Формирование управления движением для расчета траекторий самолета

Том XXXVIII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2 00 7

№ 3 — 4

УДК 629.7.015 629.7.051

ФОРМИРОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ДЛЯ РАСЧЕТА

ТРАЕКТОРИЙ САМОЛЕТА

Н. М. ГРЕВЦОВ, И. О. МЕЛЬЦ

Приводится описание подхода к формированию алгоритмов управления направлением движения в векторной форме для расчета траекторий в задачах наведения, уклонения и маневрирования. Подход основан на использовании единичных векторов, задающих потребное направление движения, и уравнений движения в векторной форме. Рассматривается применение эквивалентной линейной модели для расчета потребных значений нормальной перегрузки и угла крена.

Управление траекторным движением можно представить как управление направлением движения и величиной скорости. В статье рассматривается технология формирования управления направлением движения, которая может быть использована для моделирования в задачах

целевого применения и при разработке алгоритмов управления. Эта технология, имеющая геометрический характер, основана на использовании единичных векторов, задающих потребное направление движения, и эквивалентной линейной модели, задающей апериодический процесс выбора рассогласования между текущим и потребным направлением движения и обеспечивающей нахождение потребного для этого, в пределах ограничений, вектора нормальной скоростной перегрузки.

В известных авторам этой статьи работах, посвященных моделированию задач динамики целевого применения самолетов или других летательных аппаратов (ЛА), при формировании алгоритмов управления также используются геометрические построения с использованием необходимых угловых координат. Предлагаемый в статье для той же цели подход можно рассматривать как альтернативный, но, как правило, более конструктивный, поскольку он существенно упрощает необходимые для формирования управления пространственные геометрические построения.

В задачах целевого применения может реализовываться любое движение и любая ориентация ЛА в пространстве. Важным условием при выборе способа описания движения является

отсутствие особенностей в уравнениях, что достигается использованием единичных векторов, задающих ориентацию скоростной системы координат. Другое условие — простота описания законов управления, которая достигается путем применения упомянутых единичных векторов и эквивалентной линейной модели.

Моделирование целевых задач обычно включает некоторую последовательность отдельных этапов моделирования и требует использования соответствующих алгоритмов управления. Выбор параметров этих алгоритмов открывает возможность в пределах геометрических представлений получить путем моделирования квазиоптимальные маневры с учетом высотноскоростных и маневренных возможностей ЛА.

Рис. 1. Орты земной и скоростной системы координат

Рассматриваемый в статье подход к описанию кинематики наведения в течение многих лет используется авторами в программах моделирования воздушного боя. В статье описание этого подхода дается с достаточно общих позиций с рядом уточнений и пояснений по сравнению с [1], где изложены лишь его фрагменты.

1. Системы координат. Для описания

траєкторного движения каждого ЛА используются две декартовые системы координат. Первая система

координат — земная 0ХёУё2ё с ортами і, у, к,

Г 1 Г

вторая — скоростная 0Ха Уа 2а с ортами V, X, ц. Эти орты показаны на рис. 1, где приведены, как и в дальнейшем на иллюстрациях, дуги окружностей единичного радиуса, соединяющие концы единичных векторов. Единичный вектор V

определяет направление движения, единичные 1 і

векторы X и ц определяют направления действия

Г

подъемной и боковой сил. Вектор Я определяет положение центра масс ЛА в земной системе координат. Если рассматривается движение нескольких объектов, то нижним индексом

указывается номер каждого из них.

Г 1 г

Ориентация связанной системы координат может быть определена векторами V, X, ц и

углами атаки и скольжения; углы наклона траектории 0, пути ^ и скоростного угла крена уа

Г 1

при необходимости могут быть определены через компоненты векторов V и X [3]. Знание

ориентации связанной системы координат позволяет при необходимости оценивать возможности информационных систем.

2. Формирование потребного направления движения. Один из наиболее простых способов формирования управления для рассматриваемых задач основан на использовании

единичных векторов V и vm , задающих текущее и потребное по методу наведения направление движения

Г

в земной системе координат. Выражение для вектора vm обычно может быть введено в форме синтеза на основе геометрических построений для многих известных методов наведения, уклонения и маневрирования.

Г т

Целью этого раздела статьи является лишь иллюстрация способа формирования вектора vm для принятых ниже вариантов метода наведения по кривой погони с упреждением и метода уклонения типа «шнек», предписывающего движение по спирали вокруг линии визирования. Отметим, что для организации управления может оказаться необходимым вычислять и

Г т &т

использовать не только величину V , но также и ее производную по времени, т. е. величину V .

Метод наведения по кривой погони с упреждением. На рис. 2 точкам 1 и 2 соответствуют

преследователь и цель. Введем плоскость, которая содержит единичные векторы V2 и

= (Я2 - Я )/

Я2 Я1

задающие

направление движения цели и линию дальности от точки 1 к точке 2. Единичный

векто

р нор

мали к этой плоскости вычисляется

как

г

х п

,г

г

х п

Рис. 2. Построение ут для кривой погони с упреждением

Вектор потребного 'г

т

направления движения V для метода наведения, соответствующего кривой погони с упреждением, зададим в этой плоскости при

помощи угла упреждения ф, показанного на рис. 2. Угол ф может быть задан как функция

г

скоростей полета и т. п. Как можно видеть, вектор vm имеет следующее выражение:

гг Г

m •

v =nr cos ф + n-sm ф,

где пт = пг х пп — единичный вектор. При ф < 0 получаем единичный вектор Vг наведения, соответствующего кривой погони с отставанием, при ф = 0 — чистому

преследованию; ф=п соответствует методу

&

«антипогони». Производная V может быть

получена дифференцированием выражения для г &

V™ . При ф = 0 производная для V выглядит

для метода

Рис. 3. Схема к расчету маневра типа «шнек»

* & & Г Г I

особенно просто: v = nr = юг х nr, где юг —

вектор угловой скорости линии визирования.

Метод уклонения типа «шнек». Этот, сравнительно сложный, метод уклонения от ракеты предписывает ЛА спиралеобразное движение с некоторой перегрузкой и скоростью полета для срыва наведения.

Желаемое спиралеобразное движение в каждый

текущий момент времени может быть организовано по нормали к линии визирования или под

некоторым углом ф к ней. Выбором этого угла можно обеспечить движение ЛА как навстречу

ракете, так и от нее.

г

В каждый момент времени при совершении маневра единичный вектор vm , задающий потребное по методу направление движения, должен лежать на поверхности конуса с осью, совпадающей с линией визирования, и с полууглом раствора ф, что показано на рис. 3, где приведены некоторые

I

используемые ниже обозначения. Здесь nr, как и выше, — единичный вектор дальности, или линии визирования,

направленный от ЛА к ракете (или к самолету противника). В процессе моделирования

I

вычисляется введенный в предыдущем примере вектор угловой скорости линии визирования юг ,

г

mm

перпендикулярный линии дальности. Задав угол у , определяющий положение v на

Г

поверхности конуса, можно найти вектор vm при помощи формул:

ГГ Г Г $/с\ г

m m • m • m • m

v = nrcosф + p sinф, p = jcosy + nhsiny ,

Г /Г rw % /Г Г \ / II/

где nh =1 nr х j I/sin 0r , j =1 j - nrsin 0r I/cos 0r (предполагается, что | 0r |<п/2, угол 0r показан

на рис. 3).

Для расчета управления на каждом шаге интегрирования уравнений движения нужно

Г m &и Г m

вычислять вектор v и его производную v , определяющую скорость вращения вектора v при изменении угла ym в заданном направлении. Для этого требуется задать начальное значение

m m m m m

этого угла у . Тогда можно принять у =у +ю t, где ю — подлежащая выбору угловая

&

скорость и t - время, отсчитываемое от начала маневра. Выражение для производной v можно

г

получить формальным дифференцированием выражения для vm . Однако проще воспользоваться известной формулой

& = С Vй

Л

л

- + юг XV

где

%

Л

ГГ г

т т т ^

- = ю XV — локальная производная вектора V во вращающейся системе координат,

Г %г Г и иГ

связанной с конусом и определяемой единичными векторами пг, ] ,щ (см. рис. 3), и ю = ю пг.

В результате имеем

& =

(Ю- +ЮГ )хї-.

Возможны и другие пути организации потребного перемещения вектора vm по поверхности конуса, использующие соответствующим образом определенную последовательность его

положений.

3. Формирование алгоритмов управления. Будем рассматривать движение ЛА при угле скольжения, равном нулю. Тогда движение его центра масс в земной системе координат можно описать уравнениями:

&

Я = У =

Гг & / Г Г Г\

У = У V, У = g(nXaV+nУa'k-]),

где V и V— вектор и модуль скорости ЛА, п

п

ха’ У а

тангенциальная и нормальная скоростная

перегрузки, действующие вдоль векторов V, X. Остальные уравнения, которые могут быть

использованы для расчетов, кратко описаны в п. 1 Приложения.

Для рассматриваемой задачи требуется организовать управление нормальной скоростной

перегрузкой, обеспечивающей заданное направление движения.

Г 1 &

Вектор V = V / V является единичным вектором, поэтому его производная V касается круга

единичного радиуса, лежащего в текущей, или мгновенной, плоскости маневра, содержащей

вектор V , что иллюстрируется на рис. 4.

I

Дифференцируя вектор V с использованием второго уравнения из (1), получим основную

для формирования управления направлением движения

формулу

&= 8

У

( Г Г / Г г \ Г \

(ПУа Я-] +( ] -УГ),

Рис. 4. Мгновенная плоскость маневра

вертикальный компонент вектора і

наклона V

где скалярное произведение у V = Vy = 8Ш0 , Vу —

I

, 0 — угол

к горизонтальной плоскости, вектор

g(-у + (у представляет собой составляющую

вектора гравитационного ускорения, нормальную к вектору V (рис. 5).

&

При прямолинейном движении V = 0, и из (2) 1 I г

следует, что пу X- у + sin0v = 0. Можно показать, что

этому условию соответствует движение в вертикальной плоскости при Пу^ = cos0 .

Рис. 5. Составляющие вектора у вдоль вектора

I

V и по нормали к нему

Отметим еще раз, что изменение направления движения порождается вектором &, который вместе

I

с V определяет мгновенную плоскость маневра. Управление направлением движения, как это

Г 1

следует из (2), определяется вектором нормальной скоростной перегрузки Пу = Пу X.

тт " "Г й

Для организации управления введем при помощи единичного вектора V желаемое

направление движения; его производная, т. е. вектор V , должна быть

| & & ортогональна вектору V . Если положить v = V , то потребный вектор перегрузки на основании (2) может быть вычислен как

Гй V & Г /Г Г\Г

ПУа = £ У У -

В связи с этим для расчета вектора потребной

перегрузки нужно иметь алгоритм для определения вектора &, соответствующего потребному

Г Г й

маневру. Этот алгоритм можно разработать на основе информации о векторах V и V . При

Г й

формировании вектора V могут быть учтены дополнительные соображения о выборе плоскости разворота для использования гравитационного ускорения для разгона или торможения.

Для расчета потребного значения Vй используем подход, связанный с так называемой эквивалентной линейной моделью для ошибки рассогласования [2] (см. п. 2 Приложения). Формально эквивалентную линейную модель для рассматриваемой задачи можно задать векторным уравнением

Л&+ кх дV = 0,

где ^ > 0 — параметр, подлежащий выбору. Уравнение (4), в пределах ограничений на управление, предписывает экспоненциальный закон убывания модуля рассогласования величины

ГГ Г

Дv = vm -V .

Из (4) формально можно получить производную желаемого направления движения

Vpr =^

которая в общем случае не ортогональная V , поэтому она рассматривается как предварительная

&

и помечается индексом рг. В качестве V для применения подхода, основанного на (4), в задаче

г &

управления принимается ортогональная к V составляющая V рГ

& =&рг ^

которая применяется в (3) для расчета потребной перегрузки. Здесь в явной форме не

Г й

используется вектор V . Формула (5) соответствует линейному синтезу и содержит в правой

Г т Г

части два слагаемых: первое — позиционное V- - V, пропорциональное рассогласованию,

второе — демпфирующее V- .

Г т Г

Однако при V- V < 0 использование формулы (6) приводит к тому, что при увеличении | &

рассогласования Дv модуль вектора V уменьшается, в результате чего в соответствии с (3) уменьшается и потребное значение нормальной скоростной перегрузки. Поэтому будем

г т г г т г

различать случаи vm • V > 0 и V'” • v< 0 (рис. 6). В первом случае угол разворота не превышает

90°,

во втором — больше 90°. Из физических соображений во втором случае целесообразно в

г

формуле (5) вместо вектора V” использовать вектор

г т У -(і ”• і )2

&т

и принять V = 0 . Формула (7) следует из схемы, приведенной на рис. 6.

г т г &

Таким образом, при у” • V < 0 расчет вектора Ург выполняется по формуле

&Рг = ^(Ут -у) ,

после чего он ортогонализируется в соответствии с (6).

Vй • V > 0

-т ”* хч

V V <0

г гг гг

Рис. 6. Определение у” для Ут- У> 0 и у” • У< 0

гг г

Отметим, что при V™ • V < 0 можно сформировать единичный вектор vrm, не лежащий

г г

в плоскости, содержащей векторы V™ и V . Такой прием позволяет рассматривать различные маневры разворота, например, развороты с набором высоты или снижением.

Потребное значение модуля нормальной перегрузки определяется с помощью

Уа

а потребное направление подъемной силы дается единичным вектором

г И К

^ И _ уа

X =~гт

Уа

Величины X и X позволяют определить потребное изменение угла крена Ауа, под

которым понимается поворот вектора X вокруг вектора V , при помощи соотношений

г /і 1 11

8ІпДуа = V • (х х Xй ), С08 Ауа = X • Xй.

Величина Дуа, определенная с помощью величин X и X (8), позволяет синтезировать

управление угловой скоростью крена юх и организовать уменьшение величины пу в

зависимости от Ауа. При достаточно большом рассогласовании Ауа это уменьшение предотвращает разворот в направлении, не соответствующем методу наведения.

Величина пйу должна быть ограничена и для предотвращения недопустимого снижения скорости полета. Однако это ограничение приведет к изменению направления маневра. В п. 3

Приложения рассмотрен метод расчета вектора X для случая, когда задается только

& й

направление вектора V , а величина перегрузки пу считается заданной, например

максимальной. Для управления тягой силовой установки необходимо на основе доступной

информации сформировать алгоритм расчета потребной скорости полета Vй. Это одна из сложных и требующих исследований задач, которая здесь не рассматривается.

Заключение. В заключение отметим две основные трудности, которые могут возникнуть при использовании описанного метода формирования управления направлением движения. Разделение управления траекторией на два вида: управление направлением движения и управление скоростью возможно, если потребные величины нормальной скоростной и тангенциальной перегрузок находятся внутри области их возможных значений. В противном случае в зависимости

от задачи приходится отдавать приоритет одному из видов управления в ущерб другому. Геометрический подход к построению управления сохраняет формальные особенности, возникающие из-за возможной неопределенности плоскости маневра. Например, при выполнении самолетом разворота для движения в обратном направлении. В этом случае формально плоскость маневра не определена. В связи с этим применение такого подхода требует привлечения дополнительных геометрических построений и определения их параметров по выбранному критерию с использованием характеристик ЛА.

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Уравнения движения и расчет траекторий. В этом пункте приводятся известные результаты, которые, однако, могут оказаться полезными для понимания техники расчета траекторий. Второе уравнение из (1) в скоростной системе координат имеет вид:

% г г /г г г\

К + Ша хГ = g (ПХа у + Пуа х- ] ).

% г г г ' г

Здесь V — локальная производная вектора V; юа =ХаУ + Юуа X + юZa ц — вектор угловой

скорости скоростной системы координат. Проекция уравнения (9) на оси скоростной системы координат дает

К&= g(nx -уу), ю2 = ^(пу -X.,), юу = ^цу,

ОУ Ха у/ га V Уа У уа V

ггг

где Vу, X,, Цу — вертикальные компоненты единичных векторов V, X, ц. Величины ю ,

г г ' г

(йуа , — компоненты вектора юа вдоль векторов V, X, ц .

Вращение скоростной системы координат описывается уравнениями Пуассона:

& г г & г г &гг

V = юа ху, X = юа XX, Ц = юа хц.

Известно, что при интегрировании этих уравнений требуется использование процедур

Г 1 г

ортогонализации и нормализации векторов V, X, ц после каждого шага интегрирования. В связи

с этим в качестве метода интегрирования уравнений (10) удобно применять формулы для расчета Г 1 г I

вращения векторов V, X, ц вокруг вектора юа на каждом шаге интегрирования [3 — 6].

Если в качестве управлений принять нормальную перегрузку пу или угол атаки а,

угловую скорость крена и коэффициент дросселирования двигателя (двигателей), можно

рассчитать движение центра масс ЛА по траектории, используя первое уравнение из (1) и приведенные соотношения. Расчет траекторного движения позволяет вычислить те параметры движения, например угловую скорость линии визирования, которые используются для

управления направлением движения.

2. Эквивалентная линейная модель. Рассмотрим систему, поведение которой описывается уравнениями

/(х и),

где вектор фазовых переменных х и вектор управлений и имеют одинаковые размерности. Пусть в процессе движения задается как функция времени желаемое значение вектора фазовых

координат хй = хй (I) . Тогда величина Ах = хй - х будет представлять собой рассогласование

между желаемым и текущим значениями фазовых переменных. Потребуем, чтобы это

рассогласование удовлетворяло дифференциальному уравнению

А&+ кх Ах = 0,

которое назовем эквивалентной линейной моделью. Выбор положительного параметра кх (вместо параметра можно принять диагональную матрицу с положительными элементами) влияет на скорость убывания рассогласования, так как решение (11) есть Ах = Ах0)е~кх, где Ах0 = Ах0 (0) . Из (11) следует, что .&= & + кхАх . Примем / (х, и) = & + кхАх . Если последнее уравнение разрешимо в аналитической форме относительно и, то получаем синтез управления в форме и = и (х, хй, Ах) . Дополненный необходимыми ограничениями такой синтез может быть

использован во многих задачах траекторного управления.

3. Маневр в заданном направлении с заданной перегрузкой. При заданной ориентации

вектора V мгновенная плоскость маневра определяется вектором V, который зависит от

1 Г 1

величины пу и вектора X : пу = пу X . Для приложений, в частности для учета ограничений на нормальную перегрузку, представляет интерес следующая задача: задана величина пУа и

1 & требуется определить X так, чтобы вектор V имел заданное направление. Это направление зададим единичным вектором I , тогда заданной величине пу > 1 (например, пу = птах , где

Уа Уа Уа

пГ — одно из возможных ограничений на нормальную перегрузку) будет соответствовать

Vй = с1 , где с - параметр, который требуется определить. Уравнение для расчета величин Xй и с имеет вид

V

Г

с учетом условия, что вектор X является единичным. Уравнение (12) можно переписать в виде

% r ,r гчг

где j = j -(j -vjv, или

1 г/q! 1 1 // \ 1 1

Здесь b = jjny , d = Ic (gny V) = Id. Теперь для вычисления Xd вместо параметра c

достаточно определить параметр d. На рисунке приведена схема, поясняющая расчет. Направление & %г r (% r Л

вектора v определяет угол с: cos с = j • l, sin с = v • I j xl I. Теперь нужно определить величину

= b + d .

d из условия, что вектор Хd единичный. Можно показать, что

d = -bcosс + V 1 -b2sin2с .

В качестве примера рассмотрим правый вираж в горизонтальной плоскости при некотором значении Пу^ > 1. Используя приведенные выше формулы, получим

V * п I 7

I =vx j , а= b = 1/nya , d = ^ -y.

откуда из (1З) следует, что

І I

Умножив обе части этого выражения на пу , а затем скалярно на ] и I, получим известные формулы, определяющие потребный угол крена у а :

nyacos Yda = 1 nyasin Ya = ^n^a - 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гревцов Н. М., Мельц И. О. Математическое моделирование воздушного боя с использованием матричных игр. — В Сб.: Современные проблемы динамики и управления летательных аппаратов // Труды ЦАГИ. 2001, вып. 2649.

2. Голышко В. Т., Мельц И. О., Соколов В. П., У сков Г. В. Формирование траекторного управления самолетом с использованием эквивалентной линейной модели // Труды ЦАГИ. 1980, вып. 2049.

3. Гревцов Н. М., Мельц И. О., Сазонов Д. С. Интегрирование уравнений

движения летательного аппарата с использованием схемы механического вращения // ТВФ. 2001. Т. LXXV, № 3 — 4.

4. Grevtsov N., Melts I., Sazonov D., Wagstaff P. An application of mechanical rotation scheme to analysis of motion of flying objects // J. of Aerospace Engineering. 2005. V. 219, N G1.

5. Шилов А. А. Об исключении особенности в общих уравнениях движения летательного аппарата // Инженерный журнал. 1962. Т. II, вып. 3.

6. Шилов А. А. Общие уравнения движения летательного аппарата, не имеющие особых точек // Труды ЦАГИ. 1962, вып. 850.

Рукопись поступила 28/III2006 г.

К расчету потребностей величины Х при заданной величине нуа и заданном

направлении v