Философия математики

ОБРАЗОВАНИЕ

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ МАЗУРОВ Вл.Д.

Я занимаюсь математическими моделями и методами оптимизации и диагностики, а также приложениями математики (особенно методов оптимизации, распознавания и нейронных сетей) в некоторых естественных и гуманитарных науках, в частности, в экономике и в медицине. И, видимо, требуется объяснить, почему я рискнул написать статью по философии математики.

Прежде всего потому, что мне предложил написать эту статью доктор философских наук Ю.И. Мирошников.

Кроме того, дело еще в том, что я - в какой-то степени профессионально - занимался некоторыми вопросами логики и методологии математики, начиная с 1980 года, участвовал во всемирных математических и философских конгрессах, а также в конгрессах по логике и философии науки. И вообще, эта тема меня очень интересует.

Думаю, что я в меру субъективен. Разумеется, я субъективен, но в меру. При написании данной работы обнаружилось, что для достаточно полного изложения предмета нужен очень большой объем. Поэтому данный текст во многом конспективен.

Речь пойдет о метаматематике, метафизике и еще о многом другом.

MATHEMATICS PHILOSOPHY Mazurov Vl.D.

I study mathematical models and optimisation and diagnostics methods, and also mathematics appendices (especially methods of optimisation, recognition and neural networks) in some natural and the humanities. In particular, in economy and in medicine. And, probably, it is required to explain, why I have risked to write lectures on mathematics philosophy.

First of all Doctor of Philosophy YU. I. Miroshnikov has suggested to write me about these lectures.

Besides, as a professional I studied some subjects of logic and methodology of mathematics since 1980, participated in the world mathematical and philosophical congresses, and also in the congresses on the logician and science philosophy. And in general, I have very much interests in this theme.

I think that I am moderately subjective. Certainly, I am subjective, but moderately. At a writing of the given work it was found out that for enough full statement of a subject great volume is necessary very much. Therefore the given text is in many respects concise.

It will be a question ofthe metamathematician - about metaphysics and about many other things.

Окончание.

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ПРОГРАММА

Термин «интуиционизм» связан не столько с интуитивной творческой составляющей математических открытий, сколько с особой изначальной интуицией. Это интуиция натурального числа и построения по математической индукции. Интуиционистские взгля-

ды в некоторой неотчетливой форме наблюдались еще в античной математике, а в последующем они то и дело возобновлялись. Основное положение интуиционизма таково: существование объекта в математике - это то же самое, что построяемость этого объекта.

МАЗУРОВ Вл.Д.

Главное лицо в интуиционистской математике - Л. Брауэр. Предшественник интуиционизма - А. Пуанкаре. Интуиционизм возник в математике в начале XX века благодаря работам Л. Брауэра, Г. Вейля, А. Гейтинга. А. Марков сопоставлял точки зрения интуиционизма и конструктивизма. Интуиционистских взглядов придерживались выдающиеся математики Л. Кронекер, А. Пуанкаре, Э. Борель, Г. Вейль, Т. Сколем. Впервые именно Л. Кронекер в 1870х годах в Берлине высказал идеи интуиционизма. Знаменитый английский математик Ф. Рамсей занимался основаниями математики - он тоже был склонен к интуиционизму. Известный диссидент А.С. Есе-нин-Вольпин в наше время развил ультра-интуиционистскую программу оснований математики и естественных наук. Он претендует на полное изгнание веры из этой области. Вера - это нарушение закона достаточного основания для принятия суждений. Доказательство суждения - «честный прием, делающий это суждение неоспоримым». Эта ультрачестность потребовала от Есенина-Вольпина все более тщательного исследования значения слов естественного языка. Он, впрочем, называл свою систему «неологицизмом - философией обоснованного знания».

Антиномии, возникшие в наивной теории множеств, а также теорема Цермело о вполне упорядочении были симптомами неадекватности классической математики. При анализе этого положения математики стало ясным, что возникшие трудности имеют начало во все той же пропасти между дискретностью и непрерывностью. Раньше эта пропасть явилась причиной затруднений в построении теории функций. И именно арифметические теории вещественных чисел, давших, как казалось, базу анализа, подверглись критике интуиционистов.

Аксиоматизация теории множеств преследовала цель исключения из нее парадоксов. Это могло бы быть достигнуто через ограничения понятия множества. С точки

зрения логицизма, парадоксы говорили о неблагополучии и теории множеств, и сути применяемых в математике методов. Логи-цисты считали: неудовлетворительна не столько математика, сколько логика. И логику надо реформировать.

Позиция интуиционистов еще радикальнее. Они говорили, что в современной математике недостаточно обосновано понятие бесконечности, хотя для математики оно жизненно необходимо. То, что на границе XIX и XX веков были обнаружены антиномии, и именно в теории множеств, следствие того, что в теории множеств бесконечность используется широко и неограниченно. Мы приходим к необходимости преобразования всей математики, чтобы раз и навсегда исключить парадоксы.

Особенно сильное потрясение произвела доказанная в 1904 году Цермело теорема о вполне упорядочении: если верна аксиома выбора, то для любого данного множества М существует некоторый специальный порядок, который вполне упорядочивает это множество. Вполне упорядоченное множество - это такое упорядоченное, которое содержит минимальное начало этого множества.

В ходе исследований обнаружилось, что корень проблемы (возникшей еще в пифагорейской школе и у элеатов) - в преодолении пропасти между дискретным и непрерывным, в аккуратном построении континуума. Возникшие трудности были связаны с тем явлением, которое уже два раза «преодолевалось» - пифагорейцами и элеатами, а затем при построении теории функций. Это явление - различие между индивидуальной природой числа в арифметике и безличностью точки в непрерывном геометрическом пространстве. И между тем и дискретность, и континуальность вполне отвечают нашей интуиции.

Интуиционисты рассматривали арифметику натуральных чисел как источник всей математики. Надо было подчинить анализ комбинаторным методам. Это привело к

положению о континууме как среде свободного становления. Л. Кронекер даже призывал признавать только целые числа, а остальные удалить из математики как не имеющие твердых оснований.

Стремясь показать, что их подход просто необходим, интуиционисты резко и достаточно обоснованно критиковали методы классической математики. Они утверждали, что математика в XVIII веке обнаружила опасности, скрытые в понятии бесконечности и усугубившиеся из-за предложенного затем Л. Дирихле общего понятия функции. Эти опасности были замаскированы классическими теориями действительных чисел, предела, дифференциального и интегрального исчисления - данные теории содержат логические круги. Декларируемая их предельная общность с необходимостью ведет к противоречиям. Знамениты дискуссии Кронекера с Дирихле касательно определения функции.

В основе интуиционистской программы лежат следующие принципы Брауэра:

- исходные математические объекты признаются существующими только через простую интуицию;

- производные объекты строятся из исходных под контролем той же интуиции;

- расширение математического знания посредством дедукции законно только в том случае, когда возможен его прямой интуитивный контроль;

- доказательства «от противного» недействительны.

Однако эти принципы оказались слишком ограничительными, многие важные математические положения не могут быть интуиционистски реконструированы.

Интуиционизм и конструктивизм рассматривают деятельность математиков как создание интуитивно и алгоритмически очевидных конструкций. То, что существование эквивалентно построяемости, говорит у интуиционистов о самом характере математики; именно из этого положения выводятся ограничения, накладываемые на класс допустимых

математических методов. По Брауэру, математика - это не теория, не система правил и предложений, а некая существенная часть человеческой деятельности, особый метод обращения с человеческим опытом.

Интересно, что и здесь приходится обратиться к идеям Л. Витгенштейна. Отметим, что Витгенштейн получил инженерно - техническое образование и одно время профессионально занимался прикладной математикой. Ему близка была конструктивистская сторона интуиционизма. В беседе с Л. Брауэром Витгенштейн воспринял его критику формализма Д. Гильберта, он также критически отнесся к метаматематике. Однако у него не было склонности к иррацио-налистическому варианту философии инуи-ционизма. Сближает Витгенштейна с интуиционизмом его отношение к математике как к области субъективного творчества, а также его деятельностный подход к языку.

Витгенштейн читал лекции по основаниям математики - он предложил теорию интерпретации математических символов. Кроме того, математические открытия он трактовал как изобретения. Витгенштейн обнаружил неполадки в языке математики, которые появляются в результате смешения выражений, выполняющих в языке различные функции.

Интересен подход Витгенштейна к противоречиям. Распространенный среди математиков, особенно среди формалистов, страх перед противоречиями он рассматривает как предрассудок. Можно построить логическую систему не на основе тавтологий, а на основе противоречий. Здесь Витгенштейн предвосхитил паранепротиворе-чивые логики латиноамериканских ученых.

Можно не придерживаться крайнего интуиционизма, но Витгенштейн проливает свет на природу математики. Он утверждал, что через доказательство происходит сотворение математических понятий. Именно конструктивное доказательство является принципиально новым синтезом, построением. И оно должно быть полностью разъясненным и

МАЗУРОВ Вл.Д.

прозрачным. И в этом содержится критика его друга Б. Рассела, у которого природа доказательства латентна. Так что Витгенштейн абсолютно не согласен, что в основании математики может лежать логика.

Далее, Витгенштейн отрицает важность для математики закона исключенного третьего. Он сравнил применение этого закона с выбором между двумя картинами. Ведь может быть, что обе картины не подходят и надо думать о какой-либо третьей.

И Витгенштейн говорил то, что нам мо-

жет совсем не понравиться. Он считал, что математика не нуждается в обосновании, особенно в логическом.

По его мнению, математика - одна из языковых игр, ее основание - в самой человеческой активности.

Xотя Витгенштейн высказывал глубокие мысли, в чем-то ухватывал сущность математики и его критика логицизма была достаточно убедительной, его устремленность на отделение математики от логики не имела перспективы.

ПРОГРАММА ФОРМАЛИЗМА

Это программа Г ильберта. Г ильберт взял у логицистов понятие строгой аксиоматизации и формализации математической теории. Нужно показать, что аксиоматический метод достаточно силен, чтобы получить всю математику, и достаточно самоограни-чителен, чтобы не допустить парадоксов.

Как доказать непротиворечивость математики? Г ильберт в 1899 году свел проблему непротиворечивости евклидовой геометрии к проблеме непротиворечивости арифметики действительных чисел. Но для проблемы непротиворечивости математики этот метод не подходит. Нужен был другой метод. И Гильберт этот метод построил, попытавшись формализовать арифметику, анализ и теорию множеств. Возникла метаматематика.

Требования, выдвинутые Гильбертом к метатеории, таковы:

- метатория есть синтаксическая теория: она имеет дело только со знаковой структурой и с преобразованиями, допустимыми в этой структуре;

- метатеория содержательна: она относится к формализму как к своему единственному предмету и в своих предпосылках не выходит за рамки описания его очевидных свойств;

- метатеория финитна, то есть она не имеет дело с операциями с бесконечными множествами и с математическими прин-

ципами, связанными с допущением актуально бесконечных множеств;

- метатеория конструктивна: всякое утверждение о существовании объекта должно подтверждаться процедурой его построения.

Программа Гильберта, как и программа Брауэра, опирается на идею априорности исходных представлений математики. Математика рассматривается как построение формально непротиворечивых конструкций.

Требование финитности теории у Гильберта было даже более ограничивающим, чем у интуиционистов. В финитном рассуждении фигурирует лишь конечное и определенное число объектов и функций. Определение функций позволяет однозначно вычислить их значение; существование какого-либо объекта не утверждается без указания на способ его построения; множество всех элементов бесконечной совокупности никогда не рассматривается как вполне определенное.

В настоящее время большинство математиков и логиков считают невозможным построение простой метатеории, которая показывала бы непротиворечивость арифметики и теорий, содержащих арифметику.

Ю.Л. Ершов и К.Ф. Самохвалов считают, что программа финитного обоснования, неприменимая к теории множеств, может быть реализована для множества теорий или их фрагментов, связанных с решением задач.

К счастью, оказалось (и это строго про-

демонстрировано), что программа Гильберта в принципе невыполнима. Это вытекает из теремы Геделя, доказанной в 1931 году. Свести математику к механической работе правил вывода невозможно.

Лейбницевский проект универсального

исчисления (когда и моральный вывод тоже вычисляется) как будто сейчас осуществляется в создании цифровой реальности, сопровождающей действительность. Но ядро реальности, ее глубина, все время ускользают от означкования.

КОНСТРУКТИВИЗМ

Конструктивизм - некоторая концепция в математике и в логике (есть конструктивная математика и конструктивная логика). Идеи математического конструктивизма разрабатывали русский математик и логик А.А. Марков, американец Э. Бишоп и немецкие исследователи К. Динглер и П. Лоренцен. В середине 30-х годов XX века было выработано точное понятие алгоритма. Как раз А.А. Марков выработал важное понятие нормального алгорифма (именно так - ф вместо т - тогда произносилось).

Алгоритм - это текст, который в определенных обстоятельствах может привести к однозначному развитию событий - процессу выполнения алгоритма. Математика дает алгоритмы вычислений и обработки символьной информации, и математика строит теоретические модели соответствующих понятий.

Это событие имело важные последствия. Соединение интуиционизма с теорией алгоритмов позволило А.А. Маркову создать свое конструктивное направление в основаниях математики. По Маркову, основными элементами, из которых строится математика, являются конструктивные процессы, и результаты их завершения - конструктивные объекты, а также алгоритмы. Логическая база математики - конструктивная логика, опирающаяся на понятие алгоритма.

До появления парадоксов в теории множеств математики одинаково охотно принимали как доказательства, в которых искомые объекты реально конструируются, так и косвенные доказательства существования.

Конструктивизм связывает утверждения о существовании каких-либо математических объектов с возможностью их построе-

ния. В связи с этим он отвергает ряд установок традиционной теоретико - множественной математики, например, абстракцию актуальной бесконечности и универсальный характер закона исключенного третьего. Если говорить об обучении, то имеется в виду, что обучение - активный процесс; обучаемые конструируют свои знания, исходя из своего опыта.

Конструктивизм, разумеется, есть не только в математике. В более широком поле: конструктивизм противостоит репрезентации. В старину познание считалось зеркалом природы, созерцанием. Затем был и остается актуальным экспериментализм, предполагающий вмешательство в природу.

Тезисы конструктивизма:

1. Мышление - производство знания.

2. Понятия - логические конструкции из данных.

3. Гносеологический конструктивизм: реальность - конструкция познающего ее субъекта.

Конструктивизм прошлого все же предполагал, что существует нечто, независимое от субъекта. А в современном варианте вся действительность конструируется нами. А.А. Марков считал, что математика - техническая наука: она конструирует и исследует орудия, применяемые в разных областях человеческой деятельности: цифры, формулы, уравнения, программы для компьютеров и т.д.

К счастью для всех, великая конструктивная революция в математике не состоялась. Математики вообще предпочитают живую математическую деятельность поискам какой - то особой позиции.

МАЗУРОВ Вл.Д.

Когда в 1960-х годах знаменитый аналитик Э. Бишоп вдруг обратился в конструктивизм, то многими это было воспринято как большое несчастье, хотя Бишоп выдвинул свои принципы, заслуживающие внимания: 1) математика есть здравый смысл; 2) не спрашивай, истинно ли данное суждение, до того, как ты понял его смысл; 3) доказательством является всякое убедительное рассуждение; 4) осмысленные различия требуют рассмотрения.

Определенный вклад в конструктивистское направление внес Л. Витгенштейн, хотя он пытался превратить математиков в лингвистических философов, разумеется, безуспешно. Витгенштейн разработал теорию значений - семантическую теорию, называемую конструктивистской. Согласно этой теории, значение высказывания должно интерпретироваться в терминах тех условий, которые рассматриваются как подходящие для его использования.

КОНЦЕПТУАЛИЗМ

Концептуалисты полагают, что универсалии создаются мыслью. Это положение развили интуиционисты, их точку зрения можно отнести к субъективному идеализму. Множества изобретаются математиками.

Концептуализм - направление, среднее между реализмом и номинализмом в споре об универсалиях. Общее полагается результатом абстракции. Концептуалистам не нравятся ни пышные заросли платонистов, ни пустыня номиналистов. Они любят аккуратно распланированные сады теории. Концептуалисты считают, что именно они понимают, что такое множество; вместо слов «выбор» или «открытие» они говорят «построение». Вместо существования в сознании у них существование в некотором

внешнем мире (идеальном или реальном). Это конструктивизм: они разрешают себе строить множества только из интуитивно понятных или правильно построенных множеств. Они не соглашаются принимать никаких аксиом или теорем, которые позволили бы строить множества неконструктивным образом. Даже понятие несчетности множества они считают лишенным смысла, хотя и допускают случаи, когда появляются неперечислимые множества. И плато-нисты, и концептуалисты требуют, чтобы математика (в частности, теория множеств) была понимаема сама по себе, она не должна содержать неинтерпретируемых исчислений. Они только расходятся в том, что считать пониманием.

ЭМПИРИЗМ

Аристотель предложил эмпиристскую концепцию математики. Он также заметил, что строгость математики вытекает из простоты ее предмета, так как математика работает с абстрактными объектами. Школа Анри Пуанкаре основывается на том положении, что математика имеет источником проблем естествознание, эти проблемы описываются математическими моделями.

Л. Эйлер говорил, что все свои утверждения в теории чисел он выводил из наблюдений за числами. Но математик не может остановиться на эмпирической индукции, как бы очевидна она ни была. Он должен

доказать утверждение как необходимо вытекающее из посылок.

Обоснование позитивизма в математике представлено Дж. С. Миллем. Он выдвигал и использовал смешанный индуктивно-дедуктивный априорный метод. Поздний позитивист А. Маршалл в качестве метода предлагал индукцию, дополненную анализом и дедукцией.

Однако следует заметить, что потеря эффективности при отказе от идеальных понятий (когда мы возвращаемся к практическим рецептам) так велика, что мы оказываемся неспособными к творчеству. К тому же

общие понятия дают возможность выразить множество рецептов в небольшом числе компактных выразительных формул, причем область их применения расширяется.

Позитивистский подход в математике связан со взглядом на построение математических моделей на основе конвенций, чисто условных соглашений. Идея конвецио-нализма связана с именем А. Пуанкаре. Он использовал ее для трактовки неевклидовых геометрий. Пуанкаре полагал, что принципы геометрии не вытекают из опыта, иначе бы они периодически уточнялись; но они и

не априорны, иначе бы не допускались другие геометрии. По Пуанкаре, принципы геометрий - просто удобные соглашения для описания отношений между объектами. Когда математик строит новую модель, то он не считает ее непосредственным описанием реальности, а просто воспринимает как соглашение, удобное для решения соответствующих задач.

Однако следует заметить, что конвенционализм не может приниматься в качестве средства объяснения всего множества принципов математики.

АКСИОМА ВЫБОРА

Кажется (на первый взгляд) ясным, что если нам дано семейство множеств, то существует следующий выбор: можно выбрать по элементу из каждого множества. Однако эта ясность именно кажущаяся. Сразу скажем, что смысл двух слов в этой фразе, а именно «множество» (семейство) и «существует», неопределен.

В функциональной форме эта аксиома уточняется так:. Существует однозначная функция Б: Б(Х) = х, где х - элемент из X, X принадлежит семейству Б непустых множеств.

Эта аксиома (или принцип) Цермело называется также аксиомой произвольного выбора или мультипликативной аксиомой. Это одно из важнейших утверждений современной математики. Основанные на ней теоремы - ядро современной математики. Если отрицание аксиомы параллельности не изменило математическую вселенную, то какие бы то ни было варианты отрицания принципа Цермело не дают такой возможности.

Б. Рассел сказал, что когда впервые встречаешь аксиому выбора, то она кажется бесспорной, но по мере того, как начинаешь размышлять о ней, она представляется все более и более загадочной, а ее следствия - изумительными; заканчивается же тем, что теряешь ее смысл.

Основанные на принципе Цермело рассуждения и факты многочисленны и на-

столько важны, что изъятие его из математики полностью изменило бы ее облик. Так, без использования аксиомы выбора нельзя доказать, что объединение счетного множества счетных множеств счетно. Введенный в 1936 году А.И. Мальцевым принцип компактности - эквивалент аксиомы выбора -никто не оспаривал, и он занимает прочные позиции в математической логике и в математике. Потребность в аксиоме выбора становится все более сильной по мере того, как мы переходим от континуума к абстрактным структурам и пространствам. При доказательстве фундаментальных теорем абстрактной алгебры и топологии используется аксиома выбора. В тысячах статей с помощью этой аксиомы получены важные результаты с прямым указанием на ее использование, в еще большем числе работ она применяется неявно.

Гедель установил непротиворечивость аксиомы выбора, а Коэн - ее независимость от аксиом теории множеств Цермело-Френкеля.

На основе теоремы выбора был получен ряд результатов, кажущихся парадоксальными. Например, Xаусдорф доказал, что можно разрезать шар радиуса Я на такие четыре непересекающиеся части А, В, С и Б, что, двигая как твердые тела части А и В и прикладывая их нужным образом друг к другу, можно получить шар радиуса Я, и действуя

МАЗУРОВ Вл.Д.

так же с С и Б, можно получить второй шар того же радиуса. Это противоречит нашей интуиции, которая, следовательно, далеко не безупречна.

В 1950 году Леви, упомянув парадоксальные следствия аксиомы Цермело, утверждал, что отказ от нее приводит к еще более парадоксальным следствиям.

ПРОБЛЕМА КОНТИНУУМА

Континуум - множество всех подмножеств счетного множества. Например, множество всех натуральных чисел счетно, а множество всех вещественных чисел имеет мощность континуума. Георг Кантор, создавший теорию множеств, поставил проблему континуума: существует ли множе-

ство, мощность которого находится строго между мощностью множества натуральных чисел и мощностью континуума. Коэн в 1960-х годах доказал, что есть две теории множеств: одна, в которой гипотеза континуума принимается, другая - с ее отрицанием.

СТРУКТУРАЛИЗМ

Структурализм - западное изобретение (в Запад мы включаем и Россию). Буквы более структурны, чем иероглифы. Более дробны и менее содержательны.

На Западе был Аристотель, он изобрел формальную логику, затем был Святой Фома, он развил рационализм в теологии, затем последовал рационализм Декарта, много позже - структурализм Бурбаки. Структурализм изобрели русские. Вместе с традиционным рационализмом западная философия содержит в себе и иррациональные течения, и сейчас все более осознается их значение: например, ясно, что жизнь вообще неформализуема.

Ну а Китай... Там все синтетично. Иероглиф собой подразумевает целый мир. Есть такой иероглиф «Вэнь»; он обозначает всю сумму культурных представлений, унаследованных от предков. Есть иероглиф «Цзы», обозначающий «имя».

Письменная культура китайцев использует иероглиф - понятие «вэньюэ» - изучение путем подражания вэнь.

Так получилось, что первые структуралисты были евразийцами. Это Трубецкой, Якобсон, Савицкий. Их работы относятся к 1920-30 годам. Это движение вначале развивалось в области лингвистики. В диало-

ге-противостоянии с этим течением участвовал известный советский лингвист Н.Я. Марр. С другой идеологией и несколько раньше выступал Ф. де Соссюр. С его точки зрения, язык есть некая структура, которая не зависит от тех объектов, которые она выражает. Соссюр также указал на две стороны обмена элементами языка (например, словами). Он уподобил слова деньгам. И деньги обмениваются на материальные вещи - это с одной стороны. А с другой -они обмениваются на какие-то другие знаковые единицы (деньги, ценные бумаги). То же и со словами. Есть ссылки на референции, но есть и просто бытие слов в знаковой структуре.

Как ни странно, И.В. Сталин с его «Вопросами языкознания» тоже имеет отношение к этой тематике. Тогда и в этом случае надо снова упомянуть Марра. Обо всем этом говорит Патрик Серио в книге «Структура и целостность».

На самом же деле в чистом виде структурализм связан с изучением отношений и операций, в некотором смысле это абстрактная алгебра. Недаром математические структуралисты связаны с Бурбаки. В гуманитарной сфере к этому приблизился К. Леви-Стросс. Он говорил, например, об оп-

позициях и корреляциях при изучении культур примитивных народов.

Ф. де Соссюр говорит о сознательном конструировании объектов, это следование номинализму; у Трубецкого объект существует изначально как органическая целостность, что отвечает реализму. Соссюр говорит, что в языке нет ничего, кроме различий.

В самом примитивном виде эти подходы реализуются в виде частотного анализа слов в текстах (фактически это связано с понятием р - комитета как системы элементов, такой, что каждому предикату удовлетворяет более чем р - я часть элементов этой системы).

Структуралистский подход позволяет в некотором смысле частично формализовать неформализуемое. Это нами показано в рамках математического синтеза систем выбора и диагностики.

Нетривиальное построение несобственных объектов (связанных с противоречивыми системами посылок) возможно на основе введенных нами и формально изученных коми-тетных конструкций, которые позволяют обобщить понятие существования объекта.

Итак, структурализм был программной идеей группы французских математиков, Н. Бурбаки, затем он был развит Дж. Маклейном и другими математиками в теории категорий. Используя глубокие абстракции, математика стала изучать не только количественные и пространственные, но и вообще структурные отношения. Впрочем, особой новизны в этом нет - все уже содержится в аксиоматическом подходе. В этом подходе не принимаются во внимание содержательные рассмотрения, природа объектов, составляющих структуру. Фиксируются только отношения и операции над объектами.

МАТЕМАТИКА КАК СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ

Эффективность математики основывается во многом на том факте, что она является системой моделей. Именно удачная модель объекта или явления как приближенное математическое описание - ключ к успеху в понимании объекта, прогнозировании его динамики, в целесообразном воздействии на него. То, что математика может рассматриваться как система моделей, можно понимать в двух смыслах. Во-первых, математика - это постоянно развивающаяся и перестраивающаяся система моделей реальности. Во-вторых, сама математика как теория может быть представлена в замкнутом на себя виде как система моделей. Но это не вся математика: кроме этого в нее входят и эксперименты, главным образом, компьютерные.

Есть еще важное специальное понятие модели как системы объектов, отношений между ними и операций над ними. Это довольно общий способ описания широкого класса теорий.

Моделирование - важный эффективный общеметодологический прием. Наиболее перспективный вид моделирования - знаковое математическое моделирование. Естественнонаучные открытия дают ранее неизвестные свойства действительности. Математические же открытия обнаруживают неизвестные ранее свойства моделей или дают начало новым моделям. Модель -более общая конструкция, чем закономерность. Появление новых моделей часто приводит к принципиальному повороту в развитии математики. Примеры: неевклидовы геометрии, теория множеств, теория категорий. В течение всего XX века развивались неклассические логики (в основном в рамках математической логики), которые существенно расширили наше понимание о познавательной деятельности.

Между тем умение строить модели - целое искусство, надо уметь описывать процессы на языке математики, делать описание по возможности простым, надо уметь

МАЗУРОВ Вл.Д.

ограничиваться минимально необходимым числом характеристик и параметров.

Благодаря идее моделирования постоянно расширяется роль математики в современном мире. Основная причина не столько в конкретных - весьма впечатляющих - успехах математики, сколько в осознании ее необъятных возможностей в прикладных задачах и в ее востребованности в самых разных областях. Математика проникла даже в гуманитарные науки. Применение математики в какой-либо науке означает определенную зрелость этой науки и начало нового этапа в ее развитии. Математика дает весьма общие и достаточно четкие модели в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Конструируемая реальность настолько усложнилась, что без применения моделей, огрубляющих действительность, не обойтись. Изучение свойств моделей - один из способов изучения реальности.

Часто математическая модель представляет собой особый язык описания некоторых явлений. Чтобы справиться с очередными задачами науки и техники, математику самому приходится искать существенное в явлении, то, что впоследствии он назовет моделью. Примеры: дифференциальное и интегральное исчисления. Еще один очень яркий пример: довольно давно механика была переведена в чисто математическую дисциплину. Аналогично этому наглядная геометрия была преобразована Декартом в алгебру, что существенно повысило возможности вывода геометрических свойств. Во второй половине XX века с появлением ком-

пьютеров выяснилось, что постановка многих задач «научно-технического прогресса» (как тогда выражались) не укладывается в модели и постановки задач теоретической математики, которые связаны с принципом абсолютной точности, лежащим в основе формальной логики Аристотеля. Появились модели обработки результатов научных исследований, задачи оптимального планирования, задачи математической диагностики, классификации и прогнозирования. Возникают модели информатики. Возникает и теория «некорректно поставленных» задач. Подразумевается, что в корректных задачах решение существует, оно единственно и устойчиво.

С появлением математического эксперимента, диалоговых процедур работы с моделями открылись новые горизонты исследования реальности. Между прочим, имеет место и некоторая «физикализация» логики и математики. В частности, классические понятия «силы», «импульса», «равновесия» и другие давно получили экономико-математические эквиваленты и аналогии в других областях математики. Развиваются и соответствующие эквиваленты фундаментальных понятий современной физики.

Сейчас одна из наиболее важных областей математики - компьютерные науки. Это фактически прикладная алгебра. И даже само понимание бесконечности воспринимается сквозь призму компьютера. Можно работать со столь большими множествами чисел, что в какой-то мере отпадает необходимость в идеализации понятия «большое» или даже «бесконечное».