О разрешимости нелокальных краевых задач для интегродифференциальных уравнений

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2018. Том 25, № 4

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Н. С. Попов

Аннотация. Исследуется разрешимость начально-краевой задачи для линейных интегродифференциальных уравнений с заданием на боковой границе условия, связывающего значения решения или конормальной производной решения со значениями некоторого интегрального оператора от решения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений. В последнее время активно изучаются нелокальные краевые задачи для параболических и гиперболических уравнений с интегральными условиями на боковой границе, но при этом в основном рассматривается лишь случай классических уравнений второго и четвертого порядков. Начало систематических исследований нелокальных краевых задач — задач нахождения периодических решений для эллиптических уравнений — было положено в статье А. В. Бицадзе и А. А. Самарского (1969). Отметим также исследования для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка с интегральным условием на боковой границе. Большой вклад в развитие теории нелокальных задач для дифференциальных уравнений различных классов внесли монографии А. Л. Скубачевского (1997) и А. М. Нахушева (2006, 2012).

Б01: 10.25587/8УРи.2018.100.20555

Ключевые слова: интегродифференциальное уравнение, пространство Соболева, начально-краевая задача, метод продолжения по параметру, априорная оценка, регулярное решение.

Введение

Общие нелокальные краевые задачи с условиями интегрального вида для некоторых классов нестационарных уравнений общего вида изучались в работах А. И. Кожанова [1]. Одним из источников задач с нелокальными интегральными условиями для классических уравнений явилась работа А. В. Лыкова [2], посвященная моделированию некоторых процессов тепло- и массообмена. В работах А. М. Нахушева [3, 4] была выявлена тесная связь нелокальных задач для таких уравнений с нагруженными уравнениями.

Таким образом, нелокальные краевые задачи, в частности, задачи с интегральными условиями, представляют собой новый класс задач для уравнений с

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания НИР на 2017-2019 гг. (проект 1.6069.2017/8.9).

© 2018 Попов Н. С.

частными производными. На этот класс не всегда напрямую переносятся методы:, использованные ранее при исследовании локальных краевых задач. Отметим также, что подобные задачи часто возникают при исследовании разрешимости линейных и нелинейных обратных коэффициентных задач для уравнений математической физики [5,6].

Нелокальные краевые задачи для параболических и гиперболических уравнений с интегральным условием на боковой границе активно изучаются в последнее время, но при этом в основном рассматривается лишь случай классических уравнений второго порядка (см. [7-10]). Отметим также исследования для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений с интегральным условием на боковой границе [11,12].

Постановка задачи

Пусть О — ограниченная область пространства К" с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q — цилиндр О х (0, Т) (0 < Т < Б = Г х (0,Т) — его боковая граница, /(х,.) — заданная в цилиндре (5 функция, щ(х) — заданная на множестве О функция, — заданная на

множестве [0,Т] функция, К^х, у,»), К2(х,у,») — функции, заданные при х €

Д у еД ге [о,т].

Краевая задача I. Найти функцию »(х,.), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

<

д /"

Ьи=—

о

такую, что для нее выполняются условия

»

о

(ж,t)еs

Краевая задача II. Найти функцию »(х,»), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1), такую, что для нее выполняется условие (2) и условие

д»

д^

х

(ж^ей1

,

(х,г)ев

о

где ^(х) = (^1,..., V") — вектор внутренней нормали к Г в текущей точке.

Разрешимость краевой задачи I

Из уравнения (1) получим

t

«(ОМ*,.)*/ «'(« - т (»(..г) * - Д. = / (М).

о

Отсюда при 4 = 0 с учетом условия (2) имеем нелокальную краевую задачу для определения ио(ж):

—Дио(ж) + N (0)ио(ж) = / (ж, 0), ио(ж)|хег = J К1(ж,у, 0)ио(у) ¿у

о

.

жег

Определим оператор М1 по формуле

(М1и)(ж, 4) = и(ж, 4) — J К1(ж, у, £)и(у, 4) ¿у. о

Условие на оператор М1: оператор М1 однозначно и непрерывно обратим как оператор из Ь2(О) в Ь2(О) при всех 4 € [0,Т] и существуют положительные постоянные т1, т2 такие, что выполняются неравенства

т1 /и2

о

при любых 4 € [0, Т] и и(ж, 4) € Ь2(^).

Пусть V = Ж2'о(д). Положим ЬМ1и(ж,4) — М1Ьи(ж,4) = Ф(ж,-£,и), ад = М1и. Имеем

Ф(ж,£,и)=У ДхК1(ж,у,4)и(у,4) ¿у — ^ К. (ж, у, 4)Дуи(у,£) ¿у. (7) оо Прежде чем доказывать разрешимость краевой задачи I, заметим, что для функций и(ж, 4) из пространства V, для которых выполняется условие (2), имеет

место следующее неравенство Пуанкаре:

* п *

I2 ¿ж^т — со ^^ / / ¿ж,

где со зависит от области О. Введем обозначения

Ро = тах j I (ДжК1) (ж,у,т) ¿ж^у, оо

Р| = тах / / К?(ж,у,т) ¿ж^у, с = тах .

оо

Теорема 1. Пусть выполняются условия (6), а также условия

еС^ИхОх [0,Т]), есЧо.т],

существует ¿о € (0; 1/2) такое, что

1 + 2АГ

¿о т1

1 > + ' /М <= Ь2(<Э).

¿о т1

Тогда краевая задача I имеет решение и(ж, Ь), принадлежащее пространству V, и это решение единственно.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию ад(ж, Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Ьад = д(ж,Ь) + Ф^ж^ад) (11) и удовлетворяющую условиям

ад

где

¿(ж, 0) — J К1(ж, у, 0)и(у, 0) ¿у = ио(ж) — J К1(ж,у, 0)ио(у) ¿у = ^о(ж),

и

о о

г-1.

Докажем, что при выполнении условий теоремы краевая задача (11), (12) разрешима в классе Ж = {г>(ж,Ь) : г>(ж, Ь) е V, ад(ж,Ь) = М1«(ж,Ь) е V} для любой функции д(ж,Ь) из пространства Воспользуемся методом продол-

жения по параметру. Именно, для чисел А из отрезка [0,1] определим семейство операторов {Ьд}: Ьдад = Ьад — АФ1(ж, Рассмотрим краевую задачу: найти

функцию ад(ж, Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

= д

при выполнении условий (12). Обозначим через Л множество тех чисел А из отрезка [0,1], для которых краевая задача (13), (12) разрешима в классе Ж для произвольной функции д(ж, Ь) из пространства Покажем, что множество

Л будет совпадать со всем отрезком [0,1]. Совпадение множества Л с отрезком [0,1], в свою очередь, означает разрешимость краевой задачи (11), (12) в требуемом классе.

Убедимся прежде всего, что множество Л непусто. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию ад(ж, Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения Ьад = д(ж, Ь) при выполнении условий (12).

Как следует из результатов работы [13], при выполнении условий теоремы эта задача имеет решение, принадлежащее пространству V.

Пусть ад(ж, Ь) есть решение краевой задачи (13), (12) из пространства V. Если имеет место априорная оценка в том же пространстве V, то задача разрешима при А е [0,1] (см. [14]).

Для получения априорной оценки умножим уравнение (13), записанное в переменных ж и т, на функцию ад—Аад и результат проинтегрируем по области О и по переменной т в пределах от 0 до Ь. Таким образом, преобразуем равенство t t J ! — Аад) ¿ж«т = ^ J (д + АФ1)(ад — Аад) ¿ж«т. о о о о

С помощью интегрирования по частям с учетом краевых условий (12) придем к равенству

п * * * (1+ N (0))£ / /(ад^ )2 ¿ж^т + / I (Дад)2 ¿ж^т + N (0) / / ад2 ¿ж^т

оо

оо

оо

* /г

+

У N'(т — СМж, С) ¿С I (^ — Дад) ¿ж^т

о о о

Рассмотрим оценку интеграла

* /г

оо

Имеем

о о о

* /г

/N — «»(.Оф — ДИ) ^ = Л +

о о о

о о о

/ N'(т — С)^(ж, С) ¿С I ^(ж, т) ¿ж^т

о )

/N'(т — СМж'С) 'С)Дад(ж'т) ^

— с1Т / / ад2 ¿ж^т,

оо

— / / ад2, ¿ж^т.

оо

Для получения априорной оценки из равенства (14) рассмотрим

Ф1 • (ад — Дад) ¿ж^т = 11 + /2,

оо

где Ф1 задается равенством (7).

Рассмотрим оценку интеграла /1 от Ф(ж,4, и) вида *

J J ДЖК1(ж,у,т)и(у,т) ¿у^ (ад — Дад) ¿ж^т

о о о *

— уу ^ у (ДжК1)2(ж,у,т) ¿^^уи2(у,т) ¿у) |ад — Дад| ¿ж^т о о о о

< У У У (ад - Дад)2 ЛхЛт оо

*

У У ^У (^хК1)2(х,у,т) ^У^У и2(у,т) д'У^ ^хйт

+

о о о

*

*

*

4

*

2

*

г г

- Лад)2 + ^ / I и2{у,т)с1ус!т.

о о о о

Продолжая (18), с учетом неравенства (6) получим г

J ! ! АхК1(ж,у,т)и(у,т) ¿у^ (ад — Аад) ¿жйт

о о о

Ро

< ¿0' I I [К + ^хйт + I I ии

оо

оо

Рассмотрим оценку интеграла 12 в (17):

г

J ! ! К1(ж,у,т)Ауи(у,т) ¿у^ (ад — Аад) ¿ж<«т

о о о

г

< ¿0 / /+ ^ + 2^2 / /((у>т) (2°) о о 1 о

оо

Зафиксируем ¿о € (0, и потребуем выполнения неравенств (10), которые, очевидно, выполняются при заданных малых со, с1, К1(ж, у, Ь). Применяя полученные неравенства для , ^ и неравенство Юнга в равенстве (14), приходим к априорной оценке

оо

+ 52 ^ + (Аад)2

¿жйт < Ко J ! д2

оо

с положительной постоянной Ко, определяемой лишь функцией N(Ь), числом Т, а также областью О.

Очевидно, аналогичная оценка имеет место и для функции и(ж,Ь):

с положительными постоянными К1, К2, определяемыми теми же величинами, которыми определяются постоянные Ко.

Из оценок (21), (22) следует открытость и замкнутость множества Л (см. [10,14]). Следовательно, краевая задача (11), (12) разрешима в классе Ж.

Положим д = М1/. Повторяя рассуждения из [13], получим, что функция и = М-1ад будет решением краевой задачи I из требуемого пространства.

Единственность решений очевидна: она вытекает, например, из неравенства (22). Теорема доказана.

г

г

г

г

2

ад

Разрешимость краевой задачи II

Пусть Кч{х,у,Ь) — функция, определенная на множестве О х О и такая, что при (ж, у, 4) € 2 = (Г х Г х (0,Т)) выполняются равенства

дК3{х,у,г)

дф) =к&>уЛ

где переменные у, 4 являются параметрами. С помощью функции Кз(ж, у,4) определим оператор Ш\ и функцию Ф(ж,£, и) по формулам

(М1и)(ж, 4) = и(ж, 4) — J Кз(ж, у, 4)и(у, 4) ¿у, о

Ф(ж, Ь, и) = ЬМ1и(х, 4) — М1Ьи(ж, 4). Значение оператора М1 на функции и(ж, 4) будем обозначать через г? = М1и(ж, 4). Определим начальную функцию гй(ж, 0) = (ж):

г^ж) = ио(ж) — | Кз(ж,у, 0)ио(у) ¿у. о

Оператор М1 однозначно и непрерывно обратим как оператор из Ь0(О) в Ь0(О) при всех 4 € [0, Т], и существуют положительные постоянные тз, ТО4 такие, что выполняются неравенства

тз / »0

о о о при любых 4 € [0, Т] и и(ж, 4) € £о(Ф). Как и выше, введем обозначения

= шах / /

*е[о,т ]У у ге[о,т ]У у

о о о о

Теорема 2. Пусть выполняются условия (24), а также условия

къ{х,у,г) еС2(ПхПх [о,т]), лт(г) еС2[о,т],

существует ¿о €

Тогда краевая задача II имеет решение и(ж, 4), принадлежащее пространству V, и это решение единственно.

Замечание. Условия малости на функции К1(ж,у,4), Кз(ж, у, 4) в теоремах 1, 2 можно заменить условием малости со и условиями обращения в нуль на границе:

КДж, у,4) = (ж,у,4)=0 (г = 1, 3) при у € Г.

В заданном уравнении (1) вместо оператора Лапласа можно рассмотреть общий эллиптический оператор 2-го порядка.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кожанов А. И. Задачи с условиями интегрального вида для некоторых классов нестационарных уравнений // Докл. АН. 2014. Т. 457, №2. С. 152-156.

2. Лыков А. В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло-массообмена // Инж.-физ. журн. 1965. Т. 9, №3. С. 287-304.

3. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

4. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012.

5. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, №6. С. 840-853.

6. Телешева Л. А. О разрешимости линейной обратной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, №2. С. 186-196.

7. Fridman A. Monotone decay of solutions of parabolic equations with nonlocal boundary conditions // Q. Appl. Math. 1986. V. 44, N 3. P. 401-407.

8. Кожанов А. И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений // Вестн. Самар. гос. тех. ун-та. 2004. №30. С. 63-69.

9. Абдрахманов А. М., Кожанов А. И. Задача со смещением для уравнений в частных производных // Изв. вузов. Математика. 2007. №5. С. 3-12.

10. Кожанов А. И. Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, №9. С. 1116-1172.

11. Попов Н. С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдопараболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, №1. С. 82-95.

12. Попов Н. С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдогиперболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, №2. С. 69-80.

13. Кожанов А. И. Краевые задачи для одного класса нелокальных интегро-дифференциаль-ных уравнений с вырождением // Вестн. Самар. ун-та. Естественнонауч. сер. 2017. Т. 23, № 4. С. 19-24.

14. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

Поступила в редакцию 30 июля 2018 г. После доработки 14 сентября 2018 г. Принята к публикации 13 ноября 2018 г.

Попов Николай Сергеевич

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова,

Институт математики и информатики,

кафедра математического анализа,

ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000

popovnserg@mail.ru

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2018. Том 25, № 4

UDC 517.946

ON SOLVABILITY OF NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS N. S. Popov

Abstract: We study the solvability of the initial-boundary value problem for linear integro-differential equations with a lateral boundary condition correlating values of the solution or its conormal derivative with values of some integral operator on the solution. We prove existence and uniqueness theorems for regular solutions. Recently, nonlocal boundary value problems for parabolic and hyperbolic equations with integral conditions on the lateral boundary are intensively studied, primarily in the classical case of second-and fourth-order equations. The systematic study of nonlocal boundary value problems, the problems of finding periodic solutions to elliptic equations, began in the article by A. V. Bitsadze and A. A. Samarskii (1969). A great contribution to the development of the theory of nonlocal problems for differential equations of various classes was made by A. L. Skubachevsky (1997) and A. M. Nakhushev (2006, 2012).

DOI: 10.25587/SVFU.2018.100.20555

Keywords: integro-differential equation, Sobolev space, initial-boundary value problem, parameter continuation method, a priori estimates, regular solution.

REFERENCES

1. Kozhanov A. I., "Problems with integral-type conditions for some classes of nonstationary equations," Dokl. Math., 90, No. 1, 440-443 (2014).

2. Lykov A. V., "The application of methods of thermodynamics of irreversible processes to the study of heat-mass transfer," Eng. Phys. J., 9, No. 3, 287-304 (1965).

3. Nakhushev A. M., Problems with Displacement for Equations in Partial Derivatives [in Russian], Nauka, Moscow (2006).

4. Nakhushev A. M., Loaded Equations and Their Application [in Russian], Nauka, Moscow (2012).

5. Kozhanov A. I., "A nonlinear loaded parabolic equation and a related inverse problem," Math. Notes, 76, No. 6, 784-795 (2004).

6. Telesheva L. A., "On the solvability of the linear inverse problem for a higher order parabolic equation," Mat. Zametki YAGU, 20, No. 2, 186-196 (2013).

7. Fridman A., "Monotone decay of solutions of parabolic equations with nonlocal boundary conditions," Q. Appl. Math., 44, No. 3, 401-407 (1986).

8. Kozhanov A. I., "About solvability of a boundary problem with nonlocal boundary condition for linear parabolic equations," Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., No. 30, 63-69 (2004).

9. Abdrahmanov A. M. and Kozhanov A. I., "A problem with a nonlocal boundary condition for one class of odd-order equations," Russ. Math., 51, No. 5, 1-10 (2007).

10. Kozhanov A. I. and Pulkina L. S., "On the solvability of boundary value problems with a nonlocal boundary condition of an integral form for the multidimensional hyperbolic equations," Differ. Equ., 42, No. 9, 1233-1246 (2006).

© 2018 N. S. Popov

11. Popov N. S., "On the solvability of boundary value problems for multidimensional pseudopa-rabolic equations with nonlocal boundary condition of integral type," Mat. Zametki YAGU, 19, No. 1, 82-95 (2012).

12. Popov N. S., "On the solvability of boundary value problems for multidimensional pseudo-hyperbolic equations with a nonlocal boundary condition of integral type," Mat. Zametki SVFU, 21, No. 2, 69-80 (2014).

13. Kozhanov A. I., "Boundary value problems for a class of nonlocal integro-differential equations with degeneracy," Vestn. Samar. Gos. Univ., Estestvennonauchn. Ser., 23, No. 4, 19-24 (2017).

14. Trenogin V. A., Functional Analysis [in Russian], Nauka, Moscow (1980).

Submitted July 30, 2018 Revised September 14, 2018 Accepted November 13, 2018

Nikolay S. Popov

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia popovnserg@mail.ru