О представлении булевых функций бесповторными формулами в одном базисе

С.А. Бадмаев, И.К. Шаранхаев. О представлении булевых функций бесповторными формулами в одном базисе

УДК 519.71 © С.А. Бадмаев, И.К. Шаранхаев

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ БЕСПОВТОРНЫМИ ФОРМУЛАМИ В ОДНОМ БАЗИСЕ

Изучается реализация булевых функций в классе формул. Доказано необходимое и достаточное условие выразимости булевых функций бесповторными формулами в специальном базисе.

Ключевые слова: булева функция, бесповторная функция, базис, формула.

S.A. Badmaev, I.K. Sharankhaev

ON REPRESENTATION OF BOOLEAN FUNCTIONS BY REPETITION-FREE FORMULAS IN THE SAME BASIS

The realization of Boolean functions in the class offormulas is studied. The necessary and sufficient condition of Boolean functions representation has been proved by repetition-free formulas in special basis.

Keywords: Boolean function, repetition-free function, basis, formula.

Введение

Настоящая работа посвящена нахождению условия, равносильного бесповторности булевых функций в одном базисе.

Под базисом понимаем конечное полное множество булевых функций, содержащее константы.

Формула Ф над базисом В называется бесповторной, если каждая переменная входит в нее не более одного раза.

Функция f называется бесповторной в базисе B, если существует бесповторная формула Ф над В, представляющая функцию f В противном случае f называется повторной в B.

Функция, получаемая из f x1,...,xn) подстановкой вместо некоторой

переменной xi константы а , называется остаточной и обозначается f" .

Индуктивно это определение распространяется на подмножество переменных.

Назовем переменную xi функции f фиктивной, если f0 = fl , и существенной в противном случае. Множество всех существенных переменных функции f обозначим через р f), а множество всех фиктивных переменных функцииf через S f).

Функция f называется слабоповторной в базисе B, если любая остаточная функция от функции f является бесповторной, а сама f повторта в базисе B. Через SB обозначим множество всех слабоповторных функций в базисе B.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

Базис В0={ V , •, -, 0, 1} называется элементарным, а базис В0 и {/}, где / слабоповторна в В0, называется предэлементарным.

Описание всех предэлементарных базисов следует из [2]. В работе [3] введены следующие обозначения для таких базисов:

Вп=В0и {£„}, «=2,3,4,

где

g2 Х3 Х3 ,

g3= х1 (х2 V х3) V х2х3, g4= х1 (х2 V х3) V х2 х3.

В работах [4-8] описаны условия, равносильные бесповторности булевых функций для бинарных базисов В0 и В1=^, •, -, 0, 1, ф}, а для В2, В3, В4 в работе [3]. В данной статье получены необходимые и достаточные условия бесповторности булевых функций в базисе В3 ={ V , •, —, 0, 1, gl,

g2, g3}.

Будем говорить, что функции/и g связаны отношением < , и писать/ < g, если для любого набора сг выполняется /(сг) < g(сг).

Функция / называется обобщенно монотонной по переменной х, если выполняется либо /^ ^ /, либо /^ ^ /. Для краткости записи обобщенную монотонность функции / по переменной х будем обозначать так: / е Мх.

Функции/и g называются обобщенно однотипными, если /(х1,...,х«) = gс(х*1,...,хс), где (/1,...,Ьп) - некоторая перестановка чисел от 1 до п . Очевидно, что на множестве всех булевых функций отношение обобщенной однотипности является отношением эквивалентности.

Производной функции /(х1,...,хп)по переменной х{называется функция

/' = Ш = /0 ф /! .

л х А л

Понятие производной функции по переменной распространяется индуктивно на множество переменных следующим образом:

д

д/ _

д/ дх. ...дх.

\ Ч—1

дх. ...дх. дх.

1 ъ .

Функция называется нечетной, если число наборов, на которых функция равна 1, является нечетным, и четной в противном случае.

С.А. Бадмаев, И.К. Шаранхаев. О представлении булевых функций бесповторными формулами в одном базисе

Множество булевых функций Р, содержащее тождественную функцию, называется наследственным, если для любой функции f е Р любая

остаточная функция е Р .

Множество булевых функций Р называется инвариантным, если для любых функций f (и, у), g (у) е Р, где и п V = 0 , справедливо включение f (и, g(V?)) е Р .

Все неопределяемые понятия можно найти, например, в [1].

1. Вспомогательные утверждения

Предложение 1 [8]. Множество булевых функций Р является наследственным и инвариантным тогда и только тогда, когда Р есть множество всех бесповторных функций над некоторым базисом В.

Следствие 1. Если для наследственного и инвариантного множества булевых функций Р и базиса В верно, что В с Р и SB п Р = 0, то Р = Р

1 в *

Таким образом, для доказательства того, что некоторое множество булевых функций Р совпадает с множеством всех бесповторных функций над некоторым базисом В, достаточно показать, что Р обладает свойствами наследственности и инвариантности, и проверить, что все слабоповторные в В функции не входят в Р.

Предложение 2 [9]. Следующая система булевых функций является полной системой представителей классов эквивалентности по отношению к обобщенной однотипности для булевых функций, слабоповторных в предэлементарном базисе В2:

х!(х2 V х3) V х3х4;

х!(х2 V х3х4) V х5 (х3 V х2х4);

Х:(Х2 V ... V Хк) V Х2...Хк, к> 3;

Х:(Х2 V Хз.Хк) V Х2 х3... хк , к > 3;

Х1 ... хкV Х . Хк , к> 2, кФ 3;

Х g2(Х2,Хз,Х4) V Х1Х2Х3Х4;

Х1Х2 g2 (Х3,Х4,Х5) V Х1Х2Х3Х4Х5;

Х1Х2Х3 g2(Х4,Х5,Хб) V Х1Х2Х3Х4Х5Х6.

Предложение 3 [9]. Следующая система булевых функций является полной системой представителей классов эквивалентности по отношению к обобщенной однотипности для булевых функций, слабоповторных в предэлементарном базисе В3:

х1(х2 V х3) V х3х4;

х1(х2 V х3х4) V х5 (х3 V х2х4);

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

х:(х2 V ... V хк) V х2...хк, к>3; х:(х2 V х3..х) V х2 х3... хк , к> 3; х1 ... х^ х1 ... хк , к> 2; х1 gз(X2,Xз,X4) V х1х2х3х4; х1 gз(X2,Xз,X4) V х^(хзV х4); х1 g3(x2, х3,х4) V х1х2;

X 3(х3,х4,х5) V X1((X2V X3)X4VX5). Предложение 4 [10]. Следующая система булевых функций является полной системой представителей классов эквивалентности по отношению к обобщенной однотипности для булевых функций, слабоповторных в предэлементарном базисе В4:

х](х2 V х3) V х3х4; х](х2 V х3х4) V х5 (х3 V х2х4); х:(х2 V ... Vхк) Vх2...хк, к> 3; х](х2 V х3...хк) V х2 х3... хк , к >3;

XI ... х^ х1 ... хк , к> 2;

х1 g4(x2,x3,x4) V xlg4( х2, х3, х4);

х1 g4(x2,xз,x4) V х1х2 х3 х4; х1 g4(X2,Xз,X4) V XlX2(XзVX4); х1 g4(X2,Xз,X4) V х1х2хз. Предложение 5. Следующая система булевых функций является полной системой представителей классов эквивалентности по отношению к обобщенной однотипности для булевых функций, слабоповторных в базисе В3:

х1(х2 V х3) V х3х4; х1(х2 V х3х4) V х5 (х3 V х2х4); х1(х2 V ... V хк) V х2.хк, к>3; х1(х2 V х3...хк) V х2 х3... хк , к>3;

х1 ... хкV X ... хк , к> 2, кФ 3;

х1 g2(X2,Xз,X4) V х1х2хзх4;

х1 х2 g2 (хз,х4,х5) V х1х2хзх4^5;

х1 х2 хз g2(X4,X5,Xб) V х^2х 3X4X5X6;

х1 gз(X2,Xз,X4) V хххзх4;

X gз(x2,xз,x4) V х1х2(хз V х4);

х1 g3(x2, х3,х4) V х1х2;

С.А. Бадмаев, И.К. Шаранхаев. О представлении булевых функций бесповторными формулами в одном базисе

X X2g3(x3,x4,x5) v xi((x2v x3)x4vx5);

XI g4(x2,x3,x4) v xlg4( x2 , x3 , x4 );

X g4(x2,x3,x4) v X1X2 x3 x4; X g4(X2,X3,X4) v XiX2(X3vX4);

X g4(X2,X3,X4) v X1X2X3.

Доказательство. Непосредственно следует из предложений 1, 2 и 3.

2. Основная теорема

В этом разделе доказано необходимое и достаточное условие беспо-вторности булевых функций в базисе B3.

Функцию f будем называть b-функцией, если либо rank f < 2, либо для любой переменной x е р f) выполняется одно из условий:

1. S (f с S (fx0) и S (f = S (fj);

2. S(f) с S (fj) и S(f) = S (fx0);

3. S f) = S (fX) = S (fX) и найдется переменная y е p(f) такая, что справедливо строгое включение S (fX) с S ((f'X )'y);

4. 3 (/) с 3( /X), 3 (/) с 5( /]), f е Мх, и существует переменная у е р (/) такая, что справедливо строгое включение 3 (fХ ) с 3 ((/Х )'у);

5. 3 (/) с 3 (/Х), причем это строгое включение не выполняется для всех существенных переменных функции / одновременно.

Функцию / будем называть наследственной Ь-функцией, если сама функция и все ее остаточные функции являются Ь-функциями.

Теорема. Булева функция / бесповторна в базисе В3, тогда и только тогда, когда она является наследственной Ь-функцией.

Доказательство. Для доказательства теоремы воспользуемся методом, основанным на предложении 1.

Обозначим через Р множество всех наследственных Ь-функций. Множество Р является наследственным по определению, покажем его инвариантность.

Пусть / (и, ~) = g (и, h(v)), где g (и, у), Л(~) еР. Если и =0 или | V? | = 1, то функция/обобщенно однотипна с g или h, поэтому является наследственной Ь-функцией. Далее считаем, что и Ф 0 или | V? | > 1.

1. Пусть х е V?. Если выполняется одно из строгих включений 3 (^

с 3 (^>х) или 3 (И) с 3 (Ях), то, соответственно, либо 3 (/) с 3 (/Х), либо 3 (/) с 3 (/1).

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

Рассмотрим /^ = gy(u,у)Кх(~). Ясно, что существует переменная г е ~ такая, что 5 (Ух) с 5 ((Ух)' г). Так как (/х)' г = ¿у (и, у)(К1х)1 г (~), легко заметить, что 5 (/) с 5 ((/х)' г ).

Пусть 5 (К) с 5( К^), 5 (К) с 5( Ях). Докажем, что / ё Мх . В силу того, что h ё Мх, найдутся наборы т1,т2,у1, ~2 такие, что | тЬ |=| | для любого Ь выполняются соотношения:

0= К^Д?;) <Мт1,1,Г2)=1, 1=А(~1,05~2) > К(~1,1,~2)=0.

Переменная уе p(g), следовательно, найдется набор С такой, что g(С,0) Ф g(<?,1). Пусть для определенности g(С,0) < g(Ст,1). Заменив константы, получаем, что

g (С, К(т, ,0, Т2)) < g (С, К(?1 ,1, )), g (с, К ~1,0, ~2)) > g (С, ~1,1, ~2)).

Отсюда следует, что / ё Мх .

Пусть 5 (К) с 5( К х). Так как справедливо равенство /Х = ¿у (~, У)К(~), выполняется строгое включение 5 (/) с 5 (/).

2. Пусть хе и . В случае выполнения одного из строгих включений 5 с 5 (g^) или 5 с 5 (g1) справедливо ровно одно из строгих включений 5 (/) с 5 (/х0) или 5 (/) с 5 (/).

Рассмотрим /х = gх(~,К(~)). Если для функции gх(~,у) существует переменная г, отличная от у, такая, что 5 (gX) с 5 ((gX)'г), тогда справедливо строгое включение 5( /х ) с 5 ((/X )'г). В противном случае выберем произвольным образом переменную г1 е ~ и рассмотрим (/X)' г1=( g X)' у (~, у )К (у). Из справедливости строгого включения

5(gX) с 5 ((gX)'у) следует справедливость строгого включения

5 (/X) с 5 ((/X)' г,).

Пусть 5 (¿) с 5( gX), 5(g) с 5( gX). Доказательство того, что / ё Мх аналогично доказательству в случае х е ~ .

Пусть 5 &) с 5 (gX). Ясно, что 5 (/) с 5 (/).

Очевидно, что условие 5 из определения Ь-функции не выполняется для всех переменных функции / одновременно. Таким образом, инвариантность Р доказана.

Теперь для наследственного инвариантного множества Р найдем порождающий его базис. Очевидно, что В3 с Р. Проверим, что все слабопо-

С.А. Бадмаев, И.К. Шаранхаев. О представлении булевых функций бесповторными формулами в одном базисе

вторные функции в базисе В3 не принадлежат Р. Достаточно ограничиться проверкой функций из предложения 5, так как если свойство быть Ь-функцией не выполняется для некоторой функции, то оно не выполняется и для всех обобщенно однотипных с ней функций.

/ = х1

Тогда /0 = х3х4, /1 = х2 V хз, /х/ = х2( х3 V х4) V х3х4 . Обе эти остаточные функции имеют фиктивную переменную, существенную в / /' существенна и / е Мх, поэтому/ еР.

/ = х1

Тогда /0 = х1х2 V х3х5, /X = (х1 V х5)(х2 V х3), /X = х1 х2х3х5 V х1 х2х3х5.

Легко заметить, что /0 , /X , /X , а также производная функции /X по

любой переменной существенны, поэтому / еР.

/ = х1

Тогда /0 = х2 .. .хк , Ух1 = х2 V ... V хк , 4 = х2 .. .хк V х2...хк . Функции /х , /I , /х и производная функции // по любой переменной существенны, поэтому / е Р.

/= х1

Тогда /х03 = х2( х V х4...хк), Д = х (х2 V х4...хк) ,

/х3 = х1х2 х4.. .хк V х1х2 х4.. .хк .

Функции /X , /X , /X и производная функции /X по любой переменной существенны, поэтому / е Р.

/= х^..хк V х1...хк, где к > 2.

При к = 2 = Х2, /\ = х2, /х/ = 1, /02 = х1, Д = х1, Д = 1. Для любой переменной остаточные функции существенны, а производные не существенны, поэтому/ еР. При к > 3 справедливы равенства

/ 0 = х х / 1 = / I = х х

/х1 = х2 • • • хк , /х! = х2 • • • хк , /х1 = х2 • • • хк V х2 • • • хк .

Функции /0 , Д, Д и производная функции Д по любой переменной существенны, поэтому / е Р.

— х1 g2

Тогда /х1 = х2, х3, х4), Ух; = х2х3х4, /х1 = х2х3х4.

Функции Д , Д, Д и производная функции Д по любой переменной существенны, поэтому / е Р.

^^^ — х1 х2 ,2

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2'2012

Справедливы равенства

/ = х1х2 (х4 V х5 ), /х = х1х2 (х4 V х5) V х1х2х4х5 ,

/х — х^2х4х5 х,Х2х4х5 х,х2х4х5 .

г0 у1

Остаточные функции / и /х^ существенны. В силу того, что представление является совершенной дизъюнктивной нормальной формой, нетрудно видеть, что функция / нечетна, то есть существенна.

Очевидно, что производная нечетной функции по любой переменной есть нечетная функция, поэтому/ ёР.

/ = х^2хз g2

Тогда /х0 = х2хзg2(х4, х5, х6), /х1 = х2хзх4х5х6, /х — х2хзх4х5х6 х2хзх4х5х6 х2хзх4х5х6 .

Ситуация аналогична предыдущему случаю.

/= X, gз

Т°гда /Х0 = gз( х2, хз, х4), /х1 = х2 хзх4, /х, = х2 хзх4 V х2 хз х4 V х2 хзх4.

Функции /0, /X , /'ч и производная функции /'ч по любой переменной существенны, поэтому/ ёР.

/= X, gз

Тогда = gз( х2, X3, X4), Д = х2(х3 V X4), /х1 = х2 х3 х4.

Функции /0 , /X , /Х1 и производная функции /X по любой переменной существенны, поэтому/ ёР.

/= X, gз

Тогда /х0з = х2(XX V X, ), /х1з = XX V х2, Д = Х,Х2х4.

Функции /0 , /X , /X и производная функции /X по любой переменной существенны, поэтому/ ёР.

/ = X, х2^3

В этом случае

/х<2 = х1(х3х4 V Д = gз(х5,х1 V X3,X4),

/х — х, хз х4 х5 X, хз х4 х5 X, хз х4 х5 X, хз х4 х5 X, хз х4 х5 .

Ситуация аналогична (11).

/= X, g4

Тогда

/х1 = х2, х3, х4), Д = g4(х2, х3, х4), Д = х2х3 V х2х3,

С.А. Бадмаев, И.К. Шаранхаев. О представлении булевых функций бесповторными формулами в одном базисе

Д = ,4(х1, х4, х3), /х1 = ,4(х1, х4, х3), /х1 = х1х4 V х1х4, /х3 = ,4( х1, х4, х2), /х3 = ,4( х1, х4, х2), /х3 = х1х4 V х1х4, /х4 = ,4(х2, х3, х1), /х4 = ,4(х2, х3, х1), /х4 = х2х3 V х2х3.

Легко увидеть, что по любой переменной остаточные функции существенны, а производные не существенны, поэтому/ еР.

/= х1 ,4

Тогда /х1= ,4 (х2 , Х3, Х4), Д = х2 х3 ^ Д = х3( х2 V Х4).

Нетрудно заметить, что функции Д , Д , /0 и производная функции /Х по любой переменной существенны, поэтому/еР.

/ =х ,4

Тогда /Х1= ,4 (Х2 , Х3, Д = х2(х3 V Х4), Д = Х2 Х3 Х4.

Ситуация аналогична предыдущему случаю.

/ = Х ,4

В этом случае Д = ,4(Х2, Х3, Х4), /Х1 = Х2Х3, Д = Х2Х3Х4 V Х2Х3Х4.

Функция / не принадлежит множеству Р, так как функции Д , Д , /Х и производная функции Д по любой переменной существенны.

Таким образом, Бщ п Р = 0, В3 с Р.

Теорема доказана.

В данной работе получено описание класса булевых функций, представи-мых бесповторными формулами в базисе, эквивалентом (в смысле сложности представления функций формулами) базису, содержащему все функции от трех переменных за исключением линейных функций ранга 2 и 3.

Литература

1. Перязев Н.А. Основы теории булевых функций. М.: Физматлит, 1999. 112 с.

2. Стеценко В.А. О предплохих базисах в Р2 // Математические вопросы кибернетики. М.: Наука, 1992. Вып.4. С. 139-177.

3. Перязев Н. А., Шаранхаев И. К. Критерии бесповторности булевых функций в предэлементарных базисах ранга 3 // Дискретная математика. 2005. Т. 17, Вып.2. С. 127-138.

4. Субботовская Б. А. О сравнении базисов при реализации функций алгебры логики формулами // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149, №4. С. 784-787.

5. Гурвич В. А. Критерии бесповторности функций алгебры логики // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, №3. С. 532-537.

6. Перязев Н. А. Реализация булевых функций бесповторными формулами в некоторых базисах // Сб. Алгебра, логика и приложения. Иркутск, 1994. С. 143-154.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

7. Перязев Н. А. Реализация булевых функций бесповторными формулами // Дискретная математика. 1995. Т. 7, №3. С. 61-68.

8. Кириченко К. Д. О критериях бесповторности булевых функций в различных базисах // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск, 2000. Вып. 4. С. 93-101.

9. Кириченко К. Д. Слабоповторные булевые функции в некоторых предэлемен-тарных базисах // Иркутский университет. Сер. : Дискретная математика и информатика. Иркутск, 2000. Вып. 13. 60 с.

10. Шаранхаев И.К. Слабоповторные булевые функции в некоторых базисах // Иркутский университет. Сер. : Дискретная математика и информатика. Иркутск, 2003. Вып. 17. 64 с.

Шаранхаев Иван Константинович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры Бурятского государственного университета, E-mail: goran5@mail.ru

Бадмаев Сергей Александрович, студент Института математики и информатики Бурятского государственного университета, E-mail: badmaevsa@mail.ru

Sharankhaev Ivan Konstantinovich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of algebra, Buryat State University.

Badmaev Sergey Alexandrovich, student, Institute of Mathematics and Information, Buryat State University.