Нетрадиционные подходы к построению математических моделей механических колебательных систем с рычажными связями

3. Вольдек, А. И. Электрические машины: Учебник [Текст] / А. И. Вольдек. - Л.: Энергия, 1974. - 840 с.

4. Харламов, В. В. Методы и средства диагностирования технического состояния кол-лекторно-щеточного узла тяговых электродвигателей и других коллекторных машин постоянного тока [Текст]: Монография / В. В. Харламов. - Омск, 2002. - 233 с.

5. Осис, Я. Я. Диагностирование на граф-моделях (на примерах авиационной и автомобильной техники) [Текст] / Я. Я. Осис. - М.: Транспорт, 1991. - 244 с.

УДК 621.01; 534

А. П. Хоменко, С. В. Елисеев

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С РЫЧАЖНЫМИ СВЯЗЯМИ

Рассматриваются вопросы построения структурных моделей виброзащитных систем с рычажными механизмами или связями. Показано, что системы с твердыми телами могут быть приведены к общему виду, и предложены подходы к учету свойств рычажных механизмов. Вводятся новые понятия о структуре механической колебательной системы.

Возможности различных форм соединения наиболее распространенных звеньев механических колебательных систем в виде пружин и демпфирующих устройств нашли отражение в работах по теории механических цепей [1], теории подвесок транспортных средств [2], что связано с рассмотрением эквивалентных пружин и демпферов. Начальные представления о возможностях объединения свойств типовых элементов механических колебательных систем можно найти в работах по теории механизмов и машин, где упомянутые подходы использовались для определения приведенных масс и приведенных жесткостей. Приведенные характеристики получили применение не только в решении задач динамики механических систем, но и в статике в связи с задачами приведения силовых факторов. Широкое распространение задачи приведения сложных расчетных схем в динамике агрегатов, в частности, силовых передач, нашли отражение в работах [3, 4].

В более развитой форме вопросы формирования структур из типовых элементов рассматриваются в теории цепей и ее приложениях применительно к электрическим системам [5]. Возможности упрощения исходных механических систем и их математических моделей, в большей части линейных, стали основой ряда подходов, связанных с разработкой алгоритмов автоматического составления математических моделей и реализации идей автоматизации научных исследований и проектирования систем конкретного назначения [6]. Многие вопросы упрощения исходных структур с использованием идей блочного построения динамических структур были развиты в связи с развитием робототехники [7].

Вместе с тем, несмотря на значительное число работ, в которых в той или иной форме используются представления о возможностях построения приведенных или эквивалентных структур как направления создания некоторой основы для преобразования математических моделей, и технологии упрощения еще не получили должного внимания. В этом плане многое объясняется конкретными особенностями систем, определяемых физической природой составляющих элементов, а также целями и задачами исследования.

В динамике механических колебательных систем, являющихся расчетными схемами для многих задач, в частности, вибрационной защиты машин и оборудования, определенные перспективы имеют структурные методы исследования, связанные с применением аналитического аппарата теорий цепей и автоматического управления. Основной идеей метода является введение расширенного набора типовых элементарных звеньев механических систем. У

таких типовых элементов есть свойство при входном сигнале в виде смещения иметь выходной сигнал в виде силы. В качестве типовых элементов выступают устройства с передаточными функциями усилительных дифференцирующих и интегрирующих звеньев первого и второго порядков [8], из которых могут формироваться структурные схемы эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления. Заложенная в исходных позициях однородность типовых звеньев по «входу» и «выходу» создает основу для построения приведенных структур, состоящих из блоков, которые, в свою очередь, также могут рассматриваться как своеобразные типовые элементы, но более сложного вида. В таких случаях они могут рассматриваться как типовые элементы второго уровня и т. д. Посуществу учет особенностей механических колебательных систем, в которых имеет место динамическое взаимодействие массоинерционных и упруго-диссипативных сил, естественным образом предопределяет возможности структурирования системы на блоки с учетом формы внешних возмущений и задач исследования. В наибольшей степени такие подходы удобны для систем с конечным числом степеней свободы; в меньшей степени пока развиты технологии блочного построения к системам с распределенными параметрами, хотя в этом направлении известны работы [9, 10]. Широкое распространение получили аналитические подходы и прикладные программные комплексы в разработке методов конечных элементов, однако оценка динамических свойств механических систем и в настоящее время остается сложной проблемой [11].

Упругие элементы в виде различных пружин широко используются в решении многих задач обеспечения динамического качества машин и технологического оборудования. Наиболее известны представления о свойствах пружин, имеющих идеальные характеристики, соответствующие в теории цепей и теории автоматического управления обычным усилительным устройствам. Существуют и более общие подходы, опирающиеся на расширение понятия упругого элемента путем соответствующих соединений с демпферами и устройствами для преобразования движения [12]. В работах [13, 14] рассмотрены отдельные аспекты приведения упругих систем к обобщенным пружинам, связанные с понятиями о динамической жесткости. Последняя определяет свойства системы при действии гармонических внешних возмущений. Конструктивным началом в таких подходах является использование динамических моделей в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, к которым применяются методы преобразования Лапласа с последующим построением структурных схем, эквивалентных в динамическом отношении структурным схемам систем автоматического управления [1]. Получаемые в последующих этапах передаточные функции дают возможность оценивать не только динамические свойства систем, но и их статические характеристики при «занулении» в передаточной функции системы частоты внешнего воздействия.

Однако многие вопросы использования возможностей структурных подходов еще не получили должной детализации и развития, особенно в тех разделах, которые связаны с изучением рычажных связей, т. е. динамического взаимодействия звеньев в виде твердых тел, соединенных в достаточно сложные структуры. Предлагается комплексное исследование, ориентированное на создание методологических основ построения математических моделей обобщенных упругих структур, возникающих при рассмотрении действия сил в механических колебательных системах. Предполагается, что методологическая основа может быть распространена на ситуации, характерные для периодических внешних сил, что связано в частности с выделением образующихся квазиструктур, упрощающих рассмотрение сложных механических систем.

Рычажные механизмы в составе механических колебательных систем характеризуются особенностями, которые проявляются в изменении динамических свойств по отношению к системам обычного вида. Ряд вопросов рассмотрен в работах [1, 14] в связи с учетом типа рычажных механизмов и их инерционно-упругих свойств. Отметим, что рычажные механизмы в структуре механической системы влияют на условия формирования соотношения меж-

ду координатами движения элементов системы и на формы упругих связей [1]. В частности, малоизученной представляется задача составления математических моделей систем с рычажными связями в различных координатах, что характерно для систем, включающих в свой состав звенья в виде твердого тела.

Рассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы (см. рисунок 1,а, б), в составе которой используются рычаги 1-го рода (см. рисунок 1,а) и связка рычагов через зубчатое зацепление (см. рисунок 1,б). Введение рычажных связей в механические цепи приводит к определенным сложностям в использовании аппарата теории цепей, что обсуждалось в работах [3, 5], однако в этих исследованиях нашли отражение лишь отдельные аспекты проблемы. Больший интерес представляет сравнительный анализ систем с рычагами в их сопоставлении с известными схемными решениями в виде цепочки из двух тел и твердого тела на упругих опорах.

Р

♦

У

У2

у у у у /А

т

п

у !Г

у у у у /А 2

а б

Рисунок 1 - Расчетные схемы механических колебательных систем с рычажными связями: а - рычаг 1 -го рода; б - рычажная связь с зубчатым зацеплением

Система, представленная на рисунке 1,а, состоит из двух элементов массой т1 и т2, которые взаимодействуют через рычаг 1-го рода. Рычаг имеет центр вращения в виде неподвижной точки О и плечи 11 и 12. Внешнее возмущение представлено движением основания ) и 7) гармонического вида, жесткость пружин обозначена соответственно кх,

k2,

Для вывода уравнений движения примем, что рычаг обладает моментом инерции I относительно точки вращения и что передаточное отношение г = —; учтем также, что переда-

11

точное отношение характеризует в данном случае изменение направления скорости движения по концам рычага. При рассмотрении движения свойства системы предполагаются линейными, трение отсутствует, а движения элементов системы малые.

Для построения математической модели системы (см. рисунок 1,а) введем систему координат у1 и у2 (относительно неподвижной базы) и угол поворота рычага с моментом инерции I вокруг точки 0 в виде р . Тогда выражения для вычисления кинетической и потенциальной энергии системы примут вид:

Т = 2 т1у2 +1 т2у 2 +11Ф2;

3

1

п = -кх(ух - ^)2 +-к2(у\ - у)2 +-к2(у2 -У2У +-к3у2

2 1-х ^ 2 ^^ 2 2

где у!,у2 - координаты концов рычага, у1 = ¡1^,у2 = ¡2ф в соответствии с рисунком 1,а,

г г

22 ) = 0. Отметим, что между у! и у2 имеется соотношение — = —, из которого следует,

¡1 ¡2

что у2 = У (/' = -—). Перепишем уравнения (1), (2) с условием связи координат: ¡1

Г 1 "2 + 1 "2 + 1,

т=^ т1 У! + 2 т2 у2 + ^1

Г • г \

У1

V 1 У

П =1 к1( У1- ^1)2 + 2 к2( у1 - У1)2 + 2 к2 (/У1 - У 2)2 + 2 к з У22.

После ряда преобразований получим уравнения движения:

т1у + У1(к1 + к2) - к2 У1 = к1

т2 ""2+у2 (кз + к2) - к2/у1 =0;

(//¡12).У"; + у;(к2 + к2/'2) - к2у - к2г>2 = 0. Коэффициенты уравнений движения (5) - (7) представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Коэффициенты уравнений движения

а11 а12 а13

т1 р + к1 + к2 0 -к 2

а21 а22 а23

0 т1 р2 + к2 + к3 -к 2'

а31 а32 а33

—к 2 -к 2' (I / ¡2) р2 + к2 + к 2/2

01 02 03

к1 0 0

Примечание: Ql - Qз - обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам.

Используя уравнения (7) при I = 0, найдем, что у1(к2 + к 2'2) - к2 у1 - к'2/у2 = 0, откуда

к 2 у + к 2'у 2

у1 =

г -2

к 2 + к 2'

= яу1 + Ьу2,

где

а = к2/ • Ь = к2у

/к + к 2/' 2); /(к2 + к 2'2).

Произведем преобразования уравнений (5), (6) и получим:

т1 у1 + у1 (к1 + к2) - к2 (ау + ьУ 2) = к1 ;

4

№ 2012

2

т2у2 + У2

После приведения к унифицированной форме получим таблицу 2 коэффициентов уравнений (10), (11).

Таблица 2 - Коэффициенты уравнений движения системы в координатах у1 и у2

а11 а12

т1 р2 + к1 + к2 — к2 а —к 2Ь

а21 а22

к 2 /а т2 р2 + к2 + к3 — к2/Ь

01 02

к1

Проверим соотношение между коэффициентами а21 и а12 :

, т кЛ'4 —кЛ!Л

-КЬ = «12 =- Ц, .2 % +\2.2;

к2 + к2г к2 + к21

,. к2 к 2/ — к2га = «21 = - 2 Д .2.

к2 + к2/

Таким образом, симметрия матрицы коэффициентов уравнений (см. таблицу 2) сохраняется. Структурная схема системы при I = 0 представлена на рисунке 2.

к'2га

Рисунок 2 - Структурная схема механической системы с рычажными связями при I = 0 Распишем выражения для приведенной жесткости:

к к2

кпр1 = к1 + к2 — к2а = к1 + , 2 ]'_, ,.2

В свою очередь

к2 + к'21

кпР = к3 + к2 — к2/Ь = к3 + —'2 2 _.

ПР2 3 2 2 3 к2 + к'212

Если IФ 0, то структурная схема системы примет вид, изображенный на рисунке 3.

к

к/

Г1

1 у 14 /

т1 р + к1 + к2

т2 р2 + к2 + к3

1

(X) р2 + к2 + к'2/2

72

к1

Рисунок 3 - Структурная схема системы с инерционным рычагом

Особенность системы заключается в том, что в ней отсутствуют связи между парциальными системами по координатам у1 и у2. Принимая, что к12Х = Q1, можно найти передаточную функцию системы:

Г ?2\ 2 , 7_ , 7_г 2 |/ 2 , 1_г , 7_ \ /7_1 -\2

,

ж (р) = = [(1 / ¡12)р2 + к 2 + к2/2 ](т2 р2 + к2 + к3) - (к2/)2

(р) 0 л

где ^ - характеристическое уравнение,

Л =

-(к'21)2 (т1 р2 + к1 + к2 ) - к2 (т2 р2 + к2 + к3).

Из уравнения (16) следует, что приведенная упругость, т. е. жесткость упругого компакта в системе, представленной на рисунке 1, при приложении статической силы 0 к элементу

с массой т1 определится по выражению:

/ к2 кг к3

кпр =

к 2 к2 + к3 к2 + к 2 к3 /

2 '

Аналогичное выражение можно получить непосредственно из расчетной схемы, изображенной на рисунке 1, полагая I = 0, т2 = 0:

^ к'2к3 ^ V к2 + к3 У

/2 к.

/ к2к'2к3

пр

^ к'2к3 ^ V к 2 + к 3 У

/2 + к

к2 к' + к2 к3 + к2 к3'

Алгоритм получения выражения (19) заключается в выделении двух каскадов из последовательно соединенных упругих элементов и учете свойств рычажного соединения.

Для получения выражения (18), если использовать (16), (17), необходимо также принять

р = 0 в парциальных системах т2р2 + к'2 + к3 и р2 + к2 + к'2/2, затем привести систему к

виду: т1 р2 + к1 + кпр. На рисунке 4 показано, что с учетом преобразований компакт (квазипружина) из упругих элементов в случае действия статической нагрузки в расчетной схеме занимает место обычного упругого элемента.

4

№ 2012

1

2

При г = 1 выражение (19) принимает вид последовательно соединенных упругих элементов. В свою очередь при г = 0, что соответствует 12 = 0, система принимает упрощенный вид, при котором кпр = 0 . При этом взаимодействия с остальными элементами через рычаг не происходит. Если пода , т. е. если считать, что масса т

Рисунок 4 - Расчетная схема механической колебательной системы с упругим компактом

лагать, что к'2 непосредственно связана с рычагом, то

к2 к3г2

к = —^^-

пр 1 , 1 -2 '

к2 + к^г

что совпадает с ранее полученными результатами [1].

Принимая I = 0, можно преобразовать структурную схему, представленную на рисунке 2, к виду, изображенному на рисунке 5. В этом случае взаимодействие между парциальными системами будет осуществляться через упругий компакт с жесткостью

Ж' (р) = к2к2г

к2 + к2г

2

к2к2г

2 к2 + к^г

Рисунок 5 - Структурная схема системы с рычажными связями

Используя структурную схему, прведенную на рисунке 5, можно провести преобразование, которое придает рассматриваемой системе вид обычной цепной структуры, содержащей компакты из упругих элементов, соединенных рычажными связями. Структурная схема с преобразованными элементами приведена на рисунке 6.

Рисунок 6 - Структурная схема системы, приведенной к цепному виду

Соответствующая расчетная схема на уровне использования отдельных звеньев с учетом их физической природы приведена на рисунке 7.

Особенностью системы, изображенной на рисунке 7, является то, что рычажные связи оказались введенными в структуру компакта упругих элементов, что ранее в научной литературе не предполагалось возможным в таком представлении [1]. В теории цепей для учета рычажных связей применяются специальные приемы, которые не отражают общей природы динамических связей [1, 5].

Отметим также, что связь между парциальными системами, в физическом смысле, реализуется через рычажный механизм, который превращает вращательное усилие в силовые факторы взаимодействия между массами т1 и т2 в соответствии с теоретическими положениями механики.

Таким образом, система с рычажными связями может быть представлена цепной системой с упругими элементами, образующими некоторые компакты; связи между парциальными системами имеют упругий характер; при этом массоинерционные свойства рычага для статических расчетов полагаются малыми. Тип рычажного устройства имеет значение для построения передаточных функций системы, поскольку рычаги первого рода (как в рассматриваемом случае) имеют передаточное отношение со знаком «минус». Это имеет значение для определения вида

привносимой рычагами дополнительной обратной связи, которая может быть отрицательной или положительной. Последнее имеет значение в связи с изменениями характеристического уравнения.

В соответствии со структурной схемой на рисунке 6 можно отметить, что частоты парциальных систем и собственных колебаний системы и динамические свойства будут зависеть от типа рычажных связей, что, в частности, нашло отражение в работах [10, 14].

Для проверки правильности подхода определим статическую жесткость системы, представленной на рисунке 7:

Рисунок 7 - Расчетная схема системы, приведенной к цепному виду и содержащей рычажные связи

[к3 (к2 + к2'2) + к 2 к2(1 -i)] к2 к 2'

к =_

пр к3

2

к2 + V

+

к 2 к2'

+

к 2 к2'

к 2 к 2 к 3'

2

к2 + к2'

2

к2 к'2 + к3 к2 + к3 к'2'

что совпадает с выражением (19).

Учет динамических свойств системы с инерционным рычагом требует самостоятельного рассмотрения, но производится аналогичным образом.

При использовании рычага первого рода скорости концов рычага имеют разные направления, поэтому если принять ' < 0, то в соответствии с уравнениями (5) - (7) обратные связи в структурных схемах будут отрицательными. Это предполагает в характеристическом уравнении (по рисунку 6) знак «плюс» перед последним членом. При этом надо принять во внимание, что знак «минус» у передаточного отношения не изменяет параметры парциальных систем, т. е. рычаг первого рода в данном случае при свертках системы обеспечивает отрицательную обратную связь.

Если использовать рычаг второго рода, в котором i > 0, то обратная связь в системе будет положительной, что изменяет знак в характеристическом уравнении системы - он становится отрицательным (знак «минус»). Учет особенностей рычажных связей приводит к тому, что динамические свойства систем будут различными при различных типах рычажных связей.

Рассмотрим механическую систему, содержащую более сложную систему рычажных связей, включающую в себя зубчатое зацепление (см. рисунок 1, б). Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергии, полагая, что компоненты рычажных связей имеют моменты инерции !х и 12 соответственно и неподвижные точки вращения 01 и 02 (см. рисунок 1,б):

1 2 1 • 2 1 • 2

Т = 2 т1у + 2 т2у2+ 2+ 2

21 2 2 1 2 22 1 1 2

П = 2к1(У1 - 21) + 2к2(у'1 " У1) + 2к'2(у'2 " у2) + 2 к3(У2 " 22) ,

где р и р1 - угловые координаты поворота элементов зубчатого зацепления.

Введем ряд необходимых для дальнейших расчетов соотношений: ф = —; ф1 =—;

1 Iз

/2 ф = ф^; У1 = У2 • у; у2 = уу2; / =; =; ^ = ф у. С учетом приведенных соотно-

£-1 ¿о ¿Л 1/Л V л ¿л »л

шений выражения (23) примут вид:

Т = | т1 у12 + 2 т2 у22 + | 1Ф2 + | 72 Ф1

_2 V 2 у

П = 2 к1

Так как /2 = //1, а /2 = —, то можно ввести соотношение:

/2 • • /1 •

У = ^Т" = ^

/2 /3

Уравнения движения в данном случае примут вид:

т1у1 + У1

т2У2 + У2

р

Если /1 = 0,12 = 0, тогда

ф = АУ1 + Ьу 2,

где

к/

а = 21

к2/12 + к2(/1//1)2

ь =

к2№

к21х + к2

С учетом выражений (30) - (32) уравнения (27), (28) преобразуются к виду:

щух + (к1 + к2)у -

к22/12

___к211к2(/1//1 ) У2

к2/12 + к^ (/1''1 )2 к2/12 + к^ (/1/''1 )2

= к1

т2у2 +(к2 + к3)У2 -

к2/1 + к'2(11И1) к2/1 + к'2(11и1У

В таблице 3 приведены коэффициенты уравнений (33), (34).

Таблица 3 - Коэффициенты уравнений в координатах у1, у 2

т1 р2 + к1 +

к 2 к 2 1 ) к2^1 + к2

21

к 2 к2^1 (11'''1) к 2^1 + ВД'^Г

01

к1

к 2 к 2^1 (11//1) к 2^12 + к 2 (/1//1)2

22

т2 р2 + к3 +

к 2 к 2^1

к 2^1 + к2(/'1)2

02

к 2 ^2

Примечание: 01, 02 - обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам у1 и у2.

Структурная схема системы по рисунку 1,б приведена на рисунке 8.

у2

Рисунок 8 - Структурная схема системы по рисунку 1, б

Из структурной схемы, приведенной на рисунке 8, следует, что введение рычажных и упругих элементов формирует систему, в которой парциальные блоки имеют связь с передаточной функцией:

W'(р) =

к2 к2 (гг1) к 2 + к 2(''1)2

В структурной схеме на рисунке 8 можно произвести ряд эквивалентных преобразований (рисунок 9), приняв, что

а

а

)- А2 + А2/0 -(

Рисунок 9 - Структурная схема системы по рисунку 1, б, приведенная к цепному виду

Отметим, что приведенные преобразования для расчетной схемы на рисунке 1, б аналогичны преобразованиям для схемы на рисунке 1,а. Если не принимать во внимание знаки передаточного отношения, то для схемы на рисунке 9 представлена система, в которой для связи парциальных блоков вводится положительная обратная связь. В этом случае характеристическое уравнение будет иметь вид:

т1 р2 + А1 +

АЛ'Л

2

'2 2 0

^ + ^ у

т2 р2 + А3 +

^ + ^

= 0.

Рассмотрим более подробно структуру /0 = //. Отметим, что / = —— передаточное отно-

¡1

шение рычага первого рода (см. рисунок 1,б), для которого / = -—. В свою очередь /1 =

К 12

является передаточным отношением зубчатой передачи с наружным зацеплением, обеспечи-

к

¡2'

вающим вращение элементов передачи в противоположных направлениях, поэтому /1 =

Комбинация двух передаточных отношений будет, таким образом, всегда положительной. Изложенное позволяет сделать вывод о том, что соединение двух рычагов первого рода через наружное зубчатое зацепление превращает весь блок в рычаг второго рода, что само по себе является нетрадиционным представлением особенностей рычажных связей.

Таким образом, рычажные связи в структурах механических систем, содержащих упругие и массоинерционные элементы, создают пространственные (в данном случае - двумерные) взаимодействия.

При анализе статического равновесия система может рассматриваться на уровнях выделения структурных образований из упругих элементов и рычагов, в свою очередь соединенных между собой зубчатым механизмом. Такие структурные образования можно назвать компактами, или квазипружинами, которые могут иметь достаточно сложные схемы и состоять из различных комбинаций рычагов и пружин. Главным является то, что квазипружина ведет себя в статических преобразованиях, например, при определении приведенной жесткости механической системы (жесткость в точке положения силы), так же, как обычная пружина в виде типового элементарного звена.

//1 ¿0

г

2

2

2

Рассматриваемые структурные представления позволяют предложить метод определения приведенных жесткостей на основе использования для этих целей передаточных функций. Передаточные функции, вычисленные путем простых преобразований, позволяют получить необходимые данные о приведенных жесткостях системы и тем самым учитывать конструктивно-технические особенности системы.

Предложенный метод для решения задач динамики открывает возможность введения и учета рычажных связей в структурных интерпретациях механических колебательных систем, основанных на аналитическом аппарате теорий цепей и автоматического управления.

Список литературы

1. Елисеев, С. В. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем [Текст] / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник, А. П. Хоменко. - Новосибирск: Наука, 2011. - 394 с.

2. Климов, А. В. Динамика рычажной релаксационной подвески с прерывистым демпфированием: Дис... канд. техн. наук / А. В. Климов. - Орел, 2001. - 186 с.

3. Фролов, К. В. Вибрации в технике. Защита от вибраций и ударов [Текст] / К. В. Фролов. - М.: Машиностроение, 1981. - Т. 6. - 456 с.

4. Вейц, В. А. Колебательные системы машинных агрегатов [Текст] / В. А. Вейц, Е. А. Кочура, А. К. Федотов / Ленинградский гос. ун-т. - Л., 1979. - 256 с.

5. Бакалов, В. П. Основы теории цепей [Текст] / В. П. Бакалов, В. Ф. Дмитриков, Б. И. Крук. - М.: Радио и связь. - 1998. - 469 с.

6. Елисеев, С. В. Исследование и проектирование виброзащитных систем средствами специализированных пакетов прикладных программ [Текст] / С. В. Елисеев, А. А. Засядко, Г. Д. Карпухин // Проблемы механики железнодорожного транспорта. Повышение надежности и совершенствование конструкций подвижного состава. Сб. докл. всесоюзной конф. / Днепропетровский нац. ун-т ж.-д. трансп. - Днепропетровск, 1988.

7. Елисеев, С. В. Математическое и программное обеспечение в динамике многоманипу-ляционных систем [Текст] / С. В. Елисеев, М. М. Свинин. - Новосибирск: Наука, 1992. - 298 с.

8. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов [Текст] / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник и др. / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск, 2008. - 523 с.

9. Бутковский, А. Г. Структурная теория распределенных систем [Текст] / А. Г. Бутков-ский. - М.: Наука, 1977. - 320 с.

10. Ольсон, Г. Ф. Динамические аналогии [Текст] / Г. Ф. Ольсон. - М.: Мир, 1967. -224 с.

11. Соболев, В. И. Дискретно-континуальные математические модели в алгоритмическом и программном разрешении проблем подавления вибраций конструкций и оборудования [Текст]: Автореф. дис. доктора техн. наук. Иркутск, 2003. - 36 с.

12. Елисеев, С. В. Динамика механических систем с дополнительными связями [Текст] / С. В. Елисеев, Л. Н. Волков, В. П. Кухаренко. - Новосибирск: Наука. - 1990. - 214 с.

13. Елисеев, С. В. Обобщенная пружина в задачах динамики машин и оборудования [Текст] / С. В. Елисеев, С. В. Белокобыльский, Р. Ю. Упырь // Сб. науч. тр. / Полтавский национальный техн. ун-т. - Полтава, 2009. - № 3 (25). - С. 79 - 89.

14. Елисеев, С. В. Рычажные связи в задачах вибрационного воздействия на машины и оборудование [Текст] / С. В. Елисеев, А. П. Хоменко, Р. Ю. Упырь // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск, 2009. - № 3 (23). - С. 104 - 119.

! 4