Линейная устойчивость невязкого сдвигового течения термически неравновесного молекулярного газа

2014 Математика и механика № 1

УДК 532.5:532.517.4

И.В. Ершов

ЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕВЯЗКОГО СДВИГОВОГО ТЕЧЕНИЯ ТЕРМИЧЕСКИ НЕРАВНОВЕСНОГО МОЛЕКУЛЯРНОГО ГАЗА1

В рамках модели двухтемпературной газовой динамики исследуется задача линейной устойчивости плоскопараллельных сдвиговых течений колебательно-возбужденного молекулярного газа. Проведено обобщение условий Рэлея и теоремы о полукруге (теорема Ховарда) на случай термически неравновесного газа. Показано, что для развития неустойчивости в сдвиговом течении термически неравновесного газа необходимо выполнение первого условия Рэлея в той же форме, что и для случаев однородной и стратифицированной несжимаемой жидкости и идеального газа. Однако более жесткое условие на комплексную фазовую скорость, известное как теорема о полукруге, удается получить лишь при некоторых дополнительных условиях. Также для случая колебательно-неравновесного газа получено обобщенное условие о необходимости существования точки перегиба на неустойчивом профиле скорости (второе условие Рэлея).

Ключевые слова: линейная теория устойчивости, условия Рэлея, теорема о полукруге (теорема Ховарда), колебательная релаксация, уравнения двухтемпературной газовой динамики.

Классические результаты по линейной устойчивости плоскопараллельных течений, полученные Гельмгольцем, Кельвином и Рэлеем, рассмотревшими случай идеальной несжимаемой жидкости, были распространены на задачи о течениях идеального газа неоднородной стратифицированной и проводящей жидкостей в полях различных массовых сил [1]. В последние годы в связи с проблемами управления потоками химически реагирующих, частично ионизированных, оптически возбужденных сред возник интерес к устойчивости термически неравновесных течений молекулярных газов. Обзор результатов исследований в этой области можно найти в монографии [2].

В работах [3-6] рассматривалась диссипация крупной вихревой структуры в сдвиговом потоке слабо неравновесного и колебательно-возбужденного газов. Изучалось воздействие релаксации колебательной моды на вихревую дорожку Кармана за цилиндром [7]. На основе энергетической теории устойчивости получены оценки влияния релаксационного процесса на критическое число Рейнольд-са в течении Куэтта [8-11]. Результаты всех этих работ позволяют заключить, что термическая неравновесность может существенно влиять на процессы эволюции возмущений различных пространственно-временных масштабов, ускоряя их диссипацию.

В данной работе цитированные выше результаты по устойчивости плоскопараллельных течений обобщаются на течения колебательно-возбужденного сжимаемого газа.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-01-00064).

Основные уравнения

В координатной плоскости (х, у) рассматривается плоскопараллельное сдвиговое течение, в котором основной (несущий) поток плотности рх (у) и температуры Т8 (у) направлен вдоль оси абсцисс х и имеет профиль скорости П8 =П8 (у). Возмущенное течение описывается системой уравнений двухтемпературной газовой динамики [2, 12]. Используя в качестве масштабирующих величин некоторые характерные длину Ь, скорость и0, плотность р0, температуру Т0 и образованные из них время т0=Ь/и0 и давление р0=р0и02, получим, что в безразмерных переменных эта система уравнений примет вид

( ъ ъ \

д± + ^ = 0,р

дt дхг

диг ди

— + и,—:

дt 1 дх, V 1

д р дхг

р I дТ+игЩ +

V д1: дхг ) дхг ТУТ

^+и,^ + (Т^Ъ-т) = 0, ум2р = рТ, г, 1 = 1,2,

дt дхг хуТ

где р, иг, р, Т, Тт1Ъ, хуТ - плотность, компоненты вектора скорости, давление, статическая и колебательные температуры газа и время колебательной релаксации соответственно, а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Параметры, входящие в уравнения системы (1), определяются следующим образом. Параметр уУ1Ъ = сУ1Ъ /(с4г + сго(. + сУ1Ъ) определяет долю внутренней энергии газа, приходящуюся на колебательные моды молекул, и в каком-то смысле характеризует степень неравновесности последних; М = П0 /^уЯТ0 - число Маха, у = (с4г + сго(. + Я)/(с1г + сго1) - показатель адиабаты, Я - газовая постоянная и с4г, со, сУ1Ъ - удельные теплоемкости при постоянном объеме, определяющие соответственно энергоемкость поступательных, вращательных и колебательной мод молекул газа. Все определенные здесь теплоемкости предполагаются постоянными.

Система (1) описывает распространенную в аэродинамике ситуацию, когда характерные времена микроскопических процессов энергообмена между различными степенями свободы молекул газа оцениваются системой неравенств [2, 12]: тТТ ~ %Т << хУу << тУТ ~ т0. Причем в этом случае поступательные и вращательные степени свободы молекул с малыми соизмеримыми временами релаксации тТТ ~ %Т на временах порядка характерного времени течения т0 образуют квазиравновесный термостат с температурой потока Т. В подсистеме же колебательных уровней энергии по истечению времени хУТ устанавливается квазиравновесное распределение с колебательной температурой Т„1Ъ. Обмен энергией между колебательной модой и квазиравновесными степенями свободы молекул газа описывается релаксационным уравнением Ландау - Теллера с характерным временем хУТ.

Нижний предел уУ1ь = 0 соответствует случаю невозбуждения колебательной моды молекул. С другой стороны, равнораспределение энергии по степеням свободы молекул не является здесь верхним пределом для параметра ут1Ъ, поскольку закон равнораспределения энергии неприменим в неравновесной ситуации, опи-

сываемой системой уравнений (1), когда разрыв между статической температурой потока Т и колебательной температурой ТУ1Ь может быть достаточно велик. В [12] показано, что при Т = 300 К неравновесная теплоемкость сУ1Ь«1,8,К. Используя равнораспределение энергии в состоянии термодинамического квазиравновесия по поступательным и вращательным модам молекул, получаем, что параметр уУ1Ь «0,42. С ростом разрыва между температурами ТУ1Ь и Т значение уУ1ь увеличивается, приближаясь в пределе к единице, когда энергия колебательной моды молекул существенно превышает температуру квазиравновесного термостата, определяемого поступательными и вращательными степенями свободы молекул. Таким образом, параметр уУ1Ь может изменяться в пределах 0 < уУ1Ь < 1.

Мгновенные значения полей возмущенного течения представим как суммы стационарных величин несущего потока и малых пульсаций, зависящих от времени и координат:

их = и8 (У) + , иу = йу , Р = Р, (У) + Р

Т = Т,

у М2

Подстановка (3) в систему (1) и ее линеаризация относительно стационарного решения приводит к системе уравнений для малых возмущений:

дР+и, дР+р, 1+и у др,=0,

диv тт дйг „ dUS 1 d p

—- + US—x + иy-- l+ —

д t д x д y ) д x

д и y л д и y 1 , д p

psl HT+U' \+t=

Ps+ US 0L + и y Sl ) + (Y -,) [X+4 1-Yvibp S (t. - Ъ = 0,

дt дx удy ) ^ дx дy ) xVT

Щ^Г + US + *y ^ + = 0, y M2 p = p ST + p Ts .

д t д x д y tvt

Принимается, что при y = y1 и y = y2 все возмущения обращаются в нуль и периодичны по продольной координате x.

Характеристики устойчивости

Периодические по x возмущения рассматривались в виде бегущих плоских волн

q (x, y, t) = qo(y)exp [ ia (x - et)],

q

где a - волновое число вдоль периодической переменной x, e = er + iei - комплексная фазовая скорость, i - мнимая единица. Подставляя (5) в уравнения системы (4), получаем, что компоненты вектора амплитуд q 0(y) будут удовлетво-

рять следующим уравнениям:

Dp + ар'у + р5с = 0, р^и + + гаp = 0, ар^у + p' = 0,

р^ 0 + ар5 уТ' + (у -1)с -

Ту1Ъ Р'

ТУТ

(0 V - 0 ) = 0,

D0V + ауТ' + = 0, уМ2р = р5 0 + рТ8,

где D = /а(П8 - с), с = а(у' + ги), а штрихи у функций здесь и далее обозначают дифференцирование по переменной у. Система (6) вместе с однородными граничными условиями

и\ у=у = у у=у

и\ у=у2 = у у=у2

= Р| у=у! = 01 = Р| у=у2 = 01

у=у1

^ у=у

= 0, = 0

у=у2 I у=у2 ^ у=у2 определяет спектральную задачу, в которой собственными значениями являются комплексные фазовые скорости возмущений с = сг + /с,, а число Маха М и вещественное волновое число а служат параметрами.

После исключения части зависимых переменных система (6) сводится к двум уравнениям для амплитудных функций возмущений поперечной скорости и давления:

где

и' у .

Ш

гР

Т' - М*2Ш2 Ш

= 0, р' +

/а2 Ш

Т

1 с

V = 0,

VI у = у = У у = = а р| у = р| у= у = 0,

у=у

у=у2

М*2 = М2 ш2 , ш2 = ш2 +

у=у2 2

2 = Я1(1 + уV + ат Ут с,) + А2 Шг = Я2 +А2

2 IV

т, = -

IV (У -1) А

У Я12 +А2

IV = У^ъ/( 1 - TvlЪ ) , Я1 = 1 + Т^Т + аТУТ сг , А = аТУТ Шг

ш = шг + гш, шг = и „ - сг, ш = -сг.

г г ' г ' г у г г

Из (7) путем дифференцирования получаются замкнутые уравнения для V и р. В самосопряженной форме уравнение для амплитудной функции возмущения давления записывается следующим образом:

р'1 - а2 - М*2 | р = 0.

ш2 ) V Ш2

Для дальнейшего необходимо рассмотреть для (8) квадратичную форму, которая получается умножением уравнения на комплексно-сопряженную функцию р и интегрированием по у в интервале от у\ до у2 с граничными условиями (7).

После интегрирования по частям квадратичная форма принимает вид

у2

£ 1р'!2

Т

Ш 2

--М

*2

ёу = 0.

УТ

Действительная часть квадратичной формы A

У2 У2

Re

У1 У1

а мнимая часть соответственно дается выражением

У2

Im

У1

Q = JL(( +a2,p,2)>0, Qi = ^R>°

Для проверки первого условия Рэлея достаточно заметить, что выражение в квадратных скобках под интегралом в (11) неотрицательно. Поэтому для нарастающих возмущений при c > 0 мнимая часть A,= 0 тогда и только тогда, когда разность Wr = US - cr меняет знак в поле течения. Следовательно, для развития неустойчивости в рассматриваемом течении термически неравновесного газа необходимо выполнение первого условия Рэлея в той же форме, что и для случаев однородной и стратифицированной несжимаемой жидкости [1, 13] и идеального газа [14]:

min US = u < cr < U = max US.

Из (12) следует, что для любого нарастающего невязкого возмущения комплексная фазовая скорость c = cr + ic, должна лежать в верхней полуплоскости c, > 0 в полуполосе, ширина которой определяется условием (12).

Однако более жесткое условие на фазовую скорость c = cr+ici, известное как теорема о полукруге (Howards's semicircle theorem [1, 13]), здесь удается получить лишь при некоторых дополнительных условиях (см. условие (14)).

При доказательстве теоремы о полукруге в качестве исходного соотношения рассматривается неравенство [1, 13]

У2

J

I0 = J Qdy, I1 = J UsQdy, I2 = J U2Qdy.

У2 У2 У2

где

У1 У1 У1 Используя выражения (10) и (11), перепишем интегралы ¡к (к= 1, 2) следующим образом:

I У2

¡1 = сг1о -—, ¡2 = 2сг1х - (с2 - с2)10 + К, I = а2М2 { р |2 ¿У.

' У1

Подстановка этих выражений в неравенство (13) позволяет преобразовать его к виду

22

cr -u+UI2 + c,2 -(U - u)2

J ( u + U . „

I0 + -(—— cr |+K < 0.

При выполнении условия

имеет место неравенство

3\и±и - Сг 1 + Сгк > 0

и + и 12 2 (и - и )2 с„--I + с,2 -

и тогда справедлива теорема о полукруге [1, 13]: « Для любой неустойчивой моды при с1 > 0 значения комплексной фазовой скорости с = сг + ¡с, лежат в верхней полуплоскости в полукруге радиуса г0 = \и - и|/ 2 с центром в точке сг = (и + и)/ 2». Таким образом, условие (14) является достаточным для справедливости теоремы о полукруге.

Для идеального газа (т.е. когда уУ1Ь=0) получаем, что J ^ 0 и для нарастающих возмущений при с, > 0 из (10) следует неравенство с, К > 0. В результате достаточное условие (14) выполняется и имеет место теорема о полукруге. В силу отмеченной непрерывности перехода к случаю идеального газа неравенство (14) и теорема о полукруге будут справедливы и при малых, но конечных уровнях возбуждения, пока незнакоопределенное слагаемое в неравенстве (14) не меняет знак всего выражения. В общем же случае для произвольного уровня возбуждения выполнение неравенства (14) надо проверять при конкретных значениях входящих в него параметров.

В качестве примера проведем проверку условия (14) для плоского сжимаемого течения Кутта колебательно-возбужденного молекулярного газа с параболическим профилем статической температуры потока:

(у - 1)РгМ2

т

где Рг - число Прандтля несущего потока. Отметим, что подобные профиля несущего потока использовались в работах [15-17] при исследовании устойчивости сжимаемого течения Куэтта идеального газа по отношению к малым возмущениям гидродинамических переменных.

Из условия (12) следует, что первое условие Рэлея для (15) примет вид

0 < сг < 1.

Тогда условие (14) следует рассмотреть отдельно для интервалов 0 < сг < 1/2 и 1/2 < сг < 1. При 0 < сг < 1/2 из развернутой записи (14) следует оценка снизу:

и,

J [ 2 - сг 1 + с,К = [ 2 - сг ] а2м2} 1

+а2М2с, |

уу(у -1) атуТ

[_ у (Л2 +А2) ]

(у - сг )| Р |2 ¿у +

^(1 + у у + атут с,) + А2

РI2 ¿у >

(2 - сг ] а4М2 тУт с, | (у2 + 2 гу + д) ¿у

Уу(У -1) 1 1 уу(у-1) Лс Уу1Ь

где г = —---, д =------1—, уУ =-

2 Уатут 2 4 2 Уатут атУТ 1 - Уу1Ь

Из последнего интеграла видно, что неравенство (14) будет выполнено, если квадратный трехчлен в подынтегральном выражении не будет иметь действительных корней на интервале интегрирования >"£[0, 1]. В свою очередь, для этого достаточно, чтобы у2 + 2 гу + д > 0 на интервале 0 < у < 1. Условие комплексной сопряженности (кратности) корней выражается неравенствами

У У1Ь

< 1,

Я

< 1.

ат

После исключения из (17) комплекса атут получается неравенство

У

Уу1Ь < 2(1-у)'

которое при рассматриваемых уровнях возбуждения 0 < уУ1Ь < 1 всегда выполнено.

При 1/2 < сг < 1 для (14) оценка снизу получается в виде

7 (1 - Сг ) + ^ = (2 - Сг

2М2{

Уу (у - 1) атут

[_ у (Я2 +Д2) ]

(у - Сг )1 Р |2 ¿у +

+а2М2сг |

0

>( Сг- I) а4М2 т'-т ^

Яг(1 + У у + ат ут сг) + Д

2 +Д2)

(у - Сг )2-(у - Сг + Ж

уатут атут J

¿у.

В данном случае для выполнения неравенства (14) достаточно, чтобы выделенный в подынтегральном выражении квадратный трехчлен не обращался в нуль на интервале интегрирования уе[0, 1]. Анализ соответствующего условия комплексной сопряженности (кратности) его корней также приводит к неравенствам (17), которые не являются ограничительными для комплекса атут, так как при атут —^0 неравенство (14) будет выполнено. Одновременно, как было отмечено, из (14) не следует ограничения на глубину возбуждения уУ1Ь.

Таким образом, получаем, что для плоского течения Кутта колебательно-возбужденного молекулярного газа достаточное условие (14) выполняется и имеет место теорема о полукруге.

Далее рассмотрим второе условие Рэлея (обобщенное условие точки перегиба [1, 13]). Будем исходить из уравнения для амплитуды возмущения продольной скорости V (7), которое в самосопряженной форме имеет вид

щ

Ts Ж V X

1

+

V = 0, V 0 = V . = 0, ' 1у=0 1у=1

где х = Т5 - М2 ш2 Ж2. Введем новую переменную V = . После ее подстановки в уравнение (18) последнее примет вид

н"- X17 2 (х-1/2) н-

щ

Ts Ж V X

1

+

X н = 0 Ну=0 = Н| у=1 = 0.

у=1

Помножим уравнение (19) на комплексно-сопряженную функцию Н и полученное равенство проинтегрируем по У в интервале от у1 до У2 с учетом однородных граничных условий. В результате получим следующую квадратичную форму:

У2

F = Í

У1

(

' I2

+а Г Уц +

Ts W V X

х1/2

H\3

dy = 0.

Представим х в виде

-1/2 I |± 1/2 ± iф I |± 1/2 r i  • 1

= | e Y=| х\ [cos ф ± i sin ф], ф = arctg

X"

Г £Л

V х r J

где

Xr = Ts - M2 (m2 e2 - m2 e2), x, = -M2(mr2 ег2 + m,2 e2) e2 = Wr2 - W2, e2 = 2 WW .

2/„.2 2 , „.2 2,

Используя равенства (21), выделим из квадратичной формы (20) ее мнимую часть В результате получим, что запишется следующим образом:

У2 2

У1

F = j I -ГЦ w\2 + (хг Wr -хr W) к'г- (Xr Wr + хг Wi) к; +

(|x|-1/2cos ф) sinф -(x|-12sinф) cos ф

H W

-dy = 0,

где

K = XlEL k = ML

При с^0 (или можно считать, что

2 ~ 2 = (1+ УУ )(1 + Уу / У) + а2т^х И2

m и m, = -

(1 + yv / у)2 + а2tVt Wr2

mÍ и m,2 = -

Yv (У-1аТут Wr Y[(1 + Yv/Y)2 + а2tVT Wr2;

X r и X r = Ts - mm2 M2 Wr2 , x, и X; = -m? M2 Wr2, ф и ф = arctg ( х;Д r),

K ~ K = X r Us к ~ K = X i US Y = Yvib

Yv =

а квадратичную форму (22) записать в виде

Ъ «^ = у2 /

1 - Yvib

H

-dy.

У1 И2

Здесь функция /(у) определяется следующим образом:

f (У) =

а2 Wr2 х,

+(X, Wr - X r W) Kr- (x r Wr + x, W) K; +

1/2 2 + X Wr

II n

(|x|-1/2cosф) sin ф - (| X|-12 sin ф) cosф

S

2

S

Поскольку всегда | Н |2/| Ж |2 > 0, то квадратичная форма (23) равна нулю тогда и только тогда, когда найдутся такие точки (или точка) ур, в которых функция / (24) будет обращаться в нуль:

/ (у )| = 0.

1у=ур

Условие (25) обобщает на случай колебательно-неравновесного газа условие Рэлея о необходимости существования точки перегиба на неустойчивом профиле скорости [1, 13].

В случае идеального газа (т.е. когда уУ1Ь = 0 или yv = 0) имеем Ш2 = 1, Ш2 = 0. Тогда можно считать, что Xг ~ - М2 Ж^ , XXi = 0, Кг и Щ/ Xг, К = 0 , ф = 0 . В результате из (23) и (24) получаем следующее равенство:

у2

X г -Ц'з X г

X г

Н Й

-ёу = 0,

которое иметь место только тогда, когда выполняется условие

щXг -и;Xг"

X г

= 0.

у=ур

Например, если рассматривается плоское течение Куэтта с параболическим профилем температуры (15), то из условия (26) следует, что обобщенная точка перегиба

ур = Сг

1+

(у-1)РГ 2

и с учетом первого условия Рэлея на Сг (16) лежит внутри интервала 0 < у < 1.

Заключение

В рамках модели двухтемпературной газовой динамики исследована задача линейной устойчивости плоскопараллельных сдвиговых течений термически неравновесного молекулярного газа. В результате было проведено обобщение условий Рэлея и теоремы о полукруге (теорема Ховарда) для таких течений [1, 13].

Показано, что для развития неустойчивости в сдвиговом течении термически неравновесного газа необходимо выполнение первого условия Рэлея (12) в той же форме, что для случаев однородной и стратифицированной несжимаемой жидкости [1, 13] и идеального газа [14]. Однако более жесткое условие на комплексную фазовую скорость, известное как теорема о полукруге [1, 13], удается получить лишь при некоторых дополнительных условиях, которые определяются неравенством (14). Рассмотрен пример проверки достаточного условия (14) теоремы Хо-варда для плоского течения Кутта колебательно-возбужденного молекулярного газа с параболическим профилем статической температуры потока (15).

Для случай колебательно-неравновесного газа получено обобщенное условие о необходимости существования точки перегиба на неустойчивом профиле скорости (второе условие Рэлея), которое определяется равенствами (24), (25).

ЛИТЕРАТУРА

1. Drazin P.G., Howard L.N. Hydrodynamic stability of parallel flow of inviscid fluid // Adv. Appl. Mech. N.Y.: Acad. Press, 1966. V. 9. P. 1-89.

2. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений релаксирующих молекулярных газов. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2012. 230 с.

3. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Подавление вихревых возмущений релаксационным процессом в молекулярном газе // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 4. С. 22-34.

4. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Ершова Е.Е. Влияние колебательной релаксации на пуль-сационную активность в течениях возбужденного двухатомного газа // ПМТФ. 2004. Т. 45. № 3. С. 15-23.

5. Ершов И.В., Зырянов К.И. Диссипация волн Кельвина - Гельмгольца в колебательно неравновесном двухатомном газе // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 1(17). С. 68-80 .

6. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Диссипация вихревых возмущений в колебательно неравновесном газе // Теплофиз. и аэромех. 2012. Т. 19. № 3. С. 291-300.

7. Винниченко Н.А., Никитин Н.В., Уваров А.В. Вихревая дорожка Кармана в колебательно-неравновесном газе // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 5. С. 107-114.

8. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Влияние объемной вязкости на неустойчивость Кельвина -Гельмгольца // ПМТФ. 2008. Т. 49. № 3. С. 73-84.

9. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Энергетическая оценка критических чисел Рейнольдса в сжимаемом течении Куэтта. Влияние объемной вязкости // ПМТФ. 2010. Т. 51. № 5. С. 59-67.

10. Ершов И.В. Энергетическая оценка критических чисел Рейнольдса в течении Куэтта колебательно-неравновесного молекулярного газа // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 2(18). С. 99-112 .

11. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Критические числа Рейнольдса в течении Куэтта колебательно возбужденного двухатомного газа. Энергетический подход // ПМТФ. 2012. Т. 53. № 4. С. 57-73.

12. Нагнибеда Е. А., Кустова Е.В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во С.-Петербурского ун-та, 2003. 272 с.

13. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит, 2005. 288 с.

14. Blumen W. Shear layer instability of an inviscid compressible fluid // J. Fluid Mech. 1970. V. 40. Part 4. P. 769-781.

15. Duck P.W., Erlebacher G., Hussaini M.Y. On the linear stability of compressible plane Couette flow // J. Fluid Mech. 1994. V. 258. P. 131-165.

16. Hu S., Zhong X. Linear stability of viscous supersonic plane Couette flow // Phys. Fluids. 1998. Vol. 10. No. 3. P. 709-729.

17. MalikM., Dey J., Alam M. Linear stability, transient energy growth, and the role of viscosity stratification in compressible plane Couette flow // Physical Rev. E. 2008. V. 77. Issue 3. P. 036322-1-036322-15.

Статья поступила 20.05.2013 г.

Ershov I.V. THE LINEAR STABILITY OF AN INVISCID SHEAR FLOW OF A THERMALLY NON-EQUILIBRIUM MOLECULAR GAS. The problem of the linear stability of plane-parallel shear flows of a vibrationally excited molecular gas is investigated using a two-temperature gas dynamics model. The Rayleigh conditions and the semicircle theorem (Howard's semicircle theorem) are generalized to the case of a thermally non-equilibrium gas. It is shown that the instability in a shear flow is necessarily developed under the first Rayleigh condition stated in the same form as for a homogeneous and stratified incompressible liquid and ideal gas. However, a more rigid restriction (known as the semicircle theorem) on the complex phase speed can be obtained only under some additional conditions. In addition, a generalized condition about

the necessity of existence of an inflection point on an unstable speed profile (the second Rayleigh condition) is obtained.

Keywords: linear stability theory, Rayleigh conditions, semicircle theorem (Howard's semicircle theorem), vibrational relaxation, equations of two-temperature gas dynamics.

REFERENCES

1. Drazin P.G., Howard L.N. Hydrodynamic stability of parallel flow of inviscid fluid // Adv. Appl. Mech. N.Y.: Acad. Press, 1966. V. 9. P. 1-89.

2. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. Ustoychivost' techeniy relaksiruyushchikh molekulyarnykh gazov. Novosibirsk: Izd-vo SO RAN, 2012. 230 p. (in Russian).

3. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. Podavlenie vikhrevykh vozmushcheniy relaksatsionnym protses-som v molekulyarnom gaze // PMTF. 2003. V. 44. No. 4. P. 22-34(in Russian).

4. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V., Ershova E.E. Vliyanie kolebatel'noy relaksatsii na pul'satsion-nuyu aktivnost' v techeniyakh vozbuzhdennogo dvukhatomnogo gaza // PMTF. 2004. V. 45. No. 3. P. 15-23 (in Russian).

5. Ershov I.V., Zyryanov K.I. Dissipatsiya voln Kel'vina - Gel'mgol'tsa v kolebatel'no nerav-novesnom dvukhatomnom gaze // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika. 2012. No. 1(17). P. 68-80 (in Russian).

6. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. Dissipatsiya vikhrevykh vozmushcheniy v kolebatel'no nerav-novesnom gaze // Teplofiz. i aeromekh. 2012. V. 19. No. 3. P. 291-300 (in Russian).

7. Vinnichenko N.A., Nikitin N.V., Uvarov A.V. Vikhrevaya dorozhka Karmana v kolebatel'no-neravnovesnom gaze // Izv. RAN. MZhG. 2005. No. 5. P. 107-114 (in Russian).

8. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. Vliyanie ob"emnoy vyazkosti na neustoychivost' Kel'vina -Gel'mgol'tsa // PMTF. 2008. V. 49. No. 3. P. 73-84 (in Russian).

9. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. Energeticheskaya otsenka kriticheskikh chisel Reynol'dsa v szhimaemom techenii Kuetta. Vliyanie ob"emnoy vyazkosti // PMTF. 2010. V. 51. No. 5. P. 59-67 (in Russian).

10. Ershov I.V. Energeticheskaya otsenka kriticheskikh chisel Reynol'dsa v techenii Kuetta kole-batel'no-neravnovesnogo molekulyarnogo gaza // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo uni-versiteta. Matematika i mekhanika. 2012. No. 2(18). P. 99-112 (in Russian).

11. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. Kriticheskie chisla Reynol'dsa v techenii Kuetta kolebatel'no vozbuzhdennogo dvukhatomnogo gaza. Energeticheskiy podkhod // PMTF. 2012. V. 53. No. 4. P. 57-73 (in Russian).

12. Nagnibeda E.A., Kustova E.V. Kineticheskaya teoriya protsessov perenosa i relaksatsii v potokakh neravnovesnykh reagiruyushchikh gazov. SPb.: Izd-vo S.-Peterburskogo un-ta, 2003. 272 p. (in Russian).

13. Drazin F. Vvedenie v teoriyu gidrodinamicheskoy ustoychivosti. Moscow: Fizmatlit, 2005. 288 p. (in Russian).

14. Blumen W. Shear layer instability of an inviscid compressible fluid // J. Fluid Mech. 1970. V. 40. Part 4. P. 769-781.

15. Duck P.W., Erlebacher G., Hussaini M.Y. On the linear stability of compressible plane Couette flow // J. Fluid Mech. 1994. V. 258. P. 131-165.

16. Hu S., Zhong X. Linear stability of viscous supersonic plane Couette flow // Phys. Fluids. 1998. Vol. 10. No. 3. P. 709-729.

17. Malik M., Dey J., Alam M. Linear stability, transient energy growth, and the role of viscosity stratification in compressible plane Couette flow // Physical Rev. E. 2008. V. 77. Issue 3. P. 036322-1-036322-15.

ERSHOV Igor Valer'evich

(Novosibirsk State Agrarian University, Novosibirsk, Russian Federation) E-mail: i_ershov@ngs.ru