О формуле Бретшнайдера для сферического четырёхугольника

УДК 514.132

О ФОРМУЛЕ БРЕТШНАЙДЕРА ДЛЯ СФЕРИЧЕСКОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА*)

Г, А. Байгонакова, А. Д. Медных

1. Введение

Классическая формула Герона выражает площадь евклидова треугольника через длины его сторон. Индийский математик и астроном Брахмагупта в семнадцатом веке получил аналогичную формулу для выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность. Немецкий математик Карл Бретшнайдер в 1842 г. нашел площадь произвольного евклидова четырехугольника через длины его сторон и сумму двух противоположных углов. Цель настоящей работы получить аналог теоремы Бретшнайдера в сферической геометрии.

Важность затронутой здесь тематики обосновывается следующими причинами. Одним из актуальных направлений современной геометрии является изучение множества состояний механических систем или, что то же самое, геометрических конфигураций. Это множество, как правило, зависит от конечного числа параметров и представляет из себя многообразие с особенностями, которое в настоящее время принято называть коническим многообразием или орбифолдом. Во многих случаях строение орбифолда описывается средствами элементарной евклидовой или неевклидовой геометрий, что и приводит к необходимости восстановления классических теорем указанного выше типа.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (коды проектов 12-01-00210 и 10-01-00642) и Советом по грантам при президенте Российской Федерации (гранты МК-4447.2012.1 и НШ-921.2012.1).

©2012 Байгонакова Г. А., Медных А. Д.

Это же относится и к геометрии узлов, заложенной в работах Р. Райли и У. Терстона в последней четверти двадцатого века. Данное направление активно развивается новосибирской геометрической школой (см. [1-3]).

Все изложенные ниже факты могут быть использованы также и для вычисления объемов многогранников в пространствах постоянной кривизны (см., например [3-5]).

В следующем пункте приведем некоторые факты из книги [6], написанной в 1886 г. Эта замечательная книга наверняка недоступна большинству читателей. Поэтому для удобства изложим необходимые сведения из указанной монографии, сопроводив их ссылками на современную монографию [7].

2. Стереографическая проекция

Важная модель сферической плоскости получается с помощью стереографической проекции. Спроектируем единичную сферу Б2 : х§ + х\ + х\ = 1 в пространстве Е го ее южного полюс а О = ( —1,0,0) на плоскость Е : х0 = 0. Если точка па сфере задается координатами А = (хо, XI, Х2), то ее проекция на плоскость имеет вид а = (уь уг), где

хх

У1 = -ГТ' У2 = —гт-

хх

Обозначим указанное проектирование через Ф, полагая Ф(А) = а. Поль-

Е

помощью Ф метрикой <в2 = + <х\ + сферы Б2. Для нее получится выражение [7, с. 40]

2 <1у1 + ¿у\

гЬ =

уу

Формула (2) показывает, что отображение Ф сохраняет углы между кривыми. Это же обстоятельство можно вывести и из того факта, что Ф является ограничением на Б2 инверсии пространства Е3. Центр этой инверсии — точка О, а неподвижное множество — сфера радиуса

а/2 с центром в точке О [6. с. 162; 7, с. 42]. Отсюда, в частности, следует и другое важное свойство отображения Ф: оно переводит окружности на сфере S2 в окружности или прямые на плоскости E2.

3. Стереографическая проекция сферического треугольника

Пусть ABC — сферический треугольник. Обозначим через A' и B' точки, диаметрально противоположные точкам A и B соответственно. Без ограничения общности можем считать, что A' = О, т. е. A является «северным полюсом» сферы S2. При этом отображение Ф проектирует стороны AB и AC в прямые ab и ас, и сторону BCB' — в дугу окружности bcb'. Проведем касательные bt, ct через точки b и с этой окружности. Поскольку Ф — конформное отображение, углы bac,tba и tca равны углам A, B, C соответственно (рис. 1). Проводя хорды bc и b'c и пользуясь теоремой о том, что величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается, получим [6, с. 163]

A + B + C - -к = 2tbc= 2bb'c.

А

В a_ С

\ ч

О

Рис. 1. Сферический треугольник.

Отсюда угол ЬЬ'с равен половине сферического избытка треугольнике АБС. Заметим, что поскольку кривизна единичной сферы Б2

равна +1, то сферический избыток A + B + C — п равен площади треугольника ABC.

Обозначим через a, b, c длины сторон сферического треугольника ABC

abc и ab'c. Учитывая, что радиус сферы S2 равен 1, имеем

ab = tg АО В = tg ^

и

ас = tg АОС = tg —.

Замечая, что треугольники BOC и bOc подобны, получим

Ьс = вс.^ = вс-оЬ-°в 2ВС

ОС ов ОС овОС' где ОЪ ОВ = (а/2)2 = 2. Поэтому

Ьс= f1 е-

cos tj COS ^

Пусть ас пересекает окружность bcb' в точке с'. Тогда проекцпя с' точки C' диаметрально противополож на точке C. Так так у гол BOB' прямой, имеем

ab' = tg АОВ' = cot ^,

и

ас' = tg АОС' = cot ^.

Поэтому

bb' = ab + ab' = 2 cos ее c,

а также

cc' ac ac' b,

. 2В С cos ~

СА»' • ОС cos | sin I Ясно, что если ab'c — проекция треугольника AB'С, то abc' — проекция ABC'. Следовательно, равенства (7), (8) и (11) следуют из уравнений (4), (5) и (6). Другой способ их доказательства состоит в том, что из равенства Oa = 1 выводятся соотношения ab  ab' = 1 и ac  ac' = 1, а также bb' = Ob  Ob' и cc' = Oc  Oc'.

4. Площадь сферического четырехугольника

Рассмотрим четырехугольник ABCD, стороны AB, BC, CD, DA соответствуют a, b, c, d. Проведем диагонали AC, BD и обозначим их длины через S и S' соответственно.

С помощью стереографической проекции спроектируем четырех-

A

ложную центру проекции O. Тогда проекция будет состоять из двух прямолинейных отрезков и двух дуг окружностей. Если проведем касательные bt и ct к дуге bc и касательные ct', dt' к дуге cd, то в силу (3) получим равенство

S = A+B + C + D - 2п = 2tcd + 2t'cd = 2bc'd,

где c и c1 точки пересечения окружности, в которые проектируются BC и CD. Из рассмотрения евклидова треугольника bc'd имеем

9 S 9 , ~ , (bd+bc' - dc') (bd + dc' - bc') sin" — = sin" bc'd =

4 4bc'  dc'

Воспользуемся равенствами

sin . COS ~ . COS ~

bd = --—j, bc = -" r, , dc = -—-—j.

cos f cos I cos f sin cos I cos f

Отсюда площадь S сферического четырехугольника ABCD определяется по формуле [6, с. 165]:

S

sin — =

4 4 cos f cos | cos § cos |

( S S' a c b d x sin - sin--b cos - cos--cos - cos -

V 2 2 2 2 2 2

f S S' a c bd\ x I sin - sin — — cos — cos - + cos - cos — I

\ Z Z Z Z Ld Ld I

Эта формула выражает площадь сферического четырехугольника через длины его сторон и диагоналей.

5. Теорема Бретшнайдера

Классическая теорема Бретшнайдера [8] утверждает, что площадь S евклидова четырехугольника со сторонами a, b,c,d и противолежащими углами A и C находится по формуле

S2 = (р — a) (р — Ь)(р — с) (р — d) — abed cos2 ——,

где р = a+b+c+d — полупериметр четырехугольника (см. доказательство в [9, с. 89].

A

C заменить суммой другой тары противоположных углов B + D. Это следует из равенства A + B + C + D = 2n, справедливого для любого евклидова четырехугольника. Поскольку

A+C_A+C+2tt-B-D_TT А- В + С -D 2 ~ 4 ~ 2 + 4 '

теорему Бретшнайдера можно переписать в следующем, более симметричном виде

S2 = (р — а) (р — Ь)(р — с) (р — d) — abed sin2-í-.

Именно этот вариант допускает обобщение на случай неевклидова четырехугольника, сумма углов которого уже не равна 2п.

Заметим, что частным случаем приведенной выше формулы является формула Брахмагупты S2 = (p-a)(p — b)(p—c)(p — d), выражающая

A C B D

можно рассматривать как естественное обобщение формулы Герона. Основным результатом настоящей статьи является следующая

S

ронамн a, Ъ, с, d, углами A, B,C,D н полупериметром р = a+b+c+d находится по формуле

p-a- р-Ь- р-с- p—d

ollj ¿-- cm ¿-- cm ¿-- cm ¿--

sin" — =

2 S sin sin 2— SÍ11 2~ ' 4 eos f COS | eos § eos |

a b c d . 2 A - B + C - D

— tg — tg - tg - tg — sin

Доказательство. Продолжим стороны АВ и АБ сферического четырехугольника до пересечения их в точке А', сторон ы С В и СБ — до пересечения в точке СВ результате получим сферический четырехугольник С' В А' Б с длинами сторон сторонами п — Ъ, п — а, п — п — с и углами С, 2п — В, А, 2п — Б (рис. 2).

D

7I-C d f с

7t-e Д e f\ я-е

YC AV 7I-b a У l'C п-а AU

Рис. '2. Сферический четырехугольник.

Длины диагоналей C'A' и BD этого четырехугольника равны соответственно 2п — e и /, где e и / — длины диагоналей четырехугольника ABCD. Обозначим площадь сферического четырехугольника C'BA'D через S'. Имеем S' = 2п — C — (2п — B) — A — (2п — D) = -(27Г + A-B + C-D), откуда sin2 ^ = eos2 a-b-^c-d _ q другой стороны. вычисляя sin2 по формуле (9) и учитывая, что sin = cos|.

2 -к—e-f е  f

a sm 2 S1I1 ^ = S1I1 2 S1I1 ^. получим

sm — = 4

Отсюда

„ A-B + C-D

4 sin § sin | sin § sin |

cos

4 sin § sin Jf sin | sin |

-•

ABCD

sin

В тоже время для площади S сферического четырехугольника ABCD имеем

5 (sin | sin I)" - (cos § cos I - cos I cos I)"

sm — = 4

4 cos f cos I cos § cos I

Исключая произведение (sin е sin /)2 из формулы (13) и подставляя его в формулу (14), получим

( a c b d

sin" — =-г-j sin — sin —b sin - sin

I 4 cos I cos I cos I cos I V 2 2 2 2

. a c b d\2 a b c d 9 K

— ( cos — cos - — cos - cos — I — 4 sin — sin - sin - sin — sm" —,

¿ Z Ld Ld I CÍ CÍ CÍ CÍ Z

где

if = ^-Д+р-Д. Поскольку

a c b d\" ( a c b d

sin — sin —b sin - sin — — cos - cos--cos - cos -

2 2 J V 2 2 22

p — a p — b p — c p — d

= 4 sin-sin-sin-sin-,

2 2 2 2 '

теорема доказана.

Приведем несколько следствий доказанной теоремы. Напомним, что сферический четырехугольник с углами A,B,C и D вписан в окружность тогда и только тогда, когда A + B = C + D [10, с. 79], что в наших обозначениях равносильно условию K = 0. Это позволяет доказать следующий сферический аналог формулы Брахма-гупты.

Следствие 1. Площадь вписанного сферического четырехугольника со сторонами a, b, c, d находится по формуле [6, с. 164] S sh sh sh sh

2 sin — =

4 ch # ch ! ch § ch !

где p = a+b+c+d.

Следствие 2. Если сферический четырехугольник со сторонами

а,Ь,с н й винсаи в одну окружность и оинсаи около другой, то его

площадь находится по формуле

9 Б а Ь с й = ^ ^ ^ ^

Доказательство. В случае описанного четырехугольника имеет место следующее соотношение на длины его сторон: а+ с = Ь + й, тогда р — а = с, р — Ь = й, р — с = а, р — й = Ьи результат вытекает из предыдущего следствия.

Следствие 3. Сферический четырехугольник со сторонами a, b, c и d имеет максимальную площадь тогда н только тогда, когда он винсаи в окружность [10, с. 81].

Доказательство. В силу теоремы 2 величина tg2 j достигает максимального значения тогда и только тогда, когда K = 0, что соответствует случаю вписанного четырехугольника.

ЛИТЕРАТУРА

1. Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6, N 1. P. 9-24.

2. Mednykb A., Vesnin A. On the volume of hyperbolic Whitehead link cone-manifolds // SCIENTIA. Ser. A: Math. Sei. 2002. V. 8. P. 1-11.

3. Медных А. Д., Вайгонакова Г. А. О формуле Милнора для объема гиперболического октаэдра // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 2. С. 3-9.

4. Абросимов Н. В., Годой-Молина М., Медных А. Д. Об объеме сферического октаэдра с симметриями // Современная математика и ее приложения. 2009. Т. 6. С. 211-218.

5. Медных А. Д., Вайгонакова Г. А. О геометрических свойствах гиперболического октаэдра, обладающего mmm-симметрией // Вестник КемГУ 2011, Т. 47, № 3/2. С. 9-14.

6. M'Cleüand W. J., Preston Т. A treatise on spherical trigonometry with application to spherical geometry and numerous examples. P. II. London: Macmillian and Co. 1886.

7. Адексеевскнй Д. В., Вннберг Э. В., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1988. Т. 29. С. 1-146.

8. Bretscbneider С. А. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes // Arch. Math. 1842. Bd 2. S. 225-261.

9. Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Т. 1. Планиметрия. М.: МЦНМО. 2004.

10. Lienbard W. Cyclic polygons in non-Euclidean geometry // Elem. math. 2011. V. 66, N 2. P. 74-82.

г. Горно-Алтайск, г. Новосибирск

6 апреля 2012 г.