Численные методы в дидактических исследованиях как инновационный фактор объективизации и доказательности образовательных результатов

Вестн. Моск. ун-та. Сер. 20. Педагогическое образование. 2017. №1

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ РАЗМЫШЛЕНИЯ

численные методы в дидактических исследованиях как инновационный фактор объективизации и доказательности образовательных результатов

В. М. Монахов

Почему в эпоху стандартизации, технологизации, информатизации модернизируемое образование продолжает использовать методологию вековой давности? Как сегодня складываются взаимоотношения между царицей наук математикой и дидактикой? Почему педагоги-исследователи продолжают удовлетворяться грубо приближенной методологией, но проценты достоверности результатов эксперимента в диссертациях вычисляют до сотых, а иногда и до тысячных? Какой может и должна быть методология нормального инструментального дидактического исследования?

Ключевые слова: инструментальная методология дидактики, итерационные методы, педагогическая технология проектирования педагогических объектов с заданными свойствами, технологизация и информатизация методической системы обучения.

Статья подготовлена при поддержке гранта РГНФ № 16.06-00939 «Интеграция педагогических и информационных технологий при проектировании системы методического сопровождения функционирования образовательных стандартов».

Может быть вернуться к 1654 г . эпохи, когда великий прогнозист человечества не только своего времени, но и сегодняшнего, Ян Амос Коменский произнес: «Видимо в будущем человечество придумает дидактическую машину, которая сделает процесс обучения безусловно успешным»? В настоящей статье представлены численные методы и инструментальная методология современной дидактики в понимании выпускника физического факультета МГУ, а затем мехмата МГУ, прослушавшего полные курсы лекций Н . В . Ефимова, А . Н . Тихонова, И . С . Березина и Н . П . Жидкова, и перешедшего в методику и педагогику, где в течение 55 лет с творческим научным удовлетворением занимался методикой обучения математике и информатике . Далее приведены и описаны основные полученные автором научные результаты этих

занятий . Начнем с вопроса-размышления: почему даже в медицине появился термин «Доказательная медицина», а в методике обучения математике - нет?! Действительно, к нашему сожалению в современной методике (тем более дидактике) такие основополагающие понятия, как правило, закон, доказательство не входят в систему собственно методических понятий! Отсюда прогрессирующая аморфность в построении любой методики или, что в своё время правильно критиковал Б . С . Гер-шунский в трактате «Философия образования в XXI веке», примитивизм и невнятная беспомощность так называемых законов, на которые опиралась методика прошлого века (или может быть делала вид, что опирается). Так возникла в общем-то продуктивная идея вспомнить и систематизировать за полвека свои работы по созданию численных методов инструментального обеспечения методических и дидактических исследований, что четко обозначено в названии статьи!

1. Численные методы дидактических и методических исследований, разработанные и апробированные научной школой автора

1 . Итерационные методы исследования дидактических и методических проблем, в основе которых лежит матричный подход [8]. Технология проектирования первоначальной модели исследуемого педагогического объекта [8, 9], уже была представлена в данном журнале!

2. Инструментальная методология и авторская педагогическая технология внутримодельных исследований в методике и дидактике [5, 13].

3 . Авторская педагогическая технология проектирования методических систем обучения с наперед заданными свойствами [4, 6].

4. Инструментально-исследовательский потенциал педагогических технологий, в первую очередь, технологий проектирования таких педагогических объектов, как учебный процесс, методическая система обучения, траектория профессионального становления специалиста - учителя-предметника [1]

5. Методология и численные методы оптимизации в методических и дидактических исследованиях [13].

6 . Технология проектирования «Специальной системы методического сопровождения нормального функционирования ФГОС», включающая создание технологического мониторинга, систематизирующего и сохраняющего всю учебно-методическую информацию о функционировании ФГОС второго поколения [10].

7 . Методология нечеткой математики и методы нечеткого моделирования психолого-социальных процессов . Инструментальные методы нечеткого моделирования при исследовании методико-социальной проблематики [1]

8 . Синергетика и проблемы саморазвития и самоорганизации педагогических и методических систем [11, 12]

9 . Создание и внедрение современной инструментальной модели методической системы обучения математике и информатике [8].

II. Инструментализация процесса моделирования и проектирования методической системы обучения математике.

В начале прошлого века три страны в мире могли гордиться своим школьным математическим образованием . Это были Франция, Германия, Россия . Во второй половине ХХ в . и Франция, и Германия утратили свои лидерские позиции . Наша школьная математика и отечественная методика обучения математике фактически стала эталоном для многих стран мира . Не случайно академик Н . Н . Моисеев в девяностые годы писал, что от СССР нам досталось самое дорогое наследство - система «советский учитель»! Как восстановить систему подготовки легенды отечественного образования - учителя математики, а не функционера «образовательных услуг»? Профессионально надо заметить, что традиционно методика обучения математике была самой прогрессивной среди других школьных методик. Ядром любой методики является методическая система обучения - МСО, которая В . П . Беспалько была названа главным слагаемым педагогической технологии. В последние тридцать лет школьное образование подвергается воздействию таких глобальных факторов и тенденций, как компьютеризация, стандартизация, технологизация, информатизация. Еще в XX в . центр тяжести совершенствования математического образования был перенесен с содержания на совершенствование методической составляющей! Проследим в некой хронологии происшедшую эволюцию МСО, акцентируя внимание на позитивных изменениях в профессиональной деятельности учителя математики, часто называемых инновационными

1 . Серьезным шагом в технологизации и инструментализации методической системы обучения стало введение седьмого компонента «управление» в модель методической системы обучения (у В . П . Беспалько в его дидактической системе было шесть компонентов), а предложение трактовать управление как управленческий процесс фактически стало началом поиска альтернативных инновационных структур управленческого процесса и исследование перспектив автоматизации самого управленческого процесса как перевод процесса управления на язык «обыкновенной» технологической карты [1]. Напомним структуру и компонентный состав методической системы обучения: методическая задача (цель, содержание, учащийся), технология решения методической задачи (учебный процесс, организационные формы, учитель) и управление

2. Разработка и внедрение в учительскую среду самодостаточного понятия модели учебного процесса как важнейшего компонента МСО . Универсальная (для любого школьного предмета) параметрическая модель учебного процесса, созданная автором этой статьи, состоит

из пяти параметров - целеполагание, диагностика, коррекция, дозирование, логическая структура [1].

3 . Инновационное изобретение стандартизированной технологической карты - ТК, как проекта будущего учебного процесса в границах учебной темы . В основу технологической карты положена параметрическая модель учебного процесса [7]. Главные методические инновации технологической карты:

• структура содержания ТК продиктована структурой модели будущего учебного процесса (пять параметров, которые при проектировании последовательно проявляются!);

• само содержание представляется тремя составляющими:

- первая - диагностика - это то, что будет диагностироваться;

- вторая - дозирование - это то, что обеспечивает гарантирован-ность успешного прохождения диагностики;

- третья составляющая - это коррекционная профилактика прогнозируемых затруднений и типичных ошибок учащихся при освоении содержания

Важнейшим нюансом всей этой описываемой профессиональной деятельности является обязательное участие самого учителя при формировании и проектировании учебного содержания!! Именно это «де-факто» современной методической культуры учителя в условиях функционирования ФГОС второго поколения! Так происходит инновационное представление содержания в целесообразно подготовленном и обработанном виде для технологического мониторинга качества его усвоения учащимся.

Сам «учебный процесс» представляется в виде проекта, состоящего из технологических карт, в которых каждая микроцель оперативно диагностируется, ведется постоянный технологический мониторинг образовательных результатов всех диагностик и визуализация результатов учебного процесса в виде индивидуальных траекторий каждого обучаемого (обучаемый сам сравнивает свою желаемую траекторию с реально выданной компьютером) и спектрального портрета класса в целом (более того, учитель получает с компьютера распечатанные конкретные методические рекомендации по улучшению уже использованного проекта учебного процесса) [1].

4. Систематизация огромного опыта учителей в созданной методической энциклопедии типичных ошибок, содержание которой стало фактически цивилизованным наказом учительства методической науке рассматривать понятие типичной ошибки как объективный фактор дальнейшего развития самой методики обучения математике [10]

5. Появление и внедрение инновационного вида методической работы учителя с собственно моделью учебного процесса - с его логической структурой. Создание для учителя педагогической технологии

оптимизации и логической структуры, и технологической карты! Результаты проведенного исследования взаимодействия двух технологических документов МСО и ТК по следующим парам компонентов: цель - содержание (в виде учебника), цель - учебная программа, цель - система микроцелей ТК, цель - ФГОС, позволили определить и апробировать технологические процедуры оптимизации логической структуры ТК . При этом следует различать оптимальность для учителя и оптимальность для учащихся: для учащихся на первый план выступает естественность и органичность введения, формирования, усвоения и применения основных понятий. Исследование взаимосвязи цели учебного предмета и микроцелей учебной темы позволяет более наглядно и объективно представить планируемые образовательные результаты (другими словами устанавливается однозначное объективное соответствие между заявленными во ФГОС требованиями к качеству образовательных результатов и микроцелями .

6 . Дальнейшее развитие и совершенствование методических функций технологической карты при сопровождении учебного процесса: проектирование ТК, чтение ТК, язык общения с помощью ТК учителя и учеников, учителей между собой!

7 . Результаты исследования современных проблем школьного и вузовского учебников в аспекте их технологизации и информатизации позволили создать методологию принципиально новой модели технологического школьного учебника по математике полного цикла и экспериментально уточнить новые методические функции такого учебника . Здесь речь идет о технологическом школьном учебнике «Ал-гебра-7» и технологическом вузовском учебнике полного цикла «Высшая математика» [8]. Полный цикл подразумевает в технологическом учебнике соединение в единое целое и формирование компетенций, задаваемых ФГОС, и технологический мониторинг качества формируемых у каждого обучаемого той или иной компетенции [6, 7] В этих учебниках реализована технология проектирования целостного процесса формирования компетенций

8 . Результаты экспериментальных исследований процесса формирования компетенций по вышеприведенным учебникам и дидактический потенциал возможных методических функций технологического мониторинга были использованы при создании информационной системы автоматической обработки результатов диагностик - ИСАО Главными методическими продуктами этой системы стали: визуализация всех образовательных результатов технологического мониторинга для учителя, как оценка качества сделанного учителем проекта учебного процесса, и индивидуально для каждого учащегося в виде его траектории учебных успехов [5].

9 Большая роль в этой эволюции принадлежит инструментальной идее «заданных свойств», которая была технологически реализована при проектировании методических систем с наперед заданными свойствами. Впервые в методике была использована технологическая трактовка процесса оптимизации как факта реализации заданных свойств, что позволило инструментально использовать этот подход в методической работе учителя с результатами диагностик.

Ш . Методология перехода от описательства в методике обучения математике к алгоритмически-точным формам предлагаемых методических решений.

Здесь речь конечно идет об уходе от традиционно приближенных или «волевых» решений дидактических и методических задач Совсем недавно нами была выдвинута и реализована идея алгоритмически-точного решения методической задачи [5].

В 2010 г . ректор МГУ академик РАН В . А . Садовничий, выступая на Всероссийском съезде учителей математики, обратил внимание на то обстоятельство, что до недавнего времени в математике большой класс задач не имел «формульно-точных» решений . В математике «... задачи, ранее не решавшиеся «формульно-точно», стали исследоваться сегодня «компьютерно», т е приближенно, а затем на этой основе часто удается сделать строго математически доказанные выводы Тем самым, постепенно расширяется и меняется само понятие доказательства Появляющаяся дискретно-компьютерная составляющая стала довольно часто рассматриваться как необходимый первый этап исследований особо сложных научных задач В последнее время существенно вырос процент «компьютерно угаданных», а потом строго математически доказанных теорем» [2: 10-11] Именно эта методологическая идеология В . А . Садовничего определила наш методологический подход и структуру в создании численных методов в дидактике и методике, названных нами алгоритмически-точными

Приводим шестистадийный численный метод алгоритмически-точного решения методических задач и проблем в методических и дидактических исследованиях [8]

Первая стадия: канонизация формулировки методических и дидактических задач и проблем . Цель канонизации - однозначно определиться с поставленными задачами исследования, т е четко прогностически осознать, что хотим получить в результате решения! Это фактически стало предтечей возникновения другой не менее фундаментальной и современной идеи создания прогностической теории дидактического результата.

Дано: Следующие заданные свойства модели объекта: 1) ... 2) ... 3) ...

Необходимо построить: Модель педагогического или методического объекта, обладающего всеми наперед заданными свойствами

Эта канонизированная форма и заданные свойства проектируемых методических объектов в инструментальной дидактике стали основополагающими и системообразующими методологическими основаниями для решения и задач модернизации, и для формирования современного дидактического инструментария [8]

Вторая стадия: Решение любой методической задачи должно начинаться с создания, т .е . с проектирования первоначальной модели исследуемого методического объекта [1, 7, 9]. Выше уже упоминался разработанный нами матричный подход к проектированию первоначальной модели.

Третья стадия: Внутримодельное исследование всех особенностей функционирования и поведения спроектированной первоначальной модели методического объекта Обращаем внимание, что на первых трех стадиях исследование проводится только теоретически при отсутствии реальных обучаемых

Четвертая стадия: Организация и проведение «натурного эксперимента», на котором впервые появляются обучаемые [1]

Пятая стадия: Многопараметрическая экспертиза результатов натурного эксперимента

Шестая стадия: Содержательная интерпретация и систематизация результатов многопараметрической экспертизы

IV. Численные методы оптимизации в методических и дидактических исследованиях.

Далее будет показано создание современной методологии оптимизации как структурного конгломерата дидактических, методических и математических подходов

1 . Начиная с методологических исследований Ю . К . Бабанского и его научной школы, в которой в основном превалировала методологическая и политическая составляющая оптимизации, мною был разработан интегративный подход к проблеме оптимизации, особенностью которого является приоритет математических оснований и математических методов оптимизации над методологией педагогических исследований

2. Естественно, что особое внимание привлекла прикладная отрасль математики «Линейное программирование» в контексте оптимального математического программирования и его методологии Фактически линейное программирование можно считать математической моделью оптимизации широкого круга практических задач, возникающих в экономике, производстве, образовании

3 . Ретроспективный анализ методических и дидактических исследований, проводимых под моим руководством в Научно-исследовательском институте содержания и методов обучения АПН СССР, связанных с оптимизацией базисных учебных планов, учебных программ по математике, понятийного аппарата действующих учебников математики

4. Особо следует отметить наше исследование и полученные результаты с белорусским математиком В . Ю . Гуревичем по оптимизации учебного процесса и, в частности, по оптимизации содержания учебника «Геометирия-7» А Н Колмогорова, результаты которого удивляют до сих пор: текст учебника был уменьшен на 20%, а уровень качества усвоения учебного материала оптимизированного учебника стал даже лучше!

5 Наиболее системно, последовательно и на высоком математическом уровне проблемы оптимизации и сам математический аппарат оптимизации был исследован научной группой В М Монахова, Н .Я . Краснера, Э . С . Беляевой и впоследствии изложен в пособии «Методы оптимизации» в 1973 г , ставшем настольной книгой вице-президента АПН СССР Ю К Бабанского

6 Целенаправленная исследовательская работа по оптимизации учебного процесса по математике была продолжена после создания численного метода оптимизации понятийного аппарата курса алгебры восьмилетней школы, где целевой функцией процесса минимизации стала сумма числа уроков между первым уроком, на котором некоторое понятие начинает формироваться, и уроком, на котором это понятие уже используется для формирования следующего понятия!

В 2006 г . выходит учебник к электронной энциклопедии ЛИНЕАЛ (линейная алгебра), в которой этот алгоритм оптимизации «расстояний» между исходными понятиями и формируемыми понятиями был реализован в другом контексте

7 . В исследовании Д . Н . Монахова (МГУ имени М . В . Ломоносова, социологический факультет) были подняты вопросы оптимизации ме-тодико-содержательных линий - МСЛ в курсах математики и информатики, которые сегодня приобрели особую значимость в связи с необходимостью каждым учителем разрабатывать свою рабочую программу в соответствии с требованиями ФГОС второго поколения

8 . В 1993 г . мною в публикации в журнале «Математика в школе» прогностически рассматривалось дальнейшее развитие взаимоотношения

двух учебных предметов нашей школы - математики и информатики Предмет-»старожил» и предмет-»новичок» Из трех возможных вариантов взаимоотношений: от взаимного паритета и до доминирующих положений одного из двух, паритетный вариант естественно был выбран оптимальным!

9 Проблемы оптимизации педагогических объектов органично связаны с исследованиями инновационных закономерностей учебного процесса В методологии оптимизации были выделены следующие уровни исследования и разработки оптимальной модели компетентности:

1. Оптимальное насыщение траектории овладения учебным материалом по параметрам: параметр оптимизации интенсивности подачи учебного материала, параметр оптимальной синхронизации понятийного аппарата, параметр оптимального распределения образовательной учебной деятельности, параметр оптимизации соотношений масштабов частоты диагностик микроцелей и частоты диагностик, устанавливающих сам факт сформированности компетенций или факт неполной или недостаточной их сформированности

2. Оптимизация корреляционной связи между результатами оперативных диагностик и результатами заключительных диагностик как оценка сформированности компетенций

3. Оптимизация информационной системы автоматической обработки результатов оперативных диагностик и окончательных результатов сформированности компетенций

4. Оптимизация системы коррекционной работы по результатам, выданным информационной системой автоматической обработки

5. Методология оптимизации «Логической структуры». Точкой отсчета в этих координатах выбраны приоритетные направления РАО до 2020 г .

Рассмотрим последовательность оптимизационных исследований:

а) Оптимизация структуры компонентов «Цель» в МСО двух предметных областях

б) Оптимизация остальных компонентов методических систем обучения

в) Оптимизация объединенного тезауруса предметных областей .

г) Технология оптимизации методико-содержательных линий

двух курсов и исследование методических возможностей их реальной интеграции

д) Оптимизация, а возможно и принципиально новое проектирование такой системы задач и упражнений в этих двух областях, которая будет обеспечивать новый уровень и качество формирования основных понятий курсов в соответствии с требованиями ФГОС Гипотетически возможно то, что предыдущую операцию оптимизации придется

выполнять дважды, ибо после изолированной операции оптимизации отдельной предметной области придется ещё раз провести совместно согласованную оптимизацию

Что должно являться значением целевой функции оптимизации в итоге выполнения всех предыдущих этапов? Этот вопрос принципиальный . Возможны два варианта . Первый вариант итерационный: т .е . оптимизация ведется до тех пор, пока не прекратятся какие-либо улучшения -это и будет с математической точки зрения оптимальным решением! Второй вариант чисто математический . Подобно оптимизационной модели линейного программирования конструируется дидактико-мате-матическая модель оптимизации двух предметных областей, которая естественно будет иметь уже более широкое предметное применение! Структурно такая модель оптимизации выглядит так:

1 . Целевую функцию оптимизации визуально в двухмерном пространстве наглядно можно представить прямой В трехмерном пространстве - плоскостью

2. Далее составляется система линейных уравнений и неравенств (как линейные ограничения на методическом языке, например, число уроков на тему не должно превышать столько-то учебных часов; повторение таких-то понятий потребует столько-то уроков и т. д .), которые и определяют область допустимых решений.

3 . Процесс оптимизации наглядно представляется как движение прямой, олицетворяющей на графике целевую функцию, параллельно самой себе на области допустимых решений, например, в виде многоугольника до касания (прикасания) последней вершины многоугольника допустимых решений. В математике это называется графическим методом оптимизации

Третий вариант. Прослеживается вся цепочка операций оптимизации: от оптимизации требований ФГОС, оптимизации общеобразовательной программы школы, оптимизации примерной рабочей программы, оптимизации рабочей программы, которую проектирует сам учитель, и до конструирования оптимального вида планируемого образовательного результата, в строгом и точном соответствии с требованиями ФГОС второго поколения к качеству образовательных результатов!

Четвертый вариант . Если стандарт трактовать как норму качества общего образования и качество представлять в виде некоего векторного многомерного пространства, то предметом методических исследований становятся: вектор качества образования, вектор качества образовательной системы, вектор качества образовательного процесса, вектор качества образовательного результата, вектор качества образовательной деятельности учащихся, вектор качества профессиональной деятельности учителя, вектор качества информационной системы автоматической обработки результатов диагностик, вектор

качества системы коррекционной работы на всех перечисленных уровнях . Математическим аппаратом исследования всех нюансов оптимизации в этом случае становится аппарат векторной алгебры

Пятый вариант. Норма и нормирующие функции стандарта . Под этими нормирующими функциями будем понимать:

- требования к методической системе обучения - МСО, именно к той системе обучения, в которой в дальнейшем будет функционировать тот или иной учебник (до сих пор в истории нашей школы только один уникальный пример выполнения этого требования: имеется в виду автор учебника «Геометрия» А . В . Погорелов!).

- требования к методическому пособию по данному учебнику .

- стандартные требования к профессиональной компетентности учителя, которому предстоит проектировать свою рабочую образовательную программу и затем реализовывать эту свою программу при проектировании образовательного процесса и, наконец, в проведении реального учебного процесса в реальном классе, проводить систему коррекционной работы по полученным результатам диагностик, если учитель работает по настоящей педагогической технологии!

Список литературы

1. Монахов В. М. Введение в теорию педагогических технологий: Монография . // Волгоград: Изд-во «Перемена», 2006. 319 с.

2 . Садовничий В. А. О математике и ее преподавании в школе . М . : МГУ им . М . В . Ломоносова, 2010.

3 . Монахов В. М. Технология проектирования методической системы с заданными свойствами в высшей школе //Педагогика. 2011 . № 6 . С . 43-46.

4 . Монахов В. М. Технолого-инструментальные основания проектирования методической системы преподавания с наперед заданными свойствами в условиях ФГОС III поколения // Вестник Московского университета . Серия 20 . Педагогическое образование . 2012. № 1. С. 50-56.

5. Власов Д. А., Монахов Н. В., Монахов В. М. Математические модели и методы внутримодельных исследований: Монография . М . : Альфа, 2007. 365 с

6 . Монахов В. М., Ерина Т. М. Инструментальная дидактика: миф или реальность . // Известия ВГСПУ. 2014. № 2. С . 189-198.

7 . Монахов В. М. Теоретические основания и технологии разработки образовательных стандартов // Стандарты и мониторинг в образовании 2015 т 3 № 6 С 3-19

8 Монахов В. М., Ерина Т. М. Матричный подход к моделированию педагогических объектов в дидактических и методических исследованиях //

Вестник Московского университета. Серия 20: Педагогическое образование . 2015. № 4. С. 30-50.

9 . Монахов В. М. Проблемы стандартизации и инструментализации современной профессиональной деятельности учителя математики // Стандарты и мониторинг в образовании . 2015. Т. 3 . № 1 . С . 40-55.

10 . Монахов В. М. Каким должно быть методическое обеспечение нормального функционирования образовательных стандартов нового поколения? // Современные информационные технологии и ИТ-образование . 2015. Т. 1 . № 11 . С. 67-75.

11 . Монахов В. М., Фирстов В. Е. Из опыта построения прогностических моделей развития информационных компонентов дидактики // Современные информационные технологии и ИТ-образование . 2015. Т . 1 . № 11 . С . 88-95.

12 Монахов В. М., Фирстов В. Е. Построение классификации педагогических измерений на основе системы психологических принципов // Вестник Московского университета Серия 20 Педагогическое образование 2014 № 2 С. 15-33.

13 . Монахов В. М. Об одной точке зрения на инструментализацию современной дидактики // Педагогика и психология образования 2014 № 2 С. 9-17.

Numerical methods in didactic research as innovation factors

objectification and EVIDENce educational results

V. M. Monakhov

Why modernized education continues to use the age-old methodology, despite the standardization informatization era? How to consist today the relationship between the queen of sciences - mathematics and didactics? Why teachers and researchers continue to be satisfied with a rough approximation methodology, but the interest of reliability of the experimental results in dissertations calculated to the nearest hundredth, and sometimes up to thousandths? What could and should be the normal methodology of instrumental didactic research?

Key words: instrumental didactics methodology, iterative methods, educational technology of designing of pedagogical objects with specified properties, technologization and informatization methodical system of training.

Сведения об авторе

Монахов Вадим Макариевич - доктор педагогических наук, профессор, член-корреспондент РАО, главный научный сотрудник Центра теории и методики обучения математике и информатике ФГБНУ «Институт стратегии развития образования РАО». E-mail: monakhov.vadim2015@yandex.ru