Способ организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-логарифмическом формате представления с плавающей точкой на гибридных многоядерных процессорах
METHOD OF ORGANIZING IMPLEMENTATION OF MULTIPLICATION OF TWO NUMBERS IN MODULAR LOGARITHMIC FORMAT OF REPRESENTATION WITH FLOATING POINT ON HYBRID MULTI-NUCLEAR PROCESSORS

Изобретение относится к вычислительной технике и предназначено для выполнения операции умножения чисел, представленных в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой на гибридных многоядерных процессорах.
Известен способ организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-позиционном формате представления с плавающей точкой на универсальных многоядерных процессорах (A.C. RU №2509345, БИ №7, 10.03.2014), в котором операция умножения t-разрядных позиционных мантисс сомножителей заменяется n параллельно выполняемыми операциями умножения q-разрядных знакопозиций чисел в системе счисления в остаточных классах. Недостаток данного способа состоит в том, что не определено, каким образом выявляются ситуации переполнения диапазона представления модулярных мантисс при выполнении операции умножения и выполняется процедура масштабирования мантисс, таким образом, способ (A.C. RU №2509345, БИ №7, 10.03.2014) может быть использован для выполнения операции умножения не для всех операндов из заявленного диапазона представления.
Наиболее близким к заявленному способу является способ организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-позиционном формате (Исупов К.С., Мальцев А.Н. Способ представления чисел с плавающей точкой большой разрядности, ориентированный на параллельную обработку //Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2014. Т. 15, №4. С. 631-643), в котором масштабирование мантиссы осуществляется методом, использующим таблицы поправочных коэффициентов с применением интервально-позиционных характеристик. Недостаток данного способа состоит в том, что необходимо хранить таблицы поправочных коэффициентов большого размера, а также использовать вычислительные устройства с плавающей точкой для вычисления интервальной позиционной характеристики.
Техническим результатом применения способа организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-логарифмическом формате представления с плавающей точкой на гибридных многоядерных процессорах является оптимизация выполнения операции умножения в  раз, где q - разрядность знакопозиций чисел в системе счисления в остаточных классах, за счет использования только целочисленных операций при умножении, проверке выхода за границы диапазона, масштабировании модулярных мантисс степенью двойки, при этом не требуется использования операций с плавающей точкой и подстановочных таблиц. Минимальное время выполнения операции умножения предложенным способом равно минимальному времени выполнения операции умножения способом (A.C. RU №2509345, БИ №7, 10.03.2014), при этом способ может быть применен для умножения любых операндов из заявленного диапазона представления, в чем заключается универсальность предлагаемого способа.
Описание способа организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-логарифмическом формате представления с плавающей точкой на гибридных многоядерных процессорах: реализация способа осуществляется посредством подачи набора электрических, нейронных либо других сигналов на устройства управления каждого вычислительного ядра многоядерного гибридного процессора, которые, в соответствии с данными сигналами, формируют управляющие команды для операционных устройств соответствующих вычислительных ядер.
В позиционных двоичных форматах с плавающей точкой стандарта IEEE-754 любое вещественное число представляется трехэлементным набором:
min
m
a
x
ν-1
ν-1
где М - рациональная мантисса, е - порядок числа, e=2-2 и e=2-1, S-знак числа.
S
е
ν-1
2
1
t
2
1
1
t
t
t-1
2
1
1
ν
ν
ν-1…
2
1
m
a
x
Величина чисел, записанных в таком формате, выражается формулой -1⋅М⋅2. Машинными представлениями чисел вида (1) являются (ν+t+1)-разрядные двоичные векторы (Sr…rrd…dd), где разряды с d по d отводятся под представление рациональных двоичных мантисс М=dd…dd, разряды с r по r отводятся под представление целочисленных двоичных порядков е, записанных в форме с избытком Е=rrrr=е+e, разряд S выражает знак числа.
t
t-1
2
1
1-t
Определим целочисленную мантиссу М'=dd…dd как t-разрядное неотрицательное целое двоичное число, такое, что М=М'⋅2. Определим перемещенный порядок λ как целое двоичное число со знаком, такое, что λ=е-t+1, где е - ν-разрядный порядок числа, представленного в двоичном формате (1).
1
2
n
1
2
1
2
Зададим n целочисленных положительных q-разрядных оснований системы остаточных классов p,р, …, p, таких, что ∀i, i∈{1, 2, …, n), i≠i: , q≤k, где  - наибольший общий делитель для  и , k - размер разрядной сетки процессора.
t
t-1
2
1
1
2
n
Целочисленную мантиссу М'=dd…dd преобразуем в систему остаточных классов с заданными основаниями р, p, …, p, получая тем самым модулярную мантиссу :
,
i
i
1
2
n
i
где m∈[0, р-1], i=1, 2, …, n - q-разрядные цифры (модулярные разряды) модулярной мантиссы , q - разрядность оснований p, p, …, p,  - операция получения остатка от деления М' на i-ое основание p.
Определим ранг модулярной мантиссы как значение R, такое, что выполняется условие:
,
i
где  - мультипликативная инверсия Р по модулю рi∈[1, n], n - количество модулей.
R∈[0,n-1] и вычисляется по формуле:
,
где  - наибольшее целое, не превышающее
q-1
q
i
1
2
n
i
При условии, что 2<p<2, где q - разрядность оснований р, р, …, р, величина  может быть вычислена по формуле , где w - s-разрядные весовые коэффициенты. Тогда величина ранга может быть вычислена по формуле:
.
Определим верхнюю и нижнюю границы величины ранга модулярного числа как
, ,
q-1
q
i
i
где , , при условии, что 2<р<2,  - наибольшее целое, не превышающее , s - разрядность коэффициентов w.
Согласно теоретико-числовой теореме Эйлера мультипликативную инверсию , соответствующую сравнению , можно вычислить следующим образом
,
i
i
i
где ϕ(p) - функция Эйлера, равная количеству целых чисел в диапазоне [1, р], взаимно простых с р.
i
i
1
2
3
Пример. Вычислим значения мультипликативных инверсий P по модулям р для системы с основаниями: р=11, р=13, р=15:
; ϕ(11)=10; ;
; ϕ(13)=12; ;
; ϕ(15)=12;
Определим логарифмическую характеристику числа как значение двоичного логарифма от этого числа. Тогда логарифмическая характеристика модуля числа, представленного в формате [М, е, S], вычисляется следующим образом:
2
2
2
1-t
е
log(М'⋅2⋅2)=log(М')+е-t+1=log(М')+λ.
min
m
а
х
min
m
а
х
Определим интервальную логарифмическую характеристику мантиссы числа как целочисленный интервал [L, L], нижняя и верхняя границы L, L которого представлены r-разрядными двоичными числами без знака и вычисляются следующим образом:
min
2
r-h-1
L=[log(М')⋅2],
m
а
х
min
L=L+1
2
2
r-h-1
r-h-1
где ,  - наибольшее целое, не превышающее , [log(М')⋅2] - наибольшее целое, не превышающее log(М')⋅2.
min
m
а
х
Диапазон представления нижней и верхней границ L, L интервальной логарифмической характеристики:
; ,
где  - значение нижней границы интервальной логарифмической характеристики диапазона представления модулярных мантисс ,  - наибольшее целое, не превышающее .
Таким образом, число с плавающей точкой вида (1) можно преобразовать к следующему модулярно-логарифмическому формату:
1
2
n
min
m
a
x
где 〈m, m, …, m〉 - набор знакопозиций (модулярных разрядов) модулярной мантиссы , λ- позиционный перемещенный порядок, представляющий собой целое двоичное число со знаком, L, L - границы интервальной логарифмической характеристики мантиссы числа, представляющие собой целые двоичные числа без знака, σ - знак числа, причем если σ=-1, то число отрицательное, σ=1 - положительное, σ=0 - машинный ноль.
1
2
n
t
t-1
2
1
1
2
n
1
2
n
Диапазон допустимых значений модулярных мантисс  в системе остаточных классов с основаниями p, p, … , р определяется интервалом ; таким образом, t-разрядная позиционная мантисса М=dd…dd может быть представлена в системе остаточных классов набором из n взаимно независимых q-разрядных знакопозиций 〈m, m, …, m〉, причем q≈t/n (при условии, что все основания р, p, …, p q-разрядные).
m
a
x
6
1
2
n
min
m
a
x
1
2
3
4-1
Примеры преобразования позиционных чисел с плавающей точкой в модулярно-логарифмический формат: пусть числа представлены в 10-разрядном двоичном формате вида (1), в котором под смещенный порядок Е, отводится четыре бита (максимальный порядок е=2-1=7, соответственно е=Е-7), под дробную часть мантиссы - пять бит (т.е. t=6, причем целая часть d рациональной мантиссы М в явном виде не записана) и под знак числа - один бит.Пусть для представления модулярных мантисс в модулярно-логарифмическом формате [〈m, m, …, m〉, λ, L, L, σ] используется три основания: р=11, р=13, р=15. Диапазон представления чисел Р=11⋅13⋅15=2145. Разрядность оснований q=4, разрядность интервальной логарифмической характеристики r=5.
10
1
2
n
min
m
a
x
0
1
Пример 1: необходимо перевести число X=3.3125=[1.65625, 1, 0]=-1⋅1.65625⋅2, представленное в двоичном формате [М, е, S], в модулярно-логарифмический формат [〈m, m, …, m〉, L, L, λ, σ].
С учетом принятых характеристик двоичного формата [М, е, S], число X будет записано в памяти ЭВМ в виде двоичного вектора 〈0100010101〉. Для его преобразования в модулярно-логарифмический формат (2) необходимо выполнить следующие действия:
5
2
1
2
2
1. Выделить составные части числа X: знак числа S=0, дробная часть рациональной мантиссы d…dd=10101, смещенный (избыточный) порядок Е=1000=8.
6
6
5
2
1
6
2
2. Восстановить целую часть d мантиссы М=dd…dd:d=1, т.к. Е>0, следовательно, М=1.10101.
m
a
x
3. Определить порядок е: е=Е-е=8-7=1, т.к. Е>0.
6
5
2
1
2
4. Определить знак σ, перемещенный позиционный порядок λ и целочисленную мантиссу М': σ=1, λ=е-t+1=1-6+1=-4, М'=dd…dd=110101=53.
5. Найти модулярную мантиссу : .
min
mах
min
2
m
a
x
5-3-1
6. Вычислить интервально-логарифмическую характеристику мантиссы L, L: L=[log(53)⋅2]=11, L=11+1=12.
В результате получается число X, представленное в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой: X=[〈9, 1, 8〉, 11, 12, -4, 1].
10
1
2
n
min
m
a
x
1
-5
Пример 2: необходимо перевести число X=0.02783203125=[1.78125, -5, 1]=-1⋅1.78125⋅2 из двоичного формата [М, е, S] в модулярно-логарифмический формат [〈m, m, …, m〉, L, L, λ, σ].
С учетом принятых характеристик двоичного формата [М, е, S], число X будет записано в памяти ЭВМ в виде двоичного вектора 〈1000111001〉. Для его преобразования в модулярно-логарифмический формат (2) необходимо выполнить следующие действия:
5
2
1
2
2
1. Выделить составные части числа X: знак числа S=1, дробная часть d…dd=11000, смещенный порядок Е=0001=1.
6
6
5
2
1
6
2
2. Восстановить целую часть d мантиссы М=dd…dd:d=1, т.к. Е>0, следовательно, М=1.11001.
min
3. Определить порядок е. е=е=1-7=-6, т.к. Е=0.
6
5
2
1
2
4. Определить знак σ, перемещенный порядок λ и целочисленную мантиссу М': σ=-1, λ=e-t+l=-6-6+1=-11, М'=dd…dd=111001=57.
5. Найти модулярную мантиссу :
min
m
a
x
min
2
m
a
x
5-3-1
6. Вычислить интервально-логарифмическую характеристику мантиссы L, L: L=log(57)⋅2]=11, L=11+1=12.
В результате получается число X, представленное в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой: X=[〈2, 5, 12〉, 11, 12, -11, -1].
Алгоритм 1. Вычисление ранга числа, представленного в модулярно-логарифмическом формате.
Пусть  - число, представленное в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой, где  - модулярная мантисса числа А. Для того чтобы найти ранг R модулярной мантиссы , необходимо:
min
i
i
2
q-1
q
1. Вычислить значение минимальной величины ранга R модулярной мантиссы : , где , , мультипликативная инверсия Р по модулю р, ,  - наибольшее целое, не превышающее , - наибольшее целое, не превышающее , s - разрядность , при условии, что 2<рi<2, s>1+logn.
m
a
x
i
i
2
q-1
q
2. Вычислить значение максимальной величины ранга R модулярной мантиссы :  где ,  - мультипликативная инверсия Р по модулю р, ,  - наибольшее целое, не превышающее ,  - наибольшее целое, не превышающее , s - разрядность , при условии, что 2<рi<2, s>1+logn.
min
m
a
x
min
m
a
x
min
Р/2
Р
r-h-1
3. Если R=R, то R=R, иначе выполнить сравнение: если , то есть значение мантиссы меньше половины максимально возможного значения, то R=R, если , то есть значение мантиссы больше или равно половине максимально возможного значения, то R=R, где L=L-2, , , r - разрядность интервальной логарифмической характеристики числа .
1
2
3
1
2
3
i
Пример: необходимо вычислить ранги чисел A=53 и B=57. Используется три основания: р=11, р=13, р=15. Р=р⋅р⋅р=2145 - произведение оснований (верхний предел допустимого диапазона представления модулярных мантисс). , , , , , . Разрядность оснований q=4. Разрядность коэффициентов w:s=5.
1
2
3
Значения верхних и нижних границ ,  коэффициентов для значений модулей р=11, р=13, р=15 равны соответственно , , , , , .
1
2
3
Значения мультипликативных инверсий  для модулей р=11, р=13, р=15 равны соответственно , , .
Вычислим значение ранга первого числа.
min
1. Вычислим значение минимальной величины ранга R модулярной мантиссы:
m
a
x
2. Вычислим значение максимальной величины ранга R модулярной мантиссы:
min
m
a
x
min
A
3. Так как R=R, то R=R=1. Вычислим значение ранга второго числа.
Вычислим значение ранга второго числа.
min
1. Вычислим значение минимальной величины ранга R модулярной мантиссы:
m
a
x
2. Вычислим значение максимальной величины ранга R модулярной мантиссы:
min
m
a
x
min
B
3. Так как R=R, то R=R=1.
x
Алгоритм 2. Деление модулярной мантиссы числа, представленного в модулярно-логарифмическом формате, на число 2 (масштабирование степенью двойки).
x
Пусть  - число, представленное в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой, где  - модулярная мантисса числа А. Для того чтобы найти результат деления модулярного числа  на позиционное число 2, необходимо:
q-1
1. Вычислить α. Если x>q-1, то вычислить значение , где  - наименьшее целое, не превышающее , α=|х|; если x≤q-1, то α=х.
2. Вычислить значение ранга R для модулярного числа в соответствии с алгоритмом 1.
n+1
q-1
3. Вычислить остаток от деления модулярного числа на р=2:
i
i
где , ,  - мультипликативная инверсия Р по модулю р.
Если 0<α<q-1, то , если α=0, то уменьшить j на 1.
α
4. Вычислить значение , для чего вычесть из каждого значения знакопозиций модулярного числа  значение остатка от деления  на 2
.
α
5. Вычислить значение , для чего умножить каждое значение знакопозиций модулярного числа  на мультипликативные инверсии 2 по соответствующим модулям.
,
α
i
где  - мультипликативная инверсия числа 2 по модулю р - результат сравнения .
6. Если , то прибавить к  величину .
7. Шаги 2-6 выполнить j раз для α=q-1.
1
1
2
3
1
2
3
Пример. Необходимо разделить числа А=53 и В=57 на число 2. Используется три основания: р=11, р=13, р=15. Р=р⋅р⋅р=2145 - произведение оснований (верхний предел допустимого диапазона представления модулярных мантисс), , . Разрядность оснований q=4.
1
2
3
Значения мультипликативных инверсий  для модулей р=11, р=13, р=15 равны соответственно , , .
1
2
3
Значения мультипликативных инверсий  по модулям р=11, р=13, р=15 и для значений α=1, 2, 3 равны соответственно ; ; ; ; ; ; ; .
α
1
2
3
Значения остатков от деления  и  на 2 для значений модулей р=11, р=13, р=15 и для значений α=1, 2, 3 равны соответственно
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; ;
Вычисляем значение .
1. α=x=1, так как x=1<q=4-1.
A
2. Вычисляем ранг числа A=53 соответствии с алгоритмом 1. R=1.
4-1
3. Вычисляем остаток от деления модулярного числа на 2=8:
.
4
1
Вычисляем остаток от деления модулярного числа на р=2.
4. Вычитаем из модулярного числа  модулярное значение остатка от деления на 2 :
5. Умножаем на мультипликативные инверсии двойки по соответствующим модулям:
6. Прибавляем квеличину 1=(1, 1, 1), так как :
Вычисляем значение
1. α=х=1, так как х=1<q=4-1.
B
2. Вычисляем ранг числа В=57 соответствии с алгоритмом 1. R=1.
4-1
3. Вычисляем остаток от деления модулярного числа на 2=8:
4
1
Вычисляем остаток от деления модулярного числа на р=2
4. Вычитаем из модулярного числа  модулярное значение остатка от деления на 2 :
5. Умножаем на мультипликативные инверсии двойки по соответствующим модулям:
.
6. Прибавляем к  величину 1=(1, 1, 1), так как :
Алгоритм 3. Выполнение операции умножения с плавающей точкой в модулярно-логарифмическом формате. Для того чтобы найти произведение  чисел  и , представленных в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой, необходимо:
С
А
В
1. Проверить результат на равенство 0. Если σ=σ⋅σ=0, что означает равенство нулю одного из операндов или обоих операндов сразу, то
.
Если оба операнда ненулевые, то перейти к следующему шагу.
С
А
В
С
А
В
2. Присвоить знак произведению σ=σ⋅σ. Определить верхнюю и нижнюю границы интервальной логарифмической характеристики результата , . Определить порядок результата λ=λ+λ.
3. Проверить выход результата за границы диапазона представления чисел. Если , то
. Если ,то. Если  и , то перейти к следующему шагу.
4. Проверить выход мантиссы результата за границы диапазона представления модулярных мантисс и выполнить умножение модулярных мантисс.
4.1. Если , то выполнить коррекцию операндов следующим образом:
1
2
4.1.1. Вычислить значения поправочных коэффициентов L и L: , , где  - наибольшее целое, не превышающее ,  - наибольшее целое, не превышающее
1
2
2
А
1
В
Если |L|≤|L| и L≥0, то z=L, z=0.
1
2
2
А
В
1
Если |L|≤|L| и L<0, то z=0, z=L.
1
2
1
2
2
Если |L|>|L|и |L+L|=1, то , .
1
2
1
2
2
Если |L|>|L|и |L+L|=0, то., .
4.1.2. Вычислить значения скорректированных мантисс и  операндов и скорректировать значение верхней и нижней границы интервальной логарифмической характеристики результата.
Если  и I, то , .
Если  и , то , , если , то .
Если и, то, , если , то .
Если и , то ,  если , то .
Если  и , то ,  если , то .
Если и , то , , если , то , иначе .
Если  и , то , , если  то  если , то .
Если  и , то , , если , то , если , то .
Если  и , то , , если , то , иначе .
C
C
1
4.1.3. Скорректировать значение порядка результата λ=λ+L.
4.1.4. Скорректировать значение верхней и нижней границы интервальной логарифмической характеристики результата если , то , иначе ;
4.2. Выполнить умножение модулярных мантисс  путем нахождения значений , где  - наибольшее целое, не превышающее
4.3. Если  и , то выполнить коррекцию результата следующим образом.
4.3.1. Вычислить значение поправочного коэффициента .
4.3.2. Вычислить значение скорректированной мантиссы  результата: .
C
C
C
4.3.3. Вычислить значение порядка результата λ=λ-z.
4.3.4. Выполнить коррекцию значений верхней и нижней границы интервальной логарифмической характеристики результата , .
4.4. Если  и , то выполнить коррекцию результата следующим образом:
4.4.1. Вычислить значение поправочного коэффициента .
4.4.2. Вычислить значение скорректированной мантиссы результата и скорректировать значение верхней и нижней границы интервальной логарифмической характеристики результата.
Если , то.
Если , то , если , то .
Если  то  если , то .
С
С
С
4.4.3. Вычислить значение порядка результата λ=λ+z.
4.4.4. Выполнить коррекцию значений верхней и нижней границы интервальной логарифмической характеристики результата ; .
В результате выполнения данных операций получается произведение  чисел  и , представленное в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой.
Пусть  - числа, представленные в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой, где  и  - модулярные мантиссы чисел А и В соответственно. Тогда способ умножения С=А⋅В чисел А и В, представленных в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой (2), на гибридном многоядерном процессоре, содержащем n q-разрядных модулярных вычислительных ядер, одно k-разрядное и два r-разрядных универсальных целочисленных ядра, два специализированных s-разрядных векторных ядра, одно специализированное q-разрядное векторное ядро, одно специализированное управляющее ядро, определяется следующим образом.
1. Множитель и множимое , представленные в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой, загружают в гибридный многоядерный процессор, содержащий n q-разрядных модулярных вычислительных ядер, одно k-разрядное и два r-разрядных универсальных целочисленных ядра, два специализированных s-разрядных векторных ядра, одно специализированное q-разрядное векторное ядро, одно специализированное управляющее ядро, следующим образом:
1
1
1
- в первое модулярное ядро гибридного многоядерного процессора загружают разрядные двоичные представления первых знакопозиций  и  модулярных мантисс  и  чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов р и значение мультипликативной инверсии Р по модулю р;
2
2
2
- параллельно с этим во второе модулярное ядро гибридного многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления вторых знакопозиций  и  модулярных мантисс  и  чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов р и значение мультипликативной инверсии Р по модулю р;
- и т.д.;
n
n
n
- параллельно с этим в n-ое модулярное ядро гибридного многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления n-ых знакопозиций  и  модулярных мантисс  и  чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов р и значение мультипликативной инверсии Р по модулю р;
А
В
А
В
- параллельно с этим в первое универсальное вычислительное ядро загружают k-разрядные двоичные порядки λ и λ, а также знаки σ и σ чисел А и В соответственно;
- параллельно с этим во второе универсальное вычислительное ядро загружают r-разрядные значения нижних границ интервальных логарифмических характеристик  и  чисел А и В соответственно;
р
- параллельно с этим в третье универсальное вычислительное ядро загружают r-разрядные значения верхних границ интервальных логарифмических характеристик  и  чисел А я В соответственно, а также r-разрядное значение нижней границы интервальной логарифмической характеристики диапазона представления модулярных мантисс L;
- параллельно с этим в первое векторное вычислительное ядро загружают вектор s-разрядных констант коэффициентов ;
- параллельно с этим во второе векторное вычислительное ядро загружают вектор s-разрядных констант коэффициентов ;
- параллельно с этим в третье векторное вычислительное ядро загружают вектор разрядных констант остатков от деления ;
А
В
р
- параллельно с этим в управляющее ядро загружают k-разрядные двоичные порядки λ и λ, r-разрядные значения нижних границ интервальных логарифмических характеристик  и  и r-разрядные значения верхних границ интервальных логарифмических характеристик  и  чисел А и В соответственно, а также r-разрядное значение нижней границы интервальной логарифмической характеристики диапазона представления модулярных мантисс L.
2. После того, как множитель  и множимое  представленные в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой, загружены в гибридный процессор, содержащий n q-разрядных модулярных вычислительных ядер, одно k-разрядное и два r-разрядных универсальных целочисленных ядра, два специализированных s-разрядных векторных ядра, одно специализированное q-разрядное векторное ядро, одно специализированное управляющее ядро, операция их умножения выполняется следующим образом:
1
- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядных двоичных представлений знакопозиций  и  модулярных мантисс  и  чисел А и В соответственно, путем нахождения значения , где  - наибольшее целое, не превышающее ; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
2
-параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядных двоичных представлений знакопозиций  и  модулярных мантисс  и  чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
- и т.д.
n
- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядных двоичных представлений знакопозиций  и  модулярных мантисс  и  чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
C
А
В
А
В
С
А
В
А
В
- параллельно с этим в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется сложение λ=λ+λ двоичных порядков λ и λ, а также умножение σ=σ⋅σ знаков σ и σ чисел А и В соответственно;
- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется сложение  двоичных значений нижних границ интервальных логарифмических характеристик  и  чисел А и В соответственно;
- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется сложение  двоичных значений верхних границ интервальных логарифмических характеристик  и  чисел А и В соответственно;
А
1
В
1
2
2
А
В
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
- параллельно с этим в управляющем ядре вычисляются следующие значения поправочных коэффициентов: , , , , , z=L+1, z=0, если |L|≤|L| и L≥0, z=0, z=L+1, если |L|≤|L| и L<0, , , если |L|>|L| и |L+L|=1, , , если |L|>|L| и |L+L|=0.
3. После того, как получено промежуточное значение произведения  чисел  и , выполняется коррекция результата следующим образом:
k-1
k-1
3.1. Если знак  промежуточного результатапроизведения чисел А и Вне равен 0, и порядок  промежуточного результата  произведения чисел А и В принадлежит интервалу [2-2; 2-2], и значение  верхней границы интервальной логарифмической характеристики промежуточного результата  произведения чисел А и В меньше значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики максимально возможного значения мантиссы, то есть , , , то коррекции результата не требуется.
3.2. Если знак  промежуточного результата  произведения чисел А и В равен 0, то есть, то:
- в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  двоичного порядка  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики  промежуточного результата  произведения чисел А и В.
3.3. Если знак  промежуточного результата  произведения чисел А и В не равен 0 и значение , то есть модуль промежуточного результата  произведения чисел А и В выходит за границы минимально возможного представления, то:
- в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  двоичного порядка  и  знака  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- параллельно с этим в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  значения первой знакопозиций  промежуточного  результата произведения чисел А и В;
-параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  значения второй знакопозиций  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- и т.д.
- параллельно с этим в n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  значения n-ой знакопозиций  промежуточного результата  произведения чисел А и В.
3.4. Если знак  промежуточного результата  произведения чисел А и В не равен 0 и значение , то есть модуль промежуточного результата  произведения чисел А и В выходит за границы максимального возможного представления, то:
- в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется присвоение  двоичному порядку  промежуточного результата  произведения числе А и В;
- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- параллельно с этим в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  значения первой знакопозиции  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  значения второй знакопозиции  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- и т.д.
- параллеьно с этим в n-ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется обнуление  значения n-ой знакопозиции  промежуточного результта  произведения чисел А и В.
3.5. Знак  промежутоного результата  произведения чисел А и В не равен 0, и порядок промежуточного результата  умножения чисел А и В принадлежит интервалу , где - наибольшее целое, не превышающее , и значение  верхней границы интервальной логарифмической характеристики промежуточного результата  произведения чисел А и В меньше значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики максимально возможного значения мантиссы , то управляющее ядро передает во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значения поправочных коэффициентов: , , где  - наибольшее целое, не превышающее , после чего:
1
1
1
q-1
- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы ) промежуточного результата  произведения чисел А и В и значения  следующим образом: выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  промежуточного результата  произведения чисел А и В и значения , полученного сдвигом числа 1 на  двоичных разрядов влево, путем нахождения значения , где  - наибольшее целое, не превышающее ; затем, если , то  раз выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  промежуточного результата  произведения чисел А и В и значения 2, полученного сдвигом числа 1 на (q-1) двоичных разрядов влево, путем нахождения значения , где  - наибольшее целое, не превышающее ; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора
2
2
2
выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы промежуточного результата  произведения чисел А и В и значения следующим образом: выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р; затем, если , то  раз выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р;
- и т.д.
n
n
n
- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  промежуточного результата  произведения чисел А и В и значения  следующим образом: выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р; затем, если , то  раз выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р;
- параллельно с этим в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция  двоичного порядка  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция  двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекциядвоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики  промежуточного результата произведения чисел А и В.
3.6. Если знакпромежуточного результатапроизведения чисел А и В не равен 0, и порядок  промежуточного результата  произведения чисел А и В принадлежит интервалу , где  - наибольшее целое, не превышающее , и значение  верхней границы интервальной логарифмической характеристики промежуточного результата  произведения чисел А и В меньше значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики максимально возможного значения мантиссы , то управляющее ядро передает во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значение поправочного коэффициента , после чего:
q-1
3.6.1. Выполняется загрузка мультипликативных инверсий  и 2:
q-1
1
- в первое модулярное ядро загружают ^-разрядные двоичные значенияи , мультипликативных инверсий  и 2 по модулю р;
q-1
2
- параллельно с этим во второе модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения  и  мультипликативных инверсий  и 2 по модулю р;
- и т.д.;
q-1
n
- параллельно с этим в n-ое модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения  и  мультипликативных инверсий  и 2 по модулю р;
- параллельно с этим в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция  двоичного порядка  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- параллельно с этим в управляющем ядре вычисляется количество итераций j: j=0, если , , если , где  - наибольшее целое, не превышающее .
3.6.2. Если , то действия 3.6.3-3.6.7 выполняются один раз для , затем если количество итераций j≥1, то действия 3.6.3-3.6.7 выполняются j раз для α=q-1.
3.6.3. Вычисляются значения элементов вектора :
1
1
1
- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы промежуточного результатапроизведения чисел А и В и значения мультипликативной инверсии Р по модулю р, путем нахождения значения  где  - наибольшее целое, не превышающее ; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
2
2
2
- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  промежуточного результата  произведения чисел А и В и значения мультипликативной инверсии Р по модулю р;
- и т.д.
n
n
n
- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умноженияпо модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  промежуточного результата  произведения чисел А и В и значения мультипликативной инверсии Р по модулю р.
3.6.4. После того, как получены значения элементов вектора , данный вектор загружается в векторные ядра следующим образом:
- в первое векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов , q≤s;
- параллельно с этим во второе векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов , q≤s;
- параллельно с этим в третье векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов;
q-1
3.6.5. После того, как элементы вектора  загружены в векторные ядра, производится вычисление ранга и частичного остатка от деления на 2 модулярной мантиссы  промежуточного результата  произведения чисел А я В:
-в первом векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов  и , вычисляют значение , где  - наибольшее целое, не превышающее  значение  передается в управляющее ядро;
- параллельно с этим во втором векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов  и  вычисляют значение , где  - наибольшее целое, не превышающее , значение  передается в управляющее ядро;
- параллельно с этим в третьем векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов  и , значение  передается в управляющее ядро.
max
3.6.6. После того, как результаты скалярного произведения векторов переданы в управляющее ядро, в управляющем ядре вычисляется значение ранга , если  или , R=R, если , и значение остатка от деления модулярной мантиссы  промежуточного результата  произведения чисел А и В .
3.6.7. После того, как управляющее ядро передаст во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значения  и α, выполняется деление модулярной мантиссы промежуточного результатапроизведения чисел А и В на число 2α:
1
1
α
1
1
- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  промежуточного результата  произведения чисел А и В и значения  следующим образом: если , то , если, то; после чего выполняется операция умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы промежуточного результатапроизведения чисел А и В и значения мультипликативной инверсии 2 по модулю р путем нахождения значения , где - наибольшее целое, не превышающее ; после чего если  выполняется операция сложения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  промежуточного результата  произведения чисел А и В следующим образом: если , то  если , то; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
2
2
2
2
- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  промежуточного результатапроизведения чисел А и В и значения , после чего выполняется операция умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций и значения мультипликативной инверсии 2α по модулю р; после чего если  выполняется операция сложения  по модулю р;
- и т.д.
n
n
n
1n
α
- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  промежуточного результата  произведения чисел А и В и значения ; после чего выполняется операция умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  и значения мультипликативной инверсии 2 по модулю р; после чего если  выполняется операция сложения  по модулю р;
- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция  если , иначе  двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция , если иначе  двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
А
В
3.7. Если знак  промежуточного результата  произведения чисел А и В не равен 0, и значение  верхней границы интервальной логарифмической характеристики промежуточного результата  произведения чисел А и В больше или равно значению нижней границы интервальной логарифмической характеристики максимально возможного значения мантиссы , то управляющее ядро передает во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значение поправочных коэффициентов z, z, после чего:
q-1
3.7.1. Выполняется загрузка мультипликативных инверсий , и 2:
q-1
1
- в первое модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения ,  и  мультипликативных инверсий ,  и 2 по модулю р;
q-1
2
- параллельно с этим во второе модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения ,  и  мультипликативных инверсий ,  и 2 по модулю р;
- и т.д.;
q-1
n
- параллельно с этим в и-ое модулярное ядро загружают q-разрядные двоичные значения,имультипликативных инверсий ,  и 2 по модулю р;
- параллельно с этим в первом универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция  двоичного порядка  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
А
А
А
В
В
В
- параллельно с этим в управляющем ядре вычисляется количество итераций j=0, если z<q-1, , если z>q-1 и j=0, если z<q-1, , если z>q-1.
A
q-1
А
А
3.7.2. Если |Z|>0, то действия 3.7.3-3.7.7 выполняются один раз для  затем если количество итераций j≥1, то действия 3.7.3-3.7.7 выполняются j раз для α=q-1.
3.7.3. Вычисляются значения элементов вектора :
1
1
1
- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  числа А и значения мультипликативной инверсии Р по модулю р, путем нахождения значения , где  - наибольшее целое, не превышающее; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
2
2
2
- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  и значения мультипликативной инверсии Р по модулю р;
- и т.д.
n
n
n
- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  и значения мультипликативной инверсии Р по модулю р;
3.7.4. После того, как получены значения элементов вектора , данный вектор загружается в векторные ядра следующим образом:
- в первое векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов , q≤s;
- параллельно с этим во второе векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов , q≤s;
- параллельно с этим в третье векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов .
q-1
3.7.5. После того, как элементы вектора  загружены в векторные ядра, производится вычисление ранга и частичного остатка от деления на 2 модулярной мантиссы  числа А следующим образом:
- в первом векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов  и , вычисляют значение , где  - наибольшее целое, на превышающее , значение  передается в управляющее ядро;
- параллельно с этим во втором векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов  и , вычисляют значение , где  - наибольшее целое, не превышающее, значение  передается в управляющее ядро;
- параллельно с этим в третьем векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов  и , значение  передается в управляющее ядро.
m
а
х
α
3.7.6. После того, как результаты скалярного произведения векторов переданы в управляющее ядро, в управляющем ядре вычисляется значение ранга , если  или, R=R, если  и значение остатка от деления модулярной мантиссы  числа А на 2: .
α
3.7.7. После того, как управляющее ядро передаст во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значения  и α, выполняется деление модулярной мантиссы  числа А на число 2:
1
1
1
1
α
- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы числа А и значения  следующим образом: если , то , если, то ; после чего выполняется операция умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  числа А и значения мультипликативной инверсии 2 по модулю р путем нахождения значения , где  - наибольшее целое, не превышающее  ; после чего если  выполняется операция сложенияпо модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  числа А следующим образом: если , то  если , то ; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
2
2
α
2
2
- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  числа А и значения , после чего выполняется операция умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  и значения мультипликативной инверсии 2 по модулю р; после чего если  выполняется операция сложения  по модулю р;
- и т.д.
n
n
n
n
α
- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  числа А и значения ; после чего выполняется операция умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  и значения мультипликативной инверсии 2 по модулю р; после чего если  выполняется операция сложения  по модулю р;
- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция , если , иначе  двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристикипромежуточного результатапроизведения чисел А и В;
- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция , если , иначе  двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
B
q-1
B
q-1
В
В
3.7.8. Если |z|>0, то действия 3.7.9-3.7.13 выполняются один раз для α=|z|; затем если количество итераций j≥1, то действия 3.7.9-3.7.13 выполняются затем j раз для α=q-1.
3.7.9. Вычисляются значения элементов вектора :
1
1
1
- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  числа В и значения мультипликативной инверсии Р по модулю р, путем нахождения значения , где  - наибольшее целое, не превышающее ; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
2
2
2
- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  и значения мультипликативной инверсии Р по модулю р;
- и т.д.
n
n
n
- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  и значения мультипликативной инверсии Р по модулю р;
3.7.10. После того, как получены значения элементов вектора , данный вектор загружается в векторные ядра следующим образом:
- в первое векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов ;
- параллельно с этим во второе векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов ;
- параллельно с этим в третье векторное вычислительное ядро загружают вектор q-разрядных элементов
q-1
3.7.11. После того, как элементы вектора  загружены в векторные ядра, производится вычисление ранга и остатка от деления на 2 следующим образом:
- в первом векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов  и  значение  передается в управляющее ядро;
- параллельно с этим во втором векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов  и , значение  передается в управляющее ядро;
- параллельно с этим в третьем векторном вычислительном ядре вычисляют скалярное произведение векторов  и , значение  передается в управляющее ядро;
α
3.7.12. После того, как результаты скалярного произведения векторов переданы в управляющее ядро, в управляющем ядре вычисляется значение ранга , если  или , , если и значение остатка от деления модулярной мантиссы  числа В на 2: .
α
3.7.13. После того, как управляющее ядро передаст во все модулярные и все универсальные целочисленные ядра значения  и α, выполняется деление модулярной мантиссы  числа В на число 2:
1
1
1
1
α
- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  числа В и значения  следующим образом: если , то , если , то , после чего выполняется операция умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  числа В и значения мультипликативной инверсии 2 по модулю р путем нахождения значения , где  - наибольшее целое, не превышающее; после чего если , выполняется операция сложения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  числа В следующим образом: если, то, если  то ; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
2
2
2
2
α
- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  числа В и значения , после чего выполняется операция умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозицийи значения мультипликативной инверсии 2 по модулю p; после чего, если, выполняется операция сложения  по модулю р;
- и т.д.
n
n
n
n
α
-параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция вычитания  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  модулярной мантиссы  числа В и значения ; после чего выполняется операция умножения  по модулю р q-разрядного двоичного представления знакопозиций  и значения мультипликативной инверсии 2 по модулю рпосле чего, если выполняется операция сложения  по модулю р;
- параллельно с этим во втором универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция , если , иначе  двоичного значения нижней границы интервальной логарифмической характеристики  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
- параллельно с этим в третьем универсальном вычислительном ядре процессора выполняется коррекция , если, иначе  двоичного значения верхней границы интервальной логарифмической характеристики  промежуточного результата  произведения чисел А и В;
3.7.14. После того, как выполнена коррекция мантисс  и  чисел А и В соответственно, выполняется их умножение следующим образом:
1
- в первом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения по модулю р q-разрядных двоичных представлений знакопозиций  и  модулярных мантисс  и  чисел А и В соответственно, путем нахождения значения , где  - наибольшее целое, не превышающее ; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
2
- параллельно с этим во втором модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умноженияпо модулю р q-разрядных двоичных представлений знакопозиций  и  модулярных мантисс  и  чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
- и т.д.
n
- параллельно с этим в -ом модулярном вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения  по модулю р q-разрядных двоичных представлений знакопозиций  и  модулярных мантисс  и  чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления.
В результате выполнения данных операций получается произведение  чисел  и , представленное в модулярно-логарифмическом формате с плавающей точкой.
β
q-1
2
2
2
Для выполнения операции сложения двух целых q-разрядных двоичных чисел требуется устройство, состоящее из q элементарных двоичных устройств, для выполнения операции умножения двух целых q-разрядных двоичных чисел требуется устройство, состоящее из q×q элементарных двоичных устройств, для выполнения операции модулярного умножения двух целых q-разрядных двоичных чисел требуется устройство, состоящее из 2×q×q элементарных двоичных устройств, для хранения одного бита информации требуется устройство, состоящее из одного элементарного двоичного устройства, для сложения двух q-разрядных двоичных чисел в формате с плавающей точкой с направленным округлением требуется устройство, состоящее из 2×q элементарных двоичных устройств. Для выполнения операции умножения способом (A.C. RU №2509345, БИ №7, 10.03.2014) требуется устройство, состоящее из (2×k×k×n+k) элементарных двоичных устройств, где k - разрядность одного ядра универсального многоядерного процессора, n - количество модулей. Для выполнения операции умножения способом (К.С. Исупов, А.Н. Мальцев. «Способ представления чисел с плавающей точкой большой разрядности, ориентированный на параллельную обработку», Вычислительные методы и программирование, 15:4 (2014), с. 631-643.), требуется устройство, состоящее из (2-l)×n×q+2×q×q×n+k+2×2×γ, где β - шаг масштабирования, n - количество моделей, q - разрядность модулей, k - разрядность порядка, γ - разрядность интервальной позиционной характеристики). Для выполнения операции умножения предложенным способом, требуется устройство, состоящее из 2×q×q×n+k+2×r+2×(n×s×s+(n-1)×(s+logn))+(n×q×q+(n-1)×q), где n - количество моделей, q - разрядность модулей, k -разрядность порядка, r - разрядность интервальной логарифмической характеристики, s -разрядность весовых коэффициентов. При условии, что k=r=s=q, β=q-1, γ=2⋅q, для выполнения операции умножения способом (A.C. RU №2509345, БИ №7, 10.03.2014) требуется устройство, состоящее из (q⋅(2⋅n⋅q+1)) элементарных двоичных устройств, для выполнения операции умножения способом (К.С. Исупов, А.Н. Мальцев. «Способ представления чисел с плавающей точкой большой разрядности, ориентированный на параллельную обработку», Вычислительные методы и программирование, 15:4 (2014), с. 631-643.), требуется устройство, состоящее из (q⋅((2-1)⋅n+2⋅q+9)), для выполнения операции умножения предложенным способом, требуется устройство, состоящее из (5⋅n⋅q+3⋅n⋅q+(n-1)⋅logn).
Предложенный способ полностью описывает процедуру умножения двух чисел в модулярном формате с плавающей точкой, включая контроль переполнения, потери порядка, масштабирования, при этом требует для своего выполнения устройство всего в  раза сложнее, чем требуется для выполнения способа (A.C. RU №2509345, БИ №7, 10.03.2014) и в  раз проще, чем требуется для способа (Исупов К.С., Мальцев А.Н. Способ представления чисел с плавающей точкой большой разрядности, ориентированный на параллельную обработку // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2014. Т. 15, №4. С. 631-643).