Математическое моделирование процесса опухолевого роста

© Ш.Х.Ганцев, М.В.Танюкевич, Ш.М.Хуснугдинов, К.Ш.Ганцев, 2006 УДК 51-76

Ш.Х. Ганцев, М.В. Танюкевич, Ш.М. Хуснутдинов, К.Ш. Ганцев МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОПУХОЛЕВОГО РОСТА

Башкирский государственный медицинский университет, Уфа,

Уфимский государственный авиационный технический университет

Статья посвящена исследованию механизмов опухолевого роста на основе метода математического моделирования. Рассмотрены современные представления о жизнедеятельности клеточных популяций и механизмах регуляции числа клеток. Предложены математические модели, описывающие динамику числа клеток в различных состояниях в норме и при развитии патологического процесса опухолевого роста, представляющие собой системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. Приведены результаты вычислительных экспериментов, описывающих процесс восстановления численности клеток в нормальной клеточной популяции, а также динамику опухолевого роста при различных сочетаниях значений параметров модели. Показана возможность практического применения предложенных моделей к прогнозированию результатов химиотерапевтического лечения. В частности, показано, что результаты химиотерапии существенно зависят от индивидуальных характеристик заболевания, а также преимущество полихимиотерапии по сравнению с монохимиотерапией.

Ключевые слова: новообразования, модели теоретические, прогнозирование.

Sh.H. Gantsev, M.V, Tanyukevich, Sh.M Khusnutdinov, K.Sh. Gansev

TUMOR GROWTH PROCESS MATHEMATICAL MODELLING

The article deals with investigating tumor growth mechanism using mathematical modeling. Up-to-date conceptions of cells population vital activity and cells count control mechanism are stated. Mathematical models are proposed, which describe the dynamics of cells counts in different states both for normal state and tumor process. From mathematical point of view, these models are the systems ofdifferential equations with delays. The results of numerical experiments are given, which demonstrate the process of cells count reproduction in normal population and tumor growth dynamics depending on the set of model parameters. The niod-els $>Ky shown to be of great practical useforpredicting chemotherapy treatment results. In particular, the sufficient dependence of chemotherapy treatment resultsfrom individual characteristics of tumor is demonstrated, as well as the advantage ofpolychemother-apy comparing with monochemotherapy.

Key words: tumor growth, theoretical models, makingprognosis.

Неуклонный рост заболеваемости и смертности от злокачественных новообразований диктует необходимость внедрения в онкологию современных высокотехнологических методов исследований, одним из которых является математическое моделирование течения или естественной эволюции (natural history) онкологического заболевания. Наиболее известными моделями опухолевого роста являются: модели Skiper-Schabel-Wilcox,

Goldie-Coldman, Gompertz, Norton-Simon [2], однако, по нашему мнению, в них имеются следующие недостатки: не учитывается гетерогенный состав клеточной популяции - наличие клеток, находящихся в различных стадиях клеточного цикла, и степень злокачественности опухоли, важность значения которых доказана клиническими исследованиями; в моделях, предназначенных для изучения эффективности химиотерапевтического лечения, не учитывается специфика действия противоопухолевых препаратов в разные стадии цикла деления опухолевой клетки.

Мы предлагаем моделировать рост опухоли на основе представлений о клеточном цикле и регуляции количества клеток по принципу отрицательной обратной связи. На первом этапе разработана модель жизнедеятельности нормальной клеточной популяции, позволяющая охарактеризовать динамику числа клеток, находящихся в различных фазах цикла деления в условиях адекватного функционирования механизмов клеточного обновления. На втором - смоделирован опухолевый рост в

условиях нарушенной саморегуляции численного состава клеток. На третьем - проведено моделирование лечебного воздействия противоопухолевыми химиопрепаратами на основе представлений о гетерогенности клеточных популяций и специфичности действия противоопухолевых препаратов по стадиям клеточного цикла.

Количественная регуляция числа клеток в условиях нормы. Живой организм состоит из сформированных в процессе эволюции популяции клеток и внеклеточных структур, образующих различные ткани и органы. В обычных условиях общее количество клеток в организме постоянно, между количеством утраченных по каким-либо патологическим либо физиологическим причинам и вновь образованных клеток существует динамическое равновесие.

Нормальная клеточная популяция представляет собой группу клеток, которые находятся на различных стадиях своего развития - дифференцировки. В норме большинство клеток в ткани составляют зрелые, или дифференцированные, утратившие способность к делению и выполняющие определенные специфические функции. После гибели численность зрелых клеток восполняется за счет менее зрелых, способных к делению. Основой для формирования различных типов клеток в какой-либо ткани являются камбиальные (некоторые авторы их еще называют стволовыми). Процесс превращения камбиальной клетки в зрелую многоэтапный, а по мере деления постепенное приобре-

тение специфических свойств называется диффе-ренцировкой клеток.

Увеличение количества клеток достигается их делением. В норме размножение клеток происходит таким образом, чтобы поддерживать необходимую численность специализированных зрелых клеток. Во многих тканях в стационарном состоянии клеточное обновление происходит очень медленно, однако в случае массовой их гибели происходит резкое увеличение клеточных делений и достаточно быстрое восстановление количества клеток до нормальных значений.

Время, за которое происходит удвоение клетки и полноценная передача генетической информации, называется клеточным, или митотическим циклом (циклом деления). В клеточном цикле выделяется четыре фазы.

Первая фаза цикла деления - фаза роста, ві период, - протекает сразу после деления. В этот период происходят рост клетки, перестройка органелл, синтезируются и накапливаются вещества, необходимые для репликации (самовоспроизведения) ДНК. В позднем ві периоде клетка может выйти из цикла деления и перейти к выполнению специфических функций. Этот период называется фазой нулевого роста во, или фазой покоя.

Некоторые клетки способны выходить из клеточного цикла и вновь в него возвращаться, сохраняя способность к дальнейшему делению. Такой клеточный цикл называется продленным. Свойство вновь возвращаться в цикл деления характерно для опухолевых клеток, и эта способность очень слабо выражена у нормальных клеток.

Вторая фаза цикла деления - синтетический период Б--характеризуется удвоением молекул ДНК. При входе клетки в эту фазу она всегда проходит и все последующие стадии митотического цикла.

-Лечение не проводилось Моиокимиогврапии ,...П олижшмдтерапия

популяцию:

Состояние роста включает фазу 01 клеточного цикла.

Состояние неопределенности соответствует продленной в1 фазе клеточного цикла. Длительность данного периода значительно варьирует. В это состояние клетка попадает из состояния роста, а из состояния неопределенности может переходить в другие состояния, например деления, или превратиться в зрелую, специализированную.

Состояние деления включает клетки, находящиеся в митотическом цикле, в фазах 8+в2+М. При недостатке зрелых клеток в популяции в эту стадию переходят клетки из состояния роста или неопределенности. В результате деления образуются две дочерние клетки. Длительность деления клетки, как правило, является стабильной величиной. Следует отметить, что в отличие от опухолевой число делений нормальной клетки имеет определенный предел, тогда как многие опухолевые клетки способны генерировать бесконечное количество себе подобных (поэтому их еще называют бессмертными).

Состояние зрелости. В этот период клетка выходит из митотического цикла (то есть не способна делиться) и выполняет специфические функции. В норме, как правило, это конечный этап эволюции клетки. Утрата высокоспециализированных зрелых клеток возмещается за счет деления дифференцирующихся, находящихся в состоянии неопределенности и роста.

Состояние гибели. В любых условиях в организме имеется популяция гибнущих клеток. Чаще гибель клеток с дефектами в генетическом аппарате, или изношенных, осуществляется посредством механизма планового самоуничтожения - апоптоза, а массовая утрата после повреждений - из-за некрозов. Граф выделенных состояний клетки и пере-

ISCSO

16ТО

17«Ю

10000

Третья фаза - фаза роста, 02 период. В это время клетка готовится к митозу, происходит интенсивный синтез цитоплазматических и ядерных белков.

Затем следует короткий четвертый период -митоз (М). В этот период клетка разделяется на две дочерние.

Считывая тгредставлеши» о цикле дештая, мы выделили следующие основные состояния клеток, формирующих саморегулирующуюся клеточную

------~ Лечение не проводилось

ходов между состояниями приведен на рис.1.

Обозначим: №(1), N2(1), N3(1) N4(1) - количество клеток в состоянии неопределенности, деления, роста и зрелости, соответственно;

Т\, й, й, 74 - средняя продолжительность пребывания клетки в состоянии неопределенности, деле-ъш, роста, зрелости, соотъетстеснйо-,

Та - здателъностъ «ашждета» клотш. * состоянии деления;

Тг- длительность нахождения клетки в состоя-

нии роста;

h - доля зрелых клеток, не способных к делению, в стационарном состоянии;

№Ьс0;- оптимальное общее число клеток в популяции;

а - коэффициент, позволяющий учесть зависимость интенсивности выхода клетки из состояния неопределенности в условиях нехватки зрелых клеток в популяции;

Ь - коэффициент, позволяющий учесть соотношение между клетками в состоянии неопределенности, переходящими в состояние деления, и клетками, переходящими в состояние зрелости, в зависимости от количества клеток, способных к делению, то есть находящихся в состояниях Li, L2, Ьз;

р,2 - интенсивность перехода клеток из состояния неопределенности ^) в состояние деления

(Ь);

рн - интенсивность перехода клеток из состоя-

ности и уменьшается вследствие завершения деления или их гибели в этом же периоде.

Соотношение (1) показывает, что количество клеток, находящихся в состоянии неопределенности, увеличивается за счет выхода из состояния роста, уменьшается за счет перехода в состояния деления, зрелости, а также гибели в состоянии неопре-

рп{() = е

Р14(0 = (1-е

{6)

деленности.

Структура уравнения (2) определяется обстоятельством, что число делящихся клеток увеличивается за счет перехода из состояния неопредел ен-

ния неопределенности ^) в состояние зрелости (Ь).

Для учета динамики количества клеток в каждом из состояний мы предлагаем следующую систему уравнений:

Соотношение (1) показывает, что количество клеток, находящихся в состоянии неопределенности, увеличивается за счет выхода из состояния роста, уменьшается за счет перехода в состояния деления, зрелости, а также гибели в состоянии неопре-

ности и уменьшается вследствие завершения деления или их гибели в этом же периоде.

Соотношение (3) указывает, что число клеток в состоянии роста увеличивается за счет выхода из состояния деления и уменьшается за счет перехода из состояния роста в состояние неопределенности и гибели клеток, находящихся в состоянии роста.

Уравнение (4) показывает, что количество зрелых клеток увеличивается за счет перехода из состояния неопределенности и уменьшается за счет их гибели.

деленности.

Структура уравнения (2) определяется обстоятельством, что число делящихся клеток увеличивается за счет перехода из состояния неопределен-

Процесс выхода клеток из состояния неопределенности [уравнения (5), (6)] идет тем интенсивнее, чем меньше соотношение или плотность зрелых клеток в популяции по сравнению с их нормальным показателем, что учитывается в уравнениях параметром Ь. Соотношение между интенсивностью перехода клеток в состояния деления и зрелости зависит от доли клеток, способных к деле-

«-«ли»

= I

=1

^ • ^оЬОр)

' obOpt

нию в стационарном состоянии. Чем меньше клеток способно к делению, тем большая их часть, выходящая из состояния неопределенности, переходит в состояние деления, что учитывается в уравнениях (5), (6) параметром а.

В обычных условиях в организме в случае утраты части клеток их численность и соотношение

восстанавливаются до нормальных значений за счет усиления перехода клеток в состояния деления и зрелости. Соотношения (7), (8) позволяют определить значения параметров а и Ь, обеспечивающих поддержку стационарного состояния клеточной популяции.

Приведем пример моделирования динамики численности клеточной популяции при утрате 30 % клеток. Параметры моделирования определялись на основании данных [1, 7] о времени различных этапов клеточного цикла нормальных клеточных популяций, которые составили: Ти=6ч.; Гг=2ч.; 71=100000ч.; Г2= 100000ч.; Гз=100000ч.; 74=5000ч.;

h=0.99; №сЬср1=1000000;

Полученные результаты динамики числа клеток в различных состояниях приведены на рис. 2-5, где показан процесс восстановления количества клеток в популяции: на правом графике более подробно отражена динамика численности клеток непосредственно после утраты их части; пунктирной линией показано число клеток в стационарном состоянии.

Из результатов моделирования (рис. 2-5) видно, что после утраты части клеток происходит увеличение числа делений до тех пор, пока не будет достигнуто исходное количество клеток в различных состояниях.

Моделирование количественного состава клеточной популяции при опухолевом росте. Опухолевый рост - это сложный патологический процесс, представляющий собой безудержный рост клона или нескольких клонов клеток, не имеющих предела деления, с искаженными механизмами регуляции количественного состава, вызванными генетическими поломками, размножение которых слабо подчиняется контролю со стороны организма. Опухолевые или трансформированные клетки в отличие от нормальных обладают и другими особенностями, например, способностью к инвазии, к метастазированию - транспорту опухолевых клеток, инфильтрирующих стенки сосудов по току тканевой жидкости или крови, к ангиогенезу -формированию собственных сосудов и т.д. [3, 4, 5,

6,7].

Популяция опухолевых клеток гетерогенна, так как состоит из клеток, находящихся в различных состояниях клеточного цикла. Из-за наличия значительного числа клеток, находящихся в состоянии неопределенности, темпы роста многих опухолей в основном невысокие.

Математическая модель опухолевого роста нами была сформулирована как модель сосуществования популяций нормальных и трансформированных клеток, поскольку неопухолевые клетки могут в значительной мере препятствовать росту новообразования, особенно на ранних его стадиях. Моделирование собственно опухоли нами было проведено по аналогии с нормальной саморегулирующейся популяцией, но с учетом нарушенного механизма регуляции клеточного обновления, в виде системы уравнений первого порядка с запаздыванием.

Аналогично неопухолевой популяции клеток мы выделили состояния неопределенности, деления, роста, зрелости и гибели. Здесь следует отметить, что зрелыми мы условно назвали покоящиеся опухолевые клетки, неспособные к дальнейшему делению, вышедшие из клеточного цикла. Количественное соотношение, или плотность клеток в каждом из перечисленных состояний, можно объективно установить на основании современных морфологических методов исследования, используемых в настоящее время для определения некото-

рых характеристик опухолей: проточной цитофотометрии или иммуногисто(цито)химически. Так, клетки, находящиеся в митотическом цикле (делящиеся), экспрессируют маркер Ki-67 и PCNA, покоящиеся и находящиеся в состоянии неопределенности (в фазах Gi и Go клеточного цикла) экспрессируют антиген CyclinDl.

К параметрам, существенным для моделирования опухолевого роста, нами были отнесены [4, 5,

6,7]:

- интенсивность процессов деления в популяции. В популяции трансформированных клеток зависимость интенсивности выхода клеток из состояния неопределенности от доли или плотности клеток, вышедших из клеточного цикла, существенно ослаблена, а равновесие между количеством делящихся и находящихся в неопределенном состоянии смещено в сторону деления;

- способность к инвазии. Инвазия - проникновение трансформированных клеток на территорию окружающей нормальной клеточной популяции и в сосуды путем разрушения внеклеточного матрикса - неклеточного каркаса из макромолекул;

- способность к ангиогенезу - выделению белковых сигнальных молекул, стимулирующих рост кровеносных сосудов, что приводит к усилению доставки кислорода и питательных веществ на территории, занятые трансформированными клетками.

Разработанная модель опухолевого роста позволяет оценить динамику числа клеток и среднее время их пребывания в различных состояниях. Это дает возможность определить такие клинико- морфологические характеристики опухоли, как скорость роста (кинетику), интенсивность процессов гибели, митотический индекс и др.

Скорость роста опухоли,Л - удельная скорость роста на интервале времени TV от момента достижения опухолью минимального объема F min, ПрИ котором опухоль может быть диагностирована клинически (этот объем составляет 1см3, приблизительно соответствуя 109 клеток), до момента, когда опухоль достигает критического объема F пи, несовместимого с жизнью (для человека этот объем составляет 1000 см3, при количестве клеток в опухоли ~ 1012 клеток) [8].

Интенсивность гибели клеток опухоли. Выраженность этого процесса в нашей модели оценивается по сокращению среднего времени жизни клеток - AT. Чем меньше ДТ, тем более распространенные участки деструкции с погибшими клетками будут выявляться при морфологическом исследовании новообразований.

Повышенный митотический индекс. В связи с повышенной интенсивностью деления опухолевых клеток при микроскопическом исследовании опухолей наблюдается увеличение числа клеток в фазе митоза (заключительной стадии процесса деления клетки, когда происходит деление ядра и цитоплазмы). Митотический индекс может оцениваться по

среднему увеличению доли клеток в состоянии деления в процентах от общего количества клеток.

Продемонстрируем результаты моделирования опухолевого роста при условии, что трансформированные клетки обладают следующими характеристиками: отсутствием способности к ангиогенезу; выраженными свойствами к инвазии; сниженной интенсивностью выхода клеток из состояния неопределенности при нехватке зрелых клеток; смещенным равновесием между переходами в состояния деления и зрелости в сторону деления.

На рис. 6 показано, что при наличии перечисленных параметров трансформированных клеток время, в течение которого объем опухоли увеличится от 1 см3 до 1000 см3, составит 3,72 года, а удельная скорость роста опухоли Фг =0.00027ч"\

Как видно из рис. 7, среднее время жизни клеток в состоянии покоя уменьшается по мере роста опухоли. Среднее сокращение времени жизни составило АТ=-23,08 %. Аналогичные показатели имеет динамика среднего времени жизни клеток и в других состояниях.

Доля клеток в состоянии деления оказалась несколько больше, чем в нормальной популяции (рис. 8). Среднее увеличение доли клеток в состоянии

30 ООО »рем я, ч.

деления (в % от доли клеток в состоянии деления в норме) составило ДМ=13 7,32%. Это означает, что при морфологическом исследовании будет отмечаться незначительное повышение митотического индекса.

Таблица

Характе- ристики ТИЛОВ опухолей Тип 1. Медленно растущая опухоль, митотический индекс несколько повышен, процессы гибели клеток слабо выражены Тип 2. Быстрорастущая опухоль, митотический индекс значительно повышен, интенсивность процессов гибели клеток выражена

ДТ -31.04% -86.54%

.ДМ 206.81% 3037.54%

ф. 0.00071ч-1 0.0034ч*1

Моделирование химиотерапевтического лечения. На третьем этапе нами была разработана модель лекарственного лечения, позволяющая исследовать динамику опухолевого роста под воздействием цитотоксического и цитостатического противоопухолевых препаратов. Цитостатические препараты задерживают опухолевые клетки в состоянии неопределенности, а действие цитотоксичес-ких препаратов состоит в уничтожении делящихся клеток. Эффект противоопухолевых лекарственных средств определяется концентрацией в ткани

опухоли. Моделирование химиотерапии проводилось при двух типах опухолевого роста: медленнорастущей - слабозлокачественной и быстрорастущей - высокозлокачественной опухолях (см. табли-

------ ~ ЗДчвм .не лдаммссь

Химиотерммя.сжшв1 --------Хичввтшряню, слеш 2

'" ~ Хиы:И5этэрагшя, ''.схема I"

""......: ХйМметарагимЦ екша;2-

мы 1 это же время увеличилось на 465,6 ч).

При втором типе опухоли при первой схеме введения препарата наблюдалась ступенчато-образная кривая опухолевого роста, при сглаживании кото-

------ - Л ЄЯЄкИ*Н»Щ)Ср# ОДИАОСЬ

--------ЙшиотервПня, схема Л

—-------Киымшврапия. сааы» 2

Рис. 9

цу)-

В первом эксперименте при моделировании был охарактеризован эффект монотерапии цито-токсическим препаратом. Моделирование лечения начиналось, когда объем опухоли достигал 100 см3 (диаметр 5,7 см, то есть в Ш-ІУ стадии, когда обычно назначается химиотерапия). Коэффициент эли---

.рой получается кривая с точкой минимума. Вторая схема введения препарата также дает ступенчатообразную кривую роста, при сглаживании которой получалась монотонно возрастающая линия.

Схема 1 также оказалась эффективнее схемы 2 (при применении схемы 1 время достижения опухолью объема, равного 1000 см3, увеличилось на

[ хим

Состояние Состояние Состояние

неопределенности явленім роста

.Состояние

зрелости

Рис. 10

минации препарата к был задан 0,005, цитотоксичность и = 0,05. Исследовались две схемы введения препарата: 1 - препарат вводится 20 раз через 24 часа в дозе 1080 мг/кг; 2 - препарат вводится 15 раз через 48 часов в дозе 1440 мг/кг. Суммарная доза препарата в обеих схемах одинакова. Результаты моделирования отражены на рис. 9.

Приведенные расчеты показали, что результаты монохимиотерапии существенно зависят от характеристик заболевания, характера и активности действия препарата в определенной фазе цикла деления и схемы его введения.

При обоих типах опухолей после прекращения лечения наблюдалось возобновление роста, причем на первом этапе рост наблюдался со скоростью, превышающей скорость роста до начала лечения, но затем интенсивность роста снижалась.

При слабозлокачественной опухоли схема 1 оказалась несколько эффективней схемы 2 (при применении схемы 1 время достижения опухолью объема, равного 1000 см3, увеличилось на 600 ч по сравнению с ростом опухоли без лечения; для схе-

171,3 ч по сравнению с нелеченными новообразованиями; для схемы 2 это же время увеличилось на 78,6 ч).

Во втором вычислительном эксперименте исследовался эффект полихимиотерапии двумя препаратами: цитостатическим и цитотоксическим. Коэффициент элиминации к первого препарата был задан 0,005, цитотоксичность - 0,05. Препарат вводится ,15 раз через 48 часов в дозе 1440 мл/кг. Коэффициент элиминации второго препарата составлял 0,005, цито статичность - 10. Препарат вводился 1 раз в дозе 6000 мл/кг одновременно с первым введением первого препарата. Результаты моделирования приведены на рис. 10.

При обоих типах опухолевого роста полихимиотерапия в виде сочетания цитотоксического и ци-тостатического препаратов приводит к лучшим результатам по сравнению с монохимиотерапией ци-тотоксическим препаратом. При первом типе опухоли с применением полихимиотерапии время достижения опухолью объема 1000 см3 увеличилось на 683,4 ч по сравнению с ростом опухоли без ле-

чения. При монохимиотерапии этот промежуток времени увеличился на 465,6 ч. При втором типе и полихимиотерапии время достижения опухолью объема 1000 см3 увеличилось на 379,2 ч по сравнению с ростом опухоли без лечения, при монохимиотерапии это же время увеличилось на 79,2 ч.

Полученные нами результаты моделирования, в основном, соответствуют данным, полученным при лечении экспериментальных опухолей [9], что доказывает адекватность этих моделей.

Предлагаемая нами модель опухолевого роста может быть видоизменена и доработана. В параметры модели можно ввести и другие характеристики, например, чувствительность рецепторов клеток к гормонам в случае гормонозависимой опухоли, экспрессию генов множественной лекарственной устойчивости Нег2/пеи, егЬВ2 и MDR, выраженность местной иммунной реакции и др. Аналогичные модели опухолевого роста также могут быть созданы для оперативного и лучевого, комбинированного и комплексного методов лечения. Данная работа выполнена в русле интенсивно раз-

вивающегося направления исследований - математического моделирования естественной эволюции опухолей и оценки различных лечебных воздействий на опухолевый рост.

Выводы

1. Предлагаемая математическая модель опухолевого роста как модель сосуществования популяций нормальных и трансформированных клеток позволяет охарактеризовать клинико-морфологические характеристики и кинетику онкологического заболевания, что открывает возможности объективизации естественной эволюции опухолевого процесса у каждого конкретного пациента.

2. Математические модели позволяют оценить различные способы лечения, в том числе и лекарственного, определяя рациональность сочетания препаратов и схем их введения.

3. Соответствие результатов моделирования известным клиническим и экспериментальным данным доказывает адекватность разработанных моделей и возможность их использования для поиска более эффективных способов лечения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Албертс Б., Брей Д., Льюис Дж., Рэфф М., Роберте К., Уотсон Дж. Молекулярная биология клетки. - М.: Мир, 1987.

2. Васильев В.Ю. Социальное поведение нормальных клеток и антисоциальное поведение опухолевых клеток. I. Сигнальные молекулы, вызывающие размножение и гибель клеток // Соросовский образовательный журнал.- 1997.- №4.- С. 17-22.

3. Васильев В.Ю. Социальное поведение нормальных клеток и антисоциальное поведение опухолевых клеток. II. Клетки строят ткань // Соросовский образовательный журнал.- 1997.- № 6.- С. 20-25.

4. Ганцев Ш.Х., Хуснутдинов Ш.М. Патология и морфологическая характеристика опухолевого роста.- М., 2003.- 205 с.

5. Моисеенко В.М. "Естественная история" роста рака молочной железы// Практическая онкология.- 2002.- Т. 3, №1.- С. 6-13.

6. Эмануэль Н.М. Кинетика экспериментальных опухолевых процессов. М.: Наука, 1977.

7. Cooper S. On Go and Cell Cycle Controls. BloEssays 1987; Vol.7, N. 5: 220-223.

8. Holland, Frei. Cancer Medicine // B.C.Decker Inc.; Hamilton; London; 2000.