Устойчивость движения ротора на подшипниках жидкостного трения в условиях двухфазного состояния смазочного материала

№ 5 2006

621.822

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ РОТОРА НА ПОДШИПНИКАХ ЖИДКОСТНОГО ТРЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ДВУХФАЗНОГО СОСТОЯНИЯ

СМАЗОЧНОГО МАТЕРИАЛА

Канд. техн. наук, доц. О.В, СОЛОМИН

Представлена методика расчета гранш{ устойчивости ротора на подшипниках жидкостного трения в условиях смазки криогенными жидкостями и возможного двухфазного парожидкостного состояния смазочного материала. Представлены численные результаты о влиянии фазовых переходов на устойчивость ротора. Обсуждаются вопросы применения полученных результатов в расчетах динамики роторных систем криогенных турбомашин.

This article describes principles of calculation of threshold stability of a rotor on fluid-film bearings in conditions of lubrication by cryogenic liquids and by possible two-phase steam-liquid lubricant. Numerical results defining influence of phase transitions in a lubricant on threshold stability of a rotor are presented. Possibility of application of obtained results to problems of rotor dynamics of cfyogenic turbomachines is discussed.

Одной из основных задач, возникающих при проектировании высокоскоростного роторного подвеса на основе подшипников жидкостного трения, является обеспечение устойчивости движения ротора. В условиях смазки подшипников однофазной средой (жидкостью или газом) такая задача довольно подробно исследована [1—9]. Однако применение опор жидкостного трения в криогенных турбомашинах может сопровождаться их смазкой двухфазной парожидкостной средой. Появление газовой фазы в смазочном слое является следствием кипения и/или кавитации криогенного смазочного материала (жидкий водород, кислород) при его течении в гидравлических трактах подшипников [1,2, 10]. Это обстоятельство обуславливает необходимость решения задачи устойчивости ротора на опорах жидкостного трения, смазываемых низкокипящими жидкостями.

Положение центра цапфы уравновешенного ротора при стационарном режиме на-гружения определяется соответствующей точкой на кривой подвижного равновесия, а в случае неуравновешенного ротора центр цапфы движется по траектории эллиптического типа вокруг положения равновесия [5—9]. Такое движение цапфы должно быть устойчивым и обеспечивать работоспособность роторной системы. Отметим, что движение без возмущений возможно лишь в подшипнике с абсолютно жесткими и гладкими опорными поверхностями, не имеющими отклонений формы. Однако в реальных конструкциях всегда есть отклонения формы и положения, а также могут действовать случайные возмущающие импульсы.

Рассмотрим движение (рис. 1, а) симметричного гибкого ротора на двух одинаковых подшипниках жидкостного трения (модель ротора Джеффкотта), широко применяемую при качественном анализе динамических процессов в роторных системах [5—9]. Координатами центра цапфы 0{ в неподвижной системе координат XOY будут соответственно Хх и Fj, определяющие эксцентриситет е и угол положения цапфы ср; подвижная система координат X{0{Y{i связанная с центром цапфы, служит для определения прогиба/упругой линии вала ротора при его прецессировании (£2 -— частота прецессии).

Уравнения движения данной динамической системы запишем в виде:

№5

2006

центр подшипника

центр цапфы

центр диска X

>

X

>

1

центр масс

центр подшипника

центр цапфы

>

X

цен тр масс

шДш

Р

а)

Рис. 1. Динамические модели ротора: а — гибкий ротор; б — жесткий ротор

б)

т(х + ХА+СХ1 =тДш2 бшшг

т{У + УЛ+сУх =тАсо2 совсог+т^

2 Я 2Я

сХ

1

где т и А — масса и дисбаланс ротора; с — жесткость ротора; о) - частота вращения ротора; — реакции опор, определяемые, в общем случае, интегрированием поля

давлений по поверхности смазочного слоя [10, И]; множитель «2» указывает на наличие двух одинаковых опор.

Для модели жесткого ротора (рис. 1, б), а реальные конструкции довольно часто могут быть сведены именно к такой схеме [1, 3—9], уравнения принимают следующий

вид (в этом случае Хх = У1 = 0):

• I

тХ = 2ЯХ + шАоз эт ш

тУ - 2#у + тДш2 соб т + mg

Последние два уравнения системы (1) дают: X, = - 2Ях /с; У, = - 2/с. Тогда уравнения движения гибкого ротора примут вид;

Ш

тХ-2—Ях = 2 К + тДоГ вт Ш

т

тУ - 2—Яу = 2Иу + /пДсо соэ со/ + mg

Введем следующие безразмерные комплексы и переменные:

— X — V

К к

9

г

г

г

; <2

о

тАш 2рЛ)Ъ

в

тя

2 р0И1

Я

Я

р0ОЬ

я

& Ку

р0О1

№5

2006

где 1г0 — номинальный радиальный зазор подшипника; Аи Ь — диаметр и длина подшипника; р0 — давление подачи смазочного материала; г0 - 2тг/а) — характерное время, равное продолжительности одного оборота. В работах [10, 11] вопрос перехода к безразмерным величинам и обратно рассматривается более подробно.

о

о

0.1

0.2

0.3

0.4

>- 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-!-1-1-

Т

т

= 50 Н

г 1

Г

I

( I

О (0 = 1000 1/с

V со = 600 1/с

(о =200 1/с

С = 250 Н

/

1

/

{

/

/

/

/

у

/

у

1

г

}

\

/

I

/

/

/

/

То= 20 К

Ъ™ 25 К

Т0- 27 К

^ = 1,0 МПа

Рис. 2. Кривые подвижного равновесия

Тогда уравнения движения для жесткого (2) и гибкого (3) ротора примут вид (штрих

дифференцирование

АУ'-Яу =асо$(2кТ) + С

АХ"-кX ~Кх ЛР сое (2пТ) + С

2

где Л

приведенная масса, характеризующая инерционные свойства; к — коэффициент

гибкости аналогично [12], отражающий упругие свойства ротора и связывающий частоту собственных колебаний со0 с частотой вращения со:

Л

т\

9

Р{)ои

о

/иЛ00)"

к

1 со

2 71 со

О)

о

о

с

т

Особенностью современных высокоскоростных турбомашин является работа их роторов при очень малых (и, часто, практически нулевых) относительных эксцентрисите-

тах е

. Тогда стационарным положением цапфы

считать ось, проходящую через центры подшипников. Амплитуды прецессионных дви-

№ 5 2006

жений неуравновешенного ротора по эллиптическим траекториям в этом случае также

само

V*

(рис

руженных быстроходных роторов (е < 0,3) [1—3, 6—8] и позволяет рассматривать зада-

чу

Для анализа устойчивости ротора в линейной постановке необходимо получить урав-

нения его возмущенного движения

линеаризуем реакции смазочного слоя, которые в соответствии с обозначениями [14] могут быть представлены в безразмерном виде

Я

К хх ^^ К ^уАУ

В АХ —В^уАУ)

Л, =д

го

К ух АХ К. уу

КУ

Подставляя эти соотношения, а также выражения для возмущенных координат

X - Х0 + АХи У = У0 + Д У, в систему (5) и вычитая затем из полученных уравнений урав

нения равновесия (приХ = Х0 и У = У0), получим систему уравнений движения центра цапфы ротора в возмущениях, анализ которых позволяет судить об устойчивости исходной (нелинейной) системы (5) по уравнениям первого приближения

ЛАХ' + к2 [КххАХ* + КХу№* + ВххАХ" + Вху

ДУ-]

+

+ Кхх АХ + Кху АУ + Вхх ДХЧ Вху АТ' = 0

уу

ух

+

+ КУХАХ + КууАУ + ВУХ ДХЧ ВууАУ = 0

подхода

ются теоремами Ляпунова [13]. Решение системы уравнений (7) имеет вид

АХ

Ахе

хт

*

АУ^Аув

хт

где Ах и Ау — амплитуды возмущений в начальный момент времени; X — комплексное число, действительная часть которого характеризует демпфирующие свойства (степень

затухания), а мнимая — частоту колебаний, имеющие место в системе; X = угп ~ 2я

1 и

V

со

0)

у = ^ + - соответственно экспоненциальная и гармоническая составляющие;

— вынуждающая частота (частота вращения ротора).

Подстановка решения (8) в систему (7) и сокращение на множитель еи приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно Ау и А

Ах\к2ВххХ3 + (А^к2Кхх

2

+ ВххХ + Кхх | +

+\ [к2ВхуХ3 + к2КхгХ2 + ВхуХ + кхг ] = о Ах [¿2 + к2КухХ2 + ВухХ + К „„ 1 +

ух

+Д, [к2ВууХ3 + (А + кгКп )Х2 + ВУУХ + к „ 1 = о

№5

2006

Эта система уравнений имеет единственное нетривиальное решение только в случае равенства нулю ее определителя, из чего следует характеристическое уравнение системы уравнений движения гибкого ротора

а0Л6 + а{\5 + оД4 + аг\ъ + аАХг + аяХ + = 0 ,

где коэффициенты уравнения определяются следующими выражениями:

а0= к

Вхх Вуу ВХУ Вп J ;

а, =к4[ВххКуу ^ВууКхх -ВХуКуХ-КХуВух^ + к2А(Вхх +ВУУ)\ а2 = Л2 + к4 (Кхх Куу - КхуКух )+ к2 [Л (К^ + Куу )+ 2- Я

аз = Л (Вхх + 5уу ) + 2к2 [Вхх Куу + - ^ху^ух ~ ) '

аа = Л(^хх + ^уу ) + (^хх ^гу " *ху^ух )+#ххДг ~ *хуВух ;

= Вхх^уу + ВууКхх —ВХУКуХ — ВуХКХу ;

ав ~ ^ хх Куу ~~ КХУ К ух .

Проделав аналогичные преобразования с системой (4) или положив в уравнении (10) к = 0, получим характеристическое уравнение для жесткого ротора

а0Х4 + а}Хъ + а2Х2 + а^Х + а4 = 0,

коэффициенты которого равны соответственно

а0 = Л2;

а1=А(Вхх+В„)\

а2 = А(КХХ + ^) + В^Вуу - ВКуВух ;

аъ ~ ^хх Куу + 5УГ - - Вух КХу

аа ~ к xx куу ~ кxv к ух •

Динамические коэффициенты смазочного слоя в широком диапазоне относительных эксцентриситетов (до е = 0,3) для мало- и средненагруженных быстроходных роторов могут быть приняты при концентричном расположении цапфы ротора в подшипнике (е =0) [6—8, 14]

К хх ~~ Куу ~ Кху ~ К ух — С0\ В^ ~ ^уу ^о» ^ху ~ ^ух А) ~ ^ •

Тогда при центральном положении цапфы коэффициенты характеристического уравнения для гибкого ротора примут вид:

№5

2006

а

о

£4[£02 + £>02]; а1 = 2к

к2(в0к0 + о0с0)+АвЛ

а

А2 + к4 (К2 + С2) 4- 2 к2

4- + о о

А,2];

а

3

А50 +

2 к2

Щ

а

+ к2(К1 + С02)] + 502 + £>о; а5=2

к Л +

л.

к2 + с2

Для жесткого ротора характеристические коэффициенты также упростятся:

а

о

Л2; а}=2АВ0; а2 = 2АК0 + 502 + /)2; а3 = 2(ЛГ050 + С0Л0);

а

+ С

Коэффициенты характеристического уравнения являются функциями свойств смазочного слоя и ротора: я0,..., я6 = /(Кхх,Кху,...,В^,Вп,ЛД). В свою очередь, характеристики подшипника определяются его геометрическими и рабочими параметрами: Кхх/(£>,Ь,со,р0,Т0,ц,р,...). В условиях смазки криогенными рабочими телами (жидкий водород, кислород) возможно вскипание смазочного материала и его паро-жидкостное состояние [10, 11], что влечет за собой изменение вязкости (Я и плотности р смазки, которые становятся функциями температуры Т и паросодержания (концентрации газовой фазы) % в смазочном слое. Это обстоятельство существенно меняет динамические характеристики подшипника [14] и влияет на динамическую устойчивость ротора.

В качестве иллюстрации влияния паросодержания на характеристики опор жидкостного трения на рис. 2 приведен набор кривых подвижного равновесия, построенных с помощью разработанного программного обеспечения [15] для подшипника с восемью точечными камерами, имеющего следующие параметры: О = 50 мм; Ь = 50 мм; к0 = 25 мкм; р0 = 0,75 МПа и рх = 0,25 МПа — давления подачи и на сливе; 1И = 3 мм — длина жиклера; с1И = 1 мм — диаметр жиклера.

Из рис. 3 видно, каков характер изменения безразмерных динамических коэффициентов как функций частоты вращения и температуры подачи смазки, характеризующей паросодержание при прочих равных параметрах. Более подробное описание расчета кривых подвижного равновесия и динамических характеристик, а также влияния на них различных факторов приведено в работе [14].

Для устойчивости рассматриваемой динамической системы необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнений (10) или (11) имели отрицательную действительную часть [13]. Встречаются два варианта рассмотрения задачи устойчивости: 1) заданы все параметры системы и определяется, устойчиво ли данное состояние; 2) заданы лишь некоторые параметры и определяется, при каких сочетаниях остальных параметров система устойчива. Первая задача сводится к применению различных критериев устойчивости (Рауса—Гурвица, Найкви-ста, Михайлова), а второй подход предполагает построение областей устойчивости в пространстве некоторых параметров (например, методом Б-разбиений).

Применение критерия Рауса-Гурвица требует построения матрицы Гурвица, которая для гибкого и жесткого роторов имеет вид [13]:

гибкий ротор

«I ао 0 0 0 0

аъ а. а\ ао 0 0

«5 а4 а, а\ ао

0 аь а5 а4 си й, Ы

0 0 0 аб «5

0 0 0 0 0 аб

жесткий ротор

а, «0 0 0

яз а\ "и

0 а4 а, а.

0 0 0 а.

№5

2006

8

О

8

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

-0.1 -

-0.15

-0.2

-0.25

0

Водород

е- кхх

КУХ

-А- КХУ КУУ

200

400

1000

1200

600 800 частота вращения, рад/с Р = 0,75 МПа; СР? = 50 Н; Т = 20 К; О = I- = 50 мм; Ь = 25 мкм; I = 3 мм; й = 1 мм

1400

в)

Водород

частота вращения, рад/с Р - 0.75 МПа; вР? = 50 Н; Т = 20 К; 0 = I. = 50 мм; Ь = 25 мкм; I = 3 мм; с! - 1 мм

б)

№5

О

о

f£ о

S

0.2

Водород (8 точечных камер) е = 0

0.15

0.1

0) 5

§ 0.05

о о

0

• Ьл , щ,,,

> V ^ S

"tH,

\

* 'I 14 t )

'S . .

KYX

-0.05

^ . — ч  V» 4 f» iln 4 t «Г'" ' Д* '

»•и Л'Г '<,Я

КХХ, KYY

Р = 0.5 МПа Р = 1 МПа

20

25

30

температура, К GR = 50 Н; со— 500 рад/с; D = L = 50 мм; h = 25 мкм;! = 3

в)

35

мм; d =1 мм

14

х 10

-э

Водород ( 8 питающих камер) е = 0

12

10

6

6

•6-

п

о

ж

о

-2

20

т

BXY

ШШШШШт

BYX

Р = 0.5 МПа Р = 1 МПа

25

30

температура, К

GR = 50 H;w = 500 рад/с; D = L = 50 мм; h = 25 мкм; I = 3 мы; d = 1 мм

35

г)

Рис. 3. Коэффициенты жесткости

№5

2006

Необходимые и достаточные условия отрицательности действительной части корней X и, следовательно, устойчивости рассматриваемой системы, выражаются в положительности (при а0 > 0) всех главных диагональных миноров матрицы Гурвица. Для гибкого ротора эти условия запишутся в виде

Aj = ах > 0; Д2 = а^а^ - а0а3 >0; Д3 = а^а^а3 + а0д,я5 - afaA - а0а32 > 0;

Д4 = аха2аъаА + а0я2а3а5 -I- 2aQaxaAa5 + а{а0аь - а0а}а3а6 — а^а^а

5

2 ^ 2 2 2

а0а3 д4 -afa4 - а0а5 > 0; А5 = aja2a3a4a5 + 2afa2a5a6 + а^а3я4а6 + +

Н-а0а3а6 + я0я2аза5 """¿W^\аь~а\ага1 ~°ла1 ~^аоаЛа5аь ~

ciQalci4a5 - а^а] >0; Д6 = а6Д5 > 0

Для жесткого ротора условия устойчивости выглядят значительно проще:

О ^

Oj > 0; аг > 0; 03 > 0; а4 > 0; а{а2а3 - а{ а4 - a0a3 > 0.

Применение критерия Рауса—Гурвица связано с необходимостью расчета определителей высокого порядка. Вычисление путем разложения их по элементам строки (столбца) или методом, основанном на приведении матрицы Гурвица к диагональной форме, нецелесообразно. Это определяет факт ограниченного применения этого критерия для изучения подобных систем; рассматриваются, как правило, лишь системы с порядком уравнения до 4. Развитие символьной математики и применение систем компьютерной математики типа MATLAB, Maple, MathCAD частично позволяет преодолеть это противоречие. Другим недостатком является то, что для уравнений высоких степеней можно лишь получить ответ, устойчива система или нет. При этом критерий не дает ответа на вопрос, как изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой,

Метод D-разбиений [13] основан на том, что при потере устойчивости корни уравнения пересекают ось мнимых чисел и переходят из левой в правую полуплоскость. При нахождении корней на оси мнимых чисел действительная часть обращается в нуль (s = 0) и корни уравнения имеют вид: X = у/, где у =27ip/co — относительная частота; р —частота колебаний на границе устойчивости; О) — вынужденная частота (в данном случае — частота вращения ротора).

Подстановка X = yi в (10) приводит к следующей системе:

я0Уб + 4 - я4У2 + - 0

аУ-ДзуЧа^О

Относительная частота определяется уравнением: у [а{ул - а2у2 + а5) = 0. Если у = 0, то а6 = 0, что соответствует системам с отрицательной жесткостью и в рассматриваемом объекте не встречается. Следовательно, получаем уравнение частоты автоколебаний на границе устойчивости:

2 п 2 Л

-Щг + а5=0 => у.2= ...»г.-,-—--

2к21 k2as + Л (Вхх + Вп

Если перед корнем в выражении (13) взять знак «+», то для частоты имеем

2 1 Y. =72 =

к V т

№5

2006

Подстановка в первое уравнение (12) дает: А2/к4 =0, что реализуется либо при Л = О, либо при к = °°. Оба случая принципиально неосуществимы и, значит, автоколебания с частотой р = со0 = -Щт невозможны [3].

Если знак в выражении (13) взять знак «—», то квадрат частоты равен:

а

к2а,+К(Вхх+Вуу\

Подставляя в это выражение значения для коэффициентов характеристического урав

нения, получаем соотношение:

у1

В хх Куу Вуу К ж Вху КуХ

Вух^ху

к [ ВXX Куу + Вуу К XX

В XV К ух

ВпКх,] + МВ

XX

-Ь Вуу )

Для центрального положения цапфы в подшипнике имеем

УI

О*

В0К0 + С0О0

к2[В0К0 + СМ + АВ0'

Граница устойчивости гибкого ротора с учетом (12) имеет вид

си,

3 2 /л

а0а* -I- ага* — а ¿а# + а6 = 0 .

Для жесткого ротора подстановка X = у/ в (11) дает систему:

я0У4 " агУ2 + а4 = 0

-сцуЧ + аъ у i = О

^оУ4 " агУ2 + а4 = 0

у (^у

а

0

аху

Если у = 0, то а4 = 0, откуда у2

0, что невозможно. Тогда уравнение для частоты имеет вид:

а

аъ!а{

частота на границе устойчивости.

Уравнение для границы устойчивости жесткого ротора примет форму

а

о

— — 2

аг ~«2 аз

шг

й\ Л.

+ а4 = 0,

В качестве иллюстрации работы рассмотренной методики на рис. 4 приведены ре-

натах «приведенная масса Л — коэффициент

для

коэффициентов жесткости и демпфирования для

IX осуществляется жидким Анализируя полученные р

малом

некоторым увеличением гидродинамическои реакции в результате неравномерного распределения газовой фазы по опорной поверхности подшипника. В первую очеоедь газо-

фаза

фазы

устойчивости. Этот результат, полученный на основе линейной аппроксимации реакций подшипника жидкостного трения, подтверждается и при интегрировании полной системы нелинейных уравнений, описывающих процессы в системе «ротор - подшипники» при смазке криогенными жидкостями [10, 11].

№5

2006

к

Рис. 4. Границы устойчивости гибкого ротора

Предложенная методика определения границ устойчивости движения системы «ротор — подшипники жидкостного трения» и разработанное на ее основе программное обеспечение [15] позволяют решать задачи определения рабочих и геометрических параметров роторной системы для работы ее в устойчивой зоне как для традиционных однофазных смазочных материалов, так и с учетом возможного парожидкостого состояния рабочей среды.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Давыдов А. Б.,Кобулашвили A.LLL, Шерстюк А. Н. Расчет и конструирование турбодетандеров.

— М.: Машиностроение, 1987. — 230 с.

2. Гидростатические опоры роторов быстроходных машин / Артеменко Н. П. и др. — Харьков: Основа,

1992.— 198 с.

3. Р а в и к о в и ч Ю, А. Конструкции и проектирование подшипников скольжения агрегатов двигателей летательных аппаратов. — М.: Изд-во МАИ, 1995. — 58 с.

4. Геращенко Б. И. Динамика закритических роторов лопаточных машин. М.: Компания Спутник*, 2000.

— 250 с,

5. Штернлихт, Льюис. Проблемы вибраций высокоскоростных турбомашин. // Конструирование и технология машиностроения, 1968. — № 3. — С. 130—144.

6. П о з н я к Э. Л. Колебания роторов // Вибрации в технике. В 6 т. Том 3. Колебания машин, конструкций и их элементов. — М.: Машиностроение, 1980.—- С. 130—189.

7. Y a m a m о t о Т., I s h i d a Y. Linear and nonlinear rotordynamics. A modern treatment with applications. — New York, John Willey&Sons, 2001. — 326 p.

8. R ao J. S. Rotor dynamics comes of age// Sixth International Conference on Rotor Dynamics: Proceedings. — Sydney, Australia: The University ofNew South Wales, 2002. — Vol. 1. —P.p. 15—26.

9. С h i 1 d s D. Rotordynamics of turbomachinery... Looking back... Looking forward // Sixth International Conference on Rotor Dynamics: Proceedings. — Sydney, Australia: The University ofNew South Wales, 2002. — Vol. 2. — P.p. 759—768,

Ю.Савин Jl.А „Соломин О. В. Расчет подшипников скольжения, работающих в условиях двухфазного

состояния смазочного материала // Известия вузов. Машиностроение, 2004. —№2. — С. 36—42. П.Савин Л.А.,Соломин О.В. Динамика жесткого ротора на подшипниках скольжения, смазываемых криогенной жидкостью //Известия вузов. Машиностроение, 2004. — №4. — С. 27—38.

12.Сергеев С. И. Динамика криогенных турбомашин с подшипниками скольжения, — М.: Машиностроение, 1973. — 304 с.

13. М е р к и н Д. R Введение в теорию устойчивости движения. — М.: Наука, 1987. — 304 с. Н.Соломин О. В. Динамические характеристики гидростатодинамических опор в условиях двухфазного

состояния смазочного материала // Известия вузов. Машиностроение, 2006. — №1. — С. 14—23.

15. Программа расчета характеристик подшипников скольжения с криогенной смазкой («Подшипник-Крио-ген») /Савин Л.А., Соломин О.В. и др. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2000610593. Зарегистрировано в Роспатенте 7 июля 2000 г.