Численное решение задачи теплопроводности при формообразовании отливки с исключением трения

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ I МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ |

УДК 536.24.015.23

Н. И. Сидняев

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ ФОРМООБРАЗОВАНИИ ОТЛИВКИ С ИСКЛЮЧЕНИЕМ ТРЕНИЯ*

Рассмотрен процесс формообразования отливки в кристаллизаторе с исключением трения. Предусмотрено принудительное оттеснение расплава от стенки вдуваемым газом в зоне формирования отливки. В области расплавленного металла формирующейся заготовки давление газа определено из условия равенства давлений в зазоре и граничащем с ним столбе жидкого металла. Для зоны кристаллизации отливки решена задача теплопроводности. На каждой итерации при решения уравнения методом конечных элементов по полученному распределению скоростей в зазоре находится распределение температуры в металле, положение поверхности фазового перехода, а также распределение температуры в зазоре и пористой стенке. Получены результаты, позволяющие обеспечить непрерывное литье на основе совместного учета факторов, определяющих формирование пристеночной газовой прослойки и теплопередачу.

Одним из перспективных новых направлений развития технологий непрерывного литья является формообразование отливки в кристаллизаторе с исключением трения. Значительный интерес представляет способ литья, предусматривающий принудительное оттеснение расплава от стенки вдуваемым газом в зоне формирования отливки (рис. 1). Сложность задачи требует ее поэтапного исследования. Цель настоящей работы — исследование условий, которые целесообразно обеспечить для непрерывного литья на основе совместного учета факторов, определяющих формирование пристеночной газовой прослойки и теплопередачу [1]. При этом исходим из того, что в общем случае при вдуве газа через пористую стенку формируются пристеночный газовый зазор у ее рабочей поверхности — между жидким расплавом и проницаемой стенкой [2-5].

Математическая модель затвердевания металла в жидкой фазе. Для построения математической модели исследуемого процесса введем цилиндрическую систему координат х, г, в, ось х которой напра-

*Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 96-01-00564).

Рис. 1. Схема затвердевания слитка в кристаллизаторе при формировании отливки:

1 — силовая конструкция кристаллизатора; 2 — проницаемый элемент; 3 — газовый зазор; 4 — жидкий расплав; 5 — затвердевший слиток; 6 — профиль температуры с учетом вдува газа; 7 — профиль температуры без учета вдува газа

влена вверх вдоль оси симметрии слитка, а начало координат расположено в верхнем поперечном сечении пористого элемента [5-7]. С целью упрощения модели рассмотрим задачу в двумерной постановке относительно средних по углу в значений искомых параметров. Заготовка предполагается круглая, диаметром 0,016 м, литье вертикальное. Предполагается также, что слиток в кристаллизаторе движется с постоянной скоростью ит, а теплопередача в нем осуществляется только в радиальном направлении [8, 9].

Процесс затвердевания слитка описывается уравнением [5]

д 1т _ 1 _д_ А дТт т

рт ит ^ ^ гАт ^ ;

д х г д г д г

где

Рт _ Рв _ Р!, 1т _ (1 - в)/8 + вI/, Ат _(1 - в)Ав + вА1,

Т

в(Т) _ I ё(( - Т^Ж;

о

р — плотность металла; Т — температура; Тсол _ 885 °С — температура солидуса; А — коэффициент теплопроводности; I — удельная энтальпия; ё(() — дельта-функция; индексы f и в относятся к жидкой и твердой фазам соответственно.

Плотность металла в жидкой и твердой фазах будем считать постоянной. Полагаем, что на входе в зону охлаждения температура жидкого металла равна температуре литья [8, 10]. Для учета скрытой теплоты кристаллизации используем метод избыточных температур [1, 5, 7]. Параметры течения газа в щелевом зазоре определяются из решения

уравнений Навье-Стокса в приближении "узкого канала" [5, 6]

д д

д\Риг) + дГ

ди ди dpg 1 д ди Ри— + pv— = -— + гV—,

дх дr dx r дr дr

дТ дТ dpg 1 д ВТ

риср— + pvcp— = и— + --— r\—;

дх дr dx r дr дr

здесь ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении; v и А — коэффициенты вязкости и теплопроводности газа; и и v — компоненты вектора скорости в продольном и радиальном направлениях; рд (х) — давление газа в зазоре.

Предполагается, что в пористой стенке газ движется в радиальном направлении со среднемассовой скоростью, определяемой законом Дарси [8, 10]

Y дpw v =---,

V д r

где y — проницаемость среды, pw (х, r) — давление газа в пористой среде. Для описания процесса переноса теплоты в пористой стенке используется одномерная модель в предположении, что температуры газа и пористого каркаса равны между собой [2, 3, 8]:

дТ 1 д дТ pvcp-гг = - тгrAw—;

д r r д r д r

здесь Aw — коэффициент теплопроводности пористого каркаса.

Для замыкания задачи используется условие прилипания на границах щелевого зазора (и = 0), а также условия непрерывности температуры, давления, потоков массы и теплоты. В балансе тепловых потоков на границе зазора, наряду с теплопроводностью и конвекцией, учитывается перенос теплоты излучением. Тепловой поток q на границе металл-газ определяется по закону Ньютона:

q = a(Tf - Tw),

где а — коэффициент теплоотдачи ; Tf, Tw — температуры соответственно жидкой фазы и проницаемой стенки.

В области расплавленного металла формирующейся заготовки давление газа определяется из условия равенства давлений в зазоре и граничащем с ним столбе жидкого металла [3-5]. После образования корки давление в зазоре возрастает в направлении к низу кристаллизатора до некоторого максимального значения p*, а затем быстро уменьшается

до атмосферного давления на выходе из зазора. Величина p* зависит в основном от давления в жидком металле на границе твердой и жидкой фаз [2].

Численное интегрирование уравнений (1)-(5) проводится методом конечных элементов [11]. Для зоны отливки решается нестационарная задача теплопроводности. На каждой итерации по полученному распределению скоростей в зазоре находится распределение температуры в металле, положение поверхности фазового перехода, а также распределение температуры в зазоре и пористой стенке [8, 10].

Метод конечных элементов (КЭ) основан на аппроксимации непрерывной функции (в данном случае — температуры и компонент скорости газа) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых элементами. В качестве функции элемента чаще всего применяют полином. Порядок полинома зависит от используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции.

Предположим, что сетка КЭ состоит из Е лагранжевых конечных элементов, каждый из которых имеет Ne узлов и занимает область Ve С V, e = 1,E. Необходимо установить взаимно однозначное соответствие между номерами N = 1, N узлов сетки и номерами n = 1,Ne узлов каждого отдельного конечного элемента, имеющего номер e = 1,E. Итогом установления указанного соответствия между глобальной нумерацией узлов сетки и локальной нумерацией узлов конечного элемента является построение для каждого элемента с номером е матрицы 0е размера Ne х N^, элементы которой имеют вид = 1, если узел N сетки совпадает с узлом n конечного элемента, и 0fnN = 0 — в противном случае.

Теперь рассмотрим задачу о затвердевании слитка

дТ 1 д д Т

pm um cp ^ Tj r Лт ^

д x r д r д r

с граничными условиями III рода, задающими интенсивность теплоотдачи на поверхности слитка в соответствии с законом Ньютона:

д Т

л UJ-m

Л,

ym

д n

+ a

п

где п — внешняя нормаль к поверхности П слитка, Тг — температура газа.

В случае осесимметричного температурного поля в краевые условия входит условие симметрии, означающее равенство нулю градиен-

тов температуры на оси слитка:

д Т

д х

= 0;

x=0

здесь х — координатная ось, являющаяся осью геометрической симметрии слитка и совпадающая с осью вытягивания. Начальным условием является условие Тт(0, г) = Тл, где Тл — температура литья при входе в кристаллизатор.

Для интегральной формулировки этой задачи используем следующие условия:

V

^CppUTi

д T,

дх

m 1 д дТт

---—rXm

r

д r

д Tm \ дг )

vLdi+

+

S i

(

д n

д Т

kj -L m

Xm~т~~ + a(Tm ^ - Tr^ VLds+ j дг

S2

п

VL ds = 0

— условия ортогональности проекции невязки, возникающей при подстановке в уравнение (1) искомого приближенного решения, на элементы Ь = 1, базиса N-мерного подпространства гильбертова пространства И непрерывных в V функций, имеющих в V кусочно непрерывные производные [11]. Здесь #1 и #2 — проекции области интегрирования V на соответствующую координатную плоскость.

Преобразовывая последнее равенство при помощи первой формулы Грина, получаем

V

/ дТт &Vr дТт \

Xm—-----Ъ CppUm—— VL ) d£ +

у дг д r дх )

+ J а (т„

Si

Tr

vLds

= 0, L = 1,Nv.

Приближенное решение рассматриваемой задачи найдем в виде

TNT, (x,r) = TN (x)(PN (r) = V(r){T (x)} N=1

где Т^(х) — значения температуры в узлах сетки КЭ. В качестве базиса подпространства ИМе примем систему (г, т.е. базисные и проекционные функции возьмем одинаковые, что характерно для процедуры метода Бубнова-Галеркина [11]. Подставляя выражение (11) в равенство (10) вместо Тт, приходим к системе уравнений

п

Ns dTT P j о д^ (p

У^ PmUm OptpLtpNd£ + ^ Tn I / Лт —r--—+

n=I x V n=I yv r r

+ y atLPnds I = J aT^Lds, L = 1,NE,

Si / Si

либо, в матричном виде,

Cd{T} + K {T} = {F }.

dx

Элементами матрицы С являются

CLN = PmUm J Cpp lP Nd£, L, N = 1,NE,

V

элементами матрицы K —

/ÖpL дPN f -

Лт~дЬ—ö^d^ + apLPNds, L, N = 1,NE,

V Si

элементами вектора {F} —

fL _ у аТг<-рь<1в, Ь _ 1,^Е. Эти матрицы формируем из отдельных КЭ:

ЕЕ Е

С ОеТ [се]0е, К _ °еТ [ке]0е, } ОеТ {fе}.

е=1 е=1 е=1

В пределах каждого КЭ искомое распределение температуры аппроксимируем выражением вида

N

Те

п=1

где <рп, п _ 1, N, — функции формы КЭ, а Тп — узловые значения температуры элемента. Вектор {Т} узловых значений температуры сетки и вектор {Те} узловых значений температуры элемента связаны друг с другом следующим образом: {Те} _ 0е{Т}.

Пусть Бе — матрица-строка размера 1 х Ще с элементами дNei/дг, г = 1,Ще. Для отдельного КЭ получим

Л{Те}

PmUm J CpNe Ne

Ve

dx

+ XmBe Bed£{Te}+

Ve

+ J aNNeds{Te} = J a%Neds.

Sie Sie

Следует отметить, что слагаемые, содержащие поверхностные интегралы, будут иметь ненулевые значения только для тех элементов, стороны которых будут принадлежать соответствующей поверхности. В матричной форме получим

где

[ce ] ^ + Г ]{Т } = {fe},

Cln = CpPUm J '-Pl'-Pndi, Ve

kin = Xm I d£ + а I Vi<Pnds, fe = аТг I щds.

Ve

Sie Sie

Поскольку рассматриваемая задача решается в цилиндрической системе координат, при интегрировании необходимо использовать якобиан преобразования координат, в данном случае равный r. Эту функцию также можно аппроксимировать в пределах КЭ выражением вида

Ne

£

m=1

r щ

mm

В качестве элемента разбиения подбирается одномерный симплексный КЭ (рис. 2).

Функции формы для КЭ имеют вид

с я

Щ = 1 - -е, Щ = -е,

Ье Ье

где Ье — длина КЭ; ве — локаль-Рис. 2. Одномерный симплексный ко- ная координата, 0 < ве < 1 в преде-нечный элемент лах КЭ.

r

Систему обыкновенных дифференциальных уравнений представим в матричном виде:

С^Щ + K{Т} _ {Г}.

ах

Используем конечно-разностную аппроксимацию производной в системе (21) в пределах интервала Ахк _ хк - хк-1, приняв

а{Т} ^ {Т}к - {Т

- -,

ах Ахк

где индексы к - 1 и к, к Е N соответствуют начальной и конечной точкам к-го интервала. Применим двухслойную разносную схему "с весами" и из системы (21) получим

Ил \П I П \ {Т}к - {ТЬ-1 ((1 - п)Ск-1 + ПСк)-д-_

Ахк

_

где п Е [0, 1], к Е N. В предельных случаях п _ 0 и п _ 1 система (22) соответствует схемам аппроксимации в явной и неявной формах. Чтобы избежать наложения ограничений на выбор Ахк, из условия устойчивости схемы в явной форме выбирается разностная схема в неявной форме [11]:

{Т _

Выбирая интервал Ахк, можно руководствоваться лишь соображениями точности расчета, поскольку неявная схема устойчива при любых значениях Ахк. В случае существенной зависимости коэффициентов от температуры вычисления по формуле (23) на каждом шаге по х необходимо проводить несколько раз, последовательно уточняя значения элементов матриц. При слабой зависимости этих элементов от температуры обычно достаточно ограничиться лишь первым приближением [11], приняв

{Т}к _

Отметим, что с использованием предложенного метода решения задачи о затвердевании слитка возможен учет теплоты кристаллизации методом избыточных температур.

Решение задачи теплопроводности для пористой стенки. Процесс переноса теплоты в пористой стенке описывается одномерной моделью в предположении, что температуры газа и пористого каркаса равны между собой [3, 6, 8]:

дТ 1 д дТ

= _ ;

дг г дг дг

здесь Хт — коэффициент теплопроводности пористого каркаса. На внешней поверхности пористой стенки температуру полагаем равной температуре вдуваемого газа, а на внутренней поверхности — температуре газа в зазоре. Для интегральной формулировки этой задачи также используем условия ортогональности проекции невязки [11]:

( дТт 1 д . дТт \

Cppv—---—r\w-—

у дг r дг дг j

V

1 д

vbdi = 0, L = 1,NS.

Преобразовывая последнее равенство в соответствии с первой формулой Грина и учитывая, что на внешней и внутренней поверхностях пористой стенки имеем уь = 0, получаем

/ дТт дуь дТт \ -

1Т + СрРУ^туЬ) = 0, Ь = 1,^. (27) г г г

V

Приближенное решение рассматриваемой задачи найдем в виде (11). В узлах сетки, принадлежащих поверхности стенки, можно положить Тм = Тп. Это позволяет из числа базисных функций исключить те функции , которые соответствуют указанным узлам, но сохранить их в представлении (11) приближенного решения. Номера N оставшихся базисных функций упорядочим так, что N = 1, ^, где N * = N2 — N1 (N1 — число узлов, принадлежащих поверхности стенки). Подставляя решение (11) в равенство (27) вместо Тт, приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

I [ [\ дРь I

рсрурь-дгг+ Х™~дГГ~дГГ^ ' =

м=1 и V

X TN In (l

=N * +1 W

д<£n f д<Pl д<pN

pCpVipL—— d£ + Xw—--,

п \ дг / дг дг '

N=N +1 \V V

L = 1, N*.

Представим систему (28) в матричном виде:

К {Т} = {Г}; здесь элементами матрицы К являются

кьы =

^N ,с , [ Л fr-PL fr-PN ,t pCpVPLdi + I Xw —--—d£,

д r

VV

элементами вектора {F} —

дr д r

L, N = 1,N

fL = -

Ns N

N=N * +1

TN

N

^PN ,c . f л frPL дPN JC pCpVPLdi + I Xw———di

д r

д r д r

V

Ь = 1,Щ .

Эти матрицы формируем из отдельных КЭ. Значения ср, Хш, р зависят от температуры. Полагая, что значения этих параметров в узлах сетки определяются узловыми значениями температуры, в пределах КЭ функции ср, Хш, р можно аппроксимировать следующими соотношениями:

N ые ые

ср — X] с^т Х^ — X] р — X] рт&.

т=1 т=1 т=1

Решение задачи теплопроводности для газового зазора. Для нахождения распределения температуры в газовом зазоре рассмотрим задачу (4) с граничными условиями

X—

д n

+ а T - Т -L m

Пт V пт

)

= 0,

T

=T — -1-11

где Пт — поверхность контакта металла и газового зазора, П№ — поверхность контакта пористой стенки и газового зазора. Аппроксимируем температуру зависимостью Т(М) — Т(М) + Ттрт(Ы) + +Тпрп(М). При вычислении интегралов от произведения натуральных степеней д, г, в функций формы используем формулы [11]

F

-q (M )-m(M )p'n(M )df (M) =

-q (P )-m(p )psU(p )dkj (P ) =

q!r!s!

(q + r + s + 2)!

2F,

q!r!s!

(q + r + s + 1)!

L

ij -i

п

п

п

п

tu

tu

здесь Р — площадь КЭ; Ь^ — длина стороны КЭ между узлами г и 3; Р — точка, принадлежащая границе КЭ. Как и в случае задачи теплопроводности в пористой стенке, применяем метод Бубнова-Галеркина и после всех преобразований получаем следующую систему уравнений:

дРм . дРм .

1 рсрирь дг + +

n?1Tn(/

l)

д(рь ö<pn J£ , г _ _ г dpg

+ А—--df + / арьРм dl = - — Pbdf+

дтдт ) dx

N „ Ns ,

+ Tm apbPNdl - Tn [

N=N * +1 ь N=N * +1 ™ F

дрьdpN

дPN pcpvp^—— df + Пw\. дт

+ У , Ь = 1^ .

г г

р

Полученную систему уравнений представим в матричном виде: К{Т} = [Р}; здесь элементами матрицы К являются

кьм = рсрпрь—--Ь рсрурь—— СI +

г г

F

дрьдpN

+ Х я ь Г dff + apbPNdl, L,N = 1,N , (38) т т

F

элементами вектора {F} —

ne

fb = -I t'Pbf + £ Tm I ni

F N=N +1 ь

ne

N

apLpN dl-

n '

£ Tn \l pc„vplS-pff + f ^a-p-ff I, L = 1,N

L—/ ni/ nr I nr nr I

I I Г T L ГЛ 1 I f\

П w \ ОТ or Or

N=N* +1 \F F

Задачу теплопроводности в зазоре решаем совместно с задачей теплопроводности в пористой стенке. При этом учитываются различия свойств среды в щелевом зазоре и в стенке [1, 5, 10].

Решение уравнений течения газа в зазоре. Эту задачу представим в виде

dpg 1 д du д , , д , ,

А =~1Гr^TT, 7Г

dx r dr dr dx dr

где и = ит, ь = 0 на поверхности слитка; и = 0, ь = ьвд на поверхности проницаемой стенки (ьвд — компонента скорости вдува по нормали к стенке).

Для интегральной формулировки этой задачи получим по методу Бубнова-Галеркина

^ Г дРь,с

У им ^--=

/ дг д г

N=1 V

Л N * +N1 «я я

. ^ ^ I ..д(PN дф!

PLdi - X UN i di, L = 1,N,

J dx J -r д r

V N=N * +1 v

PPldi + f ^-lPndi i + -x / -x

N=1 KV V

д-N „ , i P

+ S VN IJ PPldi + J rPlPnd£ | =

N=1 W V

N +Ni | Г -pN f др

Um I / PPL -pNdi + ~QpPLPNdi 1 -

N=N*+1 \V x VX

*

N +Ni +N2 Inn r

-Pn ^ , P

E Vвд I / PPL -pN di + P PlPn di |, L = 1,N*.

ВД I I r TL -г r

N=N~ +Ni+1 \V V

В матричном виде систему (42) можно представить следующим образом:

[К1П] [К1„П [{и}\_ |{Г1П 43

[К2и] [К* ]] |>}} = \ {Г2}\ .

Элементами множеств матриц {Г1} и {Г2} являются соответст-

венно

r j N * +Ni „ я я

f1L = - ^PLdi - £ un „-PN S-Pdi, L =1,N,

dx r r

V n=n*+1 V

n +Ni I г дp r -P

f2L = Um I PPL --Г di + ~QxPLPN di 1 -

N=N * +1 \V V

N +N1+N2

^ ^ [ I PPL^N+ /" P<fbPN\, L = 1,N*.

N=N * +N1+1 \v Г V Г )

Элементами матриц [K1u], [K1v], [K2u] и [K2v ] являются соответственно

/Ö'Pn dpL -*

^--, L,N = 1,N ,

V dr dr

kivLN = 0, L, N = 1,N*,

к2иьм = I РРь^рТ+ / ^, Ь,И = 1,И*,

V V

= I ррь^^ + / рР^Рм, Ь,И = Т^.

V V

Расчеты газодинамических и тепловых процессов в кристаллизаторе выполнены при следующих значениях параметров: толщина пористой стенки — 0,005 м; материал слитка — латунь ЛС63-3; температура литья на входе в кристаллизатор — 1060 °С; высота столба жидкого металла в раздаточной емкости — 0,05...0,15м; материал пористого элемента — спеченная пористая медь; скорость протягивания слитка — 0,005 м/с; проницаемость пористого элемента — 10-12 ... 10-11 м2; пористость проницаемой стенки — 0,5; рабочий газ — воздух; скорость газа на входе в канал — 0,15. ..60 м/с; давление газа на выходе из зазора — 105 Па; температура внешней втулки — 27°С; коэффициент теплоотдачи — а = 1,16 Вт/(м2- К).

На первом этапе решения задаем ширину газового зазора и получаем оценку температуры на поверхности застывающего металла без учета движения газа в зазоре [2, 5, 10]. По полученным данным определяем, какое давление необходимо создать в зазоре для поддержания постоянной ширины зазора, а также находим плотность и вязкость газа. При этом полагаем, что вследствие малости толщины зазора температура, а следовательно, и физические характеристики газа по ширине зазора остаются постоянными [4]. Далее решаем задачу течения газа в зазоре и находим скорости течения газа в зазоре [3, 5, 9]. После этого рассчитываем температурное поле в металле, зазоре и пористой стенке. Результаты численных расчетов по распределению изотерм приведены на рис. 3. Показано распределение температурных полей по высоте (0,08 м) и по радиусу (0,008 м) кристаллизатора.

Рис. 3. Распределение температуры (в °С) по длине и радиусу слитка при различных расходах вдуваемого газа:

ру = 3 • 10-3 (а), 2,08 • 10-3 (б), 1,06 • 10-3 (в), 0,51 • 10-3 (г) кг/с

Полученные численные результаты сопоставлялись частично с результатами работ [5, 10], где приведены экспериментальные данные, полученные автором. Удовлетворительное соответствие данных по совокупности параметров подтверждает допустимость сделанных в настоящей работе предположений и применимость разработанной численной модели.

Заключение. Проведены исследования формирующего воздействия газовых потоков на жидкую среду. Результаты этих исследований применимы при формировании и поддержании устойчивой формы расплава в процессе его течения с последующими фазовыми превращениями. Разработаны физическая и математическая модели течения расплава и предложен метод их анализа и численного расчета, в котором учтены физические свойства теплоносителя и газовой среды, изменение агрегатного состояния теплоносителя в процессе создания и поддержания устойчивой формы расплава.

Расходные характеристики газа улучшаются при уменьшении проницаемости пористого элемента и сравнительно слабо зависят от "зеркала" металла в раздаточной емкости. Отметим, что образование зазора

между отливкой и пористым элементом начинается при некоторой конечной критической величине расхода газа, определяемой конкретным набором значений параметров устройства. Величина расхода газа примерно пропорциональна проницаемости пористого элемента и сравнительно слабо зависит от "зеркала" жидкого металла в раздаточной емкости . С увеличением расхода газа ширина газового зазора растет по закону, близкому к линейному. При расходе газа менее допустимого в кристаллизаторе может реализоваться другая схема течения — металл соприкасается со стенкой кристаллизатора прежде, чем начинается его затвердевание. Образование газового зазора приводит к существенному уменьшению теплоотвода от отливки.

Следует отметить, что при малой величине газового зазора определяющим фактором в процессе охлаждения отливки является теплообмен между затвердевающим металлом и пористым элементом за счет теплопроводности газа в зазоре [2]. С возрастанием расхода газа начинает проявляться охлаждающее действие вдуваемого в зазор газа [8, 10]. При достаточно малой величине зазора в процессе теплоотво-да преобладает перенос теплоты от металла к стенке кристаллизатора посредством теплопроводности газа [2, 5, 10]. При увеличении расхода газа режим теплопередачи с преобладающим влиянием конвекции устанавливается сначала вблизи входа и выхода из кристаллизатора, а затем во всем газовом зазоре.

Результаты расчетов должны послужить основой для разработки нового направления в области непрерывного литья слитков, предназначенных для производства круглого и плоского проката в цветной и черной металлургии, а также изделий машиностроения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. К а ц А. М., Шадек Е. Г. Теплофизические основы непрерывного литья слитков металлов и сплавов. - М.: Металлургия, 1983. - 286 с.

2. Сидняев Н. И., К а ц А. М. Бесконтактное формообразование отливки при непрерывном литье // Литейное производство. - 1998. - № 6. - C. 30-32.

3. Патент № 2048966, кл. В22 D11/04. Кристаллизатор для непрерывного литья металлов и сплавов / А.М. Кац, В.Ф. Захарченко, Н.И. Сидняев, Л.Н. Лысенко. -Заявл. 20.10.92, № 920011557/02. Опубл. 27.11.95. Бюл. № 33.

4. Патент № 2080208, кл. В22 D11/04. Способ непрерывного литья заготовок в кристаллизаторе с пористым формообразующим элементом / А.М. Кац, В.Ф. Захарченко, Н.И. Сидняев, Л.Н. Лысенко. - Заявл. 17.09.93, № 93045041/02. Опубл. 27.05.97. Бюл. № 15.

5. C h e г n y i G. G., A f o n i n a N. E., S i d ny a e v N. I, G r o m o v V. T., K a t s A. M. et. al. Modelling the process of continuous casting in gas-dynamic solidification modul // J. of Advanced Materials. - 1995. - V. 2. - № 2. - P. 106-114.

6. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. T. 1. -М.: Мир, 1991.-504 c.

7. Черный Г. Г., Левин В. А., Сидняев Н. И. и др. Гидрогазодинамика формообразования сплавов / Инженерно-физические проблемы новой техники: Тез. докл. Пятого Междунар. совещания-семинара. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998.- С. 324-325.

8. Сидняев Н. И. Исследование формообразования жидкометаллических сред в условиях поверхностного массообмена методами теории планирования эксперимента // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. - 2002. - № 5. - С. 11-20.

9. Черный Г. Г., Левин В. А., Сидняев Н. И. ид р. Теплофизика процессов формообразования жидкометаллических сред / Теплофизиче-ские и теплотехнические проблемы перспективных технологий: Тез. докл. меж-дунар. конф. "Передовые технологии ХХ1 века" - М.: НИЦ "Инженер", 1998. - С. 311-314.

10. Сидняев Н. И., Левин В. А., Афонина Н. Е., К а ц А. М. Математическое моделирование интенсивности теплопередачи методами теории планирования эксперимента // Инженерно-физический журнал. - 2002. - Т. 75. -№ 2.- С. 132-138.

11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1984. - 832 с.

Статья поступила в редакцию 12.04.2004

Николай Иванович Сидняев родился в 1955 г., окончил в 1981 г. МВТУ им. Н.Э. Баумана и в 1985 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Высшая математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор около 100 научных работ в области прикладной математики и механики.

N.I. Sidnyaev (b. 1955) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1981 and Moscow State University n.a. M.V. Lomonosov in 1985. Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Higher Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of about 100 publications in the field of applied mathematics and mechanics.

В издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2004 г. вышла в свет книга

Суржиков С.Т.

Тепловое излучение газов и плазмы. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 544с.: 120 ил. (Компьютерные модели физической механики).

Введены основные понятия теории переноса лучистой энергии в горячих газах и низкотемпературной плазме. Представлена формулировка феноменологических коэффициентов и функций теории переноса, а также их связь с квантовыми характеристиками. Приведены основные законы теории переноса теплового излучения. Сформулировано уравнение переноса и даны наиболее часто употребляемые его частные формы. Обсуждаются особенности применения моделей элементарных радиационных процессов к построению феноменологических моделей переноса излучения. Представлены методы интегрирования уравнения переноса излучения по частоте и по пространственным переменным.

Для научных сотрудников и инженеров в области теплообмена излучением, физической газовой динамики и физики низкотемпературной плазмы, а также для студентов и аспирантов физико-технических специальностей университетов.

По вопросам приобретения обращаться по тел. 433-82-98; e-mail: surg@ipmnet.ru