Анализ нестационарностей временных рядов (на примере динамических рядов основных макроэкономических показателей РФ)

Библиографический список

1. О порядке формирования кредитными организациями резервов на возможные потери по ссудам и приравненной к ней задолженности: Положение ЦБ РФ от 26 марта 2004 г. № 254-П.

K. Rudakova

Total bank credit risk index in order to determine loan quality class

The article presents a new approach for loan quality estimation depending on the credit risk of the bank. It outlines the algorithm of loan quality estimation subject to the credit portfolio risk. The article presents possible shifts of the loan quality class of the particular borrower.

Keywords: risk, credit risk, credit risk estimation.

УДК 338.27

Е.Ю. Преображенская, асп. лаборатории Ситуационный центр

АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНОСТЕЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Предложен новый метод обнаружения структурных сдвигов в регрессионных эконометрических моделях. Этот метод позволяет обнаруживать множественные структурные сдвиги в используемой выборке данных и получать состоятельные оценки моментов структурных сдвигов. Установлена асимптотическая оптимальность предложенного метода обнаружения структурных сдвигов в регрессионных зависимостях.

Ключевые слова: множественные структурные сдвиги, последовательное тестирование гипотез, асимптотическое распределение, скорость сходимости.

В настоящее время при создании краткосрочных прогнозов социально-экономических показателей большинство российских исследователей проводят оценку моделей экономических показателей по стандартным методикам анализа временных рядов. Однако, в связи с тем что при использовании данного алгоритма прогнозы носят инерционный характер и сильно зависят от тенденций, характерных для предшествовавшего интервала времени, они будут эффективными лишь в том случае, если в будущем не произойдет серьезных шоков или изменений сложившихся долгосрочных тенденций.

В российской практике построения эконометрических моделей основное внимание уделяется проблемам идентификации моделей, отбору

эндогенных и экзогенных показателей, но почти не обращается внимания на формальный анализ структуры исходных статистических временных рядов.

Период перехода России к рыночной экономике сопровождался накоплением статистических данных о динамике различных макроэкономических показателей. По мере накопления таких данных появляется возможность выявления и изучения долговременных связей между различными макроэкономическими показателями внутри российской экономики.

Таким образом, проблема структурных сдвигов до сих пор остается недостаточно разработанной. Наиболее слабым звеном в эконометриче-ских исследованиях является отсутствие надежного научного аппарата, что не позволяет эффективно различать нестационарности экономических временных рядов. Мало изучен механизм осуществления структурных сдвигов, представляющий собой сложную совокупность различных факторов и являющийся внутренним источником развития экономической структуры. Одной из важных практических задач в эконометрическом моделировании является проверка адекватности моделей в реальном времени, т. е. оперативное обнаружение моментов изменения набора регрессионных коэффициентов, параметров функциональных зависимостей.

Предлагается метод обнаружения и оценки моментов структурных сдвигов с локальной асимптотической мощностью функции, близкой к локальной асимптотической гауссовской мощности, с использованием сверхэффективной оценки суммы авторегрессионных параметров а, когда

Пусть yt — стохастический процесс, определенный следующим образом:

При построении предложенного подхода будем использовать три модели [Perron (1989)], допускающие структурные изменения модели ряда.

Модель I. Изменения уровня ряда. Здесь xt = (1 ,DUlt,..fDUmt,ty и Ч7 = (lio4li> -'ßm>ßo)^ гДе DUit = l(t > Ti). Тестируемая гипотеза —

Hl = = Hm = 0.

Модель II. Изменения наклона тренда. Здесь

= (l,t.DTu,...,DTmty и W = Motßi'-'ßm)1, гДе DTit = 1 (t > Tt)(t — Т{) Тестируемая гипотеза — ß^ = — = ßm = 0.

Модель III. Структурные изменения наклона тренда и уровня ряда.

Здесь = (l,DUlt.....DUmtlt,DTlt.....DTmt)' и

W = (fiQ,filt ..,,iim,ßQ,ß1, ...,ßmy. Тестируемая гипотеза —

7\ = [ГЛ, ] обозначает i-ii момент сдвига.

Цель последовательной процедуры тестирования состоит в получении состоятельной оценки всех положений момента излома, а также получить состоятельную оценку истинного количества структурных сдвигов. Рассмотрим следующий процесс порождения данных:

где 1{} — индикаторная функция, равная единице, если аргумент истинен, и нулю в противном случае; ко — 0,/с|7,о+1 = Т,\/т0 > 0. Допущения:

1. V; - 0.....- к, уТ, для некоторого у > 0, и

Данные допущения накладывают ограничения на тип структурного сдвига.

Допущение 1 исключает вероятность того, что структурные сдвиги находятся слишком близко друг к другу, т. е. количество наблюдений между двумя последовательными структурными сдвигами растет со скоростью Т.

Допущение 2 предполагает, что величина структурных сдвигов не сокращается с ростом Т.

Процедура тестирования истинного количества структурных сдвигов

Предлагается начинать процедуру тестирования с проверки гипотезы отсутствия структурных сдвигов против альтернативы наличия хотя бы одного структурного изменения:

// : отсутствие структурных сдвигов; // : по крайней мере один структурный сдвиг.

Для тестирования данных гипотез применяем следующую статисти-

где X = Т~1^гг=1Х1, ¿г = Т^2 ^2\о%1одТ, $1?— НАС оценка дисперсии, определенная следующим образом:

.

ку:

где ws— окно Барлетта, т. е. 1 — ——;

Статистика показывает, что первое положение момента излома не может быть меньше чем у, а последний момент излома — больше, чем

Последовательная процедура продолжается до тех пор, пока не будет получено значение меньшее или равное ^ и решение будет принято в пользу гипотезы отсутствия структурного сдвига. В противном случае переходим к оценке первого структурного изменения. Оценив наличие по крайней мере одного структурного изменения, оцениваем его местоположение в выборке при помощи минимизации суммы остатков [Bai (1997)]:

к1 = argminkAyT]_Kly}T]ST(k) =

= агдтп1пк=[уТ].....к i_ Г]

X [**-*{%

t=k +1

где =

После этого предлагается проверять гипотезу наличия дополнительных структурных сдвигов:

единственный структурный сдвиг; Нд: по крайней мере два структурных сдвига, используя следующую статистику:

[тг]

vsl,t ~ й dtlsuPre[y,i-y]

-1,

-Хг1{1 < t < к1}

где Х1, Ъ2 — средние двух подвыборок, которые вычислены с учетом оцененных моментов структурных изменений.

Если полученное значение статистики т окажется меньше или 1

равным -, то процесс останавливается и принимается решение в пользу гипотезы единственного структурного сдвига. В противном случае оцениваем второе структурное изменение по аналогии с первым случаем.

Процедура останавливается, когда мы принимаем нулевую гипотезу наличия т структурных сдвигов против альтернативы наличия их более чем т.

Предложенная последовательная процедура обеспечивает состоятельную оценку истинного количества структурных сдвигов.

1тТ*1од1одТ _

Лемма 1. Пусть

,

оо; 1Т -> оо, Т -* оо. Тогда

<7£ т является состоятельной оценкой для ст0 при нулевой и альтернативной гипотезах.

Гипотеза :

Ит 5ир V}, т =-.

Гипотеза Нд\

1

Т 2

Г-»оо 1 УБЬ,Т

(1од1вдТ) 2

.

При этом длина лагового окна не влияет на скорость, с которой статистика стремится к бесконечности.

т 1

является почти наверняка

Т1 ч состоятельной для г^, где т^

— одно из истинных положении структурного сдвига.

Тогда для первого структурного сдвига равномерная сходимость целевой функции определяется:

Бир те[у,1-у]

-£/

а.Б.

о,

где

,

,

¿*

где 7";» — последняя остановка перед г. При этом

для любого сколь угодного малого Г) > 0 И г = у.

Процедура оценки моментов структурного сдвига

1. Вычислить первоначальные моменты структурного сдвига, векто-

А А А -

ра Я = (Я1(... ,Ят) и коэффициентов 0 = ,,,,фт) .

2. Для заданного множества предварительных оценок моментов структурных сдвигов получить начальное значение с.

3. Пусть Т *(ф, г, п) = (ф,г, п),..., )ГГ*г, л) — вектор оптимальных г моментов структурных сдвигов при применении первых п наблюдений для заданного вектора коэффициентов ф и RSSR(T *(ф,т,п)) — ассоциированная остаточная сумма квадратов остатков. Вычислить остаточную сумму квадратов остатков RSSR (T*(if), г, п)) для 2h < п < Т - (m — l)h:

RSSR (Т*(ф, 1 ,л)) = h min i [RSSR1^lj) + RSSR2(j +

и

Т*(ф, l,n) = arg } min } [RSSR^l.f) + RSSR2(j + l,n)],

где

;

RSSRHlJ) = Yfy? - г?(Т0)'фо - Ш(Т0)У Фа = Уо = äße и

71

Й55/?20' +hn)= £ (У? - £ (ГоУ&(/) - ПОМ)2 010) = + Ai - Ä;. /?o + ßiY h = «Ai

4. Вычислить последовательно i?557?(T "(t/i, r, 7t)) для Г = 2,,,, (m - 1) при п от (г + 1)/г до Т — (m — r)h.

5. Вычислить

RSSR (т*(ф,г,п)) = roin f [Я55/?(Г (ф,г - 1,л)) + RSSRr+1(j + 1 ,п)].

6. Для последнего гго элемента: Т*(ф,г,п) = arg minrhsj£n_h[RSSR(T*($,r - 1 ,n)) + RSSRr+1(J + lfn)],

где

RSSRr+1(j + 1, и) = Ytj+i(y? - z?W<Pr(j) - угош\

Ш = - ЬJ)-/wgßiY

V, - o:u..

7. Вычислить

RSSR (т*(ф,тп - 1,ti)) = minmh£j£T-h[RSSR(T*($,m - l,n)) + RSSRm+1 (/+1,70]

8. Повторять шаги 2-6 до получения сходимости. Теорема (состоятельность и скорость сходимости оценок вектора Я0). Пусть {yt}[=1 — стохастический процесс, а — 1. Допустим, т > 0 и \pj * 0 (j = 1, ...,ш), так что структурные сдвиги затрагивают yt при нуле-

А

вой гипотезе. Пусть Я = arg 5(<í,/í), тогда при Т со:

1) для моделей II и III: ||Я - Я01| = Ор(Т"1);

2) для модели I: ||Я - Я°|| = ор(Т-1).

Имитационное моделирование

Целью имитационных экспериментов была проверка свойств предложенного метода и качества различения основных рассматриваемых гипотез для конечных объемов выборки.

Предложенный метод был использован в задачи проверки стационарности временных рядов эконометрических наблюдений.

Эконометрическая модель инфляции в России. В экспериментах были использованы следующие динамические ряды в диапазоне 1995.1-2011.8 (объем выборки — 200 наблюдений):

pi — помесячный темп инфляции в России, т. е. pi = ^ — 1;

eps — темп изменения номинального курса доллара; piel — темп изменения индекса тарифов в производстве и распределении электроэнергии, газа и воды;

piplod — темп изменения цен на плодоовощную продукцию; pimilk — темп изменения цен на молоко и молочную продукцию. Проверка этих рядов на стационарность по тесту ADF подтвердила гипотезу их стационарности на уровне ошибки 5 %. Полученная модель имеет вид:

pi = 0.0045+0.26281eps+0.06518piel+0.062984piplod+0.181421pimilk-0.033742*i2009p1.

Интегральные критерии этой модели: R2=0.88, DW=1.26 — свидетельствуют о ее приемлемом качестве.

Таким образом, эластичность инфляции на потребительском рынке по курсу доллара составляет 26 %, по тарифам на электроэнергию, газ и воду — 6,5 %, по ценам на плодоовощную продукцию 6,2 %, по ценам на молоко и молочную продукцию 18 %. Последний фактор в данной зависимости: мгновенная дамми — переменная i2009pl — позволяет учесть «прямое» влияние мирового финансового кризиса на инфляцию в России.

Полученная зависимость позволяет выделить основные группы факторов, формирующих темп инфляции в России:

1) факторы, связанные с валютной политикой (eps);

2) факторы, связанные с ценовой и тарифной политикой в электроэнергетике и отраслях естественных монополий (piel);

3) факторы, связанные с мировой конъюнктурой на рынке продовольствия (pimilk);

4) сезонные факторы (piplod).

Факторы, связанные с валютной политикой (eps), оказывают наиболее существенное влияние на динамику российской инфляции на потребительском рынке (эластичность 26 %) (рис. 1).

Graphs

Рис. 1. Темп прироста индекса потребительских цен в России

Визуальный анализ этого графика позволяет наблюдать «свечу» в динамике номинального курса доллара, которая обусловлена резким падением мировых и российских цен на нефть.

В результате применения процедуры обнаружения и оценивания моментов структурных сдвигов были выявлены следующие их моменты (рис. 2): Tli = 2003, щ = 2004, л3 = 2007, п4 = 2008:

break date TB = 2007:07 statistic t(alpha==1) -3.95753 critical values at 1% 5% 10% 50% 90% 95% 99% for 200 obs. -6.21 -5.55 -5.25 -4.22 -3.35 -3.13 -2.63 break date TB = 2008:06 statistic t(alpha==1) -6.78950 break date TB = 2003:02 statistic t(alpha==1) -4.27369 break date TB = 2004:09 statistic t(alpha==1) -3.85127 break date TB = 2007:06 statistic t(alpha==1) -3.96402

Graphs

Рис. 2. Темп изменения индекса тарифов в производстве и распределении электроэнергии, газа и воды (piel), темп изменения цен на плодоовощную продукцию (piplod) и темп изменения цен на молоко и

молочную продукцию

Полученные оценки моментов структурных сдвигов соответствуют значимым макроэкономическим событиям в функционировании экономической системы России:

- 2000-2007 гг. — период посткризисного развития;

— 2003 г. — начало «нефтяного бума», вызванного высокими мировыми ценами на нефть и ростом цен на бензин;

- 2008-2009 гг. — период мирового экономического кризиса.

Выводы

В работе предложен метод обнаружения и тестирования статистических нестационарностей для временных рядов.

Для данного метода получены результаты сходимости. Для конечных выборок данных свойства предложенной процедуры исследованы методом имитационного моделирования.

Предложенный метод позволяет выявлять моменты структурных сдвигов в регрессионных моделях, которые допускают содержательную экономическую интерпретацию.

Библиографический список

1. Bai J. Vector autoregressive models with structural changes in regression coefficient and in variance — covariance matrices. // Journal of Econometrics. 1997. № 53. P. 147-195.

2. Bianchi M. Time Series modeling in the Presence of Structure Change. // Journal of Econometrics. 2009. № 37. P. 47-83.

3. Bierens H.J. Testing the unit root with drift hypothesis against nonlinear trend stationarity, with an application to the US price level and interest rate. // Journal of Econometrics. 2007. № 81. P. 29-64.

4. Dolado J.J., Jenkinson T., Sosvilla - Rivero S. Cointegration and unit roots. / J.J. Dolado, T. Jenkinson, S. Sosvilla - Rivero // Journal of economic survey. 2010. Vol. 4. P. 249-273.

5. Perron P. The great crash, the oil price shock, and the unit root hypothesis. / P. Perron // Econometrica. 1989a. Vol. 57. P. 1361-1401.

E. Y. Preobrazhenskaya

Analysis of non-stationarity time series

Is proposed new method for detecting structural changes in regression econometric models. This method allows the detection of multiple structural changes in the data sample used and to obtain consistent estimators of the moments of structural change. Is derived asymptotic optimality of the proposed method of detecting structural changes in the regression.

Key worlds: multiple structural changes, sequential hypothesis testing, asymptotic distribution, rate of convergence.