О неформальных фракталах

Библиографический список

1. Бойцова Т.К., Кузнецов Э.А. Универсальный раствор фосфатирования // Машиностроитель. -1996. - №>2. - С. 13-15.

2. Чумаевский В.А., Краснова Т.М. Активаторы в процессе фосфатирования металлов // Химическая промышленность. - 1990. - .№6. - С. 18-19.

3. ШварценбахГ., ФлашкаГ. Комплексономет-рическое титрование. - М.: Химия, 1970. - 316 с.

4. Ямпольский А.М. Технология оксидирования и фосфатирования металлов. - Л.: Лениздат, 1960. - 240 с.

5. Акаев О.П., НенайденкоГ.Н. Минеральные подкислители среды в интенсивном овощевод-

стве. - Кострома; Иваново, 2004. - 315 с.

6. ПозинМ.Е. и др. Руководство к практическим занятиям по технологии неорганических веществ. - Л.: Химия, 1979. - 194 с.

7. Лайнер В.И. Защитные покрытия металлов. - М., 1974. - 246 с.

8. Хаин И.И. Теория и практика фосфатирования металлов. - Л.: Химия, 1973. - 402 с.

9. Ямпольский А.М. Контроль качества защитных покрытий. - М.: Машиностроение, 1966. - 232 с.

10. Практикум по общей химической технологии / Под ред. И.П. Мухленова. - М., 1967. - 180 с.

11. Rausch W. Phosphatierung von Metallen. -BDR: Salgan, 1974.

С.Б. Козырев

О НЕФОРМАЛЬНЫХ ФРАКТАЛАХ

В данной статье рассматриваются две классические функции — функция Ван дер Вардена и канторова лестница. Показывается, что хотя их графики формально не являются фракталами в смысле определения Мандельброта, тем не менее имеются весомые основания считать их таковыми.

В своем известном эссе [3] Б.Мандель-брот ввел понятие и дал определение фрактальных множеств. Согласно ему фракталом считается любое множество, у которого его фрактальная размерность выше топологической. Это определение названо рабочим, то есть носящим предварительный, ориентировочный характер. Существуют множества, которые по своему устройству и свойствам фрактальны, но формально не считаются таковыми вследствие того, что не удовлетворяют определению Мандельброта. Одним из таких множеств является классическая нигде недифференцируемая функция Ван дер Вардена, точнее, ее график.

Пример Ван дер Вардена особенно интересен для студентов как один из самых простых способов построения непрерывной нигде недифференцируемой функции со сравнительно несложным доказательством ее недифференцируемости. В то же время доказательство того, что фрактальная размерность ее графика равна единице, найти трудно. Так, например, Фальконер [6] в отдельной главе рассматривает метод построения функций типа Ван дер Вардена, но усложняет его таким образом, чтобы графики получающихся

функций имели фрактальную размерность строго больше их топологической размерности. О самой же функции Ван дер Вардена не говорится ни слова. Причина этого, видимо, в том, что функция Ван дер Вардена формально не является фракталом. Поэтому в данной статье мы приве-

Рис. 1. Функции gn

Рис. 2. Функции У

дем простое доказательство того, что фрактальная размерность графика функции Ван дер Вардена равна единице.

Построим теперь функцию Ван дер Вардена и докажем ряд ее свойств.

Определим на отрезке [0,1] функцию

і

x-----

2

и затем продолжим ее на всю

числовую ось периодическим образом с периодом 1. Далее для п>1 положим

8п-1

gn ( х) =

2

Функция Ван дер Вардена У(х) задается на отрезке [0,1] суммой ряда V (X) = £ gn (х). Частич-

п=1

ные суммы ряда будем обозначать

п

К(х) = 2 gk(х) (см. рис. 2).

к=1

Предложение 1. Функция У(х) удовлетворяет неравенству о < V (х) < 1.

Доказательство. Так как g1(x) < 1/2, то в силу (*) имеем

gn (X) = 2-п+1 &(2п-1 х) < 2-п.

Отсюда легко следует требуемое неравенство. Предложение 2. Для любого натурального п справедливо неравенство

0 < V(х) - Vn (х) < 2-п.

Доказательство. Из (*) и предложения 1 немедленно получаем

V (х) - Vn (х) = £ gk (х) = 2 2-^ (2 пх) =

к=п

= 2-nV(2пх) < 2-

к=п+1 -п

Предложение 3. На каждом отрезке m m +1

при 0 < m < 2" -1 функция V ли-

2 2п

нейна и ее производная |^'| < п во внутренних точках Jm.

Доказательство. Утверждение предложения очевидно, так как все функции gk при 1 < к < п линейны на Jm и их производные ^ к | = 1 во внутренних точках Зт.

Среди различных видов фрактальной размерности основной является размерность Хаусдор-фа как наиболее адекватно отражающая основное геометрическое свойство фракталов. Именно она используется в определении фракталов. Однако прямое вычисление размерности Хаус-дорфа конкретного множества очень часто связано со значительными техническими трудностями. Поэтому хаусдорфову размерность графика функции V мы определим косвенным путем -с помощью размерности Минковского.

Напомним определение размерности Мин-ковского. Пусть имеется некоторое метрическое ограниченное пространство X. Любой набор 5-шаров, объединение которых целиком покрывает некоторое множество G с X, назовем шаровым 5-покрытием множества G. Минимально необходимое число 5-шаров, которые смогли бы покрыть G, обозначим п(О).

Определение 1. Размерностью множества О по Минковскому называется число dimм О, равное пределу отношения порядка роста числа п(О) к порядку роста величины 1/8 при убывании 8 к нулю, то есть

dimм G = limlog v ns

S^0 /s

:limln n (G).

s^° - in5

Определение размерности Хаусдорфа dim H G мы здесь не приводим. Читатель может его найти, например, в [3-5]. Можно также порекомендовать статью [1], в которой приводятся определения размерности Минковского, Хаусдорфа, а также топологической размерности, рассматривается их геометрический смысл и взаимоотношение друг с другом на ряде конкретных примеров, доказывается ряд основополагающих фактов. Кроме того, статья содержит несложные упражнения по данной тематике.

Нам потребуются следующие два свойства размерности Хаусдорфа.

Свойство 1. Для любого множества G справедливо неравенство ііітя V < dimM V, если только размерность dimM G существует.

Свойство 2. Если G - подмножество евклидова пространства Rn, а pr(G) - его проекция на некоторое евклидово подпространство, то dimH pr(G) < dimH G .

Доказательства этих свойств несложны, их можно найти в [6]. Докажем теперь следующую теорему.

Теорема 1. Фрактальная размерность графика функции V равна единице, то есть dimM V = dim H V = 1.

Доказательство. В силу предложения 3 на каждом участке Jm график функции V можно покрыть n квадратиками такими, что их стороны параллельны осям координат, длины сторон равны 2-n, проекции на ось абсцисс совпадают с Jm, а объединение их проекций на ось ординат связно (см. рис. 3 при n=5). Добавим к этому покрытию из n квадратиков еще один квадратик того же размера сверху (на рис. 3 такие квадратики выделены более темным цветом). Тогда все n+і квадратик покроют график функции V на участке Jm в силу предложения 2. Таким образом, достаточно 2n (n +1) квадратиков с длиной сторон 2-n, чтобы покрыть график функции V весь целиком. Так как каждый такой квадратик можно покрыть шаром радиуса 2-n, то ns (V) < 2n (n +1) при 8 = 2-n. Устремляя n к бесконечности, получаем

in ns

dim MV = lim----------s-^- < lim —і-----------------^ =

s^o - in S n^»

= lim

n in 2 + ln(n +1) n in 2

in 2n

= 1 + iim iog2

= 1.

Рис. 3. Функция V(x) и ее покрытие квадратиками размера 2-5

Итак, мы получили оценку размерности сверху dimM V < 1. Оценка снизу получается из свойств 1 и 2:

dimM V > dimH V > dimH [0,1] = 1.

Теорема доказана.

Итак, график кривой Ван дер Вардена имеет фрактальную размерность, равную топологической, то есть не удовлетворяет мандельбротовско-му определению фрактала. Однако Мандельброт особо подчеркивал [3], что понятие фрактала сложное и трудноформализуемое. И если было бы возможно, он предпочел вообще обойтись без конкретного определения. Но так как невозможно развивать математическую теорию фракталов без точного математического определения этого понятия, то в качестве такового он указал свойство преобладания хаусдорфовой размерности над топологической. Действительно это свойство для фракталов наиболее характерно и, как правило, выполняется. Однако выполняется оно не для всех фракталов. Поэтому его следует рассматривать лишь как ориентир, а не как критерий фрак-тальности. В качестве примера, не подчиняющегося общему правилу, Мандельброт привел график функции, называемой канторовой лестницей. Ниже мы рассмотрим эту функцию.

Сходную точку зрения на определение фракталов высказывает и Фальконер [6]. По его мнению определение фрактала должно быть гибким, в виде набора признаков, как правило, присущих фракталам. Подобно тому, как у биологов понятие «жизнь» не имеет точного определения, а описывается набором признаков, как правило, присущих живым объектам: способность к размножению, к передвижению, способность существовать в некотором смысле независимо от окружающей среды и пр. В качестве такого набора Фальконер предложил следующие пять признаков фрактальности объекта F:

1) F имеет тонкую структуру, то есть у него встречаются детали произвольно малых размеров;

2) F слишком иррегулярен, чтобы его можно было описать традиционными средствами геометрии как локально, так и глобально;

n

3) часто F обладает некоторой формой самоподобия хотя бы аппроксимативной или статистической;

4) обычно фрактальная размерность F (определенная каким-либо способом) выше его топологической размерности;

5) в большинстве случаев, представляющих интерес, F определяется простым, возможно, рекурсивным способом.

Заметим, что из перечисленных признаков только четвертый является количественным, остальные признаки носят описательный, качественный характер.

Какими же из признаков обладает график функции Ван дер Вардена? Очевидно, что он обладает признаками 1), 2) и 5). Чтобы убедиться в наличии признака 3), рассмотрим функцию V на от-

1 1"

резке

4 2

V(х) = gl (х) + g2 (х) + 2 gn (х) = 2 + 2 gn

и=3 2 и=3

11 , ч 1 V

= - + -2 g„ (4х -1) = - + —------------ .

2 4 ^ 2 4

То есть, фрагмент графика функции на этом отрезке можно получить с помощью уменьшения всего графика функции на отрезке [0,1] в 4

раза и параллельного переноса на вектор

Таким образом, график функции V не удовлетворяет лишь признаку 4).

Рассмотрим теперь пример неформального фрактала, упомянутый Мандельбротом. Канто-рова лестница К(х) строится на отрезке [0, 1] следующим образом (см. [2]). Сначала положим К(0)=0 и К(1)=1. Далее будем расширять область определения К(х) по шагам. Назовем интервал (0, 1) смежным интервалом нулевого ранга. На первом шаге разделим его на три равные части

и на средней части, то есть на отрезке

1 2

3,3

по-

ложим К(х) равной 1. Интервалы 10,_

2,1 з) 13

и

назовем смежными интервалами первого ранга. На втором шаге возьмем оба смежных интервала первого ранга, разделим на три равные части и на средних третях определим К: положим К

1 2'

1

равной 4 на отрезке

9 9

7 8

9.9

2 7

3.9

. Оставшиеся интервалы | 0,11, |2,1

8,1

9

назовем смежными интервалами

второго ранга.

Будем продолжать этот процесс дальше. То есть, на п-м шаге возьмем каждый смежный интервал (п—1)-го ранга, разделим его на три равные части и на средней части, включая ее конечные точки, положим функцию К(х) постоянной и равной среднему ее значений на концах этого интервала. Оставшиеся две части назовем смежными интервалами п-го ранга. Заметим, что после п-го шага К(х) будет неубывающей ступенчатой функцией (см. рис. 4). Ее график будет включать в себя 2п-1 ступеньку, на которых вместе с точками 0 и 1

функция последовательно принимает значения —

при k = 0, 1, ..., 2п. При этом смежных интервалов будет 2п, каждый из них имеет длину 3 п и разность значений К(х) на его концах равна 2-п.

Применив пошаговый процесс определения бесконечное число раз, мы определим К(х) во всех точках, за исключением нигде неплотного на отрезке [0,1] множества. (Это так называемые точки второго рода канторовского множества.) На нем доопределим функцию по непрерывности. То есть, если в точке х* функция К еще не определена и [ап, Ьп) - смежный интервал п-го

о і г і

»993

на отрезке

Рис. 4. Канторова лестница после п шагов определения

и

и

»_» *

ранга, содержащий х , то положим

К(х ) = lim К (ап) =lim К фп). Это определение

и^ад и^ад А

корректно, так как последовательность К(а ) не убывает, последовательность K(bn) не возрастает и К(bn) - К(an) = 2-n ^ 0 при n ^ад.

Итак, мы построили функцию канторова лестница. Она непрерывна и монотонна. Почти весь ее график состоит из ступенек. Поэтому канто-рова лестница почти всюду дифференцируема и ее производная равна нулю. Такие функции называются сингулярными. Более или менее очевидно, что канторова лестница обладает признаками фрактальности 1)-3) и 5), а признаком 4) -нет. Как видим, набор выполняющихся признаков тот же самый, что и у кривой Ван дер Вардена. Но есть и отличие. У кривой Ван дер Вардена признак 4) все же имеется в зародыше: отношение числа n(V) к величине 1/5, видимо, растет неограниченно, хотя скорость этого роста имеет тот же порядок, что и 1/5. У канторовой лестницы отношение и (К) к 1/5 вообще ограничено, так как ее график спрямляем, то есть имеет конечную длину. Это едва ли не единственный классический фрактал с таким свойством. Но почему же тогда Мандельброт предлагает считать канто-рову лестницу фракталом? Сам он пишет [3], что склонен причислить ее график к фракталам на том основании, что в нем встречаются детали произвольно малых масштабов.

Рассмотрение исключительных фракталов подводит нас к основному выводу. Выполнение фрактального признака 4) влечет выполнение и всех остальных фрактальных признаков или, по крайней мере, их большинства. Поэтому его целесообразно рассматривать в качестве основного признака фрактальности. Однако основная суть фрактальности объекта заключается не в дробности его размерности и не в его размерности вообще, а в наличии у него частей в чем-то подобных друг другу с как угодно малыми коэффициентами подобия.

В заключение предлагаем ряд упражнений, которые можно предложить студентам для самостоятельной работы.

1. Покажите, что максимум функции V равен в точности 2/3.

„ тт k

2. Докажите, что во всех точках вида х0 = — при k = 1, ..., 2n-1 функция V не дифференцируе-

ма и, более того, ее односторонние дифференциальные пределы равны:

lim V

х^х0-0 х - Х0 х^хо +0 X - Х0

3. Покажите, что канторова лестница дифференцируема почти всюду, то есть, что сумма длин интервалов, на которых она постоянна, равна длине отрезка [0,1]. Выясните, чему равны для канторовой лестницы дифференциальные пределы, аналогичные (**), в тех точках, где она не дифференцируема.

4. Покажите, что хотя канторова лестница непрерывна и почти всюду дифференцируема, интегральная формула Ньютона-Лейбница для нее не выполняется.

5. Сожмем график канторовой лестницы по абсциссе в 3 раза, а по ординате - в 2 раза. Покажите, что получившееся множество точек совпадает с частью исходного графика.

6. Докажите, что размерность графика канторовой лестницы по Минковскому равна 1.

7. Покажите, что график канторовой лестницы является спрямляемой кривой. Найдите ее длину.

8. Придумайте пример, другой функции со спрямляемым и фрактальным графиком, которая при этом не была бы сингулярной, то есть не имела почти всюду нулевой производной.

9. Придумайте непрерывную на отрезке [0,1] фрактальную функцию такую, чтобы она была равна 0 и 1 в концах отрезка, а ее график имел бы длину меньшую, чем у графика канторовой лестницы. Какой могла бы быть эта длина?

Библиографический список

1. Козырев С.Б., Секованов В.С. Приложение 4 // Секованов В.С. Методическая система формирования креативности студента университета в процессе обучения фрактальной геометрии. - Кострома: КГУ им. Н.А.Некрасова, 2006.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций функционального анализа. - М.: Наука, 1976.

3. Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. - М.: Постмаркет, 2000.

4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

5. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. - М.; Ижевск, 2002.

6. Falconer K.J. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, 2nd ed. - John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 2003.