О росте многообразий, порожденных алгебрами верхнетреугольных матриц

УДК 512.572

О РОСТЕ МНОГООБРАЗИЙ, ПОРОЖДЕННЫХ АЛГЕБРАМИ ВЕРХНЕТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ

С. М. Рацеев1

Показано, что если характеристика основного поля не равна двум, то не существует многообразий ассоциативных алгебр, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным. Пусть UTs — алгебра верхнетреугольных матриц порядка s над произвольным полем. В.М. Петроградским доказано, что экспонента произвольного подмногообразия в var(UTs) существует и является целым числом. В данной работе усилены оценки роста таких многообразий.

Ключевые слова: алгебра верхнетреугольных матриц, рост, ассоциативная алгебра.

It is shown that if the characteristic of the basic field does not equal two, then there exists no variety of associative algebras whose growth is intermediate between polynomial and exponential. Let UTs be the algebra of upper triangular matrices of dimension s over an arbitrary field. V. M. Petrogradsky proved that the exponent of any subvariety of var(UTs) exists and is an integer number. In his paper the growth estimates for such varieties are strengthened.

Key words: algebra of upper triangular matrices, growth, associative algebra.

Обозначим через UTs = UTs(K) алгебру верхнетреугольных матриц порядка s над произвольным полем K. В работе [1] В.М. Петроградский, используя разработанный им так называемый метод ожерелий, доказал, что экспонента произвольного подмногообразия в var(UTs) существует и является целым числом. Данный метод дает хорошую оценку сверху роста таких многообразий, т.е. если V — некоторое подмногообразие в var(UTs) и Exp(V) = d, то существует такая константа в, что cn(V) ^ пвdn для любого п. В настоящей работе показано, что в этом случае существует еще и такая константа а, что cn(V) ^ nadn для всех достаточно больших n.

Под обозначением [x\,Х2,    ,xn] будем понимать левонормированную расстановку коммутаторов

[[[Х1, Х2], Х3],    ,Xn]

Обозначим через Vs ассоциативное многообразие, определенное тождеством

[Х1 ,Х2][Хз,Х4]    [X2s-1,X2s] = 0-

Очевидно, что UTs £ Vs.

Пусть A(X) — свободная ассоциативная алгебра над полем K, где X = {Х1,Х2, } — счетное множество свободных образующих. Заметим, что

s-1

Pn(Vs) = Pn(A(X)/Id(V1)) Ф Pn(Id(Vc)/Id(Vc+1)),

C=1

где

Pn(A(X)/Id(V1)) = < Х1Х2 Хп >k, а пространство Pn(Id(VC)/Id(VC+1)) есть линейная оболочка следующих элементов:

Pn(Id(Vc)/Id(Vc+1)) — < xii    xik [х11 ,, x1ai ]  [ХС1,    , xcac] | к ^ 0, al,,ac ^ 2;

{Xh ^^Х^ ,Xij } = {X1 ^^Xn}, Ч <<1]-, jl >j 2 <<311j, j = 1,,C>K

Элементы Xi1 ,, Xik, а также элементы Xj3, , Xjaj, j = l^^^c, можно менять местами, так как, меняя местами два рядом стоящих элемента, мы дополнительно получаем элемент из Id(VC+1). Данное свойство назовем (*).

1 Рацеев Сергей Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. информационной безопасности и теории управления факультета математики и информационных технологий УлГУ, e-mail: RatseevSM@rambler.ru.

Пусть Skm — симметрическая группа порядка km. Обозначим через следующее подмножество

в Skm:

Skm = {& I & S Skm, &(im + 1) < &(im + 2) < ... < &(im + m), i = 0,...,k — 1}.

Очевидно, что \S*km\ =

Пусть V — некоторое фиксированное подмногообразие в Vs. Тогда

s—1

Pn(V) ^ ф Rc,n(V),

c=0

где

Ro,n(V) = Pn(A(X)/Id(V П Vi));

Rcn(V) = Pn (Id(V П Vc)/Id(V П Vc+i)), с = 1,...,s — 1.

Для многообразия V введем следующие числовые характеристики. Пусть произвольные положительные целые числа k и n зафиксированы, причем 1 ^ k ^ s. Скажем, что некоторое целое неотрицательное число m обладает свойством Q(n,k,V), если существует такое с, что в пространстве Rc,n(V) найдется некоторый набор линейно независимых элементов вида

aa = qt1 . . . [ti1, Ха(1), Xa(2),..., xa(m) ] . . . [ti2 , xa(m+1), xa(m+2), ..., xa(2m) ] . . . . . . [tifc , xa((k—1)m+1), xa((k—1)m+2), ..., xa(km)] . ..tc, & S Skm,

либо набор линейно независимых элементов вида

aa = xa(1) xa(2) . . . xa(m) . ..t1 . .. [tii, xa(m+1), xa(m+2), ..., xa(2m)] ... . . . [tik-1, x<r((k—1)m+1), xa((k—1)m+2), ..., xa(km)] . ..tc, & S Skm,

где q — некоторый, возможно пустой, моном; t1 ,...,tc — некоторые коммутаторы, зависящие не менее чем от двух переменных; и q,t1,...,tc одинаковы для всех элементов aa, & S Skm. Определим значение mn(k, V) следующим образом: если среди неотрицательных целых чисел, меньших n, нет таких, которые обладают свойством Q(n,k,V), то положим mn(k,V) = —1, в противном случае определим mn(k,V) как наибольшее из этих чисел, обладающих свойством Q(n,k,V). Введем еще одну характеристику многообразия V:

d(V) = max{fc | lim тп(к, V) = +oo, к = 1,..., s}.

n—

Доказательство следующей леммы аналогично доказательству леммы 3 из работы [2].

Лемма. Пусть V С Vs и d(V) ^ 1. Тогда для любого r S {1, 2,... ,d(V)} и любого n будет выполняться следующее неравенство:

n — rmn(r, V) ^ 2(s — 1) + r — 1.

Теорема 1. Пусть V — подмногообразие в Vs и основное поле произвольно. Тогда существуют такие константы N, а, ß и такое целое число d, причем d S {0,1,... , s}, что для любого n ^ N будет выполнено следующее двойное неравенство:

nadn < Cn(V) < nßdn.

В случае алгебр Лейбница (в частности, алгебр Ли) известен такой результат [3]: если характеристика основного поля не равна двум и для некоторого многообразия алгебр Лейбница V существует такое

г 71Q — 1 1

щ, что выполнено неравенство cno{V) < 2l_~ 1, где квадратные скобки означают целую часть числа, то коммутант многообразия V будет нильпотентным. Доказательство следующей теоремы аналогично доказательству, приведенному в работе [3].

Теорема 2. Пусть V — ассоциативное многообразие и характеристика основного поля не равна

Г nQ —1 п

двум. Если для некоторого щ выполнено неравенство cno(V) < 2^ 2 J ? то существует такое целое число s, что V является подмногообразием в Vs.

Следствие. (i) Пусть V С Vs таково, что cn(V) < nß(2 — e)n для некоторых констант ß, 0 < е < 1 и всех достаточно больших n. Тогда рост многообразия V является полиномиальным.

(л) Если характеристика основного поля не равна двум, то не существует многообразий ассоциативных алгебр, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным. Работа частично поддержана грантом РФФИ № 10-01-00209-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Petrogradsky V.M. Exponents of subvarieties of upper triangular matrices over arbitrary fields are integral // Serdika Math. 2000. 26. 1001-1010.

2. Рацеев С.М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница // Вестн. Самар. гос. ун-та. 2006. 6(46). 70-77.

3. Мищенко С.П., Череватенко О.И. Многообразия алгебр Лейбница слабого роста // Вестн. Самар. гос. ун-та. 2006. 9(49). 19-23.

Поступила в редакцию 26.05.2010

УДК 511

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ МОДУЛЕЙ СПЛАВОВ С. В. Шешенин1, М. И. Савенкова2

В статье изучаются изменения эффективных модулей оловянно-свинцовых сплавов в зависимости от изменения микроструктуры сплава, ее регулярности, а также концентрации включений олова. Кроме того, исследуется зависимость между геометрическими характеристиками сплава и размером представительного объема образца.

Ключевые слова: эффективные модули упругости, композит, представительный объем, припой, оловянно-свинцовый сплав.

In this paper we consider the effective moduli of a tin-lead alloy and their changes. We study their dependence on the variation of the alloy microstructure, its regularity, and the concentration of tin inclusions. In addition, we study the relation between the geometric characteristics of the alloy and the size of the representative volume element.

Key words: effective elastic moduli, composite, representative volume element, solder, tin-lead alloy.

В настоящее время оловянно-свинцовые сплавы используются в качестве припоя при монтаже печатных плат. Предполагается, что в будущем сплав олово-свинец будет заменен на сплав серебро-медь ввиду экологической целесообразности. В процессе работы материал припоя периодически нагревается и остывает, в результате чего происходит диффузия компонентов припоя. Структура сплава претерпевает изменения, его материальные свойства меняются, что в конечном итоге может вызвать процесс образования трещин и привести к разрушению припоя и выходу из строя платы. В работе изучаются эффективные модули упругости припоя в зависимости от изменения микроструктуры материала. Экспериментально полученные фотографии [1] показывают только двумерную структуру, поэтому моделирование проводится в рамках предположения о плоской деформации. Также исследуются зависимости эффективных модулей от концентрации, расположения и количества включений для модельного волокнистого материала.

Сплав олово-свинец рассматривается как двухкомпонентный композит, структура которого изображена на рисунке, а-г. При этом на рисунке, а представлена структура в начале процесса диффузии, а на рисунке, б — в конце. Аналогично на рисунке, в показана структура другого оловянно-свинцового сплава в начале процесса диффузии, а на рисунке, г — в конце. Для вычисления эффективных упругих модулей применялись два подхода. Структура сплава (рисунок, а, б) похожа на слоистую, поэтому в первом подходе для вычисления эффективных модулей используются аналитические формулы для слоистого композита [2, 3]. Во втором подходе эффективные модули вычисляются исходя непосредственно из опре-

1 Шешенин Сергей Владимирович sergey.sheshenin@mail.ru.

2 Савенкова Маргарита Ивановна,

— доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

— асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: madgista@gmail.com.