Философия математики

ОБРАЗОВАНИЕ

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ МАЗУРОВ Вл.Д.

Я занимаюсь математическими моделями и методами оптимизации и диагностики, а также приложениями математики (особенно методов оптимизации, распознавания и нейронных сетей) в некоторых естественных и гуманитарных науках, в частности, в экономике и в медицине. И, видимо, требуется объяснить, почему я рискнул написать статью по философии математики.

Прежде всего потому, что мне предложил написать эту статью доктор философских наук Ю.И. Мирошников.

Кроме того, дело еще в том, что я - в какой-то степени профессионально - занимался некоторыми вопросами логики и методологии математики, начиная с 1980 года, участвовал во всемирных математических и философских конгрессах, а также в конгрессах по логике и философии науки. И вообще, эта тема меня очень интересует.

Думаю, что я в меру субъективен. Разумеется, я субъективен, но в меру. При написании данной работы обнаружилось, что для достаточно полного изложения предмета нужен очень большой объем. Поэтому данный текст во многом конспективен.

Речь пойдет о метаматематике, метафизике и еще о многом другом.

MATHEMATICS PHILOSOPHY Mazurov Vl. D.

I study mathematical models and optimisation and diagnostics methods, and also mathematics appendices (especially methods of optimisation, recognition and neural networks) in some natural and the humanities. In particular, in economy and in medicine. And, probably, it is required to explain, why I have risked to write lectures on mathematics philosophy.

First of all Doctor of Philosophy YU. I. Miroshnikov has suggested to write me about these lectures.

Besides, as a professional I studied some subjects of logic and methodology of mathematics since 1980, participated in the world mathematical and philosophical congresses, and also in the congresses on the logician and science philosophy. And in general, I have very much interests in this theme.

I think that I am moderately subjective. Certainly, I am subjective, but moderately. At a writing of the given work it was found out that for enough full statement of a subject great volume is necessary very much. Therefore the given text is in many respects concise.

It will be a question of the metamathematician - about metaphysics and about many other things.

ДРЕВНЕКАМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ И АРИФМЕТИКА

Заглянем в совсем ранние времена истории человечества.

Начало... Бытие... В древности чувствуется фундаментальность, погруженность в сущее. Мне кажется, что древние люди принципиально были совсем как мы. И они

были стихийными метафизиками. Даже те, что десять миллионов лет назад шли по саванне, впервые пытаясь пройти хотя бы несколько шагов на одних ногах, а не на четвереньках. Это, например, потому, что им надо было видеть что-то далеко впереди,

Мазуров Вл. Д.

допустим, дальний лес. В этом как будто рутинном деле уже виден самостоятельный разум, рациональное мышление. Фоном было бытие вообще, оно чувствовалось как нечто грозное, могучее, массивное, как основа. И вот в пралюдях как-то внезапно и постепенно просыпался смысл. Он проявлялся во взгляде, в жестах, в рычании. Я мысленно представляю, как они осторожно продвигались к дальнему неизвестному лесу, обдумывали, оглядывались, прикидывали варианты действий. Соображали. Общались еще неструктурированными звериными звуками, но выражали и оттенки эмоций, и что -то еще большее, разумное.

Но это только смутно ощущается, а больше, нагляднее и конкретнее убеждает искусство.

И потому рассмотрим совсем близкое нам время - 30 тысяч лет назад. Источник - абсолютно конкретный: наскальные рисунки. Это уже эмпирическая данность. Палеолитический человек хочет понять космос. Первоэлемент древнего художника: штрих, линия. Изначальное - след. Ритмичные нарезки на костях и камнях. Ряды нарезок - числа. Они отвечали древним системам счета. Нужен был счет дней и лун от одних до других событий. Палки с нарезками были и географическими картами. И также они были конспектами сведений о развитии человека от внутриутробного периода и далее. В нарезках было отражено генеалогическое древо рода. Все это - древняя информатика, своего рода базы данных и знаний.

Бирки с черточками - очень отдаленные, но все-таки прообразы геометрических доказательств. Здесь и геометрия (взаимное расположение линий), и арифметика - их число. В них содержится также сжатая запись древнего права. На бирках изображались разные фигуры - крест, прямоугольник,

круг, треугольник, ромб, цилиндр, шар, отрезок, точка, параллельные линии. Изображение животных наводит на идею подобия фигур, на идею пропорций, на вариации в масштабах фигур.

Первобытный синкретизм - рассмотрение системы элементов в их взаимосвязи. Ритмические регулярные системы первоэлементов и сложных фигур; орнаменты; серии геометрических символов.

Моделировка изображений штрихами дает им объемность, возникают трехмерные элементы.

Элементы древнекаменных изображений, да и просто штрихи, группируются по 5 и по 7. Возникают протокатегории качества, количества, пространства и времени. Возникают символы - предшественники знаковых моделей. Изображение животного - его имитация, это самая настоящая модель. Из отдельных моделей составляется модель мира. Это все происходило, когда человек от собирательства переходил к оседлости.

Творчество палеолита выводит за границы простейшей арифметики - идет поиск общих приемов решения однотипных задач. Появился прообраз алгебры с ее неисчезающей мистикой. Когда-то алгебра была сферой жрецов. Сейчас совсем не так. И все же мистика остается.

И вот при исследовании явлений первобытного творчества, которые специалисты в этой области условно назвали первобытными уравнениями, естественным образом происходит выход за границы элементарной арифметики - речь идет о нахождении типовых приемов анализа схожих арифметических задач. Так что праалгебра зародилась уже тогда. А алгебра вышла из элементарной арифметики и геометрии в шумеро - вавилонской науке, а далее - в Древнем Египте.

ДРЕВНОСТЬ: ЕГИПЕТ, ВАВИЛОН, ГРЕЦИЯ

Вавилонскую математику вначале созда- Этот процесс начался в XXIII веке до н.э. вали писцы. Практические задачи были свя- Вавилоняне использовали шестидесятерич-заны с земледелием и строительством. ную систему счисления. Они умели скла-

дывать и вычитать многозначные числа и дроби. Для операций умножения и деления они построили таблицы. Вавилоняне умели решать линейные и квадратные уравнения. Они вычисляли площади прямоугольников, треугольников, трапеций, объёемы куба, параллелепипеда, призмы, пирами-ды.Но у них не было принципиально важной вещи - явно выраженной идеи математического доказательства. Правила вычислений выучивались наизусть, как рецепты. Похожее состояние математики было в Древнем Египте - арифметика и измерение площадей и объемов.

В Древней Греции математика развивалась на фоне демократии. Демократия требовала умения рассуждать и доказывать. Отцом греческой математики как науки является Фалес Милетский (625 - 547 годы до н.э.). Он был первым греческим геометром и доказал, что диаметр делит круг пополам. Суть открытия Фалеса - понятие доказательства. С этого вре-

мени говорить «математика» - значит говорить «доказательство». Аристотель сказал, что доказательства не только утверждают справедливость некоторых фактов, но и проясняют суть этих фактов, устанавливают логические связи между ними.

Первой школой философии математики был пифагореизм. Эта школа различала мир чувственно воспринимаемых объектов и мир сверхчувственных мыслительных объектов -мир порядка и гармонии. Разум способен без опоры на опыт познавать законы мира. Математика обнаруживает вечные истины.

Аристотель считал, что безупречность математических утверждений объясняется простотой предмета математики (ее объекты предельно абстрактны).

А в Древнем Китае понятия доказательства не было, хотя китайцы умели решать системы линейных уравнений, а также алгебраические уравнения вплоть до четвертой степени.

ПЛАТОНИСТСКАЯ ТРАКТОВКА МАТЕМАТИКИ

Традиционно платонизм предназначался не для «толпы», а для элиты. А вот Аристотель как -то ближе к народу. Платон впервые представил математические объекты как существующие в трансцендентном мире универсалий (универсалии - общие понятия). Это положение хорошо объясняет кардинальное отличие абстрактных объектов от эмпирических. Мир идей предшествует материальному миру. Идеи неизменны и совершенны, а материальный мир меняется. Предметы суть несовершенные воплощения идей.

В средневековье исследовали вопрос, каким образом существуют универсалии. Выработались следующие подходы. Номинализм: универсалии существуют не в действительности, а только в мышлении; реализм: универсалии существуют реально и не зависят от сознания; концептуализм: общим понятиям не приписывается самостоятельная реальность, просто в вещах есть нечто

общее, выражаемое концептами; конструктивизм: универсалии обретают существование после их конструирования.

Платонизм - это подход, при котором математические объекты рассматриваются вне какой-либо связи с размышляющим субъектом.

Идеи Платона оказали влияние на Георга Кантора, построившего абстрактную теорию множеств. Кантор показал, что можно оперировать актуальными бесконечностями, работать с множествами как с объектами. По Кантору, актуально бесконечное можно уподобить конечному множеству; оно существует сразу же вместе со всеми своими элементами.

Но, возможно, именно такой абсолютный платонизм оказался чреватым парадоксами наивной теории множеств.

Платонизм связан с таким критерием существования математических объектов, как непротиворечивость. Кантор писал, что математика целиком свободна в своем раз-

Мазуров Вл. Д.

витии и ограничена только самоочевидным требованием, чтобы ее понятия не противоречили самим себе.

Согласно аристотелевской традиции, непротиворечивость предикатов объекта вытекает из непустоты пересечения объемов этих предикатов. Кантор усугубил это положение: он полагал непротиворечивость необходимым и достаточным условием существования математического объекта.

Между тем ближе к нашему времени Н.А. Васильев построил инконсистентную логику, где с противоречиями можно работать опрделенным корректным образом. Эти работы были продолжены латиноамериканскими логиками - Аррудой и другими. Заметим, что в наших работах по оптимизации и распознаванию мы вынуждены были самой логикой соответствующих задач ввести обобщенное существование. Так, в задаче выполнения ограничений их система может быть несовместной, и тогда приходится использовать так называемые коми-тетные конструкции. Пример: при советс-

кой власти существовал анекдот, что умный, честный и партийный человек не существует, однако он существует в обобщённом смысле.

Все эти рассуждения связаны со способами формализации знаний.

Пределы формализации - важнейший вопрос. Гуго фон Гофмансталь сказал, что большинство людей живут не в жизни, а в ее имитации, в некоторого рода алгебре, где ничто не существует и где все только означает. И вместе с тем математики получают конкретные результаты, говорящие о пределах формализации. Так, исследуются вопросы представления функций многих переменных (а такие функции могут служить моделями сложных реальных процессов) в виде суперпозиций более простых функций. Колмогоров и Арнольд доказали удивительную теорему, что непрерывные на компакте функции любого конечного числа переменных представимы в виде суперпозиций функций от одной переменой. В данном случае самое сложное представляется самым простым.

ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

Основания геометрии наиболее интересны как исходная область размышлений, так как геометрические построения наглядны. Многие из нас увлеклись математикой из-за логической строгости, красоты и простоты построений и доказательств школьной геометрии. Особенно прозрачна планиметрия. Кроме того, возникновение геометрических представлений относится к весьма далёеким временам. Их первоначальное оформление связано с древнейшими культурами Вавилона и Египта.

С VII века до н.э. начинается развитие геометрии в трудах греческих учёеных, которых можно назвать и философами. Восточная математика возникала и как прикладная наука, и как мистика. В VI и V веках до н.э. были получены многие основные геометрические факты. Тогда же сложилось представление о доказательстве теорем.

Великий геометр древности - Евклид. Он жил в IV и III веках до н.э. Его труд «Начала» содержит 13 книг по геометрии. Евклид начинает с аксиом, затем излагает теоремы геометрии, располагая их в порядке логической зависимости.

Задача обоснования геометрии ясно поставлена Евклидом и решена им с той степенью точности, какая была доступна в античности. На протяжении многих дальнейших веков строгость евклидовой геометрии служила образцом для подражания.

В математике до определенного времени основные понятия интуитивно использовались до того, как им давались строгие определения. Так и с самим понятием «доказательство». Оказалось, его надо ввести в строгие рамки. До XIX века вообще ученые считали, что аскиомы, постулаты и определения абсолютно достоверны ввиду их ин-

туитивной ясности. Сейчас же положение о самоочевидной истинности отвергается, все предположения рассматриваются как условные. Это дает математикам свободу в выборе аксиом и определений. И в основаниях геометрии этот процесс раскрепощения проявился особенно ярко.

Кроме того, принцип очевидности в математике подвергся критике также со стороны экспериментальной психологии в XIX

- XX веках. Психологи на опытах обнаружили, что смыслообразующая сторона мышления - совсем не та, что наблюдается в механизме развития ощущений. Таким образом, Аристотель, заявлявший, что мысли не могут существовать без образного чувственного опыта, был не совсем прав. Также не прав был и Кант, называвший идеи без наглядности пустыми. И А. Шопенгауэр тоже зря высказывал пожелание основать математику на конкретно-чувственном фундаменте, а из геометрии изгнать аналитику.

В основаниях особую роль сыграл пятый постулат Евклида. Он эквивалентен утверждению, что существует только одна прямая, параллельная данной и проходящая через данную точку.

Было много попыток вывести аксиому о параллельных из других аксиом. Н.И. Лобачевский в XIX веке доказал её независимость и построил неевклидову геометрию. Затем Б. Риман построил свою геометрию. Началось формирование понятия геометрического пространства. Особую популярность получила книга Д. Гильберта «Основания геометрии», вышедшая в 1899 году.

Строго логическое построение геометрии исходит из аксиом и определений. Все остальные свойства объектов, которые мы привыкли предполагать, когда слышим слова «точка», «прямая», «плоскость», не принимаются во внимание. Геометрическое пространство, определенное данной системой аксиом, есть множество объектов - геометрических элементов, взаимные отношения которых удовлетворяют требованиям аксиом.

Кант в свое время сильно ошибался (что легко объяснить исторически) в отношении оснований геометрии. Сейчас геометрия - совокупность многих геометрий; каждая из них опирается на свою систему аксиом. А Кант размышлял о пространстве как об априорном условии геометрии. Остался верным тот тезис Канта, что основания геометрии образуют принципы. Г аусс, разработавший идею неевклидовых геометрий (но никому в этом не признававшийся до смерти), с юмором даже воспринимал кантовские представления о пространстве и времени как об априорных формах познания. Математики должны думать не столько о согласовании своих конструкций с действительностью, сколько о том, чтобы ее положения не противоречили друг другу и своим исходным посылкам. В математике есть - в основном только формально - гипотетические истины.

В XX веке физики установили принципиальную связь неевклидовой геометрии с теорией относительности.

Таким образом, аксиоматический метод переносится из геометрии в другие области математики, в механику и физику и приводит к современным абстрактным пространствам, элементами которых являются множества, функции, преобразования и т.д. Пример: пространство Минковского в теории относительности.

Далее, формирование современных взглядов на геометрическое пространство определялось развитием дифференциальной геометрии. В этой дисциплине, начатой Г ауссом, исследуются свойства поверхности, составляющие ее внутреннюю геометрию.

Затем Ф. Клейн предложил концепцию геометрии как теории инвариантов некоторой группы преобразований.

Система аксиом геометрии должна быть:

1) полной, что означает: любую теорему геометрии можно доказать, не применяя других аксиом, кроме входящих в систему;

2) независимой, то есть: никакую аксио-

Мазуров Вл. Д.

му нельзя вывести из остальных;

3) непротиворечивой - из нее нельзя вывести некое утверждение и его отрицание.

Э. Бельтрами и Ф. Клейн доказали, что геометрия Лобачевского непротиворечива, если геометрия Евклида непротиворечива.

Далее, Д. Гильберт доказал, что непротиворечивость геометрии Евклида имеет место в случае непротиворечивости арифметики.

Но К. Гедель показал, что для арифметики невозможно составить полную систему аксиом. А для геометрии - можно.

МАТЕМАТИКА КАК ФИЛОСОФИЯ

Математика - это поиски всеобщего метода научного мышления. Мы хотим понять, что именно математика исследует в действительности. Доньютоновская математика - конечная. Ньютон работал с непрерывными и переменными величинами, это был громадный конструктивный шаг, но он же привел и к кризисам в обосновании математики.

В античности и в средние века математика считалась знанием об основных законах бытия. Первые математики: Фалес, Платон, Пифагор и другие - были и первыми философами. «Математиками» даже называли астрологов и магов. Переход от этого понимания сути математики к предсовре-менному произошел у Леонардо да Винчи в 1500 году. Но что-то подобное магии есть в алгебре, когда некое неизвестное «х» явно вводится в математическую модель и после ряда манипуляций идентифицируется. Это можно сравнить с идентификацией неформализованных факторов и соотношений в современных работах по оптимизации и распознаванию (Ю.И. Журавлев, Вл.Д. Мазуров), особенно явно это проявляется в математической экономике.

Первой философской концепцией математики был пифагореизм. Пифагорейцы считали, что математика опирается не на чувства, а на разум. Они также считали, что математические объекты не только имеют объективное существование, но и являются причинами вещей.

Аристотель считал, что источник математики - эмпирическое.

Априористские концепции математики

выдвигали Декарт, Лейбниц, Кант.

Наконец, математика, как многим кажется, может быть просто ремесленничеством. Ее история может рассматриваться как практика - от приемов решения задач типа школьных, затем олимпиадных задач, далее переход к общим приемам преобразований, выкладок в теоретической математике. Но это только малая составляющая математики.

Мы говорим о связи математики с философией. И тогда надо учесть, что математика издревле занималась изучением упорядоченностей в объектах, в множествах объектов, в процессах. Речь идет о закономерностях. И уже в верхнем палеолите приходилось улавливать природные закономерности, фиксировать инварианты, повторяющиеся процессы, ритмы. Первобытные уравнения можно обнаружить в пещерной живописи: три оленя - три черточки и т.д. Отыскивались балансы и равновесие в отношениях с природой и внутри семьи; происходил даже учет сроков беременности. Это были первые эмпирические закономерности (сейчас это наблюдается в рамках математической статистики, эконометрики, распознавания образов), это в некоторой непроявленной форме можно обнаружить в том времени.

Мир невообразимо сложен, и рационально постичь его мы явно не сможем. Но есть один прием - отделить область случайного от того, что нам доступно, от того, что мы умеем делать, а то, что умеем, - это наши конструкции, следы наших манипуляций. В то же время вне математики считается допустимым в любом месте рассуждений выйти из ранее декларированных правил.

Но всегда наряду с этими конкретными вещами - и до сих пор - людей волнует следующая проблема: истинность математики, ее ценность. Эти явления ясны, очевидны в прагматических, экзистенциалистских, инструментальных аспектах. Но как это обосновать? Несомненно, математика выполняет определенные функции в человеческой жизни, она удовлетворяет потребности человека. Она дает принципиальные способы развития новых представлений в науках. Но вопрос еще и таков: несет ли математическая истина истинное знание о первых принципах, о мире и человеке? Конечно, в этой сфере математика существенна.

Я уже отмечал ранее связь математического структурализма с лингвистическим. Структурный подход был предложен русскими учеными - филологами (Якобсоном, Трубецким и другими); в математике особенно явно этот подход декларировал Н. Бурбаки. Затем - в основном французские исследователи - гуманитарии развивали структуралистский подход. Например, в работах К. Леви - Стросса структурализм использовался в исследовании структур примитивных обществ. Структуры в математике и естествознании изучал Н. Мулуд.

Корни современной философии математики - в эпохе становления науки Нового времени. Наука Нового времени интеллектуально отразила происходившие социальные, экономические и технологические изменения. Она создавалась поколением по - новому (по сравнению со средними веками) мыслящих исследователей. В Англии это были Ф. Бэкон, Р. Бойль, И. Ньютон, в Европе - Р. Декарт и картезианцы, Г.В. Лейбниц. Тезис Декарта: «Все, что я воспринимаю ясно и отчетливо, по необходимости истинно». Критику критерия самоочевидности дал Г.В. Лейбниц.

Основные черты тогдашней философии науки:

- экспериментализм;

- использование математики для изучения природы;

- вера в божественное провидение.

Естественно возникшие тогда вопросы эмпиризма, доверия к чувственным данным привели к тому, что в одном направлении пошла философия естествознания, связанная с эмпиризмом, а в другом - философия математики, занявшаяся анализом отношения математики к реальности и структурой математического знания без учета его истории. Эмпирическое обоснование математики - заманчивая, но вряд ли разрешимая проблема. Методы математики и естествознания сходны, но не идентичны.

Философские проблемы, на которых в 1750-е годы остановился Кант, были выдвинуты развитием естествознания. В это время больших успехов достигло ньютоновское естествознание; механика выступала от лица всей науки. Но механику не надо рассматривать только как особый способ отражения механического движения, она обусловила изменение всего стиля научного мышления через его преобразование однозначной причинности, строгой последовательности построения научной теории и количественно-математического метода изучения природы. Механические построения сложения сил, механическое равновесие использовались и в науках об обществе.

В конце XIX века в Европе начались интенсивные исследования внутреннего обоснования математики, начался поиск общности различных математических теорий при условии их формализации с использованием математической логики.

Итак, имела место фундаментальная направленность, нацеленность на изучение структуры математического знания, природы математических объектов, проблем истинности. В XX веке это связано с работами Г. Фреге, Бертрана Рассела, К. Геделя и других.

В США первым крупным философом математики стал основатель прагматизма

Ч.С. Пирс. Фундаменталистская философия математики в США имеет наиболее глубокие традиции и развивается, прежде всего, в университетах IVY League.

Мазуров Вл. Д.

В фундаменталистской философии математики основным яляется платонистский подход. У Платона математические объекты существуют в особом трансцендентном мире - мире универсалий. Идеи предшествуют предметам. Платонизм не есть некоторое самостоятельное направление, платонисты могут принадлежать разным направлениям обоснования математики. Кантор исследовал бесконечные множества как объекты, подобные идеям Платона. Это согласуется с тем, что Кантор принял допущение актуальной бесконечности. Платонизм в математике защищал Гедель, считая его математическим реализмом. Однако эти подходы не надо абсолютизировать. Платонизм на самом деле директивно объявляет абсолютность математических объектов.

То же можно сказать о таком критерии истинности, как самоочевидность; эта точка зрения идет от Декарта. Критерий хорош и полезен, но не абсолютен.

Существует и нефундаменталистская философия математики. В ней исследуется функционирование математики, место математики в культуре, изучаются исторические закономерности развития математики. Некоторые нефундаменталисты считают, что развитие и существование математики автономно от развития ее оснований. Я за более широкий, синтетический и свободный взгляд.

Эмпирические науки нацелены на обобщение опыта и на разработку эффективных

методик практического действия. В то же время математика направлена на саму науку, на конструирование символических систем, которые нужны для логического оформления и систематизации математического знания.

Крушение программ обоснования математики, выдвинутых в начале XX века, поначалу привело многих исследователей к мысли о невозможности абсолютно надежного обоснования математики. Но следует понимать обоснование математики как длящийся процесс. Ни один подход не абсолютен, он верен только локально, при некоторых допущениях.

Приведем широкую формулировку теоремы. В языке математической теории существует недоказуемое истинное утверждение.

Эта теорема влечет понимание проблематичности доказательств.

Всякая наука стремится к обоснованности своих положений, ничто не принимается на веру. Но математика в особенности строга, желая, чтобы ее положения были не просто истинны, а необходимо истинны. При этом, как сказал Дж. Буль, в природе математики не заложена необходимость заниматься идеями числа и величины.

Тем не менее программы исследования оснований математики опираются на теорию натуральных чисел. Одна из них содержится в стандартной теории множеств. Об этом скажем подробнее.

ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Теория множеств предоставила систему универсальных понятий, позволившую охватить все существовавшие в XIX веке математические теории. Но затем, в начале и в середине XX века, развитие теории множеств, последовавшее за фундаментальными открытиями К. Геделя и П. Коэна, привело к ряду на первый взгляд неожиданных результатов о непротиворечивости в разных разделах математики. Множество - первичное, неопределяемое понятие. И так как в

теории множеств речь идет об актуальной бесконечности, то оперирование с бесконечными множествами чревато парадоксами. Например, есть такой парадокс Рассела: пусть М - множество всех множеств, не включающих себя в качестве своего элемента (такие множества назовем нормальными). Задаем вопрос: нормально ли множество всех нормальных множеств? Оба возможных ответа приводят к противоречиям. Есть много и других противоречий, в основ-

ном на окраинных областях теоретической математики. Выход из этого кризиса - в построении новых вариантов аксиоматик, которые позволяли бы строить содержательную теорию без противоречий. Пример такой аксиоматики - аксиоматика Цермело -Френкеля. В ней есть специальная ограничительная аксиома, решающая проблему.

Теоретико-множественные идеи Кантора стали продолжением средневековых схоластических рассуждений о природе бесконечного. Августин Блаженный отстаивал правомерность понятия актуальной бесконечности, и Кантор знал это. Важные рассуждения по поводу актуальной бесконечности были проведены кардиналом Николаем Кузанским.

Против теории множеств Кантора выступали многие выдающиеся математики. Например, А. Пуанкаре говорил, что теория Кантора будет считаться будущими поколениями некоей болезнью. Против теории Кантора был и Л. Кронекер. Он считал, что единственными подлинными числами являются целые числа: «Целые числа сотворил Господь Бог, а все остальное - дело рук человеческих». С другой стороны, другие выдающиеся ученые, например, К. Вейер-штрасс и Ю. Дедекинд, поддержали идеи Кантора и опровергли нападки Кронекера.

ЛОГИЦИСТСКАЯ ПРОГРАММА

Следующий вопрос возникает вполне естественно: а нельзя ли математику свести к логике? Ведь среди математических текстов много таких, где слова - только в названии текста, а дальше идут одни знаки. И для многих такие тексты - предмет гордости. Более того, имеются современные шахматные программы, обыгрывающие чемпионов мира; они железно (в двух смыслах) демонстрируют мощь формализма. Живая шахматная мысль здесь уступает формальным механическим алгоритмам.

Итак, возникает идея логицизма. Сторонниками логицизма были Г. Фреге, Б. Рассел

Оказалось, что «наивная» теория множеств Кантора на самом деле описывает не одну, а несколько теоретико-множественных моделей, и факты, верные в одной модели, могут быть ложными в другой.

Упорядочение теории множеств с целью исключения парадоксов проведено рядом авторов. Аксиоматизация теории множеств нацелена на устранение противоречий, обнаруженных в первоначальной наивной редакции этой теории. Например, важную роль играет концепция Цермело - Френкеля. Эта система хорошо отражает свойства интуитивного мира множеств. Она служит основой для других более сильных систем, также не противоречащих понятию интуитивного универсума. На ее основе осуществляется естественная формализация понятий и доказательств реальной классической математики.

Г. Кантор сформулировал гипотезу континуума: не существует множеств, имеющих мощность, промежуточную между мощностью счетного множества и мощностью континуума. Проблему континуума решил в 1963 году американский математик Коэн: аксиомам теории множеств не противоречит ни гипотеза континуума, ни ее отрицание. Мы находимся в привычной ситуации, аналогичной множественности геометрий.

ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

и А. Уайтхед. Готлоб Фреге начал регулярное построение программы логицизма, в развернутом виде ее представил Рассел. Г. Фреге и Ч. Пирс приспособили конструкции формальной логики к математике. Фреге и Пирс - основоположники логической семантики. Но еще Лейбниц считал, что математика сводится к логике. Взгляды Лейбница противоположны взглядам Канта. Лейбниц полагал, что всю математику можно будет изложить через одно универсальное логическое исчисление. А Кант утверждал, что математические результаты могут обосновываться только через обращение к наглядно-

Мазуров Вл. Д.

му представлению, которое опирается на априорные формы чувственности. Нам сейчас легко говорить, что оба неправы.

Можно обратиться к Эдмунду Гуссерлю, который породил в свое время (в конце XIX - начале XX века) новые надежды. Гуссерль решил выяснить подлинные основания науки и таким образом сделать их прозрачными и ясными. Гуссерль попытался разобрать работу сознания. Сознание представляет собой нашу жизненную основу. Через сознание и только через него нам доступно все другое в мире. Сознание - это жизненный мир человека, его опыт. Сознание интенционально, оно нацелено на познаваемое. Сознание оперирует феноменами, которые содержат смыслы. Для обеспечения полноты сознания надо варьировать феномены и переживания. Получаем поток переживаний. Усмотрение сущности есть интуиция в мире идей.

Итак, возникли новые надежды. Но спрашивается, как же все-таки конкретно усматривать сущность? Возникли и другие недоуменные вопросы. Надежды не сбылись. Но мы отвлеклись...

В работе «Основы арифметики» Готлоб Фреге наметил путь обоснования арифметики на основе логического определения понятия числа. Фреге был убежден, что вся математика может быть обоснована на фундаменте арифметики. Он считал, что эмпирическая концепция числа несостоятельна. Далее, Дж. Буль применил методы символической алгебры к дедуктивной логике. Он показал, что из заданных п высказываний, используя повторное применение связок «и», «или», «не», можно построить два в степени два в степени п логически неэквивалентных высказываний. Ясно, что это невозможно доказать при помощи логики Аристотеля.

В дальнейшем Дж. Пеано открыл, что вся теория натуральных чисел выводима из трех первичных понятий и пяти первичных

предложений, помимо тех, которые принадлежат чистой логике. Идеи Пеано были подхвачены Бертраном Расселом. Он заявил, что дальнейшее исследование принципов математики состоит в анализе самой символической логики. Получалось, что любое математическое мышление в принципе может быть механически инетерпре-тировано как манипуляция символами по предписанным правилам - наподобие шахматной игры. Катится колесо - вот логика.

Гильберт полагал, что математика есть замкнутый в себе, идущий по известным правилам процесс последовательного построения правильных комбинаций исходных символов.

За основу определения числа Фреге берет теоретико-множественное понятие эквивалентности классов. Xотя Фреге достиг определённых успехов в реализации своей программы, в целом она провалилась, так как были найдены парадоксы.

Логицизм рассматривает математику как деятельность по созданию логически очевидных конструкций, как продолжение логики.

Но фундаментальные теоремы Геделя о неполноте показывают, что нельзя внутри формальной системы ни доказать все предложения, которые мы считаем истинными, ни показать непротиворечивость системы. Тезис Рассела о сводимости математики к своего рода шахматной игре технически неверен.

Во второй половине 1940-х годов возникла теория категорий. Эта теория представляет эффективную альтернативу той точке зрения, что математические объекты суть множества. Теория категорий интересуется не самими объектами, она изучает сходство между структурами объектов через отображения одной структуры на другую. Сами множества определяются через категории.

Продолжение следует.