Методика формирования основных приемов мышления в процессе обучения математике

ИЗВЕСТИЯ

IZVESTIA

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO

PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA

IMENI V.G. BELINSKOGO

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ПГПУ

PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

№26 2011

ИМ. В. Г. БЕНИНСКОГО

№26 2011

УДК: 372.851

МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ОСНОВНЫХ ПРИЕМОВ МЫШЛЕНИЯ

Малахова Е. И. — Методика формирования основных приемов мышления в процессе обучения математике // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 474—480. — В статье определены возможности, выделены уровни сформированности и охарактеризованы основные этапы методики формирования приемов мышления в процессе обучения математике.

Ключевые слова: мыслительные операции, приемы мышления, уровни сформированности, методика формирования, обучение математике

Malakhova E. I. — The method of forming the basic techniques of thinking in the process of teaching mathematics // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 474—

480. — In the article identifies opportunities are highlighted in the levels of formation and describes the main stages of the technique of forming methods of thinking in learning mathematics.

Keywords: mental operations, methods of thinking, levels of formation, methods of forming, learning mathematics

Важнейшим показателем современного уровня и качества образования становится формирование у учащихся готовности к самостоятельной познавательной, поисковой, творческой деятельности, развитие проектного мышления, аналитических способностей и способности к самообучению, готовности к самостоятельному решению самых разнообразных задач. Это придает первостепенное значение развивающей направленности обучения.

Результаты теоретического анализа и многолетнего экспериментального исследования позволяют утверждать, что среди ряда условий, обеспечивающих реализацию приоритета развивающей функции в процессе обучения, важнейшим является осознанность и произвольность деятельности учащихся, направленной на овладение интеллектуальными умениями, отдельными элементами и процедурами, целостной структурой интеллектуальной деятельности. Соответственно средства эффективного интеллектуального развития в процессе обучения должны обеспечивать включение учащихся в осознанную и целенаправленную поисковую познавательную деятельность, в качестве учебной цели которой выступает не только предметное содержание, но и такие компоненты интеллектуального развития как: формирование основных мыслительных операций и более сложных приемов интеллектуальных действий; развитие способности к самостоятельной аналитико-синтетической деятельности, формирование индивидуального познавательного опыта; формирование качеств творческого мышления.

Формирование основных мыслительных операций является одним из основных исходных компонентов, условием и результатом интеллектуального развития человека. Для осознанного и эффективного использования мыслительных операций необходимо их преобразование в соответствующие приемы мышления. Чтобы мыслительные операции стали приемами, могли безошибочно применяться в различных ситуациях, различными субъектами необходима их объективация, “отделение” от субъекта через перевод из интуитивной формы в осознанную. Для этого необходимо описать процедуру осуществления такой операции, представить ее в виде последовательности действий, некоторого правила-ориентира, на основе которого обеспечить дальнейшее усвоение приема.

Можно выделить 4 уровня сформированности приемов умственной деятельности:

1 уровень - интуитивный, на котором прием используется субъектом неосознанно;

2 уровень - уровень осознания сущности приема через его словесное описание, обобщение и составление ориентировочной основы деятельности (ООД) по его применению;

3 уровень - уровень самостоятельного применения данного приема;

4 уровень - высший уровень, характеризующий способность ученика к комплексному применению различных приемов мышления в целостном процессе решения различных задач, его способность осознанно управлять своей мыслительной деятельностью в процессе работы над задачей.

Обучение математике в силу особенностей данной учебной дисциплины обладает уникальными возможностями в осуществлении интеллектуального развития обучающихся. Особая роль математики определяется следующими специфическими особенностями данной учебной дисциплины:

1. Установление и обоснование математических фактов требует применения теоретических методов познания, реализуемых через приемы мыслительной, аналитико-синтетической деятельности.

2. Подлежащее изучению математическое содержание может быть представлено в виде целенаправленно выстроенной системы проблемных ситуаций, преобразуемых в задачи, поисковых и исследовательских заданий, собственно математических задач, решение которых требует целенаправленного применения приемов мышления, позволяет вовлекать учащихся в поисковую деятельность, формировать их познавательные способности.

3. Математические задачи в процессе обучения могут выступать не только в качестве носителей предметного математического содержания, но и носителями надпредметного содержания (мыслительных операций; интеллектуальных умений и приемов умственной деятельности; общих методов рассуждений). Эта особенность делает возможным целенаправленное оснащение математических задач надпредметным содержанием и планомерное интеллектуальное развитие учащихся в процессе обучения математике.

Выстраивая методику обучения математике, позволяющую создать условия для эффективного усвоения учащимися, не только знаний по предмету, но и приемов мышления, мы опирались на теорию поэтапного формирования умственных действий (П. Я. Гальперин [1], Н. Ф. Талызина [4]), использовали работы О. Б. Епишевой [2], в которых выделены различные виды приемов умственной деятельности, раскрываются особенности формирования как общих, так и специфических приемов связанных с процессом обучения математике.

Методика целенаправленного формирования приемов мышления в процессе обучения математике предполагает реализацию последовательности нескольких этапов. Рассмотрим сущность каждого этапа такой работы.

На первом мотивационном этапе требуется обосновать необходимость применения определенного приема, значимость овладения им. При изучении математики такая необходимость может быть обнаружена в процессе выполнения учебной задачи, поиска решения проблемы, решения конкретной предметной (математической) задачи. Рассуждая вместе с учениками, учитель (преподаватель) может придти к необходимости “ проанализировать”, “сравнить”, “обобщить” и т.п. Далее внимание учащихся фиксируется на

том приеме, который предстоит усвоить (“что значит обобщить?”).

На втором этапе раскрывается сущность приема. Прием реализуется на том материале, на котором возникла необходимость его использования. При этом учителю полезно, направляя деятельность учеников, побуждать их к поиску, осознанию и описанию предпринимаемых действий.

На третьем этапе, на основе оценки результатов применения приема, показа его назначения, может быть поставлена задача составления правила применения приема. Реализация этого этапа позволяет перевести прием на уровень осознания. При этом учащиеся побуждаются к анализу процесса применения приема, выделению составляющих его действий и фиксации их в виде правила-ориентира, “памятки”.

На четвертом этапе необходимо организовать работу по усвоению приема. При этом полезны упражнения, направленные на применение отдельных действий, составляющих основной прием, а также упражнения на применение приема в целом. Такие упражнения должны строиться на предметном (математическом) содержании и органично вписываться в учебный процесс, не нарушая его логики. Следуя теории поэтапного формирования умственных действий необходимо сначала выполнять упражнения с опорой на “памятку”, а затем без опоры, с проговариванием выполняемых действий сначала вслух и затем “про себя”.

На пятом этапе в процессе решения задач осуществляется осознанное применение приема, анализ и обобщение ситуаций, в которых он оказывается полезен, что обеспечивает дальнейшее повышение уровня его сформированности.

Конструирование, апробация, экспериментальная поверка эффективности и последующее внедрение разработанной методики осуществлялись с 2000 по 2010 годы. В ходе эксперимента целенаправленное формирование приемов мышления на уроках математики осуществлялось с учащимися 5-6 классов, 7-9 и 10-11 классов.

Сущность формирующего эксперимента состояла в том, что на уроках математики в экспериментальных классах учителя:

• показывали роль приемов мышления при овладении не только математической, но и любой интеллектуальной деятельностью;

• фиксировали внимание учащихся на тех приемах, которые требовалось использовать при выполнении учебных заданий;

• овладение этими приемами выдвигали в качестве одной из важнейших целей обучения;

• выявляли вместе с учащимися сущность каждого приема и фиксировали в словарях-справочниках

правила по их применению;

• обеспечивали осознанное применение учащимися освоенных приемов мышления (с опорой или по памяти) в процессе учебной деятельности.

На примере урока на тему “Взаимно-обратные числа”, проведенного в экспериментальном 5 классе Заслуженным учителем Российской Федерации В. Ф. Разореновым покажем, как в формирующем эксперименте были организованы упражнения учащихся в осознанном применении приемов “анализ” и “сравнение”, а также целенаправленное ознакомление с сущностью и правилом применения приема “обобщение”.

На первом этапе урока в процессе устной работы учащимся предлагаются для решения следующие задачи:

1. Найти площадь прямоугольника со сторонами а и b, если:

1) =3/5дм, b =5/3дм; 2) = 1/4 м, b= 4 м; 3) =0,8 м, 6=1,25 м;

4) = 0,75 м, b =4/з;5) =2/5 м, b = 2хДм.

2. Найти объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь и с, если:

1) = 177/85Дм, Ь =5/бдм, =6/5Дм; 2)= 3,4 м, Ь =7/з м, =3Д м; 3) =х1/х2м, Ь = 5,6 м, =12/ц м.

3. Найти сторону прямоугольника, если известно, что его площадь Бпр. = 1 и одна из сторон равна 4/3;21/7; 0,7; 18.

Учащимся предлагается сравнить проведенные действия и полученные результаты, и сообщить, что интересного заметили. При этом учитель рекомендует учащимся вспомнить, а если забыли, то посмотреть в словарике, что значит “сравнить”, что нужно сделать, чтобы провести сравнение. В процессе обсуждения результатов сравнения выясняется, что некоторые числа дают в произведении единицу. Чтобы объяснить, что это за числа учащимся предлагается выявить те общие признаки, которые объединяют все такие произведения. Учитель сообщает, что такая операция называется - обобщение, что это важнейший прием, позволяющий открывать новые неизвестные свойства. Далее учащимся предлагается самостоятельно провести обобщение и найти ответ на вопрос: Как связаны между собой числа, которые в произведении дают 1? При этом обратить внимание на то, что нужно сделать для того, чтобы провести обобщение.

Работа выполняется в четверках в соответствии со следующей системой заданий:

1) Вернитесь к задачам, проанализируйте, из каких сомножителей состоят произведения равные

1. Сравните их (при необходимости воспользуйтесь правилами проведения анализа и сравнения). Такое сравнение будет возможно, если все числа будут представлены в одинаковом виде, а именно в виде обыкновенной дроби.

2) Выделите общие свойства, характерные для всех пар множителей, дающих в произведении единицу. Попробуйте на основе обобщения вида таких множителей сформулировать гипотезу о том, какие две дроби дают в произведении единицу.

3) Чтобы проверить выдвинутую гипотезу, приведите свой пример таких дробей и найдите их произведение.

Обсуждение результатов проведенной работы позволяет не только дать определение взаимно-обратным числам, но и раскрыть сущность и составить правило-ориентир для проведения обобщения.

Экспериментальную работу по формированию умений осознанно применять приемы мышления в процессе изучения математики в 11 классе проиллюстрируем на примере урока алгебры и начал анализа по теме “Методы и приемы решения показательных уравнений”, проведенного в экспериментальном классе учителем Г. И. Ильиной.

На этапе актуализации знаний проводится проверка усвоения способов решения уравнений вида а?(х) = аз(х) и мотивация необходимости выявить методы и приемы решения более сложных показательных уравнений. Рассматривая возможные пути решения поставленной проблемы, учитель вместе с учениками обнаруживает, что сходные проблемы решались уже неоднократно. Далее ставится вопрос о том, какой прием позволяет выйти на способы решения поставленной проблемы, если обнаружено ее сходство со знакомыми, уже изученными ситуациями. Поскольку сущность приема “аналогия” учащимся уже известна, они предлагают воспользоваться этим приемом познавательной деятельности. Для тех, кто не помнит, как следует действовать по аналогии, учитель предлагает воспользоваться словарями-справочниками.

Соотнеся ситуацию с порядком действий при применении аналогии, ученики приходят к выводу, что необходимо вспомнить методы решения, применявшиеся к уже известным классам уравнений (тригонометрическим, иррациональным и др.) и выявить признаки, которыми обладают уравнения, решаемые определенным методом. Для этого предлагается проанализировать набор различных уравнений, не решая их, определить метод решения и на этой основе провести классификацию. Перед выполнением задания учитель рекомендует обратиться к словарям-справочникам, вспомнить, в чем сущность операции “классификация” и каков порядок действий при ее осуществлении.

Далее учитель предлагает учащимся на основе, обобщения выделить существенные признаки уравнений, решаемых определенным методом, используя абстрагирование зафиксировать общий вид таких уравнений и способ их решения, при этом учащиеся также используют правила применения указанных приемов (по памяти или с опорой на словарь-справочник). В итоге на доске появляется соответствующая таблица.

Подводя итог проведенной работы, учитель вместе с учениками выделяет предпринятые шаги:

1. Обнаружено сходство поставленной в начале урока проблемы о методах и приемах решения показательных уравнений с уже изученными вопросами.

2. Определены способы действия в известной ситуации, сходной с исследуемой.

Ученики вновь возвращаются к правилу-ориентиру действий по аналогии и на этой основе предпринимают дальнейшие шаги.

Выявляют, что сходство рассматриваемой проблемы с имеющимися знаниями состоит в том, что требуется найти методы решения уравнений, при этом общие методы решения уравнений уже известны.

Устанавливают, что новизна проблемы в том, что это новый класс уравнений - показательные уравнения, т. е. уравнения, содержащие неизвестное в показателе степени.

Опираясь на обнаруженное сходство, выдвигают гипотезу: к показательным уравнениям могут применяться такие известные методы решения уравнений как метод введения новой переменной, метод разложения на множители, графический метод. Для этого показательные уравнения должны обладать общими для уравнений решаемых определенным методом признаками.

Проверить эту гипотезу, продолжая действовать по аналогии, учащимся предлагается в процессе кооперировано-групповой дифференцированной самостоятельной работы поискового характера (каждая группа выполняет задания по одному из методов решения). Исследовательское задание, которое предстоит выполнить самостоятельно, формулируется следующим образом:

1) на основе аналогии с известными классами уравнений приведите пример (1-2) показательного уравнения, которое, по вашему мнению, решается методом разложения на множители (введения новой переменной);

2) проверьте свое предположение, решив показательное уравнение данным методом;

3) сформулируйте вывод о том, какие показательные уравнения решаются методом разложения на множители (введения новой переменной).

Результаты самостоятельной работы демонстрируются всему классу. Далее организуется решение показательных уравнений рассмотренными методами.

Результаты экспериментальной работы показали, что учащиеся 5-6 классов легко усваивают сущность основных приемов мышления (анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификация) и, пользуясь словарями-справочниками, в которых зафиксированы правила-ориентиры по применению указанных приемов мышления, эффективно применяют их в процессе рассуждений при изучении нового материала, при решении задач [2, с. 20-25]. При продолжении этой работы с учащимися в 7-9 классах на уроках математики были организованы упражнения в осознанном применении известных приемов на основе использования правила-ориентира (с опорой на правило или по памяти), продолжалась работа по знакомству с другими более сложными приемами (аналогия, абстрагирование, систематизация и другие). В 10-11 классах проводилась работа по повышению уровня владения основными приемами, овладению более сложными приемами умственных действий, например, такими как эвристические приемы поиска решения нестандартных задач.

Таким образом, учитель математики имеет возможность эффективно формировать у учащихся приемы мышления, начиная уже с 5 класса. При оценке результатов экспериментальной работы показатели обученности математике и показатели динамики интеллектуального развития учащихся, участвовавших

в эксперименте, оказались более высокими, чем в контрольных классах. В частности, результат диагностики с помощью теста АСТУР показал значительно опережающий рост показателей по таким субтестам как обобщение, классификация, аналогия и другим, что указывает на эффективность разработанной методики.

Вместе с тем, результаты констатирующего исследования показали, что проблема целенаправленного формирования приемов мышления актуальна не только для учащихся младших классов. Так для изучения умственного развития старшеклассников в школах Калужской области был проведен тест структуры интеллекта Р. Амтхауэра. На основе тестирования были получены следующие результаты. Группа 1: среднегрупповой показатель - 70 баллов, что соответствует низкому уровню умственного развития. Группа 2: среднегрупповой показатель - 90 баллов, что соответствует среднему уровню. Группа 3: среднегрупповой показатель - 80 баллов, что также соответствует низкому уровню умственного развития. Результаты выполнения учащимися заданий субтестов в частности указывают на недостаточную сфор-мированность мыслительных операций (табл. 1).

Таблица 1.

Результаты выполнения заданий теста структуры интеллекта Р. Амтхауэра учащимися 10-х классов

Калужской области

Логи- ческий отбор Опреде- ление общих черт Ана- логии Клас- сифи- кации Задания на счет Ряды чисел Выбор фигУР Задания с кубиками Память

Группа 1. 48 41 28 35 24 44 42 44 61

Группа 2. 54 53 54 50 37 56 59 59 58

Группа 3. 48 51 40 42 40 52 52 45 55

Начиная эксперимент в 10 классах, уже на первых уроках математики учителя-экспериментаторы установили, что мыслительные операции у учащихся либо не сформированы, либо сформированы на интуитивном уровне. Десятиклассники затруднялись при проведении обобщений, не могли ответить на такие вопросы: Что значит проанализировать? В каких случаях и как можно использовать аналогию? Они не осознавали сущности приемов мышления и при их использовании часто допускали ошибки.

Таким образом, результаты констатирующего исследования подтвердили необходимость проведения с учащимися старших классов целенаправленной работы по выделению и переводу приемов мышления с интуитивного уровня на осознанный.

В процессе эксперимента эта работа со старшими школьниками начиналась с тех же шагов, что и с учащимися 5-6 классов. Ее особенностью в старших классах было достаточно быстрое введение и активное использование на осознанном уровне всех основных приемов мышления. В процессе такой работы каждый ученик вел словарь-справочник, в котором фиксировал информацию об изучаемых приемах. К этой информации учащиеся, побуждаемые учителем, обращались всякий раз, когда по ходу урока необходимо было использовать тот или иной прием: сравнить, проанализировать, обобщить, использовать аналогию и т.п.

Параллельно с этим проводилась работа по целенаправленному формированию методов и приемов аналитико-синтетической деятельности. С первых уроков осуществлялось ознакомление учащихся со структурой поисковой познавательной деятельности, содержанием каждого ее этапа. Включение учащихся в такую деятельность позволяло проводить комплексную и целенаправленную работу по осуществлению интеллектуального развития учащихся в процессе обучения математике.

Для выявления результатов экспериментальной работы в контрольных и экспериментальных классах было проведено исследование динамики интеллектуального развития учащихся. Данные исследования, проведенного в начале 10 класса, сопоставлялись с результатами диагностики умственного развития учащихся в начале и конце обучения в 11 классе. Для тестирования использовался тест умственного развития АСТУР.

Полученные результаты показали, что после года обучения в 10 классе у учащихся и контрольного и экспериментального классов тестовые показатели интеллекта значительно изменились. Среднегрупповые показатели, полученные в результате диагностики в начале 10 класса, указывали на низкий уровень умственного развития учащихся как контрольного, так и экспериментального классов. По результатам диагностики в начале 11 класса, среднегрупповые показатели как контрольного, так и экспериментального классов свидетельствовали о среднем уровне умственного развития. Вместе с тем, если в контрольном классе количество учащихся, имеющих низкий уровень умственного развития уменьшилось менее, чем в два раза (с 72 % до 40 %), то в экспериментальных классах их количество уменьшилось почти в три раза (с 68 % до 22 %). Более подробно динамика изменения уровня умственного развития учащихся в течение двух лет эксперимента проиллюстрирована в таблице 2.

Таблица 2.

Результаты экспериментальной работы по формированию приемов мышления у учащихся 10-11 классов

Показатели уровня умственного развития

Контрольная группа Экспериментальная группа

Низкий Средний Высокий Низкий Средний Высокий

Начало 10 класса (до экспримента) 72 28 0 68 32 0

Начало 11 класса (после 1 года эксперимента) 40 60 0 22 78 0

Конец 11 класса (после 2 лет эксперимента) 28 64 8 0 82 18

Таким образом, экспериментальная проверка подтвердила эффективность предлагаемой методики формирования приемов мышления в процессе обучения математике.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гальперин П. Я. О методике поэтапного формирования умственных действий // Вопросы психологии. 1969. № 1. С. 5-15.

2. Малахова Е. И. и др. Технология осуществления интеллектуального развития школьников в процессе обучения математике. Калуга: Изд-во КГПУ им. К.Э. Циолковского, 2007. 165 с.

3. Епишева О. Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: курс лекций. Тобольск: Изд. ТГПИ им. Д. И. Менделеева, 1997. 191 с.

4. Талызина Н. Ф. Теория планомерного формирования умственных действий сегодня // Вопросы психологии. 1993. № 1. С.93-101.