Математическая модель системы отображения информации о состоянии газотранспортной системы

УДК 621.317

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ОТОБРАЖЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ О СОСТОЯНИИ ГАЗОТРАНСПОРТНОЙ

СИСТЕМЫ

С.К. Демин

Разработана математическая модель системы отображения информации о состоянии газотранспортной системы с распределенной обработкой данных. В качестве основы модели выбраны разомкнутая одноканальная СМО без потерь и схема СМО с абсолютными приоритетами обслуживания. Проведена оценка показателей эффективности и соотношения времени ожидания при трех различных дисциплинах обслуживания СМО.

Ключевые слова: магистральный трубопровод, система массового обслуживания, длительность обслуживания, заявка на обслуживание.

Использование традиционных методов управления в задачах обеспечения безопасности магистральных газопроводов (МГ) неэффективно в связи с неформализуемостью описания, функциональной ситуационно-стью, рациональностью законов управления и неполнотой исходной информации [1, 2]. Анализ свойств и особенностей функционирования магистральных газопроводов, который необходимо учитывать при управлении безопасностью МГ, показывает, что они относятся к категории организационно-ситуационных. Поэтому для решения задачи управления безопасностью магистральных газопроводов в настоящей работе используется метод ситуационного управления.

Представляет определенный интерес рассмотрение линейной части магистрального газопровода как системы последовательно и параллельно соединенных между собой элементов, что дает основание представить в качестве математической модели системы отображения информации о состоянии магистральной газотранспортной системы разомкнутую однока-нальную систему массового обслуживания (СМО) без потерь. входящий поток которой содержит заявки М типов, упорядоченных в порядке убывания приоритета, причем N = М.

Заявки 1-го типа образуют простейший поток с интенсивностью 1г-.

Степень важности заявки ¿-го типа отражает ее приоритет, за который примем целое положительное число от 1 до М, при этом, чем меньше число, тем выше приоритет. Длительности обслуживания разнотипных заявок имеют произвольное распределение одного вида с параметрами, зависящими от типа заявок. Будем считать известными первый

— 2 —2 шц = М(тоб I) = тоб I и второй Ш21 = М(тоб I) = тоб I начальные моменты

распределения длительности обслуживания заявок ¿-го типа. Показатели

242

эффективности как по каждому типу заявок, так и по входящему потоку, связанные известными соотношениями [1]

М1 I 1 М - I

¿ож = X1кж / = X у = 11X Ь = 1;

I=11 1 11=1 1

М1 М 2 1 М 7

¿0 = X г = X1 = 1X 2 = Ц;

1=11 1=11 11=1 1

_ М _ М _

1 = X1 = X ^¿ож 1;

1=1 1=1

М М _ М _ _

2 = X = X ^¿с 1 = X 17 (^ож 1 + ¿об 1) =

1=1 1=1 1=1

М _ _ М _ _

X (1^ож 1 + Мсб 1 ) = X (11 + К1 ) = 1 + К, 1=1 1=1

где К1 - среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок г-го типа.

Поскольку рассматривается СМО без потерь, среднее число каналов К1, занятых обслуживанием заявок 1-го типа по аналогии с результатом, полученным для СМО без потерь с простейшими потоками событий, количественно совпадает с приведенной интенсивностью Р1 = 1 / т потока заявок. Среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок произвольного типа, определим как

_ М_ М

К = X К = X р1 = я.

1=1 1=1

Так как рассматривается одноканальная СМО, ее загрузка ¥ пропорционально среднему числу занятых каналов К и на основании (3) количественно совпадает с суммарной приведенной интенсивностью входящего потока Я:

_ _ _ М У = К / т = К/1 = К = Я = X р/.

1=1

М

В выражениях (1), (2) отношение 1 / /1, где 1= X 1/' - интенсив-

1=1

ность суммарного входящего потока заявок, которая определяет вероятность того, что поступившая в произвольный момент времени на вход СМО заявка относится к 1-му типу. Исследуем свойства рассматриваемой СМО в случае бесприоритетных дисциплин ожидания и обслуживания, которые свойственны стохастическому режиму функционирования современных вычислительных средств, в порядке поступления заявок в систему.

Для этого рассмотрим момент поступления в систему заявки 1-го типа. Система в это время может быть свободна (канал обслуживания свободен, очередь пуста) или занята обслуживанием некоторой ранее поступившей заявки произвольного типа. Вероятность застать систему занятой (загрузка ¥) равна по значению суммарной приведенной интенсивности входящего потока: ¥ = Я Допустим, что система занята, при этом одна заявка находится в канале обслуживания, а в очереди находится по I) заявок у-го типа, у = 1, М .

Время ожидания вновь поступившей и действительно задержанной с вероятностью ¥ заявки равно временному интервалу незавершенной работы системы к рассматриваемому моменту времени:

* М

*аж = и а) = У + X Ту,

у=1

где У - время, необходимое для завершения обслуживания заявки, находившейся в рассматриваемый момент времени в канале обслуживания (время дообслуживания); Ту - время, необходимое каналу для обслуживания 1у, заявок у-го типа, поступивших в систему ранее рассматриваемого момента и находящихся в очереди на обслуживание.

Усредняя по времени обе части равенства, т. е. заменяя У и Ту их математическими ожиданиями (4), получим

* М

*ож / = М [У ] + X М [Ту ].

у=1

Для обслуживания всех 1у, находящихся в очереди заявок у-го типа, каналу потребуется время, равное в среднем

М [Ту ] = 1у Тоб у = 1у / т у,

где Тоб у = 1/ т - средняя длительность обслуживания заявки у-го типа.

Поскольку для систем без потерь средняя длина очереди 1у заявоку-

го типа связана со средним временем ожидания заявок того же типа зави-

- _*

симостью 1у = 1 ож у , из (5) получим

-* -*

М[Ту] = Ьу-'ож / ту = Ру-'ож у.

Тогда среднее время ожидания вновь поступившей задержанной заявки 1-го типа

_* М *

*ож I = М[У ] + X Р/ож у.

у=1

Вынеся из-под знака суммы слагаемое, соответствующее заявкам ¡-го типа, и выполнив некоторые преобразования, получим систему из М ли-

нейных алгебраических уравнений, каждое из которых записывается в форме

_* М

(1 -Р1 Уож 1 - X р/ож] = М[УК 7=1 7 * 0

где I = 1, М.

Вычитая из первых М - 1 уравнений системы последнее, получим

систему из М - 1 уравнений, имеющих вид

_* _* - — _

¿ож 1 - ¿ож М = 01 = 1,М -1. М -1. Отсюда следует, что бесприоритетные дисциплины ожидания и обслуживания уравнивают среднее время ожидания заявок различных типов.

Полагая ¿ож , = ¿ож, 1 = 1, М, из уравнения (6) находим

4 =М[п+4 X Р7

7=1 1 - X Р 7 1 - Я 7=1

Определим среднее значение времени дообслуживания. Положим, что в момент поступления новой заявки в канале обслуживания находилась заявка к-го типа, при этом математическое ожидание длительности дообслуживания заявки к-го типа

—2 —

М[Ук] = т2к /(2т1к) = тоб к /(2тоб к).

Поскольку дообслуживание заявки к-го типа выполняется с вероятностью Кк / К = Рк / Я, среднее значение времени дообслуживания находится усреднением по всем типам заявок:

м [у ]=X рк ^X 1^о2б к.

к=1 я 2тоб к 2Як=1

Из (7) и (8) получим среднее время ожидания ¿ож задержанной заявки произвольного типа:

М _2

X1 к тоб к I* = к=1 ож 2Я

Так как вероятность для произвольной заявки застать в системе хотя бы одну заявку любого типа и, действительно, оказаться задержанной, известна [1, 2] (¥ = Я), то среднее время ожидания произвольной заявки определяется как

М _2

X1 k Тоб k

- —* Ь—Л

*ож = 0(1 - У) + ^жУ = рл .

2(1 - ^

Выразим второй начальный момент Т^ k сначала через дисперсию

2 2 2

и математическое ожидание (m2 = ml + D = ml + о ), а затем через коэффициент вариации V = о / ш^

—2 — 2 2 —2 2 Тоб k = ^ = (Тоб k ) +ооб k = Тоб k (1 + Vk ).

Тогда среднее время ожидания

М _2

X 1k Тоб k (1 + _

_1=1 _к=±тк

М 2 2 М Р 2

X k

?"ож = -= -.

ож 2

Из (9) видно, что при рассмотренных условиях функционирования системы отображения информации как одноканальной СМО, среднее время ожидания заявок в очереди минимально [1]. Для регулярного потока обслуживания заявок всех типов (длительность обслуживания постоянна, дисперсия длительности обслуживания равна нулю, коэффициент вариации равен нулю). Величина 1ож увеличивается по мере роста дисперсии длительности обслуживания. Для простейшего потока обслуживаний (Тоб k = 1/^ = ооб k, V k = 1) среднее время ожидания вдвое больше, чем для регулярного потока обслуживаний, если математическое ожидание длительности обслуживания считать неизменным. Среднее время ожидания существенно зависит от суммарной приведенной интенсивности входящего потока R. При R  1 степень загрузки канала обслуживания приближается к единице т. е. у1, а время ожидания заявок увеличивается до бесконечности (1:ож^ ), т. е. заявки практически могут ждать обслуживания сколь угодно долго.

Полное время пребывания заявки ¿-го типа (¿ = 1,М) в системе складывается из времени ожидания tож I и времени обслуживания tоб I .Так как при бесприоритетных дисциплинах ожидания и обслуживания время ожидания не зависит от типа заявки, окончательно среднее время пребывания в системе заявки ¿-го типа определяется как

^ ¿ = ^ж ¿ + ^б ¿ = tOЖ + Тоб ¿ .

При одинаковых средних временах ожидания заявки различных типов будут иметь различные средние времена пребывания в системе. Практически такая ситуация имеет место при функционировании АСУ.

Сохраним бесприоритетную дисциплину ожидания в порядке поступления заявок в систему. Для удобства будем рассматривать (рисунок) независимые очереди для заявок ^го приоритета, причем число мест в ка-

246

ждои из очередей не ограничено.

Рассмотрим систему в моменты поступления заявок. Вероятность ¥ застать систему занятой, как и в предыдущем случае, определяется суммарной приведенной интенсивностью входящего потока Я. Если на вход поступила заявка к-го приоритета, то время ожидания задержанной заявки, т. е. действительно попадающей в очередь заявки определяется как

_* * к к—1 I

¿ож к = Щ

7=1 )=1

где Щ0 - время, отводимое на незавершенную работу системы с приоритетом к и выше. Оно определяется как часть общей незавершенной работы системы, состоящая из времени дообслуживання У заявки, находившейся в рассматриваемый момент в канале обслуживания, и времени, необходимого каналу для обслуживания всех ранее поступивших заявок данного и бо-

к0

лее высоких приоритетов I 7); Аик—1 (¿с°ж) - приращение работы систе-

)=1

мы с приоритетом к - 1 и выше за время ожидания рассматриваемой заявки, равное суммарной длительности обслуживания ЕТ) заявок с более высоким приоритетом, которые дополнительно поступят в систему за время

ожидания ¿ож к и будут в соответствии с принятой дисциплиной обслужены раньше рассматриваемой заявки [1].

х,

о,

Д,

Схема одноканальной СМО с относительным к-м приоритетом

обслуживания

Усредняя обе части равенства (10), аналогично бесприоритетным дисциплинам ожидания и обслуживания получим

£ £-1

_* ^ _* л 1 _* _*

£ = М [7 ] + X р у7ож у + X р у7ож у = М [7 ] + Р£7ож £ + У=1 У=1

£ 1 ^ % £ 1 £ 1 ^ % £ 1 + X Р/ожу + 7ож £ X Ру = М[7] + X Р/ожУ + 7ож£( X Ру +р£) =

У=1

откуда

У=1 У=1

£-1 _* _* £

= М[7] + X Ру^ж у + toж £ X Ру 5

У=1 У=1

£-1 * М[7 ] + X Р /ож у

у=1

у=1

Тк = ож

1 - Я£

£

где Rk = X Ру - суммарная приведенная интенсивно сть потока заявок с у=1

приоритетами £ и выше.

Среднее время ожидания задержанной заявки с наивысшим приоритетом, т. е. £ = 1,

" .......

¿ож 1 = М [7 ]/(1 -Р1). Выражение для 7ож 2 будем искать, пользуясь (11):

М [7 ]

М [7 ]

_* М [7 ] + Р1—— - = М [7 ] + Р1^ж 1 = 1 И11 -Р1 __

ож 2 1-R2 1-R2 (1-Р1) • (1 - R2)'

Применяя метод математической индукции [2] при сопоставлении зависимостей (7) и (11) и подставляя М[7] из (8), получим среднее время ожидания задержанной заявки £-го приоритета:

X -2

X 1у-обу 7* = у=1

7ож £

2Я

£-1

где Rк-1 = X Ру - суммарная приведенная интенсивность потока заявок с у=1

приоритетами £ - 1 и выше.

Учитывая вероятность ¥ занятости системы в момент поступления на ее вход очередной заявки, получаем окончательно среднее время ожидания произвольной заявки £-го приоритета:

М М

7ож £ 7ож £у

X уб у X ту (1 +Пу ) у=1 _ у=1т у

2(1 - Rk-1) • (1 - Rk) 2(1 - Rk-1) • (1 - Rk) 248

Исследуем влияние приоритета заявки на ее среднее время ожидания. При уменьшении приоритета на единицу с к на к + 1 среднее время ожидания изменится на величину

А- = + = _1___1_] =

'ож к ='ож (к+1) + 'ож к = 4(1 — Як). (1 — Як+1) (1 — Як—1) • (1 — Як)] =

= с_ р к +р к+1

(1 - Rk _1)(1 - Rk )(1 - Rk+i)' M p i 2

где c = 0,5 X (1 + v j) - положительный коэффициент, не зависящий от j=1m j ' приоритета [1].

Так как Rk-1, Rk, Rk+1 меньше единицы, то А!ож k положительно, откуда следует, что ¿ож 1 < !ож2 < ... < ?ожм, т. е. среднее время ожидания заявок монотонно возрастают с уменьшением приоритета (с увеличением k).

Таким образом, показано, что введение относительных приоритетов по сравнению с бесприоритетным обслуживанием приводит к уменьшению времени ожидания заявок с высокими приоритетами и увеличению времени ожидания заявок с низкими приоритетами. Результаты могут быть использованы при анализе и разработке моделей системы отображения информации при решении задач управления безопасностью магистральных газопроводов.

Список литературы

1. Кёниг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания. М.: Радио и связь, 1981. 128 с.

2. Приоритетные системы обслуживания / Б.В. Гнеденко [и др.]. М.: Изд-во МГУ, 1973. 448 с.

3. Демин С.К. Прогнозирование развития сложных технических систем // Сб. научных трудов НТО «РЭС им. А.С. Попова». Тула: ТулГУ, 2012. С.124 -129.

4. Демин С.К. Принципы управления сложными распределенными системами // Сб. научных трудов НТО «РЭС им. А.С. Попова». Тула: ТулГУ, 2012. С.119 - 123.

Демин Сергей Константинович, научный сотрудник, ivts. tiilgiiaramhler. ru, Россия, Москва, Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН

MA THEMA TICAL MODEL OF DISPLA Y SYSTEM OF GAS TRANSMISSION SYSTEM CONDITION

S.K. Demin

A mathematical model of distributed processing display system of gas transmission system condition is developed. A loss-free single-channel open-end queueing system (QS) and a QS scheme with overall service priorities are chosen as a basis for the model. Evaluation of indices of effectiveness and delay in queue correlations at three different QS service procedures is fulfilled.

Key words: long-distance pipeline, queueing system, service function, service request.

Demin Sergey Konstantinovich, research scientist, ivts. tulguarambler. ru, Russia, Moscow, Kotel'nikov Institute of Radio-engineering and Electronics of Russian Academy of Science

УДК 623.5

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ МИНЫ В ЗОНЕ ОКОЛОДУЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ

В.М. Грязев, С.В. Шепетило

Рассматриваются результаты решения сопряженной задачи газодинамического расчета параметров нестационарного околодульного течения и движения мины в процессе ее выхода из канала ствола.

Ключевые слова: математическое моделирование, нестационарные газодинамические процессы.

Расчет параметров движения снаряда в зоне околодульного течения необходим для определения коэффициентов трансформации начальных кинематических параметров движения снаряда, сформированных в момент потери его контакта со стволом и являющихся начальными условиями движения в воздухе. Влияние периода последействия на динамику движения необходимо учитывать для снарядов с аэродинамической стабилизацией, поскольку при движении в этом периоде они являются аэродинамически неустойчивыми объектами и возможно существенное увеличение углов и угловых скоростей их экваториального вращения.

Особенностью расчета параметров движения мины в период выхода из ствола является необходимость сопряженного решения задачи расчета параметров движения мины и параметров нестационарного газодинамического течения в стволе в зоне стабилизатора мины и в околодульном пространстве. При этом положение мины в счетной зоне будет оказывать существенное влияние на параметры течения.

Необходимость учета перемещения твердого тела в счетной зоне при решении нестационарных газодинамических задач значительно усложняет решение, поскольку влечет необходимость постановки специаль-