МЕХАНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ В ЗАДАЧАХ КОРРЕКЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ ВИБРАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН

Оригинальная статья / Original article УДК 62.752; 621.534; 629.4.015

DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2020-4-718-727

Механические цепи в задачах коррекции динамических состояний вибрационных технологических машин

© С.В. Елисеев, С.К. Каргапольцев, Р.С. Большаков, А.В. Елисеев

Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, Россия

Резюме: Цель работы заключается в развитии научно-методологического базиса в решении задач динамики механических колебательных структур с дополнительными контурами, допускающими вариативные подходы в формировании вибрационных полей взаимодействующих элементов. Рассматривается оригинальный способ оценки и изменения динамических состояний механических колебательных систем с несколькими степенями свободы и сосредоточенными параметрами, используемых в качестве расчетных схем вибрационных технологических машин. Используются методы структурного математического моделирования, в рамках которых сопоставляются структурная схема эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления и исходный объект. Предложена технология построения математических моделей с возможностями отображения динамических свойств, привносимых в исходную систему дополнительными связями в виде механических упруго-инерционных цепей. Показаны возможности изменения в системе межпарциальных свойств и на этой основе -реализации специфических режимов оценки и формирования соответствующих структур распределения амплитуд колебаний точек протяженных рабочих органов. Разработана технология построения математических моделей, отражающих основные свойства распределения колебаний. Получены аналитические соотношения, отражающие основные эффекты и возможности динамических взаимодействий элементов систем. Показаны возможности выбора и изменения режимов и динамических состояний вибрационных машин. Предложены варианты конструктивно-технических вариантов реализации технологий изменения динамических состояний систем. Показано использование введенных понятий о передаточных функциях межпарциальных связей, определяющих закономерности распределения амплитуд колебаний рабочего органа в специфических режимах вибрационных динамических состояний и структуру вибрационного поля. Предложены аналитические выражения для определения частот колебаний рабочего органа, при которых реализуются характерные режимы движений, создающие необходимые условия формирования движения рабочих сред в вибрационных технологических машинах.

Ключевые слова: динамические состояния систем, механические колебательные системы, структурные схемы, передаточные функции, распределение амплитуд колебаний

Информация о статье: Дата поступления 03 июня 2020 г.; дата принятия к печати 02 июля 2020 г.; дата он-лайн-размещения 31 августа 2020 г.

Для цитирования: Елисеев С.В., Каргапольцев С.К., Большаков Р.С., Елисеев А.В. Механические цепи в задачах коррекции динамических состояний вибрационных технологических машин. Вестник Иркутского государственного технического университета. 2020. Т. 24. № 4. С. 718-727. https://doi.org/10.21285/1814-3520-2020-4-718-727

Mechanical chains in the correction of dynamic states of vibration processing machines

Sergey V. Eliseev, Sergey K. Kargapoltsev, Roman S. Bolshakov, Andrey V. Eliseev

Irkutsk State Transport University, Irkutsk, Russia

Abstract: The aim was to develop a scientific and methodological basis for solving problems of the dynamics of mechanical oscillatory structures with additional contours that allow for variable approaches in the formation of vibration fields of interacting elements. An original method for evaluating and changing the dynamic states of mechanical oscillatory systems with several freedom degrees and concentrated parameters used as calculation schemes for vibration processing machines is considered. The methods of structural mathematical modeling were used, in which the structural scheme of a dynamically equivalent automatic control system and the source object are compared. A technology for constructing mathematical models capable of displaying dynamic properties introduced into the original system by additional connections in the form of mechanical elastic-inertia chains was proposed. The possibility of changing the inter-partial properties

ВЕСТНИК ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2020;24(4): 718-727

of the system was shown, thus allowing implementation of specific assessment modes and formation of respective structures for the distribution of oscillation amplitudes of points of extended working bodies. A technology for constructing mathematical models reflecting the main vibrations distribution properties was developed. Analytical relations reflecting the main effects and possibilities of dynamic interactions of the system elements were obtained. Possibilities for selecting and changing the modes and dynamic states of vibration machines are shown. Constructive and technical implementations of the developed technologies for changing the dynamic states of systems were proposed. The use of the introduced concepts of transfer functions of inter-partial connections was shown, which determine the regularities of the distribution of working body vibration amplitudes in specific modes of vibrational dynamic states and the structure of the vibration field. Analytical expressions were proposed for determining the frequency of vibrations of the working body, at which characteristic modes of movement are realized, creating the necessary conditions for the formation of the movement of working media in vibrating processing machines.

Keywords: system dynamic states, mechanical oscillating systems, structural diagrams, transfer functions, distribution of oscillation amplitudes

Information about the article: Received June 03, 2020; accepted for publication July 02, 2020; available online August 31, 2020.

For citation: Eliseev SV, Kargapoltsev SK, Bolshakov RS, Eliseev AV. Mechanical chains in the correction of dynamic states of vibration processing machines. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2020;24(4):718-727. (In Russ.) https://doi.org/10.21285/1814-3520-2020-4-718-727

1. ВВЕДЕНИЕ

Вибрационные технологические машины, особенно в последние десятилетия, широко используются в различных производствах. Заметные результаты достигнуты в реализациях вибрационных технологий, применяемых на предприятиях строительной индустрии, в горнодобывающих производствах, автоматизированных линиях сборки изделий. Особое развитие получили технологии и оборудование, обеспечивающие взаимодействие сыпучей гранулированной рабочей среды с деталями сложной формы и высокими требованиями к качеству обработки сложных поверхностей [1-5]. Реализация вибрационных технологических процессов требует решения ряда специфических задач динамики, характерных для механических колебательных систем с несколькими степенями свободы. Значимое место среди машин, обеспечивающих вибрационные технологические процессы, занимают вибрационные стенды; их отличием является использование рабочих органов в виде протяженных твердых тел, совершающих сложные плоские или пространственные колебательные движения. Многие вопросы формирования структуры и особенностей вибрационных полей, как определенных форм распределения амплитуд колебаний точек рабочего органа, рассмотрены в работах по прикладной тео-

рии колебаний в приложениях к проблемам вибрационного перемещения, транспортирования, организации специальных режимов соударения и формирования эффектов модификации свойств поверхности деталей сложной формы [6-12]. Необходимость решения вопросов повышения производительности и динамического качества вибрационных технологических машин стимулирует поиск и разработку способов решения специфических задач обеспечения надежности и безопасности эксплуатации технических объектов, аппаратуры и оборудования в условиях интенсивных динамических нагру-жений [11-14].

Одним из направлений активных поисков способов и средств формирования и управления динамическими состояниями технических объектов, в том числе и вибрационных технологических машин, стало использование конструктивно-технических решений, связанных с введением в структуру механических колебательных систем дополнительных связей как специфических средств для целенаправленного изменения параметров и динамических свойств колебательных систем. Ряд идей такого рода подходов представлен в работах [15-18].

В предлагаемой статье развивается оригинальная научно-методологическая позиция, реализуемая в рамках методов структурного математического моделирования,

ВЕСТНИК ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2020;24(4):718-727

ориентированная на разработку технологии введения дополнительных связей в механическую колебательную систему в виде инерционно-упругой цепи с регулируемыми элементами.

2. ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ

Принципиальная схема технологического объекта может быть после некоторых упрощений приведена к виду расчетной схемы механической колебательной системы с двумя степенями свободы, как показано на рис. 1.

1. Система состоит из твердого тела, обладающего массой M и моментом инерции относительно центра масс (т. О, рис. 1) J. Центр масс находится на расстояниях ^ и 2 до концов твердого тела (тт. А, В).

Возбуждение колебаний относится к силовому типу и реализуется приложением гармонической силы Q в т. Е, смещенной относительно центра масс на плечо 1о.

Рабочий орган вибрационной машины в виде твердого тела опирается на неподвижную поверхность через упругие элементы с коэффициентами жесткости ^ и Пружины закреплены в тт. А, А0 и В, В0. Дополнительная механическая цепь, вводимая в исходную систему (рис. 1), состоит из двух массои-нерционных элементов с массами m1 и m2, соответственно.

Система (см. рис. 1) под действием внеш-

ней силы Q совершает малые колебания относительно положения статического равновесия. Движение системы в целом рассматривается в системе координат у1, у2, связанной с неподвиным базисом. Для промежуточных выкладок используется система координат у0, ф. Между системами координат имеются соотношения:

Уо = аУ1 + ЬУг^ = c (У2 - УД У = Уо - ¡1^ У2 = Уо + ¡2^

где а =

¡1 + ¡2

, b =

¡1 + ¡2

, c = -

¡1 + ¡2

Механическая цепь внутреннего блока (m1, m2, k10, k20, kз0) соединяется с рабочим органом, как уже упоминалось, через рычажную связь, в рамках которой перемещение вертикальной точки А предопределяет перемещение точки А1. Используя понятия о мгновенном центре скоростей, можно установить, что между движениями имеются связи для точек А1 и В1, определяемые условиями кинематической связи:

SA1 = а0^У1;

SB1 = а02У2,

У]

k,

т. А„

Q

V

L T. Eh ' \

т. а ¡1 ----- i T.o ¡2 T.b ä , \

m , j

m

m

V / k20 30 *

ЦШ1 A A A A [NljLJbt 1 3 Vr—ГТ

У2

/// ///

>. в

k2

777—У7У

Рис. 1. Расчетная схема вибрационной технологической машины Fig. 1. Design diagram of a vibrating technological machine

о

ВЕСТНИК ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2020;24(4): 718-727

где , - перемещение точек А1 и В1 при движении точек А и В, соответственно. Отме-

О О 0 0 О О

тим, что I 10 = ¿10 + ¿01, I 20 = ¿20 + ¿02.

Примем, что ¿01 и ¿02 являются расстояниями от тт. А и В до опорной поверхности в положении статического равновесия. Поскольку рассматриваются колебания рабочего органа, то в целом можно полагать, что ¿01 » ¿02. Что касается величин ¿10 и ¿20, то они определяют расстояние от т. А до мгновенного центра скоростей, который, в силу сделанных выше предположений о малости движений, будет располагаться на прямой АВ. Аналогично ¿20 может рассматриваться как расстояние от т. В до мгновенного центра скоростей на прямой АВ. Таким образом, можно ориентировочно определить, что

a01

L01 Ао

L

l2 - L

l10 L01

y"(Ma2 + Jc2 + ща2т) p2 +

+y1

- y"(Jc2 - Mab) p2 -

-k20 a01a02 У2 = Q(b + c1);

y"2 (Mb2 + Jc2 + ma22) p2 +

+y2 (k2 + k3a02 + k20a22 ) -

- y"x(Jc2 - Mab) p2 -

-k20a01a02y1 = Q(a - c1)'

где принимается, что

a =

l +l2

, b =

I1 +12

c =

I1 +12

> c1 =

I1 +12

L0: L

Ln

'20

l2 - L

l10 L02

2. Для составления математической модели в соответствии с подходами Лагранжа необходимо составить выражение для кинетической и потенциальной энергий, которые принимают следующий вид [19, 20]:

1

Т = -М{аух+Ъу2)- + + \л2{у2-у1)2 +

П =1 Ку1+1 k2 У22+1 ¿10<У12 +

+ 1 kw (a02y2 - a0^y1) + 1 k30a02y2 •

Математическая модель исходной системы (рис. 1) с учетом (6), (7) примет вид:

Таким образом, математическая модель исходной системы в сделанных предположениях о малости упругих колебаний, а также с учетом того, что рычажные связи 110, 120 не создают условий самоторможения для перемещений 5А1, 5А2 (то есть по отношению к элементам с массами т1 и т2), имеет вид системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. При этом система имеет силовое синфазное гармоническое возмущение одновременно по двум координатам.

3. МЕТОДЫ

1. Для оценки динамических свойств системы рациональным представляется переход к структурным математическим моделям. В этом случае механической колебательной системе (см. рис. 1) может быть сопоставлена структурная схема эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления. Для этого необходимо уравнения (7), (8) провести через преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях. Используя подходы и технологию, изложенную в [19, 20], трансформируем (7), (8) в систему в операторной форме:

1

a02

ВЕСТНИК ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2020;24(4):718-727

У [(Ma2 + Jc2 + mal,)p2 +

+k1 + к1оао1 + к2оао2 ] — У2 [(Jc2 — Mab)p2 — кюао1ао2 ] : =Q(b+C1);

У2 [(Mb2 + Jc2 + m2a^2)p2 +

+ k2 + кзао2 + k2a02 ] —

У [(Jc' — Mab)p2 + к2ао1ао2 ] = = Q(a — c1),

где p = jш - комплексная переменная (/' = У-1); значок < - > над переменной означает ее изображение по Лапласу [19, 20].

Наглядное представление о динамических свойствах системы дает структурная математическая модель (структурная схема), приведенная на рис. 2.

Переход к операторной форме позволяет для оценки динамических свойств использовать аналитический аппарат теории автоматического управления. Запишем выражения для передаточных функций системы по координатам у и у:

(b + q) [ (Mb2 + Jc2 + т2ао22)р2 + k2 + кз^^г + кга1г ] -

У +(а — c) [(Jc2 — Mab)p 2 + к2оао1ао2 ]

W1(P) = Ü = -[--]-

Q А

W2( p) = 42 = Q

(а — c ) [ (Ma2 + Jc2 + т2а2^) p2 + к + к^а^ + k^a^ ] -

У _ —(b + c1) [ (Jc' — Mab)p2 + к2ао1ао2 ]

А

где

А( p) = [(Ma2 + Jc2 + m2a2m) p2

+к1 + ^ + ^0^01 ] Х х [(Mb2 + Jc2 + m2a\2) p2 +

+k2 + k3a02 + k2a02 ] —

— [ (Jc2 — Mab) p2 + k2amaQ2 J

является характеристическим частотным уравнением.

2. Из анализа передаточных функций (11), (12) можно получить информацию о частотах динамического гашения колебаний и специфических динамических режимах при частоте, определяемой из уравнения:

Jc2 — Mab) p2 + k2aMa02 = 0.

(Jc2 — Mab) p2 + k20a0ia02

1

(Ma2 + Jc2 + ma02i) p2 + +k1 + k10a021 + k20<

(Jc — Mab)p + k20a0ia02 -o—

1

У1

Q

(Mb2 + Jc2 + m2a022) p2 +

+k2 + k3a02 + k22a22

Q

Рис. 2. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления Fig. 2. Block diagram of a dynamically equivalent automatic control system

ВЕСТНИК ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2020;24(4): 718-727

Система в целом имеет две частоты собственных колебаний, определяемых из характеристического частотного уравнения системы. Детализированная информация о

формах движения рабочего органа вибрационной машины может быть получена из анализа так называемой передаточной функции межпарциальных связей, которая имеет вид:

p) = ^ =

У

(Ma2 + Jc2 + m2ali) p2 + k + K^ah + ko a^ ] -

(Mb2 + Jc2 + m2a2n )p2 + k2 + къа202 + k2a022 ] +

-(b + Ci) " (Jc2 - Mab)p2 + k20a0ia02 ]

+(a - c) "( Jc2 -Mab)p2 + k20a0ia02 ]

Выражение (14) может быть использовано как основа алгоритма для решения задач корректировки, настройки и формирования динамического состояния рабочего органа в плане выбора и отслеживания определенных параметров вибрационного поля при реализации технологического процесса. Такая же алгоритмическая основа может быть использована для создания системы автоматического управления работой машины, однако это будет связано с соответствующими дополнительными затратами.

В качестве изменяемых параметров, используемых для коррекции, настройки и формирования динамических состояний рабочего органа могут быть выбраны значения жесткостей к20, а также параметры а01, а02 и величины дополнительных масс.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

1. Структурная математическая модель, представленная на рис. 2, отображает динамические свойства исходной расчетной схемы (см. рис. 1), рассматриваемой в виде механической колебательной системы с двумя степенями свободы при рабочем органе, представляющем собой протяженное твердое тело. В системе координат у1, у1 такая колебательная система при отсутствии дополнительных связей состоит из двух парциальных блоков, связанных между собой инерционным звеном (то есть парциальные блоки соединены между собой звеньями инерционного типа, передаточная функция

такого звена рассматривается как дифференцирующее звено второго порядка). При введении дополнительной цепи из двух мас-соинерционных элементов т1, т2 и упругих элементов с жесткостями к10, к20, кзо и при наличии связующих рычагов АА1 и ВВ1 исходная система изменяет чисто инерционную связь на упруго-инерционную. Это обеспечивается тем, что в звене межпарциальных связей (см. рис. 1) появляется упругий элемент с коэффициентом жесткости к20. Используя структурную схему системы на рис. 2, можно найти частоту

пар (Р) =

k20 a0ia02 Jc2 - Mab

На такой частоте движения по координатам у и у2 будут определяться только параметрами межпарцильных блоков. Силовое возмущение Q , приложенное в точке на расстоянии /0 от центра масс (т. О на рис. 1), вызывает воздействие по двум координатам; при этом силовые факторы являются синфазными, имеют одну частоту, но обладают разными амплитудами, которые зависят от параметров системы а, Ь, с и с1 (см. соотношения (1)).

2. При двух частотах собственных колебаний, определяемых характеристическим частотным уравнением, в исходной системе возможны режимы динамического гашения колебаний по координатам у1 и у2. Частоты динамического гашения колебаний определяются из уравнений, получаемых при обну-

ВЕСТНИК ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2020;24(4):718-727

лении полиномов, соответствующих числителям передаточных функций W1(p) и W2(p), задаваемых выражениями (11), (12).

3. Представление о распределении амплитуд колебаний точек рабочего органа по его длине в системах дает передаточная функция межпарциальных связей (14). Приняв у из (14), можно найти частоту, при которой рабочий орган будет совершать только вертикальные поступательные колебания при отсутствии угловых движений. В качестве настроечных параметров может быть выбрана величина коэффициента жесткости

что практически может быть реализовано за счет пневматического упругого элемента (пневмобаллона) между массами m1 и m2. Такие подходы требуют достаточно простых конструктивно-технических решений.

4. При выполнении у1 = 0, у2 Ф 0 или у1 Ф 0, У2 = 0, точка, находящаяся в неподвижном состоянии, определяет, по существу, положение узла колебаний. В рассматриваемых случаях, при наличии узла вращения, твердое тело (рабочий орган) совершает только угловое колебательное движение. В этом случае распределение амплитуд колебаний точек рабочего органа происходит по линейному закону (имеет треугольную форму). Если отношение амплитуд колебаний ^ = -1,

Ух

то узел колебаний находится в центре твердого тела, которое не имеет поступательных компонент движения. В определенном смысле условие: у2 = 1 и у2 = -1 - некоторые

Ух Ух

критические формы движения.

5. Система может принимать многочисленные промежуточные формы, когда

0 < у2 < да или 0 < У2 < , что может быть

Ух Ух

выполнено при соответствующем подборе параметров системы. В этих случаях центр колебаний будет находиться за пределами рабочего органа с левой или правой сторон. Распределение амплитуд колебаний рабоче-

го органа будет соответствовать распределению кинематических параметров в соответствии с картиной распределения перемещений точек во вращательном движении твердого тела относительно узла колебаний.

Настройка динамических состояний рабочего органа может осуществляться путем выбора параметров элементов системы, доступных для возможных вариаций: массои-нерцинные элементы m1 и m2, коэффициенты жесткости упругих элементов k30, а также (в известной мере) длин рычагов, соединяющих рабочий орган с элементами настроечных механизмов.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложен метод построения структурных математических моделей для вибрационных технологических машин, расчетные схемы которых могут приводиться к механическим колебательным системам с сосредоточенными параметрами.

2. Предложена конструктивно-техническая идея введения в систему дополнительной механической цепи, создающей в механизме настраиваемый контур, формирующий необходимые условия для работы вибрационной машины.

3. Предложена технология построения математической модели в виде структурной схемы, эквивалентной в динамическом отношении, системы автоматического управления.

4. Показаны возможности получения передаточных функций системы и условия их преобразований для получения аналитических соотношений, необходимых для решения задач оценки, контроля и формирования динамических состояний рабочего органа.

5. Введен ряд новых понятий, отражающих возможности изменения динамических состояний рабочих органов в направлениях формирования распределений амплитуд колебаний точек твердого тела в пределах определенных форм вибрационного поля.

ВЕСТНИК ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2020;24(4): 718-727

Библиографический список

1. Копылов Ю.Р. Динамика процессов виброударного упрочнения. Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2011. 569 с.

2. Потураев В.Н., Франчук В.П., Надутый В.П. Вибрационная техника и технологии в энергоемких производствах: монография. Днепропетровск: НГА Украины, 2002. 190 с.

3. Елисеев А.В., Кузнецов Н.К., Московских А.О. Динамики машин. Системные представления, структурные схемы и связи элементов. М.: Инновационное машиностроение, 2019. 381 с.

4. Eliseev S.V., Kargapoltsev S.K., Kuznetsov N.K., Bolshakov R.S. The dynamical condition of the vibration machine: nodes of oscillations, flexural centers, connectivity parameters // Materials Science and Engineering: IOP Conference Series. 2020. Vol. 709. Р. 044004 [Электронный ресурс]. URL: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/709/4/044004 (20.04.2020).

https://doi.org/10.1088/1757-899X/709/4/044004

5. Кашуба В.Б., Елисеев С.В., Большаков Р.С. Динамические реакции в соединениях элементов механических колебательных систем: монография. Новосибирск: Наука, 2016. 331 с.

6. De Silva Clarence W. Vibration. Fundamentals and Practice. 2d Edition. Boca Raton: CRC Press LLC, 2006. 1064 p.

7. Kolovsky M.Z. Nonlinear dynamics of active and passive systems of vibration protection. Berlin, Heidelberg: Springer, 1999. 425 p.

https://doi.org/10.1007/978-3-540-49143-9

8. Lalanne C. Mechanical Vibration and Shock Analysis -Specification development. Vol. V. New York: Taylor & Francis Books, Inc. 2002. 313 p.

9. Elliot S.J. Signal processing for active control. London: Academic Press, 2001. 562 p.

10. Reza Moheimani S.O., Halim D., Fleming A.J. Spatial control of vibration. Theory and Experiments. Chennai: World Sci. Publ. Co. Pte. Ltd., 2003. 236 p. https://doi.org/10.1142/5246

11. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of vibration protection. Cham: Springer International Publishing, 2016. 708

p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-28020-2

12. Eliseev S.V., Lukyanov A.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P. Dynamics of mechanical system with additional ties. Irkutsk: Irkutsk State University, 2006. 315 p.

13. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Ситов И.С. Динамика механических систем. Рычажные и инерционно-упругие связи: монография. СПб: Политехника, 2013. 319 с.

14. Fuler C.R., Elliot S.I., Nelson P.A. Active control of vibration. London: Academic Press, 1996. 660 p.

15. Harris С.М., Piersol A.G. Harris ' Shock and Vibration Handbook. 5th edition. New York: McGraw - Hill Book Со, 2002. 1456 p.

16. Варгунин В.Н., Гусаров В.Н., Иванов Б.Г., Левченко А.С. [и др.] Конструирование и расчет рычажно-шарнирных средств виброзащиты оборудования и агрегатов железнодорожного транспорта / под ред. О.П. Мулюкина. Самара: Изд-во СамГУПС, 2006. 86 с.

17. Иванов Б.Г., Ковтунов А.В., Мулюкин О.П. Кон-структорско-технологическое обеспечение качества исполнительных механизмов транспортной техники на стадиях проектирования, изготовления, сборки и испытания. Самара: Изд-во Самарского науч. центра РАН, 2006. 83 с.

18. Ковтунов А.В., Чернышев В.И., Лаврусь В.В. [и др.] Упругодемпферные опоры турбомашин с рычажными исполнительными механизмами // Гидродинамическая теория смазки - 120 лет: матер. Междунар. науч. симпозиума (г. Орёл, 18-20 мая 2006 г.). Орёл, 2006. С. 32-36.

19. Елисеев С.В. Прикладной системный анализ и структурное математическое моделирование (динамика транспортных технологических машин: связность движений, вибрационные взаимодействия, рычажные связи): монография. Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2018. 692 c.

20. Eliseev S.V., Eliseev A.V. Theory of Oscillations. Structural Mathematical Modeling in Problems of Dynamics of Technical Objects. Cham: Springer, 2019. 521 p. https://doi.org/10.1007/978-3-030-31295-4

References

1. Kopylov YuR. Dynamics of Vibroimpact Hardening. Voronezh: Nauchnaya kniga; 2011, 569 p.

2. Poturaev VN, Franchuk VP, Naduty VP. Vibrating Equipment and Technologies in Energy-Intensive Industries: Monograph. Dnepropetrovsk: Nacional'naya admin-istraciya grazhdanskoj aviacii Ukrainy; 2002,190 p.

3. Eliseev AV, Kuznetsov NK, Moskowskikh AO. Machine Dynamics. System Views, Structural Diagrams and Element Connections. Moscow: Innovacionnoe mashi-nostroenie; 2019, 381 p.

4. Eliseev SV, Kargapoltsev SK, Kuznetsov NK, Bolshakov RS. The Dynamical Condition of the Vibration Ma-

chine: Nodes of Oscillations, Flexural Centers, Connectivity Parameters. In: Materials Science and Engineering: IOP Conference Series. 2020;709:044004. Available from: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/709/4/044004 [Accessed 20th April 2020]. https://doi.org/10.1088/1757-899X/709/4/044004

5. Kashuba VB, Eliseev SV, Bolshakov RS. Dynamic Reactions in Element Connections of Mechanical Oscillatory Systems. Novosibirsk: Nauka; 2016, 331 p.

6. De Silva Clarence W. Vibration. Fundamentals and Practice. 2d Edition. Boca Raton: CRC Press LLC; 2006, 1064 p.

7. Kolovsky MZ. Nonlinear Dynamics of Active and Pas-

ВЕСТНИК ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2020;24(4):718-727

sive Systems of Vibration Protection. Berlin, Heidelberg: Springer; 1999, 425 p.

8. Lalanne C. Mechanical Vibration and Shock Analysis -Specification Development. Vol. V. New York: Taylor & Francis Books, Inc.; 2002, 313 p.

9. Elliot SJ. Signal Processing for Active Control. London: Academic Press; 2001, 562 p.

10. Reza Moheimani SO, Halim D, Fleming AJ. Spatial Control of Vibration. Theory and Experiments. Chennai: World Sci. Publ. Co. Pte. Ltd.; 2003, 236 p. https://doi.org/10.1142/5246

11. Karnovsky IA, Lebed E. Theory of Vibration Protection. Cham: Springer International Publishing; 2016, 708 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-28020-2

12. Eliseev SV, Lukyanov AV, Reznik YuN, Khomenko AP. Dynamics of Mechanical System with Additional Ties. Irkutsk: Irkutsk State University; 2006, 315 p.

13. Belokobyl'skij SV, Eliseev SV, Sitov IS. Dynamics of Mechanical Systems. Lever and Inertial Elastic Links: Monograph. Saint-Petersburg: Politekhnika; 2013, 319 p.

14. Fuler CR, Elliot SI, Nelson PA. Active Control of Vibration. London: Academic Press; 1996, 660 p.

15. Harris CM, Piersol AG. Harris' Shock and Vibration Handbook. 5th edition. New York: McGraw - Hill Book Co; 2002, 1456 p.

16. Vargunin VN, Gusarov VN, Ivanov BG, Levchenko AS,

Критерии авторства

Елисеев С.В., Каргапольцев С.К., Большаков Р.С., Елисеев А.В. заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Елисеев Сергей Викторович,

доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации, советник при ректорате по научной работе, Иркутский государственный университет путей сообщения,

664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15, Россия; e-mail: eliseev_s@inbox.ru

Каргапольцев Сергей Константинович,

доктор технических наук, профессор, ректор,

Иркутский государственный университет путей сообщения,

664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15, Россия; e-mail: rector@irgups.ru

et al. Design and Calculation of Lever-Articulated Vibration Protection Means for Railway Transport Equipment and Units / under edition of O.P. Mulyukin. Samara: Samara State Transport University; 2006, 86 p.

17. Ivanov BG, Kovtunov AV, Mulyukin OP. Design and Technological Support of Quality of Transport Equipment Actuating Mechanisms at the Stages of Design, Manufacture, Assembly and Testing. Samara: Samara Scientific Center of the Russian Academy of Sciences; 2006, 83 p.

18. Kovtunov AV, Chernyshev VI, Lavrus VV, et al. Elastic Damper Supports of Turbomachines with Lever Actuators. In: Gidrodinamicheskaya teoriya smazki - 120 let: materi-aly Mezhdunarodnogo nauchnogo simpoziuma = 120th Anniversary of Hydrodynamic Theory of Lubrication: Proceedings of the International Scientific Symposium. 18-20 May 2006, Oryol. Oryol; 2006, p. 32-36.

19. Eliseev SV. Applied System Analysis and Structural Mathematical Modeling

20. Eliseev SV, Eliseev AV. Theory of Oscillations. Structural Mathematical Modeling in Problems of Dynamics of Technical Objects. Cham: Springer; 2019, 521 p. https://doi.org/10.1007/978-3-030-31295-4

Authorship criteria

Eliseev S.V., Kargapoltsev S.K., Bolshakov R.S., Eliseev A.V. declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and bear equal responsibility for plagiarism.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.

The final manuscript has been read and approved by all the co-authors.

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Sergey V. Eliseev,

Dr. Sci. (Eng.), Professor,

Honored Scientist of the Russian Federation,

Scientific Advisor to the University Administration,

Irkutsk State Transport University,

15, Chernyshevky St., Irkutsk 664074, Russia;

e-mail: eliseev_s@inbox.ru

Sergey K. Kargapoltsev,

Dr. Sci. (Eng.), Professor, Rector,

Irkutsk State Transport University,

15, Chernyshevky St., Irkutsk 664074, Russia;

e-mail: rector@irgups.ru

ВЕСТНИК ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2020;24(4): 718-727

Большаков Роман Сергеевич,

кандидат технических наук, доцент кафедры управления эксплуатационной работой, Иркутский государственный университет путей сообщения,

664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15, Россия; [ '! e-mail: bolshakov_rs@mall.ru

Елисеев Андрей Владимирович,

кандидат технических наук, доцент кафедры математики, Иркутский государственный университет путей сообщения,

664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15, Россия; e-mail: eavsh@ya.ru

Roman S. Bolshakov,

Cand. Sci. (Eng.),

Associate Professor of the Department of Operational Management,

Irkutsk State Transport University,

15, Chernyshevky St., Irkutsk 664074, Russia;

!"".! e-mail: bolshakov_rs@mall.ru

Andrey V. Eliseev,

Cand. Sci. (Eng.),

Associate Professor of the Department of Mathematics, Irkutsk State Transport University, 15, Chernyshevky St., Irkutsk 664074, Russia; e-mail: eavsh@ya.ru

ВЕСТНИК ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2020;24(4):718-727