Сглаживающий цифровой фильтр с экспоненциальными весовыми множителями

Толстунов В.А. ©

К.т.н., доцент кафедры автоматизации исследований и технической кибернетики, Кемеровский государственный университет

СГЛАЖИВАЮЩИЙ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТР С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМИ ВЕСОВЫМИ

МНОЖИТЕЛЯМИ

Аннотация

Предлагается алгоритм цифрового усредняющего фильтра, весовые коэффициенты которого зависят от значений входного сигнала. Предложенный алгоритм исследуется аналитически в случае экспоненциальных весов. Приведены результаты цифрового моделирования работы данного фильтра при обработке одномерных сигналов и при обработке черно-белых изображений.

Ключевые слова: фильтр, мешающий шум, цифровое моделирование. Keywords: filter, disturbing noise, digital modeling.

Простейшим усредняющим фильтром является [1, 345] линейный фильтр, выходной сигнал которого формируется как среднее арифметическое отсчетов входного сигнала из апертуры фильтра. Такой фильтр достаточно хорошо сглаживает слабый гауссовский шум, однако, импульсный шум им удаляется плохо. Лучшие результаты при сглаживании дают фильтры взвешенного усреднения. В этом случае выходом фильтра является среднее значение отсчетов из апертуры, взятых с разными весами. Обычно для таких фильтров больший вес придается отсчету, находящемуся в середине апертуры фильтра. Сглаживающие фильтры взвешенного усреднения нашли широкое применение при решении ряда практических задач.

В настоящей работе, в отличие от классического подхода, строится сглаживающий фильтр, у которого весовые коэффициенты, с которыми суммируются отсчеты входного сигнала, зависят от значений этих отсчетов и не зависят от их положения в апертуре. Такой подход, как будет видно из дальнейшего, приводит к нелинейной фильтрации, которая позволяет хорошо удалять импульсный шум большой амплитуды и высокой интенсивности.

Пусть на вход фильтра с длиной апертуры n + 1 поступают дискретные сигналы xi = si + ni, i = 1, 2, ..., где S, = s(ti) - отсчеты полезного детерминированного сигнала, П, = n(ti) - отсчеты мешающего шума. Будем полагать, что в пределах апертуры фильтра отсчеты полезного сигнала

практически одинаковы. Тогда Xi = sk + ni, i = (k- "2' '' k,•••, k + "2). По значениям входного сигнала (xk— у >•••> xk >•••> xk + у ) будем определять значение выхода фильтра yk , соответствующего

отсчету xk .

В качестве выхода сглаживающего фильтра возьмем среднее значение отсчетов xi, с весовыми множители f (xi), то есть

k + n/2 ^ X!f l ^ )

л? — i=k— n/2 /i\

Sk~ k+ n/2 •

I f

i= k — n/2

Веса f ( x, ) выберем таким образом, чтобы слагаемые в числителе (1) имели относительно близкие значения. Положим, в частности,

f (xt) = exp(— a |xi |), " ie [k — n/2,k + n/2], a = const > 0 .

Тогда из

© Толстунов В.А., 2013 г.

k + п/2

I

х1е

- а хг

Уk

г = k - п /2

k + п/2

I

-а \хг\

е

г- k- п /2

Рассмотрим свойства фильтра (2) в случае, когда шум П(V) является аддитивной смесью независимых стационарной гауссовской X ) и импульсной Ц (V) помех. При этом полагаем, что X (V) имеет нулевое среднее значение и дисперсию с 2, а Ц (V) принимает два значения: 0, А > 0 с вероятностями соответственно р , q = 1 - р . Тогда

х.

+ X г + Ц ,, " г е [к - п/2,к + п/2].

При сделанных предположениях относительно модели входного сигнала для плотности вероятностей входного сигнала хг по известным соотношениям [2, 44] можно получить

Р( х) =

1

42жс

(р ехр

(х- 5к)2 2с 2

+ q ехр

х - s1,

А)2

2с

),хе (- м , м ).

Определение точного закона распределения сигнала (2) в случае плотности (3) является сложной в вычислительном плане задачей. Найдем поэтому приближенное выражение для (2) при п >> 1.

Полагая отсчеты (хк _ п /2,..., хк,..., хк + п /2) независимыми, одинаково распределенными

случайными величинами, согласно закону больших чисел теории вероятностей [2, 160] при п >> 1 будем иметь

к + п/2 - а х

1 к+п/2

— I хг

+ 1 ц

Т 1 г- к- п/2

1 к+ п

— I

+ 1 г= Г

м

г= к - п /2 к+п/2 - ах

хе

-а х г

\ / -ах

г

м

е

п + 1 г- к- п/2 ч ,

где М - оператор математического ожидания.

Определяя математические ожидания в (4), (5) по распределению (3), для фильтра (2) можно получить приближенное соотношение, которое будет характеризовать выход усредняющего фильтра при больших значения апертуры

А

Ук = Эк ~а° + q

Рассмотрим частные случаи формулы (6).

р ехр(а А) + q

1.

ожидать.

Во входном сигнале шумов нет, то есть А = 0, с = 0 . Тогда Ук = Эк , что следовало

2. Во входном сигнале присутствует только гауссовский шум (А - 0, с 2 Ф 0). Тогда

Ук = Эк ~ ас 2 . Если еще гауссовский шум слабый (с 2 << 1) и а < 1, то Ук

3.

Во входном сигнале присутствует только импульсный шум

2 А

q + реа А

и а > 1, то Ук » . Если импульсный шум имеет высокую интенсивность (д Ф 1, р < q) и а > > 1, то Ук » Эк .

4. Во входном сигнале присутствует только импульсный шум, которым искажаются все отсчеты полезного сигнала, то есть с 2 = 0, А Ф 0, р = 0, q = 1. Тогда Ук = + А .

Приведенные выше результаты показывают, что предлагаемый алгоритм взвешенного усреднения (2) хорошо убирает как гауссовский, так и импульсный шум, причем, импульсный шум

5

к

(

2

может иметь как большую амплитуду, так и высокую интенсивность. При удалении гауссовского шума необходимо, чтобы параметр нелинейности а < 1 , а при удалении импульсного шума а > 1 .

Фильтр (2) был промоделирован численно. В частности, качестве полезного сигнала был выбран прямоугольный импульс с высотой ступеньки 20. Параметры накладываемых шумов: с 2 =2, А=30, р=0.4. Параметры фильтра: а=35, п+1=3. Результат фильтрации сравнивался с выходом классического медианного фильтра [1, 194] при п+1=3 по значению погрешности

1 N

К = — I - Уг

N¿ 1 г Уг

где N -число отсчетов сигнала. Было получено, что для медианного фильтра К=11.26, для фильтра (2) К=3.33. На рисунках 1,2,3 показаны соответственно зашумленный полезный сигнал, выход медианного фильтра и выход фильтра (2).

Ю 80 1 180 1« 1«) 1 ЯП

Рис. 1

ЕЮ

80 К» 150 140 Ш 180 Я»

Рис. 3

Как видно из приведенных рисунков, предлагаемый фильтр (2) существенно лучше, чем медианный убирает интенсивный импульсный шум.

Используем алгоритм (1) для обработки изображений. Пусть на вход фильтра с квадратной

апертурой размером (п + 1)(п + 1) поступают отсчеты изображения ху = + nij, где Яу -

отсчеты неискаженного детерминированного изображения, пу - отсчеты мешающего шума. В качестве выходного сигнала фильтра возьмем соотношение

k + n 2 l+ n /2

I I

-a Ы

i= k - n /2 j = l - n /2

ykl = k+ n/2 l+ n/2 , , '

II

e 1 1

i= k- n /2 j = l- n /2

где a = const > 0.

Фильтр (7) был промоделирован численно для случая, когда отсчеты nij являются аддитивной смесью независимых отсчетов гауссовского шума Х ij и импульсного Ц ij . Математическое ожидание и дисперсия гауссовского шума выбраны соответственно M (x ij) = 0,

d(xу)=s2, " i, j .

Импульсный шум может принимать три значения: A,0,- A ,где A = const > 0 . Вероятности этих значений равны соответственно p(h ij = A) = p , р(ц ij = - A) = q , р(Ц j = 0) = 1 - p - q .

Моделирование показало, что для наилучшего удаления положительного импульсного шума следует выбирать a e [10,35] . Отрицательный импульсного шум удаляется хуже, чем положительный.

На рисунке 4 показана погрешность фильтрации R в зависимости от амплитуды A.

N N

R = Nt II Is»" уу

N i = 1 j = 1

где N2 - размер изображения. Кривая 1 соответствует зашумленному изображению без фильтрации. Кривая 3 соответствует погрешности исследуемого фильтра (7) при а = 20, N = 3, р = 0.8,

q = 0, д 2 = о . Для сравнения, кривая 2 показывает погрешность классического медианного

фильтра при тех же параметрах моделирования. Как видно из этого рисунка, фильтр (7) существенно лучше, чем медианный убирает интенсивный неотрицательный импульсный шум.

На рисунке 5 показано зашумленное изображение (кривая 1), погрешность медианного фильтра (кривая 2) и погрешность фильтра (7) в зависимости от вероятности р. При этом было

выбрано а = 20, N = 3, А = 100, q = о, д 2 = 0. На рисунке 6 показано зашумленное

изображение (кривая 1), погрешность медианного фильтра (кривая 2) и погрешность фильтра (7) в зависимости от среднего квадратического отклонения 6 гауссовского шума. Параметры моделирования: а = 0, N = 3, А = 0. Приведенные рисунки наглядно показывают хорошие сглаживающие свойства фильтра (7).

На рисунке (7) показано (а) - исходное изображение «Марина», (б) -результат его зашумления (А=150, р=0.4, с =0.5), (в) - результат обработки (б) медианным фильтром и (г) - результат обработки (б) фильтром (2).

Таким образом, проведенные исследования предлагаемого нелинейного фильтра с экспоненциальными весовыми множителями показывают его способность достаточно хорошо удалять аддитивные гауссовский шум и импульсный шум большой амплитуды и высокой интенсивности.

Литература

1. Гонсалес Р. Цифровая обработка изображений / Р.Гонсалес, Вудс Р. - М.: Техносфера, 2005. - 1072 с.

2. Боровков А. А. Теория вероятностей / А. А. Боровков - М.: Наука, 1976. - 352 с.