Модель фонда социального страхования при релейном управлении капиталом и экспоненциально распределенных страховых выплатах и выплатах по социальным программам

А.В. Китаева, А.Ф. Терпугов

МОДЕЛЬ ФОНДА СОЦИАЛЬНОГО СТРАХОВАНИЯ ПРИ РЕЛЕЙНОМ УПРАВЛЕНИИ КАПИТАЛОМ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СТРАХОВЫХ ВЫПЛАТАХ И ВЫПЛАТАХ ПО СОЦИАЛЬНЫМ ПРОГРАММАМ

Получено точное выражение для плотности распределения вероятностей капитала фонда социального страхования в случае, когда моменты времени, в которые производятся выплаты по страховым случаям и по социальным программам, образуют независимые пуассоновские потоки постоянной интенсивности, а величины страховых выплат и выплат по социальным программам имеют экспоненциальное распределение. Рассматривается случай, когда выплаты по социальным программам производятся только при превышении капиталом фонда некоторого порогового значения (релейное управление капиталом).

В работе [1] оптимизация деятельности фонда социального страхования производилась в диффузионном приближении. Рассматривалась следующая модель. Во-первых, предполагалось, что в фонд непрерывно во времени с постоянной скоростью с0 поступают средства; во-вторых, поток страховых выплат является пуас-соновским с постоянной интенсивностью, а страховые выплаты - независимыми одинаково распределенными случайными величинами с заданным математическим ожиданием и дисперсией; в-третьих, средства на социальные программы выделяются непрерывно во времени с некоторой скоростью, зависящей от капитала фонда £. Считая процесс изменения капитала фонда £(/) диффузионным процессом, мы могли не конкретизировать распределение страховых выплат, считая известными только два первых момента этого распределения. Этого было достаточно, чтобы определить основную характеристику системы - стационарное распределение вероятностей капитала фонда.

Точные результаты были получены в [2] для вышеописанной модели в предположении, что страховые выплаты подчиняются экспоненциальному распределению.

В настоящей работе найдено распределение капитала фонда в случае, когда выплаты по социальным программам также осуществляются в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток постоянной интенсивности, и величины выплат - независимые экспоненциально распределенные случайные величины. Выплаты по социальным программам производятся, если капитал фонда превышает некоторое пороговое значение £0.

Обозначим Х1 - интенсивность потока страховых выплат, Я2 - интенсивность потока выплат на социальные программы, 1/ а1 - среднее значение страховых выплат, 1/ а2 - среднее значение разовой выплаты по социальным программам, р? (5) - плотность распределения страховых выплат, рп (5) - плотность распределения выплат по социальным программам.

Итак, наша задача состоит в определении плотности стационарного распределения капитала фонда р(5).

Будем искать p(s) в виде p(s) =

Pi(s), s < S0,

P2 (s), s > S0.

1. Процесс находился в состоянии 5 - с0 Д/, и за время Д/ не производились страховые выплаты. Вероятность этого события 1 - Х1Д/ + о(Д/).

2. Процесс находился в состоянии 5 - с0 Д/ + х , и за время Д/ произведена страховая выплата в размере х. В случае х < £0 - 5 + с0Д/ процесс не меняет своего состояния. В противном случае процесс пересекает порог £0 и переходит из второго состояния (наличия выплат по социальным программам) в первое (отсутствие выплат по социальным программам). Вероятность этого события Х1Д/ + о(Д/).

3. Процесс находился в состоянии 5 - с0 Д/ + х , причем х > £0 - 5 + с0 Д/, и за время Д/ произведена выплата по социальным программам в размере х. Вероятность этого события Я2Д/ + о(Д/).

4. Все остальные события имеют вероятность о(Д/).

Поскольку процесс £(/) является марковским, то, аналогично выводу обратных уравнений Колмогорова, можем записать следующее интегральное уравнение:

Р1 (5) = л(5 - С0 Д/)(1 - Я,! Д/) +

£ - 5+с0 Д/

+Я1Д/ | р1( 5 - с0 Д/ + х) р? (х)ёх +

Сначала рассмотрим область 5 < £0. Каким образом за время Д/ процесс £(•) может попасть в состояние 5 ?

+Я1Д/ | р2( 5 - с0 Д/ + х) р? ( х)й?х +

£0 -5+с0Д/ да

+Я 2 Д/ | р2( 5 - с0 Д/ + х) рп (х)ёх + о(Д/).

£0 - 5+с0Д/

Разложим функции р1(^)и р2() в ряд Тейлора по Д/: р1 (5 - с0Д/) = р1 (5) - с0Д/р' (5) + о(Д/), подставим

полученные разложения в (1), разделим обе части уравнения на Д/ и перейдем к пределу при Д/ ^ 0. Сделав в интегралах замену переменной, получим

£0

Я1 р1(5) + с0р1(5) = Я11 р1(х)р? (х - 5)ёх +

5

да да

+Я11 р2 (х)р? (х - 5)ёх + Я21 р2 (х)рп (х - 5)Дх.

Далее, учитывая, что р? (х) = а1еа,х, рп (х) = а2е“гх

при х>0, дважды продифференцируем обе части уравнения по 5. Получим следующее дифференциальное уравнение:

рГ'(5) + (Ъ - а - а2)р"(5) + а2 (а1 - Ъх)р{ (5) = 0,

где Ъ1 = Я1 / с0, Ъ2 = Я2 / с0.

Общее решение этого уравнения имеет вид

р1 (5) = С1 ехр(а2 5) + С2 ехр((а1 - Ъ1 )5) + С3.

Постоянную С3 следует положить равной нулю,

поскольку плотность вероятностей должна удовлетворять условию нормировки. Из этих же соображений будем предполагать, что а1 - Ъ1 > 0 или с0 >Я1 / а1. Это условие означает, что в среднем капитал фонда растет и является, в сущности, одним из условий существования стационарного режима. Для удобства дальнейших вычислений запишем р1 (5) в виде

А (5) = С ехр[а2 (5 - £0)] + С2 ехр[(а - Ъ)(5 - £0)], 5 < £0.

Перейдем в область 5 > £0 . Рассмотрим всевозможные изменения процесса £(•) за время Д/, приводящие его в состояние 5.

1. Процесс находился в состоянии 5 - с0 Д/, и выплаты ни по страховым случаям, ни по социальным программам не производились. Вероятность этого события 1 -Я1Д/ -Я2Д/ + о(Д/).

2. Процесс находился в состоянии 5 - с0Д/ + х (причем х > с0Д/) и произведена страховая выплата в размере х. Вероятность этого события Я1Д/ + о(Д/).

3. Процесс находился в состоянии 5 - с0Д/ + х (причем х > с0 Д/) и произведена выплата по социальным программам в размере х. Вероятность этого события Я2Д/ + о(Д/).

4. Все остальные события имеют вероятность о(Д/).

Это приводит к следующему интегральному уравнению:

р2 (5) = р2 (5 - с0 Д/)(1 - Я1Д/ - Я2 Д/) +

да

+Я1Д/ | р2 ( 5 - с0 Д/ + х) р? (х)Сх +

С0 Д/

да

+Я2Д/ | р2 (5 - с0Д/ + х)рп (х)Сх + о(Д/).

С0Д/

Проделав с полученным уравнением преобразования, аналогичные уравнению (1), получим дифференциальное уравнение

С0р2"(5) + (Ъ1 + Ъ2 - а1 - а2)р'2 (5) +

+ (а1а2 - Ъ1а2 - Ъ2а1)р'2 = 0.

где

Общее решение этого уравнения имеет вид

р2 (5) = С ехр(^15) + С2 ехр(&25) + С3 ,

к12 = (а1 + а2 - Ъ1 - Ъ2 ± л/о) / 2,

Б = (а1 - а2 + Ъ2 - Ъ1)2 + 4Ъ1Ъ2 > 0.

Потребуем, чтобы выполнялось неравенство с0 <Я1/ а1 + Я 2/ а2 - второе условие существования стационарного режима, которое означает, что в области, лежащей выше порога £0, капитал фонда в среднем уменьшается. В этом случае к2 < 0, к1 > 0 . Поскольку рассматриваемая область не ограниченна сверху, то условие нормировки требует положить С1 = С3 = 0 . Итак, р2 (5) можно записать в виде

р2 (5) = С ехрк (5 - £0)], 5 > £0 .

Найдем постоянные С, С1, С2.

Нетрудно видеть, что

р2 (£0) = Л (£0 - С0Д/)(1 - Я1Д/) + о(Д/),

откуда следует условие сшивания на границе р1( £0) = р2( £0), которое дает

С = С1 + С2.

С другой стороны,

А (£0) = Л(5 - С0 Д/)(1 - Я1Д/) +

да

+ Я1Д/ | р2( 5 - с0 Д/ + х) р? (х)с1х +

С0Д/

да

+Я2Д/ | р2 (5 - с0Д/ + х)рп (х)Сх + о(Д/).

^Д/

Отсюда, учитывая (2), получаем уравнение

а2С1 + й1С1 + а1С2 =

Ь2 а,

2^2 + Ь1а1

У а2 - к2 а1 - к2 у

Еще одно уравнение - это условие нормиров-

£0 да

I. | р1 (5)С5 +| р2 (5)С5 = 1 или, с учетом (2),

С,

г 1 - 2Л V а2 к2 У

+ С„

1

1

а1 - Ь1 к2

= 1.

2 У

Решая полученную систему уравнений (2)-(4), обо-

Ґ

Ь2 а2 + Ь1а1

а2 - к2 а1 - к,

,получаем

2 У

С1 =--------------------------------------------------(С),

а2

С =-----------------------°2Ма,-М-----------------(+ -,

а2

с =------------------------аАЦ-го----------------- ^Ъ).

а2

Итак, Поставленная задача решена полностью. Провести

какую-либо оптимизацию по параметрам а2 и Ъ2 вряд [С1ехр[а2(5 - £0)] + С2ехр[(а1 - Ъ1)(5 - £0)], 5 < £0, ли возможно ввиду сложной зависимости постоянных

р(5) = |Сехр[к2(5-£0)], 5>£0. С,C1,С2 от этих переменных.

ЛИТЕРАТУРА

1. Китаева А.В., Терпугов А.Ф. Управление капиталом фонда социального страхования // Вестник Томского государственного университета.

2006. № 290.

2. Змеев О.А. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах // Вестник

Томского государственного университета. 2003. N° 280. С. 130-135.

Статья представлена кафедрой прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 6 июня 2006 г.