Динамическое управление инвестиционным портфелем в пространстве состояний с использованием рыночной модели

В. В. Домбровский, Д.В. Домбровский

ДИНАМИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЫНОЧНОЙ МОДЕЛИ

Рассматривается задача динамического управления инвестиционным портфелем (ИП), состоящим из рисковых вложений (обыкновенных акций) и безрискового вклада (банковского счета или надежных облигаций). Задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения по квадратичному критерию в пространстве состояний. Для описания доходностей рисковых финансовых вложений используется однофакторная рыночная модель. Получены уравнения для определения оптимальной стратегии управления. Приведены результаты численного моделирования.

Проблема управления ИП является одной из основных в управлении финансами и представляет как теоретический, так и практический интерес. Можно выделить два основных подхода к ее решению. Классический подход, предложенный в [1,2], и последующие его модификации исходят из предположения о том, что при формировании своего портфеля инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизировать риск портфеля (обычно дисперсию портфеля или связанные с ней меры риска), с другой стороны - получать желаемую доходность (либо в двойственной постановке - максимизировать доходность при ограниченном риске). При этом задача оптимизации структуры портфеля (определения оптимальных долей вложений в различные виды активов) решается в статической постановке (однопериодные модели) и в зависимости от выбора функции риска и способов учета неопределенности сводится к решению задач квадратичного, стохастического или линейного программирования [1 - 5]. Возможно распространение этого подхода на многопериодный случай, однако это приводит к значительным вычислительным затратам [6].

Второй подход основан на построении динамических моделей ИП в непрерывном времени и использовании для выбора оптимальной структуры портфеля методов теории стохастического управления. При этом эволюция портфеля описывается стохастическим дифференциальным уравнением в агрегированном виде, т. е. уравнением для капитала портфеля в целом, а в качестве управляющих воздействий также берутся доли вложений общего капитала в тот или иной актив. Классическая оптимизационная проблема в динамической постановке заключается в определении стратегии управления ИП, максимизирующей некоторую интегральную функцию полезности, зависящую от уровня текущего потребления и конечного богатства, которая имеет достаточно условный характер и обычно подбирается из класса функций, для которых можно получить приемлемое аналитическое решение [7]. За исключением весьма ограниченного набора функций полезности, такой подход приводит к трудной проблеме численного решения уравнений динамического программирования [8]. Используются также и другие критерии оптимизации портфеля, в частности, в [9] критерий, чувствительный к риску (risk-sensitive criterion). Достаточно полный обзор методов оптимизации ИП в динамической постановке с использованием различных критериев дан в [10].

В работах [11 - 13] предложена динамическая модель управления ИП в пространстве состояний, в которой структура портфеля описывается в виде динамической стохастической сети, узлы которой представляют собой капитал, помещенный в данный рисковый (акции) или безрисковый (надежные облигации или банковский счет) актив, а дуги -направления и объем капитала, перемещаемого между активами. Задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения за капиталом некоторого гипотетического эталонного портфеля, имеющего задаваемую инвестором желаемую доходность. В качестве моделей эволюции цен акций в [11, 12] рассматривалась классическая модель геометрического (экономического) броуновского движения (модель Блэка - Шоулса) и ее аналог в дискретном

времени, в [13] модель Мертона, учитывающая скачкообразные изменения цен вследствие воздействия редких экстремальных событий или ожиданий.

В данной работе в рамках подхода [11 - 13] для описания доходностей цен рисковых финансовых активов используется так называемая однофакторная рыночная модель [14], которая связывает доходность отдельной акции с доходностью рыночного индекса (рыночного портфеля, включающего в определенных долях акции ведущих корпораций; в США, например, это индекс Доу - Джонса, Standart and Poor's 500 Stock Index, в России - индекс РТС). Такая модель показывает достаточно хорошее соответствие реальным данным и широко используется на практике [14]. Получены уравнения для определения оптимальной стратегии управления с обратной связью. Приводятся результаты численного моделирования.

МОДЕЛЬ ПОРТФЕЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

Рассмотрим ИП, состоящий из п - 1 видов рисковых вложений (под рисковыми будем понимать инвестиции, доходность которых - случайная величина) и банковского счета с неслучайной, но, возможно, переменной доходностью. Управление портфелем осуществляется путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций посредством банковского счета. Рассматривается самофинансируемый портфель, т.е. деньги извне на банковский счет могут поступать только в виде займа, который погашается из капитала портфеля, а со счета снимаются только с целью вложения в ценные бумаги, формирующие ИП. Предполагается, что масштаб инвестиций инвестора не влияет на цены акций, т.е. рассматривается так называемый "маленький" инвестор и не учитываются трансакционные издержки и налоги.

Пусть x(t) = [(t),x2(t),...,xn(t)] - вектор-столбец, компоненты которого равны объему инвестиций в г-й актив, / = 1,2,...,п; компонента xn(t) описывает состояние банковского счета, верхний индекс Т означает транспонирование.

Тогда динамика портфеля в дискретном времени описывается следующими уравнениями:

для рисковых активов

X.

i = 1, n -1 .

для безрискового вклада

Xn (k +1) = [1 + г (k + 1)]

Xn

где ui (k) - сумма капитала, перераспределяемого в

i=1

момент времени к, уі (к +1), г(к+1) - ставки доходностей соответственно рисковых и безрискового вложений на интервале [к, к+1]; уі (к +1) - случайная величина. Если и і (к) > 0, то - покупку акций вида і - на сумму и (к), снятую с банковского счета, а если и і (к) < 0, то это означает продажу акций вида і на сумму |и (к)| и помещение этой суммы на банковский счет. В векторно-матричной форме уравнения (1), (2) имеют вид

х

где матрицы

А(к+1)=

= diag{1+У](к+1), 1+у2(к+1),..., 1+уп-1(к+1), 1+г(к+1)},

B =

In-1 - E

E = [1,1,...,1 ],

1п-1 - единичная матрица размера (п - 1). Необходимо определить стратегию управления ИП путем перераспределения капитала между различными инвестициями так, чтобы капитал реального портфеля с наименьшими отклонениями (с минимально возможным риском) следовал капиталу некоторого определяемого инвестором эталонного портфеля, эволюция которого описывается уравнением

к 0

где |0 (к) > г (?) - заданная желаемая доходность портфеля.

В качестве меры риска выберем квадратичный функционал вида

У = М | ([V (к) - V0 (к )]2 + ит (к) Я(к) и(к))+

U=0

-[V(Т) - V0(Т)]2 },

Кт

где |т - ожидаемая доходность; ст т > 0 - волатильность рыночного индекса; ю т (к) - последовательность некоррелированных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией. Последовательности (к), I = 1,2,..., п -1, и ют (к) некоррели-

рованы между собой.

С учетом (7) уравнение (6) примет вид

V

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ

Используя модель доходностей рисковых активов (8), уравнение портфеля (3) преобразуем к виду х(к +1) = А0 (к +1) х(к) + В0 (к + 1)и (к) +

§ a

.i=1

I; b,

i =1

x(k) +

u (k ) +

+S m (k +1) x(k) + L m (k + 1)u(k), где Ao = diag {1 + aj + frMm, 1 + a2 + P2^m

... ,1 + an-1 + Pn-1 Mm ,1 + г } ;

A, = diag {0,...,0, ст, ,0,...,0};

Bo =

где общий капитал портфеля V(k) = Сх(к), С = [E, 1], матрица R(k) > 0, начальный капитал V(0) = V°(0).

Второе слагаемое в функционале (5) накладывает ограничения на "мощность" управляющих воздействий. Отрицательное значение переменной хп (к) означает

заем капитала в размере |хп (к)|, отрицательное значение какой-либо из переменных xt, i = 1,2,...,п -1, означает рекомендацию участвовать в операции «shot sale» (продажа без покрытия) [14].

Для описания эволюции доходностей рисковых финансовых активов используем однофакторную рыночную модель [14]

Vi

где юг (к) - последовательность некоррелированных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией; а г - коэффициент смещения; Рг - коэффициент наклона (в рыночной модели он носит название «коэффициент "бета" ценной бумаги вида j»), ст г > 0 - волатильность (изменчивость) ценной бумаги; Rm - эффективность рынка (доходность рыночного индекса). Для описания динамики изменения доходности рыночного индекса используем модель вида [10]

1+а1 +Р: Mm 0

0 1+а2 +Р2 Mm

0

-

0 ... 1+an-1 +Pn-1 M„

-

B=

b,

b, = diag{ 0,...,0,ст, ,0,...,0},

S =

Pi CTm ... 0 0

L =

0

0

P1 CT m

0

0

Pn-1 CTm 0

0

0

0

... P n-1 CT m

... 0

Введем расширенный вектор-столбец z(k) = [xT (k), V0 (k )]T и, объединяя уравнения (9) и (4), запишем

z(k +1) = A0(k +1) z(k) + B0(k + 1)u (k) +

n -1

IA

,=1

n -1

IB,

z (k) +

u (k) +

+S  m (k +1) z(k) + L m (k + 1)u(k),

0

n-1

+

где

A =

Во =

Во

0„

' Л 0Т ] n ; A. = ' A, 0T ] n

IA 1+ц0 ] І _0 n 0

; в, = ' Bt ; S = [S 0П ' ; L

_0 n-1_ 0 n 0

0.

Q(k ) =

dH

dP

dH

dK

= 0.

Система (10) относится к классу систем с мультипликативными шумами. Определим оптимальную стратегию управления с обратной связью вида и(к) = К (к) 2(к),

где К(к) - матрица коэффициентов обратной связи, выбирается из условия минимума функционала (5). Функционал (5) можно записать в виде

У = 1г 1 Х[ СТСР (к) + Кт (к )К(к) К (к) Р(к) ] +

[ л=0

+сТср

где &{•} - след матрицы; С = [с, -1];

Р(к) = М {к) ¿т (к)}

- матрица вторых моментов. Получим разностное матричное уравнение для определения этой матрицы. Используя уравнение (10), будем иметь

Р(к +1) = [ АО (к +1) + В0 (к +1)К (к) ] х хР(к) [ А0 (к +1) + В0 (к +1)К (к)]Т +

п-1

+Я А (к +1) + В (к +1) К (к )]Р(к) х

¿=1

х [ А (к +1) + В (к +1)К (к) ]Т +

[ +Ь К (к )р(к) [ +Ь К (к )]Т .

+ [ + ЬК

Оптимальную стратегию управления получим, решив задачу оптимизации детерминированной системы, описываемой матричным уравнением динамики вторых моментов состояний (12), матрицей К(к) в качестве управляющих воздействий и критерием оптимальности (11). Для решения этой задачи используем принцип максимума в матричной формулировке [15]. Определим Гамильтониан системы

Н = И {СТСР(к) + КТ (к )Я(к) К (к) Р(к)} +

+ И {([ А0 (к +1) + В0(к +1) К (к)] Р(к) х х [ А0 (к +1) + В0 (к +1) К (к) ]Т +

п-1 _ _

+^ [ Д (к +1) + В (к +1)К (к)] Р(к) х

¿=1

х [ Д (к+1)+В. (к+1) к (к) ]Т) е(к+1)}+

+ И {[ £ + ЬК (к) ] Р(к) [ £ + ЬК (к) ]Т Q (к +1)},

где Q(k) - матричный множитель Лагранжа. Необходимые условия минимума имеют вид

K(к) = - R(k) + £ ВТ (к +1) Q(k +1) В,, (к +1) +

_ ,= 1

+ ВТ (к +1) Q(k +1) ВО (к +1) + L Q(k +1) L ]“‘ х х [ВОТ (к + 1)Q(k +1)Д (к +1) +

+£ ВТ (к + 1)Q(k +1)Д (к +1) + L Q(k +1)S ],

І =1

Q(k) = (A) (к +1) + Во(к +1) K(к))х xQ(k +1) A (к +1) + В0(к +1) K(к)) +

+ (S + L K (к )) Q(k +1) (A + L K (к ))+

+£ [ a (к+1)+в (к+1) k (к )]Т х

І=1

xQ(к +1) [Д. (к +1) + В (к +1) K(к)] +

+ КТ (к ) R(k ) K (к ) + CTC , Q(T ) = CTC .

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Пример 1. Определим стратегию управления портфелем, состоящим из банковского счета доходностью r = 0,002 и одного вида акций, с параметрами aj=0,01, р1 =1,3, CTj=0,02. Параметры рыночного индекса: цm =0,007 и стm =0,01. Доходность эталонного портфеля = 0,01. Весовой коэффициент R = 0,01. Результаты численного моделирования ИП представлены на рис. 1, где на оси абсцисс указаны номера интервалов, а по оси ординат - суммы вложений. На рис. 2 и 3 показаны поведения доходностей акции и рыночного индекса соответственно.

ґ

Рис. 1. Динамика портфеля, состоящего из акции и банковского счета: кр. 1 - построенный портфель; кр. 2 - эталонный портфель; кр. 3 - банковский счет; кр. 4 - акция; кр. 5 -управление

Взяв производные, получим уравнения, дающие решение задачи слежения за эталонным портфелем:

Рис. 2. Динамика поведения доходности акции

L

Рис. 3. Динамика поведения рыночного индекса

Пример 2. Рассмотрим портфель, состоящий из трех видов акций и банковского счета. Параметры рисковых ценных бумаг для данного ИП следующие:

ст1 = 0,03, а1=0,01, Р1=1,5, ст 2 = 0,025, а 2 =0,015,

Р2 =0,9, ст3 = 0,03, а3 =0,012, Р3=0,7. Параметры рыночного индекса: | т =0,012, ст т =0,02. Доходность банковского счета г = 0,0025. Доходность эталонного портфеля 10=0,02. Весовая матрица К = diag{1,1,1} . Рис. 4 иллюстрирует динамику распределения финансовых ресурсов между различными видами активов, на рис. 5 показано поведение управляющих воздействий, на рис. 6 и 7 изображено поведение рыночного индекса и доходности 3-й акции.

ґ

Рис. 4. Динамика портфеля, состоящего из трех акций и банковского счета: кр. 1 - эталонный портфель; кр. 2 - построенный портфель; кр. 3 - банковский счет; кр. 4, 5, 6 -рисковые активы

Рис. 5. Динамика поведения управляющих воздействий

Рис. 6. Динамика поведения рыночного индекса

Рис. 7. Динамика поведения доходности 3-й акции

ЛИТЕРАТУРА

1. Marlcomtz H.M. Portfolio selection // J. of Finance. 1952. V. 7. No. 1. P. 77-91.

2. Tobin J. Liquidity preference as behavior towards risk // Review of Economic Studies. 1958. V. 26. No. 1. P. 65-86.

3. YoungM. R. A minimax portfolio selection rule with linear programming solution // Management Science. 1998. V.44. No. 5. P. 673-683.

4. Golub B., Holmer M., McKendall R., et al. A stochastic programming model for money management // European Journal of Operational Research. 1995. V.85. P. 282-296.

5. Dupacova J. Portfolio optimization via stochastic programming: Methods of output analysis // Mathematical Methods of Operational Research. 1999. V.50. P. 245-270.

6. Zenios S. A. High-performance computing in finance: the last 10 years and the next // Paraller Computing. 1999. V.25. P. 2149-2175.

7. Merton R. C. Continuous-time finance. Cambr. Ma. Blackwell, 1990.

8. Kushner H. J. Consistency issues for numerical methods for variance control with applications to optimization in finance // IEEE Transaction on Automatic Control. 1999. V.44. No. 12. P. 2283-2296.

9. Bielech T.R., Pliska S.R. Risk-sensitive dynamic asset management // Applied Mathematics and Optimization. 1999. No. 39. P. 337-360.

10. Runggaldier W.J. On stochastic control in finance. Mathematical Systems Theory in Biology, Communication, Computation and Finance / Eds. D. Gilliam and J. Rosental. IMA Book Series (MTNS-2002). Springer Verlag, 2002.

11. Dombrovsку V.V., Gerasimov E.S. Dynamic network model of control investment portfolio in continuous time // Proceeding of 5th Russian-Korean Symposium on Science and Technology (KORUS-2001). Tomsk, 2001. P. 304-308.

12. Герасимов Е.С., Домбровский В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестициями при квадратичной функции риска // Автоматика и телемеханика. 2002. № 2. C. 119-127.

13. Dombrovsky V.V., Fedosov E.N. State space model of portfolio selection in non-stationary jump-diffusion market // Automatic Control and Computer Sciences. 2002. V. 36. No. 6. P. 13-24.

14. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 1997.

15. AthansM. The matrix minimum principle // Information and Control. 1968. V.11. P.592-606.

t

t

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики и кафедрой математических методов и информационных технологий в экономике экономического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 21 мая 2003 г.