Влияние резонансных систем на акустическое поле в слоистой оболочке

Том XXXVII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2 006

№ 1—2

УДК 534.83

ВЛИЯНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ СИСТЕМ НА АКУСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

В СЛОИСТОЙ ОБОЛОЧКЕ

Б. М. ЕФИМЦОВ, Л. А. ЛАЗАРЕВ

Исследуется влияние резонансных систем разных схем на акустическое поле внутри каркасированной оболочки со звукоизолирующими слоями и панелью интерьера, моделирующей отсек фюзеляжа винтового самолета, при неоднородном аэроакустическом возбуждении. Анализируются эффекты ослабления уровней звукового давления в оболочке резонансными системами, устанавливаемыми непосредственно на ней или на панели интерьера. Оценивается эффективность комбинированных (использующих разные типы резонаторов) систем. Приводятся аналитические соотношения для оценки влияния параметров резонансных систем на эффект ослабления уровней звукового давления в оболочке.

Требуемое снижение шума в салоне винтового самолета на основной лопастной частоте может быть достигнуто с помощью резонансных систем в составе бортовой конструкции. Это непосредственно следует из работ авторов [1 — 5], в которых исследовалась звукоизолирующая способность одиночных панелей, двустенных перегородок и слоистой оболочки с резонансными системами разного типа. В данной работе исследуются эффекты ослабления уровней звукового давления в слоистой каркасированной оболочке на основе уточненной расчетной модели, отражающей основные свойства фюзеляжного отсека самолета в процессе передачи звука в салон самолета от винта и формирования в нем звукового поля.

Расчетные соотношения. Рассмотрим каркасированную цилиндрическую оболочку конечной длины Ь и радиуса Я, возбуждаемую полностью коррелированным неоднородным по пространству гармоническим полем пульсаций давления. Оболочку будем трактовать как ортотропную и свободно опертую на торцах. Задачу о звуковом поле внутри оболочки будем рассматривать как краевую задачу, представляя при этом оболочку, слоистую звукоизолирующую конструкцию

с резонансными элементами и замкнутый объем как взаимосвязанную систему. Пусть однородная звукоизолирующая конструкция с резонансными элементами описывается матрицей перехода А, а торцы оболочки при этом имеют одинаковые в общем случае произвольные импедансы ^

Используя метод ортогональных разложений, представляем внешнее возбуждающее поле

д(х, 0,1) = q(х, 0)ет(, давление и скорость под обшивкой р1, у1, давление и скорость на границе замкнутого объема рг, ^2 в виде разложения по собственным функциям упругой оболочки; звуковое давление в объеме цилиндра р(х, 0, г) представляем в виде разложения по собственным функциям акустического объема:

0) = 2QaVa; Pj ^, 0) = 2FjaVa; vj ^, 6) = 2VjaVa '; J = 1,2

a a a

ya = sin(kmx){cos/sin}(n0); km = nm/L; a = {n, m,cos/sin};

p( x, 0 r) = 2 рзФр;

Р

Фр = Jn(V-т'Г)Xm'(kmx){cos/sin}(n0); P = {n, m', cousin}.

Здесь Jn — функции Бесселя; ya — собственные формы колебаний оболочки; Фр —

собственные функции акустического объема.

Давление и скорость P2, V2 на границе объема также раскладываем по поверхностным функциям акустического объема:

P2 (^ 0) = 2Р2рФ2р, v2 (x 0) = 2 Р2РФ2Р ; в в

Ф2Р = Xm' (km' x){cos/smHn0).

Функции x(kmx) определяются акустическими условиями на торцах оболочки. Для акустически мягких торцов это система синусов, для акустически жестких торцов — система косинусов:

Zтор = 0, Xm = sin(kmx), km = nm/L, m = 1,2,...

гтор =да, Xm = cos(kmx), km = nm/L, m = 0,1,...

Для оболочки с одинаковыми торцами с произвольным импедансом Z^ два граничных

условия приводят к одному выражению для функции x(kmx) , при условии, что она является четной либо нечетной относительно середины цилиндра:

YXXy) + ^х(у) = 0, Y = kml, b = ^Pl/Zтор , l = L/2.

Подставляя здесь x = cos(YJ), x = sin(Yj), J = (x -l)/1, получаем два выражения для

определения собственных волновых чисел соответственно для косинусоидальных и

синусоидальных функций:

-Ym sin(Ym ) + b cos(Ym )Ч>0 mco0(2,4);.. X= YmJ

Ym cos(Ym) + b sin(Y m ^f10, mS=i(3,5,).. X= YmJ

Два последних выражения равносильны одному соотношению:

s

Ym + arccos

Матрица перехода звукоизолирующей конструкции А связывает обобщенные давления и скорости на границе акустического объема с этими величинами непосредственно под оболочкой. Обобщенные скорости и давления под оболочкой можно выразить через обобщенные силы внешнего поля Qа, собственные частоты оболочки юа, поверхностную массу оболочки М и

~ ryOUt

матрицу импедансов реакции внешней среды ¿аа :

(р Л

V 2а

= А

= Б„

Qа +Е ¿аи1^

1У

V

1а

Б = А

0

1

ма = м (1 -«аа+;п)/«2).

Переразложим давления и скорости на границе объема с упругих форм на поверхностные формы акустического объема. Выразим обобщенные давления и скорости на границе объема Ргр, Р2( через амплитуды давления акустических мод Р( и модальные

импедансы объема :

(Р Л ( 1 Л

Р2а | _ ^ г

= ^ С(а в

VV2а

ч-У¿в,

'^РРР :

' (^т 'Я ), ¿(3° = /Ю Р ^в /(^т '^ ),

2 1

С(а = Ь | в1п(*а хШк(х^х,

где С(а — элементы матрицы коэффициентов переразложения.

Объединяя выражения (2), (3), получаем связь бесконечных векторов обобщенных сил QA и амплитуд давления в объеме Рб :

Рб =

QA

А = (аь аг,...},

( ^аб + ¿АА Еаб

Ах( = С(а ^(( Б2а + Б^

У Б = {(1, (г,.},

/¿(С ), Еа(= Сва^1 + Б^/Хв ).

Отметим, что выражение (4) позволяет учитывать взаимодействие различных форм колебаний оболочки как через среду внутреннего объема, так и через внешнюю среду. Без учета взаимных импедансов внешней среды выражение (4) несколько упрощается:

РБ = QA !(^АБ ),

Ахв=С(а -м ва2+ва2/ ¿вас

Ба1Хаа+ ва1 Хаа/).

Импедансы реакции внешней среды и импедансы на торцах. Матрицу импедансов реакции внешней среды получаем на основе решения задачи об оболочке, заключенной между двумя полубесконечными жесткими цилиндрами. Определяя поле вокруг оболочки, возбуждаемое каждой модой оболочки, и затем раскладывая давление этого поля, действующее на оболочку,

по ее собственным функциям, получаем следующие выражения для матрицы импедансов:

Здесь Н — функция Ханкеля второго рода; т — переменная интегрирования. Импедансы излучения 2и определяют взаимодействие индивидуальной 7-ой упругой моды оболочки с внешней средой, а взаимные импедансы 2у, 7 Ф у определяют взаимодействия между ее

разными модами через внешнюю среду.

На рис. 1, а в качестве примера представлены рассчитанные по соотношению (5) вещественная и мнимая части импеданса 2тп для одной упругой моды (т = 5, п = 1) оболочки при Ь = 7.65 м, Я = 1.2 м. На этом же рисунке представлены нормированные волновым сопротивлением воздуха вещественная и мнимая части бесконечного цилиндра и бесконечной пластины для тех же значений волновых чисел. Максимум импеданса наблюдается на частоте, для которой волновое число изгибной волны совпадает с волновым числом для звука во внешней среде:

где с — скорость распространения звуковых волн в ней. Частоту /с можно условно назвать частотой волнового совпадения для данной моды оболочки. До частоты /с излучения звуковой энергии практически не наблюдается (малое действительное значение импеданса 2тп), а среда ведет себя как присоединенная масса (большое мнимое значение 2тп). Вблизи частоты волнового совпадения наблюдается как максимальное излучение, так и максимальная присоединенная масса. На частотах, больших этой частоты, оболочка эффективно излучает звук. Действительная часть импеданса монотонно убывает, приближаясь к импедансу среды (рс), мнимая часть импеданса становится очень малой.

На рис. 1, б иллюстрируется поведение взаимных импедансов () для различных пар взаимодействующих мод в виде зависимости от частотной функции (/ - /с1)/(/с2 - /с1), принимающей величины ноль и единицу при / = /с1 и / = /с2 соответственно. Здесь /с1 и /с2 — частоты волнового совпадения двух взаимодействующих мод. Взаимные импедансы существенно меньше собственных импедансов и импеданса среды. Они не меняются при перестановке местами их индексов, что соответствует принципу взаимности. Действительная и мнимая части взаимных импедансов принимают как положительные, так и отрицательные значения. Они имеют максимумы вблизи частот совпадения двух взаимодействующих мод. Амплитуда взаимных

импедансов падает с увеличением разности продольных индексов и с ростом окружного индекса при постоянной разности продольных индексов. Амплитуда возрастает с увеличением продольных индексов при постоянной их разности.

Как показали расчеты, влияние взаимных импедансов на акустическое поле внутри оболочки мало и в первом приближении им можно пренебречь. При этом для оболочки длиной в несколько калибров вместо выражения (5) можно использовать более простое выражение для собственных импедансов бесконечного цилиндра, в котором для лучшего приближения к точному значению следует добавить мнимую часть (-7 / Ь) к продольному волновому числу (кх =кт/ Ь):

ПГс 15 0 1 /с2-/с1

Рис. 1. Вещественные (Яе) и мнимые (1т) части:

а — импедансов Zmn , нормированных волновым сопротивлением воздуха (рс) для одной упругой моды (т = 5, п = 1), для оболочки длиной Ь = 7.65 м, для бесконечной оболочки и для бесконечной панели; /с — частота волнового совпадения; б — взаимных импедансов (2^) для различных пар взаимодействующих мод в зависимости от частотной функции (/ - /с1 )Д /с1 - /с\);

/с1 и /с2 — частоты волнового совпадения двух взаимодействующих мод

°-Г

т°Рец б) торец

торец

Рис. 2:

а — продольные собственные функции для воздушной полости при разных импедансах непоглощающих торцов

2^ = /рек0И/(дН'), И = Н™(дК), д = ^$ -к2х ,

к0 =ю / с, кх = пт / Ь - / / Ь.

Рассмотрим влияние импедансов на торцах акустического объема на частоты и формы его собственных колебаний. Только один безразмерный параметр входит в соотношение (1) для определения продольного собственного волнового числа. Для непоглощающих торцевых поверхностей этот параметр определяется отношением массы воздуха в оболочке к сумме масс торцов (Ь = рЬ /2т). Здесь т — поверхностная масса одного торца. Параметр Ь равен нулю для

акустически жестких торцов и бесконечности для акустически мягких. Для чисто инерционных торцов Яе(Ь) > 0 , для упругих — Яе(Ь) < 0 . На рис. 2, а показаны продольные собственные функции при разных значениях параметра Ь для непоглощающих торцов, а на рис. 2, б — для поглощающих торцов (Ь = 1 + 5/).

Расчетные оценки эффективности резонансных систем. Ниже в качестве примера представлены результаты оценки эффекта снижения резонансными системами уровней звукового давления (Л^) в слоистой каркасированной цилиндрической оболочке, моделирующей

фюзеляжный отсек легкого винтового самолета длиной Ь = 7.65 м с радиусом К = 1.2 м, который возбуждается неоднородным по пространству гармоническим полем давления.

Исходная звукоизолирующая конструкция, устанавливаемая на оболочке, имеет слой рыхловолокнистого материала толщиной 0.07 м, воздушный промежуток 0.03 м и панель интерьера

с поверхностной массой 2.5 кг/м2. Оценки проводились для устанавливаемых на панели интерьера или непосредственно на оболочке резонансных систем разного типа (рис. 3): динамических виброгасителей (ДВГ) с поверхностной массой 2.5 кг/м2; резонаторов Гельмгольца (Гельм.) с эффективной толщиной 0.03 м и поверхностной массой вместе с панелью 5 кг/м2; прямых и перевернутых акустических компенсаторов (АК) с эффективной толщиной 0.03 м и поверхностной массой вместе с инерционными телами и панелью 5 кг/м2. Добротность (0 всех резонаторов предполагается одинаковой и равной 25.

На рис. 4, а представлены результаты расчетных оценок снижения уровней звукового давления (ЛЬ) в оболочке без резонансных систем и с резонансными системами,

устанавливаемыми на панели интерьера. Заметим, что здесь и ниже на графиках для акустических компенсаторов

в скобках указана их поверхностная масса с разными знаками: плюс — для прямых, минус —

для перевернутых компенсаторов. Хорошо видно, что эффективность резонаторов значительно изменяется в пределах рассматриваемой области частот. На всех частотах наиболее эффективны перевернутые компенсаторы и динамические виброгасители. Резонаторы Гельмгольца немного уступают им при равной добротности, а прямые компенсаторы наименее эффективны до 85 Гц. Перевернутые компенсаторы почти везде эффективнее прямых. Резонаторы Гельмгольца до частоты 93 Гц эффективнее прямых компенсаторов.

На рис. 4, б показаны графики снижения уровней звукового давления в оболочке для резонаторов, установленных на ее внутренней поверхности. Эффективность виброгасителей снизилась по сравнению с их эффективностью на панели интерьера. Частота провала эффективности сдвинулась на 80 Гц. Для резонаторов Гельмгольца произошло несущественное изменение, связанное с наличием слоя рыхловолокнистого материала. Для компенсаторов произошло кардинальное изменение их эффективности. Теперь до частоты 90 Гц прямые компенсаторы значительно эффективнее перевернутых. На частоте 90 Гц эффективность всех резонаторов, кроме

резонаторов Гельмгольца, оказалась примерно одинаковой, хотя тяжелые прямые компенсаторы немного эффективнее.

і

б) г)

Рис. 3. Схемы резонансных элементов различных типов:

а — динамический виброгаситель

Рис. 4. Расчетные оценки снижения уровней звукового давления (ДЬ) в оболочке с резонансными системами,

установленными:

а — на панели интерьера, и без резонансных систем (в скобках указана поверхностная масса материала инерционных тел компенсаторов); б — на внутренней поверхности оболочки

Приведенные примеры расчетов иллюстрируют, что в зависимости от параметров оболочки и частоты настройки эффект установки резонаторов может меняться существенным образом. На низких дорезонансных частотах, когда колебания оболочки в основном определяются ее жесткостью, динамические виброгасители эффективнее устанавливать на панели

интерьера, прямые акустические компенсаторы — непосредственно на оболочке, а перевернутые — на панели интерьера. Эффект установки динамических виброгасителей на панели интерьера падает вблизи собственных частот воздушного объема, а эффективность резонаторов Гельмгольца — вблизи резонансных частот оболочки и объема вместе с панелью интерьера. Для прямых и перевернутых компенсаторов условия падения их эффективности зависят от массы их инерционных тел.

Эффективность комбинированных резонансных систем. Эффект от установки динамических виброгасителей тем больше, чем меньше реакция исходной системы в месте расположения резонаторов. Эффект от установки резонаторов Гельмгольца, напротив, тем больше, чем больше реакция частей исходной системы. Поэтому комбинирование динамических виброгасителей последовательно с резонаторами Гельмгольца создает условия для получения большого эффекта от каждой резонансной системы.

Установка компенсаторов на панели интерьера эквивалентна расслоению панели на две и установке между ними резонаторов Гельмгольца со сходными параметрами [5]. Поэтому, если последовательно с компенсаторами установить резонаторы Гельмгольца, то мы получим систему, эквивалентную трехстенной конструкции с двумя системами резонаторов Гельмгольца между стенками. Установка динамических виброгасителей последовательно с компенсаторами эквивалентна установке резонаторов Гельмгольца между двумя частями панели, на которой установлены динамические виброгасители. Поэтому использование последовательно с компенсаторами других типов резонаторов также значительно повышает эффект применения резонансных систем. Использование последовательно более двух различных резонансных систем приводит к еще большим эффектам при одинаковых затратах массы.

На рис. 5 приведены примеры графиков снижения уровня звукового давления, осредненного по линии расположения пассажиров у борта самолета, при разных комбинациях

ЛЬ, дБ

70

ДВГ

60

50

40

'V \ЦВГ

Гельм.

20

30

Без резонаторов

60

70

80

90

100

Рис. 5. Расчетные оценки снижения уровней звукового давления

в оболочке, осредненного по линии расположения пассажиров у борта самолета, при разных комбинациях резонансных систем, установленных на панели интерьера

В скобках: ДВГ

резонансных систем, установленных на панели интерьера: ДВГ + Гельм., ДВГ + АК+,

Гельм. + АК+, ДВГ + Гельм. + АК+ при одинаковой добротности резонаторов (0 = 25) и при равной дополнительной массе (3.5 кг/м2). Видно, что наибольший эффект можно получить, комбинируя все три типа резонансных систем. Несколько меньший эффект дает система без прямых компенсаторов, еще меньший — без резонаторов Гельмгольца. Система без динамических виброгасителей на панели интерьера дала худший результат вблизи 90 Гц.

Эффект комбинации перевернутых компенсаторов с динамическими виброгасителями (при той же дополнительной массе) оказался несколько слабее. Это можно объяснить тем, что при наличии динамических виброгасителей эффективность перевернутых компенсаторов мало отличается от эффективности прямых, но при большей массе корпуса имеет меньшую массу инерционных тел и эффективную толщину.

Приближенные соотношения. В рамках одномерной расчетной модели для прохождения звука через произвольную плоскую бесконечную звукоизолирующую преграду эффект

увеличения ее звукоизолирующей способности из-за установки резонаторов на частоте

настройки ) может быть получен из следующих соотношений:

А ) = 20^(1 + ©б|;

@ = тъг © = Ыг /рс2

©ДВГ = 7+7 , ©Гельм = -1 1 ,

¿1+ -¿2 -¿1 + ^ 2

©А* =

кАК/ Рс2

АК (Хх + тМа)-1 + (22 - /юМ0)-1'

Здесь т — масса инерционных тел динамических виброгасителей на единице площади; к — эффективная толщина резонаторов Гельмгольца, т. е. объем резонаторов на единицу площади; кАК — эффективная толщина компенсаторов, учитывающая жесткость крепления инерционного элемента компенсатора; Х\, Х2 — входные импедансы двух частей исходной конструкции, между которыми устанавливается слой резонаторов; Ма — поверхностная масса материала инерционных элементов компенсаторов. При этом считаем, что масса исходной панели и масса панели с компенсаторами равны.

Безразмерную величину © в выражениях (6) будем условно называть фактором эффективности резонансной системы. Фактор эффективности не зависит от добротности резонатора (0, пропорционален массе для динамических виброгасителей или эффективной толщине для резонаторов Гельмгольца и компенсаторов. Для компенсаторов он также зависит от поверхностной массы материала инерционных элементов компенсаторов (Мс ).

Как показали расчеты, аналогичная (6) зависимость эффекта установки резонаторов от их параметров с приемлемой точностью справедлива и для снижения уровней звукового давления в оболочке:

АЬ

Это иллюстрируется на рис. 6, где сплошными линиями представлены примеры графиков точной зависимости АЬ для слоистой оболочки от добротности различных резонаторов. Кружками показаны аппроксимации этих зависимостей в соответствии с выражением (7). Наблюдаемое различие не превышает 1 дБ.

Выражения (6) для факторов эффективности резонаторов можно использовать для качественного описания влияния свойств слоистой оболочки и параметров резонаторов на эффект

от их установки. Выражение для фактора эффективности виброгасителей показывает, что

Рис. 6. Аппроксимация зависимости снижения уровней звукового давления в оболочке после установки резонаторов от их добротности с помощью выражения АЬ(/) = 20^(1 + <2):

© — параметр эффективности; сплошные линии — результаты расчета; кружки — аппроксимации этих зависимостей

эффект от их установки определяется произведением их массы на добротность и уменьшается с увеличением реакции оболочки в месте установки резонаторов. Эффект от установки резонаторов Гельмгольца определяется произведением их эффективной толщины на добротность

и уменьшается с увеличением податливостей частей, между которыми размещаются резонаторы. Для акустических компенсаторов эффект также зависит от соотношения между поверхностной массой материала инерционных тел и реакциями частей системы.

Изменение эффекта от применения системы резонаторов при отклонении их частоты настройки (/) от заданной (/) для одномерной расчетной модели определяется простым выражением. Расчеты показали, что подобным выражением можно пользоваться и при оценке падения эффективности резонаторов в составе слоистой оболочки:

М ( / )* 201ё

Q = а + iQ(1 -а2), а = ///(.

1

Выводы. Получены аналитические соотношения для звукового поля внутри каркаси-рованной слоистой оболочки, моделирующей отсек фюзеляжа винтового самолета в неоднородном аэроакустическом поле, которые учитывают упруго-акустическое взаимодействие оболочки со звукоизолирующими слоями, с резонансными системами и со средой как внутри оболочки (при произвольных значениях на торцах), так и вне ее. На основе этих соотношений исследовано влияние резонансных систем разного типа (реализующих принципы жесткого отражения, мягкого отражения и компенсации) на акустическое поле в каркасированной слоистой оболочке, параметры которой соответствуют фюзеляжу легкого винтового самолета, в области частот, охватывающей возможные значения основной лопастной частоты винта. Оценены эффекты ослабления уровней звукового давления в оболочке резонансными системами как на панели интерьера, так

и непосредственно на оболочке. Показано, что использование комбинированных резонансных систем может обеспечить существенно больший эффект снижения уровней звукового давления в салоне самолета по сравнению с однородными резонансными системами при одинаковых затратах массы. Установлено, что простые соотношения, полученные для одномерной расчетной

модели, могут использоваться для качественной оценки влияния параметров резонансных систем на их эффективность в составе слоистой каркасированной оболочки.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 03-02-17558).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ефимцов Б. М., Лазарев Л. А. Звукоизолирующие свойства панелей с резонансными элементами // Акустический журнал. — 2001. Т. 47(3).

2. Efimtsov B. M., Lazarev L. A., Baranov S. N. Sound transmission loss of double-wall partitions with resonators // Proceedings of Inter-Noise 2002. — Derborn, USA, August 19 — 21 (2002).

3. Efimtsov B. M., Lazarev L. A., Baranov S. N. Decay of sound transmission into a layered shell by resonant element // Proceedings of Inter-Noise 2001. — Hague, Netherlands,

August 27 — 30 (2001).

4. Efimtsov B. M., Lazarev L. A., Baranov S. N. Influence of environment and of butt-end wall impedance on sound field inside cylindrical shell // Proceedings of 10-th International Congress on Sound and Vibration. — Stockholm, Sweden, July 7 — 10 (2003).

5. Efimtsov B. M., Lazarev L. A., Baranov S. N. Application of equivalent presentations for the analysis of sound transmission loss of panels with resonant systems // Proceedings of Forum Acusticum. — Sevilla, Spanish, September 16 — 21 (2002).

Рукопись поступила 6/IV 2004 г.