Колебания жидкого слоя между различными упругими полупространствами

Р. А. Шигапов

КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОГО СЛОЯ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ УПРУГИМИ ПОЛУПРОСТРАНСТВАМИ

Введение. Особенностью колебаний жидкого слоя в упругой среде является существование медленной низкочастотной волны, не имеющей аналога в твёрдом слое. Точное интегральное решение задачи о колебаниях жидкого слоя в упругой среде, возбуждаемых источником типа центра расширения, расположенным в полупространстве, построено Крауклисом в 1962 г. методом контурных интегралов [1]. В работе показано, что медленная волна (фундаментальная мода) существует при любых соотношениях между параметрами сред, медленно затухает с расстоянием и имеет аномальный характер дисперсии. Чут исследовал природу низкочастотных колебаний (т. н. crack waves), возникающих в процессе движения магмы по трещинам, образующимся при извержении вулканов [2, 3]. В 1987 г. Ферраззини и Аки повторили открытие Краук-лиса, получили аналитически и проанализировали численно дисперсионное уравнение задачи для симметричного случая одинаковых полупространств и связали природу колебаний при вулканической деятельности с возбуждением медленной волны [4]. В работе Танга и Ченга 1988 г. приведено экспериментальное доказательство существования медленной волны [5]. В 1992 г. Крауклис и др. аналитически проанализировали дисперсионное уравнение в симметричном случае одинаковых полупространств и предложили использовать жидкий слой в качестве простейшей модели нефтяного коллектора [6]. Модель позволила интерпретировать результаты эксперимента, выполненного при межскважинном прозвучивании на одном из месторождений Тюмени, в котором были обнаружены медленные волны, распространяющиеся в продуктивных слоях. В 2007 г. Эллиот в низкочастотном приближении получил фазовую скорость медленной волны в задаче о колебаниях жидкого слоя между жёстким основанием и упругим полупространством [7]. Эту систему он предложил использовать в качестве простейшей микро-механической модели слоя жидкости между покровной мембраной и кортиевым плато в барабанной перепонке.

В 1965 г. Ллойд и Редвуд рассмотрели задачу о колебании двух упругих плит, контакт между которыми — жёсткий, с проскальзыванием или моделировался посредством тонкого жидкого слоя [8]. Анализ дисперсионных уравнений привёл к выводу о существовании симметричной медленной низкочастотной моды для системы двух упругих плит, взаимодействующих через жидкий слой. В 1997 г. Хассан и Неги в эксперименте с симметричной системой алюминий—вода—алюминий получили дисперсионную зависимость, прекрасно согласующуюся с теоретическими результатами для медленной волны [9]. Белл [10] медленную моду, описанную в работе [8], называет симметричной волной Ллойда—Редвуда.

Крауклис и др. показали существование медленной волны и определили ряд её характеристик в трещиноватом слое, состоящем из чередующихся твёрдых и жидких сло-ёв и находящемся в упругой среде [11, 12], пороакустическом слое Био [13] и анизотропном слое жидкости [14]. Корнеев изучил распространение медленной волны в вязком жидком слое, расположенном в упругой среде, и выписал ряд приближений дисперсионной зависимости медленной волны [15].

© Р. А. Шигапов, 2011

Гроненбум и др. провели численные и лабораторные исследования трещин, включая процессы дифракции на краях [16-18]. Дёров и Максимов рассмотрели задачу о трещине в поле внешней сейсмической волны и выписали приближения дисперсионной зависимости медленной волны [19].

Медленная волна участвует в процессах отражения и преломления трубных волн, распространяющихся в скважине, пересекаемой трещиной. В работах Хорнби [20], Кра-уклиса [21] и Костека [22, 23] аналитически и численно изучено волновое поле в пересекающихся жидком слое и скважине. Показана возможность конвертации медленной волны в жидком слое в трубную волну в скважине, и наоборот. В работах Дёрова, Ионова и Максимова [24-26] рассмотрено возбуждение трубной волны в скважине, пересекаемой трещиной бесконечного и конечного размера, под действием внешних сейсмических волн.

В представленной работе рассмотрена модель изотропного пространства, состоящего из жидкого слоя, окружённого различными упругими полупространствами. Построены точные решения в форме метода Лемба [27] при произвольном расположении точечного источника типа центра расширения, проведён аналитический и численный анализ вещественных корней дисперсионного уравнения, предложены приближения дисперсионной зависимости фазовой и групповой скоростей медленной волны, интерпретированы сейсмограммы, полученные методом трёхмерных осесимметричных конечных разностей.

Построение решения. Пусть в цилиндрической системе координат (г, г,0) заданы однородные изотропные среды (рис. 1): упругие полупространства {1} (г < 0), {2} (г > к) и жидкий слой {I} (0 ^ г < к). Среды характеризуются плотностями р^- = 1, 2,1), скоростями продольных

= 1, 2,1) и поперечных = 1, 2) волн, свя-

занными с постоянными Ламе 'kj, ^ равенствами

h

РЗ

Pi'

В точке среды с координатами (0,0, d) (d > 0) находится источник типа центра расширения, зависимость от времени которого выражается дельта-функцией Дирака. Действие источника учитывается в граничных условиях на искусственной границе z = d.

Требуется найти осесимметричное поле смещений u(r,z,t) из решений однородных уравнений линейной теории упругости

2 1 1- —> 2 —> д21и

I’pjgrad div и — I’sj-rot rot и —

dt2

= 0, j = 1, 2, f,

удовлетворяющее нулевым начальным

dv>

и граничным условиям

u(t < 0) = — {t < 0) = 0

Uz ] = 0,

z = 0,h { [tzz] = 0,

[trz] = 0,

2

2 = л { [“=] =(ЩЇ_І І ЬЫкг)<1к,

[иг ] = 0

где Ьгг — касательные напряжения; Ьгг — нормальные напряжения, а квадратные скобки указывают на скачок величины.

Поля смещений иг, иг и напряжений Ьгх, ищем в виде интегралов Фурье и Фу-

рье—Бесселя:

СЮ СЮ

иг(і',г,і) = — J ешЛдт J иг(г,ш,к)^(кі')сІк,

— Ю 0

СЮ СЮ

иг

0

СЮ СЮ

#гг(г, г, і) = — J ешЛсЫ J Тг~(г, ш, к)^(кг)с!,к,

—ю 0

СЮ СЮ

М) = ^ J еиоісІш I ш, к).70{кг)с1к,

— Ю 0

в которых на основании выражений для компонент тензора напряжений (диг иг \ „ . ди* (диг диг

+ — ] + + -И*) ^ *г-~ = и* + *г

величины Тгг и Тгг выражаются через иг и их по формулам

ди (ди \

Т— = к^иг + + 2

С помощью представлений (5) и свойств функций Бесселя от дифференциальных уравнений в частных производных (2) можно перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на иг и иг в соответствующих областях, решение которых ищем в стандартном экспоненциальном или гиперболическом виде с функциональными коэффициентами X^ (0 < ! < к), У^ (!> к) (і = 1,..., 8), приведёнными ниже. Подстановка полученных решений в граничные условия (4) приводит к системам линейных алгебраических уравнений для определения X^, У^.

Приведём решения этих систем и представления для полей смещений.

Источник в слое: 0 < ! < к:

СЮ СЮ

~и(г ~ і) = — [ ешс1ю [ X ( ~ксНаґї)-1і{кг) А ^

2зт і аш] Лі ^ а}вЦа}г)^[кг) ) +

—ю 0

СЮ СЮ

— ю 0

1

!?(r ~t) = — I eimtdui I X, ( ~kch{-af - h))Ji№r) \ „

( j 2я J J 3 V afsb(af(z-h))J0(kr) ) +

—ю 0

сю сю

+ .L (/**(*( -**¡’^-»^1 )л, 4<><h,

2 kJ J \ af ch(a/ (z - h))Jo(kr) J

u(r,z,t) = — f elmtd(x> f X5

ю0

^ СЮ

kJl

ap2Jo

e—aP2{z—h)dk +

сю

lt(r,z,t) = — [ eimtdw f Xr ( ~kJTl('n '\ )ea?lZdk +

2зг У J \ aPiJo(kr) 1

0

Ж ОС

JL / >‘A„ / V„ I asiJi(Ärr) , asl~

+ - J e-dvjXs^- — Je-dfc.zcb,

—ю 0

где

/ ю2

= WA'2-----«2-

j V ^

При этом ветви радикалов фиксируются условиями arg aj = л/2 при k = 0, и разрезы от положительных точек ветвления радикалов проводятся в четвёртый квадрант параллельно мнимой оси, а от отрицательных — во второй. Функции Xj (j = 1,..., 8) определяются из граничных условий (4):

Xi = ' КЬ ch (а/ (d - h)) - sh (а/ (d - /г))],

k

Х2 = 9ла/А ’ ^2 ch (с1 ~ ~ sh (с1 ~ /?^ ’

Хз = -otafA ' ^ °h “ Sh ^И/С^ ’

k

Xi = 9ла/А ’ К?1 ch _ sh ’

2 k

v2 k i а

A'5 = ~ ' ' •[<?1 dl •

V2 к2

Хб = ^ сЬ (а/й) “(а/С^ ’

«2 k

*7 = —* 9^0)2„ хд ' [(52 (а/ _ ^)) ~ вЬ (а/ (й - /г))].

«2 k2

А^8 = — д ' К? 2 (а/ — ^)) — ^ (а/ — ^))] >

где

А =

4

<2„ =

р / арп ^

Еи

вп ' / ^-вп^-рп

Источник в полупространстве 2: й > к.

СЮ СЮ

= -Ц /У' ( <££•) +

— ю 0

СЮ СЮ

+ — / ек0^ш /У4 ( а?2?пкг? ^ е~а‘3^-ник, г > ¿, 2л У У 4 V к-№) У ’ ’

— Ю 0

^(1,г,() = ± /е“,(» /кГ Ъ(.+

2л: У У “ V ар28Ь(ар2 (г - /г))70(А-г) у т

— ю 0

СЮ СЮ

+1. / е«'^ш /У3 ( -^М«Р2 (; - ^ ^ +

2л: У У V ар2сЬ

— Ю 0

СЮ СЮ

+ — / е<<0‘Жо / У4 Г И*2^ е-аг2(г-Л)^Д, ь <г<с]

2л У У V к^0(кг) У

— ю 0

СЮ СЮ

»<-• -' >=^ / £“'!” / * (¡“Й ((;: ЙЖ)Л + < 12>

— ю 0

сю

Ю0

(г,М) = I еШ(1ш I У- ( ) ехр(ар1л-)* +

СЮ СЮ

+й / / * (“«;£)) * < о.

— ю 0

Ветви радикалов фиксируются прежним образом, а функции у (] = 1,..., 8) определяются из граничных условий (4):

11 = -Р21^У~  811 <“''> - А-

кк

4пар2 4яар2

е — 2ар2 ^—К)

2пар2

р2V42каг (а22 + к2) ,,

уз = ~ о 4 9 л ' д1811

2лр/ю4а22Д

р2«42k2af (а22 + к2) ,,

У4 = ----Ч^~л-------- • Ю1вЬ

л:р/ш4ар2А ^ т ’ К т л ’

У» = Р32^^2) »• “> («/« - А ««/»Я

V _ Р2^У’Я22А'а/

I 7 ~ Л А С

2лр/ю4ар1ар2Д

у8 = Р2^21^22А'2а/

прf ю4ар2Д

После стандартной замены к = будем деформировать лембовский путь интегрирования в нижнюю полуплоскость £. При деформации могут быть пересечены разрезы, проведённые от точек ветвления, и полюсы подыинтегральных функций. Поле представится суммой, каждое из слагаемых которой описывает волны различной физической природы. Поэтому для исследования построенных решений в первую очередь необходимо знание корней дисперсионного уравнения

Д

Дисперсионное уравнение. Выпишем уравнение явно

A

или, если воспользоваться формулами Эйлера для гиперболических функций,

e2rnhdf = а(£),

где

Q2-Ql-l + QlQ2

°(Z) = —------------------— = ~rz-----n—7^;------

Q 1 - Q2 - l + Q1Q2 (q2 + l (q 1 - lj

4

Qn = (-1)" p"a/> Rn(t), n= 1,2,

Pf ap n

Rn (Z) = (2Z2 - «7n2)2 - 4Z2aS najn, n = l, 2,

aJ = \/Z2 - ï’72, j = /,pl, sl,p2, s2.

Логарифмирование (16) приводит дисперсионное уравнение к наиболее удобному виду для реализации графического построения зависимости фазовой скорости от частоты

co/?.= -Reb

где

b

Уравнение (16) симметрично относительно начала координат Z = 0 комплексной плоскости (Z), поэтому его корни достаточно изучать лишь в полуплоскости ReZ ^ 0. Ограничимся анализом вещественной оси основного листа, фиксированного условиями argrij = Ц при Z = 0, и рассмотрим соотношение между параметрами сред

Vf < Vs1 < Vs2 < Vp1 < Vp2.

Для анализа дисперсионного уравнения (15) требуются знания о расположении корней v-1,v-2 уравнений Рэлея

Rn

корней v—1 ,v-S уравнений1 Стоунли для границы между жидким и упругим полупространством

A1S = Q 1 - l = 0, A2s = Q2 + l = 0,

1 Вещественное решение этих уравнений существует при любых соотношениях между параметрами

сред [28-30].

и корня уравнения2 Стоунли для границы с проскальзыванием между упругими полупространствами

Аод=

В промежутке 0 < £ < V— оказывается о. = ¿1«^\ (^ = 1,р1,в1,р2,в2) и Дп(£) =

= (2^2 - «—п2)2 + 4^2\авп\\аРп\ > 0, вследствие чего С2 - Я 1 > 0 и |а(£)| = 1, но \е2*ю^1а/1\ = 1, поэтому корней нет при любых юк. Точка ветвления тоже не является корнем, т. к.

\a(v

Р2

Q Фф-1

11

Подобным образом можно показать, что и точки ветвления «р1 , не являются корнями. Чтобы убедиться в отсутствии корней в точках («—2, у^1), нужно установить эквивалентность уравнений \а(£)\ = 1 и

(\Я 2 \2 + 1)Я 1 = (Я 1 + 1) К-6 С.2,

но С 1 и И,еС 2 имеют разные знаки, поэтому \а(£)\ = 1. Аналогично для участка («—11, «р1) из невозможности равенства

(\С 2 \2 + 1)ИеС 1 = (\С 1\ + 1)ИеС2

следует отсутствие корней дисперсионного уравнения. При «—2 < £ ^ «р1 корнем дисперсионного уравнения может быть только точка ветвления V—1, в которой

(\С 2 \2 + 1) Ие С 1 = 0

поэтому \а(«—11)\ = 1.

В случае произвольного расположения корней при £ из промежутка

(«р11,«—Т1) выполнено равенство \а(£)\ = 1, откуда 1тЪт(%) = 0 для всех индексов т. Поэтому на участке («—1,«—1) дисперсионное уравнение имеет бесконечное множество корней (т = 0,1,...). В точках («— 1, то) радикалы ау (_?’ = 1,р1, я1,р2, в2) вещественны, поэтому корни дисперсионного уравнения существуют, если выполняется неравенство а(£) ^ 0. Если в представлении (16) положить юк ^ то, тогда ^0 стремится к корням уравнений (24). Покажем, что в области («—1, то) существует диапазон («гэ,«]^1), в котором корней нет. Пусть «рП < « — 1 (п = 1, 2), тогда при «—1 < £ < то выполняются неравенства С 1 + 1 > 0 и С 2 - 1 < 0. При V—1 < £ < справедливо С 1 - 1 < 0, на участке < £ < то выполняется С 2 + 1 < 0. Поэтому а(£) < 0 на отрезке .

Пусть в представлении (15) юк = 0, тогда £ = , т. е. при малых частотах одна из

мод является аналогом обобщённой волны Рэлея, распространяющейся вдоль границы

2Решение, удовлетворяющее этому уравнению, называют скользкой волной (slip wave), или обобщённой волной Рэлея, т.к. при одинаковых параметрах полупространств волна распространяется со скоростью волны Рэлея. Волны такого типа существуют для ограниченного набора параметров сред [31-34].

с проскальзыванием между упругими полупространствами {1} и {2}. Если vr2 < vsi, вещественный корень vgr лежит в промежутке (vri,vr2) [33]. В противном случае вещественный корень vgr < vsi существует при выполнении неравенства

и корнем первого порядка при других значениях шк. Для положительности шк из (26) достаточно потребовать выполнения неравенства Vf < vgr.

На рис. 2 и 3 представлены дисперсионные зависимости фазовой скорости v = от произведения частоты на толщину слоя fh = для асимметричной и симметричной геометрии среды. В асимметричном случае используются следующие параметры сред: vpi = 3500 м/c, vsi = 2000 м/c, pi = 2400 кг/м3, vp2 = 4000 м/c, vs2 = 2500 м/c, p2 = 2500 кг/м3, Vf = 1600 м/c, pf = 1000 кг/м3. В симметричном: vpi = vp2 = 3500 м/c, vsi = vs2 = 2000 м/c, pi = p2 = 2400 кг/м3, Vf = 1600 м/c, pf = 1000 кг/м3. Наиболее сильно влияние асимметрии геометрии проявляется в дисперсионной зависимости второй моды3. В асимметричном случае фазовая скорость второй моды при нулевой частоте равна скорости vgr обобщённой волны Рэлея, а с увеличением частоты монотонно уменьшается до скорости V2S волны Стоунли (см. рис. 2). Если vgr > vsi, то вещественный корень дисперсионного уравнения, соответствующий второй моде, появляется при некоторой частоте /2 отсечки4. В симметричном случае фазовая скорость второй моды при нулевой частоте равна скорости vri волны Рэлея (или скорости обобщённой волны Рэлея в случае одинаковых полупространств), с увеличением частоты монотонно уменьшается до скорости vis волны Стоунли (см. рис. 3). Так как vri < vsi, то в симметричном случае для произвольных значений частот и при соотношениях между параметрами сред {1} и {2} существуют вещественные корни дисперсионного уравнения, соответствующие второй моде. Особенности дисперсионной зависимости второй моды приводят в асимметричном случае к существованию области скоростей (vis, V2S), для которых отсутствуют соответствующие колебания жидкого слоя. Характер дисперсионной зависимости остальных мод аналогичен в обоих случаях. Фазовая скорость первой моды (медленной волны) возрастает от нуля при нулевых частотах до скорости Vis волны Стоунли при высоких частотах. Фазовые скорости третьей и более высоких мод при некоторой частоте /k (к = 3, 4...) отсечки равны меньшей скорости vsi поперечных волн в полупространстве, а с увеличением частоты уменьшаются до скорости звука Vf в жидком слое.

Медленная волна. Приближённое выражение фазовой скорости медленной волны можно получить, если в предположении a f шк ^ 1 заменить радикалы в левой части

3 Во избежание терминологической путаницы отметим, что всюду далее нумерация мод осуществляется следующим образом: первая мода — медленная волна, вторая мода при низких частотах — аналог обобщённой волны Рэлея, и т. д. При такой договорённости корню с индексом m = 0 соответствуют первые две моды, m = 1 — третья мода, и т. д.

4 При меньших значениях частоты фазовая скорость второй моды является комплексной величиной.

/  к, Гц-м

Рис. 2. Дисперсионная зависимость фазовой скорости: случай асимметричной среды

дисперсионного уравнения (15) выражением а^ « £ ^1 — ,^¡-2 ) {з = /,р1, «1,^2, в2):

ч 1/3

«а1

2 (! ~ Г1) (! -Урык

Р/2 (1 - У?) »’Гг2 + Р/1 (! - 72) г’Л2

где

У

2 _

п 9 ;

«2

рп

р/г

,7 = 1,2.

рп

Приближение (26) получено в работе [6]. Если в приближении сохранить ещё один член, получим дисперсионную зависимость фазовой скорости в неявном виде

1/3

«а2

1 -

2

р/2 (1 - У?) 1’Р? + р/1 (1 - 72) г’812

1/3

2

2

«

/

/  к, Гц-м

Рис. 3. Дисперсионная зависимость фазовой скорости: случай симметричной среды

Заменяя V/ в (28) высокочастотным значением скорости ут = шт^^, V2s} медленной волны, можно получить приближение, которое обозначим vаз.

На рис. 4 представлены точная и приближённые дисперсионные зависимости фазовой скорости V = £_1 медленной волны от произведения частоты и толщины слоя /к = для асимметричной геометрии с ранее выписанными значениями параметров сред. При этих параметрах vm « 1493 м/с. На рисунке показана область относительно высоких скоростей, в которой приближение val работает плохо. Приближение va2 лучше описывает дисперсионную зависимость медленной волны, но приводит к завышенным значениям скорости ^а2 ^ v/ > vm при /к ^ ж). В отличие от предыдущих приближений vaз правильно описывает высокочастотный предел дисперсионной зависимости, но vaз ^ vm медленнее, чем точное решение.

Вычислим групповую скорость Vgз медленной волны в приближении vaз:

f  h, Гц-м

Рис. 4- Точная и приближённые дисперсионные зависимости фазовой скорости медленной волны

В области низких частот vas —* 0, поэтому vgs —* f г’0з, что согласуется с результатами работ Крауклиса [1, 6]. В высокочастотном пределе va3 ^ vm, поэтому vg3 ^ vm. На рис. 5 приведены кривые фазовой и групповой скоростей медленной волны для использованных ранее параметров сред в случае асимметричной геометрии. Приближение 3 групповой скорости хорошо работает для не очень больших значений fh и правильно описывает высокочастотный предел дисперсионной зависимости медленной волны. Для других значений fh приближение 3 приводит к заниженным значениям групповой скорости.

Численное моделирование. Вычисления волновых полей проводились методом трёхмерных осесимметричных конечных разностей в программе, разработанной компанией Shell совместно с Институтом прикладной математики им. М. В. Келдыша. Так как предметом обсуждения являются нелучевые эффекты в слоистой среде, то при моделировании волновых полей требуется использовать такие условия численного эксперимента, при которых интерференционные явления проявляются достаточно сильно, что обеспечивает относительно низкочастотный (в спектральном максимуме

1600

1500

1400

о

1300

1200

1100

0 500 1000 1500 2000 2500

/ к, Гц-м

Рис. 5. Точные и приближённые дисперсионные зависимости фазовой и групповой скоростей медленной волны

= 50 Гц) источник, зависимость от времени которого выражается нормированным на единицу импульсом гауссова типа

]

где шя = \/2л/в, Кроме того, длина возбуждаемой источником волны должна

превосходить толщину слоя. Источник типа центра расширения (или давления) в однородной изотропной среде возбуждает только продольные волны. Чтобы удовлетворялось неравенство = -у2- /г для типичных в условиях сейсморазведки скоростей, используется слой толщиной Н =1 м. Ограничимся рассмотрением экспериментов, в которых источник расположен в полупространстве, а приёмники поперёк слоя, как в методе вертикального сейсмического профилирования (ВСП). Сравним результаты численного моделирования для случаев асимметричной и симметричной геометрии среды.

1. Асимметричная геометрия: схема наблюдений представлена на рис. 6. Волновое поле регистрируется 26 приёмниками, расположенными на расстоянии гг = 500 м

/ / : / и !/ / / ( £ 1: / г- /

ч //' $ /' н / 1: / И / 1: / а / 1: 1 ! а // Фазо ГРУп Фазо ГрУп вая скорость повая скорость вая скорость в п повая скорость в жближении 3 приближении 3

V Ц I // е ! II ! ! 1 ! /7 '! ' ‘ Ч

С ./ 1 ( > \ 1 1 1 1 и [ ¡1

: 0,2 м

от оси ^. Столь значительное удаление позволяет разделить волновые поля во времени и потому облегчить интерпретацию сейсмограмм. Расстояние между соседними приёмниками Дхг фиксировано и равно 0,2 м. Вертикальная координата первого приёмника г\ = —2 м.

На рис. 7 и 8 представлены сейсмограммы иг и иг компонент поля смещения, причём для сейсмограммы иг применён в четыре раза больший амплитудный множитель, чем для иг. Сравнивая вычисленные по сейсмограммам скорости распространения волновых полей с результатами предыдущего раздела, можно однозначно интерпретировать каждое вступление: при г « 0,13 с — прямая продольная волна, возбуждаемая источником, при г « 0,26 с — вторая мода, при г « 0,36 с — медленная волна. Сильная дисперсия медленной волны приводит к значительному уширению волнового пакета. В соответствии с работой [1] в жидком слое существует плоскость, все точки которой не испытывают вертикальных смещений при распространении медленной волны. Действительно,

Рис. 6. Схема численного эксперимента и геометрия среды

2, м

-2-10 1 2 3

Рис. 7. Радиальная компонента смещений: случай асимметричной среды

0

0,1 -

0,2 -

о

-г 0,3 -

0,4 -

0,5 -

приёмник с координатой = 0,6 м не регистрирует такие колебания (см. рис. 8). Отметим, что на сейсмограмме их вторая мода интенсивнее медленной волны, слабо диспергирует и доступна наблюдению вне (вблизи) слоя. На сейсмограмме иг медленная волна локализована в слое, а интенсивность второй моды соизмерима с амплитудой прямой волны вблизи границы слоя и полупространств.

2. Симметричная геометрия: используется схема наблюдений предыдущего эксперимента, но в области г > к используются параметры полупространства {1}. К трассам применены те же амплитудные множители.

Прямая продольная волна регистрируется при £ « 0,16 с, вторая мода при £ « 0,28 с, медленная волна при £ « 0,38 с. На сейсмограмме иг (рис. 9) в отличие от случая асимметричной геометрии вторая мода регистрируется лишь вне слоя. Амплитуда их-компоненты (рис. 10) второй моды больше амплитуды медленной волны. Плоскость, в которой их-компонента медленной волны равна нулю, проходит через середину слоя (г = к/2).

Обсуждение и заключение. При любых соотношениях между параметрами сред деформация лембовского пути интегрирования в нижнюю полуплоскость ^ приводит к пересечению с вещественным полюсом подынтегральной функции, соответствующим медленной волне. Большие изменения (см. рис. 2, 3, 4, 5) фазовой скорости медленной волны с относительно малыми вариациями значения /к приводят к значительному уширению волнового пакета при использовании широкополосной низкочастотной

4 м

-10 12

> > > >

•>>>>>>>>>>>>

Рис. 8. Вертикальная компонента смещений: случай асимметричной среды

3

и

-2-10 12 3

Рис. 9. Радиальная компонента смещений: случай симметричной среды

спектральной функции источника (см. рис. 7, 8, 9, 10). Если увеличивать значения параметров одного из двух одинаковых полупространств, то фазовая скорость медленной волны будет быстрее стремиться к своему высокочастотному пределу (скорости Стоунли на границе упругого и жидкого полупространств), который не изменится (см. рис. 2, 3). Сохранение ещё одного члена при выводе приближения Крауклиса (см. рис. 4, приближение 1) для фазовой скорости медленной волны позволяет получить лучшее приближение (см. рис. 4, приближение 2) в области малых значений /к, а наличие высокочастотного значения фазовой скорости медленной волны приводит к приближению (см. рис. 4, приближение 3), применение которого допустимо в широком частотном диапазоне. Приближённое выражение групповой скорости (см. рис. 5), вычисленное в приближении 3 фазовой скорости, приводит к правильным результатам при малых значениях /к и верно описывает высокочастотный предел.

При изучении колебаний жидкого слоя в упругой среде обычно ограничиваются рассмотрением только медленной волны, которая имеет большую амплитуду и медленно затухает. В представленной работе показано, что такое ограничение может оказаться недостаточным в некоторых задачах вследствие слабого затухания второй моды, являющейся при низких частотах аналогом обобщённой волны Рэлея, распространяющейся вдоль границы с проскальзыванием между упругими полупространствами. На сейсмограммах пх вторая мода интенсивнее медленной волны внутри и вне (гг ^ Хе) слоя. Минимальное затухание второй моды в случае асимметричной геометрии среды при

-2

Рис. 10. Вертикальная компонента смещений: случай симметричной среды

сколь угодно малых значениях /к можно обеспечить требованием

Р!>-

apl(vs1 ) ,4

р2 ар2^-1 )

Полученные результаты следует учитывать при моделировании скользящего контакта посредством жидкого слоя, а также в различных прямых задачах теории упругости для плоскослоистых моделей сред, особенно в тех случаях, когда наблюдения проводятся вне слоя.

Благодарность. Считаю приятным долгом выразить благодарность научному руководителю Борису Марковичу Каштану за многочисленные обсуждения работы.

Литература

1. Крауклис П. В. О некоторых низкочастотных колебаниях жидкого слоя в упругой среде // ПММ. 1962. Т. 26. № 6. C. 1111-1115.

2. ChouetB., Julian B. Dynamics of an expanding fluid-filled crack // J. Geophys. Res. 1985. Vol. 90. N B13. P. 11187-11198.

3. ChouetB. Dynamics of a fluid-driven crack in three dimensions by the finite difference method // J. Geophys. Res. 1986. Vol. 91. N B14. P. 13967-13992.

4. Ferrazzini V., AkiK. Slow waves trapped in a fluid-filled infinite crack implication for volcanic tremor // J. Geophys. Res. 1987. Vol. 92. N B9. P. 9215-9223.

2

3

5. Tang X. M., Cheng C. H. Wave propagation in a fluid-filled fracture — an experimental study // Geophys. Res. Lett. 1988. Vol. 15. N 13. P. 1463-1466.

6. Крауклис П. В., Голошубин Г. М., КрауклисЛ.А. Низкоскоростная волна в слое жидкости, моделирующем нефтяной пласт // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН. 1992. Т. 203. С. 101-111.

7. ElliottS. J. Wave propagation in a constrained fluid layer bounded by an elastic half-space and its relevance in cochlear micromechanics // J. of Sound and Vibration. 2007. Vol. 305. P. 918-924.

8. Lloyd P., Redwood M. Wave propagation in a layered plate composed of two solids with perfect contact, slip, or a fluid layer at their interface // Acustica. 1965. Vol. 16. P. 224-232.

9. Hassan W., Nagy P. B. On the low-frequency oscillation of a fluid layer between two elastic plates // JASA. 1997. Vol. 102. N 6. P. 3343-3348.

10. BellJ. A. The cochlear amplifier as a standing wave: “Squirting” waves between rows of outer hair cells? // JASA. 2004. Vol. 116. N 2. 1016-1024.

11. Goloshubin G. M., Krauklis P. V., Molotkov L. A., Helle H. B. Slow wave phenomenon at seismic frequencies // 63th Annual International Meeting, SEG, Expanded Abstracts. 1994. P. 809-811.

12. Крауклис П. В., КрауклисЛ.А. О затухании медленной интерференционной волны в трещиноватом слое // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН. 1998. Т. 250. С. 153-160.

13. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. Интерференционная медленная волна в пороакустиче-ском слое Био // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН. 1999. Т. 257. С. 137-148.

14. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. Медленная волна в анизотропном слое жидкости, моделирующем коллектор // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН. 2001. Т. 275. С. 132-139.

15. Korneev V. A. Slow waves in fractures filled with viscous fluid // Geophysics. 2008. Vol. 73. N 1. N1-N7.

16. Groenenboom J., Fokkema J. Guided waves along hydraulic fractures // 68th Annual International Meeting, SEG, Expanded Abstracts. 1998. P. 1632-1635.

17. Groenenboom J., FalkJ. Scattering by hydraulic fractures: Finite-difference modeling and laboratory data // Geophysics. 2000. Vol. 65. P. 612-622.

18. Groenenboom J., van DamD.B. Monitoring hydraulic fracture growth: Laboratory experiments // Geophysics. 2000. Vol. 65. P. 603-611.

19. Дёров В. А., Максимов Г. А. Трещина гидроразрыва в поле внешней сейсмической волны // Сб. трудов. XVI Сессия РАО. Т. 1. Физ. акустика. Распр. и дифр. волн. М., 2005. С. 324-327.

20. Hornby B. E., Johnson D. L., Winkler K. W., Plumb R. A. Fracture evaluation using reflected Stoneley-wave arrivals // Geophysics. 1989. Vol. 54. P. 1274-1288.

21. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. Возбуждение трубной волны в скважине медленной волной, распространяющейся в жидком слое // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН. 1995. Т. 230, С. 115-124.

22. KostekS., Johnson D. L., Randall C. J. The interaction of tube waves with borehole fractures, Part I: Numerical models // Geophysics. 1998. Vol. 63. P. 800-808.

23. KostekS., JohnsonD. L., Kenneth W. W., Hornby B. E. The interaction of tube waves with borehole fractures, Part II: Analytical models // Geophysics. 1998. Vol. 63. P. 809-815.

24. Ionov A. M., Maximov G. A. Propagation of tube waves generated by an external source in layered permeable rocks // Geophys. J. Int. 1996. Vol. 124. P. 888-906.

25. Ionov A. M. Stoneley wave generation by an incident P-wave propagating in the surrounding formation across a horizontal fluid-filled fracture // Geoph. Prospecting. 2007. Vol. 55. P. 71-82.

26. Дёров В. А., Максимов Г. А. Возбуждение гидроволн в скважине, пересекаемой трещиной конечного размера, под действием внешней сейсмической волны // Технологии сейсморазведки. 2008. Т. 4. C. 60-63.

27. ПетрашеньГ. И., Молотков Л. А., Крауклис П. В. Волны в слоисто-однородных изотропных упругих средах. II. Л., 1985. 302 с.

28. Ewing W. M., JardeAzky W. S., Press F. Elastic Waves in Layered Media. N.-Y., 1967. 380 p.

29. Гоголадзе В. Т. Волны Рэлея на границе сжимаемой жидкой среды и твёрдого упругого полупространства // Труды сейсмологического института АН СССР. 1948. № 127. С. 27-32.

30. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твёрдых телах. М., 1981. 287 c.

31. WeertmanJ. Dislocations moving uniformly on the interface between isotropic media of different elastic properties // J. of the Mech. and Phys. of Solids. 1963. Vol. 11. P. 197-204.

32. Achenbach J. D., EpsteinH. I. Dynamic interaction of a layer and a half-space // J. of the Engineering Mech. Division. 1967. Vol. EM5. P. 27-42.

33. RanjithK., RiceJ. R. Slip dynamics at an interface between dissimilar materials // J. of the Mech. and Phys. of Solids. 2000. Vol. 49. N 2. P. 341-361.

34. Murty G. S. Wave propagation at an unbonded interface between two elastic half-spaces // JASA. 1975. Vol. 58. N 5. P. 1094-1095.

Статья поступила в редакцию 14 декабря 2010 г.