Математическая модель пластины с твердыми телами

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

3. Дрегля А. И. Некоторые аналитические и точные решения систем уравнений в теории моделирования полимеров // Сиб. журн. индустр. матем. 2008. Т. 11. № 3. С. 61-70.

4. Дрегля, A. Краевые задачи в моделировании формования волокон аналитические и численные методы / А. Дрегля. - Saarbrucken: Lambert Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012. 110 с.

5. Glauert M. B., Lighthill M. J. The Axisymmetric Boundary Layer on a Long thin Cylinder. Proc. R. Soc. London, 1955. 320. P. 188-203.

6. Schlichting H. Boundary Layer Theory. 7-th ed. McGraw Hill, 1951.

7. Farrel P. A., Hegarty A. F., Miller J. J. H., O'Riordan E., Shishkin G. I. Robust Computation-

al Techniques for Boundary Layers. Florida, [USA] : Chapman and Hall CRC, 2000.

8. Dreglea A.I., Shishkin G.I. Robust Numerical Method for a Singularly Perturbed Equation with Unboundedly Growing Convective Term at Infinity // Proceedings of International Conference on Computational Mathematics. Novosibirsk, 2004. Р. 83-87.

9. Треногин В. А. Функциональный анализ. М : Наука. 1997. 488 с.

10.Richelle E. Momentum and Thermal Boundary Layer Along a Slender Cylinder in Axial Flow // Int. J. Heat and Fluid Flow 16: 1995 Elsevier Science Inc., Р. 99-105

УДК 517.98 Мижидон Арсалан Дугарович,

д. т. н., профессор, зав. каф. «Прикладная математика» Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления,

тел. (3012) 43-14-15, e-mail: miarsdu@esstu.ru Баргуев Сергей Ганжурович (Гавриилович), к. ф.-м. н., доцент, зав. каф. «Высшая математика и общепрофессиональные дисциплины» Бурятского филиала Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики,

тел. (3012) 42-35-26, e-mail: barguev@yandex.ru

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛАСТИНЫ С ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ

S.G. Barguev, A.D. Mizhidon

MATHEMATICAL MODEL OF A PLATE WITH SOLID BODIES

Аннотация. Рассматривается вывод уравнений движения твердых тел, установленных с помощью упругих элементов на упругой пластине.

Ключевые слова: виброзащита, пластина, твердые тела, уравнения движения, принцип Гамильтона.

Abstract. In the article the finding movement equations of the solid bodies, established on the elastic plate by means of elastic elements.

Keywords: vibroprotection, plate, solid bodies, movement equations, principle of Hamilton.

Введение

Вибрацию широко применяют в самых различных областях техники для защиты оборудования, чувствительного к увеличению динамических нагрузок. Современная теория виброзащиты помогает в основном исследовать и конструировать систему виброизоляции, когда источник и объект виброзащиты можно рассматривать как абсолютно твердые тела. В действительности в виброзащит-

ных системах (ВЗС) под влиянием внешних воздействий возникают не только перемещения источника и объекта как твердых тел, но и их упругие деформации. В этом случае ограничиваются рассмотрением источника и объекта как упруго-вязкой системы с конечным числом степеней свободы, описываемой дифференциальными уравнениями Лагранжа второго рода [1].

Целью данной работы является вывод уравнений движения твердых тел, установленных с помощью упругих элементов на упругой пластине.

1. Основные обозначения

Рассмотрим следующую механическую систему (рис. 1). На упругой пластине 1, прикрепленной к твердому телу 2, установлены N объектов защиты, допускающих моделирование в виде твердых тел. Предполагается, что масса твердого тела 2 значительно превышает сумму масс объектов защиты и пластины. Источником динамических воздействий является заданное поступательное колебание твердого тела 2.

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

4-

Введем следующие системы координат (рис. 2):

1

Рис. 1. Схема механической системы

1) О х'у'2* - декартова система координат жестко связанная с г-м телом (подвижная), с началом в центре масс и совпадающая с главными осями инерции объекта;

2) О - декартова система координат (неподвижная), совпадающая в положении равновесия с системой О х'уг2г.

3) Оху2 - декартова система координат жестко связанная с пластиной (подвижная), определяющая начальные положения точек упругой пластины;

4) Оихиуиг - декартова система координат (неподвижная), совпадающая в положении равновесия с системой Оху2.

С,*

1.1 ¡..7

г;'.*

Перемещения точек упругой пластины в момент времени г характеризуются в направлении оси Ои2, функцией и(х, у, г) , а в направлении осей Оих, Оиу заданными функциями < (г) + х, <2 (г) + у, где (х, у) - координаты проекции точки упругой пластины на плоскость Оху подвижной системы координат. При этом смещения и (х, у, г) удовлетворяют граничным условиям

и (х, 0,г) = и (х, I, г) = < (г),

ди , „ ч ди . , .

—(х, 0, г) = — (х, I, г). дх дх

2. Определение деформаций амортизаторов в направлении главных осей жесткости

Предположим, что каждое г-е тело устанавливается на упругой пластине с помощью N амортизаторов.

Проекции перемещений точки крепления _)-го амортизатора к 1-му телу на оси координат

системы О имеют вид [1]

V = Х,дг ,

где х,, у1., 2* - координаты в системе Охгуг2г точки крепления .-го амортизатора к 1-му телу,

С1 0 0 0 2, - ^ ]

V = Vг У 12 , X = 0 1 0 г - 2 , 0 х,

Vг V,3 у 0 0 V 1 у.1 - 1 0 У

4 - матрица-столбец.

Перемещения этой точки в координатной

системе Оихиуи_ можно представить в виде

Здесь

с ж' ^

Рис. 2. Оси координат механической системы

Твердое тело 2 совершает заданные перемещения в направлении осей Оих, Оиу, Оиг соответственно по законам < (г), <2 (г), <3 (г) .

Положение объектов защиты описывается с помощью обобщенных координат

4 = (ч{,42, 43,44, 45, 4б)Т . Первые три компоненты - смещения в направлении осей О^, ОП, О^ , последующие - повороты относительно тех же осей.

Ж' =

ж

1 2 Жг

0г =

Ж1 = ру\ +& .

с©1 ^

0*,

^03 У

- координаты точки О

относительно Оихиуи2; в = [вь ], (5, к = 1,2,3) -матрица направляющих косинусов, определяющая ориентацию системы координат О относи-

тельно Оихиуи2. Введя а = [а'], (5, к = 1,2,3) -

матрицу направляющих косинусов, определяющую ориентацию главных осей жесткости .-го амортизатора -го тела, запишем перемещения

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

точки крепления амортизатора в направлении главных осей жесткости в виде

^ = ащ,(к = 1,2,3),

от где =

( л

птг П) 2

V 3 У

и.

= 01(г) + Хг1,

и) 2 = ^2 О) + У11 ,

)3 V "у^Уу'

координата точки крепления амор-

и)з = и

где Х), У)

тизатора к пластине в системе Охух.

В направлении главных осей жесткости амортизатора перемещения точки крепления 1-го амортизатора )-го тела к пластине определяется выражением

сЮг где =

{ еоЛ п)1

с<Ог П) 2 Ог

V з У

Таким образом, деформацию )-го амортизатора г-го тела в направлении главных осей жесткости в силу (2)-(3) можно записать виде

А) = аггвХ)дг +аг& -аг и),

Гхг Л

где А) =

2

Аг. 3 V )3 У

3. Потенциальная и кинетическая энергия системы.

Потенциальная энергия деформаций )-го амортизатора г-го тела определяется выражением

П1=2 £ ) А1к

2 к=1

где с^, с1.2, с)3 - жесткости амортизатора в направлении соответствующих главных осей жесткости. Введя матрицу

Сг'. =

1

(сг)1 0 0 ^

0 с.1 0 V 0 0 с) 3 у

Перемещения точки крепления )-го амортизатора г-го тела к пластине в системе координат Оихиуиг представляются следующим образом:

запишем (8) в матричном виде

Пг. =1А гТСг, А'.. ) 2 ) ) 1

Здесь и ниже

в матричных обозначениях определяется формулой (7), представим (9) в виде

П) = !(агТСг1аг + 2В\Я + а) + 2

+и'т Еи) + 2игТГ;дг1 + 20)и))

где а)- число,

С) [6 X 6], Щ1х 6], Е)[3 х3], )3 х 6], 0)[1х3] -

матрицы, определяемые соотношениями

с) = х) р^аса в х),

] з ) г

= &т а с а в х

)

а) = &татсг,а&г,

) )

е). =атс а,

) )

о) = -&татсга,

) )

¥\ =-атсг а в х).

] ) з

Таким образом, потенциальная энергия деформаций амортизаторов определяется суммой

N N

п = Е£П) .

г=1 ) =1

Здесь П) - потенциальная энергия )-го

амортизатора -го тела, определяемая в матричном виде формулой (10).

Кинетическая энергия объектов защиты является суммой кинетических энергий отдельных тел

т = £ т

г=1

где т - кинетическая энергия -го тела, определяемая соотношением

1 •т  •

т = ^я .

Здесь А - матрица инерции г -го тела. Потенциальная энергия деформации пластины, согласно [1], может быть записана в виде

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

r32u d2u , d2u

2« [[ сУ

где О - цилиндрическая жесткость пластины, V - коэффициент Пуассона.

Учитывая только силы инерции в вертикальном направлении, запишем кинетическую энергию пластины [2]:

T = 1 ff ph(—)2 dxdy . 2 dt

I = f (T - П + T* - U)dt.

i=i j=i

1> 2

| (aj + uj Ejuj + 2uiT Fjqi + 2Gjuj )dt -

1 — ff (ph( du)2- D( ^ + 2)d Qdt

0 n

1 >

rn (2(—-v)[-

д2u 52u , д2u

Sx2 <5y2 v5x dy

-(-)2])d ndt.

t— N ..iT

ÖI— = f ([£ q Äöq' ])dt -

0 i=— il N N

-f EZ^C + Dj + <F )]Öq'dt -

0 г'=— j=—

^ N N

f (EZ «e+qTFi+g )öuj )dt,

0 i =— j=—

Öuj =

Здесь р - плотность материала, к - толщина пластины.

4. Вывод уравнений

Для получения уравнений движения воспользуемся принципом Гамильтона, который справедлив как для систем с конечным числом степеней свободы, так и для распределенных систем.

Интеграл действия имеет вид

Öu (Xj , Уу ,t) J

Здесь 5 и (х, у, г) - вариация обобщенной координаты и (х, у, г), характеризующей смещения точек пластины в направлении оси Ои2 .

Введя вектор е,, составленный из третьего столбца матрицы Е,, и вектор , составленный из третьего столбца матрицы Е,7 , учитывая соотношения (5) и (18), преобразуем (17):

Согласно принципу Гамильтона, уравнения движения системы получаются из условия, что на любых изохронных вариациях обобщенных координат, обращающихся в нуль на концах отрезка [0, г1 ], вариация интеграла действия обращается в нуль

51 = 0.

Интеграл действия в силу соотношений (10)-(15), определяющих кинетическую и потенциальную энергию системы, запишем в виде

1 =1 }[£4Т А1 4 - £ £ + 2 )]А

2 0 1=1 ' '

N ..'t

ÖI1 = -||[£q Ä +ZZ(fCj +Dj +ujFj)]Öq< +

0 [ ¿=1 ¿=1 j=1

N N

+ДО [ZZ^W + Xj + W) + y)j +u

n i=1 j=1

+qiTfi +gj )]Ö(X -Xj )Ö(y -y )Öu( x, y, t) d n} dt.

При предположении, что пластина является однородной и ее толщина h постоянна; вариация второго интеграла из (16) имеет вид [2]

,, 1 ffrri/d u du du

ÖI2 = -f ff [Dtt +2T^r + тг) +

0 -n dx dxdy dy 2u

+ph —-]öu (x, y, t)d ndt.

dt

Таким образом, в соответствии с (19) и (20), вариацию интеграла действия (16) запишем следующим образом:

Вариация в первых двух интегралах из (16) определяется в виде

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

N ,.т

81 = -[[£я А1 -

0 г=1

-}(£ £ (я'тС) + О) + цтр) 8 < -

0 г=1 )=!

} (Я[£ £ < С) + х)е')8(х - Х) )8(у - у)]);

0 П г=1 )=1

N N

) 2

х8м( х, у, Х )<П< -1 (Ц [££ ((< (Х) + у)е

0 П г=1 )=1

+м

- (Ц[£ £ (я'тЯ + )8(х - Х )8(у - У))]) X

0 П г=1 )=1

х8и(х, у, х)< П)<Х -Г/ГГ/ , д и и д и д ичч

- (Я (рк-+^+2 ^V» х

0 П дх1 х8и(х, у, х)< П)<Х.

дХ

дх

. д4и д4и, „ +2—2—2 + —) = 0. дх ду ду

Вариация (21) будет равна нулю, если будут выполняться соотношения

N .. т N N

А +££(ЯтС) ) = 0,

г=1 г=1 )=1

N N

££

д2и д4и

+Ят/', + Я) )]8(х - х )8(у - у) + рк ^ + +

Таким образом, уравнения движения системы твердых тел, установленных на упругой пластине, определяются соотношениями (22).

Уравнения (22) являются смешанной (гибридной) системой дифференциальных уравнений, содержащей 6N обыкновенных дифференциальных уравнений и одно уравнение в частных производных. Исследование такой смешанной системы является сложной математической задачей. Наличие в уравнении в частных производных сингу-лярностей типа 8 -функций приводит к необходимости понимания решения системы (22) в обобщенном смысле [3].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 12-08-00309-А).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вибрации в технике : справочник. Т. 5. М. : Машиностроение, 1978. 356 с.

2. Вибрации в технике : справочник. Т. 6. М. : Машиностроение, 1978. 352 с.

3. Владимиров В. С. Уравнения математической физике. М. : Наука, 1976. 527 с.