Параметрический синтез оптимального регулятора на основе вариационного исчисления для общей математической модели объекта

Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология Гораздо эффективнее использование градирни, в которой охлаждаемая вода непосредственно контактирует с воздухом, увлажняя его и охлаждаясь не только за счет передачи теплоты воздуху, но и за счет частичного испарения. Воздух в градирню подают с помощью вентиляторов. Унос воды составляет примерно 0,001 от ее расхода. Температура охлаждаемой воды на выходе из градирни оказывается в зависимости от влажности воздуха на 4-5 градусов ниже температуры воздуха, входящего в систему. Это увеличивает температурный перепад на предыдущей ступени, где вода является охлаждающим агентом.

Мощность вентиляторов при использовании градирен по данным изготовителей составляет примерно 0,01 от тепловой нагрузки и с ростом q возрастает линейно. Для контакта с воздухом в градирне нельзя использовать воду, прошедшую химводоочистку или дистиллированную воду в силу их дороговизны, так как эту воду приходится постоянно пополнять из-за уноса.

Выводы

При расчете теплообменных систем нужно учитывать условия их термодинамической реализуемости и выбирать водяные эквиваленты и гидравлические сопротивления для каждого из потоков с учетом затрат энергии на их реализацию. Системы охлаждения суперкомпьютеров требуют значительных затрат мощности на последней ступени передачи теплоты окружающему воздуху. Экономия может быть достигнута только за счет перехода к «влажному» охлаждению.

Другим способом, позволяющим резко сократить затраты энергии на охлаждение, является переход на второй ступени от воздушного охлаждения к водяному, используя холодную воду из артезианской скважины или водоема больших размеров.

Литература

1. Кухлинг Х. Справочник по физике.: Пер. с нем. 2-е изд. - М.: Мир, 1985. - 520с., ил., с. 466-468.

2. Цирлин А.М. Необратимые оценки предельных возможностей термодинамических и микроэкономических систем. М.; Наука, 2003. 349с.

3. Цирлин А.М., Ахременков А.А., Григоревский И.Н. Минимальная необратимость, оптимальное распределение поверхности и тепловой нагрузки теплообменных систем // Теоретические основы химической технологии, т.42, №1, 2008, с.1—8.

4. Кухлинг Х. Справочник по физике.: Пер. С нем. 2-е изд. - М.: Мир, 1985. - 520с., ил., с. 466—468.

5. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям./ под ред.М.О. Штейнбер-га - М.: машиностроение, 1992.

6. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. М.: Мир, 2002.

Параметрический синтез оптимального регулятора на основе вариационного исчисления для общей математической модели объекта

к.т.н. доц. Полянский В.П.

Университет машиностроения 8(499)267-07-82

Аннотация. В статье рассматривается параметрический синтез оптимального регулятора на основе вариационного исчисления при условии, что математическая модель объекта представляется дифференциальным уравнением в в операторной форме с левой и правой частями в виде алгебраических полиномов относительной переменной р = . В такой же форме представляется математическая модель регулятора. На этой основе получена система уравнений Эйлера-

Известия МГТУ «МАМИ» № 3(17), 2013, т. 2 181

Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология

Пуассона для экстремальной вариационной задачи. После приравнивания коэффициентов полиномов оптимальной задачи и полиномов, полученных из исходных уравнений объекта и регулятора, получим настройки заданной структуры регулятора.

Ключевые слова: оптимизация, математическая модель, уравнение Эйлера, функция Лагранжа, параметры настроек регулятора.

Пусть математическая модель объекта регулирования описывается дифференциальным уравнением в операторной форме с правой частью, заданной номиналом переменной р = ^

ёг

ж

(рп + ёп-1рп 1 +... + ё1р + ё0) у = (Ьхрх + Ьх 1 +... + Ь1р + Ь0

при этом п>х; ё(р)у = Ь(р)и;

Математическую модель регулятора также возьмем в общем виде следующим образом.

_яСР)_ _г(р)_

% (р)и=г(р) У

В качестве функционала качества примем интегрально-квадратический критерий в обобщенном виде с учетом ограничения на затраты энергии на управления в виде

¥( у \

1 = /|ЕЯ«У

0 V г=1 0

Требуется определить такую структуру регулятора (2) и такие настройки что функционал (3) принял минимальное значение.

Структура регулятора задана значениями г не равными нулю или нулевыми значениями или близкими значениями к нулю.

Для решения задачи оптимизации [1] т.е. нахождения переходного процесса от возмущения в виде неравенства нулю начальных условий у(0) = у10; у(0) = у20; ... у (п)(0) = уп0, с учетом краевых условий характеризующих асимптотическую устойчивость.

у(г  ¥) = у (г  ¥) =... = у(п) (г  ¥) = 0

Далее введем в рассмотрение функции Лагранжа [2]. Поскольку ограничения в данном случае представляет собой дифференциальное уравнение: ё (р) у = Ь( р)и, то вместо множителя Лагранжа 1 в функцию Лагранжа должна входить переменная Лагранжа ). Тогда функция Лагранжа выглядит следующим образом:

Ь = £ ч,,у0-1)2 + и2 + 1

г=1

Составим уравнение Эйлера-Пуассона для функционала Ь(у,и) от двух функций у(1;) и и(1;) и получим систему двух уравнений:

дЬ ё дЬ , ё дЬ _ , 2ч ^

* " ж др+' .+(-1) 1 ^=ё(-р)1+2?(р )у =0

дЬ ё дЬ 1 дЬ

----+... + (-1)"--— = 2и - Ь(-р)1 = 0

ди Ж ди ёга ди

У

где д(р2) = ^ д„р(г-1)2(-1У-1 .

1=1

Исключая из этих уравнений переменные и и X, получаем уравнение для экстремалей вариационной задачи.

[й

Характеристический полином

Л

является уравнением степени Р = тах п, {(у + х -1)}.

Пусть для простоты х + у -1 < п. Это полином четных степеней Р и его можно представить в факторизованном виде:

Л

где 5(р) - полином степени в, содержащий корни полинома Л(р) с отрицательной вещественной частью.

С другой стороны характеристический полином замкнутой АСР имеет вид:

Др) = й

Составляем тождества д(р) = О(р) и сравниваем в этом тождестве коэффициенты при одинакового степенях Р получаем уравнения для определения искомых настроек регулятора. Пример:

Модель объекта регулирования.

Модель регулятора

Критерий оптимальности

¥

J = {(?1]У2 + и2

о

Составим функцию Лагранжа

Ь = ЧиУ2 + и2 + 1(1)[{р2 - й1р + йо )у - (Ьо + ^рУА

или

Ь = диу2 + и2 + Щ)

Составим уравнение Эйлера-Пуассона

дЬ - аъ + й! = о

ду й ду^ й2 ду "

дЬ - й _дЬ = о

ду й ду"

Запишем функцию Лагранжа в критерии оптимизации:

¥

1 = | [^11у2 + и2 + 1

0

В соответствии с уравнениями Эйлера-Пуассона построим производные:

дЬ _ Л Л Ч 7

— = 2Чиу + 1(г )ё0 ду

дЬ

— = 1(, )Ж

ду

Ж дЬ .,,. ,

ж ^=1

§=к')

ду

4 — = 1"С)

Ж2 ду-

дЬ _ 7 „ , ч

— = 2и - Ь010(г) ди

дЬ

дЬ = -Ь1

ди

Ж дЬ 7 „,,.

--= -Ь11

ёг ди"

Подставив производные (13) и (14) в уравнение (11), получим:

Г 1у(,) + 1(г )ё0 -1 (г )ё1 + ) = 0 |2и - Ь01(,) + Ь11,(,) = 0

Ж

Преобразуем систему уравнений к операторному виду с переменной р = — . В резуль-

ёг

тате найдем:

Г(р2 - ё1р + Ж )1(р) + 2д„ у(р) = 0 ё(-р)1 + 2дпу = 0

[2и - Ь01

что по форме соответствует уравнениям (5), записанным в общем виде.

В соответствии с процедурой оптимизации исключим из системы (16) переменную 1(р):

1/ N 2и

Мр)=Ь"-Ьр

Затем подставим

2и -

Ь0 - Ь1р

2и

(р2 - йхр + ёо )--— + 2диу(р) = 0:

после преобразования получим

Далее определим уравнение и(р) из математической модели объекта (10):

, ч р2 + й р + й„ , ч и

Ьо + Ь1р

Подставив (19) в (18), найдем:

(р2 - йхр + йо)(р2 + йхр + йоуу + дх ху(р)(Ьо - Ь!р)(Ьо + Ьр = о.

Уравнение (20) представляет уравнение для экстремалей вариационной задачи. Из (20) определим характеристический полином.

Л

что представляет собой полином четной степени. Такой полином может быть факторизован.

Л(р) = (р2 - й1р+йо Хр 2+йгр+йо)+дц(Ьо- Ьгр)(Ьо + Ь1р) = = ру - й р3 + йо р2 + й1 р3 - й р2 + й0йг р + йо р2 - йой1 р + й2 =

= р4 + (2йо - й2 - 2д11Ь12 )р2 + 2д11Ьо2 + йо2 = о Обозначим коэффициенты уравнения

А = 2йо - й2 - д11Ь12 д1Ь12 > 2йо - й2| => А => л/а - 24В > о

б = диЬ1 + йо

В результате получим окончательно:

Р4 + Ар + В = о.

Представим (23) в факторизованном виде:

Р4 + Ар + В = (р2 + ар + е)(р2 - ар + с) = р4 + (2с - а2)р + е2

2с - а2 = А с = 4В

с2 = В 24В - а2 = А

а = л/ 24В - А

Примем устойчивое уравнение

р2 + л/ 24В - А р +4В = о

и определим корни л/2Л/Б - А

рх,2 =

2 "V

24В - А - ^В = V24В - А + Л/- А - 24В

4 2 2

Если -А - 24В > о , то корни р1,2 будут действительными и наборот - А - 24В < о, то корни будут комплексными.

л/24В - А .л/а + 24В л1^4В - А .Л/А + 24Б

р =--—+]—2—; р2 =--Б--7—2

Найдем устойчивый полином 3(р) :

3(р) = (р - Л)(р -р2) =

Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология л/^л/В - А ^А + 24В Т - А л/А + 2л[в Л

р-----]--- Р----+ ]---

2

04

У^л/в - А | N А + 24В

2 2

0 4 0

( ГГп:—л2

= р

У2/В

- А +

42л[В - А

2

+1 (а+4В 2)=

= р2 -424в - ар + (2л/в - а)1 +1 (а + л/в2)= = р2 -424В - Ар + 4В1 (2л/В - А + А + 24В)= 44В

=р2-лЩВ-Ар +тБ

Приведем к такому же уравнение исходного объекта.

Для этого найдем управляющее воздействие и уравнение

1 + Г р и = ——у

+ %0

и подставим его в исходную модель объекта (10):

(р2 + ёхр + /0)у = (Ь + ь,р) 1 +12р у

%1р + %0

^ + Ж0 )(р2 + Ж1р + Ж0 )у = (Ь0 + Ь^.р)(г1 + 12_р)у

рЪ+ й1^ + %0р2 + + %0Ж0 - Ь0Г1 + Ь0Г1р + Ь1Г1р + Ь112р2 ^^ = р3+ (%1Ж1 + %0 + Ь1Г2 )р2 + (%1Ж0 + %0Ж1 + Ь0Г1 + Ь1Г1 )р + %0Ж0 + Ь0Г1 %1ё1 + %0 + Г2Ь1 = 1

ЯА + + Ь01 + Ьг = -У2/Б-А = + +1 (Ь + Ь1) = -л/ 24В - А

%0ё0 + Ь0Г1 = ^В = 0

1 - + гоп =

; 1 —

- 424В - А - + . (,„оп = Ув -

1 =-

Ь1 Ь0 + Ь1 Окончательный закон регулирования имеет вид:

и(р) = ^^ у(р),

что соответствует ПД - регулятору: и

— = К + К Др - ПД - регулятор

у

/' г

н = кд =

Литература

1. Александров А.Г. Синтез регуляторов многоконтурных систем. М.: Машиностроение, 1986

2. Рей У. Методы управления техническими процессами. М.: Мир, 1983.