Синтез и некоторые результаты исследований проекционных рекуррентных алгоритмов оценивания параметров линейных моделей статических объектов

Доклады ТУСУРа. 2004 г. Автоматизированные системы обработки информации, управления и проектирования УДК 62.505

СИНТЕЗ И НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ПРОЕКЦИОННЫХ РЕКУРРЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ СТАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

А.Е. Карелин, А.А. Светлаков

В статье синтезируются алгоритмы подстройки математических моделей управляемых объектов по мере поступления в систему измеренных значений их входных и выходных переменных, а также приводятся некоторые результаты их исследований.

Введение

Одно из основных направлений развития современной теории адаптивного управления различного рода производственными и технологическими объектами - создание и исследование класса адаптивных систем управления с подстраиваемыми математическими моделями управляемых объектов [1, 2]. Важнейшими элементами систем данного класса, определяющими эффективность процесса их адаптации, являются алгоритмы подстройки (идентификации) математических моделей управляемых объектов по мере поступления в систему измеренных значений их входных и выходных переменных. Несмотря на то что в настоящее время имеется значительное число упомянутых выше алгоритмов, базирующихся на различных идеях и подходах [3, 4], задача повышения эффективности уже имеющихся и создания и исследования новых алгоритмов подобного назначения остается актуальной и привлекает к себе внимание специалистов, занимающихся решением проблем адаптивного управления.

В данной работе синтезируется ряд алгоритмов подстройки математических моделей управляемых объектов отмеченного выше класса, а также приводятся некоторые результаты их исследований. Каждый из этих алгоритмов является той или иной модификацией хорошо известного одноточечного оптимального рекуррентного алгоритма подстройки математических моделей линейных статических объектов управления, основанного на использовании проекционного алгоритма Качмажа решения систем линейных алгебраических уравнений [3, 4]. Интерес к совершенствованию именно этого алгоритма обуславливается рядом достоинств: 1) он достаточно прост в вычислительном отношении; 2) требует небольшой оперативной памяти при его реализации с помощью ЭВМ; 3) является малоинерционным и соответственно позволяет отслеживать изменения переменных параметров объекта; 4) является рекуррентным, т.е. позволяет вести вычисления в реальном масштабе времени по мере поступления результатов наблюдений, что весьма существенно при управлении нестационарными объектами; 5) позволяет достаточно точно определять параметры объекта при произвольных начальных оценках данных параметров; 6) последовательность оценок параметров, вычисляемых с его помощью, является монотонно по евклидовой норме сходящейся к истинным значениям параметров; 7) имеется целый ряд возможностей повышения его помехоустойчивости и эти возможности ап-паратно и программно легко реализуются. Перечисленные достоинства определили широкое практическое применение данного алгоритма при автоматизации промышленных объектов. Однако в случае, когда значения измеряемых величин, действующих на вход объекта, в соседние

моменты времени мало отличаются друг от друга, обсуждаемый алгоритм обладает весьма низкой скоростью сходимости оценок параметров объекта, что чрезмерно увеличивает период получения достаточно точных оценок параметров и соответственно снижает эффективность управления объектом. Желание устранить данный недостаток, по возможности сохраняя при этом все его отмеченные выше достоинства алгоритма, и тем самым существенно расширить возможности его применения в разработках адаптивных систем управления различными процессами стимулировало нас синтезировать ряд его модифицированных вариантов, сущность и результаты исследований которых обсуждаются в последующих разделах данной работы.

1 Постановка задачи идентификации и описание оптимального одношагового алгоритма

Как известно [4], идентификацией объекта его математической моделью, или просто

идентификацией, обычно называют процесс построения математической модели объекта с целью оценки его статических и динамических характеристик с использованием измеренных значений, реально действующих на его входах воздействий и его реакций на эти воздействия. В достаточно общем для практических приложений виде задача построения математической модели управляемого объекта может быть сформулирована следующим образом.

Пусть в результате измерений действующих на входы объекта компонентов вектора х = {х1, х2,..., хп} и реакции у на данные воздействия получены численные значения

х( = {хп,х12,...,хп}, I = 1,т , где т - некоторое ограниченное натуральное число. Требуется определить вид оператора ¥, который был бы в определенном смысле близок к оператору объекта ¥0, в соответствии с которым осуществляется преобразование входных воздействий

х ^ , ] = 1,п, в значения у( его реакции у , I = 1,т . Другими словами, необходимо определить

такой оператор ¥ , который бы удовлетворял соотношению ¥ ~ ¥0 ,где символом «~» обозначено отношение близости в том или ином смысле левой и правой частей соотношения.

В наиболее общем случае задача идентификации объекта включает в себя задачу определения структуры объекта идентификации и задачу идентификации параметров объекта. Первая из этих задач возникает в случае, когда вид оператора ¥0 является неизвестным и требует определения. Со второй из названных задач приходится иметь дело тогда, когда структура оператора ¥0 предполагается известной и соответственно требуется идентифицировать только

его параметры. Всюду ниже речь будет идти прежде всего о второй из этих задач, т.е. о задаче параметрической идентификации, которая сводится к отысканию таких оценок параметров математической модели ¥, которые обеспечивают наилучшую в каком-либо смысле близость расчетных и измеренных значений реакции объекта на одни и те же входные воздействия. Под расчетными значениями реакции объекта здесь понимаются значения его выхода, рассчитанные в соответствии с имеющейся математической моделью. При этом будем считать, что оператор ¥0 является линейным и статическим. Это означает, что зависимость значений выхода

п

объекта от значений его входов описывается следующим уравнением: у. = ^ х.а., где у. -

значение выхода объекта в момент времени .; х. - значение . -го входа х. в этот же момент времени, . = 1, п; а. - неизвестные параметры объекта; п - число входов объекта - некоторое ограниченное натуральное число; . - дискретные моменты времени.

В соответствии со сделанным выше предположением относительно структуры оператора ¥0 будем искать модель объекта (оператор ¥) в следующем виде:

п

у. =£ ха,

]=1

где у.- оценка значения выхода объекта в момент времени полученная с использованием данной модели;

а. - оценка Ц -го параметра объекта для t-го такта оценивания.

Заметим, что в более компактной и удобной для наших дальнейших целей векторной форме записи формула (1) имеет вид уt = (х., а() , где («,») - символ операции скалярного

умножения векторов х( = {хп,ха,...,хп} и а( = [ал,а.2,...,ап} .

В отмеченных выше условиях задача идентификации объекта сводится, очевидно, к вычислению оценок а., сходящихся к истинным значениям а. его параметров. Для ее решения

можно воспользоваться многими известными в настоящее время рекуррентными алгоритмами [3-5]. Наиболее популярным из этих алгоритмов является одноточечный оптимальный алгоритм, о котором шла речь выше. Аналитически данный алгоритм представляется следующей рекуррентной формулой:

а = а-1 + у-

где а .-1 - вектор оценок параметров объекта, вычисленный на предшествующем (. -1) -м такте оценивания;

а . - новый вектор оценок, вычисляемых на текущем ¿-м такте управления;

х. - п -мерный вектор измеренных значений входных воздействий в момент времени t;

у. - измеренное значение выхода объекта в этот же момент времени.

Введя вектор Аа. = а. - а.-1 - вектор поправок имеющихся оценок а.-1, из формулы

. у. -

можно непосредственно видеть, что он удовлетворяет равенству Аа. = —--—х1 и, сле-

довательно, является коллинеарным вектору х.. Отсюда в свою очередь легко видеть, что абсолютное значение Аа... поправки имеющейся оценки а(-1. параметра аi пропорционально

абсолютному значению |х. | у -го компонента вектора х-, . = 1, п. При этом коэффициент про-

yt -

порциональности qt, определяемый равенством qt = —--—, является одним и тем же

числом для всех вычисляемых поправок Аа. .

Предельно наглядно процесс подстройки оценок а--1 в соответствии с данным алгоритмом иллюстрирует рис. 1, где представлена его геометрическая интерпретация в случае, когда п = 2.

Рис. 1 - Оптимальный одношаговый алгоритм

На рис. 1 приняты следующие обозначения: 1 - прямая, соответствующая измерениям, поступившим в момент времени -; 2 - прямая, соответствующая значениям входных воздействий и выхода объекта в момент времени - -1; 3 - прямая, соответствующая значениям входных воздействий и выхода объекта в момент времени - +1.

2 Модификации оптимального одношагового алгоритма

Как уже было отмечено выше, основным недостатком оптимального одношагового алгоритма (2) является его низкая скорость сходимости в случае, когда направления векторов входных воздействий х- и х--г в соседних измерениях мало отличаются друг от друга. Предлагаемые ниже модификации в ряде случаев позволяют избавиться от данного недостатка или существенно уменьшить его. Идея, на которой основаны рассматриваемые ниже алгоритмы, состоит в том, что наряду с результатами измерений входных воздействий и реакции объекта на эти воздействия при определении оценок параметров объекта используются и их усредненные значения. Это позволяет уточнять имеющиеся оценки даже в случае, когда соответствующие им входные величины оставались неизменными с момента предыдущего измерения.

Первая модификация алгоритма (2). Вычисление оценок параметров объекта с помощью данной модификации алгоритма (2) сводится к выполнению следующих действий.

1. Вычисление промежуточного вектора оценок а] в соответствии с алгоритмом (2), используя при этом измеренные в момент времени I значения вектора х( и скаляра уг;

2. Вычисление промежуточных оценок а2( по имеющимся усредненным значениям хг-1 и у—, полученным на основе поступивших в моменты I = 1,2,...,I -1 измерений входа Х и выхода у объекта, с использованием при этом алгоритма (2);

3. Усреднение значений входных воздействий и значений выхода с учетом измерений, поступивших на момент времени I, в соответствии со следующей формулой:

, г -1, 1

Ъ =—Ъ-1 + ,

где Ъ( - среднее значение измеряемой величины в момент времени I;

Ъ{-1 - среднее значение данной величины в предыдущий момент;

С - значение измеряемой величины в момент времени I.

4. Вычисление вектора оценок а( согласно алгоритму (2) по новым усредненным значениям Хг и уг входных воздействий х объекта и его реакции у .

Геометрическая интерпретация данной модификации алгоритма (2) приведена на рис. 2.

Рис. 2 - Первая модификация алгоритма

На рис. 2 приняты следующие обозначения: 1 - прямая, соответствующая измерениям, поступившим в момент времени I; 2 - прямая, соответствующая средним значениям входных

воздействий и выхода объекта в момент времени I -1; 3 - прямая, соответствующая средним значениям входных воздействий и выхода объекта в момент времени I.

Вторая модификация алгоритма (2). Как и в приведенной выше модификации алгоритма (2), для определения параметров объекта здесь также используются усредненные значения входных воздействий и реакции объекта. Однако состав и порядок выполнения вычислительных операций здесь существенно иной и сводится к следующему.

1. При поступлении измерений х{ и у( в момент времени Iосуществляется вычисление

компонентов промежуточного вектора оценок а1 в соответствии с алгоритмом (2).

2. Вычисляются средние значения входных воздействий Х{ и выхода объекта у{с учетом измерений х 1 и у{ в соответствии с формулой (3).

3. Используя промежуточный вектор оценок а1 и новые усредненные значения входных и выходной величин, вычисляется вектор оценок а( в соответствии с алгоритмом (2). Геометрическая интерпретация данной модификации алгоритма (2) представлена на рис. 3.

Рис. 3 - Вторая модификация алгоритма

На рис. 3 приняты следующие обозначения: 1 - прямая, соответствующая средним значениям входных и выходной переменных в момент времени I -1; 2 - прямая, соответствующая измерениям х( и у{, поступившим в момент времени I; 3 - прямая, соответствующая средним значениям входных и выходной переменной в момент времени I.

Третья и четвертая модификации алгоритма (2). Наряду с идеей, лежащей в основе рас-смотренных выше первой и второй модификаций алгоритма (2), в основу данной и сле-

дующей его модификаций положена идея использования не непосредственно измерений xt и yt, а их изменений Axt и Ayt, удовлетворяющих равенствам: а) Axt = xt - xt-1; б)

Ayt = yt - yt-1

Вычисление оценок at с помощью данной модификации производится в следующей последовательности .

1. Получение первого промежуточного вектора оценок а1 в соответствии с равенством

а, = + Ау -

t t-1 (Axt, Axt) t

являющимся, очевидно, не чем иным, как алгоритмом (2), записанным применительно к вектору Axt и значению Ayt.

2. Вычисление компонентов второго промежуточного вектора оценок a2t согласно формуле

= а1 + Ayt-1 - (Ax,-1,а1) ax 1, t = 1,2,3,...,

t t (Ax-1, Axt-1) t-1

где Axt-1 - вектор средних значений изменений входных величин в момент времени t-1; Ayt-1 - среднее значение изменений выходной величины в момент времени t-1.

3. Вычисление средних значений Axt и Ayt в соответствии с формулой (3).

4. Вычисление вектора оценок аt параметров объекта согласно равенству

= а2 + Ayt - (Ax,,а2) ax , t = 1,2,3,... t t (Axt, Axt) t

Отметим следующее весьма важное обстоятельство. Как вытекает из равенства (4), если AXj = 0 , что, очевидно, возможно только в случае, когда xtj = Х(t-1)j, то поправка Aatj = 0 и,

следовательно, atj = a(t-1)п . Иначе говоря, если значение j-го входного воздействия в момент

времени t осталось таким же, каким оно было и в момент времени t-1, то и оценка atj окажется

равной имеющейся оценке a^j. Такой образ действий здесь вполне логически оправдан, так

как вектор xt во всех подобных случаях не содержит какой-либо новой информации о зависимости выхода объекта от его у-го входного воздействия и соответственно у нас нет каких-либо оснований изменять имеющуюся оценку a(t-X)j.

Четвертая модификация алгоритма (2) по своей вычислительной схеме соответствует изложенной выше второй его модификации и состоит из следующих этапов.

1. Получение промежуточного вектора оценок а1 параметров объекта по формуле (4).

2. Усреднение приращений выходной величины Ау. и вектора входных воздействий Ах. по формуле (3) и получение новых значений АХ., Ау..

3. Вычисление вектора оценок а( согласно формуле

а. = а1 + Ау - (^»а1) АХ., . = 1,2,3,... . . (АХ., АХ.) .

Завершая описание сущности предлагаемых модификаций, отметим, что все они, как и базовый алгоритм (2), являются проекционными алгоритмами. При этом проецирование имеющихся оценок аих осуществляется на гиперплоскости, направляющими векторами которых являются векторы Х(, АХ.-1 и АХ., параллельно данным векторам, и, таким образом, вычисляемые оценки а^, а.2 и а( являются ортогональными проекциями оценок а.-1 на соответствующие гиперплоскости.

Из вышеизложенного видно, что с точки зрения программной и аппаратной реализации предлагаемые алгоритмы ненамного сложнее, чем положенный в их основу оптимальный од-ношаговый алгоритм. В то же время использование в данных алгоритмах не только текущих измерений входных воздействий и реакции объекта на эти воздействия, но и их усредненных значений позволяет надеяться на то, что рассмотренные алгоритмы обладают более высокой помехоустойчивостью и приемлемой скоростью сходимости.

3 Методика проведения численных экспериментов

Для проверки работоспособности предложенных в [1] модификаций оптимального одноточечного алгоритма и исследования их свойств нами был проведен ряд численных экспериментов, выполненных с применением компьютера в соответствии со следующей методикой.

В качестве имитатора управляемого объекта во всех экспериментах использовалось соотношение вида

У. =«1 Х.1 +«2X2 ,

где у. - значение выхода объекта в момент времени .;

х^ - значениеу-го входа в этот же момент времени ., ] = 1,2 ;

а1, а2 - независящие от времени параметры, равные 1,5 и 2,0 соответственно.

Соответственно этому во всех экспериментах предполагалось, что модель объекта имеет вид у* = а.1х.1 + а.2х.2, где у* - оценка выхода объекта в момент времени .; а.1, а.2 - оценки

параметров а1 и а2 объекта в этот же момент времени.

Значения компонентов х.1 и х.2 вектора входных воздействий Х. генерировались следующими четырьмя способами.

1. С помощью генератора псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [-1;1], входящего в состав программного обеспечения компьютера.

2. Задавались соотношениями xt1 = 1,0 и xt2 = t, где t = kAt, к = 1,2,3,..., а At - величина шага дискретизации времени, численные значения которой в каждом эксперименте являются постоянными, но в различных экспериментах могут быть, вообще говоря, различными.

3. Задавались соотношениями xt1 = t и xt2 = t , где значения t определяются условиями, оговоренными выше.

4. Задавались таким образом, чтобы угол между векторами xt-1 и xt при всех значениях t был постоянным. Формирование набора векторов входных воздействий, удовлетворяющих данному условию, осуществлялось следующим образом (рис. 4). Прежде всего задавались угол между векторами входных воздействий Аф и их длина lx. Далее, используя заданные значения Аф и lx , вычислялись значения компонентов вектора xt в соответствии с соотношениями xt1 = lx cosфt и xt2 = lx sin фt, где xt1 и xt2 - первый и второй компоненты вектора xt; фt -угол между вектором xt и осью Ox1, значения которого задавались согласно соотношению фt = фм - Аф , где Аф - величина, имеющая постоянное абсолютное значение, а ее знак изменяется случайным образом, что позволяет изменять направление вращения вектора входных воздействий.

Рис. 4 - Генерирование векторов входных воздействий с постоянным углом между ними

Значения выхода у{ во всех перечисленных случаях вычислялись с использованием заданных значений хл и хг2 в соответствии с соотношением (5).

Исследование помехоустойчивости рассматриваемых алгоритмов проводилось в условиях, когда с ошибками задавались только значения выхода объекта. При этом в качестве измеренных значений выхода объекта использовались значения , определяемые в соответствии

с соотношением у( = у( ; I = 1,2,3,..., где уг - истинное значение выхода объекта, а -некоторое значение ошибки его измерения в момент времени I, формируемое согласно равенству = , где в - коэффициент, изменяемый в интервале [0;1] и позволяющий соответственно устанавливать желаемый диапазон значений ошибок измерения; ^ - значение равномерно распределенной в интервале [-1;1] ошибки , получаемое с помощью генератора псевдослучайных чисел.

В качестве правила останова процесса подстройки оценок а( во всех случаях использовалось неравенство вида Щ - «|| <Д , где Щ - «|| - евклидова норма вектора а( - а; А -некоторое достаточно малое заданное число, больше нуля.

Во всех экспериментах в качестве вектора начальных оценок а01 и а02 параметров объекта а,) и а2 использовался вектор а0 = (1,0; 1,0) .

4 Некоторые результаты выполненных экспериментов

Экспериментальные исследования всех рассматриваемых алгоритмов проведены в соответствии с одной и той же изложенной выше методикой. Данное обстоятельство позволяет надеяться, что все приведенные ниже сравнения свойств исследуемых алгоритмов являются корректными. Полученные результаты данных исследований сводятся к следующему.

Во-первых, в тех случаях, когда значения входных переменных и выхода объекта задаются точно (измеряются без ошибок), все исследуемые алгоритмы сходятся монотонно по евклидовой норме, обеспечивая наперед заданную точность вычисляемых оценок (табл. 1).

При этом скорость сходимости всех алгоритмов существенно зависит от значений входных воздействий и прежде всего от тесноты линейной зависимости между векторами хг-1 и хг, I = 1,2,3,..., значений входных переменных в соседние моменты времени. В случаях, когда компоненты векторов входных воздействий мало отличаются в соседних измерениях, скорость сходимости всех рассматриваемых алгоритмов мала и оказывается тем меньше, чем меньше отличие векторов (рис. 5). Наблюдаемая немонотонность скорости сходимости третьего и четвертого алгоритмов, скорее всего, определяется численными значениями параметров модели.

Во-вторых, сходимость исследуемых алгоритмов не зависит от выбора начальных оценок параметров объекта и имеет место при произвольных значениях данных оценок.

В-третьих, при наличии ошибок измерений выхода объекта монотонность сходимости по евклидовой норме оценок, получаемых с помощью исследуемых алгоритмов, к своим истинным значениям нарушается (рис. 6). При этом монотонность и скорость сходимости всех алгоритмов существенно зависят от величины ошибок измерения выхода объекта.

Таблица 1 - Результаты исследования алгоритмов на точность получаемых оценок и скорость сходимости

Алгоритмы Требуемая точность

0,0001 0,0005 0,001 0,005 0,01 0,05 0,1

Базовый N 12 7 7 6 5 3 3

Норма 0,00008 0,00041 0,00041 0,00124 0,00847 0,01831 0,01831

Алгоритм 1 N 7 5 5 5 5 5 3

Норма 0,00004 0,00050 0,00050 0,00050 0,00050 0,00050 0,06758

Алгоритм 2 N 7 7 7 5 5 5 5

Норма 0,00005 0,00005 0,00005 0,00100 0,00100 0,00100 0,00100

Алгоритм 3 N 10 9 8 8 8 7 7

Норма 0,00001 0,00016 0,00057 0,00057 0,00057 0,04321 0,04321

Алгоритм 4 N 11 10 9 9 8 8 7

Норма 0,00006 0,00025 0,00091 0,00091 0,00639 0,00639 0,09541

Примечания: 1) N - число итераций алгоритма для обеспечения заданной точности; 2) компоненты вектора входных воздействий являются случайными величинами с равномерным законом распределения.

Рис. 5 - Зависимость скорости сходимости алгоритмов от угла между векторами входных воздействий

В-четвертых, первый и второй алгоритмы, как показали эксперименты, обладают большей помехоустойчивостью по сравнению с третьим и четвертым алгоритмами; при малых углах между векторами входных воздействий первый и второй алгоритмы уступают в скорости сходимости третьему и четвертому алгоритмам.

В-пятых, недостатком третьего и четвертого алгоритмов является то, что в случае, когда какая-либо из входных переменных объекта не изменяется в соседних тактах оценивания, они не уточняют оценку соответствующего ей параметра объекта. Соответствующие результаты

приведены в табл. 2. В то же время данные алгоритмы среди рассматриваемых алгоритмов обладают большей скоростью сходимости в случаях, когда направления векторов входных воздействий мало отличаются друг от друга

Рис. 6 - Сходимость первого алгоритма при наличии помех

В-шестых, всем исследуемым модификациям оптимального одношагового алгоритма присущи следующие основные недостатки: большее количество арифметических операций, производимых на одном такте для уточнения оценок параметров объекта, и, как следствие, увеличение затрат времени на реализацию одного такта оценивания; необходимость использования дополнительной памяти для хранения промежуточных значений оценок параметров объекта, средних значений входных воздействий и выхода объекта.

Таблица 2 - Результаты эксперимента

Евклидова норма между вектором оценок и вектором параметров объекта М = 0,01

Базовый Алгоритм 1 Алгоритм 2 Алгоритм 3 Алгоритм 4 Итерация Угол

0,99495 0,99495 0,99495 1 0,0001

0,99403 0,91970 0,92465 0,50000 0,50000 20 0,5520

0,99359 0,78049 0,78963 0,50000 0,50000 30 0,5271

0,99320 0,58324 0,59499 0,50000 0,50000 40 0,4956

0,99285 0,37733 0,38880 0,50000 0,50000 50 0,4602

0,99256 0,21048 0,21936 0,50000 0,50000 60 0,4232

0,99232 0,10192 0,10754 0,50000 0,50000 70 0,3863

0,99211 0,04346 0,04646 0,50000 0,50000 80 0,3511

0,99194 0,01663 0,01802 0,50000 0,50000 90 0,3181

0,99181 0,00584 0,00641 0,50000 0,50000 100 0,2879

0,99170 0,00192 0,00214 0,50000 0,50000 110 0,2606

0,99164 0,00096 0,00108 0,50000 0,50000 116 0,2455

0,99163 0,00096 0,50000 0,50000 117 0,2431

0,99162 0,50000 0,50000 118 0,2407

0,99111 0,50000 0,50000 500 0,0221

Все исследованные алгоритмы не обеспечивают монотонной сходимости вычисляемых оценок к истинным значениям параметров объекта (рис. 7).

1 5 9 13 17 21

Количество итераций

Базовый алгоритм —Алгоритм1 -Оцениваемый параметр

Рис. 7 - Процесс оценивания одного из параметров объекта

Заключение

Основываясь на изложенных выше результатах, можно заключить, что полученные алгоритмы обладают большей помехоустойчивостью и обеспечивают более высокую скорость сходимости получаемых с их помощью оценок к истинным значениям параметров объекта, чем положенный в их основу оптимальный одношаговый алгоритм, при этом они ненамного сложнее в программной реализации. Все это позволяет говорить о том, что синтезированные алгоритмы вполне пригодны для практической реализации.

Для решения вопроса о возможности использования рассмотренных алгоритмов в той или иной конкретной системе управления требуются дополнительные исследования, которые необходимо проводить с учетом особенностей объекта ее управления, а также видов входных воздействий и помех на входах и выходе объекта.

ЛИТЕРАТУРА

1. Адаптивные автоматические системы: Сборник статей под ред. Г.А. Медведева. - М.: Советское радио, 1972. - 184 с.

2. Рубан А.И. Адаптивное управление с идентификацией. - Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 1983. - 136 с.

3. Райбман Н.С. Построение моделей процессов производства / Н.С. Райбман, В.М. Ча-деев. - М.: Энергия, 1975. - 376 с.

4. Лившиц К.И. Идентификация: Учеб. пособие. - Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 1981. -

132 с.

5. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975. - 683 с.