О курсе «Компьютерная дифференциальная геометрия»

УДК 514.7:004.9:378.16 © И.И. Баглаев

О курсе «Компьютерная дифференциальная геометрия»

В статье дается обоснование необходимости введения в учебный план подготовки студентов-математиков курса «Компьютерная дифференциальная геометрия». Приводятся примеры моделирования дифференциально -геометрических объектов в среде программирования FMSLogo. Дано краткое содержание курса.

Ключевые слова: дискретная дифференциальная геометрия, среда программирования FMSLogo, кинематический подход, длина дуги, поворотный метод, натуральное уравнение кривой, содержание курса «Компьютерная дифференциальная геометрия».

I.I. Baglaev

On a course «Computer differential geometry»

In the article the substantiation of necessity of introduction a course «Computer differential geometry» in the curriculum for training students of mathematics is given. Examples of differential-geometric objects modeling within the programming environment FMSLogo are resulted. A short course content has been given.

Keywords: discrete differential geometry, environment of programming FMSLogo, kinematic approach, length of arc, rotary method, natural equation of curve, content of the course «Computer differential geometry».

1. Что такое «Компьютерная дифференциальная геометрия»?

Дискретная дифференциальная геометрия возникла и развивается на стыке дифференциальной и дискретной геометрии. Ее целью является разработка разностных эквивалентов понятий и методов классической теории классической дифференциальной геометрии. Интерес к дискретной дифференциальной геометрии обусловлен не только ее важностью для чистой математики, но также и ее актуальностью для приложений. Прогресс в дискретной дифференциальной геометрии привел не только к дискретизации большого числа классических результатов, но также и к лучшему пониманию фундаментальных структур, лежащих в основе классической дифференциальной геометрии и теории интегрируемых систем (А.И. Бобенко и Ю.Б. Сурис [2]).

«Компьютерная дифференциальная геометрия» - это раздел «Дискретной дифференциальной геометрии», посвященный компьютерному моделированию дифференциально-геометрических объектов. «Геометрия имеет свою специфическую особенность: она оперирует образами; игнорировать эту наглядную сторону совершенно недопустимо» [4]. Дифференциальная геометрия тесно связана с физикой и механикой, а именно, с кинематикой: - «Механика - это рай для математических наук, потому что с ее помощью можно вкусить плоды математики», -писал Леонардо да Винчи. В подтверждение можно также указать книгу выдающегося геометра Вильгельма Бляшке [5]. Именно кинематика предопределила выбор русифицированной

системы программирования FMSLogo, поддерживающей курс. Локализация на русский язык среды программирования FMSLogo произведена И.И. Баглаевым [1]. В FMSLogo имеется исполнитель команд - черепашка, будем называть ее Тортилой. Задание ее перемещения с учетом законов кинематики позволяет эффективно моделировать как плоские кривые, так и пространственные кривые и поверхности [3]. К достоинствам РМЗЬс^о относится также то, что:

• дистрибутив РМ81х^о является свободно распространяемой реализацией языка Лого для М8 \\%к1о\¥8 [6];

• Лого простой и в то же время мощный диалоговый язык программирования;

• выбор русской локализации позволяет отрабатывать навыки программирования на языке Лого параллельно с освоением моделирования дифференциально-геометрических объектов.

Эффективность такого подхода подтверждается многолетним личным опытом автора преподавания курсов: «Дифференциальная геометрия», «Компьютерная геометрия».

2. Пример кинематического подхода к вычислению длины дуги плоской кривой.

Как известно, длина дуги кривой вычисляется через определенный интеграл, нахождение которого, в общем случае, является непростой задачей. При нашем же подходе, на основе определения длины кривой, решение сводится к достаточно простой задаче нахождения периметра ломаной.

Пусть дана кривая у, аппроксимируем ее вписанной ломаной L, где L - конечная последова-

тельность вершин V;, V2,...Vm отсортированных по обходу кривой, и отрезков, соединяющих соседние вершины (рис. 1).

Рис. 1.

Длина p вписанной ломаной L вычисляется

по формуле: ^

где d - расстояние между двумя точками.

Длина s дуги кривой у:

Предположим, что у является гладкой простой кривой, заданной уравнением y = f(x). Гладкость подразумевает, что для каждой точки на кривой имеется уникальная, вполне определенная касательная. Тогда можно показать, что последовательность р1, р2, р3 стремится к s, при A(L), стремящемся к нулю, где

A(L') = d(VirV^ Если предел пе-

риметров этих ломаных существует, то длина дуги кривой равна

Пусть У0-начальная точка кривой у и ей соответствует значение x = x0 = a, Vn- конечная точка кривой со значением x = xn = b. Определим приращение аргумента Ах по формуле Ах = (xn - x0)/n. Зададим переменную xj = x0 + iAx (i = 0, 1,...,п). Точки V/xj, ^ f(x)) (I = 0, 1,..., n) будут вершинами ломаной L, вписанной в у. При достаточно большом n или достаточно малом Ах периметр p ломаной L дает хорошую аппроксимацию длины s дуги кривой.

В среде FMSLogo для нахождения периметра р ломаной L необходимо:

• составить список pol из координат вершин Vj(i = 0, 1,...,n) ломаной L в виде очереди;

• присвоить переменной p значение, равное 0;

• начиная с начальной вершины V0 находить длины d(Vj, Vj+i) звеньев ломаной и суммировать к предыдущему значению Р.

Для конкретной функции y = ^f(x) и заданного числа n звеньев ломаной L программа вычисления периметра p состоит из

функций:

• f возвращающей значение /для аргумента х;

• таб, возвращающей список pol из координат вершин ломаной;

• периметр, возвращающей периметр ломаной.

Пример 1. Кинематический способ нахождения длины дуги синусоиды.

Ниже приведен листинг программы приближенного нахождения длины дуги синусоиды указанным способом.

Это f :х

вд произведение 100 sin :х

Конец

Это периметр :п пп

нм элемент 1 таб :п по

пусть «p 0

повтори :п [нм элемент счетчик таб :п пусть «d расстояние элемент сумма счетчик 1 таб :п пусть «р сумма :р :d] вд :р

Конец

Это таб :п

пусть «pol []

для [х 0 :п 1][вочередь «pol список : xf

:x]

вд :pol

Конец

В приведенной выше программе f(x) = 100 sm х. Инструкция пш периметр 360 выводит на консоль приближенное значение p = 557.467549890523, которое отличается от значения s длины дуги синусоиды, вычисленного в Маткаде на 0,0007%.

3. Поворотный метод моделирования кривой.

Если в качестве параметра точек кривой взята длина s дуги кривой, то такая параметризация называется естественной, а уравнение, выражающее кривизну k как функцию длины дуги s вдоль кривой, называется натуральным уравнением кривой. Из дифференциальной геометрии известно, что натуральное уравнение k = k

определяет кривую с точностью до положения на плоскости.

Поворотный метод моделирования кривой предполагает равномерное перемещение Тор-тилы с определенным шагом и на каждом шаге поворот на угол, определяемый кривизной ^

Из определения поворотного метода следует, что натуральное уравнение полностью определяет алгоритм его построения данным методом.

Пример 2. Поворотный метод моделирования клофоиды.

Клофоидой называется кривая, кривизна которой прямо пропорциональна длине дуги. Ее натуральное уравнение имеет вид k = а^. Процедура клоф :а рисует клофоиду с коэффициентом а.

Это клоф :а

пусть «т место пусть «d направление повтори 2[для ^ 0 360 1][вп 1 пр :а*'Л] пп новое место :т новый курс ^ по пр 180]

Конец

Инструкции клоф 0.01 лв 90 клоф 0.02 построят две взаимно перпендикулярные клофои-ды с параметрами 0.01 и 0.02 (рис. 2).

Рис. 2.

Пример 3. Моделирование кривых, заданных натуральными уравнениями вида

k(s)=a cos s+1 [2].

Код процедуры спир a m, рисующей кривые, заданные уравнениями указанного вида, приведен ниже, здесь a - коэффициент, а m - число итераций в цикле.

Это спир :a :т

для [t 0 :m 1][вп 1 пр 1 + :а* степень cos

:t 2]

Конец

На рис. 3а, 3б., 3в, 3г изображены кривые, построенные инструкциями спир 1 720, спир 1.25 2880, спир 4 360, спир 5 720, соответственно.

а) б) в) г) Рис. З.

4. Краткое содержание курса:

Компьютерная дифференциальная геомет-

рия

1. О предмете компьютерной дифференциальной геометрии. Среда программирования FMSLogo. Геометрия Тортилы.

2. Экранная система координат среды FMSLogo. Способы задания плоских кривых.

3. Касательная и нормаль плоской кривой. Длина дуги. Соприкасающаяся окружность и кривизна плоской кривой.

4. Кинематические методы моделирования плоских кривых.

5. Пространственный режим среды FMSLogo.

6. Способы задания пространственных кривых.

7. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Длина дуги пространственной кривой.

8. Формулы Френе. Кривизна и кручение пространственной кривой.

9. Кинематический метод моделирования пространственных кривых.

10. Способы задания поверхностей. Координатная сеть.

11. Кинематический метод моделирования поверхностей.

12. Первая квадратичная форма поверхности. Площадь поверхности.

Приложение A. Краткая сводка основных синтаксических конструкций языка Лого локализованной среды программирования FMSLogo.

Приложение B. Указатель программ на языке Лого.

Литература

1. Баглаев И.И. Моделирование кривых в среде FMSLogo// Бизнес-образование в экономике знаний: науч.-практ. конф. Байкальской между-нар. бизнес'-школы ИГУ. 1 марта - 24 апреля 2009. Иркутск, 2009. - С. 108-110.

З. Бобенко А.И., Сурис Ю.Б. Дискретная дифференциальная геометрия. Интегрируемая структура. - М.-Ижевск: НИЦ «РХД», З0І0. - 488 с.

3. Баглаев И.И. О переводе и адаптации среды программирования FMSLogo на русский язык// XIX Ежегодная международная конференция-выставка («ИТО-З009») (г. Москва 5-7 ноября З009 г.).

URL: http://www.ito.su/main.php?pid=26&fid=8i59

4. Обсуждение статьи А.Д. Александрова «Об основах дифференциальной геометрии и их изложении» на кафедре дифференциальной геометрии МГУ» // УМН, І950, 5:6(40), І69-І79.

5. Blaschke W., Muller H.R. Ebene Kinematik. -Munchen, І956. - Р.З69.

6. URL: http ://sourceforge.net/proj ects/fmslo go

Баглаев Игорь Ильич, кандидат физико-математических наук, доцент, Бурятский государственный университет. 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а, тел: 219757.

Baglaev Igor Ilich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Buryat State University. 670000, Ulan-Ude, Smolin str., 24a, ph. 219757.

УДК 378.016 © Э.С. Бадмаева

О компетентностном подходе в профессиональной подготовке математиков-программистов

В статье рассмотрены особенности образовательного процесса, организованного на основе компетентност-ного подхода, в профессиональной подготовке математиков-программистов.

Ключевые слова: компетенция, компетентность, профессиональные и ключевые компетенции, результат и содержание образования, технология обучения, критерий оценки результата образования.

E.S. Badmaeva

On competence approach to professional training of mathematicians-programmers

In the article the peculiarities of educational process, based on the competence approach, in the professional training of mathematicians-programmers have been considered.

Keywords: competence, competence ability, professional and key competences, result and content of education, technology of teaching, criterion of evaluation of educational result.

Каждый вид профессиональной деятельности предъявляет будущему специалисту определенный набор требований к знаниям, умениям, навыкам и личностным качествам, уровень сфор-мированности которых обусловливает качественное выполнение задач этой деятельности.

В современных условиях перехода к информационному обществу, динамичного развития экономики приоритетной задачей профессионального образования становится подготовка компетентного квалифицированного работника, конкурентоспособного на рынке труда, готового к постоянному профессиональному росту; при этом особую роль приобретают факторы коммуникабельности, толерантности. Компетентност-ный подход в обучении отражает конкретный

механизм модернизации образования в свете тех требований, которые предъявляются к современному специалисту. Введение понятия компетентности в нормативную и практическую составляющие образования позволяет решить типичную для профессиональной школы проблему: будущие специалисты могут хорошо владеть набором теоретических знаний, но испытывают значительные трудности в деятельности, требующей использования этих знаний для решения конкретных задач или проблемных ситуаций.

В настоящее время нет общепринятого определения понятия компетентности. Ю.Г. Татур определяет компетентность специалиста с высшим образованием как «проявленные им на практике стремление и способность

ІЗ