О комплексе алгоритмов идентификации на базе RC-схем замещения

УДК 681.51.015 : 621.3.011.1 : 519.67

Л. Н. Бондаренко

О КОМПЛЕКСЕ АЛГОРИТМОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ НА БАЗЕ КС-СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ

L. N. Bondarenko

ON THE COMPLEX OF ALGORITM IDENTIFICATION ON BASIS OF RC EQUIVALENT CIRCUITS

Аннотация. Описан комплекс алгоритмов идентификации в частотной области на базе RC-схем замещения, включающий алгоритмы аппроксимации Кронекера-Чебышева, Кронекера-Чебышева-Ахиезера и ряд алгоритмов реализации. Отмечены преимущества этих алгоритмов для решения задач идентификации. Описаны некоторые алгоритмы реализации и рассмотрен модельный пример их применения.

Abstract. The complex of identification algorithms in frequency area of RC equivalent circuits is described. This complex includes Kronecker - Chebyshev, Kronecker-Chebyshev -Akhiezer algorithms of approximation and a number of realization algorithms. Advantages of these algorithms to the solution of problems of identification are noted. Some of realization algorithms are described and the modeling example of their application is considered.

Ключевые слова: идентификация, функция импеданса, рациональная аппроксимация, алгоритм, реализация, каноническая форма.

Key words: identification, function of impedance, rational approximation, algorithm, realization, canonical form.

Модели на базе .КС-схем замещения находят широкое применение в кондуктометриче-ских датчиках, медицинских и биологических исследованиях, диагностике радиоэлектронной аппаратуры и т.п. Для получения модели исследуемого объекта на базе RC-схем замещения первоначально решается сложная проблема структурно-параметрической идентификации. Декомпозиция этой проблемы приводит к рассмотрению задачи аппроксимации, заключающейся в построении по результатам измерений математической модели объекта, и задачи реализации, позволяющей от математической модели объекта перейти к соответствующей КС-схеме замещения.

Решение задачи аппроксимации должно приводить не только к нахождению параметров искомой математической модели объекта, но и к получению ее структурных характеристик. Сама математическая модель объекта может представлять собой систему дифференциальных или разностных уравнений, переходную или передаточную функцию и т.п. Так как реализация полученной математической модели может приводить к различным структурам RC-схем замещения, первоначально выбирается требуемая структура RC-схемы замещения, а затем в результате решения задачи реализации определяются ее параметры.

Аналогия между рассматриваемой проблемой структурно-параметрической идентификации и проблемой синтеза электрических цепей [1] дает возможность использовать отдельные результаты теории синтеза цепей. В частности, реализация функции импеданса Z(p) пассивных двухполюсников в теории синтеза цепей основана на применении соответствующих

2012, № 2

99

канонических форм, т.е. двухполюсников с импедансом Z(p) и минимально возможным числом элементов, причем эти формы существуют только для цепей, содержащих элементы двух типов, например, R и C.

Поэтому для разработки алгоритмов решения поставленной проблемы в простейшем случае можно ограничиться рассмотрением пассивных RC-двухполюсников, описываемых функцией импеданса Zn (p), которая аппроксимирует функцию Z(p) исследуемого объекта. Zn (p) находится по результатам измерений значений его амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и фазочастотной характеристики (ФЧХ) на фиксированных частотах [щ N > n в заданном диапазоне | о>,.„П1, Щтах].

Эта постановка задачи аппроксимации показывает значительное ее отличие от соответствующей задачи синтеза цепей, заключающееся, прежде всего, в информации о функции Z(p), а также использовании мер близости между Z(p) и Zn (p).

Задача аппроксимации - это задача структурно-параметрической идентификации в частотной области, относящаяся к классу некорректных задач. Для ее решения в работах [2-4] были предложены алгоритмы, названные алгоритмами Кронекера-Чебышева и Кронекера-Чебышева-Ахиезера.

Основной особенностью этих алгоритмов является использование при измерениях специального набора частот, вычисляемого по нулям известных многочленов Чебышева или Че-бышева-Ахиезера [5] в заданном диапазоне [romin, Щтах], а также применение при обработке измерений оригинального итерационного алгоритма Кронекера [6], модифицированного в [2-4]. По этим алгоритмам разработаны эффективные вычислительные процедуры в пакете аналитических вычислений Maple.

Эффективность этих процедур показывает, что измерения в частотной области наиболее адекватны рассматриваемой задаче, а время измерения в исследовательской задаче структурно-параметрической идентификации не играет существенной роли.

При решении задачи аппроксимации с помощью алгоритмов Кронекера-Чебышева и Кронекера-Чебышева-Ахиезера вместе с коэффициентами рациональной функции Zn (p) определяется также структурный параметр n, фиксирующий количество неизвестных параметров соответствующих канонических форм.

В теории синтеза цепей используются канонические формы Фостера (1924 г.) и Кауэ-ра (1926 г.) [1], изображенные на рис. 1, связанные соответственно с разложением рациональной функции Zn (p) на простейшие дроби и представлением ее в виде непрерывной дроби, что приводит к простейшим алгоритмам реализации.

R1

C1

R2

^IZZhn

Rn

HZZH

Cn

n

C2

Rn-1

Cn-1

а)

R 2

HZZH

C2

Rn

Cn

n

C1

R 1

б)

Рис. 1. Канонические формы: а) Фостера; б) Кауэра

Ли (1963 г.) получил новые канонические формы [7], одна из которых показана на рис. 2,а) с помощью топологических обозначений, т.е. вместо ЛС-цепи изображен ее граф;

g, = R,-1, pCj - значения проводимостей соответствующих ветвей.

Рис. 2. Канонические формы: а) Ли; б) симметричная

На рис. 2,б дополнительно в форме графа показана также симметричная каноническая форма, в которой, как и в форме Ли, используются мостовые звенья.

Из рис. 1, 2 с помощью дуального и частотных преобразований [1] могут быть получены двойственные к изображенным на этих рисунках канонические КС-формы.

Алгоритмы реализации функции импеданса 2п (р) каноническими формами рис. 1, 2 строятся с помощью представления КС-двухполюсника в виде каскадного соединения КС-звеньев, изображенных на рис. 3 в форме четырехполюсников.

Рис. 3. Каскадное соединение КС-звеньев

На рис. 3 параллельное соединение резистора с сопротивлением К1 и конденсатора емкостью С1 задает звено 1, остальные КС-звенья с номерами 2,...,5 однотипны и содержат т резисторов и т конденсаторов. В этом случае КС-двухполюсник описывается следующей рациональной функцией импеданса:

2п

к=0 к=0

где коэффициент Ьпп = 1; п = т(5 —1) + 1 - общее число конденсаторов. Так, для канонических форм рис. 1 имеем т = 1 и п = 5 , а рис. 2 - т = 2 и п = 2(5 -1) +1.

Задавая (1) как вектор-столбец 2п (р) = (Ап (р), Вп (р))Т, запишем г-й шаг алгоритма реализации Хп (р) каноническими формами рис. 1, 2 в матричном виде:

£п-

где Хп—гт (р) - неизвестная функция импеданса КС-двухполюсника рис. 3 с удаленными

КС-звеньями с номерами {5 — к + 1}к=.

В соотношении (2) использованы матрицы

( г—1) т +1 (р) Р (г —1) т +1 (р) ^

ч У ( г —1) т +1 (р) §

Г (г—1)т +1(р) =

2012, № 2

101

которые имеют элементы, являющиеся полиномами степени не выше т с неопределенными коэффициентами, а det Г ^т+1(р) Ф 0 , кроме некоторых значений р.

Для описания алгоритма реализации 2п (р) при г = 1 каноническими формами рис. 2 положим дп = -gn / Сп, дп- = -gn- / Спч и обозначим

а1 = -(Чп + Чп-1), а2 = ЧпЧп-Ъ Х 1 = g-1 + g-11, Ц = СП + СП^1, Р1 = gn + gn-Ь Р 2 = gn gn-1, V1 = Сп + Сп-и V 2 = Сп Сп-1. Тогда для формы рис. 2,а элементы матрицы (3) равны

аДр) = Р 2^ 1 Ц1Р, Р) = Ц 1Р + Х 2а 2, У 1(р) = Р 2 Р (^1Р + Ц1), 81(р) = Р 2 + а \Р + а 2, detГ 1(р) = р2(Чп-Чп-1)2 = Р2(а? -4а2) =-р2Р2(Ц 1 -Ц1X1 а 1 + Х?а2), а основные расчетные соотношения имеют вид

Х1 = а0, п / Ь0, п , Ц1 = ап-1, п ,

Ц1а 0, пЬ0,п + (Ц 1 Ьп -1, п -ап-2, п ) Т1

а =-

Л1

0, п (Ц 1(Ц 1 Ь0, п а0, пЬп-1, п) + а0, пап-2, п) '2 = , Л1

где т1 = а1 пЬ0 п -а0 пЬ1 п , = ц 1 т1 + а0 п - вспомогательные параметры;

|Р 2 = (а2-4 а 2)/(Х 1(Ц 1 Ьп-1, п - а п-2, п )-Ц1Х Р1 = Х 1 Р 2,

Ь 2 =Р 2 / ^ V 1 =ЦlV 2,

[5п-2 (Р) = («1( р)5п (р)-У 1( р) Ап (Р))^ Г 1( р),

{ Ап-2 (р) = (Вп (Р) - 81 (р)Вп-2 (Р)) / У 1(Р).

Для канонической формы рис. 2,б по сравнению с формой рис. 2,а элемент а 1

заменится на многочлен а 1( р) = р 2 + (р 2 X1 ц 1 - а 1) р + а

2

detГ 1(р) = (р2 -а2)2 = р4 -(а1 -2а2 + Р2(Ц 1 -Ц1X1 а 1 + Х 1а2))р2 + а2,

а основные расчетные соотношения имеют вид:

- параметр р2 =а2 является одним из ненулевых корней алгебраического уравнения

БуАп

Od Ап

Еу А'п

Od А;

= 0:

- параметры а 1, ц 1, X1 находятся при р 2 =а2 из системы уравнений

Еу Ап (р)а 1 - Еу Вп (р) ц 1 - р Od Вп (р)Х 1 = -2р Od Ап (р), рАп (р)а 1 - рВп (р) Ц1 - Еу Вп (р)Х 1 = -2Еу Ап (р), Еу А'п (р)а 1 -Еу В'п (р) ц 1 + (Еу Вп (р)-р Od В'п (р))Х 1 = -2 р Od А'п (р),

где в выражениях (8) и (9) Ev и Od означают четную и нечетную части соответствующих многочленов, затем вычисляется р 2 = (а 1 - 4 а 2)/(ц 1а 1 Ц 1) ^ 1а 2) . Величины Pi, v2, v 1, Bn-2(p), An-2(p) находятся по формулам (5)-(7).

После вычисления на шаге r = 1 значений параметров р1, р 2, v 1, v 2 параметры g n, gn-1, С n, Cn-1 5-го RC-звена на рис 2,а,б определяются как решения квадратных уравнений, получаемых с помощью соотношения (4). Удаление 5-го RC-звена на рис 2, а,б позволяет для найденной функции импеданса Zn-2(p) снова повторить алгоритм реализации на шаге r = 1.

Отметим, что описанный алгоритм реализации Zn (p) канонической формой рис. 2,а значительно эффективнее алгоритма, предложенного Ли в [7], так как он допускает достаточно простую компьютерную реализацию.

Таким образом, для каскадных КС-двухполюсников рис. 1, 2 алгоритм реализации Zn (p) строится на основе следующей итерационной процедуры: по Zn (p) определяются параметры 5-го звена рис. 3,а, затем исключение этого звена приводит к следующему шагу алгоритма. В [8] рассмотрена еще одна каноническая форма с m = 3 , для которой также получена итерационная процедура реализации Zn (p).

Несмотря на громоздкий вид соотношений (4)-(9), их компьютерная реализация достаточно проста и выполнена в среде Maple. Все разработанные процедуры реализации функции импеданса Zn (p) могут использоваться также при расчете аналоговых и цифровых фильтров [9]. При выполнении этих процедур допускается каскадное соединение любых рассмотренных RC-звеньев в произвольном порядке.

На этапе аппроксимации при решении задачи структурно-параметрической идентификации на базе RC-двухполюсников с помощью алгоритмов Кронекера-Чебышева и Кронеке-ра-Чебышева-Ахиезера величина структурного параметра n ограничивается только точностью измерений значений АЧХ и ФЧХ. Полученная на этапе аппроксимации функция импеданса Zn (p) должна быть реализуема некоторой канонической формой. Реализуемость может проверяться с помощью любого алгоритма реализации, но для этой цели наиболее эффективен алгоритм реализации для канонической формы Кауэра, а при нечетном n - также для канонической формы Ли.

Вообще алгоритмы реализации являются методами решения специальных систем нелинейных алгебраических уравнений, а также их можно рассматривать как методы представления рациональной функции в некоторых канонических формах. Вопрос о точности результата при этом не возникает, так как вычисления могут производиться с требуемым числом значащих цифр.

Разработанные алгоритмы аппроксимации Кронекера-Чебышева и Кронекера-Чебы-шева-Ахиезера могут быть использованы для определения передаточных функций исследуемых систем по результатам измерений в частотной области, а также для рациональной аппроксимации вещественных функций, заданных на отрезке.

В качестве примера приведем результаты реализации различными Мар1е-процедурами модельной функции импеданса Z3(p), полученной в [4] с помощью Мар1е-процедуры аппроксимации Кронекера-Чебышева с пятью значащими цифрами:

= 3,5502 p2 + 6,5657 p + 1,6486 3p p3 + 6,3021 p2 + 4,2987 p + 0,31613.

При нахождении этой функции импеданса использовались относительные величины. Поэтому размерность полученных при реализации сопротивлений и емкостей будет опускаться, а вычисления даются также с пятью значащими цифрами.

Для канонической формы Фостера рис. 1,а имеем:

R3 = 0,50585, С3 = 0,35710; R2 = 0,59424, С2 = 2,4656; R = 4,1149, С1 = 2,9046, причем нумерация параллельных цепочек на рис. 1,а может быть произвольной.

2012, № 2

103

Для канонической формы Кауэра рис. 1,б имеем:

R3 = 0,79731, C3 = 0,28167; R2 = 1,7016, C2 = 1,2691; R = 2,7161, C1 = 2,4014.

Для канонической формы Ли рис. 2,а имеем:

R3 = 4,5944, C3 = 2,3697; R2 = 0,62055, C2 = 0,31967; R = 0,38956, C1 = 3,7598.

Для симметричной канонической формы рис. 2,б получены три различных результата, так как характеристическое уравнение (8) имеет три корня:

а) при корне 0,10612 получено:

R3 = 1,2147, C3 = 2,9492; R2 = 3,3497, C2 = 0,78522; R1 = 0,65043, C1 = 0,51610 ;

б) при корне 0,46538 получено:

R3 = 0,60205, C3 = 2,4371; R2 = 1,7915, C2 = 0,81741; R = 2,7992, Q = 0,52177;

в) при корне 2,0339 получено:

R3 = 0,49810, C3 = 1,2068; R2 = 1,86312, C2 = 0,43896; R1 = 2,8537, C = 2,2546.

Как показывают приведенные результаты вычислений, алгоритм реализации для канонической формы рис. 2,б может давать несколько наборов значений параметров каждого RC-звена для заданной функции импеданса. Поэтому при нахождении модели исследуемого объекта на базе RC-двухполюсников иногда приходится выбирать не только структуру RC-двухполюсника, но и осуществлять выбор параметров из их наборов, соответствующих данной структуре.

Отметим, что RL- и LC-двухполюсники с помощью преобразований цепей могут быть сведены к RC-двухполюснику, но использованию RLC-двухполюсника для идентификации объекта в общем случае препятствует теорема о невозможности одновременного приведения трех квадратичных форм к каноническому виду.

Разработанный комплекс алгоритмов идентификации на базе RC-двухполюсников реализован в виде пакета процедур в среде Maple. Этот комплекс позволяет проводить не только обработку результатов измерений для решения различных задач идентификации в частотной области, но и использовать имитационное моделирование для оценки точности полученных результатов. Также этот комплекс дает возможность успешно решать ряд сложных математических задач, связанных с рациональной аппроксимацией вещественных функций на отрезке и решением специальных систем нелинейных алгебраических уравнений.

Список литературы

1. Гиллемин, Э. А. Синтез пассивных цепей / Э. А. Гиллемин. - М. : Связь, 1970. - 720 с.

2. Бондаренко, Л. Н. Определение параметров передаточной функции средств измерений по значениям амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик / Л. Н. Бондаренко // Датчики и системы. - 2004. - № 7. - С. 18-20.

3. Бондаренко, Л. Н. Методы идентификации в частотной области при наличии шума / Л. Н. Бондаренко // Известия вузов. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. -№ 2. - С. 113-123.

4. Бондаренко, Л. Н. О точности идентификации систем на базе RC-схем замещения / Л. Н. Бондаренко // Измерительная техника. - 2011. - № 4. - С. 27-32.

5. Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер. - М. : Наука, 1965. - 408 с.

6. Бейкер, Дж. Аппроксимации Паде / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис. - М. : Мир, 1986. -503 с.

7. Lee, H. B. A New Canonic Realization Procedure / H. B. Lee // IEEE Trans. Circuit Theory. - 1963. - V. CT-10. - № 1. - P. 81-85.

8. Бондаренко, Л. Н. Алгоритмические проблемы диагностики каскадных двухполюсников / Л. Н. Бондаренко // Информационная измерительная техника. Труды университета : межвуз. сб. науч. тр. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2008. - Вып. 32. - С. 3-12.

9. Лэм, Г. Аналоговые и цифровые фильтры / Г. Лэм. - М. : Мир, 1982. - 592 с.

Бондаренко Леонид Николаевич

кандидат технических наук, доцент, кафедра дискретной математики, Пензенский государственный университет E-mail: leobond5@mail.ru, dm@pnzgu.ru

Bondarenko Leonid Nikolaevich

candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of diskrete mathematics, Penza State University

УДК 681.51.015 : 621.3.011.1 : 519.67 Бондаренко, Л. Н.

О комплексе алгоритмов идентификации на базе КС-схем замещения / Л. Н. Бондаренко // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2012. - № 2. - С. 98-104.