Ускорение сходимости итерационного алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений, описывающих многоканальный сегмент ИС ОВД

Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА

И УПРАВЛЕНИЕ

О.М Булгаков, М.Ю. Пакляченко

доктор технических наук, профессор

УСКОРЕНИЕ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОГО АЛГОРИТМА

РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ МНОГОКАНАЛЬНЫЙ

СЕГМЕНТ ИС ОВД

CONVERGENCE ACCELERATION OF THE ITERATIVE ALGORITHM FOR FINDING THE SOLUTION OF THE LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS DESCRIBING THE SEGMENT OF DEPARTMENTAL INFORMATION SYSTEM

Предложена модификация итерационного способа нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений, описывающих сегмент информационной системы ОВД с параллельной структурой. Приведены аналитические выражения для вычисления параметра, обеспечивающего сокращение числа итераций, затрачиваемых на нахождение решения с заданной точностью.

A modified iterative method for finding the solution of the linear algebraic equations describing the segment of departmental information system with parallel structure is proposed. The analytic expressions for determine a parameter that reduce the number of iterations for finding a solution with target accuracy are given.

При моделировании некоторых сегментов информационных систем органов внутренних дел (ИС ОВД) методологической базой может выступать изоморфноколлективный подход. Он наиболее применим при представлении архитектуры подсистемы ИС совокупностью унитарных (изоморфных) объектов, соединенных параллель-

178

Информатика, вычислительная техника и управление

но по входу и выходу и находящихся во взаимосвязи друг с другом (например, параллельно и взаимно соединенные автоматизированные рабочие места операторов центра обработки данных, параллельно соединенные многокаскадные каналы передачи информации с межканальной переадресацией).

Для решения задач распределения потоков данных по таким объектам ИС ОВД могут применяться численные методы, основанные на составлении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), описывающих характеристики телекоммуникационных подсистем. С учетом компьютерной реализации для решения СЛАУ эффективным способом является применение итерационных методов. В свою очередь, последовательность итерационных процедур до момента сходимости решения может имитировать функционирование ИС с параллельными каналами, в частности моделировать механизмы саморегуляции и реакцию на динамические воздействия с учетом неоднородности характеристик каналов и межканального взаимодействия.

Рассмотрим итерационный алгоритм расчета распределения входного потока данных по параллельным каналам сегмента ИС ОВД (рис. 1).

Рис. 1. Блок-схема итерационного алгоритма решения СЛАУ с процедурой ускорения

сходимости

Работа данного алгоритма, основанного на принципах приближенного нахождения решения СЛАУ, но не являющегося разновидностью классических итерационных методов для системы, вида

А  и = b,

преобразованной в эквивалентную систему:

и = В - и + с,

может интерпретироваться как пошаговое воспроизведение реакции сегмента ИС ОВД, представленного количеством N параллельных каналов на внешнее воздействие, описываемое функцией Хевисайда, т.е включение. Так, очевидный интерес представляет задача нахождения данных в системе с неоднородными межканальными взаимодействиями таких, что обеспечивается условие равномерной загрузки каналов = const,

і = ХЛ.

На каждой итерации данного алгоритма отображается взаимовлияние и изменение величин параметров А

ц00 = в -f с

в нашем случае тождественна:

л 00

м - X

179

Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014

где M — известная и заранее определенная матрица коэффициентов взаимосвязи (коэффициентов передачи или пропускной способности) между каналами сегмента. По завершении работы алгоритма, т.е при достижении заданной точности, решение СЛАУ представляется набором значений А^ и одним общим значением

Будем считать взаимные характеристики каналов системы, численно отражаемые компонентами массива коэффициентов М, заранее известными.

Начальное приближение искомой величины численных значений потока данных в канале задается из условия

.(О =

АО

АГ

/ = 1, N — порядковый номер канала в системе, N — размер СЛАУ, АО — сумма ком-Л<0

понентов вектора А1- . Для простоты полагаем АО = N.

ЛЮ

на каждом из соединенных параллельно каналов сегмента вычисляется по

(3), компоненты вектора начального приближения У(0) — нули.

Необходимым условием сходимости итерационного процесса (2) является такое, при котором модуль собственных чисел матрицы системы М не превысит единицу [1]. Зачастую в рамках технической задачи соответствующая матрица коэффициентов взаимосвязи М может не удовлетворять данному требованию.

Для обеспечения сходимости решения формируются служебные массивы 5 и ЛЮ ~

СУ , на нулевой итерации значения их элементов численно равны единице, и вычисля-

ется нормировочный коэффициент С2^.

На последующих итерационных этапах

ЛЮ

где тахУУ J — максимальный по значению компонент из вектора чисел величины за-

i 1

груженности канала сегмента ИС ОВД на текущем к-ом шаге, Z — значение «ускорителя», предназначенного для сокращения числа циклов нахождения решения.

Введение ускоряющих процедур в алгоритм вида рис. 1 при его использовании для имитации переходных процессов в сегментах ИС с параллельной структурой и взаимосвязями между каналами может интерпретироваться как управление переходными процессами, направленное на сокращение времени установления стационарного режима. Нормировочный коэффициент ;

С1(к) = Л CW'

используется для формирования компонентов вектора X.

следующего приближения:

7 C2W

Условием остановки итерационного процесса вычислений является достижение некоторой точности решения, задаваемой, например, малым числом є. В нашем случае

А

(А+1) _ Л0-*0

180

Информатика, вычислительная техника и управление

с учетом требований строгого равенства У* = Yj, i,j = 1, N целесообразно сравнивать є с максимальной разностью в значениях загруженности канала ИС:

iyw =

max Ь

Isij'sJV 1

W

-К

W1

или, с учетом нормировки:

тахУ/*9

— 1 < £.

min У

00

Характеристиками предлагаемого способа решения, как и любой итерационной процедуры нахождения корней СЛАУ, являются устойчивость и сходимость. Качественным показателем сходимости выступает факт получения решения при точности є, а количественным показателем может быть число итераций v, за которое будет достигнута желаемая точность.

С учетом того, что единственными известными значениями для алгоритма решения СЛАУ выступают коэффициенты матрицы М и требуемая точность г, скорость сходимости и устойчивость решения будут определяться ими.

Сформируем симметричную матрицу коэффициентов взаимосвязи (взаимной проводимости) каналов М, состоящую из элементов, убывающих по экспоненциальному закону:

ті = е~^

где pL — коэффициент, определяющий степень неоднородности элементов последовательности (или коэффициентов в строке матрицы М), отождествляемый, например, со значением декремента межканального затухания, і = 1, N— порядковый номер канала в системе, N — размер матрицы. Таким образом, /і отражает уменьшение взаимодействия между соседними каналами с номерами і и і Т 1.

Ранее [2] была исследована работа алгоритма (рис. 1) при различных значениях величин ц и N. Скорость сходимости для матриц с большими значениями /і была достаточно высока, а количество итераций v, затрачиваемых на решение СЛАУ при увеличении размера матрицы системы и при фиксированном /і, достигало постоянной величины v;.

Зависимости v(A) представляют собой убывающие последовательности вида (11), по аналогии с тахУ.^ / тіпУ.^. Для /і < ОД решение расходится. Это объясняется тем, что в соответствии с [ 1 ] необходимым условием сходимости выступает требование к значению определителя матрицы: det (М) Ф 0. Для матриц с \i < ОД значение определителя близко к нулю.

Для характеристик итерационного решения вводят понятие числа обусловленности матрицы:

cond

которое характеризует степень зависимости относительной погрешности решения от погрешности входных данных (]|Af || — какая-либо норма матрицы). Важно, чтобы порядок cond (М) был близок к единице [1].

Приведем пример матриц с параметрами = ОД; = 5 и ц2 = 1; N2 = 10.

181

Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014

М? =

М1 =

( 1

0,3678

0,1353

0,0497

0,0183

0,0067

0,0024

0,0009

0,0003

V

/ 1

0,905

0,819 0,741 \ 0,67 0,3678 1

0,3678 0,1353 0,0497 0,0183 0,0067 0,0024 0,0009

0,905

1

0,905

0,819

0,741

0,819

0,908

1

0,905

0,819

0,741

0,819

0,905

1

0,905

/

0,1353

0,3678

1

0,3678

0,1353

0,0497

0,0183

0,0067

0,0024

0,0497

0,1353

0,3678

1

0,3678

0,1353

0,0497

0,0183

0,0067

0,67 \ 0,741 0,819 0,905 1

0,0183

0,0497

0,1353

0,3678

1

0,3678

0,1353

0,0497

0,0183

0,0067

0,0183

0,0497

0,1353

0,3678

1

0,3678

0,1353

0,0497

0,0024

0,0067

0,0183

0,0497

0,1353

0,3678

1

0,3678

0,1353

0,0009

0,0024

0,0067

0,0183

0,0497

0,1353

0,3678

1

0,3678

0,0003 \ 0,0009 \ 0,0024 0,0067 0,0183 0,0497 0,1353 0,3678 1

/

Значения определителей данных матриц близки к нулю, а число обусловленности: cond (M-l) = 1014; cond (М2) =4,65.

На диаграммах рис. 2 представлены зависимости числа обусловленности от неоднородности системы для различного размера матрицы:

Рис. 2. Зависимость числа обусловленности матрицы СЛАУ от ее размера и степени неоднородности между ее элементами

Таким образом, скорость сходимости решения гарантированно повышается с ростом р. и уменьшением N. Однако, как показано в [3], скорость сходимости решения СЛАУ по предлагаемому нами алгоритму при фиксированном р > 0,1 практически не зависит от N или носит колебательный характер при малых N.

Определим области допустимого значения постоянного Z' (т.е однократно определенного численного значения, которое неизменно на всех итерациях: = ... =

где р — номер итерации, на котором достигнута є) «ускорителя», которые не приведут к расходимости решения задачи и при этом уменьшат v.

182

Информатика, вычислительная техника и управление

Нижняя граница значений, априорно известная (Z'min = 1) была подтверждена экспериментальным тестированием алгоритма: при Zmin < 1 происходило увеличение V и в ряде случаев решение СЛАУ расходилось.

Проведена проверка на сходимость решения при є = 0,01 для различных /г и N путем нахождения величины Z'max (при увеличении которой хотя бы на 0,01 решение расходилось либо увеличивалось v). Полученные результаты отображены графически (рис. 3).

О 0.1 02 0.3 04 0.5 0.« 0.7 0.8 09 1 1.1 17 13

Рис. 3. Зависимость значений «ускорителя» Z'max от р для различных N

Видно, что численное значение Z'max уменьшается по мере увеличения неоднородности и размера матрицы системы.

Эффективность применения процедуры-ускорения отображена на диаграмме как отношение скоростей сходимости без «ускорителя» v(Z = 1) и с его наличием V(Z'max) (рис. 4).

183

Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014

и Z = 1 от ц

Область значений постоянного «ускорителя», гарантирующую сходимость решения и сокращение числа итераций для достижения заданной точности, можно разделить на участки в зависимости от размера и неоднородности матриц. Так, например, для всех размеров при высокой неоднородности (ji > 1) целесообразно выбирать Z' из интервала [1; 1,6].

В ходе исследования программы, реализующей данный алгоритм, экспериментально были подобраны наилучшие (с точки зрения сокращения числа итераций) значения Z'onm (рис. 5).

Для семейства кривых (рис. 5) подобраны аналитические выражения, на основе которых получена общая формула нахождения Z'otim , не зависящего от размера N матрицы М:

г -39-sill pi

% лит = -be N

184

Информатика, вычислительная техника и управление

Рис. 6. Зависимость скоростей сходимости решения при Z = Z'otmt и Z = 1 от р

для различных N

При її < 0,2 и N = 5 v(Z’0fim)=2. Заметный эффект от использования Z = Z'otun проявляется при fi < 0,4 и N < 20 (рис. 6). Это объясняется тем, что скорость сходимости итерационного алгоритма для матриц с большими значениями ц сама по себе достаточно высока [3], кроме того, как отмечалось ранее, количество итераций для N > 20 при фиксированном ц достигает постоянной величины.

Нами предложено аналитическое выражение для описания значений адаптивного «ускорителя» Z" = Z(k\ не зависящего от характеристик системы (неоднородности и размера матриц), меняющего свои численные значения от итерации к итерации: М Ф Ф Z&\ гдер — номер итерации, на которой достигнута г.

Такое изменение значений «ускорителя» на каждой итерации в значительной степени повышает скорость сходимости и может быть интерпретировано как управление с обратной связью коэффициентами передачи между каналами.

Нахождение значений Z^ путем прямого перебора затруднительно ввиду больших вычислительных затрат. Исследуем сходимость решения при значениях адаптивного «ускорителя», найденных по формуле

Аналитическое выражение (14) для нахождениям^ содержит значения мак-

00 гО) пОО ”

и среднего Savr компонентов в векторе на текущей итерации.

-00

симального S,

Выбор такой зависимости объясняется влиянием 5^ J на значение элементов вектора лимитирующей величины (равномерной загруженности), которая участвует в проверке условия остановки итерационного процесса.

Найдены различные значения Z^k\ причем в большинстве случаев (за исключением N = 5 и р, = ОД ... 0,5): М > * > М^.

185

Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014

На рис. 7 показаны области значений адаптивного «ускорителя», вычисляемого по формуле (14).

и

Минимальное значение, которое было практически для всех ц одинаковым, «ускоритель» приобретал на последней итерации (Z). Верхний предел области значений «ускорителя» для всех размеров и неоднородностей, кроме N = 5 и /^ = 0,1 ...0,5, рассчитывался на первой итерации (ZW), далее значения уменьшались. Общий интервал значений «ускорителя», гарантирующий сходимость решения (независимо от размера и неоднородности), составляет [1,61; 1,63].

С учетом результатов нахождения оптимальных значений постоянного «ускорителя» получена модификация формулы (14):

7 00 __

_гн —

2.ей + 5о>2

mm: е ~

Є

-39 31ПД N

Эффективность такого численного нахождения значений «ускорителя» для рассматриваемого итерационного алгоритма решения СЛАУ очевидна из рис. 8.

Таким образом, нами получена модификация алгоритма нахождения корней СЛАУ, обеспечивающая по сравнению с прототипом ускорение сходимости решения для систем с матрицами порядка N < 20. При этом программная реализация алгоритма увеличивается на два оператора, один из которых может быть вынесен за пределы итерационного цикла.

186

Информатика, вычислительная техника и управление

Рис. 8. Зависимость скоростей сходимости решения без «ускорителя» (сплошная линия), с постоянным оптимальным «ускорителем» (штрихпунктирная линия), с адаптивным «ускорителем» (пунктирная линия), с универсальным «ускорителем» (точечная линия) для разных /і и N = 5; 20

Сокращение числа итераций, затрачиваемых на нахождение величин потока данных в каналах при их равномерной загруженности, существенным образом зависит от неоднородности линейных коэффициентов матрицы пропускной способности сегмента информационной системы и количества каналов в нем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 304 с.

2. Булгаков О.М., Пакляченко М.Ю. Исследование сходимости модифицированного итерационного метода // Информатика: проблемы, методология, технологии: материалы XIV Международной научно-методической конференции, Воронеж, 6—8 февраля 2014 г: в 4 т. / Воронежский государственный университет. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2014.— С. 212 — 215.

3. Булгаков О.М., Пакляченко М.Ю. Анализ сходимости модифицированного итерационного метода решения систем линейных алгебраических уравнений // Вестник Воронежского института МВД России. — 2014. — №1. — С. 49—56.

REFERENCES

1. Turchak L.I., Plotnikov P.V. Osnovyi chislennyih metodov. — M.: FIZMATLIT, 2003. — 304 s.

187

Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014

2. Bulgakov O.M., Paklyachenko M.Yu. Issledovanie shodimosti modifitsirovannogo iteratsionnogo metoda // Informatika: problemyi, metodologiya, tehnologii: materialyi XIV Mezhdunarodnoy nauchno-metodicheskoy konferentsii, Voronezh, 6—8 fevralya 2014 g: v 4 t. / Voronezhskiy gosudarstvennyiy universitet. — Voronezh: Izdatelskiy dom VGU, 2014.—

S. 212 — 215.

3. Bulgakov O.M., Paklyachenko M.Yu. Analiz shodimosti modifitsirovannogo iteratsionnogo metoda resheniya sistem lineynyih algebraicheskih uravneniy // Vestnik Voro-nezhskogo instituta MVD Rossii. — 2014. — #1. — S. 49—56.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Булгаков Олег Митрофанович. Заместитель начальника по учебной работе. Доктор технических наук, профессор.

Воронежский институт МВД России.

E-mail: ombfrier@yandex.ru

Россия, 394065, г. Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473)2-735-290.

Пакляченко Марина Юрьевна. Адъюнкт кафедры информационной безопасности.

Воронежский институт МВД Рогсии.

E-mail: marina_lion@mail.ru

Россия, 394065 г. Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. 89204403845.

Bulgakov Oleg Mitrofanovich. The deputy head for Academic Affairs. Doctor of Technical Sciences, Professor.

Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.

Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473)2-735-290.

Paklyachenko Marina Yurievna. Post-graduate cadet of the Information Security chair.

Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.

Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. 89204403845.

Ключевые слова: системы линейных алгебраических уравнений; итерационные методы; ускорение сходимости.

Key words: linear algebraic equations systems; iterative methods; acceleration of convergence.

УДК 591.612.2

188