Цисленное моделирование обтекания протяженных выемок сверхзвуковым потоком

Том ХЬН

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011

№ 3

УДК 532.528

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ ПРОТЯЖЕННЫХ ВЫЕМОК СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ

А. Д. САВЕЛЬЕВ

Выполнено численное моделирование обтекания плоской прямоугольной выемки сверхзвуковым турбулентным потоком вязкого газа. В диапазонах числа Маха набегающего потока от 1.5 до 4 и отношения длины выемки к глубине от 1 до 20 исследованы формирующиеся структуры течения. Определены границы пульсационного режима, а также критическая длина замыкания каверны.

Ключевые слова: численное моделирование, сверхзвуковые турбулентные течения, открытая и закрытая каверна, критическая длина замыкания.

Обтекание выемок потоком вязкого газа является предметом исследования уже довольно длительное время. Несмотря на относительно простую форму элементов конструкции летательных аппаратов зачастую формируется довольно сложное пульсационное течение. Неустойчивость турбулентного сдвигового слоя и волны давления, идущие от задней стенки, порождают явление гидродинамического резонанса — гармонические колебания газа в выемке значительной интенсивности. Возникающий при этом акустический шум способен оказывать неблагоприятное воздействие на находящиеся поблизости устройства и оборудование.

Несмотря на многочисленные экспериментальные исследования ([1—9] и др.), задача изучения механизма данных колебаний и снижения их интенсивности до сих пор сохраняет свою актуальность. Прежде всего это касается сверхзвуковых режимов течения, которые сложнее осуществить экспериментально. С 1980-х годов начинает активно использоваться численное моделирование, причем не только в рамках решения уравнений Навье — Стокса с различными моделями турбулентности [10 —13], но также в ламинарном приближении [14] и на основе решения уравнений Эйлера [15]. Это неудивительно, поскольку возникновение в выемке акустических колебаний определяется не столько состоянием сдвигового слоя, сколько числом Маха внешнего течения и геометрией самой полости. Сегодняшний уровень развития разностных методов позволяет исследовать с их помощью не только общую картину течения, но и звуковое излучение каверн [16 —18].

Поскольку возникающие при обтекании выемок осцилляции потока крайне нежелательны, разрабатываются способы снижения их амплитуды или же полного подавления пульсаций. Такой результат может достигаться путем вдува сверхзвуковых струй малого расхода перед передней угловой кромкой или другими средствами активного воздействия на течение [19—24]. Существуют и пассивные средства стабилизации потока, состоящие в модификации геометрии передней [25] или задней [26] кромок выемки. Все эти подходы скорее всего не универсальны, поскольку разрабатываются для ограниченного диапазона изменения параметров внешнего потока и заданных геометрических размеров каверн.

САВЕЛЬЕВ Александр Дмитриевич

кандидат физикоматематических наук, старший научный сотрудник ВЦ РАН

Следует, однако, признать, что при общем значительном объеме работ, касающихся выемок и каверн, исследования подобных течений еще далеки от завершения. Как правило, в работах моделируется обтекание относительно коротких каверн. Полученные значения частоты пульсаций сопоставляются с оценками по эмпирической формуле Росситера [3], хотя она формулировалась в рамках дозвукового обтекания и содержит нечетко определенный параметр, отвечающий за влияние границ. Отсутствуют критерии возбуждения резонансных колебаний потока в открытой полости. Видимо, главные из них — отношение длины и глубины выемки и число Маха набегающего потока Мда. Вместе с тем, такие параметры, как число Рейнольдса, толщина пограничного слоя, температура поверхности и ее форма в месте повторного присоединения также могут воздействовать на характер течения.

Считается, что при обтекании выемок возможно существование двух разных структур течения. Если поток, отрываясь у передней угловой кромки, присоединяется в окрестности задней, то по терминологии [2] такую структуру течения принято называть открытой каверной. Если же отрывная зона в выемке распадается на две, у передней и задней стенок, а между ними поток присоединяется ко дну, то такую структуру называют закрытой каверной. Основным фактором, влияющим на переход от одной структуры течения к другой, является отношение длины выемки Ь глубине Н. Процесс преобразования течения из открытого в закрытое принято называть замыканием каверны.

Современные исследования касаются относительно коротких выемок. Единственными данными об обтекании более протяженных выемок являются экспериментальные результаты, полученные в [2] в довольно узком диапазоне сверхзвуковых значений числа Мх. На основании этих исследований в [27] делается вывод о том, что критическая длина каверны «в первом приближении не зависит от чисел Рейнольдса и Маха». При отсутствии других данных это утверждение пока возражений не вызывает.

Между тем, численное моделирование обтекания выемок в широком диапазоне изменения отношения их длины к глубине не встречает в настоящее время методических трудностей. Затруднения скорее связаны с проведением большого количества расчетов, требующих много машинных ресурсов. В случае сверхзвукового обтекания, более простого для численных исследований, чем до- и трансзвуковое, упомянутые сложности не так велики. Ниже представлены результаты численных расчетов каверн значительной протяженности, обтекаемых сверхзвуковым турбулентным потоком.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, УРАВНЕНИЯ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Схема течения представлена на рис. 1. На плоскости EFQD, обтекаемой параллельным ей сверхзвуковым турбулентным потоком вязкого газа, расположена прямоугольная выемка FGPQ. У передней кромки пластины Е формируется головной скачок уплотнения, а на ее поверхности — турбулентный пограничный слой. У передней кромки выемки F образуется веер волн раз-

Рис. 1. Схема течения в выемке:

1 — головной скачок уплотнения; 2 — пограничный слой; 3, 4 — волны разрежения и сжатия; 5 — общее возвратно-циркуляционное течение; 6, 7 — передняя и задняя отрывные зоны при замыкании каверны

режения, а у задней Q — волны сжатия. Внутри каверны возникает сложное возвратно-циркуляционное течение. В случае, когда длина выемки значительно превосходит ее глубину, отрывная зона распадается на две независимые: переднюю, по сути представляющую собой отрывную донную область за ступенькой, и заднюю, являющуюся зоной отрыва пограничного слоя перед уступом (показано штриховыми линиями).

Данная задача является плоской. Для ее решения используются двумерные нестационарные осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье — Стокса. Обезразмеренные по параметрам набегающего потока и характерному линейному размеру они имеют вид:

д д д д

— р ч----ри, = О, — ри, ч-----------рим, ч- ст,, = О,

дГ дх]- 1 & 1 дх]- 11

5 д

— ре +— реи ]+и1о1 =0.

от дх

_ 1 ^

Здесь / и х/ —время и декартовы координаты; р, и -, с = у к+ 0.5мг —плотность, компоненты вектора скорости и полная энергия; к — энтальпия; у — отношение удельных теплоемкостей.

Составляющие тензора напряжений и тепловой поток представляются следующим образом:

-

\_д_

3 дхр

и,Ъ

к У

= Re 1 цРг 1 ч- Ргг 1 ---------/?, , =0.5

дх,

Г duf ди  ^ —L +—-

dxi dxi

\ j 1 J

где Sy — компоненты тензора скоростей деформации; p — давление; k — кинетическая энергия турбулентности; ц и — коэффициенты молекулярной и турбулентной вязкостей; Рг = 0.72 и Рг, =0.9 — молекулярное и турбулентное числа Прандтля; Re — число Рейнольдса. Система дополняется уравнением состояния р = у-1 у — 1 рh и зависимостью коэффициента молекулярной вязкости от энтальпии по формуле Сазерленда [28].

Используемая модель турбулентности получена из двухпараметрической модели переноса сдвиговых напряжений Ментера [29] путем замены переменных, кинетической энергии турбу-

1/2 1/2

лентности к и псевдочастоты ю соответственно на скорость турбулентности q = k' и v = со' . Ее уравнения выглядят следующим образом [30]:

д д 15 dq pq

т- Рq +— Рqut =— — Ц + — + —

ot от Re от, от, 2

—-р\2

F V й

д д 13 dv л л ^ а„9рq dq dv pv

— pv +— pvw, =------------------U + CTJU, — + 4 1 -K 032 4 —--------------------+ —

dt dxf Re 5x, 3x, v йг, 9x, 2

Г Q R 2

у-----Pv

F V n

Коэффициент турбулентной вязкости определяется из соотношения

,2

\it =Re

pq

F v

2 •

Необходимые константы и функции выбираются такими же, что и в исходной модели. Проведенные расчеты [30] показали пригодность модели для расчетов внешнего обтекания тел сверхзвуковым потоком.

В набегающем потоке на линии АВ задаются параметры набегающего потока с числом Мда и температурой 207 К, постоянной для всех расчетов. На твердой поверхности EFGPQD задаются условия прилипания для скорости и температура 300 К. На линии AE ставятся условия симметрии, а на линиях BC и CD — условия свободного вытекания вдоль и поперек обтекаемой поверхности соответственно. В данном случае значения на границе задавались из предположения равенства нулю третьих производных плотности, компонент вектора скорости, энтальпии и параметров модели турбулентности на основе односторонней разности

/о=3/_1-3/_2+/_3,

где отрицательными индексами обозначены узлы в направлении от границы.

За характерный линейный размер задачи принимается глубина выемки Н. Число Рейнольдса, посчитанное с учетом данного параметра, задается равным 106. Толщина пограничного слоя на пластине перед каверной при данных условиях составляет примерно 0.07H. На входной границе скорость турбулентности q, определяемая по ее кинетической энергии, равна одной тысячной от скорости набегающего потока, а турбулентная вязкость в 10 раз меньше значения ламинарной ВЯЗКОСТИ (I.

Численное интегрирование системы уравнений осуществляется на основе составных компактных схем высокого порядка [31]. Для аппроксимации конвективных членов используется центрально-разностный оператор восьмого порядка:

л 8 А1 =

42 ) 2

где Л1 и Д2 — известные первая и вторая разности второго порядка. Монотонизация получаемого решения достигается посредством добавки к , ориентированной в соответствии с направлением характеристик оператора восьмой разности \Д8 (знак 5 задает ориентацию разности), являющегося линейной комбинацией последовательно вычисляемых четных разностей восьмого порядка и выше [32].

тт (> 6 т 6 ^6 <^6 Т 6

Для представления вязких членов используется разность о 1 цо , где о и 1 —

операторы компактных разности и интерполяции шестого порядка:

8 6 =

Ґ

1 + -

9А2 ^ 1189 Ту2 Т_у2 +17 Т3/2 Т_

1/2 -1/2 "|_1/ 13/2 1-Ъ/2

80 ) 240/2

,-1

16; 32

где T — известный оператор сдвига по узлам разностной сетки. Смешанные производные вязких членов уравнений, производные параметров потока в источниковых членах и метрические коэффициенты преобразований системы координат вычисляются с помощью оператора .

Значительная протяженность области расчета и необходимость использования в тонких пограничных слоях достаточно подробной сетки не позволяют эффективно применять для данной задачи традиционный метод Рунге — Кутта интегрирования уравнений по времени. В расчетах используется неявная схема второго порядка на основе итерационного метода Гаусса — Зейделя релаксации в линиях, поперечных набегающему потоку [33]. При этом вводится дополнительный временной слой расчетных параметров и используется односторонняя разность по времени второго порядка [26].

Рис. 2. Расчетная сетка

В расчетах используется моноблочная сетка типа «Н», построенная на основе параболического генератора [34], прямоугольная около внешних границ и криволинейная у вертикальных поверхностей выемки. Вид типичной сетки при соотношении L/H — 4 и ее фрагмент в окрестности передней кромки приведены на рис. 2 (значения линейных размеров, в частности координат х' и у', представлены в долях глубины Н). К стенкам каверны координатные линии подходят по нормали, что обеспечивается заданием соответствующего условия при построении сеточных слоев. Кромки обтекаемой выемки закруглены. Радиусы их затупления задаются равными 0.0125#.

Минимальный шаг сетки составляет Ау = 5Л0~5Н, что должно обеспечивать попадание ближайших к поверхности узлов в ламинарный подслой. Расстояние от передней кромки пластины до угловой кромки (EF на рис. 1) равняется 5Н и содержит 45 узлов сетки. Перед пластиной на линии AE, имеющей протяженность ~2H, находится 7 узлов, за каверной на линии QD, составляющей 6.5H, располагается 51 узел. Внешняя граница BC отстоит от поверхности пластины на расстояние ~10Н. Поперек потока располагаются 111 узлов, из них на вертикальные грани выемки FG и PQ приходится по 31 узлу. Количество узлов вдоль обтекаемой поверхности выбирается в зависимости от длины выемки L и меняется в расчетах от 151 до 421 за счет увеличения их числа внутри выемки. Задняя граница расчетной области при этом сдвигается ниже по потоку, не меняя значений своих координат в вертикальном направлении (см. рис. 1). Расчеты проводятся с постоянным шагом At = 8AyU~l.

Для проверки методики проводилось тестовое моделирование обтекания каверны при числе М набегающего потока 1.5 и отношении L/H =4 на трех сетках с вдвое меньшим и в полтора раза большим по отношению к стандартному количеством узлов вдоль ее дна. Результаты представлены на рис. 3 в виде зависимости относительного давления р' = р/ру от безразмерного времени t' — If/г /Н (а) и спектра его пульсаций spl вблизи передней угловой кромки в зависимости от числа Струхаля Sh = //./I/г (б), где /— частота колебаний. Полученные в расчетах изменения давления достаточно хорошо совпадают как по амплитуде, так и по периоду колебаний. Частоты основных мод отличаются незначительно. Здесь надо отметить, что при выбранных параметрах задачи нестационарность течения проявляется сильнее, чем в прочих рассмотренных случаях.

-----------------------------------------1---------------г-------- 10'4 -!------------------------

О 100 I' 0 2 4

Рис. 3. Сравнение решения на разных сетках:

1 — вдоль дна выемки располагается 41 узел; 2 — 81; 3 — 121

В качестве другого теста рассматривалось обтекание каверны при значении Мот = 2 и отношении Ь/Н — 5. Число 8Ь основной моды колебаний составило 1.27. Экспериментальные данные [22], полученные для числа М набегающего потока 2 и отношения длины каверны к ее глубине 5.1, соответствуют числу 8Ь= 1.24. Приведенная там же оценка частоты по модифицированной для случая сверхзвукового обтекания формуле Росситера дает = 1.266.

КОЛЕБАНИЯ ПОТОКА ГАЗА В КАВЕРНЕ

Проведенные расчеты показали, что при сверхзвуковом обтекании прямоугольной выемки возможно возбуждение в ней сильных акустических пульсаций потока. Данные режимы локализуются в области относительно невысоких значений сверхзвуковых чисел М и отношений длины выемки к ее глубине Г = Ь/Н. Пример такого течения для случая Мда =1.5, Ь = 3Н представлен на рис. 4, а в виде распределений относительного давления р' вдоль твердой поверхности для четырех значений времени, приходящихся на один период колебания. За нулевое значение коор-

Рис. 4. Распределение давления и линии тока при двух режимах обтекания открытой каверны: а, в — пульсационный; б, г — квазистационарный

динаты s’ = s/H принято положение передней угловой кромки (точка /' на рис. 1). Противоположная ей задняя угловая кромка, отмеченная на рис. 1 как Q, имеет значение s' = 5. Дно выемки, соответственно, ограничено значениями s' от 2 до 4.

Механизм звуковых колебаний газа в открытой каверне, когда в ней поочередно прокатываются волны сжатия и разрежения, описан в [15]. Цифрой 1 на рис. 4, а отмечено распределение давления, когда зона повышенного давления, сформировавшаяся у задней стенки выемки, начинает перемещаться в сторону передней, находящейся в зоне разрежения. В следующий момент времени 2 волна разрежения сдвигается вверх по потоку, около передней стенки давление повышается, а у задней снижается. Еще два момента времени — этап сжатия, при котором область высоких значений давления сдвигается к задней стенке.

Приведенные графики отражают довольно сложный процесс резонансных колебаний, включающий многочисленные отражения и нелинейные эффекты. На этапе сжатия наблюдается сильное снижение давления на пластине ниже задней угловой кромки каверны за счет интенсивного разворота потока около нее. В то же время, возникает зона повышенного давления перед выемкой. Скорости течения внутри выемки дозвуковые. Максимальные их значения наблюдаются у задней стенки. Именно ускорение потока вдоль нее приводит к местному ямообразному распределению давления на этапе сжатия. Колебания потока газа в каверне генерируют акустические волны, сносимые вниз по потоку.

Совсем иная картина наблюдается, если та же выемка обтекается потоком при более высоких значениях числа Мда. На рис. 4, б представлены распределения вдоль обтекаемой поверхности относительного давления р'\ 1 — при = 2; 2 — при = 3; 3 — при = 4. Налицо их полное подобие. Давление вдоль поверхности меняется незначительно. Имеются лишь зоны его понижения около заднего донного угла (точка P на рис. 1) и сильный скачок на угловой кромке. Донное разрежение за ней гораздо более слабое. Течение имеет квазистационарный характер.

Проведенные расчеты показали, что характер течения после его установления не зависит от заданного начального поля. В данном случае при Мда = 2 в качестве начального приближения использовались как невозмущенный поток с нулевыми значениями скорости в выемке, так и пересчитанные соответствующим образом результаты расчета для Мю =1.5. Возникающие на начальном этапе вычислений осцилляции параметров потока постепенно снижаются до установления крайне небольших по амплитуде значений.

О характере течения можно судить также по картине линий тока в выемке и вокруг нее. На

рис. 4, в представлено поле изолиний функции тока i|/= Jpwt/i’ — pvclx. полученное при М.Л =1.5.

Сплошными линиями 1 и пунктирными 2 отмечены результаты в моменты времени, различающиеся между собой на половину периода основного колебания: 1 — окончание этапа разрежения; 2 — сжатия. Внутреннее течение интенсивно взаимодействует с внешним. Отсюда происходит основной механизм резонансных колебаний: реакция задней стенки выемки и разгон возвратного течения внешним потоком. Период таких колебаний в основном определяется размерами выемки и числом Мш.

ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ЗОН

Возникающие при обтекании выемок пульсации потока усиливаются лишь в случае согласованной реакции внешнего и внутреннего течений. Изменение размеров выемки или числа Мх способны вызвать угасание пульсаций и установление квазистационарного режима ее обтекания. На рис. 4, г представлено поле линий \|/ = const, полученное при том же отношении длины выемки к ее глубине /' = 3, но при Мщ = 2. В данном случае заметных колебаний потока нет. Зато они

снова появляются при Г = 4 и 5.

Пример затухания осцилляций потока газа в каверне представлен на рис. 5 в виде графика изменения по времени р' у ее передней кромки при Мх =2.3 и /' = 1. Увеличение числа М на 0.1 приводит к рассогласованию реакции внутренних волн и внешнего течения. Частота колебаний при этом постоянна, а их амплитуда практически обращается в ноль. Полученный результат не зависит от начальных данных и величины шага расчета по времени.

О 100 200

Рис. 5. Изменение по времени относительного давления

10 Т 20

Рис. 6. Диапазон изменения относительного давления у задней кромки

выемки:

7— М,, =1.5; 2 — 2; 3 — 3;4 — 4

Рис. 7. Поле линий равных значений амплитуды колебания давления у задней кромки

каверны

О характере обтекания выемки можно судить по изменениям верхней и нижней границ амплитуды колебаний давления р' у ее задней кромки. Полученные результаты для различных Мх в зависимости от Г представлены на рис. 6. Наиболее сильные по амплитуде колебания наблюдаются в случае М., =1.5. С ростом числа Мх они снижаются, а при М., > 3 совсем пропадают. Однако даже при =1.5 пульсационный режим течения ограничивается лишь значениями Г < 7. При дальнейшем увеличении Г реализуется режим квазистационарного обтекания выемки.

Окрестность значения числа М.у = 2, при котором было зафиксировано локальное устранение колебания потока, исследовалась более детально. На рис. 7 представлено поле относительной амплитуды давления в окрестности задней угловой точки в координатах Мот и /'. Из методических соображений здесь использовался помимо основного метод Рунге — Кутта четвертого порядка по времени. Было обнаружено, что колебания давления для Г = 2 и 3 устраняются уже при

Му =1.9, в то время как при Г = 1 они присутствуют вплоть до М, =2.3. В то же время максимум амплитуды имеет место при =1.8 и Г - 3. 4. Все это говорит о сложном характере течения внутри выемки.

Полученная в расчетах частота главной моды колебаний представлена на рис. 8 в виде зависимостей значения числа Струхаля от отношения длины выемки к ее глубине. Черные маркеры соответствуют пульсационному характеру течения, белые — частотам затухающих осцилляций при установлении квазиста-ционарного режима. Условно весь диапазон изменения Г можно разделить на три области. Рис. 8. Частота колебаний потока в выемке. Первая имеет место при Г = 1 и характеризу-

1— мх. =1Д 2 — 2 ется относительно высокими значениями 8Ь.

Течение напоминает просто круговое вращение цилиндра вокруг своей оси. Спектры пульсаций давления чистые за счет отсутствия вторичных отражений акустических волн от стенок выемки. Далее с ростом значения Г наступает второй режим с практически постоянным и относительно невысоким значением числа 8Ь. Затем с дальнейшим ростом /' число Струхаля главной моды колебаний увеличивается практически линейно до тех пор, пока не наступает квазистационарный режим обтекания выемки. На этом этапе в спектрах пульсаций присутствуют шумы, вызванные отражениями от стенок и возникающими вторичными вихрями.

Распространение возмущений внутри выемки происходит со звуковой скоростью. Внешнее течение — сверхзвуковое. Развитие или затухание резонансных осцилляций определяется возможностью согласования реакции стенок выемки и разгона потока внешним течением. В значительной степени за это ответственна геометрия каверны, позволяющая сформировать необходимые траектории движения частиц газа. Частота колебаний газа в выемке определяется исходя из этих условий. Если же распространение возмущений в выемке происходит быстрее или медленнее, чем это необходимо, пульсации потока угасают. Для большинства из рассмотренных значений Г реализуется режим обтекания выемки с очень невысокой амплитудой пульсаций потока.

ЗАМЫКАНИЕ КАВЕРНЫ

Резкое повышение давления у правой границы значений Г на рис. 6 говорит о произошедшей перестройке структуры течения. Замыкание каверны в рассмотренных условиях ее обтекания происходит для Мх =1.5 при значении /' = 19, для Му = 2 при Г = 17, а для Мда = 3 и 4 при /' = 16. Полученная критическая длина каверны для Мда=3 несколько превосходит данные из [2]. Однако надо учитывать, что условия расчета отличаются от экспериментальных, где имелся относительно толстый пограничный слой перед выемкой.

Перестройка структуры течения в каверне при ее замыкании представляет собой разделение единой возвратно-циркуляционной зоны на две, локализованные у ее передней и задней стенок. Изменение структуры течения в выемке при Мх =4, /' = 15 и 16 представлены в виде полей равных значений функции тока на рис. 9, а и б соответственно. Распределение относительного давления р' вдоль координаты х' приведено на рис. 9, в. Изначально в каверне существует единая

Рис. 9. Структура течения (а, б) и распределение давления (в) в каверне до и

после ее замыкания:

7 — /' = 15; 2—16

Рис. 10. Давление в характерных точках каверны в процессе ее замыкания: 1 — левая угловая кромка; 2 — центр дна; 3 — правая угловая кромка

циркуляционная зона. Давление вдоль поверхности меняется плавно. Сравнительно небольшое удлинение каверны приводит к распаду единой области отрыва на две независимых и присоединению потока к дну выемки в районе центра. Задача обтекания каверны распадается на две: ступеньку и уступ. В таблице, приведенной ниже, представлены полученные значения относительного давления в нижних угловых точках передней и задней стенок выемки. Там же приведены экспериментальные уровни давления при соответствующих числах Мда из [35].

м„ Ступенька Уступ

расчет эксперимент расчет эксперимент

1.5 0.446 0.4—0.5 1.56 1.4—1.75

2 0.325 0.3—0.4 1.88 1.72 — 2.1

3 0.244 0.125 — 0.22 2.45 2.3 — 2.8

4 0.14 0.08—0.2 3—3.2 2.9—3.5

Данные расчетов хорошо вписываются в экспериментальные диапазоны, однако здесь надо учитывать, что параметры на дне выемки несколько отличаются от своих значений в набегающем потоке.

Процесс закрытия каверны показан на рис. 10, где представлены графики изменения по времени давления в трех характерных точках выемки для Му =4 и /' = 17. Возникающие в начале расчета пульсации в центре каверны и у задней угловой точки быстро гаснут. Давление у левой кромки монотонно снижается до уровня, соответствующего донной области. Напротив, давление у правой кромки повышается скачком в момент времени, соответствующий закрытию каверны. Пульсации давления отражают колебательные процессы в отрывных зонах, связанные с отрывом и присоединением потока.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные расчеты показали, что режим обтекания выемки с высокими амплитудами колебаний параметров потока возникает при относительно невысоких сверхзвуковых значениях числа Маха и отношениях ее длины к глубине, меньших 7. Увеличение длины каверны, равно как и рост значения числа Мж, приводит к резкому снижению амплитуды пульсаций. Дальнейшее

удлинение выемки ведет к перестройке в ней структуры потока с разделением единой отрывной области на две независимые зоны циркуляционного течения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 08-01-00354).

ЛИТЕРАТУРА

1. Karamcheti K. Acoustic radiation from two-dimensional rectangular cutouts in aerodynamic surfaces // NACA techn. Note 3487. 1955, p. 1 — 33.

2. Charwat A. F., Ross J. N., Dewey F. G., Hitz J. A. An investigation of separated flows. Part I. The pressure fields // J. Aerospace Sci. 1961. V. 28, N 6, p. 457—470.

3. Rossiter J. E. Wing-tunnel experiments on the flow over rectangular cavities at subsonic and transonic speeds // Aeronaut. research concil. Reports and mem. N 3438. 1964, p 1 — 46.

4. Tam C. K. W, Block P. J. W. On the tones and pressure oscillations induced by flow over rectangular cavities // J. Fluid Mech. 1978. V. 89. P. 2, p. 373—399.

5. Gharib M., Roshko A. The effect of flow oscillations on cavity drag // J. Fluid Mech. 1987. V. 177, p. 501 — 530.

6. Zhang X. Compressible cavity flow oscillation due to shear layer instabilities and pressure feedback // AIAA J. 1995. V. 33, N 8, p. 1404—1411.

7. Heller H., D e l f s J. Cavity pressure oscillations: the generation mechanism visualized //

J. Sound and Vibration. 1996. V. 196, p. 248 —252.

8. Zhang X., Rona A., Edwards J. A. Observation of pressure waves around a shallow cavity // J. Sound and Vibration. 1998. V. 21, N 4, p. 771 —778.

9. Kergerise M. A., Spina E. F., Gard S., Cattafesta L. N. Mode-switching and nonlinear effects in compressible flow over a cavity // Physic of Fluids. 2004. V. 16, N 3, p. 678—687.

10. Хэнки В. Л., Шенг Дж. С. Расчет пульсаций давления в открытой полости //

Ракетн. техника и космонавтика. 1980. Т. 18, № 8, с. 38 —46.

11. Ризетта Д. П. Численный расчет сверхзвукового обтекания трехмерной выемки // Аэрокосмич. техника. 1989. № 7, с. 55—64.

12. Henkey W. L., Shang J. S. Analyses of pressure oscillations in an open cavity //

AIAA J. 1980. V. 18, N 8, p. 892—898.

13. Tam C.-J., Orkwis P. D., Disimile P. J. Comparison of Baldwin-Lomax turbulence models for two-dimensional open cavity computation // AIAA J. 1995. V. 34, N 3, p. 629—631.

14. Sinha S. N., Gupta A. K., Oberai M. M. Laminar separating flow over back-steps and cavities // AIAA J. 1982. V. 20, N 3, p. 370—375.

15. Заугольников Н. Л., Коваль М. А., Швец А. И. Пульсации потока газа в кавернах при сверхзвуковом обтекании // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. № 2, с. 121 —127.

16. Larcheveque L., Sagaut P., Le T.-H., Comte P. Large-eddy simulation of compressible in a three dimensional open cavity at high Reynolds number // J. Fluid Mech. 2004.

V. 516, p. 265—301.

17. G l o e r f e 11 X., B a i 11 y C., J u v e D. Direct computation of the noise radiated by a subsonic cavity flow and application of integral methods // J. of Sound and Vibration. 2003.

V. 266, p. 119—146.

18. G l o e r f e 11 X., Bogey C., B a i 11 y C. Numerical evidence of mode switching in the flow induced oscillations by a cavity // Intern. J. of Aeroacoustics. 2003. V. 2, N 2, p. 99—124.

19. Sarohia V., Massier P. F. Control of cavity noise // J. of Aircraft. 1977. V. 14,

N 9, p. 833—837.

20. S a r n o R. L., F r a n k e M. E. Suppression of flow-induced pressure oscillations in cavities // J. of Aircraft. 1994. V. 31, N 1, p. 90—96.

21. Vakili A. D., Ganthier C. Control of cavity flow by upstream mass-injection//

J. of Aircraft. 1994. V. 31, N 1, p. 169—174.

22. Zhuang N., Alvi F. S., Shih C., Sahoo D., Annaswamy A. M. Aero-acoustic properties of supersonic cavity flows and their control // AIAA Paper 2003-3101, 9 p.

23. Cattafesta L.N., Gard S., Shukla D. The development of piezoelectric actuator active flow control // AIAA J. 2001. V. 39, N 8, p. 1562—1568.

24. Kook H., Mongean L., Franchek M. A. Active control of pressure fluctuations due to flow over heimholtz resonators // J. of Sound and Vibration. 2002. V. 255, N 1, p. 61 — 76.

25. Zhang X., Chen X. X., Rona A., Edwards J. A. Attenuation of cavity flow oscillation through leading edge flow control // J. of Sound and Vibration. 1999. V. 221, N 1, p. 23 —47.

26. Савельев А. Д. О влиянии задней кромки каверны на интенсивность пульсаций потока // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 3, с. 79—89.

27. Чжен П. Отрывные течения. — М.: Мир, 1972. Т. 2. 1973, 280 с.

28. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1987, 840 с.

29. Menter F. R. Zonal two equation fc-ю turbulence models for aerodynamic flows // AIAA Paper 93-2906. 1993, 21 p.

30. Савельев А. Д. Практическое сравнение двух турбулентных моделей // Мате-мат. моделир. 2009. Т. 21, № 9, с. 108—120.

31. Савельев А. Д. Составные компактные схемы высокого порядка для моделирования течений вязкого газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, № 8, c. 1389— 1403.

32. С а в е л ь е в А. Д. О структуре внутренней диссипации составных компактных схем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49, № 12, c. 2232 —2246.

33. С а в е л ь е в А. Д. Неявный метод расчета турбулентных течений вязкого сжимаемого газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, № 3, с. 520—531.

34. Nakamura S. Marching grid generation using parabolic partial differential equations / Numerical grid generation, ed. J. F. Thomson. — Elsevier science publishing co. Inc. 1982, p. 775—786.

35. Гогиш Л. В., Степанов Г. Ю. Турбулентные отрывные течения. — М.: Наука, 1979, 368 с.

Рукопись поступила 7/IV 2010 г.