Идентификация запаздывания одномерных линейных об`ектов конечно-частотным методом

А

нализ и синтез систем управления

УДК 51-74

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ КОНЕЧНО-ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ

Д.В. Шатов

Предложен подход к определению запаздывания при идентификации параметров одномерных линейных объектов. Объект описывается известной (идентифицированной) передаточной функцией, обладает неизвестным запаздыванием и подвержен действию неизвестных ограниченных внешних возмущений. Отмечено, что подход основан на методе конечно-частотной идентификации, в котором используется испытательный сигнал (в виде полигармонической функции) для определения коэффициентов передаточной функции объекта и запаздывания.

Ключевые слова: частотная идентификация, запаздывание, линейные системы, ограниченное возмущение.

ВВЕДЕНИЕ

Идентификация динамических объектов — важное направление теории управления. За время его развития сложилось много методов и подходов к решению задач идентификации. Перечислим несколько наиболее распространенных из них.

Методы линейной регрессии и наименьших квадратов [1], их основной недостаток заключается в том, что их применение предполагает либо отсутствие внешнего возмущения, либо оно представляет собой белый шум. Метод инструментальных переменных [1] допускает внешние возмущения гораздо более широкого класса при некоторых ограничениях на свойства входного сигнала. В рандомизированных алгоритмах [2] и методе конечно-частотной идентификации [3] класс внешних возмущений описывается неизвестными ограниченными функциями.

Указанные методы могут быть пассивными и активными. При пассивной идентификации используется только информация, получаемая при нормальной работе объекта, когда к нему не прикладывается никаких дополнительных воздействий. В ряде случаев пассивные методы не позволяют осуществлять корректную идентификацию. В таких случаях применяют активные методы и

совместно с управляющим сигналом к объекту прилагают дополнительный испытательный сигнал.

На практике объекты управления часто обладают запаздыванием, тогда их относят к классу специальных объектов и рассматривают задачу идентификации с учетом запаздывания. На основе перечисленных методов идентификации разработан ряд методов [4] оценки параметров таких объектов.

Так, например, предложен поисковый метод идентификации запаздывания, согласно которому используется модель объекта с изменяющимся запаздыванием [5]. Суть метода заключается в процедуре оптимизации с целью минимизации разницы между выходом модели с меняющимся запаздыванием и реального объекта. Передаточная функция объекта предполагается известной, внешние возмущения отсутствуют.

Предложен метод идентификации передаточной функции объекта и запаздывания, основанный на фильтрации входных и выходных сигналов объекта с помощью специальных интегральных фильтров [6]. Испытательным сигналом служит ступенчатое воздействие. Предложены несколько схожих алгоритмов идентификации в зависимости от сложности идентифицируемой модели.

Внешнее возмущение описывается моделью белого шума различной интенсивности.

В статье [7] также применяется фильтрация входных и выходных сигналов объекта. Результаты фильтрации используются в алгоритме идентификации, который представляет собой комбинацию метода наименьших квадратов и итерационного метода инструментальных переменных. Алгоритм позволяет проводить идентификацию в присутствии неизвестных ограниченных внешних возмущений. В работе [8] метод усовершенствован, используются испытательные сигналы в виде синусоид и ступенчатого воздействия.

Задачи идентификации объектов с запаздыванием решались и конечно-частотным методом. Применялась процедура фильтрации и использовался полигармонический испытательный сигнал. Задача адаптивного ПИД-управления объектом с запаздыванием решается в работе [9]. Объект описывается моделью первого порядка, на запаздывание налагаются определенные ограничения. Полученные результаты обобщены на произвольную модель объекта с запаздыванием [10]. При этом задачи идентификации передаточной функции объекта и запаздывания решаются независимо друг от друга. В настоящей работе предлагается альтернативный подход к идентификации запаздывания. Он также основан на идее конечно-частотной идентификации.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается объект управления, описываемый уравнением

+ ... + йху (?) + у(?) =

циенты к., / = 0, т, аУ, у = 0, п, известны (опре-

1 У

деляемые в процессе идентификации). Запаздывание т > 0 неизвестно. Предполагается, что запаздывание ограничено сверху известным значением т* (т < т*).

Задача состоит в нахождении оценки запаздывания т.

Передаточную функцию объекта (1) можно записать, используя преобразование Лапласа (л — его символ при нулевых начальных условиях):

е-Т5 = Лф е-т,

л)

* (л) = *(л)е-и = к^п е-™,

где ф) = X 4 л* + 1, к(л) = X к лу.

* = 1 У = о

Для определения оценок коэффициентов полиномов и к(л) известны [10] уравнения, в которые они входят независимо от запаздывания,

поэтому считаем, что коэффициенты к{, I = 0, т,

4, у = 0, п, известны.

Для получения этих уравнений к объекту (1) прикладывается испытательный сигнал специального вида:

I

и

V = 1

Его параметрами служат частоты юу и амплитуды ру, V = 1,1 гармоник, их выбор описывается в работе [11].

Вводят частотные параметры

= кти

где у(?) — выход объекта, и(?) — сигнал управления, /(?) — внешнее возмущение, которое может быть представлено полигармонической функцией

да

/(?) = X / «1п( ? + ф{),

I = 0

г г

где частоты ю* и фазы ф* — неизвестны, а неизвестные амплитуды / удовлетворяют условию

X \/\ * /*,

1 = о

в котором значение / * известно.

Объект управления предполагается полностью управляемым и минимально-фазовым. Коэффи-

и

Фу = КеЦуЮу), Уу = ГтЧ/ю^), V = 1,1.

Оценки параметров (4) получают экспериментально с помощью фильтров Фурье вида:

а V =

----2-----

Р уТ

т + и

I у(?)8ШЮу?Л,

Т + и

ву = Р2Т I у

где ?0 — момент начала фильтрации, Т — длительность фильтрации.

0

да'

Определение оценки запаздывания т с использованием результатов фильтрации (6) на частотах юу, v = 1, l не единственное. Из выражения (2) следует

= , v = ТТ7.

WT

Из формул (4) и (5), очевидно,

_ w (j v) _ ф v + v

cos тю„ — j sin T©v

V J V

wx(/'v) a v+j в v

Запишем отдельно реальную и мнимую части этого равенства

Рис. 1. График функции tg

cos т© = Ov^ilMv и sin А © = a v Vv - в ^ V .

А 2 А 2 a v + ev

А2 А2

a v + ev

v v v v

Отсюда следует выражение для определения оценки т:

T (v' Г) =

1

Й.

f

arctg

avVv - Mv

+ nr

Ча V + Р^У V V = 177 , г = 0, ±1, ±2, ..., которое дает не единственное решение для каждой из частот юу, V = 1,1.

Предлагается способ определения оценки запаздывания, также основанный на использовании дополнительного испытательного сигнала, представляющего собой синусоиду вида:

u = pqsin[©qt], pq = const, = const для t e Tq, q = 1, 2, 3, ...,

где р1 и ю1 — амплитуды и частоты испытательного сигнала, который прилагаются к объекту последовательно в процессе идентификации запаздывания, Т — интервалы времени, на которых будем проводить фильтрацию согласно формулам (6), для соответствующих р1 и Опишем, как с помощью сигнала (8) можно однозначно найти оценку запаздывания.

3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

3.1. Идея подхода

Оценки полиномов й (л) и к (я) известны, далее для простоты опустим символы оценок в обозначениях. Для некоторой произвольной частоты ю1 в

выражении (7) поделим одно равенство на другое и получим

tgK) = =

где а?, Р^, ф?, у1 — значения оценок выражений (4) и (5) для у Обозначим правую часть (9) как Ь(ю^). Тогда, учитывая, что значения а и Р1 находятся экспериментально с помощью фильтров Фурье, а

k

можно определить

Ф и у вычисляются как -,

Ь(ю^) для любой частоты ю1.

Рассмотрим теперь левую часть выражения (9), она представляет собой функцию Д§(тю), у которой неизвестен параметр т. Если рассматривать ю как ее аргумент, то это будет функция тангенса, но с неизвестным периодом, равным я/т. Эта функция обращается в 0 на частотах ю = пг/т и претерпевает разрывы в точках ю = п(2г — 1)/(2т), г = 0, ±1, ±2, ...

Задача состоит в определении полупериода функции Д§(тю), используя набор частот ю1 и значения Ь(ю1), q = 1, 2, 3, ...

Для однозначного определения запаздывания достаточно определить две положительные частоты юь и юн, (юн > юх > 0), которые являются «соседними» нулем и точкой разрыва функции Д§(тю) (или наоборот). Понятие «соседний» означает, что интервал частот между юх и юн не содержит ни одного нуля и ни одной точки разрыва функции Д§(тю).

На рис. 1 приведен график ^(тю) для нескольких периодов и показан пример двух «соседних» частот юх и юн.

После нахождения этих частот легко вычислить оценку запаздывания как:

_ л

т —

2Аю'

где Аю — юн —

Если не делать никаких предположений о запаздывании, то задача о нахождении «соседних» частот юь и юн принципиально неразрешима. Запаздывание предполагается ограниченным сверху т*, тогда можно записать: т < т* < л/28, где 8 — выбираемое малое число.

Это предположение гарантирует, что интервал между соседними частотами не меньше 8. При определении юь и юн будем также использовать 8 в качестве показателя точности, с которой необходимо определить эти частоты, при этом очевидно, что выполняется неравенство

8 < л/2т.

Алгоритм поиска частот юь и юн основан на том, что при переходе через них функция tg(ra) меняет свой знак.

3.2. Алгоритм определения запаздывания

Естественный способ определения частот юь и юн заключается в поиске по частотной сетке с шагом 8. Для такого поиска зададимся начальной частотой ю0 (для простоты можно выбрать

ю0 — min(rav), v — 1, l), для этой частоты значение Ь(ю0) известно. Далее будем искать значения b(raq) для частот — ю0 + q8, q — 1, 2, 3, ..., до тех пор, пока при некотором значении q — q * _ х) и b(raq*) не окажутся разных знаков. Тогда приближением для частоты юь будем считать середину

этого отрезка: ю L — (ю^* _ 1 — ю^*)/2.

Для найденной частоты юL выполняется требование к точности: | ю L — ю^ < 8/2.

Частоту юн будем искать аналогично, приняв в качестве начальной частоту ю^*, после чего определим запаздывание согласно формуле (10).

Однако при малых 8 такой способ определения юL и юн может быть не эффективен (при небольших запаздываниях значение л/(2т) может быть большим, и для поиска искомых частот может потребоваться фильтрация на большом наборе частот, что существенно увеличит длительность идентификации).

Покажем, что можно существенно сократить число частот, на которых необходимо вычислять

Ь(ю), если при поиске частот &ь и юн использовать переменный шаг.

Утверждение 1. Дана периодическая функция Ь(ю) с периодом T такая, что для произвольного периода с начальной частотой ю* выполняются неравенства:

Ь

Пусть задан интервал [ю0, ю0 + 8], для которого выполняется неравенство (11), имеющее вид 8 < 2/2, тогда, если выполняется условие

ю* < ю0 < ю0 + 8 < ю* + Г/2,

00

то существует натуральное q* такое, что

ю* < ю0 + 2q* - х8 < ю* + T/2,

ю*

+ T/2 < ю0 + 2q*8 < ю* + T. ♦

Иными словами, в какой-то момент правая граница кратно увеличивающегося интервала

[ю0, ю0 + 2^8] попадет в интервал Частота ю* может быть выбрана произвольно, только чтобы выполнялось условие (13).

Доказательство. Рассмотрим произвольный период [ш*, ш* + Т ] функции Ь(ш). Примем, что для интервала [ш0, ш0 + 8] выполнено условие (13).

Будем увеличивать ширину интервала как 298, # = 1, 2, 3, ... Для # = 1 получим интервал [ш0, ш0 + 28], найдем значение на правой границе интервала Ь(ш0 + 28). Возможны два случая: Ь(ш0 + 28) > 0, это значит, что 28 > Т/2 и условия утверждения (14) выполнены. Это справедливо, так как если 8 < Т/2, то 28 < Т, и тогда Т/2 < 28 < Т, что означает выполнение неравенства ш* + Т/2 < ш0 + + 28 < ш* + Т.

В другом случае Ь(ш0 + 28) < 0, что значит 28 < Т/2, при этом ш* < ш0 + 28 < ш* + Т/2. В таком случае будем продолжать увеличивать #, пока не выполнится Ь(ш0 + 298) > 0, тогда это и есть #*, для которого выполняется условие (14). ♦

На рис. 2 приведен график Ь(ю) на одном периоде (ю*, ю* + ^ и обозначены частоты, графически поясняющие суть утверждения 1. Изображенной на рисунке ситуации соответствует выполнение неравенства ю0 + 88 < ю* + 2/2 < ю0 + 168 < ю* + T, которое удовлетворяет условиям (14) для #* = 4.

Утверждение 2. Пусть дана периодическая функция Ь(ю) с периодом Г, для которой выполняются неравенства (12) и задан интервал [ю0, ю0 + 8], для которого выполняется неравенство (11). Тогда, если

Рис. 2. График функции А

вала [ю* _ р ю*]. Однако при д* > 1 ширина этого интервала

А = 2ч* - ^ > 5,

необходимо уменьшить ее до 5. Для этого воспользуемся вариантом метода дихотомии.

Рассмотрим уменьшающийся интервал вида

[юч, ю + 2ч* - 1 - ч5], д = 1, д* - 1, где ю выбираются как

юч-1, если Ь(юч-1)Ь(юч_ 1 + 2 1 ч5) < 0,

юч =

ч

юч_ 1

+ 2ч*_1_ ч 5,

если Ь(юч_ 1)Ь(юч_ 1 + 2ч 1 ч5)> 0,

выполняется условие ю* + Т/2 < ю0 < ю0 + 5 < ю* + Т, то существует натуральное д* такое, что

ю* + Т/2 < ю0 + 2ч* - 15 < ю* + Т,

ю* + Т < ю0 + 2ч*5 < ю* + 3Т/2. ♦

Это утверждение означает, что в какой-то момент правая граница кратно увеличивающегося интервала [ю0, ю0 + 2ч5], лежащего в интервале Т+

периода (ю*, ю* + Т), попадет в интервал Т периода (ю* + Т, ю* + 2Т) или, что аналогично, захватит точку ю* + Т. Утверждение доказывается аналогично утверждению 1.

Замечание. Следствие утверждений 1 и 2 состоит в том, что Ь(юч* _ 1) и Ь(ю*) имеют разные знаки. ♦

Опишем алгоритм поиска частот юь и юн с переменным шагом. Для Ь(ю) = 1§(хю) выполняется условие (12). Тогда утверждение 1 используется для поиска нуля функции Ь(ю), а утверждение 2 — для поиска границы периода Ь(ю) (частоты, на которой 1§(хю) претерпевает разрыв).

Как и при поиске с постоянным шагом, зададимся начальной частотой ю0 = ш1п(юу), V = 1,1, для которой известно значение Ь(ю0). Найдем Ь(ю1) для ю1 = ю0 + 5, если Ь(ю0) и Ь(ю1) одного знака, то имеется интервал, удовлетворяющий условиям (14) или (15) (в противном случае ю £ — середина интервала [ю0, ю1]). Будем вести поиск юх с переменным шагом, выбирая частоты для определения Ь(юч) как ю = ю0 + 2ч*5, д = 0, 1, 2, ..., Тогда, согласно замечанию к утверждениям 1 и 2, при некотором д = д* получим Ь(ю* _ 1) и Ь(ю*) — разных знаков, и искомая частота юх лежит внутри интер-

ю0 = юч* _ 1, д = 1, д* _ 1,

тогда последний интервал и будет искомым интервалом шириной 5.

Иными словами, на каждой итерации метода дихотомии д имеется интервал шириной 2ч* - ч. Пусть юм — середина такого интервала, определим знак Ь(юм) и сдвинем границу интервала, совпадающую по знаку с Ь(юм), до частоты юм. Повторим эти операции на каждой итерации вплоть до д = д* — 1, при которой получим интервал шириной 5, середина которого и есть ю £.

Рис. 3 иллюстрирует поиск частоты ю £. Найденный интервал [ю0 + 85, ю0 + 165] (см. рис. 2) переобозначим как [ю0, ю0 + 85]. Показано, как методом дихотомии ширина этого интервала сокращается с 85 до 5.

После определения частоты юх необходимо найти частоту юн. Поиск будем вести аналогично,

¿

К + 25,ше + 35]

Гш, +45

СО аз + т

— Л, ГУ.

ш0 +25 -35

ш0

У а. >г = оо

Рис. 3. Пояснение метода дихотомии при определении ю.

но его можно немного ускорить, используя результаты поиска частоты ю

L'

Тогда при поиске юн примем ю0 = - где

и0 „1*

| ю I — ю1* - < 8 < п/2т (т. е. ю1* — правая граница интервала, полученного на последней итерации при поиске ю £ методом дихотомии), а начальный

шаг для поиска А < п/(2т) из формулы (16). Это справедливо, так как для найденного значения юх выполняются неравенства (14) или (15). После нахождения частоты юн, воспользовавшись формулой (10), вычислим оценку запаздывания как

А _ П

т = -.

2

Такой алгоритм сходится за конечное число шагов, зависящее от ю0, 8 и истинного значения т. Даже в случае наихудшего выбора ю0 это число не превысит

N = 31ОБ2 п .

2 т8

При этом точность найденной оценки запаздывания

пб

(ЮH - юl )2 - 52

3.3. Выбор параметров алгоритма, сходимость

Описанный алгоритм идентификации запаздывания требует выбора нескольких параметров: 8, ю0, р1, q = 1, 2, 3, ... Рассмотрим, как их выбор влияет на точность и длительность идентификации.

Выбор числа 8 влияет как на точность, так и на длительность идентификации. При 8 ^ 0 точность идентификации растет, но при этом увеличивается и ее длительность, так как требуется определение значений Ь(ю) на большом числе частот. Также число 8 связано с заданной верхней границей запаздывания (очевидно, что нужно выбирать 8 < 2п/т*).

Выбор значения ю0 может быть произвольным, но он влияет на длительность идентификации. В зависимости от расположения ю0 по отношению к ближайшему нулю или точке разрыва функции Ь(ю) длительность может увеличиваться или уменьшаться. Однако конструктивно использовать этот факт можно только, обладая дополнительной информацией об объекте, например, зная оценку запаздывания снизу.

Выбор амплитуд р1, q = 1, 2, 3, ... сигнала (8) влияет на точность идентификации. Будем выби-

рать pq такими, чтобы вклад испытательного сигнала (8) в выход объекта (1) оставался постоянным для всех q = 1, 2, 3, ... Запишем это требование в виде:

Pq|w(%)I = const = PY, q = 1, 2, 3, ...,

где pY — заданное положительное число, равное вкладу испытательного сигнала в выход объекта. Отсюда легко получить выражение для определения pq:

Р<

_ Py

q = 1, 2, 3, ... .

Константу р7 можно выбирать несколькими путями. При этом разумно учитывать свойства конкретного объекта. Например, если проводилась идентификация передаточной функции объекта с использованием испытательного сигнала (3), который настраивался в соответствии с работой [11], то можно воспользоваться его параметрами. При ю0 = ш1п(юг), V = 1,1,

v = 1

где рг и юу, V = 1,1 — параметры испытательного сигнала (3).

Если известна граница внешнего возмущения/*, то р7 можно выбирать как р7 = п / *, где п < 1 — достаточно малое число.

На практике в алгоритме идентификации используются не точные значения периодической функции Д§(тю), а их приближения Ь(ю) из формулы (9), поэтому точность идентификации запаздывания неявно зависит от качества определения частотных параметров (4) и (5), т. е. от близости определяемых экспериментально оценок частотных параметров к истинным значениям, т. е.:

а 1 ^ а1 и в 1 ^ в1 для ю1 при ^ да.

Такая сходимость доказана в статье [10]. Условием выполнения соотношений (18) является отсутствие (или малая амплитуда) частот сигналов (3) и (8) в спектре внешнего возмущения:

ю{ * [юу, ю1], / = , V = 1,1, q = 1, 2, 3, ...

Алгоритм выбора частот испытательного сигнала, позволяющий обеспечить это неравенство, описан в работе [11].

4. ПРИМЕР

Рассмотрим объект (1) вида

0,7у (!) + 0,8у (!) + 1у(!) = 0,4 и (! - 3) + 1и(! - 3) + /(!),

для которого к(я) = 0,45 + 1, Й(я) = 0,75 + 0,85 + 1, т = 3.

Внешнее возмущение /(!) = 2sign[sin(5!)].

Проведем идентификацию коэффициентов его передаточной функции, воспользовавшись методом, описанным в статье [10]. Испытательный сигнал (3) для идентификации коэффициентов полиномов к(я) и Й(5):

и(!) = 0,05sin(0,707!) + 0,075sin(1,4l!) +

+ 0,Ьш

Отметим, что частота такого внешнего возмущения ау = 5 лежит далеко от частот испытательного сигнала и, следовательно, выполнено условие для сходимости оценок частотных параметров (4) к истинным значениям согласно соотношениям (18).

В результате идентификации получены оценки полиномов:

к (я) = 0,285 + 1,07 и Й = 0,6352 + 0,83я + 1.

Длительность этого этапа идентификации составила 177,58 с.

Для определения запаздывания зададим параметры алгоритма: стартовая частота ш0 = 0,707 — это наименьшая частота испытательного сигнала (19), точность выбрана 8 = 0,01 (при этом соответствующая верхняя граница запаздывания п/(28) = 157 больше истинного значения запаздывания, и метод применим). Значение р у = 0,22 выбрано согласно формуле (17).

Всего в процессе идентификации было 19 итераций (столько раз менялись параметры сигнала (8)). Длительность идентификации запаздывания составила 687,24 с. В результате идентификации получены частоты: ш £ = 1,063 и ш н = 1,58, согласно формуле (10) получим т = 3,02.

Окончательно идентифицированный объект имеет вид:

0,63у (!) + 0,83у (!) + 1у(!) = 0,28 и (! - 3,02) + + 1,07и(! - 3,02) + /(!).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложен метод идентификации запаздывания для линейных одномерных объектов с запаздыванием. Рассматриваемый объект подвержен действию неизвестного ограниченного внешнего возмущения, коэффициенты его передаточной функции считаются известными или ищутся известным способом. Идентификация запаздывания основана на конечно-частотном методе: использу-

ется испытательный сигнал в виде синусоиды, у которой в процессе идентификации меняются амплитуда и частота, ищутся частотные параметры объекта, которые используются для определения запаздывания. Идентификация представляет собой итерационный поиск двух характерных частот, которые позволяют найти оценку запаздывания. Алгоритм определения запаздывания сходится за конечное число шагов, и для него дана оценка погрешности полученного значения запаздывания. Дальнейшим направлением исследований может быть обобщение подхода на многомерный случай, повышение точности полученной оценки запаздывания и сокращение числа шагов алгоритма (длительности идентификации).

ЛИТЕРАТУРА

1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. - М.: Наука, 1991.

2. Граничин О.Н., Поляк Б.Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. — М.: Наука, 2003.

3. Alexandrov A. Finite-frequency method of identification // Proc. of 10 IFAC Sympos. Syst. Identification / Preprints. — Copengagen, Denmark, 1994. — Vol. 2. — P. 523—527.

4. Bjorklund S., Ljung L. A review of time-delay estimation techniques // Proc. of 42nd IEEE Conf. Decision and Control. — Hawaii, USA, 2003.

5. Herrera J., Ibeas A., Alcántara S., M. de la Sen, Serna-Garcés S.I. Identification and control of delayed SISO systems through pattern search methods // Journal of the Franklin Institute. — 2013. — Vol. 350, iss. 10. — P. 3128—3148.

6. Tao Liu, Furong Gao A frequency domain step response identification method for continuous-time processes with time delay // Journal of Process Control. — 2010. — Vol. 20, iss. 7. — P. 800—809.

7. Ahmed S., Huang B., Shah S. Parameter and delay estimation of continuous-time models using a linear filter // Journal of Process Control. — 2006. — Vol. 16, iss. 4. — P. 323—331.

8. Ahmed S., Huang B., Shah S. Process identification from sinusoidal test data by estimating step responce // Preprints IFAC Sympos. Syst. Identificat. — Saint-Malo, France, 2009. — P. 396—401.

9. Александров А.Г. Адаптивное управление объектом с запаздыванием // Тр. IX междунар. Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». — Иркутск, 2007. — Т. 3. — С. 6—13.

10. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф., Паленов М.В. Конечно-частотная идентификация объектов с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. — 2014. — № 2. — С. 5—15.

11. Alexandrov A. G. Finite-frequency identification: self-tuning of test signal // Proc. of 16 World Congress IFAC. Preprints. — Prague, Czech Republic, 2005. — P. 295—301.

Статья представлена к публикации членом редколлегии С.А. Красновой.

Шатов Дмитрий Владимирович — мл. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, И dvshatov@gmail.com.