Получение систем обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов тригонометрических рядов при моделировании течений газа

ПОЛУЧЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА Козлов П.А.

Козлов Петр Алексеевич - ассистент, кафедра естественнонаучных дисциплин, факультет управления процессами перевозок, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Уральский государственный университет путей сообщения, г. Екатеринбург

Аннотация: в статье рассматриваются модели течения вязкого теплопроводного газа, для моделирования которых могут применяться системы обыкновенных дифференциальных уравнений, сложность которых часто не позволяет записать их решение в аналитическом виде. В статье используется полная система уравнений Навье - Стокса, для решения которой используется метод представления искомых функций в виде разложения в тригонометрические ряды по пространственной переменной. Решение задачи может описывать сложные течения газа. Бесконечная система урезается до нужного конечного числа уравнений и гармоник, после чего решается численными методами.

Ключевые слова: газовая динамика, математическое моделирование, полная система уравнений Навье - Стокса.

Моделируются одномерные и двумерные течения сжимаемого газа с учетом его вязкости и теплопроводности с помощью построения приближенных решений полной системы уравнений Навье-Стокса. Рассматриваются несколько видов представления этой системы и осуществляется переход от одного представления системы к другим. В случае постоянных значений ц, к - коэффициентов вязкости и теплопроводности, а также равенства нулю второго (объемного) коэффициента вязкости: ц0 = 0 - полная система уравнений Навье-Стокса, являющаяся дифференциальной формой законов сохранения массы, импульса и энергии, имеет следующий вид [1]:

(Не + 7 . \7р + О (ИуУ = О, дь г г

< р[^+

,суР (^ + 7 + Ъ,Т йШ = йДТ + Ф (и, V),

где уравнения состояния газа записываются через плотность р и температуру Т: р

= р(р,Т), е = е(р,Т).

Тогда: = Ъ, = ^ ф р + Ъ^Т = Vp,

с„ =

де

,bj = р(р,Т) - р-

де{р,Т)

дт ; г др

В системе (1) и в уравнениях состояния: £ - время; х1, х2, х3 - декартовые пространственные независимые переменные; V = (р1,р2,р3) - вектор скорости газа с его проекциями на декартовые оси координат; р - давление; е - внутрення энергия. Последнее слагаемое в правой части последнего уравнения в системе (1) имеет вид

Ф(м^)=-/и

idv1 _ ду л + /¿>17, _ dv:,\ + /dv2 _ дглл \9хх дх2) \дхх дх3) \дх2 дх3)

+

fdv_i dv2y + idvi + 3f3y tdv2 Эу3У \дх2 дх-i) Vdx3 дх-i) Vdx3 dx2J

и называется диссипативной функцией. Это слагаемое определяет переход части кинетической энергии течения в тепловую из-за учета вязкости газа.

Система (1) имеет смешанный тип. Первое уравнение - уравнение неразрывности, являющееся дифференциальной формой закона сохранения массы - образует гиперболическую часть системы, так как определяет наличие в течениях теплопроводного сжимаемого газа слабого разрыва на контактной поверхности [2]. Второе (векторное) и третье - уравнения движения и энергии, передающие в дифференциальной форме законы сохранения соответственно импульса и энергии -составляют параболическую часть системы, так как соответствующим образом содержат вторые производные компонентов вектора скорости и температуры по пространственным переменным.

Получение систем обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов тригонометрических рядов осуществляется следующим образом. Рассматривается начально-краевая задача и представление ее решений тригонометрическими рядами в трехмерном случае.

Течения сжимаемого вязкого теплопроводного газа описываются решениями полной системы уравнений Навье-Стокса, которая в безразмерных переменных имеет следующий вид [3]:

8,. = —u8T — v8v

w8z + 8{ux + vy +wz); 1

ut =

-uuy

VUV

WU„

+ц08

+ Wxz) +

-Spx +

4

vt = —uvx — vvy — wvz--8py +

+ц08

- (uxy + wyz

) +

Y 3

^yy ^

wt = —uwY

VWV

WW.

xz + vyz) + wz

-Spz + + -(w

xx + wyy)];

vyz) 1 zz 1 ^ \vvxx 1 "yyj Vt = -Щ>х - VPy - wpz - yp(ux + Vy + Wz) + +K0p(<5xx + Syy + 8ZZ) + 2k 0(px8x + PySy + pz8z) +

+к0(5(pxx + pyy + pzz) + h0y(y ~ 1) x

X

Vy)2 + (ux - Wzf + (vy

w.

:)2] +

vyJ 1 \"-x vvzJ 1 \vy

+ 3 kuy + vx)2 +

где t - время; x = xx, у = x2, z = x3 - независимые пространственные переменные, для которых будут использоваться оба набора обозначений; 5 = 1 / р -удельный объем газа; р - плотность газа; V = (и, v , w) - вектор скорости газа с его проекциями на декартовые оси координат Оx±, Оx2, Оx3; р - давление; у = const > 1

28

- показатель политропы идеального газа с уравнениями состояния р = рТ, е = Т, также записанными в безразмерных переменных; Т - температура; е - внутренняя энергия; ц0, к0 - постоянные коэффициенты вязкости и теплопроводности. Решение системы (1) представляются в виде

з

S(t,xi,x2,x3) = 1 + S0(t) + ^ Sj(t,Xj);

i=i

u(t,x1,x2,x3) = 2]=1 Uj(t,Xj); v(t,x1,x2,x3) = £)=1 Vj(t,Xj);

з

wCt.Xi.Xz.Xg) = ^ Wj(t,Xj);

i=i

р

где

а значок / принимает значения 5, u, v, w, р.

В представлении (3) 50 ( t) , р0 ( t) , fj, к , q ( t) являются искомыми функциями, зависящими от времени, q = 1,2 . Значения индексов у коэффициентов fj, к, q (t) определяются следующим образом. Первый индекс j = 1, 2, 3 задает номер пространственной переменной, от которой зависит гармоника и перед которой стоит этот коэффициент . Значение второго индекса определяется

частотой гармоники, перед которой стоит данный коэффициент. Третий индекс q равен 1, если коэффициент стоит перед косинусом, и равен 2 - если перед синусом.

Для системы (2) начальные данные задаются в виде:

8\t=0 = 8°(x) =

= 1 + 50° + ^ ПГ [S}°k lcos(kXj) + S°k2sm(kXj)] ;

j = i Vfc=l )

u\t=0 = u°(x) = ^ ^ [uik,icos(kxj) + UjX2sm(kXj)] ;

j = i Vfc = l J

v\t=o = (x) = ^ ^ [vj°k,icos(kxj) + v°,k,2sinC/cx,)] ;

j = i Vfc=l )

w|t=o = w°(x) = ^ ^ [w;;/Cilcos(/«;) + w;;/Ci2sin(/«;)]|;

j = 1 Vfc=l J

р | t=0 = u 0

где , , , , , , - заданные константы такие, что

бесконечные тригонометрические ряды из (3.3) сходятся, , ,

1 ,2 , 3 ,.. ..

Решение задачи Коши (2), (4) при t — + со описывает процесс стабилизации трехмерного, периодического по пространственным переменным течения от начального неоднородного состояния (4) к состоянию однородного покоя.

В данной работе сходимость рядов из представлений (3) не исследуется и преобразования этих рядов делаются формально. Заметим, что в одномерном случае подобные ряды показали «машинную» сходимость.

Прежде чем переходить к построению бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для бесконечного числа искомых коэффициентов , , , , , , система (2) записывается в более

подробном виде, по уравнениям и с учетом таких вводимых обозначений: h (t,x i,x2,x3) = 1 + h 0 ( t) + h„ (t, x i,x 2 ,x3), (5) где

а значок h принимает значения S и р.

Первое уравнение системы

d2g

Из представлений (3) следует, что если j = q, то -—-— = 0 ,

ОхjuXq

поэтому второе уравнение системы (2) в случае (3) становится таким:

^XX

3- + uzz)] + [uxx + -

Третье уравнение системы (2) с учетом равенства нулю смешанных производных для представлений (3) имеет вид:

1 г 1

vt = -uvx - Wy - wvz - - [1 + s0(t)]py --S„py +

+Mo [1 + So

Также с учетом равенства нулю смешанных производных в случае (3) для четвертого уравнения системы (2) имеем:

.и -i[1 + So(0]pz-is,Pz +

+Mo [1 + S0

Последнее, пятое уравнение системы (2), в подробной записи такое:

Pt = -wpx - vpy - wpz - y[ 1 + Po

+ к0[1 + Po(t)](<5xx + <5yy + <5ZZ) + к0р„ (5XX + 5уу + Szz) + +2к0(рх<5х + PySy + pz<5z) + к0[1 + S0(t)](pxx + pyy + pzz) +

+к0<5«(рхх + Pyy + pzz) +

-

1) jj И ~ 2uxvy +v*+u2x- 2uxwz + wz2 + v2 - 2vywz + +wz2] + ^ [u2 + 2uyvx + vx2 + uz2 +2 uzwx+ wx2 + кг2+2 v zwy+ wy2,

и после приведения подобных в полученном уравнении окончательно имеем Vt = -ирх - vpy - wpz - YÍ1 + Po(t)](ux + Vy + wz) -

-7P.(ux + + wz) + +к0[1 + p0(t)](ôxx + 5yy + 5ZZ) + к oP,(<5xx + <5yy + Szz) +

+2к0(рх<5х + VySy + pA) + +к0[1 + S0(t)](pxx + pyy + pzz) + к05,(рхх + pyy + pzz) + +í"o7(J - + + wz - u*vy ~ uxWz ~ vywz] +

+ - [u2 + 2Uy Vx + V2 + u| + 2UzWx + W2 + Vz + 2VzWy + w2] j.

Далее проводится проецирование решения на бесконечномерный функциональный базис. Для того чтобы получить бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для зависящих только от времени искомых коэффициентов So (t) , po (t) , (t) (/ - S, u, v, w, р); j = 1 ,2 , 3 ; к = 1 ,2 ,.. .; q = 1 ,2 , представления (3) подставляются в уравнения (1) и каждое из этих уравнений проецируется на систему базисных функций. Это означает, что каждое уравнение (2) после подстановки в них представления (3) последовательно умножается на базисную функцию или на , ; и интегрируется по

переменным , , в кубе

(Ç): {[—7Г, тг] X [—71, 7Г] X [-7Г,7Г]}.

Кроме этого, уравнения (2) после подстановки в них представлений (3) интегрируются в кубе (Q) , то есть эти уравнения проецируются еще и на единицу. Первые уравнения (2) на единицу не проецируются, так как для искомых и, v, w отсутствуют слагаемые, не содержащие гармоники.

Полученная в результате система содержит двойные суммы. Чтобы принципиально уменьшить время счета, с помощью тождественно-аналитических преобразований, уравнения с двойными суммами сводятся к эквивалентным уравнениям без двойных сумм [4]. Такое представление позволяет отбросить бесконечное число гармоник в суммах и уравнений в системе, что, в свою очередь, позволяет создавать программы, считающие такие системы уравнений с нужной, заданной наперед, точностью.

Список литературы

1. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 2009. 368 с.

2. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

3. Баутин С.П. Одно представление периодических трехмерных нестационарных решений полной системы уравнений Навье-Стокса: препринт / С.П. Баутин. Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2015. 46 с.

4. Козлов П. А. Аналитическое построение и использование распараллеливания при численном построении приближенного решения начально-краевой для полной системы уравнений Навье-Стокса // Транспортная инфраструктура Сибирского региона: материалы Седьмой международной научно-практической конференции, посвященной 355-летию со дня основания города Иркутска, 29 марта - 1 апреля 2016 г. Иркутск: ИрГУПС, 2016. С. 349-353.

ОБСЛЕДОВАНИЕ ОПОР СТЕКЛОВАРЕННОЙ ПЕЧИ В ЦЕХЕ ЛИСТОВОГО СТЕКЛА СТЕКОЛЬНОГО ЗАВОДА «СИМВОЛ»

Г. КУРЛОВО Клещунова А.М.

Клещунова Анастасия Михайловна - магистр, направление: строительство, кафедра строительных конструкций, Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых, г. Владимир

Аннотация: в данной статье описывается порядок обследования кирпичных опор стекловаренной печи в цехе листового стекла стекольного завода «Символ» г. Курлово. Ключевые слова: стекловаренная печь, кирпичные опоры, реконструкция.

Проведение работ инициировано ООО «Символ» и вызвано планируемой реконструкцией и размещением в корпусе нового производства.

Обследование проводилось в соответствии с СП 13-102-2003 «Правила обследования несущих строительных конструкций зданий и сооружений».

Задачей обследования являлась оценка технического состояния строительных конструкций фундаментов печи, и проведение поверочных расчетов для определения возможности использования фундамента после реконструкции печи. Поставленная цель достигалась путем [1], [2]:

- сбора информации о здании и анализа имеющейся технической документации;