Об одном подходе к решению дифференциальных уравнений в частных производных в общем виде

УДК 004.421

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В ОБЩЕМ ВИДЕ

© Р. А. Смирнов

Ключевые слова: дифференциальное уравнение в частных производных, преобразование Лапласа-Карсона, начальные условия, система МаШраг.

В работе рассматривается алгоритм решения дифференциальных уравнений в частных производных в общем виде с применением преобразования Лапласа-Карсона. Приводятся примеры решения таких уравнений в системе Ма^раг.

1 Введение

Одной из актуальных задач компьютерной алгебры является задача решения дифференциальных уравнений в частных производных. Данная задача связана с проблемами, возникающими во многих областях естествознания, например, при описании физических процессов таких как нагревание, колебание, диффузия, движение жидкости и многих других.

Известно, что в общее решение обыкновенного дифференциального уравнения входят свободные параметры. Различным наборам значений этих параметров соответствуют различные наборы чисел, определяющих начальные условия. В случае дифференциальных уравнений в частных производных общее решение тоже зависит от свободных параметров. Но теперь эти свободные параметры являются функциями из некоторого класса функций. Особенностью данной работы является то, что предлагается подход, который позволяет в некоторых случаях получить общее решение системы дифференциальных уравнений в частных производных и установить связь свободных функций с начальными условиями, которые задают искомую функцию на границах области.

Работа посвящена решению систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами, которые допускают преобразование Лапласа-Карсона для функций, стоящих в г.равой части. Это функции многих переменных /(х), х = (жх,..., хп) Е М71, ограниченные, имеющие конечное число точек разрыва I рода и не более чем экспоненциальную скорость роста по каждой переменной на М" и обращающиеся в 0 в остальных точках К". Класс таких функций обозначим через 8„.

Решение основано на преобразовании Лапласа-Карсона и состоит из двух этапов.

Сначала определяются требования к начальным условиям, которые позволяют применить преобразование Лапласа-Карсона к дифференциальным уравнениям и найти изображающие уравнения. Этому посвящен параграф 2. Затем происходит вычисление начальных условий, подстановка изображений начальных условий в изображающее уравнение и нахождение оригинальной искомой функции в результате обратного преобразования Лапласа-Карсона. Этому посвящен параграф 3. В четвертом параграфе приводятся три примера, в которых подробно рассматриваются все этапы полученного алгоритма.

2 Определение требований к начальным условиям

Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных в К+:

дт

53а"

п=О

дхпду'

—f(x,y) = h(x,y), где ап Є М, h(x,y) Є Sn, т Є N.

Прямое преобразование Лапласа-Карсона определяется формулой:

ОО СО

LC : /(ж, у) <-> u(p, q)=pqf f е_рхе_та/( ж, y)dxdy,

о о

где р = а + ifi, q = т + iv — комплексные параметры. Известно из работы [1], что:

ЬС ' У^ И> рПи(уР' ^ ~ Е Pn_V2,х"(°’ ьс: -> яПи(р,я) - Прояп~кщ,у^{р,0),

дуп

Qm+n

гг—1

т—1

LC : dxmdvn^X’У^ ^ РтЧПи{Р. 9) - Pm Е 9П Ч*(Р, 0) - Е Рт fc«2,**(0, g)+

U 1=0 к=0

дкка,у)

т—1 п—1 , .

+ EEpm'V-7iy)(o,o),

где т, п ^ 1; и2,х*(0, g) = q f e~qT) 5 ^X’ ^

о

Эж*

drj; uhyk(p,0)=pfe *

x=0 о °У

d£.

y=0

Таким образом, после преобразования Лапласа-Карсона левой части уравнения (1) нам необходимо знать значения следующих функций, которые называются начальными условиями и их можно задать в виде:

<9*7

дхк

dhf{ ж, у)

,,о = аМ' V

= Ьл(ж),

у=о

где /с = 0, ...,п — 1; п — порядок производной функции / по переменной ж в (1); 1г = 0,... ,т — 1; т — порядок производной функции / по переменной у в (1).

3 Определение семейства начальных условий

Пусть искомая функция / = /(ж, у) ив уравнении (1) не содержится смешанных производных функции /(ж, у), к — старшая производная функции / по переменной ж, т — старшая производная функции / по переменной у.

Пусть заданы начальные условия

1C {а0, . . . , dfc—I, Ьо> • • * j Ьт—l}j ^7

57

где dj —

’ Ь> dyi

; г = 0,..., к — 1; j = 0,..., т — 1, а», bj G S2.

у=о

ж=0

В результате преобразования Лапласа-Карсона начальных условий получим

LC : /(ж, у) и(р, <?); аДу) •->. аДд); б^-(ж) 1-» Д-(р).

После преобразования Лапласа-Карсона и решения полученного алгебраического уравнения получим изображение и искомой функции / в виде дробно-рациональной функции:

ЭДр, я) ^

“оШ'

fe—1 т—1

где = Е Рг{р,я)оч + Е Р](р,я)0] + 0(р,<?)-

i=0 j=0

I

Пусть знаменатель Q(p,q) можно представить виде Q(p,q) = ПО9-Vv(g))> ГДе / €N,

Г=1

причём, V>i(g) Ф ФМ) при i ф j , г, j = 1.........Z.

Обратное преобразование Лапласа-Карсона для двух переменных задается формулой:

(Т+гоо т+гоо

LC-1 : и(р, q) i-4 /(ж, у) — J j U^^ epx+qvdpdq,

а—гоо r—ioo

где р = а + ip, q = т + гг>— комплексные параметры.

Для вычисления оригинала / с помощью применения обратного преобразования Лапласа-Карсона к изображению и, необходимо, чтобы существовали m, п € М такие, что выполняется неравенство |«| < оо при любых Re(jp) > п > 0, Re(q) > m > 0. Выражение р — ipr{q) обращается в ноль в области Re(p) > п > 0, Re(q) > тп> 0, m, п Е К., тогда и только тогда, когда функция 'фГ{я) удовлетворяет следующим условиям

lim \i>r{q)\ = +о°,

р-»+оо

тг/2 ^ Arg( lim (г/jr(q),q)) < 2тт, p-t-1-00

где q = рег(р , 0 < ip < к/2, г = 0,... ,1.

Следовательно, такие функции ipr{q), которые удовлетворяют системе (4), должны входить как сомножители в разложение числителя (3).

d

Запишем Q(p,q) в виде Q{p,q) = Qi(p, q) * Qi{p, q)\ где Qi{p,q) = П (P ~ V’cfa)),

c= 1

I

Q2(p,q) = П (P~ V’e(g)), V'c(g) удовлетворяют (4), a V>e(<?) не удовлетворяют (4). Под-

e=d+1

ставляя функции в 9) > получим d уравнений:

’ tt{ipi(q),q) = О,

„ ^(i’d(q):q) = о.

Заметим, что а* и /3^- входят в О линейно, поэтому (5) является неоднородной системой линейных уравнений относительно функций £*1 и .

Для того чтобы функции а*, bj могли выступать как начальные условия решения дифференциального уравнения в частных производных необходимо и достаточно, чтобы они

удовлетворяли системе уравнений (5). Покажем достаточность. Функция и — ^ -

<Э{Р, 9)

дробно-рациональная функция от р и д, для которой существуют т, пбК такие, что выполняется <2(р, <7) ф 0 при любых Яе(р) > п > 0, /?е(д) > т > 0.

Пусть Т есть основная матрица коэффициентов системы (5) и гапк(Т) = £, причём + т —2. Тогда из системы (5) мы можем выразить £ неизвестных как линейные комбинации остальных к + гп — 2 — Ь свободных неизвестных, при этом коэффициентами будут дробно-рациональные функции.

В качестве свободных переменных могут выступать любые функции из класса 8П . Эти свободные функции перейдут и в искомое решение дифференциального уравнения (1) в общем виде.

4 Примеры

Пример 1. Решим уравнение в частных производных в .

1Ь~% = ХУ' где^ = ^х*»)-

Запишем начальные условия в соответствии с формулой (2):

/(0, у) = а(у); Дх,0) = Ь(х).

После преобразования по Лапласу-Карсону функции и начальных условий получаем:

/(х, у) н» и(р, д); а(у) 1-4 а(д); Ь(х) /3(р),

где р = [1 + гк, д = 7? + гст.

Изображающее уравнение с подставленными начальными условиями будет иметь вид:

ри - ди = — + а(д)р — /3(р)д. рд

Отсюда выразим функцию и:

Знаменатель обращается в ноль при р — д = 0, следовательно,

аЫ)р2

После обратного преобразования Лапласа-Карсона уравнения (8) имеем следующую связь между начальными условиями:

LC~\a(q)) - LC-'Ш) + LC~\\) = 0.

я3' з

Пусть ЬС~1(а(д)) = \\Г(у),ЬС~1((5(р)) = и{х). Тогда С/(х) = \\?(х) + где \У(х) -произвольная функция из Бх .

Следовательно, искомые семейства начальных условий можно записать в виде:

а(у) = \У(у),Ь(х) = IV(х) + х3/6.

Решим уравнение (6) в общем виде. Выразим /3(р) из уравнения (8) и подставим полученное выражение в (7). Получим:

а(р)р-а(я)я , Р + Я

и —-----------------1---5—.

Р ~ Я Р6Я

После обратного преобразования Лапласа-Карсона получаем решение уравнения (6) в общем виде:

Х^У X^

и = \У(х + у) + — + —.

I о

Пример 2. Решим уравнение параболического вида, приведенное в работе [2].

д^ Г '( ^ /п\

% =Х2/’ГАе/ = /

Запишем начальные условия в соответствии с формулой (2):

д/

/(0, у) = а(у);

= %); /(ж, о) = с(х).

х=0

дх

После преобразования по Лапласу-Карсону функции и начальных условий получаем:

f(x,y) 1-4 u{p,q)\ а(у) н4 a(q)\ Ь(у) н-> /3(g); с(х) н4 J(р),

где р — р, + гк, q = г) + га.

Изображающее уравнение с подставленными начальными условиями будет иметь вид

РЯ

Выразим функцию и

и =

р2и - qu = — + a(q)p2 + /?(</)р - 7(р)<7-

a(q)p3q + j%)p2<7 - 7{р)рЯ2 + 1 цдч

pq

Знаменатель имеет ноль q = р2. Сделаем подстановку q = р2. Получим следующую зависимость между начальными условиями:

1 + р5 а

Пусть LC-l(a.(q)) = W(y), LC~l{p(q)) = U{y), где W(f), £/(*) - произвольные функции из Si.

Выразим функцию 7(р) из уравнения (11) и сделаем подстановку в (10):

р2а(д) - да(р2) + р2/?(<?) - д(5{р2) ^ р2 + д

и =

+

р5д

р

После обратного преобразования получаем символьное решение уравнения (9) в общем виде:

УГ(у) = ЬС~\а(д)), и(у) = ЬС~'Ш),

т^-иР2^) ~Яа(Р2) , Р20{я) ~ яР(р2)^ , х3у , х5

^ ^—д + г,(п2 _ +

рСр2 - я)

120'

Пример 3. Дано уравнение в частных производных в М;

з2/ а2/

дх*-д?=ХУ' да/ = ДХ'У)-

Запишем начальные условия в соответствии с формулой (2):

f{0,y) = а(у); /(х, 0) = £>(х);

9f

дх

= с{у)]

df

х=0

ду

= d{x).

После преобразования по Лапласу-Карсону функции и начальных условий получаем

/(х,у) i-> u(p,q)\ а(у) ^ a(q); Ь(х) ^ /3(р); с{у) ^ 7(g); d(x) 6(р),

где р — (л + г/с, q — 77 + га.

Изображающее уравнение с подставленными начальными условиями будет иметь вид:

р2и -д2и = — + р2а(д) + р-у(д) - q2/3(p) - q6(p). рд

Выразим функцию и

и =

p3qa(g)+p2g7(g) - pq3/3{p) - pq26(p) + 1

ря{р2 ~ Я2)

Знаменатель обращается в ноль при р = д, следовательно,

д4а

После обратного преобразования Лапласа-Карсона уравнения (14) имеем следующую связь между начальными условиями:

LC-\qa{q)) - ЬС~\дР{р)) + ЬС~'Ш) - LC~\6(p)) + LC"1 (l/g3) = 0.

Пусть LC_1(c>!(g)) = W(y),LC~l(P{p)) = U(x), LC~1{7(g)) = V(y), где W(t),U(t),V(t) -произвольные функции ИЗ Si .

Выразим функцию <5(р) и подставим в уравнение (13):

J_ ру

U р?д р2 — д2 р2 — д2 р + я

После обратного преобразования получаем символьное решение уравнения (12) в общем виде:

Г W(y) = LC-\a{q)), U[x) = LC-'Ш), V(y) = ЬС^Ш), г r^-иМя) -Я1(р) , р2а{я)-ряа(р) , , х3у

J — /vO ^ 2 „ + п _ 2 ' „ , _ ) "Г •

р2 - q2

р2 - q2

р + д

5 Заключение

В работе показан один подход к решению дифференциальных уравнений в частных производных в общем виде. В настоящее время на его основе разрабатывается алгоритм в системе компьютерной алгебры Mathpar. Данный метод позволяет определить требования к начальным условиям, при которых возможно найти решение при помощи преобразования Лапласа-Карсона.

ЛИТЕРАТУРА

1. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление по двум переменным и его приложения. М.: Физматгиз, 1958.

2. Малашонок Н.А. Один пример символьного решения системы дифференциальных уравнений в частных производных // Вестник Тамбозского университета. Сер. Естественные и технические науки. Том 15. Вып. 6. 2010. С. 1761-1766.

3. Malaschonok N.A. An Algorithm for Symbolic Solving of Differential Equations and Estimation of Accuracy // Computer Algebra in Scientific Computing. LNCS 5743. Springer, Berlin. 2009. P. 213-225.

4. Малашонок Г.И. О проекте параллельной компьютерной алгебры // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Том 14. Вып. 4. 2009. С. 744-748.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 12-07-00755-а) и программы «Развитие потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/10437).

Поступила в редакцию 20 февраля 2012 г.

SYMBOLIC SOLUTION OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS IN

GENERAL FORM

© Roman Antonovich Smirnov

Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Internatsionalnaya, 33, Tambov, 392000, Russia, Post-graduate Student of Mathematical Analysis Department, e-mail:

romansmir novtsu@gmail. com

Key words: partial differential equations; Laplas-Carson transform; initial conditions,

Mathpar system.

In this paper the algorithm for symbolic solution of partial differential equations in general form is discribe. Examples of solutions of these equations are demonstrated in the Mathpar system.