Касание плоских кривых

предмета. В 1856 г. Ш. Брио и Т. Буке издали небольшой мемуар «Исследование функций мнимого переменного», являющийся по существу первым учебным пособием. Общие концепции в теории функции комплексного переменного начали вырабатываться в лекциях. С 1856 г. К. Вейершт-расс читал лекции о представлении функций сходящимися степенными рядами, а с 1861 г. - об общей теории функций. В 1876 г. появилась специальное сочинение К. Вейерштрасса: «К теории однозначных аналитических функций», а в 1880 г. «К учению о функциях», в которых его теория аналитических функций приобрела известную завершенность.

Лекции Вейерштрасса послужили на много лет прообразом учебников по теории функций комплексного переменного, которые начали появляться с тех пор довольно часто. Именно в его лекциях был построен в основном современный стандарт строгости в математическом анализе и выделена, ставшая традиционной, структура.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. М.: Просвещение, 1975.

2. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.: ОНТИ, 1937. Ч. 1.

3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

4. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1950.

5. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевич. М.: Наука, 1981.

6. Математическая энциклопедия / гл. ред. И. М. Виноградов. М.: Советская энциклопедия, 1977. Т. 1.

7. Математическая энциклопедия / гл. ред. И. М. Виноградов. М.: Советская энциклопедия, 1979. Т. 2.

8. Молодший В.Н. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века. М.: Учпедгиз, 1963.

9. Рыбников К.А. История математики. М.: Изд-во МГУ, 1963. Ч. 2.

Н.Е. Ляхова КАСАНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ

Вопрос о касании плоских кривых, в том случае, когда абсциссы общих точек находятся из уравнения вида Рп х = 0, где Р х - некоторый многочлен, напрямую связан с вопросом

о кратности корней многочлена Pn x . В данной статье сформулированы соответствующие утверждения для случаев явного и неявного задания функций, графиками которых являются кривые, а также показано применение этих утверждений при решении задач.

Если кривые, являющиеся графиками функций у = f(x) и у = ср х , имеют общую точку

М() х0; v0 , т.е. у0 = f х0 =ср х0 и касательные к указанным кривым проведенные в точке М() х0; v0 не совпадают, то говорят, что кривые у = fix) и у — ср х пересекаются в точке Mо xo;Уо •

На рисунке 1 приведен пример пересечения графиков функций.

Рис. 1

Условие пересечения имеет вид:

ГДх0) = р

Углом между кривыми, имеющими определенные касательные в точке пересечения, понимают угол образованный этими касательными.

Если же кривые имеют общую точку М0 х0; у и касательные в этой точке к обеим кривым совпадают, то говорят, что кривые касаются друг друга в точке М0 х0; у0 .

На рисунках 2, 3, 4 и 5 приведены примеры касания графиков функций в их общей точке.

Рис. 2

Условие касания имеет вид:

Г« = о),

{Г(х0)=^(х0).

Таким образом, общие точки графиков дифференцируемых функций можно разделить на точки пересечения и точки касания.

Задача 1. При каком значении параметра а кривые, заданные уравнениями у = X3 — X + 1

и у — Зх2 —4х + а касаются друг друга?

Решение. Введем обозначения: / х =х3-х + 1, (р х =3х2 -4х + а . Тогда /' х =Зх2-1,

<р' х = 6х — 4. С учетом условия касания (2), делаем вывод: кривые касаются друг друга тогда и

только тогда, когда система

I х3 - х +1 = Зх2 -4х + а, [Зх2 -1 = 6х-4

имеет хотя бы одно решение.

Второе уравнение этой системы имеет единственный корень х = 1. Подставляя значение 1 = 1 в первое уравнение системы, найдем значение параметра а = 2, при котором х = 1 является корнем первого уравнения, а значит и решением системы.

Следовательно, при значении параметра а = 2, кривые касаются друг друга в их общей точке (1; 1).

При решении задач на касание кривых, бывает, полезна следующая теорема.

Теорема 1. Пусть две кривые заданы уравнениями у=/(х), у= (р (х), причем

/ х -(р х =Рп х , где Рп х - многочлен. Точка М0 х0,у0 ,где у0 = / х0 = <р х,, , является точкой касания этих кривых тогда и только тогда, когда хо является корнем не ниже второй кратности многочлена Р х .

Доказательство:

1. Пусть кривые у=/(х) иу=(р (х) касаются друг друга в точке М0 х0;у0 , тогда выполняется условие касания

ГДх0) = р(х0), [Г(х0)=Р'(х0).

По условию теоремы / х -<р х =Рп х , тогда Р'п х — х —ср' х .Из условия касания следует, что Рп х0 =0 и ^ Х(| =о.

Т.к. х = х0 - корень многочлена Рп(х), то он может быть записан в виде

Рп(Х) = (Х-ХоЖ-1 Х '

где х х - многочлен, степень которого на единицу меньше степени многочлена Рп (х ). Тогда

К(х) = Яп-1 х +(х~хЖ-1 х

Из условия !> ' х0 = 0, получим, что

Оп-1 Х0 +(Х0-Хо№п-1 Х0 =0'

откуда

0,-1 хо = 0.

Следовательно, х = х0 - корень многочлена Рп (х) не ниже второй кратности. 2. Пусть X — х0 - корень не ниже второй кратности многочлена Рп (х). Тогда многочлен представим в виде

Р„(.Х) = (.Х~Хо)2К„-2 Х > где Яп_2 х - многочлен (п — 2) -ой степени, и

р;(х) = 2(х-х0)Я_2 х +(х-х0)2Я'и_2 х . Но в этом случае, X = х0, очевидно, является решением системы

[Рп х =о, к * =о.

Отсюда и получаем условие касания рассматриваемых кривых в точке с абсциссой X = х0

|А(х0) = <р(х0),

[Г(х0)=^(х0) '

Следовательно, кривые касаются друг друга в точке М0 х0; у0 .

2 з

Задача 2. Найти уравнения общих касательных к графикам функций у — X и у = X .

Решение

з

Уравнение касательной к графику функции у = X в точке с абсциссой х0 имеет вид

У = х1+ Зх02 X — Хд .

з

Т. к. необходимо найти уравнение общей касательной к графикам функций у = X и

2 2 у = X , то допустим, что эта касательная касается кривой у = х . При этом, абсцисса их точки

касания будет являться корнем второй кратности уравнения

ЭС — х0 3^-0 ЭС ?

равносильного уравнению

х2 - Зх2х + 2Хц = 0.

Таким образом, касание будет иметь место тогда и только тогда, когда дискриминант

Р) = 9х„ - 8х„

полученного квадратного уравнения будет равен нулю. Из этого условия, решая уравнение

А о „3

9х0-8х0 =0,

о

получаем, что х„ = 0 или х = _.

0 9

Подставляя найденные значения х0 в уравнение (3), находим уравнения общих касательных

кграфикам функций у = X2 и у — X3: у = 0 и ,.= б4 т Ю24

27 729

Задача 3. Сколько различных общих точек с графиком функции у — 2х4 —9х2 +137х —5 имеет касательная к нему в точке с абсциссой х0 = 1,3 ?

Решение

Введем обозначение

/ х = 2х4 -9х2 +137х-5.

Тогда уравнение касательной в точке с абсциссой х примет вид

У = /(х0) + Г(х0)(х-х0). Абсциссы общих точек графика функции у = /(х) и касательной находятся из уравнения

/ х =/

Уравнение

- многочлен 4-ой степени.

Если бы нахождение уравнения касательной не приводило бы к громоздким вычислениям, то задача бы решалась следующим образом:

По теореме 1 х0 - корень второй кратности многочлена Р х , т.е. данный многочлен

представим в виде

2 9

Р х = х — х„ ах +Ьх +с

и вопрос о количестве корней уравнения (4) сводился бы к выяснению количества корней квадратного трехчлена ах2 +Ъх + с отличных от х0, но при заданном х0 = 1,3 это приводит к громоздким вычислениям.

Рассмотрим другой способ решения этой задачи. Уравнение (4) можно представить в виде

2х4 -9х2 + 137-/' х0 х-5-/ х0 +/' х0 х0=0.

Пусть X], х2, х3, х4 - корни многочлена Р х (действительные или комплексные). Тогда по

обобщенной теореме Виета о корнях алгебраического уравнения 4-ой степени, с учетом того, что х1 = х2 = 1,3, получим систему:

2,6 + х3 + х4 = О,

9 9

(1,3) +2(1,Зх3 + 1,ЗХ4) + Х3Х4 =--,

которая равносильна системе:

х3 + х4 = -2,6, [х42+ 2,6х4+0,57 = 0.'

Рассмотрим второе уравнение системы (6). Оно имеет О >0. С учетом значений его коэффициентов, делаем вывод, что уравнение имеет два различных действительных отрицательных

корня, сумма которых равна -2,6. Таким образом, система (6) имеет два решения, следовательно, уравнение (5) имеет помимо xn = 1,3 еще два различных отрицательных корня, не совпадающих

с x0. Таким образом, график функции имеет с указанной касательной ровно 3 общие точки.

В случае, когда одна из кривых задана уравнением G(x, y) = 0, условия касания аналогичны рассмотренному выше случаю.

Теорема 2. Пусть две кривые заданы уравнениями G(x, y) = 0 и y=f(x), где G(x, y) и f (x) -многочлены двух и одной переменных соответственно. Пусть мо х0;у0 - общая точка этих кривых, причем G1 (ху п) Ф 0. Тогда, точкаМп является точкой касания этих кривых тогда и только тогда когда х,, - является корнем не ниже второй кратности многочлена Р х —G x,f х .

Задача 4. Окружность касается параболы в точке А и пересекает её в точках В и С. Доказать, что точка К - середина медианы AD треугольника АВС, лежит на оси параболы.

Решение

Будем решать задачу методом координат. Для удобства введём прямоугольную систему координат следующим образом: начало координат - вершина параболы, ось Оу - совпадает с осью параболы, ось Ох - перпендикулярна оси Оу.

В заданной системе координат пусть рассматриваемые точки имеют координаты К (х0,у0), А(х1,у1), В(х2,у2), С(х3,у3), окружность и парабола заданы соответственно уравнениями (х-а)2 + (у-Ь)2 = г2 и у = рх2, где а,Ь,р,г - параметры. Тогда решением системы уравнений

\

1V = Р*2

будут координаты точек А, В, С.

Подставив значение у из второго уравнения в первое уравнение системы (7), получим уравнение

р2х4-2рЬх2 + Ь2 +х2-2ах + а2-г2 =0 Решением этого уравнения будут абсциссы точек А, В, С.

Так как А является точкой касания параболы с окружностью, то согласно теореме 2 х1 -должно быть минимум корнем второй кратности многочлена, стоящего в левой части уравнения. Но так как уравнение 4-ой степени, а х2 и х3 также являются его корнями, то х1 может быть лишь корнем второй кратности.

Согласно обобщенной теореме Виета о корнях алгебраического уравнения произвольной

з

степени, коэффициент при х - есть сумма корней уравнения, взятая с противоположным знаком, т.е.

2х1 + х2 + х3 = 0.

Чтобы доказать, что точка К принадлежит оси Оу, достаточно показать, что её абсцисса

хп = 0. Так как К - середина медианы. I!). то

•Х^ I ЭС^ 2

где хв - абсцисса точки Б. Но так как АБ - медиана, то точка Б - середина отрезка ВС, следовательно,

хг

Х2 + Л!3 2

Подставляя последнее выражение в (9), получим

х, +

2 ' Л3

х0 — -

2 2х1 +х2+х3

Учитывая (8), делаем вывод, что х0 = 0, т.е. точка К лежит на оси Оу, а значит на оси параболы.

Отметим, что теорема 2 останется в силе, если переменные X и у поменять местами.

Д.В. Тимошенко К ТЕОРИИ ЕСТЕСТВЕННО ЗАКРУЧЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

Естественно закрученные стержни являются ответственными элементами различных технических конструкций, подвергающихся значительным воздействиям, поэтому исследования их упругого поведения и изменения геометрии в результате различного рода воздействий являются весьма актуальными. Успех таких исследований во многом зависит от достоверности используемых математических моделей, от того, с какой степенью точности они описывают реальные физические процессы при деформации исследуемых элементов.

При построении одномерной теории упругих стержней возникает необходимость обращения к уравнениям теории упругости. Это связано с тем, что получающаяся из условий равновесия бесконечно малого элемента стержня при деформации концевыми нагрузками система шести дифференциальных уравнений Кирхгофа

аи 1

а'

аЫп

ds

аи.

+ ю2Мъ - юъМ2 = О,

+ соъМх - ю1Мъ + Руз = О,

+ сохМ2 - со2Мх - Ру2 = О

— + 7З2 -72З да-

йу2

ЛГз

+ у1а>3 - уЗа>1 = 0, + 72^1 -У\т2

является незамкнутой. Здесь о) з ^ - вектор Дарбу оси стержня, Р - равнодействую-

щая концевых сил, М ^Г1,М2,М3 - вектор-момент внутренних сил, у ^ .;/2.у^ - единичный вектор вдоль концевой силы. Классическая теория упругих стержней Кирхгофа - Клебша исходит из предположения, что компоненты вектора-момента М пропорциональны соответствующим компонентам вектора Дарбу [1]:

М} = 5,,, М-, = В0со0, = Вт,го

->!ШХ,

2

2Ш2>

13

'ъшъ

где В1 - диагональные элементы матрицы жёсткостей стержня.

Использование соотношений (2) приводит к заметным погрешностям в исследовании деформаций стержней достаточно сложной конфигурации, особенно в тех случаях, когда длина стержня лишь в несколько раз превышает диаметр его поперечного сечения [2-4]. Кроме того,

х0 —