О сохранении устойчивого положения равновесия при дискретизации системы

Труды Карельского научного центра РАН № 4. 2014. С. 87-92

УДК 517.962.2:517.93

О СОХРАНЕНИИ УСТОЙЧИВОГО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ СИСТЕМЫ

А. В. Ласунский

Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого

С помощью первого метода Ляпунова получены достаточные условия сохранения положения равновесия и его асимптотической устойчивости при дискретизации неавтономной системы дифференциальных уравнений второго порядка. Соответствующий результат иллюстрируется на примере модифицированной модели Лотки-Вольтерры, в которой часть популяции жертвы недосягаема для хищника.

Ключевые слова: сохранение устойчивости при дискретизации, первый метод Ляпунова, неавтономная модель Лотки-Вольтерры.

А. V. Lasunsky. MAINTAINING STEADY-STATE EQUILIBRIUM AFTER DISCRETIZATION OF THE SYSTEM

With the help of Lyapunov’s first method we obtained sufficient conditions for maintaining the equilibrium state and its asymptotic stability after discretization of a nonautonomous system of second order differential equations. The result is illustrated by a modified Lotka-Volterra model in which part of the prey population is inaccessible for the predator.

Key words: preservation of stability after discretization, Lyapunov’s first method, nonautonomous LotkarVolterra model.

Введение

Решение дифференциальных уравнений численными методами, как правило, основано на сведении этих уравнений к уравнениям в конечных разностях. Роль таких уравнений существенно определяется применением вычислительных машин, требующих представления задач в дискретном виде. Важной проблемой, возникающей при дискретизации, является проблема сохранения качественных характеристик исследуемых систем. Переход от непрерывных уравнений к разностным уравнениям может повлечь существенное изменение свойств решений системы, в частности, может нарушиться устойчивость. Вопросами

коррекции разностных схем для обеспечения согласованности между свойствами решений непрерывных и дискретных уравнений занимались В. И. Зубов [6], К. Деккер, Я. Вер-вер [3]. Связь между устойчивостью решений дифференциальных и разностных уравнений исследовалась в статьях М. А. Скалкиной [13, 14]. В своей работе Л. 3. Фишман [15] изучает сохранение устойчивости решений дифференциальных уравнений при дискретизации их по методу Эйлера. Он показал, что устойчивость может не сохраняться при любом малом шаге дискретизации. Я. Е. Ромм [12] излагает схемы, ориентированные на компьютерный анализ устойчивости решений систем обыкновен-

ных дифференциальных уравнений. Проблема сохранения устойчивости при переходе от обыкновенных дифференциальных уравнений к разностным изучалась в работе А. П. Жабко и А. Ю. Александрова [2]. В последней работе авторы отмечают, что с практической точки зрения весьма актуальной является задача выделения классов систем, для которых сохранение качественных характеристик при переходе к дискретному виду имеет место и без дополнительной коррекции разностных схем. Для решения рада задач кроме согласованности между дифференциальными и разностными уравнениями в смысле устойчивости требуется также сохранение таких характеристик, как устойчивость по отношению к постоянно действующим возмущениям, границы бассейна аттрактора и др. Особый интерес представляют системы дифференциальных уравнений, нулевые решения которых асимптотически устойчивы в целом (глобально асимптотически устойчивы). В этой статье с помощью первого метода Ляпунова получены достаточные условия согласованности между дифференциальными и разностными уравнениями в смысле сохранения положения равновесия и его асимптотической устойчивости при дискретизации. Соответствующий результат иллюстрируется на примере модифицированной модели Лотки-Вольтерры, в которой часть популяции жертвы недосягаема для хищника.

Достаточные условия сохранения

УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ НЕАВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

Пусть (хо,Уо) - положение равновесия системы

у = g

{

t>to, f,ge £%х,уЧ[*о; +00) x D),

где ДсК2 окрестность (хо, уо). Стандартной заменой и = х — хо, V = у — уо систему (1) можно привести к системе

{

й = f

с нулевым положением равновесия.

Матрица А(£) системы первого приближения в окрестности этого положения равновесия имеет вид

А

и V д'х

A(t) G С [to; +00).

Воспользуемся теоремой Ляпунова [4] об устойчивости по первому приближению в следующей формулировке.

Теорема 1. Если система первого приближения

У = А(*)У, У € A(t) € C[t0, +оо),

правильна, все ее характеристические показатели отрицательны, причем выполнено условие нелинейности

\\f{t,x)\\ ^ ip(t)\\x\\m, т> 1,

где ip(t) - непрерывная положительная функция при t ^ to с нулевым характеристическим показателем, то тривиальное решение х = 0 полной нелинейной системы

х = A(t)x + f(t, х), f(t, 0) = 0,

экспоненциально устойчиво при t —> +00.

Отметим, что дискретный аналог теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению получен В. Б. Демидовичем [5].

Как для системы дифференциальных, так и для системы разностных уравнений в неавтономном случае об устойчивости положения равновесия нельзя судить лишь по системе первого приближения. Даже если система первого приближения правильна и ее показатели Ляпунова отрицательны, устойчивость можно испортить нелинейными членами. В качестве иллюстрации этого факта приведем пример.

Пример 1. Скалярное уравнение

ПГ

= f

п+1 —

2 — 4 • 6пхг,

имеет положение равновесия хп = 0. Так как

п с *

—--------= 0,5, то уравнение первого приоли-

0x^1

жения имеет ВИД уп+1 = 0,5уп, положение равновесия Уп = 0 которого асимптотически устойчиво.

Построим общее решение исходного нелинейного уравнения. Имеем

ти-1.(2 4-6 жп) = хп,

1 1 = -2 • Зп,

2п+1хп+1 2пхг

2пх

= -2 • 3n,

П

п—1

2пх

— = С — 2 • 3fe = Ci — 3n,

l rr / -/ 1 ’

жо 7^ 0.

k=0

1

Xn —

2п(жо 1 + 1 - 3n)’

Хотя все решения стремятся к нулю при п —> +оо, тем не менее тривиальное решение хп = 0 исходного уравнения неустойчиво по Ляпунову. Решения, сколь угодно близкие к нулю в начальный момент времени

xq —

2^ — 1 + 2-

2N

= 5,

функция /(4) имеет конечный предел на +оо, то функция /(4) слабой вариации.

При численном интегрировании системы

(1) нас будет интересовать сохранение положения равновесия при дискретизации, а также сохранение его устойчивости. Наиболее простым способом построения решения в точке £п+1) если оно известно в точке Ьп, является способ, основанный на разложении в ряд Тейлора. Обрывая рады на соответствующих членах, для системы (1) мы можем получить

{

Хп+1 — хп + hf

удовлетворяют условию xn = 2N. Неустойчивость можно было ожидать, так как достаточное условие на нелинейность [5] не выполнено. Функция

„Я)=^=а.в,

имеет положительный показатель Ляпунова. Теорема 2. Пусть существует lim A(t) =

t—У+ОО

А, причем det А > 0, SpA < 0. Пусть также выполнено условие на нелинейные члены системы (1) (см. теорему 1), тогда положение равновесия (хо, уо) системы (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Действительно, линейная система й = A(t)u правильна, так как она почти приводима [1] к системе с постоянной матрицей. Из неравенств det А > 0 и SpA < 0 следует, что собственные числа матрицы А второго порядка имеют отрицательную вещественную часть. Показатели Ляпунова в случае постоянной матрицы коэффициентов системы совпадают с вещественными частями собственных чисел матрицы А. Линейная система с постоянной матрицей коэффициентов имеет устойчивые характеристические показатели. Так как показатели Ляпунова в случае их устойчивости не меняются при линейных возмущениях, стремящихся к нулю на +оо, то показатели Ляпунова системы первого приближения й = A(t)u также отрицательны.

Отметим, что еще К. П. Персидский [11] изучал линейные системы дифференциальных уравнений с коэффициентами-функциями слабой вариации. Он получил коэффициентный признак устойчивости характеристических показателей. Им же показано, что если

(метод Эйлера).

Если (жо, уо) ~ положение равновесия системы (1), то оно остается положением равновесия системы (2). Матрица Р(п) = Р{Ьп) системы первого приближения в окрестности положения равновесия (хо,уо) системы (2) имеет вид Р(п) = Е + НА(п), Е - единичная матрица.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2, тогда существует Но такое, что для всех 0 < к < ко положение равновесия (хо,уо) системы (2) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Покажем, что при достаточно малом И положение равновесия (хо,уо) системы (2) также асимптотически устойчиво, как и у системы (1). Обозначим Р Пт Р(п) = Е + ЬА. Собственные числа мат-

п—У+ОО

рицы Р второго порядка по модулю меньше 1 тогда и только тогда, когда

\SpP\-l < detP < 1.

Если detЛ >0, БрА < 0, то для достаточно малого Ь имеем |<5рР| — 1 = |2 + ЬБрА\ — 1 = \-\-hSpA, detP = 6.еЬ(Е + 1гА) = \-\-hSpA-\-1г2 det А. Неравенство (3), очевидно, выполняется. Шаг к достаточно выбрать удовлетворяющим неравенствам 2 + НврА > 0, врА + 1г<1еЬА < 0. Воспользуемся следующим утверждением [10].

Теорема 4. Если матрица коэффициентов системы

х{п + 1) = Р(п)х(п), det Р{п) 7^ 0,

GZ+

имеет предел Нт Р(п) = Р, det Р ^ 0,

п—У+ОО

то показатели Ляпунова решений этой системы совпадают с показателями Ляпунова предельной системы у(п + 1) = Ру(п) и исходная система правильна.

Условие на нелинейность системы (1) дает аналогичное условие на нелинейность системы

(2). По дискретному аналогу теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [5] положение равновесия (жо,уо) системы (2) асимптотически устойчиво. Теорема 3 доказана.

Неавтономная модель Лотки-Вольтерры

Проиллюстрируем предыдущий результат на примере модифицированной модели Лотки-Вольтерры, в которой часть популяции жертвы (р(х, у) недосягаема для хищника [9]

Г х = а{Ь) (ж — М~1х2 — К~х{х — <р(х, у))у) ,

I У = Р{*)У (£_1(ж - ¥>(»У)) ~ 1) ,

К,М,Ь - положительные числа, Ь € М+,

О ^ (р(х,у) < х. Мальтузианские коэффи-

циенты роста численности жертв а(Ь) > 0 и убывания численности хищников (—/?(£)) < О зависят от времени. Будем предполагать, что

существуют Нт а{£) = а > 0, Пт /3(4) = t—Н-оо t—Ц-оо

/3 > 0, что соответствует стабилизации мальтузианских коэффициентов с течением времени.

Из биологической интерпретации системы (4) следует, что фазовые переменные х{Ь),у{£) должны принимать лишь неотрицательные значения. Выполнение этого факта вытекает из следующей теоремы [7].

Теорема 5. Для того чтобы решение системы

•Ёг = -^(^5 З'Ъ • • • 5 Я'п)) Ъ = 1.) Т1

при любых неотрицательных начальных условиях было неотрицательным, необходимо и достаточно, чтобы функции ^ удовлетворяли условию квазиположительности:

-Р^(4, ..., х%—1,0, ..., хп) ^0, г = 1, п

при любых неотрицательных переменных xj> 3 7^ *

Здесь уместно отметить монографию [8], посвященную систематическому изложению математической теории отбора.

Рассмотрим несколько случаев вида <р(х,у):

1) для случая (р(х,у) = т, т ^ 0 положение равновесия

жо = т+Ь, уо = КЬ~1М~1

при естественном предположении М > Ь+ т имеет биологический смысл. Для элементов

матрицы A(t) системы первого приближения получаем следующие выражения:

on(i) = a{t)L~l M~l (т2 — L2 — тМ); a2i(i) = КМ~1(т + L){M -L- m)/3(t);

au{t) = —Lif-1a(t); a22(i) = 0.

Имеем

det A(t) = LM-1 (m+L)(M—L—m)a(t)f3(t) > 0,

SpA(t) = a(t)L~1M~1(m?‘ — L2 — mM) <

— (L + m)M a(t) < 0.

Ясно, что для матрицы А = lim A(t) при

t—У+ОО

условии М > L + m также выполняются неравенства det А >0, SpA < 0. Условие на нелинейность выполнено, так как функции a(t) и /3(t) имеют нулевые характеристические показатели в силу ограниченности. По теореме 2 положение равновесия (5) системы (4) асимптотически устойчиво.

Если мы подвергнем систему (4) дискретизации, то нужно позаботиться о неотрицательности хп и уп. Ясно, что для системы (2) этот факт в общем случае может не иметь места. Вместо системы (2) мы рассмотрим систему

Г %п+1 = exp(/l/(in, Жп, yn)), /g-,

\ Уп+1 = ynexp(hg(tn,xn,yn)).

Ясно, ЧТО если (жо,Уо) положительное положение равновесия системы (1), то оно является положением равновесия и системы (6), причем Хп > 0, Уп > 0 для всех п G N.

Матрица Р(п) системы первого приближения в окрестности положения равновесия (ж0, Уо) системы (6) имеет вид

( 1 0^/х(^я> XOi Уо) •^ohfy{tn,XQ,yo) \

V yohg'x(tn,xo,yo) l + yohg’y{tn,xo,yo) )'

Для системы (4) и рассматриваемого случая

1) имеем

Р = lim Р{п) = E + h( Х°ап Ж°“12 ^ ,

п-У+оо 4 ' \ У0О21 0 J

где

lim A(t) = А = ( аи ai2 V

i-У+оо W \ 021 0 J

Для достаточно малых h с учетом того, что SpA = an < 0, det А = —a\ian > 0, имеем \SpP\ — 1 = |2 + hxoan\ — 1 = 1 + hxoau <

det P < 1, так как detP = 1 + hx^an +

xoyoh2 det А. Шаг h достаточно выбрать удовлетворяющим условиям

2 + hxoau > 0, an + yo/idet А < 0.

Так как правые части уравнений системы (4) являются многочленами двух переменных с ограниченными коэффициентами, то для системы (6) выполнено условие на нелинейность для применения теоремы об устойчивости по первому приближению.

Теорема 6. Если М > Ь+т и шаг дискретизации к удовлетворяет неравенствам (8), то положение равновесия (5) системы (6), полученной дискретизацией системы (4) для случая <р(х,у) = т, 771 ^ 0, асимптотически устойчиво.

2) Для случая <р(х,у) = тх, т е (0; 1) система (4) переобозначением коэффициентов (1 — т)К-1 = К]-1, (1 — т)Ь-1 = Ьу1 приводится к виду

Г х = а(Ь)х( 1 - уК1-1 - хМ-1), ( .

\ у = №МхЬ?-1), м

с положением равновесия (— Ь\)), которое получается из положения равновесия (5), если положить га = 0, К = К\, Ь = Ь\. Итак, случай 2) сводится к случаю 1), если т = 0. Теорема б остается справедливой.

3) Для случая <р(х,у) = ту, т е (0; 1) система (4) имеет два нетривиальных положения равновесия. Одно из них не имеет биологического смысла, так как в нем жо < 0. При условии М > Ь второе положение равновесия (жо; у о) лежит в области допустимых значений переменных ж, у. Здесь жо - положительный корень уравнения Ктх2 + (МЬ — МКт)х — МЬ2 = 0, уо = (жо — Ь)т~гЩ. Далее в этом пункте мы рассматриваем это положение равновесия. Матрица А(Ь) системы первого приближения в окрестности (жо; Уо) имеет следующие элементы:

оп(£) = о;(0 (1 — 2М-1жо — (жо — Ь)тГ1К~1) ,

012(0 = а(Ь)К~1(ж0 - 2Ь),

«21(0 = Р^)т~1Ь~1{х0 - Ь),

022(0 = - ж0).

Для этой матрицы А(£) > 0, а если

М < 2Ь, то БрА{0 <0 [9]. Заметим, что если

существуют Нт си(0 = сс > 0, Пт /3(0 = t—Н-оо t—Ц-оо

В > 0, то для матрицы А = Пт А(0 имеем

*-у+оо

тоже строгие неравенства А >0, БрА < 0.

Теорема 7. Если Ь < М < 2Ь и шаг дискретизации И удовлетворяет неравенствам 2 + /г(ж0ац + уо^г) > 0, ж0ац + у0а22 +

жoyo^det А < 0, то положение равновесия (ж0, уо) системы (6), полученной дискретизацией системы (4) для случая <р(х,у) = ту, т > 0, асимптотически устойчиво.

Действительно, для матрицы Р выполняются неравенства \врР\ — 1 = |2 + Ь(хоац + Уо«22)|- 1 = 1+Мжоа11+Уоа22) < 1+/г(жОоц + Уоа22)+2;оУо^2 А = det Р < 1, так как коэффициенты ац < 0 и а22 <0 [9]. Система первого приближения ип+1 = Р(п)ип правильна и имеет отрицательные показатели Ляпунова (см. теорему 4). Условие на нелинейность тоже выполнено.

Заключение

Указан класс неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, для которых сохранение положения равновесия и его асимптотической устойчивости при переходе к дискретному виду имеет место и без дополнительной коррекции разностных схем. Рассмотрено приложение этого результата на примере модифицированной модели Лотки-Вольтерры, в которой часть популяции жертвы недосягаема для хищника.

Работа выполнена при поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1/2301).

Литература

1. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. СПб.: изд. Санкт-Петербургского университета, 1992. 240 с.

2. Александров А. Ю., Жабко А. П. О сохраг нении устойчивости при дискретизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. матем. журнал. 2010. Т. 51, № 3. С. 481-497.

3. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988. 334 с.

4. Демидович В. 77. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

5. Демидович В. Б. Об одном признаке устойчивости разностных уравнений / / Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5, № 7. С. 12471255.

6. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления. СПб.: СПбГУ, 2001. 354 с.

7. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 331 с.

0

8. Кузенков О. А., Рябова Е. А. Математическое моделирование процессов отбора. Нижний Новгород: изд. Нижегородского университета, 2007. 324 с.

9. Ласунский А. В. Состояния равновесия неавтономной модели Лотки-Вольтерры при наличии убежища для жертвы // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 3. С. 445448.

10. Ласунский А. В. О положениях равновесия некоторых неавтономных разностных уравнений // Математическое моделирование. 2009. Т. 21, № 3. С. 120-126.

11. Персидский К. П. О характеристических числах дифференциальных уравнений // Изв. АН КазССР. Сер. мат. и мех. 1947. № 1. С. 5-47.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

Ласунский Александр Васильевич

доцент кафедры высшей математики, д. ф.-м. н. Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого ул. Большая Санкт-Петербургская, 41,

Великий Новгород, Россия, 173003 эл. почта: Alexandr.Lasunsky@novsu.ru тел.: (8162) 629968

12. Ромм Я. Е. Моделирование устойчивости по Ляпунову на основе преобразований разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Математическое моделирование. 2008. Т. 20, № 12. С. 105-118.

13. Скалкина М. А. О сохранении асимптотической устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным // ДАН СССР. 1955. Т. 104, № 4. С. 505-508.

14. Скалкина М. А. О связи между устойчивостью решений дифференциальных и конечноразностных уравнений // ПММ. 1955. Т. 19, № 3. С. 287-294.

15. Фишман Л. 3. К сохранению устойчивости дифференциальных уравнений при их дискретизации / / Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 4. С. 568-569.

Lasunsky, Alexander

Novgorod State University

41 B. Sankt-Petersburgskaya St., 173003

Veliky Novgorod, Russia

e-mail: Alexandr.Lasunsky@novsu.ru

tel.: (8162) 629968