Классификация узлов в утолщенном торе, минимальные октаэдральные диаграммы которых не лежат в кольце

Математика

УДК 515.162.3

КЛАССИФИКАЦИЯ УЗЛОВ В УТОЛЩЕННОМ ТОРЕ, МИНИМАЛЬНЫЕ ОКТАЭДРАЛЬНЫЕ ДИАГРАММЫ КОТОРЫХ НЕ ЛЕЖАТ В КОЛЬЦЕ1

А.А. Акимова

Построена таблица узлов в T х I, минимальные диаграммы которых не

лежат в кольце и соответствуют графу «октаэдр» Табулирование проводится в три этапа. Сначала мы составляем таблицу таких проекций узлов на T. Далее преобразуем каждую проекцию в набор соответствующих ей диаграмм. После этого, используя в качестве инварианта обобщенную версию скобки Кауфмана, мы отбрасываем дубликаты и доказываем, что все построенные узлы различны.

Ключевые слова: узел; утолщённый тор; таблица узлов.

Введение

Задача табулирования является центральной проблемой теории узлов. Тенденция к развитию теории узлов в трехмерных многообразиях, отличных от трёхмерной сферы S3, наблюдающаяся в последние годы, привела к задаче табулирования глобальных узлов. Мы рассматриваем продолжение классической теории узлов в S3 на случай узлов в утолщенном торе T XI, как в одном из самых простых трёхмерных многообразий после S3. Узлы в T XI можно задавать диаграммами на T, аналогичными сферическим диаграммам классических узлов. При этом роль преобразований Рейдемайстера сохраняется: они реализуют изотопии узлов. Из немногих работ по табулированию узлов в других многообразиях упомянем работы [1, 2] по узлам в проективном пространстве и [3] по узлам в полном торе. Эффективный метод табулирования тэнглов описан в [4]. Таблица виртуальных узлов представлена в [5]. Настоящая статья продолжает исследование, начатое в работах [6, 7].

Автор выражает благодарность профессору С.В. Матвееву за постановку задачи и помощь в её решении.

1. Основной результат

Будем рассматривать узлы (т.е. простые замкнутые кривые) в T XI с точностью до эквивалентности в смысле гомеоморфизма. Проекция G узла K с T XI представляет собой регулярный граф G с T степени 4, для которого прохождение вершин по правилу «прямо вперед» определяет полный обход, отвечающий узлу. Диаграмма D узла K получается из этого графа указанием (путем разрывов обхода), какой из проходящих через каждую вершину участков узла расположен выше, какой - ниже другого в смысле величины координаты tel. Две проекции считаются эквивалентными, если одна получается из другой гомеоморфизмом T на себя. Эквивалентность диаграмм имеет тот же смысл, но дополнительно разрешается одновременно изменять типы всех перекрестков.

Определение 1. Диаграмма D узла K называется минимальной, если ее сложность (число перекрестков) не превосходит сложности рис. i. Граф «октаэдр» любой диаграммы каждого узла, эквивалентного узлу K. Проекция

G с T называется минимальной, если минимальна хотя бы одна из отвечающих ей диаграмм.

Мы будем рассматривать только те узлы в T XI, которые не лежат в утолщенном кольце. Поэтому мы не включаем в таблицу узлы, минимальные диаграммы которых можно расположить в некотором кольце на T. Дело в том, что такие узлы близки к узлам в полном торе, табулирован-

1 Работа выполнена при поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского государственного университета (грант правительства РФ № 14.Z50.31.0020), гранта РФФИ № 12-01-00748 и гранта ведущих научных школ 1015.2014.1.

2 Акимова Алена Андреевна - аспирант, Южно-Уральский государственный университет; лаборатория квантовой топологии, Челябинский государственный университет.

E-mail: akimova_susu@mail.ru

ным в [3]. Заметим также, что мы не рассматриваем локальные узлы, потому что они являются уже табулированными узлами в 83.

Следующая теорема является основным результатом статьи.

Теорема 1. Существуют ровно 53 различных узла в Т XI, минимальные диаграммы которых не лежат в кольце и соответствуют графу «октаэдр», представленному на рис. 1. Эти диаграммы изображены на рис. 2.

Рис. 2. Диаграммы с 6 перекрестками узлов на торе Т, не лежащие в кольце и отвечающие графу типа «октаэдр». Тор Т представлен в виде квадрата с отождествленными противоположными сторонами

Доказательство теоремы 1 состоит из четырех частей и аналогично доказательству соответствующей теоремы, подробно описанному в [6]. Сначала мы перебираем все минимальные проекции с 6 перекрестками на торе Т, имеющие октаэдральный тип и не лежащие в кольце, затем -соответствующие им минимальные диаграммы. При этом дубликаты отбрасываются. На последнем этапе мы доказываем, что отвечающие этим диаграммам узлы в Т XI различны. В качестве инварианта мы используем обобщенную скобку Кауфмана [8, 9].

2. Перечисление проекций

Теорема 2. Существуют ровно 8 различных проекций узлов в Т XI, которые не лежат в кольце и соответствуют графу «октаэдр», см. рис. 3.

Доказательство. Построим С , удовлетворяющую условию теоремы, следующим образом.

333339 333348 333348 333357 333456 334446 334446 334455

61 62 63 64 65 66 67 68 Рис. 3. Проекции узлов на торе T, не лежащие в кольце и соответствующие графу «октаэдр». Каждая строка {/<1, /2 ... /б} означает, что дополнение к данной проекции есть набор из ¡„-угольников, где 1 < m < 6

Шаг 1. Предположим, что T\G' - дополнение к G' на T - содержит пятиугольную грань P. Шаг 1.1. Покажем, что вершины P различны и соединены между собой ещё тремя ребрами

G .

Акимова А.А.

Классификация узлов в утолщенном торе, минимальные октаэдральные диаграммы которых не лежат в кольце

Рассмотрим пятиугольник Р на Т. Отождествление его смежных вершин допустимо при наличии петли в графе, соответствующем С', а несмежных - при наличии кратных ребер, в то время как граф «октаэдр» не содержит этих элементов. Поэтому все вершины Р различны (т.е. Р - вложенный) и имеют валентность 2.

Оставшаяся шестая вершина N графа, как любая его вершина, имеет валентность 4. Поэтому N соединена четырьмя (в силу отсутствия петель) ребрами с разными (из-за отсутствия кратных ребер) вершинами Р. Предположим, что это соединение уже проведено некоторым образом. Тогда Р имеет 1 вершину валентности 2 и 4 вершины валентности 3, в то время как все вершины должны иметь валентность 4. Легко видеть, что вершины Р необходимо соединены между собой ещё тремя ребрами С.

Шаг 1.2. Следовательно, построение С можно начать с рассмотрения вложенного пятиугольника Р на Т и соединения вершин Р ещё тремя ребрами таким образом, чтобы Р содержал 1 вершину валентности 4 и 4 вершины валентности 3 (комбинация валентностей согласована с последующим соединением Р с шестой вершиной А) Новые ребра соединяют только несмежные на момент добавления ребра вершины, потому что граф не содержит кратных рёбер. В силу симметрии способ добавления первых двух ребер определяется единственным образом. Третье ребро можно добавить двумя различными способами, см. рис. 4. Имеем фрагмент проекции С, содержащий 5 вершин и 8 ребер.

Очевидно, что Т\С состоит из 3 дисков. Шестая вершина N проекции Сможет находиться в любом из этих дисков, кроме Р. Способы проведения оставшихся ребер определяются единственным образом для каждого из возможных вариантов подходов ребер к вершинам пятиугольной грани. Получаются проекции 64, 65 и 68.

Шаг 2. Предположим, что НС ' не содержит пятиугольной грани. В таком случае ЛС ' включает, по крайней мере, 3 либо треугольных, либо четырехугольных грани, что можно проверить, непосредственно перечислив все возможные комбинации числа углов в гранях.

Шаг 2.1. Предположим, что ПС содержит 3 треугольные грани. Все они вложенные, потому что граф не содержит петель и кратных ребер. Все четыре варианта взаимного расположения треугольных граней так, что общее число их вершин < 6, показаны на рис. 5.

Рис. 4. Способы последовательного добавления трех ребер к пятиугольной грани Р на Т

Рис. 5. Варианты взаимного расположения трех треугольных граней на Т так, что общее число их вершин < 6

Рассмотрим вариант I.

Определение 2. Пусть проекция С е Т и диск В е

Ттаковы, что С пересекает В по трем собственным дугам

Рис. 6. Операция добавления трех треугольных граней

11, 12,13 е В, причем 11 пересекает 12 трансверсально в одной точке ф а 13 не имеет общих точек с 11 и 12. Тогда операция добавления трех треугольных граней состоит в замене дуг 11, 12, 13 е В на

три

новые

дуги

11', 12', 13' е В, которые имеют те же концы и, помимо ф ещё 4 трансверсальные точки пересечения дуги 13' поочередно с дугами 11' и 12'.

Для выполнения этой операции достаточно выбрать простую дугу а с Т, соединяющую вершину Qс С с точкой на ребре С, а в качестве диска О взять регулярную окрестность этой дуги, см. рис. 6. Обратная операция, то есть замена дуг 11 ', 12, 13' с О на дуги 11,12,13 с О, называется устранением трех треугольных граней.

Операция добавления трех треугольных граней увеличивает число перекрестков проекции на 4. Таким образом, чтобы получить С с 6 перекрестками, содержащую фрагмент, показанный на рис. 6 справа, достаточно рассмотреть все проекции С на торе с 2 перекрестками и применить указанную операцию, выбрав дугу а так, чтобы ТС" и а содержало только дисковые компоненты. Имеем проекции 61-65, см. рис. 7.

Рис. 7. Получение проекций 61-65 операцией добавления трех треугольных граней

Рассмотрим варианты II и III.

Покажем, что С, содержащая фрагмент II или III, обязательно содержит и фрагмент I.

Действительно, фрагменты II и III состоят из, соответственно, 3 и 4 нитей (на рис. 8 они показаны разными типами линий). Для получения С эти нити нужно соединить в одну. Мы соединяем концы, окрашенные в разные цвета, иначе восстановится проекция зацепления.

Ребро, соединяющее два конца, может проходить

1) нетривиально, т.е. изменять типы компонент ТС',

2) тривиально.

Легко видеть, что соединение пары концов ребром, проходящим тривиально, приводит к созданию петли, кратного ребра или фрагмента I. Следовательно, новое ребро нужно проводить нетривиальным образом, 3 и 4 раза соответственно, в то время как на торе возможно только 2 раза, а в кольце, в котором уже лежит фрагмент II - только 1.

Рис. 8. Нити, из которых составлены фрагменты проекций вариантов II и III

Рассмотрим вариант IV.

Очевидно, что ТС' содержит кольцевую компоненту.

Шаг 2.2. Предположим, что ТС' содержит 3 четырехугольные грани. Любые две из них имеют пару общих вершин, в силу того, что все три грани имеют 12 вершин, в то время как граф - только 6. На рис. 9 (1-Ш) четырехугольные грани имеют общее ребро, рис. 9 (IV) - только общие вершины. Рассмотрим эти случаи:

I. Восстанавливается либо проекция зацепления, либо проекция, содержащая двойные ребра или петли, см. рис. 10.

Рис. 9. Способы расположения трех четырехугольных граней

*

1

Г*

С 1 I

V Т F

\

Рис. 10. Восстановление проекций в случаях I и

Акимова А.А.

Классификация узлов в утолщенном торе, минимальные октаэдральные диаграммы которых не лежат в кольце

II. Восстанавливается проекция 66 или проекция узла, имеющая двойное ребро, см. рис. 10.

III. Очевидно, что ПС содержит кольцевую компоненту.

IV. Уже построена проекция 67.

Покажем, что все проекции на рис. 3 действительно различны. Посчитаем количество углов в каждом из 6 многоугольников, составляющих TIG'. Наборов таких чисел достаточно, чтобы различить любые две проекции на рис. 3, за исключением пар (62, 63) и (66, 67). Проекции (62, 63) различны, потому что в первом случае одна из треугольных граней имеет по одному общему ребру с каждой из трёх других, а во втором - нет. Проекции (66, 67) различны, потому что в первом случае треугольные грани имеют общее ребро. Теорема 2 доказана.

3. Доказательство теоремы 1

Восстановим по проекциям, указанным в теореме 2 (см. рис. 3), диаграммы узлов на T, выбрав тип каждого перекрестка. Для проекции с n вершинами это можно сделать 2n, то есть в нашем случае 64, способами. Однако для каждой проекции достаточно рассмотреть 32 случая, поскольку тип одной вершины можно зафиксировать благодаря симметрии T XI (тип узла не меняется при одновременной смене типов всех перекрестков диаграммы на противоположный).

Различность всех приведенных в таблице узлов доказывается с помощью вычисления их обобщенных скобок Кауфмана [6, 8, 9]. Точная формула такова:

X(K) = (-a)-3w(К)X aa(s)~ß(s\-a2 - a~2)g(s)xd(s) ,

где a(s) и ß(s) - числа сглаживаний типа A и B в состоянии s, а y(s) и ¿(s) - числа тривиальных и нетривиальных окружностей на торе, полученных в результате сглаживания всех перекрестков, которое соответствует состоянию s. Разумеется, сумма берется по всем возможным состояниям, а ш(К) обозначает число скручивания диаграммы.

Все полиномы оказались различными. Отсюда следует, что все узлы, приведенные на рис. 2, различны. Попутно мы получаем доказательство минимальности каждой из 8 проекций, указанных в теореме 2.

Литература

1. Дроботухина, Ю.В. Аналог полинома Джонса для зацеплений в RP3 и обобщение теоремы Кауфмана-Мурасуги / Ю.В. Дроботухина // Алгебра и анализ. - 1991. - T. 2, № 3. - С. 613-630.

2. Drobotukhina, Yu.V. Classification of links in RP3 with at most six crossings / Yu.V. Drobotukhina // Advances in Soviet Mathematics. - 1994. - Vol. 18, № 1. - P. 87-121.

3. Gabrovshek, B. Knots in the solid torus up to 6 crossings / B. Gabrovshek, M. Mroczkowskii // J. Knot Theory Ramifications. - 2012. - Vol. 21, no. 11. - P. 1250106. [43 pages] DOI: 10.1142/S0218216512501064

4. Enumerating the k-tangle projections / A. Bogdanov, V. Meshkov, A. Omelchenko, M. Petrov // J. Knot Theory Ramifications. - 2012. - Vol. 21, no. 7. - p. 1250069 [17 pages] DOI: 10.1142/S0218216512500691

5. Green, J. A table of virtual knots / J. Green // http://katlas.math.toronto.edu/wiki/Main\_Page

6. Акимова, А.А.Классификация узлов малой сложности в утолщённом торе / А.А. Акимова, С.В. Матвеев // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика. - 2012. - Т. 12. - Вып. 3. - C. 10-21.

7. Акимова, А.А. Классификация узлов в утолщенном торе, минимальные диаграммы которых не лежат в кольце и имеют пять перекрестков / А.А. Акимова// Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2013. - Т. 5, № 1. - С. 8-11.

8. Kauffman, L. State models and the Jones polynomial / L. Kauffman // Topology. - 1987. -Vol. 26, № 3. - P. 395-407.

9. Прасолов, В.В. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия / В.В. Прасолов, А.Б. Сосинский // М.: МЦНМО, 1997. - 352 с.

Поступила в редакцию 11 декабря 2014 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2015, vol. 7, no. 1, pp. 5-10

CLASSIFICATION OF KNOTS IN A THICKENED TORUS WITH MINIMAL OCTAHEDRON DIAGRAMS WHICH ARE NOT CONTAINED IN AN ANNULUS

A.A. Akimova'

The aim of this research is to tabulate knots in a thickened torus T*I having minimal diagrams which are not contained in an annulus and correspond to the octahedron graph. Tabulation consists of three steps. First, a table of knot projections on T was compiled. Then, every projection was converted into a set of corresponding diagrams. Finally, using a generalized version of the Kauffman bracket as an invariant, duplicates were removed and all the knots obtained were proved to be different.

Keywords: knot; thickened torus; knot table.

References

1. Drobotukhina Yu. V. Analog polinoma Dzhonsa dlya zatsepleniy v RP3 i obobshchenie teoremy Kaufmana-Murasugi. Algebra i Analiz. 1991. Vol. 2, no. 3. pp. 613-630. (in Russ.).

2. Drobotukhina Yu. V. Classification of links in RP3 with at most six crossings. Advances in Soviet Mathematics. 1994. Vol. 18, no. 1. pp. 87-121.

3. Gabrovshek B., Mroczkowskii M. Knots in the solid torus up to 6 crossings. J. Knot Theory Ramifications. 2012. Vol. 21, no. 11. p. 1250106. [43 pages] DOI: 10.1142/S0218216512501064.

4. Bogdanov A., Meshkov V., Omelchenko A., Petrov M. Enumerating the k-tangle projections. J. Knot Theory Ramifications. 2012. Vol. 21, no. 7. p. 1250069. [17 pages] DOI: 10.1142/S0218216512500691

5. Green J. A table of virtual knots. http://katlas.math.toronto.edu/wiki/Main\_Page

6. Akimova A.A., Matveev S.V. Klassifikaciya uzlov maloj slozhnosti v utolshhennom tore [Classification of Low Complexity Knots in the Thickened Torus]. Vestnik Novosibirskogo gosu-darstvennogo universiteta. Seriya: Matematika, mekhanika, informatika. 2012. Vol. 12. Issue 3. pp. 1021. (in Russ.).

7. Akimova A.A. Classification of knots in the thickened torus with minimal diagrams which are not in a circule and have five crossings. Bulletin of South Ural State University. Series of "Mathematics. Mechanics. Physics ". 2013. Vol. 5, no. 1. pp. 8-11. (in Russ.).

8. Kauffman L. State models and the Jones polynomial. Topology. 1987. Vol. 26, no. 3. pp. 395407.

9. Prasolov V.V., Sosinskiy A.B. Uzly, zatsepleniya, kosy i tryekhmernye mnogoobraziya (Knots, coupling, spit, and three-dimensional manifolds). Moscow, MTsNMO Publ., 1997. 352 p. (in Russ.).

Received 11 December 2014.

1 Akimova Alena Andreevna is Post-graduate Student, South Ural State University; Laboratory of Quantum Topology, Chelyabinsk State Uni-

versity.

E-mail: akimova_susu@mail.ru