К вопросу о существовании объектов математики

Таким образом, преодоление кризисных тенденций в современном обществе предполагает интенсификацию интеграционных процессов, основанную на взаимовыгодном соединении частных и общих ценностей, а в тех сферах, где ценности находятся в состоянии конфликта, - создание условий для достижения социального консенсуса.

Библиографический список

1. Белинский В.Г. Взгляд на литературу. - М.: Современник, 1988. - 651 с.

2. Мандевиль Б. Басня о пчелах. - М.: Наука,

2000. - 291с.

3. Парсонс Т. О социальных системах. - М.: Академический проект, 2002. - 832 с.

4. Ролз Дж. Теория справедливости. - Новосибирск: НГУ, 1995. - 514 с.

5. Фролов Д.Е. Иерархия социальных ценностей и смена парадигмы ценностного мышления // Материалы научной конференции «Космизм и новое мышление на Западе и Востоке». - СПб.: Нестор, 1999. - С. 131-136.

6. Хайек Ф. Дорога к рабству. - М.: Новое издательство, 2005. - 264 с.

УДК [1:316]:167; 119

Букин Дмитрий Николаевич

кандидат философских наук Волгоградский государственный университет hetfieldukin@mail.ru

К ВОПРОСУ О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЪЕКТОВ МАТЕМАТИКИ

В статье показано, что проблема существования объектов математики, не тождественная классической «проблеме обоснования математики», остается актуальной для современной философии. Рассмотрены терминологические и методологические особенности онтологических исследований, проводимых в данном направлении. Ключевые слова: онтология, существование, объект математики, математический объект, количество.

Как известно, уже на заре становления философского знания математика играет . значимую роль в развитии онтологии как учения о бытии как таковом, рассматривающем вещи не столько в качестве носителей неких пред-заданных свойств и отношений, сколько как нечто явленное, существующее. Вместе с тем многих современных математиков не интересует вопрос о том, «чем "на самом деле" являются точки, прямые и числа», в то время как онтолог по-прежнему едва ли сможет отказаться «от претензии... постижения "окончательной истины", от разгадки внутренней сущности мира» [6, с. 23]. В.В. Миронов и А.В. Иванов справедливо отмечают: «Математик не ставит вопрос в общей форме о том, познаваем ли мир. Наука всегда реализует познавательную установку, философ вправе сомневаться в ее реальности» [7, с. 15-16].

Традиционно центральной проблемой философии математики является проблема оснований последней, окончательно сформулированная после знаменитого «третьего» кризиса, разразившегося в начале XX в. (впрочем, нельзя отрицать, что и предыдущие два сыграли здесь свою роль). Примечательно, что на ее фоне зачастую почему-то нивелируются не менее важные вопросы существования и статуса объектов математики. Признавая наличие очевидной сильной взаимосвязи между данными проблемами, мы в то же время хотим обратить внимание на то немаловажное обстоятельство, что здесь затрагиваются все же нетождественные по своей сути предметные области, обладаю-

© Букин Д.Н., 2014

щие разным масштабом «охвата», неодинаковой степенью приближенности к реальной математической практике и т.д. Поясним это подробней.

Наиболее лаконично проблема оснований математики может быть сформулирована в виде вопроса: «Почему математические утверждения необходимы?» Очевидно, ответ на него подразумевает поиск некоего «фундамента» (foundations в противовес bases в англоязычной литературе по теме) условно целостного здания математики. Как известно, по своей природе «этажи» и уровни данного здания выстраиваются аподиктически, с опорой на определенную аксиоматическую базу или систему постулатов. В.А. Светлов отмечает: «Математическая необходимость есть не более чем необходимость следования теорем из посылок... Но это уже не онтологическая, а логическая необходимость» [8, с. 9]. При этом термин «логическая» здесь не означает безусловной апелляции к программе логици-стов - необходимость может интерпретироваться и как интуитивная очевидность (интуиционизм, конструктивизм), и как формальная непротиворечивость абстрактных конструкций (формализм), и даже как опытная верифицируемость (эмпиризм, натурализм). Не касаясь здесь истории противостояния классических философско-математических направлений, отметим, что во всех перечисленных случаях речь идет скорее не о философской, а о математической проблеме. Дело в том, что даже с семантической точки зрения множественное число многозначного термина «основание» фактически ничем не отличается от множественного же чис-

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 1, 2014

ла слова «начало», тысячелетиями используемого математиками. Другими словами, это тот самый случай, когда основания органически входят в нечто целое, являются его частью, пусть и на предельно высоком иерархическом уровне. Не останавливаясь подробно на поисках решения таким образом артикулируемой проблемы обоснования математики, которые Л. Витгенштейн сравнил с попыткой рассмотрения нарисованной скалы в качестве основания для нарисованной башни, констатируем, что и по сей день они не увенчались успехом. Это тем более удивительно, что формальная неразрешимость рассматриваемой проблемы неоднократно обосновывалась именно математиками (К. Гедель).

Тем не менее многие исследователи, пусть и с критических позиций, как бы «по инерции», все еще продолжают работу с основными установками логицизма, интуиционизма, формализма и др. фи-лософско-математических традиций прошлого столетия. Вместе с тем, как отмечает известный математик и логик А. Мостовский, «философские цели трех школ не были достигнуты, и, судя по всему, мы не ближе к полному пониманию математики, чем основатели этих школ» [11]. При этом автор в своей работе опять же не отрицает важность математических и логических результатов, полученных представителями этих школ (подобные мысли в своей статье «Почему все это не работает?» высказывает и Х. Патнэм - виднейший современный философ математики [12]).

В самом деле, признавая безусловно огромный вклад в развитие науки, который внесли Г. Фреге, Б. Рассел, Л. Брауэр, Д. Гильберт и многие другие выдающиеся ученые, следует признать, что задача всестороннего философского анализа бытия объектов математики по большому счету не ставилась, сводилась к поискам универсальных принципов «внешнего» обоснования необходимости математических истин. Так, для формализма не стояла проблема истинности математических утверждений. Логицизм отрицал проблему наглядности математических объектов и синтетического априори в математическом познании. Практически все направления игнорировали проблему применимости математики в эмпирическом познании. Что же касается проблемы существования объектов математики, натолкнувшей нас на написание данной статьи, то она в лучшем случае принимала форму проблемы допустимой области определения для переменных формализованной теории множеств, что значительно затрудняло возможность применения в ее изучении подходов и методов философской онтологии.

Вместе с тем мы считаем, что проблема обоснования математики не должна каким-то образом выводиться за рамки всеобщего учения о бытии, и полностью согласны с А.Г. Черняковым, утверждающим: «Вопрос, который, как нам представля-

ется, наиболее важен для современной философии математики и, возможно, философии как таковой, заключается в том, каким должно быть онтологическое или (в перипатетическом смысле) "метафизическое" истолкование оснований математики?» [9, с. 88]. И речь здесь идет не столько о возможности неоднозначной трактовки термина «основания» (об этом говорилось выше), сколько о том, что проблема оснований математики может и должна быть артикулирована онтологически, в предельном случае мотивируя исследователя на поиск ответа на вопрос: существует ли на самом деле то, что мы привыкли называть предметом математики? Отметим при этом, что сама постановка данного вопроса далеко не нова и, по-видимому, неоднократно попросту вырывалась из онтологического контекста: «Наверное, каждая философская система попыталась определить свое отношение к математике и выяснить, как именно существуют и существуют ли вообще ее предметы» [3].

Прежде чем перейти к краткому обзору философских традиций, каждая из которых так или иначе затрагивает проблему существования применительно к бытию особого рода - математической реальности, остановимся на двух принципиально важных моментах.

В свое время немецкий математик В. Гейтш, исследовавший предпосылки существования объектов математики, предложил в качестве таких предпосылок рассматривать, «с одной стороны, определенные свойства материального мира, а с другой - практическую деятельность субъекта с его способностью создавать абстрактные конструкции» [10, с. 17]. Обратим внимание на одну важную особенность данного перевода с немецкого: упоминаются не математические объекты (Das Mathematische Objekt) как завершенные конструкции, в какой бы форме они ни были представлены («отражающая» диаматовская схема, ментальный конструкт, социальный куматоид и проч.), а объекты математики (Das Objekt der Mathematik) как некие количественные отношения и пространственные формы бесконечно многообразного мира, «вступающие» в парменидовское тождество с нашим мышлением. При этом, расширяя и дополняя позицию В. Гейтша, отметим: во-первых, такие объекты вовсе не обязаны быть независимыми от сознания человека, поскольку объективное не есть объектное; во-вторых, сам мир с его многообразными пространственными формами и количественными отношениями не исчерпывается физическим уровнем организации материи: начиная с древности, математиков интересуют отношения не столько между вещами, сколько между идеальными образами, вещественных прообразов у которых может попросту не быть (диагональ квадрата, неизмеримые множества, геометрические объекты, не имеющие площади, и т.п.).

116

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 1, 2014

Другими словами, всякий математический объект (конструкция, функция, операция и т.п.) всегда может быть рассмотрен в качестве объекта и предмета математики, но не наоборот: конкретная эмпирически проявленная зависимость, физическая форма, социальный процесс и т.п. сами по себе математическими объектами не являются, лишь открывая перед нами отдельные (порой сущностные) стороны посредством таких математических объектов, как уравнение регрессии, фигура вращения, дифференциальное уравнение и т.д.

Вторым немаловажным моментом является то, что зачастую вопрос о существовании математического объекта (шире - объекта математики) подменяется вопросом об онтологическом статусе математического объекта. С одной стороны, нельзя не согласиться с тем, что «самого по себе существования математических объектов недостаточно и... надо понять, каким образом они доступны математику» [5, с. 103]. С другой же стороны было бы неплохо выяснить, что именно понимается под существованием математического объекта «самого по себе» - платоновское «близкое к достоверному» бытие числом [2, с. 33], аристотелевское «заточение» количества в материи, недосягаемая субъекту кантовская реальность «вещи в себе»? Так ли хорошо изучен данный вопрос и готовы ли мы перейти к следующим вопросам о «что-бытии» и «как-бытии»? Впрочем, справедливость подобной проблематизации вполне может быть оспорена в зависимости от содержания той или иной фило-софско-методологической концепции. Ниже мы попытаемся кратко изложить онтологические позиции представителей двух основных (в контексте рассматриваемой проблемы) философско-матема-тических течений.

Основными идейными противниками, каждый из которых на протяжении всей истории мысли, начиная с античности, отстаивает собственную, вполне однозначную и весьма категорическую точку зрения на математическую реальность и ее закономерности, являются представители реализма и конструктивизма. К первым принято относить Платона (именно поэтому реализм иногда называют платонизмом, что, на наш взгляд, не совсем точно), Г. Лейбница, Г. Фреге, Б. Рассела и др. [1]. Общая позиция, провозглашаемая со времен Академии, такова: «Общее как предмет математики существует объективно, и здесь речь идет не о том, чтобы его конструировать, а о том, чтобы его открыть» [4, с. 66]. Действительно, в математике далеко не всегда удается доказать существование объекта, опираясь на конкретный алгоритм построения. Это касается, в частности, доказательств ряда важных математических теорем (например, теоремы Кантора, теоремы о пределе монотонной ограниченной последовательности и т.д.), а также сферы применения иррациональных и комплексных чисел.

Ключевыми фигурами конструктивного направления в философии математики выступают Кант, представители позднего интуиционизма Л. Брауэр, Г. Вейль, А. Гейтинг и др. Корни конструктивизма также следует искать в античности. По этому поводу И.Т. Касавин отмечает: «В античной математике конфронтировали между собой в понимании математического знания, с одной стороны, школа Евдокса, а с другой стороны, Платоновская Академия. Кант занял позицию Евдокса, согласно которой в качестве доказательств существования математического объекта дается указание на принципы его конструирования или возможность его анализа как определенной конструкции» [4, с. 66]. В самом деле, наиболее распространенный способ доказательства существования математического объекта заключается в его непосредственном построении. Данный способ широко применяется в алгебре, евклидовой геометрии, математическом анализе и является основополагающим в интуиционистской философии математики.

Очевидно, что с учетом вышеизложенных принципов, которых мы придерживаемся в своем онтологическом исследовании, более близкими для нас являются взгляды реалистов. В то же время данная философско-математическая система местами сильно ограничена и не лишена недостатков, некоторые из которых довольно успешно преодолены в конструктивизме. Среди современных направлений, предпринимающих попытки избежать крайности обеих систем, перспективными можно назвать: конструктивный реализм (В.А. Лекторский), праксеологический априоризм (В.Я. Перминов), математический структурализм (отчасти Д. Гильберт, Н. Бурбаки, Н. Мулуд, С. Шапиро, М. Резник и др.) и др. Перечисление особенностей каждой из названных концепций значительно превысило бы объем данной работы, поэтому мы приводим их лишь в порядке упоминания. Так или иначе, эти направления относятся к тем немногим, которые не уходят от ответа на вопрос «существуют ли объекты математики?» и могут представить собственные онтологические модели математической реальности.

Подведем некоторые итоги. В современной философии математики сложилась весьма противоречивая ситуация: с одной стороны, все чаще возникает потребность в объединении исследовательских усилий философов-теоретиков и так называемых «работающих математиков», с другой - сохраняется необходимость развития «в чистом виде» таких разделов философии, как онтология и гносеология, изначально игравших роль областей «метазнания», связанных с наиболее глубокой формой рефлексии над проблемами индивидуального, социального и мирового бытия. На этом фоне особую актуальность приобретает сугубо онтологическая проблема существования математического

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 1, 2014

117

объекта (в общем случае - объекта математики), тесно связанная, но не тождественная классической «проблеме обоснования математики», любые попытки разрешения которой в настоящее время зашли в тупик.

Онтологическая артикуляция проблемы оснований математики требует, на наш взгляд, выполнения следующего условия: всякое рассуждение о статусе сущего, выступающего элементом системно организованного предмета математической науки, следует в первую очередь начинать не с выяснения того, как он существует, а с обоснования того, что он вообще существует. Ведущими философскими и философско-математическими течениями, продолжающими поиски в этом направлении и преодолевающими ограниченность «вечных» противников - реализма и конструктивизма, являются конструктивный реализм, математический структурализм и праксеологический априоризм.

Библиографический список

1. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. - 217 с.

2. Булдаков С.К. Модели развития европейской науки: от античности до нового времени // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - № 1. - С. 33-36.

3. Гутнер Г. Б. Онтология математического дискурса. [Электронный ресурс]. - Режим доступа:

http://www.teneta.ru/rus/ge/ gutner_ontology_of_matematic.htm (дата обращения: 17.02.2010).

4. Касавин И. Т. Конструктивизм как идея и направление // Конструктивизм в теории познания. -М.: ИФРАН, 2008. - С. 63-72.

5. Кричевец А.Н. Кризис математических наук и математического образования // Вопросы философии. - 2004. - № 11. - С. 103-115.

6. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? / пер. с англ. под ред. А.Н. Колмогорова. - М.: МЦНМО, 2004. - 568 с.

7. Миронов В.В., Иванов А.В. Онтология и теория познания. - М.: Гардарики, 2005. - 447 с.

8. Светлов В.А. Философия математики: основные программы обоснования математики XX столетия. - М.: КомКнига, 2010. - 208 с.

9. Черняков А.Г. Математика как формальная онтология // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы международной научной конференции 15-16 июня 2007. - М.: Изд. Савин С.А., 2007. - С. 87-89.

10. Heitsch W. Mathematik und Weltanschauung. - Berlin: Akademic Verlag, 1978. - 348 s.

11. Mostowski A. Thirty years of foundational studies // Acta Filosophica Fennica, Fasc.17. -Helsinki, 1965. - P. 8.

12. Putnam H. Philosophy of mathematics - why nothing works? // Words and life. - Harvard UP. -P. 499-512.

УДК 123

Калустьянц Жанна Суреновна

кандидат философских наук Северо-Кавказский горно-металлургический институт

linda543@mail.ru

ФОРМИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ АСПЕКТОВ ИДЕНТИЧНОСТИ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ: ЛИЧНОСТНЫХ И СОЦИАЛЬНЫХ

В статье рассматривается фундаментальная проблема современной философии, стоящая не только перед научным сообществом, но и перед всем человечеством. От успешного решения проблемы личности, как в теоретическом, так и в практическом плане, без преувеличения зависит судьба человечества, ибо уникальная личность выступает идеалом гуманизма и фундаментом европейской цивилизации.

Ключевые слова: личность, свобода, детерминация, общество, уникальность, системный подход, индивидуализм.

Моральный релятивизм современного общества приводит к размыванию ряда моральных ценностей, так что индивид лишается образцов нравственного поведения, на которые он мог бы ориентироваться. Во многих современных странах, лишенных устойчивой системы ценностей (источник которой может быть различным - будь то государственная идеология, церковь, само общество) и опирающихся на абстрактные «демократические ценности», возникает моральный вакуум и демократия превращается во вседозволенность. Нравственные ценности не

могут появляться сами по себе, их необходимо формулировать и воспитывать у населения. Если в обществе нет устойчивых моральных норм, закрепленных не столько законодательно, сколько в общественном сознании, они не могут появиться и у членов этого общества. Нравственную личность необходимо воспитывать, и отсутствие устойчивых моральных норм приводит к тому, что индивид просто не знает, как вести себя правильно, к какому идеалу стремиться.

Существенное влияние на общественную жизнь оказывают современные средства массовой инфор-

118

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 1, 2014

© Калустьянц Ж.С., 2014