Об одновременном продолжении регулярных однородных ортогонально аддитивных полиномов

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 4, С. 28-34

УДК 517.98

ОБ ОДНОВРЕМЕННОМ ПРОДОЛЖЕНИИ РЕГУЛЯРНЫХ ОДНОРОДНЫХ ОРТОГОНАЛЬНО АДДИТИВНЫХ ПОЛИНОМОВ1

З. А. Кусраева

В работе устанавливается существование «одновременного продолжения» регулярных ортогонально

аддитивных однородных полиномов. Дается также характеризация крайних продолжений положительного ортогонально аддитивного однородного полинома.

Ключевые слова: векторная решетка, однородный полином, положительный полилинейный оператор, регулярный полином, ортогональная аддитивность, крайние продолжения.

Полиномы от бесконечного числа переменных или полиномы в бесконечномерных пространствах встречаются в математических исследованиях уже более ста лет, см. [1, §1.5]. Однако, несмотря на то, что область определения полинома часто является векторной или банаховой решеткой, порядковые свойства полиномов стали привлекать внимание совсем недавно (см., например, [2-9]).

В настоящей заметке рассматривается вопрос о продолжении однородных ортогонально аддитивных полиномов, действующих в векторных решетках. В [7, теорема 14] установлена теорема Канторовича о продолжении для однородных положительных полиномов, т. е. возможность продолжения однородного положительного полинома с мажорирующей подрешетки на всю векторную решетку с сохранением положительности и однородности. Если рассматриваемый положительный полином ортогонально аддитивен, то его положительное продолжение можно выбрать также ортогонально аддитивным. Однако имеет место более сильное утверждение: будет установлено (теорема 4) существование «одновременного продолжения» регулярных ортогонально аддитивных однородных полиномов. Кроме того, дается характеризация крайних продолжений положительного ортогонально аддитивного однородного полинома (теорема 6).

Необходимые сведения имеются в книгах [1, 10]. Всюду ниже Е, Р и О — архимедовы вещественные векторные решетки.

1. Зафиксируем терминологию и обозначения. Прежде всего введем нужные нам классы полиномов.

Пусть з Є N. Отображение Р : Е ^ Р называется однородным полиномом степени з (или з-однородным полиномом), если существует з-линейный оператор р : Е5 ^ Р такой, что

Р(х) = р(х,...,х) (х Є Е).

При этом полилинейный оператор р называют порождающим для Р. Для каждого однородного полинома существует лишь один симметричный порождающий оператор. Однородный полином Р : Е ^ Р называют ортогонально аддитивным, если |х| Л |у| = 0 влечет Р(х + у) = Р(х) + Р(у) для любых х,у Є Е.

© 2011 Кусраева 3. А.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,

проект № 09-01-00442.

Полилинейный оператор р : Es ^ F называется ортосимметричным, если р(ж1,...,ж5) = 0, как только |ж*| Л |Жj| = 0 для некоторых 1 ^ i,j ^ s, i = j, положительным, если р(ж1,... ,xs) ^ 0 для любых 0 ^ ж1,... ,xs £ E, и орторегулярным, если он представим в виде разности двух положительных ортосимметричных операторов.

Разностный оператор Ak, k £ N, определяется рекурсией по k:

A1P(ж; h1) = P(ж + h1) — P(ж),

AkP (ж, h ,...,hk) = A1 (Ak-1P (; h,..., hk-1)) (ж; hk), где ж, h1;..., hk £ E.

Пусть A — множество всех функций 5 : {1,...,k} ^ {0,1} и 5 + обозначает число элементов в множестве 5-1 (1). Справедлива поляризационная формула:

AkP

5eA

Порождающий полилинейный оператором р произвольного s-однородного полинома P может быть восстановлен по формуле

p

Однородный полином P : E ^ F степени s называют положительным, если AsP(ж, h1,..., hk) ^ 0 для всех ж, hj £ E+, и регулярным, если он представим в виде разности двух s-однородных положительных полиномов. Можно показать, что полином положителен тогда и только только тогда, когда положителен порождающий его полилинейный оператор (см. [7, теорема 14]).

Обозначим через р»(sE, F) и POa(sE, F) пространство s-однородных ортогонально аддитивных полиномов из E в F порядково ограниченных и регулярных соответственно. Как видно, P0a(sE, F) С Pa(sE, F), причем оба пространства упорядочены конусом положительных полиномов, т. е. P1 ^ P2 означает, что полином P1 — P2 положителен. Пусть L~(sE, F) и L0(sE, F) обозначают соответственно пространства порядково ограниченных s-линейных ортосимметричных операторов и s-линейных орторегулярных операторов из Es в F. Оба эти пространства упорядочены посредством конуса положительных s-линейных ортосимметричных операторов.

2. Сформулируем теперь необходимые в дальнейшем вспомогательные результаты.

Лемма 1. Пусть Q — компакт, а E — равномерно плотная подрешетка C(Q). Тогда порядково ограниченный ортогонально аддитивный s-однородный полином Po из E в равномерно полную векторную решетку G допускает единственное продолжение до порядково ограниченного ортогонально аддитивного s-однородного полинома P : C(Q) ^ G.

< Можно предположить, что функция 1, тождественно равная 1 на Q, лежит в E. Заметим, что по условию Po([—1, 1 ]) С [—g,g] для некоторого g £ G+. Таким образом, |P0(ж)| ^ #||ж||те для всех ж £ E. Пусть Gg — порядковый идеал в G, порожденный элементом g, с нормой ||u||g := inf {А : |u| ^ Ад}. Тогда ||Po (ж) ^ ||ж||те, поэтому

Po непрерывен в нуле, а значит и локально равномерно непрерывен из E в Gg (см. [1, Предложение 1.11]). Отсюда видно, что продолжение P по непрерывности полинома Po существует, единственно и удовлетворяет указанным в формулировке леммы свойствам.

Возьмем неотрицательные дизъюнктные функции ж, у £ С(ф). Для произвольного е > 0 можно подобрать же £ Е так, что ||ж — (е/2)1 — же||те < е/2. Тогда ж — е1 ^ же ^ ж и (ж — е1)+ ^ ж+ ^ ж, откуда выводим ж — же ^ ж — (ж — е1)+ ^ 1. Таким

образом, последовательность (жп), жп := ж+/п, содержится в Е+, возрастает и равномерно сходится к ж. Из тех же соображений можно найти возрастающую последовательность (уп) С Е+, сходящуюся равномерно к у. Так как по условию Ро ортогонально аддитивен, то Ро (жп + уп) = Ро (жп) + Ро(уп). Предельный переход в этом равенстве приводит к ортогональной аддитивности Р. >

Лемма 2. Пусть Р — банахово пространство, а ф — компакт. Тогда для любого ограниченного в-однородного ортогонально аддитивного полинома Р : С (ф) ^ Р существует порядково ограниченный линейный оператор Т : С (ф) ^ Р такой, что

Р

< Этот факт является частным случаем [5, теорема 2.3]. >

Следствие 1. Порядково ограниченный в-однородный полином ортогонально аддитивен в том и только в том случае, когда порождающий его полилинейный оператор ортосимметричен.

< Рассмотрим ортогонально аддитивный в-однородный полином Р : Е ^ Р и пусть р : Е5 ^ Р — порождающий его в-линейный оператор. Из поляризационной формулы (1) вытекает, что Р порядково ограничен тогда и только тогда, когда р порядково ограничен (см. [9, предложение 1]). Возьмем ж1,... ,ж5 £ Е и обозначим символом Ео порядковый идеал в Е, порожденный элементом ео := |ж11 + ... + |ж5|. Пусть Ро и ро — ограничения Р и р на Ео и Ео соответственно. Заметим, что Ро и ро обладают теми же свойствами, что и Р и р. В силу теоремы Крейнов — Какутани мы можем рассматривать Ео как равномерно плотную подрешетку в С(ф) для некоторого компакта ф. Применив леммы 1 и 2, найдем такой порядково ограниченный линейный оператор Т : С(ф) ^ Р, что имеет место представление (3). Непосредственный подсчет с применением формулы (2) показывает, что

р

Отсюда видно, что такой р ортосимметричен. Обратное очевидно. >

Следствие 2. Порядково ограниченный в-линейный оператор р : Е5 ^ Р ортосим-метриченв том и только в том случае, когда для любых ж1,... ,ж5 £ Е из |ж1|Л.. .Л|ж5| = 0 следует р(ж1,..., ж5) = 0.

< Достаточность очевидна. Необходимость вытекает из представления (4): если |ж11 Л ... Л |ж5| = 0, то ж1 ... ж5 = 0, поэтому р(ж1,... ,ж5) = Т(0) =0. >

Лемма 3. Упорядоченные векторные пространства РОа(5Е, Р) и Р~(5Е, Р), а также Р<за(5Е, Р) и РО(5Е, Р) попарно изоморфны. Если Р порядково полна, то ра(5Е, С) — порядково полная векторная решетка совпадающая с РОа(5Е, С).

< Первое утверждение следует из леммы 1. Но тогда верно и второе утверждение, поскольку Р~(5Е, Р) является К-пространством и совпадает с РО(5Е, Р) в силу [11, следствие 2.6]. >

3. в-линейный оператор р : Е5 ^ Р называется решеточным в-морфизмом, если отображение ж* ^ р(ж1,..., ж*,..., ж5) (ж* £ Е*) есть решеточный гомоморфизм для каждого I = 1,..., в.

Пусть Е — архимедова векторная решетка и 1 < в £ N. В работе [12] установлено, что существует единственная с точностью до изоморфизма пара (Е0а, ©5), удовлетворяющая следующим трем условиям:

(1) Е50 — векторная решетка;

(2) ©5 : Е5 ^ Е50 — симметричный решеточный в-морфизм;

(3) для любой архимедовой векторной решетки Р и любого симметричного решеточного в-морфизма р : Е5 ^ Р существует единственный решеточный гомоморфизм 5 : Е50 ^ Р такой, что 5 о ©5 = р.

Векторную решетку Е50 называют в-ой степенью решетки Е, а решеточный гомоморфизм ©5 — каноническим в-морфизмом.

Рассмотрим функции : Ж ^ Ж и : Ж5 ^ Ж, определяемые формулами $5(£) := £|£|5-1, Л(^,..., £5) := ^-1(^1 .. .£5) и положим по определению ста(£,п) := (£5 + и5)1/5 := ^^Т1^^) + $5(н)) (£,н,^,... ,£5 £ Ж). Как видно, и непрерывны и положительно однородны, значит в Е корректно определены элементы /5(ж1,...,ж5) и ст5(ж,у) для любых ж, у,ж1 ,...,ж5 £ Е. Пусть ж ф у := ст5(ж,у) и £ © ж := #-1(£)ж, а ^ обозначает отношение порядка в Е. Тогда (Е, ф, ©, ^) и есть в-ая степень Е с каноническим в-мор-физмом (см. [12, теорема 5.1]).

Лемма 4. Если Е — равномерно полная векторная решетка, то существует ортогонально аддитивный порядковый изоморфизм из Е на Е50 такой, что 15(—ж) = — 15(ж),

11(ж)| = 1(|ж|) (ж £ Е) и

1-1

< В качестве 1 следует взять тождественный оператор в Е, рассматриваемый как оператор из (Е, +, , ^) в (Е, ф, © , ^). Тогда соотношение (5) равносильно определению ж ф у = (£5 + и5)1/5. >

Лемма 5. Если С — подрешетка Е и — канонический в-морфизм степени С50, то существует инъективный решеточный гомоморфизм Н : С50 ^ Е50 такой, что Н(ж1 @ ... @ ж5) = ж1 © ... © ж5 . Таким образом, С50 и можно рассматривать как подрешетку в Е50 и ограничение ©5 на С5 соответственно. При этом, если С — мажорирующая подрешетка в Е, то С50 — мажорирующая подрешетка в Е50.

< В случае в = 2 эта лемма была доказана в [13, теорема 2.7]. Общий случай рассматривается аналогично с привлечением [14, п. 2 (а,Ь)] вместо [15, теорема 4.2]. >

Следующий результат, дающий универсальную характеризацию степени векторной решетки, получен в [12, теорема 3.3].

Теорема 1. Пусть Е и Р — векторные решетки, причем Р равномерно полна. Тогда для любого в-линейного орторегулярного оператора р : Е5 ^ Р существует единственный линейный регулярный оператор 5 := : Е50 ^ Р такой, что

р(ж1,... ,ж5) = 5^(ж1,© ...,©ж5) (ж1,... ,ж5 £ Е).

Более того, соответствие р ^ представляет собой изоморфизм упорядоченных векторных пространств РО(5Е, Р) и Рг (Е50, Р).

Теорема 2. Пусть Е, Р — векторные решетки, причем Р равномерно полна. Тогда для любого регулярного ортогонально аддитивного в-однородного полинома Р : Е ^ Р существует единственный регулярный линейный оператор 5 := : Е0к ^ Р такой, что

Р

где ж50 := (ж,..., ж) := ж 0 ... 0 х. Соответствие Р ^ Бр является изоморфизмом

5-раз

упорядоченных векторных пространств РОа(5Е, Р) и Рг (Е05, Р).

< В силу леммы 3 и теоремы 1 имеют место изоморфизмы упорядоченных векторных пространств: Р0а(5Е, Е) ~ Ь^(5Е, Е) ~ Ьг(Е50,Е). >

4. Пусть Е, Е и О — векторные решетки, причем О — мажорирующая подрешетка Е. Обозначим символом Ее оператор представления из теоремы 2, устанавливающий изоморфизм между Роа(5Е, Е) и Ьг(Е50,Е). Тогда (6) запишется в виде Рж = Ее(Р)(ж50). Аналогично определяется оператор Ес : РО(5О,Е) ^ ЬГ(О50,Е). Пусть и Мр обозначают операторы ограничения линейных операторов и полиномов из ЬГ(Е50, Е) в Ьг(О50,Е) и из Р0а(5Е, Е) в Р0а(5О,Е) соответственно, действующие по правилам Т ^ Т|с«0 и Р ^ Р|с.

Лемма 6. Имеет место следующее равенство

Мр = Е-1 о М о Ее.

< Пусть і — тождественное вложение О в Е. В силу леммы 5 имеется вложение Н : О50 ^ Е50, которое также будем считать тождественным. Тогда Мр(Р) = Р о і и

(5) = 5 о Н для любых Р Є Р0а(5Е, Е) и 5 Є Ьг(Е50,Е). Далее, учитывая равенства Рж = Ее(Р)(ж50) и (Р о і)ж = Ес(Р о і)(ж50), для ж Є О выводим

(Ес о Мр)(Р)ж50 = Ес (Р о і)ж50 = (Р о і)ж = Рж = Ее(Р)ж50 = (Ее(Р) о Н)ж50 = (Мг о Ее)(Р)ж50.

Таким образом, Ес о Мр = Мг о Ее, откуда следует требуемое. >

Теорема 3. Пусть Е — векторная решетка, О — мажорирующая векторная подрешетка в Е и Е — порядково полная векторная решетка. Тогда существует порядково непрерывный решеточный изоморфизм Е из ЬГ(О, Е) в Ьг (Е, Е) такой, что

М о Е =

< Этот факт установлен в [16]. >

Оператор Е называют оператором одновременного продолжения.

Теорема 4. Пусть О — мажорирующая подрешетка в Е и Е — порядково полная векторная решетка. Тогда существует одновременное продолжение в-однородных ортогонально аддитивных полиномов с О на Е, т. е. существует порядково непрерывный

решеточный гомоморфизм Е : Р0а(5О, Е) ^ Р0а(5Е, Е) такой, что

Мр о Е = I,

где I — тождественный оператор на Р0а(5О, Е).

< Оператор Е определим формулой Е = Е-1 о Е о Ес, где Е — оператор одновременного продолжения из теоремы 3. Как видно из теорем 2 и 3, Е порядково непрерывен, инъективен и сохраняет решеточные операции. Кроме того, привлекая лемму 6 и соотношения (7) и (8), легко проверить справедливость цепочки равенств:

Мр о Е = Е-1 о Мг о Ее о Е-1 о Е о Ес = Е-1 о (М о Е) о Ес = I. >

5. Рассмотрим теперь вопрос о характеризации крайних продолжений положительного ортогонально аддитивного полинома. Доказательство проводится редукцией к случаю линейных положительных операторов, т. е. к теореме Липецкого — Плахки — Томсена (см. [10, теорема 2.7]).

Теорема 5. Если F порядково полна и S £ L+(G, F) продолжает T £ L+(E, F), то S будет крайним продолжением оператора T тогда и только тогда, когда inf e6e S(|x + e|) = 0 для любого x £ G.

Аналогичный результат верен и для ортогонально аддитивных полиномов. Пусть P : G ^ F — положительный ортогонально аддитивный s-однородный полином. Обозначим символом E (P) множество всех положительных ортогонально аддитивных s-однородных продолжений P на все E. Тогда E(P) — непустое выпуклое множество. Крайние точки множества E (P) называют крайними продолжениями полинома P.

Теорема 6. Пусть E, F и G — векторные подрешетки, причем F порядково полна, E и G равномерно полны и G — подрешетка E. Предположим, что множество E (P) непусто для некоторого положительного ортогонально аддитивного s-однородного полинома P : E ^ F. Тогда полином P £ E (P) является крайним продолжением полинома P в том и только в том случае, когда для любого x £ E выполняется

inf {Р(| (xs + us)« I) : u £ G} = 0.

< Воспользуемся представлением 6. Пусть P : G ^ F — положительный ортого-

нально аддитивный s-однородный полином и Р £ E(P). В силу теоремы 2 соответствие Q ^ Sq является изоморфизмом между векторными решетками POa(sG, F) и Lr(G0, F),

а также P0a(sE, F) и Lr (E0, F). Кроме того, Q — продолжение Q в том и только в том

случае, когда Sq — продолжение Sq. Тем самым, соответствие Q ^ Sq осуществляет аффинную биекцию между множествами E(P) и E(Sp), следовательно, сохраняет крайние точки.

Итак, Р будет крайним продолжением P тогда и только тогда, когда S := Sp — крайнее продолжение Sp. Применим теорему 5: Р будет крайним продолжением P лишь в том случае, если inf{SQX + ё|) : ё £ G0} = 0 для любого X £ E0.

По лемме 4 есть биекция E на Es0 и G на Gs0, следовательно, можем переписать последнее условие в виде: inf{SQ^x + isu|) : u £ G} = 0 для любого x £ E. Остается заметить, что в силу леммы 4 и теоремы 2 имеем

г»:= (ж5 + us)s = + isu),

Замечание. Для положительного ортосимметричного билинейного оператора аналогичный результат получен в [11].

Литература

1. Dineen S. Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces.—Berlin: Springer, 1999.

2. Grecu B. C., Ryan R. A. Polynomials on Banach spaces with unconditional bases // Proc. Amer. Math. Soc.—2005.—Vol. 133, № 4.—P. 1083-1091.

3. Sundaresan K. Geometry of spaces of homogeneous polynomials on Banach lattices // Applied Geometry and Discrete Mathematics, DIMACS Ser. Discrete Math. Compute. Sci.—Providence (R.I.): Amer. Math. Soc., 1991.—P. 571—586.

4. Perez-Garcia D., Villanueva I. Orthogonally additive polynomials on spaces of continuous functions // J. Math. Anal. Appl.—2005.—Vol. 306, № 1.—P. 97-105.

5. Benyamini Y., Lassalle S., Llavona J. G. Homogeneous orthogonally additive polynomials on Banach lattices // Bull. London Math. Soc.—2006.—Vol. 38, № 3.—P. 459-469.

6. Carando D., Lassale S., Zalduendo I. Orthogonally additive polynomials over C(K) are measures — a short proof // Int. Eq. and Oper. Theory.—2006.—Vol. 56, № 4.—P. 597-602.

7. Loan J. Polynomials on Riesz spaces // J. Math. Anal. Appl.—2010.—Vol. 364.—P. 71-78.

8. Кусраева З. А. Однородные ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках // Мат. анализ и мат. моделирование: тр. междунар. конф. молодых ученых (Россия, Владикавказ, 12-19 июля 2010 г.).—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2010.—С. 100-101.

9. Кусраева З. А. О представлении ортогонально аддитивных полиномов // Сиб. мат. журн.—2011.— Т. 52, № 2.—C. 315-325.

10. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operatirs.—Orlando: Academic Press, 1985.

11. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О некоторых свойствах ортосимметричных билинейных операторов // Мат. форум. Т. 1. Исслед. по мат. анализу / отв. ред. Коробейник Ю. Ф., Кусраев А. Г.— Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2008.—С. 104-124.—

12. Boulabier K., Buskes G. Vector lattice powers: f-algebras and functional calculus // Communication in Algebra.—2006.—Vol. 34.—P. 1435-1442.

13. Buskes G., Kusraev A. G. Representation and extension of orthoregular bilinear operators // Vladikavkaz Math. J.—2007.—Vol. 9, № 1.—P. 16-29

14. Schep A. R. Factorization of positive multilinear maps // Illinois J. Math.—1984.—Vol. 28.—P. 579-591.

15. Fremlin D. H. Tensor product of Archimedean vector lattices // Amer. J. Math.—1972.—Vol. 94, № 3.—P. 777-798.

16. Кусраев А. Г. Об одном свойстве базы K-пространства и некоторых его применениях.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1977.—17 с. (Английский перевод: Orthosymmetric Bilinear Operators.—Vladikavkaz: Inst. of Appl. Math. and Informatics VCS RAS, 2007.—P. 27-34).

Статья поступила 10 октября 2010 г.

КУСРАЕВА ЗАЛИНА АНАТОЛЬЕВНА

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, стажер-исследователь лаб. теории операторов РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: zali13@mail.ru

ON EXTENSION OF REGULAR HOMOGENEOUS ORTHOGONALLY ADDITIVE POLYNOMIALS

Kusraeva Z. A.

A homogeneous polynomial is said to be positive if the generating symmetric multilinear operator is positive and regular if it is representable as the difference of two positive polynomials. A polynomial P is orthogonally additive if P(x + y) = P(x) + P(y) for disjoint x and y. Let POa(sE, F) and E(P) stand for the sets of all regular s-homogeneous orthogonally additive polynomials from E to F and of all positive orthogonally additive s-homogeneous extensions of a positive polynomial P G POa(sE, F). The following two theorems are the main results of the article. All vector lattices are assumed to be Archimedean. Theorem 4. Let G be a majorizing sublattice of a vector lattice E and F be a Dedekind complete vector lattice. Then there exists an order continuous lattice homomorphism E : POa(sG,F) ^ POa(sE,F) (a “simultaneous extension” operator) such that Rp oE = I, where I is the identity operator in POa(sG, F). Theorem 6. Let E, F and G be vector lattices with F Dedekind complete, E and G uniformly complete, G sublattice of E. Assume that the set E(P) is nonempty for a positive orthogonally additive s-homogeneous polynomial P : E ^ F. A polynomial P G E(P) is an extreme point of E(P) if and only if

inf {P(|(a;s+ws)i|) : u£ G) =0 (x G E).

Key words: vector lattice, homogeneous polynomial, positive multilinear operator, regular polynomial, orthogonal additivity, extreme extension.