К ВОПРОСУ О РАЗРАБОТКЕ АЭРОТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ ПОРОШКА МЕТОДОМ PREP

МЕТАЛЛУРГИЯ ГРАНУЛ. КОМПОЗИЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ

УДК 621.762

К ВОПРОСУ О РАЗРАБОТКЕ

АЭРОТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ ПОРОШКА МЕТОДОМ PREP

Ю.А. Соколов, канд. техн. наук

Рассмотрен вопрос построения аэротермодинамической ММ процесса получения порошка методом PREP. Задачей моделирования является получение зависимостей, связывающих аэродинамические параметры (скорость, время полета частицы) с параметрами тепло-массопереноса (распределение температуры, давления, плотности, коэффициента динамической вязкости и др.).

Ключевые слова: математическое моделирование, метод PREP, порошок, аэродинамические и термодинамические процессы, дифференциальные уравнения.

On the Guestion of Development of Aero-Thermodynamic Mathematical Model of the Process of Powder Production by PREP Technique. Yu.A. Sokolov, V.N. Kopaev.

The question of development of aero-thermodynamic MM of the process of powder production by PREP technigue is considered. A problem of modeling is to obtain dependences which connect aerodynamic parameters (speed, particle flight time) with parameters of heat and mass transfer (distribution of temperature, pressure, density and coefficient of dynamic viscosity, etc.).

Key words: мathematical modelling, PREP technique, powder, aerodynamic and thermodynamic processes, differential equations.

Расчет процесса охлаждения частицы распыленного металла в газовой среде требует совместного учета тепловых и аэродинамических явлений. Сложность задачи определяется, главным образом, не столько нелинейной зависимостью теплофизических свойств газовой среды и материала частицы от температуры, сколько необходимостью совместного решения системы дифференциальных уравнений, описывающих аэродинамические и термодинамические процессы. Действительно, тепловое воздействие частицы на газовую среду определяет ее термодинамическое состояние, которое, в свою очередь, влияет на механическое(сопротивление среды полету), а скорость полета частицы - на тепловое (конвективное) взаимодействие (рис. 1).

Так, предположение о возможности моделирования процесса охлаждения частицы в

газовой среде с постоянным коэффициентом аэродинамического сопротивления приводит к погрешности в расчетах. Для повышения точности расчета следует учитывать зависимость коэффициента Сх от скорости полета частицы и температуры,зависимость коэффициента теплоотдачи а от скорости полета частицы Vч.

Теплообмен между поверхностью частицы и газом осуществляется путем конвекции и

С

Взаимодействие между частицей и средо

У \

У г it\ V.

Механическое

Тепловое

CX

)

Рис. 1. Моделирование процесса охлаждения частицы распыленного металла в газовой среде с учетом тепловьм и аэродинамических явлений

4*

лучистым переносом, т.е. является сложным. Частица шарообразной формы, обладающая высокой начальной скоростью, двигается в газовой среде.

Основное изменение теплового состояния частицы происходит за счет теплоотдачи через его поверхность площадью в. Плотность конвективного теплового потока д между частицей, имеющей температуру Тч, и газовой инертной смеси с температурой Тг рассчитывается по закону Ньютона- Рихмана [3]:

д = а(Тч - Тг)в,

Ре =

РгУч! _ УчС1ч

Рг = v/a,

Таким образом, коэффициент теплоотдачи зависит от скорости полета частицы:

а =

Распределение температуры в частице в трехмерной системе координат XYZ описывается дифференциальным уравнением теплопроводности [3]:

«г дТ =

дх

х<г> т+& х< ^ Т+Iх< 7) дЭ'<7)

где а - коэффициент теплоотдачи.

Средний по поверхности коэффициент теплоотдачи а от шара, обтекаемого потоком теплоносителя, можно рассчитать по формуле [1]:

Ыи = 2 + 0,03Ре0,54Рг0,33 + 0,35Ре0,58Рг0,36,

где Ыи - число Нуссельта; Рг - число Прандтля; Ре - число Рейнольдса. Число Рейнольдса рассчитывается по формуле [4]:

где Уч - скорость движение частицы;

ц - коэффициент динамической вязкости; V - коэффициент кинематической вязкости.

Число Нуссельта, определяющее интенсивность конвективного теплообмена между поверхностью частицы и потоком газа, можно представить в виде [2]:

Ыи = а!/Х,

где а - коэффициент теплоотдачи;

! - характерный линейный размер (принимаем диаметр частицы Сч); X - коэффициент теплопроводности. Формула для расчета числа Прандтля имеет вид [2]:

где а - коэффициент температуропроводности.

где с(Т) и Х(Т) - теплоемкость и коэффициент теплопроводности материала.

Для решения уравнения (7) методом конечных элементов используется следующее граничное условие: заданный поток тепла от частицы к газовой среде имеет вид [3]:

X дТ/дп = д,

где п - нормаль к поверхности.

Силу аэродинамического сопротивления, действующую на частицу, можно представить в виде функциональной зависимости:

Гх = АСХ, Рг, Рч, V, Уч),

где Сх=т, Рг=ял, Рч = ял, V = АТ), Уч = т.

Структура частицы во многом определяется скоростью зарождения центров кристаллизации и линейной скоростью роста кристаллов, которые зависят от скорости отвода тепла Уд от единицы массы металла, равной скорости уменьшения его удельной энтальпии [1]. В практических исследованиях вместо величины Уд часто используют скорость охлаждения частицы: мгновенную при текущей температуре металла и среднюю У за время Дt в интервале Т|^-Т30| (Т|^ и Т30| -температура ликвидус и солидус материала частицы).

Разработанная модель является физико-математическим представлением исследуемого процесса охлаждения частицы, основанная на численном решении системы дифференциальных уравнений аэродинамики, теплопередачи, энергии, непрерывности.

Для организации обратной связи между механической и тепловой составляющими ММ рассмотрим дифференциальное уравнение движения частицы по оси Х. При движе-

МЕТАЛЛУРГИЯ ГРАНУЛ. КОМПОЗИЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ

^сопр^?

0

P = mg

V

X

Рис. 2. Векторы скорости и сил при движении частицы вниз

нии частицы вниз на нее действует три силы: инерции,тяжести и сопротивления. Причем силы тяжести и сопротивления действуют в разные стороны (рис. 2).

Тогда дифференциальное уравнение движения частицы вниз в смеси охлаждающих газов можно записать в следующем виде:

d2x m4 —- = m4g

dt

Fv

где mч - масса частицы;

g - коэффициент гравитации, g = 9,80665 м/с2. Трансформируем уравнение (10) к следующему виду в конечных разностях:

AU = gAt -

F

сопр m,,

At,

(ii:

где ДV - приращение скорости на данном временном шаге;

Д£ - выбранный временной шаг расчета.

В соответствии с последним уравнением принимаем следующую блок-схему расчета в АМБУЗ ОРХ (рис. 3):

- в начальный момент времени принимаем скорость частицы Vo, равную скорости ее слета с венца электрода;

- на каждом временном шаге вычисляем аэродинамическую силу сопротивления с учетом теплового поля и скорости частицы;

- осуществляем расчет скорости частицы в текущий момент времени по формуле (11);

- после вычисления текущей скорости частицы переходим к следующему временному шагу.

На примере частицы из сплава ВТ6 выполнили численное моделирование процесса охлаждения в газовой смеси аргона и гелия. Расчет проведен на базе метода конечных элементов (МКЭ) в среде программного комплекса ANSYS Workbench - Fluid Flow (CFX) [5]. Пространственный режим - 3D, режим расчета - динамический. Численное моделирование процесса охлаждения титановой частицы рассматривали в газовой смеси (% мас.): 90 гелия и 10 аргона.

В качестве исходных данных для модели охлаждения частиц использовали:

1. Теплофизические параметры частицы: температура солидус Tso|, температура ликвидус T"liq, коэффициент теплопроводности А,ч, удельная теплоемкость си, плотность материала рч.

2. Теплофизические параметры составляющих газовой смеси (аргона и гелия): плот-

Рис. 3. Блок-схема расчета процесса получения порошка с учетом взаимосвязи аэродинамических и тепловых явлений

4*

ность рг, коэффициент теплопроводности А,г, удельная теплоемкость си, плотность газа рг, динамическая вязкость цг.

3. Скорость и направление вылета частицы с электрода.

В основу решения задачи в рамках ANSYS CFX положен алгоритм, суть которого заключается в раздельном решении для каждой степени свободы (температуры, давления, скорости) системы матриц, полученных конечно-элементной дискретизацией основного уравнения.

Модель построена следующим образом: частица неподвижно располагается в цилиндрической области с движущейся газовой средой, которая представлена профилем скорости V(t). Считаем, что частица «перемещается» по оси газового цилиндра заданных размеров и не «конфликтует» с другими частицами. Имея в силу приведенных рассуждений осесимметричную задачу, рассмотрим 1/4 часть модели, которая показана на рис. 4, а. Зеленым цветом показан интерфейс между частицей и газовой средой, красным цветом -отмечены области симметрии.

Одной из основных задач при моделировании процесса охлаждения частицы в газовой среде является задание нестационарных граничных и начальных условий, которые можно представить в следующем виде:

- на входе (INLET) и на стенках цилиндра задается поток газовой среды с профилем скорости V(t);

- в области открытой зоны (OPENING) относительное давление равно 0 атм.;

- в самой области потока газовой среды принимаем давление 1,2 атм.;

- температура частицы 1700 °С;

- температура газа на входе 40 °С;

- скорость на входе (INLET) и в самой области равна Vo.

На рис. 4, б представлена сетка конечных элементов (КЭ) модели. Сетка имеет сгущение около пограничного слоя частицы. При разбиении модели на КЭ, чтобы «отследить» пограничные слои по тепло- массопереносу вблизи поверхности частицы, газовая среда имеет существенно более мелкое разбиение на конечные элементы, чем вдали от частицы.

Обработка скоростного профиля, полученного по обратной связи

t, c V(CFX), м/с Ln(V) Vanal

0 92,153 4,523 92,153

0,001 88,133 4,479 87,945

0,002 84,086 4,432 83,974

0,003 80,264 4,385 80,226

0,004 76,684 4,340 76,687

0,005 73,321 4,295 73,344

0,006 70,149 4,251 70,184

0,007 67,160 4,207 67,198

0,008 64,340 4,164 64,373

0,009 61,675 4,122 61,701

0,01 59,154 4,080 59,171

0,011 56,770 4,039 56,777

0,012 54,513 3,998 54,508

0,013 52,372 3,958 52,359

0,014 50,340 3,919 50,322

0,015 48,412 3,880 48,390

0,016 46,576 3,841 46,558

0,017 44,833 3,803 44,820

0,018 43,174 3,765 43,170

0,019 41,595 3,728 41,603

0,02 40,092 3,691 40,115

0,021 38,701

Это позволяет корректно решить задачу, которая отличается большими градиентами как по скорости, так и по температуре в газовой среде около частицы.

В результате предварительного расчета в среде АЫБУБ СРХ получаем табличную зависимость скорости полета частицы диаметром 100 мкм от времени с учетом зависимости теплофизических параметров среды от температуры (см. таблицу).

По данным таблицы находим аппроксимирующую функцию натурального логарифма скорости полета частицы от времени (рис. 5):

у = 271,63х2 - 47,018х + 4,5235,

где у = 1пУ; х = t.

Окончательное выражение для аппроксимирующей функции скорости выглядит следующим образом:

V = Voexp

Найденную функцию (13) считаем входным скоростным профилем по времени на входе цилиндра. Делаем перерасчет с другим вре-

МЕТАЛЛУРГИЯ ГРАНУЛ. КОМПОЗИЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ

y = 271,63x2 - 47,018x + 4,5235

(4,100

Ln

Полиномиальный

0,005

0,015

0,02 0,025 t, c

Рис. 5. Аппроксимация Ln(V) c использованием средств Excel

Рис. 6. Временная зависимость скорости на входе (INLET) в модели CFX

менным шагом At (возможно переменным) на следующем временном интервале.

Графическая зависимость скорости на входе (INLET) в модели CFX приведена на рис. 6.

Для получения более точных и стабильных результатов в начале процесса предварительно проводится стационарный аэродинамический расчет без теплового обмена при V = Vo. Полученные результаты являются начальными данными для нестационарного расчета с учетом теплового обмена.

В результате моделирования на примере порошка титанового сплава ВТ6 были получены поля распределения температуры, давления, плотности, коэффициента динамической вязкости, теплопроводности во время полета частицы в газовой среде аргона, гелия, смеси аргона и гелия; временные зависимости коэффициента аэродинамического сопротивления, коэффициента теплоотдачи, силы сопротивления во время полета частицы.

Температурное поле и динамика изменения температуры частицы от времени приве-

дены на рис. 7, а, где отчетливо виден фазовый переход частицы из жидкого в твердое состояние, описываемый математически задачей Стефана. Время охлаждения в диапазоне от температуры ликвидус до температуры солидус составляет 0,015 с. Скорость охлаждения частицы из сплава ВТ6 в данном диапазоне равна 7-103 °С/с. Условия кристаллизации частиц расплава, протекающие с высокой скоростью охлаждения, обеспечивают очень высокий уровень структурных и механических свойств порошка.

На рис. 7, б показаны распределение скоростей потока газа в области частицы и две графические зависимости скорости полета частицы от времени, полученные на базе аэродинамической модели процесса распыления (верхний график) и на базе модели ДИвУв ОРХ (нижний график). Отличие в графиках объясняется зависимостью числа Рей-нольдса, коэффициента аэродинамического сопротивления, коэффициента динамической вязкости от температуры. Для повышения точности расчета при моделировании процесса охлаждения частицы в газовой среде необходимо совместное решение уравнений движения и теплопереноса, которое учитывает зависимость числа Рейнольдса от температуры, коэффициента Сх от скорости полета частицы и температуры, коэффициента теплоотдачи а от скорости полета частицы Vч.

Значения теплопроводности, плотности, динамической вязкости и температуры газовой смеси, рассчитанные в среде ДИвУв ОРХ, представлены на рис. 8 и 9.

В камере распыления инертная среда охлаждения находится при избыточном давлении 0,2 атм. Распределение давления газа в конце полета частицы показано на рис. 10.

В начале полета частицы градиент давления больше, плавно уменьшаясь во время полета. По мере увеличения числа Рейнольдса уменьшается влияние коэффициента динамической вязкости на сопротивление частице, в то же время влияние распределения поля давления возрастает и ставится доминирующим.

Таким образом, аэротермодинамическая математическая модель процесса получения порошка, учитывающая механическое и тепловое взаимодействие между частицей и газовой

0

-Ф-

-Ф-

Открытая область

Стена цилиндра

Частица

Входная область Набегающий поток с У

к

Рис. 4. Модель процесса охлаждения порошка

1.50159е+003 Л^Г \ [ I ^^^^^ \ \ ^^^ \ \ § 11

1.50061 е+003в i3

Temperatire versus Ime

1.50002в+003

U

;

4.07287е+001 3.81832е+001 3.56376е+001 3.30921е+001 3.05465е+001 2.80010е+001

2.54554е+001

2.03643е+001 1.78188е+001 1.52733е+001 1.27277е+001 1.01822е+001

7.63663е+000 в

2.54554е+000

0.00000е+000 _10 [m sM) " »

Г л

#

Рис. 7 Распределение температуры по сечению шаровидной частицы и зависимость изменения температуры частицы от времени (а), распределение скоростей потока газа в области частицы и графические зависимости

скорости полета частицы от времени

Рис. 8. Распределение коэффициента теплопроводности (а) и плотности (б) газовой смеси в области частицы

63

а

а

Dynamic Viscosity

Mu SMES

6.18615е-005

5.76780е-005 \ЯИ

5.34945е-005 ^Я

4.93110е-005 УЩ

4.51274е-005 \Ш

4.09439е-005 \'И

3.67604е-005 \Щ

3.25769е-005 \V

2.83933е-005 II

2.42098е-005

2.00263е-005

[Pa s]

Temperature

Temperature SMES _ 1.37069е+003

1.23762е+003

1.10455е+003

9.71482е+002

Ш 8.38414е+002

7.05345е+002

5.72276е+002

4.39207е+002

^ 3.06138е+002

1.73069е+002

4.00000е+001

[С]

Рис. 9. Распределение коэффициента динамической вязкости (а) и температуры (б) газовой смеси

в области частицы

Ф

Рис. 10. Распределение давления газа в области частицы

64

а

средой,позволяет прогнозировать значения температуры и скорости полета частицы в течение всего времени полета; учитывать влияние температуры на скорость полета частицы; рассчитывать временные, скоростные характеристики охлаждения частиц распыленного металла в газовой среде.

Выводы

1. Аэротермодинамическая ММ процесса получения порошка методом PREP, учитывающая механическое и тепловое взаимодействие между частицей и газовой средой, позволяет:

- прогнозировать значения температуры и скорости полета частицы в течение всего времени полета;

- учитывать влияние температуры на скорость полета частицы;

- рассчитать временные, скоростные характеристики охлаждения частиц распыленного металла в газовой среде.

2. Больший интерес в результатах аэротермодинамической модели представляет исследование влияния состава газовой среды на охлаждение частицы, оценка влияния конвективного и радиационного охлаждения на

кристаллизацию. На базе предложенной модели возможно найти оптимальное решение по выбору технологических режимов получения порошка на базе математического аппарата параметрической оптимизации.

3. Представлены результаты моделирования процесса получения порошка из титанового сплава ВТ6 в смеси аргона и гелия. На примере порошка из титанового сплава ВТ6 были получены поля распределения температуры, давления, плотности, коэффициента динамической вязкости, теплопроводности во время полета частицы в газовой смеси аргона и гелия, временные зависимости коэффициента аэродинамического сопротивления, коэффициента теплоотдачи, силы сопротивления во время полета частицы.

4. Установленные зависимости числа Рей-нольдса от температуры, коэффициента Сх от скорости полета частицы и температуры, коэффициента теплоотдачи а от скорости полета частицы Уч показывают, что для повышения точности расчета при моделировании процесса охлаждения частицы в газовой среде необходимо совместное решение уравнений движения и теплопереноса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Орлов В.К. К расчету скоростей охлаждения капель распыленного металла в газовой среде // В кн.: Металлургия гранул. - М.: ВИЛС, 1983. Вып. 1. С. 67-77.

2. Теплотехника / Под ред. А.П. Баскакова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 224 с.

3. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Б.М. Гидродинамика. Теоретическая физика. Т. VI. - М.: Наука, 1986. - 736 с.

5. ANSYS Basic Analysis Procedures Guide // ANSYS Realise 5.6. - ANSYS Inc, 1998.