Проблемы оптимального управления технологическими процессами высокотемпературной обработки материалов

Проблемы оптимального управления технологическими процессами высокотемпературной обработки материалов

A.B. Димаки, А.Г. Князева, С.Г. Псахье

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

В работе обсуждаются возможности использования методов теории оптимального управления в области термической обработки материалов и их поверхностей. Для анализа физико-математических моделей технологических процессов, учитывающих разнообразные физико-химические процессы и потому являющихся многопараметрическими, предлагается подход, основанный на сочетании анализа размерностей и теории управления для динамических систем с распределенными параметрами. В качестве примера проанализирована модель термической обработки плоского слоя материала с использованием ТВЧ-нагрева.

Optimal control problems of technological processes of high-temperature

material processing

A.V. Dimaki, A.G. Knyazeva, and S.G. Psakhie

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

The paper discusses the possibilities to apply methods of optimal control theory to thermal processing of materials and their surfaces. To analyze physico-mathematical models of technological processes, which take into account various physico-chemical processes, thus being multiparameter, we propose an approach based on the combination of dimension analysis and control theory for dynamic systems with distributed parameters. As an example we analyze a model of thermal processing of a plane layer of a material by induction heating.

1. Введение

Физико-химические процессы, протекающие при обработке материалов и их поверхностей с использованием различных способов нагрева, сложны и многообразны и описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, или моделями (системами) с распределенными параметрами. Задачи управления такими системами поставлены более 40 лет назад в работах А.Г. Бутковского [1] и связаны с проблемами управления температурными полями применительно к технологическим процессам нагрева металла перед последующими операциями пластической деформации (иной подход к выбору оптимальных параметров технологических процессов развивается в работах авторов [2]). Первые приложения теории оптималь-

ного управления для систем с распределенными параметрами были связаны с оптимальным управлением металлургическими процессами и тепловым нагревом металлических слитков, с задачами управления процессами термохимического взаимодействия металла с атмосферой печи при его нагреве. Подобные задачи встречаются в химической технологии при оптимизации работы химических реакторов, при оптимизации процессов сварки и резки, в физике плазмы и в биологии. По мнению авторов многих работ, что отмечено, например, в [1, 3], использование сложных математических моделей в этой области требует привлечения громоздкого математического аппарата, не всегда удобного в практических исследованиях. Более эффективным считается использование упрощенных моделей, область примени-

© Димаки A.B., Князева А.Г., Псахье С.Г., 2005

мости которых сужена конкретными практическими задачами [3,4]. Большинство известных математических моделей высокотемпературных технологических процессов представляют собой задачи теплопроводности с теплофизическими свойствами, зависящими от температуры, и подвижными распределенными внешними источниками. Реальная структура обрабатываемых материалов, процессы выделения фаз, плавления, кристаллизации, возможные химические превращения и т.п. в подобных моделях во внимание не принимаются, что, конечно же, ограничивает области их применимости.

Исследования последних лет [5-7] показывают, что для выявления области технологических параметров в процессах термической обработки, пригодных для получения материалов и их поверхностей с заданными свойствами, более продуктивными оказываются модели, учитывающие изменение структуры и свойств в процессе обработки явным образом. Критические явления, наблюдаемые в моделях технологических процессов электронно-лучевой обработки материалов, кислородной резки, соединения материалов, есть следствие взаимодействия физических процессов различной природы. При этом многопараметричность технологических задач такого типа не является большой проблемой, если их анализировать с использованием подходящих с физической точки зрения безразмерных переменных и методов теории оптимального управления или классических методов оптимизации.

Отметим, что с этой точки зрения одной из наиболее актуальных является задача термической обработки металлических деталей и узлов машин и механизмов с использованием ТВЧ-нагрева [8-10]. ТВЧ-нагрев, или индукционный нагрев, основан на использовании в качестве источника нагрева токов Фуко, возникающих в проводящем материале под воздействием переменного электромагнитного поля. В настоящее время этот способ нагрева нашел достаточно широкое практическое применение в различных отраслях машиностроения, таких как металлообрабатывающая промышленность, приборостроение, автомобилестроение, железнодорожная отрасль и т.д.

2. Физико-математическая модель

Математические модели процесса нагрева материалов с использованием токов высокой частоты включают связанные дифференциальные уравнения теплопроводности и Максвелла. В известных моделях [9-11] учитывается зависимость теплофизических и электромагнитных характеристик вещества от температуры и напряженности магнитного поля. При этом, как правило, при нахождении распределения источников тепла в материале решается только уравнение Максвелла для напряженности магнитного поля. Это обусловлено тем, что вектор магнитного поля является тангенциальным к границе раздела «воздух-материал» и при переходе через

данную границу не изменяется, что позволяет упростить процесс вычислений. В ряде работ [11, 12] показано, что такой подход является корректным с энергетической точки зрения, т.е. мощность источника тепла, полученная из решения только уравнения Максвелла для напряженности магнитного поля, будет такой же, как если бы решалась полная система уравнений Максвелла.

Широко известно, что по мере проникновения электромагнитной волны вглубь металла амплитуды как электрического, так и магнитного поля достаточно быстро убывают. Глубину, на которой амплитуда магнитного и электрического поля убывает в е раз, называют глубиной проникновения поля, или толщиной скин-слоя. В пределах данного слоя происходит поглощение около 85 % электромагнитной энергии и превращение ее в тепло. Таким образом, в процессе индукционного нагрева вблизи поверхности обрабатываемого изделия формируется источник тепла, мощность и ширина которого зависят от частоты и напряженности магнитного поля. При поверхностной закалке (характеризуемой резким разогревом до температур, близких к температуре Кюри, и последующим резким остыванием) ферромагнитных материалов, толщина закаленного слоя связана с толщиной скин-слоя. Возможность управления толщиной скин-слоя заданием соответствующих параметров индуктора позволяет говорить о создании при помощи индукционного нагрева материалов с управляемой структурой.

Рассмотрим задачу о нагреве плоского слоя толщины L. В частном случае нагрева плоского слоя имеем следующую математическую постановку задачи, эквивалентную с физической точки зрения приведенной в работе [10]:

2

d2 H dx2

dT

I —

dt

. ю^оЦ(H, T) и

= -J--------------H,

д k) f 1 + P(T) dH

дх дх 2 dx

p

х = 0: ЦТ) — = aeT4, дх

H =

H 0 , t < t0 0, t > tn

х = Ь: = 0, ^Н = 0

дх дх

где Т — абсолютная температура; Н — напряженность магнитного поля; с — удельная теплоемкость; X — коэффициент теплопроводности; р — удельное электрическое сопротивление материала; ц — относительная магнитная проницаемость материала; ю — циклическая частота колебаний магнитного поля.

Зависимость магнитной проницаемости материала от напряженности магнитного поля имеет следующий вид, традиционно используемый в подобных задачах [8-11]:

ц = ц'+| Н | , Н < 300Л/м, ц = а|-Н | , Н > 300Лм,

где ц — магнитная проницаемость материала в отсутствие внешнего магнитного поля; а, Р, у — модельные коэффициенты зависимости ц(Н); h — коэффициент, равный 1 А/м.

Как видно из уравнения (2), в данной постановке задачи воздействующее на материал магнитное поле считается квазистатическим, в отличие, например, от [9]. Выбор такого приближения обусловлен рядом особенностей моделируемого процесса. Во-первых, влияние динамических характеристик магнитного поля при запуске индуктора ничтожно, так как стационарный режим его работы устанавливается за пренебрежимо малое время. Во-вторых, в стационарном режиме работы индуктора выделяемая в материале мощность пропорциональна не амплитуде колебаний переменного магнитного поля, а среднему за период действующему значению, равному Ндейств = Н0/л/2. Именно в силу данного обстоятельства в уравнении (1) перед квадратом первой производной от напряженности магнитного поля стоит множитель 1/ 2.

В рамках данной работы задача оптимизации процесса индукционного нагрева сформулирована следующим образом. Необходимо найти такие условия (в частности, параметры работы индуктора), при которых для вещества с заданными свойствами обеспечивается заданная глубина поверхностной термической обработки материала. Очевидно, что определяющее влияние на режим термической обработки ферромагнитного материала оказывают частота и напряженность магнитного поля, создаваемого индуктором, а также продолжительность обработки. Во многих практических случаях частота магнитного поля, создаваемого индуктором, не может быть существенно изменена без изменения структуры силовой части индукционной установки. Поэтому в качестве управляющих параметров при решении поставленной задачи следует выбирать амплитуду напряженности магнитного поля Н0 на поверхности образца, и время воздействия магнитного поля (или время обработки) *0.

Для выявления качественных закономерностей задачу можно упростить, пренебрегая зависимостью свойств от температуры и вычисляя их как некие средние величины в рабочем интервале температуры, например, по формулам:

1 Т0 ~ = Т-Т I С(Т)&Т,

Т 0 Т е т

1 Т0 Х=Т^1Х(Т ^Т,

Т0 Те Т

1 Т0

Р = Р(Т )йТ,

Т0 Те Т

1 е

где Те — температура окружающей среды.

В первом приближении пренебрежем и теплообменом излучением.

3. Формулировка задачи в безразмерных переменных

С целью подробного параметрического исследования модели перейдем к безразмерным переменным, выбранным из физических соображений:

т - * £ - х

** х*

Н =

Н

Н

Т - Те

Т - Те

где

и =

СРР

х* =

Н* =

2МТс - Те)

Аюц0 у ЮЦ0 у Р

По физическому смыслу Н* представляет собой амплитуду напряженности магнитного поля, нужную для прогрева слоя металла толщиной х* до точки Кюри за время **; х* — эффективная глубина обработки; ** — время образования прогретого слоя толщиной х*.

В безразмерных переменных задача (1)-(5) примет вид:

эе

дт

(Н

__Э^ + " ~Э£2 +

(2 тт __ ___

=-МН)Н,

1 = 0: — = 0, Н =

Ы

Н0, ^<^0 0, т>тп

§ = I: * = 0, — = 0, т = 0: 0 = 0, Н = 0,

где 0 — безразмерная температура; Н — безразмерная напряженность магнитного поля; Н0 — безразмерная напряженность магнитного поля на границе «воздух-материал»; т0 — безразмерная продолжительность обработки;

Н 0 - Н0

0 Н*

То = 7 ’ **

ц(Н) =

НН * < 300 Л м, НН * > 300 Л м.

2

*

н

И

Глубина

Рис. 1. Распределение температуры по глубине образца

Рис. 2. Зависимость температуры на поверхности образца от времени

Задача (7)—(10) решалась по неявной разностной схеме второго порядка методом прогонки. Данная схема является устойчивой при любом соотношении пространственного и временного шагов. В проводимых расчетах значение пространственного шага выбиралось много меньшим единицы, значение временного шага Ат выбиралось следующим образом:

^ 1.

Ат

4. Результаты исследования прямой задачи

В рамках данной работы в качестве примера решения задачи процесса индукционного нагрева проводилось исследование влияния управляющих параметров Н0 и т0 безразмерной модели (7)-(10) на ширину формируемого в обрабатываемом образце слоя, температура которого превышает температуру Кюри. На рис. 1 приведено типичное распределение температуры в образце в различные моменты времени при его индукционном нагреве.

На рис. 2 приведена зависимость температуры на поверхности образца от времени. Как видно из рис. 2,

температура на поверхности образца очень быстро поднимается до температуры Кюри и остается после этого практически неизменной. При этом, как видно из рис. 1, тепловая энергия распространяется вглубь образца за счет теплопроводности, и формируется слой материала, температура в пределах которого практически постоянна. Толщина данного слоя зависит, в частности, от продолжительности воздействия электромагнитного поля.

Для исследования характера зависимостей глубины прогрева от управляющих параметров была проведена серия численных экспериментов, в которых напряженность внешнего магнитного поля Н0 варьировалась в интервале [0.3; 0.5], время обработки т0 варьировалось в интервале [6; 11.5], что соответствует реальной области изменения физических переменных Н0 и *0. На рис. 3 представлены зависимости толщины прогретого слоя А от напряженности внешнего магнитного поля Н0 и продолжительности обработки Т0.

Зависимость глубины прогрева от амплитуды напряженности внешнего магнитного поля имеет практически линейный характер (рис. 3, а). Зависимость толщины нагретого слоя от продолжительности обработки имеет

Но Т0

Рис. 3. Зависимость толщины прогретого слоя от напряженности внешнего магнитного поля

степенной характер, при этом показатель степени меньше единицы (рис. 3, б). При относительно небольших амплитудах магнитного поля и малых временах обработки температура поверхности не достигает точки Кюри. Это является естественным ограничением, накладываемым на область изменения управляющих параметров, и уже на этапе проведения численных экспериментов позволяет оценить границы области поиска.

Таким образом, приведенные факты позволяют говорить о том, что при помощи индукционного нагрева существует возможность создания в образце такого распределения температуры, при котором изменение механических свойств образца будет происходить только в тонком слое заданной толщины. Следовательно, возможно создание алгоритмов управления технологическим оборудованием, позволяющих формировать в обрабатываемой детали требуемую структуру материала. Создание таких алгоритмов является обратной задачей по отношению к задаче моделирования тепловых полей в материале. Решение такой задачи позволяет задать оптимальный режим работы технологического оборудования, при котором в материале формируется требуемое распределение температуры.

Выбирая значения теплофизических параметров материала и параметров работы индуктора, можно оценить характерные масштабы и затем сравнить результат решения задачи (7)-(10) и результаты, полученные с использованием метода классических клеточных автоматов (при условии постоянства свойств и отсутствия потерь тепла) [10]. Так, принимая

р = 7 800 кг/м3, с = 447 Дж/(кг - К), X = 80 Дж/(м • с • К),

р = 1.3• 10-7 Ом-м, ю = 62831 рад/с,

Те = 300 К, Т0 = 1050 К, найдем:

Н* = 960786 А/м, /* = 0.437 с и х* = 0.0033 м.

Приведенные теплофизические параметры материала соответствуют стали У8.

Результат расчета температуры поверхности на основе метода клеточных автоматов представлен на рис. 2 точками. Как видим, методы моделирования дают одинаковые результаты.

5. Решение обратной задачи

На основании результатов, приведенных на рис. 3,

выбираем следующий вид зависимости толщины слоя, прогретого выше температуры Кюри (далее — глубины прогрева), от управляющих параметров Н0 и т0:

А

Для вычисления оценок неизвестных коэффициентов А, р и q в выражении (11) можно использовать ре-

Рис. 4. Зависимость глубины прогрева Д от параметров Ни Т0

зультаты решения прямой задачи и метод наименьших квадратов. Найденные оценки составили:

А = 1.356, р = 2.52 и q = 0.934.

В указанных выше пределах точность аппроксима-ционной формулы (11) не хуже 10 %. На рис. 4 показана трехмерная поверхность, описываемая функцией (11) при указанных значениях коэффициентов А,р и q.

Таким образом, задача оптимизации формулируется следующим образом. Требуется найти область параметров Н0 и т0, удовлетворяющих указанным ограничениям, при которых выполняется условие

где А 0 — заданная глубина обработки; е0 — требуемая точность (выбираемая из практических соображений). Для решения данной задачи достаточно найти минимум целевой функции

I =

Так как результаты решения прямой задачи аппроксимированы простой аналитической зависимостью и никаких иных требований к решению задачи не предъявляется, то для нахождения области оптимальных значений управляющих параметров не нужно проводить дополнительных численных исследований, и требуемая область параметров Н0 и т0 может быть определена из уравнения

Л(Но, т0) = ^0.

Необходимо отметить, что оценки глубины обработки, полученные при помощи аппроксимационной формулы (11), достаточно хорошо согласуются с результатами анализа модели ТВЧ-обработки, учитывающей зависимость свойств от температуры, а также теплопотери излучением [10]. В таблице 1 представлены оценки глубины прогрева, полученные при помощи модели (1)-(5) и аналитической формулы (11). Для пересчета безразмерных величин в размерные использованы представленные выше значения параметров и масштабов.

Таблица 1

Глубина прогрева А, полученная при помощи различных моделей

H 0, А/м *о> с Оценка по формуле (11), 10-4 м Численный расчет [10], 10-4 м

300000 3 14.4 14.5

4 18.8 18.2

400000 2 20.3 21.5

4 38.9 38.2

500000 2 35.7 35.5

4 68.2 64.6

Поскольку модель (1)-(5) с высокой точностью описывает результаты натурных экспериментов, можно говорить о том, что уравнение (11) позволяет с достаточной точностью описывать поведение реальных объектов.

Уравнение (11) позволяет найти решение обратной задачи моделирования процесса термической обработки металла токами высокой частоты в явном виде. Преобразуем уравнение (11) к следующему виду:

Тп =

л1/q

AH о p

Уравнение (14) позволяет оценить требуемую продолжительность обработки изделия на основании заданной глубины прогретого слоя и амплитуды напряженности магнитного поля. Амплитуду напряженности магнитного поля, создаваемого индуктором, можно достаточно просто оценить, зная ток, протекающий через индуктор, и количество витков [12]. Выбор продолжительности обработки в качестве основного управляющего параметра обусловлен тем, что его значение на практике наиболее легко контролируется и может легко изменяться в различных экспериментах, в то время как варьирование в широких пределах частоты и амплитуды магнитного поля часто затруднено, либо вообще невозможно без изменения принципиальной схемы силовой части индуктора [12].

В размерных переменных имеем:

(

t0 ~

(

Ax„

- v р \1/q

Hoл p

H*

В частности, продолжительность обработки изделия в форме пластины, выполненной из стали У8, при частоте магнитного поля индуктора 10 кГц может быть оценена по формуле:

/„ = 4.7565-1024 • (А0Яо2-302)1-5576.

Это выражение позволяет получать оценку времени обработки с точностью не хуже 30 % в интервале изменения напряженности магнитного поля от 250 до 500 кА/м.

6. Заключение

В работе предложен подход к решению задачи управления технологическим процессом (который моделируется системой с распределенными параметрами), основанный на сочетании анализа размерностей с методами оптимизации. На примере моделирования процесса индукционного нагрева показано, что анализ размерностей позволяет существенно сократить число варьируемых параметров, а аппроксимационные формулы, построенные по данным численных экспериментов, позволяют с успехом решать обратные задачи. Если число параметров больше двух, то для проведения параметрического исследования модели потребуется дополнительное привлечение методов планирования эксперимента.

Предложенный в данной работе подход является перспективным и может быть использован для задач разных классов.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (№ 04-01-81017).

Литература

1. БутковскийА.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1965. - 474 с.

2. Витязъ П.А., Жилинский О.В., Лактюшина ТВ. Компьютерная методология выбора технически оптимального варианта в многокритериальные задачах проектирования материалов // Физ. мезомех. -2004. - Т.7. - Спец. вып. - Ч. 1. - С. 3-11.

3. БутковскийА.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. - М.: Металлургия, 1972. - 440 с.

4. ЕгоровА.И, Рафатов РР Математические методы оптимизации процессов теплопроводности и диффузии. - Фрунзе: Илим, 1990. -336 с.

5. Князева А.Г. Приложение макрокинетики к моделированию технологических процессов // Физ. мезомех. - 1994. - Т. 7. - Спец. вып. -Ч. 1. - С. 12-15.

6. KnyazevaA.G., Pobol I.L., GordienkoA.I. Coating formation in SHS-regime during thermal treatment of material by moving energy source // Proc. of 7-th Int. Conf. on Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows, Tomsk, Russia, July 25-30, 2004. - Tomsk: TPU, 2004. - P. 72-75.

7. Крюкова ОН., КнязеваА.Г. Критические условия растворения частиц в процессе электронно-лучевой наплавки покрытия // Труды IX Межд. конф. «Физико-химические процессы в неорганических материалах», 22-25 сентября 2004. - Кемерово: Кем. гос. университет, 2004. - С. 576-580.

8. Бабат Г.И. Индукционный нагрев металлов и его промышленное

применение. - М.-Л.: Энергия, 1965. - 552 с.

9. ТихоновА.Н., Калънер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1990. - 264 с.

10. Димаки А.В., Каминский П.П., Зуев Л.Б., Псахъе С.Г. Компьютерное моделирование термической обработки металлических изделий токами высокой частоты на основе метода классических клеточныгс автоматов // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - Спец. вып. -Ч. 2. - C. 281-284.

11. Владимиров С.Н., Земан С.К., Шестаков А.Н. Базовая математическая модель поглощения электромагнитной энергии в нелинейной ферромагнитной среде // Аппаратно-программные средства автоматизации технологических процессов / Под ред. Ю.А. Шуры-гина. - Томск: Изд-во ТГУ, 2002. - Вып. 4. - С. 54-65.

12. Слухоцкий А.Е. Установки индукционного нагрева. - Л.: Энерго-атомиздат, 1981. - 325 с.

о

о