Динамика легкой сферы во вращающейся сферической полости с жидкостью

Конвективные течения..., 2013

ДИНАМИКА ЛЕГКОЙ СФЕРЫ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ С ЖИДКОСТЬЮ

Н.В. Козлов, С.В. Субботин

Лаборатория вибрационной гидромеханики, Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Изучается поведение сферического тела во вращающейся вокруг горизонтальной оси сферической полости с жидкостью. Средняя плотность тела меньше плотности жидкости. Опыты проводятся при высокой скорости вращения, когда под действием центробежной силы тело располагается вблизи оси вращения. Обнаружено интенсивное отстающее вращение тела (вибрационный гидродинамический волчок). При слабом относительном вращении сфера располагается вблизи центра полости. При увеличении относительного вращения сфера смещается к одному из полюсов кюветы, занимая квазистационарное положение на некотором расстоянии от него. В экспериментах варьируются относительная плотность и размер сферы.

Ключевые слова: вращение полости, сферическое тело, дифференциальное вращение, устойчивость.

ВВЕДЕНИЕ

Одним из важных направлений современной физики является изучение вопроса о генерации собственного магнитного поля, а также задача об относительном движении внутренних слоев звезд и планет. Так, в [1] при анализе сейсмических волн было предсказано существование дифференциального вращения внутреннего твердого ядра. Оказалось, что внутреннее ядро вращается быстрее мантии (супервращение), тот же результат дала динамо-модель Глатцмайе-ра - Робертса [2]. Супервращение внутреннего ядра приводит к сильному зональному потоку (в азимутальном направлении относительно оси вращения), в результате чего возникает тороидальное

© Козлов Н.В., Субботин С.В., 2013

Козлов Н.В., Субботин С.В. Динамика легкой сферы во вращающейся

магнитное поле. По современным данным опережение составляет примерно 0.3-0.5 градуса в год [3]. Таким образом, моделирование геофизической ситуации является актуальной современной задачей. Моделью динамики жидкого ядра является сферическое течение Тэйлора - Куэтта - движение жидкости между двумя сферическими поверхностями, вращающимися с различными угловыми скоростями. В задачах по исследованию устойчивости движения жидкости в сферическом течении Тэйлора - Куэтта пионерскими можно считать экспериментальные работы [4-6]. И по сей день внимание исследователей к данной тематике не затухает [7-9]. Обзор литературы, посвященной проблеме сферического течения Куэтта, можно найти в [10].

Не меньший интерес вызывает вопрос о влиянии внешнего силового поля, в качестве источника которого может выступать спутник планеты, на динамику твердого ядра планеты [11]. Если ядро свободно к радиальным смещениям, статическое внешнее поле вызывает приливные колебания ядра. В двумерной постановке задача о влиянии внешнего силового поля на осредненную динамику твердого ядра во вращающейся полости изучалась теоретически и экспериментально в [12]. Рассматривалось длинное цилиндрическое тело, центрифугированное во вращающейся вокруг горизонтальной оси цилиндрической полости с жидкостью (плотность тела меньше плотности жидкости). Было показано, что осциллирующее в системе отсчета полости силовое поле (поле силы тяжести во вращающейся системе отсчета) рождает осредненную массовую силу в динамическом слое Стокса вблизи тела. Действие этой силы приводит к возбуждению отстающего дифференциального вращения тела. Таким образом, приливной эффект можно выразить через величину относительной скорости твердого ядра.

В данной работе продолжаются экспериментальные исследования осредненного вращения легкого тела, исследуется тело сферической формы в сферической полости.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В экспериментах используется сферическая полость 1 (рис.1) радиуса R = 3.60см или 4.45 см, внутрь которой помещается сферическое тело 2 радиуса r = 1.27 см (или 1.77 см). Относительный радиус тела составляет h ° r /R = 0.35,0.40 и 0.49. Средняя плотность тела меньше плотности жидкости и в экспериментах варьируется, ps = 0.23 г/см3 (0.99 г/см3). Вариация

104

Конвективные течения..., 2013

плотности достигается путем заполнения полой пластмассовой сферы селиконовым герметиком.

Рис.1. Сферические полость 1 и тело 2

Кювета заполняется жидкостью и приводится в быстрое вращение вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью Wrot. Рабочими жидкостями служат вода, водоглицериновые растворы кинематической вязкости n < 74 сСт и флуоринерт (n = 2.2 сСт, pL = 1.86 г/см3). При изменении плотности жидкости меняется относительная плотность тела, p°ps / pL = 0.12 - 0.99. Подробное описание установки и методики эксперимента приведено в [13].

2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА

Плотность сферы меньше плотности жидкости, поэтому в отсутствие вращения она всплывает и располагается вблизи верхней стенки полости. При увеличении скорости вращения полости сфера увлекается потоком жидкости и при некотором значении frot = Wrot / 2p смещается к оси вращения - центрифугируется. Из-за разности плотностей ось вращения сферы смещена относительно оси вращения полости. Это приводит к тому, что сфера и полость вращаются с различными угловыми скоростями. Сфера совершает отстающее относительное (дифференциальное) вращение, frot > f. В системе отсчета полости это эквивалентно движению сферы в направлении, противоположном направлению вращения полости, относительная скорость Df ° (fs - frot) < 0 .

105

Козлов Н.В., Субботин С.В. Динамика легкой сферы во вращающейся

Дифференциальное вращение. С увеличением скорости frot центробежная сила смещает сферу к оси вращения, и относительная скорость вращения сферы Df постепенно уменьшается (рис.2). При больших значениях frot дифференциальное вращение становится слабым, сфера и полость совершают практически твердотельное вращение. При уменьшении frot скорость Df увеличивается, экспериментальные точки согласуются с зависимостью, полученной при повышении frot. В переходах сферы в центрифугированное состояние и обратно наблюдается гистерезис.

0

Df, об/с -1.5

-3

6 19 fr01, об/с 32

Fit h = 0-49 v, сСт А А 1.0 о • 5.0 Ф ♦ 15.0

Рис.2. Зависимость относительной скорости вращения сферы Df от скорости вращения полости fmt, ps = 0.23 г/см3; область нестационарного вращения сферы заштрихована; светлые точки -повышение frot, темные - понижение

При уменьшении вязкости жидкости интенсивность относительного вращения увеличивается, пороги всплытия и центрифугирования сферы смещаются в область более высоких значений fr0t (рис.2). При переходе к маловязким жидкостям вид зависимости Df (frot) меняется. Так, в случае воды при изменении скорости вращения полости в области значений frot = 21 - 27 об/с кривая относительной скорости при I Df I » 0.8 об/с выходит на горизонталь-

106

Конвективные течения..., 2013

ный участок. В то же время скорость вращения сферы непостоянна при фиксированном значении frot. Подобного рода неустойчивость

наблюдалась в цилиндрической полости [14] и связывалась с возбуждением собственной моды колебаний сферы, отличающейся от скорости вращения полости.

В предобвальной области (при медленном вращении полости) поведение сферы становится нестабильным, относительная скорость меняется в пределах |А/| = (2.5 - 2.7) об/с. Нестабильное поведение связано с возбуждением автоколебаний. Амплитуда круговых колебаний сферы периодически возрастает и убывает, одновременно меняется скорость вращения /. Оба паразитных эффекта полностью подавляются увеличением вязкости жидкости.

Рис.3. Влияние вязкости на скорость относительного вращения сферы

Относительная скорость сферы убывает с увеличением вязкости жидкости по степенному закону |A/| ~ v~08 (рис.3). Это отличается

от результата |A/| ~ n~05, полученного для цилиндрической полости и тел различных форм [12, 14]. В области малых значений вязкости зависимость A/(n) отклоняется от степенной, что вызвано паразитными эффектами, указанными выше (рис.2).

Положение сферы. В зависимости от вязкости жидкости и скорости вращения /ш сфера занимает различные квазистационарные

107

Козлов Н.В., Субботин С.В. Динамика легкой сферы во вращающейся

положения на оси вращения

0.5 х 0

-0.5

V а

?Л± А ‘ * L

frot ^ ^ А А А Д

Рис.4. Зависимость положения х сферы относительно полюсов полости от frot для различных v ; h = 0 49

Рассмотрим изменение положения тела с частотой вращения (рис.4а). После центрифугирования сфера оказывается смещенной из центра полости, она расположена ближе к одному из полюсов на расстоянии х »|0.2|. При повышении frot положение сферы практически не меняется. При понижении скорости вращения в пороге f*ot наблюдается заметное смещение сферы к плюсу вплоть до значения х »|0.5| в предобвальной области. Первоначальное смещение может произойти к любому полюсу полости, при этом кривые положения сферы оказываются зеркально-симметричными. В [15] показано, что с увеличением относительного радиуса h перемещение сферы из центра сопровождается изменением ориентации оси вращения тела относительно полости.

108

Конвективные течения..., 2013

6 19 frot, об/с 32

Рис.5. Влияние относительного радиуса h на интенсивность относительного вращения (а) и положение сферы (б); при h = 0.35 радиус сферы равен r = 1.25 см, при h = 0.40 и 0.49 - r = 1.77 см

Изменение вязкости жидкости практически не сказывается на положении тела (рис.4б), как и в случае цилиндрической полости [14]. Исключение составляет предобвальная область, в которой увеличение вязкости до v = 15.0 сСт приводит к стабилизации положения сферы вблизи центра полости. В менее вязкой жидкости (v = 1 сСт) срыв центрифугированного состояния, по-видимому,

109

Козлов Н.В., Субботин С.В. Динамика легкой сферы во вращающейся

происходит раньше, чем сфера успевает переместиться вдоль оси к полюсу. Кривые x(frot) становятся асимметричными, что также может быть связано с изменением характера колебаний тела.

Влияние относительных радиуса и плотности тела. При

уменьшении h кривая Df (frot) смещается вверх, величина дифференциального вращения становится меньше (рис.5а). Это выполняется для h = 0.40 и 0.49 при неизменном радиусе тела. Иное поведение кривой при h = 0.35 (на данной плоскости размерных параметров) связано с изменением (уменьшением) размера тела при том же значении относительной плотности р° ps / pL.

Рис.6. Влияние относительной плотности тела на скорость его дифференциального вращения

При изменении относительного радиуса тела положение сферы вдоль оси меняется немонотонно (рис.5б). В случае h = 0.40 при больших скоростях вращения устойчивым оказывается положение тела в центре полости. При понижении frot симметричное положение становится неустойчивым, сфера смещается к одному из полюсов кюветы. Это свидетельствует о наличии бифуркации. В точке бифуркации смещение может произойти к любому полюсу. В кювете с h = 0.49 зависимость положения тела качественно не отличается, однако при больших скоростях устойчивым является асим-

110

Конвективные течения..., 2013

метричное положение. Сохранение зеркально-симметричного вида кривых x(frot) говорит о том, что природа потери устойчивого положения в центре полости не связана с нарушением симметрии установки или горизонтальности системы.

1

x

0

-1

6 19 /го„об/с 32

Рис.7. Скорость вращения (а) и положение сферы (б) для различных v

Для изменения относительной плотности р ° ps / pL варьируется как плотность жидкости, так и плотность тела при его неизменном радиусе г. Чем меньше разность плотностей между жидкостью

111

Козлов Н.В., Субботин С.В. Динамика легкой сферы во вращающейся

и телом (рис.6), тем меньше относительная скорость сферы. Из общей картины заметно выделяются результаты, полученные при значении плотности р = 0.12. При frot = 16.0 об/с наблюдается существенное уменьшение относительной скорости. По-видимому, здесь проявляется другой механизм генерации дифференциального вращения, аналогичный обнаруженному ранее в опытах с водой (рис.2) и не связанный с радиальными колебаниями сферы.

При увеличении вязкости вид зависимости x(frot) остается прежним, качественным отличием является изменение порога устойчивости, а также появление гистерезиса в переходах от симметричного положения тела на оси к асимметричному и обратно при повышении и понижении frot (рис.7). По аналогии с динамикой сферы в цилиндрической полости [14] можно ожидать изменения порога устойчивости с изменением вязкости.

3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Поведение сферы тела в сферической полости во многом схоже с ранее изученным поведением сферы в цилиндрической полости [14, 16]. При вращении полости во внешнем силовом поле динамика сферы определяется безразмерным гравитационным ускорением Г ° g / W2mtr, где g - ускорение свободного падения, Wrot = 2pfrot. Возмущающее действие поля силы тяжести проявляется в генерации отстающего дифференциального вращения сферы.

При увеличении Г (рис.8) дифференциальное вращение сферы возрастает по степенному закону |Д/| / frot ~ Г1Ж0Л (в случае цилиндрической полости закон немного отличается, |Д/| / /ш ~ Г2). С увеличением вязкости жидкости кривые смещаются в область более высоких значений Г и меньших | Д/| / /rot при неизменном h.

В случае воды экспериментальные точки в среднем сохраняют общую закономерность. Здесь же появляются два новых режима вращения тела, I и II, для которых характерно более интенсивное относительное вращение. Отклонение от степенной зависимости на некоторых участках кривой связано с возбуждением одной из собственных частот колебаний. Подобным образом вибрационное воздействие на вращающиеся неоднородные по плотности системы при совпадении с собственной частотой приводит к появлению резонансных эффектов [17]. Уже небольшое повышение вязкости жидкости подавляет этот эффект.

112

Конвективные течения..., 2013

Рис.8. Безразмерная скорость дифференциального вращения сферы в зависимости от безразмерного ускорения Г

Механизм генерации дифференциального вращения для двумерного случая теоретически описан в [12]. Вращающееся силовое поле силы тяжести (в системе отсчета полости) приводит к круговым осцилляциям длинного цилиндрического тела. В полости рождается инерционная азимутальная волна и, как следствие, пульса-ционное движение жидкости в слоях Стокса вблизи стенок тела и полости. На фоне высокочастотных колебаний в слое Стокса формируется осредненная массовая сила, действующая вдоль стенки тела. Поскольку тело свободно, оно раскручивается в направлении действия силы, которое определяется направлением распространения азимутальной волны. В случае вращения в поле силы тяжести волна распространяется в направлении, противоположном направлению вращения полости.

Как следует из теории [18], скорость дифференциального вращения определяется выражением:

4- = -1 Г2 r

frot 4 d

где d = у] 2v / Wrot - толщина слоя Стокса.

113

Козлов Н.В., Субботин С.В. Динамика легкой сферы во вращающейся

10-1

Ш

fret

10-

V, сСт Р

О 3.5 0.21

О 5.3 0.21

☆ 7.1 0.20

X 8.0 0.20

0 15.0 0.20

• 74.0 0.19

Рис.9. Зависимость безразмерной скорости вращения сферы от параметра Y°r2 (r / с>)(1 - р)2

Ввиду аналогии с двумерной задачей управляющие параметры должны оставаться подобными. При фиксированном отношении

114

Конвективные течения..., 2013

радиусов тела и полости экспериментальные точки согласуются между собой для различных вязкостей и относительных плотностей на плоскости параметров Y, |Д/ / /го\ (рис.9).

Рис.10. Зависимость безразмерной скорости вращения сферы от а для различных Y ; штриховая кривая проведена по точкам, соответствующим р = 0.12 на рис.96

С увеличением вязкости кривые смещаются в область меньших значений |Д/| / /rot, образуя «веер» (рис.9а). То же наблюдается при увеличении относительной плотности р (рис.9б). При изменении v в разных экспериментах меняется значение безразмерной скорости вращения полости а = Wrolr2 /v . Как следует из [15], а является одним из параметров, определяющих устойчивость структур течений, возбуждаемых при дифференциальном вращении свободной сферы.

В области низких частот (а < 102) течение жидкости становится вязким, а пограничные слои более толстыми, этим объясняется существенное понижение кривой для v = 74 сСт (рис.9а). При умеренных значениях частоты (102 <а< 104) наблюдается устойчивая

115

Козлов Н.В., Субботин С.В. Динамика легкой сферы во вращающейся

преимущественно двумерная структура в форме столба Тейлора -Праудмена [19], ориентированного вдоль оси вращения. Аналогичные структуры наблюдались и на границе двух жидкостей [20].

от Y

116

Конвективные течения..., 2013

При о< 104 безразмерная скорость растет по линейному закону |Д/| / frot ~ Y . С повышением w (переход к v < 8 сСт) дифференциальная скорость растет быстрее, это связано с развитием надкритических структур.

В области частот о< 104 дифференциальное вращение при фиксированном значении параметра Y изменяется по закону |Д/|//ш ~0)112 (рис.10). При w> 104 такая зависимость

|Д/| / /ш (w) нарушается. Изменение связано как с возбуждением собственных мод колебаний, отличных от частоты вращения внешнего поля Wrot, которые в теории не рассматривались, так и с изменением структуры течений.

С увеличением относительного радиуса тела J] дифференциальное вращение становится более интенсивным (рис.11а). Это означает, что тело больших относительных размеров должно вращаться быстрее. Этот результат отличается от теории для тела цилиндрической формы (3.1), где |Д/|//rot ~(1 -h). С другой стороны, ос-

редненный момент сил, приводящий во вращение сферу, в сферической полости также приводит в движение жидкость в столбике Тейлора - Праудмена. При уменьшении tj длина столбика увеличивается, это означает, что для вращения тела с жидким столбом необходим больший момент импульса. В теории же рассматривался бесконечно длинный цилиндр, роль геострофических течений не учитывалась. Принимая во внимание рост дифференциального вращения |Д/| / /ш при увеличении т, получим закон изменения

безразмерной скорости сферы: |Д/| / /rot ~ Y^572 (рис.11б).

Можно предположить, что причина смещения сферы из центра полости заключается в нарушении симметрии потоков вблизи сферы в области надкритичности. Подробное обсуждение устойчиво -сти структур течений выходит за рамки данной работы.

Заключение. Экспериментально изучена динамика легкого сферического тела во вращающейся вокруг горизонтальной оси сферической полости с жидкостью. Обнаружено, что под действием силы тяжести тело совершает отстающее относительное вращение. При больших скоростях вращения полости, когда дифференциальное вращение тела мало, тело располагается преимущественно в центре полости, х < 0.2 . С увеличением дифференциального вращения

117

Козлов Н.В., Субботин С.В. Динамика легкой сферы во вращающейся

тело занимает квазистационарное положение вблизи одного из полюсов кюветы. Интенсивность вращения тела |Д/| / frot определяется безразмерным комплексом Y ° Г2(г / d)(1 - р)2. В области умеренных значений частоты скорость дифференциального вращения тела растет пропорционально Y. При больших значениях безразмерной частоты линейная зависимость нарушается вследствие развития надкритических структур в жидкости.

Работа выполнена в рамках Программы стратегического развития ПГГПУ (проект 030-Ф), при поддержке Минобрнауки РФ (задание 1.2783.2011) и РФФИ (грант 13-01-00675a).

СПИСОК ССЫЛОК

1.Song X., Richards R.G. Seismological evidence for differential rotation of the Earth’s inner core // Nature. 1996. Vol. 382. P. 221224.

2. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. Rotation and magnetism of Earth’s inner core // Science. 1996. Vol. 274. P. 1887-1891.

3.Inner core differential motion confirmed by earthquake waveform doublets / J. Zhang, X. Song, Y. Li, R.G. Richards, et al. // Science.

2005. Vol. 309. P. 1357-1360.

4. Сорокин М.П., Хлебутин Г.Н., Шайдуров Г.Ф. Исследование движения жидкости между вращающимися сферическими поверхностями // ПМТФ. 1966. № 6. С. 103-104.

5. Хлебутин Г.Н. Устойчивость движения жидкости между вращающейся и покоящейся концентрическими сферами // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. № 6. C. 53-56.

6. Munson B.R., Menguturk M. Viscous incompressible flow between concentric rotating spheres. Part 3. Linear stability and experiment // J. Fluid Mech. 1975. Vol. 69. Part 4. P. 705-719.

7. Egbers C., Rath H.J. The existence of Taylor vortices and wide-gap instabilities in spherical Couette flow // Acta Mechanica. 1995. Vol. 111. P. 125-140.

8.Sha W., Nakabayashi K. On the structure and formation of spiral Taylor-Gortler vortices in spherical Couette flow // J. Fluid Mech. 2001. Vol. 431. P. 323-345.

118

Конвективные течения..., 2013

9. Hollerbach R., Junk M., Egbers C. Non axisymmetric instabilities in basic state spherical Couette flow // Fluid Dynamics Research.

2006. Vol. 38. P. 257-273.

10. Беляев Ю.Н., Яворская ИМ. Течения вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях и их устойчивость // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Механика жидкости и газа. 1980. Т. 15. С. 3-80.

11Авсюк Ю.Н. О движении внутреннего ядра Земли // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212. № 5. С. 1103-1104.

12. Козлов В.Г., Козлов Н.В. Вибрационный гидродинамический волчок // Докл. РАН. 2007. Т. 415, № 6. С. 759-762.

13. Субботин С.В. Методика изучения поведения сферического тела во вращающейся сферической полости // В настоящем сборнике.

14. Козлов Н.В., Субботин С.В. Осредненная динамика лёгкой сферы во вращающейся вокруг горизонтальной оси полости // Конвективные течения... Вып. 5. Пермь: Перм. гос. пед. ун-т, 2011. С. 101-117.

15. Козлов В.Г., Субботин С.В. Вибрационная динамика легкой сферы во вращающейся сферической полости // В настоящем сборнике.

16. Иванова АА, Козлов Н.В., Субботин С.В. Вибрационная динамика легкого сферического тела во вращающемся цилиндре с жидкостью // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 6. C. 3-14.

17.1vanova A A., Kozlov V.G. Dramatic effect of vibrations on dynamics of rotating hydrodynamic systems // Microgravity Sci. Technol. 2009. Vol. 21. P. 339-348.

18. Козлов Н.В. К теории вибрационного гидродинамического волчка // Конвективные течения. Вып. 5. Пермь: Перм. пед. ун-т, 2011. С. 93-100.

19. Wave instability in a rotating liquid column / N. Kozlov, A. Salnikova, S. Subbotin, M. Stambouli // Proc. 63rd Intern. Astronauti-cal Congress. IAC. 2012. Vol. 1. P. 717-723.

20Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей // Л.: Гидроме-теоиздат, 1975. 304 c.

119

Козлов Н.В., Субботин С.В. Динамика легкой сферы во вращающейся

DYNAMICS OF THE LIGHT SPHERE IN A ROTATING SPHERICAL CAVITY

N.V. Kozlov, S.V. Subbotin

Abstract. The behaviour of a spherical body in a spherical cavity rotating around horizontal axis filled with fluid is studied. The density of the body is less than the fluid density. The experiments are conducted at high velocity of rotation when under the centrifugal force the body is situated near the rotation axis. The intensive lagging rotation of the body is found (vibrational hydrodynamic top). At week relative rotation the sphere settles down near to the cavity centre. At increase of the relative rotation the sphere is shifted to one of the cavity poles, occupying a quasi-stationary position on some distance from it. In experiments the relative density and the size of the sphere is varied.

Key words: cavity rotation, differential rotation, spherical body, stability.

120