Исследование устойчивости движения фронта испаряющейся тонкой водяной пленки при наличии растворимого сурфактанта

Конвективные течения..., 2013

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ФРОНТА ИСПАРЯЮЩЕЙСЯ ТОНКОЙ ВОДЯНОЙ ПЛЕНКИ ПРИ НАЛИЧИИ РАСТВОРИМОГО СУРФАКТАНТА

В.Ю. Гордеева, А.В. Люшнин

Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Численно исследуется процесс испарения тонкого слоя полярной жидкости (воды) со свободной поверхностью, расположенной на твердой подложке. На свободной границе «жидкость - пар» находится растворимый сурфактант. Коэффициент поверхностного натяжения является линейной функцией от поверхностной концентрации сурфактанта. Поверхностная энергия линии контакта «твердое тело -жидкость» является немонотонной функцией. В рамках длинноволнового приближения в системе уравнений На-вье - Стокса изучается влияние растворимого сурфактанта на динамику и устойчивость движения фронта испарения тонкой жидкостной пленки.

Ключевые слова: межфазная поверхность, тонкий слой, сурфактант, химический потенциал, адсорбция - десорбция.

Проблема динамики и устойчивости тонкого слоя испаряющейся жидкости на твердой горизонтальной подложке играет важную роль во многих технологических процессах, например, в производстве наноструктур [1], модификации структур ДНК [2], в области медицинской диагностики [3], полиграфии и других технических приложениях.

Характер движения жидкостной пленки определяется как физико-химическими свойствами самой жидкости, так и свойствами граничащей с ней твердой и газовой среды. Будем считать, что тонкий слой жидкости представляет собой систему, состоящую из трех

© Гордеева В.Ю., Люшнин А.В., 2013

Гордеева В.Ю., Люшнин А.В. Исследование устойчивости движения

слоев. Средний слой такой системы представляет собой объемную фазу жидкости. Этот слой соприкасается с двумя межфазными переходными слоями «жидкость - газ» и «жидкость - твердое тело». В случае изотропных жидкостей межфазный слой «жидкость -твердое тело» может составлять несколько молекулярных слоев жидкости, толщина межфазного слоя «жидкость - пар» может варьироваться в диапазоне десятков - сотен ангстрем. В этих слоях имеется специфическое поле молекулярных и электрических сил, затухающее при углублении в каждую из смежных фаз. Свойства жидкости в этих межфазных слоях могут существенно отличаться от свойств объемной жидкой фазы. В большинстве случаев в тонком слое жидкости имеются все три описанных выше слоя и процессы, проходящие в межфазных слоях, не оказывают сильного влияния на поведение объемной фазы. В процессе испарения происходит уменьшение толщины объемной фазы слоя, тогда как толщины межфазных слоев остаются практически неизменными. В дальнейшем, при уменьшении толщины слоя жидкости до величины порядка сотни ангстрем, слой объемной фазы исчезает и происходит перекрытие межфазных переходных слоев. В этом случае термодинамические характеристики системы, например свободная энергия, не может быть вычислена как простое суммирование энергий различных фаз. В жидких пленках с такой толщиной имеют место специфические эффекты, такие как капиллярный осмос, термоосмос, диффузиофорез и др.

Экспериментальные и теоретические работы [4-6] показывают, что на динамику движения свободной границы «жидкость - газ» может существенно влиять наличие на поверхности сурфактантов. В технологии пленочного напыления покрытия и других отраслях промышленности, связанных с тонкими пленками жидкости, сурфактанты обычно используются для подавления нежелательных неустойчивостей, которые обусловлены поверхностными явлениями (например уменьшения роли термокапиллярного эффекта). Представленная работа посвящена изучению влияния растворимых сурфактантов на динамику движения и процессов структурообразования тонкого слоя испаряющейся полярной жидкости.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается движение тонкого горизонтального слоя полярной вязкой несжимаемой жидкости (например воды) с начальной толщиной h0, который заключен между твердой подложкой и паром соответствующей жидкости. Также будем считать, что началь-

266

Конвективные течения..., 2013

ная концентрация сурфактанта в объеме и на поверхности пленки есть с0 и s0 соответственно. Декартовые координаты определим

следующим образом: ось x направлена вдоль слоя, а ось z - перпендикулярно. Жидкость может испаряться в парообразную среду. Предполагается, что на свободной поверхности имеет место линейная зависимость коэффициента поверхностного натяжения от концентрации сурфактанта s = s0 -Os, где s0 - коэффициент поверхностного натяжения в отсутствие сурфактанта, а константа O определяется как «активность» сурфактанта. Вектор скорости жидкости имеет две компоненты v = (u, w), где и и w - проекции на

оси x и z соответственно. Ввиду малой толщины слоя гравитационными эффектами в дальнейшем будем пренебрегать. Уравнения движения пленки, а также конвективно-диффузионное уравнение для сурфактанта в объеме имеют следующий вид:

р(д,и + ид xu + w<5 zu) = -д x (p + ф) + p V2 и

p(dtw + идxw + wdzw) = -дz (p + f) + p V2w p (dtс + и дxс + wdzс) = DbV2c

д хи + д zw = 0

Здесь р - плотность жидкости, p - давление, ф - дополнительный потенциал энергии слоя, возникающий в результате межмолекулярного взаимодействия, р - динамическая вязкость, c -объемная концентрация сурфактанта в жидкости и Db есть коэффициент диффузии сурфактанта. Символом д,. обозначается производная по соответствующей координате, также введено обозначение V2 = д2 / дх2 + д2 /дz2 .

Уравнение, описывающее перенос сурфактанта вдоль поверхности, согласно работе [7] будем описывать следующим образом:

д^ + Vs  (VsS) + (Vs • n ) c (v • n) = DsV2c + J

где Vs есть оператор градиента по поверхности, vs есть скорость движения поверхности «жидкость - газ», Ds есть коэффициент

267

Гордеева В.Ю., Люшнин А.В. Исследование устойчивости движения

поверхностной диффузии сурфактанта и J определяется как поток сурфактанта с поверхности в объем.

Следуя работе [8], будем считать, что поток проникновения сурфактанта в объем является линейной функцией объемной и поверхностной концентраций:

J = -Db

где к и k2 есть соответствующие коэффициенты адсорбции и десорбции соответственно.

На границе «жидкость - твердое тело» будем использовать условия непротекания скорости через подложку и отсутствие потока сурфактанта сквозь твердую границу: v = 0 и Э zc = 0. Под влиянием растворимого сурфактанта первоначально плоская свободная граница может деформироваться, и кинематическое условие на свободной границе z = h(x, z,t) может быть представлено в стандартном виде:

Э, h + и Э„ h - w = 0

Нормальное и тангенциальное условия для тензора напряжений на верхней границе записываются следующим образом:

p+m

2Эхи (i-(Э xh)2) + d xh (^W +ЭzU ) э>

+ s-

(i+(Э xh )2 )3

= 0

m

(Эи + ЭС^(1-^xhf )-^x^xu -(i +(Э xh)2 ) ЭxS = 0

Суть длинноволнового приближения, которое мы будем использовать ниже, заключается в следующем: выбираем характерный размер вдоль оси x через волновое число длины волны S, а в качестве характерного масштаба вдоль оси z выберем толщину слоя h0. Будем считать, что e = 2л h0 / S = h0 / L << i.

Введем безразмерные переменные:

268

Конвективные течения..., 2013

Z _ ^, X _е, С = ^, S = ±U = ^

h0 h0

s0 U 0

w eUnt eh h

W _ —, T _—°-,(P,Ф) _—4p,f), H _ -

eU0 h0 mU0 h0

c

0

Здесь U0 выбрано в качестве характерной горизонтальной скорости движения фронта испаряющейся жидкости.

Эволюция тонкого слоя испаряющейся жидкости описана в [811] и при наличии растворимого сурфактанта выглядит следующим образом:

Этн = -MUcdx | H2~дxC0 I +

+Э v | H3Э v | -Ca d2vH +

H3 - exp

-Q-

-Ca d2XH +

H3

exP

- R

(P + H )ЭС =-bd2xC0 +

PeS

+P- Э X (HdC)-Mac (Э xC0 )2 {p-H + H- I -

-| H21 b + H I |-Э XC0 Э X\-Ca Э lH +

Hp - exP

Здесь введены дополнительные безразмерные параметры:

UnL _ k2L p_ kx

e3s U0L

Peb , Pes _

mU0 Db

Ma _ Sl , Q_ 3yus

s p SPNh0

D,

U0

R _pm c_ -L

rrPN > A i ^0 S l0

269

Гордеева В.Ю., Люшнин А.В. Исследование устойчивости движения

2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Основное состояние данной системы является переходным, так как одна толщина пленки в результате движения уменьшается, а концентрация сурфактанта в объеме увеличивается. В данном случае исследование устойчивости предполагает, что стационарное решение не зависит от времени, и исследуются рост или затухание возмущений в предположении того, что их время релаксации много меньше времени релаксации основного состояния. Из уравнения основного состояния системы получаем величину горизонтальной скорости движения контактной линии:

и0 =

(h02 hol) _¥ v Н

j[ - Нз+exp(-^H) V

Далее будем рассматривать возмущения относительно некоторого «замороженного» состояния, где величина толщины и концентрации имеют постоянные значения, Н0 = 1 и С0 = 1 соответственно. Представим эти возмущения в «нормальном» виде ехр(1 + ikx), где 1 является декрементом возмущений и описывает поведение возмущения со временем (1> 0 ведет к росту возмущений, а отрицательное значение декремента соответствует затуханию возмущений), k есть волновое число вдоль оси x . Подставляя эти возмущения в (7), получаем задачу на собственные значения, где собственным числом является декремент возмущений 1.

1 + W Z + к2 [Z + R] + к4 B

- — Ма к2

2 4 h '0'

1(ь+1)+ 1-^+—1 -Ма4  B к2 с 0

LIРе. Реь) J

Здесь введены обозначения:

Z = [з -СехР (-c)], B = ^b ^

3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Решая систему (10) относительно 1, получаем две независимые моды (рис.1), одна из которых, обозначенная 1, представляет собой моду концентрационных возмущений, а вторая, 12 , описывает эволюцию возмущений слоя жидкости при испарении. Как видно

270

Конвективные течения..., 2013

на рисунке, при малом испарении W << 1 и малом значении числа Mac обе моды возмущений затухают. Особенностью моды испарения является то, что при к = 0 декремент не равен нулю, и имеет место так называемая годстоуновская мода возмущений. При W  0 декремент этой моды для к = 0 также стремится к нулевому значению. На рис.2а приведена зависимость декремента от волнового числа для различных значений величины Mac .

к

Рис.1. Зависимость декрементов затухания - возрастания от волнового числа: концентрационная мода (1 ) и мода испарения (1). Безразмерные параметры взяты из [8, 11]

б

Рис.2. Декремент возмущений для концентрационной моды (а) и моды испарения (б). Для а: Mac = 0.1 (1), 1.5 (2) и 0.1 (3); для б:

W = 0.001 (1), 0.05 (2) и 0.1 (3). Остальные параметры соответствуют данным [9, 10]

С увеличением значения безразмерного параметра Марангони в длинноволновом диапазоне появляется область неустойчивости. В

271

Гордеева В.Ю., Люшнин А.В. Исследование устойчивости движения

дальнейшем, с увеличением числа Mac, при любом значении волнового числа, возмущения нарастают. Напротив, с увеличением числа W (рис.2б) устойчивость системы относительно возмущений повышается, что качественно соответствует результатам, приведенным в работе [12].

Заключение. Исследована устойчивость движения фронта испаряющегося тонкого слоя полярной жидкости при наличии сурфактанта на свободной поверхности. Для стационарного состояния обнаружены две независимые моды возмущения, одна из которых определяет поведение концентрационных возмущений, вторая показывает эволюцию возмущений в процессе движения жидкости при испарении. С увеличением безразмерного параметра испарения устойчивость системы увеличивается, а рост концентрационного параметра Марангони приводит систему в положение неустойчивости. Численные расчеты качественно подтверждают результаты линейной теории.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования Пермского края (грант С-26/244), Министерства образования и науки РФ (грант 1.3103.2011), а также при финансовой поддержке Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета (грант 031-Ф).

СПИСОК ССЫЛОК

1. Lou X.W., Archer LA, Yang Z. Holow Micro-/Nanostructures: Synthesis and Application // Advanced Materials. 2008. Vol. 20. P. 3987-4019.

2. Direct observation of DNA molecules in a convection flow of a drying droplet / S.S. Abramchuk, A.R. Khokhlov, T. Iwataki et al. // Europhys. Lett. 2001. Vol. 55. P. 294-300.

3. Влияние режима испарения на пространственное перераспределение компонентов в испаряющейся капле жидкости на твердой горизонтальной подложке / Ю.Ю. Тарасевич, О.П. Исаков, В.В. Кондуков, А.В. Савицкая // ЖТФ. 2010. Т. 80, Вып. 5. С. 45-53.

4. Yantsios S.G., Higgins B.G. A mechanism of Marangoni instability in evaporating thin liquid films due to soluble surfactant // Phys. of Fluids. 2010. Vol. 22. P. 022102-022113.

5. Oron A., Davis S.H., andBankoff S.G. Long-scale evolution of thin liquid films // Rev. Mod. Phys. 1997. Vol. 69. P. 931-980.

272

Конвективные течения..., 2013

6. Sharma A., Khanna R. Pattern formation in unstable thin liquid films // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. P. 3463-3466.

7. Jensen O.E., Grothberg J.B. The spreading of heat or soluble surfactant along a thin liquids film // Phys. Fluids A. 1993. Vol. 5. P. 58-69.

8. Warner M.R.E., Craster R. V., Matar O.K. Surface pattering via evaporation of ultrathin films containing nanoparticles // J. Coll. and Interface Science 2003. Vol. 267. P. 92-110.

9. Weinstein S.J., Ruschak K.J. Coating flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 2004. Vol. 36. P. 29-73.

10. Gordeeva V.Y., Lyushnin A.V. Influence of Marangoni instability on evaporation of the polar liquid film // Europ. Phys. J. S.T., Vol. 219. P. 45-49.

11. Гордеева В.Ю., Люшнин А.В. Влияние термокапиллярного эффекта на динамику и устойчивость движения испаряющейся тонкой пленки // Журнал техн. физики. 2013. Т. 83. С. 41-47.

12. Lyushnin A.V., Golovin A.A. and Pismen L.M. Fingering instability of thin evaporation film // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. P.021602-021608.

STUDY OF THE STABILITY OF THE FRONT EVAPORATING THIN FILM IN THE PRESENCE OF SOLUBLE SURFACTANT

V.Y. GORDEEVA, A.V. LYUSHNIN

Abstract. Numerically investigated evaporation process a thin layer of the polar liquid (water) with a free surface, arranged on a solid substrate. On the free surface «liquid-vapor» is a soluble surfactant. The surface tension is a linear function of the surface concentration of surfactant. The surface energy of the line of contact «solid-liquid» is a non-monotonic function. As part of the long-wave approximation to the Navier - Stokes equations we study the effect of soluble surfactant on the dynamics and stability of the front is thin liquid film evaporation.

Key words: surface, thin film, disjoining pressure, soluble surfactant, chemical potential, evaporation.

273