Растекание капли жидкости по неоднородному насыщенному пористому слою

© Колтунов А.А., Чернышев И.В., 2012

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 532.516.5; 532.546 ББК 22.253

РАСТЕКАНИЕ КАПЛИ ЖИДКОСТИ ПО НЕОДНОРОДНОМУ НАСЫЩЕННОМУ ПОРИСТОМУ СЛОЮ1

А.А. Колтунов, И.В. Чернышев

Рассмотрена двумерная задача о растекании и впитывании жидкой капли, расположенной на поверхности пористого слоя. Математическая модель учитывает неоднородность пористой среды и возможное скольжение на границе жидкость — пористая среда. Проведены расчеты эволюции формы капли во времени для некоторых видов распределения проницаемости слоя.

Ключевые слова: неоднородный пористый слой, капля, растекание, впитывание, приближение теории смазки.

Введение

Во многих природных и технологических процессах жидкость растекается по поверхности пористого материала и одновременно поглощается этой поверхностью. Причем пористая среда может быть сухой, насыщенной, или частично насыщенной той же или другой жидкостью [1; 2]. Решение таких задач важно, например, для анализа растекания и впитывания жидкости по различным тканям, бумаге или порошкам, в процессах окраски, фильтрации или очистки, где надо подбирать оптимальную стратегию растекания и впитывания. В настоящей работе рассмотрена задача о распространении тонкой капли вязкой жидкости по плоскому пористому слою. Предложенная математическая модель динамики растекания и впитывания капли обобщает работу [6], учитывается скольжение жидкости по границе пористого слоя, а проницаемость пористого основания предполагается неоднородной в поперечном направлении.

1. Постановка задачи

Имеется бесконечный горизонтальный пористый слой толщиной в!. В начальный момент времени слой заполнен жидкостью, и капля той же жидкости помещена на его

поверхность (рис. 1). Необходимо проследить эволюцию формы капли во времени. Задача рассматривается в двумерной постановке. Форма капли симметрична относительно оси г' и задается функцией к'(х',1'), а' — ее полуширина. Капля предполагается достаточно тонкой, к' ^ а', это позволяет использовать приближение теории смазки [7], что приводит к уравнению

З+З-™ «>

где и'(х',г'),Ш'(х',г') — продольная и поперечная компоненты скорости жидкости в капле; Q'(х') — расход через поперечное сечение капли.

Рис. 1. Капля жидкости на неоднородной пористой поверхности Течение жидкости в узком слое капли определяется уравнением

д2и' др'

д/2 дх'

где у — динамическая вязкость жидкости; р — давление.

На границе жидкость — пористая среда предполагается скольжение, горизонтальная компонента скорости терпит разрыв, пропорциональный величине ее вертикальной производной [5; 8]

яи‘

її'(:г', 0) — и'(х1, 0) = А у/к'

дг'

2=0

где к'(г') — проницаемость неоднородного пористого слоя; и'(х', г') — горизонтальная компонента фильтрационной скорости жидкости в пористом слое; А — безразмерная постоянная, которая зависит от физической природы пористости материала и топологии порового пространства. Краевое условие для верхней свободной границы капли

ди '

дг

0.

'=Н'

Решив краевую задачу (2)-(4), находим распределение скорости и'(х', г') в капле. Расход жидкости в сечении капли х' будет

0'

и'(х', ~)сЪ' = — (—И/3 + \у/к'ІЇ2'\ + и'(х1, 0)Л/.

у у 3 ) дх

Избыточное давление в капле определяется как

' д2Ы ,'

р =~(7о^2+рФ,

а

где а — коэффициент поверхностного натяжения; р — плотность жидкости; д — ускорение свободного падения.

Подставляя (5), (6) в (1), получим уравнение эволюции формы капли, учитывающее как неоднородность пористого слоя, так и скольжение жидкости на границе жидкость — пористая среда [3;4].

дЫ д

ді! дх'

- Х^к'Ь'2^ ^ - рдЬ!^ + и'(х', 0)Л'

Ш'(х', 0).

Чтобы исследовать влияние главным образом свойств пористой среды на характер растекания и впитывания, начальная форма капли задавалась в виде

к' (X, 0) = аа0

сії у/В — сії у/В

где В = рда^/а — число Бонда, характеризующее соотношение сил тяжести и поверхностного натяжения; а — краевой угол контакта. Это равновесная форма капли на непроницаемом основании, при котором гравитационные силы уравновешивают капиллярные. Учитывая осевую симметрию задачи, можно рассматривать только половину капли, при этом на оси х' = 0 выполняются условия симметрии

дЫ д3к'

дх' ’ дх'3

Предполагается, что пористый слой изначально насыщен жидкостью, а ее фильтрационное течение подчиняется закону Дарси, горизонтальная и' и вертикальная и' компоненты скорости определяются уравнениями

' к'(г') дд' , к' (г') дд'

11 ц дх' ’ и ц сЬ' ’

где д'(х',г') — распределение давления в пористой среде.

Поскольку жидкость считается несжимаемой, то поле давления в пористой среде удовлетворяет уравнению

д2д' д2д' 1 ёк' дд'

дх'2 д2'2 к'(~) сЬ' дг'

дд

Нижнее основание пористого слоя л = —а непроницаемо, 77— = 0, а на линии х = 0

дг'

дд' п д3д' п

выполнено условие симметрии = 0, /3 = 0.

На верхней границе пористой среды ставятся условия непрерывности давления и нормальной компоненты скорости [6]

д' = р', и1 = , при г! = 0, к' ^ 0,

дк

д = 0, = и>, при л = 0, а < 0.

4 ’ дг' Р

Эти условия учитывают тот факт, что при впитывании капли могут возникать области, в которых уровень жидкости будет расположен ниже поверхности пористого слоя.

Введем новые безразмерные переменные следующим образом:

х’ = а0х, а' = а0а, zl = а0~, Ы = сщк, сі1 = сі0сІ, і' = ^ ) І, к’ = ІЇк,

ако

р = —р, д

ак

(тЬ0 , (т /к0\6 , (т /к0\6 , а /к0 .

—2~д, и> = — I — I и>, и = — I — I и, \У = — \ — I Ил

а0 а0 р \а0 / р \а0 / р \ а0

В безразмерном виде описанная выше краевая задача примет следующий вид

дН д ді дх

\ь> - хфтіЛ (|| -ВН)+и(х, 0)Л

*=о

дк

дх х=0

д3к

дх3

х=о

у/В вії у/В

при х < 1; к = 0, при х ^ 1,

д2д 92д

дх2 дх2

дд

д2

1 йк дд

к йгдг

О, ТГ1

г=—(і

дд

дх

х=о

д

д

р

дк

’ Ж

т,

-- т,

г -г

0, при к ^ 0, 0, при к < 0,

К )дд

2. Численная реализация

Сформулированная в предыдущем разделе краевая задача (7)—( 13) далее решалась

численно. Учитывая осевую симметрию, расчеты проводятся в прямоугольнике (х, г) €

€ [0,ХВ] х [-<!, 0]. Искусственная граница Хв берется достаточно далеко от края капли,

на ней ставятся условия свободной границы и четной периодичности

дд

дх

х=Хв

о, г

дх

0,

д3 к

х=Хв

дх3

0.

х=Хв

Вводятся две пространственные сетки: двумерная Ц для расчета распределения давления в пористой среде по уравнению (10), и одномерная — для расчета эволюции капли во времени, по уравнению (7). Для двумерной сетки с левого и правого краев добавляется по два дополнительных фиктивых вертикальных слоя и один горизонтальный слой узлов для центральной аппроксимации граничных условий (8), (11). Координаты узлов сетки определяются соотношениями

х,

(і — 2)Дх, Дх = хв/^ — 5), і = 0,...,М — 1,

0

0

0

X] = (] — 1)Дг, Дг = й/(М — 2), ] = 0,...,М — 1,

где N и М — число узлов разбиения по х и г соответственно.

Для разностного представления производных в уравнениях и граничных условиях использовались центральные шаблоны, что обеспечивало второй порядок аппроксимации для всех дифференциальных операторов.

Первый этап решения задачи заключается в нахождении поля давления в пористой среде (10), для чего используется пятиточечная схема

пи ____ О Пп \ пи пи ____ О Пп \ пи 1 7 7 пи ___ пи

Чъ+ 1Л *4^ “Г Уг-1,.7 %;7+1 У г,,7 “Г Уг,.?-! _ 1 ^'+1 — ^-1 Уг^'+1 Уг^'-1

(Дх)2 (Дг)2 кг 2Дг 2Дг

г = 2,..., N — 3, ^ = 1,...,М — 2.

Разностное представление для граничных условий (11), (12) и (14) имеет вид:

<0 = #2, = С , & -4,] = & -2,], ^ =0,...,М — 1,

5™М-1 = Рг, = т^м-1, при К™ ^ 0,

дП,м-1 = 0, Н™+1 = К™ + ттг,ы-1, при К™ < 0, г = 2,...^ — 3.

Эта эллиптическая задача решалась итерационно методом релаксации. По найденному распределению давления в пористой среде определяются вертикальные и горизонтальные компоненты скорости жидкости на поверхности пористого слоя иг,м-1, тг,м-1, г = 2,..., N — 3.

Далее производится расчет формы капли (7), (8), (14) на основе явной разностной

схемы

т™+1 _ тп ьп — Ьп ________ / — Ьп -I- 9Ь>п — 9Ьп Л- }>п

'н _|_ г+1 'Н— 1 2Л-\/~к _) і—2 ' 'Н—1 'Н-\-1 ' '^г+2

т г 2Дх 2(Дх)3

- + <Ю-ф? - лда (Л- - 4Л« + 6Л" -4А- + *•

3 * (Дх)4

^+1 — 2^П + ^-Л . П ЇЇі+1 — ^-1 , ипиП+1,М-1 — иі-1,М-1 _ / а0

г 1 "г—і \ , піп '"г-|-і -г-1 , г-г±}іи-± г-±,іи-± -и ^ тт/

“ в--------(д5р----------) + 2Л^ + ---------гдї----------- \1Г0) И-

і = 2,...,М - 3.

ип+1 Ьп+1 Ьп+1 Ьп+1 Ьп+1 Ьп+1 Ьп+1 Ьп+1

а1 = и3 , и0 = и4 , -4 = аМ-2, аМ-5 = аМ -1 •

Присутствие производных по х высокого порядка сильно ограничивает шаг по времени, тем не менее, при достаточно малых значениях т/(Дх)4 в ходе численных экспериментов всегда удавалось добиться устойчивости явной схемы.

3. Двумерная капля на неоднородном пористом слое

В настоящей работе численно моделировалось растекание тонких капель по пористому слою. Целью исследования было оценить влияние проницаемости пористого слоя на динамику распространения капли и ее впитывания в слой. Проведены расчеты для различных вариантов неоднородного в вертикальном направлении распределения проницаемости пористой среды. Безразмерная проницаемость моделировалась функцией

к

где к0 — проницаемость на верхней границе пористого слоя; С — некая константа. Варьирование значения коэффициентов к0 и С позволяет задавать неоднородные пористые слои с убывающей или возрастающей проницаемостью, с хорошо или плохо проницаемой верхней поверхностью.

Расчеты в пористом слое проводились в области [0;2, 0] х [0; —1, 0] на сетке 205 х х 102. Нестационарное уравнение для Ь,(х,£) решалось численно с безразмерным шагом по времени т = 10-8 до момента пока край капли не приблизится достаточно близко к правой границе расчетной области. Соотношения геометрических и физических параметров в приводимых ниже численных экспериментах брались следующие: В = 1, 21; к0/а0 = 0,1; А = 0,1. В качестве демонстрации приведены результаты для двух предельных случаев: слой с сильно проницаемой и плохо проницаемой поверхностью.

Неоднородный пористый слой со слабо проницаемой поверхностью. Распределение проницаемости пористого слоя (15) задавалось параметрами: к0 = 0,1; С = —0, 5. В этом случае поверхность пористого слоя плохо проницаема, а вглубь слоя проницаемость возрастает. Слабо проницаемая «корка» ограничивает впитывание капли внутрь пористого слоя, а также задерживает вытекание из него, в то время как жидкость в нижних слоях, в силу высокой проницаемости, движется более свободно в горизонтальном направлении. На рисунке 2 показана форма капли для двух моментов времени: близкого к начальному и достаточно большого. Оттенками серого отражено изменение давления в пористом слое, от темного к светлому значение безразмерного давления изменяется, соответственно, от 0 до 1, 3.

Рис. 2. Плохо проницаемая поверхность. Время і: а) 0,0003; б) 0,01

Начальная форма капли соответствует равновесной форме для твердого непроницаемого основания. Поскольку поверхность является пористой и обладает проницаемостью, то за счет впитывания и вытеснения капля начинает двигаться. Но так как основание пористого слоя плохо проницаемо, движение капли происходит очень медленно, давление внутри пористого слоя почти не изменяется, а высота капли уменьшается тоже очень медленно. Неоднородность же проницаемости внутри слоя, а также варьирование коэффициента скольжения, как показали численные эксперименты, мало влияют на качественный характер распространения капли.

Неоднородный пористый слой с сильно проницаемой поверхностью. Распределение проницаемости пористого слоя (15) задавалось параметрами: к0 = 0, 6; С = 1, 0. Наибольшей проницаемостью обладает верхняя часть пористого слоя, далее проницаемость убывает до нуля при стремлении к нижней границе. Благодаря такой структуре пористой среды, жидкость свободно впитывается в центральной части слоя, при этом такое же количество жидкости вытесняется на периферии. В отличие от предыдущего случая, хорошо проницаемая поверхность пористого слоя обеспечивает интенсивный обмен жидкости на границе капля — пористая среда, и как следствие, быстрый про-

цесс растекания капли, значительное изменение распредения давления внутри самого слоя, а также падение уровня жидкости. В то же время из-за слабой проницаемости нижних слоев основное движение жидкости происходит вблизи поверхности пористого слоя. Эволюция формы капли для некоторых моментов времени показана на рисунке 3.

Рис. 3. Сильно проницаемая поверхность. Время Ь: а) 0,0003; б) 0,0015; в) 0,006; г) 0,01

Скорость растекания капли находилась численно для различных законов распределения проницаемости пористого слоя. На рисунке 4 приведены графики зависимости высоты капли в центре к(0,£) от времени. Видно, что наиболее существенное влияние на характер распространения капли оказывает поверхностная проницаемость пористого слоя и уже во вторую очередь характер изменения проницаемости внутри слоя. При большом коэффициенте проницаемости верхней границы пористого слоя капля распространяется быстрее за счет процессов впитывания и вытеснения, чем при плохо проницаемой границе.

0.5 к

0.46

0.42

0.38

0.34

0.3

3

1

~^2

4'"'

0.0 02 0.0 04 0.006 0.С 08 , 0.0

1

Рис. 4. Изменение высоты капли со временем. Однородный слой: 1 — к0 = 0,1; С = 0;

2 — к0 = 0, 6; С = 0. Неоднородный слой: 3 — к0 = 0,1; С = -0, 5; 4 — к0 = 0, 6; С = 1, 0

В случае слабо проницаемого однородного пористого слоя основное движение капли происходит за счет скольжения, а высота капли в этом случае убывает немного быстрее, чем в случае неоднородного слоя со слабо проницаемой поверхностью. По-видимому, это объясняется тем, что поглощение жидкости в нижних слоях пористой среды происходит более свободно, но для вытеснения жидкости и перемещения границ капли требуется больше времени (кривые 1, 3). В случае же сильно проницаемой поверхности пористого слоя наблюдается обратный эффект, пока происходит перераспределение жидкости по всему однородному хорошо проницаемому пористому слою, в неоднородном слое жидкость может свободно перемещаться лишь в верхних слоях, что ускоряет процесс растекания капли и приводит к меньшей высоте капли в те же моменты времени, чем в однородном случае (кривая 4).

Заключение

В ходе исследования было выявлено, что когда гравитационные силы примерно компенсируют капиллярные, то основное влияние на характер распространения капли оказывает поверхностная проницаемость пористого слоя, в то время как варьирование внутреннего неоднородного распределения проницаемости влияет не так серьезно на скорость растекания капли. Однако неоднородность проницаемости слоя сказывается на характере перераспределения жидкости из капли, в частности, определяет, будет ли она растекаться только за счет скольжения по поверхности, или же еще за счет процессов впитывания и вытеснения жидкости в удаленных частях слоя, и как следствие, это может приводить как к увеличению скорости убывания высоты капли, так и к уменьшению.

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 11 -03-97035-р_поволжье_а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. де Жен, П. Ж. Смачивание: статика и динамика / П. Ж. де Жен // УФН. — 1987. — Т. 151, № 4. — С. 619-681.

2. Калинин, В. В. Растекание капель вязкой жидкости по пористой поверхности / В. В. Калинин, В. М. Старов // Коллоидный журнал. — 1989. — T. 51, № 5. — C. 860-867.

3. Колтунов, А. А. Растекание капли жидкости на плоской поверхности неоднородной пористой среды / А. А. Колтунов // Выпускная квалификационная работа по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика». — Волгоград, 2011. — 29 с.

4. Колтунов, А. А. Растекание тонкой капли жидкости по неоднородному пористому слою / А. А. Колтунов // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. — Казань, 2011. — T. 44. — C. 175-177.

5. Мосина, Е. В. Условие скольжения на поверхности модельной волокнистой пористой среды / Е. В. Мосина, И. В. Чернышев // Письма в ЖТФ. — 2009. — T. 35, № 5. — C. 103-110.

6. Davis, S. H. Spreading and imbibitions of viscous liquid on a porous base / S. H. Davis, L. M. Hocking // Phys. Fluids. — 1999. — V. 11. — P. 48-57.

7. Oron, A. Long-scale evolution of thin liquid films / A. Oron, S. H. Davis, S. G. Bankoff // Rev. Mod. Phys. - 1997. - V. 69. - P. 931-980.

8. Saffman, P. G. On the boundary condition at the surface of a porous medium / P. G. Saffman // Stud. Appl. Math. - 1971. - V. 50, № 2. - P. 93-101.

SPREADING OF THE LIQUID DROP ON THE NONUNIFORM SATURATED POROUS LAYER

A.A. Koltunov, I. V. Chernyshev

The two-dimensional problem of spreading and imbibition of a liquid drop over a porous layer is considered. Mathematical model takes into account the nonhomogeneity of porous medium and slip boundary condition on the liquid — porous interface. The numerical results of the droplet evolution in time are demonstrated for different variants of permeability distribution of a porous layer.

Key words: nonuniform porous layer, drop, spreading, imbibition, lubrication approximation.