Алгоритм оценки достоверности обнаружения пожара по сигналам пожарных извещателей

УДК 614.842

АЛГОРИТМ ОЦЕНКИ ДОСТОВЕРНОСТИ ОБНАРУЖЕНИЯ ПОЖАРА ПО СИГНАЛАМ ПОЖАРНЫХ ИЗВЕЩАТЕЛЕЙ

Надежность и достоверность сигналов, получаемых с пожарных извещателей, напрямую влияют на качество работы системы пожарной сигнализации. Зачастую увеличение количества извещателей для защиты помещения не обеспечивает требуемого результата. В данной работе предложен алгоритм обработки сигналов с автоматических пожарных извещателей, в котором учтены априорная вероятность возгорания, вероятность правильного обнаружения сигнала о пожаре и вероятность ложной тревоги.

При разработке новых автоматических систем противопожарной защиты одним из основных вопросов является обеспечение надежности и достоверности работы подсистем обнаружения пожара.

Сигналы ложных тревог, в основном связанные с ложным срабатыванием автоматических пожарных извещателей (АПИ), могут приводить к несанкционированному запуску автоматических установок пожаротушения (АУПТ) со всеми вытекающими последствиями. Для многих объектов потери от непреднамеренных запусков АУПТ соизмеримы с последствиями от пожаров, поэтому руководители предприятий иногда предпочитают риск от редких возгораний рискам от более частых ложных срабатываний АУПТ.

Реальный путь повышения качества работы системы автоматической пожарной сигнализации (АПС) и АУПТ связан со снижением вероятности ложных тревог при высокой доле правильного обнаружения возгорания. Этого можно добиться двумя путями. Первый путь связан с повышением технических характеристик АПИ либо с разработкой принципиально новых систем обнаружения пожара повышенной надежности, второй — с совершенствованием алгоритмов обработки сигналов, поступающих от АПИ (в том числе интеллектуальных алгоритмов, применяемых в самих АПИ).

В настоящее время в соответствии с требованиями действующей нормативной базы при проектировании АУПТ особое внимание уделяется направлению, связанному с увеличением количества срабатывающих АПИ, необходимых для запуска АУПТ. Повышение достоверности сигнала "Пожар" описанными выше способами носит пока в основ-

ном инициативный характер производителей технических средств пожарной автоматики.

Согласно НПБ 88-2001* [1] каждая точка защищаемой поверхности должна контролироваться не менее чем двумя АПИ (лучше — тремя). Сигнал о пожаре считается достоверным, если сработало не менее двух АПИ. В алгоритмах такого типа не учитываются три фактора: априорная вероятность возгорания для объектов данного типа, вероятность правильного обнаружения сигнала о пожаре и вероятность ложной тревоги. Ниже предложен алгоритм обработки сигналов АПИ, в котором в той или иной мере учтены данные факторы.

Пусть от некоторых из п АПИ на приемно-конт-рольный прибор (ППК) поступили сообщения о возгорании. Необходимо оценить вероятность того, что возгорание действительно имеет место. Приведем формальную постановку задачи.

Рассмотрим (п + 1)-мерный случайный вектор (9, У1, У2,..., Уп). Первая компонента данного вектора представляет собой индикатор наличия факта возгорания: 9 = 1, если факт имел место в действительности, 9 = 0 — в противном случае. Остальные компоненты являются индикаторами наличия информации о факте. Компонента Уг = 1, если г-й АПИ передал на ППК сигнал о возгорании, Уг = 0 — в противном случае; ППК по наблюдаемым компонентам У1, У2, ..., Уп должен сделать заключение о том, чему равна ненаблюдаемая компонента 9.

Рассмотрим вначале одномерный случай (п = 1). Пусть нам известна априорная вероятность того, что факт возгорания на момент времени t на самом деле имеет место, т.е. Р((9 = 1) = Ра(. Известны также вероятность правильного обнаружения

факта Р(У = 1/0 = 1) и вероятность ложной тревоги Р, (У = 1/0 = 0). Обозначим эти вероятности рс и рф соответственно.

Пусть У, = 1. Выразим совместную вероятность событий 0 = 1 и У = 1 — Р, ((0 = 1) • (У = 1)) — через вероятности Ра,, рс и рф. Запишем формулу для вычисления указанной вероятности следующими двумя способами:

Р, ((0= 1) • (У = 1)) = = Р, (0 = 1) • Р((У = 1)/(0 = 1)) = Ра,рс;

Р, ((0= 1) • (У = 1)) = = Р,(У = 1) • Р,((0= 1)/(У = 1)).

Приравняем правые части обоих выражений друг к другу:

Ра,рс = Р, (У = 1) • Р, ((0 = 1)/(У = 1)).

Мы знаем, что на ППК сигнал У = 1. Нам нужно найти вероятность того, что 0 =1 при условии, что У = 1:

Р, ((0 = 1)/(У = 1)) =

Ра, р с

Р

По формуле полной вероятности сложного события имеем:

Р, (У = 1) = Р, (0 = 1) • Р(У = 1/0 = 1) + + Р,(0 = 0) • Р(У = 1/0 = 0) =

= Ра, р с +(1 - Ра,) р ф.

Подставив в формулу (1) вместо Р(У = 1) выражение Ра,р с + (1 - Ра, )р ф, получим:

Р,, ((0 = 1)/(У = 1)) =

Ра, р с

Ра (р с + (1 - Ра( ) р ф

Ра

Ра, +

Равенство (2) выражает частный случай формулы Байеса для проверки гипотезы о том, что 0 =1, при условии У = 1. Всего здесь проверяемых гипотез две — Н1: 0 = 1; Н2: 0 = 0, и наблюдаемых несовместных событий тоже два — У = 1, У = 0. Пусть У = 0, тогда:

Р,, ((0 = 1) • (У = 0)) = = Р,(0 = 1) • Р((У = 0)/(0 = 1)) = Ра,(1 - рс);

Р,, ((0 = 1) • (У = 0)) = = Р, (У = 0) • Р,((0= 1)1 (У = 0)).

Приравняем правые части обоих выражений друг к другу:

Ра, (1 - рс) = Р , (У = 1) • Р((0 = 1)1 (У = 0)). Отсюда получим

р,

т лк р ,

однако

Р,(У = 0) = Р, (0 = 1) • Р(У = 0/0 = 1) + + Р,(0 = 0) • Р(У = ^0 = 0) = = Ра, (1 -рс) + (1 - Ра, )(1 -рф).

Подставив в формулу (3) вместо члена Р , (У = 0) выражение Ра,(1 -рс) + (1 - Ра,)(1 -рф), получим

Р, ((0 = 0)/(У = 1)) =

__Ра, (1 -р с)_=

" Ра,

_Ра,_

Ра, +

Выражение (4) представляет собой частный случай формулы Байеса для проверки гипотезы о том, что 0 = 0, при условии У = 1.

Рассмотрим двухмерный случай (п = 2).

Пусть У1 = 1, У2 = 1. Указанные события зависят от того, чему равно 0, но не зависят друг от друга, следовательно

Р, ((0 = 1) • У = 1) • (У2 = 1)) = Р, (0 = 1) X х Р((У1 = 1)/(0 = 1)) • Р((У2 = 1)/(0 = 1)) = Ра,р1ср2 с;

Р, ((0 = 1) • У = 1) • (У2 = 1)) = Р, ((У1 = 1) х X (У2 = 1)) • Р, (0 = 1((У1 = 1) • (У2 = 1))).

Приравняем правые части обоих выражений друг к другу:

Ра,р1ср2с = Р,(У1 = 1) • Р,(У2 = 1) х х Р,((0 = 1)/(у = 1) • (У2 = 1)).

Отсюда получим

Р,((0 = 1)/(У1 = 1) • (У2 = 1)) =

= Ра ,р с

Р, ((У1 = 1) • (У2 = 1)) '

однако

Р , ((У1 = 1) • (У2 = 1)) = = Р,(0 = 1) • Р((У = 1) • (У2 = 1)/0 = 1) + + Р,(0 = 0) • Р((У1 = 1) • (У2 = 1)10 = 1) = = Ра ,р1с р2 с + (1 - Ра,) р1ф р2 ф.

Подставив в формулу (5) вместо Р, ((У1 = 1)х х(У2 = 1)) выражение Ра, р1с р 2 + (1 - Ра, )р1ф р2 ф, получим

Р, ((9 = 1)/(У1 = 1) • (У2 = 1)) = Pat Р1С Р2 с

Ра,Р1с Р2 с + (1 - Ра, )Р1ф Р2 ф Ра,

Ра, +

Р1ф Р2 ф Р1СР2с

Пусть У1 = 0 и У2 = 0. Тогда по аналогии с формулами (2) и (6) из выражения (4) получим

Р, ((9 = 1)/(У1 = 0) • (У2 = 0)) = Ра

Ра, +

Можно показать, что для события (У1 =0) -(У2 =1) справедливой является формула

Р, ((9 = 1)/(У[ = 0) • (У2 = 1)) = Ра,

Ра, +

(1 -Р1ф )Р2 ф

(1 - Р1с )Р2 с а для события (У1 = 0)^(У2 =1) — формула

Р,((9 = 1)/(У1 = 0) • (У2 = 1)) =

Ра,

Ра, +

(1 -Р2 ф )Р1ф

(1 -Р2 с )Р1с

Обозначим Л, 1 = р1ф/р1с, если У, = 1, и Л/ = 1 - Ргф

=-, если Уг = 0. Тогда все четыре случая мож-

1 - Ргс

но объединить одной формулой

Р, (9 = 1/У1, У2) =

Ра,

Ра, + (1 - Ра,) Л-1 Л-2

Для случая п >2 методом математической индукции можно показать, что

Р, (9 = 1/У) =

Ра

Ра, + (1 - Ра,) ПЛ-1

г = 1

где У =(У1, У*..., Уп).

Формула (7) позволяет оценить условную вероятность возгорания объекта в момент времени ,, если сработала часть из п имеющихся на объекте АПИ. Чтобы рассчитать эту вероятность, необхо-

Рау

Марковская модель процесса с двумя состояниями

димо знать характеристики АПИ: вероятность правильного обнаружения возгорания, вероятность ложной тревоги и априорную вероятность возгорания объекта в момент времени ,. Вероятностью ложной тревоги обычно задаются. Затем на основании этой вероятности АПИ и величины соотношения сигнала к помехе рассчитывают вероятность правильного обнаружения пожара. Для этого может быть использован следующий подход. Пусть из статистических данных нам известно, что время между возгораниями объектов данного типа распределено по показательному закону с интенсивностью -, а время восстановления объекта после возгорания — по показательному закону с интенсивностью ц. Поток возгораний такого типа моделируется марковским процессом с двумя состояниями (см. рисунок).

Уравнение динамики марковского процесса с двумя состояниями (см. рисунок) имеет вид:

йРа,

= - цРа, + - [1 - Ра,

Решение этого уравнения при начальном условии Ра выражается формулой

Ра у +1 = Раув

- (- + ц )Д,

А м

+ -[1 - в

А + ц

-(- + ц )Д,

Для начального момента времени примем Ра = 0. Тогда на момент первого измерения

Ра, =[1 - в - + ц

-(- + ц )Д,

Таким образом, накопление информации о противопожарном состоянии объекта происходит в соответствии с итерационными формулами:

Р,+Д, (9 = 1/У) =

Ра

,+Д,

Ра,+д, + (1 - Ра,+Д, ) ПЛ-1

г =1

Ра,+д, = Р, (9 = 1/У) в -(- + ц )Дt +

-;

- + ц

[1 - в

-(- + ц )Д, ]

где Д, — промежуток времени между съемом информации с АПИ, с;

Ра, + Д, — экстраполированная вероятность возгорания на момент времени , + Д,.

Вышеизложенное позволяет сформулировать следующий алгоритм оценки достоверности возгорания по сигналам пожарных извещателей.

1. Зададимся верхним Рв и нижним Рн значениями вероятностей возгорания. Будем считать факт возгорания установленным, если Р(0 = 1) > Рв; факт отсутствия пожара установленным, если Р(0 = 1) < Рн; ситуацию неопределенной, если Рв > Р(0 = 1) > Рн.

2. Вычислим Ра, по формуле (8).

3. По выражению (10) найдем экстраполированную вероятность Ра, + д,.

4. По формуле (9) определим Р,+ д,(0 = 1/У) для вектора У.

5. Если выполняется Р,+ д,(0 = 1/У) < Рн, считаем, что возгорания нет. Переходим к шагу 3 алгоритма.

6. Если окажется, что Рв > Р(0 = 1) > Рн, обстановка становится пожароопасной. Проверяем состояние объекта. Если возгорания нет, переходим к шагу 3 алгоритма. Если возгорание есть, включаем режим тушения АУПТ.

7. Если окажется, что Р(0 = 1) > Рв, считаем, что возгорание есть, автоматически включается режим тушения АУПТ.

Предложенный алгоритм обработки сигналов с АПИ позволяет учесть априорную вероятность возникновения пожара для объектов определенного типа, вероятности правильного обнаружения сигнала о пожаре и ложной тревоги. Для реализации данного алгоритма необходим анализ статистических данных по объектам конкретного типа.

ЛИТЕРАТУРА

1. НПБ 88-2001*. Установки пожаротушения и сигнализации. Нормы и правила проектирования.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2001.

3. Казаков В. А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. — М.: Советское радио, 1973.

4. Куватов В. И. Исследование операций. — Петродворец: ВМИРЭ, 2001.

Поступила в редакцию 10.02.06.