Вычисление ускорения силы тяжести в бесплатформенной навигационной системе летательного аппарата

УДК 681.2

ВЫЧИСЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ В БЕСПЛАТФОРМЕННОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

М.Б. Богданов

Статья посвящена задаче вычисления на борту летательного аппараты величины ускорения силы тяжести. На основе сравнительного анализа выражений для вычисления ускорения нормальной силы тяжести, выбора карты гравитационных аномалий и известных выражений для учета высоты полета, предлагается математическая модель процесса вычисления ускорения силы тяжести. Для общеземного эллипсоида ПЗ-90.02 вычисляются коэффициенты модели. Производится оценка методических и инструментальных погрешностей модели.

Ключевые слова: ускорение силы тяжести, бесплатформенная инерциальная навигационная система, общеземной эллипсоид.

Бесплатформенная инерциальная навигационная система (БИНС) позволяет вычислять во время движения летательного аппарата (ЛА) его угловые и линейные координаты, относительно выбранной базовой системы координат (СК), а также измерять угловые и линейные скорости и ускорения движения. Сигналы БИНС используются в контуре стабилизации, управления и наведения ЛА. Классическая БИНС содержит три датчика угловой скорости, три акселерометра и вычислительное устройство. Первые измеряют проекции вектора скорости вращения на оси связанной с ЛА СК, вторые - вектора кажущегося линейного ускорения на те же оси. В вычислительном устройстве производится обработка сигналов датчиков и вычисление требуемых параметров движения ЛА.

Для измерения действительного ускорения ЛА из показаний акселерометров необходимо вычесть ускорение силы тяжести, а для этого необходимо знать его величину в каждый момент полета. Указанную величину вычисляют по математическим моделям. Сами модели создаются на стыке двух наук: теории инерциальной навигации и гравиметрии. К настоящему времени создано и применяется порядка десяти различных математических моделей, отличающихся используемыми в них геодезическими постоянными, параметрами Земли и характеристиками гравитационного поля. Указанные величины постоянно уточняются, а методы их вычисления - совершенствуются. Поэтому существующие модели и входящие в них величины должны быть уточнены и только после этого могут быть применены в перспективной БИНС.

Целью данной статьи является выбор и уточнение математической модели процесса вычисления ускорения силы тяжести, пригодной для реализации в БИНС летательного аппарата и учитывающей современные дан-

ные о параметрах Земли.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

- обзор, сравнительный анализ и выбор выражений для расчета ускорения нормальной силы тяжести;

- уточнение коэффициентов, входящих в выбранное выражение, с учетом современных данных о параметрах Земли;

- выбор карты гравитационных аномалий и пересчет данных карты в СК, принятую за базовую;

- оценка погрешностей вычисления величины ускорения силы тяжести по полученной математической модели.

Параметры Земли.

В теории инерциальной навигации в качестве модели поверхности Земли используется Земной сфероид [2, 4, 13], однако, часто его называют «эллипсоидом» [13], «референц-эллипсоидом» [4] и др. В [7] вводится понятие общеземного эллипсоида (ОЗЭ) - эллипсоид, поверхность которого наиболее близка к геоиду в целом. Примем в дальнейшем к описанию формы Земли термин ОЗЭ.

Постановлением Правительства РФ от 28.07.2000 №565 [16] за системой геодезических параметров «Параметры Земли» (ПЗ-90) закреплен статус государственной. Позже, распоряжением Правительства РФ от 20.06.2007 №797-р [18] принята к использованию уточненная версия ПЗ-90.02. Система геодезических параметров ПЗ-90.02 включает в себя [7]: фундаментальные геодезические постоянные, параметры ОЗЭ, геоцентрическую СК ПЗ-90.02, характеристики гравитационного поля Земли и элементы трансформирования между системой координат ПЗ-90.02 и другими СК. Основными параметрами ОЗЭ ПЗ 90.02 [7] являются: большая полуось а = 6378136 м, сжатие а = 1/298,25784, квадрат первого эксцентриситета

2 2

е = 2а -а » 0,006694366, малая полуось Ь = а -а- а » 6356751 м.

Для достижения поставленной цели необходимо так же знать величину ускорения свободного падения на экваторе ge = 9,7803284 м/с и угловую скорость вращения Земли ^3 = 7,292115 10-5 рад/с. Числовые значения взяты из [5].

Системы координат.

Решение задачи навигации производится в выбранной за базовую СК, в качестве которой для ЛА целесообразно использовать нормальную СК OXgYgZg (рис. 1) [6], начало O которой совмещено с центром масс ЛА, ось OXg направлена по касательной к меридиану на Cевер, ось OYg по линии местной вертикали вверх, а ось OZg по касательной к параллели на восток.

Разрабатываемая модель должна позволять вычислять проекции величины ускорения силы тяжести на оси СК OXgYgZg, в то время как характеристики гравитационного поля Земли и геодезические постоянные

205

указываются для геоцентрической СК ПЗ-90.02 ОПЗХПЗУПЗ7ПЗ (рис. 1) [7], начало ОПЗ которой находится в центре Земли, ось ОПЗ 7ПЗ направлена вдоль оси суточного вращения Земли (с угловой скоростью 0З) к северному полюсу, ось ОПЗХПЗ лежит в плоскости экватора и направлена так, что плоскость ХГООПЗ7ГО совпадает с плоскостью Гринвичского меридиана, а ось ОПЗУПЗ перпендикулярна осям ОПЗХПЗ и Оп^го и дополняет их до правой СК.

Рис. 1. К пояснению систем координат ОпзХпзУпз2пз и OXgYgZg: ф, 1 - географическая широта и долгота ЛА; Н- высота полета над поверхностью ОЗЭ; VН, Уе и VN - проекции относительной линейной скорости ЛА на оси нормальной СК OXgYgZg

Ускорение силы тяжести для летательных аппаратов представляют в виде суммы трех составляющих: ускорения нормальной силы тяжести (на уровне моря), гравитационных аномалий (на уровне моря) и составляющей, обусловленной высотой полета. Для разработки математической модели процесса функционирования навигационной системы за положительное направление ускорения силы тяжести примем направление оси OYg.

Ускорение нормальной силы тяжести на поверхности общеземного эллипсоида ПЗ-90.02.

Ускорение нормальной силы тяжести - ускорение силы тяжести на поверхности модели идеальной Земли, т. е. на поверхности ОЗЭ. Величину ускорения нормальной силы тяжести можно определить аналитически, для

чего используют уравнения Клеро [12], формулу Пицетти-Сомильяна [3,

11, 12] или уточненную формулу Клеро [11]

Y0 = ge

где g0 - ускорение нормальной силы тяжести; b и b1 - коэффициенты модели.

Уже более ста лет ученые из различных стран производят расчет коэффициентов b и Р1, а также уточняют величину ge, после чего подставляют полученные значения в формулу (1). В гравиметрии и в теории инерциальной навигации наиболее частот используются семь формул, значения b, b1, ge для которых приведены в табл. 1.

Таблица 1.

Величины коэффициентов для уточненной формулы Клеро

Формула для расчета ускорения нормальной силы тяжести Коэффициент

b b1 ge, м/с2

Формула Кассиниса, принятая как международная, 1930 год [11] 0,0052884 -0,0000059 9,78049

Формула Гельмерта 1901 - 1909 годы, принятая на территории бывшего СССР [11] 0,005302 -0,000007 9,78030

Формула Г ельмерта-Кассиниса [4] 0,005317 -0,000007 9,78049

Формула Жонголовича [12], 1952 год 0,0052837 -0,0000059 9,780573

Формула Гейсканена [12], 1957 год 0,0052902 -0,0000059 9,780497

Система 1967 [9], 1971 год 0,0053024 -0,0000059 9,780318

Формула, применяемая в инерциальной навигации [13] 0,0053033 -0,0000059 9,78045

Анализ коэффициентов, приведенных в табл. 1 показал, что они не соответствуют параметрам ОЗЭ ПЗ-90.02. Величина для ОЗЭ ПЗ-90.02

указана в [5] и приведена выше. Коэффициенты Ь и Р1 можно рассчитать по выражениям из [2] и [11], сравнительный анализ которых по критериям точности и вычислительной сложности позволяет рекомендовать вычислять коэффициенты по выражениям

„5 17 „12 5

р = — а-а-аа и Ь = -а —аа,

2 14 8 8

где а - отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе

аО з 2 а - з

ge

Таким образом, с учетом параметров ОЗЭ ПЗ-90.02 величину уско-

рения нормальной силы тяжести предлагается вычислять по формуле

у0 = 9,7803284

Рассчитаем разницу значения у 0, рассчитанного по формуле (2), и

по формулам из табл. 1. На рис. 2 построены зависимости указанной разницы от географической широты.

Разница в расчетах по различным формулам величины Уд, м/с^

10

-4

-10

-4

-2-10

-4

-3 10

-4

-80

л

А Л N

\ х2

\ N

-60

-40

-20

20

40

60

Г еографическая

широта,

0

Рис. 2. Зависимость от широты разницы между величинами ускорения нормальной силы тяжести, рассчитанной по предлагаемой формуле (2) и формулой: 1 - Гельмерта-Кассиниса; 2 - приведенной в [13];

3 -Жонголовича; 4 - Гейсканена; 5 - Кассиниса; 6 - Системы 1967;

7 -Гельмерта

Из рис. 2 видно, что отличие результатов расчетов лежит в диапазоне от - 3,0 • 10-4 м/с2 до 0,5 10-4 м/с2. Указанное отличие в первом приближении может служить оценкой методической погрешности разрабатываемой модели. Примем, что максимальная методическая погрешность лежит в диапазоне ± 3,0 • 10-4 м/с2.

Учет аномалий силы тяжести.

Отличия величины ускорения силы тяжести, измеренной на физической поверхности Земли от нормальной, вызываются аномалиями. Как

3 2

правило [9, 10, 12], аномалии не превышают величины 10_ м/с . Исключение составляют местности с большим перепадом высоты рельефа: горы, береговые линии, глубокие впадины и т.п. В указанных областях аномалии

-3 м 2

достигают величин 4 10_ м/с . Максимальная разница гравитационных

-3 м 2

аномалий в Тульской области [8] не превышает величины 8 10_ м/с , на севере области - повышенное значение, южнее Новомосковска - пониженное.

В системах управления баллистическими ракетами и их головными частями [17] аномалии вычисляют путем моделирования силы притяжения, создаваемой системой точечных масс, геоцентрические координаты которых записываются в виде массива в память бортового вычислителя. В зависимости от требуемой от навигационной системы точности, применяются модели с числом точечных масс до нескольких сотен. В доступных источниках информации не удалось найти информации о координатах указанных масс.

Поэтому воспользуемся методом, применяемым в гравиметрии [12]. Здесь производят экспериментальное измерение на физической поверхности Земли величины ускорения силы тяжести. Затем, с учетом высоты над уровнем моря, средней плотности подстилающих пород и рельефа места измерений, производят пересчет результатов измерений на поверхность принятого в конкретной задаче ОЗЭ (как правило, двух или трехосного эллипсоида). Данный этап в гравиметрии носит названия «редукции». В зависимости от условий пересчета различают: редукцию в свободном воздухе (часто называемой редукцией Фая), редукцию Буге, редукцию Прея, топографическую редукцию и ряд других. Выбор метода редукции зависит от решаемой задачи. Далее, для этого же эллипсоида производят расчет величины у 0 по одной из формул из табл. 1. На заключительном этапе, на географическую карту наносят разности между результатом редукции и вычисленной у0. Полученная в итоге карта называется гравиметрической. Согласно [15] гравиметрические карты масштаба крупнее 1:1000000 (в 1 см 10км) являются секретными.

В теории инерциальной навигации [13] используется редукция Буге [12], и, соответственно, аномалия Буге, которую обозначим через Ag. Тогда, величина ускорения свободного падения g0 на поверхности ОЗЭ ПЗ-90.02 равна

go = У0 + АЯ.

Для вычисления Ag воспользуемся гравиметрической картой [8],

подготовленной на основе цифровой матрицы «Гравиметрической карты России масштаба 1:5000000» [14]. Указанная карта составлена в редукции Буге, плотность промежуточного слоя подстилающей поверхности Земли

3 3

принята 2,67 10 кг/м . Сложность применения данной карты в том, что редукция произведена на ОЗЭ Гельмерта 1915г. для трехосной Земли, соответственно, по ней определяется Ag для указанного ОЗЭ, а не для требуемого ОЗЭ ПЗ-90.02. Искомую величину Ag можно вычислить, если воспользоваться формулой для вычисления у0 на поверхности ОЗЭ Гельмер-та 1915г., которая приведена в [12]. Если имеется информация об аномалиях Буге для ОЗЭ ПЗ-90.02, то необходимость в пересчете отпадет.

Цена деления предлагаемой для использования гравиметрической

209

5 2

карты [8] составляет 5,0 10_ м/с . Следовательно, погрешность определе-

- 5 м 2

ния аномалии составляет половину цены деления, или, ± 2,5 • 10_ м/с . Указанная величина в первом приближении может служить оценкой инструментальной погрешности разрабатываемой модели.

Влиянием Солнца и Луны на величину ускорения силы тяжести в разрабатываемой модели можно пренебречь, т. к. максимальный суммар-

-5 м 2

ный эффект указанного влияния не превышает величины 0,24 • 10_ м/с [10], что значительно меньше методической и инструментальной погрешностей модели.

Учет влияния высоты полета на величину ускорения силы тяжести.

Для высот до 100 км проекции ускорения силы тяжести gx , 8у

g

и gz на оси СК OXgYgZg вычисляются по выражениям [13]

g

2

2 Я1

gXg З В БІП Ф , gYg = g0^A2 ^В С0Б ф ’ gzg = 0

2

В

Я2

Н СОБ Ф + Яі СОБ ф'

1

Я1

Я

где В - коэффициент, зависящий от высоты полета, Л и Л - радиусы кривизны ОЗЭ, Н - высота полета над поверхностью ОЗЭ, ф' - геоцентрическая широта.

С точностью до величин порядка в2 связь между геоцентрической ф' и географической ф широтами имеет вид [2, 13]

ф= агс^ 1 - е • ^^ф І.

Радиусы Яі и Я2, входящие в формулы (4) определяются по выра-

жениям

Я1 =

а

И

Я22 = Я12 + Н2 + 2 Я1Н С08

Расчеты по формулам (4) - (7) показали, что ростом высоты проекция ускорения на ось OYg уменьшается. В среднем для высот до 20 км с каждым километром высоты вертикальная составляющая ускорения силы тяжести уменьшается на 0,003079 м/с2. Очевидно, что это изменение соизмеримо с погрешностью акселерометра среднего класса точности. Для горизонтальной составляющей, т. е. проекции на ось OXg, картина обратная

2

2

- с ростом высоты величина gx растет. Максимальная зависимость от

g

высоты проявляется на широтах 45 0 и -45 0. На широте 450 с увеличением

высоты на 1 км горизонтальная составляющая увеличивается на » 8 10-6 м/с2, а для широты -450 - уменьшается на указанную величину. Очевидно, что для высот до 20 км величиной gx можно пренебречь, т. к. она мень-

g

ше методической погрешности разрабатываемой модели.

Дополнительные сведения.

В скором времени Европейское Космическое Агентство (ЕКА) возможно опубликует точную гравитационную карту Земли. Для этих целей в марте 2009 года на низкую орбиту выведен спутник GOCE (перевод аббревиатуры дается как «Исследователь гравитационного поля и установившегося состояния океанической циркуляции») [1]. Оборудование, установленное на спутнике, и низкая орбита позволяют получить точность определения ОЗЭ до 2см на масштабах порядка 100 км. 4 марта 2011 года программа полета выполнена полностью. В настоящее время происходит обработка данных, и по заявлениям руководства программы GOCE, результаты обработки будут доступны всем желающим.

Заключение.

Совокупность выражений (2) - (8) является математической моделью вычисления величин проекций ускорения свободного падения на оси нормальной СК. Модель составлена для ОЗЭ ПЗ-90.02, для полета на высотах до 100км. К указанной модели необходимо приложить карту гравитационных аномалий района полета, выполненную в редукции Буге.

Особенностью модели является то, что она составлена для системы геодезических параметров «Параметры Земли» ПЗ-90.02, имеющей с 2007 года статус государственной. Погрешность вычислений по предлагаемой

^4 2

модели лежит в диапазоне ± 3,3 10_ м/с , что допустимо для БИНС малогабаритных ЛА с непродолжительным временем полета.

Для примера определим среднюю величину ускорения свободного падения для г. Тулы: широта 54,20, долгота 37,60, высота над уровнем моря от 150 м до 210 м, аномалия Буге по используемой гравиметрической карте

составляет в среднем для центра Тулы - 2,2 10-4 м/с2. В результате расче-

О zl

тов по разработанной модели получено g0 =-9,81439 м/с , Dg = -1,7 10_ м/с2, g0 = -9,81422 м/с2. За счет большого перепада высоты получаем значительный разброс для вертикальной составляющей:

gY = -(9,8136...9,8138)± 0,00033 м/с2.

g

Полученный результат хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Список литературы

1. Earth explorers [Электронный ресурс] // Европейское космическое

агентство: [сайт]. URL: http://www.esa.int/Our_Activities/Observing_

the_Earth/GOCE/The_first_of_a_series (дата обращения: 04.07.2013).

2. Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы. М.: Наука, 1966. 580 с.

3. Анучин О.Н., Емельянцев Г.И. Интегрированные системы ориентации и навигации для морских подвижных объектов / под общей ред. чле-на-корреспондента РАН В.Г. Пешехонова. СПб.: ЦНИИ «Электроприбор», 1999. 356 с.

4. Бромберг П.В. Теория инерциальных систем навигации. М.: Наука, 1979. 296 с.

5. Глобальная навигационная спутниковая система. ГЛОНАСС.

Интерфейсный контрольный документ. Навигационный радиосигнал в диапазонах L1 и L2 (редакция 5.1). М: Российский научно-

исследовательский институт космического приборостроения. 2008. 74 с.

6. ГОСТ 20058-80. Динамика ЛА в атмосфере. Термины, определения и обозначения. М.: Изд-во стандартов, 1981. 51 с.

7. ГОСТ Р 51794-2008. Глобальные навигационные спутниковые системы. Системы координат. Методы преобразования координат определяемых точек. М.: Стандартинформ, 2009. 19 с.

8. Гравиметрическая карта. Тульская область [Электронный ресурс] // Всероссийский научно-исследовательский геологический институт им. А.П. Карпинского: [сайт]. [2004]. URL: http://www.vsegei.ru/ (дата обращения: 08.04.2011).

9. Грушинский Н.П. Теория фигуры Земли. Изд. второе, переработанное и дополненное. М.: Физматлит, 1976. 512 с.

10. Грушинский Н.П., Грушинский А.Н. В мире сил тяготения. Изд. второе дополненное. М.: Недра, 1978. 176 с.

11. Г рушинский Н.П. Определение силы тяжести на море. М.: Недра, 1970. 248 с.

12. Г рушинский Н.П. Теория фигуры Земли. М.: Физматлит, 1963.

448 с.

13. Захарин М.И., Захарин Ф.М. Кинематика инерциальных систем навигации. М.: Машиностроение, 1968. 236 с.

14. Петров О. В., Морозов А. Ф., Липилин А. В. и др. Цифровая матрица «Гравиметрическая карта России масштаба 1:5000000» [Электронный ресурс] // Всероссийский научно-исследовательский геологический институт им. А.П. Карпинского: [сайт]. [2004]. URL:

http://www.vsegei.ru/ ru/info/ (дата обращения: 08.04.2011).

15. Письмо ГТК РФ от 11.08.97 №01-15/15278 «О контроле за перемещениями картографических, топографических, аэрокосмических, гео-

дезических и гравиметрических материалов» [Электронный ресурс]. URL: http://zakonbase.ru/content/part/141220 (дата обращения: 04.07.2013).

16. Постановление Правительства РФ от 28.07.2000 №568 [Электронный ресурс] // Консультант плюс: [сайт]. URL:

http://base.consultant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc;base=LAW;n=28045 (дата обращения: 04.07.2013).

17. Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами (баллистическими ракетами и их головными частями). М.: Машиностроение, 2003. 583 с.

18. Распоряжением Правительства РФ от 20.06.2007 №797-р [Электронный ресурс] // Нью Сити: [сайт]. URL: http://news-

city.info/akty/legalsystem-17/tekst-wo-civil-rossiya.htm (дата обращения: 04.07.2013).

Богданов Максим Борисович, канд. техн. наук, доц., Россия, Тула, Тульский государственный университет

CALCULATION OF THE ACCELERATION OF GRAVITY IN AIRCRAFT STRAPDO WN NA VIGA TION SYSTEM

M.B. Bogdanov

The article is devoted to the problem of computing on board an aircraft, the acceleration of gravity. Based on a comparative analysis of the expression to calculate the acceleration of the normal force of gravity, gravity anomaly map selection and expressions to account for the altitude, the mathematical model of the process of calculating the acceleration of gravity. For the common terrestrial ellipsoid ПЗ-90.02 model coefficients are calculated. The estimation methodology and tool errors model.

Key words: acceleration of gravity, strapdown inertial navigation system, common terrestrial ellipsoid.

Bogdanov Maksim Borisovich, candidate of technical science, docent, Russia, Tula, Tula State University