О сходимости разностных схем, аппроксимирующих краевую задачу для псевдопараболического уравнения с вырождением

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 4, С. 13-26

УДК 519.635

О СХОДИМОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ, АППРОКСИМИРУЮЩИХ КРАЕВУЮ ЗАДАЧУ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

В работе исследуется псевдопараболическое уравнение в трехмерной области. Уравнение такого вида предполагает наличие цилиндрической или сферической симметрии, что сразу позволяет перейти от трехмерной задачи к одномерной задаче, но с вырождением. В этой связи проводится исследование разрешимости устойчивости решений краевой задачи для вырождающегося псевдопараболического уравнения третьего порядка общего вида с переменными коэффициентами с условием третьего рода, а также разностных схем, аппроксимирующих эту задачу на равномерных сетках. Основной результат работы заключается в доказательстве априорных оценок, полученных методом энергетических неравенств, для решения задачи как в дифференциальном, так и в разностном виде. Полученные неравенства означают устойчивость решения относительно начальных данных и правой части. В силу линейности рассматриваемых задач эти неравенства позволяют утверждать, что приближенное решение сходится к точному решению рассматриваемой дифференциальной задачи в предположении существования самого решения в классе достаточно гладких функций. На тестовых примерах проведены численные эксперименты, подтверждающие теоретические результаты, полученные в работе.

Ключевые слова: уравнение с вырождением, краевая задача, условие третьего рода, априорная оценка, разностная схема, устойчивость и сходимость разностной схемы, уравнение влагопереноса, псевдопараболическое уравнение.

Исследованию уравнений псевдопараболического типа посвящено большое количество работ из-за того, что многие вопросы физики, механики, биологии сводятся к таким уравнениям. Например, вопросы фильтрации жидкости в пористых средах [1] передачи тепла в гетерогенной среде [2, 3], влагопереноса в почво-грунтах (см. [4], [5, с. 137]) приводят к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются уравнениями в частных производных псевдопараболического типа.

В работе Г. И. Баренблатта, Ю. П. Желтова, И. Н. Кочиной [6] получено линейное псевдопараболическое уравнение

описывающее нестационарный процесс фильтрации жидкости в трещиноватой пористой среде. Там же было получено рассматриваемое нами в данной работе вырождающееся псевдопараболическое уравнение

М. X. Бештоков, В. 3. Канчукоев, Ф. А. Эржибова

Введение

© 2017 Бештоков М. X., Канчукоев В. 3., Эржибова Ф. А.

В работах [7-10] предложены разностные методы решения локальных и нелокальных краевых задач для псевдопараболического уравнения.

В настоящей работе приводится исследование решения трехмерного псевдопараболического уравнения

ди

—- =Ьи + /

dt

где

3

Lu = ^ Lau, x = (xi, x2,x3),

а=1

д ди д д ди

Переходя к цилиндрической системе координат (г, р, г) в случае, когда решение и = и(г) те зависит ни от г, ни от р (имеет место осевая симметрия), (*) принимает вид (обозначим х = г):

^ = - (хк(х, г)их)х + - (жгу(ж, - д(х, ¿)п + /(ж,

дб х х

а в случае сферической симметрии уравнение (*) примет вид:

1. Постановка задачи

В замкнутом цилиндре QT = {(x,t) : 0 ^ x ^ l, 0 ^ t ^ T} рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу:

du

— =Lu + /

lim xmn

-n

u

где

Lu = x + ^ (ж^ОМ)^) - q(x, t)u.

Коэффициенты уравнения (1.1) и граничных условий (1.2)—(1.4) удовлетворяют следующим условиям:

0 < co ^ k

Предполагается, что задача (1.1)—(1.4) имеет единственное решение, обладающее нужным по ходу изложения производными. Будем также считать, что коэффициенты уравнения (1.1) и граничных условий (1.2)—(1.4) удовлетворяют необходимым по ходу

изложения условиям гладкости, обеспечивающей нужный порядок аппроксимации разностной схемы. Заметим, что при построении разностных схем требуется более высокая, чем гладкость решения и коэффициентов уравнения:

иес4'3(дт), Г?ес3'3(дт), А;еС3'2(дт), д>/е С2'2Ш,

— функции, непрерывные на [0,Т], П(х,Ь) = ких + (пих) — полный поток, Qт = {(х, 6) : 0 < х < I, 0 < Ь ^ Т}, во, С2 — положительные числа, 0 ^ т ^ 2.

По ходу изложения будем использовать положительные постоянные числа М^, г = 1, 2,... , зависящие только от входных данных задачи (1.1)-(1.4).

Заметим, что при х = 0 ставится условие ограниченности решения |и(0, Ь)| < то, которое эквивалентно условию (1.2), если коэффициенты уравнения д(0, 6), /(0, Ь) — конечны, то условие (1.2) можно заменить требованием П(0,Ь) = 0.

2. Априорная оценка в дифференциальной трактовке

Лемма 1 [12], [13, с. 73]. Для любой функции и(х) £ С 1[хо,1], имеющей суммируемую

Г 71 —

с квадратом на [0, /] производную с весом х 2 их, справедливо неравенство

<-) ^м ш. 112 и ш. 112

шах и (ж) ^ — ж з их + с£ ж 2 и „, хфо,1] х^" 110 11 110

где е > 0, се = ф + , ж0 ^ 6 > 0.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (1.5). Тогда для решения дифференциальной задачи (1.1)-(1.4) справедлива априорная оценка

, - „> и - и> и - 11> ( /7и - и» Л и - „> и - „,Л

М

< В предположении существования решения дифференциальной задачи (1.1)—(1.4) в цилиндре Qт получим априорную оценку для ее решения. Для этого воспользуемся методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (1.1) скалярно на хти:

где

I

(и,и) = /™Сх, Пи«2 = (и, и).

о

I I I

J 2 J 2 ССЬ J 2 Сб

о о о

г г

= J= - JUx dx

о о

i i

= (xmriux)tu\lQ — J xmriuxdx — ^ J xmrituxdx.

Учитывая преобразования (2.2)-(2.4), граничные условия (1.2)—(1.4) и пользуясь неравенством Коши с е, из (2.1) получим

i

\jt\\x^uWl + \jt J xmVuldx + c0\\xJux\\20

о

< ГП

е

в правой части неравенства (2.5) следующим образом:

]тП

1т / \ ]т / \ < у /12й + и2

Учитывая оценку (2.6), из (2.5) находим

i

— ¡¡ж^п||д + — J Хтщ1 dx + 2с0\\х^ ux\\l о

^Ms^xfulll + llxfu^+M^lxfflll + ß2^)). (2.7) Проинтегрировав (2.7) по г от 0 до t, получаем

t

и»и;++и«.»« «/ (и»и;+и«.и;) *

о

о

где

— 112 / 11 HL 112

;2UHIQi = J \\x2uAW

о

На основании леммы Гронуолла (см. [13, с. 152]) из (2.8) получим искомую априорную оценку

( \ \ 11 — 112 и т 112 и т 112 / / (11 т 112 о / \ \ 11 — 112 11 т / 112

где М — зависит только от входных данных задачи (1.1)-(1.4).

t

Из полученной априорной оценки следует единственность решения исходной задачи (1.1)-(1.4), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на

м т 112 и 2И 1I2 II — 112 II — 112

каждом временном слое в норме ж 2 и к = ж 2 и „ + ж 2 их\\с + ж 2 их\\п . >

3. Устойчивость и сходимость разностной схемы

Для решения задачи (1.1)—(1.4) применим метод конечных разностей. В замкнутом цилиндре QT введем равномерную сетку [11]:

~ühT =cohxcüT = {(жi,tj), ж е Wh, te шт},

Wh = {xi = ih, i = 0,1,..., N, Nh = /},

шт = {tj = jr, j = 0,1,..., mo, тот = T}.

На равномерной сетке Wh)T дифференциальной задаче (1.1)—(1.4) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации O(h2 + тm°):

*yt,i=A

aiVxfl + ЫУх,о)г =

~ +

у

где

X \ / x x V / xt

m(m - 1)h2 2, а = 0.5,

, о , г = 1,2,...,N- 1, = ^ 24ж2 [1, а ф 0.5,

= ау + (1 — а)у, а — параметр, от которого зависит точность разностной схемы по т. В дальнейшем будем считать, что а = 0.5, у(0-5) = 0.5(у + у), К = у + у.

/ , ч ~ л 0.5/тг Л +1 • уг - у»_1

У = Уг =У(Хг,^), И=1-\----, У = У^, У = У\ Ух = -^-,

Уг+1 ~ Уг У3+1 ~ У^ т , , , п г

Ух =-Г-> Уг =-, £ = = ^ + 0.5т,

д т

сц = к{ х-о.бДД = /3 =/3 + 0.5Мм,

^ _ г = 1,2, 1, j _ г = 1,2,... - 1,

_ 0.5Д _ ~ (  • \

/XI = ' , . /Х2 = + 0.5/1^), ж^_0.5 = X - 0.5/1,

т + 1 0 V ' /

где Д т — шаги сетки.

Априорную оценку решения разностной схемы (3.1)^(3.4) получим методом энергетических неравенств. Для этого перепишем схему при а = 0.5:

1 , \ 0.5/г ( 1 , \ ~

Т,а1ух,о + (ЪУх,о)+ =-—г Ш,о + 7) о^о - ¿¿ъ t€ шт,

2 Ь т+ 1 \ 2 )

- ( + Ых)^) = ^-Ум + 0.5 Кху^и t £ Ш1

у(х, 0) = по (ж), хешн,

где

х-\ / X X: \ / хЬ

Перепишем задачу (3.5)-(3.8) в операторной форме

% = А(Т)у + А*у + Ф, у(х, 0) = 0,

где

АУ = ^{х™0.г/М(У + У)х,г)х ~ f (У + У)г, (ж, £ ШНт

Ч~£)У =

Л-у = 1л+у =

0.5Ь

~ \ «ЛГ О+у)х, N - ^ (у+у) N

0).5Ья

х = 0, х = ],

т*

Л у =

А*у = ф (ж™0(ж, е

л*- (т+1)(71У*,о) . Л 2/= -05/г > Ж = 0>

Ф =

(г,

_ (т+1)Д1 г ~ 0.5/г :

09+ -

Р ~~ 0.5/гЗг-'

= (х,г)еш!1Т,

К = <

1, х = 0, ].

Введем скалярное произведение и норму

N

и, V

0.5К, г = Ж, К, г = Ж,

и

N

|2 ^..2

(х, ¿) е ш^т,

х = 0, х = ],

£и?ь =(1,

и

Предположим, что

4 = д(0,4) ^ со > 0.

Умножим разностное уравнение (3.9) скалярно на хтК = хт(у + у):

= (А(1)у,хтУ] + (Л*у,жтГ] + (Ф,хтУ].

0

0

Преобразуем суммы, входящие в тождество (3.12):

м.

щихт¥ =\-{у-у),хт{у + у)

(хх т,у2] — Ых т,у2]

= (>схт,у2

^М^ЦхТу}^

{1, т = 0, т ^ 1,

1 гое(о>1)>Л<Л0 = ^/^!

{А(Е)у,хтУ] = (Ау,хт¥) +0.5кА+умх^¥м

1 2

--1 ж™0 5а¥х, {хУ)х + -х^_0 5амхм¥гум¥м - -ж^а^о^о^о

1 гт / г1 \ 1 —

(-хт, ¥2) --х%/3¥2;

(.А*у,хт¥] = (А*у,хт¥)+0.5кА*+ух^¥м = {{х^ЛУ^У) - -^{<уух)^¥м

Ж '

ж

', ж

Г] = (<р,хт¥) +0.51г<р+¥м = (<р, хт¥) + Дг-^лг-

Принимая во внимание преобразования (3.13)^(3.16), из (3.12) получаем

-Жскб^о ( ТТ 01x0^,0 + {ъУх,о)г) + ( ж™_0.5 -

ж

N

- | -хт, ¥2 \ - ± х%/3¥2 - (ср, хт¥) + ¡12^¥М.

ж ) \ 2

аиХм¥х,и¥и + {1Ух)1.мУи

ж

Учитывая (3.6), (3.7), из (3.17) находим

- Г2) +

V 2 / ^^ Ч- 1

2

— 2 ^-оъ^РУм ~

т + 1 0 5Д

2(т + 1)Ж°г5Сг°Г°2 + х^-о.5^2¥м + /лж^51о-

Оценим суммы, входящие в (3.18):

(х^)= (ж™0.5ах, - \ (ж™о.5аХ*, УщУ

1

2

1

х?-0.5ах, - ^ (^ < -М2 ЦжТ + М3(хт¥, ¥х],

4

4

т

1

~Рттс» — r^m

x — —0.5 ?

-i (dxm, F2) + ~ < М4(ж"\ Г2] + M5Y¿ + M6¡¡Z¡,

0.5/t

m + 1

жо^oY) - 0.5hx°°—0.5kÍ^nYN

0 5h 1 1

' , -I жо5-(£о - Уо)(yo + Уо) - 0.5hx^_O 5x-(yN - ум)(ум + Ум) m + 1 т т

m +1

0

0.5 hd0

Г, Y 0Jjh rm rl Y^ _ Tí vm V 2(m+1) V- °-5/t rm Л

°'5 0 " 2(m + 1) °-5 0 0 - rjJhATY° ~ 2(m+l) °'5 0 0

2{m + 2 ^ ~2 /q o/A

^ 0.5hdo ^

Учитывая преобразования (3.19)^(3.24), из (3.18) получаем

I (л 1 , 112 0-5/г

lo т + 1'

+0.5 < М8

+М9||жТ + ^¡хТрЩ + Мю (й + Й +

Справедлива следующая

Лемма 2 [13]. Для любой функции у(х), заданной на сетке Ши = {ж» = гк, г = 1, 2,... , N}, справедливо неравенство

где е — произвольная положительная постоянная cíe) = (т^- + ^ Ь 0 < ¿ ^ Жо-

xo \' xo ^ У

С учетом леммы 2 и па основании неравенства Коши с е из (3.25) находим

Mi {\\xfyfo)t + + M2\\xf Yv]\l + + 0.5/ur^_o.6x(^)t

^ + Mu (e) + ^1г(е) + M\s ^Цж^рЦ^ + Д2 +

Преобразуем второе слагаемое в правой части

\\x^Y}\20 = \\xf

Перепишем (3.26) при е = с учетом (3.27). Тогда получим

Мг (ИДУ + (1,5-7 У1\ + ^ ||Л]|о + Г^^бО/о2)* + 0.5Нх%_о.5Щу%)*

*4 2 " ' т + Г — - - -  -

Умножим обе части (3.28) па т и просуммируем по ]'от 0 до ] :

3 '=0

+ 0.5^.0.5ЧУ'Л2 < М17 £ \\хЦП\1т + М18 £ (ИД + Ц^/ЦЗт

3'=0 з '=0

3

3 '=0

Оценим слагаемые, входящие в

з з

м17 Е И у]\1т+Е Ы1о + И Л)т < М21И

3 '=0 3 '=0

+ м22 Е + И+ + ИЛоЬ

3 ' = 1

+ Л1о ^М25

С учетом (3.30)^(3.32) из (3.29) находим

3 '=0

< м21 \\х*у!+Хт + Е

3 ' = 1

+м27( £ (ИИ|2+й+й)т+||?/°]|2 +

V 3 '=0

Выбирая т таким образом, что для всех т ^ то, то = , из (3.33) получаем

з

i m i_i_ni2 и_m í+iii2 \—^ и_ш-,г4'т\2

\x 2 + \\x 2 yÇ- j|0 + ^ \\x 2 Yl J|0T

j /=0

E/ii m л/ - 12 m m • / ni9\

j/=1

j'/=0

На основании леммы 4 из [15, с. 171] из (3.38) получаем

+ ^ Мзо

Vj/=0 /

Учитывая (3.35), из (3.34) получаем априорную оценку

i m i-Lin2 и_m 4+lu 2 \—^ n_m-.ri'ii2

\x 2 + \\x 2 y^ J|0 + \\x 2 Y^ J|01

j/=0

j

^М + Й + ,

V]'=0 /

где М — положительная постоянная, не зависящая от Кит.

Теорема 2. Пусть выполнены условия

Из полученной априорной оценки следует единственность, а также устойчивость решения разностной задачи (3.1)-(3.4) по начальным данным и правой части.

Пусть и(х,¿) — решение задачи (1.1 )-(1.4), у(хг, ]) = у] — решение разностной задачи (3.1)—(3.4). Обозначим через г] = у] — и] погрешность, где и] = и(хг,^-). Тогда, подставляя у = г + и в (3.1)-(3.4), получим задачу для г:

= + Л*

а1Хо4Го + =

-

2

где Ф = О(^ ), = 0(К2 + тт-ст), г/2 = 0(К2 + тт'ст) — погрешности аппроксимации дифференциальной задачи (1.1)—(1.4) разностной схемой (3.1)-(3.4) в классе решений и = и(х,4) задачи (1)-(4).

Применяя априорную оценку (3.36) к решению задачи (3.37)^(3.40), получаем

11ж^+1]1о + IHf4+1]lo + IHf

j/=0 j/=0

где M — положительная постоянная, не зависящая от Кит.

Из (3.41) получим априорную оценку

3 з

\\х^+1]\1 + ||ж4+1]|о + Е И* + *УхХт < Ж Е

3'=0 3'=0

Из априорной оценки (3.42) следует сходимость решения разностной задачи (3.1)-(3.4) к решению дифференциальной задачи (1.1)—(1.4) по норме

3

\ххз+1]\\ = 1к^+1]1о + 11ж4+1]1о + Е И* + г)г]1о7

^о + 11ж4+1]|0 + Е Иж(^ + ^ ]1от

3 '=0

на каждом слое так, что если существуют такие Л-о, то, то при а = 0.5 т ^ т^ Н ^ Н0 справедлива оценка Цж^^1 — ^ М(/г2+т2), где М — положительная постоянная,

Нт

Численный эксперимент. Рассмотрим следующую тестовую задачу:

0 < ж < I, 0 < * < Т,

п(0,г) = 0, о < г < т, -п(г,г) = в(¿ММ) - ^(г), о < г < т,

и(ж, 0) = и0(ж), 0 ^ ж ^ I, к(ж,г) = п(ж,г) = вх—, д(ж,г) =

/(ж, г) = -4вж4-^ - 4(3 + т)ж2(1 - в-*) + вх*+х4-4*, в = в* С08(г), ^(г) = в*С08(г)(е08(г) - 1), и0(ж) = вх4,

п(ж,г) = к(ж,г)их + (п(ж,г)пх

' *

Точное решение задачи и(ж,г) = еоз(ж) + соз(г).

Ниже в таблице 1 сравниваются значения численного и точного решении задачи при т = 2. Таблица 2 показывает, что когда Н = т, при уменьшении размера сетки максимальное значение погрешности при а = 0.5, т = 2 уменьшается в соответствии с порядком аппроксимации разностной схемы О (/г2 + т2). Порядок сходимости равен к^^

ь е2 н2

Таблица 1

Разность между численным и точным решениями задачи при 4 = 1, к = т = 0.1

(хг) Численное решение Точное решение Погрешность

0.0000 -0.0850179 0.0000000 0.0850179

0.1000 -0.1000645 -0.0489435 0.0511210

0.2000 -0.2339981 -0.1909830 0.0430151

0.3000 -0.4510539 -0.4122147 0.0388391

0.4000 -0.7283882 -0.6909830 0.0374052

0.5000 -1.0384600 -1.0000000 0.0384600

0.6000 -1.3509007 -1.3090170 0.0418838

0.7000 -1.6353523 -1.5877853 0.0475670

0.8000 -1.8644034 -1.8090170 0.0553864

0.9000 -2.0162655 -1.9510565 0.0652090

1.0000 -2.0769112 -2.0000000 0.0769112

Таблица 2

Изменение погрешности при уменьшении размера сетки на t = 1, когда h = т

h Максимальная погрешность Порядок сходимости

1/500 0.00010300

1/1000 0.00002576 1.9994264

1/2000 0.00000644 1.9997216

Литература

1. Дзекцер Е. С. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // Докл. АН СССР.-1975.-Т. 220, № З.-С. 540-543.

2. Рубинштейн Л. И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах // Известия АН СССР. Сер. геогр.—1948.—Т. 12, № 1.-С. 27-45.

3. Ting Т. W. A cooling process according to two-temperature theory of heat conduction // J. Math. Anal. Appl.-1974.-Vol. 45, № 9.-P. 23-31.

4. Hallaire M. L'eau et la production vegetable // Institut National de la Recherche Agronomique.—1964.— № 9.

5. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв.—М.: Наука, 1976.—352 с.

6. Баренблат Г. И., Желтов К). П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика.—1960.— Т. 25, № 5.-С. 852-864.

7. Бештоков M. X. Метод функции Римана и разностный метод решения одной нелокальной краевой задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа // Изв. высш. уч. зав. Сев.-Кавк. per.—№ 5.-С. 6-9.

8. Бештоков M. X. Разностный метод решения одной нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка // Диф. уравнения.—2013.—Т. 49, № 9.—С. 1170-1177.

9. Бештоков M. X. Об одной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка с нелокальным условием. // Изв. высш. уч. зав. Сев.-Кавк. per.—2013.—№ 1.—С. 5-10.

10. Бештоков M. X. Численный метод решения одной нелокальной краевой задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа // Журн. вычисл. математики и мат. физики.—2014.— 2014.—Т.54, № 9.-С. 1497-1514.

11. Самарский А. А. Теория разностных схем.—М.: Наука, 1983.—616 с.

12. Олисаев Э. Г. Разностные методы решения нелокальных краевых задач для уравнения параболического типа с вырождением: Дис. ... канд. физ.-мат. наук.—Владикавказ, 2003.—117 с.

13. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.—М.: Наука, 1973.—407 с.

14. Андреев В. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // Журн. вычисл. математики и матем. физ.—1968.—Т. 8, № 6.-С. 1218-1231.

15. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем.—М.: Наука, 1973.—416 с.

Статья поступила 25 ноября 2015 г. Бештоков Мурат Хамидбиевич

Кабардино-Балкарский государственный университет им. X. М. Вербекова,

доцент кафедры прикладной математики и информатики

РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173

E-mail: beshtokov-murat@yandex.ru

ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2968-9211

Канчукоев Владимир Зедунович

Кабардино-Балкарский государственный университет им. X. М. Вербекова, доцент кафедры прикладной математики и информатики РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173 E-mail: vlad-kan@yandex.ru

Эрживова Фарида Александровна

Кабардино-Балкарский государственный университет им. X. М. Вербекова, преподаватель каф. математических и общих естественнонаучных дисциплин РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Толстого, 175 E-mail: ershibowaOyandex. ru

A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A DEGENERATE MOISTURE TRANSFER EQUATION WITH A CONDITION OF THE THIRD KIND

Beshtokov M. КН., Kanchukoyev V. Z., Erzhibova F. A.

In this work, we study the pseudoparabolic equation in the three dimensional space. The equation of this form implies the presence of cylindrical or spherical symmetry that enables one to move from a three-dimensional problem to one-dimensional problem, but with degeneration. In this regard, we study the solvability and stability of solutions to boundary value problems for degenerate pseudoparabolic equation of the third order of general form with variable coefficients and third kind condition, as well as difference schemes approximating this problem on uniform grids. The main result consists in proving a priori estimates for a solution to both the differential and difference problems by means of the method of energy inequalities. The obtained inequalities imply stability of the solution relative to initial data and right side. Because of the linearity of the considered problems these inequalities allow us to state the convergence of the approximate solution to the exact solution of the considered differential problem under the assumption of the existence of the solutions in the class of sufficiently smooth functions. On the test examples the numerical experiments are performed confirming the theoretical results obtained in the work.

Key words: equation with degeneration, boundary value problem, condition of the third kind, a priori estimate, difference scheme, stability and convergence of a difference scheme, moisture transfer equation, pseudo-parabolic equation.

References

1. Dzektser E. S. Equations of motion of free-surface underground water in layered media. Dohlady Akademii Nauk SSSR [Dohlady MathematicsJ, 1975, vol. 220, no. 3, pp. 540-543 (in Russian).

2. Rubinshtein L. I. On heat propagation in heterogeneous media. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Geogr., 1948, vol. 12, no. 1, pp. 27-45 (in Russian).

3. Ting T. W. A cooling process according to two-temperature theory of heat conduction. J. Math. Anal. Appl., 1974, vol. 45, no. 1, pp. 23-31.

4. Hallaire M. L'eau et la production vegetable. Inst. National de la Recherche Agronomique, 1964, no. 9.

5. Chudaovskii A. F. Teplofizika pochv [Thermal Physics of SoilsJ. Moscow, Nauka, 1976, 352 p. (in Russian).

6. Barenblat G. I., Zheltov Yu. P., and Kochina I. N. Basic concept in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks. Prikladnaya matematika i mechanika [J. Appl. Math. Mech.], 1960, vol. 25, no. 5, pp. 852-864 (in Russian).

7. Beshtokov M. Kh. Riemann function method and finite difference method for solving a nonlocal boundary value problem for a third-order hyperbolic equation. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Severo-Kavkaz. Reg., 2007, no. 5, pp. 6-9 (in Russian).

8. Beshtokov M. Kh. Finite-difference method for a nonlocal boundary value problem for a third-order pseudoparabolic equation. Differ. Equations, 2013, vol. 49, no. 9, pp. 1134-141. DOI: 10.1134/S0012266113090085.

9. Beshtokov M. Kh. On a boundary value problem for a third-order pseudoparabolic equation with a nonlocal condition, Ilzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Severo-Kavkaz. Reg., 2013, no. 1, pp. 5-10 (in Russian).

10. Beshtokov M. Kh. A numerical method for solving one nonlocal boundary value problem for a third-order hyperbolic equation. Comput. Math. Math. Phys., 2014, vol. 54, no. 9, pp. 1441-1458. DOI: 10.7868/S0044466914090051.

11. Samarskii A. A. Teoriya raznostnih shem [Theory of Difference SchemesJ. Moscow, Nauka, 1983, 616 p. (in Russian).

26

EeniTOKOB M. X., KwiyKoeB B. 3., 3pyKii6oB& <P. A.

12. Olisaev E. G. Raznostnye Metody Reshenija Nelokal'Nyh Kraevyh Zadach Dlja Uravnenija Parabo-licheskogo Tipa s Vyrozhdeniem. Candidate's Dis. In Math. And Physics. Moscow, Russ. State Library, 2003 (In Russian).

13. Ladyzhenskaya O. A. Kraevie zadachi matematicheskoi fiziki [Boundary Value Problems of Mathematical PhysicsJ. Moscow, Nauka, 1973, 408 p. (in Russian).

14. Andreev V. B. On the convergence of difference schemes approximating the second and third boundary value problems for elliptic equations. USSR Comput. Math. Math. Phys., 1968, vol. 8, no. 6, pp. 44-62. DOI: 10.1016/0041-5553(68)90092-X.

15. Samarskii A. A., Gulin A. V. Ustoichivost raznostnih shem [Stability of Finite Difference SchemesJ. Moscow, Nauka, 1973, 416 p. (in Russian).

Received November 25, 2015

Beshtokov Murat Khamidbievich

Kabardino-Balkar State University after Kh. M. Berbekov, Associate Professor

173 Chernyshevskiy st., Nalchik, 360004, Russia

E-mail: beshtokov-murat@yandex.ru

ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2968-9211

Kanchukoev Vladimir Zedunovich Kabardino-Balkar State University after Kh. M. Berbekov, Associate Professor

173 Chernyshevskiy st., Nalchik, 360004, Russia E-mail: vlad-kan@yandex.ru

Erzhibova Farida Aleksandrovna Kabardino-Balkar State University after Kh. M. Berbekov, the Teacher of Department of Mathematics 175 Tolstoy St., Nalchik, 360004, Russia E-mail: ershibowa@yandex.ru