Концепции синтеза математики в различных исторических эпохах

НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ, 2010, №3 УДК 1:001 001.8

Концепции синтеза математики в различных исторических эпохах

Н.М. Охлопков

В статье изучается развитие математики в различных исторических эпохах на основе следующих концепций: числовой концепции математики; геометрической концепции; концепции алгебраической геометрии; функциональной концепции математики; концепции «арифметизации» математических теорий; теоретико-множественной концепции; концепции математической структуры; теоретико-алгоритмической концепции.

Ключевые слова: анализ и синтез, унитарная концепция, арифметизация, геометризация, аксиоматический метод, математическая структура, иерархия структур, числовая концепция, геометрическая алгебра, алгебраическая геометрия, теоретико-функциональная концепция, концепция «модели», теоретико-множественная концепция, алгоритмизация, алгебраизация.

In the article development of mathematics is studied in different historical epoches on the basis of next conceptions: to numerical conception of mathematics; to geometrical conception; conceptions of algebraic geometry; to functional conception of mathematics; conceptions of «arithmetization» of mathematical theories; to set-theoretic conception; conceptions of mathematical structure; to theoretic- algorithmic conception.

Keywords: analysis and synthesis, unitary conception, arithmetization, geometrizing, theory of sets, axiomatic method, mathematical structure, hierarchy of structures, numerical conception, geometrical algebra, algebraic geometry, theoretic-functional conception, «model conception», set-theoretic conception, algorithmization, algebraization.

Унитарная концепция математики выросла из философии Пифагора и Платона, она начала развиваться уже в античные времена. В ее основе лежит представление о Космосе как упорядоченном выражении начальных сущностей, которые могут быть разными. Для Пифагора это были числа.

Арифметика трактовалась в раннем пифагориз-ме как центральное ядро всего Космоса, а геометрические задачи - как задачи арифметики целых, рациональных чисел, геометрические величины - как соизмеримые.

Первые попытки применения метода классического сочетания анализа и синтеза в построении унитарной концепции математики принадлежат школе Пифагора. Ей принадлежит идея расчленения математики на отдельные элементы, установление отношений между элементами и на этой основе построение такой концепции математики, которая охватила бы все имеющиеся математические результаты. По этому поводу пишет

свободного образования. Он изучил эту науку, исходя из первых ее оснований, и старался получить

ОХЛОПКОВ Николай Михайлович - к.ф.-м.н., доцент Института математики и информатики СВФУ им. М.К. Аммосова, mathjsu@mail.ru

теоремы при помощи чисто логического мышления, вне конкретных представлений» [1].

Полученные в результате анализа элементы структуры математики античные математики называли «началами». Поэтому и трактаты, где осуществлялись различные варианты унитарной концепции математики, назывались «началами».

Прокл разъясняет смысл термина «элемент» и функцию этого термина: «Геометрия в целом имеет в своем составе некоторые ведущие теоремы, играющие по отношению ко всему следующую роль исходного начала; эти теоремы все собой пронизывают и дают доказательства многих свойств. Эти теоремы называются элементами. Их функции можно сравнить с функциями букв алфавита в отношении языка; и действительно, буквы по-гречески носят то же название -« ото!? ета »[2].

Древние мыслители не только использовали метод анализа и синтеза для построения различных вариантов унитарной концепции математики, но они стремились распространить эту концепцию на всю науку в целом. Древние трактаты, именуемые «Началами», «Элементами» не были энциклопедиями математических знаний. Цель этих трактатов та же, что и цель многотомных «Элементов математики» Н. Бурбаки: дать описание тех основных элементов, на основе которых

могут быть развиты все разделы современной им математики.

Все существовавшие ранее унитарные концепции математики развивались по следующей схеме: они должны создаваться унифицированными средствами. Для этого выбирались средства наиболее развитой в то время математической теории (двух или трех). У пифагорейцев роль такой теории выполняла арифметика, у Евклида - геометрия, у Декарта - алгебра и геометрия и т.д. Стремление свести все известные математические объекты к объектам базисных теорий лежит в основе известных тенденций в развитии математики, как ее арифметизация, геометризация, алгебраизация. Таким образом, эта концепция распространяет особенности некоторой частной математической теории, принятой в качестве базисной, на всю математику в целом. Поэтому идея математической структуры, лежащей в основе этой концепции, не отличается от той же идеи, выраженной в аксиоматике некоторой конкретной математической теории. Недостатком такой унитарной концепции математики является то, что концепция, предназначенная для охвата всей математики прошлого, настоящего и будущего, создавалась средствами одной или нескольких математических теорий. Отсюда предполагается, что некоторая математическая теория, например, арифметика, должна была выразить всю математику, частью которой она сама является. Во времена господства в математике арифметики Ар-хита, геометрии Евклида, алгебраической геометрии Декарта, т.е. в период господства небольшого числа математических теорий, легко переводимых с языка одной из них на языки других, допущение о возможности сведения всей математики к одной из ее теорий казалось вполне приемлемым.

В математике XIX века сложилась совсем другая ситуация. Возникли совершенно новые математические теории, такие как теория множеств, топология, теория групп и т.п. Ту роль, которую ранее выполняли числа, величины, фигуры, отводят математическим теориям, которые теперь уже выступают не в геометрической, а в аксиомати-

ления математических теорий является ее математической структурой, которая состоит из конечного числа однозначно определенных утверждений. Эта математическая структура берет на себя

которые она должна выполнять в рамках унитарной концепции математики.

Различные математические теории сводятся к неодинаковым математическим структурам, но если их оторвать от генетических источников и сравнить друг с другом, то можно заметить, что все они состоят из простейших «узлов». Эти про-

стейшие «узлы», входящие в структуру любой математической концепции, в методологии математики называют «порождающими структурами»

[3].

Ввиду того, что все известные структуры математической теории состоят из одних и тех же порождающих структур, возникает желание собрать их всех вместе и систематизировать, унифицировать и стандартизировать, чтобы с помощью такого подхода превратить всевозможные структуры современной математики в единую архитектуру в виде иерархии структур.

Для построения современной картины математики Н. Бурбаки ограничивается тремя видами таких структур [4]: алгебраические структуры (структуры композиции), топологические структуры и структуры упорядоченности. По его мнению, структуры современной математики можно получить либо путем модификации указанных выше структур, либо с помощью их комбинации. «В качестве базисной теории, средствами которой создается общая картина архитектуры математики, теперь выбирается не какая-то математическая теория (арифметика, алгебра, геометрия и т.д.) в ее генетической форме, а абстрактная аксиоматическая теория множеств. В соответствии с этим роль исходных математических объектов играют уже не числа, величины и фигуры и даже не множества их, а указанные выше порождающие структуры, выраженные на языке аксиоматической теории множеств. Эти структуры становятся фундаментальными математическими объектами, а их совокупность - ядром современной математики» [5].

В своем генетическом развитии концепция математической структуры проявила себя в различных формах: в форме эмпирического представления; в форме строгого математического понятия; в форме универсальной математической идеи. Для пояснения понятия «математическая структура» лучше начинать с описания его интуитивно-эмпирического прообраза, именуемого в науке «наблюдаемым объектом», «эмпирическим объектом», «эмпирической структурой», «эмпирической системой с отношениями» и т.д.

Как известно, научная теория создается для объяснения, предсказания не одного какого-то явления, а для серии подобных явлений. Как правило, исследование таких явлений начинается с принятия определенных допущений относительно того, с какими из числа известных явлений следует отождествлять исследуемое явление. Такой подход, именуемый в науке абстракцией отождествления, представляет исследователю возможность рассматривать исследуемые объекты как различные проявления одного и того же, одной сущности.

Абстракция отождествления, выражающая целостность, единство и общность анализируемых

охлопков

явлений, не является абсолютной и неразделимой. Способ конкретизации заключается в многократном разделении ее на ряд более мелких абстракций и последующем синтезе ее из отдельных частей.

Следующий этап исследования объекта начинается с разделения целостности на его элементы: признаки; стороны; черты; аспекты и другие, т.е. принятием абстракции разделения.

Таким образом, «идеализированная сущность» оказывается разделенной на элементы, и исследователь замечает, что эти элементы внутри «идеализированной сущности» находятся не в хаотическом беспорядке, а в определенных связях, отношениях, зависимостях. Здесь исследователь замечает, что «идеализированная сущность» есть совокупность известных элементов, находящихся друг к другу в определенных отношениях, которые составляют как бы ее структуру.

Пусть М , М ... ,М - некоторые множества элементов «идеализированной сущности», а Я2.....Я - соответствующие отношения между эле-

ментами множеств М М

м

Ар А2,..

А-

свойства этих отношении, то в символическои форме эта «идеализированная сущность» представляется в виде формальной «системы с отношениями»:

MC=

На этом этапе исследования реального объекта, представленного в форме формальной схемы (1), использована новая абстракция - абстракция синтеза.

Таким образом, при переходе от реального объекта к «идеализированному объекту», а от него к формальной системе с отношениями (1) использованы абстракции отождествления, разделения и синтеза. Переход от реального объекта к схеме (1) является довольно сильным упрощением, но является безусловно полезным в науке.

Представление реального объекта в виде системы элементов с определенными отношениями представляет собой прообраз того, что в математике называют «математической структурой». Более глубокое понимание этой идеи кроется в том, что метод классического сочетания анализа и синтеза, который был применен к эмпирическому исследованию реальных объектов, применим также к различным формам теоретического исследования этих объектов, т.е. к изучению научных понятий, теорий, подходов и т.д. По этому поводу писал известный математик Г.Вейль: «Чтобы понять сложную математическую ситуацию удобно разделять естественным образом различные стороны рассматриваемого вопроса, делать каждую сторону доступной с помощью сравнительно уз-

кой и легко обозримой совокупности представлений и формулируемых посредством этих идей фактов и, наконец, возвращаться к целому, объединив рассматриваемые ранее специализации до полной картины. При этом последний акт - акт синтеза -не требует никаких ухищрений. Искусство заключено в первом акте - акте анализа, разъединения целого на допускающие изучение части, в выборе подходящих обобщений» [6].

Метод анализа и синтеза применим в любой науке, но в математике этот метод достиг своего совершенства и называется «аксиоматикой». Отметим только ту особенность этого метода, благодаря которой для любой научной теории появляется возможность на этапе анализа выявлять основные понятия и факты, которые на втором этапе - этапе синтеза - превращаются на неопределяемые понятия и «элементы», которые совместно с аксиомами этой теории образуют аксиоматическую структуру.

Математическая теория при таком подходе превращается в непротиворечивую совокупность аксиом, которые при определенных условиях позволяют вывести из этой совокупности аксиом необходимые утверждения исследуемой теории.

Идея математической структуры в выше приведенном смысле несколько отличается от этой же идеи, представленной в виде эмпирической системы с отношениями. Однако как первую, так и вторую форму можно представить в виде формальной схемы (1), М1,М2,...,Мп где- некоторые множества элементов исследуемой теории, на которые разделил ее анализ, а , ... Дт - отношения между элементами множества Мр М2,...,Мп, фиксируемые аксиомами А1, А2,...,Ак этой теории.

Таким образом, определение математической структуры включает в себя:

1) задание одного или нескольких отношений, в которых находятся элементы множества М;

2) данные отношения удовлетворяют некоторым условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры.

Н. Бурбаки пишет: «Построить аксиоматическую теорию данной структуры - это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности, от всяких гипотез относительно их при-

Концепция математической структуры возникла на базе аксиоматического подхода, у истоков которого стояли Аристотель и Евклид. Неевклидовы геометрии Н.И. Лобачевского, Я. Бойяи, К. Гаусса, Б. Римана и труды Д. Гильберта по основаниям геометрии дали мощный импульс к развитию этого метода. Он вместе с концепцией математической структуры способствовал бурному

развитию математической логики, синтез которой с алгеброй осуществил А.И. Мальцев (теория моделей).

Таким образом, объединение математики происходило в различные исторические эпохи на основе следующих концепций.

1. Первая попытка сведения геометрии, алгебры к арифметике произошла в V веке до н.э. в школе Пифагора - числовая концепция математики.

2. Вторая попытка синтеза математики на основе геометрии произошла в III веке до н.э. в «Началах» Евклида.

3. С разработкой Р. Декартом и П. Ферма аналитической геометрии происходит тесное слияние геометрии и алгебры на основе алгебры - концепция алгебраической геометрии.

4. Данная концепция в Новое время заменяется теоретико-функциональной концепцией, где функциональный подход становится преобладающим.

5. С середины XIX века до XX века произошло объединение математики на основе «модели». Непротиворечивость аксиоматической теории проверяется указанием модели, на которой она реализуется.

5.1. Первым методом доказательства непротиворечивости аксиоматических теорий является метод интерпретаций (моделей), который состоит в том, что одна математическая теория интерпретируется (моделируется) посредством другой математической теории. Непротиворечивость евклидовой геометрии была сведена к проблеме непротиворечивости арифметики (Д. Гильберт). Примерами применения этого метода являются интерпретации Ф. Клейна, Э. Бельтрами, А. Пуанкаре для системы аксиом неевклидовых геометрий. Таким образом, неевклидовы геометрии истолковываются в понятиях геометрии Евклида. Тем самым была доказана непротиворечивость неевклидовых геометрий.

5.2. Другой метод доказательства непротиворечивости (метаматематический метод) был предложен Д. Гильбертом, который связан с представлением аксиоматической теории в виде формализованной системы. Его метод допускал только так называемые финитные методы, т.е. интуитивно убедительные и не содержащие сомнительных элементов теории бесконечных множеств. Этот метод сводит вопрос о непротиворечивости теории к вопросу о надежности метаматематики (теории доказательств), объекты которой не зависят от содержания рассматриваемой теории.

6. С конца XIX века до первой четверти XX века вся математика была перестроена на базе теоретико-множественной концепции. Такой подход позволил установить логическое единство практически всей математики на основе аксиоматичес-

кого подхода. Н. Бурбаки хотел построить всю математику на аксиоматической основе. Эта попытка осталась незавершенной, так как сама цель, по-видимому, была нереалистична.

7. В 30-х годах XX века возникла концепция математической структуры на базе аксиоматического метода и теории множеств.

8. Со второй половины XX века с появлением ЭВМ и интенсивным внедрением компьютеров во все сферы человеческой деятельности успешно развивается теоретико-алгоритмическое направление в рамках абстрактной и прикладной математики на базе математических моделей. Ддром современной математики становится математическая модель, на основе которой проводятся теоретические и прикладные исследования. Построение математических моделей соединяет вместе различные отрасли математики.

С 20-х годов XX века небывалого расцвета достигла алгебра, произошла алгебраизация математики. Современный успех развития алгебры в большей степени определяется внедрением компьютерных технологий в науку. Применение компьютеров при решении математических задач требует составления алгоритмов и их численной реализации. Отсюда один путь к алгоритмической интеграции, к практической ориентации математического знания, к арифметико-алгебраическому его строению, к повышению роли вычислительных методов [7, 8]. Развитие вычислительных методов приводит к тому, что число становится фундаментальной математической структурой, органично соединяющей прикладную и теоретическую математику [9].

Литература

1. История математики. Т. 1. -М.: Наука, 1970. - 332 с.

2. Каган В. Ф. Основания геометрии. - М.-Л.: Госте-хиздат, 1949.-492 с.

3. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М., 1963.-290 с.

4. ЕурбакиН. Архитектура математики// Сер. «Математика, кибернетика». -1972, № 1. - С.4-18.

5. Диалектический материализм и естественнонаучная картина мира / отв. ред. П. С. Дышлевый. - Киев: Наукова Думка, АН УССР, 1976.

6. ВейльГ. Полвека математики. -М.: Знание, 1969. -45 с.

7. Охлопков Н.М. История, методология и философия вычислительной и прикладной математики. -Якутск: ЯГУ 2009. - 342 с. ДЭИ№ 032090102 от 08.06.09 г

8. Охлопков Н.М. Философсго-методологические вопросы применения методов и алгоритмов вычислительной математики при решении задач прикладной математики// ВестникЯГУ-Якутск: Изд-воЯГУ 2009. -Т.6, №2.-С. 118-122.

9. Охлопков Н.М. Философско-методологические закономерности формирования числовой (цифровой) картины мира // Наука и образование. - 2009, № 3. - С. 112116.