О роли современной математической культуры в подготовке будущих педагогов

О РОЛИ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ В ПОДГОТОВКЕ БУДУЩИХ ПЕДАГОГОВ

Е.А. Перминов

Наиболее яркими проявлениями новой математической культуры, оказавшими глубокое воздействие на математическое образование, стали математическое моделирование, дискретная математика и вычислительные процессы. В статье анализируется роль этих явлений в интеграции трех составляющих подготовки будущих педагогов -подготовки в избранной предметной области, психолого-педагогической и методической подготовки.

Ключевые слова: будущий педагог, подготовка, интеграция, математическая культура

To the role of modern mathematical culture in integration in the sphere of future teachers' training. Mathematical modeling, discrete mathematics and computing processes developed the deepest influence on common education in mathematical sciences and became the brightest manifestation of mathematical culture at present. The role of these phenomena for the integration of the three main training parts for future teachers' formation in the selected subject domain as well as psycho-pedagogical training is analyzed in the article.

Key words: future teachers’ competencies, preparation, integration, mathematical culture.

Анализ педагогической литературы показывает, что наиболее известными направлениями интеграции образования являются содержательное, организационно-технологическое, институциональное, личностно-деятельностное, социально-педагогическое направления и глобальное направление, ведущее к появлению мировой системы образования. Интеграция рассматривалась педагогами-исследователями на трех основных уровнях ее функционирования -методологическом, теоретическом и практическом. В силу многогранности и глубины понятия интеграции образования вряд ли возможна однозначная трактовка этого понятия, о чем свидетельствует использование однокоренных терминов «интегрированные курсы», «интегрированное обучение», «интегрированная специальность» и т.д.

В исследовании методологических аспектов интеграции подготовки будущих учителей математики, информатики, физики и педагогов профессионального обучения (в инженерных отраслях и отраслях информатики, экономики, правоведения) нам представляется важной точка зрения Н.К.Чапаева [9], идентифицирующего понятия интеграции и синтеза образования. Как известно, синтез (от греч. synthesis - соединение, сочетание, составление) обычно трактуется как соединение частей предмета, расчлененного в процессе анализа, в результате которого происходит установление взаимодействий и связей этих частей и на этой основе познание предмета как единого целого.

Благодаря синтезу идей и методов различных областей математики на рубеже веков возникла новая математическая культура, отразившаяся в процессе математизации наук и оказавшая глубокое внешнее интеграционное воздействие на образование. Наиболее яркими

проявлениями этой культуры являются математическое моделирование, дискретная математика и вычислительные процессы [1, 6]. Охарактеризуем фундаментальную роль этих явлений в интеграции трех составляющих подготовки будущих педагогов перечисленных специальностей - подготовки в избранной предметной области, психолого-педагогической и методической подготовки.

1. Математическое моделирование. Обзор труднообозримого числа идей и методов математического моделирования показывает [4], что математическое моделирование является системообразующим элементом современной модельной методологии, предметом которой является постановка возникающих задач, их перевод на адекватный научный язык, рациональная разработка моделей исследуемых объектов или явлений, а также эффективных алгоритмов и компьютерных программ для решения задач на основе разработанных моделей. Математическое моделирование является основой целостного, системного осмысления модельной методологии как новой исследовательской культуры, играющей фундаментальную роль в интеграции подготовки студентов в избранной предметной области, в том числе в формировании у них обобщенных систем междисциплинарных и внутрипредметных знаний.

Действительно, уже анализ различных трактовок самого понятия математической модели [5] показывает системообразующую роль этого понятия в разнообразных видах моделирования в естественнонаучных, экономических и многих других науках. Например, одна из трактовок понятия математической модели (структуры) как множества с заданными на нем операциями и отношениями данного типа играет такую же системообразующую роль в классификации видов моделирования, какую играет понятие атомного веса элемента в периодической таблице химических элементов Менделеева. При этом тип операции - число элементов, к которым она применяется, а тип отношения - число элементов, состоящих в отношении.

Математическое моделирование является методологической основой формирования умений гармоничного сочетания формального языка математики, неформального языка науки, в области которой проводится исследование, и уникальных возможностей современного компьютера. Наиболее ярко это интегративное свойство проявляется в реализации этапов решения задачи с использованием компьютера от постановки задачи до разработки компьютерной программы ее решения. Владеющий на высоком уровне «искусством» математического моделирования является настоящим «многоборцем (постановщиком, математиком, алгоритмистом, программистом), удачно выступающим» на всех этапах решения задачи. Поэтому, например, во ФГОС [8] подготовки магистров профессионального обучения в общенаучном цикле структуры основных образовательных программ предусмотрена дисциплина «Математическое моделирование».

Педагоги ранее перечисленных специальностей, особенно учителя математики и информатики, несут наибольшую ответственность за профильное обучение математическому моделированию уж со школьной скамьи или в училище и колледже (техникуме). Поэтому математическое моделирование с использованием компьютера имеет важное интеграционное

значение в подготовке будущих педагогов в избранной предметной области, поскольку в процессе реализации этапов решения задач с использованием компьютера они обучаются умению синтезировать идеи и методы различных дисциплин. Математическое моделирование играет важную роль в их методической подготовке, подразумевающей адекватное выбранной педагогической специальности владение теми или иными элементами методики обучения учащихся математическому моделированию.

2. Дискретная математика. В исследовании методологии интеграции подготовки будущих педагогов указанных специальностей закономерно поставить вопрос о таком факторе интеграции естественнонаучных, социально-гуманитарных и др. областей познания, каким становится широкое распространение в этих научных областях дискретной математики, т.е. математики дискретных структур - «структур финитного (конечного) характера, которые возникают как в самой математике, так и в области ее приложений» [3, с. 207]. Ввиду обширности предметного поля дискретной математики в качестве ее синонима используются также термины конечная математика и, кроме того, дискретный анализ, конкретная математика, в названиях которых отражены ее связи с классической («непрерывной») математикой.

Структуры финитного характера, т.е. дискретные структуры (модели) определяются на конечных или бесконечных счетных множествах, т.е. множествах, для нумерации элементов которых требуются все натуральные числа (представьте гостиницу с бесконечным множеством номеров, занумерованных натуральными числами). Модели, определяемые на бесконечных несчетных множествах, в частности, на множестве всех действительных чисел, присущи классической («непрерывной») математике. Использование дискретных моделей в научных исследованиях стало возможным прежде всего благодаря уникальным возможностям современных компьютеров.

Предугадывая возрастающую роль математики дискретных величин («конечной» математики), А.Н. Колмогоров указывал, что «по существу все связи между математикой и ее реальными применениями полностью умещаются в области конечного... Мы предпочитаем непрерывную модель лишь потому, что она проще» [2, с. 15] . Именно поэтому математические модели были в основном непрерывными. Эту же мысль хорошо сформулировал известный американский специалист по дискретной математике Д. Зайлбергер: «Непрерывный анализ и геометрия являются только вырожденными аппроксимациями дискретного мира... Хотя дискретный анализ концептуально проще непрерывного, технически он, как правило, значительно сложнее. Поэтому в отсутствие компьютеров непрерывная геометрия и анализ были необходимыми упрощениями, позволявшими исследователям добиваться успехов в естественных науках и математике» [7, с. 109]. Постепенно стираются прежние границы между классической («непрерывной») и математикой дискретных величин, поскольку во многих науках все чаще встречаются задачи, при решении которых одновременно используются как непрерывные, так и дискретные модели. Это привело к возникновению новой точки зрения на природу математики, ее характер, на соотношение в ней непрерывного и дискретного, что, несомненно, имеет важное

методологическое значение в интеграции подготовки будущих педагогов в эпоху математизации наук.

Во-первых, в интеграции подготовки будущих педагогов перечисленных специальностей в избранной предметной области важное значение имеют межпредметные связи ДМ с классической («непрерывной») математикой, играющие фундаментальную роль в математическом моделировании. Во-вторых, дискретная математика играет важную роль в интеграции этой подготовки на основе принципа фундаментализации. Действительно, бурный рост самой дискретной математики расширил представления о математике и ее приложениях и тем самым способствовал углублению представлений о фундаментальных, т.е. о цельных, обобщающих знаниях, являющихся ядром (основой) всех получаемых студентом знаний, объединяющихся в единую мировоззренческую систему, основанную на базе современной модельной методологии. В третьих, дискретная математика играет важную роль в интеграции подготовки в избранной предметной области будущих педагогов этих специальностей в рамках компетентностного подхода. А именно, ДМ необходима для формирования у них специальных (профессиональных) компетенций, включающих в себя владение методами моделирования на основе «дискретных» моделей, необходимыми для реализации профильного обучения учащихся приложениям математики.

Особенно важно значение дискретной математики в математической подготовке будущих учителей математики, поскольку именно они первыми начинают формировать у учащихся средних общеобразовательных и специальных учебных заведений и училищ представления о математике и ее приложениях. Значение ДМ в подготовке будущих учителей информатики проявляется также в формировании у них фундаментальных знаний о программировании и вычислительной технике, а в подготовке будущих педагогов других ранее указанных специальностей - в формировании у них специальных технологических умений в использовании математики в своей профессиональной области.

3. Вычислительные процессы. Современный педагог должен иметь общекультурные представления не только о математическом моделировании и дискретной математике, но и о вычислительных процессах, порожденным благодаря уникальным возможностям такого универсального инструмента вычислений, каким является компьютер. В частности, функционирование сложных систем управления технологическими процессами, энергетическими и другими важными системами обеспечивается вычислительным процессом, реализуемым специализированным или универсальным компьютером, который все чаще становится наиболее важным узлом данных систем.

Эффективный вычислительный процесс обеспечивается не только аппаратными возможностями компьютера или локальной сети компьютеров. Существенное значение имеют такие показатели эффективности как точность вычислений, эффективность используемых алгоритмов, помехозащищенность и т. д. Таким образом, корректное осуществление вычислительного процесса требует от исследователя весьма универсальных познаний,

предполагающих не только знание какой-то специальной области, где осуществляется вычислительный процесс, но и знания теорий алгоритмов, автоматов, кодирования, асимптотических оценок и приближений и др. (являющихся областями современной дискретной математики и дискретного анализа). Поэтому будущий педагог должен получить адекватное специальности представление об этих универсальных познаниях на основе интеграции его подготовки в избранной предметной области.

Наиболее распространенным препятствием в интеграции подготовки будущих педагогов является предметоцентризм, заключающийся в изложении сути отдельных предметов без учета охарактеризованных проявлений современной математической культуры. Следствием предметоцентризма, например, являются проблемы, связанные с неоднократным дублированием одного и того же материала. В частности, при подготовке учителей информатики на уровне специалитета неоднократно приходится дублировать изучение элементов теории кодирования. Эта тема изучается как в курсе «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры», так и в курсе «Теоретические основы информатики». Анализ содержания примерных программ по этим дисциплинам, который был рекомендован департаментом образовательных программ и стандартов Министерства образования РФ показывает, что эти программы весьма существенно пересекаются.

Отражение этих проявлений современной математической культуры в интеграции подготовки будущих учителей математики, информатики, физики и педагогов профессионального обучения в перечисленных ранее отраслях способствует углублению их психологопедагогической подготовки, поскольку оно способствует формированию творческой личности, обладающей творческим стилем мышления и соответствующей ему научно-исследовательской компетенцией в области математики, необходимой педагогу в повседневной профессиональной деятельности.

Как показывает анализ литературы по методологии математического моделирования, дискретной математики и вычислительных процессов, они также имеют существенное методологическое значение в интеграции подготовки будущих педагогов многих других специальностей на уровне магистратуры.

Литература:

1. Глушков, В.М. Кибернетика. Вопросы теории и практики. / В.М. Глушков - М.: Наука, 1986. - 888 с.

2. Колмогоров, А.Н. Научные основы школьного курса математики. Первая лекция. // Математика в шк. -1969. - № 3. - С. 12 - 18.

3. Математическая энциклопедия. Гл. ред. И.М.Виноградов. - Т 2. - М.: «Советская энциклопедия», 1979. -1104 стб. - Ил.

4. Неуймин, Я.Г. Модели в науке и технике. / Я.Г.Неуймин. - М.: Наука, Ленингр. отд-ние, 1984. - 189 с.

5. Перминов, Е.А. О методике изучения понятия математической модели. // Информатика и образование -2006. - № 7. - С. 40 - 43.

6. Садовничий, В.А. Математическое образование: настоящее и будущее. / Доклад на Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков». Дубна, сентябрь. 2000. - М.: МЦНМО, 2000. - 664 с.

7. Тестов, В.А. О проблеме обновления содержания обучения математике в школе. // Преподавание математики в школах и вузах: проблемы содержания, технологии и методики: материалы Всерос. научно -практ. конф. -Глазов: Глазовский гос. пед. ин-т. - 2009. - С. 106 - 111.

8. Федеральный государственный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 051000 Профессиональное обучение (по отраслям). Квалификация магистр.

9. Чапаев, Н.К. Теоретико-методологические основы педагогической интеграции: дисс... доктора пед. наук: 13.00.01. - Екатеринбург. 1998. - 444 с.