Математическое моделирование распространения аэрированной струи в массиве жидкости

УДК 628.16.069:532.516

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ АЭРИРОВАННОЙ СТРУИ В МАССИВЕ ЖИДКОСТИ

© 2008 г. В.К. Ахметов

На основе метода интегральных соотношений исследована задача о распространении аэрированной затопленной струи в неподвижном объеме жидкости. Система уравнений баланса массы и импульса для контрольного объема струи, дополненная уравнениями движения пузырьков воздуха, решается численно методом Рунге-Кутта. В результате вычислений определены траектории распространения струи, максимальная глубина проработки водоема, распределение объемной концентрации воздуха в потоке. Проведено сравнение расчетных зависимостей с экспериментальными данными.

On the basis of integral relations method the problem of aerated submerged jet spreading is studied. The system of equations for mass and impulse balance for the control jet volume, complemented by air bubble motion equations, is solved numerically by means of Runge-Kutta method. The trajectory of spreading jet, the maximal depth of jet penetration and the distribution of volume air concentration in flow are computed. The comparison of calculated and experimental dates is presented.

Ключевые слова: струйные течения, аэрированный поток, метод интегральных соотношений.

Проблема обогащения кислородом малопроточных водоемов является в настоящее время чрезвычайно актуальной и важной задачей в связи с ухудшающимся экологическим состоянием рек, водохранилищ, строительством прудов-охладителей ТЭС, прудов-накопителей при химических производствах, прудов рыбоводных хозяйств и в ряде других случаев.

Основным средством восполнения необходимого количества кислорода для оздоровления водоемов является искусственная аэрация. Существуют различные способы аэрации: биологическая, основанная на фотосинтезе водных растений; химическая, основанная на внесении в водоем веществ, которые при взаимодействии с водой выделяют кислород; физико-механические способы аэрации, осуществляемые путем перемешивания воды и т. д.

Имеется ряд конструкций, позволяющих проводить искусственное аэрирование водоемов: пневматические, струйные, эжекторные, вихревые аэраторы; устройства на базе судовых винтовых движителей и т.д. Пневматические устройства для аэрации основаны на эжекционной подаче воздуха под давлением в водоем. Эффективность насыщения воды кислородом в этом случае зависит от продолжительности соприкосновения пузырьков воздуха с водой. Струйные аэраторы осуществляют разбрызгивание воды в воздухе насосными установками с подачей ее на возможно большую высоту с помощью насадок, форсунок, распылителей. При этом чем меньше частицы прикосновения, тем больше их количество, а значит и площадь соприкосновения с воздухом, и чем дольше они находятся в воздухе, тем интенсивнее происходит процесс аэрации.

В научно-исследовательской лаборатории закрученных потоков кафедры использования водной энергии МГСУ была разработана конструкция контрвихревого аэратора [1]. Рабочий процесс в нем организован следующим образом. С помощью улиточных за-вихрителей формируются два коаксиально закрученных потока, вращающихся в противоположных направлениях. На оси течения при этом возникает разрежение, способствующее засасыванию внутрь потока воздуха из атмосферы. При взаимодействии закрученных потоков воздух дробится на мелкие пузырьки, а интенсивность закрутки взаимодействующих потоков быстро уменьшается. Таким образом, на выходе из сопла аэратора имеется осевой поток, содержащий достаточно равномерно распределенные пузырьки воздуха, который подается под некоторым углом 6 0 в массив прорабатываемой жидкости.

Задача о распространении аэрированной струи жидкости является важной составной частью исследований по созданию эффективных систем струйной аэрации. Кроме того, двухфазные потоки, содержащие пузырьки воздуха, пузырьковой структуры находят широкое применение не только при создании различных аэрирующих устройств, но и лежат в основе многих явлений природы, используются в аппаратах химических производств, газоводометных движителей, кавитирующих насосах и т.д.

Постановка задачи и метод решения

Рассмотрим задачу о распространении струи, содержащей равномерно распределенные пузырьки воздуха и вытекающей со скоростью и 0 из круглой

трубы D0 в однородную неподвижную среду под углом 60 (0<60 <90°) к поверхности водоема (рис. 1).

Рис. 1. Схема распространения аэрированной струи

Введем криволинейные координаты 5 , п, ф , где 5 - координата вдоль центральной линии струи, п -нормаль к ней, ф - угол между поверхностью водоема и центральной линией струи. Будем считать, что осевая составляющая скорости в каждом поперечном сечении есть величина постоянная, т.е. и = и(5).

Уравнения баланса массы и импульса для контрольного объема аэрированной струи в соответствии с методом интегральных соотношений [2] могут быть записаны следующим образом:

d[рLUL(1 -а)A] = E ; ds

d [р lUL(1 -а) A]+ d [р ва U2B a]

ds L

= (Pl -Pв)аAgsin0 ;

d [P bUb а A] + P bVb а D = 0; ds

A [р l (1 - а)и_2 +р в а U2B ] d0

= а (р l -р в) Ag cos 0 + р ва DVB

a =

a 2 + (1 - a 2) —

s < s.

s > s„

где величина 5'е = 6,2 D0 характеризует начальный участок струи, а1 и а 2 - эмпирические константы.

Уравнения движения пузырьков могут быть получены из рассмотрения баланса сил межфазного взаимодействия, включающих в себя силу трения (стоксо-ву силу), Архимедову, гравитационную и силу, связанную со взаимодействием присоединенных масс. Записывая эти соотношения в проекциях на осевое и поперечное направления, будем иметь:

ч^. dU В dU т

(р в + kp т )и в —В - kp тРь

ds

ds

3 1

= 7 CdsP L

р BUB

V ds

= - 3 CDUVB\VB\ -1 +

+(P L -P в ) g c0s 0 - kP LUi

dVB ds

Здесь сВ!,, сш - коэффициенты сопротивления движению пузырьков в осевом и поперечном направлениях, которые берутся из экспериментов; dB -диаметр пузырьков; k = 0,5 - коэффициент присоединенной массы. Дополняя эти уравнения соотношениями для определения декартовых координат хс, у с центральной линии струи

dxc dy

с- = cos 0 , = Sin 0.

. .

ds ds

получим замкнутую систему уравнений (1) - (7) отно-

сительно неизвестных UL

Ус.

Ub , Vb.

0 , а , D , x„

где V - поперечная компонента скорости; D - диаметр струи; А - площадь поперечного сечения струи, р - плотность; а - параметр, характеризующий отношение воздуха к единице объема смеси; g - ускорение свободного падения; индексы Т и В относятся к жидкой и пузырьковой фазам соответственно. Величина Е характеризует эжекционные свойства струи при ее распространении, т.е. количество подсасывающей жидкости через боковую поверхность струи, и пропорциональна периметру локального сечения струи, ее скорости и плотности

Е = а пDр т (1 - а) ит ,

где а - эмпирическая константа. Экспериментально установлено [3], что константа а может быть определена следующим образом:

Переходя к безразмерным переменным, определив их через начальные значения D0, а 0, ит0 и

КВ0, систему уравнений (1) - (7) можно записать в виде восьми обыкновенных дифференциальных уравнений

Y ' = F ),

в которой Y - соответствующие безразмерные неизвестные, а штрих обозначает производную по безразмерной координате % = 5 / D 0.

Для системы (8) рассматривается задача с начальными данными (задача Коши). Решение исходной задачи будем искать для фиксированных значений чисел Фруда Fr = и^0 / gD0, начальной концентрации а 0 и угла наклона 6 0 , считая постоянными величины рк = рВ /рт = 0,00129 и dR = dB /D0 = 0,01. Значения констант принимались равными а1 = 0,057, а2 = 0,089, %е = 5е /D0 = 6,2.

Исходная постановка задачи для неаэрированной струи (а 0 = 0, КВ = 0) имеет точное решение. В этом случае система (1) - (7) преобразуется к виду

в

в

a

s

e

a

1 dA 4 E

1 dUr

4 e л A ''

а из уравнения (4) следует 8 = 8 0 = const. Без ограничения общности рассуждений, полагая 8 0 = 0 и решая систему уравнений (9) - (10), получим

1 - а.

D = 4Ä = <

4а 1

4а,

2 £ 2

а 2| +-21

Ul = D Л

+1, 0 <|<|, I +1, I^I e,

H 30

20

10

1/

2

/

/ф.

Сравним полученные расчетные зависимости Н = Н(Fr) при 6 0 = 90о с данными экспериментов. Гидравлические исследования распространения аэрированной струи проводились сотрудниками кафедры использования водной энергии МГСУ на лабораторном стенде, в котором для ее создания использовался контрвихревой аэратор [1]. Основные параметры экспериментальной установки имели значения: D0 = 0,126; 0,168; расход воды до

0,1м3 /с .

= 0,43 - 0,58.

Это решение использовалось в качестве тестового варианта расчета для отладки программы.

Результаты расчетов

Рассмотрим основные свойства полученных решений. Одной из наиболее важных характеристик является глубина Н проработки водоема, за которую здесь принята максимальная глубина погружения пузырьков воздуха. На рис. 2 изображена зависимость глубины проработки Н , отнесенная к диаметру струи D0, от числа Fr при углах наклона струи к поверхности водоема 6 0 = 90 о и фиксированных значениях а 0 = 0,1 - 0,6 . При малом значении а 0 = 0,1 глубина Н быстро растет с числом Фруда и при больших значениях Fr стремится к предельному значению Н и 60 . Это значение Н соответствует аналитическому расчету [4] для неаэрированной струи и на этой глубине осевая скорость струи составляет около 10 % от начального значения. Однако при таком малом начальном значении а 0 концентрация воздуха при больших значениях Н весьма мала. С увеличением а 0 глубина проработки Н растет заметно медленнее, но характер зависимости качественно сохраняется.

Результаты этих исследований, характеризующие максимальную глубину погружения Н пузырьков воздуха при 6 0 = 90 о , нанесены треугольными символами на рис. 2. Экспериментальные данные в этом случае достаточно хорошо согласуются с теоретическими кривыми, а математическая модель отражает существо явления.

На рис. 3 показано распределение объемной концентрации воздуха в смеси вдоль осевой линии струи. Здесь необходимо отметить следующее. В данной математической модели унос пузырьков из струйного потока осуществляется только через боковую поверхность струи.

1

0.6

0.2

ч4^ 2

0

10

I

20

0 30 60 90 Fr Рис. 2. Зависимости глубины проработки Н от числа Бг при углах наклона струи 60 = 90 °

Рис. 3. Распределение относительной объемной концентрации воздуха в смеси вдоль осевой линии струи при 60 = 90 °, Бг = 122,45

В рассматриваемом случае вертикального распространения струи диффузия пузырьков через боковую поверхность мала и величина а(£) уменьшается только за счет вовлечения дополнительной массы жидкости, характеризующейся эжекционным параметром Е. С уменьшением осевой скорости жидкости при распространении струи на некоторой глубине Н Архимедова сила начинает преобладать над инерционными силами потока. Эта глубина является предельной, на которую можно транспортировать пузырьки воздуха. Поэтому зависимости на рис. 3 приведены только до определенной величины £ , зависящей в каждом конкретном случае от начального значения параметра воздухосодержания а 0. Далее существует небольшой участок, на котором а(£) практи-

сх

0

а

чески постоянна, а осевая скорость жидкости в струе резко падает. Это видно на рис. 4, где представлено распределение осевой скорости вдоль центральной линии струи при тех же начальных значениях параметров. В основной своей части характер этих кривых хорошо соответствует гиперболической зависимости, отвечающей точному решению для неаэрированной струи. И только на достаточном удалении (в 15-20 диаметров D0) от выходного сопла аэратора резко проявляются эффекты двухфазности потока.

1

U

0,6

0,2

0 10 20 %

Рис. 4. Распределение осевой скорости вдоль центральной линии струи

0 у -5

-10

-15

0 15 30 х 45

Рис. 5. Траектории осевой линии распространения струи с углом наклона 60 = 45 °, а0 = 0,5

На рис. 5 представлены рассчитанные траектории осевой линии струи при ее распространении с углом наклона 6 0 = 45 ° и различных числах Фруда. Декартовые координаты х, у отсчитываются от точки

поверхности водоема, в которую подается аэрированная струя, и отнесены к выходному диаметру сопла

аэратора. На этих рисунках хорошо прослеживается максимальная глубина, на которую транспортируются пузырьки воздуха. С другой стороны, с помощью этих зависимостей можно оценить расстояние от места установки аэратора, на котором происходит эффективное перемешивание пузырьков воздуха с аэрированным массивом и насыщением его кислородом.

На рис. 6 показано рассчитанное изменение относительного диаметра струи при ее распространении. Видно, что за исключением начального и конечного участков, изменение диаметра является линейной функцией от х, что согласуется с теорией [4].

10

В

5

0 20 х 40

Рис. 6. Изменение диаметра струи при ее распространении с углом наклона 60 = 45 °

Проведенные исследования позволяют рассчитывать основные параметры процесса распространения аэрированной струи, а полученные результаты использоваться при проектировании систем струйной аэрации различных типов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта № 06-01-00778).

Литература

1. Мордасов А.П., Волшаник В.В., Зуйков А.Л. Устройство для аэрации воды в рыбоводных водоемах: А.с. 856415 СССР // Открытия. Изобретения. 1981. № 31.

2. Гиневский А.С. Теория турбулентных струй и следов. М., 1969.

3. Stoy R.L., Stenhouse M.H., Hsia A. Vortex containment of

submerged jet discharge // Trans. ASCE. J. Hydraulics Div. 1973. Vol. 99. № 9. P. 1585-1597.

4. Абрамович Г.Н. Теория турбулентных струй. М., 1984.

20 апреля 2008 г.

\1/ / V 2/ 1 3 / // //

4 / 5у /

V 6/

Уб

</4 5

2

Ахметов Вадим Каюмович - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры информатики и прикладной математики Московского государственного строительного университета. Тел. (495)183-59-9._