О методологических основах обучения дискретной математике студентов педагогических специальностей

Методика преподавания в высшей школе

УДК 519.1:378

Е. А. Перминов

О МЕТОДОЛОГИЧЕСКИХ ОСНОВАХ ОБУЧЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

В статье характеризуются методологические основы методической системы обучения дискретной математике будущих учителей математики, информатики и студентов инженерно-педагогических специальностей в аспекте интеграции математического образования.

The article focuses on methodological foundations of teaching Discrete Mathematics to future teachers of mathematics, computer science and students of engineering-pedagogical specialities in the aspect of integration of mathematical education.

Ключевые слова: методология, обучение, дискретная математика.

Keywords. methodology, training, discrete mathematics.

За минувший век в математике произошли грандиозные изменения. Она превратилась в мощный инструментарий анализа, исследования и прогнозирования, инициируя процесс математизации наук, т. е. процесс проникновения математических методов в различные области знания. Этот процесс инициировал интеграцию математического образования, которая находит свое развитие в математической подготовке студентов многих специальностей. Она имеет важное значение в интеграции профессиональной и общекультурной подготовки учителя математики, информатики, студентов инженерно-педагогических специальностей.

В последние десятилетия в интеграции математического образования студентов перечисленных специальностей фундаментальную роль наряду с классической («непрерывной») математикой стала играть современная дискретная математика (ДМ). Это связано с тем, что в последние десятилетия в математике значительно возросла роль работ по дискретизации непрерывных объектов, наблюдается бурный рост дискретной математики и ее приложений. Как отмечал выдающийся российский математик А. Н. Колмогоров, «по существу все связи между математикой и ее реальными применениями полностью умещаются в области конечного... Мы предпочитаем непрерывную модель лишь потому, что она проще» [1]. Именно поэтому математические модели были в основном непрерывными.

Распространение дискретных моделей привело к расширению межпредметных связей ДМ с

© Перминов Е. А., 2010

многими математическими предметами (исследованием операций, управляющими системами, криптографией и др.). В результате элементы ДМ постепенно были включены в содержание математической подготовки по многим специальностям из подавляющего большинства направлений подготовки государственных стандартов высшего профессионального образования. Не случайно в свое время один из основоположников информатики В. М. Глушков указывал, что математика в начале XXI в. «будет в большей мере математика дискретных, а не непрерывных величин» [2].

Особое значение дискретной математики в интеграции математического образования студентов педагогических специальностей имеют не только межпредметные связи ДМ. Дискретная математика играет важную роль в интеграции на основе фундаментализации математической подготовки студентов этих специальностей. Бурный рост самой дискретной математики расширил представления о математике и ее приложениях и тем самым способствовал углублению представлений о фундаментальных, т. е. о цельных, обобщающих знаниях, являющихся ядром (основой) всех получаемых студентом знаний, объединяющихся в единую мировоззренческую систему, основанную на базе современной методологии.

Дискретная математика играет важную роль в интеграции математической подготовки студентов педагогических специальностей в рамках ком-петентностного подхода, а именно: ДМ необходима для формирования у них специальных (профессиональных) компетенций, включающих в себя владение методами моделирования на основе «дискретных» моделей, необходимыми для реализации профильного обучения учащихся приложениям математики. ДМ способствует также выработке общих компетенций, которые включают в себя когнитивные способности, в том числе способность понимать и использовать новые дискретные идеи и методы математического моделирования и демонстрировать при этом технологические умения, связанные с использованием компьютера.

Таким образом, ДМ играет важную роль в интеграции математической подготовки студентов педагогических специальностей, способствуя актуализации внутриматематических связей математических дисциплин, внедрению различного рода интегрированных программ, интегрированных курсов, фундаментализации математического образования, реализации компетентностного подхода.

В силу этого фундаментальна роль дискретной математики в математической подготовке будущих учителей математики, поскольку именно они первыми начинают формировать у уча-

Е. А. Перминов. О методологических основах обучения дискретной математике студентов.

щихся средних общеобразовательных и специальных учебных заведений и училищ представления о математике и ее приложениях. Значение ДМ в математической подготовке будущих учителей математики и информатики проявляется также в формировании у них фундаментальных знаний о программировании и вычислительной технике, а для студентов инженерно-педагогических специальностей - в формировании специальных технологических умений в использовании математики в своей профессиональной области.

Анализ специфики предмета и функций современной дискретной математики показывает [3], что обучение ДМ студентов педагогических специальностей должно быть нацелено на адекватное специальности обучение системам компьютерной математики, компьютерным технологиям и математическому моделированию с использованием компьютера, что необходимо для формирования профессиональных и технологических компетенций.

В разработке методологии реализации целей обучения ДМ студентов педагогических специальностей важную роль играют социокультурные аспекты обучения, оказывающие определяющее влияние на формирование личности студента.

Как известно [4], основными элементами современного социокультурного системного подхода в образовании являются три взаимно согласованные стратегии обучения:

1) стратегия отбора содержания обучения;

2) стратегия поэтапного длительного обучения;

3) стратегия обучения на социокультурном опыте (связи обучения со всеми сторонами культуры социума).

Анализ социокультурных аспектов обучения дискретной математике показывает, что в стратегии отбора содержания обучения ДМ студентов многих специальностей определяющую роль играют доминирующие в современной дискретной математике математические структуры. Включение в содержание обучения ДМ математических структур обеспечивает действенность обучения математическому моделированию и тем самым позволяет раскрыть характер соответствия между структурами реальных процессов, операционными структурами и структурами математики, что очень важно в развитии у учащихся стиля мышления, необходимого для моделирования.

Установлено [5], что алгебраические, порядковые структуры и логические, алгоритмические, комбинаторные схемы (как средства, методы математического познания) являются основой стратегии отбора содержания обучения предмету «Дискретная математика» студентов педагогических специальностей, необходимой для фундамен-

тализации обучения математике и междисциплинарной интеграции.

На основе изучения математических структур и схем формируются так называемые когнитивные структуры или схемы (прилагательное когнитивный, происходящее от слова "cognition", т. е. знание, подчеркивает, что речь идет о психических процессах в голове человека, а не просто о стимулах и реакциях). Эти когнитивные структуры или схемы обеспечивают хранение, упорядочение и преобразование наличной и поступающей информации и отвечают за воспроизведение в психике познающего субъекта устойчивых закономерных аспектов его окружения. Формирование когнитивных структур и схем необходимо начинать уже с 11-12-летнего возраста [6].

Анализ стратегии поэтапного длительного обучения показал, что обучение ДМ студентов педагогических специальностей должно происходить на уровнях общего теоретического представления, учебного предмета, учебного материала, процесса обучения, структуры личности студента.

В характеризации уровней обучения определяющее значение имеет выбор целей обучения. Как отмечается в педагогической литературе, цели часто имеют прагматичный, утилитарно-прикладной характер, отражающий ситуативные потребности конкретного предмета, темы или учебного материала. Они могут быть недостаточно конкретны, носить декларативный, лозунговый характер, отражая установки той или иной доктрины, господствующей в образовании в данное время и данных обстоятельствах и т. д. Для преодоления типичных недостатков в постановке целей необходима интеграция на базе актуализации межпредметных и внутрипредметных связей ДМ, являющаяся одним из основных направлений интеграции, которые предлагаются и чаще всего реализуются в современной общеобразовательной и профессиональной школе.

Как показывает анализ предмета, функций дискретной математики в прикладной математике и информатике, теоретико-модельных основ формирования ДМ [7], реализация межпредметных связей ДМ в обучении должна быть нацелена на достижение следующих важных общеобразовательных общекультурных целей математической подготовки студентов: достижение единства в обучении непрерывной и дискретной математике (в том числе обучение совместному использованию непрерывных и дискретных моделей в решении задач); формирование представлений о математике как единой науке с внутренней логикой своего устройства и развития; формирование умений гармоничного сочетания формального языка математики, неформального язы-

Методика преподавания 6 высшей школе

ка науки, в области которой проводится исследование, и уникальных возможностей современного компьютера.

В соответствии с перечисленными целями следующим образом можно охарактеризовать перечисленные уровни обучения ДМ студентов педагогических специальностей.

1. Уровень общего теоретического представления. Обучение ДМ на этом уровне предназначено для формирования общих представлений: о математическом моделировании с использованием компьютера и если возможно - о современной модельной методологии, о межпредметных связях математики информатики и других дисциплин.

2. Уровень учебного предмета ДМ. На данном уровне вырабатывается представление о том, чего нужно добиваться в обучении дискретной математике на данной специальности и чему при этом нужно учить. При формировании содержания обучения ДМ и реализации межпредметных связей дискретной математики решающее значение имеют предмет и функции ДМ.

3. Уровень учебного материала. На этом уровне элементы состава содержания, обозначенные на первом уровне и представленные в форме, специфической для ДМ на втором уровне, получают конкретное наполнение. Речь идет о конкретных знаниях, умениях, навыках, а также задачах, упражнениях, которые составляют содержание профильной реализации обучения дискретной математике и межпредметных связей ДМ в учебниках, задачниках, пособиях и других материалах.

4. Уровень процесса обучения. Это уровень педагогической действительности, т. е. уровень, на котором во взаимодействии преподавателя и учащегося распредметчивается проектируемое содержание обучения дискретной математики.

Теоретическое осмысление этого уровня значительно усугубляется тем, что категории «обучение», «процесс обучения» трактуются неоднозначно. Оставляя в стороне анализ определений этих категорий, будем придерживаться понимания обучения как двустороннего процесса пре-

подавания и учения, наиболее часто встречающегося в методике обучения математике.

5. Уровень структуры личности студента. Здесь достигаются конкретные результаты обучения дискретной математике, становящиеся достоянием его личности. Это итог всей работы по обучению ДМ.

На четвертом и пятом уровнях определяющую роль играет стратегия обучения на социокультурном опыте (связи обучения со всеми сторонами культуры социума), из которой необходимо исходить при устранении возможных перегрузок обучения.

Известно, что основной причиной перегрузок как школьников, так и студентов является нарушение принципа единства содержательной и процессуальной сторон обучения. Такой отрыв может происходить в тех случаях, когда содержание обучения формируется бессистемно, складываясь из простой суммы учебных предметов, без учета условий и факторов, действующих в процессе обучения. Например, перегрузка учебным материалом образуется, когда реализация обучения ДМ начинается с третьего уровня. Последующее сокращение объема содержания и установление межпредметных связей не дают, как правило, кардинальных результатов. Предлагаемый многоуровневый процесс проектирования обучения ДМ позволит устранить «в зародыше» разрыв между проектируемым содержанием и его реализацией.

Примечания

1. Колмогоров А. Н. Научные основы школьного курса математики. Первая лекция // Математика в шк. 1969. № 3. С. 15.

2. Глушков В. М. Кибернетика. Вопросы теории и практики. М.: Наука, 1986. С. 122.

3. Перминов Е. А. Методические основы обучения дискретной математике в системе «школа - вуз». Екатеринбург: Изд-во РГППУ, 2006.

4. Тестов В. А. Стратегия обучения математике. М.: Технологическая школа бизнеса, 1999.

5. Перминов Е. А. Указ. соч.

6. Чуприкова Н. И. Умственное развитие и обучение. М.: Столетие, 1995. (Психол. основы развивающего обучения).

7. Перминов Е. А. Указ. соч.