Особенности напряженного состояния упругого полупространства при нормальном погружении

7. Ветров, Ю.А. Трение между ножом и грунтом и липкость в процессе резания / Ю.А. Ветров // Сб. науч. тр. КИСИ,- Вып. 13,- Киев, 1959,-С. 147-169.

8. Фадеева, B.C. Формуемость пластичных дисперсных масс [Текст] : монография / B.C. Фадеева,— М.: Гос. изд-во лит-ры по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1961.— 128 с.

9. Ахматов, A.C. Молекулярная физика гранич-

ного трения [Текст]: монография / A.C. Ахматов— М. : Физматгиз, 1963,— 472 с.

10. Барабанщиков, Ю.Г. О влиянии нормальной нагрузки на коэффициент трения керамической массы [Текст] / Ю.Г. Барабанщиков // Механика композиционных материалов и конструкций,— 2004,- Т. 10. № 2,- С. 211-223.

11. Демкин, Н.Б. Фактическая площадь касания твердых поверхностей : монография / Н.Б. Демкин,- М. : Изд-во АН СССР, 1962,- 112 с.

УДК 624.1 5:536.3

И.В. Наумов

ОСОБЕННОСТИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ НОРМАЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ

Для проектирования домов и сооружений очень важно знать, как влияет форма и размеры фундаментов на напряженное состояние основания под ними. Простой тестовый расчет упругого полупространства под различными прямоугольными площадками нагружения при одинаковой их площади позволит определить картину изменения вертикальных и горизонтальных напряжений по глубине основания. Цель предлагаемой статьи — составить у читателя представление о более полной глобальной картине напряженного состояния бесконечного основания под прямоугольной площадкой и за ее пределами; дополнительно изучить влияние формы площадки на напряжения под ней. Примеров расчета напряженного состояния основания под площадкой нагружения много, а за пределами площадки — очень мало. Расчетов бесконечного основания за пределами площадки нагружения нет. Актуальный вопрос: какой объем основания брать при моделировании методом конечных элементов?

Под большими городами и промышленными энергетическими сооружениями происходит изменение естественных напряжений основания на больших глубинах [2]. Каждое сооружение вызывает изменение естественного напряженного состояния основания под ним и за его пределами. Следует выяснить на примере расчета упругого полупространства от нагружения прямоугольных площадок равномерно распре-

деленной нагрузкой, каковы напряжения и на какую глубину основания они распространяются.

Напряженное состояние на границе полупространства в задаче Буссинеска

Проанализируем формулу Буссинеска для определения горизонтальных напряжений на поверхности от действия сосредоточенной силы, приложенной купругому полупространству (см.

[5]):

tfv =-

2я

3jc2Z

2 2 г +rz- Z

'(2 r-z) P(r-z)~ r\r-zf

Г 2 2 2 где г = + у +z ,

На поверхности (приг = 0) формула принимает вид

2я

Р

2лг

-

1 2х

-

2х

Вычислим напряжения на оси ОХ, полагая у = 0. Получаем, что х = л и с нескрываемым удивлением обнаруживаем, что вся поверхность вне точки приложения нагрузки находится в ра-

стянутом состоянии! Равенство окажется таким:

2яг

> 0. Вместе с тем растяжение име-

ет место не только вдоль оси ОХ, но и вдоль оси 0КПрих = О, у = г

Р

аи = -

> 2я

-

1 2у

г2 г4

2пг

Самый простой и доступный эксперимент в теории упругости с использованием лаковых покрытий, описанный в работе [4], позволяет выявить наличие растягивающих напряжений на поверхности тела. Для этого достаточно поверхность резины покрыть лаком, нажать на нее тупым предметом (не острым), и в результате в месте приложения нагрузки резина получит вертикальное перемещение, а вне зоны действия силы появятся трещины на лакированной поверхности, что и является экспериментальным свидетельством действия растягивающих напряжений. Этот вопрос будет подробно рассматриваться далее. Расчет будет проводиться по общим формулам, которые представлены в следующем разделе.

Х2У2г

Х\ + Г22 +

(х2 + г2 )(г22+^

1 вд

—аг^ —, _+

Ф

Z^/X>2 + K22+Z2

X>2 + 712+2Z2

Ч т 'I

1

—агсЪ

3 Z.N/x22 + rl2+Z2

р_

2п

агсЛр

Х,У2

Z^/X12^22+Z2

-агс^

Л) У)

г - агс^ —, == +

^дДТ^!1^^ z.v/^22 + r22+z2

Расчеты напряжений под различными прямоугольными площадками нагружения

Расчеты напряжений получим по формулам, представленным ниже:

Г, X,

= I =

3

К X,

2 яг

ЪР_ 2п

X12+r22+2Z2

(( + z2)(r22 + + г2 + z2

ч

ххг

1 Х,У2 +-агс^—. -

3 ^^/Х,2 ^ Г22 + ^

X} + К2 + 2Z2

2

+ aгctg

zV^2+z2

(х2+^)У2 + к22+^

(( + z2 уx12 + r12+z2

_Х2Г27_

(х22+z2 )У22 + ^22+z2

Х2У\2

(х22+z2

X,

X

X,

-агсй—+ агс^а—- + агс^а—1 - агйе

У-

2

У-

2

У,

'V,

1 , Х,У, —агс^

3 ^''z•N/xl2 + K2+Z2

агйа

х.г

-ап^-

х2г

г-агсГ§-

у24Х2 + У2+^ у^х' + у'+г2

агйБ-

Х2Д

КЛХ22+7,2+Д2

^ = -

> 2я

aгctg

Д^х,2 + К22+Д2

-aгctg

Х2У2

Дл/Х22+722+Д2

-

Х,У,

Дл/Х,2 + К2+Д2

+

хм

Ф

Дл/Х22 + 7,2+Д2

Таблица 1

Вертикальные и горизонтальные напряжения (аг, ъх, Стороны площадки нагружения: А = 200 м, В = 200 м

стг, т/м2 т/м2 ст„, т/м2 Д м Номера точек

-20,01 -13,55 -13,55 -0,1 1

-20,00 -11,50 -11,50 -10 2

-19,90 -9,51 -9,51 -20 3

-19,65 -7,69 -7,69 -30 4

-19,22 -6,09 -6,09 -40 5

-18,61 -4,72 -4,72 -50 6

-17,84 -3,59 -3,59 -60 7

-16,96 -2,68 -2,68 -70 8

-16,00 -1,96 -1,96 -80 *9

-15,01 -1,40 -1,40 -90 10

-14,02 -0,96 -0,96 -100 11

-12,14 -0,38 -0,38 -120 12

-10,45 -0,04 -0,04 -140 13

-8,99 0,14 0,14 -160 14

-7,76 0,23 0,23 -180 15

-6,73 0,28 0,28 -200 16

-4,82 0,29 0,29 -250 17

-3,58 0,25 0,25 -300 18

-2,75 0,21 0,21 -350 19

-2,16 0,18 0,18 -400 20

-1,74 0,15 0,15 -450 21

-1,43 0,12 0,12 -500 22

-1,20 0,11 0,11 -550 23

-1,01 0,09 0,09 -600 24

ХхУ2г

(х2+г2)) + г?+г*

(( + z2 )) + к,2+д2

(х22+z2 + г,2+д2

-

агйЕ

-аг^— + аг^— + аг^—- агс1§—

Ху Ху Х2 Х2

г2г

-агс^-

ZK

-----— I-----

х2 + у2 + z2 Ху у/Ху2 + у2 +г

-

+

х2у[х:

22+722+^

zк

х2у[х

22+7,2+^

Эти формулы из работы [2] дополнены и преобразованы. В представленных ниже расчетах положение точек по глубине основания и номера точек, где считаются напряжения, приведены в табл. 1.

Площадка Ах В (рис. 1.) нагружена равномерно распределенной нагрузкой 20 т/м2. Коэффициент Пуассона принят равным 0,2. Координаты Ху, Х2, Г,, У2 определяют положение начала подвижной системы координат относительно сторон площадки нагружения.

Расчет напряжений производился для точек, находящихся в центре под площадкой нагружения.

На графиках по оси абсцисс через равные промежутки отмечены номера точек, где откладываются напряжения. Это вызывает небольшие изломы гладкого графика. Если строить график, откладывая по оси абсцисс глубину положения точек, то он становится слишком растянутым и громоздким, а важный участок кривой напряжений у поверхности полупространства стано-

Рис. 1. Прямоугольные площадки нагружения и системы координат

Рис. 2. Квадратная площадка нагружения

вится очень коротким. По результатам, представленным в табл. 1, построен график с использованием стандартной графической компьютерной программы. Обозначено: напряжения = а2, Хх=ох,Уу =ау.

Незначительные изменения формы площадки нагружения приводят к незначительному изменению вертикальных напряжений по глубине в центре под площадкой нагружения (см. табл. 1—4 и рис. 1—4). Однако если площадка будет иметь размеры В = 2000 м, А = 20 м, то на глубине 100 м а2 = —2,53 т/м2. Такая форма площадки нагружения вызывает уменьшение вертикальных напряжений в ее центре более чем в пять раз. В центре под площадкой нагружения вертикальные и горизонтальные напряжения — сжимающие примерно до 140 м. Далее возникают небольшие горизонтальные растягивающие напряжения.

Расчеты вертикальных напряжений показали лишь небольшое отличие от результатов, полученных по формуле В. Короткина [4].

В горизонтальном направлении на расстоянии 50 м от короткой стороны площадки (данные по центру короткой стороны площадки см. табл. 4) и на глубине 140 м максимальное вертикальное напряжение равно —2,20 т/м*. При удалении точки расчета от площадки нагружения на расстояние 100 м напряжения изменяются до -0,852 т/м2.

На глубинах более 130 м горизонтальные растягивающие напряжения охватывают большие объемы основания (см. приведенные в статье таблицы и графики).

Расчеты напряжений за областью нагружения

Следует уделить особое внимание растягивающим горизонтальным напряжениям, возникающим у поверхности упругого полупространства за пределами площадки нагружения. Исследуем величину и зону распространения этих напряжений в полупространстве. Расчет произведем для площадки со сторонами А = В = 200 м,

Рис. 3. Напряжения стг, стх, ау, для точек, находящихся в центре под площадкой

5,00 0,00 -5,00 -10,00 -15,00 -20,00 -25,00

Рис. 4. Напряжения стг, стх, ау. Точки находятся в центре под площадкой

Таблица 2

Напряжения аг, для площадки со сторонами В = 280 м, А = 142,46 м

Таблица 3

Напряжения az, ах, аг Стороны площадки нагружения: В = 360 м,А= 111м

ст, т/м2 ст^, т/м2 av, т/м2

-20,01 -15,87 -11,23

-19,99 -12,70 -9,83

-19,83 -9,74 -8,47

-19,45 -7,21 -7,20

-18,84 -5,16 -6,04

-18,04 -3,58 -5,01

-17,11 -2,40 -4,11

-16,11 -1,54 -3,34

-15,08 -0,92 -2,70

-14,07 -0,48 -2,15

-13,09 -0,17 -1,70

-11,30 0,19 -1,03

-9,74 0,36 -0,59

-8,41 0,42 -0,30

-7,30 0,44 -0,12

-6,36 0,42 0,00

-4,61 0,36 0,13

-3,46 0,29 0,16

-2,67 0,23 0,16

-2,11 0,19 0,14

-1,71 0,16 0,12

-1,41 0,13 0,11

-1,18 0,11 0,10

-1,00 0,09 0,08

ст, т/м2 т/м2 av, т/м2

-20,01 -17,13 -9,96

-19,96 -12,94 -8,73

-19,66 -9,20 -7,54

-19,01 -6,24 -6,46

-18,07 -4,07 -5,50

-16,95 -2,55 -4,66

-15,77 -1,51 -3,94

-14,61 -0,82 -3,32

-13,51 -0,35 -2,79

-12,49 -0,04 -2,34

-11,55 0,16 -1,95

-9,92 0,39 -1,35

-8,57 0,47 -0,91

-7,45 0,48 -0,60

-6,51 0,47 -0,38

-5,72 0,44 -0,23

-4,24 0,36 -0,02

-3,23 0,29 0,07

-2,53 0,23 0,10

-2,02 0,19 0,10

-1,65 0,15 0,10

-1,37 0,13 0,09

-1,15 0,11 0,08

-0,98 0,09 0,07

0,0001 м. Максимальное растягивающее напряжение равно 3,98 т/м* (табл. 5). При удалении расчетной точки от площадки нагружения максимальные растягивающие напряжения уменьшаются (см. рис. 5). По мере того как расчетная точка опускается в глубину полупространства, эти напряжения первоначально уменьшаются до нуля, а далее они становятся сжимающими. Глубина, на которой ах принимают нулевые значения, увеличивается по мере удаления расчетной точки от площадки нагружения (см. табл. 5,6).

Для площадки со сторонами В = 400 м, А = = 100 м максимальное поверхностное растягивающее напряжение на расстоянии одного сантиметра от короткой стороны площадки нагру-жения равно ау = 5,23 т/м . Напротив длинной стороны горизонтальное растягивающее напряжение — меньше, ах = 1,5 9 т/м .

Определим напряжения в точках У, 2, 3 рис. 2. Из предыдущих расчетов мы знаем, что под площадкой нагружения горизонтальные напряжения должны быть сжимающими. Точка 1 находится в угловой точке под площадкой нагружения на пересечении пунктирных линий осей X, У, расстояние от верхней и боковой сторон площадки нагружения составляет 10 см. Действительно, горизонтальные напряжения — сжимающие: ах = —13,56т/м2, ау = —13,56т/м2.

В точке 2, которая находится на расстоянии 10 см от боковой стороны за пределами площадки нагружения (на пересечении пунктирных осей),

7 7

напряжения такие: ах = 2,9 т/м , ау = —2,9 т/м . Точка 3 находится на осевой линии за пределами площадки, в 10 см от верхней стороны площадки нагружения. Здесь ах = —4,1 т/м2, а = 4,09 т/м2. Расчетами трех точек для квадратной площадки нагружения еще раз было показано, что напряжения под площадкой у поверхности — сжимающие, а за пределами площадки — растягивающие. Величина их зависит от формы и размеров площадки нагружения.

Однако при приближении размеров площадки нагружения к плоской задаче (В = 40000 м, А = 1м), горизонтальные напряжения изменяются и становятся сжимающими. По центру длинной полосы на расстоянии 0,2 м на маленький элемент полупространства, находящийся у поверхности 2= 0,01м, действуют горизонтальные сжимающие

7 7

напряжения ах = —0,51 т/м и а = —0,1 т/м .

Итак, за пределами площадки нагружения у поверхности, возникают зоны с существенными

Таблица 4

Напряжения аг, , Стороны площадки: В = 400 м, А = 100 м

ст, т/м2 ст^, т/м2 стг, т/м2

0 -2,50 2,48

-0,02 -2,14 1,02

-0,17 -1,78 -0,17

-0,45 -1,46 -0,96

-0,81 -1,17 -1,40

-1,17 -0,92 -1,58

-1,49 -0,71 -1,60

-1,74 -0,54 -1,55

-1,92 -0,40 -1,46

-2,05 -0,30 -1,35

-2,13 -0,21 -1,24

-2,20 -0,09 -1,03

-2,18 -0,01 -0,86

-2,12 0,04 -0,71

-2,04 0,08 -0,60

-1,94 0,10 -0,50

-1,71 0,12 -0,32

-1,49 0,12 -0,21

-1,31 0,11 -0,13

-1,15 0,10 -0,08

-1,01 0,09 -0,04

-0,89 0,08 -0,02

-0,79 0,08 -0,01

-0,71 0,07 0,00

горизонтальными напряжениями. По мере удаления от площадки нагружения растягивающие напряжения уменьшаются, а глубина их распространения увеличивается. Под зоной горизонтальных растягивающих напряжений возникают зоны сжимающих (до определенной глубины в зависимости от формы и размеров площадки нагружения). Далее под ними появляются небольшие горизонтальные растягивающие напряжения. По характеру изменения горизонтальных напряжений за пределами площадки нагружения полупространство становится трехслойным (см. табл. 6 и рис. 8). На большом расстоянии от площадки нагружения, эти напряжения становятся близкими к нулю.

Таблица 5

Координаты и напряжения ах, а

z Г, Г2 4 ст^ а,, Номер точки

-0,0001 -100 100 100 -100 -13,57 -13,57 1

-0,0001 -100 100 150 -50 -14,04 -13,11 2

-0,0001 -100 100 199,99 -0,01 -15,17 -11,83 3

-0,0001 -100 100 200,01 0,01 3,98 -4,12 4

-0,0001 -100 100 250 50 2,69 -2,69 5

-0,0001 -100 100 300 100 1,72 -1,72 6

-0,0001 -100 100 350 150 1,15 -1,15 7

-0,0001 -100 100 400 200 0,81 -0,81 8

-0,0001 -100 100 450 250 0,60 -0,60 9

-0,0001 -100 100 500 300 0,46 -0,46 10

-0,0001 -100 100 550 350 0,36 -0,36 11

-0,0001 -100 100 600 400 0,30 -0,30 12

-0,0001 -100 100 650 450 0,24 -0,24 13

-0,0001 -100 100 700 500 0,21 -0,21 14

-0,0001 -100 100 1000 800 0,09 -0,09 15

Общая картина напряженного состояния основания и некоторые практические советы проектировщикам

Графики и таблицы наглядно показывают, как изменяются вертикальные и горизонтальные напряжения при изменении формы площадки нагружения. Напоминаю, что площадь нагружения при этом остается одинаковой.

В результате расчетов стала ясна следующая общая картина напряженного состояния упругого полупространства под прямоугольными площадками нагружения. До определенной глубины бесконечно малый элемент, выделенный под площадкой нагружения, находится под всесторонним сжатием. Далее под площадкой возникают небольшие горизонтальные растягивающие напряжения. За пределами площадки

Рис. 5. Напряжения стг, стх, ау

-ЗЕ+00 -1-

Рис. 6. Напряжения а2, ах, а : точка находится на расстоянии 50 м по оси у

Рис. 7. Напряжений ах, а . Точка 3 на графике соответствует расчетной точке под площадкой, она находится на расстоянии одного сантиметра от стороны площадки. Точка 4 находится на расстоянии 1 см за пределами площадки нагружения

Таблица 6

Изменение напряжений по глубине для точек, находящихся на расстоянии 100 м от площадки нагружения

ъ ст„ Номер точки

-0,0001 0 1,72 -1,72 1

-1 0 1,65 -1,67 2

-10 0 1,04 -1,21 3

-20 -0,02 0,41 -0,73 4

-30 -0,08 -0,16 -0,31 5

-40 -0,17 -0,63 0,04 6

-50 -0,29 -0,99 0,32 7

-100 -1,13 -1,60 0,83 8

-150 -1,71 -1,27 0,72 9

-200 -1,89 -0,86 0,55 10

-250 -1,84 -0,54 0,41 11

-300 -1,69 -0,33 0,31 12

-400 -1,33 -0,11 0,20 13

-500 -1,02 -0,026 0,132 14

-600 -0,79 0,007 0,095 15

-700 -0,63 0,019 0,071 16

нагружения у поверхности возникают зоны с существенными горизонтальными напряжениями. По мере удаления от площадки нагружения растягивающие напряжения уменьшаются, глубина их распространения увеличивается. Под зоной горизонтальных растягивающих напряжений возникают зоны сжимающих напряжений — до определенной глубины в зависимости от формы и размеров площадки нагружения. Далее под ними появляются небольшие горизонтальные растягивающие напряжения. По характеру изменения горизонтальных напряжений за пределами площадки нагружения в полупространстве выделяются три зоны. Зоны эти нельзя представлять как параллельные слои, их конфигурация более сложная. Картина этих зон в этой работе не исследуется. Чем больше площадь нагружения, тем сильнее напряжения на больших глубинах и на значительном расстоянии по горизонтали.

Приведенная к квадратной форме площадь основания под фундаментами позволит определить их целесообразную глубину под сооружением для моделирования методом конечных элемен-

тов. В данном расчете при А = 200 м, В = 200 м вертикальные и горизонтальные напряжения приближаются к нулю на глубине 600 м, т. е. глубина моделируемого основания должна составлять три размера приведенной стороны.

За пределами площадки нагружения на расстоянии менее 50 м наблюдаются опасные для рядом стоящих домов горизонтальные растягивающие напряжения (см. табл. 4) а = 2,48 т/м . Максимальное вертикальное напряжение равно 2,2 т/м2.

Не учитывать вышеперечисленные факторы значит подвергать соседние дома и сооружения ускоренному износу и быстрому разрушению. Даже маленькая микротрещина вызывает изменения проектных напряжений в сооружении и перенапряжение других участков.

Внутриквартальное строительство нужно вести только после расчета в месте нового строительства напряжений в основании от рядом стоящих домов и сооружений. А технологию фундаментных работ следует выбирать такую, чтобы она давала возможность сохранения напряжений под старыми домами. Перед сносом старого дома, стоящего рядом с другими, нужно произвести расчеты напряжений в основании от соседних домов и принять меры, предотвращающие существенное изменение этих напряжений под всеми оставшимися сооружениями.

Повторим выводы настоящей работы.

Соотношение сторон площадки нагружения существенно влияют на горизонтальные и вертикальные напряжения.

Наблюдается существенное взаимное влияние сооружений через основание на расстоянии более чем 50 м как по горизонтальным, так и вертикальным напряжениям.

На глубинах более 130 м под площадкой нагружения естественные горизонтальные сжимающие напряжения уменьшаются от действия растягивающих горизонтальных напряжений.

За пределами площадки нагружения вблизи поверхности упругого полупространства возникают зоны с растягивающими напряжениями. Глубина этих зон по мере удаления расчетной точки от площадки нагружения увеличивается.

При генеральной и межквартальной застройке нужно учитывать взаимное влияние сооружений и домов, ориентируясь на суммарные вертикальные и горизонтальные напряжения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фогт, Ф. О расчете деформации фундаментов |Текст| / Ф. Фогт / ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева / ОППНТИ НТВ,- 1973,- Перевод № 911.

2. Наумов, И.В. Определение напряженно-деформированного состояния упругого полупространства от произвольной нагрузки [Текст]: дисс. ... канд. техн. наук / И.В. Наумов,— 2009,— 122 с.

3.Кац, А.М. Теория упругости [Текст]: 2-е изд.,

стер / AM. Кац,- СПб.: Изд-во «Лань», 2002. - 208 с. (Учебники для вузов. Специальная литература).

4. Флорин, В.А. Основы механики грунтов [Текст| / В.А. Флорин,- М„ 1959.

5. Филоненко-Бородач, М.М. Теория упругости [Текст]: учеб. пособие для техн. вузов / М.М. Фило-ненко-Бородин,— 3-е изд. М.: Госуд. изд-во техн. и теорет. литературы, 1947,— 300 с.

УДК 629.1 2.073.243.4

Тан Хтун Аунг, С.В. Щегореи,

О ВЛИЯНИИ КАЧКИ НА ДРЕЙФОВЫЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПЛАВУЧЕЕ СООРУЖЕНИЕ В УСЛОВИЯХ МЕЛКОВОДЬЯ

При добыче полезных ископаемых морские сооружения во время эксплуатации подвергаются внешнему воздействию (волнение, ветер, течение). Поэтому все большее распространение получают сооружения, удерживаемые якорными системами или системами автоматического позиционирования. При проектировании данных систем необходимо знать все характеристики сил, вызывающих дрейф и разворот плавучего средства на волнении. Без их определения невозможно решить проблемы удержания и движения плавучего сооружения по заданной траектории.

Однако при исследовании шельфовых месторождений данная задача усложняется тем, что эксплуатация плавучих средств (суда, платформы) ведется на мелководье. В условиях фарватера ограниченной глубины происходит существенное изменение всех гидродинамических реакций, действующих на сооружение со стороны окружающей его воды, вследствие чего соответственно изменяются и его мореходные качества, в том числе управляемость, подверженность качке.

В предлагаемой статье рассматривается решение задачи о качке плавучего сооружения на мелководье. Определение амплитуд качки и дрейфовых сил осуществляется на основании трехмерного численного метода [2]. Исследуется влияние амплитуд качки на величины дрейфовых сил и момента в условиях регулярного волнения.

Для решения задачи введем три системы координат (рис. 1). Неподвижная правая система О'—0"0 совпадает с невозмущенной свободной поверхностью жидкости. Для описания поверхности корпуса плавучего средства служит подвижная система координат (\луг, ось С\г которой проходит через центр тяжести (ЦТ) С объекта. Для характеристики колебаний объекта и жидкости используется третья система координат — О'ц" . Данная система движется со скоростью плавучего сооружения ¿7. В положении равновесия подвижные системы С\ху и О'ц" совпадают.

Сформулируем общую краевую задачу для потенциала скорости движения жидкости в подвижной системе координат Си" > в которой и описывается качка.

Потенциал скорости абсолютного движения жидкости Ф('и"0 должен удовлетворять уравнению Лапласа — граничному условию на свободной поверхности

Э2Ф Э2Ф т Э2Ф ЭФ

Э"

ЭГ dtd' Э'

а также граничному условию на смоченной поверхности

ЭФ

дп

= UiCOS(n,') + U2COS(n,U + U2COS(n,Q +