Нечеткая кластеризация элементов множества полных ортогональных семантических пространств

Литература

1. Кофман А., Хил Алуха X. Введение теории нечетких множеств в управление предприятиями. -Минск: Вышэйшая школа, 1992.

2. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости. - М.: Диалог-МГУ, 1998 - 116 с.

3. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. - М.- Л.: ОНТИД936.

4. Ширяев А.Н. Вероятность. - М.: Наука, 1980. - 576 с.

5. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. - М.: Финансы и статистика, 1987. - 350 с.

6. Недосекин А.О., Максимов О.Б. Анализ риска банкротства предприятия с применением нечетких множеств // Вопросы анализа риска. - 1999. - № 2-

3.

7. Недосекин А.О., Максимов О.Б. Анализ риска инвестиций с применением нечетких множеств // Управление риском. - 2001. - № 1.

8. Орлов А. И. Заводская лаборатория. - 1990. - Т. 56, №3.-С. 76-83.

9. Zadeh L.A.. Fuzzy sets // Inform. And Control - 1965-№8,-P. 338-352.

10. Аверкин A.H., Батыршин И.З., Блишун А.Ф., Силов В.Б., Тарасов В.Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.-312 с.

11. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. - Рига: Зинатне, 1990. - 184 с.

12. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной / Под ред. Д.А. Поспелова- М.: Наука, 1986.-311 с.

13. Chiu-Keung Law. Using fuzzy numbers in educational grading system // Fuzzy Sets and Systems.- 1996 - № 83.-P. 311-323.

14. Полещук O.M. Некоторые подходы к моделированию системы управления образовательным процессом // Телекоммуникации и информатизация образования. - 2002. - № 3 (10). - С. 54-72.

15. Полещук О.М. Нечеткая регрессионная модель прогноза успеваемости обучающихся // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. -Т. 9, Вып. 2.-С. 435-436.

16. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Ретинская И.В. О тенденциях развития систем обработки информации в образовательной среде // Качество. Инновации. Образование. - 2002. - № 1.

17. Домрачев В.Г., Полещук О.М. О системном подходе к повышению качества образовательных услуг // Качество. Инновации. Образование. - 2002. - № 3.

18. Домрачев В.Г., Петров В.А., Полещук О.М. Лингвистические переменные в задачах кадрового отбора // Лесной вестник. - 2001. -№ 5 (20). - С. 192-197.

19. Домрачев В.Г., Полещук О.М. О нечетком кластер-анализе на основе полных ортогональных семантических пространств // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. С.П. Королева. - 2002. - Вып. 6. - С. 52-53.

НЕЧЕТКАЯ КЛАСТЕРИЗАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МНОЖЕСТВА ПОЛНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СЕМАНТИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

О.М. ПОЛЕЩУК, доцент МГУЛа, к. ф.-м.

И. А. ПОЛЕЩУК, кафедра интеллектуальных систем МГУ

В статье [1] изложены методы построения функций принадлежности полных ортогональных семантических пространств (ПОСП). Пусть в рамках одного из этих методов построены к ПОСПХ , г = 1,к, с функциями принадлежности терм-множеств {/л„(х), 1 = 1 ,к,1 = 1,ш}.

Все к ПОСП построены в результате обработки информации, полученной в ходе проведения одной из следующих процедур:

1) оценивание к экспертами проявлений качественного признака у объектов некоторой совокупности;

2) оценивание экспертом проявлений качественного признака у объектов к совокупностей.

Задачи построения ПОСП в рамках обработки информации процедур 1) и 2) можно считать двойственными задачами.

Обозначим за Е‘, Н* = {х., і = 1,к]

множество к ПОСП, построенных в результате обработки информации одной из процедур 1, 2.

Пусть

* = Ы, (*). 1 = Ъгп] , (х) 3 ( а', а[, а[, а[),

1 = 1 ,к - элементы Н*; ц„(х),1 = 1,т-, I = 1,к -

имеют в рамках методов [1] трапецеидальный вид и соответственно являются функциями принадлежности Г-чисел;

а,",а'',а",я" - называются параметрами Г-чисел. Отрезок [а“,а“] называется интервалом толерантности, а а{ и а"- соответственно левым и правым коэффициентами нечеткости.

Введем количественные показатели, характеризующие степень различия или сходства между элементами множества Е‘.

Определения показателей даются для универсального множества II = [0Д]. Если универсальным множеством является другой отрезок, то линейными преобразованиями этот отрезок приводится к и = [ОД]. Все показатели являются новыми и вводятся впервые.

Определение 1. Показателем различия в рамках /-го терм-множества двух элементов множества Е1 с функциями принадлежности терм-множеств = 1,т);

К (л), I = 1, т\ г = 1, к, у = 1, к , называется

,(*)}&0

I

г = 1 ,к, у = 1 ,к, (нормированное расстояние Хемминга).

Минимальное значение й

равно 0, это значит, что два ПОСП в рамках /-го терм-множества полностью совпадают

равно 1, это значит, что два ПОСП< в рамках /-го терм-множества максимально различаются: у функций принадлежности /л.,, ц нет

точек пересечения.

Определение 2. Показателем сходства в рамках /-го терм-множества двух элементов множества £‘ с функциями принадлежности терм-множеств (дДх),/ = 1,т}; {дДх),/ = 1 ,т\ г = 1 ,к, ] = 1, к, называется

к!. = 1-</(ил,/*Д| = 1,*, 7 = 1,Л.

= 0 в случае отсутствия сходства

(максимальное отличие в рамках 1-то терм-множества), и к[. = 1 в случае полного сходства - максимальное сходство в рамках /-го терм-множества.

Определение 3. Показателем различия двух элементов множества Е‘ с функциями принадлежности терм-множеств

{,Ц,(х),/ = 1,т};

{/л.,(х),/ = 1 ,т} г = 1 ,к, 7 = 1,к , называется

1 Л

/ Ы1 о

1 = 1,к, 7 = 1Д •

Минимальное значение с1

равно 0 (два ПОСП полностью совпадают), а максимальное значение равно

= 1

(два ПОСП максимально различаются).

Определение 4. Показателем сходства двух элементов множества Е* с функциями принадлежности терм-множеств

{иЛх)’1 = 1>т);

{,/и(х), I = 1, т} г = 1, £, 7 = 1 ,к , называется

^ = 1-^(х(,ху), / = й, 7 = й.

к. =0 в случае отсутствия сходства (максимальное различие), и к = 1 в случае

полного сходства.

Определение 5. Показателем согласованности в рамках /-го терм-множества двух элементов множества Е*с функциями принадлежности терм-множеств \11а{х),1 -\,т}\

{д{х),I = 1,т\ г = 1,к, 7 = 1 ,к , называется

^ Площадь^,, п^,) —

К. — / ч ? I — 1, /С, у — 1,/С.

' Площадъщ, и ;

Минимальное значение к\ равно О

(максимальная несогласованность в рамках /-го терм-множества), а максимальное значение равно 1 (полная согласованность или полное совпадение в рамках 1-то терм-множества).

Определение 6. Показателем согласованности двух элементов множества З' с

функциями принадлежности терм-множеств {^„(х),/ = 1,т};

{/а,,(х),I = 1,т\ г = 1 ,к, 7 = 1 ,к , назы-

вается

Площадъ{}111 п )

' Площадь(д., и )’

г = 1,&, 7 = 1,&.

Минимальное значение к\. равно О

(максимальная несогласованность), а максимальное значение равно 1 (полная согласованность или полное совпадение ПОСП).

Выбор показателя сходства или показателя согласованности при анализе информации зависит от поставленной задачи. Если ставится задача определения сходства двух элементов множества 5* в рамках терм-

множеств с наибольшими носителями, то рекомендуется применение показателя сходства. Если ставится задача определения сходства двух элементов множества Е‘ равномерно

в рамках всех терм-множеств, независимо от величины их носителей, то рекомендуется применение показателя согласованности.

Все определения показателей даны в общей формулировке. В рамках постановки той или иной задачи все показатели приобретают более конкретное звучание.

1. Если ПОСП построены на основании данных г-го и 7-го экспертов

(г = 1, к, 7 = 1, к) относительно оценивания ими некоторой совокупности объектов (в рамках качественного признака), то опреде-

ленные выше показатели трактуются соответственно как показатели различия (сходства, согласованности) в рамках 1-то терм-множества подходов г-го и 7-го экспертов к оцениванию этого признака в рамках данной совокупности объектов или показатели различия (сходства, согласованности) общих подходов г-го и 7-го экспертов к оцениванию этого признака в рамках данной совокупности объектов.

2. Если ПОСП построены на основании данных эксперта (группы экспертов) относительно оценивания ими г-й и 7-й совокупностей объектов (г = \,к, 7 = \,к) в рамках одного качественного признака, то определенные выше показатели трактуются соответственно как показатели различия (сходства, согласованности) г-й и 7-й совокупности объектов относительно оцениваемого признака в рамках 1-то терм-множества или показатели различия (сходства, согласованности) г-й и 7'-й совокупности объектов относительно оцениваемого признака. Предполагается, что подход эксперта (группы экспертов) к оцениванию всех совокупностей оставался неизменным.

Определение 7. Общим показателем согласованности элементов множества Е‘ с

функциями принадлежности {//„(х),/ = 1,т} / = 1,к , называется

^ 1 у Площадь

ш ш Площадь

Минимальное значение к равно О (максимальная несогласованность), а максимальное значение равно 1 (полная согласованность или полное совпадение ПОСП).

Пример 1. Фирма производит продукцию «высшего сорта», «1-го сорта», «2-го сорта» и «3-го сорта». За определенный временной период произведено 523 единицы продукции «высшего сорта», 1 084 единицы продукции «1-го сорта», 857 единиц продукции «2-го сорта» и 379 единиц продукции «3-го сорта». Пять независимых экспертов проводили оценку качества выпускаемой продукции и получили следующие результаты:

Таблица 1

Номер эксперта Высший сорт 1-й сорт 2-й сорт 3-й сорт

1 480 1102 903 358

2 501 870 1200 272

3 497 989 920 437

4 478 1007 969 389

5 428 993 931 491

Таблица 2

Номер эксперта Высший сорт 1-й сорт 2-й сорт 3-й сорт

1 0,169 0,387 0,318 0,126

2 0,176 0,306 0,422 0,096

3 0,175 0,348 0,324 0,153

4 0,168 0,354 0,341 0,137

5 0,151 0,350 0,327 0,172

На основе метода [1] получаем следующие ПОСП (рис. 1-5).

ПОСП 1-го эксперта

0,063 0,189 0,285 0,603 0,7465 0,9155 1

Рис.1

Выпишем параметры функций принадлежности ПОСП 1-го эксперта: =

/г13 =

ПОСП 2-го эксперта

Рис. 2

Выпишем параметры функций принадлежности ПОСП 2-го эксперта: Н-2, =

=

ПОСП 3-го эксперта

Рис. 3

Выпишем параметры функций принадлежности ПОСП 3-го эксперта:

=

ПОСП 4-го эксперта

Рис. 4

Выпишем параметры функций принадлежности ПОСП 4-го эксперта: М4| =

=

ПОСП 5-го эксперта

Выпишем параметры функций принадлежности ПОСП 5-го эксперта: ц51 =

На = (0,258,0,3355, 0,172,0,327); ц,„ = (0,6625, 0,7735,0,327,0,151);

= (0,9245,1,0,151,0), Построенные ПОСП являются элементами множествами Е5. На основании полученных данных показатель согласованности к всех элементов множества Е3 равен 0,7. Исходя из этого, можно сделать вывод, что среди экспертов нет некомпетентных (так как значение к не близко к нулю) и привлечение группы экспертов оправдано, поскольку сама процедура оценивания не является примитивной (так как значение к не приближено вплотную к 1), для проведения которой вполне достаточно единственного эксперта.

Показатели попарного сходства и показатели попарной согласованности элемен-

тов множества Е 5 запишем в виде матриц:

( 1 0,890 0,935 0,954 0,882''

0,890 1 0,901 0,912 0,882

( )= 0,935 0,901 1 0,971 0,938 »

0,954 0,912 0,971 1 0,926

^ 0,882 0,882 0,938 0,926 1 )

( 1 0,819 0,875 0,923 0,792'

0,819 1 0,812 0,834 0,768

( к, ) = 0,875 0,812 1 0,938 0,884

0,923 0,834 0,938 1 0,858

0,792 ч 0,768 0,884 0,858 1 /

Как видно из этих матриц, к15 = К

(показатель сходства ПОСП первого и пятого экспертов равен показателю сходства ПОСП второго и пятого экспертов), а к15 Ф к25 (показатели согласованности ПОСП

этих же экспертов различаются). Объясняется это тем, как уже отмечалось, что показатели сходства характеризуют степень похожести ПОСП в рамках наиболее представительных (наиболее мощных) терм-множеств, а показатели согласованности характеризуют степень похожести в рамках всех терм-множеств независимо от их мощности.

Замечание к примеру 1. Найденные показатели сходства и согласованности элементов множества Е1, возможно, не дают достаточно точной картины сходства и согласованности между критериями, которыми руководствовались пять экспертов в процессе оценивания, поскольку отсутствует информация относительно оценок экспертов по каждому конкретному объекту оцениваемой совокупности.

Однако следует отметить, что подобная информация может быть недоступна по тем или иным причинам. Например, когда происходит оценивание достаточно большого количества объектов, которым не присвоены идентификационные номера. Вместе с тем, используя введенные авторами показатели, представляется возможным получить количественные характеристики, которые могут быть уточнены в случае необходимости на данных меньшего объема.

Обратимся к необходимым сведениям из теории нечетких отношений. Нечеткие отношения играют фундаментальную роль в задачах, решения которых опираются на методы теории нечетких множеств, и в задачах, решения которых традиционно опираются на теорию обычных (четких) отношений [2-6]. Как правило, аппарат теории четких отношений используется при качественном анализе взаимосвязей между объектами исследуемой системы, когда взаимосвязи носят дихотомический характер и, исходя из этого, могут быть проинтерпретированы в терминах «связь отсутствует», «связь присутствует» либо когда методы количественного анализа взаимосвязей по каким-либо причинам неприменимы, и взаимосвязи искусственно приводятся к дихотомическому виду [7]. Например, когда величина связи между объектами принимает значения из ранговой шкалы, выбор порога на силу связи позволяет преобразовать связь к требуемому виду.

Однако подобный подход, позволяя проводить качественный анализ систем, приводит к потере информации о силе связей между объектами либо требует проведения вычислений при разных порогах на силу связей. Этого недостатка лишены методы

анализа данных, основанные на теории нечетких отношений [7], которые позволяют проводить качественный анализ систем с учетом различия в силе связей между объектами системы.

Определение 8. Обычным (четким) и-арным отношением И между множествами Х1,Х2,...,Хп называется подмножество де-

картового произведенияX1 хХ2 х...х X :

Ес Х1хХ2х...хХа.

Определение 9. Нечетким п-арным отношением Я между множествами X,, X,,... ,Х называется нечеткое множество

I 7 2 7 ’ а

И, такое, что Х|хХ,х...хХ<

/^(х,,х2,...,х )е [ОД];

X, = {*,}, Х2 = ={х„} - обычные мно-

жества.

Определение 10. Нечетким бинарным отношением Л между множествами Х,У называется нечеткое множество /?, такое, что У(х,у)е X хУ цк(х,у)е [од], X -{х},У = {у} - обычные множества.

Если множества Х,У конечны -

X = {х„х2..Г = {у,,у,,...,у,,,}, то нечеткое

бинарное отношение 7? может быть задано с помощью его матрицы отношения /?, строкам и столбцам которой ставятся в соответствие элементы множеств Х,У, а на пересечении г-й строки и у-го столбца помещается элемент цк(х.,у.). Таким образом,

'дД.у.) ^Лх,>Уг) - иАхпУ,„У

^ _ И'к^г-’У \) г) Мя

ч/**

Определение 11. Нечетким бинарным отношением К на множестве X называется нечеткое множество Я, такое, что \/(х,у)е X х X /гя(х,у)е [ОД].

Определение 12. Нечеткое бинарное отношение К, принадлежит нечеткому бинарному отношению Я,, если для Ухе Х,УуеУ

М,(х,у)<^(х,у).

Определение 13. Нечеткое бинарное отношение Я называется рефлексивным, если ця(х,х) = 1,\/хе X.

Определение 14. Нечеткое бинарное отношение называется симметричным, если [1к(х,у)= ц„(у,х),Ух,уе X.

Одно из важных свойств нечетких бинарных отношений состоит в том, что они могут быть представлены в виде совокупности обычных бинарных отношений, упорядоченных по включению и представляющих собой иерархическую совокупность отношений [7]. Разложение нечетких бинарных отношений на совокупность обычных бинарных отношений основано на понятии а -уровня нечеткого бинарного отношения.

Определение 15. а -уровнем нечеткого бинарного отношения К называется обычное отношение Яа, определяемое для всех а следующим образом:

К = {(*. у)е х хФ,(*> «}•

Согласно теореме о декомпозиции [7] нечеткое бинарное отношение Л можно представит в следующем виде:

Я = и аЯ

ИЛИ

где

Ряа(х) =

л(*) = _У„(аМ*)).

|1, х)>а\

[0, (х) < а.

Определение 16. Нечетким бинарным отношением сходства называется рефлексивное симметричное нечеткое бинарное отношение.

Определение 17. Нечеткое бинарное отношение Я называется транзитивным, если Мй(х,г)> дй(х,у)л^(у,г)Ух,у,ге X.

Определение 18. Нечетким бинарным отношением подобия называется транзитивное нечеткое бинарное отношение сходства.

В реальных условиях требование транзитивности чаще всего бывает трудновыполнимым. Если пользоваться экспертным опросом при построении отношения подобия, то необходимо требовать от экспертов тран-

зитивных ответов. Многочисленные практические результаты [8] говорят об обратном -реальные результаты экспертных опросов чаще всего нетранзитивны.

Однако в приложениях нечетких отношений большое значение играют именно транзитивные отношения. Транзитивные отношения обладают многими удобными свойствами и определяют некоторую правильную структуру множества, на котором они заданы. Например, если отношение Я на множестве X характеризует сходство между объектами, то транзитивность такого отношения - отношения подобия - обеспечивает возможность разбиения множества X на пересекающиеся классы (кластеры) подобия.

Пусть Я - отношение подобия. Тогда [7] Я = тахссхЯ. где Я - отношение эк-

а а а

вивалентности в смысле обычной теории множеств.

Таким образом, для решения задач нечеткого кластерного анализа большой интерес представляет возможность преобразования исходного нетранзитивного отношения в транзитивное. Такое преобразование обеспечивает операция транзитивного замыкания, которая впервые была рассмотрена в [9, Ю].

Определение 19. Транзитивным замыканием нечеткого бинарного отношения называется отношение

Я = ЯиЯ2иЛ3иЯ‘и..., где отношение Як определяется рекурсивно: /?2 = /? ° я, я* = я о /г*1, к = з, 4,...

В [7] доказано, что транзитивное замы-

А

кание Я любого нечеткого отношения Я тран-зитивно и является наименьшим транзитивным отношением, включающим Я, то есть

А

Я О: Я и для любого транзитивного отношения Т, такого,что йсТ следует Я сТ .

Применение нечетких отношений в кластерном анализе впервые обсуждалось в работах [11, 12]. В [9] вскоре после этих работ была предложена процедура кластеризации, основанная на транзитивном замыкании исходного отношения сходства, получаемого в результате опроса экспертов. В [13] пред-

ложена процедура кластеризации на основе транзитивного замыкания нечеткого отношения сходства.

Определим на множестве 3‘ нечеткие отношения сходства.

Утверждение 1. Нечеткие множества Я1,Яг,Я^,Ял с функциями принадлежности соответственно

ц„Хх„х1)=^,Мл2(х,.,х;)=

= КА (* -*;)= К' Д.4 (*-*;)=<• г = 1Д,;' = \,к,1 - 1,т , задают на 3* нечеткие

отношения сходства.

Доказательство утверждения 1. Докажем для Яр,р = 1,4 свойства рефлексивности и свойства симметричности.

1 1,1 !•

= !-</(*,= 1-2 Е /КМ"= 1;

1 о

я

(Х,Х)=К - 1 уЯл0И*°дь(^ПЦ>).з1;

! ' ’ ' “ т ш Площадь

л,(х„дг>*; ч-льи)-1 *

= 1------------| |д ( (*)_ ^ [х~рх = 1 ;

2^„(х))Ьс

О

(у у

1ЬющадьЬ,иЦ')~

Таким образом, Яр,р = 1,4 рефлексивны. Докажем их симметричность:

/^(х„х>1-ед,ху) =

1 _'**. <•

= 1-2Х /М*)-^М^ =

I" 1 о

1 III

= 1~оЕ /К =

1 1-1 о

= 1-е1(Х,,Х1) = м*(х,,Х1);

л, (*,.*>

1 -Г-1 Площадь^ пИл) _

т Площадь

_ 1 УЧ Площадь^, пд,) / ч т ^Площадь^ и) *3 р ‘

= 1--

1

о

I

2|М*)+М ,(л')М* °

О

= 1 - ^ ) = лгЯ2 (X., X,);

Площадь(и,, п р.^

Л

,М>

~Площадь{р.и и Ил)

'»> _ Л'

_ Площ<лдъ{цл п М,() _ /„

Площадь(ц;, и^] "4

Таким образом, /?о,р = 1,4 симметричны. Утверждение доказано.

Определение

20.

Элементы

X,, А’.,,.,.,Хв, <?<& множества Е* будем называть подобными (относительно отношения подобия $,,р~ 1,4) с уровнем доверия

а е (ОД), если для всех X., X .г = 1, «у, ] -1, ц, выполняется соотношение и.(х,,х ,)>а.

Постановка задачи 1. На основе нечетких отношений сходства К.р = \,4 произвести нечеткую кластеризацию элементов Е“„.

Решение задачи 1. В утверждении 1 доказано, что

-х^) =

= *2. /ч» (*„*,)» м* {х,. х> <,

11- ]Д; ] ~ 1,к; I - 1,т, являются значениями функций принадлежности отношений сходства Е^р- 1,4. определенных на Е‘. Составим для этих отношений матрицы отношения сходства;

1 ^.дА^Х,) . . . цЯр

Н

Е

МХ2>Х»)

1

р = 1,4.

Очевидно, что в общем случае построенные отношения сходства не являются транзитивными, поэтому построим транзи-

тивные замыкания отношений сходства Я,, р = 1,4. Пусть Яр,р = Та- транзитивные

замыкания отношений сходства Я , р = 1,4, с

матрицами

( 1 /**,(Х„Х,) . . . ^(Х„х„)'

. цк

^ „ п/> Ая

^(Х,,Х„)    1

р = м.

Согласно определению 18 нечеткие отношения , р = 1,4, являются нечеткими отношениями подобия и матрицы отношений подобия #о,р = 1,4. можно декомпозировать на отношения эквивалентности:

/г

шах

' 1   • О'

<5,2 1 . • • 8*

а

Л <5»  • ' 1 1

0 — —

где 5,~< л - \,к:к = 1,л .

Д

Таким образом, в зависимости от а -уровня множество Е‘ может быть разбито на

классы (кластеры) подобных с уровнем доверия а.

Пример 2. Обратимся к условию примера 1 и произведем кластеризацию множества Е5, используя показатели сходства и согласованности, Начнем с показателей сходства. Составим матрицу отношения сходства К, на основе показателей к , , / = 1,5;,/ = 1,5 :

' 1 0,890 0,935 0,954 0,882л

0,890 1 0,901 0,912 0,882

Д,= 0,935 0,901 1 0,971 0,938

0,954 0,912 0,971 1 0,926

0,882 0,882 0,938 0,926 1

\ /

Полученная матрица не является транзитивной, поэтому найдем ее транзи-

А

тивное замыкание К :

*.=

Я.

шах

1 0,912 0,954 0,954 0,938^

0,912 1 0,912 0,912 0,912

0,954 0,912 1 0,971 0,938

0,954 0,912 0,971 1 0,938

ч 0,938 0,912 0,938 0,938 1

Декомпозируем Л, на отношения эквивалентности:

Г1 0 1 1 о4

0 10 0 0 1 0 1

1 0 1

[0 0 0 0 1

(1 1 1 1 л (1 0 1 1 г

1 1 1 1 1 0 1 0 0 0

0,912 1 1 1 1 1 ; 0,938 1 0 1 1 1 ; 0,95

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1

1 1 V 1 I 1 I1 0 1 1 1,

'1 0 0 0 (\ 0 0 0 о\

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0,97110 0 1 1 0 ; 1 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 ] 0

0 0 0 0 1 У 0 0 0 0 1

1 о 1 о

Таблица 3

(X -уровень Кластеры

0,912 (1,2,3,4,51

0,938 {1.3,4,5 },{2}

0,954 {1,3,4},{2},{5}

0,971 {МЫШ2Ы5}

1 1 .... {1_},{2}ЛЗЬ{4)Л5}

Л,

Составим матрицу отношения сходства К на основе показателей к„А ~ 1,5;;'= 1,5:

' I 0,819 0,875 0,923 0,792^

0,819 1 0,812 0,834 0,768

0,875 0,812 1 0,938 0,884

0,923 0,834 0,938 ! 0,858

. 0,792 0,768 0,884 0,858 I

Полученная матрица не является транзитивной, поэтому найдем ее транзитивное замыкание Я,

' 1 (Ш4 0,923 0,923 0,884^

0,834 1 0,834 0,834 0.834 !

1

0,923 0,834 1 0.938 0,884 I.

К

\ 0,923 0,834 0,938

1

0,884 !

0,884 0,834 0,884 0,884

V — • ......’... ' ‘ У

Декомпозируем Я, на отношения эквивалентности:

Я, = тах

(\ 1 1 1 1^ (\ о ] 1 п 1 (1 0 1 1 0^

1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0,834 1 1 1 1 1 ; 0,884 1 0 1 1 1 ; 0,923 1 0 1 1 0

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0

1 1 1 \ 1 1 У 1 V 0 1 1 1 у 0 ч 0 0 0 1 )

(\ 0 0 0 °1 Г1 0 0 0 °у

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 ;1 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 1 0

0 \ 0 0 0 1 / 0 \ 0 0 0 1 л

Таблица 4

ОС -уровень Кластеры

0,834 {1,2,ЗЛ5}

0,884 {1,3,4,5},{2}

0,923 {1,3,4),{2},{5}

0,938 {3,4}, {11,{2},{5}

1 {1 },{2},{3},{4},{5}

Литература

1. Полещук О.М. Методы представления экспертной информации в виде совокупности терм-множеств полных ортогональных семантических пространств // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. -2002. - № 5.

2. Кузьмин В.5, Построение групповых решений в пространстве четких и нечетких бинарных отношений. - М.: ВНИЙСИ. - 1982. - 63 с.

3. Литвак 5.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа. - М.: Радио и связь, 1982. - 184 с.

4. Миркин Б.Г. Анализ качественных признаков и структур. -- М.: Наукч. - 1982. - 286 с.

5. Заде Д.А. Размытые множества и их применение в распознавании образов в кластер-анализе // Кяассифишшя и кластер / Под ред. Дж. Вэн Рай-зин - М., 1980. - С. 208 - 247.

6. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной / Под ред. Д.А. Поспелова -М.: Наука.. 1986. -311 с.

7. Аверкин А.Н., Батыршин И.З., Блишун А.Ф., Си-лов В.Б., Тарасов В.Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта.-М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. - 312 с.

8. Литвак Б.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа. - М.: Радио и связь, 1982. -184 с.

9. Tamura S., Higuchi S., Tanaka К. Pattern classification based on fuzzy relations // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. 1971. V. SMC-1. P. 61-66.

10. Zadeh L.A. Similarity relations and fuzzy orderings // Information Sciences. 1971. V. 3. P. 177 - 200.

31. Ruspini E.H. A (tew approach to clustering // Information and Control. 1969. V. 15. P. 22 - 32.

12. Ruspini E.H. Numerical methods for fuzzy clustering // Information Sciences. 1970. V. 2. P. 319 - 350.

13. Домрачев В.Г., Полещук О.М. О нечетком кластер-анализе на основе полных ортогональных семантических пространств // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. С.П.Королева. -- 2002. - Вып. 6. - С. 52 - 53.

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ А.М. ЛЕЖАНДРА НАХОЖДЕНИЯ ОБЩЕГО ПОДХОДА К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ВЫЧИСЛЕНИЮ ОБЫКНОВЕННЫХ, ПОВТОРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

К 150-летию со дня рождения Адриена Мари Лежандра.

Н.А. ГОЛЬЦОВ, кафедра высшей математики МГУЛа

В 1826 году А.М. Лежандр в своем трак- иметь возможности вычислять последова-тате, подводящем итоги сорокалетних тельные значения функции /(х), определяе-исследований в области анализа, писал: мой обыкновенными дифференциальными

«...Было бы желательно при помощи рядов уравнениями (ОДУ-р) первого порядка или