О гладкости решений объемного сингулярного интегродифференциального уравнения электрического поля

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

УДК 517.3

Ю. Г. Смирнов

О ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИИ ОБЪЕМНОГО СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Целью работы является изучение свойств гладкости решений объемного сингулярного интегродифференциального уравнения электрического поля, к которому сводится решение задачи дифракции электромагнитной волны на локально неоднородном диэлектрическом ограниченном теле.

Материалы и методы. Основным методом исследования является метод псевдодифференциальных операторов, действующих в пространствах Соболева. Применяется также теория эллиптических краевых задач и задач сопряжения.

Результаты. Доказывается, что при гладких данных задачи решение из пространства квадратично-суммируемых функций будет непрерывным вплоть до границ тела и гладким внутри и вне тела.

Выводы. Полученные результаты о гладкости решений объемного сингулярного интегродифференциального уравнения электрического поля позволяют решить вопросы об эквивалентности краевой задачи и уравнения.

Ключевые слова: задача дифракции электромагнитной волны, сингулярное интегродифференциальное уравнение, диэлектрическое тело.

Yu. G. Smirnov

ON THE SMOOTHNESS OF SOLUTIONS OF ELECTRIC FIELD VOLUME SINGULAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION

Abstract.

Background. The goal of this paper is to study the smoothness of solutions of a volume singular integro-differential equation of electric field arising in the diffraction problem of an electromagnetic wave on a local bounded inhomogeneous dielectric body.

Material and methods. The main method of the research was the method of pseudodifferential operators acting in Sobolev spaces. The theory of elliptic boundary value problems and transmission problems was also used.

Results. It is proved that if the data of the problem is smooth then the square-integrable solution of the equation will be continuous up to the boundary and smooth inside and outside the body.

Conclusions. Smoothness properties of solutions of the electric field volume singular integro-differential equation allow to investigate the equivalence of the boundary value problem and the equation.

Key words: diffraction problem of electromagnetic wave, singular integro-differential equation, dielectric body.

1 Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда, проект № 1411-00344.

46

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

Рассмотрим объемное сингулярное интегродифференциальное уравнение электрического поля, к которому сводится решение задачи дифракции электромагнитной волны на локально неоднородном диэлектрическом

3

ограниченном теле Q [1-3]. Пусть Q - ограниченная область в R с границей dQ класса C™; kg = кт ЕдМ-о, ео > 0, М-0 > 0, > 0 - известные

константы; £(x) и E0(x) - известные скалярная вещественная и векторная комплекснозначная функции соответственно. Физический смысл перечисленных функций и констант описан в [1-3].

Пусть Eе L^(Q) - решение интегродифференциального уравнения задачи дифракции [1-3]:

E

Q

где G(x, y) = —-------, гг (y) = e(y) / £0 . Положим вне Q

E

Q

Обозначим через V (x) объемный потенциал

V

Q

По решению E е L2(Q) определим функцию H по формуле

H

где H0(x) = -/W£0rotE°(x), x е R3 .

Целью настоящей работы является доказательство следующего резальтата.

Теорема 1. Пусть е( x) е C™ (Q), E0( x) е CTO (R3), £(x) > £0 при

xе Q , dQ класса C™ и Eе L^(Q) - решение уравнения (1). Тогда функции E, H, определенные формулами (1)-(4), будут принадлежать классам функций

E,H е C~(Q) П C~(R3 \ Q) П C0,а(Q) П C0,а(R3 \ Q),0 < а < 1 / 2.

Здесь C0,а (Q) - пространство функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем а [4].

Замечание. Мы сразу предполагаем, что функция E0(x) определена

3 —

в R . Но можно было бы считать, что она определена только в Q , E0(x)е C(Q), и потом доопределить ее до функции E0(x) е Cc ” (R3).

Physical and mathematical sciences. Mathematics

47

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Доказательство:

1. Гладкость функций E, H внутри области Q следует из результатов работ [2, 3]. В этих работах показано, что оператор

AJ := 1 J(х) - (£0 + grad div) |g(x,у)J(y)dy

гг (x) -1 Q

представим в виде суммы A = Ai + A2, где Ai : Hscomp (Q) ^ Hfoc (Q) является

эллиптическим псевдодифференциальным оператором (ПДО) порядка О (при сделанных предположениях относительно е( х)), а оператор

A2 : Hscomp (Q) ^ Hfo+2(Q) - ПДО порядка -2, s > О. Тогда, выполняя

стандартную процедуру сглаживания (с помощью построения параметрикса),

2 4

получаем последовательно J е H[oc(Q), J е H[oc(Q) и т.д., что влечет

J е C(Q). Откуда для Е(х) =----1----J(х) получаем E е C(Q).

er(х) -1

Гладкость функций Е, H вне Q очевидна, так как при У е Q ,

х е R \ Q имеем | х - у \Ф О, ядро 0(х, у) интегрального оператора в (1) бесконечно дифференцируемо, и можно вычислять производные любого

3 —

порядка от функции Е(х) под знаком интеграла при х е RJ\ Q.

2 3

2. Для объемного потенциала имеем V е Hioc

1 3

получаем, что H е Hioc (R ). Вычисляя rot от обеих частей равенства (4), получим

rotH = rotH0( х) - /'roegrot rotV (х);

rotH = rotH0(х) - /roeo(grad div - div grad)V(х).

Из (1) и (2) подстановкой получаем

rotH = —/roegE + /юео(£о + A)V.

Так как, используя свойства объемного потенциала [6],

(£0 + A)V = -(er - 1)Е,

то

rotH = -/roegE -/roeg(er - 1)E .

Таким образом, получаем первое из уравнений Максвелла для электромагнитного поля

rotH = -/roeE, х е R3,

где обозначено

48

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

Je(х), х е Q,

|ео,х е r3 \ Q-

Вычисляя rot от (1)-(2), получим

rotE = rotE0 + ^rotY ,

rotE = /юц0И0 + k0) -^(H0 - H),

7W£0

rotE = /o>|i0H0 + /ю|10 (H - H0), откуда выводим второе уравнение Максвелла:

rotE = /ro^H, х е R3.

Из (5) вытекает

div(eE) = 0 в R3,

а из

divH = 0 в R3,

в смысле распределении.

Из (7) и тождества

div(eE) = grade • E + edivE

получим

divE

-1 grade • E, e

откуда следует, что divE е ^(Q).

Получим условия сопряжения на dQ. Из

| = j"div( eE)vdx = j"div(veE)vdx - JeE • gradvdx:

Q

Q

Q

j veE • nds - jeE • gradvdx,

dQ Q

следовательно,

JeE• gradvdx = Jv(eEn)ds ,

Q dQ

где En = E • n, n - внешняя нормаль к dQ. Аналогично с учетом направления нормали имеем

Physical and mathematical sciences. Mathematics

49

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

I еЕ• gradvdx = — I v(eEn)ds .

R3\Q dQ

Тогда, суммируя эти два выражения, получаем

| еЕ • gradvdx = | v[eEn ]ds.

R3 dQ

Здесь [•] = [•JdQ - разность следов с разных сторон dQ. С другой стороны, из (5) находим, что

—/ю | еЕ • gradvdx = | rotH • gradvdx = | v div rotHdx = 0,

R3 R3 R3

(см. [7, с. 9]).

Из последнего равенства следует, что

| v[eEn ]ds = 0.

dQ

Варьируя v на dQ, получим

[eEn ]dQ =0

— 1/2

в смысле следов из H (dQ) [8].

Определим p := divV = div j*G(x,y)(er(y) — 1)E(y)dy.

Q

Имеем p e H/oc (R3).

Вычисляя div от (1) и (2), получим

divE = divE0 + kQdivV + AdivV = divE0 + (A + £q) p

Образуем функцию

f (x) = divE( x) — divE0 (x).

Имеем, f e L2ioc(R3). Для p получаем уравнение

с условием

[ p]9Q =0,

1/2

понимаемым в смысле следов из пространства H (dQ). Умножим (1)-(2) на n скалярно:

n • E = n • Eq + kin • JG(x, y)(er (y) — 1)E(y)dy +

Q

50

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

+dn diV ^Х’J )(£r ^J ^ У №

Q

С каждой стороны dQ выполняется равенство

en • E IdQ = en • E0 |qq +ko en • V |qq +edp

dQ

Из (10) получаем

0 = [e]9Q n • E0 \dQ +k0 [e]dQ n • V \dQ +

Таким образом,

= Ф \dQ, Фе Hfoc

dQ

где Ф \dQ = -[e]9Q n • E0 \dQ -k0 [e]9Q n •V \dQ

Для удобства образуем область Qi = B \ Q, где B - (открытый) шар с центром в нуле такой, что Q с B . Обозначим p0 = p \эв, Ф0 = Ф IdQ  Ясно, что p0 е C(ЭВ). Тогда имеем краевую задачу для p е H 1(B):

(A + k0))p = f,хeQ UQi,

WdQ =0 , dp

Эп

J9Q

Ф0,

p laB:= p0.

Отсюда (см. [9, с. 243, 246]) следует, что p е H2(Q) П H2(Q1) и

E е H 1

(но, вообще говоря, Eй H 1(B)).

На этом заканчивается первый этап сглаживания функций. Ниже описывается второй этап.

Вычислим частную производную от потенциала (3):

dV

dxi

_д_

dxi

G( х, y) 1 (er (y) - 1)E( y )dy =

Wi

= f<G (х, y) Q

_д_

&i

{(er(у) - 1)E(y))dy - f G(х,y)(er(y) - 1)E(y)cos(n,e,-)ds ,

dQ

Physical and mathematical sciences. Mathematics

51

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

где e (i = 1,2,3) - орт системы координат. Так как

(y) - 1)E(y))e L2(Q), dyi

то

Jg(х,y)-У ((((y) - 1)E(y))dy e Hfoc(R3).

Q yi

Пусть

У =

1/2

(след E |dQ вычисляется с внутренней стороны Q ). Тогда ye H (dQ). Рассмотрим потенциал простого слоя:

u(х) := J G(х, y)y(y)ds, dQ

обозначим:

Vo := Ay = J G(xq,y)y(y)ds; x0 edQ .

dQ

Тогда A : H 1/2(dQ) ^ H3/2(dQ) - эллиптический ПДО порядка -1 [10]. Для u имеем следующие краевые задачи:

j( A + kQ)u = 0, х eQ,

[u \dQ = ^

J(A + kQ)u = q хe Q1,

[u \dQ = ^ u \ЭВ = Po,

причем ye H3/2(dQ). Но тогда [11]:

u e H2(Q) ПH2(Q1),

откуда

Ve H3

Поэтому из (4) имеем

He H2

что влечет [4]:

He CQ,a

52

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

На третьем этапе осуществим дополнительное сглаживание E. Имеем

3 3

задачу (14) с «новыми» (сглаженными) данными фе Hioc(R ) (в силу (12)) и

f е H 1(Q) ПH 1(Qi).

Рассмотрим две функции Грина:

(А-1)^1(х - у) = -5(х - у), х, у eQ,

1 д^1

Эп

= 0;

dQ

(А-1)^2( х - у ) = -5( х - у), х, у eQ1,

1 Э02 =0.

dQ1

Эп

Так как Q и Q1 - ограниченные области с гладкой границей, то такие функции Грина существуют [12, 13] и имеют особенность

____1____е-|х - у|.

Применяя формулу Грина в областях Q и Q1 с функциями Грина G1 и G2 соответственно, получим

Q dQ

p(х) = - JG1 (х, у)fo(у)ёу + J G1(х, у) -£-ds, х е Q,

dp

p

Q1

dQ

2 11

где fo(х) = f (х) - (k0 +1)p(х), fo е H (Q) П H (Q1); направление вектора нормали в обоих соотношениях одно и то же.

dp

Введем х

Эп

9Q

(х0), х0 eЭQ , где след берется изнутри

области Q . Так как

dp

Эп

J9Q

dp

ф0, то тогда — Эп

(х0) = —Х(х0), если

dQ е

след брать из Q , и — Эп

(х0) = —х(х0) +—ф0(х0), если след брать из Q1.

dQ е0 е0

Из (21), (22) и условия сопряжения [ p]gQ = 0 получаем

г ( 1 1

Lx := I I —-G1

dQ Iе( у) е0 J

где

Physical and mathematical sciences. Mathematics

53

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

n — Tli +п2 +п3 ,

П1(хо) = jGl(х0,У) fo(y)dy - JGl(х0,У) fo(y)dy,

Q

Qi

П2

У on dB у e0

dB dB dQ 0

Так как f e H 1(Q), то

fGi(x,y) f (y)dy e H3(Q).

Q

Действительно, имеем

d

dX“ J*Gi (x, y) f (y )dy = fGi( x, y) d— f (y)dy -

xi q q yi

- J Gi(x, y) f (y)cos(n, ei )dy = Ii -12 .

dQ

d 2

Так как —f (y)e L^(Q), то Ii e H (Q). Из свойств оператора типа

dyi

i/2

потенциала простого слоя и того, что f jgQe H (dQ), получаем, так же как 2

и выше, что I2 e H (Q).

Так как f e H i(Qi), аналогично доказывается, что

JG2(x,y)f (y)dy e H3(Qi).

Qi

5/2

Из теоремы о следах [4] имеем T|i e H (dQ). Очевидно, что

П2 e C

и Пз e H7/2(dQ). Таким образом, ne H5/2(dQ).

Уравнение

LX = n

есть уравнение с эллиптическим ПДО порядка -i [i0], поэтому 3/2

Xe H (dQ) (мы знаем, что такое решение существует). Подставляя X

в (2i) и (22), получаем pe H3(Q)ПH3(Qi).

Таким образом,

Ee H2

и, в силу теорем вложения [4],

54

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015

Физико-математические науки. Математика

Eе C°’“

Теорема доказана.

Заключение

Полученный выше результат важен при доказательстве эквивалентности краевой задачи и интегродифференциального уравнения [2, 3]. Вместе с тем рассматривать уравнение (1) удобно в пространстве ^(Q) с точки зрения применимости численных методов, так как такой подход позволяет выбирать в качестве базисных и тестовых функций в методе Галеркина, например, кусочно-непрерывные функции.

Список литературы

1. Самохин, А. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А. Б. Самохин. - М. : Радио и связь, 1998. - 160 с.

2. Валовик, Д. В. Метод псевдодифференциальных операторов для исследования объемного сингулярного интегрального уравнения злектрического поля / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 4 (12). - С. 70-84.

3. Валовик, Д. В. Метод псевдодифференциальных операторов в задаче дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом теле / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, № 4. - С. 509515.

4. Тейлор, М. Псевдодифференциальные операторы / М. Тейлор. - М. : Мир, 1985. - 470 с.

5. Михлин, С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин. - М. : Физматгиз, 1962.

6. Владимиров, B. C. Уравнения математической физики / B. C. Владимиров. -М. : Наука, 1981. - 256 с.

7. Быховский, Э. Б. Об ортогональном разложении пространства векторфункций, квадратично-суммируемых по заданной области и операторах векторного анализа / Э. Б. Быховский, Н. В. Смирнов // Труды МИАН СССР. - 1960. -Т. 59. - С. 5-36.

8. Costabel, M. A Remark on the Regularity of Solutions of Maxwell’s Equations on Lipschitz Domains / M. Costabel // Math. Methods Appl. Sci. - 1990. - Vol. 12. -P. 365-368.

9. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. - М. : Наука, 1964. - 756 с.

10. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : ИПРЖР, 1996. - 177 с.

11. Лионс, Ж .-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Ли-онс, Э. Мадженес. - М. : Мир, 1971. - 372 с.

12. Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизохата. -М. : Мир, 1977. - 504 с.

13. Курант, Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. - М. : Гостехиздат, 1951. - 2 т.

References

1. Samokhin A. B. Integral’nye uravneniya i iteratsionnye metody v elektromagnitnom rasseyanii [Integral equations and iteration methods in electromagnetic dissipation]. Moscow: Radio i svyaz', 1998, 160 p.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

55

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

2. Valovik D. V., Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences ]. 2009, no. 4 (12), pp. 70-84.

3. Valovik D. V., Smirnov Yu. G. Differentsial’nye uravneniya [Differential equations]. 2012, vol. 48, no. 4, pp. 509-515.

4. Teylor M. Psevdodifferentsial’nye operatory [Pseudodifferential operators]. Moscow: Mir, 1985, 470 p.

5. Mikhlin S. G. Mnogomernye singulyarnye integraly i integral’nye uravneniya [Multidimensional singular integrals and integral equations]. Moscow: Fizmatgiz, 1962.

6. Vladimirov B. C. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1981, 256 p.

7. Bykhovskiy E. B., Smirnov N. V. Trudy MIAN SSSR [Proceedings of MIAN USSR]. 1960, vol. 59, pp. 5-36.

8. Costabel M. A Math. Methods Appl. Sci. 1990, vol. 12, pp. 365-368.

9. Ladyzhenskaya O. A., Ural'tseva N. N. Lineynye i kvazilineynye uravneniya el-lipticheskogo tipa [Linear and quasilinear equations of elliptic type]. Moscow: Nauka, 1964, 756 p.

10. Il'inskiy A. S., Smirnov Yu. G. Difraktsiya elektromagnitnykh voln naprovodyashchikh tonkikh ekranakh [Diffraction of electromagnetic waves on conducting thin screens]. Moscow: IPRZhR, 1996, 177 p.

11. Lions Zh.-L., Madzhenes E. Neodnorodnye granichnye zadachi i ikh prilozheniya [Heterogeneous boundary problems and applications thereof]. Moscow: Mir, 1971, 372 p.

12. Mizokhata S. Teoriya uravneniy s chastnymi proizvodnymi [Theory of equations with partial derivatives]. Moscow: Mir, 1977, 504 p.

13. Kurant R., Gilbert D. Metody matematicheskoy fiziki [Methods of mathematical physics]. Moscow: Gostekhizdat, 1951, vol. 2.

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Smirnov Yuriy Gennad'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

E-mail: mmm@pnzgu.ru

УДК 517.3 Смирнов, Ю. Г.

О гладкости решений объемного сингулярного интегродиффе-ренциального уравнения электрического поля / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 2 (34). - С. 46-56.

56

University proceedings. Volga region