Локализация и определение параметров неоднородностей цепей с распределенными параметрами по результатам косвенных измерений в частотной области

Куроедов С.К., Шевяков Н.П. ЛОКАЛИЗАЦИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ЦЕПЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Задача поиска электрических неоднородностей цепей с распределенными параметрами имеет несколько вариантов, в том числе обнаружение, локализация, идентификация причин, вызвавших неоднородность [1]. Все эти задачи могут быть решены в случае, если известна достаточно полная априорная и апостериорная информация о параметрах цепи. Обнаружение может быть осуществлено путем анализа разности результатов прямых или косвенных измерений первичных параметров априорно однородной цепи и цепи с предполагаемой неоднородностью[2]. Превышение этой разности порогового значения, заданного условиями задачи, означает факт появления неоднородности. Для обнаружения неоднородностей динамического типа определяется разность между оценкой математического ожидания и текущими значениями измеряемых параметров[3]. Время анализа при оценке математического ожидания должно быть больше максимально возможного времени существования неоднородности. Локализация осуществляется путем измерения координат сосредоточенной неоднородности (расстояния от начала цепи с одномерным распределением параметров до места включения неоднородности). Для идентификации необходимо получить как можно более полную информацию о параметрах неоднородности, например, измерить эквивалентную емкость и проводимость сосредоточенной неоднородности при различных частотах или определить характер распределения первичных параметров цепи в той области, где локализована неоднородность распределенного типа.

Алгоритмы получения измерительной информации об исследуемой цепи могут быть разработаны и оптимизированы на основе результатов исследования модели процесса измерения, элементами которой являются модель объекта исследования и модель измерительного устройства. Модель цепи, в зависимости от выполнения условия квазистационарности для всей линии или для ее отдельных участков, может быть сосредоточенной или распределенной. Различают также макро- и микромодели, элементы которых описываются взаимно независимыми функциональными отношениями. При этом макромодель представляется одним элементом (одним функциональным отношением, связывающим переменные модели), а элементы микромодели различаются по уровню иерархии соответствующих переменных.

Схема, показанная на рис. 1, представляет двухполюсную макромодель сосредоточенного типа. Линейный стационарный вариант данной модели характеризуется составляющими g(ю) и Ъ(ю) комплексной проводимости (адмитанса) У(/О)= + /Ъ(ю) . Изменения Ag(ю) и АЪ(ю) данных

параметров, как функций частоты О , могут служить исходной информацией при обнаружении и

идентификации.

Для получения информации о и АЪ(ю) необходим многочастотный измеритель приращений

составляющих адмитанса. Задача локализации неоднородностей по результатам параметрической идентификации двухполюсной макромодели может быть решена на основе результатов исследования более сложной, многоэлементной микромодели, пример которой показан на рис. 2. В данном случае

одномерная цепь рассматривается как совокупность участков N , по отношению к которым должно

выполняться условие квазистационарности: Фе < -

2жМК

кУф

где

-

зерхняя граница значении частоты

воздействия,

/0 - общая геометрическая длина цепи, Уф - фазовая скорость, К - коэффициент,

определяемый точностью приближения частотных характеристик цепи (К > 1) .

МК

цепи с малыми потерями может быть осуществлена при условии &е <-----------------

Декомпозиция однородной где И и С -

Уі'С' '

погонные индуктивность и емкость.

Измерительный

преобразователь

Исследуемая цепь

^2 и-

СП

Рис. 1 Схема определения приращений параметров двухэлементной модели исследуемой цепи

Рис. 2 Схема подключения цепи, представленной многоэлементной моделью, к измерительному преобразователю приращения А1 комплексной

амплитуды тока

Определение места включения одной неоднородности с известным характером проводимости для многоэлементной модели может быть осуществлено по результатам измерения приращения АІ

комплексной амплитуды напряжения в линии И от номера п узла. Предположим, что адмитансы

поперечных элементов модели с априорно известным характером составляющих и комплексные

сопротивления (импедансы) ^, ... ,^ продольных элементов модели равны: Z1 = =... = ,

й + /оС1 = g2 + /оС2 = ... = gп + /оСп , где gvg2’ ... ^п и °С1,°С2, ... ,°Сп

- активные и реактивные

составляющие адмитансов поперечных элементов. При условии, что однородная цепь согласована на конце, комплексная амплитуда напряжения на произвольном поперечном элементе определяется так: ип = и ехр(—уп) , где и о - комплексная амплитуда напряжения на выводах цепи, у - комплексный

о

2і и

и

и

С

ё

С

С

ё

комплексной амплитуды тока /0 на выводах цепи при условии, что известен характер зависимости

коэффициент распространения, который характеризует изменение амплитуды и начальной фазы

г б

напряжения при изменении номера узла. Считая, что емкость неоднородности АСп < К. Сп+—п и

V О2

включение неоднородности не вносит больших изменений в зависимость И [п] = И , определяем

приращение комплексной амплитуды тока I0 : AI = ACnUo ехР

-an + j \~~пя

где

a и p

действительная и мнимая части у (коэффициент ослабления и коэффициент фазы соответственно). Отсюда можно определить номер узла, в котором включена неоднородность, и емкость данной неоднородности:

-Atp

p

\AI\

aU0e

В данных выражениях учитывается, что авИ = 0 (начальная фаза напряжения на выводах цепи равна

нулю) и А1= |А/|е/А^ ( |А/| и А^ - модуль и аргумент приращения комплексной амплитуды /0 ).

Используя выражения (1), можно осуществить не только обнаружение и идентификацию (по значениям АС , измеренным на нескольких частотах), но и локализацию неоднородности по расстоянию / = п/0 / N

Рассмотренный алгоритм может быть использован для цепей, неоднородных по пространственной координате, например при локализации неоднородностей проводных линий, коаксиальных волноводов и распределенных ЯС-структур Результаты косвенных измерений / на нескольких частотах должны совпадать, в противном случае гипотеза об одной неоднородности не применима. При этом необходимо видоизменить многоэлементную модель для того, чтобы она адекватно описывала цепь с несколькими неоднородностями.

Предположим, что в каждом узле модели, показанной на рис. 2, возможно включение неоднородности с параметрами АС . Определение данных параметров по результатам измерений приращений тока в начале линии на нескольких частотах предполагает решение системы линейных алгебраических уравнений. Такая задача в общем случае является некорректно поставленной из-за плохой обусловленности соответствующей системы уравнений, решение которой оказывается неустойчивым. Неустойчивость решения проявляется в том, что следствием сравнительно небольших погрешностей

измерений модуля и аргумента или действительной и мнимой частей А1 являются значительные отклонения конечных результатов, например значений АСп от истинных значений. Эти отклонения могут быть столь велики, что физическая интерпретация решения системы уравнений становится невозможной. К такому же результату приводит неадекватность модели исследуемой цепи. Поэтому

использование допущения о неизменности характера зависимости И [п] в данном случае невозможно.

Для определения влияния приращения АУп = у'юАС^ адмитанса ¥ поперечного элемента модели, подключенного к узлу п , на комплексную амплитуду /0 тока в начале цепи, воспользуемся теоремой о компенсации. Для этого заменим, как показано на рис. 3, п -й поперечный элемент источниками гармонического напряжения с комплексными амплитудами И и АИ . Изменение комплексной амплитуды тока в начале цепи, вызванное включением неоднородности в узле п , определяется выражением: А10п =АИп¥по , где, АИп - приращение комплексной амплитуды напряжения в точке п , У 0 - взаимная проводимость эквивалентного четырехполюсника 1. Изменение комплексной амплитуды напряжения АИп может быть найдено из выражений для приращения тока в п -м поперечном элементе:

А1п =

где Упп - сумма входных проводимостей эквивалентных четырехполюсников относительно узла п . Решая систему уравнений (2) относительно АИ , получаем

Y - Y

Рис. 3 Эквивалент цепи с приращением адмитанса продольного элемента подключенного к точке п Объединим (2) и (3):

Ип¥поА¥п А1оп = —^п—- .

Приращение комплексной амплитуды /0 тока в начале цепи на частоте О определяется суммой

п =

U

N 1/пТ У

а/0"=;стООИ^ ас,г .

п=1 ¥ пп ¥ п

Если измерения комплексной величины А1(г) произведены на различных частотах щ=щ,щ,".,ют , число

N N +1

т которых удовлетворяет неравенству т >— (при четном Ы) или т >------------------------ (при нечетном Ы), то из

2 2 (5) можно получить систему линейных алгебраических уравнений, решение которой соответствует

значениям АСп .

Аналогичным способом могут быть определены параметры и более сложных моделей неоднородностей, например, адмитансы АГп =Agn + ]юАСп . В этом случае выражение для приращения комплексной

амплитуды Iд тока в начале цепи запишется так:

N ТТ

А10') = 2 И ¥пАГп .

0 -^уО)_уО) п

п=1 1 пп 1 п

тт( Оу( О

п 1 п 0

Вводя обозначение а,„ =—-тт-7-7 , соответствующую систему уравнений можно представить в

¥

1 пп ¥ п

матричной форме:

[А10°] = К]-[АГп],

где [а0*)] = ^А1((1)...А1|зт)] , [А7п] = [АГ^.АГу] - матрицы-столбцы приращений комплексных амплитуд тока

в начале цепи и адмитансов поперечных элементов,

К ] =

а11 • ' a1N

_ат1 ' ' amN ]

матрица коэффициентов системы уравнений (6), Т

транспонирования матрицы. При т =N решение системы уравнений может быть записано так:

[АГп ] = К ]—1 'И0 ]

Другой метод решения - метод наименьших квадратов, может быть реализован для переопределенной

системы уравнений при т > N с помощью минимизации квадратичной (евклидовой) нормы ||[^]|| матрицы-

столбца [г] невязок

п=1

Полученная в результате минимизации ы =min система нормальных уравнений

АГп

О. ]* • [А10г) ] = к ]* • к ИАГп ],

где * - символ сопряжения (сочетания транспонирования и комплексного сопряжения) матрицы, может

быть решена следующим образом:

[А^п]* '[ап]]—1 '[ап]* •[А10')]

Структурная схема устройства, реализующего описанный алгоритм, показана на рис. 4, где использованы следующие обозначения: ^ - генератор гармонического сигнала И{ cos(oit + ^) с

амплитудой И , частотой щ и начальной фазой , Е - сумматор, ИЩ - измерительный преобразователь тока, к - его коэффициент передачи, УС - устройство частотной селекции гармонического сигнала с частотой щ, УО - устройство обработки результатов измерительного

преобразования приращения А1 (/) комплексной амплитуды тока в начале цепи на частоте щ , -

волновое сопротивление цепи. Алгоритм может быть реализован, если малые погрешности А(А1(/) ) при

измерительном преобразовании приращений А1(/) комплексной амплитуды тока не вызовут больших отклонений А(АГп ) в результатах обработки, что возможно при хорошей обусловленности системы

линейных алгебраических уравнений (7) или (10). Для оценки степени увеличения погрешности используется одно из чисел обусловленности матрицы коэффициентов, например системы уравнений (7):

НАШ<с^Га ] [А(А!“)1 ,12,

(АГп 1 -““1Ы ||[а1;°|  1121

где СОпА[а,п ] - число обусловленности матрицы \аш] , ||[а(а( " )]| • I |[А(А»;)]| - нормы матриц

погрешностей результатов измерительного преобразования (А!д г)) и обработки (АГп ) , |[А^0° | И ||[АГп I

Г = А10') — 2апАГп •

N

- нормы матриц ^А/^ и [АГ ] . Аналогичное выражение может быть записано и для оценки точности решения системы уравнений (10).

Оптимальный результат достигается в случае, если матрица ] коэффициентов системы уравнений (7) является унитарной:

К ]-К ]*=Е.

где E

единичная матрица. Матрица, сопряженная с унитарной матрицей, совпадает с обратной,

поэтому решение (8) при выполнении условия (13) не требующее обращения матрицы \аы] ,

запишется

[^ ]=к Г-И0 ] •

Подобным же образом может быть получено решение системы нормальных уравнений (10) в случае унитарной матрицы [а^] .

Условие соп(1[а/п ] = шт в случае цепи с малыми потерями выполняется, если ) — 2ж IN и щ-=ш§

. Для распределенной модели данное условие означает, что на кратных частотах воздействующего

2к

сигнала вдоль цепи укладывается четное число полуволн:

іа4їїс

При этом число

обусловленности матрицы [аш ] близко к единице и устройство обработки не вносит дополнительной

погрешности в общую погрешность измерения, так как погрешность определения параметров

неоднородностей приблизительно равна погрешности измерительного преобразования тока на входе

цепи.

Рис. 4 Структурная схема устройства для определения комплексной проводимости

ЛИТЕРАТУРА

1. Исследование объектов с помощью пикосекундных импульсов./ Под ред. Г.В. Глебовича - М.: Радио и связь, 1984.

2. Куроедов С.К. Мартяшин А.И. Формирование и обработка импульсных сигналов в системах

охранной сигнализации с проводными датчиками / / Технические средства периметральной охраны, комплексы охранной сигнализации и системы управления доступом: Сб. докл. Всероссийской науч.-

практ. конф. - Пенза: 1999, с.41 - 43.

3. Куроедов С.К., Мартяшин А.И. Использование случайных сигналов для измерительного

преобразования параметров рефлектометрических датчиков // Технические средства периметральной охраны, комплексы охранной сигнализации и системы управления доступом: Сб. докл. Всероссийской

науч.-практ. конф. - Пенза: 2004, с.33 - 36.