Задачи с экономическим содержанием в курсе математики

Раздел IV. Теория и методика обучения математике

С.И. Дяченко

ЗАДАЧИ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

«... Зато читал Адама Смита И был глубокий эконом, То есть умел судить о том, Как государство богатеет, И чем живет и почему Не нужно золота ему, Когда простой продукт имеет. Отец понять его не мог И земли отдавал в залог».

Строки, представленные в эпиграфе к этой статье, написаны А.С. Пушкиным о герое его романа Евгении Онегине. В 1776 году появился труд «Исследование о природе и богатстве народов» шотландского экономиста и философа Адама Смита (1723-1790). В начале XIX века это сочинение было переведено на французский и русский языки. Возникает вопрос: «Откуда А.С. Пушкин мог знать об Адаме Смите и его теории?». Ответ на этот вопрос можно найти в свидетельстве А.С. Пушкина об окончании лицея. Кроме разнообразных курсов филологических, исторических и юридических наук в лицее преподавали математику, логику, статистику, финансы, государственную экономию, причём объём этих предметов был достаточно большой. Поэтому можно предположить, что истоки знаний А.С. Пушкина по экономике, еще со школьных лет, из лицея.

Какими знаниями по экономике обладает современный выпускник нашей общеобразовательной школы? Ответ - прост: примитивными, если только он не учился в специальных классах с экономическим уклоном или не занимался самообразованием в данной области. В то же время современный человек с ранних лет слышит такие термины, как: акция, банковский процент, депозит, дивиденды, инфляция, ставка рефинансирования, курс валют, фондовая биржа и другие; сталкивается с деятельностью банков и т.д. Возникает необходимость в получении знаний о рыночной экономике, ее законах и возможностях еще со школьной скамьи.

Профессиональное занятие бизнесом требует многих знаний и, прежде всего, умения оценивать все возможные результаты финансовых операций. Для этого необходимы определённые знания в области финансовых вычислений. На первый взгляд финансовая математика сводится к арифметике. В повседневной жизни наша «бухгалтерия» состоит из четырех арифметических действий. Но ситуация усложняется, когда речь идет о небольших коммерческих операциях, не говоря уже о банковской деятельности. Действительно, любая коммерческая операция предполагает много факторов: сумма кредитов, его срок, цену товара, способ начисления процентов, распределение прибыли и т. д. Кроме арифметики в коммерческих и финансовых расчётах используются многие разделы современной математики: методы математического анализа, теории вероятностей, математической статистики и другие.

В России финансовые вычисления были известны как «коммерческая арифметика». В курсе «коммерческой арифметики» изучалась техника процентных вычислений по процентным бумагам и акциям, расчётов по векселям, давались методы дисконтирования и другое. В дореволюционной России эти вопросы изучались в средних учебных заведениях. К примеру, в элементарной алгебре А.Н. Глаголева были включены вопросы учёта капитала, ренты, вопросы наследства и др. В программе же современной школы этим вопросам не уделяется внимания, хотя в 40-х годах ХХ-го века они изучались в курсе арифметики в пятых классах обычных школ. Поэтому появляются современные исследования по решению этой проблемы и внедрению экономического содержания в школьные курсы. Экономическое образование и воспитание может осуществляться при изучении всех предметов школьного курса, но особая роль отводится курсу математики.

В зависимости от характера учебного заведения, возможны различные уровни ознакомления учащихся с началами финансовой математики. Например, А.С. Симонов (г. Тула) проводил эксперимент в классах с экономической ориентацией по внедрению экономического содержания в школьные курсы алгебры 8-9 классов и алгебры и начал анализа 10-11 классов. Но данный эксперимент направлен на учащихся, которые уже выбрали экономическую направленность в своем образовании, поэтому бесспорна необходимость изучения ими математических моделей экономики. Для обычной средней школы это может быть элективный курс по изучению элементов финансовой математики; кроме того, в техникумах, колледжах и школах полезно вводит в курс математики задачи с экономическим содержанием, чтобы при решении этих задач в жизни не возникали математические трудности. Это расширяет представление учащихся о математике: математика выступает не только в роли абстрактной науки о числах, но и в роли науки, решающей практические задачи в области экономики и финансов.

Анализ современной литературы показал целесообразность рассмотрения в школьном курсе следующих элементов финансовой математики:

1) теоретические основы процентных вычислений (определение процента, нахождение заданного числа процентов от заданной величины, нахождение числа по его процентам, процентные отношения, простой процентный рост, сложный процентный рост);

2) дисконтирование;

3) ренты;

4) банковские расчёты вкладов.

Увеличение вклада, характеризуемое тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада, независимо от срока хранения и количества периодов начисления процентов, называется простым процентным ростом. Сложным процентным ростом называется начисление «процентов на проценты», то есть после каждого периода начисления процентов сумма процентов присоединяется к первоначальной сумме вклада, и в следующий период проценты начисляются исходя из новой суммы.

Часто бывает необходимо знать, какую сумму нужно вложить под фиксированную ставку сложных процентов сегодня, чтобы через определённый срок получить желаемую сумму. Разница между значениями капитала в эти сроки называется дисконтом или учётом, а процесс нахождения сегодняшней стоимости платежа, осуществимого через некоторое время - дисконтированием.

Если стоимость капитала в момент реализации Sn и стоимость его в данный момент S0; то S0 должно быть таким, чтобы, поместив S0 по сложным процентам на n сроков, отделяющих данный момент времени от момента реализации, мы могли бы получить Sn. Определение действительной стоимости капитала в данный момент делается по формуле сложных процентов:

S„ = Sñ • К.+1 , где t — если срок годовой; если срок полугодовой, то i — ^ ; если

100 200

Р О О 4 срок 1 месяц, то t —-. Итак, оп = Л • 4+1 _ (1),

1200

А i+t

или = . (2).

Формулы (1) и (2) связывает между собой стоимость капитала в данный момент S0 и будущую стоимость 8 п.

Найдём учёт или дисконт: — = --= 8„--' ^—.

п и п 4 J 7? п 4 , Л

Рассмотрим стоимость капитала в данный момент (формула (1)). Воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения (1+1)"п, тогда

S о - Sn

гл пП + Р 2 пП +1 + 2^ 3 Л

1-n-t + —-^t2 ---^-^t3 + ...

v 2! 3! у

. Отбрасываем все члены бинома,

кроме первых двух, получим формулу приближённого нахождения стоимости капитала без процентов на него: S0=Sn•(1-n•t). Такой приближённый учёт называется коммерческим учётом. Воспользуемся формулой (2):

о Вп Вп „

о 0 = —-— =-^—>--—^—^—-. Сохраняя в знаменателе

€ + t~* nii-l I 2 nil-1 2 з

* + 1 + n-t + —-*<t2+ —--^-t3 +...

2! 3!

$

два первых члена, получим: S0 —--—. Это тоже формула приближённого учёта капитала.

l + n-t

s„ Sn

Найдём учёт по этой формуле: Sn--=--n-t — S0  И  i. то есть учёт равен

1 + n-t \ + n-t

простым процентам не с конечного капитала, а со стоимости его в данный момент. Такой учёт называется математическим учётом или учётом по простым процентам.

Финансовые операции часто носят продолжительный характер и состоят не из разового платежа, а из последовательности, то есть из потока платежей. Ряд платежей, производимых через равные промежутки времени, называется рентой. Каждые из этих платежей называются членами ренты, а промежутки, через которые производятся эти платежи, называются периодами или сроками ренты. Примеры рент: квартирная плата, взносы по погашению кредита, пенсия, регулярная выплата процентов по банковскому депозиту или по ценным бумагам и т. д.

Первоначально рассматривались лишь ежегодные выплаты, которые назывались срочными или ежегодными взносами, иногда они называются аннуитетом (лат. anno - год), а сама рента называлась рентой помещения. Если же эти платежи идут на погашение долга, то они называются срочными или ежегодными уплатами, а сама рента - рентой погашения. Началом ренты называют начало того периода, в конце которого производится первый платёж.

По качеству платежей ренты делятся на ренты с постоянными платежами (платежи такой ренты между собой все равны) и на ренты с переменными платежами (платежи такой ренты между собой не равны).

По времени, в течение которого производятся платежи, ренты делятся на ренты временные, пожизненные и вечные; число платежей первой ренты, вообще говоря, ограниченно, число платежей второй ренты ограничено в зависимости от жизни одного или нескольких лиц, и число платежей третьей ренты неограниченно.

Анализ учебников и литературы по данной теме позволил произвести классификацию задач с экономическим содержанием, которые целесообразно рассмотреть в школьном курсе. Выделено два основных вида: задачи на проценты и задачи на вычисление рент. В свою очередь, задачи на проценты можно разделить по: уровню сложности; способу решения; содержанию текста условия.

По уровню сложности задачи на проценты делятся на простые и сложные (сложный процентный рост). К простым задачам относятся:

1) задачи на простой процентный рост;

2) нахождение заданного числа процентов от заданной величины;

3) нахождение числа по его процентам;

4) нахождение процентного отношения чисел (нахождение выражения одного числа в процентах другого).

По способу решения можно выделить следующие виды задач:

1) задачи, решаемые с использованием определения процента;

2) задачи, решаемые с использованием приведения к обыкновенной дроби;

3) задачи, решаемые с использованием приведения к десятичной дроби;

4) задачи, решаемые при помощи пропорции;

5) задачи, решаемые по формуле:

- р% от S = р-S /100 (формула процентов);

- Sn = (1 + p-n/100)-S (простой процентный рост);

- Sn = (1 + р/100)п • S (сложный процентный рост);

6) задачи, решаемые с использованием графика линейной функции;

7) задачи, решаемые с использованием арифметической прогрессии;

8) задачи, решаемые с использованием геометрической прогрессии.

В задачах на проценты иногда используется график линейной функции, показывающий зависимость Sn от п (при простом процентном росте). Sn=(S•р/100)•n+S.

Так, если к некоторой сумме, скажем, 300 тыс. руб., ежемесячно прибавлять по 20% от неё, то такая зависимость выражается формулой простого процентного роста: Sn=(1+20•n/100)•300, или линейной функцией: Sn=60•n+300.

Напомним, что изучавшаяся ещё в 7-м классе линейная функция - это функция вида у=к-х+Ь, где х - аргумент функции у, а к и Ь - некоторые действительные числа. Аргумент «обычной» линейной функции х - это любое действительное число, а у нас число п - натуральное. Если мы рассмотрим линейную функцию у=(S•р/100)•х+S, то её график будет представлять собой прямую с угловым коэффициентом k=S•р/100, и эта прямая отсекает на оси ординат отрезок длины Ъ=8. При натуральных значениях х=п график рассматриваемой величины Sn - это совокупность отдельных, изолированных точек. Однако на практике график «обычной» линейной функции у=(S•р/100)•х+S называют также графиком величины Sn.

В некоторых случаях графики помогают нагляднее представить процесс изменения тех или иных величин - это касается в первую очередь скорости изменения этих величин.

Свойства простого процентного роста связаны со свойствами линейной функции и, следовательно, с основными свойствами прямой: прямая определяется любыми двумя её точками, и две различные прямые пересекаются только один раз. Сформулируем соответствующие свойства простого процентного роста:

1. Достаточно знать любые два значения величины, подчиняющиеся правилу простого роста, чтобы найти любое третье значение;

2. Если две различные величины, изменяющиеся по правилу простого процентного роста один раз «пересеклись», то мы можем быть уверены в том, что больше этого никогда не произойдёт.

Данные свойства простого процентного роста можно использовать при решении некоторых задач с экономическим содержанием.

В процентных вычислениях своё отражение находят арифметическая и геометрическая прогрессии. Главное различие между простым и сложным процентным ростом: при простом росте величина в каждый период времени увеличивается на одно и то же количество по сравнению с предыдущим значением, а при сложном росте - в одно и то же число раз по сравнению с предыдущим значением.

Если обозначить начальное значение величины через S, а её значение через п промежутков времени - через Sn, то «следующее» значение величины имеет номер п+1, и поэтому при простом росте: Sn+1=Sn+S•р/100, а при сложном росте Sn+1=Sn•(1+р/100). Если теперь записать друг за другом все значения рассматриваемой величины: S1, S2 , S3 , ..., то получим последовательность, которая в двух рассматриваемых случаях строится по разным правилам. При простом росте мы каждому предыдущему значению прибавляем S•р/100, а при сложном росте умножаем его на 1+р/100. Это означает, что обе последовательности являются прогрессиями, первая - арифметическая с разностью d=S•р/100, вторая - геометрическая со знаменателем q=1+р/100 .

По содержанию текста условия задачи на проценты делятся на: задачи банковского содержания, житейские задачи, задачи на дисконтирование.

Задача банковского содержания:

Пример 1. Начальный вклад клиента Сбербанка составил 100 тыс. руб. Зная, что процентная ставка Сбербанка 10% годовых, определить, какая сумма будет на счёте этого клиента: а) через год; б) через 2 года; в) через 5 лет; г) через 6 лет.

Житейские задачи:

Пример 2. В референдуме приняли участие 60% всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в референдуме, если в городе 150 тыс. жителей, а право голоса имеют 88%?

Пример 3. Доходы населения увеличились в первом квартале на 5%, а во втором - на 10%. На сколько процентов увеличились доходы населения за два квартала?

Задачи на дисконтирование:

Основная проблема, связанная с дисконтированием, состоит в том, что при осуществлении различных проектов необходимо уметь сопоставлять величину сегодняшних затрат с величиной будущих доходов.

Пример 4. Вы предполагаете приобрести автомобиль, который станет приносить ежегодный чистый доход 32 000 руб. в течение 7 лет, а затем будет выброшен на свалку. Какую сумму вы будете готовы уплатить при банковской ставке р=12%?

Пример 5. Новый компьютер был куплен за 17 000 руб.. Каждый год на его амортизацию списывается 9%. Через сколько лет этот компьютер можно списать как полностью потерявший первоначальную стоимость?

Стоит отметить, что предложенное деление задач с экономическим содержанием условно, и использование той или иной классификации зависит от тех целей, которые ставит учитель на определенном этапе обучения.

Реализация элементов финансовой математики в школьном курсе возможна в форме элективного курса в 9-10 классах. Цель курса - расширить представления учащихся в области финансовой математики и экономики; обобщить полученные до этого знания о процентах, обыкновенных и десятичных дробях, пропорции, линейной функции, арифметической и геометрической прогрессии; рассмотреть тесную связь математики и экономики.

Содержание курса:

1. Процентные отношения. Простейшие задачи на проценты: нахождение заданного числа процентов от заданной величины, нахождение числа по его процентам, нахождение процентного отношения чисел (нахождение выражения одного числа в процентах другого). Алгоритмы решения данных задач. Выведение формулы процентов.

2. Применение обыкновенных и десятичных дробей для решения задач на проценты. Решение задач на проценты с использованием пропорции.

3. Простой процентный рост. Определение, формула, сферы применения. «Обратные задачи» на простой процентный рост.

4. Сложный процентный рост. Определение, формула, сферы применения. «Обратные задачи» на сложный процентный рост. Применение формулы при отрицательном росте.

5. Отражение линейной зависимости в задачах на проценты. Использование линейной функции и её графика в экономических задачах, теоретическое обоснование. Свойства простого процентного роста, основанные на линейной зависимости.

6. Арифметическая, геометрическая прогрессии в экономике и задачи на процентный рост.

7. Дисконт (учёт). Дисконтирование. Определения, формулы. Формулы приближённого нахождения стоимости капитала. Коммерческий учёт. Математический учёт (учёт по простым процентам).

8. Ренты, члены ренты, периоды (сроки) ренты. Аннуитет, рента помещения, рента погашения. Ренты с постоянными платежами, ренты с переменными платежами. Ренты временные, пожизненные вечные. Стоимость всех платежей. Определения, обозначения, формулы. Формула срочных взносов.

9. Банковские расчёты вкладов. Понятия кредита, избыточных (свободных) резервов, годовой процентной ставки. Основные функции коммерческих банков. Начисление простых и сложных процентов, особенности их начисления. Коэффициент наращивания простых процентов. Капитализация процентов.

Занятия в рамках данного курса позволяют обобщить математические знания, расширить представления о финансовой математике, раскрыть связи экономики и математики, познакомить с математическими моделями в экономике, и имеют профессиональную ориентацию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Башарин Г. П. Начала финансовой математики. М., 1997.

2. Дорофеев Г. В., Кузнецова Л. В., Минаева С.С., Суворова С. Б. Изучение процентов в основной школе // Математика в школе. 2002. № 1.

3. Дорофеев Г. В., Седова Е. А. Процентные вычисления. СПб.: Специальная литература, 1997.

4. Симонов А. С. Некоторые применения геометрической прогрессии в экономике // Математика в школе. 1998. № 3.

5. Симонов А. С. О математических моделях экономики в школьном курсе математики // Математика в школе. 1997. № 5.

6. Симонов А. С. Проценты и банковские расчёты // Математика в школе. 1998. № 4.

7. Симонов А. С. Сегодняшняя стоимость завтрашних платежей // Математика в школе. 1998. № 6.

8. Симонов А. С. Сложные проценты // Математика в школе. 1998. № 5.

О.С. Кардаильская

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС КАК ЭФФЕКТИВНОЕ СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

На один уровень с традиционными системами обучения выходит в последнее время компьютеризация обучения, являясь при этом альтернативной. Все большее количество исследований посвящается внедрению информационных технологий в процесс обучения, в том числе и в процессе обучения в вузе.

Компьютер создает широкое поле деятельности как в методическом, так и в психолого-педагогическом плане. Его огромные текстовые, математические, графические, аналитические возможности позволяют создавать программы для пользователей (учителей и учеников), которые во многом облегчают педагогическую деятельность и повышают ее результативность.

Более того, компьютерное обучение оказывает существенное воздействие на все компоненты учебного процесса. Значительное влияние компьютера на содержание обучения сопряжено, с одной стороны, с тем, что для учащегося стало доступным многое из того, что ранее считалось посильным лишь для специалиста высокой квалификации. Это обусловлено возможностями компьютера в наглядном представлении учебного содержания, предоставлением учащимся доступа к большим объёмам необходимой им информации, в т.ч. и непосредственно относящейся к решаемой ими задаче.

Нашей целью является обеспечение наиболее быстрого, прочного и осознанного усвоения особо сложных фрагментов раздела «Введение в анализ». При этом мы будем использовать не только принципы классической дидактики (принципы научности, системности и систематичности, активности, принципы развивающего обучения, наглядности, дифференциации и индивидуализации обучения), но и учитывать специфику разрабатываемой системы использования компьютерных технологий в обучении. Так, при выборе обучающих программ и создании электронного учебника мы будем в дальнейшем опираться на следующие принципы:

1) применение яркого и наглядного представления информации, использование различных приемов (подчеркивание, указательные стрелки, нестандартное расположение на экране, цветное изображение, звуковое сопровождение);

2) наглядная и логически выстроенная презентация учебного материала, включая интерактивные приложения;

3) организация тренировки с привлечением большого количества примеров и использование возможности обращения к необходимой теоретической информации при выполнении практических заданий;

4) сохранение преемственности при введении новых знаний и тренировке навыков: материал связывается с пройденным, или новая информация преподносится в знакомом контексте;

5) наличие специального приложения (методические указания), освобождающего программу от детальных подробностей;

6) обеспечение посильной трудности, доступности;

7) предложение разных уровней сложности в пределах одной и той же программы с целью обеспечения дифференцированного подход к обучению.

Как мы уже говорили, нашей целью не является разработка новой технологии компьютерного обучения, мы максимально используем уже имеющиеся современные программы, выбирая при этом для различных целей различные приложения.

Одной из форм реализации обучения с использованием информационных технологий является учебно-методический комплекс (УМК). При его создании мы учитываем основные затруднения студентов в овладении математическим анализом, разбитые нами на группы. Основными при 70