Метаустойчивые структуры в параболической задаче с отражением пространственной переменной на отрезке

Динамические системы, 2017, том 7(35), №2, 119-129 УДК 517:957

Метаустойчивые структуры в

задаче с отражением пространственной переменной на отрезке

Ю. А. Хазова

Крымский федеральный университет им. В.И.Вернадского, Симферополь, 295007 E-mail: hazova.yuliya@hotmail.com

Аннотация. Исследуется динамика стационарных структур в нелинейном оптическом резонаторе с преобразованием отражения. Математической моделью системы является параболическое уравнение с преобразованием отражения пространственной переменной и условиями периодичности. Исследуется эволюция форм и устойчивость структур при уменьшении коэффициента диффузии. В работе используется метод Галеркина. Реализуется широкий спектр седло-узловых бифуркаций и метаустойчивых структур.

Ключевые слова: параболическая задача, существование решения, метаустойчивые структуры, бифуркация, устойчивость, метод Галеркина.

Metastable structures in a parabolic problem with reflection of a spatial variable on a segment

Yu. A. Khazova

V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol, 295007.

Abstract. The dynamics of stationary structures in a nonlinear optical resonator with the transformation of reflection is studied. The mathematical model of the system is a parabolic equation with the transformation of reflection by a spatial variable and the conditions of periodicity. The evolution of forms and the stability of structures with decreasing diffusion coefficient are investigated. The Galerkin's method is used. A wide range of saddle-node bifurcations and metastable structures is realized.

Keywords: parabolic problem, the existence of solutions, metastable structures, bifurcation, stability, Galerkin's method.

MSC 2010: 35K20, 35K59, 35Q60, 78A05, 37L10, 35R10, 35B32, 35B10, 35B35, 35C07, 35C20

Введение

Расширение исследований в нелинейной оптике в настоящее время вызвано интенсивным использованием оптических систем в информационных технологиях. Среди нелинейных оптических систем одной из самых популярных является система, состоящая из тонкого слоя нелинейной среды керровского типа и различным образом организованного контура двумерной обратной связи. Принципиальная особенность таких систем заключается в том, что внешний контур обратной

параболической

© Ю. А. ХАЗОВА

связи может быть использован для непосредственного воздействия на нелинейную динамику системы посредством управляемого преобразования пространственных переменных, выполняемых призмами, линзами, динамическими голограммами и другими устройствами.

Параболические функционально-дифференциальные уравнения с преобразованием аргументов искомой функции, используемые для моделирования оптических систем с двумерной обратной связью, представляют собой новый класс уравнений для исследования феномена структурообразования.

В таких нелинейных оптических системах внешний контур обратной связи может быть использован для управления нелинейной динамикой системы с помощью управляемых крупномасштабных пространственных и временных координат, выполняемых призмами, линзами, динамическими голограммами и др. устройствами. Уже при простейших видах преобразования: поворот, отражение от координатных осей, запаздывание реализуются различные режимы самоорганизации светового поля: многолепестковые и ротационные волны, оптические спирали, волны переключения, роллы, гексагоны и др. [1, 6, 2, 14].

Таким образом исследование модельных уравнений для нелинейных оптических систем с управляемым преобразованием аргументов в контуре обратной связи является актуальным направлением современных нелинейных процессов (теоретической и прикладной нелинейной оптики) [3, 4].

Целью данной работы является исследование условий рождения новых решений краевой задачи для функционально-дифференциального параболического уравнения с отражением пространственной переменной и условиями периодичности на отрезке, поведения решений в зависимости от бифуркационного параметра и анализ устойчивости рожденных решений при отходе бифуркационного параметра в область надкритичности.

Исследование выполнено при поддержке Программы развития федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского» на 2015-2024 годы по проекту «Сеть академической мобильности «Академическая мобильность молодых ученых России» в 2016 году на базе лаборатории дифференциальных и разностных уравнений Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

1. Постановка задачи

Ранее в работах автора рассматривалось параболическое уравнение с отражением пространственной переменной и условиями периодичности на окружности: упрощенная модель [7, 5] и модель с квадратичным слагаемым [9, 10].

В этой статье на промежутке (—§, §) будет рассматривается краевая задача

у + Ьь = Аг1 Яь2 — Л1 Яь3,

2 6

где Ь =1 — Б А — Лд — линейный оператор, дь(х) = ь(—х) — оператор отражения пространственной переменной, Л1 = —ЛаЬдш — вычисляемая переменная, с

условиями периодичности

п п

Ux

Лемма 1.Оператор L с условием периодичности (1.2) имеет полную ортогональную систему собственных функций 1, sin ф, cos 2ф, sin 3ф, cos 4ф,..соответствующих собственным значениям [8]

А0 = 1 - Л, Ai = 1 + D + Л, А2 = 1 + 4D - Л, А3 = 1 + 9D + Л,....

Критическими являются функции sin ф, sin 3ф, sin 5ф,..., собственные значения которых могут поменять знак при изменения бифуркационного параметра D.

Если D > D1 = — (1 + Л), то нулевое решение — асимптотически устойчивое решение задачи (1.1)-(1.2). При уменьшении D и его прохождении через значение D1 = — (1 + Л) нулевое решение теряет устойчивость. Обозначим D2k+1 = (2k + 1)_1D1, к = 1, 2, 3,.... Индекс неустойчивости нулевого решения при D3 < D < D1 равен 1. При уменьшении D и его прохождении через следующие значения D2k+1 = (2k + 1)_1D1, к = 1, 2, 3,... каждый раз индекс неустойчивости решения ш повышается на единицу и рождается новое пространственно неоднородное решение.

Теорема 1. Существует 50 > 0 такое, что если 0 < D1 — D < 80, то задача (1.1)-(1.2) имеет два стационарных пространственно неоднородных решения v±(x,D),

где 1/2

v±(x, D) = AD) sinx+ + (A^D) Л ((Ао — 2А1)"1 — (А2 — 2А1)-1 cos 2x) ±

(А (D)\3/2 "24 ч _ ,

1

2^ J ' 8

Решения v±(x,D) — экспоненциально устойчивы [8].

(ып)) ' (ЗЛ2(Л2 " 2Al)_1 " Л(Лз " 3Al)_1) Sin Зж + + " Di)2)'

ci(D) = -(Ло - 2Л1)-1 + 2(Л2 - 2Ai)-^ + 8л, Л1 = -ЛаЬдш < 0.

2. Структуры параболической задачи с квадратичным слагаемым на отрезке

Для исследования динамики рождающихся пространственно неоднородных решений при уменьшении бифуркационного параметра О воспользуемся формализмом метода Галеркина. Рассмотрим галеркинскую аппроксимацию уравнения (1.1) в виде

N N

- 1)x

k=1 k=1

v = z0 + ^^ zk sin

Подставим (2.1) в уравнение (1.1). Приравняв затем коэффициенты при вт(2к — 1)х и сов(2к)х, к = 1, М, приходим к системе уравнений

¿о = — Ао^о + д0(г),

¿3 = -\2s-1Zs + 9з

¿к+м =+ дк+м(г), к=1,М.

Системы уравнений (2.2) обладают рядом общих свойств. Для каждого N нулевое решение (2.2) — асимптотически устойчиво, если И > Нулевое решение (2.2) теряет устойчивость при прохождении параметра И через значение Максимальная точка спектра нулевого решения проходит в этом случае через нуль с ненулевой скоростью. В результате этой бифуркации от нуля ответвляются две устойчивые непрерывные ветви неподвижных точек =

В силу (2.2) и определения справедливо следующее равенство

р

±у1

8=1

Опишем динамику по параметру И стационарных решений ±У\(х,П) уравнения (1.1), опираясь на равенство (2.3) и численные расчеты непрерывной ветви А) стационарных точек системы (2.2), проведенные для А ~ 33. Для значений параметра И вблизи Их ±У1(х,0) является квазигармонической функцией с малой амплитудой. Амплитуда функций (2.3) монотонно возрастает с убыванием

„ - ЗЛ^ш±л/9Л2 ш+24Л2-24Л „ „ тт 1

параметра Ь>, приближаясь к---^-ПРИ и. На рис. 1 представлены приближенные решения и^х, И) полученные согласно (2.3) для А = 20.

V

Рис. 1. Приближенные решения (1.1) D) N = 10, ш = 0.317, Л = —1.5.

Перейдем теперь к вопросу об устойчивости пространственно неоднородного стационарного решения ±у1(х, О). С этой целью обратимся к динамике спектра )) ветви неподвижных точек г 1(О,М) системы (2.2). Проведенный анализ показал, что при убывании параметра О точки спектра сближаются. При этом максимальная точка спектра < 0 — отрицательна и практически не меняется, а остальные точки — возрастают. В качестве примера приведем 4 максимальные точки спектра, когда N = 20, Л = —1.5

а(г1(0.4, 20)) = {..., —3.596 + 0.1991, —3.596 — 0.1991, —2.243, —0.221},

а(г1(0.1, 20)) = {..., —2.019, —1.232 + 0.94121, —1.232 — 0.94121, —1.230}, а(г1(0.06, 20)) = {..., —1.997, —1.123 + 1.0681, —1.123 — 1.0681, —1.211}, а (г 1(0.01, 20)) = {..., —1.121 — 1.1141, —1.013 + 1.1311, —1.013 — 1.1311, —1.222}.

Здесь I — мнимая единица. Проведенный анализ для N от 16 до 33 показал, что решение ^1(х, О) асимптотически устойчиво на всем промежутке (0, О1) изменения параметра О.

2.1. Неустойчивые структуры параболической задачи с квадратичным слагаемым на отрезке

Перейдем теперь к анализу формы и устойчивости стационарных решений ±у3(х,О) уравнения (1.1). Эта пара решений рождается из нуля неустойчивой с индексом неустойчивости 1 тогда, когда параметр О, убывая, проходит через О3 = %. Для анализа поведения ±ь3(х,О) при отходе параметра О от точки бифуркации обратимся к системам (2.2). В этих системах индекс неустойчивости нуля повышается на единицу и становится равным двум тогда, когда параметр О, убывая, проходит через О3. В результате имеет место бифуркация «вилки» — от нуля ответвляются две непрерывные ветви неподвижных точек ±г3(ОN) = ±(0,г3(О^),г3+м(О^)), к = 0, N, где от нуля отличны только координаты с индексами 0, 2, 5, 8, . . ..

Как и выше, воспользовавшись равенством (2.1), приходим к следующему приближенному равенству

N

Z03

к=1

±V3

Равенства (2.4) позволяют описать динамику ±у3(х,О) при убывании О. Отметим, что при О — 0 ±у3(х,О) приближается к ступенчатой функции, прини-

„ 3Л^ ш±\/9Л2 Ш+24Л2 —24Л п „ п

мающей значения ---2л- и точками перехода — 3, 0, 3.

V

d=0.008

d=0.005

d=0.006

d=0.007

d=0.009

d=0.03

d=0.01

d=0.04

d=0.02

X

Рис. 2. Неустойчивые решения +г>з(ж, В) N = 20, ш = 0.317, Л = —1.5.

На рис. 2 представлены, согласно (2.4), приближенные решения -\-уа(х, И), где N = 20, ш = 0.317, Л = —1.5 и различных значениях параметра И.

Как уже отмечалось решение ±г>з(:г, И) рождается из нуля неустойчивым с индексом неустойчивости 1. Вопрос об устойчивости ±Уз(х,П) при уменьшении параметра И приводит к вопросу о поведении максимального собственного значения решения ±уа(х, И). Обратимся в этой связи к вопросу о динамике при уменьшении параметра И максимального собственного значения неподвижных точек системы (2.2). Спектр матрицы устойчивости лежит на вещественной оси и его максимальная точка /^(.О, М) при малых Из — И > 0 принадлежит положительной полуоси. Остальные точки спектра лежат на отрицательной полуоси.

Согласно проведенному анализу динамика спектра ±г3(_0, М) зависит от поведения ./V) при уменьшении И. С уменьшением И ./V) убывая приближается к нулю, затем медленно меняется вблизи нуля, оставаясь на положительной полуоси.

Приведем иллюстрирующий пример: Л = —1.5, (0.02,19) = 0.00853148, /х3(0.01,19) = 0.000160262, ^3(0.009,19) = 0.000689485, /х3(0.007,19) = 0.00290803, /х3(0.006,19) = 0.00540983.

Проведенный анализ позволяет сделать заключение о том, что г>з(ф, -О) на интервале (0, _Оз) сохраняет индекс неустойчивости.

2.2. Метаустойчивые структуры параболического уравнения с квадратичным слагаемым на отрезке.

В системах (2.2) размерности N согласно проведенному бифуркационному анализу для значений N от 20 до 30 реализуется широкий спектр седло-узловых бифуркаций при средних (не очень малых) значениях параметра И. В результате бифуркации седло-узел в однопараметрической системе (2.2) появляются две

непрерывные по О ветви стационарных точек, индексы неустойчивости которых отличаются на 1. Эти ветви стационарных точек определены для всех положительных значений параметра О, которые меньше соответствующего бифуркационного. Рассматриваемым двум ветвям стационарных точек (2.2) отвечают в силу (2.4) две непрерывные ветви приближенных стационарных решений (1.1) типа внутреннего переходного слоя. Будем говорить, что приближенные решения (1.1) указанного типа отвечают седло-узловым бифуркациям в системе (2.2). Некоторые из седло-узловых бифуркаций в (2.2) порождают непрерывные по О ветви приближенных стационарных решений (1.1) типа внутреннего переходного слоя с тремя точками перехода.

Реализация в системе (2.2) бифуркаций седло-узел с указанными выше свойствами вызвана медленной эволюцией вблизи нуля максимальной точки спектра ветвей стационарных точек ±г3(О,М) на достаточно большом интервале изменения параметра О. Далее для определенности ограничимся анализом бифуркаций седло-узел, связанных с ветвью стационарных точек ±г3(О, N). Бифуркации седло-узел указанного типа объединяются в конечные наборы бифуркаций, которые называются далее каскадами седло-узловых бифуркаций.

Рассмотрим один из каскадов, который порождает приближенные решения краевой задачи (1.1) с точками перехода, принадлежащими интервалам (—2, — |) и (2, !). Имеет место 2 таких бифуркации с бифуркационным значениями О = Ок,к = 1, 2, Ох > О2. Подчеркнем, что Ок = ОкN),к = 1, 2, убывают с ростом N. Приведем теперь в качестве иллюстрации для случая N = 20 приближенные бифуркационные значения О, соответствующие им координаты точек и 5 наибольших точек их спектров:

Ох = 0.0221 (0.0736,0.0694, 0.362, —0.0461, 0.0519,...) {..., —1.083 + 1.09741, —1.083 — 1.09741, —1.307, —1.164, —0.00657} (0.0761, 0.0702,0.366, —0.0481, 0.0559 ...) {..., —1.066 + 1.1081, —1.066 — 1.1081, —1.490, —1.121, 0.00128}

О2 = 0.0146 (0.0734, 0.167, 0.315, —0.065, 0.108,...) {..., —1.063 + 1.1101, —1.063 — 1.1101, —1.310, —1.198, —0.000113} (0.0735, 0.138, 0.332, —0.0652, 0.096,...) {..., —1.068 + 1.1071, —1.068 — 1.1071, —1.362, —1.255, 0.00203}

С целью сокращения многоточием обозначены остальные координаты стационарных точек, здесь I — мнимая единица. Устойчивая и неустойчивая ветви неподвижных точек, родившиеся в результате седло-узловой бифуркации системы (2.2), расходятся медленно с уменьшением параметра О. Соответственно медленно расходятся и отвечающие им в силу (2.1) непрерывные ветви приближенных решений краевой задачи (1.1).

Приведенным стационарным точкам системы (2.2), где N = 20, И = 0.05, отвечают приближенные решения задачи (1.1) на рис. 3.

V

Рис. 3. Приближенные стационарные решения (1.1), Л = —1.5, ш = 0.317, В = 0.05

Обозначим уяк = уЦ^р, И, А), ьЦ: = ьЦ:((р, И, И), к = 1,...,4 непрерывные по И ветви приближенных решений (1.1), отвечающие соответственно в силу (2.1) устойчивой, неустойчивой непрерывным ветвям стационарных решений системы (2.2), рожденных в результате седло-узловой бифуркации с номером к. Подчеркнем, что имеет место слабая зависимость указанных функций от N.

Положим далее N = 20. Рассмотрим решения Б^и^ Б^и^ уравнения (1.1) с начальными условиями уяк = уЦ'-Р, И, А), ук = Ук('-р, И, А). Согласно численным расчетам на значительных промежутках изменения времени решения в^у^, в^у'^ меняются медленно. Приближенные решения г^, у2 порождают метаустойчивые структуры [12, 13]. На рис. 4 представлено решение Б^у^ уравнения (1.1). Видно, что с течением времени решения Б^у^ медленно меняются. Затем за достаточно короткий по сравнению с этапом медленной эволюции промежуток времени Б^у^ оказывается вблизи устойчивого стационарного решения.

Рис. 4. Метаустойчивая структура (1.1), Л = —1.5, ш = 0.317, D = 0.005 На рис. 4 показана метаустойчивая структура (1.1) StDv'2 с начальной функцией

vk.

Заключение

Для параболического уравнения с отражением пространственной переменной на отрезке рассмотрены вопросы о существовании, форме и устойчивости пространственно неоднородных стационарных решений:

1. С помощью метода центральных многообразий доказана теорема о существовании пространственно неоднородного стационарного решения.

2. На основании формализма метода Галеркина исследована динамика изменений неоднородных стационарных решений.

3. Исследована задача о приближенных стационарных решениях уравнения типа переходного слоя с тремя точками перехода. Множество приближенных стационарных решений указанного выше типа правильно отражает характер эволюции метаустойчивых структур с тремя точками перехода при увеличении t и при средних значениях параметра D.

4. Численные расчеты с помощью пакета Mathematica показали, что применение метода Галеркина приводит к качественно и количественно правильным результатам.

5. При исследовании метаустойчивых структур задача о приближенных стационарных решениях является ключевой. Показаны условия возникновения метаустойчивых структур.

Список цитируемых источников

1. Ахманов С. А., Воронцов М. А., Иванов В. Ю. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью: на пути к созданию нелинейно-оптических аналогов нейронных сетей. // Новые принципы оптической обработки информации. — М.: Наука. — 1990. — С. 263-325.

Akhmanov, S. A., Vorontsov, M A., Ivanov, V. Yu. Generation of structures in optical systems with two-dimensional feedback: on the way to creation of nonlinear optical analogs of neural networks. In Novye printsypy opticheskoi obrabotki informatsii

2. АхромееваТ. С., КурдюмовС.П, МалинецкийГ. Г, Самарский А. А. Структуры и хаос в нелинейных средах. — М.: Физматлит, 2007. — 485 с.

Akhromeeva, T. S., Kurdyumov, S. P., Malinetskii, G. G., Samarskii, A. A. Structures and chaos in nonlinear media. Moscow: Fizmatlit, 2007.

3. БеланЕ. П. Динамика стационарных структур в параболической задаче с отражением пространственной переменной. // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — Т.46, №5. — С. 95-111.

Belan, E. P. Dynamics of stationary structures in a parabolic problem with reflected spatial argument. Cybern. Syst. Anal. 46, No. 5, 772-783 (2010).

4. Белан Е. П. Стационарные структуры в параболическом уравнении с преобразованием отражения пространственной переменной. // Динамические системы. — 2010. — Вып. 28. — C. 35-47.

Belan, E. P. Stationary structures in parabolic equations with inversion transformer spatial argument. Dinamicheskie Sistemy 28, 35-47

5. БеланЕ. П., ХазоваЮ. А. Динамика стационарных структур в параболической задаче на окружности с преобразованием отражения пространственной переменной. // Динамические системы. — 2014. — Т. 4(32), №1-2. — 43-57.

Belan, E. P.; Khazova, Yu. A. Dynamics of stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable in the case of a circle. Dinamicheskie Sistemy 4

6. Разгулин А. В. Устойчивость бифуркационных автоколебаний в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументом. // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1993. — Т.33, №10. — С. 1499-1508.

Razgulin, A. V. The stability of self-excited bifurcation oscillations in a nonlinear parabolic problem with transformed argument. Comput. Math. Math. Physics 33, No.10, 1323-1330 (1993).

7. ХазоваЮ. А. Динамжа стацюнарних структур в параболiчноl задачi з вщображен-ням просторово! змшноь // Вюн. Львiв. ун-ту. Сер. прикл. матем. та шф. — 2014. — Вип. 22. — С. 30-40.

Khazova, Yu. A. Dynamics of stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable. Vestnik lvovskogo universiteta. Seria prikladnaya matematika i informatika 22, 30-40

8. ХазоваЮ. А. Динамика стационарных структур в параболической задаче на отрезке с отражением пространственной переменной. //Динамические системы. — 2014. — Т.4(32), No 3-4. — C. 245-257.

Khazova, Yu. A. Dynamics of stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable in the case of segment. Dinamicheskie Sistemy Vol.4

9. ХазоваЮ. А. Стационарные структуры в параболической задаче с отражением пространственной переменной. // Таврический вестник информатики и математики. — 2015.— No.3(28). — C. 82-95.

Khazova, Yu. A. Stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable. Tavricheskiy vestnik informatiki i matematiki No.3

10. Хазова Ю. А. Стационарные структуры в параболической задаче с отражением пространственной переменной. // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. — 2015. — Т.3, № 8-4 (19-4). — С. 314-317.

Khazova, Yu. A. Stationary structures in a parabolic problem with reflection spatial variable. Aktualniye napravleniya nauchnih issledovaniy XXI veka: teoriya i praktika 3, 3-16

11. ХенриД. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М.: Мир, 1985. — 376 с.

Henry, D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1981.

12. CarrJ., PegoR. L. Metastable Patterns in Solution of ut = ß2uxx — f (u). Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1989. — Vol. XLII. — P. 523-576.

13. Fusco G, Hale J. K. Slow-Motion Manifolds, Dormant Instability, and Singulary Perturbations. // Journal of Dynamics and Differential Equations. — 1989. — Vol. 1, no.1. — P. 75-94.

14. SkubachevskiiA. L. Bifurcation of periodic solution for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics. // Nonlinear Analysis. Theory. Methods & Applications. — 1998. — Vol.12, No.2. — P. 261-278.

Получена 07.01.2017