Параполное модельное множество

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2013. № 4

ЛОГИКА

В.О. Шангин

ПАРАПОЛНОЕ МОДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО**

В статье построено оригинальное модельное множество для парапол-ной логики РСотр (параполное модельное множество), которое является обобщением модельного множества, предложенного Я. Хинтиккой для классической логики высказываний.

Ключевые слова: модельное множество, множество Хинтикки, парапол-ная логика, паралогика, семантика, теория моделей, отмеченная формула.

V.O. S h a n g i п. Paracomplete model set

The author constructs an original model set for a paracomplete logic PComp (paracomplete model set) which is the generalization of the model set proposed by J. Hintikka for the classical propositional logic.

Key words: model set, Hintikka set, paracomplete logic, paralogic, semantics, model theory, signed formula.

Введение

Понятие «модельное множество» (множество, максимально насыщенное сверху вниз) было введено Я. Хинтиккой [/. Hintikka, 1957, р. 1—14] для классической логики. В дальнейшем модельное множество (в том числе для неклассических логик) стали называть множеством Хинтикки. Грубо говоря, модельное множество формул обладает некоторыми условиями (например, непротиворечивостью), позволяющими доказать его выполнимость, т.е. наличие модели, в которой все формулы из этого множества принимают значение «истина».

Модельные множества успешно применяются в теории доказательств. Например, с их помощью Р. Шмульян доказывает полноту построенных им исчислений для классической логики высказываний и предикатов [i?. Smullyan, 1965, p. 123—139]. Развивая подход Р. Шмульяна, М. Фиттинг использует модельные множества и коллекции модельных множеств для доказательства полноты предложенных им аналитических таблиц для интуиционистской и модальной

* Шангин Василий Олегович — кандидат философских наук, ассистент кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, тел.: 8 (495) 939-18-46; e-mail', shangin@pliilos.msu.ru

** Работа подготовлена при финансовой поддержке РГНФ (проект № 13-03-00088а).

логик [М. Fitting, 1969]. Результат В. Карнелли о систематизации любой конечнозначной логики с помощью предложенных им аналитических таблиц базируется на построении модельных множеств [W. Carnielli, 1987, vol. 52 (2), p. 473-493].

Долгое время считалось, что метод построения модельных множеств не применим к (автоматическому) поиску натурального вывода. Ситуация изменилась с появлением работ У. Сига и его учеников, где данный метод (косвенным образом) используется для доказательства полноты так называемых «промежуточных» исчислений, доказательство в которых затем трансформируется в доказательство в натуральном исчислении [W. Sieg, J. Byrnes, 1998, vol. 60 (1), p. 67—106]. Данная статья является продолжением серии статей, посвященных (автоматическому) поиску натурального вывода в классической и неклассической (в частности, временной) логиках, где метод построения модельных множеств применяется при доказательстве полноты алгоритмов [A. Bolotov, О. Grigoryev, V. Shangin, 2007, p. 47-58], [A. Bolotov, V. Shangin, 2012, vol. 21 (1), p. 1—24]. В частности, в указанной работе Болотова и Шангина [ibid.] построено оригинальное модельное множество для некоторой паранепротиворечивой логики (паранепротиворечивое модельное множество).

Статья структурирована следующим образом. В параграфе 1 задаются синтаксис и семантика для пропозициональной парапол-ной логики РСотр. Для связности изложения основного результата в параграфе 2 кратко описывается классический результат Хин-тикки. Параграф 3 содержит применение метода Хинтикки к логике РСотр: в нем построено параполное модельное множество с отмеченными формулами. Наконец, параграф 4 посвящен основному результату статьи — построению параполного модельного множества без отмеченных формул.

1. Логика РСотр: синтаксис и семантика

Задается стандартный пропозициональный язык L с алфавитом {pv q, г, р2, ..., (, ), &, V, з, —,}. Определение формулы языка L обычно. Буквы /1, В, С, D,AV ... обозначают произвольные формулы языка L. Буквы Г, А, X, Гх, ... обозначают произвольные конечные множества формул языка L. А = В есть сокращение для (А з В) & (В з А). Определение отмеченной формулы стандартно за небольшим исключением: мы будем писать «L4» («0А») вместо «1Л» («fA»), понимая при этом, что А оценивается как классически истинная и ложная соответственно. (В рассматриваемой нами логике РСотр мы будем писать «fA», понимая при этом, что А принимает третье истинностное значение <</>>.) Знак «•» обозначает конец доказа-

тельства. В работе мы используем пропозициональную параполную логику PComp [A. Avron, 1991, vol. 56(1), p. 276—294]. Определения паралогики, параполной логики см. [В.М. Попов, 2010, вып. 16, с. 205-220].

Определение. Аксиоматика PComp:

— Позитивный фрагмент классической логики высказываний;

--г-1/4 =А; -,(4 &B) = (-nAv -lВ); -ЦА vB) = (-nA& -В)\ -ЦА dJ) =

(л &

--4 з (4 з Я).

Правило вывода — модус поненс.

Определение. Связки PComp задаются следующими таблицами:

—1 А & 1 / 0 V 1 / 0 3 1 / 0

0 1 1 1 / 0 1 1 1 1 1 1 / 0

/ / / / / 0 / 1 / / / 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 1 / 0 0 1 1 1

Множество выделенных значений — множество {1}.

2. Построение модельного множества для классической логики

Мы начнем с результата Хинтикки для классической логики высказываний и дадим для наших целей определения модельного множества для формул и для отмеченных формул.

Определение (множества Хинтикки для классической логики без отмеченных формул). Множество X называется множеством Хинтикки, если для него выполняются следующие условия (Л и В суть произвольные формулы из X):

1. Неверно, что^4 g X и -A g X;

2. —,—А g X => A G X;

3.А&Ве X =>^4 g X и 5 g X; —¡(А & Д) g X => —A g X или —В g X;

4. Av Be X=>v4g X или В g X; —,(А v В) g X => -н/4 g X и —J? g X;

5.Az)Be X => -Л g X или В g X; -,(/4 з Д) g X => 4 g Хи -J? g X. Определение (множества Хинтикки для классической логики

для отмеченных формул). Множество X называется множеством Хинтикки, если для него выполняются следующие условия (А и В суть произвольные формулы из X):

1. Неверно, что 1Ае X и 0^4 g X;

2. 1—1/4 g X => OA G X; 0^4 G X => L4 G X;

3. l(A&B)e X=> L4g XhLBg X; 0(A&B)e X=>0^4g ХилиОЯс X;

4. L4v£g X=>L4g Хили 15g X; 0(AvB)e X=>0^4g Xh05g X;

5. 1(A=>£)e X^>0Ae Xили IBe X; 0(4зe X=> L4g ХиОВе X. Лемма Хинтикки. Любое модельное множество X выполнимо

[/. Hintikka, 1957, vol. XVII (2), p. 1-14].

3. Построение модельного множества для РСотр

с отмеченными формулами

В. Карнелли обобщил результат Хинтикки на некоторые неклассические логики, а именно он предложил общий метод построения модельного множества для любой конечнозначной табличной логики [W. Carnielli, 1987, vol. 52 (2), p. 473—493] (см. также распространение данного метода на натуральный вывод в: [М. Baaz, C.G. Fermuller, R. Zach, 1993, p. 208-213]).

Схематично данный метод состоит в следующем. Берем произвольную n-значную логику, п > 2. Все п истинностных значений этой логики «превращаются» в символы-отметки, и работа в дальнейшем идет только с отмеченными формулами. Условия для множества Хинтикки задаются с помощью табличного определения связок выбранной л-значной логики. Покажем, как данный метод применим к логике РСотр.

Определение (множества Хинтикки для логики РСотр для отмеченных формул). Множество X формул называется множеством Хинтикки, если для него выполняются следующие свойства (А и В суть произвольные формулы из X; полужирным отмечены специфические условия для РСотр):

1. Неверно, что 1А е X и 0/1 е X; неверно, что 1А е X и/А е X; неверно, что ОАе X и/Л е X;

2. l^A g X => OA G X; О^А еЕ^ЫЕ Х;/-пЛ ЕЕ^ЕЕ;

3. ЦА & В) g X => Ые X и IB е X; 0 (А & В) е X => ОАе X или ОВе X; fiA & Б) g X => (f/1 g X и IB е X) или (fA е X и fB е X) или (1Л g X и fB g X);

4. L4 v 5 g X => 1А g X или IB е X; 0 (A v 5) е X => 0/1 е X и ОВе X; .ДЛ v fi) е X => (f/1 е X и fB е X) или (/^ g X и Ой g X) или (0Л g X и fB g X);

5. 1 (/! 3 5) G X => 0/1 G X или 15 G X илиG X; 0 (/1 з 5) е X => 1А g X и 0 В g Х;/(Л 3fi)GX=>l/lGXH./BGX.

Лемма Хинтикки для логики РСотр. Любое модельное множество X выполнимо. Доказательство рутинно следует из табличных определений связок логики РСотр.

4. Построение модельного множества для РСотр

без отмеченных формул

Универсальность метода Карнелли одновременно является его недостатком. Во-первых, использование отмеченных формул не всегда необходимо, и множество Хинтикки для некоторой л-значной логики, естественно, строится без отмеченных формул. Во-вторых, метод Карнелли громоздок, ибо он жестко привязан к п истинност-

ным значениям данной логики. Таким образом, возрастание параметра п при построении множества Хинтикки ведет к необходимости формулировать п условий для &, п условий для V и т.д.

В третьих, из второго факта вытекает то, что в наихудшем случае в л-значной логике возможны п - 1 невыделенных значений, т.е. таких значений, которые не принимает ни одна общезначимая в данной логике формула. Поскольку метод Карнелли работает с аналитическими таблицами (одной из форматизаций метода от противного), в таком случае нужно построить все п - 1 аналитических таблиц, чтобы убедиться в общезначимости формулы. В-четвертых, мы особо отметим тот факт, что метод Карнелли (опять же в силу своей универсальности) не всегда показывает специфику конкретной л-значной логики.

Данная статья, будучи продолжением работы Болотова и Шан-гина [A. Bolotov, V. Shangin, 2012, vol. 21 (1), p. 1—24], свободна от указанных недостатков. Прежде всего, паранепротиворечивое [ibid.] и параполное (см. ниже) множества Хинтикки для пропозициональной трехзначной паранепротиворечивой логики PCont и для пропозициональной трехзначной параполной логики PComp, соответственно, строятся без отмеченных формул.

Кроме того, сравнение паранепротиворечивого (параподного) модельного множества без отмеченных формул с паранепротиво-речивым (параполным) модельным множеством для отмеченных формул показывает, что возрастание параметра (в данном случае в сравнении с классической логикой) не всегда приводит к необходимости формулировать дополнительные условия для пропозициональных связок. Читатель может сравнить число полужирных условий в определении множества Хинтикки для логики PComp для отмеченных формул (см. выше) и число полужирных условий в определении множества Хинтикки для логики PComp без отмеченных формул (см. ниже).

Отсутствию еще одного недостатка будет посвящено наше дальнейшее исследование, в котором мы применим построенное в данной статье параполное модельное множество к автоматическому поиску натурального вывода в параполной логике PComp. И наконец, предложенные в данной статье и в указанной работе [ibid.], модельные множества показывают специфические свойства рассматриваемых паралогик. Например, множество Хинтикки для логики PComp без отмеченных формул в работе Болотова и Шан-гина [ibid.] эксплицитно задает главное свойство паранепротиворечивой логики — диалетейю: наличие формулы и ее отрицания не является противоречием, которое приводит к тривиализации и возможности обосновать все, что угодно; наоборот, наличие в пара-непротиворечивом модельном множестве формул ри—,р позволяет

оценить р как «/», где «I» — это третье (неклассическое) значение паранепротиворечивой логики РСотр.

Определение (множества Хинтикки для логики РСотр без отмеченных формул). Множество X называется множеством Хинтикки, если для него выполняются следующие условия (А и В суть произвольные формулы из X; р — пропозициональная переменная, не входящая в X; полужирным отмечено специфическое условие для РСотр):

Случаи 1—4 являются классическими.

4. А з В е X => —А е X или В е X или Л з (/> & ^р) е X; —. (А з В) е X => А е X и -лВ е X.

Лемма Хинтикки для логики РСотр без отмеченных формул. Любое модельное множество X выполнимо. Доказательство ведется по числу формул в X и длине формулы в X.

Напомним, что формула^ принимает значение «1» в двух случаях: (а) если А е X и -А <£ X; (б) если А е X и А з (р & —,р) ё X; А принимает значение «О», если -А е X и А г X; А принимает значение <</>>, если А з (р & —р) е X, А <£ X, -А <£ X.

Отметим, что в силу конечности множества X и бесконечности алфавита языка /,, мы всегда найдем такую пропозициональную переменную р, которая не входит в X. Альтернативно мы могли бы использовать подход В.М. Попова [В.М. Попов, 2000, вып. XIV, с. 36—41], где происходит погружение классической пропозициональной логики в ее импликативный фрагмент и в импликатив-ный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики. Также альтернативой было бы введение в алфавит языка /, знака абсурда «/'» для обозначения невыполнимой формулы и, соответственно, появление нового вида формулы: А з Г.

Случаи 1—4 рассматриваются классически.

Рассмотрим случай 5, подслучай А з В е X.

Приписывание значения формуле А з В, с,(А з В), происходит следующим образом: если с,(А з В) = 1, то (5.1) ^А = 0 или (5.2) с,В= I или (5.3) =/

5.1. Согласно определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул, —А е X.

Таким образом, из имеющихся 16 случаев, в зависимости от того, А е X или —А е X или А з (р & —,р) е X или -А з (р & —,р) е X, исключаем случаи:

Восемь случаев, когда -А <£ X;

Четыре случая (из оставшихся восьми), когда А е X (по определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул, неверно, чтоу4 е X и -А е X);

Два случая (из оставшихся четырех), когда -А з (р & —¡р) е X (из -А е X и -А з (р & -^р) е X следует, что р & —,р е X, а значит,

ре X и —р g X, что невозможно по определению множества Хин-тикки для множества РСотр без отмеченных формул).

Остались два случая, отличающиеся между собою наличием формулы Л з (р & в X:

Случай 15:435g X, A i X, -A g X, А з (р & —,/>) g X, —.4 з (р & (É X.

Случай 16:4 з В g X, 4 <t X, -н4 g X, 4 з (р & —,/>) <t X, —.4 з (р & (É X.

Случай 16 рассматривается в классической логике: если ^(4 з В) = 1, то ^4 = 0.

В случае 15 ^4 = 0, учитывая, что из -А в логике РСотр следует 4 з (р & —,/>).

Случай 5.2. Согласно определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул, В g X.

Таким образом, из имеющихся 16 случаев, в зависимости от того, В g X или —1В g X или 5 з (р & —ip) g X или —1В з (р & —ip) g X, исключаем случаи:

Восемь случаев, когда В i X;

Четыре случая (из оставшихся восьми), когда S g X (по определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул, неверно, что В g X и S g X);

Два случая (из оставшихся четырех), когда В з (р & —¡р) g X (из В g X и 5 з (р & —ip) g X следует, что р & —,р g X, а значит, /> g X и —iP g X, что невозможно по определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул).

Остались два случая, отличающиеся между собою наличием формулы —1В з (р & —р) в X:

Случай 15:435g X, 5 g Х,^5з(р&^?)е Х,5з(р&

(É X.

Случай 16:435g X,5g X,-,5 з (р & ^р) £ Х,5з(р&

(É X.

Случай 16 рассматривается в классической логике: если ^(4 з В) = 1, то = 1.

В случае 15 \В = 1, учитывая, что из В в логике РСотр следует

—ьбз (р & —|Р).

Случай 5.3. Согласно определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул, 4 з (р & —р) g X.

Таким образом, из имеющихся 16 случаев, в зависимости от того, В g X или —1В g X или В з (р & —ip) g X или —l5 з (р & —р) g X, исключаем случаи:

Восемь случаев, когда4 з (р & -нр) g X;

Четыре случая (из оставшихся восьми), когда 4 g X (из 4 g X и 4 з (р & —р) g X следует, что р & —,р g X, а значит, ре Еи^е X,

что невозможно по определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул).

Один случай (из оставшихся четырех), когда —А е X, —А з (р & —р) е X (из —A g X и —А з (р & —р) е X следует, что р & —,р е X, а значит, ре X и —,/> е X, что невозможно по определению множества Хинтикки для множества РСотр без отмеченных формул).

Остались 3 случая:

Случай 14: /4 з В е X, /4 ¡ё X, -н/4 е X, /4 з (р & -^р) е X, -А з (р & —р) £ X (см. 5.1, случай 15).

Случай 15: А з В е X, А <£ X, -А <£ X, А з (р & -р) е X, -н/4 з (р & -пр) G X.

Случай 16: /4 з 5 g X, /4 g X, —Л <£ X, /4 з (р & —,/>) е X, -А з (р &

-тР) g X.

В случае 15 q/1 = J\ учитывая, что формула —А з (р & ^р) — это частный случай формулы С з (р & ^р).

В случае 16 q/1 =/ так как ^4 принимает значение «/», если Л з (р & —ip) g X, /4 g X, ^4 g X.»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Попов В.М. Погружение классической пропозициональной логики в ее импликативный фрагмент и в импликативный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики // Труды научно-исследовательского семинара логического центра ИФРАН. М., 2000. Вып. XIV

Попов В.М. Секвенциальные аксиоматизации простых паралогик // Логические исследования. М.; СПб., 2010. Вып. 16.

Avron A. Natural 3-valued logics: characterization and proof theory // Journal of Symbolic Logic. 1991. Vol. 56 (1).

Baaz M., Fermuller C.G., Zach R. Systematic construction of natural deduction systems for many-valued logics // The Proceedings of 23rd International Symposium on Multiple Valued Logic. Sacramento (CA). May 1993. Los Alamitos, 1993.

Bolotov A., Grigoryev O., Shangin V. Automated natural deduction for prepositional linear-time temporal logic // Proceedings of the 14th International Symposium on Temporal Representation and Reasoning. Alicante, Spain, June 28—June 30. 2007.

Bolotov A., Shangin V. Natural deduction system in paraconsistent setting: proof search for PCont // Journal of Intelligent Systems. 2012. Vol. 21 (1).

Carnielli W. Systematization of the finite many-valued logics through the method of tableaux // Journal of Symbolic Logic. 1987. Vol. 52 (2).

Fitting M. Intuitionistic logic, model theory and forcing. Amsterdam, 1969.

Hintikka J. A new approach to sentential logic // Societas Scientarium Fennica Commentationes Physico-Mathematicae. 1957. Vol. XVII (2).

Sieg W., Byrnes J. Normal natural deduction proofs (in classical logic) // Studia Logica. 1998. Vol. 60 (1).

Smullyan KM. Analytic natural deduction // Journal of Symbolic Logic. 1965. Vol. 30 (2).