Параметры подобия и моделирование процессов колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа

точки математического бильярда в круге. Это может быть качение шара по направляющей окружности цилиндра (если дз = 0) или движение центра шара в плоскости по хордам этой окружности одинаковой длины. Шар периодически ударяется о цилиндр, вращаясь с постоянной угловой скоростью, параллельной оси цилиндра.

2. Пусть д2 = 0. Это означает, что движение центра шара происходит все время в вертикальной плоскости, и мы имеем случай, совпадающий с движением шара между двумя параллельными плоскостями.

Авторы весьма признательны А.В. Карапетяну за полезные обсуждения данной работы. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-00406, 12-01-00441 и 12-0800591).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Козлов В.В. Об ударе с трением // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1989. 6. 54-60.

2. Березинская С.Н., Кугушев Е.И., Сорокина О.В. О движении механических систем с односторонними связями // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 3. 18-24.

3. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т. 1. М.: Наука, 1983.

4. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992.

5. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997.

Поступила в редакцию 11.01.2012

УДК 539.3

ПАРАМЕТРЫ ПОДОБИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА

В. В. Показеев1, С. И. Кийко2

Устанавливаются правила пересчета параметров, характеризующих колебания пластины в модельном эксперименте, на значения параметров в натурном процессе (или другом эксперименте). Материал пластины ортотропный, вязкоупругий. Модель флаттера основана либо на поршневой теории, либо на линеаризованной теории потенциального сверхзвукового обтекания.

Ключевые слова: сверхзвуковой флаттер, параметры подобия, моделирование.

The conversion rules of the parameters characterizing the plate vibrations in a model experiment to the parameter values in a natural process (or in another experiment) are formulated. The plate material is orthotropic and viscoelastic. The flutter model is based on the piston theory or on the linearized theory of potential supersonic flow.

Key words: supersonic flutter, similarity parameters, modeling.

Среди большого числа публикаций по панельному флаттеру пластин всего лишь около десятка работ содержат результаты экспериментальных исследований. Это связано с большими техническими трудностями. Практически во всех работах ставилась цель — сравнить результаты экспериментально наблюдаемых критических параметров (как правило, критического числа Маха) с предсказаниями теории (в основном поршневой). Исключение составляют работы [1, 2], в которых преследовалась цель — экспериментально обнаружить одномодовый флаттер в области малых сверхзвуковых скоростей. Отметим два обстоятельства: все эксперименты проведены с прямоугольными упругими пластинами, вектор скорости потока параллелен одной из сторон. Результаты различных экспериментов достаточно сложно сравнивать между собой, поскольку не выявлены параметры, по которым это можно было бы сделать.

1 Показеев Валерий Викторович — канд. физ.-мат. наук, проф., зав. каф. высшей математики МГТУ "МАМИ", e-mail: vm@mami.ru.

2 Кийко Светлана Игоревна — асп. каф. высшей математики МГТУ "МАМИ", e-mail: elast5539@vfil.ru.

Задача, которая рассматривается в предлагаемой работе, формулируется следующим образом. Представим себе два процесса колебаний пластины в потоке газа — условно натурный и модельный; предположим, что оба процесса описываются одной и той же математической моделью, а области, занимаемые пластинами в плане (плоскость xy), подобны. Вектор скорости потока в обоих процессах также одинаково ориентирован по отношению к осям xy. Требуется определить правила пересчета параметров, характеризующих модельный процесс (эксперимент), на параметры в натурном процессе (или в другом эксперименте). Материал пластины может быть упругим или линейным вязкоупругим, изотропным или ортотропным. В отличие от других исследований подобного рода здесь не предполагается полное геометрическое подобие: масштабы моделирования по толщине пластины и по размерам в плане могут быть различными. Математическая модель флаттера основывается либо на поршневой теории (ПТ) [3], либо на линеаризованной теории потенциального сверхзвукового обтекания (ЛПТ).

1. Математическая формулировка задачи. Представим себе пластину, которая в плоскости xy занимает область S с контуром Го. С одной стороны пластина обтекается сверхзвуковым потоком газа с вектором V = von0, n0 = {cos 9, sin 9}, и невозмущенными параметрами ро, Ро, Оо = (YPo/ро)1/2 — соответственно давлением, плотностью и скоростью звука; 7 — показатель политропы. Материал пластины обладает свойствами линейного вязкоупругого тела со структурной ортотропией [4]; связь между напряжениями и деформациями в теории пластин Кирхгофа-Лява в этом случае имеет вид

E EE 2

@хх — Z (&хх ^Syy^), &УУ — ~¡ (.^УУ ^l^-xx^i @xy — Íí£xy,

I — V1V2 I — V1V2

здесь Ei,2, / — линейные операторы:

t

£1,2/(t) = El,2 (/ (t) — £1,2 У r(t — T)/ (t) dr^j = Ei,2(I — £1,2Г)/(t),

о

t

if (t) = /о (/(t) — £о / Гo(t — r)/(r) dr) = /о(1 — £оГо)/(t). о

Коэффициенты Пуассона считаются постоянными, при этом E1V2 = E2V1.

Уравнение колебаний запишется в форме

£1 h3

I2

(1 - £lt) ^ + 5i( 1 - £2Г) ^ + 2(7i - u2e°f - 7о£оГо) ^

dx4 dy4 dx2dy2

d2w

+

где р — плотность материала пластины, Н — ее толщина, Ар — давление аэродинамического взаимодействия (избыточное давление). Введены также обозначения:

¿1 = |г> 71 = + -^г (1 - ^1^2), 2е° = £1 + е2-

Пусть I — характерный размер области 5, ¿о — характерное время, тогда в безразмерных переменных (за ними оставлены прежние обозначения) уравнение (1) примет вид

д4ад д4ад 0 - - . д4ад д2ад . . .

где

, 12(1 - ухУ2)1^ 2 М = с^Е./р, 70 = ^(1-^2).

Уравнение (2) дополняется однородными граничными условиями шарнирного опирания или жесткой заделки. Выражение для Ар в каждом случае будет приведено.

2. Упругая изотропная пластина. Если принять, что Ар вычисляется по формуле ПТ, то из уравнения (2) получим

. 2 д2 ад дад . , ^ 0

А ад + А[ -— +А'2 — + А2Мп° grad ад = 0,

дг2 дъ

где

А2 = 127Ро/3

ао

Запишем уравнение (3) для натурного и модельного процессов; безразмерные формы и частоты колебаний будут тождественны в этих процессах, если безразмерные коэффициенты в (4) будут равны. Введем обозначения:

I

Хо = ~—, XI = Ахх1 = А-, Х2 = ^2X0 = ^2, Хз = А2Ш]

ъоао

высказанное выше условие запишется теперь так: хН = ХМ, 8 = 1, 2, 3, здесь и далее верхние индексы "н" и "м" указывают на принадлежность к натурному и модельному процессу соответственно. Из второго и третьего выражений (5) имеем

У^Хом = лЩ Х^, ^Хом =

Поделив почленно одно на другое, получим

rrf_ _ í а0Е \м/CiOTPoV к2 \ciajpoJ V аоЕ )

hH lH

здесь а2 = 1 — и2, с? = Е/р, m = -—, к = —.

1 hM Iм

Из первого равенства (6) найдем

¿g = 1 ¿¡У;

0 ™ „н „.м 0 ' у '

к2с^ап

последнее из выражений (5), записанное для обоих процессов, приводит с учетом (7) к соотношению

\ c\ ) \aa0 J m

Если зависимость решения от времени выбирается в форме множителя exp(ut), то во всех формулах следует положить uto = 1- Как видим, формулы пересчета значений параметров в модельном процессе на значения в натурном открывают широкие возможности для выбора геометрии пластины, ее материала и параметров потока, существенно расширяя тем самым возможности эксперимента.

Допустим теперь, что Ар определяется в рамках ЛПТ; система уравнений в этом случае кроме уравнения колебаний пластины и граничных условий на Г должна содержать уравнение для определения потенциала возмущений р, условие непроницания на S и выражение для Ар. Отнесем координаты и прогиб w к I, а потенциал — к lao, оставив за ними прежние обозначения; зависимость от времени примем в форме множителя exp(ut) и обозначим Q = ul/ao- В результате получим систему

А 2 12a2l2a0 ^2 12a213 А , ,

^ = ~~EhF' <10>

Ар = П2р + 2ПМх^+2ПМу^- + М2х^ + М2у^+2МхМу^-, М = Мп°,

др dz

= Ош + Мп0 grаd ш,

Ар = -роа1

Уравнения (11) и (12) содержат параметры О и М, следовательно, условиями подобия будут, в частности, равенства ОМ = Он, Мм = Мн. Если выражение (13) для Ар подставить в уравнение (10), то в нем образуются два независимых параметра

_ 12а2 а^2 _ 12а2ур0£3

Х1 ~ к2с2 ' Ш '

Из равенств Хм = %f, Хм = Х2 следует

т = /W|V_ci_y

k \ c\ ) \aa0 J '

3 /2 \ н / 771 \ м

m3 /а27Ро\ / E \

k3 \ E J \a27p0 Условие совместности этих соотношений приводит к условию

aHEHVci/ VPo/

которое устанавливает связь между механическими свойствами материала пластины и параметрами потока. После этого по формуле (14) определяется геометрия пластины. Отметим, что в частном случае, когда в натурном и модельном процессах материалы пластины одинаковы, из (15) и (14) необходимо следует Рм = РН и k = m, т.е. полное геометрическое подобие.

3. Упругая ортотропная пластина. Если принять, что Др вычисляется по формуле ПТ, то уравнение колебаний ортотропной упругой пластины примет вид

d4w _ d4w d4w d2w dw 0

тг~4 + "тгт + 271 2 2 + xi —3- + X2 -¿г + Хзn grad w = 0,

dx4 dy4 öx2öy2 dt2 dt

здесь параметры Xi, Х2, Хз те же, что и раньше, E заменяется на Ei и к ним еще добавляются Х4 = ¿1, Х5 = Yi.

Условия подобия (7)—(9) остаются в силе, они дополняются еще двумя:

¿м = ¿H :

7" = 7l : ^ + Щ

Из равенства (16) для ортотропного материала получаем

Как видно, подобрать модельный материал оказывается весьма затруднительно. В простейшем варианте, когда материалы в модельном и натурном процессах одинаковы, равенства (17)—(19) обращаются в тождества, а из условий (7)—(9) последует

ül=(Pl\X л = 37^1 г= „.

к2 VPo / ' 27'

¿0м = (k2/m)tH;

MH = (k^Am^M!

Можно предположить, что при "умеренной" анизотропии приближенное моделирование может быть основано на соотношениях (7)—(9), (17) и условии

=

границы применимости этих условий должны быть установлены в экспериментах — физических или компьютерных.

Допустим, что Др определяется по формуле (13), тогда уравнение колебаний пластины примет вид d4w _ d4w d4w d2w ^ ^ 0 n .

м +51 w +271 dxW +X1 +X2{nv + Mn gradw) =

здесь потенциал ^ определяется из уравнения (11) при граничном условии (12).

Равенства (14)—(16), (17) и (18) остаются условиями подобия; относительно трудностей с выбором материала пластины в модельном процессе уже было сказано выше; модельный процесс на материале натуры следует проводить в условиях полного геометрического подобия при равенстве параметров потока.

4. Изотропная вязкоупругая пластина. Используем формулу ПТ для Ар, тогда уравнение колебаний пластины примет вид [5, 6]

1 - ^ Г^ А2™ + А1Х1 ^ + А2Хо ^ + А2Шп° ёгас1 ги = 0;

параметры А\, А2 имеют прежние значения; Хо = в1/ао; безразмерное время введено соотношением £ ^ в£, в-1 — характерное время релаксации; ядро интегрального оператора Г записано в функции безразмерного времени. В предположении равенства Гм = Гн условия подобия натурного и модельного процессов имеют вид

(А1Х2)М = (А1Хо)н, (А2Хо)м = (А2Хо)н, (А2М)м = (А2М)н

Отсюда следуют соотношения

Е а С1

т2

'Ро_

/Г /3"

или с учетом

Е^а*

1/2

\<%) ы)

/Г /3"

Мм _ (аа0у Мн ~~ (аа0)1

к2 ансм

т амсн'

т

7 + 1 47

к,

Отметим интересную особенность результата: пересчет параметров вязкости модели через натурные параметры ^м/^н = вн/вм в соответствии с формулой (23') проводится только через упругие характеристики материала и параметры потока; то же относится и к формулам (22), (24). Этот результат определенным образом соотносится с расчетами флаттера прямоугольных вязкоупругих пластин: во всех рассмотренных задачах [5, 6] критическая скорость флаттера определяется по мгновенному модулю.

Воспользуемся теперь формулой ЛПТ для Ар; в принятых выше обозначениях запишем уравнение для потенциала, граничное условие на 5 и выражение для Ар. Последовательно будем иметь

др

др

+ 2ХоМж ^ + 2ХоМу + М:

ду

ду2

дх2

+ М:

+ 2МЖМ,

д2р у дхду

0,

др дх

z=0

дт , ^ о = Хо -т;—Ь Мп ггаа го, д£

др

Ар = -роа'о ( Хо ^ + Мп° grad р

z=0

Уравнение колебаний пластины запишется в виде

д2т

+ А2 ( хо ^ + Мп° ёгас1 р

Из него вытекают соотношения

в

в

ан 1

Г^_ _ "Ц 7 _ _ _ "Ц _ - Ц _ "Ц

/Ян пн ' ^н Дм дМ ^' ,,н

в

в

м

н

2

к

к

н

2

м

м

м

м

о

1

о

о

Условия подобия (14), (16) остаются в силе и вместе с равенствами (27) служат для определения свойств материала и потока в модельном процессе.

5. Структурно-ортотропный вязкоупругий материал. В обозначениях п. 4 и при условии, что Ар определяется формулой ПТ, уравнение колебаний (2) примет вид

1-jT)^+Sl{1-jT)w+2V1-1/2JT-'roJT)d^ +

+ -Qj? + А2Хо л + А2Мп° grad w = 0.

В предположении Гм = rH к условиям (19), (21)—(24) добавляются новые:

' \ м / \H / \м /

£i \ £ М I £2 \ I £2

гм _ ГН

ß) \ßj' \ßj \ß" 01 -öl>

0 0 \ м / o 0

е0 е0 е0 е0

Как видно, строгое моделирование практически невозможно. Положим ГЦ = rH, тогда можно принять (£0/в)м = (£0/в)н и воспользоваться приближением (20). Если материалы в обоих процессах одинаковы, то уравнения (29) обращаются в тождества, а из (22)—(24) находим

\Ро) \Ро) Ро

В случае, когда избыточное давление Др определяется по формуле ЛПТ, уравнение колебаний пластины получится из (28) заменой последних двух слагаемых на выражение

Ар* = А2 ^хо + Мп° grad w

в котором ^ определяется из системы (25), (26).

Положим, как и раньше, Гм = Гн, Г° = Г^ (е0/в)м = (е0/в)н, тогда к условиям (22)-(24), (29) добавятся равенства

хм = хН, мм = mh, ам = ah , ам = AH.

Из них следуют условия

м м м м

= -5L fr 0 = 0 ßH ag ' vо <

которые должны быть дополнены соотношениями (16); вместе с приближением (20) получаем систему уравнений, из которой по параметрам натурного процесса можно (по крайней мере, приближенно) определить параметры модельного.

6. Примеры. Приведем два примера, которые иллюстрируют возможности развитой теории в задаче о флаттере упругой изотропной пластины. В обоих случаях используется поршневая теория.

Пример 1. Задача о критической скорости флаттера изотропной упругой полосы при продольном обтекании имеет точное решение

п Нс1

М«р = — 1Г-

10-0

а

Эта формула, записанная для колебаний пластины в модельном и натурном процессах, приводит в точности к соотношению (9).

Пример 2. Параметры натурного процесса известны, по предварительным расчетам значение М^р достаточно велико. Задача состоит в том, чтобы организовать эксперимент в сверхзвуковой трубе с параметрами рМ, аМ, такими, что Мм = ^М/аМ = а1М^р, где а < 1 и размеры модели в плане меньше натурных.

H

Из формулы (7) имеем

2 = Ь С1 а0р0 2 = Ь 1 / М 27

отсюда по заданному масштабу моделирования к = 1н/1м определяется т, т.е. толщина модели Л,м. Теперь из (9) получим

. 1+а

2

Считалось при этом, что 7м = 7н, ам = ан. При заданных рМ и а из последней формулы может быть подобран конструкционный материал с нужными упругими характеристиками.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Веденеев В.В., Гувернюк С.В., Зубков А.Ф., Колотников М.Е. Экспериментальное исследование одномодового панельного флаттера в сверхзвуковом потоке газа // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2010. № 2. 161-175.

2. Веденеев В.В., Гувернюк С.В., Зубков А.Ф., Колотников М.Е. Экспериментальное наблюдение одномодового панельного флаттера в сверхзвуковом потоке газа // Докл. РАН. 427, № 6. 768-770.

3. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки // Прикл. матем. и механ. 1994. 58, вып. 3. 167-171.

4. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.

5. Кийко И.А., Показеев В.В. Колебания и устойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа // Докл. РАН. 2005. 401, № 3. 342-348.

6. Показеев В.В. Флаттер упругой и вязкоупругой консольно закрепленной полосы // Прикл. матем. и механ. 2008. 72, вып. 4. 625-632.

Поступила в редакцию 15.02.2012