Дискретная модель планирования при реализации ипотечного кредита с переменными платежными потоками

УДК 519

ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ ПЛАНИРОВАНИЯ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ИПОТЕЧНОГО КРЕДИТА С ПЕРЕМЕННЫМИ ПЛАТЕЖНЫМИ ПОТОКАМИ

© 2005 М. Г. Сорокина

Самарский государственный аэрокосмический университет

Исследуется динамика финансовых потоков при реализации процедуры амортизации ипотечного кредита с убывающими и возрастающими платежами.

В отечественной и зарубежной практике ипотечного кредитования широкое распространение получил стандартный ипотечный кредит, предполагающий такую организацию денежного потока, при которой платежи по кредиту осуществляются в виде периодических, обычно ежемесячных, постоянных выплат. Такой кредит получил название аннуитетного ипотечного кредита.

Положительной характеристикой аннуитетного кредита является возможность равномерно распределить финансовую нагрузку на заемщика по возврату кредита в течение всего кредитного срока, что способствует некоторому смягчению кредитного риска. В то же время аннуитетный кредит с постоянной ставкой процента приемлем только в условиях относительно низкой инфляции и слабо меняющейся стоимости финансовых ресурсов.

В последние годы за рубежом стали применяться новые варианты ссуд под залог, которые предусматривают более сложные условия возвращения кредита, чем стандартный вариант. К ним относятся кредиты, когда периодические платежи изменяются по определенному закону, например по арифметическому, в котором платежи изменяются по линейному закону и представляют собой арифметическую прогрессию, и геометрическому - с показательным законом изменения платежей. В этом случае последовательность платежей представляет собой геометрическую прогрессию. В каждом случае, в зависимости от параметров закона изменения платежей, они могут возрастать со временем (кредиты с нарастающими платежами) или убывать (кредиты с убывающими платежа-

ми). Как правило, кредиты с нарастающими платежами применяются заемщиками, рассчитывающими на увеличение своих доходов в будущем, и, наоборот, заемщики, достигшие определенного положения, используют кредиты с убывающими платежами, но со значительными выплатами в первые два года срока кредита. Обычно такие ипотечные кредиты предусматривают фиксированную ставку процента на весь период кредитования.

Исследуем динамику финансовых потоков, характеризующую состояние кредитного процесса, в котором платежи представляют собой арифметическую прогрессию [1].

Пусть имеется поток платежей

V, V + 0, V + 20, ..., V+ (к- 1) 0, ...,

..., V + ( п- 1) 0,

где 0 - разность прогрессии, т. е. величина, на которую изменяется за каждый период платеж V; к - текущий номер периода; п - срок кредита.

Закон изменения платежей представляет собой арифметическую прогрессию вида

Vk = V + (к - 1) 0, к = 1, 2, ...., п;

Vn = V +

Здесь выполнение условия Vn > 0 необходимо для того, чтобы не было отрицательных выплат.

В (1), если разность прогрессии 0 положительна, то имеется нарастающий поток платежей, если 0 отрицательна - убывающий, если 0 равна нулю - постоянный.

Диаграмма нарастающих финансовых потоков представлена на рис. 1.

Определим текущую Б стоимость потока платежей (1):

Б = К3 + К32 + ... + ¥^к + ... + V 3” =

12 к п

= V3 + (Г+ 0)2 + ... + (к - 1) 0] 3к +.

...+ [V+ (” - 1) 0] 3”,

Б = 1 V + ^, а . -

і і і ”; і

Преобразуем (4) к виду: Б = Va . + (а . - п 3п) 0/1.

п; г 4 п; г / ^

0 и сумме кредита Б или определения величины прироста 0 при заданной сумме первого платежа и сумме кредита Б [1]. Пусть величина первого платежа V задана и соответствует финансовым возможностям заемщика. Тогда величина прироста из (5) равна

где 3 = 1/ (1 + г) - коэффициент дисконтирования по ставке ..

Умножая (1) на коэффициент роста и = (1 + г), а затем, вычитая из обеих частей выражения соответствующие части равенства (1), получим

гБ^+03+032 +...+03п - ЧУКп - 1)0]3п=

^

1

Из (3) находим, что

Б = V( 1 - 3п) / г + (ап. г - п3п ) 0/г .

Учитывая, что ( 1 - 3п) / г = а. . , получим в результате

0 = (Б - V! . ) і / (а . .- п 3 ”).

Если требуется определить величину первой выплаты, то из (5) находим, что

V = (Б - (а . . - п 3 ”) 0 / 1) / а . . .

При рассчитанных значениях расходов по кредиту и заданных исходных данных можно составить план-график погашения основного долга в виде таблицы и графика изменения финансовых потоков (рис. 2). Расчет параметров финансовых потоков проводится по следующим рекуррентным соотношениям:

к = 1, ..., п; Б„ = Б.

Бк-1 - Кк,

Из (5) следует, что текущая стоимость Б зависит линейно от параметра 0.

При формировании графика погашения задолженности с переменными платежами возникает проблема определения первого платежа V при известной величине прироста

Соотношения (8) позволяют для любого момента к определить состояние ипотечной кредитной сделки, которая характеризуется величиной процента Jk , величиной погашения долга Як и остатком долга Бк.

Приведенная схема погашения является удобной для тех заемщиков, которые испытывают финансовые затруднения в первые годы и рассчитывают увеличить свои доходы в будущем.

V + (п - 1)0

Рис. 1. Диаграмма нарастающих финансовых потоков

Рис. 2. Динамика изменения финансовых потоков в схеме погашения с нарастающими платежами по займу

Рассмотрим схему погашения с убывающими платежами по кредиту.

Примем, что ежегодные расходы на погашение кредита Я являются постоянной величиной, равной

Я = Б / п =сот1.

Чтобы обеспечить погашение кредита, величина убывания платежей должна удов -летворять неравенству

V -

то есть платеж в последний п-й год не должен быть меньше заданной величины расхода на погашение основного долга.

Из (9) следует

0 <

Таким образом, для убывающих платежей по кредиту при постоянной величине ежегодного расхода на погашение долга Я величина прироста не должна превышать значения, равного (V- Я) (п - 1).

При найденном значении убывания расходов по кредиту 0 величина выплат по нему

в каждый период определяется из уравнения (1).

При заданном расходе на погашение Я, равном постоянной величине, и найденных значениях выплат по кредиту в каждом периоде Vk легко найти величину процентов в каждом периоде по уравнению

Л = Vk - Я, к = 1, ..., п.

Найденное значение ежегодного расхода на погашение кредита Я позволяет определить величину оставшегося долга в каждом периоде

Бк = Бк- 1 - ^ к = 1 •••., ^ Б0= Б.

Таким образом, чем интенсивнее снижается платежный поток по кредиту, тем с экономической точки зрения заемщику выгоднее реализовать такую схему. Однако для этого он должен быть платежеспособным, особенно в первые годы действия срока ипотечного кредита.

Если задолженность погашается р раз в году, например ежемесячно (р = 12), и с такой же частотой выплачиваются проценты по

ставке г/р, то число периодов равно пр, а расходы на погашение основного кредита составят

Я = Б / рп.

Заменяя в (1, 5, 6 - 10) к на кр, п на пр, г на г/р, можно получить формулы для формирования процедуры погашения задолженности при возрастающих и убывающих платежных потоках [1].

Так, если V - разовая величина выплаты, 0 - годовой прирост выплат, то последовательные выплаты равны:

V; V + 0/р, V + 20/р, ., V + (рп -1) 0/р.

Для к-го периода расходы на погашение кредита составят

Vk= V +(к - 1) 0/р, к = 1, ....,рп.

Современную стоимость платежных потоков при начислении процентов р раз в году определим из уравнения

рп

б = %№+0л/р)3я/р.

Л=1

Рассмотренные в работе модели финансовых потоков в решении задач погашения задолженности для различных видов ипотечных кредитов позволяют дать им количественную оценку по критерию суммарных расходов на выплату процентов и обеспечить на этой основе возвратность кредита с учетом платежеспособности заемщика.

Список литературы

1. Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учебник/ Е. М. Четыркин. - 4-е изд. -М.: Дело, 2004.

DISCRETE PLANNING MODEL FOR MORTGAGE CREDIT WITH VARIABLE PAYMENT FLOWS

© 2005 M. G. Sorokina

Samara State Aerospace University

The paper analyses the dynamics of financial flows when carrying out the procedure of mortgage credit depreciation with decreasing and increasing flows.