Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 14 7, кн. 3

Физико-математические пауки

2005

УДК 519.68

СМЕШАННЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

М.М. Карчевский, А.Е. Федотов

Аннотация

Рассматривается задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка, допускающего вырождение по нелинейности. Предлагается смешанная схема метода конечных элементов. Исследуется сходимость к обобщенному решению в смешанной постановке задачи. В частности, установлена сильная сходимость потоков.

Предлагается и исследуется итерационный метод численной реализации смешанных схем конечных элементов, аппроксимирующих задачу Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Приводится пример применения предлагаемой методики к решению задач нелинейной теории фильтрации.

Введение

Работа посвящена построению и исследованию смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Условия, налагаемые на функции, образующие уравнение, являются весьма общими и допускают вырождение уравнения по градиенту на некоторой подобласти определения решения. Оператор задачи при этом оказывается лишь монотонным.

В такой ситуации в качестве вспомогательной неизвестной при построении смешанного метода конечных элементов представляется естественным выбирать градиент искомого решения, а не «поток», как это делалось при построении аппроксимаций уравнений со строго монотонными операторами (см. [1 4]).

Проводится исследование существование решения возникающей при таком подходе слабой формулировки задачи Дирихле. В случае, когда выполнено дополнительное условие подчинения, устанавливается однозначность определения «потока» по исходным данным.

Для аппроксимации смешанной постановки используются полиномиальные конечные элементы Равьяра Тома. Доказана слабая сходимость некоторой последовательности приближенных решений к обобщенному решению исходной задачи. В случае, когда выполняется условие подчинения, устанавливается также сильная (в пространстве Ь2) сходимость «потоков» (аналогичный результат для простейшей разностной аппроксимации квазилинейного вырождающегося уравнения теории фильтрации получен в [5]).

Для численного решения конечномерных систем уравнений, возникающих при аппроксимации нелинейной задачи Дирихле, в работе предлагаются и исследуются па сходимость два типа итерационных методов. Первый основан на обращении на каждом шаге итераций седловой матрицы, соответствующей аппроксимации оператора Лапласа при помощи смешанного метода конечных элементов. Второй использует на верхнем слое более простую, ленточную, матрицу.

В заключение дается применение предлагаемых методов к решению нелинейных задач фильтрации с предельным градиентом. Особо рассматривается случай

задачи о точечном источнике (скважины с заданным расходом). При аппроксимации этой задачи используется прием аддитивного выделения особенности решения, предложенный и исследованный в [6].

Работа непосредственно примыкает к работе [7]. в которой частично анонсированы излагаемые здесь результаты.

1. Постановка задачи

Рассматривается задача Дирихле для двумерного квазилинейного дивергентного эллиптического уравнения второго порядка:

—а

и

Здесь а(х,р) = (а1(х,р), а2(х,р)), а0(х,р) - заданные функции, непрерывные при х € О, р = (ро,Р1,Р2) € Д3, Г - граница области П.

Предполагаются выполненными алгебраические условия монотонности, коэр-цитивности и ограниченной нелинейности:1

а

где а(х,р) = (ао(х,р), а1(х,р), а2(х,р)).

о

Обобщённым решением задачи (1), (2) назовем функцию и € ^2 (О), удовлетворяющую интегральному тождеству

Ь(и,у) = J (а(х, У и) •У« + ао(х,и)у) ¿х = J fvdx = (/, у) Уу € И^^О), (6) п п

о

где ^2 (О) - пространство Соболева с нормой

\ 1/2

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3) (5). ТЬг^и задача (1), (2) имеет хотя бы одно обобщенное решение.

Доказательство этой теоремы проводится хорошо известными в теории монотонных операторов методами (см., например, [8, 9]).

Сформулируем смешанную задачу для задачи (1), (2). Для этого введем в рассмотрение пространство НО) = € (Ь2(О))2 : ] € Ь2(О)| (см., например, [10]) с нормой

1/2

1Всюду в дальнейшем буквой с, возможно с индексами, обозначаем положительные постоянные. не зависящие от других величин, участвующих в неравенствах.

Нетрудно видеть, что если и - обобщенное решение задачи (1), (2), 3(4) = У и,

то

J а(х,и,](и))  ^(ю) + ао(х,и,з)юйх = J fvdx Ую € Ь^(^),

J з(и)  qdx +! и ёгу qdx = 0 У ц € Н (div,О).

п п

Систему (7) положим в основу расширенной постановки задачи (1). (2). а именно, будем разыскивать пару функций (и,з) € X = Ь2(О) х (Ь2(О))2, удовлетворяющих интегральным тождествам (7). В силу того что любое обобщённое решение задачи (1), (2) порождает решение задачи (7), имеет место

Теорема 2. При любой функции / € Ь2(О) решение задачи (7) существует.

В случае неоднородных граничных условий, когда и(х) = д(х), х € Г, смешанная постановка имеет вид:

J а(х,и,](и))  ](ю) + ao(x,u,j)vdx = J ¡у1х Ую € Ь2(&),

J 3(и)  ц1х + J и div ц1х = J иц  V dx Уц € Н О),

п п г

где V - внешняя нормаль к границе Г.

2. Дискретизация смешанной задачи

Здесь формулируется дискретная смешанная задача, для которой доказана слабая сходимость приближенных решений к некоторому точному решению и сильная сходимость потоков.

В дальнейшем будем предполагать, что область О - многоугольник. Через Т^ будем обозначать правильную регулярную триангуляцию

ЕТк(К) = (Рк(К))2 © хРк(К), х = (хих2). Поясним, что элемент V € ВТк(К) есть вектор-функция вида

VI Р1 - \-P3xi

У2 _ Р2 - \-Рзх2

где Рг € Рк(К), г =1, 2, 3.

Будем использовать также конечноэлементные пространства

^ = € НО); ц\К € ЯТк(К) УК € %},

Мн = € Ьр

Хк = Мк х

Под приближенным решением задачи (1). (2) будем понимать пару функций (ин13н) € Хн таких, что

J

п п

где функция jh(uh) € определяется по ил, € Мл как решение уравнения

У jh

п п

2.1. Исследование приближенного метода. В дальнейшем будут существенно использованы следующие леммы.

Лемма 1 (См., например, [1, 2]). Существует не зависящая от к положительная постоянная с такая, что для любой функции € МЛ

J ул div цл ¿х

qhENh тУя^.п)

с

! пЛ ¿х < с^ |jh

пп

где jh(uh) определяется как решение уравнения (11).

Доказательство леммы 2 непосредственно вытекает из определения jh и леммы 1.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (3) (5). Тогда задача (10), (11) имеет по крайней мере одно решение при любой правой части / € Ь2(0.). Для любого решения задачи (10), (11) справедлива априорная оценка

где с, С1 - положительные постоянные, не за висящие от к.

Доказательство. Уравнение (11) уравнение с положительно определенной матрицей (матрицей масс) относительно jh(uh) при заданном uh. Поэтому на уравнение (10) можно смотреть как на уравнение относительно 'ал - Покажем, что для соответствующего ему оператора выполнены условия топологической леммы Брау-эра (см., например, [9]). Для этого достаточно установить, что

3

пп если К||ь2(п) достаточно велика. Вследствие условия (4) и леммы 2 имеем

3М > ^Ш^^п) - с2 теа8(П) - ||/^(п)^^(п) >

> ^^Ы^п) - с2 теаЙ

при |К||ь2(п) > (||/||ь2(п) + (||/||ь2(п) +4с1с2 теав(П)/с)1/2)/2сь откуда на основании леммы Брауэра вытекает разрешимость уравнения (10) и априорная оценка (14). ' '

При исследовании сходимости метода будем считать, что каждая триангуляция с меньшим шагом строится по имеющейся триангуляции с большим шагом путём разбиения её треугольников.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (3) (5). Тогда существуют последовательности решений щ, и 3к(пъ) и некоторые функции и* и 3* такие, что п. ^ и*, ^ 3* 2 в Ъ2(П), причём пара функций и*, 3* является точным

решением. задачи (7).

Доказательство. Мы используем здесь обычные для метода монотонности (см. [8, 9]) приемы. В силу слабой компактности ограниченного множества в Ь2(П) и оценок (13), (14) существуют такие функции п* € Ь2(П),3* € (Ь2(П))2 и подпоследовательность п.к (х) последовательности п.(х), что п.к ^ п*, 3нк (пЪк) ^ 3*  Покажем, что

3* = З

Из принятого предположения о способе измельчения триангуляций области П из равенства (11) вытекает, что при некотором фиксированном Н

¡зпк Ы) • яп Лх +1 пък ы ¿х = о ^ е ^ Нк < Н.

п п

Устремляя в этом равенстве Нк к нулю, получим

У 3* • Яп Лх + J п* яъ Лх = 0 € Нк < Н,

п п

откуда вследствие плотности У N. в Н(<^у, П) вытекает, что

J з* • я Лх + У п* яЛх = 0 V, € Н

п п

т. е. 3* = з(п*). Покажем теперь, чт о пара п* и 3* - решение задачи (7). Используя условие монотонности (3), получим

У (а(х,пп,3п(пп)) - а(х,т,3(т))) • (3.(п.) - 3(т)) Лх +

+ J(a о(х,пн,3н(пн)) - ао(х,т,3(т)))(пн - т) Лх > 0 V Н> 0, т € ^(П),

п

откуда с учётом равенства (10) вытекает, что

У (¡п. - а(х, пн,]н(пн)) • 3(т) - а0(х, п.,3н(пн))т-

- а(х, т,3(т)) • (^(пь) - 3(т)) - ао(х, т,3(т))(пн - т)) Лх > 0. (19) В силу априорных оценок (14), (13) и условия (5) существует постоянная с такая,

\\аг(х,пи, 3к(пк))\\ь2(о,) < с, г = 0,1, 2,

2Как обычно, символ ^ означает слабую сходимость в соответствующем пространстве.

а это означает существование последовательности Нк ^ 0 и функций Ъ € Ь2(0) таких, что .нк (инк)) ^ Ъ^ при Нк ^ 0, г = 0,1,2. Очевидно, можно

считать, что и^ ^ и*, (и^) ^ .(и*) для этой же последовательности Нк. Переходя к пределу в неравенстве (19) при Нк ^ 0, получим

У

Используя теперь тождество (10) и рассуждая так же, как и при получении равенства (17), нетрудно установить, что

J fvdx = У

п п

следовательно,

J((Ъ - а(х, ад, .(ад))) • (.* - .(ад)) + (Ъо - ао(х, ад, .(ад)))(и* - ад)) ¿х > 0.

п

Полагая здесь ад = и* - А«, где V - произвольная функция из Ь2(0), А > 0, и переходя затем к пределу при А ^ 0, получим

!((Ъ - а(х, и*,.*)) • .(«) + (Ъо - ао(х, и*, .*))«) ¿х > 0,

п

откуда вследствие произвольности V вытекает, что

J((Ъ - а(х, и*,.*)) •.(«) + (Ъо - ао(х, и*, .*))«) ¿х = 0 V« € ¿2(0).

п

Вновь используя (21), получим отсюда, что

J

Выполнение тождеств (18), (22) означает, что г/*,]* решение задачи (7).  Заменим теперь условие монотонности (3) более сильным условием

Условие (23) называют, обычно, условием подчинения.

Лемма 3. Пусть выполнено условие (23). Тогда «поток» а(х,и,.(и)), построенный по решению задачи (7), и его конечноэлементная аппроксимация а(х,иь, .н(ин)), построенная по решению задачи (10), (11), определяются исходными даннылш задачи (1), (2) однозначно.

и1 и2

а(х,и1.(и1)), а(х,и2.(и2)) — соответствующие им «потоки». Используя неравенство подчинения (23), получим

||а(х,иъ .1(и1)) - а(х,и2,.2(и2))||£2(П} <

< с^ [(а(х, и1, .(м1)) - а(х,и2, .(и2))) • (.(и^ - .(и2))+

+ (ао(х, и1,.(и1)) - ао(х, и2, .(и2)))(и1 - и2)] ¿х,

но по определению решений (u1, j(u1)) и (u2,j(u2)) интеграл в правой части последнего неравенства равен нулю. Единственность конечноэлементной аппроксимации потока, т. е. а(х, iih, jh(uh)) доказывается аналогично.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (4), (5), (23). Тогда существует последовательность h ^ 0 такая, что имеет место сильная сходимость a(x,uh,jh(uh)) ^ a(x,u,j(u)) в пространстве Ь2(0.).

Доказательство. Вследствие неравенства (23) и определения приближенного решения (uh, jh(uh) для любого h имеем

IIa{x,uh,jh{uh)) - а(.гуы, j(t())|||2(fi) <

< c [J a(x,u,j(u))  (j(u) - jh(uh)) dx + J ao(x,u,j(u))(u - uh) dx-

\n n

-J a(x,uh,jh(uh))  j(u) dx - J ao(x,uh,jh(uh))udx + J fuh dx \ = cI.

Q Q П /

Выбирая теперь последовательность h ^ 0 так, что бы uh ^ u, jh(uh) ^ j(u), a(x,uh,jh(uh)) ~^a(x,u,j(u)), получим, что

/ — — j a(x, u,j(u))  j(u) dx — j ao(x, u, j(u))u dx + (f, u) = 0, n n

т. e. a(x,uh,jh(uh)) -^a(x,u,j(u)) при h ->0.

3. Итерационный метод для задачи

Введем в рассмотрение конечномерные операторы Ah, Ch и вектор fh, определяемые соотношениями1

Ahuh  vh = J(a(x,uh,Muh))  ЛгЫ + a^x,uh,Muh))vh) dx Vuh,vh G Mh

n

Bhuh vh=Ijh(uh)jh(vh) dx yuh,vh G Mh fh vh=jfvh dx yvh G Mh

Q Q

Для решения задачи (10), (11) будем использовать итерационный метод uk+1 - uk

-* + Ahukh = fh, k = 0,1, 2,....

T

Реализация итерационного метода (24) подразумевает вычисление вектора невязки rh = Ahuh - fh по известному uh G Mh и решение уравнения

BhWh = -rh

относительно поправки wh = (uh+1 - uh)/T.

хКак обычно используем одинаковые обозначения для функции из пространства Mh и вектора ее узловых параметров.

Вектор невязки естественно представить в виде rk = rk 1 + rh 2, где

к, 1 rh

vh = J(ao(x,uh,jh(uh)) - f )vh dx VVh G Mh

гн,2 • = J (а(х, иН, ]н(иН)) • ) ¿х Vун е Мк. а

Вычисление вектора гН 1 при известных иН, ]н (иН) может быть выполнено при помощи обычного алгоритма сборки. Для вычисления вектора 2 введем в рассмотрение функцию е Nн, определяемую соотношением

J • Чн ¿х = I а

аа

При известных ]н(ин) вычисление так же, как и вычисление Он(иН) ин

соответствующей базису пространства Мн. Используя определение и ]н(ун), можно написать

Гк  rh,2

Vh = J a!h  jh(vh) dx = - J Vh div ah dx Vvh G Mh.

Таким образом, вычисление вектора rh 2 при извести ом ah также сведено к алгоритму сборки.

Каждый шаг итерационного метода (24) требует решения двух систем линейных алгебраических уравнений с матрицей масс, соответствующей базису пространству Nh, и одной системы с симметричной положительно определённой матрицей оператора Bh.

Уравнение (25), как нетрудно видеть, эквивалентно системе уравнений с седло-вой матрицей:

Mhjh +ChWh = 0,

-CTjh = rh.

Здесь Mh, Ch — матрицы, определенные соотношениями

Mhjh  qh = j jh  qh dx jqh G Nn,

Q

Ch Vh  qh = J Vh div qh dx Vvh G Mh, qh G Nn.

Q

Прямые h итерационные методы решения систем линейных уравнений с седло-выми матрицами достаточно хорошо разработаны (см., например, [13 17]).

Из (27) видно, что Bh = CTM-1Ch Покажем, что выполнены неравенства coh2qh  qh < Mhqh  qh < cih2qh  qh для любых qh G Nh, co, ci = const > 0. Для этого рассмотрим произвольный конечный элемент e G Th и базис {^к} С Nh(e) на этом конечном элементе. По определению

Mhqh  qh = J qh dx = J qh dx = Meqh  qh,

Q

где Me = < f fkfj dx > - локальная матрица масс на элементе. Для получения le J k,j

искомой оценки снизу используем аффинное преобразование x = F(x) = Bx + b конечного элемента e на базисный конечный элемент е. Ясно, что для аффинного F

Meqh  qh = \ det(B)\ (Mxqh  q,

из которого, в силу регулярности триангуляции и согласно [11, с. 122 126], вытекают оценки

cok2eqh  qh < ch2 ^Mgqh  q^ < Meqh  qh < Ch2 ^Mgqh  q^ < cik2qh  qh

Для получения искомых оценок Mhqh  qh осталось воспользоваться последними неравенствами и представлением (28).

Положим Bh = k-2CTCh  Матрицы Bh и Bh энергетически эквивалентны:

c-'Bh < Bh < c-1Bh,

поэтому наряду с итерационным процессом (24) естественно рассматривать итерационный процесс

~ ик+1 - uk

Bh-'*-+Ah4 =fh, fe = 0,1,2,--------

т

Понятно, что реализация итерационного процесса (30) существенно проще, чем реализация итерационного процесса (24), так как вместо решения системы (27) с седловой матрицей здесь приходится решать систему с симметричной положительно определенной ленточной матрицей Bh меньшей размерности.

4. Исследование сходимости итерационного метода

Теорема 6. Пусть выполнено условие (4), (23). Тогда существует решение задачи (10), (11), и при любом начальном, приближении uh, 0 < т < 2/c\ последовательность невязок итерационного метода, Ahuh — fh, стремится к нулю.

Доказательство. Из условия (23) очевидным образом вытекают условие монотонности (3) и условие Липшица

\a

что обеспечивает разрешимость задачи (10), (11). Используя далее условие (23) и Bh

1 12

\(AhUh — AhVh)  wh\ < c ((Ahuh — AhVh)  (uh — vh)) \\jh(wh)\\

По определению оператора Bh имеем \\jh(wh)\\ = (Bhwh  wh)1/2 = \\wh\\Bfc, т. e. справедливо неравенство

1 12

\(Ahuh — AhVh)  wh\ < c ((Ahuh — AhVh)  (uh — Vh)) \\wh\\Bh  (32) Отсюда вследствие теоремы 1, гл. 5 [18] вытекает, что

lim (Ahuh — Ah uh)  (uh — uh) = 0, lim \\Ahuh — fh\\sh = 0, (33) k—k—

если 0 < т < 2/с. Кроме того, на основании (23) получаем, что

Иш \\а

Замечание 1. Вследствие неравенств (29) все утверждения относительно сходимости итерационного метода (24) сохраняются (с очевидной корректировкой т

Сходимость последовательности иЪ удается установить при более сильных ограничениях на а(х,р).

Теорема 7. Пусть выполнено условие (31) и

где с0 - положительная постоянная. Тогда задача (10), (11) имеет единственное решение, иЪ ^ иъ при к ^ <х. Справедлива следующая оценка скорости сходимости итерационного метода (24):

\\4+1 - ин\В < р

где р(т) = (1 - 2тс0 + т 2с?1)1/2 < I щи 0 <т < 2с0/с?1.

Доказательство. По аналогии с доказательством неравенства (32) нетрудно получить, что при выполнении условий (31), (35) справедливы неравенства Бъ-монотонностп и и Б ъ -липшиц-непрерывности оператора Лъ '

откуда в силу теоремы 3 гл. 5 [18] немедленно вытекает доказываемое утверждение.

5. Пример

В качестве примера применения предлагаемой методики рассмотрим плоскую стационарную задачу фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному закону фильтрации с предельным градиентом

V = -д(\Уи\)\Уи\-1Уи,

где V - поле скоростей фильтрации, и - поле давлений жидкости. Изучается фильтрация в области О С К2 с липшиц-непрерывной границей Г, па которой давление считается равным нулю, при наличии источников плотности ] (х). Иными словами, решается краевая задача

и(х) = 0, х € Г.

д

0, в < во,

д(з) 1 д*(в - во), в > во,

где во > 0 - заданное число, называемое предельным градиентом сдвига. Уравнение (39) вырождается при |Уи| < в0. Области, в которых выполнено это условие называются застойными зонами. Скорость фильтрации в этих зонах обращается в нуль.

Относительно функции д* : [0, ^ К1 предполагаются выполненными усло-

д*

Зк> 0, в* > 0 : д*

Как показано в [19, 20], функция а(х,р) = (д(\р1/1р1)р, Р & К2, удовлетворяет условиям (4), (5), (23).

Интересен случай, когда в качестве функции плотности источников / (х) рассматривается функция д5(х), где 6(х) теть ¿-функция, сосредоточенная в начале координат. Это соответствует задаче с точечным источником интенсивности д. Предполагается, что начало координат принадлежит П. Определим по функции д оператор О : Кп ^ Кп:

Оу = I д(1у1)1у1-1у, у = 0;

у \0, у = 0.

Под обобщённым решением задачи (39), (40), следуя [6], будем понимать функ-

о

цию V & Ш1 (П), удовлетворяющую интегральному тождеству:

У

п

Существование решения этой задачи доказано в [6] на основе представления его в виде V = vr + и, где и - функция из Ш^ (П) такая, что

У (О(Ч^г + vг + и)) - О(^г), Уп) Лх = 0 Уп & С^(П), п

и(х) = —vr (х) Ух & Г,

где vr - решение задачи (44) для круга Вг = {х & Кп : 1х1 < г} Э П. Явное представление функции vr смотри, например, в [21].

Смешанная схема конечных элементов для задачи (44) принимает вид

Ан

где оператор Ан определяется соотношениями

Анин • vh = /(G(Vvr + зъ.(иъ.))) - G(Vvr¿х Уин^н & Мн, п

У Зн(ин) • дн Лх + У ин div дн ¿х = - J Vrдн • ^¿х Удн & Мн, п п г где V - внешняя нормаль к Г.

Рис. 1. Границы застойных зон

Нетрудно проверить, что для оператора Ah выполнено условие (32), что обеспечивает сходимость потока (скорости фильтрации) при применении итерационных методов (24), (30) для решения уравнения (45).

Выполнен ряд численных экспериментов по определению границ застойных зон при действии точечного источника, расположенного в центре квадратного пласта, подтвердивших эффективность предлагаемых итерационных методов. На рис. 1 показаны границы застойных зон, примыкающих к угловым точкам области. Интенсивность источника q = 1, предельный градиент s0 = 1, 7. Сторона квадрата равна единице. Триангуляция области строилась путем разбиения ячеек равномерной квадратной сетки шага h = 1/80 прямыми, параллельными биссектрисе первого координатного угла. Применялись простейшие элементы Равьяра Тома при k = 1. Границы застойных зон строились как линии, определяемые уравнением ljh (uh)l = s0.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта АН РТ.

Summary

M.M. Karchevsky, A.E. Fedotov. Mixed finite element method for quasilinear degenerate elliptic equations.

The Dirichlet problem for the quasilinear elliptic equations of the second order that admits nonlinear degeneration is considered. A mixed scheme of the finite element method is proposed. The convergence of the discrete mixed problem solution to the generalized solution is investigated. In particular, the strong convergence of discrete flux is established. The iterative methods of the numerical solution of the mixed finite element method schemes are proposed and investigated. There is an example of the application of the proposed numerical methods to the nonlinear seepage theory problem.

Литература

1. Farhluul M. A mixed finite element method for a nonlinear Dirichlet problem // IMA. J.

Num. Analysis. 1998. V. 18. P. 121 132.

2. Farhluul M., Manouzi H. On a mixed finite elenent. net.hod for the p-Laplasian // Can.

Appl. Math. Quat.lirly. V. 8. No 1. Spring 2000. P. 67 78.

3. Карчеоский М.М., Федотов А.Е. Об одном варианте смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений // Исследования по прикладной математике и информатике. Казань: Казан, гос. уп-т, 2003. Вып. 24. С. 74 80.

4. Karchevsky M.M., Fedutuv А.Е. Error estimates and iterative procedure for mixed finite element, solution of second-order quasi-linear elliptic problems // Comput. Methods in Appl. Mat.li. 2004. V. 4. No 4. P. 445 463.

5. Карчеоский M.M., Лапин A.B. Исследование разностной схемы для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казап. уп-та. 1979. Вып. 6. С. 23 31.

6. Задвориов O.A. Исследование нелинейной стационарной задачи фильтрации при наличии точечного источника // Изв. вузов. Математика. 2005. Л' 1. С. 58 63.

7. Карчеоский М.М Об одном подходе к построению смешанных схем МКЭ для квазилинейных эллиптических уравнений // Материалы Пятого Всеросс. семинара «Сеточные методы для краевых задач и их приложения». Казань 17 21 септ. 2004 г. Казань: Казап. гос. уп-т. 2004. С. 108 111.

8. Дубииский Ю. А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка // Успехи мат. паук. 1968 Т. 23, Вып. 1. С. 45 90.

9. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. 588 с.

10. Темам Р. Уравнения Навье Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир. 1981. 408 с.

11. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир. 1980. 512 с.

12. Brezzi F., Furtin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. Springer series in Comp. Math., 1991. 350 p.

13. Масловская Л.В. Обобщенный алгоритм Холесского для смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29, Л» 1. С. 67 74.

14. Масловская Л.В. Об условиях применимости обобщенного алгоритма Холесского // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, Л' 3. С. 339 347.

15. Икрамов Х.Д. Несколько замечаний по поводу обобщенного алгоритма Холесского // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, Л' 7. С. 1126 1130.

16. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач. М.: Наука, 1989. 272 с.

17. Чиж.онков Е.В. Методы релаксации для решения уравнений с седловыми операторами // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Итерационные методы решения лилейных и нелинейных сеточных задач. Материалы Всеросс. шк.-копф. 1999. Т. 2. С. 44 93.

18. Ка/рчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных уравнений математической физики. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1976. 158 с.

19. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Математика. 1975. Л' 6. С. 73 81.

20. Глушенков В.Д. Об одпом уравнении нелинейной теории фильтрации // Прикладная математика в технико-экономических задачах. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1976. С. 12 21.

21. Бернадинер, Г.И., Еитов В.М., Рыжик В.М. Гидродинамическая теория аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. 199 с.

Поступила в редакцию 19.10.05

Карчевский Михаил Миронович доктор физико-математических паук, профессор. заведующий кафедрой вычислительной математики Казанского государственного университета.

Е-шаП: Mikhail.KarcluiVskyQksu.ru

Федотов Александр Евгеньевич аспирант кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.

Е-шаП: АРаШоь Qksu.ru