Онтологические и гносеологические аспекты истолкования геометрии в программе интуиционизма

А.С. Левченко

ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ И ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИСТОЛКОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ В ПРОГРАММЕ ИНТУИЦИОНИЗМА

В настоящей статье на основе работ интуиционистов Л.Э.Я. Брауэра и Г. Вейля выявляются онтологические и гносеологические установки программы интуиционизма в истолковании геометрической составляющей математики. В статье находит подтверждение точка зрения, что подход к обоснованию математики последователями школы Л.Э.Я. Брауэра включает в себя элементы объективистского, реалистического истолкования природы фундаментальных математических истин и объектов.

Ключевые слова: философия математики, интуиционизм, онтологические и гносеологические основания математики, геометрия.

Изучение сущностных особенностей, а также отдельных аспектов эволюции и взаимного влияния интуиционизма, формализма и логицизма, несмотря на множество интереснейших работ отечественных и зарубежных авторов, затрагивающих эту тематику, до настоящего времени представляет собой обширное поле нерешенных задач. Решение этих задач важно как для ученых-математиков, так и для философов.

В качестве одного из возможных и новых подходов к изучению интуиционистского направления нами был выбран подход, предполагающий наличие в сущностных основах математики трех равнозначных и взаимодополняющих составляющих - арифметической, геометрической и логической1.

Отметим, что такой подход на первый взгляд может показаться неуместным для исследования интуиционистского направления, поскольку Брауэр и его последователи не считают логическую и геометрическую составляющие равнозначными арифметике и не

© Брауэр Л.Э.Я., 2010

Работа выполнена при поддержке РГНФ, проект № 08-03-00049а.

рассматривают все три составляющие в качестве неотъемлемых компонент фундамента математики. Логика для интуиционистов производна от математики, вернее от арифметики, предполагающейся фундаментом всего математического знания. Кроме того, интуиционисты считают возможным существование различных логик, пригодных для выполнения различных задач математики и даже различных областей научного знания2.

Брауэр настаивает на том, что в науке логика часто приводит к правильному результату, но это не делает верным утверждение, что ее применимость можно использовать до бесконечности, а кроме того, в математике сомнительно, допустима ли вся логика, и сомнительно также, разрешима ли проблема ее допустимости в принципе3.

В отношении геометрии основоположник интуиционизма занимает более жесткую позицию и говорит о невозможности придания ей статуса фундаментальной компоненты математики, поскольку имеется возможность полного сведения геометрических систем к арифметике: «Со времен Декарта нами изучена редукция всех типов геометрии к арифметике, посредством вычисления координат»4. Однако сегодня мы знаем, что множество убедительных аргументов указывают на обратное: геометрическая составляющая входит в качестве фундаментальной компоненты в основы математики, она несводима к другим компонентам (равнозначна им) и неустранима, т. е. не может быть заменена или просто игнорироваться при рассмотрении онтологических и познавательных основ математики.

Очевидно, что фундаментальные понятия и отношения геометрии: точка, прямая, плоскость, пространство, движение, принадлежность точки прямой и пр. - не могут быть полностью сведены к другим составляющим оснований математики. По мнению современных авторов, признание геометрической очевидности наряду с очевидностями логики и арифметики позволят в значительной степени расширить возможности интуиционистского обоснования математики. Например, часть относительных доказательств непротиворечивости в этом случае может приобрести статус абсолютных. Кроме того, допущение непрерывности прямой в статусе конструктивного тезиса позволяет построить геометрию конструктивно5.

В работе «On the foundations of mathematics» имеется непосредственное указание Брауэром на фундаментальную важность в науке не только категории времени, но и категории пространства, а также фактически признается объективный статус этой категории: «...позвольте задать нам вопрос о том, насколько физическое время и пространство объективны. Ответом должно быть то, что они обладают этим фундаментальным свойством во всей полноте, возможно более полно, чем любой другой физический объект»6. Брауэр, помимо

этого, говорит о необходимости разработки геометрического метода в различных областях математики: «Моим главным намерением была демонстрация того, что было бы возможным и желательным уделять первостепенное значение геометрическому методу также в тех частях математики, где это еще не было предпринято»7. Все это позволяет нам прийти к выводу, что интуиционистская программа обоснования математики имплицитно признает включенность геометрии в основания математического знания. Более того, Брауэр в своей программе ставит сущностное основание геометрии, в качестве которого выступает понятие пространства, на один уровень с понятием времени, которое в то же время предполагается единственно возможным основанием для построения математики.

Здесь очевидна противоречивость высказываний Л.Э.Я. Брауэра в отношении геометрической компоненты. На наш взгляд, такое противоречие является, с одной стороны, результатом отказа ин-туиционистов от рассмотрения геометрии в качестве фундаментальной составляющей оснований математики и, с другой стороны, следствием признания очевидной объективности геометрических истин, указывающей на сущностную значимость геометрии, ее непосредственную связь с действительностью.

Брауэр, рассуждая об априорности в математике, указывает, что это понятие может иметь двойную трактовку. Его можно понимать либо как существование, независимое от опыта, или же как необходимое условие для возможности создания всей науки (т. е. как фундаментальность, в нашей терминологии). Если рассматривать понятие исключительно в первом смысле, то в этом случае, по мнению Брауэра, априорность всей математики следует «из ее интуитивного построения», и «неевклидова геометрия априорна настолько же, насколько и геометрия Евклида»8. Если же в качестве единственного определения априорности предполагается второе из приведенных (т. е. как синоним фундаментальности), то для построения всей математики Брауэр предполагает достаточным считать единственным априорным элементом в науке время, а точнее, интуицию восприятия разделенных моментов времени.

С целью исключения пространственной компоненты из фундамента построения науки Л.Э.Я. Брауэр подвергает критике точку зрения Канта на статус эмпирического пространства. Кант утверждал, что геометрия Евклида представляет собой необходимое условие для всех внешних событий и является единственным источником для построения концепции окружающего мира. Естественно, что такой источник предшествует всякому внешнему опыту.

Брауэр возражает против этой точки зрения, утверждая, что человек приобретает опыт «отдельно от всей математики, следо-

вательно, вне любой пространственной концепции»; более того, в математике в процессе классификации событий также возможно создание «пространственных концепций, являющихся свободными актами интеллекта»9. Таким образом, Брауэр все же указывает на независимость всей геометрии от опыта, другими словами, на ее априорность в первом из указанных им смыслов. Но, кроме этого, он предполагает возможность существования множества геометрий как разновидностей математических систем. Здесь просматривается аналогия с точкой зрения представителей интуиционизма на природу логики и ее роль в общей структуре математического знания.

В подтверждение своей точки зрения Брауэр говорит о том, что не только математика существует независимо от опыта, но и опыт человека независим от математики: «Человеческий опыт пассивно не определяется ни какой-либо единственной математической системой, ни координатой времени, ни даже временным континуумом»10. В отношении связи пространства нашего опыта и геометрии, по словам Брауэра, человеческий интеллект совершенно свободно может «отделить себя от трехмерной Евклидовой геометрии». При этом «виртуозность» и привычность связи явлений окружающего нас мира с геометрией Евклида вовсе не исключает для человека возможности строить другие «математические схемы» и связывать события нашего опыта с этими новыми схемами11.

Другими словами, Брауэр считает, что мир объектов не является необходимым условием для опыта, а «эмпирическое пространство» представляет собой произвольное построение, дающее возможность при помощи математической индукции разным людям «рассматривать причинные последовательности различного рода под одной точкой зрения»12. Однако, отождествляя геометрию с произвольно конструируемыми системами и считая такие системы независимыми от опыта, а опыт - независимым от внешнего мира, Брауэр игнорирует ряд убедительных аргументов, противоречащих его позиции. Во-первых, необходимо указать, что эмпирические критерии знания - это критерии объективности, т. е. истинности, понимаемой как соответствие действительности. Во-вторых, эмпирически получаемые законы естествознания находят свое подтверждение с точки зрения других критериев объективности и истинности. В частности, с точки зрения рационалистических критериев (к которым можно отнести непротиворечивость, логичность и т. д.), а также критерия практики.

Для подтверждения своего подхода к пониманию сущностного статуса геометрии Брауэр приводит онтологическое описание исходных понятий и принципов построения геометрии: «В мире опыта существуют определенные объекты, называемые твердыми телами.

Они допускают группу преобразований, называемых движениями. Эти движения могут быть отображены с высокой степенью точности шестимерным Евклидовым преобразованием в трехмерном Декартовом пространстве. С помощью этого отображения световые лучи в мире опыта изображаются прямыми линиями в Декартовском пространстве»13. Предугадывая критические возражения о том, что не только лучи света и движения твердых тел, но и вообще любые физические явления даны нам через восприятие в пространстве, описываемом Евклидовой геометрией, Брауэр все же утверждает, что в конечном счете все физические события могут быть редуцированы к преобразованиям твердых тел и изображениям световых лучей прямыми линиями. Независимость Евклидовой системы от «царства чисел», считает ученый, имела место до тех пор, пока человеческий разум не построил с помощью чисел другие системы, сопоставимые с Евклидовой геометрией. В качестве примера таких систем Брауэр указывает на неевклидовы геометрии.

И все же сам математик приходит к следующему выводу: «Несмотря на существование возможности представить, что аксиома параллельных не априорна в математике, наша способность познания может ассимилировать мир опыта только в форме геометрии Евклида», вследствие чего в окружающей действительности «геометрия Евклида сохраняет физическую априорность». По мнению Брауэра, у человека нет необходимости изменять свою точку зрения, пока опыт эмпирического пространства не задаст движения твердых тел по законам неевклидовых геометрий14. Сейчас нам известно, что описание физического пространства вообще требует привлечения неевклидовых геометрий, а Евклидова геометрия наиболее эффективна для частных случаев, когда действие гравитационных полей сравнительно мало. Известно также, что сама Евклидова геометрия может рассматриваться как частный случай геометрии, в котором «кривизна» пространства является нулевой. Все это указывает нам на объективность, реальность геометрических истин, на их соответствие действительности. Это, в свою очередь, означает, что геометрическая компонента математики является сущностно значимой, фундаментальной, самостоятельной, а не производной, вторичной, редуцируемой компонентой.

Тем не менее данные положения не отрицают позиции Брауэра в том смысле, что именно базисные понятия и истины евклидовой геометрии выступают в роли первичных для человеческого познания элементов геометрии, что эти истины и понятия не эмпиричны, а априорны. Брауэр, ошибочно утверждая, с одной стороны, неправомерность отнесения геометрической составляющей к области фундаментальных компонент математики, с другой стороны, считает

геометрию Евклида единственно возможным инструментом для определения, измерения и преобразования объективной действительности. Ученый считает, что при рассмотрении математической структуры геометрии Евклида как уже завершенной системы для объективного пространства Евклид «не может быть обвинен в неполноте его аксиом». Брауэр предполагает, что аксиомы геометрии Евклида единственной своей целью имеют «сопровождение перехода с помощью цепи тавтологий от ясно воспринятых отношений (т. е. оснований) к новым отношениям, которые не являются изначально непосредственно воспринятыми»15. При таком подходе к сущности геометрии основоположник интуиционизма рассматривает систему Евклида как принадлежащую к чистой математике, считая отсутствие в этой системе координатного метода всего лишь недочетом самого Евклида. В свою очередь, Брауэр не указывает, какую природу имеют те самые непосредственно воспринятые отношения в геометрии, на которых и основывается дальнейшая цепь тавтологий. На наш взгляд, эти первичные отношения имеют в действительности фундаментальный и априорный характер, однако признание этого потребовало бы от интуиционистов включения геометрии наряду с арифметикой в фундамент математического знания.

Брауэр сам задает вопрос о том, существует ли вообще «какая-либо априорная форма восприятия для мира опыта»16. Он отвечает на этот вопрос положительно и говорит, что такая форма восприятия существует в виде абстракции интуиции времени, а любой опыт воспринимается как пространственное или непространственное изменение, связанное с этой абстракцией. Именно эта фундаментальная и независимая от опыта абстракция является источником всех математических систем, в том числе «включая пространства с их геометриями»17. Далее, говорит математик, некоторые из этих систем были выбраны для упорядочивания, систематизации (каталогизации) различных явлений опыта. То, какие математические системы выбираются, Брауэр считает не более чем вопросом «удобства, вкуса или обычая». Из вышесказанного он делает вывод о неправомерности считать геометрию одним из сущностно значимых оснований математики. Более того, ученый считает, что априорность геометрии не дает права выделять ее как специфическую часть математики18.

При столь категоричном подходе в работах Брауэра не встречается анализа того, почему, несмотря на утверждаемую им возможность значительного выбора в применении тех или иных математических систем, в обозримой истории человечества не обнаруживаются системы, которые бы противоречили или, по крайней мере, были принципиально отличны и несводимы к геометрии Евклида.

Мы предполагаем, что ответ на этот вопрос кроется в словах самого Брауэра. Именно априорный характер оснований, определяющих принципы восприятия человеком действительности и являющихся источником для построения всей геометрии, позволяет говорить о фундаментальном, сущностно значимом статусе геометрической компоненты в структуре всего математического знания. Только не зависящие от человеческого опыта, но имеющие онтологическую значимость основания могут гарантировать неизменную эффективность применения в практической деятельности истин и положений математической науки, непосредственно связанной с окружающей действительностью, но в то же время не зависящей от условий своего применения.

Г. Вейль в своей работе «О философии математики»19 приводит аналогичное Брауэру рассмотрение (а точнее построение) геометрии Евклида как одной из возможных структур математики, построенных на фундаменте арифметики. Он разделяет точку зрения Брауэра на возможность сведения геометрии к арифметической составляющей фундамента математики. Вейль считает, что приведенная им система сведения геометрии к учению о числах необходима для того, чтобы продемонстрировать глубокое различие между математическими (геометрическими) построениями и воспринимаемым человеком пространством. Но все же ученый отмечает, что подобные построения требуют отказа от «значительной части того, что в математике издавна почитается вполне обеспеченным ее достоянием»20.

Однако предложенная Вейлем конструкция представляет собой не исчерпывающий фундамент геометрии, а только возможную ее интерпретацию в некоторой числовой системе. Так, в самом начале построения «объемноопределенного поля», математик свободно использует понятие системы координат, хотя это понятие предполагает определенность ряда положений геометрии еще до привлечения арифметики.

В той же работе «О философии математики» Вейль подтверждает равнозначность арифметической и геометрической компонент фундамента математики.

В геометрии Эвклида мы оперируем тремя категориями предметов: точками, прямыми и плоскостями, не определяемыми, а рассматриваемыми в качестве интуитивно-данных, и тремя основными отношениями: «лежать на» (точка лежит на прямой, прямая лежит на плоскости, точка лежит на плоскости), «между» (точка ъ лежит между точками х и у) и «конгруэнтный» (конгруэнтность отрезков и углов). Аналогичным образом в области натуральных чисел 1, 2, 3, ... един-

ственным основным отношением, при помощи которого определяются все прочие, является отношение, существующее между числом п и следующим за ним числом натурального ряда п'21.

Фундаментальность для математики, самостоятельность, онто-гносеологическую значимость базисных истин и положений геометрии Вейль фактически подтверждает указанием на логическую и интуитивную «однородность пространства». Она состоит в том, что любое свойство «выведенное из основных геометрических отношений, без указания частных точек, прямых или плоскостей и присущее какой-либо одной точке, - присуще также всякой другой точке»22. Такого свойства, очевидным образом, приписать основным объектам арифметики - числам - мы не можем.

Говоря о непротиворечивости евклидовой геометрии, Вейль отмечает, что она может быть доказана без веры в ее фундаментальные определения: «...непротиворечивость эвклидовой геометрии может быть доказана на арифметической модели. Действительно, аналитическая геометрия, в основу которой целесообразнее всего положить понятие вектора, показала, что эвклидова геометрия есть лишь особенный способ изложения линейной алгебры, теории линейных уравнений»23. Однако, как мы уже показали, это вовсе не значит, что Вейль тем самым обосновал полную выводимость геометрии из арифметики. Отмечая неразрывную связь этих двух компонент математики, он четко указывал на принципиально различную гносеологическую природу их априорных очевидностей: «.числа являются вольным творением духа и потому как бы прозрачны для духа в совершенно иной степени, чем пространственные объекты и отношения»24.

Подводя итог нашего рассмотрения, мы можем заключить, что, в отличие от общепринятой точки зрения, работы Брауэра и его последователей содержат множество указаний (в основном неявных) на то, что геометрия имеет онтологически значимую основу. Она выражает себя посредством интуитивных очевидностей пространственного характера, которые и являются фундаментом для создания всей структуры этой компоненты математического знания.

Выводимость первичных, фундаментальных понятий геометрии из принятой в качестве основания всей математики интуиции двуединства не демонстрируется Брауэром в убедительной форме. На наш взгляд, описание данной процедуры для разъяснения невозможности рассмотрения геометрии в качестве одной из компонент фундамента математики в интуиционистской программе ее обоснования представляется необходимым. Отсутствие такого описания в работах интуиционистов, как мы считаем, объясняется именно

несводимостью фундаментальных геометрических очевидностей к каким-либо другим математическим сущностям или понятиям, поскольку исходные понятия геометрии, как и их аналоги в арифметике, имеют априорную природу и столь же надежны.

Стоит отметить еще один аргумент в пользу пересмотра, реконструкции подхода Брауэра и его последователей к определению значимости геометрической компоненты для обоснования математики. Дело в том, что, хотя геометрические утверждения и не выводятся эмпирическим путем, их истинность (в смысле соответствия действительности) всегда подтверждается неизменной успешностью применения геометрических законов в естественнонаучном познании мира, то есть эмпирические критерии косвенно, опосредованно свидетельствуют об истинности, реальности, объективности утверждений геометрии. Геометрия представляет собой совершенно объективную науку, истины которой априорны и заданы как свойствами разума, так и свойствами действительности, что означает ее реалистичность и необходимость для восприятия человеком окружающего мира.

Примечания

Подробнее об использовании указанного подхода в изучении оснований математики см.: Арепьев Е.И. О сущностном фундаменте математики и ее арифметической составляющей // Философская Россия. 2006. № 1. С. 99-108; Он же. Онтологические и гносеологические компоненты оснований математики: геометрическая составляющая // Философская Россия. 2007. № 3. С. 144-151. Подробно о сущности и статусе логики в интуиционизме см., напр.: Гейтинг А. Интуиционизм. Введение / Пер. Б.А. Янкоба, под ред. и с коммент. А.А. Маркова. М.: МИР, 1965. C. 78, 82, 87; Вrouwе L.E.J. The unreliability of the logical principles // Brouwer L.E.J. Collected Works. Vol. 1. Philosophy and Foundations of Mathematics. Amsterdam; Oxford, 1975. P. 107-108; Idem. Historical background, principles and methods of intuitionism // Ibid. P. 509.

Подробнее см.: Вrouwеr L.E.J. The unreliability of the logical principles. P. 110. Brouwer L.E.J. Intuitionism and formalism // Bulletin of the American mathematical society (New Series). 1999. Vol. 37. № 1. P. 58.

Подробнее о фундаментальном статусе геометрии в основаниях математики см., например: Перминов В.Я. Философия и основания математики. М.: Прогресс-Традиция, 2001. С. 192-194; Арепьев Е.И. О сущностном фундаменте математики и ее арифметической составляющей. С. 99-108; Он же. Онтологические и гносеологические компоненты оснований математики. С. 144-151. Вrouwеr L.E.J. On the foundations of mathematics // Brouwer L.E.J. Collected Works. Vol. 1. P. 60.

2

3

4

5

7 Brouwer L.E.J. The nature of geometry // Brouwer L.E.J. Collected Works. Vol. 1. P. 120.

8 Brouwer L.E.J. On the foundations of mathematics. P. 68.

9 Ibid.

10 Ibid. P. 70-71.

11 Подробнее см.: Ibid. P. 68-71.

12 Ibid. P. 64.

13 Brouwer L.E.J. The nature of geometry. P. 113.

14 Подробнее об этом см.: Ibid. P. 113-114.

15 Brouwer L.E.J. On the foundations of mathematics. P. 76.

16 Brouwer L.E.J. The nature of geometry. P. 116.

17 Ibid. P. 117.

18 Подробнее см.: Ibid. P. 116-117.

19 Вейль Г. О философии математики / Пер. с нем. предисл. С.А. Яновской. Вступ. ст. А.П. Юшкевича. 2-е изд., стереотип. М.: КомКнига, 2005.

20 Подробнее об указанной Вейлем системе см.: Там же. С. 21.

21 Там же. С. 34-35.

22 Там же. С. 38-39.

23 Там же. С. 51-52.

24 Там же.