Классы точек компактификаций дискретных пространств

Известия Института математики и информатики УдГУ. 2013. Вып. 1

УДК 515.122.536 © Е. С. Бастрыков

КЛАССЫ ТОЧЕК КОМПАКТИФИКАЦИЙ ДИСКРЕТНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Рассматривается компактификация одного счётного дискретного пространства. Эта компактификация строится как пространство Стоуна некоторой булевой алгебры. Получены следующие результаты: выделены классы точек нароста этого пространства, найдены зависимости в замыканиях счётных подмножеств этих классов, а также показано существование в наросте подмножеств, замыкания которых гомеоморфны минимальному (одноточечному) компактному расширению счётного дискретного пространства, и подмножеств, замыкания которых гомеоморфны пространству Стоуна-Чеха. Рассмотрены другие свойства этого пространства.

Ключевые слова: компактификация, пространство Стоуна-Чеха, дискретное множество, сходящаяся последовательность, пространство Стоуна булевой алгебры.

Содержание

Введение 48

1. Краткое содержание работы..............................................................49

2. Предварительные результаты............................................................52

1. Предварительные сведения и результаты 53

1.1. Конструкция, свойства и базы расширения Белла....................................53

1.2. Замыкания счётных подмножеств N и кардинальные инварианты расширения БН 57

1.3. Центрированные системы ................................................................60

2. Основные результаты 62 2.1. 1-точки и их свойства, и-точки..........................................................62

3. 1П|М-точки 67

4. Замыкания счётных подмножеств пространства Белла 72 Список литературы 76

Введение

Бикомпактным расширением или компактификацией топологического пространства X называется бикомпактное пространство У, содержащее X в качестве всюду плотного подмножества. Особое место в теории бикомпактных расширений занимают расширения дискретных пространств, и прежде всего стоун - чеховское бикомпактное расширение ви счётного дискретного пространства и.

Одной из главных проблем, которые изучаются в теории бикомпактных расширений является отыскание свойств расширений, позволяющих выделить различные типы его точек, что определяет степень неоднородности расширения. Первым результатом в этом направлении для пространства ви является теорема У. Рудина [6] о существовании, в предположении континуум-гипотезы, р-точек нароста и* = ви \ и расширения @и. Точка х называется р-точкой пространства X, если х € П Охг для всякого счётного семейства окрестностей {Охг}'^=1 точки х. После

г=1

того, как С.Шелах [7] показал невозможность «наивного» доказательства существования р-точек в и*, начался поиск точек, близких по свойствам к р-точкам. Так, К. Кунен [8] доказал существование слабых р-точек в пространстве и*, то есть точек, не являющихся предельными ни для какого счётного подмножества и*. А.Грызлов [9] доказал существование 0-точек в и*, характеризующихся тем, что при любой нумерации точек и у 0-точки, как ультрафильтра на и, найдётся элемент плотности 0.

З. Фролик в работах [10, 11], М. Е. Рудин [12, 13], Я. ван Милл [14], К. Кунен [15] и А.Грызлов [16] изучали различные частичные порядки на множестве ви \ и, ими были выделены и изучены несравнимые в различных порядках точки этого пространства. М.Белл в работе [17] построил бикомпактное расширение счётного дискретного пространства, нарост которого несе-парабелен, но обладает счётным числом Суслина. Вопрос о существовании такого расширения был поставлен Я. ван Миллом в [18].

Компактификация Белла позволила решить ряд важных вопросов теории бикомпактных расширений счётных дискретных пространств. Я. ван Милл [19, 20] и А.Грызлов [21, 22] получили несколько новых типов точек в классе слабых р-точек, являющихся предельными для различных подмножеств и* со счётным числом Суслина.

Поскольку расширение Белла стало важной частью теории бикомпактных расширений, возникла необходимость в более детальном его изучении. Компактификация БН была построена М. Беллом как пространство Стоуна некоторой булевой алгебры, состоящей из подмножеств частично упорядоченного множества N. Свойства расширения БН, доказанные М.Беллом, являются следствием существования базы пространства БН, представляющей собой объединением счётного числа 2-сцепленных семейств.

Первой задачей, рассматриваемой в работе, является построение базы пространства БН, которая и сама, и семейство дополнений до её элементов, являются счётным объединением п-сцепленных семейств. Такая база объединяет свойства компактификации БН, полученные М.Беллом в [17] и А.Грызловым в [21].

Основной проблемой, как и в случае других бикомпактных расширений, является поиск различных типов точек компактификации БН и изучение свойств этих точек.

В связи с этим возникли следующие вопросы:

1. Что из себя представляет замыкания различных счётных подмножеств Н, в частности, цепей и антицепей?

2. Каковы свойства и характеристики точек, лежащих в замыканиях подмножеств Н различного вида?

Поскольку булева алгебра Б расширения Белла порождена семейством, состоящим из двух подсемейств множеств различного типа, возникают вопросы:

1. Существует ли в БН \ Н точки, то есть ультрафильтры на Б, обладающие базами, состоящими из множеств только одного из подсемейств?

2. Замыканию каких подсемейств (цепей, антицепей) множеств N принадлежат эти точки?

3. Каковы характеристики и свойства этих точек?

4. Существуют ли в наросте БN \ N копии расширения ви и сходящиеся последовательности, состоящие из точек различных типов?

Решению этих вопросов и посвящена настоящая работа. § 1. Краткое содержание работы

Первый раздел работы посвящен решению вопросов, связанных с конструкцией расширения Белла, и доказательству ряда теорем, используемых в дальнейшем. Результаты раздела опубликованы в [23, 24].

В первом параграфе описывается конструкция расширения Белла как пространства Стоуна некоторой булевой алгебры и доказываются факты и свойства этого расширения. Одной из задач здесь являлось отыскание и описание новой базы, удобной для работы с пространством БN. Эта база описана в теореме 1.1. В этом же параграфе доказывается теорема, объединяющая результаты М.Белла [17] и А.Грызлова [21].

Теорема 1.4.

1. Пусть п € и и в € N такие, что ёош в ^ п. Тогда для Г(в) справедливы следующие утверждения:

a) Г(в) — п-сцепленное семейство;

b) семейство дополнений до элементов семейства Г(в) — п-сцепленное семейство;

c) для всякого счётного множества точек { рг : г € и } С BN \ N найдётся множество и € Г(в) такое, что {рг : г € и } С [и].

2. Для всякого п € и семейство Гп = { [и] \ N : и € и{ Г(в) : ёошв ^ п } } является базой пространства БN \ N.

Второй параграф этого раздела посвящён изучению замыкания счётных подмножеств из N. Главным результатом здесь являются теоремы, показывающие, насколько разными могут быть замыкания подмножеств из N.

Теорема 1.5. Пусть п(М) — строгая антицепь, | М | = и и X = {Хг : г € М} такое, что Хг € [Сп(г)]. Тогда [X] гомеоморфно @и.

Теорема 1.7. Пусть А = { вг : г € и} — бесконечная цепь из N. Тогда А является сходящейся последовательностью в БN.

Таким образом, в пространстве BN есть подпространства и гомеоморфные максимальной компактификации @и, и гомеоморфные минимальному, одноточечному расширению пространства и. Следующая теорема показывает, насколько «много» таких подпространств в пространстве BN.

Теорема 1.8. Пусть

Q = { Х : Х — предел сходящейся последовательности точек N }, ^ = { А* : А С N, [А] гомеоморфно /Зи}.

Тогда Q всюду плотно и ц образует п-сеть в БN \ N.

Дальнейшие задачи в изучении пространства БН связаны с изучением точек БН как различных ультрафильтров булевой алгебры Б. Разработке технических вопросов построения таких ультрафильтров посвящён параграф 3 этой главы. Здесь доказывается ряд утверждений, связанных с понятием центрированных систем в семействах множеств из булевой алгебры Б.

Второй раздел содержит основные результаты работы. Результаты раздела опубликованы в [24-28].

Булева алгебра Б, определяющая пространство БН, порождена семейством, состоящим из двух подсемейств множеств различного типа.

С другой стороны, как показано в первом разделе, в БН \ Н существуют точки, являющиеся ультрафильтрами на некоторых счётных подмножествах (предельные точки строгих антицепей), и точки, являющиеся пределами некоторых последовательностей (цепей) из Н.

Отсюда, одной из основных задач, решаемых в данной работе являлось выделение различных классов точек нароста расширения БН и изучение их свойств.

В первом параграфе второго раздела получены классы так называемых I- и и-точек.

Теорема 2.1. Если £ = {С} — максимальная центрированная система в семействе

то

М ь = ( С = Н \ II СП, : п € и, Пг € г),

I г4п J

|п{ С* : С € £ }| = 1.

Определение 2.1. Точку х € БН \ Н назовём ¿-точкой, если

х €П{ С* : С € £ }

для некоторой максимальной центрированной системы £ = {С} в семействе множеств Мь.

Теорема 2.3. Если £ = {СП|м} — максимальная центрированная система в семействе

Ми = { Сп|м : п € Г, М С и },

Определение 2.2. Точку х € БН \ Н назовём и-точкой, если

х = п{ СП|м : Сп|м € £ } для некоторой максимальной центрированной системы £ = {СП|м} в семействе множеств Ми. Следующая теорема даёт характеристики 1-точек в различных терминах.

Теорема 2.2. Для точки х € БН \ Н следующие утверждения эквивалентны: (а) точка х есть предел некоторой цепи { : к € и } элементов Н;

(Ь) из того, что х € [СП|м] для некоторых п € Г и М С и следует,, что существует г € М такое, что х € [СП(г)];

(с) точка х имеет базу открыто-замкнутых окрестностей вида

Н \ и СП

г^га

другими словами, х — ¿-точка.

Совокупность всех 1-точек обозначим через Ь. Совокупность и-точек обозначим через и. Классы Ь и И не пересекаются вследствие теоремы 2.2. А следующая теорема показывает, что существуют точки не являющиеся ни 1-, ни и-точками.

Теорема 2.5. Пусть { вг : г € и } — антицепь в N, Хг € С31 — 1-точка и X = { Хг : г € и }. Тогда [X]\Х гомеоморфно ви\и и состоит из точек, не являющихся ни I-точками, ни и-точ-ками.

Второй параграф раздела 2 посвящён точкам, являющимся предельными для строгих антицепей. Прежде всего, дано описание этих точек в терминах центрированных систем, которое оказалось похожим на описание 1-точек, при этом предельные точки строгих антицепей являются ультрафильтрами на этих антицепях, а 1-точки есть пределы цепей, рассматриваемых как последовательности.

Теорема 3.1. Пусть множество Сп|м — приведённое и |М| = и. Если £ = {С} — максимальная п|M-центрированная система для Сп|м, то

|П{ С* : С € £ }| = 1.

Определение 3.2. Пусть п = {С} — максимальная п|М-центрированная система для некоторого множества Сп|м. Точку

Х = П{ С* : С € п } будем называть £П\м-точкой для Сп|м.

Здесь же доказывается теорема, дающая характеристику 1п|м-точек.

Теорема 3.2. Пусть множество СП\м — приведённое и М| = и. Тогда

[п(М)] \ п(М) = { Х : Х — 1П|м-точка для Сп|м }

Совокупность всех 1п|м-точек для всевозможных строгих антицепей п(М) обозначим через Ю.

Теорема 3.6. В наросте БN \ N пространства Белла есть точки, не лежащие в множестве Ь и И и Ю. Множества Ь, И и Ю не пересекаются.

Третий параграф посвящён проблеме — что из себя представляют замыкания счётных подмножеств из БN\N. Подобные вопросы являются классическими при исследовании различных бикомпактных расширений.

В первом разделе показано (теорема 1.6), что существуют счётные дискретные подмножества в БN \ N, замыкания которых гомеоморфны ви. Причём из теорем 1.6 и 1.8 следует, что такие подмножества могут состоять целиком как из 1-, так и из 1п|м-точек. Оказывается, что замыкание счётных дискретных подмножеств состоящих из и-точек всегда гомеоморфно ви.

Теорема 4.1. Если Е С БN \ N — счётное дискретное множество и-точек, то [Е] гомеоморфно вN.

В первом разделе (теорема 1.7) было показано, что цепь { вг : г € и} С Н является сходящейся последовательностью в БН. Возникает вопрос, есть ли сходящаяся последовательность в наросте БН\ Н. Как показано выше (теорема 4.1), и-точки не годятся для построения такой последовательности. То же относится и к 1-точкам.

Теорема 4.2. Пусть А = { хг : хг € ^, г € и} С БН \ Н такое, что /г = / (г = j). Тогда найдётся А' С А такое, что [А'] гомеоморфно ви.

Отсюда непосредственно следует, что из любого бесконечного множества 1-точек можно выделить подмножество, замыкание которого гомеоморфно ви.

Ответ на вопрос о существовании сходящейся последовательности в наросте пространства Белла даёт пример 4.1, где построена сходящаяся последовательность, состоящая из 1П|м-то-чек.

§ 2. Предварительные результаты

Большинство обозначений и терминов этой работы взяты из книг Р. Энгелькинга [29] и А. В. Архангельского, В.И.Пономарёва [30].

Обозначения

Для пространства X будем обозначать: ) —вес пространства X; с^) — число Суслина;

в^) —спред (наследственное число Суслина) пространства X; ¿(X) —теснота пространства X. Более подробно о кардинальных инвариантах см. [31]. Также воспользуемся стандартным обозначением:

ехр X — множество всех подмножеств X. Для множества А С X:

|А| —мощность множества А;

[А] —замыкание множества А в пространстве X;

А* = [А] \ А. { }

Через и обозначается вполне упорядоченное множество { 0,1, 2, ... } неотрицательных целых чисел, а также мощность этого множества. Множество, имеющее мощность и, называется счётным. Через п обозначаем в зависимости от контекста и натуральное число, и множество { г € и : г < п }.

Определения

В работе используется понятие пространства Стоуна булевой алгебры. Основные сведения, связанные с ним, можно найти в книге Сикорского [32]. Мы будем рассматривать булевы алгебры А = { и С X} в множестве ехр X. Будем говорить, что подалгебра А булевой алгебры В порождена семейством множеств А С В, если А — минимальная подалгебра алгебры В такая, что А С А, или, другими словами, элементы из А получены путём применения конечного числа операций пересечения, объединения и дополнения к элементам А.

Определение 0.1. Семейство £ непустых элементов булевой алгебры А называется фильтром, если выполнены следующие условия:

(1) если А, Б € £, то А п Б € £;

(2) если А € £ и А С Б, то Б € £.

Определение 0.2. Ультрафильтром в булевой алгебре А будем называть такой фильтр £ С А, что он не содержится ни в одном другом фильтре в булевой алгебре А.

Ультрафильтр — это максимальный фильтр. При этом каждый фильтр можно дополнить до ультрафильтра. Понятие фильтра близко к понятию центрированной системы множеств.

Пространством Стоуна булевой алгебры А называется множество ультрафильтров в А с топологией, задаваемой базой состоящей их открыто-замкнутых подмножеств и а следующего вида: для А € А, иА состоит из всех ультрафильтров £ булевой алгебры А таких, что А € £. Пространство Стоуна является бикомпактным.

Определение 0.3. Пространство У называется бикомпактным расширением или компактификацией пространства X, если У — бикомпакт и X гомеоморфно некоторому всюду плотному подмножеству У.

Определение 0.4. Бикомпактным расширением (компактификацией) Стоуна -Чеха пространства X (обозначаем вX) будем называть максимальное бикомпактное расширение пространства X, что означает, что для любого бикомпактного расширения bX пространства X существует непрерывное отображение /: вX ^ bX, тождественное на X.

Напомним, что для расширения Стоуна-Чеха ви счётного дискретного пространства

1. w(вu) =w(ви \ и) =2Ш;

2. с(ви \ и) = 2Ш;

3. г(ви) = 2Ш;

Определение 0.5 (см. [8]). Семейство Л = {Ма} если для любого конечного набора { Ма1 : г ^ п } С Л следует

§ 1. Предварительные сведения и результаты § 1.1. Конструкция, свойства и базы расширения Белла

Рассмотрим построение расширения Белла [17]. Определим множество функций

Р = { / € иш :0 ^ / (п) ^ п +1 для всех п € и].

В качестве счётного дискретного пространства N возьмём множество всех сужений функций множества Р: { }

N = { /1„ : / € Р,п С и}.

Определим множество

Т = { п € Nш : ёош п(п) = п + 1 для всех п € и]. Для каждой точки в € N пусть С3 = { £ € N : ¿|аот « = в }. Для каждого п € Т обозначим

Сп = и{ Сп(п) : п € и }.

Обозначим через Б булеву алгебру, порождённую семейством

Б' = { Сп : п € Т } и { N \ Сп : п € Т }.

Положим Б" = {и € Б : |и| = и }. Определим пространство БN как пространство Стоуна булевой алгебры Б. Построение компактификации как пространства Стоуна булевой алгебры является довольно распространённым. Так, например, пространство ви можно рассматривать как пространство Стоуна булевой алгебры ехри, а одноточечное александровское расширение и — как пространство Стоуна булевой алгебры, порождённой семейством множеств { и \ К : К С и, ^ | < и}.

Предложение 1.1. Для всякого в € N, С3 и {в} являются элементами булевой алгебры Б.

будем называть п-сцепленным, |п{ Ма : г ^ п} | ^ и.

Доказательство. Пусть в € Н. Докажем, что С € Б и {в} € Б. Построим по, П1 € Т следующим образом: рассмотрим /о, /1 € Р такие, что / = г (г = 0,1). Определим

, ч (/¿и+1, для п = ёош в - 1, . пг(п) = < г = 0,1.

1в, для п = аош в — 1,

Так как /о и /1 различны, то, очевидно, ни одно продолжение по(п) не может являться продолжением никакого П1(т) для п, т € и, п = ёош в — 1, т = ёош в — 1. Таким образом, пересечение Сп0 П Сп1 состоит из элемента по(ёош в — 1) = п^ёош в — 1) = в и всех его продолжений, то есть

Сп0 П Сп1 =

Таким образом, С € Б.

Пусть в € Н. Рассмотрим конечное множество Ь = } всех продолжений в на множество ёошв + 1. По доказанному, С и С^. (¿7 € Ь) являются элементами булевой алгебры Б. Но {в} = С \ и{ С^. : ¿7 € Ь } и, следовательно, {в} € Б.

Предложение 1.2. Для всякой точки х € БН семейство

{ С<1 Сп^ П (Д Н \ Сп/) : п, т € и, п,, п, € Т, г < п, j < т | есть база в точке х.

Доказательство. Пусть х € и^ С БН. Точка х является ультрафильтром, состоящим из элементов булевой алгебры Б. Каждый элемент А булевой алгебры Б представим в виде

А = (Ао,о П ... П Ао,го) и (А1,о П ... П А1>Г1) и ... и (Ам П ... П ),

где А7;г € Б' для всех г < г,, j < к. Значит, найдётся j < к такое, что А^о П ... П А^. есть элемент ультрафильтра х и, следовательно,

х € [(А^-о П ... П А^.)] С [А] = иА.

Докажем ещё несколько утверждений, необходимых для дальнейшего исследования этого пространства.

Предложение 1.3. Если и, V С Н, V —элемент булевой алгебры и и П V = 0, тогда [и] П [V] = 0.

Доказательство. Так как и, V С Н, то и П [V ] = 0. Так как V — элемент булевой алгебры, то [V] — открыто-замкнутое множество, значит БН \ [V] также является открыто-замкнутым множеством, отсюда [и] С БН \ [V] и, следовательно, [и] П [V] = 0.

Предложение 1.4. Если и, V С Н и V — элемент булевой алгебры, тогда

[и П V] = [и] П [V].

Доказательство. Действительно, и = (и П V) и (и \ V) и мы имеем, учитывая предыдущее предложение,

[и] П [V] = ([и П V] и [и \ V]) П [V] = = ([и П V] П [V]) и ([и \ V] П [V]) = [и П V] П [V] = [и П V].

Предложение 1.5. Для любого открыто-замкнутого и С БН\Н найдётся V С Н такое, что [V] П (БН \ Н) = и.

Доказательство. Так как и — открытое множество, то для каждой точки Х € и найдётся окрестность Ох = [Ух] (Ух € Б) такая, что Ох П (БN \ N С и. Таким образом, семейство { }

Л = { Ох П (БN \ N) : Х € и }

является открытым покрытием множества и. С другой стороны, так как и — замкнутое подмножество бикомпактного пространства БN \ N, можно выделить конечное подпокрытие Л' покрытия Л { }

Л' = { Oxi п (БN \ N) : г < п}.

Таким образом, и = и{ [VXi] : г ^ п} П (БN \ N) = [и{ Vх : г ^ п}] П (БN \ N). Множество У = и{ У^ : г ^ п } есть элемент Б и и = [V] П БN \ N.  Нам требовалось построить более простую и удобную для работы базу, чем база, предложенная М. Беллом. Для п € Т и М С и обозначим

Сп|м = и{ Сп(п) : п € М }.

Лемма 1.1. Сп|м — элемент алгебры Б. Доказательство. Определим

Мо = { п € М : п(п)(0) =0 }, Мх = { п € М : п(п)(0) = 1 }.

Заметим, что М0 П М1 = 0 и М0 и М1 = М.

Пусть /о € Р — функция, тождественно равная нулю (/о(п) = 0 для всех п € и), а /\ € Р — функция, тождественно равная единице (/\(п) = 1 для всех п € и). Определим по,п1 € Т следующим образом:

. |п(п), если п € М0; |п(п), если п € М1;

п0(п) = < п1(п) = <

I /1 |п+1, в ином случае, 1/о|п+1, в ином случае.

Определим { } { }

Со = { в € N : в(0) = 0 }, С1 = { в € N : в(0) = 1},

тогда Со, С1, СПо, СП1 € Б. Легко видеть, что Сп|м = (СПо п Со) и (Сп1 п С1).

Лемма 1.2. Для семейства { Cпi|мi : г ^ п } (п € и) справедливо следующее утверждение:

П Сп.|м- = ^ Сп.|м' для некоторых Мг' С Мг (г ^ п).

Доказательство. Докажем утверждение для п = 1. Построим множества М0 и М1 такие, что

Определим

М0 = { к € Мо : по(к) € С^м }, М1 = { к € М1 : п^к) € Спо|мо }.

Заметим, что для любых в и Ь из N множество С3 либо содержит Ct, либо содержится в С (в частности, они могут быть равны), либо эти множества не пересекаются. Отсюда следует, что

Далее, используя индукцию, предположим, что ^ Cпi|мi = Сп.\м'.. Тогда

Д Сп^) п Спп+1|мп+1 = (гип С^|м|) п Спп+1|мп+1 =

= г<п (С^К п СПп+1|мп+1) = г^п (Cпi|Mi' и Сп„+1|м;+1) = ¿¿^ CПilMí',

где М+1 = й мП+1.

Следствие 1.1. Пусть х € БН\Н и х € Сп.|м4]. Тогда найдутся п,0 и Мг'о С Мг0 mакuе, что х € [СП0 |М/0 ] С Щ, Сп;|М;] .

Определим

Г = { Сп|м \ г<П Сп, : п, Пг € Т, г < п, п € и, М С и }.

Теперь по лемме 1.1 и следствию 1.1 мы получаем следующее утверждение.

Теорема 1.1. Семейство Б = {и* : и € Г, |и| = и } является базой пространства БН \ Н.

Пусть п € и, в € Н такие, что ёош в ^ п. Определим

Г(в) = { Сп|м \ ^ Сп, : п(ш1п М) = в, в£ II Сп,, (т + 1)(п + 1) < ёош в + 1).

I 1 г<т г<т J

М. Беллом было показано [17], что имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.2. Семейство Б'' представимо в виде счётного объединения 2-сцепленных семейств.

Из этой теоремы непосредственно вытекает

Следствие 1.2. Пространство БН \ Н удовлетворяет условию Суслина, но несепа-рабельно.

А.Грызловым в [21] был доказано следующее свойство пространства Белла.

Теорема 1.3. Для любого натурального т существует система множеств Бт С Б'' такая, что:

(1) семейство дополнений до элементов системы Бт — т-сцеплено;

(2) для любого счётного множества точек {рд : к € и } С БН \ Н найдётся множество и € Бт такое, что { рд : к € и } С [и].

Следующая теорема объединяет свойства, доказанные М. Беллом и А. Грызловым.

Теорема 1.4.

1. Пусть п € и и в € Н такие, что ёош в ^ п. Тогда для Г(в) справедливы следующие утверждения:

a) Г(в) — п-сцепленное семейство;

b) семейство дополнений до элементов семейства Г(в) — п-сцепленное семейство;

c) для всякого счётного множества точек { рг : г € и } С БН \ Н найдётся множество и € Г(в) такое, что { рг : г € и } С [и].

2. Для всякого п и семейство

Гга = { [и] \ Н : и € и{ Г(в) : ёош в ^ п } }

является базой пространства БН \ Н.

Доказательство. (1.а) Для доказательства этого пункта мы модифицировали доказательство Белла (см. [17]). Пусть п € и и в € Н такие, что ёош в ^ п. Пусть ио,..., ип €Г(в). Тогда

в€и7 = Сп,|М, \ ^ ^ С? < п).

Мы построим h € P такое, что { h|k : k ^ dom s} С Uo П ... П Un, по индукции по k ^ dom s. Пусть h|dom s = s € U0 П ... П Un. Если h|& € U0 П ... П Un для k ^ dom s определено, мы можем определить h| fc+i / { nj (k) : i ^ mj, j ^ n } поскольку

К (i,j) : j ^ n, i ^ mj } | ^ (n + 1)  (max mj + 1) < k + 2,

и существует k + 2 продолжения h|& на k + 1. (1.b) Пусть Uj = Сж.|Mj \ iJJj Cnj € r(s) (j < n).

Построим h € P такое, что { h|^ : k ^ dom s } С N \ ^ Cnjm •

Пусть h|dom s = s, тогда h|doms / jU„ Cnj |Mj. Если h|fc / jUn Cnj |Mj для k ^ dom s определено, мы можем определить h|fc+i / .Un Cn.м, поскольку

| { Пj (к) : ] ^ п } | ^ п + 1 ^ doш в < к + 2,

и существует к + 2 продолжения Щк на к + 1.

Легко увидеть, что Г(в) удовлетворяет условию (1.с). (2) Пусть точка Х € БN\ N, Ох = Сп|м \ ^ CПi и 10 такое, что (т + 1)(п + 1) < 10 = 1 и 10 ^ п. Существует во такое, что dom во = 1о и Х € [С5о]. Мы имеем

где M' = {l : l € M и n(l) —продолжение so }. Таким образом, minM' ^ lo. Тогда (m + 1)(n + 1) < minM' + 1 и minM' ^ n. В итоге, для s = n(minM') мы имеем

U = Cn|M \ У Cni € r(s).

Итак, U — искомая окрестность.

§1.2. Замыкания счётных подмножеств N и кардинальные инварианты расширения BN

Заметим, что пространство N является частично упорядоченным множеством со следующим отношением порядка:

для s,t € N будем считать, что s ^ t тогда и только тогда, когда t — продолжение s, то есть dom s С domt и t|doms = s. Также будем считать, что s < t, если s ^ t и s = t.

Напомним определения цепей и антицепей.

Определение 1.1. Цепью в пространстве N называется линейно упорядоченное множество. Антицепью в пространстве N называется множество, элементы которого попарно несравнимы.

В случае антицепей наибольший интерес для нас представляют так называемые строгие антицепи.

Определение 1.2. Антицепь A С N будем называть строгой антицепью, если для любых различных s,t € A выполнено dom s = domt.

Для удобства строгие антицепи будем обозначать n(M) = { n(n) : n € M }, где n € T и M С u. Напомним, что в пространстве ßu замыкание любого бесконечного подмножества и гомеоморфно ßu. Мы покажем, что существуют бесконечные подмножества N, замыкания которых в BN гомеоморфны ßu, и бесконечные подмножества N, которые являются сходящимися последовательностями в BN.

Теорема 1.5. Пусть п(М) — строгая антицепь, |М | = ш и X = { : i € М } такое, что € Тогда [X] гомеоморфно вш.

Доказательство. Рассмотрим семейство Л = { Cn(¿) : i € M }. Для ультрафильтра £ € вМ \ M и F € £ определим:

Wf = [u{ Cn(i) : i € F }], Л? = { Wf : F € £ }, L? = n{ [Wf]: Wf € Л? }.

Легко видеть, что:

(1) L? П Ln = 0 Для £ = n;

(2) { X П Wf : F € £ } —ультрафильтр на множестве X;

(3) |L n [X]|=1.

Пусть ж^ = П { [X П WF ] : F € £ } .Из конструкции следует, что X U { ж^ : £ € вМ \ M } = [X ] гомеоморфно вш.

В случае нароста эту теорему можно обобщить.

Теорема 1.6. Пусть { s¿ : i € ш } — антицепь, и X = { : i € ш } такое множество, что € (CSi)*. Тогда [X] гомеоморфно вш.

Доказательство этой теоремы вытекает из того, что

C* = u{ Ct* : dom t = dom s + 1, s ^ t } для любого s € N.

Таким образом, мы можем построить строгую антицепь { si : i € ш } такую, что € C*, С C*.. Из этой теоремы и свойств пространства вш мы имеем

Следствие 1.3.

1. w(BN) = 2Ш. 2. s(BN) = 2Ш. 3. t(BN) = 2Ш. 4. |BN| = 22".

Естественно возникает вопрос о существовании подмножеств N, замыкания которых него-меоморфны вш. Рассмотрим два примера антицепей из N, замыкания которых негомео-морфны вш. Для доказательства того, что замыкание счётного дискретного множества него-меоморфно вш, воспользуемся тем фактом, что для любых A, B С ш, если A П B = 0, то [A]^ n [B]^ = 0.

Для s € N обозначим: CS = {t € N : dom t = dom s + 1, t| dom s — s (множество всех одноточечных продолжений s).

Пример 1.1. Пусть f € P и { s„ = f |n+i : n € ш}. Пусть A„, B„ С CSn \ |sra+i} такие, что An П Bn = 0 и |An| = |Bn| = [n/2] (где [n/2] — целая часть числа n/2) для всех n € ш. Обозначим A = U { An : n € ш } и B = U { Bn : n € ш }.

Рассмотрим предел цепи ж = lim sn. Пусть Ox = ÍCnM \ .Ц Cn.l —некоторая окрестность

точки x. Так как x — предел { sn : n € ш }, то существует no € ш такое, что для любого n > no точка sn € Ox и |An| > k, |Bn| > k. Множество .U^ Cni содержит не более чем k точек из CSn, следовательно, Ox П An = 0 и Ox П Bn = 0. Таким образом, ж € [A] П [B] = 0, а следовательно, [A U B] негомеоморфно вш.

Пример 1.2. Пусть { n(n) : n € ш } —строгая антицепь. Для каждого n € ш пусть An, Bn С C;w такие, что An П Bn = 0 и |An| =} |Bn| = [n/2] ([n/2] —целая часть n/2). Обозначим A = U { An : n €ш} и B = U { Bn : n € ш }.

Рассмотрим точку ж € [{ n(n) : n € ш }]. По теореме 1.5 замыкание антицепи гомеоморфно вш. Таким образом, можно рассматривать ж как свободный ультрафильтр на нашей антицепи. Рассмотрим произвольную окрестность Ож = [Cn/|M/

\ ^

Cn точки ж. Так как ж —

свободный ультрафильтр на нашей антицепи, то

|Ox П { n(n) : n € ш } | = ш.

Тогда найдётся бесконечно много п € и таких, что п(п) € Ох и |Ап| > к, |Бп| > к. Множество <к CПi содержит не более чем к точек из С'п, следовательно, Ох П Ап = 0 и Ох П Бп = 0. Таким образом, Х € [А] П [Б] = 0, а следовательно, [А и Б] негомеоморфно вN.

С другой стороны, как уже было сказано выше, в N существуют бесконечные множества, являющиеся сходящимися последовательностями в БN.

Теорема 1.7. Пусть А = { вг : г € и } — бесконечная цепь из N. Тогда А является сходящейся последовательностью в БN.

Доказательство. Пусть А = { вг: г € и } — бесконечная цепь в N, то есть вг < вг+1 для всех г € и. Пусть Х € [А] \ А и

Ох =

Сп|м \ У СП

1 г<п

— базисная окрестность точки Х. Найдётся точка вго € А такая, что вго € Сп|м и, следовательно, вг € Сп|м для всех г ^ го. С другой стороны, мы имеем

и Cпi П А = 0,

г^п

потому что в противном случае ^ CПi содержало бы всё множество А, за исключением конечного числа точек.

Итак, Х — предел сходящейся последовательности А = { вг : г € и }.

Следующая теорема показывает насколько много в БN пределов цепей и копий @и.

Теорема 1.8. Пусть

Q = { Х : Х — предел сходящейся последовательности точек N }, у = { А* : А С N, [А] гомеоморфно ви}. Тогда Q всюду плотно и у образует п-сеть в БN \ N.

Доказательство. Пусть V = Сп|м \ i<m Сп —элемент Г, и |У | = и. По индукции построим две последовательности { вк : к € и} и { ¿к : к € и} в V такие, что:

(1) {вк : к € и } — цепь в N;

(2) { ¿к : к € и } — строгая антицепь в N;

(3) в к < ¿к+1 для всех к € и.

Пусть п0 и в € N такие, что п0 ^ т + 1 и dom в = п0 + 1, в € СП|м \ <т СП. Определим во = ¿о = в. Пусть мы определили {вк : к ^ 1} и {¿к : к ^ 1}, удовлетворяющие условиям 1-3. Поскольку I ^ по ^ т + 1, существует не менее двух продолжений ве, лежащих в Сп|м \ ^ CПi. Мы определим одно из них как в^+1, а другое, как ¿1+1.

Итак, мы имеем {вк : к € и} и {¿к : к € и}. По конструкции, | вк : к € и } С 1, { вк : к € и } — сходящаяся последовательность и Нш вк € V*, { ¿к : к € и } С V, [{ ¿к : к € и }]

гомеоморфно ви и ({ ¿к : к € и }) С V*.

В пространстве ви наросты любых двух почти не пересекающихся множеств не пересекаются. В случае пространства Белла ситуация несколько другая.

Теорема 1.9. Существуют семейства почти не пересекающихся подмножеств N:

1. А1 = { Аа : а € 2Ш } такое, что [Аа] гомеоморфно ви для всех а € 2Ш, А^ П А^ = 0 для а = в;

2. А2 = { Аа : а € 2Ш } такое, что ^^ | = 1 и А*а = Ав для всех а, в € 2Ш;

2. А2 = { Аа : а € 2- } такое, что | А^ | = 1 для всех а € 2-, А^ П Ав = 0 для а = в;

3. А3 = { Аа : а € 2- } такое, что А*а = БN \ N для всех а € 2-.

Доказательство. Пусть в = { : ск € 2- } —семейство почти не пересекающихся бесконечных подмножеств и. (1) Пусть А1 = { вг : г € и } такое, что [А1] гомеоморфно ви.

Определим А1(Еа) = { вг : г € }. Семейство А1 = { А1 (Еа) : а € 2- } удовлетворяет условию 1. г |

(2) Аналогичным путём из сходящейся последовательности А2 = { вг : г € и } мы можем получить семейство А2 = { А2(Еа) : а € 2- }, удовлетворяющее условию 2.

(2') Для доказательства этого мы можем рассмотреть почти не пересекающееся семейство сходящихся последовательностей в N. Его мощность совпадает с мощностью множества Р = С / € иш : f (п) с п +1 1 и равна 2-.

(3) Пусть Аа = { в € N : dom в = п для всех п € }. Очевидно, что А3 = { Аа : а € удовлетворяет условию 3.

Благодаря результатам, доказанным А. Грызловым в [33], для изучения свойств сходящихся последовательностей, лежащих в N, достаточно рассматривать только цепи. Поэтому в дальнейшей работе мы будем рассматривать цепи и антицепи.

§ 1.3. Центрированные системы

Этот параграф содержит ряд лемм о центрированных системах множеств, необходимых в дальнейшем.

Уточним некоторые определения и понятия. Пусть у — некоторое семейство бесконечных подмножеств N.

Определение 1.3. Систему бесконечных подмножеств а = (Е} будем называть центрированной системой, если для любой конечной подсистемы а' С а выполнено следующее условие: п{ Е : Е € а' } —бесконечно.

Определение 1.4. Центрированную систему а = (Е} будем называть центрированной системой в семействе у, если а С у.

Мы будем рассматривать прежде всего максимальные центрированные системы различных семейств, состоящих из элементов булевой алгебры Б. Заметим, что максимальная центрированная система в семействе подмножеств необязательно замкнута относительно конечных пересечений.

Определение 1.5. Пусть а = (Е} —центрированная система в семействе у. Подмножество А С N назовём центрированным с системой а = (Е}, если для каждой конечной подсистемы а' С а выполнено следующее условие: (п{ Е : Е € а' }) П А бесконечно.

Определение 1.6. Будем говорить, что центрированная система а = (Е} вписана в центрированную систему а' = (С}, если для любого элемента Е € а найдётся О € а' такой, что Е С О.

Лемм а 1.3. Пусть £ = (С11|м} — максимальная центрированная система в семействе множеств { Сп|м : п € Т, М С и],

и множество Сп'|м' такое, что Сп'|м' П Сп|м бесконечно

для всякого Сп|м € Тогда Сп'|м' €

Доказательство. Рассмотрим произвольный конечный набор элементов { СПк|мк : к С п } С Найдётся (см. лемму 1.2) набор { Мк : к С п } такой, что Мк С Мк для каждого к С п и

кСп СПк|мк = кСп СПкК •

Докажем, что найдётся ко такое, что СПко м €

Предположим противное. Пусть для каждого к < п найдётся конечный набор семейств { СП.|м. : I < пк} такой, что

--------

Тогда

П Ц,!. —конечно.

¿1 С«м)п Ш, & С-Я"?) = Ш. с«|»0 п СО. «<0. С-ямг)

конечно, что противоречит центрированности £ = {СП|м}.

Отсюда и из максимальности £ следует, что найдётся СП.0 |м' € £, тем более СП.0 |м.0 € £. По условиям леммы СП.о |м.0 П СП'|м' —бесконечно, следовательно,

бесконечно, а значит СП'|м' € £.

Лемма 1.4. Для всякого множества вида СП|м существуют два элемента П1 и П2 € Т такие, что СП|м = СП1 П СП2.

Доказательство. Пусть М = {к1, к2,... , к,... }. Построим П1 и П2 € Т следующим образом. Для 0 < п < к1 определим П1(п) = 0 на множестве п, и П2(п) = 1 на множестве п. Для к. < п < к^+1 = 1, 2,...) определим П1(п) и П2(п) как произвольное продолжение п(к.) на п.

Из построения П1 и П2 вытекает требуемое свойство для СП1 и СП2: СП1 П СП2 = СП|м.

Лемма 1.5. Пусть а' = {СП|м} —максимальная центрированная система в семействе множеств { СП|м : п € Т, М С и}. Тогда а = { СП : СП|м € а'} — .максимальная центрированная система в семействе множеств { СП : п € Т }.

Доказательство. Пусть а' = {СП|м} —максимальная центрированная система в семействе множеств { СП|м : п € Т, М С и }. Предположим, что а = { СП : СП|м € а' }

не максимальна. Тогда найдётся п' € Т такое, что СП' и (Л СП.) бесконечно для любого ко-

1 г/

нечного набора { СПг : г < п } С а, но СП' / а'.

В силу леммы 1.3 найдётся СП0|м0 С а' такое, что СП' П СП0|м0 конечно. В силу леммы 1.4 найдутся множества Сп0 и Сп1 такие, что Сп0 ПСп1 = СП0|м0. Отсюда следует, с одной стороны, что (Сп0 П Сп1) П СП' конечно.

С другой стороны Сп0, Сп1 € а, это следует из того, что СП0|м0 € а' и а С а'. Получаем противоречие. Таким образом, система а = { СП : СП|м € а' } —максимальна.  Непосредственными выкладками доказывается

Лемма 1.6.

1. Если а = {СП} — максимальная центрированная система в семействе { СП : п € Т }, то а' = { СПг : п € и, п, € а } — максимальная центрированная система

в семействе { П СП. : п € и, п, € Т ).

^ г^п г ' >

2. Если а' = {С} — максимальная центрированная система в семействе

¡С = П Спг : п € и, п, € Т),

I г<га г J

то система

\ СП : СП = СП. для некоторого С = П СП., С € а' 1

I г г<га г J

— максимальная центрированная система в семействе { СП : п € Т }.

Из леммы 1.2 вытекает следующая

Лемма 1.7. Если а = (Сп|м} — максимальная центрированная система в семействе множеств { Сп|м : п € Т, М С и }, то для всякого конечного набора множеств а' С а найдётся Спо |мо € а такое, что Спо|мо С п{ Сп|м : Сп|м € а' }.

Лемма 1.8. Для максимальной центрированной системы а = (Сп|м} в семействе множеств {Сп|м : п € Т, М Си} существует максимальная центрированная система а" = (С} в семействе {С = Спг : п € и, пг € Т} такая, что а" = (С} вписана

в а = (Сп|м}-

Доказательство. Пусть а = (Сп|м} —максимальная центрированная система в семействе д |

{Сп|м : п€Т,М Си}.

В силу леммы 1.5 система а' = 1 Сп : Сп|м € а} —максимальная центрированная система в семействе { Сп : п € Т }. В силу леммы 1.6 всевозможные конечные пересечения элементов из а' образуют максимальную центрированную систему а'' = (С} в семействе {С = Спг : п € и, пг € Т }. Покажем, что система а" = (С} вписана в а. Действительно, пусть Сп|м € а. В силу леммы 1.4 Сп|м = Сп1 П Сп2 для некоторых п!,п2 € Т. Тогда п1, п2 € а', а их пересечение Сп|м = Сп1 П Сп2 € а''. Таким образом, а'' вписана в а.

Лемма 1.9. Для максимальной центрированной системы а = (С} в семействе

( С = П Сп, : п € и, пг € Т }

I гСп 1 J

существует максимальная центрированная система а' = (Сп|м} в семействе

С Сп|м : п €Т, М С и 1,

вписанная в а.

Доказательство. Пусть а = (С} — максимальная центрированная система в семействе

(С = П Сп, : п€и,пг € т). I гсп г J

Рассмотрим семейство множеств а' = { Сп|м : Сп|м центрировано с а }. Покажем, что а' искомая. В силу леммы 1.4 всякое множество Сп|м = Сп1 П Сп2. Так как Сп|м центрирована с а = (С} следует, что Сп1, Сп2 € а. Таким образом, всякий элемент Сп|м € а' есть и элемент системы а = (С}. Следовательно, система а' = { Сп|м : Сп|м центрировано с а } —центрирована. Докажем максимальность а' и то, что а' вписана в а.

Пусть С € а — произвольный элемент а, то есть С = П)п Спг. По лемме 1.2

С = Р Сщ = У Сп,|м,•

гСп г гСп г| г

В силу центрированности а = (С}, среди множеств Спг|мг (г С п) найдётся Сп,о|мго, центрированное с а = (С}, то есть Сп,о|мго € а'. Отсюда следует, что а' вписано в а. Отсюда же легко выводится и максимальность системы а'. Лемма доказана.

§ 2. Основные результаты

§2.1. 1-точки и их свойства, и-точки

Как видно из конструкции пространства Белла, точка нароста БN \ N — это свободный ультрафильтр булевой алгебры Б, базу которого образуют бесконечные множества вида

( П Сп ) П (N \ и СпЛ.

ЧгСп Пг) V ЧСт п.?7

Базой каждого ультрафильтра также является и семейство множеств вида

Сп|м П \ кОт Сп,) .

Возникает вопрос, что из себя представляют максимальные центрированные семейства состоящие из множеств вида СП|м, или СПг, или N \ .

Теорема 2.1. Если £ = {С} — максимальная центрированная система в семействе

Жь = ( С = N \ II Спг : п € и, п, € т),

I ,<«. г J

то |п{ С* : С € £ }| = 1.

Доказательство. Из центрированности системы £ = {С} и бикомпактности пространства BN следует, что Р| {С* : С€£} = 0. Предположим, что найдутся такие ж, у € П{ С* : С€£}, ж = у. Рассмотрим некоторую окрестность Ох = [СП0|м0 \ СПг] точки ж такую, что у / Ох. Заметим, что

СП0|м0 \ СП = [СП01м0] \ СП = [СП0|м^ \ [Сп]) .

Имеем: [СП0|м0] и гПп [N \ СПг] —открыто-замкнутые множества, содержащие точку ж. Отсюда и из максимальности системы £ следует, что ^ \ СПг) € £, из этого вытекает, что у € ^ \ СПг]. Так как у / Ох, получаем, что у / [СП0|м0]. По лемме 1.4 существуют п1,п2 € Т такие, что Сп0|м0 = Сп1 п Сп2. Имеем у / [Сп1 п Сп2] = [Сп1 ] п [Сп2].

Пусть у / [СП1 ]. Тогда у € N \ СП1 ]. Из открыто-замкнутости множества [N \ СП1 ] и максимальности £ следует, что N \ СП1 € £. Отсюда [N \ СП1 ] Э ж, следовательно, [СП1 ] Э ж, что противоречит тому, что

[С^] 5 [СП0|м^ Э ж.

Это противоречие доказывает теорему.

Определение 2.1. Точку ж € BN \ N назовём ¿-точкой, если

ж € п{ С* : С € £ }

для некоторой максимальной центрированной системы £ = {С} в семействе множеств Жь. Следующая теорема показывает основное свойство 1-точек.

Теорема 2.2. Для точки ж € BN \ N следующие утверждения эквивалентны: (а) точка ж есть предел некоторой цепи { : к € и } элементов N;

(Ь) из того, что ж € [Сп|м] для некоторых п € Т и М С и следует,, что существует г € М такое, что ж € [Сп(^];

(с) точка ж имеет базу открыто-замкнутых окрестностей вида

N\У Сп ,

другими словами, ж — ¿-точка. Доказательство. (а ^ Ь) Для произвольной окрестности

=

точки x рассмотрим

Ol =

Так как x = lim f |n, то для O'x найдётся щ € и такой, что для всех n ^ щ выполняет-

га^те

ся f |n € Ol. Также отметим, что

Cn|M = U{ Cs : s = n(n) для всех n € M }

а, следовательно, /|по € С8о для некоторого С8о С Сп|м, и, очевидно, |по С С8о С Сп|м.

Более того, несложно видеть, что Сзо содержит и /|п для всех п ^ по, а значит, в замыкании содержит и точку х. Таким образом,

x

а значит, и

€

Cso \ „У Cn

— Ol,

х € (с80 \ и Сп^ С Ох. V /

(Ь ^ с) Очевидно, что для любого в € N можно найти такие п и пг (г С п), что

С'' = ^ \ гСп Спг) ^

Тогда мы можем преобразовать окрестность, полученную в прошлом пункте доказательства

Х € (С-о \ С") ' = ( ^ \ У С'0 \ ¿1 С") ' = (N \ ^ С") ' С °х-

Таким образом, множества вида

(я \ Д С-У

образуют базу точки х.

(с ^ а) Отметим, что весь нарост N' представим в виде объединения непересекающихся множеств Ff = С' для / € Р. Пусть точка х € БN \ N и х € Ff для некоторого / € Р. По условиям множества вида

\ ,Ск Сп)'•

образуют базу этой точки в наросте Отметим, что N \ ^ Сп^ ^ (/1 что /|г / N \ Д Сп^, то, очевидно, что все продолжения /|г также не лежат в N \ Д Сп^, то

Отметим, что N \ Д Cnj 2 {f |n : n € и}. Действительно, если найдётся r € и такое,

есть

N\ ' jUk

N \ U Cnj 2 /.

Но

x € F/ — / — (N \ j U j

противоречит тому, что ^N \ jJk —окрестность точки x.

Таким образом,

n{ [N \ jU CJ} 2 [{f |n : n € и}].

Отсюда

{x}=n{ (N \ jki J }•

то есть x = lim f |n.

Отсюда получаем, что каждое из условий (а) или (b) является необходимым и достаточным

для того, чтобы точка ж € BN \ N была 1-точкой. Таким образом, множество 1-точек есть в точности множество пределов цепей. Также для 1-точек верна следующая

Лемма 2.1. Если X = { ж, : г € и } С BN \ N — счётное подмножество, состоящее из ¿-точек, то X дискретно.

Доказательство. Для всякой точки ж, € X существует функция / € Р такая,

что

ж, = £ / •

Заметим, что семейство { [С/,|п] : п € и } образует базу /. Так как ж, (г € и) являются 1-точ-ками, то / п/ = 0 для г = г'. Пусть ж,0 € X. Покажем, что найдётся окрестность Ох,0 такая, что Ох,0 п (X\{ж,0}) = 0. Для всякой точки ж, € X, г = го, рассмотрим множество С/.|п, такое, что ж, € / С [С/.|п.] и ж,0 / [С/,|п.]. Можно считать, что п, = п,', если г = г'. Для множества

и{ СЛк : г€и^ г = го}

имеем:

ж,0 £ И Сд|„. : г г = го}] •

Пусть /,0 (0) = 0, тогда построим п следующим образом:

, ч [/¿к для п = п, - 1, г = го; п(п) = ^

I 1 в ином случае.

Тогда Ох,0 = [N \ СП] не пересекается с X \ {ж,0} и является искомой. Лемма доказана.  Аналогично 1-точкам можно рассмотреть второе подсемейство, образующее булеву алгебру В.

Теорема 2.3. Если £ = {Сп|м} — максимальная центрированная система в семействе { }

Жи = { Сп|м : п € Т, М С и),

то И СПм : Сп|м €£ I1 = 1.

Доказательство. Из центрированности системы £ = {Сп|м} и бикомпактности пространства BN следует, что п{ С*|м : Сп|м € £ } = 0.

Покажем, что |п{ [Сп|м] : Сп|м € £} 1 = 1. Предположим противное, пусть найдутся две различные точки ж, у € п{ СП|м : СП|м € £ }. Рассмотрим некоторую окрестность

Ох =

СП0|м0 \ СП = [СП01 м0 ] \ СП

гОга

точки ж такую, что Ох Э у. Множество [СП0|м0] является открыто-замкнутым множеством, содержащим точку ж, следовательно, СП0|м0 п СП|м бесконечно для всякого СП|м € £. Из леммы 1.3 следует, что СП0|м0 € £, и, следовательно, [СП0|м0] Э у. Так как Ох Э у получаем, что у € [.у^ Сп,] = .у^ [СП4]. Тогда найдётся го < п такое, что у € [СП,0]. Так как [СП,0] является открыто-замкнутым множеством, содержащим у и у € п{ СП|м : СП|м € £ } получаем, что Сп,0 п СП|м бесконечно для всякого СП|м € £, и из леммы 1.3 вытекает, что СП,0 € £. Но тогда мы имеем п{ СП|м : СП|м € £ } С СП,0 и, следовательно, ж / п{ СП|м : СП|м € £ }. Это противоречие доказывает теорему.

Из теоремы 2.3 и леммы 1.9 получаем следующее утверждение.

Теорема 2.4. Если £ = {С} — максимальная центрированная система в семействе

{ -С1 Сп,

I £<«, г

: п € и, п, € Т

то |п{ С' : С € £ }| = 1.

Определение 2.2. Точку х € БN \ N назовём и-точкой, если

х = П{ Сп|м : Сп|м € £} для некоторой максимальной центрированной системы £ = (Сп|м} в семействе множеств Ми.

Множество всех 1-точек обозначим Ь, а множество и-точек — и. Вследствие теоремы 2.2 Ь П И = 0. В связи с полученными результатами возникает вопрос: а существует ли в БN \ N точка общего вида, то есть не и- и не 1-точка. Ответ на этот вопрос даёт следующая

Теорема 2.5. Пусть {вг : г € и} — антицепь в N хг € С3г — 1-точка (г € и) и X = {хг : г € и}. Тогда [X] \ X гомеоморфно @и \ и и состоит из точек, не являющихся ни I-точками, ни и-точками.

Доказательство. Множество [X ] гомеоморфно вN в силу теоремы 1.5. Рассмотрим X ={ хг : г € и }. Пусть х € [X] \ X. Точка х не является 1-точкой, так как в противном случае, в силу леммы 2.1, множество (х} и X было бы дискретным.

Покажем, что х не является и-точкой. По условиям теоремы хг € С3г для всякого г € и. Пусть Е/г = [С/г|п], где /г € Р,—множество такое, что хг € Е/г С С'. Отметим, что семейство { [С/г|п] : п € и } является базой множества Е/г в БN.

Покажем, что в N существуют счётные подмножества

А = { ¿(г, п): г,п € и} и Б = { д(г, п) : г,п € и}, обладающие следующими свойствами:

(1) любые два элемента множества А и Б попарно несравнимы и имеют разные области определения;

(и) [А] П Е/г = 0 и [Б] П Е/г = 0, для любого г € и.

Пусть { Ьг : г € и } — разбиение и на счётное число дизъюнктных бесконечных множеств. Рассмотрим произвольное г € и, С3г и Е/г = ^П^ [С/г|п] С С3г. Пусть

Nг = ш1пд п :[/] С Сзг 1. Нетрудно видеть, что мы можем построить множества

Аг = { ¿(г,п) : п € и} и Бг д(г,п) : п € и}, для которых выполнены следующие условия:

(1) Кг,п), Я(г, п) € С/г|^г+п \

(2) область определения различных элементов Аг и Бг различны и являются элементами Ьг;

(3) любые два элемента Аг и Бг несравнимы.

Определим А = и{ Аг : г € и }, Б = и{ Бг : г € и }. Множества А и Б удовлетворяют условиям (1) и (п). Условие (И) очевидно выполнено по построению. Для проверки (1) достаточно заметить, что если один элемент А и Б лежит в Аг и Бг, а другой в А^- и Б^ и г = ], то они несравнимы, так как один из них лежит в С3г, а другой в C3j, и следовательно, один является продолжением вг, а другой — продолжением в^ и вг несравним с в^. Области их определения различны, так как у одного она является элементом Ьг, а у другого — Ь^ и Ьг П Ь^ = 0.

Итак, А и Б построены. Заметим, что в силу условия (1) по теореме 1.5 [А], [Б], [А и Б] гомеоморфны ви, и, следовательно, [А] П [Б] = 0.

Покажем, что точка ж € [X]\X не является и-точкой. Предположим противное. Рассмотрим произвольную базисную окрестность точки ж вида Ох = [Сп|м] = [и{ С : в € п(М) }].

Если ж, € XпОх, то ж, € [и{ С : в € п(М) }] и, так как ж, есть 1-точка, найдётся во € п(М) такое, что ж, € [С50], и, следовательно, [С}0] является окрестностью Р/..

Так как ж, € / С п{ [С/.|п] : п € и } и { [С/. |п] : п € и } является базой множества Р/, то [С80] является окрестностью /, и, в силу условия (и), [С50]пА = 0 и [С50]пВ = 0. Следовательно, Охп А = 0 и ОхпВ = 0. Отсюда следует, что ж € [А] и ж € [В], то есть ж € [А]п [В] = 0, что противоречит тому, что [А] п [В] = 0. Таким образом, ж € [X] \ X не и-точка. Теорема доказана.

§3. 1п|М-точки

Рассмотрим множество СП|м, которое будем считать приведённым (то есть п(М) —строгая антицепь), М счётно и положим:

ЖП|м = { Сп|м, : М, = М п{ п : п ^ г},г€и} и Жж\м = Жь иЖ^м•

Определение 3.1. Центрированную систему £ = {С} в семействе Жп|м будем называть п|М-центрированной для Сп|м, если ЖП|м С £.

Всякую п|М-центрированную систему можно дополнить до максимальной п|М-центриро-ванной системы.

Теорема 3.1. Пусть множество Сп|м приведённое и |М| = и. Если £ = {С} — максимальная п|М-центрированная система для Сп|м, то

|п{ С* : С € £ }| = 1.

Доказательство. Доказательство этой теоремы близко к доказательству теоремы для 1-точек.

Из центрированности системы £ = {С} и бикомпактности BN следует, что п{ С* : С € £ } не пусто. Предположим, что найдутся две различные точки ж, у € п{ С* : С€£ }. Рассмотрим окрестность Ож = [СП0|м0

\ £

СПЛ точки ж такую, что у / Ох. Отметим, что из построения

пространства BN следует, что

СП0|м0 \ Спг] = [Сп0|м0] п (Д [N \ Сп,]) = [СП0|м0] п [N \ Д ^

Множества [СП0|м0] и [X \ ,Уп СП, I открыто-замкнутые множества, содержащие точку ж.

Из открыто-замкнутости множества ^ \ .У^ СП] следует, что множество N \ .У^ СП, центрировано с £, а из максимальности системы £ следует, что N \ .У^ СП, € £.

Тогда по предположению у / [СП0|м0]. По лемме 1.4 представим множество СП0|м0 в виде пересечения [СП' п СП]'' . Тогда у / [С^] или у / [С*-'']. Пусть у / [С*-'], тогда у € [Ж \ С*-']. Множество [N \ Сп'] —открыто-замкнутая окрестность точки у, поэтому оно центрировано с £. Из максимальности системы £ и того, что N \ Сп' —элемент системы Жп|м, следует, что N \ Сп' € £. Таким образом, ж € ^ \ Сп'], что противоречит ж € [Сп']. Отсюда следует, что наше предположение |п{ С* : С€£} | > 1 неверно. Теорема доказана.

Определение 3.2. Пусть п = {С} —максимальная п|М-центрированная система для некоторого множества Сп|м. Точку

ж = п{ С* : С € п }

будем называть 1П|м-точкой для СП|м, а систему п — порождающей точку ж.

Лемма 3.1. Пусть £ — ультрафильтр на п(М). Тогда найдётся база Б^ = (А} ультрафильтра £ такая, что для любого А € Б^ найдётся па € Т такое, что множество

са = и{ С : I € А 1

представимо в виде

СА = Сп|м \ спа .

Доказательство. Через (0) и (1) обозначим функции из N, определённые на одноточечном множестве (0} и переводящие его в 0 или 1 соответственно.

Пусть и € £. Докажем, что найдётся А € £ такое, что А С и и С а представимо в виде Сп|м \ Спа . Через Ми обозначим множество тех п из М, для которых п(п) € и. Либо С(о) П п(М), либо С(!) П п(М) не принадлежит £. Пусть С(0) П п(М) / £.

Определим А = и \ С(о), а па € Т построим следующим образом:

(1) Па(0) = (0);

(2) для п € Ми и (и \ М) пусть па(п) — некоторое продолжение функции (0);

(3) для п € М \ Ми положим па(п) = п(п).

Тогда С а = Сп|м \ Спа . Из построения па следует, что А € £ и А С и. Семейство Б^ = (А} и есть искомая база.

Следующая теорема показывает, что 1п|м-точки есть не что иное, как предельные точки строгих антицепей п(М).

Теорема 3.2. Пусть множество Сп|м приведённое и М| = и. Тогда [п(М)] \ п(М) = { х : х — 1п|м-точка для Сп|м }.

Доказательство. Пусть х € БN \ N — 1п|м-точка для некоторого Сп|м. Тогда для любой окрестности Ох точки х имеем |Ох П п(М)| = и. Действительно, предположим, что существует окрестность

Ох =

\ П Сп|мг

содержащая лишь конечное число точек множеств п(М). Из вида окрестности следует, что в этом случае Ох пересекает лишь конечное число множеств Сп(п), где п € М, и, следовательно, х € [Сп(т)] для некоторого т € М. Но это противоречит тому, что х € П{ [Сп|мг] : г € и }.

Докажем теперь, что любая точка из [п(М)] \п(М) является 1п|м-точкой для Сп|м. По теореме 1.5 [п(М)] \ п(М) гомеоморфно вN \ N. Рассмотрим точку х € [п(М)] \ п(М). Она представима в виде ультрафильтра на п(М). По лемме 3.1 найдётся база этого ультрафильтра Бх = (А} такая, что для любого А € Бх множество С а имеет вид

СА = { Сг : t € А } = Сп|м \ Спа . Рассмотрим центрированную систему множеств

{ N \ Спа : А € Бх 1.

Очевидно, что система { N \ Спа : А € Бх } и М^м центрированная и, следовательно, является п|М-центрированной. Дополним ее до максимальной п|М-центрированной системы п = (С}.

Покажем, что П{ С' : С € п} = х. Предположим противное. Пусть П{ С' : С € п} = У и х = у. Но по первой части доказательства у € [п(М)] и у, так же как и х, можно рассматривать как ультрафильтр на п(М). Так как х = у, то существует Е € у такое, что п(М) \ Е € х. Тогда найдётся А € Бх такое, что А С п(М) \ Е. Множество N \ Спа , с одной стороны, содержится в п и, следовательно, у € ^\Спа], а с другой стороны, оно не пересекает С^, замыкание которого является окрестностью точки у. Противоречие.

Рассмотрим ряд других важных свойств 1п|м-точек.

Определение 3.3. Для п,п' € Т и М,М' С и будем говорить, что Сп'|м' строго вписано в Сп|м, если для каждого п' € М' найдётся п € М такое, что п(п) < п'(п').

Теорема 3.3. Пусть множество Сп|м приведённое и М счётно. Тогда

П{ [Сп|м \ Сп'|м'] : Сп'|м' строго вписано в Сп|м } = [п(М)].

Доказательство. Из того что [Сп|м \ Сп'|м' ] 2 [п(М)] для всех Сп'|м' строго вписанных в Сп|м, следует, что

П{ [Сп|м \ Сп'|м'] : Сп'|м' строго вписано в Сп|м} 2 [п(М)].

Докажем теперь, что любая точка х из

О = П{ [Сп|м \ Сп'|м'] : Сп'|м' строго вписано в Сп|м }

также лежит в [п(М)]. Предположим противное.

Пусть х € О\[п(М)], Ох = [Сп|м\гУ„ Спг] —окрестность точки х такая, что ОхПп(М) = 0. Рассмотрим множество

(Сп|м П Сп|м) \ ^ Спг.

Элемент в € N лежит в этом множестве тогда и только тогда, когда существуют п € М и п € М такие, что п(п) ^ в и П(П) ^ в. Это означает, что п(п) и П(П) сравнимы (то есть либо П(П) ^ п(п), либо п(п) < П(П)), а в, п(п) и П(П) не принадлежат Д Спг. Но так

как Ох П п(М) = 0, то пар п, П таких, что П(П) ^ п(п) и п(п),П(П) / Д Спг нет. Положим

М' = { п' : п' € М и найдётся п € М такое, что п(п) < П(п') }. Из вышесказанного вытекает равенство

(Сп|м П Сп|м) \ ^ Спг = (Сп|м П Сп|м') \ ^ Спг

и это множество является окрестностью точки х. В свою очередь,

(Сп|м П Сп|м') \ ^ Спг = Сп|м' \ ^ Спг С Сп|м'.

С одной стороны, х € [Сп|м'], с другой стороны, Сп|м' строго вписано в Сп|м и, следовательно, х € [Сп|м \ Сп|м']. Противоречие.  Из теорем 3.2 и 3.3 вытекает

Следствие 3.1. Если множество Сп|м приведённое и М счётно, то

[п(М)] \ п(М) = { х : х — 1п|м-точка для Сп|м } = = П{ [Сп|м \ Сп'|м'] : Сп'|м' строго вписано в Сп|м } П (БN \ N).

Множество всех 1п|м-точек для всех строгих антицепей п(М) обозначим через Ю. Теперь, когда мы выделили уже три класса точек нароста, вновь возникает вопросы: есть ли в наросте точки, отличные от и-, I- и, теперь, 1п|м-точек? и может ли 1п|м-точка быть и- или 1-точкой? Ответы дают следующие теоремы.

Теорема 3.4. Если А = { х^ : г € и} С БN \ N состоит из 1-точек, то [А] не содержит 1п|м-точек для всякой бесконечной строгой антицепи п(М).

Доказательство. Предположим противное, пусть х € [А] — 1п|м-точка для бесконечной строгой антицепи п(М). Занумеруем все точки А, лежащие в [Сп|м], получим

{ ж^. : ^ € и }. Рассмотрим ж,0. Так как ж,0 — 1-точка, лежащая в [Сп|м], то по теореме 2.2 найдётся по € М, такое что ж,0 € [СП(П0)]. Пусть во —элемент сходящейся к ж,0 цепи и ёош во > по. Для ж^. аналогично найдётся п € М такое, что ж^. € [СП(га_.)]. Пусть в^ — элемент сходящейся к ж^. цепи и ёош в^ > ша^ ёош }. Обозначим { в^- : ^ € и} = п'(М'), при этом из построения очевидно, что Сп'|м' вписано в Сп|м. Таким образом, ж € [Сп|м \ Сп'|м'] и [Сп|м \ Сп'|м'] п А = 0, следовательно ж / [А].

Из доказанной теоремы и теоремы 2.5 вытекает следующее утверждение.

Следствие 3.2. В BN\N есть точки не являющиеся ни и-, ни 1-, ни 1П|м-точками.

Теорема 3.5. Пусть В = по(Мо) — строгая антицепь. Тогда [В] \ В не содержит ни и-, ни ¿-точек.

Доказательство. Предположим противное, пусть найдётся ж € [В] \ В — и-точ-ка. Рассмотрим Сп'|м' строго вписанное в СП0|м0, тогда по теореме 3.3 ж € [СП0|м0 \ Сп'|м']. Но по определению и-точки существует база точки ж, состоящая из множеств вида [Сп|м], и, соответственно, найдётся Сп«|м" такое, что ж € [Сп«|м"] С [СП0|м0 \ Сп'|м']. Таким образом, Сп«|м'' — строго вписано в СП0|м0, а значит, ж € [СП0|м0 \ Сп«|м'']. Противоречие.

Предположим, что ж € [В] \ В — 1-точка. Найдётся п € Мо такое, что ж € [СП0(п)]. Рассмотрим в — продолжение по(п), лежащее в сходящейся к ж цепи. Тогда с одной стороны ж / [Сп|м \ С8], с другой стороны, С5 строго вписано в Сп|м, а значит, [В] \ В С [Сп|м \ С8]. Противоречие.

Обозначим множество всех 1п|м-точек для всевозможных бесконечных строгих антицепей через Ю. Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 3.6. В наросте BN\N пространства Белла есть точки, не лежащие в множестве Ь и и и Ю. Множества Ь, и и Ю не пересекаются.

Также упомянем следующий факт.

Предложение 3.1. Если ж € BN \ N — ¿-точка и у € BN \ N не ¿-точка, то не существует гомеоморфизма /: BN ^ BN, естественного на N, при котором /(ж) = у.

Это следует из того, что при гомеоморфизме сходящаяся последовательность переходит в сходящуюся последовательность. Таким образом, если такой гомеоморфизм найдётся, то у есть предел сходящейся последовательности, а по теореме, доказанной А.Грызловым в [33], предел некоторой цепи из N, то есть 1-точка.

Для и-точек можно усилить теорему 3.5.

Определение 3.4. Для А, В С N будем говорить, что множество А мажорируется множеством В, если для всех в € А найдётся £ € В такое, что £ ^ в.

Теорема 3.7. В замыкании любого подмножества N, мажорируемого строгой антицепью, нет и-точек.

Доказательство. Предположим противное. Пусть множество А С N мажорируется строгой антицепью п'(М') и ж € [А] \ А — и-точка. Тогда существует база точки ж, состоящая из множеств вида [Сп|м]. Таким образом, для любой окрестности Ох точки ж найдутся п € Т и М С и такие, что ж € [Сп|м] С Ох. Так как ж € [А] \ А, то |СП|м п А| = и. Из вида множества СП|м следует, что если в € СП|м, то для всех £ ^ в выполняется £ € Сп|м. Тогда |СП|м п п'(М')| = и, то есть ж € [п'(М')], что противоречит теореме 3.5.

Следствие 3.3. Замыкание объединения конечного числа антицепей из N не содержит и-точек.

Доказательство. Предположим противное. Пусть О = и{ О : г ^ к}, где О — антицепь для всех г ^ к. И пусть х € [О] — и-точка, тогда найдётся г ^ к такое, что х € [О}.

Докажем, что любая антицепь мажорируется строгой антицепью. Пусть О' = { ¿г : г € и } — антицепь. Пусть ¿0 = ¿о, а ^ — продолжение ¿г такое, что ёош^ > шах(ёош¿г, ёош¿¿-1). Множество О = { ¿г : г € и } является строгой антицепью, мажорирующей антицепь О', и по теореме [О] не содержит и-точек. Противоречие.  Замечание 3.1. По теореме, доказанной А.Грызловым в [33], о том, что любое подмножество N, замыкание которого в БN гомеоморфно @и, и вышеуказанному следствию замыкание любого подмножества N, гомеоморфное @и, не содержит и-точек. Из определения 1п|м-точки следует, что множество

{ х : х — 1п|м-точка для Сп|м }

есть подмножество множества С^м = [Сп|м] \ Сп|м. По теореме 3.2 имеем

{х : х — 1п|м-точка для Сп|м } = [п(М)] \ п(М).

Множество п(М) П Сп(п) состоит из одной точки п(п) для всякого п € М. Поэтому если рассматривать эти множества и операцию замыкания в пространстве вN, имеем

[п(М)] П Сп(п) = 0 для всякого п € М,

следовательно, и [п(М)] П [и{ С^п) : п € М }] = 0.

В пространстве БN ситуация совершенно другая: имеем

[п(М)] \ п(М) С [и{ С^п) : п € М }],

что вытекает из следующих утверждений.

Лемма 3.2. Пусть х — 1п|м точка для некоторого Сп|м и Сп'|м' строго вписано в Сп|м. Тогда для всякой окрестности Ох точки х множество

{ п € М|Ох П (Сп(п) \ Сп'|м')1 = и }

бесконечно.

Доказательство. Пусть Ох = С^м \ гУк Спг . По теореме 3.2 х € [п(М)] \ п(М) и, следовательно, Ох П п(М) бесконечно. Обозначим это бесконечное множество через

К = { п € М : п(п) € Ох}.

Докажем теперь, что для всякого п € К такого, что п > к +1, где к взято из определения Ох = [Сп|м \ гУк Спг] , выполняется следующее свойство:

Ох п (Сп(п) \ Сп'|м') бесконечно. Для этого построим по индукции бесконечную цепь { вг : г € и }, лежащую в пересечении

°х П (Сп(п) \ Сп' | м' )>

где п К и п > к + 1 .

Из того что п € К, следует, что п(п) € ОхП(Сп(п)\Сп'|м'). Пусть в0 = п(п) —база индукции. Предположим, что мы построили в^. Построим теперь в^+ь

Так как п > к + 1, то в^ имеет не менее к + 2 продолжений, что означает, что найдётся продолжение в^+1, не лежащее ни в Спг (г ^ к), ни в Сп'|м', а значит, лежащее в ОхП(Сп(п)\Сп'|м'). Таким образом, мы показали, что Ох П (Сп(п) \ Сп'|м') бесконечно.

Так как это выполнено для любого п € К, п > к + 1, а множество К в свою очередь бесконечно, то множество { п : |ОХ п (Сп(п) \ Сп'|м')| = и } бесконечно. Лемма доказана.

Следствие 3.4. Если множество Сп|м приведённое и М счётно, то

{ж : ж — 1П|м-точка для Сп|м } = = п{ [и{ СП(п) \ СП'|м' : п € М}] : Сп'|м' строго вписано в Сп|м }• Доказательство. В силу леммы 3.2 имеем

{ ж : ж — 1п|м-точка для Сп|м } С С п{ [и{ С*(п) \ С*'|м' : п € М}] : Сп'|м' строго вписано в Сп|м } С

С п{ [Сп|м \ Сп'|м'] : Сп'|м' строго вписано в Сп|м }•

По следствию 3.1

п{ [Сп|м \ Сп'|м'] : Сп'|м' строго вписано в Сп|м } = { ж : ж — 1п|м-точка для Сп|м }•

Следствие доказано.

Из теоремы 3.2 и следствия 3.4 вытекает

Следствие 3.5. [п(М)] \ п(М) С [и{ С*(п) : п € М }] •

§ 4. Замыкания счётных подмножеств пространства Белла

Введём некоторые понятия.

Определение 4.1. Будем говорить, что £ € N является строгим продолжением в € N, если в <

Приведём несколько утверждений, необходимых в дальнейшем.

Лемма 4.1. Если А = { ^ : к € и } и В = { : к € и } — строгие антицепи, и есть строгое продолжение ^, то [А] п [В] = 0.

Это напрямую вытекает из теоремы 3.3.

Лемма 4.2. Для всякой окрестности ОХ = [Сп|м] и-точки ж € BN \ N найдётся окрестность ОХ = [Сп'|м' ] этой точки такая, что Сп'|м' строго вписано в Сп|м.

Это следует из следствия 3.1 и того, что классы и- и 1п|м-точек не пересекаются. Напомним известное свойство регулярного пространства.

Лемма 4.3. Пусть А = { ж, : г € и } — счётное дискретное множество в регулярном пространстве X. Тогда существует дизъюнктное семейство окрестностей { : г € и }.

Доказательство. Семейство окрестностей будем строить следующим образом. Для жо найдётся окрестность ОХ0 и открытое множество Цо 5 [{ж, : г > 0 }], такие что ОХ0 п Цо = 0; это вытекает из того, что А — дискретное множество и X — регулярное пространство.

Пусть мы построили окрестности для г < г (г € и), и Цг —окрестность множества [{ж, : г > г }] такая, что ОХг п Цг = 0. В силу регулярности пространства X и того, что А — дискретное множество, найдутся ОХг+1 и Ц+1 — [{ ж, : г > г + 1 }] такие, что ОХг+1 п Ц+1 = 0. Так как Цг —открытое множество, содержащее точку жг+1 и множество [{ ж, : г > г + 1 }], то обозначим:

0жг+1 = ОХг+1 п Ц и Цг+1 = и;+1 п Ц •

Таким образом, мы можем построить дизъюнктную систему окрестностей { ОХ : г € и }.  Так как BN — нормальное пространство, то мы можем пользоваться этим свойством для счётных дискретных его подмножеств.

Теорема 4.1. Если F С BN \ N — счётное дискретное множество u-точек, то [F ] гомеоморфно .

Доказательство. Пусть { xn : n € N } —счётное дискретное множество u-точек и { OXn : n € N } — дизьюнктное семейство окрестностей этих точек. Поскольку точки xn (n € N) являются u-точками, будем считать, что OXn = [СПп|мп] для некоторого nn € T и Mn С и.

Построим семейство множеств { Mn : n € N } и множество {7Tn : n € N }, удовлетворяющие следующим условиям:

i) семейство { Mn : n € N } дизьюнктно;

ii) СПП|М„ С Cnn|Mn;

iii) xn € [СП |M ] для всякого n € N;

iv) для всякого n € N существует число тп € { 0,... , 2ra+1 — 1 } такое, что Мп С тга, где тга — класс вычетов по mod 2n+1, определяемый числом mn.

Семейство { Mn : n € N } и множество {7Tn : n € N } будем строить по индукции.

Рассмотрим 0Х1 = [С7Г1|и1]. Пусть Ш\ —класс вычетов по mod 22 такой, что для М\ Г\Ш\ выполнено:

х G [C7ri|MinmJ-

Положим М1 = М1 ПШ1, 7?1 = 7Г1.

Пусть построены { Mi : i ^ n } , { 7Ti : i ^ n }. Построим Mn+i и 7rn+i.

Рассмотрим множество СПп+1|мп+1. Построим последовательность { K С и : I ^ 2n+1 } множеств и множество { <ре € T : I ^ 2n+1 } удовлетворяющие следующим условиям:

— Xn+i € [С^£|к£] для всякого I ^ 2n+1;

— C^£+1|k£+1 строго вписано в C^£|k£ для всякого I ^ 2n+1 — 1.

Второе условие означает, что для всякого I ^ 2n+1 — 1 и всякого j € K1+1 найдётся k(j) € Kg такое, что j > k(j) и ^1+1 (j) является строгим продолжением ipi(k(j)).

Положим = nn+1, Ко = Mn+1. Пусть для r < 2n+1 построено семейство { C^£|k£ : I ^ r }. Построим Kr+1 и ^v+1. Так как xn+1 есть u-точка, по лемме 4.2 для множества С^г|кг найдётся i^r+1 € T и Kr+1 С и такие, что xn € [C^r+1|^r+1 ] и C^r+1|^r+1 строго вписано в CVr|кг. Тогда для всякого j € Kr+1 найдётся k(j) € Kr такое, что j > k(j) и ^r+1(j) есть строгое продолжение ^у(k(j)).

Проведя это построение вплоть до I = 2n+1, получим множество K2n+1 С и и функцию ^2n+1 € T такие, что:

(a) xn+1 € [С^2П+1 |K2n+1 ];

(b) c^2n+1 |к2П+1 строго вписано в C^O|kQ ;

(c) для всякого j € K2n+1 найдётся k € Ko такое, что j ^ k + 2n+1 и ^>2n+1 (j) есть строгое продолжение ^o(k).

Напомним, что ^о = nn+1 и Ko = Mn+1. Пусть m € {0,1,... , 2n+1 — 1} такое, что для класса вычетов т по mod 2ra+1 выполнено:

хп+\ € С1р2п+1\к2П+1ст-

Обозначим K' = K2 п+1 П тп.

Рассмотрим произвольное j € K'. По свойству (с) найдётся k(j) € Ko такое, что будет выполнено неравенство j ^ k(j) + 2n+1 и ^>2n+1 (j) есть строгое продолжение ^о(k(j)). Так как j € _fi2"+i П m, то j = 1a+lp + m для некоторого р € w.

Рассмотрим число 2n+1(p — 1) + m. Для чисел j, k(j) и 2n+1(p + 1) + m выполняется неравенство

k(j) < 2n+1(p — 1) + m < 2n+1p + m = j. Для множества £ = { 2n+1(p—1)+ m + 1,... , 2n+1p+m } справедливы следующие утверждения:

— £ П K состоит из точки 2n+1p + m;

- £ \U{ Mi : i = 1,... ,n} = 0.

Последнее условие следует из условия iv), что проверяется несложными вычислениями. Отсюда следует, что мы можем выбрать число l(j) такое, что

l(j) €£ \U{ Mi : i = 1,... ,n }.

Из построения следует, что l(j) = l(j') для различных j, j' € K', имеем также

k(j) < l(j) < j.

Из этого неравенства следует, что ^>2n+2(j) есть продолжение (l(j)) и, с другой стороны,

^>2"+!(l(j)) есть продолжение <£o(k(j)) = nn+1(fc(j)). А отсюда следует, что

(*) (l(j)) 5 C^+1 (j) и C^+1 (l(j)) С Cn„+! (k(j)).

Обозначим K'' = {l(j) : j € K' }. Из (*) имеем C^ 1 |k'' 5 C^ 1 |k' и, следовательно,

Xn+1 € [C^2„+1 |K''Ь с другой стоPоны, C^2n+!|K{ С Cn„+1|M„+1.

Из построения следует также, что K'' П (U{ Mi : i ^ n }} = 0. Таким образом, K'' и ^2n+i удовлетворяют условиям i)-iii). Пусть q € { 0,... , 2га+2 — 1 } такое, что для класса вычетов q по mod 2га+2 выполнено ж € [С^ +1\K"c\q\- Положим К" П q = Мп+\ и ip2n+i = 7Гп+1-

Таким образом, мы построили множество Mn+1 и отображение 7Гга+1 так, что { Mi : i = 1,..., n, n + 1} и { 7Ti : i = 1,..., n, n + 1} удовлетворяют условиям i)—iv).

Итак, мы построили семейство окрестностей {0Xn : n € N} точек { xn : n € N}, где OXn = [C~ |M ]. В силу условий i)—iii) имеем, что для любых подмножеств F, Ф таких, что F, Ф С { xn : n € N }, F П Ф = 0,

[U{ Oxn : x„ € F }] П [U{ Oxn : x„ € Ф }] = 0

и, следовательно, [F] П [Ф] = 0. Отсюда следует, что [{ xn : n = 1, 2,... }] гомеоморфно ^N.

Теорема 4.2. Пусть A = { Xi : Xi € Ff., i € w } С BN \ N такое, что f = fj (i = j), то найдётся A' С A такое, что [A'] гомеоморфно

Доказательство. Пусть x € [A] \ A и f € P такое, что x € Ff. Рассмотрим систему окрестностей { [Cf |n] : n € w } точки x. Так как x € [A] \ A, то для любого n € w следует, что |[Cf|n П A]| = w. Но из строения множества A следует, что |Ff П A| =1. Тогда найдётся бесконечное I С w такое, что |[Cf |n \ Cf | 1 ] П A| = 0 для n € I. Для каждого n € I зафиксируем € A из [Cf |n\Cf |n+1 ]. Таким образом, можно построить строгую антицепь n(M) такую, что € [Cn(n)], из чего следует, что [{ : n € w }] гомеоморфно ^w.

Следствие 4.1. Из любого множества ¿-точек можно выделить подмножество, замыкание которого гомеоморфно

Это следует из того факта, что для любого f € P множество Ff содержит единственную 1-точку.

Пример 4.1. Множество в BN \ N, являющееся сходящейся последовательностью.

Рассмотрим семейство { Вга : п € и } строгих антицепей Вга = { ¿П : к € и } таких, что ¿П+1 есть строгое продолжение ¿П для всяких п € и и к € и. Пусть £ = (В} —свободный ультрафильтр на и, то есть £ € ви \ и. Для всяких В € £ и п € и обозначим = { ¿П : к € В }. Тогда £п = { : В € £ а является свободным ультрафильтром на множестве Вга. Обозначим £га = п{ [Рп] : € £га }. Имеем £га € [Вга] \ Вга и [Вга] гомеоморфно /Зш по теореме 1.5. Заметим, что по лемме 4.1 следует, что £га ф для п,т € ш, п ф т.

I. Покажем, что последовательность { £га : п € ш } является сходящейся. Пусть у € ВХ \ N — предельная точка для множества { £га : п € ш } и Оу = [С^м \ .у^ С^] —базисная окрестность

точки у. Тогда множество Оу П { £га : п € ш } бесконечно. Рассмотрим некоторое £га € Оу. Так как £п — ультрафильтр на множестве Вга, найдётся ВП € £п, С такое, что ВП\Оу конечно, следовательно, ^Д (Сп|м\4УП С^) конечно. Отсюда множества и ВпП(.У^ СП-) конечны

(на самом деле, найдётся € £п такое, что С Сп|м и П (.У^ СЛ-) = 0).

Покажем, что для любого т (£ и, т > п выполняется € Оу. По определению, 6п = {Рщ}—ультрафильтр на Вт. Предположим, что ^ Оу. Тогда найдётся Р^ € Вт С такое, что ВтП (Сп|м\4УП СЛ-) конечно; в противном случае множество (Сп|м\4УП СП4) есть элемент ультрафильтра и следовательно € Оу.

Так как С и \ Сп|м конечно, то \ Сп|м тоже конечно. Но тогда \ .Уп

конечно. Так как у — предельная точка для { £га : п € ш }, найдётся т' € ш, т' < т такое, что £т, € Оу. Рассмотрим множество = { ¿т' : ¿т € }. По определению, ¿т' есть строгое продолжение ¿т, и поскольку С .У^ Сп, за исключением, быть может, конечного числа

точек, получаем, что В^, \ .У^ Сп конечно. Но тогда В^, П (Сп|м \ ¿Уп С^) = В^, П Оу конечно, что противоречит тому, что €

Таким образом, мы показали, что { £га : п € ш } сходится к точке у; обозначим этот предел £ = у = Ит £ . Заметим, что всякая £га есть .¿П-^-точка.

п—те 1

II. Докажем ещё несколько интересных свойств построенного множества. Обозначим

К = {£ : £ € (Зш \ и }. Покажем, что точка £ не является ^-точкой. Действительно, £ € [и{ С4 о : к € ш }], где [С4о] для всех к € и. По теореме 2.2

£ не является ^-точкой.

Рассмотрим произвольное к € и и множество ^ = { ¿П : п € и }. Это множество является цепью, и следовательно, ] \ | = 1, то есть ^ = { ¿П : п € и} является сходящейся последовательностью в ВЖ; пусть ^ = Нш ¿П.

п—те к

Рассмотрим множество { ^^ : к € и}. Докажем, что [{ ^ : к € и }] гомеоморфно ви. Рассмотрим семейство множеств { : к € и }. Имеем ^^ € [С^] для всякого к € и, и множество и{ : к € и } есть элемент булевой алгебры В.

По теореме 1.5 получаем, ато [{ : к € и }] гомеоморфно ви.

Покажем,что [{ дд. : к € ш }] П { £ : £ € \ Сс>}= 0. По построению, выполнено включение Г{ дь ' к € ш }1 С Ги{ С+к : к € ш }1. Покажем, что для всякого £ = Нт £ (£ € /Зш \ ш) выполняется £ ^ [и{ С ¿к : к € ш }]. Действительно, для всякого т € ш имеем £т £ [и{ Сгк : к € ш }], так как ^ С^л : к € и } П Вт = { ¿т : п ^ т }. Так как множество С^ь : к € и }] открыто-замкнуто в ВХ и £ = Нт £ , то £ ^ Ги{ С^ : А; € ш }1.

п—те

Известным фактом является то, что в ви нет точек со счётным характером. Для пространства Белла ситуация аналогична.

Теорема 4.3. В ВЖ \ N нет точек со счётным характером.

Доказательство. Предположим противное, пусть х € ВЖ \ N и{ и : г€и} — база точки х. Тогда легко построить последовательность точек из N, сходящуюся к х, и по теореме, доказанной А. Грызловым в [33], х — 1-точка. Тогда существует база { О^ : г € и } точки х состоящая из множеств вида [Ж \ ,Ук .

Для каждого Oi найдётся Si € N такое, что x / [CSi] С Oi. Для полученного множества { Si : i € и } пусть s1 = S1, si — продолжение Si, такое что dom si > dom si_ 1. Рассмотрим п такое, что x / [Сп], и построим п':

' (si, если n = dom si, п = i i

ln(n), иначе.

Очевидно, что [N \ Сп'] —окрестность точки x и Oi \ [N \ Сп'] = 0 для всех i € и, что противоречит тому, что { Oi : i € и } —база точки x.

Список литературы

1. Бастрыков Е.С., Головастов Р.А. О некоторых бикомпактных расширениях счётных дискретных пространств // Труды мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 36. 2007. С. 23-24.

2. Бастрыков Е.С. Об одной базе расширения Белла // Тезисы XXXVI итоговой студенческой научной конференции. Ижевск: УдГУ, 2008. С. 5-6.

3. Bastrykov E.S. The limits of convergent sequences in Bell's compactification // 24th Summer Conference on Topology and Its Applications. Brno: Brno University of Technology, 2009. P. 19. http://atlas-conferences.com/c/a/x/s/83.htm.

4. Бастрыков Е.С. О пределах сходящихся последовательностей в расширении Белла счётного дискретного пространства // Тезисы 41-й всероссийской школы-конференции. Екатеринбург, 2010. С. 99-103.

5. Бастрыков Е.С. О подмножествах расширения Белла, не гомеоморфных ри // Тезисы 42-й всероссийской школы-конференции. Екатеринбург, 2011. С. 257.

6. Rudin W. Homogenety problems in the theory of Cech compactifications // Duke Math. J. 1956. Vol. 23. № 3. P. 409-426.

7. Shelah S. Onp-points ри and other results in general topology // Notices Amer. Math. Soc. 1978. Vol. 35 A-365. № 87T-G. P. 49.

8. Kunen K. Weak p-points in N* // Coll. Math. Soc. Janos Bolyai, 23 Topology. Budapest, 1978. P. 741749.

9. Грызлов А.А. К теории пространства pN // Общая топология. Отображения топологических пространств. М.: МГУ, 1986. С. 20-34.

10. Frolik Z. Homogenity problems for extremally disconnected spaces // Comment. Math. Univ. Carolinae. 1967. Vol. 8. P. 757-763.

11. Frolik Z. Sums of ultrafilters // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 73. P. 87-91.

12. Rudin M.E. Types of ultrafilters // Topology Seminar. Wisconsin, 1965. P. 145.

13. Rudin M.E. Partial orders on the types in pN // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 155. № 2. P. 353-362.

14. van Mill J. Sixteen topological types in ри \ и // Topol. App. 1982. Vol. 13. P. 43-57.

15. Kunen K. Ultrafilters and independent sets // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 172. P. 295-306.

16. Gryzlov A.A. On the Rudin-Keisler order on ultrafilters // Topol. Appl. 1997. Vol. 76. P. 151-155.

17. Bell M.G. Compact ccc non-separable spaces of small weight // Topology Proceedings. 1980. Vol. 5. P. 11-25. http://topo.math.auburn.edu/tp/reprints/v05/tp05002s.pdf.

18. J. van Mill. Weak p-points in compact P-spaces // Topology Proceedings. 1979. Vol. 4. № 2. P. 605-628.

19. J. van Mill. An introduction to ри \ и / Handbook of Set-Theoretic Topology Amsterdam, 1984. P. 506567.

20. J. van Mill. Weak p-points in Chech-Stone compactifications / / Trans. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 173. № 2. P. 657-678.

21. Грызлов А.А. О бикомпактых расширениях дискретных пространств // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2. № 3. С. 803-848. http://www.math.msu.su/ fpm/rus/96/963/96306t.htm.

22. Gryzlov A.A. Independent matrices and some points of рт // Topol. Appl. 2002. Vol. 107. P. 79-81.

23. Gryzlov A.A., Bastrykov E.S., Golovastov R.A. On Bell's compactification of N // Topology Proceedings. 2010. Vol. 35. P. 177-185. http://topology.auburn.edu/tp/reprints/v35/.

24. Грызлов А.А., Бастрыков Е.С., Головастов Р.А. О точках одного бикомпактного расширения N // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 3. С. 10-17.

25. Бастрыков Е.С. О некоторых точках расширения Белла счётного дискретного пространства // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. Вып. 4. С. 3-6. http://vestnik.udsu.ru/2009/2009-014/vuu_09_014_01.pdf.

26. Грызлов А.А., Бастрыков Е.С. Некоторые центрированные системы множеств и определяемые ими точки // Труды ИММ УрО РАН. 2011. Т. 4. С. 76-82.

27. Бастрыков Е.С. О замыканиях счетных подмножеств BN // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 3. С. 15-20.

28. Грызлов А.А., Бастрыков Е.С. О замыканиях счётных множеств в пространстве Стоуна одной булевой алгебры // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 3. С. 37-42.

29. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 c.

30. Архангельский А.В., Пономарёв В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974. 424 с.

31. Архангельский А.В. Строение и классификация топологических пространств и кардинальные инварианты // Успехи мат. наук. 1978. Т. 33. № 6. С. 29-34.

32. Сикорский Р. Булевы алгебры. М: Мир, 1969. 376 с.

33. Gryzlov A.A. On convergent sequences and copies of pN in the Stone space of one boolean algebra // Topology Proceedings. 2013. Vol. 42. P. 165-171.

Поступила в редакцию 01.02.2013

E. S. Bastrykov

Point classes of compactifications of discrete spaces

We consider the compactification of one countable discrete space. This compactification is constructed as the Stone space of some Boolean algebra. We obtained some classes of points of remainder of this space, found dependence to the closures of countable subsets of these classes and also proved the existence of subsets of remainder whose closures are homeomorphic to a minimal (one-point) compactification of a countable discrete space, and subsets whose closure is homeomorphic to the Stone-Czech space. We considered other properties of this space.

Keywords: compactification, Stone-Czech space, discrete space, convergent sequence, Stone space of Boolean algebra Mathematical Subject Classifications: 54D35, 54D80, 54-06

Бастрыков Евгений Станиславович, старший преподаватель, кафедра алгебры и топологии, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г.Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: bastrykov@gmx.com

Bastrykov Evgenii Stanislavovich, Senior Lecturer, Department of Algebra and Topology, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: bastrykov@gmx.com