Гельдеровские классы решений параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени с переменными условиями склеивания

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2014. Том 21, №2

УДК 517.956.4

ГЁЛЬДЕРОВСКИЕ КЛАССЫ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ С ПЕРЕМЕННЫМИ УСЛОВИЯМИ СКЛЕИВАНИЯ С. В. Попов

Аннотация. Устанавливается разрешимость краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими переменные коэффициенты по Ь € [0,Т]. Устанавливается разрешимость краевых задач в пространствах Гельдера. Показано, что гёльдеровские классы их решений зависят как от знаков коэффициентов условий склеивания (включая концы интервала [0,Т]), так и от нецелого показателя пространства Гельдера.

Ключевые слова: разрешимость, краевая задача, параболическое уравнение с меняющимся направлением времени, условия склеивания, система сингулярных уравнений, пространство Гельдера.

Введение

В работе рассматриваются краевые задачи для параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени в пространствах Гельдера, содержащими переменные коэффициенты в условиях склеивания. Случай постоянных коэффициентов в условиях склеивания рассматривался в [1], а случай переменных коэффициентов в условиях склеивания, но для уравнений второго порядка — в [2].

Цель настоящей работы — показать, что гёльдеровские классы решений параболических уравнений переменного направления времени с общими условиями склеивания также существенно зависят от нецелого показателя Гельдера и индекса соответствующей задачи Римана. Изучение поставленной краевой задачи связано с применением теории сингулярных интегральных уравнений [3-7].

1. Постановка задачи

В области Q+ = М+ х (0, Т) рассмотрим систему уравнений

и\=Ьч\ -и2 = Ьи2

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2014—2016 гг. (проект №3047).

© 2014 Попов С. В.

В пространстве Гельдера [8, 9] НХ'р/4, Р = 41 + 7, 0 < 7 < 1, ищется решение системы уравнений (1), удовлетворяющее начальным условиям

и1

и условиям склеивания

дки1, ч , ч дки2, ч ,

где 1 > 1 — целое число, ^1(ж), (ж), о"к(г) — заданные функции, определенные

при ж е м, г е [0,Т].

2. Исследование разрешимости краевой задачи

Будем предполагать, что ^¿(ж) е НР(М) (г = 1, 2). Тогда функции

к к

являются решениями уравнения (1), удовлетворяющими условиям (2) в М. Будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (1):

и1 (ж

о о

т т

и2

где Щ (г = 0,1, 2) — фундаментальное и элементарные решения Б. Пини [10,11].

В силу общих результатов [8,9] плотности ак, вк (к = 0,1) должны принадлежать пространству Нд(0,Т) (д = ), причем

ак8)

Из условий склеивания (3) получим систему интегральных уравнений с операторами Абеля относительно ак (г), в к (г):

I тг1^ <*т - / ¿г + с1х(0, *) + ^(^(0, = о,

г о

= / М1ЬМ1) + а2(1)ш2хх(0,1),

| (а0(£) + оз(£)/30(£)) + Ш1ХХХ + 0-3(г)ш2ххх = 0.

г

г

Для удобства записи будем считать, что Т = 1 и оо, <Г1, — заданные постоянные. Тогда из уравнений (6) при помощи формул обращения оператора Абеля [5] получим эквивалентную систему сингулярных интегральных уравнений

Г /т\3/4/30(т)+/31(т) , _ А г Ф0(т) , 1г J \(/ т—Ъ аТ ~ М J (4-т)З/4 "т>

оо

1

«1 (*) + ^ / (т)1/2¿т = I ^ г1т,

оо

>/2

I * = -£} ^ От,

оо

а0(*) + =

где

Ь (*) =

д7

д7 ш1

- -^тМ и = 0,1,2, 3).

тгГ(^) ^ дхЗ дя^'

Введем обозначения

(¿-т)!

(»+1)с

й /-Ф^т) - ФГ

(* - т)1

йт,

й ГФ^

йт

(г = 0,...,1 - 1, .7 = 1, 2).

Так как [5] Ф^1 € 0,1),  = 1 + ^, функции .Р^1 (Г) (к = 0,1, 2, 3) принадлежат пространству Н(1+^)/4(0,1), причем (£) = 0(£(1+т)/4) для малых I.

Докажем существование решений аг, вг системы уравнений (7) из пространства Н9 (д = (р - 3)/4, р = 41 + 7, 0 <7< 1), удовлетворяющих условиям (5).

Предположим, что функции аг, вг принадлежат искомому пространству. Тогда из второго и четвертого уравнений системы (7) следует, что для того чтобы аг(0) = 0, необходимо и достаточно, чтобы

1

_£1 Г 1ф1

7Г ] Т2 2 2

О

Из первого и третьего уравнений системы (7) следует выполнение условий

оо [ во

¿т=-Ф„(0),

02 Г во

йт = -Ф2

4

4

п

т 4

т4

При выполнении условий (8), (9) систему уравнений (7) можно переписать так:

1

| (1)1/4М11±М1) ¿т = 4Фд(0)£1/4 + о

1

о

у/2

о

ао(г) + ^э(г)во(г) - ^з(0)во(0) = ^о(г).

Положим

в1

^о

^У (1 - т)1/2т о

4т--С°(0).

Это условие эквивалентно условию в1 (1) = 0.

Введем в системе (10) новые искомые функции вi(г) = вг(г) — вг(0)(1 — г) (г = 0, 1). Тогда (10) представим в виде

^(аоЦ) + агЦ)) + <т0{Ш + Ш) ~ ^ I ¿т

о

= 4Ф(,(0)^4 + рощ _ !§^03о(О) + /31(0))^( -|,1, |; ф1'*

а1Ц) + ^ / ¿т = рощ + -1,1,§;

о

^(аоЦ) - аМ) - а2ф0Ц) - Ш) ~ ^ / {^"Щ^Л ¿т

о

= т) - ^(А>(0) - Ш)Р{ !; ^3/4, ао(г) + ^з(г)в?о(г) = ^з(г)во (0)г - во(0)Ь(г) - *з(0)] + ^о(г).

Если 1 > 1, то продифференцируем полученную систему уравнений (11). Имея в виду формулу [12]

А

М

[^(а, 6, с; г)гс-1] = (с - 1)гс-2^(а, 6, с - 1; г),

1

1

получим

«~3/4о~о г М.т)+ЫТ) ,

Атт о т

Т74

(т—тг (Но Т

о

7Г (¿¿Л

о

Ф>0№-3/4+щт1/4 + F0l

г-172 ^

1

I-

/91

2-7Г Л т1/2

о

йт +

А Г Р1

7Г (Й Л т 1 /2 ("Г —

1

/91

йт

= ±Ф!(ог1/2 + + -11,

1

г-1'4^ I Мт)-Мт) Лт =

374 п

4-7Г J тЗ/4

о

£ j /9о

7Г

о

йт

= -Ф^О)*-1/4 + - ^С8о

0,

-1<

2

Из второго и четвертого уравнений системы (13) следует, что для того чтобы а^(0) = 0, необходимо и достаточно, чтобы

^ ^ = 4^(0)+^(0),

о

^з(0К(0) +4(0)во(0) = ЫШ*))Ъ=0 = |Фз(0).

Из остальных уравнений системы (13) следует выполнение условий

0

1

°2/

/30

т5/4

/9о

т7/4

йт

16^0

(во(0)+ в1(0)) - 4пФо(0),

¿г = ^(Д)(0) - >01(0)) +

Систему уравнений (13) при выполнении условий (14), (15) и вг(1) = 0 (г = 0, 1, 2) можно переписать в виде

у/2(а'0Ю + аШ + *0Ш) + РШ ~ ^ I (т

П О УтУ

о

= 4Фо'(0)41/4 + о

- аШ - °2

/ (¿)3/4М1ЬМ1) Лт = о

0.(*) + М*)во(*))' - (03(¿)во(4))'|4=о =

йт

з

т-г

Уравнения (16) имеют точно такой же вид, как уравнения (10). Легко убедиться, что при выполнении условий

о

М*)/Ш)(8+1)1*=0 = ^+1)(0), /3|8)(1) = 0,

°0 .) т5/4

о

= 4^о(вов)(0)+ в|8)(0)) - 4пфо8+1)(0),

о т

ч в = 1,...,1 - 2,

получим систему уравнений

I*г = 4Ф«(о)^ +

0

«Г1^) + ^ } йт =

о

1

о

ао1-1)(г) + (^з(г)во(г))(г-1) - (0з(г)во(г))('-1)|г=о = ^-1(г),

где

1

М8)

П J (1 - т)1/2т 01

о

Заметим, что, как и выше, условия (19) эквивалентны тому, что в(8)(1) = 0 при в = 1,...,1 - 1.

В системе (18) введем новую искомую функцию в( 1)(г) = в( 1) (г) -вг(1-1)(0)(1 - г). Получим уравнения вида (11). Так как а(1-1), в|'-1) е Н (1+^)/4, из первого уравнения полученной системы уравнений следует, что необходимо выполнение условия

/ ¿г = +М'-1)

о

Тогда при выполнении (20) придем к системе уравнений

V2

J dr = Fl-\t), 0

«MW + ^ f dr = Fl-\t),

о

v^-1^) - at1]

3/4, _ pi-1.

0

где функции

= - + (0))[^(-3/4,1, 5/4; t) - l]^4,

n

= - m+m + o)|+

(0)(^э(0) - ^(t)) + Fg (t),

i-i

P (t) = E Ck- i (t)e0i- 1 -k) (t) k=1

принадлежат пространству iJ^+f)/4, причем Fj (t) = 0(t ^ ) (j = 0,1,2,3) для малых t.

Перейдем к доказательству существования функций a(1 11 (t), в!' 1)1 (t) из пространства H(0,1) в полученной системе уравнений (21).

Исключая a(1 11 (t) в (21), получим систему сингулярных уравнений

1

-l- f dT=ш

П J Т - t

0

где

m = (Pt1](t)^t1](t)), A=(^-T2-2V2a3 (t) a0 + a2\

V + 02 0Q - 02/

Q

Систему сингулярных уравнений (22) можно переписать так:

1 1

кр = А0

п у т - г п }

оо

где

в = ва,1) = (ао + Г72 V ма,т) = в~в{г'т).

у ' V 0о - 02 0о + 02 + 2л/201 ) к ' т - г

Для того чтобы выделить характеристическую часть оператора К, перепишем систему сингулярных уравнений (23) в виде

скД = с<э

где

С _ ( 0о + 02 + 2А/2(Т1 (Т2 - (Т0

02 - 0о 0о + 02

С А = 2 А/2 Г ^01-0О0зИ-020З

CB = 2V2(aoai+(7l(72 + ^(7o(72 ^ ^

\ 0 <T0<Tl + (Tl(T2 + А/2(Т0(Т2 J '

+ 20о02 0

о

0 0о 01 + 01 02

с = 0о01 + 0102 + ^2о-О02 ф о.

Пользуясь формулой перестановки Пуанкаре — Бертрана [3,4,7], выделим характеристическую часть Ко оператора СК системы уравнений (24):

1

К°/3 ЕЕ аЦШ) -^/^¿т,

п 7 т - г о

где

a(t) = £7О0-1 + 0О0з(^) + 0102 + 2А/20О02 - 020з(i), 6(i) = 0003(i) + 0203 + 0102 + 2A/20i02 - 0001-Полученную систему сингулярных уравнений

= G, G =

будем решать в классе функций, ограниченных на концах отрезка (0,1). Для этого введем кусочно-голоморфную функцию

1

о

Отметим, что

1

<7i(i) = -[С2Ш -спй] - 1 / C2l(T)~C2l(tW)rfT c ж J т — t

о

11 1

П.) J (Т1 — т)(т — t) П J т — t

о о о

где

11 1

= 42^) + - 7-Г7-77 ¿тйъ + - / -7

пу у (т1 - т)(т - г) ^у т - г

о о о

(91(^,92(4))=^-- / М(г,т)0(т) ¿т.

сг.,- — коэффициенты матрицы СА. Тогда система (26) примет вид

Ф +

а{г)-Ъ{€)1

Ф +(г) = Ф-(г),

ф -(г) +

1(€)-Ь(€)г

0 < г < 1, г < 0, г > 1.

Решения уравнений (26) эквивалентны решению задачи Римана (27) при дополнительном условии Ф(то) = 0. Отметим, что

а

с(г) =

а

1п с

2гагё(|а(г)| + г|Ь(г)|) = 2пг0, а(г)6(г) > 0, 2г агё(|а(г)| - г|Ь(г)|) = -2пг0, а(г)6(г) < 0,

где

0(4) = — arctg

ь

11

---arctg

2 П

а

ь

Введем обозначение ¿(г) = а(г)6(г).

Всего могут представиться 4 различных случая: 1) ¿(0), ¿(1) обе положительны; 2) ¿(0), ¿(1) обе отрицательны; 3) ¿(0) положительна, ¿(1) отрицательна; 4) ¿(0) отрицательна, ¿(1) положительна.

В случаях 1 и 2 считаем, что функция ¿(г) не меняет знака при г е (0, 1), а в случаях 3 и 4 ¿(г) меняет знак лишь в одной точке го е (0, 1).

Введем обозначения 01 = 0(0), 02 = 0(1). Тогда в указанном выше классе каноническая функция в случае 1 равна

Х(г) = гехр I [ Ат 1 = г^Нг - 1)в2со2(г), х = -1,

\{Т~2 )

в случае 2 —

Х{г) = (г - 1)ехр | - J

¿т

гв1 (г - 1)1-в2^(г), к = -1,

а-в-

в случае 3

¿0 1 - т) Г 0

Х(г) = г(г - 1) ехр | J ¿т - J

¿т

= (г

1 (г - 1)1-в2(г - го)ш4(г), к = -2,

1

и

т — г

т — г

в случае 4 —

(*о 1 \

о *о /

Согласно общей теории [3,4] решение (26) имеет вид

Ф

где

1

= Г_^^_

^ 2тгг .] (а - 1Ъ)Х+(т)(т - г)'

0

При этом в случаях 1, 2 и 4 (к = -1) решение существует при выполнении дополнительного условия

1

г а

Х

¿т = 0,

о

а в случае 3 (к = -2) — при выполнении дополнительных условий

а(т) к

} Х

о

тк ¿т = 0

Тогда решение сингулярного интегрального уравнения (26) имеет вид

1

а(г)а(г) ь(г)я(г) г а(т) ¿т

в

а2(г) + ь2(г) п(а2(г) + ь2(г)) о я(т)(т -г)' (31) я(г) = (а(г) - гб(г))х+ (г) = (а(г) + 2&(г))х-(г).

Подставляя в (31) значения С?(г), приходим к системе уравнений Фредголь-

ма

? + К = <3*,

где

1

К*кр= 1 J КЦ,тЩт) ¿т. о

Любые ограниченные и интегрируемые решения систем уравнений Фредголь-ма (32), очевидно, принадлежат пространству Гельдера во всех точках контура (0,1), отличных от концов. В самом деле, функции <*(г) будут, очевидно, удовлетворять условию Гельдера во всех точках контура (0,1), отличных от концов. Функция N (г, т) имеет интегрируемые особенности при г = т во всех точках контура (0,1), отличных от концов. В силу соответствующих теорем поведения интегралов типа Коши на концах контура интегрирования [3-5], легко вывести, что N (г, т), <? *(г) на концах 0, 1 будут вести себя как гв1 (1 - г)в2, где

61 = шш{0ь 1 - 01}, 02 = шш{02,1 - 02}.

1

В силу леммы о принадлежности классу Гельдера интеграла типа Коши на концах контура интегрирования (см. [4,5]) при выполнении неравенства

1+ ^ ~ ~ Г1-1-1 - 1

^ 7 <тт{в1,в2} = тт\--в1,--в2\, вк <

4 ^ ^ [2 2 J 4

получим, что решения уравнений Фредгольма (32) принадлежат пространству

(0,1) и обращаются в нуль на концах 0,1 порядка . Кроме того, во втором и первом случаях решения уравнений Фредгольма (32) удовлетворяют условию Гёльдера с показателем ^ — 0& при 1 — 40* < 7 < 1 и условию Гёльдера с показателем ^ — 0* — е при 7=1 — 40* (к = 1,2) соответственно.

В случае 4 решения (32) удовлетворяют условию Гельдера с показателем i — min{(9i, в2} при 1—4 min{0i, в2} < 7 < 1 и условию Гёльдера с показателем i — min{(9i, в2} — е при 7=1—4 min{0i, в2}.

Таким образом, при выполнении условий (8), (9), (14), (15), (17), (20) си-

стема уравнений (32) эквивалентна исходной системе уравнений (6). При этом отметим выполнение условий

ЫтоШз)\г=о = \ф{/>(0), М8)( 1) = 0 (я = 0,1,..., I -1), Д(г_1)(1) = 0.

Разрешимость системы уравнений Фредгольма (32) следует из единственности решения основной задачи (1)—(3) (о* выбраны так, чтобы задача имела единственное решение) и однозначности представления решения через потенциалы. Значения функций (4) определяются по формуле Тейлора

+ _ Jit-ry-^F-*{T)dr (s = 0,...,1-2).

1-2

\k-sy: 1 (г-2-в)!

0

в

Тогда для выполнения условий в0в)(1) = 0 при в = 0,..., I — 2 необходимо и достаточно, чтобы

_ ^ д

О

Подставляя значения функций (4) в условия (8), (9), (14), (15), (17), (20), (29), (30), получим условия разрешимости задачи (1)—(3) в пространстве НХ'р/4(^+). Эти условия обозначим так:

¿я

Итак, доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть <^,<^2 € Нр (р = 41 + 7), 03(4) € С 1-1([0,Т]) и ¿(4) имеет постоянный знак при 4 € [0,Т] или ¿(0) < 0, ¿(Т) > 0 и ¿(4) меняет знак в одной точке. Тогда при выполнении 41 условий (35) существует единственное удовлетворяющее условиям (2), (3) решение уравнения (1) из пространства

1) Н'?/4, если 0 < 7 < 1 — 4(9&;

2) Н')?/4, д = 41 + 1 — 46*, если 1 — 40* < 7 < 1;

3) Нх е)/4, если 7 =1 — 40к, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

у/

Здесь

9i = — arctg п

г(0), 1-1

1 < -, 02 = - arctg

<Т)\<1

b(T V 4'

6(0)' 4' п

a(í) = £7О0-1 + 0o03(í) + 0102 + 2А/2(Т0(Т2 - (Т2(Тз(i), b(t) = <т0<т3(i) + (Т2(Тз + (Ti(T2 + 2а/2<Т1<г2 - 0o0i, ¿(í) = a(t)b(t).

Теорема 2. Пусть G Hp (p = 41 + 7), 03 (t) G C 1-1([0,T]) и ¿(0) > 0,

¿(T) < 0 и ¿(t) меняет знак в одной точке. Тогда при выполнении 41 + 2 условий вида (35) существует единственное удовлетворяющее условиям (2), (3) решение уравнения (1) из пространства HX'p/4(Q+).

Замечание 1. Если выполнены условия теоремы при > j, то, как показано в [13, 2], единственное решение задачи (1)—(3) существует в пространстве HX,p/4 при выполнении 61 + 2 условий вида (35).

Замечание 2. Полученные решения краевых задач (1)—(3) в теоремах 1 и 2 зависят от индекса к краевой задачи Римана (27) при условии, что функция 03 (t) меняет знак в произвольном количестве точек при t G [0,T].

Пример 1. Для системы уравнений (1) с начальными условиями (2) рассмотрим условия склеивания (3) при 00 = 1, 01 = 1, 02 = -1, 03 = -1. В этом случае система сингулярных уравнений (26) имеет вид

-2

п J т - t 0

9 = i arctg 1 = j, и единственное решение исходной задачи существует при выполнении 61 + 2 условий вида (35).

Пример 2. Для системы уравнений (1) с начальными условиями (2) рассмотрим условия склеивания (3) при 00 = ^,0*1= 2, 02 = 03 = 2. В этом случае система сингулярных уравнений (26) имеет вид

2

п J т - t 0

в = arctg ~ 0, 064 < 0, 25, мы находимся в условиях доказанной тео-

ремы и единственное решение исходной задачи существует при выполнении 41 условий (35).

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов С. В. О гладкости решений параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции // Докл. АН. 2005. Т. 400, № 1. С. 29-31.

2. Попов С. В., Ткаченко Л. Ю. Исследование контактных параболических краевых задач в гельдеровских пространствах // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 1. С. 27-35.

3. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

4. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

5. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

6. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

T. Векуа H. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. M.: Наука, 1968.

8. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева H. H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. M.: Наука, 1967.

9. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

10. Pini B. Sul problema fondamentale di valori al contorno per una classe di equazioni paraboliche lineari // Ann. Mat. Pura Appl. 1957. V. 43. P. 261-297.

11. Pini B. Su una equazione paraboliche non lineare del quarto ordine // Rend. Sem. Fac. Sci., Univ. Cagliari. 1957. V. 27, N 3-4. P. 136-168.

12. Смирнов M. M. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. школа, 1985.

13. Попов С. В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени высокого порядка / Ред. Сиб. мат. журн. Новосибирск, 1988. 56 с. Деп. в ВИНИТИ 07.12.88, № 8646-Б88.

Статья поступила 23 июня 2014 г. Попов Сергей Вячеславович

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 madu@ysu.ru