Моделирование распределенной информационной системы на основе сети массового обслуживания

УДК 681.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Д.В. Макаров, В.Л. Бурковский

В статье рассматриваются модели анализа характеристик неоднородной замкнутой сети массового обслуживания (СеМО) с вероятностями перехода, зависящими от состояния сети. Предложен алгоритм, позволяющий формировать СеМО распределенной информационной системы с использованием моделей ее элементов

Ключевые слова: структурная модель, математическая модель, сеть массового обслуживания, узел обработки транзакций, СеМО

Введение

Математическая модель распределенной информационной системы в формате сети массового обслуживания (СеМО) имеет главную особенность, обусловленную наличием большого количества циркулирующих классов заявок. Введение классов заявок необходимо по двум причинам:

1. Для каждого класса в модели имеется своя матрица маршрутов, которая отражает информационные потоки, циркулирующие внутри системы.

2. Для каждого класса заявок имеется свое распределение времени обслуживания в узле.

Моделирование процессов обработки запросов не зависит от классов на уровне обработки выборки запросов, которые в свою очередь имеют одинаковое распределение длительностей обслуживания. Поэтому моделирование обработки запросов занимает более низкий уровень абстракции относительно реального устройства и появляется возможность более точно описать взаимодействие между элементами распределенной

информационной системы. С помощью такого подхода также существенно упрощаются последовательности вычисления основных характеристик модели системы. Если существует возможность эквивалентного преобразования модели, за счет замены узла с различным временным распределением обслуживания на аналогичный элемент сети, но с одинаковым распределением длительности обслуживания для каждого класса, то целесообразно воспользоваться предложенным подходом. Дисциплина «Первым пришел - первым обслужен» является элементарной с точки зрения расчета характеристик. Поэтому данная дисциплина применима в качестве дисциплины обслуживания в рамках предложенного подхода.

Описание модели СеМО

Рассмотрим некоторый узел СеМО. Интенсивность обслуживания обозначим ц, а интенсивность пуассоновского входящего потока

Макаров Дмитрий Викторович - ВГТУ, начальник отдела ИСК, e-mail: makarov@otonit.vorstu.ru Бурковский Виктор Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: bvl@vorstu.ru

заявок X. Внутренняя архитектура узла такова, что внутри него происходит обслуживание заявок, находящихся на более низком уровне. То есть в рамках обработки одной заявки, находящейся в составе узла, происходит обработка нескольких заявок внутри него (рис. 1). Обработка заявок производиться внутри узла. Интенсивность обслуживания обработки обозначим ц . Требуется найти такое преобразование внутренней структуры узла, при котором среднее время, приходящееся на обслуживание входящей заявки остается постоянным, а также количество заявок, которые в данный момент находятся на обслуживании в узле, остается неизменным. Должно быть выполнено условие постоянства количества заявок для составления уравнений локального и глобального баланса. Выполнение этого условия необходимо для возможности эффективного расчета параметров системы.

N, T, ц

X

N , T , ц

О

Рис. 1. Структурная модель устройства обработки заявок

Через интенсивность обслуживания и интенсивность входного потока можно выразить такие характеристики системы как среднее время обслуживание Т и среднюю длину очереди N.

N--

X

Р

р-X 1-р

T =

р(1 -рр (р-ХУ

где р- загрузка (утилизация) р=Х/ц. Рассмотрим узел, структура которого приведена на рис. 2.

Заявки, которые покидают внутренний узел, с вероятностью Рв возвращаются в начало очереди и с вероятностью 1-Рв покидают узел. Поток заявок поступает во внутренний узел с интенсивностью X . Данный поток в свою очередь состоит из двух потоков заявок - поступившие в узел X и отправленные на повторное обслуживание.

1

1

N т, д

Рис. 2. Структурная модель эквивалентного узла Через значение интенсивности потока X, входящего в узел, можно выразить значение интенсивности внутреннего потока X и на основе этого составить уравнение. Интенсивность потока, который отправлен на повторное обслуживание, получаем равной РВХ . Следовательно, интенсивность входного потока получаем равной 1= 1* (1 - Рв ) ,

а внутреннего потока:

1 =-

Для времени обслуживания каждой заявки

внутри узла получаем следующее выражение:

Т '= 1

У -1*)

Подставляя в (3) выражение (4) получим:

Т ' =

1

1 - Р

У

1

"Мв)

У (1 - Рв )-1

Через время обслуживания заявки во внутреннем узле обслуживания выразим общее время пребывания заявки в узле. После того как заявка будет обслужена во внутреннем узле она покидает узел с вероятностью 1-Рв или с вероятностью Рв возвращается в начало очереди, после чего с вероятностью 1-Рв может покинуть устройство обработки транзакций и т.д. Из этого следует, что вероятность того, что заявка п раз получит обслуживание внутренним устройством, перед тем как покинуть узел, равна

Р

Количество обслуживаний заявки внутренним устройством имеет прямую зависимость со временем обслуживания. Время обслуживания

равно

Т'п

Среднее время обслуживания в этом

случае равно

Т* = £пТ'Р (п) = Т£п (1 - Рв рВ-1 = (1 - Рв )Т£пРП-1.

п=1 п=1 п=1

Определим далее сумму ряда:

5 = £ п С-1 = 1 + 2q + 3q2 + ... + п с[-1 =

(1 + q + q2 + ... + С)+ q(1 + q + q2 + ... + С) + q2 (1 + q + q2 + ... + С ) = (1 + q + ,2 + ... + ,п )-(1 + q + ,г + ...+ ,п ,п ) =

_1__1_ = 1

1 - , 1 - , (1 - ,)2

Полученный ряд представлен произведением двух бесконечно убывающих (при 0^<1) геометрических прогрессий. Используя результат, полученный в (8) и преобразуя (7) получим:

Т* = (1 - Рв )Т '£пРвп-1 = (1 - Рв )Т '

1

Т

(1 - Рв )2 (! - рв )'

Подставляя (4) в (9), определим среднюю длительность обслуживания узла с рассматриваемой структурой:

1 - Р.

1

1

У (1 - Рв )-1 (1 - Рв ) У (1 - Рв )-1

Узел с преобразованной структурой должен быть эквивалентен исходному узлу по характеристикам. Это необходимо для того, чтобы получить равенство длительности обслуживания в исходном узле и длительности обслуживания в преобразованном узле. Из равенств (2) и (10) вычислим вероятность перехода на повторное обслуживание:

Т = Т

1

1

У -1 у (1 - Рв ) -1 Значение вероятности перехода на повторное обслуживание можно выразить через значения интенсивности входящего и внутреннего потоков. В результате получаем:

Рв =

Рв =

У - У У '

1* -1

1 (12) Выразим вероятность повторного перехода через интенсивности потока входящих заявок X и интенсивность потока во внутренний центр обслуживания. При этом искомую вероятность можно вычислить по формуле (12). При этом интенсивность обслуживания в исходном и измененном узле связаны выражением:

У =

У

1 - Р.

Для того чтобы применить алгоритмы расчета характеристик модели, которые основаны на составлении уравнения баланса, необходимо условие равенства количества заявок в исходном узле и в эквивалентном ему. Проверим выполнение этого условия. Определим N по формуле:

N *

1

У -1

Подставим в выражение для интенсивности входного потока уравнение (3) и выражение для интенсивности обслуживания, полученное из (11), будем иметь:

1

N * =

1

У___1 У-1

= N.

Из полученного выражения следует, что

1

количество заявок внутри устройства обработки транзакций остается неизменным. Можно так же отметить, что преобразование не влияет на увеличение количества элементов сети, а только приведет к модификации матрицы вероятностей переходов. Это значит, что при использовании преобразования не произойдет увеличение операций при расчете характеристик модели.

Процесс замены узла на эквивалентный не оказывает влияния на основные характеристики всей модели. Для вычисления главных характеристик сети массового обслуживания, основой является матрица вероятностей переходов заявки, которая для исходной сети массового обслуживания имеет вид:

Р11 Р21 Р 1 N-11 Рм

Р12 Р 1 22 Р 1 N-12 Р 1 N 2

|Р| - Р13 Р23 Р 1 N-13 PN 3

Рш Р 1 2 N Р 1 N-1N Р 1 NN

В этой матрице элементу Рц соответствует вероятность перехода заявки после обслуживания из центра 1 в центр Из этого вытекает, что сумма элементов любого столбца матрицы равна

единице. Если узел с индексом 1 не заменить эквивалентным, то соответствующий элемент матрицы вероятностей переходов Р11 будет равным нулю. Если заменить узел на эквивалентный, то сумма вероятностей перехода в другие узлы должна стать равной (1-РВ11) с вероятностью перехода на повторное обслуживание Рв11.

Иначе, если в преобразованной матрице вероятностей переходов заменить 1-й узел, то все элементы 1-го столбца будут умножены на коэффициент (1-РВ11), а Р11 будет равным РВ11: Р11 .. Р1 (1 - РВи) .. Р*

Р

Р,

Р„,

РN

Р

РШ .. РМ (1 РБИ) .. Р№

Вероятности переходов входят в формулы в качестве коэффициентов х1=е1/ц1 и в явном виде не участвуют в формулах для вычисления основных характеристик СеМО. В этом случае ц1 -интенсивность обслуживания в узле е1 и вычисляется из системы уравнений (17):

¿е^ = е,; - 1м.

'-1

Если для СеМО не производить замену одного элемента системы уравнений (учитывая, что Р11=0), то она имеет вид:

1 (Р11 -1) +е2Р21 • +е,Р, • +е„Р„,

е1РИ +е2

+е Р ^ ¡1

+е Р ™' ¡2

+e¡

+е Р

N 2

•

Подставим в (18) преобразованную матрицу

вероятностей переходов (16), следующую систему уравнений:

тогда получим

е 1

е'Рг

+е

>

+е*Р1

+е*

•

Из вышеизложенного следует, что система уравнений (19) может быть получена из системы уравнений (18) умножением 1-го столбца на множитель (1-РВ11). Преобразование такого вида неизменно приведет к изменению решения системы уравнений. Коэффициент е 1 будет определять отличие полученного решения от решения системы исходной СеМО:

е*- е /

Вычислим динамические изменения коэффициентов х1. В измененной системе коэффициент х 1 будет равен:

* е. х.. --4

Р (21) Подставим в (21) выражения (13) и (20),

имеем:

Р

Р

Из вышесказанного можно сделать вывод, что если заменить элемент СеМО по предложенной схеме, то не произойдет изменение распределения вероятностей состояний сети, а следовательно и значений, которые вычисляются на основе матрицы состояний переходов.

Для того чтобы отразить обработку транзакций классов на одном и том же устройстве обработки транзакций, которые имеют различные интенсивности обслуживания, необходимо эквивалентное преобразование достижения этого в матрицах перехода заявок различных классов, которые соответствуют типам транзакций, нужно задать такие вероятности повторного обслуживания, чтобы полученная интенсивность обслуживания в преобразованном узле была одинакова для заявок всех классов.

узла. Для вероятностей

--------

-------------ц

X? ц

Хз

¿(у.

Х1

1

X?

Хз

Рис. 3. Устройство обслуживания с несколькими классами заявок

+е„ Р

2 21

еР,1

+е Р

22

е

е

х. -

е1 Р1 +е2 Р2

В качестве примера приведем узел, в который поступает п потоков заявок, которые имеют интенсивности Х1 и интенсивности обслуживания 1=(1,п). Устройство обработки нескольких классов заявок представлено на рис. 3.

Для преобразованного узла выберем такое значение интенсивности обслуживания, чтобы оно было больше или равно наибольшему значению интенсивности обслуживания для заявок всех классов. Рассчитаем вероятности возможности повторного обслуживания по формуле (12), на основе полученных расчетов заменим узел эквивалентным ему. В этом случае получим структуру преобразованного узла, вид которого показан на рисунке 4.

заявок Выводы

Формируя СеМО с вероятностями перехода заявки, которые зависят от состояния узлов, можно в мультипликативной форме выразить вероятность стационарного состояния.

Если учитывать зависимость вероятности перехода заявки от состояния узлов, то можно добавить функции передачи к сомножителям в мультипликативном выражении применимого для стационарного состояния сети. В случае если вероятности перехода не зависят от состояния узлов, то функции передачи принимают постоянное значение.

Исходя из маршрута заявки, согласно которому она переходит из узла и подкласса с фиксированным коэффициентом передачи, для каждого узла и подкласса определяются форма и значение функции передачи.

Для учета различной интенсивности

обслуживания заявок разных классов, для узлов с типом дисциплины обслуживания FIFO («первый пришел - первый обслужен») и для узлов, имеющих одинаковую интенсивность обслуживания для всех классов заявок, можно воспользоваться расширенным подходом к преобразованию структуры СеМО.

Литература

1. Кирпичников, А.П. Прикладная теория массового обслуживания [Текст] / А. П. Кирпичников. -Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 2008. - 118 с.

2. Штоян, Д. Качественные свойства и оценки стохастических моделей [Текст] / Д. Штоян. - М.: Мир, 1979. - 162 с.

3. Шварц, М. Сети ЭВМ. Анализ и проектирование [Текст] / М. Шварц. - М.: Радио и связь, 1981. - 336 с.

4. Бурковский, В.Л. Моделирование и анализ распределенных распределенных систем обработки информации [Текст] : монография / В.Л. Бурковский, А.Е. Соколов. - Воронеж : ВГТУ, 2002. - 148с.

5. Смолко, А.Е. Алгоритмизация задачи высоконадежного функционирования распределенных информационных систем управления [Текст] / А.Е. Смолко, В.Л. Бурковский // Современные проблемы информатизации: Тез. докл. IV Междунар. электронной науч. конф. Воронеж, 1999. - С. 170.

6. Соколов, А.Е. Метод преобразования стохастической модели системы обработки информации для применения эффективных алгоритмов анализа [Текст] / А.Е. Соколов, В.Л. Бурковский // Современные проблемы информатизации в технике и технологиях: сб. науч. тр. VI Междунар. открытой науч. конф. Воронеж, 2001. -С.79.

7. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей [Текст] / В.М. Вишневский. - М.: Техносфера, 2004. - 512с.

8. Соколов А.Е. Повышение отказоустойчивости современных распределенных систем обработки информации [Текст] / А.Е. Соколов, В.Л. Бурковский // Современные проблемы информатизации в непромышленной сфере и экономике: Сб. науч. тр. V Междунар. электронной науч. конф. Воронеж, 2000. -С.131.

9. Соколов, А.Е. Проблемы алгоритмизации формирования отказоустойчивых структур распределенной системы управления [Текст] / А.Е. Соколов, В.Л. Бурковский // Информационные технологии моделирования и управления: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж, 1999. -С.48-54.

Воронежский государственный технический университет

MODELLING OF THE DISTRIBUTED INFORMATION SYSTEM ON THE BASIS OF QUEUEING NETWORK

D.V. Makarov, V.L. Burkovsky

The article deals with the analysis of the characteristics of inhomogeneous closed queuing network with the transition probabilities, depending on network conditions. The algorithm allowing to form queuing network of the distributed information system with use of models of its elements is offered

Key words: structural model, a mathematical model, queuing network, transaction processing unit