Синтез дискретного вейвлет-преобразования с повышенными степенями децимации

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ

И СИСТЕМЫ

УДК 621.391

СИНТЕЗ ДИСКРЕТНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ПОВЫШЕННЫМИ СТЕПЕНЯМИ ДЕЦИМАЦИИ

А.В. Андреев, Ю.Н. Ересько

Предложено дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) со степенной децимацией. Показано, что полученная форма сохраняет структуру классического преобразования и позволяет сократить количество его уровней. Результаты могут быть использованы для повышения помехоустойчивости передачи информации в многоканальных системах.

Ключевые слова: вейвлет-преобразование, цифровой фильтр, децимация, импульсная характеристика.

Получение наиболее низкочастотных коэффициентов в многоуровневом дискретном вейвлет-преобразовании (ДВП) [1-3], сопряжено с каскадированием одноуровневых структур и многократным применением двукратной децимации. Эквивалентом последовательности преобразований могло бы стать ДВП со степенной децимацией. Рассмотрим возможности построения такого преобразования.

Предъявим требование для ДВП с повышенными степенями децимации, чтобы неизвестная пока структура разложения и восстановления исходной последовательности одноуровневым банком фильтров имела вид структуры классического ДВП. Отличия "вложим" в кратности операций децимации и интерполяции и в характеристики фильтров [1]. Такая структура будет отличаться от схемы на рис. 1 [1] только блоками S-кратной децимации и интерполяции, S = 2м = 4, 8, 16, ... .

Рис. 1. Анализ и синтез сигнала в одноуровневом вейвлет-преобразовании

Для удобства изложения и достижения общности результатов, заменим обозначения ЬР(2) ^ Но(2), НР(2) ^ Н(2), РР(%) ^ Оо(2), НР(2) ^ z). Первоначально для М = 2 по формуле

М Г М т

Уи

п т=2 / =2

получим обобщённое выражение последовательностей в точках схемы перед восстанавливающими фильтрами О(г), использовав формулы Эйлера:

Уи(2) = 4 [ъ(2) + Уъ(-2) + Уъ(72) + Уъ(-У2)] Тогда для выходной последовательности схемы можно записать: ъ( 2 ) = 4 Ъ( 2) Н о ( 2 ) + ъ(-2) Н о (-2) + ъ( ) Н о ( 72 ) + ъ(-) Н о (-72 )] ( 2) +

+ 4 [ъ(2)Н1(2) + ъ(-2)Н1(-2) + ъ(72)Н1(72) + ъ(-72)Н1(-./2)]О1(2) =

= 4 ъ

+1 ъ( 72 )[Ъ о (72 )Оо ( 2 ) + Н1 ( 72 )О1 ( 2 )] +

4

+ 4 ъ(-72 )[Ъ о (- 72 )Оо ( 2 ) + Н1 (-72 )О1 ( 2)] =

= Е1 +2 2 +Х3 +Х 4. Только £1 в (1) представляет полезный сигнал. Другие составляющие являются интерференционными и должны быть сведены к нулю. Для достижения £2 = о необходимо наложить условия:

Оо

Чтобы обеспечить £3 = о, наложим дополнительные условия:

Оо

Совместим условия (2) и (3) и сделаем выводы:

Оа

61

[- И о

Соблюсти (4) можно только степенными фильтрами, в описаниях которых аргументы кратны степени два или, что эквивалентно, нечётные коэффициенты импульсной характеристики (ИХ) таких фильтров должны отсутствовать [2]. Перепишем (1), возведя в квадрат комплексные аргументы фильтров И( (Т) и 0( (г):

Ъ (7) = 4 Ь(2)[ио (г2 )зо (г2)+ И1 (г2 (г2 }

+

+

+4 ъ

4 [[«)+ Ъ(- ] )])[[ о (2 Ь> (2) + И| (- 72 ^ ]

Обратим в нуль второе слагаемое в (5), для чего наложим условия:

Со(*2)= И^- ) Gl(z2)=-Ио(- 72) Введём (6) в выражение (5):

Ь

=2 ъе (2 [ о (2 Со (( - И о

= ]^^ (( [2 I- Р

где Ъе (z2) - чётная подпоследовательность входного сигнала.

Выражение для полиномиального фильтра в (7) аналогично [!]

ЬР ^ЬР

где Р(7) - 2-образ ИХ эквивалентного сквозного низкочастотного канала. Поскольку Р(- ) во временной области отличает только инверсия знаков при нечётных отсчётах ИХ, то свойства Р(п) описывают следующим образом:

о для нечетных п и п ф к,

Р

любые для четных п. Условия из (8) во временной области соответствуют выражениям

хИР

п

п

которые совместно с (9) являются достаточными условиями биортогональности анализирующих и восстанавливающих фильтров, с той лишь разницей, что степень аргумента равна двум. Следовательно, мы можем применить процедуры (11) - (14) [4].

Тогда выражение для 2-образа ИХ эквивалентного сквозного НЧ канала, или ИХ полиномиального фильтра, примет вид

Р

2 2

Используем в качестве дополнительного «максфлат» фильтр [4]

ёайй(2) = 16(1 + 42-1-2—2) ёаМ(п)= --15(п) + 45(п-1)--15(п-2) (12) 16 16 4 16

и перепишем выражение для полиномиального фильтра (11):

-1 2

Р

Используем НР(2)= ЬР(- 2), -ЬР(-2) = НР(2), ё5рт(х) = (- 1)х+1 ёр(х), (2 -1)2

ё (2) = - (- 2) = - ^-'— для определения характеристик ВЧ фильтров:

_ 2г2

НР() = ЬР(- 2 ) = 2ёхр (- 2 (- 2 ) = - 2ё$рт (2 (- 2),

__

НР(2) = -ЬР(- 2) = -ёsp (- 2) = ёзрт (2) для формирования структуры ДВП, в результате которых получим схему, приведённую на рис. 2.

Рис. 2. Структура одноуровневого ДВП со степенью децимации М = 2

В схеме учтено, что 2-образы gsp (22) и -ёааа (-22) 4gspm (-22) не имеют составляющих с нечётными степенями 2, т.е. во временной области отсутствуют нечётные отсчёты. Выходная последовательность дециматора будет содержать только чётные отсчёты свёрток ИХ этих фильтров со входной последовательностью ъ(п), из которой будет учтена только чётная подпоследовательность ъе(и) в силу [2]

[

[(х)]о = [и(х)] х [(х)]о + [и(х)]о х [(х)].

Используем отмеченные обстоятельства для восстановления нечётной подпоследовательности на выходе схемы. Поскольку

Ъе(п)= Ъ(2п), Ъ0(п)= Ъ(2п + 1), Ъ(к) = Ъе 1к| + Ъ

к -1

2) V 2 )

И]

( к| ( к -1| УЪ (к) = ъ(п)х И] (п)= уъе 2 + УгЪо ;

V2) V 2 )

УгЪе (к )= Ъе (п ) х И1е (п ); УгЪо (к) = Ъо (п) х И1е (п).

Последовательности после децимации

Уг(к) = Угъ(4к) = Угъе(2к) = Уге(к) есть прореженные подпоследовательности свёрток чётных отсчётов Ъ(п) с импульсными характеристиками степенных фильтров, которые поступают на вторую часть схемы и точно восстанавливаются ею. Однако, если в де-циматоре отсчёты выбрать ещё раз с задержкой на один такт

УГР (к) = УгЪ (4к + 1) = УгЪо (2к) = Уго (к), то появятся прошедшие абсолютно такие же фильтры нечётные отсчёты Ъ(п), которые занимают в сформированных последовательностях отдельные, не связанные с преобразованными чётными отсчётами, позиции. После интерполяции такой составной последовательности в виде

П\ (И| (И - 1Л

Уги (И )= Угие ~ + Уио

4

v

4

У

дальнейшей обработкой восстанавливается полный сигнал Ъ(п). Такая процедура повторной децимации на рис. 1 обозначена двойными стрелками.

Таким же образом могут быть синтезированы структурные схемы вейвлет-преобразования с большими степенями децимации. Опуская подробности, приведём схему преобразований со степенью децимации М = 3 [1, 2].

Как видим из рис. 3, реализация преобразования требует использования фильтров четвёртого порядка и четырёхкратной повторной децимации. Вместе с тем, структура преобразований полностью сохраняется.

Рис. 3. Структура одноуровневого ДВП со степенью децимации М = 3

На рис. 4 показаны результаты моделирования последовательностей в полученной структуре ДВП, где уШф), ушф) обозначены последовательности на выходах анализирующих Ш(п) и входах восстанавливающих фильтров Gi(n) соответственно. На диаграммах видны особенности четырёхкратной повторной децимации и интерполяции Ь(п), а также образующаяся при прохождении последовательности фактическая задержка на 12 отсчётов.

Ь

1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

I I I I I

i i i i

V0b

0 4 8 12162024

bout<x)

1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

т~Г

J_L

"Г~Г

_L

У1Ь

0 4 8 12162024

1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4

I I I I

J_L

y0u

0 4

8 12162024 h

1 1 1 1

1

НИ' миг

1 .....

У1и

0 4 8 12162024 h

1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2

I I I I I

'i i i

0 4

8 12162024 h

[ 1 1 1

1

И II' [ 1 1 1 1

0 4

8 12162024 h

Рис. 4. Диаграммы последовательностей в точках схемы

Учитывая закономерности, достаточно легко сформулировать простые инженерные правила преобразования схем классического ДВП в схемы с более высокими степенями децимации.

Таким образом, полученная форма одноуровневого ДВП со степенной децимацией сохраняет структуру классического преобразования и позволяет сократить количество его уровней. Его свойство взаимной независимости S/2 из S подпоследовательностей имеет самостоятельное значение и может быть использовано для повышения помехоустойчивости передачи информации в многоканальных системах [3].

Это свойство отвечает базовым принципом построения известной разновидности ДВП - Lazy Wavelet Transform (LWT) [4], что открывает возможности поиска новых видов преобразований на основе объединения ДВП с повышенными степенями децимации и LWT.

Список литературы

1. Ересько Ю.Н. Вейвлет-преобразования сигналов со степенным масштабированием коэффициентов // Актуальные проблемы современной науки. 2003. № 2. С. 235-239.

2. Ересько Ю.Н. Дискретное вейвлет-преобразование сигналов с повышенными степенями децимации // Известия ТулГУ. Серия «Радиотехника и радиооптика». 2005. Т. 7. С. 118-129.

3. Ересько Ю.Н. Локализация изображений в автоматических визирах. М.: Компания Спутник +, 2002. 357 с.

4. Uytterhoeven G. Wavelets: Software and applications. Ph.D. Thesis. Department of Computer Science. U.K. Leuven. 1999. 143 p.

Андреев Александр Викторович, специалист 1-й кат., rts@cdbae.ru, Россия, Тула, ОАО «Центральное конструкторское бюро аппаратостроения»,

Ересько Юрий Николаевич, д-р техн. наук, главный конструктор, rts@cdbae.ru, Россия, Тула, ОАО «Центральное конструкторское бюро аппаратостроения».

SYNTHESIS OF DISCRETE WAVELET TRANSFORM WITH INCREASED DECIMATION

RATE

A.V. Andreyev, Yu.N. Yeresko

A descrete wavelet transform with power decimation has been offered. It has been demonstrated that the obtained from preserves the classic transformation and allows reducing number of its levels. The results may be used to increase interference immunity of information transfer in multi-channel systems.

Key words: wavelet transform, digital filter, decimation, pulse response characteristic.

Andreyev Aleksandr Viktorovich, 1st category specialist, rts@,cdbae.ru, Russia, Tula, JSC «Central Design Bureau of Apparatus Engineering»,

Yeresko Yuriy Nikolayevich, doctor of engineering, chief researcher, rts@,cdbae.ru, Russia, Tula, JSC «Central Design Bureau of Apparatus Engineering»