Вариационный метод решения задач со свободными линиями тока при наличии поверхностных сил

______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVI 1985

№ 6

УДК 532.528

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СО СВОБОДНЫМИ ЛИНИЯМИ ТОКА ПРИ НАЛИЧИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ СИЛ

М. А. Брутян, С. В. Ляпунов

Предложен вариационный метод решения задач плоского симметричного обтекания произвольного препятствия по схеме Рябушинского при наличии поверхностных сил на свободной границе. Приведены результаты параметрических расчетов обтекания клина при различных значениях давления в каверне и углах схода свободной границы.

Течения идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами при наличии поверхностных сил встречаются во многих прикладных задачах гидромеханики. Решение таких задач зависит от двух безразмерных параметров: числа Вебера We, характеризующего величину поверхностного натяжения, и числа П, связанного с давлением в каверне. В тех случаях, когда в потоке имеется точка контакта свободной поверхности с твердым телом, учет сил поверхностного натяжения дает еще один безразмерный параметр — краевой угол смачивания (угол между касательными к твердой границе и свободной поверхности в точке контакта). В работе [1] изложен алгоритм численного решения задачи Рябушинского при условии гладкого примыкания свободной границы к кавитатору. Пример решения задачи с ненулевым углом смачивания методом малого параметра приведен в работе [2], где рассмотрено обтекание газового пузыря, примыкающего к бесконечной прямолинейной твердой стенке. Течение идеальной жидкости с малым поверхностным натяжением в окрестности точки схода свободной границы исследовалось в работах [3, 4] методом возмущений. В работе [4] представлены также результаты численных расчетов обтекания кругового цилиндра капиллярной жидкостью при числах We>30.

При решении различных задач со свободными границами с успехом применяются вариационные методы [5, 6]. В настоящей работе предложен вариационный метод решения задачи о симметричном кавитационном обтекании произвольного препятствия по схеме Рябушинского при наличии поверхностных сил. Метод основан на рассмотренном ниже вариационном принципе.

1. Пусть неподвижный симметричный плоский контур SUS ограничивает конечную область Й постоянного давления рп. Часть 2 представляет собой твердую границу, а часть S — абсолютно гибкую пленку, коэффициент поверхностного натяжения которой равен 0. Пусть далее тело Й обтекается безграничным стационарным потоком идеальной несжимаемой жидкости, движущейся на бесконечности со скоростью V'oc параллельно оси х декартовой системы координат Оху. Краевая задача для потенциала Ф скорости течения формулируется следующим образом:

ДФ = 0,

?-0.

Ф — х + О , при г2 = х2 +,у? оо ;

Здесь (} — область течения; к — кривизна контура, которая считается отрица-

рУ1с 2

тельной для выпуклого тела;'\Уе=—; П=------------------;р — плотность жидкости;

2а Р^со

рж—давление на бесконечности; с — характерный линейный размер. Все размерные величины в (1) — (4) обезразмерены относительно параметров потока на бесконечности и длины с. Заметим, что условие (4) имеет место не только на границе потока, отделенного от области постоянного давления абсолютно гибкой пленкой, но и на свободной поверхности капиллярной жидкости.

Вариации участка 5 будем характеризовать бесконечно малым смещением бп точек контура вдоль направления вектора внешней нормали. Как показано в [6, 7],

первая вариация функционала /= ^(уФ— ух)2 йхйу на решениях краевой за-

<3

дачи (1) —(3) равна

5/ = — ^ [1 — (у)2]

£

Тогда нетрудно показать, что первая вариация функционала /

7 = 7 " I + П 11ах аУ

8 2

имеет вид:

5^_|[1_(уФ)2_-А._П]8л,5. (5>

Из (5) следует, что условие стационарности функционала I при решении (1) — (3) эквивалентно граничному условию .(4). Это утверждение и составляет содержание упомянутого выше вариационного принципа.

2. Сформулированный результат позволяет построить вариационный метод численного решения задачи (1) — (4). Метод основан на том, что если в итерационном

процессе смещать участок 5 границы контура вдоль направления внешней, нормали на

величину бп, равную

где x(S)—неотрицательная функция, то в линейном приближении получим уменьшение значения функционала J на каждой итерации. Такой процесс сходится к минимальному значению Ушт, которое соответствует искомому решению (1) — (4). То, что при этом реализуется именно минимальное значение, по крайней мере при We-*-°°, можно показать путем исследования знака второй вариации J. Знакоопределенность второй вариации функционала I исследована в [8]. Заметим также, что при x(S) = 1 указанный метод эквивалентен методу наискорейшего спуска.

Алгоритм метода и его реализация для ряда конкретных случаев течений жидкости со свободными границами в отсутствии поверхностных сил (We = oo) изложены в [6], а докритических течений идеального газа — в [9]. В [6, 9] выполнялось условие гладкого схода свободной границы. Кроме того, при произвольно заданных участках 2 твердой границы решение могло не существовать, в связи с чем требовалось однопараметрическое варьирование учаотков твердой границы. Особенностью рассматриваемой в настоящей работе задачи с поверхностным натяжением является то, что решение существует при Произвольной форме участков 2, хотя при этом точка схода может представлять собой угловую точку контура.

На основании изложенной методики, использующей формулу (6), составлена программа для ЭВМ БЭСМ-6. Решение прямой задачи обтекания контура заданной формы осуществляется методом конформных отображений и требует 20—30 сек времени центрального процесса. Особенности отображающей функции в угловых точках контура выделялись аналитически.

На рис. х приведены результаты расчета симметричного обтекания клина по схеме Рябушинского при числах We=100, П=—0,8. Как показали систематические рас-

Рис. 1

четы, такие значения параметров We и П при выбранной геометрии клина соответствуют гладкому сходу свободной границы. На этом же рисунке приведено изменение по итерациям среднеквадратичного отклонения А скорости на свободной границе от ее значений, определяемых условием (4). Видно, что приемлемая точность (А»5%) достигается после выполнения 10 итераций. Заметим, что при этом начальное приближение специальным образом не подбиралось и было достаточно далеким (Дк=50%) от искомого решения. Изменение функционала 1 по итерациям качественно совпадает с изменением величины Д.

Некоторые результаты параметрических расчетов обтекания клина при Ше=100 и различных П приведены на рис. 2 и 3. На рис. 2 представлена зависимость относительной толщины с каверны в зависимости от числа П. Для заданной геометрии клина существует единственное решение задачи обтекания при отсутствии поверх-

ностных сил (We=oo). Это решение соответствует значениям П=—0,877, с=0,324 и отмечено на рис. 2 кружком. На рис. 3 приведена зависимость от числа П угла V между касательными к щеке клина и свободной границе в точке схода. Положительное значение соответствует обтеканию угла меньше 180° в точке схода. Заметим, что в рассмотренном диапазоне чисел П обе зависимости, приведенные на рис. 2 и 3, весьма близки к линейным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузнецов Б. Г., Шелепенко В. H., Янеико H. Н. Расчет формы каверны в поле ¡тяготения с учетом поверхностного натяжения. —

Изв. Сиб. отд. АН СССР, сер. тех. наук, вып. 3, № 13, 1967.

2. Киселев О. М. К задаче о газовом пузыре в плоском потоке идеальной жидкости. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4.

3. Ackerberg R. С. The effects of capillarity on free—streamline separation. — J. Fluid Mech. vol. 70, 1975.

4. V a n d e n-B г о e с k J.-M. The influence of surface tension on cavitating flow past a curved obstacle.—J. Fluid Mech., vol. 133, 1983.

5. Петров А. Г. Прямой вариационный метод расчета плоских и осесимметричных кавитационных течений. — ДАН СССР, 1981, т. 257,

№ 6.

6. Б р у т я н М. А., Ляпунов С. В. Вариационный метод решения задач со свободными линиями тока.—Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII. М> 1.

7. Riabouschinsky D. Sur une problème de Variation.—C. R.

Acad. Sei. Paris, vol. 185, 1927.

8. Б p y T я h М. A., Ляпунов С. В. О второй вариации функционала Рябушинскбго. — ДАН СССР, 1981, т. 258, № 4.

9. Брут ян М. А., Ляпунов С. В. Оптимизация формы симметричных .плоских тел с целью увеличения критического числа Маха.— Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII, № 5.

Рукопись поступила 4jV 1984 г.