Свойства нелинейной модели вязкоупругопластичности типа Максвелла с двумя материальными функциями

эффициенту расширения, что обусловлено структурой его порового пространства и неоднородным составом твердой фазы.

6. Выводы. Предложена методика вычисления коэффициента расширения при замерзании, основанная на методе осреднения. Она может использоваться для пород неоднородного состава, имеющих как открытые, так и закрытые поры. Проведенные расчеты показали, что существенное влияние на коэффициент расширения оказывает форма поры. Значения коэффициентов расширения при замерзании, рассчитанные по предложенной методике, отличаются от значений этих коэффициентов, вычисленных по формуле смеси, особенно при наличии вытянутых щеле-образных пор.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-01-05887-a).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Комаров И.А. Термодинамика и тепломассообмен в дисперсных мерзлых породах. М.: Научный мир, 2003.

2. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

3. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

4. Шешенин С.В., Артамонова Н.Б., Мукатова А.Ж. Применение метода осреднения для определения коэффициента передачи порового давления // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 2. 42-45.

5. Шешенин С.В., Артамонова Н.Б., Фролова Ю.В., Ладыгин В.М. Определение упругих свойств и тензора передачи порового давления горных пород методом осреднения // Вестн. Моск. ун-та. Геология. 2015. № 4. 90-97.

6. Макарова И.А., Лохова Н.А. Физико-химические методы исследования строительных материалов. Братск: Изд-во Братск. гос. ун-та, 2011.

7. Фролова Ю.В., Ладыгин В.М. Петрофизические преобразования пород Мутновского вулканического района (Южная Камчатка) под воздействием гидротермальных процессов // Вестн. КРАУНЦ. Сер. Науки о Земле. 2008. № 1, вып. 11. 158-170.

Поступила в редакцию 27.11.2015

УДК 539.3

СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ ТИПА МАКСВЕЛЛА С ДВУМЯ МАТЕРИАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

А. В. Хохлов1

Аналитически изучены общие качественные свойства семейств основных квазистатических кривых (ползучести, релаксации, деформирования и др.), порожденных одномерным нелинейным определяющим соотношением типа Максвелла. Выведены ограничения на материальные функции, обеспечивающие адекватное описание типичных свойств экспериментальных кривых широкого класса вязкоупругопластичных материалов; выявлены

1 Хохлов Андрей Владимирович — канд. техн. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: andrey-khokhlov@ya.ru.

а б

Рис. 2. Фотография шлифа туфа (а, николи скрещены) и его модельное изображение (б). Ширина поля зрения 0,9 мм

арсенал возможностей модели (в частности, по описанию сверхпластического деформирования) и те эффекты, которые не могут быть описаны с ее помощью (индикаторы неприменимости).

Ключевые слова: вязкоупругопластичность; кривые ползучести, релаксации, деформирования; скоростная чувствительность; сверхпластичность.

General equations and qualitative properties of basic quasi-static theoretic curves (i.e., stress-strain curves at constant strain or stress rates, relaxation, creep and recovery curves) generated by the nonlinear Maxwell-type constitutive equation with two arbitrary material functions are studied analytically (in uniaxial case). The goal is to reveal the model abilities to describe the set of basic rheological phenomena pertaining to viscoelastoplastic materials (e.g., superplasticity effect) and to find out convenient indicators marking the field of applicability or non-applicability of the model. The minimal set of general restrictions that should be imposed on material functions to provide an adequate description of typical test curves of viscoelastoplastic materials is revealed.

Key words: viscoelastoplasticity, theoretic stress-strain curves, creep curves, relaxation curves, rate sensitivity, superplasticity.

Будем рассматривать изотермические одномерные реологические процессы, характеризуемые в точке тела напряжением j(t) и деформацией e(t), t > 0. Нелинейную связь между j(t) и e(t) зададим по аналогии с моделью Максвелла, т.е. постулируем, что полная деформация e(t) — сумма упругой и вязкопластической компонент, каждая из которых связана с (безразмерным) напряжением j(t) следующими зависимостями: е = ее + ev, ее = F(j)/E, ev = V(a)/n, т.е.

t

е = E-1F'

0

Определяющее соотношение (1) содержит две материальные функции F(ж), V(ж), ж € (ш-,ш+), ш- < 0, > 0 (ограничения на них будут сформулированы ниже) и две материальные постоянные — модуль упругости E > 0 (мгновенный модуль равен E/F'(0 ± 0)) и коэффициент вязкости П > 0; они выделены из F и V для удобства учета зависимости (1) от температуры (E = E(T), П = n(T)) и сопоставления с линейной моделью Максвелла (она получается при F(ж) = ж и V(ж) = ж). В случае конечности параметров ш- и их можно интерпретировать как пределы прочности материала при растяжении и сжатии. Обезразмеривание напряжения можно производить делением на kE или на характерное напряжение материала (предел прочности, текучести и т.п.); безразмерное время вводится делением на время релаксации линейной модели тг = n/E.

Общая тензорная формулировка нелинейных соотношений типа Максвелла для (больших деформаций) вязкоупругих жидкостей, описание кинематики, термодинамические аспекты и способы конкретизации изучались в работах [1—10]. Самый простой и популярный (в теории ползучести, вязкопластичности, реологии полимеров) закон вязкого течения — степенной закон: ev = jn/n (Norton-Bailey model, Norton viscoplastic law), т.е. частный случай (1) с F(ж) = 0, V(ж) = |ж|пsgnж, n > 1. Он описывает зависимость скорости установившейся ползучести от напряжения, течение степенных жидкостей (n > 1 — условие псевдопластичности) и применяется для моделирования течения материалов в состоянии сверхпластичности [11, 12]. Модель (1) с V = жп и F = ж применялась в ряде работ для описания экспериментальных кривых ползучести и решения конкретных задач [13-15], в [12] она примерялась к сверхпластичности. В [16] использовалась функция V(ж) = 1 — exp(—^ж). Однако системное исследование в общем виде свойств всех теоретических квазистатических кривых (релаксации, ступенчатой ползучести, деформирования при постоянных и кусочно-постоянных скоростях нагружения и деформирования, циклического нагружения и др.) соотношения (1) с произвольными материальными функциями и их сравнение с типовыми свойствами экспериментальных кривых (даже при малых деформациях в одноосном случае), насколько известно автору, отсутствуют в литературе по вязкоупругости, ползучести и механике полимеров, в частности в [1-16]. Работа [17] и настоящая статья — попытка восполнить этот пробел, выявить арсенал возможностей определяющего соотношения (1), индикаторы его (не)применимости, способы идентификации.

Нелинейное соотношение (1) управляется двумя материальными функциями, и потому его арсенал возможностей и область адекватности гораздо шире, чем у классической линейной модели Максвелла и степенного закона течения (управляемых двумя параметрами). Соотношение (1) мо-

жет быть нацелено на описание комплекса основных реологических эффектов, типичных для материалов, обладающих наследственностью и высокой чувствительностью к скорости деформирования (например, таких, как полимеры, композиты, твердое топливо, асфальтобетон, титановые сплавы, углеродные и керамические материалы при высоких температурах и др.), имеющих выраженную стадию установившейся ползучести и "площадку текучести" на диаграмме деформирования, предел текучести, зависящий от скорости деформирования, — материалов, проявляющих свойства как твердого тела, так и жидкости. В частности, анализ показал, что с помощью (1) можно описывать многие аспекты поведения материалов в состоянии сверхпластичности [17].

В работе [17] к соотношению (1) применена технология качественного анализа определяющих соотношений для вязкоупругопластических материалов, разработанная ранее в серии работ [18-21]. Выведены в общем виде (в виде интегралов и рядов, зависящих от параметров) уравнения семейств всех основных кривых одномерного соотношения (1), аналитически изучены их качественные свойства в зависимости от V и Е. На основе их сопоставления с базовыми качественными свойствами типичных экспериментальных кривых широкого класса вязкоупругопластичных материалов (с целевым списком моделируемых термомеханических эффектов) установлены минимальные необходимые феноменологические ограничения на обе материальные функции, обеспечивающие адекватное описание квазистатических экспериментальных кривых. Выявлены эффекты, которые невозможно описать с помощью модели (1) ни при каких V и Е, например ускоряющуюся ползучесть, существование точки перегиба или максимума у диаграммы деформирования, отличие от нуля длительного модуля, упругое восстановление при полной разгрузке и затухание памяти (см. свойство 5 ниже и работы [17, 18, 21]), а также эффекты, которые могут быть описаны при определенных дополнительных ограничениях, наложенных на V и Е: установившаяся ползучесть с произвольной зависимостью скорости ползучести от напряжения, накопление остаточной деформации, сходимость диаграмм деформирования к кривой мгновенного деформирования, течение при постоянном напряжении, зависящем от скорости деформирования, и др.

Анализ соотношения (1) показал, что функция Е(ж) определяет форму диаграммы мгновенного деформирования а — е (в [17] доказана сходимость семейства теоретических диаграмм деформирования е(а, а) при постоянной скорости деформации е = а к кривой е = Е(а)/Е при а ^ ). Поэтому базовые (математические и феноменологические) ограничения на Е таковы: Е(ж), ж € —

непрерывная возрастающая функция с кусочно-непрерывной производной, (нестрого) выпуклая вниз при ж > 0 и вверх при ж < 0, такая, что Е(0) = 0. Дополнительно можно потребовать, чтобы Е'(0 ± 0) = 0 (иначе у диаграмм деформирования не будет конечного касательного модуля в нуле: он равен Е/Е'(0±0)) и Е'(0±0) < то. Ограничение Е'(ж) > 0 при ж = 0 — критерий увеличения энергии упругой деформации с ростом модуля напряжения (деформации). Функция вязкости V(ж)/п регулирует чувствительность напряжения к скорости деформирования, задает скорость диссипации и зависимость скорости ползучести от напряжения [17]. Поэтому на нее следует наложить ограничения: V(ж) — непрерывная возрастающая функция, (нестрого) выпуклая вниз при ж > 0 и вверх при ж < 0, V(0) = 0. В частности, свойство V(а)а > 0 при а = 0 обеспечивает положительность диссипации. Очевидно, чем больше IV(а)|/п, тем меньше вязкое сопротивление (больше (а)|) и тем ближе моделируемый материал к жидкости. Для материалов с одинаковым поведением при растяжении и сжатии функции V и Е нечетны.

Кратко перечислим основные свойства определяющего соотношения (1) с любыми допустимыми материальными функциями (его можно записать в операторной форме как е = Па).

1) Нелинейный оператор П монотонен (если а2(Ь) > а^Ь) при Ь < то е2(Ь) > ех(^) при Ь < Ь*), коммутирует с операторами сдвига по времени, аддитивен на процессах с дизъюнктными носителями, имеет незатухающую (перманентную) память, сохраняет положительность процесса, его непрерывность, кусочную непрерывность, кусочную гладкость.

2) Работа и диссипация в произвольном процессе деформирования положительны:

г

А = у а(т)е(т) ^т = + ^2,

о

где

а г

= Е-1 У жЕ'(ж) ^ж > 0, ^2 = п-1 У а(т^(а(т)) ^т > 0, оо = ^1(а) — энергия упругой деформации (так как Е'(ж) > 0, то (а) = аЕ'(а)/Е > 0 при а > 0 и > 0 при а = 0), = ТУ2(Ь) — диссипация (^2 > 0, так как V(а)а > 0 при а = 0).

3) Уравнение кривых ползучести при a = a = const имеет вид e(t) = n-1V(a) t + E-1F(a), t > 0. При любых материальных функциях модель (1) описывает только ползучесть с постоянной скоростью е = V(a)/n, с ее помощью невозможно описать стадии замедленной и ускоренной ползучести, а также ограниченную ползучесть. Зависимость скорости установившейся ползучести от напряжения определяется функцией V и может быть любой (с V'(ж) > 0 и V''(x)x ^ 0). Кривые ползучести с разными a не подобны, изохронные кривые ползучести тоже.

4) Функция F не влияет на скорость ползучести, функция V не влияет на мгновенную деформацию е(0+) = E-1F(a) и величину скачков e(t) в точках разрыва напряжения. Это позволяет определить F и V по отдельности (идентифицировать соотношение (1)) по нескольким кривым ползучести материала для разных напряжений a (если все они прямолинейны, т.е. качественно сходны с теоретическими кривыми ползучести).

5) Используя определяющее соотношение (1) с любыми материальными функциями, невозможно моделировать восстановление (обратную ползучесть): при полном снятии нагрузки скачком исчезает только мгновенная упругая деформация, а вся накопленная деформация ползучести бесконечно долго сохраняется как остаточная (необратимая): если a(t) > 0 при t € (0; t+) и a(t) = 0 при t > t+, то e(t) = C при t > t+, где C = еv(t+) > 0. След, оставленный финитным импульсом нагрузки, не стирается никогда. Для моделирования восстановления и затухания памяти необходимо присоединить к модели (1) параллельно упругий элемент.

6) Кривые ползучести при ступенчатых нагружениях кусочно-линейны, скачки e(t) и è(t) в точках разрыва напряжения t = ti равны [F(ai+1) — F(ai)]/E и [V(ai+1) — V(ai)]/n.

7) Семейство кривых релаксации (для e(t) = eh(t), е > 0) выражается формулой

F

t/Tr = —J [V

Eli

где Tr = n/E, f = F-1 (f (y) выпукла вверх при y > 0). Анализ неявного представления (2) показал, что все кривые релаксации a(t, е) убывают по t, стремятся к нулю при t ^ю, ас ростом е смещаются вверх. Требование выпуклости вниз всех кривых релаксации се > 0 налагает дополнительное ограничение на материальные функции (помимо F '(ж) > 0, F''(x)x ^ 0):

V'(x)/V (ж) > F ''(ж)/F' (ж), ж > 0, т.е. [ln V (ж)]' > [ln F '(ж)]'.

8) Семейство диаграмм деформирования при постоянной скорости деформации a имеет вид

F

è

0

Анализ неявного представления (3) показал, что все кривые деформирования в форме a( е, a) возрастают по е и выпуклы вверх при е > 0 (и a > 0), с ростом a кривые смещаются вверх, а при е — ю каждая кривая a( е, a) имеет горизонтальную асимптоту a = a, где V(a) = an (т.е. (1) моделирует длительное течение при постоянном напряжении a = a(a), характерное, в частности, для состояния сверхпластичности).

9) Семейство диаграмм деформирования при постоянной скорости нагружения b имеет вид

а

е

0

Функции (4) возрастают по a и выпуклы вниз при b > 0. Диаграммы деформирования в обратной форме a( , b) возрастают по , выпуклы вверх на полуоси > 0 при b > 0, а с ростом b смещаются вверх. Они имеют горизонтальную асимптоту при е +ю лишь в случае, когда F (ж) имеет вертикальную (т.е. f (+ю) < оо).

10) Асимптотика при a — 0 ± 0 любой диаграммы деформирования (3) или (4) совпадает с асимптотикой функции F(a)/E и не зависит от скоростей деформирования или нагружения (скорости a, b и функция V влияют лишь на член порядка O(a2)). Соответственно для любой диаграммы a( е, a) и a( е, b) касательный модуль в точке е = 0 равен E/F'(0 ± 0) и не зависит от a и b (он зависит лишь от их знака, если F'(0 + 0) = F'(0 — 0)).

11) При a — семейство (3) в форме a(e,a) сходится к предельной кривой мгновенного деформирования а = f(Ee), f = F-1, равномерно на любом отрезке оси e. К этой же кривой сходится и семейство (4) в форме a(e,b) при b — ±гс>, и семейство изохронных кривых ползучести при t — О. Для всех диаграмм деформирования (с любыми a, b, e) верна оценка |а| ^ f (Ee).

12) Показатель скоростной чувствительности диаграмм деформирования (З) (он играет важную роль в сверхпластичности [11, 12]) m(a, e) = д lg ^(e, a) |/д lg |a| = aa-1дa/дa для модели (1) с F = x и V = |x|n sgnx, n > 1, обладает следующими свойствами: m(a, e) — ограниченная гладкая функция в области ae > О, inf m(a, e) = О, supm(a, e) = 1/n (в частности, всегда m S (О;1)); m(a, e) убывает по a и возрастает по e; m(a, e) — О при a — или e — О; m — 1/n при a — О или e — ±гс>; m(a) при фиксированном e > О не имеет точки максимума в области a > О (т.е. диаграммы деформирования в координатах lg а - lg a не имеют точек перегиба и являются выпуклыми вверх кривыми, а не сигмоидальными).

13) Параметры E, n в (1) зависят от (гомологической) температуры T. Чтобы теоретические кривые соотношения (1) вели себя при изменении температуры так же, как кривые изотермических испытаний большинства структурно-стабильных материалов, необходимо, чтобы E и n, а также тг = n/E были убывающими функциями T. Тогда с ростом T кривые ползучести соотношения (1) для a > О смещаются вверх, кривые релаксации, диаграммы деформирования a(e,a) и a(e,b), e > О, — вниз, а показатель m(a, e) растет, т.е. (1) обеспечивает возрастание податливости и скоростной чувствительности материала с увеличением T [17].

14) При V (x) = F (x) (это возможно, поскольку на V и F налагаются практически одинаковые ограничения) интегралы в (2) и (3) вычисляются и кривая релаксации (2), например, имеет вид a(t) = f (Eeexp(-t/тг)), а время релаксации равно тг ln[F(a0)/F(a0/e)]. В частности, при V(x) = F (x) = x (тогда f (y) = y) получаются кривые линейной модели Максвелла.

Сопоставление свойств теоретических кривых, порождаемых нелинейным соотношением (1) и линейной теорией вязкоупругости [1T, 20, 21], позволило обнаружить как наследуемые свойства модели Максвелла, так и дополнительные возможности соотношения (1) по сравнению с линейным. Подобный качественный анализ определяющих соотношений — важная стадия их аттестации, он полезен для выявления арсенала возможностей, уточнения области и индикаторов (не)применимости, разработки методик выбора, идентификации, настройки и верификации определяющих соотношений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Coleman B.D., Makrovitz A., Noll W. Viscometric flows of non-Newtonian fluids. Theory and experiment. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer, 19бб.

2. Ильюшин А.А., Огибалов П.М. Некоторое обобщение моделей Фойгта и Максвелла ^ Механика полимеров. 19бб. № 2. 19Ö-196.

3. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 197Ö.

4. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости У У Упругость и неупругость. Вып. З. М.: Изд-во МГУ, 197З. 95-17З.

5. Городцов В.А., Леонов А.И. О кинематике, неравновесной термодинамике и реологических соотношениях в нелинейной теории вязкоупругости У У Прикл. матем. и механ. 1968. 32, № 1. 7Ö-94.

6. Leonov A.I. Non-equilibrium thermodynamics and rheology of viscoelastic polymer media У У Rheol. Acta. 1976. 15. 85-98.

7. Пальмов В.А. Реологические модели в нелинейной механике деформируемых тел ^ Успехи механики. 198Ö. 3, № З. 75-115.

8. Прокунин А.Н. О нелинейных определяющих соотношениях максвелловского типа для описания движения полимерных жидкостей У У Прикл. матем. и механ. 1984. 48, № 6. 957-965.

9. Larson R.G. Constitutive Equations for Polymer Melts and Solutions. Boston: Butterworth, 1988.

1Ö. Leonov A.I. Constitutive equations for viscoelastic liquids: Formulation, analysis and comparison with data ^ Rheol. Ser. 1999. 8. 519-575.

11. Кайбышев О.А. Сверхпластичность промышленных сплавов. М.: Металлургия, 1984.

12. Васин Р.А., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности. Уфа: Гилем, 1998.

13. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 19бб.

14. Малинин Н.Н. Расчеты на ползучесть элементов машиностроительных конструкций. М.: Машиностроение, 1981.

15. Naumenko K., Altenbach H., Gorash Y. Creep analysis with a stress range dependent constitutive model ^ Arch. Appl. Mech. 2ÖÖ9. 79. 619-630.

16. Lu L.-Y., Linb G.-L., Shihn M.-H. An experimental study on a generalized Maxwell model for nonlinear viscoelastic dampers used in seismic isolation // Eng. Struct. 2012. 34, N 1. 111-123.

17. Хохлов А.В. Нелинейные модели вязкоупругости типа Максвелла. Особенности их поведения, скоростная чувствительность и возможность использования для описания ползучести и сверхпластичности материалов. Отчет № 5193 НИИ механики МГУ им. Ломоносова. М., 2013.

18. Хохлов А.В. Определяющее соотношение для реологических процессов: свойства теоретических кривых ползучести и моделирование затухания памяти // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2007. № 2. 147-166.

19. Хохлов А.В. Определяющее соотношение для реологических процессов c известной историей нагружения. Кривые ползучести и длительной прочности // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2008. № 2. 140-160.

20. Хохлов А.В. Характерные особенности семейств кривых деформирования линейных моделей вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности. 2015. 77, № 2. 139-154.

21. Хохлов А.В. Свойства семейств кривых ползучести при ступенчатом нагружении линейного определяющего соотношения вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности. 2015. 77, № 4. 329-344.

Поступила в редакцию 23.12.2015

УДК 539.30, 519.6

МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ БАХВАЛОВА-ПОБЕДРИ В МЕХАНИКЕ КОМПОЗИТОВ

В. И. Г°рбачёв1 Светлой памяти Учителя

посвящается

Статья посвящена роли выдающегося ученого-механика, профессора Бориса Ефимовича Победри в становлении и развитии метода осреднения в механике композиционных материалов с периодической структурой. Приводится обобщение метода осреднения на случай неоднородных тел, не обладающих периодичностью структуры.

Ключевые слова: композиционные материалы, неоднородная теория упругости, метод осреднения, интегральные формулы в теории упругости.

In the article the role of the outstanding scientist Professor Boris Efimovich Pobedrya in the formation and development of the method of averaging in the mechanics of composite materials with periodic structure is discussed. A generalization of this method is given for the case of nonuniform bodies with no periodic structure.

Key words: composite materials, nonuniform theory of elasticity, averaging method, integral formulas in the theory of elasticity.

Сам по себе термин "осреднение" или "усреднение" обозначает операцию вычисления среднего значения функции, определенной на некотором множестве. В теоретической механике термин "осреднение" обычно связывается с методами приближенного решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые метод осреднения был применен в небесной механике при исследовании движения планет вокруг Солнца. Потом этот метод стали использовать в нелинейной теории колебаний, теории автоматического регулирования и в решении ряда других проблем. Отметим, что во всех исходных уравнениях явно или неявно присутствует малый параметр, так что метод осреднения можно считать вариантом метода возмущений [1] или метода разложения по малому параметру.

В механике композитов объектом исследования являются материальные тела, составленные из объемов вещества с различными механическими и физическими свойствами. Для композита существенно то обстоятельство, что объемы вещества, составляющего тело, обладают характерными размерами, которые много меньше характерных размеров всего тела и в то же время намного больше размеров молекул, так что вещество в каждом объеме можно считать сплошной средой. По этой причине процессы, происходящие во всем композиционном теле, описываются дифференциальными

1 Горбачёв Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vigorby@mail.ru.