Вариант построения метрического тензора для описания состояний информационных сетей

УДК 621.391

ВАРИАНТ ПОСТРОЕНИЯ МЕТРИЧЕСКОГО ТЕНЗОРА ДЛЯ ОПИСАНИЯ СОСТОЯНИЙ ИНФОРМАЦИОННЫХ СЕТЕЙ

© И.И. Пасечников, С.А. Григоренко

Ключевые слова: тензорная ортогональная модель информационной сети; метрический тензор информационной сети; нагруженная информационная сеть; локальное пространство маршрутизации; компоненты метрического тензора информационной сети.

Рассмотрен подход к описанию метрического тензора для информационных (телекоммуникационных) нагруженных сетей, одновременно учитывающий представление метрики в окрестности точки состояния сети и ее ортогональную тензорную модель, построенную на основе тензорной методологии Г. Крона.

Под нагруженным состоянием информационной сети (ИС) будем понимать такое ее состояние, когда по каналам связи (КС) осуществляется непрерывная передача пакетов, а устройства накопления (УН) в узлах коммутации (УК) имеют ненулевые значения количества ожидаемых передачи пакетов. В общем случае, в качестве элементов модели ИС можно рассматривать объединенные КС и УН в одноканальную систему (ОС), которая широко используется при исследованиях ИС на основе применения теории систем массового обслуживания [1]. Таким образом, нагруженное состояние ИС характеризуется ненулевыми значениями количества передаваемой информации в ее элементах. В условиях высоких нагрузок стоит задача описания и корректного управления состоянием сети, которое, с одной стороны, поддерживает сеть в наибольшей информационной эффективности, с другой - отвечает требованиям функционального ее предназначения. В работе [2] показана модель построения метрических ИС, которая позволяет организовать и использовать процессы передачи информации и структурные преобразования в соответствии с формулой поведения. Особое место при этом занимает объект - метрический тензор.

Задача: определить компоненты метрического тензора нагруженной ИС с использованием особенностей ее тензорной ортогональной модели.

Вариант построения метрического тензора для ИС состоит в следующем: вначале определяются пространства состояний нагруженной ИС, на основе геометризации информационных процессов взаимодействия элементов сети выявляются особенности представления компонент метрического тензора; далее, с использованием тензорной ортогональной модели ИС [3] и определения различных типов потоков, осуществляется построение метрического тензора с общим описанием характеристик его компонент.

Состояние ИС можно представить абстрактной точкой в информационном пространстве -пространстве состояний сети, проекции которой на оси системы координат (СК) соответствуют реальным заполнениям элементов сети количеством информации. При фиксированном начале осей координат в общей точке метрического пространства и точки состояния ИС имеет место радиус-вектор г, длина которого определяет значение кибернетической мощности сети [3], а его компоненты - проекции на оси координат - реальные величины, соответствуют состояниям элементов сети. В связной ИС ее элементы (УН, КС) оказывают друг на друга информационное влияние, т. е. вносят взаимную энтропию (степень влияния зависит от реализации стека протоколов сети и от условий ее функционирования). Результат такого взаимного воздействия можно

1974

представить путем использования косоугольной системы координат, косинусы углов в которой и будут характеризовать эту зависимость. Особенности метрического пространства состояний КС и УН (а также ОС) рассмотрены в работе [3].

Так как пути в связной сети образуются из совокупности ОС (УН и КС), то путевое пространство можно рассматривать в виде вложенного в пространство состояний КС и УН (ОС при упрощенном рассмотрении) П -мерного подпространства, характеризующего количество информации, передаваемой по П линейно независимым путям. В этом случае состояния сети

могут быть описаны множеством всевозможных последовательностей вида (д1, ..., дП ), где

каждая отдельная последовательность (д1, ..., дП) есть точка криволинейного пространства, а

числа д1, ..., дП - координаты точек, значения которых количественно определяют загрузку

соответственно 1,..., П путей пакетами (точка д1, 1 = 1,..., П как бы погружена в охватываю-

щую ее область, которая характеризуется условием дифференцируемости в окрестности точки). Одновременно с П путевыми (внутрисетевыми) потоками существуют внешние потоки. Их число, очевидно, не превышает числа узлов коммутации и в предельном случае равно Сагё{п +1,..., т} = к . Исходя из этого, состояние ИС является функцией от информационной за-

~ 1 пп+1 т /1 пп+1 т\ -гт

грузки путей д ,..., д , д ,..., д , т. е. г(д ,..., д , д ,..., д ). Другими словами, координаты точки-состояния могут быть определены в т -мерном аффинном пространстве посредст-

~ 1 пп+1 т

вом криволинейных координат д , ... , д , д ,... , д , соответствующих вложенным в него П -

мерному подпространству путевых потоков и к -мерному подпространству внешних потоков:

значения количества пакетов в путевых и входных (выходных) потоках, характеризуются совокупностью состояний УН и КС:

Это означает, что существует функциональный переход от пространства, выраженного координатами КС и УН, к пространству путевых и внешних потоков (4) и обратно (3), что позволяет говорить о существовании однозначного взаимно обратного функционального преобразо-

х1

хт

Обратно, " + к - координаты криволинейного пространства д1, ..., д", д"+1, ..., дт - суть

д1

> для " путевых (транзитных) потоков,

д"

для к внешних потоков .

дт

вания. Так как г является вектор-функцией путевых переменных: г = г(д1,..., цп, дП+1,..., дт), то изменение г относительно аргументов д1 будет характеризоваться частными производными:

----Г, ', ------,-------г, •••,------- Ф 0.

ч дд дд" дд"+ ддт)

1975

Частная производная

дг

дд1

является касательным вектором к координатной линии д и через

совокупность состояний КС и УН характеризует изменения состояния сети, обусловленные на интервале рассмотрения приращениями количества пакетов в 1-м пути. Она обозначается вектором:

дг

дд1

і = 1,..., т .

В силу линейной независимости путей векторы г1 образуют касательную П -мерную евклидову плоскость в точке, условно Мо , с репером {Мо, Г1,..., гП} [4]. Согласно

пространством ТП маршрутизации [3].

Аналогично пространству состояний элементов сети, т. е. КС и УН, основываясь на скалярном произведении линейно независимых векторов г1,..., гп , ковариантный метрический тензор путевого пространства в окрестности точки нагруженного состояния сети можно представить:

" дху дху Я = г. г . = > --------:--------

у ' 1 дд' дд

где ху = хуеу (суммирование по мнимым индексам не производится) - состояние v-го элемента сети.

Приращение кибернетической мощности ИС (характеризующее изменение состояния сети в окрестности точки) определяется выражением:

йРИс = гіг2 = Я'1 ^

где %1 - линейные изменения (дифференциалы) относительно приращения количества информации в соответствующем 1-м пути. Окрестность точки состояния ИС с использованием кон-травариантных компонент для двухпутевого (п = 2) пространства приведена на рис. 1.

Рис. 1. Локальное пространство маршрутизации в окрестности точки состояния нагруженной ИС

1976

г

Рассмотрим теперь модельное отображение ИС на основе тензорной методологии Г. Крона [5], а именно тензорную ортогональную модель ИС [3], в которой взаимосвязь УН и КС в пространстве-структуре представляется горизонтальной и вертикальной подсетями (рис. 2).

Рис. 2. Представление связной сети ортогональной моделью: а) - граф связности ИС; б) - ортогональная модель ИС

т

1

Метрический тензор является мультитензором вида:

А В ... а Ь

§у

А

В

а

Ь

Яаа Яав Яаь

ёВА ёвв ёВа ёвь

§аА ёаВ ёаа ёаЬ

ёЬА ёЬВ §Ьа ёЬЬ

Согласно (7), каждая компонента метрического тензора (9) определяется скалярным произведением частных производных, которые, основываясь в рассматриваемом случае на структуре ортогональной модели сети, характеризуют различные информационные процессы. В модели (рис. 2б) величины X и у отождествляются с потоками замкнутых и разомкнутых цепей соответственно, при этом индекс т соответствует каналам (горизонтальным ветвям ортогональной модели), ] - узловым парам, т. е. вертикальным ветвям (обозначения не связаны с размерностью геометрических пространств). При определении компонент ковариантного метрического тензора будем использовать разновидности частных производных и их общую характеристику, приведенную в работе [3].

Так как ортогональная модель предполагает рассмотрение двух видов путевых потоков, а именно разомкнутых и замкнутых, то и соответствующие подпространства будут описываться метрическими тензорами этих пространств. Выбор того или иного тензора будет определяться методом расчета (контурным или узловым, в зависимости от используемых переменных). На основе описания частных производных [3], локальные (в окрестности точки состояния сети) пространства разомкнутых цепей можно описать метрическим тензором:

1977

В

А

В

вц = ;

в,

т у дх'’ дх* т у дх'’ дх'’ . т  у дх'’ дх'’ т у дх'’ дх'^

2-1 ду^А У=Л ду]А 2-1 ду^А У=1 ду]в 2-1 ду^А У = 1 дута 2-1 ду^А У=1 дуть

т у дх'’ дх'’ т у дх'’ дх'’ . т  у дх'’ дх'’ т у дх'’ дх*

2-1 ду!в У = Л ду]А 2-1 ду!в У=1 ду]в 2-1 ду!в У = 1 дута 2-1 ду!в У=1 дуть

т у дх'" дх'’ т у дхV дх'’ . т • у дxv дх'’ т у дх'’ дхи

2-1 дута У = Л ду1л 2-1 дута У=1 ду^в 2-1 дута У=1 дута 2-1 дута У=1 дутъ

т у дх'’ дх'’ т у дх'’ дх'’ . т  у дх'’ дх'’ т у дх* дх?

2-1 дуть У=1 ду]А 2-1 дуть У=1 ду]в 2-1 дуть У = 1 дута 2^ дуть У=1 дуть

Для пространства замкнутых путей метрический тензор имеет вид:

А В ... а Ь

А

В

дх'’ дх'’

дХ^А дХ^А

у=Л т ^ дх* дх'’

д^в у=Л дХ^А

т ^ дх* дх'’

¿идХш^ У— 1 дХ^А

т у дхV дх'’

2-1 дХть 17=1 дХ^А

1

У=1

т

I

у=1

т

I

у=1

т

I

дх'’ дх'’

дХ^А дХ^в дх'’ дх'’

дХ^в дЛ^в

дх'’ дх'’

дХта дХ!В дх'’ дх'’

дХть дХ^в

I

У = 1 т

I

у=1

т

I

у=1

т

I

дх'’ дх'’

дХ^А дХта дх'’ дх'’

дХ^в дХта

дх'’ дх'’

дХта дХта дх'’ дх'’

дХть дХта

х

У=1

т

I

у=1

т

I

у=1

т

I

дх'’ дх'’

дХ^А дХть дх'’ дх'’

дХ^в дХть

дх'’ дх'’

дХта дХтъ дх'’ дх'’

дХть дХтъ

.

.

Ь

в

Ь

В выражениях (10), (11) компоненты характеризуют особенности передачи информации, которые выражаются в виде коэффициентов и показывают степень взаимного влияния разных информационных процессов (табл. 1).

Таблица 1

Компоненты 8 , в, Описание влияния («^») информационных процессов взаимодействующих элементов сети

^/л/в Входной поток узла А ^ входной поток узла В

9]Ата Внешний поток узла А ^ внешний к каналу а поток

Зта]А Помехи в канале а ^ входной (выходной) поток узла А

9тать Влияние межканальных помех

Компоненты 8 г вт 4

9]а1в Внутриузловой поток А ^ внутриузловой поток В

9]А™.а Внутриузловой поток А ^ скорость передачи пакетов в КС а

9та]А Скорость передачи пакетов в КС а ^ внутриузловой поток А

дтать Скорость передачи пакетов в КС а ^ скорость передачи пакетов в КС Ь

1978

В работе приведен вариант построения метрического тензора для ортогональной модели ИС, представлены его компоненты, приведены общие характеристики взаимного влияния информационных процессов, соответствующие его компонентам.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петров М.Н. Исследование характеристик распределенных систем телекоммуникаций методом тензорного анализа и теории массового обслуживания: дис. ... д-ра техн. наук. Красноярск, 1998. 240 с.

2. Пасечников И.И. Анализ и методы повышения информационной эффективности телекоммуникационных систем и сетей: монография. Тамбов: Издат. дом ТГУ им. Г.Р. Державина, 2010. 118 с.

3. Пасечников И.И. Методология анализа и синтеза предельно нагруженных информационных сетей: монография. М.: «Машиностроение-1», 2004. 216 с.

4. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1964. 664с.

5. Крон Г. Тензорный анализ сетей / пер. с англ.; под ред. Л.Т. Кузина, П.Г. Кузнецова. М.: Сов. радио, 1978. 719 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.», государственный контракт № 14.740.11.0349.

Поступила в редакцию 10 сентября 2010 г.

Pasechnikov I.I., Grigorenko S.A. Variant of construction of metric tensor for the description of conditional of information networks

The article considers the approach to the description of a metric tensor for the information (telecommunication) loaded networks, simultaneously considering metrics representation in a vicinity of a condition point of a network and its orthogonal tensor model constructed on a basis of tensor methodology of G. Kron.

Ключевые слова: tensor orthogonal model of information network; metric tensor of information network; loaded information network; local space of routing; components of metric tensor of information network.

1979