Определение точек взаимодействия прямых и отраженных волн в пластинке

4/2010 ВЕСТНИК _МГСУ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ВЗАИМОДЕИСТВИЯ ПРЯМЫХ И ОТРАЖЁННЫХ ВОЛН В ПЛАСТИНКЕ

DEFINITION OF POINTS OF INTERACTION OF DIRECT AND REFLECTED WAVES IN THE PLATE

A.A. Локтев, A.B. Залетдинов

A.A. Loktev, A.V. Zaletdinov

ГОУ ВПО МГСУ, МФЮА

В данной работе рассматривается процесс распространения волн в пластинке, образовавшихся после динамического воздействия на нее твердого тела. Определяется положение точек, в которых встречаются многократно отраженные от границ пластинки волны.

In the present paper process of propagation in the plate of waves formed after of the dynamic excitation on its of the solid body is considered. Points' position in which meet with multiple reflected at plate's boundary waves are defined.

Распространение волн в телах, образовавшихся после динамического воздействия, рассматривалось во многих работах [1-6]. В большинстве из них исследовалось влияние волновых процессов в мишени на такие динамические характеристики как контактная сила и нормальное перемещение точек пластинки вблизи места воздействия [1], или на границе цилиндрической контактной области в случае удара по тонкой мишени [2-4]; для нахождения неизвестных величин в других точках в работе [2] предлагалось использовать метод регуляризации лучевых разложений. Большинство исследователей волновых процессов рассматривали только несколько первых отражений волн, т.е. ограничивались достаточно малым временным интервалом с момента их зарождения.

В данной работе предлагается методика учета отражения волновых поверхностей, основанная не геометрическом представлении волнового процесса, также считается, что падающая на границу раздела сред волна сама является источником волновых фронтов, количество которых определяется свойствами пластинки. Динамическое поведение точек мишени описывается с помощью волновых уравнений типа Уфлянда-Миндлина, учитывающих деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения нормалей к поперечным сечениям [4]:

1

r v ' dr 12 or r

M r = D

dr r

r dr

Qr = K Hh \dW,

где г и (р - полярные радиус и угол, Mr и Ы^ - изгибающие моменты, Qr -перерезывающая сила, рг - угловая скорость вращения нормали к срединной

поверхности пластинки в направлении г, Ж = й - скорость прогиба, К = ^2/12 , /л -модуль сдвига, сг - коэффициент Пуассона, В = Е{\-а2^ А3/12, г - время, точка над

величинами означает производную по времени.

Использование данной модели позволяет рассматривать распространение волновых поверхностей в пластинке с конечными скоростями, которые определяются из уравнений (1), (2) согласно методике, описанной в [4]. Для этого уравнения движения точек пластинки записываются в скачках производных по времени от искомых перемещений, далее используется условие совместности [5] для перехода от производных по поверхностной координате к производным по времени на волновой поверхности, после чего определяется скорости изгибной и сдвиговой волны:

1 1 С1 =

Процесс распространения волновых поверхностей в пластинке схематично показан на рис.1. Распространение волны представляется в виде луча, окружности показывают волновые фронты, касательные к которым перпендикулярны лучу (рис. 1).

В работе представлена программная реализация алгоритма определения точек пересечения прямых и отражённых волн в упругой изотропной пластинке при невыполнении условия полного внутреннего отражения, т.е. предполагается, что отражаясь каждая волна, порождает первоначальное количество волн с характерными скоростями.

Рис. 1 Схема распространения волновых поверхностей и расположение искомых точек

взаимодействия волн.

Перед программной реализацией был разработан алгоритм генерации волн (рис. 2). Впоследствии, данный алгоритм был реализован в виде программы, написанной в среде разработки Delphi 7.

Для корректной работы модели необходимо наличие начальных данных, таких как Е,а - модули упругости (ГПа) и коэффициенты Пуассона для изотропного материала пластинки, р - плотность материала (кг/м3), h - характерный размер пластинки (м), t - временной интервал, на котором будет произведено исследование (с), l - коэффициент, характеризующий величину уменьшения интенсивности искомой динамической величины на фронте волны при отражении (0 < l < 1).

Из геометрических соображений ясно, что волны одного типа, фронты которых прошли путь кратный h, будут взаимно гасить друг друга, но не полностью, так как

интенсивность искомых величин на фронте зависит от пройденного расстояния. Если же в точке встречаются волны одного типа (изгибные или сдвиговые), прошедшие путь кратный 2А , то они будут усиливать друг друга, т.е. искомая величина в точке соприкосновения их фронтов увеличится.

Рис. 2 Алгоритм расчёта модели распространения волн в изотропной пластинке

На рис. 3 изображена зависимость изменения координаты перемещения волны от времени со следующими начальными данными: Е = 250 ГПа, ст= 0.3, р = 6000 кг/м3, к = 0.1 м, г = 25 с, I = 0.5. Начальные скорости рассчитываются по формулам (3), на рис. 3 они соответствуют углам наклона луча, вдоль которого распространяется волновой фронт. На рис. 3 достаточно чётко видно, что прямые и отражённые волны взаимодействуют в разных точках пластинки от 0 до к. Даже при таком небольшом временном интервале определить точки пересечения аналитически представляется достаточно сложным. На рис. 4 и 5 изображены точки пересечения прямых и отражённых волн отдельно.

Crossing lines

t

Рис. 3 Зависимость изменения координаты перемещения волны от времени

На рис. 4 изображены точки, в которых пересеклись прямые и отражённые волны. Треугольником с вершиной направленной вниз обозначены точки, где волны взаимно гасили характеристики друг друга, вверх - где, наоборот, происходило усиление волновых характеристик. На рис. 5 показаны только те точки пересечения прямых и отражённых волн, в которых произошло усиление.

Crossing points

1

Рис. 4 Точки пересечения прямых и отражённых волн

0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 h 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

Рис. 5 Точки пересечения прямых и отражённых волн, в которых происходило усиление

волновых характеристик

После определения характерных точек, в которых происходит взаимодействие отраженных различное число раз волн, можно перейти к определению характерных динамических величин, к которым относятся: напряжения, нормальные и угловые перемещения точек пластинки, напряженность волны и т.д. Указанные точки фактически являются местами возникновения экстремальных напряжений. Выделенные с помощью предложенного алгоритма координаты точек взаимодействия волн, могут использоваться при составлении схемы армирования плит перекрытия, стеновых панелей и других конструкций, в которых возможно распространение волновых поверхностей большой интенсивности.

Литература

1. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Локтев A.A. Удар шара о нелинейно упругий буфер, установленный на плите перекрытия II Изв. вузов. Строительство. 2004. № 11. c.16-22.

2. Локтев A.A. Упругопластическая модель взаимодействия цилиндрического ударника и пластинки II Письма в журнал технической физики. 2007. Том 33, B.16.c. 72-77.

3. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. A ray method of solving problems connected with a shock interaction II Acta Mechanica. 1994. Vol. 102, № 1-4. p.103-121.

4. Филиппов А.П. Поперечный упругий удар тяжелым телом по круглой плите II Механика твердого тела. 1971. № 6. c. 102-109.

5. Thomas T.Y. Plastic Flow and Fracture in Solids. N.Y.; L.: Acad. Press, 1961. 312p.

6. Локтев A.A., Локтев Д.А. Определение напряжений на фронтах ударных волн в ортотропной пластинке II Двенадцатая межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых, докторантов и аспирантов, М.: МГСУ, 15-22 апреля. 2009. c. 472-479.

Literature

1. Rossihin Yu.A., Shitikova M.V., Loktev A.A. Udar shara o nelineino uprugii buffer, ustanovlennii na plite perekritiya II Izv.vuzov. Stroitel'stvo. 2004. № 11.s.16-22.

2. Loktev A.A. Uprugoplasticheskaya model vzaimodeistviya tsilindricheskogo udarnika i plastinki Il Pis'ma v zhurnal tehnicheskoi fiziki. 2007. Tom 33, V.16. c. 72-77.

Crossing points

...... A:* A* '

...... ...... ...... ......\..... ......i..... ./A AA »V £

______ ______ —*L..... Á. --At - А г" a , Í , Í .....*..... A A A Jt A •..... A_______Jk, J*A

r.....;— "i- A ..Дй

..A.. : ^ .A.---

¡ ¡ A

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

3Q7

3. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. A ray method of solving problems connected with a shock interaction // Acta Mechanica. 1994. Vol. 102, № 1-4. p.103-121.

4. Filippov A.P. Poperechnii uprugii udar tyazhelim telom po krugloi plite // Mehanika tverdogo tela. 1971. № 6. s. 102-109.

5. Thomas T.Y. Plastic Flow and Fracture in Solids. N.Y.; L.: Acad. Press, 1961.

6. Loktev A.A., Loktev D.A. Opredelenie napryazhenii na frontah udarnih voln v ortotropnoi plastinke // Dvenadtsataya mezhvuzovskaya nauchno-prakticheskaya konferentsiya molodih uchenih, doktorantov i aspirantov, M.: MGSU, 15-22 aprelya. 2009. s. 472-479.

Ключевые слова: волновые процессы, отраженные волны, динамические характеристики, взаимодействие волн

Key words: wave processes, reflected waves, dynamic characteristics, wave's interaction

Почтовый адрес авторов: г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26,

кафедра Теоретической механики Телефон авторов: Локтев Алексей Алексеевич - 8-909-994-14-44

e-mail: prtlokt@yandex.ru

Рецензент: Егорычев Олег Александрович, д.т.н., профессор ГОУ ВПО МГСУ