Упорядочение выпуклых полиэдров и алгоритм Е. С. Фёдорова

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

УДК 548.12

УПОРЯДОЧЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ПОЛИЭДРОВ И АЛГОРИТМ Е. С. ФЁДОРОВА Ю. Л. Войтеховский

ФГБУН Геологический институт КНЦ РАН

Аннотация

Ранее предложен способ именования любого выпуклого полиэдра в виде числового кода. По имени он восстанавливается однозначно. Многообразие выпуклых полиэдров строго упорядочено по именам, а именно с ростом n классы n-акров следуют друг за другом без перекрытий. В этой статье показано, что при упорядочивании n-акров по max именам в каждом классе (при данном n) непростые следуют за простыми. Найдена связь процедуры упорядочения с алгоритмом Е. С. Фёдорова генерирования полного комбинаторного многообразия выпуклых полиэдров. Ключевые слова:

выпуклые n-эдры и n-акры, имя n-акра, простые и непростые полиэдры, упорядочение классов, упорядочение n-акров в классе, алгоритм Е. С. Фёдорова.

ORDERING OF CONVEX POLYHEDRA AND E. S. FEDOROV'S ALGORITHM

Yury L. Voytekhovsky

Geological Institute of the KSC of the RAS

Abstract

A method to name any convex polyhedron by the number code has been suggested earlier. Any polyhedron can be build by its name. The variety of convex polyhedra is strictly ordered by their names. Namely, with growing n the classes of n-acra follow each other without overlapping. It has been shown in the paper that non-simple n-acra follow simple ones in any class (given n) when ordered by max names. The relation of the ordering procedure to the E. S. Fedorov's algorithm to generate the full combinatorial variety of convex polyhedra wasfound.

Keywords:

convex n-hedra and n-acra, the name of n-acron, simple and non-simple polyhedra, ordering of classes, ordering of n-acra in a class, E. S. Fedorov's algorithm.

Введение

В работах [1-4] обоснована гипотеза: с ростом п доля комбинаторно асимметричных (примитивных триклинных) выпуклых и-эдров (а также п-1 акров, т.е. и-вершинников — в силу дуальности, сохраняющей симметрию) в их полном многообразии монотонно стремится к 100 %. Среди 12-эдров (6384634) их 6336013 (99.238 %), среди простых (в каждой вершине сходятся

|три ребра/грани) 16-эдров (17490241) их 17411448 (99.550 %). Тем самым обоснована проблема: найти способ описания выпуклых полиэдров, не использующий точечных групп симметрии. Примитивный вид симметрии триклинной сингонии (точечная группа симметрии, т. г. с. 1; порядок группы автоморфизмов, п. г. а. 1) связал классическую кристалломорфологию с комбинаторно-геометрической теорией выпуклых полиэдров.

В статьях [5, 6] предложено характеризовать выпуклые и-акры именами-кодами, получаемыми из матриц смежности их реберных графов. В зависимости от нумерации вершин у и-акра получается и!/п. г. а. имен. В этом смысле асимметричный и-акр (п. г. а. = 1) факториален, симметричный — афакториален. Он восстанавливается по любому имени. Все имена связаны

перестановками строк и столбцов матрицы смежности. Выбор имени зависит от решаемой задачи и того, насколько позволяет развить теорию. Доказано, что с ростом п при любом выборе имен классы ^акров строго (без перекрытий) упорядочены на числовой прямой. В этой статье исследуются упорядочение ^акров внутри класса (при данном п) и его связь с алгоритмом Е. С. Фёдорова генерирования комбинаторного многообразия выпуклых полиэдров [7-9].

Алгоритм Е. С. Фёдорова

Алгоритм Е. С. Фёдорова состоит из трех процедур отсечения (а — простой вершины, в — ребра, соединяющего две простые вершины, у — двух ребер, последовательно соединяющих три простые вершины) и процедуры ю редукции ребра. Отсечения применяются только к простым полиэдрам: а порождает 3-угольную, в — 4-угольную, у — 5-угольную грани, вместе реализуя известную теорему: не выпуклом полиэдре одновременно не могут отсутствовать 3 -, 4- и 5-угольные грани. Редукция ю важна в связи с дальнейшим. Она состоит в стягивании ребра в точку (вершину), если при этом не уничтожается ни одна из контактирующих по нему граней. Она может применяться несколько раз, порождая непростые полиэдры 1 -го, 2-го и т. д. порядков с тем же числом граней.

Результаты компьютерного генерирования комбинаторного многообразия выпуклых полиэдров с помощью алгоритма Е. С. Фёдорова даны в таблице. Сегодня известны все 4- ... 12-эдры и простые 13- ... 16-эдры. Числа простых полиэдров для каждого F стоят в рядах справа: Vп = 2F - 4. (Равенство легко получить, решая совместно уравнения: 3 V = 2E и F - E+V = 2, где Е — число ребер). Каждая редукция ю уменьшает V на 1. Поэтому число редукций, нужных для получения полиэдра из некоторого простого с тем же F, равно: ю = Vп - V = 2F - V- 4. Для простого полиэдра ю = 0. Максимальное значение ю для данного F равно: ютах = F + [Р/2] -6, где [...] — целая часть числа. В эквивалентной форме: ютах = 3F/2 - 6 для четных^ ютах = 3F/2 -6.5 для нечетных F. Используя ю, конкретизируем задачу: исследовать согласование упорядочений ^акров внутри класса (при данном п) по именам и по ю.

Числа комбинаторно различных полиэдров с F-гранями и ^-вершинами

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

4 1

5 1 1

6 1 2 2 2

7 2 8 11 8 5

8 2 11 42 74 76 38 14

9 8 74 296 633 768 558 219 50

10 5 76 633 2635 6134 8822 7916 4442 1404 233

11 38 768 6134 25626 64439 104213 112082 79773 36528

12 14 558 8822 64439 268394 709302 1263032 1556952 1338853

17 18 19 20 22 24 26 28

11 9714 1249

12 789749 306470 70454 7595

13 49566

14 339722

15 2406841

16 17490241

Упорядочение в классах

Рассмотрению подлежат n-акры, располагающиеся в таблице в столбцах (и дуальные n-эдрам, располагающимся в строках — таблица симметрична относительно главной диагонали). Для анализа мы располагаем всеми 4- ... 7-акрами [2, рис. 3; 7, fig. 3]. При упорядочении по min именам 6-акр (7916, ю = 0) следует за (7915, ю = 2). Упорядочение по max именам тоже не согласуется с ростом ю. Так, 6-акр (32531, ю = 2) следует за (31583, ю = 6) и (31582, ю = 4). С ростом ю интервалы имен перекрываются: ю = 0 [29327], ю = 2 [31571, 32531], ю = 4 [31582, 32681], ю = 6 [31583, 32754]. Аналогично, для 7-акров: ю = 1 [1984627, 1990799], ю = 3 [1990871, 2089235], ю = 5 [1993051, 2093699], ю = 7 [2057563, 2095881], ю = 9 [2057567, 2096914].

Но анализ реберных графов показывает, что при ю > 1 max имя n-акра зависит от того, какие валентности у его непростых вершин. При ю = 2 возможны варианты: ю = 2 — одна вершина валентности 5 (избыточны 2 валентности), ю = 1 + 1 — две вершины валентности 4 (в каждой избыточна 1 валентность). Оба реализуются среди 6-акров (по 1 полиэдру). При ю = 3 возможны: ю = 3, ю = 2 + 1, ю = 1 + 1 + 1. Они реализуются среди 7-акров: 1, 2 и 5 соответственно. По-видимому, все разложения любого ю > 1 реализуются в валентностях вершин n-акров для достаточно больших п. На рис. 1 и 2 показаны упорядочения 4-. 7-акров по max именам с указанием разложений ю. Их анализ позволяет сформулировать утверждение: max избыточные валентности в разложениях ю образуют нестрогое упорядочение п-акров (при данном п), согласованное с их строгим упорядочением по max именам.

Рис. 1. Упорядочение 4- ... 6-акров в классах по max именам и разложения ю в суммы избыточных валентностей вершин

Доказательство. Пусть i1, i2, i3 — max избыточные валентности в разложениях юь ю2, ю3 трех и-акров, причем i1 < i2 < i3. Они характеризуют вершины с валентностями 3 + ii, 3 + i2, 3 + i3. Пронумеровав их № 1, а смежные — следующими числами натурального ряда, обеспечим в начале первых строк матриц смежности и, далее, в max именах то же число единиц [5, 6]. Следовательно, max имена находятся в том же соотношении, что и max избыточные валентности: max1 < max2 < max3. Выбор вершины с № 1 (если в разложении ю есть несколько max избыточных валентностей) и упорядочение и-акров с совпадающими разложениями ю определяются более тонкими особенностями их строения.

Следствие: при упорядочении по max именам непростые и-акры (> 1) следуют за простыми (ю = 0). Это ясно из того, что в любом разложении ю > 1 max избыточная валентность > 1. Но из таблицы видно, что ю = 0, 2, 4. реализуются только для и-акров с четными и. Поэтому формулировку можно усилить: при упорядочении по max именам непростые и-акры (ю > 2) следуют за простыми (ю = 0).

Рис. 2. Упорядочение 7-акров по max именам и разложения ю в суммы избыточных валентностей вершин

Заключение

Исследование комбинаторного многообразия выпуклых 4- ... 7-акров выявило связь упорядочения n-акров в классе (при данном n) с алгоритмом Е. С. Фёдорова генерирования полиэдров, точнее, с числом редукций ю, необходимых для получения непростого n-акра из некоторого простого полиэдра с тем же числом граней. Важную роль играют разложения ю в сумму избыточных валентностей непростых вершин. В отличие от ю, max избыточные валентности образуют нестрогое упорядочение n-акров в классе, согласованное с их строгим упорядочением по max именам. Из этого следует, что при упорядочении по max именам в классе (при данном n) простые n-акры предшествуют непростым с ю > 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Комбинаторная кристалломорфология. Кн. IV: Выпуклые полиэдры. Т. I: 4- ... 12-эдры. Апатиты: КНЦ РАН, 2008. 833 с. 2. Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Комбинаторная кристалломорфология. Кн. IV: Выпуклые полиэдры. Т. II: Простые 13- ... 16-эдры. Апатиты: КНЦРАН, 2008. 828 с.

3. Voytekhovsky Y. L., Stepenshchikov D. G. The variety of convex 12-hedrarevised // ActaCryst. 2005. A 61. Р. 581— 583. 4. Voytekhovsky Y. L., Stepenshchikov D. G. On the symmetry of simple 16-hedra // Acta Cryst. 2006. A 62. Р. 230-232. 5. Войтеховский Ю. Л. Упорядочение выпуклых полиэдров // Вестник Кольского научного центра РАН. 2016. № 1. С. 38-43. 6. Voytekhovsky Y. L. How to name and order convex polyhedra // Acta Cryst. 2016. A 72. P 582-585. 7. Богомолов С. А. Классификация выпуклых многогранников по Фёдорову и Эбергардту // ЗРМО. 1929.

4. 58. С. 265-277. 8. Фёдоров Е. С. Основания морфологии и систематики многогранников // Зап. Импер. С.-Петерб. минералог. о-ва. 1893. Ч. 30. С. 241-341. 9. Voytekhovsky Y. L. The Fedorov algorithm revised // Acta Cryst. 2001. A 57. Р. 475-477.

Сведения об авторе

Войтеховский Юрий Леонидович — доктор геолого-минералогических наук, профессор, директор Геологического института КНЦ РАН E-mail: woyt@geoksc.apatity.ru

Author Affiliation

Yury L. Voytekhovsky — Dr. Sci. (Mineralogy & Crystallography), Professor, Director of the Geological Institute of the KSC of the RAS E-mail: woyt@geoksc.apatity.ru

Библиографическое описание статьи

Войтеховский, Ю. Л. Упорядочение выпуклых полиэдров и алгоритм Е. С. Фёдорова / Ю. Л. Войтеховский // Вестник Кольского научного центра РАН. — 2016. — № 4. — С. 5-9.

Reference

Voytekhovsky Yury L. Ordering of Convex Polyhedra and E. S. Fedorov's Algorithm. Herald of the Kola Science Centre of the RAS, 2016, vol. 4 (27), pp. 5-9. (In Russ.).