О подходах к оптимизации разрывных функций на основе аппроксимационного градиента

О ПОДХОДАХ К ОПТИМИЗАЦИИ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

НА ОСНОВЕ АППРОКСИМАЦИОННОГО ГРАДИЕНТА

Рассматриваются подходы к оптимизации разрывных функций, использующие понятие аппроксимационного градиента. Аппроксимационный градиент является интегральным оператором и представляет собой обобщение понятия градиента для недифференцируемых и разрывных функций. Использование этого понятия делает возможным не только обобщить основные теоремы дифференциального исчисления, но и разработать численные методы решения задач оптимизации разрывных функций. В статье дается обзор основных результатов исследований, проводившихся на кафедре теории управления и оптимизации в последние годы.

Ключевые слова: недифференцируемая оптимизация, оптимизация разрывных функций, аппроксимационный градиент, необходимые условия оптимальности, численные методы, пакет прикладных программ недифференцируемой оптимизации.

Оптимизация недифференцируемых, а тем более разрывных функций является очень сложной задачей, достаточно часто возникающей на практике и требующей разработки специальных методов ее решения. На кафедре теории управления и оптимизации в 90-е гг. XX в. сформировался научный коллектив под руководством профессора В. Д. Батухтина, занимавшийся исследованиями в области оптимизации разрывных функций и развивавший подход к решению негладких и разрывных оптимизационных задач, основанный на введенном В. Д. Батухтиным и Л. С. Майбородой понятии аппроксимационного градиента [1]. Метод аппрокси-мационного градиента хорошо зарекомендовал себя при решении сложных прикладных задач оптимизации разрывных функций [2] и требовал дополнительных исследований его возможностей, получения необходимых условий оптимальности, обоснования сходимости. Эти исследования под руководством В. Д. Батухтина были начаты В. Е. Рольщиковым в Институте математики и механики УрО АН СССР [3-5]. Позже исследования были продолжены С. И. Бигильдеевым, Т. Б. Бигильдеевой и В. Е. Рольщиковым на кафедре теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета. Рассмотрим основные полученные результаты.

Пусть f — функция, суммируемая по мере Лебега на всем пространстве Ка с компактным носителем, т. е. f Е Ь1(Ка). Требуется найти решение задачи минимизации f (ж) ^ шт .

Минимизируемая функция может быть разрывной, что требует уточнения понятия локального минимума функции [2]. Пусть |х| — евклидова норма вектора х, Вг (х) — шар радиуса г с центром в точке х, Вг — шар радиуса г с центром в начале координат.

Определение 1. Точка x* £ Rn называется точкой локального минимума функции f, если найдется е > 0 такое, что

f (х) ^ lim inf f (y) Vx £ Be (x*).

r^0+ y€Br

Для решения прикладных задач недифференцируемой, в т. ч. разрывной оптимизации, в [1] было введено понятие аппроксимационного градиента, представляющего собой градиент линейной функции, имеющей наименьшее среднеквадратическое отклонение вблизи рассматриваемой точки исследуемой функции.

Пусть на шаре Br задана функция pr — функция плотности совместного распределения вероятностей некоррелированных случайных величин si, s2, •••, sn £ R с нулевым математическим ожиданием и ненулевой дисперсией. Относительно функции pr : Br ^ [0,1] предполагается, что она является сим-

метричной относительно любой гиперплоскости, проходящей через начало координат, т. е. pr(s) = pr(|s|). Аппроксимационный градиент a(x; r;pr; f) = (a1(x; r;pr; f),..., an(x; r;pr; f)) функции f : Rn ^ R в точке x £ R определяется из условия наилучшего в среднеквадратическом смысле приближения функции f на шаре Br(x) линейной функцией, т. е. a(x; r;pr; f) определяется из условия минимума функционала

Y(x; ao,a,r,pr; f) = J[f (x + s) - ao - (a, s)]2pr(s) ds.

Br

Соответствующие выражения a(x; r; pr; f) имеют вид [2]

ai(x;r; pr;f ) = f sf (x + s)pr(s) 12,...,(n

Br

M ls-2'=/ s-2p" (s) =1'2'-'"-

Br

Для дифференцируемой функции этот вектор является среднеквадратической аппроксимацией ее градиента [2], а при стягивании области интегрирования в точку совпадает с ним: limr^+0 a(x; r; pr; f) = gradf (x).

Определение 2. Аппроксимационной стационарной точкой функции f при фиксированных r, pr называется точка x £ Rn такая, что в ней выполняется равенство a(x; r; pr; f) = 0.

Определение 3. Обобщенной стационарной точкой функции f называется точка x* £ Rn, для которой существует такое r* > 0, что для любого r £ (0,r*] найдется pr и аппроксимационные стационарные точки x(r), для которых

lim x(r) = x*. r^+0

Определение 4. Точкой аппроксимационного локального минимума функции f при фиксированных r, pr называется точка x(r) £ Rn, в некоторой окрестности которой Be (x(r)) выполняется неравенство (a(x; r;pr; f),x — x(r)) ^ 0.

Отметим, что точка аппроксимационного минимума является аппроксима-ционной стационарной точкой [1; 2]. В 1984 г. вышла монография В. Д. Батух-тина и Л. А. Майбороды [2], в которую вошли основные результаты, полученные к этому времени. Для кусочно-абсолютно непрерывных функций были доказаны аналоги теорем Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Были сформулированы достаточные условия существования аппроксимационных минимума и максимума функции / : Яга ^ Д.

В работе [4] В. Е. Рольщиковым для выпуклых функций / : ^ Д при

выполнении условия т^ёош/) = 0 было доказано, что евклидово расстояние между вектором а(ж; г; рг; /) и субдифференциалом д/(ж) стремится к нулю при г ^ 0+. Было показано также, что предел последовательности точек аппроксимационного минимума при г ^ +0 сходится к множеству точек минимума выпуклой функции при условии его ограниченности. И наоборот, если ж* — единственная точка минимума выпуклой функции, то существует такое г* > 0, что при каждом г € (0, г*] найдется точка аппроксимационного минимума ж(г) такая, что ж(г) ^ ж* при г ^ 0+ .

На основе понятия аппроксимационного градиента были разработаны численные методы минимизации. Была доказана сходимость к множеству обобщенных стационарных точек методов, являющихся аналогом градиентных методов скорейшего спуска и условного градиента.

На конкретных примерах рассматривались возможные подходы к их решению с использованием аппроксимационного градиента задач вариационного исчисления и оптимального управления.

В 1995 г. вышла монография В. Д. Батухтина и Л. А. Майбороды «Разрывные экстремальные задачи» [6], в которую, помимо авторских, вошли результаты сотрудников кафедры теории управления и оптимизации В. Е. Рольщикова, С. И. Бигильдеева и Т. Б. Бигильдеевой. В работе [7] В. Е. Рольщиковым для выпуклых функций был доказан аналог теоремы о среднем:

/ (ж(1)) — / (ж(2)) = (а (ж(г); г;рг; /) , ж(1) — ж(2)) , ж(г) € (ж(1), ж(2)) .

Для разрывных функций, представимых в виде суммы выпуклой функции и функции сдвигов

Н(ж) = й0 + ^/(ж) = = 1,т : (/,, ж — а^) ^ 0} ,

(число т, векторы /(^'), а(^') € Дп, |/(^') | = 1, и числа Л,0, ^,] = 1, 2,... , т, свои для каждой функции Н), было доказано, что точка локального минимума является обобщенной стационарной точкой [5]. В задаче поиска условного минимума выпуклой функции при выпуклых ограничениях было введено понятие аппроксима-ционной седловой точки. При некоторых предположениях доказано, что предел при г ^ +0 аппрокимационных седловых точек и точек аппроксимационного условного минимума совпадают [8; 9].

В работе [6] было сформулировано условие, которое определяло класс разрывных функций, для которых точка локального минимума является обобщен-

ной стационарной точкой. Т. Б. Бигильдеевой было показано, что к этому классу относятся строго квазивыпуклые полунепрерывные снизу функции, а также функции к = д(/(ж)), где д является возрастающей полунепрерывной снизу функцией, а / — квазивыпуклой функцией [10].

В. Д. Батухтиным на основе введенного понятия аппроксимационного убывания были получены теоремы о необходимых условиях экстремума в задачах условной оптимизации для достаточно широкого класса недифференцируемых и разрывных функций [3]. Рассматривались также задачи на условный экстремум для ограничений типа равенств. В работе [30] для выпуклой целевой функции и одной выпуклой функции ограничений было доказано, что точка строгого локального условного минимума целевой функции является обобщенной условной стационарной точкой. В. Е. Рольщиковым [3] для классической вариационной задачи

в случае разрывной по (ж,ж;) функции ^(£,ж,ж;) было введено понятие аппрок-симационной экстремали; доказано, что аппроксимационная экстремаль из класса абсолютно непрерывных функций удовлетворяет уравнению Эйлера. В случае дважды непрерывно дифференцируемой по (ж,ж;) функции ^(^,ж,ж;) при выполнении условия Бернштейна [11], гарантирующего существование и единственность решения краевой задачи, при г ^ 0+ аппроксимационная экстремаль сходится к экстремали в обычном смысле.

Введение понятия аппроксимационного градиента позволило создать аппарат, обобщающий классический анализ, и методы численного решения задач недифференцируемой и разрывной оптимизации. Первоначальное развитие основной идеи осуществлялось именно в этом направлении [1; 6].

Дальнейшие исследования в области оптимизации разрывных функций проводились с целью: 1) получения необходимых условий оптимальности для более широкого класса функций; 2) определения свойств аппроксимационного градиента как интегрального оператора свертки и установления его связи с производными Кларка [12], производными Соболева, усреднением по Стеклову, с дифференцированием в Ьр, интегралом Пуассона, с преобразованиями и потенциалами Рисса, бесселевыми потенциалами; 3) определения эффективной процедуры вычисления аппроксимационного градиента; 4) усовершенствования методов ап-проксимационного градиента, повышения их эффективности для решения практических задач.

Исследование свойств аппроксимационного градиента было выполнено С. И. Бигильдеевым, что привело к необходимости уточнения понятия как самого аппроксимационного градиента, так и понятия локального минимума [13-17].

Определение 5. Существенным нижним значением функции / в точке ж будем называть

где vrai inf f (y) — существенная нижняя грань функции f в шаре Br (x).

J[x(-)] = F(t,x,x') dt, x(t0) = x0, x(t1) = x1

rti

yeBr

Существенная нижняя грань [18] есть

уга1 т£ f (у) = 8ир(М € Я : f (у) ^ М для почти всех у € ВГ(х)}.

уевг

Далее под задачей минимизации суммируемой функции f понимается задача поиска точки, в которой она принимает наименьшее значение в смысле существенного минимума [13].

Определение 6. Точка х* € Яп называется точкой существенного локального минимума функции f, если найдется такое е > 0, что f (х) ^ f (х*) почти всюду в Ве(х*).

Определение 7. Функция рГ(в) = р-(|в|) называется весовой, если

1) Уг > 0 рГ(в) ^ 0 У в € Яп 0 < ^ / |в12рг(в) «в < то,

яп

рГ может иметь особенность только в нуле в том смысле, что рГ € Ьте(А) для любого измеримого множества А, для которого 0 € А и

/ рг (в) «в

Ит в—ггг" = 1 рГ

у- V

Яп

2) для любой суммируемой финитной функции ^ (носитель ^ — компакт), такой, что ^(в) = о(|в|) при |в| ^ 0, выполняется

</Г = — I |в| |^(в)|рг(в) «в ^ 0 при г ^ 0 + .

«- ]

Яп

Определение 8. Аппроксимационным градиентом функции f в точке х называется интегральный оператор свертки

а-^)(х) = J sf (х + в)р-(в) «в.

яп

Приведённое определение аппроксимационного градиента формально совпадает с определением, данным В. Д. Батухтиным и Л. А. Майбородой [1; 2]. В этих работах функции рГ (в) рассматривались как функции плотности некоторой случайной величины, распределенной в шаре ВГ. В общем случае их можно рассматривать как функции, которые определяют меру множества точек, заданные на всем пространстве Яп, не обязательно обращающиеся в 0 вне шара ВГ и удовлетворяющие условию нормировки. Условие принадлежности весовой функции пространству Ьте(А) сужает множество весовых функций, но расширяет множество функций, для которых можно определить аппроксимационный градиент. Зависимость рГ(в) только от |в| не случайна: как было показано В. Е. Рольщико-вым [15], при более сложной зависимости рГ (в) от вектора в предельные значения

аппроксимационного градиента при r ^ 0+ могут не принадлежать субдифференциалу даже для выпуклой функции.

Важную часть в исследованиях, выполненных С. И. Бигильдеевым, составляет установление связи между аппроксимационным градиентом как интегральным оператором свертки и производными Соболева, усреднением по Стеклову, дифференцированием в Lp, интегралом Пуассона, преобразованиями и потенциалами Рисса, бесселевыми потенциалами, определении классов функций и условий, при которых эта связь имеет место [14-17; 19; 20].

Введенные С. И. Бигильдеевым понятия обобщенной производной по мере Лебега и производной конечных приращений позволили обобщить понятие субдифференциала для разрывных функций.

Определение 9. Обобщенной производной по мере Лебега функции f по направлению u в точке x называется функция

fT(x; u) = sup limsup (ar (f )(y), u),

P

где sup подразумевает поиск супремума на множестве весовых функций P.

P

Определение 10. Субдифференциалом по мере Лебега функции f в точке x называется множество

дтf (x) = {£ £ : (£, u) < fT(x; u) Vu £ .

Определение 11. Производной конечных приращений по направлению u £

(|u| = 1) функции f в точке x называется верхний предел следующего вида:

f^(x; u) = limsup vrai sup ^(y,s,u),

(y,r)^(x,+0) s€Br

где

,f ^ f

TOs,u) =-------------------г-----------.

Определение 12. Точка x называется точкой регулярной аппроксимации локально суммируемой функции f в окрестности x, а функция f — регулярно аппроксимируемой в данной точке, если найдется функция /, эквивалентная f, такая, что для любого направления u £ на весовой функции, представляющей собой индикаторную функцию шара, т. е. равной 1 для точек шара и 0 — за его пределами, будет справедливо

lim sup (ar (f) (y), u) = Д(x;u).

Функция, регулярно аппроксимируемая в каждой точке множества, называется регулярно аппроксимируемой на этом множестве. Класс функций, регулярно аппроксимируемых на множестве X, будем обозначать L*(X) [14].

Как показано С. И. Бигильдеевым в работе [20], для f £ L*(X) субдифференциал дт f (x) состоит из единственного элемента в каждой окрестности x тогда

и только тогда, когда функция f эквивалентна непрерывно дифференцируемой функции в этой окрестности. Обобщенная производная по мере Лебега /г, как и обобщенная производная по направлению Кларка [12], является субаддитивной и положительно однородной первой степени однородности, и поэтому выпуклой функцией направления и. Она является опорной функцией субдифференциала по мере, который представляет собой выпуклое и замкнутое множество, хотя и не всегда ограниченное [20]. Для локально липшицевых функций вблизи точки х производная /г (х; и) представляет собой обобщенную производную по направлению Кларка [12], а в силу совпадения опорных функций субдифференциал дrf (х) будет совпадать с субдиффернциалом Кларка дс^ (х).

Определение 13. Точка х* € Яп называется существенно стационарной для функции f, если субдифференциал по мере этой функции в данной точке содержит нулевой элемент, т. е. 0 € дrf (х*).

Введенные понятия позволили доказать следующие утверждения.

Теорема 1. Для f € Ь*(0(Х)) обобщенная стационарная точка является существенно стационарной.

Данная теорема устанавливает связь между понятием обобщенной стационарной точки, введенным В. Д. Батухтиным [1; 2], и понятием существенно стационарной точки, определенном С. И. Бигильдеевым [20] для функций, регулярно аппроксимируемых на множестве X.

Теорема 2. Если f € Ь*(0(Х)), то всякая точка существенного локального минимума является существенно стационарной для функции f.

Приведенная теорема формулирует необходимое условие оптимальности для этого класса функций [20]. Класс регулярно аппроксимируемых функций представляет собой широкий класс функций, включающий в себя функции: 1) эквивалентные локально абсолютно непрерывным функциям (для функций одной переменной); 2) эквивалентные локально липшицевым функциям; 3) эквивалентные выпуклым функциям; 4) эквивалентные кусочно-линейным разрывным функциям, определенным в работе [21], и ряд других. Полученное необходимое условие оптимальности является важным инструментом при исследовании экстремальных свойств недифференцируемых, в т. ч. разрывных функций и построении численных методов решения задач оптимизации. Как показано С. И. Бигильдеевым [20], если f € Ь*(0(Х)) и найдется последовательность точек {х(к)} и весовых функций {р-к} с вирр р-к С В-к таких, что |а-к ^)(хк)| ^ 0, х^ ^ х, г& ^ +0, к ^ то, то х — существенно стационарная точка. Это утверждение является основой для построения и обоснования сходимости методов аппроксимационного градиента для регулярно аппроксимируемых функций.

Важная часть исследований в области оптимизации недифференцируемых и разрывных функций состояла в исследовании возможностей методов аппрок-симационного градиента для решения прикладных задач, определении их «узких» мест и дальнейшего совершенствования. В этой работе принимали участие Т. Б. Бигильдеева, С. И. Бигильдеев, В. Е. Рольщиков. Она включала в себя не

только численную реализацию методов и алгоритмов, но и формирование набора тестовых задач, поиска прикладных задач оптимизации недифференцируемых и разрывных функций, выполнение большого числа вычислительных экспериментов. Проведенные численные эксперименты показали работоспособность методов аппроксимационного градиента для решения сложных задач оптимизации, их результаты представлены в работах [6; 13; 22; 23]. Была выявлена и основная проблема этих методов — трудоемкость вычисления аппроксимационного градиента, которое сводится к вычислению многомерных интегралов по шару, что препятствует использованию данных методов для задач большой размерности. Для решения этой проблемы были выполнены, с одной стороны, попытки аналитического вычисления аппроксимационного градиента для некоторых классов функций, с другой стороны - построения более «экономичных» алгоритмов оптимизации разрывных функций.

Аналитически вычислить аппроксимационный градиент удалось для кусочно-линейных функций и некоторых кусочно-гладких функций Т. Б. Би-гильдеевой совместно с О. П. Гайдукойвой и С. А. Никитиной [24; 25]. Согласно [21], функция f : Яп ^ Я называется кусочно-линейной, если она дифференцируема всюду в Яп, кроме множества точек, принадлежащих конечному числу гиперплоскостей, разделяющих пространство Яп на области, в каждой из которых функция f линейна. Ребром кусочно-линейной функции f называется множество (ж € Яп : (а, ж) — Ь = 0}, а € Яп, Ь € Я, в каждой точке которого функция недифференцируема.

Пусть функция f имеет вид

(а, ж) + в, дТж — с < 0;

(а, ж) + в, дТж — с > 0;

где а, а, д € Яп, в, в, с € Я, весовая функция рг(з) определена следующим образом: Рг (в) = при 8 € Вг и Рг (в) = 0 при 8 € В. Здесь К(г) = ТП г(П+П/2) — объем шара радиуса г в пространстве Яп, Г(ж) - гамма-функция. Тогда [24] а(ж; г; рг; f) = а, если дтж — с < —г; а(ж; г; рг; f) = а, если дтж — с > г;

а(ж; г; Рг; f) = а° + Тп^^^)(1 — А2)— (А)адТа + п+1У (А)(а — ддта), если

|дтж — с| < г. Здесь

_ ~ . с — ж ° а + а Г

а = а — а, в = в — о, А =-------------, а =---------, 7п =--------,------------,

, и и и, г ’ 2 ’ ,п Л/ПГ

Л Л

X (А) = I £2(1 — £2)2-1 ^, У (А) = ^(1 — £2) ^

-1 -1

Следует заметить, что X (А), У (А) можно представить в виде

Х т = ^ + V А2к+3 г

( ' 2Тп + (2к + 3)к! Г(1-п) '

У

1 ' 27п 2 ^

Используя это представление, X (А), У (А) можно вычислить с достаточной точностью, не прибегая к интегрированию [25]. Учитывая тот факт, что кусочнолинейная функция при выполнении некоторых условий [21] может быть представлена в виде суммы кусочно-линейных функций с одним ребром, аппрокси-мационный градиент может быть вычислен как сумма соответствующих аппрок-симационных градиентов функций с одним ребром. Предложенная схема вычисления аппроксимационного градиента позволяет использовать методы аппрок-симационного градиента для оптимизации кусочно-линейных функций большой размерности.

Другой подход к построению более «экономичных» алгоритмов, использующих аппроксимационный градиент, состоял в построении адаптивных методов оптимизации (С. И. Бигильдеев [13; 26]), соединяющих в себе корректировку направления движения с уточнением значения аппроксимационного градиента путем добавления новых специальным образом выбранных узлов интегрирования. Эти алгоритмы можно рассматривать как модификацию известных симплексных методов (методов многогранника). Вычислительные эксперименты показали их эффективность для решения задач оптимизации недифференцируемых и разрывных функций [26].

Проведение вычислительных экспериментов было невозможно без создания соответствующего пакета программ и специальных средств, которые бы облегчили разработку и тестирование алгоритмов оптимизации при наличии удобного интерфейса и наглядного представления результатов вычислений. Такой пакет программ недифференцируемой оптимизации в среде программирования Zortech С+—Н был создан на кафедре теории управления и оптимизации [27; 28]. Он имеет оригинальную архитектуру, поддерживает коллективную работу, максимально упрощает процесс программирования не только алгоритмов, но и тестовых задач, позволяет пошагово следить за ходом процесса оптимизации, представляя наглядно ход процесса. Системная часть пакета программ недифференцируемой оптимизации, реализующая оригинальный процесс взаимодействия с исследователем и разработчиком алгоритмов оптимизации, обеспечивающая удобство исследователя и визуализацию процесса оптимизации, была разработана В. В. Тар-каевым и О. В. Таркаевой [27]. Пакет программ позволил создать библиотеку методов оптимизации недифференцируемых функций, неоднократно был использован для иллюстрации результатов исследований на международных конференциях по недифференцируемой оптимизации. В течение нескольких лет он был установлен в локальной сети математического факультета ЧелГУ и был использован при подготовке более чем двадцати курсовых и дипломных работ. На основе данного пакета было создано приложение «Соревнование методов оптимизации» [29], которое в течение нескольких лет успешно использовалось при изучении дисциплины «Методы оптимизации» и спецкурса «Численные методы оптимизации недифференцируемых функций» и неизменно вызывало интерес студенческой аудитории.

Полученные результаты дали возможность продвинуться в создании инструментария для исследования разрывных функций и разработки численных методов, однако задачи оптимизации недифференцируемых и разрывных функций, возникая при решении различных прикладных проблем, по-прежнему остаются «твердым орешком» и ждут новых результатов.

Список литературы

1. Батухтин, В. Д. Об одной формализации экстремальных задач / В. Д. Батухтин, Л. А. Майборода // Докл. АН СССР. — 1980. — Т. 250, № 1. — С. 11-14.

2. Батухтин, В. Д. Оптимизация разрывных функций / В. Д. Батухтин, Л. А. Май-борода. — М. : Наука, 1984. — 208 с.

3. Батухтин, В. Д. К решению разрывных вариационных задач / В. Д. Батухтин,

B. Е. Рольщиков // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 1994. — Математика. Механика. — № 1. — С. 28-35.

4. Рольщиков, В. Е. К вопросу об обобщенном экстремуме недифференцируемых функций/ В. Е. Рольщиков; ИММ УНЦ АН СССР. — Свердловск, 1983. — 33 с. — Деп. в ВИНИТИ, № 3627-83.

5. Рольщиков, В. Е. Аппроксимационный минимум одного класса разрывных функций / В. Е. Рольщиков // Негладкие задачи оптимизации и управления : сб. науч. тр. — Свердловск : УрО АН СССР, 1988. — С. 33-45.

6. Батухтин, В. Д. Разрывные экстремальные задачи / В. Д. Батухтин, Л. А. Май-борода. — СПб. : Гиппократ, 1995. — 358 с.

7. Рольщиков, В. Е. О сходимости последовательности точек условного аппрокси-мационного минимума / В. Е. Рольщиков // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 1991. — Математика. Механика. — № 1. — С. 112-117.

8. Рольщиков, В. Е. Необходимые условия аппроксимационного условного минимума / В. Е. Рольщиков // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2003. —Математика. Механика. Информатика. — № 3 (9). — С. 158-170.

9. Rolshchikov, V. E. Conditional Approximation Minimum and Approximation

Saddle Points of Convex Functions / V. E. Rolshchikov // Nonsmooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization (NDPCO’98): Proceeding

volume from the IFAC Workshop. — Chelyabinsk, 1998. — P. 191-192.

10. Batukhtin, V. D. Approximate Gradient Methods and the Necessary Conditions for the Extremum of Discontinuous Functions / S. I. Bigildeev, T. B. Bigildeeva // Nonsmooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization (NDPCO’98): Proceeding volume from the IFAC Workshop. — Chelyabinsk, 1998. — P. 25-34.

11. Бернштейн, С. Н. Собрание сочинений : в 4 т. Т. 3. Дифференциальные уравнения, вариационное исчисление и геометрия / С. Н. Бернштейн. — М. : Изд-во АН СССР, 1960. — 440 с.

12. Кларк, Ф. Оптимизация и негладкий анализ / Ф. Кларк. — М. : Наука, 1988. — 279 с.

13. Батухтин, В. Д. Оптимизация суммируемых функций / В. Д. Батухтин,

C. И. Бигильдеев, Т. Б. Бигильдеева // Кибернетика и системный анализ. — 2002. — № 3. — С. 73-89.

14. Батухтин, В. Д. К вопросу о наследовании функцией дифференциальных свойств от потенциалов / В. Д. Батухтин, С. И. Бигильдеев // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2005. — Т. 11, № 1. — С. 32-42.

15. Бигильдеев, С. И. Свойства аппроксимационного градиента в зависимости от весовой функции / С. И. Бигильдеев, В. Е. Рольщиков // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 1997. — № 4. — С. 89-94.

16. Бигильдеев, С. И. Потенциальные свойства аппроксимационного градиента / С. И. Бигильдеев // Мат. структуры и моделирование : сб. науч. тр. — Омск : Омск. гос. ун-т, 2000. — Вып. 6. — С. 12-20.

17. Бигильдеев, С. И. Аппроксимационнй градиент и производные Соболева /

С. И. Бигильдеев // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2002. — Математика. Механика. — № 1 (6). — С. 30-34.

18. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник,

B. И. Соболев. — М. : Наука, 1965. — 519 с.

19. Бигильдеев, С. И. Аппроксимационная производная как многозначное отображение / С. И. Бигильдеев // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 1996. — Математика. Механика. — № 1 (3). — С. 21-33.

20. Бигильдеев, С. И. Монотонные по направлению функции и их свойства /

C. И. Бигильдеев // Некоторые задачи динамики и управления : сб. науч. тр. — Челябинск : Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2005. — С. 4-20.

21. Сonn, A. R., Mogeau M. Discontinuous piecewise linear optimization / A. R. ^nn, M. Mogeau // Mathematical Programming. — 1998. — Vol. 80. — P. 315-380.

22. Батухтин, В. Д. Численные методы решения разрывных экстремальных задач / В. Д. Батухтин, С. И. Бигильдеев, Т. Б. Бигильдеева // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 1997. — № 3. — С. 113-120.

23. Бигильдеева, Т. Б. Численные методы оптимизации разрывных функций / Т. Б. Бигильдеева, В. Е. Рольщиков // Изв. РАН. Техн. кибернетика. — 1994. — № 3. — С. 47-54.

24. Бигильдеева, Т. Б. О вычислении многомерных интегралов по шару для некоторых разрывных функций / Т. Б Бигильдеева // Кубатурные формулы и их приложения: сб. матер. 6-го Междунар. семинара. — Уфа : Ин-т математики с вычислит. центром Уфим. науч. центра РАН, 2001. — С. 22-26.

25. Бигильдеева, Т. Б. О вычислении аппроксимационного градиента для некоторых классов разрывных функций / Т. Б. Бигильдеева, О. П. Гайдукова, С. А. Никитина // Мат. структуры и моделирование : сб. науч. тр. — Омск : Омск. гос. ун-т, 2001. — Вып. 7. — С. 5-17.

26. Бигильдеев, С. И. Симплексный метод как адаптивный алгоритм / С. И. Би-гильдеев // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2003. — Математика. Механика. Информатика. — № 2 (8). — С. 27-34.

27. Таркаев, В. В. О программной поддержке численного экспериментирования/ В. В. Таркаев // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 1996. — Математика. Механика. Информатика. —№ 1 (3). — С. 163-178.

28. Бигильдеева, Т. Б. О пакете программ недифференцируемой оптимизации j Т. Б. Бигильдеева, В. В. Таркаев jj Мат. структуры и моделирование і сб. науч. тр. — Омск і Омск. гос. ун-т, 2GG2. — Вып. 9. — С. 158-165.

29. Бигильдеева, Т. Б. Компьютерное пособие «Соревнование методов оптимизации» j Т. Б. Бигильдеева, О. В. Таркаева jj Понтрягинские чтения і тез. докл. Воронеж. весен. мат. шк. — Воронеж і Воронеж. гос. ун-т, 2GG1. — С. 23.