Численный метод нахождения собственных значений дискретных полуограниченных снизу операторов

УДК 519.642.8

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ СНИЗУ ОПЕРАТОРОВ

С.И. Кадченко, Л. С. Рязанова

NUMERIC METHOD OF FINDING THE EIGENVALUES FOR THE DISCRETE LOWER SEMIBOUNDED OPERATORS

S.I. Kadchenko, L.S. Ryazanova

В работе разработан эффективный метод нахождения собственных значений возмущенных дискретных полуограниченных снизу операторов, когда собственные значения невозмущенных операторов имеют произвольную кратность. Получены новые результаты, позволяющие применять метод специалистам, имеющие начальные знания в области спектральной теории операторов.

Ключевые слова: поправки теории возмущений, дискретные и самосопряженные операторы, собственные значения, собственные функции.

In the work the effective method of finding the eigenvalues of the perterbed discrete lower semibounded operators, when the eigenvalues of not perterbed operators have an arbitary multiplicity, is developed. New results, allowing to apply this method by experts, having basic knowledge in the area of the spectral theory of operators are received.

Keywords: amendments of the theory of pertubation, discrete and the self-adjoint operators, eigenvalues, eigenfunctions.

Введение

В работах [1-11] был разработан новый неитерационный метод вычисления собственных значений полуограниченных снизу дискретных операторов, который был назван методом регуляризованных следов (PC). Развивая метод PC, в статье получены простые формулы для вычисления собственных значений дискретных полуограниченных снизу операторов в случае, когда собственные значения невозмущенных операторов имеют произвольную кратность. Излагаются новые результаты, позволяющие с успехом применять метод PC специалистам, имеющим начальные знания в области спектральной теории операторов.

Рассмотрим задачу нахождения собственных значений оператора Т + Р

где Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, Р - ограниченный оператор, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Допустим, что известны собственные значения и ортонормированные собственные функции оператора Т,

которые занумерованны в порядке возрастания собственных значений fj,n по величине с учетом кратности. Обозначим через ип кратность собственного значения /i„, а количество всех

неравных друг другу собственных значений которые лежат внутри окружности Тп0 ра-А*по+1 “1“

диуса рПо — —-— ---------— с центром в начале координат комплексной плоскости, через щ.

/ш1

Пусть {^п}^=1 - собственные значения оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Если для всех п> щ

2\\Р\\ "о

выполняются неравенства дп = ----------------- < 1, тогда первые то = X, ип собственные зна-

I ^П+ип ~ А*п| П=1

чения {/?п}™=1 оператора Т + Р являются решениями системы то нелинейных уравнений

вида [1]

то то оо

= °)’ р = 1’т°-к=1 /с=1 к= 1

/с

Здесь а:^ (то) = 5/-* / рР 1 РЕ^(Т) сі/і - к-е поправки теории возмущений опера-

^7Г/С^ гтл 1_

-іп0

тора Т + Р целого порядка р, Кц{Т) - резольвента оператора Г.

Известно, что в этом случае контур Т„о содержит одинаковое количество собственных значений операторов ТиТ + Р [12].

Система уравнений (2) лежит в основе численного метода РС, позволяющего находить собственные значения возмущенных самосопряженных операторов в случае, когда самосопряженные операторы имеют собственные значения с произвольной кратностью.

В работе [9] показано, что если Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве

Н. При этом система собственных функций оператора Т является базисом Н, и

существует щ Є N такое, что для всех п Є N выполняются неравенства дп < 1, тогда

оо то

^2

к=1 к=1

*1

<5і(гао)| < |Х^а^(то) +поРп0~Г^ 4 = тахдп, Є N. к=2 5 П~

,*1+1

ір то р—2

.(то)! < | Е “£”<"«> - Е ( Е С>ХТ+

к=2 Л=1 т=0

то Р ір+1 ___

+ X) П аМг) +Рп0Р£0^Г7> р = 2’т<ь Ч є лг-

П,...,3р=\ «=1

Г) 1ь}=0

П=1

то ^ ~ _

Здесь 6р(то) = X) &кр{то); 5кр(то) = — /^(то); {А(то)}^х “ приближенные значения

к=1

по Бубнову - Галеркину соответствующих собственных значений оператора Т+Р,

^ 5 ^

і ____ След р

1, 5 — р,

- ой степени матрицы А вычисляется по формуле

то р

БрАр{т0)= ^2 П а3з3г.

Іі ^2.-і5р=1 «=1

1. Формулы для вычисления

собственных значений методом РС

В статье [11] получены формулы, позволяющие вычислять собственные значения возмущенных дискретных операторов для случая, когда собственные значения невозмущенного оператора имеют произвольную кратность. Для их использования необходимо почленно

00 ( 1

суммировать числовые ряды Релея - Шредингера ^ °4 (то); Для чег0 надо вычислять

к=1

поправки теории возмущений оператора Т + Р, которые находятся путем суммирования кратных числовых рядов. Причем кратность этих рядов на единицу меньше номера поправки. Это вызывает большие вычислительные трудности при применении этих формул. В данном разделе получены простые формулы, которые лишены этого недостатка и позволяющие с высокой вычислительной эффективностью находить собственные значения дискретного полуограниченного снизу оператора вида Т + Р, когда собственные значения и собственные функции оператора Т известны, а для возмущающего оператора Р выполнены неравенства дп < 1 для любых натуральных п.

Теорема 1. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если для всех п Є N выполняются неравенства дп < 1 гг собственные функции }^?=1 оператора Т является базисом в Н, то собственные значения оператора Т + Р вычисляются

по формулам:

Рп = Мп "Ь {Р^П,П1^П,п) ^ = 1)^0)

где для 5і(п) справедливы оценки |<5і(п)| < (2п — 1 )/0„--.

Доказательство. Из системы уравнений (2) для то — пт то = п — 1 при р = 1, получим

ТІ ТІ ОО

к=1 к=1 к—1

п—1 п—1 оо

= +ХМ1)(п_ х)-

к=1 к=1 к=1

Вычитая из уравнения (6) уравнение (7), найдем

00

/5п = мп+Х^Й1)

к=1

Используя (3), имеем

ОО

^[а^

к=1

Из равенства (4), получаем

5рА

Подставляя равенства (9) и (10) в (8), найдем формулы (5).

Оценки погрешностей г)'і

<

прп + (п- 1)р„_1

-----< (2п - 1 )рп--------

2. Численный эксперимент

Для проверки полученных выше теоретических положений рассмотрим спектральную задачу для оператора Лапласа, который в некоторых случаях имеет кратный спектр. Пусть оператор Т = —А задан на прямоугольнике П = [0, а] х [0,6] с границей Г. Здесь Д = д2 д2

-—г + —г - оператор Лапласа. В качестве возмущающего оператора Р возьмем оператор ох1 ду1

умножения на дважды непрерывно дифференцируемую функцию р(х,у), определенную на прямоугольнике П.

Рассмотрим спектральную задачу

Вт = {<Р | <Р Є С2(П) Р) С[П], А<р Є ЫЩ : у>| = о}.

Известно, что собственные значения цпк и собственные функции шпк оператора Т имеют вид:

. (п

2

к2\ 2 . пттх . кпу

11пк = 11-2 ( -2 + То ), ипк{х, у) = -^= sin sin п,к = 1, сю.

W ¥ J л/ab а Ь

Система собственных функций {u)nk}™k~-i является базисом пространства L-2[П]. В слу-

а2 гг. ^

чае когда 7-5-, - рациональное число оператор Т имеет кратные собственные значения. ог

Пронумеруем собственные значения {lhik}^k=l И собственные функции {oJnk}™k=l опе“ ратора Т одним индексом в порядке возрастания величин jj,nk с учетом кратности.

В таблице приведены результаты вычислений первых собственных значений спектральной задачи (11), найденных методом PC по формулам (5) и методом Бубнова-Галеркина. В первом случае собственные значения обозначены через /?„, во втором - fin.

Проведенные многочисленные расчеты показывают, что результаты вычислений первых собственных значений возмущенного оператора Лапласа методом PC, используя формулы (5), и методом Бубнова - Галеркина хорошо согласуются. Надо отметить, что время, затраченное персональным компьютером при вычислении первых 19 собственных значений оператора Т + Р методом PC примерно на два порядка меньше, чем при вычислении методом Бубнова - Галеркина. При этом, чем больше номер вычисляемого собственного значения, тем больше разница во времени вычислений. Это связано с тем, что для вычисления собственных значений {Рк^-х оператора Т + Р методом Бубнова - Галеркина надо находить собственные значения матрицы порядка п х п, а для их вычисления методом PC используются простые формулы (5).

Выводы

Разработан новый неитерационный метод вычисления собственных значений возмущенных самосопряженных операторов. Проведенные численные эксперименты показали его надежность и вычислительную эффективность по сравнению с методом Бубнова - Галеркина.

Таблица

Значения {(Зп}™=1 и {РгіУп=\ для возмущенного оператора Лапласа, вычисленных при

а = 1, Ъ = 1 и р(х, у) = (1 + і)х4у2

п 1^п Дп Дп |Дгг ~ Рп\ ІД->_ 0ПІ1ОО% \Рп\

1 19,7392088 19,771456 + 0,0322467г 19,771455 + 0,0321176г 0,000129 0,000653

2 49,3480220 49,384603 + 0,0365811г 49,369087 +0,0210305г 0,021968 0,044157

3 49,3480220 49,397668 + 0,0496464г 49,413185 + 0,0649870г 0,021819 0,044157

4 79,9568352 79,013155 + 0,0563197г 79,013155 +0,0562089г 0,000111 0,000140

5 98,6960440 98,733428 + 0,0373838г 98,733093 + 0.0369679г 0,005338 0,000541

6 98,6960440 98,749450 + 0,0534060г 98,749785 + 0,0537343г 0,000469 0,000475

7 128,3048572 128,362413 +0,0575555г 128,336051 + 0,0311884г 0,037285 0,029053

8 128,3048572 128,365442 +0,0605845г 128,391804 +0,0869440г 0,037280 0,029036

9 167,7832758 167,820940 +0,0376647г 167,820931 + 0,0375377г 0,000127 0,000076

10 167,7832758 167,838036 + 0,0547615г 167,838045 + 0,0547263г 0,000036 0,000022

11 177,6528792 177,714793 +0,0619139г 177,714794 +0,0618383г 0,000076 0,000043

12 197,3920882 197,450076 +0,0579879г 197,448189 +0,0561273г 0,002650 0,001342

13 197,3920882 197,454210 + 0,0621223г 197,456097 +0,0642002г 0,000281 0,000142

14 246,7401100 246,802489 + 0,0623792г 246,773116 + 0,0330075г 0,041539 0,016833

15 246,7401100 246,803595 + 0,0634854г 246,832969 +0,0930598г 0,041683 0,016887

16 256,6097144 256,647509 + 0,0377948г 256,647509 + 0,0377554г 0,000039 0,000015

17 256,6097144 256,665110 +0,0553959г 256,665111 + 0,0553993* 0,000004 0,000001

18 286,2185276 286,276716 + 0,0581881г 286,276634 + 0,0582852г 0,000127 0,000044

19 286,2185276 286,281370 + 0,0628419г 286,281451 +0,0631437г 0,000313 0,000011

Литература

1. Вычисление первых собственных значений задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко // Дифференц. уравнения. - 2000. -Т. 36, № 6. - С. 742 - 746.

2. Кадченко, С.И. Вычисление сумм рядов Релея - Шредингера возмущенных самосопряженных операторов / С.И. Кадченко // Журн. вычисл. математики и мат. физики. -2007. - Т. 47, № 9. - С. 1494 - 1505.

3. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В.А. Садовничий, В.А. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко // Дифференц. уравнения. - 1998. - Т. 34, № 1. - С. 50 - 53.

4. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра - Зоммерфельда / В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // Докл. Акад. наук. - 2001. - Т. 378, № 4. - С. 443 - 446.

5. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // Докл. Акад. наук. - 2001.

- Т. 380, № 2. - С. 160 - 163.

6. Новый метод вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической теории устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами / В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // Докл. Акад. наук. - 2001. - Т. 381, № 3. - С. 320 - 324.

7. Кадченко С.И. Новый метод вычисления первых собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов / С.И. Кадченко // Уравнения соболевского типа: сб. науч. работ. - Челябинск, 2002. - С. 42 - 59.

8. Кадченко, С.И. Вычисление собственных значений возмущенных дискретных полуогра-ниченных операторов / С.И. Кадченко, И.И. Кинзина, // Журн. вычисл. математики и мат. физики. -2006. - Т. 46, № 7. - С. 1265 - 1272.

9. Кадченко, С.И. Вычисление сумм рядов Рэлея - Шредингера возмущенных самосопряженных операторов / С.И. Кадченко // Журн. вычисл. математики и мат. физики. -2007. - Т. 47, № 9. - С. 1494 - 1505.

10. Кадченко, С.И. Метод регуляризованных следов / С.И. Кадченко // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Математическое моделирование и программирование». - 2009. - Вып. 4, № 37(170). - С. 4 - 23.

11. Кинзина, И.И. Нахождение собственных чисел возмущенных дискретных операторов / И.И. Кинзина // Вестн. ЧелГУ. Сер. «Математика, механика, информатика». - 2008. -Вып. 10, № 6(107). - С. 34 - 43.

12. Садовничий, В.А. Теория операторов: учеб. для вузов / В.А. Садовничий. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 1999.- 368 с.

Кадченко Сергей Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Прикладная математика и вычислительная техника», Магнитогорский государственный университет, kadchenko@masu.ru.

Рязанова Любовь Сергеевна, старший преподаватель, кафедра «Прикладная математика и вычислительная техника», Магнитогорский государственный университет, ryazanova2006@rambler.ru.

Поступила в редакцию 15 января 2011 г.