Новая методика исследования функций в контексте фундаментализации математического образования

НОВАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ В КОНТЕКСТЕ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

A NEW METHOD OF STUDY OF FUNCTIONS IN THE CONTEXT OF FUNDAMENTALIZATION OF MATHEMATICAL EDUCATION

А. Д. Новиков

В результате анализа традиционного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание автор статьи приходит к выводу о наличии в нем неустранимых противоречий. В качестве альтернативного подхода в контексте фундаментализации математического образования предлагается новая концепция исследования функций, в основу которой положена классификация точек их области определения. Разработаны адекватный инструментарий, схема и методика исследования функций.

A. D. Novikov

Analysing the traditional approach to the study of functions on the decrease and increase, the author concludes that it contains fatal contradictions. As an alternative approach in the context of fundamentalization of mathematical education he suggests a new approach to studying functions, one based on classification of points of their domain. The author presents adequate tools, scheme and functions study method.

Ключевые слова: исследование функций, фундамен- Keywords: study of functions, fundamentalization of тализация математического образования. mathematical education.

В условиях всемирной глобализации, стремительного расширения информационного пространства и насущной потребности стран в развитии инновационных технологий особую актуальность приобретает наращивание научного потенциала, в частности, через подготовку высококвалифицированных специалистов. Однако взаимодействие образовательных систем различных стран существенно осложняется различиями образовательных стандартов, уровней образования и качества учебных программ. Поэтому с целью построения единого европейского пространства высшего образования была составлена Болонская декларация, подписанная представителями 29 стран Европы.

Одной из основных целей декларации является формирование европейской системы обеспечения качества образования. Важнейшим компонентом, обеспечивающим высокое качество образования, является непрерывный процесс его фундаментализации. Фундаментализа-ция среднего и высшего образования - это сложный процесс, основой которого является сближение и интеграция образовательного процесса с научными знаниями в соответствующей области специализации. Значительную роль в этом процессе отводится методике обучения и воспитания как научной области педагогики.

Фундаментализация математического образования в высшей школе и старших классах средней школы предполагает использование в процессе глубокого и основательного изучения математических дисциплин, новых научных исследований и достижений математики, создание оптимальных условий для воспитания у школьников и студентов гибкого научного мышления. Существенную роль в таком образовательном процессе игра-

ют современные достижения методики обучения математике. При этом методика преподавания математики способна не только оптимизировать процесс обучения, но и в контексте фундаментализации математического образования находить и исправлять, а иногда и заменять те традиционные подходы к изучению конкретных тем и разделов математики, которые по тем или иным причинам начинают входить в противоречие с современным ее содержанием. Основными критериями такой методической работы являются требования, предъявляемые к любой научной теории, - это требования полноты и непротиворечивости предлагаемых новых концепций и соответствующих подходов при изучении некоторых тем и разделов математики.

Введение элементов математического анализа в школьный курс математики не только позволило существенно углубить и расширить математическую подготовку выпускников школ, но и открыло возможность детально проанализировать традиционные концепцию и подход к изучению функций на убывание и возрастание. Как показано ниже, этот подход содержит неустранимые в его рамках логические противоречия. Однако, используя понятия точек убывания и возрастания функции, введенные в математику значительно позже понятий убывающей и возрастающей функций, мы разработали новую концепцию и соответствующий подход к исследованию функций на убывание и возрастание, позволяющий полно и без противоречий проводить это исследование.

В учебно-методической литературе по математическому анализу под основной задачей исследования функций на возрастание и убывание понимается определение

43

множеств, на которых рассматриваемая функция соответственно возрастает и убывает. В школьном курсе алгебры и начал математического анализа [1] под этими множествами понимаются промежутки убывания и возрастания функций. В вузовских курсах математического анализа и высшей математики в ходе исследования кроме промежутков убывания и возрастания функций находят также отдельные точки возрастания и убывания функции. Проанализируем эту ситуацию.

Прежде всего, заметим, что в средней школе в конце 1980-х гг. понятия точек возрастания и убывания функции были вообще изъяты из учебников по алгебре и началам анализа. Это привело к невозможности полноценного исследования в школе функций на возрастание и убывание и вызвало серьезную озабоченность и справедливые нарекания учителей средней школы и преподавателей вузов.

В статье [2] А. Я. Блох, отвечая на вопрос учителей о включении или нет точек экстремума в промежутки возрастания (убывания) функции, пишет: «...одна и та же экстремальная точка принадлежит сразу двум множествам: одному из промежутков возрастания и одному из промежутков убывания функции». И далее автор приводит пример исследования на монотонность функции у = х2. По его мнению, исследование функций на монотонность сводится к нахождению их промежутков убывания и возрастания. Поэтому данная функция, как он считает, убывает на полуинтервале (-да; о] и возрастает на полуинтервале [0; + да).

Отнесемся к этому выводу критически и исследуем процесс получения такого результата. Первая часть утверждения получена в результате применения определения функции, убывающей на множестве к функции у = х2 с областью определения (-да;0] , а вторая - в результате применения определения возрастающей на множестве функции к функции у = х2 и областью определения [0; + да). Возникает естественный вопрос: а где же исследование заявленной функции у = х2 с областью определения (-да, + да)? Его просто нет. Ведь в ходе такого «исследования» потерян сам его объект - исследуемая функция. Дело в том, что исследованием двух, отличных от заявленной, функций нельзя заменить исследования этой функции. В самом деле, хотя все три функции задаются одинаковой формулой, они имеют различные области определения. Если же определения монотонных на множестве функций применить к функции у = х2 с областью определения (-да, +да), то единственный результат, который может быть получен на основе этих определений таков: функция у = х2 с областью определения (-да, +да) не является монотонной. Аналогичная ситуация складывается и при исследовании любой другой функции, имеющей как точки возрастания, так и точки убывания.

Более того, как будет показано ниже, выбор инструментария исследования (определения монотонных функций и точек убывания и возрастания функции) неадекватен поставленной задаче. Действитель-

44

но, пользуясь определениями возрастающей и убывающей на множестве функции, можно лишь выяснить, является ли исследуемая функция возрастающей или убывающей. И не более того, что следует из самой сути этих определений.

Сказанное выше позволяет утверждать, что существует серьезная методическая проблема в самой концепции (постановка задачи, инструментарий) подхода к исследованию функций действительной переменной на убывание и возрастание. Именно разработке новой, полной и непротиворечивой концепции и соответствующего подхода к исследованию функций посвящена эта работа.

Направление поиска и формирования новой концепции и подхода к исследованию функций на убывание и возрастание можно увидеть, изучая дифференцируемые функции. Например, функция у = X имеет производную у' = --Хт < 0 на всей области определения данной функции, то есть для всех точек множества В = (-да, 0)и (0, + да), каждая точка которого является точкой убывания этой функции. Поэтому эту область В и будем считать областью убывания данной функции. В то же время функция у = X с областью определения В(у) = (-да, 0)и (0, +да) не является убывающей, так как не удовлетворяет соответствующему определению убывающей функции. Итак, говорить, что эта функция является убывающей на промежутках (-да, 0) и (0, +да) бессмысленно, поскольку тогда на самом деле речь пойдет уже не об этой функции, а о двух других функциях: у = X с областью определения В = (-да, 0) и у = X с областью определения (0, +да). Итак, найденную область убывания данной функции и будем считать результатом исследования, поскольку эта область совпадает с областью ее определения.

Поэтому, опираясь на изложенное выше, мы предлагаем исследовать функции на убывание и возрастание на основе другой, непротиворечивой системы определений, считая основной задачей такого исследования определение областей возрастания и убывания функций [3].

Определение 1. Областью возрастания (убывания) функции называется множество точек возрастания (убывания) этой функции.

Определения точек возрастания и убывания функций приведены в [4, с. 224] и [5, с. 175], где используется понятие 5-окрестности точки. Однако в силу симметрии 5-окрестности относительно исследуемой точки х0 в случае дискретных функций с ее помощью далеко не всегда можно найти все точки возрастания (убывания) функции.

Приведем формулировки обобщенных определений точек убывания и возрастания функции.

Определение 2. Точка х0 области определения функции у = /(х) называется точкой убывания, если существует такая окрестность этой точки (х0 - 81, х0 + 52), в которой /(х) > /(х0) при х < х0, х е В(/) и / (х) < / (х0) при х > х0, х е В( /).

Определение3. Точка х0 области определения функции у = /(х) называется точкой возрастания, если существует такая окрестность этой точки (х0 - 51, х0 + 52), в которой /(х) < /(х0) при х < х0, х е Б(/) и /(х) > /(х0) при х > хо, х е Б(/).

Определение 4. Точка х0 называется точкой убывания функции у = /(х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки [х0, х0 + 5 ) ((х0 - 5, х0 ]), в которой /(х) < /(х0) (/(х) > /(х0)) при х > х0 (х < х0), х е О( /).

Определение 5. Точка х0 называется точкой возрастания функции у = /(х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки [х0, х0 + 5 ) ((х0 - 5, х0 ]), в которой /(х) > /(х0) (/(х) < /(х0)) при х > х0 (х < х0), х е Б( /).

Остановимся далее на выявлении точек, в которых функция нестрого убывает или возрастает. Для этого достаточно воспользоваться системой определений, аналогичной системе определений 2-5.

Рассмотрим пример исследования такой функции, график которой изображен на рис. 1, имеет область нестрогого убывания Д = [а, с] и область нестрогого возрастания = [Ь, d]. Отсюда видно, что отрезок, параллельный оси (х) входит как в область нестрогого убывания функции, так и в область нестрогого ее возрастания, то есть не классифицируется. Поэтому разумно ввести понятие области постоянства функции В_.

Определение 6. Областью постоянства функции называется объединение множеств точек области определения функции, каждое из которых включает в себя не менее двух точек, в которых значения функции одинаковы.

Ь с Рис. 1.

Как и для выявления точек убывания и возрастания функции, в качестве инструментария выявления точек постоянства функции используются окрестности то_ чек (в некоторых случа-

х ях - замкнутые).

Определения 2-6 вместе с определениями точек экстремумов позволяют при исследовании функции на возрастание и убывание разбить все точки ее области определения на шесть непересекающихся классов точек: область убывания, область возрастания, область постоянства, точки минимума, точки максимума и точки, не входящие в первые пять классов.

Таким образом, предлагаемый нами подход к исследованию функций на возрастание и убывание представляет собой полноценную и, скорее всего, безальтернативную схему, позволяющую классифицировать все точки области определения исследуемой функции (рис. 2).

Используя определения 2-6, нетрудно получить следующие результаты исследования функции, график которой изображен на рис.1: область убывания О г = [а, Ь), область постоянства 0_ =[Ь, с] , область возрастания О = (с, d].

Определения нестрого возрастающих и убывающих функций, как видно из приведенного примера, становятся излишними ввиду того, что было выполнено более детальное исследование функции.

Заметим также, что при определении области убывания (возрастания) функции в качестве инструмента классификации необходимо пользоваться двусторонней

Точки убывания функции

Точки постоянства функции

Точки возрастания функции

Область определения функции И

Точки минимума функции

12. Остальные точки функции

Точки максимума функции

Рис. 2. Схема классификации точек области определения функции

45

окрестностью исследуемой точки. И только при классификации точек, соответствующих наименьшему и наибольшему значениям аргумента (если они существуют) используются односторонние окрестности этих точек. В качестве универсального инструмента, позволяющего найти все точки постоянства функции, следует пользоваться замкнутыми окрестностями исследуемых точек.

Таким образом, в данной работе нами предложены новая, непротиворечивая концепция, соответствующий подход и инструментарий исследования функций действительной переменной на убывание и возрастание. Оновная задача такого исследования заключается в классификации точек области определения изучаемой функции. Это, в свою очередь, говорит о необходимости возвращения понятий точек убывания и возрастания функций в курс математики средней школы.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Колмогоров А. Н, Абрамов А. М, Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2004.

2. Блох А. Я. Возрастание функции в точке и на множестве // Математика в школе. - 1978. -№ 6.

3. Новиков А. Д. Возрастание и убывание функций на дискретных множествах // Высшее образование сегодня. - 2008. - № 12.

4. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс: В 3 т. -Т.1. - М.: Изд-во МГУ, 1985.

5. Райков Д. А. Одномерный математический анализ: Учеб. пособие. - М.: Высш. школа, 1982.

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ С ТЕКСТАМИ ПУБЛИЦИСТИЧЕСКОГО СТИЛЯ ПРИ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ К НАПИСАНИЮ СЖАТОГО ИЗЛОЖЕНИЯ В ФОРМАТЕ ГИА 9

SOME PECULIARITIES OF WORKING WITH ESSAYS DURING THE STUDENTS' TRAINING IN WRITING A COMPRESSED EXPOSITION IN THE FORM OF STATE FINAL ASSESSMENT -THE 9tn FORM

Е. Л. Алешникова

В статье анализируется структура публицистических текстов и причины трудностей, возникающих у учащихся при их информационной обработке. Выявлены условия успешного написания текста сжатого изложения.

Ключевые слова: публицистический текст, ГИА 9, сжатое изложение, модель текста-рассуждения.

E. L. Aleshnikova

The article analyses the structure of essays, as well as the causes of difficulties which students typically face during their information processing. The author describes conditions for successful writing of a compressed exposition.

Keywords: essays, state final assessment of progress for the 9th form, exposition in a compressed form, a model of an argumentative text.

На этапе итоговой аттестации учащихся 9-х классов по русскому языку особую важность приобретает работа с публицистическим текстом в процессе написания сжатого изложения. Как организовать работу с таким текстом, какие факторы влияют на успешность его написания - эти вопросы мы рассмотрим в нашей статье.

Экзаменационная работа состоит из трех частей (см. Демонстрационный вариант экзаменационной работы для проведения в 2010 г. государственной (итоговой) аттестации (в новой форме) по русскому языку обучающихся, освоивших основные общеобразовательные программы основного общего образования, опубликованный на сайтах ФИПИ (http:// fipi.ru). Первой частью работы является часть С1 - написание

46

сжатого изложение по прослушанному тексту. Изложение как вид учебной и аттестационной работы позволяет ученику в затруднительных случаях «произвести лексические или грамматические замены и избежать некоторых ошибок, обнаруживая свободное владение родным языком» [1, с. 103].

Как правило, предлагаемый для аудирования текст изложения относится к публицистическому стилю. При обучении школьников информационной обработке подобного текста следует расширить и углубить знания об особенностях публицистических текстов. Кроме того, следует учитывать характерные для публицистических текстов лингвистические и экстралингвистические факторы.