Моделирование краевого эффекта в цилиндрической оболочке в условиях ползучести

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2014. Том 21, № 1

УДК 539.37

МОДЕЛИРОВАНИЕ КРАЕВОГО ЭФФЕКТА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ Ю. М. Волчков

Аннотация. Исследуется распределение скоростей деформаций и напряжений в окрестности торцов оболочки (краевой эффект). Используется двухслойная модель оболочки Ю. Н. Работнова. Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений применяется итерационная процедура. Проведено сравнение решений для оболочки конечной длины и полубесконечной оболочки.

Ключевые слова: краевой эффект, цилиндрическая оболочка, ползучесть, итерационная процедура.

Введение

В работе [1] Ю. Н. Работновым для решения задач упругопластического деформирования предложена двухслойная модель оболочки. В [2,3] модель обобщена на случай деформирования оболочек в условиях ползучести. В [3] указан также класс оболочек, для которых применение двухслойной модели не может вносить больших погрешностей при решении конкретных задач. Этот класс оболочек описывается так называемой технической теорией оболочек, которая включает теорию осесимметричной деформации круговой цилиндрической оболочки, теорию длинных цилиндрических оболочек и теорию чистого изгиба криволинейной трубы. Применение двухслойной модели оболочки позволило разработать эффективный численный метод решения задач о напряженно-деформированном состоянии оболочек в условиях ползучести. Под ползучестью материала в механике деформируемого твердого тела понимается его свойство, заключающееся в том, что в таком материале деформации могут увеличиваться со временем даже при постоянных напряжениях. Обобщение двухслойной модели на случай подкрепленных ребрами оболочек дано в [4, 5]. В данной работе исследуется распределение скоростей деформаций и напряжений в окрестности торцов оболочки (краевой эффект). Информация о распределении скоростей деформаций и напряжений в зоне краевого эффекта позволяет выбирать подходящим образом пробные функции при решении задач о критическом времени с использованием вариационного принципа [6].

1. Двухслойная модель оболочки Работнова

При построении упрощенной теории оболочек реальная оболочка толщиной 2Н заменяется двухслойной моделью — оболочкой, состоящей из двух слоев толщиной 6 каждый, расстояние между серединами которых равно 2Ь> (рис. 1). Слои считаются связанными между собой таким образом, что связь передает

© 2014 Волчков Ю. М.

сдвигающее усилие, но не воспринимает растягивающих усилий и изгибающих моментов. Таким образом, деформация слоев происходит в соответствии с гипотезой Кирхгофа — Лява. За отсчетную поверхность принимается поверхность, находящаяся посередине между слоями. В силу малости толщины несущих слоев изменением деформаций в пределах их толщин можно пренебречь. Выполнение условия 5 ^ Н можно обеспечить соответствующим выбором констант в законах ползучести для реальной оболочки и двухслойной модели [3].

Рис. 1. Двухслойная модель оболочки

Зависимость между параметрами модели 5, Н и толщиной реальной оболочки 2Н устанавливается на основании требования, чтобы поведение модели и реальной оболочки совпадало в двух случаях: при безмоментном напряженном состоянии и при цилиндрическом изгибе. Так, для случая степенного закона ползучести с показателем, равным п, эти зависимости следующие [2]:

Н = Н, 5

1 + 2п

Н.

При изменении п от 1 до оо величина /г изменяется в интервале 1 < /г < Н/л/3-Значение п = го соответствует случаю идеальной пластичности.

В случае осесимметричного выпучивания круговой цилиндрической оболочки под действием внутреннего давления и сжимающей осевой силы задача сводится к решению следующей системы дифференциальных уравнений, записанной в безразмерных переменных:

1

1

ш+

ш+

тп' — и ( -:--1--- I--—т + 2р = О,

\/з

и" + (т + т )ш + — (т + т )ш = 0,

2 п

= и2 +Ш2(^±)2

где

+

ио =

Е*Б

Е *

т =

Уз м

11

4 Н5(7*

Р =

дпЯ ' 25а*

т =

уЪТп

4 Зет+

е2 — скорость окружной деформации ползучести, М11 — продольный изгибающий момент, дп — внутреннее давление, Т11 — продольная сжимающая сила, V +, и V- ,б- — интенсивности скоростей ползучести и напряжений в верхнем и нижнем несущих слоях соответственно, е* , 7* — характерные величины, имеющие размерности скорости ползучести и напряжения соответственно;

п п+1

п

+

штрихи обозначают дифференцирование по безразмерной продольной координате £ = х /Ъ, Ъ2 = 4/(л/ЗД/г), К — радиус цилиндрической оболочки. Соотношение (4) определяет величины и± как функции и и т. При независимом варьировании величин и и т уравнения (2)—(4) являются уравнениями Эйлера для функционала

N

I

¿£,

где

ф(ш) =

1

¿

.1 и

I = Ь/Ъ — безразмерная длина оболочки (для упругой оболочки Ъ — величина зоны краевого эффекта).

2. Итерационная процедура решения краевой задачи о деформировании цилиндрической оболочки при ползучести

Уравнения (2)—(4) должны быть дополнены краевыми условиями, вид которых зависит от способа закрепления торцов оболочки. Если оба торца оболочки имеют жесткую заделку, то краевые условия имеют следующий вид:

и

Если оба торца оболочки имеют шарнирное закрепление, то краевые условия соответствуют равенству на них нулю смещения и момента:

и

Возможны и другие виды краевых условий. Запишем еще условия для полубесконечной оболочки. На левом краю оболочки можно поставить условия (6) или (7). На бесконечности оболочка находится в безмоментном состоянии. Следовательно, т(то) = 0, и(то) = ито. Введем обозначения и+(то) = и-(то) = ито. Из уравнения (4) имеем

2ито / т

-= 2\Р~

(

)2п/(п-1) = 2

= иТО + (т

\2

Следовательно,

ито = р

Ж

2п/

Перепишем уравнения системы (2) и (3) в следующем виде:

- 2- =

и оо

-14+

-и ( т -и + 2 -= -р

¿оо

и'' + 2тито = т(ито — и+) + т(ито — и ) — т(и+ — и ).

Считая правые части уравнений (9) и (10) известными функциями переменной £ и интегрируя систему при соответствующих краевых условиях, получим

и = [А — М£)]5

+ [£ + ^

ОО

оо

оо

+

ии

оо

т

+

ии

оо

где

€ € Ji(С) = /[F+а(С) + F-0(0] d£, J2(0 = /[F + в(С) - F-а(С)] 0 0

€ €

Js(0 = /[F+Y(С) - F-0(C)] J4(C) = /[F+¿(0 + F-7(0] d£,

ш+ ш-

u ±

а(С) = exp(-C) sin С, в(С) = exp(-C) cos С, Y (С) = exp(0 sin С, ¿(С) = exp(0 cos С.

Константы A, B, C, D зависят от вида краевых условий. Для краевых условий (6) константы определяются следующим образом:

B = _D А = _г_с с = Ш) - щп 1(0 - (»(О - 7(0)"2(0

D

¿

(в(С) - 5(С))П2(С)+(а(С)+ Y(0)^i(0

¿

¿(С) = (в(С) - ¿(С))2 + (а(С)+ y(0)2,

ñi(0 = r(¿ - 1) + Ji(1)¿ - j2(1)y + Js(1)e - J4(1)a,

Для полубесконечной оболочки с шарнирно закрепленным левым торцом имеем следующие выражения для констант:

А = Л(го), В = ^(го), С = — Л(го) — г, Б = — ^(го).

Для полубесконечной оболочки интегралы ^(го) и ^(го) имеют смысл, если |и — ито| ^ 0 и |т| ^ 0 не медленнее, чем ехр(— £) при £ ^ го.

Решение уравнений (11), (12) находится методом итераций. В качестве нулевого приближения для функций и и т берем выражения, которые получаются из (11), (12), если в правых частях положить = и = ито, т = 0. Затем из уравнения (4) находится нулевое приближение для функций Для нахождения корня уравнения (4) используется метод последовательных приближений Ньютона. Подставляя нулевое приближение для функций и и т в правые части уравнений (11), (12), находим первое приближение. Далее процесс повторяется.

3. Краевой эффект в полубесконечной цилиндрической оболочке, нагруженной внутренним давлением

Пусть круглая цилиндрическая оболочка нагружена внутренним давлением р, т = 0. Края оболочки при £ = 0 считаем защемленными. Поскольку т = 0, из (4) следует, что

= ш- = ш

и функция и определяется из уравнения

и2п/

Уравнения (9) и (10) принимают следующий вид:

то"-2— =2Ш°°~Ши-2р,

ито иито

и'' + 2тито = 2т

п — 1

где ито = рп 1.

После замены переменных

и = рпи, т = рт, ш =

уравнения (14)—(16) приводятся к виду

-2„/

ш" _ = - 2,

Шоо

и" + 2тиГХ1 = 2то

В новых переменных Шоо = Иоо = 1 и единственным параметром задачи остается показатель ползучести п.

Уравнения (19), (20) заменим интегральными уравнениями (11), (12), в которых нужно провести упрощение согласно (13) и вместо рито подставить единицу. Функции Е± будут иметь вид

р± = _-_ _ ± т

и

2

Для функций в нулевом приближения получаем следующие выражения:

щ = 1 — ехр(—£)(соз£ — зш£), тоо = — ехр(—£)(соз£ — зш£).

Для определения величины ш используется метод последовательных приближений Ньютона:

/1 /л\~2 I —2—2 —2п/

Эти формулы используются для определения ш в точках рассматриваемого интервала по заданным значениям и и то. При £ = 0 из (14) можно найти значение ш через то:

57(0) = (то(О))™-1.

В последующих точках интервала в качестве нулевых приближений для ш берем решение уравнения (14) в предыдущей точке. Процесс последовательных приближений продолжается до тех пор, пока не выполнится неравенство \шк+1 — < 0,00001. Поскольку нулевое приближение в каждой точке мало отличается от точного значения, для выполнения последнего неравенства оказывается достаточным трех-четырех приближений. При вычислении интегралов J1(то) и J2(то) полубесконечный интервал заменяется интервалом £ € [0, 7]. При этом значения величин и, то, ш отличаются от их значений на бесконечности не более, чем на 0,0001. Интервал интегрирования разбивается на промежутки Д£ = 0, 05. Интегралы вычисляются по формуле трапеций. Различие значений искомых функций в четвертом и пятом приближениях заключается в третьем знаке после запятой, между значениями в шестом и седьмом приближениях — в пятом, между значениями в одиннадцатом и двенадцатом приближениях — в восьмом.

4. Результаты численного моделирования

На рис. 2 представлены зависимости безразмерного момента га и безразмерной скорости окружной деформации и от координаты £ для показателей ползучести п = 1, 3, 5. Из приведенных графиков следует, что с ростом показателя ползучести п зона краевого эффекта несколько увеличивается и одновременно наблюдается более плавный характер изменения момента в зоне краевого эффекта. Из проведенных расчетов следует, что момент га в заделке не меняется с изменением показателя ползучести п и фактически равен единице. Такой же результат получен в монографии [3] с использованием вариационного принципа (функционал (5)). Этот факт естествен. Например, если используется критерий текучести Мизеса, то в предельном состоянии оболочки при п = го момент также равен единице. Действительно, при £ = 0 скорость окружной деформации равна нулю. Поэтому 02 = (1/2)01, и из критерия Мизеса

2 ,22 01 - 01 02 + 02 = ^

следует, что о\ = (2/л/3)<§оо- Таким образом, М\{0) = (4/л/3)^<§оо или га = 1, так как предельное состояние достигается при р =1.

V

¥ // ^1=5 ш е

ч ] - \_ ,

-0.5

Рис. 2. Распределение прогиба и момента в полубесконечной цилиндрической оболочке

Для исходной оболочки толщиной Н получаем следующее выражение для изгибающего момента:

п/

л/3га.

ЗМ1

п

1 + 2п

2дНа

Последняя формула получается, если воспользоваться определением величины га и формулами (1), дающими зависимость параметров модели от толщины моделируемой и показателя ползучести.

На рис. 3 представлено сравнение зависимостей поперечной скорости деформации от координаты £ для конечной и бесконечной оболочек.

Продолвнвю и окружнвю напряжения ввфажаются через величинв1 га и й по следующим формулам [3]:

р сг*

= ±—=га,

Уз

1 *1

р сг*

и ^ га

~ й л/3'

Из этих формул следует, что р ности (02 (го)/0* ) = р.

значение окружного напряжения на бесконеч-

Рис. 3. Распределение прогиба в конечной и бесконечной цилиндрических оболочках

15* р «ь /

/у Пз5 1/ // /1.1 Ч] и

X /;/ \л/ 1 ' 1 1-и-з *

/' / / / 1 4 в

Рис. 4. Распределение напряжений в зоне краевого эффекта

На рис. 4 представлена зависимость окружных напряжений от безразмерной координаты £. Напряжению (1/р)(а+ /а*) соответствуют пунктирные линии, напряжению в нижнем слое (1/р)(а-)/а*) — сплошные.

Особый интерес представляет оценка максимального растягивающего напряжения, поскольку большие растягивающие напряжения могут привести к образованию трещин в конструкции. Максимальным растягивающим напряжением является продольное напряжение на внутренней стороне оболочки. Максимальное растягивающее напряжение в моделируемой оболочке будет отличным от максимального напряжения в модели и может быть найдено через величину изгибающего момента в заделке:

/ \ м1 (°) ™ Ъ т Ь 1

тах = —77}-, = 1п = 1 , 1 , ,

Wn ЬУ 1 + 1/у п

Назовем коэффициентом концентрации отношение максимального растягивающего напряжения к величине окружного напряжения на бесконечности. Из последнего равенства получаем

= [у + 2)"/(1+">-?=т(0). <г2(оо) у/3

При п =1 максимальное растягивающее напряжение в заделке в два раза превышает окружное растягивающее напряжение на бесконечности. Из результатов вычислений следует, что коэффициент концентрации уменьшается с ростом показателя ползучести. Однако его величина остается еще достаточно большой для показателей ползучести для материалов, широко используемых в технике. Вследствие этого необходим учет краевого эффекта при расчете конструкций.

Заключение. С использованием двухслойной модели оболочки выполнено моделирование распределения напряжений и скоростей деформаций в зоне краевого эффекта в цилиндрической оболочке конечной длины и полубесконечной оболочке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Работнов Ю. Н. Приближенная техническая теория упругопластических оболочек // Прикл. математика и механика. 1951. № 2. С. 167—174.

2. Работнов Ю. Н. О вариационном уравнении установившейся ползучести оболочек // Докл. АН СССР. 1966. № 2. С. 300-303.

3. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1965.

4. Волчков Ю. М., Немировский Ю. В. Несимметричное выпучивание цилиндрических оболочек в условиях ползучести // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1967. № 4. С. 36-138.

5. Волчков Ю. М., Немировский Ю. В. Выпучивание трехслойных цилиндрических оболочек в условиях ползучести // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. № 5. С. 150-158.

6. Волчков Ю. М. Двухслойная модель оболочки Работнова и критическое время выпучивания оболочек при ползучести // Прикл. механика и техн. физика. 2010. № 4. С. 198-206.

Статья поступила 24 апреля 2014 г. Волчков Юрий Матвеевич

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, пр. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090; Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090 ¥о1к@Ьудго.пбо.ги