Когерентные состояния поляризованности  и динамика поляронов малого радиуса

Когерентные состояния поляризованности и динамика поляронов малого радиуса

Мясников Э. Н.

(1) Ростовский государственный педагогический университет, (2) Ростовский государственный университет.

Когерентными состояниями поляризованности кристалла называются состояния с отличной от нуля средней поляризацией. Средняя поляризация имеет определённое значение в каждой точке пространства (фаза средней поляризации имеет определённое значение), поэтому её и называют когерентной. Появление средней поляризации называют также деформацией фононного вакуума или конденсацией фононов.

Перестройка фононного вакуума происходит, например, при каждом перескоке полярона малого радиуса с одного узла решетки на соседний. Процессы перескока описаны в ставшей классической теории [1-3] электропроводности на поляронах малого радиуса. В последней из этих работ [3] показано, что вклад поляронов малого радиуса в электропроводность обусловлен надбарьерными перескоками поляронов с данного узла решетки на ближайший к нему. В работе [3] описаны и микропроцессы, лежащие в основе особенностей электропроводности посредством поляронов малого радиуса. Согласно [3], поскольку длительность перескока

значительно меньше, чем обратная частота (01 фононов, перескок электрона "происходит так быстро, что электрон выскакивает из созданной им поляризационной ямы, стряхивает с себя "тяжелый груз атомных смещений" (т.е. процесс существенно многофононный) и прекращает свое существование как

полярон. Но поскольку время между перескоками At гораздо больше, чем (д^ то, попав в новый узел, электрон вновь успевает создать поляризационную яму и опуститься в нее (т.е. переходит в поляронное состояние) прежде, чем перескочит на другой узел, и перескок этот произойдет раньше, чем он успеет просочиться через барьер посредством туннельного эффекта. Утверждение о быстром перескоке полностью соответствует принятому в [1-3] приближению сильной связи носителя на узле. В случае сильной связи носитель может переходить с узла на узел только

путём туннелирования, то есть быстро [7]. Исходный Гамильтониан [3] теории малых поляронов имеет вид:

Н = % £а+ а- + % За^а,+% Г,

п щ пк к 2

где п - векторный номер ячейки кристалла (узла), q - векторы перехода от некоторого узла к соседним, а+ и а~ - операторы рождения и уничтожения электрона на п — ом узле, Ь+ и Ь~ - операторы рождения и уничтожения фононов

ветви с дисперсией СО (к) с волновым вектором к . Отметим, что константа З фактически интерпретируется авторами статьи [3] как обратное время перехода с одного узла на другой, тогда как, согласно [7], это есть среднее время ожидания носителем на узле момента туннельного перескока.

Проанализируем подробнее роль фононного вакуума в каждом таком микропроцессе в приближении сильной связи носителя на узле, используя справедливый для каждого из них закон сохранения энергии вместо использованного в [3] условия теплового равновесия. Рассмотрим одну из гармоник поля деформации, центрированного на некотором узле решетки. Обозначим величину деформации в этой гармонике X. На рисунке изображена зависимость потенциальной энергии гармоники от величины деформации для двух вариантов локализации полярона (на рассматриваемом и соседнем узлах). График, соответствующий локализации полярона на первом узле, помечен цифрой 1, а на втором - цифрой 2. Перескок электрона с одного узла на соседний происходит, согласно [3], значительно быстрее, чем перестройка состояния гармоники, которая

—1

характеризуется временем С . Поэтому перескок электрона является для гармоники внезапным возмущением, под влиянием которого происходит переход от ситуации 1 на рисунке к ситуации 2. Для простоты изображен случай, когда внезапное возмущение не меняет частоты гармоники, а только смещает ее положение равновесия на величину Х0 . Как будет показано ниже, изменение энергии вакуума

при этом равно и0 = К • Внутри каждой из парабол на рисунке изображены

квантованные уровни энергии колебаний гармоники.

Вероятности квантовых переходов в гармонике под влиянием внезапного возмущения определяются скалярным произведением векторов колебательных состояний, между которыми совершается переход. Количественно вероятность перехода гармоники из состояния с П1 квантами в ситуации 1 в состояние с п2 квантами в ситуации 2 равна квадрату следующего интеграла:

{п1 \щ) = 1 (х)¥п2 (Х - Х0)йХ ,

где

¥ п(х) =

/ис и пН

гехр

С 2\

/исох

2П

И,

X,

¡С

включает в себя в качестве множителя полином Эрмита Ип, а ¡и - приведенная

масса осциллятора. Эти интегралы легко вычисляются, и оказывается, например, что переходы из основного состояния в ситуации 1 во все возможные состояния в ситуации 2 имеют такие вероятности, что средняя энергия, уносимая излученными квантами гармоники, есть

АЕ = Пс^ п

2 к х0

2

и

т. е. строго равна модулю разности энергий вакуума гармоники в исходной и конечной ситуациях. Если перескоки электронов совершаются в системе с температурой Т, то и в этом случае оказывается, что в расчете на один перескок

1

2

п

электрона в среднем энергия колебаний гармоники увеличивается также на величину и0 . (Вычисления проводились по формуле

( \

АЕ = %п'

п V п' у

где Ж(п,Т)- вероятность нахождения гармоники в состоянии с п квантами при температуре Т перед перескоком электрона:

А С

т\ ( Псп ^ Ж (п, Т) = exp--

V Т

1 — exp

Т у

).

Это справедливо для каждой гармоники и для их суперпозиции. Если области локализации энергии деформации до и после перескока полярона перекрываются, очевидно, что в излучение фононов будет превращаться только часть энергии деформации, связанной в поляроне. Но даже в случае малых поляронов, образованных сильным Фрелиховским электрон-фононным взаимодействием, эта часть будет существенной, так как плотность энергии поляризации в таком поляроне убывает обратно пропорционально четвертой степени расстояния от центра полярона.

Таким образом, перескок электрона на соседний узел, подобно процессу оптического разрушения полярона, увеличивает энергию системы, по крайней мере, на энергию излучения фононов. Но возрастание энергии излучения должно компенсироваться работой внешнего электрического поля над электроном при его перескоке. Без этого перескок электрона не может реализоваться, так как он будет нарушать закон сохранения энергии в этом микропроцессе. Поскольку энергия деформации в случае малых поляронов порядка нескольких десятых электронвольта, а длина скачка - несколько ангстрем, то напряжённость электрического поля, которое может привести малые поляроны в движение, должна быть больше 106 В / см .

Помимо модели перескока полярона, рассмотренной Ланг и Фирсовым [3], широко распространена также несколько иная модель [8]. В соответствии с ней прыжок носителя осуществляется за счет тепловой флуктуации, вследствие которой поле деформации в области исходного и конечного положения полярона оказывается одинаковым. Энергия, которая при этом заимствуется у термостата на каждом из двух узлов, составляет четверть энергии связи полярона [8]. Учитывая когерентность поля деформации, легко показать, что такая флуктуация является

практически невозможной. Действительно, место локализации флуктуации определяется набором фаз гармоник в ее Фурье-разложении. Очевидно, что положение центра флуктуации должно быть задано с неопределенностью, много меньшей размера полярона, т. е. объем У0 в котором окажется центр флуктуации,

должен быть много меньше объема элементарной ячейки. Поскольку гармоники флуктуируют независимо, вероятность желательной для перескока флуктуации оказывается много меньше отношения У0/ V, где V - объем кристалла.

Обозначим амплитуду деформации в к — ой гармонике Хк. Можно ввести плотность вероятности (Т, хк ) того, что при температуре Т в к -й гармонике

продольной ветви дипольных колебаний возникает когерентное смещение с амплитудой хк. Вследствие того, что некогерентная часть движения гармоники не

имеет определенной фазы, плотность вероятности (Т, хк ) не будет зависеть от

фазы когерентной волны с амплитудой хк . Очевидно, что вероятность случайного

попадания фазы р любой гармоники в интервал шириной 2а с любым средним

значением рк будет равна —п. Если рк выбрать так, чтобы центр

локализованной суперпозиции гармоник попал в желаемую точку, то при разбросе фазы в интервале а <<1 локализация флуктуации практически не будет изменяться. Т.к. все гармоники флуктуируют независимо, то вероятность возникновения флуктуации с заданной локализацией будет равна произведению вероятностей

П-Шк

а

N

к

кп

\п У

к^ , хк

к

где N - число гармоник. Величина П^к (Т, Хк) является вероятностью

к

существования флуктуации с заданными амплитудами гармоник Хк и, следовательно, определённой энергией флуктуации Еа, но со всевозможными

наборами фаз у гармоник. Обычно именно эту величину рассматривают как вероятность флуктуации, активирующей перескок малого полярона, не учитывая необходимость определённой локализации деформаций решётки кристалла среди всех возможных вариантов локализации, включая и делокализованные флуктуации с энергией Еа . Вероятность же флуктуаций с энергией Еа и с неопределённостью

энергии АЕ << Еа со всевозможными вариантами локализации действительно имеет вид ехр(— Еа/Т), при АЕ порядка Т .

Пусть такие флуктуации с энергией Еа в кристалле из Ы0 элементарных

- Еа

ячеек в среднем существуют в количестве Nа = И0 • е Т , то есть встречается одна флуктуация в блоке из N¡^1 Nа элементарных ячеек, в котором находится п малых

поляронов. Для грубой оценки величины N примем, что кристалл обладает периодичностью по блокам. Следовательно, в формировании каждой флуктуации

принимают участие все N = гармоник соответствующей ветви

деформационных колебаний блока. Так как Еа >> Т, то N по порядку превосходит 100. Следовательно, вероятность локализации флуктуации на узле можно оценить

С

100

величиной

е 5. Такая флуктуация может активировать один из п малых

а

уЖ у

А~\100

поляронов в блоке с вероятностью Ж = п

а

У

100

е 5 « п -10 102. Так как

п << 100, то Ж меньше 10-100 , то есть пренебрежимо мала. Принимая, что время жизни такой флуктуации достаточно для перескока носителя (т.е. больше

/ 1 ^ 10 14 с ), мы получим вероятность одного перескока в секунду 10 86 с 1.

Таким образом, единственным реальным механизмом перескокового движения малых поляронов оказывается механизм, описанный в [3], но, в связи с интенсивным излучением фононов при перескоках малых поляронов, для его реализации необходимы сильные электрические поля с напряжённостью выше 106 В / см . Такие поля, конечно, не могут быть реализованы в высокотемпературных сверхпроводниках ни в сверхпроводящей фазе, ни в фазе нормального полупроводника, и, следовательно, движение (би)поляронов малого радиуса не может играть в них заметной роли [5], также как и в сложных оксидах, демонстрирующих колоссальное магнетосопротивление [6]. Возможно, участие поляронов малого радиуса в процессах электропроводности проявляется в кристалле титаната бария, в котором отмечены необычно медленные процессы при высоких напряжённостях приложенного электрического поля [9]. Однако наблюдаемый в этом кристалле активационный рост электропроводности в слабых электрических

полях не может быть связан с поляронами малого радиуса, но может формироваться поляронами большого радиуса, как показано в [4].

Таким образом, показано, что излучение фононов, сопровождающее перестройку фононного вакуума, играет важную роль при анализе поляронной проводимости посредством больших и малых поляронов. В случае полярона большого радиуса переход его скорости через критическую (минимальную фазовую скорость фононов) сопровождается изменением вакуума соответствующей фононной ветви и появлением излучения реальных когерентных фононов, обусловливающего очень эффективное торможение движения полярона. Время релаксации полярона в таких процессах оказывается малым по сравнению с его временем релаксации в других процессах. Поэтому при температурах, соответствующих тепловым скоростям поляронов, превосходящим минимальную фазовую скорость фононов низкоскоростной ветви, происходит резкое падение подвижности поляронов, а удельное сопротивление системы резко возрастает.

Таким образом, теория поляронов большого радиуса, учитывающая пространственную дисперсию поляризуемости решетки, предсказывает возможность немонотонности в температурной зависимости проводимости вследствие двух различных причин. Во-первых, это рост проводимости с температурой при (фазовом переходе) делокализации в системе носителей заряда, который имеет место при температурах Тс много меньше энергии связи полярона [4], в этом случае рост

проводимости имеет место при выполнении неравенства (7) из [4]. Во-вторых, это описанное в настоящей статье сильное уменьшение подвижности полярона вследствие излучения им волны поляризации (когерентных фононов), когда скорость теплового движения полярона с ростом температуры превзойдет минимальную фазовую скорость фононов низкоскоростной ветви.

Излучение когерентных фононов поляроном может быть зафиксировано не только по росту потерь, но и непосредственно вне образца как электромагнитное излучение фононной частоты. Для этого помимо среды с минимум двумя ветвями дипольных колебаний с различной дисперсией, из которых одна (с более высокой минимальной фазовой скоростью фононов) должна сильно взаимодействовать с носителем, необходимо электрическое поле с напряженностью выше 105 В/см. Кроме того, поскольку частота излучения зависит от скорости полярона, для получения когерентного излучения необходимы низкие температуры, исключающие

влияние теплового движения. На поверхности кристалла должен также действовать механизм превращения когерентных колебаний среды в электромагнитное излучение.

Подробно проанализированы оба варианта реализации перескока полярона малого радиуса на соседний узел. В одном из этих вариантов, рассмотренном Ланг и Фирсовым [3], не учитывалось, что перескок носителя происходит быстро и служит внезапным возмущением фононной подсистемы, а это приводит к излучению большей части энергии деформации, сосредоточенной в поляроне, при каждом его перескоке. Очевидно, что такой процесс может происходить только в том случае, если потери энергии восполняются за счёт работы электрического поля. Для этого необходимы электрические поля с напряжённостью свыше 106 В / см. В другом варианте [8] предполагается, что излучение не будет возникать потому, что все процессы происходят адиабатически, в результате флуктуаций поля деформации в области исходного и конечного положения полярона. Однако когерентность необходимого для этого поля деформации, не учитывавшаяся в [8], приводит к тому, что вероятность возникновения таких флуктуаций оказывается крайне малой. Таким образом, анализ процессов, сопровождающих перескок полярона малого радиуса, приводит к выводу о невозможности перескокового движения малых поляронов в электрических полях с напряжённостью ниже 106 В / см .

Литература

1. J. Yamashita, T. Kurosawa, J. Phys. Chem. Sol., 5, 34 (1958).

2. T. Holstein, Ann. Phys. 8, 343 (1959).

3. И. Г. Ланг, Ю. А. Фирсов, ЖЭТФ, 43, 1843 (1962).

4. A. E. Myasnikova, Phys. Lett. A, 291, 439 (2001).

5. A. S. Alexandrov, N. F. Mott, Polarons and bipolarons, World-Scientific (1995), с.1; A. S. Alexandrov, Phys. Rev. B 53, 2863 (1996).

6. A. S. Alexandrov, A. M. Bratkovsky, Phys. Rev. Lett. 82, 141 (1999).

7. А. И. Ансельм, Введение в теорию полупроводников, Наука, Москва (1978), с.481.

8. Н. Мотт, Э. Дэвис, Электронные процессы в некристаллических веществах, Мир, Москва (1982). с.95.

9. Э. В. Бурсиан, Нелинейный кристалл (титанат бария), Наука, Москва (1974), с.210.