О продолжении мажорируемых операторов Урысона

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 1, С. 3-8

УДК 517.98+519.46

О ПРОДОЛЖЕНИИ МАЖОРИРУЕМЫХ ОПЕРАТОРОВ УРЫСОНА1

Н. М. Абасов, М. А. Плиев

Александру Ефимовичу Гутману к его пятидесятилетию

В работе изучается процедура продолжения ортогонально аддитивного отображения, мажорируемого латерально непрерывным оператором, с латерального идеала на все пространство. Показано, что продолженный ортогонально аддитивный оператор является мажорируемым и сохраняет латеральную непрерывность.

Ключевые слова: векторная решетка, решеточно нормированное пространство, мажорируемый оператор Урысона, латеральный идеал, латерально непрерывный оператор.

Введение

Ортогонально аддитивные операторы в векторных решетках впервые попали в поле зрения исследователей в начале 90-х годов прошлого века [1, 2]. Позже в работах [3-5] концепция ортогональной аддитивности была обобщена на отображения, заданные в решеточно нормированных пространствах. В настоящее время теория ортогонально аддитивных операторов является активной областью функционального анализа [6-13].

1. Предварительные сведения

Здесь мы приведем некоторые предварительные сведения, необходимые для дальнейшего. Цель настоящего параграфа — зафиксировать терминологию, обозначения и ввести требуемые понятия. Все необходимые сведения о векторных решетках и решеточно нормированных пространствах можно найти в [14,15].

Все векторные решетки, рассматриваемые ниже в тексте, являются архимедовыми, а решеточно нормированные пространства — разложимыми. Элемент у решеточно нормированного пространства (V, Е) называется осколком элемента х £ V, если \у\ _1_ \х — у |. Запись у С х выражает тот факт, что у — осколок х. Множество всех осколков элемента х обозначается через ^х

Пусть — векторные решетки. Ортогонально аддитивный оператор Т : Е ^ Е

называется: положительным, если Тх ^ 0 в Е для любого х £ Е; порядково ограничен-ТЕ Е

© 2016 Абасов Н. М., Плиев М. А.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 14-01-91339_ННИО-а.

Порядково ограниченный, ортогонально аддитивный оператор Т : Е ^ Е называется абстрактным оператором Урысона. Векторное пространство всех абстрактных операторов Урысона из Е в Е обозначается через и (Е, Е).

Пусть Е — векторная решетка и X — векторное пространство. Ортогонально аддитивный оператор Т : Е ^ X называется четным, если Т(ж) = Т(—х) для любого х £ Е. Если Е, Е — векторные решетки, то множество всех четных абстрактных операторов Урысона из Е в Е обозначается через ие" (Е,Е). Отметим, что в случае порядковой полноты векторной решетки Е иространство ие" (Е,Е) отлично от нуля. Согласно [1, предложение 3.4] для любого Т £ и (Е,Е) существует четный оператор Т £ и+" (Е,Е), заданный формулой

Е Е Е

полна. Тогда ие" (Е, Е) — порядково полная векторная подрешетка в и (Е, Е).

Пусть (V, Е) и (Ш, Е) — решегочно Еормировашые пространства. Оператор Т : V ^ Ш называется ортогонально аддитивным, если Т(и + у) = Ти + Ту для любых п,у £ V, и ± у. Ортогонально аддитивный оператор Т : V ^ Ш называется мажорируемым оператором Урысона, если существует Б £ Щ™ (Е, Е) такой, что | / г| «С для любого у £ V. В этом случае говорят, что 5 — мажоранта для Т. Множество всех мажорант

Т

меньший элемент относительно порядка, индуцированного из (Е,Е), то он называется наименьшей или точной мажорантой Т и обозначается через |Т|. Множество всех мажорируемых операторов Урысона из V в Ш обозначается через &и (V, Ш).

Пример 1.2. Пусть Х,У — нормированные пространства. Рассмотрим решеточно нормированные пространства (X, Ж) и (У, Ж). Тогда отображение Т : X ^ У принадлежит (X, У) тогда и только тогда, когда существует четная функция / : Ж ^ Ж+ такая, что /(0) = 0, множество /(Е) ограниченно в Ж для любого ограниченного подмножества Е С Ж и для люб ого х £ X выполняется нераве нство ||Тж|| ^ / (||х||).

Е Е Е

смотрим решеточно нормированные пространства (Е, Е) и (Е, Е), где векторная норма совпадает с модулем. Можно показать, что векторные пространства &и (Е, Е) и и (Е, Е) совпадают. Действительно, если Т £ (Е, Е), то существует Б £ и+е" (Е, Е) такой, что |Тх| ^ Б|х| для любого ж £ Е. Следовательно, оператор Т порядково ограничен. Если же Т £ и(Е, Е), то согласно [1, предложение 3.4] существует Б £ Ц+:"(Е, Е) такой, что |Т/1 < Б(/) < Б(|/|)и Т £ (Е, Е).

2. Продолжение мажорируемого оператора Урысона

Если для линейного мажорируемого оператора в решеточно нормированном пространстве естественной областью определения является (Ьо)-идеал, то для ортогонально аддитивного оператора такой областью является в общем случае нелинейное множество, обладающее некоторой специфической структурой. Дадим точное определение.

Подмножество О решеточно нормированного пространства V называется латеральным идеалом, если выполняются следующие условия: 1) если х £ О, то у £ О для любого у £ 2) если х, у £ Е, х ± у, то х + у £ Е.

О продолжении мажорируемых операторов Урысоиа

5

Приведем некоторые примеры.

Пример 2.1. Пусть V — решеточно нормированное пространство. Каждый (Ъо)-идеал в V является латеральным идеалом.

Пример 2.2. Пусть V — решеточно нормированное пространство их £ V. Тогда

— это латеральный идеал. Действительно, пусть у С ж и г С у. Тогда \х — у\ А. \у\ и \ц :| |:|. Далее имеем

\x-z\A\z\ = \х-у + у- (|ж - у\ + \у - г\) Л \х\

< \х ~ У\А \г\ + \у-г\А \г\ ^ |ж - у| Л \у\ + \у-г\А \г\ = 0.

Пусть теперь у1 С х, У2 Е х и у1 ± у2. Тогда справедливы соотношения

I х-ух- у21 Л \уг\ < (|ж - уг\ + \у2\) Л \уг\ ^ \х - уг\Л \уг\ + \у2\Л \уг\ = 0;

Iж - 2/1 - Ы Л |у2| < (|ж - у2| + Ы) Л \у2\ < |ж - у2| Л |у2| + М Л |у2| = 0; \x-yi — у2| а |г/1 + у2\ = \х-уг у21 л (ы + ы) = N -ш -г/2| а (Ы V |у2|) = (1 - гл - г/21 а М) V (|ж - г/1 - у2| л |у2|) = о.

Пример 2.3. Пусть V, Ш — решеточно нормированные пространства и Т £ &и(V, Ш). Тогда Кт := {х £ V : Тх = 0} — латеральный идеал в V.

Лемма 2.4. Пусть (V, Е) — решеточно нормированное пространство и В С V. Если В — латеральный идеал в V, то латеральным идеалом в Е будет множество |В| := {|ж| : ж £ В}.

< Пусть е^ = |жг|, г £ {1,2}, где х\,х2 И и е\ ± е2. Тогда

Пусть теперь е = |ж| £ |В| и / С е. Тогда |ж| = / + (|ж| — /), и, воспользовавшись разложимостью векторной нормы в V, найдем такие элементы Ж1,Ж2 £ V, что |жх | = /; |ж2| = |ж| —/. Тогда жь ж2 — осколки элемента ж, и в силу того, что В — латеральный идеал получаем Ж1,Ж2 (Е I) и, следовательно, / £ \Е>\. [>

Следующая техническая лемма будет использована ниже.

Лемма 2.5. Пусть (V, Е) — решеточно нормированное пространство иВ -латеральный идеал в V. Тогда для любого х £ V множество П В направлено вверх относительно отношения порядка С.

< Пусть Ж1,Ж2 е П В. Тогда \х\\, \х2\ Е /~| , | П |В|. Элементы |жх| и |ж2| — (|ж2| Л |ж2|) являются взаимно дизъюнктными осколками |ж|, принадлежащими латеральному идеалу |В|, в силу чего |жх | + |ж2| — (|ж2| Л |ж2|) £ г| П |В|, и найдется такой элемент у £ П В, что ж; С у, г е {1, 2}. >

Рассмотрим решеточно нормированное пространство V. Подмножество В С V называется латерально аддитивным, если для любых х, у £ В таких, что х ± у, их сумма х + у также принадлежит В.

Пусть V — решеточно нормированное пространство, В — латерально аддитивное подмножество V и X — действительное векторное пространство. Отображение Т: В ^ X называется ортогонально аддитивным, если Т(х + у) = Т(х) + Т(у) для любых дизъюнктных элементов х, у £ В. Пусть теперь (Ш, Е) — решеточно нормированное проЕВ

подмножество в (V, Е). Ортогонально аддитивное отображение Т: Е ^ Ш называется мажорируемым, если найдется оператор Б £ (Е, Е) такой, что \Тх\ «С Б|ж| для любого х £ Е.

Пусть (V, Е) — решеточпо нормированное пространство. Сеть (ха)аел С V называется латерально сходящейся к х £ V, если ха С х^ Е х для любых индексов а < в и

Ъо „ lat

ха —> х. В этом случае будем писать ха —> х.

Пусть (Ш, Е) — другое решеточпо нормированное пространство. Ортогонально аддитивный оператор Т : V ^ Ш называется латерально непрерывным (а-латерально непрерывным), если из соотношения ха —> х (хп —> х) следует, что Т' х а ^ Т' х

Сформулируем теперь основной результат статьи.

Теорема 2.6. Пусть (V, Е) — решеточно нормированное пространство, (Ш, Е) —

Е

Е — латеральный идеал в V и Т : Е ^ Ш — ортогонально аддитивное отображение, мажорируемое латерально непрерывным (а-латерально непрерывным) оператором Б £ (Е, Е). Тогда существует мажорируемый, латерально непрерывный оператор Урысопа Тр £ (V, Ш) такой, что Тр х = Тх для любого х £ Е. < Зададим отображение Тр : V ^ Ш формулой

Покажем, что отображение (1) задано корректно. В силу леммы 2.5, множество Жх П Е направлено вверх и может быть представлено как (ха )аеА) где ха С х^, а ^ в и Л — некоторое индексное множество. Напомним некоторые полезные формулы:

{хр - ха) ± ха; | г ,| |, , / |.г,,|: Б\хр\ = Б\хр - ха\ + Б\ха\.

Теперь воспользуемся следующими оценками:

Таким образом, сеть (Тха)аед (Ьо)-фундаментальна и в силу полноты пространства Ш сходится к единственному пределу в Ш. Установим ортогональную аддитивность отображения Тр. Возьмем произвольные элементы у1, у2 £ V, у1 ± у2, и пусть у £ Ж"1+"2 ПЕ. Тогда можем написать \у\ С (|г>1| + 1^21)5 и согласно декомпозиционной лемме Рисса и тому факту, что |Е| — латеральный идеал, найдутся е\,е2 £ |Е| такие, что \у\ = е\ + ег-В силу разложимости векторной нормы в V и того факта, что Е — латеральный идеал в V, существуют элементы у1,у2 £ Е такие, что у = у1 + у2 и у1 ^ у2- Таким образом, любой осколок у £ П Е представляется в гаде суммы осколков у1 £ П Е,

у2 £ П Е. Ясно, что сумма двух осколков указанного вида будет осколком вида у £ Ж"1+"2 П Е. Так как Ту = Ту1 + Ту2, то, переходя к пределу в правой и левой частях по всем осколкам у £ +"2 П Е, получаем, что Тр(у1 + у2) = Тру1 + Тру2, устанавливая тем самым ортогональную аддитивность оператора Тр. Пусть теп ерь х — произвольный элемент V и у £ Ж" П Е. Мажорируемость оператора Тр вытекает из оценок \Ту\ ^ Б!?/! ^ ¿^ж!- Переходя к пределу в левой части по всем осколкам у £ П Е, получаем \Tjjx] ^ ¿^ж! для любого ж £ V.

Покажем, наконец, что Тр является латерально непрерывным оператором, ст-неп-рерывность доказывается аналогично. Возьмем латерально сходящуюся сеть (уа)аед С

\Тхр - Тха\ = \Т(хр - ж«Ж - ха\) = (ад - Б\ха\) 0.

о

О продолжении мажорируемых операторов Урысона

7

lat

V таКуЮ) чт0 —^ v. Тогда можем написать

ITDv - TDva\ = \TD(v -«а)К S\v - va\ = - \va\) = (£|г>| - S\va\) О, и латеральная непрерывность оператора TD установлена. >

Литература

1. Mazón J. М., Segura, de León S. Order bounded orthogonally additive operators // Rev. Roumaine Math. Pures Appl.-1990.-Vol. 35, № 4.-P. 329-353.

2. Mazón J. M., Segura de León S. Uryson operators // Rev. Roumaine Math. Pures Appl.—1990.— Vol. 35, № 5.-P. 431-449.

3. Кусраев А. Г., Плиев M. А. Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах // Владикавк. мат. журн.—1999.—Т. 1, вып. 3.—С. 33-43.

4. Кусраев А. Г., Плиев М. А. Слабое интегральное представление мажорируемого ортогонально аддитивного оператора // Владикавк. мат. журн.—1999.—Т. 1, вып. 4.—С. 22-39.

5. Плиев М. А. Мажорируемые операторы Урысона в пространствах со смешанной нормой // Владикавк. мат. журн.—2007.—Т. 9, вып. 3.—С. 47-57.

6. Abasov N., Pliev М. Order properties of the space of dominated Uryson operators // Int. J. of Math. Anal.-2015.-Vol. 9, № 45.-P. 2211-2219.

7. Ben Amor M. A., Pliev M. Laterally continuous part of an abstract Uryson operator // Int. J. of Math. Anal.-2013.-Vol. 7, № 58.-P. 2853-2860.

8. Getoeva A., Pliev M. Domination problem for orthogonally additive operators in lattice-normed spaces I I Int. J. of Math. Anal.-2015.- Vol. 9, № 27.-P. 1341-1352.

9. Gumenchuk A. V., Pliev M. A., Popov M. M. Extensions of orthogonally additive operators // Math. Stud.-2014.-Vol. 41, № 2.-P. 214-219.

10. Pliev M., Popov M. Narrow orthogonally additive operators // Positivity.—2014.—Vol. 18, № 4.—P. 641667.

11. Pliev M., Popov M. Dominated Uryson operators // Int. J. of Math. Anal.—2014,—Vol. 8, № 22,— P. 1051-1059.

12. Pliev M. Domination problem for narrow orthogonally additive operators // Positivity.—DOI 10.1007/sllll7-016-0401-9.

13. Pliev M. A., Weber M. R. Disjointness and order projections in the vector lattices of abstract Uryson operators // Positivity.-DOI 10.1007/sllll7-015-0381-l.

14. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—M.: Наука, 2003.—619 с.

15. Aliprantis С. D., Burkinshaw О. Positive Operators.—Dordrecht: Springer, 2006.

Статья поступила 20 января 2016 г.

Авдсов Ндримдн Мдгдмедович МАТИ — Российский государственный технологический университет им. К. Э. Циолковского, доцент кафедры высшей математики РОССИЯ, 121552, Москва, ул. Оршанская, 3 E-mail: abasovn@mail.ru

Плиев Марат Амурхднович

Южный математический институт ВНЦ РАН,

старший научный сотрудник

РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22

E-mail: plimaratOyandex.ru

8

AöacoB H. M., ll. uicn M. A.

ON EXTENSION OF DOMINATED URYSON OPERATORS

Abasov N. M.. Pliev M. A.

We investigate the procedure of extension of a dominated orthogonally additive map dominated by a laterally continuous operator from laterally ideal to the whole space. It is established that such operator admits an extension that is dominated and laterally continuous.

Key words: vector lattice, lattice-normed space, dominated Uryson operator, lateral ideal, lateral band, laterally continuous operator.