Индуктивная размерность пространства по нормальной базе

Математика

УДК 515.127

ИНДУКТИВНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ПО НОРМАЛЬНОЙ БАЗЕ

Д. Георгиу1, С. Илиадис2, К. Л. Козлов3

Изучаются свойства большой индуктивной размерности пространства по его нормальной базе, введенной С.Илиадисом. Предложенные размерностно-подобные функции обобщают как классические размерности Ind, Indo, так и относительные индуктивные размерности I. Показано, какими свойствами нормальных баз характеризуется выполнение основных классических теорем теории размерности (суммы, монотонности и произведения).

Ключевые слова: большая индуктивная размерность, нормальная база, теоремы суммы, монотонности, произведения.

Properties of the large inductive dimension of a space by its normal base introduced by S. Iliadis are studied. The proposed dimension-like functions generalize both classic dimensions Ind, Indo and relative inductive dimensions I. It is shown what properties of the normal base characterize the fulfilment of basic classic theorems of the dimension theory (sum, subset and product theorems).

Key words: large inductive dimension, normal base, sum, subset and product theorems.

1. Введение и предварительные сведения. Один из подходов к определению размерностных функций на топологическом пространстве — индуктивный, берущий начало от Пуанкаре и получивший развитие в работах Брауэра, Менгера и Урысона. Формально большая индуктивная размерность Ind на нормальных пространствах определена Чехом, и им же показано выполнение основных теорем (теорем счетной суммы, монотонности) для размерности Ind в классе совершенно нормальных пространств. Но уже в классе нормальных, и даже наследственно нормальных пространств, построены примеры, показывающие, что основные размерностные свойства перестают быть верными. Именно это обстоятельство и послужило причиной изучения самых разных "размерностно-подобных" функций, которые в тех или иных классах пространств удовлетворяли бы аналогам некоторых основных утверждений теории размерности и знание которых позволяло бы делать оценки классических размерностей.

Так, В. В. Филиппов ввел размерностный инвариант Indo нормальных пространств, который изучался А. В. Ивановым [1] и В. В. Федорчуком [2]. А. Ч. Чигогидзе [3, 4] показал, что данный инвариант может быть продолжен на класс тихоновских пространств, и им же была введена относительная большая индуктивная размерность, обобщающая Indo.

С. Илиадис [5] предложил определять размерностно-подобную функцию типа Ind на пространстве по заданной на нем нормальной базе. Отметим, что данный подход обобщает как размерности Ind, Indo, так и относительные индуктивные размерности. В [5] введенная функция исследовалась с точки зрения существования универсальных элементов. Ниже изучается ее конечномерный вариант с целью выяснения ее размерностных свойств.

В настоящей работе определяются различные типы нормальных баз на пространстве и устанавливается, какие свойства нормальных баз отвечают за выполнение основных теорем теории размерности. Основой доказательства ряда утверждений являются идеи П. С. Александрова (нормализационная лемма), Даукера (теоремы суммы и монотонности), Б. А. Пасынкова (теорема произведения).

1 Георгиу Димитриос — Ph.D., assosiate professor, матем. ф-т Университета г. Патра, Греция, e-mail: georgiou@math.upatras.gr.

2 Илиадис Ставрос — доктор физ.-мат. наук, проф. матем. ф-та Университета г. Патра, Греция, e-mail: iliadis@math.upatras.gr.

3Козлов Константин Леонидович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kkozlov@mech.math.msu.su.

Понятие нормальной базы замкнутых множеств топологического пространства было введено Фринк [6]. Так как ее наличием характеризуется тихоновость пространства, то все пространства предполагаются тихоновскими. Естественными нормальными базами являются:

(a) семейство Z(X) всех замкнутых подмножеств нормального пространства X;

(b) семейство Z(X) всех функционально замкнутых подмножеств тихоновского пространства X;

(c) семейство Z(X, Y) = {X П F : F Е Z(Y)} для подмножества X тихоновского пространства Y.

Именно эти нормальные базы используются для определения как размерности Ind, так и размерност-

ных функций Indo,I (см., например, [1, 7-10]).

Для пространства X, его подпространства Y и семейства F множеств на X положим Fc = {X \ F : F Е F} и F\y = {Y П F : F Е F}. Через N и и обозначаются натуральные числа и множество конечных ординалов соответственно. Для индексной пары j = 1, 2 будем считать j = 1, если j = 2, и j = 2, если j = 1. Напомним определение нормальной базы.

Определение 1 [6] (см., например, [5, 8]). База F замкнутых множеств пространства X называется нормальной, если:

(1) F — кольцо, т.е. F замкнуто относительно операций взятия конечных пересечений и объединений;

(2) F — разделяющая, т.е. для любых F EF и точки x Е X \ F существует элемент T EF, такой, что x Е T и F П T = 0;

Если, кроме того, нормальная база F замкнута относительно операции взятия счетных пересечений, то будем говорить, что она мультипликативна.

Замечание 1. Если F — нормальная база на пространстве X, то легко проверяются следующие свойства:

(1) 0,X Е F;

(2) F\y — нормальная база на Y для любого Y EF; кроме того, если F мультипликативна, то и F\y мультипликативна;

(3) по нормальной базе F однозначно строится [6] хаусдорфова бикомпактификация (бикомпактифи-кация волмэновского типа) w(X, F) пространства X; при этом семейство wF = {clw(x,F)F = w(F, F\f) : F Е F} — нормальная база на w(X, F);

(4) для любой пары (F, T) дизъюнктных элементов F существуют дизъюнктная пара (F', T') элементов F и пара (G, H) элементов Fc, такие, что F С G С F' и T С H С T' (см., например, [11]).

(5) для любой пары (F,T) дизъюнктных элементов F существует последовательность пар (R, Si), i Е и, элементов F, такая, что (R¿+i,S¿+i) — разделитель пары (F,Si), i Е и, и (Ro,So) — разделитель (F,T).

Определение 2 [5]. Пусть F — нормальная база на пространстве X. Положим I(X, F) = —1 тогда и только тогда, когда X = 0. По индукции будем считать I(X, F) ^ n, если для любой пары (F, T) дизъюнктных элементов базы F существует их разделитель (R,S), такой, что I(R П S, F\rhs) ^ n — 1. Если I(X, F) ^ n не выполнено ни при каком n Е N, то считаем I(X, F) = то.

Замечание 2. (1) В [5] определена трансфинитная индуктивная размерность по нормальной базе, конечный вариант которой и рассматривается в настоящей работе. Вместо обозначения "I(X, F) ^ n" используется словосочетание "the normal base F is (bn — Ind ^ n)-dimensional". Ограничение, налагаемое в [5] на мощность нормальной базы, несущественно.

(2) Если на пространстве X нормальная база F совпадает с Z(X), то I(X, F) = Indo(X), где Indo — размерностная функция, предложенная В. В. Филипповым и первоначально рассмотренная в [1].

(3) Если X С Y и нормальная база F на X совпадает с Z(X,Y), то I(X,F) = I(X,Y), где I — относительная размерность, введенная в [3].

Пункт (1) следующей леммы является леммой 5.3.7 из [5], а доказательство пункта (2) фактически не отличается от доказательства леммы 5.3.7 из [5].

Лемма 1. Пусть F — нормальная база на пространстве X.

(1) Если X — бикомпакт, то для любой пары (P,Q) дизъюнктных элементов семейства Z(X) существует пара (F, T) дизъюнктных элементов базы F, такая, что P С F и Q С T.

(2) Если X — линделефово пространство и нормальная база F мультипликативна, то для любой пары (P, Q) дизъюнктных элементов семейства Z(X) существует пара (F, T) дизъюнктных элементов базы F, такая, что P С F и Q С T.

2. Типы нормальных баз. Определение 3. Пусть F — нормальная база на пространстве X. Подмножество Y С X назовем F-нормальным, если семейство F\y является нормальной базой на Y.

вьсш. миск. ун-та. сер. 1, математика. механика. ¿UU9. л-о

9

Доказательство следующего предложения аналогично доказательству нормальности Fa-подмножеств нормального пространства (см., например, [7, гл. 1, § 5]).

Предложение 1. Пусть F — мультипликативная нормальная база на пространстве X. Если Y = U{Fi : i Е N}, где Fi Е F, то Y F-нормально.

Определение 4. Нормальную базу F на пространстве X назовем наследственно нормальной, если F-нормально любое подпространство X.

Несложно доказывается следующее предложение, характеризующее наследственно нормальные базы.

Предложение 2. База F наследственно нормальна на X тогда и только тогда, когда любой элемент O Е Fc является F-нормальным.

Определение 5. Наследственно нормальную базу F назовем совершенно нормальной, если любой элемент O Е Fc есть счетное объединение элементов F.

Очевидно, что если F является (наследственно) совершенно нормальной базой на X и Y С X, то F\y — (наследственно) совершенно нормальная база на Y.

Отметим, что пространство X (наследственно) нормально в том и только в том случае, если семейство Z(X) — (наследственно) нормальная база. Поэтому если X (наследственно) нормальное, но не (совершенно) наследственно нормальное пространство, то Z(X) — (наследственно) нормальная, не (совершенно) наследственно нормальная база. Приведем пример (счетного) метризуемого (значит, и (совершенно) наследственно нормального) пространства и (наследственно) нормальной, не (совершенно) наследственно нормальной базы на нем.

Пример 1. Пусть Y — счетное дискретное пространство, X = aY — его бикомпактификация Александрова. Так как Y локально компактно, то (см., например, [11]) существует нормальная база F' (база F' состоит из конечных множеств и множеств, дополнение до которых конечно) на Y, такая, что w(Y, F') = X. Пусть A,B — счетные дизъюнктные подмножества Y, такие, что \Y \ (A U B)\ = «о, и F — нормальная база на X, порожденная семейством wF'UclxAUclxB. Тогда семейство F\y — не нормальная база (для множеств A,B Е F\y не существует разделителя (R, S), так как дополнение до любого множества из F\y, содержащего, например, A, но отличного от него, конечно). При этом само пространство X наследственно нормально.

Пример 2. Пусть X — несчетное дискретное пространство, подмножество A таково, что \A\ > «о и \X \ A\ > «о, база F' (F' состоит из конечных множеств и множеств, дополнение до которых конечно) — такая нормальная база на X, что w(X, F') = aX. Пусть F — нормальная база на X, порожденная семейством F' U A. Тогда семейство F — наследственно нормальная (все конечные подмножества X принадлежат семейству Fc, и в любой дизъюнктной паре множеств из F хотя бы одно из множеств конечно), но не совершенно нормальная база (множество X \ A не является счетным объединением конечных множеств). При этом само пространство X совершенно нормально.

Из предложений 1 и 2 получаем

Следствие 1. Если для мультипликативной нормальной базы F любой элемент O Е Fc есть счетное объединение элементов F, то F — совершенно нормальная база.

Предложение 3. Любое отделимое, последовательно вложенное мультипликативное кольцо [12] F на пространстве X является совершенно нормальной базой.

Доказательство. Согласно [12, теорема 2.2], F = Z(X,w(X, F)). Тем самым любой элемент O Е Fc есть счетное объединение элементов F. Согласно [12, лемма 1.3], F — нормальная база. Из следствия 1 вытекает совершенная нормальность F.

Замечание 3. Для X С Y семейство Z(X, Y) является в точности отделимым, последовательно вложенным мультипликативным кольцом на X. Тем самым Z(X, Y) — мультипликативная, совершенно нормальная база на X.

Вопрос 1. (1) Верно ли, что любая мультипликативная, совершенно нормальная база на произвольном пространстве X имеет вид Z (X, Y)?

(2) Верно ли, что любая мультипликативная, совершенно нормальная база на произвольном бикомпактном пространстве X совпадает с Z (X)?

Следующее предложение доказывается по индукции с использованием леммы 1.

Предложение 4. (1) Если F1 и F — нормальные базы на бикомпакте X, такие, что F' С F, то I(X, F) ^ I(X, F'). В частности, IndX ^ I(X, F) для любой нормальной базы F на бикомпакте X.

(2) Если F — нормальная база на линделефовом пространстве X и F — мультипликативная нормальная база на X, такая, что F С F, то I(X, F) ^ I(X, F). В частности, IndX ^ I(X, F) (IndoX ^ I(X, Y)) для любой мультипликативной нормальной базы F на линделефовом пространстве X (для любого объемлющего линделефово пространство X пространства Y [10, замечание 3.3]).

С применением индукции доказывается

Предложение 5. Для любых нормальной базы F на пространстве X и элемента Y eF выполнено I(Y, F\y) < I(X, F).

Следующее предложение является переформулировкой леммы 5.3.6 из [5].

Предложение 6. Для любой нормальной базы F на пространстве X выполнено I(X, F) = I(w(X, F), wF).

Из предложений 4 и 6 имеем Ind w(X, F) ^ I(X, F).

Вопрос 2. Пусть Fi, F2 — нормальные базы на X, такие, что w(X, Fi) = w(X, F2). Всегда ли выполнено равенство I(w(X, F1 ),wF1) = I(w(X, F2),wF2)?

Пример 3. (1) В [13] построены наследственно нормальные бикомпакты Sn, такие, что IndSn = 1 и IndoSn = I(Sn, Z(Sn)) = n, n e N U {с»}.

(2) Александровская бикомпактификация aXn нульмерного пространства Xn c IndXn = n, n e N, из [14] является бикомпактификацией волмэновского типа [12, теорема 2.6]. Так как IndaXn = 0, то IndoaXn = 0, n e N. Поэтому для совершенно нормальной базы Z(Xn,aXn) имеем I(Xn,Z(Xn,aXn)) =

0 < IndXn = n ^ Ind0Xn, n e N. Также имеем 0 = IndaXn = IndoaXn < IndXn = n, n e N.

(3) Пусть Qj, j = 1, 2, — такие дизъюнктные плотные подмножества отрезка [0,1], что 0 e Qi, 1 e Q2. Пусть F — нормальная база на [0,1] с предбазой, состоящей из множеств вида [ri,r2], где ri e Qi и Г2 e Q2. Легко показать, что I([0,1],F) = с.

(4) Куб [0,1]n может быть наростом волмэновской бикомпактификации bnX интервала X = [0,1), п G N. Действительно, пусть f\ : [0, —[0,1]га, fi : [А, —[0,1]га, i ^ 2, — такие биективные отображения, что fi(j^i) = fi+i(jqr[)> i ^ 1 (например, отображения пеановского типа). Тогда X гомеоморфно графику отображения F : X ^ [0,1]n, где F — комбинация отображений fi, i e N. Очевидно, что замыкание графика в [0,1] х [0,1]n совпадает с bnX = X U {1} х [0,1]n. Легко видеть, что условия [11, теорема 4] выполнены. Так как IndbnX = n, n e N, то существует нормальная база Fn на X, такая, что, согласно предложению 4, п. (2), I(X, Fn) ^ n, n e N.

Отрезок [0, 1] может быть наростом такой волмэновской бикомпактификации bX счетного дискретного пространства X, что Ind bX = 1 (несложно добиться выполнения условий [11, теорема 3]). Поэтому существует нормальная база F на X, такая, что I(X, F) ^ 1.

Вопрос 3.

(2) Существуют ли нормальное пространство X и нормальные базы Fj, j = 1, 2, 3, на нем, такие, что I(X, Fi) < IndX < I(X, F2) < IndoX < I(X, F3)?

(3) Существуют ли бикомпакт X и нормальные базы Fj, j = 1, 2, на нем, такие, что IndX < I(X, Fi) < IndoX < I(X, Fi)?

3. Теоремы суммы и монотонности. Для наследственно нормальных баз выполнен аналог формулы Урысона-Менгера.

Предложение 7. Пусть F — наследственно нормальная база на X = Xi U X2. Тогда I(X, F) ^

I(Xi, FX )+I(X2, f\x2 ) + 1.

Следующий ее аналог мотивирован [9, задача 2.2. C(c),(d)] и доказывается аналогично. Предложение 8. Пусть F — нормальная база на X = Xi U X2, Xi F-нормально, i = 1, 2, и X2 e F или X2 e Fc. Тогда

I(X, F) < I(Xi, f\x1 ) + I(X2, f\x2 ) + 1.

Если Xi eF и Xi = i = 1, 2, т,о I(X, F) < I(Xi, F\x1 )+I(X2, F\x2).

Следующая теорема является аналогом аддиционной теоремы Даукера [15] (см., например, [7, гл. 7, §2]).

Теорема 1. Пусть F — (мультипликативная) наследственно нормальная база на X и Xi e Fc,

1 = 1,...,k (i e N), таковы, 'что Xi = X, Xi D Xi+i, i = 1,...,k — 1 (i e N), и P|{Xi : i = 1,...,k (i e N)} = Если I(Xi \ Xi+i, F\X. \Xi+1) < n, i = 1,...,k — 1 (i e N), т,о I(X, F) < n, n e и U{—1, »}.

Следствие 2. Пусть F — (мультипликативная) наследственно нормальная база на пространстве X и X = U{Di : i = 1,..., k(i e N)}, где множества Di, i = 1,...,k (i e N), дизъюнктны, а частичные суммы Fs = (J {Di : i ^ s} e F, s = 1,...,k (s e N). Если I(Di, F\Di) ^ n, i = 1,...,k — 1 (i e N), то I(X, F) ^ n, n e и U {—1, »}.

Следствие 3. Пусть F — наследственно нормальная база на пространстве X, F eF и I(F, F\f ) ^ n, I(X \ F, F\X\F) < n, n e и U {—1, с}. Тогда I(X, F) < n. Рассмотрим следующие условия.

(Mn) Для любого Xo С X с I(Xo, F\x0) ^ n и любого E С Xo имеем I(E, F\e) ^ n.

(MOn) Для любого Xo С X с I(Xo, F\Xo) ^ n и любого E С Xo, E e Fc\Xo имеем I(E, F\E) ^ n.

(Cn) Если Xo С X и Xo = A U B, где A e F\Xo и I( A, F\a) < n, I(B, F\b) < n, то и I(Xo, F\x0) < n.

(Efn)((En)) Если X0 С X представлено в виде X0 = |J{Ai : i = 1,...,k}, k e N (X0 = |J{Ai : i e N), где Ai e F\xo и I(Ai, F\aí) < n, i = l,...,k (i e N), то I(Xo, F\x0) < n.

Если размерность пространства X по нормальной базе F удовлетворяет условию (E/n) ((En)), в котором дополнительно считаем, что Ai e F, i = 1,...,k (i e N), то говорим, что для размерности X по нормальной базе F выполнена конечная (счетная) теорема суммы. Из второй части предложения 8 имеем

Следствие 4. Пусть I(X, F) ^ 1 для нормальной базы F на пространстве X. Тогда для размерности по нормальной базе F выполнена конечная теорема суммы.

Ясно, что выполнение условия (Mn) влечет выполнение условия (MOn), n e и U { — 1, то}. Кратко это будем записывать в виде (Mn) (MOn). Доказательство предложений 9 и 11 аналогично доказательствам утверждениий из [7, гл. 7, § 3].

Предложение 9. (Mn_i) и (MOn) (Mn), n e и U {с»}.

Из следствия 3 получаем

Предложение 10. (MOn) (Cn), n e и U {—1, то}.

Предложение 11. Если F — (мультипликативная) наследственно нормальная база на пространстве X, то (MOn) (E/n) ((En)), n e и U {—1, то}.

Из предложений 9-11 с учетом того, что (M_i) выполнено, вытекает

Теорема 2. Если F — (мультипликативная) наследственно нормальная база на пространстве X, то выполнение условия (MOn) для всех n e и U { — 1, то} влечет выполнение условий (Mn), (Cn) и (E/n) ((En)) для всех n e и U { — 1, то}.

Следующая лемма является аналогом основной леммы Даукера [15] (см., например, [7, гл. 7, § 3]).

Лемма 2. Пусть для размерности на X по (мультипликативной) наследственно нормальной базе F выполнены условия (E/n_i) ((En_i)), где n e и. Если Ai e F, e F, Ui e Fc, i = 1,...,k (i e N) таковы, что Фi С Ui С Ai, I(Ai, F\Ai) ^ n, i = 1,...,k (i e N), и X = (J ^ : i = 1,...,k(i e N)}, то I(X, F) < n.

Применяя лемму 2, п. (4) замечания 1 и предложение 5, получаем следующую лемму.

Лемма 3. Пусть размерность на X по мультипликативной, совершенно нормальной базе F удовлетворяет условию (En_i), где n e и. Если E С Xo С X, E e Fc\x0 и I(Xo, F\x0) ^ n, то I(E, F\e) ^ n.

Из теоремы 2 и леммы 3 с учетом того, что (M_i) выполнено, вытекает

Теорема 3. Пусть F — мультипликативная, совершенно нормальная база на пространстве X. Тогда

(1) для любого множества E С X выполнено I(E, F\e) ^ I(X, F);

(2) если X = U{Ai : i e N} и I(Ai, F\Ai) ^ n, i e N, то тогда I(X, F) ^ n, n e и U {—1, то};

(3) если X = A U B, где A eF, I(A, F\a ) ^ n и I(B, F\b ) ^ n, то тогда I(X, F) ^ n, n e и U{—1, то}.

Замечание 4. На любом пространстве X существует (мультипликативная) совершенно нормальная

база (например, Z(X)). Тем самым на любом пространстве X существует нормальная база, размерность по которой удовлетворяет счетной теореме суммы и монотонна по подмножествам.

Пример 4. Можно показать, что условия IndoX = 0 и dim X = 0 эквивалентны и dim X ^ IndoX для любого тихоновского пространства X. В [16] построено тихоновское пространство Xn = Xn U Xn, где Xn e Z(Xn), dim Xn = IndoXn = 0, j = 1,2, IndoXn ^ dim Xn = n, n e N. По теореме 3 имеем I(Xn,Z(Xn,Xn)) < IndoXn, j = 1, 2, и IndoXn < max{I(Xn,Z(Xn,Xn)), IX,Z(X2n,X,n))}. Значит, существуют пространство Yn (или Xn или X^ и совершенно нормальная база Z(Yn,Xn), такие, что IndoYn = 0 <n < I(Yn, Z(Yn,Xn)), n e N.

Существует [17] пример наследственно нормального пространства X с IndX = 0, в котором имеются совершенно нормальные открытые подмножества Xn с IndXn = n для любого n e N.

Вопрос 4. Существуют ли пространство X и (мультипликативная) наследственно нормальная база F на нем, для размерности по которой не выполнена конечная (счетная) теорема суммы (в частности, если X — (наследственно) нормальное пространство, а F = Z(X))?

4. Теорема произведения. Пусть Fj — нормальная база на пространстве Xj, j = 1, 2. Семейство F = Fi XF2 всех конечных объединений множеств вида Fi х F2 С Xi х X2, где Fj eFj, j = 1, 2, назовем произведением нормальных баз.

Лемма 4. Пусть F,T e F — дизъюнктные подмножества произведения X = Xi х X2. Тогда существует пара (R, S) элементов F, являющаяся разделителем пары (F, T).

Если дополнительно I(Xj, Fj) < то, j = 1,2, то существуют k e N и e Fj, s,l — 1,...,k,

3 = 1, 2, такие, что , ) < 1(Х], Т.), 8,1 = 1,...,к, 3 = 1, 2, и К П 5 С $1 х Х2 и Х1 х ф2, где

Ф] = 11 : 8,1 = 1,...,к}, 3 = 1, 2.

Доказательство. Пусть Г = и[Г? = Р? х Г? : 8 = 1,..., к}, Т = и[Т = Т[ х Т12 : I = 1,..., к}, Г?, Т] еТ], 8,1 = 1,..., к, 3 = 1, 2. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что множества Г и Т состоят из одинакового количества "прямоугольников" и их число равно к.

Так как любая пара "прямоугольников" Г? = Г? х Г? и Т = Т\ х Т2 дизъюнктна, то или Г? П Т\ = 0, или Г? П Т2 = 0, 8,1 = 1,...,к. Поэтому существует разделитель (К31, пары (Г3,Т вида К31 = К?1 х Х2, = хХ2, где (К?1 , в?1) — разделитель пары (Г?, Т[) в случае, если Г?ПТ[ = 0, или вида К^ = Х1 х Щ1, Б31 = Х1 х 5|г, где (К?1,52) — разделитель пары (Г?,Т2) в случае, если Г? П Т12 = 0. Если и Г? П Т[ = 0, и Г? П Т2 = 0, то разделитель берем первого вида. Кроме того, положив ^ = К? П ^ = 0, если Г?ПТ1 = 0, и = 0, = К?1 Пв?1 в противном случае, 8,1 = 1,...,к, можно считать, что 1(р?г,) <

1(Х], Т), 3 = 1, 2.

Пара (Р| [К3[ : I = 1,..., к}, У : I = 1,..., к}) — разделитель пары (Г? ,Т), 8 = 1,...,к. При этом (П К : I = 1,...,к}) П ^ : I = 1,...,к}) С (и К : I = 1,...,к}) х Х2 и Х1 х (У [^ : I = 1,...,к}). Пара (У Ш[К?г : I = 1,..., к} : 8 = 1,...,к}, П [Ш^ : I = 1,...,к} : I = 1,...,к}) — разделитель

пары (F, T). Положим Фj = (J {ipf : s,l = 1,...,k}, j = 1,2. Имеем (U {f|{Rs¿ : l = 1,---,k} : s = 1,...,k}) П (f| {U{Sst : l = 1,...,k} : l = 1,...,k}) С Ф1 x X2 U Xi x Ф2.

Из леммы 4 очевидным образом получаем

Предложение 12. Пусть F j — нормальная база на пространстве Xj, j = 1, 2. Тогда их произведение является нормальной базой на пространстве X = Xi x X2.

Вопрос 5. Когда произведение наследственно (совершенно) нормальных баз является наследственно (совершенно) нормальной базой?

Для исследования размерности произведения применяется подход, предложенный в работах [18, 19].

Определение 6. Для нормальной базы F на пространстве X ее подсистему Т назовем нормальной базой в себе, если для любого элемента Y ЕТ имеем F\y СТ.

Для нормальных баз в себе Tj, j = 1, 2, нормальной базы F на пространстве X говорим, что Ti разделяет 72, если для любых Y Е Т2 и дизъюнктных элементов F,T Е F\y существует их разделитель (R, S) в Y, такой, что R П S Е Ti.

Лемма 5. Пусть для нормальной базы F на пространстве X выполнено I(X, F) ^ n, где n Е и. Тогда существуют нормальные базы в себе ai СF, i = —1, 0,... ,n, такие, что

(a) a_i = {0}, X Е an, ai С ai+i, i = —1, 0,...,n — 1;

(b) ai разделяет ai+i, i = —1, 0, ...,n — 1.

Если, кроме того, для размерности X по нормальной базе F выполнена конечная теорема суммы,

то

(c) ai — кольцо, i = —1, 0,...,n.

Доказательство. Для доказательства леммы достаточно положить a_i = {0}, ai = {F : F Е F, I(X, F) < i}, i = 0,...,n.

Лемма 6. Пусть для нормальной базы F на пространстве X существуют нормальные базы в себе ai, i = —1, 0,...,n, где n Е и, удовлетворяющие условиям (a) и (b) леммы 5. Тогда I(X, F) ^ n.

Доказательство. Для доказательства покажем, что I(F, F\f) ^ i для любого элемента F Е ai, i = —1,0,...,n, где n Е и. Если i = —1, то F = 0 и I(F, F\f ) = —1. Предположим, что для любых i < m утверждение выполнено. Пусть F Е am и T,P Е F\f — дизъюнктные подмножества F. Из п. (b) вытекает существование разделителя (R,S) пары (T,P) в F, такого, что RП S Е am_i. По индуктивному предположению I(R П S, F\rds) ^ m — 1. Тем самым I(F, F\f) ^ m.

Вопрос 6. Пусть для нормальной базы F на пространстве X существуют нормальные базы в себе ai, i = —1, 0,.. .,n, удовлетворяющие условиям (a)-(c) леммы 5. Будет ли тогда размерность X по нормальной базе F удовлетворять конечной теореме суммы?

Теорема 4. Пусть для размерности непустого пространства Xj по нормальной базе Fj выполнена конечная теорема суммы, j = 1, 2. Тогда для произведения нормальных баз F = Fi XF2 на пространстве X = Xi X X2 имеем

I(X, F) < I(Xi, Fi)+I(X2, F2).

Доказательство. Пусть I(Xj, Fj) = nj, nj Е и U {с»}, j = 1, 2. Если ni или n2 = то, то утверждение теоремы очевидно. В противном случае по лемме 5 существуют кольца aj, i = —1,0,...,ni, j = 1,2, удовлетворяющие условиям (a), (b) леммы 5.

Положим a-i = {0}; а'к = [Fi х F2 : Fj G j ),i(j) ^ 0,j = 1, 2,i(1) + i(2) = fc}, k = 0,...,ni + П2;

ак — кольцо, состоящее из всех конечных объединений элементов а'к, k = —1, 0,...,ni + П2. Очевидно, что а к, k = —1, 0,... , ni + П2, — нормальные базы в себе и выполнено условие (a) леммы 5, а выполнение условия (b) леммы 5 проверим по индукции.

Сначала покажем, что для дизъюнктных множеств T,P G F|fi xF2 , где Fi х F2 G а'к и Fj G oj^), i(j) ^

0,j = 1, 2,j(1) + j(2) = k, существует разделитель (R, S) пары (T,P) в Fi х F2, такой, что R П S G ak-i, k = 0,...,ni + П2. Так как сомножители удовлетворяют конечной теореме суммы, то это можно сделать по лемме 4.

Пусть теперь F G ак, k = 0,...,ni + П2, имеет вид F = Fi х F2 U Ti х T2, где Fi х F2,Ti х T2 G ак, k = 0,...,ni + П2, и Fj G aj(j), Tj G ajU),i(j ),l(j) > 0,j = 1,2,i(1) + i(2) = l(1) + l(2) = k (случай произвольной конечной суммы рассматривается аналогично случаю суммы двух элементов). Пусть P,Q G Fl f дизъюнктны.

Если i(1) = l(1) и i(2) = l(2), то можно считать множества P и Q дизъюнктными подмножествами множества F' = (Fi U Ti) х (F2 U T2) G ак. Очевидно, P,Q G FIf'. Доказательство в этом случае сводится к предыдущему рассмотрению.

Иначе, используя стандартную технику, например, из доказательства предложения 8, можно найти разделитель (R, S) пары (P, Q) в F, такой, что R П S С Xi U Х2 U ((Fi П Ti) х (F2 П T2)), где Xj G а^ь j = 1, 2, и (Fx П Tx) х (F2 П T2) G ак-ь так как min[i(1),l(1)} + min[i(2),l(2)} < k. Поэтому R П S G ак-]_. По лемме 6 имеем I(X, F) ^ ni + П2.

В [19, пример 4] показано, что существуют пространства X, Y, индуктивные размерности (т.е. размерность по нормальным базам Z (X ) и Z (Y )) которых удовлетворяют конечной теореме суммы, но индуктивная размерность произведения (т.е. размерность по нормальной базе Z(X х Y)) не удовлетворяет конечной теореме суммы.

Вопрос 7. Пусть для размерности Xj по нормальной базе Fj выполнена конечная теорема суммы, j = 1, 2. Будет ли конечная теорема суммы выполнена для размерности произведения X = Xi х X2 по произведению нормальных баз F = Fi х F2?

Замечание 5. Отметим, что возможен перенос результатов теоремы 4 на конечные и даже бесконечные произведения при соответствующем определении произведения нормальных баз.

Пример 5. В. В. Филиппов [20] и Д. В. Малыхин [21] построили примеры бикомпактов X,Y, таких, что IndX = 2, IndY = 1 (поэтому в Y выполнена конечная теорема суммы для размерности по базе Z (Y)) и IndX х Y > 3 (в примере Д. В. Малыхина бикомпакт Y является линейно упорядоченным). Если на бикомпакте X существует нормальная база F, размерность по которой удовлетворяет конечной теореме суммы и для которой выполнено I(X, F) ^ k, то тогда из теоремы 4 и предложения 4 следует, что IndX х Y ^ k + 1.

Вопрос 8. Существует ли на бикомпакте X из примера 5 нормальная база F, размерность по которой удовлетворяет конечной теореме суммы и для которой I(X, F) = 3?

Работа выполнена при поддержке Министерства науки и образования России (проект РНП 2.1.1.7988 "Современная дифференциальная геометрия, топология и их приложения").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов А.В. О размерности не совершенно нормальных пространств // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.

1976. № 4. 21-27.

2. Федорчук В.В. О размерности к-метризуемых бикомпактов, в частности пространств Дугунджи // Докл.

АН СССР. 1977. 234, № 1. 30-33.

3. Чигогидзе А. Ч. Об относительных размерностях вполне регулярных пространств // Сообщ. АН ГрузССР. 1977.

85, № 1. 45-48.

4. Chigogidze A. Inductive dimensions of completely regular spaces // Comment. math. Univ. carol. 1977. 18, N 4.

623-637.

5. Iliadis S.D. Universal spaces and mappings. North-Holland Mathematics Studies 198. Amsterdam: Elsevier Science

B.V., 2005.

6. Frink O. Compactifications and semi-normal spaces // Amer. J. Math. 1964. 86, N 3. 602-607.

7. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.

8. Aarts J.M., Nishiura T. Dimension and Extensions. North-Holland Mathematical library. Amsterdam: Elsevier, 1993.

9. Engelking R. Theory of dimensions. Finite and Infinite // Sigma Ser. Pure Math. Vol. 10. Lemgo: Heldermann, 1995.

10. Чигогидзе А.Ч. Об относительных размерностях // Общая топология. Пространства функций и размерность. М.: Изд-во МГУ, 1985. 67-118.

11. Steiner A.K., Steiner E.F. Wallman and z-compactifications // Duke Math. J. 1968. 35, N 2. 269-275.

12. Steiner A.K., Steiner E.F. Nest generated intersection rings in Tychonoff spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1970. 148, N 2. 589-601.

13. C'haralambous M., Chatyrko V. Some estimates of the inductive dimensions of the union of two sets // Topol. Appl. 2005. 146-147. 227-238.

14. Филиппов В.В. О поведении размерности при замкнутых отображениях // Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. 1978. Вып. 3. 177-196.

15. Dowker C.H. Inductive dimension of completely normal spaces // Quart. J. Math. Ser. 2. 1953. 16, N 4. 267-281.

16. Terasawa J. Spaces N WR and their dimensions // Topol. Appl. 1980. 11. 93-102.

17. Pol E, Pol R. A hereditarily normal strongly zero-dimensional space containing subspaces of arbitrary large dimension // Fund. math. 1979. 102, N 2. 137-142.

18. Pasynkov B. On the dimension of rectangular products // Conf./Workshop Gen. Topology and Geom. Topology. University of Tsukuba 1991. Tsukuba, 1992. 67-76.

19. Pasynkov B., Tsuda K. Product theorems in dimension theory // Tsukuba J. Math. 1993. 17, N 1. 59-70.

20. Филиппов В.В. Об индуктивной размерности произведения бикомпактов // Докл. АН СССР. 1972. 202, № 5. 1016-1019.

21. Малыхин Д.В. Некоторые свойства топологических произведений: Канд. дис. М., 1999.

Поступила в редакцию 12.05.2008

УДК 517.5

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

С. И. Митрохин1

Рассматривается дифференциальный оператор четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами и некоторыми граничными условиями. Изучена асимптотика решений дифференциального уравнения четвертого порядка. Исследовано уравнение относительно собственных значений и получена асимптотика собственных значений рассматриваемой краевой задачи.

Ключевые слова: дифференциальный оператор, суммируемые коэффициенты, асимптотика решений, асимптотика собственных значений, метод последовательных итераций.

A fourth order differential operator with summable coefficients and some boundary conditions is considered. Asymptotics of solutions to a fourth order differential equation is studied. The equation for eigenvalues is also studied and an asymptotics of the eigenvalues of the considered boundary value problem is obtained.

Key words: differential operator, summable coefficients, asymptotics of solutions, asymptotics of eigenvalues, method of successive iterations.

Будем рассматривать дифференциальный оператор, заданный дифференциальным уравнением четвертого порядка вида

y

где a Е R, a > 0, Л — спектральный параметр, с граничными условиями

2/

1 Митрохин Сергей Иванович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИВЦ МГУ, e-mail: mitrokhin@srcc.msu.ru.