Об оценке дзета-функции квадратичной формы отрицательного дискриминанта на единичной прямой

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17. Выпуск 1.

УДК 511.331

ОБ ОЦЕНКЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ДИСКРИМИНАНТА НА ЕДИНИЧНОЙ ПРЯМОЙ

И. Ф. Авдеев (г. Орел) Аннотация

Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел. Важную роль среди этих направлений играют теоремы о плотности распределения нулей дзета-функции Римана в критической полосе. В течении последних десятилетий этой теме посвящено большое количество научных статей. Она неоднократно затрагивалась в научных монографиях и специальных учебниках, посвященных различным вопросам аналитической теории чисел. Исследования поведения дзета-функции Римана Z(s) в критической полосе существенным образом опираются на ее приближения отрезком ряда Дирихле.

Основным результатом данной работы является применение метода Виноградова для оценки Z(s, к)-дзета-функции квадратичной формы K растущего отрицательного дискриминанта (— d). Непосредственному применение метода Виноградова для оценки Z(s,k)-дзета-функции квадратичной формы K растущего отрицательного дискриминанта (—d) препятствует отсутствие подходящего для этих целей приближенного функционального уравнения. Обычно члены такого уравнения включают в себя сомножитель, являющийся значением характера группы классов дивизоров поля Q(V—d) для положительно определенных квадратичных форм дискриминанта (—d). Данное обстоятельство является основным препятствием для эффективного применения метода тригонометрических сумм. С. М. Воронин в своей работе [1] получено приближенное функциональное уравнение для Z(s,K), главный член которого представляет начальный отрезок ряда Дирихле этой функции, члены которого не «скручены» ни с каким характером. Это дает возможность сведения вопроса о его оценке к оценке двойной дзетовой суммы. Доказательство проводится путем приближения дзета-функции квадратичной формы отрезком ряда Дирихле. Так же в статье описана истории вопроса поведения дзета-функции Римана Z(s) в критической полосе. Выделены основные результаты, актуальные на сегодняшний день, показаны приложения найденных результатов.

Ключевые слова: дзета-функции Римана, приближенное функциональное уравнение Харди-Литтлвуда, квадратичная форма, ряд Дирихле.

Библиография: 15 названий.

ESTIMATE OF THE ZETA-FUNCTIONS OF QUADRATIC FORMS NEGATIVE DISCRIMINANT ON THE UNIT LINE

I. F. Avdeev (Orel) Abstract

Research on the theory of the Riemann zeta function are carried out with great intensity that's been going on for one and a half centuries, and some parts of the theory became independent scientific directions of modern analytic number theory. An important role among these areas play a theorem about the zeros of the density distribution of the Riemann zeta

function in the critical strip. During the last decades, the topic in a large number of scientific articles. She repeatedly touched in scientific monographs and special books on various issues of analytic number theory. Studies of the behavior of the Riemann zeta function Z(s) in the critical strip essentially based on its proximity segment of the Dirichlet series. The main result of this work is using of the Vinogradov's method for estimation of Z(s, k)-Zeta function of the quadratic form K and the growing negative discriminant (—d). In the article is given the use of Vinogradov's method for estimating Z(s, k)-Zeta function of the quadratic form K and the growing negative discriminant (—d). Application Vinogradov method for estimating Z(s, k)-Zeta function of the quadratic form K and the growing negative discriminant (—d). is difficult due to lack of suitable for the purpose of the approximate functional equation. Typically, members of this equation include the factor, which is the value of the character group of divisor classes of the field Q(V—d) for positive definite quadratic forms of discriminant (—d). This fact is the main obstacle to the effective application of the method of trigonometric sums. C. M. Voronin in his work [1] an approximate functional equation for Z(s, k) principal term of which represent the initial segment of the Dirichlet series of functions, which are not members of the «twisted» with any character. This allows reducing the question about his assessment to the assessment of the amount of double dzetovoy. The proof is carried out by bringing the zeta-functions of quadratic forms a segment of a Dirichlet series. Also in the article describes the history of the problem behavior of the Riemann zeta function Z(s) in the critical strip. The basic results of relevance today, shows the application results found.

Keywords: Riemann zeta-function, approximate functional equation of Hardy-Littlewood, quadratic form, the Dirichlet's series.

Bibliography: 15 titles.

1. Введение

В теории дзета-функции Римана Z(s) важную роль играет оценка ее модуля на критической полосе. В частности, оценки Z(s) при s = 1 + it, t ^ <х используются при выделении области критической полосы, свободной от нулей. При этом всякое усиление данных оценок позволяет расширить указанную область.

К настоящему времени лучшие оценки для Z(s) на единичной прямой получаются методом И. М. Виноградова по его схеме, предложенной еще в 1958 году. Применение метода Виноградова для оценки Z(s, K)-дзета-функция квадратичной формы K растущего дискриминанта (—d) затруднительно из-за отсутствия подходящего для этих целей приближенного функционального уравнения. Обычно члены такого уравнения включают в себя сомножитель, являющийся значением характера группы классов дивизоров поля Q(V—d) для положительно определенных квадратичных форм дискриминанта (—d).

Данное обстоятельство является основным препятствием для эффективного применения метода тригонометрических сумм. В работе [1] С. М. Воронин получил приближенное функциональное уравнение для Z(s,K), главный член которого представляют начальный отрезок ряда Дирихле этой функции, члены которого не «скручены» ни с каким характером. Это дает возможность сведения вопроса о его оценке к оценке двойной дзетовой суммы.

Основная цель данной работы состоит в адаптации метода Виноградова к использованию этих тригонометрических сумм. В настоящей статье формулируется следующая теорема об оценке дзета-функции квадратичной формы на единичной прямой.

2. Основные результаты

Теорема 1. Пусть K(m, n) — квадратичная форма вида

K (m, n) = (2am + bn)2 + dn2

и ее коэффициенты а, Ь, с являются целыми числами, удовлетворяющими ограничениям

\Ь\ < а < с, й — 4ас — Ь2 > 0.

Пусть f (т,п) — (К(т,п))-я, где в — 1 + И, t > 0, t —У Тогда для суммы Б вида

Б — ^ f

справедлива оценка

б «

ауй

Доказательство. Оценим сначала сверху сумму Ш составленную из модулей всех слагаемых, входящих в Б. Заметим, что подобные оценки для тригонометрических сумм обычно называются тривиальными.

Очевидно, что с точностью до постоянной имеем

те те

1 ее йт йп

Ш < V тт;-—г^ <

22

(2ат + Ьп)2 + йп2 У У (2ат + Ьп)2 + йп2'

т=1 п= 1

Последний интеграл необходимо оценить сверху.

1п t

Лемма 1. Справедлива следующая оценка Ш ^

у/й'

Доказательство. Область интегрирования разобьем на две части ,ш1 и -ш2, относя к первой области w1 точки (т,п) с условием (2ат + Ьп)2 ^ йп2, а к области w2 точки (т,п) с условием (2ат + Ьп)2 > йп2. Интегралы по этим областям обозначим через 11 и 12. Оценим каждый из них.

В первом случае выполняется неравенство

2ат + Ьп ^ пл/й.

Число а по условию положительно и последнее неравенство запишется в виде

2ат ^ п(л/й — Ь). В случае положительного Ь на области и)1 имеем

2ат ^ п\/~й.

Если же Ь отрицательно, то воспользуемся условиями

\Ь\ < а < с, й — 4ас — Ь2.

Из них вытекает, что Ь2 ^ ас, но й ^ 3ас ^ 3Ь2. Следовательно у/й ^ —Ьу/3 и тогда у/й — Ь < 2у/й. Отсюда вытекает, что в каждом из случаев на области выполнено условие

ат

^ пу/й.

Интеграл /1 тогда оценивается следующим образом

ГГ йш йп ГГ

УУ (2аш + Ьп)2 + йп2 У/

/ .. (Ш (П ^ ГГ йш йп (2аш + Ьп)2 + йп2 У/ йп2

т^/п •Я

а

1<т,

/3

г ~аг г t

1 Г йп Г ^ у й Г йп ^ 1п £

й У п2 У ай У п ал/й

/3 1 /3

ГГЛ . 1п ^

Тем самым /1 ^

ал/й

Рассмотрим теперь интеграл /2. На множестве -Ш2 выполняется неравенство

или

2аш + Ьп ^ пл/й

2аш ^ п(л/й — Ь).

й

Но выше было показано, что |Ь| ^ - . Поэтому на -Ш2 имеем

2аш ^ 0,4л/й

ш ^-п.

а

В случае, когда коэффициент Ь положителен, подынтегральное выражение можно заменить на значение (2аш)-2. Тогда интеграл /2 оценивается так

Ъа/^Ь, г г г

йш йп 1 йш 1 йш

/2 < —2 < ~о (п I —2 + (п —2 <

4а2 ш2 а2 У У ш2 а2 У У ш2

1 1 ЪаЬ/^Ь Ъап/^Ь

1 л/й 1п £ 1п £

< -;= + -5— <

Л

ал/й а3 ад/й

ггл л/й 1

Так как —^ ——, поскольку а ^ Vй. а3 ауа

Осталось рассмотреть случай, когда 2аш + Ьп ^ пл/й и Ь < 0 .В этом случае —Ьп ^ аш так как в противном случае имеют место неравенства

—Ьп ^ аш > 2аш + Ьп > пл/й

й

откуда |Ь| > л/й, что противоречит ранее полученной оценке |Ь| .

Следовательно, можно считать, что подынтегральное выражение в интеграле /2 оценивается величиной (2аш)-2. Рассуждая аналогично случаю Ь > 0, для интеграла /2 приходим к оценке

I < Ш

ал/й

Вместе с полученной ранее оценкой интеграла /1 это приводит к неравенству

1п * Ж < —-= . ай

Лемма 1 доказана.

Далее нам потребуется оценка двойных дзетовых сумм.

Лемма 2. Рассмотрим сумму V(Ь,М^) вида

V

N<и<2И М<т<2М

при условии, что М, N « Ь. Тогда при некотором с условием 0 < ^ < 1/3 для суммы V(Ь, М, N) выполняется неравенство

IV

Доказательство. Положим г = (М + N )1/3 . Из двух возможных случаев соотношение параметров М и N будем рассматривать только тот, при котором N ^ М, так как случай N > М рассматривается аналогично. Пусть х,у — натуральные числа и 1 ^ х, у ^ г. Тогда для суммы V при фиксированных х, у выполняется соотношение

V(Ь, М, N) = V(х, у) + 2Nz2в,

где в ^ 1, сумму V(х,у) можно записать в виде

V(х, у) = ^ ^ ((2ат + Ьп)2 + йп2)-й =

NМ+ху^т^2М+ху = ^^ ^^ е-И \п((2ат+Ьп)2+ё,п2) =

NМ+ху^т^2М+ху

= ^^ ^^ е-И Ы

N^n^2N Мф^2М

Выбирая главную ветвь логарифма от комплексного числа получим

-гЬ 1п {(2ат + Ьп)2 + (п/й)2^ = -гЬ ^1п ^2ат + Ьп + гп/й^ ^ + + 1п ^2ат + Ьп - гп/Щ = -гЬ (\п(2аЬ + Ьп + гп/йС^ +

+\п (1 + —2аху—^ ^ +1п (1+ 2аху

2аЬ + Ьп + гп\[й) ( 2аЬ + Ьп - гп\[й

= -гЬ 1п ((2аН + Ьп)2 + йп2 +1п[1 +-2аху-— ) +

V 2аН + Ьп + гпуй)

( 2аН + Ьп-гп/й)) ^

Подставим найденные выражения в сумму V(х,у) и просуммируем по х и у. Получим

z2V (Ь,М,Ю= ^ ^ ^ ^ е-Мх,у) +2Nz4 в,

Кх^ 1<у<.г NМ4Л42М

IV(г, М, N)|« г2 £ £

Положим далее

2

N<n<2N М<к<2М

Е Ее

-И

+ Nz2

^ 2аН + Ьп + гп/~й) ( 2аН +-1]п^гп/й) ^11 ^12

Очевидно, что

Следовательно

IV(¿, М, N)| < ЖМ(Ж + М)-2/3

Е £

+ N (Ж + М )2/3

Далее будем оценивать двойную сумму по параметрам х и у. Для этого оценим модуль членов, дополняющих единицу в выражениях, стоящих под знаком логарифма в символах ^ц и ^>12. Имеем

2аху

2аЛ, + Ьп + т^М

2аху

2аЛ, + Ьп — т^М

Тогда

2аху

2аЛ, + Ьп + т^М

2аху

аЛ, + т^М

2аху

аЛ,

<

< ^ ^ ^ 8М!/! = 8М-1/3, М М М

так как а > \/й > |Ь|, п ^ ш.

Наложим на М условие М > 212. Тогда | —| ^ 1/2. Раскладывая величину 1п(1 + —) в ряд Тейлора в окрестности точки — = 0, получим

— 2 — 3 —4 —г

1п(1 + —) = — — — + —---- + ... + (—1)г+1 — + Кг = А(—) + Кг .

2 3 4 Г

Для остатка Кг, очевидно, выполняется оценка

|—|г+1 + I—|г+2 + = I—г1 Л 11 |Ег| ^ 7ГТ + 7Г2 + ••• = ТГГ11 + 2 + 4 +

г + 1

|—Г+1.

Сделаем выбор значения параметра г, считая, что число 7 в формулировке леммы 2 удовлетворяет неравенству у ^ 3-6 . Поэтому можно считать

1п3 М

361п2í

Но |—| ^ 8М-1/3. Поэтому

^ 1, 1п3 М ^ 36 1п2 1п М ^ 32 1п2/3 М ^ е!

91п2/3г

|Дг| ^ ^ 8Г+1—2— М-^ < 8г+1 е-3(г+1)1п2/3г.

| п ^ г + 1 г + 1

Если £ ^ е3, то Ег ^ 1/2. Далее

е-гг(^11+^12) = е-гг(1п(1+Я)+1п(1+Я)) = е-гг(Аг(Я)+Яг +АГ(Я)+Яг ) =

= е-И

2

Но t|R r + Rr | < 2t|R r Выбирая значение параметра r из условия

"ln1/3 t'

r =

3

+ 1.

получим

Тогда

ln1/31 ln1/31 y 1

r ^-^--1 + 1 + -

3 3 3 2

ln1/31< 3 (r +1 - Y) - 3 ,

3J 2

ln t< 3 (r + 1 - Y) ln2/31 - 3 ln2/3 t ln t - 3(r + 1) ln2/31 < -Y ln2/31 - 3 ln2/3 t.

3 2 2

^ ln1/3 t 1

Следовательно, r < —---+ 1 и

3

t(Rr + R) < 2tlRr| < 2  e-3(r+1)ln2/3t+ln4 <

< 258r e-Y Щ2/31 < 262ln1/3 4 -y Щ2/31

< (r + 1)e3/2ln2/3 t < (r + 1)e3/2ln2/3 t . 28 1/3 /3 1 _ e-Y ln2/31 1

Но при t > 100 имеем --eln t-3/2ln t < -, поэтому lt(Rr + Rr )| < --- < -, следовательно

e-it(Rr +Rr) _ 1

e-Y ln2/31 <-

2

(н)+Аг(В)) + 0^е-у \п2/3 ^ , Е Е е-г^(^11+^12) = ^ ^ е-И(Аг(В)+Аг(В)) + о ^2е-7 \п2/3 ^ .

Обозначим последнюю сумму через Т и займемся ее оценкой. Рассмотрим ^2(4) многочлен г-ой степени вида

v2(q) = Y1akqk,

akCk

k=1

где

ак = \ке(---Р ) к (-1)к+1.

пк \2аН + Ьп + гпуй/

Тогда имеет место равенство

Т = ^^ ^^ е-2жг^2(ху) , поскольку при д = ху выполняется равенство

2пг^2(ху) = Ь (Аг(Н) + Аг(Н)). Тригонометрическая сумма Т по своему виду близка к сумме, которая возникает при оценке дзета-функции Римана на единичной прямой, наилучшие оценки которой получаются по методу И. М. Виноградова. И в нашем случае будем использовать тот же метод.

При натуральном в имеем

х=1

е

У=1

2пг

2«

Л1 ,...,Лг

Е'

х=1

2пг

Здесь через (Л1,..., Лг) обозначается число решений системы диофантовых уравнений вида

х1 +-----+ х2« = Л1,

Далее

хЦ +    + х2« — Лг , 1 ^ х1,..., х2« ^ г .

2«— 1

4«2 ^ ^4«2-2«

У^ (Л1,...,Лг )| Е (Л1, . . . , Лг )х

г / Л1 ,...,Лг

2«

е2пг

х+1

<

X

X

< г8в2-4%г

Л1 ,...,Лг

Переменные ^1,..., меняются в тех же границах что и Л1,..., Лг, а они удовлетворяют неравенствам

|Л11 < гв <,..., < |ЛГ|,ггв

и пробегают сплошной промежуток.

Во внутренней сумме правой части последнего равенства можно произвести суммирование по переменным Л1,..., Лг. Воспользуемся стандартным обозначением ||а|| для значения расстояния от вещественного числа а до ближайшего к нему целого числа и применим известную оценку [2]

М +р-1

Е

х=М

е

2пгах

Получим

г

8«2-4«

(0, ••• , 0) )х

г

< г8в2-4Ч2,г (0,... , 0) П Е А (1+||аг^г 11 Ак )-1

к=1 Ы<Ак

где А« = 2вгт, ш = 1,..., г.

Далее необходимо для каждого т оценить сумму по индексу ^т в правой части последнего равенства. Напомним, что коэффициенты ак определяются так

Ь ( 2а

ак = — Ее [ --¡=

пк \2аН + Ьп + гпуй

к+1

Будем искать выражение для величины ||ак||. Обозначим через в аргумент комплексного числа п

п =

2а

2аН + Ьп - гпл/й

2а

((2аН + Ьп)2 + гп2й)1/2

, П = Ые

Ле(пк) = 1пк I сов вк , ак = Пк 1пк I сов вк .

Поскольку значение ||ак|| находится в знаменателе выражения, которое нуждается в оценке сверху, то саму величину ||ак|| требуется оценить снизу. Можно рассчитывать на подобные оценки лишь в том случае, когда |ак < 0, 5| . Определим, при каких к можно обеспечить

выполнение этого неравенства. Неравенство |ак | = ^

-Ь-Пк сов вк пк

^ — будет выполнена, если

Пк|пк I < 2

1пк1 < ^

пк 2 '

к пк ^ \ —

2а

((2аН + Ьп)2 + гп2й)1/2 ^ \2Ь

" < ' 2Ь )

', Ьп\ п2й

* + 2а) + 4^

1/2

{пк\ к

пк\ к

. Ьп\2 п2й (пк \к

* +2а +4а2 Н Я

Н М2

Но левая часть последнего неравенства превосходит величину —, поэтому последнее

неравенство будет выполнено, если

М2 2

—Г" > ^ к ,

4

или

21п М - 21п п ^ -г 1п Ь, к

1п Ь

к > шпг = в1.

к

При значениях к, меньших указанной границы В1, исследуемую сумму будем оценивать тривиально. Если же к > В1, то

^ „к.

—cos вк пк

Выделим те значения k, для которых выполняется неравенство

Положим ao = arccoslO-2, тогда решение последнего неравенства запишется так

п п

— + $п — a0 < вк < — + $п + a0 ,

где $ — произвольное целое число. Отсюда

n 2ao 2вк n 2ao

1 + 2$--0 < — < 1 + 2$ + — .

п п п

Это неравенство заменим на более сильное

2вк

п

2ao

<-= ai.

п

В нашем случае параметр k меняется в пределах

ln t . ^ In t

< к ^ З^^т + 1.

ln MM

ln M

2в 2

Можно предполагать, что множество значений к не пусто. Для числа во = — < _ возьмем

п 3

Р

рациональное приближение — со знаменателем V непривосходящим значения 2 с условием

V

10-2

^ —— . Тогда параметр к, при котором выполняется неравенство —— < а1,

А—Q

2Q

будет кратен Q. Для всех прочих k

2вк

п

Ы> 0,01 А (M)-k

tM

ПкЫ

-k

Поэтому исследуемая сумма оценивается так [3]

= Е Ак (1 + | |ак^ -1 ^ А(Аа — 1п ) ^ а^

Перемножая полученные оценки по всем V, приходим к неравенству

4s2

< Z

,8s2-4s 72

J2,r (0,

.0) П Ak ak П A2 П A

k=1

k t Q

k>

In t

In M

Величина ,13,г (0,..., 0) оценивается по теореме И. М. Виноградова о среднем значении сумм Вейля. При в > со г2 имеет место оценка

,73,г (0,..., 0) <г30г3 z2s - 0Мг+1)(1 - б),

где 5 > 0 — положительное число, которое может быть выбрано сколь угодно малым в зависимости от величины со.

Произведение всех величин Ак удовлетворяет неравенству

П Ак < zr(r+1)г2r .

Подсчет значений произведения

к

к=1

П Ак ак к=1

сомножителей ак, входящих в первое произведение неравенства (1) показывает, что справедлива оценка

П А как « z-r(r+1)So к=1

где 5о — положительная эффективно вычисляемая постоянная. Можно полагать, что 5о = 45. Отсюда получаем неравенство

\Т ^ « ^я2-4-1* ^ЗОг3 Z 2 «-0,5г(г+1)(1-й) ^ 2 гт(г+1)г2г _г-г(г+1)4« = ^в2-¿т(т+1) г60г3+2г

но в = с0г2, с0 > 1 поэтому

0 ОГ(Г+1) риг

!Т I « Z2 4°2 г 4°

1Т1 ^ 2-% Спгг(60г3+2г) 2-% ]ТI « Z Г2 г с0г « Z Г2

где 51 > 0 — некоторая постоянная, но г2 =

31п Ь1 42

1п М

+ 1 , поэтому

51 > 51 > 51

2

Отсюда

г2 ^ (41пЛ 2 ^ 16(1пЬ)2 ЫМ

- М)2 \п ^ Z г2 = Z г2 < е 16(1п 4)2

Но 1п z > 11п М, поэтому

_61 ¿1(1п М )3

Z Г2 ^ е 64(1п £)2

Таким образом, справедлива оценка

^I « х2е 64(1п ')2 . Подставляя эту оценку в выражение для V(Ь, М, N) получим

1п3^ + М)

V(Ь,М^) « MN ехр -7

1п2 Ь

5

где 0 < ^ <--т. Лемма 2 доказана.

64

+2г 2

3. Заключение

Для получения основного результата данной статьи, нам потребовалось провести доказательство двух вспомогательных лемм. В лемме 1 получена оценка сверху суммы Ш составленной из модулей всех слагаемых, входящих в оцениваемую сумму 5. С точностью до постоянной получили

те те

у-л 1 Г Г Лш Лп 1п £

-< (2ат + Лп)2 + Лп2 / / (2ат + Лп)2 + Лп2

(2аш + Ьп)2 + Лп2 У У (2аш + Ьп)2 + Лп2 ал/й"

т=1 п=1

Далее в лемме 2 нами получена оценка двойных дзетовых сумм V(£, М, N) вида V (¿,М,Ж )= ^ ^ ((2аш + Ьп)2 + Лп2)-

^¿UW + ьП2 '

N<ra<2N M<m<2M

при условии, что M, N ^ t. Тогда при некотором 7, с условием 0 < 7 < 1/3 для суммы V(t, M, N) выполняется неравенство

Таким образом, доказательство теоремы производится применением преобразования Абеля к результатам, полученным в лемме 1 и 2. Теорема доказана.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воронин, С. М. О нулях дзета-функций квадратичных форм // Докл. АН СССР, 1977. Вып. 235, №2. — С. 257-258.

2. Виноградов, И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

3. Карацуба, А. А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука. 2-е изд. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 240 с.

4. Архипов, Г. И., Садовничий, В. А., Чубариков, В. Н. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов. — 4-ое изд., М.: Дрофа, 2004. — 640 с.

5. Авдеев, И. Ф. Приближение дзета-функции квадратичной формы отрицательного дискриминанта // Чебышевский сборник, 2013. Том 14, вып. 4(48). — С. 7-13.

6. Авдеев, И. Ф. О некоторых формулах суммирования // Чебышевский сборник, 2011. Том 12, выпуск 4(40). — С. 24-32.

7. 7. Авдеев, Ф. С., Авдеев, И. Ф. Асимптотическое разложение остаточного члена в приближенном функциональном уравнении для дзета-функции Римана // Ученые записки Орловского государственного университета. Серия Естественные науки. — Орел, 2012. №3(47). — С.6-14.

8. Авдеев И. Ф. Об оценке остаточного члена в приближенном функциональном уравнении Харди-Литтлвуда для дзета-функции Римана / / Ученые записки Орловского государственного университета. Серия Естественные науки. — Орел, 2012. №3(47). — С. 15-19.

9. Hardy, G. H., Littlewood, J. E. The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line, Math. Zs., 1921. №10. pp. 283-317.

10. Титчмарш, Е. К. Теория дзета-функции Римана. Изд. иностр. лит, 1953. — М.: с. 409

11. Архипов, Г. И. Избранные труды // под ред. В. Н. Чубарикова. — Орел: изд-во Орловского государственного университета, 2013. — 464 с.

12. Ingham, A. E. On the difference between consecutive primes, Quart. J. Math, 1937. №8. pp. 255266.

13. Ingham A. E. On the estimation of N(a, T), Quart. J. Math, 1940. №11, pp. 291-292.

14. IviC, A. The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. University of Belgrade, Yugoslavia, 1985.

15. Архипов, Г. И., Карацуба, А. А., Чубариков, В. Н. Кратные тригонометрические суммы// Тр. МИАН СССР, 1980. Том 151, 3-128.

REFERENCES

1. Voronin, S. M., 1977, «About the zeros of the zeta-functions of quadratic forms», Dokl. USSR Academy of Sciences., vol. 235, no. 2, pp. 257-258.

2. Vinogradov, I. M., 1981, «Fundamentals of the theory of numbers» М.: Science.

3. Karatsuba, А. А., 1983, «Fundamentals of analytic number theory» М.: Science., 240 p.

4. Arkhipov, G. I., Sadovnichy, V. A., Chubarikov, V. N., 2004, «Lectures on mathematical analysis: Textbook for high schools», 4th ed., М.: Drofa, 640 p.

5. Avdeev, I. F, 2013, «Approximation zeta-functions of quadratic forms of negative discriminant», Chebyshev's collection, Tula, vol. 14, release 4(48), pp. 7-13.

6. Avdeev, I. F., 2011, «Some formulas of summation», Chebyshev's collection, Tula, vol. 12, release 4(40), pp. 24-32.

7. Avdeev, F. S., Avdeev, I. F., 2012 «The asymptotic expansion of the remainder member in the approximate functional equation for the Riemann zeta function», Scientific notes of Orel State University. Series «Science», Orel, no. 3(47), pp. 6-14.

8. Avdeev, I. F., 2012, «Estimation of the remainder in the approximate function Hardy-Littlewood equation for the Riemann zeta function», Scientific notes of Orel State University. Series «Science», Orel, no. 3(47), pp. 15-19.

9. Hardy, G. H., Littlewood, J. E.1921 «The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line», Math. Zs, 10 283-317.

10. Titchmarsh, Е. C., 1951, «The Theory of the Riemann Zeta-Function», Oxford University Press, p. 409.

11. Arkhipov, G. I.2013 «Selected works» /Ed. V. N. Chubarikov, Orel: Publishing House Oryol State University, 464 p.

12. Ingham, A. E., 1937 «On the difference between consecutive primes», Quart. J. Math, 8, pp. 255-266.

13. Ingham A. E., 1940 «On the estimation of N(a,T)», Quart. J. Math, 11, pp. 291-292.

14. Ivic, A., 1985 «The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications». University of Belgrade, Yugoslavia.

15. Arkhipov, G. I., Karatsuba, А. А., Chubarikov, V. N., 1980, «Multiple trigonometric sums», Tr. Steklov, 151, 3-128.

Орловский государственный университет имени И. С. Тургенева. Получено 21.12.2015 г. Принято в печать 11.03.2016 г.