Петри-марковское моделирование типовых структур избыточных систем

Список литературы

1. Ларкин Е.В., Котов В.В. Титов С.В. Аппроксимация взвешенной суммы плотностей распределения вероятностным законом // Известия Тульского государственного университета. Проблемы специального машиностроения. 2000. Вып. 3. Ч. 1. С. 389 - 393.

2. Ларкин Е.В., Ивутин А.Н., Костомаров Д.С. Методика формирования сети Петри-Маркова для моделирования когнитивных технологий // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 9. Ч. 1. С. 303 - 311.

Гришин Константин Анатольевич, асп., GrishKons92@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

APPROXMA TION OF PLANE COMPOSITION BY LA W OF DISTRIBUTION

K.A. Grishin

Approximation of numerical characteristics obtained as a result of simplifications of elementary Petri-Markov subnets by the method of direct calculation, gamma distribution with the same numerical characteristics is considered. A methodfor finding the minimum value of an error in the presence of constraints is proposed.

Key words: approximation, Petri-Markov subnet, gamma distribution, mathematical expectation, variance.

Grishin Konstantin Anatolyevich, postgraduate, GrishKons92@yandex. ru, Russia, Tula, Tula, Tula State University

УДК 519.217.2

ПЕТРИ-МАРКОВСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТИПОВЫХ СТРУКТУР ИЗБЫТОЧНЫХ СИСТЕМ

К.А. Гришин

Рассматривается моделирование типовых структур избыточных систем с помощью сетей Петри-Маркова. Представлена Петри-Марковская модель взаимодействия элементов в избыточной отказоустойчивой структуре, а также вероятность выполнения логических условий в дизъюнктивной нормальной форме.

Ключевые слова: избыточная система, сеть Петри-Маркова, дизъюнктивная нормальная форма, плотность распределения.

Рассмотрим избыточную структуру при которой к одному источнику (информации, сигнала, электроэнергии и т.п.) и одной нагрузке подключаются К однотипных элементов:

70

О'= {Б',2'} з О,

При начале эксплуатации системы все элементы вводятся в эксплуатацию одновременно. Отказавший элемент остается в структуре системы в том смысле, что физические связи отказавшего элемента с другими элементами, а также с источником и нагрузкой не нарушаются. При этом система рассчитывается таким образом, чтобы режим функционирования резервируемых элементов был близок к режиму без резервирования, а наличие резервируемых структур не приводило к нарушению работоспособности.

На рис. 1 применены следующие обозначения: ¡5 - источник (энергии, сигнала), обеспечивающий воздействие на резервируемый элемент; а - резервируемый элемент; {а1,..., ак,..., ак}- множество элементов, резервирующих элемент а; е- нагрузка на элемент а. Стрелками на ориентированных графах указаны: (¡,а) - связь, обеспечивающая воздействие на элемент а со стороны источника 5; (е,а)- связь, обеспечивающая воздействие на элемент а со стороны нагрузки е; {(¡,аД ...,(5,ак), . ,(5,ак)}-множество связей, обеспечивающих воздействие на элементы {а1,..., а к,.., а К } со стороны источника ¡; {(е, аД ...,(е, а к),..., (е, а к )}-множество связей, обеспечивающих воздействие на дублирующие элементы со стороны нагрузки.

Рис. 1. Исходная система без резервирования

Вследствие того, что воздействие на элементы {а,...,ап,...,а} начинает осуществляться одновременно, Петри-Марковская модель будет иметь вид, приведенный на рис. 2.

Структура сети Петри-Маркова, изображенной на рис. 2, имеет вид:

(1 р

{сь^ ск СК } {1Ъ 12 }

П =

°1

°

°

к

где Ск - подсеть П , упрощенная до единственной позиции, моделирующая деградационно-восстановительный процесс в к-м элементе, 1 £ к £ К; 21 -

71

а

переход, моделирующии начало эксплуатации системы; ¿2 - переход, моделирующий смену состояний системы после отказа одного из элементов.

Рис. 2. Петри-Марковская модель взаимодействия элементов в избыточной отказоустойчивой структуре

Плотность распределения времени задержки переключения из перехода в переход ¿2 через позицию ск определяется зависимостью:

%

/к (х ) =

Рк

Обозначим факт переключения из позиции ск в переход ¿2 булевой переменной Ок = (ск, ¿2). Будем считать, что условие работоспособности системы в результате отказов групп элементов представлено в дизъюнктивной нормальной форме:

N

Л = V

(к ^

ЛЛ п

у

п=1ч к

N К

где V - групповая дизъюнкция; л - групповая конъюнкция; Лп (ок) - ло-

п=1 к

гическая функция п-й элементарной конъюнкции от к-й булевой переменной; N = 2К;

, ч Го"к, если полушаг С, ¿2) должен быть сделан;

Лп

[ок, если полушаг ,¿2)не должен быть сделан;

где о к - логическая операция отрицания.

Вследствие того, что выполнение полушагов из позиции с к в переход производится в течение случайного времени, определяемого

плотностью /к (х), вероятность выполнения и невыполнения полушага Ок в течение времени X определяются по зависимостям:

Р(Ок\т< х) = Рк (х )= | /к (т)ат;

0

P

где Fk () - функция распределения, соответствующая плотности fk (/).

Вследствие того, что все события выполнения полушагов из позиций с1,..., Сk,..., cк являются независимыми, вероятности того, что будет выполнено условие п-й элементарной конъюнкции, определяется зависимостью:

Pn

k=1

* и иъ I^

1[1 - ^ V )] если Лп (аk )=sk.

Вследствие того, что все возможные комбинации выполнения и невыполнения шагов sn являются несовместными событиями, вероятности различных комбинаций независимы, и в общем случае вероятность выполнения логических условий, представленных в дизъюнктивной нормальной форме (3), определяется выражением:

N K

P

n k=1

Таким образом, (9) представляет собой изменение вероятности перехода системы, изображенной на рис. 2, в неработоспособное состояние.

Список литературы

1. Котов В.В., Котова Н.А., Ларкин Е.В. Метод имитационного моделирования систем с использованием сетей Петри-Маркова // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2015. Вып. 9. С. 164 - 170.

2. Ларкин Е.В., Ивутин А.Н., Костомаров Д.С. Методика формирования сети Петри-Маркова для моделирования когнитивных технологий // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 9. Ч. 1. С. 303 - 311.

Гришин Константин Анатольевич, асп., GrishKons92@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

PETRI-MARKOV MODELING OF TYPICAL STRUCTURES OF EXCESS SYSTEMS

K.A. Grishin

Modeling of typical structures of redundant systems using Petri-Markov nets is considered. A Petri-Markov model of the interaction of elements in an excessive fault-tolerant structure is presented. The probability of the fulfillment of logical conditions in a disjunctive normal form is presented.

Key words: redundant system, Petri-Markov net, disjunctive normal form, distribution density.

Grishin Konstantin Anatolyevich, postgraduate, GrishKons92@yandex. ru, Russia, Tula, Tula, Tula State University

УДК 519.8

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РОЯ ЧАСТИЦ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ В БОРТОВЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ ПО КРИТЕРИЮ РАВНОМЕРНОЙ ЗАГРУЗКИ

О.В. Есиков, С.М. Цыбин, А.И. Чернышков

Формализованы задачи оптимизации распределения программных модулей в системе вычислительных средств бортовых информационных и управляющих систем по критерию равномерной загрузки. Предложена реализация метода роя частиц для решения разработанных математических моделей. Выполнена экспериментальная оценка эффективности применения метода роя частиц для формализованных задач.

Ключевые слова: бортовые информационные и управляющие системы, информационно-вычислительный процесс, дискретная оптимизация.

Современные бортовые информационные и управляющие системы (БИУС) представляют собой сложные программно-аппаратные комплексы, построенные на единой технологической базе и предназначенные для решения широкого круга задач [1]. При этом они строятся по модульному принципу, где каждый модуль представляет собой вычислительное средство, имеющее средства сопряжения в единую БИУС.

Каждый вычислительный модуль может быть задействован как для решения фиксированного узкого круга задач, так и совокупности задач формируемой динамически в зависимости от текущей ситуации.

В первом случае каждый вычислительный модуль решает свои функциональные задачи, а информационный обмен основан на обмене данными. Данный вариант обеспечивает наибольшую простоту построения вычислительного процесса. Во втором случае перечень решаемых каждым вычислительным модулем задач может с течением времени изменяться. Данный вариант обеспечивает более гибкое управление вычислительным процессом и повышает живучесть БИУС в экстремальных условиях функционирования. Однако данный вариант требует затраты вычислительных ресурсов на решение дополнительных задач планирования построения

74