Исследование антиферромагнитной модели Изинга на квадратной решетке с учетом взаимодействия вторых ближайших соседей

Естественные и точные науки

• • •

31

УДК 239.2

ИССЛЕДОВАНИЕ АНТИФЕРРОМАГНИТНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА НА КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКЕ С УЧЕТОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВТОРЫХ БЛИЖАЙШИХ СОСЕДЕЙ

©2010 Магомедов Г.М., Рамазанов М.К., Магомедов М.Р.

Дагестанский государственный педагогический университет

Репличным методом Монте-Карло выполнены исследования критических свойств антиферромагнитной модели Изинга на квадратной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей. С помощью теории конечноразмерного скейлинга рассчитаны все основные статические критические индексы. Обнаружено, что в исследуемой модели наблюдается фазовый переход второго рода. Показано, что данная модель принадлежит новому классу универсальности критического поведения.

The critical properties of antiferromagnetic Ising model on a square lattice with competing nearest- and next-nearest-neighbor interactions are investigated by the replica Monte-Carlo method. The static critical exponents are calculated by means of the finite-size scaling theory. It is revealed, that in researched model phase transition of the second sort is observed. A new universality class of the critical behavior is shown to be formed by given model.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, фрустрация, класс универсальности, фазовый переход, критическое явление.

Keywords: Monte-Carlo method, frustration, universality class, phase transition, critical property.

Введение

Проблема исследования фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ) в спиновых системах с конкурирующим обменным взаимодействием является одной из центральных в современной физике конденсированного состояния [2, 3, 18]. Конкуренция обменного взаимодействия может привести к фрустрации, т.е. такому пространственному расположению магнитных ионов в кристалле, при котором невозможно одновременное антипараллельное упорядочение всех взаимодействующих спинов [13].

Фрустрированные системы (ФС) во многом проявляют свойства, отличные от соответствующих нефрустри-рованных систем. Поэтому в послед-

ние 30 лет проводятся интенсивные исследования природы ФП, тепловых, магнитных и критических свойств фрустрированных спиновых систем [4-12, 16, 17, 22].

Полученные результаты носят противоречивый характер и вызвали бурную дискуссию [9-12, 16, 18, 22]. В связи с этим для получения ответа на ряд дискуссионных вопросов существует необходимость проведения более тщательных исследований ФС с использованием дополнительных современных идей и методов.

Большинство традиционных методов исследования ФС сталкиваются с серьезными трудностями при попытке вычислить критические параметры, определить особенности, характер и механизмы критического

32

Известия ДГПУ, №2, 2010

поведения [2]. Это привело к тому, что ФП и КЯ в ФС в настоящее время интенсивно изучаются методами Монте-Карло (МК) [5-12, 20, 22]. В частности, для исследования ФС разработаны специальные репличные алгоритмы метода МК [19].

В данной работе нами предпринята попытка по возможности с максимальной точностью, с соблюдением единой методики, использованием надежной и проверенной схемы, на основе специального репличного алгоритма метода Монте-Карло определить род фазового перехода и значения критических параметров в антиферромагнитной модели Изинга на квадратной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей. В последние годы исследование критического поведения этой модели проводится экспериментальными, теоретическими и численными методами [18, 23].

Литературные данные показывают, что в антиферромагнитной модели Изинга на квадратной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей имеет место ФП второго рода. И эта модель может обладать «аномальными» критическими индексами.

В литературе имеются также результаты исследований этой же модели, которые показывают, что в системе наблюдается фазовый переход первого рода. Наличие ФП первого рода подтверждают также результаты исследований, проведенных методом МК для аналогичной модели на треугольной решетке.

Данные более поздних работ [18, 23] свидетельствуют о том, что в исследуемой модели наблюдается ФП второго рода. Как видно из вышесказанного, на сегодняшний день остается открытым вопрос о природе и классе универсальности критического поведения рассматриваемой нами модели.

В связи с этим для лучшего понимания критического поведения систем с конкурирующими взаимодействиями существует необходимость проведе-

ния дополнительных, более точных исследований модели Изинга с антиферромагнитными взаимодействиями вторых ближайших соседей. Поэтому в данной работе нами предпринята попытка изучить природу, характер и особенности фазовых переходов этой модели.

Модель и метод исследования

Гамильтониан антиферромагнитной модели Изинга на квадратной решетке может быть представлен в следующем виде [18]:

м ,

-л» !№•«,)

где S/j=±1 - изинговский спин. Первый член в формуле (1) учитывает обменное взаимодействие ближайших соседей величиной Jnn<0, а второй - вторых ближайших соседей Jnnn<0.

Двумерная антиферромагнитная модель Изинга на квадратной решетке при учете антиферромагнитных взаимодействий вторых ближайших соседей становится фрустрирован-ной. Фрустрации в этой модели обусловлены конкуренцией обменных взаимодействий между первыми и вторыми ближайшими соседями. Исследования критического поведения фрустрированных спиновых систем сталкиваются с серьезными и труднопреодолимыми проблемами. Для ФС характерна проблема многочисленных долин локальных минимумов энергии. Обычные методы МК плохо справляются с решением этих проблем. Поэтому в последнее время разработано много новых вариантов алгоритмов метода МК, специально ориентированных на исследования ФС, которые позволяют преодолеть эти проблемы. Из них наиболее мощными и эффективными в исследовании КЯ в ФС оказались репличные алгоритмы метода МК [19]. К настоящему моменту репличные алгоритмы метода Монте-Карло и теория конечно-размерного скейлинга стали ос-

Естественные и точные науки • • •

33

новными инструментами исследования критических свойств столь сложных систем.

Поэтому в данном исследовании нами использован высокоэффективный репличный обменный алгоритм метода Монте-Карло [19]. Расчеты проводились для систем с периодическими граничными условиями (ПГУ) и с линейными размерами LxL=N, L=20-И50. Соотношение обменного взаимодействия вторых и ближайших соседей Jnnn /Jnn=^=1-

Результаты моделирования

Для наблюдения за температурным ходом поведения теплоемкости и восприимчивости нами использовались выражения [15, 21]:

С

%= 1

:(Ж2)((^2)-(£/)2) (7Vio((M2)-(^|)2) при T<TN

(nk)(m2) при Т >TN

где К= |J] /квТ N - число частиц, U -

внутренняя энергия, М - параметр порядка.

Параметр порядка системы М вычислялся на основе следующих выражений [18, 23]:

гДеЛ=1’2’3’4

N геА

Ма = ^+М2-

М = ^

На рисунках 1 и 2 представлены характерные зависимости теплоемкости С и восприимчивости х от температуры для систем с линейными размерами L=20; 40; 60; 80 (здесь и на всех последующих рисунках статистическая погрешность не превышает размеров символов, использованных для построения зависимостей).

Рис. 1. Зависимость теплоемкости С/кв от температуры kBT/\J\

Рис. 2. Зависимость восприимчивости х от температуры kBT/\J\

Отметим, что в зависимости теплоемкости С и восприимчивости х от температуры для всех систем вблизи критической температуры наблюдаются хорошо выраженные максимумы, которые увеличиваются с ростом числа спинов в системе, причем эти максимумы в пределах погрешности приходятся на одну и ту же температуру даже для систем с наименьшим значением L.

Для анализа характера ФП и определения критической температуры TN наиболее эффективным является метод кумулянтов Биндера четвертого порядка [8, 14]:

34

• • •

Известия ДГПУ, №2, 2010

VT

UL= 1-

m

3 im"

где \/L - энергетический кумулянт, UL - магнитный кумулянт.

Выражения (8) и (9) позволяют определить критическую температуру TN с большой точностью для ФП первого и второго рода соответственно.

Известно, что в случае ФП второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов Биндера UL имеют четко выраженную точку пересечения [14].

Рис. 3. Зависимость магнитного кумулянта UL от температу-

ры kBT/\J\

На рисунке 3 представлена характерная зависимость UL от температуры для разных значений L. Этот рисунок демонстрирует и точность определения критической температуры. Из графика видно, что в критической области наблюдается четко выраженная точка пересечения (7л/=2.081(1) (здесь и далее температура дана в единицах |./| /кв)), что

свидетельствует о ФП второго рода.

Для расчета статических критических индексов теплоемкости а, восприимчивости у, параметра порядка /? и радиуса корреляции v использо-

вались соотношения теории конечноразмерного скейлинга [20].

Из соотношений конечноразмерного скейлинга следует, что в системе с размерами LxL при T=TN и достаточно больших L выполняются следующие выражения:

-Р/

М х L

у

XX и

Vn=L/vg]

V ’

где gv„ - некоторая постоянная, а в качестве Vn может выступать:

Ые

Vt=^-J--(E) , (/=1,2,3,4),

т

Эти выражения были нами использованы для определения /3, у и v.

Для аппроксимации температурной зависимости теплоемкости от L на практике, как правило, используется выражение [20]:

Cmax

где Aiv\ А2- некоторые коэффициенты.

Рис. 4. Зависимость параметра порядка М от линейных разме-

ров системы L при T=TN.

На рисунке 4 в двойном логарифмическом масштабе представлены характерные зависимости параметра порядка М от линейных размеров решетки L. Как видно из рисунка, все точки на графиках в пределах погрешности хорошо ложатся на пря-

Естественные и точные науки

• • •

35

мую. Зависимости на рисунке проведены в соответствии с методом наименьших квадратов. Угол наклона прямой определяет значения p/v. Используя вычисленное аналогич-

ным образом значение v, были определены критические индексы теплоемкости а, восприимчивости у и параметра порядка р (табл. 1).

Таблица 1

Значения критических индексов для двумерной антиферромагнитной модели Изинга на квадратной решетке

КИ Tn a b g V h a+2b+g=2

Наши данные 2.081(1) 0.358(10) 0.093(10) 1.451(10) 0.830(10) 0.224(10) 1.995

[23] 2.0820(4) 0.302(7) 0.103(3) 1.482(7) 0.847(4) - 1.99

[18] 2.0823(17) 0.342(5) 0.103(3) 1.451(7) 0.8292(24) - 1.999

Решение Онзагера [1] 2.269 0 0.125 1.75 1 - 2

Для определения индекса Фишера 7j нами использовалось отношение между восприимчивостью % и радиусом корреляции £,

05)

а также соотношение ц = 2-glv ,

связывающее индекс г/ и v; в итоге мы получим

\n

где с - некоторая константа. Для систем с конечными размерами X = L . Тогда при Т= TN имеем

\п

На основе выражения (17) было определено значение индекса Фи-

шера Т].

Все значения индексов, полученные в рамках данной работы, представлены в таблице 1. Здесь также приведены результаты других авторов, имеющиеся в литературе, а также значения критических параметров точного решения Онзагера [1].

Сравнение значений критических параметров с результатами исследований для аналогичной модели показывает, что наши данные близки к данным работ других авторов [18, 23]. А часть наших данных в пределах погрешности совпадает с литературными данными. Отметим, что для наших данных достаточно хорошо выполняются и скейлинговые соотношения, что свидетельствует о хорошей точно-

сти определения наших данных. Как видно из таблицы, результаты нашей работы отличаются от результатов точного решения Онзагера.

Результаты нашей работы позволяют утверждать, что в двумерной фрустрированной антиферромагнитной модели Изинга на квадратной решетке с учетом взаимодействия вторых ближайших соседей наблюдается фазовый переход второго рода, и эта модель принадлежит к новому классу универсальности критического поведения, отличному от класса, к которому принадлежит модель, точно решенная Онзагером.

Заключение

Исследование критических свойств и фазовых переходов двумерной фрустрированной антиферромагнитной модели Изинга на квадратной решетке с учетом взаимодействия вторых ближайших соседей выполнено с использованием высокоэффективного репличного алгоритма метода Монте-Карло. Используя метод кумулянтов Биндера четвертого порядка, определили критическую температуру и осуществили анализ характера фазовых переходов. Рассчитаны все основные статические критические индексы. Кроме того, индекс Фишера для этой модели нами рассчитан впервые.

Примечания

36

• • •

Известия ДГПУ, №2, 2010

1. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М. : Мир, 1985. С. 144. 2. Доценко Вик. С. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // УФН. 1995. Т. 165. С. 481.3. Коршунов С. Е. Фазовые переходы в двумерных спиновых системах с непрерывным вырождением // УФН. 2006. Т. 176. С. 233.4. Лойсон Д, Соколов А. И., Деламотт Б., Антоненко С. А., Шотт К. Д, Дип X. Т. Critical behavior of frustrated systems: Monte Carlo simulations versus renormalization group. // Письма в ЖЭТФ. 2000. T. 72. С. 447.5. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Рамазанов М. К. Статическое критическое поведение 3D фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке // ФНТ. 2006. Т. 32. С. 323. 6. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Рамазанов М. К. Критические свойства трехмерной фрустрированной модели Изинга на кубической решетке // ФТТ. 2005. Т. 47. С. 1125. 7. Муртазаев А. К., Рамазанов М. К., Бадиев М. К. Критическое поведение и пространственный кроссовер во фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на треугольной решетке // Известия РАН. Серия физическая. 2008. Т. 72. С. 1172. 8. Муртазаев А. К., Рамазанов М. К., Бадиев М. К. Исследование критических свойств трехмерной фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной решетке методами Монте-Карло // ФНТ. 2009. Т. 35. С. 663. 9. Муртазаев А. К., Рамазанов М. К., Бадиев М. К. Статическое критическое поведение трехмерной фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием //ЖЭТФ. 2007. Т. 132. С. 1152.10. Муртазаев А. К., Рамазанов М. К., Бадиев М. К. Исследование критических свойств фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной решетке методом Монте-Карло// Известия РАН. Серия физическая. 2009. Т. 73. С. 1059.11. Рамазанов М. К., Муртазаев А. К., Магомедов Г. М., Джамаева Н. М. Критические свойства трехмерной фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на треугольной решетке // Известия ДГПУ. 2008. N° 2. С. 5. 12. Рамазанов М. К., Муртазаев А. К., Магомедов Г. М., Мамаева С. М. Компьютерное моделирование критических свойств фрустрированной модели Гейзенберга методами Монте-Карло // Известия ДГПУ. 2008. N° 4. С. 7.13. Сосин С. С., Прозорова Л. А., Смирнов А. И. Новые магнитные состояния в кристаллах // УФН. 2005. Т. 175. С. 92.14. Binder К. Z. Thermodynamics of finite spin systems // Phys. B. 1981. N° 43. P. 119. 15. Binder K., Wang J-Sh. Spin glass: Experimental facts, theoretical concepts, and open questions//J. Stat. Phys. 1989. N° 55. P. 87.16. Kawamura H. J. Monte Carlo Study of Chiral Criticality - XY and Heisenberg Stacked-Triangular Antiferromagnets // J. Phys. Soc. Jap. 1992. N° 61. P. 1299.17. Mailhot A., Plumer M. L, CailleA. Tricritical behavior of the frustrated XY antiferromagnet// Phys. Rev. B. 1994-11. N° 50. P. 6854.18. Malakis A., Kalozoumis P., Tyraskis N. Monte Carlo studies of the square Ising model with next-nearest-neighbor interactions// Eur. Phys. J. B. 2006. N° 50. P. 63.19. Mitsutake A., Sugita Y., Okamoto Y. Generalized-Ensemble Algorithms for Molecular Simulations of Biopolimers // Biopolymers (Peptide Science). 2001. N° 60. P. 96.20. MurtazaevA. K., Ramazanov M. K. Critical properties of the three-dimensional frustrated Heisenberg model on a layered-triangular lattice with variable interplane exchange interaction // Phys. Rev. B. 2007. N° 76. P. 174421. 21. Peczak P., FerrenbergA. M., Landau D. P. High-accuracy Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys. Rev. B. 1991. N°. 43. P. 6087. 22. Pelissetto A., Rossi P., Vicari E. Critical exponents in frustrated spin models with noncollinear order// Phys. Rev. B. 2001. N° 65. P. 020403(R). 23. Yin Junqi and Landau D. P. Phase diagram and critical behavior of the square-lattice Ising model with competing nearest- and next-nearest-neighbor interactions // arXiv: 0909.4000. V. 1 [cond-mat.stat-mech], 2009.

Статья поступила в редакцию 29.05.2010 г.

Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 10-02-00130) и грантом ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.