Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007 Математика и механика № 1

УДК 512.541

П.А. Крылов РАДИКАЛЫ КОЛЕЦ ЭНДОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Мы рассматриваем характеризации радикала Джекобсона и ниль-радикала колец эндоморфизмов абелевых групп.

Одной из важных задач теории абелевых групп и их колец эндоморфизмов является исследование радикалов колец эндоморфизмов. Естественно, что в силу исключительно важной роли радикала Джекобсона в структурной теории колец, основное внимание уделялось именно этому радикалу. В своей монографии [1] Р.С. Пирс поставил проблему описания элементов из радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой _р-группы в терминах их действия на группе. Он ввел идеал H(G) всех эндоморфизмов абелевой _р-группы G, повышающих высоты элементов порядка р группы G, который оказался очень полезен при решении указанной проблемы. Изучение радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов р-группы в последующих статьях других авторов, так или иначе, касается связи между идеалом H(G) и радикалом. Эти статьи освещены в обзорах [2, 3]; укажем только некоторые более поздние работы [4 - 7].

По аналогии с примарным случаем, автор определил в [8] идеал H(G) всех эндоморфизмов абелевой группы без кручения G, повышающих р-высоты ее элементов. С помощью этого идеала в [8] охарактеризован радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов группы без кручения конечного ранга, даны критерии его нильпотентности и равенства нулю. В [9] найдены условия совпадения радикала с идеалом H(G) и условия равенства нулю пересечения степеней радикала. В [8, 9] рассматривалось также строение фактор-кольца кольца эндоморфизмов по радикалу. Для групп бесконечного ранга нет оснований надеяться на описание радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов в общем случае. В [10] установлено, что радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов алгебраически компактной группы без кручения G совпадает с H(G). В [9] выделены довольно обширные классы групп без кручения с нильпотентным радикалом Джекобсона кольца эндоморфизмов.

В настоящей статье вычисляется радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов вполне разложимой группы без кручения G (теорема 2.3). Для группы G конечного ранга это сделано в [11].

Помимо периодических групп и групп без кручения третьим основным классом абелевых групп является класс смешанных групп. Согласно определению, смешанная группа содержит как ненулевые элементы конечных порядков, так и элементы бесконечного порядка. Автору неизвестны работы, в которых затрагивались бы радикалы колец эндоморфизмов смешанных групп. В п.3 находится радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов группы из одного класса смешанных групп, интенсивно изучающегося в последние годы (теорема 3.2). Рассматривается также фактор-кольцо кольца эндоморфизмов такой группы по радикалу. В частности, выяснено, когда оно регулярно в смысле Неймана (теорема 3.5).

Все встречающиеся в статье группы - абелевы, р обозначает некоторое простое число. Если G - группа, то E(G) - ее кольцо эндоморфизмов (иногда вместо

£(С) пишем Л). Для гомоморфизма а через аА обозначаем сужение а на подгруппе А. /(К) - радикал Джекобсона кольца К, М(К) - ниль-радикал, т.е. сумма всех ниль-идеалов кольца К. Используем без пояснений ряд известных свойств радикала Джекобсона. Групповые термины, примененные к кольцу, как обычно, относятся к его аддитивной группе.  - знак прямой суммы групп, идеалов или конечного числа колец.

H

1. Вспомогательные результаты

Рангом группы без кручения G называется мощность любой ее максимальной линейно независимой системы элементов. Группа G называется однородной, если все ее ненулевые элементы имеют одинаковый тип [12, § 85]. Пусть n(G) = {p I _pG^G}. Если n(G) - конечное множество, то говорят, что G - почти делимая группа. ^-высоту элемента xeG обозначаем АДх). Базис окрестностей нуля группы G в Z-адической топологии составляют подгруппы nG, neN.

Для группы без кручения G положим

аD = 0, где D - делимая часть группы G; х е G - D, hp (х) < да ^ hp (х) < hp (ах), p е n(G).

Понятно, что H(G) - идеал кольца E(G). Если G - редуцированная группа, то H(G) = {aeE(G)|xeG, АДх)<да ^ АДх) < АД ах), _pen(G)}.

Для удобства чтения и ссылок приведем главные результаты работы [8]. Напомним, что под псевдоцоколем SocG группы без кручения G понимают сервант-ную подгруппу, порожденную семейством всех ее минимальных сервантных вполне характеристических подгрупп.

Предложение 1.1. Пусть G - группа без кручения конечного ранга. Тогда

1. H(G) с J(E(G)) и идеал J(E(G))/H(G) нильпотентен;

2. Радикал J(E(G)) нильпотентен тогда и только тогда, когда G не имеет ненулевых почти делимых квазислагаемых;

3. J(E(G)) = 0 в том и только в том случае, если G = SocG и G не имеет ненулевых почти делимых квазислагаемых.

В общем случае ни один из идеалов J(E(G)) и H(G) не содержится в другом. Рассмотрим некоторые соотношения между этими идеалами.

Предложение 1.2. Пусть G - редуцированная группа без кручения. Включение H(G) с J(E(G)) справедливо тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие (*): для любых aeG и aeH(G) существует lim bn (предел в Z-адической топологии), где bn= a+aa+...+an-1a.

Доказательство. Пусть H(G) с J(E(G)). В таком случае элемент 1 - X обратим в E(G) для любого XeH(G), или, что то же, 1 - X - автоморфизм группы G. Если теперь aeG, aeH(G), то выберем элемент beG так, что (1 - a)b = a. Имеем bn = a + aa +...+ an-1a = (1 - a)b + (a - a2)b +...+(an-1 - an)b = (1 - an)b. Откуда b - bn = anb. Поскольку aeH(G), то

anb e ^ pnG .

реп

Следовательно, b = lim bn и (*) выполняется.

Обратно, пусть (*) выполняется. Достаточно показать, что элемент 1 - X обратим в E(G) для всякого XeH(G). Если 0 Ф ieG, то h^(x) < да для некоторого р. Тогда

АДх) < АДХх) и АД(1 - X)x) = АДх - Xx) = АДх) < да. Отсюда (1 - Х)х Ф 0. Возьмем теперь некоторый элемент aeG и положим b = lim bn, где bn=a + Xa +...+ Xn-1a. Имеем (1 - X)b = (1 - X)(lim bn) = lim (1 - X)bn = lim (bn - Xbn) = lim (a - Xna) = = a - lim Xna = a, так как Xna e ^ pnG и, значит, lim Xna = 0. Таким образом,

pen

(1 - X)b = a. Получили, что 1 - X - автоморфизм группы G, т.е. обратимый элемент кольца E(G). Предложение доказано.

Если G - группа без кручения, aeG, aeE(G), то <ana I n>0> и <ana I n>0>* обозначают соответственно подгруппу и сервантную подгруппу, порожденную элементами a, aa, a2a,... .

Следствие 1.3. Пусть L - односторонний идеал кольца эндоморфизмов редуцированной группы без кручения G, состоящий из эндоморфизмов a, таких, что подгруппа <ana|n>0> имеет конечный ранг для любых aeG и aeL. Тогда H(G)flL с J(E(G)).

Из доказательства предложения 1.2 видно, что достаточно проверить выполнение условия (*) для идеала H(G)HL. Пусть aeG, aeH(G)HL. Положим А = <ana I n>0>*. Группа А имеет конечный ранг и a| А eH(A). По предложению 1. 1 Н(А) с J(E(A)). Ввиду предложения 1.2 условие (*) для идеала Н(А) выполняется, т.е. существует lim bn в группе А, где bn= a + aa +...+ an-1a. Значит, существует lim bn в группе G, что и означает выполнимость условия (*) для H(G)HL. Следствие доказано.

Выделим один класс групп, для которых справедливо включение

J(E(G)) с H(G).

Группа без кручения G называется вполне транзитивной, если для любых ее элементов a,b Ф0, таких, что h^(a) < АДЬ) при всех р, существует 9eE(G), переводящий a в b [13].

Предложение 1.4. Если G - однородная вполне транзитивная группа без кручения, то J(E(G)) с H(G).

Доказательство. Группу G можно считать редуцированной. В таком случае Н (G) = П (G). Радикал равен пересечению всех примитивных идеалов

pen

кольца. Поэтому достаточно доказать, что идеал _pE(G) примитивен, т.е. существует точный простой £^)/р£^)-модуль для каждого _pen(G). Зафиксируем некоторое qen(G) и покажем, что точный Д^)/дД^)-модуль G/qG прост. Для произвольных элементов х, y e G - qG найдем такой эндоморфизм 9eE(G), что фх -y e qG. Ввиду однородности группы G существует целое число k Ф 0, такое, что АДх) < A^(ky) для всех _pen(G). При этом можно считать, что (k, q) = 1. Следовательно, ks + qt = 1, где s, t - целые числа. Далее, поскольку АДх) < A^(ksy), _pen(G), то существует фeE(G) со свойством фх = ksy. Теперь имеем фх - y = ksy - у = -qtyeqG и предложение доказано.

Группа без кручения, являющаяся прямой суммой групп ранга 1, называется вполне разложимой. Группа без кручения G называется сепарабельной, если каждое конечное подмножество элементов из G содержится в некотором вполне разложимом прямом слагаемом группы G (теория групп ранга 1, вполне разложимых и сепарабельных групп изложена в [12, §85 - 87]). Однородная сепарабельная группа вполне транзитивна. Поэтому имеет место

Следствие 1.5. Для однородной сепарабельной группы G всегда

/(ВД) с Я(О).

Введем в рассмотрение еще один идеал кольца эндоморфизмов. Эндоморфизм а группы G назовем поэлементно нильпотентным, если для всякого аеG найдется иеN

Лемма 1.5. #^) с /(Д^)).

Доказательство. Покажем, что каждый идеал Ь кольца Дб) состоящий из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов, содержится в /(Д^)). Для этого проверим, что элемент 1-а обратим в Д^) для любого аеЬ. Допустим, что (1 - а)а = 0, где аеG. Положим А = <апа|п>0>. Тогда аА с А и а|А - нильпо-тентный, а 1-а| А - обратимый элементы кольца ДА). Это влечет а = 0. Пусть теперь ЬеG и В = <апЬ|п>0>. Тогда а|В - нильпотентный, а 1-а|В - обратимый элементы кольца ДВ). Откуда (1-а)с = Ь для какого-то сеВ. Следовательно, 1-а -автоморфизм группы G и обратимый элемент кольца Д^).

Лемма 1.6 [9]. Пусть группа G = АФВ, е: G ^ А - проекция, г: А ^ G - вложение. Тогда 1) если /е/(Д^)), то е/ге/ДА)); 2) если gе/(ДA)), то /е/(Д^)), где / совпадает с g на А и аннулирует В.

2. Случай вполне разложимой группы без кручения

Общий тип всех ненулевых элементов однородной группы без кручения А называется типом группы А и обозначается г(А) (см. начало п.1). В частности, это касается группы А ранга 1. Напомним, что вполне разложимые и сепарабельные группы без кручения определены в п.1.

ГО

Лемма 2.1. Пусть группа без кручения G =  А, где Аi - группа ранга 1

1=1

и г(Аг) < г(Ам), г > 1. Для любого ае/(Д^)) существует такое «еN, что аG с А1^АМ.

Доказательство. Предположим, что для некоторого ае/(Д^)) числа т не существует. Положим п0= 1. Пусть индекс к таков, что аЛ) с А1 ... Ак , причем к - минимальное число с указанным свойством. Ввиду предположения существуют индексы п1 и к2, для которых п1, к2>к1 и аАп с А1 ... Ак , причем к2 -

минимальное число с таким свойством. Продолжая этот процесс, получим последовательность групп Ащ, А, АП1, А^, .... Определим теперь эндоморфизм

феД^), взяв в качестве ф|Ак некоторый ненулевой гомоморфизм Лк, ^ Ап, для

ГО

всех геN и положив фА5= 0 для я Ф кЛ Образуем группу В =  Ак , и пусть

1=1 1

у: В ^ G, е: G ^ В - соответственно вложение и проекция. По лемме 1.6 еаф/е/(ДВ)). Однако элемент 1 - еаф/ необратим в кольце Е(В), чего не может быть. Действительно, для каждого геN ограничение еаф/ на Ак является гомо/+1 I

морфизмом Ак. ^  Ак и (еафф) Ак  Ак . Это означает, что для ненулевого

1 Д=1 “ ' Д=1 “

элемента а е Ак элемент (еаф/)а имеет ненулевую компоненту в Ак ^. Откуда

Ак^ <х. (1 - еаф/)В. Противоречие. Следовательно, число т с требуемым свойством

существует. Лемма доказана.

Для группы без кручения G определим идеал эндоморфизмов конечного ранга, Д(б) = {аеД^) | аG имеет конечный ранг}. По следствию 1.3

Я^ПД^) с /(Д^)).

Следствие 2.2. Пусть G - однородная вполне разложимая группа без кручения. Тогда /(Д^)) = Я^ПД^).

Доказательство. Одно включение, как только что отмечено, верно всегда. Пусть ае/(Д(С)). По следствию 1.5 аеЯ^). Проверим, что аеД^). Допустим, что это неверно. Запишем О =  Д, где Ai - группы ранга 1. Можно выбрать по-

/еУ

парно различные слагаемые А, А ,... так, что аВ с В, где В = СЕ» А, причем

ранг группы аВ бесконечен. Поскольку а|Ве/(Д(В)) (лемма 1.6), то это невозможно на основании леммы 2.1. Следовательно, аеД^), что завершает доказательство.

Пусть G - вполне разложимая группа без кручения, Т - множество типов всех ее прямых слагаемых ранга 1. Для данного типа геТ обозначим через В, сумму всех слагаемых ранга 1 и типа г в некотором фиксированном разложении группы G в прямую сумму групп ранга 1. Можно записать каноническое разложение О =  В,. Слагаемые В, однородны и называются однородными компонентами

tеT

группы G. Обозначим через Д^б) левый идеал кольца Д^), образуемый эндоморфизмами а такими, что аВ, имеет конечный ранг для всех г, причем, если компонента В, не почти делима, то аВ, = 0. Идеал Д^б) удовлетворяет условию, сформулированному в следствии 1.3 для идеала Ь. Следовательно, Я^ПД^) с /(Д^)). Кроме того, N(6) с /(Д^)) согласно лемме 1.5.

Теорема 2.3. Пусть G - вполне разложимая группа без кручения. Тогда /(Д^)) = (Я^ПД^)) + N(6).

Доказательство. Осталось доказать, что левая часть содержится в правой. Запишем каноническое разложение О =  Bt, и пусть е,: G ^В, - проекции. Для

tеT

произвольного эндоморфизма ае/(Д(С)) построим определенные эндоморфизмы р и V группы G так, что а = р + V. Укажем, как р и V действуют на элементах компонент В,. Пусть ЬеВ, и аЬ = 2е5аЬ, где почти все е5аЬ = 0. Полагаем рЬ = е,аЬ, а vb = аЬ - рЬ. Понятно, что р^еД^) и а = р + V. По построению, рВ, с В,, откуда р|В,е/(Д(В,)) в силу леммы 1.6. Значит, р|В,еЯ(В,)ПД(В,) для каждого геТ (следствие 2.2). Отсюда ясно, что реЯ^ПД^б). Ввиду следствия 1.3 ре/(Д(С)). Поэтому также vе/(Д(G)).

Покажем вхождение vеN(G). Достаточно убедиться, что идеал кольца Д^), порожденный V, состоит из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов. Любой элемент в этого идеала равен конечной сумме Еф^уй где фг, угеД(С). Заметим, что Ре/(Д(С)). Кроме того, из ед'Ь = 0, где ЬеВ,, следует е,рЬ = 0. Нужно доказать, что для любого элемента aеG существует nеN со свойством Р"а = 0. Это достаточно проверить для элементов а из всех компонент В,. Предложим, напротив, что для некоторого г нашелся элемент аеВ,, такой, что Р"а Ф 0 при любом п > 1.

Построим ориентированный граф со счетным числом вершин. Вершинами будут служить некоторые прямые слагаемые ранга 1 группы G.

Для каждой компоненты В5 фиксируем какое-то ее разложение в прямую сумму групп ранга 1. Пусть А0 - сервантная подгруппа, порожденная элементом а. Считаем, что А0 является одним из прямых слагаемых в только что фиксированном прямом разложении группы В,. Все другие прямые слагаемые ранга 1, появляющиеся дальше, это также некоторые из прямых слагаемых групп Вх в выбранных прямых разложениях этих групп. Группу А0 примем за одну из вершин графа. Пусть рА0с А1...Ак, где Аь..., Ак - некоторые прямые слагаемые группы G ранга 1, причем подгруппа РА0 имеет ненулевую проекцию на каждое слагаемое А;. Группы Аь..., Ак также считаем вершинами графа. Соединяем А0 стрелкой с каждой вершиной А;, г = 1,., к. Делаем теперь то же самое со всеми группами

Аь-.., Ак. Более точно. Пусть вЛ с ...Л^, где группы ,...,Л^ имеют те же свойства, что и группы Аь..., Ак. Соединяем вершину Ai стрелкой с каждой вершиной Л (г = 1,., к; у = 1,., т;). Некоторые из вершин Аь..., Ак и

Л1(/),..., Л^ , г = 1,., к, могут совпасть. Однако в силу свойств эндоморфизма Р,

если Ле = , то I Ф г. Могут также совпадать некоторые из вершин Л1(/'>,...,Л^ ^

(г =1,...,к) при различных г. Поступаем далее с каждой вершиной Л^ (г = 1,., к;

у = 1,., т;) аналогичным образом. Продолжая бесконечно этот процесс выделения вершин графа, в итоге получим искомый граф.

Из предположений об эндоморфизме Р вытекает следующее обстоятельство. Если Ау и А„ - две вершины графа, соединенные стрелкой, то г(Ау) < г(А„) и группа рАу обладает ненулевой проекцией на слагаемое А„. Из Р"а Ф 0, nеN, следует, что граф имеет бесконечное число вершин. Выделим теперь из графа некоторый подграф Сь С2,... . Положим С1 = А0. Подграф, начинающийся с какой-то из вершин ..., Ак, имеет бесконечное число вершин. Пусть это будет вершина А, (под-

граф, начинающийся с вершины А, , состоит из всех вершин Ау таких, что существует путь из А, в Ау ). Полагаем С2 = А, . Аналогично, существует номер т с тем свойством, что подграф, начинающийся с вершины , имеет бесконечное число вершин. Пусть С3 = Ат. Далее выбираем подобным образом С4, С5,... . По построению графа сумма всех групп С,, г > 1 является прямой. Обозначим её буквой С. Группа С служит прямым слагаемым для группы G. Кроме того, г(С;) < г(С;+1) и подгруппа РС; имеет ненулевую проекцию на слагаемое С;+1, г>1. Если е - проекция группы G на слагаемое С, то по лемме 1.6 ер| Се/(Д(С)). Затем для всякого г справедливо 0 Ф (еР)С;сС;+1. Но существование такого эндоморфизма из радикала /(Д(С)) невозможно по лемме 2.1. Значит, Р действительно есть поэлементно нильпотентный эндоморфизм. Следовательно, vеN(G). Таким образом, а = р + V, где реЯ^ПД^б), а vеN(G). Этим равенство /(Д^)) = (Я(G)ПД1(G)) + N(6) установлено.

Эндоморфизм р из доказательства теоремы на самом деле лежит в произведении идеалов П J(Е(Б()), где /(Д(В,)) = Я(В,)ПД(В,) согласно следствию 2.2.

¿еТ

Следствие 2.4. Для группы G из теоремы верно равенство

J (Е (С)) = П (H(Bt) П Р (В())  N (С) (групповая прямая сумма).

¿еТ

Следствие 2.5. Радикал кольца эндоморфизмов вполне разложимой группы G поэлементно нильпотентен тогда и только тогда, когда G не имеет почти делимых прямых слагаемых ранга 1.

Доказательство. Допустим, что радикал /(Д^)) поэлементно нильпотентен, но группа G обладает разложением G = АЯ, в котором А - почти делимая группа ранга 1. В силу предложения 1.1 и леммы 1.6 эндоморфизм а, действующий как умножение на число р>1..._рк на слагаемом А и аннулирующий Н, принадлежит /(Д^)), где {ръ..., р} = п(А). Такой а не является поэлементно нильпотентным эндоморфизмом.

Обратно. Пусть группа G не имеет почти делимых прямых слагаемых ранга 1. Представим эндоморфизм ае/Д^) как в теореме 2.3: а = р + V. Из доказательства теоремы видно, что V является поэлементно нильпотентным эндоморфизмом. Затем р | В, еЯ(В,)ПД(В,) для каждого геГ. Но Я(В,) = 0, так как В, не почти делимая группа. Таким образом, р = 0, а = V и а - поэлементно нильпотентный эндоморфизм.

Будем говорить, что множество Т типов всех прямых слагаемых ранга 1 сепарабельной (в частности, вполне разложимой) группы без кручения G удовлетворяет условию т-максимальности, где т - фиксированное натуральное число, если длина каждой возрастающей цепи элементов из Т не превосходит т, причем т -минимальное число с таким свойством.

Следствие 2.6. Пусть G - вполне разложимая группа и множество Т удовлетворяет условию т-максимальности. Тогда /(Д^)) = (Я^ПД^)) + ДД^)), причем ДД^))“ = 0, т.е. ДДб)) - нильпотентный идеал.

Доказательство. Сохраняем все обозначения теоремы 2.3. Возьмем некоторый идеал Ь кольца Д(С), состоящий из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов, и пусть vеЬ. Можно убедиться, что для любых я, геГ (я Ф г) и аеВг справедливо г(а) < г(е^а) (здесь г(х) обозначает тип элемента xеG). Учитывая условие т-максимальности, получаем Vм = 0. Следовательно, vm(a) = 0 для любого aеG, т.е. Vм = 0. Значит, Ь с ДД^)), Л^) = ^Дб)) и искомое равенство идеалов имеет место. Понятно также, что если v1,...,vmеN(Д(G)), то v1...vm= 0. Это означает ДД^))^ 0.

В [9] показано, что ниль-радикал ДД^)) для сепарабельной группы G ниль-потентен тогда и только тогда, когда Т удовлетворяет условию т-максимальности для некоторого те^ Это же равносильно нильпотентности идеала N(G).

Следствие 2.7 [11]. Если вполне разложимая группа G имеет конечный ранг, то /¡Дб)) = Я(б) + ДД^)).

3. Случай смешанной группы

Если G - группа, то G^, обозначает её ^-компоненту, т.е. наибольшую подгруппу в G, являющуюся _р-группой. Далее, ТТ^) - периодическая часть группы G -совокупность всех её элементов конечного порядка, Т(О) =  Ор.

р

В последнее время стали детально исследоваться смешанные группы, лежащие между суммой и произведением своих _р-компонент (например [14 - 20]). Дадим точное определение таких групп.

sp-группой называется редуцированная смешанная группа G с бесконечным числом ненулевых ^-компонент, такая, что естественное вложение  Gр ^ G

р

продолжается до сервантного вложения G ^ П Gp (здесь и далее подразумева-

р

ется, что р пробегает множество всех простых чисел р с G^ 0). Таким образом, для sp-группы G можно считать, что  Gp с G ç ^ Gp , причем G сервантна в

рр

П Gp (это равносильно делимости фактор-группы G/T(G)).

р

Пусть G - sp-группа. Фиксируем обозначения: V = G/T(G), R = E(G), R^ = E(G^), Rt = Hom(G, T(G)), S = R/Rt. Для каждого р имеем G = G^Bp где В^ - дополнительное слагаемое (оно определяется однозначно), _рВ^ = В^ и E(G) = E(G^)E(B^). Затем, V - Q-пространство, а S - Q-алгебра. Если фактор-группа G/T(G) имеет конечный ранг, то V и S конечномерны.

Наибольшее внимание привлекли самомалые sp-группы G, такие, что ранг фактор-группы G/T(G) конечен. Группа G называется самомалой, если образ вся-

ГО

кого гомоморфизма G ^  Gi (G; = G, z>1) содержится в сумме конечного числа

i=1

слагаемых G;. Различные свойства самомалых групп приведены в [21].

Лемма 3.1 [14, 15]. Если G - самомалая sp-группа с фактор-группой G/T(G) конечного ранга, то Rt =  Rp и каждая ^-компонента G^ - конечная ^-группа.

р

Напомним определение идеала Пирса H(G). Именно, если G - ^-группа, то H(G)={aeE(G) I h(x)<œ ^ h(x)<h(ax) для всякого элемента х порядка р (h(x) -высота элемента х в G). Всегда J(E(G)) ç H(G) [1].

Введем для sp-группы аналог идеала H(G) для ^-группы или группы без кручения G.

Если G - sp-группа, то положим H(G) = {aeE(G) I a I G^eH(G^) для каждого_p}, где H(G^) - идеал Пирса для ^-группы Gp Поскольку E(G) = E(G^)E(B^) и J(E(Gp)) ç H(G^), то J(E(G)) ç H(G). Заметим, что если G - самомалая sp-группа с фактор-группой G/T(G) конечного ранга, то G^ - конечная группа (лемма 3.1) и JE(Gp)) = H(Gp) [1].

Теорема 3.2. Если G - самомалая sp-группа, такая, что фактор-группа G/T(G) имеет конечный ранг, то J(E(G)) = N(E(G)) = H(G).

Доказательство. Пусть ae J(R) (используем с этого места краткие обозначения, фиксированные выше). Тогда a + RteJ(S). Поскольку S - конечномерная Q-алгебра, то a eRt для некоторого keN. По лемме 3.1 Rt = Rp. Поэтому можно

р

записать G = BC, где В - прямая сумма конечного числа некоторых _р-компонент Gp, С - дополнительное слагаемое. Причем, akC = 0, а (a I B)ke J(E(B)). Учитывая конечность кольца Е(В), получаем akm = 0, где meN, и a - нильпотентный элемент. Следовательно, J(E(G)) = N(E(G)).

Как замечено недавно, J(E(G)) ç H(G). Чтобы доказать обратное включение, возьмем некоторый aeH(G). Для каждогор имеем a^eH(G^) = JR), где a^ - ограничение a на Gp Откуда 1-a^ - обратимый элемент кольца E(G^) и автоморфизм группы Gp. В таком случае 1 -a - мономорфизм группы G и левый неделитель нуля

в Д^). Обозначим его р. Допустим, что Р8 = 0 для какого-то 8еЛ (черта обозначает смежный класс относительно Л,). Значит, р8еЛ,. Запишем G = ВС, где В -сумма конечного числа _р-компонент Gp С - дополнительное слагаемое и Р8С = 0. Можно выбрать 8 так, что 8В = 0. Тогда Р8 = 0, откуда 8 = 0 и 5 = 0 . Следовательно, 1 -а - левый неделитель нуля в 5 и таким образом - обратимый элемент ввиду конечномерности 5. Существует уеЛ со свойством (1 -а) у = у (1 -а) = 1 в

кольце 5. Можно так подобрать разложение G = В С ( В - сумма конечного числа некоторых _р-компонент G^ ), что (1-а)у = у(1-а) = 1 на дополнительном слагаемом С. Тогда сужение (1—а) | С является автоморфизмом группы С. Поскольку 1-а^ -автоморфизм группы G^ для любого р, то понятно, что 1-а - автоморфизм группы G и обратимый элемент кольца Д^). Так как Я^) - идеал в Д^), то Я^) с /(Д(G)), что дает и равенство этих идеалов. Теорема доказана.

Пусть А - конечная р-группа. Наименьшее натуральное число т со свойством рмА = 0 называется экспонентой группы А. Обозначение: е(А). В [5] доказано, что индекс нильпотентности (в [5] он называется длиной Леви) идеала /(Д(А)) не превосходит 2е(А)-1. Опираясь на это, из доказательства теоремы можно вывести такой результат.

Следствие 3.3. Радикал /(Д^)) для группы G из теоремы 3.2 нильпотентен тогда и только тогда, когда множество экспонент всех групп G^ имеет точную верхнюю грань.

Получим некоторую информацию о фактор-кольце Д^У/Д^)). Прежде определим два класса колец, связанных с яр-группами.

Как известно, группа, равная прямой сумме циклических групп простых порядков, называется элементарной. яр-группа G называется элементарной яр-группой, если её периодическая часть - элементарная группа [20]. Пусть К - некоторое кольцо. Кольцо К назовем (элементарным) яр-кольцом, если его аддитивная группа является (элементарной) яр-группой (это несколько уже понятия яр-кольца, введенного в [18]). Если К - яр-кольцо, то имеют место сервантные вложения  Кр с К с ^Кр , где Кр -_р-кольцо (т.е. его аддитивная группа является рр

^-группой). Кольцо Д^) для яр-группы G, у которой порядки всех элементов каждой ^-компоненты G^ ограничены в совокупности, будет яр-кольцом. Если К -редуцированное регулярное кольцо, то К - элементарное яр-кольцо [12, теорема 124.1].

Лемма 3.4. Редуцированное кольцо К является регулярным тогда и только тогда, когда К - элементарное яр-кольцо, фактор-кольцо К/Т(К) и кольца К для всех р регулярны.

Доказательство. Необходимость. Как указано перед леммой, К - элементарное яр-кольцо. Осталось заметить, что фактор-кольцо регулярного кольца всегда регулярно.

Достаточность. Пусть хеК. Найдутся элементы аеК и сеТ(К), такие, что хах = х + с. Пусть К = ЬМ, где М - сумма конечного числа некоторых _р-компо-нент Кр, причем сеМ, Ь - дополнительное слагаемое. Запишем х = х1 + х2, а = а1 + а2, где х1,а1 еЬ, х2, а2еМ. Тогда х1а1х1 = х1 (учесть, что ЬМ = МЬ = 0). Ввиду условия, М - регулярное кольцо, поэтому х2Ьх2 = х2 для какого-то ЬеМ. Теперь легко получить х(а1 + Ь)х = х, что означает регулярность кольца Л и завершает доказательство.

Обозначим через / такой идеал кольца Д^), где G - некоторая яр-группа, что Л, с / и //Л, = /(Л/Л,) = /(5). Понятно, что /(Л) с / и, следовательно, /(Л) + Л, с /.

Теорема 3.5. Пусть G - самомалая яр-группа, такая, что фактор-группа G/7’(G) имеет конечный ранг. Тогда Д^У/Д^)) - элементарное яр-кольцо; оно регулярно в том и только в том случае, если /(Л) + Л, = /.

Доказательство. Для всякого р имеем Л = Л^Кр, где Л^ - конечное _р-кольцо и _рК^ = Кр Следовательно, /(Л) = /(Л^)/(Кр) и Л//(Л) = Л^//(Л^)Кр//(Кр), причем р(Кр//(Кр)) = Кр//(Кр). Из леммы 1.1 статьи [19] вытекает, что Л//(Л) - яр-кольцо. Поскольку рЛ^ с Я(А^) = /(Л^) [1], то ЛД/(Л^) - элементарное _р-кольцо. Следовательно, Л//(Л) - элементарное яр-кольцо.

Прежде чем перейти к вопросу о регулярности, установим равенство Т(Л//(Л)) = (/(Л) + Л,)//(Л). Из Л, =  Лр (лемма 3.1) заключаем, что правая часть

р

рассматриваемого равенства лежит в левой. Пусть теперь «ае/(Л), где аеЛ, ше^ Существует разложение G = ВС, в котором В - прямая сумма конечного числа некоторых _р-компонент Gу С - дополнительное слагаемое, причем «С = С. Для колец эндоморфизмов получаем Д^) = Д(В)Д(С). Если а = в + у - представление относительно этого разложения, то 8 = шуе/(Д(С)). Ввиду «С = С имеется эндоморфизм 1/«еД(С). Отсюда у = (1/«)8е/(Д(С)) с /(Л). Итак, а = у + ве/(Л) + Л, и указанное равенство справедливо.

Все кольца Л^ конечны, поэтому кольца Лу/Лр) регулярны. На основании первой части доказательства и леммы 3.4, регулярность кольца Л//(Л) эквивалентна регулярности кольца (Л//(Л))/Т(Л//(Л)). Последнее кольцо, учитывая полученное раньше равенство, изоморфно кольцу Л/(/(Л) + Л,). Это кольцо является конечномерной 2-алгеброй, поэтому его регулярность равносильна его полупростоте. Радикал кольца Л/(/(Л) + Л,) равен //(/(Л) + Л,), и его полупростота равносильна выполнению равенства /(Л) + Л, = /. Теорема доказана.

Полупростота кольца Е(А), где А - ^-группа, равносильна элементарности группы А. Отсюда выводится, что полупростота кольца Д^), где G - яр-группа, равносильна тому, что G - элементарная яр-группа. В [14] (см. также [16]) доказано, что если G - самомалая яр-группа с фактор-группой G/7’(G) конечного ранга, то кольцо Д^) регулярно тогда и только тогда, когда G - элементарная яр-группа и 5 - полупростая алгебра. Теорему 3.5 можно считать обобщением этого результата.

Предложение 3.6. Пусть G - самомалая яр-группа такая, что фактор-группа G/Г(G) имеет конечный ранг. Равенство /(Л) + Л, = / имеет место в каждом из следующих случаев:

1) 5 - полупростая алгебра;

2) G - моногенная яр-группа.

Доказательство. В 1) / = Л, , и поэтому /(Л) + Л, = /. Заметим, что здесь 3(Л) =  3(Лр). 2) Моногенность группы G означает, что каждая _р-компонента

р

G^ - циклическая группа [18]. Кольцо Л для такой группы коммутативно. Следовательно, радикал /(Л) совпадает с множеством всех нильпотентных элементов кольца Л. Если ае/, то а еЛ, при некотором к. Пусть G = ВС, где В - сумма конечного числа ^-компонент Gу С - дополнительное слагаемое и акеД(В). Запишем а = в + у, где веЕ(В), уеЕ(С). Тогда ук = 0 и уе/(Л). Значит, а = у + ве/(Л) + Л, и / = /(Л) + Л,.

ЛИТЕРАТУРА

1. Pierce R.S. Homomorphisms of primary abelian groups // Topics in Abelian groups. Chicago, 1963. Р. 215 - 310.

2. Михалев А.В. Кольца эндоморфизмов модулей и структуры подмодулей // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. 1974. № 12. С. 51 - 76.

3. Марков В.Т., Михалев А.В., Скорняков Л.А., Туганбаев А.А. Кольца эндоморфизмов модулей и структуры подмодулей // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. 1983. № 21. С. 183 - 254.

4. Dugas M. On the Jacobson radical of some endomorphism rings // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V. 102. No. 4. P. 823 - 826.

5. Praeger C.E., Schultz P. The Loewy length of the Jacobson radical of a bounded endomorphism ring // Contem. Math. 1992. V. 130. P. 349 - 360.

6. Hausen J., Praeger C.E., Schultz P. Most abelian p-groups are determined by the Jacobson radical of their endomorphism rings // Math. Z. 1994. V. 216. No. 3. P. 431 - 436.

7. Hausen J., Johnson J.A. Determining abelian p-groups by the Jacobson radical of their endomorphism rings // J. Algebra. 1995. V. 174. No. 1. P. 217 - 224.

8. Крылов П.А. Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Матем. сб. 1974. Т. 95. № 2. С. 214 - 228.

9. Крылов П.А. Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы без кручения // Абелевы группы и модули. 1994. № 11, 12. С. 99 - 120.

10. Крылов П.А. Суммы автоморфизмов абелевых групп и радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов // Изв. вузов. Математика. 1976. № 4. С. 56 - 66.

11. Mader A., Schultz P. Endomorphism rings and automorphism groups of almost completely decomposable groups // Comm. Algebra. 2000. V. 28. No. 1. P. 51 - 68.

12. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М.: Мир, 1977.

13. Крылов П.А. Вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. № 5. С. 549 - 560.

14. Glaz S., Wickless W. Regular and principal projective endomorphism rings of mixed abelian groups // Comm. Algebra. 1994. V. 22. P. 1161 - 1176.

15. Albrecht U.F., Goeters H.P., Wickless W. The flat dimension of mixed abelian groups as E-modules // Rocky Mountain J. Math. 1995. V. 25. P. 569 - 590.

16. Albrecht U. Mixed abelian groups with artinian quasi-endomorphism ring // Comm. Algebra. 1997. V. 25. P. 3497 - 3511.

17. Fomin A., Wickless W. Self-small mixed abelian groups G with G/T(G) finite rank divisible // Comm. Algebra. 1998. V. 26. P. 3563 - 3580.

18. Крылов ПЛ. Смешанные абелевы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов // Фунд. и прикл. математика. 2000. Т. 6. № 3. С. 793 - 812.

19. Крылов П.А., Пахомова Е.Г., Подберезина Е.И. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 29 - 34.

20. Крылов П.А., Пахомова Е.Г. Абелевы группы и регулярные модули // Матем. заметки. 2001. Т. 69. № 3. С. 402 - 411.

21. Arnold D.M., Murley C.E. Abelian groups A, such that Hom(A,-) preserves direct sums of copies of A // Pacific J. Math. 1975. V. 56. No. 1. P. 7 - 20.

Принята в печать 30.11.07.