О преподавании теории вероятностей в средней школе. Методический аспект

МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ИХ ПРЕПОДАВАНИЕ

УДК 372.851

Т. А. Гаваза

О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ. МЕТОДИЧЕСКИЙ АСПЕКТ

Рассматривается вопрос о методике введения основных понятий теории вероятностей для школьников, особенностях данных понятий и их взаимосвязи. Предлагается схема работы с задачей по теории вероятностей. Предложенная схема позволит сделать процесс обучения решению задач более успешным.

Ключевые слова: стохастический эксперимент, событие, вероятность, методика обучения решению задач.

Вопрос о целесообразности введения в школьный курс теории вероятностей рассматривался в России уже в первой половине XIX века. За введение стохастического материала в программу отечественной средней школы в разные годы выступали многие математики и методисты: В. Я. Буняковский, Б. В. Гнеденко, И. Г. Журбенко, А. Н. Колмогоров, А. И. Маркушевич, В. В. Фирсов, А. Я. Хинчин, П. Л. Чебышев, И. М. Яглом и другие. В нашей стране уже предпринимались попытки введения в школьный курс математики (ШКМ) понятия вероятности события. Однако в силу изолированности и инородности его по отношению к традиционному школьному курсу этот материал в своё время был изъят из программ и учебников.

В 2003/2004 учебном году Министерство образования рекомендовало образовательным учреждениям начинать преподавать курс стохастики в основной школе. В 2010 году задание по теории вероятностей было включено в Контрольно-измерительные материалы государственной итоговой аттестации (ГИА) по математике для 9 классов, в 2012 году — в единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике для 11 классов.

Введение вероятностно-статистической линии в школьный курс математики породило немало вопросов у учителей математики. К ним можно отнести вопросы, которые связаны с понятийным аппаратом, необходимым для успешного понимания и усвоения основ теории вероятностей, методикой его введения. Однако больше всего вопросов возникает в связи с методикой обучения школьников решению вероятностных задач. В данной статье представлен некоторый опыт по преподаванию основ теории вероятностей школьникам и студентам.

К основным понятиям теории вероятностей относятся стохастический (случайный) эксперимент, событие и вероятность. Данные понятия взаимосвязаны: вероятность — это шанс наступления события, событие — это результат эксперимента. В соответствии с этим формирование вероятностной культуры, что является одной из задач введения стохастической линии в ШКМ, необходимо начинать с поня-

тия стохастического эксперимента. Однако учителя математики это понятие либо пропускают, либо на нём не акцентируют внимание, что в дальнейшем приводит к определённым проблемам при оценке возможности наступления события и при решении вероятностных задач, так как учащиеся не могут сформулировать само событие, как результат некоторого действия. Второе понятие, событие, рассматривается более подробно, но при изучении возможности наступления нескольких событий в ходе одного эксперимента недостаточно внимания уделяется алгебре событий или, другими словами, их математическим моделям. Это снова приводит к проблемам при решении задач на нахождение вероятности. Учащиеся, не умеющие записывать математическую модель события, испытывают трудности при решении задач на теорему произведения, теорему суммы вероятностей совместных событий, полную вероятность.

Исходя из вышесказанного, можно рекомендовать следующую последовательность введения основных понятий теории вероятностей, которая может способствовать более успешному освоению материала учащимися:

1. Понятие стохастического (случайного) эксперимента. Определение события. Виды событий (достоверное, невозможное, случайное события).

2. Совместные, несовместные, противоположные события. Математические модели событий (сумма событий, произведение и разность событий).

3. Понятие вероятности. Аксиомы теории вероятностей. Следствия из аксиом.

4. Способы нахождения вероятности (статистическое, классическое, геометрическое определения, теорема суммы, теорема произведения вероятностей).

Рассмотрим два основных понятия: случайный эксперимент и событие.

Случайный (стохастический) эксперимент — это эксперимент, результаты которого известны теоретически, но неизвестно, какой из них наступит в ходе эксперимента. Событие — результат стохастического эксперимента. Одна из основных задач введения данных понятий — это установление взаимосвязи между ними, формирования навыка у учащихся выделять (формулировать) суть эксперимента и его результат.

Для формирования данного навыка у учащихся на этапе введения понятий и актуализации знаний на последующих уроках можно выполнять следующие задания:

- из приведённого списка экспериментов указать стохастические эксперименты, обосновать ответ;

- привести примеры стохастического эксперимента и для каждого примера указать достоверное, невозможное, случайное событие;

- из приведённого списка событий выбрать случайные события, достоверные и невозможные. При ответе указать, какой стохастический эксперимент проводился.

Закрепление навыка должно происходить при решении задач, а именно, при обсуждении задачи и оформлении её краткой записи должны быть выявлены и записаны стохастический эксперимент и событие, вероятность которого оценивается. Кроме того, необходимо обращать внимание учащихся на то, как проходит эксперимент, на события, которые уже произошли, а значит, они не участвуют в оценке вероятности.

Рассмотрим задачи на классическое определение вероятности, которое используется в том случае, когда в ходе одного и того же эксперимента, проводящегося один или несколько раз, наступает одно событие.

Задача 1. Маша бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадет число очков меньше 3.

Работа с задачей.

1. Стохастический эксперимент — бросание кубика.

2. Событие — выпадение числа очков.

3. Оцениваемое событие А: выпадение числа очков меньше 3.

4. Всевозможные исходы эксперимента — число очков от 1 до 6.

5. Благоприятные исходы эксперимента для события А — число очков 1 и 2.

6. Проводится один эксперимент, наступает одно событие, следовательно, используется классическое определение вероятности.

Задача 2. Маша бросает кубик дважды, в сумме у неё получается 8 очков. Какова вероятность того, что на одном из кубиков число 5.

Работа с задачей.

1. Стохастический эксперимент — бросание кубика 2 раза.

2. Событие — выпадение пары чисел, сумма которых равна 8. Математическая модель х + у = 8.

3. Оцениваемое событие А: 5 + у = 8 или х + 5 = 8.

4. Всевозможные исходы эксперимента — пары чисел от 1 до 6, которые в сумме дают 8.

5. Благоприятные исходы эксперимента для события А — пары чисел (5,3) и

(3,5).

6. Проводится один и тот же эксперимент, наступает одно событие, которое является комбинацией определённых чисел, для решения используется классическое определение вероятности.

Задача 3. Папа принёс домой в одном пакете 15 грейпфрутов, 3 из которых красные, остальные — белые. Двое детей по очереди берут по фрукту, а затем берёт мама. С какой вероятностью ей достанется белый грейпфрут, если у обоих детей оказались белые грейпфруты?

Работа с задачей.

1. Стохастический эксперимент — выбор грейпфрута. Эксперимент проходит в несколько этапов: 1 этап — выбор первого ребенка, 2 этап — выбор второго ребёнка, 3 этап — выбор мамы.

2. Событие — цвет грейпфрута. Результат первого и второго этапов: грейпфрут — белый, то есть события уже произошли, следовательно, при рассмотрении результатов третьего выбора их необходимо исключить из общего числа. Именно на это необходимо обратить внимание при решении задачи.

3. Оцениваемое событие А — третий грейпфрут белый.

4. Всевозможные исходы эксперимента — 13 грейпфрутов.

5. Благоприятные исходы эксперимента для события А — 10 оставшихся белых грейпфрутов.

6. Проводится один и тот же эксперимент, наступает одно событие, для решения используется классическое определение вероятности.

Задача 4. Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются ещё восемь команд, среди которых команда «Зенит». Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе.

Работа с задачей.

1. Стохастический эксперимент — выбор номера группы. Эксперимент проходит в 2 этапа: 1 этап — выбор номера группы «Барселоной», 2 этап — выбор номера группы «Зенитом».

2. Событие — номер группы. Результат первого этапа — номер группы «Барселоны» уже известен, например первая группа, то есть событие уже произошло. Следовательно, при рассмотрении результатов выбора «Зенита» необходимо учесть, что он должен выбрать тот же номер. Именно на это необходимо обратить внимание при решении задачи.

3. Оцениваемое событие А (для «Зенита») — первая группа.

4. Всевозможные исходы эксперимента — номера от 1 до 8.

5. Благоприятные исходы эксперимента для события А — номер 1.

6. Эксперимент проводится один раз, наступает одно событие, для решения используется классическое определение вероятности.

Таким образом, особенностью третьей и четвёртой задач, является то, что эксперимент, результаты которого оцениваются, происходит при определённых условиях (ограничениях) и это необходимо учитывать при решении задачи. В целом при решении задач на классическое определение вероятности можно порекомендовать следующую схему работы над задачей:

1. Определить, в чём заключается стохастический эксперимент, сколько раз он проводится.

2. Сформулировать событие. Выяснить является ли событие для каждого этапа, если их несколько, случайным или оно уже наступило.

3. Сформулировать оцениваемое событие.

4. Определить всевозможные исходы.

5. Определить вид благоприятного исхода.

6. Найти количество всевозможных и благоприятных исходов.

7. Найти отношение числа благоприятных исходов к числу всевозможных исходов. Проверить условие того, что вероятность случайного события всегда меньше единицы

8. Записать ответ.

Следующая группа задач, как правило, вызывающая затруднения у учащихся, связана с алгеброй событий. Непонимание учащимися данных задач может быть связано с недостаточной теоретической подготовкой. Пропедевтикой для решения данных задач является работа с понятиями совместные, несовместные, противоположные события. При введении данных понятий и работе по закреплению материа-

ла, необходимо указать, какой эксперимент проводится, какие события наступают в ходе эксперимента, и ответить на вопрос: «Могут ли они наступить вместе?». Если ответ положительный, то события совместные. Если ответ отрицательный, то события несовместные или противоположные. Если одно событие является отрицанием другого события, то события противоположные.

Например, стохастический эксперимент — бросание игрального кубика. Событие А — выпадение чётного числа очков. Событие В — выпадение нечётного числа очков. Событие С — выпадение четвёрки. События А и В не могут наступить вместе и являются отрицанием друг друга, следовательно они противоположные. События А и С могут наступить вместе, так как 4 — чётное число. Следовательно, они совместные. События В и С не могут наступить вместе, но одно не является отрицанием другого. Следовательно, они несовместные. При введении понятий несовместные и противоположные события необходимо обратить внимание учащихся на частицу «не», которая позволяет выделить пару противоположных событий.

При введении математических моделей событий необходимо обратить внимание учащихся на слова и союзы, определяющие вид модели, устанавливая тем самым межпредметные связи математической логики и теории вероятностей. Для систематизации знаний можно использовать следующую таблицу:

№ Операция над событиями Математическая модель Словесное определение

1 Сумма событий А+В Событие, которое происходит в том случае, когда наступает хотя бы одно из данных событий, то есть А или В

2 Произведение событий А  В Событие, которое наступает в том случае, когда оба события происходят одновременно, то есть А и В

3 Разность событий А  В + А  В Событие, которое наступает в том случае, когда происходит только одно из данных событий, то есть либо А, либо В

При решении задач на использование теоремы суммы и произведения событий можно порекомендовать следующую схему работы с задачей:

1. Определить, в чём заключается стохастический эксперимент, сколько раз он проводится.

2. Определить вид события для каждого этапа стохастического эксперимента.

3. Определить количество событий, обозначить их буквами.

4. Определить, какими являются события (совместными, несовместными).

5. Определить вид общего события.

6. Записать математическую модель общего события (сумму, произведение, разность).

7. В соответствии с моделью найти вероятность, используя соответствующую теорему.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу: Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания первым стрелком — 0,7, вторым стрелком — 0,8.

Какова вероятность того, что попадут оба стрелка, хотя бы один стрелок, только один стрелок, ни один стрелок?

Работа над задачей.

1. Стохастический эксперимент — стрельба по мишени 2 раза.

2. Событие — попадание в мишень при первом и при втором выстреле.

3. Событий два. Событие А — попадание первым стрелком, р(А) = 0,7. Событие В — попадание вторым стрелком, р(В) = 0,8.

4. Оба стрелка могут попасть в мишень, следовательно, события совместные. Так как они стреляют независимо друг от друга, то события независимые.

5 и 6. Попадут оба стрелка — А  В . Попадёт хотя бы один стрелок — А+В. Попадёт только один стрелок — А  В + А  В . Не попадёт ни один стрелок — А  В .

7. По теореме произведения p(А  В) = p(A)  p(B) = 0,7  0,8 = 0,56 . По теореме суммы p(А + В) = p(A) + p(B) - p(A)  p(B) = 0,7 + 0,8 - 0,7  0,8 = 0,94 .

По аксиоме суммы, теореме произведения и вероятности противоположного события p(А  В + А  В) = p(A)  p(B) + p(A)  p(B) = 0,7  0,2 + 0,3  0,8 = 0,38 .

По теореме произведения р(А  В) = p(A)  p(B) = 0,3  0,2 = 0,06.

В заключение необходимо отметить, что приведённые выше схемы (алгоритмы) работы над задачей по теории вероятностей могут дополняться, изменяться в зависимости от степени подготовленности учащихся. Однако этапы выделения стохастического эксперимента, события и оцениваемого события должны присутствовать обязательно. Эти этапы непосредственно связаны с пониманием условия вероятностной задачи и её успешным решением.

Литература

1. Ларин А. А. Математика. Репетитор. [Электронный ресурс]: URL: https://www. alexlarin.net

T. Gavaza

ON TEACHING THE THEORY OF PROBABILITY AT HIGH SCHOOL.

METHODICAL ASPECT

The article deals upon the method of introducing the basic concepts of the probability theory and their interrelations to schoolchildren. A scheme of working with the probability theory problems is suggested. This scheme will enable schoolchildren to solve such problems more successfully.

Keywords: stochastic experiment, an event, probability, methods of teaching problem solving.