Представление Бахадура выборочной квантили для ассоциированной случайной последовательности

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.3.1999

УДК 519.21

Представление Бахадура выборочной квантили для ассоциированной случайной последовательности1

С.В.Екишева

Получено представление Бахадура для эмпирической функции распределения в окрестности выборочной квантили для выборки из ассоциированной строго стационарной случайной последовательности. На основании этого представления для выборочных квантилей доказывается асимптотическая нормальность, функциональная центральная предельная теорема, функциональный закон повторного логарифма.

Целью настоящей работы является исследование предельного поведения выборочных квантилей для выборок из ассоциированных строго стационарных последовательностей. Предельные теоремы для квантилей получены на основе так называемого представления Бахадура для эмпирического распределения в окрестности выборочной квантили, что позволяет почти наверное асимптотически выразить выборочную кван-гиль как сумму асимптотически нормальных ассоциированных случайных величин. Впервые такое разложение получено в [4] для последовательностей независимых одинаково распределенных случайных величая. на нем было основано изящное доказательство центральной предельной теоремы, закона повторного логарифма и других предельных "зойств выборочных квантилей. Позднее разложение Бахадура и вытекающие из него предельные теоремы для выборочных квантилей были подучены для т-зависимых случайных процессов, не обязательно ста-~::эиарных ([14]), для стационарных авторегрессионных процессов ([8]), z.zz¿ стационарных последовательностей с ^-перемешиванием ([15]) и с -перемешиванием ([16]).

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №96-01-00201

1. Формулировка результатов

Пусть '{Xj} -eN - строго стационарная последовательность ассоци ированных действительных случайных величин, заданных на однол вероятностном пространстве Напомним, что конечный на

бор случайных величин £ — называется ассоциированным

если для любых функций f,g : Rm R, неубывающих по каждом) аргументу и таких, что Ef(£)g(£), Ef($), Ед(£) конечны, выполненс неравенство

cov(m,g(0)>V-

Бесконечное множество случайных величин называется ассоциированным, если любое его конечное подмножество ассоциированно.

Пусть F(x) ~ общая функция распределения случайных величин Xj, которую мы будем полагать абсолютно непрерывной, f(x) - отвечающая ей плотность. Пусть также 0 < Xj < 1, j G N.

Для 0 < р < 1 обозначим 0Р р-квантиль распределения F(x), то есть

Qp = inf{x е [0,1] :F(x)=p}.

Для любого натурального п рассмотрим вариационный ряд Xnii < ХП;2 < •• < Хщ\, отвечающий случайному вектору Х2, ...,ХП). Определим выборочную р-квантиль ZnjJ = Zn следующим образом: Zn - Xntr, где г = [пр} + 1. Введем следующие обозначения:

Jn = {te [0,1] : 0Р - n~» <t<Qp + п G N,

п

En(x) = - X) 5: ж}, - эмпирическая функция распределения,

оо

а2р = cov(l{Xl < Qj,}, I{A"i < 0Р}) + 2Y/cov(l{Xl < Qp}A{Xk < 0P});

k=2

Yn(t) = J(Fn(t)-F(t)), t G [0,1].

Тогда, очевидно, a2 = Hmri_>oo(nVarFil(0p)).

Теорема 1 (представление Бахадура) Пусть {ATj}-eN - строго стационарная последовательность ассоциированных случайных величин, F(x) - абсолютно непрерывная функция, /(ж) - отвечающая ей плотность, 0 < Xj < 1, j G N. Пусть для некоторых р G (0,1), V > 0 выполнены условия:

а2р > 0,

оо

Y^ n7cov

n=l

Тогда для всех достаточно больших п почти наверное

всюду далее С, Ci обозначают некоторые положительные константы.

Теорема 2. Пусть условия теоремы 1 выполнены, f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки 0Р, 0 < ft{x) < М < +оо 5 этой окрестности. Тогда для всех достаточно больших п почти наверное справедливо неравенство

\nHZn - 0Р)/

при п —> оо

г-^Ш{2п-ер) -+d /v

СГр

Рассмотрим пространство С[О,1] всех непрерывных на [0,1] функций с равномерной метрикой и определим случайный процесс {Wn(t), t € j. 1]} с траекториями из этого пространства:

wn(0) = 0,Wn( J) = k = 1,..., n,

wn(i) = Wn(i) + и - Ar) (Wn(4±i) - Wn(*)),

Теорема 3 (функциональная центральная предельная теорема для выборочных квантилей) Если условия теоремы 2 выполнены, то при z —» +оо последовательность случайных процессов {Wn(t),t G [0,1]} :~мбо сходится к стандартному броуновскому движению в пространстве С[0,1].

Теорема 4. Пусть условия теоремы 2 выполнены и последовательность {iVr} случайных величин, принимающих значения из мно-~,tcmea натуральных чисел, такова, что при г — +оо

г-'Nr -+р А,

j; Л - некоторая случайная величина, заданная на том же веро-- г:чост,ном пространстве, что и исходные случайные величины Xj. Г fda при г —» +оо последовательность распределений процессов

£ [0,1]} на С[0,1] слабо сходится к стандартному броунов скому движению.

В пространстве £>[0,1] с равномерной топологией рассмотрим последовательность случайных процессов:

= (м + 1)/(еР)и„,н,-ег) (€ [одь п ^

(Г,

л/2 п 1п1птг

и шар Штрассена

К = {*(*),* е [о, 1] : х(г) = / Цг){1г, [ < 1}.

ио Jo

Теорема 5 (функциональный закон повторного логарифма для выборочных квантилей) Множество предельных точек {Нп, п > 3} е И[0,1] почти наверное совпадает с К.

2. Вспомогательные утверждения

Лемма 1 ([17], обобщение (22.15) [1]) Пусть {X,} - строго стационарная последовательность ассоциированных случайных величин заданных на одном вероятностном пространстве (П,3-,Р), Р(х) -их общая функция распределения, являющаяся непрерывной. Пустг также 0 < Х^ < 1, ] £ ГЧ, а2 > 0, и существует положительное ь такое, что справедливо неравенство:

оо

13

+1/соу(Х1,Хп) < +оо.

п=1

Тогда

для всех из отрезка [0,1].

Лемма 2 ([1]) Пусть для последовательности случайных величиг выполнены все условия леммы 1. Тогда для всех з £ (0,1) выполнено

вир |Уп(г) — К(з)| < 3 тах |У„(з + iq) - Уп(з)| + цп^,

8<г<з+тд 1<г<т

где т £ ]Ч, з + mq < 1.

В [1] соответствующее неравенство доказывается для последовательностей с (^-перемешиванием. Это доказательство дословно переносится на случай ассоциированной последовательности.

Лемма 3 (следствие 1а [10]) Пусть для некоторого с^ £ N заданы случайные величины {£п,п> € определенные на одном вероят-

ностном пространстве и имеющие конечный момент порядка у > 1. Пусть также существуют числа а > 1 и {ип > 0,п £ такие, -¡то для любого прямоугольника Я из

R = R

= {га = (щ, ...,n«t) €Zd+:bj < rij < b3 + m3, Vj, j = 1,

аполнено

E

bi+mi bj+mj

E - E ......

Til =¡>1+1 nd = bd + l

nd

<

E<

\n£R

J}

гогда для любого R из Ъ+ выполнено

Е (maxi<Pl<mi ... maxi<Pd<md

Ebl+Pl Sr^bd+Pd t

m=bi+i "• ¿-/nd=bd+i sni,—."d

bd+Pd

<.(§)"(i-гм)/^-^^«,)«.

Лемма 4 (частный случай леммы 1[7], обобщающей лемму 3.1 [6]) Ъсть X, Y - ассоциированные случайные величины, непрерывные 'дикции /г. : R —> R,f/ : R — R имеют на всей числовой прямой ограниченные частные производные справа и слева, причем эти прободные совпадают везде, кроме, может быть, конечного числа moss. Тогда справедливо неравенство:

\cov(h(X),g{Y))\ < M1M2cao{X,Y),

dh+ дх ,sup хе R dh~ дх

дд+ дх ,sup х€ R дд~ дх

Mi = max <( sup Mi = max ^ sup

Лемма 5 (замечание 3 [3], обобщение оценки [5]) Пусть леоциированная последовательность случайных величин, ~Er)j = 0, ; X и существуют числа г > 2, /? > 0, и > 0 такие, что выполнены -.-ующие условия:

8ирЕ|^|г+/3<+оо,

U{n) —

ke N

sup C0v(l]k,7]m) = 0{n ").

m-.\m—k\>n

Тогда

m+ra

sup E

mgNUO

V r

k=m+1

О (in7(rAi/)) ,

где

7

а величина Pq = i—^—L.

3. Доказательства

3.1. Доказательство теоремы 1

Для каждого натурального п определим события

= {u; : supieJn |(Fn(t) - F(t)) - (Fn(0p) - p)| > 4n~l Inn} = : supieJn |yn(i) - У„(0р)| > 4n-hnn}.

Введем числовую последовательность {nt}iEN, nk — схр к.

_ 5 _5_

'Зафиксируем к £ N и положим ^ = тк = + 1.

Тогда, в силу леммы 2 и выбора qk, тк справедлива следующая цепочка

неравенств:

Р

пк<п <п*+1 пк<п<пк+1

< Р{ max sup IYn

Пк<П<Пк +1 s

(-)f,<i<0p-fn~TI

+P

Пк<П<Пк+1 5

ep-n""i?<i<0p

_ i

< P

пк<п<пк+1 1 <1<тк Т

+Р( max max |К(0Р - lqk) - Уп(0Р)| > пк* Ыпк).

пк<п<пк+1 1 <1<тк т

Определим для О < .s < t. < 1, г € N, j = ],..., m* случайные величины

б(-М) = (ВД < О - m) - (MX.; <*}- F (s))]

Uj = + (j - l)qk,Qp+ jqk),

Vi,j = - 34k, Op - (j - l)?fc),

для натуральных j > mu определим = 0, rjij = 0. Тогда для всех £ N, / = 1, ...,mfe справедливы следующие соотношения:

Щ0Р + Ы n У/&(ep,0p + /çfc) »=1 1 у/п ±±t, i=1 J=l

у;(0р - - K(0P) n t=l 1 y/ïi n / 2L ¿^ "•••» ¿=i i=i

зодолжая цепочку неравенств (7), получим

П I 3

Р

nfc<n<nk+1 nfc<n<nk + 1 l<Kmk j=li=1

+P( max max | E E Wjl > nk+1 lnnA).

n*<n</i*+1 l<f<m* ,-1

сэатимся к обозначениям леммы 3. Рассмотрим прямоугольник R - Ji: ¿2, J2), Пк < г2 - ¿1 < Если ji > ть тогда

¿2 ¿2

Е Е Î«)4 = о-

¿=»1 + 1 +1

'2 < тогда в силу строгой стационарности последовательности л леммы 1 (с V = |) справедливо

- Ь «2-П .72 («2-П 72 ¿2-«1 71 \

: Е б'.)4 = Е( Е Е б'.)4 = Е Е Е -ЕЕ &

;=л + 1 ¿=1 ¿=л+1 \ '=1 .?=1 ' = 1 /

= (¿2 - г,)'2Е|П2-и(«Р+./2%) ~ ¥г^ч(р+Ш\4 Сп2 - ¿1)2((г'2 - + (¿г - Л< 2С(г2 - - ¿0*

2С)ё(г2 -г\) э 0'2 — ii ) ) < ( Е

с U{j = (2С)бг'э. Наконец, для прямоугольников R с jj < j2 > rrik путем таких же рассуждений получаем

б

¿2 h г2 тк ( г2 тк \ 5 ( \

Е( Е Е Ы4 = Е( Е Е U4 < Е Е < Е

i=n+lj=ii + l !=11 +1 i=ii + l \»=U i=il J \i,j€R У

Аналогично оцениваются Е(Ег- ^¿j)4- Таким образом, из леммы 3 будет следовать:

Е( max max lEJ=i ZLi

P( и Ап) < ä-

nk<n<nk+1 (In nk)4n%+l

E( max max | E!=i Vi,j I)4 ,,-v>k+i -^m*

H---—3-:- S Ь1--

- (lnn*)4nj+1

< C2 In-4 щ = C2k~A при этом константы Сi, С2 не зависят от к. Отсюда вытекает, что

со оо

U Лп)<С2^к-4<+ оо.

к=1 пк<п<.пк+1 ¿=1

Таким образом, по лемме Бореля-Кантелли, для всех достаточно больших натуральных п с вероятностью 1 выполнено (3). Теорема 1 доказана.

3.2. Доказательство теоремы 2

Сначала докажем (4). Для этого определим события Вп. п 6 N: Вп = < 0Р — n~2 In п |

= |не менее г из 1,-, i — 1, ...,п, не превосходят 0р — n~Hnn j i Е < 0p-nrhnn} - F(0p - 77-2 1,1 п)) >

> -F(0p -n-hnn)}. Зафиксируем п и рассмотрим случайные величины

rjj = I{Xj < 0Р — т/_2 Inn} — F{QP — TI'I Inn).

Заметим, что {—rjj} - набор ассоциированных случайных величин. Убедимся в том, что для {—r/j} выполнены условия леммы 5. Действительно, Е(-rjj) = 0, Vj € N,

supE| -Vj\r+ß < +00, Vr,/3 > О, j'eN

т: скольку I — r¡j\ < 2.

00

Проверим теперь, что ряд £ cov(r¡i,rjk) мажорируется сходящимся

к= 1

том Сз Em=i соуз Хт). Определим для каждого к £ N функцию . 2') следующим образом:

1, X < 0р — П_2 Inn, .. (х) = ^ Q, X > Qp - п~2 Inn + ак,

I _ 3""ep+a" 71n", 0р — п 2 Inn < ж < 0Р — n~2 Inn + a¿,

ттследовательность положительных чисел {ак} зададим позднее. То-"ТЕ зз леммы 4 для любого к и всех достаточно больших п с учетом ~~эвия на плотность f(x) получим неравенство

\cov(I{Xi < 0р — п"2 lnn},I{X/t < 0р — n"2 1пп})|

тт cov(Xi,Xk) = 0, то cov(r]i,r)k) = 0, поскольку (8) выполнено для гтто ак > 0. Если cov(Xi,Xk) ф 0, то выберем ак = covз(Хх,Хк) и в тт S) получим для всех номеров к:

Icov(r)i,T)k)\ < C^cov* (Xl7 Хк).

: it: образом, в силу неравенства Гельдера и условия (2) имеем для

Tt «гттэ т £ N:

Ylb=icov

< CaELi k7cov{XuXk)\lЕГ=1 к-Щ < С<.

: :ельно, ряд cov(r1'i-i1lk) сходится. Аналогично, для остатка

жт из ту чаем

Y,ZmCOV

~ < (C6m-I)l < Cem-f.

Выберем г = |,/3 = Тогда (9) влечет выполнение условий леммы 5 I ¡Аз = |. Итак, можно утверждать, что

-

т-\-п 2

" < С7пл. (10

sup.

т> О

m+n к~т+1

Заметим далее, что г

F{Qp-n~i Inn) = F

n

(11

Покажем теперь, что для достаточно больших п почти наверное

1

Zn > Эр - п 2 Inn. (12

Заметим, что в силу (1 j ) события Вп можно переписать

Вп = {Zn < Ор - «Л In n} = | 7>i > тп f(Qp)y/n In'i

здесь числовая последовательность тп —» 1 при п —> оо. Обозначил« г = infn>1{r„}, при этом в силу (И) и условия на плотность f(x) выполнено неравенство т > 0.

Заметим, что (10) представляет собой условие леммы 3 для последовательности {гц, i £ N} при d =1,7= |, а = и,- = (6*7)5, г £ N. Пуст! числовая последовательность {/гд.} такая же, как в доказательстве теоремы 1. Тогда из леммы 3 и (11) следует справедливость цепочкЕ неравенств

Р

< C8n|+1(/(0p)r In njk)~Iга^ <

при этом константа Сд не зависит от к. Отсюда

со со

ТР( М вп)<с9Тк- 1<+оо,

= l пк <n<nk+l к= 1

и из леммы Бореля-Кантелли получаем (12).

Аналогично доказывается, что для достаточно больших п почти навер-j мое выполнено |

Zn < р + Inn. (13

аким образом, из (12) и (13) получаем для всех достаточно больших с вероятностью 1:

\гп - 0Р| < п-2 1пп.

рп{гп)^~ = р + о(п-1),

зшользуя условия на производную плотности распределения в неко-1уэй окрестности точки 0Р и (14), получаем для достаточно больших почти наверное:

\рп(гп) - г{гп) + /(&Р)(гп - ер)|

= IР + о{п-') -р- №Р)

+/(0р)(Я71-0р)|<С1Оп-ЧП2П,

гегъ Ап - случайные величины такие, что 0Р < Дп < или 0Р >

., > гп.

Ш и теоремы 1 следует, что почти наверное выполнено

та?f

-mi(Fn(Zn) -- F(Zn))\ + I nt(Fn(Qp) - р) - n*(Fn(Zn) - F(Zn))\ (16) < Cn~ 8 Inn

^достаточно больших n, поскольку Zn £ -Jn для достаточно больших зачти наверное. Это доказывает (4). Для доказательства (5) заметим, что из (16) вытекает:

uz f

наверное для достаточно больших п, а случайные величины Щ0Р) для любого натурального п представляют собой нормиро-з^те суммы ассоциированных центрированных строго стационарных тайных величин р — I{Xi < 0Р}, для которых выполнены все усло-зентральной предельной теоремы ([11]). Сходимость ряда их ко-—щдай соь(\{Х\ < ©р}, 1{Хп < 0Р}) доказывается так же, как

£зывалась сходимость ряда с0?;(7/ь г1к) при проверке условий

ззй 1. Значит, при п —> оо

-Нр-Рп

Из (17) следует, что последовательность распределений случайных В1 личин пз /(0р)(^„ — 0Р) имеет тот же слабый предел, то есть выполнен

СГр

-

при п —> оо. Это оканчивает доказательство теоремы 2. 3.3. Доказательство теоремы 3

Рассмотрим еще одну последовательность случайных процессе Е [0,1],п £ ./V}, определенных следующим образом:

^п'(О) = О, = к = 1,..,п

жт = \к*п(к-) + (ш - к) (и^) ~ , *€[* * = о,...п-1.

Для случайных процессов выполнены условия функщ

ональной предельной теоремы [12], поскольку случайные величин] р — I{Х{ < 0р} ассоциированные, центрированные, образуют строг стационарную последовательность, и ряд их ковариаций сходится. Знг чит, при п оо имеет место слабая сходимость вероятностных мер пространстве С [0,1]:

IV, (18

где Ш - стандартное броуновское движение. Докажем, что при п —> о

р№п,]¥:)->р 0. (19

Для этого выберем числовую последовательность {кп},кп € N тав чтобы кп —» +оо, кпп~г —» 0 при п —> ос. Имеем

\Wnit) -

— — п п — —

При этом почти наверное

sup0<i<ilL |Wn(i)| = maXi<k<kn

— — n

kf

СГрл/п

< ^"ахкк, \Zk - 0p| < MM - 0, n -> oo.

Далее, из (18) следует, что {W*(i)} является плотным семейством ме] на С{0,1] и, следовательно, при п —> оо

sup \w:(t)\->po.

о <t<^

Наконец , из задания процессов {W*(t)} и {Wn(t)} и (4) получаем ошенку:

sup \wn(t) - w:(t)\ =

n — —

= max kn<k< 1

kf

<Tp\/n

< С12П 8 In n

гля достаточно больших п почти наверное. Тогда (19) выполнено, и :&бые пределы и (И/п(^)} совпадают. Это оканчивает доказа-

тельство теоремы 3.

3.4. Доказательство теоремы 4

Отметим, что утверждение (18) означает справедливость принципа :тзариантности для последовательности ассоциированных случайных величин {р — l{Xi < ©},г £ -/V}. При его доказательстве ([12]) было гзановлено, что Уе, г/ > 0 существуют <5 > 0 и щ такие, что для всех > ^о выполнено:

Р{и>в(Ю >е}<ъ

1г - модуль непрерывности семейства функций : а; € О}.

Тггзга из (19) следует, что при п > по имеет место неравенство:

P{b>s(Wn) > Зе} < 2г}.

5 ¡) и теоремы 2 [7] следует асимптотическая нормальность выбороч-; квантилей, когда объем выборки является случайной величиной:

yfNTf{QP)

О-п

-ЦП^ •

Г ;:четом

5.5. Доказательство теоремы 5

г ¿тгмотрим еще одну последовательность случайных процессов:

щт = + е [01 Ч1 „ > д.

стру/2п In In

п

Лея ло стационарной последовательности случайных величин р — ЩЛ _ ©} выполнены условия функционального закона повторного

логарифма [2], поскольку они являются ассоциированными, центрированными, Е|р — I{Xi < 0}|3 < оо и для этой последовательности коэффициент Кокса-Гримметта в силу (9) удовлетворяет соотношению

з

и(п) < Ci3"n~2 .

Значит, множество предельных точек семейства {Н*, п > 3} в D[0,1] с равномерной метрикой почти наверное есть множество К. Покажем, что при п —» оо почти наверное выполнено:

р(нп,л:)^ о.

Действительно, из (17) следует, что существует С'м < +оо такое, что с вероятностью 1 для всех к £ N

у/.kf

Тогда выполнено почти наверное

р{НП,Щ) = sup0<<<1 \Hn{t) - H*(t)\ <

<сы.

SUPo<i<l

yj2cr| In In n

VM + I

VM+T/(0p)(^m+1 - 0P)-

<

y/2<j2 In In n

suPjteN

Vkf

< C*i5(In In il) 2.

что доказывает (22). Таким образом, семейства {Нп, п > 3} и {И*, п > 3} в равномерной топологии на D[0,1] почти наверное имеют одинаковое множество предельных точек. Теорема доказана.

Литература

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер: Пер. с англ. М.: Наука, 1977. 352 с.

2. Булинский A.B., Функциональный закон повторного логарифма для ассоциированных случайных полей//Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т.1. №3. С.628-639.

3. Булинский A.B. Неравенства для моментов сумм ассоциированных мультииндексированных величин/[ Теория вероятностей « ее применения. 1993. Т.38. Вып.2. С. 417-425. I

4. Bahadur R.R. A note on quantiles in the large samples/J Ann. Math. Statist. 1966. V.37. P. 577-580.

5. Birkel T. Moment bounds for associated sequences//Ann.Probab. 1988. V.16. MS. P. 1184-1193

5. Birkel T. On the convergence rate in the central limit theorem for associated processes//Ann. Probab. 1988. V.16. №4. P.1685-1698.

Bulinski A.V. On the convergence rates in the CLT for positively and negatively dependent random fields///n: Probability Theory and Mathematical statistics. Edited by I.A.Ibragimov and A.Yu.Zaitsev. Gordon and Breach Publishers. 1996. P. 3-15.

i. Dutta K., Sen P.K. On the Bahadur prepresentation of sample quantiles in some stationary multivariate autoregressive processes//J. Multivariate Analysis. 1971. V.l. P. 186-198.

- Mogyorodi J. Limit distributions for sequences of random variables with random indices / / 4~th Prague Conference In-far. The.Statis.Dec.Fns Random Proc. 1965. P. 462-470.

Moricz F. A general moment inequality for the maximum of the re-::angular partial sums of multiple series/¡Acta Math.Hung. 1983. ¥41. P.337-346.

- Seaman C.M. Normal fluctuations and the FKG-inequalities. Vwmmun.Math.Phys. 1980. V.74- P. 119-128.

1 !»*£sman C.M.,Wright A.L. An invariance principle for certain depen-sequences//Ann. Probab. 1981. V.9. P. 671-675.

1EK C.M. Asymptotic independence and limit theorems for pos-

- - r]y and negatively dependent random variables///«: Inequalities 5:/utistics and Probability. Ed. By Y.L.Tong. Harvard: IMS. 1984-? 127-140.

ill. fez P.K. Asymptotic normality of sample quantiles for m-dependent ;.".3£sses//Ann. Math. Statist. 1968. V.39. P. 1724-1730.

IE. U.K. On the Bahadur representation of sample quantiles for se-i^rnces of ^»-mixing random variables[/J. Multivariate Anal. 1972. "¿P. 77-95.

16. Yoshihara K.-i. The Bahadur representation of sample quantiles for sequences of strongly mixing random variables//Statistics and Probability Letters. 1995. У.Ц. P. 299-304

17. Yu H. A Glivenko-Cantelli lemma and weak convergence for empirical processes of associated seduences//Probab. Theory Relat. Fields. 1993. V.95. P. 357-370.

Summary

Ekisheva S.V. The Bahadur representation of sample quantile for as-sociatedstochastic sequence

We obtain the Bahadur representation for the empirical distribution function in the case of associated strictly stationary random sequence. The result is used to prove the asymptotic normality of sample quantile, the functional central theorem and the functional law of the iterated logarithm for sample quantile.

Сыктывкарский университет Поступила 05.05.1998