Метод определения длительности переходного процесса в -АЦП с однобитным -модулятором высокого порядка

ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И РАДИОТЕХНИКА

УДК 621.317.725

В. Н. Ашанин, Б. В. Чувыкин, Р. Г. Тер-Аракелян

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЕД-АЦП С ОДНОБИТНЫМ А -МОДУЛЯТОРОМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Аннотация. Рассматривается метод определения длительности переходного процесса в ЕД -АЦП с Д-модулятором высокого порядка, находящимся в режиме хаотических колебаний. Приводятся математические модели, уравнения для расчета переходных процессов, результаты исследования и рекомендации по выбору оптимальных параметров структуры.

Ключевые слова: аналого-цифровой преобразователь, Д-модулятор, метод численного моделирования, коэффициент передискретизации, переходный процесс, режим однократного измерения, цифровой фильтр-дециматор, хаотические колебания.

Abstract. The methodology of the duration identification of a transition process of ЕД -ADC with Д-modulator of high order is looked being been in the chaotic fluctuations mode. The mathematical models, the equations for the calculating transition process, the research results and the guidelines for the election of the optimal parameters of a structure are shown.

Keywords: analog-to-digital converter, Д-modulator, the method of numerical simulation, the coefficient of [perediskretizatsii], transient process, the regime of single measurement, digital filter-[detsimator], chaotic fluctuations.

Введение

В настоящее время динамические свойства ЕД -АЦП с Д-модуляторами высокого порядка достаточно хорошо изучены. В большинстве работ, посвященных их исследованию, основное внимание акцентируется прежде всего на установившихся режимах работы Д-модулятора, а начальная стадия исследуемого процесса (переходный процесс) считается несущественной. Это связано с тем, что в структуре ЕД -АЦП используются цифровые фильтры-дециматоры (ЦФД) с бесконечной импульсной характеристикой (цифровые БИХ-фильтры). Естественно, что их длительность значительно превышает длительность переходного процесса Д-модулятора, особенно при высоких значениях коэффициента передискретизации, которые необходимы для получения максимальной точности аналого-цифрового преобразования. Общее время переходного процесса ЕД -АЦП оценивают только по длительности импульсной характеристики ЦФД [1].

1. Постановка задачи

Рассмотрим варианты применения ЕД -АЦП, когда длительность импульсной характеристики ЦФД соизмерима с длительностью переходного процесса Л-модулятора высокого порядка. При этом возникает задача определения момента времени, когда переходный процесс в Л-модуляторе завершился с некоторой точностью и система достигла своего установившегося состояния. Сложность задачи определения момента окончания переходного процесса связана с тем, что выходной сигнал Л-модулятора представляет собой однобитный сигнал, среднее значение которого пропорционально входному аналоговому сигналу. Поэтому время окончания переходного процесса Л-модулятора можно определить только косвенно по усредненному сигналу на выходе ЦФД.

Но Л-модулятор представляет собой импульсную систему с нелинейной обратной связью и его переходный процесс носит нерегулярный, случайный характер, относящийся к классу процессов детерминированного хаоса. Поэтому оценка времени переходного процесса в ЕД -АЦП может быть получена только на основе ограниченной выборки входных сигналов и будет носить вероятностно-статистический характер.

Для Л-модуляторов первого и второго порядков установившееся состояние представляет собой периодические колебания. Это позволяет применить простой алгоритм для определения момента времени окончания переходного процесса с заданной точностью [1, 2]. Однако когда динамическая система находится в хаотическом режиме, что характерно для Л-модуляторов более высоких порядков, требуются другие подходы. Сложность определения момента времени окончания переходного процесса в динамической системе, которая находится в режиме хаотических колебаний, заключается в том, что число точек, принадлежащих предельному состоянию хаотического режима, оказывается бесконечным. В связи с этим возникают сложности с определением необходимого числа точек, по которым будет определяться длительность переходного процесса [2].

Задача определения длительности переходного процесса в ЕД -АЦП возникает в том случае, когда они используются в измерительном канале в режиме однократных измерений для множества первичных преобразователей, обладающих минимальным энергопотреблением. Снижение энергопотребления достигается в том числе и за счет использования Л-модуляторов высокого порядка (от третьего до пятого), что позволяет снизить тактовую частоту и порядок передаточной функции ЦФД. Но это приводит к уменьшению длительности импульсной характеристики ЦФД и увеличению длительности переходного процесса Л-модулятора, так что они становятся соизмеримы по времени. Таким образом, общее время аналого-цифрового преобразования в режиме однократного измерения будет складываться из времен выполняемых последовательно операций: задания нулевых начальных условий в интеграторах Л-модулятора, преобразования входного измерительного сигнала в однобитный выходной сигнал и его усреднения ЦФД, начиная с момента окончания переходного процесса в Л-модуляторе. Следовательно, для расчета минимального времени преобразования ЕД -АЦП в режиме однократного измерения необходимо определить время окончания переходного процесса на выходе Л-модулятора [3].

2. Структурно-алгоритмическая модель однобитного Л-модулятора

На рис. 1 представлена в общем виде структура Д-модулятора k-го порядка, состоящего из k последовательно включенных интеграторов, охваченных импульсной обратной связью с промежуточным аналого-цифровым (A/D) и цифроаналоговым (D/A) преобразованием сигнала обратной связи.

Рис. 1. Структурная схема А -модулятора ^го порядка, где Хь Х2, • • •, ^ -коэффициенты обратной связи первого, второго... ^го интеграторов; ^(п), U2(n), Uk(n) - выходные напряжения интеграторов

в конце п-го цикла преобразования

Соответствующая ей математическая модель (без учета процедуры квантования) приведена на рис. 2 в виде разомкнутой структуры, которая состоит из непрерывной части с передаточной функцией 1/pk, импульсного элемента, работающего с шагом дискретизации Tд, и цифровой части с передаточной функцией

1 + Y1z 1 +Y2z 2 +... + Ykz k

Рис. 2. Математическая модель А -модулятора ^го порядка в виде разомкнутой структуры

Без потери общности можно принять, что постоянные времени интеграторов равны единице. В этом случае при условии, что шаг дискретизации Tд = 1, коэффициенты передаточной функции цифровой части уь у2, ..., ук будут связаны с коэффициентами обратной связи Х2, ..., ^ системами уравнений £-го порядка, которые приведены в табл. 1 [4]. В общем случае для произвольного значения шага дискретизации Tд необходимо в формулах (табл. 1) выполнить процедуру денормализации коэффициентов Х2, ..., ^

путем замены А£ ^ TДkА.

Представляет интерес задача нахождения значений коэффициентов обратной связи ^1, Х2, ..., ^, для которых имеет место минимум длительности переходного процесса Л-модулятора.

Таблица 1

Коэффициенты передаточной функции цифровой части у1, у2, .,

1 У1 =1 —Л1

2  У1 = —2 Л1 нЛ2, У 2 = 1 н 1 Л1 — Л2

3  У1 = —3 +-Т Л1 +:т Л2 +Л3, 6 2 У 2 = 3 н -3- Л1 — 2Л3, У3 = —1 н— А1 — А2 н А3 6 1 2 2 3

4 У1 = —4 н Л1 н— А2 н— Л3 + Л4, 24 1 6 2 2 3 4 . 11, 3. 1. У2 = 6 н Л1 н А2 Л3 — 3Л4, 24 1 6 2 2 3 11 3 1 У3 = —4 н А1 н—А2 —А3 + 3Л4, 24 1 6 2 2 3 4 У4 = 1 н А1 А2 н А3 — Л4 . 24 1 6 2 2 3 4

5  У1 = _5 н А1 н А2 н— А3 н— А4 + А5, 120 1 24 2 6 3 2 4 5 26. 10. 2. . У2 = 10 н А1 н А2 н А3 —А4 — 4А«, 120 1 24 2 6 3 4 5 Уз = —10 н А1 + Л3 + 6Л5, 3 120 1 3 5 с 26 . 1 . 2. . . У4 = 5 н А1 Л2 н—А3 + А4 — 4Л5, 4 120 1 24 2 6 3 4 5 У 5 = —1 н А1 А2 н А3 Л4 + Л5 120 1 24 2 6 3 2 4 5

Очевидно, что идеальным решением данной задачи будет условие равенства нулю коэффициентов уь у2, ..., Yk передаточной функции цифровой части, что соответствует отсутствию итерационного характера переходного процесса, который будет заканчиваться за конечное число тактов. Количество тактов переходного процесса в этом случае будет определяться порядком нерекурсивной цифровой части передаточной функции, т.е. составлять k тактов. Значения коэффициентов обратной связи, при которых у1, у2, ..., у; равны нулю, приведены в табл. 2.

Таблица 2

Значения Хь Х2, ., А*, при которых у1 = у2 = ... = у; = 0

1 2

1 А1 = 1

2 3 Л = 1; = -1 2 2

Окончание табл. 2

1 2

3 ^1 = 1; ^2 = 2; Х3 = — 6

4 5 35 25 А, = 1; Я2 = А3 =А4 = — 1 2 2 3 12 4 12

5 А1 = 1; А2 = 6; А3 =—; А4 = —; А5 =— 1 2 2 3 4 4 12 5 60

Очевидно, что при оптимальных значениях коэффициентов обратной связи А4, Х2, ..., Хк общее время То переходного процесса в ЕД-АЦП с Д-модуляторами к-го порядка будет равно То = к + Т, где Т - длительность весовой функции ЦДФ. Однако, как показали исследования [4, 5], наличие нелинейной процедуры квантования в цепи обратной связи Д-модулятора приводит к его неустойчивости. Устойчивость его работы (ограниченность амплитуд £Л(п), и2(п), ..., ик(п) аналоговых интеграторов) достигается за счет выполнения ряда условий, в том числе и за счет уменьшения шага дискретизации Тд. Уменьшение шага дискретизации приводит к нарушению условия конечности длительности переходного процесса Д-модулятора, что иллюстрируется временными диаграммами переходных процессов Д-модулятора третьего порядка (рис. 3). Как видно из рис. 3, уменьшение шага дискретизации Тд приводит к значительному увеличению длительности переходного процесса Д-модулятора.

Рис. 3. Временные диаграммы переходного процесса Д-модулятора третьего порядка

В свою очередь уменьшение времени переходного процесса происходит за счет выбора шага дискретизации близким к единице, что приводит к уменьшению динамического диапазона входного сигнала из-за возникновения неограниченных по амплитуде колебаний в Д-модуляторе. Уменьшение динамического диапазона входного сигнала иллюстрируется временными диаграммами «вход-выход» (рис. 4) для ЪД -АЦП c Д-модулятором третьего порядка при двух значениях шага дискретизации, которые соответствуют минимальному (Тд = 0,5) и максимальному времени переходного процесса (Тд = 0,3). Из временных диаграмм видно, что в первом случае динамический диапазон для нормированной входной величины (Хтах = 1) составляет (0-0,62), а во втором - (0-0,88).

Рис. 4. Временные диаграммы работы 2Д -АЦП с Д-модулятором третьего порядка

Исходя из этого, поставлена задача исследования условий минимизации времени переходного процесса в ХД -АЦП с Д-модулятором высокого порядка при неоптимальных значениях шага дискретизации. Задача решалась путем проведения численного моделирования и нахождения эмпирических зависимостей для различных вариантов структурно-алгоритмических решений с целью выработки общих рекомендаций по уменьшению времени аналого-цифрового преобразования ХД -АЦП.

Для обеспечения идеальной линейности функции преобразования в структуре Д-модулятора используются как правило однобитные или 1,5-битные квантователи (преобразователи A/D и D/A). Для них функция преобразования выходной величины k-го интегратора Uk(n) в выходной сигнал обратной связи y(n) описывается функцией sign. Для однобитного преобразования

() • 1тт ()ч ^+U0, если ик(п) ^ 0, у(п) = 81§п (ик (п) ) = \ т т < 0

[-и0, если ик (п) < 0,

где ±Т0 - напряжение сигнала обратной связи.

Для 1,5-битного преобразования имеют место три состояния:

у( и) = 8І8П [ик (и) ) =

+ио, если ик(и) > ипор,

0, если | ик (и)|< ипор, -ио, если ик (и) < ипор,

где ип0р - значение напряжения порогового уровня.

Значение порога Т/пор выбирается из условия минимизации флуктуаци-онного шума квантования на выходе ЦФД. Так, для Д-модулятора третьего порядка с коэффициентами обратной связи в соответствии с табл. 3 оптимальное значение порога составляет тпор = 0,2т0, а для Д-модулятора четвертого порядка Т/пор = 0,16 Т0.

При условии, что входной сигнал х(п) постоянен в течение цикла измерения (х(п) = х0) и заданы начальные нулевые условия интеграторов (и1(0)=и2(0)=...=ик(0)=0), выходной сигнал у(п) Д-модулятора может быть описан в общем виде итерационным уравнением:

у

Для определения функции ^(у) составим систему разностных уравнений (к+1)-го порядка, описывающих состояние выходов интеграторов т1(п), т2(п), ., тк(п) и сигнала обратной связи у(п) для дискретных моментов времени ^ = пТд:

их(п + 1) = их(п) + Тд (хо -^! у (и)),

Т 2

и2 (и + 1) = и2 (и) + Тд (и (п) - X2у (и)) + ^2др(хо - Х1 у(и)),

Т2

из(и +1) = из(и) + Тд (и2 (и) - хз у (и)) + -^др(иі (и) - X 2 У (и)) +

Т 3

+ -тд-

Т2

ик (и + 1) = ик (и) + Тд (ик-1 (и) - X ку (и)) + ^ (ик-2 (и) - X к-1 у (и)) + ...

к

...+ (Хо -Х1 у(и)),

к!

у(и +1) = 8І8П {ик (и +1)).

Многоразрядный код К на выходе ХА -АЦП получается многократным усреднением выходного однобитного кода Л-модулятора цифровым фильтром нижних частот с конечной импульсной характеристикой в виде сплай-

на порядка d. Алгоритм его работы описывается следующей системой уравнений:

^ (п + 1) = ^(п) - Sl(n - Т1) + у (п),

S2

Sd(п +1) = Sd(п) - Sd(п - Т1) + Sd -1(пХ

где T1 - длительность базовой прямоугольной весовой функции (сплайн первого порядка). И принято S(у) = 0, если у < 0.

Многоразрядный код К на выходе ХА -АЦП формируется из выходного кода последнего сумматора в момент времени Т0 = d Т1 + Д Т:

К = Sd

где ДТ - дополнительная временная задержка, компенсирующая задержку,

связанную с переходным процессом в Д-модуляторе.

3. Описание метода

Сложность решения задачи определения длительности переходного процесса для Д-модулятора высокого порядка (к > 3) заключается в отсутствии аналитического решения нелинейного уравнения (1), описывающего в общем виде переходной процесс. Поэтому основным методом исследования является численное моделирование работы ХА -АЦП для выбранного ансамбля входных сигналов. Основной сложностью является то, что траектории движения состояния интеграторов в фазовом пространстве дискретного времени описываются уравнениями динамических систем, находящихся в режиме хаотических колебаний. В связи с этим возникают трудности с определением необходимого числа фазовых траекторий, по которым будет определяться длительность переходного процесса, поскольку число траекторий оказывается чрезвычайно большим и зависит от точности, с которой необходимо определить длительность переходного процесса. Простой метод перебора вариантов сталкивается со значительными вычислительными трудностями.

Предлагается метод косвенного определения времени переходного процесса в ХА -АЦП, основанный на предположении о подобии характера переходного процесса в однобитном Д-модуляторе и Д-модуляторе без операции квантования (линейная модель). Для оценки времени переходного процесса методом численного моделирования рассчитывались (уравнения (2), (3)) переходные процессы при множестве различных уровней входного сигнала для варианта Д-модулятора с квантованием и варианта Д-модулятора без процедуры квантования. Было установлено, что длительности переходных процессов в однобитном Д-модуляторе и Д-модуляторе без операции квантования совпадают с точностью до порядка. Это иллюстрируется на примере переходного процесса для Д-модулятора третьего порядка (Тд = 0,3, d = 3, Т = 92).

Из рис. 5 видно, что переходный процесс в Д-модуляторе без квантования устанавливается с точностью 10-5 за 284 такта. За это же время устанавливается переходной процесс в Д-модуляторе с однобитным квантованием, если считать, что уровень флуктауационного шума составляет ±10-5.

Поскольку длительность весовой функции ЦФД в данном случае составляет 276 тактов ^ = 3, Т1 = 92 в формуле (3)), то искомая дополнительная задержка Д Т = 8.

Рис. 5. Временная диаграмма установления выходного сигнала ХА -АЦП

Были проведены исследования с целью определения минимального времени дополнительной задержки ЛТ для различных вариантов порядка Л-модулятора и порядка передаточной функции ЦДФ, реализующего сплайно-вую весовую функцию. Установлено, что минимальное время дополнительной задержки ЛТ для уровня флуктуационного шума в интервале 1о-3-1о-5 равно 5-Ю тактов для Тд = о,45 и ё = 3-4.

Этот результат противоречит исходному положению о том, что неоптимальное значение Тд (Тд < 1) приводит к существенному увеличению дли-

тельности переходного процесса Д-модулятора (см. рис. 3) и, как следствие, к увеличению общего времени преобразования. Результаты численного моделирования показывают, что реальное время задержки практически совпадает с минимально возможным. В случае с Д-модулятором третьего порядка эта задержка составляет три такта. Анализ показал, что кажущееся противоречие полученных результатов объясняется двумя факторами:

- сплайновая весовая функция ЦДФ имеет минимальные веса коэффициентов в начале и в конце интервала суммирования;

- переходный процесс носит колебательный характер с экспоненциальным затуханием.

Первый фактор снижает эффект задержки выходной реакции Д-модуля-тора, а второй увеличивает конечную сумму за счет перерегулирования (затухающего колебательного характера переходного процесса Д-модулятора).

Поскольку оба процесса в конечном итоге увеличивают выходной код по отношению к установившемуся режиму, то существует оптимальное значение Тд, для которого результат компенсации максимален. Значение Тд может быть получено путем последовательного расчета времени переходного процесса по данной методике для различных значений Тд в диапазоне 0,2-0,5. В качестве примера (рис. 6) приведены результаты численного расчета зависимости среднеквадратической погрешности аналого-цифрового преобразования ХА -АЦП в режиме однократного измерения от длительности цикла измерения. Нулевой отсчет времени соответствует моменту времени окончания переходного процесса в ЦДФ. Как видно из рис. 6, переходный процесс достигает уровня флуктационных шумов в момент времени, который соответствует задержке на 4-5 тактов. Это подтверждает справедливость приведенных выше рассуждений.

6.500Е-4 6.000Е-4 5.500Е-4 Б.ОООЕ-4 4.500Е-4 4,ОООЕ-4 3.500Е-4 3,ОООЕ-4 2.500Е-4 2.000Е-4 1.500Е-4 1.000Е-4 5,МНЕ-5 О

-5 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Рис. 6. Зависимость среднеквадратической погрешности преобразования ХА -АЦП, работающего в режиме однократного измерения, от длительности цикла измерения

Заключение

Предложенный метод определения момента времени окончания переходного процесса в ХД -АЦП в режиме однократного измерения, основанный на предположении о подобии характера переходного процесса в однобитном Л-модуляторе и Д-модуляторе без операции квантования, дает высокую точность нахождения значения шага дискретизации Тд, при котором результат компенсации дополнительной задержки максимален.

Список литературы

1. Schreier, R. Understanding delta-sigma data converters / R. Schreier, G. C. Temes. -New Jersey : IEEE Press, 2005. - 446 p.

2. Короновский, А. А. Методика определения длительности переходного процесса для динамических систем, находящихся в режиме хаотических колебаний / А. А. Короновский, А. В. Стародубов, А. Е. Храмов // Письма в ЖТФ. - 2003. -Т. 29. - Вып. 8. - С. 32-40.

3. Ашанин, В. Н. Особенности оценки погрешности измерения преобразователей информации с передискретизацией сигнала / В. Н. Ашанин, Б. В. Чувыкин // Современные информационные технологии : сб. статей международной НТК. -Пенза : ПГТА, 2009. - Вып. 10. - С. 10-11.

4. Ашанин, В. Н. ЕД-аналого-цифровые преобразователи: основы теории и проектирование : монография / В. Н. Ашанин, Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов. - Пенза : Информационно-издательский центр ПенГУ, 2009. -188 с.

5. Чувыкин, Б. В. ЕД-АЦП: анализ погрешности от краевых эффектов / Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов, В. Н. Ашанин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2007. - № 3. - С. 80-90.

Ашанин Василий Николаевич

кандидат технических наук, профессор, заведующий кафедрой электротехники и транспортного электрооборудования, Пензенский государственный университет

E-mail: eltech@pnzgu.ru

Чувыкин Борис Викторович

доктор технических наук, профессор, кафедра информационных вычислительных систем, Пензенский государственный университет

E-mail: Chuvykin_BV@mail.ru

Тер-Аракелян Руслан Геворкович

аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: rt-a@mail.ru

Ashanin Vasily Nikolaevich Candidate of engineering sciences, professor, head of sub-department of electrical engineering and transport electrical equipment, Penza State University

Chuvykin Boris Viktorovich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of information computer systems, Penza State University

Ter-Arakelyan Ruslan Gevorkovich Postgraduate student,

Penza State University

УДК 621.31l.l25 Ашанин, В. Н.

Метод определения длительности переходного процесса в LA -АЦП с однобитным A -модулятором высокого порядка I В. Н. Ашанин, Б. В. Чувыкин, Р. Г. Тер-Аракелян II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. - № 3 (15). - С. l0-81.