Восстановление пропущенных значений сигнала во время калибровки измерительных систем

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014

УДК 004.052.4

К. А. КОРОЛЁВА

Омский государственный университет путей сообщения

ВОССТАНОВЛЕНИЕ

ПРОПУЩЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СИГНАЛА ВО ВРЕМЯ КАЛИБРОВКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ_________________________

Рассмотрен алгоритм полиномиальной интерполяции для аналого-цифрового преобразователя с длительностью калибровки 1 мс. Приведен пример восстановления пропущенных значений для обеспечения заданной точности обработки входного сигнала.

Ключевые слова: калибровка, АЦП, интерполяция.

Задачи статистической обработки многомерных данных в последние годы приобрели особую актуальность. Одним из известных примеров таких данных является мультимедийная информация, получаемая со спутников. Спутниковые системы — это сеть постоянно действующих станций, осуществляющих сбор измерительной информации в автоматическом режиме. Вся передаваемая измерительная информация в этой сети представлена в цифровой форме. В качестве передаваемой информации могут быть изображения поверхности Земли со спутника. Решение задач автоматической обработки спутниковых изображений является достаточно важным вопросом в связи с широким распространением методов регистрации участков земной поверхности и общим объемом уже накопленной и получаемой информации. Особый интерес представляет получение высококачественных изображений с минимальным количеством артефактов. Этот интерес обусловлен необходимостью проведения дополнительных процедур цифровой обработки спутниковых изображений.

Очевидно, что такая информация должна отображаться максимально точно, и для этого необходима постоянная калибровка оборудования для снижения возможной систематической погрешности. Однако вместе с этим происходит потеря значений сигнала на определенном интервале времени, что вносит искажения при проведении дальнейших операций и, безусловно, отрицательно сказывается на визуализации процесса.

Решением данной проблемы является восстановление потерянных значений путем их интерполяции по ближайшим известным [1—2].

Целью статьи является рассмотрение возможности интерполяции пропущенных в результате калибровки значений сигнала, используя интерполяцию полиномом третьей степени, а также вычисление среднеквадратической ошибки интерполяции.

Задача восстановления аналогового сигнала по его дискретным отсчётам, с точки зрения математики, это не что иное, как хорошо известная задача интерполяции непрерывной функции Р(х) по конечному числу N её точек. Пусть в точках х0, х1,. хх№ таких, что а<х<х1 < ... <х^Ъ, известны значения функции у=Цх), то есть на отрезке [а, Ъ] задана табличная функция. Эти точки, в которых значение функции задано, называются узлами интерполяции.

В самих узлах значения аппроксимирующих функций должны совпадать с заданными значениями исходной функции.

При интерполяции тригонометрических функций наиболее подходящим представлением будет аппроксимация гладкой функцией [3]. Такое решение даёт, например, метод полиномиальной интерполяции. Идея метода состоит в том, что исходная функция аппроксимируется многочленом третьей степени, т.е. функцией вида:

у=а0+а1х+а2х2+а3х3.

При этом значение интерполирующей функции совпадает со значениями рассматриваемой функции в узлах интерполяции [4]. На основании данного условия составляется система линейных уравнений вида:

а0 + а1х1 + а2 х12 +...+ ап+1 х1П = У1

а0 + а1х2 + а2х 22 +...+ ап+1х 2П = У 2

‘ а0 + а1х3 + а2х32 +...+ ап+1х3П = У3

а0 + а1хп+1 + а2 хп+12 +...+ ап+1хп+1" = Уп+1

При реализации интерполяционной процедуры коэффициенты полинома ак находятся решением (2) каким-либо численным методом.

Теперь рассмотрим аналого-цифровой преобразователь, время, необходимое для калибровки которого составляет 1 мс. При частоте дискретизации 8 кГц мы имеем потерю восьми отсчетов на период. В зависимости от того, как часто производить калибровку значений, будет изменяться значение общей погрешности представления сигнала. На рис. 1 показан общий смысл калибровки АЦП: в течение времени Тк значения на входе АЦП не фиксируются, в это время происходит калибровка, то есть автоматическая компенсация ошибок смещения и усиления. Интервал между калибровками Тс не определен.

Изменяя соотношение Тс и Тк, мы изменяем скважность процесса калибровки. Очевидно, что, если калибровку АЦП делать чаще, скважность уменьшится, но тем самым повысится точность преобразования.

Рассмотрим, существенно ли применение интерполяции пропущенных при калибровке АЦП зна-

1

Рис. 1. График у=8Іп£, Тя — время калибровки АЦП

чении снижает величину погрешности представления сигнала.

На вход АЦП подаем сигнал (как показано на рис. 2):

40

у = 1 аі • »п(2рЛ' + Фі ь і= 1

представляющий собой сумму из 40 синусоид различной амплитуды, с различной фазой, частотой 50 Гц, суммарное значение амплитуд неосновных гармоник не превышает 20 % от частоты несущей:

Аі >.

40

— 10000/9у10 + 800у11)-хп +

+ (128000000/9у1 - 152000000/9у2 +

+ 88000000/9у10-64000000/9у11 )-хп2 +

+ (-51200000000/9у1 + 64000000000/9у2 -- 64000000000/9у10 + 51200000000/9у11)-хп3.

Моделируя калибровку АЦП, исключим значения сигнала у3, у4, у5 ... у9. В соответствии с описанным методом интерполяции полиномом третьей степени, для нахождения пропущенных значений воспользуемся известными значениями сигнала У1, У2, У10, У11, а также примем во внимание, что значения х известны. В программной реализации интервал между отсчетами составляет 0,000125. Подставив в матрицу значения х, найдем решение в общем виде для неизвестных коэффициентов матрицы А.

У1

-87200/9у1 + 1000у2 - 10000/9у10 + 800у11

[А] = 128000000 / 9у1 -152000000у2 -

- 88000000/ 9у10 - 64000000/ 9у11

-51200000000/ 9у1 +64000000000у2 --64000000000/ 9у10 + 51200000000/9у11

Тогда, для нахождения значения сигнала в произвольной точке, требуется решить уравнение:

уп = у1+( — 87200/9у1 + 1000у2 —

График входного и интерполированного сигнала приведен на рис. 3.

Как видно из рис. 3, отклонение интерполированного сигнала от входного незначительно, для лучшей наглядности на рис. 4 показан увеличенный интерполированный участок сигнала.

Значения уп могут быть вычислены в любой точке отрезка [ а, Ъ], на котором определен сигнал, то в этом случае можно исследовать качество получающегося приближения, например, найдя максимальное среднеквадратическое отклонение уп от значений функции !(х). На качество приближения сильное влияние оказывает количество и расположение узлов, а также гладкость функции !(х).

Так как входной сигнал ненормирован, для определения ошибки интерполяции следует произвести нормирование значений. Для этого найдем квадрат нормы сигнала:

Т 1 40

||2 =|—IАі2  8Іп2(2р/і + фі)<їх = 0 Т і=1

40 1 1

= І| —А2  $іп2(2кії + фі)їх = і=1 0 Т

IТ1А.2 .1 -соя2(2кй + Фі) їх = і=1 0 Т °

= !([ —Аі 2їх + Г і А,2 • С°82(2р/і + Фі ) 1Х) =

“ ^ J О'Т’ т ~

і=1 0

2Т

0

40 40 2

=1 -1 А, 2(Т - 0)=1^.

і=1 2Т і=1 2

2

і=2

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

189

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014

номер отсчета

Рис. 2. График входного сигнала

номер отсчета

Рис. 3. Графики входного и интерполированного сигнала на периоде

номер отсчета

Рис. 4. Графики входного и интерполированного сигнала в течение калибровки

О

а

й

х

к

к

ч

0>

и

номер измерения

Рис. 5. Распределение среднеквадратичной ошибки интерполяции

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014

Библиографический список

1. Грицутенко С. С. Метод линеаризации характеристики преобразования АЦП / С. С. Грицутенко, А. Г. Панюков // Известия Транссиба. — 2012. — № 1 (9). — С. 78 — 83.

2. Грицутенко, С. С. Адекватность использования аналогий в цифровой обработке сигналов / С. С. Грицутенко // Известия Транссиба. 2010. - № 2 (2). -С. 80-86.

3. Грицутенко, С. С. Метод расширения динамического диапазона при аналого-цифровом преобразовании / С. С. Грицутенко, Э. А. Бибердорф, К. А. Фирсанов // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. — 2010. — № 2 (90). - С. 200-202.

4. Грузман, И. С. Цифровая обработка изображений в информационных системах / И. С. Грузман, В. С. Киричук. -Новосибирск : НГТУ, 2002. - 351 с.

КОРОЛЁВА Ксения Андреевна, аспирантка кафедры «Системы передачи информации».

Адрес для переписки: jokie-ksu@mail.ru

Статья поступила в редакцию 29.05.2013 г.

© К. А. Королёва

Информация

Конкурс на поддержку участия в конференциях и сезонных школах в области информатики 2014 года

Фонд некоммерческих программ «Династия» сообщает о приеме заявок на поддержку участия в конференциях и сезонных школах в области информатики 2014 года.

Этот конкурс фонд «Династия» проводит с 2013 года при финансовой поддержке основателей компании «Яндекс» и содействии фонда «Современное естествознание».

Цель конкурса: предоставление лучшим молодым ученым, ведущим научную деятельность в сфере информатики (computer science), возможности участвовать в сезонных школах и конференциях (далее — конференции).

Принимаются заявки на поддержку участия в конференциях и школах в области информатики, которые пройдут по 31 декабря 2014 года.

Результаты конкурса будут подводиться по мере поступления заявок.

Условия конкурса

1. В конкурсе могут участвовать граждане Российской Федерации и стран СНГ, которые на момент объявления конкурса не достигли возраста 45 лет (аспиранты, молодые ученые, обучающиеся или работающие в российских высших учебных заведениях и научных организациях), осуществляющие научную деятельность в различных областях информатики (computer science).

2. При отборе победителей конкурса приоритетными будут считаться сезонные школы, конференции в следующих научных областях:

— computer vision (теория распознавания образов);

— алгоритмы, методы оптимизации, theoretical computer science (вычислительная наука и техника);

— machine learning (самообучающиеся системы), data mining (сбор и анализ данных);

— information Retrieval/Data Management/Human-Computer Interaction (поиск информации/управление данными/интерфейс «человек-компьютер »);

— computational Linguistics (компьютерная/вычислительная лингвистика);

— логические основы программирования и обработки информации;

— теория корректирующих кодов и криптография.

3. Победителям конкурса будут предоставляться гранты на участие в конференциях.

Сумма одного гранта не превышает 150 тыс. рублей.

Заявка оформляется и подается онлайн с помощью базы данных «Конкурсы» фонда «Династия». Подробная информация опубликована на сайте фонда «Династия»: http://www.dynastyfdn.com/grants/ comp_conferences

Детальная информация о конкурсе опубликована на сайте фонда «Династия»: http:// www.dynastyfdn.com/grants/comp_conferences

Источник: http://www.rsci.ru/grants/grant_news/299/235755.php

Для того чтобы проследить изменение среднеквадратичной ошибки интерполяции, произведем формирование случайного сигнала с учетом заданных параметров 1000 раз. Среднеквадратичную погрешность при каждом повторении рассчитаем по формуле:

RMSEk =

Е

n=3

40

1Е V

2 i =1 i

где £=[0;1000].

Зависимость среднеквадратичной ошибки от номера повторения приведена на рис. 5.

Среднеквадратичное значение погрешности интерполяции при проведении 1000 повторений в случае, приведенном на рис. 5, составляет 0,009. Таким образом, вносимая погрешность из-за неточности восстановления пропущенных значений составляет в среднем 0,9 % (максимально 3,7 %). Такой точности достаточно, чтобы АЦП соответствовал заявленной точности преобразования.

2

1

7