Однородные отображения смешанных модулей

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 18 Выпуск 2

УДК 512.552+512.553+512.715 DOI 10.22405/2226-8383-2017-18-2-256-266

ОДНОРОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ СМЕШАННЫХ МОДУЛЕЙ

Д. С. Чистяков (г. Нижний Новгород) Аннотация

В данной работе изучаются смешанные модули, обладающие следующим свойством: каждая однородная функция нескольких переменных данного модуля является аддитивной. Под однородной функцией понимается всякое отображение прямой суммы конечного числа копий некоторого модуля в сам модуль, перестановочное с эндоморфизмами данного модуля. В универсальной алгебре алгебраическая структура называется эндопримальной, если все ее терм-функции коммутируют с эндоморфизмами. Известно, что каждая эндоду-ализируемая конечная алгебра эндопримальна. Ряд авторов исследовал эндопримальные алгебры в многообразиях векторных пространств, полурешеток, булевых алгебр, алгебр Стоуна, алгебр Рейтинга и абелевых групп. В данной статье продолжается исследование связи эндопримальности и свойств мультипликативной полугруппы кольца эндоморфизмов модуля, начатое автором ранее. Рассмотрены классы смешанных нередуцированных расщепляющихся модулей и редуцированных нерасщепляющихся модулей над коммутативным дедекиндовым кольцом. Показана взаимосвязь указанной проблемы со свойством однозначности сложения в кольце эндоморфизмов модуля.

Ключевые слова: дедекиндово кольцо, делимый модуль, редуцированный модуль, смешанный модуль, однородное отображение, терм-функция, эндофункция.

Библиография: 26 названий.

ON HOMOGENEOUS MAPPINGS OF MIXED MODULES

D. S. Chistvakov (Nizhnv Novgorod) Abstract

In this paper we study mixed modules, with the following property: every homogeneous function of several variables of a module is additive. By a homogeneous function we mean any-mapping of the direct sum of a finite number of copies of a module into the module itself that commutes with the endomorphisms of the given module. In the universal algebra, the algebraic structure is said to be endoprimal if all its term-functions commute with endomorphisms. It is well-known that each endodualizable finite algebra is endoprimal. Some authors have studied endoprimal algebras in varieties of vector spaces, semilattices, Boolean algebras, Stone algebras, Heyting algebras, and Abelian groups. In this article, the links between endoprimality and the properties of the multiplicative semigroup of the endomorphism ring of a module, which the author started earlier. Classes of mixed non-reduced splitting modules and reduced modules over commutative Dedekind ring have been investigated. Links between this problem and the property of unique additivity has been shown.

Keywords: Dedekind ring, divisible module, reduced module, mixed module, homogeneous map, term-function, endofunction.

Bibliography: 26 titles.

1. Основные определения и постановка задачи

Пусть К — коммутативная дедекиндова область и М — левый Д-модуль, п-арная эндо-функция модуля М — это отображение /: Мп ^ М такое, что

/ ((рх\,.. .,<рхп) = р/(хг, ...,хп) для всех <р е Епйи(М). Отображение $: Мп ^ М такое, что

f (х\, ...,хп)= Ф1Х1 + ... + фпхп,

где фг,...,'фп — центральные эндоморфизмы модуля С, называется п-арной обобщенной терм-функцией. В случае, когда фг,... ,фп е Д, отображение / называется п-арной терм-функцией. Если каждая п-арная эндофункция модуля М является п-арной терм-функцией (п-арной обобщенной терм-функцией), то модуль М называется п-эндопримальным (обобщенно п-эндопримальным). Модуль называется эндопримальным (обобщенно эндопримальным), если он п-эндопримаден (обобщенно п-эндопримален) для всех п < ш.

Исследованию эндопримальных и обобщенно эндопримальных групп посвящены работы [1] — [7]. Отметим, что понятие эндопримальности возникло в универсальной алгебре. В частности, алгебраическая структура называется эндопримальной, если все ее терм-функции коммутируют с эндоморфизмами. В [5] показано, что каждая эндодуализируемая конечная алгебра эндопримальна. В работе [6] авторы продолжили систематическое изучение эндопримальных алгебр в многообразиях векторных пространств, полурешеток, булевых алгебр, алгебр Стоуна, алгебр Гейтинга и абелевых групп. В статьях [7] — [10] автор указал на связь эндопримальности и свойств мультипликативной полугруппы кольца эндоморфизмов модуля. Оказывается, обобщенно эндопримальные периодические абелевы группы и сепарабельные абелевы группы без кручения имеют 11А-кольцо эндоморфизмов.

Полугруппа (К, ) называется кольцом с однозначным сложением (или кратко иА-коль-цом), если существует единственная бинарная операция +, превращающая (К, , +) в кольцо. Отметим также, что кольцо К является иА-кольцом в том и только том случае, когда каждый полугрупповой изоморфизм а: (К, ) ^ (5, ) является кольцевым для каждой полугруппы (5, ). Понятие иА-кольца исследовалось в работах [11] — [16]. Позднее оно было обобщено на категории ([14]), полукольца ([17]), кольца и алгебры Ли ([18]) и модули ([19], [20]). Абелевы группы с иА-кольцами эндоморфизмов рассматривалось в работах [21] — [25].

В данной работе мы исследуем взаимосвязь 11А-свойства кольца эндоморфизмов и эндопримальности смешанных модулей над коммутативным дедекиндовым кольцом. Ключевым инструментом в исследовании 11А-колец служит следующая теорема, которая по сути является аналогом теоремы 2.12 из [13].

Теорема 1. ([21, Лемма 1]) Предположим, что кольцо К обладает, системой идемпо-тентов Е = (а | г е I} такой, что

1. для каждого 0 = г е Я существует идемпотент е^ е Е, удовлетворяющий условию гег = 0;

2. для каждого е^ е Е найдет,ся ортогональный ему идемпотент е^ е Е такой, что для х е К из равенств е^хе^Ке^ = 0 = е^В,ахег следует, равенство е%хе% = 0.

Тогда, К — иА-кольцо.

В частности, с помощью данной теоремы легко доказать следующее утверждение ([7]).

Теорема 2. Пусть М — сепарабельный модуль без кручения над коммутативным де-декиндовым кольцом Я и гапк(М) > 1. Следующие условия эквивалентны:

1. М — обобщенно эндопримальный Я-модуль,

2. Епйи(М) — иА-кольцо,

3. М — полусвязанный Я-модуль.

При исследовании обобщенно эндопримальных модулей, в основном, используется следующая теорема ([4], [7]).

Теорема 3. Следующие условия эквивалентны:

1. М — обобщенно эндопримальный модуль;

2. каждая эндофункция f: Мп ^ М аддитивна.

Далее мы переходим к изложению основных результатов работы. Для удобства зафиксируем следующие обозначения для Я-модуля М над коммутативным дедекиндовым целостным кольцом Я его подмодулей: Ь(М) — периодический подмодуль, Ьр(М) — Р-иримарный подмодуль, (М) = М/1(М) — часть без кручения модуля М, вирр(М) = {Р е Брес(Я) | 1р(М) = 0}, ^(М) —максимальный делимый периодический подмодуль, 'Dtf (М) — максимальный делимый подмодуль без кручения, ^(М) — максимальный редуцированный периодический подмодуль, 'Rtf (М) — максимальный редуцированный подмодуль без кручения.

2. Однородные отображения смешанных модулей

При изложении результатов работы мы используем терминологию и обозначения из книги [26].

Теорема 4. Пусть М = (М) 0 0 гр(М) — Я-модуль такой, что

р евирр

1. модуль Vtf (М) разложим;

2. гР (М) = Я(Рп)ф Я(Рп)  М (Р), где РпМ (Р) = 0, ил и (М) имеет неограниченный базисный подмодуль, для всех Р е вирр(М).

Тогда, Епйр(М) — иА-кольцо и М — обобщенно эндопримальный модуль.

Доказательство. Поскольку

Еш1к

р евирр

и кольцо Епй^^/ (М)) является иА-кольцом ([16]), то достаточно доказать, что кольца эндоморфизмов Р-примарных компонент Ьр (М) модул я М обладают свойством однозначности сложения. Заметим, что каждый Я-модуль Ьр(М) может быть рассмотрен как модуль над Р-адическим пополнением Яр облает и Я. В этой ситуации Епйр^р (М)) = (Ьр (М)).

Зафиксируем идеал Р е вирр(М). Предположим, что модуль Ьр(М) имеет неограниченный базисный подмодуль. Тогда имеет место прямое разложение

М = Ятг 0 ... 0 Ятп 0 Мп

такое, что Мп = Ктп+гО) N„++1 и показатель степени порядкового идеала элемента ап не меньше, чем к.

Пусть Е — система попарно ортогональных примитивных идемпотентов. Для любого 0 = р е Епй<^р(Ьр(М)) существует е е Е такой, что ре = 0. В противном случае, р аннулирует базисный подмодуль Ьр(М) и, следовательно, является нулевым. Пусть е(ЪР(М)) = К(Рп). Существует идемпотент е' такой, что е'(Ьр(М)) = К(Рт), где т > п. Тогда

(0 : еЕпй^р(гР(М))е')гП еЕп(1пР(1р(М))е = 0> ГДе

еЕпййр(Ър(М))е' = Нотйр(К(Рт), К(Рп)) и еЕпс1йр(ЬР(М))е = Епййр(К(Рп)).

По теореме 1, Епс1^р(1р(М)) — иА-кольцо.

Случай, когда 1р(М) = И(Рп) 0 И(Рп) 0 М(Р) где РпМ(Р) = 0, рассматривается аналогично.

Если модуль 'Dtf (М) разложим, то, как известно, он изоморфен прямой сумме копий модуля С,). Тогда, по [7, Теорема 1], данный модуль обобщенно эндопримален. Обобщенная эн-допримальность периодической части модуля М доказывается аналогично случаю абелевых групп (см. [4, Лемма 22, Теорема 23]). Поскольку прямая сумма обобщенно эндопримальных модулей обобщенно эндопримальна, то мы получаем второе утверждение теоремы.

Заметим, что если 1р(М) = Н(Рк) © М(Р), где М (Р) = 0 и Рк М (Р) = 0 Р е вирр(М) и М(Р) не имеет подмодуля В,(Рк), то можно построить нелинейную эндофункцию

/р: гР (М) © Ьр(М) ^ Ьр(М),

например, по правилу /((х,у), (х',у')) = 0, если рк-1х' = 0, и /((х,у), (х',уг)) = рк-1х, если рк-1х' = 0 где х,х' е К(Рк) у, у' е М(Р) и Р = Кр. Далее отображение /Р продолжается до нелинейной эндофункции $: М2 ^ М по правилу: $(х) = /р(х), если х е 1Р(М), и /(х) = 0, если х е ^Р(М). В то же время, если модуль 'Dtf (М) изоморфен то он не является обобщенно эндопримальным и его кольцо эндоморфизмов не обладает свойством однозначности сложения

([7])-

Пусть М = К(Рт) 0 М(Р), где М(Р) = 0, т > 2 и Рт-2М(Р) = 0. Учитывая изоморфизм

(м) ^ ( Еш1К(К(Рт)) Нот я (М (Р ),П(Рт))\ п (Ш ) = \НотК(К(Рт),М (Р)) Еп<1К (К(Рт)) ),

построим отображение а: Епг!р(М) ^ Епг!р(М) по правилу

а: (: ^ (: ^ , если ^ ~ обратим в Епйр(К(Рт)),

а: (с ^ ^ (^с й рт-2(^ , еСЛИ ^ ~ необратим в Еп<1и(К(Рт)), где Р = Кр.

Непосредственно проверяется, что построенное отображение является полугрупповым, но не кольцевым автоморфизмом. В общем случае ситуация с ограниченными модулями остается не ясной, что не позволяет получить необходимые и достаточные условия, когда периодический или смешанный модуль над коммутативным дедекиндовым кольцом имеет ИА-кольцо эндоморфизмов.

Теорема 5. Пусть М = Ktf (М)0 Vtf(М) © 0 tP(М) © 0 tP(М) - R-модуль

l p/s \ pes

такой, что

1. К/ (М) = 0 и Vtf (М) = 0;

2. в = {Р е вирр(М) | рг}(М) = г/(М)};

3. гр (М) = Я(Рп) 0 Я(Рп) 0 М (Р), где РпМ (Р) = 0, ил и гР (М) - имеет неограниченный базисный подмодуль, для всех Р е в.

Тогда, Епйр(М) — иА-кольцо. Если подмодуль (М) обобщенно эндопримален, то М — обоб-

Я

Доказательство. Введем обозначения:

Мг = КЛМ) 0 Vtf

р/з

и М2 =0 tp(М). В силу тривиальности групп Ноти(Мг,М2) и Ноти(М2,Мг), имеем р/в

Епйи(М) = Епйи(М\) х Епйи(М2). По предыдущему утверждению, М2 — обобщенно эндопримальный модуль и Епйи(М2) — иА-кольцо. Покажем, что Епйи(М\) — иА-кольцо. Рассмотрим проекции

: Мг ^ Vtf (М), ен{ : Мг ^ К/(М) и е*: Мг ^ 1(Мг).

Для указанной системы идемпотентов справедливо равенство

(0 : аЕп<1к(Мг)ен1 ) р| егЕп<1я(Мг)ег = 0.

Действительно, пусть 0 = р е ^п^д(£(Мг)). Найдется идеал Q / Б 'ткош, что рЬд(Мг) = 0. Поскольку 1р1д(Мг) С 1д(Мг), то 0 = <рг = \ 1д(Мг) е Епйя(1д(Мг)). Поэтому эндоморфизм <^г действует на базисном подмодуле модуля Ьд(Мг) не тривиально. Существует целое положительное число к такое, что ) = 0. Гомоморфизм Ях ^ Я^к), определенный

действием на образующих, может быть продолжен до гомоморфизма ф: Кf (М) ^ Я^к) в силу ^-чисто инъективности модуля Я^к). Откуда рф = 0.

Проверим справедливость равенства

(0 : ЕпйК(Мг)ен}) ['\ertfЕпйи(Мг)ен/ = 0.

Пусть 0 = <р е Епйя(К/(М)) Существует х е Яtf (М) такой, что р(х) = 0. Поскольку мономорфизм Яр(х) ^ (М) может быть продолжен до гомоморфизма ф: Кf (М) ^ 'Dtf (М), мы получаем фр = 0.

Покажем, что

(0 : Епйи(Мг)г [\edtfЕпйи(Мг)е^/ = 0.

Пусть 0 = <р е EndR(Vtf (М)). Существует х е (М) такой, что р(х) = 0. Поскольку для у е К¡(М) мономорфизм Яу ^ Ях может быть продолжен до гомоморфизма ф: Кf (М) ^ Vtf (М), снова получаем рф = 0.

Докажем, что модуль Мг обобщенно эндопримален. Заметим, что каждая эндофункция /: Мг ^ Мг аддитивна. Действительно, каждый периодический модуль над дедекиндовой областью является дистрибутивным модулем над своим кольцом эндоморфизмов. В работе [8] доказано, что каждая унарная эндофункция дистрибутивного модуля аддитивна. По условию подмодуль Ь/(М) обобщенно эндопримален, поэтому для а, а' е Ь/(М) и Ь,Ь' е Ь(Мг) имеем

/ (а + Ь + а' + Ь') = ^ + ег)}' (а + Ь + а' + Ь') = } (а + Ь + а' + Ь') + ег/(а + Ь + а' + Ь') =

= Да + а!) + /(Ь + Ь') = ¡(а) + ¡(а') + ¡(Ь) + ¡(У), где etf: М1 ^ Ь/(М) и ег: М1 ^ 1(М\) — проекции. Аналогично,

¡(а + Ъ) + / (а' + Ь') = ¡(а) + ¡(а') + ¡(Ь) + ¡(Ь>).

Предположим теперь, что каждая й-арная эндофункция модуля М1 аддитивна и пусть /: Мк+1 ^ М1 — произвольная эндофункция. Докажем, что

¡

для всех Х1,у1,.. .,хк+1, ук+1 е М1.

Поскольку модуль М1 расщепляется, элементы ж^ и уг представимы в виде

хг = х&/(М)) + хг(1(М1)), уг = уМ(М)) + уг(1(М1)),

где

Ж,(1/(М)), уг(1/(М)) е I¡(М) И Хг(1(М1)), Уг(Ь(М1)) е 1(М{) для всех индексов г е (1,... ,к}. Введем обозначения: • Ж = (Х1,.. .,Хк+1),

t f(x) = (xi(t f( М)),..., xk+i(t f (М))),

t(x) = (xХ1(1(Мг)),...,хк+1(1(М1))),

• 1р (х) = (Х1(1 р (М1)),..., хк+1(1р (М1))).

Для элементов у^ будем использовать аналогичные обозначения. Пусть ег^: М1 ^ t/(М) и еь: М1 ^ 1(М1) — проекции. Тогда

¡(х + у) = /((еь1 + еь)(х + у)) = (ен1 + е ь) ¡(х + у) = _

= ¡(е^ (х + у)) + / (ег(х + у)) = / (1/(х) + 1/(у)) + Мх) + г(у)).

По условию теоремы, модуль t /(М) обобщенно эндопримален. Отсюда следует, что

f(t f(x) + t f (у)) = f(t f (x)) + f(t f(y)).

Рассматриваем далее второе слагаемое.

Существует подмножество St С зирр

Pest

для всех г е {1,... ,к + 1}. Как и выше, используя проекции ер: М ^ tp (Мх), мы получаем

f(W)+W))= £ f(tÄxj + Ыу)). р est

Для каждого Р е St можно считать, что элементы xi( tp (Мх)), yi (t р (Мх)) принадлежат некоторому слагаемому R(Pmp) модуля М^, где тр < ш. Пусть xi(tp(М\)) = rptp и yi(tpМ)) = sptр, где rp, sр е R и tp е R(Pmp). Существуют эндоморфизмы pp е Endp(М{) такие, что ppt¡(М) = R(Pmp), pp \ t(М-[_) = id и ррар = tp для ар е t¡(М). Таким образом,

f(tP (x) +1 р (у)) = f (rptp + sptp,..., ppxk+i(tP (М\)) + ppyk+i(tp (М\))) = = f( ррграр + ppspap,..., pPxk+i(t p (Мi)) + pPyk+i(tP (Мi))) =

= pPf(rPaP + sPaP,.. .,xk+i(tP(Мг)) + yk+i(tP(Мi))) = = pP (etf + et)f( rPaP + sPaP,.. .,xk+i(tP (Мi)) + yk+i(tP М))) = = pPetf f( rPaP + sPaP,.. .,xk+i(t P (Мi)) + yk+i(tP (Мl)))+ +ppet f (rPaP + sPaP,..., xk+i(t P (Мi)) + yk+i(tP (Мi))) = = pPf (rPaP + sPaP,..., 0) + pP f(0,..., xk+i(tP (Мi)) + yk+i(t P (Мi))) = = f(xi(tp М)) + yi(tp М)),..., 0) + f(0,..., xk+i(tp М)) + yk+i (t p М))).

По предположению каждая fc-арная эндофункция аддитивна, поэтому эндофункция f аддитивна.

Теорема 6. Пусть М = tf (М) 0 Rt(М) 0 Vt(M) - R-^^лъ такой, что tf (М) = 0, Vt(M) = 0 и supp(Rt(М)) С supp(Vt(M)). Тогда EndR(M) - UA-кмьцо. Если модуль tf (М) обобщенно эндопримален, то М — обобщенно эндопримальный модуль.

Доказательство. Рассмотрим проекции etf: М ^ tf (М), ert: М ^ Rt(М) и edt: М ^ ^ Vt(M).

Покажем, что

(0 : edt EndR(M )etf )r f| etf EndR(M )etf = 0.

Пусть p E etfEhÜr(M)etf и p(x) = 0 для некоторого x E tf (M). Поскольку R-модуль Vt(M) инъективен, то ненулевой гомоморфизм Rp(x) ^ Vt(M) может быть продолжен до гомоморфизма ф: tf (М) ^ Vt(M). Отсюда фр = 0.

Проверим справедливость равенства

(0 : edtEndR(М)etf)t f| edtEndR(M)edt = 0.

Пусть 0 = p E edtEnd,R

и рф = 0.

Равенство

(0 : edtEndR(M)ен) (~) енEndR(М)ен = 0,

следует из того, что естественное вложение R(Pn) ^ R(P^) может быть продолжено до гомоморфизма ф: Rt(М) ^ Vt(M) для Р E supp(Rt(М)).

Докажем обобщенную эндопримальность модуля М. Как и в предыдущем утверждении, каждая эндофункция f: М ^ М является обобщенной терм-функцией. Пусть каждая fc-арная эндофункция модуля М аддитивна и пусть f: Mk+l ^ М — произвольная эндофункция. Докажем, что

f

для всех Xi,yi,..., Xk+l, Ук+l E M.

Поскольку модуль M расщепляется, элементы XiVi yi представимы в виде

хг = Xi(tf (М)) + Xi(rt(M))+ Xi(dt(M)), Уг = yi(tf (М)) + Vi(rt(M))+ Vi(dt(M)),

где xi(tf(М)),yi(tf(М)) E tf(M), x,i(rt(M)),yi(rt(M)) E Rt(M) и, наконец, справедливо xi(dt(M)),yi(dt(M)) E Vt(M) для всех i E {1,...,k}. Помимо ранее введенных, мы будем использовать следующие обозначения:

. rtp (х) = (xi(rtp (М)),..., Xk+i(rtp (М))) E tp (Rt (М ))k+l,

. ЖРЩ =(xl(dtp (М)),..., Xk+l(dtp (М))) E tp (Vt(M ))k+l.

Аналогично, как в предыдущем утверждении,

f (х+у) = / (ЦЩ) + f (Ш) + Е f (rtpfä+rtp(y)) + Е f (Mpfä+

pest pest

где St С supp(M) и Xi(t(M)), yi(t(M)) G £ tp (М) для всех i G {1,... ,к + 1}.

р est

Для каждого Р G St можно считать, что элементы X\(dtР(М)), у\(dtp(М)) принадлежат некоторому подмодулю R(Pmp), где тр < ш. Пусть Xi(dtР(М)) = rptp и yi(dtР(М)) = sPtP, где rp, sр G R и tp G R(Pтр). Существуют эндоморфизмы (р G Епс!р(М) такие, что (fptp(R,t(М)) = R(Pmp), (fp \ Vt(М) = id и (fpap = tp для некоторых ар G tp(R,t(М)). Таким образом,

¡(dtp (x) + dtp (у)) = f( rptp + sptp,..., fpxk+i(dtp (М)) + fpyk+\(dtp (М))) = = f (fprpap + (pspap,..., fPxk+i(dt P (М)) + fpyk+\(dtp (М))) =

= fp f( rpaP + sPaP,..., xk+i(dtP (М)) + yk+i(dtP (М))) = = fp (ert + edt)f( rPaP + sPaP,..., xk+i(dtP (М)) + yk+i(dtP (М))) = = fpertf (rpap + sPaP,..., xk+i(dtP (М)) + yk+i(dtP (М)))+ +(pe-dt f (rpap + sPaP,..., xk+i(dt P (М)) + yk+i(dtP (М))) = = fPf (rPaP + sPaP,..., 0) + fP f(0,..., xk+i(dtP (М)) + yk+i(dtP (М))) = = f(xi(dtP (М)) + yi(dt p (М)),..., 0) + f(0,..., Xk+i(dt p (М)) + yk+i(dtP (М))).

По предположению каждая fc-арная эндофункция аддитивна, поэтому эндофункция f аддитивна.

Существует вложение (: ~Rt(М) ^ ^(М), которое можно отождествить с некоторым эндоморфизмом модуля М. эндофункция f: Мk+i ^ М аддитивна на Vt(М), мы получаем

( Е f(rtP(x)+rtp(у)) = Е f(f>rtp(x)+frtp(у)) =

рest _ PeSt ___

^ f(vrtp(x))+ E f(wtp(y))=f E f(rtp(x)) + ( Y1 f(rtp(y)). Pest p est Pest Pest

Учитывая, что f — мономорфизм, заключаем, что эндофункция f аддитивна на ~Rt(М).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. К. Kaarli, L. Marki. Endoprimal Abelian groups // Jour. Austral. Math. Soc. 1999. V. 67. 412 - 428.

2. K. Kaarli, L. Marki. Endoprimal Abelian groups of torsion-free rank 1 // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 2004. V. 112. 117 - 130.

3. R. Gobel, K. Kaarli, L. Marki, S. Wallutis. Endoprimal torsion-free separable groups // Jour, of Alg. and Its Appl. 2004. V. 3. 61 - 73.

4. U. Albrecht, S. Breaz, W. Wickless. Generalized endoprimal abelian groups // Jour, of Alg. and Its Appl. 2006. V. 5. 1 - 17.

5. B.A. Davev. Dualisabilitv in general and endodualisabilitv in particular // Logic and Algebra, Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 1996. V. 180. 437 - 455.

6. B.A. Davev, J.G. Pitkethlv. Endoprimal algebras // Algebra Universalis. 1997. V. 38. 266 -288.

7. Д.С. Чистяков. Сепарабельные модули без кручения с UА-кольцами эндоморфизмов // Изв. вузов. Математика. 2015. Т. 6. 53 - 59.

8. Д.С. Чистяков. Абелевы группы как UA-модули над своим кольцом эндоморфизмов // Матем. заметки. 2012. Т. 91. 878 - 884.

9. О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков. Об абелевых группах без кручения с UA-кольцом эндоморфизмов // Вестник томского гос. универ. 2011. Т. 14. 55 - 58.

10. О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков. UA-свойства модулей над коммутативными нетеровыми кольцами // Изв. вузов. Матем. 2016. Т. 11. 42 - 52.

11. R.E. Johnson. Rings with unique addition // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9. 55 - 61.

12. W.S. Martindale, III. When are multiplicative mappings additive? // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. V. 21. 695 - 698.

13. A.V. Mikhalev. The multiplicative classification of associative rings // Math. Sb. 1988. V. 135(177). 210 - 224.

14. Chr.-F. Nelius. Ringe mit eindentinger Addition. Paderborn. 1974.

15. C.E. Rickart. One-to-one mappings of rings and lattices // Amer. Math. Soc. 1948. V. 54. 758 _ 764.

16. W. Stephenson. Unique addition rings // Can. J. Math. 1969. V. 21(6). 1455 - 1461.

17. I.I. Artamonova. On uniqueness of addition in semirings // Fundam. Prikl. Mat. 1997. V. 3. 1093 - 1100 (in Russian).

18. I.V. Arzhantsev. Uniqueness of addition in semisimple Lie algebras // Russian Math. Surveys. 2001. V. 56. 569 - 571.

19. A.B. van der Merwe. Unique addition modules // Comm. in Alg. 1999. V. 27. 4103 - 4115.

20. O.B. Любимцев, Д.С. Чистяков. Модули без кручения с UA-кольцами эндоморфимов // Матем. заметки. 2015. Т. 98. 898 - 906.

21. О.В. Любимцев. Сепарабельные абелевы группы без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов// Фунд. и прикл. математика. 1998. Т. 4. 1419 - 1422.

22. О.В. Любимцев. Периодические абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов // Матем. заметки. 2001. Т. 70. 736 - 741.

23. О.В. Любимцев. Вполне разложимые факторно делимые абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов // Матем. заметки. 2015. Т. 98. 125 - 133.

24. О.В. Любимцев. Алгебраически компактные абелевы группы с UA-кольцами эндоморфимов // Фунд. и прикл. математика. 2015. Т. 20. 121 - 129.

25. О.В. Любимцев, Д.С. Чистяков. Смешанные абелевы группы с изоморфными полугруппами эндоморфизмов // Матем. заметки. 2015. Т. 97. 556-565.

26. П.А. Крылов, А.А. Туганбаев. Модули над областями дискретного норирования. М.: Факториал Пресс. 2007.

REFERENCES

1. Kaarli К., Marki L. 1999, "Endoprimal Abelian groups" , Jour. Austral. Math. Soc., vol. 67, pp. 412-428.

2. Kaarli K., Marki L. 2004, "Endoprimal Abelian groups of torsion-free rank 1", Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, vol. 112, pp. 117-130.

3. Gobel R., Kaarli K., Marki L., Wallutis S. 2004, "Endoprimal torsion-free separable groups", Jour, of Alg. and Its Appl., vol. 3, pp. 61-73.

4. Albrecht U., Breaz S., Wickless W. 2006, "Generalized endoprimal abelian groups", Jour, of Alg. and Its Appl., vol. 5, pp. 1-17.

5. Davev B.A. 1996, "Dualisabilitv in general and endodualisabilitv in particular", Logic and Algebra, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., vol. 180, pp. 437-455.

6. Davev B.A., Pitkethlv J.G. 1997, "Endoprimal algebras", Algebra Universalis, vol. 38, pp. 266288.

7. Чистяков Д.С. 2015, "Сеиарабельиые модули без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов", Изв. вузов. Математика, т. 6, с. 53-59.

8. Чистяков Д.С. 2012, "Абелевы группы как UA-модули над своим кольцом эндоморфизмов Матем. заметки т. 91, с. 878-884.

9. Любимцев О.В., Чистяков Д.С. 2011, "Об абелевых группах без кручения с UA-кольцом эндоморфизмов" Вестник томского гос. универ., т. 14, с. 55-58.

10. Любимцев О.В., Чистяков Д.С. 2016, "UA-свойства модулей над коммутативными нетеро-выми кольцами", Изв. вузов. Матем., т. 11. 42-52.

11. Johnson R.E. 1958, "Rings with unique addition Proc. Amer. Math. Soc., vol. 9, pp. 55-61.

12. Martindale W.S. 1969, "When are multiplicative mappings additive?", Proc. Amer. Math. Soc., vol. 21, pp. 695-698.

13. Mikhalev A.V. 1988, "The multiplicative classification of associative rings", Math. Sb., vol. 135, pp. 210-224.

14. Nelius Chr.-F. 1974, "Ringe mit eindentinger Addition", Paderborn.

15. Rickart C.E. 1948, "One-to-one mappings of rings and lattices", Amer. Math. Soc., vol. 54, pp. 758-764.

16. Stephenson W. 1969, "Unique addition rings", Can. J. Math., vol. 21, pp. 1455-1461.

17. Artamonova I.I. 1997, "On uniqueness of addition in semirings", Fundam. Prikl. Mat., vol. 3, pp. 1093-1100.

18. Arzhantsev I.V. 2001, "Uniqueness of addition in semisimple Lie algebras", Russian Math. Surveys, vol. 56, pp. 569-571.

19. van der Merwe A.B. 1999, "Unique addition modules", Comm. in Alg., vol. 27, pp. 4103-4115.

20. Любимцев О.В., Чистяков Д.С. 2015, "Модули без кручения с UA-кольцами эндоморфи-мов", Матем. заметки, т. 98, с. 898-906.

21. Любимцев О.В. 1998, "Сеиарабельиые абелевы группы без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов", Фунд. и прикл. математика, т. 4, с. 1419-1422.

22. Любимцев О.В. 2001, "Периодические абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов", Матем. заметки, т. 70, с. 736-741.

23. Любимцев О.В. 2015, "Вполне разложимые факторно делимые абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов", Матем. заметки, т. 98, с. 125 - 133.

24. Любимцев О.В. 2015, "Алгебраически компактные абелевы группы с UA-кольцами эндо-морфимов", Фунд. и прикл. математика, т. 20, с. 121-129.

25. Любимцев О.В, Чистяков Д.С. 2015, "Смешанные абелевы группы с изоморфными полугруппами эндоморфизмов", Матем. заметки, т. 97, с. 556-565.

26. Крылов П.А., Туганбаев A.A. 2007, "Модули над областями дискретного норирования", М.: Факториал Пресс.

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

Получено 21.03.2017 г.

Принято в печать 14.06.2017 г.