Применение характеристической функции в расчетах схем записи голограммных оптических элементов

УДК 535.417

Ю.Ц. Батомункуев, Н.А. Мещеряков СГГ А, Новосибирск

ПРИМЕНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В РАСЧЕТАХ СХЕМ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Yu. Ts. Batomunkuev, N.A. Mescheryakov SSGA, Novosibirsk

APPLICATION OF THE CHARACTERISTICAL FUNCTION IN CALCULATIONS OF THE RECORDING SCHEMES OF THE HOLOGRAPHIC OPTICAL ELEMENTS

This a review report is devoted to calculations of the recording schemes of the holographic optical elements (HOE). The known facts are considered as consequences of the characteristical function. The recording schemes are considered for a nonaxial HOE, an axial HOE and an axial volume HOE. The expressions are presented for calculation of the original coordinates of the two spherical waves. It is shown, that the spherical aberration and coma (or another aberration of the third order) can be to correct by a choice of the coordinates of the point sources. It is noted, that a slope of the axial HOE allows to correct in addition one aberration of the third order.

Holography, holographic optical element, aberrations of the holograms, characteristical function.

Введение. Расчетам изображающих и аберрационных характеристик голограммных оптических элементов (ГОЭ) посвящено много работ, например [1-8]. В этих работах используется, как правило, метод характеристической функции или его модификация. Удобство метода характеристической функции заключается в возможности разложения этой функции в ряд по типам аберраций и получении выражений, позволяющих рассчитать условия возникновения изображений и все типы имеющих место аберраций. В то же время, очень важному с практической точки зрения вопросу, а именно, расчетам схем записи ГОЭ посвящено сравнительно мало работ, например [7-11]. Хотя выбор схемы записи определяет изображающие и аберрационные свойства ГОЭ, изготовленных голографическим методом.

Целью работы является обзор известных результатов расчета схем записи двумя сферическими волнами тонкого ГОЭ. Известные факты, изложенные в работе, рассмотрены с единой точки зрения как следствия применения метода характеристической функции.

Метод характеристической функции. Рассмотрим тонкий ГОЭ, оптическая ось которого совпадает с осью Oz декартовой системы координат, а центр находится в точке О. Известно [7], что характеристическую функцию V(x,y) тонкого ГОЭ можно разложить в ряд и представить в виде V(x,y) = Vo(x,y) + Vi(x,y) + V3(x,y) + ... , где (x,y) - координаты произвольной точки тонкого ГОЭ,

V0(x,y) = - xB1x - yB1y - характеристическая функция для вычисления аберрации увеличения,

2 2

У1(х,у) = (х + у )Б2/2 - характеристическая функция для вычисления дефокусировки,

Уэ(х,у) = - (х2 + у2)^« + (х3/2)Сзх + (у2х/2)С3х + (х2у/2)С3у + (у3/2)Сзу -

- (х2/2) А2х - хуА2ху - (у2/2)А2у - (х2/4)Е2х - (у2/4)Е2у +(х/2)Б1х + (у/2)0,у -

- характеристическая функция для вычисления аберраций третьего порядка.

Аберрационные коэффициенты в характеристических функциях У0(х,у), У1(х,у), У3(х,у) представлены во многих работах [2-11] и соответствуют следующим типам элементарных аберраций первого и третьего порядков: В1х, В1у - аберрациям увеличения, F2 - дефокусировке, S4 - сферической аберрации, С3х, С3у - коме, А2х, А2ху, А2у - астигматизму, D1x, Б1у - дисторсии.

Расчет схемы записи тонкого ГОЭ. Рассмотрим, аналогично работам [7, 9], расчет схемы записи тонкого ГОЭ, регистрируемого в голографической среде с изотропной усадкой. Из условий отсутствия дефокусировки (Б2 = 0) и сферической аберрации (Б4 = 0), получаются выражения, связывающие координаты zc, 7! осевых точек предмета и изображения, с координатами zr, 70 точечных источников опорной и объектной волн [9-10]:

1/7г - 1 /г„ = (1 /гс ± Мт\)т2/кц,

1/7г3 - 1/7„3 =

где т - коэффициент усадки, к - порядок дифракции, \1 - отношение рабочей длины волны Хс к длине волны записи Х0 (ц = Хс/Х0).

Решая систему (1) относительно координат zr, 70 точечных источников, получаем:

гг = 2к|Л7[(-1/3 + 4к2ц2/3т2 ± 4кУр2/т2717с)1/2 - 1]т2, г0 = - 2к|Л7[(-1/3 + 4к2ц2/3т2 ± 4кУр2/т2717с)1/2 + 1]т2.

Для существования действительных значений координат zr, 70

выражение

-1/3 + 4кУ/Зт2 ± 4кУр2/т2717с, должно быть положительным.

Получаем, что выбором оптимальных координат zr, 70 точечных источников записывающих волн может быть исправлена сферическая аберрация как для пропускающего, так и для отражающего тонкого ГОЭ. В формулах (1) и (2) верхний знак плюс соответствует отражающим ГОЭ, а нижний знак минус - пропускающим ГОЭ.

Из условия отсутствия в изображении аберрации увеличения (В1х = 0) и комы (С3х = 0) для сагиттальной плоскости тонкого ГОЭ может быть записана известная система уравнений:

х^ - хо/7о = (т/кц)( Хс/7с ± х^), хг/7г3 - хо/7о3 = (Ш3/кц)(хс/7с3 ± х1/713).

Решая ее получаем выражения, позволяющие определить координаты хг и хо точечных источников опорной и объектной волн

хг = - 7г[7о2(ш3/кц)(Хс/7с3 ± х^3) - (т/кц)(Хс/7с ± х^)]/^ - 7о^2 ),

хо = 7о[7г2(ш3/к^)(Хс/7с3 ± х^3) - (т/к^)(Хс/7с ± х^)]/^ - 7г2/7о2).

Аналогичным образом можно получить выражения для расчета координат уг, уо точечных источников опорной и объектной волн в меридиональной плоскости, отличающиеся от (3) лишь тем, что вместо координат хс, х! в них присутствуют координаты ус, у! соответствующих точек предмета и изображения.

Рассмотрим расчет схемы записи тонкого ГОЭ, у которого отсутствует наклон относительно оптической оси. В этом случае для координат точки предмета и его изображения выполняется равенство [11-12]: хс = хъ ус = ух.

Подставляя (4) в формулы (2) и (3) можно получить координаты точечных источников опорной и объектной волн.

Таким образом, выбором координат источников опорной и объектной волн можно исправить сферическую аберрацию и кому для пропускающих и отражающих тонких ГОЭ. Вместо исправления этих двух аберраций могут быть исправлены любые две другие аберрации третьего порядка, например кома и астигматизм. Астигматизм может быть значительно снижен оптимальным выбором значения длины волны записи [7,11].

Расчет схемы записи осевого тонкого ГОЭ. В случае осевого тонкого ГОЭ расчетные формулы значительно упрощаются [7-12], так как точечные источники опорной и объектной волн находятся на оптической оси (координаты хг, уг, х0, у0 равны нулю). Координаты (хс,ус) точек предмета и соответствующих им (х1,у1) точек изображения могут быть вычислены из соотношений [7,12]: хс/7с - х1/71 = 0, ус/7с - у^ = 0.

При этом выборе исправляется дисторсия изображения. Координаты 7г, 70 источников опорной и объектной волн могут быть определены из формул (2).

Аберрационные коэффициенты С3х и С3у комы осевого тонкого ГОЭ будут равны нулю при линейном коэффициенте увеличения равном плюс-минус единице соответственно в меридиональной и саггитальной плоскостях. Действительно,

С3х = хс/7с3 - х^3 = (хс/7с)(1/7с2 - 1/72) = 0,

С3у = ус/7с3 - у^3 = (ус/7с)(1/7с2 - 1/72) = 0,

при z¿/zc = ±1.

В отличие от комы астигматизм и кривизна поверхности осевого тонкого ГОЭ не могут быть исправлены ни при каких увеличениях, кроме простого

случая, когда изображение совпадает с предметом zc = 7!. Эти аберрации

могут быть лишь уменьшены до приемлемых значений выбором размеров (диаметра) ГОЭ. Выбор длины волны записи, коэффициентов усадок влияет только на сферическую аберрацию.

Возникает вопрос, нельзя ли уменьшить полевые аберрации осевого ГОЭ его наклоном? В этом случае точечные источники опорной и объектной

волн также находятся на одной оси. Угол наклона этой оси относительно оптической оси равен углу наклона ГОЭ. Не теряя общности будем считать, что угол наклона лежит в плоскости хОz, тогда координаты хг, х0 источников опорной и объектной волн могут быть вычислены из двух условий, например, отсутствия аберрации увеличения и комы: хг/7г - хо/7о = 0,

хг/7г

Из системы (4) получаем величины координат хг и хо опорной и объектной волн в виде

хг = 7г(ш3/кц)(хс/7с)(1/7с2 ± 1/712)/(1/7г2 - 1/7о2), хо = 7о(ш3/к^)(Хс/7с)(1/7с2 ± 1/72)/(1/7г2 - 1/7о2).

Отметим, что при выполнении условия отсутствия аберраций увеличения исправляется дисторсия. Координаты 7г, 70 источников опорной и объектной волн могут быть определены как и в случае осевого ГОЭ из формул (2).

Таким образом, наклоном осевого тонкого ГОЭ может быть исправлена дополнительно одна из аберраций третьего порядка: кома или астигматизм. Кривизна поверхности может быть исправлена выбором радиуса кривизны поверхности изображения и предмета. Очевидно, что радиусы кривизны связаны формулой тонкого ГОЭ [11].

Расчет схемы записи осевого объемного ГОЭ. Рассмотрим расчет схемы записи осевого объемного ГОЭ аналогично работе [10]. Известно, что учет толщины ГОЭ может быть осуществлен введением дополнительной характеристической функции, которая складываясь с характеристической функцией тонкого ГОЭ и образует собственно характеристическую функцию объемного ГОЭ [7]. Разложением дополнительной характеристической функции в ряд может быть получена зависимость элементарных аберраций от толщины ГОЭ, то есть объемные аберрации [4]. Из условий отсутствия дефокусировки третьего порядка и объемной дефокусировки в работе [10] были выведены формулы для вычисления координат zr, 70 точечных источников при записи объемного ГОЭ с заданным фокусным расстоянием Б и линейным увеличением (3:

1 /гг = т2(Рс + 1)/2|Л%

1/г„ = т2

где Б - фокусное расстояние объемного ГОЭ,

Рс = ±ц(Р + 1)/т(|3 — 1) - для объемного пропускающего ГОЭ,

Рс = ±[2((32 + 1)/(Р - I)2 - 1]1/2 - для объемного отражающего ГОЭ.

Для отражающих объемных ГОЭ должно выполняться условие: \1 = т. Для существования действительных значений координат z0 и zr в случае

отражающего ГОЭ должно выполняться еще дополнительное условие:

2 2

значение выражения 2((3 +1)/((3+1) не может быть меньше единицы. Выбором длины волны записи или коэффициента усадки может быть исправлена сферическая аберрация [10]. Формулы (6) получены для первого положительного порядка дифракции (к=1). Отметим, что оптимальные

координаты z0 и zr существенно различаются для отражающих и пропускающих объемных ГОЭ с одинаковыми фокусными расстояниями и одинаковыми линейными коэффициентами увеличения (3. Известно, что оптимальные схемы записи тонких отражающих (рельефных) ГОЭ рассчитываются по формулам для тонких пропускающих ГОЭ [7,11]. Следовательно, осевой отражающий тонкий и осевой отражающий объемный ГОЭ с одинаковыми фокусными расстояниями и увеличением (3 регистрируются в разных схемах записи. Кома будет равна нулю при линейном коэффициенте увеличения равном плюс-минус единице соответственно в меридиональной и сагиттальной плоскостях.

Заключение. Таким образом, в работе представлен обзор известных результатов расчета координат точечных источников опорной и объектной волн ГОЭ. Показано, что выбором положений этих источников волн в схеме записи могут быть исправлены сферическая аберрация и дополнительно еще одна из полевых аберраций третьего порядка осевого и внеосевого тонкого ГОЭ. Кривизна поверхности и дисторсия могут быть исправлены искривлением плоскости изображения и плоскости предмета. Радиусы кривизны плоскостей предмета и изображения связаны формулой тонкого ГОЭ. Отмечено, что наклон осевого ГОЭ позволяет исправить одну из полевых аберраций. Однако, для исправления аберраций объемного ГОЭ требуются дополнительные параметры коррекции, например, длина волны записи или коэффициент усадки. К сожалению, жесткие требования к объему публикации вынудили авторов ограничиться рассмотрением только нескольких схем записи плоских ГОЭ, что коснулось и списка цитируемой литературы.

1. Денисюк, Ю.Н. Об отображении оптических свойств объекта в волновом поле рассеянного им излучения / Ю.Н. Денисюк // Оптика и спектроскопия. - 1963. - T. 15, № 4. -C. 522532.

2. Meier, R.W. Magnification and third-order aberration in holography // JOSA. - 1965. - V. 55. - P. 987.

3. Champagne, E. B. Nonparaxial imaging, magnification and aberration properties in holography // JOSA. - 1967. - V. 57. - P. 51.

4. Fоrshaw, M.R.B. The imaging properties and aberrations of thick transmission holograms // Opt. Acta. - 1973. - V. 20, № 9. - P. 669-686.

5. Мустафин, К.С. Аберрации тонких голограмм, изготовленных на сферической подложке / К.С. Мустафин // Оптика и спектроскопия. - 1974. - T. 37. - C. 1158-1162.

6. Михайлов, И.А. Геометрический анализ толстых голограмм / И.А. Михайлов // Оптика и спектроскопия. - 1985. - № 3. - C. 612-617.

7. Ган, М.А. Теория и методы расчета голограммных и киноформных оптических элементов / М. А. Ган. - Л.: ГОИ, 1984.-140 с.

8. Батомункуев, Ю.Ц. Аберрации объемных голограмм / Ю.Ц. Батомункуев, Е.А. Сандер, С.А. Шойдин // Тез. Всесоюз. Семинара "Автоматизация проектирования опт. систем". - М., 1989. - C. 101-112.

9. Грейсух, Г.И. Голографическое формирование зонной структуры дифракционных линз с заданными оптическими характеристиками / Г.И. Грейсух, С.А. Степанов // Голографические оптические элементы и системы. - С-Пб., 1994. - C. 98-103.

10. Батомункуев, Ю.Ц. Особенности расчета схем записи объемных осевых голографических оптических элементов с неизотропной усадкой / Ю.Ц. Батомункуев // Автометрия. - 2002. - № 2.- С. 108-114.

11. Миллер, М. Голография / М. Миллер. - Л.: Машиностроение, 1979. - 207 с.

12. Кольер, Р. Оптическая голография / Р. Кольер, К. Беркхарт, Л. Лин. - М.: Мир, 1973. -

686 с.

© Ю.Ц. Батомункуев, Н.А. Мещеряков, 2008