О четырехслойной итерационной схеме

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ INFORMATION TECHNOLOGY, COMPUTER SCIENCE, AND MANAGEMENT

УДК 519.6

О четырехслойной итерационной схеме* Ю. В. Белова1, А. Е. Чистяков2, Е. А. Проценко3**

1,2 Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация 3 Ростовский государственный экономический университет, г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация

On four-layer iterative scheme ***

Y. V. Belova1, A. E. Chistyakov2, E. A. Protsenko3**

1,2 Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia 3Rostov State University of Economics, Rostov-on-Don, Russia

DOI 10.12737/22155

Целью работы является исследование скорости сходимости четырехслойной итерационной схемы. Рассматривается задача нахождения приближенного решения линейного операторного уравнения Аи = /. Для решения такой задачи используются двухслойные и трехслойные итерационные методы. При этом трехслойные методы сопряженных направлений сходятся значительно быстрее, чем двухслойные градиентные методы. Задача исследования — установить, имеет ли четырехслойная схема преимущество в скорости сходимости по сравнению с трехслойной схемой. Для этого приводится четырехслойная итерационная схема решения сеточных уравнений, и рассчитываются ее параметры. Доказано, что четырехслойная итерационная схема вариационного типа для решения сеточных уравнений выражается к трехслойной схеме.

The work objective is to study the four-layer scheme convergence rate. The problem of finding an approximate solution to the linear operator equation Au = f is considered. Two-layer and three-layer iterative methods are used to solve this problem. At that, the three-layer conjugate directions methods converge faster than the two-layer gradient methods. The research problem is to establish whether the four-layer scheme has a speed advantage as compared to the three-layer scheme. The four-layer scheme is constructed, and its parameters are calculated for this purpose. It is proved that the four-layer iterative scheme of a variational type for solving finite-difference equations downs to the three-layer scheme.

Ключевые слова: сеточные уравнения, трехслойная схема, Keywords: finite-difference equations, three-layer scheme, four-четырехслойная схема, методы вариационного типа. layer scheme, variational methods.

Введение. Большинство прикладных задач таких, как задача транспорта веществ [1-3], гидродинамики мелководных водоемов [4-5], аэродинамики [6-7], динамики популяций [8] и других, сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для решения таких систем уравнений используются двух- и трехслойные итерационные схемы.

Рассмотрим задачу нахождения приближенного решения линейного операторного уравнения [9].

Au = f,

где A — симметричный положительно определенный оператор, действующий в вещественном гильбертовом пространстве H.

2 Для увеличения скорости сходимости вместо двухслойных итерационных методов используются трехслойные

В итерационные методы. Эти методы исследованы в работе [10]. Ниже приведено исследование четырехслойной

сл

g итерационной схемы. Условия устойчивости такой схемы получены в работе [11].

Четырехслойная итерационная схема решения сеточных уравнений имеет вид

s By к+1 = Pk+1 (B -

lk+1 A) Ук +

и (U

ii

£ _

Л -

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-01-08619), а также по Программе фундаментальных исследований Президиума

РАН № 1.33П, проект 00-16-13

** E-mail: yvbelova@yandex.ru, cheese_05@mail.ru, eapros@rambler.ru

*** The research is done with the financial support from RFFI (grant no. 15-01-08619) and within the frame of the RAS Presidium Program of Fundamental Research no. 1.33P, project 00-16-13.

для к = 2,3,..., Вух =р(в-тЛ) у0 +Т/, Ду2 = Р2 (В-т2А) у +(1 -а,2 ) Ву0 +Р2х2 / , у0 е Н .

Необходимо найти параметры {тк}, {ак} и {рк}, при которых норма эквивалентной погрешности хк = ук - и была бы минимальной для любого к.

Расчет параметров схемы. Перепишем (2) в виде

„ (У к+1 + (ак+1 -1) У к-1 + (Рк+1 - ак+1 ) У к - 2 )/ Рк+1 - у к . .

В~---= / - АУк .

тк+1

Действительно, для уравнения погрешности схемы

хк+1 + (ак+1 -1) хк-1 + (Рк+1 - ак+1 ) хк-2

Р,

- хк =-тк+1Схк , С = В 1А .

'к+1

х,

к+1 или

Или хк+1 =Рк+1

Для минимизации нормы хк в Н (п > 1) необходимо и достаточно, чтобы

Сх} ) = 0, ] = 0,к ,

(хк+1, Сх]) = -Рк+1тк+1 (Схк, Сх]) = 0 .

пРи к = ] получим (хк+1, Схк) = -Рк+1тк+1 (Схк, Схк) = 0 .

Из (3), (4) следует

(Схк -2, хк+1 ) = Рк+1 (Схк-2,(Е тк+1 С) хк ) + (1 - к+1

)(Схк-2, хк-1 ) +

+ (ак+1 -Рк+1 ) (Схк-2 , хк-2 ) ,

(Схк-1, хк+1 ) = Рк+1 (Схк-1, (Е - тк+1С) хк ) + (1- ак+1) (Схк-1, хк-1 ) + + (ак+1 -Рк+1 ) (Схк-1, хк-2 ) ,

(Схк, хк+1 ) = Рк+1 (Схк, (Е - тк+1С) хк ) + (! - ак+1) (Схк, хк-1 ) + (ак+1 -Рк+1 ) (Схк, хк-2 ) .

Запишем систему для расчета {тк }, {ак } и {рк }

-тк+1вк+1 (Схк-2, Схк ) + (ак+1 -Рк+1 )(Схк-2, хк-2 ) = 0, -тк+1Рк+1 (Схк-1, Схк ) + (1- ак+1) (Схк-1, хк-1 ) = ^ ,(Схк, хк ) - тк+1 (Схк, Схк ) = 0. Преобразуем систему уравнений

Рк+1 = а

(Сх

к - 2' лк-2

)

тк+1ак+1

+ ак+1 (Схк-1, хк-1 ) = (Схк-1, хк-1 ),

к+1

(Схк, Схк )' Введем обозначение

(С

ф =_у - --к-2, хк-2 )_

тогда

тк+1 =

а к+1 = "

(Схк, Схк ) (Схк-1, хк-1 ) + тк+1фк+1 (Схк-1, Схк ) Рк+1 = а к+1фк+1 .

Преобразуем выражение

Схк-2 = (-хк-1 + Рк-1 хк-2 + (1- ак-1 ) хк-3 + (ак-1 - Рк-1 ) хк-4 V(Тк-А-1 ) . Запишем выражение (Схк-2, Схк) с учетом полученного выражения

(Схк-2, Схк ) = ((-хк-1 + Рк-1 хк-2 + (1- ак-1 ) хк-3 + (ак-1 - Рк-1 ) хк-4 V(Тк-А-1), Схк ) = 0 .

К X <и

ч и

ей Л

С

^

<й И К

X

*

н

ей X Л

ч

и н К

ч о К

Е

и

<й и

К

<3

л о

X

К

Таким образом, получим ф^ = 1. Следовательно, Pk+1 = ak+1.

В итоге выражение (3) преобразуется к виду

xk+1 = ak+1 (E - Tk+1C) xk + (1 - ak+1) xk-1 .

Выводы. В итоге получили, что xk+j зависит только от xk , xk-1 и не зависит от xn, n = 0, k - 2 . Другими словами, доказано, что четырехслойная итерационная схема решения сеточных уравнений преобразуется к трехслойной схеме, поэтому использование первой не дает увеличения скорости сходимости по сравнению со второй.

Библиографический список

1. Сухинов, А. И. Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков // Вычислительные методы и программирование : Новые вычислительные технологии. — 2012. — T.13. — C. 290-297.

2. Параллельная реализация задач транспорта веществ и восстановления донной поверхности на основе схем повышенного порядка точности / А. И. Сухинов [и др.] // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2015). Труды международной научной конференции. — 2015. — С. 285-296.

3. Sukhinov, A. I., Chistyakov, A. E., Protsenko, E. A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs. Mathematical Models and Computer Simulations, 2014, vol. 6, no. 4, pp. 351-363.

4. Сухинов, А. И. Численная реализация трехмерной модели гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. В. Алексеенко // Математическое моделирование.

— 2011. — Т. 23, № 3. — C. 3-21.

5. Сухинов, А. И. Математическая модель трансформации форм фосфора, азота и кремния в движущейся турбулентной водной среде в задачах динамики планктонных популяций / А. И. Сухинов, Ю. В. Белова // Инженерный вестник Дона. — 2015. — Т. 37, № 3. — C. 50.

6. Sukhinov, A. I., Khachunts, D. S., Chistyakov, A. E. A mathematical model of pollutant propagation in near-ground atmospheric layer of a coastal region and its software implementation. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2015, vol. 55, no. 7, pp. 1216-1231.

7. Сухинов, А. И. Математическая модель распространения примеси в приземном слое атмосферы и ее программная реализация на многопроцессорной вычислительной системе / А. И. Сухинов, Д. С. Хачунц, А. Е. Чистяков // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. — 2015. — Т. 19, № 1. — С. 185-195.

8. Сухинов, А. И. Моделирование сценария биологической реабилитации Азовского моря / А. И. Сухинов, А. В. Никитина, А. Е. Чистяков // Математическое моделирование. — 2012. — Т. 24, № 9. — С. 3-21.

9. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. — Москва : Наука, 1989. — 656 с.

10. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — Москва : Наука, 1989. — 432 с.

11. Самарский, А. А. Устойчивость разностных схем / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — Москва : Наука, 1973.

— 415 с.

References

1. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E. Parallel'naya realizatsiya trekhmernoy modeli gidrodinamiki melkovodnykh vodoemov na supervychislitel'noy sisteme. [Parallel implementation of a three-dimensional hydrodynamic model of shallow water basins on supercomputing systems.] Numerical Methods and Programming, 2012, vol.13, pp. 290-297 (in Russian).

2. Sukhinov, A.I., et al. Parallel'naya realizatsiya zadach transporta veshchestv i vosstanovleniya donnoy poverkhnosti na osnove skhem povyshennogo poryadka tochnosti. [Parallel implementation of transport tasks substances and restore the bottom surface on the basis of high order schemes.] Parallel'nye vychislitel'nye tekhnologii (PaVT'2015). Trudy

g mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii. [Parallel Computing Technologies (PaVT'2015). Proc. Int. Sci. Conf.] 2015, pp. 285296 (in Russian).

д 3. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal

тз zone of shallow reservoirs. Mathematical Models and Computer Simulations, 2014, vol. 6, no. 4, pp. 351-363. •g 4. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Alekseenko, E.V. Chislennaya realizatsiya trekhmernoy modeli gidrodinamiki

и dlya melkovodnykh vodoemov na supervychislitel'noy sisteme. [Numerical realization of three-dimensional hydrodynamic model for shallow water basins on supercomputing system.] Mathematical Models and Computer Simulations, 2011, vol. 23, no. 3, pp. 3-21 (in Russian).

ja 5. Sukhinov, A.I., Belova, Y.V. Matematicheskaya model' transformatsii form fosfora, azota i kremniya v

dvizhushcheysya turbulentnoy vodnoy srede v zadachakh dinamiki planktonnykh populyatsiy. [Mathematical model of phosphorus, nitrogen and silicon forms transformation in moving turbulent water environment in problems of plankton 148 population dynamics.] Engineering Journal of Don, 2015, vol. 37, no. 3, pp. 50 (in Russian).

6. Sukhinov, A.I., Khachunts, D.S., Chistyakov, A.E. A mathematical model of pollutant propagation in near-ground atmospheric layer of a coastal region and its software implementation. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2015, vol. 55, no. 7, pp. 1216-1231.

7. Sukhinov, A.I., Khachunts, D.S., Chistyakov, A.E. Matematicheskaya model' rasprostraneniya primesi v prizemnom sloe atmosfery i ee programmnaya realizatsiya na mnogoprotsessornoy vychislitel'noy sisteme. [Mathematical model of impurities in the atmospheric boundary layer and its program implementation on a multiprocessor computer system.] Vestnik UGATU, 2015, vol. 19, no. 1, pp. 185-195 (in Russian).

8. Sukhinov, A.I., Nikitina, A.V., Chistyakov, A.E. Modelirovanie stsenariya biologicheskoy reabilitatsii azovskogo morya. [Numerical simulation of biological remediation Azov Sea.] Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, vol. 24, no. 9, pp. 3-21 (in Russian).

9. Samarskiy, A.A. Teoriya raznostnykh skhem. [Theory of difference schemes.] Moscow: Nauka, 1989, 656 p. (in Russian).

10. Samarskiy, A.A., Gulin, A.V. Chislennye metody. [Numerical methods.] Moscow: Nauka, 1989, 432 p. (in

Russian).

11. Samarskiy, A.A., Gulin, A.V. Ustoychivost' raznostnykh skhem. [Stability of difference schemes.] Moscow: Nauka, 1973, 415 p (in Russian).

Поступила в редакцию 29.07.2016 Сдана в редакцию 29.07.2016 Запланирована в номер 30.09.2016

Received 29.07.2016 Submitted 29.07.2016 Scheduled in the issue 30.09.2016

(U К X <u 4 и

Л

С

^

IS ей И IS

X

*

(U

н

Ч ей X Л

ч <и

н

IS

ч о

IS

Е 3 и

ей И

IS

fe s

Л

о X

к