Неголономные механические системы. Устойчивость и стабилизация

УДК 531.36

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005, вып. 4

В. М. Морозов, В. И. Каленова, М. А. Салмина

НЕГОЛОНОМНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ *>

1. Введение. В последнее время появляется все больше работ, посвященных тем или иным вопросам теории неголономных механических систем (НМС) - выбора формы записи уравнений движения, существования стационарных движений, их устойчивости, возможностям стабилизации и др. [1-4]. Это, в частности, объясняется возросшим интересом к исследованию движения и управления движением разнообразных колесных экипажей, базовыми механическими моделями которых служат НМС. Неголономными системами описываются также ставшие в последнее время популярными устройства: segway, snakeboard, skateboard и т. д.

Простыми, но в то же время важными для практического применения движениями НМС являются стационарные движения (СД). Как правило, именно эти движения представляют собой рабочие режимы технических объектов. Поэтому исследование различных вопросов, касающихся СД НМС, вызывает несомненный не только теоретический, но и практический интерес.

При изучении СД НМС обычно используются два подхода. Один из них основан на модифицированной теории Рауса-Сальвадори и методах Пуанкаре, Четаева, Марсдена и Смейла [2]. Он требует знания линейных интегралов, соответствующих симметриям системы, в явной или даже неявной форме, позволяет дать полный (глобальный) анализ задачи, если эти интегралы известны в явной форме. Другой подход основан на теории критических случаев Ляпунова-Малкина [5]. Он более универсален, но существенно связан с выбором обобщенных координат. Авторы применяли второй подход.

В настоящей работе изучены вопросы устойчивости и стабилизации СД для различных моделей одноколесных экипажей, представляющих собой сложные механические объекты, состоящие из нескольких твердых тел. Эти модели описываются системами с пятью и более степенями свободы. Исследование трехколесных экипажей, модели которых также состоят из нескольких тел, позволило выделить особый класс СД НМС. Для его систем были сформулированы условия устойчивости СД и возможности их стабилизации при тех или иных управляющих воздействиях.

2. Стационарные движения неголономных систем.

2.1. Стационарные движения неголономных систем общего еида. Рассмотрим неголономную механическую систему с I степенями свободы, положение которой определяется координатами > 0 , а обобщенные скорости <ji,qn стеснены стационарными неинтегрируемыми соотношениями

Пусть д) - кинетическая энергия системы, - диссипативная функция

Релея, и - силовая функция. Уравнения движения системы возьмем в форме Воронца

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект К» 03-01-00194) и программы «Университеты России» (грант № УР.04.02.055). © В. М. Морозов, В. И. Каленова, М. А. Салмина, 2005

г=1

[6]:

й 90 9(0 + 1/) 9(0 + т. Л . . 9Ф л Дг л , /п.

4 4 Х=М ЧХ 8,р= 1 Х=|+1

Здесь

(г =

1 1 1 1

= т = - ПтеШЛ*, ф = ^ = - £ /г,ШгЯ„

Г,5=1 Г,5=1

^Г5р = ОхР^ХГв) &ХР = Я^Я/*"^ Х=1+1

-1,

Уравнения (1) и (2) представляют замкнутую систему порядка п + / относительно переменных

Если кинетическая энергия Т, диссипативная функция .Р, силовая функция I/ и коэффициенты связей Ъхг не зависят от координат = Л + 1, ...,п), то уравнения (2) можно рассматривать независимо от уравнений связей. В этом случае неголономная система является системой Чаплыгина.

Предположим, что выполнены условия [4]

д(Т + 1Г) л № „ дЪхг л

-о— = 0, 7Г^=0 /¿ = т + 1,..,п;т>/ ,

означающие, что последние п — тп уравнений неголономных связей (1) - связи типа Чаплыгина (первые тп — I связей - связи общего вида). Кроме того, предположим, что выполнены условия

д(в + Ц) =0> — = 0

дЯа ' ' '

т. е. координаты да - циклические [4], а остальные координаты = 1,к) и Яр{р = I + 1,..., тп) - позиционные.

Допустим, что при некоторых начальных условиях существует СД системы, при котором

= = 0, = да0 = = Яро.

Для существования таких СД необходимо, чтобы в отсутствие управляющих сил не было диссипации по циклическим скоростям (5Ф/5да = 0). Из уравнений (1), (2) следует, что тп постоянных величин ^о» ЯаО = , qPQ удовлетворяют тп уравнениям, которые здесь не выписаны. В общем случае такие уравнения имеют лишь тривиальные относительно о;а решения, отвечающие положениям равновесия [4]. Если среди

этих уравнений окажутся mi(mi < га) независимых, то рассматриваемая система будет иметь семейство СД вида (5) размерности га — т\. Можно показать, что если выполнены условия

п п

= ~

/¿=m+l /х=т+1

то уравнения для СД удовлетворяются при любых значениях уа,ив системе существует многообразие СД, размерность которого не меньше суммы числа циклических координат {I — к) и числа неголономных связей общего вида (т — 1).

Далее будем полагать, что условия (6) выполнены. Тогда система имеет многообразие СД размерности (га — параметры которого qio,oja,qPQ удовлетворяют системе к уравнений.

2.2. Стационарные движения неголономных систем специального класса. Предположим, что обобщенные координаты можно выбрать так, что

уравнения стационарных неголономных связей (1) можно представить в виде двух групп

I

=

Г—1

I

Яр = ^2ьргШг

г=1

и выполняются следующие условия:

1) коэффициенты bxr в уравнениях (7) являются функциями только координат ..., , скорости которых зависимы в силу тех же уравнений, тогда как коэффициенты Ьрг в уравнениях (8) могут зависеть от координат qi,

2) силовая функция U(q), коэффициенты аГ8 в выражении 0 и выражение

pputirs зависят только от координат ф+i,..., qm.

Специфическая особенность систем рассматриваемого класса состоит в том, что при отсутствии управляющих воздействий ( Qr = О, Qx = 0) все координаты qr являются циклическими в смысле определения [4], координаты qx - позиционными.

Следует подчеркнуть, что, в отличие от общего случая, уравнения (2) совместно с уравнениями связей (7) образуют замкнутую систему уравнений первого порядка относительно qr,qx и не содержат в явном виде координаты qr. Уравнения неголономных связей (8) представляют собой уравнения связей типа Чаплыгина.

При некоторых начальных условиях и Qr = 0, Qx = 0 существует СД системы, при котором позиционные координаты и циклические скорости постоянны:

qr{t) = qr о = ^r, qx

При этом га постоянных величин U3riqxo удовлетворяют га уравнениям. Если выполняются условия типа (6), то эти уравнения удовлетворяются при любых wr, иу системы существует /-мерное многообразие СД.

3. Исследование устойчивости стационарных движений при помощи теоремы Ляпунова-Малкина.

3.1. Исследование устойчивости в общем случае. Выберем точку ЗгО^сиЗрО и рассмотрим вопрос об устойчивости решения (5) системы уравнений (1) и (2) по отношению к возмущениям переменных qiAhiaAp-

Введем отклонения

— Qi — qiO, Уа = Ча - Wa, zp = qp - qp0.

Уравнения возмущенного движения при выполнении условий (6) в переменных х(к х 1), у((1 — к) х 1), z{(m — I) х 1) имеют вид

Ах + Су = WlX + Dix + Pi у + Vi г + F^u^ + Д*><2>и<2) + Х(а?, ж, у, и), Стя + Бз/ = + D2x + Р2у + + Р(3)гг(3) -h P3TF<2 + У (яг, у, г, ti), (10) i = + D3x + Р3у + + ж, 2/, г).

Здесь матрицы А, С,...- постоянные матрицы соответствующих размерностей; X,Y,Z-вектор-функции, содержащие члены порядка выше первого по введенным переменным; jp(0w(0 - линейньш части управляющих воздействий, приложенных соответственно по координатам д&4а,др, где uW(r» х 1).

Вопрос об устойчивости будем рассматривать в отсутствие управляющих воздействий.

Наличие 5-мерного многообразия СД размерности, равной сумме числа циклических координат I — к и числа неголономных связей общего вида m — Z, обусловливает существование s нулевых корней и s линейных интегралов в линеаризованной системе (10) ( s = m — к). При этом матрицы W2,V2,W3,V3 удовлетворяют условиям W2Wi1Pi = Р2, WzW^Pi = Рз, W2Wf1V1=V2, WiW^Vi = V3 (detWx /0).

Для дальнейших рассуждений удобно ввести обозначения

А0 = А - D0 = D\ - Р0С0Т + CB^D21 - VxW3W^A,

W0 = -Wi - ViD31 + P0D2U Po = -(Pi + УгШ3VQ = -Vu

Cq =Ct- W2Wi1A, BQ = В — W2Wî1C, Cl = CT- HWf4

D21 =D2- W2Wr-1Du D31 =D3- WzW^Dx (det Д, ф 0).

Для неголономных систем со связями общего вида имеет место утверждение [7].

Теорема 3.1. СД (5) неголономной системы (1), (2), имеющей многообразие СД, размерность которого равна сумме числа циклических координат и числа неголономных связей общего вида, устойчиво (неустойчиво), если все корни уравнения

det

имеют отрицательные действительные части (по крайней мере, один корень с положительной действительной частью). В случае устойчивости всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, стремится при t —У оо к одному из возможных СД, принадлежащих указанному многообразию.

Аналогичная теорема для систем Чаплыгина (в этом случае в системе (10) z = 0 ) была сформулирована в [8], теорема для случая, когда W2 = 0, W3 = 0, V2 = 0, V3 = 0, ранее A. В. Карапетяном [4, 9, 10].

3.2. Исследование устойчивости систем специального класса. Рассмотрим вопрос об устойчивости решения (9) системы уравнений (2), (7) по отношению к возмущениям переменных qr,qx •

Введем отклонения 2/г = <7г — = — Уравнения возмущенного движения

имеют вид

Ау = Р1У + + ^ V1) + + У {у, z),

z = P2y + V2Z + Z{y,z).

В отличие от уравнений возмущенного движения неголономной системы общего вида (10), рассмотренной выше, система уравнений (12) является системой первого порядка и не содержит блока уравнений, отвечающих позиционным координатам Х{. По этой причине задача устойчивости СД НМС указанного класса не может быть сведена к задаче об устойчивости положения равновесия некоторой голономной системы, и к ней не может быть применена теорема 3.1. Характеристическое уравнение линеаризованной системы (12) (при и^ = 0 ) имеет вид

Д(А) = Ле№(\) =0, С(А) =

АХ - Рх -VI -Р2 АЕ - У2

Если НМС обладает многообразием СД размерности тщ, то выполняется условие гапкС(0) = тп — тпх. В этом случае характеристическое уравнение (13) имеет тх нулевых корней, что соответствует особенному критическому, по Ляпунову, случаю, и для исследования устойчивости СД системы может быть применена теорема Ляпунова-Малкина [5]. Таким образом, для систем рассматриваемого класса можно сформулировать следующее утверждение [11].

Теорема 3.2. Если НМС (2), (7) при выполнении условий 1), 2) п. 2.2 имеет многообразие СД, то СД (9) устойчиво (неустойчиво), если все корни уравнения (13), кроме нулевых, имеют отрицательные действительные части (по крайней мере, один корень с положительной действительной частью). В случае устойчивости всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, стремится при £ —> оо к одному из возможных стационарных движений, принадлежащих указанному многообразию.

4. Задача стабилизации стационарных движений.

4-1» Постановка задачи. Задача стабилизации СД состоит в том, чтобы надлежащим выбором управляющих воздействий, приложенных как по циклическим, так и по позиционным координатам (или по части этих координат), сделать СД асимптотически устойчивым (или просто устойчивым) по отношению к позиционным координатам, позиционным и циклическим скоростям. Аналогичным образом можно сформулировать задачу об оптимальной стабилизации СД, в которой требуется выбрать управляющие воздействия так, чтобы обеспечить минимизацию некоторого функционала, характеризующего определенные требования к системе.

Для решения задач стабилизации СД голономных механических систем с циклическими координатами ранее был предложен подход, основанный на линейной теории управления [12]. Далее этот подход распространяется на неголономные системы.

Уравнения возмущенного движения системы имеют вид (10). При выполнении определенных условий, возникающих в разных задачах, структура уравнений (10) может существенно упрощаться. Уравнение измерений представим в виде

а = Нгх.+ Н2х + Щу + Н4г,

где х 1) - линейная часть вектора измерений, Щ,... ,#4 - постоянные матрицы.

Линеаризованные уравнения движения в форме (10) и уравнения измерений (14) являются основными при решении задачи стабилизации установившихся СД НМС со стационарными связями.

Как известно, решение задачи стабтшгаадил ъклтаю в себя так важный и необходимый этап предварительный анализ управляемости и наблюдаемости системы, который позволяет выяснить принципиальные возможности стабилизации при наличии тех или иных управляющих и измерительных устройств.

4.2. Управляемость. Вопросы управляемости и наблюдаемости нетривиальны и требуют специального рассмотрения в тех случаях, когда в механической системе число управляющих воздействий достаточно мало (меньше числа степеней свободы) и информация о состоянии системы неполная.

Непосредственное применение известных критериев управляемости Калмана к системе (10), записанной в форме Коши, приводит к необходимости исследования рангов громоздких матриц высокого порядка. Используя критерий управляемости [13], можно доказать следующую теорему [14].

Теорема 4.1. Система (10) управляема тогда и только тогда, когда

rank

¿i(A) CA-Pi -Vi FW DJFW 0 L2{ A) BX-P2 -V2 0 F&

-D3X-W3 -P3 XErn^-Vs 0 0 0

= m,V A.

Здесь Lx(A) = AX2 - DxX - WUL2(X) = CTA2 - D2X - W2.

Заметим, что управляемости системы (10) (выполнения условий теоремы 4.1) можно добиться, вообще говоря, при наличии только одного из управляющих воздействий и^г\

При выполнении тех или иных условий специфика структуры системы (10) позволяет получить, осуществив редукцию задачи к системам меньшего порядка, новые эффективные критерии управляемости [14]. Если матрицы Р*, V*, Wi(i = 2,3) - нулевые и управление вводится только по всем циклическим координатам (ЦК), система (10) не является полностью управляемой (на переменную соответствующую неголономным связям общего вида, управление не действует, и существует линейный интеграл). Для этого случая имеет место [14].

Теорема 4.2. Система (10) (при z = 0 ) порядка к + 1 управляема тогда и только тогда, когда выполняется условие rank (АХ2 — D\X — W\,CX — Р\) = I для любого А.

4.3. Управляемость неголономных систем специального класса. Используя приведенный критерий управляемости (теорема 4.1), легко получить критерии управляемости для неголономных систем рассмотренного в п. 2.2 специального класса. Линеаризованные уравнения возмущенного движения в окрестности СД (9) имеют вид (12).

Теорема 4.3. Система (12) управляема тогда и только тогда, когда

p(x) P2TP(2) 0 0

Следствие 4-3.1. Если управляющие воздействия действуют только по всем циклическим координатам ( Р^1) = = 0 ), то система (12) управляема тогда и только тогда, когда гапк\\Р2, ХЕ — У2\\ = т — УА.

Следствие 4-3.2. Если управляющие воздействия вводятся только по всем позиционным координатам (Р^1) = 0,Р(2) = и система имеет многообразие СД размерности 7тц, то для управляемости системы (12) необходимо, чтобы размерность многообразия СД не превышала числа позиционных координат (т — /).

Это утверждение показывает, что если т\ > т — I, то для стабилизации СД необходимо вводить управляющие воздействия не только по позиционным координатам, но хотя бы по части циклических координат.

Модель моноцикла.

Аналогичным образом могут быть сформулированы теоремы о наблюдаемости системы (10) или (12) по измерениям (14) [11, 14].

5. Устойчивость и стабилизация стационарных движений колесных экипажей. Теоретические результаты, изложенные в п. 2-4, были успешно применены для исследования устойчивости и стабилизации СД разнообразных колесных экипажей, моделями которых служат НМС. Устойчивость и стабилизация СД моноцикла исследовались в [8, 15]. Модель моноцикла состоит (рисунок) из однородного кругового диска массы тпг и радиуса а, катящегося по плоскости без проскальзывания, твердого тела М2, прикрепленного к центру диска 0\ цилиндрическим шарниром; на теле М2 установлен однородный симметричный маховик.

Положение системы определим обобщенными координатами <¿>1 ,а, где

X, У - горизонтальные координаты центра масс диска; в, ф, - углы Эйлера, определяющие положение диска; <р\ характеризует положение оси тела М2 относительно диска, а - угол поворота маховика (ротора) по отношению к телу М2.

Уравнения неголономных связей выражают условия отсутствия скольжения диска по плоскости. Система имеет 5 степеней свободы и относится к системам типа Чаплыгина.

Координаты а, являются циклическими.

Одно из СД системы - прямолинейное качение вертикального диска с постоянной скоростью и;а. При этом центр масс 02 тела М2 лежит на вертикали либо выше 0\ (е = +1 ), либо ниже (е = —1).

Линеаризованные в окрестности СД уравнения возмущенного движения имеют вид (10), где х = (Ж1Х2)Т, у = (У1У2Уз)т, * = 0, = фг - (рю, х2 = В - в0, у! = ф-и, у2 = тр — уз = а-

Можно показать [8, 15], что

1) необходимые условия устойчивости прямолинейного движения

е = -1, о;2 > и2,

2 __ (Л + В2 - /)[тю + тп2(а - й)] ~ С[С + 7П1 о2 + тп2а(а - ¿)] 9 < а)]

2) СД неустойчиво, если е = — 1, и2 < о;2 или е = 1, о;2 > о;2;

3) возможна гироскопическая стабилизация при е = 1, ш2 < а;2 и достаточно большой угловой скорости вращения ротора

Здесь А,С,В2,1 - моменты инерции диска, тела М2 и ротора соответственно. В частности, если тело М2 отсутствует, то эти условия переходят в известное условие устойчивости прямолинейного качения диска [6].

Анализ условий устойчивости показывает, что для наиболее интересных случаев, когда тело М2 находится выше центра диска (е = 1), рассматриваемое СД неустойчиво при Пг = 0. Однако и при Пг ф 0 выполнены только необходимые условия устойчивости. Поэтому актуальным становится исследование возможности их стабилизации при помощи тех или иных управляющих воздействий.

Можно показать, что система управляема, если управляющими силами являются: момент сил, приложенных к ротору, и момент сил, создаваемый двигателем, расположенным на оси диска (колеса).

Итак, при указанном способе введения управляющих воздействий можно обеспечить асимптотическую устойчивость рассмотренных СД по позиционным координатам и почти по всем скоростям (за исключением скорости вращения ротора у$) (при Пг ф 0) независимо от расположения центра масс тела М2.

Другие, более сложные модели одноколесных экипажей исследовались в [16-18].

Модели трехколесных экипажей, которые описываются неголономными системами специального класса (см. п. 3.2, 4.2), изучались в [11, 19].

Авторы благодарят профессора Александра Владиленовича Карапетяна за полезные обсуждения работы.

Summary

Morozov V. M.j Kalenova V. I., Salmina M. A. The nonholonomic mechanical systems. The stability and stabilization.

The modern results on steady-state motions of nonholonomic mechanuical system theory and its application obtained by the authors in the twenty first century are presented.

Литература

1. Зегжда С. А., Солтаханов Ш. X., Юшков М. П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2002. 275 с.

2. Карапетян А. В.} Кулешов А. С. Методы исследования устойчивости и бифуркации стационарных движений консервативных неголономных систем // Проблемы механики / Под ред. Д. М. Климова. М.: Физматгиз, 2003. С. 429-464.

3. Татаринов Я. В. Уравнения классической механики в лаконичных формах. М.: Изд-во Центра прикл. исследований при мех-мат. факультете Моск. ун-та. 2005. 88 с.

4. Карапетян А. В.} Румянцев В. В. Устойчивость иконсервативных и диссипативных систем //Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. Т. 6. М.: ВИНИТИ, 1983. 132 с.

5. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

6. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 519 с.

7. Каленое а В. И., Морозов В. М. Об устойчивости установившихся движений неголономных механических систем с циклическими координатами// Прикл. математика и механика. 2004. Т. 68, вып. 2. С. 195-205.

8. Каленова В. И., Морозов В. М. К вопросу об устойчивости стационарных движений неголономных систем Чаплыгина// Прикл. математика и механика. 2002. Т. 66, вып. 2. С. 192-199.

9. Карапетян А. В. Об устойчивости стационарных движений неголономных систем Чаплыгина // Прикл. математика и механика. 1978. Т. 42, вып. 5. С. 801-807.

10. Карапетян А. В. К вопросу об устойчивости стационарных движений неголономных систем // Прикл. математика и механика. 1980. Т. 44, вып. 3. С. 418-426.

11. Каленова В. И., Морозов В. М., Салмина М. А. Об устойчивости и стабилизации установившихся движений неголономных механических систем одного класса// Прикл. математика и механика. 2004. Т. 68, вып. 6. С. 914-924.

12. Каленова В. И., Морозов В. М.} Салмина М. А. Управляемость и наблюдаемость в задаче стабилизации механических систем с циклическими координатами // Прикл. математика и механика. 1992. Т. 56, вып. 6. С. 959-967.

13. Hautus M. L. J. Controllability and observability conditions of linear autonomous systems // Indaga KtCones Math. 1969. Vol. 31, N 5. P. 443-448.

14. Каленова В. И.} Морозов В. M., Шевелева Е. Н. Управляемость и наблюдаемость в задаче стабилизации установившихся движений неголономных механических систем с циклическими координатами// Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, вып. 6. С. 915-924.

15. Каленова В. И., Морозов В. М., Шевелева Е. Н. Устойчивость движения одноколесного велосипеда // Изв. РАН. Сер. Механика твердого тела. 2001. № 4. С. 49-58.

16. Морозов В. М.} Назаренко А. Ю. Об одной механической модели одноколесного экипажа // Мобильные роботы и мехатронные системы / Под ред. В. А. Самсонова. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001. С. 227-237.

17. Морозов В. М., Кожанов А. А. Стационарные движения одноколесного экипажа и их устойчивость// Мобильные роботы и мехатронные системы / Под ред. В. А. Самсонова. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2002. С. 132-141.

18. Балашов Д. А. Стационарные движения одноколесного робота и их устойчивость // Мобильные роботы и мехатронные системы / Под ред. Д. Е. Охоцимского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2004. С. 124-134.

19. Каленова В. И., Морозов В. М.} Салмина М. А. Устойчивость и стабилизация стационарных движений неголономных механических систем одного класса // Мобильные роботы и мехатронные системы / Под ред. Д. Е. Охоцимского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2004. С. 119— 134.

Статья поступила в редакцию 13 октября 2005 г.