Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2: вязкопластические и упруговязкопластические модели

УДК 539.3

П.В. Трусов, П.С. Волегов

Пермский государственный технический университет

ФИЗИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ К ОПИСАНИЮ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ. Ч. 2: ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИЕ И УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Приводится обзор широкого класса теорий пластичности, получивших название физических теорий пластичности (в иностранной литературе - crystal plasticity theories), в основе формулировок определяющих соотношений, гипотез и основных положений которых лежит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах. Вторая часть обзора посвящена рассмотрению ключевых особенностей физических теорий вязкого типа -вязкопластических и упруговязкопластических, а также их модификаций. Особое внимание уделено «тонким местам» приводимых теорий, их критическому анализу и способам решения проблем, возникающих при их использовании для описания процессов неупругого деформирования материалов.

Ключевые слова: обзор, физические теории пластичности, вязкопластичность, упруго-вязкопластичность, упрочнение.

Вязкопластические модели

Наряду с жесткопластическими и упругопластическими моделями [2] физической теории пластичности интенсивно разрабатываются и вязкопластические модели, роль которых особенно велика при рассмотрении процессов неупругого деформирования при повышенных температурах и медленных нагружениях, поскольку, как известно, движение дислокаций (особенно - неконсервативное) - процесс термически активируемый.

В работе [17] рассматривается вязкопластическая модель, учитывающая влияние температуры, основанная на континуальной модели «механического порогового напряжения» (MTS - mechanical threshold stress), предложенной Фоллансби и Куксом [12]. Последняя представляет собой изотропную «скалярную» (одноосную) модель для предсказания напряжения течения в зависимости от скорости деформации,

TeMnepaiypti h TeKy^ero cocroaHHa, onHCMBaeMoro napaMeTpoM cocroa-HHa, Ha3MBaeMMM MexaHHHecKHM noporoM. B nepBon nacTH paöoTti pac-CMaTpHBaeTca TaK Ha3tiBaeMaa «craHflapTHaa Ba3KonnacTHnecKaa Moflent Tefinopa» (Standard rate dependent Taylor model). B Hen Hcnont3yerca «*e-cTKonnacTHHecKoe» MyntTHnnHKamBHoe paano^eHHe rpaflHema MecTa F:

oö o

F = Vr1 = R• Fp, det(R) = 1, det(Fp) = 1.

CocraBnaro^aa Fp nepeBoflHT oTcneTHyro KoH^HrypanHro K0 b npo-Me^yronHyro K* npH oTcyrcTBHH noBopoTa (opHemanHa KpHcTannHne-ckoh pemeTKH ocTaeTca HeH3MeHHon), a poTanHa R nepeBoflHT K* b aKTy-antHyro KoH^HrypanHro Kt. Torfla (TpaHcnoHHpoBaHHtin) rpaflHeHT cKopo-cth nepeMe^eHHM L (b aKTyantHon KoH^HrypanHH) onpeflenaeTca cooTHomeHHeM

oö

L = V vT = R • RT +R • Fp • Fp 1 • RT .

oö *

' p — V7 ,rT

3aMeTHM, hto Lp = V v1 =Fp • Fp-1 - «nnacTHHecKHH» rpaflHeHT cKopocTH nepeMe^eHHM, cBa3aHHMM co cKopocTaMH cflBHroB no cHcTeMaM cKont^e-HHa (CC) cooTHomeHHeM

K

Lp= £ j^nf,

k=1

rfle j(kk - cKopocTt cflBHra no k-H CC, bf0k) - eflHHHHHtin BeKTop HanpaBne

HHa cKont^eHHa (coHanpaBneHHtifi BeKTopy Eroprepca), n0) - eflHHHHHtin

BeKTop HopManH k-H CC, onpefleneHHtie b npoMe^yroHHofi (hhh, hto to *e caMoe, b oTcneTHofi) KoH^HrypanHH. BBoflHTca aflflHTHBHoe pa3no*e-HHe rpaflHeHTa cKopocTH nepeMe^eHHfi:

L = D + W, D= 12(l +Lt), W= 12(l-L

2

npH 3tom c yneTOM (2)-(3) HMeeM

' K

D - R

£ jk)Mk

T WT _D D T

k =1

R1, W - R • R1 +R

K

£ j(k)Q

k=1

RT

rfle Mk - y2 (b0)n0) + <K)» Q0) - ^2 (b0)n0) - n0)b0)) • TeH3op poTa-nHH pemeTKH onpeflenaeTca pemeHHeM ypaBHeHHa

к = W • Я + Я • А,

А = -

к=і

Таким образом, ротация решетки складывается из материального вращения (^) и ротации от стесненного сдвига (А). Определяя далее ориентационный тензор в актуальной конфигурации Мк соотношением Мк = 12('Ъ(к)п(к) + п(к)Ь(к)) = К • Мк • Ят, сдвиговое напряжение в к-й СС можно установить следующим образом:

х

где о, 8 - тензор напряжений Коши и его девиатор.

Для скорости сдвига принимается широко используемый (см., например, [4, 5, 15, 23]) степенной закон:

У(к) =У(к) (г(к) ) = У 0

г

г

8І§и(т(к) ),

где - критическое напряжение сдвига на к-й СС. Следует отметить, что при стремлении п^-да соотношение (8) приближается к жесткопластическому закону; детально вопрос об эквивалентности вязкопластической и жесткопластической моделей исследован в работах [3, 22].

Подставляя (8) в (5)1, девиатор напряжений можно определить решением следующей системы нелинейных уравнений:

Б= Р ,

где четырехвалентный тензор вязкопластических свойств определяется соотношением

к

р=I

У 0

(к) Гс (к) Гс

П-1

М(к)М

Отметим, что при изменении Б в д раз аналогичным образом в соответствии с (5)1 меняются скорости сдвигов, тогда согласно (8) напряжения сдвига (а следовательно, и тензор напряжений) изменяются в д1/п раз. Следует подчеркнуть, что из определения тензора свойств Р очевидна нелинейность соотношения (9), поскольку х(к) определяется по искомому тензору 8.

п

с

Принимается закон изотропного упрочнения, эволюционное уравнение для критического напряжения имеет вид закона Воуса (Voce):

dT jT(k) к f _ _ _ Л к

^=dT^=hy\j

dt dt {=} t _t

V Tsc T0c У

k=1

Здесь Л0 - начальная скорость упрочнения, т0с, т8С - начальное напряжение течения и напряжение насыщения. Макроскопический девиатор напряжений определяется осреднением с весами по всем зернам.

Отмечается, что степенной закон (8) может рассматриваться лишь как приближенный закон, не имеющий под собой должного физического обоснования. В связи с этим в работе предлагается модифицировать указанный закон для учета скорости деформации в широком диапазоне ее варьирования и влияния температуры. В основу указанной модификации положена упомянутая выше модель механического порогового напряжения. При использовании этой модели для поликристаллов фигурирующее в исходной форме закона упрочнения эффективное одноосное напряжение заменяется на критическое напряжение сдвига тк, а эффективная одноосная скорость деформации - на суммарную скорость сдвигов по всем системам скольжения. При этом рассматривается только изотропный закон упрочнения Тейлора, поскольку учет скоростной чувствительности и упрочнения по каждой системе скольжения весьма сложны.

Рассматривается проблема двойного учета скоростной чувствительности: из экспериментов известно, что степенной вязкий закон вида (8) справедлив при постоянном показателе скоростной чувствительности только в узком диапазоне скоростей деформаций. В рассматриваемой модели и скорость деформации, и температура уже учтены. Чтобы исключить двойной учет скоростной чувствительности, авторы предлагают устранить ее из собственно вязкого закона. Для устранения скоростной чувствительности из соотношения (8) (при фиксированном п, принимаемом равным 20) у 0 в нем заменяется на интенсивности скорости деформации

4= (2/3 В:Б)1; 2, что согласуется с принятой в модели Тейлора гипотезой Фойгта. Действительно, в этом случае при изменении Б в д раз аналогичным образом в соответствии с (5)1 меняются скорости сдвигов, тогда согласно (8) напряжения сдвига остаются неизменными.

Подробно описывается численная процедура; для интегрирования по времени используется неявная разностная схема, система нелинейных уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Для установления шага по времени решена задача на одноосное сжатие при 10, 20, 40 и 100 постоянных шагах по времени; различие между результатами расчета напряжения сжатия при числе шагов 10 и 100 не превысило 0,24 %.

Верификация предлагаемой модели осуществляется сопоставлением полученных с ее помощью результатов расчета напряжений с результатами стандартной изотропной модели MTS. Скоростная и температурная зависимости определялись в опытах на сжатие алюминиевого сплава Al 5182 при температурах 200 и 300 °С и скоростях деформации 0,001 и 1,0 с-1. Показано очень хорошее соответствие результатов.

Анализ предсказания моделью формирования текстуры осуществлен сопоставлением с результатами, полученными Kalidindi e.a. с использованием модели Тейлора; отмечается хорошее качественное соответствие результатов.

Отдельный раздел работы посвящен процедуре идентификации модели. С этой целью записывается функция квадратичного отклонения определяемых расчетным путем компонент тензора напряжений от экспериментально измеряемых значений; для регуляризации добавлен штрафной член, представляющий собой квадратичное отклонение искомых параметров модели от первоначально заданных. Решение поставленной задачи минимизации этой функции осуществлялось градиентным методом. Проведены расчеты для случаев сжатия и кручения образцов из стали HY100 (ОЦК-решетка, в рассмотрение включены все 48 потенциально возможных систем скольжения) при различных скоростях деформации и температурах. Полученные результаты позволили с удовлетворительной точностью описать поведение стали при отсутствии начальной текстуры. Аналогичные результаты получены для начально текстурированной танталовой пластины.

Представляется целесообразным кратко остановиться на работе [6], содержащей значительное количество экспериментальных данных по лучевым и двухзвенным траекториям деформации листового алюминиевого сплава, пригодных для идентификации и верификации теоретических моделей. Подробно описана методика экспериментальных исследований, включающих как чисто механические измерения, так и анализ текстуры и дислокационных субструктур. Теоретические ис-

следования проведены с использованием вязкопластических моделей со степенным законом, «полностью стесненной» и самосогласованной. Обе модели дают близкие результаты как по зависимостям напряжений от работы на пластических деформаций, так и по полюсным фигурам; отмечается, что полюсные фигуры в теоретических расчетах получаются более четко выраженными («острыми»), чем в экспериментах.

В работе [21 ] также используется мультипликативное разложение градиента места. Упругими деформациями пренебрегается, в силу чего упругая составляющая градиента места описывает только поворот кристаллической решетки, Ее = Я1. Получено аддитивное разложение градиента скорости перемещений Ь в промежуточной конфигурации:

Ь = Б + + Wp,

К _1

где Б = Бр = £ Му(к), W/ = (Я1 ) • Я1 - спин решетки,

к=1

К

Wр = £ МА)у(к\ причем тензоры М и Мд) (симметричная и анти-

к=1

симметричная части ориентационного тензора) определены также в промежуточной конфигурации. Используется гипотеза Фойгта, т.е. деформации скорости принимаются одинаковыми в каждый момент времени во всех зернах поликристалла. Скорости сдвигов на СС определяются степенным законом, аналогичным (8).

Следует отметить, что, хотя в вязкопластических моделях активными в каждый момент времени могут быть любые из возможных для данного типа кристалла СС, не все они будут линейно независимы; например, на каждой кристаллографической плоскости линейно независимыми могут быть только две из трех СС. В работе предлагается эвристическая, чисто геометрическая процедура определения активных СС, число которых на каждой плоскости не более двух; например, для ГЦК-кристаллов общее число активных СС, таким образом, не превышает восьми. Для определения скоростей сдвигов на СС ставится задача оптимизации, критерием является минимальность евклидовой нормы вектора скоростей сдвигов; кинематическое ограничение

К

Б = £ Му(к) вносится с использованием множителей Лагранжа. Де-

к=1

тально описан пошаговый алгоритм реализации предлагаемого подхо-

да. С использованием последнего решены тестовые задачи одноосной осадки и простого сдвига монокристаллов с различной начальной ориентацией, одноосной осадки, осадки в условиях плоско-деформированного состояния и простого сдвига поликристаллических образцов. Сопоставление результатов расчета эволюции ориентаций кристаллитов с теоретическими результатами, полученными с использованием других моделей, и экспериментальными данными обнаруживает хорошее соответствие.

Упруговязкопластические модели

Одной из первых работ, в которой представлены теоретические результаты, полученные с применением физической упруговязкопластической модели, удовлетворительно согласующиеся с экспериментальными данными, была статья [26]. Модель, предложенная в цитируемой работе, базируется на теории термоактивируемого движения дислокаций (Кгопег&Теоёозш (1972), Кга1;осЬу11&ёе А^еНв (1971)) и модели Линя [2].

В предлагаемой модели приняты все гипотезы модели Линя, за исключением соотношений для определения скоростей (или приращений) сдвигов: предполагается, что скорости сдвигов связаны с касательными напряжениями на кристаллографических системах скольжения вязкопластическими соотношениями вида

у“* = Уоехр[-Но/

т|к) > тС‘), к = 1К ,

где у0- константа материала, Н0 - величина энергетического барьера

(Пайерлса); к - константа Больцмана; 6 - температура (К); V* - константа, относящаяся к объему препятствий (активационный объем); т(к), тСк) - касательное напряжение и критическое напряжение сдвига в

к-й системе скольжения, причем тСк) характеризует сопротивление

сдвигу на препятствиях, не преодолеваемых за счет термической активации, и связанное с дальнодействующими полями напряжений; К -число систем скольжения (для рассматриваемых в работе ГЦК-кристаллов принято К = 24, т.е. удвоенное число кристаллографических систем скольжения). Предлагается эволюционное уравнение для тСк), представляющее собой модификацию закона упрочнения Тейлора:

K ____

i[k 1 = A £iw -[B

i =1

где A, B, m, xc - материальные константы, QD - энергия активации диффузии.

B качестве основы конститутивной модели, как и в модели Линя, используется (изотропный) закон Гука, записанный в скоростях. Численная процедура реализуется пошагово, задается история осреднен-ных скоростей полных деформаций (используется гипотеза Фойгта).

Предлагаемая модель была апробирована для случая простого и сложного (на двухзвенных траекториях с изломами на углы 30, 60, 90, 120, 150 и 180°) нагружения поликристаллического алюминия при изотермическом деформировании при температуре 200 °С и скоростях деформирования от 3Х10-5 до 3Х10-3. Результаты расчетов находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментальными данными; в частности, хорошо описывается эффект «нырка» (резкого падения интенсивности напряжений в окрестности точки излома траектории деформации).

К рассмотренной выше работе вплотную примыкает статья [27], в которой более детально рассматривается процедура ориентационного осреднения тензора напряжений. Рассмотрена также модификация модели для реализации процесса нагружения в пространстве напряжений. Отмечается возможность использования вместо гипотезы Фойгта самосогласованной модели Кренера.

Обзор работ по физическим теориям пластичности, вязко- и уп-руговязкопластичности, выполненных до 1985 г., содержится в статье [5]. Предлагаемая в работе модель ориентирована на описание образования текстуры при больших пластических деформациях, и с этой точки зрения представляется целесообразным её достаточно полное изложение.

B качестве исходного кинематического соотношения также используется вариант мультипликативного разложения:

F = F* Fр,

где тензор F* описывает как упругое деформирование, так и квазижесткие повороты, тогда как Fр полностью определяется сдвигами по кристаллографическим системам скольжения (СС).

о ( о Л * (* ^

в в1 в сов в1

V ) V )

Рассмотрим разложение (14) в терминах конфигураций и базисных векторов. Наряду с отсчетной К0 и актуальной К конфигурациями в разложении участвует промежуточная конфигурация К*, получаемая из К0 преобразованием Гр. Векторы основного (сопряженного) базисов в этих конфигурациях обозначим соответственно как

. В терминах базисных векторов входящие в разложение (14) тензоры можно представить следующим образом [1]:

об о 0 об * * об о *Т * 0

р = угт= в,в1, Г* = Vгт= в,в1, Гр = Vг = в,.в1.

Из (15) легко подтвердить справедливость (14).

Единичные ортогональные векторы нормали к к-й СС и направок ) о

ления скольжения в отсчетной конфигурации п , Ь преобразуются

соответственно в векторы п(кЬ(к) в актуальной конфигурации согласно соотношениям

о

п

причем полагается, что векторы П, Ь также остаются единичными и ортогональными, т.е. влиянием упругих искажений решетки пренебре-гается. Тогда пластическая составляющая градиента скорости перемещений Vут = Г - Г-1 выражается через скорости сдвигов следующим образом:

Г - р-1 _ р*- р*-1 = ар +’^ = £ п

к=1

Вместо диады п(к) Ь( к) в качестве ориентационного тензора в моделях физической теории пластичности принято использовать её симметричную часть М^к), вводя разложение

п(к) Ь( к) = м(,к)+ м А),

М

1

мА)= 2 (п(к) Ь(к) _ 1Ь(к)п(к)),

где М ^ - антисимметричная составляющая диады. Используя разложения (18), входящие в (17) пластические составляющие девиатора деформации скорости и спина можно записать в виде

0Р = ЙР= £ Му

к=1 к=1

Используя (14)-(15), можно получить следующие соотношения:

Ь = Уут = Р • Р-1 = ее1 = Р * -Г *-1 +Р * -Рр • Рр-1 • Р*-1,

Ьр = Р* -Рр - Рр_1 - Р*'1 = е' - ее,.е3 = - е' - ее,.е3.

3 ' ] '

Из (21)2 следует, что «пластическая составляющая» в разложении (20) представляет собой скорость изменения компонент метрического тензора в конфигурации К*, отнесенных к диадному базису актуальной конфигурации.

Остановимся на геометрическом смысле приведенных выше тензоров градиентов скоростей перемещений. Рассмотрим две бесконечно близкие частицы г и г + ёг, ёг = ' = ё^'е, где - лагранжевы ко-

- об

ординаты [1]. Тогда нетрудно видеть, что Ь - ёг = ёг = ёук , т.е. скорость частицы г + ёг в конфигурации К относительно частицы г. Да-

лее, Ьр - ёг = е'

3 е

е' = е' ¿Ук,) е', т.е. этот член представляет со-

бой относительную скорость той же частицы в конфигурации К*, компоненты которой отнесены к базису актуальной конфигурации К

*

Наконец, аналогично показывается, что Ье - ёг = ёуК( - е' ёук* ) е;, т.е.

эта составляющая представляет собой разность относительных скоростей той же частицы в конфигурации К и в конфигурации К*, приведенную к базису актуальной конфигурации.

Введенными соотношениями градиенты скоростей перемещений представляются разложением на симметричную (тензоры деформации скорости) и антисимметричную (тензоры вихря) составляющие:

Ь = Б +Б _^(Ь + ьТ)’ W =Х(Ь _ ьТ)’

Ье = Бе + We, Бе = ^2

Ьр = Бр + Wp, Бр = 12(ЬР + ЬрТ), Wp = 12(ЬР -ЬрТ

).

Следует отметить, что обе составляющие Бе и 'е содержат скорости упругих искажений решетки и вращения тела как целого, тогда как 'р описывает скорость вращения решетки за счет пластических сдвигов («полностью стесненная модель Тейлора»).

Введем меру Коши-Грина С* и тензор деформаций Коши-Грина С* при использовании в качестве отсчетной конфигурации К* (в анализируемой статье последний назван «решеточным тензором Грина):

где g - метрический (единичный) тензор, - его компоненты в базисе

актуальной конфигурации. Используя (21)ь (23) и (25), нетрудно показать, что справедлива следующая связь:

которая потребуется в дальнейшем.

В геометрически нелинейной теории пластичности наряду с тензором напряжений Коши о часто используется тензор напряжений

Кирхгоффа (или «взвешенный тензор Кирхгоффа») К = о, где

р, р - плотность в отсчетной и актуальной конфигурации соответственно. Заметим, что свертки К : Б и о: Б определяют мощность напряжений на единицу объема соответственно в отсчетной и актуальной конфигурациях.

В работе полагается, что свободная энергия (Гельмгольца) ф не зависит от пластических сдвигов и является функцией только С*. Мощность работы напряжений определяется соотношением

Бе е*-т с * Р* "і С * Е*т Бе Р*

о

N = К :Бе + К : Б13 = К :Бе + £ К

где К ( ) = К : М^ - сдвиговое напряжение на к-й системе скольжения.

Первый член правой части характеризует скорость изменения свободной энергии Гельмгольца и может быть выражен через ф как

^/яг1* : С *, тогда с учетом (26) можно записать:

К :Бе = (Е* -1 • К • Е* -т):С* = Э^/С* :С*,

откуда следует

К = Е*-а^ • Е*т

/ЭС*

Заметим, что если известно выражение свободной энергии ф как функции С*, то (29) можно трактовать как закон гиперупругости (закон Гука с заменой линейной меры деформаций на нелинейную).

Далее вводится коротационная производная К г* тензора Кирх-гоффа К , ассоциированная с решеточным упругим спином

К* = К -1№; К+К • 1№;.

Дифференцируя (29) по времени и подставляя в (30), используя (26)2, получаем

Кг* = Е*

Э2ф :

ЭС*2 :

Е*т+ Бе К + К• Бе.

В цитируемой статье первый член правой части представляется в виде

Е* • Е*

^2

Э ф. Е*т • Е*т

V

ЭС*

:Бе

т.е., по сути, осуществляется переход к гипоупругому закону. К сожалению, авторам не удалось доказать правомочность такого перехода, вероятно, он не корректен (возможно, использовалось известное в тензорном анализе «цепное правило», справедливое только для сверток тензоров второго ранга, тогда как в данном соотношении фигурирует тензор четвертого ранга). Заметим, что запись первого члена правой

к

части (31) в компонентах не меняет закона гипоупругости, имеет место просто усложнение записи.

В дальнейшем, заменяя в (30) 'е = W-Wр и переходя к корота-ционной производной Кг, ассоциированной с тензором (материального) вихря ', определяющее соотношение можно преобразовать к виду

К = Б

*2 .

ас*2 1 >

ч

£(к • м£) - м£) -к )у(к).

Б*т + Бе К + К• Бе

Наконец, заменяя Бе = Б - Бр, а Бр выражая через скорости сдвигов, получаем ОС упруговязкопластичности, связывающее коротационную производную К 1 с тензором полной деформации скорости и скоростями сдвигов. Теперь, для того чтобы применить полученные ОС для решения конкретных задач, следует определить закон для скоростей сдвигов, в качестве которого используется вязкопластический закон (степенная зависимость скорости сдвига от сдвигового напряжения на каждой СС):

1 ,

у

1 К 1 К (*}

1 * і *

К(к) = К :м<*\

где а(к) - так называемая «отсчетная скорость» (сдвига) (нетрудно видеть, что она равна скорости сдвига при К (к} = g(к}); g(к} - функция упрочнения, определяющая зависимость критического напряжения от суммарного сдвига, накопленного на всех системах скольжения; т -показатель скоростной чувствительности монокристалла. Из (33) следует однозначная определенность скорости сдвига по любой СС, причем скорость сдвига будет отличной от нулевой при любом отличном от нулевого сдвиговом напряжении К (к}. Иначе говоря, данная модель относится к «беспороговым» и правильнее было бы назвать ее «упругонелинейновязкой» .

Эволюционное уравнение для функции упрочнения g(к} имеет следующий вид:

т

в общем случае И полагаются функциями накопленных сдвигов; следуя более ранним работам Хатчинсона, Азаро и др., в рассматриваемой статье используем следующее соотношение для коэффициентов матрицы упрочнения:

Н * =ие +

где Q характеризует отношение скорости латентного упрочнения к скорости активного упрочнения, Н - константа материала. Для ГЦК-кристаллов в работе предлагается разделить 12 кристаллографических систем на 4 множества компланарных систем (по 3 в каждом множестве); в случае принадлежности СС одному и тому же множеству 0=1,0, если же индексы к и у относятся к СС из разных множеств, то в численных экспериментах для 0 принимались значения либо 1,0, либо 1,4.

Подробно рассмотрена процедура численного решения. Исследовалось поведение поликристаллической меди (закон распределения начальной ориентации зерен - равномерный) при растяжении и сжатии в условиях осевой симметрии и плоско-деформированного состояния. Использовались смешанные граничные условия, объемными силами пренебрегалось, принята гипотеза Фойгта; в качестве процедуры определения осредненных напряжений для представительного объема поликристалла принято осреднение по объему. Приведены результаты расчета развития текстуры, отмечается существенное влияние на её эволюцию параметра латентного упрочнения Q.

Представлены расчетные кривые «интенсивность напряжений -интенсивность деформаций» для различных значений параметра латентного упрочнения. Отмечается достаточно быстрый (при еи « 0,1) выход упрочнения на уровень насыщения; дальнейший рост интенсивности напряжений при больших деформациях ( еи > 0,4 ) связывается с

формированием текстуры («геометрическое упрочнение»).

Для случая комбинированного нагружения (растяжение-сжатие с одновременным сдвигом) при различных предварительных деформациях растяжения и сжатия построены условные «поверхности текучести» с различным допуском на неупругие деформации. Из полученных расчетных кривых видно, что предлагаемая модель качественно описывает образование «носика» на «поверхности текучести» в направлении нагружения, уплощение тыльной части поверхности, эффект Баушингера.

Предложенная модель с незначительными модификациями использована в [13] в сочетании с МКЭ для исследования локализации деформации и формирования текстуры в плоских задачах растяжения-сжатия и простого сдвига. Для установления кривых напряжение-деформация в терминах компонент напряжений Кирхгоффа и логарифмических деформаций в конечно-элементной модели используется определение напряжений по узловым силам на границе. Отмечается хорошее соответствие результатов, полученных с помощью исходной модели Тейлора (осреднение по объему), и конечно-элементной модели для растяжения-сжатия. Для случая простого сдвига при накопленном сдвиге у = 1,1 конечноэлементная модель дает заниженные (на 35 %) значения нормальных напряжений по сравнению с моделью Тейлора.

Достаточно детальное изложение вышерассмотренной модели содержится в изданном в 2005 г. справочнике по моделированию материалов [14]. Значительная часть цитируемой работы посвящена изложению алгоритмов интегрирования соотношений конститутивных моделей упругопластичности и упруговязкопластичности.

Интересный вариант физической модели упруговязкопластично-сти предложен в работе [18], согласно которому монокристалл представляется совокупностью «жестких» (зоны с повышенной плотностью дислокаций, например, стенки ячеек) и «мягких» (зоны с пониженной плотностью дислокаций, например, внутренность ячеек) областей. Принимается гипотеза Фойгта; напряжения определяются суммой напряжений в «жестких» и «мягких» областях. Для каждой из областей используется изотропный закон Гука с отличающимися константами Ламе. Принимается гипотеза об аддитивном разложении тензора малых деформаций на упругую и вязкопластическую составляющие. Неупругие деформации осуществляются сдвигом в активных системах скольжения, условием активации является выполнение закона Шмида. Для каждой из областей скорости сдвигов в к-й СС определяются степенным законом вида

П /

V Tc0 J

sign(T(si))), У (S)) =

T

V c J

sign

где индексы S, H относятся соответственно к «мягкой» (soft) и «жесткой» (hard) зонам, Tc0 - постоянное критическое напряжение в «мяг-

кой» области, хС*} - критическое напряжение сдвига в «жесткой» области, т(£), х(Н) - сдвиговые напряжения в к-й СС, п - показатель скоростной чувствительности. Для критического напряжения сдвига в «жесткой» области хС*} предлагается эволюционное уравнение, учитывающее активное и латентное упрочнение за счет сдвигов в обеих областях и возможное разупрочнение за счет сдвигов в «мягкой» зоне.

Предложенная модель была использована для анализа поведения монокристаллов при непропорциональном циклическом нагружении (траектории деформирования - круговые, в виде квадрата, 8-лучевой звезды), отмечается удовлетворительное качественное соответствие экспериментальным данным.

В статье [16] рассматривается вариант упруговязкопластической модели, базирующийся на упомянутой выше модели [5]. Основное отличие заключается в использовании вместо гипоупругого ОС гиперуп-ругого закона, в качестве меры деформации в котором принят аналог тензора Коши-Грина, а в качестве меры напряженного состояния -аналог второго тензора Пиола-Кирхгоффа, определенные в базисе разгруженной конфигурации.

В работе [7] рассматривается вариант упруговязкопластической модели со степенным законом течения вида (33) и комбинированным (изотропным и кинематическим) законом упрочнения. Используется аддитивное разложение тензоров деформации скорости и вихря на упругую и неупругую составляющие:

Б = Б + Бр, W = ,№:+

неупругие деформации осуществляются сдвигом (в силу чего изохо-ричны); неупругие составляющие в (37) определяются соотношениями (19) (т.е. для неупругих ротаций принимается полностью стесненная модель Тейлора). Полагается, что скорость ротации решетки определяется упругим спином We. В качестве ОС для упругой составляющей принимается изотропный закон Гука в скоростной форме; в качестве меры скорости напряжений используется производная яуманновского типа тензора напряжений Коши

ат = а + а • Wе - Wе • а.

Предложенная модель встроена в конечно-элементную программу и использована для анализа образования полос сдвига в монокристалле при высокоскоростном деформировании (скорость деформации 103 с-1).

В последние годы физические теории пластичности все шире применяются для решения реальных прикладных задач МДТТ. В работе [8] вязкопластическая самосогласованная модель использована для анализа процесса равноканального углового прессования (РКУ). В качестве представительного объема макроуровня рассматривается совокупность 500 зерен, которая в каждом проходе подвергается однородной сдвиговой деформации, определяемой углом излома канала. Материал - поликристаллический алюминий, начальные ориентации зерен полагаются случайными, распределенными по равномерному закону. Каждое зерно эллипсоидальной формы, окруженное матрицей с эффективными характеристиками, описывается вязкопластической моделью. Предложена простая геометрическая модель дробления зерен, согласно которой в зависимости от отношения длин большой оси к наименьшей и средней к наименьшей зерно дробится на две или четыре одинаковые части. Ориентация после дробления сохраняется. Приведены результаты расчета напряженно-деформированного состояния, полюсные фигуры, распределение размеров зерен по проходам. Отмечается удовлетворительное соответствие полученных результатов экспериментальным данным.

Детальное изложение модели пластичности монокристалла содержится в работе [11]. Приведен общий вид условия текучести на СС:

х

где х(к) = а : М(к) - напряжение сдвига в к-й системе скольжения, функция / (к) описывает вязкопластическое сопротивление сдвигу (для пластичности, не зависящей от скорости деформации, она тождественно равна нулю), 0 - абсолютная температура, г(к), хС*), р(к) - внутренние переменные, характеризующие вязкостное (в цитируемой статье данная составляющая называется «сопротивлением множественному скольжению», что связано с реализацией в вязкопластической модели сдвигов одновременно по всем СС), квазистатическое и кинематическое упрочнение, соответственно. Для внутренних переменных

г( к), хС*), р( к) эволюционные феноменологические уравнения в общем виде записываются следующим образом:

у( к) = ^(к) | у (к), г( к), г(/), х(к), х(/), р( к), 0|,

уСк. = -да {у<»г<к>, г

у(к 1 = ) (у|кгиг(/), хи 1, р(к0}.

Знак «Л» введен для отделения функции от ее значения; наличие в 1-м и 2-м соотношении соответственно г(/) и х(1) означает учет упрочнения за счет взаимодействия дислокаций на сопряженных СС.

Формулировка конститутивной модели основана на термодинамическом подходе. Прежде всего, авторы вводят сопряженные параметрам г(к), х(к), р(к) термодинамические переменные состояния

Я(к), Т(к), Р(к). Функция свободной энергии (Гельмгольца) представля-

ется суммой «упругой» и «неупругой» составляющих, у= V + V • «Упругая» составляющая зависит от тензора упругих деформаций и температуры, по ней из неравенства Клаузиуса-Дюгема определяется тензор напряжений Коши. «Неупругая» составляющая связана с внутренними переменными, определенными в СС, в связи с чем предлагается следующее представление:

роУ= +уТк) + УРк)),

к ' '

где р0-плотность материала, уЯ) > Ут*) > V?) - составляющие свободной энергии на к-й СС, являющиеся явными функциями соответствующих термодинамических параметров состояния Я(к), Т(к), Р(к). Из неравенства Клаузиуса-Дюгема с учетом независимости термодинамических параметров состояния Я(к), Т(к), Р(к) непосредственно следует общий вид эволюционных уравнений для г(кх(кр(к):

г(к)= р _д^_ = М! • х(к) = р дУг - дУ(Тк) .

Ро дя

(кдуг' _ ду(к) р р0 д р(к) д р(к) '

Далее, для построения в рамках термодинамического подхода теории вязкопластичности монокристалла вводится вязкопластический потенциал:

Используя вязкопластический потенциал, учитывая, что пластические деформации реализуются сдвигом по СС, можно получить следующее соотношение:

Суммирование в записанных выше соотношениях осуществляется по всем активным системам скольжения.

Функция диссипации определяется разностью между мощностью работы напряжений на пластических деформациях и мощностью работы на квазистатическом (или вязком) и кинематическом упрочнении, чему соответствуют два представления функции диссипации:

Относительно соотношения (44) необходимо отметить следующее: по сути дела считается, что часть энергии не диссипирует, а запасается в виде внутренней энергии упругих искажений решетки, энергии взаимодействующих дислокаций, что и описывают 2-й и 3-й члены правой части. Соотношение (45) в этом смысле менее понятно: как правило, вязкостное трение приводит к рассеянию энергии; вероятно, в данном случае следует помнить о вязкопластичности, т.е. повышение вязкого

П = £Йк

к

Ф = о р

^ [I ду Т) д Т(к > у

ф = о .ар

у

сопротивления приводит к повышению запасенной упругой энергии, реализуемой при разгрузке.

Приведенная формулировка модели, обозначаемая как ЕВ-модель (E. Busso), далее сопоставляется с другими известными соотношениями пластичности монокристаллов. В рассмотрение включены модели

G. Calletaud и L. Meric e.a. (обозначенные как GC), L. Anand (LA) с соавторами, D. McDowell&R. McGinty (DM). Все указанные модели относятся к классу вязкопластических, однако в рамках моделей GC и LA рассматриваются также варианты с исключением вязких членов. В табл. 1 и 2 приведена достаточно полная информация обо всех соотношениях анализируемых моделей. В табл. 1 приведены функции, описывающие вязко-пластичность, выражения составляющих свободной энергии, соотношения для сопряженных термодинамических переменных, характеризующих различные виды упрочнения. Табл. 2 содержит сведения об эволюционных уравнениях для критического напряжения сдвига, вязкого сопротивления и остаточных микронапряжений.

Реализация всех рассматриваемых моделей осуществлялась с использованием МКЭ и неявной схемы интегрирования по времени. Сопоставление результатов расчета осуществлено для ГЦК-монокрис-таллов. Идентификация параметров модели проводилась для случая одноосного нагружения по направлению (100) при квазистатическом

нагружении и использовании закона упрочнения Тейлора. Калибровка проводилась таким образом, чтобы влияние вязкостных членов в ин-

—1 —3 —1

тервале скоростей деформации 10 -10 с было весьма малым. Во всех моделях при калибровке пренебрегалось кинематическим упрочнением (т.е. рк = 0 ). Все коэффициенты моделей сведены в табл. 3.

Результаты расчета кривой о - в при растяжении ГЦК-монокрис-

-3 -1

талла в направлении [100] при скорости деформации 10 с для всех четырех вязкопластических моделей обнаруживают удовлетворительное соответствие.

Далее анализируются результаты расчетов с использованием указанных вязкопластических моделей при двухосном деформировании монокристаллов. Кристаллографическое направление [100] совпадает во всех численных экспериментах с осью Х\. Для реализации моделей используется МКЭ (пакет Zebulon) с элементами, допускающими независимое задание нормальных и сдвиговых деформаций. Исследовались

нагружения по лучевым траекториям деформации (двумерный вариант) при отношениях б11 /а22 =-0,95,-5,0,5,33 и еи /а12 = 0,02,0,40

2 —1

(при неизменной скорости деформации а11 = 10- с во всех вариантах). Опыты на двухосное растяжение-сжатие осуществлялись при использовании изотропного закона упрочнения Тейлора (кк = 'к = 1,0), сопоставление проведено для траекторий напряжений ап - а22. Результаты расчетов по всем четырем моделям находятся в удовлетворительном соответствии. Рассмотрена также активация систем скольжения и накопленный на них сдвиг; для варианта а11 /822 = 5,33 отмечается, что при напряжении аи * 250 МПа из

множества СС {1 1 1} (1 1 0) активировались четыре первичные системы скольжения, а при напряжении аи * 310 МПа - дополнительно четыре вторичные СС.

Таблица 1

Функции, используемые в моделях пластичности кристаллов

Функции ее ЕВ ЬЛ БЫ

/(к) т(к) - р(к) -тСк) - Тс0 т(к) - р(к^ - тСк) т(к) - р(к^ т(к) - р(к^

у(к) у 7 Т„) у ,«р {-£(-(/" 7т.) } у Чг"')' у ’/г“’ >

у*к) *)} - - >2 М *'")’ 2 м *<к 1 )2

у (к) {т(к)} >2 тСк> А1 >2 к (т'") - -

у?) Р)} X к* (рк) )2 к) >2к* (Р“’)2 2к* (р(к) )2

г

т(к) тс к У кит(1) Т ¿ши1 ктт(к) - -

р

Эволюционные уравнения для различных моделей

Модель Уравнение

Р(к) _ 1с (ОС) Е К [ ] Чз* -

Р

Г

Г

Р

Таблица 3

Материальные параметры анализируемых моделей

Параметр Параметры вязкопластических моделей Параметры упругопластических моделей Едини- цы

ОС ЕВ ЬА БМ ОС ЬА

Си 250 250 250 250 250 250 ГПа

С12 200 200 200 200 200 200 ГПа

С 4 4 100 100 100 100 100 100 ГПа

У 0 1,0 150 7,3 10-4 1,0 — — с-1

п 2,0 — 0.01 0.01 — — —

Х0 20 465 — — — — МПа

Fo — 48,9 — — — — КДж моль

Р — 0,163 — — — — —

Я — 1,220 — — — — —

0 100 105 103 108 100 — МПа

Го — — 103 108 — 100 МПа

г* — — 195 — — 235 МПа

а — — 0,929 — — 1,6 —

К 1008 1150 1824 2203 1092 1953 МПа

< 84 672 12,1 — 10.5 9532 — —

КР 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 МПа

4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 —

К", Як (активное) 0 0 0 0 0 0 —

Ки, як (Тейлор) 1 1 1 1 1 1 —

В экспериментах на растяжение-сдвиг использовались оба закона упрочнения - Тейлора и деформационного ( кы = чн _ 0,0). Здесь отмечается существенное отличие результатов, полученных, с одной стороны, с помощью моделей ЕВ и вС, с другой - ЬА и БМ; в двух последних при напряжениях а11 * 21 МПа и 35 МПа соответственно резко

активизировались вторичные СС. Данное обстоятельство связано с тем, что в моделях ЬА и БМ учтен разворот кристаллической решетки, что отсутствует в моделях ЕВ и ОС. Для проверки этой гипотезы были проведены расчеты с использованием модели БМ, в которой были отключены повороты; результаты оказались близки к результатам моделей ЕВ и ОС. Сопоставлялись также накопленные сдвиги, результаты аналогичны: близость данных по моделям ЕВ и вС и их резкое отличие от полученных с помощью моделей ЬА и БМ. Отмечается также, что возможным источником различия результатов являются использованные в моделях различные схемы решения нелинейных уравнений, основанные на методе Ньютона-Рафсона; исследованию данного вопроса авторы собираются посвятить будущие работы.

Аналогичное сопоставление осуществлено для всех пяти программ нагружения при использовании упругопластических моделей ЬА и ОС. Во всех расчетах принят закон упрочнения Тейлора ( Нк1 = чн _ 1,0, р(к} _ 0). Для случая двухосного растяжения-сжатия траектории нагружения а11 - а22 оказываются близкими; кроме того, обнаруживается их малое отличие от траекторий, полученных с помощью вязкопластических моделей ЬА и вС. Для варианта в11 / в22 _ 5,33 приведены результаты расчета суммарной скорости сдвигов как функции напряжения а11 и времени. Для обеих моделей при а11 * 270 МПа

и 285 МПа наблюдаются осцилляции суммарной скорости сдвига, что авторы связывают с неустойчивостью алгоритма в окрестности точек активизации вторичных СС. Проведено также сопоставление номеров четырех первичных и вторичных активируемых систем скольжения и накопленных сдвигов на них; за исключением нагружения по траектории в11 / в22 _-0,95, где в модели вС не активировалась ни одна из

вторичных систем; соответствие результатов следует признать удовлетворительным, несмотря на некоторое отличие траекторий нагружения (в модели ЬА в отличие от модели вС напряжение а11 достигало в мо-

мент активизации вторичных СС значения 0). Аналогичное удовлетворительное соответствие получено для программ нагружения растяжение-сдвиг.

К сожалению, авторы не обсуждают, каким образом в упругопластической модели по предписанной деформации могут быть определены сдвиги в восьми системах скольжения. В плоском случае, анализируемом в данной работе, возможно одновременное определение не более трех скоростей сдвигов (даже при работе с полными напряжениями), в объемном - не более шести. Возможно, в статье речь идет о СС, активированных в течение всей истории нагружения.

В работе [25] рассматривается прямая упруговязкопластическая модель, для реализации которой использован конечно-элементный пакет ЬБ-БУКА/Ехріісії;. На мезоуровне применен (анизотропный) закон Гука в скоростной релаксационной форме; в качестве меры скорости изменения напряжений принята коротационная производная тензора Кирхгофа, спин решетки равен разности тензора вихря и антисимметричной части тензора скоростей сдвига. Скорость сдвигов определяется степенным законом, использован анизотропный закон упрочнения. Для интегрирования соотношений модели принята явная схема Эйлера; показана ее высокая эффективность и приемлемая точность в сравнении со схемой Рунге-Кутта второго порядка. Модель применена для представительного объема (275 зерен, сетка 123x28x3) поликристалли-ческого алюминиевого сплава (ГЦК-решетка). Для построения зерен-ной микроструктуры (размеры, форма, ориентация зерен) использованы данные электронной микроскопии. Анализируется влияние на характер деформирования и эволюцию текстуры скорости деформации (300, 1000, 3000 с-1), траектории деформации (простой сдвиг, растяжение с последующим простым сдвигом, одновременное растяжение и сдвиг) и учета термического разупрочнения (за счет тепловых источников от пластической деформации). Результаты расчетов демонстрируют наибольшее влияние на распределение деформаций и эволюцию текстуры траектории деформации; отмечается также, что повороты зерен существенно зависят от начальной ориентации решетки относительно осей нагружения.

В статье [29] представлено детальное изложение самосогласованной упруговязкопластической модели, в которой учтены как деформирование скольжением дислокаций, так и двойникованием. При-

нято мультипликативное разложение градиента места, для описания поворота решетки применен так называемый материальный поворот (ортогональный тензор, входящий в полярное разложение упругой составляющей градиента места). На уровне кристаллита использован (анизотропный) закон Гука в скоростной релаксационной форме; в качестве скорости меры напряженного состояния принята коротационная производная, ассоциированная с материальным спином. Скорость вязкопластической составляющей деформации скорости определяется степенным законом; учитывается деформационное и латентное упрочнение по системам скольжения и двойникования. На нескольких тестовых примерах (одноосное растяжение, простой сдвиг, стесненная осадка, растяжение с последующей стесненной осадкой) показана близость результатов расчета по предлагаемой модели и вязкопластической самосогласованной (без учета упругих деформаций) модели при больших деформациях. В то же время отмечается, что предлагаемая модель позволяет описать процесс разгрузки и плавного перехода к следующему этапу нагружения, тогда как вязкопластическая модель дает разрывное решение.

В примыкающей к предыдущей работе [28] приведены результаты применения предложенной модели для анализа растяжения-сжатия по различным направлениям образцов, вырезаемых из листовой катаной заготовки из магниевого сплава Л731В. Экспериментальные данные, полученные на части образцов, используются для идентификации, другая часть применена для верификации модели. Приведены результаты расчета кривых напряжение-деформация и текстуры, показано удовлетворительное соответствие теоретических и экспериментальных данных. Особое внимание уделяется сопоставлению результатов, полученных с помощью различных схем линеаризации, используемых в самосогласованной модели.

Одним из недостатков моделей поликристаллов, основанных на физических теориях, является необходимость рассмотрения большого количества (сотни и тысячи) зерен со своими ориентациями, что требует существенных затрат процессорного времени. Один из возможных вариантов уменьшения вычислительных затрат - модель «текстурных компонент» - представлен в статье [10]. Под текстурным компонентом понимается ориентация кристаллической решетки, для которой функция распределения ориентаций (ФРО) имеет локальный

максимум. Вместо расчетов для большого числа зерен рассматривается несколько (в данной работе - 5, четыре из которых соответствуют указанным локальным максимумам ФРО, пятый характеризует распределение остальных ориентаций) элементов («псевдозерен»). Для каждого из псевдозерен используется модель упруговязкопластичности со степенным законом течения и изотропным законом упрочнения. Для аппроксимации ФРО вблизи текстурных компонент принят закон распределения Мизеса-Фишера. Вычисления искомых параметров (скоростей пластических деформаций и напряжений) осуществляются далее для текстурных компонентов, после чего осуществляется ориентационное осреднение параметров с локальными ФРО. На двух примерах для ГЦК-поликристаллов показано удовлетворительное соответствие результатов, полученных с помощью предлагаемой модели (5 элементов) и модели Тейлора (1000 зерен).

Работа [19] посвящена сопоставлению стандартной модели упру-говязкопластичности (степенной закон для скорости сдвигов) с феноменологическим анизотропным законом упрочнения и аналогичной модели, в которой критические напряжения устанавливаются на основе рассмотрения взаимодействия дислокаций активных систем скольжения с дислокациями леса (модель Орована). Подробно описана процедура идентификации моделей, для чего использованы результаты экспериментов по одноосному нагружению монокристаллов (меди с ГЦК- и железа с ОЦК-решеткой), ориентированных на одиночное или множественное скольжение. Для верификации применены те же одноосные испытания, но с другой ориентацией оси нагружения. Показано, что результаты расчета по модифицированной модели лучше согласуются с экспериментальными данными, чем полученные по стандартной модели. Обе модели использованы также в прямой модели поликри-сталлического агрегата (1000 конечных элементов, каждое зерно описывалось одним конечным элементом). Отмечается отличие кривых напряжение-деформация при одноосном растяжении и сжатии; в то же время построенные прямые полюсные фигуры для 50 % деформации практически не отличаются.

Модификация упруговязкопластической модели, учитывающая поврежденность материала, предложена в [24]. Классическое мультипликативное разложение градиента места дополнено градиентом места, отвечающим за порообразование и переводящим пластически дефор-

мированную конфигурацию в разгруженную. Приведены кинетические уравнения, описывающие эволюцию пор, связанную с наличием начальных пор, образованием пор от включений вторичной фазы и коа-лесценцией. Скорости сдвигов по СС определяются степенным законом; использован гиперупругий закон, связывающий тензор деформаций Коши-Грина и второй тензор Пиола-Кирхгоффа, определенные в разгруженной конфигурации. Для случая одноосного нагружения проанализировано влияние ориентации монокристаллических зерен на процесс накопления поврежденности и кривые напряжение-деформация. Для поликристаллического агрегата меры напряженного и деформированного состояния определяются осреднением по объему; сопоставление кривых о-в при растяжении поликристаллического образца для трех алюминиевых сплавов обнаруживает хорошее соответствие с экспериментальными данными.

Результаты применения упруговязкопластической модели для анализа особенностей деформирования двухфазного сплава (титан + алюминий) содержатся в статье [20]. Подробно рассмотрены физические механизмы деформирования и упрочнения двухфазного сплава, основной объем которого составляет а-фаза с ГПУ-решеткой, остальная часть имеет слоистую структуру из а+Р-фаз (Р-фаза - кристаллиты с ОЦК-решеткой). Анализируется деформирование представительного объема поликристал-лического агрегата; для решения на макроуровне использован пакет ЛВЛриБ. Особое внимание уделяется идентификации физической модели, для чего авторы осуществили три серии численных экспериментов.

Упруговязкопластическая модель для описания деформирования поликристаллического циркония при различных температурах (76-450 К) описана в статье [9]. Наряду со сдвиговыми модами, реализующимися по различным СС ГПУ-решетки (базовой, призматическим и пирамидальным), в модели учитывается двойникование. Полагается, что каждое зерно представляет собой композит, состоящий из эллипсоидальных включений двойников и такой же формы прослоек матрицы. Каждая из фаз анализируется с применением самосогласованной упруговязкопластической модели. Для учета влияния температуры используется закон аррениусовского типа. Детально рассмотрена модель для анализа генерации и эволюции дислокаций, включая взаимодействие дислокаций различных СС. Законы упрочнения по различным механизмам записаны в терминах плотностей дислокаций и характерных

масштабов двойниковой структуры. Особое внимание уделено рассмотрению взаимодействия механизмов за счет скольжения дислокаций и двойникования.

Результаты, полученные с применением упруговязкопластической модели тейлоровского типа, для коммерчески и высокой степени чистоты а-титана (ГПУ-решетка), представлены в статье [30]. Неупругая составляющая градиента скорости перемещений принимается равной сумме скоростей сдвига и двойникования, умноженных на соответствующие ориентационные тензоры. Величина скоростей сдвига по каждой СС определяется степенным законом; скорость сдвига по системам двойникования определяется произведением фиксированного сдвига двойника и скорости изменения объемной доли двойников каждой ориентации, последняя также определяется степенным законом. При достижении критической объемной доли двойников (в цитируемой работе - 0,4) предполагается, что зерно испытывает фрагментацию с образованием нескольких «потомков», сохраняющих параметры достигнутого упрочнения, но отличающихся ориентациями, определяемыми ротациями решетки при двойниковании. Разориентированные фрагменты в дальнейшем рассматриваются как отдельные зерна.

Описаны методика экспериментов для определения полюсных фигур (включая установление начальной текстуры) и идентификации модели, приведен состав используемых материалов. В качестве образцов использовался листовой материал после глубокой прокатки и термообработки. Для идентификации и верификации модели проводилась серия испытаний по осадке образцов в трех взаимно-перпендикулярных направлениях (в направлении прокатки, поперечном и по направлению нормали к плоскости листа). Показано хорошее соответствие результатов расчета кривой a-s с экспериментальными данными по осадке в направлении прокатки, не использованными на стадии идентификации. Сравнение теоретически полученных полюсных фигур и соответствующих экспериментальных данных также обнаруживает удовлетворительное соответствие.

Библиографический список

1. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

2. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 1: Жесткопластические и упругопластические модели// Вестник ПГТУ. Механика. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. - № 1. - С. 5-45.

3. Anand L., Kothari M. A computational procedure for rateindependent crystal plasticity // J. of the Mechanics and Physics of Solids. -1996.- Vol. 44, No. 4.- P. 525-558.

4. Asaro R.J. Micromechanics of crystals and polycrystals // Advances in Applied Mechanics. - 1983. - Vol. 23. - P. 1-115.

5. Asaro R.J., Needleman A. Texture development and strain hardening in rate dependent polycrystals // Acta Metall. - 1985. - Vol. 33, No. 6 -P. 923-953.

6. Plastic flow for non-monotonic loading conditions of an aluminum alloy sheet sample / F. Barlat, J.M. Ferreira Duarte, J.J. Gracio, A.B. Lopes, E.F. Rauch // Int. J. Plasticity. - 2003. - Vol. 19 - P. 1215-1244.

7. Batra R.C., Zhu Z.G. Effect of loading direction and initial imperfections on the development of dynamic shear bands in a FCC single crystal // Acta Mechanica. - 1995. - Vol. 113, No. 1-4. - P. 185-203.

8. Beyerlein I.J., Lebensohn R.A., Tome C.N. Modeling texture and microstructural evolution in the equal channel angular extrusion process// Mater. Sci. and Eng. - 2003. - Vol. A345. - P. 122-138.

9. Beyerlein I.J., Tome C.N. A dislocation-based constitutive law for pure Zr including temperature effects // Int. J. Plasticity. - 2008. - Vol. 24. -P. 867-895.

10. Bohlke T., Risy G., Bertram A. A texture component model for anisotropic polycrystal plasticity // Comput. Mater. Sci. - 2005. - Vol. 32. -P. 284-293.

11. Busso E.P., Cailletaud G. On the selection of active slip systems in crystal plasticity // Int. J. Plasticity. - 2005. - Vol. 21. - P. 2212-2231.

12. Follansbee P.S., Kocks U.F. A constitutive description of copper based on the use of the mechanical threshold stress as an Internal State Variable // Acta Metall. - 1988. - Vol. 36. - P. 81-93.

13. Harren S.V., Asaro R.J. Nonuniform deformations in polycrystals and aspects of the validity of the Taylor model // J. Mech. Phys. Solids. -1989. - Vol. 37, No. 2. - P. 191-232.

14. Horstemeyer M.F., Potimiche G.P., Marin E.B. Crystal plasticity// In Handbook of Materials Modeling. S. Yip (ed.) - Springer: Netherlands. -2005. - P. 1133-1149.

15. Hutchinson J.W. Bounds and self-consistent estimates for creep of polycrystalline materials // Proc.R. Soc. Lond. - 1976. - 348 (A). - P. 101-127.

16. Kalidindi S.R., Bronkhorst C.A., Anand L. Crystallographic texture evolution in bulk deformation processing of FCC metals// J. Mech. Phys. Solids. - 1992. - Vol. 40, No. 3. - P. 537-569.

17. Kok S., Beaudoin A.J., Tortorelli D.A. A polycrystal plasticity model based on the mechanical threshold // Int. J. Plasticity. - 2002. -Vol. 18. - P. 715-741.

18. Kratochvil J. A theory of non-proportional cyclic plasticity based on micromechanical approach // Proc. of IMMM-93. Int. Sem. on Micro-struct. and Mech. Properties of New Engineering Mater. - Mie Academic Press. - 1993. - P. 89-94.

19. A dislocation density-based single crystal constitutive / M.G. Lee,

H. Lim, B.L. Adams, J.P. Hirth, R.H. Wagoner // Int. J. Plasticity. - 2010. -Vol. 26. - P. 925-938.

20. Mayeur J.R., McDowell D.L. A three-dimensional crystal plasticity model for duplex Ti-6Al-4V // Int. J. Plasticity. - 2007. - Vol. 23. -P. 1457-1485.

21. Miehe C., Rosato D. Fast texture updates in fcc polycrystal plasticity based on a linear active-set-estimate of the lattice spin // J. Mech. Phys -2007. - Vol. 55. - P. 2687-2716.

22. Neale K. W. Use of Crystal Plasticity in Metal Forming Simulations // Int. J. Mech. Sci. - 1993. - Vol. 35(12). - P. 1053-1063.

23. Pan J., Rice J.R. Rate sensitivity of plastic flow and implications for yield-surface vertices // Int. J. Solids Struc. - 1983. - Vol. 19. - P. 973-987.

24. Potirniche G.P., Horstemeyer M.F., Ling X.W. An internal state variable damage model in crystal plasticity // Mechanics of Materials. -2007. - Vol. 39. - P. 941-952.

25. A new crystal plasticity scheme for explicit time integration codes to simulate deformation in 3D microstructures: Effects of strain path, strain rate and thermal softening on localized deformation in the aluminum alloy 5754 during simple shear / J. Rossiter, A. Brahme, M.H. Simha, K. Inal, R. Mishra // Int. J. Plasticity. - 2010. - doi:10.1016/j.ijplas.2010.02.007.

26. Tokuda M., Kratochvil J., Ohno N. Inelastic behaviour of polycrystalline metals under complex loading condition // Int. J. Plasticity. -1985. - Vol. 1. - P. 141-150.

27. Tokuda M., Ohno N., Kratochvil J. Unified constitutive equations for inelastic behaviours of polycrystalline metals based on a semi-micro approach // Proc. Int. Conf. On Creep. - Tokyo. - 1986. - P. 411-416.

28. Evaluation of self-consistent polycrystal plasticity models for magnesium alloy AZ31B sheet / H. Wang, B. Raeisinia, P.D. Wu, S.R. Agnew, C.N. Tomé // Int. J. Solids and Struct. - 2010, doi: 10.1016/j.ijsolstr.2010.06.016. 48 pp.

29. A finite strain elastic-viscoplastic self-consistent model for polycrystalline materials / H. Wang, P.D. Wu, C.N. Tome, Y. Huang // J. Mech. and Phys. Solids. - 2010. - Vol. 58 - P. 594-612.

30. Modeling anisotropic stress-strain response and crystallographic texture evolution in a-titanium during large plastic deformation using Taylor-type models: influence of initial texture and purity / X.-P. Wu, S.R. Ka-lindindi, C. Necker, A.A. Salem // Metallurg. and Mater. Trans. - 2008. -Vol. 39A. - P. 3046 -3054.

Получено 15.05.2011