Численный метод решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие

УДК 517.6

М. Ю. Медведик, И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ В СЛОЯХ, СВЯЗАННЫХ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЕ*

Аннотация. Статья посвящена разрешимости краевой задачи дифракции для системы уравнений Максвелла в слоях, связанных через отверстие. Слои сформированы тремя идеально проводящими и бесконечно тонкими параллельными плоскостями. Электромагнитные параметры в разных областях могут быть различны. Используются условия Свешникова-Вернера на бесконечности. Применяется метод функций Грина для сведения краевой задачи к псев-додифференциальному уравнению на отверстии, которое рассматривается в пространствах Соболева. Устанавливается фредгольмовость уравнения. Данная задача принадлежит классу задач о связи объемов через отверстие.

Ключевые слова: краевая задача, электромагнитная задача дифракции, интегральное уравнение, численный метод.

Abstract. The paper is devoted to the solvability of boundary value problem of diffraction for Maxwell equations in layers connected though a hole. The layers are formed by three infinitely thin and perfectly conducting parallel planes. Electromagnetic parameters can be different in the layers. Radiation conditions by Werner-Sveshnikov are used at the infinity. Method of Green functions is applied for reduction of boundary value problem to the pseudodifferential equation on a hole in Sobolev spaces. Fredholm property is established. The problem belongs to the class of problems of connection of volumes via a hole.

Keywords: boundary value problem, electromagnetic scattering, integral equations, numerical method.

1 Постановка задачи

Векторные задачи дифракции о связи через отверстие полупространства с полупространством, полупространства со слоем и полупространства с прямоугольным полубесконечным волноводом были рассмотрены в работе [1].

Рассмотрим задачу дифракции стороннего монохроматического электро-

Г?0 тт 0

магнитного поля E , H в экранированных слоях, связанных через отверстие.

Пусть U+ = {x = (xi, Х2, Х3 ):0 < Х3 < 1} и U -={x:-1 < Х3 < 0} - слои, сформированные тремя идеально проводящими и бесконечно тонкими параллельными плоскостями, отверстие Qc R2 = {Х3 = 0} с R3 - ограниченная область с кусочно-гладкой границей Г = 9Q, состоящей из конечного числа

, сходящихся под углами, отличными от нулевого. Предполагается, что падающее поле E0, H0 является решением системы уравнений Максвелла в слое U + без отверстия с краевым условием

* Работа выполнена в рамках ФЦП Минобрнауки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (регистрационный № 2.1.1/1647) и при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 06-07-89063а).

E

=0

Х3 =0, Х3 =1

и создается источниками, расположенными вне й, поэтому

H і

й

С “(й).

Поле Е0, Н0 в слое и тождественно равно нулю.

Будем считать, что среды в и+ и и~ имеют постоянные электромагнитные параметры £1, ц и £2, Ц2 соответственно, относительно которых

2 2

предполагаем, что 1т £ , > 0, Яе £ , > 0, 1т ц, > 0, Яе ц; > 0, к; = £,ц,ю ,

Imkj > 0, (kj Ф 0), где ю> 0 - круговая

частота.

Рассмотрим случай Е -поляризации в задаче дифракции падающего поля Е0, Н0 на отверстии й, соединяющем два параллельных слоя и + и и . Эта задача состоит в определении рассеянного Е -поляризованного электромагнитного поля Е, Н , Е := (0, 0, Е3) и Н := (1, Н2, 0), удовлетворяющего условиям:

-2,

E, H е С2 (U )р| СU + \ Г8Ю С ( \ Г§

8>0 8>0 '

где U = U + ^U- , Г8 :={x: |x - у| <8, у е Г = 9Q} ;

- однородным уравнениям Максвелла

rot H = -/юеЕ ,

rotE = /юцЯ, x є U

краевым условиям

ЭЕ3

Эx3

=0

где 2 = ^0 и2 + и 2- , ^0 = {х : Х3 = 0, хе Я2 \ й}, 2+ = {х : Х3 = ± 1} (выполняются только на гладких частях поверхности 2),

- условиям сопряжения на границе раздела сред

[ Ет]й= ^

[H,

H і

й

где [/]й := lim f - lim f, x' = (xb x2 )єй ;

x3 ——+0

-0

- условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме

Е, Н е Ь21ос (и);

- условиям Свешникова-Вернера на бесконечности: при х е и (при х еи+ аналогично):

если Іт є2 > 0 или 1т > 0, то

Е, Н = о(р-12), р:=|х'|

равномерно по всем направлениям х'/р и по Х3;

• если 1т £2 = 0,1т ^ = 0, £2 > 0 и ^ > 0, то потребуем, чтобы коэффициенты Фурье

ип (х) = 21 и(х)008япхз^хз ;

12 3

для компонент и = Н , Н или Е удовлетворяли условиям:

_Э_

Эр

ип - ікпип =°(р 12 ) ип =0(р 12 ) р-

2 2 2 2

- при кп := к -л п > 0 (кп > 0, если к >тп и кп < 0 , если к < -тп),

ип =0(1)^ р^^,

- при кп = 0, и

ип =°(р 12), Эи^Эр = °(р 12), р-

- при 1т кп > 0, равномерно по всем направлениям х'/р и по п.

Соотношение (11) определяет условия Зоммерфельда для двумерной ограниченной области, а (12) является условием на бесконечности для двумерного уравнения Лапласа. Эти условия накладываются лишь на конечное число коэффициентов Фурье; следовательно, равномерность по п для них не требуется. Требование равномерности оценок (13) по п существенно и будет использовано ниже.

Из уравнений Максвелла (4) следует, что для и = Е получаем краевую задачу:

Ди + к2и = 0, хє и + (у = 1), хє и (] = 2);

Эи

Эх3

Эи

= 0;

хз =+1

[єи ]й=-

,-.3 Эи

єЕ0 ? й

_ Эхз ]

= 0:

й

8>0

є С2 (и )П С (и + \ Г8)П С ( \ Г,

8>0

1

и £

4С

со сформулированными выше условиями на бесконечности (9)-(13).

2 Функция Грина для слоя

Рассмотрим функцию Грина Ои для уравнения Гельмгольца для слоя и := и - . Относительно волнового числа к считаем, что 1т к > 0 и к Ф 0. Функция Грина Ои может быть представлена в форме [2]:

^ехр(|х - у - 2уез|) ехр(ik х - у* + 2 уез ) ]

ч Iх - у - 2 уез х - у* + 2 уез )

где ез = (0, 0, 1). Представление имеет смысл при 1т к > 0 и к Флп, п е2.

В дальнейшем потребуются свойства следа функции Ои при Х3 = 0 и Уз = 0 . Выделим особенность при |х' - у'| ^ 0 функции Ои (х', у'):

( / - .а/2 ^

а

и

тс

= аи (х',у')=— У -хз = Уз =0 1 " 2Л у=-ГС

1_ е*\х'-А +1 у; +1 У

2л |х' - у'| л У 2 у л У

I -м ] =1 ^ ] =1

( ( ехр

1к

(| ' '12 + 4  2 )12

^к(|х'- у'|2 + 4у2)/ ^

е2

"27

(\ ' '12 + 4  2 \^2

_ 2_1п (1 - е2к) + В (х', у') = Ь (х'-у')-Р (к) + В (х', у'), (20) |х - у | 2л \ '

1 егк1х'-у'1

2л

где

Здесь 1п г обозначает аналитическое продолжение вещественной функции 1п ^^ > 0 на множество С \ (-/тс, 0] и

В (х', у' ):= Л У

л ,

( ( ехр

7 =1

ik

_Ч__________________________

Л

еЪку

~7

Для коэффициентов Ьу (х',у') ряда В(х',у') и их производных любого порядка а по ху и у у верны оценки [2]

^ са І2, X, у єО,

— 2

равномерные на каждом компакте Ос Я . Следовательно, мы доказали, что В Є С “(Я2 X Я2).

Из представления (19) получаем, что функция Ои = Ои (х, у; к) анали-тична по к в С+ = {к :1тк > 0} .

3 Псевдодифференциальное уравнение на отверстии

Обозначим через Л(и) множество значений ю, при которых функции Грина Ои не определены: Л(и ) = Лі (и )иЛ2 (и), Лу (и ):={ю: £у ЦуЮ2 =

= л2п2, п є г}, І = 1, 2 .

Тогда, как показано в [2], Ои (х,у;ю) непрерывно дифференцируема по и Уі любое число раз в и X и \ {(х, х): х єди} и непрерывна по ю в Я+ \ Л(и), Я+ ={ю: ю > 0} .

Определим потенциалы:

Уу

где х Є и + при І = 1, х Є и при І = 2 ,

^ дТЯ , ТЯ = {I х' < Я, -1 < хз <1};

ф

Потенциалы Уу стремятся к нулю равномерно при Я по

юеС+ \ Л(и) [2].

Используя это свойство потенциала, имеем

((х) = |Ои (ху)ди-(y,)dsy'+ |

О хз 8Я

°и

dSy .

Второе слагаемое в (26) стремится к нулю при Я равномерно по юеС+ \ Л(и) и по х в каждой ограниченной подобласти и± .

Используя условия сопряжения, сводим задачу (14)-(18) к интегральному уравнению:

Л^ = Л

й

¥

х' :=

1 “ ]

0и

Мы рассматриваем (27) как псевдодифференциальное уравнение для оператора А(ю) из Й—12 (о) в Н1'2 (О) [3]. Уравнение (27) будет определять ™„ффеРе„_й „ с _ с_ ( + ,2 )! Ш.

Оператор А (ю) будет эллиптическим [1, 4]. Используя (20) и (27), представляем А(ю) в следующем виде:

А

где Ьу (ю) = Ь (ку), Ру (ю) = Р(ку), Ву (ю) = В (ку) - интегральные операторы.

Примем обозначения Ь(ю) = £1X1 (ю) + £2Ь (ю), Р(ю) = Є1Р1 (ю) + є2Р2(ю), В(ю) = Є1В1 (ю) + £2В2 (ю). Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Ь (ю): Ні—12 (о)^ Н12 (О) является фредгольмовым оператором. В(ю): Й—12 (о) Й12 (О) - компактный оператор для всех ює Я+.

Оператор А(ю): Й —12 (о)^Й12 (О) - фредгольмов для всех ює Я+ таких, что ю£ Л(и).

Действительно, т.к. оператор В (х',у')є С2 XЯ2), то В(ю) компактен. Фредгольмовость и обратимость оператора Ь (ю) доказана в [1]. Тогда в силу одномерности образа оператора Р (ю) следует, что оператор А (ю) фредгольмов.

4 Численный метод решения псевдодифференциального уравнения

Рассмотрим метод Галеркина для решения интегрального уравнения (27), имеющего слабую особенность.

Пусть ю^Л(и)(у = 1,2), и уравнение А^ = / имеет единственное

решение, где А: Й—12 (о) ^ Й^2 (О) - интегральный оператор,

Ау = | (є( (х, у' ) + £2Си (х', у' ))(у' )Ж .

О

іку

1/2

Для удобства дальнейшего изложения приведем основные утверждения

о сходимости методов Галеркина для уравнений с эллиптическими операторами [4, 5].

Рассмотрим приближенное решение линейных операторных уравнений с помощью проектирования их на подпространства, которые будем считать имеющими конечную размерность. Ниже все операторы предполагаются линейными.

Определение 1. Пусть X и Г - гильбертовы пространства и А: X ^ Y - ограниченный инъективный оператор. Пусть Xn с X и Yn с Y -две последовательности подпространств с условиями dim Xn = dim Yn = n и пусть Pn : Y ^ Yn - проекционные операторы. Рассмотрим проекционный метод, образованный посредством Xn и Pn , который аппроксимирует уравнение

Аф = /

с помощью приближенного уравнения

РпАФп = Pn/ .

Этот проекционный метод называется сходящимся для оператора А, если существует число N такое, что для каждого / е Im A (ImA- образ оператора А) приближенное уравнение (33) имеет единственное решение Фп е Xn для всех n > N , и если эти решения сходятся Фп ^ ф при n к единственному решению ф уравнения (32).

В общем случае можно ожидать сходимость метода только тогда, когда подпространства Xn предельно плотны в X :

VeXn

для всех фе X . Свойство (34) называют также свойством аппроксимации

(произвольный элемент из X может быть аппроксимирован элементами из

подпространства Xn с любой точностью в норме || • || пространства X).

В последующем анализе будем всегда предполагать, что это условие выполняется.

Если проекционный метод сходится, то верна оценка скорости сходимости [4, 5]

Vе Xn

для некоторой константы M .

Оценка (35) называется квазиоптимальной. Она показывает, что ошибка в проекционном методе определяется тем, как хорошо точное решение может быть аппроксимировано с помощью элементов подпространств Xn в норме пространства X .

Утверждение 1 [4, 5]. Предположим, что А : X ^ Y есть ограниченный

оператор, имеющий ограниченный обратный А-1 : X ^ Y, и что проекционный метод (33) является сходящимся для А . Пусть оператор K: X ^ Y ком-

пактен и Л + К - инъективен. Тогда проекционный метод (зз) сходится для оператора Л + К.

Для операторных уравнений в гильбертовых пространствах проекционный метод, строящийся с помощью ортопроекторов на конечномерные подпространства, приводит к методу Галеркина. Пусть Л: X ^ У инъективный линейный ограниченный оператор и пусть Рп : У ^ Уп - последовательность ортопроекторов. Тогда фп £ Хп будет приближенным решением уравнения Лф = / с помощью проекционного метода, образованного посредством выбора пространств Хп и проекторов Рп , тогда и только тогда, когда

где (• ,• )у - скалярное произведение в У . Уравнение (зб) называют уравнением Галеркина.

Будем рассматривать случай, когда У = X', где X' - антидвойственное пространство к X (пространство антилинейных ограниченных функционалов над X) относительно некоторой ограниченной полуторалинейной формы ^ •, • ^ .

Замечание 1. Все результаты этого параграфа остаются в силе, если взять У = X , но для уравнения электрического поля необходимо рассмотреть случай У = X'.

Рассмотрим метод Галеркина, образованный с помощью подпространств Xn £ X, фп £ Xn :

Если J: X ^ X' - оператор, осуществляющий изоморфизм между X и X', то (з7) эквивалентно уравнениям (Лфп,Jv)y =(f,Jv)y для любого

V£ Xn, или уравнениям (зб), где (•,• ) - скалярное произведение в У = X', ё = JV, Уп = JXn . Таким образом, метод Галеркина (з7) эквивалентен методу Галеркина (зб).

Определение 2. Оператор Л : X ^ X' будем называть коэрцитивным, если существует константа С > 0 такая, что выполняется условие

для любого ф£ X .

Замечание 2. Если выполняется условие

Яе

для любого ф£ X или условие

1^ Лф, ф)> С|\ф\\2

для любого ф£ X, то справедливо и (з8), поэтому оператор в этих случаях также будет коэрцитивным.

Определение 3. Оператор Л: X ^ X' будем называть эллиптическим, если существует компактный оператор К: X ^ X' такой, что оператор Л + К - коэрцитивный.

Иногда перечисленные выше неравенства записывают для оператора Л + К, тогда они называются неравенствами Гординга.

Утверждение 2 [4, 5]. Пусть Л: X ^ X' - коэрцитивный оператор, и подпространства Xn с X обладают свойством аппроксимации. Тогда метод Галеркина(з7)сходится.

Утверждение 3 [4, 5]. Пусть Л: X ^ X' - инъективный эллиптический оператор, и подпространства Xn с X обладают свойством аппроксимации. Тогда метод Галеркина (з7) сходится.

Таким образом, для сходимости метода Галеркина для уравнения с инъективным эллиптическим оператором необходимо и достаточно выполнение условия аппроксимации и, если метод сходится, верна квазиоптимальная оценка скорости сходимости.

Рассмотрим N -мерные подпространства У^ с Й-1/2 (й). Будем проводить аппроксимации точного решения уравнения V элементами VN £ УN . Методом Галеркина находим VN из системы уравнений

Л N, V) =

Эти уравнения определяют конечномерные операторы ЛN : УN ^ УN, где УN есть антидвойственное пространство к УN. Поскольку оператор Л (ю) является эллиптическим для рассматриваемых значений ю, то метод

Галеркина сходится, если базисные функции удовлетворяют условию аппроксимации [1, 4, 5].

Пусть й - прямоугольная область, й = [(0, а) X (0, Ь ) . Построим в области й равномерную прямоугольную сетку:

п х = {х'|а -1 < х1 < а, Ьу-1 < х2 < Ьу}, пу' = {у' I а--1 < у < а-, Ьу-1 < у2 < Ьу}, I = 1, п, у = 1, т

с шагом = а по оси х1 (у^) и шагом Ь по оси х2 (у2). п т

В качестве базисных выбираем функции вида

уї

I 0, иначе.

Будем рассматривать семейство У^ из N = пт функций Уу (х'),

і = 1,п, у = 1, т . Очевидно, что выбранные функции удовлетворяют условию аппроксимации в пространстве Й 1/2 (о) . Тогда имеем следующий результат.

Теорема 2. Метод Галеркина (41) для уравнения (27) с выбором базисных функций (42) сходится.

Каждый элемент матрицы, соответствующей конечномерному оператору, получается путем вычисления четырехкратного интеграла:

АРЧ :- I

О

Разобьем каждый элемент сетки на к прямоугольников. Внутри каждого такого прямоугольника выберем среднюю точку - точку пересечения диагоналей. Интегрирование производим методом прямоугольников, суммируя значение функции во всех точках, умноженных на площадь прямоугольника. В связи с наличием особенности в функции Грина при интегрировании возможна ситуация, приводящая к делению на нуль. Чтобы избежать этого, будем использовать метод, предложенный Андерссоном. Для этого рассмотрим отдельно интеграл, содержащий слабую особенность:

1 гк^х'-у\

I=о ь('-/)*=-/у-ур *-

-11

2к >

О

( гкАх'-у'| е п 1

х - У

х - У

- ГгЛ^Т

2-' х' - у' О

-10 +11.

Сместим элемент сетки с помощью введения новой переменной (- х - у' (у' фиксируем). Тогда (рис. 1) ^ - х1 - У1, ^ - х2 - У2 ,

а-1 - У1 < ^ < а - У1, Ьу-1 - У2 < 12 < Ьу - У2, &1 - dXl, ^2 - йх2 .

Рис. 1

Вводя полярные координаты ^ -рсо8ф, t2 - р8шф, dtldt- -pdpdф, получим

J 2— Л х - У I 2— * * 1х - у I

2л •> •’їх - у I

П у П х 1 ' 1

4 Фг+1

2Л І ф' 1 = 2Л 1 ^ І МФ-

П у, П*(у') П у, г_1 Ф>

Здесь

Пх = {аі-1 < х1 < аі >Ьі-1 < х2 < Ьі};

П* ={аі-1 -У1 < *1 < аі -ЛЬі-1 -У2 < *2 < Ьі -У2},і = 1і = 1 «;

/ \ аі - У1 / ч ьі - у2 / ч аі-1 - у1 . ч ьі-1 - у2

Р1 (ф) =-----1, Р2 (ф) =-, Р3 (ф)= —------Р4 (ф)=-

008 ф

Ф1 = ф5 = -агоге

81П ф

Ьі -1 - у2

сое ф

81И ф

л

фз = ^+аго1§

аі - у1 аі-1 - у1

, ф2 = агоге-

Ьі - у2

ф4 = л + агс^

Ьі - у2 аі - у1 ’

Ьі-1 - у2 аі-1 - у1

Тогда внутренний интеграл вычисляется следующим образом:

4 фі+1 ф2 ф3 Ь у ф4 ф5

У Г Р^ф= ГОі-уі^ф+ Г ЬИИ. ёф+ Гг

ГІ * * 008 ф > 8ІП ф > 008 ф >

ф1 ф1 ф2 фз ф4

Ьі-1 - у2

8ІП ф

ф2

(аі -у1 )1п£I ф + Л] + ( -у2)іпф

ф1

ф4

фз

ф2

фз

ф5

ф4

Далее, решая систему линейных алгебраических уравнений (41), мы получаем решение задачи дифракции на экране прямоугольной формы.

Ниже представлены результаты расчета модуля компоненты электриче-

3

ского поля | Е | на квадратном отверстии (рис. 2, 3). Величина шага равна 8

93

, результирующая матрица размера 961х961 (рис. 2).

8

Величина шага равна -----------, результирующая матрица размера

189

3969 х 3969 (рис. 3).

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

1-1,2  0,8-1  0,6-0,8

0,4-0,6

0,2-0,4

0-0,2

Рис. 2

1,8-2  1,6-1,8

1,4-1,6 1,2-1,4

1-1,2  0,8-1  0,6-0,8

0,4-0,6

0,2-0,4

0-0,2

Рис. 3

Список литературы

1. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : ИПРЖ «Радиотехника», 1998.

2. Morgenrother, K. On the instability of resonances in parallelplane waveguides / K. Morgenrother, P. Werner // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 1989. -V. 11. - Р. 279-315.

3. Трибель, Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / Х. Трибель. - М. : Мир, 1980.

4. Costabel, M. Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains: Elementary Results / M. Costabel // SIAM J. Math. Anal. - 1988. - V. 19. - № 3. - Р. 613-626.

5. Kress, R. Linear Integral Equations. Applied Mathematical sciences. 82. Springer-Verlag / R. Kress. - N. Y., 1989.

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Medvedik Mikhail Yuryevich

PhD in Mathematics, associate professor,

sub-department of mathematics

and supercomputer modeling,

Penza State University

Родионова Ирина Анатольевна

ассистент,

кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Rodionova Irina Anatolyevna

assistant professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования,

Пензенский государственный университет

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of Science (in Mathematics), professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

УДК 517.6 Медведик, М. Ю.

Численный метод решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Медведик, И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 1 (9). -С.87-99.