Решение прикладных вероятностно-статистических задач методом математического моделирования

УДК 37.01

Т. А. ШИРШОВА щ Т. А. ПОЛЯКОВА И

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия,

г. Омск

РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Рассмотрены понятия прикладной задачи и математической модели. Проанализирован метод математического моделирования как основной метод решения прикладных задач на примере задач вероятностно-статистического содержания. Рассмотрены примеры применения указанного метода к решению задач.

Ключевые слова: прикладная задача, математическое моделирование, модель, статистика, вероятность.

Цель преподавания математики как элемента профессиональной и предпрофессиональной подготовки непосредственно связана с принципом прикладной направленности. Изучение разделов прикладного характера, таких как элементы теории вероятностей и математической статистики, относят к числу основных средств реализации прикладной направленности обучения математике. Реализация прикладной направленности в обучении стохастике возможна на старшей ступени профильной школы, когда перед учителем математики ставится одна из главных задач — показать возможности применения математического аппарата в будущей профессиональной деятельности учащихся.

В качестве основного компонента реализации прикладной направленности обучения элементам теории вероятностей и математической статистики на старшей ступени школы в условиях профильной дифференциации выступают задачи прикладного характера

В настоящей работе вслед за В. Д. Селютиным и С. В. Щербатых, под прикладной задачей стохастики будем, понимать задачу, «возникшую в реальной жизненной ситуации (в области будущих профессиональных интересов школьников), для решения которой необходимо привлечение вероятностно-статистического аппарата» [1, с. 79].

В качестве одного из основных методов решения прикладных задач выделяют метод математического моделирования. По существу, изучение любой темы школьного курса математики заканчивается построением некоторой математической модели. В науке модели используются для изучения различных объектов (явлений и процессов), для решения самых разнообразных научных задач и получения тем самым какой-то новой информации. Поэтому модель определяется как «некий объект, (система), исследование которого служит, средством, для получения знаний о другом, объекте (оригинале)» [2, с. 23].

Через понятие математической модели раскрывается двойная связь математики с реальным миром.

С одной стороны, математика служит практике по изучению и освоению объектов окружающего нас мира, а с другой — сама жизнь, практика способствует дальнейшему развитию математики.

Качественный анализ позволил выделить 4 типа моделей, используемых в исследованиях старшеклассников.

1. Непосредственно математическая модель изучается в основном школьном курсе математики, постановка этой модели позволяет доступно изложить ее учащимся, а результаты математического моделирования имеют наглядную и поучительную, содержательную, профессиональную интерпретацию.

2. Математическая модель не изучается в основном школьном курсе математики, но существует методика, позволяющая сделать ее доступной для восприятия учащимися того или иного профиля. При этом специальные знания, используемые при постановке математической модели, не требуют длительного по времени изложения, а содержательная интерпретация итогов математического моделирования доступна и поучительна для учащихся.

3. Непосредственно математическая модель доступна учащимся, однако ее постановка требует достаточно длительного по времени изложения нематематических профессиональных требований.

4. Математическая модель опирается на вузовские разделы математики, не позволяющие адаптировать ее для преподавания учащимся.

При обучении стохастике, «под моделированием реальной ситуации (явления) понимается замена исследования самого явления исследованием некоторого другого явления стохастической природы. По существу речь идет о привлечении некоторых идей известного метода статистического моделирования на элементарном и доступном для школьников уровне» [3, с. 107].

Решение прикладных задач средствами математического моделирования включает в себя три основных этапа:

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №4 (111) 2012 МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №4 (111) 2012

*

— формализация — построение математической модели (фаза математизации);

— решение внутримодельной математической задачи (фаза дедукции и расчетов);

—толкование полученного решения (фаза интерпретации).

Отметим, что эффективным средством обучения учащихся общим способам решения прикладных задач служат, во-первых, явное выделение всех трех этапов при решении задач, во-вторых, обучение школьников сознательному выполнению каждого из этих этапов решения задач в отдельности.

Первый этап является для учащихся самым трудным. Исследования уровня образования показывают, что учащиеся хуже всего справляются с задачами, в которых следует математизировать предложенную жизненную ситуацию, то есть выделить в ситуации проблему, которая решается средствами математики, разработать соответствующую ей математическую модель, а затем размышлять над ее решением. Одной из главных причин отсутствия соответствующих умений является тот факт, что, как правило, учащихся знакомят в школе с математическими фактами и алгоритмами, а далее на некотором наборе задач отрабатывают умения и навыки в применении изложенной темы, при этом учащиеся зачастую не представляют, в какой области науки можно применить полученные знания и умения. Кроме того, для перевода задачи с естественного языка на математический требуется иметь достаточно высокий уровень умения абстрагировать, что связано с формированием и развитием математического мышления. Отвлечение от реального объекта, его свойств и переход к математическому объекту — операция сложная, поэтому умению переводить задачу с естественного языка на математический должно быть уделено первостепенное внимание.

Реализация первого этапа требует многих умений, в число которых, входят [4, с. 38]: умение выделять существенные факторы, определяющие исследуемое явление (процесс); умение указать эти факторы, которые вызывают погрешность при составлении модели; умение выбрать математический аппарат для составления модели. При этом вырабатывается своеобразный математический стиль мышления, характерные черты которого [5, с. 70]:

—доминирование логической схемы рассуждения; эта логическая схема с ее неумолимыми требованиями определяет ход мысли ученика;

— четкая расчлененность хода рассуждений;

— лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший, ведущий к данной цели логический путь;

— скрупулезная точность символики.

На первом этапе формализации необходимо обращать внимание учащихся и на тот факт, что «полученная математическая модель ситуации является, по сути, ее огрублением — ведь ей могут соответствовать различные исходные ситуации. В этом случае можно говорить о математическом изоморфизме ситуаций» [6, с. 3]. В связи с этим Л. М. Фридман в процессе решения задач средствами математического моделирования большую роль отводит «процессу их переформулирования» [2, с. 72]. При этом автор цитирует советского психолога С. Л. Рубинштейна, охарактеризовавшего решение задач человеком, как «процесс их переформулирования, в котором непрерывно производится анализ условий и требований задачи через синтетический акт их соотнесения» [7]. А ведь именно на первом этапе

формализации такие операции, как анализ, синтез, абстрагирование, играют главную роль.

Рассмотрим пример переформулирования задачи в процессе ее анализа и решения. После того как учащиеся познакомились с основными формулами комбинаторики (число перестановок, сочетаний и размещений с повторениями и без повторений), учитель предлагает им следующую задачу.

Задача 1. Некоторая коллекция насекомых была размещена в коробках, каждая из которых имела по 10 ячеек. В некоторые ячейки коробок были положены насекомые по одному в ячейку, другие ячейки были еще пустые. Любые две коробки этой коллекции отличались друг от. друга хотя бы. наличием, или отсутствием, насекомых в одной и той же ячейке. Очевидно, что наибольшее число насекомых в коробке равно 10, а наименьшее — 0 (коробка пустая). Какое максимальное количество коробок необходимо подготовить коллекционеру?

Эта задача носит несколько необычный характер, а потому решение её, на первый взгляд, не очевидно. С целью упростить учащимся процесс поиска ее решения, учитель предлагает им рассмотреть следующие три задачи.

Задача 2. В помещении офиса 10 осветительных приборов. Сколько существует, различных способов освещения офиса? Два способа освещения считаются различными, если они отличаются состоянием хотя бы. одного светильника. Каждый осветительный прибор может, быть включен, или выключен. Случай, когда все светильники не горят, — тоже способ освещения.

Задача 3. Имеется прямоугольная таблица, содержащая 10 столбцов. В каждой клеточке этой таблицы поставлен знак «+» или «—». Любые две строки таблицы отличаются знаком в клеточках, стоящих хотя бы в одном и том же столбце. Какое наибольшее число строк имеет эта таблица?

Задача 4. Сколько различных десятизначных чисел можно образовать из цифр 0 и 1? При этом, числа, в записи которых стоят, слева одни нули (например, 0100011001 или 0000000000), также рассматриваются.

После того, как учащиеся внимательно изучили условия каждой из предложенных задач (1—4), учитель предлагает им ответить на следующие вопросы:

1. О чем говорится в каждой задаче?

2. Что требуется найти в каждой задаче?

3. Что общего в условиях задач?

4. Можно ли провести аналогии между данными и искомыми в задачах величинами?

В результате анализа условий задач 2 — 4 учащиеся приходят к выводу о том, что, несмотря на то что ситуации, описанные во всех четырех задачах различны, их всех объединяет следующее: каждая из них является, по сути, переформулировкой задачи 1. Например, если сопоставить условия задач 1 и 2, то можно заметить, что каждой ячейке коробки ставится в соответствие некоторый осветительный прибор, тогда наличию или отсутствию в ней насекомого соответствует одно из возможных состояний светильника (включен или выключен). Если каждый светильник (ячейку коробки) изобразить в виде квадрата, а состояние отмечать знаком « + », если светильник включен (насекомое в ячейке), и знаком « — » в противном случае, то каждому способу освещения офиса (каждой коробке) будет соответствовать строка из 10 квадратиков со знаками «+» или « — » — условие задачи 3. Если же теперь рассмотреть каждую строку таблицы, о которой идет речь

в задаче 3, как десятизначное число, составленное из цифр 1 и 0 (1 соответствует знаку « + » в клеточке, а 0 — знаку « — »), то мы получим задачу 4, решение которой более очевидно учащимся. Так, на каждом месте в записи десятизначного числа могут стоять лишь цифры 0 и 1, то имеется всего лишь две комбинации цифр на каждом месте, причем эти комбинации независимы друг от друга. Поэтому общее число комбинаций или возможных десятизначных различных чисел равно 210=1024 (в данном случае можно применить формулу для нахождения числа размещений с повторениями А п = пк, где п=2, k=10). При этом общее число коробок в задаче 1, число способов освещения офиса в задаче 2, число строк в таблице из задачи 3 и число десятизначных чисел из задачи 4 равно 1024.

Таким образом, учащиеся приходят к выводу о том, что задачи 2 — 4 были получены из задачи 1 с помощью ее переформулирования. Так учитель подводит учащихся к понятию модели (каждая из задач 2 — 4 является моделью задачи 1) и знакомит их с процессом моделирования (переформулирование задачи 1 последовательно в задачи 2 — 4 явилось способом ее моделирования).

Однако необходимо обратить внимание учащихся на то, что если даже ситуации, полученные в процессе переформулирования, математически изоморфны, то есть приводят к одним и тем же математическим моделям, они не всегда являются изоморфными в ситуационном смысле, «ибо, скажем, ответ, имеющий истолкование в одной ситуации, может быть бессмысленным в другой» [6, с. 3].

Основные учебные действия учащихся на данном этапе должны быть следующими [6, с. 3]:

— выделение основных характеристик задачи;

— перевод задачи с естественного языка на математический путем преобразования ее условия, с целью выявления в ней основного отношения;

— моделирование выделенного отношения в предметной, графической или буквенной форме;

— преобразование модели для изучения свойств отношения;

— построение частных задач, решаемых общим способом.

Существенным на втором этапе математического моделирования является умелое планирование процесса решения сформулированной математической задачи, выделение в нем составляющих задачи, умение анализировать и уточнять составленную модель, переходить от одной модели к другой и выбирать в каждом конкретном случае наиболее целесообразное и вместе с тем оптимальное решение задачи.

По мнению И. М. Шапиро, «важную роль играет умение дать качественную оценку количественных результатов, полученных при использовании исходной информации, выявить источники погрешностей, допускаемых при решении математической задачи, и оценивать их» [4, с. 38]. Представление разного рода знаками и схемами элементов задачи и их отношений настолько раскрывает связи и зависимости между величинами в задаче, что иногда сразу ведет к открытию способа решения. Однако во многих задачах построение модели является только началом анализа: «для решения задачи требуется дальнейшая работа со схемами. Здесь возникает необходимость формирования у учащихся умения работать с моделями, преобразовывать их» [8, с. 3].

Из практики известно, что от учащихся требуется после решения задачи проверить свои ответы для

доказательства того, что они удовлетворяют условиям и требованиям задачи. А потому на третьем, этапе главное — умение грамотно перевести результат решения математической задачи на язык исходной задачи. Принципиально важным является также установление соответствия построенной модели структуре задачи. Случаи несоответствия могут выступать основанием для понимания и объяснения неправильности, как выбранного пути решения задачи, так и полученного ответа. «Важное значение на этом этапе имеет владение методами проверки решения практической задачи, умение распространить найденное решение на решение других практических задач, оценить итоговую степень точности полученных результатов и выяснить ее влияние на корректность решения задачи» [4, с. 39].

Отметим также, что обучение решению задач с применением моделирования активизирует мыслительную деятельность учащихся, помогает им понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь ее решения, установить подходящий способ проверки, определить условия, при которых задача имеет (или не имеет) решения. Работа с моделью позволяет ученикам яснее увидеть зависимости между данными и искомыми величинами, оценить задачу в целом, а учителю — продемонстрировать разные варианты решения и, сравнив их, обобщить теоретические знания.

Проиллюстрируем применения указанного метода при решении следующей задачи.

Задача. Возможно ли образование соли сульфата натрия (Na2SO4) в результате взаимодействии 980 г серной кислоты. (H2SO4) с 800 г гидроксида натрия (NaOH)?

Решение.

1. Построение математической модели.

Рассмотрим, событие А={образование соли сульфата натрия (Na2SO4)}. Для применения формулы геометрической вероятности нам. необходимо ввести меры.. В роли меры, в данном, случае будет выступать масса соответствующего вещества. Составим уравнение реакции и по нему определяем, массы, соответствующих веществ:

980 а 800а

Я2504 +2 тон -> Л^2504 + 2Н20

98 а 80а 142а

(снизу записаны, молекулярные массы, веществ). Следовательно,

т{Н280лУц

т(Ыа2504) =

//

Чтобы воспользоваться формулой геометрической вероятности нам. нужно знать массу всего раствора, полученного в результате взаимодействия указанных веществ )), а также массу сульфата

натрия (g(A)). Тогда вероятность события А считаем. по формуле:

Р(А) =

т

1(Л)=_______________________

Є

это и есть математическая модель рассматриваемой ситуации.

2. Получение математических результатов. Подставляем полученные значения масс в указанные формулы, (учитывая, что для воды 1мл=1г):

/и(ІУа2504):

980 142 98

:580 .

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №4 (111) 2012 МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №4 (111) 2012

Следовательно, Р(Л) =

580

580

980 + 800 1780

= 0,3258

или Р(А)=32,58%.

3. Интерпретация полученных результатов. При переводе результата, полученного в ходе математических вычислений, в реальные условия учащиеся приходят, к выводу, что вероятность образования соли сульфата натрия (Na:SO4) при взаимодействии 980 г серной кислоты. (H:SO4) с 800 г гидроксида натрия (NaOH) равна 32,58%, в связи с чем. в данной ситуации мы. не можем, с полной уверенностью утверждать, что соль будет образована.

На данном примере хорошо демонстрируется следующий немаловажный факт: как известно, инициатива и творчество учащихся развиваются при выполнении заданий, имеющих различные способы решения. При этом творческий потенциал учащихся проявляется тогда, когда они наряду с традиционными методами решения данной задачи с опорой на знания из профильного предмета (в данном случае речь идет о решении задачи путем привлечения знаний по химии), применяют вероятностный подход.

В заключение отметим, что систематическое знакомство с математическими моделями, применяемыми в исследованиях из области будущих профессиональных интересов учащихся, позволяет реализовать все три основные цели преподавания математики, а не только предпрофессиональную подготовку. Так, математическое моделирование является одним из важнейших завоеваний цивилизации, поэтому знакомство с идеями и методами такого моделирования обеспечивает реализацию образовательной цели преподавания математики. Навыки построения конкретных математических моделей, формирование культуры профессионального математического моделирования, психологической нацеленности на математические выкладки, как способ формирования и оценки разного рода гипотез, позволяет продвинуться и в реализации утилитарно-практической цели, формируя психологическую и технологическую подготовленность

старшеклассников к содержательному и творческому использованию математики.

Библиографический список

1. Щербатых, С. В. Прикладная направленность обучения стохастике в старших классах средней школы : дис. ... канд. пед. наук : 13.00.02 / С. В. Щербатых. — Елец, 2006. — 228 с.

2. Фридман, Л. М. Наглядность и моделирование в обучении / Л. М. Фридман. — М. : Знание, 1984. — 80 с.

3. Селютин, В. Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике : дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.02 / В. Д. Селютин — Орел, 2002. — 344 с.

4. Шапиро, И. М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики : кн. для учителя / И. М. Шапиро. — М. : Просвещение, 1990. — 96 с.

5. Сухорукова, Е. В. Прикладные задачи как средство формирования математического мышления учащихся : дис. ... канд. пед. наук : 13.00.02 / Е. В. Сухорукова — М., 1997. — 207 с.

6. Фирсов, В. В. О прикладной ориентации курса математики / В. В. Фирсов // Математика в школе. — 2006. — № 7. — С. 2-13.

7. Рубинштейн, С. Л. Основы общей психологии / С. Л. Рубинштейн. — СПб. : Питер, 2007. — 713 с.

8. Володарская, И. Моделирование и его роль в решении задач / И. Володарская, Н. Салмина // Математика. — 2006. — № 18. — С. 2 — 7.

ШИРШОВА Татьяна Ахметовна, кандидат педагогических наук, доцент (Россия), доцент кафедры методики преподавания математики Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского. ПОЛЯКОВА Татьяна Анатольевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики Сибирской государственной автомобильнодорожной академии.

Адрес для переписки: е-таіі: ta_polyakova@mail.ru.

Статья поступила в редакцию 07.06.2012 г.

© Т. А. Ширшова, Т. А. Полякова

Книжная полка

Сочивко, Д. В. Молодежь России: образовательные системы, субкультуры, исправительные учреждения : учеб. пособие / Д. В. Сочивко, Н. А. Полянин. - М. : Изд-во МПСИ, 2009. - 264 с. : а-рис. - Библиогр.: с. 205209. -ISBN 978-5-9770-0513-5.

В книге представлены результаты исследований негативных тенденций формирования личности современного молодого человека, которые являются трудно сопоставимыми с общекультурными основами образования и воспитания. Книга будет интересна всем, интересующимся проблемами образования, становления личности, специалистам в области философии, культурологии, психологии, а также преподавателям, научным и практическим работникам различных образовательных и исправительных систем России.