Численный анализ прочностных характеристик машиностроительных конструкций с расстройкой параметров

05.20.01 УДК 681.03

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С РАССТРОЙКОЙ ПАРАМЕТРОВ

© 2019

Олег Владимирович Репецкий, проректор по международным связям, доктор технических наук,

профессор кафедры «Электрооборудование и физика» Иркутский государственный аграрный университет имени А. А. Ежевского, г. Иркутск

Ван Винь Нгуен, аспирант кафедры «Электрооборудование и физика» Иркутский государственный аграрный университет имени А. А. Ежевского, г. Иркутск

Аннотация

Введение: статья посвящена численному анализу чувствительности и колебаний рабочих лопаток энергетических, транспортных и др. турбодвигателей, в работе выполнен анализ колебаний и чувствительности лопаточных структур роторов с различными дополнительными массами.

Материалы и методы: в данной статье предложена эффективная методика анализа чувствительности лопаток рабочих колес турбомашин для определения мест расположения зон расстройки с дополнительными массами при их максимальном влиянии на динамический отклик конструкции.

Результаты: по результатам научных исследований установлено, что для ряда форм колебаний максимальные перемещения и максимальная чувствительность частоты к изменению массы (толщины) лопатки находятся на периферии пера лопатки в зоне входной кромки. В этой же зоне интуитивно расположены дополнительные массы, вызывающие расстройку параметров, и эффект от расположения дополнительной массы (расстройки) будет максимальный.

Обсуждение: можно предположить, что для более высоких форм колебаний предсказать расположение зон чувствительности (зон максимального отклика) без предварительного численного анализа чувствительности будет невозможно.

Заключение: в настоящей работе проведен численный анализ расстройки лопаток путем введения дополнительных масс на периферии лопаток в районе входной кромки, а также численный анализ чувствительности частот собственных колебаний лопаток к изменению массы системы. Масса этих дополнительных тел варьировалась от 2,11 до 5,0 гр. Предложенные алгоритмы и методики могут использоваться для нового проектирования и анализа существующих конструкций.

Ключевые слова, анализ прочностных характеристик, динамический отклик, дополнительные массы, колебания, конечно-элементная модель, метод конечных элементов, рабочее колесо, расстройка параметров, частоты колебаний, чувствительности.

Для цитирования: Репецкий О. В., Нгуен В. В. Численный анализ прочностных характеристик машиностроительных конструкций с расстройкой параметров // Вестник НГИЭИ. 2019. № 7 (98). С. 27-38.

NUMERICAL ANALYSIS OF STRENGTH CHARACTERISTICS OF MACHINE-BUILDING STRUCTURES WITH MISTUNING PARAMETERS

© 2019

Oleg Vladimirovich Repetskii, vice-rector, Dr.Sci. (Engineering), professor of the chair «Electrical power and physics» Irkutsk State Agrarian University named after A. A. Ezhevsky, Irkutsk, Russia Van Vinh Nguyen, the post-graduate student of the chair «Electrical power and physics» Irkutsk State Agrarian University named after A. A. Ezhevsky, Irkutsk, Russia

Abstract

Introduction: the article is devoted to the numerical analysis of the sensitivity of natural and forced vibrations blades of energy turbine engines, performed numerical analysis of the vibrations and sensitivity of model rotor blade structures with various additional masses.

Materials and methods: this article proposes an effective method for analyzing the blades sensitivity of impellers and turbine engines to determine the locations of mistuning zones with additional masses in their maximum impact on the dynamic response of the structure.

Results: according to the results of scientific research, it was found that for the second vibration mode, the maximum displacements and the maximum frequency sensitivity to changes in blade mass are on the periphery of the blade tip in the area of the input edge. In the same zone, additional masses are intuitively located, causing mistuning of parameters and the effect of the location of the additional mass (mistuning) will be maximum.

Discussion: it can be assumed that for higher vibration modes will be impossible to predict the location of the sensitivity zones (maximum response zones) without a prior numerical sensitivity analysis.

Conclusion: in the present work, numerical analysis of the blade deformity was carried out by introducing additional masses on the periphery of the blades in the region of the entrance edge as well as a numerical analysis of the sensitivity of the natural vibration frequencies of the blades, to changes in the mass of the system. The mass of these additional bodies varied in the form of 2,11 and 5,0 grams. The proposed algorithms and techniques can be used for new design of existing structures.

Keywords: analysis of strength characteristics, dynamic response, additional masses, vibrations, finite element model, finite element method, impeller, mistuning parameters, vibration frequency, sensitivity.

For citation: Repetskii O. V., Nguyen V. V. Numerical analysis of strength characteristics of machine-building structures with mistuning parameters // Bulletin of NGIEI. 2019. № 7 (98). P. 27-38.

Введение

Роторы машин, в том числе сельскохозяйственных, часто работают в сложных эксплуатационных условиях при больших скоростях вращения. Колебание деталей машин является важным фактором, который значительно влияет на их прочность. Колебания лопаток ротора вызывают две главные проблемы, которые необходимо решить при проектировании роторов. Во-первых, колебания часто вызывают высокое напряжение для вращающихся деталей. Этот фактор снижает их усталостную прочность при эксплуатации. Во-вторых, необходимо обеспечить изгибы лопаток роторов, вызванные колебаниями, чтобы не приводить к контакту с лопатками статора.

Однако в реальных рабочих колесах при их изготовлении или эксплуатации всегда возникают малые отличия лопаток друг от друга (по массе, геометрии, свойству материала), вызванные технологическими допусками на их изготовлении, неоднородностью материала, разной посадкой в замках, действием различных эксплуатационных факторов. Все малые отличия лопаток называются расстройкой параметров. Расстройка лопаток даже при малой величине может привести к серьезному увеличению амплитуды перемещений и напряжений лопаточных структур. Большой интерес вызывают расположение зоны растройки относительно пера лопатки для анализа максимальных амплитуд лопаток вследствие расстройки. Также анализ чувствительности лопатки к расположению зон расстройки может быть полезен для проектирования лопаток и нового дизайна таких конструкций. Анализ чувствительности свободных и вынужденных колебаний лопаток выполнен в работах [23]. Если анализ чувствительности и влияния расстройки для низших

форм колебаний лопаток можно предсказать, то анализ высокочастотных колебаний и конструкций сложной формы (радиальные, охлаждаемые и др. конструкции) весьма проблематичен. В этой связи численный анализ чувствительности позволяет создать эффективные модели расстройки и снизить уровни возникающих в лопатках напряжений, а следовательно увеличить их ресурс [11].

Материалы и методы

Исследования влияния расстройки параметров на характеристики вынужденных колебаний начались более 50 лет [1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10]. В настоящее время многие авторы анализируют влияния эффектов расстройки параметров на динамические характеристики, напряжения, прочность, долговечности и т. д. [12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25]. Актуальным для исследуемой задачи является новый способ для того, чтобы уменьшать напряжение и повышать ресурс рабочих колес турбомашин с помощью метода анализа чувствительности лопаток рабочих колес турбинных двигателей для определения мест расположения зон расстройки с дополнительными массами при их максимальном влиянии на динамический отклик конструкции.

В данной статье использована эффективная методика анализа чувствительности лопаток газотурбинных двигателей для определения мест расположения зон расстройки с дополнительными массами (толщиной) при их максимальном влиянии на динамический отклик конструкции. Предложенные методы нацелены на всесторонний анализ чувствительности и влияние расстройки лопаток, в том числе в высокочастотном диапазоне. Данные математические модели используются, чтобы оценить стохастические характеристики динамического отклика, а

также определить минимум и максимум отклика конструкции для требуемого набора возможных вариантов расстройки, в том числе со случайным распределением. Численные исследования в данной работе выполнены на основе пакета программ BLADIS+ [23] и компьютерной программы ANSYS.

В качестве примера рассмотрена расстройка рабочего осевого колеса фирмы Rolls-Royce с 29 лопатками, экспериментально исследованного в Бранденбургском техническом университете, Германия [2]. Общий вид рабочего колеса представлен на рисунке 1.

а) б)

Рис. 1. Рабочее колесо фирмы Rolls-Royce

На рисунке 2 показана конечно-элементная модель рабочего колеса при использовании треугольных конечных элементов. Рисунок 3 показывает твердотельную и конечно-элементную модели единичной лопатки в программе BLADIS+ [10].

В настоящей работе проведено исследование влияния расстройки лопаток путем введения дополнительных масс на периферии лопаток в районе входной кромки. Масса этих дополнительных тел варьировалась в виде 2,11 и 5,0 грамм (рис. 4) [3].

Рис. 2. Конечно-элементная модель рабочего колеса фирмы Rolls-Royce Fig. 2. The finite element model of the impeller company Rolls-Royce

Рис. 3. Твердотельная и конечно-элементная модель единичной лопатки фирмы Rolls-Royce Fig. 3. Solid-state and finite element model of a single blade by Rolls-Royce

Рис. 4. Реальная модель рабочего колеса с дополнительными массами Fig. 4. Real impeller model with additional masses

Результаты

В статье выполнен анализ чувствительности лопатки на изменение толщины (массы) пера лопатки. Рисунок 5 показывает первые пять форм колебаний и соответствующие им чувствительности с помощью пакета программ BLADIS+ [17]. Основная идея анализа чувствительности состоит в построении приближения для задачи проектирования, которое можно исследовать с целью определения влияния изменения параметра системы X0 на величину SX. Исправленный проект имеет параметры Х1 = Х0 = 5Х . Теперь если подставить переменную

XI в уравнение равновесия, можно определить новые характеристики проекта.

В случае добавления дополнительных масс в районе входной кромки лопаток без учета чувствительности как на рисунке 6, получен расчет с собственными частотами колебаний от расстройки параметров. Как хорошо видно из таблицы 1, при добавлении дополнительной массы 5,0 грамм в районе входной кромки получен больший эффект от расстройки параметров, чем в случае дополнительной массы 2,11 грамм.

Форма / Mode

Колебания / Vibration

Чувствительности / Sensitivity

1

2

3

Рис. 5. Первые пять форм колебаний

4

5

Рис. 6. Модель единичной лопатки с дополнительными массами без учета чувствительности Fig. 6. Model of a single blade with additional masses without sensitivity

Таблица 1. Расчет частот без учета чувствительности Table 1. Calculation of frequencies without sensitivity

Формы колебаний / Mode of vibration Без расстройки / Without mistuning Масса 2,11 г / Mass 2,11g Af, % Масса 5,0 г / Mass 5,0 g Af, %

1 415,08 382,83 -7,77 348,82 -15,96

2 1 297,4 1 100,8 -15,15 938,21 -27,69

3 1 810,8 1 705,7 -5,8 1 631,8 -9,89

4 2 827,6 2 229,9 -21,14 2 061,9 -27,08

5 3 496,5 3 112,6 -10,98 2 987,5 -14,58

Как видно из рисунка 5, 7 для первой и второй изгибной формы колебаний максимальные перемещения и максимальная чувствительность частоты к изменению массы лопатки находятся на периферии пера лопатки в зоне входной кромки. В данном случае второй формы колебаний эффект от расположения дополнительной массы (расстройки) будет максимальный (15,2 %) в виде дополнительной массы 5,0 грамм. Однако уже для четвертой формы колебаний расположение дополнительной массы на периферии вызовет лишь минимальный эффект (2,2 %) в виде дополнительной массы 2,11 грамм, так как зона максимальной чувствительности расположена в сере-

дине пера лопатки ближе к входной кромке. Для остальных форм колебаний расположение дополнительной массы на периферии вызовет средний эффект.

По сравнениям с расчетом частот колебаний от расстройки параметров без учета чувствительности из таблицы 1 в виде дополнительных масс 2,11 и 5,0 грамм получены хорошие результаты полученных эффектов расстройки параметров с учетом соответствующих чувствительностей. В данном случае, кроме четвертой формы колебаний, эффект от расположения дополнительной массы (расстройки) будет увеличенный в виде дополнительных масс 2,11 и 5,0 грамм.

Таблица 2. Результаты расчета собственных частот колебаний рабочего колеса со сравнением результатов между пакетами программ ANSYS, BLADIS+ и эксперимента

Формы колебаний / Mode Без расстройки / Without mistuning С учетом дополнительной массы 2,11 г / With additional mass 2,11 g С учетом дополнительной массы 5,0 г / With additional mass 5,0 g

of vibration ANSYS BLADIS+ ANSYS Эксп.

1

2

3

4

5

415,08

1 297,4 1 810,8

2 827,6

3 496,5

429,6

1 421,7

2 051,5

3 130,7 3 967,2

382,83 1 100,8

1 650,2

2 776,5 2 980,3

397,8 1 261,0 1 766,3

348,82 938,21

1 631,8

2 061,9 2 987,5

402,9 1 252,7 1 765,7

Полученные значения частоты рабочего колеса при разных формах колебаний со сравнением результатов между пакетами программ ANSYS, BLADIS+ и эксперимента в Бранденбургском техническом университете (Германия) показаны в таблице 2. Из результатов видно, что результаты частот колебаний рабочего колеса с учетом соответствующих чувствительностей в виде дополнительных масс 2,11 и 5,0 грамм с использованием пакета ANSYS больше показывают свою надежность и ра-

ботоспособность программы, чем с данными эксперимента без учета чувствительности. Так что численный анализ чувствительности для определения области максимального влияния изменения толщины (массы) на собственные частоты и перемещения при резонансах позволяет вводить преднамеренную расстройку параметров, увеличивать надежность лопаток при значительном уменьшении числа дорогостоящих экспериментальных исследований, необходимых для проектирования лопаток.

Форма / Mode

Без расстройки / Without mistuning

Модель c расстройкой / Model with mistuning

Масса 2,11 г / Mass 2,11g

Масса 5,0 г / Mass 5,0 g

Рис. 7. Расчет частот колебаний с учетом соответствующей чувствительности от дополнительных масс 2,11 и 5,0 грамм Fig. 7. The calculation of the vibration with the corresponding sensitivity with additional mass 2,11 and 5,0 grams

1

2

3

4

5

Обсуждение

Можно предположить, что для более высоких форм колебаний (рис. 8), а также для радиальных, полых и др. лопаток предсказать расположение зон

чувствительности (зон максимального отклика) без предварительного численного анализа чувствительности будет невозможно.

Форма / Mode

Без расстройки / Without mistuning

Модель c расстройкой / Model with mistuning

Масса 2,11 г / Mass 2,11g

Масса 5,0 г / Mass 5,0 g

10

Рис. 8. Расчет высокочастотных колебаний с учетом соответствующей

чувствительности от дополнительных масс 2,11 и 5,0 грамм Fig. 8. The calculation of the high frequency vibration with the corresponding sensitivity with additional mass 2,11 and 5,0 grams

6

7

8

9

Заключение

Исследование чувствительности позволяет определить области самого существенного влияния изменения толщины (массы) на собственные частоты и перемещения при резонансах. Используемая информация применяется для лопаток и облопаченных дисков при оптимизации дисковых структур, ведущей к уменьшению резонансных перемещений, уровней напряжений и изменению опасных частот колебаний на операционных диапазонах скорости вращения, включая высокочастотные колебания. Представленные алгоритмы и процедуры могут быть применены для разработки новых компонентов турбомашин.

В данной работе предложена методика численного анализа частот собственных колебаний лопаток рабочих колес турбомашин и внесены значения расстройки параметров лопаток и также показаны зоны максимального отклика на внесение дополнительных масс 2,11 и 5,0 грамм. Математическое моделирование таких проблем позволяет уменьшить число дорогостоящих экспериментальных исследований, сократить время проектирования и увеличить срок жизни турбомашин, а также эффективен для нового проектирования и доводки существующих конструкций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Beirow B., Figaschewsky F., Kuhhorn A., Bornhorn A. Modal Analyses of an Axial Turbine Blisk with Intentional Mistuning // 2018. J Eng Gas Turb Power 140 (1): 012503-012503-11.

2. Beirow B., Kuehhorn A., Figashevsky F., Bornhorn A., Repetckii O. Forced response reduction of a blisk by means of intentional mistuning // Proceedings of ASME Turbo Expo 2018: Turbomachinery Technical Conference and Exposition GT 2018. June 11-15, 2018. Oslo. Norway. ASME Turbo GT2018-76584. P. 10.

3. Beirow B., Kuhhorn A., Giersch T., Nipkau J. Optimization-Aided Forced Response Analysis of a Mistuned Compressor Blisk // J Eng Gas Turb Power 137. 2015. №. 1. Paper 012504. P. 1-10.

4. Chan Y. J. Variability of blade vibration in mistuned bladed discs. A Dissertation submitted to University of London for the degree of Doctor of Philosophy. 2000. P. 194.

5. Ewin D. J. Vibration modes of Mistuned bladed disks // ASME Journal of Engineering for Power. 1976. № 7. P.349-355.

6. Ewins D. J. The Effects of Blade Mistuning on Vibration response // A survery IFToMM Conference. Prague. Czechoslovakia. August 1991.

7. Ewins D. J. Effects of detuning upon forced vibrations of bladed disks // Journal of Sound and Vibration 9. 1 (1969). P. 65-79.

8. Judge J. Experimental investigation of mode localization and forced response amplitude magnification for a Mistuned bladed disk // Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. 2001. Vol 123. P. 940-950.

9. Petrov E. P., Iglin S. P. Search of the worst and best mistuning patterns for vibration amplitudes of bladed disks by the optimization methods using sensitivity coecients // In Proceedings of the 1st ASSMO UK Conference. Engineering Design Optimization (Ilkley, UK, 1999). P. 303-310.

10. Repetckii O., Ryzhikov I., Nguyen Tien Quyet. Dynamics of gas turbine engines rotors taking into account non-linear effects // Vibroengineering PROCEDIA, Vol. 8. 2016. P. 361-365.

11. Repetckii O. V., Ryzhikov I. N., Nguyen Tien Quyet. Investigation of mistuning impact on vibration of rotor bladed disks // Journal of Physics: Conference Series 2018. P. 012097.

12. Repetckii O. V., Ryzhikov I. N., Nguyen Tien Quyet. Dynamics analysis in the design of turbomachinery using sensitivity coefficients // Journal of Physics: Conference Series 2018. P. 012096.

13. Wei S. T., Pierre C. A Statistical analysis of the effects of Mistuning on the forced response of Ciclic assemblies // Journal AIAA. 1989. P. 1734-1748.

14. Whitehead D. S. Effect of mistuning on forced vibration of blades with Mechanical coupling // Journal of mechanical science. 1976. № 6. P. 306-307.

15. Whitehead D. S. Effect of mistuning on the vibration of turbomachine blades induced by wakes // Journal of mechanical engineering science. 1966. № 1. P. 15-21.

16. До Мань Тунг. Численный анализ влияния расстройки параметров на динамические характеристики рабочих колес турбомашин. Диссертация кандидата технических наук. Иркутск. 2014. С. 197.

17. Борискин О. Ф., Кулибаба В. В., Репецкий О. В. Конечноэлементный анализ колебаний машин Иркутск, 1989. С. 144.

18. Репецкий О. В., Рыжиков И. Н., Шчмидт Р. Исследования влияния различных видов расстройки параметров на колебания и долговечность рабочих колес турбомашин // Вестник стипендиатов ДААД. 2010. № 10. С. 20-31.

19. Репецкий О. В., Байроу Б. Применение анализа чувствительности для исследования систем с расстройкой параметров // Байкальский Вестник ДААД. 2016. № 1. С. 86-98.

20. Репецкий О. В., Буй Мань Кыонг. К вопросу выбора численного метода анализа напряжений при оценке многоцикловой усталости лопаток транспортных турбомашин // Известия ИГЭА. 2010. № 6. С. 153-158.

21. Репецкий О. В., До Мань Тунг. Исследование характеристик колебаний рабочих колес турбомашин с расстройкой параметров на основе моделирования уменьшенного порядка методом конечных элементов // Вестник СибГАУ. 2014. № 1 (53). С. 60-66.

22. Репецкий О. В., До Мань Тунг. Математическое моделирование и численный анализ колебаний идеальных циклически-симметричных систем методом конечных элементов // Известия ИГЭА. 2012. № 3. С. 149-153.

23. Репецкий О. В., Рыжиков И. Н., Kühhorn A., Beirow B. Исследование чувствительности колебаний лопаток турбомашин как средство управления расстройкой // Байкальский Вестник ДААД. 2017. № 1. С.10-22.

24. Репецкий О. В., Фан Ван Туан. Построение математической модели для анализа влияния фрикционных демпферов на колебания лопаток газотурбинных двигателей // Известия ИГЭА. 2011. № 1. С. 200-205.

25. Рыжиков И. Н., Рыжиков В. И., Репецкий О. В. Экспериментальное и численное исследование влияния расстройки параметров на колебания рабочих колес турбомашин // Вестник стипендиатов ДААД. 2011. № 1 (8). С. 56-61.

Дата поступления статьи в редакцию 18.04.2019, принята к публикации 13.05.2019.

Информация об авторах: Репецкий Олег Владимирович, проректор по международным связям, доктор технических наук, профессор кафедры «Электроооборудование и физика»

Адрес. Иркутский государственный аграрный университет им. А. А. Ежевского, 664038, Россия, г. Иркутск, пос. Молодежный. E-mail: repetckii@igsha.ru Spin-код. 2788-7770

Нгуен Ван Винь, аспирант кафедры «Электроооборудование и физика»

Адрес. Иркутский государственный аграрный университет им. А. А. Ежевского, 664038, Россия, г. Иркутск,

пос. Молодежный

E-mail: vinh.july177@gmail.com

Тел., +7 9994231020

Заявленный вклад авторов:

Репецкий Олег Владимирович, общее руководство проектом, формулирование основной концепции исследования, окончательное редактирование текста.

Нгуен Ван Винь, сбор и обработка материалов, подготовка и проведение численных анализов. Авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

REFERENCES

1. Beirow В., Figaschewsky F., Kühhorn A., Bornhorn A. Modal Analyses of an Axial Turbine Blisk with Intentional Mistuning, 2018, J Eng Gas Turb Power 140 (1): 012503-012503-11.

2. Beirow В., Kuehhorn A., Figashevsky F., Bornhorn A., Repetckii O. Forced response reduction of a blisk by means of intentional mistuning. Proceedings of ASME Turbo Expo 2018: Turbomachinery Technical Conference and Exposition GT2018, June 11-15, 2018, Oslo, Norway, ASME Turbo GT2018-76584, 10 p.

3. Beirow B., Kühhorn A., Giersch T., Nipkau J. Optimization-Aided Forced Response Analysis of a Mistuned Compressor Blisk, 2015, J Eng Gas Turb Power 137, No. 1, Paper 012504, pp. 1-10.

4. Chan Y. J. Variability of blade vibration in mistuned bladed discs. A Dissertation submitted to University of London for the degree of Doctor of Philosophy, 2000, 194 p.

5. Ewin D. J. Vibration modes of Mistuned bladed disks. ASME Journal of Engineering for Power, 1976, No. 7, pp. 349-355.

6. Ewins D. J. The Effects of Blade Mistuning on Vibration response. A survery IFToMMConference. Prague, Czechoslovakia, August 1991.

7. Ewins D. J. Effects of detuning upon forced vibrations of bladed disks. Journal of Sound and Vibration 9, 1 (1969), pp. 65-79.

8. Judge J. Experimental investigation of mode localization and forced response amplitude magnification for a Mistuned bladed disk. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2001, Vol. 123, pp. 940-950.

9. Petrov E. P., Iglin S. P. Search of the worst and best mistuning patterns for vibration amplitudes of bladed disks by the optimization methods using sensitivity coecients. In Proceedings of the 1st ASSMO UK Conference. Engineering Design Optimization (Ilkley, UK, 1999), pp. 303-310.

10. Repetckii O., Ryzhikov I., Nguyen Tien Quyet. Dynamics of gas turbine engines rotors taking into account non-linear effects. VibroengineeringPROCEDIA, Vol. 8, 2016, pp. 361-365.

11. Repetckii O. V., Ryzhikov I. N., Nguyen Tien Quyet. Investigation of mistuning impact on vibration of rotor bladed disks. Journal of Physics: Conference Series 2018, 012097 p.

12. Repetckii O. V., Ryzhikov I. N., Nguyen Tien Quyet. Dynamics analysis in the design of turbomachinery using sensitivity coefficients. Journal of Physics: Conference Series 2018, 012096 p.

13. Wei S. T., Pierre C. A Statistical analysis of the effects of Mistuning on the forced response of Cyclic assemblies. Journal AIAA, 1989, pp. 1734-1748.

14. Whitehead D. S. Effect of mistuning on forced vibration of blades with Mechanical coupling. Journal of mechanical science, 1976, No. 6, pp. 306-307.

15. Whitehead D. S. Effect of mistuning on the vibration of turbomachine blades induced by wakes. Journal of mechanical engineering science, 1966, No. 1, pp. 15-21.

16. Do Man' Tung. CHislennyj analiz vliyaniya rasstrojki parametrov na dinamicheskie harakteristiki rabochih koles turbomashin [Numerical analysis of the effect of mistuning parameters on the dynamic characteristics of the impellers of turbomachines. Ph. D. (Engineering) diss.] Irkutsk, 2014. 197 p.

17. Boriskin O. F., Kulibaba V. V., Repetckii O. V. Konechnoelememmentniy analis kolebanii mashin [Finite element analysis of machine vibrations], Irkutsk, 1989, 144 p.

18. Repetckii O. V., Ryzhikov I. N., Schmidt R. Issledovaniya vliyaniya razlichnyh vidov rasstrojki parametrov na kolebaniya i dolgovechnost' rabochih koles turbomashin [Studies of the influence of various types of parameter mistuning on vibrations and durability of the impellers of turbomachines], Vestnik stipendiatov DAAD [Bulletin of scholars DAAD], 2010, No 10, pp. 20-31.

19. Repetckii O. V., Bajrou B. Primenenie analiza chuvstvitel'nosti dlya issledovaniya sistem s rasstrojkoj parametrov [Application of sensitivity analysis for the study of systems with mistuning parameters], Bajkal'skij Vestnik DAAD [Baikal Letter DAAD], 2016, No. 1, pp. 86-98.

20. Repetckii O. V., Buj Manh Kyong. K voprosu vybora chislennogo metoda analiza napryazhenij pri ocenke mnogociklovoj ustalosti lopatok transportnyh turbomashin [To the question of choosing a numerical method of stress analysis in the evaluation of high cycle fatigue of blades transport Turbomachinery], Izvestiya IGEA [Journal of ISEA], 2010, No. 6, pp. 153-158.

21. Repetckii O. V., Do Manh Tung. Issledovanie harakteristik kolebanij rabochih koles turbomashin s rasstrojkoj parametrov na osnove modelirovaniya umen'shennogo poryadka metodom konechnyh elementov [Research of vibration characteristics of impellers of turbomachines with mistuning parameters on the basis of reduced order modeling by the finite element method], Vestnik SibGAU [Journal SibGAU], 2014, No. 1 (53), pp. 60-66.

22. Repetckii O.V., Do Manh Tung. Matematicheskoe modelirovanie i chislennyj analiz kolebanij ideal'nyh ciklicheski-simmetrichnyh sistem metodom konechnyh elementov [Mathematical modeling and numerical analysis of vibrations of ideal cyclically symmetric systems by the finite element method], Izvestiya IGEA [Journal of IGEA], 2012, No. 3, pp. 149-153.

23. Repetckii O. V., Ryzhikov I. N., Kuhhorn A., Beirow B. Issledovanie chuvstvitel'nosti kolebanij lopatok turbomashin kak sredstvo upravleniya rasstrojkoj [Research of the sensitivity vibrations of turbomachine blades as a means of controlling the mistuning], Bajkal'skij Vestnik DAAD [Baikal Bulletin DAAD], 2017, No. 1, pp. 10-22.

24. Repetckii O. V., Fan Van Tuan. Postroenie matematicheskoj modeli dlya analiza vliyaniya frikcionnyh dempferov na kolebaniya lopatok gazoturbinnyh dvigatelej [Construction of a mathematical model for analyzing the influence of friction dampers on vibrations of blades of gas turbine engines], Izvestiya IGEA [Journal of IGEA], 2011, No. 1, pp. 200-205.

25. Ryzhikov I. N, Ryzhikov V. I., Repetskii O. V. Eksperimental'noe i chislennoe issledovanie vliyaniya rasstrojki parametrov na kolebaniya rabochih koles turbomashin [Experimental and numerical study of the effect mistuning of parameters on the vibrations of the impellers of turbomachines], Vestnik stipendiatov DAAD [Bulletin of scholars DAAD], 2011, No. 1 (8), pp. 56-61.

Submitted 18.04.2019; revised 13.05.2019.

About the authors:

Oleg V. Repetskii, vice-rector, Dr. Sci. (Engineering), professor of the chair «Electrical power and physics» Address: Irkutsk State Agrarian University named after A. A. Ezhevsky, 664038, Russia, Irkutsk, pos. Molodezhny E-mail: repetckii@igsha.ru Spin-код: 2788-7770

Van V. Nguyen, the post-graduate student of the chair «Electrical power and physics»

Address: Irkutsk State Agrarian University named after A. A. Ezhevsky, 664038, Russia, Irkutsk, pos. Molodezhny E-mail: vinh.july177@gmail.com Те1: +7 9994231020

Contribution of the authors: Oleg V. Repetskii: managed the research project, developed the theoretical framework, writing the final text. Van V. Nguyen: collection and processing of materials, preparation and implementation numerical analyzes.

All authors have read and approved the final manuscript.