Лурье А.И. К теории толстых плит // Прикладная математика и механика. 1942. Т. 6. Вып. 2—3. С. 151—168.

14. Кильчевский Н.А. Обобщение современной теории оболочек // Прикладная математика и механика. 1939. Т. 2. Вып. 4. С. 427—438.

15. Власов В.З. Метод начальных функций в задачах теории упругости // Изв. АН СССР, ОТН. 1955. № 7. С. 49—69.

16. Селезов 1.Т. Дослщження поперечних коливань пластин // Прикладна мехашка. 1960. Т. 6. Вип. 5. С. 319—326.

17. Селезов И.Т., Кильчицкая Г.А. Приведение трехмерной динамической задачи термоупругости для слоя постоянной толщины // Тепловые напряжения в элементах конструкций : доклады научного совещания. Киев : Наукова думка, 1964. Вып. 4. С. 172—179.

18. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек // Тр. Второго Всесоюз. съезда по теор. и прикл. мех. М. : Наука, 1966. Вып. 3. С. 116—136.

19. Ворович И.И., Малкина О.С. Напряженное состояние толстой плиты // Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31. Вып. 2. С. 230—241.

20. Ворович И.И., Прокопов В.К. Некоторые вопросы трехмерной теории упругости // III Всесоюз. съезд по теории и прикл. мех. : аннотация докл. М. : Наука, 1968. С. 81.

21. Власов В.В. Применение метода начальных функций к расчету толстых плит // Исследования по теории сооружений : сб. М. : Госстройиздат, 1961. Вып. 10. С. 189— 207.

22. Власов В.В. Метод начальных функций в осесимметричной задаче теории упругости // Расчет пластин и оболочек. 1963. Вып. 34. С. 31—45.

23. Васов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М. : Физматгиз, 1960. 491 с.

24. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26. Вып. 4. С. 668—686.

25. Гольденвейзер А.Л. Асимптотический метод построения теории оболочек // Материалы I Всесоюз. школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин. Тбилиси : Изд-во Тбилисского ун-та, 1975. С. 151—213.

26. Векуа И.Н. Теория тонких пологих оболочек переменной толщины // Тр. Тбилисского мат. ин-та. Тбилиси : Мецниереба, 1965. Т. 30. 103 с.

27. Ахиезер В.Г. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с ней. М. : Физматгиз, 1961. 310 с.

28. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций / пер. с англ. С.В. Фоминой. М. : Изд-во иностр. лит., 1952. 476 с.

29. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М. : Наука, 1982. 288 с.

30. Исаханов Г.В., Чибиряков В.К., Смоляр А.М. Численно-аналитический метод решения задач статики толстых неоднородных пластин // Тр. 13-й Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек. Таллин, 1983. Ч. 2. С. 130—135.

31. Исаханов Г.В., Чибиряков В.К. Развитие метода Векуа И.Н. в статике и динамике толстых пластин : тез. докл. 2-й Всесоюзн. конф. по теории упругости. Тбилиси, 1984. 122 с.

32. Чибиряков В.К. Обобщенный метод конечных интегральных преобразований в статике и динамике нетонких пластин // Сопротивление материалов и теория сооружений : респ. межвед. науч. сб. Киев : Будiвельник, 1982. Вып. 40. С. 90—95.

33. Чибиряков В.К., Смоляр А.М. Об одном обобщении метода конечных интегральных преобразований в теории толстых пластин // Сопротивление материалов и теория сооружений : респ. межвед. науч. сб. Киев : Будiвельник, 1983. Вып. 42. С. 80—86.

34. Чибгряков В.К., Смоляр А.М. Теорiя товстих пластин та оболонок. Черкаси : ЧДТУУ 2002. 160 с.

35. Чибиряков В.К. Об одном варианте уравнений цилиндрического изгиба нетонких пластин // Сопротивление материалов и теория сооружений : респ. межвед. науч. сб. Киев : Будiвельник, 1977. Вып. 31. С. 59—67.

36. Чибиряков В.К. Численное решение задач статики и динамики толстых пластин // Численные методы решения задач строительной механики : сб. науч. ст. Киев : КИСИ, 1978. С. 153—157.

37. Чибгряков В.К., Жупаненко 1.В. Власш коливання товсто! цилiндрично! обо-лонки // Ошр матерiалiв i теорiя споруд : науково-техшчний збiрник. Киев : КНУБА, 2009. Вип. 84. С. 127—133.

38. Чибгряков В.К., Жупаненко 1.В. Власш коливання товстостшно! оболонки обе-ртання змшно! товщини // Промислове будiвництво та iнженернi споруди. 2010. № 2. С. 5—9.

39. Чибгряков В.К., Жупаненко 1.В. Методика розв'язання задачi про власш коливання пластин обертання змшно! товщини // Опр матерiалiв i теорiя споруд : науково-техшчний збiрник. К. : КНУБА, 2010. Вип. 86. С. 30—46.

40. Чибгряков В.К., Жупаненко 1.В. Про один алгоритм розрахунку вюесиметричних коливань кругло! пластини // Опр матерiалiв i теорiя споруд : науково-техшчний збiрник. Киев : КНУБА, 2007. Вип. 81. С. 43—50.

41. Чибиряков В.К., Бойко К.Е. Определение частот и форм собственных колебаний по уточненным теориям пластин // Сопротивление материалов и теория сооружений : респ. межвед. науч. сб. Киев : Будiвельник, 1985. Вып. 47. С. 74—80.

42. Чибиряков В.К., Бойко К.Е. Осесимметричные собственные колебания толстых пластин переменной толщины // Сопротивление материалов и теория сооружений : респ. межвед. науч. сб. Киев : Будiвельник, 1986. Вып. 49. С. 54—58.

43. Канторович Л.В. Один прямой метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла // Известия АН СССР. Серия 7. Отделение математических и естественных наук. 1933. Вып. 5. С. 647—652.

44. Sadskul M.N.O., Obiozor C.N. A simple introduction to the method of lines // International Journal of Electrical Engineering Education. 2000. 37/3. Pp. 282—296.

45. Винокуров Л.П. Решение пространственной задачи теории упругости в перемещениях // Бюллетень Харьковского инженерно-строительного института. 1940. № 18.

46. Слободянский М.Г. Способ приближенного интегрирования уравнений с частными производными и его применение к задачам теории упругости // Прикладная математика и механика. 1939. Т. 3. Вып. 1. С. 75—82.

47. Фаддеева В.Н. Метод прямых в применении к некоторым краевым задачам // Труды математического института имени В.А. Стеклова. 1949. Т. XXVIII. С. 73—103.

48. Канторович Л.В., Фрумкин П.В. Применение одного метода приближенного решения уравнений в частных производных к решению задачи о кручении призматических стержней // Труды Лен. ин-та инженер. пром. стр-ва. 1937. Вып. 4. С. 111—112.

49. Слободянский М.Г. Пространственные задачи теории упругости для призматических тел // Уч. зап. Моск. гос. ун-та. Механика 1940. Вып. 39.

50. Слободянский М.Г. Оценка погрешности искомой величины при решении линейных задач вариационным методом // ДАН СССР. 1952. Т. 86. № 2. С. 243—246.

51. Слободянский М.Г. Оценки погрешности приближенного решения в линейных задачах, сводящаяся к вариационным, и их применение к определению двусторонних приближений в статических задачах теории упругости // Прикладная математика и механика. 1952. Т. 16. Вып. 4. С. 449—464.

52. Слободянский М.Г. Оценка погрешностей приближенных решений линейных задач // Прикладная математика и механика. 1953. Т. 17. Вып. 2. С. 229—244.

53. Слободянский М.Г. О приближенном решении линейных задач, сводящихся к вариационным // Прикладная математика и механика. 1953. Т. 17. Вып. 5. С. 623—626.

54. Слободянский М.Г. Приближенное решение некоторых краевых задач для эллиптического деференциального уравнения и оценка погрешности // ДАН СССР. 1953. Т. 89. № 2.

55. Слободянский М.Г. О преобразовании проблемы минимума функционала к проблеме максимума // ДАН СССР. 1953. Т. 91. № 4. С. 733—736.

56. Слободянский М.Г. О построении приближенного решения в линейных задачах // Прикладная математика и механика. 1955. Т. 19. Вып. 5.

57. Винокуров Л.П. Прямые методы решения пространственных и контактных задач для массивов и фундаментов. Харьков : ХГУ, 1956. 280 с.

58. Винокуров Л.П. Расчет плит на упругом полупространстве с применением инженерно-дискретного метода // Вестник инженеров и техников. 1951. № 4. С. 166—171.

59. Винокуров Л.П. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений строительной механики // Труды ХИСИ. 1951. Вып. 3.

60. Винокуров Л.П. Расчет колодца на упругом основании, нагруженного силами, не лежащими в плоскости кривизны колодца // Вестник инженеров и техников. 1938. № 1.

61. Винокуров Л.П. Приближенный метод решения плоских задач теории упругости // Труды ХИСИ. 1949. Т. II.

62. Петров Ю.П. Расчет на изгиб упругих прямоугольных пластин дискретным методом // Труды Харьковского авиационного института. 1961. Вып. 18. С. 86—99.

63. Петров Ю.П. Основы расчета на изгиб пластин дискретным методом // Труды Харьковского Авиационного института. 1961. Вып. 18. С. 67—83.

64. Петров Ю.П. Расчет на изгиб косозащемленной консольной пластины переменной толщины // Труды Харьковского Авиационного института. 1963. Вып. 22. С. 62—78.

65. Петров Ю.П. Расчет на изгиб дискретным методом ортотропных упругих пластин // Труды Харьковского авиационного института. 1963. Вып. 22. С. 79—86.

66. Петров Ю.П. Расчет на изгиб пластин с линейным изменением толщины дискретным методом. Труды Харьковского Авиационного института. 1961. Вып. 18. С. 79—86.

67. Шкелев Л.Т. Использование метода прямых для решения бигармонического уравнения // Реферативная информация о законченых научно-исследовательских ра-

ботах в ВУЗах УССР. Строительная механика, расчет сооружений : сб. Киев : Выща школа, 1971. Вып. 2.

68. Шкелев Л.Т. Расчет пластин произвольной формы в полярных координатах. Плоское изгибное напряженное состояние // Реферативная информация : сб. 1971. Вып. 2.

69. Шкелев Л.Т. Решение краевой задачи для бигармонического уравнения методом прямых в полярных координатах // Реферативная информация : сб. 1972. Вып. 3.

70. Корбаков А.Ф. Развитие и применение метода прямых к исследованию сложного напряженного и деформированного состояния пластин и пластинчатых систем : дисс. ... д-ра техн. наук. Киев, 1985.

71. МорсковЮ.А. Расчет изгибаемых пластин произвольной формы // Реферативная информация о законченых научно-исследовательских работах в вузах УССР, строительная механика и расчет сооружений : сб. Киев, 1977. Вып. 9.

72. Морсков Ю.А. Решение некоторых задач изгиба двухсвязных пластин произвольного очертания // Сопротивление материалов и теория сооружений : сб. Киев : Будiвельник, 1977. Вып. 31.

73. Морсков Ю.А. Применение метода прямых в полярных координатах к решению задач изгиба пластин произвольной формы // Сопротивление материалов и теория сооружений : сб. Киев : Будiвельник, 1979. Вып. 34.

74. Морсков Ю.А. Приближенный метод расчета на прочность пластин и пластинчатых систем (на основе метода прямых) : дисс. ... канд. техн. наук. Киев, 1979.

75. Одинец Е.А. Определение напряженного и деформированного состояния многослойных пластин методом прямых : дисс. ... канд. техн. наук. Киев, 1988.

76. Станкевич А.Н. Развитие метода прямых к расчету составных цилиндрических оболочек : дисс. ... канд. техн. наук. Киев, 1996.

77. Шкелев Л.Т., Морсков Ю.А., Романова Т.А., Станкевич А.Н. Метод прямых и его использование при определении напряженного и деформированного состояний пластин и оболочек. Киев, 2002. 177 с.

78. Шкелев Л.Т., Станкевич А.Н., Пошивач Д.В., Морсков Ю.А., Карбаков А.Ф. Применение метода прямых для определения напряженного и деформированного состояний пространственных и пластинчатых конструктивных элементов. К. : КНУСА, 2004. 136 с.

79. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифферениальных уравнений // Успехи математических наук. 1961. Т. 16. Вып. 3 (99). С. 171—174.

80. Влайков Г.Г., Григоренко А.Я., Шевченко С.Н. Некоторые задачи теории упругости для анизотропных цилиндров с некруговым поперечным сечением. К., 2001. 143 с.

81. Влайков Г.Г., Григоренко А.Я. Некоторые осесимметричные задачи статики и динамики анизотропных тел цилиндрической формы. К., 1998. 58 с.

82. Корбач В.Г. Алгоритм численного решения многоточечных краевых задач механики деформированного твердого тела // Прочность конструкций летательных аппаратов : сб. науч. тр. / редкол.: Львов М.П. и др. Харьков : Харьк. авиац. ин-т, 1990. С. 88—95.

Поступила в редакцию в сентябре 2015 г.

Об авторе: Станкевич Анатолий Николаевич — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой сопротивления материалов, Киевский национальный университет строительства и архитектуры (КНУСА), 03680, Украина, г. Киев, пр-т Воздухофлотский, д. 31, sam@knuba.edu.ua.

Для цитирования: Станкевич А.Н. История и перспективы развития одного из методов решения многомерных задач строительной механики // Вестник МГСУ 2015. № 12. С. 76—91.

A.N. Stankevich

THE HISTORY AND DEVELOPMENT PROSPECTS OF ONE OF THE METHODS FOR SOLVING MULTIDIMENSIONAL PROBLEMS OF STRUCTURAL MECHANICS

The equations describing stress-strain state of the majority of the calculation models in linear statement are considered in frames of the theory of elasticity (statics and dynamics) and thermoelasticity. These equations are defined in three-dimentional space or with account for symmetry in teo-dimentional space and are belong to complicated tasks of mathematical physics. The famous mathematicians and nechanics had already offered solutions for the simplest cases of such tasks. But it is impossible to solve the majority of tasks, especially the dynamic ones, using analythical solutions.

In this work the authors deal with the modern methods for solving multidimensional problems of structural mechanics. The attention is paid to the methods of dimension reduction of the initial equations. The development and improvement of the method of lines is considered in detail, the shortcomings of the existing approaches are enumerated and the possible development direction of the method to the new task classes is offered.

Key words: structural mechanics, method of lines, method of dimentional rediction, projection method, thick plates, multidimensional problems

References

1. Lur'e A.I. Prostranstvennye zadachi teorii uprugosti [Spatial Problems of Elasticity Theory]. Moscow, GITTL Publ., 1955, 491 p.

2. Lyav A. Matematicheskaya teoriya uprugosti [Mathematical Theory of Elasticity]. Translated from English. Moscow, Leningrad, ONTI Publ., 1935, 674 p.

3. Novatskiy V. Dinamicheskie zadachi termouprugosti [The Dynamic Thermoelasticity Problems]. Translated from Polish. Moscow, Mir Publ., 1970, 256 p.

4. Kruz T., Ritstso F. Metod granichnykh integral'nykh uravneniy. Vychislitel'nye aspekty i prilozheniya v mekhanike : sbornik trudov [The Method of Boundary Integral Equations. Computational Aspects and Applications on Mechanics : Collection of Works]. Translated from English. Moscow, Mir Publ., 1978, no. 15, 210 p.

5. Veryuzhskiy Yu.V. Metod potentsiala v staticheskikh zadachakh stroitel'noy me-khaniki: dissertatsiya ... doktora tekhnicheskikh nauk [Potential Methods for Static Problems of Structural Mechanics. Dissertation of the Doctor of Technical Sciences]. Kiev, 1980, 431 p.

6. Veryuzhskiy Yu.V. Chislennye metody potentsiala v nekotorykh zadachakh prikladnoy mekhaniki [Numerical Methods of Potential in Some Problems of Applied Mechanics]. Kiev, Vishcha shkola Publ.,1978, 183 p.

7. Benerdzhi P., Batterfild R. Metod granichnykh elementov v prikladnykh naukakh [The Method of Boundary Elements in Applied Sciences]. Translated from English. Moscow, Mir Publ., 1984, 494 p.

8. Brebbiya K., Uoker S. Primenenie metoda granichnykh elementov v tekhnike [Application of the Method of Boundary Elements in Engineering]. Moscow, Mir Publ., 1982, 248 p.

9. Vaynberg D.V., Sinyavskiy A.L. Raschet obolochek [Calculation of Shells]. Kiev, Gos-stroyizdat USSR Publ., 1961, 119 p.

10. Kupradze V.D. O priblizhennom reshenii zadach matematicheskoy fiziki [Approximate Solution of the Problems of Mathematical Physics]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Success of Mathematical Sciences]. 1967, vol. 22, no. 2

11. Parton V.Z., Perlin P.I. Integral'nye uravneniya teorii uprugosti [Integral Equations of Elasticity Theory]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 312 p.

12. Ugodchikov A.G., Khutoryanskiy N.M. Metod granichnykh elementov v mekhanike deformiruemogo tverdogo tela [Boundary Element Method in Solid Mechanics]. Kazan, Izdatel'stvo Kazanskogo universiteta Publ., 1986, 295 p.

13. Lur'e A.I. K teorii tolstykh plit [On the Theory of Thick Plates]. Prikladnaya matema-tika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1942, vol. 6, no. 2—3, pp. 151—168.

14. Kil'chevskiy N.A. Obobshchenie sovremennoy teorii obolochek [Generalization the Modern Theory of Shells]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1939, vol. 2, no. 4, pp. 427—438.

15. Vlasov V.Z. Metod nachal'nykh funktsiy v zadachakh teorii uprugosti [The Method of Initial Functions in the Axisymmetric Problem of the Theory of Elasticity]. Izvestiya'AN SSSR, OTN. [News of the Academy of Sciences of the USSR. Technical Sciences]. 1955, no. 7, pp. 49—69.

16. Selezov I.T. Doslidzhennya poperechnikh kolivan' plastin [Oscillations Research of Transverse Plates]. Prikladna mekhanika [Applied Mechanics]. 1960, vol. 6, no. 5, pp. 319—326.

17. Selezov I.T., Kil'chitskaya G.A. Privedenie trekhmernoy dinamicheskoy zadachi ter-mouprugosti dlya sloya postoyannoy tolshchiny [Bringing the Three-Dimensional Dynamic Thermoelasticity Problem for a Layer of Constant Thickness]. Teplovye napryazheniya v el-ementakh konstruktsiy: doklady nauchnogo soveshchaniya [Thermal Stresses in Structural Elements : Reports of the Scientific Conference]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1964, no. 4, pp. 172—179.

18. Vorovich I.I. Nekotorye matematicheskie voprosy teorii plastin i obolochek [Some Mathematical Problems in the Theory of Plates and Shells]. Trudy Vtorogo Vsesoyuznogo s"ezda po teoreticheskoy i prikladnoy mekhanike [Works of the Second All-Union Meeting on Theoretical and Applied Mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1966, no. 3, pp. 116—136.

19. Vorovich I.I., Malkina O.S. Napryazhennoe sostoyanie tolstoy plity [Stress State of a Thick Plate]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1967, vol. 31, no. 2, pp. 230—241.

20. Vorovich I.I., Prokopov V.K. Nekotorye voprosy trekhmernoy teorii uprugosti [Some Questions of the Three-Dimensional Theory of Elasticity]. III Vsesoyuznyy s"ezd po teorii i prikladnoy mekhanike. Annotatsiya dokladov [The 3rd All-Union Meeting on the Theory and Applied Mechanics. Annotation of Reports]. Moscow, Nauka Publ., 1968, p. 81.

21. Vlasov V.V. Primenenie metoda nachal'nykh funktsiy k raschetu tolstykh plit [Application of the Method of Initial Functions to the Calculation of Thick Plates]. Issledovaniya po teorii sooruzheniy: sbornik [Investigations on Structural Analysis : Collection]. Moscow, Gos-stroyizdat Publ., 1961, no. 10, pp. 189—207.

22. Vlasov V.V. Metod nachal'nykh funktsiy v osesimmetrichnoy zadache teorii uprugosti [The Method of Initial Functions in the Theory of Elasticity]. Raschet plastin i obolochek [Calculation of Plates and Shells]. 1963, no. 34, pp. 31—45.

23. Vlasov V.Z., Leont'ev N.N. Balki, plityi obolochkina uprugom osnovanii [Beams, Plates and Shells on the Elastic Foundation]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1960, 491 p.

24. Gol'denveyzer A.L. Postroenie priblizhennoy teorii izgiba plastinki metodom asimp-toticheskogo integrirovaniya uravneniy teorii uprugosti [An Approximate Theory of Bending a Plate Using the Method of Asymptotic Integration of the Equations of Elasticity Theory]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1962, vol. 26, no. 4, pp. 668—686.

25. Gol'denveyzer A.L. Asimptoticheskiy metod postroeniya teorii obolochek [The Asymptotic Method of Constructing the Theory of Shells]. Materialy I Vsesoyuznoy shkoly po teorii i chislennym metodam rascheta obolocheki plastin [Materials of the 1st All-Russian School on the Theory and Numerical Methods of Calculating Shells and Plated]. Tbilisi, Izdatel'stvo Tbilisskogo universiteta Publ., 1975, pp. 151—213.

26. Vekua I.N. Teoriya tonkikh pologikh obolochek peremennoy tolshchiny [The Theory of Thin Shallow Shells of Variable Thickness]. Trudy Tbilisskogo matematicheskogo instituta [Works of the Tbilisi Mathematical Institute]. Tbilisi, Metsniereba Publ., 1965. T. 30. 103 p.

27. Akhiezer V.G. Klassicheskaya problema momentov i nekotorye voprosy analiza, svyazannye s ney [Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961, 310 p.

28. Gobson E.V. Teoriya sfericheskikh i ellipsoidal'nykh funktsiy [Theory of Spherical and Ellipsoidal Functions]. Translated from English. Moscow, Izdatel'stvo inostrannoy literatury Publ., 1952, 476 p.

29. Vekua I.N. Nekotorye obshchie metody postroeniya razlichnykh variantov teorii obolochek [Some Common Methods of Constructing Different Versions of the Theory of Shells]. Moscow, Nauka Publ., 1982, 288 p.

30. Isakhanov G.V., Chibiryakov V.K., Smolyar A.M. Chislenno-analiticheskiy metod resheniya zadach statiki tolstykh neodnorodnykh plastin [Numerical-Analytical Method for Solving Statics Problems of Thick Inhomogeneous Plates]. Trudy 13-y Vsesoyuznoy konfer-entsii po teorii plastin i obolochek [Works of the 13th All-Russian Conference on the Theory of Plates and Shells]. Tallin, 1983, part 2, pp. 130—135.

31. Isakhanov G.V., Chibiryakov V.K. Razvitie metoda Vekua I.N. v statike i dinamike tolstykh plastin [Development of the Method of I.N. Vekua in Statics and Dynamics of Thick Plates]. Tezisy dokladov 2-y Vsesoyuznoy konferentsii po teorii uprugosti [Abstracts of the 2nd All-Union Conference on Elasticity Theory]. Tbilisi, 1984, 122 p.

32. Chibiryakov V.K. Obobshchennyy metod konechnykh integral'nykh preobrazovaniy v statike i dinamike netonkikh plastin [Generalized Method of Integral Transformations in Statics and Dynamics of Non-Thin Plates]. Soprotivlenie materialov i teoriya sooruzheniy : re-spublikanskiy mezhvedomstvennyy nauchnyy sbornik [Strength of Materials and Theory of Structures : Republican Interdepartmental Scientific Collection]. Kiev, Budivel'nik Publ., l982, no. 40, pp. 90—95.

33. Chibiryakov V.K., Smolyar A.M. Ob odnom obobshchenii metoda konechnykh integral'nykh preobrazovaniy v teorii tolstykh plastin [On a Generalization of the Method of Integral Transformations in the Theory of Thick Plates]. Soprotivlenie materialovi teoriya sooruzheniy : respublikanskiy mezhvedomstvennyy nauchnyy sbornik [Strength of Materials and Theory of Structures : Republican Interdepartmental Scientific Collection]. Kiev, Budivel'nik Publ., 1983, no. 42, pp. 80—86.

34. Chibiryakov V.K., Smolyar A.M. Teoriya tovstikh plastin ta obolonok [The Theory of Thick Plates and Shells]. Cherkasi, ChDTU Publ., 2002, 160 p.

35. Chibiryakov V.K. Ob odnom variante uravneniy tsilindricheskogo izgiba netonkikh plastin [On a Variant of the Cylindrical Bending Equations of Non-Thin Plates]. Soprotivlenie materialov i teoriya sooruzheniy : respublikanskiy mezhvedomstvennyy nauchnyy sbornik [Strength of Materials and Theory of Structures : Republican Interdepartmental Scientific Collection]. Kiev, Budivel'nik Publ., 1977, no. 31, pp. 59—67.

36. Chibiryakov V.K. Chislennoe reshenie zadach statiki i dinamiki tolstykh plastin [Numerical Solution of the Problems of Statics and Dynamics of Thick Plates]. Chislennye metody resheniya zadach stroitel'noy mekhaniki : sbornik nauchnykh statey [Numerical Methods of Solcing the Problems of Structural Mechanics : Collection of Scientific Articles]. Kiev, KISI Publ., 1978, pp. 153—157.

37. Chibiryakov V.K., Zhupanenko I.V. Vlasni kolivannya tovstoï tsilindrichnoï obolon-ki [Own Fluctuations of Thick Cylindrical Shell]. Opir materialiv i teoriya sporud : naukovo-tekhnichniy zbirnik [Resistance of Materials and Theory of Structures : Scientific and Technical Collection]. Kiev, KNUBA Publ., 2009, no. 84, pp. 127—133.

38. Chibiryakov V.K., Zhupanenko I.V. Vlasni kolivannya tovstostinnoï obolonki obertan-nya zminnoï tovshchini [Proper Rotation Oscillation of a Thick Shell of Variable Thickness]. Promislove budivnitstvo ta inzhenerni sporudi [Industrial Construction and Engineering Structures]. 2010, no. 2, pp. 5—9.

39. Chibiryakov V.K., Zhupanenko I.V. Metodika rozv'yazannya zadachi pro vlasni kolivannya plastin obertannya zminnoï tovshchini [Methods for Solving the Problem of the Oscillations of Plates of Variable Thickness]. Opir materialiv i teoriya sporud : naukovo-tekhnichniy zbirnik [Resistance of Materials and Theory of Structures : Scientific and Technical Collection]. Kiev, KNUBA Publ., 2010, no. 86, pp. 30—46.

40. Chibiryakov V.K., Zhupanenko I.V. Pro odin algoritm rozrakhunku visesimetrichnikh kolivan' krugloï plastini [On One Algorithm of Axially Symmetric Vibrations of Circular Plates]. Opir materialiv i teoriya sporud : naukovo-tekhnichniy zbirnik [Resistance of Materials and Theory of Structures : Scientific and Technical Collection]. Kiev, KNUBA Publ., 2007, no. 81, pp. 43—50.

41. Chibiryakov V.K., Boyko K.E. Opredelenie chastot i form sobstvennykh kolebaniy po utochnennym teoriyam plastin [Definition of Frequencies and Forms of Natural Oscillations in Refined Theories of Plates]. Soprotivlenie materialov i teoriya sooruzheniy : respublikanskiy mezhvedomstvennyy nauchnyy sbornik [Strength of Materials and Theory of Structures : Republican Interdepartmental Scientific Collection]. Kiev, Budivel'nik Publ., 1985, no. 47, pp. 74—80.

42. Chibiryakov V.K., Boyko K.E. Osesimmetrichnye sobstvennye kolebaniya tolstykh plastin peremennoy tolshchiny [Axisymmetric Eigenmodes of Thick Plates of Variable Thickness]. Soprotivlenie materialov i teoriya sooruzheniy : respublikanskiy mezhvedomstvennyy nauchnyy sbornik [Strength of Materials and Theory of Structures : Republican Interdepartmental Scientific Collection]. Kiev, Budivel'nik Publ., 1986, no. 49, pp. 54—58.

43. Kantorovich L.V. Odin pryamoy metod priblizhennogo resheniya zadachi o minimume dvoynogo integrala [One Direct Method for the Approximate Solution of the Problem of the Minimum of a Double Integral]. Izvestiya AN SSSR. Seriya 7. Otdelenie matematicheskikh i estestvennykh nauk [News of the Academy of Sciences of the USSR. Series 7. Department of Mathematical and Natural Sciences]. 1933, no. 5, pp. 647—652.

44. Sadskul M.N.O., Obiozor C.N. A Simple Introduction to the Method of Lines. International Journal of Electrical Engineering Education. 2000, vol. 37/3, pp. 282—296.

45. Vinokurov L.P. Reshenie prostranstvennoy zadachi teorii uprugosti v peremeshcheni-yakh [Solution of the Spatial Problem of Elasticity in Displacements]. Byulleten' Khar'kovskogo inzhenerno-stroitel'nogo instituta [Bulletin of Kharkov Engineering and Construction Institute]. 1940, no. 18.

46. Slobodyanskiy M.G. Sposob priblizhennogo integrirovaniya uravneniy s chastnymi proizvodnymi i ego primenenie k zadacham teorii uprugosti [The Method of Approximate Integration of Partial Differential Equations and Its Application to the Problems of the Theory of Elasticity]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1939, vol. 3, no. 1, pp. 75—82.

47. Faddeeva V.N. Metod pryamykh v primenenii k nekotorym kraevym zadacham [Method of Lines Applied to Some Boundary Problems]. Trudy matematicheskogo instituta imeni V.A. Steklova [Works of the Mathematical Institute Named after V.A. Steklov]. 1949, vol. XXVIII, pp. 73—103.

48. Kantorovich L.V., Frumkin P.V. Primenenie odnogo metoda priblizhennogo resheniya uravneniy v chastnykh proizvodnykh k resheniyu zadachi o kruchenii prizmaticheskikh sterzh-ney [On the Application of a Method for the Approximate Solution of Partial Differential Equations and the Problem of Torsion of Prismatic Bars]. Trudy Leninigradskogo instituta inzhen-erov promyshlennogo stroitel'stva [Works of the Leningrad Institute of Industrial Construction Engineers]. 1937, no. 4, pp. 111—112.

49. Slobodyanskiy M.G. Prostranstvennye zadachi teorii uprugosti dlya prizmaticheskikh tel [Spatial Problem of Elasticity Theory for Prismatic Bodies]. Uchenye zapiski Moskovskogo gosudarstvennogo universiteta. Mekhanika [Scientific Notes of the Moscow State University. Mechanics]. 1940, no. 39.

50. Slobodyanskiy M.G. Otsenka pogreshnosti iskomoy velichiny pri reshenii lineynykh zadach variatsionnym metodom [Errors Estimate for the Unknown Quantity in the Solution of Linear Problems Using the Variational Method]. DAN SSSR [Reports of the Academy of Sciences of the USSR]. 1952, vol. 86, no. 2, pp. 243—246.

51. Slobodyanskiy M.G. Otsenki pogreshnosti priblizhennogo resheniya v lineynykh zadachakh, svodyashchayasya k variatsionnym, i ikh primenenie k opredeleniyu dvustoron-nikh priblizheniy v staticheskikh zadachakh teorii uprugosti [Errors Estimation of Approximate Solutions to Linear Problems, which are Reduced to the Variationals and their Application to the Determination of Two-sided Approximations for Static Problems of Elasticity]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1952, vol. 16, no. 4, pp. 449—464.

52. Slobodyanskiy M.G. Otsenka pogreshnostey priblizhennykh resheniy lineynykh zadach [Errors Estimation of Approximate Solutions of Linear Problems]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1953, vol. 17, no. 2, pp. 229—244.

53. Slobodyanskiy M.G. O priblizhennom reshenii lineynykh zadach, svodyashchikhsya k variatsionnym [On the Approximate Solution of Linear Problems Reduced to Variationals]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1953, vol. 17, no. 5, pp. 623—626.

54. Slobodyanskiy M.G. Priblizhennoe reshenie nekotorykh kraevykh zadach dlya el-lipticheskogo deferentsial'nogo uravneniya i otsenka pogreshnosti [Approximate Solution of Some Boundary Value Problems for Elliptic Deferential Equation and Error Estimate]. DAN SSSR [Reports of the Academy of Sciences of the USSR]. 1953, vol. 89, no. 2.

55. Slobodyanskiy M.G. O preobrazovanii problemy minimuma funktsionala k probleme maksimuma [On the Transformation of the Problem of Functional Minimum to the Problem of Maximum]. DAN SSSR [Reports of the Academy of Sciences of the USSR]. 1953, vol. 91, no. 4, pp. 733—736.

56. Slobodyanskiy M.G. O postroenii priblizhennogo resheniya v lineynykh zadachakh [On the Construction of Approximate Solutions to Linear Problems]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1955, vol. 19, no. 5.

57. Vinokurov L.P. Pryamye metody resheniya prostranstvennykh i kontaktnykh zadach dlya massivov i fundamentov [Direct Methods for Solving Spatial and Contact Problems for Soils and Foundations]. Kharkov, KhGU Publ., 1956, 280 p.

58. Vinokurov L.P. Raschet plit na uprugom poluprostranstve s primeneniem inzhener-no-diskretnogo metoda [Calculation of Plates on Elastic Half-Space Using Integra-Discrete Method]. Vestnik inzhenerov i tekhnikov [Proceedings of Engineers and Technicians]. 1951, no. 4, pp. 166—171.

59. Vinokurov L.P. Priblizhennye metody resheniya differentsial'nykh uravneniy stroitel'noy mekhaniki [Approximate Methods for Solving Differential Equations of Structural Mechanics]. Trudy KhISI [Works of Kharkov Institute of Construction and Engineering]. 1951, no. 3.

60. Vinokurov L.P. Raschet kolodtsa na uprugom osnovanii, nagruzhennogo silami, ne lezhashchimi v ploskosti krivizny kolodtsa [Calculation of a Well on an Elastic Foundation Loaded with the Forces That Do Not Lie in the Plane of the Well Curvature]. Vestnik inzhenerov i tekhnikov [Proceedings of Engineers and Technicians]. 1938, no. 1.

61. Vinokurov L.P. Priblizhennyy metod resheniya ploskikh zadach teorii uprugosti [An Approximate Method of Solving Plane Elasticity Problems]. Trudy KhISI [Works of Kharkov Institute of Construction and Engineering]. 1949, vol. II.

62. Petrov Yu.P. Raschet na izgib uprugikh pryamougol'nykh plastin diskretnym metodom [Discrete Method Calculation of Bending of Orthotropic Elastic Plates]. Trudy Khar'kovskogo aviatsionnogo instituta [Works of Kharkov Aviation Institute]. 1961, no. 18, pp. 86—99.

63. Petrov Yu.P. Osnovy rascheta na izgib plastin diskretnym metodom [Bases of Bending Calculation of Plates Using Discrete Method]. Trudy Khar'kovskogo aviatsionnogo instituta [Works of Kharkov Aviation Institute]. 1961, no. 18, pp. 67—83.

64. Petrov Yu.P. Raschet na izgib kosozashchemlennoy konsol'noy plastiny peremen-noy tolshchiny [Bending Calculation of Sidely Restrained Console Plate of Variable Thickness]. Trudy Khar'kovskogo aviatsionnogo instituta [Works of Kharkov Aviation Institute]. 1963, no. 22, pp. 62—78.

65. Petrov Yu.P. Raschet na izgib diskretnym metodom ortotropnykh uprugikh plastin [Bending Calculation of Orthotropic Elastic Using Discrete Method]. Trudy Khar'kovskogo aviatsionnogo instituta [Works of Kharkov Aviation Institute]. 1963, no. 22, pp. 79—86.

66. Petrov Yu.P. Raschet na izgib plastin s lineynym izmeneniem tolshchiny diskretnym metodom [Bending Calculation of Plates with Linear Variation of Thickness Using Discrete Method]. Trudy Khar'kovskogo aviatsionnogo instituta [Works of Kharkov Aviation Institute]. 1961, no. 18, pp. 79—86.

67. Shkelev L.T. Ispol'zovanie metoda pryamykh dlya resheniya bigarmonicheskogo uravneniya [Using the Method of Lines for Solving Biharmonic Equation]. Referativnaya infor-matsiya o zakonchenykh nauchno-issledovatel'skikh rabotakh v VUZakh USSR. Stroitel'naya mekhanika, raschet sooruzheniy : sbornik [Reference Information on the Concluded Scientific and Research Works in the Higher Institutions of the USSR. Structural Mechanics, Calculation of Structures : Collection]. Kiev, Vyshcha shkola Publ., 1971, no. 2.

68. Shkelev L.T. Raschet plastin proizvol'noy formy v polyarnykh koordinatakh. Ploskoe izgibnoe napryazhennoe sostoyanie [Calculation of Plates of Arbitrary Forms in Polar Coordinates. Flat Bending Stress State]. Referativnaya informatsiya : sbornik [Reference Information : Collection]. 1971, no. 2.

69. Shkelev L.T. Reshenie kraevoy zadachi dlya bigarmonicheskogo uravneniya metodom pryamykh v polyarnykh koordinatakh [Solution of the Boundary Problem for Biharmonic Equation by the Method of Lines in Polar Coordinates]. Referativnaya informatsiya : sbornik [Reference Information: Collection]. 1972, no. 3.

70. Korbakov A.F. Razvitie i primenenie metoda pryamykh k issledovaniyu slozhnogo napryazhennogo i deformirovannogo sostoyaniya plastin i plastinchatykh sistem : dissertatsi-ya ... doktora tekhnicheskikh nauk [Development and Application of the Method of Lines to Study Complex Stress and Strain State of Plates and Plate Systems. Dissertation of the Doctor of Technical Sciences]. Kiev, 1985.

71. Morskov Yu.A. Raschet izgibaemykh plastin proizvol'noy formy [Calculation of Bent Plates of Arbitrary Shape]. Referativnaya informatsiya o zakonchenykh nauchno-issledovatel'skikh rabotakh v VUZakh USSR. Stroitel'naya mekhanika, raschet sooruzheniy : sbornik [Reference Information on the Concluded Scientific and Research Works in the Higher Institutions of the USSR. Structural Mechanics, Calculation of Structures : Collection]. Kiev, 1977, no. 9.

72. Morskov Yu.A. Reshenie nekotorykh zadach izgiba dvukhsvyaznykh plastin proizvol'nogo ochertaniya [Solution of Some Bending Problems of Doubly Connected Plates of Arbitrary Shape]. Soprotivlenie materialovi teoriya sooruzheniy : sbornik [Strength of Materials and Theory of Structures : Collection]. Kiev, Budivel'nik Publ., 1977, no. 31.

73. Morskov Yu.A. Primenenie metoda pryamykh v polyarnykh koordinatakh k resheniyu zadach izgiba plastin proizvol'noy formy [Application of the Method of Lines in Polar Coordinates for the Problems of Bending Plates of Arbitrary Shape]. Soprotivlenie materialov i teo-riya sooruzheniy : sbornik [Strength of Materials and Theory of Structures : Collection]. Kiev, Budivel'nik Publ., 1979, no. 34.

74. Morskov Yu.A. Priblizhennyy metod rascheta na prochnost' plastin i plastinchatykh sistem

75. Odinets E.A. Opredelenie napryazhennogo i deformirovannogo sostoyaniya mnogo-sloynykh plastin metodom pryamykh : dissertatsiya ... kandidata tekhnichaskikh nauk [Determination of Stress and Strain State of Multi-Plates Using the Method of Lines : Dissertation of the Candidate of Technical Sciences]. Kiev, 1988.

76. Stankevich A.N. Razvitie metoda pryamykh k raschetu sostavnykh tsilindricheskikh obolochek : dissertatsiya ... kandidata tekhnichaskikh nauk [Development of the Method of Lines to the Calculation of the Components of Cylindrical Shells : Dissertation of the Candidate of Technical Sciences]. Kiev, 1996.

77. Shkelev L.T., Morskov Yu.A., Romanova T.A., Stankevich A.N. Metod pryamykh i ego ispol'zovanie pri opredelenii napryazhennogo i deformirovannogo sostoyaniy plastin i obolochek [Method of Lines and Its Use in Determining the Stress and Strain State of Plates and Shells]. Kiev, 2002, 177 p.

78. Shkelev L.T., Stankevich A.N., Poshivach D.V., Morskov Yu.A., Karbakov A.F. Primenenie metoda pryamykh dlya opredeleniya napryazhennogo i deformirovannogo sostoyaniy prostranstvennykh i plastinchatykh konstruktivnykh elementov [Application of the Method of Lines to Determine the Stress and Strain States of Spatial and Plate Structural Elements]. Kiev, KNUSA Publ., 2004, 136 p.

79. Godunov S.K. O chislennom reshenii kraevykh zadach dlya sistem lineynykh obyk-novennykh differenial'nykh uravneniy [On Numerical Solution of Boundary Value Problems for Systems of Linear Ordinary Differential Equations]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Success of Mathematical Sciences]. 1961, vol. 16, no. 3

80. Vlaykov G.G., Grigorenko A.Ya., Shevchenko S.N. Nekotorye zadachi teorii uprugosti dlya anizotropnykh tsilindrov s nekrugovym poperechnym secheniem [Some Problems in the Theory of Elasticity for Anisotropic Cylinders with Non-Circular Cross-Section]. Kiev, 2001, 143 p.

81. Vlaykov G.G., Grigorenko A.Ya. Nekotorye osesimmetrichnye zadachi statiki i din-amiki anizotropnykh tel tsilindricheskoy formy [Some Axisymmetric Problems of Statics and Dynamics of Anisotropic Cylindrical Bodies]. Kiev, 1998, 58 p.

82. Korbach V.G. Algoritm chislennogo resheniya mnogotochechnykh kraevykh zadach mekhaniki deformirovannogo tverdogo tela [Algorithm for the Numerical Solution of Multipoint Boundary Value Problems in the Mechanics of Deformable Solid]. Prochnost' konstruktsiy letatel'nykh apparatov : sbornik nauchnykh trudov [Stability of the Structures of Flying Machines : Collection of Scientific Papers]. Kharkov, Khar'kovskiy aviatsionnyy institut Publ., 1990, pp. 88—95.

About the author: Stankevich Anatoliy Nikolaevich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, head, Department of Strength of Materials, Kyiv National University of Construction and Architecture (KNUCA), 31 Vozdukhoflotskiy prospekt, Kiev, 03680, Ukraine; sam@knuba.edu.ua.

For citation: Stankevich A.N. Istoriya i perspektivy razvitiya odnogo iz metodov resh-eniya mnogomernykh zadach stroitel'noy mekhaniki [The History and Development Prospects of One of the Methods for Solving Multidimensional Problems of Structural Mechanics]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 12, pp. 76—91.