Моделирование волатильности: от условной гетероскедастичности к каскадам на множественных горизонтах

№3(15)2009

А. В. Субботин

Моделирование волатильности: от условной гетероскедастичности к каскадам на множественных горизонтах

В статье рассматриваются все основные подходы к моделированию волатильности цен акций и обменных курсов в связи с эмпирическими свойствами соответствующих временных рядов. Большое внимание уделяется свойствам волатильности на множественных временных горизонтах и характеристикам эконометрических моделей при временном агрегировании. Приводится подробный обзор моделей каскада волатильности на множественных горизонтах, получавших распространение в последнее десятилетие.

Моделирование цен акций является основой финансовой экономики и, в частности, теорий управления инвестиционным портфелем и оценки финансовых инструментов. Так называемая современная теория управления портфелем (далее — MPT, от англ. modern portfolio theory), включающая принцип диверсификации Марковица [Markowitz (1952)] и модель оценки капитальных активов Шарпа—Линтнера [Sharpe (1964)]; [Lintner (1965)], устарела именно потому, что заложенная в нее ключевая предпосылка о динамике цен оказалась нереалистичной и даже в практическом смысле опасной. Доходности акции не являются независимыми между собой во времени реализациями нормально распределенной случайной величины. Однако поиск новой модели до сих пор продолжается. Мы рассмотрим эмпирические свойства цен акций и различные популярные модели ценовой динамики, указывая на особую роль понятия «волатильность цен».

Объектом нашего исследования выступает изменчивость цен акций, которую в финансах принято обозначать термином «волатильность» (volatility). Обычно введение научной терминологии имеет целью уточнить какие-либо представления об объекте, однако в данном случае приходится говорить, скорее, об обратном. В зависимости от контекста и точки зрения автора слово «волатильность» в финансах может означать явление изменчивости цен (variability). Именно в этом смысле мы употребили его выше, а также оценку стандартного отклонения доходностей, финансовый риск вообще, параметр ценовой модели либо определенного вида случайный процесс. Мы будем использовать понятие волатильности в его исконном значениии изменчивости. Прежде чем говорить о конкретных моделях, рассмотрим несколько подробнее само понятие. Это позволит нам проследить логику развития связанных с ним моделей.

Первая модификация значения термина связана с тем, что название явления изменчивости стало применяться к наиболее очевидному способу ее оценки — стандартному откло-

1. Введение

94

^-

- №3(15)2009

нению доходности акций. Эта трактовка логично встраивается в концепцию MPT, которая также называется теорией среднего — вариации (mean — variance), поскольку именно среднее значение и вариация (дисперсия) отражают всю полезную информацию об активе, если его доходность распределена по нормальному закону, как предполагает классическая теория Марковица [Markowitz (1952)]1. Заметим, что в рамках этой теории риск моделируется статически (каждая акция имеет некоторый присущий ей неизменный уровень риска), поэтому «волатильность — стандартное отклонение» может трактоваться как оценка постоянного параметра в простейшей модели доходности акций. Это определение волатильно-сти укоренилось и употребляется до сих пор в профессиональной среде.

Появление в 1973 г. модели оценки опционов Блэка—Шоулза—Мертона [Black and Scholes (1973)];[Merton (1973)], помимо прочего, изменило представление о волатильности. Блэк и Шоулз используют непрерывную диффузию (геометрическое броуновское движение) для моделирования цен:

— = ^dt +adWt,

St

где St — цена акции;

^ — неслучайный тренд;

Wt — стандартный винеровский процесс (броуновское движение).

X 3 £ о

VO VO

с?

оа

В данной модели параметр ст также называется волатильностью. Поскольку логарифмы доходностей за любые интервалы времени, рассчитанные по ценам следующих (1), распределены по нормальному закону, модель также называют логнормальной диффузией.

Очень скоро стало ясно, что уравнение (1) плохо описывает действительность. Параметры уравнения (1) однозначно задают цены опционов для любых дат и цен исполнения. Поэтому, наблюдая цены различных опционов на рынке, мы можем с помощью функции, обратной формуле Блэка—Шоулза, оценить ст. Получаемая таким способом оценка называется вмененной волатильностью (implied volatility) в противоположность исторической волатильности (historical volatility). Вопреки предсказанию модели Блэка—Шоулза эмпирические результаты показывают, что вмененная волатильность неодинакова для опционных контрактов с различными параметрами. Этот феномен известен как «улыбка волатильности» (volatility smile). Он получил название из-за характерной выпуклой формы графика оценки ст в зависимости от цены исполнения опциона.

В русскоязычной литературе утвердился термин «ожидаемая» волатильность как перевод английского слова implied. Его употребление мотивировано тем, что волатильность изменяется во времени и для оценки опционов следовало бы использовать будущую волатильность, а не наблюдавшуюся в прошлом. Тогда несовпадение исторической и вмененной волатильностей можно было бы объяснить тем, что инвесторы ожидают изменения волатильности в будущем. Однако, с нашей точки зрения, отождествление ожидаемой и вмененной волатильностей некорректно, поскольку вмененная волатильность — всего

1 В теории диверсификации Марковица может использоваться альтернативная упрощающая предпосылка: функция полезности репрезентативного инвестора имеет квадратичную форму, т.е. зависит лишь от первых двух моментов распределения доходности.

95

№3(15)2009 '

лишь результат использования конкретной модели оценки опционов. Значения вмененной волатильности меняются в зависимости от цен исполнения и других характеристик опционов. Нельзя предполагать, что ожидания инвесторов в отношении изменчивости цен акций зависят от свойств производных финансовых инструментов. Указанное несовпадение — следствие ошибочности предпосылок модели, а не изменяющихся ожиданий. Поэтому мы отказываемся от распространенной, но неудачной терминологии в пользу менее употребимого, но более точного термина2.

Сказанное выше не означает, что вмененная волатильность не содержит полезной информации о будущей изменчивости цен. Действительно, вмененная волатильность широко используется для прогноза волатильности. В оценке производных инструментов вмененная | волатильность играет ключевую роль, поскольку позволяет экстраполировать наблюдае-§ мые рыночные данные для оценки новых производных инструментов [Dupire (1993, 1994)]; a [Avellaneda, Friedman, et al. (1997)]. Несмотря на эти успехи, более адекватная, чем (1), мо-£ дель для рыночных цен все же была бы полезна как для оценки производных инструментов, | так и для управления инвестиционным портфелем. Уже в работе Мертона [Merton (1973)] | рассматривается случай, когда параметр волатильности ст зависит от времени. Еще ранее

С

| Мандельброт [Mandelbrot (1963)] описывает эмпирические свойства доходностей, которые

§ не соответствуют модели логнормальной диффузии, предлагая рассматривать более широ-

| кий класс Леви-устойчивых вероятностных распределений. Дальнейшее развитие финансо-

I вой теории привело к тому, что волатильность сама стала рассматриваться не как параметр

§ (пусть даже изменяющийся во времени), а как случайный процесс.

g Таким образом, термин «волатильность» в финансах претерпел круговую эволюцию:

з от обозначения явления изменчивости к статистической оценке, затем к параметру модели,

| и, наконец, к случайному процессу, который вновь характеризует изменчивость цен в целом.

| Более точно волатильность можно охарактеризовать через структуру условных моментов

§ второго порядка для распределений доходности, где в качестве информационного множест-

1 ва выступают прошлые наблюдения цен. В простейшем случае (1) эта характеристика дается

0 одним параметром, в более сложных случаях — самостоятельным случайным процессом.

! Данную статью мы начинаем с обзора эмпирических свойств волатильности (так назы-

* ваемых «стилизованных фактов») и затем описываем традиционные подходы к ее моделиро-

§ ванию (условная гетероскедастичность и стохастическая волатильность), которые позволя-

§ ют в той или иной степени учитывать эти свойства. Хотя многие предложенные модели дос-

g таточно хорошо описывают отдельные эмпирические факты, ни одна из них не может

а считаться полностью удовлетворительной для описания всей структуры изменчивости цен.

| В частности, большинство традиционных моделей не позволяют реалистично учитывать ди-

| намику доходностей одновременно на различных временных горизонтах (от нескольких

1 минут до нескольких месяцев), что имеет большой теоретический и практический интерес.

§ При этом стилизованные факты в отношении волатильности тесно связаны с особенностя-« „ , « ми динамики доходностей, рассматриваемых на различных горизонтах (т.е. соответствую-

| щих различной частоте наблюдения цены одного и того же актива). Мы рассматриваем со-

а временные модели условной гетероскедастичности и стохастической волатильности, ис-

I _

га -

о

2 Еще одним вариантом было бы использование кальки с английского — «имплицированная» волатильность, его мы отвергаем по стилистическим соображениям.

96

- m3(15)2009

пользующие концепцию множественных горизонтов, и обсуждаем основные нерешенные | задачи, связанные с этой концепцией. >§

S 01

2. Эмпирические свойства волатильности ос

Многочисленные эмпирические исследования показывают, что финансовые временные ряды обладают рядом общих свойств, которые принято называть «стилизованными фактами». Реалистичная модель цен должна воспроизводить эти свойства, поэтому кратко охарактеризуем их. Более подробный обзор можно найти в [Cont (2001)].

• Избыточная волатильность. Наблюдаемую степень изменчивости цен на акции трудно объяснить изменениями фундаментальных экономических характеристик. В частности, большие по абсолютному значению доходности (как положительные, так и отрицательные) часто оказывается невозможным объяснить поступлением на рынок новой информации [Cutler, Poterba, et al. (1989)].

• Отсутствие линейной корреляции доходностей. Доходности акций, взятые за достаточно длинные интервалы времени (один день и более), имеют статистически незначимую линейную корреляцию. Это согласуется с гипотезой эффективности рынка [Fama (1970)] и основными результатами MPT, использующими мартингальные меры.

• Кластеризация волатильности и долгая память в абсолютных значениях доходностей. Временной ряд значений доходности, взятых по модулю, характеризуется значимой автокорреляцией, причем автокорреляционная функция убывает медленно (так называемый эффект дальних корреляций). Таким образом, наблюдаются продолжительные периоды высокой и низкой волатильности [Bollerslev, Chou et al. (1992)];[Ding, Granger, et al. (1993)]; [Ding and Granger (1996)].

• Связь между объемом торгов и волатильностью. Волатильность цен положительно коррелирована с объемом торгов, причем для последнего характерны те же свойства длинной памяти, что и для абсолютных занчений доходности [Lobato and Velasco (2000)].

• Островершинное распределение доходностей. Безусловное вероятностное распределение дневных доходностей характеризуется «тяжелыми» хвостами, т.е. высокой вероятностью наблюдать экстремальные значения [Mandelbrot (1963)];[Fama (1965)].

• Форма вероятностных распределений доходности меняется в зависимости от интервалов времени, за которые рассчитываются доходности [Ghashghaie, Breymann, et al. (1996)];[Arneodo, Muzy, et al. (1998)]. Распределения логарифмических доходностей за длительные интервалы времени близки к нормальному закону, тогда как распределения доходностей за короткие интервалы времени (5-30 мин) характеризуются «тяжелыми» хвостами.

Из указанных стилизованных фактов нас особенно будут интересовать свойства, свзяан-ные с автокорреляционной функцией (autocorrelation function, ACF) и формой вероятностного распределения доходностей и их амплитуд. Дадим определение феномена длинной памяти, о котором говорилось в предыдущем разделе, в терминах автокорреляционной функции3.

3 Более подробное обсуждение свойств процессов с длинной памятью см., например, [БатогоСп^Бку (2007)].

97

а »о

8

о а

№3(15)2009 ^

Стационарный стохастический процесс Хг с конечной вариацией имеет длинную память, если его автокорреляционная функция С(т) = согг(Хг, Хг_т) при т^то убывает с увеличением лага не медленнее, чем по степенному закону (т.е. с гиперболической скоростью):

С

где 0 < д < 1 и функция [() для Vх >0 при г ^ то удовлетворяет ^ 1

Процесс имеет короткую память, если его автокорреляционная функция убывает не быстрее, чем экспоненциально, т.е.:

ЗЛ > 0, с е

В данном определении техническое условие, налагаемое на функцию Ц-), означает, что * для бесконечного лага т эта функция должна варьировать бесконечно слабо. Подчеркнем | также, что в определении речь идет о теоретической АСЕ определяемой моделью, а не | о ее выборочной оценке. Как мы увидим, во многих случаях выборочная АСЕ имеет свойст-

С

| ва, похожие на задаваемые выражением (2), однако теоретическая АСЕ такими свойствами

§ не обладает.

0 Долгая память также может быть охарактеризована для временного ряда XI через расхо-| ждение его спектральной плотности у основания по степенному закону:

1 Фх

з &

где Фх() — функция спектральной плотности; а — масштабирующий параметр; сФ — некоторая константа.

Как мы видели в предыдущем разделе, форма псевдоспектра для абсолютных значений доходности не противоречит условию (4).

Проиллюстрируем эмпирические свойства доходностей на данных временных рядов * фондовых индексов. Используем для этого два типа данных: собранные с высокой частотой § (внутридневные наблюдения) за небольшой отрезок времени и собранные с дневной часто-§ той за очень большой промежуток времени. Значения французского индекса САС40 за пе-5 риод с 20 марта 1995 г. по 29декабря 2006 г. наблюдаются ежедневно с 15-минутными ин-а тервалами (100 881 наблюдение), а для американского промышленного индекса Доу— | Джонса с 26мая 1896 г. по 10октября 2007 г. наблюдаются ежедневные цены закрытия | (28 864 наблюдения)4.

| Определим доходность в момент времени t е 1,..., Т за интервал времени т как измене-

§ ние логарифма цены акции 5: <8

Гг = 1п

3 §

<8

о &

4 За рамками статьи остается задача обработки анализируемых наблюдений при наличии пропущенных данных, а также эффект периодичности степени изменчивости доходности при высокочастотных данных — Прим. науч. ред.

98

- №3(15)2009

За меру волатильности (степени изменчивости цен без учета знака) будем принимать \rt |. | Отметим, что сходные результаты можно наблюдать и для квадратов доходности, и в общем >§

VO

для \rt \а [Bollerslev, Chou, et al. (1992)]; [Ding, Granger, et al. (1993)]; [Ding and Granger (1996)]. с? Однако для а = 1 свойства являются более выраженными [Ding, Granger, et al. (1993)];°° [Ghysels, Santa-Clara, et al. (2006)];[Forsberg and Ghysels (2007)]. 4

На рис. 1 и 2 представлены временные ряды значений индекса, а также доходности, рассчитываемые за разные интервалы времени. Для индекса CAC40 рассчитываются 15-минутные, дневные и недельные доходности, для промышленного индекса Доу Джонса — дневные, месячные и квартальные доходности. На данных для обоих индексов можно наблюдать феномен кластеризации волатильности — периоды высоких (как положительных, так и отрицательных) значений доходности, достаточно продолжительные и устойчивые, сменяются периодами сравнительно низкой волатильности. При этом периоды роста индекса редко сопровождаются высокой волатильностью. Как правило, большие колебания доходностей наблюдаются на переломах тренда и при падениях индексов.

Рассмотрим форму вероятностных распределений доходностей, рассчитанных за разные интервалы времени (рис.3 и 4). Для 15-минутных доходностей на индекс CAC40 бросается в глаза островершинность распределения: расхождение с нормальной кривой для хвостов распределения оказывается очень существенным. По мере снижения частоты наблюдений расхождение с нормальным распределением уменьшается. Этот эффект можно связать с действием центральной предельной теоремы, хотя среди исследователей нет уверенности по поводу выполнения ее предпосылок. Для недельных доходностей все еще наблюдаются «тяжелые» хвосты, особенно в левой части распределения, соответствующей негативным доходностям. И все же сравнительно небольшое количество наблюдений на этой частоте (590) не позволяет в полной мере судить о распределении экстремальных значений доходностей. Для индекса Доу—Джонса имеем сравнительно большую выборку недельных доходностей (2953 наблюдения). Экстремальные негативные доходности и здесь наблюдаются существенно чаще, чем предсказывает нормальная вероятностная модель. Для месячных наблюдений расхождения в хвостах уменьшаются, однако снова размер выборки оказывается недостаточным для окончательных выводов.

На данном этапе констатируем, что хотя по мере уменьшения частоты наблюдений распределение доходностей приближается к нормальному, приближение это происходит крайне медленно. Месячные логарифмические доходности представляют собой сумму более 600 15-минутных доходностей, поэтому при выполнении центральной предельной теоремы в классической форме следовало бы ожидать, что их распределение должно быть очень близко к гауссовскому. И все же островершинность полностью не исчезает даже на этом длинном горизонте. Как покажем далее, вопрос о том, существует ли достаточно длинный горизонт, на котором распределение доходностей является гауссовским, имеет важное значение для моделей волатильности на множественных горизонтах. Тем не менее очевидно, что возможности получить строгий эмпирический вывод нет: если такой горизонт и существует, он должен быть весьма длинным (более 3 месяцев), но для проверки нормальности на подобных горизонтах недостаточно данных (временной ряд значений промышленного индекса Доу—Джонса, который мы используем, является самым долгим из доступных на сегодняшний день в финансах).

99

rn3(15)2009

ИндексCAC40

8000

6000

4000

2000

1997

2000

2002

2005

Доходность

0,1

з &

м

5 л

lg «I <8

О X

г

а х

г

а га

S

а

га §

о а

з §

<8

О &

1997

2000

2002

2005

Доходность

1997

2000

2002

2005

Доходность

1997

2000

2002

2005

Рис. 1. Доходность на индекс CAC40: a — график значений индекса; 6 — график 15-минутных доходностей

Примечание. Euronext, значения индекса CAC40 с 20 марта 1995 г. по 29 декабря 2006 г. с 15-минутными интервалами (100 881 наблюдение).

100

Индекс DJ (приведен, знач.

3000

1900

1920

1940

1960

1980

№3(15)2009

2000

Доходность

1900

Доходность

1900

1920

1920

1940

1960

1940

1960

1980

1980

2000

2000

Доходность

1900

1920

1940

1960

1980

2000

Рис. 2. Доходность на промышленный индекс Доу—Джонса: a — график значений индекса (для наглядности значения индекса приведены к базе 100 на начало периода и затем на 1 января 1979 г.); 6 — график дневных доходностей (28 863 наблюдения); в — график месячных доходностей (2953 наблюдения);

г — график квартальных доходностей

Примечание. Dow Jones Indexes, дневные значения промышленного индекса Доу—Джонса с 26 мая 1896 г. по 10 октября 2007 г. (28 864 наблюдения).

101

rn 3(15) 2009

Плотность распределения

3 &

м

5 л

lg «I <8

О X

г

а х

г

а га

S

а

га §

о а

з §

<8

О &

-0,02 -0,01 0 0,01 0,02 Доходность

а1

Плотность распределения

-0,10 -0,05

0 0,05 0,10 Доходность

Ы

Плотность распределения

0 0,1 0,2 Доходность

cl

Функция распределения

0,9999

0,5000

0,0001

-0,05

0 0,05

Доходность

а2

Функция распределения

0,9999

0,5000

0,0001

-0,05

0 0,05

Доходность

Ъ2

Функция распределения

0,99991

0,5000

0,0001

-0,10 -0,05 0 0,05 0,10

Доходность

с2

Рис. 3. Вероятностное распределение доходностей на индекс CAC40:

a1 — гистограмма плотности распределения и ее приближение нормальной кривой для 15-минутных доходностей (100 880 наблюдений); a2 — вероятностный график для тех же данных, т. е. функция наблюдаемого кумулятивного распределения в сравнении с функцией теоретического кумулятивного распределения для каждого наблюдения (если теоретическое распределение хорошо приближает наблюдаемое распределение, то все точки графика должны попасть на диагональную линию); b1,2 — то же для

дневных доходностей (2953 наблюдения); c1,2 — то же для недельных доходностей (590 наблюдений) Примечание. Euronext, значения индекса CAC40 с 20 марта 1995 г. по 29 декабря 2006 г. с 15-минутными интервалами (100 881 наблюдение).

102

№3(15)2009

Плотность распределения

-0,05

0 0,05

Доходность

а1

Плотность распределения

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

Доходность

Ы

Плотность распределения

0 0,5

Доходность (квартальная) с!

Функция распределения

0,9999

0,5000

0,0001

-0,10 -0,05 0 0,05 0,10

Доходность

в2

Функция распределения

0,9999

0,5000

0,0001

-0,2 -0,1

Функция распределения

0,9999

0,5000

0,0001

0 0,1 0,2 Доходность

Ь2

0 0,2 0,4

Доходность

а

Рис. 4. Вероятностное распределение доходностей на промышленный индекс Доу—Джонса:

a1 — гистограмма плотности распределения и ее приближение нормальной кривой для дневных доходностей (28 863 наблюдения); a2 — вероятностный график для тех же данных, т. е. функция наблюдаемого кумулятивного распределения в сравнении с функцией теоретического кумулятивного распределения для каждого наблюдения (если теоретическое распределение хорошо приближает наблюдаемое распределение, то все точки графика должны попасть на диагональную линию); b1,2 — то же для

месячных доходностей (2953 наблюдения); c1,2 — то же для квартальных доходностей (444 наблюдения) Примечание. Dow Jones Indexes, дневные значения промышленного индекса Доу—Джонса с 26 мая 1896 г. по 10 октября 2007 г. (28 864 наблюдения).

103

rn 3(15) 2009

3 §

<s

о &

ACF

0,05

-0,05

-0,10

i»M  т » »t.T 1 l 1 i i

f  1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

• 1 1 1 1 1 1

10 15 20 25 30 35

15-мин. доходности а

40 45

50 лаг

ACF

0,15

0,10 0,05 0

-0,05 -0,10

l 1 I I

-------- —•----£

• tT т тТТ т > - > Т. J,.

Ш + .. 44 1 * -1>— •А * i

• --------1.—у---- к ------- -------- \.------- --------1 ------- I I I

i I I I I

10 15 20 25 30 Дневные доходности б

35

40

45

50

лаг

ACF

0,10

-0,10

-0,2fr

i » < f- U J u i _______1-1 f i i i i i i U _l J_

< • .T»,, • • Ч Г I t! —1'-h t T T f'T 1 1 T ♦ t*

M i * IM if A J < 1** i 1 > 1

• i 1 1 1 1 1 1 1

10

15

20

25

30

35

40

45

Недельные доходности в

50

лаг

Рис. 5. Выборочная автокорреляционная функция доходностей на индекс CAC40: a — автокорреляционная функция для 15-минутных доходностей (100 880 наблюдений); 6 — то же для дневных доходностей (2953 наблюдения); в — то же для недельных доходностей (590 наблюдений); сплошными линиями показаны доверительные интервалы для автокорреляций в предположении о том, что данные являются гауссовским белым шумом

Примечание. Euronext, значения индекса CAC40 с 20 марта 1995 г. по 29 декабря 2006 г. с 15-минутными интервалами (100 881 наблюдение).

104

ACF

0,15

0,10 0,05 0

-0,05 -0,10

ACF

0,15

0,10 0,05 О

-0,05 -0,10

m3(15)2009

1 1 1 1

1 1 1

ии > ^»и* iüüJ fi—г*1 i-*ж- -fi f 1 »» .1

г— ^—^ ^—^ 1 1

1 1 1

1 1 1 1

10 15 20 25 30 Дневные доходности

35

40

45

50 лаг

1 1 i i i i

• < » i i i

T T —-ir~r------- ! "TV"! !_,___, . T • < ,------ * m j7,t 1

H _ iL J Ш i * èf i* ' 1

• 1 I » • 1 1 i

1 1 1 1 i i

10 15 20 25 30

Месячные доходности б

35

40

45

50 лаг

ACF

• 1 J- u l- u u u u 1 1 1 u

.T -1- T 1. ' 'T '.Ttî. f . v Tl [тД -1 1 1 1

i ¥ i* ( • i »1 9 ¡1 1*J i il U

i i » i 1 1- i i i i i i i

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Квартальные доходности лаг

в

Рис. 6. Выборочная автокорреляционная функция доходностей на промышленный индекс Доу—Джонса: a—автокорреляционная функция для дневных доходностей (28 863 наблюдения); 6—то же для месячных доходностей (2953 наблюдения); в—то же для квартальных доходностей (444 наблюдения); сплошными линиями показаны доверительные интервалы для автокорреляций в предположении о том, что данные являются гауссовским белым шумом

Примечание. Dow Jones Indexes, дневные значения промышленного индекса Доу—Джонса с 26 мая 1896 г. по 10 октября 2007 г. (28 864 наблюдения).

105

№3(15)2009

3 §

<8

О &

АСР

0,2

0,1

О

ЩВ

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

15-мин. доходности лаг

а

КГ

0,2

0,1

1 I I I I I I Г

т

ГШ

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Дневные доходности лаг

б

Ю

0,2

0,1

1 I I I I I I I I Г

11

и

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Недельные доходности лаг

в

Рис. 7. Выборочная автокорреляционная функция амплитуд доходностей на индекс САС40:

а—автокорреляционная функция для 15-минутных доходностей (значения доходности взяты помодулю); 6—то же для дневных доходностей (значения доходности взяты по модулю); в—то же для недельных доходностей (значения доходности взяты по модулю); сплошными линиями показаны доверительные интервалы для автокорреляций в предположении отом, что данные являются

гауссовским белым шумом

Примечание. Бигопех! значения индекса САС40 с 20 марта 1995 г. по 29 декабря 2006 г. с 15-минутными интервалами (100 881 наблюдение).

106

№3(15)2009

ACF

0,2

0,1

1 I I I I I I Г

1 Г

10 20 30 40 50 60 70

Дневные доходности а

90 100 лаг

ACF

0,2

0,1

"1 I I I I I I I I Г

TWm Т I т! — ИТ '

шмщШвй

J_I_I_L_

\ш

10 20 30

40 50 60 Месячные доходности б

70 80

90 100 лаг

ACF

0,2

0,1

ft! ! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

¡г -- Г Г 1 1 • 1 1 1 1 _______¡-И—-* J J 1 L L J 1 1 1 1 1 1 _L

«Л 11 • 1 i Т 1 м 1 > • тТТт! 'TT h —1 p-1 TT^ A 1 гЧ

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Квартальные доходности лог

в

Рис. 8. Выборочная автокорреляционная функция амплитуд доходностей на промышленный индекс Доу—Джонса:

a — автокорреляционная функция для дневных доходностей (значения доходности взяты по модулю); 6—то же для месячных доходностей (значения доходности взяты по модулю); в — то же для квартальных доходностей (значения доходности взяты по модулю); сплошными линиями показаны доверительные интервалы для автокорреляций в предположении о том, что данные

являются гауссовским белым шумом

Примечание. Dow Jones Indexes, дневные значения промышленного индекса Доу—Джонса с 26 мая 1896 г. по 10 октября 2007 г. (28 864 наблюдения).

107

*

3 §

о s ï

3 §

a

ra §

о a

m3(15)2009 ^

Анализ структуры зависимостей между доходностями во времени подтверждает выводы, полученные при наблюдении профилей временнЫх рядов. Во-первых, отметим слабые линейные корреляции между доходностями на всех исследуемых частотах (см. рис.5 и 6). Отметим лишь значимую негативную корреляцию (доверительные интервалы для автокорреляций рассчитаны в предположении о том, что данные являются гауссовским белым шумом) между последовательными 15-минутными доходностями, которые связаны с эффектами микроструктуры [Zhou (1996)], не входящими в предмет рассмотрения данной статьи. Для индекса CAC40 на недельном горизонте заметны небольшая негативная корреляция с лагом 1, которая, возможно, связана с эффектом contrarian5, и положительная корреляция с лагом 3, являющаяся, скорее всего, статистическим артефактом. Для индекса Доу—Джонса значимых автокорреляций доходностей не обнаружено.

Совершенно иначе выглядит ACF, оцененная для абсолютных значений доходностей (см. рис.7 и 8). Для абсолютных доходностей (волатильностей) индекса CAC40 положительные автокорреляции остаются устойчиво значимыми для очень больших лагов и для всех рассматриваемых частот (15-минутных, дневных и даже недельных). Так, с лагом 100 дней корреляции дневных волатильностей все еще значимы, а на недельных данных автокорреляции оказываются пренебрежимо малыми лишь для лагов более 30 недель (т.е. более полугода). На 15-минутных волатильностях хорошо прослеживается внутридневная сезонность (за 1 день доступно около 30 наблюдений доходностей). Скорость убывания авто-

рость предсказывают модели типа авторегрессии — скользящей средней (autoregressive moving average, ARMA). Данный феномен называют долгой памятью в волатильности. Более точное определение и обзор соответствующих моделей приводятся в следующем разделе.

Для дневных волатильностей индекса Доу—Джонса характерен еще более высокий уровень автокорреляций — для лага 100 дней они все еще значимы и превышают 10%. Автокорреляции недельных доходностей перестают быть значимыми для лагов свыше 35 недель, квартальных — 4 квартала. Таким образом, дальние корреляции можно наблюдать как на высокочастотных внутридневных данных, так и на дневных наблюдениях волатильности. Полученные эмпирические результаты демонстрируют наличие длинной памяти во времен* ных рядах волатильности и негауссовский характер распределения доходностей, особенно § на высоких частотах наблюдений. В следующем разделе рассмотрим, каким образом сущест-§ вующие в финансовой литературе модели позволяют воспроизводить эти свойства.

I

| 3. Модели условной гетероскедастичности

| При построении моделей ценовой динамики их авторы стремились корректно воспро-| извести эмпирические свойства наблюдаемых финансовых временных рядов, прежде всего

О

§

3

s <8

О &

феномена кластеризации волатильности. Обзор уместно начать с модели условной гетероскедастичности (autoregressive conditional heteroscedasticity, ARCH), предложенной Энгелем в 1982 г. для моделирования инфляции в Великобритании [Engle (1982)]. Эта модель позднее

5 Contrarian в переводе с английского означает «ведущий себя иначе, чем другие». Стратегия contrarian состоит в том, чтобы продавать акции, по которым наблюдалась высокая доходность, и покупать акции, по которым наблюдалась низкая доходность, ожидая смену тенденции. Соответствующая тематика выходит за рамки настоящей работы.

108

^-

- №3(15)2009

была использована и для моделирования цен акций и обменных курсов [Engle and Bollerslev (1986)]. Доходности в модели ARCH представимы в виде:

rt = E

где et ~ iidN(0, 1)6 — условие нормальности, вообще говоря, необязательно;

It — доступное информационное множество до момента времени t включительно, определяемое как естественная фильтрация процесса.

Условная дисперсия (или волатильность) ст2 подчиняется уравнению:

ст2 = а о + а irt— + ... + а ,

где а о > 0, а i > 0 для Vi > 0, ^ q= а, < 1;

q — параметр, определяющий глубину памяти в вариации доходностей.

Естественным продолжением ARCH является обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастичность (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity, GARCH), предложенная Боллерслевом в 1986 г. и до сегодняшнего дня активно используемая для прогнозов волатильности [Bollerslev (1986, 1987)]; [Bollerslev, Chou, et al. (1992)];[Hansen and Lunde (2005)]. Согласно этой модели условные вариации задаются следующим процессом

с параметрами p и q, которые на практике чаще всего берутся равными единице:

q p

ст2 = а 0 + i а;-,, e j- +^

i=1 L=1

где обычно все коэффициенты а i и (i полагаются неотрицательными; Ln — оператор лага порядка n;

a(L, n) — оператор вида ^n=10'L', применяемый к временному ряду.

Таким образом, запись a(L, q)Xt является сокращением для ^q=1aiXt-i. Используя эти обозначения, уравнение (8) для модели GARCH(p, q) можно записать:

[ 1-а^, q)-

что соответствует записи процесса ARMA для квадратов доходности с параметрами max p, q и p.

Для обеспечения стабильности процесса (т.е. конечной вариации ошибок ст t e t ) необходимо потребовать его слабой стационарности, т.е. чтобы все корни уравнений а^) = 0 и 1 — а^ ) —3(Lp ) = 0лежали вне единичного круга.

Для GARCH(1, 1 ) это дает ограничение вида а + ( < 1. Необходимые и достаточные условия строгой стационарности, эргодичности и существования моментов для семейства GARCH-моделей исследованы в [Ling and M. McAleer (2002a)];[Ling and McAleer (2002b)].

Модели типа GARCH позволяют воспроизвести феномен кластеризации волатильности (поэтому его также называют GARCH-эффектом). При этом теоретическая ACF процесса

s

3

s

о

VQ VQ

С? аз

4

6 Символ iid используется в англоязычной специальной литературе для обозначения независимости и одинаковой распределенности соответствующих случайных величин (в данном случае — случайных величин £,). — Прим. науч. ред.

109

m3(15)2009 ^

GARCH(1, 1) убывает с геометрической скоростью, которая определяется суммой а + р. На практике оценки параметров модели часто оказываются такими, что а + р близко к единице [Bollerslev, Chou, et al. (1992)]. Поэтому выборочная ACF для GARCH(1,1) оказывается трудно отличимой от задаваемой уравнением (2).

Параметры моделей ARCH/GARCH чаще всего оцениваются методом максимального правдоподобия. Логарифмическая функция правдоподобия принимает вид:

1 т

In L = -- £ 2 ti

2 In a f +- £ 2

(2а 2

При нарушении предпосылки о нормальности остатков еt в модели (6), но при правильной спецификации модели E(rt | /t_i) возможна оценка методом квазимаксимального правдоподобия. Оценки, получаемые этим методом, являются состоятельными при конечной вариации остатков (т. е. при а + р < 1) и асимптотически нормальными при существовании конечного четвертого момента rt [Ling and McAleer (2003)]7.

Одно из основных направлений критики модели GARCH(1,1) состоит в том, что память модели является «недостаточно долгой», поскольку теоретическая ACF характеризуется экспоненциальным убыванием. Когда а + р значимо не отличаются от единицы, модель GARCH(1,1) вырождается в нестационарный процесс, названный в [Engle and Bollerslev (1986)] интегрированной обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичностью (IGARCH — integrated § GARCH). Последняя модель, однако, подразумевает необходимость решения задачи выбора значений структурных параметров p и q. Альтернативный подход состоит в использовании стохастических процессов, теоретические свойства которых предполагают наличие долгой памяти. Примером такого процесса может служить дробное броуновское движение, предложенное Мандельбротом и Ван Нессом [Mandelbrot and Van Ness (1968)]. Это непрерывный гауссовский процесс с нулевым дрифтом, имеющий автокорреляционную функцию формы:

*

3 §

о s

3 §

а

га §

о а

С

где WtH — значение дробного броуновского движения с параметром Н е (0,1) в момент времени г е [0, т], t е й, при этом о < т < t < т.

Ф

5 Спектральная плотность процесса имеет вид:

I

3 ЧУ .. ч , ^ 41  I/ . _ —--

,=-<» 2 2

о

| где а2 — вариация процесса; | сн > 0— некоторая константа.

О

§

1

« Легко увидеть, что при Н = — процесс вырождается в обыкновенное броуновское движение,

I 1 2

0 > / 1

а а при Н >— имеет стационарную динамику, характеризующуюся длиннои памятью.

1 2

7 За рамками статьи остаются модели, в которых используются распределения остатков, отличные от нормального. — Прим. науч. ред.

110

^-

- т3(15)2009

Дробно-интегрированный процесс, предложенный в [Granger and Joyeux (1980)]; [Hos- | king (1981)], представляет собой дискретный аналог дробного броуновского движения. Он >§

VO

определяется уравнением: с?

(/ - L) dXt = е f, (13) *

где еt ~ iidN(0, ст2), а оператор (/ — L)d, 0 < d < 1, представляет собой бесконечный полином вида:

V У ^ Г

где Г(-) — гамма-функция.

Спектральная плотность процесса записывается:

ст 2 11

Ф

(4sin2 ('x)) i=—~ 2 2

1

Для |d|< — процесс имеет стационарную динамику с гиперболическим убыванием

автокорреляционной функции, что соответствует длинной памяти.

Дробное броуновское движение предлагалось в качестве модели цен акций в [Mandelbrot (1971)] и позднее во многих исследованиях, эмпирически оценивающих параметр H в уравнении (11) [Mandelbrot and Taqqu (1979)]. Однако в таком случае приходится признать наличие дальних корреляций в самих доходностях, а не только в их абсолютных значениях. Как показал Хейде [Heyde (2002)], чтобы в модели дробного броуновского движения

3

наблюдалась долгая память в амплитудах, необходимо выполнение условия 3 <н <1

которое явно не подтверждается эмпирическими данными.

С учетом вышесказанного более реалистичными представляются модели, предполагающие дальние корреляции в амплитудах доходностей и отсутствие последних в самих доходностях. Такой моделью является FIGARCH (дробно-интегрированная GARCH — fractionally integrated GARCH), предложенная в [Baillie, Bollerslev, et al. (1996)]; [Bollerslev and Mikkelsen (1996)]. Процесс для вариации доходностей записывается:

[ 1 —

где Фа) = [ 1 —a(L, q) — ((L, p)](1—L)—1.

При d ^ 1 эта модель вырождается в IGARCH, о которой шла речь ранее. Известно множество других модификаций моделей условной гетероскедастичности, направленных в первую очередь на улучшение их прогнозной силы. Например, GARCH с эффектом ожидаемой доходности предполагает, что ожидаемая доходность увеличивается с ростом волатильности (GARCH-M — GARCH-in-mean) [Engle, Lilien, et al. (1987)]. Также были разработаны модели, учитывающие эффекты асимметрии и левериджа. Среди них назовем

№3(15)2009 '

модель Глостена—Джаганатана—Ранкеля (GJR — Glosten—Jagannathan—Runkle), принимающую во внимание асимметрию, но не леверидж [Glosten, Jagannathan, et al. (1992)], экспоненциальную GARCH (EGARCH — exponential GARCH) с эффектом левериджа, снимающую, кроме прочего, ряд неудобных ограничений на оцениваемые параметры [Nelson (1991)], и квадратическую GARCH (GQARCH — generalized quadratic ARCH) [Sentana (1995)]. Получили развитие нелинейные GARCH-модели (NGARCH — non-linear GARCH), обобщающие форму зависимости текущей вариации от прошлых значений, в том числе модели с переключениями режимов никзкой и высокой волатильности [Higgins and Bera (1992)]; [Lanne and Saikkonen (2005)]. В исследовании [Hansen and Lunde (2005)], посвященном сравнению прогнозной силы ARCH-моделей, авторы рассматривают 330 различных специ-I фикаций для условной гетероскедастичности. Более подробное описание некоторых

С

§ из них можно найти в [Morimune (2007)]. Также получили развитие исследования, связана. ные с оценкой производных финансовых инструментов в случае, когда цена базового ак-£ тива имеет GARCH-динамику [Duan (1995)];[Ritchken and Trevor (1999)];[Barone-Adesi, Engle, I et al. (2008)].

I Мы привели спецификации моделей условной гетероскедастичности в дискретном вре-

S мени. Процесс, соответствующий GARCH в непрерывном времени, рассматривается в [Drost

S? and Werker (1996)]. Устанавливается связь между процессом условной гетроскедастичности

0 и стохастической волатильностью, которая будет рассмотрена ниже. Интересно, что оценки

1 параметров модели в дискретном времени (оцененном на данных любой частоты) позволя-§ ют специфицировать процесс в непрерывном времени, что связано со свойством агрегиро-§ вания моделей GARCH во времени [Drost and Nijman (1993)], к которому мы вернемся в раз-3 деле 5.

I Особую практическую важность имеет включение скачкообразной составляющей в мозг дели динамики цен, что позволяет учесть «тяжелые» хвосты в распределении доходностей § [Bates (1996)]; [Eraker, Johannes, et al. (2003)]. Еще в 1960-е годы, Мандельброт [Mandelbrot 1 (1963)] предлагал использовать для этих целей скачкообразные процессы Леви (степенные

0 процессы), имеющие бесконечную вариацию. Свойства процессов с долгой памятью, в ко-

1 торых инновации вызваны процессом Леви, изучаются в [Anh, Heyde, et al. (2002)]. В [Chan * and Maheu (2002)] интенсивность скачков моделируется в дискретном времени с помощью § процесса типа ARMA одновременно со спецификацией GARCH для волатильности. В непре-§ рывном времени модели типа GARCH со скачкообразными инновациями описаны в [Drost s and Werker (1996)]; [Kluppelberg, Lindner, et al. (2004)].

s Для управления инвестиционным портфелем представляют интерес многомерные моде-

I ли условной гетероскедастичности, учитывающие корреляции между активами. Первая та-

I кая модель, называемая моделью постоянных условных корреляций (constant conditional

I correlation, CCC), предложена Боллерслевом [Bollerslev (1990)]. В ней доходность каждого ак-

§ тива следует одномерному процессу GARCH, а условные корреляции между доходностями

« полагаются постоянными. При этом условная ковариация определяется как произведение

I постоянной корреляции на соответствующие (независимые) условные стандартные откло-

I нения. Основным достоинством ССС является простота оценки параметров и интерпрета-

S ции, а среди недостатков отметим отсутствие связи между условными волатильностями раз-

I ных активов, отсутствие асимметричных эффектов и статичность корреляций. Более общая многомерная модель с постоянными корреляциями изучается в [Ling and McAleer (2003)].

s

s з

намических условных корреляций, DCC —dynamic conditional correlations). Динамика кор- <§ реляций в DCC предполагается одинаковой для всех активов. Последнее ограничение ос- с? лаблено в [Billio, Caporin, et al. (2006)].

В моделях условной гетероскедастичности, рассмотренных выше, имеется всего один источник случайности, при этом вариация процесса предполагается зависимой в тоИ или иноИ форме от прошлых его реализации. Альтернативный способ моделирования состоит в том, чтобы задать динамику цен простои моделью, например дифференциальным уравнением (1), но волатильность а в нем считать не параметром, а отдельным стохастическим процессом. Таким образом, появляется два независимых источника случайности. Эта идея лежит в основе моделеИ стохастической волатильности.

Первая модель стохастической волатильности предложена ТеИлором [Тау1ог (1982)]. В неИ предполагалось, что логарифмическая волатильность представляет собоИ процесс ЛВ(1):

где ^ — некоторая положительная константа, включение которой в модель позволяет удалить свободный член из уравнения для волатильности; Ф — параметр авторегрессии, определяющий память в волатильности.

Свойства авторегрессионных моделей стохастической волатильности (auto-regressive stochastic volatility, ARSV) были исследованы в [Andersen (1994)]; [Taylor (1994)];[Capobianco (1996)]. В частности, при условии стационарности процесса логарифмической волатильности распределение доходности является островершинным и симметричным [Bai, Russel, et al. (2003)]. Доходности линейно не коррелированы во времени, но не являются независимыми. Автокорреляционная функция для амплитуд доходностей и квадратов доходностей имеет характерную для процессов ARMA форму.

Широкое развитие модели стохастической волатильности получили в литературе, посвященной оценке производных финансовых инструментов. В качестве базовой модели для доходности принимается (1), где at записывается как функция некоторого процесса диффузии at = f (Xt). В наиболее популярных на практике моделях Xt представляет собой процесс Ито формы:

4. Модели стохастической волатильности

rt =|^СТ t е t, ln а2 = ф ln а 2_1 t

dS(t) , , ,, —±1 = vdt +adW (t),

а t = f (Xt),

dXt = 0(ф_ Xt )dt + g(Xt )dBt

W, B)t =pt

где 0 и ф — константы;

f('), g(') — некоторые функции;

№3(15)2009

р — параметр корреляции между двумя винеровскими процессами, которые служат источниками инноваций.

В [Hull and White (1987)] используется спецификация f (Xt) = Xt, 0 < 0, = 0, g(Xt) = vXt, которая соответствует геометрическому броуновскому движению для волатильности. В этой модели можно получить простые явные формулы для стоимости опционов, однако ее свойства далеки от реальности (вариация доходности не ограничена, поскольку процесс волатильности нестационарен).

Была также предложена [Scott (1987)]; [Stein and Stein (1991)] модель с использованием процесса Орнштейна—Уленбека (Ornstei n—Uhlenbeck, OU) для волатильности f(Xt) = Xt, g(Xt) = у, I который характеризуется сходимостью волатильности к долгосрочному ее уровню ф § со скоростью 0 и «волатильностью волатильности» у. Аналогом описанного выше ARSV(1) iL в непрерывном времени является экспоненциальная модель OU [Stein and Stein (1991)], где

0

£ f (Xt) = expXt и g(Xt) = у. Кроме того, широкое распространение получила модель Хестона

1 [Heston (1993)] f (Xt ) = VX7, g(Xt ) = vVX7. Процесс, используемый для моделирования вола-I тильности в данном случае, известен как процесс Кокса—Ингерсолла—Росса [Cox, Ingersoll,

С

S et al. (1985)].

S? Логика развития моделирования стохастической волатильности во многом повторяет

0 историю усовершенствования моделей GARCH. В [Harvey and Shephard (1996)] и позднее

1 в [Jacquier, Polson, et al. (2004)] авторы включают в модель ARSV эффект левериджа, что по-§ зволяетдвум инновациям в (17) быть негативно коррелированными (в непрерывном време-§ ни для модели типа (18) это соответствует выбору р <0). Модель стохастической волатиль-з ности с эффектом ожидаемой доходности, аналогичная GARCH-M, предложена в [Koopman I and Uspensky (2002)]. Скачкообразная составляющая добавляется в модель стохастической I волатильности с помощью негауссовских процессов (вместо броуновского движения в ка-§ честве генератора инноваций используется скачкообразный процесс Леви), как предлагается в [Barndorff-Nielsen and Shephard (2001)]; [Eraker, Johannes, et al. (2003)];[Chernov, Gallant,

I et al. (2003)];[Duffie, Filipovic, et al. (2003)].

! Предложены различные способы учета долгой памяти: в [Breidt, Crato, et al. (1998)];

* [Harvey (1998)] это дискретные модели с дробным интегрированием, в [Comte and Renault

§ (1998)] — модель в непрерывном времени, основанная на дробном броуновском движении.

§ В [Chernov, Gallant, et al. (2003)] рассматриваются модели, в которых стохастическая вола-

£ тильность имеет несколько различных независимых факторов (компонент). Такого типа мо-

у дели позволяют получить динамику цен с долгой памятью волатильности, наблюдаемой

I в выборочной ACF, даже когда процессы, генерирующие данные, таким свойством не обла-

I дают [LeBaron (2001a)]. В [Barndorff-Nielsen and Shephard (2001)] долгая память моделируется

i путем суперпозиции бесконечного числа неотрицательных и негауссовских процессов OU,

§ что позволяет учитывать долгую память одновременно со скачками. Кроме того, были пред-

« ложены модели стохастической волатильности с переключением режимов [So, Lam, et al.

I (1998)]; [Liu (2000)];[Hwang, Satchell, et al. (2007)], которые также позволяют воспроизвести

I эмпирический феномен дальних корреляций. Разработанны многомерные SV-модели, срав-

S нительные обзоры которых можно найти в [Liesenfeld and Richard (2003)]; [Asai, McAleer, et al.

I (2006)];[Chib, Nardari, et al. (2006)]. Для некоторых случаев (например, модель Хестона) решена проблема оптимального динамического управления портфелем [Liu (2007)]. Наконец, как

114

^-

- m3(15)2009

и в литературе, относящейся к GARCH, предложены методы оценки производных финансовых инструментов [Heston (1993)]; [Hull and White (1987)];[Henderson (2005)];[Maghsoodi (2005)].

Следует обратить внимание на то, что волатильность, определяемая в моделях типа (17) и (18), не является наблюдаемой величиной (с оговоркой, о которой будет сказано ниже), поэтому для оценки моделей SV используются наблюдения доходности или их трансформации. Методы оценки могут быть основаны либо непосредственно на статистических свойствах до-ходностей (эффективный метод моментов, метод квазимаксимального правдоподобия и методы, основанные на вспомогательных моделях), либо на линейной модели для логарифмов квадратов доходностей. Подробный обзор этих методов можно найти в [Broto and Ruiz (2004)].

Интерес к моделям SV особенно возрос в последние годы во многом потому, что из ненаблюдаемой величины волатильность превратилась в «почти наблюдаемую». Связано это с доступностью внутридневных котировок акций, которые позволяют непараметрическую оценку волатильности. Широкое распространение получила концепция реализованной во-латильности (realized volatility, RV,), которая представляет собой квадратный корень суммы квадратов внутридневных доходностей [Andersen, Bollerslev, et al. (2001)];[Barndorff-Nielsen and Shephard (2002b)];[Andersen, Bollerslev, et al. (2003)]:

RV

or =

V^M-1 2

E/=1 't,s

M — 1

где ст^ — реализованная волатильность доходности;

г//6 —логарифмическая доходность на интервале времени [/, I + 8] с 8 = т(М — 1)" ; т — длина периода, за который рассчитывается волатильность (например, 1 день); М — число наблюдений цены, доступных за этот интервал.

s

3

s

0

VO VO

С?

01

Если в формуле (19) опустить квадратный корень и нормализацию на количество наблюдений цены, получим оценку реализованной вариаци за период т, также часто используемую на практике [Barndorff-Nielsen and Shephard (2002a)], [Hansen (2005)].

Применение реализованной волатильности и вариации затруднено тем, что доходности на высоких частотах оказываются коррелированными из-за эффектов микроструктуры финансового рынка (так называемый «шум микроструктуры» — microstructure noise) [Biais, Glosten, et al. (2005)]. В связи с этим были разработаны методы корректировки реализованной вариации и выбора оптимальной частоты выборки [Bandi and Russel (2008)]. Однако самый простой и чаще всего употребляемый на практике способ борьбы с эффектом микроструктуры: взять доходности за достаточно длинные интервалы времени, чтобы корреляции доходностей перестали быть значимыми, но достаточно короткие для извлечения пользы из высокочастотных набюдений. Обзор свойств реализованной волатильности и ее применения в контексте моделей стохастической волатильности приведен в [McAleer and Medeiros (2008)].

Альтернативную непараметрическую оценку волатильности можно получить, агрегируя искусственные доходности, соответствующие разнице между ма^имальным Ht,, и минимальным Lt,i значениями цены в течение K интервалов времени [i, i + Д], на которые разделен интересующий нас период времени т [Alizadeh, Brandt, et al. (2002)];[Christensen and Podolskij(2007)];[Martens and Van Dijk (2007)]:

m3(15)2009 ^

1 M-1

= 7^7E

4In 2 ,=1

где ctrr — реализованный разброс.

Ясно, что длина интервала А должна быть выбрана таким образом, чтобы он содержал несколько наблюдений цены. Статистические свойства получаемых таким образом оценок в ряде случаев могут быть лучше, чем для реализованной вариации. Еще одним дополнением к реализованной вариации являются оценки с помощью процесса двойной степенной вариации [Barndorff—NieIsen and Shephard (2002c)];[Woerner (2005)], которые, в частности, § позволяют оценивать вклад скачкообразной компоненты в интегрированную вариацию. § Одной из основных задач построения моделей волатильности всегда было ее прогнози-I рование [Andersen and BoIIersIev (1998)];[Andersen, BoIIersIev, et aI. (1999)];[Christoffersen and £ DieboId (2000)];[Granger and Poon (2003)];[Martens and Zein (2004)];[Hansen and Lunde I (2005)];[GhyseIs, Santa-CIara, et aI. (2006)];[Hawkes and Date (2007)]. Развитие непараметриче-« ских методов оценки волатильности с использованием внутридневных доходностей позволи-S ло, с одной стороны, повысить качество прогнозов, основанных на временных рядах цен, g по сравнению с вмененной волатильностью опционов [Martens and Zein (2004)], а с другой —

0 сравнивать различные модели SV, принимая непараметрическую оценку волатильности за s фактически наблюдаемую [Brooks and Persand (2003)]; [Corradi and Distaso (2006)].

S

g S. Агрегирование доходности во времени

з

1 В разделе 2 были рассмотрены доходности на индекс CAC40, рассчитанные по наблюде-

I ниям индекса с разной частотой. Было показано, что форма вероятностных распределений

§ доходности меняется во времени. В то же время динамические свойства волатильности

^ проявляются на данных, соответствующих разным горизонтам (дальние корреляции в ам-ig

g плитудах доходностей и их отсутствие в самих доходностях). В связи с этим возникает серия

! практически значимых вопросов. Каким образом феномен долгой памяти связан со свойст-

* вами доходностей на разных горизонтах? Пригодны ли модели, оцененные на данных с оп-

I ределенной частотой, воспроизводить свойства доходностей на других горизонтах? Следу-

§ ет ли учитывать одновременно результаты, относящиеся к различным горизонтам, и если

g да — то каким образом?

~ Ответ на первый из этих вопросов был в значительной степени дан еще в 1968 г. Ман-

I дельбротом и Ван Нессом [MandeIbrot and Ness (1968)]. Для некоторого класса процессов

I при изучении их свойств на коротких горизонтах можно описать их свойства на длинных

! горизонтах. Процесс Xt называется самоаффинным, если существует такая константа H > 08,

§ что для произвольного фактора масштабирования c > 0 случайные величины Xct и cHXt

5 имеют одинаковое вероятностное распределение:

I Xct = cHXt.

6

S _

ra -

о

8 Этот параметр называется экспонентой Херста. Название дано Мандельбротом в честь гидролога Гарольда Херста, изучавшего долгую память в уровнях воды реки Нил.

116

^-

- №3(15)2009

Дробное броуновское движение, определенное через форму его ДСР в (11), является

X 3

S о

VO VO

С?

1

примером самоаффинного процесса. Уточним, что при — < H < 1этот процесс характеризу-

2 aj

и 1 «с

ется длиннои памятью, а при H = — вырождается в стандартный винеровскии процесс

с независимыми приращениями. 1

Следует обратить внимание, что из самоаффинности процесса с H > — не следует наличие

длинной памяти, и наоборот. В качестве контрпримера можно привести устойчивые процессы Леви (L-устоИчивые процессы). Интуитивно L-устоИчивость вероятностного распределения означает неизменность его формы (инвариантность вплоть до параметра масштабирования) при суммировании независимых случайных величин, подчиненных этому закону. Этот класс включает распределения, удовлетворяющие условию P(X > x) ~ cx~а, где 0<а< 2. Используя независимые стационарные случайные величины, распределенные таким образом, в качестве приращениИ случайного процесса, получаем L-устоИчивыИ процесс. Нормальное распределение является частным случаем L-устоИчивого распределения, а броуновское движение — соответствующим частным случаем L-устоИчивого процесса. Однако случаИные величины с «тяжелыми» хвостами (и бесконечноИ вариациеИ) также могут использоваться для генерирования самоаффинных процессов, на этот раз с независимыми приращениями. Таким образом, два различных по своеИ сути феномена (дальние корреляции и экстремально большие колебания) могут быть своИственны самоаффинным процессам.

Обобщением класса самоаффинных процессов является класс мультифрактальных процессов, для которых фактор масштабирования имеет более общую форму:

Xrt = M

где M(-) — независимая от X положительная случаИная функция от c — такая, что M(xy) = M(x)M( y) для V x, y > 0.

Для строго стационарных (т.е. стационарных в распределении) процессов выполняется локальное правило масштабирования вида:

Xt+cAt = M

В мультифрактальном случае можно определить обобщенную экспоненту Херста как H(c) = logc M(c) и переписать (22) в виде:

Xct = cH

Из (22) можно получить правило масштабирования для моментов Xt:

E

где c(q) и Q(q) — детерминистические функции.

Функция Q(q) имеет особое значение и называется функциеИ масштабирования. Полагая q = 0, легко увидеть, что свободныИ член в этоИ функции должен быть равен единице. Для

S

л

[g

«I <8

8 «

S

s S a s

S a

ra §

m3(15)2009 ^

самоаффинного процесса, который можно также назвать монофрактальным, функция масштабирования является линейной Ç(q) = Hq — 1. Применяя неравенство Гельдера к (25), можно показать, что эта функция всегда является вогнутой, а при t ^то становится линейной. Это означает, что мультифрактальный процесс можно определить лишь на ограниченном интервале времени, поскольку начиная с некоторого горизонта должны проявляться монофрактальные свойства.

Мультифрактальный процесс также можно определить [Castaing, Gagne, et al. (1990)] через соотношение между функциями плотностей распределения его приращений, рассчитанных на различных интервалах длиной / и L, таких что L = X/, X > 1:

й P, (x) = J G(X, u )e ~uPl{ e—ux)du, (26) s

es где P,/(•)— функция плотности распределения приращений 6,Xt процесса Xt на горизонте &

длиной I, т.е. х = 8X = Х(+/ — Х( (напомним, что для стационарных процессов

L

8 iXt = Xf).

Таким образом, если Xt — процесс логарифма цены, то речь идет о распределениях логарифмических доходностей на разных горизонтах. Функция G(X, u), форма которой зависит лишь от соотношения длин горизонтов, называется ядром самоподобия (self-similarity kernel). В постейшем случае для самоаффинных процессов она имеет вид:

G

где 8(-) — функция Дирака9. *

3

| В монофрактальном случае для описания модификации распределений достаточно од-

| ной точки, так как формы Pi и PL отличаются лишь фактором масштабирования. Это объясня-

§ ет вырожденный характер функции (27).

1 В общем мультифрактальном случае уравнение (26) имеет простую интерпретацию. Расо пределение Pi представляет собой взвешенную суперпозицию масштабированных функций ! плотности распределения PL, где распределение весов определяется ядром самоподобия. * Другими словами, Pi определяется как геометрическая конволюция (свертка) между ядром § самоподобия и плотностью распределения PL. Ядро самоподобия также называется пропа-§ гатором мультифрактального процесса. Определение (26) понадобится нам в дальнейшем s для установления мультифрактальных свойств мультипликативного каскада. а В эконофизической литературе последнего десятилетия можно найти ряд исследований | фрактальных свойств волатильности цен акций и обменных курсов. Так, в [Schmitt, Schertzer, | et al. (2000)]; [Pasquini and Serva (2000)] показано, что нелинейность масштабирующей функ-

делями стохастической волатильности, основанными на броуновском движении, которые обычно используются в финансах. В частности, мультифрактальные процессы могут быть порождены мультипликативным каскадом возмущений, который используется для моделиро-а вания турбулентности жидкостей и газов (об этом подробно будет сказано далее).

9 Напомним, что функция Дирака 8(х) равна 0 во всех точках, кроме х = 0, и бесконечности при х = 0, так что интеграл функции равен единице.

118

_ т3(15)2009

Свойства простых моделей типа GARCH и стохастической волатильности при временном §

с

агрегировании не позволяют адекватно моделировать ценовую динамику на различных го- >§ ризонтах одновременно. В отношении модели GARCH(1,1) и ее аналога в форме стохастиче- с? ской волатильности в непрерывном времени показано [Drost and Nijman (1993)]; [Drost and Werker (1996)] свойство состоятельности при масштабировании (scale consistency), которое 4 означает, что если доходности за короткие интервалы времени подчиняются GARCH(1,1), то и агрегированные на длинных горизонтах цены следуют GARCH(1,1) с теми же параметрами. При этом авторам пришлось ослабить предпосылку о независимости ошибок в модели (8), предполагая лишь, что коэффициенты а и р — лучшие линейные предикторы вариации, а остатки еt стационарны (так называемая «слабая форма» GARCH). Устойчивость при масштабировании одновременно является сильной и слабой стороной модели. С одной стороны, результаты статистического оценивания можно полагать независимыми от частоты наблюдения цен. С другой — строгая инвариантность модели не позволяет воспроизвести эволюцию формы распределения волатильности с изменением масштаба.

Таким образом, возникает необходимость в модели волатильности, которая не только позволяет воспроизвести длинные корреляции в доходности и (или) наличие «тяжелых» хвостов для данных с определенной частотой наблюдения, но и дает адекватные результаты на других временных горизонтах. В идеале появилась бы возможность моделировать изменение формы распределения доходности на разных горизонтах и воспрозводить мульти-фрактальные свойства соответствующего временного ряда.

6. Гипотеза о множественных горизонтах волатильности

До сих пор говорилось о временном агрегировании доходностей с сугубо статистической точки зрения. Отмечалось, что временной ряд доходностей, рассматриваемых на разных горизонтах, имеет различные свойства. Можно ли соотнести эти свойства с реальными временными горизонтами, на которых действуют экономические агенты?

Гипотеза о множественных горизонтах волатильности предполагает, что неоднородность в горизонтах принятия решений инвесторами является ключевым фактором для объяснения сложной динамики цен. Впервые соответствующая идея о том, что динамика цен определяется действиями участников рынка на разных временных горизонтах, была сформулирована Мюллером [Muller, Dacorogna, et al. (1997)]. Предполагается, что в волатильности можно выделить элементы, характерные для определенных частот наблюдения, которые имеют неодинаковую важность для разных типов участников рынка. К последним относятся спекулянты, использующие внутридневные колебания цен, дневные трейдеры, портфельные менеджеры и институциональные инвесторы, каждый из них имеет характерные скорость реакции на новости и частоту операций на рынке. С экономической точки зрения частоты колебаний цен ассоциируются с периодами принятия решений о распределении активов (интервалы времени между изменениями составов портфелей для различных участников рынка).

Параметрическая модель волатильности на множественных горизонтах в рамках подхода ARCH предложена в [Muller, Dacorogna, et al. (1997)];[Dacorogna, Muller, et al. (1998)]. Текущая волатильность представлена как линейная функция квадратов доходности за различные периоды времени в прошлом:

rn3(15)2009

О2 = С о + £ Cj £ it-,

где ск > Одля всех к = 0,..., п, причем для к = 0 и к = п неравенство выполняется строго; Г( — логарифмическая доходность (таким образом, выражение £|=/г-/ представляет собой логарифмическую доходность на актив за период длительности у).

£ §

3 &

м

5 л

I

«I <8

8 и

S

X

г

а х

г

а га

S

*

з

8

0 X

1 3

8 а

га §

о а

По построению получаемая модель неоднородной авторегрессионной условной гете-роскедастичности (heterogeneous autoregressive conditional heteroscedasticity, HARCH) учитывает иерархическую структуру корреляций волатильности. Основными недостатками этой модели являются большое количество параметров и высокая корреляция между независимыми переменными, которые делают ее идентификацию весьма сложной. Авторы предлагают уменьшить размерность задачи, используя метод главных компонент. Позднее Корси [Corsi (2004)] сформулировал модель, по форме похожую на HARCH, но использующую в качестве независимых переменных реализованные волатильности на различных репрезентативных горизонтах (на дневном, недельном и месячном), что уменьшает число параметров и снижает корреляцию между регрессорами.

Зюмбах [Zumbach (2004)] предложил определить текущую (или эффективную) волатиль-ность как взвешенную сумму нескольких компонент, соответствующих различным временным горизонтам. Рассматривается n +1 репрезентативных горизонтов, длина которых тk, k = 0,... , n, возрастает диадически: тk = 2 т0. Компонента волатильности, соответствующая горизонту k, определяется экспоненциальной скользящей средней:

Ot,k = м- kО2, t-6t +(1—М- k

8t 8t 1

м 0 = exp -- Мk =exp ^ lk—1 т 02 )

т0

,k = 1,..., n,

где Г( — текущая доходность на минимальном интервале времени 8х, с которым наблюдаются цены (8х < т0).

3

I

<в

о &

Предположив, что время измеряется в единицах, равных 8х, положим для простоты 8х = 1. Тогда, используя (29), можно определить доходности и волатильности на множественных горизонтах:

1

rt,k =

ln(St) —In

S

(Ух,к =м- к У 2, г-1 к У1 к ,

где доходность г(,к для горизонта к = 2к-1 определяется как обычное изменение логарифма цен, масштабируемое на минимальный период времени длиной 8х = 1.

Наконец, результирующая (эффективная) волатильность, соответствующая единичному интервалу времени, записывается:

О t

= £ с 2—(k—1)Х

о t,

k=1

= £ Ш k О t,

k=1

где- = £ П=12 (k 1)Х, что обеспечивает £ П=1 ш k = 1.

120

2

0

n

^-

- №3(15)2009

Убывание весов в (31) по степенному закону обеспечивает наличие длинной памяти в амплитудах доходности. Описанная модель оказывается близкой к FIGARCH, где для создания дальних корреляций используется оператор дробного дифференцирования (см. раздел 3), однако модель Зюмбаха имеет ясную интерпретацию в терминах множественных горизонтов. По сравнению с HARCH используется меньшее количество параметров (четыре). Однако отметим, что эмпирические результаты, полученные в (31), показывают лишь весьма незначительное увеличение прогнозной силы модели по сравнению с GARCH(1,1).

Еще одна модель волатильности на множественных горизонтах, на этот раз сформулированная в терминах стохастической волатильности, предложена Андерсеном и Боллерсле-вом [Andersen (1996)];[Andersen and Bollerslev (1997)]. Неоднородность временных горизонтов интерпретируется в терминах различной устойчивости информационных потоков, влияющих на волатильность. Эти информационные потоки могут рассматриваться как факторы волатильности, значимые для различных типов инвесторов. Текущая доходность определяется через скрытую волатильность, которая полагается пропорциональной интенсивности агрегированного информационного потока Vt:

1

rt = V~2 i t,

где iidit — случайный процесс с нулевым матожиданием и единичной вариацией.

Информационный поток Vt представляет собой результат совместного воздействия n различных информационных потоков Vt, j, каждый из которых моделируется согласно лог-нормальной модели стохастической волатильности, заданной уравнениями типа (17):

vt,j = a j + vt-1,j + e t, j

где vt, j = In Vt, j — p j, p j = F(ln Vj, t) и et, j полагаются iidN(0, сту2);

a j — параметр, отражающий устойчивость информационного потока j, который полагается стационарным, 0 <a j < 1.

Агрегирование информационных потоков производится с помощью правила геометрической средней:

N N

ln Vt =£ vt,j £p j.

i=1 i=1

При таком определении спектр ln Vt является средним из спектров авторегрессионных процессов, определенных для каждой компоненты уравнением (33).

Задавая гетерогенность параметра устойчивости a j стандартным p-распределением, авторы исследуют динамику амплитуд доходностей и четных моментов доходности, а также демонстрируют наличие дальних корреляций. Кроме того, получаемый в форме смеси распределений процесс оказывается самоаффинным (т. е. автокорреляционная функция убывает гиперболически с одинаковой скоростью для всех степенных трансформаций амплитуд доходностей, и это независимо от длины интервалов времени, за которые рассчитываются доходности).

s

3

s

о

VO VO

С?

ai

4

№3(15)2009 '

Модель Андерсена и Боллерслева носит, скорее, экспликативный характер (авторы пытаются объяснить дальние корреляции через неоднородность информационных потоков) в отличие от описанных ранее моделей, которые предполагают идентификацию параметров и практическое использование для прогнозирования. Однако остается необъясненным свойство мультифрактальности, которое наблюдается в волатильности эмпирически. Кроме того, отсутствует микроэкономическое обоснование модели, основанное на поведении экономических агентов.

Обоснование свойств волатильности цен в рамках моделей микроструктуры предлагалось в ряде исследований. В частности, Брок и Хомс [Brock and Hommes (1997)] вводят понятие адаптивного рационального равновесия, которое устанавливается на финансовом рын-

1 ке в условиях рационального выбора инвесторами функций прогнозирования будущих цен.

С

§ Множество функций прогнозирования задано apr/or/, а критерием выбора служит качество

а прогноза, получаемое с использованием этих функций на исторических данных. Искусст-

2 венные рынки такого типа изучаются также в [Lux and Marchesi (2000)]; [ChiareIIa and He I (2001)], где инвесторы по сходному принципу выбирают между чартистскими (экстраполи-I рующими прошлое) и фундаментальными стратегиями. Воспроизводя некоторые эмпириче-

С

S ские свойства динамики цен, эти модели в определенной степени объясняют парадокс из-

§ быточной волатильности. Однако они напрямую не учитывают неоднородность времен-

I ных горизонтов. В аналогичном контексте Лебарон [LeBaron (2001b)] исследует выбор

I между стратегиями, которые используют предшествующие наблюдения цен на различных

g горизонтах.

g Общими недостатками этих моделей являются априорное определение типов доступных

3 экономическим агентам стратегий, а также отсутствие прямой аналитической связи со спе-I цификацией процессов стохастической волатильности, используемых на практике. Так, I практически одновременно с моделью искусственного рынка Лебарон [LeBaron (2001a)] § предлагает простую модель стохастической волатильности с тремя факторами, каждый 1 из которых задается процессом типа OU, описанным в разделе 4 с различной скоростью ре-

0 версии к средней. Модель стохастической волатильности такого типа для представления g множественных горизонтов также предлагается в [PereIIo, MasoIiver, et aI. (2004)]. В [MoIina, * Han, et aI. (2004)] исследуется способ ее оценки методом Монте-Карло — марковских цепей § (Monte CarIo Markov chains, MCMC). Многофакторные модели, использующие процессы OU, § хорошо воспроизводят дальние корреляции и могут учитывать эффект левериджа, однако g несостоятельны при временном агрегировании в силу конечности числа факторов s и не имеют аналитической связи с моделями микроструктуры искусственного рынка. Мо-

1 дель [Barndorff-NieIsen and Shephard (2001)], где используется суперпозиция бесконечного I числа процессов OU, лишена первого из этих недостатков.

i

§ 7. Моделирование множественных горизонтов и турбулентность

«

з

I Описанные выше модели волатильности на множественных горизонтах пытаются пред-I ставить текущую волатильность как результат воздействия факторов (или компонент), изме-S няющихся с разной частотой. Такое описание волатильности имеет прямую аналогию в фи-I зике жидкостей и газов. В гидродинамике изучают явление турбулентности, при котором в течениях жидкостей и газов образуются вихри различных размеров, вследствие чеготер-

^-

- т3(15)2009

модинамические характеристики (скорость, температура, давление и плотность) подвержены случайным флуктуациям. Большая часть кинетической энергии турбулентного течения содержится в вихрях большого масштаба. Энергия каскадом переходит от этого большого масштаба к более коротким вихревым структурам. Этот процесс продолжается, порождая все более и более мелкие вихри, имеющие иерархическую структуру. Условие, при которых ламинарное (т. е. нормальное, невихревое) течение становится турбулентным, определяется критическим числом Рейнольдса, зависящим от вязкости жидкости и свойств течения. Основы статистической теории турбулентности заложены Колмогоровым [Колмогоров (1941)], а современный обзор можно найти, например, в [Фрик (2003)].

Впервые аналогия между турбулентностью и волатильностью на финансовом рынке была предложена в [Ghashghaie, Breymann, et al. (1996)]. Авторы заметили, что соотношение между плотностями распределения доходности на разных горизонтах аналогично соотношению между плотностью распределения дифференциалов скоростей между двумя точками в турбулентном потоке в зависимости от расстояния между этими точками (таким образом, вместо физического расстояния в финансах используется расстояние во времени). Каскад волатильности интерпретируется в терминах гипотезы о множественных горизонтах Мюллера [Muller, Dacorogna, et al. (1997)].

Аналитическая модель мультипликативного каскада волатильности (multiplicative cascade model, MCM) была предложена Гашге, Брейманом и Талкнером [Breymann, Ghashghaie, et al. (2000)]. В этой модели волатильность определяется как результат перемножения возмущений на различных горизонтах (частотах). Обозначим St дискретный стохастический процесс для цены акций и доходность rt = ln St — ln St—1. В MCM доходность определяется по формуле:

rt =Ot £ t,

где £t — некоторый не зависящий от временных горизонтов iid шум;

оt — процесс стохастической волатильности, который можно разложить на ряд горизонтов тъ...,тn (здесь мы предполагаем, что т1 — самый длинный горизонт), так что волатильность на горизонте k е 2,..., n зависит от волатильности на более длинном горизонте k — 1 и от некоторого процесса обновления Xt, k:

оt,k =оk—1

Таким образом, мультипликативный каскад для волатильности принимает вид:

n

оt =ot,n =o0П Xt, k.

k=1

В начальный момент времени 10 все процессы обновления Xt,k инициализируются как iid логнормальные случайные величины с математическим ожиданием E(lnXt, k) = xk и вариацией Var(lnXt, k) = X2k. Для перехода от момента tn к моменту tn+1 = tn +тn (напомним, что тn — самый короткий рассматриваемый горизонт) определяем:

Xtn +1,1 =

где Atn+1,1 — событие, соответствующее обновлению процесса Xt,1 в момент tn+^ !{•} — функция-индикатор;

X 3

s

о

VO VO

С?

CO

£ t,1 — iid логнормальные случайные величины с параметрами м и вариациями X

а

га §

о а

m3(15)2009 ^

В любой момент tn событие {Atn+11} происходит с вероятностью р1. По аналогии {Atn+1 к} определяется как событие обновления процесса XX,к в момент tn+1. Динамика на горизонтах к = 2,...,т определяется итеративно с помощью:

Ххп +1, к =

где для Ук£Х,к — логнормальные ¡¡С случайные величины с параметрами р и X2.

Из уравнения (39) следует, что обновление на горизонте к в момент Хп+1 происходит, либо если обновление произошло на предшествующем более длинном горизонте к — 1, либо с вероятностью рк, соответствующей событию АХп+1; к. Вероятности обновления р(к) должны | быть выбраны таким образом, чтобы средний интервал между двумя обновлениями на гори-

С

§ зонте к был равен длине соответствующего горизонта тк. Для простоты можно рассматри-

Т к—1

вать лишь диадические горизонты, т.е. такие, что -= 2 для к е {2,..., п}. Используя

8 т к

§ свойства процесса Бернулли, можно показать, что вероятности обновления должны удовле-

творять:

Е 2 k-n _ 2 k-n-1

| Pi = 21-n, Pk = 1_ 2k_n^ , k = 2.....n.

О X

| Эмпирическая адекватность модели подтверждается свойствами ACF доходностей

! на различных горизонтах, определяемых стандартным образом: rti k = In Pt — In Pt-Tk.

В [Arneodo, Muzy, et al. (1998)] показано, что при предпосылках MCM автоковариационная

з функция логарифмов амплитуд доходности на любых горизонтах должна убывать как лога-

| рифмическая функция:

X

з At

" Cov

Ti

Последнее соотношение также может использоваться для идентификации «самого длинного горизонта» волатильности [Muzy, Sornette, et al. (2001)]. С практической точки зрения * модель MCM удобно рассматривать в вейвлетном ортонормальном базисе, что упрощает § симуляции и позволяет получать аналитические результаты типа уравнения (41) [Arneodo, § Muzy, et al. (1998)].

g На рис. 9 и 10 показаны результаты симуляции MCM по сравнению с реальными данными для индекса CAC40. Количество горизонтов при симуляции выбрано равным 14, что позволяет воспроизвести скорость убывания выборочной автокорреляционной функции, а остальные параметры подбирались таким образом, чтобы обеспечить соответствие первых

5 двух выборочных моментов оценкам, полученным на реальных данных. Обратим внимание,

О

§

что на рис. 9 показаны результаты для доходностей, агрегированных в дневные интервалы, тогда как симулировались 15-минутные доходности. Это иллюстрирует важную особенность каскада волатильности: кластеризация волатильности и дальние корреляции сохраняются

з §

<8

а. при временном агрегировании, т.е. на различных временных горизонтах.

I

»о о

Описанная выше модель МСМ называется логнормальной, поскольку этому вероятностному закону соответствует распределение возмущений волатильности. Это ни в коем случае не означает, что результирующее распределение доходностей должно быть логнормальным.

124

№3(15)2009

Дневные доходности на индекс САС40

0,10

х з £ о

\о

С? аз

1500

»

Симулированные дневные доходности САМО

1500

;

Рис. 9. Симуляция с помощью модели мультипликативного каскада и реальные данные (дневные доходности):

а — дневные доходности на индекс САС40 (Еигопех^ значения индекса САС40 с 20 марта 1995 г. по 24 февраля 2005 г.); 6—дневные доходности, симулированные с помощью модели мультипликативного каскада с 14 горизонтами (от 15 мин до 256 дней). Доходности симулируются за каждые 15 мин, а затем агрегируются до дневных интервалов

АСР амплитуд дневных доходностей

лаг

а

кС? амплитуд для симулированных дневных доходностей

0,51-1-1-1-1-

0,31--------г-------г

лаг

Рис. 10. Симуляция с помощью модели мультипликативного каскада и реальные данные (выборочная АСР амплитуд дневных доходностей САС40): а—выборочная АСР для амплитуд дневных доходностей на индекс САС40 (Еигопех^ ежедневные значения индекса САС40 с 20 марта 1995 г. по 24 февраля 2005 г.); 6 — выборочная АСР для данных, симулированных с помощью модели мультипликативного каскада с 14 горизонтами (от 15 мин до 256 дней).

Доходности симулируются за каждые 15 мин, а затем агрегируются до дневных интервалов

№3(15)2009 ^

Так, ничто не мешает задать модель таким образом, чтобы на коротких горизонтах наблюдались «тяжелые» хвосты (см. об этом ниже). В описанной выше форме она позволяет симулировать данные, соответствующие по многим статистическим свойствам реально наблюдаемым в финансах. Однако ее практическое использование в таком виде затруднительно, поскольку отсутствуют четкая параметризация и способы оценки.

Связь между МСМ (в данном случае мы говорим о мультипликативном каскаде в более общем смысле, отвлекаясь от конкретной спецификации в [Вгеутапп, СЬаБЬдЬа1е, е! а1. (2000)], представленной выше) и мультифрактальными процессами изучается в [Мц^у, Эе!оиг, е! а1. (2000)]. Рассмотрим диадические горизонты длиной тп = 2-пт0. Приращение процесса XX на интервале тk, обозначаемое 8kXt, связано с приращением на самом длинном горизонте через:

8 kXt =

/=1

где W/ — некоторый положительный /id случайный фактор.

£ §

3 &

м

5 л

I

«I <8

8 и

S

X

г

а х

г

а га

I 1

k

П W

8 oXt,

В модели МСМ процесс стохастической волатильности стх был определен аналогичным образом. Выражение (42) можно переписать в форме простого случайного блуждания в логарифмах локальной волатильности:

ш X, к+1 = ш X, к + 1п +1,

Если возмущения In W/ распределены по нормальному закону N(^, ст2), плотность рас-

*

з

8 о

=г пределения w t k, обозначаемая Pk (w), удовлетворяет условию:

1= О

га §

о

а.

Рк м =

где * — оператор свертки, задаваемый для двух функций — ((X) и д(х) выражением (f *д)(х) = / f (и)д(х -и)с1и.

Отметим, что уравнение

'3

0 X <8

§ c логнормальным пропагатором вида:

1

з

8 о X

G т k,T 0 = N

Аналогичным образом мультифрактальный процесс, соответствующий (26), можно пред-^ ставить в виде мультипликативного каскада. i Из приведенного анализа следует, что модель MCM можно задать, используя мульти-§ фрактальное случайное блуждание (multi-fractal random walk, MRW). Класс таких процессов был предложен для моделирования волатильности в [Bacry, Delour, et al. (2001)] и затем обобщен в [Muzy and Bacry (2002)];[Pochart and Bouchaud (2002)]. Дискретная версия MRW

3 §

<s

о t

^ _ t

J " ""......'........'""""....."'"At

о

с шагом At получается суммированием — случайных величин:

1 Заметим, что выражение (41) в новых обозначениях соответствует Cov(wt+8t k, wtk). 126

t

At

XАХ (Х) = £8ХДХ, к,

к=1

где 6ХДХ,к — шум, вариация которого задана стохастическим процессом:

6Хах, к = ехр(шдх, к) £дх ,

где шДх,к — логарифм стохастической волатильности, как и в (43); еДх — независимый от ш гауссовский шум.

№3(15)2009

Определение шДХ;к основано на форме ковариационной функции, соответствующей описанной выше МСМ:

COv(wAt, k , WAt, / ) = X2 In PAt,|k-/|,

T 11^ T 1

P At, m = ,, , , Л , , |m | < —-1,

PAt,

= 1, |m|> —-1. At

At

£(wAt, k) = -Var(wAt, k) = -X2 In

]_ At

s

3

S о

VQ VQ

C? ai

«С

Здесь Т соответствует интегральному времени, т.е. самому большому горизонту, после которого перестают наблюдаться мультифрактальные свойства. Чтобы обеспечить конечную вариацию приращений процесса ХДХ(X) при переходе к непрерывному времени через ДХ ^ 0, необходимо задать среднюю логарифмическую волатильность следующим образом:

Модель MRW идентифицируется тремя параметрами: вариацией приращений процесса XAt(t), вариацией приращений процесса логарифмических волатильностей (X2) и интегральным временем T. Эти параметры можно достаточно просто оценить, используя форму спектра и автокорреляционной функции. MRW также допускает обобщение в многомерном пространстве [Muzy and Bacry (2002)]. Однако такая экономичность параметризации ограничивает возможности точного моделирования взаимосвязей между волатильностями на различных горизонтах, как, например, в модели HARCH или в модели Зюмбаха (см. раздел 6). Линч и Зюмбах [Lynch and Zumbach (2003)], исследуя каскад волатильностей эмпирически через корреляции исторической и реализованной волатильности, отмечают, что структура этого каскада отличается от наблюдаемого в турбулентности. Это может быть связано с существованием характеристических горизонтов, соответствующих частоте операций на рынке разных типов инвесторов (дневные спекулянты, портфельные менеджеры, пенсионные фонды и пр.). По сравнению с моделями стохастической волатильности процессы типа MRW не позволяют учитывать эффект левериджа (в явном виде). Кроме того, теряется интуитивно привлекательное для экономиста понятие реверсии волатильности к среднему уровню, присущее процессам OU. В [Anteneodo and Riera (2005)] предлагается модель аддитивно-мультипликативного каскада, которая дополняет описанную в этом разделе модель реверсивным эффектом, однако имеет существенно большую сложность.

№3(15)2009 ^

Альтернативный подход к исследованию волатильности, также относящийся к эконо-физике, состоит в том, чтобы непосредственным образом исследовать свойства эволюции распределений доходностей на различных горизонтах. Необходимой предпосылкой такого анализа является марковость каскада волатильности. Рассмотрим ряд горизонтов т0 <т1 <...<тп (в данном случае в отличие от предшествующего описания МСМ удобнее обозначать горизонты в порядке возрастания) и процесс 8кХ приращений на горизонте тк,к е {0,..., п} стационарного процесса Хх для некоторого фиксированного X (это может быть процесс стохастической волатильности или скорректированный на тренд процесс цены актива, или его логарифм). Марковость для 8кХ по определению означает:

Рк\к+1.....п

где Рк|к+1(-) означает условную плотность распределения 8кХ при условии, что 8к+1Х.

з &

м

5 л

lg «I <8

Поскольку

Pk.....n

Pk+1,..., n

Pk|k+1,k.....n

достаточно знать условные плотности распределения для последовательных горизонтов | и распределение на самом длинном горизонте для определения совместного распределе-| ния Р0,п всех приращений. Последнее свойство имеет особое значение для финансов. Используя его, можно построить алгоритм симуляции процесса с такими же вероятностными

а

га §

о а

распределениями приращений на всех горизонтах, как и у имеющихся данных [Nawroth and Peinke (2006)]. Алгоритм симуляции необходим для реализации оценок методом Монте-Карло при решении задач оценки производных инструментов и управления портфелем.

Для проверки марковского свойства процесса обычно используется необходимое условие, задаваемое уравнением Чепмена—Колмогорова:

Pm\k

которое проверяется для различных наборов трех приращений непосредственным сравне-* нием правой и левой частей уравнений. Эмпирические данные по приращениям обменных § курсов и волатильностям акций хорошо согласуются с (52) и не позволяют отвергнуть гипо-§ тезу марковости [Friedrich, Peinke, et al. (2000)];[Renner, Peinke, et al. (2001a)];[Ausloos and £ Ivanova (2003)];[Бухбиндер и Чистилин (2005)]; [Cortines, Riera, et al. (2007)]. Заметим, что у в MCM мы делали предпосылку марковости неявным образом, считая волатильность на каж-I дом горизонте результатом добавления мультипликативного возмущения к волатильности I на предыдущем, более длинном горизонте.

i Для марковских процессов условные плотности распределения удовлетворяют управ-§ ляющему уравнению в форме разложения Крамерса—Мойала [Risken (1989), c. 48-50] (здесь длина горизонта т полагается непрерывной):

з

Sä „ , „ и

ü О / О \k

д

'k=1

ra о

д

дх)

Коэффициенты Эк(х, т) Крамерса—Мойала определяются как предел при Дт ^ 0 условных моментов Мк(8тX, т, Дт):

128

^-

- m3(15)2009

Dk(x, т)= lim Mk(x, т,Дт),

s

3

Дт^0 ..........(54) ü

т г , Ч>

С? аз

Мк (X, Т, Дт) = —— Г (и т) к Рт—Дт|т (и )№и к! Дт °

В общем случае все коэффициенты Крамерса—Мойала отличны от нуля, однако согласно теореме Поула, если 04(х, т) = 0, все коэффициенты в разложении начиная с 3-го также равны нулю. Выполнение этого условия также проверяется эмпирически. В этом случае выражение (53) превращается в простое уравнение Фоккера—Планка (известное как второе уравнение Колмогорова):

д

_т — Рт|т0 (x) = дт

д д2 _ — D1( x, т ) + — D 2 ( x, т дx дx2

Безусловная плотность распределения 6тX на горизонте т подчиняется тому же дифференциальному уравнению.

Уравнение Фоккера—Планка описывает плотность распределения стохастического процесса, задаваемого уравнением Ланжевана:

о _

_т — x

дт

где f(т) — сила Ланжевана, обычно моделируемая гауссовским белым шумом.

Таким образом, при выполнении определенных предпосылок уравнение для цен акций или их волатильности можно получить, оценивая коэффициенты Крамерса—Мойала с помощью (54) [Renner, Peinke, et al. (2001a)];[Буxбиндер и Чистилин (2005)]; [Cortines, Riera, et al. (2007)]. При этом однозначно задается эволюция формы распределения доходности на различных горизонтах от нормального до распределения с «тяжелыми» хвостами. Так, в [Renner, Peinke, et al. (2001a)] для приращений обменных курсов установлена следующая форма коэффициентов:

D1

Для стандартной мультифрактальной модели турбулентного каскада [Castaing, Gagne, et al. (1990)], описанной выше, коэффициенты Крамерса—Мойала имеют вид:

D1

Сходство (57) и (58) говорит в пользу аналогии между турбулентностью и волатильно-стью. В [Ausloos and Ivanova (2003)] аналогичный анализ для логарифмических доходностей на индекс S & P500 дал сходные результаты для D 2, однако D1 оказался очень близок к нулю, что в терминах уравнения Ланжевана означает отсутствие восстанавливающей силы (силы трения в жидкости). Последний результат не подтверждается в [Cortines, Riera, et al. (2007)] на данных логарифмических доходностей бразильского фондового индекса Ibovespa. Кро-

m3(15) 2009 ^

ме того, авторы обнаруживают значимый линейный член в уравнении для D2 для горизонтов, превышающих 1 день. Это означает существенное отклонение от классической муль-тифрактальной модели турбулентного каскада. Отметим, что подобное отклонение обнаруживается и на эмпирических данных для турбулентности в жидкостях [Renner, Peinke, et al. (2001b)].

В [Бухбиндер и Чистилин (2005)] коэффициенты уравнения Фоккера—Планка оцениваются для данных дневной реализованной волатильности индекса Доу—Джонса, рассчитанной по 5-минутным доходностям. Полученные оценки коэффициентов Крамерса—Мойала хорошо описываются уравнениями вида:

g Di^ t) = -ct(oi +а2|nctx

D2

§ &

5 л

I

«I <8

«I

X

г

а

| ванных на свойствах автокорреляционной функции.

§ Большое количество методов и моделей, которые предлагаются для описания динамики

*

3 §

о s

3 §

а

га §

о а

Первое уравнение в (59) учитывает нелинейность коэффициента восстанавливающей силы при низких уровнях волатильности, второе — отражает большую скорость возрастания диффузионного коэффициента, чем предполагает квадратическая функция, при высоких уровнях волатильности. При малых ст подстановка (59) в (55) дает стохастическое дифференциальное уравнение, соответствующее экспоненциальной модели OU. Эта модель также защищается в [Masoliver and Perello (2006)], исходя из совершенно иных соображений, осно-

волатильности на множественных горизонтах, свидетельствует о быстром развитии этого направления в финансах. О целостной теории волатильности на множественных горизонтах говорить пока рано, поскольку среди конкурирующих подходов еще нет явного лидерства. Кроме того, такая теория подразумевает развитие практических приложений, связанных с прогнозированием, оптимальным распределением активов и оценкой производных инструментов. Некоторый прогресс достигнут в каждом из этих направлений. В [Calvet and Fisher (2001)]; [Richrads (2004)] предлагаются методы прогнозирования мультифрактальных финансовых временных рядов. В нескольких исследованиях рассматривается оценка опционов * в условиях волатильности на множественных горизонтах, которая задается многофактор-§ ной моделью [Fouque, Papanicolau, et al. (2003)];[Fouque and Han (2004)]. Модель управления I инвестиционным портфелем в условиях, когда цена акций задана мультифрактальными процессами, предложена в [Muzy, Sornette, et al. (2001)].

Особо отметим еще одно направление исследований, возникающее в связи с моделями волатильности на множественных горизонтах: построение индикатора волатильности, который отражал бы текущее состояние рынка с учетом не только амплитуды колебаний, но I и их частоты. Как следует из приведенных нами теоретических соображений, рассмотрение § волатильности одновременно на различных временных горизонтах привносит дополни-« тельную информацию по сравнению с измерением лишь на каком-то одном из них. Эта ин-I формация может быть использована в первую очередь при принятии решений в динамиче-I ском управлении портфелем. Различные шкалы волатильности на множественных горизон-I тах, применимые для измерения волатильности независимо от вида конкретной модели I динамики цен, предложены в [Zumbach, Dacorogna, et al. (2000)]; [Maillet and Michel (2003)];

[Maillet, Michel, et al. (2007)];[Subbotin (2008)].

130

^-

- т3(15)2009

8. Заключение |

Моделирование и измерение изменчивости цен акций и обменных курсов составляет один из важнейших элементов теории и практики управления инвестиционным портфелем, а также других разделов финансов. Мы рассмотрели понятие волатильности и проанализировали различные подходы к ее моделированию в дискретном и непрерывном времени (условную гетероскедастичность и стохастическую волатильность), показав различия и связи между ними. Построение моделей постоянно было направлено на то, чтобы более точно воспроизвести эмпирические свойства временных рядов цен — такие, как дальние корреляции в амплитудах доходности, их отсутствие в самих доходностях и «тяжелые» хвосты в вероятностных распределениях доходностей на коротких горизонтах.

Среди различных подходов мы особо выделили моделирование волатильности на множественных горизонтах, которое представляется нам наиболее перспективным. Этот подход позволяет учитывать свойства доходностей, проявляющиеся при их временном агрегировании, например, эволюцию форм вероятностных распределений при изменении интервалов времени, за которые рассчитываются доходности, и связанные с этим мультифрактальные свойства финансовых временных рядов. Мы рассмотрели различные классы моделей, учитывающих множественные горизонты, — от неоднородных ДРСИ-моделей до мультипликативных каскадов. Особая роль в построении теории волатильности на множественных горизонтах принадлежит методам, заимствованным из гидромеханики и других разделов статистической физики. Такое заимствование стало возможно вследствие обнаруженной аналогии между волатильностью и турбулентностью в жидкостях и газах.

Концепция волатильности на множественных горизонтах предполагает необходимость разработки методов ее измерения, учитывающих не только амплитуду, но и частотную составляющую колебаний доходностей. Информация, полученная на разных уровнях временного агрегирования (т.е. на разных горизонтах), может быть полезной, в частности, для практики управления активами11.

£ о

VO VO

С? оа ч

Список литературы

БухбиндерГ.Л., Чистилин К. М. Эмпирическая модель стохастической волатильности финансовых флуктуаций. Доклад на VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. 29-31 октября 2005 года, г. Кемерово, Россия.

Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах рейнольдса II Доклады Академии наук СССР. 1941. Т. 30. С. 299-303.

ФрикП. Г. Турбулентность: модели и подходы. М.: Институт компьютерных исследований, 2003.

AlizadehS., BrandtM., DieboIdF. Range-based estimation of stochastic volatility models II The Journal of Finance. 2002. №57(3):10471 091.

Andersen T., BoIIersIevT. Answering the skeptics: Yes, standard volatility models do provide accurate forecasts II InternationaI Economic Review. 1998. № 39(4). P. 885-905.

11 К сожалению, за рамками данного обзора осталась проблема сравнительного анализа качества (прикладной дееспособности) различных моделей волатильности. — Прим. науч. ред.

131

3 §

<8

О &

m3(15)2009 ^

AndersenT., BollerslevT. Heterogeneous information arrivals and return volatility dynamics: Uncovering the long run in high frequency data II Journal of Finance. 1997. № 52. P. 975-1005.

AndersenT. Return volatility and trading volume: An information flow interpretation of stochastic volatility II Journal of Finance. 1996. № 51(1). P. 169-204.

Andersen T. Stochastic autoregressive volatility: a framework for volatility modelling II Mathematical Finance. 1994. №4. P. 75-102.

AndersenT., BollerslevT., LangeS. Forecasting financial market volatility: Sample frequency vis-a-vis forecast horizon II Journal of Empirical Finance. 1999. №6(5). P. 457-477.

AndersenT., BollerslevT., DieboldF., LabysP. The distribution of exchange rate volatility II Journal of the g American Statistical Association. 2001. № 96. P. 42-55.

| AndersenT., BollerslevT., DieboldF, LabysP. Modeling and forecasting realized volatility II Econometrica. 3 2003. №71(2). P.579-625.

o

£ AnhV., HeydeC., LeonenkoN. Dynamic models of long-memory processes driven by Levy noise II Journal | of Applied Probability. 2002. № 39. P. 730-747.

<s

8 «i

S

X 5 Q X

5 Q

ra

§ P. 145-175

Anteneodo C., Riera R. Additive-multiplicative stochastic models of financial mean-reverting processes// Physical Review E. 2005. № 72. P. 26-106.

Arneodo A., MuzyJ, Sornette D. Casual cascade in stock market from the "infrared" to the "ultraviolet" II European Physical Journal B. 1998. № 2. P. 277-282.

AsaiM, McAleerM., YuJ. Multivariate stochastic volatility: A review II Econometric Reviews. 2006. № 25(2-3).

* AusloosM., Ivanova K. Dynamical model and nonextensive statistical mechanics of a market index on | large time windows // Physical Review E. 2003. № 68. P. 46-122.

I Avellaneda M, Friedmen C, Holmes R., SamperiD. Calibrating volatility surfaces via relative-entropy mini-| mization // Apllied Mathematical Finance. 1997. № 4(1). P. 37-64.

| Bacry E, DelourJ., MuzyJ. Multifractal random walk // Physical Review E. 2001. № 64. P. 26-103. g

o BaiX., RusselJ.R., TiaoG. Kurtosis of garch and stochastic volatility models with non-normal innova-| tions // Journal of Econometrics. 2003. № 114. P. 349-360.

BaillieR., BollerslevT., MikkelsenO. Fractionally integrated generalized autoregressive conditional heteroscedasticity // Journal of Econometrics. 1996. №74(1). P. 3-30.

Bandi F., RusselJ. Microstructure noise, realized variance, and optimal sampling // Review of Economic § Studies. 2008. № 75(2). P. 339-369.

! Barndorff-Nielsen O., ShephardN. Econometric analysis of realized volatility and its use in estimating sto-§ chastic volatility models // Journal of the Royal Statistical Society. 2002b. Series B. № 64(2). P. 253-280, § Barndorff-Nielsen O., Shephard N. Estimating quadratic variation using realized variance // Journal of ApI plied Econometrics. 2002a. № 17(5). P. 457-477.

Barndorff-Nielsen O., Shephard N. Non-Gaussian Ornstein-Uhlenbeck-based models and some of their uses in financial economics // Journal of the Royal Statistical Society B. 2001. № 63(2). P. 167-241.

Barndorff-Nielsen O., Shephard N. Power and bipower variation with stochastic volatility and jumps // Journal of Financial Econometrics. 2002c. №2(1). P. 1-37.

Barone-Adesi G., EngleR., Mancini L. Garch option pricing model with filtered historical simulation // Review of Financial Studies, forthcoming. 2008.

132

_ т3(15)2009

Bates D. Jumps and stochastic volatility: Exchange rate processes implicit in Deutsche Mark options II Review | of Financial Studies. 1996. № 9. P. 69-107. £

VO

BiaisB., Glosten L, SpattC. Market microstructure: A survey of microfoundations, empirical results and ^ policy implications II Journal of Financial Markets. 2005. № 8. P. 217-264. ^

BillioM., Caporin M., GobboM. Applied financial economics letters. Applied Financial II Economics Letters. 2006. №2(2). P. 123-130.

BlackF., ScholesM. Pricing of options and corporate liabilities II Journal of Political Economy. 1973. №81(3).

Black F. Noise II Journal of Finance. 1976. № 41.

BollerslevT. A conditionally heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return II The Review of Economics and Statistics. 1987. №69(3). P. 542-547.

BollerslevT., Mikkelsen O. Modeling and pricing long memory in stock market volatility! Journal of Econometrics. 1996. №73(1). P. 151-184.

BollerslevT. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity II Journal of Econometrics. 1986. №31(3). P. 307-327.

BollerslevT. Modelling the coherence in short-run nominal exchange rate: A multivariate generalized arch approach II Review of Economics and Statistics. 1990. № 72. P. 498-505.

BollerslevT., ChouR., Kroner K. Arch modeling in finance: A review of the theory and empirical evidence II Journal of Econometrics. 1992. №52(1-2). P. 5-59.

BreidtF., CratoN., de Lima P. The detection and estimation of long memory in stochastic volatility II Journal of Econometrics. 1998. №83(1-2). P. 325-334.

Breymann W, GhashghaieS., TalknerP. A stochastic cascade model for fx dynamics II International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2000. P. 357-360.

Brock W, HommesC. A rational route to randomness II Econometrica. 1997. №5. P. 1059-1095.

Brooks C., PersandG. Volatility forecasting for risk management II Journal of Forecasting. 2003. №22(1). P. 1-22.

BrotoC., RuizE. Estimation methods for stochastic volatility models: a survey II Journal of Economic Surveys. 2004. № 18(5). P. 613-649.

Calvet L., Fisher A. Forecasting multifractal volatility II Journal of Econometrics. 2001. №105(1). P. 27-58.

Capobianco E. State-space stochastic volatility models: a review of estimation algorithms II Applied Stochastic Models and Data Analysis. 1996. № 12. P. 265-279.

CastaingB., GagneY., HofingerE.J. Velocity probability density functions of high Reynolds number turbulence II Physica D. 1990. №46(2). P. 177-200.

Chan W., MaheuJ. Conditional jump dynamics in stock market returns II Journal of Business & Economic Statistics. 2002. №20(3). P. 377-389.

ChernovM., Gallant R., Ghysels E, TauchenG. Alternative models for stock price dynamics II Journal of Econometrics. 2003. № 116(1-2). P. 225-257.

Chiarella C., HeX.-Z. Asset price and wealth dynamics under heterogeneous expectations II Quantitative Finance. 2001. № 1(5). P. 509-526.

133

*

3 §

о s ï

3 §

О

ra §

о

a.

о

S. Si

ra о

m3(15) 2009 ^

ChibS., Nardari F., Shephard N. Analysis of high dimensional multivariate stochastic volatility models II Journal of Econometrics. 2006. № 134(2). P. 341-371.

Christensen K, PodolskijM. Realized range-based estimation of integrated variance II Journal of Econometrics. 2007. № 141(2). P. 323-349.

Christoffersen P., DieboldF. How relevant is volatility forecasting for financial risk management? II The Review of Economics and Statistics. 2000. №82(1). P. 12-22.

Comte F., Renault E. Long memory in continuous-time stochastic volatility models II Mathematical Finance. 2004. №8(4). P. 291-323.

Conrad J., Gultekin M., Kaul G. Profitability of short-term contrarian strategies: Implications for market efficiency II Journal of Business & Economic Statistics. 1997. № 15(3). P. 379-386.

ContR. Empirical properties of asset returns: Stylized facts and statistical issues II Quantitative Finance. 2001. №1(2). P. 223-236.

g CorradiV., DistasoW. Semi-parametric comparison of stochastic volatility models using realized measures II Review of Economic Studies. 2006. № 73(3). P. 635-667.

IS «1

S CorsiF. A simple long memory model of realized volatility. Working Paper. University of Southern Swit-

£ zerland, 2004.

o

5 CortinesA., RieraR., AnteneodoC. From short to fat tails in financial markets: a unified description II The

<3

s

5 Q

ra

s

European Physical Journal B. 2007. №60(3). P. 385-389.

Cox J., IngersollJ., RossS. An intertemporal general equilibrium model of asset prices II Econometrica. 1985. №53. P. 363-384.

Cutler D, PoterbaJ., Summers L. What moves stock prices? II Journal of Portfolio Management. 1989. №15. P. 4-12.

DacorognaM, MullerU, DaveR, Olsen R, PictetO. Modelling Short-term Volatility with GARCH and HARCH models. N.-Y.: John Wiley, 1998. P. 161-176.

DingZ, Granger C. Modelling volatility persistence of speculative returns: a new approach II Journal of Econometrics. 1996. №73. P. 185-215. § DingZ., Granger C, EngleR. A long memory property of stock market returns and a new model II Journal I of Empirical Finance. 1993. № 1(1). P. 83-106.

| DrostF., NijmanT. Temporal aggregation of garch processes II Econometrica. 1993. №61(4). P. 909-927. DrostT., WerkerB. Closing the garch gap: Continuous time garch modeling II Journal of Econometrics. 1996. № 74(1). P. 31-57.

DuanJ.-C. The garch option pricing model II Mathematical Finance. 1995. №5(1). P. 13-32. £ DuffieD., FilipovicD., SchachermayerW. Affine processes and applications in finance II Annals of Applied

I Probability. 2003. № 13. Р. 984-1053. §

<s

«I

3

DupireB. Pricing and hedging with smiles. Proceedings of AFFI Conference II La Baule. 1993. June. § Dupire B. Pricing with a smile II Risk Magazine. 1994. № 7(1). P. 18-20.

ca

EngleR., BollerslevT. Modelling the persistence of conditional variances II Econometric Reviews. 1986. №5(1). P. 1-50.

EngleR. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of variance of united kingdom inflation II Econometrica. 1982. №50. P. 987-1008.

134

^-

- №3(15)2009

EngleR. Dynamic conditional correlation — a simple class of multivariate garch models II Journal of Business and Economic Statistics. 2002. №20(3). P. 339-350.

s

3 £ o vo vo

EngleR., Lilien D, Robins R. Estimating time varying risk premia in the term structure: The arch-m

oà "t

model // Econometrica. 1987. №55(2). P. 391-407.

ErakerB., Johannes M., Poison N. The impact of jumps in returns and volatility // Journal of Finance. 2003. №53. P. 1269-1300.

Fama E. Efficient capital markets: A review of theory and empirical work// Journal of Finance. 1970. №25. P. 383-417.

Fama E. The behaviour of stock market prices // Journal of Business. 1965. № 38. P. 34-105.

Forsberg L, Ghysels E. Why do absolute returns predict volatility so well? / Journal of Financial Econometrics. 2007. №5(1). №31-67.

FouqueJ.-P., Han C.-H. Asian options under multiscale stochastic volatility // Contemporary Mathematics. 2004. №351. P. 125-138.

FouqueJ.-P, Papanicolaou G., Sircar R., Solna K. Multiscale stochastic volatility asymptotics // Multiscale Modeling & Simulation. 2003. №2(1). P. 22-42.

Friedrich R., PeinkeJ., RennerC. How to quantify deterministic and random influences on the statistics of the foreign exchange market // Physical Review Letters. 2000. 84: 5224-522.

GhashghaieS., BreymannW., PeinkeJ., TalknerP and DodgeY. Turbulent cascades in foreign exchange markets // Nature. 1996. № 381. P. 767-770.

Ghysels E, Santa-Clara P., ValkanovR. Predicting volatility: Getting the most out of return data sampled at different frequencies // Journal of Econometrics. 2006. № 131(1-2). P. 59-95.

Glosten L, Jagannathan R., RunkleD. On the relation between the expected value and volatility of the nominal excess return on stocks // Journal of Finance. 1992. №46. P. 1779-1801.

Granger C., JoyeuxR. An introduction to long memory time series models and fractional differencing // Journal of Time Series Analysis. 1980. № 1. P. 15-29.

Granger C., Poon S.-H. Forecasting volatility in financial markets: A review // Journal of Economic Literature. 2003. №41(2). P. 478-539.

Hansen P. A realized variance for the whole day based on intermittent high-frequency data // Journal of Financial Econometrics. 2005. №3(4). P. 525-554.

Hansen P., LundeA. A forecast comparison of volatility models: Does anything beat a garch(1,1) // Journal of Applied Econometrics. 2005. №20(7). P. 873-889.

Harvey A., Shephard N. Estimation of an asymmetric stochastic volatility model for asset returns // Journal of Business & Economic Statistics. 1996. № 14(4). P. 429-434.

Harvey A. Long Memory in Stochastic Volatility. Oxford: Butterworth-Heineman, 1998. P. 307-320.

Hawkes R., Date P. Medium-term horizon volatility forecasting: A comparative study // Applied Stochastic Models in Business and Industry. 2007. № 23(6). P. 465-481.

Henderson V. Analytical comparisons of option prices in stochastic volatility models // Mathematical Finance. 2005. № 15(1). P. 49-59.

Heston S. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options // Review of Financial Studies. 1993. № 6. P. 327-343.

Heyde C. On modes of long-range dependence // Journal of Applied Probability. 2002. № 39(4). P. 882-888.

135

О

ra §

о

а.

з §

<8

О &

m3(15)2009 ^

HigginsM., BeraA. K. A class of nonlinear arch models // International Economic Review. 1992. №33(1). P. 137-158.

HoskingJ. Fractional differencing // Biometrika. 1981. №68. P. 165-176.

Hull J., WhiteA. The pricing of options on assets with stochastic volatilities // Journal of Finance. 1987. №42(2). P. 281-300.

Hwang S., SatchellS., Pereira P. How persistent is stock return volatility? An answer with markov regime switching stochastic volatility models // Journal of Business, Finance and Accounting. 2007. № 34(5-6). P. 1002-1024.

JacquierE., Polson N., Rossi P. Bayesian analysis of stochastic volatility models with fat tails and correlated g errors // Journal of Econometrics. 2004. № 122(1). P. 185-212.

| Kluppelberg C, Lindner A., MallerR. A continuous-time garch process driven by a levy process: Stationarity and second-order behaviour // Journal of Applied Probability. №41(3). P. 601-622.

KoopmanS., UspenskyE. The stochastic volatility in mean model: Empirical evidence from international stock markets // Journal of Applied Econometrics. 2002. № 17(6). P. 667-689.

LanneM., Saikkonen P. Non-linear garch models for highly persistent volatility// The Econometrics Journal. | 2005. №8(2). P. 251-276.

LeBaron B. Evolution and time horizons in an agent-based stock market II Macroeconomic Dynamics. lib. №5. P. 225-254.

LeBaron B. Stochastic volatility as a simple generator of apparent financial power laws and long mem-

o s S

§ 2001b. №5. P. 225-254. S

Q

ra

§ ory // Quantitative Finance. 2001a. № 1(6). P. 621-631. g

* Liesenfeld R, Richard J. Univariate and multivariate stochastic volatility models: Estimation and diagnosis tics // Journal of Empirical Finance. 2003. P. 1-27.

Vj

55 LingS., McAleerM. Asymptotic theory for a vector arma-garch model // Econometric Theory. №19.

3

K P. 278-308.

LingS., McAleerM. Necessary and sufficient moment conditions for the garch(r, s) and asymmetric

power garch(r, s) models II Econometric Theory. 2002a. № 18. P. 722-729.

LingS., McAleerM. Stationarity and the existence of moments of a family of garch processes II Journal

* of Econometrics. 2002b. № 106. P. 109-117. o

« LintnerJ. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capi-

^ tal budgets II The Review of Economics and Statistics. 1965. № 47(1). P. 13-39.

§ Liu J. Portfolio selection in stochastic environments II Review of Finanical Studies. 2007. №20(1). P. 1-39.

| Liu M. Modeling long memory in stock market volatility II Journal of Econometrics. 2000. №99(1).

g P. 139-171.

§ Lobatol., VelascoC. Long memory in stock market trading volume // Journal of Business & Economic Sta-§ tistics. 2000. № 18(4). P. 410-427.

LuxT., MarchesiM. Volatility clustering in financial markets: A microsimulation of interacting agents // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2000. № 3(4). P. 675-702.

Lynch P.,Zumbach G. Market heterogeneities and the causal structure of volatility // Quantitative Finance. 2003. №3(4). P. 320-331.

MaghsoodiY. Exact solution of a martingale stochastic volatility option problem and its empirical evaluation // Mathematical Finance. 2005. № 17(2). P. 249-265.

136

_ т3(15)2009

MailletB, MichelT. An index of market shocks based on multiscale analysis II Quantitative Finance. 2003. | №3(2). P. 88-97. £

VO

MailletB., MichelT., SubbotinA. A Revised Index of Market Shocks: A New Multi-horizon Richter Scale for Stock Markets. 2007. JMA conference paper. Fribourg. Switzerland. 2007. 31 May — 1 June.

Mandelbrot B, TaqquM. Robust rIs analysis of long run serial correlation II Bulletin of the International Statistical Institute. Vol. 48. Book 2. Manila: Proceedings of the 42nd session of the International Statistical Institute, 1979. P.69-104.

Mandelbrot B, van Ness J. Fractional brownian motion, fractional noises and applications IISIAM Review. 1968. № 10. P. 422-437.

Mandelbrot B. The variation of certain speculative prices II Journal of Business. 1963. №36. P. 394-419.

Mandelbraot B. When can price be arbitraged efficiently? A limit to the validity of the random walk and martingale models II Review of Economics and Statistics. 1971. № 53(3). P. 225-236.

MarkowitzH. Portfolio selection II Journal of Finance. 1952. №7(1). P. 77-91.

MarpleS. Digital Spectral Analysis. New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1987.

MartensM., van DijkD. Measuring volatility with the realized range II Journal of Econometrics. 2007. №138(1). P. 181-207.

Martens M., Zein J. Predicting financial volatility: High-frequency time-series forecasts vis-a-vis implied volatility II Journal of Futures Markets. 2004. № 24(11). P. 1005-1028.

MasoliverJ., PerelloJ. Multiple time scales and the exponential ornstein-uhlenbeck stochastic volatility model II Quantitative Finance. 2006. № 6(5). P. 423-433.

McAleerM, MedeirosM. Realized volatility: A review II Econometric Reviews. 2008. №27(1-3). P. 10-45.

Merton R. Theory of rational option pricing II Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. №4. P. 141-183.

Molina G., HanC.H, FouqueJ.P MCMC Estimation of Multiscale Stochastic Volatility Models. University of Calfornia, 2004 [Unpublished manuscript].

MorimuneK. Volatility models II The Japanese Economic Review. 2007. №58(1). P. 1-23.

Muller U, Dacorogna M, Dave R., Olsen R., Pictet O., von Weizsacker J. Volatilities of different time resolutions — analyzing the dynamics of market components II Journal of Empirical Finance. 1997. №4. P. 213-239.

MuzyJ, DelourJ., BacryE. Modelling fluctuations of financial time series: from cascade process to stochastic volatility model II The European Physical Journal B. 2000. № 17(3). P. 537-548.

MuzyJ.-F., BacryE. Multifractal stationary random measures and multifractal random walks with log infinitely divisible scaling laws II Physical Review E. 2002. №66(5). P. 56-121.

MuzyJ.-F., SornetteD, DelourJ., ArneodoA. Multifractal returns and hierarchical portfolio theory II Quantitative Finance. 2001. № 1(1). P. 131-148.

NawrothA, PeinkeJ. Multiscale reconstruction of time series II Physics Letters A. 2006. №360(2). P. 234-237.

Nelson D. Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach II Econometrica. 1991. №59. P. 347-370.

s

m3(15) 2009 ^

PasquiniM., Serva M. Clustering of volatility as a multiscale phenomenon II The European Physical Journal B. 2000. № 16(1). P. 195-201.

PerelloJ., MasoliverJ., BouchaudJ.-P. Multiple time scales in volatility and leverage correlations: A stochastic volatility model II Applied Mathematical Finance. 2004. № 11. P. 27-50.

PochartB., BouchaudJ.-P. The skewed multifractal random walk with applications to option smiles II Quantitative Finance. 2002. № 2(4). P. 303-314.

RennerC., PeinkeJ., Friedrich R. Evidence of markov properties of high frequency exchange rate data II PhysicaA. 2001a. №298(3). P. 499-520,

RennerC., PeinkeJ., Friedrich R. Experimental indications for markov properties of small-scale turbu-

S lence II Journal of Fluid Mechanics. 2001b. № 433. P. 383-409. £

| RichradsG. A fractal forecasting model for financial time series II Journal of Forecasting. 2004. № 23(8): | P. 586-601.

0

is Risken H. The Fokker-Planck equation: Methods of Solution and Applications. Berlin: Springer-Verlag, 1989. •0

x Ritchken P., Trevor R. Pricing options under generalized garch and stochastic volatility processes II Journal

1 of Finance. 1999. № 54(1). P. 377-402.

Vj «1

| SchmittF., SchertzerD., LovejoyS. Multifractal fluctuations in finance II International Journal of Theoretical I and Applied Finance. 2000. № 3(3). P. 361-364.

Q X

5 Q

ra

s

Scott L. Option pricing when the variance changes randomly: Theory, estimation, and an application II

Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1987. № 22. P. 419-438.

Sentana E. Quadratic arch models II Review of Economic Studies. 1995. №62(4). P. 639-661.

a SharpeW. Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk II Journal of Fi-

| nance. 1964. № 19(3). x

3 SoM., LamK.,LiW. A stochastic volatility model with markov switching II Journal of Business & Economic ^ Statistics. № 16(2). P. 244-253.

Stein E., Stein J. Stock price distributions with stochastic volatility: an analytic approach II Review of Finan-

0

ra §

1 cial Studies. 1991. №4. P. 727-752.

SubbotinA. A multi-horizon scale for volatility II CES Working Paper. 2008. №20. [University of Paris-1

§ (Pantheon — Sorbonne)].

§ Taylor S. Financial Returns Modelled by the Product of two Stochastic Processes — a Study of the Daily Sugar Prices 1961-1975. North-Holland: Amsterdam, 1982. Vol. 1. P. 203-226.

TaylorS. Modelling stochastic volatility: A review and comparative study II Mathematical Finance. 1994. №4(2). P. 183-204.

£ WoernerJ. Estimation of integrated volatility in stochastic volatility models II Applied Stochastic Models

I in Business and Industry. 2005. № 21(1). P. 27-44. §

3

is

<s о

S. Si

ra о

ZhouB. High-frequency data and volatility in foreign-exchange rates II Journal of Business & Economic Statistics. 1996. № 14(1). P. 45-52.

Zumbach G. Volatility processes and volatility forecast with long memory II Quantitative Finance. 2004. №4(1). P. 70-86.

Zumbach G., Dacorogna M, Olsen J., Olsen R. Measuring shocks in financial markets II International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2000. №3(3). P. 347-355.

138