Математическая модель трехфазного асинхронного двигателя с учетом нелинейности магнитопровода и потерь в стали

УДК621.313.32

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРЕХФАЗНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ МАГНИТОПРОВОДА И ПОТЕРЬ В СТАЛИ

А.Ю. АФАНАСЬЕВ**, В.Г. МАКАРОВ*

*Казанский государственный технологический университет

**Казанский национальный исследовательский технический университет

им. А.Н. Туполева

Основными допущениями для обобщенной электрической машины являются предположения об отсутствии насыщения магнитопровода и потерь в стали. Предлагается методика формирования математической модели обобщенной электрической машины с учетом нелинейности магнитопровода и потерь в стали. Проведено компьютерное моделирование процессов электромеханического преобразования энергии в трехфазном асинхронном двигателе. С помощью экспериментального исследования показано, что применение предлагаемой модели позволяет существенно повысить точность расчетов.

Ключевые слова: трехфазный асинхронный двигатель, обобщенная электрическая машина, математическая модель, нелинейность магнитопровода, потери в стали.

Введение

В системах частотного регулирования скорости асинхронного двигателя (АД) широко используются математические модели обобщенной электрической машины (ОЭМ). Основными допущениями для ОЭМ являются предположения об отсутствии насыщения магнитопровода и потерь в стали.

В работах [1 - 3] приводятся математические модели АД с учетом нелинейности магнитопровода, записанные с позиций теории ОЭМ. По существу, в перечисленных работах используется линейная математическая модель ОЭМ с переменной индуктивностью, что не совсем корректно.

Важность задачи учета потерь в стали определяется существенным вкладом этих потерь в суммарные потери машины. Согласно данным [3] в АД серии 4А потери в стали могут составлять более 20 % от полных потерь номинального режима и более 50% от полных потерь холостого хода. В [1] учет влияния вихревых токов в сердечниках статора и ротора в переходных процессах реализуется путем введения в схему замещения двух интегральных контуров вихревых токов. Параметры интегральных контуров вихревых токов обычно определяют экспериментально. В условиях производства это не всегда выполнимо. Кроме того, при этом невозможно раздельно определить параметры вихревых токов для сердечников статора и ротора. Существует метод учета потерь в стали путем введения в систему уравнений Парка-Горева угла потерь [4]. Однако данный подход обладает существенным недостатком: при частотном управлении угол потерь является функцией как минимум двух переменных. Алгебраические уравнения связи потокосцеплений и токов при этом оказываются довольно громоздкими. Использование традиционных методов учета потерь в стали [5, 6], путем включения дополнительных сопротивлений параллельно либо последовательно цепи намагничивания эквивалентной Т-образной схемы замещения фазы АД, приводит к тому, что при частотном управлении эти

© А.Ю. Афанасьев, В.Г. Макаров Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

сопротивления также являются функциями как минимум двух переменных. В работе [3] предлагается метод учета потерь в стали, основанный на разделении составляющих потерь на потери от гистерезиса и вихревых токов. Это осуществляется введением в модель двигателя постоянных коэффициентов потерь от вихревых токов и потерь от гистерезиса. Определение этих коэффициентов для конкретного типа двигателя осуществляется по значениям потерь в стали в двух точках рабочего диапазона частот в режиме холостого хода двигателя. Однако данная математическая модель содержит систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Проведенный анализ показывает, что известные методики учета потерь в стали являются достаточно сложными.

В статье предлагается осуществлять переход к ОЭМ при сохранении амплитуды результирующей МДС и величины магнитного потока, приходящегося на один полюс. С помощью функции, аппроксимирующей кривую намагничивания, определяются дифференциальная и статическая магнитные проводимости, которые используются при записи уравнений магнитной цепи. Потери от гистерезиса и вихревых токов предлагается учитывать за счет введения в математическую модель эквивалентных обмоток потерь в стали. Активные сопротивления этих обмоток являются функциями частоты.

Методика исследования

Полагаем, что рассматриваемый АД имеет трехфазные симметричные обмотки на статоре и роторе. При этом параметры обмотки ротора приведены к статору. В сердечниках статора и ротора существуют потери, состоящие из потерь на гистерезис и вихревые токи. Для их учета введем в модель трехфазные эквивалентные обмотки потерь в стали. Пространственная модель трехфазного АД с такими обмотками показана на рис. 1, а.

Рис. 1. Пространственные модели при учете потерь в стали: а - трехфазного АД; б - обобщенной

электрической машины

Оси фаз статора обозначены А1, В1, С1, а оси фаз ротора - А2, В2, С2. Система координат ротора вращается относительно системы координат статора с угловой скоростью ю , их взаимное расположение характеризуется электрическим

б)

углом а между одноименными осями. По фазам А1, В1, С обмотки статора протекают токи ¿1 л , ¿1В , ¿1С , а по фазам А2 , В2 , С2 обмотки ротора - токи ¿2Л , ¿2В, ¿2С. По фазам эквивалентной обмотки потерь в стали статора протекают токи ¿1 л , ¿1В , ¿1С , аналогично по фазам эквивалентной обмотки потерь в стали

ротора протекают токи ¿2А , ¿2В , ¿2С .

Для учета нелинейности магнитопровода предполагаем, что основной магнитный поток и результирующая МДС связаны нелинейной зависимостью -кривой намагничивания. Чтобы аналитически задать зависимость Ф = /(¥), можно воспользоваться выражением вида

Ф

= Ъ¥ - с^

где а, Ъ , с, ¥0 - эмпирические константы.

Согласно теории трансформатора предполагаем, что магнитный поток, сцепленный с каждой фазой, состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое - это проекция вектора основного магнитного потока на ось фазы, а второе -магнитный поток рассеяния, пропорциональный соответствующему току.

Рассмотрим методику определения мощности потерь на гистерезис и вихревые токи [7]. Сердечники статора и ротора АД имеют спинки и зоны зубцов. Каждый из этих участков обладает своей массой и характеризуется своим амплитудным значением магнитной индукции.

Тогда мощности потерь на гистерезис и вихревые токи в сердечнике статора определяются выражениями:

Рг1 = Рг1з + Рг1с ; Рвт1 = Рвт1з + Рвт1с ;

где Рг1з и Рг1с - мощности потерь на гистерезис в зубцах и спинке статора; Рвт1з и Рвт1с - мощности потерь на вихревые токи в зубцах и спинке статора. Мощности потерь в участках сердечника статора:

/1 2 /1 2

Рг1з = кг1зв—В1зт1з ; Рг1с = кг1св "50 В1ст1с ;

Рвт1з = квт1за| 50

/11 и2 ,„„ . о = и а( /1

В1зт1з ; Рвт1с = Авт1сст

50 )

В12ст1с,

где кг1з, кг1с, Авт1з, Авт1с - коэффициенты увеличения потерь на гистерезис и вихревые токи в зубцах и спинке статора в связи с вращательным перемагничиванием, нарушением изоляции и наличием механических повреждений; в, а - удельные потери на гистерезис и вихревые токи при переменном перемагничивании на частоте 50 Гц и индукции 1 Тл; В1з, В1с -амплитудные значения магнитной индукции зубцов и спинки статора; т1з, т1с -массы спинок и зубцов магнитопровода статора; /1 - частота тока в фазах обмотки статора.

Для мощности потерь в стали статора запишем

2

Р01 = Рг1 + Р

г1

вт1 •

Аналогичные выражения используются для расчета мощности потерь в стали ротора.

Расчет сопротивлений фаз эквивалентных обмоток потерь в стали статора и ротора трехфазного АД проводим в предположении, что активные сопротивления фаз этих обмоток намного больше индуктивных:

~ 3 Е12 3 (4,44Ьк^ф

Л1т = 3 —— = 3-г-

01

01

ЩТ = 3Е1 = 3

02

02

где Е1 - действующее значение ЭДС фазы обмотки статора; Ф - амплитуда основного магнитного потока; коб1 - коэффициент обмотки статора; "1 - число витков фазы обмотки статора; Е2 - приведенное к статору действующее значение ЭДС фазы обмотки ротора; я - скольжение.

С использованием методик расчета, приведенных в литературе [5, 7, 8], произведен расчет зависимостей мощности потерь в сердечниках статора и ротора двигателя АИР80А6У2 от частоты, которые приведены на рис. 2. Эти зависимости позволяют определить соотношение между потерями от гистерезиса и от вихревых токов.

Р, Вт

40

30

20

10

Р02,

25

50

Л, Гц

б)

Рис. 2. Зависимости мощностей потерь в сердечниках статора и ротора двигателя АИР80А6У2 от частоты Выполнив преобразования с (2), можем записать:

а1 /1 . ~ а2 /2

*1т =

; К2т =

.

Ь1/1 + С1 Ь2 /2 + с2 Выражения (3) позволяют произвести расчет зависимостей активных сопротивлений фаз эквивалентных обмоток потерь в стали статора ^1т и ротора Л2т от частоты. Отметим, что для расчета ^2т по выражениям (3) необходимо

располагать информацией о скольжении я. Зависимость

^1т = / (/1) в относительных © Проблемы энергетики, 2011, № 9-10

Рис. 3. Зависимость активного сопротивления фазы обмотки потерь в стали статора от частоты

единицах приводится на рис. 3.

Аналогичный характер будет иметь зависимость /?2т = /(/2). Отношение —1 в

с1

(3) определяет соотношение между потерями от вихревых токов Рвт1 и потерями от гистерезиса Рг1. При /1 ^ х сопротивление фазы эквивалентной обмотки

потерь в стали статора стремится к отношению Т?1т = = —1. Аналогично для

Ъ1

ротора.

При переходе к ОЭМ условимся соблюдать следующие принципы:

1) эффективное число витков фазы обмотки обобщенной машины равно эффективному числу витков фазы обмотки трехфазного АД;

2) результирующая МДС, создаваемая двухфазной обмоткой ОЭМ, должна быть равна результирующей МДС, создаваемой трехфазной обмоткой АД;

3) ток нулевой последовательности обобщенной машины определяется как ток в нейтральном проводе трехфазной машины.

При соблюдении этих принципов между величинами и параметрами ОЭМ и трехфазного АД выполняются соотношения, приведенные в работе [9]. Аналогичные соотношения справедливы для эквивалентных обмоток потерь в стали.

Пространственная модель обобщенной машины с эквивалентными обмотками потерь в стали в осях й, q показана на рис. 1, б. Система координат й, q вращается с угловой скоростью Ю1. Разность угловых скоростей 1 и ю будем рассматривать как угловую скорость скольжения Ю2.

С учетом перечисленных принципов и предположений получим систему уравнений ОЭМ:

„ . —Фй ацй ( _ т . \ "1— = Я1г1— + + --9 + ¿1 Ч4>

иц = +1

—Ф—

э йг

9 + ¿1а-11 + ©1 фэФй + Ь1а ¿1— )

йг

—г йФ п

йг

22— йг

О = Й2г2й + Ж ^ + ь2а ^йй - © 2 фэФ9 + ь2аг)

О = Я2129 + ж

э + Ь2а —21 + © 2

йг йг

0 = Я1 Чй + жэ 0 = Я1~19 + жэ 0 = Я2*2й + жэ 0 = + жэ

йФ й + ~ йг1—

—+

йг

йФ9

йг

йФ й йг йФ

-©1(

ЖэФ а + ¿1о

)

+ ь

йи

1а

+ ь

2о"

йг й~2й

йг

—¿2

йг

йг

+ ©1

9 + Ь^^1 + © ((э Ф й +

^2 —© = Рп

Мэ = Рп жэ

где , "19 - напряжения фаз статора; ¿1—, ¿19, ¿2—, ¿29 - токи фаз статора и ротора; ¿1— , ¿19, ¡2й, ¿29 - токи фаз эквивалентных обмоток потерь в стали

статора и ротора; жэ - эффективное число витков фаз обмотки статора, эквивалентной обмотки потерь в стали статора, приведенной обмотки ротора, приведенной эквивалентной обмотки потерь в стали ротора; Ф—, -

компоненты основного магнитного потока по осям й, 9; Я , Я2, ¿1а, ¿2а -активные сопротивления и индуктивности от потоков рассеяния фаз обмоток статора и ротора; Я , Я , ¿1а, ¿2а - активные сопротивления и индуктивности от потоков рассеяния фаз эквивалентных обмоток потерь в стали статора и ротора; - момент инерции подвижных частей; рп - число пар полюсов; Мэ -электромагнитный момент; Мс - статический момент.

Для записи уравнений относительно МДС и основного магнитного потока рассмотрим схему замещения магнитной цепи ОЭМ, приведенную на рис. 4.

*ч

4%

ф„

1 ц/ /х-™1

Ца

1 ф/

ВС - векторный сумматор; МП -магнитопровод Рис. 4. Схема замещения магнитной цепи обобщенной машины

О

фа кьфа Рй

Рис. 5. Пространственная векторная диаграмма МДС и магнитных потоков

По продольной и поперечной осям (на один воздушный зазор) действуют МДС, первые гармоники которых имеют следующие амплитудные значения:

рй = 1^( + ча + 1и + Ьй); р = 2^+ 'щ + + щ),

2 " ~ " 1„ „ 2

где - число витков фазы синусной обмотки статора или ротора ОЭМ.

МДС Ей и Fq создают продольный Фа и поперечный Ф^ магнитные

потоки, которые преодолевают сопротивление воздушного зазора Щ. На расточке статора по осям й, q создаются, соответственно, амплитуды магнитного напряжения стали исй, и^. Благодаря синусоидальному распределению

магнитной индукции вдоль воздушного зазора амплитуда магнитного напряжения стали, величина основного магнитного потока и амплитуда результирующей МДС определяются равенствами:

и,

4

и Ы + и Щ

Ф

=н

+Ф2

2 + Р2 + rq

Основной магнитный поток Ф имеет направление, совпадающее с направлением вектора магнитного напряжения стали ис, и величину, являющуюся нелинейной функцией от ис . Компоненты магнитного потока Ф по осям й, q определяются равенствами:

Фй = Е*. ф ;

и р

Ф q Ф .

^ Р

Полная МДС определяется равенством

Р = и1 + Я8Ф+ и2 = ис + Я8Ф,

где и1, и2 - векторы магнитных напряжений статора и ротора.

На рис. 5 показана пространственная векторная диаграмма МДС и магнитных потоков. Условимся, что вектор основного магнитного потока Ф имеет направление под углом в по отношению к оси фазы Л\ статора. Ось й находится под углом а1 по отношению к оси Л1. Поэтому положение вектора Ф

относительно оси й можно характеризовать углом у, который представляет собой разность углов в и а^ . Предполагается, что магнитные сопротивления зазора по осям й и q равны. Видно, что направления векторов Ф , ¥ и ис совпадают. Рассматривая векторную диаграмму (см. рис. 5), запишем равенства:

Ф й =

"Я

и г

2 + ¥2 + ¥q

¥

2+¥2 + ¥q

Ф =

I

и с

¥й + ¥?

¥й+¥1

Записав выражения частных производных

дФ Л

дФй

дФ

q

дФ

q

д¥й ' д¥ ' дК

д¥

q

получим выражения производных по времени от компонент магнитного потока Ф. Продифференцируем выражение (5) и обозначим через Лс и Л д статическую

и дифференциальную магнитные проводимости, приходящиеся на один воздушный зазор:

А Ф

л с = ;

йФ

л д = —.

д й¥

Дифференциальная магнитная проводимость учитывает изменение величины вектора Ф, а статическая магнитная проводимость - изменение вектора Ф при его вращении с сохранением величины. Изменения компонент магнитного потока связаны с изменениями МДС следующими выражениями:

ДФ й = Л д Д¥й ;

ДФ q = Л с Щ .

Окончательно получим уравнения вида:

йФ й йг

= (ас зш2 у + Лд со*2 уЬI + ^ + + к с ' д 4 2 I йг йг йг йг

+

8Ш 2у

(Л д-Л с ) ^

й1

+

ц и12q Мц и^2q

й12

йг

йг

-+

йг

+ -

йг

UФq йг

зт 2у

(Л д-Л с ) ^

йг1^ + йг2й + й'11й + йг2й

+

(А с со*2 у + Л д зт2 у)-2*-|

йг

йг

йг

йг

йг

йп

йг

ц иl2q иi1q

- +

- +

+ -

йг йг йг йг Подставляя (7), (8) в уравнения системы (4), получаем систему дифференциальных уравнений относительно токов г^, , 12й, г2q, г1й, ^,

12й, ^2q. Видно, что в каждое уравнение входят производные от всех восьми

токов. При численном решении их можно найти из системы (4), (7), (8), рассматривая ее сначала как систему линейных алгебраических уравнений относительно этих производных.

q

2

+

2

Таким образом, система уравнений (4), в совокупности с (1), (6) - (8), представляют собой математическую модель ОЭМ с учетом нелинейности магнитопровода. Выполняя обратное преобразование координат, получим фазные токи и напряжения трехфазного АД.

Основные результаты

С использованием предлагаемой математической модели проведено компьютерное моделирование электромагнитных и электромеханических процессов, а также расчет рабочих характеристик обобщенной машины на базе двигателя АИР80А6У2. Аппроксимация экспериментальной кривой Ф = /)

осуществлялась функцией (1). На рис. 6 показаны кривые Ф = / ), Л с = / ) и

Л д = f (F).

Ф 10

Вб

-3

2,5 2 1,5 1

0,5

Лс10 6, Вб/А Лд-10-6, Вб/А

3 3

2,5 2,5

2 2

1,5 1,5

1 1

0,5 0,5

0 0

1

Улд\лс

F, А

1800 3600

Рис. 6. Зависимости Ф= f

На рис. 7 приводятся рабочие характеристики, полученные с помощью компьютерного моделирования и экспериментального исследования. При этом цифрой 1 обозначены характеристики, полученные с помощью математической модели АД в фазных осях без учета насыщения и потерь в стали [1, 10 - 12]; цифрой 2 - характеристики, полученные с помощью предлагаемой математической модели, а цифрой 3 - экспериментальные характеристики. Отметим, что при моделировании использовались параметры двигателя АИР80А6У2, представленные изготовителем. Экспериментальные исследования проводились с использованием пакета Power Graph 3.3.

б)

Му

я 15

1,2.3. .......2

об/мин 1500

1125

750

575

375

750 ^г^О

г)

Рис. 7. Сравнительный анализ рабочих характеристик двигателя АИР80А6У2

Обсуждение результатов

Проведем анализ точности математической модели с учетом нелинейности магнитопровода и потерь в стали. В качестве эталона рассматриваются результаты эксперимента.

Сравнительный анализ кривых фазного тока показывает, что в переходных процессах погрешность не превышает 1,5 %, а в установившемся режиме - 0,15 %. Анализ кривых электромагнитного момента, мгновенной потребляемой мощности и частоты вращения ротора показывает, что наибольшие отклонения кривых наблюдаются при переходе от начального этапа пуска к установившемуся режиму и не превышают 2,5 %; 2 % и 0,35 % соответственно. После перехода в установившийся режим значения погрешностей не превышают сотых долей процента.

Результаты сравнительного анализа рабочих характеристик (рис. 7) показали, что при использовании математической модели с учетом нелинейности магнитопровода и потерь в стали максимальная относительная погрешность по току статора, коэффициенту полезного действия и частоте вращения ротора не превышает 0,5 %, по потребляемой активной мощности и коэффициенту мощности - 1 %. Относительная погрешность по моменту на валу не превышает 0,1 %.

Таким образом, применение математической модели ОЭМ с учетом нелинейности магнитопровода и потерь в стали позволило существенно повысить

точность моделирования электромагнитных и электромеханических процессов в трехфазном АД. Результаты компьютерного моделирования позволяют предположить, что использование предлагаемой математической модели позволит реализовать более эффективные, с точки зрения энергосбережения, алгоритмы управления частотно-регулируемым электроприводом с АД.

Выводы

1. Сохранение неизменными величины основного магнитного потока и результирующей МДС при переходе от трехфазного асинхронного двигателя к обобщенной электрической машине позволяет сохранить основные расчетные соотношения.

2. Для учета нелинейности магнитопровода целесообразно использовать зависимость магнитного потока от результирующей МДС.

3. Применение теории трансформатора является продуктивным при анализе многофазной электрической машины.

4. Схема замещения магнитной цепи обобщенной машины и пространственная векторная диаграмма МДС и магнитных потоков позволяют записать уравнения компонент магнитного потока по осям d, q.

5. Для учета потерь в стали целесообразно ввести в математическую модель обобщенной электрической машины эквивалентные обмотки потерь в стали статора и ротора. Активные сопротивления этих обмоток являются функциями соответствующих частот.

6. Проведенный анализ результатов компьютерного моделирования и экспериментального исследования подтверждает высокую точность и возможность дальнейшего применения разработанной математической модели как при анализе процессов электромеханического преобразования энергии, так и при реализации более эффективных алгоритмов управления частотно-регулируемым электроприводом с асинхронными двигателями.

Summary

The basic assumptions for the generalised electric machine is the assumptions of absence of magnetic system saturation and losses in steel. The technique of formation of mathematical model of the generalised electric machine taking into account nonlinearity magnetic system and losses in steel is offered. Computer modeling of processes of electromechanical transformation of energy in the three-phase asynchronous motor is fulfilled. By means of experimental research it is shown that application of offered model allows to raise the accuracy of simulation.

Key words: the three-phase asynchronous motor, the generalised electrical machine, mathematical model, nonlinearity magnetic system, loss in steel.

Литература

1. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. М.: Высшая школа, 2001. 327 с.

2. Браславский И.Я. Энергосберегающий асинхронный электропривод / И.Я. Браславский, З.Ш. Ишматов, В.Н. Поляков. М.: Академия, 2004. 256 с.

3. Виноградов А.Б. Векторное управление электроприводами переменного тока. Иваново: ИГЭУ, 2008. 320 с.

4. Якимов В.В. Проблемы учета потерь в стали при расчете переходных процессов в электрических машинах переменного тока // Тез. докл. II Междунар. конф. по электромеханике и электротехнологии. Ч. 1. Крым, 1996. С. 172 - 174.

5. Копылов И.П. Проектирование электрических машин / И.П. Копылов и др. М.: Высшая школа, 2002. 757 с.

6. Домбровский В.В. Асинхронные машины: Теория, расчет, элементы проектирования / В.В. Домбровский, В.М. Зайчик. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 368 с.

7. Шуйский В.П. Расчет электрических машин/В. Шуйский; пер. с нем. Л.: Энергия, 1968. 732 с.

8. Гольдберг О.Д. Проектирование электрических машин / О.Д. Гольдберг, Я.С. Гурин, И.С. Свириденко. М.: Высшая школа, 2001. 430 с.

9. Макаров В.Г. Применение теории обобщенной электрической машины к трехфазному асинхронному двигателю // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2009. № 11 - 12. С. 84 - 97.

10. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии. М.-Л.: Энергия, 1964. 528 с.

11. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины. М.: Энергия, 1980.

928 с.

12. Макаров В.Г. Моделирование и исследование электроприводов. Ч.1. Разомкнутые системы электропривода. Казань: Казан. гос. технол. ун-т, 2005. 260 с.

Поступила в редакцию 22 марта 2011 г.

Афанасьев Анатолий Юрьевич - д-р техн. наук, профессор кафедры «Электрооборудование» Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева (КНИТУ). Тел.: 8 (843) 236-56-53.

Макаров Валерий Геннадьевич - канд. техн. наук, доцент кафедры «Электропривод и электротехника» (ЭЭ) Казанского государственного технологического университета (КГТУ). Тел.: 8 (843) 231-41-27. Е-шаП: electroprivod@list.ru.