О некоторых понятиях теории колебаний неконсервативных систем с несимметричными связями

К 100-летию со дня рождения С.П. Стрелкова Изв. вузов «ПНД», т. 13, № 5-6, 2005 УДК 533.6.071.87

О НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЯХ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ С НЕСИММЕТРИЧНЫМИ СВЯЗЯМИ

В.И. Смыслов

Описание основных понятий, относящихся к собственным колебаниям неконсервативных систем с несимметричными связями, в частности, таких как комплексные собственные формы и частоты, комплексные нормальные координаты.

По представлению ООН 2005 год объявлен годом физики. Важнейшую часть физики составляет наука о колебаниях, которая охватывает явления в масштабах от атома до Вселенной. Отечественный вклад в науку о колебаниях и в ее приложения к практическим задачам достаточно велик. В решении целого ряда колебательных задач, относящихся к аэроупругости, большая заслуга принадлежит Сергею Павловичу Стрелкову. На основе одной из написанных им книг [1] учились и успешно работали инженеры, ученые многих НИИ, вузов, КБ и других предприятий. К сожалению, это издание стало библиографической редкостью, а некоторые его положения, так случилось, даже открываются заново.

Поводом к изложенному в настоящей заметке послужил выход книги С.В. Аринчева [2], составленной на базе спецкурсов для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана (специальности «Ракетостроение» и «Космические летательные аппараты и разгонные блоки»). В последнее время в вузах появился целый ряд научно-технических книг и учебников; некоторые, к сожалению, не отвечают требуемому качеству. В связи с этим представляется необходимым уточнить или напомнить ряд основных понятий, в первую очередь имеющих отношение к специфическим задачам динамической аэроупругости, теории колебаний и теоретической механики, на примере линейных систем с конечным числом степеней свободы.

Достаточно общее уравнение собственных колебаний1 системы имеет вид:

Мя + Ня + Кя = 0,

1Не вдаваясь в варианты описания сил, зависящих от скорости.

где q - вектор обобщенных координат (смещений, углов); М, К и Н - матрицы, соответственно, инерционных, упругих сил и сил демпфирования, которые могут относиться к упругой конструкции, воздушному потоку, системе автоматического управления (САУ) и другим.

1. Неконсервативные системы

Первые из таких систем, достаточно широкого класса, являются неконсервативные динамические системы. При их анализе зачастую проводится сопоставление с консервативными системами, известным признаком которых2 (см., например, у А.А. Андронова [3], в справочнике [4] и др.) является неизменность количества энергии. Все прочие системы являются неконсервативными. В инженерной практике огромное число задач относится к неконсервативным системам (хотя в расчетах зачастую используется схематизация исследуемых систем, как консервативных). Для консервативных систем в уравнении (1) Н( = 0, а матрицы М и К симметричные, с положительными диагональными элементами. Эти матрицы приводятся к диагональному виду одновременно.

Одним из общих признаков классификации систем в теоретической механике является характер консервативных или неконсервативных сил (рис. 1). Для последних отсутствует потенциал и, следовательно, работа сил при переходе системы из одного состояния в другое зависит от способа перехода, в отличие от таких консервативных сил, как упругие или силы тяжести.

В неконсервативных системах четко выделяется класс диссипативных систем -с рассеянием энергии (зависящей от скорости колебаний), в которых, если нет других неконсервативных сил, принципиально не возникает потеря динамической устойчивости. Для них справедливы свойства матриц М и К, относящихся к консервативным системам, а матрица Н - симметричная.

Возникновение неустойчивости в неконсервативных системах - одно из основных явлений, составляющих предмет исследования динамической аэроупругости, науки, в которой важнейшими системами являются упругие тела или конструкции, взаимодействующие с потоком (основным источником энергии). Во многих случаях в этом взаимодействии участвует САУ, элементы которой имеют дополнительный источник энергии. Отличительной особенностью последней разновидности неконсервативных систем является наличие несимметричной связи3 между отдельными степенями свободы - колебаниями соответствующих обобщенных координат (см. [1, 5]). Зачастую в этом случае используется идея (привычная для всех, занимающихся задачами флаттера) И. Рокара [6] о происхождении динамической неустойчивости систем, в которых по каким-либо причинам происходит сближение частот. То значение параметра, которое соответствует их равенству, определяет границу устойчивости. Особый термин для того же класса неконсервативных систем - Г. Цигле-ра [5], который называет их циркуляционными, по названию неконсервативных сил, не зависящих от скорости колебаний (в отличие от диссипативных сил).

2 Не смешивать с понятием автономные системы, которые могут включать источник энергии, лишь бы отсутствовали внешние воздействия, зависящие от времени, [3].

3Системы являются активными, в отличие от пассивных, [1].

Рис. 1. Классификация колебательных систем

Системы с гироскопическими силами (зависящими от скорости), встречающиеся в некоторых задачах аэроупругости, называются в [5] гироскопическими консервативными системами. Здесь матрица Н - кососимметричная.

Неконсервативные силы со стороны потока, вызывающие несимметричное («невзаимное») воздействие колебания одного вида на колебания другого (например, кручения крыла на его изгиб), может дополняться любыми взаимодействиями, связанными с наличием однонаправленных элементов САУ (в первую очередь - силовых приводов).

Введенное в книге [2] «обобщенное» определение неконсервативной системы как такой, где «при парном взаимодействии степеней свободы первая из двух соответствующих обобщенных сил тождественно равна нулю, а вторая зависит от обобщенной координаты, соответствующей первой обобщенной силе», является ошибочным. Эта формулировка относится лишь к частному случаю из множества неконсервативных систем с несимметричной связью (названному С.П. Стрелковым в [7] системой с необратимыми связями). Недопустимо придавать общий характер частной (хотя и важной) задаче. Поэтому неправомерно называть (чтобы не вводить в заблуждение читателя книги) «теорией колебаний неконсервативных систем» [2] предмет рассмотрения, притом неполного, одного лишь класса систем с несимметричными связями. Вместе с тем, можно лишь приветствовать факт обращения автора [2] к указанной теме, крайне важной для задач динамической аэроупругости, учитывая малое количество книг по этому вопросу.

2. Комплексные частоты

Другое понятие для рассматриваемых неконсервативных систем - комплексная частота, было специально введено (по аналогии с понятием комплексного корня) почти полвека назад С.П. Стрелковым [1, 7], оно вошло в обиход и стало в задачах аэроупругости привычным. Вектор частного решения уравнения (1) имеет вид

Як = СкЯок^к = Ие \к + ] 1т \к = Ьк ± ; шк,

где q0fc - вектор амплитуд, Ck - константа, определяемая начальными условиями. Здесь подразумевается, что на комплексной плоскости корней X мнимая часть (ю) есть собственно частота гармонического сомножителя, а действительная часть (б) -показатель затухания (рис. 2). Его знак определяет характер решения: расходящегося или затухающего, то есть выходит корень характеристического уравнения в правую полуплоскость (на плоскости корней) или в левую. В системе без демпфирования на той же плоскости действительные части корней нулевые, а частоты располагаются на мнимой оси4. Очевидно, понятия собственных частот для консервативной и неконсервативной систем в принципе различны.

3. Собственные формы

Представляется излишним и неудачным дополнять известное понятие собственной формы консервативной системы таким определением, как «пропорциональная» (в книге [1]). Классическое понятие собственной формы, как совокупности коэффициентов распределения [1,8] амплитуд собственных колебаний (на собственной частоте), относится лишь к консервативной системе. При этом все величины действительные, в терминах матричной алгебры - это собственный вектор qok, а квадрат частоты X2 - собственное значение. Физический или инженерный смысл колебаний системы без затухания по собственной форме - фазовые сдвиги между колебаниями координат всех точек отсутствуют или составляют 180 градусов, и отношение амплитуд в любой момент времени остается постоянным, то есть мгновенные фотографии упругой конструкции отличаются лишь константой - общим множителем, положительным или отрицательным. Имеются характерные точки - узловые, в которых амплитуда колебаний всегда нулевая.

Важным свойством собственных форм является их ортогональность, равенство нулю суммы произведений соответствующих коэффициентов распределения k-й и ш-й собственных форм (относящихся к различным собственным частотам) с инерционными или упругими весовыми коэффициентами:

где (q0k )T - транспонированный вектор q0k.

Физический смысл условий ортогональности для консервативных систем следующий. Сумма произведений элементов векторов формы и упругих Kqom (или инерционных Mqom) сил равна нулю, если векторы относятся к разным собственным частотам. В этом случае равна нулю и работа упругих (или инерционных) сил одного тона на перемещениях другого. Для одинаковых частот указанная сумма произведений равна значению эффективной жесткости (или массы) данного тона.

4Действительными значения частоты оказываются с учетом комплексно-сопряженной части общего решения.

Рис. 2. Комплексные собственные частоты на плоскости корней: - действительная и -мнимая часть корня

Такие характеристики, как набор («спектр») собственных частот и собственных форм конкретной упруго-массовой системы, являются основными, характеризующими колебательные свойства упругой конструкции вне потока.

Ситуация меняется при рассмотрении неконсервативной системы с демпфированием. В этом случае появляется комплексная собственная частота, привычное понятие собственной формы оказывается неприменимо. Лишь в частном случае неконсервативной системы (в ограниченном диапазоне изменения неконсервативных сил и при отсутствии сил, зависящих от скорости колебаний) можно найти значения действительных собственных частот и соответствующих коэффициентов распределения, однако эти данные имеют ограниченную ценность. Пример такого случая -колебания в потоке на докритической скорости без учета сил конструкционного и аэродинамического демпфирования, при этих колебаниях с изменением режима потока изменяются частота и «форма».

Для неконсервативной системы с затуханием С.П. Стрелковым [1,7] было введено понятие комплексной собственной формы, в которой коэффициенты распределения амплитуд (элементы вектора Яок) - комплексные величины, они образуют не один, а два вектора, условно - действительный и мнимый.

Як = СкЯокеЫ + Я^еМ = 2е&к[(Иея^) сев ыкг - (¡т^*) в1пыкI]. Яок = (ИеЧок)+ 3 (1тЧо&)-

В отличие от консервативной системы каждая амплитуда здесь характеризуется еще и показателем затухания (положительным или отрицательным) и меняется со временем. Фазовые сдвиги между колебаниями координат отдельных точек отличаются теперь от 0 или 180 градусов. Признаком такой формы является допустимость ее представления двумя наборами амплитуд - двумя «фотографиями»: в первый определенный момент времени и во второй момент, через четверть периода. Обе картины могут быть совершенно различными, даже с разным числом «узлов». Наглядным представлением колебаний по такой форме служит пучок векторов - «звездочка» на комплексной плоскости, вращающийся в соответствии с собственной частотой, все амплитуды которого убывают или возрастают с одинаковым показателем затухания [1], их годографы - спирали (рис. 3, где элементы вектора яок обозначены как ИеЯок, 1тЯок). В противоположность этому собственную форму консервативной системы представляет набор векторов, расположенных вдоль одной прямой, вращающейся в соответствии с собственной частотой, все ам- Рис. 3. Комплексная собственная форма плитуды неизменны и годографы векторов - концентрические окружности, проекции векторов на действительную ось достигают экстремальных значений одновременно. Там же С.П. Стрелковым [1, 7] были введены и условия ортогональности комплексных собственных форм, более сложные, чем в варианте консервативной системы, использующие в этом случае собственные векторы сопряженной (или транспонированной) системы, так называемые условия биортогональности. В случае неконсервативных систем наглядность условий ортогональности пропадает, поскольку они представляют определенные соотношения между собственной формой исходной си-

стемы и транспонированной [7], последняя практически не имеет отношения к рассматриваемой системе.

Для уравнения (1) при отсутствии сил демпфирования, Щ = 0, и при недиагональной матрице К - несимметричной упругой связи, условия ортогональности записываются наиболее просто, они подобны соотношению (3):

^)тК = 0,

с тем отличием, что Wоm - собственный вектор сопряженной (транспонированной) системы, с транспонированной матрицей К*, взамен К.

При преобразовании уравнения (1) к уравнению в координатах q, ^ («фазовых») условия ортогональности для неконсервативной системы с несимметричными связями записываются в виде:

^0к)Т W0m = 0,

где ( ^к)Т - собственный вектор исходной системы, Wош - собственный вектор сопряженной системы (соответствующий корень - Х*т, притом Хт = Хк).

4. Нормальные координаты

Еще одним основным понятием для упругих систем являются нормальные координаты, называемые также главными. Их можно определить как такие, в которых колебания будут гармоническими при любых начальных условиях. Классический термин относится лишь к консервативным системам, при этом в нормальных координатах уравнения колебаний системы оказываются независимыми (друг от друга), при любых видах связей, описывающих эти колебания в других координатах. Этот чрезвычайно удобный вид записи, очень наглядный, широко используется в аэроупругости, колебания каждой нормальной координаты как раз и являются колебаниями по одной из собственных форм. Матрица ( - преобразования к нормальным координатам п, в которых становятся диагональными одновременно матрицы инерции М0 и жесткости К0, называется модальной, ее столбцы - векторы собственных форм:

q = Рп; М0 = рТМд; К0 =

В прикладных задачах модальная матрица, как правило, не имеет обратной, она прямоугольная, поскольку число обобщенных - «физических» координат на порядок больше числа рассматриваемых собственных тонов.

Применительно к неконсервативным системам с комплексными собственными частотами было специально введено (тоже С.П. Стрелковым [4, 7]) понятие комплексных нормальных координат, соответствующих упомянутым комплексным собственным формам, с тем же наглядным представлением. Естественно, в этих координатах гармонических колебаний быть не может, каждая нормальная координата пк определяет интенсивность, комплексную частоту (затухание и частоту) колебаний всех физических координат. Иными словами, по всем этим координатам комплексная нормальная координата дает распределение амплитуд и фазовых сдвигов:

Пк = С к еХк* = (И.е Пк) + 3 (1т Пк);

qk = 2(Пкqоk) + ЭДq0k) = 2[(ИеПк)(Кеqоk) - (1тПк)(1тqоk)].

Данная нормальная координата соответствует затухающему колебанию с соответствующим показателем затухания и частотой, и при этом с ее помощью могут быть получены значения всех физических координат.

5. Частный случай неконсервативных систем

Особый, но часто используемый в аэроупругости вид неконсервативных систем определяется представлением сил демпфирования в виде сил эквивалентного вязкого трения, пропорциональных упругим, инерционным силам или их линейным комбинациям. В этом случае с помощью модальной матрицы р оказывается возможным переход к нормальным координатам консервативной системы, в которых колебания системы с демпфированием происходят независимо для каждой собственной частоты и система уравнений (1) распадается на ряд независимых:

т° Як + ЬРк п к + к°кцк = 0,

где тк, ЬРк и к°! - обобщенные массы, демпфирование и жесткость, скалярные элементы соответствующих диагональных матриц. Таким образом, колебания полной диссипативной системы представляются набором независимых колебательных одно-степенных систем в нормальных координатах той же упруго-массовой конструкции, но без учета демпфирования. Эта несколько усложненная, но корректная формулировка не всегда выдерживается, что приводит в ряде случаев к ошибкам в публикациях, по существу безошибочных в прочих отношениях (см., например [4, 8]). Указанное представление характеристик демпфирования оправдано во многих задачах динамической аэроупругости, в первую очередь, благодаря относительно малым (по большей части) величинам логарифмических декрементов колебаний соответствующих тонов. Это позволяет существенно упростить расчетные параметрические исследования и анализ экспериментальных данных, где важную роль играет также наглядность представления результатов, в частности, относящихся к отдельным собственным тонам.

6. О некоторых свойствах систем с несимметричными связями

Автор книги [2] приводит понятия нормальных комплексных координат, соотношений биортогональности, комплексной собственной формы практически так же, как их вводил С.П. Стрелков, см. [1]. Досадным обстоятельством является то, что, несмотря на сравнительно широкий набор библиографических ссылок, включающих также Труды ЦАГИ, «Ученые Записки ЦАГИ» (авторы А.Ф. Минаев, В.Г. Буньков, М.С. Галкин, В.Н. Поповский и др.), в их число в книге [2] не вошел ни широко известный учебник по теории колебаний С.П. Стрелкова [1], ни более ранняя его публикация [7].

В целом к достоинствам учебного пособия [1], полезным для рассмотрения задач аэроупругости, следует отнести акцентирование особенностей систем с несимметричными связями и целый ряд примеров. На предельно простой искусственной двухстепенной системе с однонаправленной связью демонстрируются такие свойства, как снижение собственной частоты с увеличением жесткости (и рост частоты с увеличением инерции) и соответствующее изменение коэффициентов чувствительности. Сближение частот по мере увеличения скоростного напора («аэродинамической жесткости») - рутинный эффект, например, в задачах классического флаттера, см. также его обсуждение у И. Рокара [6]. В той же книге приведен парадоксальный, на первый взгляд для специалистов аэроупругости, факт для системы с несимметричными связями: понижения границы устойчивости (например, уменьшение критической скорости флаттера) с увеличением демпфирования. Это детально иллюстрируется в [2] на упомянутой двухстепенной системе, так же как изменение собствен-

ной формы с изменением коэффициента однонаправленной связи, изменение числа узлов и другие эффекты. Интерес представляют также примеры простых систем увеличения динамической устойчивости с помощью различных видов обратной связи, продольных колебаний жидкостной ракеты и другие.

Библиографический список

1. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний: Учебник для университетов и вузов. М.: ГИТТЛ, 1950. 2-е изд. М.: Наука, 1964.

2. Аринчев С.В. Теория колебаний неконсервативных систем (с примерами на компакт-диске): Учеб. пособие для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.

4. Вибрации в технике: Справочник. Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978.

5. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М., 1971.

6. Рокар И. Неустойчивость в механике. М., 1959.

7. Стрелков С.П. К теории колебаний в дискретных неконсервативных линейных системах // Труды ЦАГИ, вып. 722, 1958.

8. Ильин М.М., Колесников К.С., Саратов Ю.С. Теория колебаний: Учеб. для вузов / Под общ. ред. К.С.Колесникова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003.

9. Колесников К.С., Сухов В.Н. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления. М., 1974.

10. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М., 1961.

Центральный Аэрогидродинамический Поступила в редакцию 15.06.2005 институт

ABOUT SOME CONCEPTS OF OSCILLATION THEORY OF NONCONSERVATIVE SYSTEMS WITH ASYMMETRICAL COUPLINGS

V.I. Smyslov

The description of base concepts concerning to self-oscillations of nonconservative systems with asymmetrical couplings is given, in particular, such as the complex proper forms and frequencies, and complex normal coordinates.

Смыслов Всеволод Игоревич - родился в Ленинграде (1931), окончил физический факультет МГУ (1954). После окончания МГУ работает в Центральном аэрогидродинамическом институте. Доктор технических наук (1989, ЦАГИ) в области теории колебаний, аэроупругости, теории автоматического управления, моделирования колебательных процессов, методов и средств воспроизведения вибраций, автоматизации экспериментальных исследований. Лауреат премии им. Н.Е. Жуковского.