О континуальном классе четырехзначных максимально паранормальных логик

Логические исследования 2018. Т. 24. № 2. С. 85-91 УДК 510.644

Logical Investigations 2018, Vol. 24, No. 2, pp. 85-91 DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-85-91

Л.Ю. Девяткин

О континуальном классе четырехзначных максимально паранормальных логик*

Леонид Юрьевич Девяткин

Институт философии РАН.

Российская Федерация, 109240, г. Москва, ул. Гончарная, д.12, стр.1. E-mail: deviatkin@iph.ras.ru

Аннотация: В современной философской логике важное место занимает проблема противоречивой или неполной информации. Широкое применение в этой области получили методы многозначной логики. Одним из перспективных направлений является изучение четырехзначных логик, допускающих работу как с противоречивой, так и с неполной информацией одновременно. Данная работа лежит именно в рамках этого подхода.

Эта статья посвящена континуально бесконечному множеству четырехзначных максимально паранормальных логик. Я описываю четырехзначную матрицу, которая задает логику I1P1, и демонстрирую, что, хотя она ни сильно максимально паранепротиворечи-ва, ни сильно максимально параполна, существует континуально много четырехзначных языковых расширений этой логики, обладающих данными свойствами.

Решение поставленной задачи организовано следующим образом. Сначала я строю четырехзначные матрицы логик P1 и I1. Оказывается, что матрица

I1P1

представляет

собой функциональное расширение как первой, так и второй. Из этого следует, что

I1P1

есть языковой вариант общего языкового расширения P1 и I1. Известно, что P1 и все ее языковые расширения сильно максимально паранепротиворечивы. Поскольку логика I1 дуальна P1, как она сама, так и все ее языковые расширения сильно максимально параполны. Однако, хотя P1 и I1 погрузимы в I1P1, неверно, что она сильно максимально паранепротиворечива или сильно максимально параполна. В то же время этими свойствами обладает ряд ее языковых расширений.

Далее вычисляется нижняя граница числа всех языковых расширений I1P1 интересующего нас типа. Для этого я показываю, что множество всех операций, определимых в матрице I1 P1, обогащенной операторами и Tt, имеет континуальное множество попарно различных замкнутых надмножеств. Строим замкнутый класс функций F четырехзначной логики, имеющий счетный базис. Такой класс содержит континуально много попарно различных подклассов. В заключение демонстрируем, что никакие два подкласса F, дополненные операциями матрицы I1P1, и Tt, не окажутся эквивалентны при замыкании относительно суперпозиции.

* Статья представляет собой расширенную версию тезисов выступления на I Конгрессе РОИФН, опубликованных в электронном виде: Девяткин Л.Ю. О континуальном классе четырехзначных максимально паранормальных логик // История и философия науки в эпоху перемен: сб. науч. ст.: в 6 т. Т. 1. [Электронный ресурс]. М.: РОИФН, 2018. С. 67-71.

(¡5 Девяткин Л.Ю.

Ключевые слова: паранепротиворечивость, параполнота, паранормальность, многозначная логика

Для цитирования: Девяткин Л.Ю. О континуальном классе четырехзначных максимально паранормальных логик // Логические исследования / Logical Investigations. 2018. T. 24. № 2. С. 85-91. DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-85-91

Для экономии места опускаю элементарные определения. Необходимый для понимания работы материал изложен в указанных далее работах. Определения языка, следования, пропозициональной логики, логической матрицы, гомоморфизма, гомоморфного прообраза, языкового и дедуктивного расширения логики можно найти в книге Р. Вуйчицкого [Wojcicki, 1988, p. 7-35, 56-75, 189-220]. Определения паранепротиворечивости, па-раполноты, паранормальности, а также максимальности применительно к этим понятиям приводятся в статье А. Аврона и О. Ариэли [Arieli, Avron, 2017]. Используемые понятия, связанные с замкнутыми классами функций, изложены в книге Д. Лау [Lau, 2006].

Начнем с рассмотрения логики P1 и ее матрицы.

P1 = <{1, t, 0}, Ai, Vi, Di, -i, {1, t}).

Лх 1 t 0

1 1 1 0

t 1 1 0

0 0 0 0

Vx 1 t 0

1 1 1 1

t 1 1 1

0 1 1 0

Эх 1 t 0

1 1 1 0

t 1 1 0

0 1 1 1

—x

1 0

t 1

0 1

Как показали А. Аврон, О. Ариэли и А. Заманская [АпеН, Аугоп, 2017], логика Р1, задаваемая матрицей Р1, а также все ее языковые расширения сильно максимально паранепротиворечивы. Логика называется сильно максимально паранепротиворечивой, если ни одно ее собственное дедуктивное расширение в том же языке не паранепротиворечиво.

Нетрудно построить и четырехзначную матрицу логики Р1. Для этого добавим такое промежуточное значение «Г», что его строка и столбец совпадут с таковыми для значения «0».

Р11 = ({1, - Г, 0}, Л2, У2, Э2, -2, {1, -}).

Л2 1 t f 0

1 1 1 0 0

t 1 1 0 0

f 0 0 0 0

0 0 0 0 0

V2 1 t f 0

1 111 1

t 111 1

f 110 0

0 110 0

Э2 1 t f 0

1 110 0

t 110 0

f 111 1

0 111 1

—2

1 0

t 1

f 1

0 1

По построению, матрица Р11 есть гомоморфный прообраз Р1 относительно отображения Н\ ) =0 и Н(х) = х, если х = Г. Как следствие,

матрица P1f задает логику P1. Эта матрица рассматривается А.С. Карпенко и Н.Е. Томовой как M8 [Карпенко, Томова, 2016, с. 69]. Теперь рассмотрим матрицу, дуальную P1:

I1 = ({1, f, 0}, Лз, Va, Da, -з, {1})-

Л3 1 f 0

1 1 0 0

f 0 0 0

0 0 0 0

V3 1 f 0

1 1 1 1

f 1 0 0

0 1 0 0

Эз 1 f 0

1 1 0 0

f 1 1 1

0 1 1 1

—3

1 0

f 0

0 1

В силу дуальности [Brunner, Carnielli, 2005], логика I1, задаваемая матрицей 11, а также все ее языковые расширения сильно максимально пара-полны. Называем логику сильно максимально параполной, если ни одно ее собственное дедуктивное расширение в том же языке не параполно.

Как и в предыдущем случае, построим четырехзначный гомоморфный прообраз 11, на этот раз добавив значение «t», строка и столбец для которого совпадают с таковыми для «1». Кроме того, сделаем «t» выделенным значением.

l1t = ({1, t, f, 0}, Л2, V2, Э2, -4, {1, t}).

Л2 1 t f 0

1 1 1 0 0

t 1 1 0 0

f 0 0 0 0

0 0 0 0 0

V2 1 t f 0

1 111 1

t 111 1

f 110 0

0 110 0

Э2 1 t f 0

1 110 0

t 110 0

f 111 1

0 111 1

—4

1 0

t 0

f 0

0 1

Эта матрица рассматривается Томовой и Карпенко как M13 [Карпенко, Томова, 2016, с. 69].

Заметим, что матрицы P1f и I1* различаются определениями отрицаний, а бинарные операции и классы выделенных значений в них совпадают. Как вытекает из работ П. Войтыляка [Wojtylak, 1981] и Р. Вуйчиц-кого [Wojcicki, 1988, p. 56-75], если матрицы двух логик с совпадающими множествами-носителями и классами выделенных значений имеют общее функциональное расширение, то эти логики имеют общее языковое расширение. В работе А.С. Карпенко и Н.Е. Томовой [Карпенко, Томова, 2016, c. 76] показано, что таким функциональным расширением является матрица 11P1, являющаяся частью последовательности паранормальных матриц, предложенной В. Фернандесом [Fernandez, 2001, p. 69].

I1P1 = ({1, t, f, 0}, Л2, V2, D2, -5, {1, t}).

Л2 1 t f 0

1 1 1 0 0

t 1 1 0 0

f 0 0 0 0

0 0 0 0 0

V2 1 t f 0

1 111 1

t 111 1

f 110 0

0 110 0

32 1 t f 0

1 110 0

t 110 0

f 111 1

0 111 1

—4

1 0

t 1

f 0

0 1

Аксиоматизация I1P1 также приводится В. Фернандесом в процитированной работе [Fernandez, 2001, p. 121-123].

Итак, паранормальная логика

I1P1

представляет собой языковой вариант общего языкового расширения логик P1 и I1. Однако она не является ни максимально параполной, ни максимально паранепротиворечивой. Дело в том, что как в P1, так ив I1 имеет место закон (p Л —p) D (q V —q). Но эта формула принимает значение «0» в 11P1 при p = t; q = f. Таким образом, I1P1 имеет собственное дедуктивное расширение, которое паране-противоречиво и параполно. В то же время имеет место следующий факт. Пусть функции Lf и Tt отвечают следующим условиям:

• Lf x = f, если x = t, и Lfx = 0 в противном случае;

• Ttx = t, если x = f, и Ttx = 1 в противном случае.

Тогда любое функциональное расширение матрицы 11P1, содержащее Lf и Tt, задает языковое расширение I1P1, которое одновременно максимально параполно и максимально паранепротиворечиво относительно —4. Покажем, что класс таких расширений имеет мощность континуум. Для этого рассмотрим функции следующего вида:

• fn(x 1,..., xn) = 1, если x¿ = t для некоторого i G {1,..., n}, и xj = 1 для всех j = i;

• fn (x 1, ...,xn) = t, если x1 =    = xn = t;

• fn(x 1,... ,xn) = f, если x1 =    = xn = f;

• fn(x1,..., xn) =0 в противном случае.

Как следует из Леммы 14.10.4 в [Lau, 2006, p. 426], такие функции образуют счетный базис замкнутого класса функций F = [{f¿|i > 2}], то есть fk G Fk = [f > 2} \ {fk}] для всех fk. Это дает нам континуальное множество замкнутых классов функций. Теперь обозначим как G множество всех функций, выразимых посредством V2, Л2, D2, —4, Lf и Tt. Нетрудно убедиться, что для всех fk также имеет место fk G [G U Fk]. Допустим обратное: пусть fk выражается формулой Ф(Ф1,..., Фт), где Ф G G U Fk,

а Ф1,..., Фт — либо переменные из списка x\,...,xk, либо функции из G U Fk. Если Ф(Ф1,..., Фт) содержит хотя бы одну функцию из G, то Ф(Ф1,..., Фт) = t при x1 = ••• = xn = t или Ф(Ф1,..., Фт) = f при x1 =    = xn = f. Но это невозможно по определению fk. Следовательно, в Ф(Ф1,..., Фт) могут входить только функции из Fk. Однако это снова ведет к противоречию. Таким образом, существует континуум четырехзначных языковых расширений I1P1, которые одновременно максимально параполны и максимально паранепротиворечивы. Описанные расширения I1P1 попарно различны, то есть не являются языковыми вариантами друг друга, так как в расширениях P1 не имеет места принцип замены.

Литература

Карпенко, Томова, 2016 - Карпенко А.С., Томова Н.Е. Трехзначная логика Боч-

вара и литеральные паралогики. М.: ИФ РАН, 2016. 110 с. Arieli, Avron, 2017- Arieli O, Avron A. Four-Valued Paradefinite Logics // Studia

Logica. 2017. Vol. 105. No 6. P. 1087-1122. Arieli, Avron, Zamansky, 2011 - Arieli O., Avron A., Zamansky A. Maximal and Premaximal Paraconsistency in the Framework of Three-Valued Semantics // Studia Logica. 2011. Vol. 97. No. 1. P. 31-60. Brunner, Carnielli, 2005 - Brunner A.B., Carnielli W.A. Anti-Intuitionism and

Paraconsistency // Journal of Applied Logic. 2005. Vol. 3. No. 1. P. 161-184. Fernandez, 2001 - Fernandez V.L. Semantica de Sociedades para Logicas n-valentes.

Campinas: IFCH-UNICAMP. 2001. 126 p. Lau, 2006 - Lau D. Function Algebras on Finite Sets: Basic Course on Many-Valued

Logic and Clone Theory. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer. 2006. 670 p. Wojtylak, 1981 - Wojtylak P. Mutual interpretability of sentential logic I // Reports

on Mathematicl Logic. 1981. Vol. 11. P. 69-89. Wojcicki, 1988 - Wojcicki R. Theory of Logical Calculi: Basic Theory of Consequence Operations. Dordrecht: Kluwer, 1988. 474 p.

Leonid Y. Devyatkin

On a continual class of four-valued maximally paranormal logics

Leonid Y. Devyatkin

Institute of Philosophy of Russian Academy of Sciences, 12/1 Goncharnaya Str., Moscow, 109240, Russian Federation. E-mail: deviatkin@iph.ras.ru

Abstract: The problem of contradictory or incomplete information has an important place in modern philosophical logic. The methods of many-valued logic have been widely applied in this field. One promising direction is the study of four-valued logics, which facilitate working with contradictory as well as incomplete information simultaneously. This work lies within this approach.

This paper is devoted to a set of continuum cardinality consisting of maximum strong four-valued paranormal logics. I describe the four-valued matrix that induces the logic I1P1 and demonstrate that, although it is neither maximally paraconsistent nor maximally paracom-plete in the strong sense, there are continuum-many of its four-valued linguistic extensions that possess such properties.

The solution to the problem is structured as follows. First, I construct the four-valued matrices for the logics P1 and I1. It turns out that the matrix of I1P1 constitutes a functional extension of the former as well as the latter. This entails that I1P1 is a linguistic variant of a common linguistic extension of P1 and I1. It is known that P1 and all of its linguistic extensions are maximally paraconsistent in the strong sense. Since I1 is the dual of P1, it and all of its linguistic extensions are maximally paracomplete in the strong sense. However, while P1 and I1 are embeddable into I1P1, it is not the case that it is maximally paraconsistent or maximally paracomplete. At the same time, some of its linguistic extensions do have such properties.

Further, the lower boundary of the total amount of linguistic extensions of I1P1 of the relevant type is established. For this I show that the set of all operations definable in the matrix of I1P1 supplemented with the operators and Tt has continuum-many pairwise distinct closed supersets. The closed class F of functions of four-valued logic with the countable basis is constructed. Such a class contains continuum-many pairwise distinct subclasses. Finally, it is demonstrated that no two subclasses of F supplemented with operations of the matrix of I1P1, and Tt will be equivalent upon closure with respect to superposition.

Keywords: paraconsistnecy, paracompleteness, paranormality, many-valued logic

For citation: Devyatkin L.Yu. "O kontinual'nom klasse chetyrekhznachnykh maksimal'no paranormal'nykh logik" [On a continual class of four-valued maximally paranormal logics], Logicheskie Issledovaniya / Logical Investigations, 2018, Vol. 24, No. 2, pp. 85-91. DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-85-91

On a continual class of four-valued maximally paranormal logics

91

Acknowledgements. The paper is an expanded version of the abstract, published in the I Congress of RSHPS Proceedings in electronic form: Devyatkin L.Yu. "O kontinual'nom klasse chetyrekhznachnykh maksimal'no paranormal'nykh logik" [On a continual class of four-valued maximally paranormal logics], in: Istoriya i filosofiya nauki v epokhu peremen [History and philosophy of science in the era of change]. 6 Vols. Vol. 1. Moscow: RSHPS Publ., 2018, pp. 67-71.

References

Arieli, Avron, 2017 - Arieli, O., Avron, A. "Four-valued paradefinite logics", Studia

Logica, 2017, Vol. 105, No 6, pp. 1087-1122. Arieli, Avron, Zamansky, 2011 - Arieli, O., Avron, A., Zamansky, A. "Maximal and premaximal paraconsistency in the framework of three-valued semantics", Studia Logica, 2011, Vol. 97, No. 1, pp. 31-60. Brunner, Carnielli, 2005 - Brunner, A.B., Carnielli, W.A. "Anti-intuitionism and

paraconsistency", Journal of Applied Logic, 2005, Vol. 3, No. 1, pp. 161-184. Fernandez, 2001 - Fernández, V.L. Semántica de Sociedades para Lógicas n-valentes.

Campinas: IFCH-UNICAMP, 2001. 126 pp. (In Portugese) Karpenko, Tomova, 2016 - Karpenko, A.S., Tomova, N.E. Trekhznachnaya logika Bochvara i Literal'nye Paralogiki [Bochvar's three-valued logic and literal para-logics]. Moscow: IF RAN, 2016. 110 pp. (In Russian) Lau, 2006 - Lau, D. Function Algebras on Finite Sets: Basic Course on Many-Valued

Logic and Clone Theory. Berlin; Heidelberg; New York: Springer. 2006. 670 pp. Wojcicki, 1988 - Wájcicki, R. Theory of Logical Calculi: Basic Theory of Consequence

Operations. Dordrecht: Kluwer, 1988. 474 pp. Wojtylak, 1981 - Wojtylak, P. "Mutual interpretability of sentential logic I", Reports on Mathematicl Logic, 1981, Vol. 11. pp. 69-89.