Моделирование процесса разрушения трехслойного стержня при растяжении

УДК 539.3

Р. А. Каюмов, И. З. Мухамедова МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

Ключевые слова: стержень, модель, устойчивость, эксперимент, конечный элемент.

Моделируется процесс растяжения трехслойного стержня. Средний слой имеет преимущественное армирование поперек оси, а верхний и нижний слои - вдоль. Критерием разрушения считается потеря устойчивости волокон среднего слоя. Для вычисления критической нагрузки использовалось классическое выражение для сжатого стержня в упругой среде. Задача решается методом конечных элементов. Проведен ряд численных экспериментов и получены зависимости разрушающей нагрузки от различных параметров.

Keywords: rod, model, sustainability experiment, finite element.

It simulates the three-layer stretch rod. The middle layer has a preferential reinforcement transverse to the axis, and the upper and lower layers - along. The criterion for failure is considered to be a loss of stability of the fibers of the middle layer. To calculate the critical load to use the classical expression for the compressed rod in an elastic medium. The problem is solved by the method of finite elements. A series of numerical experiments, and the breaking load obtained depending on various parameters.

1. Введение

Новые конструкционные армированные материалы и элементы конструкций из них, обладающие высокими прочностными и жесткостными характеристиками, нашли свое применение во всех областях промышленности, в авиационной, космической технике и судостроении. Требованиям высокой прочности и жесткости отвечают слоистые элементы конструкций, в частности, трехслойные пластины и стержни, которые применяются при изготовлении несущих элементов самолетов, различного рода панелей, обтекателей, теплозащитных экранов и т.д.

Большой вклад в развитие отдельного направления исследований, связанных с разработкой теории и методов расчета трехслойных пластин, стержней и оболочек, внесли такие выдающиеся ученые как И.А. Алфутов, В.В. Болотин, Х.М.Муштари, В.Н. Паймушин А.Я.Александров, A.B. Саченков, Э.И. Григолюк, А.П. Прусаков, П.П.Чулков, С. А. Амбарцумян и ряд других отечественных и зарубежных авторов.

Одним из наиболее часто встречающихся видов разрушения трехслойных пластин и стержней, нагруженных в плоскостях несущих слоев усилиями сжатия или сдвига, является потеря устойчивости. Задачам устойчивости данных элементов конструкций посвящены исследования

М.Куршина[1], Э.И. Григолюка, П.П. Чулкова [2,3],

A.Я. Александрова, Г.С. Шпак [4] , В.Н. Кобелева, Л.М.Коварского, С.И. Тимофеева [5],

B.Н.Паймушина, С.Н. Боброва [6] и др.

Натурные эксперименты на растяжение

многослойных стержней, проведенные группой исследователей под руководством В.Н. Паймушина, показали, что образцы иногда разрушаются не от разрыва, а от расслоения. Причиной этого может быть потеря устойчивости волокон сжатого слоя. Рассмотрим, например, трехслойный стержень, как показано на рис.1.

При растяжении вдоль образца внутренний слой испытывает сжатие, если его коэффициент Пуассона меньше, чем у наружных слоев. В результате этого,

он может потерять устойчивость, отчего и может произойти отслоение внутреннего слоя от внешних.

В данной работе моделируется потеря устойчивости среднего слоя трехслойного стержня при простом растяжении. Средний слой имеет преимущественное армирование поперек оси, а верхний и нижний слои - вдоль оси как показано на рис.1.

Рй

Рис. 1

Закон упругости для ортотропного тела имеет вид:

^ =

sz =

Ex .EL

Ex Ey

x y

El .Ex

Ey Ex

y x

Ez E

Ez Ey

xy

yx

zy

El

Ez

Ez

Ez

yz

Для обобщенного соотношения:

v

закона Гука справедливы

v

xz

Ez

v

zx

Ex

yx

E

v

xy

EL

v

yz Ez

v

zy Ey

z x x y z y

Тогда для плоского деформированного состояния

можно получить следующую зависимость для вектора напряжений:

{e} = [D] - (sj + (Aj-Sz

x

{а}Т ={ах ,ау ], {е}Т ={ех ,еу ],

здесь «Т» означает операцию транспонирования. Матрица жесткостных характеристик [П\ для ортотропного тела при ПДС имеет вид:

[Я] =

»11 »12 О

»21 »22 О

О О Оху

а

аа - Ьс аа - Ьс с а

аа - Ьс аа - Ьс

О

О О.

ху

а = "V-Уу X Ь = -¡Г(уху + У У )'

Еу Еу

1

1

а = —(1~ухе-У1х)> с = — (Уух + У-У?х).

Вектор {А} в формуле (3) можно расписать как:

{А} =

Ь -Уу2 + а У

аа - Ьс

с У + а 'Уу2

аа - Ьс

Построение модели основано на методе конечных элементов. В качестве подобласти был выбран шестиузловой треугольный конечный элемент второго порядка.

X

/ И 4 ______ / /с

;У / ь У =-^

Рис. 2 - Модель растяжения трехслойного стержня

Согласно принципу Лагранжа, можно получить следующее выражение в матричной форме:

\деТ {а}аУ = 8{П }Т {Р},

V

¡Зет

V

Уравнение равновесия, с учетом того, что задается только ег, можно записать в матричной форме в виде:

[ К \{П} = {Р} ,

где [К] -глобальная матрица жесткости, {П} -

вектор узловых перемещений, {Р} - вектор внешних

узловых сил.

Критерием разрушения считается потеря устойчивости внутреннего слоя в стержне, которое можно записать в виде:

.

vnu.tr

внешние слои

у ' кр

Для простоты примем, что одинаковы по механическим и геометрическим характеристикам. Тогда критическое напряжение можно записать в виде [11\:

акр =•

2 -Ё^* - Г™* - к

А,

где Еу

- модуль упругости внутреннего слоя,

к - погонный коэффициент постели,

3™* = с - к3/12, Аупиг = с - к .

Коэффициент постели принят в виде соотношения:

к = Р-Епа,

где Е"

модуль упругости внешнего слоя, ¡3 -

переводной коэффициент.

-0,6 -

-0,8

упагЛ/тНг

Е1Яи1гЛЕпаг=5 — Ечпи1г/Епаг=10 —- Е\лпи1г/Е|паг=2{)

Рис. 3

Зависимость напряжения сжатия

с^ж \ упШГ

(ау ) внутреннего слоя от отношения

коэффициентов Пуассона слоев Упаг 1УчпиГ

Построенная модель была оттестирована на модельных задачах о растяжении изотропной сплошной и трехслойной полос. Граничные условия были заданы, как показано на рис. 2. Проведено сравнение численного решения с аналитическим в каждом тесте. Отличие результатов составило 1-2%. На рис.3 представлен график зависимости

с^ж \ упШГ

напряжения сжатия в среднем слое (Сту ) от

отношения коэффициента Пуассона внешнего слоя к коэффициенту Пуассона среднего слоя Упаг 1УчпиГ. Видно, что чем больше Упаг по сравнению с УшиГ ,

' ✓ с^ж х УпиТг

тем больше (ау ) . Там же приведены значения

а

критических напряжений сгр = -0.29 ГПа, <гкр2 = -0.41 ГПа, скрз = -0.58 ГПа для

соответствующих Ети(г / Епарг, полученных при Р = 0.0025. Кроме того, как видно из рис.3, чем

больше жесткость среднего слоя по отношению к жесткости внешних слоев, тем больше напряжение сжатия испытывает внутренний слой и тем самым быстрее он может потерять устойчивость.

Литература

1. Куршин, Л.М. Уравнения трехслойных непологих и пологих оболочек. Расчеты элементов авиационных конструкций / Л.М. Куршин // Вып. 3, М.: Машиностроение, 1965, с. 106-157.

2. Григолюк, Э.И. К расчету трехслойных пластин с жестким заполнителем / Э.И.Григолюк, П.П. Чулков // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1964, №1, с. 67-74.

3. Григолюк, Э.И. Критические нагрузки трехслойных цилиндрических и конических оболочек / Э.И. Григолюк, П.П. Чулков // Новосибирск, 1966, 223 с.

4. Александров, А.Я. О расчете на местную устойчивость трехслойных пластин с заполнителем типа гофра при сжатии / А.Я.Александров, Г.С. Шпак // Тр. XIII Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. 4.1. Таллин, 1983, с. - 48-58.

5. Кобелев, В.Н. Расчет трехслойных конструкций / В.Н.Кобелев, Л.М.Коварский, С.И. Тимофеев // Справочник. М.: Машиностроение, 1984. - 303 с.

6. Паймушин, В.Н. Критические нагрузки шарнирно опертых трехслойных пластин симметричного строения при двустороннем сжатии одного внешнего слоя /

В.Н.Паймушин, С.Н. Бобров // Изв. ВУЗов, Авиационная техника, 1985, №2, с. 51-55.

7. Каюмов, Р.А. Моделирование поведения пленочно-тканевого материала при воздействии эксплуатационных факторов / Р.А.Каюмов, А.М.Сулейманов, И.З. Мухамедова // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. -т.11. - №4. - С.519-530.

8. Каюмов, Р.А. Деформирование представительной ячейки пленочно-тканевого композита при конечных перемещениях / Р.А.Каюмов, В.Н.Куприянов, И.З.Мухамедова, Сулейманов, А.М. Шакирова // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2007.- Т.13. -№2. - С.165-173.

9. Артюх, Е.В. Приближенное аналитическое решение одной плоской задачи наложения больших деформаций для некоторых моделей нелинейно-упругих материалов / Е.В.Артюх, Р.А.Каюмов, И.З.Мухамедова // Вестник Казанского технологического университета. - Казань: Изд-во КНИТУ, 2014. - т.17. -№9. - с.7-9.

10. Аммосова, О.А. Моделирование теплового процесса при сварке полиэтиленовых труб при естественно низких температурах / О.А.Аммосова, Р.А.Каюмов, И.З.Мухамедова // Вестник Казанского технологического университета. - Казань: Изд-во КНИТУ, 2014. -т.17. -№9. - с.71-76.

11. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н.Работнов // Москва, 1979. - 744с.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 15-08-06018.

© Р. А. Каюмов - д.ф.-м.н., профессор кафедры «Дизайн» КНИТУ, kayumov@rambler.ru, И. З.Мухамедова - к.ф.-м.н., доцент кафедры механика КГАСУ , muhamedova-inzilija@mail.ru.

© R. A. Kayumov- doctor of physical and mathematical sciences, professor department of Design KNRTU, kayumov@rambler.ru,

1 Z. Muhamedova - candidate of physical and mathematical sciences, associate professor Kazan State University of Architecture and Enginieering, muhamedova-inzilija@mail.ru.