Планарные многообразия коммутативных полугрупп

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 2. С. 17-22.

УДК 512.572 Д.В. Соломатин

ПЛАНАРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ КОММУТАТИВНЫХ ПОЛУГРУПП

Изучается свойство планарности графов Кэли для многообразий коммутативных полугрупп. Доказано, что единственным нетривиальным планарным среди многообразий коммутативных полугрупп является многообразие полугрупп с нулевым умножением. Вычислены ранги планарности для некоторых серий многообразий коммутативных полугрупп.

Ключевые слова: ранги планарности, многообразие коммутативных полугрупп, граф Кэли полугруппы, планарный граф. * 2

На заре становления теории полугрупп как специального раздела универсальной алгебры выделили несколько научных направлений, среди которых одним из наиболее продуктивных является изучение полугрупп на языке тождеств. Идея этого направления заключается в том, чтобы изучать не отдельные полугруппы, а их объединения в легко описываемые классы. Классы алгебраических систем, удовлетворяющих наперед заданному набору тождеств, называют многообразиями. Эти классы образуют решетку по включению (в случае полугрупп см. [1]), изучение атомов и бесконечных цепей которой проливает свет на строение структурных элементов.

Напомним, что многообразия алгебраических систем (эквациональ-ные классы) играют важную роль в универсальной алгебре. Согласно известной теореме Биркгофа [2], многообразие является классом алгебр, замкнутым относительно операций взятия гомоморфных образов, подалгебр и декартовых произведений. Широко исследуются многообразия групп, квазигрупп, колец, линейных алгебр, полугрупп, решеток. Именно общая теория многообразий предоставила мощный инструментарий для их изучения. Типовые вопросы, решаемые на языке многообразий для полугрупп, приведены в обзорах [1; 3; 4].

Изучение тождеств в алгебрах берет свое начало в работах Биркгофа

[2] и Б.Х. Неймана [5], закреплено отдельным направлением в монографии [6] и трудах по универсальной алгебре [7-9]. Интерес к этой области не ослабевает вплоть до сегодняшнего дня (см., например, обзор [4]). Исследование решетки многообразий полугрупп в терминах структуры этой решетки позволяет нам формулировать принципиально новые задачи, например, задачи изучения рангов планарности многообразий коммутативных полугрупп, описания спектров планарности многообразий коммутативных полугрупп, классифицирования многообразий коммутативных полугрупп по спектрам планарности.

Графом Кэли полугруппы S относительно множества образующих её элементов X называют помеченный ориентированный мультиграф Cay(S, X) , состоящий из множества вершин S и множества помеченных дуг - всевозможных троек (a, x, b), где a, b e S , x e X и ax = b .

Планарным многообразием называем многообразие, каждая полугруппа которого относительно некоторого множества образующих имеет планарный граф Кэли.

Основным результатом статьи является следующая теорема.

Теорема 1. Единственным нетривиальным планарным многообразием коммутативных полугрупп является многообразие полугрупп с нулевым умножением.

© Д.В. Соломатин, 2015

18

Д.В. Соломатин

Доказательство. Применяя структурную теорию полугрупп [10-11], теорию многообразий полугрупп [4] и наши результаты, сведем задачу изучения вопросов планарности многообразия коммутативных полугрупп к вопросу планарности коммутативных нильполугрупп. В многообразии

C = var{xy = yx} исключим многообразие

S = var{x2 = x; xy = yx} полурешеток, так как

оно не планарное, что показано для SJ1 в

обозначениях работы [12].

Продолжим последовательный анализ многообразия C = var{xy = yx} по его атомам: многообразие A p = var{xp+j = x; xy = yx} абелевых групп простой экспоненты p не является планарным согласно результатам работы [13]; многообразие Z = var{xy = 0} полугрупп с нулевым умножением планарно (так как основа графа Кэли каждой полугруппы данного многообразия является деревом) и, как будет показано в дальнейшем, единственное нетривиальное многообразие коммутативных полугрупп, являющееся планарным. Отметим, что в любом многообразии V с C = var{xy = yx} выполняется

тождество xr = xr+m . Пусть m > 1. Тогда в многообразии найдется циклическая группа, следовательно, Ap С V. Тогда многообразие V не будет планарным. Поэтому остается искать планарные многообразия при m = 1, таким образом, если среди многообразий V имеется планарное многообразие, то в нём должно выполняться тождество xr = xr+l. Если других тождеств нет, то там содержатся полурешетки. Рассмотрим

полурешетки детальнее. Любая полугруппа с

Г+1 Г

тождеством x = x является полурешеткой нильполугрупп. Если компонент более одной, то S С V, т. е. V не будет планарным, следовательно, компонента в коммутативной связке единственная. В ней любая полугруппа является ниль, их и нужно анализировать, добавляя тождества к тождествам многообразия нильполугрупп, как, например, было получено многообразие

var{x2 = 0; xyz = 0}. Перечислим все возможные наборы тождеств полугрупп, задавая многообразия, и выберем из получившихся покрывающее для многообразия Z полугрупп с нулевым умножением.

Для тривиального многообразия

V = var{x' = 0; xy = yx} = E = var{x = y} вопроса о планарности не возникает.

Рассмотрим V = var{x” = 0; xy = yx} , где n > 2. Данное многообразие содержит

V = var{x2 = 0; xy = yx} в качестве подмногообразия, при добавлении к списку тождеств которого новое xyz= 0 получается первое многообразие из перечисленных ниже случаев.

1. V = var{x2 = 0; xyz = 0; xy = yx}.

Если к списку тождеств данного многообразия добавлять тождество, являющееся следствием перечисленных, то очевидным образом будет получено исходное многообразие. Если же добавлять тождество, не являющееся следствием перечисленных, то будет получено либо тривиальное многообразие E , либо многообразие Z. Что и показано в таблице тождественных преобразований.

Тождественные преобразования

Добавляемое тождество Цепочка преобразований Итоговое многообразие

xyz...t = uv...w xyz = 0 ^ xyz...t = 0 Л uv...w = 0 ^ xyz...t = uv...w V

xyz = uv xyz = uv ^ 0 = uv Z

xyz = u2 x2 = 0 Л xyz = 0 ^ xyz = uu V

xyz = u xyz = u ^ 0 = u E

x2 y = uv x2 y = uv ^ 0 = uv Z

2 2 x y = u x2 y = u2 ^ 0 = 0 V

x2 y = u x2 y = u ^ 0 = u E

3 II к 3 и К i и о 0 1 II о Z

3 II к 3 II к г II о Z

к II й к II к г о II о V

x = x x = x V

x = y x = y E

Планарные многообразия коммутативных полугрупп

19

Следовательно,

V = var{x2 = 0; xyz = 0; xy = yx} является покрывающим для Z многообразием, но в то же время оно не является планарным. Убедимся, что нет других покрывающих для Z в решетке подмногообразий многообразия коммутативных полугрупп.

2. V = var{x2 = 0;xy = 0;xy = yx} = Z .

3. Если список тождеств многообразия

V = var{x2 = 0; xy = yx} дополнять тождеством, содержащим слова из более чем трех символов, то к образовавшемуся списку тождеств можно будет добавить xyz = 0 и получить ранее рассмотренный случай, поэтому в дальнейшем ограничим длину слов в добавляемом тождестве тремя символами.

4. Если список тождеств многообразия

V = var{x2 = 0; xy = yx} дополнять тождеством, содержащим слова, несвободные от квадратов, то равносильное этому тождеству будет содержать 0, что уже рассмотрено в первых двух вариантах.

5. V = var{x2 = 0; xyz = xyt; xy = yx} содержит в качестве подмногообразия многообразие из первого пункта, полугруппы которого получаются при t = 0 .

6. V = var{x2 = 0; xyz = xuv; xy = yx} содержит в качестве подмногообразия многообразие из первого пункта, полугруппы которого получаются при u = 0 или v = 0 .

7. V = var{x2 = 0; xyz = uvw; xy = yx} =

= var{x2 = 0; xyz = 0; xy = yx} .

8. V = var{x2 = 0;xyz = xy; xy = yx} = Z ,

так как в данном многообразии выполняются тождества xy = xz, xz = yz и xy = yz , т. е. попарные произведения любых двух из тройки элементов в полугруппах этого многообразия равны между собой вообще и равны нулю в частности.

9. V = var{x2 = 0; xyz = xu; xy = yx} содержит в качестве подмногообразия многообразие из первого пункта, полугруппы которого получаются при u = 0 .

10. V = var{ x2 = 0; xyz = uv; xy = yx} содержит в качестве подмногообразия многообразие из первого пункта, полугруппы которого получаются при u = 0 или v = 0 .

11. V = var{x2 = 0; xyz = x; xy = yx} = E ,

так как в данном многообразии выполняются тождества xyz = x и yxz = y, что в силу тождества коммутативности xy = yx равносильно x = y .

12. V = var{x2 = 0; xyz = u;xy = yx} содержит в качестве подмногообразия многооб-

разие из первого пункта, полугруппы которого получаются при u = 0 , поэтому не является планарным.

13. V = var{x2 = 0;xy = xu;xy = yx} = Z , так как xy = xu ^ xy = x0 ^ xy = 0 .

14. V = var{x2 = 0; xy = uv; xy = yx} =

= var{x2 = 0; xy = 0; xy = yx} = Z .

15. V = var{x2 = 0;xy = u; xy = yx} = Z , так как в данном многообразии выполняются тождества xy = z и uv = z , что равносильно рассмотренному выше варианту с xy = uv .

16. V = var{x2 = 0;xy = x;xy = yx} = E , так как в данном многообразии выполняются тождества xy = x и yx = y , что в силу тождества коммутативности xy = yx равносильно x = y .

17. V = var{x2 = 0; x = x; xy = yx} = V .

18. V = var{x2 = 0; x = y; xy = yx} = E.

Доказательство завершено.

Зададимся теперь вопросом о рангах

планарности многообразий коммутативных полугрупп [11]. Напомним, что ранее нами были описаны ранги планарности многообразий коммутативных моноидов [12]. По определению Л.М. Мартынова, многообразие

V полугрупп имеет ранг планарности r = rn (V) , где r - натуральное число, если все V-свободные полугруппы ранга < r допускают планарный граф Кэли, а V-свободная полугруппа ранга r + 1 уже не допускает планарный граф Кэли. Если для многообразия V такого натурально числа r не существует, то многообразие V полугрупп имеет бесконечный ранг планарности, в таком случае пишем rn (V) = ^ .

Ниже будем использовать следующие обозначения:

M = var{x = x} - многообразие всех

коммутативных моноидов;

Am = var{xm = 1} - многообразие всех

абелевых групп экспоненты m ;

S1 p = var{x!+р = x1} - комбинаторное

многообразие коммутативных моноидов типа (i, p).

Ранее была доказана следующая теорема.

Теорема [12]. Пусть V - нетривиальное многообразие коммутативных моноидов, rn (V) - его ранг планарности. Тогда rn (V) < 3 . Более того:

1) rn (V) = 1 тогда и только тогда, когда

V = A m , или V = Si, p , где m Ф 2, (i > 1 л p > 2);

20

Д.В. Соломатин

2) rn (V) = 2 тогда и только тогда, когда

V = M , или V = S^ 1, или V = S)2 2 , где O'l > 2 л i2 > 1);

3) rn (V) = 3 тогда и только тогда, когда

V = A2, или V = Sj 1.

Условимся относительно некоторых обозначений:

C = var{xy = yx} - многообразие всех

коммутативных полугрупп;

An = var{x”y = y, xy = yx} - многообразие всех абелевых групп экспоненты n > 1;

CBr m = var{xr+m = xr, xy = yx} - многообразие всех коммутативных полугрупп бернсайдовского типа, где r > 0, m > 0 ;

CNS = var{xx ...xsy = xjx2 ...x^, xy = yx}

- многообразие коммутативных нильпотент-ных полугруппы ступени s > 1;

CNilr = var{xry = xr, xy = yx} - многообразие всех коммутативных нильполугрупп индекса r > 1. Вторым результатом работы является следующая теорема.

Теорема 2. 1) rn (C) = 2 ;

2) rn(A 2) =3 и rn(A n) =1 при n > 2;

3) rn (CB1,1) = 3 , rn (CBr,m ) = 1 при r > 0 ,

m > 2 , и rn (CBr m) = 2 в остальных случаях;

4) rn (CN2) = ~, rn (CN3) = 3 , rn (CNs) = 2 при s > 3 ;

5) rn (CNil r) = 2 при любом r > 1.

Доказательство

Пункт 1. Одним элементом порождённая свободная полугруппа из многообразия коммутативных полугрупп допускает планарный граф Кэли. Схема плоской укладки порожденной двумя элементами полугруппы того же многообразия приведена на рис. 1, где горизонтально расположены элементы

полугруппы S = (a, b} по возрастанию степеней одного образующего, вертикально -другого. Графы Кэли свободных полугрупп с большим числом образующих содержат непланарный подграф, изображенный на рис. 2. Следовательно, rn(C) = 2 .

Пункты 2 и 3 вытекают из ранее доказанной теоремы работы [13], учитывая, что S1 p = var{x i+p = x i} = var{xr+m = xr, xy = yx} =

= CBrm, согласно используемым обозначениям.

Остановимся подробнее на оставшихся пунктах.

Пункт 4 содержит описание рангов планарности многообразия коммутативных нильпотентных полугруппы фиксированной ступени. Так как CN2 представляет собой

планарное многообразие полугрупп с нулевым умножением, и так как произведение любых двух элементов равно нулю, то rn (CN 2) = ^ . Для полугрупп S = (a, b, с} из

многообразия CN3 плоская укладка графа Кэли приведена на рис. 3 и в качестве подграфов содержит плоские укладки графов Кэли полугрупп этого многообразия с меньшим числом образующих. Графы Кэли полугрупп с большим числом образующих в этом многообразии содержат не являющийся планарным подграф изображенный на рис. 4, следовательно, rn (CN3) = 3 .

Рассмотрим свободные полугруппы многообразия CNs = var{x1x2... xs = 0; xy = yx}

при s > 3 . Схема плоской укладки графа Кэли свободной полугруппы S = (a, b} из

этого многообразия изображена на рис. 5. Для меньшего числа образующих плоская укладка очевидна, а для большего - граф Кэли содержит изображенный на рис. 6 непланарный подграф, следовательно,

rn (CNs) = 2 при s > 3 .

не 1 ya2b ' » ab

t-.-i ab2 не (

f

Рис. 1. Схема плоской укладки графа Кэли свободной полугруппы S = (a, b} многообразия C = varjxy = yx}

a2b a2bc ab

2

Рис. 2. Подграф графа Кэли свободной полугруппы S = (a,b,...,с} многообразия C = varjxy = yx}

Планарные многообразия коммутативных полугрупп

21

Рис. 3. Граф Кэли свободной полугруппы S = (a, b, cj многообразия CN3 = var{xjX2x3 = 0; xy = yx}

c

Рис. 4. Подграф графа Кэли свободной полугруппы

S =

многообразия CN3 = var{xjX2x3 = 0; xy = yx}

as-1 a2 a

Рис. 5. Схема плоской укладки графа Кэли свободной полугруппы S = {a, b}

многообразия CNs = var{x1x2 .xs = 0; xy = yx} при s > 3

ab

Рис. 6. Подграф графа Кэли свободной полугруппы

S =

многообразия CNs = var{x1x2 . xs = 0; xy = yx} при s > 3

ar-1b 'I

\ar'1b

U r-1

a2 a

>a2b \ ab

' ia2b2 \ ab2

1

Ta2br-1 i abr-1 J

r

2

r-1

Рис. 7. Схема плоской укладки графа Кэли свободной полугруппы S =

многообразия CNilr = var{xry = xr; xy = yx} при r > 1

Рис. 8. Подграф графа Кэли свободной полугруппы S =

многообразия CNilr = var{xry = xr; xy = yx} при r > 1

22

Д.В. Соломатин

Пункт 5. Для порожденных двумя элементами свободных полугрупп из многообразия CNil г при r > 1 схема плоской укладки графа Кэли приведена на рис. 7. Более того, планарный граф Кэли моногенной полугруппы содержится в нем в качестве подграфа.

Для порожденных тремя и более элементами свободных полугрупп из того же многообразия в графе Кэли обнаруживается подграф, изображенный на рис. 8, являющийся гомеоморфным графу К5 с некоторой ориентацией ребер. Следовательно, граф Кэли таких полугрупп не планарен и rn (CNilr) = 2 при любом r > 1 .

Что и требовалось доказать.

Замечание. Условие 3 можно сформулировать иначе: 1 < rn (CBrm) = f (r, m) < 3

при любых r > 0 , m > 0 ,

f ( ) (1 + sgn(2 - r)) • sgn(2 - r) x

где f (r, m) =-------^-----------X

X (1 + sgn(2 - m)) • sgn(2 - m) +

X-----------------------+

4

+(1 + sgn(3 - m)) • sgn(3 - m) +

2 '

Автор выражает глубокую признательность профессору Л.М. Мартынову за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения результатов.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Evans T. The lattice of semigroup varieties // Semigroup Forum. 1971. № 2. P. 1-43.

[2] Birkhoff G. On the Structure of Abstract Algebras // Proc. Camb. Phil. Soc. 1935. № 31. P. 433454.

[3] Мельник И. И. Описание некоторых решеток многообразий полугрупп // Изв. вузов. Математика. 1972. № 7. С. 65-74.

[4] Шеврин Л. Н., Верников Б. М., Волков М. В. Решетки многообразий полугрупп // Изв. вузов. Математика. 2009. № 3. С. 3-36.

[5] Neumann B. H. Identical relations in groups. I // Math. Ann. 1937. № 114. P. 506-525.

[6] Neumann H. Varieties of Groups. N. Y.: Springer-Verlag, 1967. 193 p.

[7] Cohn P.M. Universal Algebra. Harper and Row Publishers, 1965. 333 p.

[8] Gratzer G. Equational classes of lattices // Duke Math. J. 1966. № 33. P. 613-622.

[9] Pierce R. S. Introduction to the Theory of Abstract Algebras. Holt, Rinehart and Winston, Inc., 1968. 148 p.

[10] Адян С.И. Определяющие соотношения и алгоритмические проблемы для групп и полугрупп // Труды математического института им. В. А. Стеклова. LXXXV. М. : Наука, 1966, 124 с.

[11] Клиффорд А, Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М. : Мир, 1972.

[12] Соломатин Д. В. О рангах планарности многообразий коммутативных полугрупп // Сб. тез. Всерос. конф. по математике и механике, посв. 135-летию Том. гос. ун-та и 65-летию мех.-мат. ф-та (Томск, 2-4 октября 2013 г.). Томск : Иван Федоров, 2013. С. 35.

[13] Соломатин Д. В. Ранги планарности многообразий коммутативных моноидов // Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 4. С. 41-45.