Пути и средства формирования интеллектуальной толерантности школьников в процессе обучения математике

Инновации в образовании Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 4 (1), с. 45-49

УДК 37.01

ПУТИ И СРЕДСТВА ФОРМИРОВАНИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ ТОЛЕРАНТНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

© 2012 г. М.А. Родионов

Пензенский государственный педагогический университет им. В.Г. Белинского

do7 tor@rambler.ru

Поступила в редакцию 03.05.2012

Раскрывается содержание понятия «интеллектуальная толерантность», что предполагает готовность и способность человека к восприятию впечатлений, противоречащих имеющимся у него представлениям. В качестве возможностей ее формирования рассматриваются: разрушение стереотипов мышления; развитие способности варьировать свои действия при изменении ситуации; направленность на поиск наиболее простого, неожиданного и «красивого» решения; совместное построение альтернативных конструкций.

Ключевые слова: интеллектуальная толерантность, построение альтернативных конструкций, разрушение стереотипов мышления, методы научного познания, учебно-поисковая деятельность школьников.

Введение

Целесообразность проведения самостоятельных исследований по проблеме формирования мотивационно-ориентированной образовательной среды обусловлена следующими обстоятельствами.

Высокий уровень интеллектуального развития характеризуется способностью субъекта решать такие задачи, методы, средства и приемы решения которых не имеются в готовом виде в его когнитивно-идентификационном фонде, а актуализируются в ходе специальной факторизации этого фонда с учетом характера привходящих данных и специфики взаимосвязей между ними. При этом целостность и полнота мышления возможны лишь тогда, когда одновременно с постановкой и решением задач воспроизводится возможность иного видения, иного предмета, иного отношения к объекту мышления. Гибкое осознание ситуации позволяет почувствовать, что окружающая обстановка постоянно меняется и что каждый должен меняться вместе с ней, не существует неизменно правильных «абсолютных» представлений, как в науке, так и в реальной действительности.

Из сказанного вытекает необходимость специального рассмотрения такой характеристики интеллектуальной деятельности, как интеллектуальная толерантность, обнаруживающая себя в ситуациях, для которых характерна неопределенность, двусмысленность. Указанная харак-

теристика предполагает возможность восприятия впечатлений, не соответствующих или даже противоречащих имеющимся у учащихся представлениям, которые изначально они оценивают как правильные и очевидные. В более широком психологическом контексте она сводится к индивидуальным различиям, характеризующим способы организации интеллектуального поведения в условиях, когда нарушается привычное «нормальное» отражение действительности [1].

Толерантные лица могут воспринимать мир таким, каков он есть в действительности, их познавательные впечатления строятся в соответствии с объективными характеристиками происходящего, и их познавательные образы «открыты» любой необычной информации. В качестве основных показателей высокого уровня развития рассматриваемой характеристики интеллектуальной деятельности целесообразно использовать быстроту возникновения необычных ассоциативных связей; сформированность открытой познавательной позиции; «чувство новизны», способность видеть объект под новым непривычным углом зрения; способность переключаться с привычных действий на другие - не вполне привычные, с прямого хода действий на обратный [1-3].

Недостаточная выраженность рассматриваемого качества интеллекта может свидетельствовать об изначально одностороннем характере умственного развития, когда человек неосоз-

нанно «закрывается» от познавательных контактов с противоречиями окружающего мира и выстроенная индивидуальная картина мира становится недостаточно «проницаемой» по отношению к альтернативной информации. При этом факты и явления, идущие вразрез с установившимися представлениями, как правило, просто не принимаются в расчет, игнорируются. Человек «закрывается»: перестает быть восприимчив к неожиданному, теряет способность к творчеству.

Оценка реального состояния проблемы

Сказанное обусловливает необходимость формирования интеллектуальной толерантности в рамках школьного образования. Ведущую роль при этом должна играть математика, традиционный «естественный полигон» интеллектуального развития подрастающего поколения. Основу для такой работы составляет использование в обучении математике методов научного познания: аналогии, сравнения, обобщения,

противопоставления, систематизации, классификации, которые приобщают учащихся к поисковой деятельности, содействуют появлению новых ассоциаций, развивая тем самым их творческий потенциал.

Необходимо отметить, что в массовой школе направленность на формирование гибкого и альтернативного мышления школьников, как указывается в многочисленной психологопедагогической и методической литературе, остается пока за пределами как массового школьного образования, так и наиболее известных педагогических инноваций. Как следствие, у большинства учащихся слабо сформирована направленность к альтернативному мышлению, они с трудом переключаются на новые, непривычные для них способы действий, а изученные ими различные методы и приемы математической деятельности зачастую представлены в их сознании в изолированном, обособленном виде без достаточного соотнесения друг с другом. Об этом свидетельствуют литературные данные, беседы с учителями, результаты письменных работ и устных опросов, проведенных нами в ходе констатирующего эксперимента, а также личные наблюдения за ходом преподавания в ряде образовательных учреждений.

Возможность формирования интеллектуальной толерантности школьников

Указанный факт несет в себе опасность того, что действительные формы и нормы выстраи-

вания предмета и «движения в предмете» остаются закрытыми для учащихся. Для преодоления данной опасности, в первую очередь, нужны учителя, сами владеющие необходимой полнотой мышления и способные достаточно «выпукло» представить ученикам ограниченность их сегодняшнего восприятия с целью формирования у них устойчивого стремления к ее преодолению. Кроме того, требуется еще и разработка адекватных педагогических «форматов», в рамках которых и ученики и учителя смогут совместно прийти к необходимости иного восприятия исследуемого факта, явления, проблемы. В качестве таких форматов можно указать:

1. Разрушение привычных стереотипов мышления;

2. Развитие способности адекватно варьировать свои действия при изменении ситуации;

3. Направленность на поиск наиболее простого, неожиданного и «красивого» решения;

4. Совместное построение альтернативных конструкций.

Рассматривая возможность разрушения привычных стереотипов мышления, целесообразно обратиться к опыту одного из предшественников гуманистической психологии, основателя гештальттерапии Ф. Перлза, который в одной из своих работ [4] предлагает в качестве других мысленных экспериментов, направленных на личностный рост пациента, такие как «ощущение противоположных сил» (представление ситуации, противоположной исходной, составление и осмысление обеих ситуаций, изменение ситуаций в том или ином ракурсе и прогнозирование результатов такого изменения); «внимание и сосредоточение» (сосредоточение внимания на некотором визуальном объекте, приводящее к его выделению на окружающем фоне и дальнейшему изменению этого фона). Указанные упражнения можно реализовать и при изучении школьного математического материала. Так, «ощущение противоположных сил» можно формировать при «развитии темы задачи», когда учащиеся при участии учителя изменяют условие некоторой задачи тем или иным образом (составление и решение обратной задачи, обобщение и специализация задач, добавление и исключение данных и требований задачи и т.д.) [5]. В ходе такой работы и последующего обсуждения у школьников формируется целостное представление о рассматриваемой задач-ной ситуации, обостряется «чувство актуального». Эксперимент «внимание и сосредоточение» можно реализовать при рассмотрении геометрических задач, когда в ходе решения учащиеся попеременно выделяют ключевые геометрические конфигурации, анализируют их, приходя в

итоге к пути решения, одновременно создается возможность формирования ощущения «фона и фигуры».

Направленность на поиск наиболее простого, неожиданного и «красивого» решения может быть реализована уже при анализе простейших геометрических, алгебраических и числовых конструкций. Школьное математическое образование содержит в себе богатый материал для такого анализа. Большинство теорем, отраженных в этом содержании, представляет собой примеры эстетически привлекательных и часто неожиданных по своим заключениям проблемных ситуаций. Однако для того чтобы то или иное заключение предстало перед школьником во всей своей «внезапной простоте и очаровании», необходима специальная организация его самостоятельной деятельности по открытию рассматриваемой закономерности путем обобщения эмпирически полученных результатов измерений, построений и вычислений (например, строя высоты треугольника, ученики получают возможность получения неожиданного для них факта единственности точки пересечения этих высот). Учителю здесь важно эмоционально оттенить для учащихся сам момент «рождения» плодотворной гипотезы (интонацией, предваряющей паузой или явным словесно выраженным указанием) с тем, чтобы подкрепить возникающее предчувствие открытия. Похожая ситуация возникает и в том случае, когда изначально казавшееся очень сложным решение удается радикально упростить путем «неожиданного» подключения к этому решению того или иного эвристического приема.

Наиболее совершенной формой выражения категории неожиданности, доступной для осознания школьникам с уже достаточно развитым эстетическим вкусом в области математики, является контраст между элементарностью внешней структуры условия задачи и немногочисленностью ее составляющих, с одной стороны, и значительными, но потенциально посильными трудностями, преодоление которых обеспечивает ее решение, - с другой. Эстетическая привлекательность таких задач постигается учащимися, как правило, в ходе накопления опыта поисковой работы. Учителю по возможности следует при каждом удобном случае обращать их внимание на внутреннюю красоту той или иной задачи, находящую свое внешнее выражение в достаточно серьезных и продолжительных усилиях по ее решению.

Приведем простейший пример организации соответствующей работы с математической задачей. На одном из заключительных уроков по курсу планиметрии, наряду с другими заданиями, можно предложить следующую задачу [6, с. 73].

В С

A D D,

Рис.

Задача. Площадь трапеции равна 2, а сумма ее диагоналей равна 4. Найти высоту трапеции (рис).

Данная задача, несмотря на видимую простоту, относится к числу достаточно трудных. Основным трудным моментом для школьников является необходимость вывода формулы для площади трапеции через ее диагонали. Эта трудность может быть снята посредством уже применявшейся ранее в курсе геометрии «перестройки» трапеции в «более простую» геометрическую фигуру - треугольник, равновеликий этой трапеции. В результате может получиться следующая система уравнений:

Г dj + d 2 = 4 [d1 х d2 х sin а = 4.

Используя способ постановки, можно легко получить уравнение с двумя неизвестными:

(4d2 - d22) х sina = 4.

Здесь ученики вполне могут усомниться в возможности однозначного решения приведенного уравнения, поскольку оно включает в себя две неизвестные величины (d2 и а).

Ключевым моментом, «неожиданно» меняющим характер восприятия данной задачной ситуации школьниками, является выяснение ограниченности одной из двух задействованных в уравнении величин, которое вытекает из ограниченности области значений соответствующей тригонометрической функции. Далее можно выразить sina через d2 и произвести оценку получившейся алгебраической дроби:

sina = 4/(4d2 - d22) < 1.

Анализ второй части соотношения приводит к двум альтернативным случаям:

1) 4d2 - d22 < 0 (нет решения); 2) 4d2 - d22 > 4 (d2 = 2, откуда sina = 1; a = 90°, d1 = 2).

Дальнейший ход решения сводится к нахождению высоты прямоугольного равнобедренного треугольника с известными боковыми сторонами.

В качестве одного из примеров альтернативных конструкций можно рассмотреть «геометрический мир», в котором изменено одно из фундаментальных свойств пространства. Одну из первых моделей такого пространства, как известно, построил великий отечественный математик Н.И. Лобачевский, который предпринял для достижения этой цели изменение привычной евклидовой аксиоматики. Необходимо

Таблица

Плоскость Евклида Плоскость Лобачевского

Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180° Сумма углов треугольника на ¿-плоскости меньше 180°

Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости постоянна Сумма углов треугольника на Ь - плоскости не постоянна, а меняется от треугольника к треугольнику

Первый признак равенства треугольников (СУС): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны

Второй признак равенства треугольников (УСУ): Если сторона и два угла, прилежащих к ней, одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

Третий признак равенства треугольников (ССС): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны Если три угла одного треугольника на ¿-плоскости соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны

Замечательными прямыми треугольника называются прямые, содержащие биссектрисы, высоты, медианы треугольника, а также прямые, содержащие биссектрисы внешних углов к сторонам треугольника. Точки пересечения соответствующих групп замечательных прямых называются замечательными точками треугольника

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

Медианы треугольника пересекаются в одной точке

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке Три высоты треугольника на Ь-плоскости либо все пересекаются в одной точке, либо все попарно параллельны, либо все попарно расходятся и принадлежат пучку прямых третьего рода

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны Средняя линия треугольника расходится с основанием, причем их общий перпендикуляр проходит через середину основания треугольника и длина средней линии треугольника меньше половины длины основания

Если прямая пересекает одну сторону острого угла, то она пересечет и другую его сторону Для любого острого угла существует прямая, пересекающая одну сторону угла и параллельная другой его стороне

Площадь S треугольника АВС равна S = — ah 2 а (АВС)=4к 5(АВС), где 5 - дефект треугольника АВС, 5 = ж^(АВС), S(АВС) - сумма мер углов треугольника, к - величина, связанная с кривизной плоскости Лобачевского

В равностороннем треугольнике градусная мера а каждого из углов треугольника равна а = 60° а < 60°

В любой треугольник можно вписать одну и только одну окружность

Около любого треугольника можно описать окружность Не около любого треугольника можно описать окружность

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается Вписанный угол меньше половины дуги, на которую он опирается

отметить, что геометрия Лобачевского довольно часто служила предметом изучения школьных факультативных курсов, однако при этом на первом плане всегда оказывалась реализация дидактической, воспитательной, либо мировоззренческой функций математического содержания. В развивающем же контексте более целесообразно сделать упор на показе школьникам в рамках соответствующего элективного курса реализованной Лобачевским возможности «иного взгляда» на привычные геометрические истины [3, 7].

Так, например, как известно, одним из центральных звеньев геометрической теории является тема «Треугольники». При изложении данной темы применительно к плоскости Лобачевского целесообразно опираться на постоянное сопоставление известных школьных фактов евклидовой и неевклидовой геометрий.

Школьников при этом целесообразно разделить на группы. Одной группе учащихся дается задание подготовить сообщения о треугольниках на евклидовой плоскости, вторая группа представляет сообщения о треугольниках на

плоскости Лобачевского. Учащиеся с помощью учителя пытаются соотнести подготовленный материал. В итоге обсуждения составляется таблица, в которой представлены свойства и теоремы треугольников на плоскости Евклида и Лобачевского (табл.). В конце занятия делаются необходимые выводы и обобщения.

Далее можно предложить рассмотреть некоторые сведения об окружностях, вписанных в треугольник и описанных около него на плоскости Лобачевского, также при постоянном сопоставлении их с «евклидовыми аналогами». При этом преодоление несоответствия конструируемого визуального образа осуществляемой последовательности логических умозаключений требует от ученика приложения значительных интеллектуальных усилий, знаменуя собой новую ступень в его развитии.

Заключение

При организации работы по развитию толерантности мышления ребенка в рамках базовых либо элективных математических курсов приходится учитывать не только содержательный контекст такой работы, но и индивидуальные и возрастные особенности школьников, их умение работать в группе, а также достигнутый к данному моменту уровень предметной подготовки. Однако в любом случае для продуктивного перехода от замыслов и представлений о том, что можно было бы сделать, к рабочим формулировкам заданий необходимо, чтобы рассматриваемая проблема, с одной стороны, была интересна ученику и значима для него, а с другой - входила в противоречие с образом мыслей школьника для того, чтобы побудить его к учебному исследовательскому поиску, а не к работе в диапазоне привычных схем и представлений. Другими словами, для того чтобы совместная работа учеников и учителей происходила достаточно эффективно в описываемом контексте, необходимо представлять учебный материал так, чтобы он естественным образом «втягивал в себя» ученика и учителя, как в нечто «странное», но вместе с тем «чрезвычайно интересное» [2].

Предлагаемые педагогические решения нашли свое отражение в ряде разработанных нами элективных математических курсов развивающей направленности и были успешно апробированы в реальной школьной практике [3, 5, 7-9].

Материалы подготовлены при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (ГК № П401 от 12.05.2010).

Список литературы

1. Холодная М.А. Когнитивные стили. О природе индивидуального ума: 2-е изд. СПб.: Питер, 2004. 384 с.

2. Ефимов В.С. и др. Возможные миры или создание практики творческого мышления. Пособие для преподавателей. М.: Интерпракс, 1994. 124 с.

3. Родионов М.А., Титова Н.В. Создание «воображаемых миров» на факультативных занятиях по геометрии // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Общественные науки. 2007. №2. С. 51-54.

4. Перлз Ф. Опыт психологии самопознания. М.: Гиль-Эстель, 1993. 240 с.

5. Родионов М.А., Марина Е.В. Формирование вариативного мышления при решении задач на построение. Пенза, 2006. 95 с.

6. Садовничий В.А. и др. Задачи студенческих математических олимпиад. М.: МГУ, 1987. 311 с.

7. Родионов М.А. Критерии отбора содержания элективных математических курсов // Des jeux a la créativité. Méthodes d’éducation active: Actes du Colloque organize par la FIDJIP (Fédération Internationale du Systéme JIP), lé Départment de la Didactique des Mathématiques de l’Université pédagogique de Moscou, l’EUROTALENT (ONG dote du statut consultative auprés du Conseil de l’Europe), la Section russe de la Société Internationale des Jeux Dynamiques (ISDG). Sables d’Olonnes, France. Juillet 2007. Boulogne: Editions du JIPTO, 2007. P. 161-163.

8. Родионов М.А. и др. Методы решения уравнений и неравенств (факультативный курс для старшеклассников): Учебно-методическое пособие. Пенза: ПРООО «Знание» Россия, 2005. 172 с.

9. Rodionov M., Velmisova S. Construction of Mathematical Problems by Students Themselves // Proceedings of the 34th Conference on Applications of Mathematics in Engineering and Economics (AMEE '08); American Institute of Physics (Melville, NY 11747 USA). AIP Conf. Proc. Issue Date: October 30, 2008. V. 1067. P. 221-228. http://proceedings.aip.org/proceedings/

WAYS AND MEANS TO FORM PUPILS’ INTELLECTUAL TOLERANCE IN THE PROCESS OF MATHEMATICS EDUCATION

M.A Rodionov

The article deals with the concept of «intellectual tolerance», which presupposes the readiness and ability of a person to perceive impressions that are contrary to his/her views. We consider the following possibilities to form intellectual tolerance: destroying the stereotypes of thinking, developing the ability to vary one’s actions if the situation changes, focussing on the search for the simplest, most unexpected and «elegant» solutions, joint construction of alternative structures.

Keywords: intellectual tolerance, construction of alternative structures, destruction of stereotypes of thinking, methods of scientific knowledge, pupils' educational and search activity.