Теоретико-познавательные и логико-семантические основания парадоксов

Теоретико-познавательные и логико-семантические основания парадоксов1

Е. Д. СМИРНОВА

abstract. Non-standard, system approach to analysis of paradoxes — in a context of theories — is proposed. Semantics paradoxes are considered and two approaches to the Liar Paradox are offered. The first one presupposes revision of treatment of sentence values; the second includes certain aspects of coherent truth conception on the basis of such concepts as scopes (tA and anti-scopes ppA of sentences. In both cases Tarski's scheme is reconsidered.

Мы остановимся на анализе некоторых семантических парадоксов. Обычно, анализируя парадоксы, выделяют отдельные предпосылки, условия их возникновения, устранение которых ставит «барьер» на пути парадокса. Я хочу выделить позитивную роль, которую выполняют парадоксы в познавательной деятельности, показать ее. Дело не в том, чтобы блокировать парадоксы. На мой взгляд, решить проблему парадокса не значит просто устранить парадокс. Важно выяснить, о какой несогласованности в нашей познавательной деятельности говорит парадокс. Принимаемая логика, допускаемые способы рассуждения, концептуальный аппарат теорий, способы введения понятий, допускаемые абстракции и идеализации, типы объектов рассматриваемой теории — все это составляет единую систему, стороны которой взаимозависимы. Парадоксы играют роль того окошечка в доменной печи, которое позволяет заглянуть в скрытую от поверхностного взгляда лабораторию нашей познавательной деятельности, выявить взаимодействие моментов, аспектов этой деятельности.

хРабота выполнена при поддержке РГНФ, грант № 06-03-00276а.

Р. Смаллиан отмечал, что некто охарактеризовал парадокс как истину, поставленную с ног на голову, решение его приносит новые важные истины. Действительно, во многих случаях парадоксы содержат идеи, которые после незначительной модификации приводят к значительным открытиям.

Остановимся на анализе известного парадокса Ришара. Парадокс выявляет особую роль языка в познавательной деятельности, связан с исследованием выразительных возможностей языков и теорий. Мы, как правило, говорим о языке как средстве коммуникативной деятельности, как средстве хранения и переработки информации, как непосредственной действительности мысли и т.д. Но есть еще один аспект, одна важная функция языка — язык как аналитический метод, как средство, инструмент познавательной деятельности.

В своей «Логике» аббат Кондильяк отмечал, что язык — не только средство общения, но и аналитический метод. «Если бы люди заметили, что языки также являются аналитическими методами, было бы не трудно найти правила искусства рассуждать». Наш способ умозаключения совершенствуется с усовершенствованием языка [3]. Особый аспект идеи языка как аналитического метода неожиданно раскрывается и получает дальнейшее развитие в связи с анализом парадокса Ришара.

Б. Рассел полагал, что «проклятые парадоксы» возникают из известного принципа, близкого принципу порочного круга. Этот порочный круг возникает в силу того, что принимается, что множество предметов может содержать в качестве элементов предметы, которые сами могут быть определены только посредством ссылки на это множество как целое. Речь идет фактически о непредикативных определениях. Более того, если дана некоторая множественность предметов, образующих, по предположению, совокупность, и в то же время допускается, что эта совокупность может содержать элементы, предполагающие саму эту совокупность как целое, в таком случае эта множественность не может, согласно Расселу, образовать совокупность, т.е. класс предметов.

В известном канторовском доказательстве несчетности множества одноместных арифметических функций строится диагональная функция. Принимается допущение, что множество

одноместных арифметических функций счетно. Диагональная функция определяется ссылкой на этот пересчет: это функция, которая для любого натурального числа п принимает значение на единицу большее того значения, которое принимает для этого числа функция за номером п в пересчете функций: /(п) ^ /п(п) + 1. Поскольку сама эта функция одноместная и арифметическая, она попадает в пересчет. Как следствие получаем противоречие, однако парадокса нет. Следует только, что принятое допущение неверно. Рассел сказал бы в этом случае, что множественность одноместных арифметических функций не образует совокупности.

В случае парадокса Ришара мы начинаем с языка. Множество выражений языка, репрезентирующих одноместные арифметические функции, счетно (как подмножество всех выражений данного языка). Пересчет самих одноместных функций образуем в соответствии с пересчетом репрезентирующих их выражений. Выражение языка, описывающее диагональную функцию, попадает в пересчет выражений и, соответственно, в пересчет попадает диагональная функция. Получаем противоречие, парадокс.

Мы видим, что дело не в использовании непредикативного определения (диагональной функции). Очевидно, может быть непредикативность «пагубная» и «непагубная» — в зависимости от условий введения непредикативных определений.

Парадокс Ришара ведет к исследованию этих условий и, соответственно, к исследованию выразительных возможностей языков и теорий — к экспликации понятия «выразимость в языке». Речь идет об экспликации понятий выразимости (определимости) свойств, отношений, функций в языке с точно заданной структурой.

Обобщенное, оригинальное понятие определимости свойств, отношений и функций дает А. Мостовский [5]. Так, пусть К — непротиворечивый и замкнутый класс формул рассматриваемого языка Ь, учитываются только эти характеристики класса К. п-местный предикат Рп К-определим в Ь, если в языке найдется такая формула А, содержащая столько свободных переменных а\,..., ап, сколько местен предикат Р, и отвечающая следующим условиям: для любой п-ки объектов к\,... ,кп имеет место:

(P (ki,...,kn) D A(Aki,..., Ahn) e K )&(-P (ki,...,kn) D ~ A(Aki,..., Akn) e K), где Aki,..., Akn — термы, обозначающие соответствующие объекты. Формула A в этом случае называется K-определяющей предикат Pn.

Если в качестве непротиворечивого и замкнутого класса формул возьмем класс истинных предложений языка — Tr, т.е. вместо K в определении подставим Tr, получим введенное А. Тар-ским понятие семантической определимости предиката. А если возьмем класс теорем T, получим введенное К. Гёделем понятие T-определимости, или рекурсивной определимости. Экспликация понятий выразимости (определимости) в языке позволяет получить ряд важнейших результатов, характеризующих выразительные возможности языков и теорий. Так, если в качестве рассматриваемой теории возьмем достаточно богатую теорию, например первопорядковую арифметику P (или системы ее содержащие), то окажется, что синтаксис этой теории (т.е. понятия: терм, предложение, вывод, доказательство и т.д.) выразим (в смысле по крайней мере семантической определимости) в самой теории P, т.е. в языке самой первопорядковой арифметики. Сказанное, кстати, относится к вопросу сравнимости-несравнимости теорий, их языков. Только в данном случае вопрос этот поставлен ясно и даны критерии.

В силу теоремы Тарского о неопределимости высказывания P в языке самой системы P (класс Tr систем P не определим семантически в P) мы получаем интересное развитие идеи языка как аналитического метода. Любой рекурсивно перечислимый предикат (семантически) определим в P, соответственно, если предикат семантически не определим в P, он не является эффективно (рекурсивно) перечислимым. Выразимость в языке (с точно заданной структурой) становится важной характеристикой эффективной заданности предиката (класса).

Если предикат рекурсивен, он T-определим в P, и обратно: если он T-определим в P, он — рекурсивен. Так выразимость в языке становится средством установления эффективности (эффективной заданности) свойств, отношений, классов.

Парадокс Лжеца связан с трактовкой понятия истинности, его экспликацией в логической семантике. В основе такой экс-

пликации лежит определенная философская концепция истинности.

Так, известная схема Тарского является экспликацией классического, аристотелевского понятия истинности, т.е. реализуется в рамках корреспондентской концепции истинности: X £ Ист = p, где вместо X подставляется имя высказывания, а вместо p — высказывание, фиксирующее определенное положение дел в действительности.

Схема, естественно, не является определением понятия истинности, она только эксплицирует условие применения предиката истинности к (рассматриваемому) высказыванию — устанавливает условие адекватности вводимого по определению понятия истинности.

Как уже отмечалось, на базе такого классического понятия истинности были получены важные результаты. Однако в связи со схемой возникает ряд вопросов, ряд трудностей. Во-первых, отметим неразрывную связь смысла (осмысленности) высказывания и условий его истинности. Если мы понимаем высказывание, мы можем указать верифицирующее его положение дел, и обратно: «Der Schnee ist weiß» — Ист = снег бел.

Однако вопрос осмысленности высказываний не является столь однозначным. Не всегда понимать высказывание — значит знать условие его истинности, например в случае высказываний типа «Гамлет черноволос», или в случае утверждения Лжеца, или в случае утверждений о бесконечно удаленной точке в проективной геометрии и т.д.

Рассел рассматривал высказывания обо всех высказываниях как лишенные смысла (senseless) в силу приведенных выше мотивов. Так, высказывание, что все высказывания истинны или ложны, лишено смысла. Аналогично, предложение Лжеца мы понимаем, но его истинностная оценка ведет к противоречию.

Далее, встает вопрос о трактовке «действительности» в схеме. Дело в том, что схема релятивизирована к одному-единствен-ному миру — wo. Однако истинность высказывания может зависеть от моментов времени, положений дел в них и от других «точек соотнесения», которые должны учитываться при установлении верифицирующего положения дел — p. Что считать, например, верифицирующим положением дел p в случае

истинностной оценки модальных, интенсиональных и т.д. высказываний?

Наконец, в схеме идет речь об условиях истинностной оценки отдельного, изолированного высказывания, взятого вне контекста. Однако условия истинностных оценок высказываний могут зависеть от истинности (ложности) связанных с ними высказываний (пресуппозиций высказываний). В рассмотрение вступают определенные аспекты когерентной концепции истинности. Более того, некоторые высказывания получают смысл в контексте всей теории. Таковыми, по мысли Д. Гильберта, являются идеальные высказывания математики (высказывания об «идеальных элементах»).

Указанные трудности и ряд других ставят вопрос о необходимости пересмотра схемы Тарского так, чтобы охватывался более широкий круг высказываний и учитывались определенные аспекты когерентной концепции истинности.

Я предлагаю две линии пересмотра схемы T. Первая из них связана с трактовкой значений предложений — в частности предложения p схемы и, соответственно, с отказом от двузначности.

Предложение p утверждает некоторую соответствующую предложению X ситуацию. Г. Фреге рассматривал предложения как десигнативные выражения. Смысл предложения составляет выражаемая им мысль, задающая соответствующую ситуацию, а значением предложения выступает фактически сама ситуация. Но если рассматривать только значения предложений, отвлекаясь от их смысла, то от соответствующих предложениям ситуаций остаются два параметра — наличествующая или отсутствующая ситуация. С моей точки зрения, это и есть фрегевские значения — das Wahre и das Falsche (обратим внимание на наличие артикля das). В дальнейшем они стали обозначаться как t и f.

В схеме X e Ист = p p означает, с нашей точки зрения, не утверждение чего-то, утверждение само по себе не может быть условием приписывания предложению X предиката истинности Tr. Если p означает (относится) наличествующую ситуацию (das Wahre), предложению X схемы приписывается предикат Tr. Наличие ситуации в действительности (принимаемом

универсуме) становится условием приписывания предиката истинности соответствующему высказыванию. В случае X £ F = p p относится к отсутствующей ситуации (das Falsche). При наличии в семантике двух ситуаций — das Wahre и das Falsche — имеем: X £ Tr = X £ F, предложение ложно (F), если оно не истинно.

Но если отказаться от двузначности, будем приписывать p в качестве значений, например значения t, f, u, то предикаты Tr и F вводятся независимо: X £ Tr ф X £ F. Кроме ситуаций t и f вводится ситуация u, при этом u может трактоваться как «неизвестно», «неопределенно», «отсутствует информация», см. [2, с. 237]2.

При данном подходе пересмотр схемы T идет по линии пересмотра трактовки эквивалентности в схеме. Нам представляется, что в качестве эквивалентности как наиболее адекватную нужно принять клиниевскую слабую эквивалентность A = B. Последнее играет особую роль в случае анализа парадокса Лжеца.

B

A t f u

t t f f

f f t f

u f f t

При этом из A = B не следует A & ~ B.

Тарский, анализируя парадокс Лжеца, выделял два условия его возникновения: 1. Применяется не вызывающая нареканий обычная классическая логика; 2. Имеет место семантическая замкнутость рассматриваемого языка, от которой он отказывается, вводя иерархию языков.

В предлагаемом подходе в силу пересмотра трактовки значений предложений меняется логика. Так, меняется трактовка отрицания, появляются два отрицания: исключения и выбора.

2При этом с онтологический точки зрения u не особая ситуация наряду с das Wahre и das Falsche, но ситуация, о которой мы не имеем информации, имеет ли она место, или не имеет, или нет метода установления ее наличия (верности) или отсутствия (неверности).

A - A

t f

f t

и и

При этом принцип исключенного третьего (А £ Т V ^ А £ Т) не действует. Формула (А V ~ А) не является общезначимой (Гамлет черноволос V Гамлет не черноволос).

A A

t f

f t

и t

В этом случае принцип исключенного третьего действует. Формула (A V A) общезначима (Гамлет черноволос или неверно, что он черноволос).

Напомним, что из (A = — A) не следует противоречие (A& - A).

В случае парадокса Лжеца (обозначим выражение «утверждение Лжеца» — Л) подстановка в схему дает: Л e Tr = Л e Tr (где предложение p имеет вид Л e Tr). Но X e Tr означает, что p относится к ситуациям f или и. Но само предложение Лжеца «Л e Tr» не означает ни ситуацию t (наличествующую), ни ситуацию f (отсутствующую, das Falsche), соответственно она имеет значение и. В силу условий истинности эквиваленции = предложение Л e Tr также принимает значение и (аналогично тому, как если утверждение «Гамлет не черноволос» — ни t, ни f, то утверждение «Гамлет черноволос» принимает значение и).

Другой предлагаемый нами подход к анализу парадокса Лжеца связан с введением понятий областей и антиобластей предложений и соответственно предполагает учет определенных аспектов когерентной концепции истинности. Пусть фт(A) — область предложения A, класс миров, в которых A имеет место.

Фт(A) С W.

а) Важная трактовка W (обстоятельств).

Ь) фт(А) —условия, подтверждающие, верифицирующие А (это могут быть пресуппозиции A, методы подтверждения и A т.д.).

фр(А) — антиобласть предложения, условия, опровергающие А (в рамках этих обстоятельств А не имеет места). фр(А) С Ш.

Схема при данном подходе имеет вид:

1. А £ Тг = фт(А) = 0. А истинно, но с учетом условий; при определенных рассматриваемых обстоятельствах оно имеет место.

2. А £ Е = фр(А) = 0. Имеются опровергающие А обстоятельства.

3. А £ Тг = фТ(А) = 0. Ели при этом фт(А) и фР(А) = Ш, то фТ(А) = 0 = фР (А) = Ш. Но фТ(А) П фР (А) = 0.

Но если принимается условие фт (А) и фр (А) = Ш, то А £ Тг = фт (А)' = Ш. Но при этом не следует, что А £ Е, не следует, что фр(А) = 0.

Но если фр (А) = 0 (А опровержимо) имеет при этом место, имеем (А £ Тг)&(А £ Е), т.е. А индетерминированное высказывание (А не подтверждается и не опровергается рассматриваемыми обстоятельствами Ш)3.

Предложение Лжеца именно таково: нет обстоятельств (условий) его верифицирующих — фт (Л £ Тг) = 0, нет обстоятельств, его фальсифицирующих — фр (Л £ Тг) = 0. Л £ Тг и Л £ Е .В этом смысле Л — индетерминированное высказывание. А £ Тг и А £ Тг — закон, но А £ Тг и А £ Е таковым не является.

И при первом предложенном выше подходе и при втором предложение Лжеца выступает как индетерминированное. Но основания индетерминируемости разные. В первом случае речь идет о значениях предложений, об отказе от двузначности, связанной с введением двух ситуаций в семантике в качестве значений предложений. Во втором — об учете обстоятельств, подтверждающих предложение А, — фт (А), и обстоятельств, опровергающих А, — фр(А). В качестве таковых могут выступать

3Возможно, фТ (А) = 0 и фр (А) = 0, но при этом фт (А) П фр (А) = 0.

обстоятельства различного типа — в том числе и контексты использования высказываний. Тем самым мы отходим от трактовки истинности высказывания как просто соответствия определенному положению дел — р, трактовки, задаваемой схемой Тарского.

Таким образом, нет единого подхода к «решению» парадокса Лжеца. В разных условиях познавательной деятельности, с учетом разных ее аспектов, подходы будут разные. Может приниматься единственная, классическая, логика, но могут вводиться иные логики, могут учитываться разного типа обстоятельства, пресуппозиции. Соответственно в семантике вводятся разного типа объекты — вроде значений предложений или областей предложений и т.д. В основе лежат идеальные связи, и речь идет о необходимости абстрактных сущностей в семантическом анализе.

Как видим, в связи с парадоксом Лжеца встает вопрос о единственности логики или о принятии многих логик.

Известно, что И. Кант считал формальную логику единственной и завершенной. Э. Гуссерль полагал, что в основе логических законов лежат связи идеальные, не зависящие от субъекта, от способа их реализации в сознании. Отметим, что в принципе такая трактовка не ведет к единственности логики, так как связи эти могут быть разного типа.

В целом встает вопрос о единственности «нашей» логики или о возможности иных логик, отличных от «нашей». Не носит ли в таком случае логика, логические законы субъективный или конвенциональный характер?

Возможность существования иных логик с отличными от «нашей» логики законами и принципами связывалась в случае анализа парадокса Лжеца, с одной стороны, с онтологическими предпосылками — с характером объектов рассмотрения, с другой — с предпосылками гносеологического порядка. В первом случае речь идет о включении в рассмотрение «воображаемых», возможных миров.

Согласно Н. Васильеву, мы можем вообразить мир осуществленного противоречия, где «обобщения опыта, а, значит, логика, будут иными, чем у нас» [1, с. 57]4.

4 «Я прекрасно осознаю, — писал Васильев, — что защищаемая

Так, в воображаемом мире осуществленного противоречия логика свободна от закона противоречия. Меняется трактовка отрицания. В этом мире наряду с утвердительными и отрицательными суждениями имеют место и «индифферентные» суждения вида «S есть и не есть P». В силу сказанного логик, по Васильеву, «может быть много» — в зависимости от положения дел в мирах. Другое дело законы металогики, они — стабильны.

При предложенном нами первом подходе к анализу Лжеца в мире допускались ситуации t, f, u, возникало два отрицания. Формулы (A & ~ A), (A &-A), (A U ~ A), (AU A) соответственно могут быть или не быть законами (общезначимыми формулами) логики. Логика не единственна.

Но иные логики, как было показано, могут возникать по иным мотивам — в связи с пересмотром самих принципов логики (независимо от «онтологии» мира), но в связи с пересмотром понятий истинности, ложности, отношений между ними, трактовкой логического следования. Это составляет основу второго подхода к анализу Лжеца.

В [6] предлагается особого рода подход к построению семантики. Понятия истинности и ложности вводятся независимым образом. Центральными понятиями являются понятия областей и антиобластей предложений. На этой основе вводится не одно, а целый класс отношений логического следования. Отметим, что области и антиобласти не зависят от свойств объектов в мирах.

Между областями и антиобластями в принципе могут устанавливаться различные отношения, и это детерминирует различного типа семантики. Так, от принятия или непринятия положений фт (A) U фр (A) = W и фр (A) & фр (A) = 0 зависит возникновение различного типа семантик: классическая, семантика с истиннозначными провалами (gap), пресыщенными оценками (glut), релевантная семантика; см. подробнее [6, гл. 5, § 2-3].

Логики детерминируются при этом подходе: 1) принимаемым отношением следования и 2) отношениями между областями и антиобластями предложений. Речь идет именно о различных типах логик, а не о множественности логических формализмов, последнее — вопрос комбинаторики.

здесь мысль об иной логике противоречит тысячелетнему опыту челове-вества... » [1, с. 93].

При данном подходе изменяются принципы металогики (в отличие от Васильева). Именно от этого зависят принимаемые логики, допустимые способы рассуждений. Предложение парадокса Лжеца попадает при втором подходе в число индетермини-рованных высказываний именно на основании изменения мета-принципов.

Вопрос о единой логике или многих логиках, как нам представляется, становится прозрачным, если учесть упомянутый в начале системный подход к логике, ее месту и принципам: не просто механическое изменение законов логики и каких-то ее основоположений — отказ от одних и принятие других (речь идет не о логических формализмах), а ее место в определенной системе познавательной деятельности с ее особенностями и принципами. Тем самым логика не есть нечто абсолютное, «присущее нашему уму». Принимаемые явным или неявным образом определенные абстракции и идеализации, определенные нормы и принципы познавательной деятельности — вот что детерминирует те идеальные связи, которые лежат в основе логики, ее законов. Мы это видим в связи с анализом условий и предпосылок парадокса Лжеца.

Отметим, что введение таких идеальных объектов, как классы, в качестве объемов понятий, идеальные отношения между ними детерминируют рассуждения силлогистического типа [4, § 6]. Аналогично введение понятий возможных миров, областей и антиобластей высказываний на их основе, отношения между ними детерминируют определенные типы рассуждений, законы, детерминируют истиннозначный провал (gap) в случае парадокса Лжеца. При иных предпосылках анализ Лжеца идет по иным путям.

Литература

[1] Васильев Н.А. Воображаемая логика. М., 1957.

[2] Клини С. Введение в метаматематику. М., 1957.

[3] Кондильяк Э. Логика, или начала искусства мыслить. М., 1983.

[4] Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1959.

[5] Mostowski A. Sentences undecidable in formalized arithmetic. An exposition of the theory of Kurt Hödel. Amsterdam, 1952.

[6] Смирнова Е.Д. Логика и философия. М., 1996.