Применение метода Льенара-Шипара к решению однородного дифференциального уравнения типа Эйлера дробного порядка на интервале

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2018. Том 25, № 3

УДК 517.923

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛЬЕНАРА -

ШИПАРА К РЕШЕНИЮ ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ЭЙЛЕРА ДРОБНОГО ПОРЯДКА НА ИНТЕРВАЛЕ Н. В. Жуковская, С. М. Ситник

Аннотация. Получено решение однородного дифференциального уравнения дробного порядка типа Эйлера на интервале в классе функций, представимых дробным интегралом порядка а с плотностью из Ьх(0;1). С помощью метода эрмитовых форм (метода Льенара — Шипара) получены условия разрешимости для случаев двух, трех и любого конечного числа производных. Показано, что в случае, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, исходное уравнение допускает решение с логарифмическими особенностями.

Б01: 10.25587/8УРи.2018.99.16949

Ключевые слова: дифференциальное уравнение типа Эйлера, дробный интеграл Римана — Лиувилля, дробная производная Римана — Лиувилля, метод эрмитовых форм, теорема Эрмита, метод Льенара — Шипара.

1. Введение

Дифференциальные уравнения дробного порядка находят обширные приложения в различных областях математики, механики и физики. Изложение теории и библиографию можно найти, например, в [1-3]. Частным случаем таких уравнений являются дифференциальные уравнения эйлерова типа. Метод их решения обычно основывается на преобразовании Меллина, что для однородных уравнений, имеющих в качестве решения степенные функции, не всегда допустимо. В предлагаемой работе дается решение однородного дифференциального уравнения дробного порядка а + т эйлерова типа с дробными производными Римана — Лиувилля на интервале (0; 1) сведением к обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Дается общее решение уравнения в случае, когда все корни характеристического многочлена различны, а также в более общем случае, когда среди корней характеристического многочлена имеются кратные. Методом эрмитовых форм (методом Льенара — Шипара) исследована разрешимость рассматриваемого уравнения для случая двух, трех и конечного числа дробных производных Римана — Ли-увилля, сформулированы достаточные условия линейной независимости решений данного уравнения, получен признак разрешимости уравнения в классе

© 2018 Жуковская Н. В., Ситник С. М.

!а(Ь 1(0; 1)) функций, представимых дробным интегралом порядка а с плотностью из Ь1(0; 1).

2. Теорема Эрмита

Эрмитом была рассмотрена следующая задача [4]: дано алгебраическое уравнение

/(х) = а0хп + а1хп—1 +-----Ъ ап = 0

с произвольными комплексными коэффициентами. Требуется узнать, сколько корней оно имеет в верхней полуплоскости.

Эта задача была решена Эрмитом с помощью некоторой эрмитовой формы. Льенаром и Шипаром была предложена модификация метода Эрмита, суть которой заключается в следующем. Рассмотрим функцию:

-/(!/)/>) = уАыа;у,

х — у

у к,1 =0

где

/(ж) = Щхп + Щхп~1 +    +

— многочлен с комплексно сопряженными коэффициентами. По этой функции строим эрмитову форму

п — 1

Я(/; х0,..., Хп-х) = Аыхк~Щ, к,1=0

коэффициенты которой действительны.

Теорема 1 (теорема Эрмита). Если п+ — число положительных, п— — число отрицательных квадратов формы Н(/; жо,..., хп—1), то /(х) имеет ровно (п — п+ — п—) корней общих с /(ж), и, кроме того, еще п+ корней в верхней полуплоскости и п— корней в нижней.

Доказательство теоремы 1 приведено в [4].

3. Уравнение типа Эйлера с конечным числом дробных производных на интервале

На интервале (0; 1) рассмотрим однородное дифференциальное уравнение порядка а + т:

Атхт

где 0 < а < 1, т € М, А0, А1,... ,Ат € С, +ту) (х) — дробная производная Римана — Лиувилля, определяемая формулой [3]

Решение у(х) будем искать в классе 1)) функций, представимых

дробным интегралом порядка а с плотностью из Ь1(0; 1). Обозначив г = —О+У, получим уравнение Эйлера [5]:

Атхтг

Сделав замену х = в4, —то < 7 < 0, приводим (2) к виду

ат5

где г(7) = г(в4) и коэффициенты ао, а1;..., ат выражаются через Ао, А1;..., Ат [5]. Уравнению (3) ставим в соответствие характеристический многочлен:

Рт(А) = атАт + ат_1Ат-1 + • • • + а1А + ао.

Пусть Рт(А) не имеет кратных корней. Тогда каждому его корню А соответствует решение уравнения (2) вида г(х) = хА. Учитывая (—0+у) (х) = хА и используя [6], получим решение исходного уравнения (1) в виде

УУ ' Г

Функция у(х) определена в полуплоскости Ие А > —1 и у € 1а (Ь1(0; 1)). Если Ие А < —1, то решению г(х) = хА уравнения (2) не соответствуют никакие решения исходного уравнения (1).

Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть характеристический многочлен Рт(А) имеет к простых корней А-,- (7 = 1,..., к) в полуплоскости Ие А > —1. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид

у(х) = сох"-1 +уС] +

УУ ' Г

где со, с1,..., ск — произвольные постоянные.

Далее рассматривается общий случай, когда среди корней характеристического многочлена Рт(А) имеются кратные.

Пусть А — корень кратности к многочлена Рт(А). Тогда такому корню А многочлена Рт(А) соответствуют к решений

г1(х) = хА, г2(х) = хА 1пх, .. ., г&(х) = хА 1пк-1 х

уравнения (2). Для решения уравнения (1) получим дробно-дифференциальные уравнения

-а+У1 = хА, -а+У2 = хА 1пх,..., -а+Ук = хА 1пк-1 х.

Для (-0+уО (х) = хА, используя [1-3, 6], получим решение исходного уравнения (1) в виде

х

1С 7 А

У1{х) = 1^+У1)(х) = = ^ I {х_1у_а.

о

Сделав замену 4 = жт, после преобразований получим

1 1 1 [ Хх+1тхс1т ж"+А [ А !

Ш(Х) = Щ У (1 - т)!-^-« = По)]Т{ ] 'Т = 0 0

= ^В(А+1а)= Г(Л+1) ж"+А Г(а) 1+ ' > Г(а + А + 1) '

При условии ИеА > —1 функция у1(ж) принадлежит 1а(Ь1(0;1)). Если Ие А < —1, то решению 21(ж) = жА уравнения (2) не соответствуют никакие решения исходного уравнения (1) в искомом классе.

Решениям г2(ж), • • •, ^к(ж) соответствуют решения уравнения (1) вида

х

1 I' *А 1пжа+АГ(А +1),,,Л ,, ,, л ,, , , Ш{Х) = ГТо)] = Г(а + А + 1) + 1) " + А + 1) + 1П),

0

х \ 2 1 [ гА 1п2 Ш

Уз{х)

Г(а) У (ж — 4)1-а

((^(А +1) — ^(а + А +1)+1п ж)2 + -0'(А +1) — ^'(а + А +1)),...

жа+Аг (А + 1)_ , . л , ,, ,2

Г (а + А + 1) х

1 ГЬА 1пк-1 Ш

Ук

г(а)У {х-г) 0

к-1 , - „.а+А V" ( к

г ) ¿А1 + А + 1)

^ \ г /ЛАМ Г

i=0

Здесь ^(ж) — пси-функция Эйлера [6], Ие А > —1, у2(ж),... ,ук(ж) € 1а(Ь1(0; 1)). Если Ие А < —1, то решениям ^к(ж) = жА 1пк-1 ж уравнения (2) не соответствуют никакие решения исходного уравнения (1) в искомом классе. Справедлива следующая

Теорема 3. Пусть характеристический многочлен Рт (А) имеет к1 простых корней Аj1 (7 = 1, • • •, к1), к2 корней Аj2 (7 = 1, • • •, к2) кратности 2, ... , к корней Аjl (7 = 1, • • •, кг) кратности I в полуплоскости Ие А > —1, причем к1 + к2 + • • • + кг = к, к < т. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид

К1

а-1 , ^ Г(А^-1 + 1) а+Хп j=1

у

^ _ Г(Лд-2 + 1) _а+А<

+ X, С^2Г(а + А,2 + 1)Ж (1 + + 1} " ^ + А^'2 + !) + 1пж) + • • •

j=l

к/ г к-1

+ЕЕЕ

V г У ¿Л!-, 1г(а + А,-г+1) j=1 к=1 i=0 у ' jг у у jг

где С0, о^- — произвольные постоянные.

Заметим, что в выражении (4) для общего решения уравнения (1) под знаком суммы константы с^; г(а+л^~+1) можно было обозначить одной буквой. Приведенный вид формулы (4) выбран для того, чтобы показать явную зависимость линейно независимых решений от параметров а и Л.

Применим к исследованию уравнения (1) метод эрмитовых форм (метод Льенара — Шипара) [4, 7, 8].

Обозначим С}т{1) = Рт(—И— 1), и пусть С}т{1) — многочлен, коэффициенты которого комплексно сопряжены к коэффициентам Qm(t). Пусть НОД(фт(£), Qm(t))=dp(t) — многочлен степени р < т. Без ограничения общности можно считать его старший коэффициент единичным. При р = 0 имеем dо(t) = 1. Из теоремы Эрмита [4] вытекает следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть г и в — ранг и сигнатура эрмитовой формы Н ..., tm—1). Тогда уравнение (1) имеет (г + в)/2 + 1 линейно независимых решений. Если эрмитова форма Н ...^гп—1) определена положительно, то уравнение (1) имеет т + 1 линейно независимых решений. Если эрмитова форма Нtо,..., tm—1) определена отрицательно, то уравнение (1) имеет одно линейно независимое решение у = о^х" 1, где С0 — произвольная постоянная.

Пусть 0 < р < т. Если многочлен dp(t) не имеет действительных корней, то р обязательно четное и корни многочлена dp(t) образуют пары комплексно сопряженных чисел. Решениям уравнения (1) соответствуют корни, лежащие в верхней полуплоскости. Их будет ровно р/2. Если многочлен dp(t) имеет ад действительных корней, то в верхней полуплоскости будет ровно (р — ад)/2 корней. В этих случаях вместо теоремы 4 имеет место

Теорема 5. Пусть г и в — ранг и сигнатура эрмитовой формы Н ..., tm—1). Тогда уравнение (1) имеет (г + в)/2 + 1 + (р — ад)/2 линейно независимых решений.

4. Уравнение типа Эйлера с двумя дробными производными на интервале

Рассмотрим частный случай уравнения (1) с двумя дробными производными:

А^—Ту)

где А0, А1 € С. Обозначив г = -0)0+у, получим уравнение Эйлера [5]:

А1х^'

Сделав замену х = в4, —то <t< 0, приводим (6) к виду

А^) + А0г^) = 0.

Уравнению (7) ставим в соответствие характеристический многочлен Р1(Л) = А\А + Ад. Соответствующая эрмитова форма имеет вид Я((5х; ¿о) = ЕЬо£о, гДе Е = 2А{А[ - (А{А^ + А^М) € М. Имеет место

Теорема 6. 1. Пусть E > 0. Тогда уравнение (5) имеет два линейно независимых решения.

2. Пусть E < 0. Тогда уравнение (5) имеет одно линейно независимое решение у(ж) = coxa-1, где co — произвольная постоянная.

В частном случае, когда Ao, A1 £ R, эрмитова форма принимает вид

H(Q1-,to) = 2A1(A1-Ao)toh

и картину разрешимости уравнения (5) в предположении, что A1 > 0, определяет

Следствие 1. 1. Пусть A1 > 0, A1 > Ao. Тогда уравнение (5) имеет два линейно независимых решения.

2. Пусть A1 > 0, A1 < Ao. Тогда уравнение (5) имеет одно линейно независимое решение у(ж) = coxa-1, где со — произвольная постоянная.

5. Уравнение типа Эйлера с тремя дробными производными на интервале

Рассмотрим частный случай уравнения (1) с тремя дробными производными:

A2x2

где Ao, A1, A2 £ C. Обозначив z = Do+y, получим уравнение Эйлера [5]:

A2x2z''

Сделав замену ж = e4, —ж < t < 0, приводим (9) к виду

A2 z''

Уравнению (10) ставим в соответствие характеристический многочлен Лг(А) = A2 А2 + (A1 — A2 )А + Ao. Соответствующая эрмитова форма имеет вид

H(Q2;t0,t1) = At Л + Bhh + Bt0h + Ctoh,

где

A = A2{iM-~Ai) +A^(3A2-A1), В = i{A2{2A2 + АЦ- AT) - A^(2A2 + A0 - Ai)), С = (3A2 - Ax)(2A; + ~Ai) + (ЗА;-Л)(2А2 + A0 - Ax). Пусть НОД(<22(£), (h(t))=d2(t) = 1. Имеет место

Теорема 7. 1. Пусть r и s —ранг и сигнатура эрмитовой формы H(Q2; to, ti) . Тогда уравнение (8) имеет (r + s)/2 + 1 линейно независимых решений.

2. Пусть A > 0, AC — B2 > 0. Тогда уравнение (8) имеет три линейно независимых решения.

3. Пусть A < 0, AC — B2 > 0. Тогда уравнение (8) имеет одно линейно независимое решение y(x) = coxa-i, где co — произвольная постоянная.

4. Пусть AC — B2 < 0. Тогда уравнение (8) имеет два линейно независимых решения.

5. Пусть AC — B2 = 0. Тогда уравнение (8) при s = 1 имеет два линейно

независимых решения, а при s = —1 одно линейно независимое решение y(x) = i

coxa , где co — произвольная постоянная.

Если ¿2(t) т^ 1, то d2(i) = Qzit) = Qzit) — квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Пусть D — дискриминант многочлена Q2(t). Если D < 0, то Q2(t) имеет два комплексно сопряженных корня. Искомому решению соответствует корень в верхней полуплоскости. Уравнение (8) будет иметь два линейно независимых решения с учетом решения y(x) = coxa-i, где co — произвольная константа. Если D > 0, то Q2(t) имеет два действительных корня (с учетом кратности). В этом случае уравнение (8) имеет одно линейно независимое решение y(x) = coxa-i.

В частном случае, когда Ao, Ai, A2 £ R, эрмитова форма принимает вид

H(Q2;t0,t1) = jhh + /3t0h,

где

Y = 2A2(3A2 — Ai), в = 2(3A2 — Ai)(2A2 + Ao — Ai) и разрешимость уравнения (8) в предположении, что A2 > 0 для d2(t) = 1, определяет

Следствие 2. 1. Пусть

A2 > 0, 3A2 > Ai, 2A2 + Ao > Ai.

Тогда уравнение (8) имеет три линейно независимых решения.

2. Пусть

A2 > 0, 3A2 > Ai, 2A2 + Ao < Ai

или

A2 > 0, 3A2 < Ai, 2A2 + Ao <Ai. Тогда уравнение (8) имеет два линейно независимых решения.

3. Пусть

A2 > 0, 3A2 < Ai, 2A2 + Ao <Ai. Тогда уравнение (8) имеет одно линейно независимое решение y(x) = coxa-i, где co — произвольная постоянная.

Пусть d2(t) = 1. Тогда d2(t) — квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Если w - число действительных корней многочлена d2(t), то либо w = 0, либо w = 2. Тогда вместо теоремы 7 верна

Теорема 8. Уравнение (8) имеет (2 — w)/2 + 1 линейно независимых решений.

В заключение отметим, что в теории дифференциальных уравнений дробного порядка существенную роль играют различные классы операторов преобразования (см. [9-11]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. (Mathematics Studies; V. 204).

2. Podlubny I. Fractional differential equations. San-Diego: Acad. Press, 1999.

3. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional integrals and derivatives: theory and applications. Switzerland: Gordon and Breach Sci. Publ., 1993.

4. Krein M. G., Naimark M. A. The method of symmetric and Hermitian forms in the theory of separation of the roots of algebraic equations // Linear and Multilinear Algebra. 1981. V. 10, N 4. P. 265-308. Published online: 02 Apr 2008 DOI: 10.1080/03081088108817420.

5. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967.

6. Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions. McGraw-Hill, 1953. V. 1.

7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М: Наука, 1988.

8. Постников М. М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981.

9. Sitnik S. M. Transmutations and applications: a survey. preprint arXiv:1012.3741. 2010. 141 P.

10. Катрахов В. В., Ситник С. М. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений // Современная математика. Фундаментальные направления. 2018. Т. 64, № 2. С. 211-426.

11. Ситник С. М., Шишкина Э. Л. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. М.: Физматлит, 2018.

Статья поступила 15 июня 2018 г.

Жуковская Наталья Владимировна Белорусский гос. университет,

пр. Независимости, 4, Минск 220030, Республика Беларусь wwugazi@gmail.com

Ситник Сергей Михайлович

Белгородский гос. национальный исследовательский университет, кафедра дифференциальных уравнений, ул. Победы, 85, Белгород 308015 sitnikabsu.edu.ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2018. Том 25, № 3

UDC 517.923

APPLYING LIENARD—SCHIPAR'S METHOD

TO SOLVING OF HOMOGENEOUS FRACTIONAL DIFFERENTIAL EULER-TYPE EQUATIONS ON AN INTERVAL N. V. Zhukovskaya and S. M. Sitnik

Abstract: We present the solution of the homogeneous fractional differential Euler-type equation on the half-axis in the class of functions representable by the fractional integral of order a with the density of Li(0; 1). Using the method of Hermitian forms (Lienard— Schipar's method), solvability conditions are obtained for the cases of two, three and a finite number of derivatives. It is shown that in the case when the characteristic equation has multiple roots original equation admits a solution with logarithmic singularities.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.99.16949

Keywords: fractional differential Euler-type equation, Riemann—Liouville fractional integral, Riemann—Liouville fractional derivative, method of Hermitian forms, Hermite's theorem, Lienard—Schipar's method.

REFERENCES

1. Kilbas A. A., Srivastava H. M., and Trujillo J. J., Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam (2006). (Math. Stud.; V. 204).

2. Podlubny I., Fractional Differential Equations, Acad. Press, San Diego (1999).

3. Samko S. G., Kilbas A. A., and Marichev O. I., Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach Sci. Publ., Switzerland (1993).

4. Krein M. G. and Naimark M. A., "The method of symmetric and Hermitian forms in the theory of separation of the roots of algebraic equations," Linear Multilin. Algebra, 10, No. 4, 265-308 (1981). Published online: 02 Apr 2008 DOI: 10.1080/03081088108817420.

5. Matveev N. M., New Methods of Integration of Ordinary Differential Equations [in Russian], Vysshaya Shkola, Moscow (1967).

6. Bateman H. and Erdelyi A., Higher Transcendental Functions, V. 1, McGraw-Hill (1953).

7. Gantmakher F. R., Matrix Theory [in Russian], Nauka, Moscow (1988).

8. Postnikov M. M., Stable Polynomials [in Russian], Nauka, Moscow (1981).

9. Sitnik S. M., "Transmutations and applications: a survey," arXiv: 1012.3741 [math.CA] (2010).

10. Katrakhov V. V. and Sitnik S. M., "Transmutation method and new boundary-value problems for singular elliptic equations [in Russian]," Modern Math. Fund. Res., 64, No. 2, 211-426 (2018).

© 2018 N. V. Zhukovskaya and S. M. Sitnik

11. Sitnik S. M. and Shishkina E. L., Transmutation Method for Differential Equations with Bessel Operators [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2018).

Submitted June 15, 2018

Natalia V. Zhukovskaya Belarusian State University, 4 Nezavisimost Avenue, Minsk 220030, Belarus wwugazi@gmail.com

Sergey M. Sitnik

Belgorod State National Research University, 85 Pobeda Street, Belgorod 308015, Russia sitnikSbsu.edu.ru