Решение задачи определения параметров неоднородности в цилиндрических телах по измерению поля вне тела

УДК 517.3

DOI 10.21685/2072-3040-2017-4-8

Р. О. Евстигнеев

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ ПО ИЗМЕРЕНИЮ ПОЛЯ ВНЕ ТЕЛА1

Аннотация.

Актуальность и цели. Решение задач дифракции на телах, расположенных в свободном пространстве, является актуальной задачей акустики и электродинамики. Решается скалярная обратная задача с использованием значений поля в точках наблюдения, расположенных за пределами тела на небольшом расстоянии. В большинстве современных устройств точки наблюдения располагаются по окружности, что затрудняет исследование на сетках прямоугольной формы. Для этого удобнее использовать цилиндрическую систему координат и проводить исследования на телах цилиндрической формы.

Материалы и методы. Рассматривается задача дифракции скалярной волны. Данная задача описывается уравнением Липпмана - Швингера, по которому рассчитывается полное поле внутри тела. Применяя алгоритм, позволяющий по результатам измеренного поля рассчитывать полное поле внутри тела и используя имеющиеся значения, можно восстанавливать параметры неоднородности в теле цилиндрической формы.

Результаты. Разработан алгоритм, позволяющий решать обратную задачу в цилиндрической системе координат. Данный алгоритм применим не только для вещественных данных, но и для комплексных значений. Проанализирована устойчивость алгоритма к погрешностям измерений.

Выводы. Представленные численные результаты показывают, что исследованный алгоритм применим в цилиндрической системе координат и позволяет восстанавливать структуру и геометрию тела. Исследованный алгоритм является устойчивым к погрешностям измерений.

Ключевые слова: объемное сингулярное интегральное уравнение, интегральное уравнение, краевая задача, численные методы, обратная задача, цилиндрическая система координат.

R O. Evstigneev

SOLVING THE PROBLEM OF INHOMOGENEITY PARAMETERS DETERMINATION IN CYLINDRICAL BODIES BY MEASURING THE FIELD OUTSIDE THE BODIES

Abstract.

Background. Direct and inverse electromagnetic and acoustic problems play a crucial role in applied science. The paper focuses on the scalar inverse problem in which the scattered field is measured at the point located closely outside the body. In many contemporary devices the detectors are located in a circle. Such a disposition of the detectors prevents using rectangular grids for numerical study of the problem. In this case, it is much more convenient to use cylindrical coordinates together with bodies of cylindrical shapes.

1 Работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования и науки РФ

Materials and methods. The problem under consideration is described by the Lippman-Schwinger equation. With this equation one calculates the field inside the body. Then, the function heterogeneity, which characterizes the body, is reconstructed using the measured field outside the body and the calculated field distribution inside the body.

Results. The main result of the paper is an algorithm that allows solving the inverse problem. This algorithm is applicable to real as well as complex-valued fields. The article analyzes the algorithm's resistance to measurement errors.

Conclusions. The developed algorithm allows one to reconstruct some parameters of a cylindrical body. The algorithm is stable against measurement errors.

Key words: volume singular integral equation, integral equation, boundary value problem, numerical methods, inverse problem.

Введение

Определение рассеянного поля в различных средах и восстановление параметров материалов являются актуальными задачами в современном мире. Одним из применений данной задачи является диагностика рака молочной железы. По статистике, на 2016 г. он составляет 23 % от общего числа раковых больных женщин [1]. Для его диагностики применяют рентгеновскую маммографию, которая является дорогой и небезопасной для человеческого организма. В наши дни получил развитие метод СВЧ-томографии, но развитие подобных методов сдерживается отсутствием численных методов, вычислительных алгоритмов и программных комплексов. Прямая задача описывается уравнением Липпмана - Швингера [2], единственность решения данной задачи рассмотрена в монографии [3]. Итерационный алгоритм решения подобной задачи [4, 5] имел существенный недостаток: требование начальных приближений. Ранее рассмотренный алгоритм решения обратной задачи в статье [6] решался на телах прямоугольной формы, что с точки зрения практики не очень удачно. Например, точки наблюдения в измерительной установке Mamacell System [7] расположены по окружности, за пределами тела. В подобном случае удобнее проводить расчеты на теле цилиндрической формы.

1. Постановка прямой задачи

Рассмотрим задачу дифракции скалярной волны на теле Q , располо-

3

женном в свободном пространстве R . Данное тело имеет цилиндрическую форму. На тело падает поле U0 , излучаемое точечным источником, расположенным за пределами тела.

Данную систему описывает неоднородное уравнение Гельмгольца

Дм + k2

k2 ( ) Jkf (Х)Хе Q ф

здесь k (х) = < _ - кусочно-непрерывная функция;

ko, X g Q

eik\x~ Xo|

f (х ) = п-Г - известная функция с компактным носителем, где

х0 = (0, хд, х01 - координаты источника излучения. Будем предполагать, что на границе раздела двух сред выполняются условия сопряжения:

ды

[u W = 0

дп

= 0;

dQ

[•] - скачок поля, и условия излучения Зоммерфельда:

' 1Л

— = ik0u + o дг

, r := x ^^.

U

Рис. 1. Тело Q , расположенное в свободном пространстве

Задача (1)-(3) сводится к уравнению Липпмана - Швингера [2]:

ы(х) = Г0 (х) + \о(х,у)(( - к2 (у))ы(у)4у ,

Q

где G (x, y ) =

ik\x-y|

Iх - у\ = Г = ^ + ру - 2РхРу СОБ (фх - фу ) + ( - 2у )2 .

Будем рассматривать уравнение (4) в пространстве ¿2 (Q) = ¿2 ^)х х^2 (Q)х ¿2 ^). Это условие конечности энергии в любом ограниченном

объеме пространства. Это уравнение играет важную роль не только в акустических задачах дифракции, но также в электродинамике, квантовой механике и во многих других областях физики. Обозначим:

Au := \G(x,y)(( - k2 (y))u(y)dy,

Q

пусть ы := ы(х), Г := /0 (х), запишем уравнение в операторном виде:

Lu := u - Au := F, u e L2

Для уравнения (6) справедливы следующие утверждения [3]. Утверждение 1. Оператор Lu := u - Au : L2 (QL2 (Q) фредгольмов

с нулевым индексом.

Утверждение 2. Решение задачи (1)-(3) единственно. Утверждение 3. Оператор L := I - A: L2 (QL2 (Q) непрерывно обратим.

Таким образом, прямая задача имеет единственное решение и эквивалентно сводится к решению уравнения Липпмана - Швингера (4).

2. Метод коллокации

Будем считать, что тело Q - цилиндр: Q = {x :0 <p<R, 0 <ф<2л, C < z < С2}. Будем рассматривать тело в цилиндрической системе координат:

Xi = pcos ф, x = \ X2 = р sin ф, . x3 = z.

Разобьем цилиндрическое тело Q на блоки П^/m, представленные на рис. 2 следующим образом:

Пк1т ={x : Pk <P<Pk+b Ф1 <Ф< ф/+1, zm < z < zm+1} ,

P2 - P1 ; Ф2 - Ф^ с2 - C1

Pk = k, ф/ = V2 /, zm = C1 + -1 m,

n n n

где k,/,m = 0,...,n -1. Объем любого элементарного элемента сетки Пк/т равен V.

Рис. 2. Элементарная ячейка сетки

Введем кусочно-постоянные базисные функции, определяемые следующим образом :

-Ю х;"Ит;

I0, х ¿ПЫт.

Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходимому условию аппроксимации в ¿2 (<2).

Метод коллокации для приближенного решения уравнения

Ьы = /

состоит в нахождении приближенного решения из конечномерного подпространства посредством приравнивания значений функций в левой и правой частях уравнения (8) в конечном числе точек, называемых точками коллокации.

Уравнение (8) эквивалентно системе линейных алгебраических уравнений

к=1

Метод коллокации можно рассматривать как вариант проекционного метода [8]. Решая уравнение (8), определяем поле внутри тела Q .

Рассмотрим задачу определения волновых параметров тела цилиндрической формы, расположенного в свободном пространстве по результатам измерения поля вне тела. Предполагается, что источник скалярного поля расположен за пределами тела и излучает заданную частоту.

Обратная задача определения волновых параметров тела Q по известному полю состоит в нахождении функции волнового числа к (х) по известным результатам измерения поля и (ус) в точках измерения ус, расположенных за пределами тела. Здесь х = (рх, фх, 2х), у = (ру, фу, ).

Рассмотрим тело Q, расположенное в свободном пространстве. Предположим, что в исследуемом теле Q имеется одна или несколько неоднород-ностей. Будем разбивать тело на элементарные ячейки П^т таким образом, что внутри каждой ячейки значение функции волнового числа постоянно, т.е. к (х) = кI. Будем считать, что в одной или нескольких из ячеек имеется некоторая неоднородность, как представлено на рис. 3.

п

3. Обратная задача

источник

РЯ ^ i y

Q

I и

*

Рис. 3. Источник излучения, исследуемое тело и точки наблюдения

Для нахождения волнового числа к (л) внутри цилиндрического тела Q будем использовать следующий алгоритм [6].

На первом шаге вычисляем J (у), используя известные значения измерений скалярного поля и(ус) в точках наблюдения ус, как решение уравнения

и

Q

На втором шаге подставляем полученное ранее значение J(у) в следующую формулу:

J

k2 (y)- k2 Q

- J G

и определяем значение к (у).

Данная задача может быть применена и для восстановления в том числе геометрии тела. Если в теле будут располагаться пустоты, то значение параметра неоднородности тела внутри этих пустот будет приближенно равно величине за пределами тела.

4. Численные результаты

На рис. 4-6 показано решение обратной задачи для цилиндра с различными включениями. Частота волны равна 20,0 ГГц. Представленные ниже результаты показывают восстановление вещественной и мнимой частей волновой функции. Радиус и высота цилиндра составляют 7,5 см. Количество разбиений на теле составляет к = I = т = 10. Источник наблюдения расположен сверху за пределами тела на расстоянии 3 см. Точки наблюдения располагаются вокруг тела на малом расстоянии, около 1 мм. В теле имеются несколько неоднородностей, которые требуется обнаружить.

а) б)

Рис. 4. Исходные данные: вещественные значения

а) б)

Рис. 5. Результат решения обратной задачи: вещественные значения

а) б)

Рис. 6. Результат решения обратной задачи с погрешностью измерений: вещественные значения

Также для проверки устойчивости метода в точках наблюдения вносилась погрешность в четвертый-шестой значащий знак точного значения измерений. При подобных погрешностях возникают «артефакты» (неточности решений) в одной или нескольких ячейках. Для избавления от них применяются повторные измерения с другим положением источника, излучающего поле на той же частоте, а также с приближением или незначительным поворотом точек наблюдения. Например, сместить точки наблюдения на 1°.

Представленные результаты показывают, что используемый алгоритм применим в случае «зашумленных данных». Максимум модуля погрешности результатов расчета при «зашумленных» данных не превышает 7 % от точного значения. Численный алгоритм устойчив к погрешностям измерений и имеет преимущества перед итерационными алгоритмами [7, 8], применяемыми в большинстве случаев:

1) использование двухшагового алгоритма;

2) возможность уточнения решения при приближении точек наблюдения к телу;

3) для расчетов не требуется начальное приближение;

4) возможность отсеивать артефакты путем снятия дополнительных данных.

Библиографический список

1. Каприн, А. Д. Состояние онкологической помощи населению России в 2016 г. / А. Д. Каприн, В. В. Старинский, Г. В. Петрова. - М. : МНИОИ им. П. А. Герцена -филиал ФГБУ «НМИРЦ» Минздрава России, 2017. - 236 с.

2. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения Липпмана - Швингера на телах сложной формы / М. Ю. Медведик // Радиотехника и электроника. - 2012. - Т. 57, № 2. - С. 175-180.

3. Смирнов, Ю. Г. Математическая теория дифракции акустических и электромагнитных волн на системе экранов и неоднородных тел : монография / Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак. - М. : РУСАЙНС, 2016. - 226 с.

4. Евстигнеев, Р. О. Обратная задача определения параметров неоднородности тела по измерениям акустического поля / Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. -

2016. - Т. 56, № 3. - С. 490-497.

5. Евстигнеев, Р. О. Итерационный метод решения прямых и обратных двумерных задач акустики / Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. -№ 4 (32). - С. 28-36.

6. Евстигнеев, Р. О. Задача определения параметров неоднородности в телах сложной формы, расположенных в свободном пространстве, по измерениям скалярного поля / Р. О. Евстигнеев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 2 (42). - С. 52-62.

7. Fast 3-D tomographic microwave imaging for breast cancer detection / T. M. Grzegorczyc, P. M. Meaney, P. A. Kaufman, Roberta M. diFlorio-Alexander, K. D. Paulsen // IEEE Transactions on medical imaging. - 2012. - Vol. 3, № 8. -Р. 1584-1592.

8. Kress, R. Linear Integral Equations / R. Kress // Applied Mathematical Sciences. -New York : Springer-Verlag, 1989. - Vol. 82.

References

1. Kaprin A. D., Starinskiy V. V., Petrova G. V. Sostoyanie onkologicheskoy pomoshchi naseleniyu Rossii v 2016 g. [The state of oncological help to the population in Russia in 2016]. Moscow: MNIOI im. P. A. Gertsena filial FGBU «NMIRTs» Minzdrava Rossii,

2017, 236 p.

2. Medvedik M. Yu. Radiotekhnika i elektronika [Radio engineering and electronics]. 2012, vol. 57, no. 2, pp. 175-180.

3. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Matematicheskaya teoriya difraktsii akusticheskikh i el-ektromagnitnykh voln na sisteme ekranov i neodnorodnykh tel: monografiya [The mathematical theory of acoustic and electromagnetic waves diffraction on a system of screens and inhomogeneous bodies: monograph]. Moscow: RUSAYNS, 2016, 226 p.

4. Evstigneev R. O., Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Zhurnal vychislitel'noy ma-tematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2016, vol. 56, no. 3, pp. 490-497.

5. Evstigneev R. O., Medvedik M. Yu. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 4 (32), pp. 28-36.

6. Evstigneev R. O. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 2 (42), pp. 52-62.

7. Grzegorczyc T. M., Meaney P. M., Kaufman P. A., diFlorio-Alexander Roberta M., Paulsen K. D. IEEE Transactions on medical imaging. 2012, vol. 3, no. 8, pp. 15841592.

8. Kress R. Applied Mathematical Sciences. New York: Springer-Verlag, 1989, vol. 82.

Евстигнеев Роман Олегович аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: Roman_cezar@mail.ru

УДК 517.3 Евстигнеев, Р. О.

Решение задачи определения параметров неоднородности в цилиндрических телах по измерению поля вне тела / Р. О. Евстигнеев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 4 (44). - С. 87-95. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-4-8

Evstigneev Roman Olegovich Postgraduate student, Penza State University