Расчет газовой и электронной температур в канале дуги постоянного тока

УДК 537.52

А. В. Герасимов, А. П. Кирпичников

РАСЧЕТ ГАЗОВОЙ И ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕМПЕРАТУР В КАНАЛЕ ДУГИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Ключевые слова: температура, плазма, канал, дуга,

Представлены результаты расчета газовой и электронной температур в канале дугового плазмотрона. Расчеты проведены в рамках самосогласованной двухтемпературной каналовой модели дугового разряда. Данный метод дает возможность при заданных параметрах разряда (сила тока в разряде, вкладываемая в разряд мощность и т. д.) с достаточно хорошей точностью получать распределение газовой и электронной температур в зависимости от радиальной координаты в канале дугового плазмотрона.

Keywords: temperature, plasma, channel, arc, model.

Results of calculation of gas and electronic temperatures in the channel of the arc plasma generator are presented. Calculations were carried out within the framework of self-consistent two-temperature channel model of an arc discharge.The given method with good precision enables to gain radial allocation of gas and electronic temperatures in a conducting and non-conducting zone of a constant current arc at designated parameters of the discharge (current intensity in the discharge, power put in the discharge).

В работе авторов [1] была рассмотрена квазиравновесная каналовая модель дуги постоянного тока в том предположении, что в приосевой области температуры электронов и тяжелых частиц не слишком сильно отличаются друг от друга, и, следовательно, в этой области плазму можно считать практически равновесной. Однако это упрощение не всегда является справедливым. Так известно, что даже при атмосферном давлении в приосевой области дугового разряда может существовать значительный отрыв температур атомно-ионного газа от электронной температуры, величина которого на практике может быть весьма велика (порядка нескольких сотен градусов).

В литературе отмечено, что этот случай встречается в дугах атмосферного давления с силой тока в разряде I < 50 A [2].

В настоящей работе, основанной на результатах, полученных авторами ранее в работе [1], предложена двухтемпературная каналовая модель дуги постоянного тока, учитывающая отрыв температур атом-ионного газа тяжелых частиц от электронной температуры также и в проводящей области дугового разряда.

Уместно вначале привести описание каналовой модели дуги, предполагающей равновесие плазмы разряда и которая положена в основу предлагаемой авторами модели.

Рассмотрим длинный цилиндрический столб дуги в продольном цилиндрическом поле. Считается, что дуга горит внутри охлаждаемой трубки радиуса R. Выделяющееся джоулево тепло выводится радиальным тепловым потоком к стенкам, температура которых считается фиксированной и низкой. Распределение температуры по радиусу имеет вид, показанный на рис. 1.

Как легко видеть существует довольно четко выраженная область около оси (обозначим ее радиус Го), внутри которой ток течет и вне которой его практически нет. Приближенно можно считать, что при Г>Го о =0, а при Г<Го Q = COnst=GK, причем значение проводимости в канале ок соответствует максимальной температуре плазмы на оси TK; GK=G(TK). Условная граница между поводящей и непроводящей зонами обычно проводится в том месте, где проводимость в e раз меньше максимальной величины GK=G(TK) (см. рис 1).

Согласно многочисленным экспериментальным и теоретическим данным при T=5000 K a(T)- 1 ом _1 • см-1, при T=10000 K o(T) - 38 ом _1 • см-1, при T=12000 K o(T) - 40 ом _1 • см-1,

при T=14000 К а(Т)« 41 ом 1 • см-1, так что условная граница токопроводящего канала в данном случае соответствует температуре около 10000 К.

Рис. 1 - Схематические распределения температуры и проводимости по радиусу в дуговом разряде согласно каналовой модели

Известно, что при этом решение уравнения баланса тепла в непроводящей зоне имеет

вид [2]

Т(г) = Т^) + ,

которое для сильноточных дуг, где сила тока в разряде 1>200 А, неплохо согласуется с

экспериментом. В данной формуле Tg — газовая температура, W - удельная мощность,

вкладываемая в единицу длины столба, X - теплопроводность газа, R — радиус трубки.

В работе авторов [1] получен несколько более общий результат, заключающийся в том,

что температурные поля в непроводящей зоне разряда более точно описывается формулами

........ W R Г W X е + ^ а^

Те(г) = Te(R) +-1п— + 1-+ 8R !• е -а|

е е г ^ ) X аГ bR • Ф

т. . W| R Г W Xе-ВД]

Т(г) = Т^) +-1п—+ -+ 8R I- е1 -—

2лХ г ^ 2лХ ) Ха1 • bR • Ф

В этих формулах Те - температура электронного газа, Т - температура атомно-ионного газа тяжелых частиц, Хе и Ха; - коэффициенты теплопроводности электронного и атомно-ионного газа; 101(х) и К01(х) - модифицированные функции Бесселя и функции Макдональда

соответственно, X = X а + X е,

Ф(гк) = К0(Ьгк) • !1(ЬК) + !0(Ьгк) • К^), ¥(г) = Ко (ЬГк) • !о(Ьг) - !о (ЬГк) • Ко(Ьг), Гк < г < К.

При этом в проводящей зоне было принято Те = Т.

Данные выражения учитывают отрыв температур электронного газа от температуры атом-ионного газа в непроводящей зоне разряда и хорошо описывают температурные поля в разрядах с силой тока от 50 до 200 А.

В том случае, когда !^50 А, однако, нужно учитывать отрыв электронной температуры от температуры атом-ионного газа также и в проводящей области дугового разряда.

Так же как и в работе [1], положим в соответствии с приближением каналовой модели для значения электронной температуры на границе токопроводящего канала Те0=Те(гк)*Те(0)=Тек, где гк — радиус канала [3]. В этом случае справедливо, полученное в этой работе, соотношение между температурой на оси канала Тек и удельной (вкладываемой в единицу длины столба) мощностью W

Те

V

TW Тк - Т0 X

8кХек 2к X

т^ •!

В этой формуле Тк=Т(0) и Т0=Т(гк) — газовая температура соответственно на оси и на границе токопроводящего канала; Хе=Хе(Тк) и ХарХа1(Тк) - коэффициенты теплопроводности электронного и атомно-ионного газа; ! — потенциал ионизации плазмообразующего газа; к — постоянная Больцмана, а проводимость в разряде а~Пе^соп81;-ехр-(—1/2кТек) пропорциональна концентрации электронов, то есть фактически определяется формулой Саха. Как и в работе [1] основная задача исследования в данном случае состоит в том, чтобы выразить сначала Тк и Т0 как функции Тек, (то есть Тк=Тк(Тек ), Т0=Т0(Т ек), а затем, определить Тек и Гк при заданной W.

Система уравнений, выражающих баланс энергии безрасходной дуги без учета излучения была впервые получена в работе [1] и имеет при этом следующий вид. Внутри токопроводящего канала Те»соп81=Тек и

1 аГгХа;|-)+ У

V

г дг

а в непроводящей зоне

- Т )=0

11К|>|к8п.-Т)= 0 «

Здесь пе — плотность электронов в разряде; 5 — доля энергии, теряемой электронами при столкновениях с тяжелыми частицами; V — частота этих столкновений. Заметим, что в силу того, что аргон является одноатомным газом, значение постоянной 5 приближенно можно считать близким к 1.

Уравнение (3) выражает баланс энергии для электронного газа, уравнения (2) и (4) — для атомов и ионов.

Заметим, что в принципе возможен и другой способ оценки атом-ионной температуры в проводящей зоне канала исходя из соотношения

Т - Т =

гк 3/2кпеV '

где

8 кТек ( ~ ~ Ч е2Пе

(пеОе1 + пОеп о =

к те теV

е

Здесь О - эффективное сечение столкновений, а Е - напряженность электрического поля. Но как видно, оно дает только оценку величины атомно-ионной температуры, в отличие от уравнения 2, которое позволяет получить радиальное распределение атомно-ионной температуры внутри токопроводящего канала. Хотя этот результат, очевидно, должен быть близок к результату, полученному с использованием уравнения 2.

Граничные условия к системе (2) — (4) [1] :

Т(0)<»; Т(Р)=сопэ1; Т(г,-0)=Т(г,+0); Т,(Гк-0)=Т,(г,+0);

дг

. дТ

+ Х а,-

31 дг

W дТе

2лг/ дг

= в

г=К

Величина 8 зависит от параметров разряда и выбирается в каждом конкретном случае исходя из той или иной принятой физической модели взаимодействия электронного газа со стенками цилиндрической трубы. В данной работе при расчетах величины в были использованы результаты известной работы [4].

Система уравнений (2) - (4) с учетом граничных условий (5) имеет следующее точное решение, записанное в специальных функциях 10п(х) и К0п(х)-:

внутри канала:

Т

>0

т/т т ^ К Г W

Т(К) - Тек+^ 'пг:+1

-1п—а(гк) -

2^ гс

_+ 8К\ '0^) ->0(Ьгк) X

) ХЬР'1(ЬР) Х3

£ + *'а<г.) +

в зоне теплоотвода

^ к Г w

Т(г) - Т(К = —-1п— + г

+ 8К

Xе ['0^) - >0(Ьг)]

X „^ЦЬ^

^ К / X

1п—а(гк) -

2лХ гс

^а

w к Г w

Те(г) - Т(К = — 1п- + — + 8К 2лА, г 12лХ

— I

I X е>0

W , Ко, х

1п — р(г) -

2лХ гк

'Ж. + 8К] . Хе'0(ЬК) + Ха1'р(Ьгк ) р(г) + (к - Т(К))(г) ,

^ ) X„¡ЬШ^ЬР) 4 ек ;

где

Р(г) =

а(г) = X е

X е Ф

Ф

XеФ

2 3 к5 пеV

а2 = е

2 X а,

0<г<г,

г =г.

г =г

При этом

b2 = 3k5ne v 2 e

da "dr"

f

1 1

— + —

r=R

a _

dp

dr Г=R

Гк <r <R

Следует подчеркнуть, что решения (6)-(8) получены в результате решения полной системы уравнений (2)-(4), с учетом уравнения (2) - в отличие от того решения, которое было получено ранее в работе [1].

Соотношения (6)-(8) дают возможность определить две неизвестные величины

Tc = Tc(TeK ) и T0 = То(Тек ) в формуле (1). При этом получим

1

Tc - T(0) = TeK - —— {[TeK -T(R)]- [1 - а(Гк )]-

'о

__W_ InR [1 -а(Гк )]-i-W_ + sR \_U(bRL [1 -а(Гк)]+

г/ ^J _aibRI1(bRK

+

W

sR I- 10(ЬГк ) [_ e +_ ai а(Гк )]

J _aibRI1(bR; e ai Ji

To - Ж) = T(R) + 2W_InR[1 -а(Гк)] + (

W

SR 1. _e!o(bR) [1-а(Гк)]-

J _aibRI1(bR; к J

+ i

'w + sR 1 • * [_e + _aiа

2л_

_ aibRl1

Соотношения (1), и (9), (10) представляют собой трансцендентную систему уравнений для нахождения точных значений температуры плазмы на оси канала Те(0) = Тек « Те0 = Те(гк) и радиуса токопроводящей области Гк. Решение ее не представляет

формальных трудностей. Зная значения Тек и Гк, легко найти все остальные интересующие

величины, например, газовую температуру на оси и на границе канала или значение скачка электронной температуры вблизи границы трубы при Г=К Хотя полное решение системы (1), (9), (10) может быть получено лишь численными методами, в каждом конкретном интересующем на практике случае, используя асимптотические представления для функций 101(х), К01(х) - для больших и малых значений аргумента, нетрудно выполнить все основные

оценки.

Так, положив в формуле (8) r=R, получим формулу

Te(r) - T(R) =

W

+ sR

Io(bR)_

J bRI1(bR)_a

|_W +SR eI0

12л_ J _aibRI.,(bR) ec v ;JHV '

которая является аналогом формулы

Г^Г ^<R> -

Гк

Te(r) - T(R) =

W +sR 1._[К0(ЬГк )I0(bR) - № )K0(bR)]

2л_

_ a

ЬК • ЦЬ^Ф^)

упрощенной модели [1].

Соотношение (11) дает возможность определить величину разрыва температур электронного и атомно-ионного газа около стенки ограничивающей дугу разрядной трубки в зависимости от радиуса этой трубки и параметров разряда, величина которого хорошо совпадает с результатами, опубликованными в работе [5].

На рис. 2, 3, 4 представлены результаты расчетов электронной Те и газовой Т температур по радиусу столба дуги.

Рис. 2 - Распределение электронной Те и газовой Т температур по радиусу столба дуги для температуры стенки Тст=600 К

_- расчет для атомно-ионной температуры;

------ расчет для электронной температуры;

----------- данные Асиновского Пахомова [5] для атомно-ионной температуры;

---------------------данные Асиновского и Пахомова [5] для электронной температуры

Рис. 3 - Распределение электронной Те и газовой Т температур по радиусу столба дуги для температуры стенки Тст=2600 К

_- расчет для атомно-ионной температуры;

------ расчет для электронной температуры;

----------- данные Асиновского Пахомова [5] для атомно-ионной температуры;

---------------------данные Асиновского и Пахомова [5] для электронной температуры

т, к

10000

4000

8000

6000

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 Г, СМ

Рис. 4 - Распределение электронной Те и газовой Т температур по радиусу столба дуги для температуры стенки Тст=4000 К

_- расчет для атомно-ионной температуры;

------ расчет для электронной температуры;

----------- данные Асиновского Пахомова [5] для атомно-ионной температуры;

---------------------данные Асиновского и Пахомова [5] для электронной температуры

Исходные данные брались из работы [5]. Расчеты проведены для плазмы аргона при атмосферном давлении для тока 1=30 А и для различных значений температуры стенки Тст (600 К, 2600 К и 4000 К).

При этом следует особо отметить следующее. Температура поверхности стенки, строго говоря, может быть выше температуры плавления материала стенки. Авторами [5] обнаружено, что после длительной работы установки внутренняя поверхность канала оказывается покрытой темной пленкой, имеющей толщину не более 0,1 мм, которая, скорее всего, образуется в результате конденсации паров углерода на холодную стенку. В работе [5] указано, что эта пленка обладает большим термическим сопротивлением, вследствие чего температура стенки на границе с плазмой может достигать 4000 К.

Значения величин Хе, ХЭ|, Пе, 5, V взяты из работ [6-9].

На этих же рисунках представлены результаты, опубликованные в работе [5]. Алгоритм расчетов был следующий. При заданном значении температуры канала Тек, решая трансцендентную систему уравнений (1) и (9), (10) определялся радиус канала Гс,а также газовая температура на границе токопроводящей области Т0 и на оси разряда Тс, и далее по формулам (6), (7), (8) производился расчет электронной и газовой температур во всём объёме дугового разряда (как внутри токопроводящей области, так и вне её).

Как видно из рисунков, наилучшее совпадение результатов наблюдается для электронной температуры Те. Что касается атом-ионной температуры газа тяжелых частиц, то по ней наилучшее совпадение результатов наблюдается в случае, когда температура стенки Т(К) достаточно велика.

Из рисунков также следует, что радиус канала при увеличении температуры стенки увеличивается.

В итоге укажем, что результаты соответствующих экспериментальных исследований, опубликованные в работах [10, 11], с хорошей точностью подтверждают все основные результаты данной работы и предложенную картину теплообмена в двухтемпературном

дуговом разряде, горящем в длинной цилиндрической трубе. Полученные при этом формулы, описывающие распределение температурных полей в осесимметрическом дуговом разряде, могут быть использованы как для простых модельных оценок достаточно сложных физических процессов, так, возможно, и в ряде инженерных расчетов.

Литература

1. Герасимов, А.В. Расчет газовой и электронной температуры в дуге постоянного тока / А.

B.Герасимов, А. П. Кирпичников // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2002. - №1-2. С. 238.

2. Райзер, Ю.П. Основы современной физики газоразрядных процессов / Ю. П.Райзер - М.:Наука, 1980. -416 с.

3. Райзер, Ю.П. Физика газового разряда / Ю. П.Райзер -М.: Наука, 1987. 592 с.

4. Clark, K.J. Thermochemical nonequilibrium in an argon costricted arc plasma / K. J. Clark, F. P.Incropera // AIAA Paper 1971. № 71-593. 15 р.

5. Асиновский, Э.И. Анализ температурного поля в цилиндрически симметричном столбе электрической дуги / Э. И.Асиновский, Е. П. Пахомов //ТВТ. 1968. Т. 6. № 2. С. 333.

6. Devoto, R.S. Transport properties of ionized monoatomic gases / R. S. Devoto // Phys. Fluids. 1973. v. 9. No 6. p. 1230-1240.

7. Дресвин, С.В. Физика и техника низкотемпературной плазмы / С. В. Дресвин и др.; под ред.

C. В. Дресвина. М.: Атомиздат, 1972. -352 с.

8. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. / Гинзбург В.Л. М.:Наука. 1967. -683 с.

9. Свойства низкотемпературной плазмы и методы ее диагностики / Под ред. чл.-корр. АН СССР М. Ф. Жукова Новосибирск: Наука, 1977. 296с.

10.Асиновский, Э.И. Исследование характеристик ламинарного потока плазмы аргона в электрической дуге/ Э.И. Асиновский, Е.П.Пахомов, И.М. Ярцев // Химические реакции в низкотемпературной плазме. — М.: HHXC АН СССР, 1977. - С. 83.

11.Асиновский, Э.И.. Определение вязкости плазмы аргона с помощью стабилизированной электрической дуги / Э.И. Асиновский, Е.П.Пахомов, И.М. Ярцев // ТВТ. - 1978. - Т. 16, № 1. - С. 28.

© А. В. Герасимов - д-р техн. наук, проф. каф. ИСУИР КНИТУ, gerasimov@kstu.ru; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. ИСУИР КНИТУ.