Роль теоретико-множественнного подхода в формировании математических компетенций учащихся специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида

ИЗУЧЕНИЕ, ОБУЧЕНИЕ И ВОСПИТАНИЕ ДЕТЕЙ С НАРУШЕНИЯМИ РАЗВИТИЯ

РОЛЬ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОГО ПОДХОДА В ФОРМИРОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ УЧАЩИХСЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ (КОРРЕКЦИОННЫХ) ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ VIII ВИДА

Богановская Н. Д.

Формирование математической компетентности предполагает овладение школьниками когнитивной и операциональнотехнологической составляющими курса математики как учебного предмета и является необходимым условием усвоения содержания программы специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида.

Ведущими содержательными линиями формирования математической компетентности в процессе обучения математике детей с нарушением интеллекта служат:

- линия развития понятий, которая включает в себя понятие о натуральном числе, нуле, натуральном ряде чисел, дробях и их свойствах и др.;

- формально-оперативная линия, направленная на овладение учащимися вычислительными навыками с целыми и дробными числами, полученными в результате счета и измерения и др.;

- вычислительно-графическая линия, рассматривающая целый ряд текстовых арифметических задач;

- содержательно-прикладная линия, предполагающая выполнение заданий из смежных учебных дисциплин и имеющая практическую, жизненную направленность.

Для реализации задач содержательных линий программы учащимся необходимо осознать следующие основные функции натурального числа: порядковую, операторную, количественную относительно дискретных и непрерывных множеств.

В теории количественного числа под каждым натуральным числом понимают соответствующий класс конечных равномощных множеств. Арифметические действия первой ступени (то есть сложение и вычитание) с теоретико-множественных позиций рассматриваются на основе объединения множеств и удаления правильной части множества.

Количественная функция натурального числа относительно непрерывных множеств появляется впервые в школьном курсе математики при выполнении действия измерения с

Екатеринбург

помощью общей меры. Эта функция числа проявляется наиболее полно в понятии аддитивно-скалярной величины и системы измерения.

В основе теории количественного числа лежит теоретико-множественный подход, который служит неотъемлемой частью теоретического содержания программы начального курса математики. Этот подход в значительной степени способствует устранению разрыва между действительной структурой понятий курса элементарной математики и ее отдельными элементами, фактически изучаемыми в специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида. Кроме того, теоретико-множественный подход в значительной степени способствует более высокому уровню формирования навыков выполнения арифметических действий.

Понятие множества в математике является начальным и не сводится к другим понятиям. Множеством называют любую совокупность объектов или понятий. Объекты или понятия, составляющие некоторое множество, называются его элементами. Элементами множества могут быть как реальные предметы (например, счетные палочки), так и абстрактные понятия (например, числа, геометрические фигуры). Множество можно задать путем перечисления его элементов или с помощью характеристического свойства.

Программа подготовительного класса предусматривает обучение школьников сравнению предметных совокупностей по количеству предметов, их составляющих. Согласно требованиям программы сравнение небольших предметных совокупностей следует проводить путем установления взаимно однозначного соответствия их элементов.

К формированию у школьников навыков установления взаимно однозначного соответствия приступают с освоения метода наложения. Предложенная методика позволяет детям с нарушением интеллекта сравнительно быстро усваивать понятия «столько же», «равны», «поровну», «лишний». Прием сравнения

предметных множеств путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами должен стать основным из приемов, изучаемых в пропедевтический период.

Сравнение чисел в дальнейшем также осуществляется путем установления взаимно однозначного соответствия между элементами предметных множеств, мощность которых равна этим числам. В специальных (коррекционных) образовательных учреждениях VIII вида задача формирования количественных представлений на основе теоретико-

множественного подхода в пропедевтический период решается в единстве с развитием устной речи учащихся. В процессе сравнения предметных множеств используются следующие термины: «сколько»; «много»; «мало»; «больше»; «меньше»; «столько же»; «равное, одинаковое количество»; «немного»; «не-

сколько»; «один»; «ни одного».

Теоретической основой этого раздела являются базовые положения теории множеств, на которых основано сравнение предметных множеств, чисел и сам процесс счета.

Программа подготовительного класса предусматривает обучение школьников счету предметов в пределах 5; ознакомление учащихся с количественными, порядковыми числительными, цифрами 1, 2, 3, 4, 5; соотношением количества, числительного, цифры. Вводится также прием получения чисел путем пе-ресчитывания предметов.

Целью счетной деятельности является выражение количества предметов числом. Процесс счета выступает как средство достижения цели счетной деятельности и подразумевает последовательное называние числительных и соотнесение их с предметами счета. Математическую основу этих действий составляют операции над конечными множествами.

На начальных этапах овладения счетной деятельностью ребенок использует операцию пересчитывания предметов. Для этого он проводит операцию объединения двух предметных множеств, предъявленных ему для пе-ресчитывания и, передвигая предметы, последовательно называет сначала соответствующие числительные, а потом и итоговое число как результат счетной деятельности.

В результате овладения операцией пе-ресчитывания у детей формируется представление о числе как результате счета и показателе мощности конечного предметного множества.

В задачи пропедевтического периода входит формирование у школьников представ-

лений о смысле арифметических действий сложения и вычитания.

В количественной теории чисел суммой натуральных чисел а и Ь называется число а + Ь = п (АиВ), где А и В - произвольные конечные множества такие, что п (А)=а, п (В)=Ь и АПВ=0.

Для сложения справедливы законы:

1) коммутативный: а + Ь = Ь + а;

2) ассоциативный: (а + Ь)+с=а + (Ь + с).

Справедливость этих законов в количественной теории числа доказывается на основе законов операций пересечения и объединения множеств.

Пусть В с А. Причем п (А)=а, п (В)=Ь. Разностью целых неотрицательных чисел а и Ь называется целое неотрицательное число с, которое является численностью дополнения к множеству В до множества А. а - Ь = п (А\В), где п (А )= а, п (В) = Ь и В с А.

Разность целых неотрицательных чисел а и Ь существует тогда и только тогда, когда Ь<а.

Формирование у школьников представлений о смысле арифметических действий сложения и вычитания целесообразно проводить задолго до изучения самих действий. Цель упражнений - на конкретных примерах показать детям, что при удалении части предметного множества количество предметов уменьшается, а при добавлении увеличивается.

Действия по удалению правильной части множества (подмножества) и добавлению (определению дополнения к подмножеству до данного множества) школьники обязательно должны проводить сами на конкретных предметных множествах.

Позднее задания усложняются, чтобы учащиеся отвлекались от иных характеристик предметного множества, кроме их количественной стороны. Особое внимание уделяется верному употреблению детьми терминов «больше - меньше», «стало - осталось», «добавили - убавили». Фронтальная работа сопровождается также предметными действиями каждого ученика с раздаточным материалом.

По окончании пропедевтического периода переходят к формированию понятий числа, натурального ряда и арифметических действий. Обучение нумерации и счету целесообразно осуществлять в следующей последовательности:

1 этап. Развитие количественных представлений о группах из двух и трех предметов. Счет в пределах 3.

2 этап. Изучение нумерации однозначных чисел в пределах 5.

3 этап. Изучение нумерации однозначных чисел в пределах 9.

4 этап. Формирование понятия числа 10. Счет в пределах 10.

Представления об одноэлементных и трехэлементных множествах формируются на основе количественных представлений о группе из двух предметов. Рассматривают некоторые из ситуаций, предложенных школьниками, причем сравнение предметных множеств проводится путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами. В процессе последующих занятий детей учат зрительно распознавать группы из двух и трех предметов.

На развитие количественных представлений о предметных множествах, содержащих по 1, 2 и 3 предмета, направлена следующая последовательность заданий: от упражнений типа «Возьми в каждую руку по игрушке. Сколько всего игрушек ты взял?» с использованием наборов объемных игрушек - к упражнениям на сравнение небольших (однодвухэлементных) предметных множеств посредством понятий «больше», «меньше».

Дети должны научиться отвечать на вопрос «Сколько?» относительно предметных множеств, мощностью в пределах трех. Мощностью конечного множества называют количество его элементов. Постепенно операция пересчитывания заменяется операциями присчитывания и отсчитывания на предметных множествах. Далее школьников учат строить множества, содержащие по два элемента, больше и меньше двух элементов.

Большое внимание уделяется упражнениями с использованием зрительного, слухового и осязательного анализаторов. Сначала упражнения даются в зрительно-осязательной форме. На каждом уроке учитель побуждает школьников к практическому применению полученных знаний. На этом же этапе вводятся цифры 1, 2, 3; присчитывание и отсчитывание по 1 в пределах 3, на основе выполнения практических действий решаются простые арифметические задачи на нахождение суммы, остатка и примеры на арифметические действия сложения и вычитания со знаками действия («+» и «—»).

В первом классе учащиеся знакомятся с числом и цифрой 0. Рассмотрим теоретические основы введения этого числа.

Число нуль (0) с теоретикомножественных позиций вводится как обобщение понятия мощности конечных множеств

путем включения класса пустых множеств. Принято считать, что все пустые множества равномощны между собой, и образуют новый класс - пустых множеств. Этому классу и соответствует число 0 (нуль).

Арифметические действия над целыми неотрицательными числами вводятся в программе специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида с позиций количественной теории натуральных чисел. Причем каждое натуральное число в этой теории обозначает количество элементов соответствующего конечного множества, т. е. мощность этого множества.

Начиная с первого класса, арифметические действия и их свойства рассматриваются в программе специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида на множестве N0 целых неотрицательных чисел, где N0 = NU{0}.

В подготовительном классе учащиеся знакомятся с арифметическими действиями сложения и вычитания, а также знаками этих действий («+» и «-»).

Программа по математике для специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида предусматривает введение целого ряда соответствий и отношений, многие из которых обозначаются специальными символами. Соответствием между множествами А и В называется тройка множеств: множество А, множество В и некоторое подмножество О декартова произведения А х В. (О с А х В).

В курсе математики специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида, как и в начальном курсе математики массовой общеобразовательной школы, рассматриваются также соответствия между элементами одного множества. То есть задаются множество А и подмножество декартова произведения АхА. Отношением между элементами множества А или отношением на множестве А называется соответствие между элементами этого множества А.

Так, в подготовительном классе дети знакомятся с отношением порядка следования. В первом классе рассматриваются отношения равенства (а = Ь) и неравенства (а > Ь; а < Ь). Вводятся термины: больше, меньше, равно. Во втором классе рассматриваются знаки этих отношений («>»; «<»; «=»), понятия «столько же», «больше (меньше) на несколько единиц», в третьем классе изучается отношение делимости и т. д..

Позднее эти отношения вводятся для множеств обыкновенных и десятичных дробей, а также рассматриваются на геометриче-

ском материале: равенство фигур (конгруэнтность); в том числе - равенство отрезков, построение отрезков такой же длины, больше, меньше данного - в третьем классе; отношение параллельности и перпендикулярности прямых со знаками «| | », «±» - в шестом классе и т.д.

Наиболее важными соответствиями, предусмотренными программой специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида, являются соответствия взаимно однозначные, а также следующие: «Число а является длиной отрезка» - в первом классе; «Число а является длиной ломаной» - в четвертом классе; «Число а является длиной окружности» - в восьмом классе; площадью фигуры (площадь круга и прямоугольника - в восьмом классе; площадью боковой и полной поверхности прямоугольного параллелепипеда

- в девятом классе); объемом тела - в девятом классе; «Число а является мерой угла в градусах» - в восьмом классе.

В курсе математики специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида, как и в начальном курсе математики массовой общеобразовательной школы, рассматриваются также соответствия между элементами одного множества. То есть задаются множество А и подмножество декартова произведения АхА.

Понятие отношений и соответствий в общеобразовательной школе в общем виде не рассматривается. Однако весь курс математики (в том числе и специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида) пронизан вопросами, связанными с теорией отношений. Уже в пропедевтическом периоде дается представление об отношении порядка следования и вводится соответствующая терминология: «первый», «последний», «после», «за», « следующий за» и др.

Изучение дальнейшего курса математики невозможно без усвоения отношений типа: «число а равно числу Ь», «число а больше (меньше) числа Ь», «число а непосредственно следует за числом Ь», «число а делится на число Ь» и др. Поэтому знание частных случаев отношений эквивалентности и порядка представляет собой один из наиболее значимых параметров, определяющих усвоение содержания математики как учебного предмета специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида.

Результаты исследования показывают, что представление об отношении равенства на двух предметных множествах имеется у большинства учащихся первых классов специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида. С заданием не справляются

только дети с тяжелыми нарушениями интеллекта, занимающиеся по индивидуальной программе. У учащихся вторых и третьих классов коррекционной школы, а также у интеллектуально сохранных дошкольников начиная с четырехлетнего возраста, подобных затруднений не возникает.

Понятие отношения равенства на двух предметных множествах оказывается не усвоенным. Ошибки, характерные для учащихся первого класса специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида, прослеживаются и в работах «отстающих» учащихся второго и даже третьего классов. Четырехлетние дети с сохранным интеллектом легко устанавливают взаимно однозначное соответствие на предметах.

Сравнение двух предметных множеств путем установления взаимно однозначного соответствия осваивается учащимися специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида лишь к концу обучения в третьем классе, когда они уже овладевают отвлеченным счетом в пределах 100. Однако даже в этот период некоторые школьники не умеют сравнивать небольшие предметные множества, не прибегая к поэлементному пересчету. Прием сравнения предметных множеств путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами должен стать основным из приемов, изучаемых в пропедевтический период.

Знание частных случаев отношений эквивалентности и порядка представляет собой один из наиболее значимых параметров, определяющих усвоение содержания математики как учебного предмета специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида.

Понятие отношений эквивалентности и порядка у ребенка с нарушением интеллекта оказывается оторванным от практической деятельности. Это, в свою очередь, проявляется в неоднократных «всплесках» ошибок: сначала при изучении арифметических действий в пределах второго десятка (программа второго класса), потом при выполнении сложения и вычитания в пределах первой сотни (программа третьего класса).

Таким образом, теоретико-множественный подход является неотъемлемой составляющей формирования математической компетентности учащихся специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида и лежит в основе овладения школьниками теоретического содержания программы математики как учебного предмета.

Литература

1. Ильиных, А. П. Вводный курс математики: Учеб. пособие / А. П. Ильиных. - Екатеринбург.: Урал. гос. пед. ун-т., 2007. - 110 с.

2. Методика и технология обучения математике. Курс лекций / И. Л. Стефанова, И. С. Подходова, В. В. Орлов, В. П. Радченко, В. В. Крылов, В. Е. Ярмолюк, В. И. Снегурова, И. А. Иванов. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.

3. Перова, М. И. Методика преподавания математики в специальной (коррекционной) школе VIII вида: Учеб. для студентов вузов по пед.

спец. / М. Н. Перова. - 4-е изд., перераб. - М.: ВЛАДОС., 2001 - 408 с.

4. Стойлова, Л. П. Математика: учеб. пособие /Л. П. Стойлова - 3-е изд. - М.: Академия, 2007. - 424 с.

5. Эк, В. В. Обучение математике учащихся младших классов специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида: пособие для учителя / В. В. Эк. - 2-е изд., перераб., - М.: Просвещение, 2005. - 221 с.

© Н. Д. Богановская, 2008