Оценка начальных масштабов для волноводов с некоторыми случайными сингулярными потенциалами

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 2 (2015). С. 35-56.

ОЦЕНКА НАЧАЛЬНЫХ МАСШТАБОВ ДЛЯ ВОЛНОВОДОВ С НЕКОТОРЫМИ СЛУЧАЙНЫМИ СИНГУЛЯРНЫМИ

ПОТЕНЦИАЛАМИ

Д.И. БОРИСОВ, Р.Х. КАРИМОВ, Т.Ф. ШАРАПОВ

Аннотация. В работе рассмотрены три примера сингулярных случайных возмущений в многомерных моделях волноводов. Эти возмущения описываются большим потенциалом, сосредоточенным на множестве малой меры, финитным быстро осциллирующим потенциалом и дельта-потенциалом. Во всех случаях доказана оценка начальных масштабов.

Ключевые слова: случайный оператор, оценки начальных масштабов, возмущение, малый параметр, спектральная локализация.

Mathematics Subject Classification: 35P15, 35C20, 35B25, 60H25, 82B44

1. Введение

Одним из подходов к описанию волновых процессов в неупорядоченных средах являются случайные гамильтонианы - эллиптические операторы в неограниченных областях, зависящие от счётного числа независимых одинаково распределённых случайных величин. Исследования таких операторов ведутся достаточно интенсивно. Одним из изучаемых вопросов является спектральная локализация. Последняя означает, что весь спектр рассматриваемого оператора, либо часть спектра чисто точечные с вероятностью один. Есть много работ, где подобное свойство спектра изучалось для многочисленных частных примеров, см., например, [11]—[39], а также литературу в этих работах. Одним из известных способов доказательства спектральной локализации является многомасштабный анализ (multiscale analysis), [11], [12]. Его основу составляет определённая индукция, базой которой является оценка начальных масштабов (initial length scale estimate).

В статье [3] был предложен общий подход к доказательству оценок начальных масштабов для операторов с малыми случайными возмущениями. Возмущения описывались абстрактными симметричными операторами, малыми относительно исходного невозмущённого оператора. При минимальных условиях на возмущения были доказаны оценки начальных масштабов на нижнем краю спектра. Такой общий подход позволил рассмотреть разнообразные примеры, как известные, так и новые.

Настоящая статья является продолжением работы [3]. Мы рассматриваем три примера случайных возмущений. Каждое из них не является регулярным, то есть малым относительно исходного невозмущённого оператора. Более того, эти возмущения в определённом смысле являются сингулярными. Вместе с тем показано, что все результаты [3] об оценке начальных масштабов удаётся перенести на рассматриваемые возмущения. Это и является основным результатом настоящей статьи.

D.I. BORISOV, R.KH. KARIMOV, T.F. SHARAPOV, INITIAL LENGTH SCALE ESTIMATE FOR WAVEGUIDES WITH SOME RANDOM SINGULAR POTENTIALS.

© Борисов Д.И., Каримов Р.Х., Шарапов Т.Ф. 2015.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00078).

Поступила 19 февраля 2015 г.

2. Постановка задачи и основные результаты

Пусть х = (х1 ,хп+1), х' = (х\,... ,хп) - декартовы координаты в Кга+1 и Кга, соответственно, п ^ 1. Через П обозначим бесконечный многомерный слой ширины й > 0:

П := {х : 0 < хп+1 < ¿}.

В слое П рассматривается оператор

Нс := -Д + Ус,

где Vo = У0(хп+1) - измеримый ограниченный потенциал. В качестве краевого условия на дП выбирается условие Дирихле или Неймана:

ви = 0

на дП, где ви = и или ви = . Не исключается ситуация, когда на верхней и нижней границе 5П задаются краевые условия разного типа.

Оператор Нс рассматривается как неограниченный в пространстве Ь2(П) на области определения :Э(Н°) := {и € Н2(П) : выполнено условие (2.2) на 5П}.

Опишем теперь случайные возмущения. Пусть Г - периодическая решётка в Кга с ячейкой периодичности и  := {х : х' € ', 0 < хп+1 < ¿}. Через Ш1 = Шх(х') обозначим непрерывную финитную функцию в Кга, а через = (х, £), £ = (^1,... , £п+1) - функцию в К2га+2, 1-периодичную по каждой из переменной г = 1,... ,п, имеющую нулевое среднее:

J ^ = 0 для всех ж € Яп+1.

(0,1)«+!

и финитную по х:

виррс М С  для всех £ € Яп+1,

где М - некоторое фиксированное множество. Будем предполагать следующую гладкость для функции Ш13:

-^¿ЩГ € С

Через Ш = Ш (х) обозначим непрерывную финитную функцию с носителем в :

вирр Ш Ш . Пусть в Ш  - замкнутое многообразие класса

С 3 коразмерности 1, и - нормаль к в, внешняя по отношению к области, ограниченной многообразием Б, Ш€ С3(Б) - некоторая вещественная неотрицательная функция на в.

Через е обозначим малый положительный параметр. Положим:

Ш 1ос(х', е) := £-а1№1 ^^ , е > 0,

Шовс

W 1ос(х', 0) := 0, Шо3с(х', 0) := 0,

где 0 ^ а < 1 - некоторое заданное число.

Пусть ш = (шк)йег - последовательность независимых одинаково распределённых нетривиальных случайных величин со значениями в отрезке [0,1]; соответствующую вероятностную меру обозначим через Будем считать, что эта мера также задана на отрезке [0,1]. Через Р := 0кег^ обозначим произведение мер на пространстве П := Хд.ег[0,1]. Элементами последнего пространства являются последовательности (шк)кег. Через Е(-) обозначим математическое ожидание случайной величины по вероятности Р.

Первые два типа случайных возмущения описываются операторами:

/0

-н£'Хж(и) := Н0 + ™ '"О- ),

кеГ

не'°БС(ш) := н0 + ^ Ж08С(- - к,хп+1,ешк).

кег

Третий тип возмущения соответствует оператору с малым дельта-взаимодействием:

Н£>ш(и) := Н0 + ^еик- к)5(- - вк), кег

где - сдвиг многообразия в на к, а именно, := [х : (х' - к,хп+1) € Б}. Во всех трёх случаях краевое условие на дП описывается равенством (2.2). Запись (2.9) является формальной для обозначения оператора в Ь2 (П), соответствующего квадратичной форме

Ът

кег

Область определения этой формы - множество функций из Н1 (П), имеющих нулевой след на той части границы дП, где задано условие Дирихле. Ещё одно эквивалентное описание оператора н£,(т(ш) - это оператор - Д + У0 в П, с краевым условием (2.2) на 5П и краевым условием

ди

Мя* = 0,

ди

Ъи\„ , к € Г, 1 ^к

где [г^ ^ = V \ 3 +0 - V \ 3 _0 - скачок функции V на Бк, равный разности значений на внешней и внутренней сторонах вк.

Основная цель настоящей работы - получение оценок начальных масштабов для операторов н£,1ж(и), не'°8С(и), н£>ш(и).

Для формулировки основных результатов нам понадобятся дополнительные вспомогательные обозначения. Для а € Г, N € N символом Па ^ обозначим кусок слоя П:

П

а, N

1х : х' = а + ^^ а^ € (0, N), 0 < хп+1 <

^ г=1 )

Здесь вг, г = 1,... ,п - базис решётки Г, то есть

Г := I х : х' = > ще;, Ъ

г=1

I

Обозначим ещё

Отметим, что

тт /£,1°С / N /£,ОвС / N 11Е,&1Х>/ N г

Через на м (ш), на м (ш), на м (ш) обозначим операторы, которые вводятся так же, как н£'х°с(ш), н£,°вс(ш), н£,ш(ш), но на множестве и с дополнительным краевым усло-

£, 1°С /

Г

а,М

:= < х' € Г : х' = а + ^^ щ = 0,1,... , N - 1 >.

^ г=1 ^

П«,М := ^к.

кегаы

и ^

и

вием Неймана на боковой поверхности. А именно, На°м(ш) - это операторы

-Д + ^ + ^ ж'°С(-- к,еик) и - Д + ^ + ^ Ж°8С(-- к,хп+1,£шк) кегаы кегаы

в П с краевым условием (2.2) на верхней и нижней границах и краевым условием

Bu

— = 0 на д\ дП,

где v - внешняя нормаль к границе. Оператор ''^(ш) вводится (формальным) равенством

-Д + И. + ^ ешкWdlt

kera>N

в с краевым условием (2.2) на верхней и нижней границах и краевым условием (2.12). Строго его вновь можно определить с помощью квадратичной формы, аналогичной (2.10) либо с помощью краевых условий (2.11) при к е Га,'.

Пусть \£aN(ш), $ = loc, osc, dit - минимальное собственное значение операторов ''N

'M,

н£а°'(ш), h£a'N:(u), а Л0 - минимальное собственное значение оператора

d2

+ Vo на

^Хп+1

с краевым условием (2.2) на концах отрезка. Собственную функцию, соответствующую Л0, обозначим через ф0 = ф0(хп+1) и будем считать её нормированной в ¿2(0, й).

Наш первый результат даёт важную нижнюю детерминистическую оценку разности

М - Л0.

Теорема 2.1. Пусть п =1, начало координат лежит в ' и

I Ж 1

к

Тогда существуют положительные константы с1, с2, Ы1, такие что для

N ^ N1 и 0 < е <

N1-

-а

выполнена оценка

А^» - Лс ^ £

кега^

Через = (х,^) обозначим решение уравнения

д= ), е €

с периодическими краевыми условиями, удовлетворяющее условию ортогональности:

J Ш:

(0,1)"+!

В силу равенства (2.3) такая задача для однозначно разрешима. Кроме того, из (2.5) вытекает, что функция Ж3 имеет по меньшей мере ту же гладкость, что и Ш3.

Теорема 2.2. Пусть п ^ 1,

!ш(х)ф 02 (жга+1) ¿х-I ¿хф1(хп+1) I |У^8(ж,0|2 > 0. (2.18)   (0,1)«+! Тогда существуют положительные константы с1, с2, такие что для

N ^ N1 и 0 < £ <

N ^

выполнена оценка

r F2—2а

M - Ло ^ Ц-- £ ш2к—2а.

Теорема 2.3. Пусть п ^ 1,

J Wm(x)^(Xn+l)dS> 0. (2.21) s

Тогда существуют положительные константы cl, с2, Nl, такие что для

N >Ni и 0 <£<N8

выполнена оценка

А^

Наш следующий детерминистический результат описывает оценки Комба-Томаса (Combes-Thomas) для рассматриваемых операторов. Обозначим: \в = Хв (x) - характеристическая функция множества В ç П, || • ||х^y - норма оператора, действующего из банахового пространства X в банаховое пространство Y, &(•) - спектр оператора.

Теорема 2.4. Пусть е Г, ml,m2 е N, такие что В1 := Цдьт1 С na,N,

В2 := Цз2,т2 С М, и выполнено предположение теоремы 2.1. Тогда существует, N2 е N, такое что для N ^ N2 верна оценка

11ХВ1 (п^(и) - A)—lXB2 h2(na,N^L2(na,N) ^ ^e—dist(Bl,B2),

где 5 := ^^ X, а(н£''°°С(и))) > 0, С\, С2 - положительные константы, не зависящие от, е, а, N, 5, р2, т\, т2, X.

Теорема 2.5. Пусть а,Р\,р2 е Г, т\,т2 е К, такие что В\ := Цдьт1 С П£,м, В2 := Пр2уГП2 С П£,м, и выполнено предположение теоремы 2.2. Тогда существует, N е К, такое что для N ^ N2 верна оценка

||ХБ1 (н^(и) - \)-1ХВ2 |к(п^нмп^) ^ Се-с2^(ВиВ2),

где 5 := ^^ X, а(н££°^(ш))) > 0, С\, С2 - положительные константы, не зависящие от, £, а, N, 5, р2, т\, т2, X.

Теорема 2.6. Пусть а,Р\,р2 е Г, т\,т2 е К, такие что В\ :=Пр1ут1 с П£,м, В2 := П132,т2 с П£,м, и выполнено предположение теоремы 2.3. Тогда существует, N е К, такое что для N ^ N2 верна оценка

||ХВ1 (Н'^М - Х)-1ХВ21к(п^)^2(па,м) ^ Се~С2&**(В1,В2),

где 5 := ^^ X, а(н£^(и))) > 0, С\, С2 - положительные константы, не зависящие от, £, а, N, 5, р2, т\, т2, X.

Наш первый вероятностный результат описывается в следующих трёх теоремах.

Теорема 2.7. Пусть 7 Е К, 7 ^ 17 и выполнены условия теоремы 2.1. Тогда интервал

In :=

Сэ Cl

1— g 2 g > о

(E(uk 2 )) T—^N 1—^ N

2

21—:

Сэ :=

rA — a 2

непуст для N ^ N1, где N1, с1, с2 - из теоремы 2.1. Для N ^ Н1 и £ е 1м справедлива оценка

Р (ш е п : А^» - Ло ^ N-1) ^ N(1-1 )е-с4м 1, где константа с4 > 0 зависит только от вероятностной меры ^.

Теорема 2.8. Пусть 7 € К, 7 ^ 17 и выполнены условия теоремы 2.2. Тогда интервал

I,

N • —

Сэ Cl

1 1 > 4

(ЖЩ-а))1-а N4(1—) N-г(1-<о

непуст для N ^ , где М1, с1, с2 - из теоремы 2.2. Для N ^ и £ е 1м справедлива оценка

Р (ш е п : - Ло ^ N- ^ ^ М<1-1) е-С4^* ,

где константа с4 > 0 зависит только от вероятностной меры ^.

Теорема 2.9. Пусть 7 Е К, 7 ^ 17 и выполнены условия теоремы 2.3. Тогда интервал

4

i

2

сэ •= i

2(1-а) с2

Сэ Cl

(E(î4 ))2 N1 Ni

Сэ •— —, С2

8

ri К

непуст для N ^ N1, где N1, с1, с2 - из теоремы 2.3. Для N ^ N1 и £ е IN справедлива оценка

P (ш е П • A^N» - Ло ^ N-2) ^ Nn(1-1 )e-C4N* , где константа с4 > 0 зависит только от вероятностной меры ^.

СлеДУюш,ие тРи теоремы - это оценки начальных масштабов для операторов 'н£а N

¡г,osc / \ ¡г,dit / \ Н«°N М> Н«,М И'

Теорема 2.10. Пусть а е Г, 7 Е n, 7 ^ 17, N е n и £ е IN, где IN - из теоремы 2.7, и выполнено предположение теоремы 2.1. Выберем е ra,N, т1,т2 > 0 так, что

В1 •— ЦдьП1 С na,N, В2 •— Цд2,П2 С na,N. Тогда существует константа с5 > 0, не зависящая от е, а, N, [3]_, @2, т1, т2, такая что справедливо неравенство,

/ . ._ сБ dist

P(w Е П • llxsi HNNC4 - Х)-1ХВ2 1к(паЛ ) ^ 2^Ne

V A ^ Ло + > 1 - N(1-1 )e-c*N 1

2vnj

для N ^ maxj^!1, N2}, где N1 - из теоремы 2.1, N2 - из теоремы 2.4, c4 - из теоремы 2.7.

Теорема 2.11. Пусть а е Г, 7 Е n, 7 ^ 17, N е n и £ е IN, где IN - из теоремы 2.8, и выполнено предположение теоремы 2.2. Выберем е Га, N, т1,т2 > 0 так, что

В1 •— ЦдьП1 С na,N, В2 •— Цд2,т2 С na,N. Тогда существует константа с5 > 0, не зависящая от е, а, N, [3]_, @2, т1, т2, такая что справедливо неравенство,

/ ._ сБ dist

pl^u е п • |ХВ1 (НО» - А)-1ХВ2 ||L2(na,^)^L2(na,^) ^ 2vNe ^^

V А ^ Ло + > 1 - Nn(1-1 )e-C4N"

2t/Nj

для N ^ max{^7, N2}, где N1 - из теоремы 2.2, N2 - из теоремы 2.5, с4 - из теоремы 2.8.

Теорема 2.12. Пусть а е Г, 7 Е К, 7 ^ 17, N Е К и £ е , где IN - из теоремы 2.9, и выполнено предположение теоремы 2.3. Выберем е Г£^, тх,т2 > 0 так, что

Вх := Дзьт1 С П£^, В2 := П^2>т2 С П£^. Тогда существует константа с5 > 0, не зависящая от е, а, N, @2, тх, т2, такая что справедливо неравенство,

Е П : ||хв1 (Н^М - Х)-1ХВ2 ць2{ъа^ь2{па^) ^ е УХ ^ Ло + —^ 1 - Nn(l-1 )е-с^*

для N ^ , N}, где N - из теоремы 2.3, N2 - из теоремы 2.6, с4 - из теоремы 2.9.

Теоремы 2.1-2.12 являются адаптацией основных результатов [3] к операторам , Й = 1ос, овс, (111. Они показывают, как общий подход работы [3] можно перенести для случайных возмущений, не являющихся малыми относительно исходного оператора, то есть для нерегулярных возмущений. В первых двух примерах из-за наличия обратной степени £ в определении потенциалов Ш1ос и Ш°БС, возмущения являются сингулярными. В частности, потенциал Ш°с является одним из классических примеров возмущения в теории усреднения [6]. Наличие дельта-взаимодействия меняет область определения оператора по сравнению с исходным и является сингулярным с этой точки зрения. Вместе с тем, как показано в настоящей работе, эти возмущения можно свести к регулярным и применить затем подход работы [3]. Основная идея здесь состоит в использовании оператора (ш), Й = 1ос, овс, Ш, см. равенства (4.7), (5.4), (6.1). Сохраняя спектр, этот оператор переводит исходное возмущение к регулярному, к которому затем удаётся применить подход работы

[3].

Отметим, что в детерминистическом случае операторы с большими потенциалами, локализованными на множестве малой меры, уже изучались, см., например, [9], [10], что и послужило мотивацией для рассмотрения случайных возмущений на основе таких потенциалов.

В [3, Ех. 7] было показано, что вместо слоя П, случайные операторы вида (3.4) с У) = 0 можно рассматривать в многомерном пространстве, основные результаты при этом остаются в силе. То же верно и для наших операторов (ш), Й = 1ос, овс, Щ - для их аналогов в многомерных пространствах остаются верны теоремы 2.1-2.12.

3. Предварительные сведения

Доказательства теорем 2.1-2.12 основаны на общем подходе, разработанном в работе [3]. Поэтому опишем основные результаты и методику этой работы.

Начнём с постановки задачи. Пусть ¿(¿), £ Е [0,£о] - семейство линейных операторов из Н2(П) в Ь2 (), описываемое формулой

£

где ¿г : Н2(^) ^ Ь2(^), г = 1, 2, 3 - ограниченные симметричные операторы, причём оператор ¿3(£) предполагается ограниченным равномерно по ¿. В [3] операторы ¿(¿), ¿3 (¿) считались заданными при Е [- , ]. В нашем случае нам достаточно считать их заданными лишь при Ь е [0,£о]. Для того чтобы формально удовлетворить предположениям работы [3], при -¿о ^ Ь < 0 положим ¿(¿) := ¿(-¿), ¿3(£) := ¿3(-¿), так что в итоге операторы ¿(¿), ¿3(£) оказываются заданными при Ь е [-¿о,¿о].

Операторы ¿, ¿х, ¿2, ¿3 можно продолжить до операторов, действующих из Н2(П) в Ь2 (П), следующим образом. Для функции и е Н2(П) её сужение на  попадает в Н2(^). Поэтому действие операторов ¿, ¿х, ¿2, ¿3 корректно определено на этом сужении,

и результат является элементом Продолжим затем этот элемент нулём в П \ . По-

лученная функция и есть действие требуемого продолжения операторов £, £1, £2, £э на исходную функцию и. Всюду далее эти операторы считаем продолженными указанным образом. Отметим также, что операторы £, £1, £2, £3, рассматриваемые как операторы в ¿2(П), являются, вообще говоря, неограниченными.

Пусть - оператор —А + ^ в  с краевым условием (2.2) на дП П д^ и краевым условием Неймана на д^ \ дП.

Относительно операторов £1, £2 в [3] было сделано два основных предположения: А1. Выполнено равенство:

(Афсфо )ь2(Щ = 0. А2. Пусть и - решение краевой задачи:

ортогональное фо в Ь2(). Предположим, что

Через £( к) обозначим оператор сдвига, действующий по правилу:

(5 ( к)и)(х) = и(х' — к,хп+1).

Введём оператор:

Ча,мМ:= —А + И + ^ 5

в Ь2(Па^) с краевым условием (2.2) на верхней и нижней границах и краевым условием (2.12). Через Х£аМ(ш) обозначим минимальное собственное значение оператора Ч£аМ(ш). При условиях (А1), (А2) в [3] были доказаны следующие четыре теоремы.

Теорема 3.1. Существуют положительные константы с1, с2, N-1, такие что для

N ^N1 и 0 <£<^1

выполнена оценка

2

^ М — Ло ^ Е .

кега>к

Теорема 3.2. Пусть е Г, т1,т2 е К, такие что В1 := П^ ,т1 С ,

В2 := Цд2,т2 с . Тогда существует Ы2 е К, такое что для N ^ Ы2 верна оценка

Нх*1 (Ч,NМ — \)-1ХВ2 (Пв1„н^п^) ^ —1 е~°2&^^'^2),

где 5 := ^^ \,а(ч£ам(ш))) > 0, С1, —2 - положительные константы, не зависящие от, £, а, N, 5, р2, т1, т2, X.

Теорема 3.3. Пусть 7 Е К, 7 ^ 17. Тогда интервал

Сэ С1

N

Сэ :=

л/с 2

|)^4 М-'

непуст для N ^ Ы1, где Ы1, с1, с2 - из теоремы 3.1. Для N ^ Ы1 и £ е ^ справедлива оценка

Р (и е п : Х£а^(и) — Ло ^ N-^ ^ Мп(1-1 )е-С4N*, где константа с^> 0 зависит только от вероятностной меры ^.

Теорема 3.4. Пусть а е Г, 7 е К, 7 ^ 17, N Е К и £ е . Выберем ,[32 е га,м, т1,т2 > 0 так, что В1 := Дзьт1 С Па,м, В2 := Дз2,т2 С Па,м. Тогда существует, константа с5 > 0, не зависящая от е, а, N, @2, т1, т2, такая что справедливо неравенство

Р(^ш Е П : ||ХВ1 (н^ (ш) - Х)-1ХВ2 |к(п^ )^Ь2(па^) ^ 2^ е- ^

УХ ^ Ло + —^ ^ 1 - ^(1-1 )e-C4N*

для N ^ шax{NlY, N}, где N, N - из теорем 3.1, 3.2, с4 - из теоремы 3.3.

В [3, Зам. 2.9] также было отмечено, что операторы ¿1, ¿2 можно считать зависящими от Мы считаем, что ¿1 = ¿1(^), ¿2 = ¿2(^), t е [0, Ь0]. А при Ь е [-0, 0) доопределяем их следующим образом: ¿1(^) = ¿1(-¿), ¿2(Ь) = ¿2(-¿). Эти операторы следует предполагать равномерно ограниченными при Ь е [0,£о] как операторы из Н2(^) в Ь2(). Предположение (А1) должно быть выполнено для всех Ь е [0, ¿о], а оценку (3.3) в предположении (А2) необходимо заменить на следующую:

где - некоторая константа, не зависящая от .

Отметим следующие особенности доказательств теорем 3.1, 3.2, 3.3, 3.4.

Теорема 3.1 по существу использует факт малости оператора ¿(е) при малых е. При этом симметричность этого оператора фактически в доказательстве не использовалась; требовалась лишь вещественность собственного значения X£aN (ш). Исключением было лишь доказательство вспомогательной оценки

Ло ^ Хеа>„

для заданной константы С. При наличии этой оценки и упомянутой вещественности собственного значения X£aN (ш) утверждение теоремы 3.1 остаётся верным и для несимметричных операторов ¿1, ¿2, зависящих, возможно, от ¿.

Теорема 3.2 не требует малости оператора ¿(ешк), зато использует его симметричность. Также необходимо наличие самосопряжённости оператора н£а N (ш). Аналогичная ситуация и с теоремами 3.3, 3.4 - нужна лишь симметричность оператора ¿(£шк) и самосопряжённость н£а N(ш), а также справедливость теоремы 3.1. Операторы ¿1, ¿2 при этом вновь могут зависеть от .

Опишем теперь схему доказательств теорем 2.1-2.12. Как видно из определения операторов н^,а,N (ш), Й = 1ос, овс, И1, случайные возмущения в этих операторах нельзя представить в виде (3.1), что не даёт возможности прямого применения результатов работы [3]. Поэтому для каждого из операторов н£^а' (ш) мы строим специальный ограниченный и ограниченно обратимый оператор (ш) в Ь2(па^), такой что оператор

аN(ш)) ^¡^(ш)У^'М(ш) уже представляется в виде (3.4). При этом приходится вводить новый малый параметр и новые случайные переменные. Операторы ¿¿, вообще говоря, оказываются несимметричными. Но как было сказано выше, это не является серьёзным препятствием для доказательства теоремы 3.1: необходимо лишь убедиться в веществен-

ности собственного значения Х£^а,И(ш) и проверить оценку (3.6). Ясно, что спектры операторов (у^м(ш)) 1Нц,а,М(ш)У^'М(ш) и Щ,а,м(ш) совпадают - в силу самосопряжённости последнего оператора, это гарантирует вещественность собственного значения Х£^,а,м(ш). Оценку (3.6) далее удаётся доказать независимым образом, что в итоге и приводит к утверждению теоремы 3.1 для наших конкретных операторов Н^' (ш). Формулировка же последней теоремы для этих операторов как раз и есть теоремы 2.1, 2.2, 2.3.

Далее мы возвращаемся к исходным операторам Чц ' а'N(и), случайные возмущения в которых уже не малые, но зато симметричные. И как было сказано выше, этого факта и наличия уже доказанных теорем 2.1, 2.2, 2.3 достаточно для выполнения общих теорем 3.2, 3.3, 3.4 Эти теоремы в применении к нашим операторам являются как раз теоремами 2.4-2.12.

4. Случайный локализованный потенциал

Настоящий параграф посвящён исследованию оператора Ч£^№(ш) и доказательству теорем 2.1, 2.4, 2.7, 2.10. '

Начнём с доказательства теоремы 2.1. Вначале отметим, что в силу самосопряжённости оператора Ч£^№(ш) его минимальное собственное значение вещественно. Далее преобразуем оператор Ч^№(ш) к виду (3.4). Напомним, что мы рассматриваем случай п =1. Пусть = (£) - решения уравнения

гРш1

^г = < СЕ К,

определяемое формулой

Ш

к

Отметим, что вне носителя функции Ш1 функция линейна:

Ш

к к

справа от носителя Ш1 и

Ш (0 = — 2^1 Ш1 (С) ^ + 1 / СШ1 (С) йг (4.4) к к

слева от носителя Шх. Положим:

Qъс

где функция вводится равенствами

Ш*°с(хье) := Ш(х1), е > 0, Ш]°с(х1,0) := 0.

Через х = х(х1) обозначена бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная единице в окрестности нуля и единице вне большей окрестности. Размер большой окрестности считаем достаточно малой, так что она полностью лежит в ' - напомним, что по предположению нуль является внутренней точкой '. С учётом равенств и наличия срезающей функции х, второе слагаемое правой части (4.5) есть величина порядка 0(е1-а):

кегаы

А

(ешк)2- — V Ш°с(х1 — к,ешк)х(х1 — к) ах1

^ Се1-а,

^ Се

1-а

где константа С не зависит от е, х1 и ш. Поэтому оператор умножения на функцию Q\°c(х,e,ш) является ограниченным и ограниченно обратимым в Ь2(П). Обозначим такой оператор через У£' Так как функция Q 1°с(,£,ш) принадлежит С2(П), не зависит от хп+1 и тождественно равна единице в окрестности боковой границы , то оператор

МС(ш) переводит область определения оператора Н£с'<^(ш) в себя. Прямыми вычислениями с учётом уравнения (4.1) несложно проверить, что

где оператор в правой части рассматривается в Па,м с теми же краевыми условиями, что и Н£аМС(ш). Коэффициенты А£^ос(х1 - к), А£^^^с(х1 - к) определяются равенствами:

Ац"

¿Ш1°С(Х1, £) ¿Х

Aо'l°c(хl, е):= 1 + е2-аШ1°с(х1, е)х(х1)\2 *йх1 ' ¿х1 (х1)+

+ Ш1°°(х1, в) ¿Х ы) +

1-а

+ ^-^ттт^-^^Х(х1)ш1°с(х1, е)ШЪс(х1, е).

1+ £2-аШ1°с(х1, £)х(х1) К 1 * 1 1 7

Из этих формул и оценок (4.6) следует, что коэффициенты Ао, 1°с(х1,£шк), А1,1°с(х1,£шк) ограничены равномерно по х1, е, ш. Поэтому оператор в правой части равенства (4.7) можно представить в виде (3.4), если в качестве нового малого параметра следует взять

1—а 1—а

£~-~, в качестве новых случайных переменных - шк2 а в (3.1) положить

¿1 := 0, ¿2 := 3, ¿2 := К1,1°с

где коэффициенты К1,1°с, Ко,определяются формулами:

/ ч ^т=а тт . / х1 \ . . К1,ъЛхи V :=--2—-?-— Х(Хl),

1 + г2!—аШ1 1 \гт—а )

1_ -а

Ко,1°с(х1,1) :=--^-2¿Х(х1)(^А

1 + 1 1 ^ 1Т—а '

+

¿х2 \ ¿1—

-2—а \ / \ Х(х1)Щ (~хь) Ш1 (-хЬ) ,

1+ (^^ь] \11 — а/ Кг1 —а/

при > 0 и

К1,1°с

к

Выбор значений для коэффициентов К1,^(х^ 0), Ко,(х1, 0) произволен, так как ¿(0) = 0. Указанный выше выбор этих значений будет пояснён ниже, см. замечание 4.1.

Докажем, что для оператора ¿(¿), определённого формулами (3.1), (4.8), выполнены предположения (А1), (А2). Первое из них выполнено, так как ¿1 = 0. Для проверки второго предположения вначале заметим, что в нашем случае решение уравнения (3.2) нулевое: и = 0. Поэтому для проверки неравенства (3.5) достаточно лишь оценить снизу скалярное произведение (¿2(1)фо,фо)ь2(). Так как коэффициенты А1, Ао вещественны, то

тоже верно и для данного скалярного произведения. Далее, непосредственно из формул (4.9), оценок (4.6), равенств (4.4), (4.5), а также того факта, что при малых Ь носители

функций Ш1 ( ) и 1 — х(х1) не пересекаются, получаем: 1-а /

^1,1со(х1, ¿)—фо(хп+1) = 0,

(Ка,1осА,А)ь2(а) = J Ко,1ас(х1, ¿) ¿Х1 = J Аа(х1, ¿) ¿Х1 =

' к

= ^ /^

к

У ж Ч<к + 0(*^).

к

Из этих соотношений, предположения (2.13) и определения (4.8) оператора £2 вытекает

требуемая оценка (3.5) с со = | / Ш 1(() с1(.

к

Замечание 4-1- Выбор значения А0(х1,0) обеспечивает выполнение оценки (3.5) при Ь = 0 с указанной выше константой с0.

С учётом сказанного в предыдущем параграфе для завершения доказательства теоремы 2.1 остаётся лишь проверить оценки (3.6). В силу принципа минимакса для исходного самосопряжённого оператора ^^(ш) с пробной функцией Фо имеем:

Л £, 1оС / \ ^ ¿2 ) +

Ла,И (ш) ^ ГФр +

Е 1ос

+ кега , м ' ^

Е 1ос

кега, м

^Ло + -:-V- II / 112- ^

Е (ешк(V1 (-)фо,фо) <=г_ V \ К / У J

*ега : „ V /¿2

= 0

4Ло + £ ИФоИвд <

кега,м

р1—а г (

^Ло + 1(0 <К ^ Ло + ^,

к

и при достаточно большом Ы1 (см. (2.14)) приходим к правой оценке в (3.6).

Для доказательства левой оценки в (3.6) в области рассмотрим боковые границы дк \ дП множеств к для всех к Е , и на этих поверхностях введём краевые условия Неймана. Тогда в силу принципа минимакса собственное значение \£с,^(ш) оценивается

снизу через наименьшее из минимальных собственных значений операторов %к'1°С(шк), к Е , на ячейках к:

Л £, 1оС / N • Л £, 1оС / N

Км (ш) ^ Лк,1 (шк).

Минимальное собственное значение Х£к''°с(шк) оператора Нк 1 (шк) является также и минимальным собственным значением оператора (^к'1°с) 1Н£1к''°с(шк)^1°с. Согласно (4.7) с а = к, N =1, этот оператор является малым регулярным возмущением оператора -А + Уо в к с краевым условием (2.2) на дк П дП и краевым условием Неймана на дк \ дП. Поэтому согласно общей теории регулярных возмущений для Х£к'°с(шк) справедлива асимптотика:

Х£к1°с(шк) =Ло + (шк),— ([А1'1°с( •,ешк --+ Ао, 1°с( •,ешк ифо,фЛ +

М 1 \\ ¿х1 / / ь2

+ 0((е шк )2-2а). Из формул (4.9) с £ = (ешк) следует, что

1 I -*-о,1°С V ^ ^ ••""к/ I уо) уо I

йх1 / / Ь2

2 ' к

а потому асимптотика (4.12) принимает вид:

(^А1,1°с( •,ешк) ¿т + Ао, 1°с (•,ешк)^фо,'ф^ = / Ш1 (()(!( + 0(ешк),

Х^шк) = Ло + У Ш1 (С) + 0((ешк)2-2а).

к

И теперь в силу предположения (2.13) приходим к левой оценке в (3.6). Теорема 2.1 доказана.

Доказательство теорем 3.2, 3.3, 3.4 для оператора Н£(,°^(ш) переносятся из [3] без изменений, и это приводит нас к теоремам 2.4, 2.7, 2.10.

Замечание 4.2. Отметим, что оператор Н£с,<°^(ш) со случайным локализованным потенциалом мы рассматриваем только в полосе, предполагая п = 1. В многомерном случае также можно построить преобразование ^Мс(ш), для которого будет верна формула (4.7). Такое преобразование следует строить в виде (4.5), а функцию вводить как решение уравнения

А?Ш* = Ш1, Се Кга,

определяемое формулой

Ш*(£) := -/ Е(С - ОШ1 (^ ¿г,

к™

где Е - фундаментальное решение оператора Лапласа в Кга. Вместе с тем, после перехода к преобразованному оператору предположение (А2) не выполняется, а именно, нарушается оценка (3.5). Это и является причиной введения упомянутого ограничения на размерность слоя П.

5. Случайный быстро осциллирующий потенциал

В данном параграфе мы рассматриваем оператор Н^'°^с(ш) и доказываем теоремы 2.2, 2.5, 2.8, 2.11. Схема доказательств описана в третьем параграфе и в целом та же, что в предыдущем параграфе: основное внимание уделяется доказательству теоремы 3.1 для оператора Н^'М^ш), то есть фактически основной акцент делается на доказательстве теоремы 2.2. Доказательство теорем 3.2, 3.3, 3.4 затем без изменений переносится из [3] и в применении к оператору Н^'М^ш), это даёт утверждения теорем 2.5, 2.8, 2.11. Поэтому далее мы доказываем только теорему 2.2.

В силу самосопряжённости оператора Н^^ш) его минимальное собственное значение Л^°^с(ш) вещественно. Построим теперь оператор преобразующий оператор Н^'д^ш) к виду (3.4). Положим:

^овс

кега : N

где функция определяется равенствами:

Щ°8с

Через обозначим оператор умножения на функцию Q08С(х,£,ш). В силу гладко-

сти Ш8, функция Qosc дважды непрерывно дифференцируема по х в П. Более того, верны равномерные по х Е П, е, ш оценки

(Шк)2-а £ Шо8с(х' — к,хп+1,Шк)х(х' — к)\^С£2-а, кега м

кега ^

^ С£

1а

Поэтому оператор ^'^(ш) ограничен и ограниченно обратим в Ь2(Па,^) и переводит область определения оператора Н^'д^ш) в себя. Как и в (4.7), с учётом уравнения (2.16) несложно проверить, что

(у::о8с(ш))-1н:';°с(ш)у::о8с(ш) = —А + Уо+

/П+1 д + ^

кега : м ^]=1 3

+ Ао,о8с(х' — к,хп+1,Шк.

о' о8с

Оператор в правой части этого равенства рассматривается в с теми же краевыми

условиями, что и Н£а°м(ш). Коэффициенты А3,о8с, Ао,о8с имеют вид:

- дШ°8с

1 + е2-аШ°8с(х, е) дхз

1 Л д2Ж8 / х\ „„, / х^

А3'о8с

хз

П+1 Я2

Ао-(х, ^ := — 1+ 2 а, о,г. £)(2 £ (х, х) + -(АШ8) (х, х) +

+ е1-аШ8 (х, х) Шо8с(х, + £1-аШ(х).

Первые два слагаемых в скобках в правой части формулы для Ао,о8с следует понимать в смысле частных производных по х и £ функции Ш8(х, р) с последующей подстановкой

£ _ х

р £ '

Из оценок (5.3) вытекает, что функции А3,о8с(х, е), Ао,о8с(х, е) ограничены равномерно по х, е и шк. Правую часть равенства (5.4) можно представить в виде (3.4), удовлетворив при этом предположения (А1), (А2).

Для этого нам понадобится следующая вспомогательная лемма.

Лемма 5.1. Пусть функция т = т(х, р), заданная в К2га+2, 1-периодична по каждой из переменной £, г = 1,... ,п, и финитна по х:

виррЦ-, р) СМ С  для всех рЕ К"",

где М - некоторое фиксированное множество. Предположим, что

д п+ш1П

^^^ еС

для некоторого т е К. Тогда справедливо асимптотическое равенство

= I ¿х I т

(од)^1

Доказательство. Переходя к функции

Ох 0^w(х, О - ! т(х, ()d(,

(о,1)п+1

видим, что утверждение леммы достаточно доказать для случая

! т

(од)^1

В силу этого равенства краевая задача для уравнения

А— = т, Се (0,1)га+1,

с периодическими краевыми условиями разрешима для каждого х е , и существует единственное решение, также удовлетворяющее условию (5.8). Эта функция имеет следующую гладкость:

дП + ^и,)

еС

Так же как и т, функция т* финитна по х. В силу уравнения для т* выполнено равенство

п+1 п п п+1 п2

2 д дт* ( х\ ут-^. д2т* ( х\ ( х

)=£ ^ ЩЩ ^ ~е )+т \х, в,

где в правой части все производные понимаются как частные производные по х и от функции т(х, £), а производная по х3 в левой части есть полная производная по х3 от функции, зависящей от х и х/е. С учётом последнего равенства имеем:

/ п+1 Г) Г) г п+1 П2

д дт* ( х\ , / д2тм ( х\ ,

¿^Щ Ж \, ~е) ¿х-£] ¿-8ххмз (х,~е) dх

гп 3—1

3—1  3

Г^ д 2т* (х\

= А^ЩЩ

3—1

Отметим, что каждая из подынтегральных функций в левой части полученного равенства имеет гладкость (5.6) с заменой т на т - 1 и удовлетворяет условию (5.8). Реккурентно

применяя теперь равенство (5.10) достаточное число раз, приходим к утверждению леммы.

Обозначим:

фо(хп+1)_Лп^ дШИ (х х) +е(А Ш8) (х х

* 3—1

В силу первой оценки в (5.3) выполнено равенство

1 1 + 0

1 + е2-аШ°*с

равномерно по х Е . Поэтому из леммы 5.1, условия (2.17) и гладкости функции следует равенство

Т о8С(е) = 0(е). (5.12;

Определим теперь оператор £(£). Положим:

п+1

д

А(*) := ^к^Х,г) — + хо1о)8с(х,г),

3=1 дх3 '

£2^) := К^Цх, г), £з(*):=0,

при > 0, где

-

д 1 к

К1,о8с(х, Ь) 2 —а 1 о (х,<- ),

' 1+ ¿2—^Ш°8с(х, ¿1— )дх3

1 / ^ д2Ш8 / х

^¿с^, ^ := 2 —а , 1 ( 2 ^ ^ д ас \х, 1 ) +

' 1+ ¿2—^о8с(х, ¿1— )\ 3=1дх'д/

+ ^(АЖШ8) ( ) + £То8С(£^),

ко2о8с(х, *) := — То8с(1 ^) + Ш(х) +-М—^-

1 + ¿1—«Ш°8с

и при Ь = 0 операторы £ определяются формулами:

£1(0) :=0, £з(0) := 0,

£2(0) :=1 / Ш(х)Фо2(хга+1)^х—

— 1/бЪФо2 (хп+1) I |У?Ш8(х, р)|2С

(о,1)"+1

Несложно убедиться, что при таком выборе оператора £( ) правая часть (5.4) принимает вид (3.4), если в качестве нового малого параметра выбрать £1-а, а в качестве новых

1—а

случайных переменных - шк .

Проверим теперь выполнение предположений (А1), (А2). Первое из предположений следует непосредственно из определения величины То8с и коэффициента К2^.

Проверим предположение (А2), а именно, оценку (3.5). Вначале выясним поведение скалярного произведения (£2(£)Фо,Фо)ь2(Щ. Для этого воспользуемся оценкой (5.12), равенством (5.11) и леммой 5.1:

(2) ' о8с

+ / Ф02

(£2(г)Фо,Фо^(Щ = J Щ'^Лх, ¿)Ф°(хга+1 )йх = J Ш(х)Ф(°(хга+1 )^х+

J Ш(х)Ф°(хп+1) ¿х+

+ / Фо2

= у Ш(х)ф2(хп+1) ¿х + у ¿хф2(хп+1) у Ш(х, СЖ(х, О ^ + 0(^).   (оД)1^1

С учётом уравнения (2.16) и краевых условий для Ш мы можем проинтегрировать по частям в последнем интеграле:

У ¿хф2(хп+1) У Шв(х, ОШ:(х, OdC =

(од)^1

= 1 ¿хф2(хп+1) У !(х,ОА^(х, е) ¿е =

(оД)^1

= -I¿хф2(хп+1) у е)|2Ш*(х,^¿е

(оД)^1

Теперь окончательно получаем:

(¿2(Ь)фо,фо)ь2(П) = У Ш(х)ф2(хп+1) ¿х-

, ^

-у ¿хф2(хп+1) у |у^(х,е)12Ш*(х,^ + 0(^).

(оД)^1

Выясним теперь поведение решения уравнения (3.2). Правая часть этого уравнения есть функция

(¿1 «)фо) (х, 0 =--¿£(хп+l> (2 £ (х- -х-) +

+ ¿Л(АЖШ:) ( ^ +1Т°С(1 ^)фо(хп+1).

Для решения уравнения (3.2) с такой правой частью методом двух масштабов можно

построить асимптотическое разложение при малых Ь [6]. Это разложение будет верно по

_ 2

меньшей мере в норме Ь2 (). Первый член разложения есть величина порядка 0(£т=а).

Поэтому

2

( и, ¿1(1)фо)ь2) = 0(1 —а), 0. Таким образом, с учётом (5.15) имеем:

(¿2(Ь)фо,фо)ы() - (и, ¿1(г)фо)^() = У Ш(х)ф1(хп+1) ¿х-

Ь2

-у ¿хф2(хп+1) у |у?кх,е)12Ш*(х,+0^) ^

(оД)^1

^1 У Ш

-11 ¿хф2(хп+1) I |у?Ш,(х,О|2ш:(Х,

п + 1

при достаточно малых ¿. Это доказывает выполнение предположения (А2) при Ь > 0. При Ь = 0 имеем А^фо = 0, и = 0, и оценка (5.16) выполняется в силу определения £2(0), см. (5.14).

Проверим теперь оценки (3.6). Как и в предыдущем параграфе, для доказательства правой оценки применим принцип минимакса с пробной функцией фо:

2ЫПа N) +

Ла,М (Ш) ^ \Г—Й2 +

Е (Wosc(- -к,хп+1,ешк)ф°,ф°)j

zosc _

'""'L2

fcera ,N

+ Л i ГГ0 ^

E (Wosc(- - к,хп+1,ешк)ф°,ф°)J

osc

fcei

kera>N

E (ешкГ (W<°sc (, ^)ф°,ф°)ь 1|ф°1|2

fcera,w

1 - ^ (r,.„. )-a i Wsl х — \ ф1,2'

+

4 I I О II

1Ь2

Е Mi

=Л° + -щщ £ (шь) а f ^^ Ф°2(Хп+1) dx.

В силу леммы 5.1 и предположения (2.18) отсюда следует:

С

A^c(u) ^ Л° + Св1-1 ^ Л° + , С > 0,

где константа С не зависит от е и N .С учётом (2.19), при достаточно большом N1 это даёт правую оценку в (3.6).

Для доказательства левой оценки в (3.6) совершенно аналогично предыдущему параграфу, на основе принципа минимакса выводится нижняя оценка:

KJ'М ^ ,min КГ^*),

где Aj'1sc (шк) - минимальное собственное значение оператора %^osc(^fc) на ячейке  с соответствующими краевыми условиями. Оно одновременно является собственным значением и оператора (Vfc^(шк)) 'H£fc°1c(uk)Vfc1c(uk), который в соответствии с равенством (5.4) есть малое регулярное возмущение оператора — А + V° в Щ с соответствующими краевыми условиями. Тогда согласно регулярной теории возмущений, асимптотика собственного

Л £,osc / \

значения Afc1 (шк) имеет вид:

A^1sc(uk) =Л° + (^— (с1(ешк )ф° ,ф°)ь2(а)+

1-а

+--Щ— ((AC^fc)Ф°,Ф°)Ь2(Щ) — (U, AO^fc)Ф°)ь2()) +

+ 0((£ Шк )3-3а

где и - решения уравнения (А2) с правой частью ¿1 (ешк)фо. Отсюда, из формулы (5.16) и выполнения предположения (А1) получаем:

)2-2а

4,1 (шк) =Ло +--п=й-I I уу (х)фо (

) =Ло + (£I Ш(хШ(хп+1) ¿х-

-/ ¿хфо0(хп+1) I |У?ш:(Х,e)|2d^+o((^fc)з-зa);

(од)^1

откуда следует, что

ХкГ(шк) ^ Ло

при достаточно малых е. В силу (5.17) это доказывает левую оценку в (3.6) и завершает доказательство теоремы 2.2.

Замечание 5.1. Идея построения оператора заимствована из работ [4], [5], где

подобный оператор был построен в одномерном случае. В настоящей работе этот подход распространён на случай произвольной размерности.

6. Случайное дельта-взаимодействие

В настоящем параграфе мы исследуем оператор 'н£0^г (ш) и доказываем теоремы 2.3, 2.6, 2.9, 2.12. '

В статьях [7, Ех. 5], [8, Ех. 5] было показано, что с помощью определенной замены пространственных переменных и умножения на определенную функцию, операторы с дельта-взаимодействиями можно свести к обычным дифференциальным операторам, сохранив при этом спектр и самосопряжённость. В применении к нашему оператору ^^(ш), результаты работ [7, Ех. 5], [8, Ех. 5] дают следующее утверждение.

Лемма 6.1. Существует замена переменных у = (ух,..., уп+1), уг = уг(х,еш), г = 1,... ,п +1, такая что

1. Вне малых фиксированных окрестностей поверхностей Як, к е Г, замена х м- у является тождественной, то есть уг = хг. Замена х м у переводит каждую ячейку к в себя.

2. Функции уг являются дважды дифференцируемыми функциями, при этом вторые производные кусочно-непрерывны.

3. Пусть р = р(у, еш) - якобиан замены хм у, то есть

р = ае! у1,..., уп+1) ,

В(х1, . . . ,хп+1) '

где матрица в правой части - это матрица Якоби замены. На функциях и е Ь2{Па,м), и = и(у) определим оператор в терминах обратной замены х = х(у, £ш):

(УЙ?(ш)и)(х) := Р-2(х(У,£ш))и(х(У,^ш)). Выполнено равенство:

(^(ш))-1 ^?(ш)У$?(ш) = -А + Уо+

+ ^ ешк8

где М(¿) - симметричный дифференциальный оператор второго порядка с кусочно-непрерывными коэффициентами, равными нулю вне малой окрестности поверхности Я.

4. Справедливо равенство

(м(Ь)фо,Фо)ыо) = J dS.

s

Определим оператор £(i):

£1 := 0, A(i) := M(i2), £a(i):=0, £(i) := iM(i), te [0,to].

Тогда согласно пункту 3 леммы 6.1, правая часть равенства (6.1) совпадает с оператором (3.4), если в качестве нового малого параметра взять £2, а в качестве новых случайных

переменных - . Предположение (A1) при этом выполняется. Решение соответствующего уравнения (3.2) равно нулю, а потому в силу (2.21) предположение (A2) также выполняется. И так как операторы £, г = 1, 2, 3, симметричны, то возможно прямое применение общих теорем 3.1, 3.2, 3.3, 3.4. Это немедленно приводит нас к утверждению теорем 2.3, 2.6, 2.9, 2.12.

Авторы выражают благодарность Г.П. Панасенко за обсуждение отдельных аспектов работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гадыльшин Р.Р. О локальных возмущениях оператора Шрёдингера на оси // Теор. матем. физика. 2002. Т. 132. № 1. С. 97-104.

2. Борисов Д.И. Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном // Матем. сборник. 2006. Т. 197. № 4. С. 3-32.

3. D. Borisov, A. Golovina, I. Veselic Quantum Hamiltonians with weak random abstract perturbation. I. Initial length scale estimate // Preprint: arXiv:1501.06503. 2015.

4. Борисов Д.И., Гадыльшин Р.Р. О спектре оператора Шрёдингера с быстро осциллирующим финитным потенциалом // Теор. матем. физ. 2006. Т. 147. № 1. С. 58-63.

5. Борисов Д.И. О некоторых сингулярных возмущениях периодических операторов // Теор. матем. физ. 2007. Т. 151. № 2. С. 207-218.

6. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984. 352 с.

7. D. Borisov Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbation // Math. Phys. Anal. Geom. 2007. V. 10. No. 2. P. 155-196.

8. D.I. Borisov Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Ann. H. Poincare. 2007. V. 8. No. 7. P. 1371-1399.

9. Бикметов А.Р., Борисов Д.И. О дискретном спектре оператора Шредингера с узкой потенциальной ямой // Теор. матем. физ. 2005. Т. 145. № 3. C. 373-385.

10. Бикметов А.Р. Асимптотики собственных элементов краевых задач оператора Шредингера с большим потенциалом, локализованным на малом множестве // Жур. вычис. матем. матем. физ. 2006. Т. 46. № 4. С. 666-681.

11. F. Martinelli and H. Holden On absence of diffusion near the bottom of the spectrum for a random Schrodinger operator on L2(RV) // Comm. Math. Phys. 1984. V. 93. No. 2. P. 197-217.

12. J. Frohlich, Т. Spencer Absence of diffusion in the Anderson tight binding model for large disorder or low energy // Comm. Math. Phys. 1983. 88. No. 2. P. 151-184.

13. J. Baker, M. Loss, and G. Stolz Minimizing the ground state energy of an electron in a randomly deformed lattice // Comm. Math. Phys. 2008. V. 283. No. 2. P. 397-415.

14. D. Borisov and I. Veselic Low lying spectrum of weak-disorder quantum waveguides // J. Stat. Phys. 2011. V. 142. No. 1. P. 58-77.

15. D. Borisov and I. Veselic Low lying eigenvalues of randomly curved quantum waveguides // J. Funct. Anal. 2013. V. 265. No. 11. P. 2877-2909.

16. J. Bourgain An approach to Wegner's estimate using subharmonicity //J. Stat. Phys. 2009. V. 134. No. 5-6. P. 969-978.

17. L. Erdos and D. Hasler Anderson localization at band edges for random magnetic fields //J. Stat. Phys. 2012. V. 146. No. 5. P. 900-923.

18. L. Erdos and D. Hasler Wegner estimate and anderson localization for random magnetic fields // Comm. Math. Phys. 2012. V. 309. No. 2. P. 507-542.

19. F. Ghribi, P. D. Hislop, and F. Klopp Localization for Schrodinger operators with random vector potentials //In Adventures in mathematical physics. Contemp. Math. Providence, RI, Amer. Math. Soc., 2007. V. 447. P. 123-138.

20. F. Ghribi and F. Klopp Localization for the random displacement model at weak disorder // Ann. Henri Poincare. 2010. V. 11. No. 1-2. P. 127-149.

21. P.D. Hislop and F.Klopp The integrated density of states for some random operators with nonsign definite potentials //J. Funct. Anal. 2002. V. 195. No. 1. P. 12-47.

22. F. Kleespies and P. Stollmann Lifshitz asymptotics and localization for random quantum waveguides // Rev. Math. Phys. 2000. V. 12. No. 10 P. 1345-1365.

23. F. Klopp Localization for semiclassical continuous random Schrodinger operators II: The random displacement model // Helv. Phys. Acta. 1993. V. 66. No. 7-8. P. 810-841.

24. F. Klopp Localisation pour des opérateurs de Schrodinger aléatoires dans L2(Rd): un modèle semi-classique // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1995. V. 45. No. 1. P. 265-316.

25. F. Klopp Localization for some continuous random Schroodinger operators // Comm. Math. Phys. 1995. V. 167. No. 3. P. 553-569.

26. F. Klopp Weak disorder localization and Lifshitz tails: continuous Hamiltonians // Ann. Henri Poincare. 2002. V. 3. No. 4. P. 711-737.

27. F. Klopp, M. Loss, S. Nakamura, and G. Stolz Localization for the random displacement model // Duke Math. J. 2012. V. 161. No. 4. P. 587-621.

28. F. Klopp and S. Nakamura Spectral extrema and Lifshitz tails for non-monotonous alloy type models // Comm. Math. Phys. 2009. V. 287. No. 3 P. 1133-1143.

29. F. Klopp, S. Nakamura, F. Nakano, and Y. Nomura Anderson localization for 2D discrete Schrodinger operators with random magnetic fields // Ann. Henri Poincare. 2003. V. 4. No. 4. P. 795-811.

30. V. Kostrykin and I. Veselic On the Lipschitz continuity of the integrated density of states for sign-indefinite potentials // Math. Z. 2006. V. 252. No. 2. P. 367-392.

31. D. Lenz, N. Peyerimhoff, O. Post, and I. Veselic Continuity properties of the integrated density of states on manifolds // Japan. J. Math. 2008. V. 3. No. 1. P. 121-161.

32. D. Lenz, N. Peyerimhoff, O. Post, and I. Veselic Continuity of the integrated density of states on random length metric graphs // Math. Phys. Anal. Geom. 2009. V. 12. No. 3 P. 219-254.

33. D. Lenz, N. Peyerimhoff, and I. Veselic Integrated density of states for random metrics on manifolds // Proc. London Math. Soc. 2004. V. 88. No. 3 P. 733-752.

34. K. Leonhardt, N. Peyerimhoff, M. Tautenhahn, and I. Veselic Wegner estimate and localization for alloy-type models with sign-changing exponentially decaying single-site potentials // Rev. Math. Phys., to appear.

35. G. Stolz Non-monotonic random Schrodinger operators: the Anderson model //J. Math. Anal. Appl. 2000. V. 248. No. 1. P. 173-183.

36. N. Ueki On spectra of random Schrodinger operators with magnetic fields // Osaka J. Math. 1994. V. 31. No. 1 P. 177-187.

37. N. Ueki Simple examples of Lifschitz tails in Gaussian random magnetic fields // Ann. Henri Poincare. 2000. V. 1. No. 3. P. 473-498.

38. N. Ueki Wegner estimate and localization for random magnetic fields // Osaka J. Math. 2008. V. 45. No. 3. P. 565-608.

39. I. Veselic Wegner estimate and the density of states of some indefinite alloy type Schrodinger operators // Lett. Math. Phys. 2002. V. 59. No. 3. P. 199-214.

Денис Иванович Борисов, Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия

Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, ул. Октябрьской революции, 3а, 450000, г. Уфа, Россия

University of Hradec Kralove, Rokitanskeho, 62

50003, Hradec Kralove, Czech Republic E-mail: BorisovDI@yandex.ru

Рамис Хамитович Каримов,

Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы,

ул. Октябрьской революции, 3а,

450000, г. Уфа, Россия

E-mail: karimov_ramis_92@mail.ru

Тимур Фархатович Шарапов,

Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, ул. Октябрьской революции, 3а, 450000, г. Уфа, Россия E-mail: stf0804@mail.ru