Некоторые свойства релаксаций разрезного многогранника

УДК 519.1

В.А. Бондаренко, А.В. Николаев

Некоторые свойства релаксаций разрезного многогранника

Исследуется связь между классом гиперграфов специального вида и свойствами точек релаксаций Mn к разрезного многогранника. Устанавливается, что при достаточно больших П в многограннике Mn 4 имеются точки, в любом разложении которых по вершинам многогранника Mn 3 нет ни одной целой вершины.

Ключевые слова: гиперграфы, релаксации разрезного многогранника, корневой полуметрический многогранник, распознавание целочисленности.

V.A. Bondarenko, A.V. Nikolaev

Some Properties of Cut Polytope Relaxations

The topic of the research is the relationship between the class of hypergraphs of a special type and properties of the points of the cut polytope relaxations Jtf ^  It has been established that for sufficiently large n in M ^ polytope there are points in any

expansion of which in a convex combination of M 3 vertices, there are no integer vertices.

Key words: hypergraphs, cut polytope relaxations, rooted semimetric polytope, integrity recognition. Рассмотрим множество 3-однородных смешанных гиперграфов [6] вида G = (V, E, A), где

• V - множество вершин, V = Nn = {1,..., n};

• E - множество неориентированных ребер, E = {(i, j, к)} С Nn X Nn X Nn;

• A - множество ориентированных ребер, A = {((i, j),к)} С Nn X Nn X Nn, где пара вершин (i, j ) - начало ребра, вершина к - конец ребра.

Введем операцию инвертирования i — той вершины гиперграфа G = (V, E, A), которая преобразует все ребра, инцидентные этой вершине, следующим образом:

0; j,к) ^((j,к хi), ((л к Xi) ^ (U л к X ((i, j), к) ^ ((i, к), j).

Результатом операции инвертирования является новый 3-однородный смешанный гиперграф

G = Invfi = (V, E', A).

Аналогично определим операцию инвертирования подмножества вершин гиперграфа G, так что

Invi j ,к (G ) = Invi(Invj (Invh (G))).

Введем класс Gj гиперграфов G = (V, E, A), для которых множество неориентированных ребер E непусто и остается непустым при всех возможных инверсиях. Таким образом:

G =(V,E,A) e GI : mVw (G) e Gi .

Рассмотрим сужение задачи 3-выполнимость (3-SAT), а именно: задачу монотонная 3-выполнимость при различных литералах (monotone not-all-equal 3-SAT, MNAE 3-SAT) [4].

© Бондаренко В.А., Николаев А.В., 2011

Условие. Заданы множество логических переменных и — (ц,..., ип} и набор трехместных

дизъюнкций С — (с у — и 1 V и у V иу3 ; у е Ып}.

Вопрос. Существует ли для набора С такой выполняющий набор истинностных значений, что в каждой дизъюнкции из С найдется хотя бы один истинный и хотя бы один ложный литерал?

К этой задаче сводится [10] (см. также [4]) задача 3-8ЛТ, следовательно, задача МКЛЕ 3-8ЛТ является КР-полной.

С индивидуальной задачей Т е МКАЕ 3-БЛТ свяжем гиперграф С(Т) — (V, Е, А) рассматриваемого вида, который назовем гиперграфом задачи Т, по следующим правилам:

1) V — \и\ — п;

2) три вершины ,,у,к гиперграфа С(Т) образуют неориентированное ребро (,,у,к) е Е тогда и только тогда, когда логические переменные Ui, и у и ^ входят в общую дизъюнкцию из С;

3) А — 0.

Легко проверяется, что индивидуальная задача Т е МКАЕ 3-БАТ предполагает ответ «нет» тогда и только тогда, когда связанный с ней гиперграф С(Т) принадлежит классу Су, поэтому справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Задача распознавания вида: «Верно ли, что гиперграф С не принадлежит классу Су ?» - является ЫР-полной.

Далее гиперграфы приведенного вида используются для описания свойств точек релаксаций разрезного многогранника.

В работе [1] определен класс многогранников Мп С К4п , П е N, позже названных корневыми полуметрическими [5]. Задающие Мп линейные ограничения имеют вид:

X ,у + У ,у + Ъ ,у + Ь у — 1, X у + У, у — Хк у + Ук у ,

Xi,j + Zi,j - Xil + Zil,

Xi ,j - Xj ,i,

ti ,j tj i'

У, j - zji,

zi ,i

0,

X

* J

> 0, y.,. > 0, Zi,. > 0, tt,. > 0,

где ,,у,к,I независимо пробегают значения 1,...,п.

Заметим, что координаты точек многогранника Мп удобно представлять в виде матрицы из блоков вида:

Блок координат

Таблица 1

xij y>,j

zij kj

а ограничения (4) задают симметрию относительно главной диагонали в матрице из блоков, и, значит, достаточно ограничиться рассмотрением лишь половины матрицы координат (, < у ).

Многогранники этого класса обладают рядом особенностей, обусловливающих значительный к ним интерес (см. [2, 5, 9]). В частности, в работе [3] установлена полиномиальная разрешимость задачи следующего вида: для заданной линейной целевой функции / требуется выяснить,

достигается ли Шах{ f (и) : U Е Мп} в целой вершине многогранника Mn (задача распознавания целочисленности).

Многогранник MZ, порождаемый целыми вершинами из Mn, называется разрезным многогранником, так как известная ЫР-полная задача о максимальном разрезе (как, впрочем, и ряд других) сводится к оптимизации линейной целевой функции на М^ . Поэтому Mn является релаксационным многогранником задачи о разрезе, или релаксацией разрезного многогранника.

Определим, следуя [5], релаксации более высоких уровней. С этой целью выберем натуральное

k

совокупностью всех © • СП£ указанных неравенств, а многогранник, который задается расширенной системой ограничений, обозначим через Мп £.

Очевидно, что Мп 1 = Мп 2 = Мп . Таким образом, Мп 3 - первая, отличная от Мп , релаксация разрезного многогранника. Мп 3 задается системой (1)-(6) и дополнительными ограничениями:

Х- ,; + и  + Х- £ + и £ + У}£ +  ^ 2

X+ Ь + У£ + 2-£ + + ^]£ ^ 2,

У- + 1 + Х£ + Ь + Х,£ + tj£ ^ 2,

Уг + 1  + Уг£ + 2г£ + Уj£ + ^£ ^ 2,

для каждой тройки , £ Е Ып , где г <  < £ [2, 3].

Рассмотрим индивидуальную задачу Z Е МЫЛЕ 3-БАТ , где и = {ц,...,ип} и набор С содержит р дизъюнкций, а также многогранник Мп 3. Построим целевую функцию следующего вида:

Vх Е Я4п2 : f (Х) = £ (У- +  + У- £ + г,£ + У}£ + £ \

по всем тройкам £, для которых логические переменные , и и£ входят в общую дизъюнкцию из С.

Очевидно, что Шах{ f (и) : и Е Мп 3} = 2р, и если этот максимум достигается в целой вершине Мп 3, то соответствующий задаче набор дизъюнкций выполним, в противном случае набор не выполним.

Таким образом, задача МЫЛЕ 3-БАТ сводится к задаче распознавания целочисленности на Мп 3. В основе упомянутого выше результата о полиномиальной разрешимости задачи распознавания целочисленности на Мп [3] лежит следующее утверждение.

Утверждение 1. Каждая точка многогранника Мп 3 является выпуклой комбинацией вершин

многогранника Мп , среди которых есть хотя бы одна целая.

Ниже устанавливается, что ситуация оказывается принципиально иной уже при переходе к следующей релаксации.

Отметим, что каждой точке и Е Мп 3 можно также сопоставить 3-однородный смешанный гиперграф рассматриваемого вида, который назовем гиперграфом точки

в(и),

по следующим правилам:

1. V=п

2. (/, у, к) е Е(и) тогда и только тогда, когда

у у + 2 у+У/к+г1,к+Уук+гу,к =2;

3. ((/, у ), к) е А(и) тогда и только тогда, когда

У/у + 2 у + + Ь к + Ху к + к = 2.

Введем для точек многогранника Мп 3 операцию инвертирования, которая произвольную точку и е Мп з превращает в точку V = 1пУу (и) следующим образом:

Таблица 2

Преобразование координат при инвертировании точки

х1,1 0 хч Уи Х • 1 1,к У/к Х1,1 0 Ч, Х 1,к У.к

0 <г ,1 Ч, ч, 2. к 1,к 0 <г ,1 У,, 2. к 1,к

х, 0 Х,,к у,к 0 Ум Х,к

0 1],к 1],к 0 1],к

Хк к 0 хк к 0

0 tk к 0 tk к

Нетрудно проверить, что так построенная точка V удовлетворяет системе (1)—(10) и также принадлежит многограннику Мп 3.

Отметим, что операции инвертирования точки многогранника Мп 3 и вершины гиперграфа С эквивалентны в том смысле, что для точки V = у (и ) ее гиперграф С (V) = (и ).

Теорема 2. Если для некоторой точки и е Мп 3 ее гиперграф С(и) принадлежит классу Су, то в любом разложении и в виде выпуклой комбинации вершин Мп 3 нет ни одной целой вершины.

Доказательство. Предположим противное, то есть предположим, что точка и раскладывается в выпуклую комбинацию вершин, среди которых есть целая:

и = 0^1 +^2 + ... + , V/: а > 0,

к

£а = ^

¿=1

3: V/ е вхШ^.

£

Не ограничивая общности, примем, что целой является вершина V = V е extMn 3, тогда:

и = а + а2у2 +... + а]ук,

¿а =1 -а

£

£

г=2

м = ^——(а2У2 + ... + ОЛ X 1 — а

£ ^ = 1 ^ ™ Е -Мп,3, г=2 1 — а

и = ау + (1 — а) м.

Нетрудно проверить, что:

V-: I.тг (и) = а( 1.тг (V)) + (1 — а)((м-)).

Вершина V является целой, любая ее инверсия (¡ПУ- (V)) также будет целой вершиной Мп 3, тогда, инвертировав точки и, V и м несколько раз, получим:

и * = (XV* + (1 — а) м>*,

❖ *

v : Vi, у: < у =1.

Гиперграф О(и) принадлежит классу , следовательно, О (и) также принадлежит О1. Тогда:

щ т- ,•/,., ,и* , „и* , и , „и* . , и* | „и* О

^ £ : Уг,у + 1,у + Уг£ + 1£ + Уу£ + гу£ = А

V* . V* . V* . V* . V* . V* Г\

Уг, у + гг, у + Уии + + Уу£ + 2у£ = 0

****** /

У, у + 1, у + Уг,£ + 1 £ + У у £ + ^ £ = 2

а> 0, -> 2,

1 — а

, м* 1 ^м* , , ,м>* I ^м* , ,м>* 1 ^м* ^ о

Уг ,у + 1, у + У £ + 1 £ + Уу £ + 2 у £ > 2.

Противоречие, точка м не принадлежит многограннику МП 3, а значит, точка и представляет собой выпуклую комбинацию вершин МП 3, среди которых нет ни одной целой. Теорема доказана. Теперь обратимся к МП 4 - следующей релаксации разрезного многогранника. Введем новые

обозначения для координат:

= 1,1 = 1,2 =2,1 t = 2,2 хг,у = хг,у, У,у = хг,у, гг,у = хг,у, 1г,у = хг,у .

Утверждение 2. Многогранник

М, 4 задается системой неравенств (1)-(10) и дополнительными

ограничениями вида:

хаг ,аг + ха1 ,а1 + ха£ ,а£ + ха1 ,а1 — ха1 ,аг — хак ,аг — ха1 ,аг — ха£ ,а] — ха1 ,а] — ха1 ,ак < 1

Лм ,у £ ,1 лг,у лг£ лу£ лу,/ л£,1 -1'

для каждой четверки индексов г,у,£,I, где 1 < г < у < £ < I < П и для всех векторов

а е [1,2]П.

Л г*

Доказательство. Рассмотрим многогранник МП 4, удовлетворяющий системе (1)—(11). Достаточно проверить тот факт, что М4 4 не имеет нецелочисленных вершин и равен М4 [11]. Отсюда напрямую следует, что М* 4 = МП 4. Утверждение доказано.

Теорема 3. При любых п > 5 найдутся точки многогранника Мп 4, гиперграфы которых принадлежат Су.

Доказательство. Рассмотрим класс Сц гиперграфов С = (V, Е, А), для которых множество

ориентированных ребер А является пустым. Нетрудно проверить, что для гиперграфа С из класса Сц задача распознавания вида: «Верно ли, что гиперграф С не принадлежит классу Су ?» - равносильна задаче раскрашивания гиперграфа С в два цвета так, чтобы ни одно ребро не было монохромным (не содержало три вершины одного цвета). Достаточно сопоставить множества инвертированных и неинвертированных вершин с двумя разными цветами. Таким образом, любой 3-однородный не 2-раскрашиваемый гиперграф (как и его произвольная инверсия) принадлежит классу Су, в частности, этому условию удовлетворяют [8]:

1) полный 3-однородный гиперграф на п вершинах, где п > 5;

2) плоскость Фано (7 вершин и 7 ребер);

3) аффинная плоскость 3-го порядка (9 вершин и 12 ребер) и многие другие.

Гиперграфу С из класса Сц сопоставим такую точку и, что С = С (и), по следующему правилу:

Х = t = 1

1, у ~ , у ~ 6 ,

1 ^ 3(1, у, к) е Е,

У1, ] 2/, ]

3

Х1 у = У1 у = 2/ у = у = 4, в противном случае.

Нетрудно проверить, что точка и удовлетворяет системе (1)—(10) и принадлежит многограннику Мп 3. Оценим неравенство (11) для точки и :

V!: Х- - = = 1,

1,1 1,1 2

2 _ Ха1 а _ Хак ,а, _ Хаг ,а, _ Хак ,а] _ Ха1 а _ Ха1 ,ак < 1 ^ л1у Л1,к Л1,/ лу,к лу,1 лк,/ -

л , а,-а , а, ,а1 , а,,а, , ак,ау а,а,,ак

± .Л. I -Л-  I I -Л-  / I -Л-  I I -Л-  7 I Л/1 1 „

,к ],к у ,/ к ,/ '

шт х у = шт у,- у = шт 2: у = шт 7 =1,

1, у .. У 1, у 1, у 1, у 5

1 ,у 1,] 1 ,у 1 ,у 6

V,-,у,к,/: Ха];а1 + Ха1а + Ха>а + Ха.к:а + Ха'а + Ха,,]ак > 1.

' 1,1 ,,к ,,/ ¡,к у,/ к,/

у ¿к ¿,/ у,к у,/ к,/

Точка и удовлетворяет системе (1)—(11) и, следовательно, принадлежит многограннику Мп 4.

Таким образом, для произвольного 3-однородного не 2-раскрашиваемого гиперграфа С (или некоторой его инверсии) существует такая точка и е Мп 4, что ее гиперграф С (и ) = С принадлежит

классу Су , и, соответственно, в любом разложении которой в выпуклую комбинацию вершин многогранника Мп 3 нет ни одной целой вершины. Например, гиперграф приведенной ниже точки ис

многогранника М5 4 принадлежит классу ^,

23 (Gc ) = 1пУ4 5 (Ос ) полного 3-однородного гиперграфа на 5 вершинах Ос

Координаты точки Ыс

Or

так как является

1/

1/

инверсиеи

Таблица 3

Библиографический список

1. Бондаренко, В.А. Об одном комбинаторном многограннике [Текст] / В.А. Бонадренко // Моделирование и анализ вычислительных систем : сб. науч. тр. - Ярославль : Яросл. гос. ун-т, 1987. - С. 133-134.

2. Бондаренко, В.А., Максименко, А.Н. Геометрические конструкции и сложность в комбинаторной оптимизации [Текст] / В. А. Бондаренко, А.Н. Максименко. - М. : ЛКИ, 2008. - 184 с.

3. Бондаренко, В.А., Урываев, Б.В. Об одной задаче целочисленной оптимизации [Текст] / В.А. Бондаренко, Б.В. Урываев // Автоматика и телемеханика. - 2007. - №6. - С. 18-23.

4. Гэри, М., Джонсон, Д Вычислительные машины и труднорешаемые задачи [Текст] / М. Гэри, Д. Джонсон. - М. : Мир, 1982. - 416 с.

5. Деза, М.М., Лоран, М. Геометрия разрезов и метрик [Текст] / М.М. Деза, М. Лоран ; пер. с англ. Е. Пантелеевой и П. Сергеева ; под ред. В. Гришухина. - М. : МЦНМО, 2001. - 736 с.

6. Емеличев, В.А. Лекции по теории графов [Текст] / В.А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарванов, Р.И. Тышкевич. - М. : Наука, 1990. - 384 с.

7. Емеличев, В.А. Многогранники, графы, оптимизация [Текст] / В. А. Емеличев, М.М. Ковалев, М.К. Кравцов. - М. : Наука, 1981. - 344 с.

8. Berge С. Hypergraphs. Combinatorics of finite sets. North-Holland Mathematical Library, v. 45. Amsterdam, North-Holland Publishing Co. 1989. 287 p.

9. Padberg M.V. The Boolean quadratic polytope: some characteristics, facets and relatives // Mathematical Program. 1989. V. 45. P. 139-172.

10. Schaefer T.J. The complexity of satisfiability problems // Proc. 10th Ann. ACM Symp. on Theory of Computing, Association for Computing Machinery, New York, 1978, P. 216-226.

11. Thomas Christof, Andreas Loebel. PORTA: POlyhedron Representation Transformation Algorithm 1.4.0. The Konrad-Zuse-Zentrum fur Informationstechnik Berlin, http://www.zib.de/Optimization/Software/Porta/