Операторный метод решения интегральных уравнений

Выводы. Предложенные в данной работе методы решения основной краевой задачи для полигармонического уравнения справедливы, очевидно, только для односвязных областей, для которых конформное отображение на единичный круг известно или может быть найдено. Следует, однако, заметить, что к настоящему времени некоторыми авторами разработаны приближенные методы нахождения отображающих функций с любой наперед заданной точностью. Численный метод коллокации, применяемый в данной работе, как известно, не имеет строгого математического обоснования, однако он широко используется в работах некоторых авторов (например, [4, 5]), так как он прост для численной реализации и даёт достаточно высокую точность.

Автор выражает благодарность за оказанную помощь доктору физико-математических наук, профессору Терентьеву Алексею Григорьевичу.

Литература

1. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов и произведений. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 1232 с.

2. Иванов В.И., Попов В.Ю. Конформные отображения и их приложения. М.: Едиториал УРСС, 2002.

3. Казакова А.О., Терентьев А.Г. Численное решение краевых задач для полигармонического уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 11. С. 2050-2059.

4. Смирнов Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики. Пенза: Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. 268 с.

5. Терентьев А.Г., Терентьев А.А. Движение цилиндра в вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса // Известия НАНИ ЧР. 2002. № 2. С. 44-б2.

КАЗАКОВА АНАСТАСИЯ ОЛЕГОВНА - аспирантка кафедры теоретической механики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (kazakova_anasta-sia@bk.ru).

KAZAKOVA ANASTASIA OLEGOVNA - post-graduate student of Theoretical Mechanics Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

УДК 517.968 ББК В151.167

Ю.В. МАЛЫШЕВ. П.С. АТАМАНОВ ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ключевые слова: линейное интегральное уравнение, ядро, резольвента, оператор. Операторный метод применяется для решения однородных, неоднородных линейных интегральных уравнений.

Yu.V. MALYSHEV, P S. ATAMANOV THE OPERATOR METHOD FOR SOLUTION THE INTEGRAL EQUATIONS

Key words: linear integral equation, operator, resolution.

Operator method is used for solution the homogeneous and nonhomogeneous linear integral equations.

Операторным методом авторами статьи получены формулы решения некоторых линейных интегральных уравнений.

1. Уравнение Вольтерра 2-го рода. Рассматривается интегральное уравнение

ф

0

где ф^) - искомая функция; K(x, t) - функция, называемая ядром уравнения, определенная в треугольнике a < x < b, a < t < x; fx) - функция, называемая свободным членом, определена на [a, b].

й 1 Х

Пусть Б =—, — = Б 1 =|( ) йх - операторы соответственно дифференциро-

йх Б 0

вания и интегрирования. Применяется преобразование Карсона [1]

да

F

0

где функция F(Б) называется операторным представлением/(г).

Из курса математического анализа известно [7], что

1 х (х _ ¿)П

/

Б 0 п!

_ хп _

При /(х) = 1 из (3) следует Б п 1 = — или хп = п!Б п , т.е. степенной функции

п!

хп соответствует операторное представление п!Б п. Встречаемое в дальнейшем соотношение вида ф(х) = Ф(Б) означает, что Ф(Б) есть операторное представление функции ф(х), вычисленное по формуле (2).

Если (3) переписать для п = 1, получим

Б _7 (х) = Б х (х _ г)/ (г) йг.

0

Применяя оператор Бч к этому равенству, придем к соотношению

Б-2/

0

Приведем операторные представления некоторых функций.

хх , , х , (Хх)2 , , (Хх)п , , X , X2 , , Хп , 1 Б

e — 1 + Хх Н-----------------------------------------------------------------------------------------------------Н... Н-Н ... — 1 Н-\-— +... Н-Н ... — -

2! n! Б Б2 Бп 1 -Х / Б Б-Х

Итак,

_х

Б

(Хх)3 (Хх)5 (Хх)7 Х f Х )3 fXf f Х Л7

< 1).

еХх — Б (здесь

Б-Х

sin Хх — Хх-^z——(Хх) +... ——-I — I +1 — I -I —| +... — 3! 5! 7! Б I Б) I Б) I Б ,

-Б)2+Í Б)4-I F+-

Х 1 ХБ

здесь

Б, f Х )2 Б2 + Х2 ’

+ f Б J

Таким образом,

ХБ

Sin Хх — — -------------- .

Б2 +Х2

Выводятся формулы:

Б2 ХБ Б2

cos Х/ — — ------—, sh Х/ —— ------—, ch Х/ —

< 1.

Б2 +Х2 ’ Б2-Х2 ’ Б2-Х2

„ Б( Б-а) . юБ

e cos ю/ —--------------, e Sinrot —-------------

(Б-а)2 +ю2 (Б-а)2 +ю2

at „и + Б(Б - а) at „и ¿ юБ

e ch rot —----------------------------------------------, e sh rot — -

(Б-а)2-го2’ (Б-а)2-ю2

Пример 1. Решить интегральное уравнение ф(х) = sin х + J (х -1)ф(/) dt.

0

Решение. Применяется формула (4), тогда

ф(х) = sin х+Б~2ф( х) или Б2ф(х) -ф(х) = -sin х.

Получено обыкновенное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с искомой функцией ф(х). Решаем операторным методом [2]:

(D - 1)(D + 1)ф(x) = - sin x, exDe~2xDe^(x) = - sin x .

1 C

Применив оператор D~ дважды, получим ф(х) = —sinх+-^ех + C2e~x . По данному

интегральному уравнению находим начальные условия. Во-первых, ф(0) = 0 при x = 0. Дифференцируя интегральное уравнение, получим

ф'( x) = cos x + Применяем формулу Лейбница

j (x -1 )ф(/) dt

j f (x, t) dt

Lo

= j fx (x,t) dt + f (x, x) .

Тогда ф'М = cos x + jф(t) dt. Если x = 0, то ф'(0) = 1. С помощью начальных условий

o

вычисляем C1 = —, C2 = -—. Искомая функция ф(x) = — sinx + —shx .

Ответ. ф^) = ~(sinx + shx).

Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода вида

ф

o

так называемое уравнение типа свертки, можно решать с помощью преобразования Карсона: если f (t) = F (D), f2 (t) = F2 (D), то

x 1

fi(t)*f;(t) = jfi(T) f2(t- x)dx = - Fi(D)F;(D).

o D

Пусть в (5) искомой функции ф(x) соответствует искомое операторное представление Фф), т.е. ф^) = Ф(D), K(x) = Q(D), f(x) = F(D). Оно имеет следующий операторный вид: (D) = F (D)+—Q(D)(D), из которого вычисляем Ф^):

O

D - Q(D) V '

находим соответствующую ему функцию ф^) - решение уравнения (5). Равенство (6) выступает как формула решения уравнения Вольтерра 2-го рода.

x3 x

Пример 2. Решить интегральное уравнение ф(x) = — + 4 j (x -1)ф(7) dt.

6 o

x3 1 4

Решение. В уравнении f (x) = —=—3 = F (D) . Функция K(x) = 4x = —= Q(D).

Так как ф^) = Ф^), по формуле (6) вычислим Ф^):

1 111

Ф( D) =----------------------------------2-=-1-1-.

D

Применим оператор D к обеим частям равенства:

DФ(D) = -1+-----D + D---------.

4 8

x

x

Тогда DФ(D) = -1 +1 e2x +1 e 2x.

4 8 8

К полученному равенству применим оператор D~l :

. , x ( 1 1 2x 1 -2x^7 ( 1 1 2x 1 -2x

ф(х) = [I-\— e +— e \dx = I----X +--e-------e

T4/J|/io о I l/i i¿: i

4 8 8 У V 4 16 16

Ответ. ф(x) = —1 x +—— e2x —— e 2x.

4 16 16

2. Уравнение Вольтерра 1-го рода. Пусть в уравнение (5) искомая функция ф^) входит только под знаком интеграла, тогда имеем уравнение Вольтерра 1-го рода

JK

о

Если для функций K(x), fx) найдены их операторные представления, соответственно, Q(D), F(D), то уравнение (7) в операторном виде имеет вид —Q(D)^D) = F(D), в нем Ф(D) - операторное представление искомой функции фф):

Ф

Q

Пример 3. Решить уравнение Вольтерра 1-го рода

x

[cos(x - 0ф(0 dt = x + x2.

о

D2 1 2

Решение. В нем K (x) = cos x = — -= Q(D), f (x) = x + x2 =--------\—- = F(D) . То-

D2 +1 D D2

гда по формуле

Ф( D) = (D + 2)(D) +1 = j + 2+_2_+ 2 , ф( x) = 1 + 2 x + - x2 +1 x3.

D3 D D2 D 2 3

1 2 1 3

Ответ. ф(x) = 1 + 2x +— x +— x .

2 3

3. Решение уравнения Вольтерра 2-го рода с помощью резольвенты ядра.

Известно, что для ядра q(x - t) интегрального уравнения резольвента ядра также за-

висит только от разности аргументов x - t, т.е. r = r(x - t) - резольвента. Если найдена резольвента линейного интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода

ф

о

то его решение через резольвенту имеет вид

фМ = f

0

Пусть операторными представлениями функций fx), q(x), r(x), фф), соответственно, являются функции F(D), Q(D), R(D), Фф). Применяя их, уравнения (9) и (10) запишем в виде системы

Ф(П) = FD) + D Q(D)Ф( D),

Ф(D) = F ( D) + D R( D)F ( D).

Из нее вытекает равенство Q(D)Ф(D) = R(D)F(D), тогда R(D) = Q(D)Ф(D) . Из первого

F

равенства системы ФЮ) =---------F (D)--. Применяя это в выражении для R(D), получим

1 - D Q

x

о

Я

О - 0(О) V '

Найдена функция г = г(х) и, соответственно, резольвента г = г(х - ґ) ядра д(х - ґ) уравнения (9). По равенству (10) находим ф(х) - решение уравнения (9).

Пример 3. С помощью резольвенты ядра операторным методом решить уравне-

ние

ф(х) = 1 + Jcos(x -1)sin(x -1)ф(/) dt.

Решение. Вычислим резольвенту. В уравнении

q(x -1) = ^sin2(x -1) , q(x) = —sin 2x = —D— = Q(D) .

2 2 D + 4

По формуле

R( D) =

D2 D2 + 4 D

D 2 + 4 D3 + 3D D2 + 3

1 1

Тогда г(х) =-= этл/Зх, г(х - г) = -= 81^ ^3(х - г) - резольвента. л/3 л/З

Вычислим ф(х) по формуле (10):

, ч 1 X 1 • /Г/ ,41^1 1 СО^л/3

ф( х) = 1+\—= 8тл1з (х - г) -1 й = 1+—=-------=---

о ^3 •уЗ л/З

= 1 + ~(1 - со^л/3х) = 1(4 - со8л/3х).

Ответ. ф(х) = 1(4 - со^л/3х) .

4. Операторный метод решения интегральных уравнений с вырожденным ядром. Пусть уравнение (1) имеет вид

ф

о

Оно относится к классу уравнений с вырожденным ядром. Перепишем это уравнение в другом виде:

х

ф(х) = /(х) +г(х)|q(t)ф(г).

0

Пусть

х

о

Тогда решение уравнения (12) имеет вид

ф

Задача состоит в вычислении функции и(х). Дифференцируем (13) по х: и'(х) = q(х)ф(х) или и'(х) = q(х)[/(х) + г(х)и(х)].

Получим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно функции и(х) с начальным условием и(0) = 0:

и’х - г(х)м(х)и = q(х)/(х).

Операторным методом решаем полученное уравнение [2]:

[В - г(х)м(х)]и = м(х)/(х), В = й;

йх

е|г(хЖх)йхве-1г(хЖх)йхи = М(х)/(х);

ве-/г(хЖх)йхи = е-1г(х)м(х)^(х)/(х).

Применяем обратный оператор D 1:

e-lr(x)q(x)d*u = D-Ig-Jг(x)q(x)d*q{x) f (x) + C ,

u = eJг

Пусть с помощью начального условия u(0) = 0 получено C = C0. Тогда формулой решения уравнения (12) будет

eJ г(x)q (x) ^-1e-J г (x)q( x) dxq( x) f (x) + C0e J r (x)q(x) *

x ch t

Пример 4. Решить интегральное уравнение ф(x) = 1 + J----------9(t) dt.

0 ch x

Решение. В примере r(x) = 1/ch x, q(t) = 1/ch x, fx) = 1. Вычислим u(x) по формуле (15): u(x) = іxex - іe~x + Cex . С помощью начального условия u(0) = 0 вычислим

C = 1/4, тогда u(x) = 1(xex + shx). Применим формулу (14): ф(г) = 1 +—1—(xex + shx).

2 2ch x

Ответ. ф(x) = 1 +---------(xex + sh x).

2ch x

5. Решение системы двух интегральных уравнений Вольтерра операторным методом. Пусть задана система

Ф1 (x) = fi( x) + J qu( x -1 )ф! (t) dt + J qn( x -1 )ф2 (t) dt,

0x “c

ф2 (x) = f2 (x) + J q21(x -1)ф1 (t) dt + J q22 (x -1)ф2 (t) dt

0 0

с двумя искомыми функциями ф^), ф2^). Обозначим соответствующие им операторные представления через Ф1(0), Ф2(0). Операторные представления входящих в систему (16) функций считаем известными. Пусть

f(x) = F1(D), q„(x) = 611(D), q12(x) = 612(D), f2(x) = F2(D), q21(x) = 621(D), q22(x) = 622(D).

Системе (16) соответствует система операторных уравнений с искомыми Ф1(0). 02(D):

Ф1 (D) = F (D) + D 611 (D), (D) + D 612 (D)2 (D),

Ф 2 (D) = F2 (D) + -1621 (D)! (D) + D 622 (D)2 (D).

Опуская аргументы функций, перепишем ее в нужной нам форме:

i(D - 6и)Фх - 6122 = DFu 1- 621Ф1 + (D - 622)2 = DF2.

Ее решением являются

ф

Ф[

(В - 611)(В - 622) - 612621 По функциям Ф1(В), Ф2(В) находятся функции ф1 = ф1(х), ф2 = ф2(х) - решение системы (16).

Пример 5. Решить систему интегральных уравнений

ф1 (x) = 1 - 2J e2(x t)ф1 (t) dt + Jф2 (t) dt,

0 0

ф2 (x) = 4 x — J ф1 (t) dt + 4 J ( x -1 )ф2 (t) dt.

Решение. Запишем операторные представления функций, входящих в систему:

т 2В

/1(х) = 1 = 1 = ^(В), М„(х) = -2е2х =-—— = 6ц(В), М12(х) = 1 = 1 = 612(В),

В - 2

4 4

/2(х) = 4х = в = ^(В), М2!(х) = -1 = -1 = 621 (В), М22(х) = 4х = ^ = 622Ф).

По формуле (17) найдем

D2

1 (D) -

(D +1)2

j(D) = D = 1 1

D (D + 1)2 D +1 (D + 1)2

!(D) = —-------------,

D +1 (D +1)2

тогда ф1 (x) = e~x (1 - x). По формуле (18) найдем

16 11 1

Ф2 (D) =

9

2

16D 11D D 16 2x 11 -x 1 -x

D2(D) =-----------+------------ =— e2x +—e x—xe x ,

2 9(D-2) 9(D +1) 3(D +1)2 9 9 3

/ \ x (16 2x 11 -x 1 -x ^7 8 2x 8 -x 1 -x

Ф9 (x) = [I— e +--e--------xe \dx = — e-------e +— xe .

01 9 9 3 ) 9 9 3

Ответ. ф[^) = e~x(1-x) , ф2^) = -8-e2x-^ x + jxe x •

Литература

1. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высш. шк., 1966.

2. Малышев Ю.В., Атаманов П.С. Интегрирование дифференциальных уравнений операторным методом. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. 176 с.

3. Малышев Ю.В., Атаманов П.С. Применение факторизованных операторов при решении линейных дифференциальных уравнений в частных производных // Вестник Чувашского университет. 2010. № 3. С. 3-9.

4. Малышев Ю.В., Атаманов П.С. Операторный метод решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений высших порядков // Математические и методы и их приложения: сб. науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 52-61.

5. Малышев Ю.В., Атаманов П.С. Факторизованные операторы и системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2011. № 16. С. 54-61.

6. ПетровскийИ.Г. Лекции по интегральным уравнениям. М.: Наука, 1965.

7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Высш. шк., 1969. Т. 3.

МАЛЫШЕВ ЮРИЙ ВАЛЕНТИНОВИЧ - доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Казанский государственный технологический университет, Россия, Казань (oifice@kstu.ru).

MALYSHEV YURIY VALENTINOVICH - doctor of physical and mathematical sciences, professor of High Mathematics Chair, Kazan State Technological University, Russia, Kazan.

АТАМАНОВ ПЕТР СТЕПАНОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (oper@chuvsu.ru).

ATAMANOV PETR STEPANOVICH - candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of High Mathematics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

+