Применение теории сетевого исчисления к исследованию систем массового обслуживания с обратной связью

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ СЕТЕВОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Кудрявцева Екатерина Николаевна,

ФГОБУ ВПО Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Россия, г. Самара; ООО "НетКрэкер", г. Самара, руководитель группы моделирования оборудования, kenzayac@rambler.ru

Росляков Александр Владимирович,

ФГОБУ ВПО Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой автоматической электросвязи, Россия, г. Самара, arosl@mail.ru

Ключевые слова: система M/M/l, системы массового обслуживания с обратной связью, теория сетевого исчисления, кривая поступления заявок, кривая обслуживания, граничные оценки.

В настоящий момент огромный импульс развития получили мультисервисные пакетные сети. Классическая теория массового обслуживания (ТМО) для таких сетей принимает ряд допущений, которые значительно облегчают проведение аналитических исследований, но могут привести к недооценке реальных характеристик качества обслуживания QoS. Это является следствием того, что основные узлы реальных мультисервисных пакетных сетей должны быть представлены в виде систем массового обслуживания (СМО) общего вида G/G/1 в обозначениях Кендалла Башарина. Также, в большинстве, случаев такие СМО имеют обратную связь. Например, обращение к базе данных в процессе обслуживания гибким коммутатором (Softswitch) вызовов на бесплатный номер "800", либо обращение центра коммутации мобильной связи MSC к базам данных регистра местоположения HLR, регистра перемещений VLR, центра аутентификации AUC и т.д.

Рассмотрена система массового обслуживания с обратной связью класса М/М/1 и проведен анализ ее характеристик на основе классической ТМО. Достоверность полученных результатов подтверждена методом статистического имитационного моделирования. Представлены основные определения теории сетевого исчисления и аналитические выкладки, показывающие простоту расчета граничных оценок QoS для системы массового обслуживания с обратной связью.

Произведено сравнение результатов анализа характеристик СМО М/М/1 с обратной связью с использованием классической ТМО, имитационного моделирования и теории сетевого исчисления.

Для цитирования:

Кудрявцева Е.Н., Росляков А.В. Применение теории сетевого исчисления к исследованию систем массового обслуживания с обратной связью // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2015. - №1. - С. 17-21.

For citation:

Kudryavtseva E.N., Roslyakov A.V. The application of Network Calculus to a research of queuing systems with feedback // T-Comm. 2015. No.1. Рр. 17-21.

r I л

Введение

В телекоммуникациях достаточно широко распространены системы массового обслуживания (СМО) с обратной связью. Ниже перечислена лишь малая доля примеров СМО с обратной связью:

1. Гибкий коммутатор (Softswitch), который обрабатывает обычные телефонные звонки и звонки на бесплатные номера «800», последние из которых требуют доступа к базе данных для определения реального телефонного номера вызываемого абонента. Таким образом, из общего потока часть заявок на обслуживание (звонки на номер «800») возвращаются на вход гибкого коммутатора, создавая тем самым дополнительный поток входящих заявок (поток обратной связи).

2. Сигнальный шлюз, где поток обратной связи создают ответные сигнальные сообщения АСМ и ANM протокола ОКС№7,

3. Системы обслуживания, которые состоят из нескольких устройств, заявки (сообщения) от которых поочередно обращаются к определенному центру обслуживания. Например, маршрутизатор, где каждая заявка обращается к процессору за адресом следующего маршрутизатора.

4. В мобильных сетях обращение центров коммутации MSC к регистрам местоположения HLR, перемещений VLK, центрам аутентификации AUC и т.д.

Существует ряд проблем при исследовании СМО с обратной связью, В первую очередь это то, что поступающий на вход системы Пуассоновский поток событий перестает быть таковым при присоединении к нему потока заявок обратной связи, закон распределения интервалов между которыми отличен от экспоненциального и как следствие традиционная ТМО [I] не дает возможности аналитически получить характеристики качества обслуживания заявок в системе.

Поступление заявок и их возврат по петле обратной связи на вход обслуживающего устройства происходит в случайные моменты времени и для своевременного обслуживания таких заявок требуется случайная часть ограниченного ресурса обслуживающего узла (в роли обслуживающего узла могут выступать серверы, маршрутизаторы, персональные компьютеры, коммутаторы, гибкие коммутаторы, шлюзы и т.д.) или случайное время его использования. Это является основной причиной того, что исследования данных процессов обслуживания, как правило, производятся в рамках теории случайных процессов. В большинстве случаев изучение таких процессов подразумевает под собой применение достаточно сложного математического аппарата, что делает полученные результаты доступными далеко не всем инженерам, потенциально заинтересованным в их применении к исследованию реального объекта [2].

Рассмотрим обобщенные схемы узла обслуживания с обратной связью для экспоненциальных распределений интервалов между заявками во входящем потоке и времени обслуживания заявок в виде системы М/М/1 с обратной связью в терминах классической ТМО и теории сетевого исчисления (ТСИ) .

Математическая модель СМО М/М/1 с обратной связью в терминах классической ТМО

На вход системы (рис, I) поступает Пуассоновский поток заявок с интенсивностью ^ , Заявка ожидает своей

очереди обслуживания в бесконечном буфере. Обслуживание заявки происходит в элементе обслуживания с интенсивностью по экспоненциальному закону в порядке их поступления на вход "первым пришёл - первым ушёл" (FIFO). С выхода первого элемента обслуживания заявки уходят из системы с вероятностью р, либо с вероятностью I - р поступают по обратной связи на второй элемент обслуживания (например, поиск номера в базе данных гибкого коммутатора). Через элемент обслуживания обратной связи с интенсивностью обслуживания заявки снова поступают на вход системы с интенсивностью

х,Л~р)

'•V

о

1 -р

Рис. I. Система М/М/1 с обратной связью

Так как обслуживание заявок с интенсивностью происходит по экспоненциальному закону, то поток обратной связи с интенсивностью Л2 также подчиняется экспоненциальному закону распределения. Следовательно, суммарный поток, поступающий на вход системы Л = +Л2 также подчиняется экспоненциальному закону распределения.

Таким образом, получаем следующие характеристики системы:

I. Среднее число заявок, находящихся на обслуживании:

- в приборе I:

1 +

1

Р\

Mi

- в приборе 2:

1 -р

Л,

Рг ='

Mi

Р

1 -р

Mi

Л

где р = — - загрузка обслуживающего прибора I без

М\

учета обратной связи.

2, Среднее время ожидания заявок в очереди:

- к прибору I: щ = --Р——;

\Р ~ Р)М 1

- к прибору 2: щ =—-0-—-

МгУЬР-Ц-РмР)

3.

4. Среднее время пребывания заявок:

- в приборе I: и, = и', + — !

М

- в приборе 2: и2 =-и>2 + —

Рг

5. Длина очереди:

2

- к прибору I: = —Р.—

- к Прибору 2: I =

(1 -pymïp2

р/4-0-р)м\р)

Исходя из выше представленных выражений, получаем, что заявки, которые не обращались к прибору обратной связи, будут находиться в системе в среднем

о 1

(р-р)м

Mi

50

р = 05 р= 0-7 :/ Р = 0.9 -

0.1 0.2 0.3 0 4 0.5 0.6 0.7 0.0 Среднее время пребывания заявок в приборе 2

0.9

0.2 0.3 0 4 0.5 0.6 Загрузка системы

Рис, 2. Среднее время пребывания заявок в приборах I и 2 при различных значениях вероятности прохождения заявки минуя петлю обратной связи

Математическая модель СМО М/М/1 с обратной

связью в терминах теории сетевого исчисления

Как показано в [3], теория сетевого исчисления Network Calculus (ТСИ) представляет собой теорию, основанную на идемпотентной алгебре, и используется для оценки верхних границ показателей качества обслуживания QoS СМО с очередями (таких как загрузка системы, задержка заявок в системе и т.д.).

Напомним основные определения ТСИ.

Детерминированная кривая поступления заявок a(t - г) на любом интервале (г,/] определяется неравенством:

x(r,t)<a(t-r), где x{r,t)= X{t)—Х{т) - процесс поступления заявок в систему.

Стохастическая кривая поступления заявок е терминах объёма трафика а (t - г) для всех 0 < Т < t, .х: > 0 определяется неравенством:

P{x{T,t)-aiV{t-r)>x\<f{x)

Для Пуассоновского процесса поступления заявок с интенсивностью Я на любом интервале времени (г,/ + г] для любых ,v>0 процесс поступления заявок удовлетворяет неравенству в соответствии с [5]:

А в целом с учетом обратной связи заявки будут находиться в системе в среднем

и Ч1 ~р)РлР_ | " , я + 1

Рг&гР Р)Р\Р) Рг Л На рис. 2 представлены графики зависимостей средних длительностей пребывания заявок в приборах I и 2 от интенсивности поступления заявок для различных значений вероятности того, что заявка будет обслужена без обращения к обслуживающему прибору обратной связи. На графиках представлены результаты расчетов (сплошные линии) и статистического имитационного моделирования (пунктирные линии).

Среднее время пребывания заявок в приборе 1

100

P{x{T,t + r)-Àt>x}< У -

W

k\

Кривая обслуживания ${() для входящего в систему потока заявок X(г) и потока заявок, покидающих систему определяется выражением:

где МГхМ+^-г)].

Стохастическая кривая обслуживания З^и) для всех />0 и всех х>0 определяется следующим неравенст-

вом:

где (л~) - ограничивающая функция.

На основе метода оценки кривой обслуживания, представленного в [4], определим максимальное время пребывания заявки в системе М/М/1 с обратной связью (рис. 3).

В,

х2

е

1 -р

Рис. 3, Модель СМО М/М/М/1 с обратной связью в обозначениях теории сетевого исчисления

7ТЛ

Модель обслуживания каждого из приборов I и 2 описывается строгой стохастической кривой обслуживания в соответствии с [5] для всех ! > 0 и всех Л" > 0:

P{Sl{t,t+z)<tixT-x}<.\-e w ,

. , ч .

(f,/ + г) < //.г - л:} < 1 - е & .

Пусть ' - время поступления заявки на вход очереди системы обслуживания I или 2, t" - время ухода заявки из системы обслуживания I или 2, Таким образом, в терминах ТСИ максимальное (граничное) время пребывания заявки в системе для всех t > 0 будет определяться как:

W = sup

Характер данных аналитических выражений легче всего проследить с использованием статистического имитационного моделирования, результаты которого представлены на рис. 4.

Среднее л максииальюе время пребывания ээчок s приборе обслумчеанкя 1

Среднее и uwkuaflbMoe ереия пребы&амин занес* е приборе обсл|*иеэгая 1

Рис. 4. Результаты расчета и статистического имитационного моделирования

Для оценки точности границ, полученных с помощью ТСИ, сравним результаты расчетов и граничные результаты статистического имитационного моделирования (табл. 1} для СМО с обратной связью со следующими параметрами:

- интенсивность поступления заявок на вход системы

Л, = 0,6 заявок/ед. вр.;

- интенсивность обслуживания заявки прибором 1

//, = 1 заявок/ед.вр.;

- интенсивность обслуживания заявки прибором 2

= ! заявок/ед.вр.

Таблица I

Характе- Прибор обслуживания 1 Прибор обслуживания 2

ристика М/М/1 М/М/1 ТСИ М/М/1 М/М/1 ТСИ

расчёт эксперимент расчёт эксперимент

P 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60

w, ед. вр. 6,00 7,83 12,57 0,35 0,10 0,34

и , ед.вр 7,00 8,83 13.71 1,35 1,10 1.24

Из таблицы видно, что граничные оценки временных характеристик, полученные с использованием теории сетевого исчисления, достаточно хорошо согласуются с результатами, полученными на основе классической ТМО.

Заключение

Проведенные исследования показали, что теория сетевого исчисления может быть использована для получения граничных оценок качества обслуживания систем M/M/S с обратной связью, как альтернатива теории массового обслуживания. Теория сетевого исчисления предоставляет простой математический аппарат и аналитические выражения для исследования систем, как "чёрных ящиков". Следовательно, с помощью данной теории можно получить граничные оценки параметров QoS для таких систем обслуживания, как G/M/I и G/G/I, исследование которых затруднено или практически не осуществимо методами классической ТМО. Эти аспекты планируется рассмотреть в следующих работах.

Литература

1. Клейнрок, Л. Теория нассового обслуживания. - М.: Машиностроение, 1979. - 430 с.

2. Syski, R. A personal view of queueing theory. - Frontiers in Queueing. - Boca Raton - New York - London - Tokyo: CRC Press, Inc., 1997. - Pp. 3-18.

3. Кудрявцева E.H., Росляков А.В. Базовые принципы и перспективы использования теории сетевого исчисления {Network Calculus) // Инфокоммуникационные технологии. - 2013. - Т. 12, №3. - С. 34-39.

4. Alcuri, L, G. Barbera, G. D'Acquisto. Service Curve Estimation by Measurement: An Input Output Analysis of a Softswitch Model // Interfaces. Marketing and Engineering Issues in the Supply Chain and Internet Domains / A.K. Chakravarty, J. Eliashberg. -Springer, 200S. - Pp. 49-60.

5. jiang Y„ Liu Y. Stochastic Network Calculus. - London: Springer-Verlag, 2008. - 229 p.

-Comm #1-2015

COMMUNICATIONS

THE APPLICATION OF NETWORK CALCULUS TO A RESEARCH OF QUEUING SYSTEMS WITH FEEDBACK

Ekaterina Kudryavtseva

PSUTI, postgraduate; LLC "NetCracker Technology Corp.", group leader of Equipment Modeling Group, Russia,

kenzayac@rambler.ru

Alexander Roslyakov,

PSUTI, Full Doctor, professor, Head of Department of Telecommunication automatic, Russia,

arosl@mail.ru

Abstract

By the present time the multiservice packet networks have taken a huge impulse in a development. The classic queuing theory accept the set of assumptions for such networks that make easier analytic researches, but can cause an underestimation of the real characteristics of quality of service (QoS). This is a consequence of the fact that real multiservice packet network and its main nodes should be presented by general queuing systems G/G/1 in Kendall-Basharin terms. Also in the most cases such queuing systems have feedback. For example, an access to data base under receiving of call to free number "800" by softswitch or an access of a Mobile Switching Center to data bases of Home Location Register (HLR), Visitor Location Register (VLR), Autentification Center (AUC), etc.

The queuing system with feedback of M/M/1 class is presented in the article and its characteristics is made based on classic Queuing Theory. Reliability obtained results is confirmed by statistic simulation method. Main definitions of the Network Calculus theory and analytical calculations showing an ease of a computation of the bound QoS for the queuing system with feedback are presented here.

In the conclusion it is made compare result of QoS characteristic analysis under using classic Queuing Theory, simulation and Network Calculus theory.

Keywords: M/M/1 system, queuing systems with feedback, Network Calculus, arrival curve, service curve, bound estimates.

References

1. Kleinrock, L. (1979), Queuing Theory, Moscow, Mechanical Engineering. [in Russian]

2. Syski, R. (1997) "A personal view of queueing theory", Frontiers in Queueing. Boca Raton - New York - London - Tokyo: CRC Press, Inc. - Pp. 3-18.

3. Kudryavtseva, E.N. and Roslyakov, A.V. (2013), "Base principles and prospects of using Network Calculus", Infocommunication Technology Journal, Vol. 12 No. 3, pp. 34-39. [in Russian]

4. Alcuri, L., Barbera G. and D'Acquisto (2005), "Service Curve Estimation by Measurement: An Input Output Analysis of a Softswitch Model", Interfaces. Marketing and Engineering Issues in the Supply Chain and Internet Domains in Chakravarty, A.K. and Eliashberg, J. (Ed.) - Springer, pp. 49-60.

5. Jiang Y. and Liu Y. (2008) "Stochastic Network Calculus", London, Springer-Verlag.

T-Comm #1-2015