О йордановых алгебрах бэровского типа

Владикавказский математический журнал Июль сентябрь, 2002, Том 4, Выпуск 3

УДК 517.98

О ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБРАХ БЭРОВСКОГО ТИПА Ф. Н. Арзикулов

Работа посвящена изучению йорданова аналога бэровских иволютивных алгебр. Для рассматриваемого случая введено понятие абстрактного измеримого оператора, присоединенного к алгебре, и установлено, что широкий класс упорядоченных йордановых алгебр реализуется как подалгебры алгебр абстрактных измеримых операторов, присоединенных к модулярной монотонно полной йордановой банаховой алгебре. В качестве вспомогательного средства построено пирсовское разложение по бесконечному семейству проекторов.

1. Введение

В работах Сато и Бербериана [1-5] были исследованы ассоциативные алгебры абстрактных измеримых операторов для АШ*-алгебры. Было доказано, что они являются бэровскими *-алгебрами.

Цель данной работы — исследовать йордановы аналоги бэровских *-алгебр. В работах [6, 7] было установлено, что в классе ЗВ-алгебр имеется подкласс, представители которого удовлетворяют йорданову аналогу условия Бэра. Эти алгебры, следуя Топпингу, были названы АЗШ-алгебрами. Далее, в работе [8] были изучены йордановы алгебры абстрактных измеримых операторов для ЗВШ-алгебр. Было доказано, что эти алгебры являются йордановыми аналогами бэровских инволютивных алгебр. В работах [9] и [10] были введены и изучены О«7-алгебры. Один из основных результатов этих работ утверждает, что всякая 0«/-алгебра вложима в йорданову алгебру локально измеримых операторов относительно ЗШ-алгебры своих ограниченных элементов. В данной работе этот результат перенесен на случай О 3- алгебры с модулярной АЗШ-алгеброй ограниченных элементов и доказано, что такие 0</-алгебры являются йордановыми аналогами бэровских инволютивных алгебр. В данной работе построено также пирсовское разложение произвольной монотонно полной ЛЗ-алгебры [АЗШ-алгебры). Дело в том, что до сих пор в теории йордановых алгебр использовались пирсовские разложения йордановых алгебр по конечным семействам проекторов. В то же время, пирсовское разложение по бесконечному ортогональному семейству проекторов существенно упростило бы доказательства многих фактов. В данной статье дано условие построения пирсовского разложения монотонно полной ЛЗ-алгебры А по бесконечному ортогональному семейству {р^} с условием яирр^ = 1.

2. Измеримые и локально измеримые операторы для модулярной АЗШ- алгебры

Всюду в данной статье, если не оговорено противное, А — модулярная АЗШ-алгебра и Р(А) — решетка проекторов в А. Для последовательности {е„} элементов Р(А) будем писать е„ "1", если е„ еп+\ для всех п; если, кроме того, Биреп = е,

© 2002 Арзикулов Ф. Н.

то пишем е„ е. Последовательность {е„} элементов Р(А) будем называть сильно плотной областью, если еп | 1- Существенно измеримый оператор — это последовательность пар {(хп,еп)}, где хп 6 А и {е„} — сильно плотная область, такая, что из т ^ п следует етхп = етхт. Например, если х £ А и хп = х, еп = 1 для всех п, то {(жп,е„)} — существенно измеримый оператор, который будем обозначать через {(ж, 1)}. Если х €Е А и е €Е Р(А), то наибольший аннулирующий проектор элемента (1 44>е)ж обозначается через ж_1[е], т. е. 1 х~1[е] является носителем (1 4$е)х. Введем отношение эквивалентности на множестве всех существенно измеримых операторов. Два существенно измеримых оператора {(хп,еп)} и {(уп,/п)} эквивалентны (пишем {(хп,еп)} = {(уП!/п)}); если существует сильно плотная область {дп} такая, что дпхп = дпуп для всех п. Класс эквивалентности [хп,еп] существенно измеримых операторов {(хп,еп)} называется измеримым оператором, присоединенным к алгебре А. Обозначим множество всех измеримых операторов, присоединенных к А, через С {А). Так же, как в случае ЛЗШ-алгебры (см. [8]) вводятся алгебраические операции в С{А)-. пусть Л 6 Ж и [хп,еп], [у„,/„] измеримые операторы, присоединенные к алгебре А, положим

Л [жп,вп] [Л жп,вп],

[хП7 еп] + [Уп7 /п] [хп + Уп; еп Л /п],

еп][уп,/п] [жпуп,<7п],

где = е„ Л/„ Л ((жп)_1[еп]) Л ((уп)_1[/„]) для всяких п. Относительно этих операций С{А) является йордановой алгеброй.

Пусть Б(Х, М|) — йорданова алгебра, где X — экстремальный компакт, построенная так же, как и в [9; гл. III]. Если перенести теоремы 1.20 и 2.9 из [8] на случай АЛ¥-алгебры, то получатся следующие результаты.

Теорема 1. Пусть А — модулярная А-алгебра ш А = А^, где А, АЛ¥-подалгебра алгебры А для каждого 1. Тогда С(А) = Пг С(Агде Пг С(А1 алгебра всех семейств {х^}, х^ €Е С (Ас покомпонентными операциями. В частности, имеет место разложение С(А) = С(Азр) ф Б(Х, М|).

Так же, как и в [8] можно ввести существенно локально измеримые операторы, локально измеримые операторы и йорданову алгебру локально измеримых опе-

раторов для модулярной АЛ^-алгебры А. В этом случае, имеет место следующая теорема:

Теорема 2. Пусть А — модулярная АЛШ-алгебра. Тогда С (А) = Б(А).

3. Бесконечное пирсовское разложение монотонно полной А«/Иг-алгебры

Введем понятие бесконечной суммы пирсовских компонент монотонно полной А1Ш-алгебры А. Пусть {р^} — бесконечное ортогональное семейство проекторов с точной верхней границей 1 в А. Через обозначим множество

{К„} : е {р^Арг,}

а(,кЧ1

к,1=1

< К

п

Ясно, что относительно покомпонентных алгебраических операций оно будет векторным пространством. Нетрудно проверить, что пространство с нормой

|| • || : {х^} ||{ж^}||({ж^} е £ч{р*Арч}) является банаховым пространством, где — II 12к,1=1 х(кт II' Относительно покомпонентного поряд-

ка является упорядоченным нормированным пространством с единицей.

Заметим, что если а € А, то {р^арп} е £ч{р*Арч}. При этом, так как зирр^ = 1, то в силу леммы 2 из [7] А можно вложить в ^^{р^Арч} как упорядоченное нормированное подпространство с единицей. Пусть € так°Й! чт0 {а£п) О-Заметим, что тогда для любого п и для любого конечного набора {а^кт}к ¡=1 С элемент аа := {а^кт где а := (п, £1,..., щ,..., г]п), является элементом алгебры А и множество элементов аа образует ограниченную в А монотонно возрастающую сеть (аа). При этом существует число К такое, что ||аа|| ^ К для всех а. Нетрудно установить, что аа ^ Отсюда, так как А монотонно полна, то {а^} е А. Поэтому А допускает бесконечное пирсовское разложение по семейству т. е. А =

Предложение 1. Пусть А — монотонно полная АЛШ-алгебра и {р^ } — семейство попарно ортогональных проекторов с условием яирр^ = 1. Тогда А =

4. Множество ограниченных элементов С (А) совпадает с А

Лемма 1. Пусть А — монотонно полная модулярная Л./И'-ллгсб/щ. [./•„. г„] е С (А), /1 = еь /2 = е2 ... /„ = е„ <=>еп_ь .... Тогда 11^хп = 111кхп+т (к,т,п е К, к ^ п), {Дж„/г} = {¡кхт+п/,} (к,1,т,п е М, I < п) и {¡гХк/р} = {^хк+т/р} (г, т, р 6 М, г ^ к ^ р).

< По определению имеем в1Ж1 = е1Ж1+гп, 11е1х\ + {е^е^1} = ие1х\+т + {е1Х1+те^}, и отсюда ие1х\ = ?7е1Ж1+т, и^х\ = и^хг+т. Из равенства {е^е^1} = {е\Х\+те]*-} следует, что {/1X1/^-} = {/1Ж1+т/^} (А; ф 1). Берем произвольное равенство екхк = екхк+т. В силу теоремы о пирсовском разложении 11екхк + {екхке^} = 11екхк+т + {екхк+те£}. Отсюда 11екхк = 11екхк+т и хк = и^хк+т, {/¿я^Д} = {Дхк+тЦ} (г < к). В свою очередь из равенства {екхке= {екхк+теследует, что {/¿ж/г/р} = {Дхк+т/р} (г < к,р ^ к). >

Предложение 2. Пусть А — монотонно полная модулярная АЛШ-алгебра. Тогда множество ограниченных элементов йордановой алгебры С (А) совпадает с А.

< Докажем что, если [хп, еп] < 1А, то [ж„, е„] е А. Берем {/шжш/п}ш,п=1- Нетрудно заметить, что в силу леммы 1 {/тжт/п}^ П=1 удовлетворяет условию определения

пирсовского разложения А = £т{/пАЛп}- Пусть ж = ТогДа

ж£ А. При этом [./•„. е„] = [ж, 1], т. е. [ж, 1] = [./•„. е„]. Отсюда и получим, что .г е- Л. [>

5. 0«/-алгебры

Определение. О «/-алгебру Е (см. [9, гл. III]) назовем универсальной, если для любого спектрального семейства {ед} в Е существует интеграл \de\-

Из теоремы 2, так же, как и в [10], выводится следующее предложение:

Предложение 3. Пусть А — монотонно полная модулярная АЛШ-алгебра. Тогда С (А) является 01-алгеброй.

Теорема 3. Для монотонно полной модулярной А1Ш-алгебры А соответствующая ей О Л-алгебра. С{А) универсальна.

< Пусть х = \de\- По определению х есть (о)-предел сумм а = 1п(еАп """ )' гДе > > Ясно, что {едп} является сильно плотной областью и

&хпх ^ ^ Для любого п 6 N. Тогда [хе\п,е\п] является измеримым оператором,

спектральное разложение которого есть Ас!е\. >

Следующую теорему можно доказать также, как теорему 3.2 из [9].

Теорема 4. Совокупность ограниченных элементов алгебры Б(Х,М|) это АШ-алгебра С (Х,М|).

Следующие две теоремы являются очевидными следствиями теоремы 3.3 из [9] и соответственно теорем 3 и 4.

Теорема 5. Пусть Е — ОЛ-алгебра, у которой ЛЗ-алгебра ограниченных элементов изоморфна модулярной А1Ш-алгебре А. Тогда Е изоморфна нормальной ОЗ-подалгебре универсальной О «/-алгебры С(А) абстрактных измеримых операторов, присоединенных к А.

Теорема 6. Пусть Е — ОЛ-алгебра, у которой ЛЗ-алгебра ограниченных элементов изоморфна АЛШ-алгебре С(Х, М|). Тогда Е изоморфна нормальной О3-подалгебре универсальной О3-алгебры Б(Х, М|).

Предложение 4. Пусть А — монотонно полная АЛ¥-алгебра. Тогда для всякой максимальной сильно ассоциативной подалгебры Ео алгебры С {А) существует максимальная сильно ассоциативная подалгебра Ао алгебры А такая, что С{А$) = Ео и Ао совпадает с множеством ограниченных элементов Ео.

< В качестве Ао берем множество всех ограниченных элементов алгебры Е0. Решетка Р(А0) модулярна. Тогда, если для существенно измеримого оператора {хп, е„}, {Уп;/п} £ С(А0) имеет место {хп,еп} = {уп,/п}, то эти существенно измеримые операторы эквивалентны ив А. Таким образом С{А$) гомоморфно вложится в С (А). Нетрудно проверить, что С{А$) гомоморфно, но необязательно инъективно вложится в Ео- В то же время, в силу теоремы 5 Е0 С С(А0). Отсюда, так как рассмотренные выше гомоморфизмы идентичны, то Ео = С{А$). >

Предложение 5. Пусть А — монотонно полная модулярная А,}Ш-алгебра, х, У — элементы алгебры С {А), причем один из х, у положителен. Тогда следующие условия эквивалентны: а) х  у = О, Ь) х2  у = 0, с) х2  у2 = 0, с1) г{х)  г (у) = 0. При выполнении одного из этих условий х у, т. е. элементы х и у совместны.

< Допустим, что выполнено а). Пусть I ) 0 и В — йорданова алгебра, порожденная элементами у их. По известной теореме Ширшова алгебра В специальна. Тогда ху = -Щ/х относительно ассоциативного умножения, и хух = 4Эух2, -х2у = хух, т. е. ух2 = х2у. Отсюда по предложению 5 из [10] х2 у в В. Так как С {А) = Азр ф Б(Х, М|) (теорема 1), то существует центральный проектор г с условиями Азр = С(гАзр), Б(Х,М|) = С(Аех). Пусть ж, у €Е Азр. Тогда х2 у в А,зр и существует максимальная сильно ассоциативная подалгебра А0 С Азр такая, что х,у е А0. Имеем А°гр — максимальная сильно ассоциативная подалгебра алгебры А. В силу предложения 4 Ао = С(АдГр) и существует экстремальный компакт X такой, что С(АдГр) = Сос(Х), а следовательно, и = Сос(Х). Рассмотрим отображение = л/хЩ2, ф : X ^ Ж и {±оо}. Это отображение непрерывно и так как

x(t)2 € Соо(Х), то ф € Соо(Х). Следовательно, л/ж2 = х € CQO{X) = Aq. Тогда х у и х2  у = х • {х  у) = 0. Итак, доказано, что а)=>Ь) при ж, у €Е Asp и условие а) влечет

Заметим, что когда ж, у €Е S(X,Mf) и ж ^ 0, то условие ж • у = 0 равносильно ж2 • у = 0, причем ж у. Действительно, (Vi €Е X) ж(t)y(t) = 0 ж(£)2 • y(i) = 0 и ж(£) H' y(i) в М|, если ж(£), y(t) < оо (см. [7]). Так как умножение поточечное, то ж2-у = 0иж<н>у. Из проведенных выше рассуждений следует, что ж2-у = 0иж<н>у в С {А). Значит, а)=>Ь).

Так как а)=>Ь) и ж, у — произвольные, то Ь)=>с). Далее, в силу работы [10] имеют место и остальные утверждения. >

Для подмножества S С Е+ йордановой алгебры Е обозначим S^ = {a €Е Е : Uas = 0,Vs €Е 5}. Будем говорить, что Е — йорданова алгебра бэровского типа, если для всякого S С Е+ существует проектор ее£ такой, что S1- = Ue(E).

Теорема 7. Пусть Е — О J-алгебра, А — J В-алгебра ограниченных элементов алгебры Е и А имеет разделяющее семейство нормальных функционалов. Тогда Е является йордановой алгеброй бэровского типа.

< По условию теоремы А является JiW-алгеброй. В силу [8] йорданова алгебра С {А) является йордановой алгеброй бэровского типа. Пусть Sjj, = {a G Е : Uas = 0,Vs €E Я} для произвольного S Ç E+. Ясно,

что Sjji — S П E = Ue(C(A)) П E. Заметим, что Ue(E) С Ue(C(A)) и Ue(Ue(C(A)) П E) = Ue(C(A)) П E. Следовательно, = Ue(E). t>

Теорема 8. Пусть A — монотонно полная модулярная AJW-алгебра. Тогда С(А) является йордановой алгеброй бэровского типа, т. е. для всякого множества S С С{А)+ существует проектор е такой, что S± = Ue(C(A)).

< Поскольку С {А) является OJ-алгеброй, то в силу [10, гл. III] для каждого a €Е С {А) существует его носитель г (а) в С {А). Если для произвольного а €Е С {А), a €Е S-1, то в силу предложения 5 а • г (s) = 0 (s € 5) и, если / = supse5 г (s), то а • / = 0. Отсюда Ui-f(C(A)) С S-1. Пусть a €Е S-1. Докажем, что a €Е Ui-f(C(A)). Имеем a  / = 0. Отсюда (1 «=>/) • a = 0 и a G U\-f{C{A)). Следовательно, Ue(C(A)) = Я"1, где e = 1 of. >

Следующий факт доказывается так же, как и теорема 7.

Следствие. Пусть Е — OJ-алгебра, Еогр — модулярная AJW-алгебра ограниченных элементов Е. Тогда Е — йорданова алгебра бэровского типа.

Замечание. В работе [11] была построена булевозначная реализация AJW-алгебр. Используя технику можно построить абстрактные измеримые операторы для реализаций AJW-алгебр и перенести результаты о связях между абстрактными измеримыми операторами для JBW-алгебр и абстрактными измеримыми операторами для произвольных AJW-алгебр (см. [8, §5, теоремы 1-3]).

Литература

1. Berberian S. К. The regular ring of a finite AW*-algebra // Ann. of Math.—1957.—V. 65.—P. 224240.

2. Berberian S. K. Note on a theorem of Fuglede and Putnam // Proc. Amer. Math. Soc.—1959.—

V. 10.—P. 175-182.

3. Berberian S. К. A note on the algebra of mesurable operators of an ,AW*-algebra // Tohoku Math. J.—

1970.—V. 22,—P. 613-618.

4. Saito K. On the algebra of mesurable operators for a general ,AW*-algebras. I // Tohoku Math. J.— 1969.—V. 21,—P. 249-270.

5. Saito K. On the algebra of mesurable operators for a general Л PF*-algebras. II // Tohoku Math. J.—

1971.—V. 23.—P. 525-534.

6. Арзикулов Ф. H. Об абстрактных JW-алгебрах // Сиб. мат. журн.—1998.—№ 1.—С. 20-27.

7. Арзикулов Ф. Н. Об одном аналоге пирсовского разложения // Сиб. мат. журн.—1999.—№ 3.— С. 485-492.

8. Арзикулов Ф. Н. Иордановы алгебры абстрактных измеримых операторов для JBPF-алгебр // Математические труды ИМ СО РАН,—2000.—Т. 3, №2,—С. 29-70.

9. Аюпов Ш. А. Классификация и представление упорядоченных йордановых алгебр.—Ташкент: Фан, 1986.

10. Сарымсаков Т. А., Аюпов Ш. А., Хаджиев Дж., Чилии В. И. Упорядоченные алгебры.— Ташкент: Фан, 1983.

11. Кусраев А. Г. О структуре ЛЛД^-алгебр типа /г // Сиб. мат. журн.—1999.—№ 4.—С. 905-917.

г. Андижан

Статья поступила 20 мая 2002 г.