Модели переноса аэрозолей в атмосфере на основе априорных оценок коэффициента турбулентной диффузии

УДК 519.5, 519.6

МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА АЭРОЗОЛЕЙ В АТМОСФЕРЕ НА ОСНОВЕ АПРИОРНЫХ ОЦЕНОК КОЭФФИЦИЕНТА ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ

© 2008 г. И.Э. Наац, В.И. Наац

Mathematical models of the atmospherically time-dependent carrying over have been build and proved. For models need matrices of derivative wind-pole components. In work authors use matrices and make evaluation of coefficient turbulent diffusion in based transfer-model.

Эффективное применение численных методов теории переноса в задачах оперативного прогноза распространения загрязнений в пограничном слое атмосферы требует сопутствующей оперативной оценки характеристик атмосферы - разработки численных методов обработки и интерпретации экспериментальных данных, а также решения сопутствующих обратных задач теории переноса субстанции в турбулентных средах. Кроме того, известно, что коэффициенты турбулентного обмена в направлении координатных осей в условиях пограничного слоя атмосферы могут быть функционально связаны с производными компонент векторного поля скорости ветра по пространственным переменным. В статье подробно рассматривается это направление исследований и его возможные применения в задачах математического моделирования переноса субстанции в турбулентных средах. Сформулированы соответствующие модели, для которых исходными данными являются матрицы производных поля скорости ветра.

В [1] подробно изложены постановка обратной задачи для оценки коэффициента турбулентной диффузии из уравнения переноса и этапы построения соответствующего регуляризирующего алгоритма. Уравнение переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы в условиях турбулентности в направлении координатной оси I х записывается в виде

д *...... .......> _

+ — Сх (л t)q(x, t) - К(х, t)q'(x, t) j= S(x, t).

cx

Здесь q(x, t) - поле концентрации переносимого вещества; Vx (x, t) - скорость ветра в направлении оси I x; K(x, t) - коэффициент турбулентной диффузии; S(x, t) - распределенный источник в рассматриваемой задаче диффузионного переноса. Решение обратной коэффициентной задачи [1] требует задания в одномерном варианте функций q(x, t), V(x, t) и S(x, t), вводимых в уравнение (1). Помимо этого, требуется корректная оценка производных q'x(x,t) и q't(x,t). При решении подобной сложной задачи может быть полезной априорная информация о функциональной связи поля скорости ветра V(x, t) и коэффициентов турбулентной диффузии K ( x, t) , представленная в виде неких полуэмпирических формул.

Следует заметить, что исследования, связанные с построением полуэмпирических формул, как-то в среднем описывающих приближенно пространственно-временную изменчивость физических полей в пограничном слое атмосферы, имеют широкое распространение [2]. Конечно, соответствующие полуэмпирические параметризованные модели носят сугубо качественный характер, и их применение в задачах оперативного прогноза полей загрязнения, в основе которых лежат нестационарные явления переноса, естественно ограничено. Необходимы методики, которые бы, с одной стороны, опирались на подобные полуэмпирические зависимости, а с другой - позволяли учитывать данные оперативного контроля метеопараметров атмосферы. Последнее требование может быть удовлетворено на основе эффективных алгоритмов решения обратных задач теории переноса в мониторинге окружающей среды.

Ограничившись этими замечаниями, рассмотрим в качестве примера одну из простейших формул, связывающих значения К(х, г) с характеристиками пространственно-временной изменчивости компонент скорости ветра в условиях пограничного слоя атмосферы, представленную выражением [2]: 2 .

К = с- If X

dx

+ ( dz

+ i Vx

+ ( dz

1/2

где Ь и с - константы, выбираемые в зависимости от турбулентного состояния атмосферы. В частности, для пограничного слоя атмосферы значения константы Ь могут меняться в диапазоне от 50 до 2000 м. При этом с рекомендуется полагать примерно равным 0,41. В соответствии с формулой (2), значение коэффициента К в некоторой точке поля Р(х, у, z) в момент времени г определяется как среднеквадрати-ческое по пространственным производным компонентам скорости ветра. Последнее означает, что практически воспользоваться этой формулой можно лишь в том случае, если определены (заданы) значения системы функций ^ri{xl,x2,xi,f)|дxj , (/ = 1,2,3 .Таким образом, в принципе значения коэффициента К(Р, г) можно рассматривать как дифференциальную структурную характеристику поля скорости ветра. Поскольку поле скорости ветра является физической величиной, доступной измерениям, то определение

2

2

2

указанной выше матрицы частных производных вектора У(Р, 0 по экспериментальным данным следует считать практически обоснованной самостоятельной задачей, решение которой представлено в [3].

Возвращаясь к формуле (2) и считая матрицу ¿Уi|дxj известной, по крайней мере, в некоторых

точках области П, запишем формулу вида

К, =c-Zz

з

2 Vi j

j=i

dx

1/2

<= 1.2.3

где I], у - некоторые числа, образующие в совокупности матрицу Дз числовых параметров модели

(3). Ясно, что из (3) можно получить формулу (2), соответствующим образом подбирая указанные коэффициенты. Если считать, что в данной задаче переноса помимо компонент скорости ветра (Р. 1) пред-

с^/аг,

а также имеет место

ставлена матрица

формула (3), то параметризованную модель переноса можно записать в виде

д + ад + £ А СО £(к, = Б(Р,О

г= 1

cXi

K = cL2

з

j=i

i= 1

i Л2 ' dV

SX;

dx, v J J

x

i = 1,2,3

.

Роль параметров, помимо Ь и с, играют в этой модели элементы весовой матрицы у , которая

позволяет более тонко моделировать пространственную изменчивость поля коэффициента турбулентной диффузии. Модель теории переноса (4) в принципе можно рассматривать как альтернативную той, в которой функции У(Р, 0 и К1 (Р, /) выступают как независимые исходные данные. В этом отношении модель (4) более определена, и её можно считать лучше обусловленной, как систему дифференциальных уравнений, связывающую д(Р, /), V(Р, (), К(Р, ?) и 5(Р, (). Более подробное рассмотрение этих вопросов выходит за рамки данной статьи, в которой основное внимание уделяется все же обратным задачам теории переноса. Эти задачи в рамках модели (4) могут быть сформулированы как параметрические, т.е. задачи оценки элементов матрицы ¡\ у при известных полях д(Р, t), V(P,/), и 5(Р, /). В них решающие алгоритмы строятся на основе метода наименьших квадратов. Модель (4) конечно носит качественный характер, и потому она далеко не единственная в числе возможных.

В рамках качественного подхода могут быть предложены и иные модели функциональной связи У(/'. I) и К (/'./). Если исходить из знания матриц <ф* / сх/ в

точках области П, то можно предложить вариант указанной функциональной связи, близкий к рассмотренному выше, но более содержательный в физическом смысле. Будем исходить из физической связи коэффи-

циента турбулентного обмена К с напряжением турбулентного трения г , возникающего при движении воздуха в пограничном слое атмосферы. Соответствующее выражение при движении воздуха, скажем в направлении оси Ог, записывается в виде [2] ЗУ

02

где А - коэффициент турбулентной вязкости, равный произведению плотности р на коэффициент турбулентной диффузии К . Заметим, что размерность ве-

личины т2 равна

1/«'

2

и соответственно A -

\а/п  г _, что в свою очередь определяет размерность К как |_/й2 .В соответствии с (5), величина К в

з

пределах некоторого локального объема Ь связана с неким силовым полем, пропорциональным по величине т-У2 , где т - масса воздуха в пределах указанного объема; Vz=dVz/dt. Поскольку т = р-1'?, то (5) эквивалентно выражению

8V  dV

dz dz

Р-1? Г2~=р-К2 ]}

В соответствии с формулой (6), коэффициент турбулентной диффузии выступает как коэффициент пропорциональности между временной изменчивостью вертикальной компоненты скорости ветра Vz и ее градиентом в направлении этой оси. Подобная интерпретация коэффициента К в физическом отношении более содержательна, нежели то, что может следовать из полуэмпирической формулы (5). В общем случае формула (5) должна быть связана с компонентами тензора вязких напряжений, т.е. имеет место выражение

TUj - AUj

dv SV,

dx,

dx, v J

Считая /I, = p  Кi

V

dx

i, J'

dV,

приходим к формуле

j

x

или в векторной форме

3

7=1 1

V = 17  К  го/У ,

где тензор (диада) К имеет компонентами К,, j, 7,7=1,2,3. Используя (7) как функциональное уравнение, связывающее дифференциальные характеристики поля скорости ветра У(Р, 0, включая и его

временную изменчивость У(Р, 0 , с диадой К(Р, t) приходим к еще одному варианту модели теории переноса в пограничном слое атмосферы, а именно

>11 3 „ 8д

q + aq + (

div Vqj IE— = S

1 3x, i,J dx

J

\

.

VrL = ZK

J=1

i, J

i = 1,2,3

3

дх^ сХ,

Второе уравнение в этой системе позволяет оценить элементы матрицы / с привлечением предположений о свойствах диады К, позволяющих со-

2

кратить число независимых неизвестных. Для оценки эффективности модели переноса (8) необходима соответствующая постановка вычислительного эксперимента. Её главной особенностью является то, что исходные данные представлены матрицей /сх/ и

производной по времени У(Р,0. Обеспечить задачу оперативного прогноза динамики поля концентрации загрязняющих веществ в рамках этой модели можно на основе измерений (контроля) поля скорости ветра У(Р,0 и соответствующего программного обеспечения, позволяющего определить по соответствующим измерениям дифференциальные характеристики векторных полей.

Некоторые из перечисленных задач решены, а соответствующие им вычислительные модели и алгоритмы описаны в работах [1, 3]. Другие задачи, связанные с построением вычислительных моделей, требуют своего решения.

Литература

1. Наац В.И. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. нау-

ки. 2005. Приложение. № 3. С. 21-34.

2. Лайтхман Д.Л. Физика пограничного слоя атмосферы.

Л., 1970.

3. Наац В.И. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регионю. Естеств.

науки. 2005. Приложение. № 5. С. 14-22.

Ставропольский государственный университет,

Северо-Кавказский государственный технический университет_31 января 2007 г.