Устойчивость стационарного критического состояния в модели образования кластеров

Изв. вузов «ПНД», т. 19, № 3, 2011

УДК 517.937

УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО КРИТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ В МОДЕЛИ ОБРАЗОВАНИЯ КЛАСТЕРОВ

А.Б. Шаповал

Рассмотрен самоорганизующийся критический процесс кластеризации. Доказана устойчивость равновесного состояния для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимирующей этот процесс.

Ключевые слова: Самоорганизованная критичность, кластеризация, равновесие, устойчивость.

Введение

Неравновесные стационарные состояния, без сомнения, принадлежат к числу наиболее сложных природных явлений. Существенный вклад как в формулировку проблемы, так и в её решение внесла широко известная теория однородной турбулентности, предложенная Колмогоровым [1]. Согласно этой теории, жидкость под воздействием случайной силы достигает критического состояния, в котором интенсивность возмущений не имеет выделенных масштабов. При малой вязкости возникает так называемый инерционный интервал масштабов, через который происходит недиссипативное перераспределение энергии от больших вихрей к малым. Таким образом, критическое состояние оказывается неравновесным [2].

В последние десятилетия активно обсуждается гипотеза, что многие физические системы приходят в критическое состояние, не подвергаясь внешнему воздействию. Этот феномен называется самоорганизованной критичностью (СОК). О СОК сообщают при наблюдении за плазмой [3], землетрясениями [4], вспышками на солнце [5], фондовым рынком [6], кластеризацией городского населения [7] и другими явлениями. Возникает вопрос, существует ли простой (и одновременно универсальный) механизм СОК, который может реализовываться в рамках столь непохожих физических явлений.

Первая модель СОК введена Баком, Тангом и Визенфельдом (модель БТВ) в 1987 году [8]. В этой модели на двумерную решётку падают песчинки, одна за одной.

45

Место падения очередной песчинки выбирается наугад. Как только количество песчинок в клетке превышает некоторое пороговое значение, песчинки перераспределяются по решётке. Перераспределение консервативно внутри решётки и диссипативно на границе. Диссипация происходит редко, но, как правило, значительными «квантами» песка. Постоянное медленное накопление и редкая быстрая диссипация песка уравновешивают друг друга, и система оказывается в динамическом равновесии. Динамическому равновесию (другими словами, балансу песка в решётке) соответствует приближение к стационарному состоянию, которое существует в некотором корректно определённом пространстве мер. Распределение различных характеристик системы является степенным [9] вблизи стационарного состояния, что свидетельствует о его критичности.

Механизм медленного накопления нагрузки и редкого быстрого освобождения напряжения оказался достаточно универсальным. Он реализует СОК при моделировании разрыва волокон [10], скольжении прижатых друг к другу шероховатых поверхностей [11], в моделях блоков и пружин [12], иерархических моделях землетрясений [13]. Однако описать критическое состояние аналитически удаётся лишь в редких случаях [14].

Остановимся на иерархической модели образования кластеров [15], в которой отсутствие выделенных масштабов в стационарном состоянии строго доказано. Предполагается, что каждый кластер характеризуется двумя величинами: рангом и массой. При слиянии кластеров их массы складываются, но ранг нового кластера определяется как максимум из рангов меньших кластеров. Увеличение ранга кластера возможно только при слиянии кластеров одинакового ранга. В основе такого определения лежит классификация рек, предложенная в [16]. В [15] доказано, что равновесное распределение кластеров как по их рангу, так и по их массе является степенным.

Цель настоящей работы - показать, что модель [15] действительно предлагает общую схему, при которой образуется самоорганизованная критическая структура. Для этого математически строго устанавливается, что равновесие в модели кластеризации [15] является устойчивым.

В следующем разделе 1 строго определена модель и сформулирован основной результат. Его доказательство приведено в разделе 2. В Заключении подведены итоги и сделаны выводы по результатам работы.

1. Модель

Для моделирования кластеризации статья [15] определяет некоторое пространство, состоящее из элементов (физический смысл которых зависит от приложений). Элементы располагаются внутри двумерной области. Предполагается, что каждый кластер определяется его рангом и массой. Эволюция происходит за счет добавления новых элементов (в каждый момент времени) и удаления достаточно больших кластеров (когда они возникают). В каждый момент времени в рассматриваемую область добавляется наименьший элемент системы. Наименьший элемент имеет ранг 1 и массу 1. В качестве примера области можно рассматривать ограниченное подмножество плоскости, разделённое на клетки. Тогда наименьшие элементы занимают одну клетку (элемент A на рисунке).

46

Кластером назовём связное множество элементов. При добавлении нового элемента два несвязных кластера могут образовать новое связное множество - новый кластер (как при добавлении элемента D на рисунке). Если добавление нового элемента привело к слиянию двух кластеров ранга 1 и массы 1, то получившийся кластер имеет ранг 2 и массу 3 (в случае «клеточной» области получившейся кластер состоит из трёх клеток). В общем случае при слиянии кластеров одинакового ранга r и масс mi и m2 получившийся кластер имеет массу mi+m2 + 1 и ранг r+1. Если объединяются кластеры разных рангов R и r, R > г, то новый кластер наследует больший из рангов R, тогда как массы складываются. Добавленный элемент может также соприкасаться с одним существующим кластером. Тогда ранг этого кластера не меняется, а масса увеличивается на единицу. Наконец, добавленный элемент может соединять более, чем два кластера. Вероятность этого события мала, поэтому его можно игнорировать.* Кластеры достаточно большого ранга R удаляются, как только они возникают.

Таким образом, масса кластера определяется однозначно по его виду, тогда как ранг зависит от очередности появления элементов. Легко понять, что кластер B на рисунке может иметь как ранг 1, так и ранг 2. Пусть кластеры B и C имеют ранг 2. Их массы равны 5 и 7, соответственно. Тогда при появлении элемента D, имеющего общие стороны с B и C, образуется кластер ранга 3 и массы 12.

Пусть Ni - это количество кластеров ранга i, Mi - суммарная масса этих кластеров. Через rij обозначается интенсивность соединения кластеров рангов i и j новым элементом. Предполагается, что

rij ^ LiLj,

где Li - суммарный периметр кластеров ранга i. Это предположение соответствует стандартному эвклидовому расстоянию между точками двумерной области. За счёт перемасштабирования времени можно добиться того, что коэффициент пропорциональности окажется равен единице. Тогда в соответствии с теорией средних полей, количество кластеров изменяется согласно следующим уравнениям [15]:

то

N1 = C - 2Li -^ LiLj,

j=2

то

Ni = L— - 2l2 - £ LiLj

j=i+1

*Если этот случай произошёл при численном моделировании, то следует отменить последнее добавление элемента и повторить выбор места для нового элемента.

Рис. Появление кластеров на «клеточной» области; наименьший элемент A имеет ранг 1 и массу 1; в результате добавления элемента D кластеры B и C, имеющие ранг 2 и массы 5 и 7, соответственно, образовали один кластер ранга 3 и массы 13

47

Первое слагаемое уравнения (3) показывает, что количество кластеров возрастает если произошло слияние кластеров предыдущего ранга. Вероятность этого события пропорциональна ri-1,i-1 = L2_1. Второе и третье слагаемые отвечают за убывание количества кластеров ранга i. Если произошло слияние двух кластеров ранга i, то Ni уменьшается на два. Отсюда - коэффициент два перед вторым слагаемым. Бесконечная сумма соответствует слиянию кластера ранга i с кластерами большего ранга. Удаление больших кластеров не учитывается уравнением (3). Уравнение для i = 1 имеет специальный вид, потому что увеличение наименьших кластеров происходит только в результате добавления элементов. Величина N1 увеличивается со скоростью C (вместо единицы) из-за перемасштабирования временной шкалы.

Аналогично записываются уравнения, задающие баланс масс M,

Mil = C - 2Ь\ - ^ LiLj,

j=2

i-1

Mi = 2L2-imi-i + LiLk mk - 2L2mi - ^ LiLj mi, i > 1.

k=1 j=i+1

Действительно, при слиянии двух кластеров ранга i - 1 появляется один кластер ранга i. В результате общая масса Mi увеличивается на удвоенную массу 2mi-1 типичного кластера ранга i - 1. Одновременно общая масса Mi-1 уменьшается на ту же самую величину 2mi-1. В соответствии с выбранным масштабом временной оси и предположением (1) интенсивность слияния кластеров ранга i - 1 равна L2_1, что объясняет первое и третье слагаемые в правой части (5), соответстующие слиянию кластеров одинакового ранга.

Напротив, второе и четвёртое слагаемые описывают изменение масс при слиянии кластеров разных рангов. Масса Mi кластеров ранга i увеличивается при слиянии кластера ранга i с кластером произвольного меньшего ранга к на величину mk - среднюю массу кластера ранга к. Коэффициент LiLk в сумме по переменной к (второе слагаемое в (5)) является следствием предположения (1). Аналогично получается четвёртое слагаемое, отвечающее за уменьшение Mi при слиянии кластера ранга i с кластером большего ранга j. Уравнение (4) для кластеров единичного ранга имеет специальный вид.

При формулировке динамики масс в виде уравнений (4), (5) игнорируется единичная масса элементов (элемента D на рисунке), соединяющих кластеры. Как будет указано ниже, в стационарном состоянии массы mi возрастают по i как степенная функция, поэтому при оценке асимптотики масс по i допустимо пренебрегать единичной массой элементов.

Стационарное состояние системы (2)-(5) достигается при равенстве нулю производных по времени.

Теорема 1 [15]. В равновесии Li = Cl/2xi-1, mi к, (1/x2)i \ где x к, 0.55 - решение уравнения x3 - 2x2 - x + 1 = 0.

Так как предполагается выполненным эвклидово соотношение li ~ у/Ш1, то из Теоремы 1 следует, что Ni ~ 1/mi. Таким образом, в равновесии распределение кластеров по массе является степенным с показателем степени, равным единице.

48

Далее формулируется, в каком смысле стационарное состояние оказывается устойчивым. Положим Si = NiX-2i. Тогда система (2)-(5) для пары вектор-функцией (s, N) записывается следующим образом: для i = 1

s1 = a2x 2 —

M1 = а2 — 2 Mi

— У ] д/M1Mjs1sjxj-1,

j=2

™ I s- Ё \Mj Mi j xj-1; j=2 s1

для i > 1

Si = Mi-1x 2si-1 — 2Misi — ^ д/MiMjsiSjx

j=i+1

i-1

j-i

Adi = 2M2-1 + ^ , MiM3

k=1

—Xi-k -

sk

2 Mi + £ jMj Mi s. x.

j=i+1

j xj-i

Пусть [2 - это пространство последовательностей, суммируемых в квадрате. Тогда пару вектор-функций

(Ф1 (t),s2 (t),...),M (M1(t),M2(t),...)) е [2 X [2

будем называть решением (6)-(9) с начальными условиями

4=0 = S0,

M\t=0 = Mо,

если s^) и Mi( ), i е N - дважды дифференцируемые функции, удовлетворяющие (6)-(9) и начальным условиям (10), (11).

Основной результат статьи сформулирован в следующей Теореме.

Теорема 2.Равновесие (о,ц) системы уравнений (6)-(9) асимптотически устойчиво.

2. Устойчивость стационарного состояния

Для доказательства Теоремы 2 сформулируем три вспомогательные Леммы, доказательство которых приведено в приложении.

Лемма 1. Зафиксируем произвольное T > 0. Пусть M - это произвольная векторфункция, такая что Mi(t) дважды дифференцируема на [0,T] и удовлетворяет неравенству \ \

\Mi(t) — 4 < eyi, t е [0,T ], i = 1,2,...

для некоторого достаточно малого е и у = xl/2. Пусть s - решение задачи (6), (8), (10), у которого начальное условие удовлетворяет неравенству \s0i — о\ < eyi. Тогда

\si

49

Лемма 2. Пусть T > 0 - некоторое число. Предположим, что s(t) - это произвольная дважды дифференцируемая на [0, T] вектор-функция, удовлетворяющая неравенству

\si (t) - о| <еуг, t е [0, T ], i = 1, 2,...,

где у = xl/2, а е достаточно мало. Предположим также, что M(t) является решением (7), (9), (11), где \M0i — о\ < еуг, i = 1,2,... Тогда

\Mi

Лемма 3. Система уравнений (6)-(11) имеет единственное решение

(s((si(t),S2(t),. . .),M (Mx(t),M2(t), ...)) ,

удовлетворяющее неравенству

\Mi(t) — fXi\ < \Mi(0) — Vi\eat, a > 0, i

1, 2,..

\si(t) — o\ < \si(0) — o\eat.

Доказательство Теоремы 1. Зафиксируем такое достаточно малое е, что условия Лемм 1 и 2 выполнены. Предположим, что начальные условия (si,M;) удовлетворяют неравенствам

\soi — о\ <ef/2, \Moi — fXi\ <ef/2, i = 1,2,...

Тогда, согласно (14) and (15), существует такое т, что решение (s(t),M(t)) задачи (6)-(11) с начальными условиями (so, Mо) удовлетворяет неравенствам

\ Si (t) — о\ < еу\ \Mi(t) — Mi\ <eyi, i = 1,2,..., t е [0, т].

Итак, M(t) удовлетворяет условиям Леммы 1 на отрезке [0, т]. Согласно Лемме 1, неравенство (15) может быть изменено на убывающее по времени неравенство (12). Поэтому

\si

Аналогично устанавливается неравенство

\Mi

для Mi(t). Повторяя предыдущие рассуждения, легко получить, что неравенства (16) и (17) справедливы на отрезках t е [т, 2т], t е [2т, 3т] и далее. Следовательно, функции si(t) и Mi(t) удовлетворяют неравенствам (16) и (17) для всех t > 0. Асимптотическая устойчивость стационарного состояния (6)-(11) доказана.

50

Заключение

В статье доказана устойчивость стационарного состояния в модели кластеризации с самоорганизованной критичностью. Если модельная система находится в окрестности критического состояния, то структура системы (кластеры) медленно укрупняется. Имеет место обратный каскад: малые изменения нижнего уровня постепенно проникают на все более и более высокие уровни. Распространение возмущения по уровням происходит с сохранением массы.

Состояние системы в каждый момент времени задаётся точкой в фазовом пространстве, снабжённом [2-нормой. Удаление кластеров большого ранга (что соответствует освобождению напряжения в других моделях с СОК) не меняет принципиально норму точки в фазовом пространстве за счёт сделанного выбора нормы, устанавливающей малый вес кластерам большого ранга. Таким образом, показано, что процесс медленного нагружения и быстрого освобождения напряжения не уводит рассматриваемую систему от критического состояния.

Этот результат характерен для моделей с СОК. Однако, в отличие от многих моделей с СОК, в данном случае критическое состояние описано аналитически. Из-за универсальности механизма СОК найденные в частном случае флуктуации системы около критического состояния могут оказаться типичными для целого класса систем.

Информация о критическом состоянии позволяет решать прикладные задачи, в частности, связанные с прогнозом катастрофических событий в сложных системах, демонстрирующих самоорганизованное критическое поведение [17, 18]. В течение долгого времени в теории прогноза оставалась популярной гипотеза, утверждающая, что экстремальные события (явления), порождаемые самоорганизованной критической системой, как правило, не предсказуемы. Аргументы оппонентов прогноза основаны на том, что степенные распределения в системах с СОК обычно возникают как следствие отсутствия внутренних выделенных масштабов [19]. Эти аргументы формализуются для классических моделей с СОК [20]. Однако критическое состояние в моделях определяется при стремящемся к бесконечности пространственному объёму. В приложениях (землетрясения, финансовые крахи, всплески преступности и др.) наблюдаемые системы пространственно ограничены. Они не находятся в критическом состоянии, а совершают колебания вокруг него. Точно также, в данной статье динамика конечной системы носит колебательный характер за счёт удаления крупнейших кластеров, тогда как в бесконечной системе будет наблюдаться приближение к степенному (критическому) распределению кластеров. Именно колебания вокруг критической точки существенны для прогноза [21,22]. Эффективный прогноз крупных землетрясений мира [23], вспышек преступности [24], техногенных катастроф [4] основан на сравнении текущих характеристик системы с критическими характеристиками. Точное описание критического состояния, обоснованное в настоящей статье, может стимулировать дальнейшее развитие прогнозных алгоритмов.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 11-01-00339 и 11-01-00887-а).

51

Приложение

Вспомогательные Леммы

Доказательство Леммы 1. Рассмотрим случай i > 1. (При i = 1 вычисления упрощаются). Положим щ = Si — Oi. Тогда линейная аппроксимация уравнения для Ui имеет вид

u i = x

2Mi-rUi-i — 2MjUj — Y (2\/MiMjOx3 lUi + 2уMjMjOxj -Uj^ •

Умножая полученное уравнение на 2uiyi, суммируя по всем натуральным i и принимая во внимание равенство о = Oi, имеем

ч?щ% —

ж d ж /

Y dt № = 2x-2Mi-iYiUi-iUi — 4MiY

i=l i=l '

ж ж \

Y, л/MiMjx3-iyiU2 — Y, л/MiMj x3-iyiUiUj\.

-> — -t _L 1 о — -t _L 1 '

j=i+l

j=i+l

Пользуясь абсолютной сходимостью ряда, изменим порядок слагаемых. В силу оче-

видного неравенства 2UiUj < |3u2 + в lU? (для произвольного в > 0) получим

жж d i 2

—YU2_, , , » —„ 2

£ dtY U < £

i=l i=l

Yi+lx 2Mi — \yWMiMi+lx

(в^+в lU2+1)—/MiMi+l xyiU2 —

4yiMiU2 — Yi Y (^ЩЩxj iU2 + 1 d/MiWjxj iU2 + 1 d/MiWjxj iU2jj

Таким образом, i= d (yiU2) = £°=l aiYiU2, где

ai <

x 2YMi — -x\JMiMi+l

l l

в + в- lY

1

2

i2

x 2YMi-l — -x\JMi-lMi

1 ж _____ I _____

— 4Mi — dj MiMi+l x — ~Y VMMjxP-i + 2Y YMMjY-{i-k)xi-k.

j=i+2

k=1

Зафиксируем в = x l/4. Так как \Mi(t) — ^i| < £Yi для любого t > 0 и Vj > щ для всех j > i, то

i2

< ( 2x-7/4 — x3/4 — x5/4 — 4 — x — 2 Y xj-i + 2 ^2 x(i-k)/2 ) щ + Ce,

j=i+2

2

k=1

где Ce 0 при e 0. Вычисления показывают, что ai отрицательны для достаточно

малых е.

a

52

Доказательство Леммы 2. Пусть vi = Mi — Тогда линеаризация уравнения

для Vi имеет вид

Vi =

г - 4^i_iVi_i + 2 ^ . fXi^fc 2 k=1 *

з i 1 I s.

о \ l si i____k

>1(r'i^^x Vk — 2 f—' V Sk

3

4Vi + 2 \ ViVj

j xj_i_

2 ^ V st X

j=i+1 ' i

1

1 & i s -) - 2.

E

'£ ^ X_Vj.

Vj Si

Умножая обе части уравнения на 2xi/2Vi, суммируя по всем i и изменяя порядок слагаемых, имеем

(Xi/2V2) = ^l 8v_lV_lViXi/2+^ (3xi/2WiVfcXi k— ^Vk/ViX1 kxk/^ VkVi~

i=1 i=1 \ k=1

—xi/2v2 { 8Vi + 3 ^ WVLxj_i — ^ ^Vk/Vixi_^Vj + Cs,

' j=i+1 k=1 ' /

где Ce — 0 при e -— 0. При получении последнего неравенства использована близость Si и о. Сумма слагаемых, содержащих разности si — о, обозначена через Ce. Применив элементарное неравенство ViVj < V2/2 + vj2/2 для оценки попарных произведений, имеем

i=1

Е—^ <

Е

i=1

ai,xl/2v2,

где ai оценивается

i1

н < 4v_1 + 4Vix1/2 + 2^2

k=1

VViVk xi k — JV3k/Vi x

,3 /,^ x[i_k)/2

+

+2e

j=i+1

3^/ Vj Vix

7x3[j_i)/2 — < /V3/Vj xj_

— 8 Vi —

i1

3 WVxj i + ^ ^JVJVixi k + Ce.

j=i+1

k=1

Утверждение Леммы следует из отрицательности ai, которая, в свою очередь, следует из последнего неравенства с помощью элементарных вычислений, которые используют асимптотическую независимость равновесного Vi от i. Мы опустим здесь вычисления, лишь упомянув, что каждую сумму следует разделить на две части. Первая часть относится к трем слагаемым с индексами j = i + 1, i + 2, i + 3, k = i — 1,i — 2,i — 3. Вторая часть относится к остальным индексам. Если i < 3, то первая часть состоит из меньшего числа слагаемых.

Доказательство Леммы 3. Заметим, что аккуратные оценки при доказательстве Лемм 1 и 2 необходимы для получения отрицательных показателей в неравенствах

53

одновременно обеспечивают (14) и (15) с положительным показателем а. Тогда существование и единственность решения уравнений (6)-(11) следует из неравенств (14) и (15) стандартным образом.

Библиографический список

1. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР. 1941. Т. 30. С. 299.

2. Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н. Колмогорова. М.: ФАЗИС, 1998. 360 с.

3. March T.K., Chapman S.C., Dendy R.O., Merrifield J.A. Off-axis electron cyclotron heating and the sandpile paradigm for transport in tokamak plasmas // Phys. of Plasmas. 2004. Vol. 11. P. 659.

4. Писаренко В.Ф., Родкин М.В. Распределения с тяжелыми хвостами: Приложения к анализу катастроф. М.: ГЕОС, 2007. 240 с.

5. Bershadskii A. and Sreenivasan K.R. Multiscale self-organized criticality and powerful x-ray flares // Eur. Phys. J. B. 2003. Vol. 35. P. 513.

6. Amaral L.A.N., Cizeau P, Gopikrishnan P, Liu Y., Meyer M., Peng C.-K., Stanley H.E. Econophysics: Can statistical physics contribute to the science of economics? // Computer Physics Communications. 1999. Vol. 121-122. P. 145.

7. Шупер В.А. Самоорганизация городского расселения. М.: Наука, 1995. 166 с.

8. Bak P, Tang C., and Wiesenfeld K. Self-organized criticality: An explanation of 1/f noise // Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 59. P. 381.

9. Dhar D. Theoretical studies of self-organized criticality // Physica A. 2006. Vol. 369. P. 29.

10. Hemmer PC. and Hansen A. The distribution of simultaneous fiber failures in fiber bundles // ASME J. Appl. Mech. 1992. Vol. 59. P. 909.

11. Hallgass R., Loreto V., Mazzella O., Paladin G., and Pietronero L. Earthquakes statistics and fractal faults // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 56. P. 1346.

12. Carlson J.M., Langer J.S. Properties of earthquakes generated by fault dynamics // Phys. Rev. Lett. 1989. Vol. 62. P. 2632.

13. Blanter E.M., Shnirman M.G., Le Mouel J.-L., and Allegre C.J.Scaling laws in blocks dynamics and dynamic self-organized criticality // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1997. Vol. 99. P. 295.

14. Dhar D., Majumdar S.N. Abelian sandpile model on the Bethe lattice // J. Physica A. 1990. Vol. 23. P. 4333.

15. Gabrielov A., Newman W.I., Turcotte D.L. An exactly soluble hierarchical clustering model: Inverse cascades, self-similarity, and scaling // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60. P. 5293.

16. Strahler A.N. Quantitative analysis of watershed morphology // Trans. Am. Geophys. Union. 1957. Vol. 38. P. 913.

17. Малинецкий Г.Г. Сценарии, стратегические риски, информационные технологии // Информационные технологии и вычислительные системы. 2002. № 4. С. 83.

54

18. Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В., Кузнецов И.В. Мониторинг, анализ и прогноз опасностей как задачи национальной информационной системы // Информационные технологии и вычислительные системы. 2004. № 4 С. 119.

19. Bak P. How nature works: The science of self-organized criticality. New York: Springer-Verlag, Inc. 1996. 205 pp.

20. Bak P and Paczuski M. Complexity, contingency, and criticality // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. 1995. Vol. 92. P. 6689.

21. Blanter E.M., Shnirman M.G., Le Mouel J.-L. Temporal variation of predictability in a hierarchical model of dynamical self-organized criticality // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1999.Vol. 111. P. 317.

22. Shnirman M.G., Shapoval A.B. Variable predictability in deterministic dissipative sandpile // Nonlinear Processes in Geophysics. 2010. Vol. 17. P. 85.

23. Keilis-Borok VI. Fundamentals of earthquake prediction: Four paradigms / in V.I. Keilis-Borok and A.A. Soloviev (eds.) Nonlinear dynamics of the lithosphere and earthquake prediction. Springer-Verlag, Heidelberg, 2003. P. 1.

24. Кузнецов И.В., Родкин М.В., Серебряков Д.В., Урядов О.Б. Иерархический подход к динамике преступности / В сб. Новое в синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение. Часть 1. Под ред. Г.Г. Малинецкого. М.: Радиотехника, 2006. P. 103.

Финансовый университет Поступила в редакцию 7.07.2010

при Правительстве РФ, Москва После доработки 10.01.2011

STABILITY OF A STATIONARY CRITICAL STATE IN A MODEL OF CLUSTER FORMATION

A.B. Shapoval

The paper considers a self-organized critical process of clasterization. The stability of the equilibrium for infinite system of the differential equations approximating this process is proved.

Keywords: Self-organized criticality, clustering, equilibrium, stability.

Шаповал Александр Борисович - родился в 1972 году в Киеве, окончил Московский государственный университет (1994). После окончания МГУ работает в Международном институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН и Финансовом университете при Правительстве РФ. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук в МГУ (1999) в области динамических систем. Опубликовал 30 научных статей в реферируемых журналах о качественных свойствах уравнений математической физики, самоорганизованных критических системах, прогнозе экстремальных событий. Автор учебного пособия «Инвестиции: математические методы» (в соавторстве с В.Ю. Поповым).

125468 Москва, Ленинградский пр-т, 49 Финансовый университет при Правительстве РФ E-mail: shapoval@mccme.ru

55