Исследование влияния релятивистского фактора электронного потока на условия формирования и нелинейную динамику виртуального катода

УДК 533.9

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ФАКТОРА ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА НА УСЛОВИЯ ФОРМИРОВАНИЯ И НЕЛИНЕЙНУЮ ДИНАМИКУ ВИРТУАЛЬНОГО КАТОДА

© С.А. Куркин, А.А. Короновский, А.Е. Храмов

Ключевые слова: виртуальный катод; релятивистский электронный поток; нелинейная динамика; виркатор; СВЧ генератор; численное моделирование.

В рамках двумерной численной полностью электромагнитной модели проведено детальное исследование влияния релятивистского фактора инжектируемого пучка на условия формирования и нелинейную динамику виртуального катода в системе, а также на характеристики выходного излучения приборов виркаторного типа. С различных позиций введены параметры надкритичности для электронного потока, определяющие условия формирования виртуального катода в системе. Обнаружено сильное влияние релятивистского фактора инжектируемого пучка на надкритичность электронного потока, а следовательно, на условия формирования и нелинейную динамику виртуального катода. Проанализированы физические процессы, приводящие к наблюдающемуся поведению релятивистского электронного потока с виртуальным катодом.

Исследование пучково-плазменных систем с виртуальным катодом (ВК) является в настоящее время актуальной задачей электроники сверхвысоких частот (СВЧ) и физики плазмы. Во-первых, это обусловлено фундаментальной значимостью подобных исследований, т. к. пучково-плазменные системы с ВК являются характерными распределенными активными электронно-волновыми системами, которые могут демонстрировать различные нелинейные эффекты (образование и взаимодействие электронных структур, хаотическую генерацию, электронную турбулентность и др.) [1-3].

С другой стороны, устройства, основанные на использовании электронного потока с ВК (виркаторы), являются перспективными источниками мощного широкополосного СВЧ-излучения и могут использоваться в различных практических приложениях [2, 4-6]. Данные приборы характеризуются высоким уровнем мощности генерации СВЧ-излучения, простотой конструкции, возможностью работы без магнитных полей, легкостью перестройки частоты и режима генерации. Принцип работы виркаторов основан на формировании в электронном потоке с током, превышающим предельный вакуумный (критический) ток, виртуального катода (ВК), отражающего часть электронов обратно к плоскости инжекции [2]. Динамика виртуального катода в электронном потоке характеризуется сложными пространственно-временными колебаниями, что часто приводит к генерации широкополосного СВЧ-излу-чения в виркаторных системах.

Большое влияние на формирование и динамику ВК, а следовательно, на характеристики генерации вирка-торов оказывают различные факторы и параметры потока и системы в целом вследствие высокой чувствительности ВК к внешним воздействиям и условиям [2, 7-10]. В частности, в работах [7-9] было обнаружено значительное влияние внешнего фокусирующего магнитного поля на условия формирования ВК и характе-

ристики генерации слаборелятивистского виркатора. В работе [10] было показано, что динамика ВК в низковольтной виркаторной системе, а также характеристики СВЧ-излучения прибора в значительной степени определяются параметрами начального шумового разброса инжектируемых в систему электронов. Однако до сих пор не было проведено систематических исследований условий формирования и нелинейной динамики ВК в релятивистских и ультрарелятивистских электронных потоках во внешнем магнитном поле. Особенно важной в данном направлении является задача исследования влияния релятивистского фактора электронного потока с ВК на процессы, происходящие в вирка-торной системе. Данная работа посвящена изучению влияния релятивистского фактора инжектируемого пучка на нелинейную динамику виртуального катода в системе, а также на характеристики выходного излучения приборов виркаторного типа.

В качестве исследуемой модели была рассмотрена классическая модель для изучения динамики систем с ВК [11]. Пространство дрейфа пучка представляет собой замкнутый отрезок цилиндрического волновода длиной Ь и радиусом Я, закрытый с торцов электродами. Аксиально-симметричный моноскоростной на входе трубчатый электронный пучок со скоростью у0 ,

током I, средним радиусом Яь = 0,5Я и толщиной d инжектируется в пространство взаимодействия. Электроны могут покидать пространство взаимодействия через выходную (оседать на коллекторе) и входную (отражаться от ВК) сетки, а также оседать на боковой стенке.

Вдоль оси пространства дрейфа, в котором формируется ВК, прикладывается создаваемое соленоидом внешнее однородное фокусирующее магнитное поле с индукцией Вг = В0 . Предполагается, что источник электронов (электронная пушка) располагается в оди-

наковом с пространством дрейфа внешнем магнитном поле соленоида.

Численное моделирование нестационарных процессов в релятивистском пучке заряженных частиц при инжекции его в пространство дрейфа проводилось методом крупных частиц. Рассматривалась нестационарная двумерная модель динамики электронного потока в пространстве взаимодействия, которая основа на решении самосогласованной системы уравнений движения заряженных частиц для моделирования динамики электронного пучка и уравнений Максвелла для нахождения в системе полного самосогласованного электромагнитного поля [12]. В цилиндрических координатах в безразмерных величинах (выражение безразмерных величин через размерные можно найти в работах [7-9], где использовалась аналогичная модель) уравнение движения для каждой частицы, записанное через компоненты ее импульса в векторном виде, имеет следующий вид:

Ег (х, г = 0) = 0, Ие (х, г = 0) = 0,

и отражают предположение об идеально проводящих стенках дрейфовой камеры электронного потока.

Система уравнений Максвелла решалась численно с использованием метода сеток. Для вычисления компонент плотности тока в узлах сеток, входящих в систему уравнений Максвелла (3), использовалась снижающая сеточный шум процедура билинейного взвешивания плотности тока на пространственных сетках [12].

Основные параметры системы задавались в соответствии с параметрами существующих экспериментальных макетов релятивистских виркаторов [13-15]: длина пространства взаимодействия Ь = 45 мм; радиус пространства взаимодействия Я = 10 мм; средний радиус инжектируемого трубчатого пучка Яь = 5 мм; толщина инжектируемого трубчатого пучка 3 = 1,5 мм.

С использованием разработанной двумерной численной модели исследуем влияние релятивистского

ёР_

Ж

= Е +

где Е - вектор напряженности электрического поля, а В - вектор индукции магнитного поля в точке нахождения частицы, у = 1 + Р2 /да0с2 - релятивистский фактор частицы (т0 - масса покоя электрона). Заметим, что нормировка скоростей в уравнениях модели в релятивистском случае осуществляется на скорость света е. Начальные условия для уравнений движения принимают следующий вид:

= 0.

Для нахождения электромагнитного поля в системе, возбуждаемого пучком, численно решалась система уравнений Максвелла. Полная нестационарная система уравнений Максвелла с учетом аксиальной симметрии прибора вырождается в систему для ТМ-волн. В цилиндрической системе координат она имеет вид:

фактора инжектируемого пучка Р0 =— ( у0 - нас

чальная скорость инжектируемого электронного потока, определяемая ускоряющим напряжением, с - скорость света) на критический (предельный вакуумный) ток электронного потока, при котором в системе образуется нестационарный виртуальный катод, или, другими словами, на стартовые условия генераторов на виртуальном катоде. Для этого на рис. 1 приведены аналитическая (см. выражение (5)) и полученная численная зависимости критического тока электронного потока 1с от релятивистского фактора пучка Р0 . Отметим, что соответствующая аналитическая зависимость рассчитывалась по следующему хорошо известному соотношению [2, 11, 15], которое получено в предположении одномерного движения электронного потока в ограниченном полубесконечном пространстве дрейфа (для случая сильно замагниченного электронного потока):

тс3

^0-

дИ,

е _

ді

дЕг дЕх

дх

дЕх _ 1 дгИе

ді г дг

дг " Л!

дЕг

ді

дИе

дх

' Л

где Ех и Ег - продольная и радиальная компоненты напряженности электрического поля, Ие - азимутальная компонента напряженности магнитного поля в системе, а и Лг - продольная и радиальная компоненты плотности тока соответственно. Граничные условия для системы уравнений Максвелла (3) имеют стандартный вид:

Е2 (2, г = Я) = 0, Ег (2 = 0, г) = 0, Ег (2 = Ь, г) = 0,

где Ї0:

л/1-Р

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

> к А

о/

Ро

0.1

0.2 0.3

0.4 0.5

0.6

Рис. 1. Аналитическая (сплошная линия, см. выражение (5)) и полученная при численном моделировании (точки) зависимости критического тока сильно замагниченного трубчатого электронного потока (В = 2,5 кГс) от релятивистского фактора пучка

У

1

с

0

у

0

Из рис. 1 видно, что результаты численного моделирования хорошо согласуются с аналитическим рассмотрением, и обе зависимости демонстрируют аналогичное поведение: с ростом релятивистского фактора инжектируемого электронного потока во величина критического тока рассматриваемой системы монотонно увеличивается. Физическое объяснение данного результата следующее. С ростом во увеличивается энергия инжектируемого пучка. Формирование ВК в системе связано с развитием пирсовской неустойчивости в потоке, т. е. с образованием в нем за счет сил пространственного заряда потенциального барьера, достаточного для отражения от него инжектируемых электронов. Однако с ростом энергии пучка, т. е. с ростом во , торможение и отражение от барьера электронов с возросшей энергией затрудняется. С точки зрения формирования ВК это приводит к необходимости увеличения высоты потенциального барьера и, следовательно, к росту критического тока пучка, что демонстрирует рис. 1.

Опираясь на полученный результат, можно сделать вывод, что при фиксированном токе пучка I превышение данным током критического значения 15С{ для заданной геометрии будет зависеть от релятивистского фактора пучка во , уменьшаясь с его ростом. Таким

образом, для дальнейшего анализа динамики электронного потока с виртуальным катодом с изменением релятивистского фактора пучка удобно ввести т. н. параметр надкритичности потока. Динамика системы при сравнении поведения потока при различных значениях релятивистских факторов, в первую очередь, будет зависеть не от абсолютной величины тока пучка, а от превышения данным током критического значения, т. е. от параметра надкритичности. Вследствие того, что параметр надкритичности является функцией от во , динамика пучка также будет зависеть от релятивистского фактора во (ускоряющего напряжения).

Существуют два различных способа определения надкритичности в данном случае. Первый способ заключается в нахождении величины А! (во) = = I - 1е1 (во ) , которая определяет превышение током пучка критического значения при заданном во . Будем называть данную величину А!(во) надкритичностью по току. Хотя данный способ определения надкритичности является физически понятным и удобным, использование его при анализе динамики виртуального катода в системе с изменением релятивистского фактора недостаточно эффективно. Это обусловлено тем, что характеристики и нелинейная динамика ВК определяются не величиной тока пучка, а плотностью пространственного заряда потока в области ВК. Поэтому и над-критичность для рассматриваемой системы необходимо определять не по превышению током пучка критического значения, а по превышению плотностью пространственного заряда инжектируемого пучка критического значения. Следует также отметить, что ток инжектируемого потока является интегральной характеристикой, определяющейся как плотностью простран-

ственного заряда, так и ускоряющим напряжением и площадью поперечного сечения. Рассмотрим и учтем эти моменты, получив аналитическое выражение для надкритичности по плотности пространственного заряда пучка Ар(во) = р-рЗС1 (во). Известно, что плотность пространственного заряда выражается через ток электронного потока I следующим образом:

Р =

I

ср0 • 5

где 5 - площадь поперечного сечения пучка. Рассчитанный график зависимости РФ0) приведен на рис. 2 (кривая 1).

Учитывая соотношения (6), критическое значение плотности пространственного заряда инжектируемого пучка в зависимости от Р0 будет определяться следующим образом:

Р*сі (Рс) =

ср0 • 5

Подставив выражение (5) для Ісі (Р0) в (7), нахо

дим:

1 3 /Л Г. 2 ч-1/3 1Ч3/2

Р.«Л)

ср0 • 5 е

1п

Определяемая соотношением (8) зависимость критической плотности пространственного заряда инжектируемого пучка от во приведена на рис. 2 (кривая 2). Из его анализа следует, что с ростом релятивистского фактора электронного потока критическая плотность р 5С1 монотонно увеличивается. В то же самое время плотность пространственного заряда инжектируемого пучка при фиксированном токе уменьшается с увеличением во (см. рис. 2).

Рис. 2. Зависимости плотности пространственного заряда инжектируемого электронного потока при заданном токе I = = 2о кА (кривая 1) и критической плотности потока (кривая 2) от релятивистского фактора пучка

Рис. 3. Зависимость характерного значения релятивистского фактора пучка в* от тока I

Пересечение зависимостей р^ (в0) и р(в0) на рис. 2 определяет характерное значение релятивистского фактора в . При в0 < в плотность пространственного заряда инжектируемого потока превышает критическое значение (р(в0) >рс (в0)), и в системе формируется нестационарный ВК. Назовем данную область значений релятивистского фактора (в0 < в ) зоной «сверхкритического» состояния электронного потока (обозначена штриховкой на рис. 2). Напротив,

при в 0 > в для заданного фиксированного тока пучка система находится в докритическом режиме. Заметим также, что с ростом в0 в зоне сверхкритического состояния надкритичность электронного потока по плотности пространственного заряда пучка (Лр(в0 ) = Р - Р5сі (в0 ) ) при фиксированном значении тока уменьшается (рис. 2).

Важной характеристикой системы при проводимом анализе является также зависимость характерного значения релятивистского фактора в от тока пучка

(в (I) ). Приравняв правые части соотношений (6) и (8) и численно решив получившееся трансцендентное

уравнение, получаем зависимость в (I) , которая показана на рис. 3 для тех же параметров, что и данные, представленные на рис. 1 и 2. Анализ рис. 3 показывает, что с ростом тока пучка ширина зоны сверхкрити-ческого состояния электронного потока, правая граница которой определяется значением в , монотонно увеличивается, асимптотически стремясь к постоянному значению на уровне в = 1, т. е. при увеличении энергии пучка и при переходе к ультрарелятивистским электронным потокам.

С использованием разработанной модели релятивистского электронного потока с ВК и результатов проведенного выше анализа исследуем влияние релятивистского фактора пучка на нелинейную динамику системы. Для этого на рис. 4 приведены полученные при численном моделировании амплитудные спектры колебаний электрического поля в области виртуального катода при двух различных значениях релятивистского фактора пучка.

Из анализа рис. 4а, полученного для электронного потока с релятивистским фактором в0 = 0,97 , что

соответствует значению надкритичности Лр(в0) =

= 7,3 -10 5 Кл/м3, следует, что в системе при данных управляющих параметрах формируется нестационарный виртуальный катод, который возбуждает основную гармонику колебаний электромагнитного поля на частоте порядка 20 ГГц, соответствующей частоте собственных колебаний ВК в электронном потоке. Данное значение также близко к величине, равной двум плазменным частотам инжектируемого релятивистского электронного потока, что согласуется с известными теоретическими оценками [16]. Следует отметить, что вблизи с основной частотой в спектре колебаний наблюдаются два модуляционных сателлита достаточно большой амплитуды, а также небольшая гармоника на частоте около 15 ГГц. Таким образом, динамика виртуального катода в системе в данном случае является достаточно сложной, и колебания в рассматриваемой пучково-плазменной системе при данном параметре надкритичности являются слабохаотическими.

Е-,

12

*106

б

| . |-  ( .. . !.(**( І -

0

10

20

30

I ГГц

Рис. 4. Амплитудные спектры колебаний электрического поля в области виртуального катода в случае релятивистского фактора пучка в0 = 0,97

Рассмотрим спектр колебаний электрического поля в исследуемой системе в случае большего значения релятивистского фактора пучка Р0 = 0,98, что соответствует параметру надкритичности Др(Р0) =

= 3,6 -10-5 Кл/м3, и при том же токе пучка. Структура спектра для данного случая, показанная на рис. 4б, упрощается по сравнению со случаем меньшего значения Р0 (ср. с рис. 4а). Анализируя данный спектр, следует отметить, что остается только одна спектральная гармоника на той же частоте около 20 ГГц, причем ее амплитуда уменьшается приблизительно в три раза. Амплитуда модуляционных сателлитов также резко уменьшается, по сравнению с предыдущим случаем. Таким образом, динамика ВК в системе с увеличением релятивистского фактора пучка упрощается и становится близкой к периодической, а мощность генерируемого излучения в приборе уменьшается.

Данный результат объясняется с точки зрения анализа изменения параметра надкритичности Др(Р0) системы с электронным потоком с увеличением релятивистского фактора Р0 . Действительно, с увеличением релятивистского фактора Р0 пучка при фиксированном токе потока надкритичность в системе уменьшается (рис. 3). Очевидно, с одной стороны, это приводит к падению выходной мощности генерации в системе благодаря уменьшению плотности пространственного заряда формирующегося электронного сгустка в области ВК. С другой стороны, известно, что с ростом надкритичности динамика ВК в электронном потоке обычно усложняется. Действительно, в работах [1719] в рамках одномерных и двумерных численных моделей показано, что с ростом надкритичности (ростом тока пучка) в виркаторе наблюдается переход от периодической к хаотической динамике ВК через постепенное усложнение спектра мощности генерации. Тогда и в рассматриваемом случае можно ожидать, что с уменьшением параметра надкритичности, что определяется, как было показано выше, ростом релятивистского фактора Р0 , динамика ВК, напротив, будет упрощаться, и спектр мощности генерации будет приближаться к одночастотному. Именно данный эффект демонстрирует рис. 4.

Таким образом, в работе введено двумя различными способами понятие параметра надкритичности для системы с виртуальным катодом. Аналитически и численно показано сильное влияние релятивистского фактора инжектируемого пучка на надкритичность электронного потока, а следовательно, и на мощность генерации и нелинейную динамику виртуального катода в системе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Короновский А.А., Храмов А.Е. Исследование когерентных структур в электронном пучке со сверхкритическим током с помощью вейвлетной бикогерентности // Физика плазмы. 2002. Т. 28. № 8. С. 722.

2. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по СВЧ электронике для физиков. М.: Физматлит, 2003. 2004.

3. Hramov A.E., Rempen I.S. Investigation of the complex dynamics and regime control in Pierce diode with the delay feedback // Int. J. Electronics. 2004. V. 91. № 1. P. 1.

4. Granatstein V.L., Alexeff I. High Power Microwave Sources. Boston; London: Artech House Microwave Library, 1987.

5. Дубинов А.Е., Селемир В.Д. Электронные приборы с виртуальным катодом // РЭ. 2002. Т. 47. С. 575.

6. Егоров Е.Н., Калинин Ю.А., Левин Ю.И., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Вакуумные генераторы широкополосных хаотических колебаний на основе нерелятивистских электронных пучков с виртуальным катодом // Известия РАН. Серия Физическая. 2005. Т. 69. № 12. С. 1724.

7. Куркин С.А., Короновский А.А., Храмов А.Е. Формирование и динамика виртуального катода в трубчатом электронном пучке во внешнем магнитном поле // ЖТФ. 2009. Т. 79. № 10. С. 119.

8. Куркин С.А., Короновский А.А., Храмов А.Е. Нелинейная динамика и хаотизация колебаний в трубчатом электронном потоке во внешнем однородном магнитном поле // Физика плазмы. 2009. Т. 35. № 8. С. 684.

9. Hramov A.E., Koronovskii A.A., Kurkin S.A. Numerical study of chaotic oscillations in the electron beam with virtual cathode in the external nonuniform magnetic fields // Phys. Lett. A. 2010. V. 374. P. 3057-3066.

10. Куркин С.А. Влияние шумового разброса электронов по скоростям на динамику электронного потока с виртуальным катодом // Радиотехника и электроника. 2010. Т. 55. № 4. С. 1-9.

11. КузелевМ.В., Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. М.: Наука, 1990.

12. Birdsall C.K., Langdon A.B. Plasma physics, via computer simulation, N. Y.: McGraw-Hill, 1985.

13. Davis H.A., Fulton R.D., Sherwood E.G., Kwan TJ.T. Enhanced-efficiency, narrow-band gigawatt microwave output of the reditron oscil-latorn // IEEE Trans. Plasma Sci. 1990. V. 18. №2 3. P. 611-617.

14. Гадецкий Н.Н., Магда И.И., Найстетер С.И. и др. Генератор на сверхкритическом токе РЭП с управляемой обратной связью -виртод // Физика плазмы. 1993. Т. 19. № 4. С. 530.

15. Benford J., Swegle J.A., Schamiloglu E. High Power Microwaves. N. Y.: CRC Press, Taylor and Francis, 2007.

16. Диденко А.Н., Ращиков В.И. Генерация мощных СВЧ колебаний в системах с виртуальным катодом // Физика плазмы. 1992. Т. 18. С. 1182.

17. Анфиногентов В.Г. Хаотические колебания в электронном потоке с виртуальным катодом // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2. № 5. С. 69.

18. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. К вопросу о механизме возникновения хаотической динамики в вакуумном СВЧ генераторе на виртуальном катоде // Изв. вузов. Радиофизика. 1998. Т. XLI. № 9. С. 1137-1146.

19. Егоров E.H., Храмов А.Е. Исследование хаотической динамики в электронном пучке с виртуальным катодом во внешнем магнитном поле // Физика плазмы. 2006. Т. 32. № 8. С. 742-754.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы» и Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-02-00255-а, проект № 10-02-90002-Бел_а).

Поступила в редакцию 30 ноября 2010 г.

Kurkin S.A., Koronovskiy A.A., Khramov A.Ye. Research of influence of relative factor of electron flow on conditions of formation and non-linear dynamics of virtual cathode

Within 2-D numeral completely electro-magnetic model the detailed research of influence of relative factor of injected batch on conditions of formation and non-linear dynamics of virtual cathode in system and also on characteristics of output radiation of equipments of vircator type is held. From various positions the parameters of over-criticality for electron flow determining the conditions of formation of virtual cathode in system are introduced. The strong influence of relative factor of injected batch on over-criticality of electron flow is found, consequentially, on conditions of formation and non-linear dynamics of virtual cathode. The physical processes leading to the observing behavior of relative electron flow with virtual cathode are analyzed.

Key words: virtual cathode; relative electron flow; non-linear dynamics; vircator; SHF generator; numeral modeling.