О двух методах повышения надежности схем

УДК 718.95

М. А. Алехина, В. И. Волчихин

О ДВУХ МЕТОДАХ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СХЕМ

Решается задача реализации булевых функций надежными схемами из ненадежных функциональных элементов в базисе { хх V V Х2Х3,

Х1 V Х2 V Х3 , Х1 & Х2 & Х3, Х1}. Для решения задачи предлагаются два разных метода повышения надежности схем: первый - с использованием дизъюнктора и конъюнктора, а второй - с использованием элемента голосования. Рассматриваются три типа неисправностей элементов: 1) инверсные неисправности на входах элементов; 2) однотипные константные неисправности на выходах элементов; 3) однотипные константные неисправности на входах элементов.

В каждом случае применяются два названных метода и сравниваются полученные оценки ненадежности схем. Показывается, что при однотипных константных неисправностях на входах элементов использование элемента голосования (второй метод) дает худшую оценку ненадежности, чем использование конъюнктора и дизъюнктора.

Введение

Все разноообразные средства цифровой техники: ЭВМ, микропроцессорные системы измерений и автоматизатиции технологических процессов, цифровая связь и телевидение и т.д. - строятся на единой элементной базе, в состав которой входят чрезвычайно разные по сложности микросхемы - от логических элементов, выполняющих простейшие операции, до сложнейших программируемых кристаллов, содержащих миллионы логических элементов.

Логические элементы цифровых устройств во многом определяют функциональные возможности последних, их конструктивное исполнение, технологичность, надежность. Двум способам повышения надежности комбинационных схем (схем из логических элементов) посвящена эта статья, причем элементам схемы могут быть приписаны не только конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, но и функция голосования.

Исторически сложилось так, что сначала исследовались инверсные неисправности на выходах элементов. Первые существенные математические результаты, касающиеся синтеза надежных схем из ненадежных элементов, получил Дж. фон Нейман [1]. Он предполагал, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью £ (ее (0; 1/2)) подвержены инверсным неисправностям на выходах. Эти неисправности характеризуются тем, что в исправном состоянии функциональный элемент реализует приписанную ему булеву функцию ф, а в неисправном - функцию ф. С помощью итерационного метода

Дж. фон Нейман установил, что в произвольном полном базисе при е е (0; 1/6) любую булеву функцию можно реализовать схемой, на выходе которой вероятность ошибки при любом входном наборе значений переменных не превосходит С]£ (с - некоторая константа, зависящая от базиса). В частности, если базис содержит функцию голосования g (Х1, Х2, Х3) = Х1Х2 V Х1Х3 V Х2Х3, то произвольную булеву функцию можно реализовать схемой, вероятность ошибки на выходе которой при любом входном наборе значений переменных не превосходит е+с2 е2 при е< С3 , где с2 , с3 - некоторые константы. Основной недостаток

метода Дж. фон Неймана в том, что сложность схемы с ростом числа итераций увеличивается экспоненциально (примерно в 3к раза, где к - число итераций).

Любой метод синтеза схем из ненадежных элементов характеризуется двумя важными параметрами: вероятностью ошибки на выходе схемы (ненадежностью) и сложностью схемы. Именно оптимизации сложности схем уделялось главное внимание работах Р. Л. Добрушина, С. И. Ортюкова [2], Д. Улига [3] и некоторых других авторов, причем главное внимание уделялось сложности схем. Введем необходимые понятия и сформулируем результаты С.И. Ортюкова и Д. Улига. Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов в произвольном конечном полном базисе В = {е1, е2,..., ет }, т е N (множество всех функциональных элементов Е, функции которых е; принадлежат базису В, будем также называть базисом В [4]). Каждому элементу базиса Е; приписано положительное число v(E) - вес данного элемента. Сложность Ь(5) схемы S определяется как сумма весов всех входящих в нее элементов. Предполагается, что все элементы схемы независимым образом с вероятностью £ переходят в неисправные состояния. Ненадежность Р(5) схемы S определяется как максимальная вероятность ошибки на выходе схемы при всевозможных входных наборах. Надежность схемы S равна 1 - Р(5).

Вводится функция Шеннона Ьре (п) = шахштЬ(5), характеризующая

Р’ /5

сложность схем, реализующих функции от п переменных в базисе В, где минимум берется по всем схемам 5 из ненадежных элементов, реализующим функцию/(Х1, х2, ..., Хп) с ненадежностью Р(5) < р, а максимум - по всем булевым функциям / от п переменных.

Пусть р = шт(у( Е; )/(п( Е;) -1)), где минимум берется по всем элемен-

Е

там Е; базиса, для которых п(Е;) > 1, п(Е) - число существенных переменных

функции е;, реализуемой элементом Е, а v(E) - вес функционального элемента Е;, ;= 1,..., т. Число р называется приведенным весом.

С. И. Ортюков [2] для инверсных неисправностей на выходах элементов получил следующий результат: пусть 0 <е<£о , р > д(е), где - ми-

нимальное число надежных элементов, необходимое для реализации функции голосования g (Х1, Х2, Х3) = Х1Х2 V Х1Х3 V Х2Х3 в рассматриваемом базисе, д(е) -

2 2

некоторая функция такая, что д(е) = £ + 3е + о(е ) при е ^ 0. Тогда существует такая функция р(е) ^ р при е ^ 0, что Ьр е(п) < р(е) 2п /п.

Д. Улиг [3] для инверсных неисправностей на выходах элементов с вероятностью ошибки е доказал, что для любых, сколь угодно малых чисел с и Ь (с, Ь > 0) существует число е' (е' е (0, 1/2)) такое, что при любом е (ее (0, е/)), и любом р , удовлетворяющем условию р > (1 + Ь) е Lg (точнее

р > д(е) Lg), справедливо соотношение Ьре (п) < (1 + с)р2п /п.

Таким образом, в результатах работ С. И. Ортюкова и Д. Улига асимптотика функции Шеннона сохраняется с точностью до множителя, сколь угодно близкого к единице (при этом вероятность сбоя е ограничена кон-

стантой), т.е. найденные ими методы синтеза позволяют строить асимптотически оптимальные по сложности схемы, функционирующие с некоторым уровнем надежности.

С. В. Яблонский [5] рассматривал задачу синтеза надежных схем в базисе

B = {xi&x2, xivx2, Xi , g(Xi,X2,xз) }. Он предполагал, что элемент, реализующий функцию голосования g(xi,X2,Xз) = XiX2 v X2Xз v x^, абсолютно надежный, а конъюнктор, дизъюнктор и инвертор - ненадежные, подвержены произвольным неисправностям, ненадежность каждого из элементов не больше є. Им доказано, что для любого p > О существует алгоритм, который для каждой функцииf(xi, x2,

..., xn) строит такую схему S, что P(S) < p, L(S) < 2n-i /n .

Пусть Pf (f) = inf P(S), где инфимум берется по всем схемам S из не-

S

надежных элементов, реализующим функцию f(xi, x2, ..., xn). Схема A из ненадежных элементов, реализующая функцию f, называется асимптотически оптимальной по надежности, если P(A) ~ Pє(f) при є ^ О, т.е.

P

lim —є---= i (здесь P(A) — ненадежность схемы A, как и раньше

є^о P

P(A) = m^xPf^a)(A,a), где Py(j) (A, сі) - вероятность ошибки на входном

наборе сі схемы A, реализующей функцию f, максимум берется по всем входным наборам сі схемы A).

Заметим, что в приведенных результатах С. И. Ортюкова, Д. Улига и

С. В. Яблонского упоминается функция голосования. Более того, если (при инверсных неисправностях на выходах элементов) базис содержит эту функцию, то схемы С. И. Ортюкова, Д. Улига являются асимптоически оптимальными не только по сложности, но и по надежности.

Задача построения асимптотически оптимальных по надежности схем решена М. А. Алехиной [б] для однотипных константных неисправностей только на входах или только на выходах элементов и В. В. Чугуновой [7] для инверсных неисправностей на входах элементов в полных неприводимых базисах из двухвходовых элементов (т.е. не содержащих функции голосования), в том числе и для базиса {x & y, x v y, x}. Чтобы сформулировать полученные в [б, 7] результаты, введем необходимые определения.

Если неисправность такова, что элемент (реализующий в исправном состоянии приписанную ему булеву функцию) в неисправном состоянии, в которое переходит с вероятностью є (є є (0; i/2)), реализует константу 0, то она называется неисправностью типа О на выходе элемента. Если же элемент в неисправном состоянии реализует константу i, то такая неисправность называется неисправностью типа i на выходе элемента.

Если неисправность элемента такова, что поступающий на его вход нуль не искажается, а поступающая на его вход единица с вероятностью є (єє (0; i/2)) может превратиться в нуль, то она называется неисправностью типа О на входе элемента. Если же неисправность элемента такова, что поступающая на его вход единица не искажается, а нуль с вероятностью є может превратиться в единицу, то она называется неисправностью типа i на входе элемента.

Инверсные неисправности на входах элементов характеризуются тем, что поступающее на вход элемента значение а, ае {0, 1}, с вероятностью є может превратиться в значение а .

Ненадежность Р(5) схемы S, а также асимптотически оптимальная схема определяются так же, как для инверсных неисправностей на выходах элементов.

М. А. Алехиной [6] доказано, что в базисе {х & у, х V у, х} при однотипных константных неисправностях на выходах элементов и єе (0,1/11] почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью не больше

є + 2є2.

Доказано [6] также, что в базисе {х & у, х V у, х} при однотипных константных неисправностях на входах элементов и єе (0,1/25] почти все булевы

функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью не больше

є2 + 4є3.

Сложность предлагаемых схем (здесь и далее сложность схемы - число функциональных элементов в ней) в обоих случаях по порядку равна сложности минимальных схем, построенных только из надежных элементов, причем мультипликативные константы равны 40 и 504 соответственно.

М. А. Алехиной и В. В. Чугуновой [7] доказано, что в базисе {х & у, х V у, х} при инверсных неисправностях на входах элементов и

єе (0,1/150] почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью не больше

2є + 19є2.

Сложность этих предлагаемых схем по порядку также равна сложности минимальных схем, построенных только из надежных элементов, причем мультипликативная константа равна 336.

А. В. Васиным [8] доказано, что в базисе {х & у, х V у, х} при инверсных неисправностях на входах элементов и єе (0,1/128] почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью не больше

3є + 32є2.

Сложность предлагаемых А. В. Васиным схем по порядку также равна сложности минимальных схем, построенных только из надежных элементов, причем мультипликативная константа равна 3.

Из результатов С. И. Ортюкова, Д. Улига и А. В. Васина следует, что наличие в базисе функции голосования приводит к построению асимптотически оптимальных по надежности схем с тривиальной оценкой ненадежности, асимптотически равной є при є ^ 0. Таким образом, при инверсных неисправностях на выходах элементов использование функции голосования для повышения надежности схем приводит к лучшим оценкам (примерно в 3 раза, см. оценку (4)).

Исторически сложилось так, что впервые были исследованы инверсные неисправности на выходах элементов. А при этих неисправностях элементов,

как было показано выше, наличие функции голосования дает хорошие результаты. Поэтому традиционно считалось, что наличие в базисе функции голосования обеспечивает наименьшую оценку ненадежности схем. Ответ на вопрос, верно ли это предположение при других неисправностях элементов, отличных от инверсных неисправностей на выходах элементов, получен в этой статье.

1 Вспомогательные утверждения

Рассмотрим задачу реализации булевых функций надежными схемами из ненадежных функциональных элементов в базисе В = { g(х1, х2, х3), х1 V х2 V х3 , х1 & х2 & х3, х }, содержащем функцию голосования, трехместную конъюнцию, трехместную дизъюнкцию и инверсию. Для решения задачи будем использовать два разных метода повышения надежности схем: первый -с использованием дизъюнкции и конъюнкции, а второй - с использованием функции голосования. Сравним полученные оценки ненадежности схем в трех случаях: 1) в случае инверсных неисправностей на входах элементов;

2) в случае однотипных константных неисправностей на выходах элементов;

3) в случае однотипных константных неисправностей на входах элементов.

Будем считать, что схема реализует булеву функцию у(хь х2, ..., хп), если при поступлении на входы схемы набора а = (аь а2, ..., ап) при отсутствии неисправностей на выходе схемы появляется значение /(а).

Лемма 1 [6]. Пусть ц - ненадежность схемы, реализующей штрих Шеффера х|у. Если це (0, 1/160], то любую булеву функцию / можно реализовать такой схемой S, что Р(У) < 4ц.

Лемма 2 [9]. Пусть Б - полный конечный базис в Р2. Пусть функция / реализована схемой над Б с ненадежностью не более р. Пусть О - схема над Б, реализующая функцию голосования g (х1, х2, х3) = хх V х2 х3 V х^3 с ненадежностью не больше р, причем VI;) - вероятность ошибки схемы О на наборе (1,1,1), а VI - на наборе (0,0,0). Тогда схема ¥(£) (рис. 1) реализует функцию/с ненадежностью Р(¥(У)) < шах{^,у0} + 6р .

Рис. 1

2 Инверсные неисправности на входах элементов

Пусть базис В ={ g(Х1, Х2,Х3), Х1 V Х2 V Х3 , Х1 & Х2 & Х3, Х1}. Предполагается, что входы всех базисных элементов независимо друг от друга с вероятностью ее(0; 1/2) подвержены инверсным неисправностям. Доказано [10], что при использовании инвертора и трехместных конъюнктора и дизъюнкто-

ра при ее(0, 1/200] можно все функции реализовать схемами, функционирующими с ненадежностью не больше 38 + 5е2. Получены [10] также нижние оценки ненадежности схем для почти всех функций. Из этих результатов следует, что для почти всех функций асимптотически оптимальные по надежности схемы, построенные над базисом { Х1 V Х2 V Х3, Х1 & Х2 & Х3, Х1}, функционируют с ненадежностью, асимптотически (при 8^0) равной 38.

Рассмотрим второй метод повышения надежности с использованием элемента голосования и докажем теорему 1.

Лемма 3. В базисе В при 8е (0, 1/640] любую булеву функцию/можно реализовать схемой 8 такой, что Р(8) < 168.

Доказательство следует из леммы 1, поскольку для реализации х\у достаточно двух элементов (конъюнктора и инвертора).

Теорема 1. При 8 е(0, 1/640] любую булеву функцию можно реализовать схемой А такой, что Р(А) < 3,03 82.

Доказательство. Возьмем три экземпляра схемы 8, реализующей функцию / и удовлетворяющей лемме 3, и соединим их выходы со входами элемента голосования О (рис. 1). Нетрудно найти значения VI = v0 = 38 - 28 -вероятностей ошибок элемента голосования на наборах (0,0,0) и (1,1,1) соответственно. К построенной схеме ¥(8) применим лемму 2. Тогда

Р(¥(8)) < 3е2 + 1536е2 = 1539е2 . По схеме ¥(8) построим схему ¥2(8) и снова применим лемму 2. Тогда Р(¥2(8)) < 3е2 + 35е2 = 38е2 . По схеме ¥2(8) построим схему ¥3(8) и еще раз применим лемму 2. Тогда Р(¥3 (8)) < 3е2 + 0,03е2 = 3,03е2 .

Теорема 1 доказана.

Таким образом, оказалось, что использование элемента голосования при инверсных неисправностях на входах элементов (как и в случае инверсных неисправностей на выходах элементов) приводит к лучшему результату, чем использование инвертора и трехместных конъюнктора и дизъюнктора. Тот же вывод можно сделать и при использовании двухвходовых конъюнкто-ра и дизъюнктора (см. (3)).

3 Однотипные константные неисправности на выходах элементов

Пусть базис В ={ g(Х1,Х2, Х3), Х1 V Х2 V Х3, Х1 & Х2 & Х3 , Х1}. Предполагается, что все элементы базиса независимо друг от друга с вероятностью ее(0; 1/2) подвержены неисправностям типа 0 на выходах. Известно [6], что при этих неисправностях любая схема, реализующая неконстантную функцию, имеет ненадежность не меньше 8. Отождествляя переменную х3 с переменной х2, из трехместных конъюнктора и дизъюнктора получим двухместные конъюнктор и дизъюнктор. Воспользуемся результатом (1), из которого следует, что асимптотически оптимальные по надежности схемы могут быть построены с помощью трехместных конъюнктора и дизъюнктора и функционируют с ненадежностью, асимптотически (при 8^0) равной 8.

Рассмотрим второй метод повышения надежности с использованием элемента голосования (рис. 1) и докажем теорему 2.

Лемма 4. В базисе В при 8е (0, 1/320] любую булеву функцию/можно реализовать схемой 8 такой, что Р(8) < 88.

Доказательство следует из леммы 1, поскольку для реализации x\y достаточно двух элементов (конъюнктора и инвертора).

Теорема 2. При se(0, 1/320] любую функцию можно реализовать схемой A такой, что P(A) < s+9s2.

Доказательство. Возьмем три экземпляра схемы S, реализующей функцию f и удовлетворяющей лемме 4, и соединим их выходы со входами элемента голосования G

применим лемму 2. Тогда P(¥(S)) <£ + 384е . По схеме ¥(S) построим схе-

2 2 2 му ¥ (S) и снова применим лемму 2. Тогда P(¥ (S)) < £ + 9е .

Теорема 2 доказана.

Поскольку при рассматриваемых неисправностях любая схема, реализующая неконстантную функцию, имеет ненадежность не меньше s, то из теоремы 2 следует, что использование элемента голосования также позволяет строить асимптотически оптимальные по надежности схемы, которые функционируют с ненадежностью, асимптотически (при s^0) равной s.

Известно, что ненадежности двойственных схем равны [6], поэтому полученные результаты верны в базисе B при неисправностях типа 1 на выходах элементов.

Таким образом, оказалось, что применение каждого из двух рассмотренных методов при однотипных константных неисправностях на выходах элементов приводит к построению асимптотически оптимальных по надежности схем с ненадежностью, асимптотически (при s^0) равной s.

4 Однотипные константные неисправности на входах элементов

Пусть базис B ={ g(x1,Х2,Х3), Х1 v X2 v X3 , X1 & X2 &X3, X1}. Предполагается, что входы всех базисных элементов независимо друг от друга с вероятностью £e(0; 1/2) подвержены неисправностям типа 0. Известно [11], что при этих неисправностях любая схема, реализующая неконстантную функцию, имеет ненадежность не меньше s3. Доказано [11], что при использовании трехместных конъюнктора и дизъюнктора при se(0, 1/10] можно произвольную функцию реализовать схемой с ненадежностью s3 + 5s4. Из этих результатов следует, что асимптотически оптимальные по надежности схемы могут быть построены с помощью трехместных конъюнктора и дизъюнктора и функционируют с ненадежностью, асимптотически (при s^0) равной s3.

Рассмотрим второй метод повышения надежности с использованием элемента голосования (рис.1) и докажем теорему 3.

Лемма 5. В базисе B при se (0, 1/640] любую булеву функцию f можно реализовать схемой S такой, что P(S) < 16s.

Доказательство следует из леммы 1, поскольку для реализации X\y достаточно двух элементов (конъюнктора и инвертора).

Теорема 3. При se (0, 1/640] любую булеву функцию можно реализовать такой схемой A, что P(A) < 3,03s2.

Доказательство. Возьмем три экземпляра схемы S, реализующей функцию f и удовлетворяющей лемме 5, и соединим их выходы со входами элемента голосования G (рис. 1). Нетрудно вычислить вероятности ошибок

для элемента голосования Vi = 0 , v0 = 3s2-2s3 на наборах (0,0,0) и (1,1,1) соответственно. К построенной схеме ¥(S) применим лемму 2. Тогда P(¥(S)) < 3£2 + 153б£2 = 1539£2. По схеме ¥(S) построим схему ¥2(S) и

2 2 2 2 снова применим лемму 2. Тогда P(¥ (S)) < 3£ + 35£ = 38£ . По схеме

¥2(S) построим схему ¥3(S) и еще раз применим лемму 2. Тогда

P(¥3 (S)) < 3£2 + 0,03£2 = 3,03£2 .

Теорема 3 доказана.

Очевидно, дальнейшее увеличение числа итераций в теореме 3 не приведет к существенному снижению уже полученного значения ненадежности. Поэтому второй способ повышения надежности схем, использующий элемент голосования, дает худший (по сравнению с первым способом, в котором используются дизъюнктор и конъюнктор) результат и не приводит к построению асимптотически оптимальных по надежности схем. Таким образом, при неисправностях типа 0 на входах элементов использование элемента голосования для повышения надежности схем «напрямую», без применения более тонких методов, дает худшие результаты по сравнению с предложенными в работе [11] методами. Заметим также, что использование двухвходовых конъюнктора и дизъюнктора для повышения надежности схем дает лучший результат (см. формулу (2)), чем непосредственное использование элемента голосования.

Известно, что ненадежности двойственных схем равны [6], поэтому полученные результаты верны в базисе B при неисправностях типа 1 на входах элементов.

Отметим, что при различных неисправностях (инверсных на входах и однотипных константных на выходах) результаты получились одинаковые (см. теоремы 1 и 3).

Выводы

Анализируя полученные результаты в базисе { g (X1, X2, X3), X1 v X2 v X3 ,

X1 & X2 & X3, X1}, можно дать следующие рекомендации для решения задачи повышения надежности схем:

1. При инверсных неисправностях на входах элементов использовать элемент голосования для повышения надежности схем.

2. При однотипных константных неисправностях на входах элементов использовать для повышения надежности схем трехместные конъюнкторы и дизъюнкторы.

3. При однотипных константных неисправностях на выходах элементов вышеупомянутые методы дают одинаковые результаты, т.е. для повышения надежности схем можно использовать и тот, и другой методы.

Список литературы

1. Neuman von J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components / J. von Neuman // Automata studies / edited by C. Shannon, Mc. J. Carthy. - Princeton : Princeton University Press, 1956. - (Русский перевод: Автоматы. - М. : ИЛ, 1956. - С. 68-139).

2. Ор тюков, С. И. Об избыточности реализации булевых функций схемами из ненадежных элементов / С. И. Ортюков // Труды семинара по дискретной математике и ее приложениям (Москва, 27-29 января 1987 г.). - М. : Изд-во Моск. ун-та, 1989. - С. 166-168.

3. Uhlig, D. Reliable networks from unreliable gates with almost minimal comlexity /

D. Uhlig // Fundamentals of Computation Theory : Intern. TOnf. FCT'S7 (Kazan, June i9S7). - Berlin : Springer-Verl., i9S7. - P. 4б2-4б9. - (Lecture Notes in Comput. Sci.; V. 27S). - (Русский перевод: Автоматы. - М. : ИЛ, і956. - С. 6S-139).

4. Лупанов, О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем / О. Б. Лупанов. - М. : Изд-во МГУ, i9S4.

5. Яблонский, С. В. Асимптотически наилучший метод синтеза надежных схем из ненадежных элементов / С. В. Яблонский // Banach Center. - i9S2. - № 7. - P. ii-i9.

6. Алехина, М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем из ненадежных элементов : монография / М. А. Алехина. - Пенза : Информационноиздательский центр ПензГУ, 200б.

7. Алехина, М. А. Об асимптотически наилучших по надежности схемах в базисе {й, v, } при инверсных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехи-

на, В. В. Чугунова // Дискретный анализ и исследование операций. - 200б. - Т. i3.

- № 4. - С. 3-i7. - (Серия i).

S. Васин, А. В. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {xйy, xvy ,x} при инверсных неисправностях на выходах элементов / А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки.

- 200S. - № 4. - С. 3-S.

9. Алехина, М. А. Верхние оценки ненадежности схем в некоторых базисах при инверсных неисправностях на выходах элементов / М. А. Алехина, А. В. Шилов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 200б. - № 5 (2б). -С. 4-i2. - (Естественные науки).

10. Чугунова, В. В. Об асимптотически оптимальных по надежности схемах в базисе {x v y v z, x й y й z, x} при инверсных неисправностях на входах элементов /

В. В. Чугунова // Математические заметки. - 2009. - №i.

11. Алехина, М. А. О надежности схем в базисе {x v y v z, x й y й z, x} при однотипных константных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина // Дискретная математика. - 200б. - Т. iS. - Вып. i. - С. 1і6-125.