О возможности использования модели Холла-Петча для описания взаимосвязи термоакустической эмиссии с прочностными свойствами и размерами структурных элементов геоматериала

© В.А. Винников, И.В. Кириченко, В.Л. Шкуратник, 2010

УДК 622.02:539.2

В.А. Винников, И.В. Кириченко, В.Л. Шкуратник

О ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОДЕЛИ ХОЛЛА-ПЕТЧА ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВЗАИМОСВЯЗИ ТЕРМОАКУСТИЧЕСКОЙ ЭМИССИИ С ПРОЧНОСТНЫМИ СВОЙСТВАМИ И РАЗМЕРАМИ СТРУКТУРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ГЕОМА ТЕРИАЛА

На основе модели Холла-Петча и уравнения Мотта-Стро с использованием компьютерного моделирования термоакустической эмиссии теоретически рассмотрена задача о взаимосвязи между величиной интегральной акустической эмиссии, прочностью и средним размером зерна геоматериала.

Ключевые слова: термоакустическая эмиссия, горные породы, прочность, средний размер зерна, компьютерное моделирование.

Ё И оследние годы характеризуются постоянным возрастанием интереса к использованию акустической эмиссии (АЭ) в качестве инструмента решения исследовательских задач в области физики прочности, пластичности и разрушения геоматериалов. Эффективность такого использования в значительной степени зависит от уровня наших знаний о взаимосвязях информативных параметров АЭ со структурой, свойствами и состоянием исследуемых объектов в условиях, когда они испытывают внешние воздействия различной физической природы. В частности, при механическом нагружении горных пород большое влияние на особенности проявления АЭ оказывает степень их исходной однородности. С увеличением последней возрастают и напряжения, при которых возникает АЭ, а основная часть сигналов эмиссии наблюдается непосредственно перед окончанием разрушения образца [1].

Однородность породы тесно связана со средним размером d слагающих ее зерен. Влияние этого размера на АЭ экспериментально исследовалась, например, в [2, 3], где было установлено, что интегральная АЭ, зарегистрированная с начала нагружения до разрушения образцов, тем больше, чем больше величина d . Более крупнозернистые породы характеризуются также большей энергией АЭ и меньшей прочностью. Логично предположить, что отмеченные выше закономерности должны быть справедливы и для термоакустической эмиссии (ТАЭ), то есть эмиссии, возникающей при нагревании геоматериала. Предметом рассмотрения настоящей работы является проверка данного предположения.

Известно, что прочность поликри-сталлических материалов всегда выше прочности монокристаллов, причем чем мельче зерно, тем выше упрочнение [4]. Обычно этот факт объясняется тем, что

наличие границ зерен в поликристалли-ческих материалах препятствует пластической деформации. Влияние величины зерна на предел текучести поли-кристаллического материала может быть объяснено в рамках модели Холла -Петча, правомочность которой для металлов, сплавов и керамики доказана многочисленными исследованиями [5]. Уравнение Холла - Петча дает количественную зависимость предела текучести поликристаллического материала от от

среднего размера зерна d

где <у0 - предел текучести матрицы при отсутствии сопротивления межзеренных границ, принимаемый равным пределу текучести монокристалла, k - коэффициент зернограничного упрочнения, характеризующий материал и состояние границ, физический смысл и значение которого определяется выбранной моделью зернограничного упрочнения [6].

Качественная корреляция между пределом текучести и твердостью по Викерсу HV соответствует эмпирическому соотношению [7]

H

что позволяет записать зависимость твердости HV от среднего размера зерна

d

где H0 - твердость монокристалла, а ^

- постоянная величина.

Из соотношения (3) видно, что уменьшение размера зерен материала ведет к увеличению его твердости. По-

скольку выражения (1) и (3) сходны по математической структуре, то естественно предположить, что прочностные свойства геоматериала зависят от среднего размера слагающих его зерен по сходной с моделью Холла - Петча зависимости.

С другой стороны, известно, что рост величины разрушающего напряжения с уменьшением среднего диаметра зерна описывается уравнением Мотта-Стро [6]

k

где k - константа уравнения Мотта-

Стро для разрушающего напряжения.

Из соотношения (4) видно, что уменьшение размера структурных элементов материала препятствует его разрушению.

Рассмотрим вопрос о применимости модели Холла-Петча и уравнения Мотта-Стро к горным породам. Для этого воспользуемся математической моделью термоакустоэмиссионного эф-фекта памяти в горных породах, обоснованной в работе [9], и проведем вычислительный эксперимент.

Реализацию модели рассмотрим на следующем тестовом примере: в бесконечно тонкой кварцевой пластине (плоская постановка задачи) под наблюдением находится n зерен квадратной формы размером a х a м. Зерна расположены в виде квадрата n х n. На границах зерен случайным образом расположены N трещин случайной длины. Тепловое воздействие моделируется приложением на бесконечности градиента температур grad (T0) вдоль одной

из осей. Температуру зерна в предложенной модели можно определить по расчетной формуле:

CF =

р

k

П +

(7

3

П

k

H = H +

V 0

Tt - IE + В-{Хп - Хэфф ^x

ш

Е + В

fЛ(ф, у/, в)--Х

dydy de

xgrad {т ),

где Е - единичная матрица третьего

ранга; Х = 8,1 Дж - эффективное

1 м  с  К

значение тензора Х ; Хп - тензор коэффициента теплопроводности n-го зерна; grad {ТО) - градиент температуры; ( j 1 - операция нахождения обратной мат-

f 4 1 1 ^

1

4у

рицы;

В=

f 6,5 О О

14 11

О О ^

6,5 О О 11,3

- константа;

- тензор коэффици-

ента теплопроводности кварца, приведенный к главным осям.

В каждом зерне тензор Лп ориентирован случайно относительно главных осей. Для каждой из рассматриваемых трещин проверяется выполнение условия превышения действующего коэффициента интенсивности напряжений к второго типа над его критическим значением к

аЕ,

K (±L)= +-

-AtL > K

4(1 - v)s

где а - коэффициент линейного теплового расширения, 1/К; Е0 - модуль Юнга, Па; V - коэффициент Пуассона; X -коэффициент теплопроводности,

Вт/(мК), причем все эти величины являются эффективными характеристиками; 5 -раскрытие трещины, Ь - ее длина, Дt - перепад температур на берегах трещины.

В случае выполнения условия (5) длина и раскрытие трещины скачкообразно увеличатся, прочностные свойства геоматериала на границах с трещиной ухудшатся, а аппаратура зафиксирует акустический импульс, то есть произойдет акт термоакустической эмиссии.

Таким образом, изменяя циклически градиент температуры grad (T0) и контролируя при этом величину суммарной акустической эмиссии, можно регистрировать явление ТЭП в вышеописанной модели.

Для реализации подобных расчетов была создана проблемно-ориентированная программа, предназначенная для моделирования термоакустоэмисси-онных эффектов памяти [10, 11].

Численные расчеты проводились при следующих исходных данных:

число зерен в модели n2 = 10000; число трещин - 1000; модуль Юнга E = 105,8 Гпа; коэффициент Пуассона v = 0,3 ; температурный коэффициент линейного расширения а = 104 K-1; вязкость разрушения Kc = 11000 кН/м .

Модель подвергалась двум циклам нагрева: 1 цикл (прогревочный) - от 0 до 100 °С; 2 цикл - от 0 до 200 °С. В каждом цикле строилась зависимость величины интегральной акустической эмиссии N от размера зерна. Такие зависимости были построены для различных размеров зерна a в диапазоне от 0,25 до 2 мм.

Мы предполагаем, что величина прочности моделируемого таким образом геоматериала обратно пропорциональна величине суммарной акустической эмиссии. Для дальнейшего анализа переведем значения суммарной акустической эмиссии в безразмерные величи-

x

О О О

ны Nноря, отнормировав их к максимальному значению в ряду, и построим зависимость обратной величины

а = 1/Ыноря от размера зерна. Результаты представлены на рис. 1 и 2.

На рис. 1 показана зависимость

величины безразмерной прочности

а = уЫноря от размера зерна d для

первого цикла прогрева, на рис. 2 -такая же зависимость для второго цикла прогрева. Кружками отмечены расчетные точки, полученные в результате обработки результатов моделирования, а сплошной линией показана подобранная по расчетным точкам методом наименьших квадратов зависимость а( d ).

Зависимости а (d) и коэффициенты корреляции г между

«экспериментальными» и «расчетными» точками для каждого из двух рассмотренных циклов прогрева таковы (при условии, что размер зерна задается в миллиметрах):

а, = —8,783 +

г = 0,947

Л 0,028 а2 = 0,372 л-----;

г = 0,980

Из сравнения (1), (3) и (4) с (6) и (7) можно сделать предварительный вывод о применимости модели Холла-Петча для объяснения взаимосвязи между ТАЭ в горных породах с их

стью и средними размерами зерен, а также о принципиальной возможности оценки последних на основе

ния величины интегральной ТАЭ. Дальнейшая проверка этого вывода предполагает проведение

тальных исследований ТАЭ на

цах пород одного генотипа, щихся величиной среднего размера рен и прочностью.

Рис. 1. Зависимость величины безразмерной прочности а = ]/ ^норя от размера зерна d для первого цикла прогрева

Рис. 2. Зависимость величины безразмерной прочности а = у Nноря от размера зерна d для второго цикла про-

грева

1. Лавров А.В., Шкуратник В.Л. Акустическая эмиссия при деформировании и разрушении горных пород (обзор). // Акустический жур-нал. - 2005. - т. 51. Приложение - С . 6 - 18.

2. Eberhardt E., Stimpson B., Stead D. Effects

of grain size on the initiation and propagation

thresholds of stress-induced brittle fractures //

Rock Mechanics and Rock Engineering. - 1999. -V. 36, № 4. - P. 255-270.

3. Prikril R., Lokajicek T., Rudajev V.

tic emission characteristics and failure of

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-06-00141).

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

ially stressed granitic rocks: the effect of rock fabric // Rock ics and Rock Engineering. - 2003.

- V. 32, № 2. - P. 81-99.

4. Шулаев В.М., Андреев А.А., Картмазов Г.Н. Об эффекте прироста твердости в покрытиях нитрида молибдена // ВАНТ. -2006. - № 1. - С. 195-198.

5. Гольдштейн М.И., Литвинов К.С., Бронфин Б.М. Металлофизика высокопрочных сплавов. - М.: Металлургия, 1986.

6. Приходько В.М., Петрова

Л.Г., Чудина О.В. Металлофизические основы разработок няющих технологий. - М.:

шиностроение, 2003.

7. Tabor D. The Hardness of Metals. London: Oxford University Press, 1951.

8. Сегал В.М., Резников В.И.,

Копылов В.И. и др. Процессы структурообразования при

стической деформации металлов.

- Минск: Наука и техника, 1994.

9. Винников В.А., Шкуратник В.Л. О теоретической модели моэмиссионного эффекта памяти в горных породах // ПМТФ.- 2008. -

№ 2. - C. 172-177.

10. Винников В.А., Шкуратник В.Л., Кириченко И.В. Моделирование термоэмиссионных эффектов памяти в неоднородных горных породах // ГИАБ. - 2008. - № 5. - C. 81-88.

11. Винников В.А., Кириченко И.В. Модель термоэмиссионного эффекта памяти в горных породах «ТЕМЕ», версия 1.0 // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010613218 от 14 мая 2010 г. ЕШ

— Коротко об авторах -----------------------------------------------------------------------

Винников В.А. - кандидат технических наук, доцент кафедры Физики горных пород и процессов,

Кириченко И.Н. - ассистент кафедры Физики горных пород и процессов,

Шкуратник В.Л. - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Физикотехнический контроль производства,

Московский государственный горный университет,

Moscow State Mining University, Russia, ud@msmu.ru

В каком порядке публикуются статьи ГИАБ?

В первую очередь публикуются статьи обзорного характера, интересные для специалистов, диссертантов, студентов. Затем - статьи авторов, работающих на предприятиях, с которыми у ГИАБ есть прямые договоры. В последнюю очередь - статьи «Недели горняка». Редакционный портфель заполнен статьями на 2-3 года вперед. Впрочем, существует режим публикации «Молния». Он финансируется из фонда поддержки горного книгоиздания.