Интегральный анализ трехмерной картины возмущений течения Пуазейля в трубе

УДК 532.516

ИНТЕГРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТРЕХМЕРНОЙ КАРТИНЫ ВОЗМУЩЕНИЙ ТЕЧЕНИЯ ПУАЗЕЙЛЯ В ТРУБЕ

Д. В. Георгиевский1

Исследуется линеаризованная задача устойчивости относительно трехмерной картины возмущений, наложенных на стационарное течение ньютоновской вязкой жидкости в трубе (течение Пуазейля). Изучается поведение во времени отдельных гармоник возмущения по углу и в осевом направлении. Осуществляется переход к квадратичным функционалам, построенным на квадратах модулей компонент скорости возмущений и производных этих компонент по радиусу. Приводится верхняя оценка параметра устойчивости, из которой в случаях осесимметричных возмущений и двумерных (осесимметричных и неосе-симметричных) rz-возмущений следуют нижние оценки критических чисел Рейнольдса.

Ключевые слова: линеаризованная задача устойчивости, возмущение, ньютоновская жидкость, течение Пуазейля в трубе, квадратичный функционал, осевая симметрия, достаточная оценка, число Рейнольдса, теорема Сквайра.

The linearized problem on stability with respect to the three-dimensional picture of perturbations imposed on a steady flow of Newtonian viscous fluid in a pipe (the Poiseuille flow) is analyzed. The evolution in time of individual harmonics of perturbations both by angle and along axial direction is studied. A passage to quadratic functionals constructed on squares of perturbation velocity components modulus as well as derivatives with respect to the radius of these components is performed. The upper estimate of the stability parameter is obtained. It results the lower estimates of the critical Reynolds numbers in the cases of axially symmetric perturbations and two-dimensional (both axially symmetric and asymmetric) rz-perturbations.

Key words: linearized problem on stability, perturbation, Newtonian fluid, Poiseuille flow in a pipe, quadratic functional, axial symmetry, sufficient estimate, Reynolds number, Squire theorem.

1. Теорема Сквайра и ее обобщения. Вопрос о правомерности сведения многомерной картины возмущений, наложенных на то или иное течение либо на процесс деформирования с простой кинематикой, к меньшему числу измерений является важным в теории устойчивости в МСС. Применительно к вязким течениям большое теоретическое значение здесь имеет известная в гидродинамике теорема Сквайра [1, 2], которая формулируется следующим образом.

Рассматривается

Тот факт, что наиболее опасные (с точки зрения устойчивости) возмущения лежат в плоскости основного сдвига, делает достаточным изучение плоской картины вариаций и позволяет перейти к функции тока и интерпретировать задачу Орра-Зоммерфельда [1-5] как спектральную задачу линеаризованной теории гидродинамической устойчивости.

Доказательство теоремы Сквайра основано на так называемом преобразовании Сквайра, математически осуществимом лишь при соблюдении всех пяти условий (а)-(е). Каждое из них является необходимым, и отказ от любого делает утверждение теоремы, вообще говоря, неверным. Известны соответствующие контрпримеры в экспериментальной гидродинамике [5-7]. Отметим работы [8-11], в которых приводятся обобщения данной теоремы на случаи отсутствия одного или группы условий (а)-(е).

2. Задача устойчивости трехмерных возмущений течения Пуазейля в трубе круглого сечения. Рассмотрим в области, задаваемой в цилиндрических координатах (r, 9, z) неравенствами П = {r < R, 0 ^ 9 < 2п, —ж < z < стационарное (z, г)-сдвиговое течение вязкой несжимаемой

1 Георгиевский Дмитрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: georgievQmech.math.msu.su.

жидкости с плотностью р и вязкостью р иод действием постоянного вдоль оси г перепада давления др/дг = — к (классическое течение Пуазейля). На неподвижной поверхности г = Я скорости точек жидкости равны нулю. Включим в размерный базис тройку величин {р, к, Я} и будем вести дальнейшее изложение в переменных, обезразмеренных в упомянутом базисе. Характерная скорость движения среды V выражается комбинацией \jkRjр.

Невозмущенное одномерное сдвиговое течение характеризуется ненулевыми компонентами вектора скорости и девиатора тензора напряжений:

Re р р

Профили v°(r) и s°(r), конечно, хорошо известны ("пуазейлев параболоид"):

= =

Однако в целях общности [2] будем оставлять в выкладках функции v° (r) и s°(r), считая их принадлежащими классам гладкости 62(0; 1) и C1(0; 1) соответственно.

Наложим теперь трехмерные возмущения на основной (z, г)-сдвиг, характеризуемый профилями (1), и линеаризуем вблизи него уравнения движения и условия несжимаемости. Запишем систему четырех линеаризованных уравнений в Q:

11

-p,r + Srr,r + - SrOfi + Srz,z + - (Srr ~ See) = Vr,t + V Vr}Z,

11 2

— P,e + ~ See,в + sre,r + sez,z + - sre = ve,t + v ve,z,

r r r

1 1

-p,z + Srz,r + - Sezfi + SZZtZ + -Srz = Vz,t + V°Vz,z + v°'vr,

11

vr,r + - vr + - ve,e + vz,z = 0

относительно возмущений давления и трех компонент скорости vr, ve, vz, ^^^^етщих от r, ^ z и t. Частные производные по соответствующим переменным обозначены запятыми в индексах. Систему (3) необходимо замкнуть определяющими соотношениями ньютоновской вязкой жидкости Sjp = 2v7e/Re (j,e = r, 9, z) и соотношениями Стокса v = Defv, связывающими возмущения компонент тензора скоростей деформаций vYe и вектора скор ости vr, ve, vz.

На границе области Q, как и в основном движении, примем условия прилипания

r = 1 : vr = ve = vz = 0.

В качестве другой группы условий, обусловливающих ограниченность возмущений и их производ-r=0

r = 0 : vr,e = 0, ve = 0, vz,e = 0.

9

z и t, отделим от каждой из неизвестных функций множитель exp(m9 + isz + at), n = 0,1, 2,...; s ^ 0 a = a* + ia** & C, и представим возмущения в форме отдельных гармоник по 9 и s:

sYe(r, 9, z, t) = sYe(r) exp(in9 + isz + at), p(r, 9, z, t) = p(r) exp(in9 + isz + at), ve(r, 9, z, t) = vв(r) exp(in9 + isz + at). Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

—р' + s'rr + ^ sre + issrz + i

in in 2

--P H--see + sre + issez + - sre = {a + isv )ve,

r r r

in 1

-isp + srz-\--sez + isszz + - srz =

rr

относительно комплекснозначных функций р, Уг, Уд, Уг от т. В (6)—(10) в — волновое число, характеризующее выбранную гармонику вдоль оси г\ и — номер моды возмущения по углу в {и = 0 соответствует осесимметричным возмущениям); а — комплексная частота колебаний, выступающая в задаче спектральным параметром. Если все ветви а^ (и, в), ] = 1, 2,... , при любых в > 0 и и = 0,1,2,... лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости а (т.е. а(и, в) < 0), то стационарное сдвиговое течение с профилями (1) интерпретируется как устойчивое относительно трехмерной картины малых возмущений.

Условия (4) и (5) для функций Уг, Уд и Уг перепишутся следующим образом:

Уг

Равенство нулю при т = 0 скоростей Уг, Уд и Ух, а следовательно, согласно (6), и компонент уг, Уд, уг, очевидно, сужает класс рассматриваемых возмущений на оси трубы. Данное сужение вызвано представлением (6) в форме отдельных гармоник. Во избежание громоздкости обозначений далее будем опускать тильды над функциями одной переменной т, входящими в (7)-(11).

3. Анализ квадратичных функционалов. Умножим каждое из трех уравнений движения (7)-(9) на тУг, тУд и тУг соответственно, затем сложим их и проинтегрируем по т от 0 до 1. Для некоторых из полученных квадратичных функционалов введем обозначения:

1 1 2 1

1} = I г\у^\2

0 0 0

Сходимость в нуле несобственных интегралов .I2 обеспечена, если фу нкции у в (т) вблизи нуля ведут себя, например, степенным образом: у в = 0(тав), ар > 0 (это согласуется с граничными условиями (11)).

После упомянутых выше сложения и интегрирования в силу равенства

(тУг) — гпУд — гвтУг = 0, следующего из (10), сумма слагаемых, содержащих давление р, окажется нулевой. Получим 1

((твгт)' + гпвгд + гвтвгг — вдд) Уг + ((т2вгд)'/т + гпвдд + 1втвдг) Уд +

+ {

00

Преобразуем каждое из десяти слагаемых в левой части (13), используя проварьированные определяющие соотношения ньютоновской жидкости в^ф = 2у1р /Бе и соотношения Стокса у = Ое£ V (в силу физической линейности среды их запись при варьировании не изменится):

1 1

2

J(гвгг)' Vrdr = —J ГвггУг йг = — К2, 00

1 1 1

/г^ъ (* / г^ъ / Уд \ п2 г^ъ (* Уд

8гдУг dr=^J{VVr+r[J))Уrdr = --J2--JJ (ГЮГУ ЛТ =

0 0 0 1 1 п2 2 гп Уд п2 2 п2 2 пв

= "ТТ" 'К - тГ — (гпьв + МГУг) йг = -— + — ,1д + — / УдУг (1Г,

ке ке У т ке ке ке У

00

1 1 1

2

гв в2 2 гв

гв I Г8ггУг (1т = 77— I Г (у г г + 18УГ)УГ (1г = — I2 — I Уг(гУг)' (1г = ' Ке у Ке Ке У

00

1 1

в2 2 гв в2 2 в2 2 пв

= 1Г - ТГ / Ъг(1ПУв + 1вГУх) (1г = -— 1Г + —1г+ — / УгУд йг,

Ке Ке У ке Ке Ке У

00

1

1

1

Г , 2 [.. .Юг , 2 т2 2т Г1

- / вввУг аг = - — / (гпув + уг) — йг = -— Зг - — / - увуг йг, У Ке У г Ке Ке у г

о о

1

(г28гв)'щйг = - I ^ = --

1

(7)'* = л'»2 --к/'-'й! <"""> + 7 * =

о

1 2 1 2 т [

1

Ые ^ Ые ^ Ые ]

о

и2 - 1

2

о

ив

1

1

1

/ _ , 2ги Л 2и2 т2 2ги /1 ,

гп / йг = — (гпьв + йг = -—^ + — / - аг. У Ке У г Ке Ке У г

гв J гввгЩ(1г = ^ ! + гпьг)щ йг = ~ у

о о о

111 1

/ (1т = — I ГвггУ'г (1г = — — / г(у'г + 18Уг)у'х йг = —— К2 — / (1г =

У У Ке У Ке Ке У

о о о о

1 1

1 ^ /V ч- , 1 в2 т2 ив [ _ ,

= Кх~ 7Г \ (тЬв + ^ГУХ)УХ (1г = -— Кх + — + — / ^^ йг, Ке Ке У Ке Ке Ке У

оо

11 11

/ _ , ги /V ги \_ , и2 т2 ив [ _ , 2в2 .

т / йг = — / ^ + 18ьв)ьг йг = -— ^ - — / ^^ йг, гз / г^г;* йг = -— /:

(13):

0 0 0 0 С учетом приведенных выкладок приравняем друг к другу действительные части равенства

1

а*/2 = - Гу°'(угуг)* йг - — У Ке

2К2 + К2 + к2 + в2(/г2 + ) + (и2 + 2) зГ + 4 + и2 ¿2 —

1 1

- 2пз J(УвУг)* йг - 4п ^ йг

00

Будем оценивать сверху правую часть (14). В силу неравенства Коши-Буняковского в Н2(0; 1) можно записать

1

± гу°'(угух)* йг ^ д1г 1Х, q = вир |у0/(г)|, У 0<г<1

0

1 1 ±2ив J(увух)* йг ^ 2ивЗв 1х, ±2ив J(увух)* йг ^ 2ив1дЗх 00 1

±4п J ^ (угув)^ йг ^ \nJrJe-

1

1

1

1

г

1

1

1

2

Обозначим

Л2 = inf

f(r) /0 r\f(r)\2dr

причем

f

Так как функции vr, v$ и v^ удовлетворяют граничным условиям (11), более сильным, чем в (19), то заведомо

^ß ^ А Iß,

Собирая вместе оценки

Kß ^ \2lß, ß = r,9,z.

[

Квадратичная форма в квадратных скобках соотношения (21), построенная на 1Г и 1д, положи-

п =0 в

п=1

не удается. Аналогичная оценочная проблема возникает, если выбрать не первое, а второе неравенство (16). Тогда в (21) вместо произведения 1д 1% будет 1д и полученная квадратичная форма с 1д, IЗг, 1д не является положительно-определенной при в > 0 начиная уже с и = 1.

Заметим, что невозможность при и ^ 1 промажорировать правую часть (21) выражением, зависящим только от ц и Бе, не означает неустойчивость течения Пуазейля в трубе при и ^ 1 для любых ц и Бе, а лишь указывает на отсутствие единой по и и в достаточной оценки устойчивости.

4. Частные случаи возмущений. Рассмотрим подробнее ряд частных случаев, имеющих механическое содержание.

Трехмерные осесимметричные возмущения: и = 0. Из определений квадратичных функционалов (12) и очевидного неравенства т < 1/т (0 < т < 1) следует, что

I2 ^ I2, в = т,в,г.

На основании (22), а также неравенств 1ГI% ^ I + 1%)/2 ^ 12/2 преобразуем при и = 0 правую часть (20):

Если

^е< 2Л2,

то а* < 0, что соответствует асимптотической устойчивости или затуханию со временем осесиммет-ричных возмущений. Таким образом, неравенство (24) — достаточное условие устойчивости трехмерных (Уд = 0) осесимметричных возмущений. Для конкретного вида (2) функции у°(т) имеем ц = Ые/2, что из (24) влечет Бе < 2Л, т.е. истинное критическое число Рейнольдса, при котором развитие осесимметричных возмущений течения Пуазейля в трубе круглого сечения становится

2Л

Двумерные осесимметричные и неосесимметричные возмущения: Уд = 0. Полагая в (21) ^ = 0 и 1д = 0, с учетом (22) получим оценку

I - як К2А2 + + "2 + + <д2 +

в конечном итоге совпадающую с (23). Выводы, приведенные после соотношения (23), остаются в

rz

Проблема нахождения А2, определенного в (18), эквивалентна [12] поиску наименьшего положительного собственного числа задачи на собственные значения для функции f (r):

(rf')' + A2rf = 0, f (1) = 0, lim rf (r) = 0,

которая заменой g = rf сводится к задаче

r2g" - rg' +

Представление общих решений уравнения (25) в виде комбинаций функций Бесселя можно найти в справочной литературе (см., например, [13, с. 401]).

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12-01-00020а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Betchov R., Criminale W.O. Stability of Parallel Flows. N.Y.; L.: Academic Press, 1967 (Бетчов P., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971).

2. Козырев О.Р., Степанянц Ю.А. Метод интегральных соотношений в линейной теории гидродинамической устойчивости // Итоги науки и техники. Т. 25. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1991. 3-89.

3. Orszag S.A. Accurate solution of the Orr-Sommerfeld stability equation //J. Fluid Mech. 1971. 50, N 4. 689-703.

4. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда // Докл. РАН. 2001. 378, № 4. 443-446.

5. Drazin P.G. Introduction to Hydrodynamic Stability. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002 (Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит, 2005).

6. Coles D. Transition in circular Couette flow //J. Fluid Mech. 1965. 21, N 3. 385-425.

7. Pascal J.P., Rasmussen H. Stability of power law fluid flow between rotating cylinders // Dynamics and Stability Syst. 1995. 10, N 1. 65-93.

8. Георгиевский Д.В. Устойчивость двумерных и трехмерных вязкопластических течений и обобщенная теорема Сквайра // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1993. № 2. 117-123.

9. Georgievskii D. V. Applicability of the Squire transformation in linearized problems on shear stability // Rus. J. Math. Phys. 2009. 16, N 4. 478-483.

10. Георгиевский Д.В. Новые оценки устойчивости одномерных плоскопараллельных течений вязкой несжимаемой жидкости // Прикл. матем. и механ. 2010. 74, № 4. 633-644.

11. Georgievskii D. V., Müller W.U.. Abali В.Е. Generalizations of the Orr-Sommerfeld problem for the case in which the unperturbed motion is nonsteady // Rus. J. Math. Phys. 2014. 21, N 2. 189-196.

12. Collatz L. Eigenwertaufgaben mit Technischen Anwendungen. Leipzig: Academische Verlag, 1963 (Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968).

13. Катке Е. Differentialgleichungen. Lösungsmethoden und Lösungen. I. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Leipzig: Academische Verlag, 1959 (Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1971).

Поступила в редакцию 11.07.2014