Поступательно-колебательное движение сферического пористого тела в вязкой жидкости

УДК 532.685

DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-5

Н. Г. Тактаров, Н. А. Храмова, О. А. Рунова

ПОСТУПАТЕЛЬНО-КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ПОРИСТОГО ТЕЛА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Аннотация.

Актуальность и цели. Изучение движения твердых тел, как сплошных, так и пористых, в вязкой жидкости представляет значительный интерес в связи с разнообразными приложениями в технологических процессах, а также при изучении природных явлений. В настоящей работе исследовано влияние поступательно-колебательного движения сферического пористого тела в вязкой жидкости на течение этой жидкости.

Материалы и методы. Для решения задачи используются методы математической физики, а также численные методы. Задача решается в неподвижной сферической системе координат, начало которой в данный момент времени совпадает с центром сферы.

Результаты. Определены поля скоростей жидкости внутри и вне пористого тела. Построены линии тока жидкости.

Выводы. Показано, что поля скоростей и линии тока жидкости при движении сферического пористого тела значительно отличаются от таковых в случае движения сплошного (непроницаемого) твердого тела.

Ключевые слова: вязкая жидкость, поступательно-колебательное движение сферического пористого тела, уравнение Бринкмана.

N. G. Taktarov, N. A. Khramova, O. A. Runova

TRANSLATIONAL-OSCILLATORY MOTION OF A SPHERICAL POROUS BODY IN A VISCOUS FLUID

Abstract.

Background. The study of the motion of continuous and porous solids in a viscous fluid is of significant due to various applications in technological processes and natural phenomena. The present paper considers the effect of the translational-oscillatory motion of a spherical porous body in a viscous fluid on the said fluid flow.

Materials and methods. The methods of mathematical physics and numerical methods were used to solve the problem. The problem was solved in a motionless spherical coordinate system with the origin that coincides with the sphere's center at the present time.

Results. The fields of fluid velocities inside and outside of the porous body are found. The fluid stream lines are shown on the graphs.

Conclusions. The article shows that the fields of fluid velocities and stream lines in the cases of the porous body considerable differ from the ones of an impermeable body.

Key words: viscous fluid, translational-oscillatory motion of a spherical porous body, Brinkman equation.

Введение

Изучение движения сплошных и пористых твердых тел в вязкой жидкости представляет как самостоятельный теоретический интерес, так и в свя-

зи с разнообразными приложениями в технологических процессах, а также при изучении природных явлений.

В работах [1, 2] приведены решения задач о движении сплошных твердых сферических тел в вязкой жидкости. В статье [3] решена задача об обтекании жидкостью неподвижного пористого шара, находящегося в другой пористой среде. В работе [4] рассмотрена задача об обтекании неподвижной пористой сферической оболочки. Задачи о течении жидкости в пористой среде вокруг сплошного цилиндра и сферы решены в [5]. Движение жидкости, вызванное вращательно-колебательным движением пористого шара вокруг стационарной оси вращения, проходящей через центр шара, исследовано в [6].

1. Постановка задачи

Рассматривается влияние поступательно-колебательного движения пористого шара, погруженного в вязкую жидкость, на течение этой жидкости, неподвижной на бесконечности. Пористая среда предполагается недеформи-руемой, однородной и изотропной. Предполагается также, что пористая среда имеет достаточно большую пористость и высокую проницаемость. При таких свойствах пористой матрицы в ней могут возникать колебательные движения жидкости, в которых скорость жидкости будет заметно отличаться от скорости матрицы.

Скорость шара радиуса R запишем как функцию от времени t в виде

* *

V = Uq exp(-/œt ), где Uq - действительный вектор, ш - частота колебаний. Знаком «*» здесь и далее обозначаются размерные переменные (но не размерные параметры), чтобы отличать их от соответствующих безразмерных, обозначаемых теми же буквами. В окончательных результатах вычислений везде подразумеваются действительные части соответствующих комплексных выражений. Величины, относящиеся к пористой среде (внутренняя область) и свободной жидкости (внешняя область), обозначаются в необходимых случаях индексами 1 и 2 соответственно.

Движение жидкости рассматривается в неподвижной декартовой си* * * ^ ^

стеме координат х , у , z , начало которой в данный момент времени совпадает с центром шара. Ось z направлена параллельно вектору Uq = Wqc (uq > 0, | e |= 1) . Для решения задачи вводится сферическая система координат r*, 9, ф с базисом er, eg, еф, полярная ось которой совмещена с осью z*,

от которой отсчитывается угол 9. Учитывая осевую симметрию задачи, предполагаем, что от угла ф величины не зависят. Величины, относящиеся к пористой среде (область 1) и окружающей свободной жидкости (область 2), обозначаются в необходимых случаях индексами 1 и 2.

Система уравнений нестационарного движения жидкости в пористой

среде (модель Бринкмана) имеет вид [7-9] :

*

1 1 .* * , 'л* * V / *\ j- * * П /14

——т = — grad P1 +vA U1 -—И-u I, div U1 = 0,

Г at P K \ '

*

здесь Г = const - пористость; U1 - макроскопическая скорость фильтрации,

* * *

u =Ги ; P1 - среднее по объему пор давление; р - плотность жидкости;

V' = ц' / р, ц' - эффективная вязкость жидкости в порах; у = ^ / р, ц - вяз*

кость свободной жидкости; А - оператор Лапласа. Предполагается, что пористость достаточно велика (близка к единице), полагаем далее ц = ц [7, 10].

Уравнения нестационарного движения жидкости вне шара запишем

в приближении Стокса [1, 2]:

*

Эu2 1 * * * * * *

—= — grad Р2 + vА ^, ^ = 0.

Эг Р

Граничные условия на поверхности шара (г* = К) [1, 2, 9, 11]:

и1г = и2г, м16 = и29, ст1гг =ст2гг,

Л

a1r9 - а2г9

(* * \

' jrr

= - Pj + 2л

(л dur

dr

аjre = л

^ * * * ^

1 dur ^ due ue r de dr r

j = 1, 2),

'j

условие на бесконечности: U2 ^ 0 при г ^^ .

Уравнения непрерывности (1), (2) в сферических координатах в областях 1 и 2 имеют вид

du dr

r 1 due 2u* ue ctg e

de

= 0.

Вычитая здесь из уравнения для ] = 1 уравнение для ] = 2, находим при г* = К [11]:

du* du

2r

Эг Эг

Здесь учтено, что и*г = и2г, и* = и2д при г* = К.

* *

С учетом (4) третье условие (3) принимает вид Р1 (К, 9) = Р2(К, 0). Четвертое условие (3) с учетом первых двух принимает вид

Л

*

du1e du

2e

dr dr

= uie - r^e.

1 Исправление ошибок в некоторых работах соавторов настоящей статьи. Второе граничное условие (3) в [12], второе условие (3) в [13] и третье условие (4) в [14] следует исправить аналогично четвертому условию (3) в настоящей статье, т.е. добавить множитель Г. Эти исправления несущественно влияют на основные выводы вышеперечисленных работ, так как во всех расчетах величина Г предполагалась близкой к единице.

2. Решение задачи

* *

Введем безразмерные переменные: г = г / Я , (= ю?1 , и = еГехр(-/^), и у = и* / , ру = р* (Я / л^о) (] = 1, 2).

Уравнения (1), (2) в безразмерном виде записываются следующим образом:

—— = —^2

vr dt R2

= -gradp2 + Au2, divU2 = 0 .

mR 9u2 v dt

Безразмерные граничные условия к этим уравнениям: - при r = 1:

uir = u2r , uie = u2Q, Pi = P2'

duie du29 , r -¡t,

X [if "if) = uie+ r sin e;

- при r ^ да: U2 ^ 0.

2

При K / R ^ 0, Km / vr ^ 0 из первого уравнения (5) следует ui = u . В этом предельном случае жидкость движется как единое целое вместе с пористой матрицей.

Применяя операцию rot к уравнениям (5), находим

Km d K А

--rot ui =^-A rot ui - rot ui,

vr dt R 2 mR2 d

--rot u 2 =Arot u 2.

v dt

Скорость ui = uir er + uieee в области i ищем в виде [2]:

ui = e-lt rot rot

здесь /i (r) - функция только от r.

Применив операцию rot к (8), получим

rot ui = e-lt rot rot rot(/ie) =

= e-lt (grad div- A) rot(/ie) = -e-ltA rot(/ie),

здесь rot(/ie) = (grad/ )x e .

С учетом этих равенств из первого уравнения (7) следует ( mR2 r2 ^

A/i = Q = const,

A2 /i +

mRz R i-

vr K

v

д! d f r 2 ± \

r 2 dr V dr )

Это уравнение можно записать в виде

Д2 f1 + m2 Д/1 = Cq,

5 2К _ 2v 2 2

51 St , 52=<L, m1=r

f R >

V 52 )

f R Y

V 51)

Обозначая А/1 = Ф1 (г), получим неоднородное уравнение Гельмгольца

2

АФ1 + т Ф1 = Со, общее решение которого имеет вид

Ф = а ехР тг + в ехр(-/т1г)+Со г г т2

Ш1 =

R

VF

1

5 + 52у

4=--1- + -1 +1

52

s4 s4 ' 51 52

здесь A{, £{ - неопределенные постоянные. Решая уравнение Д/ = Ф1 (r), находим

dr

Л

r --

im1

B1

exp im1r +

r 2

f

\

r + -

im1

/  ч C0r C1 exp(-im1r) + —V + 3m1 r

здесь А1 = Л{ /(т), В1 = -В{ / (Ш1).

Для конечности решения внутри шара следует принять А\ = В\, С\ = 0. При этом функцию / определять не надо, так как щ выражается только через производные /', /":

u1 = e

— sin e-^- cost

2er r

df . ad2f f+ee sin e df

Скорость вне шара (область 2) ищем в виде u2 = e 1 rot rot(/2e), где /2 (r) - функция только от r. Аналогично вышеизложенному находим решение, обращающееся в нуль на бесконечности:

_Л2

dr

f 1

r -

V im2 R

m2 =52

C2

exp im2 r + — r 2

Выражение для ^ имеет вид (9), в котором/ следует заменить на/2. Давления рх и р2 выражаются через скорости щ и U2 с помощью уравнений (5). Давление р2 на бесконечности принимается равным нулю.

Окончательно выражения для компонент скоростей и1, и2 в базисных векторах ег, ее и давлений внутри и вне шара принимают следующий вид:

и1г = -2e lt cos (

u10 =-2e it sin ej—-

2 —1 f

1 .

COS П\Г--Sln Ш1Т

Ш1Т

\

C

0

3m1

\

Ш1Т -

Ш1Т

sin Ш1Т + COS Ш1Т

_Co

3m1

U2r = -2e lt cos (

exp im2 r

—2 2 r

f

1 --

1

Л

U2e = e sin (

exp im2r

f

im2r +

im2r 1

Co

-1

im2r

lt 2

it,. 2,

cos 6

P1 = e m2С2Г cos e , P2 = e m2C2—m2 = 2i

f R V

v §2 j

- =

im1

4B - 3Г + 2rm12 + 3iTm2 + Tmf + X

—2 = -

2

F sin m1 - 3m1E cos m1 m2 exp im2 (N sin m1 - imM cos m^

Co = 3B - 3 m°C2, B = R

f r ^

v J

C2 = -

2

2

m2 (N sin m1 - imM cos m^

E = Tm| - 2B + 2^Bm2 :

F = 3Tmf - 6B - 2Tm14 + 2Bm2 - Tmfmf + 6^Bm2,

2 9/4 2 3 2 2 2 2 \

M = 3 - 3im2 - 3m2 -2m1 + Я12m1 + 3m2 -3im2 -3m1 + 3im1 + m1 m2 ),

4 2 2 2 2 2

N = 2im1 + 3i + 3m2 - 3im2 - 3im1 - m1 m2 + im1 m2 +

( 2 4 3 2 2 2 3 \

3im2 - 2m1 m2 + 3m2 - 3im1 - 3m1 m2 - m1 m2 ),

P = 3iBm2 - 3iB - 3Bm2 + iTm12m| +

( 2 2 3 2 2 2 \

3iBm1 - 3iBm2 - 3Bm2 + 3Bm1 m2 - iBm1 m2 ),

4 4 2 2 2 2 2

Q = iTm1 + Tm1 m2 + 3iB + 3Bm2 - 3iBm2 - iBm1 - Bm1 m2 - iTm m2 +

+iBm12m2 + Я13iBm-2 + 3Bm2 - 3iBm2 - 3Bm12m2 - Bm2m2 ).

3. Анализ решения

Переход в первых четырех выражениях (10) к пределу X ^ 0, Р/81 ^ да равносилен замене проницаемого пористого тела непроницаемым. В этом пределе внутреннее и внешнее поля скоростей принимают вид

щг = Ге lt cos 6, mjq = -Ге lt sin (

U2r = Ге 11 cos 6

3expm2

im2 r

1 --

1

Л

U26 = - Ге 11 sin 6

3explm2

f

2im2 r2

im2 r + —

im2 r 1

3 3

"Г + —1

j

f

-1

im2 r

2r 3

3 3 — + _

-1

В этом предельном случае жидкость в пористой среде движется со скоростью пористой среды. При Г ^ 1 поля скоростей принимают вид, совпадающий с [2, § 24].

При m2 ^ 0 (ю ^ 0) из (11) следует

U1r =rcos 6, U16 =- rsin 6,

J 3 1 1 • J 3 1

U2r = —Г cos 61---3 I, U26 =—rsin 6| — +

1 I 3 ' 20 . ^ ---------' 3

2 ^ г г3 ^ 4 ^ г г3

Из этих выражений в пределе Г ^ 1 получается (в размерном виде) поле скоростей, возникающее при равномерном прямолинейном движении со скоростью и0 непроницаемого шара в неподвижной на бесконечности вязкой жидкости [1, 2].

Случай X ^ да, Я/81 - произвольное, Л/52 = 0 (ю = 0), соответствует равномерному прямолинейному движению пористого шара в положительном направлении оси г (0 = 0). При этом внутреннее поле скоростей определяется первыми двумя выражениями (10), в которых следует положить т2 = 0. Внешнее поле скоростей имеет вид

U2r = - cos 6

Г

3 3 *

r [(2m1 -3m1)cos m1 + 3sin m^

. _ Г

U26 = sin 6 3 \-^-^-,

2r [(2m1 - 3m1) cos m1 + 3 sin m1 ]

M' = 3m2r2 - 3m2 + 6, N' = mf - 3mjV2 - 6m1

3 ,2

P' = 3m12r2 + 3m2 - 6, Q' = 6m1 - m3 - 3m3r2, m2 = -Г

f R v

Линии тока во внутренней и внешней областях пористого шара в меридиональной плоскости х, г в любой заданный момент времени определяются уравнениями:

Re(uJz )dx - Re(uyx )dz = 0 (j = i, 2),

uJx = ujr cos e - u je sin e,

ujz = ujr sin e + u je cos e,

V2 2 x + z .

Далее все линии тока построены в плоскости x, z для момента времени

t = 0.

На рис. i приведены линии тока при t = 0, X = 0, Г = 0,95; R/5i = 500, R/52 = 5. Этот случай соответствует низкой проницаемости пористой среды, при этом жидкость в порах движется практически со скоростью пористой среды, т.е. как твердое тело.

0,5

- - ) / f / / / ft / у / / ¿f

, \ ) 1

\ /

-------

0 0,5 1 1,5 г

Рис. 1. Линии тока: г = 0, 1 = 0, Г = 0,95; Я/51 = 500, Я/52 = 5

На рис. 2 изображены линии тока при г = 0, 1 ^ да, Г = 0,95; Я/д1 = 0,02; Я/52 = 2. Видно, что в этом случае появляются замкнутые линии тока, пересекающие одновременно внутреннюю и внешнюю области.

-1 0 1 Рис. 2. Линии тока: t = 0, X ^ да, Г = 0,95; R/5i = 0,02; R/52 = 2

Линии тока при X = 0, X = 2, Г = 0,95; К/6\ = 5, Я/52 = 1 приведены на рис. 3. В этом случае замкнутые линии тока появляются лишь в области вне шара, а внутри шара жидкость движется практически со скоростью пористой среды.

-1 0 1

Рис. 3. Линии тока: X = 0, X =2, Г = 0,95; = 5, Я^ = 1

Графики зависимости Яе иг от г (сплошные линии) и Яе щ от г (штриховые линии) при X = 0, X = 10, Г = 0,95; Я/51 = 0,01; Я/52 = 2 для трех значений угла 9 приведены на рис. 4. Вне шара ЯеЫ2г ^ 0 при г ^ ад, а Яе^е < 0

вблизи его поверхности. При увеличении г (г > 1) величины |ЯеЫ2е| уменьшаются и обращаются в нуль при некотором значении г0 = 1,317, одинаковом для всех трех значений 9. После достижения некоторых максимальных значений величины Яе^е ^ 0 при г ^ ад. Отметим, что скорость Яе^е = 0 на всей сферической поверхности г = г0. При переходе через эту поверхность Яе ^2е изменяет знак на противоположный. Величина г0 при этом будет разной при разных значениях, определяющих параметр.

1

2

1

3

1 1

2

з ..У

0 0,5 1 1,5 г

Рис. 4. Зависимости Яе Ыг от г

Изобары, т.е. линии Rep\ = const, Re= const, в меридиональной плоскости x, z при t = 0, X ^ да, Г = 0,95; R/b1 = 0,02; R/52 = 2 приведены на рис. 5. На оси симметрии 0 = 0 (0 = п) для давлений выполняется равенство Re p(-z) = - Re p(z).

Рис. 5. Изобары в плоскости x, z: t = 0, X ^ да, Г = 0,95; R/51 = 0,02; R/52 = 2

Расчеты показывают, что внутри шара на оси 0 = 0 давление Re p монотонно возрастает от 0 до некоторого максимального значения при z = 1, а затем монотонно убывает до нуля при z ^ +да.

Заключение

Исследовано влияние поступательно-колебательного движения сферического пористого тела в вязкой жидкости на движение этой жидкости внутри и вне этого тела. В сферической системе координат найдено точное аналитическое решение уравнения Бринкмана внутри пористого тела и уравнения Навье - Стокса вне тела. Определены линии тока жидкости для внутренней и внешней областей при различных значениях параметров. Построены графики зависимости скорости жидкости от радиальной координаты во внутренней и внешней областях при разных значениях полярного угла. Приведены графики изобар, т.е. линий постоянного давления в плоскости меридионального сечения.

Библиографический список

1. Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. - М. : Мир, 1973. - 760 с.

2. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Физмат-лит, 2006. - 736 с.

3. Grosan, T. Brinkman flow of a viscous fluid through a spherical porous medium embedded in another porous medium / T. Grosan, A. Postelnicu, I. Pop // Transport in Porous Media. - 2010. - Vol. 81, № 1. - P. 89-103.

4. Rajvanshi, S. C. Slow extensional flow past a non-homogeneous porous spherical shell / S. C. Rajvanshi, S. Wasu // Int. J. of Applied Mechanics and Engineering. -2013. - Vol. 18, № 2. - P. 491-502.

5. Леонтьев, Н. Е. Течения в пористой среде вокруг цилиндра и сферы в рамках уравнения Бринкмана с граничным условием Навье / Н. Е. Леонтьев // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2014. - № 4. - С. 107-112.

6. Тактаров, Н. Г. Движение вязкой жидкости, вызванное вращательно-колебательным движением пористого шара / Н. Г. Тактаров // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2016. - № 5. - С. 133-138.

7. Brinkman, H. C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of particles / H. C. Brinkman // Appl. Sci. Res. - 1947. - Vol. A1, № 1. -P. 27-34.

8. Тактаров, Н. Г. Конвекция намагничивающихся жидкостей в пористых средах / Н. Г. Тактаров // Магнитная гидродинамика. - 1981. - № 4. - С. 33-35.

9. Ochoa-Tapia, J. A. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid. - I. Theoretical development / J. A. Ochoa-Tapia, S. Whitaker // Int. J. of Heat and Mass Transfer. - 1995. - Vol. 38, № 14. - P. 26352646.

10. Auriault, J.-L. On the domain of validity of Brinkmah's equation / J.-L. Aureault // Transp. Porous Med. - 2009. - Vol. 79, № 2. - P. 215-223.

11. Haber, S. Boundary conditions for Darcy's flow through porous media / S. Haber, R. Mauri // Int. J. Multiphase Flow. - 1983. - Vol. 9, № 5. - P. 561-574.

12. Тактаров, Н. Г. Поперечные волны в вязкой жидкости, вызванные вращательным колебательным движением пористого шара / Н. Г. Тактаров, А. А. Кор-милицин, Н. А. Лемясева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2016. - № 4 (40). - С. 3-13.

13. Тактаров, Н . Г . Влияние граничных условий на движение жидкости, вызванное вращательно-колебательным движением пористого шара / Н. Г. Тактаров, А. А. Кормилицин, Н. А. Лемясева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 1 (41). - С. 32-43.

14. Тактаров, Н. Г. Движение вязкой жидкости, вызванное поступательно-колебательным движением плоского слоя пористой среды / Н. Г. Тактаров, О. А. Рунова, Н. А. Храмова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 3 (43). - С. 73-86.

References

1. Betchelor Dzh. Vvedenie v dinamiku zhidkosti [Introduction into Fluid Dynamics]. Moscow: Mir, 1973, 760 p.

2. Landau L. D., Lifshits E. M. Gidrodinamika [Hydrodynamics]. Moscow: Fizmatlit, 2006, 736 p.

3. Grosan T., Postelnicu A., Pop I. Transport in Porous Media. 2010, vol. 81, no. 1, pp. 89-103.

4. Rajvanshi S. C., Wasu S. Int. J. of Applied Mechanics and Engineering. 2013, vol. 18, no. 2, pp. 491-502.

5. Leont'ev N. E. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of liquid and gas]. 2014, no. 4, pp. 107-112.

6. Taktarov N. G. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of liquid and gas]. 2016, no. 5, pp. 133-138.

7. Brinkman H. C. Appl. Sci. Res. 1947, vol. A1, no. 1, pp. 27-34.

8. Taktarov N. G. Magnitnaya gidrodinamika [Magnetic hydrodynamics]. 1981, no. 4, pp. 33-35.

9. Ochoa-Tapia J. A., Whitaker S. Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1995, vol. 38, no. 14, pp. 2635-2646.

10. Auriault J.-L. Transp. Porous Med. 2009, vol. 79, no. 2, pp. 215-223.

11. Haber S., Mauri R. Int. J. Multiphase Flow. 1983, vol. 9, no. 5, pp. 561-574.

12. Taktarov N. G., Kormilitsin A. A., Lemyaseva N. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2016, no. 4 (40), pp. 3-13.

13. Taktarov N. G., Kormilitsin A. A., Lemyaseva N. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 1 (41), pp. 32-43.

14. Taktarov N. G., Runova O. A., Khramova N. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 3 (43), pp. 73-86.

Тактаров Николай Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

E-mail: n.g.taktarov@mail.ru

Храмова Надежда Александровна ассистент, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

E-mail: nadegdalem@mail.ru

Рунова Ольга Александровна

кандидат физико-математических наук, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

E-mail: runova.olga@list.ru

Taktarov Nikolay Grigor'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-departament of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev

Khramova Nadezhda Aleksandrovna Assistant, sub-departament of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev

Runova Ol'ga Aleksandrovna Candidate of physical and mathematical sciences, sub-departament of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev

УДК 532.685 Тактаров, Н. Г.

Поступательно-колебательное движение сферического пористого тела в вязкой жидкости / Н. Г. Тактаров, Н. А. Храмова, О. А. Рунова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 1 (45). - С. 60-71. - Б01 10.21685/2072-3040-20181-5.