Об излучении нестационарного кольцевого электрического тока в магнитоактивной плазме

Электродинамика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 5 (3), с. 307-313

УДК 533.951

ОБ ИЗЛУЧЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОГО КОЛЬЦЕВОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА В МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ

© 2011 г. А.В. Кудрин, Н.М. Шмелева

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

kud@rf.unn.ru

Поступила в редакцию 01.07.2011

Изучены характеристики излучения заданного нестационарного кольцевого электрического тока в однородной магнитоактивной плазме. Применительно к условиям работы такого источника в плазме ионосферного типа получено выражение для полной энергии излучения и проанализировано ее распределение по частотному и пространственному спектрам возбуждаемых волн в зависимости от параметров излучателя. Показано, что кольцевой источник сравнительно малых электрических размеров в случае, когда его частотный спектр сосредоточен в свистовом диапазоне частот магнитоактивной плазмы, наиболее эффективно возбуждает излучение в резонансной области данного диапазона.

Ключевые слова: нестационарный кольцевой электрический ток, магнитоактивная плазма, энергия излучения.

Введение

Возбуждению электромагнитных волн монохроматическими источниками в магнитоактивной плазме посвящено большое число работ (см., например, [1, 2] и цитируемую там литературу). В последнее десятилетие в связи с многочисленными перспективными приложениями значительный интерес вызывают особенности возбуждения и распространения немонохроматических сигналов в магнитоактивной плазме [3, 4]. В большинстве теоретических работ по этой проблематике рассматриваются пространственные распределения полей, возбуждаемых различными идеализированными импульсными источниками в магнитоактивной плазме (см. [5, 6]). В то же время энергетические характеристики излучения таких источников изучены явно недостаточно. Целью данной работы является исследование энергетических характеристик излучения электромагнитного источника в виде заданного немонохроматического кольцевого электрического тока, расположенного в магнитоактивной плазме ионосферного типа.

Постановка задачи

Рассмотрим кольцевой электрический ток в однородной холодной бесстолкновительной плазме, находящейся во внешнем постоянном магнитном поле В0 = Б0г,0 , направленном вдоль оси г цилиндрической системы коорди-

нат (р, ф, г). Плотность электрического тока источника зададим в виде

КГ ?) =фо /о5

где 10 - амплитуда тока, Ь - радиус источника, 5 - дельта-функция Дирака, х(?) - безразмерная функция, описывающая зависимость тока от времени. Предполагается, что функция %(?) имеет максимальное значение, равное единице, и отлична от нуля в интервале 0 < ^ < т, где т -длительность импульса тока, которая в принципе может быть бесконечно большой.

Плазма описывается тензором диэлектрической проницаемости со следующими ненулевыми компонентами:

^рр ^фф

8рф = -8ФР = -1ё

е гг = Л-

фр

Для монохроматического сигнала с зависимостью от времени вида ехр(/ю^) величины е, g, л в случае двухкомпонентной магнитоактивной плазмы, состоящей из электронов и ионов одного сорта, могут быть записаны следующим образом [7]:

(ю2-юН)(Ю2-ПН) :

g =

(ю2-юН )(ю2-ПН V

Л = 1 --

2

Ю „Юню

ю

ю

где и юн - гирочастоты ионов и электронов соответственно, юш - нижняя гибридная частота, юр - плазменная частота электронов, юин -

верхняя гибридная частота.

Определим полную энергию излучения источника (1). Для этого нам потребуется, очевидно, вначале получить выражения для поля, возбуждаемого данным источником в магнитоактивной плазменной среде.

Энергия излучения

Полная энергия Ж, излучаемая током с плотностью Хг, і) длительности х, может быть подсчитана по формуле:

X

Ж = і

0 к

где интегрирование по пространственным координатам проводится по области V, занимаемой источником, Е(г, і) - электрическое поле, возбуждаемое источником. Для отыскания электрического поля Е(г,і) воспользуемся преобразованием Лапласа, которое имеет следующий вид для некоторой функции /(і) действительной переменной і :

1тю = -ст,

ни, ^ - импеданс свободного пространства, 5 = + и 5 = - для г > 0 и г < 0 соответственно, J1 - функция Бесселя первого порядка, к0 = ю/ с (с - скорость света в свободном пространстве), к- поперечное (по отношению кВ ) волновое число, к5 а - продольные волновые числа

двух нормальных волн однородной холодной магнитоактивной плазмы, которые здесь обозначены индексами а = 1 и а = 2, у1= -у2 = 1. Величины к

ъ = ъ = — ъ

>1+,а ,1а —,а

8 а удовлетворяют соотношению и связаны с к± следующим

выражением:

(

Ъа = к08 — -

Л

+ Уо

1 + *

V Лу

V

к2 +

У

— к0к1 ~ + к0 ё 2 Л

12

При этом величины к определены таким образом, что выполняется условие 1тка < 0.

Подставляя интеграл, дающий обратное преобразование Лапласа величины Еф (г, ю), в формулу (4) и выполняя интегрирование по пространственным координатам и времени, получим

2

—/ст+г

ДО = - {/МечММ*.

= 2 7о2оХ(ю)У0

к03Ьё2 Г к1 — к02л к

2 /,2„

2 Л I к1 + ъ0 — к08 Ъа

І1

к11 —-

Л

2

— 4к02к1 ^ + 4к(4 ё2

Л

12ЄХр(—/Ах,а ^к1

к± — кд л к±

і к1 + ъ0 — к02Є Ъа

Здесь ст - положительная константа.

В случае источника (1) для отыскания величины Ж достаточно определить лишь азимутальную компоненту Е (г, і) полного электрического поля. Можно показать, что изображение по Лапласу Еф (г, ю) данной компоненты

определяется формулой [1]:

Еф (г, ю) =

— 4к2к1 + 4к0 ё2

12

где

Е

Контур интегрирования в (8) симметричен относительно мнимой оси комплексной плоскости ю . Переходя к интегрированию по правой части этого контура, для которой Яе ю > 0, и выполняя предельный переход ст ^ 0, будем иметь

ад

Ж = I21 ¿0^1 Wа

0 а 2а

где

где х(ю) - изображение по Лапласу функции х(0, описывающей зависимость тока от време-

»а ^, ю) = —г0Р

•^

22 2 ч —л л_

2 2 Л ч + Ра —Є Ра

41 і 8

ч I 1 —

12 '

— 4ч 2 + 4ё 2

0

Г

2

8

4

к

1

—/ст—г

1

Л

х

а

X

2

X

X

2

Л

Л

Здесь д = кЦ ko, Ра = ка/ k0, символ ба (а = 1, 2) обозначает области положительных значений д, для которых величины ра (д) являются действительными функциями. Следует отметить, что в формуле (10) интегрирование по ю выполняется по действительной положительной полуоси частот.

Рассмотрим вначале случай, когда ток источника представляет собой импульс конечной длительности, содержащий несколько полупе-риодов монохроматического колебания на частоте ю0:

х

Здесь Н(г) - единичная функция Хевисайда, т = пТ/2 = лп/ю0 - длительность импульса тока (п = 1, 2, ...), Т = 2л/ю0 - период, соответствующий частоте ю0. В этом случае функция Е (ю) принимает следующий вид:

I 8Іп[(ю —ю0)х/2]

ю —юг

—(— 1)'

8Іп[(ю + ю0)х/ 2]

ю + ю

0

ргаа = 1Іт-

п^о>пТ 2

Л0 2уаг0

(к0Ь)2 "2

ч2 — Л

I 2 2

Л ' ч + Ра —8 Ра

2а

J12(^чЬ)dч

41 і 8

ч | 1------

Л

— 4ч2 + 4Я 2

Л

1/2

ііт —-

= §(ю).

образом, энергия Ж, излученная за время т = пТ/ 2, должна в конечном счете стремиться к величине Ршс1т с возрастанием длительности импульса т, что соответствует переходу к монохроматическому источнику с частотой ю = ю0.

Наряду с зависимостью тока от времени в виде (12) целесообразно рассмотреть также одиночный импульс тока без модуляции:

Л

Х(і) = у ехр) — І—^

і0 V 0 У

Для импульса, имеющего форму (12), можно вычислить предел

Ж

где зависящие от частоты величины берутся при ю = ю0. Заметим, что при получении формулы (14) учтено известное соотношение

1 БШ2 ют

В этом случае

р

Поскольку импульс тока, описываемый формулой (15) при і0 = Т/4 = -/ 2ю0 , и импульс, описываемый выражением (12) при п = 1, весьма близки по форме, представляется полезным сравнить характеристики излучения обоих сигналов, что и будет сделано ниже.

Результаты численных расчетов

Определим в формуле (10) области интегрирования 2 на плоскости (ю, ч) при а = 1 и а = 2. Для плазмы ионосферного типа, в которой выполняются неравенства

0.н <<юьн <<юн <<юр <юин,

соответствующие области показаны штриховкой на рис. 1. Заметим, что при выполнении условий (17) справедливы приближенные формулы юЬн = (^н юн )1 и юин = (юр + юн)^ . На рис. 1а показана область 2, в которой действительной является величина р, а на рис. 2б - область 2, в которой аналогичное свойство имеет величина р2. Заметим, что рис. 1 построен без соблюдения масштабов. Наряду с характерными частотами, входящими в выражения (3), на рис. 1б используются следующие обозначения:

л ют

Нетрудно убедиться, что величина Ргаа является средней по времени мощностью излучения монохроматического кольцевого тока на частоте ю0. Как уже отмечалось выше, вклад в энергию излучения дают только положительные значения д , для которых величины

Р 2 являются чисто действительными. Таким

(

ю =

2

юг

Л1/2

„2 , юн

юр + “7

V У

ю

'н

ю =

(

4

ю;

\12

„4 . юн юР+^

V У

ю

12

(

ю =

2

. 2 , юн

\12

юР + 4

V У

н

ч

X

2

а

X

2

2

+

2

+

Рис. 1. Диаграмма, показывающая области , в которых величины р и р2 действительны

Как видно на рис. 1а, в случае а = 1 существуют три интервала частот, 0 < ю < Он, < ю < юн и ю < ю < юш, для которых области интегрирования по д являются бесконечными: д^п < д < да . Напомним, что указанные частотные интервалы (соответственно альфве-новский, свистовой и верхнегибридный) принято называть резонансными диапазонами магнитоактивной плазмы. При этом для первых двух интервалов дт1п = 0 (см. рис. 1а). В качестве иллюстрации на рис. 1а в указанных диапазонах на вставках изображены поверхности показателя преломления нормальной волны для случая а = 1. По горизонтальным и вертикальным осям рисунков, показывающих поверхности показателя преломления, отложены значения ра и д соответственно. На рис. 1а видно, что в резонансных диапазонах частот поверхности показателя преломления являются разомкнутыми. Во избежание недоразумений отметим, что поверхности показателя преломления, показанные для резонансной области свистового диапазона частот юш <ю <юя на рис. 1а, относятся

к случаю, когда <вш <ю<юн/2, и несколько изменяются при переходе в частотный интервал юн/2 <ю <юн . Кроме того, поверхности показателя преломления для верхнегибридного диапазона показаны на этом же рисунке лишь для

интервала ю7/ < ю < юин . При ю < ю < ю7/ эти

поверхности претерпевают некоторые изменения, но по-прежнему остаются разомкнутыми. Мы не будем останавливаться здесь более подробно на обсуждении этих особенностей.

Поверхности показателя преломления для других заштрихованных областей на рис. 1а и 1б являются замкнутыми. В качестве иллюстрации две такие поверхности изображены для свистовой волны в нерезонансной области частот 0я<ю<ю£я на рис. 1а и для быстрой магнитозвуковой волны в диапазоне 0 < ю < на рис. 1б.

Рис. 2. Функция м>ац,№1), соответствующая источнику (1) с временной зависимостью (12), при п = 2,

а = 1, Ь = 1 м, ю0 = 1.9 -105 с-1, Он = 200 с-1,

ю„ = 8.8-106 с-1, ю = 5.6-107 с-1

Н ’ р

Интегралы в (10) были определены чис-

ленно для параметров плазмы, отвечающих условиям ионосферы Земли: плотность плазмы N =10 см- , внешнее постоянное магнитное поле В =0.5 Гс. Для данных значений характерные частоты плазмы составляют юн =8.8106 с-1, юр =5.6107 с-1. Хотя ионосферная плазма является, строго говоря, многокомпонентной, для упрощения расчетов мы воспользовались моделью двухкомпонентной плазмы, полагая, что величина Он представляет собой эффективную гирочастоту ионов. Такой подход позволяет учесть приближенно вклад ионов разных сортов в дисперсионные свойства волн в плазме. Для численных расчетов эффективная гирочастота ионов была при-

нята равной =200 с"1. Заметим, что, хотя использование данного подхода приводит к некоторым неточностям при вычислении низкочастотной части спектра излучаемой энергии (при га < гаьн), связанная с этим погрешность оказывается незначительной вследствие весьма малого вклада, вносимого указанным диапазоном в полную энергию излучения.

Приведем теперь численные результаты для источника (1) с радиусом Ь = 1 м. В случае когда функция %(г) описывается формулой (12),

параметр га0 был выбран таким образом, чтобы выполнялись условия гаш <га0 <<ган, соответствующие резонансной области свистового диапазона частот. Вычисления показывают, что в этом случае энергия излучения практически полностью определяется членом, отвечающим а = 1 в выражении (10). На рис. 2 показано поведение подынтегральной функции щ (д, га), входящей в

формулу (10) и описывающей распределение излучаемой энергии по частотному и пространственному спектрам возбуждаемых волн, в зависимости от переменных д ига для га0 = 1.9 -105 с"1 и п = 2. Аналогичное распределение той же величины при п = 10 показано на рис. 3 (значения остальных параметров прежние).

Рис. 3. Функция щ (д,га) при п = 10; значения остальных параметров те же, что и на рис. 2

Как видно на рис. 2 и 3, с возрастанием числа полупериодов п главный максимум функции щ (д, га) становится более острым. Положение этого максимума определяется соотношениями га = га и д ~ Сга0Ь . Подчеркнем, что такое поведение пространственно-временного спектра источника становится хорошо выраженным уже при сравнительно небольших значениях п. Другая особенность поведения этой функции состоит в том, что энергия излучения преимущественно сконцентрирована в резонансной

области частот, которой принадлежит частота га0. В рассматриваемом случае речь идет о резонансной области свистового диапазона. Острые узкие пики на рис. 2 вблизи границы между резонансной и нерезонансной частями свистового диапазона связаны с тем, что функция щ (д, га) стремится к бесконечности при приближении к данной границе. Несмотря на это, функция щ (д, га) остается интегрируемой, так что полная излучаемая энергия Ж является конечной. Заметим, что аналогичная особенность имеет место также вблизи границы резонансной области, расположенной между плазменной частотой электронов и частотой верхнего гибридного резонанса. Однако для выбранных значений параметров эта частотная область дает весьма малый вклад в излучение источника по сравнению с резонансной частью свистового диапазона частот.

О <ош | 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ю

Рис. 4. Функция щ(га) для временной зависимости (12) при п = 1, п = 2, п = 10 (кривые 1, 2, 3 соответственно) и временной зависимости (15) при /0 = %/2^ (кривая 4). Зависимости для п = 2 и п = 10 умножены на коэффициенты 0.3 и 0.015 соответственно. Радиус источника Ь, частота га0 и параметры плазмы те же, что и на рис. 2

Приведем теперь распределение энергии излучения по частотному спектру. Соответствующая величина, нормированная на квадрат тока, может быть определена следующим образом:

щ

“ а*

Данная величина изображена на рис. 4 для ранее выбранного источника с временной зависимостью (12) при п = 1, п = 2, п = 10 (кривые 1,

2, 3 соответственно) и использованных выше значений параметров плазмы. Точкой на горизонтальной оси рис. 4 отмечена частота га>0. Для того чтобы показать все кривые на одном и том

же рисунке, значения щ(га) для п = 2 и п = 10 на рис. 4 уменьшены путем умножения на коэффициенты 0.3 и 0.015 соответственно. Для сравнения на том же рисунке кривой 4 показан спектр энергии излучения источника такого же радиуса, но с временной зависимостью (15) в случае і0 = тс/2га 0 .

Как видно на рис. 4, спектральное распределение энергии излучения источника с временной зависимостью (12) быстро приближается к дельтаобразной форме при возрастании п . Уже в случае п = 1, так же как для временной зависимости (15) с ґ0 = тс/2^ , соответствующее распределение локализовано в окрестности частоты га = га. Мы не приводим спектральное распределение энергии излучения для более высоких частот (га >>га0), поскольку они дают незначительный вклад в энергию (так же как и частотная область, лежащая ниже частоты гаш). Заметим лишь, что функция щ(га) стре-

мится к бесконечности по закону га — га

И/2

точника с временной зависимостью (12) при га0 = 1.9-105 с"1 и значениях параметра п = тга0/ж, равных 1, 10, 30, 60 и 90. Для сравнения значение энергии излучения источника с временной зависимостью (15) при ?0 = ж/2га показано на рис. 5 квадратной меткой.

ш\

вблизи частоты нижнего гибридного резонанса (см. рис. 4). Подобная особенность имеет место и при приближении величины га к частоте верхнего гибридного резонанса. Обе эти особенности являются интегрируемыми.

Примечательно, что в случае источника сравнительно малых электрических размеров, когда выполняется неравенство гарЬ1с << 1, функция щ(га) в резонансной области свистового диапазона частот может быть представлена в аналитическом виде. Для этого следует учесть, что для такого источника преобладающий вклад в интеграл в первом слагаемом (отвечающем а = 1) в формуле (19) дают достаточно большие значения д. Переходя к пределу д ^ да под знаком интеграла в (19) и пренебрегая малым вкладом от члена, отвечающего а = 2, приходим к интегралу, который может быть вычислен аналитически. В результате получим:

Щга) - Е(га^4^-^!—^ (20) 3к (є — ^)2 є12

Нетрудно убедиться, что данная формула с достаточно хорошей точностью описывает поведение зависимостей, показанных на рис. 4.

Вычислим теперь полную энергию излучения кольцевого источника. Соответствующие результаты представлены на рис. 5 для выбранных ранее значений параметров источника и плазмы. Круглыми метками на рисунке обозначена полная энергия излучения кольцевого ис-

Рис. 5. Полная энергия излучения источника (1) с временной зависимостью (12) при га0 = 19-105 с"1 и различных значениях параметра п = тга0 / ж (круглые метки). Квадратной меткой показана полная энергия излучения того же источника с временной зависимостью (15) при /0 = ж/2га (в качестве характерной длительности источника в этом случае на рисунке принято значение т = 2/0). Радиус источника Ь и параметры плазмы те же, что и на рис. 2. Штриховая линия показывает зависимость энергии излучения гармонического источника с частотой га от длительности его работы

Как следует из рис. 5, значения энергии излучения, показанные круглыми метками, с графической точностью располагаются на штриховой линии Ж = Ргас1т, где Ргаа - средняя по времени мощность излучения гармонического источника с частотой га . Важно, что для источника, содержащего несколько полупериодов монохроматического колебания, такое поведение наблюдается начиная уже с относительно небольших значений п . При увеличении характерной частоты га , остающейся, однако, в резонансной области свистового диапазона, частотный спектр энергии излучения становится более широким, и значения энергии излучения начинают приближаться к зависимости Ж = О начиная с больших значений п. Тем не менее резонансная область свистового диапазона частот по"прежнему дает основной вклад в излучение. Отмеченное поведение сохраняется до

тех пор, пока спектр источника остается сосредоточенным в области ниже гирочастоты электронов.

Заключение

Итак, в данной работе определены энергетические характеристики (полная энергия излучения, распределение излучаемой энергии по частотному и пространственному спектрам возбуждаемых волн) нестационарного кольцевого электрического тока в однородной магнитоактивной плазменной среде. Применительно к условиям работы такого источника в плазме ионосферного типа изучено влияние длительности и формы импульса тока на его излучательные характеристики. Показано, что кольцевой источник сравнительно малых электрических размеров в случае, когда его частотный спектр сосредоточен в свистовом диапазоне частот магнитоактивной плазмы, наиболее эффективно возбуждает излучение в резонансной области указанного диапазона. Найдены условия, при которых полная энергия излучения нестационарного кольцевого тока, содержащего лишь несколько полупери-одов монохроматического колебания, частота которого принадлежит резонансной области свистового диапазона, оказывается весьма близкой к произведению длительности работы данного источника и средней по времени мощности излучения его монохроматического аналога на соответствующей частоте. Полу-

ченные результаты могут быть использованы для объяснения данных соответствующих экспериментов по возбуждению свистовых волн импульсными источниками в ионосферной плазме, а также в лабораторной плазме, моделирующей условия околоземного космического пространства.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 09—02—00164-а), Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (государственный контракт № П313), а также фонда «Династия».

Список литературы

1. Kondrat’ev I.G., Kudrin A.V., Zaboronkova T.M. Electrodynamics of density ducts in magnetized plasmas. Amsterdam: Gordon and Breach, 1999.

2. Kondrat’ev I.G., Kudrin A.V., Zaboronkova T.M. // Radio Sci. 1992. V. 27, № 2. P. 315-324.

3. Rousculp C.L., Stenzel R.L., Urrutia J.M. // Phys. Plasmas. 1995. V. 2, № 11. P. 4083-4093.

4. Ferencz Cs., Ferencz O.E., Hamar D., Lichtenber-ger J. Whistler phenomena: Short impulse propagation. Dordrecht: Kluwer, 2001.

5. Сергеев И.Ю., Сорокин В.М., Ященко А.К. // Изв. вузов. Радиофизика. 2000. Т. 43, № 8. С. 688695.

6. Singh K.S., Singh R.P. // IEEE Trans. Plasma Sci. 2005. V. 33, № 6. P. 1984-1994.

7. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967.

RADIATION FROM A NONSTATIONARY RING ELECTRIC CURRENT IN A MAGNETOPLASMA

A. V. Kudrin, N.M. Shmeleva

Radiation characteristics of a given nonstationary ring electric current in a homogeneous magnetoplasma are studied. For such a source in the ionospheric plasma, an expression for the total radiant energy is obtained and its distribution over the frequency and spatial spectra of excited waves as a function of the source parameters is analyzed. It is shown that a ring source of a comparatively small electric size in the case where its frequency spectrum is concentrated in the whistler range of a magnetoplasma excites radiation most efficiently in the resonance region of this range

Keywords: nonstationary ring electric current, magnetoplasma, radiant energy.