О повышении точности заполняющих геодезических сетей из четырехугольников

Научный журнал КубГАУ, №102(08), 2014 года

1

УДК 528.13

О ПОВЫШЕНИИ ТОЧНОСТИ ЗАПОЛНЯЮЩИХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ ИЗ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

Соколов Юрий Григорьевич к.т.н., профессор

Струсь Сергей Сергеевич к.э.н., доцент

Пшидаток Саида Казбековна к.с-х.н., доцент

Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия

В работе рассмотрен вопрос повышения точности заполняющих геодезических сетей из четырехугольников с измеренными сторонами путем увеличения числа условных уравнений. Рассмотрены три варианта размещения дополнительно измеренных диагоналей четырехугольников. Приведены результаты повышения точности при определении координат точек внутри сети, за счет этих дополнительно измеренных элементов

Ключевые слова: СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ, ОБРАТНЫЕ ВЕСА, ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СЕТЬ, ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ, КООРДИНАТЫ

UDC 528.13

ON IMPROVING THE ACCURACY OF FILLING GEODETIC NETWORKS OF QUADRANGLES

Sokolov Yuriy Grigoryevich Dr.Sci.Tech., professor

Strus Sergey Sergeyevich Cand.Econ.Sci., associate professor

Pshidatok Saida Kazbekovna

Cand.Econ.Sci., associate professor

Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia

The article considers the issue of increasing the accuracy of filling geodetic networks of quadrangles with measured by the parties by increasing the number of conditional equations. We have considered the three variants of placement of additionally measured diagonals of the squares. The results improve the accuracy in the determination of coordinates of points within the network, due to these additional measured elements

Keywords: METHOD OF LEAST SQUARES, REVERSE WEIGHT, GEODETIC NETWORK, COORDINATES, ACCURACY ASSESSMENT

Вопросам уравнивания и оценки точности геодезических сетей из четырехугольников с измеренными сторонами посвящены работы [1,2], в которых разработан алгоритм составления условных уравнений, возникающих в сетях такого ряда и исследуется точность определения координат точек внутри сети, в том числе в наиболее слабом месте, на примере сети из фигур, близких к квадратам. Согласно работе [1] при составлении условных уравнений для сети из четырехугольников рекомендуется алгоритм:

http://ej.kubagro.ru/2014/08/pdf/009.pdf

Научный журнал КубГАУ, №102(08), 2014 года

2

aW as,., у

(эк]

asi., j

(axonj a

aS2i j

(эк]

ax„, a (ax

a s

+

l.i j

4]

ax

П]

VЭ Si.i

a s

x Aj +

(aw ay, ^

(ay, ^ (ax

п.]

+

"Л.]

1.1 j

ax ^

Іл.]

п ]

vЭ Si.i

x В j;

п.]

a s,.i j Va s,.i a s,.i

(ax, ^ (aw aw, ^

x Cj +

(ay

л.]

a s,.i j

ЭУП. ^

x D, ;

п.]

п.]

Va S2.i j

+

л.]

п.]

a s.,

(ay, Wax

v as2.i j

(ax^ ^

as,.i

п.]

a s

2.i j

(ax

ОП.]

sin a

2. j

+

^ ( эк

л.]

Э s2

п.]

x A +

VЭ si.i Э si.i

(aw ay, ^

2.i j

ax >

л.]

п.]

a s.

VЭ s2.i

sin g

j j

Э s

Л (

x C} +

( ay

2.i j

л.]

Э s2.i j

ay,

x bj ;

п.]

VЭ s2.i

Э s

x D ;

2.i j

ОП.]

as

W kJ2.i j

sin a,

as1.i

cos a

2. j

sin g

i.j

V sin r j

(aw,^ (

ОП.]

as

V 2.i j

cos a

j j Л

1.j

V sin gj j

(1),

где: ] - номер четырехугольника;

ХОП], УОП] - координаты определяемой точки в j-том четырехугольнике;

ХП], ХЛ], УП], УЛ] - координаты правой и левой точек в диагонали (по отношению к определяемой) в j-том четырехугольнике;

s1i, s2., - измеренные длины сторон i-го четырехугольника, влияющие на определение координат определяемой точки в j-том четырехугольнике;

А], B], Cj, D] - «передаточные коэффициенты», определяемые по формулам (2).

sin a

V sing

x cos a

f

C.

cos a

sin g

x cos a

B,

D,

sin a

x sin a

V sing

(

cos a

V

sin g

x sin a

(2),

где: a1], a2] - дирекционные углы сторон s1], s2j; Y] - угол засечки в ]-том четырехугольнике.

Так для сети, (рис. 1) из фигур близких к квадратам, возникают 6 условных уравнений вида:

http://e].kubagro.ru/2014/08/pdf/009.pdf

Научный журнал КубГАУ, №102(08), 2014 года

3

4

£

i=1 4

£

i=1

4

£

i=1

V1.1i + fSi.i4

V1.2i + fs1 24

^1.3і + fs134

= 0; = 0; = 0;

£V2.1i + fs

i=1

4

£V2.2i + fs

i=1

£V2.3i + fs

i =1

= 0; = 0; > = 0;

(3),

где: V - поправки к измеренным сторонам;

fs - невязки в длинах сторон, вычисляемые по правилу Sизм - Sвыч = ts.

X

ft

16Й

15иц

14

С?

Si--

•1.1

>1-2.1

Sl-3.1

О

її а

о

.-1.1

1.1

Si--

1.2

1.2

vb'i /

V /Ьі

„ „ \ /

2.1

Sl-2.

1

/ ч

ч ч ч ч

^ S 1-2.2 4

\ ч

\ ьу

>2-3.1

\ /

/

Vі

7 Si-з.:

3.2

3.1

If

52-1.1

=п

2-1.2

Si-'

1.3

1.3

\ Ь'і/

А

SjH!.2 Х 7

^2

ь s

1-2.3

>2-3.2

/

Ьз

/ \

А

Чь

7 s

1-3.3

3.2

>2-4.2

>2-1.3

>1-1.4

>2-2.3

Si-2.4

>2-3.3

р.з

>1-3.4

>2-4.3

=П

6

О

7

о

3

_ _ _ _ 9

13& — ---------------------------G=----------О- -

12(4.1) 11(4.2) 10(4.3) У

Рис. 1. Сеть из четырехугольников с измеренными сторонами

http://ej.kubagro.ru/2014/08/pdf/009.pdf

Научный журнал КубГАУ, №102(08), 2014 года

4

Здесь Sизм - измеренная сторона, а SBbM - вычисленная длина этой стороны.

Например, для стороны S114 будем иметь:

S,.,4 =V( X 1.4 - X1.3 )2 + (YM - 11.3 )2,

где координаты X13 и Y13, полученые путем последовательного решения линейных засечек.

При добавлении к уравнениям (3) выражений весовых функций для координат 4-х точек: 2.2, 1.2, 2.1 и 1.1

FY 2.2 = ^1.21 + V1.22;

FY 1.2 = V1.11 + V1.12?

FY 2.1 = V1.21; (4);

F = V •

JY 1.1 '1.115 J

при решении полученной системы уравнений по способу наименьших квадратов для обратных весов этих точек были получены следующие значения:

FX 2.2 V2.12 V2.2;

F =-V •

FX 2.1 = —V2.11 — V2.21;

F = -V ;

J X1.1 ^ 2.11 ?

1

P

= 1,41;

1

= 1,32;

1

=1,32;

1

=1,22;

p p p

2.2 M.2 ^2.1 M.1

Средние квадратические погрешности определения положения этих точек вычисляют по известным формулам:

1

w = mj—; ЛІP

(5);

Для равноточных измерений m

І

V2

g

(6),

где: V - поправки к измеренным сторонам;

Y - число условных уравнения.

Интерес представляет анализ того, как изменяется точность

http://ej.kubagro.ru/2014/08/pdf/009.pdf

Научный журнал КубГАУ, №102(08), 2014 года

5

определения координат точек сети при добавлении некоторых измеренных диагоналей квадратов. В этом случае каждой измеренной диагонали будет соответствовать условное уравнение. Например, для диагонали b1 будем иметь:

Ь1

Э

°Х 1.2 V Э 51.11

Э

Х2.1

Э

cos ab1 +

Э X 1.2

V Э5 2.11 Э

°Х 1.2

V Э 51.12

Э

51.11 \

ЭГ1.2 V Э 51.11

Э

Y 2.1

Э

sm a

Ь1

Х2.1

Э

Э

51.11 \

cos ab1 +

5 2.11

\

Х2.1

Э

cos ab1 +

Э X 1.2

V Э 5 2.21

Э

51.12 \

sm a

Ь1

X 2.1

Э

cos ab1 +

5 2.21 /

V Э 51.12 ЭY 1.2 _

V Э 52.21

Э

sm a

b1

Э

51.12 \

Y2.1

Э

sm a

b1

5 2.21 У

V1.11 _

V2.11 _

V1.12 _

V2.21 + fb1 = 0

(7),

где: ab1 - дирекционный угол диагонали Ь1;

/Ъ1 - невязка в длине диагонали найденная по формуле:

/ь, = Ъ-V(х,2 -х2л)2 + (yL2 - y2J)2

где: b1 - измеренное значение диагонали.

Дифференцируя (8) по измеренным сторонам влияющих на положение точек 1.2 и 2.1, согласно [1,2] получим:

э/ы =_ JL. J/ъ^ = _ JL. J/ъ^ = _ JL'

Э5К11) V2; Э5К12) V2; Э5201) V2;

Э/ы = JL. = X / = -JL. >

Э52(1.2) V2 Э51(2.1) V2 Э52(2.1) V2 ^

(8),

(9);

После подстановки полученных частных производных (9) в выражение (7), получим:

— V\(i.i) — ^1(1.2) — V2(1.1) + V2(1.2) + V1(2.1) _ V2(2.1) + /Ь1^2 = 0(10);

Для диагонали b2 будем иметь:

/ь 2 = Ъ2 —4( X 2.3 — X„ )2 + (Y23 — YL2 )2 (11);

Дифференцируя (11) по всем измеренным сторонам, влияющих на

http://ej.kubagro.ru/2014/08/pdf/009.pdf

Научный журнал КубГАУ, №102(08), 2014 года

6

положение точек 1.2 и 2.3, получим:

3/Ь2 і і і 1

3S1(1.1) 42 Э^2(1.1) V2 2(1.2) 42

3/Ь2 1 1 1 1 . /

3S2(1.3) — V2; 3S1(2.1) V2'3^2,2, — 0; >

3/Ь2 1 4f Ь 2 — 0 1 1 1

2(2.2) — V2 3S2(2.2) ’ 3S1(2.3) 42 3S 2(2.3) 42 ;J

(12);

После подстановки частых производных (12) в выражение (11),

запишем:

У^2КЬ2 + ^1(1.1)+ ^1(1.2)+ V2(1.2) V2(1.3) V1(2.1) V1(2.2) ^1(2.3) ^2(2.3) + fb2'S^ 0(13);

Аналогичным образом получим условные уравнения для диагоналей b3 и b4. Они будут иметь вид:

''/2Vb3 + ^1

^2КЬ4 — ^1(1.1) + V2(1.1) — V2(1.2) + V2(2.1) — V2(2.2) — ^(3.2) — V2(3.2) + 4ь4^2 = 0 J ’ В результате решения системы условных уравнений (3) совместно с системой условных уравнений для диагоналей (10, 13,14) и добавляя к образовавшейся системе выражения для весовых функций (4) получим обратные веса для точек 1.1, 1.2, 2.1, 2.2:

— = 1,0; — = 1,09; — = 1,09;

P P р

М.1 М.2 ^2.1

P

1 2.2

1,29;

Назовем это решение вариантом №1.

В варианте №2 исследуем вопрос присоединения к условным уравнениям, возникающим при решении сети квадратов с диагоналями b’1, b’2, b’3, b’41 (на рисунке 1 они показаны пунктирными линиями).

Используя ранее приведенный алгоритм, для этих диагоналей

получим следующие условные уравнения:

V»;, + к

W — к

V (

‘ V1(2.1) +

к

1(2.2) V2(2.2) + fb ’\42 0

к (1

-к (

Ь'2 ’1

і + )

^

і + )

V2(2.2) + fb'2'J2 0

42V,3 + V2(1.2) V2(1.3) + ^1(2.1)+ ^1(2.2)+ V2(2.2) V2(2.3) ^1(3.1) ^1(3.2) V2(3.3) + /ьз42 0

V^b, + ^1(1.1) — ^2(1.1) + ^2(1.2) — ^2(2.1) — ^1(2.2) + V2(2.2) + ^1(3.1) — V2(3.1) + Уь'А^2 — 0

(15);

http://ej.kubagro.ru/2014/08/pdf/009.pdf

Научный журнал КубГАУ, №102(08), 2014 года

7

В результате решения по способу наименьших квадратов системы уравнений (3) совместно с системой (15) для обратных весов точек 1.1, 1.2, 2.1, 2.2 получим следующие значения:

у- = 0,96 -у- = 1.23; = 1.23; -1 = 0,98; (16);

МД М.2 P2.1 P2.2

Рассмотрим и вариант №3 объединяющий варианты №1 и №2. Для точки 2.2 получим обратный вес, равный 0,81.

Используя обратные веса, были вычислены средние квадратические погрешности положения исследуемых точек по формуле (5), считая при этом, что ^ для всех вариантов одинаковое.

Результаты рассмотренных вариантов сведены в таблице 1.

№№ Варианты

точек 0 1 2 3

1.1 1.10 1.00 0.98

1.2 1.15 1.04 1.11

2.1 1.15 1.04 1.11

2.2 1.19 1.14 0.99 0.90

Из таблицы видно, что увеличение числа условных уравнений путем добавления измеренных диагоналей приводят к увеличению точности определения положения точек внутри сети. Так при добавлении измеренных диагоналей по варианту №1 точки 1.1, 1.2 и 2.1 по сравнению с нулевым вариантом получили увеличение точности на 10%, а точка 2.2 лишь на 4%. По варианту №2, когда диагонали сходятся в точке 2.2 она получила увеличение точности порядка 18%, тогда как точки 1.2 и 2.1 получили увеличение точности лишь на 4%, а точка 1.1 на 12%. Третий вариант дал для точки 2.2 увеличение точности на 28-30%.

Следовательно, при составлении проектов геодезических сетей из

http://ej.kubagro.ru/2014/08/pdf/009.pdf

Научный журнал КубГАУ, №102(08), 2014 года

8

четырехугольников с измеренными сторонами надо учитывать, где и какие диагонали надо проектировать для получения необходимой и достаточной точности.

Список литературы.

1. Ю.Г. Соколов, А.Т. Гаврюхов К вычислению коэффициентов условных уравнений при уравнивании заполняющих сетей из четырехугольников с измеренными сторонами // Научный журнал Труды КубГАУ, Краснодар, 2008 №15 - 8с.

2. Ю.Г. Соколов, С.С. Струсь, С.К. Пшидаток, Н.Я. Губанова. К вопросу оценки точности геодезических сетей из четырехугольников с измеренными сторонами. Научный журнал «Электронный ресурс - Краснодар», КубГАУ, 2014г., №98(04).

References

1. Ju.G. Sokolov, A.T. Gavrjuhov K vychisleniju kojefficientov uslovnyh uravnenij pri uravnivanii zapolnjajushhih setej iz chetyrehugol'nikov s izmerennymi storonami // Nauchnyj zhurnal Trudy KubGAU, Krasnodar, 2008 №15 - 8s.

2. Ju.G. Sokolov, S.S. Strus', S.K. Pshidatok, N.Ja. Gubanova. K voprosu ocenki tochnosti geodezicheskih setej iz chetyrehugol'nikov s izmerennymi storonami. Nauchnyj zhurnal «Jelektronnyj resurs - Krasnodar», KubGAU, 2014g., №98(04).

http://ej.kubagro.ru/2014/08/pdf/009.pdf