О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп, 2

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика и механика № 1

УДК 512.541

А.Р. Чехлов

О СКОБКЕ ЛИ ЭНДОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП, 2*

Рассматриваются абелевы группы, в которых фиксированная степень всякого коммутатора эндоморфизмов равна нулю. Описаны группы с указанным выше свойством в ряде классов групп.

Ключевые слова: вполне инвариантная подгруппа, кольцо эндоморфизмов, степенной Е-коммутант, степенной Е-коммутатор.

Все группы в статье предполагаются абелевыми. Напомним, что если Я -кольцо и а,Ь є Я, то элемент [а,Ь] = аЬ - Ьа называется коммутатором (или скобкой Ли) элементов а и Ь. Если аь...,аЯ є Я, то [аь...,аЯ] = [[аь...,ая-1],ая].

Продолжается исследование, начатое в [1]. Класс абелевых групп А со свойством [ф,у]Я = 0 для любых ф, у из кольца эндоморфизмов Е(А) обозначим через БЬЯ, а БЬ*Я = БЬЯ \БЬЯ-1. В [1] изучались группы из класса БЬ2. Ясно, что прямое слагаемое группы из класса БЬЯ также принадлежит БЬЯ. Отметим, что близкие классы групп изучались в [2 - 6].

Пусть А - абелева группа. Тогда г(А) обозначает ее ранг, если не оговорено противное, то Ар - ее р-компонента, а /(А) - периодическая часть. Если А - однородная группа без кручения, то /(А) - ее тип. Запись Н < А означает, что Н - подгруппа в А; Н < А А, что Н - вполне инвариантная подгруппа в А, т.е. /Н є Н для

каждого/є Е(А). Если/ А ^ В - гомоморфизм, то/ | Н - ограничение/ на Н є А. Если В, О - группы и 0 Ф X с В, то через Нот (В, О)Х обозначим подгруппу в О, порожденную всеми подмножествами /X, где /є Нот (В, О); Нот (В, О)В совпадает со следом группы В в О. Через 1А обозначим тождественный автоморфизм группы А, через о(а) - порядок элемента а є А. N - множество всех натуральных чисел, О - аддитивная группа всех рациональных чисел. А1 = П Я є N яА. 2 ^ -

квазициклическая р-группа, 2 - группа целых р-адических чисел, 2Я - циклическая группа порядка я. Если 0 Ф А - ограниченная р-группа, то наименьшее натуральное т со свойством ртА = 0 называется экспонентой группы А и обозначается через е(А). Подгруппа О группы А называется чистой, если яО = ОПяА для каждого я є N.

Подгруппу А' = ([ф,у]А | ф,у є Е(А)) назовем Е-коммутантом группы А. Определим по индукции А(0) = А, А(1) = А',..., А(я+1) = (А(я))' = ([ф,у]4(я) | ф,у є Е(А)) и А(а) = Пр<0А(р) при предельном ординале а. Как отмечалось в [2], все А(р) вполне инвариантны в А .

Подгруппу Н < А назовем коммутаторно инвариантной (кратко сі-подгруп-пой), если [|,п]Н с Н для любых |,п є Е(А) [2, 6]. Отметим, что в [7 - 10] автор изучал проективно инвариантные подгруппы.

* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы. Государственный контракт П 937 от 20 августа 2009 г.

Если все эндоморфизмы подгруппы О группы А продолжаются до эндоморфизмов самой группы А, то считаем, что О(п) с А(п).

Лемма 1. Пусть А = i е ¡А» где | I | > 1, и О, = 0, е щ,} А,.

1. А(п) = 0, е 1 (А(п)ПА,) для каждого п е N.

2. А(п) = Г, где Г = <Исш (А,, О,)(А(п-1)ПА,), Нот (О,, А,)(А(п-1)ПО,), А/п), О/п)>.

3. ф(А(п)^,) с 0, е ¡\{,} (А^-'ПА,) для любого ф е Нот (А,, 0, е Л{,} А,).

4. Следующие условия эквивалентны:

а) А(п) = 0, е I А(п);

б) Нот (А,, А,)(А(п-1)ПА,) с А/п) для каждого , е I и всякого] е I \{,}.

Доказательство. П. 1 вытекает из вполне инвариантности

А (п). 2.

Пусть

п: А^А, 0: А^-О, - проекции, /е Нош (А,, О,) и а е А(п-1)ПА,. Тогда если

ф е Е(А) - такой, что ф\Ai = / ф|О, = 1О , то [9,ф]а = /а. Это доказывает, что

Нош (А,, О,)(А(п-1) ПА,) с А(п). Аналогично Нош (О,, А,)(А(п-1)ПО1) с А(п). Поэтому Г с А(п). В частности, из проведенных рассуждений следует справедливость п. 3.

Осталось показать обратное включение. Пусть £, п е Е(А) и г е А(п-1). Имеем г = х + у, где х е А(п-1)ПА,, у е А(п-1)ПО,-. Далее

К,п]х = [(п + 0)4,(п + 0)п]х =

= [п^,пп]х + (п^0п - пп0^)х + (0^пп + 0^0п - 0пп^ - 0п0£)х.

Здесь [п^,пп]х е А,(п), второе слагаемое принадлежит Нош (О, А,)(А(п-1)ПО,), а третье - Нош (А,, О,-)(А(я-1)ПА,-). Поэтому х е Г и, аналогично, у е Г, значит, А(п) с Г. П. 4 вытекает из пп. 1 - 3.

Отметим, что возможен случай, когда А' = 0А,', но А'' Ф 0А/'. Действительно, пусть о(а) = р, о(Ь) = р2, о(с) = о(С) = р и А = ((а>0(Ь>)0((с>0(С>). Тогда А ' = А[р] = (<а>0<рЬ>)0«С>0<С>) = (<а>0<Ь>) '0«с>0<С>) '.

Однако А'' = А[р] Ф ((а>0(Ь>) ''0((с>0(С>) ' ' = (рЬ>0((с>0(С>).

Обозначим через А(п) следующую подгруппу ([ф,у]пА | ф,у е Е(А)> (п-й степенной Е-коммутант). Ясно, что А(п) с А(п) (А(0) = А(0) = А). Элемент [ф,у]па будем называть п-м степенным Е-коммутатором (соответствующий эндоморфизмам ф и у). Если Н с А, то подгруппу ([ф,у]пН | ф,у е Е(А)> обозначим через [А,И](п).

Группа А называется Е-разрешимой класса < п, если А(п) = 0. Как показывает следующий пример классы БЬп и Е-разрешимых групп класса < п различны.

Пример. Пусть Z[i] = {ш + Ш | т,к е Z} - кольцо целых гауссовых чисел. Рассмотрим кольцо К = ^[/'])[хь...,хш,...; - ] комлексно-косых многочленов от переменных хь...,хш,... с коэффициентами из Z[i], для которых выполняются равенства х,а = ах, где а - комплексное число, сопряженное с а.

Пусть теперь Кп = Ки, где J - идеал, порожденный элементами х1,..., хШ, • • •, а п - фиксированное натуральное число. Тогда /д]п = 0 для любых/.£ е Кп. Аддитивная группа К+ кольца Кп является счетной редуцированной группой без кручения, поэтому по теореме Корнера [11, теорема 110.1] существует группа А, кольцо эндоморфизмов которой изоморфно Кп. Тогда А е БЬп, но А не является Е-разрешимой группой, поскольку для каждого ненулевого коммутатора [/$] е Кп найдутся коммутаторы []ь...,[]т со свойством /£|[]1...[]т Ф 0 (т е №). В частности, 0 = А(п) ФА(п). Так как [хк,/',...,/'] = (-2/')шхк Ф0, то А не является и Е-

Ш

энгелевой группой.

Лемма 2. Пусть В - прямое слагаемое группы А с дополнительным прямым слагаемым О.

1. Нот ((В,О)В(т)), [О, Нот (В,О)В](т) с А(%т+1) для каждого т е N.

И-1 I п-г-1

2. Если А е БЬп, то Xг=0[ф,У] р[%, П] = 0 для любых ф,у е Е(О),

%,п е Е(В) и р е Нот (В,О).

3. Если О < fi А, В,О е БЬп и для А выполняется свойство, указанное в п. 2, то А е БЬп.

4. Если В е БЬЛ О е ВЦ и О < й А, то А = ВО е БЬ^.

5. Если существуют эпиморфизмы ф: В^-О, ф: О^В, то для каждого п е N любой элемент группы А является п-м степенным Е-коммутатором. В частности, А(п) = А.

Доказательство. 1. Пусть %,п е Е(В), а,Р е Е(О) и р е Нот (В,О); продолжим их до эндоморфизмов группы А, полагая %,п,р|О = 0 и а,Р|В = 0. Тогда если % = % + р, п = П + Р, то [%,п]Ь = [%,п]Ь + р(п - %)Ь. Откуда [%,п]т+1Ь = = [|,П]т+1Ь + Р(П - %)[%,п]тЬ. Значит, р(п - %)[%,п]тЬ е А(т+1). Если вместо п взять П ' = п + 1В (п 1о = 0), то ввиду равенства [%,п'] = [%,п] получаем р[%,п]тЬ + р(п - %)[%,п]тЬ е А(т+1). Откуда р[%,п]тЬ е_А_(т+1). Следовательно, Нот (В,О)В](т) сА(т+1). Если а = а + р, р = р + р, то [а,Р]Ь = (а - Р)рЬ. Откуда

[а, р]т+' Ь = [а,Р]т(а - Р)рЬ. Взяв а' = а + 1О, как и выше, получим [а,Р]трЬ е А(т+1), что доказывает включение [О, Нот (В,О)В](т) с А(т+1).

2. Возьмем эндоморфизм а группы А вида а = (% 0 ], где % е Е(В),

Ф

р е Нот (В,О), ф е Е(О). Тогда если Р = | П 0 |, то

Откуда

[а, Р]

[а, в] = 1 + ^ П]% [ 0 ]

'чрп + фст-ст%-ур [ф, у]

X,”=0^ у]г (рп + ф^^-^^ п]п 1 г [ф, у] У

Так как А е БЬп, то при с = 0 имеем Xг”=0[ф, У] (РП-УР)[%, П]п-1-г = 0. Взяв

П ' = п + 1В (п '|О = 0), окончательно получаем X ”_0 [ф, У] Р[%, П]п-1-г = 0 .

3. Если О < й А, то все эндоморфизмы а группы А имеют вид, указанный в доказательстве п. 2. Тогда согласно (1) [а,Р]п = 0; значит, А е БЬп. Если к тому же В е БЬ,, О е БЦ, то [а,Р]^ = 0 поскольку в (1) [%,п]^ = 0, [ф,у]^ = 0, а в

X ;=0 1 [ф, у]г (рп + фст - ст% - ур)[%, пГ+-1-г каждое слагаемое равно нулю из-за

обращения в ноль соответствующей степени [ф,у]‘ или [%,п]^+(-11, что доказывает 4.

5. Как и в п. 1 считаем, что ф,у е Е(А). Для любых Ь е В, g е О и каждого фиксированного п найдутся такие хп е В, уп е О, что (уф)пхп = Ь, (фу)п(-1)пуп = g.

Имеем

[у,ф]п(Хп + (-1)пуп) = ((Уф)п + (- фуГ)(Хп + (-1)пУп) =

= (уф)пХп + (- 1)2п(фу)пуп = Ь + g.

Пусть дано семейство {А,},- е1, | I | > 1, групп с коммутативными кольцами Е(А,). Будем говорить, что упорядоченный набор {А,...,А, 1} групп А, е{А,}

удовлетворяет условию (*), если

Нот (А, Ап1)(. (Нот (А, А )(Нот (А, А) А))...) Ф 0.

Число п будем называть длиной набора {А, ,..., А, ^}. Если п - максимальная длина любого конечного набора с условием (*), состоящего из групп семейства {А,},- е1, то будем говорить, что данное семейство удовлетворяет условию п-максимальности.

Предложение 3. Пусть каждый элемент группы А содержится в некотором ее прямом слагаемом, являющемся прямой суммой таких групп {А,}, что все кольца Е(А,) коммутативны и если Нот (А¿А) Ф 0, то Нот (А/А) = 0 (,' Ф/). Группа А е БЬп+1 тогда и только тогда, когда каждое указанное выше семейство {А,} удовлетворяет условию п-максимальности.

Доказательство. Пусть а е А,(Г), где А,т принадлежит некоторому семейству

{А,}, А = А,(1)  О , О - дополнительное к А,(1) прямое слагаемое, п : А ^ А,(1) и

9: А^О - проекции. Если %,п е Е(А), то [%,п]а = [(п + 0)%,(п + 0)п]а = = (0%пп + 0%0п - 0пп% - 0п0%)а; учтено, что [п%,пп]а = 0 и п%0п = 0, пп0% = 0. Поэтому [%,п]а еНот(А,(1),О) = Х^^-«Нот^.^,А,(2))А,(1) с А(1), где суммирование ведется по такому набору указанных в условии прямых слагаемых А (2), что

А,(2) с О и Нот(А,(1), А,(2)) Ф 0 . Откуда

[%,п]п а е X Нот(Ап), А„+„)(. (НотЦ(2), А) )(Нот(А^, А^)А^))...) = ..

,(п+1) £{,( т )|1< т< п}

По условию р^ = 0 для любого р е Нот(А.(п), А,(п+1)). Поэтому [%,п]п+1а = 0. Значит, [%,п]п+1 = 0.

Из лемм 1, 2 и предложения 3 вытекает справедливость следующих утверждений:

I. Если А = i е 1А,, где А, < íi А, то А е БЬп тогда и только тогда, когда А, е БЬп для каждого , е I.

II. Для делимой группы Б = /(Б)Б0 следующие условия эквивалентны:

а) Б е БЬп для некоторого п > 2;

б) Б е БЬ2;

в) если Бр Ф 0, то Бр = 2 „ , а если Б0 Ф 0, то Б0 = О, причем если /(Б) = 0 или

Б0 = 0, то кольцо Е(Б) коммутативно (т.е. Б е БЬ1).

Делимая группа Б е БЬп принадлежит БЬ*2 тогда и только тогда, когда 0 ф /(Б) Ф Б.

III. Если 0 Ф Б - делимая часть группы А, А = Б©В, то А е БЬп тогда и только тогда, когда Б е БЬ2, В е БЬп и выполнены следующие условия:

а) подгруппа В(п-1) периодична, причем (В(п-1))р = 0 при Бр Ф 0;

б) если 0 Ф /(Б) Ф Б, то и > 2 и подгруппа В(п-2) периодична.

Свойство вытекает из инъективности группы Б: для всякого элемента Ь е В \ /(В) найдется гомоморфизм а: В—Б со свойством аЬ Ф 0, причем если Б0 Ф 0, то а можно выбрать так, чтобы аЬ е Б0 и уаЬ Ф 0 для некоторого у е Нот(Б0,2р„), где р может быть любым простым.

IV. Если А е БЬп для некоторого п, то каждая ее ненулевая р-компонента Ар является коциклической группой либо (при п > 2) изоморфна группе вида В1.ВтВ0, где В, = 2 к. , к1 <.. .< кт (при т > 2), а В0 = 0 или В0 = 2 „ . Таким

образом, А = АрЕ(р) для некоторой подгруппы Ер с А, причем (Е(р))(п-1) с ртЕ(р), где т = е(В1.Вт). Нередуцированность Ар влечет периодичность (Е(р))(п-1).

V. Периодическая группа А е БЬп тогда и только тогда, когда каждая ее р-компонента Ар е БЬп.

Пусть 0 Ф Б - делимая часть р-группы О, О = СБ. Группа О е БЬп тогда и только тогда, когда Б = 2 „ , а С е БЬп-1.

р п 1

VI. Пусть А = ВС, где В = 2рк, С = 2р5 (5 > к). Тогда А е БЬ2п+1, где и -

наименьшее натуральное со свойством т > (и+1)к, т.е. п = к/(5 - к), если это число целое и п совпадает с целой частью [5/(5 - к)] в противном случае.

Действительно, пусть В = (Ь), С = (с), п: А—В, 0: А—-С - проекции, ф: С—В, р: В—С - такие гомоморфизмы, что фс = Ь, рЬ = р5- кс. Тогда Кегф = (ркЬ). Пусть а = 1в + р, в = 1с + ф (1в,р|с = 0 и 1с,ф|в = 0). Тогда ав = ф + рф, ва = р + фр, [а, в] = ф - р + рф - фр. Поэтому [а, в] с = фс + рфс, [а,в]2с = - рфс + (рф)2с,

[а,в]3с = -фрфс + ф(рф)2с - (рф)2с + (рф)3с,.... Имеем 0[а,в]2пс = (- 1)п(рф)пс + и, где и е р(п+1)(5-к)С, поэтому если (рф)пс Ф 0, то [а,в]2п Ф 0. Далее, п[а,в]2п+1с = = (- 1)п(фр)пфс + V, где V е р(п+1)(5-к)В, поэтому [а,в]2п+1 Ф 0 при (фр)пфс Ф 0 и [а,в]2п+1с = 0, если т > (и+1)к. Так как всякая композиция гомоморфизмов В——С——В есть кратное фр, а С—В—С - кратное рф и [а,в]тс = 0 влечет [а,в]тЬ = 0, то указанное число п есть наибольшее среди индексов нильпотентности коммутаторов эндоморфизмов группы А.

В ряде работ изучались такие редуцированные смешанные группы А, что естественное вложение р Ар^А продолжается до чистого вложения р Ар^-Пр Ар. Такие группы называются Бр-группами. Таким образом, для Бр-группы А можно считать, что р Ар с А с Пр Ар, причем А чиста в Пр Ар (это равносильно делимости фактор-группы А/(рАр)). Бр-группы являются частным случаем групп, рассматриваемых в следующем свойстве.

VII. Пусть А - такая группа, что А1 = 0 и А содержит плотную подгруппу

i е 1 А, где А, < й А для каждого, е I. Группа А е БЬп тогда и только тогда, когда каждая А, е БЬп.

Действительно, если %,п е Е(А), то [%,п]пА,- с А, для каждой группы А, поэтому [%,п]п(А,) = 0. Но тогда [%,п]пА с А1 = 0.

VIII. Пусть А - сепарабельная (векторная) группа без кручения, О(А) - множество типов всех ее прямых слагаемых ранга 1. Группа А е БЬп тогда и только тогда, когда в А нет однородных прямых слагаемых ранга 2 и в О(А) все цепи линейно упорядоченных элементов имеют длину < п-1.

Для сепарабельной группы это утверждение вытекает из предложения 3, а для векторной группы нужно воспользоваться следующими утверждениями: если V = П ,е1 Я, и Ж = П8/ - векторные группы (Я, и 8/ - группы ранга 1) и п: V—W-нетривиальный гомоморфизм, то /(Я,) < /(8/) для некоторых ,е1, jеJ [11, лемма

96.1]; произвольное прямое слагаемое ранга 1 векторной группы V = П ш Ri изоморфно одной из групп Ri [11, предложение 96.2].

IX. Для алгебраически компактной группы без кручения A следующие условия эквивалентны:

а) A е BLn для некоторого n > 2;

б) A е BL2;

в) A = DB, где D = 0 или D = Q, а B = П реП Zр для некоторого множества

П простых чисел, причем если D = 0, то A е BLj.

X. Если A е BLn - редуцированная копериодическая группа, то A алгебраически компактна, A = ПреП^ где П - некоторое множество простых чисел, Ap -р-адическая компонента группы A, Ap = Bp©Cp, Ap е BLn, причем Cp = 0 или Cp = Z , Bp - конечная р-группа из BLn-1 при Cp Ф 0.

XI. Если A - редуцированная неограниченная р-группа, то A(n) = A для каждого n е N. Если A - ограниченная р-группа экспоненты т, то A(n) = A для каждого n е N тогда и только тогда, когда подгруппа рт-1A разложима.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чехлов А.Р. О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 78-84.

2. Чехлов А.Р. О свойствах центрально и коммутаторно инвариантных подгрупп абелевых групп // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 85-99.

3. Чехлов А.Р. Об абелевых группах с нормальным кольцом эндоморфизмов // Алгебра и логика. 2009. Т. 48. № 4. С. 520-539.

4. Чехлов А.Р. E-нильпотентные и E-разрешимые абелевы группы класса 2 // Вестник Томского госуниверситета. Математика и механика. 2010. № 1(9). С. 59-71.

5. Чехлов А.Р. Некоторые примеры E-разрешимых групп // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2010. № 3(11). С. 69-76.

6. Чехлов А.Р. О коммутаторно инвариантных подгруппах абелевых групп // Сиб. матем. журн. 2010. Т.51. № 5. С. 1163-1174.

7. Чехлов А. Р. Свойства подгрупп абелевых групп, инвариантных относительно проекций // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2008. № 1(2). С. 76-82.

8. Чехлов А.Р. О подгруппах абелевых групп, инвариантных относительно проекций // Фундамент. и прикл. матем. 2008. Т. 14. № 6. С. 211-218.

9. Чехлов А.Р. О проективно инвариантных подгруппах абелевых групп // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2009. № 1(5). С. 31-36.

10. Чехлов А.Р. Сепарабельные и векторные группы, проективно инвариантные подгруппы которых вполне инвариантны // Сиб. матем. журн. 2009. Т.50. № 4. С. 942-953.

11. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1; 1977. Т. 2.

Статья принята в печать 17.12.2010г.

Chekhlov A.R. ON THE LIE BRACKET OF ENDOMORPHISMS OF ABELIAN GROUPS, 2. We consider Abelian groups in which a fixed degree of any commutator of endomorphisms is zero. Groups with this property are described in some classes of groups.

Keywords: fully invariant subgroup, endomorphism ring, power E-commutant, power E-commutator.

CHEKHLOVAndrei Rostislavovich

E-mail: cheklov@math.tsu.ru