Определение продолжительности производственного цикла методом кросс-спектрального анализа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ЦИКЛА МЕТОДОМ КРОСС-СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Меньшиков А.М., Копейкин А.М.

Definition of duration of a production cycle by a special method of the spectral analysis.

Одним из показателей, характеризующих качество и надежность функционирования транспортных систем лесозаготовительных предприятий, является продолжительность производственного цикла по фазам "вывозка древесины - производство круглых лесоматериалов". Определение этого показателя возможно двумя основными способами.

1. Сбор и статистическая обработка сведений о движении древесины по складам сырья, содержащейся в первичных документах по приемке, учету, формированию штабелей хлыстов и отгрузке из них сырья в переработку (паспортах штабелей). Этот способ позволяет получить наиболее объективные данные, однако в настоящее время он крайне трудно реализуем в силу большой трудоемкости и конфиденциальности сведений о конкретных производствах.

2. Определение временных сдвигов (технологических лагов) процессов вывозки древесины и производства круглых лесоматериалов относительно друг друга путем исследования динамики временных рядов показателей, которые входят в состав обязательной статистической отчетности предприятия. Данные процессы сопрягаются через склады сырья, в них перемещается один и тот же предмет труда. Их взаимосвязь хорошо поддается математико-статистической формализации, что позволяет автоматизировать расчеты и получить результаты с существенно меньшими затратами ресурсов.

Рассмотренная в [1,2] динамика показателей вывозки древесины и производства круглых лесоматериалов четко указывает на то, что отношение этих процессов между собой носит характер "опережения-запаздывания" с распределенными технологическими лагами. Так, при наиболее интенсивной зимней вывозке часть вывезенных с верхних складов хлыстов сразу поступает в раскряжевку, другая часть накапливается на складах сырья для создания межсезонных и операционных запасов. Весной, когда интенсивность вывозки снижается или поступление древесины прекращается вообще, в раскряжевку начинают отгружаться хлысты, уложенные в запас в предыдущие, наиболее отдаленные во времени месяцы, причем объемы отгрузки хлыстов из запасов нарастают по мере снижения вывозки. В этот период уже процесс производства круглых лесоматериалов начинает опережать по фазе процесс вывозки. Аналогичная картина наблюдается и в период осеннего межсезонья. При таком протекании процессов временной сдвиг месячных амплитуд показателей этих процессов в разные периоды времени изменяется в пределах от нуля, например, в случае сортиментной технологии лесозаготовок или при раскряжевке в режиме "с колес", и до некоторого максимального значения.

Рассмотренные в [1,2] динамические ряды показателей вывозки древесины {Хг} и производства круглых лесоматериалов {У!}, обобщенные для группы предприятий ЛПК Архангельской области за период 1998-2003 гг., не являются стационарными. Экзогенные переменные Хх обладают сильной автокорреляцией и сопутствующей ей мультиколлинеарностью. В такой ситуации определение эффективных и не смещенных оценок параметров их уравнения связи практически невозможно уже при временных сдвигах т > 1.

Однако известно, что когда сложно или невозможно вообще получить аналитическое решение во временной области, его можно получить в области частот с применением спектральных методов. Тем более что по убеждению признанного специалиста классической эконометрии Э.Маленво, "для решения задач с распределенным запаздыванием экзогенных переменных спектральные методы являются лучшими" [3].

Закон распределения случайной величины полностью определен, если известны его первый начальный (математическое ожидание среднего значения) и второй центральный (дисперсия) статистические моменты и функция распределения плотности вероятности. Для этого используем вычисленные в [2] кросс-спектральные характеристики процессов и определим ряд действительных значений технологических лагов, соответствующих модулям углов фазового сдвига компонентов частотного преобразования Фурье в окрестности частоты шк, по формуле [4]:

*

X =

Т

фХу

2%

Углы сдвига фаз ф Ху(юк) и соответствующие им значения технологических

лагов х * следует выбирать лишь в тех диапазонах частот, где эмпирическая когерентность процессов превышает статистический порог достоверности, определенный для соответствующего числа степеней свободы (п-д) и уровня значимости. Оценки когерентности рассматриваемых в [2] обобщенных процессов превышают статистический порог достоверности во всей области определения, поэтому для

лучшего понимания проиллюстрируем формирование ряда из статистически дос*

товерных значений т на примере вывозки древесины и производства круглых лесоматериалов одного из предприятий, например, Авнюгского ЛПХ, у которого когерентность процессов варьирует в весьма широком диапазоне.

Из рис.1 видно, что в интервале частот от 0.37п до 0.76п (часть графика, ограниченного точками А и В) когерентность процессов имеет значения ниже порога достоверности, линия которого наложена на совместные графики когерентности и угла фазового сдвига в виде штрихпунктирной прямой, параллельной оси абсцисс. Поэтому соответствующие ей значения углов сдвига фаз, ограниченные на фазовом графике точками С и Э, из дальнейшего рассмотрения следует исключить.

Когерентность и фазовый сдвиг процессов

0,60

£ 0,50 £

§ О

В Я

о

£ =

м

0,30 -0,20 -0,10 0,00

Б

В

^ч. 1 / . I У \1г / . —° . „  1 1 1 1 1 1

г 1,00

- 0,80

- 0,60 Э

- 0,40 &

- 0,20 ев

- 0,00 ев -

- -0,20 са

ч

- -0,40 о

Ч

- -0,60 о _

>>

- -0,80

- -1,00

- -1,20

0,0

0,2

0,4 0,6

Частоты

0,8

1,0

Когерентность

Порог достоверности когерентности

Угол сдвига фаз

Рисунок 1 - Когерентность и фазовый сдвиг процессов вывозки древесины и производства круглых лесоматериалов Авнюгским ЛПХ в 1998-2003 гг.

Аналогично рассмотрим кросс-спектры каждого предприятия, вычислим временной сдвиг т по формуле (1) и из статистически достоверных значений т сформируем обобщенный случайный ряд с частостями

™ Ц = X

I п

X X?

?=1

Распределение частостей продолжительности цикла w X для группы лесозаготовительных предприятий ЛПК Архангельской области показано на рис.2 ломаной линией.

Распределение плотности вероятности

8 Н и

0

1

0 а <и

со «

я

X

<и

т а

1

м

0,30 0,25 -0,20 -0,15 -0,10 0,05 -0,00

5 6 7 8

Интервал, месяцы

10

11

12

Эмпирическое распределение Теоретическое гамма-распределение

0

1

2

3

4

9

Рисунок 2 - Распределение продолжительности производственного цикла группы предприятий ЛПК Архангельской области в 1998-2003 гг.

Полигон распределения wТ является асимметричным, одномодальным, ограниченным с левой стороны и плавно прилегающим к оси абсцисс с правой стороны (0<т* <»). Заметим, что графики подобной конфигурации типичны для распределения времени в системах массового обслуживания, в т.ч. описывающих распределение времени между моментами пополнения разного рода запасов. В общем случае наиболее подходящими аппроксимирующими функциями для них является семейство кривых Пирсона.

Далее определим эмпирические начальные моменты б - го порядка по формуле

п

,,

[=1

затем на их основе вычислим параметры распределения ряда случайной величины

*

т :

первый начальный момент (среднее значение) : а1 = E* [т] = т* = 2,5 мес., второй начальный момент а2 = 11,60 (мес.)2, дисперсия : D* [т] = D* = а2 - (т* )2 = 5,31 (мес )2, стандартное отклонение : а*[т] = а* = 2,30 мес.

Оценим максимальную величину технологического лага с помощью неравенства Чебышева, исходя из предположения, что при любом законе распределения величина т будет выходить за предел т шх лишь с вероятностью, не превышающей 0,05 :

Р{|т-тт|> яат}^-1

Я2

Полагая -1 = 0.05, или я = л/2о , имеем

Я2

ттх = шТ+ 4.472 -аТ

В рассматриваемом примере ттах = 2,5 + 4,472 - 2,30 = 12,8 «13 мес. Эмпирические характеристики w* могут быть отождествлены с вероятностями того, что дискретная случайная величина т принимает целочисленные значения т = 0, 1, ..., 0; 0 = ттах. Тогда задача определения закона теоретического распределения продолжительности производственного цикла в общем случае сводится к отысканию некоторой непрерывной по параметру т функции М(т), определенной при 0<т<0 и совпадающей в точках т = 0,1, 2, ..., 0 с частостями w0,w1*,w2,...,we. Эта функция в своей области определения должна обладать основными свойствами плотности распределения вероятности:

\у(т) > 0,

т = 1

Определим аналитически плотность распределения вероятности М (т), для чего прибегнем к методу максимального правдоподобия выборочных данных относительно известной кривой типа 3 по Пирсону, представляющей плотность гамма-распределения:

>

0

w

Р—.та-1 - е~рт

Г

где а, в - асимптотически несмещенные, эффективные и состоятельные оценки соответственно параметров формы и масштаба, связанные между собой и с первым начальным моментом соотношением :

^;

а +1

Г(а) - гамма-функция. При вычислении оценок а, в в автоматическом режиме весьма удобно определять Г(а) путем асимптотического разложения в ряд Стирлинга :

Г(а) = е-а -аа-0 5

1 1 1 139 ™ S4

1 +-+-Г--г-... + 0

12а 288а2 51840а3

В данном случае параметры а, в и Г(а) плотности гамма-распределения принимают значения соответственно а = 2,36, ¡3 = 0,75 и Г(а) = 1,2106.

График теоретического закона распределения плотности вероятности w(r) показан на рис.2 сглаженной линией.

Для оценки точности аппроксимации эмпирического распределения используем известные критерии согласия, например, оценим вероятность совпадения графиков по критерию Колмогорова-Смирнова [5]. Для этого вычислим ряды накопленных частостей эмпирического и теоретического распределений и определим их максимальную разность: X = 0,48. Сравнение ее с табулированным в [5] значением X показывает, что вероятность совпадения графиков р[Х] = 0,97 высокая, а их расхождения являются несущественными.

Таким образом, задача решена: на основании действующей статистической отчетности определены среднее (тГ = 2.5 мес.) и максимальное (г^ах -13 мес.) время продолжительности цикла "вывозка древесины - производство круглых лесоматериалов" для группы лесозаготовительных предприятий Архангельской области в период 1998-2003 гг., а также установлен закон распределения вероятности времени цикла в виде параметрического гамма-распределения.

Литература

1. Анализ динамических рядов транспортно-технологических процессов вывозки древесины (на примере Архангельской области)/ Меньшиков А.М., Копейкин А.М.; ОАО "Научдрев-пром-ЦНИИМОД". Лесн. и дер. промышленность. — Архангельск, 2003. — 40 с. -Деп. в ВИНИТИ 15.12.2003 г. №2177-В2003

2. Меньшиков А.М., Копейкин А.М. Применение спектральных методов в исследованиях технологических процессов лесозаготовительного производства /А.М.Меньшиков, А.М.Копейкин // Лесн. журн. — 2004. — С.31-41. —

3. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып.2. Пер. с франц. А.И.Гладышевского и др. — М.: Статистика, 1976. — 325 с.

4. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ. — М.: Мир, 1989. — 540 с.

5. Леман Э. Проверка статистических гипотез. — М.: Наука, 1979. — 408 с.