Метод Исследования напряженно-деформированного состояния конструкций сложной геометрии

УДК 539.3

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.М. Якупов, Ш.Ш. Галявиев, Р.З.Хисамов

Лаборатория нелинейной механики оболочек Института механики и машиностроения КазНЦ РАН,

420111, г. Казань, ул. Лобачевского, 2/31

Методы и подходы, используемые при исследовании оболочек сложной геометрии. Вариант МКЭ для расчета оболочек и трехмерных тел сложной геометрии.

Введение.

Тонкостенные конструкции, сочетающие в себе легкость с высокой прочностью, находят широкое применение в строительстве и машиностроении. Исходя из функционального назначения, они могут иметь самые разнообразные формы, подвергаться различным силовым и температурным нагрузкам, а также работать в агрессивных средах.

При расчете конструкций сложной геометрии применяются различные методы. Обзоры публикаций приводятся в работах [1-7].

Достаточно универсальными являются методы расчетов оболочек сложной геометрии, основанные на модификациях метода конечных разностей, использованные, в частности, в работах Баженова В.А., Гоцуляка Е.А., Григоренко Я.М., Корнишина М.С., и др.

Распространены методы коллокации, которые успешно применялись Корнишиным М.С., Рогалевичем В.В. и др. для решения сложных задач теории пластин и оболочек.

В работах Алейникова С.М., Алексидзе М.А., Бенерджи П., Бреббия К., Верюжского Ю.В., Грибова А.П., Коренева Б.Г., Крауча Ч., Смирнова В.А., Толкачева В.М., Угодчикова А.Г. и др. получило значительное развитие метод граничных элементов.

Для расчета элементов конструкций сложной формы применяют вариационные методы: метод R-функций (Рвачев B.JI., Курпа Л.В. и др.), способ построения аппроксимирующих функций исходя из уравнения контура области (Корнишин М.С., Михлин С.Г., Файзуллина М.А. и др.), методы Трефца, штрафов и другие (Артюхин Ю.П., Серазутдинов М.Н. и др.).

Методы выбора поверхностей приведения и способы параметризации для оболочек сложной формы излагаются в работах Галимова К.З., Корнишина М.С., Паймушина В.Н., Якупова Н.М. и др.

Большой класс оболочек сложной формы может быть описан резными поверхностями. Использование таких поверхностей рассмотрено в работах Кривошапко С.Н., Муха И.С., Рекача В.Г., Савула Я.Г. и др.

При исследовании деформирования оболочек сложной геометрии применяются также экспериментальные методы. Сравнительно новым является метод голографической интерферометрии (Коноплев Ю.Г., Шалабанов А.К., Смирнов В.А., Lashhari М., Powell R., и др.). Эффективным методом является теоретико-экспериментальный метод, на основе которого Саченковым A.B., Коноплевым Ю.Г., и др. получены интересные результаты.

В последние десятилетия многие исследования проводятся на основе универсального метода конечных элементов (МКЭ). В теории оболочек применение МКЭ началось с использования плоских конечных элементов (Brebbia С.А., Gallagher R.H., Zienkiewicz О.С. и др.). Применяются также элементы, базирующиеся на соотношениях трехмерной теории упругости (Киричевский В.В., Сахаров A.C., Ahmad S., Irons B.M., Hudges T.S., Zienkiewicz О.С и др.). Однако, наиболее естественным является оболочечный подход. Так, в частности, работы Гинесина Л.Ю., Голованова А.И., Олсона М.Д., Савельева Л.М., Савула Я.Г. и др. посвящены применению оболочечных элементов для расчетов конструкций сложной формы. Эффективным методом оболочечного подхода является сплайновый вариант МКЭ [8 - 12]. Оценка точности такой схемы МКЭ приведена в [13].

Двумерные и трехмерные элементы сплайнового варианта МКЭ.

Этап параметризации. Если информация о геометрии задается дискретно, то при вычислении производных от радиус - вектора г, возникает проблема параметризации, т.е. необходимо построить такую аппроксимирующую функцию, чтобы значения производных вычислялись с достаточной точностью.

Задание срединной поверхности оболочки сложной геометрии. Рассматривается оболочка сложной геометрии, срединная поверхность которой Оеа ограничена четырьмя гладкими криволинейными контурами 7~у, Г2, Гз, Г4 и определяется как геометрическое место точек векторным уравнением

Г = Г (а', С?),

где а1, а2 - независимые криволинейные координаты. Предполагается, что поверхность а, в общем случае, не может быть описана известными аналитическими функциями, а радиус-вектор г задается его значениями в точках, координаты которых определены в принятой системе координат.

Область £2 параметризуется координатами I1, ^ единичного квадрата Оф. Построив сетку на Г2 и зная значения радиус-вектора г в узлах сетки, уравнение для радиус-вектора можно записать в виде

г = г$1, I2),

Участки поверхности аппроксимируются двумерными кубическими интерполяционными сплайнами, обеспечивающие непрерывность сплайна и его двух первых производных во всех внутренних узлах сетки.

Дифференцируя уравнение радиус-вектора г по I2, определяются координатные векторы, вектор единичной нормали, ковариантные и контравариантные компоненты первого основного метрического тензора, символы Кристоффеля второго рода, а также ковариантные и смешанные компоненты второго основного метрического тензора.

Задание трехмерного элемента сложной геометрии. По аналогии с двумерным, искривленное трехмерное тело параметризуется координатами единичного куба

г = г$1, I2, Г*).

Дифференцируя радиус-вектор г, определяем координатные вектора г\ г,- (/ = 1, 2, 3), затем компоненты метрического тензора gij и символы Кристофеля

Сплайновый вариант метода конечных элементов (СВ МКЭ). Геометрические соотношения для тонких оболочек по модели Кирхгоффа-Лява были взяты для случая среднего изгиба. Тангенциальные и изгибные деформации срединной поверхности определяются при этом по формулам [14]

2еш=е1к +еи+й).б)к ’ К= -у - ъ*е ’

¡к I к I кз

где I, к, 5 = 1,2; £ , К. - ковариантные компоненты тензора тангенциальных деформа-1к **

ций, а также изгиба и кручения; со. = V ,м> + Ь* и к - компоненты вектора поворота нормали т\ е:к = V ,ик — Ь1км> - компоненты тензора поворота; щ м> - компоненты вектора перемещения; V• - знак ковариантного дифференцирования относительно аЬ* - смешанные компоненты второго метрического тензора.

Геометрические соотношения для оболочек средней толщины по модели Тимошенко [15]

1е2 = е. г7 + е,.2^ + г(С1 ..г7 + П ,.г7) > 2е2 = со + у 4- ¿V у >

/ к у к *> I 1 к К} I / 3 I I «'

2е2 = 2у > е , = 4 II - Ь ^: П , = V у - Ь у, со = V м> + Ьки >

33 Л I !к ,к I к ¡к / , , к

где £2¡к, £2в , £2зз - компоненты тегоора деформаций в точке (а1, ос2, г); г\ = дк} -гЪ{

- символ Кронекера; С/*, м/ - компоненты вектора перемещения У-г1 и, + т №; у*, у - компоненты вектора поворота у — г1 у, + т у срединной поверхности оболочки; г - координата по нормали; Ъу, Ь, - ковариантные и смешанные компоненты второго метрического тензора; г, у, к = 1, 2.

Геометрические соотношения для трехмерного тела [16]

= (V,“ + V И.)/2 - Г*М ’

* •' у к

где /, у, к = 1, 2, 5; £ц - компоненты тензора деформаций; у - знак ковариантного дифференцирования; щ - компоненты вектора перемещения («/ = и, Щ- V, из = м).

Связь между интенсивностью напряжений <71 и интенсивностью деформаций £, принимается в виде [17]

0^=g(Si)Ei,

которая выполняется с достаточной точностью при простом нагружении или к нему близком. Здесь g(Ei)- положительная функция, характерная для рассматриваемого материала (секущий модуль кривой <71, £,).

Для вывода основных разрешающих уравнений используется вариационное уравнение

8\¥-8 А = О,

где 3 IV - вариация потенциальной энергии деформации элемента, ЗА- вариация работ внешних сил, действующих на элемент.

В двумерном случае: в каждом из прямоугольников области единичного квадрата решение представляется в виде Эрмитового кубического сплайна двух переменных. Для тонких оболочек, удовлетворяющих гипотезе Кирхгоффа-Лява, решение имеет вид:

и = Ср (в1) Ри ср (я2), V = ср (¿) ср (я2), М> = ср (81) Р„ ср (з^), а для оболочек средней толщины, удовлетворяющих гипотезе Тимошенко: и = ср (51) ср (¿), V = ср (я1) ср ($2), м/ = ср (я1) ^ ср (й2), £ = ср (¿) Рсз ср 4 =<р (з1) ^ ср (в2),

где ср (ь1), ср (ъ2) - векторы координатных функций; Ри , , Р„ , - матрицы узло-

вых значений компонент перемещений, первых и вторых смешанных производных.

Для случая трехмерного тела, решение в каждом рассматриваемом параллелепипеде Очк представляется в виде Эрмитового кубического сплайна трех переменных

и = а, м, + Д и,001 + и,010 + 8, и/00 + § ^ и/01 + £ и/10 + /,• и/11

V = а, V) + Д V?01 + у, V?10 + 8г V/00 + $ V °п + щ у/01 + $ у/10 + %, V,111 мг = a¡Wi + Д м>,001 + у м/,010 + 8г м>1100 + % м>/0У/ + щ ц>‘01 + \у,11П + # ^¡П,

где / = 1, 2, ..., 8 (по / суммируется); а, , Д, у, Ц* произведения коорди-

натных функций; «/'*, у‘л, - производные по соответствующим координатам.

Из вариационного уравнения Лагранжа и после ряда преобразований получается система алгебраических уравнений

[А] [и] = да

Здесь [U] - вектор неизвестных; [R] - вектор нагрузки и нелинейных составляющих; [А] -симметричная матрица жесткости системы ленточной структуры.

Разработанный метод СВ МКЭ реализован в виде программы для ЭВМ. На базе этой разработки были решены многочисленные практические задачи, некоторые из которых включены в [6, 8 - 12, 18, 24]. Вопросы сгущения сетки для схемы СВ МКЭ рассмотрены в работе [19]. Методика оценки долговечности тонкостенных конструкций, работающих в агрессивных средах, рассмотрена в работах [20 - 23,25].

ЛИТЕРАТУРА

1. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований. М.: Изд-во "АСВ", 2000. - 754 с.

2. Krivoshapko S.N. Geometry and strength of general helicoidal shells // Applied Mechanics Reviews (ASME), 1999. V. 52, № 5. - p. 161 -175.

3. Петухов Н.П. О некоторых подходах к расчету пластин и оболочек со сложным опорным контуром // Исследования по теории оболочек: Тр. семинара. Вып. 10. - Казань, КФТИ КФАН СССР, 1978. - с. 5 - 18.

4. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. М.: Издательство Университета дружбы народов, 1988. - 177 с.

5. Тонкостенные оболочечные конструкции. Теория, эксперимент и проектирование. Пер. с англ. М.: Машиностроение. 1980. - 607 с.

6. Якупов Н.М., Серазутдинов М.Н. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии. Казань: ИММ КНЦ РАН, 1993. - 206 с.

7. Якупов Н.М. О некоторых работах по расчету оболочек сложной геометрии // Исследования по теории оболочек: Труды семинара, вып.25. Казань, КФТИ КФАН СССР, 1990. - с. 43 - 55.

8. Якупов Н.М. Об одном методе расчета оболочек сложной геометрии // Исследования по теории оболочек. Труды семинара, вып. 17, Часть II. Казань, 1984. - с. 4 - 17.

9. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Онлайновый вариант метода конечных элементов для расчета оболочек сложной геометрии // Прикладная механика. - 1987. - Т. 23. - № 3. - с. 38 -44.

10. Якупов Н.М. Фрагмент оболочек сложной геометрии в тороидальной системе координат // Исслед. по теории оболочек. Труды семинара, ввп.21, Ч. I. Казань, 1988,- с. 130 -137.

11. Корнишин М.С., Якупов Н.М. К расчету оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе онлайнового варианта МКЭ // Прикладная механика. - 1989. -Т. 25. - № 8. - с. 53 - 60.

12. Якупов Н.М. Прикладные задачи механики упругих тонкостенных конструкций. Казань: ИММ КНЦ РАН, 1994. - 124 с.

13. Даутов Р.З. Оценка точности схем МКЭ на основе прямоугольных элементов с численным интегрированием для оболочек сложной геометрии Н Исследования по теории оболочек: Труды семинара, вып.27. - Казань, ИММ КНЦ РАН, 1992. - с. 22 - 36.

14. Гапимов КЗ. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Издательство Казанского университета, 1975. - 328 с.

15. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. Под ред. Галимова КЗ. Казань: Издательство Казанского университета, 1977. - 212 с.

16. Демидов С.П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979. - 432 с.

17. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник, том 1. Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. - 831 с.

18. Якупов Н.М. Прикладные задачи механики тонкостенных конструкций // Труды XVII Межд. конференции по теории оболочек и пластин. КГУ. Казань, 1996. - с. 213 - 216.

19. Даутов Р.З., Якупов Н.М. Локальное сгущение конечных элементов при расчете оболочек // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Численное моделирование физико-механических процессов. Межвузовский сборник. - М. 1997. - с. 88 - 91.

20. Якупов Н.М., Гатауллин И.Н., Хисматуллин Р.Н. Обследование, анализ прогнозирование долговечности строительных конструкций и рекомендации по их восстановлению. Методическое руководство. - Казань: ИММ РАН, 1996. - 208 с.

21. Гатауллин И.Н., Якупов Н.М. Определение состояния экспериментальных градирен // Расчет тонкостенных элементов конструкций химического машиностроения. Межвуз. сб. КГТУ. Казань, 1997. - с. 28 - 32.

22. Гатауллин И.Н., Якупов Н.М., Чайковский В.Г. САПР противокоррозионная защита и анализ работы конструкций, подверженных коррозионному износу // Вестник КГТУ, 1997, № 4. - с. 12 - 14.

23. Якупов Н.М., Галявиев Ш.Ш., Гатауллин И.Н. Обследование и анализ состояния крупногабаритных градирен СК-1200 II Актуальные проблемы механики оболочек. Труды Международной конференции, посвященной 100-летию проф. Х.М. Муштари, 90-летию проф. К.З. Галимова и 80-летию проф. М.С. Корнишина. Казань, 2000. - с. 472 - 477.

24. Якупов Н.М., Хисамов Р.З. Учет волокон в трехмерных элементах сложной геометрии // Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы. Тезисы докладов Международной научной конференции. М.: Изд-во РУДН, 2001. - с. 157 - 158.

25. Якупов Н.М., Галявиев Ш.Ш., Нуруллин Р.Г. Расчет строительных конструкций градирни с учетом пластических деформаций и вариант усиления градирни // Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы. Тезисы докладов Международной научной конференции. М.: Изд-во РУДН,2001.-с. 85-86.

METHOD OF TESTING TIGHT - DEFORMED STATE OF DESIGNS OF COMPOSITE GEOMETRY N.M. Yakupov, SH.SH. Galyaviev, R.Z. Hisamov

Lab of a nonlinear mechanics of shells Institute of mechanics and engineering of Kazan centre of seience of RAS Lobachevskogo St., 2/31, 420111 Kazan, Tatarstan, Russia

Methods and approaches, used at research of shells of composite geometry. Version of BEM for calculation of shells and three-demention bodies of composite geometry.

Hyx Махмудович Якупов родился в 1950 г., окончил в 1973 г. Казанский авиационный институт. Доктор техн. наук, зав. лабораторией Нелинейная механика оболочек ИММ КазНЦ РАН. Автор 84 научных работ, в том числе 4 книг, в области механики твердого тела и строительной механики.

N.M. Yakupov (b. 1950) graduated from Kazan air institute in 1973. DSc(Eng), the leader of lab "A nonlinear mechanics of shells". Author of 84 publications, including 4 books.

Шамиль Шайхиевич Галявиев родился в 1954 г., окончил в 1977 г. Казанский химико

- технологический институт. Главный механик АО "НКНХ". Автор 9 научных работ.

SH.SH. Galyaviev (b. 1954) graduated from Kazan chemical-technological institute in 1977. Main mechanicss the "NKNH". Author of 9 publications.

Ринат Замальтдинович Хисамов родился в 1974 г., окончил в 1997 г. Казанский государственный университет. Младший научный сотрудник лаборатории Нелинейная механика оболочек ИММ КазНЦ РАН. Автор 6 научных публикаций.

R.Z. Hisamov (b. 1974) graduated from Kazan state university in 1997. The low scientific employee. Author of 6 publications.