Слабонадкритический режим в ветвящемся случайном блуждании

Краткие сообщения

УДК 519.21

СЛАБОНАДКРИТИЧЕСКИЙ РЕЖИМ В ВЕТВЯЩЕМСЯ СЛУЧАЙНОМ БЛУЖДАНИИ

Е. А. Антоненко1

Рассмотрен слабонадкритический режим в непрерывном по времени ветвящемся случайном блуждании. Для этого режима получена теорема об асимптотическом поведении собственного значения оператора, задающего процесс. Установлены аналоги теорем об асимптотическом поведении функции Грина при больших уклонениях ветвящегося случайного блуждания и асимптотическом поведении распространения фронта популяции частиц для случая простого симметричного ветвящегося случайного блуждания по многомерной решетке. Для этих теорем точно определены константы через параметры блуждания и ветвления.

Ключевые слова: ветвящиеся случайные блуждания, слабонадкритический режим, функция Грина, фронт популяции.

The case of weakly supercritical branching random walks is considered. A theorem on asymptotic behavior of the eigenvalue of the operator defining the process is obtained for this case. Analogues of the theorems on asymptotic behavior of the Green function under large deviations of a branching random walk and asymptotic behavior of the spread front of population of particles are established for the case of a simple symmetric branching random walk over a many-dimensional lattice. The constants for these theorems are exactly determined in terms of parameters of walking and branching.

Key words: branching random walks, weakly supercritical case, Green function, spread front of population.

Введение. Поведение ветвящихся случайных блужданий (ВСБ) зависит от нескольких факторов, таких, как интенсивности размножения, гибели и блуждания частиц и размерность пространства блуждания.

Если вместо целочисленной решетки рассматривать Rd, а вместо блуждания — броуновское движение, то такая модель находит применение при исследовании структуры гомополимеров [1].

Наиболее близкий аналог непрерывной модели — простое симметричное ВСБ, в котором случайное блуждание задается разностным лапласианом на решетке Zd с одним источником. В этом случае удается установить явный вид асимптотического поведения средних численностей частиц во всех размерностях [2]. В поведении процесса можно выделить три основных режима: докритический, критический, надкритический.

Существенным является переход к нескольким источникам размножения и гибели частиц. Для надкритического процесса доказано [3], что при существовании п источников спектр оператора, описывающего эволюцию средних численностей частиц, состоит не более чем из п положительных изолированных собственных значений. В частности, существуют условия, при которых в спектре имеется только одно собственное значение, определяющее экспоненциальный рост численностей частиц.

Также важно исследовать процесс при больших уклонениях случайного блуждания, что позволяет судить о поведении фронта распространения частиц [4]. В этом случае изучение ВСБ проводится в принципиально иных предположениях об одновременном росте пространственной и временной переменных.

Модель. Пусть в начальный момент времени на решетке находится одна частица в точке х. Эволюция процесса устроена следующим образом: за малое время t частица может с некоторой вероятностью переместиться в произвольную точку решетки у ф х либо исчезнуть или произвести произвольное число потомков, если х является точкой ветвления. Также (с некоторой вероятностью) с частицей может не произойти никаких изменений в точке х. Потомки начальной частицы блуждают, гибнут и размножаются по тому же закону независимо друг от друга.

1 Антоненко Екатерина Александровна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: eka.antonenkoQgmail.com.

Переходной вероятностью случайного блуждания p(t, х, у) называют вероятность попасть из точки х в точку у за время t. Важный инструмент при исследовании ветвящихся случайных блужданий — функция Грина, которая определяется как преобразование Лапласа переходной вероятности

оо

случайного блуждания [2, 5]: G\(x,y) = J e~xtp(t, x,y)dt.

о

Обозначим через ц,t(z) локальное число частиц рассматриваемого процесса в момент времени i ^ 0 в точке решетки z € 7Ld и определим общее число частиц в момент времени t ^ 0 на всей решетке: ^ = E^ez^ friz).

Удобным инструментом для исследования локальной и общей численностей частиц являются моменты этих случайных величин: mn(t,x) = Efj,™, mn(t,x,y) = Efj,™(y).

Для первых моментов локальной и общей численностей частиц верны уравнения

dtmi{t,x) = Hfjmi{t,x), dtrrii(t,x,y) = Hfjmi(t,x,y).

Оператор Hp, определяющий поведение процесса, имеет следующий вид:

Нгз = яА + f3V(x), я > 0, Р > 0,

Где д _ решетчатый лапласиан, задающий блуждание, (Aip)(x) = E^'-a^iO^O^') ~~ х и

х' — точки решетки; параметр я характеризует интенсивность переходов в соседние точки решетки; V(x) — потенциал, который определяет ветвление в точках {xi}, i = 1,... ,п (источниках размножения и гибели частиц) и имеет вид V(x) = EiL i — xi), Vi > 0.

Механизм ветвления задается инфинитезимальной производящей функцией f(u) = Era^o bn,un, 0 ^ и ^ 1, где bn ^ 0 при п ф 1, Ь\ < 0 и En^« = 0 [2]. Параметр (3 определяется как (3 = /'(1) = Е«. и характеризует интенсивность источников ветвления.

Спектр оператора Hp состоит из непрерывного и дискретного спектров. Непрерывный спектр совпадает с множеством значений функции А (в) = —2J2j=i(l ~ cos т-е- с отрезком [—Ad, 0]. Дискретный спектр при наличии на решетке п источников ветвления содержит не более п неотрицательных собственных значений [3].

В случае одного источника существует такое значение параметра /Зсг = (Go(0,0))-1, что при (3 > /?сг дискретный спектр оператора Hp непуст. Критическое значение /Зсг = 0 при d = 1 и d = 2, /Зсг > 0 при d ^ 3 [2].

В случае нескольких источников существует такое значение параметра (3\ [4], что при /Зсг < /3 < (3\ во всех размерностях дискретный спектр содержит ровно одно собственное значение А(/3), которое, в частности, задает экспоненциальный рост локальной и общей численностей частиц при фиксированной пространственной координате. Поведение процесса при (3 < (Зсг называют докрити-ческим, при (3 = /3 сг критическим, при /3 > /Зсг надкритическим, и оно существенно различается для этих случаев.

Если (3 > (Зсг и значение параметра (3 достаточно близко к /Зсг, то даже при наличии нескольких источников существует ровно одно собственное значение А(/3) [4]. В этом случае будем называть ветвящееся случайное блуждание слабонадкритическим,. В работе [4] показано, что при (3 [Зсг собственное значение А(/3) —> 0.

Результаты. Следующие теоремы приведены для слабонадкритического простого симметричного ВСБ, где лежащее в основе процесса случайное блуждание задается разностным лапласианом.

Теорема 1. Собственное значение А(/3) оператора Hp имеет следующее асимптотическое поведение при (3 [Зсг :

fg(l + 0(l)), d = 1;

Аж н

е /з (1 + о(1)), d = 2;

т = • w ~ + d =

[cd(f3-f3CT)(l + o(l)), d>b,

где Cd — константа, зависящая только от, размерности.

Доказательство. Приведем доказательство для случая, когда на решетке существует один источник.

В [2] показано, что при /3 > /Зсг собственное значение Л(/3) может быть найдено как решение уравнения /?Сл(0,0) = 1, при этом это решение будет единственным. Также известно, что функция Грина Сл(0,0) монотонно убывает и стремится к нулю при Л —> оо, поэтому можно рассматривать функцию /3(А) при Л —> 0 вместо функции Л(/3) при /3 4- /Зсг.

Из [5] известно представление функции Грина при Л —> 0. Обозначим Сд(0, 0) = Сд(0). Тогда

+ й = 1

-72(1ПЛ(1 + о(1))), й = 2

СА(0) = ^Со(О)-20?7зУЛ(1 + О(1)), ^ = 3

Со(0)+74Л(1пЛ)(1 + О(1)), (1 = 4

^о(О) -сйЛ(1 + о(1)), О 5

где 7<2 = (47гх) 2.

Введем функцию и(\(/?)), такую, что г>(А(/3)) = о(1) при Л —> 0. Подставив Сгд(0) = ^ и Со(0) = д!- в формулу (1), сможем получить уравнения относительно Л (/3) и выразить асимптотики Л(/3) при /3 4- /?сг- Для примера рассмотрим случай с! = 1:

1 £

11(1 +„(ЛОЗ))), Л = |ч1 + г>(А(/3)))2.

'4х л/Л 4х

Так как Л —> 0 при /3 4 0, то существует такая функция £(/3), что С(/3) = о(1) при /3 4 0 и (1 + V(Л(/3)))2 = 1 + ((/3(А)) при /3;0. Следовательно,

Л = ^(1 + С03)), л = ^(1 + о(1)).

Аналогичные результаты для случая М^ и броуновского движения были получены в работе [1], однако методы непрерывного случая затруднительно использовать для целочисленной решетки. Зная асимптотическое поведение собственного значения А(/3), можем переформулировать теорему о поведении функции Грина при больших уклонениях случайного блуждания [5] в новых терминах. Теорема 2. Пусть к > 0. Если /3 4 /Зсг и \у — %\ —> оо, то

|у — х\(3 —> оо, с1 = 1;

1 1

47Г>гг

1^1(1 + 0(1)),

\У~х\\/е~^ оо, й = 2;

1 1 1 -(/З-^^^-х!

-е (1 + о(1)),

Оц{х,у) =

М/3 - :

— ж|(/3 — /Зсг) оо, й = 3;

/3-/3сг

оо, (I = 4;

1 о»/- 1

(27т)~|у-х|-2-

г^е с4(/3) =

х(1 + 0(1)), О 5,

а константа зависит, только от, размерности решетки.

Фронтом популяции будем называть множество Г4 = {г : Ео^(г) = т^, 0, г) ^ С}. При /3 4- /Зсг и —>• оо фронт популяции имеет приближенно сферическую форму Г4 рз {г : \г | ^ гл/Щ} [4]. Зная асимптотическое поведение собственного значения А(/3), можем точно вычислить константы через параметры ветвления /3 и блуждания к.

Теорема 3. Пусть к > 0. Если /3 4 /Зсг и \г\ —>• оо, то Г4 {г : ^ с^ • ¿}, где

' /з

_ 47Г>г

е /з

са= \

4тг я3/2 4-7ГХГ

/Зсг и "П^ГД

^л//3 - /Зсг,

(/3~/3СГ),

<1 = 1;

й = 2 й = 3

£¿ = 4

й > 5.

Здесь ad — некоторая константа,, зависящая только от, размерности пространства d.

Автор приносит благодарность научному руководителю Е. Б. Яровой за постановку задачи и

помощь в работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Cranston М., Coralov L., Molchanov S., Vainberg В. Continuous model for homopolymers //J. Funct. Anal. 2009. 256, N 8. 2656-2696.

2. Яровая Е.Б. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2007.

3. Яровая Е.Б. Спектральные свойства эволюционных операторов в моделях ветвящихся случайных блужданий // Матем. заметки. 2012. 92, № 1. 124-140.

4. Молчанов С.А., Яровая Е.Б. Ветвящиеся процессы с решетчатой пространственной динамикой и конечным множеством центров генерации частиц // Докл. РАН. 2012. № 3. 259-262.

5. Молчанов С.А., Яровая Е.Б. Предельные теоремы для функции Грина решетчатого лапласиана при больших уклонениях случайного блуждания // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. 76, № 6. 123-152.

Поступила в редакцию 01.10.2014

УДК 517.982.256+515.124.4

ОБ ОТОБРАЖЕНИИ, СОПОСТАВЛЯЮЩЕМ ТРОЙКЕ ТОЧЕК БАНАХОВА ПРОСТРАНСТВА ИХ ТОЧКУ ШТЕЙНЕРА

К. В. Чеснокова1

Рассматриваются отображение St, сопоставляющее всяким трем точкам а, Ъ, с банахова пространства X множество St (а, 6, с) их точек Штейнера, и соответствующий оператор Рг> метрического проектирования пространства X х X х X на его диагональное подпространство D = {(х,х,х): х € X}: Рв(а,Ъ,с) = {(s,s,s): s € St(a, b, с)}. В зависимости от свойств пространства X оценивается коэффициент линейности произвольной выборки из оператора Рп и как следствие — константа Липшица произвольной выборки из отображения St.

Ключевые слова: коэффициент линейности оператора метрического проектирования, точка Штейнера.

A mapping St sending any three points a, 6, с of a Banach space X into a set St (a, 6, c) of their medians and a corresponding operator Pr> of metric projection of a space X x X x X onto its diagonal subspace D = {(x,x,x): x G X}, Рв(а,Ъ,с) = {(s,s,s): s G St(a, 6, c)}, are considered. The linearity coefficient of arbitrary selection from Pr> is estimated, depending on different properties of the space X. As a corollary, estimates for the Opschitz constant of arbitrary selection from the mapping St are obtained.

Key words: the linearity coefficient of metric projections, median.

Будем говорить, что банахово пространство X обладает свойством существования точки Штейнера, если для всякой тройки а, Ь, с € X множество

St(a, Ъ,с) ={s£l: lis — all + lis — 611 + lis — ell = inf (||ж — all + \\x — 611 + \\x — ell)}

x£X

непусто. Всякое рефлексивное (в частности, конечномерное) банахово пространство обладает этим свойством. Примеры несуществования точек Штейнера приведены в [1].

Лемма А [2]. Для любых элементов Xi,X2,x% € X точка s G I принадлежит множеству St(xi,x2,xs) тогда и только тогда, когда найдутся тлкие функционалы f\, /2, /3, что /1 + /2 + /3 = о, ||/г||X* ^ 1, fi(Xi - s) = ||Жг - s||; % = 1, 2, 3.

1 Чеснокова Ксения Васильевна — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kchesnokovaQgmail.com.