О числе решений в задачах со спектральным параметром для уравнений с разрывными операторами

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 2 (2013). С. 56-62.

УДК 517.98

О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ

ОПЕРАТОРАМИ

Д.К. ПОТАПОВ

Аннотация. В вещественном рефлексивном банаховом пространстве рассматривается проблема существования решений задачи со спектральным параметром для уравнений с разрывными операторами. Вариационным методом получены теоремы о числе решений для исследуемых задач. В качестве приложения рассмотрены основные краевые задачи для уравнений эллиптического типа со спектральным параметром и разрывными нелинейностями.

Ключевые слова: спектральный параметр, разрывный оператор, вариационный метод, число решений.

Mathematics Subject Classification: 47J10, 47J30, 35P30, 35J60, 35J20.

Введение. Постановка задачи

Общая постановка задач на собственные значения для нелинейных уравнений была дана в работе [1]. В работах [1], [2] нелинейные задачи со спектральным параметром изучались топологическими методами, в работах [3], [4] - в полуупорядоченных пространствах, в работах [5], [6] - вариационным методом. Во всех перечисленных работах структура множества собственных значений операторного уравнения исследовалась для непрерывных отображений. В данной работе рассматриваются нелинейные спектральные задачи в общей операторной постановке без предположения о непрерывности оператора. В дальнейшем потребуются следующие определения.

Пусть E - вещественное рефлексивное банахово пространство, E* - сопряженное с E пространство. Через (z, x) обозначается значение функционала z £ E* на элементе x £ E.

Определение 1. Линейный оператор A : E ^ E* называется самосопряженным, если (Ax, h) = (Ah,x) для любых x, h £ E.

Определение 2. Отображение T : E ^ E* называется компактным на E, если оно ограниченные множества из E переводит в предкомпактные в E*.

Определение 3. Отображение T : E E* называется монотонным на E, если (Tx — Ty,x — y) > 0 для любых x,y £ E. Отображение T : E ^ E* называется ан-тимонотонным, если отображение —T монотонно.

Определение 4. Отображение T : E ^ E* называется ограниченным на E, если существует постоянная M > 0 такая, что ||Tx|| ^ M для любого x £ E.

В данной работе рассматривается уравнение вида

Au = XTu

D.K. Potapov, On a number of solutions in problems with spectral parameter for equations with discontinuous operators.

© Потлпов Д.К. 2013.

Поступила 04 февраля 2012 г.

с параметром Л > 0. Здесь A — линейный самосопряженный оператор из E в E*, T : E ^ E* - разрывное, компактное или антимонотонное отображение, ограниченное на E.

Работы [7], [8] были посвящены существованию луча положительных собственных значений для таких уравнений с разрывными операторами. При достаточно больших Л в этих работах доказаны теоремы о существовании ненулевых решений уравнения (1). В работах [9], [10] получены оценки величины бифуркационного параметра и норм оператора в спектральных задачах для уравнений с разрывными операторами вида (1). Наличие нулевого решения уравнения (1) при любом Л обеспечивается априорным предположением T(0) = 0. В данной работе рассмотрим вопрос о числе решений уравнения (1).

1. Общие результаты

Как и ранее [7]—[10], уравнение (1) изучается вариационным методом. Для применимости вариационного подхода к изучению уравнения (1) относительно оператора T дополнительно предполагается, что он квазипотенциальный.

Определение 5. Отображение T : E ^ E * называется квазипотенциаль-

ным, если существует функционал f : E ^ R, для которого верно равенство

1

f (x + h) — f (x) = j (T(ж + th), h) dt для любых x, h Є E (интеграл понимается в смыс-

0

ле Лебега). При этом f называют квазипотенциалом оператора T.

Свяжем с уравнением (1) функционал fA(u) = 2(Au,u) — Лf (u), где f — квазипотенциал оператора T. В работе [11] указаны достаточные условия (ограничения на точки разрыва оператора F\u = Au — ЛТи), при выполнении которых точки минимума функционала fЛ являются решениями уравнения (1). А именно, надо предполагать, что точки разрыва оператора F\ регулярные.

Определение 6. Элемент ж Є E называется точкой разрыва оператора Т : E ^ E*, если найдется h Є E, для которого либо lim(T(ж + th),h) не существует, либо

lim(T(ж + th), h) = (Tx, h).

Определение 7. Элемент x Є E называется регулярной точкой для оператора

T : E —> E*, если для некоторого h Є E lim (T(x + th), h) < 0.

i^+0

Согласно результатам работ [7], [8] справедлива нижеследующая теорема.

Теорема 1. Предположим, что

1) A - линейный самосопряженный оператор, действующий из вещественного рефлексивного банахова пространства E в сопряженное пространство E*, пространство E представляется в виде прямой суммы замкнутых подпространств E1 и E2, E1 = ker A, причем существует постоянная а > 0 такая, что (Au,u) > a||u||2 для любого u Є E2;

2) отображение T компактное или антимонотонное, квазипотенциальное (с квазипо-

тенциалом f) и ограниченное на E, f (0) = 0 и для некоторого u0 Є E значение f (u0) > 0; если E1 = {0}, то дополнительно предполагается, что lim f (u) = — то;

«ЄЕьІНІ^+те

3) если отображение T компактное, то дополнительно предполагается, что

lim (T(u + th) — Tu, h) > 0 для всех u, h Є E; i^+0

4) если отображение T антимонотонное, то дополнительно предполагается, что любая точка разрыва оператора T при Л > Л0 > 0 регулярная для F\u = Au—ЛГ« (Л0 - величина, начиная с которой задача на собственные значения разрешима).

Тогда для любого Л > Л0 уравнение (1) имеет по крайней мере одно ненулевое решение.

Отметим, что если в условиях теоремы 1 дополнительно потребовать T(0) = 0, то для компактного отображения T уравнение (1) будет иметь по крайней мере два решения (нулевое и ненулевое) для любого Л > Л0, а если отображение T — антимонотонное, то

уравнение (1) имеет только тривиальное решение, поскольку в этом случае ненулевые решения будут невозможны.

Центральным понятием современной вариационной теории является условие PalaisSmale ((РБ)-условие), а ее основанием - деформационная лемма. Базируясь на понятии обобщенного градиента Кларка для локально липшицевых функций, (PS)-условие и деформационная лемма были модифицированы K.C. Chang [12].

Определение 8. Функция f : E ^ R называется локально липшицевой, если для любого x Е E найдутся окрестность U точки x и постоянная L > 0 такие, что |f (u) — f (v)| ^ L||u — v|| для любых u, v Е U.

Определение 9. Обобщенной производной по направлению l локально липшицевой функции f в точке x называется f°(x,l) = lim f(z+tl)-/(z), а обобщенной производной f в

z^x,t^+0

точке x множество df (x) = {y Е E* : f°(x, l) > (y, l) Vl Е E}.

Определение 10. Локально липшицева функция f : E ^ R удовлетворяет (РЯ)-условию, если любая последовательность (xn) С E, для которой множество значений (f (xn)) ограничено и m(xn) = inf ||x*|| ^ 0 при n ^ то, содержит сходящуюся подпоследователь-

x+ Gd/

ность, где df (x) - обобщенный градиент Кларка для f в точке x.

Основным результатом данной работы является следующая теорема.

Теорема 2. Пусть E - вещественное гильбертово пространство плотно и компактно вложенное в вещественное рефлексивное банахово пространство E3, A : E ^ E - линейный самосопряженный и ограниченный оператор, нуль является изолированной точкой его спектра, причем ядро и отрицательное подпространство оператора A конечномерны и выполнены условия 2)-3) теоремы 1 для отображения T : E3 ^ E*, T(0) = 0. Тогда существует А* > 0 такое, что для любого А > А* уравнение (1) имеет по крайней мере три решения.

Доказательство теоремы 2. Известно [13], что если E - гильбертово пространство, то условие 1) теоремы 1 выполняется, если нуль - изолированная точка спектра неотрицательного оператора A. В этом случае существует постоянная а > 0 такая, что (Au,u) > а||u||2 V u Е E2 (Ei = ker A, E2 = Ej1). В силу этого и условий теоремы 2 по теореме 1 найдется Ао > 0 такое, что для любого А > А0 уравнение (1) имеет по крайней мере одно ненулевое решение, т. е. и для некоторой константы А* > 0 для каждого А > А* найдется элемент uA Е E, uA = 0 такой, что f a(ua) = inf f A(v) < 0, как это следует

v€E

из утверждения теоремы 2 из работы [7]. Покажем, что при А > А* уравнение (1) имеет по крайней мере еще одно нетривиальное решение va, которое может быть найдено с помощью теоремы о горном перевале [12], если f a(va) > 0. Для выполнения условий теоремы о горном перевале [12] достаточно показать, что функция fА удовлетворяет (PS)-условию для любого А > 0. Для этого достаточно доказать, что функция fА локально липшицева на E (все остальные условия теоремы 4.5 из [12] идентичны условиям доказываемой теоремы 2). Это действительно так, поскольку A - линейный ограниченный оператор, а функция f удовлетворяет условию Липшица на E3, так как для произвольных u,v Е E3 имеем

1

|f(u) — f(v)| = 1 J(T(v + t(u — v)),u — v)dt| ^

0

1

поскольку отображение T, ограниченное на E3, M > 0 - константа из неравенства

||Tx|| ^ M Vx Е E3. Поэтому, по теореме 4.5 из [12], функционал fA удовлетворяет (PS)-

условию для каждого А > 0. Значит, функционал fA удовлетворяет условиям теоремы

о горном перевале [12], следовательно, он имеет критическую точку Va Е E (решение

уравнения (1)) такую, что fA(vA) = inf sup fa(y(t)) > max{fA(0),fa(ua)} = 0 (посколь-

Yer ie[0,1]

ку f A(0) = 0, f A(uA) < 0), где Г = {7 Е C([0,1],E) : y(0) = 0,y(1) = uA}. Более того, аналогично [7], [14] можно показать, что fA(u) > е > 0 для ||u|| = r > 0 и ||uA|| > r. Следовательно, существует va Е E такое, что f a(va) > 0. Таким образом, для любого А > А* существует второе нетривиальное решение Va, а уравнение (1) для любого А > А* имеет по крайней мере три решения (нулевое, Ua = 0, Va = 0). Отметим, что решения Ua и Va различны, поскольку fA(uA) < 0, а fA(vA) > 0. Теорема 2 доказана.

2. Приложения

В качестве приложения полученных результатов рассмотрим вопрос существования решений задачи

П

Lu

i,j=1

где А - положительный параметр. Здесь L - равномерно эллиптический формально самосопряженный дифференциальный оператор в ограниченной области П С Rn с границей Г класса С2,а (0 < а ^ 1) с коэффициентами aij Е С1,а(П),с Е С0,а(П); функция g : П х R ^ R суперпозиционно измерима [15], и для почти всех x Е П сечение g(x, •) имеет на R разрывы только первого рода, g(x,u) Е [g-(x, u), g+(x, u)] V u Е R, g-(x,u) = limg(x,n), g+(x,u) = limg(x,n); граничное условие (3) имеет вид: либо усло-

ri^u

вие Дирихле u(x)|r = 0, либо условие Неймана du (x)|r = 0 с конормальной производной

П

(x) = 'Yh aij(x)uxi cos(n,xj), n - внешняя нормаль к границе Г, cos(n,xj) - направля-

L i,j=1

ющие косинусы нормали n, либо третье краевое условие тЩ(x) + o(x)u(x)|r = 0, функция

о Е С1,а(Г), неотрицательна и не равна тождественно нулю на Г.

В зависимости от вида граничного условия (3) определим пространство X. Пусть X = Н1(П), если (3) - граничное условие Дирихле, и X = Н1(П), если (3) - граничное условие Неймана или третье краевое условие. Сопоставим краевой задаче (2)-(3) функционал JA, определенный на X, следующим образом: JA(u) = J1(u) — А/2 (u), где

1 А Г _ . 1

aij(x)uXiuXjdx +- /c(x)u2(x)dx

2 / ^ I ,'J \ / -^г 2

^=1 п п

в случае граничного условия Дирихле или Неймана;

•М«) = 1 %} (хК <ъ +1 /ФУМ* +

г’^=1 п п Г

в случае третьего краевого условия;

и

•2(и) = У dx J д(х, з)^з. п о

Определение 11. Пусть f : R ^ R. Назовем u Е R прыгающим разрывом функции f, если f(u—) < f (u+), где f(u±) = lim f(s).

Определение 12. Сильным решением задачи (2)-(3) называется функция u Е W2(n), r > 1, которая удовлетворяет для почти всех x Е П уравнению (2) и для которой след Bu(x) на Г равен нулю.

Определение 13. Полуправильным решением задачи (2)-(3) называется такое сильное ее решение u, значение которого u(x) для почти всех x Е П является точкой непрерывности функции g(x, •).

В работе [12] вариационное исчисление Кларка применено для локально липшицевых функций к доказательству существования сильных решений задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа второго порядка с разрывной нелинейностью, развит вариационный подход применительно к краевым задачам для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями. Полуправильные решения в работе [12] не рассматривались. В работах [7], [8] получены достаточные условия существования нетривиального полуправильного решения задачи (2)-(3).

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть выполнены условия:

1) J1(u) > 0 Vu Е X;

2) для почти всех x Е П функция g(x, •) имеет только прыгающие разрывы, g(x, 0) = 0 и |g(x,u)| ^ a(x) Vu Е R, где a Е Lq(П), q > n+2, фиксирована;

3) найдется u0 Е X, для которого J2(u0) > 0;

4) если пространство N(L) решений задачи

j Lu = 0,

ненулевое (резонансный случай), то дополнительно предполагается, что lim J2(u) = —то.

Тогда существует А* > 0 такое, что для любого А > А* задача (2)-(3) имеет по крайней мере три сильных решения, причем по крайней мере одно из ненулевых решений является полуправильным.

Теорема 4. Пусть выполнены условия 1), 3), 4) теоремы 3 и дополнительно условия 1') для почти всех x Е П функция g(x, •) невозрастающая на R и для некоторой a Е L 2n (П) справедливо неравенс^тво |g(x,u)| ^ a(x) Vu Е

n+2

2) для почти всех x Е П точки разрыва функции g(x, •) лежат на плоскостях u = ui,

i Е I (I - не более чем счетно), и если g(x,ui—) > g(x,ui+), то g(x,ui—)g(x,ui+) > 0 для любого i Е I.

Тогда существует А* > 0 такое, что для любого А > А* задача (2)-(3) имеет по крайней мере одно ненулевое полуправильное решение.

Доказательство теорем 3, 4. Важным условием, обеспечивающим существование нетривиального решения задачи (2)-(3), является условие 3) теоремы 3. В работах [7], [8] доказано, что при выполнении условий теорем 3, 4 существует А0 > 0 такое, что для любого А > А0 inf JA(v) < 0, и найдется uA Е X, для которого JA(uA) = inf JA(v), и

vEX vEX

любое такое Ua является ненулевым полуправильным решением задачи (2)-(3). Таким образом, найдется и А* > 0 такое, что для любого А > А* существует по крайней мере одно ненулевое полуправильное решение Ua задачи (2)-(3). Теорема 4 доказана. Наличие второго, тривиального, решения задачи (2)-(3) в теореме 3 обуславливается условием 2) теоремы 3 (g(x, 0) = 0 для почти всех x Е П). Отметим, что оператор A : X ^ X,

определяемый равенством

(Au,v) = / ajj(x)uXivxjdx + / c(x)u(x)v(x)dx Vu,v G X

*j=1 n J n

в случае граничного условия Дирихле или Неймана, и равенством

П „

(Au,v) = ^ / ajj(x)uxivXjdx+ j>j=1 n

/ф)и(х)ф),Ь + |„(.)и(.М.)А Vu,v G X

n г

в случае третьего краевого условия, является самосопряженным, линейным и ограниченным. Ядро оператора A совпадает с пространством N(L). Согласно теории Фредгольма отрицательное подпространство оператора A конечномерно и если N(L) = {0}, то нуль — изолированная точка спектра оператора A конечной кратности [16]. Гильбертово пространство X плотно и компактно (в силу условия 2) теоремы 3) вложено в рефлексивное банахово пространство Lp(Q), p = q—j, q > П+2 [17]. Аналогично [7] показывается, что для компактного отображения T : Lp ^ Lq выполнены условия 2)-3) теоремы 1. Итак, все условия теоремы 2 выполнены. Поэтому существует Л* > 0 такое, что для любого Л > Л* задача (2)-(3) имеет по крайней мере три решения. Действительно, применив теорему о горном перевале [12] получим, что для каждого Л > Л* существует также элемент va G X -

критическая точка функционала JЛ такая, что Jл(vA) > 0 (JA(vA) = inf sup Ja(y(t)), где

Yer te[0,1]

Г = {y G C([0,1],X) : y(0) = 0,y(1) = uA}). Итак, в условиях теоремы 3 функционал JЛ имеет по крайней мере три различные критические точки. Таким образом, для любого Л > Л* существует по крайней мере два ненулевых решения задачи (2)-(3). Решение ил будет полуправильным при сделанных предположениях на разрывы нелинейности [7]. Теорема 3 доказана.

Отметим, что в работе [18] получены аналогичные теоремы о числе решений однопараметрического семейства задач Дирихле для уравнений эллиптического типа высокого порядка с разрывными нелинейностями. Доказательство этих теорем может быть также сведено к проверке выполнения условий теорем 1, 2 данной работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. 392 с.

2. Rabinowitz P.H. Some global results for nonlinear eigenvalue problems // J. Funct. Anal. 1971. Vol. 7. P. 487-513.

3. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 396 с.

4. Amann H. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spases // SIAM Review. 1976. Vol. 18. № 4. P. 620-709.

5. Rabinowitz P.H. Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalue problems // Indiana Univ. Math. J. 1974. Vol. 23. № 8. P. 729-754.

6. Rabinowitz P.H. A bifurcation theorem for potentional operators // J. Funct. Anal. 1977. Vol. 25. P. 412-424.

7. Павленко В.Н., Потапов Д.К. О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 4. С. 911-919.

8. Потапов Д.К. О существовании луча собственных значений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями в критическом случае // Вестн. С.-Петерб. ун-та.

Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2004. Вып. 4. С. 125— 132.

9. Потапов Д.К. Оценка бифуркационного параметра в спектральных задачах для уравнений с разрывными операторами // Уфимск. матем. журн. 2011. Т. 3. № 1. С. 43-46.

10. Потапов Д.К. Оценивание норм оператора в задачах на собственные значения для уравнений с разрывными операторами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11. Вып. 4. С. 41-45.

11. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. 1994. № 1(2). C. 87-95.

12. Chang K.C. Variational methods for non-differentiable functionals and their applications to partial differential equations // J. Math. Anal. and Appl. 1981. Vol. 80. № 1. P. 102-129.

13. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 588 с.

14. Павленко В.Н., Винокур В.В. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Изв. вузов. Матем. 2001. № 5. С. 43-58.

15. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. 272 с.

16. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 424 с.

17. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1982. 336 с.

18. Потапов Д.К. О числе полуправильных решений в задачах со спектральным параметром для уравнений эллиптического типа высокого порядка с разрывными нелинейностями // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 3. C. 447-449.

Дмитрий Константинович Потапов,

Санкт-Петербургский государственный университет,

Университетская наб., 7/9,

199034, Санкт-Петербург, Россия E-mail: potapov@apmath. spbu .ru