О предельном многомерном распределении промежуточных порядковых статистик

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бодров А. Г., Никитин А. А. Качественный и численный анализ интегрального уравнения, возникающего в модели стационарных сообществ // Докл. АН. 2014. 455. № 5. С. 507-511.

2. Бодров А. Г., Никитин А. А. Исследование интегрального уравнения плотности биологического вида в пространствах различных размерностей // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2015. № 4. С. 7-13.

3. Plank М. J., Law R. Spatial point processes and moment dynamics in the life sciences: a parsimonious derivation and some extensions // Bull. Math. Biol. 2015. 77. P. 586-613.

4. Dieckmann U., Law R. Relaxation projections and the method of moments // The Geometry of Ecological Interactions: Simplifying Spatial Complexity. Cambridge University Press, 2000. P. 252-270.

5. Dieckmann U., Law R. Relaxation projections and the method of moments // The Geometry of Ecological Interactions: Simplifying Spatial Complexity. Cambridge University Press, 2000. P. 412-455.

6. Law R., MurrellD. J., Dieckmann U. Population growth in space and time: spatial logistic equations // Ecology. 2003. 84. N 1. P. 252-262.

7. Murrell D. J., Dieckmann U. On moment closures for population dynamics in continuous space // J. Theor. Biology. 2004. 229. P. 421-432.

8. Данченко В.И., Давыдов А. А., Никитин А. А. Об интегральном уравнении для стационарных распределений биологических сообществ // Проблемы динамического управления. Вып. 3. М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2009. С. 15-29.

9. Давыдов А. А., Данченко В. И., Звягин М. Ю. Существование и единственность стационарного распределения биологического сообщества // Труды МИАН. 2009. 267. С. 46-55.

10. В add о иг N. Operational and convolution properties of two-dimensional Fourier transforms in polar coordinates //J. Opt. Soc. Amer. 2009. 26. P. 1767-1777.

11. Murrell J., LawR. Heteromyopia and the spatial coexistence of similar competitors // Ecology Letters. 2003. 6. P. 48-59.

Поступила в редакцию 13.04.17

УДК 519.6

В. И. Пагурова1

О ПРЕДЕЛЬНОМ МНОГОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИК

Исследуется совместное асимптотическое при п оо распределение промежуточных порядковых статистик, построенных по выборке объема п.

Ключевые слова: промежуточные порядковые статистики, многомерное нормальное распределение, слабая сходимость.

Пусть Xi,..., Хп — независимые и одинаково абсолютно непрерывно распределенные величины, копии случайной величины X, F(x) = ~Р{Х ^ х}, f(x) = F'(x), Х^ — порядковая статистика в вариационном ряду X^ ^ ... ^ построенном по величинам Х\,..., Хп. Обозначим щ = [tina], г = 1,..., т, 0 < t\ < ... < tm, где ij не зависит от п, 0 < а < 1, [ж] означает целую часть числа х. Для различных классов распределений F исследуется асимптотическое при п ^ оо совместное распределение т промежуточных порядковых статистик

Порядковые статистики играют важную роль при построении статистических критериев и оценок неизвестных параметров при изучении наводнений и засух, в задачах изучения прочности на разрыв в проблемах, связанных с усталостью материалов, в задачах контроля качества,

1 Факультет ВМК МГУ, ст. науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: pagurovaQyandex.ru

при обнаружении аномальных наблюдений. Промежуточные порядковые статистики также находят применение при аппроксимации нижних и верхних "хвостов" распределения F, при построении состоятельных оценок параметра формы предельного распределения величин X^ и X^. Введем величины

= к/п, к = к

Необходимым и достаточным условием асимптотической нормальности при п ^ оо статистики Тп = (Х^ — dn)/cn при некоторых сп > 0 и dn является условие [1, 2]: для любых х выполняется соотношение

lim (F(cnx + dn) - Xk,n)"/k/h,n = x.

n—>oo

Для абсолютно непрерывных распределений величины сп и dn определяются из соотношений

F

В работах [3, 4] показано, что при выполнении условия (1) и п оо возможными предельными распределениями статистики Тп являются нормальное и логнормальное распределения.

Совместное асимптотическое распределение при п ^ оо центральных порядковых статистик ранга [n\i] + 1, i = 1,..., m, 0 < Ai < ... < Ато < 1, рассмотрено в работе [5]. Предельное распределение процесса v£n\t) = {Х^}ы — /, где к определяется соотношениями (1), а параметр t не зависит от п, исследовано в [6]. В [7] приведено предельное распределение промежуточных порядковых статистик, когда исходные величины Х\,... ,Хп удовлетворяют некоторым общим условиям зависимости. В [8] указано предельное распределение промежуточных порядковых статистик, построенных по выборке случайного объема.

Рассмотрим вектор (Х„"\    для которого величины (Хщ^ — ^ = 1' • • • imi

при п ^ оо асимптотически стандартно нормальны и

О ^ lim c„)tl < оо.

п—>оо

Теорема 1. Пусть /(ж) дифференцируема в окрестности точки и /(с1пф О,

% = 1,..., т. Тогда совместное распределение величин Хп^ — ...,

п^т пРи п ^ оо сходится к т-мерному нормальному распределению с вектором нулевых математических ожиданий и ковариациями со= усп% ^

Доказательство. Предположим сначала, что исходное распределение ^ является равномерным распределением на отрезке (0,1), так как с помощью обратного вероятностного интегрального преобразования можно получить любое распределение Р, удовлетворяющее условиям теоремы. Совместная плотность распределения величин Хщ\ % = 1,..., т, имеет вид

то

К(х 1,..., хт) — Сх1 11 (х^ — \) 1 (1 хт) т,

где (7 — общее обозначение для постоянной. Сделаем замену х,г = /п1~а!2уг + и/п1-", г = 1,..., т, тогда

Л.(ж 1,..., хт) —

= с | 2 | У1 | Д М ' ~ >~1У:>~1 ' '1 У^тУтП '

Найдем совместное асимптотическое распределение при п ^ оо компонент вектора (У-!,..., Ут). Для этого рассмотрим выражение

1п 1ъ(х\,.. .,хт) = С + у1

>" о(±-

2(t2-ii) V»

то — 1

Ей

3=2

-tj-i) , о(—

~ tj-l)(tj + l ~ tj) \пс

Утп

--- + О ( тах

¿т-1) \ \Пи

1—а

П

то — 1 3=1

3+1

о

т'3 +1

О

п

а/2

Преобразуя его, будем иметь 1п/г(ж1, ...,хп) =

2 ¿2

= С

t2-t1

то —1

Т. У2,

3 = 2

+ 1 1) {tj tj — l)(tj-lгl tj) tm tm — l

Угп .

'^УзУз+г^^

3 = 1

О ( тах \ \ п

1

3 +1 ' 1

а/2 '

П

1 — а

Из (4), (5) следует, что вектор (У1,..., Уто) асимптотически при п ^ оо имеет т-мерное нормальное распределение с вектором нулевых математических ожиданий. Элементы матрицы А = (Aij) коэффициентов квадратичной формы в соотношении (5) определяются следующим образом:

¿2 л ^.'¡(^3 +1 1) ~ - • - - '

Ап =

- *1

А« -

+1 — ' Ь • 1 -3 —

\ftjtj-1-1

2 < 3 < т - 1,

/1 — ЛТОТО —

^ /

¿то —1

Ау = О

при |г — Л > 1.

Матрица, обратная к А, т. е. ковариационная матрица величин У^, асимптотически имеет элементы соу(Уг, У,) = -^/¿¡7Ь-> ^ 3- Так как

х(п) =

1/2

_тл

1-а/21г

и

, 1—а '

г = 1,

гг1_и'л п

то в том случае, когда исходное распределение ^ является равномерным на отрезке (0,1), вектор • • •, ) асимптотически при п ^ оо имеет т-мерное нормальное распределение с вектором математических ожиданий (¿1 /п1_а,..., 1т/п1~а) и ковариациями соу(Хщ\ Х^) = ¿¿/п2-", г ^ Для доказательства теоремы в общем случае воспользуемся следующей леммой [9, гл. 9, § 9.2]. Лемма. Если случайные величины У.,,.,, г = 1 ,...,т, имеют асимптотически т-мерное нормальное распределение с математическими ожиданиями дисперсиями ст2^, а2п1 О

при п ^ оо, и ковариациями и если д^п^) — однозначные функции с не равными

нулю в некоторых окрестностях точек У,,., = и непрерывными производными то

сами асимптотически имеют т-мерное нормальное распределение с математическими

ожиданиями <7г(Мп,г) и ковариациями

Полагая У.,,., = Хщ\ = ¿¿/п1_а, = ¿¿/п2-", % ^ получим, что преобразование

дг{Хщ^) = Р 1(Хщ^) удовлетворяет условиям леммы,

9г{Рп,г) — Р {рп,г) ~

9'г{Рп,г) =

1

г = 1,..., т.

Выразим величину 1 //(с£п,0 через используя соотношение (2), после чего получим значения для ковариаций, указанные в формулировке теоремы. Доказательство теоремы завершено. Введем обозначение гР = т£{ж : ¿^(ж) > 0}, О

<а< 1, £ > 0, и рассмотрим типичные классы распределений, широко используемые в статистических приложениях. Класс В\\

.Р(ж) ~ а|ж|7 ехр(^Ь|ж|А), /(ж) ~ аЬД|ж|7+А_1 ехр(^Ь|ж|А) при ж ^оо, а, Ь, А > О,

—

(1-а)1пп\^Д / 71п1пп + 1пс

1

А2(1 - а) 1пп

(1 — а) 1пп\(1"А)/А

с =

1

а

д

1

Дй1/2па/2 '

Класс В2:

F(x) ~ а|ж|_л, /(ж) ~ аД|ж|_л_1 при х ^оо, а, А > О, dn,t = -(««'-/i)1^, Cn,t = а1/А/(Д ¿(2+Д)/(2Д)п-(1-а)/Д+а/2).

Класс В3:

F(x) ~ а(х — zp)A, /(ж) ~ аА(ж — zp)^~l при ж ^ zp, —оо < zp < оо, а, А > О, d„,t = zp + (an'-yt)-1^, cn,t = 1/(Д01/Дг(Д-2)/(2Д)п(1-а)/Д+а/2).

При п ^ оо для всех трех классов i?i, В2 и _В3 предельным распределением статистики — dn,t)/cn,t является стандартное нормальное распределение. Для классов i?i и В3 условие (3) выполняется, а для класса В2 это условие справедливо только при 2/(2 + А) ^ а < 1.

Следовательно, для класса В2 теорема верна лишь при указанном ограничении на параметр а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смирнов Н. В. Предельные законы распределения для членов вариационного ряда // Тр. МИ АН им. В. А. Стеклова. 1949. 25. С. 5-59.

2. Смирнов Н. В. О сходимости к нормальному закону распределений членов вариационного ряда // Известия АН УзСССР. 1966. 3. С. 24-32.

3. Чибисов Д.М. О предельных распределениях для членов вариационного ряда // Теория вероятн. и примен. 1964. 9. № 1. С. 159-163.

4. Wu С. The types of limit distributions for some terms of variational series // Sci. Sinica. 1966. 15. P. 749-762.

5. Mosteller F. On some useful "inefficient" statistics // Ann. Math. Statist. 1946. 17. P. 377-408.

6. Cooil B. Limiting multivariate distributions of intermediate order statistics // Ann. Probab. 1985. 13. N 2. P. 469-477.

7. Watts V., Rootsen H., Leadbetter M. On limiting distributions of intermediate order statistics from stationary sequences // Ann. Probab. 1982. 10. P. 653-662.

8. ПагуроваВ.И. О предельном распределении порядковых статистик в выборке случайного объема // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2016. № 4. С. 16-19.

9. Дэйвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1979.

Поступила в редакцию 13.02.17